1. Опережение одного или нескольких транспортных средств, связанное с выездом на полосу (сторону проезжей части), предназначенную для встречного движения, и последующим возвращением на ранее занимаемую полосу (сторону проезжей части).
2. Опережение одного или нескольких транспортных средств, связанное с выездом из занимаемой полосы.
3. Любое опережение одного или нескольких транспортных средств.
Под обгоном понимается маневр опережения одного или нескольких ТС, связанный с выездом из занимаемой полосы на полосу, предназначенную для встречного движения и последующим возвращением на ранее занимаемую полосу (п. 1.2).
Правильный ответ: Опережение одного или нескольких транспортных средств, связанное с выездом на полосу (сторону проезжей части), предназначенную для встречного движения, и последующим возвращением на ранее занимаемую полосу (сторону проезжей части).
Билет 18 — Вопрос 2
Этот дорожный знак предупреждает:
1. О приближении к скользкому участку дороги.
2. О приближении к мокрому или загрязненному участку дороги.
3. О приближении к участку дороги, где возможен выброс гравия (щебня) из-под колес.
Предупреждающие знаки информируют о приближении к опасному участку дороги, движение по которому требует принятия соответствующих мер. В данном случае из-под колес автомобилей возможен выброс гравия или щебня (знак 1.18 «Выброс гравия»), поэтому для снижения вероятности и тяжести повреждения автомобиля летящими камнями Вам необходимо снизить скорость и по возможности увеличить дистанцию и боковой интервал.
Правильный ответ: О приближении к участку дороги, где возможен выброс гравия (щебня) из-под колес.
Билет 18 — Вопрос 3
Разрешено ли Вам ставить автомобиль на стоянку в этом месте по четным числам месяца?
1. Разрешено.
2. Разрешено только после 21 часа.
3. Запрещено.
Зона действия знака 3.30 «Стоянка запрещена по четным числам месяца» распространяется от места его установки до ближайшего перекрестка. Перед знаком, установленным справа, Вы можете ставить автомобиль на стоянку в любой день месяца.
Правильный ответ: Разрешено.
Билет 18 — Вопрос 4
Какие из указанных знаков информируют о том, что на данной дороге действуют требования Правил, устанавливающие порядок движения в населенных пунктах?
1. Только А.
2. А и Б.
3. Все.
Все три знака имеют одинаковое название — «Начало населенного пункта». Но только знаки А (5.23.1 ) и Б (5.23.2 ) применяются для обозначения населенного пункта, на всей территории которого действуют требования Правил, устанавливающие порядок движения в населенных пунктах. Знак В (5.25 ) устанавливается в начале населенного пункта, в котором на данной дороге не действуют эти требования Правил.
Правильный ответ: А и Б.
Билет 18 — Вопрос 5
В данной ситуации Вы:
1. Должны остановиться у знака.
2. Должны остановиться у стоп-линии.
3. Можете при отсутствии других транспортных средств проехать перекресток без остановки.
Разметка 1.12 (стоп-линия) указывает место, где Вы должны остановиться, выполняя требование знака 2.5 «Движение без остановки запрещено».
Правильный ответ: Должны остановиться у стоп-линии.
Билет 18 — Вопрос 6
В каком направлении Вам разрешено движение?
1. Только налево и в обратном направлении.
2. Прямо, налево и в обратном направлении.
3. В любом.
Когда регулировщик обращен к Вам левым боком, а правая рука вытянута вперед, движение разрешается во всех направлениях (п. 6.10). Однако, двигаясь по левой полосе, Вы можете продолжить движение только прямо, налево и в обратном направлении (п. 8.5).
Правильный ответ: Прямо, налево и в обратном направлении.
Билет 18 — Вопрос 7
Вы намерены остановиться слева у тротуара. В каком случае Вы обязаны включить на автобусе указатели левого поворота?
1. Перед перестроением.
2. Перед остановкой.
3. В обоих перечисленных случаях.
Перед перестроением и остановкой водитель обязан подавать сигналы световыми указателями поворота соответствующего направления (п. 8.1). В данной ситуации Вы решили перестроиться налево для того, чтобы остановиться с левой стороны, поэтому должны включить на автобусе указатели левого поворота в обоих перечисленных случаях.
Правильный ответ: В обоих перечисленных случаях.
Билет 18 — Вопрос 8
Вам можно продолжить движение?
1. Только по траектории А.
2. По траекториям А или В.
3. По любой траектории из указанных.
На данном перекрестке установлен знак 5.7.1 «Выезд на дорогу с односторонним движением», который не запрещает движение прямо и направо. При повороте Вы должны двигаться по возможности ближе к правому краю проезжей части. Следовательно, движение на перекрестке можно продолжить только по траекториям А и В (п. 8.6).
Правильный ответ: По траекториям А или В.
Билет 18 — Вопрос 9
Управляя автопоездом, имеющим большую длину, Вы имеете право выполнить разворот:
1. Только по траектории А.
2. Только по траектории Б.
3. По любой траектории из указанных.
При недостаточной для разворота ширине проезжей части Правила разрешают вне перекрестка выполнение маневра не из крайнего левого положения, а с обочины или от правого края проезжей части (п. 8.8), т.е. по траектории А.
Вопрос: Если правила разрешают разворот не только из крайней левой полосы при недостаточной ширине дороги, то в чем состоит нарушение правил при развороте по траектории Б? Ответ: В этом случае пункт 8.8 ПДД разрешает левый поворот только с правой полосы или обочины. Третьего варианта нет.
Правильный ответ: Только по траектории А.
Билет 18 — Вопрос 10
В каких из перечисленных случаев разрешается движение в населенных пунктах со скоростью не более 20 км/час?
1. При движении в жилых зонах и на дворовых территориях.
2. При движении в велосипедных зонах.
3. Во всех перечисленных случаях.
В жилых зонах и на дворовых территориях пешеходы имеют право использовать для движения кроме тротуаров и проезжую часть (п. 17.1), в велосипедных зонах велосипедисты имеют право двигаться по всей ширине проезжей части, предназначенной для движения в данном направлении (п. 24.11). Для того, чтобы обеспечить их безопасность, скорость движения ТС в жилых зонах, велосипедных зонах и на дворовых территориях ограничена до 20 км/ч (п. 10.2).
Правильный ответ: Во всех перечисленных случаях.
Билет 18 — Вопрос 11
Можно ли водителю грузового автомобиля Б начать обгон?
1. Можно.
2. Можно, если водитель легкового автомобиля не приступил к обгону.
3. Нельзя.
Водитель грузового автомобиля «Б» не имеет права начать обгон легкового автомобиля, водитель которого подал сигнал указателями левого поворота (п. 11.2).
Правильный ответ: Нельзя.
Билет 18 — Вопрос 12
Кто нарушил правила остановки?
1. Оба водителя.
2. Только водитель грузового автомобиля.
3. Только водитель легкового автомобиля.
4. Никто не нарушил.
Требования Правил о том, что остановка запрещена ближе 5 м от края пересекаемой проезжей части водителями выполнено. Однако водитель грузового автомобиля нарушил другое требование Правил, так как расстояние между ТС и сплошной линией разметки менее З м (п. 12.4).
Правильный ответ: Только водитель грузового автомобиля.
Билет 18 — Вопрос 13
Обязаны ли Вы уступить дорогу легковому автомобилю при повороте направо?
1. Обязаны.
2. Обязаны, если легковой автомобиль поворачивает налево.
3. Не обязаны.
Данный перекресток регулируемый, поэтому очередность движения на нем определяется не знаками приоритета, а сигналами светофора (пп. 6.15 и 13.3). Поворачивая направо, Вы имеете преимущество перед встречным легковым автомобилем, который поворачивает налево или разворачивается (п. 13.4).
Правильный ответ: Не обязаны.
Билет 18 — Вопрос 14
Вы намерены выполнить разворот. Ваши возможные действия?
1. Отказаться от преимущества в движении и приступить к развороту после проезда легкового автомобиля.
2. Выехать на перекресток первым и, уступив дорогу легковому автомобилю, закончить разворот.
3. Допускаются оба варианта действий.
Поскольку легковой автомобиль находится слева, Вы можете выехать на перекресток равнозначных дорог первым. При развороте легковой автомобиль станет для Вас «помехой справа» и его необходимо будет пропустить, после чего закончить разворот (п. 13.11). С учетом этого Вы можете отказаться от преимущества в движении и начать разворот после проезда этого автомобиля.
Вопрос: Как согласуются между собой правильные ответы в этом вопросе и в билете 32 вопрос 14 ? Нет ли ошибки в правильном ответе здесь? Ответ: Ситуация практически одинаковая. В этом вопросе встречный легковой автомобиль поворачивает налево, а в билете 32 вопрос 14 — направо. В обоих случаях, завершая разворот, Вы должны пропустить легковой автомобиль, так как он окажется справа от Вас.
Правильный ответ: Допускаются оба варианта действий.
Билет 18 — Вопрос 15
Вы намерены проехать перекресток в прямом направлении. В данной ситуации:
1. Вы обязаны уступить дорогу грузовому автомобилю.
2. Вы имеете право проехать перекресток первым.
При проезде перекрестка неравнозначных дорог по направлению главной дороги (знак 2.1 «Главная дорога») в прямом направлении Вы имеете преимущество перед встречным автомобилем, поворачивающим налево (п. 13.12), поскольку проблесковый маячок оранжевого или желтого цвета преимущества в движении не дает (п. 3.4).
Правильный ответ: Вы имеете право проехать перекресток первым.
Билет 18 — Вопрос 16
Как следует поступить водителю автобуса, отъезжающего от обозначенного места остановки?
1. Уступить дорогу автомобилю.
2. Подать звуковой сигнал и начать движение.
3. Начать движение, убедившись, что водитель автомобиля уступает дорогу.
Маршрутный автобус, начинающий движение от остановки, вынужден сразу перестраиваться на вторую полосу. В населенных пунктах водители других ТС должны уступать дорогу маршрутным автобусам и троллейбусам, начинающим движение от обозначенной остановки. Однако водители автобусов и троллейбусов могут начинать движение только после того, как убедятся, что им уступают дорогу (п. 18.3).
Правильный ответ: Начать движение, убедившись, что водитель автомобиля уступает дорогу.
Билет 18 — Вопрос 17
Разрешается ли перевозка людей в буксируемом на жесткой сцепке автобусе?
1. Разрешается.
2. Разрешается только в светлое время.
3. Разрешается только в автобусе, имеющем не более 16 сидячих мест.
4. Запрещается.
При буксировке на жесткой (и гибкой) сцепке нахождение людей в буксируемом автобусе запрещено (п. 20.2).
Правильный ответ: Запрещается.
Билет 18 — Вопрос 18
За какие административные правонарушения в области дорожного движения предусмотрено наказание в виде обязательных работ?
1. За управление транспортным средством водителем, не имеющим права управления транспортным средством (за исключением учебной езды).
2. За управление транспортным средством водителем, лишенным права управления транспортными средствами.
3. За передачу управления транспортным средством лицу, заведомо не имеющему права управления (за исключением учебной езды) или лишенному такого права.
4. За все перечисленные правонарушения.
В КоАП административное наказание в виде обязательных работ предусмотрено за управление транспортным средством водителем, лишенным права управления транспортными средствами (часть 2 статьи 12. 7 КоАП).
Правильный ответ: За управление транспортным средством водителем, лишенным права управления транспортными средствами.
Билет 18 — Вопрос 19
Как водитель должен воздействовать на педаль управления подачей топлива при возникновении заноса, вызванного резким ускорением движения?
1. Усилить нажатие на педаль.
2. Не менять силу нажатия на педаль.
3. Ослабить нажатие на педаль.
Занос на скользкой дороге может возникнуть при резком ускорении движения из-за пробуксовки ведущих колес ТС. В этом случае необходимо устранить причину заноса, т.е. уменьшить силу нажатия на педаль управления подачей топлива.
Правильный ответ: Ослабить нажатие на педаль.
Билет 18 — Вопрос 20
В каких случаях следует увеличить боковой интервал?
1. При встречном разъезде на большой скорости.
2. При разъезде с длинномерным транспортным средством.
3. В обоих перечисленных случаях.
Чем выше скорость при встречном разъезде ТС, тем больше должна быть величина бокового интервала, позволяющая исключить возможное столкновение при неожиданном отклонении от траектории движения ТС. При разъезде с длинномерным ТС также требуется иметь боковой интервал, достаточный для того, чтобы избежать столкновения с прицепом, который отклоняется от траектории движении автомобиля-тягача. Таким образом, в обоих случаях водителю следует увеличить боковой интервал, обеспечив при этом безопасное смещение своего ТС в пределах полосы движения.
Правильный ответ: В обоих перечисленных случаях.
Пройти билет № 18
Модуль «Искусство мыслить и говорить» Алексея Арестовича
Модуль, который научит применять своё мышление как инструмент, заключая союз между сознанием и подсознанием. Вы получите массу практических и работающих навыков.
❗️В рамках текущего модуля уже состоялось 5 занятий. Вы можете приобрести их видеозаписи. ❗️ Мы планируем провести шестое занятие на тему «Ответы на вопросы». Дата его проведения еще не определена.
Купить модуль
Украинский общественный деятель, политический и военный аналитик, публицист. С 2020 года является спикером ТКГ и внештатный советник Офиса президента Украины по вопросам стратегических коммуникаций в сфере национальной безопасности и обороны. Более 20 лет изучает философию и психологию, основатель и учитель школы мышления «Апейрон».
15+
лет преподавания
1500+
учеников школы
20+
модулей и семинаров
1. Живое общение в Zoom
Участники онлайн-трансляции в Zoom могут напрямую задавать вопросы преподавателю и общаться в чате между собой. Длительность одного занятия 3 часа. Занятия проходят на русском языке.
Стоимость одного занятия — 1500 грн
2. По видеозаписям, без присутствия онлайн
Через 4 дня после онлайн-трансляции все участники получают видеозапись и электронный конспект с тезисами занятия. Видеозапись любого занятия и папка с материалами доступны в личном кабинете.
Стоимость одного занятия — 1300 грн
Записаться на модуль
Все новоcти — в нашем Телеграме
Подпишитесь, чтобы следить за анонсами занятий и живыми трансляциями преподавателей.
Подписаться на Телеграм
Живые стримы и видео — в Ютуб
Подпишитесь, чтобы получать уведомления о живых трансляциях наших преподавателей, и о наборах на новые курсы.
Подписаться на YouTube
Друзья!
Часть средств от покупок, которые вы совершите на сайте, мы направим на нужды украинской армии.
Спасибо за вашу поддержку!
Команда школы «Апейрон».
Ответы на частые вопросы
Обычно администратор отвечает на вопрос в течении 2-х часов. Но в некоторых случаях, время обработки вопроса может занять до 24-х часов.
Мы уже работает над тем, чтобы уменьшить время обратной связи.
Да. Платить сразу за весь модуль не обязательно. Вы можете оплачивать занятия по отдельности, когда вам это удобно.
Для этого, на странице оплаты, просто выберете интересующие занятия для покупки жёлтым цветом:
Да, оплачивать занятия можно картами Visa и MasterCard. Мы принимаем платежи через систему LiqPay. При оплате, банк-эмитент вашей карты автоматически конвертирует гривну в нужную валюту, будь то евро, доллары или злотые.
Как вариант, вы всегда можете сделать оплату через SWIFT-перевод. Для этого обратитесь к нашим администраторам.
Такой возможности нет, если вы оплатили видеозапись занятия, которое уже прошло.
Модули
Полный курс «Искусство мыслить и говорить» состоит из десяти полных модулей. Каждый модуль содержит 5—7 занятий. Продолжительность одного занятия — около трёх часов.
Чтобы лучше усвоить курс, мы рекомендуем проходить модули в том порядке, в котором они расположены на сайте. Главные модули курса ИМГ — «Искусство мыслить» и «Семантическое пространство». Эти занятия — ключ к пониманию всего курса.
Ниже список всех модулей и рекомендуемый порядок прохождения:
Искусство мыслить
Семантическое пространство
Искусство говорить
Искусство аргументировать
Искусство быть автором
Искусство читать
Искусство принимать решения
Стратегия
Профайлинг
Искусство общаться
Семинары
Годичный цикл семинаров состоит из десяти занятий. Семинары — это целостные занятия, которые более подробно раскрывают некоторые темы из модулей.
Но для просмотра семинаров проходить модули не обязательно.
Чтобы лучше усвоить курс, мы рекомендуем проходить семинары в том порядке, в котором они расположены на сайте.
Апейрон — образовательная среда, в которой применяется иной подход преподавания, отличающийся от общепринятого. Наш подход ориентирован на усвоение учениками знаний, а не простой выдачи информации по плану. Поэтому у нас нет универсального плана занятий.
Изложение материалов зависит от группы, в которой он преподаётся. Группы отличаются между собой, а значит последовательность подачи материала, способ его раскрытия тоже может меняться для наилучшего понимания каждым участником. Гибкость этого подхода даёт непросто теорию, а позволяет образовать целостное знание, которое вы сможете применить.
Выберите понравившееся занятие и нажмите на кнопку «Записаться»;
Проверьте почту включая Спам. В почте вы найдёте подтверждение записи и ссылку на оплату;
Оплатите занятие банковской картой, либо при помощи систем Apple Pay и Google Pay;
После оплаты в вашем «Личном кабинете» появится ссылка на Zoom-трансляцию.
Нужно смоделировать устройство (Блок схемы уже есть) которые изготавливают упругие элементы из проволоки для амортизаторов бортовой радиоэлектронной аппаратуры. Там есть обратная связь ( в виде датчик…
Нужно смоделировать устройство (Блок схемы уже есть) которые изготавливают упругие элементы из проволоки для амортизаторов бортовой радиоэлектронной аппаратуры. Там есть обратная связь ( в виде датчик…
Simulink
Моделирование систем
математическое моделирование
20.05.2023
вопрос
20.05.2023
Электропривод и силовая электроника
Добрый день! Мне нужна структурная схема (и может быть ее описание) блока Synchronous Machine Round Rotor. Помогите пожалуйста найти источник информации.
Добрый день! Мне нужна структурная схема (и может быть ее описание) блока Synchronous Machine Round Rotor. Помогите пожалуйста найти источник информации.
вопрос
15.05.2023
Электропривод и силовая электроника
Здравствуйте! Мог бы кто помочь построить схему в Симулинке?
Здравствуйте! Мог бы кто помочь построить схему в Симулинке?
7 Ответов
вопрос
14.05.2023
Изображения и видео
Необходимо было моделировать возможные искажения изображения, проблемы возникли в моделировании процесса преломления света при прохождении через сферическую поверхность, полученное изображение было в…
Необходимо было моделировать возможные искажения изображения, проблемы возникли в моделировании процесса преломления света при прохождении через сферическую поверхность, полученное изображение было в…
моделирование
14.05.2023
вопрос
11.05.2023
Системы управления,
Робототехника и беспилотники,
Автоматизация испытаний,
Глубокое и машинное обучение(ИИ),
Цифровая обработка сигналов,
Другое
У кого нибудь есть модель электропривода механизма подъема экскаватора и оптимизации контуров? Спасибо за ранее
У кого нибудь есть модель электропривода механизма подъема экскаватора и оптимизации контуров? Спасибо за ранее
4 Ответа
вопрос
02. 05.2023
Другое
Мне нужно сделать интегральную частотно-импульсную систему автоматического управления теплопотреблением помещения. Я никак не могу разобраться как сделать регулятор ичим
Мне нужно сделать интегральную частотно-импульсную систему автоматического управления теплопотреблением помещения. Я никак не могу разобраться как сделать регулятор ичим
1 Ответ
MATLAB
02.05.2023
вопрос
02.05.2023
ПЛИС и СнК,
Системы связи,
Цифровая обработка сигналов,
Другое,
Встраиваемые системы
Задача — LDPC декодер внутри FPGA.
Первый пришедший в голову вариант — декодер из MATLAB с последующей генерацией HDL.
Источник : https://www.mathworks.com/help/wireless-hdl/ref/dvbs2ldpcde…
Задача — LDPC декодер внутри FPGA.
Первый пришедший в голову вариант — декодер из MATLAB с последующей генерацией HDL.
Источник : https://www.mathworks.com/help/wireless-hdl/ref/dvbs2ldpcde. ..
Simulink
ПЛИС и СнК
Системы связи
02.05.2023
вопрос
24.04.2023
Системы управления,
Электропривод и силовая электроника,
Другое,
Автоматизация испытаний
Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…
Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…
1 Ответ
Simulink
24.04.2023
вопрос
23.04.2023
ПЛИС и СнК
Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…
Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…
2 Ответа
вопрос
19.04.2023
Изображения и видео,
Цифровая обработка сигналов,
Математика и статистика
Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?
Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?
Занимательная математика. Производные и интегралы
0 отзывов
15%
Категория: Манга
Артикул:
Manga-9387
Вес: 550 гр.
Издатель:
ДМК Пресс
Количество страниц:
240
Год выпуска:
2015
Жанр:
Учебное пособие и Повседневность
Обложка:
Мягкая обложка
Серия:
Образовательная манга
Автор:
Хироюки Кодзима и Син Тогами
ISBN:
978-5-97060-154-9
Оригинальная цена
790 ₽
Цена со скидкой 15%
672 ₽
Описание
Норико — начинающий репортер. После обучения ее направили в одно из отделений газеты «Асагакэ Таймс». Норико жаждет освещать в своих репортажах самые волнующие проблемы мировой политики и экономики, но хватит ли ей для этого опыта и знаний? Ее непосредственный начальник, Сэки-сан, решил научить ее анализировать происходящие в политике и экономике события используя математику. Читая эту книгу, вы вместе с Норико будете осваивать основы дифференциального и интегрального исчисления и поймете, что эти знания пригодятся не только для проведения сложных научных расчетов. Приводя примеры из реальной жизни, такие как вероятность событий, кривые спроса и предложения в экономике, загрязнение окружающей среды и даже плотность распределения спирта в стакане, автор показывает, что производные и интегралы помогают глубже разобраться в самых разных проблемах, возникающих в нашей жизни. В ходе обучения вы узнаете: что такое производная и как с ее помощью определять скорость изменения функции; как связаны между собой производная и интеграл; как интегрировать и дифференцировать сложные функции; что такое частные производные, и как с их помощью находить интегралы и производные функций нескольких переменных;o как с помощью разложения в ряд Тейлора можно заменить трудную для анализа функцию степенным многочленом.
Отзывы
A
Рекомендуем
Интегральное значение, определение и функция
Исследуйте интегралы
О боже. Интегралы . Исчисление было недостаточно сложным… теперь у нас есть и эти большие закрученные линии?!
Если это то, что сейчас крутится в вашей голове, вы можете остановить эти мысли на ходу. Интегральное исчисление на самом деле не так страшно, как кажется!
Как только мы действительно углубимся в это, вы даже можете подумать, что интегралы — осмелимся сказать — крутые ?
Есть только один способ узнать! Давайте начнем.
Что такое интеграл?
В зависимости от того, на каком этапе обучения вы находитесь, интеграл может представлять собой ответ на несколько разных вопросов. По своей сути в исчислении интегрирование помогает найти антипроизводную функции; другими словами, нахождение интеграла является обратным нахождением производной.
Работая над уроками математического анализа, вы увидите, что существуют различные типы интегралов, в том числе:
Неопределенные интегралы
Определенные интегралы
Несобственные интегралы
Процесс нахождения интеграла называется «интегрированием», поэтому интеграл можно также рассматривать как результат интегрирования. Существует несколько способов вычисления интегралов, таких как метод подстановки или частичное интегрирование.
Поскольку интегрирование является обратной функцией дифференцирования, интегралы легче понять, если вы уже хорошо разбираетесь в производных. Если вам все еще нужна небольшая помощь в сборке деталей, мы можем сначала помочь вам с деривативами!
Определение интеграла
Как мы уже упоминали, существует несколько различных типов интегралов. Это означает, что у нас также будет несколько разных определений.
Вот интегральные определения, которые вам, вероятно, понадобятся (и будут использоваться!) больше всего:
9б f(x)$$
Интегральный тип
Что это?
Как это может выглядеть?
Неопределенный интеграл
Все антипроизводные функции
$${\int f(x) dx = F(x) + C}$$
Несобственный интеграл
$$\text{Если } f \text{ непрерывно на } [a,b\rangle \text{ и разрывно на } b\text{, то интеграл от } f \text{ по } [a,b\ rangle \text{ является неправильным}$$ 9{b}{f(x,y)~dx~dy}$$
Интеграл функции
Поскольку мы сосредоточены на вычислении интегралов, нахождение интеграла функции действительно находится в центре нашего обсуждения. Это основа для всех тех различных типов интегралов и методов, которые мы упоминали ранее.
В зависимости от задачи найти интеграл функции можно несколькими способами:
Подстановка
Частичная интеграция
Интеграция функций абсолютного значения
Интеграция четных и нечетных функций
У вас есть конкретная проблема? Отсканируйте его с помощью приложения Photomath, чтобы узнать, как найти интеграл в этом конкретном сценарии.
Значение интегралов
Мы рассмотрели все определения и предысторию, но что все это на самом деле означает? Опять же, это зависит от контекста задачи, но интеграл может сказать вам:
Площадь под кривой на графике
Область между частью функции и осью $$x$$
Объем воды в ванне в зависимости от расхода воды из крана
Центр масс транспортного средства для точной настройки его функций безопасности
Лучший способ создать 3D-модель
Чем больше вы думаете об этом, тем больше вы начнете видеть вокруг себя все интересные и важные применения интегралов! 9{2}}{2}dx$$
$$a$$ и $$b$$ (или $$-1$$ и $$1$$) — это пределы интегрирования, определяющие интервал, к которому мы ограничены.
В математических терминах мы бы описали определенный интеграл как «интеграл функции $$f(x)$$ по переменной $$x$$ на интервале $$[a, b]$$ ».
Если вы просто посмотрите на все эти математические описания или выражения сразу, это может быть немного ошеломляющим. Разве не легче, когда вы смотрите на каждую часть в отдельности?
Знак интеграла
Эта волнистая, закрученная, изогнутая линия является отличительной чертой интеграла, поэтому, когда вы видите ∫ на странице, вы знаете, что имеете дело с интегралом!
Забавный факт: форма знака интеграла на самом деле представляет собой вытянутую букву «S», обозначающую «сумма» (это римская ∫ вместо греческой ∑). «S» для «суммы» основан на идее добавления площади срезов под кривой — чем на большее количество срезов вы разделите всю площадь под кривой, тем более точную сумму вы получите. Интеграл является наиболее точным, потому что «столбцы» срезов становятся бесконечно малыми. Так круто!
∫
Просто нужно быстро скопировать и вставить сам знак интеграла? Вот: ∫
Вы также можете использовать эти сочетания клавиш!
iOS: [Опция] + [B]
Windows: [Alt] + 8747
Интеграл от dx
В структуре интеграла вы увидите ∫, за которым следует подынтегральная функция, а затем «$$dx$$» в виде точки в конце предложения, например:
$${\int f(x) dx}$$
Этот $$dx$$, известный как дифференциал, говорит нам, что $$x$$ является переменной интегрирования. 2(2x+1)dx$$: 9{2x})dx$$
$$\int\sqrt{2x+6}dx$$
Застряли? Это нормально! Сделайте глубокий вдох и используйте приложение Photomath, чтобы отсканировать проблему, которая доставляет вам неприятности. Мы проведем вас через каждый шаг в удобном для вас темпе и настолько подробно, насколько вам нужно. Никогда не забывайте: вы не одиноки!
Вот как мы решаем первую практическую задачу в приложении:
/
FAQ Каково правило для интегралов?
Существует множество различных правил и свойств для интегралов, в том числе:
Существует несколько различных видов интегралов, но два основных типа — это определенные и неопределенные интегралы.
Почему используются интегралы?
Интегралы используются для нахождения антипроизводной или обратной производной. Это открывает множество различных частей информации, таких как площадь, объем, скорость и многое другое.
Есть домашнее задание по математике?
Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших математических задач.
Справка онлайн — Справка Origin
Все книгиКниги, не связанные с программированием Руководство пользователя Учебные пособия Быстрая справка Справка OriginКниги по программированию X-Function Origin C LabTalk Programming Python Python (внешний) Automation Server LabVIEW VI Приложения Разработка приложений Code Builder Лицензия МОКА Орглаб
Содержимое
1 Описание
1. 1 Использование средства интеграции
2 Параметры диалога
3 Алгоритм
Описание
Интеграция Инструмент выполняет численное интегрирование на активном графике данных с использованием правила трапеций. Вы можете рассчитать математическую площадь (алгебраическая сумма трапеций) или Абсолютная площадь (сумма абсолютных значений трапеций). Пропущенные значения игнорируются.
Для использования средства интеграции
Создайте новый рабочий лист с входными данными.
Выделить выбранные данные.
Выберите Analysis: Mathematics: Integrate в меню Origin, чтобы открыть диалоговое окно Integ1 .
X-функция Integ1 вызывается для выполнения вычисления. Пользователь может указать, что площадь, положение пика, ширина пика и высота пика (максимальное отклонение от оси X) записываются в журнал результатов. Кроме того, вы можете выбрать интегрирование с использованием простой базовой линии, определяемой прямой линией, соединяющей конечные точки кривой, и построить график интегральной кривой.
Примечание. Этот инструмент использует чистое математическое интегрирование, которое может дать неожиданно отрицательные результаты для площади, если значения X, используемые при интегрировании, расположены в порядке убывания. Это нормальное поведение из-за характера вычислений интегрирования.
Параметры диалога
Алгоритм
Численное интегрирование включает вычисление определенного интеграла по приближенной функции:
Поскольку исходные данные дискретны, мы используем пару соседних значений, чтобы сформировать трапецию для аппроксимации площади под сегментом кривой, определяемой двумя точками:
Как показано выше, кривая делится на части, и мы вычисляем сумму каждой трапеции, чтобы оценить интеграл по формуле:
Разница между математической площадью и абсолютной площадью
При заданной базовой линии математическая площадь может быть рассчитана по формуле
Если вычислить сумму абсолютного значения площади каждой трапеции, мы можем получить абсолютную площадь:
Как показано выше, базовая линия и кривая разделены на пять трапеций (или треугольников).
Рассмотрим четыре способа, как напечатать римские цифры в Word. Римские цифры можно писать по-разному, в зависимости от цели.
Первый способ.
Римские цифры в списке Word. Если римские числа нужны для нумерации в списке, то можно воспользоваться функциями Word создания нумерованного списка.
На закладке «Главная» в разделе «Абзац» нажимаем на кнопку «Нумерация» в Word 2013, а в Word 2007 это кнопа – «Создание нумерованного списка». Выбираем в появившемся окне кнопку с римскими числами.
Второй способ.
Как написать римские цифры в Word. Пишем римские цифры английскими большими буквами. Переключаем клавиатуру на английскую раскладку и печатаем большими (заглавными) буквами.
Вспоминаем, чтобы написать буквы заглавными нужно:
a)Или нажимаем клавишу «Caps Lock». b)Или нажимаем и удерживаем нажатой во время набора букв, клавишу «Shift».
Чтобы написать римскую цифру 1, нажимаем на клавишу буквы «I» (и английской).
Римская цифра 2 – II. Римская цифра 3 – III. Римская цифра 4 – IV (большие английские буквы I и V). Римская цифра 5 – V. Римская цифра 6 – VI. Римская цифра 7 – VII. Римская цифра 8 – VIII. Римская цифра 9 – IX (большие английские буквы I и X). Римская цифра 10 – X. Римская цифра 50 – L. Римская цифра 100 – C. Римская цифра 500 – D. Римская цифра 1000 – M.
Здесь приведена таблица написания римских чисел.
Третий способ.
Как сделать римские цифры в Word. Применим формулу, которая будет переводить арабские числа в римские. Ставим курсор в то место, где нужно написать римское число. Нажимаем сочетание клавиш «Ctrl» + «F9».
Внимание! Если это сочетание клавиш не работает (в Word 2013), то попробуйте нажать такое сочетание клавиш – «Ctrl» + «Fn» + «F9».
Появится серое поле в фигурных скобках. В этом поле пишем формулу, которая преобразует арабские цифры в римские. Мы будем преобразовывать число 2015.
Пояснение к формуле. Сначала ставим всегда знак «Равно». Пишем число, которое нужно преобразовать. Пишем косую черточку (слеш), наклоненную в лево ().
Она ставится так – нажимаем на клавишу черточек, без нажатия дополнительных кнопок, русская раскладка клавиатуры. Пишем английскими буквами слово «ROMAN».
Тогда число римскими буквами будет написано большими цифрами. Если в формуле напишем слово «roman» маленькими буквами, то и римское число будет написано маленькими цифрами. Нажимаем на клавишу «F9» (или сочетание клавиш – «Fn» + «F9»).
Чтобы откорректировать формулу, изменить число в формуле, т.д., нажимаем на эту цифру и нажимаем правую кнопку мыши. Из появившегося диалогового окна выбираем функцию «Коды/значения полей».
Вместо числа появилась формула. Меняем число 2015 на 10. Снова нажимаем клавишу «F9» (или «Fn» + «F9»).
Четвертый способ.
Как вставить римские числа в Word. Вставить символы. На закладке «Вставка» В разделе «Символы» нажимаем на кнопку «Символ».
Затем, нажимаем на кнопку «Другие символы». Выбираем нужный символ. В диалоговом окне «Символ» указан код этого символа. Можно поставить этот символ кодом.
Кто как считает — ГазАкадемия
Наверняка все вы знаете, что существует две системы для записей чисел – это римские и арабские цифры. Но знаете ли вы, что римские – это не цифры вообще-то, а буквы, а арабские цифры на самом деле правильно называть индийскими. Как так? Давайте разбираться.
Начнем с римских. Когда и как они появились – неизвестно. Историки считают, что римляне переняли эту систему записей чисел у этрусков, но немного усовершенствовали. Для обозначения цифр за основу взяты семь букв, которые обозначают десятичные разряды: I (1), X (10), C (100), M (1000) и их половины: V (5), L (50), D (500). Все остальные числа – комбинация этих букв.
Почему для цифр были выбраны именно эти буквы, единого мнения среди учёных нет. Согласно одной из теорий, римская цифра V изображает раскрытую руку с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным большим пальцем. Символ X изображает две соединенные ладони или сдвоенную цифру V. Обозначения C и M возможно связаны с начальными буквами латинских слов, означавших 100 (centum) и 1000 (mille). Что касается D, то есть предположение, что изначально это не первая буква какого-то слова, а полукруг, так как у этрусков 1000 обозначалась как круг (соответственно, половина от 1000 – это полукруг).
Обозначая числа, римляне записывали столько цифр, чтобы их сумма давала нужное число. Например, число 7 они записывали так: VII, а число 362 так: CCCLXII. Как видите, сначала идут большие цифры, а потом поменьше. Но цифры не должны повторяться больше трех раз подряд, поэтому иногда римляне писали меньшую цифру перед большей. Это означало, что нужно не складывать, а вычитать. Например, число 4 обозначалось IV (без одного пять), а число 9 – IX (без одного девять). Запись XC означала число 90 (без десяти сто). Так что, если вы увидите на старинном доме сделанную римскими цифрами надпись MDCCCXLIV, то легко определите, что он построен в 1844 году. А встречающийся в учебниках «XX век» это не «ха-ха век», а просто двадцатый.
Римские цифры сохранились и до сих пор используются, но лишь для обозначения каких-то чисел. Производить вычисления с римскими цифрами нам очень сложно.
В настоящее время мы пользуемся цифрами, которые появились в Индии. Когда-то они имели вид начальных букв соответствующих слов на древнеиндийском языке – санскрите (алфавит «деванагари»). Как и когда это произошло – неизвестно. Но уже в VIII веке эта система проникла в другие страны: Индокитай, Китай, Тибет, Иран, Среднюю Азию. В начале IX века индийская нумерация распространяется в арабских странах. В Европу эти цифры попали в XII веке и к XVI веку, благодаря своей универсальности, полностью там утвердились. Так как к европейцам система «деванагари» пришла от арабов, то они и назвали ее «арабской». Это исторически неверное название сохраняется до сих пор.
Самым важным отличием этой цифровой системы было введение особого знака – прототипа нашего нуля. Он представлял собой жирную точку или кружок. Это позволило ограничиться небольшим количеством знаков даже при записи больших чисел, использовать для обозначения разряда (единицы, десятки, сотни) только один знак – от 1 до 9. Арабская запись чисел гораздо компактнее римской, позволяет быстро сравнивать разные числа по величине и производить вычисления.
Сможете вы, например, посчитать, сколько лет АО «Мособлгаз»? Это всего-то посчитать MMXX – MCMLVIII.
А вот так: 2020 – 1958 = ?
Объяснение римских цифр
Объяснение римских цифр
Объяснение римских цифр Стивен П. Морс, Сан-Франциско
Римские цифры — это способ кодирования чисел с использованием семи букв латинского алфавита. Семь
буквы и связанные с ними числовые значения следующие:
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000
Существуют очень специфические правила выбора букв. Конкретно:
1. Начиная с буквы с наибольшим значением (M), повторяйте эту букву до тех пор, пока сумма
все буквы не превышают желаемого числового значения.
2.Повторите шаг 1 для каждой буквы с меньшим значением по очереди.
3. Не допускается четырехкратное повторение одной и той же буквы. Итак, сделайте следующие замены
(они называются вычитательной записью)
IIII без предшествующей V => IV VIIII => IX XXXX без предшествующей L => XL LXXXX => XC CCCC без предшествующей D => CD DCCCC => CM MMMM не допускается (максимально возможная номер 3999)
4. Исключение: цифра 4 на часах иногда пишется как IIII вместо IV.
Примеры:
III = 3 IV = 4 IX = 9 XXV = 25 XCIX = 99 MCMLXXXIV = 1984
Большие числа:
1. Большие числа иногда пишутся с чертой над ними (обозначение Винкулума). Например, V̅=5000, X̅=10000, L̅=50000, C̅=100000 и т. д.
2. Большие числа иногда записываются архаичными символами. Например, ↁ=5000, ↂ=10000, ↇ=50000, ↈ=100000 и т. д.
3. Современной версией архаичных символов является нотация Апостроф.
Римские цифры: их происхождение, влияние и ограничения
Обзор
Система счисления, разработанная римлянами, использовалась большинством европейцев почти 1800 лет, намного дольше, чем существует нынешняя индийско-арабская система. Хотя римская система счисления позволяла легко складывать и вычитать, другие арифметические операции оказались более сложными. В сочетании с отсутствием эффективной системы использования дробей и отсутствием понятия нуля громоздкость римской системы счисления, хотя она и служила большинству потребностей римлян, препятствовала будущим математическим достижениям.
История вопроса
Римская система счисления для представления чисел была разработана около 500 г. до н.э. Поскольку римляне завоевали большую часть известного им мира, их система счисления распространилась по всей Европе, где римские цифры оставались основным способом представления.
цифры на века. Около н.э. 1300 г. римские цифры были заменены на большей части Европы более эффективной индийско-арабской системой, используемой до сих пор.
Перед изучением ограничений, связанных с использованием римских цифр, необходимо понять, как используются римские цифры. Цифра — это любой символ, используемый для представления числа. В индийско-арабской системе счисления цифра 3 представляет собой число три. Когда число 3 удерживается на месте одним или несколькими нулями, значение увеличивается на порядок, например, 30, 300, 3000 и так далее. В римской системе счисления числа обозначаются различными буквами. Основные числа, используемые римлянами, следующие: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Эти числа можно соединить вместе, и в этом случае они будут складываются для представления большего числа. Например, число 72 будет представлено как LXXII (L + X + X + I + I или 50 + 10 + 10 + 1 + 1 в арабских цифрах).
Чтобы числа не становились слишком длинными и громоздкими, римляне также допускали вычитание, когда меньшее числительное предшествует большему числительному. Следовательно, число 14 будет представлено как XIV вместо XIIII. В соответствии с этой системой цифра может предшествовать другой цифре, которая в десять раз превышает значение меньшего числа или меньше. Например, I может предшествовать и, таким образом, быть вычтенным из V и X, которые соответственно равны пяти- и десятикратному значению I. По этому правилу число 1999 не может быть представлено как MIM, потому что M равно тысячекратному значению I. Римское представление 1999 — это MCMXCIX, или M (1000) + CM (1000-100) + XC (100-10) + IX ( 10-1). Большинство из этих правил, которые часто использовались римлянами, не были стандартизированы до средних веков. Таким образом, в некоторых старых документах можно найти 9, представленное как VIIII вместо IX.
Поскольку самым большим числом, используемым римлянами, было М или 1000, оказалось непрактичным записывать очень большие числа, такие как 1 000 000, в виде строки из 1000 мс. Чтобы избежать этой проблемы, римляне написали черту, называемую 9. 0138 vinculum над цифрами, чтобы выразить эту цифру как число, в 1000 раз превышающее исходное значение. Вместо того, чтобы писать 6000 как ММММММ, 6000 можно просто записать как VĪ, а 1 000 000 как M̄. Используя эту форму записи, римляне могли записывать большие числа.
Удар
Римляне заимствовали символы, которые они использовали для своих чисел, из различных источников, включая их греческие аналоги. Происхождение I для представления одного является прямым, происходящим от счета на руке, где один палец, напоминающий I, равен одному из того, что считалось. V стала обозначать пять, потому что, когда на руке насчитывают пять предметов, V образуется пространством между большим и указательным пальцами.
Первоначально римляне использовали греческую букву X, или хи, для обозначения 50. Изучая транскрипции памятников, историки смогли определить, что L заменила X как 50, а X стала обозначать 10. Как X стала обозначать 10 не совсем понятно. Одна теория предполагает, что X был получен из одного V или пяти, помещенных поверх другого, перевернутого V. Таким образом, два V образовывали X. Другая теория предполагает, что при счете до 10 римляне делали это, делая десять вертикальных отметки, а затем зачеркивая их знаком X, чтобы легко сосчитать группы по десять. Это похоже на то, как американцы ведут подсчеты группами по пять человек, когда четыре вертикальные отметки пересекаются с пятой диагональной отметкой. В конце концов римляне приняли просто Х для обозначения 10. Символ С стал обозначать 100, потому что это первая буква латинского слова, обозначающего сто, 9.0138 центум . Точно так же М было принято для 1000, потому что латинское слово для тысячи — милле .
В отличие от греков, римляне не интересовались чистой математикой, такой как теория чисел, геометрические доказательства и другие абстрактные идеи. Вместо этого римляне предпочитали утилитарную математику. Римляне в основном использовали математику для подсчета личных и государственных счетов, ведения военных записей и помощи в строительстве акведуков и зданий. Римская система счисления допускала простое сложение и вычитание. Кроме того, римляне просто выстраивали все числительные из добавляемых чисел и упрощали. Например, чтобы решить задачу 7 + 22, или VII + XXII, числительные сначала располагались в порядке убывания, или XXVIII. Потому что VIII, или 9, не в приемлемой форме, это было изменено на IX, общепризнанный способ написания 9. Правильный ответ остается, XXIX или 29. Вычитание может быть выполнено аналогичным образом, вычеркивая одинаковые цифры из двух разных чисел.
Тот факт, что умножение и деление были довольно сложными операциями для римлян
стимулировала разработку счетных досок для помощи в этих операциях. Счетные доски, которые напоминали знакомые счеты, также можно было использовать для сложения и вычитания. Счетные доски римского образца использовались по всей Европе вплоть до Средневековья. Даже с этими счетными досками умножение и деление больших чисел оставалось трудной задачей. Поэтому римляне разработали и часто обращались к таблицам умножения и деления для решения задач, связанных с большими числами.
Помимо трудностей с умножением и делением чисел, несколько других проблем серьезно ограничивали использование и эффективность римских цифр. Одним из недостатков римской системы счисления было отсутствие способа численного выражения дробей. Римляне знали о дробях, но использовать их было сложно, так как они записывались. Римляне написали бы три восьмых как tres octavae . Римляне обычно выражали дроби числом 9.0138 унция . Первоначально унция означала 1/12 римской меры веса (английский язык получил слово «унция» от uncia). Однако вскоре uncia стало означать 1/12 чего угодно. Хотя использование дробей основывалось на 1/12, римляне могли выражать одну шестую, одну четвертую, одну треть и половину. В то время как современное числовое выражение одной четверти равно ¼, римляне выражали одну четверть как три унции ( 3 / 12 = ¼). Эта система позволяла римлянам измерять приблизительно, но они не могли легко выразить точные размеры.
Еще одним недостатком, ограничивавшим римскую математику, было отсутствие понятия нуля. Как и в предыдущих системах счисления шумеров, вавилонян и египтян, у римлян не было системы позиционных значений, которая включала бы концепцию нуля в качестве заполнителя для чисел. Это вынудило римлян принять громоздкую систему с цифрами, которые представляли 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, как описано выше. В отличие от древних греков, римляне также не понимали и не исследовали концепцию иррациональных чисел. Это сильно ограничивало римлян в геометрии, потому что большая часть геометрии основана на понимании π, отношения длины окружности круга к его диаметру.
Несмотря на то, что с практической инженерной точки зрения эти недостатки не ограничивают римскую математическую систему, они ограничивают развитие математической теории в Риме. После римских завоеваний большая часть Европы приняла римскую систему счисления и использовала ее на протяжении всего средневековья. Соответственно, теоретические математические достижения также застопорились на протяжении большей части западной цивилизации почти на 1000 лет. Отсутствие нуля и иррациональных чисел, непрактичные и неточные дроби, а также трудности с умножением и делением помешали римлянам и европейцам, которые позже использовали эту систему, добиться успехов в теории чисел и геометрии, как это сделали греки в пифагорейской и евклидовой школах.
Во времена Средневековья математики прогресс в этих областях был достигнут цивилизациями Ближнего Востока и Индийского субконтинента. С новшеством использования нулевого места в индийско-арабской системе разряда в этих регионах были достигнуты большие успехи в области геометрии, теории чисел, а также изобретения и развития алгебры.
Несмотря на ограничения римской системы счисления, существующие археологические данные свидетельствуют о том, что римляне смогли преодолеть многие из этих ограничений в отношении практичности строительства. Римские дороги и акведуки остаются свидетельством инженерных подвигов, которые римляне смогли совершить с помощью своей несовершенной системы. Хотя римские цифры больше не являются необходимым компонентом математики, они являются важной частью истории развития западной цивилизации.
Модуль. Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Урок-презентация на тему: «Модуль»
Учитель: Матюшева В.И.
2. Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля
1. Преобразование графиков 2. Построение графиков 3. Решение уравнений 4. Дидактический материал
3. 1.Преобразование графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля
4.
Функция у =|х|График функции у =|х| получается из графика у=х следующим образом: — часть графика у=х, лежащая над осью Ох, сохраняется ; — часть его, лежащая под осью Ох , отображается симметрично относительно оси Ох. у у=|x| 0 у=х х
5. Функция у=|х|+а
График функции у=|х|+а получается параллельным переносом графика у=|х| в — положительном направлении оси Оу(вверх) на а ед.отрезков при а>0 или — в отрицательном направлении оси Оу(вниз) на |а| при а<0. y у=IxI+a у=I x I у=IxI-a a 0 -a x Функция у=а|х| График функции у=а|х| получается: — сжатием графика у=|х| к оси Оу в а раз при а>1; — растяжением от этой оси в а раз при 0 < a < 1. y у=a|x|, а>1 у=| x| у =а|x|, 0 <a< 1 0 x
7. Функция у=|x+a|
График функции у=|x+a| получается параллельным переносом графика y=|x|: -в положительном направлении оси Ох (вправо) на |a| при a<0 — в отрицательном направлении оси Ох (влево) на |а| при а>0 y у=|x+ a| у = |x| у=|x-a| о -a a х
8.
Функция y= — |x|График функции y = — |x| получается симметричным отображением графика y = |x| относительно оси Ох. у у = |x| о х у = — IxI
9. Функция y = f(|x|)
График функции y = f(|x|) получается из графика y = f(x) следующим образом: 1)строится график f(x) при х>0 2) полученная часть графика f(x) отображается симметрично относительно оси Оу. у у= 1 IxI у= 1 x х о
10. Функция y=|f(x)|
График функции y=|f(x)| получается из графика y=f(x) следующим образом : 1) часть графика f(x), лежащая над осью Ох, сохраняется ; 2) часть графика f(x), лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох. у y=f(x) y=|f(x)| х о
11. 2.Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля
12. Задание №1.
Построить график функции у=||x|-2|. План построения: 1) Строим график y=|x| 2) Смещаем его по оси Оу вниз на 2 ед. отрезка. 3) Отображаем часть графика, расположенного под осью Ох, в верхнюю полуплоскость у у=||x|-2| у = |x| 2 о у=|x|- 2 -2 х
13. Задание №2.
Построить график функции у=||x-2|-2|. План построения: 1) Строим график y=|x| 2) смещаем его по оси Ох вправо на 2 ед.отрезка; 3) смещаем его по оси Оу вниз на 2 ед.отрезка; 4) отображаем часть графика, расположенного под осью Ох, у в верхнюю полуплоскость у = |x| 2 о у=||x-2|-2| х 2 у=|x- 2| -2
14. 3.а)Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля; б)решение уравнений с параметром.
15. Задание №1.
Решить уравнение ||x-2|-2|=2. Решение. 1) Строим график y=I|x-2|-2I 2) строим прямую у=2; 3) абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения; у у=||x-2|-2| у=2 2 о -2 2 6 Ответ: -2; 2; 6. х
16. Задание №2.
В зависимости от параметра а определить количество корней уравнения ||x|-2|=а. Решение. 1) Строим график y= ||x|-2|; 2) Строим прямые: у = а, при а > 2 ; у = а, при а = 2 ; у = а, при 0 < a < 2 ; y = a, при а = 0 ; у = а, при а < 0 . 3) Определяем число корней по количеству точек пересечения прямой у=а и графика функции y= ||x|-2|. Решение. у у=||x|-2| у=а,при а>2 1 2 2 У= а, при 0<a<2 y=a, при а=0 3 5 о 4 у=а, при а=2 х у=а, при а<0
18. 4. Дидактический материал
A. Построить график функции: а) у=IxI+2; б) y=Ix+2I; в) y=-Ix+2I-1. Б. a) y= 1/ Ix-2I+3; б) y=- IIIxI-2I-3I; в) у=IIII2xI-1I-1I-2I. В. Решить уравнение: IIх+4I-3I = 2 Г. В зависимости от параметра а определить количество корней уравнения а) IIIxI-2I-3I=a; б) III2xI-1I-1I=a; в) при каких k уравнение IIII4xI-2I-1I-1I=k имеет наибольшее количество корней?
English
Русский
Правила
Обработка графиков
Многие из модулей обработки данных создают графики в результате своей работы. Графики можно экспортировать в текстовый файл или продолжать анализировать их в Gwyddion с помощью нескольких модулей обработки графиков. Эти модули доступны в меню График основного окна Gwyddion. Следует заметить, что число модулей обработки графиков на данный момент невелико, и они состоят в основном из простейших модулей для операций, которые часто встречаются при анализе данных СЗМ. Для более сложных аналитических операций лучше использовать вашу любимую программу для обработки графиков.
В этой секции кратко описываются имеющиеся в Gwyddion модули обработки графиков.
Базовые операции
Прежде всего, функции масштабирования и чтения данных доступны непосредственно в окне графика:
Логарифмический масштаб осей – горизонтальные и вертикальные оси могут переключаться между линейным и логарифмическим режимом с использованием кнопок логарифмического масштаба. Переключение на логарифмический масштаб доступно только для положительных значений (либо по абсциссе, либо по ординате).
Увеличение и уменьшение масштаба – после выбора режима приближения можно нарисовать мышью область, которую нужно увеличить. Уменьшение восстанавливает тот масштаб, при котором видны все данные.
Измерение расстояний – позволяет выбрать несколько точек на графике и показать расстояния и углы между ними.
Перевернуть график
Перевернуть график переворачивает график вертикально. Другими словами, ордината инвертируется, при этом абсцисса остаётся нетронутой. Функция непосредственно меняет данные кривой, она не затрагивает только презентацию данных.
Инвертировать график
Инвертировать график переворачивает график горизонтально. Другими словами, абсцисса инвертируется, при этом ордината остаётся нетронутой. Функция непосредственно меняет данные кривой, она не затрагивает только презентацию данных.
Обрезать график
Обрезать график – очень простой модуль, который обрезает кривые графиков до выбранного диапазона (либо заданного численно, либо выбранного на графике с помощью мыши) и создаёт новый график. Если выбрано Обрезать все кривые, все кривые обрезаются и переносятся на новый график, в противном случае операция применяется только к выбранной кривой.
Выравнивание графиков
Выравнивание графика – очень простой модуль, который на данный момент производит линейную аппроксимацию каждой из кривых графика и вычитает аппроксимирующую линейную функцию из них.
Подровнять
Функция подровнять сдвигает кривые графиков горизонтально таким образом, чтобы максимизировать их взаимные корреляции, т.е. чтобы общие особенности кривых соответствовали друг другу. Это может быть полезным, например, для сравнения профилей, снятых в разных местах образца.
Логарифмический масштаб
Элементы управления окном графика позволяют переключаться между линейным и логарифмическим масштабом осей. Однако, для аппроксимации зависимостей наподобие степенных может оказаться полезно физически преобразовать данные взятием логарифма от значений. Функция преобразования графика в логарифмический масштаб осуществляет такое преобразование. Можно выбрать, какую из осей нужно преобразовать (x, y или обе), что делать с неположительными значениями, если они появляются, и выбрать основание логарифма. После этого создаётся новый график и все кривые преобразуются заданным образом.
Экспорт графиков кривых
Данные графиков кривых могут быть экспортированы в текстовые файлы с использованием меню Экспортировать текст. Диалоговое окно экспорта позволяет выбрать между несколькими вариантами стилей, которые потом проще импортировать в другие пакеты программного обеспечения. Опции Экспорт меток, Экспорт единиц измерения и Экспорт метаданных позволяют добавить строки с дополнительной информацией перед блоком числовых данных. Это может оказаться полезным как напоминание, какие данные содержал исходный файл, но может вызывать проблемы при чтении файла другим программным обеспечением.
Опция Формат чисел POSIX принудительно заставляет использовать стандартное машиночитаемое научное представление чисел с десятичной точкой. В противном случае значения записываются в соответствии с настройками текущей локали (офисное программное обеспечение может более охотно читать такой формат, научное программное обеспечение обычно поддерживает его хуже).
Другой важной опцией, которая влияет на структуру всего файла является Общая объединённая абсцисса. По умолчанию отдельные кривые записываются в файл последовательно, разделённые пустыми строками. Если эта опция включена, экспорт кривых записывает единую таблицу с несколькими столбцами, представляющими данные всех кривых, и общую абсциссу первым столбцом. Если кривые не были дискретизированы одинаково, некоторые строки будут естественно содержать значения только для части кривых, где они определены. Экспортируемый файл с двумя отдельными кривыми может выглядеть следующим образом:
в то время, как с общей объединённой осью абсцисс те же данные будут сохранены как:
Также можно экспортировать векторное (EPS) или растровое (PNG) графическое представление графика используя пункты меню Экспортировать PostScript или Экспортировать растр. Однако, эти опции предоставляют достаточно ограниченные возможности. Gwyddion не является специальным программным обеспечением для построения графиков, и если вам нужны красивые графики, лучше использовать то, которое является – например, gnuplot или matplotlib.
Статистика
Модуль статистики графика показывает сводную информацию о полной кривой графика или о выбранных диапазонах. Диалоговое окно показывает две основные группы величин, которые вычисляются различным способом.
Простые параметры рассчитываются из набора значений ординат, никак не учитывая абсциссы. Это важно иметь в виду в том случае, когда кривая дискретизирована неравномерно, т.е. расстояние между значениями по оси абсцисс меняется, возможно сильно. Часть кривой, в которой точки дискретизации идут более плотно, будет оказывать более сильное влияние на результат. Доступные параметры включают в себя базовые характеристики с тем же значением, что и для двумерных данных. Некоторые из них также совпадают с основными параметрами шероховатости, которые рассчитываются инструментом Шероховатость.
С другой стороны Интегралы получаются интеграцией по правилу трапеций (или с помощью похожей аппроксимации). Следовательно, более длинные интервалы вносят больший вклад в результат. Доступные величины включают в себя:
Длина проекции
Длина выбранного диапазона (или полный диапазон значений по оси абсцисс, если диапазон не выбран).
Длина полного профиля
Сумма длин линейных сегментов, соединяющих точки кривой.
Полный интеграл (сумма положительной и отрицательной площади).
Положительная площадь
Интеграл под отрезками кривой, где она положительна.
Отрицательная площадь
Интеграл под отрезками кривой, где она отрицательна.
Среднеквадратичное
Интеграл возведённых в квадрат значений делённый на длину проекции кривой.
Статистические функции
Одномерные статистические функции рассчитываются для графиков используя те же самые определения, что и для изображений. Они подробно описаны в разделе Инструмент статистические функции. Доступные функции включают в себя распределения высот и углов, функцию автокорреляции, функцию корреляции высота-высота и функцию спектральной плотности мощности. Они могут быть расчитаны для выбранной кривой или для всех кривых сразу если включена опция Все кривые.
Главное различие между изображениями и графиками состоит в том, что кривые графика не обязательно должны иметь равномерные интервалы между значениями абсцисс (равномерную дискретизацию). В этом случае кривая будет заново дискретизирована при расчёте статистических функций на равномерно распределенные интервалы. Шаг между отсчётами по умолчанию берётся таким, чтобы сохранить количество точек. Однако, это можно изменить используя опцию Избыточная дискретизация, которая задаёт насколько больше точек новая кривая должна иметь по сравнению с оригинальной. Иногда может быть полезно использовать избыточную дискретизацию больше 1 даже для кривых графиков с правильными интервалами между точками.
Аппроксимировать функцией
Аппроксимация функцией разрабатывалась для аппроксимации данных статистическими функциями, используемыми при оценке параметров шероховатости. Следовательно, большая часть доступных здесь функций является статистическими функциями поверхностей с гауссовой или экспоненциальной функцией автокорреляции. Тем не менее, здесь доступно несколько распространённых функций общего назначения. Подробнее они описаны в списке аппроксимирующих функций.
В модуле аппроксимации можно задать область, на которой будет производиться аппроксимация (с помощью мыши или численно), сначала надо задать начальные параметры или дать модулю самому угадать их, и, затем, можно аппроксимировать данные используя алгоритм Левенберга – Маркардта.
В результате получается аппроксимированная кривая и набор её параметров. Отчёт об аппроксимации можно сохранить в файл используя кнопку Сохранить. Нажатие кнопки OK добавляет аппроксимирующую кривую к графику, если это нежелательно, закройте диалоговое окно с помощью кнопки Отмена.
Аппроксимировать кривую сила-расстояние
Модуль аппроксимации кривых сила-расстояния весьма похож на модуль аппроксимации любых кривых, он просто специально сделан для данного типа кривых. На настоящий момент модуль может использоваться для аппроксимации части со скачком на кривой сила-расстояния (которая показывает силы притяжения) используя различные модели:
силу Ван-дер-Ваальса между полусферой и полупространством
силу Ван-дер-Ваальса между пирамидой и полупространством
силу Ван-дер-Ваальса между усечённой пирамидой и полупространством
силу Ван-дер-Ваальса между сферой и полупространством
силу Ван-дер-Ваальса между двумя сферами
силу Ван-дер-Ваальса между конусом и полупространством
силу Ван-дер-Ваальса между цилиндром и полупространством
силу Ван-дер-Ваальса между параболоидом и полупространством
Следует отметить, что аппроксимируемая кривая должна быть именно кривой сила-расстояние, а не смещение-расстояние или сигнал датчика-расстояние. Пересчёт отклонения кантелевера в силу должен быть сделан до вызова этого модуля.
Также следует отметить, что для кантелеверов с малой постоянной упругости количество полезных данных в области притяжения ограничено эффектом перескока в состояние контакта.
Габаритный размер
Модуль определения габаритных размеров можно использовать для аппроксимации некоторых «типичных» объектов, которые можно встретить на профилях полученных с микросхем и похожих на них объектов. Эти объекты обнаруживаются на графике, после чего рассчитываются их свойства.
Интерфейс модуля практически ничем не отличается от модуля аппроксимации функциями.
Спектр плотности состояний
Модуль расчёта спектра плотности состояний предназначен для расчёта этих спектров из ВАХ туннельного контакта между СТМ-зондом и локальной точкой поверхности. Он рассчитывает
и строит полученную функцию в виде графика.
Найти пики
Наиболее выделяющиеся пики на кривых графиков можно автоматически выделять с точностью, превышающей точность дискретизации. Можно задать число наиболее выделяющихся пиков как Количество пиков и функция выделит их на графике. Выделение пиков зависит от их высоты, площади и расстояний до других пиков. Обычно представление данной функции о наиболее выделяющихся пиках неплохо совпадает с ручным выбором. Если вам не нравится текущий выбор, можно увеличить количество пиков и игнорировать ненужные. Также возможно искать отрицательные пики, т.е. впадины, включив опцию Инвертировать (найти впадины).
Таблица всех пиков показывается в левой части отсортированной в соответствии с выбором опции Упорядочить пики по…. Сортировка по положению означает что пики будут перечислены в том же порядке, как они показаны на графике слева направо. Сортировка по выдающести означает, что наиболее выделяющиеся пики будут показаны первыми.
Для каждого пика показывается несколько его основных характеристик: положение (абсцисса) x, высота h, площадь A и ширина (или отклонение) w. Положение определяется по квадратичному субпиксельному уточнению максимума пика. Остальные значения зависят от того, как определён фон у пика. Возможные варианты включают в себя Нуль, означающий что за основание пика всегда будет браться уровень нуля, и Двусторонний минимум, что означает что фоном пика будет функция гладкой ступени проходящая через ближайшие минимумы кривой слева и справа от пика.
Период/шаг
Существует много методов измерения периода/шага периодических профилей, таких как решетки. Модуль измерения периода на графиках реализует несколько из них (см. ссылку [1] для их описания). Лоя достаточно хорошо измеренной решетки все хорошие методы
Уточненное преобразование Фурье
Многопиковая АКФ
Пересечение нуля
Центры притяжения
должны давать сравнимые результаты, но при этом они отличаются чувствительностью к различным артефактам в данных. Уточненное преобразование Фурье это наиболее устойчивый метод для нечетных форм повторяющихся элементов. Однако, он не предоставляет никакой оценки ошибок.
Два базовых метода также включены, простое преобразование Фурье и простая АКФ, которые просто находят положение основного пика на спектре мощности или АКФ. Они не должны использоваться для оценки и представлены в основном для полноты.
Если профиль был уже правильно выровнен и выбрана нулевая линия, функция может рассчитать данные для профиля без всякой предобработки. В противном случае, нужно включить опцию Вычесть фон чтобы убрать фон на основе хорошо определенной процедуры (см. снова [1]). В этом случае опция Показать выровненную кривую может использоваться чтобы показать обработанный профиль наряду с не модифицированными данными.
Террасы
Террасы или структуры по типу амфитеатров могут быть измерены используя одномерные профили так же, как они измеряются по данным изображения в модуле Террасы. Модули для графиков и для изображений почти идентичны. Следовательно, дальнейшее описывает только основные различия:
Ядро поиска ступени и уширение будут одномерными. Они по прежнему измеряются в пикселях, что соответствует среднему расстоянию между точками кривой. Минимальная площадь террасы заменяется минимальной длиной, измеренной как доля всего диапазона абсцисс.
Отсутствует опция использования маски. Вместо этого, террасы могут быть выделены вручную на графике с помощью мыши если опция Выбрать области вручную включена.
Присутствует дополнительный выбор в меню Показать, Детекция ступеней. Он показывает результат работы фильтра поиска краёв и показывает выбранный порог используя красную пунктирную линию. Это один из наиболее полезных графиков при настройке параметров.
Площадь в пикселях Apx заменяется на Npx, количество точек кривой, из которых состоит терраса.
Источники
[1] D. Nečas, A. Yacoot, M. Valtr, P. Klapetek: Demystifying data evaluation in the measurement of periodic structures. Measurement Science and Technology 34 (2023) 055015, 10.1088/1361-6501/acbab3
Модуль Microsoft.Graph.Users.Functions | Microsoft Узнайте
Прочитано: Графические линейные функции | Средний уровень алгебры |
Модуль 4: Функции и обозначения функций
Цели обучения
График линейных функций с использованием таблицы значений
Полезным первым шагом при построении графика функции является создание таблицы значений. Это особенно полезно, когда вы не знаете общую форму функции. Вы, наверное, уже знаете, что линейная функция — это прямая линия, но давайте сначала составим таблицу, чтобы посмотреть, чем она может быть полезна.
При создании таблицы рекомендуется включать отрицательные значения, положительные значения и ноль, чтобы обеспечить линейную функцию.
Составьте таблицу значений для
f(x)=3x+2f(x)=3x+2f(x)=3x+2
.
Сделать таблицу из двух столбцов. Пометьте столбцы x и f ( x ).
х
ф ( x )
Выберите несколько значений для x и поместите их в отдельные строки в столбце x . Это ВАШ ВЫБОР — нет «правильных» или «неправильных» значений, просто действуйте.
Совет: Всегда полезно включать 0, положительные и отрицательные значения, если это возможно.
х
ф ( x )
−2-2−2
−1-1−1
000
111
333
Оцените функцию для каждого значения x и запишите результат в столбец f ( x ) рядом с использованным значением x .
(Обратите внимание, что ваша таблица значений может отличаться от чьей-либо. Каждый из вас может выбрать разные числа для x .)
Теперь, когда у вас есть таблица значений, вы можете использовать ее, чтобы помочь вам нарисовать как форму, так и местоположение функции. Важно: График функции покажет все возможные значения x и соответствующие значения y . Вот почему график представляет собой линию, а не просто точки, составляющие точки в нашей таблице.
График
f(x)=3x+2f(x)=3x+2f(x)=3x+2
.
Используя таблицу значений, которую мы создали выше, вы можете представить f ( x ) как y, каждая строка образует упорядоченную пару, которую вы можете нанести на координатную сетку.
х
ф ( x )
−2-2−2
−4-4−4
−1-1−1
−1-1−1
000
222
111
555
333
111111
Постройте точки.
Поскольку точки лежат на линии, используйте линейку, чтобы провести линию. Попробуйте пройти через каждую точку, не двигая линейку.
Попробуем еще. Прежде чем смотреть ответ, попробуйте сами составить таблицу и нарисовать график на листе бумаги.
В следующем видео мы покажем еще один пример того, как построить график линейной функции на наборе координатных осей.
Эти графики представляют линейную функцию. Помните, что функция — это соответствие между двумя переменными, такими как x и y .
A Общее примечание: линейная функция
Линейная функция — это функция, график которой представляет собой линию. Линейные функции могут быть записаны в виде линии с пересечением наклона
f(x)=mx+bf\left(x\right)=mx+bf(x)=mx+b
где
bbb
– начальное или начальное значение функции (при вводе
x=0x=0x=0
), а
mmm
является постоянной скоростью изменения или наклоном функции.
В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.
Что представляет собой квадратное неравенство
Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.
Определение 1
Квадратное неравенство – это такое неравенство, которое имеет вид a·x2+b·x+c<0, где a, b и c – некоторые числа, причем aне равно нулю. x – это переменная, а на месте знака < может стоять любой другой знак неравенства.
Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными являются функции, которые задаются уравнениями вида y=a·x2+b·x+c.
Приведем пример квадратного неравенства:
Пример 1
Возьмем 5·x2−3·x+1>0. В этом случае a=5, b=−3 и c=1.
Или вот такое неравенство:
Пример 2
−2,2·z2−0,5·z−11≤0, где a=−2,2, b=−0,5 и c=−11.
Покажем несколько примеров квадратных неравенств:
Пример 3
Здесь коэффициенты этого квадратного неравенства есть ; 123·x2-x+57<0, в этом случае a=123, b=-1, c=57.
Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при x2 считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида b·x+c>0, так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты b и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.
Пример 4
Пример такого неравенства x2−5≥0.
Способы решения квадратных неравенств
Основным метода три:
Определение 2
графический;
метод интервалов;
через выделение квадрата двучлена в левой части.
Графический метод
Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции y=a·x2+b·x+c для квадратных неравенств a·x2+b·x+c<0 (≤, >, ≥). Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.
Метод интервалов
Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена a·x2+b·x+c при их наличии.
Для неравенства a·x2+b·x+c<0 решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства a·x2+b·x+c>0, промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.
Выделение квадрата двучлена
Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида (x−p)2<q (≤, >, ≥), где p и q – некоторые числа.
Неравенства, сводящиеся к квадратным
К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.
Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства 5≤2·x−3·x2. Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида 3·x2−2·x+5≤0.
Пример 5
Необходимо найти множество решений неравенства 3·(x−1)·(x+1)<(x−2)2+x2+5.
Решение
Для решения задачи используем формулы сокращенного умножения. Для этого соберем все слагаемые в левой части неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Мы получили равносильное квадратное неравенство, которое можно решить графическим способом, определив дискриминант и точки пересечения.
D’=22−1·(−12)=16, x1=−6, x2=2
Построив график, мы можем увидеть, что множеством решений является интервал (−6, 2).
Ответ: (−6, 2).
Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство 2·x2+5<x2+6·x+14
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Квадратичные неравенства — подготовка к ЕГЭ по Математике
Покажем, как с помощью графика функции y = ax2 + bx + c решать квадратные неравенства.
Квадратичная функция, или парабола, — это функция вида
Вспомним свойства этой функции:
Координаты вершины параболы:
Если , ветви вверх
Если , ветви вниз
Точки пересечения с осью X: и
где и — корни квадратного уравнения
Точка пересечения с осью Y: М (0; с).
Вспомним также, как выражение раскладывается на множители.
где и — корни квадратного уравнения
1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство
x2 < 400
Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.
Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? 🙂
Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции y = x2 и отметим все значения x, для которых y < 400.
Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).
Запомним: извлекать корень из неравенства нельзя. Такого действия просто нет.
2. Следующее неравенство:
Переносим всё в левую часть неравенства. Раскладываем левую часть на множители.
Рисуем ось X. Рисуем параболу с ветвями вверх.
Эта парабола пересекает ось X в точках — 4 и 4. Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.
Записываем ответ:
3. Решим неравенство: x2 − 3x − 10 ≥ 0.
Графиком функции y = x2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x2 − 3x − 10 = 0, находим x1 = −2 и x2 = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:
Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .
Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!
4. Ещё одно неравенство: x2 + 2x + 4 > 0.
Ветви параболы y = x2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.
Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.
Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.
Ответ: .
Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.
5. Следующее квадратичное неравенство:
Разложим его левую часть на множители.
Получим:
И больше ничего не пишем. Рисуем ось X. Рисуем параболу с ветвями вверх.
Эта парабола пересекает ось X в точках 1 и 5. Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.
Записываем ответ:
6. Еще неравенство:
Квадратное уравнение не имеет решений — его дискриминант отрицателен. Это значит, что парабола нигде не пересекает ось X. Ветви этой параболы направлены вверх. Все значения функции положительны. Неравенство выполняется для всех действительных X.
Соберем в одну таблицу примеры решения различных квадратичных неравенств.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Квадратичные неравенства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08. 05.2023
Свойства неравенств
Неравенство говорит нам о относительном размере двух значений.
(Возможно, сначала вы захотите прочитать небольшое введение в неравенства)
4 неравенства
Символ
Слова
Пример
>
больше
х+3 > 2
<
меньше
7x < 28
≥
больше или равно
5 ≥ x−1
≤
меньше или равно
2 года+1 ≤ 7
Символ «указывает» на меньшее значение
Свойства
Неравенства имеют свойства. .. все со специальными именами!
Здесь мы перечисляем каждый с примерами.
Примечание: значения a , b и c , которые мы используем ниже, являются действительными числами.
Переходное свойство
Соединяя неравенства по порядку, мы можем «перепрыгнуть» среднее неравенство.
Если a < b и b < c, то a < c
Аналогично:
Если a > b и b > c, то a > c
Пример:
Если Алекс старше Билли и
Билли старше Кэрол,
тогда Алекс тоже должен быть старше Кэрол!
Реверсивное свойство
Мы можем поменять местами на и на , если убедимся, что символ по-прежнему «указывает» на меньшее значение.
Если a > b, то b < a
Если а < b, то b > а
Пример: Алекс старше Билли, поэтому Билли моложе Алекса
Закон трихотомии
«Закон трихотомии» гласит, что верно только одно из следующего:
Логично, правда? a должно быть либо на меньше, чем b , либо равно b , либо на больше, чем b . Это должен быть один из тех, и только один из них.
Пример: У Алекса больше денег, чем у Билли
Мы могли бы записать это так:
a > b
Итак, мы также знаем, что:
Алекс действительно не имеет меньше денег, чем Билли (не a
Алекс имеет , а не ту же сумму денег, что и Билли (не a=b)
(Конечно!)
Сложение и вычитание
Добавление c к обеим частям неравенства всего сдвигает все по , а неравенство остается прежним.
Если a < b, то a + c < b + c
Пример: У Алекса меньше денег, чем у Билли.
Если и Алекс, и Билли получат на 3 доллара больше, то у Алекса все равно будет меньше денег, чем у Билли.
Аналогично:
Если a < b, то a − c < b − c
Если a > b, то a + c > b + c, и
Если a > b, то a − c > b − c
Таким образом, добавление (или вычитание) одного и того же значения к a и b не изменит неравенство
Умножение и деление
Когда мы умножаем a и b на положительное число , неравенство остается тем же .
Но когда мы умножаем a и b на отрицательное число , неравенство заменяет !
1. Найти определитель
исходной матрицы. Если =
0, то матрица А – вырожденная и обратная ей матрица
не существует. Если ,
то матрица А – невырожденная и обратная матрица
существует.
2. Найти матрицу ,
транспонированную к матрице А.
3. Найти алгебраические
дополнения элементов транспонированной
матрицы ,
, и составить из них присоединенную
матрицу : ,
,
.
4. Вычислить обратную
матрицу по формуле: .
5. Проверить
правильность вычисления обратной
матрицы
,
исходя из ее определения:
.
Вычисление
обратной матрицы методом Гаусса:
1) к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;
2) путем преобразований
методом Гаусса над строками расширенной
матрицы (А | E) матрица А приводится к единичной матрице;
3) в результате
вычислительного процесса на месте
приписанной справа матрицы Е получится обратная матрица
.
Схематично процесс
нахождения обратной матрицы выглядит
следующим образом: (А
| E)
(E |).
Пример 3. Найти обратную матрицу методом Гаусса
для .
Решение.
1.Составим расширенную
матрицу .
2. Элементы первой
строки умножим на (-
3) прибавим
соответственно к элементам второй
строки, получим .
Затем элементы второй строки прибавим
соответственно к элементам первой
строки, получим .
При выполнении следующего преобразования
элементы второй строки умножим на (-1/2). В результате получим матрицу .
3. Итак, обратная
матрица имеет вид .
Лекция 2
Контрольные
вопросы:
1. Определение
системы линейных алгебраических
уравнений.
2. Метод Крамера.
3. Метод Гаусса.
4. Метод обратной
матрицы.
1. Система трех линейных уравнений с тремя
неизвестными имеет вид
(4)
где
— коэффициенты системы, —
свободные члены .
Определитель третьего порядка Δ,
составленный из коэффициентов при
неизвестных, называется определителем
системы.
2. Если Δ ≠ 0, то единственное решение
системы (4) выражается формулами
Крамера:
, (5)
где — определители третьего порядка,
получаемые из определителя системы Δ
заменой первого, второго или третьего
столбца соответственно столбцом
свободных членов .
Систему (4) можно
записать в матричной форме: ,
где
.
Тогда ее решение
имеет вид
, (6)
если определитель
матрицы А отличен от нуля.
3. Одним из наиболее универсальных методов
решения систем линейных алгебраических
уравнений является метод
Гаусса,
состоящий в последовательном исключении
неизвестных.
Процесс решения
методом Гаусса состоит из двух этапов.
На первом этапе (прямой ход) система
приводится к ступенчатому виду (в
частности, к треугольному) виду.
Для исходной
системы т алгебраических уравнений п неизвестными
система в ступенчатом
виде может быть представлена следующим
образом:
где , , .
Коэффициенты называются главными
элементами системы.
На втором этапе
(обратный ход) происходит последовательное
нахождение неизвестных из этой ступенчатой
системы.
Рассмотрим данный
метод на примере решения системы (4).
Будем считать, что элемент (иначе первым в системе запишем уравнение,
в котором коэффициент при ). Используя элементарные преобразования
системы (4), исключим неизвестное во всех уравнениях, кроме первого. Для
этого умножим обе части первого уравнения
на и прибавим соответственно ко второму
уравнению системы. Затем умножим обе
части первого уравнения на и прибавим соответственно к третьему
уравнению системы. Получим эквивалентную
систему
Здесь , (
)
– новые значения коэффициентов и правых
частей, которые получаются после
выполнения первого шага.
Аналогичным
образом, считая главным элементом ,
исключим неизвестное из третьего уравнения системы. На этом
шаге выполнение прямого хода заканчивается.
Второй этап
(обратный ход) заключается в решении
ступенчатой системы. В последнем
уравнении выражаем и подставляем во второе уравнение
найденное значение. Из второго уравнения
находим
и подставляем значения
и
в первое уравнение, из которого находим
значение
.
Замечание. На практике удобно работать не с системой
(4), а с расширенной матрицей этой системы,
выполняя элементарные преобразования
над ее строками.
4. Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений
заключается в нахождении обратной
матрицы
по одному из алгоритмов, представленных
в п.4, и использовании формулы
для нахождения
решения системы.
Замечание.
Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы
системы меньше числа неизвестных, т.е.
r < n, (7)
то система имеет
бесконечное множество решений. Свободныеn—r неизвестных выбираются произвольно, а
главные rнеизвестных
определяются единственным образом
через свободные неизвестные.
Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение
системы линейных уравнений
(8)
Решение.
Вычислим определитель
системы
.
Так как Δ ≠ 0, то
решение системы может быть найдено по
формулам Крамера (5). Для этого найдем
:
.
Подставляя найденные
значения определителей в формулы (5),
получим искомое решение системы: .
Пример 5. Найти решение системы примера 4 с помощью
обратной матрицы.
Решение.
Здесь
.
Так как определитель
матрицы системы отличен от нуля: |A|=-26,
то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной
матрицы вычислим алгебраические дополнения
элементов матрицы
.
Транспонированная матрица имеет вид:
.
Согласно формуле
(3), матрица
,
обратная к матрице А имеет вид
.
Проверим правильность
вычисления ,
исходя из определения обратной матрицы
(2) и используя формулу (1):
Матричное решение
системы (8) в силу формулы (6) имеет вид
,
откуда следует
(из условия равенства двух матриц), что .
Пример 6. Решить систему линейных уравнений
методом Гаусса:
Решение.
Здесь
.
Расширенная матрица
системы имеет вид
.
Выполним прямой
ход метода Гаусса.
Шаг 1. Для удобства вычислений поменяем местами
первую и вторую строки:
.
Так как
,
то умножая первую строку на (-2) и на (-1) и прибавляя полученные строки
соответственно ко второй и третьей
строкам, исключим переменную
из всех строк, начиная со второй:
.
Шаг 2. Так как ,
то умножим вторую строку на (-3/5) и прибавим к третьей, таки образом
исключим переменную
из третьей строки:
.
Получили систему
уравнений, соответствующую последней
матрице:
откуда, используя
обратный ход метода Гаусса, найдем из
третьего уравнения ;
из второго уравнения найдем ;
из первого уравнения .
Ответ: (3; -5; 2).
Пример 7. Решить систему линейных уравнений
методом Гаусса:
Решение.
Здесь
.
Расширенная матрица
системы имеет вид
.
Выполним прямой
ход метода Гаусса. Для этого произведем
элементарные преобразования над
строчками расширенной матрицы системы:
̴ ̴ ̴
Полученная матрица
соответствует системе
Выполним обратный
ход метода Гаусса, найдем значения
неизвестных: , , .
Ответ: (1; 1; 1).
Лекция 3
Как решить систему линейных уравнений методом Гаусса: принцип, пример
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru Математика Алгебра Метод Гаусса для решения СЛАУ
В данной публикации мы рассмотрим, что такое метод Гаусса, зачем он нужен, и в чем заключается его принцип. Также мы на практическом примере продемонстрируем, как метод можно применить для решения системы линейных уравнений.
Описание метода Гаусса
Принцип метода Гаусса
Пример решения СЛАУ
Описание метода Гаусса
Метод Гаусса – классический способ последовательного исключения переменных, применяемый для решения системы линейных уравнений. Назван так в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777 – 1885).
Но для начала напомним, что СЛАУ может:
иметь одно единственное решение;
иметь бесконечное множество решений;
быть несовместной, т.е. не иметь решений.
Практическая польза
Метод Гаусса – отличный способ решить СЛАУ, которая включает более трех линейных уравнений, а также систем, не являющихся квадратными.
Принцип метода Гаусса
Метод включает следующие этапы:
прямой – расширенная матрица, соответствующая системе уравнений, путем элементарных преобразований над строками приводится к верхнему треугольному (ступенчатому) виду, т.е. под главной диагональю должны находиться только элементы, равные нулю.
обратный – в полученной матрице элементы над главной диагональю также обнуляются (нижний треугольный вид).
Пример решения СЛАУ
Давайте решим систему линейных уравнение ниже, воспользовавшись методом Гаусса.
Решение
1. Для начала представим СЛАУ в виде расширенной матрицы.
2. Теперь наша задача – это обнулить все элементы под главной диагональю. Дальнейшие действия зависят от конкретной матрицы, ниже мы опишем те, что применимы к нашему случаю. Сначала поменяем строки местами, таким образом расположив их первые элементы в порядке возрастания.
3. Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – утроенную первую.
4. Прибавим к третьей строке вторую.
5. Отнимем из первой строки вторую, и одновременно с этим действием разделим третью строку на -10.
6. Первый этап завершен. Теперь нам нужно получить нулевые элементы над главной диагональю. Для этого из первой строки вычтем третью, умноженную на 7, а ко второй прибавим третью, умноженную на 5.
7. Финальная расширенная матрица выглядит следующим образом:
8. Ей соответствует система уравнений:
Ответ: корни СЛАУ: x = 2, y = 3, z = 1.
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
найти базис для пространства 2 2 нижних треугольных матриц chegg
AlleBilderVideosBücherMapsNewsShopping
suchoptionen
Найти базис для пространства 2×2 нижних треугольных матриц — Chegg
9000 9
www. chegg.com › вопросы и ответы › find-bas…
Найти базис пространства нижних треугольных матриц 2×2: Задача решена! Вы получите подробное решение от эксперта в предметной области, который …
Решено Найдите основу для пространства 2×22×2 ниже | Чегг.com
www.chegg.com › вопросы и ответы › найти-баз…
Найти базис пространства нижних треугольных матриц 2×22×2. Эта проблема решена! Вы получите подробное решение по теме …
Решено (1 балл) Найдите основу для пространства 2 х 2 ниже | Chegg.com
www.chegg.com › вопросы и ответы › 1-балл-…
Вопрос: (1 балл) Найдите базис пространства нижних треугольных матриц 2 x 2. Основа = (1 балл) Найдите основу для пространства 2 х 2 нижнего треугольника.
Решено (1 балл) Найдите размеры следующего линейного — Chegg
www.chegg.com › вопросы и ответы › 1-точка-…
Введите многочлен или список разделенных запятыми многочлены. (1 балл) Найдите базис пространства нижних треугольных матриц 2 x 2. Основание { НО.
Найдите базис пространства нижних треугольных матриц 2×2.
www.storyofmathematics.com › поиск основы для…
Bewertung 5,0 (16)
28.11.2022 · Следовательно, окончательный ответ состоит в том, что базисным пространством для нижних треугольных матриц является X . Размерность этого базисного пространства равна 3, потому что оно имеет базис …
[PDF] Глава вторая — Векторные пространства — Линейная алгебра
web.cortland.edu › jubrani
Первая глава началась с введения метода Гаусса и закончил с хорошим пониманием, основанным на лемме о линейных комбинациях, того, как он находит.
[PDF] Выпускной экзамен по математике 340 19 декабря, 2002 1. (10) Найти базис для …
www.math.umd.edu › ~hck
19.12.2002 · 1. (10) Найти базис для векторного пространства нижнего треугольника 2 × 2 матрицы. Какова размерность этого векторного пространства? Основой является (.
Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.—М.: Просвещение, 1990.— 416 с.
В книге в конспективной форме изложен теоретический материал по алгебре и началам анализа. К каждому пункту теоретического материала приведены упражнения с решениями и упражнения трех уровней сложности для самостоятельного решения. Она может быть использована при подготовке к экзаменам в высшие учебные заведения.
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. § 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ § 2. СЛОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ § 3. ВЫЧИТАНИЕ § 4. УМНОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ § 5. ДЕЛЕНИЕ § 6. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ § 7. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА § 8. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ § 9. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ § 10. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА § 11. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ § 12. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Контрольные вопросы ГЛАВА II § 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 2. ПРАВИЛЬНЫЕ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ ДРОБИ § 3. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ § 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ § 5. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ § 6. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ § 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 8. ОБРАЩЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ В ОБЫКНОВЕННУЮ И ОБЫКНОВЕННОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ § 9. ОТНОШЕНИЕ. ПРОПОРЦИЯ § 10. СВОЙСТВА ПРОПОРЦИИ § 11. ПРОЦЕНТ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ § 12. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НА ЧАСТИ, ПРЯМО И ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ДАННЫМ ЧИСЛАМ Контрольные вопросы ГЛАВА III § 1. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ § 2. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ § 3. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 4. МОДУЛЬ ЧИСЛА § 5. СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 8. ВОЗВЕДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА IV § 1. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ § 2. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ § 4. ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 5. ОДНОЧЛЕНЫ § 6. МНОГОЧЛЕНЫ § 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ МНОГОЧЛЕНОВ § 8. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН И МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН § 9. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ § 11. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Контрольные вопросы ГЛАВА V § 1. ДРОБЬ § 2. ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ДРОБЕЙ § 4. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ДВУХ ДРОБЕЙ § 5. СТЕПЕНЬ ДРОБИ Контрольные вопросы ГЛАВА VI § 1. ПОНЯТИЕ ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ ЧИСЛЕ § 2. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 3. КОРЕНЬ СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА § 4. АЛГОРИТМ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЛА § 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ § 7. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ И ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА VII § 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 2. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 3. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РАВЕНСТВ И ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, СОДЕРЖАЩЕЕ ПАРАМЕТР Контрольные вопросы ГЛАВА VIII § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ § 3. МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 6. ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА И КОРНИ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА IX § 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ § 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК § 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК § 4. ФУНКЦИЯ y=k/x И ЕЕ ГРАФИК § 5. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК Контрольные вопросы ГЛАВА X § 1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ТЕОРЕМА ВИЕТА § 3. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. УРАВНЕНИЕ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ § 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XI § 1. НЕРАВЕНСТВА § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ § 3. ДЕЙСТВИЯ С НЕРАВЕНСТВАМИ § 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ § 5. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ § 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XII § 1. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ § 2. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ § 3. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ § 4. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ПРОМЕЖУТКОВ Контрольные вопросы ГЛАВА XIII § 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ § 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 4. СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ |q|Контрольные вопросы ГЛАВА XIV § 1. ГРАДУСНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 2. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 3. СИНУС И КОСИНУС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА § 4. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА. СЕКАНС И КОСЕКАНС ЧИСЛА а § 5. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА § 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XV § 1. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ § 2. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ § 3. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ § 5. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА § 7. ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА Контрольные вопросы ГЛАВА XVI § 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin(x) И ЕЕ ГРАФИК § 2. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у = cos(x) И ЕЕ ГРАФИК § 3. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у=tg(x) И ЕЕ ГРАФИК § 4. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И y=ctg(x) И ЕЕ ГРАФИК § 5. НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XVII § 1. АРКСИНУС И АРККОСИНУС § 2. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС Контрольные вопросы ГЛАВА XVIII § 1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА cos(x)=а § 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА sin(x)=a § 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА tg(х)=а § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНОМУ § 5. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ, ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ § 7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XIX § 1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА sin(х) > а, sin(х) § 2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА cos(x) > a, cos(x) § 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА tg(х) > a, tg(х) § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ГЛАВА XX § 1. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ § 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ § 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ § 5. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО § 6. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ § 7. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXI § 1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К НАХОЖДЕНИЮ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ § 2. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ § 3. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ § 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА XXII § 1. ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ § 3. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ДАННЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ § 4. ГРАФИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIII § 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ) § 2. ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (НА ПРИМЕРАХ) § 3. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIV § 1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК § 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА § 4. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XXV § 1. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ § 2. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА § 3. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ § 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК § 5. ТЕОРЕМЫ О ЛОГАРИФМЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО И СТЕПЕНИ. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ § 6. ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА § 7. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVI § 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА § 3. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЙ. ЧИСЛО e Контрольные вопросы ГЛАВА XXVII § 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 3. ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ § 4. КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVIII § 1. ФОРМУЛА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА § 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА § 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПРИЛОЖЕНИЕ Введение 1. Задачи на движение 2. Задачи на совместную работу 3. Задачи на планирование 4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий 5. Задачи на проценты 6. Задачи на смеси (сплавы) 7. Задачи на разбавление
презентация на тему «Производная степенной функции» | Презентация к уроку по алгебре (11 класс):
Опубликовано 29.11.2020 — 16:09 — Кужаков Азамат Владимирович
В презентации показана формула нахождения производной степенной функции. Примеры нахождения производной. Самостоятельная работа на закрепление материала.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Слайд 1
Производная степенной функции
Слайд 2
1 . Классная РАБОТА Пример 1 пример 2 2 . САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 3. Домашнее задание
Слайд 5
Найти производную функции:
Слайд 6
Пример 1 . Вычислить f ‘(9) , если f ( x )= f ‘(x)= = f ‘(9 )=
Слайд 7
Вычислить f ‘( ) , если f ( x )= 2) Вычислить f ‘(4) , если f ( x )= Вычислить f ‘(3) , если f ( x )= Вычислить f ‘(8) , если f ( x )=
Слайд 8
Пример 2 Найдите значения которых значение производной функции f ( x ) равно 0, если f ( x )= Решение: f ‘(x)= = f ‘(x )= 0 =0 =0 x =0 Ответ: x =0
Слайд 9
Найдите значения которых значение производной функции f (x) равно 1, если f ( x )= 2) Найдите значения которых значение производной функции f (x) равно , если f ( x )=
Слайд 10
3) Найдите значения которых значение производной функции f (x) равно 3 , если f ( x )= 4) Найдите значения которых значение производной функции f (x) равно 1, если f ( x )=
Слайд 11
Самостоятельная работа
Слайд 12
Домашнее задание §__, №___ Найдите производную следующих функций
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
презентация «Степенная функция»
Презентация рассчитана на учащихся 7 класса и может быть использована при объяснении и закреплении темы «Степенные функции», а также при подготовке к ГИА по математике. ..
Лабораторные работы «Степенная функция», «Корень п-й степени», «логарифмическая функция»
Материалы для уроков в 10 классе по теме «Степенная функция», «Корень п-й степени», «логарифмическая функция» с использованием программы «Наглядная математика» «Графики функций»…
Презентация «Степенные функции»
Данная презентация может быть полезна при изучении степенных функций с натуральным показателем и корней натуральной степени.Рассматриваются графики и основные свойства функций….
Конспект урока алгебры в 9 классе с презентацией по теме Степенная функция.rar
Конспект урока алгебры в 9 классе с презентацией по теме Степенная функция.rar…
Методические разработки-опорные сигналы для учащихся по теме: «Функция. Свойства функции. Степенная функция.»
….
Презентация по теме «Степенная функция»
Презентация к уроку открытия новых знаний по теме «Степенная функция» 10 класс…
Презентация по теме «Степенная функция»
Работа представляет собой презентацию, в которой собран материал по изучению степенной функции: ее свойства и формы графиков в зависимости от показателя. Изучение сопровождается наглядной демонстрацие…
Поделиться:
Математические визуализации | Полиномиальные функции и производная (3): Кубические функции
Кубические функции и производная
Геометрия
Реальный анализ
Комплексный анализ
Вероятность
История
Помощь
Контакт
Ссылки
Карта сайта
Обновления
Испания
Личный
Кубическая функция — это полиномиальная функция степени 3.
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
Производную функции в точке можно определить как мгновенную скорость изменения или как наклон касательной к точке.
график функции в этой точке. Мы можем сказать, что этот наклон тангенса функции в точке есть наклон
функция.
Наклон функции, вообще говоря, будет зависеть от x. Тогда, начиная с функции, мы можем
получить новую функцию, производную от исходной функции.
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производной функции для любого значения x представляет собой наклон исходной функции в точке x.
Чтобы найти производную в точке, мы можем провести касательную к графику кубической функции в этой точке:
Но как мы можем провести касательную? Мы можем использовать увеличительное стекло!. Если мы посмотрим очень близко к точке на графике функции, мы увидим, что функция напоминает касательную. Эта касательная линия
является наилучшей линейной аппроксимацией функции в этой точке:
Затем мы можем провести параллельную прямую к этой касательной через значение x-1, и мы получим прямоугольный треугольник:
Производная кубической функции является квадратичной функцией.
Критическая точка – это точка, в которой касательная
параллельно оси x, то есть наклон
касательная в этой точке равна нулю.
В следующем примере мы видим кубическую функцию с двумя критическими точками. Один из них является локальным максимумом, а другой
локальный минимум. В этих точках производная функция (парабола) пересекает ось x:
Эти критические точки — это точки, в которых функция перестает увеличиваться или уменьшаться (иногда их называют
«стационарные точки»). В этих точках касательная горизонтальна.
Для нахождения стационарных точек решаем квадратное уравнение:
В этом случае решениями этого уравнения являются:
Как мы уже знаем (квадратные функции), иногда квадратное уравнение не имеет действительных решений.
(парабола не пересекает ось x). Тогда кубическая функция не имеет критических точек:
Но у параболы всегда есть вершина. Вершина параболы связана с точкой кубической функции. Мы называем
это точка перегиба.
Точка перегиба кубической функции — это единственная точка на графике, где изменяется вогнутость.
Кривая изменяется от вогнутой вверх
вогнутой вниз или наоборот
Касательная кубической функции в точке перегиба пересекает график:
Чтобы найти точку перегиба, мы можем вычислить вершину параболы:
Это пример точки перегиба кубической функции без критических точек:
Точка перегиба в этом случае также является точкой покоя (вершина производной касается оси x):
Точки перегиба могут быть стационарными точками, но не локальными максимумами или локальными минимумами.
Одна простая и интересная идея заключается в том, что когда мы переводим вверх и вниз график функции (мы добавляем или вычитаем число из исходной функции),
производная не меняется. Причина очень интуитивная. Когда ты
перемещайте фиолетовую точку, которую вы переводите, вверх и вниз по графику, и производная будет такой же:
Важно отметить, что производная многочлена степени 1 является постоянной функцией (многочленом степени 0). Производная многочлена степени 2 есть многочлен степени 1.
А производная многочлена степени 3 есть многочлен степени 2.
Когда мы
вывести такую полиномиальную функцию, результатом будет многочлен, степень которого на 1 меньше исходной функции.
Когда мы изучаем интеграл от многочлена степени 2, мы видим, что в этом случае новая функция является многочленом степени 2. Еще одна степень
чем исходная функция. А интеграл полиномиальной функции — это полиномиальная функция степени на 1 больше, чем исходная функция.
Эти результаты связаны с основной теоремой исчисления.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Майкл Спивак, Расчет, третье издание, Publish-or-Perish, Inc.
Том М. Апостол, Расчет, второе издание, John Willey and Sons, Inc.
И.М. Гельфанд, Э.Г. Глаголева, Э. Э. Шноль, «Функции и графики», Dover Publications, Mineola, NY
.
БОЛЬШЕ ССЫЛОК
Математические визуализации | Полиномиальные функции и производная (2): квадратичные функции
Квадратичные функции и производная
Геометрия
Реальный анализ
Комплексный анализ
Вероятность
История
Помощь
Контакт
Ссылки
Карта сайта
Обновления
Испания
Личный
Квадратичная функция — это полиномиальная функция степени 2.
Нас интересует изучение производной простых функций с помощью интуитивного и визуального подхода.
Для изучения производной квадратичной функции мы собираемся следовать тому же подходу, который мы использовали в
случай линейной функции.
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
Производную функции в точке можно определить как мгновенную скорость изменения или как наклон касательной к точке.
график функции в этой точке. Мы можем сказать, что этот наклон тангенса функции в точке есть наклон
функция.
Наклон функции, вообще говоря, будет зависеть от x. Тогда, начиная с функции, мы можем
получить новую функцию, производную от исходной функции.
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производной функции для любого значения x представляет собой наклон исходной функции в точке x.
Затем начинаем проводить касательную к параболе в точке.
Но как мы можем провести касательную? Мы можем использовать увеличительное стекло!. Если мы посмотрим очень близко к точке параболы, мы увидим, как парабола напоминает касательную. Эта касательная линия
является наилучшей линейной аппроксимацией параболы в этой точке:
Затем проводим параллельную прямую касательной, проходящей через значение x-1, и получаем прямоугольный треугольник. Длина вертикальной стороны
— наклон касательной.
Производная функция квадратичной функции является линейной функцией.
Производная квадратичной функции:
Как уже знал Ферма, в локальном максимуме или минимуме касательная горизонтальна, производная равна 0. Мы можем видеть
что в вершине параболы касательная горизонтальна и что производная функции пересекает ось x в точке
это значение.
Когда а является отрицательным числом, парабола открывается вниз, а ее производная является линейной функцией с отрицательным наклоном.
В этом случае вершина является максимальной и, как и прежде, касательная в этой точке горизонтальна.
Одна простая и интересная идея заключается в том, что когда мы переводим вверх и вниз график функции (мы добавляем или вычитаем число из исходной функции),
производная не меняется.
Инцидентность и смежность в графах, матрицы смежности, матрицы инцидентности
Инцидентность и смежность в графах
Матрицы смежности
Матрицы инцидентности
Списки инцидентности
Преимущества и недостатки каждого способа
Инцидентность —
это когда вершина a является либо началом либо концом ребра e. Две вершины называются
инцидентными, если у них есть общее ребро.
Для того, чтобы задать граф аналитически, множества V вершин графа и
множества U рёбер графа, которые фигурировали в определении графа, будет недостаточно. Потребуется
ещё и множество P троек вида (a, u, b),
указывающих какую пару a, b элементов множества вершин V соединяет тот или
иной элемент u множества рёбер U графа. Элементы множества P называются инциденциями графа. Вот мы и подошли к одному из первых понятий теории графов — инцидентности.
Понятие инцидентности — одно из главных при создании структур данных для
представления графов в памяти ЭВМ, к которым мы перейдём после примера 1.
Пример 1. Задать аналитически граф, представленный на рисунке ниже.
(рис. А)
Решение. Распространённые ошибки — не заметить вершины графа, которые не соединены
ни с одной другой вершиной, в том числе с самой собой, и не включить их во множество вершин графа, а также
указать не все рёбра графа, соединяющие две вершины. Поэтому вершину f данного графа обязательно
включаем во множество вершин графа V, а, рёбра 6 и 7, хотя они соединяют одну и ту же вершину
саму с собой и обе не имеют направления, включаем во множество рёбер U.
Итак, задаём граф следующими множествами:
множество вершин: V = {a, b, c, d, e, f}
множество рёбер: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Смежность вершин графа — это когда две вершины графа соединены ребром.
Зададимся вопросом: можно ли поместить слона в компьютер? Ответ: можно, если слона
смоделировать в виде графа, в котором вершинами являются части его тела, а рёбра соединяют те части тела,
которые соединены в слоне как биологическом объекте. При этом получившийся граф должен быть представлен
в памяти компьютера в понятном компьютеру виде.
В связи с широким применением графов в программировании и информационных технологиях вообще возникает вопрос о представлении графа в виде
структуры данных. Различные способы представления графов в памяти компьютера отличаются объёмом занимаемой памяти и
скоростью выполнения операций над графами.
Наиболее часто используются три такие структуры данных — матрица смежности, матрица
инцидентности и список инцидентности.
Матрица смежности, как и матрица инцидентности, позволяет установить множество вершин,
соседних с заданной (то есть рассматриваемой в конкретной задаче), не прибегая к полному просмотру всей
матрицы. Матрицы смежности обычно представляются двумерным массивом размера n x n,
где n — число вершин графа.
Матрица смежностиS — это квадратная матрица, в
которой и число строк, и число столбцов равно n — числу вершин графа. В ячейки матрицы смежности
записываются некоторые числа в зависимости от того, соединены соответствующие вершины рёбрами или нет, и
от типа графа.
Матрица смежности для неориентированного графа
Элемент матрицы смежности sij
неориентированного графа определяется следующим образом:
— равен единице, если вершины vi и vj смежны;
— равен нулю, если вершины vi и vj не смежны.
Если для элемента матрицы vij
имеет место i = j, то есть элемент находится на диагонали,
то этот элемент равен единице, если этот элемент имеет петлю, и нулю, если элемент не имеет петли.
Пример 2. Составить матрицу смежности для графа, представленного
на рисунке ниже.
Ответ.
V
1
2
3
4
5
1
0
1
1
0
0
2
1
0
0
1
1
3
1
0
0
0
1
4
0
1
0
0
0
5
0
1
1
0
0
Таким образом, матрица смежности неориентированного графа
симметрична относительно главной диагонали.
Матрица смежности для ориентированного графа
Элемент матрицы смежности sij
ориентированного графа определяется следующим образом:
— равен единице, если из вершины vi в
вершину vj входит дуга;
— равен нулю, если из вершины vi в
вершину vj дуга не входит.
Как и для неориентированных графов, так и для ориентированных, если для элемента матрицы vij
имеет место i = j, то есть элемент находится на диагонали,
то этот элемент равен единице, если этот элемент имеет петлю, и нулю, если элемент не имеет петли.
Пример 3. Составить матрицу смежности для графа, представленного
на рисунке ниже.
Ответ.
V
1
2
3
4
5
1
0
1
0
0
0
2
0
1
0
0
0
3
1
0
0
0
0
4
0
1
0
0
0
5
0
1
1
0
0
Таким образом, матрица смежности ориентированного графа
не симметрична.
Матрица смежности для графа с кратными рёбрами
Если в графе есть вершины, соединённые между собой несколькими рёбрами, то элемент матрицы смежности sij
равен числу рёбер, соединяющих вершины vi и vj. Из этого следует, что
если вершины vi и vj не соединены рёбрами, то элемент
матрицы смежности sij равен нулю.
Пример 4. Составить матрицу смежности для графа, представленного
на рисунке ниже.
Ответ.
V
1
2
3
4
5
1
0
3
2
0
0
2
3
0
0
1
1
3
2
0
0
0
1
4
0
1
0
0
0
5
0
1
1
0
0
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Матрица смежности для взвешенного графа
В случае взвешенного графа элемент матрицы смежности sij
равен числу w, если существует ребро между вершинами vi и vj с весом w. Элемент sij
равен нулю, если рёбер между вершинами vi и vj не существует.
Пример 5. Составить матрицу смежности для графа, представленного
на рисунке ниже.
Ответ.
V
1
2
3
4
5
1
0
11
9
0
0
2
11
0
0
5
8
3
9
0
0
0
2
4
0
5
0
0
0
5
0
8
2
0
0
Матрица инцидентностиH — это матрица размера n x m,
где n — число вершин графа, m — число рёбер графа. Обычно в матрице инцидентности
строки соответствуют вершинам графа, а столбцы — рёбрам графа.
Матрица инцидентности для неориентированного графа
Элемент матрицы инцидентности для неориентированного графа hij
определяется следующим образом:
— равен единице, если вершина vi
инцидентна ребру ej;
— равен нулю, если вершина vi
не инцидентна ребру ej.
Пример 6. Составить матрицу инцидентности для графа, представленного
на рисунке ниже.
Ответ.
V
1-2
1-3
2-4
2-5
3-5
1
1
1
0
0
0
2
1
0
1
1
0
3
0
1
0
0
1
4
0
0
1
0
0
5
0
0
0
1
1
Матрица инцидентности для ориентированного графа
Элемент матрицы инцидентности для ориентированного графа hij
определяется следующим образом:
— равен минус единице, если вершина vi
является началом ребра ej;
— равен единице, если вершина vi
является концом ребра ej;
— равен нулю, если вершина vi
не инцидентна ребру ej.
Пример 7. Составить матрицу инцидентности для графа, представленного
на рисунке ниже.
Ответ.
V
1-2
1-3
2-4
2-5
3-5
1
1
-1
0
0
0
2
-1
0
-1
-1
0
3
0
1
0
0
-1
4
0
0
1
0
0
5
0
0
0
1
1
На сайте есть пример реализации на языке программирования С++ алгоритма обхода
в глубину графа, представленного матрицей инцидентности.
Графы значительного объёма целесообразно хранить в памяти компьютера в форме списков
инцидентности.
Список инцидентности одной вершины графа включает номера вершин, смежных с ней.
Ссылки на начало этих списков образуют одномерный массив, индексами которого
служат номера вершин графа.
Пример 8. Составить списки инцидентности для графа, представленного
на рисунке ниже.
Ответ.
1:2→3 2:1→4→5 3:1→5 4:2 5:2→3
Матрицы смежности и инцидентности целесообразнее использовать когда:
число вершин графа невелико;
число рёбер графа относительно большое;
в алгоритме часто требуется проверять, соединены ли между собой две вершины;
в алгоритме используются фундаментальные понятия теории графов, например, связность графа.
Из-за последнего обстоятельства матрицы чаще используются в теоретических исследованиях
графов.
Списки инцидентности целесообразнее использовать когда:
число вершин графа велико;
число рёбер графа относительно невелико;
граф формируется по какой-либо модели;
во время действия алгоритма часто требуется модифицировать граф;
в алгоритме часто используются локальные свойства вершин, например, например, окрестности вершин.
На практике списки чаще используются в прикладных целях.
Назад
Листать
Вперёд>>>
Весь блок «Теория графов»
Теория графов: основные понятия и задачи
Основные виды графов
Математические модели в виде графов. Дерево решений. Дерево игры
Виды вершин и рёбер графа. Маршруты, цепи, циклы в графах
К началу страницы
Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) / Хабр
Все, что познается, имеет число, ибо невозможно ни понять ничего, ни познать без него – Пифагор
В этой статье:
Матрица смежности
Матрица инцидентности
Список смежности (инцидентности)
Взвешенный граф (коротко)
Итак, мы умеем задавать граф графическим способом. Но есть еще два способа как можно задавать граф, а точнее представлять его. Для экономии памяти в компьютере граф можно представлять с помощью матриц или с помощью списков.
Матрица является удобной для представления плотных графов, в которых число ребер близко к максимально возможному числу ребер (у полного графа).
Другой способ называется списком. Данный способ больше подходит для более разреженных графов, в котором число ребер намного меньше максимально возможного числа ребер (у полного графа). 2 места.
Каждая ячейка матрицы равна либо 1, либо 0;
Ячейка в позиции L (i, j) равна 1 тогда и только тогда, когда существует ребро (E) между вершинами (V) i и j. Если у нас положение (j, i), то мы также сможем использовать данное правило. Из этого следует, что число единиц в матрице равно удвоенному числу ребер в графе. (если граф неориентированный). Если ребра между вершинами i и j не существует, то ставится 0.
Для практического примера возьмем самый обыкновенный неориентированный граф:
А теперь представим его в виде матрицы:
Ячейки, расположенные на главной диагонали всегда равны нулю, потому что ни у одной вершины нет ребра, которое и начинается, и заканчивается в ней только если мы не используем петли. То есть наша матрица симметрична относительно главной диагонали. Благодаря этому мы можем уменьшить объем памяти, который нам нужен для хранения.
С одной стороны объем памяти будет:
Но используя вышеописанный подход получается:
Потому что нижнюю часть матрицы мы можем создать из верхней половины матрицы. Только при условии того, что у нас главная диагональ должна быть пустой, потому что при наличии петель данное правило не работает.
Если граф неориентированный, то, когда мы просуммируем строку или столбец мы узнаем степень рассматриваемой нами вершины.
Если мы используем ориентированный граф, то кое-что меняется.
Здесь отсутствует дублирование между вершинами, так как если вершина 1 соединена с вершиной 2, наоборот соединена она не может быть, так у нас есть направление у ребра.
Возьмем в этот раз ориентированный граф и сделаем матрицу смежности для него:
В виде матрицы:
Если мы работаем со строкой матрицы, то мы имеем элемент из которого выходит ребро, в нашем случаи вершина 1 входит в вершину 2 и 8. Когда мы работаем со столбцом то мы рассматриваем те ребра, которые входят в данную вершину. В вершину 1 ничего не входит, значит матрица верна.
Объем памяти:
Если бы на главной диагонали была бы 1, то есть в графе присутствовала петля, то мы бы работали уже не с простым графом, с каким мы работали до сих пор.
Используя петли мы должны запомнить, что в неориентированном графе петля учитывается дважды, а в ориентированном — единожды.
Матрица инцидентности
Инцидентность – понятие, используемое только в отношении ребра и вершины: две вершины (или два ребра) инцидентными быть не могут.
Матрица (назовем ее I) состоит из n строк которое равно числу вершин графа, и m столбцов, которое равно числу ребер. Таким образом полная матрица имеет размерность n x m. То есть она может быть, как квадратной, так и отличной от нее.
Ячейка в позиции I (i, j) равна 1 тогда, когда вершина инцидентна ребру иначе мы записываем в ячейку 0, такой вариант представления верен для неориентированного графа.
Сразу же иллюстрируем данное правило:
В виде матрицы:
Сумма элементов i-ой строки равна степени вершины.
При ориентированным графе, ячейка I (i, j) равна 1, если вершина V (i) начало дуги E(j) и ячейка I (i, j) равна -1 если вершина V (i) конец дуги E (j), иначе ставится 0.
Ориентированный граф:
В виде матрицы:
Одной из особенностей данной матрицы является то, что в столбце может быть только две ненулевых ячейки. Так как у ребра два конца.
При суммировании строки, ячейки со значением -1, могут складываться только с ячейками, также имеющими значение -1, то же касается и 1, мы можем узнать степень входа и степень выхода из вершины. Допустим при сложении первой вершины, мы узнаем, что из нее исходит 1 ребро и входят два других ребра. Это является еще одной особенностью (при том очень удобной) данной матрицы.
Объем памяти:
Список смежности (инцидентности)
Список смежности подразумевает под собой, то что мы работаем с некоторым списком (массивом). В нем указаны вершины нашего графа. И каждый из них имеет ссылку на смежные с ним вершины.
В виде списка это будет выглядеть так:
Неважно в каком порядке вы расположите ссылку так как вы рассматриваете смежность относительно первой ячейки, все остальные ссылки указывают лишь на связь с ней, а не между собой.
Так как здесь рассматривается смежность, то здесь не обойдется без дублирования вершин. Поэтому сумма длин всех списков считается как:
Объем памяти:
Когда мы работаем с ориентированным графом, то замечаем, что объем задействованной памяти будет меньше, чем при неориентированном (из-за отсутствия дублирования).
В виде списка:
Сумма длин всех списков:
Объем памяти:
Со списком инцидентности все просто. Вместо вершин в список (массив) вы вставляете рёбра и потом делаете ссылки на те вершины, с которыми он связан.
К недостатку списка смежности (инцидентности) относится то что сложно определить наличие конкретного ребра (требуется поиск по списку). А если у вас большой список, то удачи вам и творческих успехов! Поэтому, чтобы работать максимальной отдачей в графе должно быть мало рёбер.
Взвешенность графа
Взвешенный граф — это граф, в котором вместо 1 обозначающее наличие связи между вершинами или связи между вершиной и ребром, хранится вес ребра, то есть определённое число с которым мы будем проводить различные действия.
К примеру, возьмем граф с весами на ребрах:
И сделаем матрицу смежности:
В ячейках просто указываем веса ребра, а в местах где отсутствует связь пишем 0 или -∞.
Более подробно данное определение будет рассмотрено при нахождении поиска кратчайшего пути в графе.
Итак, мы завершили разбор представления графа с помощью матрицы смежности и инцидентности и списка смежности (инцидентности). Это самые известные способы представления графа. В дальнейшем мы будем рассматривать и другие матрицы, и списки, которые в свою очередь будут удобны для представления графа с определёнными особенностями.
Если заметили ошибку или есть предложения пишите в комментарии.
Представление взвешенного графа с помощью матрицы смежности в JavaScript | by Regina Furness
Чтение: 4 мин.
·
22 февраля 2021 г.
Photo by Omar Flores on Unsplash
Недавно я наткнулся на реализацию неориентированного взвешенного графа с использованием матрицы смежности. До этого я привык видеть графы, представленные с помощью списков смежности. Чтобы сохранить внимание к этому блогу, сегодня я буду писать только о представлении взвешенного графа с помощью матрицы смежности и предполагаю, что читатель уже знает, как представлять граф с помощью списка смежности. К концу этого блога ваша цель будет заключаться в том, чтобы вы могли построить Класс Graph , использующий матрицу смежности.
Квадратная матрица
Матрица смежности — это квадратная матрица, которая используется для представления ребер графа. Квадратная матрица представляет собой двумерный массив, массив, который содержит массивы, все равные ему по размеру. Например:
[[0,0,0] [0,0,0] [0,0,0]]
Основной массив содержит 3 массива, которые также имеют длину 3. Это квадратная матрица.
Матрица смежности
Итак, чтобы представить граф как матрицу смежности, мы будем использовать пересечения столбцов и строк для представления ребра. Для невзвешенного графа это пересечение будет просто иметь значение 1, чтобы представить ребро между двумя вершинами. Для взвешенного графика мы просто укажем вес как значение на этом пересечении. Возьмем этот неориентированный взвешенный граф:
Сначала давайте просто посмотрим на это, представленное в виде сетки, чтобы вы могли понять, что я имею в виду, когда говорю «столбец» и «строка».
Вы можете видеть, что неориентированный граф будет симметричным сверху слева направо снизу диагональ. Это означает, что если у нас есть две вершины, i и j, которые соединены ребром, это означает, что matrix[i][j] будет равно matrix[j][i] .
Начнем с конструктора нашего класса.
Отныне весь код будет находиться внутри этого тела класса.
Мы инициализируем его размером нашего будущего графа. Помните, что размер вашего графа должен быть равен количеству вершин в вашем графе.
Теперь нам нужно уметь:
Добавить вершину
Удалить вершину
Добавить ребро
Удалить ребро
Распечатайте нашу матрицу смежности
Давайте начнем с добавления ребра, предполагая, что мы инициализировали наш граф с достаточным пространством для размещения всех наших вершин.
Наши вершины представлены индексами нашей матрицы. Итак, нам просто нужно проверить, что ни одна из них не выходит за пределы нашей матрицы, и что они не являются одной и той же вершиной. После этого мы просто присваиваем весам this.matrix[vertex1][vertex2] и this.matrix[vertex2][vertex1] .
Удаление ребра очень похоже.
Мы проверяем правильность вершин, и если да, то просто сбрасываем их на 0.
Теперь нам нужно добавить вершину в нашу матрицу.
Сначала мы увеличиваем размер, затем запихиваем пустой массив в нашу матрицу. Нам нужно добавить 0 в ранее существовавшие массивы и в то же время заполнить наш новый массив нулями.
Теперь мы можем добавить вершину, поэтому нам нужно иметь возможность удалить вершину.
Здесь все немного сложнее. Сначала мы проверяем правильность заданной вершины (должна быть в пределах матрицы). Затем нам нужно сдвинуть каждый элемент в каждой строке влево на 1, записав вершину, которую мы удаляем. Это позаботится о наших рядах! Нам также нужно сдвинуть каждый элемент вверх на единицу поверх записи столбца, представляющего нашу вершину. Наконец, мы удаляем пустой массив и уменьшаем размер.
Теперь нам просто нужно напечатать нашу матрицу смежности.
Красиво и просто. Очень похоже на то, как мы инициализируем нашу матрицу смежности. Мы просто идем по строкам, добавляя каждый элемент в строку для вывода!
Когда я впервые увидел граф, представленный матрицей смежности, я испугался. Когда я начал программировать, это было не так уж сложно понять. Я обнаружил, что тот факт, что он был ненаправленным, на самом деле упростил задачу. Использование матрицы смежности занимает намного больше места, чем просто использование списка смежности, особенно если ваши ребра разрежены. Однако у него есть преимущество постоянного поиска, чтобы увидеть, есть ли ребро между двумя вершинами. Тем не менее, я рад, что теперь знаю оба наиболее распространенных способа представления графика в JavaScript! 9{-\фракция{1}{2}}
$$
, где $D$ — матрица степеней, а $A$ — матрица смежности. Тогда вроде как делаем
$$
\шляпа{A} X W
$$
где $X$ — данные узла, а $W$ — весовая матрица для создания нового графа.
В чем причина предварительной обработки матрицы смежности с использованием матрицы степеней? Почему мы не можем просто сделать $AXW$?
нейронные сети
граф нейронная сеть
$\endgroup$
3
9Т х}
$$
Это работает, потому что $A$ (и, следовательно, $\tilde A$) симметрична, что является одним из предположений, сформулированных в статье.
Любая обыкновенная дробь имеет следующую форму записи:
pq.. (q≠0).
Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Дробь 3/4 означает, что единицу разделили на 4 части и взяли 3 таких части.
Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби a/b — где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель.
Правильная и неправильная дробь.
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.
Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.
.
.б) десятичная дробь.
Для записи десятичной дроби используют знак «,», отделяющий целую часть от дробной.
Дробные числа, знаменатель которых равен 10, 100, 1000 и т. д., можно записать не только в виде обыкновенных, но и в виде десятичных дробей.
.
.Конечные десятичные дроби
Пример: разделим при помощи калькулятора число 5 на 2. Получим на экране калькулятора число 2,5, состоящее из двух цифр, разделенных десятичным знаком «,». После запятой всего одна цифра «5». То есть после вычисления получена конечная запись.
Примеры конечных десятичных дробей: 45,08; 0,2176; -3,1; и т.д.
Бесконечные периодические десятичные дроби
Пример: разделим при помощи калькулятора число 1 на 3.
Получим на экране калькулятора запись 0,3333333333…….
То есть, если бы ширину экрана на калькуляторе можно было бы продолжать до бесконечности, то и количество «3»-ек продолжалось бы так же до бесконечности. Такую дробь называют бесконечной периодической десятичной дробью с периодом, равным «3» и записывают: 0,(3). В скобках указывается период, с которым «3»-ка после запятой повторяется.
Еще пример: 309,501501501….. Здесь периодически повторяются три цифры «5», «0» и «1». Можно так записать нашу дробь 309,(501).
.
3)Иррациональные числа.
.
Иррациональные числа еще называют бесконечными непериодическими десятичными дробями.
Этот вид чисел может иметь «непредсказуемую» форму, например: √2, e, π, log23 и т.д.
То есть, подобные числа внешне не очень напоминают нам десятичную дробь, но если каждое из них преобразовать или выполнить вычислительную операцию при помощи специального калькулятора, то мы получим знакомую нам запись числа в виде бесконечной (непериодической) десятичной дроби:
√2=1,4142135623095…..
π=3,1415926535…….
Если вы успели заметить, в каждом числе после «,» цифры не повторяются. Это и есть запись бесконечных непериодических десятичных дробей.
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………….
Закрепление изученного материала
Рассмотрим такой пример:
Дано число 2.
К какой группе чисел можно его отнести?
Число 2 можно отнести к натуральным числам.
Помимо этого число 2 можно назвать цифрой.
Число 2 так же относится к целым числам.
И даже к дробным. Если представить его в таком виде, т.е. в виде обыкновенной дроби: 21… Ведь дробная черта в обыкновенной дроби означает действие «деление», а при делении любого числа на «1», число не меняется по своей сути, а меняет лишь внешний вид записи. 21.. является неправильной обыкновенной дробью.
Число 2 можно представить даже в виде десятичной дроби (например, в Excel можно задать формат числа в ячейке с двумя знаками после запятой): 2,00.
.
Рассмотрим еще один пример:
Число 512.. является обыкновенной дробью и входит в группу под названием дробные числа. Но при записи этой дроби использовались числа, которые можно по отдельности назвать как натуральными, так и целыми («5» и «12»). То есть что получается? Получается, что натуральные числа входят в состав целых, а целые включены в группу рациональных.
Наглядно такую конструкцию можно увидеть при помощи кругов Эйлера:
.
………………………………………………………………
………………………………………………………………
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Выберите правильные числовые ответы из предложенных:
Автор Admin На чтение 5 мин Просмотров 329 Опубликовано
Что такое экспонента и с чем её едят, мы разберемся в следующий раз. Сейчас мы разберемся, как где находится экспонента на калькуляторе и как её на калькуляторе считать. Нажимайте на ссылку, калькулятор откроется в новом окне. Приступим к практическим занятиям. Нажимайте на те же кнопочки, что нажимал я и смотрите на результат.
Для начала возведем число е в степень 4. В начале нужно набрать показатель степени. Нажимаем на кнопочку 4. Результат нашего вмешательства в беззаботную жизнь калькулятора можете посмотреть на картинке.
После этого нажимаем на специальную кнопочку экспоненты, обозначенную на калькуляторе е в степени х. Как видно из рисунка, калькулятор нас правильно понял и отреагировал именно так, как нам нужно.
Для вычисления заданного нами примера экспоненты необходимо нажать кнопочку равно.
Всё, мы получили требуемое значение.
е4=54,598
Общий порядок нахождения экспоненты на калькуляторе такой: набираете показатель степени, потом нажимаете специальную кнопку ех и кнопку =, результат готов. Можно поступить наоборот — сперва нажать кнопочку экспоненты ех, после этого ввести значение показателя степени и нажать кнопку равно. Для показателей степени в виде целях чисел или десятичных дробей оба варианта одинаковы. Если же показатель степени задан обыкновенной дробью, то лучше пользоваться вторым способом. Сперва нажимаете кнопку экспоненты, потом вводите числитель дроби, нажимаете кнопку деления, вводите знаменатель дроби и нажимаете кнопку равно. На этой странице мы рассмотрим первый способ.
Для начала вычислим е в первой степени. Собственно, это и будет значение числа е. Напомню, что любое число в первой степени равно самому себе. Порядок нажимания кнопочек пронумерован на картинке красными цифрами.
Мы получили округленное до 14 знаков после запятой значение числа е:
е1=е=2,71828182845905≈2,718
Число е подчиняется всем свойствам степени, как и любое другое число. Результаты возведения его в степень такие же, как у чисел больших единицы. При возведении в степень больше единицы результат будет больше первоначального. Для примера, возведем число е в не целую степень 9,876. Порядок нажимания кнопочек показан красными цифрами, результат виден на картинке.
Если показатель степени меньше единицы но больше нуля, то результат получится меньше первоначального но больше единицы. Это соответствует извлечению корня из числа е. Если на калькуляторе ввести показатель степени 0,5 (что равнозначно 1/2) то мы найдем квадратный корень числа е. Мы для примера возьмем экспоненту в степени 0,123
По логике, дальше следует показатель степени 0. Число е, как и любое другое число в нулевой степени, равняется единице. Это мы знаем и без калькулятора.
е0=1
Теперь переходим к отрицательным показателям степени экспоненты. Знак минус возле степени означает обратное число, то есть единицу, деленную на число е в указанной степени, но уже без знака минус. Умный калькулятор это понимает и без наших подсказок — он отлично справляется с отрицательной степенью. Для начала вычислим е в минус первой степени. Смотрим на картинку.
Мы получили число, обратное числу е:
е-1=1/е1=1/e=0,36787944117144≈0,368
Дальше пробуем добыть экспоненту со степенью меньше минус единицы.
Здесь полученный результат нужно преобразовать в удобоваримый для математиков вид. Делается это так:
е-9,876=1/е9,876=1/e=0,00005139344103≈5,139*10-5
Если после полученного на калькуляторе результата нажать ещё раз на знак равенства, десятичная дробь преобразуется в обычную дробь. Результат этой хитрой операции виден на картинке.
Но этот результат мне не нравится. Одна тысячная почти в два раза больше пяти десятитысячных. Если бы программа с калькулятором была русской, я бы подумал, что эту функцию писал бывший госслужащий, привыкший всё увеличивать в два раза (нужно же откуда-то себе воровать). Остается только предупредить, что и калькулятору полностью доверять нельзя, нужно самому анализировать результат, который он выдает.
В заключение найдем экспоненту с показателем степени больше минус единицы, но меньше нуля.
Теперь попробуем преобразовать результат в обычную дробь.
На этот раз калькулятор выдал более красивый результат. Но я уже ему не верю. Проверим результат преобразования, разделив на калькуляторе числитель на знаменатель. Результат деления записан ниже экспоненты.
Вот теперь можно поверить калькулятору, поскольку погрешность преобразования совсем незначительная. Округление даже до пяти знаков после запятой дает одинаковый результат.
Что делать, если вы пользуетесь виндосовским калькулятором и даже в инженерном варианте нет заветной кнопочки «е в степени икс»? Найдите кнопочку «Inv», рядом с ней есть кнопочка натурального логарифма «ln». Смело нажимайте кнопочку «Inv».
Экспонента на калькуляторе Виндовс картинка 1
После нажатия этой кнопочки, расположенная рядом кнопочка натурального логарифма волшебным образом превратится в кнопочку «число е в степени икс».
Экспонента на калькуляторе Виндовс картинка 2
По замыслу создателей калькулятора, такие превращения натурального логарифма и ежу понятны. Но…
Во-первых. Ёжик должен быть трезвым.
Во-вторых. Ёжик должен быть сообразительным.
В третьих. В памяти ежа на первом месте должны бить свойства натуральных логарифмов, а не какая-то ерунда типа любви, смысла жизни или завтрашнего урока по математике.
Что касается меня. Я редко бываю трезвым — это раз. Иногда я ужасно туплю — это два. Для меня смысл математики гораздо важнее свойств каких-то там логарифмов — это три.
Engineering Scientific Calculator — Electrical…
Этот бесплатный, простой в использовании научный калькулятор можно использовать для любых расчетов, но он специально предназначен для использования инженерами и учеными. С включением множества различных функций, легкий доступ к широкому спектру научных констант. Этот калькулятор оптимизирован как для настольного, так и для мобильного использования, что делает его портативным источником энергии или надежным настольным инструментом.
Основные операции: Даже самый продвинутый научный калькулятор нуждается в основах, чтобы быть полезным — вот наиболее часто используемые и основные функции:
Сложение:
(x + y) Сложение, также известное как суммирование или, в более просторечии, «плюс», используется для суммирования чисел.
Вычитание:
(x — y) Вычитание, знак «минус» или иногда разность, используется для нахождения числового разделения между двумя числами, отсюда и термин «разность».
Умножение:
(x * y) Умножение, произведение или «умножение» иногда обозначается «x», а иногда звездочкой «*».
Деление:
(x / y) Деление, иногда называемое частным, иногда отображается в виде дроби, символа «/» или «÷». Который якобы называется «обелюсом» — кто знал?
Тригонометрические функции: В математике и в различных областях техники тригонометрические функции часто используются для решения различных задач. Это может быть так же просто, как найти неизвестное значение прямоугольного треугольника или вычислить мгновенную мощность, поглощаемую электрическим элементом. Вот тригонометрические функции, с которыми вы столкнетесь, изучая математику и инженерное дело:
Синус
В прямоугольном треугольнике функция синуса может использоваться для связи угла с отношением длины стороны, противоположной углу, и гипотенузы. Функцию синуса можно использовать в этом научном калькуляторе, нажав кнопку «sin».
Косеканс
Функция косеканса является обратной функцией синуса.
Косинус
Функция косинуса — это еще одна тригонометрическая функция, которую можно использовать для связи угла прямоугольного треугольника с отношением длины стороны, прилегающей к углу, и гипотенузы. Его можно использовать в этом научном калькуляторе, нажав кнопку «cos».
Секанс
Функция секанса является обратной функцией косинуса.
Касательная
Функция касательной связывает угол прямоугольного треугольника с отношением длины стороны, противоположной углу, и стороны, прилегающей к углу. Эту функцию можно использовать в этом научном калькуляторе, нажав кнопку «загар».
Котангенс
Функция котангенса является обратной функцией тангенса.
Обратный синус
Тригонометрическую функцию обратного синуса (арксинуса) можно использовать для определения угла значения синуса. Это можно использовать в этом научном калькуляторе, нажав кнопку «asin». Область определения функции обратного синуса составляет от -1 до +1, а диапазон — от -90° до +90°.
Арккосинус
Тригонометрическая функция арккосинуса может использоваться для определения угла значения косинуса. Чтобы использовать эту функцию, просто нажмите кнопку «acos» этого научного калькулятора. Область определения функции арккосинуса точно такая же, как у функции арксинуса, но ее диапазон составляет от 0 до +180°.
Арктангенс
Тригонометрическая функция арктангенса (арктангенса) может использоваться для определения угла значения тангенса из области, охватывающей все действительные числа. Диапазон функции арктангенса составляет от -90° до +90°. Чтобы использовать эту функцию, нажмите кнопку «атан» этого научного калькулятора.
Другие функции:
Воображаемая единица
Всякий раз, когда вы умножаете отрицательное число на отрицательное число, результатом будет положительное число. В частности, любое число в квадрате будет положительным числом, так как это будет либо положительное число, умноженное само на себя, дающее другое положительное число, либо отрицательное число, умноженное само на себя, снова дающее положительное число. Однако иногда вам нужно что-то, что каким-то образом при умножении само на себя дает отрицательное число. Математики назвали это число «9».0099 i », где ( i 2 = -1) Чтобы избежать путаницы с символом электрического тока, в электротехнике часто используют «j» вместо « i ». В калькуляторе просто используйте его, как и любое другое число, хотя вы не можете использовать клавиатуру для его ввода — вместо этого нажмите на выделенное жирным шрифтом поле «i».
Факториал
Факториалы — странные звери, которые появляются не очень часто, но важны, когда они вам нужны. Факториал — это когда вы берете положительное число, умножаете его на следующее меньшее целое число, затем умножаете его на следующее меньшее целое число, пока не получите единицу. Математически это выглядит так:
н! = n * (n — 1) * (n — 2) * … 2 * 1 Это основано исключительно на личном опыте, но мы склонны видеть факториалы в задачах суммирования и рядов — тех эпсилон-задачах суммирования в исчислении, где вы аппроксимируете дифференциалы или интегралы рядами. Но самое странное для нас в факториалах то, что (0! = 1) — странно, не так ли?
Натуральный логарифм
Натуральный логарифм — это просто логарифм, но с определенным основанием, числом «9».0099 e », что составляет около 2,72 (вы можете получить всю константу, используя инструмент констант в верхней части калькулятора). Однако, чтобы понять натуральные логарифмы, вам нужно помнить, что логарифм в основном является обратным показателем степени.
log x (y) = z — это другой способ сказать x z = y
Используя основание e , вы предполагаете, что основание (x в этом примере) равно « e ”:
So ln(y) = z совпадает с log e (y) = z
Несколько важных свойств, которые следует запомнить:
При натуральном логарифме (ln(1) = 0)
Это потому, что (log e ( 1 ) = 0) просто другой способ сказать ( e 0 = 1 )
Но с (ln( e) = 1), тогда и основание, и аргумент равны «e», поэтому мы получаем:
log e ( e ) = 1 или ( e 1 = e)
Мы могли бы заблудиться, углубившись в логарифмы и натуральные логарифмы, но мы остановимся здесь и, надеюсь, этого достаточно, чтобы помочь вам начать работу. x и введите число, которое будет представлять «x». Затем нажмите «=» для получения результата.
Возведение в степень
Y x — это функция, которая возводит число «y» в степень числа «x». Например, пусть «y» равно 2, а «x» равно 3. Если заменить переменные реальными числами, то получится 2 3 , что равно 8. Чтобы использовать эту функцию, введите a сначала число, которое будет представлять «y», и нажмите кнопку «y x ». Затем введите число, которое будет представлять «x», и нажмите кнопку «=», чтобы получить результат. 94 равно 10000.
Подобно тому, как мы говорили выше в натуральных логарифмах:
(log b (x) = y) — это другой способ сказать (b y = x)
Или, как в этом примере:
log 10 (10000) = 4 или 10 4 = 10000
Чтобы использовать функцию логарифмирования этого научного калькулятора, нажмите кнопку «LOG» и введите число. Затем нажмите кнопку = для результата. Функция «LOG» в этом калькуляторе представляет собой десятичный логарифм. База фиксируется на 10. 9Икс».
Отрицательный знак Кнопка отрицательного знака (-) может использоваться для изменения знака числа. Чтобы использовать это, сначала нажмите кнопку «-» и введите число.
Символ полярного угла При работе с векторами комплексное число может быть представлено в полярной форме. Символ полярного угла «∠» может использоваться для обозначения угла.
Квадратный корень
Квадратный корень — это число, которое при умножении само на себя дает квадрат. Например, 3 — это квадратный корень из 9.поскольку, когда 3 умножается само на себя, 3 дает квадрат 9. Чтобы найти квадратный корень числа с помощью этого научного калькулятора, просто нажмите кнопку √, введите число и нажмите кнопку =, чтобы получить результат.
Кнопка очистки
Буква «C» означает очистку, которая очистит весь текущий ввод и память предыдущих действий. Если вы хотите использовать предыдущий ответ в следующем расчете, не используйте эту кнопку. Это не только очистит числа и символы, которые вы ввели для текущего расчета, но также очистит кеш ответов. Однако, если вы хотите убедиться, что ваши вычисления каким-то образом не получают остатки предыдущих вычислений непреднамеренно, это хороший способ сделать это.
Кнопка «Удалить»
Если вы что-то опечатались и хотите удалить только самый последний ввод, используйте кнопку «Удалить», которая обозначена стрелкой, направленной влево, с символом «X» внутри. Это не сотрет память, а будет стирать только один символ за раз. Однако он удалит от самого последнего введенного символа до самого старого введенного символа.
Кнопка «Ответ»
Кнопка «Ответ» (Ответ) — если вы хотите использовать ответ на предыдущий расчет в текущем расчете, вы можете сразу начать расчет с помощью оператора (плюс, минус и т. д.) и предыдущий ответ будет вставлен автоматически, или вы можете вручную нажать кнопку «Ответ», чтобы поместить значение в любом месте уравнения, которое вы хотите.
Кнопка «градусы/радианы»
Для переключения между градусами и радианами в калькуляторе просто щелкните в левом верхнем углу калькулятора, где написано «DEG» или «RAD», и он будет переключаться между ними. Они оба имеют свои сильные и слабые стороны, но при работе с синусоидальными сигналами (такими как сигналы переменного тока) обычно выбирают радианы.
Прямоугольная/полярная кнопка Иногда вам нужно использовать прямоугольную запись, а иногда вы хотите использовать полярную запись. Мы получим это. Чтобы переключиться между ними, где в верхнем левом углу указано REC (прямоугольный или градусы) или POL (полярный или радианы), просто нажмите или щелкните, чтобы переключиться между двумя режимами.
Константы
Мы создали библиотеку констант, чтобы сэкономить ваше время на поиск констант и ввод их вручную! Просто нажмите «Константы» в правом верхнем углу рядом с символом «π». Вы можете либо прокрутить вниз и найти константу вручную, либо использовать панель поиска вверху, чтобы найти искомую константу. Как ни странно, эти константы не являются константами — если у вас есть какие-либо идеи для констант, которых нам не хватает, сообщите нам об этом, и мы сможем их добавить!
Используйте этот калькулятор для сложения, вычитания, умножения и деления чисел в экспоненциальном, электронном или инженерном представлении. Ответы предоставляются в трех форматах: экспоненциальная запись, запись E и инженерная запись. Вы также можете выполнять операции с целыми, целыми и десятичными числами и получать ответы в экспоненциальном представлении.
Если установить флажок, калькулятор автоматически определит количество значащих цифр в ответе. Если вы не отметите этот флажок, ответы могут содержать больше цифр, чем значащие.
Осторожно: См. примечание относительно расчета значащих цифр.
Пример расчетов
Воспользуйтесь приведенными ниже ссылками, чтобы загрузить образец расчета в калькулятор. В каждом примере входные формы разные, но все они дают одинаковые ответы в экспоненциальном представлении и обозначении E.
Стандартная запись
Стандартная запись — это обычный способ записи чисел с запятыми и десятичными знаками или без них. Этот пример вычисления решает задачу сложения 122500 + 3655. Нажмите на ссылку и затем обратитесь к калькулятору выше. Обратите внимание, что входные данные являются стандартными числами записи. Ответы отформатированы в экспоненциальном представлении и обозначении E.
122500 + 3655 = 1,26155 х 10 5
Научное обозначение
В экспоненциальной записи большое число преобразуется в эквивалентное десятичное число от 1 до 10, умноженное на 10 в некоторой степени. Очень маленькие числа преобразуются в эквивалентное десятичное число от 1 до 10, умноженное на 10, возведенное в некоторую отрицательную степень. В этом примере вычисления экспоненциальной записи мы решаем 1,225 × 10 5 + 3,655 × 10 3 :
1,225 × 10 5 + 3,655 × 10 3 = 1,26155 х 10 5
E-нотация
E-нотация также известна как экспоненциальная нотация. Нотация E аналогична научной нотации, где десятичное число от 1 до 10 умножается на 10 в некоторой степени. В обозначении E «умножить на 10, возведенное в степень» заменяется буквой e либо в верхнем, либо в нижнем регистре. Число после «e» указывает, сколько степеней 10. В этом примере вычисления мы добавляем 1,225e5 и 3,655e3:
1,225e5 + 3,655e3 = 1,26155e5
Примечание. Выполнение математических операций со значащими цифрами
В некоторых случаях вам , а не хотят автоматически вычислять значащие цифры. Если в вашем расчете используется константа или точное значение, которое вы можете найти в формуле, не устанавливайте флажок «Автоматическое вычисление».
Например, рассмотрим формулу диаметра круга d = 2r, где диаметр в два раза больше длины радиуса. Если вы измерили радиус 2,35, умножьте на 2, чтобы найти диаметр круга: 2 * 2,35 = 4,70
Если вы используете этот калькулятор для вычислений и отметите поле «автоматический расчет», калькулятор будет читать 2 как одну значащую цифру. Ваш результирующий расчет будет округлен от 4,70 до 5, что явно не является правильным ответом на расчет диаметра d=2r.
Вы можете думать о константах или точных значениях как об имеющих бесконечно много значащих цифр или, по крайней мере, столько же значащих цифр, сколько наименее точное число в вашем вычислении. Используйте соответствующее количество значащих цифр при вводе точных значений в этот калькулятор. В этом примере вы хотите ввести 2,00 в качестве постоянного значения, чтобы оно имело то же количество значащих цифр, что и запись радиуса. Полученный ответ будет 4,70, который имеет 3 значащих цифры.
Дополнительные ресурсы
См. наши
Калькулятор округления значащих цифр для получения дополнительной информации о значащих цифрах.
См.
Конвертер научной нотации для преобразования числа в научную нотацию или нотацию E.
Если вам нужен научный калькулятор, см. наши ресурсы на
научные калькуляторы.
Определить существование треугольника по трем сторонам. Язык Python
С клавиатуры вводятся длины трех отрезков. Определить, можно ли из них составить треугольник. Решение задачи на языке программирования Python
У треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Иначе две стороны просто «лягут» на третью и треугольника не получится.
Пользователь вводит длины трех сторон. Программа должна определять, может ли существовать треугольник при таких длинах. Это значит, необходимо сравнить суммы всех пар сторон с оставшейся третьей стороной. Чтобы треугольник существовал, сумма всегда должна быть больше отдельной стороны или, по крайней мере, не меньше, если учитывать так называемый вырожденный треугольник.
Поскольку всего три стороны, то можно составить три варианта сложения двух сторон: a + b, b + c, a + c. Первую сумму сравниваем с оставшейся стороной c, вторую — с a и третью — с b. Если хотя бы в одном случае сумма окажется не больше третьей стороны, то делается вывод, что треугольник не существует.
print("Стороны:")
a = float(input("a = "))
b = float(input("b = "))
c = float(input("c = "))
if a + b > c and a + c > b and b + c > a:
print("Треугольник существует")
else:
print("Треугольник не существует")
Можно решить задачу сложнее. Если требуется также определить, какая из сторон больше суммы двух других, то решение может быть таким:
print("Длины сторон треугольника:")
a = float(input("a = "))
b = float(input("b = "))
c = float(input("c = "))
flag = ''
if a + b > c:
if a + c > b:
if b + c > a:
print("Треугольник есть")
else:
flag = 'a'
else:
flag = 'b'
else:
flag = 'c'
if flag != '':
print("Треугольника нет")
print("'%s' > суммы других" % flag)
Особого смысла использовать переменную flag здесь нет. Она просто позволяет лишний раз не писать в программе строки, информирующие о том, что треугольник не существует.
Пример выполнения программы:
Длины сторон треугольника:
a = 4
b = 5
c = 10
Треугольника нет
'c' > суммы других
Более изящным решением является использование оператора множественного ветвления языка программирования Python: if-elif-else.
print("Длины сторон треугольника:")
a = float(input("a = "))
b = float(input("b = "))
c = float(input("c = "))
flag = ''
if a + b <= c:
flag = 'c'
elif a + c <= b:
flag = 'b'
elif b + c <= a:
flag = 'a'
else:
print("Треугольник есть")
if flag != '':
print("Треугольника нет")
print("'%s' > суммы других" % flag)
Здесь сравнение происходит от обратного: утверждается, что сумма двух сторон меньше или равна третьей. Если это так (утверждение верно), то треугольника не существует. «Слишком длинная сторона» определяется в зависимости от того, в заголовке какой ветки логическое выражение возвращает истину.
Существующие треугольники — это такие треугольники, существование которых можно доказать с помощью неравенств.
Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1, можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует, иначе он не существует.
Также существование того или иного треугольника можно проверить с помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, значит треугольник существует, иначе он не существует.
Теорема
Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:
Доказательство теоремы
Проведем отрезок CD равный отрезку CB.
△BCD — равнобедренный, значит ∠CBD=∠CDB.
Рассмотрим △ABD: ∠ABD > ∠CBD, следовательно ∠ABD >∠CDB, то AB < AD.
Но AD = AC + CD = AC + CB, поэтому AB < AC + CB, ч.т.д.
Следствия из теоремы
Для любых точек А, В, С, не лежащих на одной прямой справедливы неравенства: AB < AC + BC AC < AB + BC BC < AC + AB
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов.
Теорема о неравенстве треугольника для разности сторон.
Признаки существования треугольника
Если каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, значит треугольник существует.
Если большая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, значит треугольник существует.
Если сумма углов треугольника равна 180°, значит треугольник существует.
Правило поясняется картинками и примерами
Могут ли любые 3 длины сторон образовать треугольник?
Например, могу ли я создать треугольник из сторон длины… скажем, 4, 8 и 3?
Нет! На самом деле это невозможно!
Как вы можете видеть на рисунке ниже, невозможно создать треугольник, длина сторон которого равна
4, 8 и 3
Оказывается, есть некоторые правила, касающиеся
длины сторон треугольников.
Вы не можете просто составить 3 случайных числа и получить
треугольник! Вы можете получить 3 строки, подобные тем, что изображены выше. нельзя соединить в треугольник.
Видео по теореме
Формула
Теорема о неравенстве треугольника утверждает, что сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше, чем
мера третьей стороны.
Примечание: Это правило должно выполняться для всех 3-х условий сторон.
Другими словами, как только вы узнаете, что сумма двух сторон меньше (или равна) меры третьей стороны,
тогда вы знаете, что стороны не составляют
треугольник.
Вы можете поэкспериментировать сами, используя
наш бесплатный онлайн-калькулятор теоремы о неравенстве треугольника
— который позволяет ввести любые три стороны и объясняет, как к ним применима теорема о неравенстве треугольника.
Должен ли я всегда проверять все 3 набора?
НЕТ!
Вам нужно только посмотреть, больше ли две меньшие стороны, чем наибольшая сторона!
Посмотрите на пример выше, проблема была в том, что
4 + 3 (сумма меньших сторон) не больше 10 (большая сторона)
Мы начнем использовать этот ярлык с практической задачи 2 ниже.
Интерактивная демонстрация теоремы
Интерактивная демонстрация ниже показывает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна
превышает длину третьей стороны. Демонстрация также иллюстрирует, что происходит, когда сумма 1 пары сторон
равняется длине третьей стороны — в итоге вы получите прямую линию! Вы не можете сделать треугольник!
В противном случае вы не можете создать треугольник
с 3-х сторон.
А + В > С
6 + 6 > 6
А + С > В
6 + 6 > 6
Б + С > А
6 + 6 > 6
Наведите курсор, чтобы начать демонстрацию
Практические задачи
Проблема 1
Может ли треугольник иметь длины сторон
Сторона 1: 4
Сторона 2: 8
Сторона 3: 2
№
Используйте теорему о неравенстве треугольника
и изучите все 3 комбинации сторон. Как только сумма любых двух сторон меньше третьей стороны
то стороны треугольника не удовлетворяют теореме.
Проблема 2
Может ли треугольник иметь длины сторон
Сторона 1: 5
Сторона 2: 6
Сторона 3: 7
Да
Используйте ярлык и проверьте, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона.
маленький + маленький > большой
потому что 5 + 6 > 7
Проблема 3
Может ли треугольник иметь длины сторон
Сторона 1: 1,2
Сторона 2: 3.1
Сторона 3: 1,6
Нет
Используйте ярлык и проверьте, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона.
маленький + маленький > большой
потому что 1,2 + 1,6 $$\color{Red}{ \ngtr } $$ 3,1
Проблема 4
Может ли треугольник иметь длины сторон
Сторона 1:6
Сторона 2: 8
Сторона 3: 15
Нет
Используйте ярлык и проверьте, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона.
маленький + маленький > большой
потому что 6 + 8 $$\color{Red}{ \ngtr } $$ 16
Больше похоже на Задача 1-4…
Проблема 4.1
Может ли треугольник иметь длины сторон
Сторона 1: 5
Сторона 2: 5
Сторона 3: 10
Нет
Используйте ярлык и проверьте, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона.
маленький + маленький > большой
потому что 5 + 5 $$\color{Red}{ \ngtr } $$ 10
Проблема 4.2
Может ли треугольник иметь длины сторон
Сторона 1: 7
Сторона 2: 9
Сторона 3: 15
Да
Используйте ярлык и проверьте, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона.
маленький + маленький > большой
потому что 7 + 9 > 15
Решайте задачи усерднее
Проблема 5
Две стороны треугольника имеют длины 8 и 4. Найдите все возможные длины третьей стороны.
Вы можете использовать простую формулу, показанную ниже, для решения этих типов проблем:
разница $$< x <$$ сумма $$8 -4 < x < 8+4 $$
Отвечать:
$$4 < х < 12$$
Существует бесконечное количество возможных треугольников, но мы знаем, что сторона должна быть больше 4 и меньше 12.
Одно возможное решение
Вот пример треугольника, неизвестная сторона которого чуть больше 4: .
Другое возможное решение
Вот пример треугольника, неизвестная сторона которого чуть меньше 12: .
Проблема 6
Две стороны треугольника имеют длины 2 и 7.
Найдите все возможные длины третьей стороны.
разница $$< x <$$ сумма $$7 -2 < х < 7+2$$
Отвечать:
$$5 < х < 9$$
Проблема 7
Две стороны треугольника имеют длины 12 и 5. Найдите все возможные длины третьей стороны.
разница $$< x <$$ сумма $12 -5 < x < 12 + 5$$
Отвечать:
$$7 < х < 17$$
Расчет теоремы о неравенстве треугольника
Неоднозначный случай — тригонометрия
Как узнать, когда использовать неоднозначный случай при нахождении возможных длин треугольников?
Как указано ниже.
Для тех из вас, кому нужно напоминание, неоднозначный случай возникает, когда кто-то использует закон синусов для определения недостающих мер треугольника, когда заданы две стороны и угол, противолежащий одному из этих углов (SSA). … Если угол A острый и a = h, существует один возможный треугольник
Если угол A острый и a < h, такого треугольника не существует.
Если угол A острый и a = h, существует один возможный треугольник.
Если угол A острый и a > b, существует один возможный треугольник.
Если угол A острый и h < a < b, существуют два возможных треугольника.
Если угол A тупой и a < b или a = b, такого треугольника не существует.
Если угол A тупой и a > b, то такой треугольник существует.
Если у вас есть угловой случай SSA с двумя возможными решениями, как вы можете проверить оба решения, чтобы убедиться, что они верны?
Три числа (#a,b,c#) могут быть длинами трех сторон треугольника тогда и только тогда, когда каждая из них больше разности двух других и меньше суммы двух других.
Как найти второй треугольник в неоднозначном случае?
Как указано ниже.
Если сумма больше 180°, второй угол недействителен. Во-первых, мы знаем, что этот треугольник является кандидатом на неоднозначный случай, поскольку нам даны две стороны и угол не между ними. Нам нужно найти меру угла B, используя закон синусов: если их сумма меньше 180 °, мы знаем, что треугольник может существовать.
Чтобы определить, существует ли второй допустимый угол:
Посмотрите, даны ли вам две стороны и угол не между ними (SSA). Это ситуация, которая может иметь 2 возможных ответа.
Найдите значение неизвестного угла.
Как только вы найдете значение своего угла, вычтите его из 180°, чтобы найти возможный второй угол.
Добавьте новый угол к исходному углу. Если их сумма меньше 180°, у вас есть два правильных ответа. Если сумма больше 180°, то второй угол недействителен.
Если уже задан один тупой угол, он не может иметь второй набор значений.