Рубрика: Разное

Калькулятор интерполяции — Найти точку интерполяции

Онлайн-калькулятор интерполяции помогает найти интерполированные значения для точек данных на линии или кривой. Калькулятор отображает интерполированную точку на линии и показывает пошаговое решение с использованием формулы линейной интерполяции.

Просто прочтите контекст, чтобы получить общее представление о том, как выполнять интерполяцию, ее формулу и некоторые стандартные термины, которые помогают понять интерполяцию.

Что такое линейная интерполяция в математике?

интерполяция калькулятор – это метод создания новых точек данных в уже известном дискретном наборе точек данных. В этой математической процедуре некоторые исходные точки данных могут быть интерполированы для создания простой и новой функции, которая будет близка к исходным данным. Эта интеграция нового значения называется интерполяцией. Другими словами, мы также можем сказать, что линейный интерполянт – это прямая линия, которая существует между двумя распознанными координатными точками (x0, y0) и (x1, y1). Вы можете легко найти значение интерполяции между двумя координатами на прямой с помощью калькулятор интерполяции.

Формула линейной интерполяции:

Формула линейной интерполяции:

$$ y = y1 + ((x – x1) / (x2 – x1)) * (y2 – y1) $$

В этом уравнении интерполяции:

• X = известное значение,
• y = неизвестное значение,
• x1 и y1 = координаты, которые ниже известного значения x
• x2 и y2 = координаты выше значения x.

Кроме того, интерполяция онлайн калькулятор уклона помогает найти точки уклона или уклона A (x1, y1) и B (y1, y2) в декартовой координатной плоскости.

Пример1:

Если заданными точками данных являются (2, 4) и (6, 8), как вы рассчитаете значение y, когда x = 2.

На первом этапе мы извлечем координаты заданных точек данных.

$$ x1 = 2 $$

$$ y1 = 4 $$

$$ x2 = 6 $$

$$ y2 = 8 $$

На втором этапе мы возьмем следующие уравнения, чтобы получить значения m, а затем y

• \ (m = y2 – y1 / x2 − x1 \) = уравнение 1
• \ (y = y1 + m * (x – x1) \) = уравнение 2
• Чтобы вычислить значение m, поместите значения в уравнение 1, \ (= m = 8−4 / 6−2 = 1 \)
• Теперь у нас есть значение m, поэтому мы воспользуемся уравнением 2, чтобы найти значение y. 2 \) в заданной строке, пока заданные данные

  «$$ x1 = 4, y1 = 6, x2 = 8, x3 = 12, y3 = 14 $$».

  Решение:

  Поскольку у нас есть линейное интерполяционное уравнение:

  $$ y_2 = (x_2 – x_1) x (y_3- y_1) / (x_3 – x_1) + y_1 $$

  Пошаговое решение для нахождения y2 будет таким, как если бы вышеприведенное уравнение было следующим:

  $$ y_2 = (x_3 − x_2) x (y_3 − y_1) / (x_3 − x_2) + y_3 $$

  $$ y_2 = (12−8) x (14−6) / (12−8) + 14 $$

  $$ y_2 = (4) x (8) / (4) + 14 $$

  $$ y_2 = (32) / (4) + 14 $$

  $$ y_2 = 8 + 14 $$

  $$ y_2 = 22 $$

  Как работает калькулятор интерполяции линейной?

  Вот как работает онлайн-калькулятор для вычисления линейных интерполированных значений.

  Вход:

  • Введите 5 различных точек данных, чтобы найти линейное интерполированное значение конкретной точки и выполнить интерполяцию.
  • Нажмите кнопку “Рассчитать”

  Выход:

  Онлайн-калькулятор интерполяции предоставит вам следующие результаты:

  • Новое интерполированное значение будет отображаться в той точке, где мы хотим провести интерполяцию.
  • Этот интерполятор нанесет точку интерполяции на линию.
  • Точки входных данных и формула линейной интерполяции
  • Это даст вам подробное пошаговое решение для вычисленного интерполированного значения.

  Часто задаваемые вопросы (FAQ):

  Какой метод можно использовать в любом вопросе интерполяции?

  Обычно мы используем метод интерполяции калькулятор полиномов. Причины использования полиномов:

  • Их легко оценить
  • Дифференциация и интеграция просты.

  Это называется полиномиальной интерполяцией.

  Когда следует использовать интерполяцию?

  Как мы уже знаем, с помощью интерполяции мы можем найти неизвестные точки, поэтому ее можно использовать всякий раз, когда нам нужно предсказать неизвестные значения для любых данных географических точек. Это полезно для прогнозирования осадков, полученных в результате концентраций химических веществ, оценки уровней шума и т. Д.

  Какой метод интерполяции лучший?

  Интерполяция с обратным взвешиванием по расстоянию (IDW) считается одним из лучших методов для достижения лучших результатов, чем любой другой метод интерполяции калькулятор.

  Кригинг – это точная интерполяция?

  Методика интерполяция калькулятор обычно связана с точной интерполяцией. Все предсказания Кригинга могут постепенно меняться в космосе. Они будут меняться после того, как попадут в место, где были собраны данные. В этот момент происходит «скачок» прогноза к наиболее точному значению, которое было измерено первым. Однако для быстрых и точных прогнозов можно использовать интерполятор.

  интерполяция онлайн калькулятор момент:

  Благодаря калькулятор интерполяции линейной для поиска неизвестной точки данных для заданных координат и построения точки на графиках. Кроме того, этот инструмент показывает формулу, которая используется для выполнения требований, с пошаговыми расчетами для облегчения конечных пользователей в кратчайшие сроки. Он обеспечивает бесплатную поддержку в учебных и образовательных целях. Поэтому давайте интерполяция калькулятор найти ответ, поместив известную точку данных в этот интерполятор!

  Other Languages: Linear Interpolation Calculator, Kalkulator Interpolasi, Interpolacja Kalkulator, Interpolation Rechner, Interpolasyon Hesaplama, 補間計算, Calculadora De Interpolação, Calcul Interpolation Linéaire, Interpolar Calculadora, Calcolo Interpolazione Lineare, Lineární Interpolace Výpočet, حاسبة الاستيفاء, Interpolointi Laskin.

  соединяем точки так, чтобы было красиво / Хабр

  Как построить график по n точкам? Самое простое — отметить их маркерами на координатной сетке. Однако для наглядности их хочется соединить, чтобы получить легко читаемую линию. Соединять точки проще всего отрезками прямых. Но график-ломаная читается довольно тяжело: взгляд цепляется за углы, а не скользит вдоль линии. Да и выглядят изломы не очень красиво. Получается, что кроме ломаных нужно уметь строить и кривые. Однако тут нужно быть осторожным, чтобы не получилось вот такого:

  Немного матчасти

  Восстановление промежуточных значений функции, которая в данном случае задана таблично в виде точек P₁&nbsp…&nbspP_n, называется интерполяцией. Есть множество способов интерполяции, но все они могут быть сведены к тому, что надо найти n&nbsp–&nbsp1 функцию для расчёта промежуточных точек на соответствующих сегментах. При этом заданные точки обязательно должны быть вычислимы через соответствующие функции. На основе этого и может быть построен график:

  Функции f_i могут быть самыми разными, но чаще всего используют полиномы некоторой степени. В этом случае итоговая интерполирующая функция (кусочно заданная на промежутках, ограниченных точками P_i) называется сплайном.

  В разных инструментах для построения графиков — редакторах и библиотеках — задача «красивой интерполяции» решена по-разному. В конце статьи будет небольшой обзор существующих вариантов. Почему в конце? Чтобы после ряда приведённых выкладок и размышлений можно было поугадывать, кто из «серьёзных ребят» какие методы использует.

  Ставим опыты

  Самый простой пример — линейная интерполяция, в которой используются полиномы первой степени, а в итоге получается ломаная, соединяющая заданные точки.
  Давайте добавим немного конкретики. Вот набор точек (взяты почти с потолка):

  0 0
  20 0
  45 -47
  53 335
  57 26
  62 387
  74 104
  89 0
  95 100
  100 0
  

  Результат линейной интерполяции этих точек выглядит так:

  Однако, как отмечалось выше, иногда хочется получить в итоге гладкую кривую.

  Что есть гладкость? Бытовой ответ: отсутствие острых углов. Математический: непрерывность производных. При этом в математике гладкость имеет порядок, равный номеру последней непрерывной производной, и область, на которой эта непрерывность сохраняется. То есть, если функция имеет гладкость порядка 1 на отрезке [a;&nbspb], это означает, что на [a;&nbspb] она имеет непрерывную первую производную, а вот вторая производная уже терпит разрыв в каких-то точках.
  У сплайна в контексте гладкости есть понятие дефекта. Дефект сплайна — это разность между его степенью и его гладкостью. Степень сплайна — это максимальная степень использованных в нём полиномов.
  Важно отметить, что «опасными» точками у сплайна (в которых может нарушиться гладкость) являются как раз P_i, то есть точки сочленения сегментов, в которых происходит переход от одного полинома к другому. Все остальные точки «безопасны», ведь у полинома на области его определения нет проблем с непрерывностью производных.
  Чтобы добиться гладкой интерполяции, нужно повысить степень полиномов и подобрать их коэффициенты так, чтобы в граничных точках сохранялась непрерывность производных.

  Традиционно для решения такой задачи используют полиномы третьей степени и добиваются непрерывности первой и второй производной. То, что получается, называют кубическим сплайном дефекта 1. Вот как он выглядит для наших данных:
  

  Кривая, действительно, гладкая. Но если предположить, что это график некоторого процесса или явления, который нужно показать заинтересованному лицу, то такой метод, скорее всего, не подходит. Проблема в ложных экстремумах. Появились они из-за слишком сильного искривления, которое было призвано обеспечить гладкость интерполяционной функции. Но зрителю такое поведение совсем не кстати, ведь он оказывается обманут относительно пиковых значений функции. А ради наглядной визуализации этих значений, собственно, всё и затевалось.
  Так что надо искать другие решения.

  Другое традиционное решение, кроме кубических сплайнов дефекта 1 — полиномы Лагранжа. Это полиномы степени n&nbsp–&nbsp1, принимающие заданные значения в заданных точках. То есть членения на сегменты здесь не происходит, вся последовательность описывается одним полиномом.
  Но вот что получается:
  

  Гладкость, конечно, присутствует, но наглядность пострадала так сильно, что… пожалуй, стоит поискать другие методы. На некоторых наборах данных результат выходит нормальный, но в общем случае ошибка относительно линейной интерполяции (и, соответственно, ложные экстремумы) может получаться слишком большой — из-за того, что тут всего один полином на все сегменты.

  В компьютерной графике очень широко применяются кривые Безье, представленные полиномами k-й степени.
  Они не являются интерполирующими, так как из k&nbsp+&nbsp1 точек, участвующих в построении, итоговая кривая проходит лишь через первую и последнюю. Остальные k&nbsp–&nbsp1 точек играют роль своего рода «гравитационных центров», притягивающих к себе кривую.
  Вот пример кубической кривой Безье:
  

  Как это можно использовать для интерполяции? На основе этих кривых тоже можно построить сплайн. То есть на каждом сегменте сплайна будет своя кривая Безье k-й степени (кстати, k&nbsp=&nbsp1 даёт линейную интерполяцию). И вопрос только в том, какое k взять и как найти k&nbsp–&nbsp1 промежуточную точку.
  Здесь бесконечно много вариантов (поскольку k ничем не ограничено), однако мы рассмотрим классический: k&nbsp=&nbsp3.
  Чтобы итоговая кривая была гладкой, нужно добиться дефекта 1 для составляемого сплайна, то есть сохранения непрерывности первой и второй производных в точках сочленения сегментов (P_i), как это делается в классическом варианте кубического сплайна.
  Решение этой задачи подробно (с исходным кодом) рассмотрено здесь.
  Вот что получится на нашем тестовом наборе:
  

  Стало лучше: ложные экстремумы всё ещё есть, но хотя бы не так сильно отличаются от реальных.

  Думаем и экспериментируем

  Можно попробовать ослабить условие гладкости: потребовать дефект 2, а не 1, то есть сохранить непрерывность одной только первой производной.
  Достаточное условие достижения дефекта 2 в том, что промежуточные контрольные точки кубической кривой Безье, смежные с заданной точкой интерполируемой последовательности, лежат с этой точкой на одной прямой и на одинаковом расстоянии:

  В качестве прямых, на которых лежат точки C_{i&nbsp–&nbsp1}⁽²⁾, P_i и C_i⁽¹⁾, целесообразно взять касательные к графику интерполируемой функции в точках P_i. Это гарантирует отсутствие ложных экстремумов, так как кривая Безье оказывается ограниченной ломаной, построенной на её контрольных точках (если эта ломаная не имеет самопересечений).

  Методом проб и ошибок эвристика для расчёта расстояния от точки интерполируемой последовательности до промежуточной контрольной получилась такой:
  

  Эвристика 1
  
  Первая и последняя промежуточные контрольные точки равны первой и последней точке графика соответственно (точки C₁⁽¹⁾ и C_{n&nbsp–&nbsp1}⁽²⁾ совпадают с точками P₁ и P_n соответственно).
  В этом случае получается вот такая кривая:

  Как видно, ложных экстремумов уже нет. Однако если сравнивать с линейной интерполяцией, местами ошибка очень большая. Можно сделать её ещё меньше, но тут в ход пойдут ещё более хитрые эвристики.

  К текущему варианту мы пришли, уменьшив гладкость на один порядок. Можно сделать это ещё раз: пусть сплайн будет иметь дефект 3. По факту, тем самым формально функция не будет гладкой вообще: даже первая производная может терпеть разрывы. Но если рвать её аккуратно, визуально ничего страшного не произойдёт.
  Отказываемся от требования равенства расстояний от точки P_i до точек C_{i&nbsp–&nbsp1}⁽²⁾ и C_i⁽¹⁾, но при этом сохраняем их все лежащими на одной прямой:
  

  Эвристика для вычисления расстояний будет такой:
  

  Эвристика 2

  Расчёт l₁ и l₂ такой же, как в «эвристике 1».
  При этом, однако, стоит ещё проверять, не совпали ли точки P_i и P_{i&nbsp+&nbsp1} по ординате, и, если совпали, полагать l₁&nbsp=&nbspl₂&nbsp=&nbsp0. Это защитит от «вспухания» графика на плоских отрезках (что тоже немаловажно с точки зрения правдивого отображения данных).
  

  Результат получается такой:

  В результате на шестом сегменте ошибка уменьшилась, а на седьмом — увеличилась: кривизна у Безье на нём оказалась больше, чем хотелось бы. Исправить ситуацию можно, принудительно уменьшив кривизну и тем самым «прижав» Безье ближе к отрезку прямой, которая соединяет граничные точки сегмента. Для этого используется следующая эвристика:
  

  Эвристика 3

  Если абсцисса точки пересечения касательных в точках P_i(x_i,&nbspy_i) и P_{i&nbsp+&nbsp1}(x_{i&nbsp+&nbsp1},&nbspy_{i&nbsp+&nbsp1}) лежит в отрезке [x_i;&nbspx_{i&nbsp+&nbsp1}], то l₁ либо l₂ полагаем равным нулю. В том случае, если касательная в точке P_i направлена вверх, нулю полагаем максимальное из l₁ и l₂, если вниз — минимальное.
  

  Результат следующий:

  На этом было принято решение признать цель достигнутой.
  Может быть, кому-то пригодится код.

  А как люди-то делают?

  Обещанный обзор. Конечно, перед решением задачи мы посмотрели, кто чем может похвастаться, а уже потом начали разбираться, как сделать самим и по возможности лучше. Но вот как только сделали, не без удовольствия ещё раз прошлись по доступным инструментам и сравнили их результаты с плодами наших экспериментов. Итак, поехали.

  MS Excel

  
  

  Это очень похоже на рассмотренный выше сплайн дефекта 1, основанный на кривых Безье. Правда, в отличие от него в чистом виде, тут всего два ложных экстремума — первый и второй сегменты (у нас было четыре). Видимо, к классическому поиску промежуточных контрольных точек тут добавляются ещё какие-то эвристики. Но ото всех ложных экстремумов они не спасли.

  LibreOffice Calc

  
  

  В настройках это названо кубическим сплайном. Очевидно, он тоже основан на Безье, и вот тут уже точная копия нашего результата: все четыре ложных экстремума на месте.

  Есть там ещё один тип интерполяции, который мы тут не рассматривали: B-сплайн. Но для нашей задачи он явно не подходит, так как даёт вот такой результат 🙂
  

  Highcharts, одна из самых популярных JS-библиотек для построения диаграмм

  
  

  Тут налицо «метод касательных» в варианте равенства расстояний от точки интерполируемой последовательности до промежуточных контрольных. Ложных экстремумов нет, зато есть сравнительно большая ошибка относительно линейной интерполяции (седьмой сегмент).

  amCharts, ещё одна популярная JS-библиотека

  Картина очень похожа на экселевскую, те же два ложных экстремума в тех же местах.

  Coreplot, самая популярная библиотека построения графиков для iOS и OS X

  
  

  Есть ложные экстремумы и видно, что используется сплайн дефекта 1 на основе Безье.
  Библиотека открытая, так что можно посмотреть в код и убедиться в этом.

  aChartEngine, вроде как самая популярная библиотека построения графиков для Android

  
  

  Больше всего похоже на кривую Безье степени n&nbsp–&nbsp1, хотя в самой библиотеке график называется «cubic line». Странно! Как бы то ни было, тут не только присутствуют ложные экстремумы, но и в принципе не выполняются условия интерполяции.

  Вместо заключения

  В конечном счёте получается, что из «больших ребят» лучше всех проблему решили Highcharts. Но метод, описанный в этой статье, обеспечивает ещё меньшую ошибку относительно линейной интерполяции.
  Вообще, заняться этим пришлось по просьбе покупателей, которые зарепортили нам «острые углы» в качестве бага в нашем движке диаграмм. Будем рады, если описанный опыт кому-то пригодится.

  Калькулятор формулы уравнения линейной интерполяции

  Инженерное дело — формула интерполяции

  ---

  Чтобы интерполировать значение y ₂ :
  x ₁ , x ₃ , y ₁ и y ₃ необходимо ввести/скопировать из таблицы.
  x ₂ определяет точку для выполнения интерполяции.
  y ₂ — интерполированное значение и решение.

  х 1	у 1
  x 2	y 2
  x 9000 6 3	y 3

  ---

  ---

  Ввод:

  ---

  Решение:

  y ₂

  = НЕ РАСЧЕТНО

  ---

  Изменить уравнение или формулу
  Выберите для решения другого неизвестного

  	линейная интерполяция одиночный интерполятор
  	билинейная интерполяция двойная интерполяция

  ---

  Что такое линейная интерполяция?

  Линейная интерполяция — это математический метод, используемый для оценки неизвестного значения между двумя известными точками данных на прямой линии, при условии постоянной скорости изменения между точками и линейной функции, соединяющей их.

  Аппроксимация кривой, с другой стороны, представляет собой более широкий процесс построения кривой или математической функции, которая наилучшим образом соответствует ряду точек данных. Например, линейную интерполяцию можно рассматривать как простую форму подбора кривой, когда кривая представляет собой прямую линию.

  ---

  Почему это необходимо?

  Линейная интерполяция и подгонка кривых необходимы, поскольку они обеспечивают эффективные способы оценки значений в наборе данных, когда точные данные недоступны, анализа тенденций данных и создания графических представлений данных. Эти методы имеют решающее значение для аппроксимации, анализа данных и визуализации.

  ---

  Уравнение линейной интерполяции

  Уравнение линейной интерполяции определяется как:

  y = y1 + (x — x1) * ((y2 — y1) / (x2 — x1))

  где (x1, y1) и (x2, y2) — известные точки данных, x — значение x неизвестной точки, а y — значение y неизвестной точки.

  ---

  Как решить:

  Чтобы найти y с помощью линейной интерполяции, выполните следующие действия:

  • Определите две известные точки данных (x1, y1) и (x2, y2), окружающие значение x, для которых вы хотите оценить значение y.
  • Подставить известные значения в уравнение линейной интерполяции.
  • Решите для y.

  ---

  Распространенные ошибки:

  • Экстраполяция за пределы известных точек данных может привести к неточным оценкам.
  • Использование линейной интерполяции для нелинейных наборов данных приводит к плохим приближениям.
  • Непроверка допущений о постоянной скорости изменения и линейности.
  • Использование только интерполяции при наличии более точных методов или данных.
  • Неверная интерпретация результатов, например предположение, что интерполированное значение равно точному значению.
  • Чувствительность к выбросам и экстремальным значениям в наборе данных.

  ---

  Области применения:

  • Компьютерная графика и обработка изображений
  • Финансы (например, расчет процентных ставок)
  • Инжиниринг (например, оценка температуры и давления)
  • Географические информационные системы (ГИС) и картография
  • Медицинская визуализация
  • Разработка видеоигр
  • Прогноз погоды
  • Обработка аудиосигнала
  • Компьютерное проектирование (САПР)
  • Наука о данных и аналитика

  ---

  Другие типы интерполяции:

  • Полиномиальная интерполяция
  • Сплайн-интерполяция (например, кубический и B-сплайн)
  • Интерполяция Hermite
  • Рациональная интерполяция
  • Интерполяция ближайшего соседа

  ---

  Калькулятор интерполяции — Примеры, онлайн-калькулятор интерполяции

  Калькулятор интерполяции помогает вычислить интерполированное значение для заданных координат. Интерполяция — это процесс поиска нового значения функции, когда мы уже знаем любые два значения.

  Что такое интерполяционный калькулятор?

  Калькулятор интерполяции — это онлайн-инструмент, который помогает вычислить интерполированное значение y для линейной функции, когда нам заданы определенные координаты. Формула линейной интерполяции используется для нахождения нового значения функции. Чтобы использовать калькулятор интерполяции введите значения в поля ввода.

  Калькулятор интерполяции

  ПРИМЕЧАНИЕ. Введите значения не более двух цифр.

  Как пользоваться калькулятором интерполяции?

  Чтобы найти значение интерполяции с помощью онлайн-калькулятора интерполяции, следуйте инструкциям ниже:

  • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору интерполяции Cuemath.
  • Шаг 2: Введите координаты в указанные поля ввода.
  • Шаг 3:  Нажмите «Рассчитать» , чтобы найти интерполированное значение для заданных координат.
  • Шаг 4:  Нажмите «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

  Как работает калькулятор интерполяции?

  Когда мы хотим оценить значение функции между любыми двумя точками, мы используем метод интерполяции. Интерполяция – это метод, который используется для поиска нового значения между двумя точками на кривой заданной функции. Предположим, нам известны координаты двух точек (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) и (\(x_{2}\), \(y_{2}\)). Мы также знаем точку, в которой должна быть выполнена интерполяция. Это обозначается х. Тогда формула для линейной интерполяции задается следующим образом:

  Линейная интерполяция(y) = \(y_{1} + (x — x_{1})\frac{(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}}\ )

  Здесь y — интерполированное значение. Мы можем подставить данные значения в вышеупомянутое уравнение, чтобы определить интерполированное значение y.

  Линейная интерполяция используется для прогнозирования данных, предсказания фондового рынка и многих других научных приложений. Линейная интерполяция — это метод подгонки кривой при работе с линейными полиномами. Его можно использовать для построения новых точек данных в пределах некоторых известных точек данных.

  Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

  Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

  Запись на бесплатный пробный урок

  Решенные примеры на калькуляторе интерполяции

  Пример 1:

  Найдите интерполированное значение y при x = 2, если задано некоторое множество значений (-2, 3), (4, 6). Проверьте это с помощью онлайн-калькулятора интерполяции.

  Решение:

  Используя формулу интерполяции, \(y_{1} + (x — x_{1})\frac{(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{ 1}}\)

  Дано: x = 2, x ₁  = -2, y ₁  = 3, x ₂  = 4 , y ₂  = 6

  9000 2 у = 3 + (2 — (-2)) (6 — 3) / (4 — (-2))

  y = 3 + 4 × (-3 /-6)

  y = 5

  Пример 2:

  Найдите интерполированное значение y при x = -3, если задан некоторый набор значений (5, 3,5), (10, 6).

Линейные и квадратные уравнения. | Образовательная социальная сеть

проверочный тест по теме: «Решение линейных уравнений»                 Вариант 1.

1. -6х – 4 = -9х + 11

       1) 3      2) 12         3) 5           4) 1

2. 6 – 5х = 2х +5

       1) 8      2) 7           3)         4)

3. 10(х – 9) = 7

       1) 9,7    2) 0,87      3)         4) -0,97

4. 5(2х + 4) = 6х – 10   Ответ: ______
5. 7(-3 + х) – 2х = -6    Ответ: ______
6. 2(х — 3) — 5 = 4х        Ответ: ______
7. -5 (7 – х) + 2х = -7   Ответ: ______
8.                    Ответ: ______ 
9.      Ответ: ______
10. 9 + 3(1 – 2х) = 6х – 4     Ответ: ______
11.      Ответ: ______
12.                        Ответ: ______   
13.      Ответ: ______

14) 3 – 3(х + 2) = 5 — 5х                     Ответ: ______ 

 15) 1 + 8х +3(5 – х) = -4х – 2           Ответ: ______   

16) -10х – 6(-1 + 6х) = -6х – 4          Ответ: ______

Проверочный тест по теме: «Решение линейных уравнений»                     Вариант 2.

1. 10х + 4 = 7х + 19

      1) 1          2) -5          3) 12       4) 5

2.  9 – 6х = 8х + 7

     1)         2)           3) 1          4) — 5  

3. 5(х + 2) = 1

     1) 1,8        2)        3) -4        4) -1,8

4. 7(2х + 3) = 12х + 11        Ответ: ______
5. 7(-4 + х) + 3х = 4            Ответ: ______
6. 2(х + 7) – 9 = -2х             Ответ: ______
7. -3 (5 – х) = 11 + 2х          Ответ: ______ 
8.                       Ответ: ______
9.              Ответ: ______
10.          Ответ: ______       
11.         Ответ: ______
12.                             Ответ: ______
13.    Ответ: _____     
14. -3 + 4( х – 1) = 5 – 2х                 Ответ: _____ 
15. 2х – 3 + 2(х — 1) = 3х – 11          Ответ: _____
16. 9х – 7(-10 — 3х) = х — 17             Ответ: ______ 

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение линейных  уравнений».

Вариант 1.

1) 3

2)

3)  1

4) – 7, 5

5) 3

6) – 5,5

7) 4

8) – 0,6

9) — 7

10) 1,75

11) – 1,5

12)

13) 7

14) 4

15) – 2

16) 0,25

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение линейных уравнений».

Вариант 2.

1) 4

2) 2

3) 4

4) – 5

5) 3,2

6) – 1,25

7) 26

8) – 3

9) 1,8

10) 3

11) 2

12)

13)

14) 2

15) – 6

16) – 3

Проверочный тест по теме: «Решение квадратных уравнений»

Вариант 1.

1) Решите уравнение: х2 + 4х = 0

     1) 0; 4    2) 4        3) 0; -4        4) 1; -4      

2) Решите уравнение: 1 – 9у2= 0

Ответ: ________

3) Решите уравнение:  –у2 + 3 = 0

Ответ: ________

4) Решите уравнение:  х2 – 7х + 12 = 0

   1) -3; 4   2) -3; -4     3) 3; -4      4) 3; 4

5) Найдите наименьший корень уравнения:

     у2 + 8у + 15 = 0

Ответ: _______

6) Решите уравнение:   2х2 – 7х + 5 = 0

Ответ: _______

7) Найдите сумму корней уравнения:

    х2 – 13х + 40 = 0

Ответ: ________

8) Найдите наибольший корень уравнения:

    х2 = -15х – 56

Ответ: ________

9) Найдите произведение корней уравнения:

    х2 + 16х = — 63

Ответ: ________

10) Соотнесите квадратные уравнения и их корни:

 а) х2 + 3х -4 = 0        б) х2 – 9 = 0        в) х2 — 10х + 25 =0

1) х1=-3, х2 = 3          2) х = 5      

3) х1=-4, х2= 1           4) нет корней

Ответ:

11) Найдите корни  уравнения:  4х +1= — 4х2

Ответ: ________

12) Решите уравнение:  

Ответ: ________

13) Решите уравнение: 5(х – 2) = (3х +2)(х – 2)

Ответ: ________

14) Решите уравнение:

Ответ: ________

Проверочный тест по теме: «Решение квадратных уравнений»

Вариант 2.

1) Решите уравнение:  3х2 — х = 0

    1) —    2) 0; 3    3) 0; 1     4)

2) Решите уравнение: 1 – 16у2= 0

Ответ: ____

3) Решите уравнение:  –у2 + 8 = 0

Ответ:_______

4) Решите уравнение: х2 — 8х + 15 = 0

   1) 3; 5     2) -3; -5     3) -3; 5      4) 3; -5

5) Найдите наибольший корень уравнения:

    2х2 + 3х + 1 = 0

Ответ: ________

6)Решите уравнение:  4х2 — 7х + 3 = 0

Ответ: ________

7) Найдите сумму корней уравнения:

    х2 – 17х + 42 =0

Ответ: ________

8) Найдите наименьший корень уравнения:

    х2 = 7х + 18

Ответ: ________

9) Найдите произведение корней уравнения:

    х2 + 9х = — 14

Ответ: ________

10) Соотнесите квадратные уравнения и их корни:

 а) х2 — х — 2 = 0        б) х2 – х = 0        в) х2 + 25 =0

1) х1=-1, х2 = 1          2) х1 = 0, х2 = 1      

3) х1=-1, х2= 2           4) нет корней

Ответ:

11) Найдите корни уравнения:  1 +4у = 5у2

Ответ: ________

12) Решите уравнение:  

Ответ: ________

13) Решите уравнение:  (х + 3)2 – 16 = (1 – 2х)2

Ответ: ________

14) Решите уравнение:  

Ответ: ________

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение квадратных  уравнений».

Вариант 1.

1) 3

2)

3)

4) 4

5) -5

6) 1;  2,5

7) 13

8) -7

9) 63

10)

11)  -0,5

12)  -0,75;   2,5

13) 1; 2

14) -4,8;  2

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение квадратных  уравнений».

Вариант 2.

1) 4

2) -0,25; 0,25

3)

4) 1

5) -0,5

6) 0,75;  1

7) 17

8) -2

9) 14

10)  

11) -0,2;  1

12) -0,25;  

13)

14) -0,8;  3

Линейные уравнения, квадратные уравнения и неравенства: как решать

Данную статью могу порекомендовать ученикам 8-9 классов. 2+3x-4>0 \)     D<0        -2<0     и у неравенства опять нет решений.

Кстати, подобное задание очень любят составители ОГЭ по математике.

Надеюсь, что статья оказалась полезной. Не делайте глупых ошибок!

Автор: Ольга Лардыго

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Системы линейных и квадратных уравнений

(см. также Системы линейных и квадратных уравнений)

A Систему из этих двух уравнений можно решить (найти, где они пересекаются), либо:

• Использование алгебры
• Или Графически , как узнаем!

Как решать графически

Легко! Постройте оба уравнения и посмотрите, где они пересекаются!

Построение уравнений

Мы можем построить их вручную или использовать такой инструмент, как График функций.

Чтобы нарисовать их вручную:

• убедитесь, что оба уравнения имеют форму «y=»
• выберите некоторые значения x, которые, как мы надеемся, будут близки к пересечению двух уравнений
• вычислить значения y для этих значений x
• нанесите точки и посмотрите!

Выбор места для построения

Но какие значения мы должны построить? Зная центр поможет!

Возьмем квадратичную формулу и проигнорируем все после ±, получим центральное значение x:

Затем выберите несколько значений x с обеих сторон и рассчитайте значения y, например:

Пример: Решите эти два уравнения графически с точностью до 1 знака после запятой:

• y = x ² − 4x + 5
• у = х + 2

Найдите центральное значение X:

Квадратное уравнение: y = x ² − 4x + 5 , поэтому a = 1, b = −4 и c = 5

Центральный x = −b 2a = −(−4) 2×1 = 4 2 = 2

Теперь вычислите значения около x=2

(Мы вычисляем только первую и последнюю часть линейного уравнения, так как это все, что нам нужно для построения графика. )

Теперь нанесите их на график:

Мы можем видеть, что они пересекаются в точках около x = 0,7 и около x = 4,3

Выполним вычисления для этих значений:

Да, они рядом.

До 1 знака после запятой две точки: (0,7, 2,8) и (4,3, 6,2)

Не может быть двух решений!

Возможны три случая:

• Нет действительного решения (возникает, когда они никогда не пересекаются)
• Одно действительное решение (когда прямая только касается квадрата)
• Два реальных решения (как в примере выше)

Время для другого примера:

Пример: Решите эти два уравнения графически:

• 4y − 8x = −40
• у — х ² = -9х + 21

Как мы их рисуем? Они не в формате «y=»!

Сначала преобразуйте оба уравнения в формат «y=»:

Линейное уравнение: 4y − 8x = −40

Прибавь 8x к обеим частям: 4y = 8x − 40

Разделим все на 4: y = 2x − 10

Квадратное уравнение: y − x ² = −9x + 21

Прибавь x ² к обеим частям: y = x ² − 9x + 21

Теперь найдите центральное значение X:

Квадратное уравнение y = x ² − 9x + 21 , поэтому a = 1, b = −9 и c = 21 06 −(−9 ) 2×1 = 9 2 = 4,5

Теперь вычислите значения около x=4,5

Теперь нарисуйте их:

Они никогда не пересекаются! нет решения .

Пример из реальной жизни

Бум!

Пушечное ядро ​​летит по воздуху по параболе:

y = 2 + 0,12x — 0,002x ²

Уменьшите масштаб, затем увеличьте масштаб там, где они пересекаются. Вы должны получить что-то вроде этого:

При достаточном увеличении мы можем найти, что они пересекаются на (25, 3,75)

Круг и линия

Пример: найти точки пересечения числа

• с точностью до 1 знака после запятой
• И прямая 3у — 2х = 6

Окружность

«Стандартная форма» уравнения окружности: (x-a) ² + (y-b) ² = r ²

Где (а, б) является центром окружность и r радиус.

Для x ² + y ² = 25 мы можем видеть, что

• a=0 и b=0, поэтому центр находится в точке (0, 0) ,
• и для радиуса r ² = 25 , поэтому r = √25 = 5

Нам не нужно составлять уравнение окружности в форме «y=», так как у нас достаточно информации, чтобы построить окружность.

Линия

Сначала поместите линию в формат «y=»:

Переместите 2x вправо: 3y = 2x + 6

Разделите на 3: y = 2x/3 + 2

• at x = −6 , y = (2/3)( − 6) + 2 = −2
• в х = 6 , у = (2/3)(6) + 2 = 6

А теперь зарисуй их!

Теперь мы можем видеть, что они пересекаются на о (-4,8, -1,2) и (3,0, 4,0)

Точное решение см. Системы линейных и квадратных уравнений

8199, 8200, 8201, 8202, 8203, 8204, 8205, 8206, 8207, 8208

примеров квадратного уравнения | ВашСловарь

• ОПИСАНИЕ

  квадратное уравнение и определение

• ИСТОЧНИК

  Created by Karina Goto для YourDictionary

• РАЗРЕШЕНИЕ

  9 0002 Принадлежит YourDictionary, Copyright YourDictionary 

Что такое квадратное уравнение? Квадратное уравнение является уравнением второй степени, то есть оно содержит по крайней мере один член, возведенный в квадрат. Стандартная форма: ax² + bx + c = 0 с a , b и c — константы или числовые коэффициенты, а x — неизвестная переменная. Продолжайте читать примеры квадратных уравнений в стандартных и нестандартных формах, а также список членов квадратных уравнений.

Примеры уравнений стандартной формы

Самый простой способ выучить квадратные уравнения — начать со стандартной формы. Хотя не каждое квадратное уравнение, которое вы видите, будет иметь эту форму, все же полезно увидеть примеры. Имейте в виду, что первая константа и не могут быть нулем.

Примеры стандартной формы квадратного уравнения (ax² + bx + c = 0):

• 6x² + 11x — 35 = 0
• 2x² — 4x — 2 = 0
• -4x² — 7x +12 = 0
• 20x² -15x — 10 = 0
• х² -х — 3 = 0
• 5x² — 2x — 9 = 0
• 3x² + 4x + 2 = 0
• -x² +6x + 18 = 0

Advertisement

Примеры неполных квадратных уравнений

По мере развития ваших навыков алгебры вы обнаружите, что не все квадратные уравнения имеют стандартную форму. Ознакомьтесь с примерами нескольких различных экземпляров нестандартных квадратных уравнений.

Отсутствует линейный коэффициент

Иногда квадратное уравнение не имеет линейного коэффициента или bx части уравнения. Примеры включают:

• 2x² — 64 = 0
• х² — 16 = 0
• 9x² + 49 = 0
• -2x² — 4 = 0
• 4x² + 81 = 0
• -x² — 9 = 0
• 3x² — 36 = 0
• 6x² + 144 = 0

Отсутствует постоянный член

В квадратных уравнениях также может отсутствовать постоянный член, или с . Например:

• х² — 7х = 0
• 2x² + 8x = 0
• -x² — 9x = 0
• х² + 2х = 0
• -6x² — 3x = 0
• -5x² + х = 0
• -12x² + 13x = 0
• 11x² — 27x = 0

Примеры квадратного уравнения в факторизованной форме

Факторинг — это один из способов решения квадратного уравнения. Вот примеры квадратных уравнений в факторизованной форме:

• (x + 2)(x — 3) = 0 [стандартная форма: x² — 1x — 6 = 0]
• (x + 1)(x + 6) = 0 [стандартная форма: x² + 7x + 6 = 0]
• (x — 6)(x + 1) = 0 [стандартная форма: x² — 5x — 6 = 0]
• -3(x — 4)(2x + 3) = 0 [стандартная форма: -6x² + 15x + 36 = 0]
• (x — 5)(x + 3) = 0 [стандартная форма: x² — 2x — 15 = 0]
• (x — 5)(x + 2) = 0 [стандартная форма: x² — 3x — 10 = 0]
• (x — 4)(x + 2) = 0 [стандартная форма: x² — 2x — 8 = 0]
• (2x+3)(3x — 2) = 0 [стандартная форма: 6x² + 5x — 6]

Объявление

Примеры квадратных уравнений в других формах

Примеры квадратных уравнений в других формах включают:

• x(x — 2) = 4 [при умножении и перемещении 4 становится x² — 2x — 4 = 0]
• x (2x + 3) = 12 [при умножении и перемещении 12 становится 2x² — 3x — 12 = 0]
• 3x(x + 8) = -2 [при умножении и перемещении -2 становится 3x² + 24x + 2 = 0]
• 5x² = 9 — x [переместите 9 и -x на другую сторону, получится 5x² + x — 9]
• -6x² = -2 + x [переместив -2 и x на другую сторону, получится -6x² — x + 2]
• x² = 27x -14 [переместив -14 и 27x на другую сторону, получится x² — 27x + 14]
• x² + 2x = 1 [переместите «1» на другую сторону, станет x² + 2x — 1 = 0]
• 4x² — 7x = 15 [переместите 15 на другую сторону, получится 4x² + 7x — 15 = 0]
• -8x² + 3x = -100 [переместив -100 на другую сторону, получится -8x² + 3x + 100 = 0]
• 25x + 6 = 99x² [перемещение 99x ² на другую сторону, становится -99 х² + 25 х + 6 = 0]

Advertisement

Термины для квадратных уравнений

Если вам нужно немного больше пояснений по квадратным уравнениям, ознакомьтесь со списком основных математических терминов.

сравните числа))))))))))))))))))))))))))))))))))) а = sin 1 cos 2 b = sin 3 cos 4 — Знания.site

• Главная
• Алгебра
• сравните числа)…

сравните числа)))))))))))))))))))))))))))))))))))

а = sin 1 cos 2

b = sin 3 cos 4 

Ответы 1

sin 1 cos 2=1/2(sin3+sin(-1))

sin3cos4=1/2(sin7+sin(-1))

a-b=1/2(sin3-sin7)

если речь о градусах  sin7>sin3 a<b

если это радианы, тогда sin3=sin(П-3)

                                      sin7=sin(7-2П)

П-3-7+2П<0

sin(7-2П)>sin(П-3)

a<b

ответ a<b

Знаешь ответ? Добавь его сюда!

Последние вопросы

• Другие предметы

  11 часов назад

  я мужлан

• Алгебра

  12 часов назад

  вычислите следующие два члена арифметической прогресии и сумму первых четырёх если a1=-5 и a2=-14

  а3=

  а4=

  S4=

• Математика

  17 часов назад

  Объем прямоугольного параллелепипеда равен 420 , длина – 12 см, ширина – 7 см. Найдите высоту данного параллелепипеда.

  2. Постройте куб с ребром 2 см. Найдите площадь поверхности этого куба.

  ЗАДАНИЕ ДЛЯ 5 КЛАССА ПЖ ОЧЕНЬ НАДО ПРОСТО МНЕ НАДО УЕХАТЬ Заранее СПАСИБО

• Литература

  17 часов назад

  щищ

• Окружающий мир

  18 часов назад

  Я хочу пойти и полежать на травке

  Но на улице холодно

• Химия

  19 часов назад

  Помогите пожалуйста, срочно

  вычислить массу 40% раствора и воды, чтобы приготовить 120 г раствора с массовой частицей 20%.

• Химия

  1 день назад

  Какую массу медного купороса CuSO4 5h3O и воды надо взять, чтобы приготовить раствор массой 500 г с массовой долей соли 5%?

• Химия

  1 день назад

  Металлический цинк весом 26,2 г растворили в избытке раствора HCl. Какую массу оксида никеля (ll) , выделившимся при растворении цинка водородом, можно восстановить?

• Физика

  1 день назад

  223/87Fr испытывает 3 последовательных бета-распада и 1 альфа-распад.

• Геометрия

  1 день назад

  1. В окружности с центром О отрезки АС и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 124°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

• Математика

  2 дня назад

  G

• Математика

  2 дня назад

  Задание 1. 2 … …)на месте точек должны быть цифры или знаки + и —

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

Сообщество Экспонента

• вопрос
• 02.05.2023

Другое

Мне нужно сделать интегральную частотно-импульсную систему автоматического управления теплопотреблением помещения. Я никак не могу разобраться как сделать регулятор ичим

Мне нужно сделать интегральную частотно-импульсную систему автоматического управления теплопотреблением помещения. Я никак не могу разобраться как сделать регулятор ичим

1 Ответ

• MATLAB

02.05.2023

• вопрос
• 02.05.2023

ПЛИС и СнК, Системы связи, Цифровая обработка сигналов, Другое, Встраиваемые системы

Задача — LDPC декодер внутри FPGA.  Первый пришедший в голову вариант — декодер из MATLAB с последующей генерацией HDL. Источник : https://www.mathworks.com/help/wireless-hdl/ref/dvbs2ldpcde…

Задача — LDPC декодер внутри FPGA.  Первый пришедший в голову вариант — декодер из MATLAB с последующей генерацией HDL. Источник : https://www.mathworks.com/help/wireless-hdl/ref/dvbs2ldpcde…

• Simulink
• ПЛИС и СнК
• Системы связи

02.05.2023

• вопрос
• 24.04.2023

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое, Автоматизация испытаний

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

1 Ответ

• Simulink

24. 04.2023

• вопрос
• 23.04.2023

ПЛИС и СнК

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

1 Ответ

• вопрос
• 19.04.2023

Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Математика и статистика

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

• вопрос
• 14. 04.2023

Глубокое и машинное обучение(ИИ), Математика и статистика, Системы управления

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

6 Ответов

• Simulink
• modeling
• газ

14.04.2023

• вопрос
• 12.04.2023

Математика и статистика, Робототехника и беспилотники, Системы связи, Цифровая обработка сигналов

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный. ..

2 Ответа

• вопрос
• 06.04.2023

Цифровая обработка сигналов

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

1 Ответ

• вопрос
• 04.04.2023

Цифровая обработка сигналов

  End

  End

7 Ответов

• вопрос
• 02.04.2023

Другое

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

Обратный косинус и обратный синус

Стандартные триггерные функции являются периодическими, то есть они повторяются. Поэтому одно и то же выходное значение появляется для нескольких входных значений функции. Это делает невозможным построение обратных функций. Для решения уравнений, включающих триггерные функции, необходимо существование обратных функций. Таким образом, математики должны ограничить функцию триггера, чтобы создать эти инверсии.

Чтобы определить обратную функцию, исходная функция должна быть один к одному . Чтобы существовало однозначное соответствие, (1) каждое значение в домене должно соответствовать ровно одному значению в диапазоне и (2) каждое значение в диапазоне должно соответствовать ровно одному значению в домене. Первое ограничение является общим для всех функций; второй нет. Синусоидальная функция, например, не удовлетворяет второму ограничению, поскольку одному и тому же значению в диапазоне соответствует множество значений в области (см. рис. 1).

Рисунок 1
              Функция синуса не является однозначной.

Чтобы определить обратные функции для синуса и косинуса, домены этих функций ограничены. Ограничение, накладываемое на значения домена функции косинуса, составляет 0 ≤ x ≤ π (см. рис. 2 ). Эта ограниченная функция называется косинусом. Обратите внимание на заглавную «С» в косинусе.

Рисунок 2
              График ограниченной функции косинуса.

9Функция арккосинуса 0005 определяется как обратная функция ограниченного косинуса Cos ⁻¹ (cos x ) = x ≤ x ≤ π. Следовательно,

Рисунок 3
              График функции арккосинуса.

Тождества для косинуса и арккосинуса:

Развитие функции обратного синуса аналогично развитию функции косинуса. Ограничение, накладываемое на значения домена функции синуса, равно 9. 0003

Эта ограниченная функция называется синусоидой (см. рис. 4). Обратите внимание на заглавную «S» в слове Sine.

Рисунок 4
             График ограниченной синусоидальной функции.

Функция обратного синуса (см. рис. 5) определяется как обратная функция ограниченного синуса y = Sin x , 

Рисунок 5
              График функции обратного синуса.

Следовательно,

Тождества для синуса и обратного синуса:

Графики функций y = Cos x и y = Cos ⁻¹ x являются отражениями друг друга относительно прямой y = x . Графики функций y = Sin x и y = Sin ⁻¹ x также являются отражением друг друга относительно прямой y = x (см. рис. 6).

Рисунок 6
               Симметрия арксинуса и косинуса.

Пример 1: Используя рисунок 7, найдите точное значение Cos ⁻¹ .

Рисунок 7
             Чертеж для примера 1.

Таким образом, y = 5π/6 или y = 150°.

Пример 2: Используя рис. 8, найдите точное значение Sin 9.0029 −1 .

Рисунок 8
             Чертеж для примера 2.

Таким образом, y = π/4 или y = 45°.

Пример 3: Найдите точное значение cos (Cos ⁻¹ 0,62).

Использовать тождество косинуса-обратного косинуса:

Исчисление I. Производные обратных триггерных функций

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление I / Производные / Производные обратных триггерных функций

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3.7: Производные обратных триггерных функций

В этом разделе мы рассмотрим производные обратных триггерных функций. Чтобы вывести производные обратных тригонометрических функций, нам понадобится формула из последнего раздела, связывающая производные обратных функций. Если \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) являются обратными функциями, то

\[g’\left( x \right) = \frac{1}{{f’\left( {g\left( x \right)} \right)}}\]

Напомним также, что две функции являются обратными, если \(f\left( {g\left( x \right)} \right) = x\) и \(g\left( {f\left( x \right) } \справа) = х\).

Здесь мы подробно рассмотрим арксинус, арккосинус и арктангенс, а остальные три оставим вам, если хотите.

Обратный синус

Начнем с обратного синуса. Вот определение обратного синуса. 9{ — 1}}x\hspace{0,5 дюйма} \Leftrightarrow \hspace{0,5 дюйма}\sin y = x\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{for}}\,\,\,\,\,\, \,\,\, — \frac{\pi }{2} \le y \le \frac{\pi }{2}\]

Таким образом, оценка обратной триггерной функции аналогична вопросу, какой угол ( т. е. \(y\)) мы подставили в функцию синуса, чтобы получить \(x\). Ограничения на \(y\), данные выше, нужны для того, чтобы убедиться, что мы получаем непротиворечивый ответ из обратного синуса. Мы знаем, что на самом деле существует бесконечное количество углов, которые будут работать, и нам нужно постоянное значение, когда мы работаем с обратным синусом. Использование указанного выше диапазона углов дает все возможные значения функции синуса ровно один раз. Если вы не уверены в этом, нарисуйте единичный круг, и вы увидите, что этот диапазон углов (\(y\)) будет охватывать все возможные значения синуса. 9{ — 1}} \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {2}} \ вправо) \)

Показать решение

Итак, мы действительно спрашиваем, какой угол \(y\) решает следующее уравнение.

\[\sin\left(y\right) = \frac{1}{2}\]

и мы ограничены значениями \(y\) выше.

Из единичного круга мы можем быстро увидеть, что \(y = \frac{\pi }{6}\).

У нас есть следующая связь между функцией обратного синуса и функцией синуса. 9{ — 1}}x\hspace{0,5 дюйма} \Leftrightarrow \hspace{0,5 дюйма}\cos y = x\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{for}}\,\,\,\,\,\, \,\,\,0 \le y \le \pi \]

Как и в случае с арксинусом, у нас есть ограничение на углы \(y\), которые мы получаем из функции арккосинуса. Опять же, если вы хотите проверить это, быстрый набросок единичного круга должен убедить вас в том, что этот диапазон будет охватывать все возможные значения косинуса ровно один раз. { — 1}}\left({\cos x} \ справа) = х\] 9{ — 1}}x\hspace{0,5 дюйма} \Leftrightarrow \hspace{0,5 дюйма}\tan y = x\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{for}}\,\,\,\,\,\, \,\,\, — \frac{\pi }{2} < y <\frac{\pi }{2}\]

Опять же, у нас есть ограничение на \(y\), но обратите внимание, что мы не можем позволить \(y\) быть любой из двух конечных точек в приведенном выше ограничении, поскольку касательная даже не определена в этих двух точках. Чтобы убедиться, что этот диапазон охватывает все возможные значения тангенса, сделайте быстрый набросок функции тангенса, и мы увидим, что в этом диапазоне мы действительно покрываем все возможные значения тангенса. Также в этом случае нет ограничений на \(x\), так как тангенс может принимать все возможные значения. 9{- 1}}1\).

Показать решение

Вот и просим, ​​

\[\тангенс у = 1\]

где \(y\) удовлетворяет указанным выше ограничениям.

Кусочная функция — что это, определение и ответ

Кусочная функция – это функция, части которой заданы на определенном промежутке.

Например, рассмотрим две функции: \(y = 3x\ –\ 5\ \)и\(\ y = \frac{x}{2}\)

Данные функции не являются кусочными. Это две линейные функции. Построим их на одной координатной плоскости:

Можем сделать из двух функций одну, для этого зададим для каждой функции промежуток.

Пример №1:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x \geq 2 \\ \frac{x}{2},\ если\ x < 2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Получим новую функцию, которая задается кусочками двух линейных. Она и будет являться кусочной. Чтобы её построить, рассмотрим таблицу точек для этих функции по отдельности.

1. y = 3x – 5, если x ≥ 2.

Из условия мы видим, что минимальный x равен 2. Точка x = 2 будет закрашенной, так как знак нестрогий. Меньше это точки мы брать не будем:

2. y = 0,5x, если x < 2.

Для данной функции x = 2 – будет максимальным значением, при этом x ≠ 2, так как знак неравенства строгий. Возьмем эту точку. На графике для этой функции она будет выколотой.

Видим, что закрашенная точка x = 2 у первого графика перекрывает пустую точку второго графика, значит у этой кусочной функции нет разрывов и она называется неразрывна.

Пример №2:

Если задать другие промежутки для кусочной функции, она поменяет свой вид:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x \leq 2 \\ \frac{x}{2},\ если\ x > 2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1. y = 3x – 5, если x ≤ 2.

Теперь у этой функции x = 2 – максимально возможная абсцисса:

2. y = 0,5x, если x > 2.

А для этой функции, наоборот, x = 2 – минимальная абсцисса. Аналогично первому примеру эта точка будет выколота, но перекроется точкой первого графика:

Кусочные функции, представленные выше, называются непрерывными, так как одна линейная функция заканчивается там, где начинается вторая, т. е. между кусочками функции нет разрыва.

Пример №3:

Примером кусочной разрывной функции может служить следующая функция:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x > 2 \\ \frac{x}{2},\ если\ x < 2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Этот график будет выглядеть так же, как график в примере №1, но с одним отличием. Точка x = 2 не принадлежит ни одной из функций, поэтому в этой точке как раз находится разрыв.

1. y = 3x – 5, если x > 2.

2. y = 0,5x, если x < 2.

Пример №4:

Или, например, такая функция тоже является разрывной и кусочной:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x > 3 \\ \frac{x}{2},\ если\ x < \ –2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1. y = 3x – 5, если x > 3.

Здесь будем брать все значения x больше 3. Сама точка x = 3 будет выколотой:

2. y = 0,5x, при x < –2.

Значение x = –2 – максимальное. А сама эта точка тоже выколотая:

Урок. 8 класс. Построение графиков «кусочных» функций.

Построение графиков «кусочных функций».

Цель урока: повторить, закрепить и обобщить умения обучающихся строить и читать графики кусочных функций, решать задания из ГИА.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Задачи:

Образовательные — обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.

Развивающие — способствовать формированию умения применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные — содействовать воспитанию интереса к математике и информатике, активности, умения общаться, общей культуры.

Методы обучения: использование ИКТ, частично — поисковый. Работа по обобщающей схеме, создание презентаций, работа по решению экзаменационных заданий, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование и материалы: интерактивная доска, мультимедийный проектор, компьютер, магнитная доска, указка.

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент.

Построение графиков кусочных функций мы изучали еще в 7 классе, а в экзаменационных материалах содержатся задачи по данной теме. Поэтому сегодня на уроке мы будем повторять, обобщать, приводить в систему изученный материал, решать задания из ГИА.

Итак, проверим домашнее задание.

2. Проверка домашнего задания.

а)У доски: задание из ГИА: Для каждого графика укажи соответствующую ему формулу.

б) заполни таблицу

Учитель: Вспомним, какие основные алгебраические функции мы изучали и что представляют графики этих функций?

/ Идет опрос класса по обобщающей схеме на интерактивной доске (слайд 2)/

Учитель: А теперь посмотрим, как справились с домашнем заданием.

/ Проверка таблицы и устного задания/

3.Построение графиков.

Учитель: В чем особенность графиков кусочных функций? Повторим как строить графики кусочных функций.

/ Идет работа по слайдам./

Задание 1: построить график функции (слайд 3,4)

Задание 2: построить график функции. Задать пошаговые команды компьютеру. (слайд 5,6)

Обычно на экзамене дают и какое- либо дополнительное задание. Например, определите при каких значениях К прямая у = К имеет с графиком функции только одну общую точку. (слайд 7)

Учитель: А теперь решим задание из ГИА.И.В. Ященко, вариант 9, №22.

Мы видим, что выполнение таких заданий достаточно трудоемко и требует много времени. Поэтому, следующее задание из сборника Е.А. Бунимович, вариант 6, № 21подготовили заранее в виде презентации под руководством учителя информатики Костюрина В. и Гончарова А. (слайд 8-19)

Учитель информатики: Почему при решении задачи по математике вы в своей работе ставите цель моделирования?

А на следующей презентации рассмотрим построение еще одной кусочной функции. (слайд 20 — 24)

1. Построить график функции

2.Укажите промежуток, на котором функция возрастает.

Учитель информатики: Какую модель получили в результате решения задачи?

4. Обучающая работа в группах.

Учитель Сегодня на уроке мы повторили как по формуле построить график, а бывает обратная задача: по графику определить формулу задающею функцию.

Задание: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точек А и В и части параболы. Задайте эту функцию формулой.

П рограмму данного задания из ГИА приготовил заранее Фадеев А. (слайд 31 — 37)

Рассмотрим луч, исходящий из т. А.

— Каким уравнением можно задать этот луч?

у=кх + в

Значит, нам надо определить к и в. Для этого по графику выберем по две точки с координатами выраженными целыми числами.

Решить систему методом сложения.

Значит, уравнение первой части графика у = 5х + 7, при х -1.

Для определения остальных частей графика разобьемся на группы:

1 вариант определяют часть АВ,

2 вариант- луч исходящий из т. В.

Проверим правильность выбранных ответов.

6. Итог урока.

Итак, сегодня мы с вами повторили, как строить графики кусочных функций.

Какой алгоритм мы будем при этом применять?

7. Домашнее задание.

Ященко, вариант 10. №22, вариант3, № 22, вариант 2, №22.

Кусочная функция — Как построить график? Примеры, вычисление

Кусочная функция — это функция, график которой состоит из нескольких частей кривых. Это означает, что он имеет разные определения в зависимости от значения ввода. т. е. кусочная функция ведет себя по-разному для разных входных данных.

Давайте узнаем больше о кусочной функции, а также о том, как построить ее график, как ее оценить и как найти ее область определения и диапазон.

1.	Что такое кусочная функция?
2.	Кусочно-функциональный график
3.	Домен и диапазон кусочной функции
4.	Оценка кусочной функции
5.	Кусочно-непрерывная функция
6.	Часто задаваемые вопросы о кусочной функции

Что такое кусочная функция?

Кусочная функция — это функция f(x), которая имеет разные определения в разных интервалах x. График кусочной функции имеет разные части, соответствующие каждому из ее определений. Функция абсолютного значения — очень хороший пример кусочной функции. Давайте разберемся, почему он так называется. Мы знаем, что функция абсолютного значения есть f(x) = |x| и определяется как: \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
х, & \текст { если } х \geq 0 \\
-x, & \text { если } x < 0
\end{массив}\right.\). Мы должны читать эту кусочную функцию как

• f(x) равно x, когда x больше или равно 0 и
• f(x) равно -x, когда x меньше 0

Тогда график функции абсолютного значения f(x) состоит из двух частей: одна соответствует x (когда x находится в интервале [0, ∞) ), а другая часть соответствует -x (когда x находится в интервале ( -∞, 0)). Его график выглядит следующим образом:

Кусочно-функциональный график

Мы уже знаем, что график кусочной функции состоит из нескольких частей, каждая из которых соответствует своему определению на интервале. Вот шаги для построения графика кусочной функции.

• Во-первых, поймите, что представляет собой каждое определение функции. Например, f(x) = ax + b представляет собой линейную функцию (которая дает прямую), f(x) = ax ² + bx + c представляет квадратичную функцию (которая дает параболу) и т. д., так что мы будем иметь представление о том, к какой форме приведет часть функции.
• Запишите интервалы, показанные в определении функции, вместе с их определениями.
• Создайте таблицу с двумя столбцами, помеченными x и y, соответствующими каждому интервалу. Обязательно включать конечные точки интервала. Если конечная точка исключена из интервала, обратите внимание, что мы получаем открытую точку, соответствующую этой точке на графике.
• В каждой таблице возьмите больше чисел (случайных чисел) в столбце x, которые лежат в соответствующем интервале, чтобы получить идеальную форму графика. Если кусок представляет собой прямую линию, то достаточно двух значений x. Возьмите 3 или более чисел для x, если кусок НЕ является прямой линией. 9{2} и х>0
  \end{массив}\right.\).

  Решение:

  f(x) имеет 3 определения:

  • -2 ^x , когда x меньше -2, и это экспоненциальная функция.
  • -|х| когда -2 меньше или равно x меньше или равно 0, и это функция абсолютного значения.
  • 2-x ² , когда x больше 0 и это квадратичная функция.

  Запишем интервалы и соответствующие им определения. Кроме того, давайте создадим таблицы, которые включают конечные точки интервалов, а также несколько других случайных чисел из каждого интервала. Мы будем вычислять значение y в каждом случае, используя соответствующее определение.

  Теперь давайте нанесем все эти точки на график, имея в виду общие формы соответствующих функций. Обратите внимание, что мы должны поставить открытые точки в (-2, -0,25) (первая таблица) и (0, 2) (последняя таблица), поскольку их соответствующие координаты x исключены из интервала. Кроме того, расширьте график в соответствующих интервалах за пределы точек, показанных в таблицах, где это необходимо.

  Обратите внимание, что самая левая (светло-оранжевая) кривая расширена влево, поскольку она соответствует интервалу x < -2. Кроме того, крайняя правая (синяя) кривая расширена в интервале x > 0. Средняя (темно-оранжевая) кривая НЕ расширена ни в одну из сторон, так как принадлежит интервалу -2 ≤ x ≤ 0,9.0003

  Домен и диапазон кусочной функции

  Чтобы найти область определения кусочной функции, мы можем просто посмотреть на определение данной функции. Возьмите объединение всех интервалов с x, и это даст нам домен. В приведенном выше примере область определения f(x) равна {x | х < -2} U {х | -2 ≤ х ≤ 0} U {х | х > 0}. Объединение всех этих множеств есть просто множество всех действительных чисел. Таким образом, область определения f(x) (в приведенном выше примере) равна R.

  Чтобы найти диапазон кусочной функции, проще всего построить ее график и посмотреть на ось y. Посмотрите, какие значения y охватываются графиком. В приведенном выше примере все значения y меньше 2 (исключая 2, так как в точках (0, 2) есть открытая точка) покрываются графиком. Таким образом, его диапазон равен {y | y < 2} (или) (-∞, 2).

  Точно так же мы можем найти область определения и область значений любой кусочной функции, просто построив ее график.

  Оценка кусочной функции

  Чтобы вычислить кусочную функцию на любом заданном входе,

  • сначала посмотрите, какому из заданных интервалов (или неравенств) принадлежит данный вход.
  • Затем просто подставьте данный ввод в определение функции, соответствующее этому конкретному интервалу.

  Вот пример для понимания шагов. 92, \text { если } x<0 \\-2 \sqrt{x}, \text { если } x>0 \\ 5, \text { если } x=0\end{массив}\right. \) .

  Решение:

  Нам нужно найти f(4). Здесь x = 4, и оно удовлетворяет условию x > 0. Таким образом, соответствующая функция равна f(x) = -2√x.

  Замените x = 4 в этом определении:

  f(4) = -2 √4 = -2 (2) = -4.

  Следовательно, f(4) = -4.

  Кусочно-непрерывная функция

  Кусочно-непрерывная функция, как следует из ее названия, является кусочно-непрерывной функцией. Это означает, что ее график состоит из разных частей, но тем не менее мы сможем нарисовать график, не отрывая карандаша. Вот пример кусочно-непрерывной функции.

  \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} x-1, \text {if } x<-2 \\-3, \text {if } x\geq -2\ конец {массив}\справа.\).

  Его график показан ниже.

  Важные замечания по кусочным функциям

  • Чтобы оценить кусочную функцию на входе, посмотрите, какому интервалу она принадлежит, и подставьте его в соответствующее определение функции.
  • При построении графика кусочной функции используйте незакрашенные точки в точках, координаты x которых не принадлежат соответствующим интервалам. Открытая точка в точке означает, что конкретная точка НЕ ​​является частью функции.
  • Чтобы найти область определения кусочной функции, просто возьмите объединение всех интервалов, заданных в определении функции.
  • Чтобы найти диапазон кусочной функции, просто постройте ее график и найдите значения y, которые охватываются графиком.

  ☛ Похожие темы:

  • Калькулятор графических функций
  • Калькулятор квадратичных функций
  • Графический калькулятор
  • Калькулятор линейной функции 92-2 & \text { если } x \geq 3
    \end{массив}\right.\).

    Как строить графики кусочных функций?

    Чтобы нарисовать кусочный график функции:

    • Составьте таблицу (с двумя столбцами x и y) для каждого определения функции в соответствующих интервалах.
    • Включить конечные точки (в столбце x) каждого интервала в соответствующую таблицу вместе с несколькими другими случайными числами из интервала.
    • Подставьте каждое значение x в соответствующее выражение f(x), которое дает значение в столбце y.
    • Нанесите на график все точки (поставьте открытые точки для исключенных значений x) и соедините их кривыми.
    • Если левая/правая конечная точка равна ∞ или -∞, то соответственно удлините кривую с этой стороны.

    Как решать кусочные функции?

    Чтобы решить значение кусочной функции на определенном входе:

    • Просто посмотрите, в каком из заданных интервалов находится этот вход.
    • Возьмите соответствующую функцию.
    • Заменить данный ввод в функции из последнего шага.

    Приведите пример кусочно-линейной функции.

    Кусочно-линейная функция — это кусочно-линейная функция, в которой все части соответствуют прямым линиям. Например, функция абсолютного значения, ступенчатая функция (функция минимального значения или функция наибольшего целого числа), функция потолка и т. д. являются примерами кусочно-линейных функций.

    Что такое кусочно-непрерывная функция?

    Кусочно-непрерывная функция — это кусочно-непрерывная функция. Его график состоит более чем из одной части, и все же его можно изобразить, не отрывая карандаша.

    Как найти область определения и область значений кусочной функции?

    Область определения кусочной функции — это объединение всех интервалов, указанных в ее определении. Диапазон — это набор всех значений y, которые покрывает его график. Итак, чтобы найти диапазон кусочной функции, сначала нарисуйте ее график.

    Кусочные функции

    Кусочные функции

    Дополнительно

    Показать рекламу

    Скрыть рекламу
    О рекламе

    Функция может состоять из частей

    Мы можем создавать функции, которые ведут себя по-разному в зависимости от входного значения (x).

    Функция, состоящая из 3 штук

    Пример:

    • Когда x меньше 2, он дает x ² ,
    • , когда x ровно 2, дает 6
    • , когда x больше 2 и меньше или равно 6, это дает строку 10-x

    Выглядит так:

    (сплошная точка означает «включая»,
    открытая точка означает «не включая»)

     

    Вот как мы это запишем:

    Домен (все значения, которые могут войти в функцию) — это все действительные числа до 6 включительно, которые мы можем записать так:

    Дом( f) = (-∞, 6] (с использованием интервальной нотации)

    Dom(f) = {x | x ≤ 6} (с использованием нотации Set Builder)

    Вот несколько примеров значений:

    X	Д
    −4	16
    −2	4
    0	0
    1	1
    2	6
    3	7

     

    Пример: Вот еще одна кусочная функция:

    , которая выглядит так:

    Что такое h(−1)?

    x ≤ 1, поэтому мы используем h(x) = 2, поэтому h(−1) = 2

    Что такое h(1)?

    x ≤ 1, поэтому мы используем h(x) = 2, поэтому h(1) = 2

    Что такое h(4)?

    x > 1, поэтому мы используем h(x) = x, поэтому h(4) = 4

    Кусочные функции позволяют нам создавать функции, которые делают все, что мы хотим!

    Пример: Плата за услуги врача зависит от продолжительности лечения.

    

Открытое образование — Дифференциальные уравнения

Select the required university:

———

Закрыть

В курсе излагаются методы решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений. Приводятся примеры их приложений при моделировании физических и других процессов. Рассматриваются также элементы теории устойчивости. Курс в основном ориентирован на студентов технических специальностей.

• About
• Format
• Information resources
• Requirements
• Course program
• Education results
• Formed competencies
• Education directions

About

Курс посвящён изучению методов решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений, а также систем линейных дифференциальных уравнений. Цель курса – научить слушателей некоторым способам аналитического нахождения решений и дать представление о том, каким образом дифференциальные уравнения могут применяться на практике.
В состав курса входят видеолекции, а также наборы заданий для самостоятельного решения. В результате прохождения курса обучающийся получит базовые навыки работы с дифференциальными уравнениями, которые он сможет применить в прикладных областях знания.
Дифференциальные уравнения являются мощным инструментом изучения окружающего мира. Повсеместное применение дифференциальных уравнений в науке и технике при моделировании различного рода явлений делает их изучение необходимой частью образования будущего инженера.

Format

В состав курса входят видеолекции, электронный конспект, задачи для самостоятельного решения, электронное тестирование.

Продолжительность курса – 10 недель, средняя нагрузка составляет 7,2 часа в неделю. Общая трудоёмкость – 2 зачётные единицы.

1. Матвеев Н. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения – СПб: Специальная Литература, 1996.
2. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений – М.: КомКнига, 2007. – 240 с.
3. Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» — 2000 – 176 с.
4. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко, Г. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями —  М.: Едиториал УРСС, — 2002 – 256 с.
5. Лапин И.А., Ратафьева Л.С., Рябова А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения — СПб: НИУ ИТМО, 2014. – 104 с. http://books.ifmo.ru/book/1315/obyknovennye_differencialnye_uravneniya.htm 
6. Б.П. Демидович, В.П. Моденов Дифференциальные уравнения — СПб: Лань, 2019. — 280 с. https://e.lanbook.com/book/115196 

Requirements

Для успешного освоения курса необходимо иметь математическую подготовку в объеме программы первого курса технического вуза. В частности, необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением функций одной переменной, а также основными приёмами линейной алгебры.

Дополнительный инструментарий не требуется.

Course program

В курсе рассматриваются следующие темы:

1. Введение
2. Уравнения первого порядка. Основные понятия
3. Элементарные методы нахождения решений
4. Линейные уравнения высшего порядка. Общий случай
5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
6. Системы дифференциальных уравнений
7. Линейные системы с постоянными коэффициентами
8. Теория устойчивости

Каждая тема предполагает изучение в течение одной недели.

Education results

• Способность находить общие и частные решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений (РО-1)
• Способность решать системы линейных дифференциальных уравнений (РО-2)
   

Formed competencies

• Способен применять математические, естественнонаучные и общепрофессиональные знания для понимания окружающего мира и для решения задач профессиональной деятельности (ОПК-1)
• Способен формулировать, строить и применять математические модели для управления достижением планируемых результатов процессов и объектов профессиональной деятельности на базе знаний математики, программирования и унифицированных пакетов программ (ОПК-3)
   

Education directions

09. 03.01 Информатика и вычислительная техника
09.03.04 Программная инженерия
10.03.01 Информационная безопасность
11.03.03 Конструирование и технология электронных средств
12.03.01 Приборостроение
13.03.02 Электроэнергетика и электротехника
15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств
15.03.06 Мехатроника и робототехника
24.03.02 Системы управления движением и навигация
27.03.04 Управление в технических системах
44.03.04 Профессиональное обучение (по отраслям)

Университет ИТМО

Бабушкин Максим Владимирович

Кандидат физико-математических наук
Position: преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО

Тертычный Владимир Юрьевич

Доктор физико-математических наук, профессор
Position: старший преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО

Танченко Юлия Валерьевна

Position: преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО

Certificate

По данному курсу возможно получение сертификата.

Similar courses

15 February 2021 — 31 December 2023 г.

Строение вещества: от атомов и молекул до материалов и наночастиц

15 February 2021 — 31 December 2023 г.

Современные финансовые технологии

New course

13 September 2021 — 31 December 2023 г.

Противодействие финансовому мошенничеству и управление индивидуальным риском

К сожалению, мы не гарантируем корректную работу сайта в вашем браузере. Рекомендуем заменить его на один из предложенных.

Также советуем ознакомиться с полным списком рекомендаций.

Google Chrome

Mozilla Firefox

Apple Safari

Дифференциальные уравнения I-го порядка

Как я и обещал в своей предыдущей статье, сегодня продолжим более детально изучать Дифференциальные уравнения.  

§3. Однородные дифференциальные уравнения I-го порядка

Функцию f(x, y) называют однородной функцией порядка mотносительно своих аргументовxиy, если она выполняется тождество

f(tx, ty)= t^mf(x, y) (3.1), где t – любой множитель.

Так, например, функции x²y– xy², 2x² – 3xy однородные: первая – третьего порядка, вторая – первого.

Определение 3.1. Дифференциальное уравнение y’ = f(x, y) (3.2) называется однородным, если его правая часть функция f(x, y) является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов x и y.

Интегрирование однородного уравнения с помощью специальной подстановки сводится к интегрированию уравнения с отделяемыми переменными.

Действительно, учитывая нулевой порядок однородности функции f(x, y), для любого t имеем f(tx, ty)= f(x, y).

В частности, если t = 1/x, получим:

Уравнение (3.2) запишется в виде

Введем вспомогательную неизвестную функцию с помощью подстановки: y = x· u,  y’ = u + x· u’.

Уравнение (3.2) записывается в виде  u + x· u’ = φ(u),

в котором переменные разделяются:

Отсюда находим общий интеграл уравнения:

где C=const.

Наконец, после вычисления интегралов и замены вспомогательной функции u ее выражением через x и y, найдем решение однородного уравнения.

Пример 3.1. Решить “дифур”

Решения. Это однородное Дифференциальное уравнение I-го порядка. Применим подстановку y = x· u,  y’ = u + x· u’.

Тогда получим уравнение с переменными, которые можно разделить, относительно вспомогательной функции u.

u +xu’ = u(ln u + 1)

xu’ = uln u

Решая его, получим

Это ОР уравнения.

Замечания. Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (3.4), в котором функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные, относительно своих аргументов x и y функции одного и того же измерения, является однородным и заменой y = ux сводится к уравнению с разделяемыми переменными.

Пример 3.2. Решить “дифур”

Решение. Это однородное уравнение, так как коэффициенты при dxи dy являются однородными функциями I-го порядка. Сделаем замену

y = ux, dy = xdu + udx

Получим “дифур” с переменными, которые можно разделить:

Заменив вспомогательную функцию u = y/x получаем, после преобразований, общий интеграл уравнения:

Пример 3.3. Решить “дифур”

Решения. Произведем следующюю замену

Получим

§4. Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнение Бернулли 

Определение 4.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется линейным, если и сама неизвестная функция и ее производная входят в это уравнение только в первой степени и не содержит их произведения.

В общем виде линейное дифференциальное уравнения I-го порядка:

y’ + P(x)y = Q(x) (4.1)

Используют несколько приемов решения дифференциального уравнений (4.1). Мы рассмотрим здесь метод Бернулли, согласно которому решение в следующем виде y(x) = u(x) · v(x) (4. 3).

Тем самым искомыми становятся функции u(x) и v(x), одну из которых можно выбрать произвольно, а вторая – должна определяться уравнением.

Дифференцируем обе части равенства (4.3)

Подставим выражения для y(x) и y‘(x) в уравнение (4.1). Имеем

Подберем функцию v так, чтобы выполнялось равенство

Тогда функция u должна удовлетворять уравнению

Уравнение (4.4) является уравнением с переменными, которые можно разделить,

В результате интегрирования получим.

Если C = 0, получим

Подставляя значение v(x) в уравнение (4.5), получим относительно u(x) дифференциальное уравнение I-го порядка с переменными, которые можно разделить,

Окончательно по формуле (4.3) получим ОР уравнения (4.1) в виде

При решении конкретных линейных дифференциальных уравнений I-го порядка можно пользоваться готовыми формулами (4. 6) или использовать прием Бернулли.

Пример 4.1. Решить “дифур”

Решения. Это линейное неоднородное уравнение I-го порядка, решаем методом Бернулли. Сведем его к виду (4.1.) (хотя это необязательно). Для чего обе части уравнения умножим на х. Получим:

y’ – 2xy = (x – x³)· e^x2.

Произведем замену

y= u· v.

Дифференцируем это выражение по x:

Заменим в уравнении y’  и y выражениями через u и v, получим

Сгруппируем члены, содержащие функцию u, и вынесем эту функцию за скобки. Получим:

Найдем теперь такую функцию u, чтобы

При этом условии функция u(x) должна удовлетворять уравнению

Решим уравнение (1), разделив переменные:

По определению логарифма

Подставив найденное значение в уравнение ,получим следующий результат:

Это “дифур” с переменными, которые можно разделить,. Проинтегрировав его, получим следующее

ОР уравнения получим в виде

Пример 4.2. К линейному уравнению заменой z = y^1-α сводят уравнения

y’ + P(x) · y = Q(x) · y^α, α≠ 0, α≠ 1 (4.7), которое называется уравнением Бернулли.

Пример 4.3. Решить “дифур” со следующим начальным условием.

Имеем уравнение Бернулли. Разделив наш “дифур” на √y, получим

Сделаем замену  

Получим линейное уравнение

Из предыдущего следует

Тогда, искомое ОР “дифура” имеет такой вид

Перейдем к поиску частного решения, удовлетворяющего начальному условию y(0)= 4, отсюда

Тогда частное решение первоначального “дифура” имеет такой вид

Уважаемые студенты, записывайтесь на мои занятия и я помогу Вам разобраться с «Дифурами» раз и навсегда!
Онлайн репетитор Андрей Зварыч.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Изучение дифференциальных уравнений с помощью онлайн-курсов, занятий и уроков

Пройдите бесплатные онлайн-уроки по дифференциальным уравнениям от лучших школ и институтов на edX уже сегодня!

Что такое дифференциальные уравнения?

Дифференциальные уравнения — это уравнения, учитывающие любую функцию с ее производными. Эти уравнения часто используются для описания того, как вещи меняются с течением времени, помогая нам делать прогнозы и учитывать как начальные условия, так и эволюцию переменных. Дифференциальные уравнения используются для описания всевозможных природных явлений, но иногда их трудно решить. В чистой математике мы изучаем дифференциальные уравнения с разных точек зрения, а для более сложных уравнений мы используем возможности компьютерной обработки для аппроксимации решения. Дифференциальные уравнения включают много типов: линейные уравнения против нелинейных уравнений, обыкновенные дифференциальные уравнения против уравнений в частных производных и, наконец, однородные уравнения против неоднородных уравнений. Общие решения или исследование зависят от расшифровки типа уравнения.

Узнайте о дифференциальных уравнениях

Дифференциальные уравнения играют важную роль в нашем понимании большинства областей науки. Изучение их функций может помочь в ваших исследованиях и поможет рассказать о сложных природных явлениях. Различные типы дифференциальных уравнений могут использоваться для описания различных скоростей изменений в динамических системах. Приближение этих скоростей изменений дает вам преимущество в открытии. EdX.org предлагает курсы, разработанные в сотрудничестве с лидерами в области математики и естественных наук, которые могут познакомить вас с этими сложными уравнениями, не выходя из дома или офиса.

Курсы и сертификаты по дифференциальным уравнениям

Массачусетский технологический институт предлагает вводный курс по дифференциальным уравнениям. Вы научитесь решать уравнения первого порядка, автономные уравнения и нелинейные дифференциальные уравнения. Вы будете применять эти знания, используя такие вещи, как волновые уравнения и другие численные методы. Вы можете расширить эти знания с помощью курса 2×2 Systems Массачусетского технологического института, предназначенного для введения связанных дифференциальных уравнений. Вы поймете, как решать скорости изменения с помощью дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений. Вы можете продолжить изучение всей серии X, изучая все более и более сложные уравнения, включая дифференциальные уравнения второго порядка и частные производные. Оттуда вы можете пройти практические курсы, предназначенные для интеграции использования дифференциальных уравнений в практические приложения. МИСиС предлагает курс «Комплексный анализ с физическими приложениями», призванный дать вам возможность исследовать мир сложных уравнений. Или вы можете применить эти знания к творческим занятиям, используя эти уравнения для CGI с Мичиганским университетом.

Постройте карьеру, зная дифференциальные уравнения

Понимание сложной природы роста и изменений является важной частью исследований и разработок во многих научных областях. Скорость изменений может быть сложно предсказать, но при правильном знании математики вы можете делать более точные прогнозы, используя язык математики более высокого порядка. EdX и партнеры могут помочь вам расшифровать этот сложный язык и обрести уверенность в своих навыках.

18,03x Дифференциальные уравнения Программа XSeries

18.03x Дифференциальные уравнения

MITx

Чему вы научитесь

• Использование дифференциальных уравнений для моделирования реальных явлений
• Как решать линейные дифференциальные уравнения, а также как использовать матрицы методы решения системы дифференциальных уравнений
• Как использовать графические методы для понимания качественного поведения линейных и нелинейных систем
• Формулировать и решать задачи на собственные значения и собственные вектора
• Как решать ОДУ и разделимые УЧП, используя входные данные ряда Фурье и граничные условия 6 часов в неделю, в течение 14 недель

  Ученые и инженеры понимают мир через дифференциальные уравнения. Вы тоже можете.

  Просмотреть курс

• 2–5 часов в неделю, 10 недель

  Чтобы понять большинство явлений в мире, нам нужно понимать не просто отдельные уравнения, а системы дифференциальных уравнений. В этом курсе мы начинаем с систем 2×2.

  Посмотреть курс

• Начато 11 января 2023 г.
  5–8 часов в неделю, в течение 9 недель

  Узнайте, как использовать линейную алгебру и MATLAB для решения больших систем дифференциальных уравнений.

  Посмотреть курс

• Начато 22 марта 2023 г.
  5–8 часов в неделю, в течение 11 недель

  Научитесь использовать ряды Фурье для решения дифференциальных уравнений с периодическими входными сигналами и решения краевых задач, включающих уравнение теплопроводности и волновое уравнение.

  Просмотреть курс

• 3–6 часов в неделю, в течение 10 недель

  Введение в тайны частотной области и преобразования Лапласа и их использование для понимания механических и электрических систем.

Как перевести Word в JPG.: spayte — LiveJournal