Рубрика: Разное

основание и показатель степени. Онлайн калькулятор

Степень числа — это выражение, обозначающее краткую запись произведения одинаковых сомножителей.

Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например:

5 · 5 · 5 = 125.

Произведение  5 · 5 · 5  можно записать так:  5³  (пять в третьей степени). Выражение  5³  — это степень. Следовательно,

5 · 5 · 5 = 5³ = 125.

Рассмотрим выражение  5³ . В этом выражении число  5  — основание степени, а число  3  — показатель степени.

Основание степени — это повторяющийся множитель. Показатель степени — это число, указывающее количество повторений, то есть показатель степени показывает сколько одинаковых множителей содержится в произведении.

Читаются степени так:

• 7²  —  семь во второй степени.

  Вторую степень числа также называют квадратом этого числа. Следовательно, выражение 7² можно прочесть так: семь в квадрате или квадрат числа семь.

• 2³  —  два в третьей степени.

  Третью степень числа также называют кубом этого числа. Следовательно, выражение 2³ можно прочесть так: два в кубе или два куб.

• 6⁴  —  шесть в четвёртой степени.
• 10¹⁵  —  десять в пятнадцатой степени.
• aⁿ  —  a  в энной степени  или  a  в степени эн.

Пример. Записать в виде степени:

a) 5 · 5;

б) 10 · 10 · 10 · 10;

в) 8 · 8 · 8.

Решение:

a) 5 · 5 = 5²;

б) 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴;

в) 8 · 8 · 8 = 8³.

Возведение в степень

Возведение числа в степень — это вычисление произведения одинаковых множителей. Например, возвести число  2  в третью степень  (2³)  — это значит найти произведение  2 · 2 · 2 , то есть

2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

Результат возведения в степень называется степенью (также как и само выражение, значение которого вычисляется). В выражении:

2³ = 8,

2  — это основание степени,  ³  — показатель степени,  8  — степень.

Пример. Вычислите:

a) 11²;

б) 2⁵;

в) 10⁴.

Решение:

a) 11² = 11 · 11 = 121;

б) 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32;

в) 10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.

Выражения со степенями. Порядок действий

Если выражение не содержит скобки и содержит степени, то сначала выполняется возведение в степень в порядке следования степеней (слева направо), а затем все остальные арифметические действия. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках, с учётом всех правил порядка выполнения действий.

Рассмотрим два выражения:

5² + 2²

и

(5 + 2)²

В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае сначала выполняется возведение в степень, а затем вычисляется сумма. Во втором случае сначала вычисляется сумма, а затем результат возводится в квадрат.

5² + 2² = 25 + 4 = 29,

(5 + 2)² = 7² = 49.

Пример 1. Найти значение выражения:

5 · (10 — 8)³.

Решение: Сначала выполняется действие, заключённое в скобки:

1) 10 — 8 = 2.

Затем, по правилам порядка действий, выполняется возведение в степень:

2) 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

И последним действием вычисляется произведение:

3) 5 · 8 = 40.

Ответ:  5 · (10 — 8)³ = 40.

Пример 2. Вычислить:

a) (4 + 2) · 3²;

б) 3 · 5² — 50;

в) 3 · 4 + 6².

Решение:

a) (4 + 2) · 3² = 54

1. 4 + 2 = 6
2. 3² = 9
3. 6 · 9 = 54

б) 3 · 5² — 50 = 25

1. 5² = 25
2. 3 · 25 = 75
3. 75 — 50 = 25

в) 3 · 4 + 6² = 48

1. 6² = 36
2. 3 · 4 = 12
3. 12 + 36 = 48

Калькулятор возведения в степень

Данный калькулятор поможет вам выполнить возведение в степень. Просто введите основание с показателем степени и нажмите кнопку Вычислить.

Калькулятор степеней онлайн

Онлайн калькулятор степеней вычислит степень как отрицательных, так и положительных чисел. Чтобы записать степень и число можно использовать: целые, десятичные и дробные числа (5, -7, 2.36, 1/2, -4/9).

Правила возведения числа в степень

Возведение числа в натуральную степень

Возвести число в целую степень означает умножить число a само на себя n-раз.
Обозначение: aⁿ, где а — основание степени, n — показатель степени.
Например, 4³ = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64

Возведение числа в целую степень

Целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными. Посмотрим, как возвести число в отрицательную степень.
При первом знакомстве с отрицательной степенью может быть непонятно как, например возвести число 5 в степень -2, выглядит бессмысленно, так как нельзя умножить число 5 само на себя -2 раза. На такой случай в математике можно применить правило
a^-n = 1 : a^m.
Например, 4^-3 = 1 : 4³ = 0.015625

Возведение числа в дробную степень

Возвести положительное действительное число a в степень m/n, означает извлечь корень n-ой степени из числа a в степени m.
a^m/n = ⁿ√a^m
Например, 6^2/3 = ³√6² = 3.3019272
(2.3)^-2/7 = ⁷√(2.3)^-2 = 0.7882232
Запомните, чтобы возвести число в дробную степень, это число должно быть положительным. Основание a может быть отрицательным только в том случае, если дробная степень не является действительным числом. Поэтому возведение в вещественную степень (положительную или отрицательную) определенно только для a > 0. Для отрицательных чисел в случае вещественной степени в результате вычисления получаются комплексные числа.

как возвести число в дробную степень примеры

Видео: Как возвести число в дробную степень примеры

Как вообще считать числа в степени дроби!?

Как возвести число в степень примеры

8^1/3 = ³√8 =2

Возвести число в дробную степень онлайн калькулятор.

Написать что-нибудь…

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

• 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
• 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
• 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
• 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
• 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

• an * am = (a)(n+m),
• an : am = (a)(n-m),
• (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.

(23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

• 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
• 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

• при наличии скобок – начинать нужно с них,
• затем возведение в степень,
• потом выполнять действия умножения, деления,
• после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1…и т. д.

A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

• А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
• А˃1.

Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа,

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r1 – в этом случае равно 3,

r2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1π = 1.

А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.

А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Как посчитать число в большой степени

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Возведение в степень – это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени ( 0 , 5 ) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите – 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: ( − 2 ) 4 = ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ ( 3 , 14 ) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ ( 3 , 14159 ) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени ( ln 6 ) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, ( − 9 ) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени – целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , ( – 2 , 56 ) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 – не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а – любое число, а z – целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Возведите 2 в степень – 3 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 – 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8 : 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 – 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень – 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 – 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло ( 1 , 43 ) – 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: ( 1 , 43 ) – 2 = 10000 20449

Отдельный случай – возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a – 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 – 1 = 13 9 6 4 – 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 – 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 – 2 3 = 8 – 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 – 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 – 2 3 = 8 – 2 3 = 8 3 – 2

После этого извлечем корень 8 3 – 2 = 2 3 3 – 2 = 2 – 2 и результат возведем в квадрат: 2 – 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь – 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями – довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную – значения не имеет: 0 – 4 3 .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.(2⋅24) ≡ 436(mod541)
.

Заранее могу сказать, что посчитал он правильно, однако сам способ вычисления я совершенно не понял.

Какие подходы задействованы для вычисления:
а) большой степени
б) откуда взялось деление с остатком?
в) не понял суть знака «тождественно равно» (вики прочитал, но разницы от обычного знака равенства не уяснил)

• Вопрос задан более года назад
• 602 просмотра

Большую степень не вычисляют в лоб, тем более, что при выполнении действий в модульной арифметике её не нужно хранить целиком, достаточно хранить остаток от деления на известное постоянное число. Знак «тождественное равенство» используется как знак равенства в модульной арифметике, если модуль указан отдельно, поскольку сами числа, естественно, не равны.

Дискретное логарифмирование – формально, задача на пространстве решений, на котором можно применять модульную арифметику над многочленами или числами, с некоторым простым числом в качестве размера множества, частного для деления по модулю и вообще.b – произведение степеней одного числа равно степени числа в сумме показателей (забыл точное название). Второе (x*y) mod n = (x mod n)*(y mod n) – неважно, когда брать остаток, в начале или в конце. В итоге возведение числа 2 в большую степень по модулю N выполняется так: в результат заносится 1, в аргумент 2, потом в цикле по разрядам показателя если текущий двоичный разряд показателя 1, результат множится на аргумент и берется остаток по модулю N, который кладется в результат, а аргумент потом умножается на себя и остаток аргумента по модулю N кладется в аргумент.

Итого: аргумент принимает последовательно значения 2, 4, 16, 256, 65536 mod 541 = 75, 75*75 mod 541 = 215, а результат – 1, 1, 1, 1, 75, 75*215 mod 541 = 436.

Предлагаем попробовать наш калькулятор степеней, который поможет возвести в степень онлайн любое число.

Использовать калькулятор очень просто — введите число, которое вы хотите возвести в степень, а затем число — степень и нажмите на кнопку «Посчитать».

Примечательно то, что наш онлайн калькулятор степеней может возвести в степень как положительную, так и отрицательную. А для извлечения корней на сайте есть другой калькулятор.

Как возвести число в степень.

Давайте рассмотрим процесс возведения в степень на примере. Пусть нам необходимо возвести число 5 в 3-ю степень. На языке математики 5 — это основание, а 3 — показатель (или просто степень). И записать это можно кратко в таком виде:

Возведение в степень

А чтобы найти значение, нам будет необходимо число 5 умножить на себя 3 раза, т. е.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Соответственно, если мы хотим найти значение числа 7 в 5 степени, мы должны число 7 умножить на себя 5 раз, т. е. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Другое дело когда требуется возвести число в отрицательную степень.

Как возводить в отрицательную степень.

При возведении в отрицательную степень необходимо использовать простое правило:

как возводить в отрицательную степень

Все очень просто — при возведении в отрицательную степень мы должны поделить единицу на основание в степени без знака минус — т. е. в положительной степени. Таким образом, чтобы найти значение
2 -3

Онлайн калькулятор: Вычисление корней полинома

Калькулятор вычисляет вещественные корни полинома с целыми или рациональными коэффициентами. Для полинома степени меньше 5 используются аналитические формулы, для полиномов более высоких степеней применяется численный метод. Перед вычислением корней делается попытка разложения исходного многочлена на множители свободные от квадратов. Для иллюстрации отображается график, определяемый полиномом функции. Функция проверяется на четность и нечетность для сокращения области вычислений корней.

Вычисление корней многочлена любой степени

Коэффициенты многочлена, разделенные пробелом.

Знаков после запятой: 5

Входной многочлен

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить close

График

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Алгоритм вычисления вещественных корней полинома любой степени

• Выполняется проверка на четность — если f(x) = f(-x) — функция четная, если f(x)=-f(-x) — функция нечетная, для этих случаев корни можно искать только в положительной области, отрицательные корни — это положительные с обратным знаком. В противном случае — корни ищутся и в отрицательной и в положительной области
• Многочлен раскладывается на свободные от квадратов множители при помощи алгоритма Юна Разложение многочлена на свободные от квадратов множители.
• Каждый множитель, полученный на предыдущем шаге представляет собой многочлен, который решается аналитически если степень<5:
• • Для многочлена 1-й степени — корень — это свободный член с противоположным знаком, деленный на коэффициент при x
• Если степень многочлена больше или равна 5, применяются численные методы
• • Для работы численных методов необходимо уточнить области локализации корней, для этого мы используем алгоритм VAS-CF: Изоляция корней многочлена. Если многочлен четный или нечетный, то для поиска берем только положительную область.
• • Далее для каждого интервала изоляции находится корень методом: Метод бисекции
• • Если многочлен четный или нечетный добавляем в результат полученные ранее корни с противоположным знаком

Остаток числа в степени по модулю

Рассмотрим одну из задач часто встречающейся в арифметике и теории чисел, которую можно выразить  несколькими примерами.

Какой остаток  будет у следующих чисел

если их попытаться разделить на число 31?

И если первый пример  можно решить на калькуляторе, так сказать » в лоб, не думая», то как Вы будете решать третий пример, это для некоторых очень не тривиальная задача.

Что же такое остаток? Остаток в данном случае — это такое число(по абсолютному значению меньше модуля!), отняв которое из исходного числа, полученный результат будет делится нацело на модуль ( в нашем примере модуль это число 31)

То есть, если обозначим остаток буквой Х получим  (в первом примере ) что число  делится нацело (без остатка) на модуль

Или в другой, записи более привычной 

 где M — модуль

Как же решать подобные задачи?

Для этого нам надо знать несколько  свойств из теории чисел, которые покажем на втором примере  

1. 

Даже объяснять неохота, выносим -1 за «скобки» ( отдельным множителем) и можем сразу посчитать. Если степень числа (321) четная то результат равен 1, если нечетная то -1.

2.

Если  число можно представить в виде двух и более сомножителей то, остаток от этого числа будет равен произведению остатков от сомножителей по этому же модулю.

3.

Прибавив или отняв от любого сомножителя  целое количество модуля — остаток не изменится.

4. 

Тоже ничего сложного, просто преобразовали степень. Обычное свойство степеней.

5. 

Здесь мы возвели -5 в куб и воспользовались 3 правилом, прибавив к нему 4 раза модуль

6. 

Воспользовавшись  первым правилом, получили что наш ответ 1

То есть можем утверждать что   есть целое число.

7. Последнее правило гласит, что формально, всегда существует два остатка и они равноценны. В нашем примере это 1 и -30, так как  тоже целое число.

Надеюсь это небольшой пример разбора, дал Вам методику решения подобных задач.

А бот, который создан, поможет  Вам легко узнавать правильность решения подобных задач или,  если Вы преподаватель, легко и точно генерировать задачи для учеников.

Синтакис для XMPP клиентов

modul число степень модуль

число — отрицательное или положительное, целое число

степень — только положительная целая степень.

модуль — положительное целое число.

каждый элемент может содержать до 19 цифр ( вообще я не знаю на какой длине, могут возникнуть ошибки, но при (до) 19 символах все работает хорошо)

поэтому нет ничего страшного найти остаток вот от такого «монстра»

кто хочет может умножать на калькуляторе 🙂

ответ 3848922529426

Если же Вы вдруг  нашли ошибку или у Вас есть пожелания или вопросы, не стесняйтесь обращайтесь Обратная связь с разработчиками бота.

Интересные факты

Утверждается, что если P — число простое то выполняется вот такое равенство

Это условие необходимое(то есть применимо ко всем простым числам) но не достаточное ( то есть есть составные числа для которых эта формула тоже действительна)

Красивое выражение было найдено пока тестировал бота ( для 2014 года) 🙂

На 31 мая 2018 года еще нашлось кое что интересное

Смотрите

Удачных расчетов!

• Пересечение окружности и прямой.Координаты. >>

— Онлайн-калькулятор отрицательных показателей

‘Калькулятор отрицательных показателей Cuemath’ — это онлайн-инструмент, который помогает вычислить решение для значения отрицательной экспоненты.

Что такое калькулятор отрицательных показателей?

Cuemath поможет вам рассчитать решение для отрицательного значения показателя за несколько секунд.

ПРИМЕЧАНИЕ. Введите значение отрицательной степени до 10.

Калькулятор автоматически принимает отрицательный знак в отрицательном значении экспоненты.Следовательно, нет необходимости вводить отрицательный знак вместе со значением.

Как использовать калькулятор отрицательных показателей?

Пожалуйста, выполните следующие шаги, чтобы вычислить решение для отрицательного значения показателя степени:

• Шаг 1: Введите базовое значение в данное поле ввода.
• Шаг 2: Введите значение отрицательной экспоненты в данное поле ввода.
• Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти решение для отрицательного значения степени
• Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы найти решение для различных значений основных и отрицательных значений показателей.4

  = 1 / 3x3x3x3

  = 1/81

  = 0,012

  Аналогично можно попробовать калькулятор на

  1) Найдите степень 8 -9 2) Найдите степень 7 -5

  отрицательных экспонент: 8 вещей, которые нужно знать вашим ученикам

  отрицательные экспоненты: 8 вещей, которые нужно знать вашим ученикам | Prodigy Education

  Категория

  • Стратегии преподавания
  • Инструменты обучения
  • Без категории
  Многим ученикам уже трудно понять отрицательные числа, правила экспонент и дроби.Так что же произойдет, если к уравнению прибавить отрицательных показателей ? Полный хаос. Ну не совсем. Но понимание отрицательных показателей — это , важный строительный блок для математических курсов в старших классах, и это также концепция, которую многие студенты считают сложной. Постепенно наращивая знания учеников, вы убедитесь, что они готовы решать сложные задачи в классе и за его пределами. Если вы не знаете, с чего начать, этот пост в блоге поможет вам преобразовать свой блок в негативном свете. в положительный опыт для вас и ваших учеников! Мы рассмотрим:

  Правила отрицательных показателей

  Как и все остальное в классе математики, отрицательные показатели должны соответствовать правилам.Если вам нужно напоминание, вот краткое изложение семи правил экспонент:
  1. Произведение степеней : сложение степеней при умножении подобных оснований
  2. Правило отношения степеней : вычитание степеней при делении подобных оснований
  3. Правило силы степеней : Умножение степеней вместе при возведении степени на другой показатель
  4. Правило степени произведения : Распределение мощности на каждую основу при возведении нескольких переменных в степень
  5. Правило степени частного : Распределение власти к каждой базе при возведении нескольких переменных в степень
  6. Правило нулевой степени : Любое основание, возведенное в степень нуля, становится единицей
  7. Правило отрицательной экспоненты : Чтобы изменить отрицательную экспоненту на положительную, переверните ее в взаимный.
  Напомните учащимся, что правила для отрицательных показателей остаются неизменными — возможно, потребуется выполнить несколько дополнительных шагов.

  Быстрый просмотр отрицательных чисел

  Отрицательные числа требуют определенного абстрактного мышления, которое не всегда приходит естественно. Но без твердого понимания отрицательных чисел учащиеся не будут готовы к работе с отрицательными показателями. Вот краткий обзор: Отрицательное число — это любое число меньше нуля. Отрицательные числа обозначаются отрицательным знаком.Например, -4 на четыре меньше нуля. Полезно думать, что отрицательные числа присутствуют в числовой строке: когда вы складываете и вычитаете отрицательные числа, вы перемещаетесь либо вправо, либо влево от числовой линии. Когда вы вычитаете отрицательное число, вы перемещаетесь влево от числовой строки, потому что это то же самое, что добавить положительное число. Если вы добавляете отрицательное число, вы перемещаетесь вправо, потому что это то же самое, что вычитание положительного числа. Когда вы умножаете отрицательное число на положительное (или наоборот), произведение будет отрицательным.Если вы умножите два отрицательных числа или два положительных числа, результат будет положительным. Умножение разных знаков всегда дает отрицательное произведение, а умножение одних и тех же знаков дает положительное произведение. Всегда предполагайте, что число положительное, если перед ним нет знака.

  Что означают отрицательные показатели?

  Мы уже знаем, что положительные показатели — это способ выражения многократного умножения. Например: есть несколько разных способов думать об отрицательных показателях, но в целом отрицательных показателей являются противоположностью положительных.

  |

  Все отрицательные показатели могут быть выражены как положительные , обратные . Обратное число — это дробь, в которой числитель и знаменатель меняются местами. Как можно что-то превратить в обратную, если вначале это не была дробь? Мы знаем, что числа могут быть выражены более чем одним способом. Например, восемь также можно записать как: Итак, отрицательные показатели могут быть выражены как положительная величина, обратная основанию, умноженному на себя x раз. Чем больше отрицательный показатель степени, тем меньшее число он представляет. В то время как положительные показатели указывают на повторное умножение, отрицательные показатели представляют собой повторяющееся деление. Поэтому 2 ^-3 больше 2 ^-6 .

  |

  Как решить отрицательные показатели

  В большинстве вопросов вам будет предложено решить отрицательные показатели, выразив их в виде положительных уравнений . Вот как: переверните основание и показатель степени в обратную величину, а затем решите знаменатель. Разделите числитель на знаменатель, чтобы найти последний десятичный знак.

  Умножение и деление отрицательных показателей

  Мы уже рассмотрели умножение показателей показателей, но вот краткий обзор того, как умножать и делить отрицательные показатели.

  Умножение отрицательных показателей

  Хорошие новости! Правила умножения показателей такие же, даже если показатель отрицательный. Если основания совпадают, добавьте экспоненты. Помните о правилах сложения и вычитания отрицательных чисел. Если основания разные, но экспоненты одинаковые, умножьте основания и оставьте экспоненты такими, какие они есть.Если ничего общего нет, переходите непосредственно к решению уравнения. Переверните экспоненты в их обратные числа, а затем умножьте. Если вам нужно напоминание, посмотрите наш пост о том, как умножать дроби.

  Деление отрицательных показателей

  Деление отрицательных показателей почти то же самое, что их умножение, за исключением того, что вы делаете обратное: вычитаете, где бы вы добавили, и делите, где вы бы умножили. Если основания одинаковые, вычтите показатели степени. Не забудьте перевернуть показатель степени и сделать его положительным, если необходимо.Если показатели такие же, но основания разные, сначала разделите основания. Если между ними нет ничего общего, переходите непосредственно к решению уравнения. Чтобы узнать больше о делении дробей, ознакомьтесь с нашим сообщением в блоге «Как разделить дроби».

  Отрицательные числа с показателями

  Что произойдет, если основание отрицательное, а не показатель степени? Если показатель степени положительный, работайте с ним, как с обычным показателем, но помните две вещи:
  • Если основание отрицательное, а показатель степени равен четное число, конечным результатом всегда будет положительное число.
  • Если основание отрицательное, а показатель степени — нечетное число, конечным продуктом всегда будет отрицательное число.
  Если отрицательное основание заключено в круглые скобки, степень применяется ко всему уравнению, включая отрицательный знак. Если скобок нет, степень применяется только к основанию, а не к отрицательному знаку. Поскольку в первом примере возводится в четное значение, два отрицательных знака отменяются, и вы получаете положительный результат.Если бы показатель степени был нечетной степенью, произведение было бы отрицательным, потому что было бы одно число, которое не могло быть сокращено. Во втором примере положительная степень применяется только к четырем, а не к отрицательному знаку. В этом случае отрицательный знак говорит о том, что продукт будет отрицательным независимо от того, четная или нечетная степень.

  Упрощение отрицательных показателей

  Умножение, деление и понимание отрицательных показателей — это первый шаг к упрощению выражений с отрицательными показателями. Помните: все шаги, описанные выше, верны независимо от того, насколько сложным является выражение. Давайте начнем с умножения отрицательных показателей на переменные. В этом примере степень применяется только к основанию x, а не к 4. Чтобы сделать его положительным выражением, переверните x на обратную величину и оставьте 4 сверху. Давайте попробуем что-нибудь посложнее. Переменные здесь такие же, поэтому в соответствии с правилом первой экспоненты мы можем умножать числа, сохранять основание и складывать показатели вместе. Умножив 6 и 4, получим произведение 24. Затем сложим показатели вместе, чтобы получилось умножьте переменные x.А как насчет деления отрицательных показателей на переменные? Начнем с простого примера: чтобы сделать отрицательную экспоненту положительной, переместите ???? в начало уравнения и умножьте. Вот пример отрицательного показателя степени с несколькими переменными: поскольку отрицательный показатель степени применяется только к переменной, переместите 𝑥-4 в конец уравнения, чтобы сделать его положительным, и оставьте 6 там, где оно есть. И вот ваше упрощенное уравнение! Давайте попробуем другой. Во-первых, перераспределим мощность внутри скобок, следуя правилу третьей степени.Затем переверните переменные 𝑥 с отрицательными показателями в обратную сторону. Наконец, умножьте переменные 𝑥, сложив показатели вместе. Давайте сделаем еще одно. Для начала возведите уравнение в квадрат или сначала переместите скобки. Начнем с того, что возведем верхнюю скобку в квадрат и перераспределим власть. Затем переместите отрицательные показатели вниз или вверх, в зависимости от их положения. Отрицательная экспонента сверху может быть перенесена в нижнюю, так что получается обратная величина, и наоборот. Закончите упрощением. Часто есть несколько способов упростить выражения с отрицательной экспонентой. Поскольку показатели — это повторяющееся умножение, и вы можете умножать числа в любом порядке, разные шаги могут привести к одному и тому же результату.

  Дроби с отрицательными показателями

  Мы знаем, что делать с целыми числами с отрицательными показателями, но как насчет дробей с отрицательными показателями? Чтобы упростить дроби с отрицательными показателями, переверните их в обратные, умножьте и уменьшите .

  Как обучать отрицательным показателям с помощью Prodigy

  Студентам понравится практиковать отрицательные показатели с помощью Prodigy: бесплатной математической платформы, соответствующей учебной программе, с экзотическими домашними животными, веселыми задачами и образовательными приключениями.Отрицательные показатели — важная концепция, которую ученики должны усвоить, прежде чем они пойдут в старшую школу, но многие ученики не могут понять ключевые концепции. Используя мощные инструменты отчетности на панели Teacher Dashboard , вы увидите, какие темы усвоили ваши ученики, а где им нужно больше практики. Функции Prodigy’s Assignments, Plan и Test Prep позволяют назначать целевую математическую практику учащимся, которые не успевают на или .Вы будете получать данные в режиме реального времени, пока учащиеся играют, и сможете выполнять дифференцированные задания, соответствующие тому, что вы преподаете в классе. Вы можете использовать Prodigy для: Лучше всего? Эти инструменты абсолютно бесплатны для учителей и студентов. Чтобы узнать больше о согласовании Prodigy с вашим классом, узнайте, как вы можете использовать индивидуальные планы для улучшения содержания вашего урока.

  Заключительные мысли об отрицательных показателях

  Если вы хотите больше попрактиковаться в показателях экспоненты в целом, наша таблица правил экспонент дает учащимся возможность лучше узнать, как работают экспоненты.При работе с отрицательными показателями важно помнить, что все правила экспоненты остаются неизменными. Помимо этого, студентам нужно только знать, как складывать, вычитать, умножать и делить отрицательные числа. Не торопитесь и переходите к более сложным вопросам. Ваши ученики станут мастерами экспонента в кратчайшие сроки!

  ---

  Начните обучать отрицательных экспонентов с Prodigy уже сегодня. Prodigy — это бесплатная математическая платформа, соответствующая учебному плану, которая побуждает учащихся любить изучение математики. Prodigy с более чем миллионом учителей и 50 миллионами студентов предлагает уникальные решения для вашего класса.

  Отрицательные экспоненты

  Экспоненты

  также называются степеней или индексов

  Давайте сначала посмотрим, что такое «экспонента»:

  	Показатель степени числа говорит , сколько раз использовать число при умножении. В этом примере: 8 2 = 8 × 8 = 64
  На словах: 8 2 можно назвать «8 во второй степени», «8 в степени 2» или просто «8 в квадрате»

  Пример:

  5 ³ = 5 × 5 × 5 = 125

  Прописью: 5 ³ можно назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто «5 кубов»

  В целом :

  a n говорит вам использовать a в умножении n раз:

  Но это положительных показателей , как насчет чего-то вроде:

  8 ^-2

  Этот показатель равен отрицательным … что это означает?

  Отрицательные экспоненты

  Отрицательно? Что может быть противоположностью умножения? Разделение!

  Деление — это обратное (противоположное) деление Умножение .

  Отрицательная экспонента означает, сколько раз до разделите на число.

  Пример: 8 ^-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125

  Или много делений:

  Пример: 5 ^-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008

  Но это можно сделать и проще:

  5 ^-3 также можно рассчитать как:

  1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5 ³ = 1/125 = 0,008

  Последний пример показал более простой способ работы с отрицательными показателями:

  • Вычислить положительный показатель степени (a ⁿ )
  • Затем возьмите Reciprocal (т.е. 1 / а ^н )

  Чтобы изменить знак (плюс на минус или минус на плюс) экспоненты ,
  используйте Reciprocal (т.е. 1 / a ⁿ )

  Итак, что насчет 8 ^-2 ?

  Пример: 8 ^-2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/8 ² = 1/64 = 0,015625

  Другие примеры:

  Отрицательная экспонента		Взаимное значение положительной экспоненты		Ответ
  4 -2	=	1/4 2	=	1/16 = 0.0625
  10 -3	=	1/10 3	=	1/1000 = 0,001

  Все имеет смысл

  Мой любимый метод — начать с «1», а затем умножить или разделить столько раз, сколько указано в экспоненте, тогда вы получите правильный ответ, например:

  Пример: Полномочия 5
  	.. пр.
  5 2	1 × 5 × 5	25
  5 1	1 × 5	5
  5 0	1	1
  5 -1	1 ÷ 5	0.2
  5 -2	1 ÷ 5 ÷ 5	0,04
  	.. и т.д ..

  Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите, что положительный, нулевой или отрицательный показатель степени на самом деле являются частью одного и того же (довольно простого) паттерна.

  Калькулятор отрицательного логарифма

  — Найдите отрицательный логарифм числа

  Добро пожаловать в калькулятор отрицательного логарифма Omni.Используя этот калькулятор, вы можете найти отрицательный логарифм любого числа с любым выбранным основанием. Подробнее о логарифмах и о том, как найти отрицательный логарифм числа, читайте в описании, приведенном ниже.

  Почему нам нужно знать логарифмы?

  Вы знаете, сколько двоек нужно умножить, чтобы получить 8?

  Ответ прост; 2 3 = 8 , т.е. вам нужно умножить три двойки вместе, чтобы получить 8.

  Но что, если мы попросим вас вычислить количество семерок, которое нужно умножить, чтобы получить 5 764 801? Уже не так просто, правда?

  Благодаря шотландскому математику Джону Напье , который изобрел логарифмы в качестве инструмента вычислений в 16 веке, мы можем обрабатывать числовые выражения, которые включают умножение или деление больших чисел.

  Логарифмы широко используются в химии, физике, математике и инженерных задачах для легкого решения сложных вычислений.

  Прежде чем идти дальше, давайте сначала попробуем понять, что такое логарифм!

  Что такое логарифм?

  Для любого положительного действительного числа a и любого рационального числа n пусть a n = b где b — тоже действительное число.

  Мы можем сказать, что n-я степень основания a равна b или что нам нужно умножить a на себя n раз, чтобы получить b .Мы также можем сказать, что логарифм от b до основания a равен n и математически выразить это как:

  журнал a (b) = n

  Чтобы понять это на примере, вернемся к нашей первой проблеме.

  Мы знаем, что 2 3 = 8 , то есть журнал 2 (8) = 3 . Следовательно, мы можем сказать, что логарифм 8 по основанию 2 равен 3.

  Вы, должно быть, уже поняли, что 3 — это показатель степени 2.Следовательно, при вычислении логарифма числа мы просто пытаемся определить показатель степени, до которого должно быть увеличено основание, чтобы получить это число .

  Чтобы найти ответ на нашу вторую проблему, вы можете использовать наш калькулятор журнала. Вы также можете воспользоваться нашим калькулятором антилогарифма, чтобы найти антилог любого числа.

  Как считать отрицательные логарифмы?

  Чтобы вычислить отрицательный логарифм числа, нам нужно определить, сколько раз мы должны разделить 1 на основание, чтобы получить это число, т.е.е.,

  -log a (b) = n
log a (1 / b) = n

  или

  1 / a n = b

  Отрицательные логарифмы часто используются в аналитической химии для определения pH водных растворов.

  Также помните, что отрицательный логарифм числа и логарифм отрицательного числа — это не одно и то же , то есть

  .

  -log a (b) ≠ log a (-b)

  Логарифм отрицательного действительного числа не определен .Подробнее о том, как найти логарифм комплексных чисел, вы можете прочитать в этом сообщении на github.

  Пример вычисления отрицательного журнала

  Чтобы продемонстрировать, как найти отрицательный логарифм любого числа с помощью нашего онлайн-калькулятора отрицательного логарифма , давайте вычислим значение -log 2 (8) :

  1. Введите число, для которого нужно вычислить отрицательный логарифм, т. Е. 8 в первой строке.
  2. Введите основание, то есть 2 во второй строке.
  3. Если вы хотите вычислить натуральный логарифм, используйте е в качестве основы.
  4. Отрицательное значение журнала, то есть -3, появляется в последней строке.

  FAQ

  Может ли лог быть отрицательным?

  Да, , логарифм числа может быть положительным, отрицательным или даже нулевым.

  Можете ли вы взять журнал отрицательного числа?

  Нет , лог отрицательного числа брать нельзя. Как обсуждалось ранее, функция журнала log a (b) = n является обратной функцией экспоненты a n = b , где основание a> 0 .Поскольку основание a , возведенное в любой показатель степени n , положительно, число b должно быть положительным. Логарифм отрицательного числа b не определен.

  Может ли основание бревна быть отрицательным?

  № . Основание логарифмической функции также является основанием экспоненциальной функции. Если возвести отрицательное число (например, -2) до любого рационального числа, не являющегося целым (скажем, 1/2), мы можем получить мнимое число ( (√2) i ).Поскольку логарифмы определены для действительных чисел, основание функции журнала должно быть положительным .

  Однако можно определить логарифм мнимого числа или отрицательного числа, используя тождество Эйлера.

  Отрицательные показатели | Justfreetools

  Как рассчитать отрицательные показатели.

  Правило отрицательных показателей

  Основание b в степени минус n равно деленному на единицу. по основанию b в степени n:

  b ^-n = 1/ b ⁿ

  Пример отрицательной экспоненты

  Основание 2 в степени минус 3 равно деленному на 1 по основанию 2 в степени 3:

  2 ^-3 = 1/2 ³ = 1 / (2⋅2⋅2) = 1/8 = 0.125

  Дробные отрицательные показатели

  База b в степени минус n / m равна деленному на единицу по основанию b в степени н / м:

  b ^{-н / м} = 1/ b ^{н / м} = 1/ ( ^м √ b ) ⁿ

  Основание 2 в степени минус 1/2 равно деленному на единицу. по основанию 2 в степени 1/2:

  2 ^-1/2 = 1/2 ^1/2 = 1/ √ 2 = 0.7071

  Дроби с отрицательной степенью

  База a / b в степени минус n равна деленной единице. по основанию a / b в степени n:

  ( a / b ) ^{— n} = 1 / ( a / b ) ⁿ = 1 / ( a ⁿ / b ⁿ ) = b ⁿ / a ⁿ

  Основание 2 в степени минус 3 равно деленному на 1 по основанию 2 в степени 3:

  (2/3) ^-2 = 1 / (2/3) ² = 1 / (2 ² /3 ² ) = 3 ² /2 ² = 9/4 = 2.25

  Умножение отрицательных показателей

  Для показателей с одинаковым основанием можно добавить показатели:

  a ^-n ⋅ a ^-m = a ^{— (п + т )} = 1 / а ^{н + м}

  Пример:

  2 ^-3 ⋅ 2 ^-4 = 2 ^{— (3 + 4)} = 2 ^-7 = 1/2 ⁷ = 1 / (2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2) = 1/128 = 0.0078125

  Когда основания разные, а показатели a и b равны то же самое, мы можем сначала умножить a и b:

  a ^-n ⋅ b ^-n = ( a ⋅ b ) ^-n

  Пример:

  3 ^-2 ⋅ 4 ^-2 = (3⋅4) ^-2 = 12 ^-2 = 1/12 ² = 1 / (12⋅12) = 1/144 = 0,0069444

  Когда основания и показатели различаются, мы должны вычислить каждый показатель, а затем умножить:

  a ^-n ⋅ b ^-m

  Пример:

  3 ^-2 ⋅ 4 ^-3 = (1/9) ⋅ (1/64) = 1 / 576 = 0.0017361

  Деление отрицательной степени

  Для показателей с одинаковым основанием следует вычесть экспонентов:

  a ⁿ / a ^m = a ^n-m

  Пример:

  2 ⁶ /2 ³ = 2 ^6-3 = 2 ³ = 2⋅2⋅2 = 8

  Когда основания разные, а показатели a и b равны то же самое, мы можем сначала разделить a и b:

  a ⁿ / b ⁿ = ( a / б ) ^н

  Пример:

  6 ³ /2 ³ = (6/2) ³ = 3 ³ = 3⋅3⋅3 = 27

  Когда основания и показатели различаются, мы должны вычислите каждый показатель, а затем разделите:

  a ⁿ / b ^м

  Пример:

  6 ² /3 ³ = 36/27 = 1.333

  ---

  В настоящее время у нас есть около 944 калькуляторов, таблиц преобразования и полезных онлайн-инструментов и программных функций для студентов, преподавателей и учителей, дизайнеров и просто для всех.

  На этой странице вы можете найти финансовые калькуляторы, ипотечные калькуляторы, калькуляторы для кредитов, калькуляторы для автокредитов и калькуляторы лизинга, калькуляторы процентов, калькуляторы платежей, пенсионные калькуляторы, калькуляторы амортизации, инвестиционные калькуляторы, калькуляторы инфляции, финансовые калькуляторы, калькуляторы налога на прибыль , калькуляторы сложных процентов, калькулятор заработной платы, калькулятор процентной ставки, калькулятор налога с продаж, калькуляторы фитнеса и здоровья, калькулятор BMI, калькуляторы калорий, калькулятор телесного жира, калькулятор BMR, калькулятор идеального веса, калькулятор темпа, калькулятор беременности, калькулятор зачатия беременности, срок родов калькулятор, математические калькуляторы, научный калькулятор, калькулятор дробей, калькуляторы процентов, генератор случайных чисел, калькулятор треугольников, калькулятор стандартного отклонения, другие калькуляторы, калькулятор возраста, калькулятор даты, калькулятор времени, калькулятор часов, калькулятор GPA, калькулятор оценок, конкретный калькулятор, подсеть калькулятор, генерация паролей калькулятор преобразования и многие другие инструменты, а также для редактирования и форматирования текста, загрузки видео с Facebok (мы создали один из самых известных онлайн-инструментов для загрузки видео с Facebook).Мы также предоставляем вам онлайн-загрузчики для YouTube, Linkedin, Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok и других социальных сетей (обратите внимание, что мы не размещаем видео на своих серверах. Все загружаемые вами видео загружаются с Facebook, YouTube, Linkedin, CDN в Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok. Мы также специализируемся на сочетаниях клавиш, кодах ALT для Mac, Windows и Linux и других полезных советах и ​​инструментах (как писать смайлы в Интернете и т. Д.)

  В Интернете есть много очень полезных бесплатных инструментов, и мы будем рады, если вы поделитесь нашей страницей с другими или отправите нам какие-либо предложения по другим инструментам, которые придут вам в голову.Также, если вы обнаружите, что какой-либо из наших инструментов не работает должным образом или вам нужен лучший перевод — сообщите нам об этом. Наши инструменты сделают вашу жизнь проще или просто помогут вам выполнять свою работу или обязанности быстрее и эффективнее.

  Это наиболее часто используемые пользователями по всему миру.

  И мы все еще развиваемся. Наша цель — стать универсальным сайтом для людей, которым нужно быстро производить расчеты или которым нужно быстро найти ответ на базовые конверсии.

  Кроме того, мы считаем, что Интернет должен быть источником бесплатной информации. Таким образом, все наши инструменты и услуги полностью бесплатны и не требуют регистрации. Мы кодировали и разрабатывали каждый калькулятор индивидуально и подвергали каждый строгому всестороннему тестированию. Однако, пожалуйста, сообщите нам, если вы заметите даже малейшую ошибку — ваш вклад очень важен для нас. Хотя большинство калькуляторов на Justfreetools.com предназначены для универсального использования во всем мире, некоторые из них предназначены только для определенных стран.{16} $

  Онлайн калькулятор с негативами

  Наших пользователей:

  Я действительно доволен тем, что программное обеспечение алгебры ориентировано на контент. Мы можем использовать это в нашем курсе второстепенных методов, а также в математических методах.
  Сара Джонстон, Вашингтон

  Мне очень нравится макет программного обеспечения и удобство использования, которое я загрузил на свой детский компьютер, чтобы они могли использовать его в качестве домашней работы.
  Линда Риз, Нью-Джерси

  В общем, это очень полезный, хорошо продуманный помощник по алгебре для школьных уроков и выполнения домашних заданий.
  BC, Флорида

  Я рекомендую Алгебратор студентам, которым нужна помощь с дробями, уравнениями и алгеброй. Программа отличный инструмент! Он не только дает вам ответы, но также показывает, как и почему вы их придумываете. Я показал своим ученикам, как использовать программу во время некоторых наших уроков.Некоторые из них даже купили программу, чтобы помочь им с домашним заданием по алгебре.
  Чак Джонс, Лос-Анджелес

  Для многих людей Алгебра — трудный курс, неважно, первый или технический уровень, Алгебратор немного проведет вас в мир алгебры.
  Брайан Т. Гомес, SD

  ---

  Студенты, решающие всевозможные алгебры, узнают, что наше программное обеспечение спасает жизнь.Вот поисковые фразы, которые использовали сегодняшние поисковики, чтобы найти наш сайт. Можете ли вы найти среди них свою?

  
  

  Поисковые фразы, использованные в 2013-05-31:

  • бесплатные ответы на математические задачи
  • Калькулятор сложения и вычитания рациональных выражений
  • формул, использующих квадратные корни
  • тригономическая подстановка: задачи и решения
  • программное обеспечение для колледжа по алгебре
  • Я НУЖЕН ПРОСМОТРЕТЬ ТЕСТ МАТЕМАТИКИ EOG ОБРАЗЦА.
  • факторинг детский
  • корень n-й степени из 16
  • решение квадратных уравнений в matlab
  • 5-классные игры до алгебры
  • Алжир 1 символов
  • сравнение дробей с десятичными знаками
  • преобразование десятичных дробей в квадратные корни
  • ks2 добавление фраз
  • наименьший общий знаменатель предалгебра
  • Онлайн-калькулятор для сложения и вычитания полиномов
  • Математика Гленко + Флоридское издание + Курс 3 + ответы
  • кубическая корневая диаграмма
  • рабочие листы с основными пропорциями для детей
  • квадратный корень из двух и его история
  • простой способ найти наибольший общий делитель больших чисел
  • mcdougal littell интегрированные 2 рабочих листа
  • урок математики вычисление%
  • выражений деления
  • сюжетных задач экспоненциальные и логарифмические уравнения
  • Образец работы SAT по математике
  • бесплатные рабочие листы по десятичной математике
  • листы алгебры граф
  • корень квадратный из 40 упрощенный корень
  • математика в колледже ответы на вопросы
  • холт ринхарт уинстон дробь раз ответы
  • листов по абсолютной величине
  • Рабочий лист умножения и деления положительных и отрицательных чисел
  Рабочий лист дерева простых факторов
  • лаплас TI-89
  • планы уроков по показателям мощности
  • вычислитель делительных полиномов
  • составов рабочих листов функций, easy
  • интервью Aptitude решила вопросники
  • Вопросы для 3-го класса
  • рабочие листы по свободной алгебре по заданию линейного уравнения по двум точкам
  • игр сложения и вычитания неравенств
  • формула расстояния квадратный корень
  • Задачи по алгебре 6 классов
  • по математике 9
  • перестановки план урока 9 класс
  • веселые задания по алгебре
  • алгебраических формул в excel
  • Алгебра 2 книга ответов
  • нахождение факториалов с TI 89
  • Расширение комплексной частичной фракции для TI 89
  • Тест по булевой алгебре
  • Рабочие листы для умножения и деления переменных выражений
  • дробей умножить на целые рабочие листы
  • выполняет указанные операции, затем упрощает
  • дистрибутивные вариации в алгебре
  • пример рабочего листа задач тригонометрических соотношений
  • «тесты по алгебре в колледже» «графический калькулятор»
  • бесплатные рабочие листы геометрия третьего класса
  • Тесты простых общих факторов
  • GED планы уроков по математике 2
  • предварительная алгебра Холта ответы
  • искатель GCF
  • решить многочлен 8-го порядка
  • Мгновенные ответы по математике
  • Вычисление квадратного корня
  • онлайн-репетитор бесплатный факторинг
  • Порядок дробей от наименьшего к наибольшему
  • сокращение фракций с использованием java
  • решение квадратных корней
  • Калькулятор сложения уравнений
  • упрощающие квадратные выражения
  • matlab второй дифференциал
  • отрицательный положительный лист
  • листов математики с бесплатными полиномами
  • ti-83 программы Word
  • как фактор на Ti-83
  • Калькулятор трехчлена программа факторинга
  • радикалы упрощения на калькуляторе
  Программа мод
  • для калькулятора ti84
  • необходимые навыки для построения графиков
  • решить системные уравнения экспоненциальный matlab
  • Калькулятор упрощенных радикальных выражений
  • как определить, делятся ли целые числа на число в C
  • математических формул год 7
  • дроби в алгебраических уравнениях
  • факторинговые кубы ответы
  • пропорциональные бесплатные рабочие листы для печати
  • задач по алгебре 7 класс
  • какая самая сложная математическая задача
  • алгебра 2 решения
  • бесплатные распечатки по алгебре
  • многочлены + манекены
  • решить уравнение прямой
  • Математика для средней школы с книгой pizzazz c книгой ответов
  .

Модуль числа. Абсолютная величина | Математика

Модуль числа обозначается двумя вертикальными чертами, между которыми заключается число:

|-7|  —  модуль числа  -7.

Модуль числа — это абсолютная величина числа. Абсолютная величина — это неотрицательное число, удовлетворяющее условиям:

|x| = x,   если   x &ges; 0;

|x| = —x,   если   x < 0.

Следовательно, модуль числа – это положительное число или нуль.

Модуль на координатной прямой

Модуль числа — это расстояние от начальной точки до соответствующей точки на координатной прямой. Рассмотрим координатную прямую с точками  A  и  B:

Точка  A  соответствует числу  -5,  которое находится в пяти единичных отрезках от начальной точки, то есть длина отрезка  AO  равна  5. Так как модуль равен расстоянию от начала координат до точки, то модуль числа  -5  равен  5,  это можно записать так:

|-5| = 5.

Точка  B  соответствует числу  4,5,  значит длина отрезка  OB  равна  4,5. Следовательно, модуль числа  4,5  равен  4,5:

|4,5| = 4,5.

Точка  O  соответствует числу  0  и является начальной точкой, следовательно, модулем нуля будет нуль:

|0| = 0.

Следует иметь ввиду, что чем дальше от нуля точка, изображающая данное число, тем больше модуль этого числа.

Свойства абсолютной величины

Абсолютной величиной нуля является число нуль.

Пример:

|+0| = |-0| = 0.

Модулем положительного числа называется само это число.

Пример:

|+2| = 2;   |+35| = 35   и т. д.

Модулем отрицательного числа называется противоположное ему числу.

Пример:

|-10| = 10,

потому что  -(-10) = 10.

Модули противоположных чисел равны.

Пример:

|+7| = |-7| = 7,   |-5| = |+5| = 5.

Модуль числа. Модуль разности чисел. Модуль действительного числа.

В этой статье мы обсудим наиболее непонятную для многих тему модуль числа, научимся решать неравенства, связанные с абсолютными значениями.

Что такое модуль числа?

Модуль числа — это его абсолютное значение (отрицательное или положительное значение)  обозначается как  \(|a |\) :

  8 часов + 9 = 17 часов
17 мод 12 = 5
  

  17/12 = 1 К 5
5/12 = 0 R 5
  

  >>> 15% 4
3

>>> 17% 12
5

>>> 240% 13
6

>>> 10% 16
10
  

  >>> 22% 0
ZeroDivisionError: целочисленное деление или по модулю нуля
  

  >>> 12,5% 5,5
1.5

>>> 17,0% 12,0
5.0
  

  >>> импорт математики
>>> математика.fmod (12.5, 5.5)
1.5

>>> math.fmod (8.5, 2.5)
1.0
  

  >>> 13,3% 1,1
0,09999999999999964

>>> импорт математики
>>> math.fmod (13.3, 1.1)
0,09999999999999964
  

  r = 8 - (-3 * усечение (8 / -3))
r = 8 - (-3 * усечение (-2,666666666667))
r = 8 - (-3 * -2) # Округление в сторону 0
г = 8 - 6
г = 2
  

  r = 8 - (-3 * этаж (8 / -3))
r = 8 - (-3 * этаж (-2.666666666667))
r = 8 - (-3 * -3) # Округление от 0
г = 8 - 9
г = -1
  

  >>> 8.0% -3
-1,0

>>> импорт математики
>>> math.fmod (8.0, -3.0)
2.0
  

  >>> divmod (37, 5)
(7, 2)

>>> 37 // 5
7

>>> 37% 5
2
  

  >>> divmod (37, -5)
(-8, -3)

>>> 37 // -5
-8

>>> 37% -5
-3 # Результат имеет знак делителя
  

  >>> 4 * 10% 12 - 9
-5
  

  >>> 4 * 10% (12-9)
1
  

  def is_even (число):
    вернуть число% 2 == 0
  

  def is_odd (число):
    вернуть число% 2! = 0
  

  def is_odd (число):
    вернуть число% 2 == 1
  

  >>> -3% 2
1

>>> 3% -2
-1
  

  >>> -2% 2
0

>>> 2% -2
0
  

  >>> names = ["Пикард", "Райкер", "Трой", "Крашер", "Ворф", "Дейта", "Ла Форж"]
>>> split_names_into_rows (имена)
---- Пикард ----- ----- Райкер ----- ----- Трой ------
---- Дробилка ---- ----- Worf ------ ----- Данные ------
--- Ла Форж ----
  

  >>> split_names_into_rows (имена, модуль = 4)
---- Пикард ----- ----- Райкер ----- ----- Трой ------ ---- Крашер ----
----- Ворф ------ ----- Данные ------ --- Ла Форж ----

>>> split_names_into_rows (имена, модуль = 2)
---- Пикард ----- ----- Райкер -----
----- Трой ------ ---- Дробилка ----
----- Worf ------ ----- Данные ------
--- Ла Форж ----

>>> split_names_into_rows (имена, модуль = 1)
---- Пикард -----
----- Райкер -----
----- Трой ------
----Дробилка----
----- Ворф ------
-----Данные------
--- Ла Форж ----
  

  для индекса, имя в перечислении (name_list, start = 1):
  

  если индекс% модуля == 0:
    Распечатать()
  

  импортная черепаха
случайный импорт

def draw_with_cyclic_iteration ():
    colors = ["зеленый", "голубой", "оранжевый", "фиолетовый", "красный", "желтый", "белый"]

    turtle.bgcolor ("gray8") # Hex: # 333333
    turtle.pendown ()
    turtle.pencolor (random.выбор (цвета)) # Первый цвет случайный

    i = 0 # Начальный индекс

    в то время как True:
        i = (i + 1)% 6 # Обновить индекс
        turtle.pensize (i) # Установить размер pensize на i
        черепаха вперед (225)
        черепаха. правая (170)

        # Выберите случайный цвет
        если я == 0:
            turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

  импортная черепаха
случайный импорт

def draw_with_cyclic_iteration ():
    colors = ["зеленый", "голубой", "оранжевый", "фиолетовый", "красный", "желтый", "белый"]

    turtle.bgcolor ("gray8") # Hex: # 333333
    turtle.pendown ()
    turtle.pencolor (random.choice (цвета))

    i = 0 # Начальный индекс

    в то время как True:
        i = (i + 1)% 6 # Обновить индекс
        черепаха.pensize (i) # Установить размер pensize на i
        черепаха вперед (225)
        черепаха. правая (170)

        # Выберите случайный цвет
        если я == 0:
            turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

  я = 0: (0 + 1)% 6 = 1
я = 1: (1 + 1)% 6 = 2
я = 2: (2 + 1)% 6 = 3
я = 3: (3 + 1)% 6 = 4
я = 4: (4 + 1)% 6 = 5
i = 5: (5 + 1)% 6 = 0 # Сброс
  

  если i == 0:
    turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

  def convert_inches_to_feet (total_inches):
    дюймы = total_inches% 12
    футов = total_inches // 12

    print (f "{total_inches} дюймов = {футов} футов и {дюймов} дюймов")
  

  >>> convert_inches_to_feet (450)
450 дюймов = 37 футов 6 дюймов
  

  def convert_minutes_to_days (total_mins):
    дней = total_mins // 1440
    extra_minutes = total_mins% 1440

    часы = extra_minutes // 60
    минут = дополнительные_минуты% 60

    print (f "{total_mins} = {дней} дней, {часов} часов и {минут} минут")
  

  >>> convert_minutes_to_days (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты

>>> convert_minutes_to_days (3456)
3456 = 2 дня, 9 часов и 36 минут

>>> convert_minutes_to_days (35000)
35000 = 24 дня, 7 часов и 20 минут
  

  def convert_inches_to_feet_updated (total_inches):
    футы, дюймы = divmod (total_inches, 12)
    print (f "{total_inches} дюймов = {футов} футов и {дюймов} дюймов")
  

  >>> convert_inches_to_feet (450)
450 дюймов = 37 футов 6 дюймов

>>> convert_inches_to_feet_updated (450)
450 дюймов = 37 футов 6 дюймов
  

  def convert_minutes_to_days_updated (total_mins):
    дней, extra_minutes = divmod (total_mins, 1440)
    часы, минуты = divmod (extra_minutes, 60)

    print (f "{total_mins} = {дней} дней, {часов} часов и {минут} минут")
  

  >>> convert_minutes_to_days (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты

>>> convert_minutes_to_days_updated (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты
  

  def check_prime_number (число):
    если число <2:
        print (f "{число} должно быть больше или равно 2, чтобы быть простым.")
        возвращаться

    факторы = [(1, число)]
    я = 2

    в то время как я * я <= число:
        если num% i == 0:
            Factors.append ((i, num // i))
        я + = 1

    если len (факторы)> 1:
        print (f "{число} не является простым. Имеет следующие множители: {факторы}")
    еще:
        print (f "{num} - простое число")
  

  >>> check_prime_number (44)
44 не простое.Он имеет следующие факторы: [(1, 44), (2, 22), (4, 11)]

>>> check_prime_number (53)
53 - простое число

>>> check_prime_number (115)
115 не простое. Он имеет следующие факторы: [(1, 115), (5, 23)]

>>> check_prime_number (997)
997 - простое число
  

  если число <2:
    print (f "{число} должно быть больше или равно 2, чтобы быть простым.")
    возвращаться
  

  факторов = [(1, num)]
я = 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

  я = 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

  факторов = [(1, num)]
i = 2 # Начать начальный индекс с 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

  если len (факторы)> 1:
    print (f "{число} не является простым. Имеет следующие множители: {факторы}")
еще:
    print (f "{num} - простое число")
  

  encrypted_char_index = (char_index + shift)% 26
decrypted_char_index = (char_index - сдвиг)% 26
  

  строка импорта

def caesar_cipher (текст, сдвиг, дешифрование = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")

    нижний регистр = строка.ascii_lowercase
    верхний регистр = строка.ascii_uppercase
    результат = ""

    если расшифровать:
        сдвиг = сдвиг * -1

    для символа в тексте:
        если char.islower ():
            index = lowercase.index (char)
            результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
        еще:
            index = прописные буквы.индекс (символ)
            результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

    вернуть результат
  

  def caesar_cipher (text, shift, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")
  

  нижний регистр = строка.ascii_lowercase # "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"
uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
результат = ""
  

  если расшифровать:
    сдвиг = сдвиг * -1
  

  для символа в тексте:
    если char.islower ():
        index = lowercase.index (char)
        результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
    еще:
        index = uppercase.index (символ)
        результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

вернуть результат
  

  строка импорта

def caesar_cipher (текст, сдвиг, дешифрование = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")

    нижний регистр = строка.ascii_lowercase
    прописные буквы = строка.ascii_uppercase
    результат = ""

    если расшифровать:
        сдвиг = сдвиг * -1

    для символа в тексте:
        если char.islower ():
            index = lowercase.index (char)
            результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
        еще:
            index = uppercase.index (символ)
            результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

    вернуть результат
  

  >>> caesar_cipher ("meetMeAtOurHideOutAtTwo", 10)
woodWoKdYebRsnoYedKdDgy
  

  >>> caesar_cipher ("woodWoKdYebRsnoYedKdDgy", 10, decrypt = True)
MeetMeAtOurHideOutAtTwo
  

  строка импорта

def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    результаты = ""

    для i, символ в перечислении (текст):
        current_key = ключ [i% len (ключ)]
        char_index = uppercase.index (символ)
        key_index = uppercase.index (текущий_ключ)

        если расшифровать:
            index = char_index - key_index + 26
        еще:
            index = char_index + key_index

        результаты + = верхний регистр [индекс% 26]

    вернуть результаты
  

  def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не текст.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    верхний регистр = строка.ascii_uppercase
    результаты = ""
  

  для i, символ в перечислении (текст):
    current_key = ключ [i% len (ключ)]
  

  current_key = ключ [i% len (ключ)]
  

  char_index = uppercase.index (char)
key_index = uppercase.index (текущий_ключ)

если расшифровать:
    index = char_index - key_index + 26
еще:
    index = char_index + key_index
  

  результаты + = прописные буквы [индекс% 26]
  

  строка импорта

def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    результаты = ""

    для i, символ в перечислении (текст):
        current_key = ключ [i% len (ключ)]
        char_index = uppercase.index (символ)
        key_index = прописные буквы.индекс (текущий_ключ)

        если расшифровать:
            index = char_index - key_index + 26
        еще:
            index = char_index + key_index

        результаты + = верхний регистр [индекс% 26]

    вернуть результаты
  

  >>> vigenere_cipher (text = "REALPYTHON", key = "MODULO")
DSDFAMFVRH

>>> encrypted = vigenere_cipher (text = "REALPYTHON", key = "MODULO")
>>> печать (в зашифрованном виде)
DSDFAMFVRH

>>> vigenere_cipher (зашифровано, "MODULO", decrypt = True)
РЕАЛПИТОН
  

  >>> импортировать десятичный
>>> десятичное.Десятичное (15)% десятичное.Десятичное (4)
Десятичный ('3')

>>> десятичный.Десятичный (240)% десятичный. Десятичный (13)
Десятичный ('6')
  

  >>> decimal.Decimal ("12,5")% decimal.Decimal ("5.5")
Десятичный ('1,5')

>>> decimal.Decimal ("13.3")% decimal.Decimal ("1.1")
Десятичный ('0,1')
  

  >>> -17% 3
1 # Знак делителя

>>> десятичное.Десятичное (-17)% десятичное.Десятичное (3)
Десятичный (-2) # Знак дивиденда

>>> 17% -3
-1 # Знак делителя

>>> десятичный.Десятичный (17)% десятичный. Десятичный (-3)
Десятичный ("2") # Знак дивиденда

>>> -13,3% 1,1
1.0000000000000004 # Знак делителя

>>> decimal.Decimal ("- 13,3")% decimal.Decimal ("1,1")
Десятичный ("- 0,1") # Знак дивиденда
  

  >>> decimal.Decimal ("- 13,3")% decimal.Decimal ("1,1")
Десятичный ("- 0,1")

>>> математика.fmod (-13,3, 1,1)
-0,09999999999999964
  

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        self.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        себя.study_sessions + = сеансы
  

  def total_study_time_in_hours (студент, всего_мин.):
    часы = total_mins // 60
    минут = total_mins% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

def total_study_time_in_hours (студент, total_mins):
    часы = total_mins // 60
    минут = total_mins% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

  >>> jane = Студент ("Джейн")
>>> jane.add_study_sessions ([120, 30, 56, 260, 130, 25, 75])
>>> total_mins = сумма (джейн.study_sessions)
>>> total_study_time_in_hours (Джейн, всего_минут)
Джейн занималась 11 часов 36 минут
  

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

    def __mod __ (сам, другое):
        возвратная сумма (self.study_sessions)% other

    def __floordiv __ (я, другой):
        возвратная сумма (self.study_sessions) // другое
  

  def total_study_time_in_hours (студент):
    часы = студент // 60
    минут = студент% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

    def __mod __ (сам, другое):
        возвратная сумма (self.study_sessions)% other

    def __floordiv __ (я, другой):
        возвратная сумма (self.study_sessions) // другое

def total_study_time_in_hours (студент):
    часы = студент // 60
    минут = студент% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

  >>> jane = Студент ("Джейн")
>>> Джейн.add_study_sessions ([120, 30, 56, 260, 130, 25, 75])
>>> total_study_time_in_hours (Джейн)
Джейн занималась 11 часов 36 минут
  

10lg калькулятор

Вы искали 10lg калькулятор? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 20 логарифм, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «10lg калькулятор».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 10lg калькулятор,20 логарифм,lg вычислить,lg калькулятор,lg калькулятор онлайн,lg логарифм калькулятор,lg логарифм калькулятор онлайн,lg онлайн,lg онлайн калькулятор,lg посчитать онлайн,lg рассчитать онлайн,lg расчет онлайн,lg20 калькулятор,log калькулятор,вычисление десятичного логарифма онлайн,вычисление логарифма числа онлайн,вычисление онлайн lg,вычислить lg онлайн калькулятор,вычислить десятичный логарифм калькулятор онлайн,вычислить десятичный логарифм онлайн,вычислить десятичный логарифм онлайн калькулятор,вычислить логарифм десятичный онлайн,вычислить логарифм онлайн калькулятор,вычислить онлайн логарифмы,двоичный логарифм онлайн калькулятор,десятичные логарифмы онлайн,десятичный логарифм калькулятор,десятичный логарифм онлайн,десятичный логарифм онлайн калькулятор,десятичный логарифм онлайн калькулятор lg,десятичный логарифм онлайн посчитать,десятичный логарифм онлайн рассчитать,десятичный логарифм посчитать онлайн,десятичный логарифм рассчитать онлайн,как найти логарифм числа онлайн,калькулятор 10lg,калькулятор lg,калькулятор lg онлайн,калькулятор десятичного логарифма,калькулятор десятичного логарифма онлайн,калькулятор десятичный логарифм,калькулятор десятичных логарифмов,калькулятор десятичных логарифмов онлайн,калькулятор логарифма,калькулятор логарифмов,калькулятор логарифмов lg онлайн,калькулятор логарифмов десятичных,калькулятор логарифмов десятичных онлайн,калькулятор логарифмов онлайн lg,калькулятор онлайн lg,калькулятор онлайн вычислить lg,калькулятор онлайн десятичного логарифма,калькулятор онлайн логарифмы lg,калькулятор онлайн с десятичным логарифмом,калькулятор онлайн с логарифмами lg,калькулятор с десятичным логарифмом онлайн,калькулятор с логарифмами lg онлайн,калькулятор с логарифмами онлайн lg,логарифм 10 по основанию 100,логарифм 10 по основанию 5,логарифм 100,логарифм 20,логарифм десятичный калькулятор,логарифм десятичный онлайн,логарифм десятичный онлайн калькулятор,логарифм калькулятор,логарифм калькулятор онлайн,логарифм онлайн,логарифм онлайн калькулятор,логарифм онлайн калькулятор lg,логарифм онлайн считать,логарифм от числа онлайн,логарифм посчитать,логарифм рассчитать онлайн,логарифм считать онлайн,логарифмы десятичные онлайн,логарифмы калькулятор,логарифмы онлайн калькулятор lg,логарифмы считать онлайн,найти логарифм онлайн калькулятор,онлайн lg,онлайн десятичные логарифмы,онлайн калькулятор lg,онлайн калькулятор log,онлайн калькулятор десятичного логарифма,онлайн калькулятор десятичных логарифмов,онлайн калькулятор логарифмов lg,онлайн калькулятор логарифмов с решением,онлайн калькулятор с десятичным логарифмом,онлайн калькулятор с логарифмами lg,онлайн подсчет логарифмов,онлайн расчет lg,онлайн расчет десятичного логарифма,онлайн расчет логарифма,онлайн расчет логарифма десятичного,онлайн расчет логарифмов,онлайн считать логарифм,подсчет логарифмов онлайн,посчитать lg онлайн,посчитать десятичный логарифм,посчитать десятичный логарифм онлайн,посчитать логарифм,посчитать логарифм десятичный,посчитать логарифм десятичный онлайн,посчитать логарифм онлайн,посчитать логарифм онлайн lg,рассчитать lg онлайн,рассчитать десятичный логарифм онлайн,рассчитать логарифм,рассчитать логарифм десятичный онлайн,рассчитать логарифм онлайн,расчет lg онлайн,расчет десятичного логарифма онлайн,расчет логарифма,расчет логарифма онлайн,расчет логарифмов,расчет логарифмов онлайн,считать логарифм онлайн,считать онлайн логарифмы. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 10lg калькулятор. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, lg вычислить).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 10lg калькулятор Онлайн?

Решить задачу 10lg калькулятор вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Калькулятор логарифмов. Решение логарифмов онлайн

Данная страница рассматривает калькулятор логарифмов — ещё одну функцию в богатом арсенале, которым располагает бесплатный калькулятор на нашем сайте. Калькулятор, считающий логарифмы онлайн, станет незаменимым помощником для тех, кому нужно простое решение математических выражений. В нашем калькуляторе любой может легко и быстро посчитать логарифм, не зная логарифмических формул, и даже не представляя суть логарифма.

Буквально 20-30 лет назад решение логарифмов требовало серьезных знаний в математике и как минимум умения пользоваться таблицей логарифмов или логарифмической линейкой. Чтобы привести к табличному виду исходное выражение, часто приходилось осуществлять сложные преобразования, учитывая свойства логарифмов и их функций.

Сегодня же достаточно иметь доступ в интернет, чтобы без труда вычислять всевозможные логарифмические уравнения и неравенства любой сложности. Размещенный на нашем сайте калькулятор онлайн может любой логарифм вычислить за одно мгновение! Используйте этот простой способ решения — вычисление логарифмов онлайн! Лучше добавить калькулятор в закладки и в социальные сети, наверняка найдётся причина открыть его ещё раз.

Решение логарифма log_yx сводится к нахождению ответа на вопрос, в какую степень требуется возвести основание логарифма y, чтобы получилось значение равное x. Онлайн калькулятор логарифмов поможет рассчитать все виды логарифмов: двоичные, десятичные и натуральные логарифмы, а также логарифм комплексного числа и логарифм отрицательного числа и др.

Вычисление логарифмов в online калькуляторе записывается как log и выполняется с помощью четырёх кнопок: нахождение двоичного логарифма, решение десятичных логарифмов, с произвольным основанием и вычисление натурального логарифма.

Кнопки, позволяющие вычислить логарифм онлайн

И десятичный логарифм калькулятор посчитает, и натуральный логарифм калькулятор найдёт!

Некоторые кнопки могут использоваться для записи одного и того же действия. Возьмём, к примеру, расчёт логарифмов с произвольным основанием. Понятно что, если указать основание 10, то рассчитается десятичный логарифм, а если 2, то двоичный. Учитывая, что математическое выражение можно и вручную набрать, тогда тот же самый десятичный логарифм посчитать можно тремя способами (точнее записать эту операцию в калькуляторе):

• 1. используя кнопку log, тогда нужно указать только число
• 2. с помощью кнопки log_yx, через запятую указываются число и основание логарифма
• 3. внести обозначение логарифма вручную

Подробная информация о том, как работать с клавиатурой калькулятора, а также обзор всех его возможностей, можно найти на странице Функции калькулятора.

Логарифмы примеры решения в калькуляторе

Логарифм по основанию 2

Используйте эту кнопку, чтобы рассчитать логарифм, основание которого равно двум (его также называют двоичный логарифм).

В строке ввода отобразится запись log2(x) , соответственно, вам остаётся внести число, без указания основания, и произвести расчёт. В примере найден ответ, чему равен логарифм 8 по основанию 2.

Логарифм по основанию 2

Десятичный логарифм 10

Эта кнопка поможет найти логарифм числа по основанию 10.

Логарифм десятичный онлайн калькулятор обозначает записью log(x x,y). На рисунке рассчитано, чему равен десятичный логарифм числа 10000.

Логарифм по основанию 10

Натуральный логарифм

Клавишей ln выполняется решение натуральных логарифмов, основанием которых является число е. Основание натурального логарифма е — число Эйлера — равно 2.71828182845905.

Онлайн калькулятор можно определить, чему равен натуральный логарифм любого числа. На рисунках в качестве примера найдены значения натурального логарифма: слева — ln логарифм числа 8, справа — натуральный логарифм от числа 50.

Натуральные логарифмы примеры решения

Как решать логарифмы с произвольным основанием

Конечно, калькулятор, позволяет решить логарифм онлайн не только по определенному, но по любому основанию. Чтобы найти значение логарифмов с произвольным основанием для любого числа, используйте предназначенную для этого кнопочку log_yx, она подставляет в строке ввода запись log(x x,y).

Определение логарифма числа

Калькулятор Инструкция — обзор основых и дополнительных функций калькулятора и общая информация о том, как пользоваться калькулятором.

Логарифм 30 по основанию 3. Решение логарифмов в онлайн калькуляторе

Данная страница рассматривает способы решения логарифмов , как еще одну функцию в богатом арсенале, которым располагает на нашем сайте. Калькулятор, считающий логарифмы онлайн, станет незаменимым помощником для тех, кому нужно простое решение математических выражений. В нашем калькуляторе любой может легко и быстро посчитать логарифм, не зная логарифмических формул, и даже не представляя суть логарифма.

Буквально 20-30 лет назад решение логарифмов требовало серьезных знаний в математике и как минимум умения пользоваться таблицей логарифмов или логарифмической линейкой. Чтобы привести к табличному виду исходное выражение, часто приходилось осуществлять сложные преобразования, учитывая свойства логарифмов и их функций.

Сегодня же достаточно иметь доступ в интернет, чтобы без труда вычислять всевозможные логарифмические уравнения и неравенства любой сложности. Размещенный на нашем сайте может любой логарифм вычислить за одно мгновение!

Решение логарифма log y x сводится к нахождению ответа на вопрос, в какую степень требуется возвести основание логарифма y, чтобы получилось значение равное x. Онлайн калькулятор логарифмов поможет рассчитать все виды логарифмов: двоичные, десятичные и натуральные логарифмы, а также логарифм комплексного числа и логарифм отрицательного числа и др.

Вычисление логарифмов в online калькуляторе записывается как log и выполняется с помощью четырех кнопок: нахождение двоичного логарифма, решение десятичных логарифмов, с произвольным основанием и вычисление натурального логарифма.

Некоторые кнопки могут использоваться для записи одного и того же действия. Возьмем, к примеру, расчет логарифмов с произвольным основанием. Понятно что, если указать основание 10, то рассчитается десятичный логарифм, а если 2, то двоичный. Учитывая, что математическое выражение можно и вручную набрать, тогда тот же самый десятичный логарифм посчитать можно тремя способами (точнее записать эту операцию в калькуляторе):

1. используя кнопку log, тогда нужно указать только число,
2. с помощью кнопки log y x, через запятую указываются число и основание логарифма,
3. внести обозначение логарифма вручную.

Подробную информацию о том, как работать с клавиатурой калькулятора, а также обзор всех его возможностей, можно найти на страницах и .

Логарифм по основанию 2

В строке ввода отобразится запись log 2 (x), соответственно, вам остается внести число, без указания основания, и произвести расчет. В примере найден ответ, чему равен логарифм 8 по основанию 2.

Логарифм по основанию 2:

Десятичный логарифм

Эта кнопка поможет найти логарифм числа по основанию 10.

Логарифм десятичный онлайн калькулятор обозначает записью log(x x,y). На рисунке рассчитано, чему равен десятичный логарифм числа 10000.

Логарифм по основанию 10:

Натуральный логарифм

Клавишей ln выполняется решение натуральных логарифмов, основанием которых является число е. Основание натурального логарифма е — число Эйлера — равно 2.71828182845905.

Решение логарифмов в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin

Который очень прост в использовании, не требует в его интерфейсе и запускать -либо дополнительные программы. Все что от вас требуется — перейти на сайт Google и ввести соответствующий запрос в единственное поле на этой странице. Например, для вычисления десятичного логарифма для 900 введите в поле поискового запроса lg 900 и сразу (даже без нажатия кнопки) получите 2.95424251.

Используйте калькулятор, если нет доступа к поисковой системе. Это может быть и программный калькулятор из стандартного набора ОС Windows. Самый простой способ запустить его — нажать сочетание клавиш WIN +R, ввести команду calc и щелкнуть кнопку «OK». Другой способ — раскрыть меню на кнопке «Пуск» и выбрать в нем пункт «Все программы». Затем надо открыть раздел «Стандартные» и перейти в подраздел «Служебные», чтобы щелкнуть там ссылку «Калькулятор». При использовании ОС Windows 7 можно нажать клавишу WIN и ввести в поле поиска «Калькулятор», а затем щелкнуть соответствующую ссылку в результатах поиска.

Переключите интерфейс калькулятора в расширенный режим, так как в открываемом по умолчанию базовом варианте нужная вам операция не предусмотрена. Для этого раскройте в меню программы раздел «Вид» и выберите пункт « » либо «инженерный» — в зависимости от того, которая версия операционной системы установлена в вашем компьютере.

В настоящее время скидками никого не удивишь. Продавцы понимают, что скидки не являются средством повышения дохода. Наибольшую эффективность имеет не 1-2 скидки на конкретный товар, а система скидок, которая должна быть проста и понятна сотрудникам фирмы и ее покупателям.

Инструкция

Вы, наверное, заметили, что в настоящее время наиболее распространенной является , растущая при увеличении объемов продукции. В данном случае продавец разрабатывает шкалу процентов скидок, которая увеличивается при росте объемов покупок за определенный период. Например, вы купили чайник и кофеварку и получили скидку 5 %. Если в этом месяце вы купите еще и утюг, то получите скидку 8 % на все приобретенные товары. При этом полученная прибыль компании при цене со скидкой и возросшим объемом продаж должна быть не меньше, чем ожидаемая прибыль при цене без скидки и прежнем уровне продаж.

Рассчитать шкалу скидок несложно. Сначала определите объем продаж, с которого начинается предоставление скидки. В качестве нижнего предела можно взять . Затем рассчитайте ожидаемый объем прибыли, который вы хотели бы получить на продаваемый товар. Ее верхний предел будет органичен покупательной способностью товара и его конкурентными свойствами. Максимальную скидку можно рассчитать следующим образом: (прибыль – (прибыль х минимальный объем продаж / ожидаемый объем) / цена единицы продукции.

Еще одной довольно распространенной скидкой является скидка по контракту. Это может быть скидка по , при покупке определенных видов товара, а также при расчете в той или иной валюте. Иногда скидки такого плана предоставляются при покупке товара и заказе для доставки. Например, вы покупаете продукцию фирмы, заказываете транспорт в этой же компании и получаете скидку 5 % на приобретенный товар.

Величина предпраздничных и сезонных скидок определяется, исходя из стоимости товара на складе и вероятностью продажи товара по установленной цене. Обычно к таким скидкам прибегают розничные продавцы, например, при продаже одежды из коллекций прошлого сезона. Подобными скидками пользуются супермаркеты для того, чтобы разгрузить работу магазина в вечерние часы и выходные дни. В данном случае размер скидки определяется размером упущенной выгоды при неудовлетворении покупательского спроса в часы пик.

Источники:

• как рассчитать процент скидки в 2019

Вычисление логарифмов может понадобиться для нахождения значений по формулам, содержащим в качестве неизвестных переменных показатели степеней. Два вида логарифмов, в отличие от всех остальных, имеют собственные названия и обозначения — это логарифмы по основаниям 10 и число e (иррациональная константа). Рассмотрим несколько простых способов вычисления логарифма по основанию 10 — «десятичного» логарифма.

Инструкция

Используйте для вычислений , встроенный в операционную систему Windows. Для его запуска нажмите клавишу win, выберите пункт «Выполнить» в главном меню системы, введите calc и нажмите OK. В стандартном интерфейсе этой программы нет функции вычисления алгоритмов, поэтому раскройте в ее меню раздел «Вид» (или нажмите сочетание клавиш alt + «и») и выберите строку «научный» или «инженерный».

Нередко берут цифру десять. Логарифмы чисел по основанию десять именуют десятичными . При проведении вычислений с десятичным логарифмом общепринято оперировать знаком lg , а не log ; при этом число десять, определяющие основание, не указывают. Так, заменяем log 10 105 на упрощенное lg105 ; а log 10 2 на lg2 .

Для десятичных логарифмов типичны те же особенности, которые есть у логарифмов при основании, большем единицы. А именно, десятичные логарифмы характеризуются исключительно для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны; из двух не отрицательных чисел большему эквивалентен и больший десятичный логарифм и т. д. Дополнительно, десятичные логарифмы имеют отличительные черты и своеобразные признаки, которыми и поясняется, зачем в качестве основания логарифмов комфортно предпочитать именно цифру десять.

Перед тем как разобрать эти свойства, ознакомимся с нижеследующими формулировками.

Целая часть десятичного логарифма числа а именуется характеристикой , а дробная — мантиссой этого логарифма.

Характеристика десятичного логарифма числа а указывается как , а мантисса как {lg а }.

Возьмем, скажем, lg 2 ≈ 0,3010.Соответственно = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.

Подобно и для lg 543,1 ≈2,7349. Соответственно, = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.

Достаточно повсеместно употребляется вычисление десятичных логарифмов положительных чисел по таблицам.

Характерные признаки десятичных логарифмов.

Первый признак десятичного логарифма. целого не отрицательного числа, представленного единицей со следующими нулями, есть целое положительное число, равное численности нулей в записи выбранного числа.

Возьмем, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Обобщенно, если

То а = 10 n , из чего получаем

lg a = lg 10 n = n lg 10 = п .

Второй признак. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби , показанный единицей с предыдущими нулями, равен — п , где п — численность нулей в представлении этого числа, учитывая и нуль целых.

Рассмотрим, lg 0,001 = — 3, lg 0,000001 =-6.

Обобщенно, если

,

То a = 10 -n и получается

lga= lg 10 n =-n lg 10 =-п

Третий признак. Характеристика десятичного логарифма не отрицательного числа, большего единицы, равна численности цифр в целой части этого числа исключая одну.

Разберем данный признак 1) Характеристика логарифма lg 75,631 приравнена к 1.

И правда, 10

lg 10

1 .

Отсюда следует,

lg 75,631 = 1 +б,

Смещение запятой в десятичной дроби вправо или влево равнозначно операции перемножения этой дроби на степень числа десять с целым показателем п (положительным или отрицательным). И следовательно, при смещении запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не меняется.

Так, {lg 0,0053} = {lg 0,53} = {lg 0,0000053}.

Калькулятор десятичный логарифм

Определение логарифма

Когда мы обсуждали решение показательных уравнений, то нам всегда удавалось представить обе части в виде степеней с одинаковыми основаниями.

Но вполне логично, что может возникнуть ситуация, когда это сделать не удастся. Например, решить уже рассмотренными методами уравнение  не получится, так как 5 мы пока не умеем представлять в виде степени с основанием 2.

С другой стороны, мы обсуждали тот факт, что показательная функция принимает любое положительное значение. Поэтому, в какой-то точке значение функции  должно равняться 5.

Фактически, мы столкнулись с ситуацией, похожей на извлечение корня – мы точно знали, что есть число, квадрат которого равен 2, но не могли записать его доступными нам методами. В том случае мы поступили следующим образом: ввели новое понятие «корень» и операцию извлечение корня, которая была обратна возведению в степень.

Возвращаясь к нашей проблеме, нам придётся поступить аналогично. Обозначим степень, в которую надо возвести 2, чтобы получить 5, как  – логарифм пяти по основанию 2.

То есть, определение логарифма следующее: для . То есть, логарифм показывает: в какую степень необходимо возвести основание логарифма (), чтобы получилось подлогарифмическое выражение ().

Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:

1) , так как .

2) , так как .

3) , так как .

4), так как .

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 24 = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 52 = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: y=lgx.{\displaystyle y=\lg \,x.} Она определена при всех x>{\displaystyle x>0.} Область значений: E(y)=(−∞;+∞){\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}. График этой кривой часто называется логарифмикой.

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

ddxlgx=lgex{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}}

Ось ординат (x=){\displaystyle (x=0)} является вертикальной асимптотой, поскольку:

limx→+lgx=−∞{\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty }

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны:

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

lg⁡|xy|=lg⁡(|x|)+lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),}

lg|xy|=lg⁡(|x|)−lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),}

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

lg⁡(x1x2…xn)=lg⁡(x1)+lg⁡(x2)+⋯+lg⁡(xn){\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x,y{\displaystyle x,y} с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел x,y{\displaystyle x,y}.
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения x⋅y{\displaystyle x\cdot y}.
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов:

ln⁡x≈2,30259 lg⁡x;lg⁡x≈0,43429 ln⁡x{\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

lg0,012=lg(10−2×1,2)=−2+lg1,2≈−2+0,079181=−1,920819{\displaystyle \lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

lg0,012≈−2+0,079181=2¯,079181{\displaystyle \lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181}

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

История

Основная статья: История логарифмов

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги () появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Некоторые теоретические сведения

Напомним определение логарифма. Для этого рассмотрим показательную функцию . В левой части стоит показательная функция, если выполняются следующие условия: . Свойства показательной функции нам известны: она монотонна и принимает все положительные значения. Это значит, что любое положительное значение b функция принимает при единственном значении аргумента, то есть, уравнение  имеет единственный корень, который и называется логарифмом:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Исходя из определения, имеем основное логарифмическое тождество:

То есть, любое положительное число b можно представить при помощи основного логарифмического тождества.

Рассмотрим конкретный пример: .

Рис. 1. График уравнения

По графику очевидно, что каждое свое положительное значение функция достигает при единственном значении аргумента.

Решением заданного уравнения будет такое значение аргумента:

.

Перейдем к доказательству теорем, являющихся непосредственной целью данного урока.

Как вычислить десятичный логарифм