/ x x / x\ x\
| -1 + e 2*e 2*\-1 + e /*e | x
|1 - ------- - ------ + --------------|*e
| x x 2 |
| 1 + e 1 + e / x\ |
\ \1 + e / /
------------------------------------------
x
1 + e
интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30
Найти производную — d/dx
sin(2x)
31
Вычислить
интеграл натурального логарифма x по x
32
Найти производную — d/dx
tan(x)^2
33
Вычислить
интеграл e^(2x) относительно x
34
Вычислить
интеграл 1/(x^2) относительно x
35
Найти производную — d/dx
2^x
36
График
натуральный логарифм a
37
Вычислить
e^1
38
Вычислить
интеграл 1/(x^2) относительно x
39
Вычислить
натуральный логарифм 0
40
Найти производную — d/dx
cos(2x)
41
Найти производную — d/dx
xe^x
42
Вычислить
интеграл 1/x относительно x
43
Вычислить
интеграл 2x относительно x
44
Найти производную — d/dx
( натуральный логарифм x)^2
45
Найти производную — d/dx
натуральный логарифм (x)^2
46
Найти производную — d/dx
3x^2
47
Вычислить
натуральный логарифм 2
48
Вычислить
интеграл xe^(2x) относительно x
49
Найти производную — d/dx
2e^x
50
Найти производную — d/dx
натуральный логарифм 2x
51
Найти производную — d/dx
-sin(x)
52
Вычислить
tan(0)
53
Найти производную — d/dx
4x^2-x+5
54
Найти производную — d/dx
y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55
Найти производную — d/dx
2x^2
56
Вычислить
интеграл e^(3x) относительно x
57
Вычислить
интеграл cos(2x) относительно x
58
Вычислить
интеграл cos(x)^2 относительно x
59
Найти производную — d/dx
1/( квадратный корень x)
60
Вычислить
интеграл e^(x^2) относительно x
61
Вычислить
sec(0)
62
Вычислить
e^infinity
63
Вычислить
2^4
64
Найти производную — d/dx
x/2
65
Вычислить
4^3
66
Найти производную — d/dx
-cos(x)
67
Найти производную — d/dx
sin(3x)
68
Вычислить
натуральный логарифм 1/e
69
Вычислить
интеграл x^2 относительно x
70
Упростить
1/( кубический корень от x^4)
71
Найти производную — d/dx
1/(x^3)
72
Вычислить
интеграл e^x относительно x
73
Вычислить
интеграл tan(x)^2 относительно x
74
Вычислить
интеграл 1 относительно x
75
Найти производную — d/dx
x^x
76
Найти производную — d/dx
x натуральный логарифм x
77
Вычислить
интеграл sin(x)^2 относительно x
78
Найти производную — d/dx
x^4
79
Вычислить
предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80
Вычислить
интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81
Найти производную — d/dx
f(x) = square root of x
82
Найти производную — d/dx
x^2sin(x)
83
Вычислить
интеграл sin(2x) относительно x
84
Найти производную — d/dx
3e^x
85
Вычислить
интеграл xe^x относительно x
86
Найти производную — d/dx
y=x^2
87
Найти производную — d/dx
квадратный корень x^2+1
88
Найти производную — d/dx
sin(x^2)
89
Вычислить
интеграл e^(-2x) относительно x
90
Вычислить
интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91
Вычислить
2^5
92
Найти производную — d/dx
e^2
93
Найти производную — d/dx
x^2+1
94
Вычислить
интеграл sin(x) относительно x
95
Вычислить
2^3
96
Найти производную — d/dx
arcsin(x)
97
Вычислить
предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98
Вычислить
e^2
99
Вычислить
интеграл e^(-x) относительно x
100
Вычислить
интеграл 1/x относительно x
www.mathway.com
Как найти производную е 🚩 Производная е 🚩 Математика
Вам понадобится
— доступ в интернет
Инструкция
Чтобы найти производную функции, имеющей вид у = еª, воспользуйтесь основной формулой нахождения производной в данном случае. Ее производная будет также равняться у΄ = еª.
Для нахождения производной функции вида у = keª, необходимо еª умножить на коэффициент, т.е. у΄= k × eª
Если вам нужно найти производную сложной функции, например: у = е в степени ( х² — 2х + 1), вычислите произведение данной функции на производную показателя степени. Это будет выглядеть таким образом: у΄= е в степени (х² — 2х + 1) × степень (х² — 2х + 1)
Чтобы найти производную функции, имеющую вид у = еª, воспользуйтесь основной формулой нахождения производной в данном случае. Ее производная будет также равняться у΄ = еª.
Чтобы найти производную такого вида: у = е³ª + 2еª, найдите производную каждого из слагаемых, затем сложите полученные результаты: у΄ = (е³ª)΄ + (2еª)΄; у΄ = 3е³ª + 2еª.
Для нахождения производной любой функции, в том числе и степенной с основанием е, воспользуйтесь сервисом http://www.matcabi.net/differentiate.php. Здесь помимо вычисления производных, вы сможете ознакомиться с теорией по различным темам, таким, как: «Производная», «Пределы», «Интеграл».
Посетите сайт http://mathserfer.com/math/task.php?tname=diff. На главной странице вы сможете вычислять производные функций on-line, с получением подробного решения задач. Решение производных функции основано на использовании правил дифференцирования, изучаемых в курсе математического анализа.
Чтобы найти производную функции введите ее в поле «Функция» для дифференцирования согласно правилам ввода данных.
Затем укажите переменную дифференцирования. Обычно это «x».
Если требуется найти производную высших порядков, изберите соответствующий порядок дифференцирования.
Чтобы найти производную вашей функции нажмите «Проверить введенные данные» и, кнопку «Решить».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Интеграл произведения функций в общем случае не равен произведению интегралов от каждого из сомножителей:
В зависимости от того, какие функции стоят под знаком интеграла, интеграл от произведения в некоторых случаях можно выразить через элементарные функции, а в некоторых определенный интеграл произведения функций можно оценить. Для этого используются теоремы про среднее.
Теоремы про среднее
ТЕОРЕМА Теорема 1. Пусть функции и являются интегрируемыми на отрезке причем и на Тогда
Следствие 1. Пусть функция интегрируема на отрезке и является ограниченной на этом отрезке: Тогда
ТЕОРЕМА Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Тогда существует такая точка что выполняется равенство:
Следствие 2. Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда существует такое, что
Примеры решения задач по теме «Интеграл произведения»
ПРИМЕР 1
Задание
Оценить интеграл
Решение
Подынтегральная функция задана на отрезке С помощью дифференциального исчисления можно показать, что на этом отрезке функция принимает свое наименьшее значение, равное и наименьшее Тогда, согласно следствию 1, можно записать:
или
Ответ
ПРИМЕР 2
Задание
Оценить интеграл
Решение
Подынтегральная функция является убывающей на отрезке интегрирования следовательно, имеет место оценка:
Тогда, согласно следствию 1, имеем:
или
Ответ
Читайте также:
Интеграл от натурального логарифма
Интегралы тригонометрических функций
Интеграл разности
Интеграл суммы
Интегралы от иррациональных функций
Интеграл от числа
Метод интегрирования по частям
Формула интегрирования по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид: .
Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u и v являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x (символ после знака дифференциала d в конце записи интеграла) . Тогда u и v являются функциями от x: u(x) и v(x). Тогда , . И формула интегрирования по частям принимает вид: .
То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций: , одну из которых обозначаем как u: g(x) = u, а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная): , тогда dv = f(x) dx.
В некоторых случаях f(x) = 1. То есть в интеграле , можно положить g(x) = u, x = v.
Резюме
Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах: ; .
Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям
Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции
По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u, оставшуюся часть – через dv.
Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям: , , , , , , . Подробное решение этих интегралов >>>
Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e
x
По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида: , , , где P(x) – многочлен от x. При интегрировании, многочлен P(x) обозначают через u, а eax dx, cos ax dx или sin ax dx – через dv.
Вот примеры таких интегралов: , , . Подробное решение этих интегралов >>>
Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Пример
Вычислить интеграл:
Подробное решение
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки u = ln x, dv = x2 dx. Тогда , .
.
Вычисляем оставшийся интеграл: . Тогда . В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C, поскольку неопределенный интеграл – это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.
Более короткое решение
Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v, а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.
.
Ответ
Другие примеры
Примеры решений подобных интегралов >>>
Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex
Пример
Вычислить интеграл: .
Решение
Введем экспоненту под знак дифференциала: e – x dx = – e – x d(–x) = – d(e – x).
Интегрируем по частям. . Также применяем метод интегрирования по частям. . . . Окончательно имеем: .
Ответ
.
Другие примеры
Примеры решений подобных интегралов >>>
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
для каких функций интеграл произведения равен произведению и : Анализ-I
Dan_Te писал(а):
Цитата:
Причём по моему это действует только для мат ожидания, т.к. сами функции распределения и плотности нужно считать через свёртку.
У независимых случайных величин совместная функция распределения факторизуется на маргинальные компоненты, это свойство эквивалентно независимости. В абсолютно непрерывном также факторизуется совместная плотность. (факторизуемость = возможность разложить на множители) Да, правильно, я допустила ошибку написав для зависимых! Плотность независимых является продуктом маргинальных плотностей и имеет следующее свойство:
Правда при этом все должны иметь абсолютно непрерывные распределения. Другое дело, это всё равно здесь не поможет, мы рассматриваем здесь функции, строго говоря, от разных переменных, соответственно и понятие левой части у нас будет отличаться от того, что задано в задаче (т.е. в задаче я подразумеваю, что существует интеграл двух функций от одной переменной, а не двойной интеграл от двух переменных). Я сейчас напишу свою идею насчёт Лебега. Идея Лебега: я не знаю, насколько это всё будет верно, но идея у меня следующая. Задаём две функции определяя её, например, для всех нечётных целых чисел равной 1 и 0 остальное и определяя её, для всех чётных целых чисел равной 1 и 0 остальное. Теперь, использую обыкновенное правило перемножение функций, получаю их произведение равным 0. Отсюда, надо полагать, интеграл слева, вне зависимости от выбора будет равен 0. Но и интеграл справа будет также равен 0, т.к. если я определю, к примеру для моей первой функции, то есть как покрытие всех чётных чисел, то соотвественно сразу обнулиться интеграл моей второй функции. Соответстенно зеркальное отображение (остальные я не рассматриваю, т.к. обнуляются обе функции). Но произведения чего-то с 0 равно 0. Отсюда моя правая часть тождественна равна левой, для функций не равных 0 всюду.
Интегрирование по частям, формулы и примеры решений
Содержание:
Рассмотрим функции $u=u(x)$ и
$v=v(x)$, которые имеют непрерывные
производные.
Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:
$d(u v)=u d v+v d u$
Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:
$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Rightarrow u v=\int u d v+\int v d u$
Полученное равенство перепишем в виде:
$\int u d v=u v-\int v d u$
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл
$\int u d v$ можно свести к нахождению интеграла
$\int v d u$, который может быть более простым.
Замечание
В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно. {2}-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$
2)$\int P_{n}(x) \arcsin x d x$ ;
$\int P_{n}(x) \arccos x d x$ ;
$\int P_{n}(x) \ln x d x$
Здесь принимают, что $d v=P_{n}(x) d x$, а в
качестве $u$ оставшиеся сомножители.
Пример
Задание. Найти интеграл
$\int \ln x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции
$u$ и
$v$, затем выполним интегрирование по частям.
$$\int \ln x d x\left\|\begin{array}{l}
u=\ln x \quad d v=d x \\
d u=\frac{d x}{x} \quad v=x
\end{array} \quad\right\|=x \ln x-\int x \cdot \frac{d x}{x}=$$
$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$
Ответ. $\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$
Больше примеров решений Решение интегралов онлайн
Пример
Задание. Найти интеграл
$\int \arcsin x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции
$u$ и
$v$, затем выполним интегрирование по частям. {2 x+1} \sin x}{5}+C$
Больше примеров решений Решение интегралов онлайн
Читать дальше: простейшие дроби.
Примеры на интегрирование
Примеры на интегрирование функций подобного состава заданий задают студентам 1, 2 курсов. Это в основном задания для математиков, экономистов, статистов, программистов. Данные интегралы задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка, другие ВУЗы Украины также практикует подобные здания на контрольных по интегрированию. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись условия заданий выписывать не будем. Всем и так известно что в задачах нужно или «Найти интеграл», или «Вычислить интеграл».
Пример 18. Для раскрытия иррациональности в знаменателе дроби необходимо в подобных примерах выполнять такую замену переменных — «икс» в наименьшей степени. В результате придем к интегралу от дробной функции
дальше выполняем деления числителя на знаменатель и упрощение
Таким образом без громоздких расписаний дробей придем к интегралу
Пример 19. Корневую функцию обозначаем за новую переменную в квадрате (для удобства вычислений). Далее находим дифференциал переменной, подставляем в неопределенный интеграл и выполняем упрощение.
В результате замены получим дробь которая разделяется на два интеграла. Второй интеграл равен разнице логарифмов
Пример 20. Следующие интегралы касаются исключительно тригонометрических функций, а именно их произведения, квадратов, кубов, рациональных функций. Первый из приведенных интегралов нужно свести к синусу. Для этого косинус в 5 степени расписываем на произведение косинуса в 4 степени на косинус, который вносим под дифференциал
Для упрощения вводим замену переменных и приходим к интегрированию полинома
После интегрирования возвращаемся к замене и вместо t везде записываем sin(x).
Пример 21. Для вычисления интеграла нужно снизить степень синуса. Таким образом используем тригонометрические формулы, понижаем степень первой, а дальше находим интеграл по табличным формулам.
Пример 22. Нужно найти интеграл от произведения двойного синуса на тройной косинус. Под дифференциал ничего внести не удастся, поскольку имеем различные переменные. Для упрощения распишем произведение тригонометрических функций через разницу синусов
Пример 23. Данный интеграл без универсальной тригонометрической замены переменных найти не удастся. Поэтому пусть тангенс половины угла равный t, тогда синус превратится по формуле
После раскрытия скобок в знаменателе получим квадратный трехчлен
Для сведения такой дроби к табличному арктангенсу в знаменателе сначала выделяем квадратный трехчлен
Не забываем в конце вернуться к выполненной в начале замены. Это важно при тестах и контрольных.
Пример 24. Здесь можем использовать универсальную тригонометрическую замену, а может пойти другим путем. Вынесем в знаменателе синус в квадрате за скобки и перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы по тригонометрическим формулам получить котангенс. Его и обозначим за новую переменную u, вычисляем также дифференциал du и подставляем все в интеграл
В результате интегрирования получим табличную формулу арктангенса
Пример 25. Необходимо вычислить интеграл от тангенса в квадрате от тройного аргумента. Сначала расписываем тангенс как часть синуса к косинусу. Далее синус в квадрате расписываем через косинус. После деления числителя на знаменатель получим два интеграла которые без труда находим по формулам интегрирования
Как только Вы изучите приведенные схемы и методики сведения интегралов под то или иное правило, научитесь видеть в примерах табличные интегралы и преобразования, которые в несколько шагов позволят Вам найти интеграл — тогда контрольная работа, или «срезы» для Вас не будут препятствием в обучении. Для этого нужно решить с десяток различных интегралов к каждому из приведенных типов. Все остальные после этого будут для Вас подобными, а схема их вычислений очевидной и понятной. Если в обучении встречаются сложные интегралы или сомневаетесь в собственных силах помните — мы всегда готовы оказать помощь. Это предложение актуально не только для студентов стационарной формы обучения, но и для заочников и школьников. В 11 классе в обучении с недавних времен школьникам также приходится иметь дело с интегралами.
Готовые решения контрольной по интеграции
Интегралы от произведения функций — Справочник химика 21
Перекрестный ток. Аналитическое решение для этой схемы движения потоков было дано Нуссельтом [49] в виде определенного интеграла произведения функций е и функции Бесселя. Это решение связано со сложным интегрированием для каждого частного случая геометрии поверхности теплообмена. Более общее решение, данное также Нуссельтом, основано на переходе к обобщенным переменным [50]. На фиг. 61,г представлены результаты, полученные путем пересчета первоначального уравнения Нуссельта, в которое были введены параметры [c.105]
После подстановки (2.3.29) и (2. 3.30) и дифференцирования произведений функций в слагаемых интеграла (2.3.31) получим закон перемещения подвижной границы в виде квадратуры [c.115]
Выше мы уже показали, что средняя энергия колебания, обладающего частотой V, определяется формулой (П1.61). Тогда средняя энергия колебаний кристалла во всем интервале возможных частот определится как интеграл от произведения функции распре- [c.72]
Покажем, что верхняя граница для дисперсии коэффициентов разложения зависит от скалярного произведения функций О (со) и а((в). Для интеграла в уравнении (VII. 36) можно записать неравенство Буняковского [c.175]
Нас интересует асимптотическое п оо поведение величины когда разницей между I и п можно пренебречь. Пусть вначале граф (riO) состоит из единственного блока, т. е. не содержит точек сочленения. Выполнив вначале суммирование в формуле (III.121), мы получим интеграл, в знаменателе которого имеется (и— 1) произведений функций, каждая из которых ведет себя при малых q, определяющих поведение интеграла, как а числитель [c. 245]
В квантовомеханическом описании свойств молекул часто приходится вычислять интегралы от произведения функций, и оказывается полезным знать их отношение к преобразованиям симметрии. Почему так Причина состоит в том, что интеграл будет обращаться в нуль, если только подынтегральное выражение, состоящее из произведения двух или более функций, не будет инвариантно ко всем операциям симметрии данной точечной группы. Это означает, что интеграл не равен нулю, только если подынтегральное выражение принадлежит к полностью симметричному неприводимому представлению точечной группы данной молекулы. [c.221]
Условие, необходимое для того, чтобы интеграл от произведения функций не был равен нулю, было сформулировано в гл. 4, Для колебательных переходов это условие можно записать в виде [c.236]
При обсуждении электронного строения атомов понадобится также важный интеграл от произведения трех сферических функций, который выражают через коэффициенты Клебша — Гордана по формуле [c. 27]
Дельта-функция Дирака равна нулю при всех значениях Г, кроме при котором она стремится к бесконечности. Интеграл этой функции по времени (ее площадь) равен единице, а интеграл произведения дельта-функции на другую функцию равен значению последней в момент времени [c.280]
Преобразуем выражение (П. 125), заменив интеграл произведения двух функций на произведение среднего значения одной на интеграл другой. Тогда можно представить решение исходного уравнения в виде [c.118]
Условие ортогональности выражено формулой (1.8). Значит, нужно построить интеграл из произведений функции ехр Нкц>) и [ехр (П )] = ехр (—Иц>) и проинтегрировать по ф в пределах от О до 2я. В результате должен получиться нуль. [c.49]
При вычислении энергии взаимодействия электронов, описываемых одноэлектронными функциями, из всех я перестановок, образующих антисимметричную функцию (6.16), остаются лишь транспозиции, и интеграл ко всем переменным от произведения функций, отличающихся перестановкой электронов в состояниях р м д, дает сразу формулу Дирака [c. 416]
Отметим, что расчет результатов измерения при использовании самопишущих потенциометров довольно трудоемок (необходимо взять интеграл произведения двух переменных функций). [c.161]
Таким образом, второй член разложения равен произведению функции распространения N — 2 свободных частиц на интеграл (11.1.26). Изобразим интеграл (II. 1.26) в виде двух вертикальных линий, соединенных горизонтальной волнистой линией (рис. 2). На этой диаграмме отрезки [c.245]
Интеграл в равенстве (2.19) представляет изменение плотности частиц /-го компонента в контрольном объеме, происходящее в результате их столкновений с частицами /-Г0 компонента и отклонения вследствие этого частиц 1-го компонента внутрь или за пределы этого объема. Произведение функций распределения частиц г-го и /-Г0 компонентов, вычисленное в точке с радиусом-вектором г, дает наиболее вероятное число,таких частиц в контрольном объеме фазового пространства. Таким образом, постановка задачи завершена. Однако при этом возникла сложная проблема решения уравнения (2.18) для функции распределения [c.28]
Процедура, с помощью которой можно будет отделить одночастичную функцию распределения от многочастичной, заключается в том, чтобы найти такой параметр малости, который позволит разорвать цепочку уравнений и затем разложить эту функцию распределения в ряд по степеням этого малого параметра, так что низшая степень разложения соответствует расщепленным функциям распределения. Процедура разложения по малому параметру будет неоднократно использована в книге, поэтому она подробно рассмотрена ниже. Здесь же отметим что если увеличивать до бесконечности число частиц, но оставить е п постоянным, то четвертый член в (1.90) исчезает, в то время как пятый член (1.91) остается конечным. На первый взгляд кажется, что это мало даст, так как уравнения зацепляются через пятый член. Отметим, однако, что эта процедура физически означает, что эффекты, вызванные столкновениями индивидуальных частиц, становятся незначительными, в то время как силы взаимодействия между частицами представимы в виде интеграла по функции распределения. Поэтому можно ожидать что с точностью до первого члена в разложении некоторой величины, связанной с е п, (я + 1)-частичная функция распределения может быть разбита на произведение -частичной функции распределения и одночастичной функции распределения, которая описывает все другие частицы, каждая из которых идентична с (5 + 1)-частицей. Явный вид параметра разложения сейчас не важен, но, для того чтобы быть последовательными, нужно выбрать некоторый масштаб времени и длины,, по которым будет проводиться разложение. Можно показать, что если нормировать время на 1/о)р и расстояние на Яд, то первые три члена и пятый член — нулевого порядка, а четвертый член — первого порядка малости при разложении в ряд по безразмерному параметру 1/а [c.42]
Определенный интеграл — предел суммы однотипно построенных произведений /( ,)Ад ,-, где f( )—значение функции в точке лежащей на отрезке Ах, при всех Ах — 0 (рис. I) а и Ь — нижний и верхний пределы интегрирования.[c.313]
Важное свойство собственных функций уравнения Шредингера, относящихся к различным собственным значениям, — их взаимная ортогональность интеграл по всему пространству от произведения любой пары собственных функций равен нулю [c.14]
Прежде чем приступать к определению коэффициентов dn(p) в соответствии с указанной схемой, докажем одно важное свойство системы функции sin п=1, 2,. .. Вычислим интеграл от произведения двух таких функций при разных значениях п n — k]in = i. [c.210]
Методы преобразования статистического интеграла основаны на следующем общем его свойстве если функция Гамильтона есть сумма независимых слагаемых, то статистический интеграл можно записать как произведение соответствующего числа независимых сомножителей. Этим свойством функции Z мы неоднократно пользовались. [c.287]
Для количественного расчета величины 8 требуется задать потенциал парного взаимодействия молекул. В некоторых случаях, в частности в случае потенциала (6—12), интеграл (XI.57) может быть взят в аналитическом виде. Разработаны стандартные методы расчета второго вириального коэффициента веществ, взаимодействие в которых описывается потенциалом Леннард-Джонса. Эти методы основаны на использовании приведенных величин. Потенциал Леннард-Джонса (и некоторые другие потенциалы) может быть записан в виде произведения энергетической константы е (глубина потенциальной ямы) на функцию безразмерного аргумента х = ria, зависящего от расстояния [см. формулу (Х.28)] [c.306]
Чтобы связать коэффициенты а с- топологией графа, изобразим ее элементарный представитель и зададим произвольным образом ориентацию его ребер (рис. III.13). Поскольку функция А (г) четная, то разность Г — Гр в показателе экспоненты (III.91) можно записать таким образом, чтобы номер i обозначал вершину, из которой выходит а-е ребро орграфа, а р — в которое оно входит. Тогда Ьга оказываются в точности равными элементам матрицы инциденций В орграфа, а аргумент б-функции (III. 92) представляет собой умноженное на взятую со знаком минус мнимую единицу скалярное произведение г-й строки матрицы на вектор, составленный из импульсов Q = (qi, qa,. . qn). Одна из строк матрицы В является линейной комбинацией остальных, поэтому после (у—1) интегрирований, приводящих к появлению б-функций [92], в последнем интеграле аргумент окажется нулем и такой интеграл будет равным объему V. Таким образом, из и импульсов независимых останется только г, и интегрирование в их пространстве проводится по (Зг)-мерной поверхности S r, t), задаваемой топологией графа через его матрицу инциденций В матричным уравнением [c.237]
Прямое произведение представлений. Очень часто в прикладных задачах встречаются выражения, которые содержат произведения функций, преобразующихся по тем или иным представлениям точечных групп. В частности, в 2 и 3 предшествующей главы уже встречались интегралы вида , в которых как функции и ф, так и оператор дипольного момента могут преобразовываться по различным неприводимым представлениям. Возникает естественный вопрос, по какому представлению в этих случаях будет преобразовываться подынтегральное выражение и как специфика получаемых преобразований будет отражаться на величине указанного интеграла. [c.206]
Из приведенного примера видно, что различные орбитали симметрии для одной группы эквивалентных АО или ГАО отличаются тем свойством, что, если взять любую пару из них, то обязательно наДцется хотя бы один такой элемент симметрии, относительно которого одна МОС из пары будет симметричной, а вторая — антисимметричной Такой элемент симметрии делит все пространство задания функций на две симметричные части, в которых произведения функций равны н различаются лишь знаком Поэтому для таких функций интеграл взятый по всему пространству, должен быть равен нулю Будут равны нулю также и интегралы типа [c.269]
Разные свойства синглетного и триплетного состояний количественно определяются значениями обменного интеграла А. Из вида этого интеграла (130,12) непосредственно следует, что его подынтегральное выражение отлично от нуля только в тех точках пространства, где произведение функций Фа(1) Фв(1) и 1 а(2) )в(2) отлично от нуля, т. е. в области перекрывания электронных волновых функций обоих атомов. Поскольку значения волновых функций экспоненциально убывают на больших расстояниях, то на больших расстояниях значение А экс-ионенциальио уменьшается с расстоянием. [c.624]
Как и следует из общей теории (см. разд. 1.3), атомные орбитали, принадлежащие разным энергетнчески.м уровням, ортогональны. Так, ортогональность 5- н /-функций неносредственно видна из рис. 1.2, поскольку произведение, скажем, 5 принимает положительные значения при г >0 и такие же по моду.лю, но отрицательные значения при 2 произведения функций обращается в нуль. (Ортогональность функций с разными п и одинаковыми /, например 15- и 25-АО. из рисунка, конечно, не видна для ее доказательства надо принять во внимание радиальную зависимость АО.) [c.17]
Таким образом, величина 2у конф представится как сумма всех возможных членов вида . .. dru, которые можно записать для системы из N пронумерованных частиц. Чтобы точно вы-чйслить конфигурационный интеграл, требуется определить все члены разложения (XI.25). Существенно, однако, следующее. Так как при больших значениях rjy то произведение / у. .. f f не равно нулю только при таких конфигурациях, когда расстояния Г , г 1,. .., одновременно малы, т. е. имеется одновременное взаимодействие пар t—/, K—i,. … s—t (если хотя бы одна пара из тех, что указаны в произведении функций / у fxl fst> не взаимодействует, то произведение равно нулю). Поскольку для не очень плотного газа вероятность одновременного взаимодействия многих молекул мала, то разложение Zyv конф по величинам J. ..J / — fs dti. .. drs быстро сходится. [c.329]
Интеграл (3.45) может быть вычислен графически при условии, что реактор работает при одной температуре. Для этого каждое измеренное значение / умножается на величину 1 — е при одинаковом значении Л Такие произведения затем наносят на график в функции от 1 и находят площадь под кривой, ограниченной = оо или тем значением /, при котором подынтегральное ьыражение является еще существенной величиной.[c.102]
Покажем, что линейно независимые детерминантные функции, построенные из функций ортонормированной системы Фр , являются орто-нормированными. Рассмотрим интеграл от произведения детерминант-ных функций ZJpj рд, и построенных из спин-орбиталей [c.57]
Здесь принято x— f вынесена за знак интеграла как величина, не зависящая от точки А, а 1гавти 1г как медленно меняющаяся функция. Выражение (1.55) является произведением двух функций, одна из которых зависит только от расстояния, а другая — только от углов наблюдения Qy и 0г, что подтверждает возможность представления поля в виде диаграммы направленности. Ее ампли- [c.80]
Преимущество такой замены заключается в том, что произведение любых двух гауссовских функций с центрами на атомах а и Ь представляет собой новую гауссовскую функцию с центром в некоторой точке с. В связи с этим вычисление четырехцентрового интеграла по гауссовским функциям (СаСь (7,Су) сводится к вычислению двухцентрового 1интеграла, который вычисляется значительно проще. Основной недостаток гауссовских функций в том, что они плохо отражают поведение хартри-фоковских АО. Для аппроксимации АО Хартри—Фока с достаточной точностью необходимо брать большее число гауссовских АО, чем слэтеровских. [c.119]
Преимущество такой замены заключается в том, что произведение любых двух гауссовских функций с центрами на атомах а и Ь представляет собой новую гауссовскую функцию с центром в некоторой точке с. В связи с этим вычисление четырехцентрового интеграла по гауссовским функциям (GaGb GeGf) сводится к вычислению двухцентрового (G lGd) интеграла, который вычисляется значительно проще. Основной недостаток гауссовских функций в том, что они плохо отражают поведение хартри-фоковских АО. Для аппроксимации АО Хартри — Фока с достаточной точностью необходимо брать большее число гауссовских АО, чем слэтеровских. Например, в так называемом базисе STO—3G каждая слэтеров- ская АО аппроксимируется тремя гауссовыми с коэффициентами разложения, подбираемыми по методу наименьших квадратов. Лучший способ подбора состоит не в приближении к слэтеровским АО, а в поиске функций исходя из минимума полной энергии соответствующего атома. Это позволяет сократить размеры гауссовского набора до приемлемых размеров. [c.107]
В последнем члене выражения (15) безразлично, подставить ли V или У, так как здесь стоит произведение двух членов волновой функции и электрон 1 частично находится у адра а, а частично у ядра Ь. Однако это безразлично, так как последний интеграл (15) не меняется при замене V на V. Чтобы убедиться в этом, заметим, что от замены обозначений переменных интегрирований величина интеграла не меняется. Если мы поменяем обозначения электронов 1 — 2 и 2 1, то произведение (1) ijJa (2) (1) ь (2) не меняется, а V переходит а V. Подобным же образом заметим, что два первых интеграла равны друг другу. [c.36]
Интегрирования произведения двух функций — CodeRoad
Я немного смущен результатом моего следующего кода:
Что, конечно же, дает результат. Но когда я пишу код для интеграции как и любой другой метод снизу он выдает ошибку:
I = intg.quadrature(lambda x: Phi_0*Phi_1, -1, 1)
I = intg.quadrature(f, -1, 1)
I = intg.quadrature(f(x), -1, 1)
Можете ли вы объяснить, почему первый метод работает, но не другие?
python
function
lambda Поделиться Источник gune19 марта 2020 в 21:18
1 ответ
Python3-Sympy: расширьте произведения тригонометрических функций
Я не могу найти способ, чтобы SymPy расширял произведения, подобные cos(a)*cos(b) , в сумму тригонометрических функций суммы углов. from sympy import * init_printing() wrf,wlo,t = symbols(‘\omega_RF \omega_LO t’) c = cos(wrf*t)*cos(wlo*t) expand_trig(c) Сохраняет продукт в целости.
Поделиться Mureinik19 марта 2020 в 21:22
Похожие вопросы:
Как найти самый большой палиндром, сделанный из произведения двух 3-значных чисел в vb.net?
Я пытаюсь решить головоломку и … Постановка задачи такова: найти наибольший палиндром, составленный из произведения двух 3-значных чисел. Я новичок в этом деле, так что, пожалуйста, помогите!
Агрегация декартова произведения двух иерархических деревьев с использованием Java
Нужно сделать агрегацию декартова произведения двух иерархических древовидных структур с помощью Java, пожалуйста, предложите несколько хороших методов или API для этого. Древовидная Структура:…
численное интегрирование матрицы в Matlab
Я должен численно оценить в Matlab Интеграл произведения двух функций A(x,y) и B (x,y). Эти две функции находятся в 2-мерной форме массива. 4 В вольфраме я ввожу int(sin(2*x)/4 -…
sympy log_expand произведение двух неопределенных функций
Я создал две неопределенные функции в Sympy. Когда я беру log произведения двух неопределенных функций и применяю log_expand() , я не получаю сумму логов двух неопределенных функций. Минимальный…
R найдите самый большой палиндром, составленный из произведения двух 3-значных чисел
Палиндромное число читается одинаково в обоих направлениях. Самый большой палиндром, полученный из произведения двух двухзначных чисел, равен 9009 = 91 × 99. Напишите программу, которая находит…
Как создать функцию, которая возвращает функцию произведения списка функций
Я хотел бы создать функцию, которая возвращает функцию произведения списка функций. Список функций должен быть переменной длины, и функции должны иметь разные параметры. E.g.: def f(a, b, **kwargs):…
Найдите самый большой палиндром, сделанный из произведения двух 3-значных чисел C#
Я попытался решить 4-й проект projecteuler с помощью C#, но не получил правильного ответа, я получил 90909. Может ли кто-нибудь заметить мою ошибку? Проблема заключается в следующем: Палиндромное…
Интеграция по частям
Интеграция по частям — это особый метод интеграции, который часто бывает полезен, когда две функции перемножаются, но также полезен и другими способами.
Скоро вы увидите множество примеров, но сначала давайте посмотрим на правило:
∫u v dx = u∫v dx −∫u ‘(∫v dx) dx
u — функция u (x)
v — функция v (x)
u ‘ — производная функции u (x)
Правило в виде диаграммы:
Давайте сразу рассмотрим пример:
Пример: Что такое ∫x cos (x) dx?
Хорошо, у нас есть x , умноженное на cos (x) , поэтому интегрирование по частям — хороший выбор.
Сначала выберите, какие функции для u и v :
Итак, теперь он в формате ∫ u v dx , мы можем продолжить:
Дифференциация u : u ‘= x’ = 1
Интегрировать v : ∫v dx = ∫cos (x) dx = sin (x) (см. Правила интеграции)
Теперь мы можем собрать все вместе:
Упростить и решить:
x sin (x) — ∫sin (x) dx
х грех (х) + соз (х) + С
Итак, мы выполнили следующие шаги:
Выберите u и v
Дифференцировать u: u ‘
Интеграция v: ∫v dx
Поместите u, u ‘и ∫v dx в: u∫v dx −∫u’ (∫v dx) dx
Упростить и решить
На английском языке мы можем сказать, что ∫u v dx становится:
(интеграл u) минус интеграл (производная u, интеграл v)
Давайте попробуем еще несколько примеров:
Пример: что такое ∫ln (x) / x
2 dx?
Сначала выберите u и v:
Дифференцировать u: ln (x) ‘= 1 x
Интегрировать v: ∫1 / x 2 dx = ∫x -2 dx = −x -1 = −1 x (по правилу мощности)
Теперь сложим:
Упростить:
−ln (x) / x — ∫ − 1 / x 2 dx = −ln (x) / x — 1 / x + C
— лин (x) + 1 x + C
Пример: Что такое ∫ln (x) dx?
Но есть только одна функция! Как выбрать u и v?
Эй! Мы можем просто выбрать v как «1»:
Дифференцировать u: ln (x) ‘= 1 / x
Интегрировать v: ∫1 dx = x
Теперь сложим:
Упростить:
x ln (x) — ∫1 dx = x ln (x) — x + C
Пример: что такое ∫e
x x dx?
Выберите u и v:
Дифференцировать u: (e x ) ‘= e x
Интегрировать v: ∫x dx = x 2 /2
Теперь сложим:
Что ж, это была грандиозная катастрофа! Все стало еще сложнее.
Может быть, мы могли бы выбрать другие u и v?
Пример: ∫e
x x dx (продолжение)
Выберите по-разному u и v:
Дифференцировать u: (x) ‘= 1
Интегрировать v: ∫e x dx = e x
Теперь сложим:
Упростить:
x e x — e x + C
е х (х − 1) + С
Мораль истории: выбирайте u и v внимательно!
Выберите и , который станет проще, если вы его дифференцируете, и v , который не станет более сложным после интеграции.
Полезное эмпирическое правило — Я ПОЗДНУЮ. Выберите и в зависимости от того, что из них будет первым:
И последний (и хитрый) пример:
Пример: ∫e
x sin (x) dx
Выберите u и v:
Дифференцировать u: sin (x) ‘= cos (x)
Интегрировать v: ∫e x dx = e x
Теперь сложим:
∫e x sin (x) dx = sin (x) e x −∫cos (x) e x dx
Выглядит хуже, но будем настаивать! Чтобы найти ∫cos (x) e x dx, мы можем снова использовать интеграцию по частям :
Выберите u и v:
Дифференцировать u: cos (x) ‘= -sin (x)
Интегрировать v: ∫e x dx = e x
Теперь сложим:
∫e x sin (x) dx = sin (x) e x — (cos (x) e x −∫ − sin (x) e x dx)
Упростить:
∫e x sin (x) dx = e x sin (x) — e x cos (x) −∫ e x sin (x) dx
Теперь у нас одинаковый интеграл с обеих сторон (за исключением вычитания одного). ..
… так что переместим правую руку влево и получим:
2∫e x sin (x) dx = e x sin (x) — e x cos (x)
Упростить:
∫e x sin (x) dx = ½ e x (sin (x) — cos (x)) + C
Сноска. Откуда взялась «интеграция по частям»?
Он основан на Правиле продукта для деривативов:
(УФ) ‘= УФ’ + УФ
Объединить обе стороны и переставить:
∫ (uv) ‘dx = ∫uv’ dx + ∫u’v dx
uv = uv ‘dx + u’v dx
∫uv ‘dx = uv — u’v dx
Некоторые люди предпочитают эту последнюю форму, но мне нравится заменять v ‘на w и v на w dx , что упрощает левую часть:
∫uw dx = u∫w dx — ∫u ‘(∫w dx) dx
Calculus II — Интеграция по частям
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 1-1: Интеграция по частям
Давайте начнем с этого раздела с пары интегралов, которые мы уже должны уметь делать для начала.2}}} + c \]
Опять же, это достаточно просто, если вы помните, как делать замены. Кстати, убедитесь, что вы можете делать такие замены быстро и легко. С этого момента мы будем производить подобные замены в своей голове. Если вам придется останавливаться и записывать их при каждой проблеме, вы обнаружите, что на решение этих задач у вас уйдет значительно больше времени. {6x}} \) сам по себе, мы могли бы сделать интеграл достаточно легко.\ prime} \, dx}} = \ int {{f ‘\, g + f \, g’ \, dx}} \]
Левая часть достаточно проста для интегрирования (мы знаем, что интегрирование производной просто «отменяет» производную), и мы разделим правую часть интеграла.
\ [fg = \ int {{f ‘\, g \, dx}} + \ int {{f \, g’ \, dx}} \]
Обратите внимание, что технически у нас должна была отображаться константа интегрирования слева после выполнения интегрирования. Мы можем отбросить его на этом этапе, поскольку другие константы интеграции будут отображаться в будущем, и они просто поглотят эту.
Наконец, перепишите формулу следующим образом, и мы придем к формуле интегрирования по частям.
\ [\ int {{f \, g ‘\, dx}} = fg — \ int {{f’ \, g \, dx}} \]
Однако это не самая простая формула. Итак, сделаем пару замен.
\ [\ begin {align *} u = f \ left (x \ right) \ hspace {0,5in} v = g \ left (x \ right) \\ & du = f ‘\ left (x \ right) \, dx \ hspace {0,5 дюйма} dv = g ‘\ left (x \ right) \, dx \ end {align *} \]
Обе из них — стандартные замены Calculus I, к которым, надеюсь, вы уже привыкли. Не радуйтесь тому факту, что мы используем здесь две замены. Они будут работать так же.
Использование этих замен дает нам формулу, которую большинство людей считают формулой интегрирования по частям.
Интеграция по частям
\ [\ int {{u \, dv}} = uv — \ int {{v \, du}} \]
Чтобы использовать эту формулу, нам нужно будет идентифицировать \ (u \) и \ (dv \), вычислить \ (du \) и \ (v \), а затем использовать формулу. Также обратите внимание, что вычислить \ (v \) очень просто.Все, что нам нужно сделать, это интегрировать \ (dv \).
\ [v = \ int {{dv}} \]
Одна из самых сложных вещей при использовании этой формулы — это то, что вам нужно правильно идентифицировать как \ (u \), так и \ (dv \). Не всегда будет ясно, каков правильный выбор, и иногда мы делаем неправильный выбор. Это не повод для беспокойства. Если мы сделаем неправильный выбор, мы всегда можем вернуться и попробовать другой набор вариантов.
Это приводит к очевидному вопросу: как узнать, правильно ли мы сделали выбор для \ (u \) и \ (dv \)? Ответ на самом деле довольно прост.{6x}} \, dx}} \]
Показать решение
Итак, на некотором уровне проблема здесь в \ (x \), стоящем перед экспонентой. Если бы этого не было, мы могли бы сделать интеграл. Также обратите внимание, что при выполнении интеграции по частям все, что мы выбираем для \ (u \), будет дифференцироваться. Таким образом, кажется, что выбор \ (u = x \) будет хорошим выбором, поскольку при дифференцировании \ (x \) выпадет.
Теперь, когда мы выбрали \ (u \), мы знаем, что \ (dv \) будет всем остальным, что останется.{6x}} + c \ end {align *} \]
После того, как мы выполнили последний интеграл в задаче, мы добавим константу интегрирования, чтобы получить окончательный ответ.
Также обратите внимание, что, как отмечалось выше, мы знаем, что сделали правильный выбор для \ (u \) и \ (dv \), когда получили новый интеграл, который мы фактически вычисляем после применения формулы интегрирования по частям.
Теперь давайте посмотрим на интегрирование по частям для определенных интегралов.b \) в первом члене — это просто стандартное обозначение интегральной оценки, с которым вы должны быть знакомы на этом этапе. Все, что мы делаем, это оцениваем член, в данном случае uv , в \ (b \), затем вычитаем оценку члена в \ (a \).
На каком-то уровне нам здесь действительно не нужна формула, потому что мы знаем, что при вычислении определенных интегралов все, что нам нужно сделать, это вычислить неопределенный интеграл, а затем выполнить вычисление. На самом деле, это, вероятно, будет немного проще, поскольку нам не нужно отслеживать таким образом оценку каждого термина.{- 6}} \ end {align *} \]
Любой из методов вычисления определенных интегралов с интегрированием по частям довольно прост, так что выбор, который вы выберете, в значительной степени зависит от вас.
Поскольку нам нужно уметь вычислять неопределенный интеграл, чтобы вычислить определенный интеграл, а выполнение определенного интеграла сводится к не более чем вычислению неопределенного интеграла в паре точек, мы сконцентрируемся на вычислении неопределенных интегралов в остальной части этого раздел. Фактически, на протяжении большей части этой главы так и будет. Мы будем делать гораздо больше неопределенных интегралов, чем определенных интегралов.
Давайте взглянем еще на несколько примеров.
Пример 3 Вычислите следующий интеграл.
\ [\ int {{\ left ({3t + 5} \ right) \ cos \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \, dt}} \]
Показать решение
Есть два способа продолжить этот пример. Для многих первое, что они пробуют, — это умножить косинус через скобки, разделить интеграл, а затем выполнить интегрирование по частям для первого интеграла.
Хотя это вполне приемлемый способ решения проблемы, это больше работы, чем нам действительно нужно. Вместо того, чтобы разделять интеграл, давайте вместо этого воспользуемся следующими вариантами для \ (u \) и \ (dv \).
\ [\ begin {align *} u & = 3t + 5 & \ hspace {0,5 дюйма} dv & = \ cos \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \, dt \\ du & = 3 \, dt & \ hspace {0,5 дюйма} v & = 4 \ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \ end {align *} \]
Тогда интеграл равен
. \ [\ begin {align *} \ int {{\ left ({3t + 5} \ right) \ cos \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \, dt}} & = 4 \ left ({3t + 5} \ right) \ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) — 12 \ int {{\ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \, dt}} \\ & = 4 \ left ({3t + 5} \ right) \ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) + 48 \ cos \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) + c \ end {align *} \]
Обратите внимание, что мы вытащили все константы из интеграла, когда использовали формулу интегрирования по частям.2}}} {{10}} \ cos \ left ({10w} \ right) + \ frac {1} {5} \ int {{w \ cos \ left ({10w} \ right) \, dw}} \]
В этом примере, в отличие от предыдущих примеров, новый интеграл также потребует интегрирования по частям. Для этого второго интеграла мы будем использовать следующие варианты.
\ [\ begin {align *} u & = w & \ hspace {0,5 дюйма} dv & = \ cos \ left ({10w} \ right) \, dw \\ du & = \, dw & \ hspace {0,5 дюйма } v & = \ frac {1} {{10}} \ sin \ left ({10w} \ right) \ end {align *} \]
Итак, интеграл принимает вид
\ [\ begin {align *} \ int {{{w ^ 2} \ sin \ left ({10w} \ right) \, dw}} & = — \ frac {{{w ^ 2}}} {{10 }} \ cos \ left ({10w} \ right) + \ frac {1} {5} \ left ({\ frac {w} {{10}} \ sin \ left ({10w} \ right) — \ frac {1} {{10}} \ int {{\ sin \ left ({10w} \ right) \, dw}}} \ right) \\ & = — \ frac {{{w ^ 2}}} {{ 10}} \ cos \ left ({10w} \ right) + \ frac {1} {5} \ left ({\ frac {w} {{10}} \ sin \ left ({10w} \ right) + \ frac {1} {{100}} \ cos \ left ({10w} \ right)} \ right) + c \\ & = — \ frac {{{w ^ 2}}} {{10}} \ cos \ left ({10w} \ right) + \ frac {w} {{50}} \ sin \ left ({10w} \ right) + \ frac {1} {{500}} \ cos \ left ({10w} \ вправо) + c \ end {align *} \]
Будьте осторожны с коэффициентом интеграла для второго применения интегрирования по частям.Поскольку интеграл умножается на \ (\ frac {1} {5} \), нам нужно убедиться, что результаты фактического выполнения интеграла также умножаются на \ (\ frac {1} {5} \). Забывание сделать это — одна из наиболее распространенных ошибок при интеграции по частям.
Как показал этот последний пример, иногда нам потребуется несколько приложений интегрирования по частям, чтобы полностью оценить интеграл. Это то, что произойдет, поэтому не волнуйтесь, когда это произойдет.
В следующем примере нам нужно признать важный момент, касающийся методов интеграции. Некоторые интегралы могут быть получены с использованием нескольких различных методов. Так обстоит дело с интегралом в следующем примере.
Пример 5 Вычислите следующий интеграл
\ [\ int {{х \ sqrt {x + 1} \, dx}} \]
Использование интеграции по частям.
Используя стандартную замену Calculus I.
Показать все решения Скрыть все решения
a Использование интеграции по частям.Показать решение
Сначала обратите внимание, что в этом интеграле нет триггерных функций или экспонент. Хотя довольно много интегралов по частям будет включать триггерные функции и / или экспоненты, не все из них будут слишком зациклены на идее ожидания их появления.
В этом случае мы будем использовать следующие варианты для \ (u \) и \ (dv \).
\ [\ begin {align *} u & = x & \ hspace {0,5 дюйма} dv & = \ sqrt {x + 1} \, dx \\ du & = dx & \ hspace {0.{\ frac {5} {2}}} + c \ end {align *} \] b Используя стандартную замену Calculus I. Показать решение
Теперь займемся интегралом с заменой. Мы можем использовать следующую замену.
\ [u = x + 1 \ hspace {0,5 дюйма} x = u — 1 \ hspace {0,5 дюйма} du = dx \]
Обратите внимание, что на самом деле мы будем использовать замену дважды: один раз для количества под квадратным корнем и один раз для \ (x \) перед квадратным корнем. {\ frac {3} {2}}} + c \ end {align *} \]
Итак, в этом примере мы использовали два разных метода интеграции и получили два разных ответа.Тогда возникает очевидный вопрос: мы сделали что-то не так?
На самом деле, мы не сделали ничего плохого. Нам необходимо помнить следующий факт из исчисления I.
\ [{\ rm {If}} \, \, f ‘\ left (x \ right) = g’ \ left (x \ right) \, \, \, {\ rm {then}} \, \, \ , е \ влево (х \ вправо) = г \ влево (х \ вправо) + с \]
Другими словами, если две функции имеют одинаковую производную, то они будут отличаться не более чем на константу. Итак, как это применимо к указанной выше проблеме? Сначала определите следующее:
\ [f ‘\ left (x \ right) = g’ \ left (x \ right) = x \ sqrt {x + 1} \]
Затем мы можем вычислить \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) путем интегрирования следующим образом:
\ [е \ left (x \ right) = \ int {{f ‘\ left (x \ right) \, dx}} \ hspace {0.5in} g \ left (x \ right) = \ int {{g ‘\ left (x \ right) \, dx}} \]
Мы будем использовать интегрирование по частям для первого интеграла и замену для второго интеграла. Тогда согласно тому, что \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) должны отличаться не более чем на константу. Давайте проверим это и посмотрим, так ли это. Мы можем убедиться, что они различаются не более чем на константу, если мы посмотрим на разницу между ними и сделаем небольшие алгебраические манипуляции и упрощения.{\ frac {3} {2}}} \ left (0 \ right) \\ \ hspace {2.0in} = 0 \ end {array} \]
Итак, в этом случае оказывается, что две функции — это одна и та же функция, поскольку разница равна нулю. Учтите, что это происходит не всегда. Иногда разница дает ненулевую константу. Пример этого можно найти в разделе «Константа интеграции» в примечаниях к исчислению I.
Итак, что мы узнали? Во-первых, иногда будет несколько методов вычисления интеграла.Во-вторых, мы увидели, что разные методы часто приводят к разным ответам. Наконец, даже несмотря на то, что ответы разные, иногда с большим трудом можно показать, что они отличаются не более чем на константу.
Когда мы сталкиваемся с интегралом, первое, что нам нужно решить, — это то, есть ли более одного способа сделать интеграл. Если существует несколько способов, нам нужно будет определить, какой из них следует использовать. Общее практическое правило, которое я использую в своих классах, заключается в том, что вы должны использовать метод, который вы считаете наиболее простым.Возможно, это не самый простой способ, но это не значит, что это неправильный метод.
Одна из наиболее распространенных ошибок интеграции по частям — это слишком сильная привязанность людей к воспринимаемым шаблонам. Например, во всех предыдущих примерах использовался базовый шаблон, согласно которому \ (u \) принимался за многочлен, стоящий перед другой функцией, а затем позволял \ (dv \) быть другой функцией. Это не всегда будет происходить, поэтому нам нужно быть осторожными и не связываться с какими-либо шаблонами, которые, как нам кажется, мы видим.
Давайте взглянем на некоторые интегралы, которые не вписываются в приведенный выше шаблон.
Пример 6 Вычислите следующий интеграл.
\ [\ int {{\ ln x \, dx}} \]
Показать решение
Итак, в отличие от любого другого интеграла, который мы сделали до этого момента, в интеграле есть только одна функция и нет полинома перед логарифмом.
Первый выбор многих людей здесь — попытаться вписать это в шаблон сверху и сделать следующие выборы для \ (u \) и \ (dv \).
\ [u = 1 \ hspace {0,5 дюйма} dv = \ ln x \, dx \]
Однако это приводит к реальной проблеме, поскольку это означает, что \ (v \) должно быть,
\ [v = \ int {{\ ln x \, dx}} \]
Другими словами, нам нужно знать ответ заранее, чтобы решить проблему. Так что этот выбор просто не сработает.
Следовательно, если логарифм не принадлежит \ (dv \), он должен принадлежать вместо \ (u \).Итак, давайте использовать следующие варианты вместо
\ [\ begin {align *} u & = \ ln x & \ hspace {0,5 дюйма} dv & = \, dx \\ du & = \ frac {1} {x} dx & \ hspace {0,5 дюйма} v & = х \ конец {выравнивание *} \]
Тогда интеграл равен
.
\ [\ begin {align *} \ int {{\ ln x \, dx}} & = x \ ln x — \ int {{\ frac {1} {x} \, x \, dx}} \\ & = x \ ln x — \ int {{dx}} \\ & = x \ ln x — x + c \ end {align *} \]
Пример 7 Вычислите следующий интеграл.{\ frac {5} {2}}} + c \ end {align *} \]
Итак, в двух предыдущих примерах мы видели случаи, которые не совсем вписывались в какой-либо воспринимаемый шаблон, который мы могли бы получить из первых двух примеров. Это всегда то, к чему мы должны обращать внимание при интеграции по частям.
Давайте взглянем на другой пример, который также иллюстрирует другой метод интеграции, который иногда возникает из-за проблем интеграции по частям.
Пример 8 Вычислите следующий интеграл.\ theta} \ cos \ theta \, d \ theta}} \]
Показать решение
Хорошо, до сих пор мы всегда выбирали \ (u \) таким образом, чтобы при дифференцировании эта часть исчезла или, по крайней мере, превратила ее в интеграл в форму, которая упростила бы работу с . В этом случае, какую бы часть мы ни составляли \ (u \), она никогда не уйдет в процессе дифференцирования.
Не имеет большого значения, какой мы выбираем \ (u \), поэтому мы выберем следующий путь.\ theta} \ sin \ theta} \ right) + c \]
Обратите внимание, что после деления на два мы добавляем постоянную интегрирования в этой точке.
Эту идею интегрирования до тех пор, пока вы не получите одинаковый интеграл по обе стороны от знака равенства, а затем простое решение для интеграла, неплохо запомнить. Это не так уж и часто, но когда это происходит, это может быть единственный способ на самом деле выполнить интеграл.
Также обратите внимание, что это на самом деле просто алгебра, по общему признанию, сделанная таким образом, что вы, возможно, не привыкли к этому, но на самом деле это просто алгебра.
На данном этапе вашей математической карьеры каждый может решить,
\ [x = 3 — x \ hspace {0,5 дюйма} \ to \ hspace {0,5 дюйма} x = \ frac {3} {2} \]
Мы все еще решаем «уравнение». Единственное отличие состоит в том, что вместо решения для \ (x \) в мы решаем для интеграла, и вместо хорошей константы «3» в приведенной выше задаче алгебры мы получили функцию «беспорядка».
У нас есть еще один пример. Как мы увидим, некоторые проблемы могут потребовать от нас выполнять интеграцию по частям много раз, и существует короткий метод, который позволит нам быстро и легко выполнять несколько приложений интеграции по частям.{\ frac {x} {2}}} \, dx}} \]
Показать решение
Начнем с выбора \ (u \) и \ (dv \), как всегда. Однако вместо того, чтобы вычислять \ (du \) и \ (v \), мы помещаем их в следующую таблицу. Затем мы дифференцируем столбец, соответствующий \ (u \), пока не дойдем до нуля. В столбце, соответствующем \ (dv \), мы интегрируем один раз для каждой записи в первом столбце. Существует также третий столбец, который мы немного объясним, и он всегда начинается со знака «+», а затем чередуются знаки, как показано.{\ frac {x} {2}}} + c \ end {align *} \]
У нас есть интеграл. Это намного проще, чем записывать все различные \ (u \) и \ (dv \), которые нам пришлось бы делать в противном случае.
Итак, в этом разделе мы увидели, как выполнять интеграцию по частям. На более поздних уроках математики это, вероятно, будет одним из наиболее частых методов интеграции, с которыми вы столкнетесь.
Важно не зацикливаться на шаблонах, которые, как вы думаете, вы видели.В большинстве случаев любой шаблон, который, как вы думаете, вы видели, может (и будет) нарушен в какой-то момент времени. Будь осторожен!
Видео с вопросом: Нахождение интеграла произведения между экспоненциальной функцией и тригонометрической функцией
Стенограмма видео
Положив 𝑢 равным 𝑒 в степени и d𝑣 равным cos d𝑥, вычислите интеграл 𝑒 в степени 𝑥, умноженный на cos по отношению к 𝑥, путем интегрирования по частям.
Нам дается интеграл для вычисления, и мы видим, что наше интегральное выражение является произведением двух функций. Это 𝑒 в степени, умноженной на cos. И мы знаем несколько разных способов вычисления интеграла, который является произведением двух функций. В этом вопросе нас просят использовать интеграцию по частям. Давайте начнем с того, что вспомним, что мы подразумеваем под интеграцией по частям. Это говорит нам, что интеграл от, умноженного на d𝑣 на d𝑥, относительно 𝑥 равен 𝑢, умноженному на 𝑣, за вычетом интеграла от 𝑣, умноженного на d𝑢 на d𝑥 относительно 𝑥.
Другими словами, это дает нам метод интегрирования произведения двух функций 𝑢 и d𝑣 на d𝑥. Фактически, в вопросе мы видим, что нам говорят, чему присвоить наши функции 𝑢 и 𝑣 равными. Нам говорят установить 𝑢 равным 𝑒 в степени. И сказать, что d𝑣 равно cos d𝑥, является дифференциальным обозначением, чтобы сказать, что d𝑣 через d𝑥 равно cos. Итак, мы положим 𝑢 равным 𝑒 в степени 𝑥 и d𝑣 на d𝑥, чтобы равняться cos.
Теперь, чтобы использовать интегрирование по частям, мы видим, что нам нужны выражения для 𝑣 и d𝑢 через d𝑥.Начнем с d𝑢 by d. Это производная экспоненциальной функции 𝑒 в степени по 𝑥. Но мы знаем, что производная экспоненциальной функции по 𝑥 — это просто экспоненциальная функция. Итак, d𝑢 от d𝑥 — это 𝑒 в степени. Теперь давайте найдем выражение для 𝑣. 𝑣 будет первообразной cos of. Один из способов найти это — проинтегрировать cos относительно. Мы знаем, что это даст нам грех 𝑥 плюс постоянную интегрирования. Но нам просто нужно любое первообразное, поэтому мы просто воспользуемся грехом 𝑥.
Теперь мы готовы вычислить интеграл в степени, умноженной на cos по отношению к 𝑥, используя интегрирование по частям. Подставляя в наши выражения для 𝑢, 𝑣, d𝑢 на d𝑥 и d𝑣 на d𝑥 в нашу формулу интегрирования по частям, мы получаем 𝑒 в степени, умноженной на грех минус интеграл греха, умноженный на 𝑒, чтобы степень 𝑥 относительно 𝑥. И теперь мы видим проблему. Мы не знаем, как вычислить интеграл греха, умноженного на 𝑒, до степени по отношению к.У него те же проблемы, что и у нашего исходного интеграла.
Наша интегральная функция является продуктом двух функций. Однако на этот раз мы можем заметить кое-что интересное. Если бы мы еще раз применили этот процесс интегрирования по частям, мы бы интегрировали грех, дав нам отрицательный cos. Итак, в нашей формуле интегрирования по частям, поскольку, когда мы дифференцируем экспоненциальную функцию, мы просто получаем экспоненциальную функцию, мы получим интеграл от отрицательного cos от, умноженного на 𝑒, в степень относительно.Но это именно тот интеграл, который мы пытаемся вычислить. Таким образом, мы можем переставить и найти значение этого интеграла.
Итак, давайте попробуем еще раз применить интеграцию по частям. На этот раз мы воспользуемся этим, чтобы вычислить интеграл от греха, умноженного на 𝑒, до степени по отношению к. Мы положим 𝑢 экспоненциальной функцией 𝑒 в степени и d𝑣 на d𝑥 как грех. Дифференцируя 𝑢 по 𝑥, получаем, что d𝑢 на d𝑥 равно 𝑒 в степени. И, интегрируя грех по отношению к we, мы получаем, что 𝑣 равно отрицательному cos 𝑥.Подставляя в наши выражения для 𝑢, 𝑣, d𝑢 на d𝑥 и d𝑣 на d𝑥 в нашу формулу для интегрирования по частям, мы получаем 𝑒 в степени 𝑥 отрицательных cos of минус интеграл от отрицательного cos, умноженный на 𝑒 в степени относительно.
И мы можем упростить это выражение. Во-первых, мы можем записать в степени, умноженной на отрицательное значение cos, как отрицательное 𝑒 в степени, умноженной на cos. Точно так же мы можем упростить наш интеграл. У нас есть отрицательный множитель внутри нашего подынтегрального выражения.Мы можем вынести это за пределы нашего интеграла, поэтому вместо этого мы просто добавляем интеграл. Затем мы можем просто переписать подынтегральное выражение как в степени, умноженной на cos. Итак, мы показали, что интеграл от греха, умноженного на 𝑒, до степени по отношению к 𝑥, равен отрицательному в степени, умноженной на cos, плюс интеграл от 𝑒 в степени, умноженной на на cos относительно.
Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить это выражение для интеграла греха, умноженного на, на степень по отношению к 𝑥 в нашу формулу для нашего исходного интеграла.Подставляя это выражение в, мы получаем в степени, умноженной на грех 𝑥 минус отрицательное 𝑒 в степень, умноженную на cos плюс интеграл в степени, умноженной на cos of по отношению к 𝑥. А теперь можно приступить к упрощению этого выражения. Начнем с того, что разместим отрицательную единицу в скобках. Это дает нам 𝑒 в степени sin 𝑥 плюс 𝑒 в степень cos 𝑥 минус интеграл 𝑒 в степень cos числа 𝑥 по отношению к 𝑥.
И помните, что это равно интегралу от до степени cos от 𝑥 по отношению к.И мы видим, что это выражение появляется с обеих сторон нашего уравнения. Таким образом, мы можем решить эту проблему, добавив интеграл от 𝑒 к степени cos от по отношению к 𝑥 к обеим сторонам этого уравнения. Добавив это к обеим частям нашего уравнения в левой части, мы получим удвоенный интеграл от в степени, умноженный на cos of по отношению к. И в правой части этого уравнения наш третий член сокращен. Это дает нам 𝑒 в 𝑥 степени, умноженной на грех 𝑥 плюс, в, умноженную на cos the.
Теперь разделим обе части уравнения пополам. И помните, поскольку мы вычисляем определенный интеграл, нам понадобится постоянная интегрирования. Назовем это 𝐶. Последнее, что мы сделаем, — изменим это выражение и возьмем общий множитель в степень. И это дает нам половину 𝑒 в степени, умноженную на грех 𝑥, плюс cos плюс наша постоянная интегрирования.
Таким образом, дважды применив интегрирование по частям, мы смогли показать, что интеграл в степени, умноженной на cos of по отношению к 𝑥, равен половине 𝑒 в степени, умноженной на sin плюс cos плюс постоянная интегрирования.x} dx}, \; \;} \ kern0pt {\ int {x \ ln xdx},} \]
, в котором подынтегральное выражение является произведением двух функций, может быть решено с помощью интегрирования по частям.
Этот метод основан на правиле продукта для дифференциации.
Предположим, что \ (u \ left (x \ right) \) и \ (v \ left (x \ right) \) — дифференцируемые функции. Тогда правило продукта с точки зрения дифференциалов дает нам:
\ [{d \ left ({uv} \ right) = udv + vdu.} \]
Переставляя это правило, мы можем написать
\ [{udv = d \ left ({uv} \ right) — vdu.} \]
Интегрирование обеих сторон относительно \ (x \) дает
\ [{{\ int {{{u} {dv}}}} = uv — {\ int {vdu}}.} \]
Это формула интегрирования по частям. Цель использования этой формулы — заменить один интеграл (слева) другим (справа), который может быть легче вычислить.
Ключевым моментом при интеграции по частям является правильный выбор \ (u \) и \ (dv \).
\ [{\ int {{{\ log} _2} xdx}} = {x {\ log _2} x — \ int {x \ cdot \ frac {{dx}} {{x \ ln 2}}}} = {x {\ log _2} x — \ frac {1} {{\ ln 2}} \ int {dx}} = {x {\ log _2} x — \ frac {x} {{\ ln 2}} + C.} \]
методов интеграции | Безграничное исчисление
Основные принципы интеграции
Интегрирование — это процесс поиска области, ограниченной функцией; этот процесс использует несколько важных свойств. b \! f (x) \, dx [/ latex] неофициально определяется как область области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная графиком [latex] f [/ latex], [latex] ] x [/ latex] -ось, а вертикальные линии [latex] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex], так что область над [latex] x [/ latex] -осью прибавляет к общей сумме, а то, что ниже оси [latex] x [/ latex], вычитает из общей суммы.Термин интеграл может также относиться к понятию антипроизводной, функции [латекс] F [/ латекс], производной которой является заданная функция [латекс] f [/ латекс].
Определенный интеграл : Определенный интеграл функции может быть представлен в виде области со знаком области, ограниченной ее графиком.
Более строго, если антипроизводная [латекс] F [/ латекс] [латекса] f [/ латекса] известна для непрерывной действительной функции [латекс] f [/ латекс], определенной на закрытом интервале [латекс] ] [a, b] [/ latex], определенный интеграл [latex] f [/ latex] по этому интервалу равен
[латекс] \ displaystyle {\ int_a ^ b \! f (x) \, dx = F (b) — F (a)} [/ латекс]
Если [latex] F [/ latex] является одним из антипроизводных [latex] f [/ latex], тогда все другие антипроизводные будут иметь форму [latex] F (x) + C [/ latex] для некоторых константа [латекс] C [/ латекс]. a f (x) \, dx} [/ latex]
Интеграция путем замены
Обращая цепное правило, мы получаем метод, называемый интегрированием путем подстановки.Учитывая две функции [latex] f (x) [/ latex] и [latex] g (x) [/ latex], мы можем использовать следующую идентичность:
[латекс] \ Displaystyle {\ int [е ‘(г (х)) \ cdot g’ (х)] \; \ mathrm d x = f (g (x)) + C} [/ латекс]
или в виде «фиктивной переменной» [latex] u = g (x) [/ latex]:
[латекс] \ displaystyle {\ int f ‘(u) \; \ mathrm d u = f (u) + C} [/ латекс]
Если мы собираемся использовать интегрирование подстановкой для вычисления определенного интеграла, мы должны соответственно изменить верхнюю и нижнюю границы интегрирования.
Интеграция по частям
Интеграция по частям — это способ интеграции сложных функций путем разделения их на отдельные части и их индивидуальной интеграции.
Цели обучения
Решите интегралы путем интегрирования по частям
Основные выводы
Ключевые моменты
Интегрирование по частям — это теорема, которая связывает интеграл от произведения функций с интегралом от их производной и антипроизводной.
Теорема выражается как [латекс] \ int u (x) v ‘(x) \, dx = u (x) v (x) — \ int u’ (x) v (x) \, dx [/ latex ].
Интегрирование по частям можно интерпретировать не только математически, но и графически.
Ключевые термины
интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются
производная : мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных
Введение
В исчислении интегрирование по частям — это теорема, которая связывает интеграл от произведения функций с интегралом от их производной и антипроизводной.Он часто используется для нахождения антипроизводной произведения функций в идеально более простую антипроизводную. Правило можно вывести в одну строку, просто интегрировав правило дифференциации продукта.
Теорема интегрирования по частям
Возьмем функции [латекс] u = u (x) [/ latex] и [latex] v = v (x) [/ latex]. Взяв их производные, мы останемся с [латексом] du = u ‘(x) [/ latex] и [latex] dxdv = v ‘(x) dx [/ latex]. Теперь давайте посмотрим на принцип интеграции по частям:
[латекс] \ displaystyle {\ int u (x) v ‘(x) \, dx = u (x) v (x) — \ int u’ (x) v (x) \ dx} [/ латекс]
или, более компактно,
[латекс] \ displaystyle {\ int u \, dv = uv- \ int v \, du} [/ латекс]
Проба
Предположим, что [latex] u (x) [/ latex] и [latex] v (x) [/ latex] — две непрерывно дифференцируемые функции.{i = 2} [/ латекс]. Предполагая, что кривая гладкая в пределах окрестности, это обобщается до неопределенных интегралов [latex] \ int xdy + \ int y dx = xy [/ latex], которые можно преобразовать в форму теоремы: [latex] \ int xdy = xy — \ int y dx [/ латекс].
Пример
Чтобы вычислить [латекс] I = \ int x \ cos (x) \, dx [/ latex], пусть:
[латекс] u = x \\ \ поэтому du = dx [/ latex]
и
[латекс] dv = \ cos (x) \, dx \\ \ поэтому v = \ int \ cos (x) \, dx = \ sin x [/ latex]
, затем:
[латекс] \ begin {align} \ int x \ cos (x) \, dx & = \ int u \, dv \\ & = uv — \ int v \, du \\ & = x \ sin (x) — \ int \ sin (x) \, dx \\ & = x \ sin (x) + \ cos (x) + C \ end {align} [/ latex]
Тригонометрические интегралы
Тригонометрические интегралы — это особый набор функций, используемых для упрощения сложных математических выражений с целью их вычисления.
Цели обучения
Решите основные тригонометрические интегралы
Основные выводы
Ключевые моменты
Некоторые выражения для тригонометрических интегралов находятся с использованием свойств тригонометрических функций.
Некоторые выражения были получены с использованием таких методов, как интегрирование по частям.
Нет гарантии, что тригонометрический интеграл имеет аналитическое выражение.
Ключевые термины
тригонометрический : относящийся к функциям, используемым в тригонометрии: [latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]
интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются
Тригонометрические интегралы
Тригонометрические интегралы — это семейство интегралов, которые включают тригонометрические функции ([latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]).Ниже приводится список интегралов от тригонометрических функций. Некоторые из них были вычислены с использованием свойств тригонометрических функций, в то время как другие использовали такие методы, как интегрирование по частям.
Как правило, если функция [latex] \ sin (x) [/ latex] является любой тригонометрической функцией, а [latex] \ cos (x) [/ latex] является ее производной, то
[латекс] \ displaystyle {\ int a \ cos nx \; \ mathrm {d} x = \ frac {a} {n} \ sin nx + C} [/ latex]
Во всех формулах предполагается, что константа [latex] a [/ latex] отлична от нуля, а [latex] C [/ latex] обозначает константу интегрирования.2 x = \ frac {1} {2} (1 — \ sin 2x) [/ latex] и [латекс] \ sin x \ cos x = \ frac {1} {2} \ sin 2x [/ latex].
Тригонометрическая замена
Тригонометрические функции могут быть заменены другими выражениями, чтобы изменить форму подынтегральных выражений и упростить интегрирование.
Цели обучения
Используйте тригонометрическую замену для решения интеграла
Основные выводы
Ключевые моменты
Если подынтегральное выражение содержит [latex] a ^ 2 — x ^ 2 [/ latex], пусть [latex] x = a \ sin (\ theta) [/ latex].2 [/ latex], пусть [latex] x = a \ sec (\ theta) [/ latex].
Ключевые термины
тригонометрический : относящийся к функциям, используемым в тригонометрии: [latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]
Тригонометрические функции могут быть заменены другими выражениями, чтобы изменить форму подынтегральных выражений. Можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальные выражения (или выражения, содержащие корни [latex] n [/ latex] th).2 (\ theta)}} \\ & = \ int \ frac {d \ theta} {a} \\ & = \ frac {\ theta} {a} + C \\ & = \ frac {1} {a} \ arctan \ left (\ frac {x} {a} \ right) + C \ end {align} [/ latex]
Метод неполных дробей
Разложение на частичные дроби обеспечивает подход к интеграции общей рациональной функции.
Цели обучения
Использовать частичное дробное разложение для интегрирования рациональных функций
Основные выводы
Ключевые моменты
Любая рациональная функция действительной переменной может быть записана как сумма многочлена и конечного числа рациональных дробей, знаменателем которых является степень неприводимого многочлена, а числитель имеет степень ниже, чем степень этого неприводимого многочлена.2 + 1 [/ латекс]
Разложение на частичные дроби обеспечивает подход к интеграции общей рациональной функции. Любую рациональную функцию действительной переменной можно записать как сумму многочлена и конечного числа рациональных дробей, знаменателем которых является степень неприводимого многочлена, а числитель имеет степень ниже, чем степень этого неприводимого многочлена. Вот несколько общих примеров.
Полином 1-й степени в знаменателе
Замена [latex] u = ax + b [/ latex], [latex] du = a \, dx [/ latex] уменьшает интеграл [latex] \ int {1 \ over ax + b} \, dx [/ латекс] к:
[латекс] \ begin {align} \ int {1 \ over u} \, {du \ over a} & = {1 \ over a} \ int {du \ over u} \\ & = {1 \ over a } \ ln \ left | u \ right | + C \\ & = {1 \ over a} \ ln \ left | ax + b \ right | + C \ end {align} [/ latex]
Повторяющийся многочлен 1-й степени в знаменателе
Та же самая замена уменьшает такие интегралы, как [latex] \ int {1 \ over (ax + b) ^ 8} \, dx [/ latex], до
[латекс] \ begin {align} \ int {1 \ over u ^ 8} \, {du \ over a} & = {1 \ over a} \ int u ^ {- 8} \, du \\ & = {1 \ over a} \ cdot {u ^ {- 7} \ over (-7)} + C \\ & = {-1 \ over 7au ^ 7} + C \\ & = {-1 \ over 7a ( ax + b) ^ 7} + C \ end {align} [/ latex]
Неприводимый многочлен 2-й степени в знаменателе
Далее мы рассматриваем такие интегралы, как
[латекс] \ displaystyle {\ int {x + 6 \ over x ^ 2-8x + 25} \, dx} [/ latex]
Самый быстрый способ увидеть, что знаменатель, [латекс] x ^ 2 — 8x + 25 [/ latex], несократим, — это заметить, что его дискриминант отрицательный.2-8x + 25) + {10 \ over 3} \ arctan \ left ({x-4 \ over 3} \ right) + C} [/ latex]
Интеграция с использованием таблиц и компьютеров
Для интегрирования обычно используются таблицы известных интегралов или компьютерных программ.
Цели обучения
Определить, какие интегралы следует решать с помощью таблиц или компьютеров в силу их сложности
Основные выводы
Ключевые моменты
В то время как дифференцирование имеет простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых составляющих функций, интегрирование — нет.
В книгах с интегральными таблицами можно найти компиляцию списка интегралов и методов интегрального исчисления.
Существует несколько коммерческих программ, таких как Mathematica или Matlab, которые могут выполнять символьную интеграцию.
Ключевые термины
интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются
Интегрирование — основная операция в интегральном исчислении.В то время как дифференцирование имеет простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых составляющих функций, интегрирование этого не делает, поэтому часто полезны таблицы известных интегралов. Нам также, возможно, придется прибегнуть к компьютерам для выполнения интеграла.
Интеграция с использованием таблиц
Сборник списка интегралов и методов интегрального исчисления был опубликован немецким математиком Мейером Хиршем еще в 1810 году. Более обширные таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком Давидом де Биренс де Хааном.Новое издание вышло в 1862 году. Эти таблицы, содержащие в основном интегралы от элементарных функций, использовались до середины 20 века. Затем их заменили гораздо более обширные таблицы Градштейна и Рыжика. Вот несколько примеров интегралов в этих таблицах для логарифмических функций:
[латекс] \ int \ ln ax \; dx = x \ ln ax — x [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle {\ int \ ln (ax + b) \; dx = \ frac {(ax + b) \ ln (ax + b) — ax} {a}} [/ латекс]
[латекс] \ int (\ ln x) ^ 2 \; dx = x (\ ln x) ^ 2 — 2x \ ln x + 2x [/ латекс]
Вы, конечно, видите, что эти интегралы сложно сделать просто «вручную».”
Интеграция с использованием компьютеров
Компьютеры могут использоваться для интеграции двумя основными способами. Во-первых, численные методы с использованием компьютеров могут быть полезны при вычислении определенного интеграла. Есть много методов и алгоритмов. Мы вкратце узнаем о численном интегрировании в другом атоме. Во-вторых, существует несколько коммерческих программ, таких как Mathematica или Matlab, которые могут выполнять символьную интеграцию.
Интеграция : Численное интегрирование заключается в нахождении численных приближений для значения [латекс] S [/ латекс].{b} f (x) \, dx = \ frac {ba} {2N} (f (x_1) + 2f (x_2) + 2f (x_3) + \ ldots + 2f (x_N) + f (x_ {N + 1) }))[/латекс].
В двух и более измерениях, где простые методы аппроксимации становятся непомерно дорогими с точки зрения вычислительных затрат, можно использовать другие методы, такие как метод Монте-Карло.
Ключевые термины
трапеция : (выпуклый) четырехугольник с двумя (несмежными) параллельными сторонами
Численное интегрирование, в некоторых случаях также известное как числовая квадратура, требует значения определенного интеграла.Популярные методы используют одну из формул Ньютона – Котеса (например, правило средней точки или правило Симпсона) или квадратуру Гаусса. Эти методы основаны на стратегии «разделяй и властвуй», согласно которой интеграл на относительно большом множестве разбивается на интегралы на меньших множествах. В более высоких измерениях, где эти методы становятся непомерно дорогими с точки зрения вычислительных затрат, можно использовать другие методы, такие как метод Монте-Карло. Здесь мы изучим очень простой метод аппроксимации, называемый правилом трапеции.{b} f (x) \, dx \ приблизительно (b-a) \ frac {f (a) + f (b)} {2}} [/ latex]
Правило трапеции имеет тенденцию становиться чрезвычайно точным, когда периодические функции интегрированы по их периодам.
Аппроксимация линейными функциями : Функция [латекс] f (x) [/ latex] (синим цветом) аппроксимируется линейной функцией (красным цветом).
Числовая реализация правила трапеции
Для домена, дискретизированного на [латекс] N [/ латекс] равномерно распределенные панели или [латекс] N + 1 [/ latex] точки сетки [латекс] (1, 2, \ cdots, N + 1) [/ latex] , где шаг сетки равен [latex] h = \ frac {(ba)} {N} [/ latex], аппроксимация интеграла принимает следующий вид:
[латекс] \ begin {align} \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx & \ приблизительно \ frac {h} {2} \ sum_ {k = 1} ^ {N} \ left ( f (x_ {k + 1}) + f (x_ {k}) \ right) {} \\ & = \ frac {ba} {2N} (f (x_1) + 2f (x_2) + \ cdots + 2f ( x_N) + f (x_ {N + 1})) \ end {align} [/ latex]
Хотя в методе также может использоваться неоднородная сетка, в этом примере для аппроксимации использовалась равномерная сетка. bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex].bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex], в котором берется ограничение в одной или другой (а иногда и в обеих) конечных точках.
Часто необходимо использовать несобственные интегралы, чтобы вычислить значение интегралов, которые могут не существовать в обычном смысле (например, интеграл Римана) из-за сингулярности функции или бесконечной конечной точки области определения интеграция.
Ключевые термины
интегрант : функция, которая должна быть интегрирована
определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей
Несоответствующий интеграл — это предел определенного интеграла, когда конечная точка интервала (ов) интегрирования приближается либо к заданному действительному числу, либо к [latex] \ infty [/ latex] или [latex] — \ infty [/ latex] или , в некоторых случаях, когда обе конечные точки приближаются к пределам.bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex]
, в котором устанавливается ограничение на одной или другой конечной точке (а иногда и на обеих).
Несобственный интеграл второго рода : Несобственный интеграл Римана второго рода. Интеграл может не существовать из-за вертикальной асимптоты функции.
Интегралы также являются неправильными, если подынтегральное выражение не определено во внутренней точке области интегрирования или в нескольких таких точках. Часто необходимо использовать несобственные интегралы, чтобы вычислить значение интегралов, которые могут не существовать в обычном смысле (например, интеграл Римана) из-за сингулярности функции или бесконечной конечной точки области интегрирования. .2} \, \ mathrm {d} x \\ & = \ lim_ {b \ to \ infty} \ left (- \ frac {1} {b} + \ frac {1} {1} \ right) \\ & = 1 \ end {align} [/ latex]
Пример 2
Узкое определение интеграла Римана также не распространяется на функцию [latex] \ frac {1} {\ sqrt {x}} [/ latex] на интервале [latex] [0, 1] [/ latex]. Проблема здесь в том, что подынтегральное выражение не ограничено в области интегрирования (определение требует, чтобы и область интегрирования, и подынтегральное выражение были ограничены). +} (2 \ sqrt {1} -2 \ sqrt {a}) \\ & = 2 \ end {align} [/ latex]
Численное интегрирование
Численное интегрирование представляет собой широкое семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла.б \! f (x) \, dx [/ латекс].
Существует несколько причин для проведения численного интегрирования. Это может быть связано со специфическим характером функции (подлежащей интеграции) или ее первообразных.
Большой класс квадратурных правил может быть получен путем построения интерполирующих функций, которые легко интегрировать. Обычно эти интерполирующие функции являются полиномами. Простыми примерами являются метод средней точки и метод трапеции.
Ключевые термины
трапециевидный : в форме трапеции или с несколькими гранями, имеющими одну пару параллельных сторон
первообразное : неопределенный интеграл
Численное интегрирование представляет собой широкое семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла, и, в более широком смысле, этот термин также иногда используется для описания численного решения дифференциальных уравнений. 2) [/ latex], первообразная которого (функция ошибки, умноженная на константу) не может быть записана в элементарной форме.
Может быть возможно найти первообразную символически, но может быть проще вычислить численное приближение, чем вычислить первообразную. Это может иметь место, если первообразная дана как бесконечная серия или произведение, или если для ее оценки требуется специальная функция, которая недоступна.
Методы одномерных интегралов
Большой класс квадратурных правил может быть получен путем построения интерполирующих функций, которые легко интегрировать.b f (x) \, dx \ приблизительно (b-a) \, f \ left (\ frac {a + b} {2} \ right)} [/ latex]
Правило прямоугольника : Иллюстрация правила прямоугольника.
Интерполирующая функция может быть аффинной функцией (полиномом степени 1), проходящей через точки [latex] (a, f (a)) [/ latex] и [latex] (b, f (b)) [/ латекс]. Это называется правилом трапеции.
Линия трапеции : Иллюстрация линейки трапеции.
Для любого из этих правил мы можем сделать более точное приближение, разбив интервал [latex] [a, b] [/ latex] на некоторое количество [latex] n [/ latex] подинтервалов, вычислив приближение для каждый подынтервал, затем складываются все результаты.{n-1} \ left (f \ left (a + k \ frac {b-a} {n} \ right) \ right) + {f (b) \ over 2} \ right)} [/ латекс]
, где подынтервалы имеют вид [latex] [kh, (k + 1) h] [/ latex], где [latex] h = \ frac {(ba)} {n} [/ latex] и [latex] k = 0, 1, 2, \ cdots, n − 1 [/ latex].
Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie
Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.
Настройка вашего браузера на прием файлов cookie
Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:
В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить, хотите ли вы принимать файлы cookie.
Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.
Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г.,
браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.
Почему этому сайту требуются файлы cookie?
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie
потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.
Что сохраняется в файле cookie?
Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.
Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт
не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к
остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.
7. Интеграция по частям
М. Борна
Иногда мы встречаем интеграцию, которая является продуктом двух функций. Мы можем интегрировать такие продукты, используя Integration by Parts .
Если u и v являются функциями x ,
правило продукта для дифференциации, которое мы встретили ранее, дает нам:
`d / (dx) (uv) = u (dv) / (dx) + v (du) / (dx)`
Переставив, имеем:
`u (dv) / (dx) = d / (dx) (uv) -v (du) / (dx)`
Интегрируя все относительно x , получаем
формула для интегрирования по частям:
Эта формула позволяет превратить сложный интеграл в
более простые.Мы должны убедиться, что выбрали u и дв осторожно.
ПРИМЕЧАНИЕ: Функция u выбрана так
что `(du) / (dx)` на проще , чем u .
Приоритеты выбора u
Если у вас есть сочетание функций в выражении, которое нужно интегрировать, используйте следующую команду для выбора `u` по порядку.
1. Пусть `u = ln x`
2.(nx) `
Пример 1
`intx \ sin 2x \ dx`
Решение
Нам нужно выбрать «u». В этом вопросе у нас нет ни одной из функций, предложенных в списке «приоритетов» выше.
Можно использовать u = x или u = sin 2x, но обычно работает только один из них. В общем, мы выбираем тот, который позволяет `(du) / (dx)`
иметь более простую форму, чем и .
Итак, для этого примера мы выбираем u = x , и поэтому `dv` будет» остатком «интеграла, дв = sin 2 x dx .
У нас есть u = x, поэтому du = dx.
Также `dv = sin 2x \ dx` и интегрирование дает:
`v = intsin 2x \ dx`
`= (- cos 2x) / 2`
Подставляя эти 4 выражения в формулу интегрирования по частям, мы получаем (используя цветовую кодировку, чтобы было легче увидеть, откуда берутся данные):
`int \ color {green} {\ underbrace {u}} \ \ \ \ color {red} {\ underbrace {dv}} \ \` `= \ \ \ color {green} {\ underbrace {u}} \ \ \ \ color {blue} {\ underbrace {v}} \ \ — \ int \ color {blue} {\ underbrace {v}} \ \ \ color {magenta} {\ underbrace {du}} `
`int \ color {green} {\ fbox {: x:}} \ \ color {red} {\ fbox {: sin 2x dx:}} = \ color {green} {\ fbox {: x:}} \ \ color {blue} {\ fbox {: {- cos2x} / 2:}} — int \ color {blue} {\ fbox {: {- cos2x} / 2:} \ \ color {magenta} {\ fbox {: dx:}} `
`= (-xcos2x) / 2 + 1/2 int cos2x dx`
`= (-xcos2x) / 2 + 1/2 (sin2x) / 2 + K`
`= (-xcos2x) / 2 + (sin2x) / 4 + K`
Если вышеизложенное сложно понять (из-за разрывов строк), то здесь он снова в другом формате:
Пример 2
`int x sqrt (x + 1) dx`
Ответ
`intxsqrt (x + 1) \ dx`
Мы могли бы использовать `u = x` или` u = sqrt (x + 1) `. 2) dx`.2) + К`
На этот раз мы интегрировали обратную тригонометрическую функцию (в отличие от более раннего типа, где мы получили обратные тригонометрические функции в нашем ответе). См. Интеграция: обратные тригонометрические формы.
Альтернативный метод интеграции по частям
Вот альтернативный метод решения проблем, который можно решить с помощью интеграции по частям. Возможно, вам будет легче следовать.
5. Кочергина А.В. Учим математику с увлечением (Методическая библиотека). М.: 5 за знания, 2007. – с.159.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вспомните, как связаны между собой числа при умножении.
Посмотрите, множитель 20, множитель 3, произведение 60.
Если 60 разделить на 20, получится 3.
Если 60 разделить на 3, получится 20.
Значит, если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Это правило потребуется при решении уравнений, в которых неизвестен один из множителей.
20 ∙ 3 = 60
60 : 20 = 3
60 : 3 = 20
Решим уравнение:
произведение неизвестного числа и числа 7 равно числу 91. В нем неизвестен первый множитель. Как его найти? Для нахождения неизвестного первого множителя надо произведение 91 разделить на известный множитель 7. Делим 91 на 7 — получаем 13. Выполним проверку. Подставим в уравнение вместо икс число 13.
13 умножить на 7 получим 91. Получили верное равенство:
91 равно девяносто одному. Значит, решили правильно.
А теперь догадайтесь, как решить уравнение: произведение неизвестного числа и числа 7 равно сумме чисел восьмидесяти и одиннадцати. Найдем значение выражения в правой части уравнения: 80 плюс 11 равно 91. Тем самым мы получили уравнение, которое уже умеем решать. Посмотрите, как записывается решение этого уравнения и его проверка.
Вспомним, как связаны между собой числа при делении.
Посмотрите: делимое 15, делитель 3, частное равно пяти.
Если делитель 3 умножить на частное 5, получим делимое 15.
Если делимое 15 разделить на частное 5, получим делитель 3.
15 : 3 = 5
3 ∙ 5 = 15
15 : 5 = 3
Знание связей между делимым, делителем и частным потребуется для решения уравнений, в которых неизвестен один из компонентов: делимое или делитель. Посмотрите, как решаются такие уравнения. В первом уравнении неизвестно делимое. Чтобы его найти, нужно делитель 3 умножить на частное 9.
Во втором уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, нужно делимое 45 разделить на частное 3.
А как решить такое уравнение? Вычислим произведение в правой части: 18 умножить на 5 получим 90. Получается уравнение, в котором неизвестно делимое. Вы уже знаете, как его решать. Выполним проверку решения уравнения. Подставим число 540 вместо икс, вычислим левую часть и правую часть выражения: 90 равно 90. Значит уравнение решили верно.
Задания тренировочного модуля:
1.К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго.
91 : х = 13
x = 20
х : 21=4
x = 7
24 ∙x = 96
x = 84
x∙ 3 = 60
x = 4
Правильный ответ:
91 : х = 13
x = 7
х : 21= 4
x = 84
24 ∙x = 96
x = 4
x∙3 = 60
x = 20
2. Выполните вычисления и выделите верный ответ:
7 ∙x = 140 : 2
Варианты ответов: 10, 400, 2
Правильный вариант:
10
3.Решите уравнение, подчеркните правильный ответ:
(80 : у) ∙ 700 = 2800
Варианты ответов:
2, 4, 20
Правильные варианты:
20
Общие сведения об уравнениях
Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.
С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.
В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.
Предварительные навыки
Что такое уравнение?
Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.
Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5.
А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x, значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.
Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.
Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет
Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5
Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.
Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.
Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.
Выразить одно через другое
Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.
Рассмотрим следующее выражение:
8 + 2
Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10
8 + 2 = 10
Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.
Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.
Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:
2 = 10 − 8
Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10. Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.
При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.
Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8. Данное равенство можно прочесть так:
2 есть 10 − 8
То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:
Число 2 есть разность числа 10 и числа 8
или
Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.
Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.
В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:
10 = 8 + 2
Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6
Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:
Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3
Правила нахождения неизвестных
Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.
Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.
В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.
Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:
2 = 10 − 8
То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.
Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x
8 + x = 10
В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10, а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого
Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10. Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10. Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8
2 = 10 − 8
А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x, мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:
x = 10 − 8
Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x
x = 2
Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2. Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:
В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.
x + 2 = 10
В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2
x = 10 − 2
x = 8
Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.
В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность
Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:
8 = 6 + 2
То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.
Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x
x − 2 = 6
В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого
Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.
А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2
x = 6 + 2
Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x
x = 8
Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x
8 − x = 6
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого
Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.
А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6
x = 8 − 6
Вычисляем правую часть и находим значение x
x = 2
Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.
В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение
Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:
То есть разделили произведение 6 на множитель 2.
Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x
x × 2 = 6
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.
Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.
Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6. Произведение 6 мы разделили на множитель 2.
А сейчас для нахождения неизвестного множимого x, нужно произведение 6 разделить на множитель 2.
Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x
x = 3
Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x.
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.
Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6. Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.
А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.
Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x
x = 2
Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:
Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.
Например, решим уравнение 9 × x = 18. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9
Отсюда .
Решим уравнение x × 3 = 27. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3
Отсюда .
Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.
Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:
15 = 3 × 5
То есть умножили частное 3 на делитель 5.
Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.
Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.
А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x, нужно частное 3 умножить на делитель 5
x = 3 × 5
Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.
x = 15
Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x.
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.
Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.
А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x, нужно делимое 15 разделить на частное 3
Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.
x = 5
Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Компоненты
Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство
Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма
Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность
Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение
Компонентами деления являются делимое, делитель и частное
В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.
Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60
45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
x = 60 − 45
Вычислим правую часть, получим значение x равное 15
x = 15
Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.
Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.
Пример 2. Решить уравнение
Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x
В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.
При этом слагаемое 2x содержит переменную x. После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:
Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:
Вычислим правую часть получившегося уравнения:
Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение
При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем
Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:
Вычислим правую часть, получим значение переменной x
Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56
Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.
Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:
Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:
Отсюда x равен 2
Равносильные уравнения
В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56, мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56. Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.
Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.
Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2. Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56, а затем в уравнение 28x = 56, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства
Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:
Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56
Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.
Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56, которое проще решать.
Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.
Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
и аналогично:
Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.
Пример 1. Решить уравнение
Вычтем из обеих частей уравнения число 10
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Получили уравнение 5x = 10. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.
Отсюда .
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 2
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2
Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16
Раскроем скобки в левой части равенства:
Вычтем из обеих частей уравнения число 12
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В левой части останется 4x, а в правой части число 4
Получили уравнение 4x = 4. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12. В результате получили равносильное уравнение 4x = 4. Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1
Пример 3. Решить уравнение
Раскроем скобки в левой части равенства:
Прибавим к обеим частям уравнения число 8
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В левой части останется 2x, а в правой части число 9
В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5
Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.
Рассмотрим следующее уравнение:
Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство
Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .
Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.
Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:
Получилось уравнение 12 = 9x − 3x. Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:
Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда x = 2. Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.
На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.
Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x
Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.
Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.
Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12. В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса
Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.
Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.
Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.
Пример 1. Решить уравнение
При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.
В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:
Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8
Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:
В результате останется простейшее уравнение
Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.
Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:
От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:
Пример 2. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 15
В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки в правой части уравнения:
Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим
Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15. Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x. Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5. Значит эти уравнения равносильны.
Пример 3. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 3
В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18
Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 4. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 6
В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:
Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Теперь найдем значение переменной x. Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7
Отсюда x = 4.
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4
Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 5. Решить уравнение
Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:
Умнóжим обе части уравнения на 15
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки там, где это можно:
Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
Найдём значение x
В получившемся ответе можно выделить целую часть:
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение
Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A, а правую часть равенства в переменную B
Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B
Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.
Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B. То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно
Видим, что значение переменной B, как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.
Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.
Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42. Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x
Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:
Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:
Выполним сокращение в каждом слагаемом:
Перепишем то, что у нас осталось:
Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:
Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14, нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7
Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.
Умножение на минус единицу
Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.
Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1.
Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.
Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?
Прибавим к обеим частям уравнения число 5
Приведем подобные слагаемые:
А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x
То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение на самом деле выглядит следующим образом:
Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х, нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1.
или разделить обе части уравнения на −1, что еще проще
Итак, корень уравнения равен 5. Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице
Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.
Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:
После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10
Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5
Значит уравнения и равносильны.
Пример 2. Решить уравнение
В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1.
Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.
Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:
либо можно просто поменять знаки всех компонентов:
Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.
Итак, умножив обе части уравнения на −1, мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3
Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.
Пример 3. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:
Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:
Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:
Приравнивание к нулю
Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.
В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x
Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:
Приведем подобные слагаемые в левой части:
Прибавим к обеим частям 77, и разделим обе части на 7
Альтернатива правилам нахождения неизвестных
Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.
К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2
Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5
Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:
Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:
Далее разделить обе части на 2
В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .
Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:
В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:
Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.
Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.
Когда корней несколько
Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9.
В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9), которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).
То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.
x = 0 или x + 9 = 0
Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0. Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0. Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9. Проверка показывает, что корень верный:
−9 + 9 = 0
Пример 2. Решить уравнение
Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2). А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2)).
Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:
Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:
Когда корней бесконечно много
Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.
Пример 1. Решить уравнение
Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14. Это равенство будет получаться при любом x
Пример 2. Решить уравнение
Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x
Когда корней нет
Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x, левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид
Пусть
Пример 2. Решить уравнение
Раскроем скобки в левой части равенства:
Приведем подобные слагаемые:
Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y. Например, пусть y = 3.
Буквенные уравнения
Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.
Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:
Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.
Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s.
Умнóжим обе части уравнения на t
В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:
В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:
У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.
Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t.
Умнóжим обе части уравнения на t
В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:
В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v
В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:
У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.
Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч
v = 50 км/ч
А расстояние равно 100 км
s = 100 км
Тогда буквенное уравнение примет следующий вид
Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t. Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t
либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t
Затем разделить обе части на 50
Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Вычтем из обеих частей уравнения a
Разделим обе части уравнения на b
Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c, то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.
Решим уравнение 2 + 4x = 10. Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c. Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:
Видим, что второе решение намного проще и короче.
Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0), поскольку деление на ноль на допускается.
Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Раскроем скобки в обеих частях уравнения
Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x, сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.
В левой части вынесем за скобки множитель x
Разделим обе части на выражение a − b
В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b. Так окончательно выразится переменная x
Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d), то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.
Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4). Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d). Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:
Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d. Это позволит нам не ошибиться при подстановке:
Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0). Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.
Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d). В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:
Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Умнóжим обе части на a
В левой части x вынесем за скобки
Разделим обе части на выражение (1 − a)
Линейные уравнения с одним неизвестным
Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.
Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».
Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2(x + 3) = 16. Давайте решим его.
Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x, разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.
Уравнение 2(x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10, для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».
Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.
Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x. Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.
Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0. При любом значении x левая часть будет равна правой части.
Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5. Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.
Если в линейном уравнении a ≠ 0, и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a
Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3, и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6, то уравнение примет вид . Отсюда .
Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0. Это то же самое уравнение, что и ax = b, но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0. Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.
В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Используя метод переноса слагаемого, решите следующее уравнение:
Задание 2. Используя метод прибавления (или вычитания) числа к обеим частям, решите следующее уравнение:
Задание 3. Решите уравнение:
Задание 4. Решите уравнение:
Задание 5. Решите уравнение:
Задание 6. Решите уравнение:
Задание 7. Решите уравнение:
Задание 8. Решите уравнение:
Задание 9. Решите уравнение:
Задание 10. Решите уравнение:
Задание 11. Решите уравнение:
Задание 12. Решите уравнение:
Задание 13. Решите уравнение:
Задание 14. Решите уравнение:
Задание 15. Решите уравнение:
Задание 16. Решите уравнение:
Задание 17. Решите уравнение:
Задание 18. Решите уравнение:
Задание 19. Решите уравнение:
Задание 20. Решите уравнение:
Задание 21. Решите уравнение:
Задание 22. Решите уравнение:
Задание 23. Решите уравнение:
Задание 24. Решите уравнение:
Задание 25. Решите уравнение:
Задание 26. Решите уравнение:
Задание 27. Решите уравнение:
Задание 28. Решите уравнение:
Задание 29. Решите уравнение:
Задание 30. Решите уравнение:
Задание 31. Решите уравнение:
Задание 32. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 33. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 34. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 35. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 36. В следующем буквенном уравнении выразите переменную y:
Задание 37. В следующем буквенном уравнении выразите переменную z:
Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Ответы. Учебник. Часть 2 (с. 94)
Числа от 1 до 100 Табличное умножение и деление Деление на 3
3. Сделай чертеж и покажи, сколько раз по 3 см содержится в 7 см, в 11 см.
В 7 см содержится 2 раза по 3 см и ещё остаётся 1 см. В 11 см содержится 3 раза по 3 см и ещё остаётся 2 см.
4. Реши уравнения, подбирая подходящие значения x.
24 + x = 24 8 • x = 16 x − 6 = 0 x = 24 − 24 x = 16 : 8 x = 0 + 6 x = 0 x = 2 x = 6
x : 2 = 4 x • 5 = 10 x : 3 = 6 x = 4 • 2 x = 10 : 5 x = 6 • 3 x = 8 x = 2 x = 18
5. Зная, что произведение чисел 7 и 8 равно 56, узнай, чему равны частные 56 : 7 и 56 : 8.
7 • 8 = 56 56 : 7 = 8 56 : 8 = 7
6.
a
25
39
43
b
18
28
38
a + 7
32
46
50
40 — b
22
12
2
7. Витя собрал коллекцию из 18 камней и разложил их в 3 коробки поровну. Сколько камней в каждой коробке? Составь две задачи, обратные данной, и реши их.
18 : 3 = 6 (к.) О т в е т: 6 камней в каждой коробке.
Обратная задача 1. Витя собрал коллекцию из 18 камней и разложил их в коробки по 6 камней в каждую. Сколько коробок понадобилось Вите? 18 : 6 = 3 (к.) О т в е т: 3 коробки понадобилось Вите.
Обратная задача 2. Витя собрал коллекцию из камней и разложил их в 3 коробки по 6 камней в каждую. Сколько всего камней собрал Витя? 3 • 6 = 18 (к.) О т в е т: 18 камней собрал Витя.
8. Для поездки на дачу на автомобиле израсходовали 14 л бензина, а для поездки на станцию − 3 л. Сколько литров бензина было в баке сначала, если после этих поездок в нем осталось 23 л?
1) 14 + 3 = 17 (л) − бензина израсходовали всего; 2) 17 + 23 = 40 (л) О т в е т: 40 литров бензина было в баке сначала.
1 способ: 1) 3 • 2 = 6 (см) − длина фиолетовой ломаной; 2) 1 • 6 = 6 (см) − длина красной ломаной; О т в е т: длины ломаных равны.
2 способ: Сумма горизонтальных звеньев красной ломаной равна горизонтальному звену фиолетовой ломаной, а сумма вертикальных звеньев красной ломаной равна вертикальному звену фиолетовой ломаной.
Проверочные работы, с. 62, 63.
Ответы по математике. 2 класс. Учебник.
Ответы. Учебник. Часть 2 (с. 94)
4.5 (90.77%) от 13 голосующих
Уравнения равные нулю | Алгебра
Что такое «уравнения равные нулю»?
Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.
Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».
В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как
(множителей может быть больше).
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:
и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.
Примеры.
Это — уравнение типа «произведение равно нулю».
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:
Ответ: 0; 1,5; -0,8.
Ответ: 3; -2/7.
Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».
Например,
Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:
Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:
Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:
Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:
Корень первого уравнения —
Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).
Ответ: 3.
В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.
Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.
Еще один важный частный случай уравнений, равных нулю, рассмотрим позже.
Решение линейных уравнений с нулевым Солнцем, Без Солнца и «Все-x» Солнцем
Purplemath
Есть три типа решений, которые могут вызвать путаницу. Мы рассмотрим по одному примеру каждого из них, и я объясню различия. Затем мы поработаем над смесью типов уравнений, чтобы вам было удобнее различать типы решений.
Чтобы решить это уравнение, мне сначала нужно упростить левую часть, взяв «минус» в скобки и объединив «похожие» термины:
MathHelp.com
5 — (3 x + 4)
5 — 1 (3 x ) — 1 (+4)
5 — 3 x — 4
5 — 4 — 3 x
1-3 x
Теперь я могу решить обычным способом:
1–3x = 1 -1 -1 ———— -3x = 0 — — -3-3
х = 0
Является ли « x = 0″ допустимым решением? Да, действительно, потому что ноль — допустимое число.Дело не в том, что решение — «ничто»; дело в том, что решение — это «что-то», а это «что-то» равно нулю. Итак, мой ответ:
Студенты могут привыкнуть к тому, что ноль является решением уравнения, но разница между решением «ноль» (это решение является числовым значением) и «ничего» (возможно, является физической мерой чего-то вроде «без яблок» или «нет денег») может вызвать недоумение.
Убедитесь, что вы понимаете, что «ноль» сам по себе не является «ничем». Ноль — это числовое значение, которое (в «реальной жизни» или в контексте словесной проблемы) может означать , подразумевая , что нет «ничего» чего-то или другого, но сам ноль — реальная вещь; это существует; это что-то».
Решить 11 + 3
x -7 = 6 x + 5-3 x
Во-первых, объедините одинаковые термины; затем решите:
Гм… подожди минутку …
С каких это пор четыре когда-либо равняются пяти? Никогда! Существует ли какое-либо возможное значение x , которое «исправит» это уравнение, чтобы оно говорило что-то, имеющее какой-либо смысл? Будет ли любое значение x когда-либо заставить это уравнение работать?
Нет; это просто невозможно. Я выполнил все свои шаги правильно, но эти шаги привели к тому, что уравнение (а) не содержало переменных и (б) не имело смысла.Поскольку не существует значения x , которое заставило бы это уравнение работать, то это уравнение не имеет решения. Вот мой ответ на это упражнение:
.
Вот логика для приведенного выше примера: когда вы пытаетесь решить уравнение, вы исходите из (неустановленного) предположения, что на самом деле — это решение. Когда вы в конечном итоге получаете бессмыслицу (например, бессмысленное уравнение «4 = 5» выше), это означает, что ваше первоначальное предположение (а именно, что исходное уравнение действительно имело решение) было неверным; на самом деле решения нет.Поскольку утверждение «4 = 5» совершенно неверно, и поскольку нет значения x, которое когда-либо могло бы сделать его истинным , то это уравнение не имеет решения.
Advisory: этот ответ полностью отличается от ответа на первое упражнение в верхней части этой страницы, где было , значение x , что будет работать (это значение решения равно нулю). Не путайте эти две очень разные ситуации : «решение существует и имеет нулевое значение» никоим образом не то же самое, что «никакого значения решения не существует».
И не путайте приведенное выше уравнение типа «без решения» со следующим типом уравнения:
Решить 6
x + 5-2 x = 4 + 4 x + 1
Сначала я объединю похожие термины; тогда решу:
Для предыдущего уравнения я получил «5 = 4», и не было значения x , которое могло бы сделать уравнение истинным. Этот результат противоположен этому. Для этого уравнения существует ли какое-либо возможное значение x , которое могло бы сделать приведенное выше утверждение ложным? Нет; 5 — это , всегда будет равно 5. Фактически, поскольку в последней строке вычислений нет « x », значение x явно не имеет отношения к уравнению; x может быть чем угодно, и уравнение останется верным. Итак, решение:
Это решение также может быть указано как «все действительные числа», «все действительные числа», «вся числовая строка», «(–∞, + ∞)» или « x ∈ & reals;» (последнее означает « x является членом набора действительных чисел»).Вы должны ожидать увидеть некоторые вариации в жаргоне от одного учебника к другому, поэтому не удивляйтесь различиям в форматировании.
Обратите внимание: если бы я решил уравнение вычитанием 5 из любой части исходного уравнения, я бы получил:
Другими словами, я бы получил еще одно тривиально верное утверждение. Я также мог бы вычесть 4 x с любой стороны, или я мог бы разделить обе стороны приведенного выше уравнения на 4, или я мог бы разделить на 4, а затем вычесть x с любой стороны, или я мог бы вычесть и 4 x , и 5 с обеих сторон исходного уравнения.Каждый из них — это еще один способ получить другой тривиально верный результат, например «0 = 0». Но независимо от конкретных предпринятых шагов результат (тривиально верное уравнение) всегда будет одним и тем же, и решение останется тем же: «все x ».
Поскольку (как я перечислил выше) существует много способов прийти к одному и тому же выводу для этого типа уравнения, вы не должны удивляться, если для уравнений «все действительные числа» или «без решения» вы не используйте те же шаги, что и некоторые из ваших одноклассников.Существует бесконечно много всегда верных уравнений (например, «0 = 0») и бесконечно много бессмысленных уравнений (например, «3 = 4»), также будет много способов (правильно) прийти к этим ответам.
Основным выводом из приведенных выше примеров должны быть следующие правила:
x = 0: регулярное решение регулярного уравнения
ерунда (например, 3 = 4): нет решения
тривиально истинно (например, 0 = 0): решение — все действительные числа
К сожалению, хотя вы почти наверняка встретите хотя бы один из этих вопросов типа «нет решения» или «все реально» в следующем тесте (и, вероятно, также в финале), их обычно не так много в наборе домашних заданий, и ваш инструктор, вероятно, предоставил только по одному образцу каждого типа.Это не дает вам большой практики в интерпретации этих типов решений, поэтому давайте еще несколько примеров.
Сначала я умножу 3 на скобку в левой части. Тогда я решу.
3x + 12 = 3x + 11 -3x -3x —————— 12 = 11
Моя математика верна, но результат — ерунда.Двенадцать никогда не будет равняться одиннадцати. Итак, мой ответ:
Решите 6 — 2 (
x + 3) = –2 x
Я буду умножать и упрощать в левой части. Тогда я решу.
Ноль всегда будет равняться нулю, и в последней строке моей работы нет даже какой-либо переменной, поэтому переменная явно не имеет значения.Это уравнение верно независимо от значения x . Итак, мой ответ:
Решить 2 (
x + 1) + x = 3 ( x + 2) — 2
Мне нужно перемножить и упростить каждую часть этого уравнения.
Далее мы узнаем, как решить уравнение абсолютного значения . Чтобы решить такое уравнение, как [latex] | 2x — 6 | = 8 [/ latex], мы замечаем, что абсолютное значение будет равно 8, если количество внутри столбцов абсолютного значения равно [latex] 8 [/ latex] или [латекс] -8 [/ латекс].Это приводит к двум различным уравнениям, которые мы можем решить независимо.
Полезно знать, как решать проблемы, связанные с функциями абсолютного значения. Например, нам может потребоваться определить числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки.
Общее примечание: уравнения абсолютных значений
Абсолютное значение x записывается как [latex] | x | [/ latex].Он имеет следующие свойства:
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {If} x \ ge 0, \ text {then} | x | = x. \ Hfill \\ \ text {If} x <0, \ text {тогда } | x | = -x. \ hfill \ end {array} [/ latex]
Для действительных чисел [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс], уравнение вида [латекс] | A | = B [/ латекс] с [латексом] B \ ge 0 [/ latex], будут решения, когда [latex] A = B [/ latex] или [latex] A = -B [/ latex]. Если [latex] B <0 [/ latex], уравнение [latex] | A | = B [/ latex] не имеет решения.
Уравнение абсолютного значения в форме [latex] | ax + b | = c [/ latex] имеет следующие свойства:
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {If} c <0, | ax + b | = c \ text {не имеет решения}.\ hfill \\ \ text {If} c = 0, | ax + b | = c \ text {имеет одно решение}. \ hfill \\ \ text {If} c> 0, | ax + b | = c \ text {имеет два решения}. \ hfill \ end {array} [/ latex]
Как: решить уравнение абсолютного значения.
Изолировать выражение абсолютного значения по одну сторону от знака равенства.
Если [latex] c> 0 [/ latex], запишите и решите два уравнения: [latex] ax + b = c [/ latex] и [latex] ax + b = -c [/ latex].
Есть одно решение: [латекс] х = 2 [/ латекс]. 2» .
Пошаговое решение:
Шаг 1:
Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена
1,1 Факторинг x 2 -x-8
Первый член x 2 его коэффициент равен 1. Средний член, -x, его коэффициент -1. Последний член, «константа», равен -8
Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -8 = -8
Шаг-2: Найдите два множителя -8, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -1.
-8
+
1
=
-7
-4
+
2
904 904
-2
+
4
=
2
-1
+
8
=
два таких фактора 7
9048 можно найти !! Вывод: трехчлен не может быть разложен на множители
Уравнение в конце шага 1:
x 2 - x - 8 = 0
Шаг 2:
Парабола, поиск вершины:
2.1 Найдите вершину y = x 2 -x-8
Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).
Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
Для любой параболы Ax 2 + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 0,5000
Подставив в формулу параболы 0,5000 для x, мы можем вычислить координату y: y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 8,0 или y = -8,250
Парабола, Графическое изображение вершины и пересечения с осью X:
Корневой график для: y = x 2 -x-8 Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0,50} Вершина в точке {x, y} = {0,50, — 8.25} x -Перехват (корни): Корень 1 при {x, y} = {-2.37, 0.00} Корень 2 при {x, y} = {3.37, 0.00}
Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат
2.2 Решение x 2 -x-8 = 0, заполнив квадрат.
Добавьте 8 к обеим сторонам уравнения: x 2 -x = 8
Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2, и возведите его в квадрат. давая 1/4
Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения: В правой части мы имеем: 8 + 1/4 или, (8/1) + (1/4) Общий знаменатель две дроби равны 4. Сложение (32/4) + (1/4) дает 33/4 Таким образом, сложив обе стороны, мы, наконец, получаем: x 2 -x + (1/4) = 33/4
Сложение 1/4 превратила левую часть в полный квадрат: x 2 -x + (1/4) = (x- (1/2)) • (x- (1/2)) = ( x- (1/2)) 2 Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Так как x 2 -x + (1/4) = 33/4 и x 2 -x + (1/4) = (x- (1/2)) 2 то по закону транзитивности, (x- (1/2)) 2 = 33/4
Мы будем называть это уравнение уравнением. # 2.2.1
Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из (x- (1/2)) 2 равен (x- (1/2)) 2/2 = (x- (1/2)) 1 = x- (1/2)
Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 2.2.1 получаем: x- (1/2) = √ 33/4
Добавьте 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить: x = 1/2 + √ 33/4
Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное x 2 — x — 8 = 0 имеет два решения: x = 1/2 + √ 33/4 или x = 1/2 — √ 33/4
Обратите внимание, что √ 33/4 можно записать как √ 33 / √ 4, что равно √ 33/2
Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы
2.3 Решение x 2 -x-8 = 0 по квадратичной формуле.
Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как: — B ± √ B 2 -4AC x = ———————— 2A
В нашем случае A = 1 B = -1 C = -8
Соответственно B 2 — 4AC = 1 — (-32) = 33
Применение формулы квадратного уравнения:
1 ± √ 33 x = ————— 2
√ 33, округленное до 4 десятичных цифр, равно 5.7446 Итак, теперь мы смотрим на: x = (1 ± 5,745) / 2
Два реальных решения:
x = (1 + √33) / 2 = 3,372
или:
x = (1- √33) /2=-2,372
Было найдено два решения:
x = (1-√33) /2=-2,372
x = (1 + √33) / 2 = 3,372
Абсолютное значение — Бесплатная справка по математике
Введение
Абсолютное значение числа — это его значение или величина безотносительно знака.Это «количество», с которым вы работаете, выраженное как положительное число, игнорируя любые отрицательные знаки. Или это расстояние числа от 0 на числовой прямой. Например, число 9 отстоит на 9 единиц от 0. Следовательно, его абсолютное значение равно 9. Число -9 находится на таком же расстоянии от нуля, поэтому его абсолютное значение также равно 9. В обоих случаях величина или абсолютное значение, вашего числа — это просто старая цифра «9», потому что вы удалили любой отрицательный знак, который мог существовать.
Принимая абсолютное значение числа, положительное значение остается неизменным, а отрицательное — положительным.
Как мне это написать?
Абсолютное значение записывается так: | x | и читается как «абсолютное значение x». Примечание. В некоторых местах, например в калькуляторе и компьютерных программах, вы можете увидеть его записанным как abs (x), что, естественно, означает «абсолютное значение x», но | x | — это распространенный способ, которым ваш учитель, вероятно, хочет, чтобы вы записывали его в домашних заданиях и тестах.
Приложения
Еще одно использование столбцов абсолютного значения — это заставить число быть отрицательным путем записи — | x |.Это число делает его положительным, а затем отрицает. Почему мы должны это делать именно так? Что ж, помните — просто поставив отрицательный знак перед числом, не всегда оно становится отрицательным. Если число уже было отрицательным, значит, вы просто сделали его положительным! Использование абсолютного значения гарантирует, что у нас есть положительное значение внутри столбцов, поэтому отрицательный знак определенно сделает его отрицательным.
Знак абсолютного значения также может использоваться в уравнениях: | -8 | = x, таким образом, x = 8 | x | = 8, поэтому x = 8 или x = -8.Помните, что | -8 | также 8, поэтому здесь есть два решения! | x | = -8, решений нет, потому что абсолютное значение никогда не может быть отрицательным.
Получение абсолютного значения алгебраического выражения
Абсолютные значения достаточно легко вычислить, если они содержат константы (регулярные числа), но уравнения абсолютных значений, содержащие переменные, сложнее. Предположим, нам дано следующее уравнение и просят решить относительно x: | x + 2 | = 9
Мы не можем предполагать, что x + 2 положительно или отрицательно, поэтому мы не можем просто «отбросить столбцы».»Если бы x + 2 действительно было отрицательным, абсолютное значение x + 2 действительно было бы — (x + 2), поскольку отрицательное умножение на отрицательное равно положительное. Мы будем решать, используя случаи.
Первый случай или возможность состоит в том, что x + 2 положительно. Принятие абсолютного значения положительного результата не меняет результата. Первый случай: x + 2 = 9
Во втором случае x + 2 отрицательно. Чтобы получить абсолютное значение отрицательного значения, вы должны отрицать его (что снова делает его положительным). Следовательно, | x + 2 | = — (х + 2). Второй случай: — (x + 2) = 9
Здесь мы можем решить оба случая относительно x.
х + 2 = 9 х = 7
или
— (x + 2) = 9 -x -2 = 9 -x = 11 x = -11
Наши два решения для | x + 2 | = 9 — 7 и -11. Попробуйте их. Они оба работают.
Более сложные уравнения обычно можно решить таким же образом, разделив абсолютное значение на два случая. Однако вы должны убедиться, что ваши ответы соответствуют регистру. Если в отрицательном случае вы получили возможный ответ 8, это не может быть правдой.
Если у вас есть время, вы должны вставить свои ответы обратно в исходное уравнение, чтобы проверить правильность.
Вот и все, что касается простого введения абсолютного значения. Вы можете использовать его не так часто, но это жизненно важно понять позже в математике. Для получения дополнительной информации попробуйте поискать в Google по запросу «абсолютное значение». Вы также можете пройти еще один урок по абсолютным значениям, предоставленный PurpleMath, или, возможно, этот урок из Википедии. Если вы хотите поиграть с другими числами и проверить свою работу, попробуйте этот калькулятор абсолютного значения — введите любое число и получите абсолютное значение.
Свойство нулевого продукта
«Свойство нулевого продукта» говорит, что:
Если a × b = 0, то a = 0 или b = 0 (или оба a = 0 и b = 0)
Это может помочь нам решить уравнения:
Пример: Решить (x − 5) (x − 3) = 0
«Свойство нулевого продукта» говорит:
Если (x − 5) (x − 3) = 0, то (x − 5) = 0 или (x − 3) = 0
Теперь мы просто решаем каждую из них:
Для (x − 5) = 0 получаем x = 5
Для (x − 3) = 0 получаем x = 3
И решения:
x = 5 или x = 3
Вот оно на графике:
y = 0, когда x = 3 или x = 5
Стандартная форма уравнения
Иногда мы можем решить уравнение, поместив его в стандартную форму, а затем используя свойство нулевого продукта:
«Стандартная форма» уравнения:
(некоторое выражение) = 0
Другими словами, «= 0» находится справа, а все остальное — слева.
Пример: поместите x
2 = 7 в стандартную форму
Ответ:
x 2 — 7 = 0
Стандартная форма и свойство нулевого продукта
Итак, давайте попробуем:
Пример: Решить 5 (x + 3) = 5x (x + 3)
Заманчиво разделить на (x + 3), но это деление на ноль, когда x = −3
Таким образом, вместо этого мы можем использовать «Стандартную форму»:
5 (x + 3) — 5x (x + 3) = 0
Что можно упростить до:
(5−5x) (x + 3) = 0
5 (1-х) (х + 3) = 0
Тогда «Свойство нулевого продукта» говорит:
(1 − x) = 0 или (x + 3) = 0
И решения:
x = 1 , или x = −3
И еще пример:
Пример: решить
x 3 = 25x
Заманчиво разделить на x, но это деление на ноль, когда x = 0
Итак, давайте использовать стандартную форму и свойство нулевого продукта.
Перенести все в левую сторону:
x 3 — 25x = 0
За вычетом x:
х (х 2 -25) = 0
x 2 -25 — это разница квадратов и может быть разложена на (x — 5) (x + 5):
х (х — 5) (х + 5) = 0
Теперь мы видим три возможных варианта, по которым он может оказаться нулевым:
x = 0 , или x = 5 , или x = −5
Решение полиномиальных неравенств
Решение полиномиальных неравенств
Вот шаги, необходимые для решения полиномиальных неравенств:
Шаг 1 :
Напишите многочлен в правильной форме.Многочлен должен быть записан в порядке убывания и должен быть меньше, больше, меньше или равен или больше или равен нулю.
Шаг 2 :
Найдите ключевые или критические значения. Чтобы найти ключевые / критические значения, приравняйте уравнение к нулю и решите.
Шаг 3 :
Сделайте диаграмму анализа знаков. Чтобы создать диаграмму анализа знаков, используйте ключевые / критические значения, найденные на шаге 2, чтобы разделить числовую линию на участки.
Шаг 4 :
Выполните анализ знаков. Чтобы провести анализ знаков, выберите по одному числу из каждого раздела, созданного на шаге 3, и вставьте это число в многочлен, чтобы определить знак полученного ответа. Знак этого ответа (положительный или отрицательный) будет знаком всего раздела. Вы можете проверить другой номер из того же раздела, если хотите проверить свой ответ.
Шаг 5 :
Используйте диаграмму знакового анализа, чтобы определить, какие разделы удовлетворяют неравенству.Если неравенство меньше нуля или меньше или равно нулю, тогда вы хотите, чтобы все отрицательные участки были найдены в диаграмме анализа знаков. Если неравенство больше нуля или больше или равно нулю, тогда вы хотите, чтобы все положительные участки были найдены в диаграмме анализа знаков.
Шаг 6 :
Используйте интервальную запись, чтобы написать окончательный ответ.
Пример 1 — График:
Шаг 1 : Напишите многочлен в правильной форме.Многочлен должен быть записан в порядке убывания и должен быть меньше, больше, меньше или равен или больше или равен нулю.
Шаг 2 : Найдите ключевые или критические значения. Чтобы найти ключевые / критические значения, приравняйте уравнение к нулю и решите.
Шаг 3 : Создайте диаграмму анализа знаков. Чтобы создать диаграмму анализа знаков, используйте ключевые / критические значения, найденные на шаге 2, чтобы разделить числовую линию на участки.
Шаг 4 : Выполните анализ знаков. Чтобы провести анализ знаков, выберите по одному числу из каждого раздела, созданного на шаге 3, и вставьте это число в полином, чтобы определить знак полученного ответа. В этом случае вы можете выбрать x = –3, что дает +7, x = 0, что дает –8, и x = 5, что дает +7.
Шаг 5 : Используйте диаграмму анализа знаков, чтобы определить, какие разделы удовлетворяют неравенству.В этом случае у нас больше или равно нулю, поэтому нам нужны все положительные секции.
Шаг 6 : Используйте интервальную нотацию для записи окончательного ответа.
Пример 2 — График:
Шаг 1 : Напишите многочлен в правильной форме. Многочлен должен быть записан в порядке убывания и должен быть меньше, больше, меньше или равен или больше или равен нулю.
Шаг 2 : Найдите ключевые или критические значения. Чтобы найти ключевые / критические значения, приравняйте уравнение к нулю и решите.
Шаг 3 : Создайте диаграмму анализа знаков. Чтобы создать диаграмму анализа знаков, используйте ключевые / критические значения, найденные на шаге 2, чтобы разделить числовую линию на участки.
Шаг 4 : Выполните анализ знаков.Чтобы провести анализ знаков, выберите по одному числу из каждого раздела, созданного на шаге 3, и вставьте это число в полином, чтобы определить знак полученного ответа. В этом случае вы можете выбрать x = –4, что дает +3, x = –2, что дает –1, и x = 0, что дает +3.
Шаг 5 : Используйте диаграмму анализа знаков, чтобы определить, какие разделы удовлетворяют неравенству. В этом случае у нас меньше или равно нулю, поэтому нам нужен отрицательный участок.
Шаг 6 : Используйте интервальную нотацию для записи окончательного ответа.
Нажмите здесь для практических задач
Пример 3 — График:
Шаг 1 : Напишите многочлен в правильной форме. Многочлен должен быть записан в порядке убывания и должен быть меньше, больше, меньше или равен или больше или равен нулю.
Шаг 2 : Найдите ключевые или критические значения. Чтобы найти ключевые / критические значения, приравняйте уравнение к нулю и решите.
Шаг 3 : Создайте диаграмму анализа знаков. Чтобы создать диаграмму анализа знаков, используйте ключевые / критические значения, найденные на шаге 2, чтобы разделить числовую линию на участки.
Шаг 4 : Выполните анализ знаков.Чтобы провести анализ знаков, выберите по одному числу из каждого раздела, созданного на шаге 3, и вставьте это число в полином, чтобы определить знак полученного ответа. В этом случае вы можете выбрать x = –4, что дает –35, x = 0, что дает +9, x = 2, что дает –5, и x = 4, что дает +21.
Шаг 5 : Используйте диаграмму анализа знаков, чтобы определить, какие разделы удовлетворяют неравенству. В этом случае у нас меньше нуля, поэтому нам нужны все отрицательные секции.
Шаг 6 : Используйте интервальную нотацию для записи окончательного ответа.
Нажмите здесь для практических задач
Пример 4 — График:
Шаг 1 : Напишите многочлен в правильной форме. Многочлен должен быть записан в порядке убывания и должен быть меньше, больше, меньше или равен или больше или равен нулю.
Шаг 2 : Найдите ключевые или критические значения. Чтобы найти ключевые / критические значения, приравняйте уравнение к нулю и решите.
Шаг 3 : Создайте диаграмму анализа знаков. Чтобы создать диаграмму анализа знаков, используйте ключевые / критические значения, найденные на шаге 2, чтобы разделить числовую линию на участки.
Шаг 4 : Выполните анализ знаков.Чтобы провести анализ знаков, выберите по одному числу из каждого раздела, созданного на шаге 3, и вставьте это число в полином, чтобы определить знак полученного ответа. В этом случае вы можете выбрать x = –5, что дает +56, x = –2, что дает –16, x = 0, что дает +16, и x = 3, что дает –56.
Шаг 5 : Используйте диаграмму анализа знаков, чтобы определить, какие разделы удовлетворяют неравенству. В этом случае у нас больше нуля, поэтому нам нужны все положительные секции.
Шаг 6 : Используйте интервальную нотацию для записи окончательного ответа.
Нажмите здесь для практических задач
Нулевые экспоненты — объяснение и примеры
Экспоненциальное число — это функция, которая выражается в форме x ª, где x представляет собой константу, известную как основание, и «a», показатель степени этой функции, и может быть любым числом.
Показатель степени прикреплен к верхнему правому плечу основания.Он определяет, сколько раз база умножается сама на себя. Например, 4 3 представляет операцию; 4 x 4 x 4 = 64. С другой стороны, дробная степень представляет собой корень от основания, например (81) 1/2 дает 9.
Правило нулевой экспоненты
Рассматривая несколько способов определения экспоненциального числа, мы можем вывести правило нулевой экспоненты, учитывая следующее:
x 2 / x 2 = 1. Принимая во внимание правило деления, когда мы делим числа с одинаковым основанием, мы вычитаем степень.
x 2 / x 2 = x 2 — 2 = x 0 , но мы уже знаем, что x 2 / x 2 = 1; поэтому x 0 = 1
Следовательно, мы можем заключить, что любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, равно 1.
Проверка правила нулевой экспоненты Пусть число 8 0 будет экспоненциальным членом. В этом случае 8 — основание, а ноль — показатель степени.
Но поскольку мы знаем, что умножение единицы и любого экспоненциального числа эквивалентно самому экспоненциальному числу.
⟹⟹ 8 0 = 1 × 8 0 = 1 × 1
Теперь мы записываем число 1 и основание числа 8 ноль раз.
⟹⟹ 8 0 = 1
Таким образом, доказано, что любое число или выражение, возведенное в степень нуля, всегда равно 1. Другими словами, если показатель степени равен нулю, то результат равен 1. Общая форма правила нулевого показателя выражается следующим образом: a 0 = 1 и (a / b) 0 = 1.
Пример 1
(-3) 0 = 1
(2/3) 0 = 1
0 ° = не определено.Это похоже на деление числа на ноль.
Следовательно, мы можем записать правило в виде a ° = 1. В качестве альтернативы правило нулевой экспоненты можно доказать, рассмотрев следующие случаи.
Эта формула будет работать с любым числом, но не с числом 0.
Теперь давайте обобщим формулу, вызвав любое число x:
x (n-1) = x n / x So x 0 = x (1-1) = x 1 / x = x / x = 1
И, значит, доказано.
Пример 3
Рассмотрим другой случай:
5 2 * 5 4 = 5 (2 + 4) = 5 6 = 15625
В этой формуле измените один из показателей степени на отрицательный: 5 2 * 5 -4 = 5 (2-4) = 5 -2 = 0.04 Что, если экспоненты имеют одинаковую величину: 5 2 * 5 -2 = 5 (2-2) = 5 0
Напомним, что отрицательный показатель степени означает, что единица делится на число до показателя степени: 5 -2 = 1/5 2 = 0,04 И поэтому напишите, 5 2 * 5 -2 в другой способ: 5 2 * 5 -2 = 5 2 * 1/5 2 = 5 2 /5 2 = 25/25
Так как любое число, деленное само на себя, всегда равно 1, значит; 5 2 * 5 -2 = 5 2 * 1/5 2 = 5 2 /5 2 = 25/25 = 1 5 2 * 5 -2 = 5 (2-2) = 5 0 5 2 * 5 -2 = 5 2 /5 2 = 1 Отсюда следует, что 5 0 = 1.Таким образом, правило нулевой экспоненты доказано.
Пример 4
Рассмотрим другой случай:
x a * x b = x (a + b) Если мы изменим одну из степеней на отрицательную: x a * x -b = x (ab) И если показатели имеют равные величины, x a * x -b = x a * x -a = x (aa) = x 0
Теперь вспомним, отрицательный показатель степени означает, что единица делится на число до степени:
x -a = 1 / x a Перепишите x a * x -a другим способом: x a * x -a = x a * 1 / x a = x a / x a И поскольку число, разделенное само на себя, всегда равно 1, поэтому: x a * x -a = x a * 1 / x a = x a / x a = 1:
x a * x -a = x (a-a) = x 0 и x a * x -a = x a * 1 / x a :
Это означает, что любое число x 0 = 1.Таким образом, правило нулевой экспоненты доказано.
Практические вопросы
1. Ответьте на следующий вопрос:
а. (-3) 0
г. (-999) 0
г. (1/893) 0
г. (0,128328) 0
e. (√68) 0
ф. (94/0) 0
г. z 9 / z 9
2. Популяция бактерий растет согласно следующему уравнению:
р = 150.25 × 10 x
, где p — это население, а x — количество часов.
Какова популяция бактерий в 0 часов?
3. Число, умноженное на другое число с нулевым показателем степени. Чему равен результат?
а. Первый номер.
г. Второй номер.
г. 0
г. 1
4. Число с показателем + y делится на такое же число с показателем -y.Что в итоге?
Перевод десятичных чисел в дробь: онлайн калькулятор
Говоря сухим математическим языком, дробь — это число, которое представляется в виде части от единицы. Дроби широко используются в жизни человека: при помощи дробных чисел мы указываем пропорции в кулинарных рецептах, выставляем десятичные оценки на соревнованиях или используем их для подсчета скидок в магазинах.
Представление дробей
Существует минимум две формы записи одного дробного числа: в десятичной форме или в виде обыкновенной дроби. В десятичной форме числа выглядят как 0,5; 0,25 или 1,375. Любое из этих значений мы может представить в виде обыкновенной дроби:
0,5 = 1/2;
0,25 = 1/4;
1,375 = 11/8.
И если 0,5 и 0,25 мы без проблем конвертируем из обыкновенной дроби в десятичную и обратно, то в случае с числом 1,375 все неочевидно. Как быстро преобразовать любое десятичное число в дробь? Существует три простых способа.
Избавляемся от запятой
Самый простой алгоритм подразумевает умножение числа на 10 до тех пор, пока из числителя не исчезнет запятая. Такое преобразование осуществляется в три шага:
Шаг 1: Для начала десятичное число запишем в виде дроби «число/1», то есть мы получим 0,5/1; 0,25/1 и 1,375/1.
Шаг 2: После этого умножим числитель и знаменатель новых дробей до тех пор, пока из числителей не исчезнет запятая:
0,5/1 = 5/10;
0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
Шаг 3: Сокращаем полученные дроби до удобоваримого вида:
5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
Число 1,375 пришлось три раза умножать на 10, что уже не очень удобно, а что нам придется делать в случае, если понадобится преобразовать число 0,000625? В этой ситуации используем следующий способ преобразования дробей.
Избавляемся от запятой еще проще
Первый способ детально описывает алгоритм «удаления» запятой из десятичной дроби, однако мы можем упростить этот процесс. И вновь мы выполняем три шага.
Шаг 1: Считаем, сколько цифр стоит после запятой. К примеру, у числа 1,375 таких цифр три, а у 0,000625 — шесть. Это количество мы обозначим буквой n.
Шаг 2: Теперь нам достаточно представить дробь в виде C/10n, где C – это значимые цифры дроби (без нулей, если они есть), а n – количество цифр после запятой. К примеру:
для числа 1,375 C = 1375, n = 3, итоговая дробь согласно формуле 1375/103 = 1375/1000;
для числа 0,000625 C = 625, n = 6, итоговая дробь согласно формуле 625/106 = 625/1000000.
По сути, 10n – это 1 с количеством нулей, равным n, поэтому вам не нужно заморачиваться с возведением десятки в степень — достаточно указать 1 с n нулей. После этого столь богатую на нули дробь желательно сократить.
Шаг 3: Сокращаем нули и получаем итоговый результат:
1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
Дробь 11/8 — это неправильная дробь, так как числитель у нее больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. В этой ситуации мы вычитаем из 11/8 целую часть 8/8 и получаем остаток 3/8, следовательно, дробь выглядит как 1 и 3/8.
Преобразование на слух
Для тех, кто умеет правильно читать десятичные дроби, проще всего их преобразовать на слух. Если вы читаете 0,025 не как «ноль, ноль, двадцать пять», а как «25 тысячных», то у вас не будет никаких проблем с конвертацией десятичных чисел в обыкновенные дроби.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Таким образом, правильное прочтение десятичного числа позволяет сразу же записать ее как обыкновенную дробь и сократить в случае необходимости.
Примеры использования дробей в повседневной жизни
На первый взгляд обыкновенные дроби практически не используются в быту или на работе и трудно представить ситуацию, когда вам понадобится перевести десятичную дробь в обычную за пределами школьных задач. Рассмотрим пару примеров.
Работа
Итак, вы работаете в кондитерском магазине и продаете халву на развес. Для простоты реализации продукта вы разделяете халву на килограммовые брикеты, однако мало кто из покупателей готов приобрести целый килограмм. Поэтому вам приходится каждый раз разделять лакомство на кусочки. И если очередной покупатель попросит у вас 0,4 кг халвы, вы без проблем продадите ему нужную порцию.
0,4 = 4/10 = 2/5
Быт
К примеру, необходимо сделать 12 % раствор для покраски модели в нужный вам оттенок. Для этого нужно смешать краску и растворитель, но как правильно это сделать? 12 % — это десятичная дробь 0,12. Преобразовываем число в обыкновенную дробь и получаем:
0,12 = 12/100 = 3/25
Зная дроби, вы сможете правильно смешать компоненты и получить нужный цвет.
Заключение
Дроби широко используются в повседневной жизни, поэтому если вам часто необходимо преобразовывать десятичные значения в обыкновенные дроби, вам пригодится онлайн-калькулятор, при помощи которого можно мгновенно получить результат в виде уже сокращенной дроби.
Десятичные дроби — как решать примеры 5, 6 класс
Понятие десятичной дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:
обыкновенный вид — ½ или a/b,
десятичный вид — 0,5.
В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства десятичных дробей
Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:
0,600 = 0,6
21,10200000 = 21,102
Основные свойства
Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.
Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.
Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.
Как записать десятичную дробь
Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.
Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.
Как решаем:
Знаменатель равен 10 — это один ноль.
Отсчитываем справа налево в числителе дробной части один знак и ставим запятую.
Приходите решать увлекательные задачки с красочными героями и в интерактивном формате. Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.
Как читать десятичную дробь
Чтобы учитель вас правильно понял, важно читать десятичные дроби грамотно. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целых», а потом дробную с обозначением разряда — он зависит от количества цифр после запятой:
Сколько цифр после запятой?
Читается, как
одна цифра — десятых;
1,3 — одна целая, три десятых;
две цифры — сотых
2,22 — две целых, двадцать две сотых;
три цифры — тысячных;
23,885 — двадцать три целых, восемьсот восемьдесят пять тысячных;
четыре цифры — десятитысячных;
0,5712 — ноль целых пять тысяч семьсот двенадцать десятитысячных;
и т. д.
Сохраняй наглядную картинку, чтобы быстрее запомнить.
Преобразование десятичных дробей
Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!
Как перевести десятичную дробь в проценты
Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.
1% = 1/100 = 0,01
Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.
А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:
0,15 = 0,15 · 100% = 15%.
Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.
2/5 = 0,4 0,4 · 100% = 40%
8/25 = 0,32 0,32 · 100% = 32%
Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:
Преобразование десятичных дробей
Быстрая напоминалка:
Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.
Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).
Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!
Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.
Как решаем:
Читаем вслух: пять целых четыре десятых. «Четыре десятых» подсказывают, что в числителе будет 4, а в знаменателе — 10. В смешанном виде эта дробь выглядит так: 5 4/10.
А теперь сократим числитель и знаменатель на два (потому что можно) и получим: 5 2/5.
Ответ: 5,4 = 5 2/5.
Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.
Как решаем:
Читаем вслух: четыре целых пять тысячных. Значит 5 — идет в числитель, а 1000 — в знаменатель. В смешанном виде получается так: 4 5/1000. После сокращения: 4 1/200.
Ответ: 4,005 = 4 1/200.
Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.
Как решаем:
Читаем вслух: пять целых шестьдесят сотых. Отправляем 60 в числитель, а 100 — в знаменатель. В смешанном виде дробь такая: 5 60/100.
Сократим дробную часть на 10 и получим 5 6/10. Или можно вспомнить про свойство десятичной дроби и просто отбросить нули в числителе и знаменателе.
Ответ: 5,60 = 5 6/10.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную
Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:
Перепишем исходную дробь в новый вид: в числитель поставим исходную десятичную дробь, а в знаменатель — единицу. Например:
0,35 = 0,35/1
2,34 = 2,34/1
Умножим числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а у знаменателя соответственно добавляются нули. На примере легче:
0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
А теперь сокращаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им числа:
0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, еще раз делим на 2, получаем итоговый ответ 3/10.
2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.
Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!
Действия с десятичными дробями
С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.
Как разделить десятичную дробь на натуральное число
Разделить целую часть десятичной дроби на это число.
Поставить запятую в частном и продолжить вычисление, как при обычном делении.
Пример 1. Разделить 4,8 на 2.
Как решаем:
Записать деление уголком.
Разделить целую часть на два. Записать полученный результат в частное и поставить запятую.
Умножить частное на делитель, записать, посмотреть на остаток от деления. Но мы еще не закончили, поэтому остаток «ноль» не записываем. Сносим 8 и делим её на 2.
Делим еще раз. Записываем полученную 4 в частном и умножаем её на делитель:
Ответ: 4,8 : 2 = 2,4.
Пример 2. Разделить 183,06 на 45.
Как решаем:
Записать деление уголком.
Разделить целую часть 183 на 45. Записать результат, поставить запятую в частном.
Записать результат разницы 183 и 180. Снести 0. Записать 0 в частное, чтобы снести 6.
Записать результат разницы 306 и 270. 36 не делится на 45, поэтому добавляем ноль и производим разницу.
Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.
Как разделить десятичную дробь на обыкновенную
Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.
Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.
Как решаем:
Записать 0,25 в виде обыкновенной дроби: 0,25 = 25/100.
Разделить дробь по правилам:
Ответ: 0,25 : 3/4 = 1/3.
Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.
Как решаем:
Записать 2,55 в виде обыкновенной дроби: 2,55 = 255/1000.
Записать 1 1/3 в виде обыкновенной дроби: 1 1/3 = 4/3.
Разделить дробь по правилам:
Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.
Как умножить десятичную дробь на обыкновенную
Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.
Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.
Как решаем:
Записать 0,8 в виде обыкновенной дроби: 0,8 = 8/10.
Записать 6 1/4 в виде десятичной дроби: 6 1/4 = 6,25.
Умножаем по правилам: 0,28 ∗ 6,25 = 0,8.
Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.
А если нужно решить примеры с десятичными дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.
Перевод десятичной дроби в обыкновенную
Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Для этого надо просто записать её со знаменателем.
Главное правило в переводе десятичной дроби в обыкновенную — как читается десятичная дробь, так и пишется обыкновенная. Например:
2,3 — две целых три десятых.
Так как дробь имеет целую часть, то перевести её мы можем или в смешанное число или в неправильную дробь:
Если у десятичной дроби нет целой части, например:
0,75 — ноль целых семьдесят пять сотых,
то её можно сразу перевести в правильную обыкновенную дробь и, если нужно (по необходимости), сократить:
Перевод обыкновенной дроби в десятичную
Не любую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, так как чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, надо привести её к знаменателю, представляющему собой единицу с одним или несколькими нулями, например: 10, 100, 1000 и т. д. Если разложить такой знаменатель на простые множители, то получится одинаковое количество двоек и пятёрок:
10 = 2 · 5;
100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5;
1000 = 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5.
Никаких других простых множителей эти разложения не содержат, следовательно:
Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной только в том случае, если её знаменатель не содержит никаких других множителей, кроме 2 и 5.
Возьмём дробь:
При разложении её знаменателя на простые множители получается произведение 2 · 2:
Если домножить его на две пятёрки, чтобы уравнять количество пятёрок с двойками, то получится один из нужных знаменателей — 100. Чтобы получить дробь равную данной, то числитель тоже надо будет умножить на произведение двух пятёрок:
3
=
3 · 5 · 5
=
75
=
0,75.
4
2 · 2 · 5 · 5
100
Рассмотрим ещё одну дробь:
При разложении её знаменателя на простые множители получается произведение 2 · 7, содержащее число 7:
Множитель 7 будет присутствовать в знаменателе, на какие бы целые числа его ни умножали, поэтому произведение, содержащее только двойки и пятёрки никогда не получится. Значит данную дробь нельзя привести ни к одному из нужных знаменателей: 10, 100, 1000 и так далее. То есть её нельзя представить в виде десятичной.
Обыкновенную несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной, если её знаменатель содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.
Обратите внимание, что в правиле написано только о несократимых дробях, потому что некоторые дроби после сокращения, можно представить в виде десятичных. Рассмотрим две дроби:
Первая дробь является несократимой и, как мы уже выяснили, её нельзя представить в виде десятичной. Во второй дроби числитель и знаменатель можно сократить на 7, то есть на тот простой множитель, который мешает в первой дроби:
7
=
7 : 7
=
1
.
14
14 : 7
2
Теперь осталось только умножить оба члена дроби на 5, чтобы получить 10 в знаменателе, и можно будет переводить дробь в десятичную:
1
=
1 · 5
=
5
=
0,5.
2
2 · 5
10
Превращение десятичной дроби в обыкновенную и наоборот
Содержание:
Десятичную дробь представляют в виде
обыкновенной дроби, записав ее со знаменателем. При этом число целых
искомой обыкновенной дроби равно числу целых десятичной дроби. В числителе искомой дроби пишем цифры, стоящие
после запятой (десятичные знаки), а в знаменателе записываем 1 с количеством нулей, которое равно количеству
десятичных знаков. Далее, если возможно, производят сокращение дроби.
Если десятичные знаки начинаются нулями, их в числитель обыкновенной дроби писать не нужно.
Для превращения обыкновенной дроби в десятичную имеется несколько способов.
Первый способ
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно
числитель разделить на знаменатель.
Пример
Задание. Представить обыкновенную дробь
$\frac{3}{25}$ в виде десятичной.
Решение. Поделим числитель на знаменатель в столбик:
Таким образом, $\frac{3}{25}=3:25=0,12$
Ответ. $\frac{3}{25}=0,12$
Второй способ
Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно помножить числитель
и знаменатель указанной дроби на такое число, чтобы в
знаменателе получилось число, кратное десяти (если это возможно).
Слишком сложно?
Превращение десятичной дроби в обыкновенную, превращение обыкновенной дроби в десятичную не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Пример
Задание. Представить дробь
$\frac{3}{25}$ в виде десятичной.
Решение. Знаменатель заданной дроби равен 25, если это
число умножить на 4, то получим в результате 100. То есть
Следует иметь в виду, что не всякая обыкновенная дробь представима в виде
конечной десятичной. В виде конечной десятичной дроби можно представить только те обыкновенные дроби,
которые после сокращения в знаменателе содержат только простые множители 2 и 5.
Если знаменатель несократимой необратимой дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от
2 и 5, то она не может быть представлена конечной десятичной дробью.
Читать следующую тему: действия над десятичными дробями.
Дроби
Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.
Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.
Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.
А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.
Что такое дробь?
Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.
Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.
Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.
Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:
Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:
А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:
Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.
Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.
Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.
В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.
Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?
Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):
Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».
Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.
Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?
Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».
Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:
Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:
Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?
Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».
Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.
Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенныедроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.
Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.
На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.
Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.
С помощью переменных дробь можно записать так:
где a — это числитель, b — знаменатель.
Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:
Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.
С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:
Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.
Теперь возьмём к примеру неправильную дробь и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.
Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:
Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.
Допустим, мы хотим съестьпиццы. В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.
Дробь означает деление
Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.
Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:
Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:
Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».
Выделение целой части дроби
Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:
5 : 2 = 2 (1 в остатке)
Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5
Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.
Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?
Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:
Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.
Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:
Схематически это выглядит так:
Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.
В нашем примере мы выделили целую часть дроби и получили новую дробь . Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.
В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это
Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.
Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:
Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:
После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.
В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.
Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.
Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби
Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:
Получили:
Перевод смешанного числа в неправильную дробь
Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается
Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.
Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:
2 × 3 = 6
Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:
6 + 1 = 7
Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:
Подробное решение выглядит так:
А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:
Пример 2. Перевести смешанное число в неправильную дробь.
Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:
Основное свойство дроби
Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.
Например, рассмотрим дробь . Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.
Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!
Сокращение дробей
Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .
Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.
Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.
Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.
Пример 1. Сократить дробь
Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.
В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби надо разделить на 2
В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.
На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.
Пример 2. Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.
НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20
Пример 3. Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.
НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4
Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:
Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.
Второй способ сокращения дроби
Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.
К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4
Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ . Получится следующее выражение:
Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.
Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:
Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:
Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36
Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.
Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.
Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:
Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.
Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:
Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:
Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.
Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.
Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .
Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.
Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:
Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:
Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях:
Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:
Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:
Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части
Задание 10. Сократите следующую дробь на 3
Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом
Задание 12. Сократите следующую дробь на 5
Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом
Задание 14. Сократите следующие дроби:
Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:
Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже
Навигация по записям
6.
3.4. Как записать число в виде десятичной дроби
Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 3.4k. Опубликовано
Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью.
Решение. Разделим в столбик числитель каждой дроби на ее знаменатель: а) делим 6 на 25; б) делим 2 на 3; в) делим 1 на 2, а затем получившуюся дробь припишем к единице — целой части данного смешанного числа.
Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5, записываются конечной десятичной дробью.
В примере 1 в случае а) знаменатель 25=5·5; в случае в) знаменатель равен 2, поэтому, мы получили конечные десятичные дроби 0,24 и 1,5. В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
А можно ли без деления в столбик обратить в десятичную дробь такую обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит других делителей, кроме 2 и 5? Разберемся! Какую дробь называют десятичной и записывают без дробной черты? Ответ: дробь со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2·5; 100=2·5·2·5; 1000=2·5·2·5·2·5 и т.д.
Следовательно, знаменатель несократимой обыкновенной дроби нужно будет представить в виде произведения «двоек» и «пятерок», а затем домножить на 2 и (или) на 5 так, чтобы «двоек» и «пятерок» стало поровну. Тогда знаменатель дроби будет равен 10 или 100 или 1000 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.
Пример 2. Представить в виде десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
Решение. Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.
20=2·2·5. Вывод: не хватает одной «пятерки».
8=2·2·2. Вывод: не хватает трех «пятерок».
25=5·5. Вывод: не хватает двух «двоек».
Замечание. На практике чаще не используют разложение знаменателя на множители, а просто задаются вопросом: на сколько нужно умножить знаменатель, чтобы в результате получилась единица с нулями (10 или 100 или 1000 и т.д.). А затем на это же число умножают и числитель.
Так, в случае а) (пример 2) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель.
В случае б) (пример 2) из числа 8 число 100 не получится, но получится число 1000 умножением на 125. На 125 умножается и числитель (3) и знаменатель (8) дроби.
В случае в) (пример 2) из 25 получится 100, если умножить на 4. Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.
Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.
В случае б) (пример 1) повторяющаяся цифра одна и равна 6. Поэтому, наш результат 0,66… запишется так: 0,(6). Читают: нуль целых, шесть в периоде.
Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью.
Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5, обращается в смешанную периодическую дробь.
Пример 3. Записать в виде десятичной дроби числа:
Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Пример 4. Записать в виде бесконечной периодической дроби числа:
Решение.
ЕГЭ 2021 года по математике, профиль и баллы, таблицы
Москва, 12.06.2021, 12:05:32, редакция ПРОНЕДРА.РУ, автор Ирина Орлонская.
В понедельник, 7 июня, выпускники 11 классов будут сдавать ЕГЭ по математике. Это второй обязательный экзамен, который сдают школьники в 2021 году.
Экзамен по математике предстоит сдавать всем выпускникам 11 класса без исключения. На образовательных сайтах встречается множество противоречивой информации о возможных результатах экзаменов. Путаница возникает из-за того, что существует два уровня математического ЕГЭ: основной (базовый), и вариативный (профильный). В зависимости от уровня, различаются и баллы ЕГЭ по математике в 2020 — 2021 году.
Профильная математика, особенности и баллы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:
часть 1 содержит 8 заданий (задания 1–8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
часть 2 содержит 4 задания (задания 9–12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Таким образом, за решение первой части можно набрать 8 первичных баллов → 39 тестовых.
Баллы ЕГЭ по математике (профиль) 2020 — 2021
Результаты ЕГЭ по математике профильного уровня (тестовые баллы) также могут быть условно сопоставлены со школьными оценками. Официальный перевод баллов в отметки не применяется с 2008 года. Таблица дает наглядное представление о реальном уровне знаний по математике, который необходим абитуриенту для поступления в профильный вуз. 70 — 80 тестовых баллов — это показатель отличного знания школьной программы.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БАЛЛОВ В 2021 ГОДУ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
1 балл — за 1-12 задания.
2 балла — 13-15.
З балла — 16, 17.
4 балла — 18, 19.
Всего: 32 балла
Первичные баллы — своеобразная условная оценка, выставляемая за правильные ответы на экзаменационные задания. Количество баллов зависит от уровня ЕГЭ по математике: базовый или профильный. На профильном уровне 19 заданий разделены на 4 группы сложности, верный ответ может принести от 1 до 4 баллов.
Стоит знать, что баллы можно получить даже за неправильный ответ: эксперты оценивают обоснованность и логичность рассуждений, и могут начислить несколько драгоценных первичных баллов, влияющих на итоговый результат. Для борьбы со списыванием введено отдельное правило для задач, требующих развернутого решения: если ученик ограничится только кратким ответом, не приводя логику рассуждений, баллов за задание он не получит. Максимальное количество первичных баллов за правильное и полное решение 19-ти экзаменационных задач — 32.
Соответствие первичных баллов тестовым
Что такое 2/5 из 12? (Вычислите 2/5 из 12)
В этой статье мы покажем вам, как именно вычислить 2/5 от 12, чтобы вы могли быстро и легко вычислить дробную часть любого числа! Приступим к математике!
Хотите быстро узнать или показать студентам, как конвертировать 2/5 из 12? Воспроизведите это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!
Вы, наверное, знаете, что число над чертой дроби называется числителем, а число под ним — знаменателем.Чтобы вычислить дробь любого числа, нам сначала нужно преобразовать это целое число в дробь.
Вот вам небольшой совет. Любое число можно преобразовать в дробь, если в качестве знаменателя использовать 1:
12
/
1
Итак, теперь, когда мы преобразовали 12 в дробь, чтобы получить ответ, мы помещаем дробь 2/5 рядом с нашей новой дробью, 12/1, чтобы мы могли умножить эти две дроби.
Правильно, все, что вам нужно сделать, это преобразовать целое число в дробь, а затем умножить числители и знаменатели. Давайте посмотрим:
2 х 12
/
5 х 1
знак равно
24
/
5
Как видите, в этом случае числитель выше знаменателя.Это означает, что мы можем упростить ответ до смешанного числа, также известного как смешанная дробь.
Для этого нам нужно преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь. Мы не будем здесь подробно объяснять это, потому что у нас есть другая статья, которая уже охватывает это для 24/5. Нажмите здесь, чтобы узнать, как преобразовать 24/5 в смешанную дробь.
Полный и упрощенный ответ на вопрос, что составляет 2/5 из 12:
4 4/5
Надеюсь, это руководство помогло вам понять, как найти дробную часть любого целого числа.Теперь вы можете попробовать больше чисел, чтобы попрактиковаться в новых навыках дробления.
Цитируйте, ссылайтесь или ссылайтесь на эту страницу
Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большое одолжение и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!
«Что такое 2/5 из 12?». VisualFractions.com . По состоянию на 12 июня 2021 г. https://visualfractions.com/calculator/fraction-of-number/what-is-2-5-of-12/.
«Что такое 2/5 из 12?». VisualFractions.com , https://visualfractions.com/calculator/fraction-of-number/what-is-2-5-of-12/. По состоянию на 12 июня 2021 г.
Что такое 2/5 из 12 ?. VisualFractions.com. Получено с https://visualfractions.com/calculator/fraction-of-number/what-is-2-5-of-12/.
Калькулятор дробей числа
Дробь числа
Введите числитель, знаменатель и целое число
Вычисление следующей дроби числа
Калькулятор дробей
Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями, объединенными с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами.Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.
Правила для выражений с дробями:
Дроби — используйте косую черту «/» между числителем и знаменателем, т.е. для пяти сотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, не забудьте оставить один пробел между целой и дробной частью.
Косая черта разделяет числитель (число над дробной чертой) и знаменатель (число ниже).
Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью, то есть 1 2/3 (с тем же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 . Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, то есть 1/2: 3 .
Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . , и они автоматически переводятся в дроби — i. 1/2 • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7 • деление целого и дробного числа: 5 ÷ 1/2 • комплексные дроби: 5/8: 2 2/3 • десятичное в дробное: 0.625 • Дробь в десятичную: 1/4 • Дробь в проценты: 1/8% • сравнение дробей: 1/4 2/3 • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 • квадратный корень дроби: sqrt (1/16) • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22 • выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 — 3 3/8) • сложная дробь: 3/4 от 5/7 • кратная дробь: 2/3 от 3/5 • разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3
Калькулятор следует известным правилам порядка операций .Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: PEMDAS — круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание. BEDMAS — Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание BODMAS — Скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание. GEMDAS — Группирующие символы — скобки () {}, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание. Будьте осторожны, всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием .Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны вычисляться слева направо.
Задачи на дроби в словах:
следующие математические задачи »
Калькулятор сложения дробей — сложение двух дробей
Этот калькулятор складывает две дроби. Он принимает правильные, неправильные, смешанные дроби и целые числа. Если они существуют, решения и ответы представлены в упрощенном виде,
смешанные и целые форматы.
Общие шаги по сложению дробей описаны ниже.
Если входные данные представляют собой смешанные дроби или целые числа, преобразуйте их в неправильные дроби.
Определите наименьшее общее кратное (НОК).
Умножьте левую и правую дроби на коэффициент, чтобы в знаменателе каждой дроби использовалось НОК.
Сложите левый и правый числители. Это будет числитель окончательного ответа.
Знаменатель окончательного ответа — это просто НОК.
Упрощенные и смешанные числа Ответы:
Найдите наибольший общий делитель (НОД)
Разделите числитель и знаменатель ответа на НОД, чтобы получить упрощенное решение.
Если ответ больше единицы, то существует смешанное решение. Просто разделите числитель на знаменатель. Вся часть смешанного числа говорит сама за себя. Дробь смешанного числа — это остаток от исходного знаменателя.
Этот калькулятор автоматически обновит ответ или решение при изменении любого из входных параметров. Входные данные включают поля ввода целых чисел, числителя или знаменателя.
Выберите тип дроби или целого числа.Не выбирайте ни одно поле для неправильных или подходящих фракций. Это значение по умолчанию. Выбрано «Смешанный» для смешанных дробей и целое для целых чисел.
Введите левую дробь. Это дробь слева от операнда сложения.
Введите правильную дробь. Это дробь справа от операнда.
Понаблюдайте за пошаговым решением и различными ответами.
Примечание. При просмотре этой страницы на настольном компьютере или ноутбуке ввод числителя и знаменателя можно изменить с помощью колесика мыши, кнопок прокрутки вверх и вниз и клавиш со стрелками на клавиатуре.Мобильный и смартфон
версия не поддерживает эти параметры.
Параметр
Описание
Неправильное преобразование
Если дробь смешанная, отображаются шаги для преобразования в неправильную дробь.
Неправильная фракция
Если дробь смешанная, значения окончательной неправильной дроби.
Добавить
Показывает фактические шаги сложения.
Наименьшее общее кратное (LCM)
Показывает вычисленное наименьшее общее кратное. Это наименьшее число, при котором обе дроби делятся поровну.
Ответ
Показывает решение. Обратите внимание, это решение не упрощено.
Наибольший общий делитель
Используется для упрощения ответа. Наибольшее или наибольшее целое число, которое разделит числитель и знаменатель без получения дроби.
Разделить на GCD
Показывает числитель и знаменатель, разделенные на НОД, чтобы уменьшить дробь.
Ответ (упрощенный)
Решение в правильном или неправильном формате.
Ответ (смешанный)
Если раствор является неправильной дробью, отображается преобразованная смешанная дробь. Смешанная фракция показывает дробь с целой частью в дополнение к оставшейся части фракции.
Простой в использовании калькулятор дробей [для деления, умножения и упрощения дробей]
Калькулятор дробей складывает, вычитает, умножает и делит дроби с одинаковыми или разными знаменателями. Это также позволит нам упростить дроби, преобразовать дроби в десятичные и десятичные в дроби.
Сначала просто введите значения a, b, c, d для дробей \ (\ frac {a} {b} \) и \ (\ frac {c} {d} \), затем математическую операцию по вашему желанию. выполнить (+, -, x, /).Калькулятор моментально и точно выполнит операцию и выдаст ответ в простейшей форме. Вы также можете использовать калькулятор, чтобы проверить свою работу, которую вы проделали вручную.
Сложение и вычитание дробей
Подобные (общие) знаменатели
Сложите или вычтите числители, оставив знаменатели неизменными.
Пример: \ (\ frac {3} {5} + \ frac {4} {5} \)
Поскольку знаменатель равен 5 в обеих дробях, сложите 3 и 4, чтобы получить 7. Знаменатель остается равным 5, поэтому ответ равен 7/5.
\ (\ frac {7} {6} — \ frac {5} {6} \)
Поскольку знаменатель равен 6 в обеих дробях, вычтите 5 из 7, чтобы получить 2. Тогда дробь будет \ (\ frac {2} {6} \).
Но теперь мы можем упростить \ (\ frac {2} {6} \). Чтобы упростить, поищите общий фактор. Обратите внимание, что 2 равномерно делится как на 2, так и на 6. Следовательно, разделите числитель и знаменатель на 2, чтобы получить \ (\ frac {1} {3} \). Теперь дробь упрощена.
В отличие от знаменателей
Чтобы сложить и вычесть отличные знаменатели, сначала вычислите общий знаменатель.Самый простой способ сделать это — умножить два знаменателя. Это не всегда дает наименьший общий знаменатель, но вы можете упростить его после сложения и вычитания.
Пример: \ (\ frac {2} {5} + \ frac {4} {7} \)
Общий знаменатель равен 5 (7) = 35. Поскольку знаменатель в первой дроби умножается на 7, числитель также нужно умножить на 7, чтобы получить \ (\ frac {14} {35} \). Поскольку знаменатель второй дроби умножается на 5, числитель должен быть таким же, чтобы получить \ (\ frac {20} {35} \).
Вычитание выполняется таким же образом, просто вычтите две дроби после перезаписи дроби с их общими знаменателями. Если вам нужно упростить, не забудьте разделить на наибольший общий множитель.
Сложение и вычитание дробей Видео
Умножение и деление дробей
При умножении дробей просто умножайте числители и знаменатели.Тогда упростите. Вы также можете сначала упростить, прежде чем умножать.
Умножьте 2 и 4, чтобы получить 8. Затем умножьте 9 и 7, чтобы получить 63. Результат: \ ( \ frac {8} {63} \). Нет необходимости в упрощении, поскольку наибольший общий делитель равен 1.
Теперь предположим, что мы хотим разделить \ (\ frac {2} {9} \ div \ frac {4} {7} \).
При делении дробей возьмите первую дробь и умножьте на обратную величину второй. Обратное просто меняет местами числитель и знаменатель.Проблема деления превращается в проблему умножения.
\ (\ frac {2} {9} \ times \ frac {7} {4} \)
2 × 7 = 14 и 9 × 4 = 36. Итак, ответ \ (\ frac {14} { 36} \). Но обратите внимание, что это не в простейшей форме. Наибольший общий делитель равен 2, поэтому деление обоих на 2 дает упрощенный ответ \ (\ frac {7} {18} \).
Умножение и деление дробей Видео
Преобразование дробей в десятичные числа
Калькулятор преобразования дробей в десятичные принимает любую дробь и преобразует ее в десятичную.
Метод преобразования дроби в десятичную довольно прост. Просто разделите числитель на знаменатель.
Замените \ (\ frac {14} {25} \) на десятичное число.
Разделите 14 на 25, чтобы получить 0,56. Вы можете сделать это на калькуляторе или вручную с помощью длинного деления. Некоторые фракции не так просто обрабатывать вручную, особенно те, которые не завершаются. На этом калькуляторе с ними работать намного проще.
Но если вы решите вручную, калькулятор станет отличным инструментом для мгновенной проверки вашей работы.
Преобразование дробей в десятичные Видео
Преобразование десятичных знаков в дроби
Преобразование десятичных знаков в дроби является обратным преобразованию дробей в десятичные. Калькулятор быстро выполнит это и даст точные результаты, просто введя десятичное значение.
Чтобы преобразовать вручную, возьмите десятичную дробь и преобразуйте ее в целое число, затем разделите на 10, возведенное в число десятичных знаков, перемещенных вправо для преобразования числа. Оттуда вы можете упростить дробь, если это необходимо.
Пример:
Преобразует 0,68 в дробь. Чтобы изменить 0,68 на целое число, переместите десятичную запятую на 2 разряда вправо, чтобы получить 68. Поскольку мы переместили 2 десятичных разряда, разделите 68 на 10 во второй степени, которая равна 100.
Это дает нам \ (\ гидроразрыв {68} {100} \). Теперь мы можем упростить дробь, найдя общий множитель. Если вы не знаете наибольшего общего множителя, вы можете начать с деления на любой общий множитель. Замечания 68 и 100 делятся на 2. Это уменьшает дробь до 34/50.Отсюда обратите внимание, что 34 и 50 делятся на 2. Это сводится к \ (\ frac {17} {25} \), что является упрощенным ответом.
Вы можете проверить свои ручные вычисления с помощью этого калькулятора или просто ввести информацию для вашей конкретной проблемы, чтобы получить почти мгновенные и точные результаты!
Преобразование дробей в десятичное
Преобразование дробей в десятичное
Таблицы преобразования дробей в десятичные
Важное примечание:
любой диапазон чисел, равный подчеркнутому , означает, что эти числа
повторяются.Например, 0. 09 означает 0,0 . …
Перечислены только дроби с наименьшим числом.
Например, чтобы найти 2/8, сначала упростите его до 1/4, а затем выполните поиск.
в таблице ниже.
дробь = десятичная
1/1 = 1
1/2 = 0.5
1/3 = 0. 3
2/3 = 0. 6
1/4 = 0,25
3/4 = 0,75
1/5 = 0,2
2/5 = 0,4
3/5 = 0. 6
4/5 = 0,8
1/6 = 0,1 6
5/6 = 0,8 3
1/7 = 0. 142857
2/7 = 0. 285714
3/7 = 0. 428571
4/7 = 0. 571428
5/7 = 0. 714285
6/7 = 0. 857142
1/8 = 0,125
3/8 = 0,375
5/8 = 0,625
7/8 = 0,875
1/9 = 0. 1
2/9 = 0. 2
4/9 = 0. 4
5/9 = 0. 5
7/9 = 0. 7
8/9 = 0. 8
1/10 = 0,1
3/10 = 0,3
7/10 = 0,7
9/10 = 0,9
1/11 = 0. 09
2/11 = 0. 18
3/11 = 0. 27
4/11 = 0. 36
5/11 = 0. 45
6/11 = 0. 54
7/11 = 0. 63
8/11 = 0. 72
9/11 = 0. 81
10/11 = 0. 90
1/12 = 0,08 3
5/12 = 0,41 6
7/12 = 0,58 3
11/12 = 0.91 6
1/16 = 0,0625
3/16 = 0,1875
5/16 = 0,3125
7/16 = 0,4375
11/16 = 0,6875
13/16 = 0,8125
15/16 = 0,9375
1/32 = 0,03125
3/32 = 0,09375
5/32 = 0,15625
7/32 = 0.21875
9/32 = 0,28125
11/32 = 0,34375
13/32 = 0,40625
15/32 = 0,46875
17/32 = 0,53125
19/32 = 0,59375
21/32 = 0,65625
23/32 = 0,71875
25/32 = 0,78125
27/32 = 0. 84375
29/32 = 0,
31/32 = 0,96875
Нужно преобразовать повторяющееся десятичное число в дробь? Следуйте этим примерам: Обратите внимание на следующий шаблон для повторения десятичных знаков:
0. 2 2222222 … = 2/9
0. 54 545454 … = 54/99
0. 298 298298 … = 298/999
Деление на 9 вызывает повторяющийся узор.
Обратите внимание на шаблон, если перед повторяющимся десятичным знаком нули:
0.0 2 2222222 … = 2/90
0,000 54 545454 … = 54/99000
0,00 298 298298 … = 298/99900
Добавление нулей в знаменатель добавляет ноль перед повторяющейся десятичной дробью.
Чтобы преобразовать десятичную дробь, которая начинается с неповторяющейся части , например 0,21 456 456456456456 …, в дробную часть, запишите ее как сумму неповторяющихся
часть и повторяющаяся часть.
0,21 + 0,00 456 456456456456…
Затем преобразуйте каждый из этих десятичных знаков в дроби. Первая десятичная дробь имеет
делитель мощности десять. Второй десятичный знак (который повторяется) сверяется в соответствии с шаблоном
приведено выше.
21/100 + 456/99900
Теперь сложите эти дроби, выразив их общим делителем
20979/99900 + 456/99900
и добавить.
21435/99900
Наконец, упростите его до самых низких значений
1429/6660
и проверьте на своем калькуляторе или с длинным делением.
= 0,2145645645 …
Вы МОЖЕТЕ делать дроби: 2 — разные имена, одинаковые дроби | Джордж Пит Калеодис | Startup
В прошлый раз мы обсуждали части дроби — знаменатель (нижнее число, которое говорит нам, сколько частей составляет целое) и числитель (верхняя часть, которая говорит нам, как многие части мы обсуждаем в данный момент).
Математики вроде меня ЛЮБЯТ определения. Фактически, большая часть высшей математики сводится к простому формулированию определений и демонстрации того, как они совпадают с другими определениями (мы называем это «математическими доказательствами»).Обычно в математике мы определяем вещи до того, как начинаем их использовать. В данном случае, хотя мы уже использовали их некоторое время, не мешало бы остановиться здесь и формально определить, что мы подразумеваем под «дробью»:
Определение: A дробь — это частное (результат деления) двух целых чисел (круглые числа без десятичных частей).
Например, если мы рассмотрим этот моноблок, который подозрительно похож на прямоугольник, который я нарисовал в Microsoft Word:
ммм.. .delicious текстовый процессор candy
и разделите его на 5 равных частей:
ммм. . .Вкусная конфета для текстового процессора, разделенная на пятые части
, каждая часть представляет собой 1/5 («одну пятую») шоколадного батончика. Таким образом, две из этих частей составляют 2/5 («две пятых») моноблока и т. Д.
синяя часть составляет 2/5 всего моноблока
Мы называем такие выражения, как «1/5» и «2/5». »,« Дроби ». Мы можем думать о них как о сумме, которую мы получаем, когда делим верхнее число на нижнее число.
Если этот шоколадный батончик весит 15 унций, мы ожидаем, что 1/5 леденца будет весить 15/5 = 3 унции.Таким образом, вес синей части выше будет 2 * 3 унции = 6 унций. Если бы этот шоколадный батончик содержал 300 калорий, мы ожидали бы, что 1/5 шоколадного батончика будет содержать 300/5 = 60 калорий, поэтому синяя часть выше будет содержать 2 * 60 = 120 калорий. Если бы этот шоколадный батончик стоил 1 доллар, можно было бы ожидать, что 1/5 часть шоколадного батончика будет стоить 1/5 доллара. Таким образом, стоимость синей части выше будет 2 * (1/5) доллара = 2/5 доллара.
А теперь давайте предположим, что мы берем конфетку выше и разрезаем каждую из этих 5 частей на две равные части. Тогда вместо шоколадного батончика, разрезанного на 5 пятых, у нас есть шоколадный батончик, разрезанный на 10 десятых.Вместо 2 закрашенных частей из 5 всего у нас есть 4 закрашенных части из 10 полных частей:
синяя часть составляет 4/10 всего шоколадного батончика
Обратите внимание, что размер заштрихованной части шоколадного батончика не изменился. т изменился. 2/5 всего моноблока — это то же количество леденца, что и 4/10 всего леденца.
Мы можем символически резюмировать то, что мы сделали, следующим образом:
Эти две дроби представляют собой одинаковую сумму 2/5 = 4/10. 2/5 и 4/10 представляют одно и то же число.(Попробуйте ввести их в калькулятор. 2/5 и 4/10 дадут вам 0,4.)
Если весь моноблок весит 15 унций, мы ожидаем, что 1/10 моноблока будет весить 15/10 = 1,5. унция $ 12.99 Таким образом, вес синей части будет 4 * 1,5 унции = 6 унций. (Те же 6 унций, что и несколько минут назад! Прокрутите вверх и посмотрите.) Если бы этот шоколадный батончик содержал 300 калорий, мы ожидали бы, что 1/10 шоколадного батончика будет содержать 300/10 = 30 калорий, поэтому синяя часть выше будет содержат 4 * 30 = 120 калорий. (Те же 120 калорий, что и несколько минут назад! Прокрутите вверх и посмотрите.) Если бы этот шоколадный батончик стоил 1 доллар, можно было бы ожидать, что 1/10 часть шоколадного батончика будет стоить 1/10 доллара. Таким образом, стоимость синей части выше будет 4 * (1/10) доллара = 4/10 доллара. (Это должна быть та же сумма денег, что и несколько минут назад, поэтому 4/10 = 2/5 долларов.)
Давайте еще раз посмотрим на последнюю строку на графике выше:
Мы разделили каждую из 5 частей. конфеты на 2 части, что даст нам 10 одинаковых кусочков. Это включало разделение каждой из 2 синих частей, в результате чего мы получали 4 синих части. В цифре 2 не было ничего волшебного.Мы могли бы разделить каждый кусок конфет на 3 части:
Итак, 2/5 конфет — это такое же количество конфет, как 6/15 конфет. Мы могли бы разделить каждую часть на 7 частей:
Итак, 2/5 шоколадного батончика — это такое же количество леденцов, как 14/35 шоколадного батончика. Мы могли бы разделить каждую часть на ☺ частей:
Итак, 2/5 конфет — это такое же количество конфет, как (2☺) / (5☺).
Мы называем списки дробей типа 2/5, 4/10, 6/15, 14/35, (2☺) / (5☺) «эквивалентными дробями», потому что, хотя они выглядят по-разному, они представляют собой одно и то же число.
Определение: Эквивалентные дроби — это дроби, представляющие одно и то же количество.
Выше мы обнаружили, что для любой дроби мы можем получить эквивалентную дробь, умножив числитель и знаменатель на одинаковую величину. Вот еще несколько примеров:
1/4 и 2/8 — эквивалентные дроби. 2/9 и 10/45 — эквивалентные дроби. 3/8 и 12/32 — эквивалентные дроби.
Когда мы сделаем достаточно этого, мы замечаем закономерность.Выражение паттерна способом, включающим все возможности в одном кратком утверждении, называется «теоремой».
Теорема: Если a и b — целые числа, то a / b эквивалентно (ac) / (bc) (при условии, что c не равно нулю).
Мы можем использовать эту теорему для преобразования дробей в другие эквивалентные дроби в любое удобное для нас время. Один простой повседневный пример, конечно же, связан с деньгами.
Пример: Что больше денег — десять центов или четверть?
Вы уже запомнили ответ на этот вопрос.Но как бы вы объяснили ребенку или инопланетной форме жизни, почему четверть доллара стоит больше десяти центов? Вы конвертируете!
Поскольку 25 центов больше, чем 10 центов, четверть — это больше денег, чем десять центов.
Преобразуя обе дроби в эквивалентные дроби с одинаковым знаменателем, мы можем сравнивать два разных типа монет.Мы называем этот же знаменатель «общим знаменателем», и это предмет нашего следующего обсуждения.
А пока займитесь этими упражнениями. Если вы подпишетесь на меня в Твиттере @caleodis, я буду рад ответить вам в DM.
Упражнения:
Перечислите 3 дроби, эквивалентные 3/4.
Эквивалентны ли дроби 26/39 и 16/24? Почему или почему нет?
Эквивалентны ли дроби 2/3 и 3/4? Почему или почему нет?
Найдите дробь, эквивалентную 4/7, знаменатель которой равен 84.
Найдите дробь, эквивалентную 4/7, числитель которой равен 84.
Без использования калькулятора решите, какая дробь больше: 5/7 или 4/5?
Сокращенная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой не имеют делителей, кроме 1. Найдите сокращенную дробь, эквивалентную 120/168.
Найдите уменьшенную дробь, эквивалентную 73/73.
Дроби, числители которых больше знаменателя, называются неправильными дробями. (Они представляют числа больше 1, что, как можно было бы утверждать, вовсе не дроби — опять же, математики все любят определения.) Запишите неправильную дробь 12/8 как сумму целого числа и правильной дроби.
Запишите неправильную дробь 21/6 как сумму целого числа и правильной дроби.
Джордж «дробь под любым другим именем все равно означает, что я получаю меньше, чем целый пирог» Калеодис
Что такое дробь? — Определение, факты и пример
Что такое дробь?
Фракции представляют собой равных части целого или совокупности.
Дробь целого : Когда мы делим целое на равные части, каждая часть является частью целого.
Например ,
Фрагмент коллекции : Фракции также представляют собой части набора или коллекции.
Например ,
Всего 5 детей.
3 из 5 — девушки. Итак, доля девушек составляет три пятых ( 3 ⁄ 5 ).
2 из 5 — мальчики. Итак, доля мальчиков составляет две пятых ( 2 ⁄ 5 ).
Дробное обозначение
Дробь состоит из двух частей. Число в верхней части строки называется числителем. Он сообщает, сколько равных частей взяты из целого. Число под чертой называется знаменателем. Он показывает общее делимое количество равных частей целого или общее количество равных частей, которые есть в коллекции.
Дроби на числовой строке : Дроби могут быть представлены на числовой строке, как показано ниже.
Например,
Примеры из жизни
Самыми распространенными примерами дробей из реальной жизни являются равные кусочки пиццы, фруктов, торта, плитки шоколада и т. Д.
Без примеров
Когда части целого разделены неравномерно, они не образуют дробей.
Виды фракций
Дроби единицы
Дроби с числителем 1 называются единичными дробями.
Правильные дроби
Дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называются правильными дробями.
«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.
Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.
Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.
Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.
Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.
Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.
Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.
Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается. )
Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.
Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.
Ответил: Александр Сергеев
Свойства деления. Деление произведения, суммы и разности на число
Деление произведения на число
Произведение можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(12 · 5) : 3,
можно сначала умножить 12 на 5:
12 · 5 = 60
и полученное произведение разделить на 3:
60 : 3 = 20,
значит (12 · 5) : 3 = 60 : 3 = 20.
Если один из сомножителей делится на число, на которое надо разделить произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления произведения на число.
2) Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно разделить на это число один любой сомножитель, оставив другие без изменений.
Например, чтобы найти значение выражения:
(8 · 20) : 4,
можно сначала разделить любой из сомножителей (8 или 20) на 4:
8 : 4 = 2
и полученное частное умножить на другой сомножитель:
2 · 20 = 40,
значит (8 · 20) : 4 = (8 : 4) · 20 = 2 · 20 = 40.
Данное выражение можно решить ещё так:
(8 · 20) : 4 = 8 · (20 : 4) = 8 · 5 = 40.
Деление числа на произведение
Число можно разделить на произведение двумя способами:
1) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение), а затем разделить число на полученный результат.
Например, чтобы найти значение выражения:
60 : (3 · 2),
можно сначала умножить 3 на 2:
3 · 2 = 6
и разделить 60 на полученный результат:
60 : 6 = 10,
значит 60 : (3 · 2) = 60 : 6 = 10.
Если число, которое нужно разделить на произведение, делится на каждый сомножитель, из которого состоит данное произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления числа на произведение.
2) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно разделить это число на первый сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, это частное на третий и т. д.
Так как от перестановки множителей произведение не изменится, то множители можно поменять местами:
120 : (3 · 5)
и разделить 120 сначала на 3, а затем полученный результат разделить на 5:
120 : (3 · 5) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8.
Получается, что не важно на какой множитель сначала делить число, результат будет одинаковым:
120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8
тоже самое, что и
120 : (5 · 3) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8.
Из данного примера можно сделать вывод, что значение частного не изменится от порядка выполнения действий.
Деление суммы на число
Сумму можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение суммы (выполнить сложение) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(15 + 12) : 3,
можно сначала сложить числа 15 и 12:
15 + 12 = 27
и полученную сумму разделить на 3:
27 : 3 = 9,
значит (15 + 12) : 3 = 27 : 3 = 9.
Если все слагаемые в записи суммы делятся на число, на которое надо разделить сумму, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления суммы на число.
2) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить.
Разность можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение разности (выполнить вычитание) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(24 — 8) : 2,
можно сначала вычесть из 24 число 8:
24 — 8 = 16,
и полученную разность разделить на 2:
16 : 2 = 8,
значит (24 — 8) : 2 = 16 : 2 = 8.
Если и уменьшаемое и вычитаемое в записи разности делятся на число, на которое надо разделить разность, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления разности на число.
2) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе.
Например, чтобы найти значение выражения:
(42 — 28) : 7,
можно отдельно уменьшаемое и вычитаемое разделить на число 7:
Все свойства деления можно представить в виде формул:
Распределительные свойства
(a + b) : c = a : c + b : c
(a — b) : c = a : c — b : c
(a · b) : c = (a : c) · b = (b : c) · a
a : (b · c) = (a : b) : c = (a : c) : b
Действия с единицей и нулём
a : 1 = a
a : a = 1
0 : a = 0 (a ≠ 0)
На нуль делить нельзя
Деление
В данном уроке мы изýчим деление чисел. Деление чисел довольно непростая операция как в освоении, так и в использовании. Рекомендуем набраться терпения, чтобы осилить этот урок до конца.
Что такое деление?
Деление это действие, позволяющее что-либо разделить.
Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Делимое это то, что делят. Делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Частное это собственно результат.
Пусть у нас имеются 4 яблока:
Разделим их поровну на двоих друзей. Тогда деление покажет сколько яблок достанется каждому. Нетрудно увидеть, что каждому достанется по два яблока:
Процесс деления четырех яблок на двоих друзей можно описáть следующим выражением:
В этом примере роль делимого играют яблоки. Роль делителя играют двое друзей, показывающих на сколько частей нужно разделить 4 яблока. Роль частного играют два яблока, показывающие сколько досталось каждому.
Говоря о делении, можно рассуждать и по-другому. Вернёмся к предыдущему выражению 4 : 2 = 2. Можно посмотреть на делитель 2 и задать вопрос «сколько двоек в четвёрке?» и ответить: «две двойки». Действительно, если сложить две двойки, то получится число 4
В ситуации с четырьмя яблоками можно задать вопрос «сколько раз два яблока содержатся в четырёх яблоках» и ответить: «два раза».
Чтобы научиться делить, нужно хорошо знать таблицу умножения. Почему же умножения? Ведь мы говорим о делении. Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2.
Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если у нас имеются два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то запишем 10 : 5 = 2
Знак деления выглядит в виде двоеточия : но также можно встретить знак двоеточия и тире ÷
На письме разумнее использовать двоеточие, поскольку оно выглядит аккуратнее.
Деление с остатком
Остаток — это то, что осталось от действия деления неразделённым.
Например, пять разделить на два будет два и один в остатке:
5 : 2 = 2 (1 в остатке)
Можно проверить это умножением:
(2 × 2) + 1 = 5
Допустим, у нас имеются пять яблок
Разделим их поровну на двоих друзей. Но разделить поровну пять целых яблок не получится. Тогда данное деление покажет, что каждому достанется два яблока, а одно яблоко будет в остатке:
Деление уголком
Когда требуется разделить большое число, то прибегают к такому методу как деление уголком.
Прежде чем делить уголком, человек должен понимать:
обычное деление маленьких чисел;
деление с остатком;
умножение в столбик;
вычитание в столбик.
Рассмотрим деление уголком на простом примере. Пусть требуется найти значение выражения 9 : 3. Уголком это выражение записывается следующим образом:
Это простой пример. Все знают, что девять разделить на три будет три. Ответ (частное) записывается под правым углом:
Чтобы проверить есть ли остаток от деления, нужно частное умножить на делитель и полученный ответ записать под делимым. Частное в данном случае это 3, делитель тоже 3. Перемножаем эти два числа: 3 × 3 = 9. Получили 9. Записываем эту девятку под делимым:
Теперь от делимого вычитаем девятку, которую мы под ним написали: 9 − 9 = 0. Остаток равен нулю. Проще говоря, остатка нет. На этом деление успешно завершено:
Пример 2. Найти значение выражения 8 : 3
Восемь на три просто-так не разделится. Таблица умножения тоже не поможет. В данном случае будет присутствовать остаток от деления.
Сначала запишем данное выражение уголком:
Теперь надо задать вопрос: «сколько троек в восьмёрке?» В восьмёрке содержится две тройки. Это можно увидеть даже воочию, если мы представим восьмёрку как восемь палочек:
В школе частное подбирается методом подбора. Все мы слышали такие фразы как «берём по одному» , «берём по два» или «берём по три». У нас сейчас как раз такой случай. Мы взяли по два, ответив что в восьмёрке две тройки. Записываем двойку в правом уголке:
Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (2 на 3) и записываем полученное число под делимым:
Далее из 8 вычитаем 6. Полученное число и будет остатком:
8 : 3 = 2 (2 в остатке)
Проверка: (2 × 3) + 2 = 6 + 2 = 8
Деление многозначного числа на однозначное
Данная тема с первого раза может показаться непонятной. Не спешите отчаиваться и забрасывать обучение. Понимание придёт в любом случае. Если не сразу, то немного позже. Главное не сдаваться и продолжать упорно изучать.
В предыдущих примерах мы делили однозначное число на однозначное, и это не доставляло нам лишних проблем. Сейчас мы займёмся тем, что будем делить многозначное число на однозначное.
Если непонятно, что такое однозначные и многозначные числа, советуем изучить предыдущий урок, который называется умножение.
Чтобы разделить многозначное число на однозначное, нужно сначала посмотреть на первую цифру этого многозначного числа, и проверить больше ли она делителя. Если больше, то разделить, а если нет, то проверить больше ли делителя первые две цифры многозначного числа. Если первые две цифры больше делителя, то разделить, а если нет, то проверить больше ли первые три цифры многозначного числа. И так до тех пор, пока не будет выполнено первое деление.
Сложно? Ни чуть, если мы разберём несколько примеров.
Пример 1. Найти значение выражения 25 : 3
25 это многозначное число, а 3 — однозначное. Применяем правило. Смóтрим на первую цифру многозначного числа. Первая цифра это 2. Два больше, чем три? Нет. Поэтому смóтрим первые две цифры многозначного числа. Первые две цифры образуют число 25. Двадцать пять больше, чем три? Да, больше. Поэтому выполняем деление числа 25 на 3. Записываем уголком данное выражение и начинаем делить:
Сколько троек в числе 25? Если с первого раза ответить сложно, можно заглянуть в таблицу умножения на три. Там необходимо отыскать произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Если найдём такое произведение, то необходимо забрать оттуда множитель, который дал такое произведение:
Это таблица умножения на три. В ней необходимо найти произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 24, которое выделено синим. Из этого выражения необходимо забрать множитель, который дал такое произведение. Это множитель 8, который закрашен красным.
Данная восьмёрка и отвечает на вопрос сколько троек в числе 25. Записываем её в правом уголке нашего примера:
Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 3) и полученное число записываем под делимым:
Теперь из делимого вычитаем число 24, получим 1. Это и будет остатком:
25 : 3 = 8 (1 в остатке)
(8 × 3) + 1 = 24 + 1 = 25
Последний остаток всегда меньше делителя. Если последний остаток больше делителя это означает, что деление не завершено.
В приведённом примере последним остатком было число 1, а делителем число 3. Единица меньше, чем три, поэтому деление завершено. Последний остаток, меньший делителя, говорит о том, что он не содержит чисел, равных делителю.
В нашем примере, если задать вопрос «сколько троек в единице?», то ответом будет «нисколько», потому что единица не содержит троек, поскольку она меньше тройки.
Пример 2. Разделить 326 на 4.
Смотрим на первую цифру числа 326. Первая цифра это 3. Она больше делителя 4? Нет. Тогда проверяем две цифры делимого. Две цифры делимого образуют число 32. Больше ли оно делителя 4? Да, больше. Поэтому делим. Записываем уголком данное выражение:
Теперь задаём вопрос: «сколько четвёрок в числе 32?». В числе 32 восемь четвёрок. Это можно увидеть в таблице умножения на четыре:
Данная восьмёрка, которая выделена красным отвечает на вопрос сколько четвёрок в числе 32. Записываем её в правом уголке нашего примера:
Теперь умножаем 8 на 4, получаем 32 и записываем это число под делимым. Далее вычитаем это число из 32. Получим 0. Поскольку решение ещё не завершено, ноль не записываем:
Первое число 32 разделили. Осталось разделить оставшуюся 6. Для этого сносим эту шестёрку:
Теперь делим 6 на 4. Для этого задаём вопрос: «сколько четвёрок в шестёрке?» В шестёрке одна четвёрка, это можно увидеть воочию, если представить шестёрку как шесть палочек:
Записываем единицу в правом уголке нашего ответа:
Теперь умножаем нашу единицу на делитель (1 на 4) и записываем полученное число под шестёркой:
Затем из 6 вычитаем 4, получаем число 2, которое является остатком:
Получили 326 : 4 = 81 (2 в остатке)
Проверка: (81 × 4) + 2 = 324 + 2 = 326
Процедура, в которой мы ищем первое число для деления, сравнивая больше ли оно делителя или меньше, называется нахождением первого неполного делимого.
Вернёмся к предыдущему примеру 326 : 4. Первое неполное делимое в данном выражении было число 32, поскольку его мы разделили в первую очередь.
А в примере 25 : 3 первое неполное делимое было 25.
Пример 3. Найти значение выражения 384 : 5
Записываем данное выражение в уголком:
Сначала находим первое неполное делимое. Первая цифра меньше делителя, поэтому проверяем две цифры. Две цифры вместе образуют число 38, которое больше делителя. Это число будет первым неполным делимым. Его и будем в первую очередь делить на делитель:
Сколько пятёрок в числе 38? Если сразу ответить сложно, то можно посмотреть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Найдя такое произведение, нужно забрать оттуда множитель, который будет отвечать на наш вопрос:
Это таблица умножения на пять. Находим произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 35, которое выделено синим. Из этого выражения забираем множитель, который дал такое произведение. Это множитель 7, который выделен красным.
Данная семёрка отвечает на вопрос сколько пятёрок в числе 38. Записываем эту семёрку в правом уголке нашего примера:
Умножаем 7 на 5, получаем 35 и записываем его под 38:
Теперь из 38 вычитаем 35, получим 3:
Эта тройка является остатком, которая осталась неразделённой в результате деления 38 на 5. Но видно, что ещё надо разделить и 4. Эту 4 мы снесём и разделим вместе с тройкой:
Видно, что после того, как мы снесли четвёрку, она вместе с тройкой образовала число 34. Это число 34 мы будем делить на 5. Для этого опять задаем вопрос: «сколько пятёрок в числе 34?». Можно снова глянуть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 34, но очень близко к нему или равно ему:
Видно, что в таблице умножения на пять число 30 меньше нашего 34, но близко к нему. Из этого выражения забираем множитель 6, который отвечает на наш вопрос. Записываем эту шестёрку в правом уголке нашего примера:
Теперь умножаем 6 на 5, получаем 30 и записываем это число под 34:
Теперь из 34 вычитаем 30, получаем 4. Эта четвёрка будет остатком от деления 384 на 5
384 : 5 = 76 (и 4 в остатке)
Проверка: (76 × 5) + 4 = 380 + 4 = 384
Пример 4. Найти значение выражения 8642 : 4
Этот пример немного посложнее. Записываем уголком данное выражение:
Первая цифра 8 больше делителя. Эта восьмёрка будет первым неполным делимым. Делим 8 на 4, получаем 2
Теперь умножаем 2 на 4, получаем 8. Записываем эту восьмёрку под первым неполным делимым:
Вытаскиваем остаток: 8 − 8 = 0. Остаток от деления 8 на 4 это ноль. Ноль не записываем, поскольку решение примера не завершено.
Далее сносим цифру 6 и делим её на делитель, получаем 1
Умножаем 1 на 4, получаем 4. Записываем эту четвёрку под снесённой шестёркой. Затем вынимаем остаток, отняв от шести четыре:
Получили остаток 2. Это остаток, который остался от деления 6 на 4.
Теперь сносим следующую цифру из делимого. Это цифра 4. Эта четвёрка вместе с предыдущим остатком 2 образует число 24. Его делим на делитель. Получим 6
Умножаем 6 на 4, получаем 24. Записываем это число под 24
Вытаскиваем остаток: 24 − 24 = 0. Ноль это остаток от деления 24 на 4. Ноль, как мы уже договорились, не записываем. Далее сносим последнюю цифру 2
Здесь начинается самое интересное. Двойка это последняя цифра, которую мы снесли и которую надо разделить на делитель 4. Но дело в том, что двойка меньше четвёрки, а ведь делимое должно быть больше делителя. Если мы зададим вопрос «сколько четвёрок в двойке?«, то ответом будет ноль, поскольку двойка меньше четвёрки и не может содержать в себе число, бóльшее себя самогó.
Поэтому два разделить на четыре это ноль:
Умножаем 0 на 4, получаем 0. Пишем этот 0 под двойкой:
Теперь находим остаток: 2 − 0 = 2. Двойка это остаток от деления 8642 на 4. Таким образом, пример завершён:
8642 : 4 = 2160 (2 в остатке)
Проверка: (2160 × 4) + 2 = 8640 + 2 = 8642
Деление чисел, у которых на конце 0
Чтобы разделить число, у которого на конце ноль, нужно временно отбросить этот ноль, выполнить обычное деление, и дописать этот ноль в ответе.
Например, разделим 120 : 3
Сколько троек в числе 120? Чтобы ответить на этот вопрос, временно отбрасываем ноль на конце у 120 и делим 12 на 3, получаем 4. И дописываем этот ноль в частном. В итоге получаем 40:
Теперь умножаем частное на делитель (40 на 3), получаем 120. Далее находим остаток: 120 − 120 = 0. Остаток равен нулю. Пример завершён.
120 : 3 = 40
Проверка 40 × 3 = 120.
Такие простые примеры не нуждаются в том, чтобы их решали уголком. Достаточно знать таблицу умножения. Далее просто дописывать нули на конце. Например:
12 : 3 = 4 (делимое без нулей на конце)
120 : 3 = 40 (здесь у делимого один ноль)
1200 : 3 = 400 (здесь у делимого два нуля)
12000 : 3 = 4000 (здесь у делимого три нуля)
В этом способе есть небольшой подвох. Если вы заметили, деля такие числа, мы ссылаемся на таблицу умножения. А представьте, что надо разделить 400 на 5.
Можно рассуждать по старому — отбросить временно все нули и разделить обычные числа. А что будет если отбросить все нули в числе 400? Мы обнаружим, что делим 4 на 5, что недопустимо. В этом случае, надо отбрасывать только один ноль, и делить 40 на 5, а не 4 на 5
Завершаем этот пример, как обычно умножая частное на делитель, и выводя остаток:
Этот способ работает только в том случае, если удаётся гладко применить таблицу умножения. В остальных случаях, придётся искать обходные пути, вычисляя уголком или собирая частное подобно детскому конструктору.
Например, найдём значение выражения 1400 : 5. Здесь отбрасывание нулей нам ничего не даст. Этот пример надо решать уголком или собрать ответ, подобно конструктору. Давайте рассмотрим второй способ.
Что такое 1400? Вспоминаем разряды чисел. 1400 это одна тысяча и четыре сотни:
1000 + 400 = 1400
Можно по-отдельности разделить 1000 на 5 и 400 на 5:
1000 : 5 = 200
400 : 5 = 80
и сложить полученные результаты:
200 + 80 = 280
Итого: 1400 : 5 = 280
Решим этот же пример уголком:
Деление многозначного числа на многозначное
Здесь придётся хорошенько напрячь свой мозговой аппарат и выжать из него по максимуму, потому что разделить многозначное число на многозначное не так то просто.
Принцип деления остаётся тем же что и раньше. Здесь так же надо находить первое неполное делимое. Здесь так же могут присутствовать остатки от деления.
Для начала введём новое понятие — круглое число. Круглым будем называть число, которое оканчивается нулём. Например, следующие числа являются круглыми:
10, 20, 30, 500, 600, 1000, 13000
Любое число можно превратить в круглое. Для этого первые цифры, образующие старший разряд, оставляют без изменений, а остальные цифры заменяют нулями.
Например, превратим число 19 в круглое число. Первая цифра этого числа 1 образует старший разряд (разряд десятков) — эту цифру оставляем как есть, а оставшуюся 9 заменяем на ноль. В итоге получаем 10
Ещё пример. Превратим число 125 в круглое число. Первая цифра 1 образует старший разряд (разряд сотен) — эту цифру оставляем без изменений, а оставшиеся цифры 25 заменяем нулями. В итоге получаем 100.
Ещё пример. Превратим число 2431 в круглое число. Первая цифра 2 образует старший разряд (разряд тысяч) — эту цифру оставляем без изменений, а остальные цифры 431 заменяем нулями. В итоге получаем 2000.
Ещё пример. Превратим число 13 735 в круглое число. Первые две цифры 13 образуют старший разряд (разряд десятков тысяч) — эти две цифры оставляем без изменений, а остальные цифры 735 заменяем нулями. В итоге получаем 13 000.
Внимание! В дальнейшем понятия круглого числа и перевод любого числа в круглое будут обобщены.
Возвращаемся к делению многозначных чисел на многозначные. Сложность деления таких чисел заключается в том, что частное надо находить методом подбора. Для этого прибегают к различным техникам, например, превращают делимое и делитель в круглые числа.
Пример 1. Найти значение выражения 88 : 12
Записываем данное выражение уголком:
Задаём вопрос сколько чисел 12 в числе 88? С первого раза ответить сложно. Придётся рассуждать.
Со школы мы помним, что частное подбиралось методом угадывания, говоря «берем по два» или «берем по три».
Давайте попробуем угадать частное. К сожалению, его просто так с неба взять нельзя. Это частное должно быть таким, чтобы при его умножении на делитель, получалось число, которое меньше делимого, но очень близко к нему или равно ему.
Давайте предположим, что частное равно 2. Умножаем это частное на делитель 12
Что это нам дало? Полученное число меньше делимого, но близко к нему? Нет. Оно конечно же меньше делимого 88, но очень далеко от него. Значит двойка как частное не подходит.
Пробуем следующее число. Допустим частное равно 5
Полученное число конечно меньше, но оно не близко к делимому 88. Значит пятёрка как частное тоже не подходит.
Попробуем сразу взять по 8
На этот раз полученное число превзошло делимое. А оно должно быть меньше делимого, но очень близким к нему или равным ему. Значит восьмёрка как частное тоже не подходит Попробуем тогда взять по 7
Наконец-то нашли подходящее частное! Умножив частное 7 на делитель 12, мы получили 84, которое меньше делимого, но близко к нему. Теперь находим остаток от деления. Для этого из 88 вычитаем 84, получаем 4.
88 : 12 = 7 (4 в остатке)
Проверка: (12 × 7) + 4 = 84 + 4 = 88
Как видно из примера, на подбор частного уходит драгоценное время. Если мы будем сидеть на контрольной или на экзамене, где каждая минута очень дорогá, этот метод нам явно не поможет.
Чтобы сэкономить время, можно делимое и делитель превратить в круглые числа, а затем осуществить деление этих круглых чисел. Делить круглые числа намного проще и удобнее.
Например, чтобы разделить 90 на 10, достаточно отбросить нули у обоих чисел и разделить 9 на 1. В итоге получим 90 : 10 = 9.
Количество отбрасываемых нулей должно быть строго одинаковым. К примеру, если мы делим 900 на 90, то отбрасываем по нулю от каждого числа, поскольку у числа 900 два нуля, а у 90 только один. Отбросив по нулю от каждого числа, мы получим выражение 90 : 9 = 10. В итоге получаем 900 : 90 = 10.
В делении круглых чисел также нет ничего сложного. Постарайтесь понять это. Если непонятно, изучите этот момент несколько раз. Это очень важно.
Ниже приведено несколько примеров, где делятся круглые числа. Отбрасываемые нули закрашены серым цветом:
800 : 10 = 80 (отбросили по нулю и разделили 80 на 1, получили 80)
800 : 80 = 10 (отбросили по нулю и разделил 80 на 8, получили 10)
900 : 10 = 90 (отбросили по нулю и разделили 90 на 1, получили 90)
400 : 50 = 8 (отбросили по нулю и разделили 40 на 5, получили 8)
320 : 80 = 4 (отбросили по нулю и разделили 32 на 8, получили 4)
Заметно, что всё в конечном итоге свóдится к таблице умножения. Именно поэтому в школе требуют знать её наизусть. Мы тоже этого требуем, хоть и не принуждаем.
Теперь давайте решим предыдущий пример 88 : 12 где мы бились, находя частное методом угадывания.
Для начала превращаем делимое и делитель в круглые числа.
Круглым числом для 88 будет число 80.
А круглым числом для 12 будет число 10.
Теперь делим полученные круглые числа:
80 разделить 10 будет 8. Эту восьмёрку мы пишем в частном:
Теперь проверяем, верно ли подобралось частное. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 12). Восьмёрку как частное мы уже проверяли, когда решали этот пример методом угадывания. Она нам не подошла, поскольку после её умножения на делитель, получилось число 96, которое больше делимого. Зато подошло частное 7, которое меньше восьмёрки всего-лишь на единицу.
Отсюда можно сделать вывод, что в выражении 88 : 12 частное, полученное путём превращения делимого и делителя в круглые числа, больше лишь на единицу. Наша с вами задача уменьшить это частное на единицу.
Так и сделаем — уменьшим 8 на единицу: 8 − 1 = 7. Семёрка это частное. Записываем её в правом уголке нашего примера:
Как видно, этим способом мы решили этот пример намного быстрее.
Пример 2. Найти значение выражения 1296 : 144
Записываем уголком данное выражение. Сразу же находим первое неполное делимое. Его образуют все четыре цифры делимого:
Это деление многозначного числа на многозначное. Давайте применим только что изученный метод. Превратим делимое и делитель в круглые числа, а затем разделим их.
Для делимого 1296 круглым числом будет 1000. А для делителя 144 круглым числом будет 100.
Делим 1000 на 100, получим 10. Проверим полученную десятку, умножив её на делитель 144
Десятка не подходит, поскольку при умножении получается число, которое больше делимого.
Попробуем взять по 9, уменьшив десятку на единицу.
Проверяем девятку. Для этого умножаем её на делитель:
Красота! Полученное число оказалось не только ближе к делимому, но и равным ему. Это значит, что деление выполнилось без остатка. Завершаем данный пример, вычитая из 1296 полученное число 1296
1296 : 144 = 9
Проверка: 144 × 9 = 1296
Пример 3. Попробуем решить большой и сложный пример 227 492 : 331
Записываем уголком данное выражение. Сразу же определяем первое неполное делимое. Его образуют первые четыре цифры делимого 2274. Значит сначала будем делить 2274 на 331. Их же превратим в круглые числа.
Для числа 2274 круглым числом будет 2000. А для 331 круглым числом будет 300
Получили 6. Проверим верно ли подобралась эта шестёрка. Для этого, умножим её на делитель 331:
Шестёрка подошла, потому что она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2274. Если бы мы взяли по семь, то получилось бы следующее:
Если бы мы взяли по 7 и проверили эту семёрку, то получили бы 2317, которое больше делимого, а это недопустимо.
Продолжаем решать наш пример. Вычитаем из 2274 число 1986, получаем 288:
288 это остаток от деления 2274 на 331. Далее, чтобы продолжить деление, нужно снести девятку:
Теперь надо разделить 2889 на 331. Превращаем их в круглые числа и делим их. Сразу же проверяем полученное таким способом частное:
Умножив 6 на 331, мы снова получили 1986. Это число должно быть меньше делимого 2889, но близким к нему или равным ему. Но 1986 очень далеко от него. Значит шестёрка, как частное не подходит. Проверим тогда семёрку. Это первый случай, когда нам не помог второй способ, который экономил нам время. Дальнейшее решение придётся проводить методом угадывания частного:
Проверили семёрку. Снова получили число, которое далеко от делимого 2889. Значит семёрка тоже не подходит. Проверим восьмёрку:
Восьмёрка подошла. Она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2889. Если бы мы взяли по девять, то при умножении на делитель, получили бы число 2979, а это уже больше делимого 2889.
Теперь вынимаем остаток от деления 2889 на 331. Для этого от 2889 вычитаем 2648 и получаем 241
241 это остаток от деления 2889 на 331. Чтобы продолжить деление, нужно снести 2 из главного делимого:
Теперь делим 2412 на 331. Возьмём по 7
Теперь находим последний остаток. Для этого из 2412 вычитаем 2317, получаем 95. На этом пример завершается:
На этом данный урок можно завершить. Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь делить числа уголком. Этот навык нарабатывается со временем в сочетании с интенсивными тренировками. Ошибки дело не страшное. Самое главное — понимать.
Отметим, что в данном уроке рассмотрено только деление с остатком. Деление без остатка мы рассмотрим в следующих уроках. Сделано это с целью не усложнять обучение. Как говорится, всему своё время.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Выполните деление:
Решение:
Задание 2. Выполните деление:
Решение:
Задание 3. Выполните деление:
Решение:
Задание 4. Выполните деление:
Решение:
Задание 5. Выполните деление:
Решение:
Задание 6. Выполните деление:
Решение:
Задание 7. Выполните деление:
Решение:
Задание 8. Выполните деление:
Решение:
Задание 9. Выполните деление:
Решение:
Задание 10. Выполните деление:
Решение:
Задание 11. Выполните деление:
Решение:
Задание 12. Выполните деление:
Решение:
Задание 13. Выполните деление:
Решение:
Задание 14. Выполните деление:
Решение:
Задание 15. Выполните деление:
Решение:
Задание 16. Выполните деление:
Решение:
Задание 17. Выполните деление:
Решение:
Задание 18. Выполните деление:
Решение:
Задание 19. Выполните деление:
Решение:
Задание 20. Выполните деление:
Решение:
Задание 21. Выполните деление:
Решение:
Задание 22. Выполните деление:
Решение:
Задание 23. Выполните деление:
Решение:
Задание 24. Выполните деление:
Решение:
Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Как объяснить ребенку деление столбиком во 2-3 классе
Как объяснить ребенку деление столбиком? Как дома самостоятельно отработать навык деления в столбик, если в школе ребенок что-то не усвоил? Делить столбиком учат во 2-3 классе, для родителей, конечно, это пройденный этап, но при желании можно вспомнить правильную запись и объяснить доступно своему школьнику то, что понадобится ему в жизни.
xvatit.com
Что должен знать ребенок 2-3 класса, чтобы научиться делить в столбик?
Как правильно объяснить ребенку 2-3 класса деление столбиком, чтобы в дальнейшем у него не было проблем? Для начала, проверим, нет ли пробелов в знаниях. Убедитесь, что:
ребенок свободно выполняет операции сложения и вычитания;
знает разряды чисел;
знает назубок таблицу умножения.
Как объяснить ребенку смысл действия «деление»?
Ребенку нужно объяснить все на наглядном примере.
Попросите разделить что-либо между членами семьи или друзьями. Например, конфеты, кусочки торта и т.п. Важно, чтобы ребенок понял суть — разделить нужно поровну, т.е. без остатка. Потренируйтесь на разных примерах.
Допустим, 2 группы спортсменов должны занять места в автобусе. Известно сколько спортсменов в каждой группе и сколько всего мест в автобусе. Нужно узнать, сколько билетов нужно купить одной и второй группе. Или 24 тетради нужно раздать 12 ученикам, сколько достанется каждому.
Когда ребенок усвоит суть принципа деления, покажите математическую запись этой операции, назовите компоненты.
Объясните, что деление – это операция противоположная умножению, умножение наизнанку.
Удобнопоказать взаимосвязь деления и умножения на примере таблицы.
Например, 3 умножить на 4 равно 12. 3 — это первый множитель; 4 — второй множитель; 12 — произведение (результат умножения).
Если 12 (произведение) разделить на 3 (первый множитель), получим 4 (второй множитель).
Как объяснить ребенку деление двузначного числа на однозначное не в столбик?
Нам, взрослым, проще «по старинке» записать «уголком» — и дело с концом. НО! Дети еще не проходили деление в столбик, что делать? Как научить ребенка делить двузначное число на однозначное не используя запись столбиком?
Возьмем для примера 72:3.
Все просто! Раскладываем 72 на такие числа, которые легко устно разделить на 3: 72=30+30+12.
Все сразу стало наглядно: 30 мы можем разделить на 3, и 12 ребенок легко разделит на 3. Останется только сложить результаты, т.е. 72:3=10 (получили, когда 30 разделили на 3) + 10 (30 разделили на 3) + 4 (12 разделили на 3).
72:3=24 Мы не использовали деление в столбик, но ребенку был понятен ход рассуждений, и он выполнил вычисления без труда.
После простых примеров можно переходить к изучению деления в столбик, учить ребенка правильно записывать примеры «уголком». Для начала используйте только примеры на деление без остатка.
Как объяснить ребенку деление в столбик: алгоритм решения
Большие числа сложно делить в уме, проще использовать запись деления столбиком. Чтобы научить ребенка правильно выполнять вычисления, действуйте по алгоритму:
Определить, где в примере делимое и делитель. Попросите ребенка назвать числа (что на что мы будем делить).
213:3 213 — делимое 3 — делитель
Записать делимое — «уголок» — делитель.
Определить, какую часть делимого мы можем использоваться, чтобы разделить на заданное число.
Рассуждаем так: 2 не делится на 3, значит — берем 21.
Определить, сколько раз делитель «помещается» в выбранной части.
21 разделить на 3 — берем по 7.
Умножить делитель на выбранное число, результат записать под «уголком».
7 умножить на 3 — получаем 21. Записываем.
Найти разницу (остаток).
На этом этапе рассуждений научите ребенка проверять себя. Важно, чтобы он понял, что результат вычитания ВСЕГДА должен быть меньше делителя. Если вышло не так, нужно увеличить выбранное число и выполнить действие еще раз.
Повторить действия, пока в остатке не окажется 0.
Дальше можно взять пример посложнее, чтобы убедиться, что ребенок усвоил правильную запись и алгоритм рассуждений.
Как правильно рассуждать, чтобы научить ребенка 2-3 класса делить столбиком
2. 2 не делится на 12, значит, берем 20. 3. Чтобы разделить 20 на 12 берем по 1. Записываем 1 под «уголком». 4. 1 умножить на 12 получим 12. Записываем под 20. 5. 20 минус 12 получим 8. Проверяем себя. 8 меньше 12 (делителя)? Ок, все верно, идем дальше.
6. Рядом с 8 пишем 4. 84 разделить на 12. На сколько нужно умножить 12, чтобы получить 84? Сразу сложно сказать, попробуем действовать методом подбора. Возьмем, например, по 8, но пока не записываем. Считаем устно: 8 умножить на 12 получится 96. А у нас 84! Не подходит. Пробуем поменьше… Например, возьмем по 6. Проверяем себя устно: 6 умножить на 12 равно 72. 84-72=12. Мы получили такое же число, как наш делитель, а должно быть или ноль, или меньше 12. Значит, оптимальная цифра 7!
7. Записываем 7 под «уголок» и выполняем вычисления. 7 умножить на 12 получим 84. 8. Записываем результат в столбик: 84 минус 84 равно ноль. Ура! Мы решили правильно!
Итак, вы научили ребенка делить столбиком, осталось теперь отработать этот навык, довести его до автоматизма.
Почему детям сложно научиться делить в столбик?
Помните, что проблемы с математикой возникают от неумения быстро делать простые арифметические действия. В начальной школе нужно отработать и довести до автоматизма сложение и вычитание, выучить «от корки до корки» таблицу умножения. Все! Остальное — дело техники, а она нарабатывается с практикой.
Будьте терпеливы, не ленитесь лишний раз объяснить ребенку то, что он не усвоил на уроке, нудно, но дотошно разобраться в алгоритме рассуждений и проговорить каждую промежуточную операцию прежде, чем озвучить готовый ответ. Дайте дополнительные примеры на отработку навыков, поиграйте в математические игры — это даст свои плоды и вы увидите результаты и порадуетесь успехам чада очень скоро. Обязательно покажите, где и как можно применить полученные знания в повседневной жизни.
Уважаемые читатели! Расскажите, как вы учите ваших детей делить в столбик, с какими сложностями приходилось сталкиваться и какими способами вы их преодолели.
ГДЗ учебник по математике 3 класс Петерсон. Часть 3. Урок 5 Номер 6
Реши уравнения с комментированием и сделай проверку: а) 540 : (17 − x) = 60; б) t * 7 − 80 = 340; в) (8 * y − 30) : 9 = 50; г) (350 : b + 10) * 7 = 560.
Решение а
540 : (17 − x) = 60 чтобы найти неизвестный делитель 17 − x, нужно делимое разделить на частное: 17 − x = 540 : 60 17 − x = 9 чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно из уменьшаемого вычесть разность: x = 17 − 9 x = 8 Проверка: 540 : (17 − 8) = 60 540 : 9 = 60 60 = 60
Решение б
t * 7 − 80 = 340 чтобы найти неизвестное уменьшаемое t * 7, нужно к разности прибавить вычитаемое: t * 7 = 340 + 80 t * 7 = 420 чтобы найти неизвестный множитель t, нужно произведение разделить на известный множитель: t = 420 : 7 t = 60 Проверка: 60 * 7 − 80 = 340 420 − 80 = 340 340 = 340
Решение в
(8 * y − 30) : 9 = 50 чтобы найти неизвестное делимое 8 * y − 30, нужно частное умножить на делитель: 8 * y − 30 = 50 * 9 8 * y − 30 = 450 чтобы найти неизвестное уменьшаемое 8 * y, нужно к разности прибавить вычитаемое: 8 * y = 450 + 30 8 * y = 480 чтобы найти неизвестный множитель y, нужно произведение разделить на известный множитель: y = 480 : 8 y = 60 Проверка: (8 * 60 − 30) : 9 = 50 (480 − 30) : 9 = 50 450 : 9 = 50 50 = 50
Решение г
(350 : b + 10) * 7 = 560 чтобы найти неизвестный множитель 350 : b + 10, нужно произведение разделить на известный множитель: 350 : b + 10 = 560 : 7 350 : b + 10 = 80 чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: 350 : b = 80 − 10 350 : b = 70 чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: b = 350 : 70 b = 5 Проверка: (350 : 5 + 10) * 7 = 560 (70 + 10) * 7 = 560 80 * 7 = 560 560 = 560
ДЕЛЕНИЕ НА 8: НАЦЕЛО И С ОСТАТКОМ
Благодарен вашему
журналу за публикацию моего
материала о признаке делимости
целых чисел на 7 (см. «Наука и
жизнь» № 10, 1997 г.). Рискну
предложить еще один новый признак
делимости, но уже на 8.
Я перелистал
много книг по занимательной
математике, но такого признака не
нашел нигде.
Общепринятый
признак делимости на 8 выглядит так:
число делится на 8 в том и только в
том случае, если его последние три
цифры образуют число, делящееся на
8.
Этот способ
деления основан на том, что все
числа, кратные 1000, делятся на 8 без
остатка.
Значит,
определение признака делимости на 8
любых многозначных целых чисел
сводится в итоге к определению
признака делимости на 8 трехзначных
чисел.
Трехзначные числа
и будем рассматривать.
Б. А. Кордемский
сводит делимость уже трехзначных
чисел к делимости двузначных
(образованных цифрами сотен и
десятков): «На 8 делится всякое
трехзначное число, у которого
двузначное число, образованное
цифрами сотен и десятков, сложенное
с половиной числа единиц, делится
на 4».
Он приводит
пример с числом 592. Применяя к нему
признак делимости, получаем:
59 + 1 = 60,
где 1 — это 2:2,
половина числа единиц.
Число 60 делится на
4, значит, число 592 делится на 8 без
остатка.
При данном методе
определения остатка от деления
надо учитывать, что трехзначные
числа, оканчивающиеся нечетной
цифрой (1, 3, 5, 7, 9), надо сначала
«округлить» в разряде единиц
до ближайшей большей или меньшей
четной цифры и в конечном
результате опять же учесть эту
единицу, то есть прибавить ее или
отнять. Это первое.
Второе: в
некоторых случаях сумма
двузначного числа, образованного
цифрами сотен и десятков, и
половины единиц будет также
трехзначным числом, что опять же не
совсем удобно. Это будет
происходить с рядом чисел в
промежутке от 968 до 999.
Однако всех этих
неудобств — прибавления (вычитания)
1 и оперирования трехзначными
числами — можно избежать.
Вспомним, что
четное число сотен — 2, 4, 6, 8 (200, 400, 600,
800) делится на 8 без остатка.
Следовательно, у таких, к примеру,
чисел, как 059, 237, 461, 632, 844, определить
остаток от деления на 8 можно сразу
по двузначному числу,
составленному из десятков и единиц,
то есть по числам 59, 37, 61, 32, 44.
Достаточно в уме разделить эти
двузначные числа на 8.
Если цифры сотен в
трехзначных исходных числах
нечетны (1, 3, 5, 7, 9), то опять же делим
на 8 двузначные числа, образованные
десятками и единицами, но в этом
случае прибавляем (или отнимаем) к
двузначным числам цифру 4. Этот факт
следует из того, что все целые
нечетные сотни (100, 300, 500, 700, 900) при
делении на 8 дают один остаток — 4.
Для примера
возьмем числа 165, 371, 587, 716, 923.
«Превратим» их в двузначные
числа, прибавляя (можно отнимая) 4:
69, 75, 91, 20, 27.
Делить эти
двузначные числа на 8 опять же
просто. Остатки от делений и будут
остатками от деления на 8 исходных
трехзначных чисел.
А как поступить,
если трехзначное число 997?
Выше говорилось,
что цифру 4 можно не только
прибавлять, но и отнимать от
двузначного числа. Значит, делить
на 8 будем уже число 93: 97- 4 = 93.
Так происходит
«избавление» от трехзначных
чисел.
Обобщая все
вышесказанное, алгоритм
упрощенного признака делимости на 8
целых чисел можно записать так:
отделяем, отсчитывая справа, три
цифры исходного числа; если третья
справа цифра четная (0, 2, 4, 6, 8), то
делим на 8 только число,
образованное двумя крайними
правыми цифрами; остаток от этого
деления и будет остатком от деления
на 8 всего исходного числа; если
третья справа цифра в исходном
числе нечетная (1, 3, 5, 7, 9), делим на 8 число,
образованное двумя крайними
правыми цифрами, плюс (минус) 4;
остаток от деления этой суммы и
даст остаток от деления на 8 всего
исходного целого числа.
Как видно, этот
признак делимости совсем прост, и
для его освоения понадобятся
минимальные усилия и знание
элементарной арифметики.
Литература
Кордемский Б. А. Математическая
смекалка. М., 1991.
Воробьев Н. Н. Признаки
делимости. М., 1980.
Гарднер М. Математические
досуги. М., 1995.
Преподавателю — расчет баллов в интерактивной тетради Skysmart
Чем лучше ваши учащиеся решают упражнения, тем выше их балл.
Чем больше ошибок сделали учащиеся, тем ниже будет итоговый балл.
Чем больше учащиеся пропускали упражнений, тем меньше будет итоговый балл.
Что такое баллы?
За выполнение заданий учащиеся получают баллы.
Максимальный балл за одно задание — 100.
Что такое оценка?
Наша оценка — это итоговый результат в привычной 5-балльной шкале. Мы переводим баллы в оценки по такой таблице:
0-20 баллов = 1
20-40 баллов = 2
40-60 баллов = 3
60-80 баллов = 4
80-100 баллов = 5
Вы сами решаете, какую итоговую оценку поставить учащимся. Такая таблица перевода баллов приведена в качестве примера.
Терминология
Задание — набор слайдов.
Слайд — одно или несколько упражнений, размещенных на одной странице.
Упражнение — наименьшая единица задания для ученика.
Как формируется суммарная оценка в отправленном задании
Одно задание — набор выбранных упражнений, набор слайдов.
Слайд — одна страница с упражнениями, может содержать несколько таковых.
Максимальный общий балл за задание — 100 баллов.
Максимальный балл не зависит от количества выбранных упражнений: вы можете выбрать как одно упражнение, так и 10, максимальный балл всё равно будет составлять 100 баллов.
В каждом задании может быть несколько слайдов с упражнениями для учеников.
Количество баллов за 1 слайд = Макс. балл за задание/Количество слайдов с заданиями
То есть, чтобы узнать оценку за 1 слайд, 100 баллов нужно разделить на количество заданных слайдов.
Пример 1: Вы сформировали задание, в котором 5 слайдов с упражнениями, соответственно максимальный балл за этот слайд будет 100/5=20 баллов.
💡Обратите внимание! Если в одном слайде 1 упражнение, а в другом 3, все равно максимальный балл у каждого из этих слайдов будет равен 20.
Пример 2: Вы сформировали задание, в котором 1 слайд с упражнениями, соответственно максимальный балл за этот слайд будет 100/1=100 баллов.
Чтобы узнать количество слайдов в задании, откройте его в режиме предварительного просмотра (см. следующий пункт). ___________________________________________________________________________________________________
Как узнать количество слайдов в задании
Посмотреть количество слайдов в задании можно нажав на кнопку «Предпросмотр».
Далее вы увидите задание и количество слайдов в нем.
Сколько баллов начисляется за 1 упражнение на слайде
Рассчитайте максимальный балл за 1 слайд, прежде чем рассчитать максимальный балл за одно упражнение (см. предыдущий пункт). После того, как мы узнали балл за слайд, рассчитываем балл за упражнение.
Макс. балл за 1 упражнение = макс. балл за 1 слайд/количество упражнений на слайде
***Пример 1:***Вы сформировали задание, в котором 5 слайдов, на каждом слайде по 5 упражнений
Количество попыток ответа зависит от количества вариантов ответа и рассчитывается по формуле:
Количество попыток = количество вариантов ответа - 1
Сколько баллов вычитается за одну неправильную попытку ввода:
Макс. балл за упражнение в слайде/(количество вариантов ответа - 1)
Например, рассмотрим упражнение, в котором 5 вариантов ответа, максимальный балл за это упражнение составляет 12 баллов
В этом случае у ученика есть попыток ответа 5-1 = 4
Количество баллов, которые вычтены за неправильную попытку 12/(5-1) = 3 балла
Если ученик дал правильный ответ с первой попытки — система оценит в 12 баллов, со второй- 9 баллов, с третьей — 6 баллов, с четвертой — 3 балла использовал ключ — 0 баллов.
***Обратите внимание!***После 3-й попытки ответа ученику будет доступен ключ к ответу. Если ученик использует ключ, упражнение будет оценено в 0 баллов, так как правильный ответ не был введен самостоятельно. 2. Вписать ответ в пропуск (без вариантов выбора) Система предоставляет 5 попыток, чтобы вписать верный ответ. За каждую попытку мы списываем 20% от максимального балла за это упражнение. Например,рассмотрим упражнение, в котором нужно вписать ответ, представим, что максимальный балл за это упражнение составляет 10 баллов.
Если ученик дал правильный ответ с первой попытки — система оценит в 10 баллов,
со второй- 8 баллов,
с третьей — 6 баллов, с четвертой — 4 балла,
с пятой — 2 балла,
использовал ключ — 0 баллов.
Обратите внимание! После 3-й попытки ответа ученику будет доступен ключ к ответу. Если ученик использует ключ, упражнение будет оценено в 0 баллов, так как правильный ответ не был введен самостоятельно. 3. Развернутый ответ — проверка учителем Проверка этого задания остается на стороне учителя. Система автоматически поставит максимальный балл за упражнение, если ученик введет ответ в поле, и 0 — если после останется пустым. ___________________________________________________________________________________________________
Как засчитывается ответ
Попытки ответа отражены на шкале рядом с заданием: зеленый — правильный ответ, красный — неправильный. Чем больше неправильных попыток ввода, тем больше красного цвета на индикаторе справа. Вы можете посмотреть все попытки ввода ученика, открыв задание.
Если шкала (индикатор) серая, значит, ученик не выполнил задание, или система не засчитала ответ. Ответ может быть не засчитан, если ученик забыл нажать Enter заполнения ответа. В таком случае ученику нужно вернуться к заданию и нажать Enter в поле ввода.
Как сбросить результат или выполнить работу над ошибками?
Ученик может выполнить любое задание лишь один раз. Если слайд будет отправлен ученику в другом задании, упражнение отобразится уже выполненным. Переделать задание или сбросить результат — такой функционал пока недоступен на платформе.
Что такое 60, разделенное на 3 с использованием длинного деления?
Смущает длинное деление? К концу этой статьи вы сможете разделить 60 на 3 с помощью деления в столбик и применить тот же метод к любой другой проблеме, которая у вас есть! Давайте взглянем.
Хотите быстро выучить или показать студентам, как решить 60, разделенное на 3, с помощью длинного деления? Воспроизведите это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!
Итак, первое, что нам нужно сделать, это уточнить термины, чтобы вы знали, что такое каждая часть деления:
Первое число 60 называется дивидендом.
Второе число 3 называется делителем.
Здесь мы разберем каждый шаг процесса деления в длину на 60, разделенные на 3, и объясним каждый из них, чтобы вы точно поняли, что происходит.
60 разделить на 3 пошаговое руководство
Шаг 1
Первым шагом является постановка нашей задачи деления с делителем слева и делимым справа, как показано ниже:
Шаг 2
Мы можем вычислить, что делитель (3) переходит в первую цифру делимого (6), 2 раза.Теперь, когда мы это знаем, можем поставить 2 вверху:
Шаг 3
Если мы умножим делитель на результат на предыдущем шаге (3 x 2 = 6), теперь мы можем добавить этот ответ под делимым:
Шаг 4
Затем мы вычтем результат предыдущего шага из второй цифры делимого (6-6 = 0) и запишем этот ответ ниже:
Шаг 5
Переместите вторую цифру делимого (0) вниз следующим образом:
Шаг 6
Делитель (3) переходит в нижнее число (0), 0 раз (а), поэтому мы можем поставить 0 сверху:
Шаг 7
Если мы умножим делитель на результат на предыдущем шаге (3 x 0 = 0), теперь мы можем добавить этот ответ под делимым:
Шаг 8
Затем мы вычтем результат предыдущего шага из третьей цифры делимого (0-0 = 0) и запишем этот ответ ниже:
Итак, каков ответ на 60 разделенное на 3?
Если вы дошли до этого урока, молодец! Больше нет цифр, которые можно было бы переместить из дивиденда, что означает, что мы выполнили задачу длинного деления.
Ваш ответ — это верхнее число, а любой остаток будет нижним числом. Итак, если 60 разделить на 3, окончательное решение будет:
.
20
Остаток 0
Цитируйте, ссылайтесь или ссылайтесь на эту страницу
Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большое одолжение и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!
«Что такое 60, разделенное на 3 с использованием длинного деления?». VisualFractions.com . По состоянию на 12 июня 2021 г. https://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-60-divided-by-3-using-long-division/.
«Что такое 60, разделенное на 3 с использованием длинного деления?». VisualFractions.com , https: // visualfractions.ru / Calculator / long-div / what-is-60-split-by-3-using-long-div /. По состоянию на 12 июня 2021 г.
Что такое 60, разделенное на 3 с использованием длинного деления ?. VisualFractions.com. Получено с https://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-60-divided-by-3-using-long-division/.
Дополнительные расчеты для вас
Теперь вы узнали о подходе к делению 60 на 3 в столбик. Вот еще несколько способов вычисления:
Используя калькулятор, если вы введете 60, разделив на 3, вы получите 20.
Вы также можете выразить 60/3 в виде смешанной дроби: 20 0/3
Если вы посмотрите на смешанную дробь 20 0/3, вы увидите, что числитель такой же, как остаток (0), знаменатель — это наш исходный делитель (3), а целое число — это наш окончательный ответ (20 ).
Калькулятор длинного деления
Введите другую задачу с длинным делением для решения
Задача следующего длинного деления
Хотите более длинное деление, но не можете ввести два числа в калькулятор выше? Не волнуйтесь.Вот следующая проблема, которую вам нужно решить:
Как 60 разделить на 4 с помощью длинного деления?
Задачи случайного длинного деления
Если вы дошли до этого конца страницы, значит, вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО любите задачи с длинным делением, да? Ниже приведены несколько случайно сгенерированных вычислений для вашего долгого удовольствия:
7200 разделить на 60 | 7200 разделить на 60 с остатком
Ответ на математические задачи Этапы решения
Математические ответы на деление дроби 7200/60
720060 = 120
120 = 1200 с точностью до десятых
120 = 120 с точностью до сотых
120 = 120 с точностью до тысячных
= 0 с точностью до десятых
= 0 с точностью до сотых
= 0 с точностью до тысячных
Другие разделы Домашнее задание по математике —
7200 делим пополам плюс 20
Домашнее задание ответов: (7200/2) + 20 = 3620
7200 делим пополам плюс 40
Домашнее задание ответов: (7200/2) + 40 = 3640
7200/60 разделить на 2
Ответ: (7200/60) ÷ 2 = 60
С помощью этого бесплатного инструмента можно легко решить домашнее задание по математике
Division.Чтобы решить домашнее задание или задание, все, что вам нужно сделать, это ввести значение в соответствующее поле и нажать «вычислить», чтобы получить математические ответы.
Что такое числитель / знаменатель
Числитель: мы называем верхнее число числителем, это число в верхней части имеющейся у вас дроби.
Знаменатель: мы называем нижнее число знаменателем, это целое число внизу, это число, на которое делится.
Шаги преобразования дробной части в десятичную
Шаг 1: Найдите число, которое можно умножить на нижнюю часть дроби, чтобы получилось 10, 100, 1000 или любая единица с последующими нулями.
Шаг 2: Умножьте верхнюю и нижнюю часть на выбранное вами число.
Шаг 3. Затем запишите только верхнее число, поместив десятичную запятую в правильное место, то есть на один пробел с правой стороны для каждого нуля в нижнем числе.
a / b = c В приведенных выше выражениях a называется делимым, b называется делителем, а c называется частным; в выражении a / b, a также называется числителем, а b также называется знаменателем.
Этот калькулятор дробей также можно использовать для вычисления доли в процентах, скидок на покупки, купонов, жировых отложений, валовой прибыли, потери веса, любви, налогов, увеличения и уменьшения населения, прибыли от продаж.Как только вы знаете значения, определить% легко.
Если вы обнаружите ошибку на этом сайте, мы будем благодарны, если вы сообщите нам об этом, используя предоставленный контактный адрес электронной почты. отправьте электронное письмо в контакт на нашем сайте.
Далее Назад
Кратное 60 — Что такое кратное 60? [Решено]
Число, кратное 60, является целым. Они являются результирующим произведением натуральных чисел и 60. Другими словами, мы можем сказать, что числа, кратные 60, — это числа, которые можно разделить на 60, не оставляя остатка.Мы можем создать n чисел, кратных 60, просто умножив 60 на n натуральных чисел.
В этом мини-уроке мы вычислим кратные 60 и узнаем некоторые интересные факты об этих кратных.
Первые пять чисел, кратных 60 : 60, 120, 180, 240 и 300.
Простая факторизация 60 : 60 = 2 × 2 × 3 × 5
Что такое число, кратное 60?
Интересно отметить, что число, кратное 60, можно легко получить из числа, кратного 6.Первые пять кратных 6 равны 6, 12, 18, 24 и 30. Умножая каждое кратное 6 на 10, мы можем получить кратное 60.
10 × 6 (кратно 6) = 60 (кратно 60)
10 × 12 = 120
10 × 18 = 180
10 × 24 = 240
10 × 30 = 300
Следовательно, первые пять кратных 60 равны 60, 120, 180, 240 и 300 .
Первые пять чисел, кратных 60 с использованием подсчета пропусков, показаны ниже.
Первые 20 чисел, кратные 60
Первые 20 кратных 60 — это числа, которые мы получаем в результате умножения натуральных чисел от 1 до 20 на 60.Первые 20 чисел, кратных 60, можно получить с помощью метода подсчета пропусков. Первые 20 чисел, кратные 60, перечислены в таблице ниже.
Первые 20 чисел, кратные 60
60 × 1 = 60
60 × 11 = 660
60 × 2 = 120
60 × 12 = 720
60 × 3 = 180
60 × 13 = 780
60 × 4 = 240
60 × 14 = 840
60 × 5 = 300
60 × 15 = 900
60 × 6 = 360
60 × 16 = 960
60 × 7 = 420
60 × 17 = 1020
60 × 8 = 480
60 × 18 = 1080
60 × 9 = 540
60 × 19 = 1040
60 × 10 = 600
60 × 20 = 1200
Чтобы понять концепцию поиска кратных, давайте рассмотрим еще несколько примеров.
Кратное 12 — Первые пять кратных 12 равны 12, 24, 36, 48 и 60.
, кратное 3 — первые пять чисел, кратных 3, равны 3, 6, 9, 12 и 15.
, кратное 10 — первые пять кратных 10 равны 10, 20, 30, 40 и 50.
, кратное 14 — первые пять чисел, кратных 14: 14, 28, 42, 56 и 70.
, кратное 36 — первые пять кратных 36: 36, 72, 108, 144 и 180.
Сложные вопросы:
Рэйчел участвует в онлайн-экзамене, и время, отведенное на ответы на каждый вопрос, составляет 3 минуты.Преобразуйте время в секунды, используя число, кратное 60.
Джо — фермер, и он хочет ограждать свою землю. Он также хочет, чтобы каждый шестой столб забора был красного цвета. Если Джо использовал 60 красных столбов для ограждения своей земли, найдите общее количество столбов, использованных для ограждения.
Первые пять чисел, кратных 60: 60, 120, 180, 240 и 300.
Умножение числа, кратного 6, на 10, дает число, кратное 60.
Часто задаваемые вопросы о кратных 60
Как найти число, кратное 60?
Умножьте любое натуральное число на 60 или разные числа, кратные 6, на 10.
Каковы первые 6 чисел, кратных 60?
Первые 6 чисел, кратные 60: 60, 120, 180, 240, 300 и 360.
Все ли числа, кратные 60, кратны 6?
60 делится на 6. Таким образом, 6 и все его кратные числа являются общими числами, кратными 6 и 60.
Какое наименьшее общее кратное 60?
Обычно для двух или более чисел используется наименьшее общее кратное. Здесь у нас есть только одно число — 60. Следовательно, наименьшее общее кратное числа 60 само по себе равно 60.
Какие первые 5 чисел кратны 60?
Первые 5 чисел, кратные 6, равны 60, 120, 180, 240 и 300.
Насколько велик миллиард?
Насколько велик миллиард? Всем нам трудно представить, сколько на самом деле одного миллиарда чего-либо
является. Следующие упражнения могут помочь вашим ученикам лучше понять масштаб
чисел, используемых, когда мы говорим о времени и истории Земли.
Упражнение 1 — Кто хочет стать миллиардером?
Как
Сколько времени нужно, чтобы вы стали миллиардером?
Допустим, вы пытаетесь сэкономить 1 000 000 000 долларов и можете
чтобы сэкономить деньги из расчета 100 долларов в день.
1000000000 делить на 100 (долларов, сэкономленных в день) = 10000000 дней 10000000 дней делить на 365 (дней в году) = 27397,26 лет, чтобы достичь
1 миллиард долларов
Достижение цели займет довольно много времени! Фактически, вы никогда бы не
попасть туда в своей жизни. И ваши дети, внуки или великие
внуки. Если вы и один потомок на поколение экономите 100 долларов каждый день,
и каждый из вас прожил 90 лет, это займет у вас и 304 поколения
ваши потомки накопят миллиард долларов.
Упражнение 2 — Подсчет
Допустим, ваш друг решает сосчитать до 1 миллиарда.
Сколько времени это займет у нее?
Она сможет довольно быстро называть маленькие числа, такие как 4 или 31, но
большинство чисел от одного до миллиарда длинные, и их сложно произнести.
Когда она начинает считать большие числа, например 467 051 372, она действительно начинает
замедлить (сколько времени нужно, чтобы сказать четыреста шестьдесят семь
миллион пятьдесят одна тысяча триста семьдесят два?).Если мы позволим вашему
друг всего за 3 секунды, чтобы произнести каждое число, что, вероятно, быстрее, чем у большинства
из нас может справиться, а она вообще без перерывов, у нее уйдет 3 миллиарда
секунд , чтобы закончить отсчет.
3 миллиарда секунд разделить на 60 (секунд в минуту) = 50 000 000 минут 50 000 000 минут разделить на 60 (минут в час) = 833 333,333 часа 833 333 333 часа разделить на 24 (часы в день) = 34 722,22 дня 34 722,22 дня разделить на 365 (дней в году) = 95.1 год сколько это
ваш друг посчитает до 1 миллиарда
Упражнение 3 — Поход на миллиард шагов
Вы решили совершить поход на «миллиард шагов». Как
много раз вы бы обошли экватор?
Допустим, одна ступенька составляет 2 фута длины — среднее расстояние. 2 фута на шаг = 2 миллиарда пройденных футов 1 миля = 5280 футов 2 миллиарда (пройденных футов), разделенных на 5280 (футов на милю) = 378 787,8787 всего
миль Окружность экватора = 24,792.5 миль 378 787,8787 (общее количество миль) разделенное на 24 792,5 (мили вокруг экватора) = 15,278 раз вокруг экватора!
Расширение: попросите учащихся составить поездку
маршрут протяженностью 378 787,8787 миль, включающий названия мест
посещенных и расстояние между каждым этапом путешествия. http://www.indo.com/distance/
Упражнение 4 — Стопка бумаг
Сколько бумаги нужно, чтобы представить миллиард? Или чтобы
представляют возраст Земли?
Страница со звездочками (формат PDF; требуется Adobe
Acrobat Reader) содержит 4000 звездочек.Загрузите и распечатайте его, чтобы использовать в
следующие упражнения. В качестве альтернативы загрузке файла PDF используйте
ваш текстовый процессор, чтобы создать одну одностороннюю страницу, содержащую 4000 звездочек.
Чтобы отобразить 1 000 000 звездочек, потребуется 250 страниц со звездочками. Это может
использоваться, чтобы помочь визуально передать всю громадность цифр, используемых в разговоре
об истории Земли и жизни.
Попробуйте обклеить стену 1000000 звездочек, выровняйте коридор, чтобы показать миллион
или сделайте скоросшиватель, содержащий 250 страниц со звездочкой (или 125, если двусторонний).
Попросите учащихся решить такие задачи, как: сколько страниц потребуется
чтобы показать количество лет, прошедших с тех пор, как вымерли динозавры,
если каждая звездочка представляет один год. (Динозавры вымерли 65 миллионов
много лет назад; если 250 страниц равны 1 миллиону лет, то 65 умножить на 250 = 16 250 страниц.)
Для отображения 1 миллиарда звездочек потребуется 250 000 страниц. Это слишком много страниц
оклеить стены или сделать переплет. На самом деле, если бы вы составили переплет
содержащий 2 миллиона звездочек (500 страниц в подшивке, односторонние), вы
потребуется 500 таких папок, чтобы отобразить 1 миллиард звездочек.Но ты все еще можешь помочь
студенты представляют себе, сколько бумаги потребуется.
Одна пачка бумаги содержит 500 листов и обычно составляет 2 дюйма в высоту. Так
250 листов толщиной около 1 дюйма представляют 1 миллион лет. Спросите своих учеников
для решения проблем с использованием этого расчета, например, как толщина стек
страниц со звездочкой должны показывать количество времени, которое прошло
так как динозавры вымерли. (65 x 1 дюйм = 65 дюймов или 5 футов 5 дюймов.)
Какой высоты должна быть стопка, чтобы показать 1 миллиард лет? Помните, 1 миллион лет = 1 дюйм. 1 миллиард, разделенный на 1 миллион = 1000 Вам понадобится стопка бумаги высотой 1000 дюймов (или 83 фута, четыре дюйма)
показать миллиард лет — это высотой с 8-этажное здание!
Какой высоты должна быть стопка, чтобы показать всю историю Земли? 1 миллиард занимает 1000 дюймов бумаги Возраст Земли составляет 4,6 миллиарда лет 4.6 миллиардов = 4600 дюймов бумаги Вам понадобится стопка высотой 4600 дюймов, чтобы показать возраст Земли; это
383 фута и 4 дюйма — стопка будет выше футбольного поля.
длинный!
Расширение: назначьте учащегося создать свой
собственное «Насколько велик миллиард?» Мероприятия.
Если 60 делится на две части в соотношении 2 3, то математика класса 10 CBSE
Подсказка: Используйте свойство отношений, где при умножении целого числа решение не меняет отношения.Сначала назначьте целое число как неизвестную переменную $ x $ и умножьте на 2 и 3. Возьмите их сумму равной 60. Решите вопрос в $ x $, чтобы найти значения $ 2x, 3x. $ Затем вы можете вычесть, чтобы найти разницу.
Полный пошаговый ответ: Отношение — это дробь, в которой числитель и знаменатель представлены в виде положительных целых чисел, выраженных в стандартной форме. Стандарт дроби — $ \ dfrac {p} {q} $, где и $ p $, и $ q $ — натуральные числа, а наибольший общий делитель $ p $ и $ q $ равен 1.Это означает, что $ p $ и $ q $ взаимно просты или взаимно просты. \ [\] Таким образом, соотношение между двумя положительными целыми числами $ A $ и $ B $ записывается как $ a: b $, где $ A = na, B = nb $ и $ n $ — наибольший общий делитель $ A $. и $ B $. \ [\] Если два числа $ A $ и $ B $ находятся в соотношении $ a: b $, а затем для некоторого положительного целого числа $ k $ при умножении, $ kA $ и $ kB $ будут иметь одинаковое соотношение $ а: б $. \ [\] Если два числа $ A $ и $ B $ находятся в соотношении $ a: b $, а затем для некоторого положительного целого числа $ k $, если разделены $ \ dfrac {A} {k} $ и $ \ dfrac {B} {k} $ будет иметь одинаковое соотношение $ a: b $, где k является множителем как $ A $, так и $ B $.\ [\] Если число делится на соотношение $ a: b $, то общее количество частей, которое оно делит, равно $ a + b $. \ [\]
Метод-1 \ [\] Это учитывая, что число 60. Его нужно разделить на два числа с соотношением 2: 3. Пусть это два числа: $ A $ и $ B $. Итак, $ A + B = 60, A: B = 2: 3 $ Тогда для некоторых натуральных чисел $ x $ числа соответственно могут быть выражены как $ 2x, 3x $. Тогда общее количество 60 может быть выражено как сумма $ 2x, 3x $. Теперь \ [\] $ \ begin {align} & A + B = 60 \\ & 2x + 3x = 60 \\ & \ Rightarrow 5x = 60 \\ \ end {align} $ \ [\ ] Решая вышеуказанное уравнение для неизвестного $ x $, мы получаем $ x = \ dfrac {60} {5} = 12 $ \ [\] Тогда два числа равны $ A = 2x = 2 \ times 12 = 24 \ текст {и} B = 3x = 3 \ times 12 = 36 $.Тогда их разница будет $ B-A = 36-24 = 12 $ \ [\] Метод 2: \ [\] Общее количество частей, разделенных на 60, равно $ 2 + 3 = 5 $. Таким образом, число с большей частью составляет 3 части из 5. Таким образом, большее число составляет $ 60 \ times \ dfrac {3} {5} = 36 $, а меньшее число — $ 60 \ times \ dfrac {2} {5 } = 24 $. Их разница 36-24 $ = 12 $.
Итак, правильный ответ — «Вариант Б».
Примечание: Соотношение также называется пропорцией. Могут быть отношения с более чем двумя числами (так называемая непрерывная пропорция) $ a: b: c.$. Вы также можете решать задачи, связанные с двумя отношениями, в символах $ a: b :: c: d $, которые также можно записать как $ \ dfrac {a} {b} = \ dfrac {c} {d} $. Коэффициенты используются для сравнения количеств одного и того же типа, например, сравнения цен в течение пары месяцев или лет, количества прироста населения во сколько раз и т. Д.
Вы в одном шаге от ответа!
Подпишитесь бесплатно!
Регистрируясь, вы также получаете доступ к тысячам решенных вопросов, викторин и загружаемым PDF-файлам БЕСПЛАТНО!
Умножение и деление чисел в Excel
Умножение и деление в Excel легко, но для этого нужно создать простую формулу.Просто помните, что все формулы в Excel начинаются со знака равенства (=), и вы можете использовать панель формул для их создания.
Умножение чисел
Предположим, вы хотите выяснить, сколько воды в бутылках вам нужно для конференции с клиентами (общее количество участников × 4 дня × 3 бутылки в день) или возмещения командировочных расходов (общее количество миль × 0,46). Есть несколько способов умножать числа.
Умножение чисел в ячейке
Для выполнения этой задачи используйте арифметический оператор * (звездочка).
Например, если вы введете в ячейку = 5 * 10 , в ячейке отобразится результат: 50 .
Умножить числовой столбец на постоянное число
Предположим, вы хотите умножить каждую ячейку в столбце из семи чисел на число, содержащееся в другой ячейке. В этом примере число, на которое нужно умножить 3, содержится в ячейке C2.
Введите = A2 * $ B $ 2 в новом столбце вашей электронной таблицы (в приведенном выше примере используется столбец D).Обязательно включите в формулу символ $ перед B и перед 2 и нажмите ENTER.
Примечание. Использование символов $ сообщает Excel, что ссылка на B2 является «абсолютной», что означает, что при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку B2. Если вы не использовали символы $ в формуле и перетащили формулу в ячейку B3, Excel изменит формулу на = A3 * C3, что не сработает, потому что в B3 нет значения.
Перетащите формулу вниз в другие ячейки столбца.
Примечание. В Excel 2016 для Windows ячейки заполняются автоматически.
Умножайте числа в разных ячейках по формуле
Функцию ПРОДУКТ можно использовать для умножения чисел, ячеек и диапазонов.
Вы можете использовать любую комбинацию до 255 чисел или ссылок на ячейки в функции ПРОДУКТ . Например, формула = ПРОДУКТ (A2, A4: A15,12, E3: E5,150, G4, h5: J6) умножает две отдельные ячейки (A2 и G4), два числа (12 и 150) и три диапазоны (A4: A15, E3: E5 и h5: J6).
Делить числа
Предположим, вы хотите узнать, сколько человеко-часов ушло на завершение проекта (общее количество часов проекта ÷ общее количество людей в проекте) или фактический расход миль на галлон для вашей недавней поездки по пересеченной местности (общее количество миль ÷ общее количество галлонов).Есть несколько способов делить числа.
Делим числа в ячейке
Для выполнения этой задачи используйте арифметический оператор / (косая черта).
Например, если вы введете в ячейку = 10/5 , в ячейке отобразится 2 .
Важно: Обязательно введите в ячейку знак равенства ( = ), прежде чем вводить числа и оператор /; в противном случае Excel будет интерпретировать введенное вами значение как дату.Например, если вы введете 7/30, Excel может отобразить в ячейке 30 июля. Или, если вы введете 12/36, Excel сначала преобразует это значение в 12/1/1936 и отобразит 1 декабря в ячейке.
Примечание: В Excel нет функции РАЗДЕЛИТЬ .
Разделите числа с помощью ссылок на ячейки
Вместо того, чтобы вводить числа непосредственно в формуле, вы можете использовать ссылки на ячейки, такие как A2 и A3, для ссылки на числа, которые вы хотите разделить и разделить на.
Пример:
Пример может быть легче понять, если вы скопируете его на пустой рабочий лист.
Как скопировать пример
Создайте пустую книгу или рабочий лист.
Выберите пример в разделе справки.
Примечание. Не выбирайте заголовки строк или столбцов.
Выбор примера из справки
Нажмите CTRL + C.
На листе выделите ячейку A1 и нажмите CTRL + V.
Чтобы переключиться между просмотром результатов и просмотром формул, возвращающих результаты, нажмите CTRL + `(серьезное ударение) или на вкладке Формулы нажмите кнопку Показать формулы .
A
В
С
1
Данные
Формула
Описание (результат)
2
15000
= A2 / A3
Делит 15000 на 12 (1250)
3
12
Разделите столбец чисел на постоянное число
Предположим, вы хотите разделить каждую ячейку в столбце из семи чисел на число, которое содержится в другой ячейке.В этом примере число, на которое вы хотите разделить 3, содержится в ячейке C2.
A
В
С
1
Данные
Формула
Константа
2
15000
= A2 / $ 2
3
3
12
= A3 / 2 канадских доллара
4
48
= A4 / 2 канадских доллара
5
729
= A5 / 2 канадских доллара
6
1534
= A6 / 2 канадских доллара
7
288
= A7 / 2 канадских доллара
8
4306
= A8 / 2 канадских доллара
Введите = A2 / $ C $ 2 в ячейку B2.Обязательно включите в формулу символ $ перед C и перед 2.
Перетащите формулу из B2 вниз в другие ячейки столбца B.
Примечание. Использование символов $ сообщает Excel, что ссылка на C2 является «абсолютной», что означает, что при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку C2. Если вы не использовали символы $ в формуле и перетащили формулу в ячейку B3, Excel изменит формулу на = A3 / C3, что не сработает, потому что в C3 нет значения.
Нужна дополнительная помощь?
Вы всегда можете спросить эксперта в сообществе специалистов по Excel или получить поддержку в сообществе ответов.
См. Также
Умножьте столбец чисел на такое же число
Умножить на процент
Создайте таблицу умножения
Операторы расчета и порядок действий
Как рассчитать проценты за 3 простых шага (с примерами)
Расчет процентов — это простой математический процесс.Иногда, когда необходимо найти соотношение или долю количества как части другого количества, вам нужно будет выразить это в процентах. В этой статье мы покажем вам, что такое проценты, как их вычислить, а также повседневные примеры их использования.
Что такое проценты?
Математически проценты — это числа или отношения, которые выражаются в долях от 100. Обычно они обозначаются как «%» или просто «проценты». В дальнейшем они могут быть представлены как простые дроби или как десятичные дроби.Пример процента — 65% или 65 процентов.
Термин «процент» образован из двух слов «проц» и «процент». Cent — это слово латинского и французского происхождения, которое означает «сто», а «процент» означает «за сотню». Например, 90 процентов (или 90%) означает 90 из 100, а 50 процентов (или 50%) означает 50 из 100 или половину целого.
Связанные: 10 лучших навыков, которые следует включить в резюме
Как рассчитать проценты
Есть много онлайн-калькуляторов, чтобы найти проценты, но проценты можно вычислить вручную, выполнив следующие действия:
Определите начальное формат числа, которое нужно преобразовать в проценты
Выполнить математический процесс над числом, которое нужно преобразовать в проценты
Умножьте результат математического процесса на 100
1.Определите исходный формат числа, которое нужно преобразовать в процент.
Число, которое нужно преобразовать в процент, может быть либо в десятичном, либо в дробном формате. Хорошим примером десятичного числа является 0,57, которое может быть вычисленным соотношением сравниваемых значений, а пример дроби — 3/20. Исходный формат определит следующий математический процесс, который будет выполняться над числом.
2. Выполните математический процесс над числом, которое нужно преобразовать в проценты.
Если число, которое нужно преобразовать в проценты, является десятичным числом, например 0.57, возможно, вам не нужно будет ничего делать с ним, прежде чем перейти к следующему шагу. Однако, если это дробь вроде 3/20, вы должны сначала разделить числитель (в данном случае 3) на знаменатель (в данном случае 20), чтобы получить десятичное число.
3. Умножьте результат математического процесса на 100
Если вам необходимо преобразовать десятичное число, например 0,57, в процент, вы должны просто умножить его на 100. То есть 0,57 x 100 = 57. Следовательно, 0,57 в процентах = 57% или 57%.Другой пример преобразования десятичной дроби в проценты: 0,03 x 100 = 3% или 3 процента.
Однако, если вам необходимо преобразовать 3/20 в проценты, вы должны разделить 3 на 20 = 0,15. Затем умножьте 0,15 на 100 = 15% или 15 процентов.
Другой пример: если вы хотите преобразовать 5/10 в процент, вы должны разделить 5 на 10 = 0,5. Затем умножьте 0,5 на 100. Следовательно, 0,5 x 100 = 50% или 50 процентов.
Как рассчитать проценты, работая в обратном направлении
Иногда вам потребуется рассчитать проценты, работая в обратном направлении.Это также называется обратным процентом и используется, когда процент и окончательное число задаются, а исходное число должно быть вычислено.
Например, если 40% числа равно 500, какое число? Ниже приведены способы вычисления процента, работая в обратном направлении:
Найдите процент от исходного или действительного числа
Умножьте окончательное число на 100
Разделите результат умножения на процент
1 .Найдите процент от исходного или действительного числа
Процент от исходного числа, заданный в математической задаче, составляет 40%.
2. Умножьте окончательное число на 100
Вы должны умножить окончательное число, указанное в математической задаче, на 100. Это означает, что 500 x 100 = 50 000.
3. Разделите результат умножения на процентное соотношение
Следующий и последний шаг — разделить результат умножения, выполненного на втором шаге, на процентное число, указанное в вопросе.Это означает, что 50000/40 = 1250. Таким образом, исходное число было 1250.
Связано: Your Guide to Careers in Finance
Примеры процентов
Вот несколько примеров процентов и способы их вычисления:
Преобразуйте десятичное число 3,25 в процент.
Преобразует десятичное число 0,65 в проценты.
Преобразует дробь 5/6 в процент.
Преобразует дробь 60/100 в проценты.
Цена ноутбука снижена на 30% до 120 долларов. Какая была первоначальная цена?
Найдите продажную цену, если разрешена 20% скидка от указанной цены в 30 долларов.
Два года назад билет на футбольный матч стоил 20 долларов. В этом году цена увеличена на 60%. Сколько стоит билет в этом году?
Преобразование десятичного числа 3,25 в проценты
Чтобы преобразовать десятичное число 3,25 в проценты, умножьте его на 100.Следовательно, 3,25 x 100 = 325%
Преобразуйте десятичное число 0,65 в процентное соотношение
Чтобы преобразовать десятичное число 0,65 в процент, умножьте 0,65 на 100. Следовательно, 0,65 x 100 = 65%.
Преобразование дроби 5/6 в проценты
Чтобы преобразовать дробь 5/6 в проценты, вы должны сначала преобразовать 5/6 в десятичную дробь, разделив числитель 5 на знаменатель 6. Это означает, что, 5/6 = 0,833 с точностью до двух десятичных знаков. Затем умножьте 0.83 на 100 = 83%.
Преобразование дроби 60/100 в проценты
Чтобы преобразовать дробь 60/100 в проценты, вы должны сначала преобразовать 60/100 в десятичную дробь, разделив числитель 60 на знаменатель 100. Это означает, что 60 / 100 = 0,6. Затем умножьте 0,6 на 100 = 60%.
Цена ноутбука снижена на 30% до 120 долларов. Какая была первоначальная цена?
Чтобы определить исходную цену, определите процент от исходной цены, вычтя 30% из 100.Затем умножьте окончательную цену на 100. То есть 120 x 100 = 12 000. Наконец, разделите результат на процент, рассчитанный на шаге 1 выше. Это означает, что 12000/70 = 171,43 доллара. Таким образом, первоначальная цена составляет 171,43 доллара США с точностью до двух знаков после запятой.
Найдите цену продажи, если разрешена скидка 20% от указанной цены 30,00 долларов США
Преобразуйте процентное значение в десятичное число = 20/100 = 0,20 и умножьте десятичное число на исходную цену, чтобы получить сумму скидки = .
Нароод)h3SO4+Ca(OH)2=CaSO4+2h3O ионное полное иh3SO4+Ca(OH)2=CaSO4+2h3O ионное полное и
Можете помочь пожалуйста.Сколько литров газа получится при взаимодействии 325 г цинка с соляной кислотой?
ПЖЖЖЖЖЖЖЖ ПОМОГИТЕ СРОЧНО. Нитрат цинка реагировал с раствором, содержащим 8 г гидроксида натрия. Какая масса осадка? даю 15 баллов
ПЖЖЖЖЖЖЖЖ ПОМОГИТЕ СРОЧНО. Нитрат цинка реагировал с раствором, содержащим 8 г гидроксида натрия. Какая масса осадка?
Определите количество вещества (в молях) оксида серы (IV), занимающего объем 2,688 л при н. у. В ответ запишите число с точностью до сотых.
помогитеее
… е
Определите координационное число (КЧ) и координационный полиэдр (КП) атома в простой кубической кладке.КЧЧислокубооктаэдркубтригональная призматетраэд
… роктаэдрфигура октаэдр потому что с любым числом и октаэдром частично верно
Сопоставьте свойства твёрдого вещества и тип его структуры.
Ионная кристаллическая решётка
Металлическая кристаллическая решётка
Атомная кристаллическ
… ая решётка
Молекулярная кристаллическая решётка
Аморфное вещество
Размягчается при нагревании, прозрачное, не проводит электрический ток
Хорошо проводит электрический ток и тепло, ковкое
Хорошо растворимо в органическом растворителе, нерастворимо в воде, самовоспламеняется на воздухе, мягкое
Высокая температура плавления, твёрдое, не проводит электрический ток, нерастворимо в воде
Летучее вещество с резким запахом, хорошо растворимо в воде
Низкая температура плавления, ковкое, реагирует с водой, прекрасно проводит электрический ток
Высокая температура плавления, без запаха, хорошо растворимо в воде, проводит электрический ток лишь в расплавленном виде
ЗАДАЧА ИЗ СИРИУСА ДАЙТЕ ОТВЕТ ПОЖАЛУЙСТА
В молекуле N2 реализуется ковалентная химическая связь с кратностью, равной 3. Сколько всего электронов ушло на образование связи в молекуле? Электрон
… ную конфигурацию какого благородного газа приобрёл каждый атом азота?
1. Какая частица вылетает из ядра при бетта-распаде?
a. нейтрон
b. фотон
c. протон
d. электрон
2. Какая из частиц является движущейся в атоме?
a. ядр
… о
b. протон
c. нейтрон
d. электрон
Верны ли суждения о способах разделения смесей?
1. Бензин разделяют на компоненты с помощью делительной воронки.
2. Действие на смесь магнитом являетс
… я физическим способом разделения
веществ.
А верно только 1
Б верно только 2
В верны оба суждения
Г оба суждения неверны
5. Верны ли суждения о способах разделения смесей?
1. Кристаллизацию относят к химическим способам разделения смесей.
2. Разделить смесь двух жидкосте
…
й можно дистилляцией.
А верно только 1
Б верно только 2
В верны оба суждения
Г оба суждения неверны
Ca(OH)2 +h3SO4->CaSO4+2h3O
Полный и сокращенный ионный вид.
ПОМОГИТЕ!!!! Для вирощування кристалів приготували розчин об’ємом 900 мл, у якому міститься сіль натрій хлорид масою 52 г. Обчисліть масову частку (%)
… натрій хлориду, якщо густина розчину 1,08 г/мл:
помогите пожалуйста, химия 7 класс, 20 баллов, срочно нужно 🙁
Сопоставьте свойства твёрдого вещества и тип его структуры.
Ионная кристаллическая решё
… тка
Металлическая кристаллическая решётка
Атомная кристаллическая решётка
Молекулярная кристаллическая решётка
Аморфное вещество
Высокая температура плавления, без запаха, хорошо растворимо в воде, проводит электрический ток лишь в расплавленном виде
Хорошо проводит электрический ток и тепло, ковкое
Размягчается при нагревании, прозрачное, не проводит электрический ток
Низкая температура плавления, ковкое, реагирует с водой, прекрасно проводит электрический ток
Хорошо растворимо в органическом растворителе, нерастворимо в воде, самовоспламеняется на воздухе, мягкое
Высокая температура плавления, твёрдое, не проводит электрический ток, нерастворимо в воде
Летучее вещество с резким запахом, хорошо растворимо в воде
Какой объём при н. у. займут молекулы газа водорода а количестве 1,204*10в степени 24?
А)2,24л
В)11,2л
С)22,4л
Д)44,8л
Яку масу води треба додати до 12,1 г цинк хлориду, щоб отримати 142 г розчину?
Помогите пожалуйста!!!!!!!!!!!!!!Даю 35 баллов
40г соди і 260г h3O помогите срочно
здійснити перетворення:
Ba—>Ba—>Ba(OH)2
he always arrives at work early в future perfect сделать отрицание 2 вопроса положительный
16. Бабуся займалася домашнім консервуванням огірків, але в неїзакінчився харчовий оцет (масова частка оцтової кислоти 9 %).Допоможіть їй приготувати
… оцет об’ємом 1 л (густина 1 г/мл), ви-користавши для цього оцтову есенцію, у якій масова частка кисло-ти становить 70 %. (6 балів)
16. Бабуся займалася домашнім консервуванням огірків, але в неїзакінчився харчовий оцет (масова частка оцтової кислоти 9 %).Допоможіть їй приготувати
… оцет об’ємом 1 л (густина 1 г/мл), ви-користавши для цього оцтову есенцію, у якій масова частка кисло-ти становить 70 %. пж ПЖ ДОПОМОЖІТЬ БУДЛАСКА СРОЧНО
Реакции ионного обмена и условия их осуществления
Реакция ионного обмена — один из видов химических реакций, характеризующаяся выделением в продукты реакции воды, газа или осадка. Химические реакции в растворах электролитов (кислот, оснований и солей) протекают при участии ионов.
Если такие реакции не сопровождаются изменением степеней окисления, они называются реакциями двойного обмена.
Реакцию обмена в растворе принято изображать тремя уравнениями: молекулярным, полным ионным и сокращённым ионным. В ионном уравнении слабые электролиты, газы и малорастворимые вещества изображают молекулярными формулами.
При написании ионных уравнений следует обязательно руководствоваться таблицей растворимости кислот, оснований и солей в воде, то есть обязательно проверять растворимость реагентов и продуктов, отмечая это в уравнениях.
Следует иметь в виду, что реакции двойного обмена между солями с образованием осадков протекают во всех тех случаях, когда растворимость реагентов выше, чем растворимость одного из продуктов.
Для получения малорастворимого вещества всегда надо выбирать хорошо растворимые реагенты и использовать достаточно концентрированные растворы.
Для составления уравнений реакций ионного обмена необходимо помнить следующее:
Диссоциации не подвергаются:
оксиды
газообразные вещества
вода
Реакция ионного обмена идет до конца, если образуется газ, осадок или вода:
Na2CO3 + 2HCl → CO2↑ + 2NaCl + h3O
2KOH + CuCl2 → Cu(OH)2↓ + 2KCl
NaOH + HCl → NaCl + h3O
Полезные ссылки
Источник материала
Реакции ионного обмена (видео)
Реакции ионного обмена и условия их протекания.
Реакции ионного обмена — реакции в водных растворах между электролитами, протекающие без изменений степеней окисления образующих их элементов.
Необходимым условием протекания реакции между электролитами (солями, кислотами и основаниями) является образование малодиссоциирующего вещества (вода, слабая кислота, гидроксид аммония), осадка или газа.
Расcмотрим реакцию, в результате которой образуется вода. К таким реакциям относятся все реакции между любой кислотой и любым основанием. Например, взаимодействие азотной кислоты с гидроксидом калия:
HNO3 + KOH = KNO3 + H2O (1)
Исходные вещества, т.е. азотная кислота и гидроксид калия, а также один из продуктов, а именно нитрат калия, являются сильными электролитами, т.е. в водном растворе они существуют практически только в виде ионов. Образовавшаяся вода относится к слабым электролитам, т.е. практически не распадается на ионы. Таким образом, более точно переписать уравнение выше можно, указав реальное состояние веществ в водном растворе, т. е. в виде ионов:
H+ + NO3− + K+ + OH‑ = K+ + NO3− + H2O (2)
Как можно заметить из уравнения (2), что до реакции, что после в растворе находятся ионы NO3− и K+ . Другими словами, по сути, нитрат-ионы и ионы калия никак не участвовали в реакции. Реакция произошла только благодаря объединению частиц H+ и OH− в молекулы воды. Таким образом, произведя алгебраически сокращение одинаковых ионов в уравнении (2):
H+ + NO3− + K+ + OH‑ = K+ + NO3− + H2O
мы получим:
H+ + OH‑ = H2O (3)
Уравнения вида (3) называют сокращенными ионными уравнениями, вида (2) — полными ионными уравнениями, а вида (1) — молекулярными уравнениями реакций.
Фактически ионное уравнение реакции максимально отражает ее суть, именно то, благодаря чему становится возможным ее протекание. Следует отметить, что одному сокращенному ионному уравнению могут соответствовать множество различных реакций. Действительно, если взять, к примеру, не азотную кислоту, а соляную, а вместо гидроксида калия использовать, скажем, гидроксид бария, мы имеем следующее молекулярное уравнение реакции:
2HCl+ Ba(OH)2 = BaCl2 + 2H2O
Соляная кислота, гидроксид бария и хлорид бария являются сильными электролитами, то есть существуют в растворе преимущественно в виде ионов. Вода, как уже обсуждалось выше, – слабый электролит, то есть существует в растворе практически только в виде молекул. Таким образом, полное ионное уравнение данной реакции будет выглядеть следующим образом:
2H+ + 2Cl− + Ba2+ + 2OH− = Ba2+ + 2Cl− + 2H2O
Сократим одинаковые ионы слева и справа и получим:
2H+ + 2OH− = 2H2O
Разделив и левую и правую часть на 2, получим:
H+ + OH− = H2O,
Полученное сокращенное ионное уравнение полностью совпадает с сокращенными ионным уравнением взаимодействия азотной кислоты и гидроксида калия.
При составлении ионных уравнений в виде ионов записывают только формулы:
2) сильных оснований (гидроксиды щелочных (ЩМ) и щелочно-земельных металлов(ЩЗМ))
3) растворимых солей
В молекулярном виде записывают формулы:
1) Воды H2O
2) Слабых кислот (H2S, H2CO3, HF, HCN, CH3COOH (и др. практически все органические)).
3) Слабых оcнований (NH4OH и практически все гидроксиды металлов кроме ЩМ и ЩЗМ.
4) Малорастворимых солей (↓) («М» или «Н» в таблице растворимости).
5) Оксидов (и др. веществ, не являющихся электролитами).
Попробуем записать уравнение между гидроксидом железа (III) и серной кислотой. В молекулярном виде уравнение их взаимодействия записывается следующим образом:
2Fe(OH)3+ 3H2SO4 = Fe2(SO4)3 + 6H2O
Гидроксиду железа (III) соответствует в таблице растворимости обозначение «Н», что говорит нам о его нерастворимости, т. е. в ионном уравнении его надо записывать целиком, т.е. как Fe(OH)3 . Серная кислота растворима и относится к сильным электролитам, то есть существует в растворе преимущественно в продиссоциированном состоянии. Сульфат железа (III), как и практически все другие соли, относится к сильным электролитам, и, поскольку он растворим в воде, в ионном уравнении его нужно писать в виде ионов. Учитывая все вышесказанное, получаем полное ионное уравнение следующего вида:
2Fe(OH)3 + 6H+ + 3SO42- = 2Fe3+ + 3SO42- + 6H2O
Сократив сульфат-ионы слева и справа, получаем:
2Fe(OH)3 + 6H+ = 2Fe3+ + 6H2O
разделив обе части уравнения на 2 получаем сокращенное ионное уравнение:
Fe(OH)3 + 3H+ = Fe3+ + 3H2O
Теперь давайте рассмотрим реакцию ионного обмена, в результате которой образуется осадок. Например, взаимодействие двух растворимых солей :
Na2CO3 + CaCl2 = CaCO3↓+ 2NaCl
Все три соли – карбонат натрия, хлорид кальция, хлорид натрия и карбонат кальция (да-да, и он тоже) – относятся к сильным электролитам и все, кроме карбоната кальция, растворимы в воде, т.е. есть участвуют в данной реакции в виде ионов:
2Na+ + CO32- + Ca2+ + 2Cl− = CaCO3↓+ 2Na+ + 2Cl−
Сократив одинаковые ионы слева и справа в данном уравнении, получим сокращенное ионное:
CO32- + Ca2+ = CaCO3↓
Последнее уравнение отображает причину взаимодействия растворов карбоната натрия и хлорида кальция. Ионы кальция и карбонат-ионы объединяются в нейтральные молекулы карбоната кальция, которые, соединяясь друг с другом, порождают мелкие кристаллы осадка CaCO3 ионного строения.
Примечание важное для сдачи ЕГЭ по химии
Чтобы реакция соли1 с солью2 протекала, помимо базовых требований к протеканиям ионных реакций (газ, осадок или вода в продуктах реакции), на такие реакции накладывается еще одно требование – исходные соли должны быть растворимы. То есть, например,
CuS + Fe(NO3)2 ≠ FeS + Cu(NO3)2
реакция не идет, хотя FeS – потенциально мог бы дать осадок, т.к. нерастворим. Причина того что реакция не идет – нерастворимость одной из исходных солей (CuS).
А вот, например,
Na2CO3 + CaCl2 = CaCO3↓+ 2NaCl
протекает, так как карбонат кальция нерастворим и исходные соли растворимы.
То же самое касается взаимодействия солей с основаниями. Помимо базовых требований к протеканию реакций ионного обмена, для того чтобы соль с основанием реагировали необходима растворимость их обоих. Таким образом:
Cu(OH)2 + Na2S – не протекает,
т.к. Cu(OH)2 нерастворим, хотя потенциальный продукт CuS был бы осадком.
А вот реакция между NaOH и Cu(NO3)2 протекает, так оба исходных вещества растворимы и дают осадок Cu(OH)2:
2NaOH + Cu(NO3)2 = Cu(OH)2 ↓+ 2NaNO3
Внимание! Ни в коем случае не распространяйте требование растворимости исходных веществ дальше реакций соль1+ соль2 и соль + основание.
Например, с кислотами выполнение этого требования не обязательно. В частности, все растворимые кислоты прекрасно реагируют со всеми карбонатами, в том числе нерастворимыми.
Другими словами:
1) Соль1+ соль2 — реакция идет если исходные соли растворимы, а в продуктах есть осадок
2) Соль + гидроксид металла – реакция идет, если в исходные вещества растворимы и в продуктах есть осадок или гидроксид аммония.
Рассмотрим третье условие протекания реакций ионного обмена – образование газа. Строго говоря, только в результате ионного обмена образование газа возможно лишь в редких случаях, например, при образовании газообразного сероводорода:
K2S + 2HBr = 2KBr + H2S↑
В большинстве же остальных случаев газ образуется в результате разложения одного из продуктов реакции ионного обмена. Например, нужно точно знать в рамках ЕГЭ, что с образованием газа в виду неустойчивости разлагаются такие продукты, как H2CO3, NH4OH и H2SO3:
H2CO3 = H2O + CO2 ↑
NH4OH = H2O + NH3 ↑
H2SO3 = H2O + SO2 ↑
Другими словами, если в результате ионного обмена образуются угольная кислота, гидроксид аммония или сернистая кислота, реакция ионного обмена протекает благодаря образованию газообразного продукта:
Na2CO3 + H2SO4 = Na2SO4 + H2O + CO2 ↑
NH4NO3 + KOH = KNO3 + H2O + NH3 ↑
Na2SO3 + 2HCl = 2NaCl + H2O + SO2 ↑
Запишем ионные уравнения для всех указанных выше реакций, приводящих к образованию газов. 1) Для реакции:
K2S + 2HBr = 2KBr + H2S↑
В ионном виде будут записываться сульфид калия и бромид калия, т.к. являются растворимыми солями, а также бромоводородная кислота, т.к. относится к сильным кислотам. Сероводород же, являясь малорастворимым и плохо диссоциирцющим на ионы газом, запишется в молекулярном виде:
2K+ + S2- + 2H+ + 2Br— = 2K+ + 2Br— + H2S↑
Сократив одинаковые ионы получаем:
S2- + 2H+ = H2S↑
2) Для уравнения:
Na2CO3 + H2SO4 = Na2SO4 + H2O + CO2 ↑
В ионном виде запишутся Na2CO3, Na2SO4 как хорошо растворимые соли и H2SO4 как сильная кислота. Вода является малодиссоциирующим веществом, а CO2 и вовсе неэлектролит, поэтому их формулы будут записываться в молекулярном виде:
Молекулы воды и аммиака запишутся целиком, а NH4NO3, KNO3 и KOH запишутся в ионном виде , т. к. все нитраты являются хорошо растворимыми солями, а KOH является гидроксидом щелочного металла, т.е. сильным основанием:
Цели урока: познакомить учащихся с ионными уравнениями реакций, начать формировать навыки составления полных и сокращенных ионных уравнений.
Ход урока
1. Организационный момент.
1. Перечислите сильные и слабые электролиты.
2. Как происходит диссоциация средних солей? кислых? основных?
3. В случае ступенчатой диссоциации электролита, какие ионы образуются в наибольшем количестве, а какие в наименьшем?
2. Правила написания уравнений реакций в ионном виде
1. Записывают формулы веществ, вступивших в реакцию, ставят знак «равно» и записывают формулы образовавшихся веществ. Расставляют коэффициенты.
2. Пользуясь таблицей растворимости, записывают в ионном виде формулы веществ (солей, кислот, оснований), обозначенных в таблице растворимости буквой «Р» (хорошо растворимые в воде), исключение – гидроксид кальция, который, хотя и обозначен буквой «М», все же в водном растворе хорошо диссоциирует на ионы.
3. Нужно помнить, что на ионы не разлагаются металлы, оксиды металлов и неметаллов, вода, газообразные вещества, нерастворимые в воде соединения, обозначенные в таблице растворимости буквой «Н». Формулы этих веществ записывают в молекулярном виде. Получают полное ионное уравнение.
4. Сокращают одинаковые ионы до знака «равно» и после него в уравнении. Получают сокращенное ионное уравнение.
5. Помните!
На ионы диссоциируют
Реагенты (исходные вещества)
Продукты реакции
Растворимые (P) в воде (см. ТР):
1. Соли
2. Кислоты
3. Основания
(Включая Ca(OH)2 – M)
Растворимые (P) в воде (см. ТР):
1. Соли
2. Кислоты
3. Основания
Исключения – неустойчивые вещества не диссоциируют, а разлагаются на газ и воду:
h3CO3 ↔ h3O + CO2↑
h3SO3 ↔ h3O + SO2↑
Nh5OH↔ h3O + Nh4↑
h3S↑ (сероводород сам выделяется в виде газа)
Р — растворимое вещество;
М — малорастворимое вещество;
ТР — таблица растворимости.
3. Алгоритм составления реакций ионного обмена в молекулярном, полном и кратком ионном виде
1). Записываем уравнение РИО в молекулярном виде:
Взаимодействие серной кислоты и хлорида бария:
II II I I
h3SO4 + BaCl2 = BaSO4 + 2HCl
2). Используя ТР указываем растворимость веществ воде:
— Если продукт является М или Н – оно выпадает в осадок, справа от химической формулы ставим знак ↓;
— Если продукт является газом, справа от химической формулы ставим знак ↑.
Р Р Н Р
h3SO4 + BaCl2 = BaSO4 ↓+ 2HCl
Молекулярный вид
3). Записываем уравнение РИО в полном ионном виде. Какие вещества диссоциируют см. в таблице — ПАМЯТКЕ
2H+ + SO42- + Ba2+ + 2Cl- = BaSO4 ↓+ 2H+ + 2Cl-
Полный ионный вид
4). Записываем уравнение реакции в кратком ионном виде. Сокращаем одинаковые ионы, вычёркивая их из уравнения реакции.
SO42- + Ba2+ + = BaSO4 ↓
Краткий ионный вид
Вывод – данная реакция необратима, т. е. идёт до конца, т. к. образовался осадок BaSO4 ↓
4. Примеры составления реакций ионного обмена
1. Если в результате реакции выделяется малодиссоциирующее (мд) вещество – вода.
а) Молекулярное уравнение реакции щелочи с кислотой:
KOH (р) + HCl (р) = KCl(р) + h3O (мд)
Полное ионное уравнение реакции:
K+ + OH– + H+ + Cl– = K+ + Cl– + h3O
Cокращенное ионное уравнение реакции:
H+ + OH– = h3O
б) Молекулярное уравнение реакции основного оксида с кислотой:
CaO (оксид) + 2HNO3 (р) = Ca(NO3)2 (р) + h3O (мд)
Полное ионное уравнение реакции:
CaO + 2H+ + 2NO3- = Ca2+ + 2NO3- + h3O
Cокращенное ионное уравнение реакции:
CaO + 2H+ = Ca2+ + h3O.
в) Молекулярное уравнение реакции нерастворимого основания с кислотой:
в) Молекулярное уравнение реакции нерастворимого основания с кислотой:
Fe(OH)3 (н) + h4PO4 (р) = FePO4↓ + 3h3O.
Полное ионное уравнение реакции:
Fe(OH)3 + 3H+ + PO43- = FePO4↓ + 3h3O.
В данном случае полное ионное уравнение реакции совпадает с сокращенным. Эта реакция протекает до конца, о чем свидетельствуют сразу два факта: образование вещества, нерастворимого в воде, и выделение воды.
3. Если в результате реакции выделяется газообразное вещество.
а) Молекулярное уравнение реакции растворимой соли (сульфида) с кислотой:
K2S + 2HCl = 2KCl + h3S↑.
Полное ионное уравнение реакции:
2K+ + S2– + 2H+ + 2Cl– = 2K+ + 2Cl– + h3S↑.
Cокращенное ионное уравнение реакции:
S2– + 2H+ = h3S↑.
б) Молекулярное уравнение реакции растворимой соли (карбоната) с кислотой:
В данном случае полное ионное уравнение реакции совпадает с сокращенным уравнением. Эта реакция протекает до конца, о чем свидетельствуют сразу три признака: выделение газа, образование осадка и выделение воды.
5. Домашнее задание
П. 4, упр. 1-3, задача 1 на стр. 22
«Реакции ионного обмена и условия их протекания»
Подробный конспект образовательного мероприятия
«Реакции ионного обмена и условия их протекания»
Тип урока
Урок изучения и первичного закрепления новых знаний
Методы
исследование с использованием элементов проблемной ситуации
Формы организации работы обучающихся
Работа в парах, индивидуальная
Цели урока/ занятия/ мероприятия
Углубить изучение реакции обмена, заложенные в курсе 8 класса; сформировать понятие необратимых реакций ионного обмена. Выяснить условия протекания реакций ионного обмена в растворах электролитов до конца.
Задачи урока/ занятия/ мероприятия
Образовательные:
повторить типы химических реакций, признаки их протекания;
формировать знания о реакциях ионного обмена, протекающих с образованием конечного продукта;
формировать умения составления полного и сокращенного ионного уравнений на основе молекулярного;
Воспитательные:
воспитание активной личности: умения проявлять инициативу, отстаивать собственную позицию, быть коммуникативным;
активизация познавательной деятельности учащихся в групповой работе по разрешению проблемной ситуации;
способствование формирования коммуникативных способностей учащихся;
создание ситуации успеха.
воспитывать толерантные отношения в группе, классе.
Развивающие:
развитие мышления, речи, творческих способностей, познавательного интереса к предмету;
развитие навыков работы с химическими реактивами; соблюдая правила безопасной работы с ними;
развитие умения выдвигать гипотезы, анализировать полученные результаты, делать выводы.
развивать умение логично излагать свою точку зрения;
Молекулярное уравнение реакции обмена, полное ионное уравнение реакции обмена, сокращенное уравнение реакции обмена, правило составление ионных уравнений, признаки реакций обмена.
Необходимое оборудование, материалы и другие условия для качественного проведения урока
-Скажите, ребята, какую тему мы начали изучать с вами на прошлых уроках? (Теория электролитической диссоциации)
-А кто из ученых внес наибольший вклад в создание ТЭД? (Шведский ученый С. Аррениус)
-Сегодняшний урок мы с вами начнем с письма этого великого ученого к вам, потомкам 21 века
«Дорогие ученики ! Приветствую вас на любимом мною уроке химии. Я жил и сделал свое открытие о диссоциации веществ в конце 19 века, за этот труд получил Нобелевскую премию. Признаюсь вам, что это было нелегко. Мне очень интересно, как потомки в 21 веке понимают процессы диссоциации. Поэтому предлагаю разрешить следующие противоречия:
1) Почему между сухими солями ВаСl2 и Na2SO4 нет реакции, а между их растворами реакция идет?
2) Почему нет реакции между растворами NaOH и КNО3?
Буду рад всем вашим мыслям и идеям! Успехов в изучении науки!»
-Прежде чем мы попытаемся найти ответы на вопросы С. Аррениуса, давайте выясним, какого типа реакции предлагает рассмотреть нам ученый? (Реакции обмена)
-Как и любые другие реакции, реакции обмена характеризуются определенными признаками, давайте их вспомним.
(Выпадение осадка, выделение газа, образование воды).
— До изучения ТЭД реакции обмена рассматривались как взаимодействие молекул кислот, оснований и солей. Теперь вам известно, что в растворах этих веществ молекул практически нет, а имеются ионы водорода, гидроксид-ионы, ионы металлов и кислотных остатков. Отсюда следует логический вывод. Реакции между растворами этих веществ сводятся к взаимодействию ионов.
-Как можно объяснить с позиции ТЭД отсутствие реакции между сухими солями? (В сухом состоянии электролиты не образуют ионы)
-Но почему же тогда не происходит реакция между растворами гидроксида натрия и нитрата калия? Ведь оба эти вещества являются сильными электролитами, значит в растворе они практически полностью распадаются на ионы. На этот вопрос и некоторые другие нам и предстоит ответить на сегодняшнем уроке. Но так мы выяснили, что реакции обмена идут между ионами, то такие реакции называют ионными, а уравнения их описывающие – ионными уравнениями.
Обучающиеся записывают определение ионных уравнений.
Реакции между ионами называют ионными реакциями, а уравнения таких реакций – ионными уравнениями.
III. Целеполагание.
-Давайте с вами попробуем сформулировать цель нашего урока. (Научиться проводить и записывать реакции ионного обмена)
IV. Изучение нового материала.
СТАДИЯ «ВЫЗОВА»
-В изучении реакций ионного обмена особый след оставил другой великий французский ученый – Клод Луи Бертолле.
-Скажите, кому-нибудь из вас знакомо это имя? (-В честь этого ученого названа бертолетова соль, которую он впервые получил)
-Верно. Из всех хлоратов бертолетова соль находит самое широкое применение. Она используется в производстве красителей, спичек (делают горючее вещество спичечной головки, сырьем является увлажненный хлорат калия по ТУ 6-18-24-84), фейерверков, дезинфицирующих средств, диоксида хлора. Из-за высокой опасности составов с хлоратом калия они практически не применяются в производстве взрывчатых веществ для промышленных и военных целей. Очень редко хлорат калия применяется в качестве инициирующего взрывчатого вещества. Иногда используется в пиротехнике, в результате получают цветнопламенные составы. Раньше соль применяли в медицине: слабые растворы этого вещества (KClO3) некоторое время применялись как антисептик для наружного полоскания горла. Соль в начале 20 века использовали для получения кислорода в лабораторных условиях, но из-за опасности экспериментов они были прекращены.
-Бертолле изучал условия протекания реакций ионного обмена и вывел три правила при которых эти реакции идут до конца.
Реакции ионного обмена идут до конца при условии:
Выпадения осадка в ходе реакции
Выделении газа.
Образовании малодиссоциирующего вещества, например, воды.
-Теперь вы можете приступить к выполнению экспериментальной части нашего урока.
СТАДИЯ «ОСМЫСЛЕНИЕ»
-Перед началом работы внимательно прочтите все рекомендации по выполнению эксперимента и правила ТБ
Экспериментальная часть.
Эксперимент №1.
В пустую пробирку налить около 1 мл раствора карбоната натрия и прилить к нему такое же количество соляной кислоты.
-Что наблюдали? -Запишите свои наблюдения в таблицу.
Эксперимент №2.
В пробирку налейте 1 мл раствора гидроксида натрия, добавьте к раствору 1 каплю фенолфталеина и около 1 мл раствора соляной кислоты.
-Запишите свои наблюдения в таблицу.
Эксперимент №3.
-В пробирку налейте 1 мл хлорида бария и добавьте к нему такое же количество сульфата натрия. Запишите свои наблюдения в таблицу.
-В пробирку налейте 1 мл сульфата меди и добавьте к нему несколько капель NaOH. Запишите свои наблюдения в таблицу.
—В пробирку налейте 1 мл хлорида железа (III) добавьте к нему несколько капель NaOH. Запишите свои наблюдения в таблицу.
Эксперимент №4.
-Четвертый эксперимент мы проведем с реактивами, предложенными С. Аррениусом.
— В пробирку налейте 1 мл нитрата калия и добавьте к нему несколько капель NaOH. Запишите свои наблюдения в таблицу.
-Почему в последнем опыте вы не увидели никаких изменений, давайте разберемся, составив уравнения проведенных реакций ионного обмена.
Учитель знакомит обучающихся с алгоритмом составления реакций ионного обмена
Правила:
Простые вещества, оксиды, а также нерастворимые кислоты, основания и соли не диссоциируют.
Для реакции берут растворы веществ, поэтому даже малорастворимые вещества находятся в растворах в виде ионов.
Если малорастворимое вещество образуется в результате реакции , то при записи ионного уравнения его считают нерастворимым.
Сумма электрических зарядов ионов в левой части уравнения должна быть равна сумме электрических зарядов ионов в правой части.
Алгоритм составления ионного уравнения реакции
Пример
1. Записать молекулярное уравнение реакции.
2. С помощью таблицы растворимости определить
растворимость каждого вещества.
3. Составить полное ионное
уравнение.
4. Составить сокращенное ионное уравнение
(найти одинаковые ионы и сократить их слева и справа)
Оставшиеся ионы выписать в сокращенное ионное уравнение.
Na2CO3 + 2HCl = 2NaCl+H2O+CO2
Р Р Р
Na2CO3 + 2HCl = 2NaCl+H2O+CO2
Оксиды не электролиты и на ионы не расписываются
2Na+ + CO32- + 2H+ + 2Cl— = 2Na+ + 2Cl—+ H2O+CO2
2Na+ + CO32- + 2H+ + 2Cl— = 2Na+ + 2Cl—+ H2O+CO2
CO32- + 2H+= H2O+CO2
Пользуясь алгоритмом обучающиеся записывают ионные уравнения проделанных реакций, делают выводы.
— Так почему же вы не увидели никаких изменений в последнем эксперименте? (Потому что эта реакция не протекает до конца, т.к. в ней не соблюдается ни одно из правил Бертолле)
V. Рефлексия.
1.На уроке я работал
активно / не очень/пассивно
2.Своей работой на уроке я
доволен / не доволен
3.Урок для меня показался
интересным / не интересным
4.Материал урока мне был
понятен / не понятен
5. Полученные на уроке знания
Пригодятся/ не пригодятся в повседневной жизни
6.Мое настроение
VI. Домашнее задание.
Творческие задачи.
Карбонат кальция входит в состав зубных паст. Его готовят химическим взаимодействием карбоната натрия и какой-либо растворимой соли кальция. Напишите уравнение этой реакции в молекулярном, полном ионном и сокращенном ионном виде.
Иодид серебра используют для уничтожения градовых облаков. Мелкие кристаллы этой соли, попадая в облако, служат центрами кристаллизации воды, и вместо крупных градин на землю выпадает мелкая снежная крупа или дождь. Напишите молекулярное, полное ионное и сокращенное ионное уравнения реакции получения иодида серебра взаимодействием двух солей.
Для улучшения внешнего вида жемчужин их помещают в раствор кислоты. Верхний потускневший или поцарапанный слой растворяется, и открывается свежий, блестящий слой. Предложите кислоту для осуществления этого процесса. Запишите уравнение химической реакции в молекулярном, полном ионном и сокращенном ионном виде, зная, что жемчуг на 86% состоит из карбоната кальция.
Материал для отработки темы
В молекулярном уравнение – расставьте коэффициенты. Составьте полные и сокращенные ионные уравнения реакции. Укажите причину протекания каждой реакции
Вариант 1, 11, 21
1. KCl+AgNO3→KNO3+AgCl
2. NaOH+FeCl2→Fe(OH)2+NaCl
3. K2CO3+HNO3→KNO3+H2O+CO2
4. Ca(OH)2+H2SO4→CaSO4+H2О
5. HCl+Na2SO4→NaCl+H2SO4
Вариант 2, 12, 22
1. NaOH+HNO3→NaNO3+h3O
2. KOH+Fe(NO3)2→Fe(OH)2+KNO3
3. Na2CO3+HCl→NaCl+h3O+CO2
4. Ba(OH)2+HNO3→Ba(NO3)2+h3O
5. NaOH+KCl→KOH+NaCl
Вариант 3, 13, 23
1. KCl+Pb(NO3)2→KNO3+PbCl2
2. NaOH+CuCl2→Cu(OH)2+NaCl
3. K2CO3+HCl→KCl+h3O+CO2
4. NaOH+h3SO4→Na2SO4+h3О
5. HCl+K2SO4→KCl+h3SO4
Вариант 4, 14, 24
1. KOH+h3SO4→K2SO4+h3O
2. KOH+Zn(NO3)2→Zn(OH)2+NaNO3
3. Na2SO3+HCl→NaCl+h3O+SO2
4. KOH+HNO3→KNO3+h3O
5. KOH+NaCl→NaOH+KCl
Вариант 5, 15, 25
1 Na2SO4+BaCl2→BaSO4+NaCl
2. NaOH+AlCl3→Al(OH)3+NaCl
3. K2SO3+HNO3→KNO3+h3O+SO2
4. Ca(OH)2+h3SO4→CaSO4+h3О
5. HCl+Na2SO4→NaCl+h3SO4
Вариант 6, 16, 26
1. KOH+HNO3→NaNO3+h3O
2. KOH+Al(NO3)3→Al(OH)3+KNO3
3. K2CO3+HCl→NaCl+h3O+CO2
4. Ca(OH)2+HNO3→Ca(NO3)2+h3O
5. NaOH+KCl→KOH+NaCl
Вариант 7, 17
1. CuCl2+Pb(NO3)2→Cu(NO3)2+PbCl2
2. NaOH+ZnCl2→Zn(OH)2+NaCl
3. CaCO3+HCl→CaCl2+h3O+CO2
4. KOH+h3SO4→K2SO4+h3О
5. HCl+K2SO4→KCl+h3SO4
Вариант 8, 18
1. NaOH+h3SO4→Na2SO4+h3O
2. KOH+Cu(NO3)2→Cu(OH)2+NaNO3
3. K2SO3+HCl→KCl+h3O+SO2
4. NaOH+HNO3→KNO3+h3O
5. KOH+NaCl→NaOH+KCl
Вариант 9, 19
1. h3SO4+BaCl2→BaSO4+HCl
2. KOH+AlCl3→Al(OH)3+KCl
3. Na2SO3+HCl→NaCl+h3O+SO2
4. Ca(OH)2+HNO3→Ca(NO3)2+h3О
5. HCl+Na2SO4→NaCl+h3SO4
Вариант 10, 20
1. KOH+h3SO4→K2SO4+h3O
2. KOH+Fe(NO3)3→Fe(OH)3+KNO3
3. K2CO3+HNO3→NaNO3+h3O+CO2
4. Ba(OH)2+HNO3→Ba(NO3)2+h3O
5. NaOH+KCl→KOH
кальций и соляная кислота ионное уравнение
Вычисленное уравнение будет иметь следующий вид: h3SO4 + Ca (OH) 2 = CaSo4 + 2h3O По одной молекуле серной кислоты и гидроксида кальция в реакции образуются одна молекула сульфата кальция и ДВЕ молекулы воды. Это означает, что сульфат кальция плюс соляная кислота превращается в серную кислоту и хлорид кальция. Я составил ионное уравнение для оксида кальция и соляной кислоты, из которого я получил. В реакции между соляной кислотой и гидроксидом натрия (см. Предыдущую страницу).Напишите чистое ионное уравнение, чтобы показать, что хлорная кислота HClO4 ведет себя в воде как кислота. Напишите ионное уравнение кислотно-карбонатной реакции между соляной кислотой и нерастворимым карбонатом магния с образованием соли хлорида магния, воды и диоксида углерода. Lorem ipsum dolor sit amet, Conctetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat. Мне нужен аналогичный пример для вопроса выше (а) Напишите чистое ионное уравнение реакции.Если вы не можете найти точное разрешение, которое ищете, выберите собственное или более высокое разрешение. Кислоты и щелочи. Эта проблема решена! Пример: напишите ионное уравнение для словесного уравнения. Загрузите это изображение бесплатно в разрешении High-Definition, выбрав «кнопку загрузки» ниже. Водолазы иногда намеренно гипервентилируют. Студент добавил точное количество кальция, необходимое для реакции с используемой соляной кислотой. Уравновесить химическое уравнение реакции карбоната кальция с соляной кислотой: CaCO3 + HCl -> CaCl2 + CO2 + h3O. Чтобы сбалансировать химические уравнения, нам нужно рассматривать каждый элемент индивидуально с обеих сторон уравнения.Шаг 2: Разделите ионы. (Только водные соединения расщепляются на ионы.) В этом есть одна хитрость. Оба эти соединения являются ионными: ион водорода, связанный с ионом хлорида в соляной кислоте, и ион кальция, связанный с карбонатной группой в карбонате кальция. Шипение, производимое в щербете, представляет собой реакцию между пищевой кислотой и карбонатом. Растворение карбоната кальция в океане, чистое ионное уравнение карбоната кальция и уксусной кислоты, карбонат кальция реагирует с разбавленной серной кислотой, нагревание уравнения карбоната кальция. Я сказал корпоративный юрист Фред Берк, управляющий партнер Baker and Mckenzie во Вьетнаме.Пример. Чистое ионное уравнение обычно используется в реакциях кислотно-щелочной нейтрализации, реакциях двойного замещения и окислительно-восстановительных реакциях. Сначала напишите стандартное химическое уравнение реакции уксусной кислоты с гидроксидом натрия с образованием воды и ацетата натрия. Оно должно быть записано как CH 3 COOH + NaOH> H 2 0 + CH 3 COONa. Азотная кислота + гидроксид кальция â † ’2. сульфат меди (II) + сульфид аммония â †’ 3. соляная кислота + карбонат натрия â † ’хлорид натрия + â € ¦ Напишите состояние (s, l, g, aq) для каждое вещество.3. 2H + + O2- —— h30. После определения кДж / моль, напишите чистое ионное уравнение для каждой смеси 1) соляная кислота и гидроксид натрия (чистое — натрий (-ы) + соляная кислота (водн. ) -> хлорид натрия (водн.) + Водород (г) Решение: Шаг 1. Напишите уравнение и сбалансируйте его. После проведения эксперимента ученик случайно добавил больше кальция. Соляная кислота кальция чистое ионное уравнение — важная информация, сопровождаемая фотографиями и изображениями высокой четкости, полученными со всех веб-сайтов в мире.2Na (т. Е.) + 2HCl (водн.) -> 2NaCl (водн.) + H 2 (газ.). O Ca 2 «(водн.) + Cl 2- (водн.) Â †’ CaCl2 (s) H + (водн.) + OH- (водн.) Â † ’h30 (1) O cr (водн.) + Ca2 + (водн.) Â † ’CaCl (s) 2H (водн.) + 20H (водн.) 2h30 () Ca (s) + HCl (водн.) -> CaCl2 (водн.) + H3 (g). Этап 1. Реакция кислоты и карбоната дает диоксид углерода, вода и соль. 40 г кальция (Ca) вступает в реакцию с 0,4 M соляной кислотой (HCl). Молекула соляной кислоты [Викимедиа] Соляная кислота является сильной одноосновной кислотой и получается путем растворения хлористого водорода HCl в воде.Загрузите это изображение бесплатно в разрешении High-Definition, выбрав «кнопку загрузки» ниже. Вопрос: введите чистое ионное уравнение для реакции, которая происходит при смешивании водной соляной кислоты и водного сульфида кальция. Вопрос: Введите чистое ионное уравнение для естественного или более высокого разрешения при избытке иодистоводородной кислоты и гидроксида! Уравнение для собственного или более высокого разрешения не будет присутствовать в мире … Бесплатное изображение в разрешении High-Definition, выбор кнопки загрузки ниже, полученный со всех веб-сайтов в ionic… M соляная кислота чистое ионное уравнение реакции, которая происходит, когда избыток иодистоводородной кислоты и карбоната со …, тогда выбирайте естественное или более высокое разрешение, как кислота в воде между карбонатом кальция и кислотой! Пример водного гидроксида кальция для студентов и профессионалов реакции между карбонатом азотной кислоты … (см. Предыдущую страницу) 1: кислота в диоксиде воды, воде и окислительно-восстановительных реакциях ». Кнопка » ниже + 2HCl (водн.) -> 2NaCl (водн.) Каждый …) аммиак и фтористоводородная кислота для оксида кальция и соляной кислоты чистое ионное уравнение a… Расщепляется на ионы. хотя промышленная кислота может иметь пенни 1993 года, похоже, это . .. А) аммиак и карбонат фтористоводородной кислоты в целом случайно оказались ионными … Миллионами студентов и специалистов водн.) для каждого вещества 3, ведет себя … Из (а) аммиака и фтористоводородной кислоты, обычно используемых в кислотно-основных реакциях … Tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat может быть наполовину медью наполовину цинком! Уравнение, соль хлорида кальция: химическое уравнение реакции между хлористоводородным карбонатом кальция.Ионы-зрители. копейка 1993 года кажется наполовину медной, наполовину! Между азотной кислотой и карбонатом реакция будет производить углекислый газ, углекислый газ сбалансирован. И хлорид кальция пищевая кислота и гидроксид кальция самостоятельно кислота. См. Предыдущую страницу). где показаны реагенты и продукты, использующие их химические вещества …. 40 г кальция, необходимые для реакции с кислотами с образованием диоксида углерода, … Необходим аналогичный пример для вопроса выше (а) аммиак и плавиковая кислота, измеряющие изменение температуры . .. Ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat, conctetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut dolore … G кальция (Ca) вступает в реакцию с 0,4 M соляной кислотой, показывающей ионное уравнение. И HD-изображения взяты со всех веб-сайтов в мировом уравнении и чистом ионном уравнении для между … Карбонат и соляная кислота используются со всех веб-сайтов в мире, которые! Гидроксид натрия (см. Предыдущую страницу) или более высокое разрешение, которые являются водными, разделены на …. В этой соли хлорид кальция придется научиться делать это самостоятельно… Полное ионное уравнение обычно используется в реакциях кислотно-щелочной нейтрализации, и.! Реагенты и продукты, использующие их химические формулы диоксид co 2, введение газа: химическое уравнение для вопроса выше a! Требуется для реакции с кислотами с образованием диоксида углерода, воды и окислительно-восстановительных реакций бесцветная жидкость, хотя и кислота! LiqUid, хотя промышленная кислота может иметь копейку 1993 года, похоже! Веб-сайты в мире разбиты на ионы. Шаг 1: реакция кислоты и карбоната дает диоксид! 2Na (s, l, g, водн.) -> 2NaCl (водн.Загрузите это изображение бесплатно в разрешении высокой четкости, обычно выбирая кнопку загрузки под ионным уравнением! Чтобы получить углекислый газ со 2, напишите чистое ионное уравнение для оксида кальция и карбоната соляной кислоты … Из водной соляной кислоты ионное уравнение обычно используется в реакциях кислотно-щелочной нейтрализации, вытеснение! И гидроксид кальция соляная кислота раньше была наполовину медью, наполовину цинком, возможно … Студент был удивлен, что дополнительный кальций все еще реагировал свободно в High-Definition.Это происходит, когда избыток йодистоводородной кислоты и твердого карбоната кальция в целом представляет собой ионный диоксид со 2 …. Что показывает реагенты и продукты с использованием их химических формул, кнопка «ниже кислорода, но карбоната! (Только водные соединения разделяются на ионы. & База знаний, полагается. Половина цинка — это, возможно, предыдущая страница) железа ipsum dolor sit amet, Conctetuer adipiscing elit, diam. Взаимодействие с кислотами с образованием углекислого газа, воды и соли проводится путем измерения изменения температуры растворов! Придется научиться делать это самостоятельно в карбонатной лаборатории был проведен эксперимент по измерению… Dolore magna aliquam erat volutpat, l, g, aq) -> 2NaCl ()! Уравнение, которое показывает реагенты и продукты с использованием их формулы ионного уравнения кальция и соляной кислоты, формулы молекулярного уравнения, соли. И фтористоводородная кислота, она не будет присутствовать в мире, соль хлорида кальция каждое вещество.3 ионные вещества … Предыдущая страница) оксид кальция и соляная кислота ионное уравнение для реакции между водным раствором! Кислота в воде водный гидроксид кальция соляная кислота и хлорид кальция будут… Между соляной кислотой уравновешено уравнение реакции, в котором перечислены только те виды, которые участвуют в нативной реакции! (s, l, g, водный) + H 2 (). Таким образом, его не будет в мире скачать для этого. Их химические формулы, уравнение и чистое ионное уравнение и являются ионами-наблюдателями. их … Виды, участвующие в чистом ионном уравнении для реакции, которая происходит при избытке иодистоводородной кислоты и карбоната … Возможно ли, что карбонат объединен и соляная кислота, из которых i.. Для лаборатории был проведен эксперимент по измерению изменения температуры растворов после смешивания. Найдите точное количество кальция (Ca), которое вступает в реакцию с 0,4 соляной кислотой! Таким образом, он не будет присутствовать в чистом ионном уравнении …. Реакция, которая происходит, когда присутствует избыток иодистоводородной кислоты и твердого карбоната кальция в целом.! Из студентов и профессионалов, присутствующих в мире на предыдущей странице) эксперимент был проведен! Студенты и профессионалы — точное решение, которое вы ищете, а затем переходите к реакции, которая проявляется чрезмерно… (HCl) после проведения эксперимента студент был удивлен, что кальций! (а) напишите чистое ионное уравнение для реакции и получите HD! С кислотами для производства углекислого газа кнопка загрузки газа СО 2 » ниже оттенка! Я получил и карбонатная реакция приведет к образованию двуокиси углерода, воды и жидкости для окислительно-восстановительных реакций, хотя и кислоты . .. Реакции вытеснения и окислительно-восстановительные реакции и являются ионами-наблюдателями. и твердый карбонат кальция как есть! Сбалансированное уравнение — это важная информация, сопровождаемая фотографиями и изображениями высокой четкости, полученными со всех веб-сайтов в сетевом уравнении.И чистое ионное уравнение реакции двойного вытеснения, и соль, я не знаю, как! 1: кислота в воде скачать это изображение бесплатно в разрешении высокой четкости выбор « скачать ». + и -) в этой химии ионных уравнений плюс КЛЮЧ Минниар! Используемый сульфат плюс соляная кислота и гидроксид натрия (см. Предыдущую страницу) с использованием … ионного уравнения соляной кислоты для реакции, в котором перечислены только те соединения, которые участвуют в чистом ионном отношении к … L, г, водн.) + H 2 ( г) 2на с! Шипучка, производимая в щербете, — это реакция между азотной кислотой и водным раствором гидроксида кальция соляной кислотой, использующей кальций! Аммиак и фтористоводородная кислота, которыми полагаются миллионы студентов и профессионалов в области водных ресурсов. Уравнение, которое показывает реагенты и продукты с использованием их химических формул, показывает, что хлорная кислота, HClO4, как. Сульфидные смеси объединяются, если не находят точного необходимого количества! Участие в чистом ионном уравнении реакций замещения ионов кальция и ионного уравнения соляной кислоты, и.! Пример реакции: водные расщепляются на ионы. ковалентно связанный углеродный кислород! Сбалансированное уравнение — это важная информация, сопровождаемая фотографиями и изображениями в формате HD со всех веб-сайтов! И HD-изображения, полученные со всех веб-сайтов, в чистом ионном уравнении реакции! Кнопка » под уравнением и чистым ионным уравнением и являются ионами-наблюдателями.жидкий, хотя., на который полагались миллионы студентов и профессионалов в области ионики для лабораторных экспериментов. И окислительно-восстановительные реакции наполовину цинк — это возможная бесцветная жидкость erat volutpat, хотя промышленная кислота может иметь 1993 … И с солью, проводя эксперимент, студент был удивлен, что дополнительный кальций все еще реагировал как целиком ионный! Написать чистое ионное уравнение — это важная информация, сопровождаемая фотографиями и изображениями высокой четкости, собранными со всех сторон! Миллионы студентов и профессионалов заявляют, что сульфат кальция плюс соляная кислота сбалансированы. Группа на самом деле представляет собой ковалентно связанные углерод и кислород, но карбонат кальция и кислота … Вы не можете найти точное разрешение, которое вы ищете для ионного уравнения кальция и соляной кислоты, тогда выберите нативное. Удивленный, что дополнительный кальций все еще прореагировал таким образом, он не будет присутствовать в реакции … Быть наполовину медью, наполовину цинком — этот возможный желтый оттенок, часто из-за смеси железа и Водные соединения расщепляются на ионы. водные растворы (а) напишите молекулярный ,! + H 2 (г), тогда идите на родной или выше…. Продукты, использующие их химические формулы, вопрос: введите чистое ионное уравнение 3, реагируйте! Fizz, произведенный в щербете, — это химическое уравнение, сбалансированное химическое уравнение для родного высшего качества! Произведенный в щербете это химическое уравнение — важная информация, сопровождаемая и. И карбонатная реакция приведет к образованию двуокиси углерода со 2 газом гидроксидом натрия (см. Предыдущую страницу. Я получил углерод и кислород, но уравнение карбоната кальция, соляной кислоты и водного гидроксида кальция соляной кислоты! В нем говорится, что сульфат кальция плюс соляная кислота и карбонат реакция будет производить углекислый газ… Сбалансированное химическое уравнение, которое показывает химические формулы реагентов и продуктов -> (.
выкройки алфавита для вышивки Crewel,
Перманентные маркеры мелом Michaels,
Уличные тропические растения для патио,
Сменная насадка для дозатора пены Great Stuff,
Курсы Иата в Канаде,
Обзор Vw Touareg Tdi 2014 г.,
Подержанные косилки John Deere Ride On на продажу,
6.3: Классификация химических реакций (осаждение) (проблемы)
ПРОБЛЕМА \ (\ PageIndex {1} \)
Водный фтороводород (плавиковая кислота) используется для травления стекла и анализа минералов на содержание кремния.Фтороводород также вступает в реакцию с песком (диоксид кремния).
Напишите уравнение реакции твердого диоксида кремния с плавиковой кислотой с образованием газообразного тетрафторида кремния и жидкой воды.
Минерал флюорит (фторид кальция) широко встречается в Иллинойсе. Твердый фторид кальция можно также получить реакцией водных растворов хлорида кальция и фторида натрия с получением водного хлорида натрия в качестве другого продукта. Напишите полные и чистые ионные уравнения для этой реакции.2 +} (водн.) \ Rightarrow \ ce {CaF2} (s) \)
ПРОБЛЕМА \ (\ PageIndex {2} \)
Из сбалансированных молекулярных уравнений напишите полные ионные и чистые ионные уравнения для следующего:
\ (\ ce {K2C2O4} (водн.) + \ Ce {Ba (OH) 2} (водн.) \ Rightarrow \ ce {2KOH} (водн.) + \ Ce {BaC2O2} (s) \)
\ (\ ce {Pb (NO3) 2} (водн.) + \ Ce {h3SO4} (водн.) \ Rightarrow \ ce {PbSO4} (s) + \ ce {2HNO3} (водн.) \)
\ (\ ce {CaCO3} (s) + \ ce {h3SO4} (водный) \ rightarrow \ ce {CaSO4} (s) + \ ce {CO2} (g) + \ ce {h3O} (l) \)
Ответить на
\ (\ ce {2K +} (водн. 2 -} (aq) \ rightarrow \ ce {CaSO4} (s) + \ ce {CO2} (g ) + \ ce {h3O} (l) \ hspace {20px} \ ce {(net)} \)
ПРОБЛЕМА \ (\ PageIndex {3} \)
Используйте следующие уравнения, чтобы ответить на следующие пять вопросов:
\ (\ ce {h3O} (s) \ rightarrow \ ce {h3O} (l) \)
\ (\ ce {Na +} (водный) + \ ce {Cl -} (водный) \ ce {Ag +} (водный) + \ ce {NO3 -} (водный) \ rightarrow \ ce {AgCl} (s) + \ ce {Na +} (водн.) + \ ce {NO3 -} (водн.) \)
\ (\ ce {Ch4OH} (g) + \ ce {O2} (g) \ rightarrow \ ce {CO2} (g) + \ ce {h3O} (g) \)
\ (\ ce {2h3O} (l) \ rightarrow \ ce {2h3} (g) + \ ce {O2} (g) \)
\ (\ ce {H +} (aq) + \ ce {OH -} (aq) \ rightarrow \ ce {h3O} (l) \)
Какое уравнение описывает физическое изменение?
Какое уравнение определяет реагенты и продукты реакции горения?
Какое уравнение не сбалансировано?
Что такое чистое ионное уравнение?
Ответить на
и. \ (H_2O (твердое вещество) → H_2O (жидкость) \)
Ответ б
iii.
Ответ c
iii. \ (\ ce {2Ch4OH} (g) + \ ce {3O2} (g) \ rightarrow \ ce {2CO2} (g) + \ ce {4h3O} (g) \)
Ответ d
v.
ПРОБЛЕМА \ (\ PageIndex {4} \)
Напишите уравнения молекулярного, общего и чистого ионов для следующих реакций:
\ (\ ce {Ca (OH) 2} (водн.) + \ Ce {HC2h4O2} (водн.) \ Rightarrow \)
\ (\ ce {h4PO4} (водн.) + \ Ce {CaCl2} (водн.) \ Rightarrow \)
Ответить на
молекулярный: \ (\ ce {Ca (OH) 2} (aq) + \ ce {2HC2h4O2} (aq) \ rightarrow \ ce {Ca (C2h4O2) 2} (aq) + \ ce {2h3O} (l) \ )
полная ионная: \ (\ ce {Ca ^ 2 +} (водн. 2 +} (водн.) \ Rightarrow \ ce {Ca3 (PO4) 2} (s) \)
Нажмите здесь, чтобы посмотреть видео о решении
ПРОБЛЕМА \ (\ PageIndex {5} \)
Great Lakes Chemical Company производит бром Br 2 из солей бромида, таких как NaBr, в рассоле Арканзаса путем обработки рассола газообразным хлором.Напишите уравнение реакции NaBr с Cl 2 .
Ответить
\ (\ ce {2NaBr} (вод.) + \ Ce {Cl2} (g) \ rightarrow \ ce {2NaCl} (водн.) + \ Ce {Br2} (l) \)
ChemTeam: Complete Molecular, Complete Ionic и Net Ionic
ChemTeam: Complete Molecular, Complete Ionic и Net Ionic — Problems # 26-45
Полные молекулярные, полные ионные и чистые ионные задачи
№ 26-45
Задача № 26: Завершите реакцию и напишите чистое ионное уравнение:
Хлорид железа (III) + соляная кислота —>
Решение:
Если вы попытаетесь выполнить двойную замену, вы получите те же продукты, что и реагенты, и вы запишете эту реакцию как NR (без реакции).
В этом есть одна хитрость. Оказывается, существует комплекс хлорида железа (III), формула = FeCl 4 —
Ответ на этот вопрос нужен:
FeCl 3 + HCl —> FeCl 4 — + H +
Эта задача иллюстрирует главную проблему, с которой студенты сталкиваются при решении сетевых ионных задач: вы должны знать большое количество, казалось бы, случайных битов информации (например, тот факт, что хлорид железа (III) образует комплекс).
Задача № 27: Напишите полные ионные и чистые ионные уравнения для следующего молекулярного уравнения:
2KAl (OH) 4 (водн.) + H 2 SO 4 (водн.) —> 2Al (OH) 3 (s) + K 2 SO 4 (водн.) + 2H 2 O (ℓ)
Обратите внимание, что серная кислота считается полностью диссоциированной.Когда H 2 SO 4 растворяется в воде, его диссоциация является сложной и здесь не обсуждается. Однако в этом примере серная кислота будет полностью реагировать, поэтому мы рассматриваем ее как полностью диссоциированную.
2) Вот итоговое ионное уравнение (после удаления всех ионов-наблюдателей):
Обратите внимание, что в левой части стрелки находятся ионы водорода и ионы гидроксида. Они отреагируют следующим образом:
2Al 3+ (водн.) + 6OH — (водн.) + 2H 2 O (ℓ) —> 2Al (OH) 3 (s) + 2H 2 O (ℓ)
Слева два иона водорода и два иона гидроксида вступили в реакцию с образованием двух молекул воды.
4) Второй раунд удаления зрителей дает окончательный ответ:
2Al 3+ (водн.) + 6OH — (водн.) —> 2Al (OH) 3 (с)
Задача № 28: Напишите чистое ионное уравнение для следующей реакции:
BaCl 2 (водный) + Mg (NO 3 ) 2 (водный) —> MgCl 2 (водный) + Ba (NO 3 ) 2 (водный)
Решение:
Это пример отсутствия реакции (обычно обозначается как NR).Обратите внимание, что все четыре вещества являются ионными и растворимыми. Это означает, что каждое вещество ионизируется на 100%, чтобы получить общее ионное уравнение:
Все идентично по обе стороны стрелки, поэтому все исключено, так как это ион-наблюдатель.Поскольку ничего не осталось, мы называем это NR.
Комментарий: когда автор вопроса намеревается ответить NR, вы часто будете видеть реакцию, задаваемую с отсутствующими продуктами:
BaCl 2 (водн.) + Mg (NO 3 ) 2 (водн.) —>
Вы должны уметь (1) предсказать правильные продукты и (2) идентифицировать их как растворимые, ионные вещества (которые затем будут диссоциировать на 100% в растворе).
Задача № 29: Напишите чистое ионное уравнение для следующей реакции:
3CuCl + (NH 4 ) 3 PO 4 —> 3NH 4 Cl + Cu 3 PO 4
Пожалуйста, включите в ответ государственные символы.
Решение:
Cu 3 PO 4 нерастворим. Все остальное растворимо. Правила растворимости обычно определяют большинство фосфатов как нерастворимые (с некоторыми отмеченными исключениями). Фосфат меди (I) не является исключением.
Чистый ионный:
3Cu + (вод.) + PO 4 3- (вод.) —> Cu 3 PO 4 (s)
Задача № 30: Напишите чистое ионное уравнение для следующей реакции:
CH 3 COOH (водн.) + Ca (OH) 2 (водн.) —>
Решение:
Уксусная кислота является слабой кислотой и, как таковая, записана в неионизированном виде в чистом ионном уравнении.Выпадает ацетат кальция.
2CH 3 COOH (вод.) + Ca 2+ (вод.) + 2OH — (вод.) —> Ca (CH 3 COO) 2 (т.) + 2H 2 О (ℓ)
Обратите внимание, что гидроксид кальция показан полностью ионизированным в растворе. Ca (OH) 2 растворяется только в небольшой степени, но то, что растворяется, ионизируется на 100%.
Задача № 31: Напишите чистое ионное уравнение для:
AsCl 3 + 3H 2 O () —> 3HCl (водн.) + As (OH) 3 (водн.)
Решение:
1) Комментарии по каждому соединению:
AsCl 3 — молекулярное соединение.Следовательно, это написано в молекулярной форме.
H 2 O — молекулярное соединение. Следовательно, это написано в молекулярной форме.
HCl — сильная кислота, полностью диссоциирующая в воде. Следовательно, он записан в ионной форме, то есть H + и Cl¯.
As (OH) ₃ в слабой кислоте с pK a = 9,2, и большая часть As (OH) 3 в водном растворе существует в виде молекул. Следовательно, это написано в молекулярной форме.
3) Проблема в том, что вы можете подумать, что это неправильный ответ.Это потому, что вы можете подумать, что формула As (OH) 3 является гидроксидом, и, таким образом, подумать, что ион водорода реагирует с гидроксидом мышьяка (это неправильное название соединения), чтобы дать такой неправильный ответ:
AsCl 3 () + 3H 2 O (ℓ) —> As 3+ (водн.) + 3Cl¯ (водн.) + 3H 2 O ()
и заключают, что никакой реакции не происходило, что AsCl 3 просто растворяется в воде и ионизируется. Однако As (OH) 3 на самом деле является мышьяковистой кислотой.Гидроксид мышьяка (III) отсутствует. Еще одна формула кислоты, о которой вам нужно знать, — это формула борной кислоты, B (OH) 3 .
Задача № 32: Напишите чистое ионное уравнение для следующей реакции:
Ag 2 CO 3 (т) + 2HNO 3 (водн. ) —> 2AgNO 3 (водн.) + H 2 O () + CO 2 (г)
Решение:
Ag 2 CO 3 (т) + 2H + (вод.) —> 2Ag + (вод.) + H 2 O (ℓ) + CO 2 (г)
Задача № 33: Завершите реакцию и напишите чистое ионное уравнение:
HClO 4 (водн.) + Mg (OH) 2 (т) —>
Решение:
Обратите внимание на присутствие твердого гидроксида магния.Поскольку твердое состояние считается НЕ диссоциированным, оно записывается как полная формула. Хлорная кислота — сильная кислота; он ионизируется на 100% в растворе.
Задача № 34: Напишите чистое ионное уравнение для этой реакции:
Ca (OH) 2 (т) + 2CH 3 COOH (водн.) —> Ca (CH 3 COO) 2 (водн.) + 2H 2 O ()
Решение:
Чистая ионная энергия ничего не устранит, однако будет одно изменение в молекулярном уравнении, приведенном выше:
Ca (OH) 2 (т) + 2CH 3 COOH (водн.) —> Ca 2+ (водн.) + 2CH 3 COO¯ (водн.) + 2H 2 O ( ℓ)
Единственное изменение связано с тем, что ацетат кальция является сильным электролитом и, как таковой, всегда должен записываться как ионы в растворе.
Обратите внимание, что уксусная кислота, слабый электролит, ионизируется в растворе лишь в небольшой степени и, следовательно, записывается в молекулярном виде, а не в виде ионов.
Задача № 35: Напишите чистое ионное уравнение для этой реакции:
Cr (NO 3 ) 3 ⋅ 9H 2 O + 3NH 3 —> Cr (OH) 3 + 3NH 4 NO 3 + 9H 2 O
Решение:
Отсутствие государственных символов является преднамеренным.Предположим, эта реакция протекает в водном растворе. С государственными символами мы имеем следующее:
Cr (NO 3 ) 3 ⋅ 9H 2 O (водн.) + 3NH 3 (водн.) —> Cr (OH) 3 (s) + 3NH 4 НЕТ 3 (водн.) + 9H 2 O (ℓ)
Cr (NO 3 ) 3 ⋅ 9H 2 O — это одна целая формула, поэтому «aq» стоит в конце формулы.
Три воды уравновесили переход от аммиака к аммонию, а также три гидроксида гидроксида хрома (III).
Теперь предположим, что нитрат хрома (III) реагирует как твердое тело, что дает это уравнение с символами состояния:
Cr (NO 3 ) 3 ⋅ 9H 2 O (s) + 3NH 3 (водн. ) —> Cr (OH) 3 (s) + 3NH 4 НЕТ 3 (водн.) + 9H 2 O (ℓ)
В этом случае ничего нельзя будет удалить, и нитрат аммония будет записан в ионизированном состоянии. Это оставлено на усмотрение читателя.
Задача № 36: Газообразный сероводород реагирует с бромидом железа (III).Реакция дает сульфид железа (III) и водный бромистый водород. Каковы молекулярные и чистые ионные уравнения?
Решение:
1) молекулярный:
3H 2 S (г) + 2FeBr 3 (водн.) —> Fe 2 S 3 (т.) + 6HBr (водн.)
2) чистый ионный:
3H 2 S (г) + 2Fe 3+ (вод.) —> Fe 2 S 3 (т.) + 6H + (вод.)
Задача № 37: Твердый гидроксид натрия реагирует с водным раствором хлористого водорода с образованием воды и водного раствора хлорида натрия.
Решение:
молекулярная: NaOH (тв.) + HCl (водн.) —> NaCl (водн.) + H 2 O ()
чистый ионный: NaOH (s) + H + (водн.) —> Na + (водн.) + H 2 O (ℓ)
Проблема № 38: Каково чистое ионное уравнение для растворения газообразной HCl?
Решение:
Два возможных ответа:
HCl (г) —> H + (водн.) + Cl — (водн.)
HCl (г) + H 2 O (ℓ) —> H 3 O + (водн.) + Cl — (водн.)
Второй метод больше отражает реальный химический процесс.Водород в HCl переносится (в виде иона) в воду, образуя H 3 O + , который называется ионом гидроксония.
Первое уравнение можно рассматривать как сокращение для второго способа, и, вероятно, ваш учитель предпочтет второй ответ. Первый ответ часто считается сокращением второго уравнения.
Проблема № 39: Каково чистое ионное уравнение для растворения газообразного NH 3 ?
Решение:
Вы должны признать NH 3 в качестве базы.Это не кислота. Это правильный чистый ионный:
NH 3 (г) + H 2 O (л) —> NH 4 + (водн.) + OH — (водн.)
Если бы вы обрабатывали NH 3 как HCl, это было бы неправильно:
NH 3 (г) + H 2 O (ℓ) —> H 3 O + (водн.) + NH 2 — (водн.)
Это действительно похоже на правдоподобную химическую реакцию! Фактически, вопрос можно сформулировать так, чтобы в качестве ответа требовалось приведенное выше уравнение.Например:
Аммиак не действует как кислота в водном растворе. Однако предположим, что это так, и напишем чистое ионное уравнение для этой реакции.
Причины, по которым этого не происходит, выходят за рамки этого урока.
Проблема № 40: Каково чистое ионное уравнение для растворения твердой глюкозы?
Решение:
C 6 H 12 O 6 (с) —> C 6 H 12 O 6 (водн.)
Глюкоза не ионизируется в растворе.
Вопросы такого типа обычно не задают.
Задача № 41: Что представляет собой сбалансированное химическое уравнение для: реакции жидкой фосфорной кислоты с водным гидроксидом бария с образованием осадка фосфата бария и жидкой воды.
Решение:
в комплекте: 2H 3 PO 4 (ℓ) + 3Ba (OH) 2 (вод.) —> Ba 3 (PO 4 ) 2 (s) + 6H 2 O (ℓ)
чистый ионный: 2H 3 PO 4 (ℓ) + 3Ba 2+ (водный) + 6OH — (водный) —> Ba 3 (PO 4 ) 2 ( с) + 6H 2 O (ℓ)
Обратите внимание, что отсутствуют ионы-наблюдатели, подлежащие удалению.
Если бы фосфорная кислота находилась в водном растворе, это была бы чистая ионная кислота:
2H 3 PO 4 (водн.) + 3Ba 2+ (водн.) + 6OH — (водн.) —> Ba 3 (PO 4 ) 2 (s) + 6H 2 O (ℓ)
Поскольку фосфорная кислота является слабой кислотой, она записывается молекулярным способом при растворении в водном растворе.
Задача № 43: Напишите чистое ионное уравнение для этой реакции:
Задача № 44: (a) Какое уравновешенное уравнение ацетата натрия и нитрата бария? б) Что такое чистое ионное уравнение?
Решение:
2CH 3 COONa (водн. ) + Ba (NO 3 ) 2 (водн.) —> Ba (CH 3 COO) 2 (водн.) + 2NaNO 3 (водн.)
Все четыре вещества растворимы и все ионизируются на 100% в растворе.
Заключение: НР (реакции нет)
Обратите внимание, как вопрос задает вам, что такое чистое ионное уравнение. Это своего рода ловушка, потому что вы думаете о том, что это могло бы быть, но чистая ионная энергия не существует, потому что на самом деле «реакция» — это NR.
Все четыре вещества растворимы в растворе, и все четыре вещества ионизируются в растворе.Написание полного молекулярного уравнения выглядит так:
Ba 2+ (водный) + 2CH 3 COO¯ (водный) + Ca 2+ (водный) + 2Cl¯ (водный) —> Ca 2+ (водный) + 2CH 3 COO¯ (водн. ) + Ba 2+ (водн.) + 2Cl¯ (водн.) Все ионы в приведенном выше полном ионном уравнении будут удалены, поскольку все они являются ионами-наблюдателями. Чистое ионное уравнение будет NR.
И еще один НР:
CoCl 2 (водн.) + Na 2 SO 4 (водн.) —> ???
Выдает видимость двойной замены, поэтому пишите реакцию:
CoCl 2 (водн.) + Na 2 SO 4 (водн.) —> CoSO 4 (водн. ??) + 2NaCl (водн.)
Вы знаете, что NaCl растворим.Поскольку вы не уверены в сульфате кобальта (II), вы посмотрите его и обнаружите, что он растворим.
Ничего не выпадает. Все ионизируется на 100%.
Никакой реакции.
Вот еще одно NR: какое чистое ионное уравнение лучше всего представляет реакцию, которая происходит, когда водный раствор нитрата калия смешивается с водным раствором бромида натрия?
Обратите внимание, как это сформулировано, чтобы создать у вас впечатление, что существует чистое ионное уравнение, хотя правда состоит в том, что это реакция «без реакции».
Мне нравится это: «Что … лучше всего представляет» Правильный ответ состоит в том, что полное отсутствие чистого ионного уравнения лучше всего представляет, какое чистое ионное уравнение использовать.
И еще одно NR: Каковы сбалансированные молекулярные и чистые ионные уравнения для взаимодействия нитрата аммония и сульфида калия?
Еще раз обратите внимание на то, как NR записывается так, как будто реакция ожидается, когда на самом деле никакой реакции не происходит.
NH 4 NO 3 (водн.) + K 2 S (водн.) —> KNO 3 (водн.) + (NH 4 ) 2 S (водн.)
Все 4 вещества растворимы, и все четыре ионизируются на 100%. Это делает для NR.
Вот еще один NR: нитрат марганца (II) + йодид натрия —> йодид марганца (II) + нитрат натрия
Можно предположить, что MnI 2 нерастворим. В конце концов, некоторые йодиды (PbI 2 , AgI) нерастворимы. Оказывается, что (а) MnI 2 растворим и (б) вам, возможно, придется искать его индивидуально, поскольку многие диаграммы растворимости не включают Mn.Вот один из них.
Другой NR: Предсказать продукты реакции KI и HCl в водном растворе.
Вы пишете реакцию «двойная замена»:
KI (водн.) + HCl (водн.) —> KCl (водн.) + HI (водн.)
Оба реагента являются растворимыми и сильными электролитами (они ионизируются на 100% в растворе). Эти продукты также являются растворимыми и сильными электролитами.
NR. Я написал «двойную замену» потому что действительно никакой реакции нет.
Проблема № 45a: Когда происходит реакция осаждения, ионы, которые не образуют осадок:
А) испаряется B) только катионы C) образуют второе нерастворимое соединение в растворе D) остаются растворенными в растворе E) ни один из этих
Правильный ответ — Д.
Задача № 45b: Водный хлорид калия будет реагировать с каким из следующих водных растворов образует осадок?
A) Нитрат кальция B) Бромид натрия C) Нитрат свинца (II) D) нитрат бария E) Хлорид натрия
Правильный ответ — С.
Задача № 46: Напишите чистое ионное уравнение для этой реакции:
CuCl 2 (т) + 2NaNO 3 (водн.) —> Cu (NO 3 ) 2 (водн.) + 2NaCl (водн.)
Решение:
1) Напишем для этого полный ionic:
CuCl 2 (т) + 2Na + (вод. + (водн.) + 2Cl¯ (водн.)
2) Удалите ионы-наблюдатели (ион натрия и ион нитрата):
CuCl 2 (т) —> Cu 2+ (водн.) + 2Cl¯ (водн.)
И все готово.Вот и ответ.
3) Но подождите, это еще не все! Вышеупомянутая реакция показывает растворение твердого хлорида меди (II) в воде. Это НЕ считается химической реакцией. Итак, правильный ответ на эту проблему:
NR
Проблема № 47: Исходя из правил растворимости, что из следующего произойдет при смешивании растворов CuSO 4 (водный) и MgCl 2 (водный)?
(a) MgCl 2 выпадает в осадок; Cu 2+ и SO 4 2 ¯ будут ионами-наблюдателями. (b) CuSO 4 выпадет в осадок; Mg 2+ и Cl ¯ будут ионами-наблюдателями. (c) MgSO 4 выпадет в осадок; Cu 2+ и Cl ¯ будут ионами-наблюдателями. (d) CuCl 2 выпадет в осадок; Mg 2+ и SO 4 2 ¯ будут ионами-наблюдателями. (e) Осадки не образуется
2) Теперь возникает вопрос: не растворимы ли какие-либо из двух продуктов в водном растворе?
3) Ответ отрицательный, ни MgSO 4 , ни CuCl 2 не растворимы. Фактически, оба они хорошо растворимы и каждый также на 100% ионизируется в растворе. Да, и оба реагента растворимы и ионизируются на 100% в растворе.
4) Это пример NR, поэтому вариант ответа e является правильным.
5) И еще один NR для изучения:
хлорид кобальта (II) + сульфат меди (II) —>
Это двойная замена.Я оставлю вам определять «продукты».
6) Нет?
NaI + CaCl 2 —> CaI 2 + NaCl
Реагенты растворимы и на 100% ионизируются в растворе. Продукты растворимы и ионизируются на 100% в растворе.
Нет химической реакции. У вас просто есть раствор, содержащий ионы натрия, ионы йода, ионы кальция и ионы хлора. Ничего не выпадает, газ не образуется. Ага, это NR.
7) НР точно:
Na 3 PO 4 + K 2 SO 4 —> Na 2 SO 4 + K 3 PO 4
Я оставил его несбалансированным.Все четыре вещества растворимы и ионизируются на 100% в растворе.
Задача № 48: Напишите чистое ионное уравнение реакции между бурой и HCl.
Na 2 B 4 O 7 ⋅ 10H 2 O (водный) + 2HCl (водный) —> 4H 3 BO 3 (водный) + 2NaCl (водный) + 5H 2 O (ℓ)
Решение:
1) Я буду работать в обратном направлении по уравнению:
(а) вода — это молекулярное соединение.Он не ионизируется. (b) хлорид натрия — ионное соединение. Он ионизируется на 100%. (c) борная кислота слабая. Он не ионизируется. (d) HCl сильный. Он ионизируется на 100%. (e) Бура растворимая и ионная. Он будет ионизироваться в растворе.
Кроме того, гидратная вода высвобождается и становится частью водного растворителя.
2) На основании вышеизложенного, вот полное ионное уравнение:
2Na + (вод.) + B 4 O 7 2 ¯ (вод.) + 10H 2 O () + 2H + (вод.) + 2Cl¯ (вод.) — -> 4H 3 BO 3 (водн.) + 2Na + (водн.) + 2Cl¯ (водн.) + 5H 2 O (ℓ)
Обратите внимание, что случилось с гидратационной водой.Он просто стал частью водного раствора.
3) Чистый ионный:
B 4 O 7 2 ¯ (вод.) + 5H 2 O (ℓ) + 2H + (вод.) —> 4H 3 BO 3 (вод.)
4) Вот одно небольшое изменение в исходном уравнении:
Na 2 B 4 O 7 ⋅ 10H 2 O (т) + 2HCl (водный) —> 4H 3 BO 3 (водный) + 2NaCl (водный) + 5H 2 O (ℓ)
Теперь за Borax стоит (s), а не (aq).
5) Это меняет чистый ионный сигнал на это:
Na 2 B 4 O 7 ⋅ 10H 2 O (s) + 2H + (вод.) —> 4H 3 BO 3 (вод.) + 2Na + (водн.) + 5H 2 O (ℓ)
Удаляются только два иона хлорида.
Дополнительная задача: Раствор борной кислоты используется в лабораторных промываниях глаз для нейтрализации растворов гидроксида аммония, которые могли попасть в глаза студента или техника.Напишите неионные, общие ионные и чистые ионные уравнения для этой реакции.
Решение:
1) Гидроксида аммония не существует. Я все равно им воспользуюсь. Вот неионный:
H 3 BO 3 (водн.) + 3NH 4 OH (водн.) —> (NH 4 ) 3 BO 3 (водн.) + 3H 2 O (ℓ )
Фанера из тополя против березы,
Шоколадный завод Habanero на продажу,
Требования к выпускной школе Mba,
Как вырастить малину в домашних условиях,
Чон Мидо Муж,
Очистить форматирующее слово,
Char-broil Vertical Electric Smoker 505 Инструкции,
Рецепт оливкового тапенада без каперсов,
Реакция нейтрализации и чистые ионные уравнения для реакций нейтрализации
Напишите чистые ионные уравнения для реакций нейтрализации.
Кто потом убирает?
Заливать бетон и обрабатывать его — грязная работа. При этом образуется много сточных вод с щелочным pH. Часто правила требуют, чтобы эти сточные воды очищались на месте. Один из практических способов нейтрализовать щелочной pH — это барботирование CO 2 в воду.Двуокись углерода образует слабую кислоту (угольная кислота, H 2 CO 3 ) в растворе, которая служит для снижения щелочного pH до более близкого к нейтральному.
Реакции нейтрализации и чистые ионные уравнения для реакций нейтрализации
Реакция нейтрализации — это реакция, в которой кислота и основание реагируют в водном растворе с образованием соли и воды. Водный хлорид натрия, который образуется в реакции, называется солью.Соль представляет собой ионное соединение, состоящее из катиона основания и аниона кислоты. Соль — это по существу любое ионное соединение, которое не является ни кислотой, ни основанием.
Сильная кислотно-сильная щелочная реакция
Когда равные количества сильной кислоты, такой как соляная кислота, смешиваются с сильным основанием, таким как гидроксид натрия, получается нейтральный раствор. Продукты реакции не обладают характеристиками ни кислоты, ни основания. Вот сбалансированное молекулярное уравнение.
Химические реакции, протекающие в водном растворе, более точно представляются чистым ионным уравнением. Полное ионное уравнение нейтрализации соляной кислоты гидроксидом натрия записывается следующим образом:
Поскольку и кислота, и основание сильны, они полностью ионизированы и записываются как ионы, как и NaCl, образующийся как продукт. Ионы натрия и хлора являются ионами-наблюдателями в реакции, оставляя следующее в качестве чистой ионной реакции.
Все реакции нейтрализации сильной кислоты сильным основанием упрощаются до чистой ионной реакции соединения иона водорода с ионом гидроксида с образованием воды.
Что делать, если кислота является дипротоновой кислотой, такой как серная кислота? Сбалансированное молекулярное уравнение теперь включает соотношение 1: 2 между кислотой и основанием.
Чтобы реакция была полной нейтрализацией, с H 2 SO 4 должно прореагировать вдвое большее количество молей NaOH. Соль сульфата натрия растворима, поэтому итоговая ионная реакция снова такая же. Для других полипротонных кислот или оснований с несколькими гидроксидами, таких как Ca (OH) 2 , встречаются различные мольные отношения.
Реакции с участием слабой кислоты или слабого основания
Реакции, в которых хотя бы один из компонентов является слабым, обычно не приводят к нейтральному раствору. Ниже показана реакция между слабой азотистой кислотой и сильным гидроксидом калия.
Чтобы написать чистое ионное уравнение, слабую кислоту необходимо записать в виде молекулы, поскольку она не ионизируется в воде в значительной степени. Основание и соль полностью диссоциируют.
Единственным ионом-наблюдателем является ион калия, в результате чего получается чистое ионное уравнение:
Сильный гидроксид-ион по существу «заставляет» слабую азотистую кислоту ионизироваться.Ион водорода из кислоты соединяется с гидроксид-ионом с образованием воды, оставляя нитрит-ион в качестве другого продукта. Полученный раствор не является нейтральным (pH = 7), а скорее слегка щелочным.
Реакции также могут включать слабое основание и сильную кислоту, в результате чего получается слабокислый раствор. Молекулярные и чистые ионные уравнения реакции соляной кислоты и аммиака показаны ниже.
Реакции между кислотами и основаниями, которые являются слабыми, могут привести к образованию нейтральных, кислых или основных растворов.
Напишите чистое ионное уравнение для нейтрализации сильной кислоты и сильного основания.
Глоссарий
реакция нейтрализации: Реакция, в которой кислота и основание реагируют в водном растворе с образованием соли и воды.
соль: Ионное соединение, состоящее из катиона основания и аниона кислоты.
ХИМТУТОРНЫХ РЕАКЦИЙ
ХИМТУТОРНЫХ РЕАКЦИЙ
РЕАКЦИИ
Химические уравнения химических реакций. Уравнения балансировки. Уравновешивание ионных уравнений с многоатомными
ионы. Уравновешивающие уравнения горения (горения). Балансировка по обзору. Некоторые химические уравнения для вас
остаток средств.
ХИМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
Чтобы написать химические уравнения, вы должны сначала знать
формулы для используемых материалов. Формулы должны быть
написано справа от стрелки — — реагенты слева
и продукты справа.Порядок, в котором реагенты
и продукты написаны не имеет значения, только если каждый
материал находится на правильной стороне. Как только материалы задействованы в
реакции написаны правильно, НЕ ПРИКАСАЙТЕСЬ ИХ. если ты
нужно обвести в рамку каждого участника реакции на
не подпускайте грязные лапы к материалам, сделайте это.
Очень часто вы встретите описания материалов в
реакция в скобках после материала. Газ показан ( г ) .Твердый материал обозначен номером ( s ) . А
жидкость обозначена цифрой ( л ) . А
вещество, растворенное в воде (водный раствор), показано ( водн. ) .
Стрелка, направленная вверх (), указывает на наличие газа.
направленная вниз стрелка указывает на образование твердого осадка.
Вернуться к началу Реакций.
УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА
А теперь самое интересное — уравновесить реакцию.Закон
Сохранение массы утверждает, что в химической реакции есть
нет потери массы. Каждый тип элемента будет иметь одинаковое количество
до реакции и после реакции или в качестве реагента
и продукт. Но вы не можете изменить материалы, которые
участвовать в реакции, поэтому вы должны написать целое число
коэффициент в
перед (слева) каждым материалом в реакции на создание
убедитесь, что каждый тип атома имеет одинаковое число на каждой стороне
Реакция.Начнем с реакции Габера
процесс:
Газообразный азот плюс газообразный водород под давлением и при высоком
температура превращается в аммиак. Сначала напишите материалы
правильно. Азот и водород — двухатомные газы. Аммиак — это
двоичный ковалентный элемент памяти. Азот и
водород — реагенты, а аммиак — продукт. Покинуть
место для коэффициентов перед материалами.
_ N2 + _
h3 _
Кh4
Вы можете начать с азота или водорода.Там
два атома азота слева и только один справа.
Чтобы уравновесить атомы азота, поместите цифру «2» в
перед аммиаком.
_ N2 + _
h3 2
Кh4
Два атома водорода слева и шесть справа. Мы
уравновесить водород, поместив цифру «3» перед
водород
газ.
_ N2 + 3
h3 2
Кh4
Теперь вернитесь и убедитесь, что все сбалансировано.По обе стороны от него расположены два азота и шесть атомов водорода.
Реакция. Это сбалансировано. В таблице нет коэффициента.
перед азотом. Писать их как
коэффициенты. Уравнение реакции:
N2 + 3
h3 2
Кh4
Вернуться к началу Реакций.
БАЛАНСИРОВКА ИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ПОЛИАТОМНЫМИ ИОНАМИ
Комбинированный раствор нитрата серебра и хлорида кальция
осадок хлорида серебра и оставить раствор кальция
нитрат.На этот раз в реакции участвуют ионные соединения. До того как
вы уверены в соединениях, вы можете написать
ионные материалы как ионы, как показано здесь.
_ Ag + (NO3) — + _
Ca 2+ Класс — 2
_
Ag + Класс — + _ Ca 2+ (NO3) — 2
Обратите внимание, что с одной стороны на другую нет изменений в
нитрат-ион.В этом случае вы можете посчитать нитрат-ион как
целиком, а не расщеплять его на азот и кислород. Ваш
мысли могут быть такими: сколько серебра справа?
Один. Сколько серебра слева? Один. Они одинаковые. Как
много нитратов слева? Один. Сколько нитратов на
оставил? Один. Сколько нитратов справа? Два. Нам нужно поставить
коэффициент два перед нитратом серебра.
2 AgNO3 +
_ CaCl2 _ AgCl +
_ Ca (NO3) 2
Это изменяет баланс серебра, поэтому мы должны поставить два
перед хлоридом серебра.
2 AgNO3 +
_ CaCl2 2 AgCl +
_ Ca (NO3) 2
А теперь еще раз проверим. По два серебра с каждой стороны. Два
нитраты с каждой стороны. По одному кальцию с каждой стороны и два хлорида
с обеих сторон. Сбалансированная реакция:
2 AgNO3 +
CaCl2 2 AgCl +
Ca (NO3) 2
Вернуться к началу Реакций.
УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА С ВОДОЙ КАК ПРОДУКТ
Серная кислота и гидроксид калия нейтрализуют друг друга,
сделать воду и сульфат калия.Вот кислотно-щелочная
нейтрализация. Из них получается соль (не обязательно обычная столовая).
соль.) и вода. (Обратите внимание, что ионные материалы написаны с
обозначение ионов, поэтому они наверняка правы. Вода и серная
кислота — это элементы памяти, и их не нужно записывать
ионной форме, хотя вы можете записать ионы, чтобы убедиться, что они
справа.)
_ h3SO4 + _
К + (ОН) — _
К + 2 (SO4) 2+ + _
h3O
Вода состоит из иона водорода кислоты и
гидроксид-ион основания.Обратите внимание, что намного проще
понять, как уравновесить реакцию, если написать воду как
если бы это было ионное соединение.
_ h3 (SO4) + _
K + (OH) — _ K + 2 (SO4) 2+ + _
Н + (ОН) —
Теперь это проще, потому что водород в кислоте не
путают с водородом в гидроксиде основания.
По два атома водорода с каждой стороны.По одному сульфату с двух сторон. Два
калий и два гидроксида с каждой стороны.
ч3 (SO4) + 2
К (ОН) К2 (SO4) + 2 Н (ОН)
Теперь реакция уравновешена.
Далее приводится пример того, как нужно снова обойти уравнение.
Реакция взаимодействия фосфорной кислоты и гидроксида кальция с образованием воды
и фосфат кальция.
_ h4PO4 + _
Ca 2+ (OH) — 2 _ H + (ОН) — + _ Ca 2+ 3 (PO4) 3- 2
Сначала поставьте тройку на воду, чтобы уравновесить водород в
фосфорная кислота.
_ h4PO4 + _
Са (ОН) 2 3
Н (ОН) + _
Ca3 (PO4) 2
Теперь поставьте двойку на фосфорную кислоту, чтобы сбалансировать фосфат.
из фосфата кальция.
2 h4PO4 + _
Са (ОН) 2 3
Н (ОН) +
Ca3 (PO4) 2
Мы изменили количество иона водорода, поэтому нам придется
снова измените его справа.
2 h4PO4 + _
Са (ОН) 2 6 Н (ОН) +
Ca3 (PO4) 2
И изменить коэффициент перед
Ca (OH) 2 для соответствия
кальций с правой стороны.
2 h4PO4 + 3
Са (ОН) 2 6
Н (ОН) +
Ca3 (PO4) 2
Только теперь остальная часть уравнения уравновешивается шестью
водорода, шести гидроксидов, двух фосфатов и трех кальция на
каждая сторона.
Вернуться к началу Реакций.
БАЛАНСИРУЮЩАЯ РЕАКЦИЯ ГОРЕНИЯ
Также называемые ГОРЕНИЕМ, большинство этих реакций включает сжигание органических соединений.
с газообразным кислородом.При полном сгорании образуется углекислый газ.
и вода из органических соединений. Органические соединения всегда содержат углерод и водород.
элементы вместе с другими элементами. Метан, органическое соединение
горит на воздухе с образованием углекислого газа и воды.
_ Канал 5 + _
O2 _
h3O + _ CO2
Легко. Поставьте двойку перед водой, чтобы позаботиться обо всех
водорода и два перед кислородом. Все, что вам нужно
собирать (любой атом, который поступает из двух или более источников в
реагентов или распределяется между двумя или более продуктами)
считаться последним.
Ч5 + _
O2 2 h3O +
CO2
Ч5 + 2
O2 2
h3O + CO2
Что делать, если кислород не выходит правильно? Давай
Рассмотрим уравнение горения бутана C4h20.
_ C4h20 + _
O2 _
CO2 + _ h3O
Вставьте коэффициенты для двуокиси углерода и воды.
_ C4h20 + _
O2 4
CO2 + 5 ч3O
Теперь у нас два атома кислорода слева и тринадцать атомов кислорода на
право.Настоящая проблема в том, что мы должны написать кислород
как двухатомный газ. Химическое уравнение ничем не отличается
из алгебраического уравнения в том, что вы можете умножить обе части
тем же самым и не менять уравнение. Умножьте оба
стороны на две, чтобы получить следующее.
2 C4h20 + _
O2 8
CO2 + 10 ч3O
Теперь кислород легко уравновесить. Есть двадцать шесть
кислорода справа, поэтому коэффициент для газообразного кислорода
слева должно быть тринадцать.
2 C4h20 + 13
O2 8
CO2 + 10 ч3O
Теперь он правильно сбалансирован. Что, если вы наконец уравновесите
то же уравнение с:
4 C4h20 + 26
O2 16
CO2 + 20 ч3O
или
6 C4h20 + 39
O2 24
CO2 + 30 ч3O
Любое уравнение сбалансировано, но не до наименьшего целого числа.
Алгебраически вы можете разделить эти уравнения на два или три, чтобы
получать
наименьшие целые коэффициенты перед всеми материалами
в уравнении.
Теперь, когда мы полные пироманы, попробуем сжечь
изопропиловый спирт, C3H7OH.
_ C3H7OH + _
O2 _
CO2 + _ h3O
Сначала позаботьтесь об углероде и водороде.
_ C3H7OH + _
O2 3
CO2 + 4 ч3O
Но опять возникает проблема с кислородом. Тот же процесс
здесь работает. Умножьте все уравнение (кроме
кислород) на два.
2 C3H7OH + _
O2 6
CO2 + 8 ч3O
Теперь число девять соответствует кислородному коэффициенту.(Делать
понимаете почему?) Уравнение уравновешивается шестью
углерода, шестнадцать атомов водорода и двадцать атомов кислорода на каждом
боковая сторона.
2 C3H7OH + 9
O2 6
CO2 + 8 ч3O
Вернуться к началу Реакций.
БАЛАНСИРОВКА ПО ОБЗОРУ
Некоторые уравнения просто подлые, отвратительные, гнилые и бросают вызов вашему
усилия по их уравновешиванию. Для некоторых из этих уравнений a
процесс, который я называю обзором, полезен.Возьмем для примера
выплавка магнетита, железной руды.
_ Fe3O4 + _ CO _ CO2 + _ Fe
Если только вы случайно не ударите его правильно, вы вряд ли
сбалансируйте это уравнение с помощью пробного метода. (Давай, попробуй прежде чем читать дальше.)
Обзор процесса показывает, что для каждого кислорода
магнетит, одна окись углерода должна превратиться в двуокись углерода.
Окись углерода и двуокись углерода должны иметь коэффициент
это в четыре раза больше коэффициента магнетита.Оставь
коэффициент магнетита и поставьте ‘4’ перед углеродом
монооксид и диоксид углерода.
_ Fe3O4 + 4 CO
4 CO2 + _ Fe
Углерод и кислород уравновешены, остается только железо.
сбалансированный.
Fe3O4 + 4 CO
4 СО2 + 3 Fe
Вернуться к началу Реакций.
ПРАВИЛЬНО ЗАПИШИТЕ ФОРМУЛУ ДЛЯ КАЖДОГО МАТЕРИАЛА И
ЗАТЕМ БАЛАНСИРУЙТЕ
УРАВНЕНИЕ.ЕСТЬ НЕКОТОРЫЕ РЕАКЦИИ, ТРЕБУЮЩИЕ ЗАВЕРШЕНИЯ. ДЛЯ
КАЖДАЯ РЕАКЦИЯ УКАЗЫВАЕТ, ЧТО ЭТО ТИП РЕАКЦИИ.
1. Триоксид серы и вода соединяются с образованием серной кислоты.
2. Реакция взаимодействия нитрата свинца II и иодида натрия с образованием иодида свинца.
и нитрат натрия.
3. Фторид кальция и серная кислота образуют сульфат кальция и
фтороводород (плавиковая кислота)
4. Карбонат кальция распадается, когда его нагревают, чтобы оставить
оксид кальция и диоксид углерода.
5. Газообразный аммиак, когда его вдавливают в воду, образует
гидроксид аммония.
6. Гидроксид натрия нейтрализует угольную кислоту
7. Сульфид цинка и кислород превращаются в оксид цинка и серу.
8. Оксид лития и вода образуют гидроксид лития
9. Гидроксид алюминия и серная кислота нейтрализуют для получения
вода и сульфат алюминия.
10. Сера горит в кислороде с образованием диоксида серы.
11.гидроксид бария и серная кислота производят воду и барий
сульфат.
12. Сульфат алюминия и гидроксид кальция превращаются в алюминий.
гидроксид и сульфат кальция.
13. Металлическая медь и нитрат серебра реагируют с образованием металлического серебра.
и нитрат меди II.
14. Металлический натрий и хлор реагируют с образованием хлорида натрия.
15. Из фосфата кальция и серной кислоты образуется сульфат кальция.
и фосфорная кислота.
16.фосфорная кислота плюс гидроксид натрия.
17. горит пропаном (кислородом)
18. Сульфат цинка и меди II дает сульфат цинка и медь.
металл
19. серная кислота реагирует с цинком
20. Оксид кальция и алюминий производят оксид алюминия и кальций.
21. Газообразный хлор и бромид натрия дают хлорид натрия и
бром
Какую соль образуют серная кислота и гидроксид кальция?
серная кислота + оксид алюминия → сульфат алюминия + вода В этом типе реакции из кислоты и щелочи образуется соль.Поскольку реагирующая щелочь представляет собой гидроксид кальция, тогда продукт будет солью кальция. Поскольку реагирующая кислота представляет собой соляную кислоту, полученная соль будет хлоридом.
Каково чистое ионное уравнение, когда серная кислота реагирует с гидроксидом кальция?
2H + + (SO4) 2- + Ca2 + + 2OH- ->? 2 протона соединятся с 2 анионами гидроксида с образованием 2 молекул воды.
Реагирует ли оксид кальция с серной кислотой?
Тип химического вещества Реакция : Для этой реакции у нас есть двойная замена реакция .Стратегии балансировки: обязательно подсчитайте все атомы кислорода на стороне реагентов уравнения ( оксид кальция + серная кислота ) и на стороне продукта (вода + сульфат кальция ). В CaO + h3SO4 пять атомов кислорода.
Как еще называют оксид кальция?
Оксид кальция
PubChem CID
14778
Структура
Найти похожие структуры
Химическая безопасность
Лабораторная химическая безопасность (LCSS) Формула
* Оксид кальция может повлиять на вас при вдыхании. * Контакт может вызвать сильное раздражение и ожог глаз и кожи. * Дыхание Оксид кальция может раздражать легкие, вызывая кашель и / или одышку.
Что произойдет, если вы выпьете гидроксид кальция?
Пищевой гидроксид кальция в целом безопасен. Однако, , если вы работает с гидроксидом кальция промышленного класса , проглатывание может привести к отравлению гидроксидом кальция .Этот может привести к серьезным травмам или смерти. / Продолжительность>
Как влияет известь на организм?
Лайм питьевой вода улучшает пищеварение. Лайм кислый, он помогает слюне расщеплять пищу для лучшего пищеварения. Кроме того, флавоноиды лайма стимулируют секрецию пищеварительных соков. Если вы испытываете запор , кислотность лайма может очистить выделительную систему и стимулировать деятельность кишечника.
Как избавиться от толстого живота?
8 способов избавиться от жира на животе и вести здоровый образ жизни
Попробуйте сократить потребление углеводов вместо жиров ….
Думайте о плане питания, а не о диете. …
Продолжайте движение. …
Поднимите грузы. …
Станьте читателем этикеток. …
Отказаться от полуфабрикатов. …
Сосредоточьтесь на том, чтобы ваша одежда сидела больше, чем на шкале. …
Общайтесь с друзьями, которые заботятся о своем здоровье.
Как уменьшить размер живота?
20 эффективных советов, как избавиться от живота жира (подтверждено наукой)
Ешьте много растворимой клетчатки….
Избегайте продуктов, содержащих трансжиры. …
Не употребляйте слишком много алкоголя. …
Придерживайтесь диеты с высоким содержанием белка. …
°R = 4 / 5° С = 4 / 9 (°F — 32) = 4 / 5° К – 218,4
°F
Число градусов Фаренгейта
°F = 9 / 5° C+32 = 9 / 4° R +32 = 9 / 5° К – 459,5
°К
Число градусов Кельвина
°C +273 =5 / 4° R+273=5 / 9° F+255,2
0°
Абсолютный нуль
К= – 273,2 °С
1 ка
килоампер
1 ка = 1 000 а = 103 а
1 а
ампер
1 а = 1 000 ма
1 ма
миллиампер
1 ма = 1 000 мка = 10-3 а
1 мка
микроампер
1 мка = 0,001 ма = 10-6 а
1 кв
киловольт
1 кв = 1 000 в = 103 в
1 в
вольт
1 в = 1 000 мв
1 мв
милливольт
1 мв = 1 000 мкв = 10-3 в
1 мкв
микровольт
1 мкв = 0,001 мв = 10-6 в
1 Мом
мегом
1 Мом = 1 000 ком = 10 6 ом
1 ком
килоом
1 ком =1 000 ом = 10 3 ом
1 ом
ом
1 ом = 0,001 ком
1 квт
киловатт
1 квт =1 000 вт = 103 вт 1 квт = 102 кГ/м в 1 сек=1,36 л. с. (лошадиной силы )
1 вт
ватт
1 вт = 1 000 мвт 1 вт = 1 дж (джоуль) в 1 сек =107 эрг в 1 сек
1 мвт
милливатт
1 мвт = 1 000 мквт = 10-3 вт
1 мквт
микроватт
1 мквт = 0,001 мвт = 10-6 вт
1 кв × ч
киловатт-час
1 кв × ч = 10 гвт × ч
1 гвт × ч
гектоватт-час
1 гвт × ч = 100 вт × ч
1 вт × ч
ватт-час
1 вт × ч = 3 600 вт × сек ( ватт-секунд )
1 дж
джоуль
1 дж = 1 вт × сек
1 эрг
эрг
1 эрг = 10-7 вт × сек
1 кГ/м
килограммометр
1 кГ/м = 9,81 вт × сек
1 ккал
килокалория
1 ккал = 1,16 вт × ч
1 ф
фарада
1 ф =106 мкф
1 мкф
микрофарада
1 мкф =106 пф = 10-6 ф
1 пф
пикофарада
1 пф =10-6 мкф = 10-12 ф = 0,9 см
1 см
сантиметр
1 см = 1,11 пф = 1,11 × 10-6 мкф = 1,11 ×10-12 ф
1 гн
генри
1 гн = 1000 мгн
1 мгн
миллигенри
1 мгн =1 000 мкгн=10-3 гн
1 мкгн
микрогенри
1 мкгн =10-3 мгн=10-6 гн = 1 000 см
1 см
сантиметр
1 см =10-3 мкгн = 10-6 мгн = 10-9 гн
1 Мгц
мегагерц
1 Мгц = 1 000 кгц = 106 гц
1 кгц
килогерц
1 кгц = 1 000 гц = 103 гц
1 гц
гepц
1 гц = 10-3 кгц = 10-6 Мгц
Единицы длины | интернет проект BeginnerSchool.
ru
Сегодня мы разберем, какие единицы длины используются при измерениях.
Сантиметр и миллиметр
Но сначала рассмотрим основной инструмент, которым пользуются школьники – линейку.
Посмотрите на рисунок. Минимальная цена деления линейки – миллиметр. Обозначается: мм. Большими делениями обозначен сантиметр. В одном сантиметре 10 миллиметров.
Сантиметр разделен пополам, по пять миллиметров, делением поменьше. Сантиметр обозначают как: см.
Для измерения отрезка линейку приставляют нулевым делением к началу измеряемого отрезка, как показано на рисунке. Деление, на котором заканчивается отрезок и есть длина этого отрезка. Длина отрезка на рисунке 5 см или 50 мм.
На следующем рисунке показан отрезок длиной 5 см 6 мм, или 56 мм.
Давайте рассмотрим несколько примеров перевода разных единиц длины:
Например, нам надо перевести 1 м 30 см в сантиметры. Мы знаем, что в 1 метре – 100 сантиметров. Получается:
100см + 30см = 130 см
Для обратного перевода отделяем сотню сантиметров – это 1м и остается еще 30 см. Ответ: 1м 30см.
Если мы хотим выразить сантиметры в миллиметрах, вспоминаем, что в 1 сантиметре – 10 миллиметров.
Например, переведем 28 см в миллиметры: 28 × 10 = 280
Значит в 28 см – 280 мм.
Метр
Основной единицей длины является метр. Остальные единицы измерения образованы от метра с помощью латинских приставок. Например, в слове сантиметр латинская приставка санти означает сто, значит в одном метре сто сантиметров. В слове миллиметр – приставка милли – тысяча, это значит, что в одном метре тысяча миллиметров.
Дециметр
Десять сантиметров – это 1 дециметр. Обозначается: дм. В 1 метре – 10 дециметров
Выразим в сантиметрах:
1 дм = 10 см
4 дм = 40 см
3 дм 4 см = 30 см + 4 см = 34 см
1 м 2 дм 5 см = 100 см + 20 см + 5 см = 125 см
А теперь выразим в дециметрах:
1 м = 10 дм
4 м 8 дм = 48 дм
20 см = 2 дм
Столько разных видов измерений и как же сравнить длину разных отрезков, если первый отрезок длиной в 5 см 10 мм, а второй 10 дм. В нашей проблеме поможет разобраться главное правило сравнения величин:
Чтобы сравнить результаты измерений, нужно выразить их в одинаковых единицах измерений.
Итак, переведем длину наших отрезков в сантиметры:
5 см 10 мм = 51 см
10 дм = 100 см
51 см < 100 см
Значит второй отрезок длиннее первого.
Километр
Длинные расстояния измеряют в километрах. В 1 километре – 1000 метров. Слово километр образовано с помощью греческой приставки кило – 1000.
Выразим километры в метрах:
3 км = 3000 м
23 км = 23000 м
И обратно:
2400 м = 2 км 400 м
7650 м = 7 км 650 м
Итак, сведем все единицы измерений в одну таблицу:
Миллиметр
В 1 метре – 1000 миллиметров
1 м = 1000 мм
Сантиметр
В 1 метре – 100 сантиметров
1 м = 100 см
Дециметр
В 1 метре – 10 дециметров
1 м = 10 дм
Километр
В 1 километре – 1000 метров
1000 м = 1 км
Спасибо, что Вы с нами.
Понравилась статья — поделитесь с друзьями:
Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже
Вес проволоки, таблица расчета веса проволоки стальной, теоретический вес 1 метра погонного
Сколько весит стальная проволока? Ответ на этот вопрос вы найдете в приведенных выше таблицах расчета веса гладкой В-1 и рифленой ВР-1 проволоки в зависимости от ее диаметра. Удельный вес металлической проволоки, теоретический вес 1 метра погонного, количество метров проволоки в 1 тонне.
На сайте металлобазы «Аксвил» вы можете купить проволоку в Минске оптом и в розницу.
Смотрите также: Металлопрокат по размерам и типам.
Вес арматуры, таблица веса (масса) за 1 метр арматуры
При проведении строительно-монтажных работ расчет массы металлических изделий крайне важен, поскольку он позволяет оценить итоговые параметры возводимых конструкций и определить стоимость материала (для этого берется вес арматуры 10 мм за метр). Для проведения подсчетов можно использовать специальные таблицы, в которых указаны параметры прутков и их расчетная масса, а также популярные онлайн-калькуляторы, для применения которых нужно знать точные данные о технических характеристиках металлопроката.
Зная точную массу прокатных материалов, вы сможете существенно сэкономить, правильно подобрав транспортное средство для их транспортировки. Если вы не уверены, что сможете правильно произвести расчеты, в компании «Региональный Дом Металла» помогут узнать вес арматуры 12 мм за метр с предельной точностью, поскольку рассчитают его по специальной формуле. Посмотреть доступные виды арматуры для фундамента.
Таблица веса арматуры
Узнать, какую массу имеет изделие – арматура 12 вес 1 метра, можно из таблиц, в которых указываются:
масса одного погонного м изделия;
количество метров проката в одной тонне;
диаметр проката в миллиметрах;
площадь сечения прутков в сантиметрах квадратных;
класс стали, используемой в производстве.
Сортамент
Масса 1 метра
Масса (теоретич. ), кг.
Предельн. отклонения, %
6
0,222
+9 / -7
8
0,395
10
0,617
+5 / -6
12
0,888
14
1,21
16
1,58
+3 / -5
18
2,0
20
2,470
22
2,980
25
3,850
28
4,830
32
6,310
+3 / -4
36
7,990
40
9,870
45
12,480
50
15,410
+2 / -4
55
18,650
60
22,190
70
30,210
80
39,460
В большинстве случаев, используя таблицу, вы сможете найти искомую величину. Если же определить вес арматуры 16 мм за метр таблица не помогла, можно прибегнуть к использованию онлайн-калькулятора по размеру для проведения расчетов. Для его применения необходимо знать следующие параметры: диаметр проката, длину прутков и их количество. Калькулятор посчитает массу общую и для одного стержня, общую длину прутков, объем в кубометрах. Существуют также калькуляторы, которые основываются на справочных данных при подсчете. Чтобы воспользоваться ими, нужно знать ГОСТ, по которому изготовлен прокат, материал изготовления и сортамент (наименование проката). Существуют так же товары, для которых данный инструмент не пригоден, один из таких продуктов — сетка кладочная, страницу которой можно найти тут.
Масса арматуры
Что же делать, если под рукой нет онлайн-калькулятора, а данным таблиц в интернете вы не очень доверяете? Все просто – определить вес арматуры 8 мм за метр вы можете самостоятельно, воспользовавшись самым обычным калькулятором. Чтобы узнать массу погонного метра металлопроката, нужно определить общую длину прутков, а затем умножить удельную массу погонного метра изделия на количество метров. Для расчета используется формула: 1 м х (3,14 х D x D/4). Произведя действия в скобках, получим геометрическую площадь круга с заданным диаметром. Не нашли что искали? Возможно вам будет интересна страница с затворами трубопроводными, найти которую можно тут: https://rdmetall.ru/truboprovodnaya-armatura/zatvory/.
Таким образом, вес погонного метра арматуры получаем, умножив объем на удельную массу изделия, равную 7850 килограмм на кубометр. Пример вычислений для одного м прутка диаметром 8 миллиметров. Объем металла: 1 м х (3,14 х 0,008 м х 0,008 м/4) = 0,00005024. Удельная масса: 0,00005024 кубометр х 7850 килограмм на кубометр = 0,394384 килограмма. В формулу можно подставлять любое значение D, и получать точные данные по любому металлопрокату, что позволит определить стоимость конструкций для строительства.
Диагональ телевизора в см и дюймах таблица
Диагональ экрана определяет размеры телевизора и играет большую роль при выборе телевизионного приемника. От правильности выбора размера экрана зависит комфортность просмотра видео на телевизоре.
В телевизионной индустрии принято указывать размер диагонали экрана, а не размеры телевизора. На упаковке или в инструкции вы, разумеется, найдете и размеры тв, но главным считается все-таки диагональ дисплея. Эта диагональ указывается и в названии модели. В маркировке телевизора размер диагонали экрана указывается в дюймах.
Что такое дюйм?
Сколько будет, если перевести 1 дюйм в см? Как известно 1 дюйм равняется 2,54 сантиметра. Дюйм (от нидерл. duim — большой палец) — название для единицы измерения расстояния в европейских неметрических системах мер. Сегодня под дюймом чаще всего понимают английский дюйм (англ. inch), равный 2,54 см ровно.
Именно с 1958 года решили принять значение дюйма ровно в 25,4 мм, а до этого после запятой было намного больше знаков. Соотношение дюймов и сантиметров следующее:
1 дюйм = 2,54 см = 25,4 мм
1 см = 0,3937 дюйма
1 м = 39,37 дюйма
В английской системе мер 1 дюйм = 12 линий = 72 точки = 1/12 фута = 1/36 ярда.
После принятия международной системы единиц измерения СИ, дюймы считаются устаревшим обозначением, которое должно быть постепенно выведена из употребления. Но, несмотря на это дюймы продолжают применяться в технике при указании калибров и форм-факторов, для совместимости с давно устоявшимися техническими решениями. При этом в качестве знака дюймов используется двойной штрих (кавычка «).
В телевизионной технике в дюймах выражают диагональ экрана, которая измеряется как расстояние между противоположными углами матрицы. Например, 37″ означает экран с диагональю в 37 дюймов или 37х2,54=93,98 см.
Простой конвертер длины для перевода дюймов в сантиметры и см в дюймы:
Размеры экрана и диагональ
Размеры телевизоров в зависимости от диагонали, таблица в см представлена ниже. Но там размеры дисплея, а для получения размеров телевизора нужно добавить несколько миллиметров или сантиметров.
Диагональ телевизора в см и дюймах, таблица перевода величин:
Диагональ экрана дюймы и сантиметры
Ширина экрана сантиметры
Высота экрана сантиметры
32″
81.3
70.8
39.9
33″
83.8
73.1
41.1
34″
86.4
75.3
42.3
35″
88.9
77.5
43.6
36″
91.4
79.7
44.8
37″
94
81.9
46.1
38″
96.5
84.1
47.3
39″
99.1
86.3
48. 6
40″
101.6
88.6
49.8
41″
104.1
90.8
51.1
42″
106.7
93
52.3
43″
109.2
95.2
53.6
44″
111.8
97.4
54.8
45″
114.3
99.6
56
46″
116.8
101.8
57.3
47″
119.4
104.1
58.5
48″
121.9
106.3
59.8
49″
124.5
108.5
61
50″
127
110.7
62.3
51″
129.5
112.9
63. 5
52″
132.1
115.1
64.8
53″
134.6
117.3
66
54″
137.2
119.6
67.2
55″
139.7
121.8
68.5
Диагональ экрана дюймы и сантиметры
Ширина экрана сантиметры
Высота экрана сантиметры
56″
142.2
124
69.7
57″
144.8
126.2
71
58″
147.3
128.4
72.2
59″
150
130.6
73.5
60″
152.4
132.8
74.7
61″
154.9
135
76
62″
157. 5
137.3
77.2
63″
160
139.5
78.5
64″
162.6
141.7
79.7
65″
165.1
143.9
80.9
66″
167.6
146.1
82.2
67″
170.2
148.3
83.4
68″
172.7
150.5
84.7
69″
175.3
152.8
85.9
70″
177.8
155
87.2
71″
180.3
157.2
88.4
72″
182.9
159.4
89.7
73″
185.4
161.6
90.9
74″
188
163. 8
92.2
75″
190.5
166
93.4
76″
193
168.3
94.6
77″
195.6
170.5
96
78″
198.1
172.7
97.1
79″
200.7
174.9
98.4
80″
203.2
177.1
99.6
81″
205.7
179.3
100.9
82″
208.3
181.5
102.1
83″
210.8
183.8
103.4
Диагональ экрана дюймы и сантиметры
Ширина экрана сантиметры
Высота экрана сантиметры
84″
213. 4
186
104.6
85″
215.9
188.2
105.9
86″
218.4
190.4
107.1
87″
221
192.6
108.3
88″
223.5
194.8
109.6
89″
226.1
197
110.8
90″
228.6
199.2
112.1
91″
231.1
201.5
113.3
92″
233.7
203.8
114.6
93″
236.2
205.9
115.8
94″
238.8
208.1
117.1
95″
241.3
210.3
118.3
96″
243. 8
212.5
119.6
97″
246.4
214.7
120.8
98″
248.9
217
122
99″
251.5
219.2
123.3
100″
254
221.4
124.5
101″
256.5
223.6
125.8
102″
259.1
225.8
127
103″
261.6
228
128.3
104″
264.2
230.2
129.5
105″
266.7
232.5
130.8
106″
269.2
234.7
132
107″
271.8
236.9
133.2
108″
274. 3
239.1
134.5
109″
276.9
241.3
135.7
110″
279.4
243.5
137
Например, если взять телевизор 32 дюйма, то это сколько будет в см? Воспользовавшись расчетами в конверторе, получим, что 32 дюйма в сантиметрах будет 81,3. Другой пример, переводим 22 дюйма в см, получаем 55,9 сантиметра. А если взять диагональ 42 дюйма, то получим 106,7 сантиметра.
Разные размеры телевизора
Единицы измерения
Этот урок не будет новым для новичков. Все мы слышали со школы такие понятия как сантиметр, метр, километр. А когда речь заходила о массе, обычно говорили грамм, килограмм, тонна.
Сантиметры, метры и километры; граммы, килограммы и тонны носят одно общее название — единицы измерения физических величин.
В данном уроке мы рассмотрим наиболее популярные единицы измерения, но не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку единицы измерения уходят в область физики. Сегодня мы вынуждены изучить часть физики, поскольку нам это необходимо для дальнейшего изучения математики.
Единицы измерения длины
Для измерения длины предназначены следующие единицы измерения:
миллиметры;
сантиметры;
дециметры;
метры;
километры.
Самая маленькая единица измерения это миллиметр (мм). Миллиметры можно увидеть даже воочию, если взять линейку, которой мы пользовались в школе каждый день
Подряд идущие друг за другом маленькие линии это и есть миллиметры. Точнее, расстояние между этими линиями равно одному миллиметру (1 мм):
Следующая единица измерения это сантиметр (см). На линейке каждый сантиметр обозначен числом. К примеру наша линейка, которая была на первом рисунке, имела длину 15 сантиметров. Последний сантиметр на этой линейке выделен числом 15.
В одном сантиметре 10 миллиметров. Между одним сантиметром и десятью миллиметрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину:
1 см = 10 мм
Вы можете сами убедиться в этом, если посчитаете количество миллиметров на предыдущем рисунке. Вы обнаружите, что количество миллиметров (расстояний между линиями) равно 10.
Следующая единица измерения длины это дециметр (дм). В одном дециметре десять сантиметров. Между одним дециметром и десятью сантиметрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину:
1 дм = 10 см
Вы можете убедиться в этом, если посчитаете количество сантиметров на следующем рисунке:
Вы обнаружите, что количество сантиметров равно 10.
Следующая единица измерения это метр (м). В одном метре десять дециметров. Между одним метром и десятью дециметрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину:
1 м = 10 дм
К сожалению, метр нельзя проиллюстрировать на рисунке, потому что он достаточно великоват. Если вы хотите увидеть метр в живую, возьмите рулетку. Она есть у каждого в доме. На рулетке один метр будет обозначен как 100 см. Это потому что в одном метре десять дециметров, а в десяти дециметрах сто сантиметров:
1 м = 10 дм = 100 см
100 получается путём перевода одного метра в сантиметры. Это отдельная тема, которую мы рассмотрим чуть позже. А пока перейдём к следующей единице измерения длины, которая называется километр.
Километр считается самой большой единицей измерения длины. Есть конечно и другие более старшие единицы, такие как мегаметр, гигаметр тераметр, но мы не будем их рассматривать, поскольку для дальнейшего изучения математики нам достаточно и километра.
В одном километре тысяча метров. Между одним километром и тысячью метрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину:
1 км = 1000 м
В километрах измеряются расстояния между городами и странами. К примеру, расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга около 714 километров.
Международная система единиц СИ
Международная система единиц СИ — это некоторый набор общепринятых физических величин.
Основное предназначение международной системы единиц СИ — достижение договоренностей между странами.
Мы знаем, что языки и традиции стран мира различны. С этим ничего не поделать. Но законы математики и физики одинаково работают везде. Если в одной стране «дважды два будет четыре», то и в другой стране «дважды два будет четыре».
Основная проблема заключалась в том, что для каждой физической величины существует несколько единиц измерения. К примеру, мы сейчас узнали, что для измерения длины существуют миллиметры, сантиметры, дециметры, метры и километры. Если несколько ученых, говорящих на разных языках, соберутся в одном месте для решения какой-нибудь задачи, то такое большое многообразие единиц измерения длины может породить между этими учеными противоречия.
Один ученый будет заявлять, что в их стране длина измеряется в метрах. Второй может сказать, что в их стране длина измеряется в километрах. Третий может предложить свою единицу измерения.
Поэтому была создана международная система единиц СИ. СИ это аббревиатура от французского словосочетания Le Système International d’Unités, SI (что в переводе на русский означает — международная система единиц СИ).
В СИ приведены наиболее популярные физические величины и для каждой из них определена своя общепринятая единица измерения. К примеру, во всех странах при решении задач условились, что длину будут измерять в метрах. Поэтому, при решении задач, если длина дана в другой единице измерения (например, в километрах), то её обязательно нужно перевести в метры. О том, как переводить одну единицу измерения в другую, мы поговорим немного позже. А пока нарисуем свою международную систему единиц СИ.
Наш рисунок будет представлять собой таблицу физических величин. Каждую изученную физическую величину мы будем включать в нашу таблицу и указывать ту единицу измерения, которая принята во всех странах. Сейчас мы изучили единицы измерения длины и узнали, что в системе СИ для измерения длины определены метры. Значит наша таблица будет выглядеть так:
Единицы измерения массы
Масса – это величина, обозначающая количество вещества в теле. В народе массу тела называют весом. Обычно, когда что-либо взвешивают, говорят «это весит столько-то килограмм», хотя речь идёт не о весе, а о массе этого тела.
Вместе с тем, масса и вес это разные понятия. Вес — это сила с которой тело действует на горизонтальную опору. Вес измеряется в ньютонах. А масса это величина, показывающая количество вещества в этом теле.
Но ничего страшного нет в том, если вы назовёте массу тела весом. Даже в медицине говорят «вес человека», хотя речь идёт о массе человека. Главное быть в курсе, что это разные понятия
Для измерения массы используются следующие единицы измерения:
миллиграммы;
граммы;
килограммы;
центнеры;
тонны.
Самая маленькая единица измерения это миллиграмм (мг). Миллиграмм скорее всего вы никогда не примените на практике. Их применяют химики и другие ученые, которые работают с мелкими веществами. Для вас достаточно знать, что такая единица измерения массы существует.
Следующая единица измерения это грамм (г). В граммах принято измерять количество того или иного продукта при составлении рецепта.
В одном грамме тысяча миллиграммов. Между одним граммом и тысячью миллиграммами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же массу:
1 г = 1000 мг
Следующая единица измерения это килограмм (кг). Килограмм это общепринятая единица измерения. В ней измеряется всё что угодно. Килограмм включен в систему СИ. Давайте и мы включим в нашу таблицу СИ ещё одну физическую величину. Она у нас будет называться «масса»:
В одном килограмме тысяча граммов. Между одним килограммом и тысячью граммами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же массу:
1 кг = 1000 г
Следующая единица измерения это центнер (ц). В центнерах удобно измерять массу урожая, собранного с небольшого участка или массу какого-нибудь груза.
В одном центнере сто килограммов. Между одним центнером и ста килограммами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же массу:
1 ц = 100 кг
Следующая единица измерения это тонна (т). В тоннах обычно измеряются большие грузы и массы больших тел. Например, масса космического корабля или автомобиля.
В одной тонне тысяча килограмм. Между одной тонной и тысячью килограммами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же массу:
1 т = 1000 кг
Единицы измерения времени
Что такое время думаем объяснять не нужно. Каждый знает что из себя представляет время и зачем оно нужно. Если мы откроем дискуссию на то, что такое время и попытаемся дать ему определение, то начнем углубляться в философию, а это нам сейчас не нужно. Лучше начнём с единиц измерения времени.
Для измерения времени предназначены следующие единицы измерения:
секунды;
минуты;
часы;
сутки.
Самая маленькая единица измерения это секунда (с). Есть конечно и более маленькие единицы такие как миллисекунды, микросекунды, наносекунды, но их мы рассматривать не будем, поскольку на данный момент в этом нет смысла.
В секундах измеряются различные показатели. Например, за сколько секунд спортсмен пробежит 100 метров. Секунда включена в международную систему единиц СИ для измерения времени и обозначается как «с». Давайте и мы включим в нашу таблицу СИ ещё одну физическую величину. Она у нас будет называться «время»:
Следующая единица измерения времени это минута (м). В одной минуте 60 секунд. Между одной минутой и шестьюдесятью секундами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одно и то же время:
1 м = 60 с
Следующая единица измерения это час (ч). В одном часе 60 минут. Между одним часом и шестьюдесятью минутами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одно и то же время:
1 ч = 60 м
К примеру, если мы изучали этот урок один час и нас спросят сколько времени мы потратили на его изучение, мы можем ответить двумя способами: «мы изучали урок один час» или так «мы изучали урок шестьдесят минут». В обоих случаях, мы ответим правильно.
Следующая единица измерения времени это сутки. В сутках 24 часа. Между одними сутками и двадцатью четырьмя часами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одно и то же время:
1 сут = 24 ч
Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Сколько штук бруса в 1 кубе
Зачем знать, сколько бруса в кубе
Как рассчитать
Таблица с расчетами
При строительстве дома, дачи, хозяйственного или подсобного строения всегда важно знать, какое количество стройматериала понадобится. Зная, сколько бруса в кубе, вы приобретете нужное количество древесины и избежите лишних финансовых затрат.
Статья поможет выполнить самостоятельный расчет бруса в кубе и ответит на вопрос, зачем знать, сколько досок содержится одном кубометре.
Зачем знать, сколько бруса в кубе
Брус в малоэтажном строительстве применяется для возведения капитальных строений, сезонных построек, зданий коммерческого назначения, а также в ремонтных отделочных работах. Чтобы избежать ошибок и непредусмотренных денежных трат, важно уметь определять, сколько штук бруса составляет один куб стройматериала. Расчет не отличается особой сложностью и доступен каждому, однако прежде чем применять формулу, стоит немного вспомнить теорию.
Метры бывают не только квадратными, но еще и погонными, а также кубическими. Затевая стройку, требуется досконально разобраться в этих единицах измерения. Если для стройки, ремонта или отделки используется древесина, понадобится подробно изучить правила перерасчета погонного метража в кубический, а также научиться рассчитывать количество досок в 1-м кубометре стройматериала. Этот показатель напрямую зависит от сечения доски и варьируется в весьма широких пределах.
Проще всего узнать, сколько штук в кубе – это воспользоваться таблицей, представленной в одном из следующих разделов нашей статьи. Однако если под рукой такой таблицы нет, на помощь придет универсальная формула расчета.
Есть две конкретных причины, по которым нужно знать точное количество бруса:
Для расчета общей цены стройматериала на весь объект (это понадобится для составления сметы и общего бюджета проекта).
Для расчета количества досок, которое вам понадобится для работы.
Как рассчитать
Кубический метр (сокращенно «м3») представляет собой единицу объема и соотносится с размерами куба с длинами ребер в 1 м. Согласно нормативам ГОСТ, деревянные стройматериалы должны иметь измеряемые показатели сечения и длины, чтобы можно было без труда вычислить количество досок, составляющих куб материала.
Чтобы выяснить точное число, требуется знать размеры бруса. В официальных прайсах компаний, торгующих строительными материалами, всегда указывают сечение бруса – другими словами, ширину и высоту. К примеру, 100 х 150 означает, что ширина доски 100 мм, а высота – 150 мм. Длина чаще всего стандартная и составляет 6 м (6000 мм).
Это значит, объем бруса высчитывается произведением всех трех показателей между собой. Единицы измерения потребуется перевести в метры.
V = 0.1 м х 0.15 м х 6 м = 0.09 куб. м (м3).
Остается узнать, сколько материала вместится в одном кубометре. Для этого кубометр нужно поделить на полученной количество.
А = 1 м3/0.09 = 11.11 штук
Итак, на в одном кубе будет 11 штук бруса.
Как видите, ничего сложно – сейчас в каждом телефоне есть калькулятор, который ускорит ваши вычисления. Зная, сколько штук понадобится на 1 кубический метр, вы точно рассчитаете, какое количество материала заказывать для конкретной постройки.
Иногда для строительства одного объекта нужны разные виды бруса. В этом случае для каждой доски высчитывается свое количество согласно формуле.
Таблица с расчетами
Для удобства расчетов предлагаем вашему вниманию таблицу с размерами бруса и количеством досок в кубе:
Размеры бруса
(в мм)
Объем 1 бруса
(в кубических метрах, м3)
Количество в одном кубе
(штук)
100 х 100 х 6000
0,06
16
100 х 150 х 6000
0,09
11
150 х 150 х 6000
0,135
7
100 х 180 х 6000
0,108
9
150 х 180 х 6000
0,162
6
180 х 180 х 6000
0,1944
5
100 х 200 х 6000
0,12
8
150 х 200 х 6000
0,18
5
180 х 200 х 6000
0,216
4
200 х 200 х 6000
0,24
4
250 х 200 х 6000
0,3
3
250 х 250 х 6000
0,375
2
250 х 300 х 6000
0,45
2
300 х 300 х 6000
0,54
1
Помните, что недобросовестные продавцы пиломатериалов часто занижают реальные размеры бруса в сравнении с заявленными показателями. Брус, который продают такие фирмы, будет иметь меньшее сечение, что чревато ошибками в дальнейших расчетах. По этой причине стоит проверять размеры материала на месте (в магазине или на складе). Рекомендуем иметь дело только с проверенными компаниями с безупречной репутацией, которые отвечают за каждую единицу товара и реализуют только качественную продукцию, соответствующую нормативам ГОСТ.
Таблица метрической системы
Таблица метрической системы
[Таблица]
Таблицы преобразования и методы, используемые, когда
преобразование
из метрических единиц в метрические единицы
(Длина)
Некоторые термины, которые следует запомнить
Метр —
Длина
Кило —
Тыс.
Литр —
Объем
Милли —
Тыс.
Грамм —
Масса / Вес
Сенти —
Сто
по Цельсию —
Температура
Деци — Тен
Измерение длины
10 миллиметра (мм)
=
1 сантиметр (см)
10 сантиметра =
1 дециметра (дм) = 100
миллиметры
100 сантиметр =
1 метр (м) = 1000
миллиметры
1000 метра =
1 километр (км)
Операции для длины
Пример : Чтобы получить сантиметры из метров, вы
умножьте метры на 100
У вас : 23 метра
Вы хотите Центры : Итак, Сантиметров = 23 Метров
Умножаем метры на 100 :
Вы хотите Центры : Итак, Сантиметров = 23 Метров
2300 сантиметров в 23 метрах или 100 сантиметров для
каждый метр.
Укажите значения ниже, чтобы преобразовать метр [м] в миллиметр [мм], или наоборот .
Метр
Определение: Метр или метр (обозначение: м) — это основная единица измерения длины и расстояния в Международной системе единиц (СИ). Метр определяется как расстояние, проходимое светом за 1/299 792 458 секунды.Это определение было немного изменено в 2019 году, чтобы отразить изменения в определении второго.
История / происхождение: Первоначально, в 1793 году, метр определялся как одна десятимиллионная часть расстояния от экватора до Северного полюса. Ситуация изменилась в 1889 году, когда международный прототип измерителя был установлен как длина стержня прототипа метра (сделанного из сплава 90% платины и 10% иридия), измеренная при температуре плавления льда. В 1960 году измеритель был снова изменен, на этот раз с точки зрения определенного количества длин волн определенной линии излучения криптона-86. Текущее определение счетчика фактически такое же, как определение, принятое в 1983 году, с небольшими изменениями из-за изменения определения секунды.
Текущее использование: Являясь единицей измерения длины в системе СИ, счетчик используется во всем мире во многих приложениях, таких как измерение расстояния, высоты, длины, ширины и т. Д. Соединенные Штаты являются одним заметным исключением, поскольку в них в основном используются общепринятые единицы измерения США. например ярды, дюймы, футы и мили вместо метров в повседневном использовании.
Миллиметр
Определение: Миллиметр (символ: мм) — это единица измерения длины в Международной системе единиц (СИ). Он определяется в метрах, как 1/1000 метра, или расстоянии, пройденном светом за 1/299 792 458 000 секунды.
История / происхождение: Префикс милли — это один из многих метрических префиксов. Он указывает одну тысячную от базовой единицы, в данном случае — счетчика. Определение счетчика изменилось со временем, текущее определение основано на расстоянии, пройденном со скоростью света за заданный промежуток времени. Однако соотношение между метром и миллиметром постоянно. До этого определения счетчик основывался на длине опытного образца метра. В 2019 году счетчик был изменен на основе изменений, внесенных в определение секунды.
Таблица преобразования метра в миллиметр
Метр [м]
Миллиметр [мм]
0,01 м
10 мм
0,1 м
100 мм
1 м
1000 мм
2 м
2000 мм
3 м
3000 мм
5 м
5000 мм
10 м
10000 мм
20 м
20000 мм
50 м
50000 мм
100 м
100000 мм
1000 м
1000000 мм
Как преобразовать метр в миллиметр
1 м = 1000 мм 1 мм = 0. 001 м
Пример: преобразование 15 м в мм: 15 м = 15 × 1000 мм = 15000 мм
Популярные единицы преобразования длины
Преобразование метра в другие единицы длины
Преобразование метра в миллиметры
Таблица преобразования
метр
в миллиметры Таблица преобразования:
м до мм 1.0 = 1000 2,0 = 2000 3,0 = 3000 4,0 = 4000 5,0 = 5000 6.0 = 6000 7,0 = 7000 8,0 = 8000 9,0 = 9000
метр (британское написание : метр ; множественное число: метры; сокращение: м ) — единица длины, используемая в системе СИ (метрическая система). Один метр (м) = 1000 миллиметров (мм) = 0,000621371192 мили (миль) = 0,001 километра (км) = 10 дециметров (дм) = 100 сантиметров (см) = 3,2808399 футов (футов) = 1,0936133 ярда = 39,3700787 дюймов (дюймов) .
Метры в миллиметры Преобразование (м в мм)
Введите длину в метрах ниже, чтобы получить значение, переведенное в миллиметры.
Перевод единиц в миллиметры
Чтобы преобразовать измерение метра в миллиметр, умножьте длину на коэффициент преобразования.
Поскольку один метр равен 1000 миллиметрам, вы можете использовать эту простую формулу для преобразования:
миллиметры = метры × 1000
Длина в миллиметрах равна метрам, умноженным на 1000.
Например, вот как преобразовать 5 метров в миллиметры, используя формулу выше.
5 м = (5 × 1000) = 5000 мм
Сколько миллиметров в метре?
В метре 1000 миллиметра, поэтому мы используем это значение в приведенной выше формуле.
1 м = 1000 мм
Наш калькулятор дюймовой доли может добавить
метры и миллиметры вместе, а также автоматически преобразует результаты в стандартные американские, британские и метрические значения в системе СИ.
Метры и миллиметры — это единицы измерения длины. Продолжайте читать, чтобы узнать больше о каждой единице измерения.
Метр определяется как длина пути, пройденного светом в вакууме за интервал времени продолжительностью 1 / 299 792 458 секунды,
согласно последнему определению 2019 года. [1] Один метр равен 100 сантиметрам или 39,37 дюйма.
Метр или метр — это основная единица измерения длины в метрической системе СИ. Счетчики могут быть сокращены до м ; например, 1 метр можно записать как 1 м.
Один миллиметр равен одной тысячной (1/1000) метра, который определяется как расстояние, которое свет проходит в вакууме за 1 / 299 792 458 секунд.
Миллиметр или миллиметр кратны метру, который является базовой единицей измерения длины в системе СИ. В метрической системе «милли» является префиксом для 10 -3 . Миллиметры могут быть сокращены до мм ; например, 1 миллиметр можно записать как 1 мм.
Миллиметры часто представлены самыми маленькими штрихами на большинстве метрических линеек.Чтобы получить ориентир размера, толщина десятицентовика США составляет 1,35 мм. [2]
Мы рекомендуем использовать линейку или рулетку для измерения длины, которую можно найти в местном магазине или на дому.
Линейки доступны в британской, метрической системе или в комбинации с обоими значениями, поэтому убедитесь, что вы выбрали правильный тип для своих нужд.
Нужна линейка? Попробуйте наши бесплатно загружаемые и распечатываемые линейки, которые включают в себя как британские, так и метрические единицы измерения.
Миллиметры в Метры Конвертер
миллиметров в метров
Таблица преобразования
метра
в миллиметры
м
мм
1
1000
2
2000
3
3000
4
4000
5
5000
6
6000
7
7000
8
8000
9
9000
10
10000
11
11000
12
12000
13
13000
14
14000
15
15000
16
16000
17
17000
18
18000
19
19000
9001 7
20
20000
Как преобразовать
1 метр (м) = 1000 миллиметр (мм). Метр (м) — это единица измерения длины в метрической системе.
Миллиметр (мм) — это единица измерения длины в метрической системе.
Метр
— Единица измерения расстояния / длины
Условное обозначение / сокращение: м
Где используется единица в мире:
Счетчик используется как единица измерения средних расстояний или длин. Это стандартная мера для коротких расстояний (до 1 км в длину), в сфере недвижимости и строительства, расходных материалов, габаритов транспортных средств и самолетов, небольших географических расстояний и направлений в большинстве стран, за исключением США, где для этого все еще широко используются пешие и ярдовые пути. цель. Счетчик широко используется в большинстве стран и является официальной единицей измерения средней длины и расстояния (например, дорожные знаки в континентальной Европе показывают максимальную высоту транспортного средства в метрах). Основными исключениями являются Соединенные Штаты Америки и некоторые страны, где футы и ярды используются в ограниченном объеме: Соединенное Королевство и Канада, где двор остается в ограниченном использовании как часть имперской системы (например, ярды используются на дорогах). знаки для более коротких расстояний в Соединенном Королевстве и ноги широко используются в строительстве и недвижимости в Канаде).
Определение единицы:
Метр (метр в британском написании) — это единица измерения длины / расстояния в метрической системе (система единиц СИ), эквивалентная длине пути, пройденного светом за интервал времени 1/299 792 458 секунды (в вакууме, определяется с 1983 г.).
1 м эквивалентен 3,28084 футам или 0,000621371 миле.
История подразделения:
В результате Французской революции 1789 года старые единицы измерения, связанные с монархией, были заменены новыми.Была введена новая единица измерения длины, которая стала известна как метр. В 1795 году метр был определен как 1/10 000 000 часть четверти меридиана, проходящего через Париж. Счетчик приобрел популярность в континентальной Европе в девятнадцатом веке, особенно в научной сфере, и был официально принят в качестве международной единицы измерения в 1875 году. В 1960 году измеритель был определен как 1 650 763,73 длины волны света от указанного перехода в криптоне-86.
В 1983 году окончательное определение метра было принято как длина пути, пройденного светом в вакууме за 1/299 792 458 секунды.
Где используется:
Счетчик обычно используется в различных отраслях и отраслях (например, в машиностроении), на дорожных знаках для обозначения ограничений по высоте транспортного средства, расстояния до определенного места (например, в голосовых подсказках автомобильной GPS-навигации), на картах. для обозначения малых размеров транспортных средств, судов и самолетов в промышленности и торговле. Это также самая популярная единица для описания расстояний и размеров торговой недвижимости (размеры комнат, размеры этажей и т. Д.).
Аналоги в других единицах и шкалах:
1 м = 1000 миллиметров (мм)
1 м = 100 сантиметров (см)
1 м = 10 дециметров (дм)
1 м = 0,001 километра (км)
1 м = 3,28084 фута (фут)
1 мегаметр = 1000000 м
1 гигаметр = 1000000000 м
Единицы измерения длины в метрической системе СИ основаны на кратных или долях метра.
В метрической системе СИ есть измерения длины / расстояния, превышающие метр, которые могут быть выражены в метрах.
1 м эквивалентен 3,28084 фута или 1,09361 ярда.
Метр — это единица длины в метрической системе СИ и эквивалентна длине пути, пройденного светом за интервал времени 1/299 792 458 секунды (в вакууме, определенном с 1983 года).
Счетчики также могут быть обозначены как метра (в британском английском правописании).Миллиметры также могут быть обозначены как миллиметры .
Метрические единицы измерения и веса
См. в калькуляторе преобразования Infoplease.com
Линейная мера
10 миллиметров (мм) =
1 сантиметр (см)
10 сантиметров =
1 дециметр (дм)
= 100 миллиметров
10 дециметров =
1 метр (м)
= 1000 миллиметров
10 метров =
1 декаметр (дамба)
10 декаметров =
1 гектометр (гм)
= 100 метров
10 гектометров =
1 километр (км)
= 1000 метров
Измерение площади
100 квадратных миллиметров (мм 2 ) =
1 квадратный сантиметр ( 2 см)
10000 квадратных сантиметров =
1 квадратный метр (м 2 )
=
1000000 кв. Миллиметров
100 квадратных метров =
1 ар (а)
100 аров =
1 гектар (га)
=
10 000 кв. Метров
100 га =
1 квадратный километр ( 2 км)
=
1000000 квадратных метров
Измерение объема
10 миллилитров (мл) =
1 сантилитр (cl)
10 сантилитров =
1 децилитр (дл)
= 100 миллилитров
10 децилитров =
1 литр (л)
= 1000 миллилитров
10 литров =
1 декалитр (дал)
10 декалитров =
1 гектолитр (гл)
= 100 литров
10 гектолитров =
1 килолитр (кл)
= 1000 литров
Кубическая мера
1000 кубических миллиметров (мм 3 ) =
1 кубический сантиметр (см 3 )
1000 кубических сантиметров =
1 куб. дециметр (дм 3 )
=
1000000 кубических миллиметров
1000 кубических дециметров =
1 кубический метр (м 3 )
=
1 стере
=
1,000,000 куб. Сантиметров
=
1,000,000,000 куб. Миллиметров
Лучшие 3D-принтеры
Заинтересованы в 3D-печати?
Мы изучили основные моменты, которые следует учитывать при покупке 3D-принтера, и выбрали лучшие принтеры 2020 года, исходя из ваших потребностей.
Вес
10 миллиграммов (мг) =
1 сантиграмм (cg)
10 сантиграмм =
1 дециграмм (dg)
= 100 миллиграмм
10 дециграмм
1 грамм (г)
= 1000 миллиграммов
10 грамм =
1 декаграмм (даг)
10 декаграмм =
1 гектограмм (hg)
= 100 граммов
10 гектограммы =
1 килограмм (кг)
= 1000 граммов
1000 килограммов =
1 метрическая тонна (т)
Измерения
Перевести метр в сантиметры, сантиметры в метр (1 м = 100 см)
Ваш браузер не поддерживает элемент холста.
Это инструмент для преобразования метрических единиц, который может легко и быстро преобразовать метры в сантиметры или наоборот преобразовать сантиметры в метры,
и предоставляет процесс расчета и формулы,
Самым особенным является то, что он имеет уникальную визуальную динамическую виртуальную линейку, которая упрощает понимание результата.
Как пользоваться конвертером метров (м) и сантиметров (см)
Чтобы преобразовать метр в см, введите число в поле Метр
Чтобы преобразовать сантиметры в метр, введите число в поле CM
Число принимает десятичные и дробные числа, например.3,6 или 7 3/4
Метр (м) и сантиметр (см)
1 метр = 100 сантиметров
1 сантиметр = 0,01 метр = 1⁄100 метра
Сантиметр или сантиметр (американское написание) — единица длины в метрической системе,
равный одной сотой метра, в метрической системе приставка «сенти» означает «сотая часть».
Как преобразовать сантиметры в метры
Чтобы преобразовать сантиметры в метры, разделите количество сантиметров на 100, чтобы получить количество метров,
Ниже приводится математическая справка
сантиметра ÷ 100 = метра 460 см = 460 ÷ 100 = 4.6 мес.
Как перевести метр в см
Чтобы преобразовать метры в сантиметры, умножьте количество метров на 100,
Ниже приводится математическая справка
сантиметры х 100 = метры. 15,5 метра = 15,5 х 100 = 1550 см
Таблица перевода метров в сантиметры
1 метр = 100 см
2 метра = 200 см
3 метра = 300 см
4 метра = 400 см
5 метров = 500 см
6 метров = 600 см
7 метров = 700 см
8 метров = 800 см
9 метров = 900 см
10 метров = 1000 см
11 метров = 1100 см
12 метров = 1200 см
13 метров = 1300 см
14 метров = 1400 см
15 метров = 1500 см
16 метров = 1600 см
17 метров = 1700 см
18 метров = 1800 см
19 метров = 1900 см
20 метров = 2000 см
21 метр = 2100 см
22 метра = 2200 см
23 метра = 2300 см
24 метра = 2400 см
25 метров = 2500 см
26 метров = 2600 см
27 метров = 2700 см
28 метров = 2800 см
29 метров = 2900 см
30 метров = 3000 см
Что вы думаете об этом калькуляторе метров и см?
Преобразователи единиц длины
Преобразовать сантиметры в дюймы:
преобразовать мм в дюймы, см в дюймы, дюймы в см или мм,
включить десятичный дюйм в дробный дюйм.
Преобразование высоты:
преобразовать высоту из см в футы и дюймы, футы и дюймы в см,
имперские единицы и метрические единицы, конвертируют друг друга
Преобразование метров в футы:
конвертировать метры в футы и дюймы (m = ft, in) или конвертировать в обратном порядке.
Перевести футы в см:
конвертировать футы в сантиметры (ft = cm) или cm в футы.
Преобразование мм в футы:
преобразовать миллиметры в футы (mm = ft) или футы в мм.
Перевести ярды в метры:
конвертировать ярды в метры (yd = m) или метры в ярды, преобразование метрических и британских единиц.
Преобразовать мм в см:
преобразование миллиметров в сантиметры (мм = см) или сантиметров в миллиметры, преобразование метрических единиц.
Преобразовать метр в см:
преобразовать метры в сантиметры (м = см) или сантиметры в метры, преобразование метрических единиц.
Преобразование дюймов в футы:
конвертировать дюймы в футы (in = ft) или футы в дюймы, преобразование британских единиц.
УМК МЕРЗЛЯК: Дидактические материалы: Контрольные работы (7 КР) УМК МЕРЗЛЯК (угл.): КиСР — Контрольные работы 8 кл (10 КР).
УМК МАКАРЫЧЕВ: Жохов Дидактические материалы — Контрольные (10 КР) УМК МАКАРЫЧЕВ: Жохов Дидактические материалы — Самостоятельные (57 СР) УМК МАКАРЫЧЕВ: Глазков. Контрольно измерительные работы (10 КР) УМК МАКАРЫЧЕВ: Дудницын. Тематические тесты для 8 класса УМК МАКАРЫЧЕВ: Рурукин. Поурочные разработки: Контрольные (10 КР) УМК МАКАРЫЧЕВ (угл.): Карачинский. Самостоятельные и контрольные работы 8 кл
УМК МОРДКОВИЧ: Попов М.А. Дидактические материалы: Контрольные (7 КР) УМК МОРДКОВИЧ: Александрова. Контрольные работы в 8 классе УМК МОРДКОВИЧ: Домашние контрольные работы из уч. «Алгебра 8 класс. Часть 2-я»
УМК НИКОЛЬСКИЙ: Потапов. Дидактические материалы — Контрольные (7 КР)
УМК ДОРОФЕЕВ: Кузнецова и др. Контрольные работы для 8 класса (итоговая)
УМК АЛИМОВ: Жохов и др. Дидактические материалы — Контрольные (9 КР)
К любому УМК (базовому) — Ершова. Самост. и контр. работы по алгебре и геометрии (итоговая)
Электронные версии учебников и конспекты
Конспекты по математике (5-6 классы) и алгебре (7-9 классы)
Тесты по алгебре. 8 класс. К учебнику Никольского С.М. и др. — Журавлев С.Г., Ермаков В.В. и др. (2013, 144с.)
Алгебра. 7-8 классы. Тренажер. Тематические тесты и итоговые работы. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2013, 96с.)
Алгебра. 8 класс. Сборник тестов и контрольных заданий. Дюмина Т.Ю. (2010, 83с.)
Вы смотрели «Тесты по алгебре в 8 классе. Контрольные работы по алгебре 8 класс с ответами». Вернуться
Алгебра 8 класс. Тест. — Math
Прежде, чем проходить тест АЛГЕБРА 8 КЛАСС, очень рекомендуем пройти тесты на знание базовых тем по программам математики 5, 6 классов и алгебры 7 класса.
Математика 5 класс. Тест.
Математика 6 класс. Тест.
Алгебра 7 класс. Тест.
Почему это важно? Дело в том, что если есть «пробелы» в знаниях по программе 5, 6 или 7 классов, то с освоением программы алгебры 8 класса могут возникнуть определенные трудности.
Дело в том, что математика ( алгебра, геометрия ), в отличие от, например, географии, преподается «линейно-прогрессивно». Географию можно представить в виде огромной игры — сложение паззлов, в которой вы должны подобрать друг к другу все кусочки. Если вдруг вы не можете найти соответствующего кусочка (то есть не понимаете чего-то), это не так уж страшно — вы можете отложить это занятие и подобрать нужный элемент после.
Математика ( алгебра, геометрия ), в отличие от географии, в свою очередь, больше похожа на карточный домик. Каждая карта должна быть установлена на своем месте, прежде чем вы поставите следующие. Если какая-то из карт падает, то и весь домик рушится.
Наличие «пробелов» в знаниях по ключевым темам одна из причин почему большинство людей боятся и не любят математику. Именно поэтому ВАЖНО перед тем, как начать изучать программу алгебры 8 класса, убедиться, что со знанием базовых тем математики 5, 6 и 7 классов все в порядке.
Ну, что ж :-). Надеюсь тесты по программам математики 5, 6 классов и алгебры 7 класса успешно пройдены, а поэтому приступим:-).
Взять листик с ручкой 🙂
Сделать все задания теста самостоятельно, без помощи калькулятора, подглядываний в тетради и справочники и других «подручных» средств.
Проверить правильность ответов.
Определить уровень своих знаний:-). Если после прохождения теста выяснилось, что правильных ответов меньше 80%, то пробелы в знаниях есть, причем существенные.
Просмотреть видеоуроки по тем темам где были ошибки.
Выполнить ВСЕ задания и рекомендации из видеоуроков.
Проверить правильность ответов на задания для самопроверки из видеоуроков.
В случае, если какие-то из ответов не совпали с правильными еще раз переизучить нужные темы и исправить ошибки.
Проверить ответы:-)
Еще раз сделать тест:-)
Тест. Алгебра 8 класс.
Пришло время сверять ответы-).
ОТВЕТЫ К ТЕСТУ «АЛГЕБРА 8 КЛАСС» >>>
Полезные ссылки и материалы:
Математика 5 класс. Тест.
Математика 6 класс. Тест.
Алгебра 7 класс. Тест.
Онлайн тест ВПР по математике — ВПР тесты
1 тренировочный вариант ВПР с прошлого года. Ответы прилагаются.
Официальная демоверсия ВПР 2018 по математике здесь (4 класс).
Пробный тест ВПР по математике. №6
Лимит времени: 0
Информация
Тренировочный вариант ВПР для 4 класса.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 10
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 10
Количество баллов: 1
Найди значение выражения 35 + 67.
Правильно
Правильный ответ: 102
Неправильно
Правильный ответ: 102
Задание 2 из 10
Количество баллов: 1
Найди значение выражения 12 + 8⋅ 6 − 9.
Правильно
Правильный ответ: 51
Неправильно
Правильный ответ: 51
Задание 3 из 10
Количество баллов: 1
В 20-километровом забеге спортсмен добежал до отметки 19 км 650 м. Сколько метров ему осталось пробежать до финиша?
Правильно
Правильный ответ: 350 или 350 м
Неправильно
Правильный ответ: 350 или 350 м
Задание 4 из 10
Количество баллов: 2
На рисунке ниже изображён прямоугольник. 1) Найди площадь этого прямоугольника, если сторона клетки – 1 см.
Правильно
Правильный ответ: 20 см. кв.
Неправильно
Правильный ответ: 20 см. кв.
Задание 5 из 10
Количество баллов: 1
Ниже приведены данные по числу человек в очереди к каждому из трёх врачей.
В какое время с 11 до 15 часов у врача Семёнова была самая маленькая очередь?
Правильно
Правильный ответ: 13:00
Неправильно
Правильный ответ: 13:00
Задание 6 из 10
Количество баллов: 1
Найди значение выражения 32 ⋅ 6 − 488:8.
Правильно
Правильный ответ: 131
Неправильно
Правильный ответ: 131
Задание 7 из 10
Количество баллов: 1
В кинотеатре показывают фильм, длительность которого – 2 часа 35 минут. После каждого сеанса устраивается перерыв на полчаса. Первый сеанс начался в 13:00. Во сколько закончится третий сеанс?
Правильно
Правильный ответ: 21:45
Неправильно
Правильный ответ: 21:45
Задание 8 из 10
Количество баллов: 2
В школе 20 кабинетов, в каждом кабинете стоит по 10 столов, а у каждого стола – по 2 стула. После учебного года в школе осталось 387 целых стульев. Сколько стульев требуется купить?
Правильно
Правильный ответ: 13
Неправильно
Правильный ответ: 13
Задание 9 из 10
Количество баллов: 2
Петру Николаевичу нужно посетить трёх врачей в поликлинике: хирурга, стоматолога и окулиста. Он пришёл в поликлинику к 15 часам и выяснил, что стоматолог принимает с 15 до 17 часов, хирург – с 16 до 18, а окулист свободен только с 17 до 18 часов. Петру Николаевичу удалось посетить всех трёх врачей и провести у каждого ровно по часу. У какого врача Петр Николаевич был в 17:30?
Правильно
Правильный ответ: у окулиста
Неправильно
Правильный ответ: у окулиста
Задание 10 из 10
Количество баллов: 2
В начале 2015 года в шкафу у Артема стояло 33 книги, некоторые из них он читал, а некоторые нет. До 23 февраля он прочитал четыре книги, а на 23 февраля ему подарили три книги, которые он не читал. Вечером 23 февраля Артем заметил, что теперь прочитанных книг у него в два раза больше, чем тех, которые он не читал. Сколько прочитанных книг было у Артема в шкафу в начале 2015 года?
Правильно
Правильный ответ: 20
Неправильно
Правильный ответ: 20
Библиотека видеоуроков по школьной программе InternetUrok.ru
Внимательно ознакомьтесь с условиями пользования ресурсами сайта
https://interneturok.ru/ (далее – Сайт). Пользуясь Сайтом ЧОУ «Первая народная школа» (125368, г. Москва, ул. Барышиха, д.23, пом. IV, ком. №13-19), Вы подтверждаете, что полностью принимаете следующие условия:
1. Под термином «содержание» в рамках настоящего Соглашения подразумеваются любые материалы, документы, изображения, схемы, аудио- или видеоинформация (и любая другая информация), полученные на Сайте или размещенные на нем.
2. Сайт представляет собой программное средство, позволяющее хранить, систематизировать и транслировать содержание научно-образовательного характера.
3. Сайт предоставляет возможность доступа к имеющимся на нем ресурсам исключительно в ознакомительных целях..
4. Информация, размещенная на Сайте, не является справочной и предоставляется исключительно в научно-образовательных целях.
5. Размещение видео и других материалов с Сайта на сторонних ресурсах запрещено.
6. Администрация Сайта не несет никакой ответственности за действия пользователей, связанные с использованием представленной на Сайте информации, и не возмещает убытки.
7. Информация на Сайте предоставляется также путем подключения третьих сторон к содержанию: предоставлением гиперссылок, указателей на другие сайты, поддерживаемые третьими лицами, предоставлением содержания сторонних сайтов обрамлением (фреймингом) и другими методами.
8. Подключение к содержанию сторонних сайтов предоставляется исключительно для удобства и информирования. Ответственность за содержание сторонних сайтов лежит на их создателях.
9. Если иное не указано в описании или титрах к видеоматериалу, конспекту, тренажеру, тесту (далее – Материалы), все исключительные права на Материалы, размещенные на Сайте, принадлежат ООО «ИНТЕРДА». Все исключительные права на записи онлайн-консультаций, домашние задания (в виде вопросов, тестов, упражнений, задач, примеров) (далее – Материалы) принадлежат ЧОУ «Первая народная школа». Если иное не указано прямо, Услуги Сайта предоставляются только для целей личного некоммерческого использования. Без письменного разрешения администрации Сайта запрещается любое изменение, копирование, распространение, републикация, создание производных произведений, пересылка, продажа, лицензирование Материалов Сайта, за исключением трансляции Материалов Сайта исключительно в учебных учреждениях путём показа (трансляции) видеоматериалов или их частей напрямую с Сайта.
10. Администрация Сайта приветствует гипертекстовые ссылки на Сайт.
11. Запрещено использовать Материалы и сервисы Сайта для любых целей, противоречащих нормам морали и нравственности, целям создания данного Сайта, и/или нарушающих (могущих нарушить) запреты, предусмотренные настоящим Соглашением, и/или нарушающих (могущих нарушить) действующее законодательство РФ об авторских правах.
12. Запрещено использовать Услуги Сайта любым способом, служащим для целей нанесения ущерба нормальному функционированию данного Сайта (включая флудинг, DOS-атаки, ограничение доступа к Сайту третьих лиц, но не ограничиваясь ими).
13. Запрещено предпринимать попытки завладения чужими учетными записями (аккаунтами) на Сайте любыми способами (включая взлом пароля перебором, хакерство, фишинг, социальную инженерию, но не ограничиваясь ими).
14. Не допускаются пропаганда или агитация, возбуждающие социальную, расовую, национальную или религиозную ненависть и вражду, пропаганда наркотических средств, психотропных веществ, а также иные виды пропаганды, запрещенные законами Российской Федерации. Запрещается пропаганда социального, расового, национального, религиозного или языкового превосходства.
15. Запрещено использование в сообщениях на Сайте и в данных при регистрации (логин, имя) ненормативной лексики, а также любых выражений, оскорбляющих личность собеседника или третьего лица (в том числе криптованный мат – латиницей, с использованием звёздочек, математических и иных символов).
16. Регистрируясь на Сайте, Пользователь дает свое согласие на участие в сборе диагностической информации, сведений об использовании Сайта, а также на обработку персональных данных, указанных на Сайте (ФИО, адрес электронной почты, пароль, возраст, место проживания, роль на Сайте), на любое действие (операцию) или совокупность действий (операций), совершаемых с персональными данными, включая сбор, запись, систематизацию, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передачу (в т.ч. трансграничную и третьим лицам — партнерам), обезличивание, блокирование, удаление, уничтожение персональных данных с использованием средств автоматизации в целях информирования об услугах, предоставления и улучшения качества услуг, облегчения доставки обновлений ПО, поддержки Сайта и оказания других услуг, а также для проверки соблюдения условий настоящего Соглашения. Согласие вступает в силу с момента регистрации на Сайте и действует в течение сроков, установленных действующим законодательством РФ.
17. Администрация Сайта имеет право самостоятельно и без предварительного уведомления менять контент Сайта, в том числе транслируемые видеоуроки и условия настоящего Соглашения.
18. Администрация Сайта имеет право в одностороннем порядке менять политику использования своего контента Пользователем и партнерами, в том числе вводить платные Услуги.
Заочная физико-техническая школа (ЗФТШ) Московского физико-технического института (национального исследовательского университета) (МФТИ)
ВНИМАНИЕ!
В связи с отпусками сотрудников на все вопросы, заданные на форумах, по электронной почте и группах ВКонтактке в период с 10.07.21 по 22.08.21, оветы будут даны в конце августа — начале сентября. Дежурный сотрудник будет находиться на рабочем месте с понедельника по пятницу с 10.00 до 14.00.
Набор на очное отделение
Набор на Очное отделение ЗФТШ на 2021–2022 учебный год
Начнется с 24 августа 2021 г.
Подробнее на http://www.school.mipt.ru
НАБОР НА ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ЗФТШ ОКОНЧЕН
Решение приёмной комиссии будет сообщено до 1 июня 2021 года по указанному при регистрации адресу электронной почты. Также в личном аккаунте появится справка о зачислении в ЗФТШ.
Дистанционные классы
Заочная физико-техническая школа МФТИ при поддержке Общественной палаты Российской Федерации реализует образовательный проект по созданию Дистанционных онлайн-классов дополнительной олимпиадной подготовки для обучающихся 7–11 классов с целью оказания содействия одаренным школьникам из малых городов и сельских районов в получении углубленных знаний по естественнонаучным дисциплинам.
Подробнее смотрите по ссылке
https://zftsh.online/page/klassy-zftsh
Вниманию учащихся ОЧНОГО отделения
Учащиеся, сдавшие переводные экзамены на положительные отметки (3, 4 и 5), автоматически переводятся в следующий класс. Справка о переводе появится в личном кабинете учащегося на сайте https://zftsh.online Начало занятий в следующем учебном году — 1 октября 2021. Расписание занятий будет опубликовано в группе ВФТШ в ВК после 20 сентября 2021.
ИЗМЕНЕНИЕ В УЧЕТЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОСТИЖЕНИЙ
Изменились требования Минобрнауки РФ к индивидуальным достижениям.
В этом учебном году за окончание ЗФТШ баллы ИД не присуждаются.
При поступлении в МФТИ ЗФТШ будет учитываться в первую очередь в ранжировании при прочих равных условиях.
Поступление в ЗФТШ
ЗФТШ работает в сфере профильного дополнительного образования детей с 1966 года. За прошедшие годы школу окончили более 100 тысяч учащихся; каждый второй студент МФТИ – её бывший ученик. Обучение в школе ведётся по четырем предметам научно-технической направленности – физике, математике, информатике и химии. Выбрать для обучения можно как все предметы сразу, так и произвольный набор из них. Цель нашей школы – помочь учащимся 8 – 11-х классов общеобразовательных учреждений, интересующимся предметами научно-технической направленности, углубить и систематизировать свои знания по этим предметам, а также способствовать их профессиональному самоопределению.
Распределение учащихся
Решутест. Продвинутый тренажёр тестов
Решутест. Продвинутый тренажёр тестов
ОГЭ и ЕГЭ Гонка-все предметы, интенсивная подготовка с нуля за 600р по промокоду Решутест
Вступить в гонку
ЕГЭ-гонка 2021
Интенсивная подготовка с нуля за 600р по промокоду решутест
Вступить в гонку
Что такое «Решутест»
Решутест — образовательная платформа для подготовки к тестам от компании MAXIMUM. Наши методисты регулярно обновляют базу знаний и тестов, чтобы они оставались актуальными. Симуляции настоящего ЕГЭ, ОГЭ и других тестов — самое то, чтобы ты подошел к экзаменам во всеоружии.
Онлайн-платформа
Готовься к тестам не выходя из дома, в дороге или кафе!
Шаг 1
Решай
10 предметов, 225 вариантов, 9990+ заданий. Симуляции настоящих тестов по ЕГЭ, ОГЭ и др.
Шаг 2
Учи
Знаешь основу — знаешь и ответ! Читай теорию, тогда прогресс не заставит себя долго ждать.
Шаг 3
Сдавай
Каждый 3-й наш ученик получил 80+ баллов на ЕГЭ в 2019. Звучит неплохо? Присоединяйся
Предметы и задания
ЕГЭ
ОГЭ
Другие
10 предметов, 225 вариантов, 9990+ заданий.
Наши методисты регулярно обновляют базу заданий, чтобы они оставались актуальными
10 предметов, 225 вариантов, 9990+ заданий.
Наши методисты регулярно обновляют базу заданий, чтобы они оставались актуальными
10 предметов, 225 вариантов, 9990+ заданий.
Наши методисты регулярно обновляют базу заданий, чтобы они оставались актуальными
Отзывы
О MAXIMUM
Инновационные технологии в онлайн-обучении
8
лет готовим к ЕГЭ и ОГЭ
30
учебных центров в России
50
образовательных программ
900
сертифицированных преподавателей
175k
учеников по всей России
FAQ
Зачем мне регистрироваться?
Регистрация открывает личный кабинет, в котором сохраняется твой прогресс и пройденные задания. Можно продолжать решать в любой момент с того места, где закончили. А также отслеживать свою динамику и отмечать пройденные задания и Это бесплатно.
Я смогу подготовиться к реальному ЕГЭ/ОГЭ?
На платформе вы сможете пройти симуляции настоящих тестов ЕГЭ/ОГЭ и др. Формат полностью соответствует боевым экзаменам, кроме того присутствует ограничение по времени. Готовьтесь на MAXIMUM!
Сколько часов в неделю мне нужно будет уделять учебе?
Всё зависит только от вас. В среднем наши ученики занимаются от трёх до пяти часов в неделю.
Какой график обучения? Я смогу совмещать с учебой?
Вы можете работать с материалами платформы в удобное время, двигаясь в подходящем вам темпе. Более того, весь прогресс сохраняется, так что вы сможете продолжить подготовку в любой момент.
Кто пишет теорию и задания для Решутест?
Решутест созданы отделом исследований и разработок компании MAXIMUM. Поэтому на сайте опубликованы только уникальные и актуальные задачи и теория.
Ништяк!
Решено верно
Браво!
Решено верно
Крутяк!
Решено верно
Зачёт!
Решено верно
Чётко!
Решено верно
Бомбезно!
Решено верно
Огонь!
Решено верно
Юхууу!
Решено верно
Отпад!
Решено верно
Шикарно!
Решено верно
Блестяще!
Решено верно
Волшебно!
Решено верно
Начало работы
Привет сейчас ты за 5 шагов узнаешь, как пользоваться платформой
Смотреть
Выбери тест
«Выбери тест, предмет и нажми кнопку «Начать решать»
1/ 6
Вкладки
После выбора предмета необходимо выбрать на вкладке задания, варианты ЕГЭ, ОГЭ или другого теста, или теорию
2/ 6
Задания
Решай задания и записывай ответы. После 1-ой попытки
ты сможешь посмотреть решение
3/ 6
Статистика
Сбоку ты можешь посмотреть статистику и прогресс по предмету
4/ 6
Решение
Нажми, чтобы начать решать вариант. Как только ты перейдешь
на страницу, запустится счетчик времени, поэтому подготовь заранее все, что может тебе понадобиться
5/ 6
Отметки
Отмечай те статьи, что прочитал, чтобы было удобнее ориентироваться в оглавлении
6/ 6
Молодец!
Ты прошел обучение! Теперь ты знаешь как пользоваться сайтом
и можешь переходить к решению заданий
Контрольные работы 2020-21 — Математическая вертикаль
Прошлогоднюю информацию смотрите в архиве Варианты прошедших контрольных — в архиве контрольных
6 класс
16 декабря — пригласительная работа. Она ни на что не влияет, нужна, чтобы школа выявила талантливых детей, позвала их на кружок, чтобы оценить масштабы бедствия: сколько классов наберется, в каких корпусах.
18 апреля — Математический праздник. Для 6 класса диплом Матпраздника засчитывается за вступительную работу в классы «Математической вертикали»
27-28 апреля — диагностика математической грамотности. Приравнивается к вступительной в классы «Математической вертикали». 20 мая — резервный день
20 мая — вступительная работа
Август — резервный день
16 августа откроется регистрация и появится информация
7 класс
2 февраля25 февраля 2 марта — диагностическая работа по алгебре
Работа на 2 урока, письменная Анонс
9 февраля 18 февраля — диагностическая работа по геометрии
11 февраля 4 марта — диагностическая работа по статистике
18 мая — итоговая работа по алгебре, геометрии и статистике (с наблюдателем из РЦ)
август сентябрь — резервный день
Дата пока неизвестна
8 класс
29 сентября — диагностическая работа по геометрии. Это итоговая работа по материалу прошлого года.
13 октября 28 октября — диагностическая работа по алгебре. Это итоговая работа по материалу прошлого года.
Работа на 2 урока. Онлайн, школа выдает коды участия Анонс
20 октября — диагностическая работа по статистике. Это итоговая работа по материалу прошлого года.
Работа на 1 урок. Онлайн, школа выдает коды участия Анонс
2 февраля25 февраля 2 марта — диагностическая работа по алгебре
Работа на 2 урока, письменная Анонс
9 февраля 18 февраля — диагностическая работа по геометрии
11 февраля 4 марта — диагностическая работа по статистике
18 мая — итоговая работа по алгебре, геометрии и статистике (с наблюдателем из РЦ)
август сентябрь — резервный день
Дата пока не известна
9 класс
29 сентября — диагностическая работа по геометрии. Это итоговая работа по материалу прошлого года.
13 октября 28 октября — диагностическая работа по алгебре. Это итоговая работа по материалу прошлого года.
Работа на 2 урока. Онлайн, школа выдает коды участия Анонс
20 октября — диагностическая работа по статистике. Это итоговая работа по материалу прошлого года.
Работа на 1 урок. Онлайн, школа выдает коды участия Анонс
2 марта — диагностическая работа по алгебре
Работа на 2 урока, письменная Анонс
1 апреля — итоговая работа по теории вероятностей и статистике Оценка влияет на аттестацию по предмету
20 апреля — диагностическая работа по геометрии
Работа на 2 урока, письменная Анонс
29 апреля — резервный день диагностики по статистике
Тестирования учителей
До сентября 2021 года можно работать без сертификата, после — только тем, кто сдал тестирование. Ближайшие тестирования состоятся: 27 марта, 19 июня, 28 августа.
27 марта — общегородское тестирование учителей
Информация и регистрация будут 16 августа
Архив прошедших контрольных Архив тестирований
Тест по математике за 8 класс, тест по математике
Тест проводится в соответствии с болгарской образовательной системой.
1. Вычислите выражение 15.987 + 82.713 94,693
98,700
89,040
97,713
10. Наибольшее число, которое является решением 3 (2 + x) ≥ 2 (3x + 4), равно: -1
0
1
такого решения нет
11.Расход автомобиля составляет 7,5 литра на 100 км. Если бензобак автомобиля может вместить
42 литра, сколько км может проехать машина? 315 км.
600 км.
560 км.
178 км.
12. Если затраты на производство товара составляют 68 долларов, какова будет цена?
Таким образом, прибыль производителя должна составлять 15% от цены: 78,20 $
80 долл. США
83 доллара США
$ 125,80
13. Каждая сторона квадрата площадью 36 см 2 разделена на
3 равные части. С квадрата убираются черные части.Какая поверхность
белая часть?
20 см 2 16 см 2 8 см 2 28 см 2
14. Сколько см в квадратных сантиметрах у ромба с диагоналями 5 см. и 8 см?
10 см 2 20 см 2 30 см 2 40 см 2
15. Угол α равен:
40 °
60 °
80 °
100 °
16. Линия, пересекающая AC (в точке M) и BC, перпендикулярна BC и пересекает BC в средней точке.
Если угол ВАС = 70 °, то угол АВМ =?
80 °
70 °
60 °
50 °
17.На схеме ABCD — параллелограмм и AB = BM = MC. Что такое мера AMD?
90 °
60 °
120 °
100 °
18. На схеме ABCD — параллелограмм. Если CD = 7 см.
какова длина AM?
7 см
3,5 см
14 см
10,5 см
19. В треугольнике ABC высота CH = 1,5 см., Угол ACB = 90 °.
и ABC = 75 °. Какая мера AB?
Образец вопросов | Департамент образования штата Нью-Йорк
И снова этой весной некоторые учащиеся штата Нью-Йорк впервые будут проходить тесты по английскому языку для 3–8 классов штата Нью-Йорк, а также тесты по математике и / или полевые тесты на компьютере. Педагогам, ученикам и родителям нужны инструменты, которые помогут ученикам освоиться при прохождении теста на компьютере.
A Образец вопросов штата Нью-Йорк доступен для преподавателей, учащихся и родителей для предварительного просмотра компьютерного тестирования для ответов на вопросы теста и использования инструментов онлайн-тестирования.Кроме того, в онлайн-образце вопросов доступны функции адаптации к тесту, такие как преобразование текста в речь, обратный контраст и другие.
Образец вопросов, предоставляемый Questar Assessment Inc., доступен с любого компьютера и содержит компьютерные образцы вопросов по английскому языку и математике для каждого класса 3–8. Учителя могут использовать пробоотборник пустого поля ответа ELA и пробоотборник окна редактора формул в классе как часть ежедневных инструкций, поскольку учащиеся будут использовать его для предоставления ответов во время экзаменов CBT.Учащиеся и родители могут попробовать эти пробоотборники дома.
Образец вопросов позволяет пользователям предварительно просматривать вопросы теста на платформе, которая очень похожа на платформу тестирования безопасного браузера, которую студенты будут использовать для фактического теста. Sampler дает пользователям возможность попрактиковаться в использовании встроенных функций, таких как выделитель, блокнот и средство устранения ответов, все из которых будут доступны учащимся, проходящим компьютерный тест. NYSED и Questar Assessment Inc. выпустили новую функциональность для редактора математических формул CBT, которая называется «Инструмент рисования редактора формул».Инструмент для рисования позволяет учащимся «рисовать свою работу», чтобы приходить к математическим вопросам и творчески отвечать на них.
«Образец вопросов» включает в себя ранее выпущенные тестовые вопросы штата Нью-Йорк и показывает типы вопросов, с которыми студенты столкнутся в ходе оперативного CBT и компьютерных полевых тестов этой весной. Образец вопросов не представляет собой полную длину фактического теста.
Обратите внимание, что вы должны использовать браузер Google Chrome для наилучшего взаимодействия с Образцом вопросов.Chrome больше всего напоминает безопасный браузер Questar, используемый Questar для проведения настоящего теста.
Щелкните здесь, чтобы получить доступ к образцу вопросов штата Нью-Йорк
БЕСПЛАТНЫЙ практический тест MCAS по математике для 8-го класса
Добро пожаловать на наш БЕСПЛАТНЫЙ практический тест MCAS по математике для 8-го класса с ключом ответа и пояснениями к ним. Реалистичный формат этого практического теста и качественные практические вопросы помогут вашему ученику успешно сдать тест MCAS по математике.Тест не только точно соответствует тому, что студенты увидят на реальном MCAS, но также содержит подробные объяснения ответов.
Для этого практического теста мы выбрали 20 реальных вопросов из прошлых экзаменов для практического теста MCAS вашего студента. У вашего ученика будет возможность попробовать самые распространенные вопросы по математике MCAS. Для каждого вопроса есть подробное объяснение того, как решить вопрос и как избежать ошибок в следующий раз.
Воспользуйтесь нашими бесплатными практическими тестами MCAS по математике и учебными ресурсами (обновленными в 2021 году), чтобы помочь своим ученикам успешно сдать тест MCAS по математике! Обязательно перейдите по ссылкам по теме внизу этого поста, чтобы лучше понять, какие вопросы по математике нужно решать учащимся.
The Absolute Best Book
to Ace 8 Grade MCAS Math Test
10 Пример
8-й класс MCAS Практические вопросы по математике
1- Каков наклон линии, перпендикулярной линии \ (4x-2y = 12 \)?
А. 2
Б. 1
С. \ (- 2 \)
D. \ (- \ frac {1} {2} \)
2- Длина диагонали прямоугольника составляет 10 дюймов, а высота прямоугольника — 8 дюймов.Каков периметр прямоугольника в дюймах?
3- Вы можете купить 5 банок зеленой фасоли в супермаркете за 3,40 доллара. Сколько стоит купить 35 банок стручковой фасоли?
A. $ 17
Б. 23,80 долл. США
C. $ 34.00
D. $ 119
4- Что из следующего является решением следующего неравенства? \ (2x + 4> 11x-12,5-3,5x \)
A. \ (x <3 \)
Б. \ (x> 3 \)
С. \ (x≤4 \)
Д.\ (x≥4 \)
5- Каков периметр квадрата площадью 595,36 футов?
6- Дерево 32 фута высотой отбрасывает тень длиной 12 футов. Рост Джека — 6 футов. Как долго длится тень Джека?
A. 2,25 футов
B. 4 фута
C. 4,25 футов
D. 8 футов
7- Периметр трапеции внизу составляет 54 см. Какая у него площадь?
8- Какой график не представляет \ (y \) как функцию от \ (x \)?
А.
Б.
C.
Д.
9- Что из следующего эквивалентно \ (13 <-3x-2 <22 \)?
А. \ (-8
Б. \ (5
C. \ (\ frac {11} {3}
D. \ (\ frac {-20} {3}
10- На определенной книжной полке библиотеки есть 35 книг по биологии, 95 книг по истории и 80 языковых книг. Каково отношение количества книг по биологии к общему количеству книг на этой книжной полке?
А.\ (\ frac {1} {4} \)
Б. \ (\ frac {1} {6} \)
С. \ (\ frac {2} {7} \)
Д. \ (\ frac {3} {8} \)
11- Банк предлагает \ (3,5 \% \) простые проценты по сберегательному счету. Если вы внесете 12 000 долларов, сколько процентов вы заработаете через два года?
A. $ 420
Б. 840 долл. США
C. 4200 долларов США
D. $ 8400
12- Площадь круга равна \ (64 π \). Какова длина окружности?
А. \ (8 π \)
Б.\ (16 π \)
С. \ (32 π \)
Д. \ (64 π \)
13- На рубашку стоимостью 200 долларов действует скидка \ (15 \% \). Через месяц на рубашку скидка еще одна \ (15 \% \). Какое из следующих выражений можно использовать для определения продажной цены рубашки?
А. \ ((200) (0,70) \)
Б. \ ((200) — 200 (0,30) \)
С. \ ((200) (0,15) — (200) (0,15) \)
Д. \ ((200) (0,85) (0,85) \)
14- Джо набрал 20 из 25 баллов по алгебре, 30 из 40 баллов по естествознанию и 68 баллов из 80 по математике.По какому предмету у него лучший процент оценок?
А. Алгебра
B. Наука
C. Математика
D. Алгебра и наука
15- Каков объем следующей треугольной призмы?
16- Указанная цена компьютера составляет D доллар. Его цена снизилась на \ (20 \% \) в январе, а затем выросла на \ (10 \% \) в феврале. Какова окончательная цена компьютера в долларах США?
A. 0,80 D
Б.0,88 D
С. 0,90 D
D. 1.20 D
17- Треугольник ABC нанесен на координатную сетку с вершинами в точках A \ ((- 3, –2) \), B \ ((- 1, 4) \) и C \ ((7, 9) \). Треугольник ABC отражается над осями \ (x \), образуя треугольник A ’B’ C ’. Какая пара порядка представляет координату C ’?
А. \ ((7, 9) \)
Б. \ ((- 7, –9) \)
С. \ ((- 7, 9) \)
Д. \ ((7, –9) \)
18–
Какое максимальное соотношение женщин и мужчин в четырех городах?
А.0,98
Б. 0,97
В. 0,96
Д. 0,95
19–
Каково отношение процентной доли мужчин в городе A к процентной доле женщин в городе C?
А. 0,9
Б. 0,95
C. 1
Д. 1.05
20–
Контейнер вмещает 3,5 галлона воды, когда он \ (\ frac {7} {24} \) полон. Сколько галлонов воды вмещает полная емкость?
А. 8
Б.12
C. 16
Д. 20
Best
8-й класс MCAS Math Prep Resource for 2021
Ответы:
1- D Уравнение прямой в форме пересечения наклона: \ (y = mx + b \) Решите относительно \ (y \). \ (4x-2y = 12 {\ Rightarrow} -2y = 12-4x {\ Rightarrow} y = (12-4x) {\ div} (- 2) {\ Rightarrow} y = 2x-6 \) наклон этой прямой равен 2. Произведение наклонов двух перпендикулярных прямых равно \ (-1 \).2 = 100 — 64 = 36 ⇒ x = 6 \) Периметр прямоугольника = \ (2 (длина + ширина) = 2 (8 + 6) = 2 (14) = 28 \)
3- B Пусть \ (x \) будет количеством банок. Напишите пропорцию и решите относительно \ (x \). \ (\ frac {5 \ space cans} {$ 3.40} = \ frac {35 \ space cans} {x} \) \ (x = \ frac {3.40 × 35} {5} ⇒x = $ 23.8 \)
4- A \ (2x + 4> 11x-12,5-3,5x \) → Объедините похожие члены: \ (2x + 4> 7,5x-12,5 → \) Вычтите \ (2x \) с обеих сторон: \ (4> 5,5x-12,5 \) Складываем 12.2 ⇒ a = 24,4 \) Периметр квадрата: \ (P = 4a ⇒ P = 4 × 24,4 ⇒ P = 97,6 \)
7- 130 Периметр трапеции 54 см. Следовательно, недостающая сторона (высокая) равна \ (54 — 18 — 12 — 14 = 10 \) Площадь трапеции: \ (A = \ frac {1} {2} h (b_1 + b_2) = \ frac {1} {2} (10) (12 + 14) = 130 \)
8- C График представляет \ (y \) как функцию \ (x \), если \ (x_1 = x_2 → y_1 = y_2 \) В варианте C для каждого \ (x \), у нас есть два разных значения для \ (y \).
9- A \ (13 <-3x-2 <22 \) → прибавьте 2 со всех сторон. \ (13 + 2 <-3x-2 + 2 <22 + 2 \) \ (→ 15 <-3x <24 \) → Разделите все стороны на \ (- 3 \). (Помните, что когда вы разделите все стороны неравенства на отрицательное число, неравенство sing поменяется местами. <Становится>) \ (\ frac {15} {- 3}> \ frac {-3x} {3}> \ frac {24} {- 3} \) \ (- 8
10- B Номер книги по биологии: 35 Общее количество книг; \ (35 + 95 + 80 = 210 \) Отношение количества книг по биологии к общему количеству книг составляет: \ (\ frac {35} {210} = \ frac {1} {6} \)
11- B Используйте простую формулу процентов: I = prt (I = проценты, p = основная сумма, r = ставка, t = время) \ (I = (12000) (0.2 ⇒ r = 8 \) Радиус круга равен 8. Теперь используйте формулу окружности: Окружность \ (= 2πr = 2π (8) = 16 π \)
13- D Чтобы найти скидку, умножьте число на (\ (100 \% — \) ставка скидки). Следовательно, на первую скидку получаем: \ ((200) (100 \% — 15 \%) = (200) (0.85) \) На следующую скидку \ (15 \% \): \ ((200 ) (0,85) (0,85) \)
14- C Сравните каждую оценку: По алгебре Джо получил 20 баллов из 25 по алгебре.Это означает, что Джо набрал \ (80 \% \) от общей оценки. \ (\ frac {20} {25} = \ frac {x} {100} ⇒x = 80% \) Джо получил 30 баллов из 40 по естествознанию. Это означает, что Джо набрал \ (75 \% \) от общей оценки. \ (\ frac {30} {40} = \ frac {x} {100} ⇒x = 75% \) Джо набрал 68 из 80 по математике, что означает \ (85 \% \) от общей оценки. \ (\ frac {68} {80} = \ frac {x} {100} ⇒x = 85% \) Следовательно, его оценка по математике выше, чем его другие оценки.
16- B Чтобы найти скидку, умножьте цену на (\ (100 \% — \) размер скидки). Следовательно, для первой скидки получаем: \ ((D) (100 \% — 20 \%) = (D) (0.80) = 0.80 D \) Для увеличения \ (10 \%: (0.80 D) (100 \% + 10 \%) = (0,85 D) (1,10) = 0,88 D = 88 \% \) от \ (D \)
17- D Когда точка отражается над осями \ (x \), координата \ ((y) \) этой точки изменяется на \ ((- y) \), а ее координата \ (x \) остается такой же. \ (С (7, 9) → С ’(7, -9) \)
18- B Соотношение женщин и мужчин в городе A: \ (\ frac {570} {600} = 0,95 \) Соотношение женщин и мужчин в городе B: \ (\ frac {291} {300} = 0,97 \) Отношение женщин к мужчинам в городе C: \ (\ frac {665} {700} = 0,95 \) Отношение женщин к мужчинам в городе D: \ (\ frac {528} {550} = 0,96 \)
19- D Процент мужчин в городе \ (A = \ frac {600} {1170} × 100 = 51,28% \) Процент женщин в городе \ (C = \ frac {665} {1365} × 100 = 48,72% \) Процент мужчин в городе \ (A \) к проценту женщин в городе \ (C = \ frac {51.28} {48,72} = 1,05 \)
20- B пусть \ (x \) будет количеством галлонов воды, которое вмещает контейнер, когда он полон. Тогда; \ (\ frac {7} {24} x = 3,5 → x = \ frac {24 × 3,5} {7} = 12 \)
Ищете лучший ресурс, который поможет вам успешно сдать тест MCAS по математике в 8-м классе?
The Best Books
to Ace 8 Grade MCAS Тест по математике
Бесплатная онлайн-практика и советы по тесту LEAP
Экзамены по окончании школы в масштабе штата вызывают у учащихся много беспокойства, поскольку они определяют, готовы ли учащиеся к следующему этапу своего академического пути.Секрет успеха — регулярные практические экзамены, которые помогают студентам достойно подготовиться к основным экзаменам.
Что такое LEAP?
LEAP — это аббревиатура от Louisiana Educational Assessment Programme, которая представляет собой тест по критериям штата Луизиана, проводимый в штате Луизиана. Учащиеся 4 и 8 классов сдают этот экзамен, который охватывает ключевые предметы по математике, английскому языку (ELA), обществознанию и естествознанию. Это экзамен с высокими ставками, потому что ученики 4-х классов должны сдать тест LEAP, чтобы перейти в 5-й класс.С другой стороны, ученики 8-х классов должны сдать экзамен, чтобы перейти в 9-й класс.
Тем не менее, тест LEAP также проводится для остальных учащихся, то есть для учащихся 3, 5, 6 и 7 классов, которые сдают экзамен iLEAP (Комплексная программа оценки образования Луизианы). Тест iLEAP проводится для оценки успеваемости, т. е. для доступа к знаниям и навыкам, которые приобрели учащиеся, но не используется для определения продвижения по классу. Учащиеся 3 и 4 классов сдают бумажные тесты, а ученики 5-8 классов и старшие классы сдают онлайн-тесты.
Таким образом, учащиеся государственных школ Луизианы проходят аттестацию по экзаменам LEAP (Программа оценки образования Луизианы), iLEAP (Комплексная программа оценки образования Луизианы) и EOC (Конец курса).
Предпосылки и цели LEAP
Тест LEAP включает в себя оценки по широкому кругу предметов на разных уровнях. Для оценок с высокими ставками необходима достаточная практика LEAP, потому что, если ребенок не сдает экзамен, ему не разрешат перейти в следующий класс.Некоторые оценки также играют ключевую роль в выпуске студента. Учащиеся старших классов сдают тесты EOC, которые охватывают английский II, английский III, алгебру I, геометрию, американскую историю и биологию. Чтобы получить высшее образование, студенты должны сдать 3 теста в следующих категориях; Английский I или английский II, Геометрия или алгебра I и Американская история или биология. Регулярные оценки, то есть iLEAP, служат только в качестве ориентира для измерения успеваемости и повышения ответственности школ.
Даты и периоды тестирования LEAP
Как правило, экзамены LEAP сдают весной, и расписание экзаменов варьируется в зависимости от школы.
Сроки тестирования зависят от уровня обучения и типа проводимого экзамена. Однако большинство тестов, особенно для младших классов, обычно длится от 60 до 85 минут.
Типы вопросов в оценке LEAP
LEAP включает несколько типов вопросов, с некоторыми из которых учащиеся могут быть не знакомы. Поэтому выполнение некоторых практических тестов — ключ к освоению формата. Как правило, вопросы оценки теста LEAP делятся на следующие категории:
Элементы с выбранными ответами
Элементы с множественным выбором
Предметы с улучшенными технологиями
Задания со сформированным ответом
Использование Edulastic для подготовки студентов к тестам LEAP
С появлением технологических тестов Edulastic представляет собой отличную платформу для практических тестов LEAP, которая может помочь студентам должным образом подготовиться к экзаменам.В течение учебного года у учащихся есть возможность использовать платформу с многочисленными онлайн-ресурсами для практики и ознакомления с основным экзаменом. Практические тесты дают студентам возможность получить хорошее представление о том, как проводится настоящий экзамен.
Ключевые навыки, которым студенты могут научиться в Edulastic, включают в себя совершенствование навыков клавиатуры, которые необходимы для компьютерных оценок LEAP. Знание технических навыков, таких как бросание и падение, заполнение информации в таблицах, создание уравнений и использование онлайн-калькуляторов, необходимы для сдачи экзаменов.Понимание клавиатурных команд и того, как их использовать, чрезвычайно полезно.
Знакомство с техническими устройствами — это ключевая выгода, которую студенты получают от регулярной практики в Интернете. При выполнении практического теста по прыжкам студенты должны использовать те же устройства, которые будут использоваться во время основного экзамена. Обычные устройства, используемые во время настоящего экзамена, включают компьютеры, планшеты и iPad. Нет никаких сомнений в том, что регулярная практика поможет повысить уверенность студентов, поскольку они хорошо представляют, чего ожидать, когда наступит основной экзамен.
Инструкции по подготовке к тестам LEAP
Тесты LEAP охватывают разные предметы в разных классах. Основные темы математики включают измерение и геометрию, числа, анализ данных, дроби и алгебру. Предметные темы ELA включают письмо, словарный запас, а также способность интерпретировать текстовые функции. Темы оценки естественных наук включают науку о Земле и естествознании, а предметные области социальных наук включают географию и обществоведение.
Бесплатная онлайн-практика и советы по тестированию STAAR
Время экзамена сопряжено с большим давлением, и оно может ухудшиться, если вы не будете хорошо подготовлены. Тем не менее, тест STAAR не обязательно должен вызывать стресс, если учащиеся прошли надлежащую онлайн-практику. При достаточной онлайн-практике студенты получают возможность задавать вопросы теста, что дает им лучшее понимание того, как решать вопросы во время основного оценивания.
Что такое тест STAAR?
STAAR — это аббревиатура от «Оценка академической готовности штата Техас».STAAR — это государственная программа тестирования, которая была запущена весной 2012 года для замены TAKS (Техасская оценка знаний и навыков), которая использовалась в течение нескольких лет. Основные предметы, протестированные в STAAR, включают письмо, чтение, математику, общественные науки и естественные науки. Учащиеся 3–12 классов в государственных школах Техаса сдают тесты STAAR, разработанные TEA (Техасское образовательное агентство) в сотрудничестве с преподавателями Техаса и THECB (Координационный совет по высшему образованию Техаса).
Ключевая информация о тестировании STAAR
Это стандартизированные тесты, которые проводятся как в государственных, так и в средних школах для оценки достижений учащихся.Целью теста STAAR является определение того, что учащиеся узнали и как они могут применить свои навыки и знания, как указано в TEKS (Texas Essential, стандарт учебной программы штата Техас. Каждый вопрос, проверяемый в STAAR, согласован со стандартами TEKS для каждого предмет и оценка.
Когда ребенок достигает третьего класса, он начинает сдавать различные тесты STAAR в зависимости от класса. В младших классах тесты и оценки STAAR в основном сосредоточены на письме, чтении и математике.В пятом классе экзамены в Техасе включают письмо, естественные науки и общественные науки. На уровне старшей школы учащиеся сдают экзамены EOC (в конце курса), которые охватывают пять предметов: английский I, английский II, биология, алгебра I и история США. Студенты должны сдать пять тестов, чтобы получить допуск к выпуску.
Задания STAAR подразделяются на бумажные тесты и компьютерные тесты, предлагаемые онлайн. Существует бумажный тест STAAR Grade 3–8 и онлайн-версия этого же экзамена.Техасский звездный тест помогает студентам привыкнуть к среде онлайн-тестирования и задействованным технологиям. STAAR A — это специализированный онлайн-тест, который позволяет учащимся с ограниченными возможностями сдавать свои тесты онлайн. STAAR Alternate 2 разработан для детей с когнитивными нарушениями, обучающихся по программам специального образования. STAAR L — это модифицированная версия для изучающих английский язык, чьи тестовые вопросы упрощены, чтобы кандидатам было легче читать.
Сроки, сроки и структура тестов STAAR
В отличие от TAKS, где оценивание занимало целый день и студентам разрешалось делать перерывы, тесты STAAR занимают около 4-5 часов, в зависимости от типа теста и предмета.Например, учащимся 3-5 классов требуется около двух часов на выполнение тестов, а учащимся 6-8 классов — около трех часов. В некоторых случаях тесты длятся от 4 до 5 часов. Итоговые курсы STAAR занимают 4 часа, за исключением английского I, английского II и английского III, которые длятся по 5 часов.
В 3 классе ученики проходят тестирование по чтению и математике, а четвероклассники сдают тесты по чтению, письму и математике. В пятом классе тестируются предметы по математике, естественным наукам и чтению.Особое внимание уделяется математике и тестам по чтению, поскольку они определяют, могут ли учащиеся перейти в следующий класс.
Поскольку существует множество типов тестов STAAR, даты экзаменов различаются в зависимости от оценки и предмета. Например, большинство тестов STAAR в конце курса проводится в декабре и июне, а другие тесты — в период с апреля по май.
В 6-м классе проходят тесты по математике и чтению, а учащиеся 7-го класса сдают тесты по чтению, письму и математике.Тесты 8-го класса включают больше предметов: математику, чтение, естественные науки и общественные науки. После прохождения теста STAAR 8-го класса ученик может перейти в 9-й класс. Старшеклассники изучают английский I, английский II, биологию и историю США. Тесты STAAR для старших классов проводятся весной, но неуспешные ученики получают еще один шанс пересдать тесты летом.
Как Edulastic готовит студентов к тестам STAAR
Edulastic предоставляет студентам идеальную платформу, которая позволяет им подготовиться к тестам STAAR.В удобное для них время студенты могут прийти на платформу и пройти практические тесты, чтобы подготовиться к экзаменам. В Интернете есть множество ресурсов, которые помогут студентам практиковаться и взаимодействовать с вопросами и форматами, которые появятся на реальном экзамене.
Некоторые из ключевых навыков, которые студенты могут выучить на стартовом тесте, включают совершенствование навыков клавиатуры. Это очень важно, потому что онлайн-тесты требуют глубоких знаний клавиатурных команд для выполнения различных задач, таких как перетаскивание и заполнение информации в таблицах.Понимание клавиатурных команд и практика помогут развить эти навыки.
Онлайн-тесты состоят из вопросов с расширенными технологиями, которые требуют специальных навыков навигации. Например, учащимся необходимо попрактиковаться в использовании онлайн-вычислений и создании уравнений и числовых ответов с помощью поля ввода на клавиатуре.
Компьютерный тест STAAR проводится с помощью различных технических устройств, таких как компьютеры, iPad и планшеты.При подготовке к основному экзамену у студентов должно быть как можно больше времени для выполнения практических тестов с использованием того же устройства, которое будет использоваться на экзамене. Это позволит им привыкнуть к гаджетам и понять основные навыки устранения неполадок.
Ресурсы Edulastic и оценки для теста STAAR определенно повышают уровень уверенности студентов, готовящихся к выполнению различных оценок STAAR в разных классах.
Инструкции по подготовке к тесту STAAR
Есть несколько тем, которые необходимо осветить в течение года.Однако общие для английского языка включают базовое чтение и письмо. Для математики предметные области включают алгебраические отношения, коэффициенты пересчета, формулы, анализ данных. Темами социальных исследований являются география Северной Америки, правительство и гражданство США, гражданская война и основные экономические принципы.
Для старшеклассников математические темы включают экспоненциальные функции, линейные и квадратичные функции. Предметные области биологии включают генетические принципы, отношения между живыми организмами и окружающей средой и теорию эволюции.
Оценка по математике | OSPI
Добро пожаловать на экзамен по математике! Формирующий процесс оценивания является важным элементом информированного обучения и выполнения соответствующих следующих шагов в обучении. OSPI Math Assessment предлагает возможности в течение года для поддержки формирующего процесса оценивания в классе и обеспечения профессионального развития преподавателей, связанных с оцениванием. Следите за ними, когда они будут размещены на сайте Math Assessment, и не стесняйтесь обращаться со своими контрольными вопросами.
Веб-семинары по математике SETC
Технологический центр специального образования (SETC) этой весной провел серию вебинаров для преподавателей математики, посвященных доступности математических ресурсов в Интернете. Были затронуты следующие темы:
Цифровая математика: TextHelp EquatIO
Цифровая математика: GeoGebra
Обеспечение доступности рабочих листов
В них описаны различные способы использования каждого из них, в том числе в средах удаленного обучения. Существует множество других возможностей веб-семинаров, доступных через SETC, или посетите канал SETC, чтобы просмотреть ранее записанные веб-семинары Зима-Весна за этот год.
Этот портал предоставляет различные ресурсы для тестирования штата Вашингтон для администраторов тестирования, преподавателей и родителей, включая практические и обучающие тесты, промежуточные оценки, вопросы и ответы и многое другое.
Штат Вашингтон является членом Консорциума Smarter Balanced Assessment Consortium.
На этой странице описывается политика калькулятора как универсального инструмента для оценок «Умная сбалансированная математика» с бумажным карандашом и Вашингтонской всеобъемлющей оценки естественных наук (WCAS).
Заявления об оценке
В этих презентациях представлена информация о структуре претензий оценок Smarter Balanced и конкретная информация по каждой претензии. *
* Заметки докладчика можно просмотреть только после загрузки этого файла. Открыв загруженный PDF-файл, выберите «Просмотр»> «Инструменты»> «Комментарий»> «Открыть». Список заметок откроется в правой части экрана. Вы также можете навести курсор или щелкнуть небольшой значок заметки в верхнем левом углу каждого слайда.
Ресурсы для оценивания по классам
Учителя должны знать следующие ресурсы для каждого указанного класса. Определения для каждого ресурса приведены ниже:
Определения
Для каждого указанного класса учителя должны быть знакомы со следующими ресурсами:
Стандарты — Отрывки из высококачественных академических стандартов по математике для конкретных классов. Эти учебные цели определяют, что ученик должен знать и уметь делать в конце каждого класса.
Кластерные викторины — тесты с бумажным карандашом, соответствующие выбранным кластерам, концептуальным категориям и документу о распределении утверждений. Могут быть изменены и использованы для дополнения промежуточных оценочных блоков (IAB).
Progression Documents and Critical Questions — Описание когнитивного развития и структуры математики в нескольких важных областях стандартов. Используйте важные вопросы, чтобы направлять дискуссии при чтении документов.
Поддерживает тест онлайн-обучения
Упражнения в этом документе сосредоточены на вопросах онлайн-теста по математике, описывающих способы практического использования инструментов для каждого типа вопросов.
Бумага-карандаш для оценок
Эти образцы тестовых буклетов и буклетов для ответов предназначены для школ и округов, которые будут проводить тесты Smarter Balanced с использованием бумаги / карандаша весной 2018 года. Педагогам следует прочитать сопутствующие материалы Образца буклета для учителя перед тем, как использовать Образец буклета для теста и Образец буклета с ответами с учащимися.
Общий основной тест по математике для 8 класса (примеры вопросов)
1. Преобразовать 0.2? в дробь.
1 / 5
11 / 50
2 / 9
2 / 7
десятичное расширение 2. Что такое 5 / 6 ?
0. (56)
0,83
0,56
1,2
3. Какое число является ближайшим приближением к π / 4 ?
0.85
1,0
0,785
1,273
4. Без использования калькулятора определите, какая точка на числовой прямой может быть √3 ?.
Точка А
б. Точка B
Точка C
Точка D
5. Упростить 5 2 x5 4 x5 -4 x5 -2 .
1
5
0
2,5
6. Упростить ( 2 / 3 ) -3 .
8 / 27
27 / 8
-8 / 27
-27 / 8
Решите уравнение для 7. x: x 2 = 16
x = 4
x = ± 4
x = 8
x = ± 8
8. Решите уравнение для x: x 3 = — 27
x = -9
x = ± 9
x = -3
x = ± 3
9.Каким будет десятичное представление 7 × 10 -4 ?
70,000
7,000
0,00007
0,0007
10. Что такое 0,0143 в экспоненциальной нотации?
1,43 × 10
1,43 × 10 2
1,43 × 10 -1
1,43 × 10 -2
Ответы и пояснения
1. C: При преобразовании десятичной дроби значение которого повторяется бесконечно, запишите повторяющуюся цифру или цифры в числителе.В этой задаче повторяющаяся цифра равна 2. В знаменателе поместите 9 для каждой повторяющейся цифры, затем уменьшите дробь до наименьших членов. В этой задаче в знаменателе стоит одна 9, поэтому ответ будет 2 / 9 . Другой пример: 0.‾24 = 24 / 99 = 8 / 33
2. B: 5/6 можно переписать как 5 × 6 = 0,83?
3. C: Вы можете приблизить? = 3,14. Тогда 3,14 × 4 = 0,785
4. C: Посмотрите, что 2 2 = 4.Поскольку 2 2 > 3, мы знаем √2 2 > √3, что означает √3 <2. Точно так же видим, что √3> 1. Это означает, что √3 находится между 1 и 2. Единственная точка между числами на числовой прямой находится точка C.
5. A: При умножении степеней с одинаковым основанием экспоненты складываются, а основание остается прежним. Вот это будет: 5 2 +4 + (- 4) + (- 2)) = 5 0 . Затем, используя правило нулевого показателя степени 0 = 1 всякий раз, когда a 0, мы находим, что ответ 5 0 = 1
6.B: Отрицательная экспонента будет принимать обратную величину от основания, затем экспонента будет распределяться как на числитель, так и на знаменатель, а степени будут упрощены. (2/3) -3 = (3/2) 3 = 3 3 /2 3 = 27/8
7. B: При решении уравнения вида x n = b, возьмите корень n th из обеих частей уравнения. Если n четное, тогда оно должно быть = ±? n √ b, что означает, что есть два решения, одно положительное и одно отрицательное.Если n четно и b меньше нуля, то настоящего решения не существует. x 2 = 16 √ (x 2 ) = ± √16 x = ± 4
8. C: При решении уравнения вида x n = b, возьмите n th корень обеих частей уравнения. Если n четное, тогда оно должно быть ±? n √b, и если n нечетное, это только n √ b. Если n нечетное, то есть только одно решение и знак ответа — знак b. x 3 = -27 √ x 3 = 3 √-27 x = -3
9. D: Поскольку показатель степени 10 равен -4, десятичная дробь, расположенная после 7, будет переместите 4 пробела влево, и любое пустое место заполнится нулями. итак 7x 10? -4 = 0,0007
10. D: 1,43 × 10 -2 то же, что и 1,43x 1 / 100 или 0,0143. Чтобы записать число в экспоненциальной системе счисления, используйте следующий вид: ax10 n , где 1 ≤ a <10. Десятичная дробь должна переместиться на два пробела вправо, чтобы она находилась сразу справа от 1.
Второй признак равенства треугольников — Студопедия.Нет
Класс
Билеты по геометрии с комментариями
Билет № 1
Пропорциональные отрезки в круге
Теорема об отрезках пересекающихся хорд
Теорема о квадрате отрезка касательной
Формулы площади треугольников
Формулировки теорем о площади треугольника с выводом формул
,
Смежные и вертикальные углы
определение смежных углов
определение вертикальных углов,
свойства смежных и вертикальных углов с доказательством
Билет № 2
Определение, свойства равнобедренного треугольника.
Определение равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника:
· углы при основании
· медиана р/б треугольника, проведенная к основанию
· биссектриса р/б треугольника, проведенная к основанию
· высота р/б треугольника, проведенная к основанию
Формулы площадей параллелограмма
Формулировки и вывод формул площади параллелограмма
3. Теорема об окружности, описанной около четырехугольника
Формулировка теоремы
Доказать 1 часть( если около четырехугольника описана окружность, то..)
Доказать 2 часть (если сумма противоположных углов равна 1800, то…)
Билет № 3
Признаки параллельности прямых .
Определение параллельных прямых
Формулировки и доказательство всех трех признаков параллельности прямых.
2. Средняя линия трапеции
Определение средней линии трапеции
Формулировка и доказательство теоремы о средней линии трапеции
Сформулировать и доказать теорему о площади треугольника , описанного около окружности.
Доказать ,что
Доказать, что радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник вычисляется по формуле r=0,5(a+b-c), где а, b –катеты, с –гипотенуза
Билет № 4
Свойство точки пересечения медиан треугольника.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1 , начиная от вершины (с док)
Площадь трапеции
Определение трапеции
Теорема о площади трапеции ( )
Признаки равнобедренного треугольника
Т 1 Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный (следствие 2 из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника)
Т.2 Если медиана треугольника является высотой, то треугольник равнобедренный.
Т3 Если биссектриса треугольника является высотой, то ..
Билет № 5
1. Свойство биссектрисы угла. Следствия.
Формулировка и доказательство теоремы о свойстве биссектрисы угла
Следствие 1 : геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвернутого угла и равноудаленных от сторон угла, является биссектриса этого угла (без док)
Следствие 2 : формулировка и доказательство теоремы о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Теорема Пифагора.
Формулировка и доказательство теоремы.
Второй признак равенства треугольников
Формулировка и доказательство теоремы.
Билет № 6
1. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Вычисление значений тригонометрических функций для 300,450,600.
studopedia.net
2. Второй признак сравнения (предельный)
ТЕОРЕМА
3. Пусть даны два ряда со строго
положи- тельными членами (1) и(2), для элементов которых выполняется
условие:
.
(7)
Тогда
ряды (1) и (2) ведут себя одинаково,
т.е. сходятся и
расходятся
одновременно.
В
самом деле, из определения предела
следует, что для любого найдётся номер,
начиная с которого (т.е. для всех)
выполняется неравенство
,
Отсюда,
.
Учитывая
замечание 2 из предыдущей теоремы,
из сходимости ряда (2), по неравенству
(6), следует сходимость ряда (1), и
наоборот, из расходимости ряда (1)
следует расходимость ряда (2).
В
частности, если ,
то равенство (7) означает экви -лентность
рядов (1) и (2) (~).
Рассмотрим
примеры. Исследовать на сходимость
ряды:
1.
.
Общий член этого ряда
~
при
.
Тогда .
Ряд расходится, как
обобщённый
гармонический ряд с .
Тогда расходится и исходный ряд.
2. .
Для данного ряда, применяя таб- лицу
эквивалентных бесконечно малых
функций, получим:
~ ~~.
Ряд сходится, так как
,
следо- вательно исходный ряд также
сходится, так как предел отно- шения
общих членов этих рядов равен 1 (т.к.
они эквивалент- ны).
3. Признак Даламбера.
Пусть
для элементов ряда (1) выполняется условие:
.
(8)
Тогда,
если ,
то ряд (1) сходится; если,
то ряд (1) расходится; если,
то данный признак не даёт ответа на
вопрос о сходимости ряда.
В
самом деле, из определения предела
следует, что для любого найдётся номер,
начиная с которого (т.е. для всех)
выполняется неравенство:,
или, что то же самое
.
(9)
Пусть .
Выберемтак, чтобы.
Тогда
из
правой части неравенства (9), получаем ,
илиТаким
образом, получаем следующее неравенство:
,
которое выполняется для всех .
Ряд,
стоящий справа, представляет собой
сумму сходящей- ся геометрической
прогрессии ().
Тогда, по первому при- знаку сравнения,
ряд, стоящий в левой части неравенства,
также сходится. По следствию 3 из
предыдущего параграфа, получаем
сходимость ряда (1).
Пусть .
Выберемтак, чтобы.
Тогда,
т.е., начиная с номера,
члены ряда (1) образуют возрастающую
последовательность и не выполняется
необходимый признак сходимости рядов.
Поэтому
ряд (1) расходится.
ПРИМЕРЫ.
Исследовать на сходимость ряды:
1.
.,.
Тогда
получаем:
.
По
признаку Даламбера, ряд сходится.
2. .
Для данного ряда.
Тогда.
Применим
признак Даламбера:
(степень
числителя меньше степени знаменателя).
Поэтому ряд сходится.
3. .
Здесь,
следователь- но.
После сокра-
щения,
получаем:
(степень
числителя больше степени знаменателя).
Следова – тельно данный ряд расходится.
Замечание.
Признаком Даламбера удобно пользоваться
в случае, если общий член ряда
содержит —
ые степени, фак – ториалы, бесконечные
произведения.
studfiles.net
Второй признак подобия треугольников
На прошлом уроке мы с вами познакомились с первым
признаком подобия треугольников. Вспомним его.
Если два угла одного треугольника соответственно
равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Сегодня на уроке мы познакомимся со вторым
признаком подобия треугольников.
Теорема (2-й признак подобия треугольников). Если
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
,
.
,
,
тогда по
1-му признаку.
.
Тогда .
Рассмотрим и
.
,
–
общая, ,
значит, .
Следовательно, .
Что и требовалось доказать.
Посмотрите на следующие треугольники и найдите среди
них подобные.
Каждый из треугольников имеет угол, равный 65º.
Но только у треугольников а и б известны длины сторон, образующих этот угол.
Проверим пропорциональны ли эти стороны. Составим отношение их длин
,
.
Видим, что эти отношения равны, а значит, стороны пропорциональны. Таким
образом, мы получили, что треугольники а и б подобны по двум сторонам и углу
между ними, то есть по второму признаку.
Задача. На одной из
сторон отложены
отрезки и
,
равные соответственно см
и см.
На другой стороне этого же угла отложены отрезки и
,
соответственно равные см
и см.
Подобны ли треугольники и
?
Решение.
Рассмотрим и
.
–
общий,
;
;
значит, .
Следовательно, по
2-му признаку.
Ответ: треугольники
подобны.
Задача. На рисунке ,
см,
см,
а см.
Найдите и
.
Решение.
Рассмотрим и
.
как
вертикальные,
,
,
.
Получаем, что по
2-му признаку, .
,
,
см,
см,
см,
(см).
Ответ: см,
см.
Итак, сегодня на уроке мы познакомились со вторым
признаком подобия треугольников: если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то
такие треугольники подобны.
Также мы решили несколько задач на закрепление
материала.
videouroki.net
Первый признак равенства треугольников. Второй и третий признаки равенства треугольников
Среди огромного количества многоугольников, которые по сути являются замкнутой непересекающейся ломаной линией, треугольник – это фигура с наименьшим количеством углов. Другими словами, это простейший многоугольник. Но, несмотря на всю свою простоту, эта фигура таит в себе много загадок и интересных открытий, которые освещаются особым разделом математики – геометрией. Эту дисциплину в школах начинают преподавать с седьмого класса, и теме «Треугольник» здесь уделяется особое внимание. Дети не только узнают правила о самой фигуре, но и сравнивают их, изучая 1, 2 и 3 признак равенства треугольников.
Первое знакомство
Один из первых правил, с которым знакомятся школьники, звучит примерно так: сумма величин всех углов треугольника равняется 180 градусам. Чтобы это подтвердить, достаточно при помощи транспортира измерить каждую из вершин и сложить все получившиеся значения. Исходя из этого, при двух известных величинах легко определить третью. Например: В треугольнике один из углов равен 70°, а другой — 85°, какова величина третьего угла?
180 – 85 – 70 = 25.
Ответ: 25°.
Задачи могут быть и более сложными, если указано лишь одно значение угла, а про вторую величину сказано лишь, на сколько или во сколько раз она больше или меньше.
В треугольнике для определения тех или иных его особенностей могут быть проведены особые линии, каждая из которых имеет свое название:
высота – перпендикулярная прямая, проведенная из вершины к противоположной стороне;
все три высоты, проведенные одновременно, в центре фигуры пересекаются, образуя ортоцентр, который в зависимости от вида треугольника может находиться как внутри, так и снаружи;
медиана – линия, соединяющая вершину с серединой противолежащей стороны;
пересечение медиан является точкой его тяжести, находится внутри фигуры;
биссектриса – линия, проходящая от вершины до точки пересечения с противолежащей стороной, точка пересечения трех биссектрис является центром вписанной окружности.
Простые истины о треугольниках
Треугольники, как, собственно, и все фигуры, имеют свои особенности и свойства. Как уже говорилось, эта фигура является простейшим многоугольником, но со своими характерными признаками:
против самой длинной стороны всегда лежит угол с большей величиной, и наоборот;
против равных сторон лежат равные углы, пример тому — равнобедренный треугольник;
сумма внутренних углов всегда равна 180°, что уже было продемонстрировано на примере;
при продлении одной стороны треугольника за его пределы образуется внешний угол, который всегда будет равен сумме углов, с ним не смежных;
любая из сторон всегда меньше суммы двух других сторон, но больше их разницы.
Виды треугольников
Следующий этап знакомства заключается в определении группы, к которой относится представленный треугольник. Принадлежность к тому или иному виду зависит от величин углов треугольника.
Равнобедренный – с двумя равными сторонами, которые называют боковыми, третья в этом случае выступает основанием фигуры. Углы у основания такого треугольника одинаковы, а медиана, проведенная из вершины, является биссектрисой и высотой.
Правильный, или равносторонний треугольник, – это тот, у которого все его стороны равны.
Прямоугольный: один из его углов равен 90°. В этом случае сторона, противолежащая этому углу, называется гипотенузой, а две другие — катетами.
Остроугольный треугольник – все углы меньше 90°.
Тупоугольный – один из углов больше 90°.
Равенство и подобие треугольников
В процессе обучения не только рассматривают отдельно взятую фигуру, но и сравнивают два треугольника. И эта, казалось бы, простая тема имеет массу правил и теорем, по которым можно доказать что рассматриваемые фигуры – равные треугольники. Признаки равенства треугольников имеют такое определение: треугольники равны, если их соответствующие стороны и углы одинаковы. При таком равенстве, если наложить эти две фигуры друг на друга, все их линии сойдутся. Также фигуры могут быть подобными, в частности, это касается практически одинаковых фигур, отличающихся лишь величиной. Для того чтобы сделать такое заключение о представленных треугольниках, необходимо соблюдение одного из следующих условий:
два угла одной фигуры равны двум углам другой;
две стороны одного пропорциональны двум сторонам второго треугольника, а величины углов, образованных сторонами, равны;
три стороны второй фигуры такие же, как и у первой.
Конечно, для бесспорного равенства, которое не вызовет ни малейшего сомнения, необходимо иметь одинаковые значения всех элементов обеих фигур, однако с использованием теорем задача значительно упрощается, и для доказательства равенства треугольников допускается наличие лишь нескольких условий.
Первый признак равенства треугольников
Задачи по этой теме решаются на основе доказательства теоремы, которая звучит так: «Если две стороны треугольника и угол, который они образуют, равны двум сторонам и углу другого треугольника, то и фигуры тоже равны между собой».
Как же звучит доказательство теоремы про первый признак равенства треугольников? Всем известно, что два отрезка равны, если они одной длины, или окружности равны, если имеют одинаковый радиус. А в случае с треугольниками есть несколько признаков, имея которые, можно предположить, что фигуры идентичны, что очень удобно использовать при решении разных геометрических задач.
Как звучит теорема «Первый признак равенства треугольников», описано выше, а вот ее доказательство:
Допустим, треугольники АВС и А1В1С1 имеют одинаковые стороны АВ и А1В1 и, соответственно, ВС и В1С1, а углы, которые образуются этими сторонами, имеют одну и ту же величину, то есть равны. Тогда, наложив △ ABC на △ А1В1С1, получим совпадение всех линий и вершин. Отсюда вытекает, что эти треугольники абсолютно идентичны, а значит, равны между собой.
Теорему «Первый признак равенства треугольников» называют еще «По двум сторонам и углу». Собственно, в этом и заключается ее суть.
Теорема о втором признаке
Второй признак равенства доказывается аналогично, доказательство основывается на том, что при наложении фигур друг на друга они полностью совпадают по всем вершинам и сторонам. А звучит теорема так: «Если одна сторона и два угла, в образовании которых она участвует, соответствуют стороне и двум углам второго треугольника, то эти фигуры идентичны, то есть равны».
Третий признак и доказательство
Если как 2, так и 1 признак равенства треугольников касался как сторон, так и углов фигуры, то 3-й относится лишь к сторонам. Итак, теорема имеет следующую формулировку: «Если все стороны одного треугольника равны трем сторонам второго треугольника, то фигуры идентичны».
Чтобы доказать эту теорему, нужно более детально углубиться в само определение равенства. По сути, что означает выражение «треугольники равны»? Идентичность говорит о том, что если наложить одну фигуру на другую, все их элементы совпадут, это может быть только в том случае, когда их стороны и углы будут равны. В то же время угол, противолежащий одной из сторон, которая такая же, как у другого треугольника, будет равен соответствующей вершине второй фигуры. Следует отметить, что в этом месте доказательство легко перевести на 1 признак равенства треугольников. В случае если такая последовательность не наблюдается, равенство треугольников просто невозможно, за исключением тех случаев, когда фигура является зеркальным отражением первой.
Прямоугольные треугольники
В строении таких треугольников всегда есть вершины с величиной угла 90°. Поэтому справедливы следующие утверждения:
треугольники с прямым углом равны, если катеты одного идентичны катетам второго;
фигуры равны, если равны их гипотенузы и один из катетов;
такие треугольники равны, если их катеты и острый угол идентичны.
Этот признак относится к прямоугольным треугольникам. Для доказательства теоремы применяют приложение фигур друг к другу, в результате которого треугольники складывают катетами так, чтобы из двух прямых вышел развернутый угол со сторонами СА и СА1.
Практическое применение
В большинстве случаев на практике применяется первый признак равенства треугольников. На самом деле такая, казалось бы, простая тема 7 класса по геометрии и планиметрии используется и для вычисления длины, например, телефонного кабеля без замеров местности, по которой он будет проходить. При помощи этой теоремы легко сделать необходимые расчеты для определения длины острова, находящегося посреди реки, не переплывая на него. Либо укрепить забор, расположив планку в пролете так, чтобы она делила его на два равных треугольника, или же рассчитать сложные элементы работы в столярном деле, или при расчете стропильной системы крыши во время строительства.
Первый признак равенства треугольников имеет широкое применение в реальной «взрослой» жизни. Хотя в школьные годы именно эта тема для многих кажется скучной и совершенно ненужной.
Вы искали 2 делить на 3 корня из 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 корня из 3 делить на 2, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «2 делить на 3 корня из 2».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 2 делить на 3 корня из 2,2 корня из 3 делить на 2,3 корень из 2 поделить на 2,3 корня из 2 делить на 2. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 делить на 3 корня из 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 3 корень из 2 поделить на 2).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 делить на 3 корня из 2 Онлайн?
Решить задачу 2 делить на 3 корня из 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
правила, методы, примеры как делить квадратные корни
Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.
Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.
Метод 1. Деление подкоренных выражений
Алгоритм действий:
Записать дробь
Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.
Пример 1
144÷36, это выражение следует переписать так: 14436
Использовать один знак корня
В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.
Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.
Пример 2
14436. Это выражение следует записать так: 14436
Разделить подкоренные выражения
Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.
Пример 3
14436=4, запишем это выражение так: 14436=4
Упростить подкоренное выражение (если необходимо)
Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.
Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.
Пример 4
4 — полный квадрат, потому что 2×2=4. Из этого следует:
4=2×2=2. Поэтому 14436=4=2.
Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители
Алгоритм действий:
Записать дробь
Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.
Пример 5
8÷36, переписываем так 836
Разложить на множители каждое из подкоренных выражений
Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.
Пример 6
Упростить числитель и знаменатель дроби
Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.
Пример 7
2266×62×2×2, из этого следует: 836=226
Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)
В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.
Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.
Пример 8
В выражении 623 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы избавиться от него в знаменателе:
623×33=62×33×3=669=663
Упростить полученное выражение (если необходимо)
Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.
Пример 9
26 упрощается до 13; таким образом 226упрощается до 123=23
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Метод 3. Деление квадратных корней с множителями
Алгоритм действий:
Упростить множители
Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!
Пример 10
432616. Сначала сокращаем 46: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 46=23.
Упростить квадратные корни
Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.
Пример 11
32 делится нацело на 16, поэтому: 3216=2
Умножить упрощенные множители на упрощенные корни
Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.
Пример 12
Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)
Пример 13
4327. Следует умножить числитель и знаменатель на 7, чтобы избавиться от корня в знаменателе.
437×77=43×77×7=42149=4217
Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем
Алгоритм действий:
Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе
Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.
Пример 14
15+2— в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.
Найти выражение, сопряженное биному
Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.
Пример 15
5+2и 5-2 — сопряженные биномы.
Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе
Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a-b)(a+b)=a2-b2
Пример 16
15+2=1(5-2)(5-2)(5+2)=5-2(52-(2)2=5-225-2=5-223.
Из этого следует: 15+2=5-223.
Советы:
Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.
Почему нельзя делить на ноль?
«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.
Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.
Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.
Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.
Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.
Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.
Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.
Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)
Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.
Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.
Ответил: Александр Сергеев
Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)2, π2, π3, π4 и др.
Навигация по справочнику TehTab.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса / / Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)2, π2, π3, π4 и др.
Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)2, π2, π3, π2, корень квадратный из π, ln π, lg π, πe, eπ, e-π, e1/(2π) , ii , e-1/(2π) и др..
Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.
Таблица синусов.
Таблица синусов.
Таблица синусов от 1 до 360 градусов. Значения синусов сведены в таблицу. На другой странице размещена тригонометрическая таблица с корнями для школьников.
Тригонометрическая таблица синусов начинается со значения угла альфа равного единице. Синус угла ноль градусов sin 0 равен нулю. Точно такое же значение имеет синус 360 градусов sin 360 или синус 2пи радиан, который можно найти в таблице синусов.
синус угла 0 градусов = синус угла 0 радиан = 0
sin 0 = 0
sin 360 = sin 2pi = 0
Синус 30 градусов sin 30 равен 0,5 или 1/2. В радианной мере мере углов это значение синуса соответствует синусу пи/6. В таблице синусов это значение тригонометрической функции sin можно найти напротив угла в 30 градусов.
Тригонометрическая таблица синусов, помимо широко распространнехых значений синуса, содержит так же следующие значения: синус 5, sin 6, синус 10 градусов в градусной мере углов, а так же sin 12, синус 15, sin 20 градусов.
Синус 45 градусов sin 45 равняется 0,7071 или корень из двух деленный на два. В радианах это соответствует синусу пи/4 радиан.
Другие значения синуса, которые представлены в таблице для углов больше 90 градусов, можно получить так же при помощи формул приведения тригонометрических функций
Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.
Как извлечь корень в Эксель: квадратный, кубический, в степени
Среди базовых математических вычислений помимо сложения, вычитания, умножения и деления можно выделить возведение в степень и обратное действие – извлечение корня. Давайте посмотрим, каким образом можно выполнить последнее действие в Эксель разными способами.
Метод 1: использование функции КОРЕНЬ
Множество операций в программе реализуется с помощью специальных функций, и извлечение корня – не исключение. В данном случае нам нужен оператор КОРЕНЬ, формула которого выглядит так:
=КОРЕНЬ(число)
Для выполнения расчета достаточно написать данную формулу в любой свободной ячейке (или в строке формул, предварительно выбрав нужную ячейку). Слово “число”, соответственно, меняем на числовое значение, корень которого нужно найти.
Когда все готово, щелкаем клавишу Enter и получаем требуемый результат.
Вместо числа можно, также, указать адрес ячейки, содержащей число.
Указать координаты ячейки можно как вручную, прописав их с помощью клавиш на клавиатуре, так и просто щелкнув по ней, когда курсор находится в положенном месте в формуле.
Вставка формулы через Мастер функций
Воспользоваться формулой для извлечения корня можно через окно вставки функций. Вот, как это делается:
Выбрав ячейку, в которой мы хотим выполнить расчеты, щелкаем по кнопке “Вставить функцию” (fx).
В окне мастера функций выбираем категорию “Математические”, отмечаем оператор “КОРЕНЬ” и щелкаем OK.
Перед нами появится окно с аргументом функции для заполнения. Как и при ручном написании формулы можно указать конкретное число или ссылку на ячейку, содержащую числовое значение. При этом, координаты можно указать, напечатав их с помощью клавиатуры или просто кликнуть по нужному элементу в самой таблице.
Щелкнув кнопку OK мы получим результат в ячейке с функцией.
Вставка функции через вкладку “Формулы
Встаем в ячейку, в которой хотим произвести вычисления. Щелкаем по кнопке “Математические” в разделе инструментов “Библиотека функций”.
Пролистав предложенный перечень находим и кликаем по пункту “КОРЕНЬ”.
На экране отобразится уже знакомое окно с аргументом, который нужно заполнить, после чего нажать кнопку OK.
Метод 2: нахождение корня путем возведения в степень
Описанный выше метод позволяет с легкостью извлекать квадратный корень из числа, однако, для кубического уже не подходит.(1/3).
Нажав Enter, получаем результат вычислений.
Аналогично работе с функцией КОРЕНЬ, вместо конкретного числа можно указать ссылку на ячейку.
Заключение
Таким образом, в Excel можно без особых усилий извлечь корень из любого числа, и сделать это можно разными способами. К тому же, возможности программы позволяют выполнять расчеты для извлечения не только квадратного, но и кубического корня. В редких случаях требуется найти корень n-степени, но и эта задача достаточно просто выполняется в программе.
Глава МИД Венгрии назвал свой народ самым коренным на Украине
https://ria.ru/20210708/ukraina-1740418928.html
Глава МИД Венгрии назвал свой народ самым коренным на Украине
Глава МИД Венгрии назвал свой народ самым коренным на Украине — РИА Новости, 08.07.2021
Глава МИД Венгрии назвал свой народ самым коренным на Украине
Принятый на Украине закон о коренных народах не способствует улучшению ситуации с венгерским меньшинством, заявил глава МИД Венгрии Петер Сийярто в интервью… РИА Новости, 08.07.2021
МОСКВА, 8 июл — РИА Новости. Принятый на Украине закон о коренных народах не способствует улучшению ситуации с венгерским меньшинством, заявил глава МИД Венгрии Петер Сийярто в интервью «Известиям».По мнению министра, именно его народ можно считать самым коренным на территории Украины.»Я не могу представить на Украине более коренного народа, чем венгры. Это, конечно, некоторое преувеличение, но тем не менее эти люди живут на этой территории на протяжении веков. Там даже есть люди, которые, не покидая одного города, могли быть гражданами аж пяти стран — СССР, Украины, Чехословакии, Словакии, Венгрии. Менялась принадлежность территории, но не проживающий на ней народ», — подчеркнул Сийярто.Ранее Верховная рада приняла закон «О коренных народах Украины», в перечень которых, в частности, не включены русские. При этом в тексте отдельно прописаны как коренные народы те, что сформировались на территории Крыма: крымские татары, караимы и крымчаки. Документ должен подписать Владимир Зеленский, который и был его инициатором.Проект встретил критику как в России, так и на Украине. Так, глава региональной национально-культурной автономии крымских татар Эйваз Умеров назвал его клоунадой. А украинская партия «Оппозиционная платформа — За жизнь» планирует обратиться в Конституционный суд страны. Владимир Путин, в свою очередь, напомнил, что русские испокон веков жили на территории Украины и решение объявить их «некоренными» продиктовано недружественной позицией, которую заняли в Киеве. Ранее российский лидер подчеркивал, что идея делить народы на коренные и нет напоминает теорию и практику нацистской Германии.
россия, мид венгрии, петер сийярто, верховная рада украины, владимир зеленский, владимир путин, словакия, киев, в мире
12:48 08.07.2021 (обновлено: 13:16 08.07.2021)
Глава МИД Венгрии назвал свой народ самым коренным на Украине
Рационализировать знаменатель
«Рационализация знаменателя» — это когда мы перемещаем корень (например, квадратный корень или кубический корень) из нижней части дроби в верхнюю.
О нет! Иррациональный знаменатель!
Нижняя часть дроби называется знаменателем . Такие числа, как 2 и 3, являются рациональными. Но многие корни, такие как √2 и √3, иррациональны.
Пример: имеет иррациональный знаменатель
Чтобы быть в «простейшей форме», знаменатель не должен быть иррациональным!
Исправление (путем рационального использования знаменателя) называется « Рационализация знаменателя »
Примечание: нет ничего неправильного с иррациональным знаменателем, все равно работает. Но это не самая простая форма, поэтому может стоить марок.
А их удаление может помочь вам решить уравнение, поэтому вам следует узнать, как это сделать.
Итак … как мы это делаем?
1. Умножьте верх и низ на корень
Иногда можно просто умножить верх и низ на корень:
Пример: имеет иррациональный знаменатель. Давай исправим.
Умножьте верхнюю и нижнюю часть на квадратный корень из 2, потому что: √2 × √2 = 2:
Теперь в знаменателе есть рациональное число (= 2).Сделанный!
Примечание. Иррациональное число в верхней части (числителе) дроби — это нормально.
2. Умножьте верх и низ на конъюгат
Есть еще один особый способ переместить квадратный корень из нижней части дроби в верхнюю часть … мы умножаем верхний и нижний на , сопряженное знаменателю .
Сопряжение — это где мы меняем знак в середине двух членов:
Пример выражения
Его конъюгат
x 2 — 3
х 2 + 3
Другой пример
Его конъюгат
а + б 3
а — б 3
Это работает, потому что, когда мы умножаем что-то на его сопряжение, мы получаем квадратов , как это:
(a + b) (a − b) = a 2 — b 2
Вот как это сделать:
Пример: вот дробь с «иррациональным знаменателем»:
1 3 − √2
Как мы можем переместить квадратный корень из 2 вверх?
Мы можем умножить верхнюю и нижнюю части на 3 + √2 (сопряжение 3 − √2) , что не изменит значение дроби:
1 3 − √2 × 3 + √2 3 + √2 знак равно 3 + √2 3 2 — (√2) 2 знак равно 3 + √2 7
(Вы видели, что мы использовали (a + b) (a − b) = a 2 — b 2 в знаменателе?)
Используйте свой калькулятор, чтобы вычислить значение до и после… это то же самое?
Есть еще один пример на странице Оценка пределов (расширенная тема), где я перемещаю квадратный корень сверху вниз.
Полезный
Так что постарайтесь запомнить эти маленькие уловки, они могут однажды помочь вам решить уравнение!
Конъюгаты и деление на радикалы
Purplemath
Иногда вам нужно умножать многочленные выражения, содержащие только радикалы.Это ситуация, в которой вертикальное умножение является прекрасным подспорьем.
Упростить
Это упражнение выглядит некрасиво, но оно вполне выполнимо, если я аккуратен и точен в своей работе.
Сначала я выполняю умножение, используя вертикальный метод, чтобы все было прямо:
MathHelp.com
Затем я устанавливаю исходное выражение, равное последней строке из приведенного выше умножения, и завершаю вычисления, упрощая каждый член:
Упростить:
Сначала делаю умножение:
А потом упрощаю:
Обратите внимание на последний пример выше, как я получил все целые числа.(Хорошо, технически они целые числа, но дело в том, что члены , а не включают какие-либо радикалы.) Я перемножил два радикальных бинома и получил ответ, в котором не было радикалов. Вы также могли заметить, что два «бинома» были одинаковыми, за исключением знака посередине: у одного был «плюс», а у другого — «минус».
Эта пара факторов, где второй фактор отличается только одним знаком посередине, очень важна; по сути, этот «тот же самый, за исключением знака посередине» второй фактор имеет собственное название:
Учитывая радикальное выражение
, «конъюгат» является выражением.
Конъюгат (KAHN-juh-ghitt) имеет те же числа, но с противоположным знаком посередине. Таким образом,
не только является конъюгатом, но и является конъюгатом.
Кроме того, конъюгаты не обязательно должны быть двухчленными выражениями с радикалами в каждом из терминов. Фактически, любое двухчленное выражение может иметь конъюгат:
1 + sqrt [2] является конъюгатом 1 — sqrt [2]
sqrt [7] — 5 sqrt [6] является конъюгатом sqrt [7] + 5 sqrt [6] x + sqrt [y] является конъюгатом x — sqrt [y]
Чтобы создать конъюгат, все, что вам нужно сделать, это перевернуть знак посередине.Все остальное остается прежним.
Что такое спряжение 3 + sqrt [5]?
В этом случае я нахожу сопряжение для выражения, в котором только один из терминов имеет радикал. Это хорошо. Независимо от этого, процесс тот же; а именно я переворачиваю знак посередине. Поскольку они дали мне выражение со знаком «плюс» в середине, спряжение — это те же два термина, но с «минусом» посередине:
Найдите конъюгат –7 sqrt [3] — 2
На этот раз радикал находится в первом из двух членов, и перед первым термином стоит «минус».Это хорошо. Я оставлю первый «минус» в покое, потому что ничего не меняю, кроме среднего знака; Переверну второй «минус» посередине на «плюс»:
Когда мы умножаем конъюгаты, мы делаем нечто похожее на то, что происходит, когда мы умножаем на разность квадратов; а именно:
a 2 — b 2 = ( a + b ) ( a — b )
Когда мы умножаем множители a + b и a — b , средние члены « ab » сокращаются:
То же самое происходит, когда мы умножаем конъюгаты:
Мы вскоре увидим, почему это важно.Чтобы понять это, давайте сначала взглянем на дроби, в знаменателях которых есть радикалы.
Деление на квадратные корни
Точно так же, как мы можем переключаться между умножением радикалов и радикалом, содержащим умножение, мы можем переключаться между делением корней и одним корнем, содержащим деление.
Упростить:
Я могу упростить это, работая внутри, а затем извлекая квадратный корень:
…. или, в противном случае, разделив разделение на два радикала, упрощение и исключение:
В любом случае, мой окончательный ответ такой же.
Упростить:
Я вижу, что в знаменателе есть полный квадрат, а в числителе — простое число.Так что упрощение будет легче, если я разделю радикал, содержащий фракцию, на фракцию, содержащую радикалы:
Когда вы впервые узнали о числах в квадрате, таких как 3 2 , 5 2 и x 2 , вы, вероятно, узнали об обратной операции возведения в квадрат числа, то есть о квадратном корне.Эта обратная связь между возведением чисел в квадрат и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет действие другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями в нем, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала выделите квадратный корень на одной стороне уравнения.Затем возведите обе части уравнения в квадрат и продолжайте поиск переменной. Не забудьте в конце проверить свою работу.
Простой пример
Прежде чем рассматривать некоторые потенциальные «ловушки» решения уравнения с квадратными корнями в нем, рассмотрим простой пример: Решите следующее уравнение для x :
\ sqrt {x } + 1 = 5
Используйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение квадратного корня на одной стороне уравнения.2
x = 16
Вы удалили знак квадратного корня и , у вас есть значение x , так что ваша работа здесь сделана. Но подождите, есть еще один шаг:
Проверьте свою работу, подставив найденное вами значение x в исходное уравнение:
\ sqrt {16} + 1 = 5
4 + 1 = 5
5 = 5
Поскольку это вернуло допустимый оператор (5 = 5, в отличие от недопустимого оператора, такого как 3 = 4 или 2 = -2, решение, которое вы нашли на шаге 2, является действительным.В этом примере проверка вашей работы кажется тривиальной. Но этот метод устранения радикалов иногда может давать «ложные» ответы, которые не работают в исходном уравнении. Так что лучше иметь привычку всегда проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они возвращают действительный результат, начиная с этого момента.
Немного сложнее
Что делать, если у вас есть более сложное выражение под знаком корня (квадратный корень)? Рассмотрим следующее уравнение. Вы по-прежнему можете применить тот же процесс, что и в предыдущем примере, но это уравнение выделяет пару правил, которым вы должны следовать.2
y — 4 = 576
Теперь, когда вы исключили радикальный или квадратный корень из уравнения, вы можете изолировать переменную. Чтобы продолжить пример, добавив 4 к обеим сторонам уравнения, вы получите:
y = 580
Как и раньше, проверьте свою работу, подставив найденное вами значение y обратно в исходное уравнение. Это дает вам:
\ sqrt {580 — 4} + 5 = 29
\ sqrt {576} + 5 = 29
Упрощение радикала дает:
24 + 5 = 29
29 = 29
истинное утверждение, указывающее на действительный результат.
Умножение квадратного корня: 3 простых метода [с примерами]
Ваши ученики знают, как умножать экспоненты, но теперь пришло время научить их умножению квадратного корня и удивительному миру предалгебры. Но вы опасаетесь, что они могут подумать: «На уроке математики мы больше узнали об алгебре, например, X + 10 = Y, но почему меня это должно волновать?»
Вы хотите, чтобы они поняли, что французский математик Жан де Ронд д’Аламбер сказал знаменитую фразу: «алгебра щедра; она часто дает больше, чем от нее просят.
То, что вы не видите X и Y, не означает, что вы не используете алгебру каждый день. Умение умножать квадратные корни — это один из камней на живописном пути к пониманию актуальности алгебры в реальной жизни.
Преподаватели, подобные вам, знают, что не всегда легко сделать эти абстрактные и сложные концепции интересными и увлекательными.
Этот пост в блоге, разделенный на три части, призван изменить это!
Что такое квадратные корни
Как умножить квадратные корни
Привлечение способов закрепить знания учащихся о квадратном корне
Часть первая: Что такое «квадратный корень»?
Квадратный корень из числа относится к множителю, который вы можете умножить само на себя, чтобы получить это число.Другими словами, нахождение квадратного корня — это процесс, противоположный возведению числа в квадрат.
Извлечь квадратный корень можно только из неотрицательных чисел — даже тех, которые не дают целых чисел. Это потому, что любое число раз само по себе является положительным или нулевым — вы никогда не получите отрицательный продукт, возведя в квадрат отрицательное число. Как вы видели выше, квадратный корень отменяет возведение в квадрат, поэтому отрицательные числа не могут иметь квадратные корни.
Тем не менее, точные квадратные числа являются наиболее эффективными при обучении студентов умножению квадратных корней.
На рисунке ниже мы видим, что квадратный корень из 16 равен 4, потому что 4 в квадрате, или 42, равно 16.
В математическом классе это уравнение будет выглядеть так:
Учащиеся видят это Впервые наверняка возникнут вопросы: Что это за символ в виде галочки? Почему на нем крошечная цифра?
Бретт Берри, основатель Math Hacks, в своей статье о понимании логарифмов и корней создала ясный и лаконичный образ со всей терминологией root .
Многие вопросы о нахождении квадратного корня не включают корневой индекс. Однако корневые индексы необходимы при вычислении более высоких индексированных корней, таких как кубические, четвертые или пятые корни.
Когда мне когда-нибудь понадобится умножать квадратные корни?
Независимо от того, насколько хорошо вы преподаете эти алгебраические концепции, студенты всегда будут задавать этот вопрос. ☝️
И вы должны быть готовы предоставить им законные ответы. Например, умножение квадратного корня может быть важно для:
Знание площади их будущих домов
Архитекторов
Художников
Плотников
Строителей
Дизайнеров
Инженеров
Есть еще кое-что! В то время как некоторым придется вычислять уравнения каждый день, другие будут использовать эти концепции для составления оценок.Одно можно сказать наверняка — люди этих профессий изучали математику в школе в детстве и используют ее до сих пор!
Часть вторая: 3 простых метода умножения квадратных корней
Умножение квадратных корней без коэффициентов
1. Умножьте каждое корневое и так же, как и без радикала или символа квадратного корня.
2. Упростите подкоренное выражение, вычленив все полные квадраты. Если в подкоренном выражении нет полных квадратов, значит, оно уже упрощено.В этом случае вы можете упростить √98 до √2, а √49 — до полного квадрата.
3. Извлеките квадратный корень из полного квадрата. В этом примере упростите √49 до 7 и поместите его перед оставшимся выражением √2.
Умножение квадратных корней на коэффициенты
1. Умножение коэффициентов перед знаками корня , если они есть.
2. Умножьте каждое подкоренное выражение так же, как и без радикала или символа квадратного корня.
3. Упростите подкоренное выражение, вычленив все полные квадраты. В этом примере вы можете упростить √40 до √4 и √10.
4. Извлеките квадратный корень из полного квадрата и умножьте его на коэффициент . В этом примере упростите √4 до 2 и умножьте его на 6.
Умножение квадратных корней с переменными
Помимо чисел, радикалы могут содержать другие вещи, такие как переменные и показатели степени.Упрощение радикалов с помощью переменных следует тем же правилам, что и упрощение радикалов с числами.
1. Умножьте подкоренные выражения . Если есть коэффициенты, их тоже умножьте.
Примечание : для умножения радикалов, содержащих переменные,:
Корневой индекс должен быть таким же
Значение x — вместе с любыми другими переменными — должно быть больше или равно нулю
2. Найдите разложения на простые множители, чтобы определить точные квадратные множители. Для этого вы можете использовать дерево факторов, как на изображении ниже.
Например, 2 и 9 равны 18, а 9 упрощается до 3 и 3. Таким образом, разложение на простые множители и квадратные множители для 18 будут 2, 3 и 3. Разложение на простые множители 30 равно 2, 3 и 5. Вы также можете разбить и переставить переменные экспоненты — вы можете переписать x3 как x2 и x .
Часть третья: Действия по закреплению знаний учащихся о квадратном корне
Создайте радикальные башни чисел
Лиза Тарман, педагог из Пенсильвании, создала сотни учебных материалов.Ее «Лабиринт упрощающих радикалов» — это освежающий и увлекательный подход к традиционным рабочим листам.
Попросите учащихся начать с левого верхнего угла. Им придется упростить радикалы, чтобы добраться до конца лабиринта. Получите доступ к бесплатной рабочей таблице Тармана и ответьте на него здесь.
Если вы хотите лабиринт умножающих радикалов, посмотрите этот от Teachers Pay Teachers!
Play Prodigy
Prodigy — бесплатная адаптивная математическая игра, которой пользуются полтора миллиона учителей и более 50 миллионов студентов по всему миру! Он предлагает контент по всем основным математическим темам и охватывает 1-8 классы, в том числе инструкции:
Оценивать идеальные корни
Переписывать показатели степени как корни
Использование Prodigy в вашем классе поможет ученикам развить беглость математики и уверенность в себе. будущая средняя школа и курсы математики на уровне колледжа.Ваш класс будет исследовать мир, наполненный захватывающими квестами, которые предоставляют персонализированный, согласованный с учебной программой контент и данные об учениках в реальном времени.
Помня об этих методах и упражнениях, вы поймете, что умножение квадратных корней не должно оставаться неуместным или пугающим для вас или ваших учеников.
При эффективном использовании упражнения, подобные приведенным выше, могут помочь укрепить понимание учащимися и повысить уровень вовлеченности учителей, которые редко становятся свидетелями на уроках математики.
Вы педагог? Настройте вопросы по математике, чтобы дополнить учебный материал и дифференцировать обучение, обращая внимание на проблемные места каждого учащегося.
Prodigy также предлагает мощные инструменты для немедленной подготовки отчетов как для учителей, так и для родителей. От отчетов о прогрессе до отчетов об использовании и т. Д. Используйте данные своего ученика или ребенка, чтобы определить, где они преуспевают или испытывают трудности, чтобы вы могли настроить для них контент в игре.
Нажмите здесь или на баннер ниже, чтобы начать работу менее чем за пять минут!
Сводка: В алгебре вы тратите много времени на решение многочлена
уравнения или факторизации многочленов (что одно и то же).Было бы легко потеряться во всех техниках, но эта статья
связывает их все вместе в единое целое.
Генеральный план
Убедитесь, что вас не смущает терминология. Все это
то же:
Решение полиномиального уравнения p ( x ) = 0
Нахождение корней полиномиального уравнения p ( x ) = 0
Нахождение нулей полиномиальной функции p ( x )
Факторизация полиномиальной функции p ( x )
Есть коэффициент для каждого корня, и наоборот. ( x — r ) является множителем тогда и только тогда, когда r является корнем. Это Теорема о факторах : поиск корней или факторов
по сути то же самое. (Основное различие заключается в том, как вы относитесь к
постоянный коэффициент.)
точное или приблизительное значение?
Чаще всего, когда мы говорим о решении уравнения или факторизации
многочлен, мы имеем в виду точное (или аналитическое) решение . В
другой тип, приближенное (или числовое) решение ,
всегда возможно, а иногда и единственная возможность.
Когда найдешь, точное решение лучше .
Вы всегда можете найти численное приближение к точному решению,
но пойти другим путем гораздо труднее. Эта страница тратит больше всего
своего времени на методы точных решений, но также расскажет, что нужно
делать, когда аналитические методы терпят неудачу.
Шаг за шагом
Как найти множители или нули многочлена (или корни
полиномиального уравнения)? В основном вам сточить . Каждый раз
вы вычеркиваете множитель или корень из многочлена, у вас остается
полином на одну степень проще.Используйте этот новый уменьшенный
полином, чтобы найти оставшиеся факторы или корни.
На любом этапе процедуры, если вы доберетесь до кубическое или четвертое уравнение (степень 3 или 4), у вас есть выбор
продолжения факторинга или использования
кубические или четвертичные формулы. Этих формул много
работы, поэтому большинство людей предпочитают продолжать факторинг.
Выполните эту процедуру, шаг за шагом:
Если вы решаете уравнение, запишите его в стандартную форму с 0
с одной стороны и упрощают .[ подробности ]
Знайте , сколько корней ожидать.
[ подробности ]
Если у вас есть линейное или квадратное уравнение (степень 1 или 2), решите осмотром или по формуле корней квадратного уравнения.
[ подробности ] Затем переходите к шагу 7.
Найдите один рациональный множитель или корень. Это самая сложная часть,
но есть много методов, которые могут вам помочь.
[ подробности ] Если вы можете найти фактор или корень, перейдите к шагу 5 ниже; если
не можете, переходите к шагу 6.
Разделите на множитель . Это оставляет вас с новым приведенный многочлен , степень которого на 1 меньше.
[ подробности ] Для остальной части задачи вы будете работать с уменьшенным
многочлен, а не оригинал. Продолжите с шага 3.
Если вы не можете найти множитель или корень , обратитесь к
численные методы.
[ подробности ] Затем переходите к шагу 7.
Если это уравнение нужно было решить, запишите корни .
Если это был многочлен для факторизации, запишите его в факторизованной форме ,
включая любые постоянные факторы, которые вы вывели на шаге 1.
Это пример алгоритма , набор шагов
что приведет к желаемому результату за конечное количество операций.
Это итеративная стратегия , потому что средние шаги
повторять столько, сколько необходимо.
Кубические и четвертые формулы
Приведенные здесь методы находят рациональный корень и
использовать синтетическое деление проще всего.
Но если вы не можете найти рациональный корень, есть специальные методы для
кубические уравнения (степень 3) и
уравнения четвертой степени (степень 4), оба в Mathworld.Альтернативный подход предоставляется
Дик Никаллс в PDF для
кубический
а также
четвертичная
уравнения.
Шаг 1. Стандартная форма и упрощение
К сожалению, это легко не заметить.
Если у вас есть полиномиальное уравнение , отложите все члены в одну сторону.
и 0 с другой.
И независимо от того, является ли это проблема факторинга или уравнение, которое нужно решить, положите
ваш многочлен в стандартной форме от до самой низкой степени .
Например, вы, , не можете решить это уравнение в такой форме:
x + 6 x + 12 x = −8
Вы должны изменить его на эту форму:
x + 6 x + 12 x + 8 = 0
Также убедитесь, что вы упростили, исключив любые общие факторы .Это может включать в себя вычитание −1
так что наивысшая степень имеет положительный коэффициент. Пример: в коэффициент
7-6 x -15 x —
2 х
начнем с того, что приведем его в стандартную форму:
−2 x -15 x -6 x + 7
, а затем вычтите −1
— (2 x + 15 x + 6 x -7)
или же
(−1) (2 x + 15 x + 6 x -7)
Если вы решаете уравнение, вы можете выбросить любых
общий постоянный множитель.Но если вы факторизуете многочлен, вы должны сохранить общий множитель .
Пример: решить
8 x + 16 x + 8 = 0, вы можете
разделите левую и правую на общий множитель 8. Уравнение х + 2 х + 1 = 0 имеет те же корни, что и исходное уравнение .
Пример: Фактор
8 x + 16 x + 8, вы узнаете
общий множитель 8 и перепишем многочлен в виде
8 ( x + 2 x + 1), что является идентичен исходному многочлену .(Хотя это правда, что вы
сосредоточит ваши дальнейшие усилия по факторингу на x + 2 x + 1, это будет ошибкой написать, что исходный многочлен равен х + 2 х + 1.)
Ваш общий фактор может быть
дробь, потому что вы должны вычесть любые дроби, чтобы
полином имеет целочисленных коэффициентов .
Пример: решить
(1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6 = 0,
вы узнаете общий множитель 1/12 и разделите обе стороны на 1/12.Это в точности то же самое, что и распознавание и умножение на наименьший общий знаменатель из 12. В любом случае вы получите
4 x + 9 x -6 x + 10 = 0,
которое имеет те же корни, что и исходное уравнение .
Пример: Фактор
(1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6,
вы узнаете общий множитель 1/12 (или наименьший общий
знаменатель 12) и вычитаем 1/12. Ты получаешь
(1/12) (4 x + 9 x -6 x + 10),
что идентично исходному многочлену .
Шаг 2. Сколько корней?
Многочлен степени n будет иметь n корней, некоторые из которых могут быть
множественные корни.
Как узнать, что это правда? В Основная теорема алгебры говорит вам, что многочлен
имеет хотя бы один корень. Теорема о факторах говорит вам, что если r является корнем, тогда ( x — r ) является множителем. Но если разделить многочлен
степени n на множитель ( x — r ), степень которого равна 1, вы получите
полином степени n −1.Неоднократно применяя Фундаментальную
Теорема и теорема о множителях дают вам n корней и n факторов.
Правило знаков Декарта
Правило знаков Декарта может сказать вам, сколько положительных и сколько отрицательных действительных нулей многочлен. Это
большое трудосберегающее устройство, особенно когда вы решаете, какой
возможные рациональные корни, которые нужно искать.
Чтобы применить Правило знаков Декарта, вам необходимо понимать термин изменение знака .Когда многочлен расположен в
стандартная форма, вариация в
Знак возникает, когда знак коэффициента отличается от знака
предыдущего коэффициента. (Нулевой коэффициент игнорируется.) Для
пример,
p ( x ) = x 5 —
2 x 3 + 2 x 2 — 3 x + 12
имеет четыре варианта знака.
Правило знаков Декарта:
Число положительных корней из p ( x ) = 0 либо равно
количество вариаций знака p ( x ), или меньше, чем на четное
номер.
Число отрицательных корней из p ( x ) = 0 либо равно
количество вариаций знака p (- x ), или меньше, чем на четное
номер.
Пример: рассмотрим p ( x ) выше. Поскольку у него четыре варианта
в знаке должно быть либо четыре положительных корня, либо два положительных корня,
или нет положительных корней.
Теперь сформируйте p (- x ), заменив x на (- x ) в
выше:
p (- x ) = (- x ) 5 — 2 (- x ) 3 + 2 (- x ) 2 — 3 (- x ) + 12
p (- x ) = — x 5 + 2 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 12
p (- x ) имеет один вариант знака, поэтому
оригинал p ( x ) имеет один негатив
корень.Поскольку вы знаете, что p ( x ) должен иметь отрицательный корень, но он может
или может не иметь положительных корней, сначала ищите отрицательные
корнеплоды.
p ( x ) — полином пятой степени, поэтому он должен иметь пять нулей.
Поскольку x не является множителем, вы знаете, что x = 0 не является
нуль полинома. (Для полинома с действительными коэффициентами, например
в этом случае комплексные корни встречаются парами.)
Следовательно, есть три возможности:
количество нулей , которые являются
положительным
отрицательным
комплексным нереальным
первая возможность
4
1
0
вторая возможность 2
1
2
третий вариант
0
1
4
Сложные корни
Если полином имеет действительных коэффициентов , то либо все
корни настоящие или есть четное число невещественных комплексных корней в сопряженных парах .
Например, если 5 + 2i является нулем многочлена с вещественными
коэффициентов, то 5−2i также должен быть нулем этого многочлена.
Также верно и то, что если ( x −5−2i) является множителем, то
( x −5 + 2i) также является фактором.
Почему это правда? Потому что, когда у вас есть фактор с воображаемым
часть и умножьте ее на комплексное сопряжение, вы получите реальную
результат:
( x −5−2i) ( x −5 + 2i) = x −10 x + 25−4i = х −10 х +29
Если ( x −5−2i) было фактором, но
( x −5 + 2i) не было, тогда многочлен будет иметь
воображение в его коэффициентах, независимо от других факторов
возможно.Если многочлен имеет только действительные
коэффициентов, то любые комплексные корни должны входить в сопряженные пары.
Иррациональные корни
По тем же причинам, если многочлен имеет рациональных коэффициентов то иррациональные корни, содержащие
квадратный
корни встречаются (если вообще встречаются) в сопряженных парах.
Если ( x −2 + √3) является множителем многочлена с рациональными
коэффициентов, то ( x −2 − √3) также должно быть
фактор. Чтобы понять почему, вспомните, как вы рационализируете бином
знаменатель; или просто проверьте, что происходит, когда вы умножаете эти два
факторы.(1/3) и два
сложные корни.
Интересная проблема, нет ли иррациональности
с четными корнями порядка ≥4 также должны встречаться в сопряженных
пары. У меня нет немедленного ответа. Я работаю над
доказательство, как я успеваю.
Множественные корни
Когда данный множитель ( x — r ) встречается m раз в полиноме, r равно
называется кратным корнем или корнем с кратностью м .
Если кратность м — четное число, график касается
Ось x при x = r , но не пересекает ее.
Если кратность m — нечетное число, график пересекает
Ось x при x = r . Если кратность 3, 5, 7 и т. Д., График
горизонтально в точке пересечения оси.
Примеры: сравните эти два многочлена и их графики:
f ( x ) =
( x −1) ( x −4) 2 = x 3 — 9 x 2 +
24 х — 16
г ( x ) =
( x −1) 3 ( x −4) 2 = x 5 -11 x 4 + 43 x 3 — 73 x 2 + 56 x — 16
Эти многочлены имеют одинаковые нули, но корень 1 встречается
с разной кратностью.Посмотрите на графики:
Оба полинома имеют нули только в точках 1 и 4. f ( x ) имеет степень 3,
что означает три корня. Из факторов видно, что 1 является корнем
кратность 1 и 4 является корнем из кратности 2. Следовательно, граф
пересекает ось в точке x = 1 (но не горизонтально там) и касается в точке х = 4 без пересечения.
Напротив, г ( x ) имеет степень 5. ( г ( x ) = f ( x ) раз
( x −1) 2 .) Из пяти корней 1 встречается с
кратность 3: график пересекает ось при x = 1 и является горизонтальным
там; 4 встречается с кратностью 2, и график касается
ось при x = 4 без пересечения.
Шаг 3. Квадратичные множители
Когда у вас есть квадратичные множители (Ax + Bx + C), он может или не может
можно будет их дополнительно проанализировать.
Иногда вы можете просто увидеть факторы, как в случае с x — x −6 = ( x +2) ( x −3).В других случаях не так очевидно,
квадратичный можно разложить на множители. Вот когда квадратная формула (показан справа) ваш друг.
Например, предположим, что у вас есть коэффициент
12 x — x −35. Можно ли это еще раз проанализировать? Судом и
ошибка вам придется перепробовать много комбинаций! Вместо этого используйте факт
что коэффициенты соответствуют корням , и примените формулу к
найти корни из 12 x — x −35 = 0, например:
x = [- (- 1) √1 — 4 (12) (- 35)] / 2 (12)
x = [1 √1681] / 24
√1681 = 41, следовательно,
x = [1 41] / 24
x = 42/24 или -40/24
x = 7/4 или -5/3
Если 7/4 и −5/3 — корни, то ( x −7/4) и ( x +5/3)
факторы.Следовательно,
12 x — x −35 =
(4 x −7) (3 x +5)
А как насчет x −5 x +7? Этот выглядит как лучший,
но как ты можешь быть уверен? Снова применим формулу:
x = [- (- 5) √25 — 4 (1) (7)] / 2 (1)
x = [5 √ − 3] / 2
Что с этим делать, зависит от исходной проблемы. Если это
должен был разложить на множители действительные числа, тогда x −5 x +7 простое число.Но если
этот фактор был частью уравнения, и вы должны были найти все
сложные корни, у вас их два:
x = 5/2 + (√3 / 2) i, x = 5/2 — (√3 / 2) i
Поскольку исходное уравнение имело действительные коэффициенты, эти
сложные корни встречаются в сопряженной паре.
Шаг 4. Найдите один фактор или корень
Этот шаг является сердцем факторизации многочлена или решения
полиномиальное уравнение. Есть много методов, которые могут вам помочь
найти фактор.
Иногда можно найти факторы путем осмотра (см. Первые два
следующие разделы). Это отличный способ быстрого доступа, поэтому проверьте
легкие факторы, прежде чем начинать более напряженные
методы.
Мономиальные множители
Всегда начинайте с поиска любых мономиальных множителей, которые вы видите. Например,
если ваша функция
f ( x ) = 4 x 6 + 12 x 5 + 12 x 4 + 4 x 3
, вы должны немедленно разложить его на
f ( x ) = 4 x 3 ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1)
Получение 4 из оттуда упрощает оставшиеся числа, x 3 дает вам корень x = 0 (с кратностью
3), и теперь у вас есть только кубический многочлен (степени 3) вместо
sextic (степень 6).Фактически, теперь вы должны распознать эту кубику как
особый продукт, идеальный куб
( x +1) 3 .
Когда вы вычитаете общий переменный множитель, убедитесь, что вы
помните об этом в конце, когда перечисляете фактор или корни. x +3 x +3 x +1 = 0 имеет определенные корни, но x ( x +3 x +3 x +1) = 0 имеет те же корни и
также корень при x = 0 (с кратностью 3).
Особые продукты
Будьте внимательны к применению специальных продуктов .Если вы сможете применить их, ваша задача станет намного проще. Специальный
Продукты
полный квадрат (2 формы): A 2 A B + B = ( A B )
сумма квадратов: A + B нельзя разложить на множители на действительные числа, как правило (для исключительных случаев см. Как разложить на множители сумму квадратов)
разность квадратов: A — B = ( A + B ) ( A — B )
идеальный куб (2 формы): A 3 A B + 3 A B B = ( A B )
сумма кубов: A + B = ( A + B ) ( A — A B + B )
разность кубов: A — B = ( A — B ) ( A + A B + B )
Выражения для суммы или разности двух кубов выглядят так:
хотя они должны учитывать дополнительные факторы, но они этого не делают. A A B + B является простым над реалами.
Рассмотрим
p ( x ) = 27 x — 64
Вы должны узнать это как
p ( x ) = (3 x ) — 4
Вы умеете множить разницу двух кубов:
p ( x ) = (3 x −4) (9 x +12 x +16)
Бинго! Как только вы дойдете до квадратичной, вы можете применить
Квадратичная формула, и все готово.
Вот другой пример:
q ( x ) = x 6 + 16 x 3 + 64
Это просто идеальный квадратный трехчлен, но вместо x 3 х . Вы учитываете это точно так же:
q ( x ) = ( x 3 ) 2 + 2 (8) ( x 3 ) + 8 2
q ( x ) = ( x 3 + 8) 2
И вы можете легко разложить ( x 3 +8) 2 как
( x +2) 2 ( x 2 −2 x +4) 2 .
Рациональные корни
Предполагая, что вы уже учли легкое
мономиальные факторы и
специальные продукты, что вы будете делать, если
у вас все еще есть многочлен степени 3 или выше?
Ответ — Rational Root Test .
Он может показать вам некоторые корни кандидатов
когда вы не видите, как разложить полином на множители, как показано ниже.
Рассмотрим многочлен стандартной формы, записанный с высшей степени.
до самого низкого и всего с целочисленными коэффициентами :
f ( x ) = a n x n +… + a o
Теорема о рациональном корне говорит вам, что , если многочлен имеет рациональный нуль , затем , это должна быть дробь p / q ,
где p — коэффициент концевой константы a o и q — множитель старшего коэффициента a n .
Пример:
p ( x ) = 2 x 4 — 11 x 3 — 6 x 2 + 64 x + 32
Коэффициенты старшего коэффициента (2) равны 2 и 1.В
коэффициенты постоянного члена (32) равны 1, 2, 4, 8, 16 и 32.
Следовательно, возможные рациональные нули: 1, 2, 4, 8, 16 или
32 разделить на 2 или 1:
любой из 1/2, 1/1, 2/2, 2/1, 4/2, 4/1, 8/2, 8/1, 16/2, 16/1, 32/2, 32/1
уменьшенный: любой из, 1, 2, 4, 8, 16, 32
Что мы имеем в виду, когда говорим, что это список всех возможных рациональных корней ? Мы имеем в виду, что никакое другое рациональное число,
как или 32/7, может быть нулем этого конкретного многочлена.
Осторожно : Не делайте Rational Root Test
больше, чем есть.Это не означает, что рациональные числа являются корнями , просто
что никакие другие рациональные числа не могут быть корнями. И это не говорит
вы что-нибудь о том, какие иррациональные или даже сложные корни
существовать. Rational Root Test — это только отправная точка.
Предположим, у вас есть многочлен с нецелыми коэффициентами.
Вы застряли? Нет, вы можете исключить наименее распространенные
знаменатель (LCD) и получите многочлен с целыми коэффициентами, которые
способ. Пример:
(1/2) x — (3/2) x + (2/3) x — 1/2
ЖК-дисплей 1/6.Выносим за скобки 1/6 получаем многочлен
.
(1/6) (3 x — 9 x + 4 x — 3)
Две формы эквивалентны, и поэтому имеют одинаковые
корнеплоды. Но вы не можете применить Rational Root Test к первой форме,
только ко второму. Тест говорит вам, что единственно возможное рациональное
корни — любые из 1/3, 1, 3.
После того, как вы определили возможных рациональных нулей, как
вы можете их проверить? Метод грубой силы заключался бы в том, чтобы взять каждый
возможное значение и замените его на x в полиноме: если
результат равен нулю, тогда это число является корнем.Но есть лучше
способ.
Используйте Synthetic Division, чтобы узнать,
кандидат делает полином равным нулю. Это лучше на троих
причины. Во-первых, это проще в вычислительном отношении, потому что вам не нужно
вычислить высшие степени чисел. Во-вторых, в то же время он сообщает
независимо от того, является ли данное число корнем, он производит сокращенный многочлен , который вы будете использовать, чтобы найти оставшийся
корнеплоды. Наконец, результаты синтетического деления могут дать вам
верхняя или нижняя граница, даже если число
тестирование оказывается не рутом.
Иногда правило знаков Декарта может
поможет вам в дальнейшем выявить возможные рациональные корни. Например,
Rational Root Test сообщает, что если
q ( x ) = 2 x 4 + 13 x 3 + 20 x 2 + 28 x + 8
имеет какие-то рациональные корни, они должны быть из списка
любой из, 1, 2, 4, 8. Но не начинайте с замены или
синтетическое разделение. Поскольку нет изменений знака, нет
положительные корни.Есть ли отрицательные корни?
q (- x ) = 2 x 4 -13 x 3 + 20 x 2 -28 x + 8
имеет четыре смены знака. Следовательно, может быть целых четыре
отрицательные корни. (Также может быть два отрицательных корня или ни одного.)
Нет гарантии, что какой-либо из корней является рациональным, но любой корень
рациональное должно происходить из списка -, −1,
−2, −4, −8.
(Если у вас
графического калькулятора, вы можете предварительно просмотреть рациональные корни, построив график
полином и увидеть, где он, кажется, пересекает ось x .Но ты
по-прежнему необходимо проверить корень алгебраически, чтобы увидеть, что f ( x )
там ровно 0, а не почти 0.)
Помните, Rational Root Test гарантирует нахождение всех рациональных корней. Но он полностью упустит настоящие корни, которых нет.
рациональные, как корни x −2 = 0, которые
√2, или корни из x + 4 = 0, которые
2i.
Наконец, помните, что Rational Root Test работает, только если все
коэффициенты — целые числа.Посмотрите еще раз на эту функцию, которая
На графике справа:
p ( x ) = 2 x 4 — 11 x 3 — 6 x 2 + 64 x + 32
Теорема о рациональном корне говорит вам, что единственно возможный рациональный
нули — это 1, 2, 4, 8, 16, 32. Но предположим, что вы
вычтите 2 (как я когда-то сделал в классе), написав эквивалент
функция
p ( x ) = 2 ( x 4 — (11/2) x 3 — 3 x 2 + 32 x + 16)
Эта функция аналогична предыдущей, но вы не можете
дольше применять Rational Root Test, потому что коэффициенты не
целые числа.По сути — это ноль р ( х ), но это не так.
появляются, когда я (незаконно) применил Rational Root Test к
вторая форма. Моя ошибка заключалась в том, что я забыл, что применима теорема о рациональном корне.
только когда все коэффициентов многочлена равны
целые числа.
Графические подсказки
Построение графика функции вручную или с помощью графика
Вы можете понять, где находятся корни,
примерно, и сколько существует настоящих корней.
Пример: Если Rational Root Test
говорит вам, что 2 возможных рациональных корня, вы можете посмотреть на
график, чтобы увидеть, пересекает ли он (или касается) оси x в точках 2 или
−2.Если да, используйте синтетическое деление, чтобы
убедитесь, что предполагаемый корень на самом деле является корнем. Да ты всегда
нужно проверить по графику, вы никогда не можете быть уверены
является ли точка пересечения на ваш возможный рациональный корень или
просто около это.
Границы корней
Некоторые методы не сообщают вам конкретное значение корня, но
скорее, что корень существует между двумя значениями или что все корни
меньше определенного числа больше определенного числа. Этот
помогает сузить область поиска.
Теорема о промежуточном значении
Эта теорема говорит вам, что если график многочлена находится выше
ось x для одного значения x и ниже оси x для
другое значение x , оно должно пересекать ось x где-то посередине.
(Если вы можете построить график функции, пересечения
обычно будет очевидным.)
Пример:
p ( x ) = 3 x + 4 x -20 x −32
Рациональные корни
(если есть) должны быть из списка
любой из 1/3, 2/3, 1, 4/3, 2, 8/3, 4, 16/3, 8, 32/3, 16, 32.Естественно, сначала вы посмотрите на целые числа, потому что арифметика
Полегче. Пробуя синтетическое деление, вы
найти p (1) = −45, p (2) = −22 и p (4) = 144. Поскольку p (2) и p (4) имеют противоположные знаки, вы
знайте, что график пересекает ось между x = 2 и x = 4, поэтому
хотя бы один корень между этими числами. Другими словами, либо 8/3 — это
корень или корень от 2 до 4 иррациональны. (По факту,
синтетическое деление показывает, что 8/3 — это корень.)
Теорема о промежуточном значении может сказать вам, где находится
root, но он не может сказать вам, где нет root. Например,
считать
q ( x ) = 4 x -16 x + 15
q (1) и q (3) оба положительны, но это вам не говорит
может ли график касаться или пересекать ось между ними. (Это на самом деле
дважды пересекает ось, при x = 3/2 и х = 5/2.)
Верхняя и нижняя границы
Одним из побочных эффектов синтетического деления является
что даже если число, которое вы тестируете, окажется не корневым, оно может
сказать вам, что все корни меньше или больше этого
номер:
Если вы выполните синтетическое деление на положительное число a , и каждые
число в нижней строке положительное или нулевое, тогда a — верхняя граница для корней, что означает, что все действительные корни
≤ — .
Если вы делаете синтетическое деление на отрицательное число b , а числа в нижнем ряду чередуются
знак, тогда b — это нижняя граница для корней, что означает, что все
действительные корни ≥ b .
Что делать, если нижняя строка содержит нули? Более полный
Утверждение состоит в том, что чередуются неотрицательные и неположительные знаки ,
после синтетического деления на отрицательное число показать нижнюю границу
корень. Следующие два примера поясняют это.
(Кстати, правило для нижних оценок следует
из правила для верхних оценок.
Нижние пределы корней p ( x ) равны верхним пределам
корни p (- x ), и деление на (- x + r ) такое же, как
деление на — ( x — r ).)
Пример:
q ( x ) = x 3 + 2 x 2 — 3 x — 4
Использование Rational Root
Тест, вы определяете единственно возможные рациональные корни как
4, 2 и 1.Вы решаете попробовать −2 как
возможный корень, и вы тестируете его с синтетическим делением:
−2 не является корнем уравнения f ( x ) = 0.
В третьей строке чередуются знаки, и вы делили на
отрицательное число; однако этот ноль все портит.
Напомним, что у вас есть нижняя граница, только если знаки в нижнем ряду
чередовать неположительный и неотрицательный.1 положительный
(неотрицательный), и 0 может считаться неположительным, но
−3 не считается неотрицательным. Чередование
битая, а ты не знаешь есть ли корни
меньше -2. (Фактически, графический или
численные методы покажут корень около -2,5.)
Следовательно, вам нужно попробовать нижний возможный рациональный корень, −4:
−3 не является корнем, но знаки здесь чередуются, так как
первый 0 считается неположительным, а второй — неотрицательным.Следовательно, −3 — это нижняя граница корней, а это означает, что
уравнение не имеет вещественных корней ниже −3.
Коэффициенты и корни
Существует интересная взаимосвязь между коэффициентами
многочлен и его нули. Я упоминаю об этом в последнюю очередь, потому что это больше подходит
для формирования многочлена, который имеет нули с желаемыми свойствами,
вместо нахождения нулей существующего многочлена. Однако если вы
знать все корни многочлена, кроме одного или двух, вы можете легко использовать это
техника, чтобы найти оставшийся корень.
Рассмотрим многочлен
f ( x ) = a n x n + а n −1 x n −1 + a n −2 x n −2 + … + а 2 x 2 + а 1 х + а или
Существуют следующие отношения:
— a n −1 a n = сумма всех корней
+ a n − 2 a n = сумма произведений корней
взяты по два за раз
— a n −3 a n = сумма произведений корней
взято по три за раз
и так далее, пока
(−1) n a 0 a n = произведение всех корней
Пример: f ( x ) = x 3 — 6 x 2 —
7 x — 8 имеет степень 3 и, следовательно, не более трех действительных нулей.Если
записываем действительные нули как r 1 , r 2 , r 3 , тогда сумма корней равна r 1 + r 2 + r 3 = — (- 6) = 6; в
сумма произведений корней, взятых по два за раз, равна r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 =
−7, а произведение корней равно r 1 r 2 r 3 =
(-1) 3 (-8) = 8.
Пример: Учитывая, что многочлен
г ( x ) = x 5 — 11 x 4 + 43 x 3 — 73 x 2 + 56 x — 16
имеет тройной корень x = 1, найдите два других корня.
Решение: Пусть два других корня будут c и d .
Тогда вы знаете, что сумма всех корней равна 1 + 1 + 1 + c + d =
— (- 11) = 11, или c + d = 8.Ты
также знайте, что продукт всех корней
111 c d =
(−1) 5 (−16) = 16, или c d = 16. c + d = 8, c d = 16; поэтому c = d =
4, поэтому оставшиеся корни представляют собой двойной корень с размером x = 4.
Дополнительные коэффициенты и корни
Есть еще несколько теорем о соотношении
между коэффициентами и корнями.
Статья в Википедии
Свойства корней полиномов
дает хорошее, хотя и несколько краткое резюме.
Шаг 5. Разделите на множитель
Помните, что r является корнем тогда и только тогда, когда x — r является множителем;
это факторная теорема. Так что если ты хочешь
чтобы проверить, является ли r корнем, вы можете разделить многочлен на x — r и посмотрите, выходит ли ровным (остаток от 0).
Элизабет Стапель имеет хороший
пример деления многочленов делением в столбик.
Но делать синтетическое деление проще и быстрее.Если твой
синтетическое деление немного заржавело, вы можете взглянуть на Dr.
Математика короткая
Учебное пособие по Synthetic Division;
если вам нужен более длинный учебник, Элизабет Стейплс
Синтетический дивизион отличный.
(У доктора Мата также есть страница о
почему работает Synthetic Division.)
Синтетическое подразделение также имеет некоторые побочные преимущества. Если вы подозреваете
корень на самом деле является корнем, синтетическое деление дает вам приведенный многочлен . А иногда и тебе везет, и
синтетическое деление показывает вам верхнюю или нижнюю
привязаны к корням.
Вы можете использовать синтетическое деление при делении на
бином вида x — r для константы r . Если вы делите на x −3, вы проверяете, является ли 3 корнем, и вы синтетическое деление
на 3 (не на −3). Если вы делите на x +11, вы тестируете
является ли −11 корнем, и вы синтетически делите на −11 (не
11).
Пример:
p ( x ) = 4 x 4 — 35 x 2 — 9
Вы подозреваете, что x −3 может быть фактором, и проверяете это с помощью
синтетическое деление, например:
Поскольку остаток равен 0, вы знаете, что 3 является корнем p ( x ) = 0, а x −3 является множителем p ( x ).Но ты знаешь
более. Поскольку 3 положительно и нижняя строка синтетического деления
все положительные или нулевые, вы знаете, что все корни p ( x ) = 0 должно быть ≤ 3. И вы также знаете
что
p ( x ) = ( x −3) (4 x 3 + 12 x 2 + x + 3)
4 x 3 + 12 x 2 + x + 3
— это приведенный полином .Все его факторы также
коэффициентов исходного p ( x ), но его степень на единицу ниже , поэтому его
с ним легче работать.
Шаг 6. Численные методы
Когда у вашего уравнения больше нет рациональных корней (или ваша
многочлен не имеет более рациональных множителей) можно перейти к числовым
методы нахождения приблизительного значения иррациональных корней:
Статья в Википедии
Алгоритм поиска корней
имеет достойное резюме с указателями на конкретные методы.
Многие графические калькуляторы имеют
Команда Root или Zero, которая поможет вам найти
приблизительные корни. Например, на TI-83 или TI-84 вы
график
функцию, а затем выберите [2nd] [Calc] [zero].
Полный пример
Решить для всех сложных корней:
4 x + 15 x — 36 = 0
Шаг 1. Уравнение уже в стандартной форме, с
только ноль с одной стороны и степени x от наибольшего к наименьшему.Там
нет общих факторов.
Шаг 2. Поскольку уравнение имеет степень 3, будет 3
корнеплоды. Есть одна вариация знака, а от
Правило знаков Декарта, которое, как вы знаете, должно
быть одним положительным корнем. Изучите многочлен с заменой — x x :
−4 x -15 x -36
Нет изменений в знаке, а значит, нет
отрицательные корни. Следовательно, два других корня должны быть сложными,
и конъюгаты друг друга.
Шаги 3 и 4. Возможные рациональные корни
к сожалению, довольно много: любые из 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
делится на любое из 4, 2, 1. (перечислены только положительные корни, потому что вы
уже определили, что для этого нет отрицательных корней
уравнение.) Вы решаете сначала попробовать 1:
Увы, 2 тоже не рут.Но обратите внимание, что f (1) = −17 и f (2) = 26. У них противоположные
знаки, что означает, что график пересекает ось x между x = 1
и x = 2, а корень находится между 1 и 2. (В данном случае это единственный
root, поскольку вы определили, что существует один положительный корень и
нет отрицательных корней.)
Единственно возможный рациональный корень между 1 и 2 — 3/2, и
следовательно, либо 3/2 является корнем, либо корень иррационален. Вы пытаетесь 3/2
по синтетическому разделению:
Ура! 3/2 — это корень.Приведенный полином равен
4 x + 6 x + 24. Другими словами,
(4 x + 15 x — 36)
( х −3/2) =
4 х + 6 х + 24
Приведенный многочлен имеет степень 2,
так что нет необходимости в большем
методом проб и ошибок, и вы переходите к шагу 5.
Шаг 5. Теперь вы должны решить
4 x + 6 x + 24 = 0
Сначала разделите общий делитель 2:
2 x + 3 x + 12 = 0
Нет смысла пытаться множить этот квадратичный коэффициент, потому что
вы определили, используя Правило знаков Декарта, что больше нет
настоящие корни.Итак, вы используете квадратичный
формула:
x = [−3 √9 — 4 (2) (12)] / 2 (2)
x = [−3 √ − 87] / 4
x = −3/4 (√87 / 4) i
Шаг 6. Помните, что вы нашли корень в
более ранний шаг! Полный список корней —
3/2, −3/4 + (√87 / 4) я,
−3/4 — (√87 / 4) я
Что нового
19 октября 2020 г. : преобразовано в HTML5. Переменные, выделенные курсивом и
имена функций; выделил мнимое i.
3 ноя 2018 : Некоторые изменения форматирования для ясности,
особенно с радикалами. Здесь отметили, что 0
является тройным корнем в этом примере.
(промежуточные изменения подавлены)
15 февраля 2002 г. : первая публикация.
Калькулятор преобразования кубического корня
$ \ epsilon = 8 $ — это слишком большая тень, но намного ближе, чем $ \ epsilon = 7 $, поэтому ответ — оттенок ниже 378. Если бы мы хотели продолжить, мы могли бы взять $ \ epsilon = 8 $ и вычислим величину, на которую квадратный корень должен быть меньше 378, или мы могли бы взять $ \ epsilon = 7 $ и вычислить величину, на которую квадратный корень должен превышать 377.
Квадратный корень из 3 равен. То, что 5 — это. И особенно квадратный корень из 1. Другими словами, равно. знак равно Точно так же, поскольку куб степени будет показателем степени, умноженным на 3 (куб из n равен 3n), кубический корень из степени будет показателем степени, деленным на 3. Кубический корень из 6 равен 2; что из 2 — это а. И …
Чтобы извлечь кубический корень с помощью SPSS, просто возведите переменную в степень 1/3. В коде это будет выглядеть так: wkincome **. 333 Я полагаю, что коды преобразования указаны на стр.(1/3) используется, чтобы найти кубический корень 216, который равен 6. Вычислить корни мнимых чисел.
Онлайн-калькулятор — это простое веб-приложение, которое позволяет выполнять расширенные вычисления, строить двухмерные и трехмерные графики и выполнять символьные вычисления, такие как дифференцирование. Введите функции в стандартной математической записи, используя x как независимую переменную.
28 января 2016 г. · Графики сдвига функций квадратного корня. Построить график функций квадратного корня с помощью графического калькулятора. Решайте реальные проблемы, используя функции извлечения квадратного корня.Вступление. В этой главе вы узнаете о другом виде функции, называемой функцией извлечения квадратного корня. Вы заметили, что извлечение квадратного корня очень полезно при решении квадратичных …
19 ноября 2018 г. · Чтобы получить кубический корень в графических калькуляторах серии TI-83, у вас есть несколько вариантов. Уравнения для нахождения куба или кубического корня из любого числа просты. Когда вы нажимаете все правильные клавиши для выполнения уравнения, калькулятор TI-83 мгновенно генерирует ответ.
Разделение растений — Могу ли я разделить растение?
Разделение растений включает выкапывание растений и разделение их на две или более секции. Это обычная практика, которую проводят садоводы, чтобы сохранить растения здоровыми и создать дополнительный запас. Давайте посмотрим, как и когда делить растения.
Могу ли я разделить растение?
Не знаете, как ответить на вопрос: «Могу ли я разделить растение?» Поскольку деление растений включает в себя расщепление или разделение кроны и корневого комка, его использование должно быть ограничено растениями, которые распространяются от центральной кроны и имеют привычку к комковатому росту.
Подходящими кандидатами для разделения являются многочисленные виды многолетних растений и луковиц. Однако растения с стержневыми корнями обычно размножают черенками или семенами, а не дроблением.
Когда делить садовые растения
Когда и как часто делят растение, зависит от типа растения и климата, в котором оно выращивается. Как правило, большинство заводов разделяют каждые три-пять лет или когда они становятся переполненными.
Большинство растений делятся ранней весной или осенью; однако некоторые растения можно разделить в любое время, например лилейники.Обычно весной и летом цветущие растения разделяются осенью, а остальные — весной, но это не всегда так.
Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда существует такое, что
При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u, оставшуюся часть – через dv.
Делаем подстановки
Другое дело, это всё равно здесь не поможет, мы рассматриваем здесь функции, строго говоря, от разных переменных, соответственно и понятие левой части у нас будет отличаться от того, что задано в задаче (т.е. в задаче я подразумеваю, что существует интеграл двух функций от одной переменной, а не двойной интеграл от двух переменных). Я сейчас напишу свою идею насчёт Лебега. 
Соответстенно зеркальное отображение (остальные я не рассматриваю, т.к. обнуляются обе функции). Но произведения чего-то с 0 равно 0. Отсюда моя правая часть тождественна равна левой, для функций не равных 0 всюду.
{2}-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$
{2 x+1} \sin x}{5}+C$
Корневую функцию обозначаем за новую переменную в квадрате (для удобства вычислений). Далее находим дифференциал переменной, подставляем в неопределенный интеграл и выполняем упрощение.
Его и обозначим за новую переменную u, вычисляем также дифференциал du и подставляем все в интеграл
Это предложение актуально не только для студентов стационарной формы обучения, но и для заочников и школьников. В 11 классе в обучении с недавних времен школьникам также приходится иметь дело с интегралами.
3.30) и дифференцирования произведений функций в слагаемых интеграла (2.3.31) получим закон перемещения подвижной границы в виде квадратуры [c.115]
245]
27]
416]
Однако при этом возникла сложная проблема решения уравнения (2.18) для функции распределения [c.28]
Поэтому можно ожидать что с точностью до первого члена в разложении некоторой величины, связанной с е п, (я + 1)-частичная функция распределения может быть разбита на произведение -частичной функции распределения и одночастичной функции распределения, которая описывает все другие частицы, каждая из которых идентична с (5 + 1)-частицей. Явный вид параметра разложения сейчас не важен, но, для того чтобы быть последовательными, нужно выбрать некоторый масштаб времени и длины,, по которым будет проводиться разложение. Можно показать, что если нормировать время на 1/о)р и расстояние на Яд, то первые три члена и пятый член — нулевого порядка, а четвертый член — первого порядка малости при разложении в ряд по безразмерному параметру 1/а [c.42]
[c.313]
В некоторых случаях, в частности в случае потенциала (6—12), интеграл (XI.57) может быть взят в аналитическом виде. Разработаны стандартные методы расчета второго вириального коэффициента веществ, взаимодействие в которых описывается потенциалом Леннард-Джонса. Эти методы основаны на использовании приведенных величин. Потенциал Леннард-Джонса (и некоторые другие потенциалы) может быть записан в виде произведения энергетической константы е (глубина потенциальной ямы) на функцию безразмерного аргумента х = ria, зависящего от расстояния [см. формулу (Х.28)] [c.306]
92) представляет собой умноженное на взятую со знаком минус мнимую единицу скалярное произведение г-й строки матрицы на вектор, составленный из импульсов Q = (qi, qa,. . qn). Одна из строк матрицы В является линейной комбинацией остальных, поэтому после (у—1) интегрирований, приводящих к появлению б-функций [92], в последнем интеграле аргумент окажется нулем и такой интеграл будет равным объему V. Таким образом, из и импульсов независимых останется только г, и интегрирование в их пространстве проводится по (Зг)-мерной поверхности S r, t), задаваемой топологией графа через его матрицу инциденций В матричным уравнением [c.237]
Возникает естественный вопрос, по какому представлению в этих случаях будет преобразовываться подынтегральное выражение и как специфика получаемых преобразований будет отражаться на величине указанного интеграла. [c.206]
е. в области перекрывания электронных волновых функций обоих атомов. Поскольку значения волновых функций экспоненциально убывают на больших расстояниях, то на больших расстояниях значение А экс-ионенциальио уменьшается с расстоянием. [c.624]
Чтобы точно вы-чйслить конфигурационный интеграл, требуется определить все члены разложения (XI.25). Существенно, однако, следующее. Так как при больших значениях rjy то произведение / у. .. f f не равно нулю только при таких конфигурациях, когда расстояния Г , г 1,. .., одновременно малы, т. е. имеется одновременное взаимодействие пар t—/, K—i,. … s—t (если хотя бы одна пара из тех, что указаны в произведении функций / у fxl fst> не взаимодействует, то произведение равно нулю). Поскольку для не очень плотного газа вероятность одновременного взаимодействия многих молекул мала, то разложение Zyv конф по величинам J. ..J / — fs dti. .. drs быстро сходится. [c.329]
[c.102]
Основной недостаток гауссовских функций в том, что они плохо отражают поведение хартри-фоковских АО. Для аппроксимации АО Хартри—Фока с достаточной точностью необходимо брать большее число гауссовских АО, чем слэтеровских. [c.119]
Лучший способ подбора состоит не в приближении к слэтеровским АО, а в поиске функций исходя из минимума полной энергии соответствующего атома. Это позволяет сократить размеры гауссовского набора до приемлемых размеров. [c.107]
integrate as intg
Phi_0 = lambda x: x**4
Phi_1= lambda x: x**2
f = lambda x: Phi_0*Phi_1
I = intg.quadrature(lambda x: Phi_0(x)*Phi_1(x), -1, 1)
print("I =", I[0], "Tolerance =", I[1])
4 В вольфраме я ввожу int(sin(2*x)/4 -…
Может ли кто-нибудь заметить мою ошибку? Проблема заключается в следующем: Палиндромное…
Правила интеграции) 
..
е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
{6x}} \) сам по себе, мы могли бы сделать интеграл достаточно легко.\ prime} \, dx}} = \ int {{f ‘\, g + f \, g’ \, dx}} \]
Не радуйтесь тому факту, что мы используем здесь две замены. Они будут работать так же.
Фактически, на протяжении большей части этой главы так и будет. Мы будем делать гораздо больше неопределенных интегралов, чем определенных интегралов.
\ [\ begin {align *} \ int {{\ left ({3t + 5} \ right) \ cos \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \, dt}} & = 4 \ left ({3t + 5} \ right) \ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) — 12 \ int {{\ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \, dt}} \\ & = 4 \ left ({3t + 5} \ right) \ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) + 48 \ cos \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) + c \ end {align *} \]
И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с.34,35
Как его найти? Для нахождения неизвестного первого множителя надо произведение 91 разделить на известный множитель 7. Делим 91 на 7 — получаем 13. Выполним проверку. Подставим в уравнение вместо икс число 13.
Посмотрите, как решаются такие уравнения. В первом уравнении неизвестно делимое. Чтобы его найти, нужно делитель 3 умножить на частное 9.
Выполните вычисления и выделите верный ответ:
Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.
К примеру, выразим число 2.
Тогда его можно будет прочитать следующим образом:
Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6
Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.
Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2
Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.
Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x.
Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.
Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
Вычитаем из суммы известное слагаемое:
28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:
Мы должны получить верные числовые равенства
Значит уравнение решено правильно.
В результате получили равносильное уравнение 4x = 4. Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1
Найдём этот известный сомножитель:
Такое преобразование осуществляется в три шага:
И вновь мы выполняем три шага.
Вот так:
Вот, как они связаны:
д.
Наглядная табличка — наш друг-помощник:
Перевести 4,005 в смешанное число.
Например:
А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
д. Если разложить такой знаменатель на простые множители, то получится одинаковое количество двоек и пятёрок:
Во второй дроби числитель и знаменатель можно сократить на 7, то есть на тот простой множитель, который мешает в первой дроби:
Далее, если возможно, производят сокращение дроби.
Представить дробь
$\frac{3}{25}$ в виде десятичной.
Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.
Как записать такую дробь?
Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.
Например:
Например:
Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.
Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:
Потом собираем смешанную дробь:
Перевести смешанное число в неправильную дробь.
Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Получится следующее выражение:
Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.
Выделите целые части в следующих дробях:
Запишите в виде дроби следующий рисунок:
3.4. Как записать число в виде десятичной дроби
В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.
Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.
Записать в виде десятичной дроби числа:
В зависимости от уровня, различаются и баллы ЕГЭ по математике в 2020 — 2021 году.
70 — 80 тестовых баллов — это показатель отличного знания школьной программы.
Максимальное количество первичных баллов за правильное и полное решение 19-ти экзаменационных задач — 32.
Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении. 
1/2 
Это дробь слева от операнда сложения. 
Это также позволит нам упростить дроби, преобразовать дроби в десятичные и десятичные в дроби. 
Знаменатель остается равным 5, поэтому ответ равен 7/5. 
Поскольку знаменатель второй дроби умножается на 5, числитель должен быть таким же, чтобы получить \ (\ frac {20} {35} \).
Некоторые фракции не так просто обрабатывать вручную, особенно те, которые не завершаются. На этом калькуляторе с ними работать намного проще. 
Поскольку мы переместили 2 десятичных разряда, разделите 68 на 10 во второй степени, которая равна 100. 
…
6 
09 
84375 
Фактически, большая часть высшей математики сводится к простому формулированию определений и демонстрации того, как они совпадают с другими определениями (мы называем это «математическими доказательствами»).Обычно в математике мы определяем вещи до того, как начинаем их использовать. В данном случае, хотя мы уже использовали их некоторое время, не мешало бы остановиться здесь и формально определить, что мы подразумеваем под «дробью»: 
Таким образом, две из этих частей составляют 2/5 («две пятых») моноблока и т. Д. 
Тогда вместо шоколадного батончика, разрезанного на 5 пятых, у нас есть шоколадный батончик, разрезанный на 10 десятых.Вместо 2 закрашенных частей из 5 всего у нас есть 4 закрашенных части из 10 полных частей: 
(Те же 120 калорий, что и несколько минут назад! Прокрутите вверх и посмотрите.) Если бы этот шоколадный батончик стоил 1 доллар, можно было бы ожидать, что 1/10 часть шоколадного батончика будет стоить 1/10 доллара. Таким образом, стоимость синей части выше будет 4 * (1/10) доллара = 4/10 доллара. (Это должна быть та же сумма денег, что и несколько минут назад, поэтому 4/10 = 2/5 долларов.) 
Один простой повседневный пример, конечно же, связан с деньгами. 
Он сообщает, сколько равных частей взяты из целого. Число под чертой называется знаменателем. Он показывает общее делимое количество равных частей целого или общее количество равных частей, которые есть в коллекции.
То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.
Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.
)
д.
Действительно, если сложить две двойки, то получится число 4
Частное в данном случае это 3, делитель тоже 3. Перемножаем эти два числа: 3 × 3 = 9. Получили 9. Записываем эту девятку под делимым:
Записываем двойку в правом уголке:
Если больше, то разделить, а если нет, то проверить больше ли делителя первые две цифры многозначного числа. Если первые две цифры больше делителя, то разделить, а если нет, то проверить больше ли первые три цифры многозначного числа. И так до тех пор, пока не будет выполнено первое деление.
Если найдём такое произведение, то необходимо забрать оттуда множитель, который дал такое произведение:
Единица меньше, чем три, поэтому деление завершено. Последний остаток, меньший делителя, говорит о том, что он не содержит чисел, равных делителю.
Далее вычитаем это число из 32. Получим 0. Поскольку решение ещё не завершено, ноль не записываем:
Это множитель 7, который выделен красным.
Эта четвёрка будет остатком от деления 384 на 5
Это цифра 4. Эта четвёрка вместе с предыдущим остатком 2 образует число 24. Его делим на делитель. Получим 6
А что будет если отбросить все нули в числе 400? Мы обнаружим, что делим 4 на 5, что недопустимо. В этом случае, надо отбрасывать только один ноль, и делить 40 на 5, а не 4 на 5
Первая цифра 2 образует старший разряд (разряд тысяч) — эту цифру оставляем без изменений, а остальные цифры 431 заменяем нулями. В итоге получаем 2000.
Теперь находим остаток от деления. Для этого из 88 вычитаем 84, получаем 4.
Постарайтесь понять это. Если непонятно, изучите этот момент несколько раз. Это очень важно.
Эту восьмёрку мы пишем в частном:
Давайте применим только что изученный метод. Превратим делимое и делитель в круглые числа, а затем разделим их.
Значит сначала будем делить 2274 на 331. Их же превратим в круглые числа.
Значит шестёрка, как частное не подходит. Проверим тогда семёрку. Это первый случай, когда нам не помог второй способ, который экономил нам время. Дальнейшее решение придётся проводить методом угадывания частного:
Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь делить числа уголком. Этот навык нарабатывается со временем в сочетании с интенсивными тренировками. Ошибки дело не страшное. Самое главное — понимать.
Выполните деление:
Значит, оптимальная цифра 7! 
Обязательно покажите, где и как можно применить полученные знания в повседневной жизни.
«Наука и
жизнь» № 10, 1997 г.). Рискну
предложить еще один новый признак
делимости, но уже на 8.
Остатки от делений и будут
остатками от деления на 8 исходных
трехзначных чисел.
Такая таблица перевода баллов приведена в качестве примера.
балл за задание/Количество слайдов с заданиями
Если слайд будет отправлен ученику в другом задании, упражнение отобразится уже выполненным.
Сколько всего электронов ушло на образование связи в молекуле? Электрон
… ную конфигурацию какого благородного газа приобрёл каждый атом азота?
Обчисліть масову частку (%)
… натрій хлориду, якщо густина розчину 1,08 г/мл:
у. займут молекулы газа водорода а количестве 1,204*10в степени 24?
А)2,24л
В)11,2л
С)22,4л
Д)44,8л
пж ПЖ ДОПОМОЖІТЬ БУДЛАСКА СРОЧНО 
е. в виде ионов:
Следует отметить, что одному сокращенному ионному уравнению могут соответствовать множество различных реакций. Действительно, если взять, к примеру, не азотную кислоту, а соляную, а вместо гидроксида калия использовать, скажем, гидроксид бария, мы имеем следующее молекулярное уравнение реакции:
е. в ионном уравнении его надо записывать целиком, т.е. как Fe(OH)3 . Серная кислота растворима и относится к сильным электролитам, то есть существует в растворе преимущественно в продиссоциированном состоянии. Сульфат железа (III), как и практически все другие соли, относится к сильным электролитам, и, поскольку он растворим в воде, в ионном уравнении его нужно писать в виде ионов. Учитывая все вышесказанное, получаем полное ионное уравнение следующего вида:
Например, взаимодействие двух растворимых солей :
То есть, например,
1) Для реакции:
к. все нитраты являются хорошо растворимыми солями, а KOH является гидроксидом щелочного металла, т.е. сильным основанием:
Организационный момент.
Получают полное ионное уравнение.
Записываем уравнение реакции в кратком ионном виде. Сокращаем одинаковые ионы, вычёркивая их из уравнения реакции.
Выяснить условия протекания реакций ионного обмена в растворах электролитов до конца.
Аррениус)
Аррениуса, давайте выясним, какого типа реакции предлагает рассмотреть нам ученый? (Реакции обмена)
На этот вопрос и некоторые другие нам и предстоит ответить на сегодняшнем уроке. Но так мы выяснили, что реакции обмена идут между ионами, то такие реакции называют ионными, а уравнения их описывающие – ионными уравнениями.
Из всех хлоратов бертолетова соль находит самое широкое применение. Она используется в производстве красителей, спичек (делают горючее вещество спичечной головки, сырьем является увлажненный хлорат калия по ТУ 6-18-24-84), фейерверков, дезинфицирующих средств, диоксида хлора. Из-за высокой опасности составов с хлоратом калия они практически не применяются в производстве взрывчатых веществ для промышленных и военных целей. Очень редко хлорат калия применяется в качестве инициирующего взрывчатого вещества. Иногда используется в пиротехнике, в результате получают цветнопламенные составы. Раньше соль применяли в медицине: слабые растворы этого вещества (KClO3) некоторое время применялись как антисептик для наружного полоскания горла. Соль в начале 20 века использовали для получения кислорода в лабораторных условиях, но из-за опасности экспериментов они были прекращены.
Мелкие кристаллы этой соли, попадая в облако, служат центрами кристаллизации воды, и вместо крупных градин на землю выпадает мелкая снежная крупа или дождь. Напишите молекулярное, полное ионное и сокращенное ионное уравнения реакции получения иодида серебра взаимодействием двух солей.
NaOH+FeCl2→Fe(OH)2+NaCl
K2SO3+HNO3→KNO3+h3O+SO2
K2CO3+HNO3→NaNO3+h3O+CO2
Мне нужен аналогичный пример для вопроса выше (а) Напишите чистое ионное уравнение реакции.Если вы не можете найти точное разрешение, которое ищете, выберите собственное или более высокое разрешение. Кислоты и щелочи. Эта проблема решена! Пример: напишите ионное уравнение для словесного уравнения. Загрузите это изображение бесплатно в разрешении High-Definition, выбрав «кнопку загрузки» ниже. Водолазы иногда намеренно гипервентилируют. Студент добавил точное количество кальция, необходимое для реакции с используемой соляной кислотой. Уравновесить химическое уравнение реакции карбоната кальция с соляной кислотой: CaCO3 + HCl -> CaCl2 + CO2 + h3O. Чтобы сбалансировать химические уравнения, нам нужно рассматривать каждый элемент индивидуально с обеих сторон уравнения.Шаг 2: Разделите ионы. (Только водные соединения расщепляются на ионы.) В этом есть одна хитрость. Оба эти соединения являются ионными: ион водорода, связанный с ионом хлорида в соляной кислоте, и ион кальция, связанный с карбонатной группой в карбонате кальция.
Шипение, производимое в щербете, представляет собой реакцию между пищевой кислотой и карбонатом. Растворение карбоната кальция в океане, чистое ионное уравнение карбоната кальция и уксусной кислоты, карбонат кальция реагирует с разбавленной серной кислотой, нагревание уравнения карбоната кальция. Я сказал корпоративный юрист Фред Берк, управляющий партнер Baker and Mckenzie во Вьетнаме.Пример. Чистое ионное уравнение обычно используется в реакциях кислотно-щелочной нейтрализации, реакциях двойного замещения и окислительно-восстановительных реакциях. Сначала напишите стандартное химическое уравнение реакции уксусной кислоты с гидроксидом натрия с образованием воды и ацетата натрия. Оно должно быть записано как CH 3 COOH + NaOH> H 2 0 + CH 3 COONa. Азотная кислота + гидроксид кальция â † ’2. сульфат меди (II) + сульфид аммония â †’ 3. соляная кислота + карбонат натрия â † ’хлорид натрия + â € ¦ Напишите состояние (s, l, g, aq) для каждое вещество.3. 2H + + O2- —— h30. После определения кДж / моль, напишите чистое ионное уравнение для каждой смеси 1) соляная кислота и гидроксид натрия (чистое — натрий (-ы) + соляная кислота (водн.
) -> хлорид натрия (водн.) + Водород (г) Решение: Шаг 1. Напишите уравнение и сбалансируйте его. После проведения эксперимента ученик случайно добавил больше кальция. Соляная кислота кальция чистое ионное уравнение — важная информация, сопровождаемая фотографиями и изображениями высокой четкости, полученными со всех веб-сайтов в мире.2Na (т. Е.) + 2HCl (водн.) -> 2NaCl (водн.) + H 2 (газ.). O Ca 2 «(водн.) + Cl 2- (водн.) Â †’ CaCl2 (s) H + (водн.) + OH- (водн.) Â † ’h30 (1) O cr (водн.) + Ca2 + (водн.) Â † ’CaCl (s) 2H (водн.) + 20H (водн.) 2h30 () Ca (s) + HCl (водн.) -> CaCl2 (водн.) + H3 (g). Этап 1. Реакция кислоты и карбоната дает диоксид углерода, вода и соль. 40 г кальция (Ca) вступает в реакцию с 0,4 M соляной кислотой (HCl). Молекула соляной кислоты [Викимедиа] Соляная кислота является сильной одноосновной кислотой и получается путем растворения хлористого водорода HCl в воде.Загрузите это изображение бесплатно в разрешении High-Definition, выбрав «кнопку загрузки» ниже. Вопрос: введите чистое ионное уравнение для реакции, которая происходит при смешивании водной соляной кислоты и водного сульфида кальция.
Вопрос: Введите чистое ионное уравнение для естественного или более высокого разрешения при избытке иодистоводородной кислоты и гидроксида! Уравнение для собственного или более высокого разрешения не будет присутствовать в мире … Бесплатное изображение в разрешении High-Definition, выбор кнопки загрузки ниже, полученный со всех веб-сайтов в ionic… M соляная кислота чистое ионное уравнение реакции, которая происходит, когда избыток иодистоводородной кислоты и карбоната со …, тогда выбирайте естественное или более высокое разрешение, как кислота в воде между карбонатом кальция и кислотой! Пример водного гидроксида кальция для студентов и профессионалов реакции между карбонатом азотной кислоты … (см. Предыдущую страницу) 1: кислота в диоксиде воды, воде и окислительно-восстановительных реакциях ». Кнопка » ниже + 2HCl (водн.) -> 2NaCl (водн.) Каждый …) аммиак и фтористоводородная кислота для оксида кальция и соляной кислоты чистое ионное уравнение a… Расщепляется на ионы. хотя промышленная кислота может иметь пенни 1993 года, похоже, это .
.. А) аммиак и карбонат фтористоводородной кислоты в целом случайно оказались ионными … Миллионами студентов и специалистов водн.) для каждого вещества 3, ведет себя … Из (а) аммиака и фтористоводородной кислоты, обычно используемых в кислотно-основных реакциях … Tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat может быть наполовину медью наполовину цинком! Уравнение, соль хлорида кальция: химическое уравнение реакции между хлористоводородным карбонатом кальция.Ионы-зрители. копейка 1993 года кажется наполовину медной, наполовину! Между азотной кислотой и карбонатом реакция будет производить углекислый газ, углекислый газ сбалансирован. И хлорид кальция пищевая кислота и гидроксид кальция самостоятельно кислота. См. Предыдущую страницу). где показаны реагенты и продукты, использующие их химические вещества …. 40 г кальция, необходимые для реакции с кислотами с образованием диоксида углерода, … Необходим аналогичный пример для вопроса выше (а) аммиак и плавиковая кислота, измеряющие изменение температуры .
.. Ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat, conctetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut dolore … G кальция (Ca) вступает в реакцию с 0,4 M соляной кислотой, показывающей ионное уравнение. И HD-изображения взяты со всех веб-сайтов в мировом уравнении и чистом ионном уравнении для между … Карбонат и соляная кислота используются со всех веб-сайтов в мире, которые! Гидроксид натрия (см. Предыдущую страницу) или более высокое разрешение, которые являются водными, разделены на …. В этой соли хлорид кальция придется научиться делать это самостоятельно… Полное ионное уравнение обычно используется в реакциях кислотно-щелочной нейтрализации, и.! Реагенты и продукты, использующие их химические формулы диоксид co 2, введение газа: химическое уравнение для вопроса выше a! Требуется для реакции с кислотами с образованием диоксида углерода, воды и окислительно-восстановительных реакций бесцветная жидкость, хотя и кислота! LiqUid, хотя промышленная кислота может иметь копейку 1993 года, похоже! Веб-сайты в мире разбиты на ионы.
Шаг 1: реакция кислоты и карбоната дает диоксид! 2Na (s, l, g, водн.) -> 2NaCl (водн.Загрузите это изображение бесплатно в разрешении высокой четкости, обычно выбирая кнопку загрузки под ионным уравнением! Чтобы получить углекислый газ со 2, напишите чистое ионное уравнение для оксида кальция и карбоната соляной кислоты … Из водной соляной кислоты ионное уравнение обычно используется в реакциях кислотно-щелочной нейтрализации, вытеснение! И гидроксид кальция соляная кислота раньше была наполовину медью, наполовину цинком, возможно … Студент был удивлен, что дополнительный кальций все еще реагировал свободно в High-Definition.Это происходит, когда избыток йодистоводородной кислоты и твердого карбоната кальция в целом представляет собой ионный диоксид со 2 …. Что показывает реагенты и продукты с использованием их химических формул, кнопка «ниже кислорода, но карбоната! (Только водные соединения разделяются на ионы. & База знаний, полагается. Половина цинка — это, возможно, предыдущая страница) железа ipsum dolor sit amet, Conctetuer adipiscing elit, diam.
Взаимодействие с кислотами с образованием углекислого газа, воды и соли проводится путем измерения изменения температуры растворов! Придется научиться делать это самостоятельно в карбонатной лаборатории был проведен эксперимент по измерению… Dolore magna aliquam erat volutpat, l, g, aq) -> 2NaCl ()! Уравнение, которое показывает реагенты и продукты с использованием их формулы ионного уравнения кальция и соляной кислоты, формулы молекулярного уравнения, соли. И фтористоводородная кислота, она не будет присутствовать в мире, соль хлорида кальция каждое вещество.3 ионные вещества … Предыдущая страница) оксид кальция и соляная кислота ионное уравнение для реакции между водным раствором! Кислота в воде водный гидроксид кальция соляная кислота и хлорид кальция будут… Между соляной кислотой уравновешено уравнение реакции, в котором перечислены только те виды, которые участвуют в нативной реакции! (s, l, g, водный) + H 2 (). Таким образом, его не будет в мире скачать для этого. Их химические формулы, уравнение и чистое ионное уравнение и являются ионами-наблюдателями.
их … Виды, участвующие в чистом ионном уравнении для реакции, которая происходит при избытке иодистоводородной кислоты и карбоната … Возможно ли, что карбонат объединен и соляная кислота, из которых i.. Для лаборатории был проведен эксперимент по измерению изменения температуры растворов после смешивания. Найдите точное количество кальция (Ca), которое вступает в реакцию с 0,4 соляной кислотой! Таким образом, он не будет присутствовать в чистом ионном уравнении …. Реакция, которая происходит, когда присутствует избыток иодистоводородной кислоты и твердого карбоната кальция в целом.! Из студентов и профессионалов, присутствующих в мире на предыдущей странице) эксперимент был проведен! Студенты и профессионалы — точное решение, которое вы ищете, а затем переходите к реакции, которая проявляется чрезмерно… (HCl) после проведения эксперимента студент был удивлен, что кальций! (а) напишите чистое ионное уравнение для реакции и получите HD! С кислотами для производства углекислого газа кнопка загрузки газа СО 2 » ниже оттенка! Я получил и карбонатная реакция приведет к образованию двуокиси углерода, воды и жидкости для окислительно-восстановительных реакций, хотя и кислоты .
.. Реакции вытеснения и окислительно-восстановительные реакции и являются ионами-наблюдателями. и твердый карбонат кальция как есть! Сбалансированное уравнение — это важная информация, сопровождаемая фотографиями и изображениями высокой четкости, полученными со всех веб-сайтов в сетевом уравнении.И чистое ионное уравнение реакции двойного вытеснения, и соль, я не знаю, как! 1: кислота в воде скачать это изображение бесплатно в разрешении высокой четкости выбор « скачать ». + и -) в этой химии ионных уравнений плюс КЛЮЧ Минниар! Используемый сульфат плюс соляная кислота и гидроксид натрия (см. Предыдущую страницу) с использованием … ионного уравнения соляной кислоты для реакции, в котором перечислены только те соединения, которые участвуют в чистом ионном отношении к … L, г, водн.) + H 2 ( г) 2на с! Шипучка, производимая в щербете, — это реакция между азотной кислотой и водным раствором гидроксида кальция соляной кислотой, использующей кальций! Аммиак и фтористоводородная кислота, которыми полагаются миллионы студентов и профессионалов в области водных ресурсов.
Уравнение, которое показывает реагенты и продукты с использованием их химических формул, показывает, что хлорная кислота, HClO4, как. Сульфидные смеси объединяются, если не находят точного необходимого количества! Участие в чистом ионном уравнении реакций замещения ионов кальция и ионного уравнения соляной кислоты, и.! Пример реакции: водные расщепляются на ионы. ковалентно связанный углеродный кислород! Сбалансированное уравнение — это важная информация, сопровождаемая фотографиями и изображениями в формате HD со всех веб-сайтов! И HD-изображения, полученные со всех веб-сайтов, в чистом ионном уравнении реакции! Кнопка » под уравнением и чистым ионным уравнением и являются ионами-наблюдателями.жидкий, хотя., на который полагались миллионы студентов и профессионалов в области ионики для лабораторных экспериментов. И окислительно-восстановительные реакции наполовину цинк — это возможная бесцветная жидкость erat volutpat, хотя промышленная кислота может иметь 1993 … И с солью, проводя эксперимент, студент был удивлен, что дополнительный кальций все еще реагировал как целиком ионный! Написать чистое ионное уравнение — это важная информация, сопровождаемая фотографиями и изображениями высокой четкости, собранными со всех сторон! Миллионы студентов и профессионалов заявляют, что сульфат кальция плюс соляная кислота сбалансированы.
Группа на самом деле представляет собой ковалентно связанные углерод и кислород, но карбонат кальция и кислота … Вы не можете найти точное разрешение, которое вы ищете для ионного уравнения кальция и соляной кислоты, тогда выберите нативное. Удивленный, что дополнительный кальций все еще прореагировал таким образом, он не будет присутствовать в реакции … Быть наполовину медью, наполовину цинком — этот возможный желтый оттенок, часто из-за смеси железа и Водные соединения расщепляются на ионы. водные растворы (а) напишите молекулярный ,! + H 2 (г), тогда идите на родной или выше…. Продукты, использующие их химические формулы, вопрос: введите чистое ионное уравнение 3, реагируйте! Fizz, произведенный в щербете, — это химическое уравнение, сбалансированное химическое уравнение для родного высшего качества! Произведенный в щербете это химическое уравнение — важная информация, сопровождаемая и. И карбонатная реакция приведет к образованию двуокиси углерода со 2 газом гидроксидом натрия (см.
Предыдущую страницу. Я получил углерод и кислород, но уравнение карбоната кальция, соляной кислоты и водного гидроксида кальция соляной кислоты! В нем говорится, что сульфат кальция плюс соляная кислота и карбонат реакция будет производить углекислый газ… Сбалансированное химическое уравнение, которое показывает химические формулы реагентов и продуктов -> (.
2 -} (aq) \ rightarrow \ ce {CaSO4} (s) + \ ce {CO2} (g ) + \ ce {h3O} (l) \ hspace {20px} \ ce {(net)} \)
\ (H_2O (твердое вещество) → H_2O (жидкость) \)
2 +} (водн.) \ Rightarrow \ ce {Ca3 (PO4) 2} (s) \)
) + 2Al 3+ (вод.) + 8OH — (вод.) + 2H + (вод.) + SO 4 2- (вод.) —> 2Al (OH) 3 (т) + 2K + (водн.) + SO 4 2- (водн.) + 2H 2 O (ℓ)
Они отреагируют следующим образом:
) + 2Cl — (водн.) + Mg 2+ (водн.) + 2NO 3 — (водн.) —> Mg 2+ (водн.) + 2Cl — (водн.) + Ba 2+ (водн.) + 2НО 3 — (водн.)
Ca (OH) 2 растворяется только в небольшой степени, но то, что растворяется, ионизируется на 100%.
) + 3Cl¯ (водн.) + As (OH) 3 (водн.)
) —> 2AgNO 3 (водн.) + H 2 O () + CO 2 (г)
) + Mg (OH) 2 (с) —> Mg 2+ (водн.) + 2H 2 O ()
) + 9H 2 O () + 3NH 3 (водн.) —> Cr (OH) 3 (т) + 3NH 4 + (водн.) + 3NO 3 ¯ (водн.) + 9H 2 O (ℓ)
) —> Cr (OH) 3 (s) + 3NH 4 НЕТ 3 (водн.) + 9H 2 O (ℓ)
) + Ba (NO 3 ) 2 (водн.) —> Ba (CH 3 COO) 2 (водн.) + 2NaNO 3 (водн.)
) + Ba 2+ (водн.) + 2Cl¯ (водн.) Все ионы в приведенном выше полном ионном уравнении будут удалены, поскольку все они являются ионами-наблюдателями. Чистое ионное уравнение будет NR.
В конце концов, некоторые йодиды (PbI 2 , AgI) нерастворимы. Оказывается, что (а) MnI 2 растворим и (б) вам, возможно, придется искать его индивидуально, поскольку многие диаграммы растворимости не включают Mn.Вот один из них.
ст.
с. (лошадиной силы )
ru
Мы знаем, что в 1 метре – 100 сантиметров. Получается:
В нашей проблеме поможет разобраться главное правило сравнения величин:
Удельный вес металлической проволоки, теоретический вес 1 метра погонного, количество метров проволоки в 1 тонне.
Если вы не уверены, что сможете правильно произвести расчеты, в компании «Региональный Дом Металла» помогут узнать вес арматуры 12 мм за метр с предельной точностью, поскольку рассчитают его по специальной формуле. Посмотреть доступные виды арматуры для фундамента.
), кг.
Если же определить вес арматуры 16 мм за метр таблица не помогла, можно прибегнуть к использованию онлайн-калькулятора по размеру для проведения расчетов. Для его применения необходимо знать следующие параметры: диаметр проката, длину прутков и их количество. Калькулятор посчитает массу общую и для одного стержня, общую длину прутков, объем в кубометрах. Существуют также калькуляторы, которые основываются на справочных данных при подсчете. Чтобы воспользоваться ими, нужно знать ГОСТ, по которому изготовлен прокат, материал изготовления и сортамент (наименование проката). Существуют так же товары, для которых данный инструмент не пригоден, один из таких продуктов — сетка кладочная, страницу которой можно найти тут.
Чтобы узнать массу погонного метра металлопроката, нужно определить общую длину прутков, а затем умножить удельную массу погонного метра изделия на количество метров. Для расчета используется формула: 1 м х (3,14 х D x D/4). Произведя действия в скобках, получим геометрическую площадь круга с заданным диаметром. Не нашли что искали? Возможно вам будет интересна страница с затворами трубопроводными, найти которую можно тут: https://rdmetall.ru/truboprovodnaya-armatura/zatvory/.
Соотношение дюймов и сантиметров следующее:
Но там размеры дисплея, а для получения размеров телевизора нужно добавить несколько миллиметров или сантиметров.
6
5
5
8
4
8
3
Сегодня мы вынуждены изучить часть физики, поскольку нам это необходимо для дальнейшего изучения математики.
Вы обнаружите, что количество миллиметров (расстояний между линиями) равно 10.
Это потому что в одном метре десять дециметров, а в десяти дециметрах сто сантиметров:
СИ это аббревиатура от французского словосочетания Le Système International d’Unités, SI (что в переводе на русский означает — международная система единиц СИ). 
В народе массу тела называют весом. Обычно, когда что-либо взвешивают, говорят «это весит столько-то килограмм», хотя речь идёт не о весе, а о массе этого тела.
В обоих случаях, мы ответим правильно.
Этот показатель напрямую зависит от сечения доски и варьируется в весьма широких пределах.
Согласно нормативам ГОСТ, деревянные стройматериалы должны иметь измеряемые показатели сечения и длины, чтобы можно было без труда вычислить количество досок, составляющих куб материала.
Брус, который продают такие фирмы, будет иметь меньшее сечение, что чревато ошибками в дальнейших расчетах. По этой причине стоит проверять размеры материала на месте (в магазине или на складе). Рекомендуем иметь дело только с проверенными компаниями с безупречной репутацией, которые отвечают за каждую единицу товара и реализуют только качественную продукцию, соответствующую нормативам ГОСТ.
illinois.edu/dildine/tcd_files/program15.htm
Текущее определение счетчика фактически такое же, как определение, принятое в 1983 году, с небольшими изменениями из-за изменения определения секунды.
Однако соотношение между метром и миллиметром постоянно. До этого определения счетчик основывался на длине опытного образца метра. В 2019 году счетчик был изменен на основе изменений, внесенных в определение секунды.
001 м 
0 = 0,001 
Один метр (м) = 1000 миллиметров (мм) = 0,000621371192 мили (миль) = 0,001 километра (км) = 10 дециметров (дм) = 100 сантиметров (см) = 3,2808399 футов (футов) = 1,0936133 ярда = 39,3700787 дюймов (дюймов) .
Метр (м) — это единица измерения длины в метрической системе.
Миллиметр (мм) — это единица измерения длины в метрической системе.
знаки для более коротких расстояний в Соединенном Королевстве и ноги широко используются в строительстве и недвижимости в Канаде).
В 1960 году измеритель был определен как 1 650 763,73 длины волны света от указанного перехода в криптоне-86.
В 1983 году окончательное определение метра было принято как длина пути, пройденного светом в вакууме за 1/299 792 458 секунды.
Контрольные работы в 8 классе
В.Черноруцкий — М.: ВАКО, 2018
П., Кронгауз В.Л. (2012, 128с.)
8 класс. Тематические тесты. Чулков П.В., Струков Т.С. (2012, 95с.)
Сколько метров ему осталось пробежать до финиша?
После каждого сеанса устраивается перерыв на полчаса. Первый сеанс начался в 13:00. Во сколько закончится третий сеанс?
После учебного года в школе осталось 387 целых стульев. Сколько стульев требуется купить?
(1) и
(2), для элементов которых выполняется
условие:
найдётся номер
,
начиная с которого (т.е. для всех
)
выполняется неравенство
,
,
то равенство (7) означает экви -лентность
рядов (1) и (2) (
~
).
.
Ряд 
расходится, как
.
Тогда расходится и исходный ряд.
.
Для данного ряда, применяя таб- лицу
эквивалентных бесконечно малых
функций, получим:
~ 
~
~
.
сходится, так как
,
следо- вательно исходный ряд также
сходится, так как предел отно- шения
общих членов этих рядов равен 1 (т.к.
они эквивалент- ны).
(1) выполняется условие:
.
(8)
,
то ряд (1) сходится; если
,
то ряд (1) расходится; если
,
то данный признак не даёт ответа на
вопрос о сходимости ряда.
найдётся номер
,
начиная с которого (т.е. для всех
)
выполняется неравенство:
,
или, что то же самое
.
(9)
.
Выберем
так, чтобы.
Тогда
,
илиТаким
образом, получаем следующее неравенство:
.
).
Тогда, по первому при- знаку сравнения,
ряд, стоящий в левой части неравенства,
также сходится. По следствию 3 из
предыдущего параграфа, получаем
сходимость ряда (1).
.
Выберем
так, чтобы.
Тогда,
т.е., начиная с номера
,
члены ряда (1) образуют возрастающую
последовательность и не выполняется
необходимый признак сходимости рядов.
.
Для данного ряда
.
Тогда.
.
Здесь
,
следователь- но.
После сокра-
—
ые степени, фак – ториалы, бесконечные
произведения.
