Рубрика: Разное

Кто-то может возразить против диапазона, спросив: «Откуда мы знаем, что график изображение функции квадратного корня в Рисунок 3 (b) растет бесконечно? » Опять же, ответ кроется в последовательности графиков на рис. 2 .2 \), \ (x \ ge 0 \), открывается бесконечно вправо по мере того, как график уходит в бесконечность. Следовательно, после отражения этого графика по линии y = x результирующий график должен бесконечно подниматься вверх при движении вправо. Таким образом, диапазон функции квадратного корня равен \ ([0, \ infty) \).

Переводы

Если мы сдвинем график \ (y = \ sqrt {x} \) вправо и влево или вверх и вниз, это затронет домен и / или диапазон.

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Нарисуйте график \ (f (x) = \ sqrt {x − 2} \).Используйте свой график, чтобы определить домен и диапазон.

Мы знаем, что основное уравнение \ (y = \ sqrt {x} \) имеет график, показанный на Рисунках 1 (c). Если мы заменим x на x — 2, основное уравнение \ (y = \ sqrt {x} \) станет \ (f (x) = \ sqrt {x − 2} \). Из нашей предыдущей работы с геометрическими преобразованиями мы знаем, что это сдвинет график на две единицы вправо, как показано на Рисунках 4, (a) и (b).

Чтобы найти область, мы проецируем каждую точку графика f на ось x, как показано на рис. 4 (a). Обратите внимание, что все точки справа от 2 или включая 2 заштрихованы на оси абсцисс. Следовательно, область определения f равна

Домен = \ ([2, \ infty) \) = {x: \ (x \ ge 0 \)}

Поскольку сдвига в вертикальном направлении не произошло, диапазон остается прежним. Чтобы найти диапазон, мы проецируем каждую точку графика на ось y, как показано на рис. , рис. , , 4, (b).Обратите внимание, что все точки, равные нулю и выше, заштрихованы на оси ординат. Таким образом, диапазон f равен

Диапазон = \ ([0, \ infty) \) = {y: \ (y \ ge 0 \)}.

Мы можем найти область определения этой функции алгебраически, исследуя ее определяющее уравнение \ (f (x) = \ sqrt {x − 2} \). Мы понимаем, что нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, выражение под радикалом должно быть неотрицательным (положительным или нулевым). То есть

\ (х — 2 \ ge 0 \).

Решение этого неравенства для x ,

\ (х \ ge 2 \).

Таким образом, область определения f — это Domain = \ ([2, \ infty) \), что соответствует графическому решению, приведенному выше.

Давайте посмотрим на другой пример.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Нарисуйте график \ (f (x) = \ sqrt {x + 4} + 2 \). Используйте свой график, чтобы определить домен и диапазон f.

Опять же, мы знаем, что основное уравнение \ (y = \ sqrt {x} \) имеет график, показанный на рис. 1 (c). Если мы заменим x на x +4, основное уравнение \ (y = \ sqrt {x} \) станет \ (y = \ sqrt {x + 4} \).Из нашей предыдущей работы с геометрическими преобразованиями мы знаем, что это сдвинет график \ (y = \ sqrt {x} \) на четыре единицы влево, как показано на , рис. 5, (a).

Если мы знаем, что прибавляем 2 к уравнению \ (y = \ sqrt {x + 4} \), чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {x + 4} + 2 \), это сдвинет график \ ( y = \ sqrt {x + 4} \) на две единицы вверх, как показано на рис. 5 (b).

. Идентификация области \ (f (x ) = \ sqrt {x + 4} + 2 \), мы проецируем все точки на графике f на ось x, как показано на , рис. 6, (a).Обратите внимание, что все точки справа от — 4 или включая его заштрихованы на оси x . Таким образом, область определения \ (f (x) = \ sqrt {x + 4} + 2 \) равна

Домен = \ ([- 4, \ infty) \) = {x: \ (x \ ge −4 \)}

. Аналогичным образом, чтобы найти диапазон f , спроецируйте все точки на графике f на ось y , как показано в . Рисунок 6 (б). Обратите внимание, что все точки на оси y больше или включают 2 затенены.Следовательно, диапазон f равен

Диапазон = \ ([2, \ infty) \) = {y: \ (y \ ge 2 \)}

Мы также можем найти область определения f алгебраически, исследуя уравнение \ (f (x) = \ sqrt {x + 4} + 2 \). Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным (нулевым или положительным). Следовательно,

\ (х + 4 \ ge 0 \).

Решение этого неравенства для x ,

\ (х \ ge −4 \).

Таким образом, область определения f — это Domain = \ ([- 4, \ infty) \), что соответствует графическому решению, представленному выше.

Отражения

Если мы начнем с основного уравнения \ (y = \ sqrt {x} \), а затем заменим x на −x, тогда график полученного уравнения \ (y = \ sqrt {−x} \) будет захвачен путем отражения график \ (y = \ sqrt {x} \) (см. , рис. 1, (c)) по горизонтали поперек оси y. График \ (y = \ sqrt {−x} \) показан на Рисунке 7 (a).

Точно так же график \ (y = — \ sqrt {x} \) будет вертикальным отражением графика \ (y = \ sqrt {x} \) по оси x, как показано на , рис. (б).

Чаще всего вам будет предложено выполнить отражение и перевод.

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Нарисуйте график \ (f (x) = \ sqrt {4− x} \). Используйте полученный график, чтобы определить домен и диапазон f.

Сначала перепишите уравнение \ (f (x) = \ sqrt {4− x} \) следующим образом:

\ (f (x) = \ sqrt {- (x − 4)} \)

Определение

Первые размышления .Обычно более интуитивно понятно выполнять размышления перед переводом.

Помня об этом, мы сначала нарисуем график \ (f (x) = \ sqrt {−x} \), который является отражением графика \ (f (x) = \ sqrt {x} \ ) по оси y . Это показано на рис. 8 (а).

Теперь в \ (f (x) = \ sqrt {−x} \) замените x на x — 4, чтобы получить \ (f (x) = \ sqrt {- (x − 4)} \). Это сдвигает график \ (f (x) = \ sqrt {−x} \) на четыре единицы вправо, как показано на , рис. 8, (b).

Чтобы найти область определения функции \ (f (x) = \ sqrt {- (x − 4)} \) или, что эквивалентно, \ (f (x) = \ sqrt {4 − x} \), спроецируйте каждый точка на графике f на оси x , как показано на рис. 9 (a). Обратите внимание, что все действительные числа, меньшие или равные 4, заштрихованы на оси x . Следовательно, домен f равен

Домен = \ ((- \ infty, 4] \) = {x: \ (x \ le 4 \)}.

Аналогичным образом, чтобы получить диапазон f, спроецируйте каждую точку на графике f на их ось, как показано на рис. 9 (b).Обратите внимание, что все действительные числа, большие или равные нулю, заштрихованы на оси ординат. Следовательно, диапазон f равен

Диапазон = \ ([0, \ infty) \) = {x: \ (x \ ge 0 \)}.

Мы также можем найти область определения функции f , исследуя уравнение \ (f (x) = \ sqrt {4 − x} \). Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным (нулевым или положительным). Следовательно,

\ (4 — х \ ge 0 \).

Решите это последнее неравенство для x . Сначала вычтите 4 из обеих частей неравенства, затем умножьте обе части полученного неравенства на — 1. Конечно, умножение на отрицательное число меняет символ неравенства на противоположное.

\ (- х \ ge −4 \)

\ (х \ ле 4 \)

Таким образом, область определения f равна {x: \ (x \ le 4 \)}. В обозначении интервалов Domain = \ ((- \ infty, 4] \). Это хорошо согласуется с приведенным выше графическим результатом.

Чаще всего требуется сочетание вашего графического калькулятора и небольших алгебраических манипуляций, чтобы определить область определения функции квадратного корня.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Нарисуйте график \ (f (x) = \ sqrt {5−2x} \) Используйте график и алгебраический метод, чтобы определить область определения функции.

Загрузите функцию в Y1 в меню Y = вашего калькулятора, как показано на рис. 10 (a). Выберите 6: ZStandard в меню ZOOM, чтобы построить график, показанный на рис. 10 (b).

Внимательно посмотрите на график , рис. 10, (b) и обратите внимание, что трудно сказать, идет ли график полностью вниз, чтобы «коснуться» оси x около \ (x \ приблизительно 2.5 \). Однако наш предыдущий опыт использования функции извлечения квадратного корня заставляет нас думать, что это всего лишь артефакт недостаточного разрешения калькулятора, который не позволяет графику «касаться» оси x в точке \ (x \ приблизительно 2,5 \).

Алгебраический подход разрешит проблему. Мы можем определить область определения f, исследуя уравнение \ (f (x) = \ sqrt {5 — 2x} \). Следовательно, Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому выражение под радикалом должно быть неотрицательным (нулевым или положительным).

\ (5 — 2x \ ge 0 \).

Решите это последнее неравенство для x . Сначала вычтем 5 из обеих частей неравенства.

\ (- 2x \ ge −5 \).

Затем разделите обе части этого последнего неравенства на −2. Помните, что мы должны обратить неравенство в тот момент, когда делим на отрицательное число.

\ (\ frac {−2x} {- 2} \ le \ frac {−5} {- 2} \).

\ (х \ le \ frac {5} {2} \).

Таким образом, область определения f равна {x: \ (x \ le \ frac {5} {2} \)}. В интервальной записи Домен = \ ((- \ infty, \ frac {5} {2}] \).Это хорошо согласуется с приведенным выше графическим результатом.

Дальнейшее самоанализ показывает, что этот аргумент также решает вопрос о том, «касается» ли граф оси x в точке \ (x = \ frac {5} {2} \). Если вас это не убедило, замените \ (x = \ frac {5} {2} \) на \ (f (x) = \ sqrt {5−2x} \) , чтобы увидеть

\ (f (\ frac {5} {2}) = \ sqrt {5-2 (\ frac {5} {2})} = \ sqrt {0} = 0 \).

Таким образом, график f «касается» оси x в точке \ ((\ frac {5} {2}, 0) \).

В упражнении Exercise 1-10 выполните все следующие задачи:

1. Установите систему координат на миллиметровой бумаге. Обозначьте и масштабируйте каждую ось.
2. Заполните таблицу баллов по данной функции. Постройте каждую точку в своей системе координат, а затем используйте их, чтобы нарисовать график данной функции.
3. Используйте карандаши разных цветов, чтобы спроецировать все точки на оси x и y , чтобы определить область и диапазон.Используйте интервальную нотацию для описания области данной функции.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

\ (f (x) = — \ sqrt {x} \)

Ответ

х	0	1	4	9
ф (х)	0	– 1	– 2	– 3

Отметьте точки в таблице и используйте их для построения графика.

Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([0, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ((- \ infty, 0] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−x} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x + 2} \)

Ответ

х	– 2	– 1	2	7
f ( x )	0	1	2	3

Отметьте точки в таблице и используйте их для построения графика.

Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([ — 2, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([0, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

\ (f (x) = \ sqrt {5 − x} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x} +2 \)

Ответ

Нанесите точки в таблицу и используйте их для построения графика f .

Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([0, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([2, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x} −1 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x + 3} +2 \)

Ответ

х	– 3	– 2	1	6
ф (х)	2	3	4	5

Постройте точки в таблице и используйте их для построения графика f .

Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([ — 3, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([2, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x − 1} +3 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

\ (f (x) = \ sqrt {3 − x} \)

Ответ

х	– 6	– 1	2	3
f ( x )	3	2	1	0

Постройте точки в таблице и используйте их для построения графика f .

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ (( — \ infty, 3] \). Спроецируйте все точки на графике на ось y, чтобы определить диапазон: Диапазон = \ ([0, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

\ (f (x) = — \ sqrt {x + 3} \)

В Exercises 11 — 20 выполните каждую из следующих задач.

1. Установите систему координат на миллиметровой бумаге.Обозначьте и масштабируйте каждую ось. Не забудьте нарисовать все линии линейкой.
2. Используйте геометрические преобразования, чтобы нарисовать график данной функции в вашей системе координат без использования графического калькулятора. Примечание. Вы можете проверить свое решение с помощью калькулятора, но вы сможете построить график без использования калькулятора.
3. Используйте карандаши разных цветов, чтобы спроецировать точки графика функции на оси x и y . Используйте обозначение интервала для описания области и диапазона функции.

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x} +3 \)

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a). Затем добавьте 3, чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {x} + 3 \). Это сдвинет график \ (y = \ sqrt {x} \) вверх на 3 единицы, как показано в (b).

Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([0, \ infty) \).Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([3, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x + 3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x − 2} \)

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a). Затем замените x на x — 2, чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {x − 2} \). Это сдвинет график \ (y = \ sqrt {x} \) вправо на 2 единицы, как показано в (b).

Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([2, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([0, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x} −2 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x + 5} +1 \)

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a).Затем замените x на x + 5, чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {x + 5} \). Затем добавьте 1, чтобы получить уравнение \ (f (x) = \ sqrt {x + 5} +1 \). Это сдвинет график \ (y = \ sqrt {x} \) влево на 5 единиц, а затем вверх на 1 единицу, как показано в (b).

Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([- 5, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([1, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x − 2} −1 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)

\ (y = — \ sqrt {x + 4} \)

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a).Затем инвертируйте, чтобы получить \ (y = — \ sqrt {x} \). Это отразит график \ (y = \ sqrt {x} \) по оси x, как показано в (b). Наконец, замените x на x + 4, чтобы получить уравнение \ (y = — \ sqrt {x + 4} \). Это сдвинет график \ (y = — \ sqrt {x} \) на четыре единицы влево, как показано в (c).

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([- 4, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ((- \ infty, 0] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {18} \)

\ (f (x) = — \ sqrt {x} +4 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {19} \)

\ (f (x) = — \ sqrt {x} +3 \)

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a). Затем инвертируйте, чтобы получить \ (y = — \ sqrt {x} \). Это отразит график \ (y = \ sqrt {x} \) по оси x, как показано в (b). Наконец, добавьте 3, чтобы получить уравнение \ (y = — \ sqrt {x} +3 \).Это сдвинет график \ (y = — \ sqrt {x} \) на три единицы вверх, как показано в (c).

Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([0, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ((- \ infty, 3] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {20} \)

\ (f (x) = — \ sqrt {x + 3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {21} \)

Чтобы построить график функции \ (f (x) = \ sqrt {3 − x} \), выполните последовательно каждый из следующих шагов без помощи калькулятора.

1. Настройте систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
2. Установите вторую систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {−x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
3. Установите третью систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {- (x — 3)} \). Обозначьте график соответствующим уравнением. Это график \ (y = \ sqrt {3 − x} \). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a).Затем замените x на — x , чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {−x} \). Это будет отражать график \ (y = \ sqrt {x} \) по оси y , как показано на (b). Наконец, замените x на x — 3, чтобы получить уравнение \ ( y = \ sqrt { — ( x — 3)} \). Это сдвинет график \ (y = \ sqrt {−x} \) на три единицы вправо, как показано в (c).

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ((- \ infty, 3] \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([0, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {22} \)

Чтобы построить график функции \ (f (x) = \ sqrt {−x − 3} \), последовательно выполните каждый из следующих шагов.

1. Настройте систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
2. Установите вторую систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {−x} \).Обозначьте график соответствующим уравнением.
3. Установите третью систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {- (x + 3)} \). Обозначьте график соответствующим уравнением. Это график \ (y = \ sqrt {−x − 3} \). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.

Упражнение \ (\ PageIndex {23} \)

Чтобы построить график функции \ (f (x) = \ sqrt {−x − 3} \), выполните последовательно каждый из следующих шагов без помощи калькулятора.

1. Настройте систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {x} \).Обозначьте график соответствующим уравнением.
2. Установите вторую систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {−x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
3. Установите третью систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {- (x + 1)} \). Обозначьте график соответствующим уравнением. Это график \ (y = \ sqrt {−x − 1} \). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a).Затем замените x на −x, чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {−x} \). Это будет отражать график \ (y = \ sqrt {x} \) по оси y, как показано в (b). Наконец, замените x на x + 1, чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {- (x + 1)} \). Это сдвинет график \ (y = \ sqrt {−x} \) на одну единицу влево, как показано в (c).

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить область: Domain = \ ((- \ infty, −1] \). Спроецируйте все точки на графике на ось y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([0, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {24} \)

Чтобы построить график функции \ (f (x) = \ sqrt {1 − x} \), последовательно выполните каждый из следующих шагов.

1. Настройте систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
2. Установите вторую систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {−x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
3. Установите третью систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {- (x − 1)} \).Обозначьте график соответствующим уравнением. Это график \ (y = \ sqrt {1 − x} \). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.

В упражнениях 25 — 28 выполните каждую из следующих задач.

1. Нарисуйте график данной функции с помощью графического калькулятора. Скопируйте изображение из окна просмотра на свою домашнюю работу. Обозначьте и масштабируйте каждую ось с помощью xmin, xmax, ymin и ymax. Обозначьте свой график его уравнением.Используйте график, чтобы определить область определения функции и описать область с помощью интервальной записи.
2. Используйте чисто алгебраический подход, чтобы определить область определения данной функции. Для описания результата используйте обозначение интервалов. Согласен ли он с графическим результатом из части 1?

Упражнение \ (\ PageIndex {25} \)

\ (f (x) = \ sqrt {2x + 7} \)

Ответ

Мы используем графический калькулятор, чтобы построить следующий график \ (f (x) = \ sqrt {2x + 7} \)

По нашим оценкам, домен будет состоять из всех действительных чисел справа от примерно — 3 . 5. Чтобы найти алгебраическое решение, обратите внимание, что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, выражение под корнем в \ (f (x) = \ sqrt {2x + 7} \) должно быть больше или равно нулю.

\ (2x + 7 \ ge 0 \)

\ (2x \ ge −7 \)

\ (x \ ge — \ frac {7} {2} \)

Следовательно, домен равен \ ([- \ frac {7} {2}, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {26} \)

\ (f (x) = \ sqrt {7−2x} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {27} \)

\ (f (x) = \ sqrt {12−4x} \)

Ответ

Мы используем графический калькулятор, чтобы построить следующий график \ (f (x) = \ sqrt {12−4x} \).

По нашим оценкам, область будет состоять из всех действительных чисел справа от приблизительно 3. Чтобы найти алгебраическое решение, обратите внимание, что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, выражение под корнем в \ (f (x) = \ sqrt {12−4x} \) должно быть больше или равно нулю.

\ (12−4x \ ge 0 \)

\ (- 4x \ ge −12 \)

\ (х \ ле 3 \)

Следовательно, домен равен \ ((- \ infty, 3] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {28} \)

\ (f (x) = \ sqrt {12 + 2x} \)

В упражнениях 29 — 40 найдите область определения заданной функции алгебраически.

Упражнение \ (\ PageIndex {29} \)

\ (f (x) = \ sqrt {2x + 9} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом. Таким образом, 2x + 9 должно быть больше или равно нулю. Поскольку \ (2x + 9 \ ge 0 \) означает, что \ (x \ ge — \ frac {9} {2} \), область представляет собой интервал \ ([- \ frac {9} {2}, \ infty ) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {30} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−3x + 3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {31} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−8x − 3} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом.Таким образом, −8x − 3 должно быть больше или равно нулю. Поскольку \ (- 8x − 3 \ ge 0 \) означает, что \ (x \ le — \ frac {3} {8} \), область представляет собой интервал \ ((- \ infty, — \ frac {3} { 8}] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {32} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−3x + 6} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {33} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−6x − 8} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом. Таким образом, −6x − 8 должно быть больше или равно нулю.Поскольку \ (- 6x − 8 \ ge 0 \) влечет, что \ (x \ le — \ frac {4} {3} \), область представляет собой интервал \ ((- \ infty, \ frac {4} {3 }] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {34} \)

\ (f (x) = \ sqrt {8x − 6} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {35} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−7x + 2} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом. Таким образом, −7x + 2 должно быть больше или равно нулю. Поскольку \ (- 7x + 2 \ ge 0 \) означает, что \ (x \ le \ frac {2} {7} \), область представляет собой интервал \ ((- \ infty, \ frac {2} {7} ] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {36} \)

\ (f (x) = \ sqrt {8x − 3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {37} \)

\ (f (x) = \ sqrt {6x + 3} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом. Таким образом, 6x + 3 должно быть больше или равно нулю. Поскольку \ (6x + 3 \ ge 0 \) означает, что \ (x \ ge — \ frac {1} {2} \), область представляет собой интервал \ ([- \ frac {1} {2}, \ infty ) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {38} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x − 5} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {39} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−7x − 8} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом. 2} = \ pm xx2 = ± x

Почему некоторые люди говорят, что это правда: Это именно то, чему меня учили в школе: когда вы извлекаете квадратный корень, ответ всегда будет «плюс-минус» некоторого значения.

Почему некоторые люди говорят, что это ложь: Когда вы возводите в квадрат x, x, x, оно становится положительным, независимо от того, что было раньше; тогда, когда вы извлечете квадратный корень, он все равно будет положительным. Следовательно, ответ будет просто ∣x∣ | x | ∣x∣, а не ± x \ pm x ± x.

Выявите правильный ответ: \ color {# 20A900} {\ text {Выявите правильный ответ:}} Выявите правильный ответ:

Утверждение ложно \ color {# D61F06} {\ textbf {false}} ложно.

Пояснение:

В своей стандартной области неотрицательных действительных чисел x \ sqrt {x} x определяется как «неотрицательное действительное число, которое в квадрате равно x.x.x. «Например, 25 = 5 \ sqrt {25} = 525 = 5 , а не ± 5 \ pm 5 ± 5. x \ sqrt {x} x определяется таким образом, поэтому это функция.

Функция — это отношение или карта между набором входных значений (домен) и набором выходных значений (диапазон), которая имеет свойство, что каждый принятый вход соответствует точно одному выходу. Это свойство широко известно как «прохождение теста вертикальной линии».

Чтобы x \ sqrt {x} x была функцией, ее оценка на любом входе должна быть единственным четко определенным выходом.Парабола 2×2 не пройдет проверку вертикальной линии и не будет функцией.

Расширение домена до всех действительных чисел и диапазона до комплексных чисел:

Поведение функции извлечения квадратного корня при расширении на область всех действительных чисел (положительные действительные числа, отрицательные действительные числа и 0) в точности отражает приведенный выше аргумент. Квадратный корень отрицательного числа — это комплексное число. Но даже с расширенной областью определения x \ sqrt {x} x аналогичным образом определяется, так что это все еще функция.2}} {| x |} + 1, ∣x∣x2 +1,

, где xxx — ненулевое действительное число.

См. Также

Функция квадратного корня Python — настоящий Python

Вы пытаетесь решить квадратное уравнение? Возможно, вам нужно рассчитать длину одной стороны прямоугольного треугольника. Для этих и других типов уравнений функция квадратного корня Python sqrt () может помочь вам быстро и точно вычислить решения.

К концу этой статьи вы узнаете:

• Что такое квадратный корень
• Как использовать функцию квадратного корня Python, sqrt ()
• Когда sqrt () может быть полезен в реальном мире

Погрузимся!

Python Pit Stop: Это руководство представляет собой quick и практический способ найти нужную информацию, так что вы вернетесь к своему проекту в кратчайшие сроки!

Квадратные корни в математике

В алгебре квадрат , x , является результатом умножения числа n на само себя: x = n²

Вы можете вычислить квадраты с помощью Python:

>>>

  >>> п = 5
>>> х = п ** 2
>>> х
25
  

Оператор Python ** используется для вычисления степени числа.В этом случае 5 в квадрате или 5 в степени 2 дает 25.

Таким образом, квадратный корень — это число n , которое при умножении само на себя дает квадрат x .

В этом примере n , квадратный корень, равен 5.

25 — это пример полного квадрата . Совершенные квадраты — это квадраты целых чисел:

>>>

  >>> 1 ** 2
1

>>> 2 ** 2
4

>>> 3 ** 2
9
  

Возможно, вы запомнили некоторые из этих совершенных квадратов, когда выучили свои таблицы умножения на уроках элементарной алгебры.

Если вам дан маленький точный квадрат, может быть достаточно просто вычислить или запомнить его квадратный корень. Но для большинства других квадратов это вычисление может быть немного более утомительным. Часто оценки бывает достаточно, когда у вас нет калькулятора.

К счастью, у вас, как у разработчика Python, есть калькулятор, а именно интерпретатор Python!

Функция квадратного корня Python

Модуль

Python math в стандартной библиотеке может помочь вам работать с математическими задачами в коде.Он содержит множество полезных функций, таких как restder () и factorial () . Он также включает функцию квадратного корня Python sqrt () .

Вы начнете с импорта math :

Вот и все, что нужно! Теперь вы можете использовать math.sqrt () для вычисления квадратных корней.

sqrt () имеет простой интерфейс.

Требуется один параметр, x , который (как вы видели ранее) обозначает квадрат, для которого вы пытаетесь вычислить квадратный корень.В предыдущем примере это будет 25 .

Возвращаемое значение sqrt () — это квадратный корень из x в виде числа с плавающей запятой. В примере это 5,0 .

Давайте рассмотрим несколько примеров того, как (и как не использовать) использовать sqrt () .

Квадратный корень положительного числа

Один из типов аргументов, который вы можете передать функции sqrt () , — это положительное число. Сюда входят типы int и float .

Например, вы можете найти квадратный корень из 49 , используя sqrt () :

Возвращаемое значение — 7,0 (квадратный корень из 49 ) в виде числа с плавающей запятой.

Наряду с целыми числами вы также можете передавать значения с плавающей запятой :

>>>

  >>> math.sqrt (70.5)
8,396427811873332
  

Вы можете проверить точность этого квадратного корня, вычислив его обратную величину:

>>>

  >>> 8.396427811873332 ** 2
70,5
  

Квадратный корень нуля

Даже 0 — правильный квадрат для передачи функции квадратного корня Python:

Хотя вам, вероятно, не придется часто вычислять квадратный корень из нуля, вы можете передать переменную в sqrt () , значение которой вы на самом деле не знаете. Итак, хорошо знать, что в таких случаях он может обрабатывать ноль.

Квадратный корень отрицательных чисел

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.Это потому, что отрицательный результат возможен только в том случае, если один фактор положительный, а другой отрицательный. Квадрат по определению является произведением числа и самого себя, поэтому получить отрицательный действительный квадрат невозможно:

>>>

  >>> math.sqrt (-25)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: ошибка математического домена
  

Если вы попытаетесь передать отрицательное число в sqrt () , вы получите ValueError , потому что отрицательные числа не входят в область возможных действительных квадратов.Вместо этого квадратный корень отрицательного числа должен быть сложным, что выходит за рамки функции квадратного корня Python.

Квадратных корней в реальном мире

Чтобы увидеть реальное применение функции квадратного корня Python, давайте обратимся к теннису.

Представьте, что Рафаэль Надаль, один из самых быстрых игроков в мире, только что ударил справа из заднего угла, где базовая линия пересекается с боковой линией теннисного корта:

Теперь предположим, что его противник нанес контратакующий удар (тот, который закроет мяч с небольшим ускорением вперед) в противоположный угол, где другая боковая линия встречается с сеткой:

Как далеко Надаль должен бежать, чтобы дотянуться до мяча?

Из нормативных размеров теннисного корта можно определить, что длина базовой линии составляет 27 футов, а длина боковой линии (на одной стороне сетки) — 39 футов.Итак, по сути, это сводится к решению гипотенузы прямоугольного треугольника:

Используя ценное геометрическое уравнение, теорему Пифагора, мы знаем, что a² + b² = c² , где a и b — катеты прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза.

Таким образом, мы можем рассчитать расстояние, которое Надаль должен пробежать, переписав уравнение, чтобы найти c :

Вы можете решить это уравнение, используя функцию квадратного корня Python:

>>>

  >>> a = 27
>>> b = 39
>>> математика.sqrt (а ** 2 + b ** 2)
47.434164
569
  

Итак, Надаль должен пробежать около 47,4 фута (14,5 метра), чтобы дотянуться до мяча и сохранить точку.

Заключение

Поздравляем! Теперь вы знаете все о функции квадратного корня Python.

Вы покрыли:

• Краткое введение в квадратные корни
• Особенности функции квадратного корня Python, sqrt ()
• Практическое применение sqrt () на реальном примере

Умение пользоваться sqrt () — это только половина дела.Другое дело — понять, когда его использовать. Теперь вы знаете и то, и другое, так что примените свое новое мастерство в использовании функции извлечения квадратного корня Python!

Поиск производной квадратного корня от x — стенограмма видео и урока

Решение

Формула показывает, что производная квадратного корня из x равна (1/2) x -1/2. Это можно записать в нескольких разных формах:

Проверка вашей работы

Есть несколько различных способов, с помощью которых мы можем проверить нашу работу при работе с производными финансовыми инструментами.Первый касается определения производной с использованием лимитов.

Мы можем использовать это определение, чтобы проверить нашу работу. При этом мы должны получить тот же результат, что и при использовании формулы. Мы начинаем с того, что позволяем f ( x ) = sqrt ( x ) и подключаемся соответственно.

Теперь мы хотим найти предел, поскольку h приближается к 0.Один из способов оценки предела — подставить число, которое приближается к h , на h . Однако в этом случае мы бы вставили 0 для h . Вы понимаете, почему мы не можем этого сделать? Если вы думаете, что мы не можем подставить 0 вместо h , потому что это приведет к нулевому знаменателю, то вы правы! Следовательно, мы собираемся манипулировать лимитом, чтобы преобразовать его в форму, в которой мы можем вставить 0 для h без создания неопределенного выражения.Умножим все это на версию числа 1:

Помните, мы не меняли предел, поскольку в конечном итоге мы просто умножили его на единицу. Также обратите внимание, что теперь мы можем подставить ноль для h без создания нулевого знаменателя или неопределенного выражения. Давайте сделаем это, чтобы найти предел и, в процессе, найти производную квадратного корня из x . Как только мы подставим 0 для h , наше уравнение станет:

Видите ли, производная квадратного корня из x равна (1/2) x -1/2, и это именно то, что мы получили, когда использовали формулу.Уф! Это хорошие новости! Значит, мы сделали свою работу правильно.

Интегралы

Другой способ проверить нашу работу — использовать интегралы. Интегралы называются антипроизводными, и они в основном отменяют производные. То есть, если a является производной от b , то интеграл от a равен b + C , где C — константа.

Это говорит нам о том, что в нашем примере, поскольку производная sqrt ( x ) равна (1/2) x -1/2, интеграл от (1/2) x -1/2 — это sqrt ( x ) + C , где C — постоянная.Возможно, вы еще не знакомы с интегралами, но это нормально. Нам посчастливилось иметь два простых факта, которые позволят нам найти интеграл от (1/2) x -1/2.

1.) Интеграл от постоянной, умноженной на функцию, равен этой константе, умноженной на интеграл функции.

2.) Формула для интеграла x n равна:

Используя эти два правила, мы можем найти интеграл (1/2) x -1/2 и проверить, что это sqrt ( x ) + C , где C — это постоянный.Это позволит нам проверить, правильно ли мы сделали свою работу.

Как мы и надеялись, мы видим, что интеграл от (1/2) x -1/2 равен sqrt ( x ) + C , где C — константа. Большой! И снова наша работа проходит проверку.

При работе с производными функции производных с использованием пределов и интегралов чрезвычайно полезны для проверки правильности нашей работы.

Результаты обучения

Тщательно изучите урок и запомните достаточно информации, чтобы уверенно:

• Найдите производную квадратного корня x
• Использовать интегралы для проверки своей работы

Как нарисовать график функций квадратного корня, (f (x) = √ x)

В этой статье будет показано, как рисовать графики функции квадратного корня, используя только три различных значения для ‘x’, а затем находя точки через который строится график уравнений / функций, а также будет показано, как график перемещается по вертикали (перемещается вверх или вниз), перемещается по горизонтали (перемещается влево или вправо) и как график одновременно выполняет оба перевода.

Уравнение функции квадратного корня имеет вид … y = f (x) = A√x, где (A) не должно быть равно нулю (0). Если (A) больше нуля ( 0), то есть (A) является положительным числом, тогда форма графика функции квадратного корня аналогична верхней половине буквы «C». Если (A) меньше нуля (0), то есть (A) является отрицательным числом, форма графика аналогична форме нижней половины буквы «C». Пожалуйста, нажмите на изображение для лучшего просмотра.

Чтобы нарисовать график уравнения, … y = f (x) = A√x, мы выбираем три значения для ‘x’, x = (-1), x = (0) и x = (1 ). Мы подставляем каждое значение «x» в уравнение … y = f (x) = A√x и получаем соответствующее соответствующее значение для каждого «y».

Учитывая y = f (x) = A√x, где (A) — вещественное число и (A) не равно нулю (0), и подставив x = (-1) в уравнение, мы получаем y = f (-1) = A√ (-1) = i (мнимое число). Таким образом, первая точка не имеет реальных координат, следовательно, через эту точку нельзя построить никакой график.Теперь подставив x = (0), мы получаем y = f (0) = A√ (0) = A (0) = 0. Итак, вторая точка имеет координаты (0,0). Подставив x = (1), мы получим y = f (1) = A√ (1) = A (1) = A. Итак, третья точка имеет координаты (1, A). Поскольку первая точка имела координаты, которые не были реальными, теперь мы ищем четвертую точку и выбираем x = (2). Теперь подставим x = (2) в y = f (2) = A√ (2) = A (1.41) = 1.41A. Итак, четвертая точка имеет координаты (2,1.41A). Теперь мы нарисуем кривую через эти три точки. Пожалуйста, нажмите на изображение для лучшего просмотра.

Учитывая уравнение y = f (x) = A√x + B, где B — любое вещественное число, график этого уравнения будет преобразовывать единицы измерения по вертикали (B). Если (B) — положительное число, график будет двигаться вверх (B) единиц, а если (B) — отрицательное число, график будет двигаться вниз (B) единиц. Чтобы нарисовать графики этого уравнения, мы следуем инструкциям и используем те же значения «x» из шага №3. Пожалуйста, нажмите на изображение, чтобы лучше рассмотреть.

Дано уравнение y = f (x) = A√ (x — B), где A и B — любые действительные числа, и (A) не равно нулю (0), и x ≥ B.График этого уравнения будет преобразовывать единицы по горизонтали (B). Если (B) — положительное число, график переместится в правые (B) единицы, а если (B) — отрицательное число, график переместится в левые (B) единицы. Чтобы нарисовать графики этого уравнения, мы сначала устанавливаем выражение «x — B», которое находится под радикальным знаком Больше или равно нулю, и решаем относительно «x». То есть … x — B ≥ 0, тогда x ≥ B.

Теперь мы будем использовать следующие три значения для ‘x’, x = (B), x = (B + 1) и x = (B + 2).Мы подставляем каждое значение «x» в уравнение … y = f (x) = A√ (x — B) и получаем соответствующее соответствующее значение для каждого «y».

Дано y = f (x) = A√ (x — B), где A и B — действительные числа, и (A) не равно нулю (o), где x ≥ B. Подставляя x = (B) в Уравнение получаем y = f (B) = A√ (BB) = A√ (0) = A (0) = 0. Значит, первая точка имеет координаты (B, 0). Теперь подставив x = (B + 1), мы получим y = f (B + 1) = A√ (B + 1 — B) = A√1 = A (1) = A. Итак, вторая точка имеет координаты ( B + 1, A), и подставив x = (B + 2), мы получим y = f (B + 2) = A√ (B + 2-B) = A√ (2) = A (1.41) = 1,41 А. Итак, Третья Точка имеет координаты (B + 2,1,41A). Теперь мы нарисуем кривую через эти три точки. Пожалуйста, нажмите на изображение для лучшего просмотра.

Дано y = f (x) = A√ (x — B) + C, где A, B, C — действительные числа и (A) не равны нулю (0) и x ≥ B. Пронумеруйте, затем График в ШАГЕ №7 будет преобразовывать единицы измерения по вертикали (C). Если (C) — положительное число, график будет двигаться вверх (C) единиц, а если (C) — отрицательное число, график будет двигаться вниз (C) единиц.2 + x. Функция (f * g) (x) определена для x = все действительные числа, кроме интервала a, b 1. вычислить значение a и b 2. найти диапазон o

f (x) = √ (x — 2)

г (х) = х ² + х

Область — это набор значений x, в которых определена функция.

Для f (x) у нас не может быть отрицательного числа под квадратным корнем. Таким образом, домен — это все действительные числа, большие или равные 2.

В интервальном обозначении: [2, ∞)

g (x) — парабола. Парабола содержит все действительные числа.

Поскольку f (x) имеет ограничение, (f * g) (x) определено для всех действительных чисел, кроме интервала -∞, 1,99.

а = -∞

b = 1,99 (цифра 9 повторяется)

Чтобы найти диапазон, мы оцениваем f (x), когда x приближается к бесконечности, начиная с x = 2.Диапазон — это предел f (x).

f (2) = √ (2 — 2)

= 0

f (20) = √ (20-2)

= √18

f (100) = √ (100-2)

= √98

f (500) = √ (500-2)

= √498

f (2000) = √ (2000 — 2)

= √1998

f (10000) = √ (10000 — 2)

= √9998

Как видите, когда x приближается к бесконечности, значение f (x) не достигает постоянного значения.Следовательно, предел не существует, и диапазон f (x) находится в интервале [0, ∞).

г (х) действительно имеет диапазон. Помещая g (x) в форме вершины, вершина даст нам диапазон. g (x) в вершинной форме —

г (x) = (x ² + x + 1/4) — 1/4

г (x) = (x + 1/2) (x + 1/2) — 1/4

г (x) = (x + 1/2) ² — 1/4

Вершина g (x) равна (-1/2, -1/4).Координата Y вершины сообщает нам диапазон. Поскольку парабола открывается вверх, диапазон значений g (x) находится в интервале (-1/4, ∞).

Следовательно, диапазон (f * g) (x) в обозначении интервала равен

[0, ∞)

.

«Решение задач оптимизации симплекс методом» | Методическая разработка на тему:

Пояснительная записка

Методическая  разработка  практической работы по теме  «Решение задач оптимизации симплекс методом» по профессиональному модулю МДК 06-03 «Методы оптимизации систем автоматизации»  предназначена для студентов 5-го курса специальности 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств по отраслям».

 Студентам предлагаются типовые задачи оптимизации (оптимальное использование ограниченных ресурсов, раскрой промышленных материалов, смеси и т.п.). В примерах приводится подробное описание технологии получения оптимального решения симплекс методом и средствами Ms Excel.

Цель практической  работы:

• закрепить теоретические знания по теме;
• приобретение навыков компьютерной реализации оптимизационных моделей симплекс методом;
• сформировать  у обучающихся умение работать самостоятельно и в сотрудничестве в группе.

Порядок выполнения работы:  

1. Изучить теоретический материал.  
2. Ответить на вопросы по теме.  
3. Выполнить задания.  
4. Оформить отчет по практическим  занятиям.

1. Задача линейного программирования. Симплекс метод.

Составьте оптимальный план производства продукции, дающий максимальную прибыль. Предприятие выпускает продукцию четырех видов П1, П2, П3, П4 с использованием для этого ресурсов, виды и нормы расхода по которым, а также уровень получаемой от их реализации прибыли, приведены в таблице.

Экономико-математическая модель задачи запишется следующим образом:

x1+x2+x3+x4≤16

6×1+5×2+4×3+3×4≤110

4×1+6×2+10×3+13×4≤100

xj≥0 (j=1, 2, 3, 4)

Решение

1. Запустить  табличный процессор Ms Excel.
2. Укажем адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки). Значения компонент Х(x1,x2,x3,x4) поместим в ячейках В3:Е3, оптимальное значение целевой функции – в ячейку F4.
3. Введем исходные данные задачи в созданную форму-таблицу

4. Введем зависимость для целевой функции:

Установить курсор в ячейку F4, кликнуть по кнопке Мастер Функций (fx). Выберите категорию Математические и функцию СУММПРОИЗВ. На экране появится диалоговое окно СУММПРОИЗВ. В строку Массив 1 введем В$3:Е$3, в строку Массив 2 введем В4:Е4 и ОК.

5. Ввести зависимости для ограничений:

— курсор в ячейку F4: кнопка Копировать;

— вставить в ячейки F7, F8, F9.

В строке Меню установить указатель мыши на имя Сервис. В развернутом меню выбрать команду Поиск решения.

6. Назначим  целевую функцию (установим целевую ячейку):

— курсор в строку Установить целевую ячейку;

— введем адрес ячейки $F$4;

 — введем направление целевой функции в зависимости от условия задачи – Максимальному значению;

— курсор в строку Изменяя ячейки, введем адреса искомых переменных B$3:E$3.

7.  Введем ограничения:

— кнопка Добавить. Появляется диалоговое окно Добавление ограничения;

— в строке Ссылка на ячейку введем адрес  $F$7:$F$9,  (или укажем на листе, т.е. щелкнуть на маленькой красной стрелке рядом с этим полем, выйти в таблицу  и выделить ячейки F7: F9, нажать клавишу F4, при этом ссылка станет абсолютной $F$7:$F$9, щелкнуть на красной стрелке и вернуться в блок  Поиска решения, при этом нужный адрес будет введен).

— выберем знак ограничения ≤;

— в строке Ограничения введем адрес $Н$7:$Н$9, ОК.

8.  Введем параметры для решения задачи линейного программирования:

— в диалоговом окне  Поиск решения →Параметры;

— в окне Параметры решения установить флажки — Линейная модель (симплекс метод), Неотрицательные значения →ОК→в окне Поиск Решения нажать кнопку Выполнить.

— в окне Результаты поиска решения выбрать Сохранить найденное решение →ОК.

На экране отразится таблица с заполненными ячейками В3:Е3 для значений х и ячейка F4 с максимальным значением целевой функции.

Максимальный доход 1320 денежных единиц предприятие может получить при объемах выпуска продукции первого вида -10 единиц, третьего вида 6 единиц. Продукцию второго и четвертого вида выпускать невыгодно.

2. Задача целочисленного линейного программирования. Симплекс метод.

Организация арендует баржу грузоподъёмностью 200 тонн. На барже предполагается перевозить груз 4-ех типов. Вес и стоимость единицы груза соответственно равны 20, 15, 20, 14  и 100, 80, 40, 30. Необходимо погрузить груз максимальной стоимости.

Экономико-математическая модель.

Пусть  xj≥0 (j=1, 2, 3, 4) – число предметов , которое следует погрузить на баржу. Тогда задача о подборе для баржи допустимого груза максимальной стоимости запишется следующим образом:

max f(x1, x2, x3, x4)=100 x1+80 x2+40 x3+30 x4   

20 x1+15 x2+20 x3+14 x4≤200 xj ≥ (j=1, 2, 3, 4)

Решение

1. Создать таблицу и ввести исходные данные

2. Ввести зависимость для целевой функции:

Установить курсор в ячейку F4, кликнуть по кнопке Мастер Функций (fx). Выберите категорию Математические и функцию СУММПРОИЗВ. На экране появится диалоговое окно СУММПРОИЗВ. В строку Массив 1 введем В$3:Е$3, в строку Массив 2 введем В4:Е4 и ОК.

3. Ввести зависимость для ограничений:

— скопировать полученную формулу в ячейку F8.

В строке Меню установить указатель мыши на имя Сервис. В развернутом меню выбрать команду Поиск решения.

4. Назначим целевую функцию (установим целевую ячейку)

— курсор в строку Установить целевую ячейку;

— введем адрес ячейки $F$4;

 — введем направление целевой функции в зависимости от условия задачи – Максимальному значению;

— курсор в строку Изменяя ячейки, введем адреса искомых переменных B$3:E$3.

5. Введем ограничения:

 —  кнопка Добавить. Появится окно Добавление ограничения; в строке Ссылка на ячейку  введем  адрес $F$8;

 — выберем знак ≤; в строке Ограничение  введем адрес $H$8 → кнопка Добавить;

— в строке Ссылка на ячейку  введем  адрес $В$3: $Е$3;

— выберем значение цел→ ОК. На экране появится окно  Поиск решения с введенными условиями.

6. Введем параметры для решения задачи:

— кнопка Параметры; в окне Параметры поиска решения установить флажки Линейная модель (симплекс метод), Неотрицательные значения →ОК→в окне Поиск Решения нажать кнопку Выполнить.

7. — в окне Результаты поиска решения выбрать Сохранить найденное решение →ОК.

Получим решение.

Таким образом, рекомендуемое управленческое решение с позиций принятого критерия оптимизации – следует погрузить 1 предмет первого типа и 12 предметов второго типа. В этом случае стоимость груза составит 1060 денежных единиц,  и грузоподъемность будет использована полностью.

Список используемой литературы

1. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 2007. С-П. BHV. 2014. -344с.
2. Михеева Е.В. Информационные технологии в профессиональной деятельности – М.: Издательский центр «Академия», 2014. -384с.

К вопросу использования надстройки Excel «Поиск решения» в задачах линейного программирования Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 http ://naukovedenie.ru/ Том 7, №3 (2015) http ://naukovedenie. ru/index.php?p=vol7-3 URL статьи: http://naukovedenie.ru/PDF/54TVN315.pdf DOI: 10.15862/54TVN315 (http://dx.doi.org/10.15862/54TVN315)

УДК [330.45]

Барышев Александр Владимирович

НОУ ВПО «Российский новый университет»

Россия, Москва1 Кандидат технических наук Доцент

E-mail: [email protected] Федотова Елена Леонидовна

ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет (МИЭТ)» 2

Москва, Россия Кандидат педагогических наук

Доцент

E-mail: fedotova-e2007@yandex. ru

К вопросу использования надстройки Excel «поиск решения» в задачах линейного программирования

1 105005, г. Москва, ул. Радио, 22

2 124460, г. Москва, Филаретовская ул., корп. 1134, кв. 165 1

Аннотация. Существует насущная необходимость принятия эффективных управленческих решений.

В условиях полной определенности широко используются задачи линейного программирования, где требуется найти оптимальное решение. При этом оптимальность принимаемого решения во многом зависит от количества существующих альтернатив и их научно-технической обоснованности. В некоторых случаях существует несколько альтернативных оптимальных решений одной задачи. Их поиск в задачах линейного программирования процесс весьма трудоёмкий.

Обычно для решения задач линейного программирования используется надстройка Excel «поиск решения». Однако не все предлагаемые ей методы равнозначны при поиске альтернативных оптимальных решений. Кроме того, эффективность поиска зависит от начального приближения целевой функции. Поэтому целью настоящей работы являются выбор наиболее эффективного метода поиска альтернативных оптимальных решений задач линейного программирования с помощью надстройки Excel «поиск решения» и задание наилучших начальных приближений целевой функции.

В работе проведено сравнение эффективности симплексного метода и метода обобщенного приведенного градиента надстройки Excel «поиск решения» при нахождении альтернативных оптимальных решений задач линейного программирования и предложен эвристический способ задания начальных приближений целевой функции, позволяющий сократить время поиска.

Ключевые слова: надстройка Excel «поиск решения»; задачи линейного программирования; альтернативные оптимальные решения; симплексный метод; метод обобщенного приведенного градиента; целевая функция; ограничения; начальное приближение целевой функции.

Ссылка для цитирования этой статьи:

Барышев А.В., Федотова Е.Л. К вопросу использования надстройки Excel «поиск решения» в задачах линейного программирования // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 7, №3 (2015) http://naukovedenie.ru/PDF/54TVN315.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ. DOI: 10.15862/54TVN315

Менеджеру любого ранга повседневно приходится принимать целый ряд решений связанных с экономикой и управлением. При этом, с точки зрения эффективности, принятое решение должно быть оптимальным. Выполнить это требование бывает очень трудно, особенно если математическая модель задачи является негладкой и нелинейной или сама задача плохо структурирована.

Существует много методов принятия управленческих решений [1]. Здесь же мы остановимся на принятии управленческих решений в задачах линейного программирования [2, 3], а именно на использовании надстройки поиск решения Excel в задачах линейного программирования [4].

Как известно, эффективность принимаемого решения во многом зависит от количества существующих альтернатив и их научно-технической обоснованности [5, 6]. При решении задач линейного программирования, в некоторых случаях, найденное оптимальное решение оказывается не единственным [7]. Поэтому, с целью обеспечения большей свободы выбора управленческого воздействия, необходимо выявить все оптимальные альтернативные решения.

В работе предлагается эвристический способ задания начальных приближений целевой функции, позволяющий сократить время поиска.

Этим обусловлена актуальность и практическая ценность настоящей работы.

Существуют различные признаки, указывающие на наличие оптимальных альтернативных решений. При использовании надстройки поиск решения Excel в задачах линейного программирования в качестве таких признаков является наличие в отчете по устойчивости нулей «в таблице «Изменяемые ячейки» в столбцах «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение». ..» (отчет получают при использовании симплексного метода решения) [8]. Однако, найти эти оптимальные альтернативные решения не так просто, поскольку результат поиска решения зависит от начального приближения и не только. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Для этого возьмем несколько конкретных примеров.

Пример 1 [7]. Найти максимум целевой функции

Внесем данные на лист Excel (см. рисунок 1).

В ячейки B2:D2 названия переменных, а в ячейки B3:D3 — коэффициенты при целевой функции F(x).

В ячейки B2:D2 диапазона (B5:D5; B7:D7) запишем коэффициенты при неизвестных в ограничениях.

В ячейки B10:D10, первоначально подставляются начальные условия, например, все единицы или нули.

В ячейках E5,E6,E7 записываются формулы вычисления левой части ограничений, а в ячейки G5,G6,G7 — значения правой части.

В ячейку E10 записывается формула вычисления целевой функции.

Р(х) =Х1+Х2+Хз

(1)

при ограничениях

(2).

AI

A В С D Е F G

1 перем лев часть знак прав часть

2 наименование Xl х2 ¡(3

3 коэф в цел.функции 1 1 1

4

5 коэф в 1 огранич -1 3 2 =СУ М М П РОИ ЗВ[ В5: D5; В10: D1 s &

S коэф в 2 ограним 2 4 2 =СУ М М П РО ШВ( В 6: D6; В10: D1 s а

7 коэф в 3 огранич 3 2 -1 =СУ М М П Р О И ЗВ( В 7: D7; В10: D1 £ 4

S

9 XI1 х2′ хЗг т

10 оптим значение 0 0 0 =СУММПРОИЗВ(ВЗ:ОЗ;В10: max

Рисунок 1. Фрагмент листа Excel, заполненный данными из формул (1) и (2)

(произведен авторами)

Теперь можно непосредственно перейти к использованию «надстройки поиск решения».

Через меню «данные» и «поиск решения» входим в таблицу «параметры поиска решения» (см. рис. 2).

Параметры поиска решения I

Оптимизировать целевою функцию:

До: Максимум Минимум

Изменяя ячейки переменных:

шш

Значения:

Ш

Б соответствии с ограничениями:

ÎEÎUO >= 0

$C$U0 >= 0

IDE 10 >= □

ÎE$5 <= ÎG$5

$E$6 <= SGSo

SES7 <= $G$7

«W

Добавить

Изменить

Удалить

Сбросить

Загрузит ь/оохранить

Сделать переменные без ограничений неотрицательными Выберите

Поиск решения линейных задач симплекс-методом

Параметры

метод решения: Метод решения

Для гладких нелинейных задач используйте поиск решения нелинейных задач методом ОПГ, для линейных задач — поиск решения линейных задач симплекс-методом, а для негладких задач — эволюционный поиск решения.

Справка

Найти решение

Закрыть

Рисунок 2. Окно параметры поиска решения MS Excel

В неё вводим указание на ячейку со значением целевой функции ($E$10). Указываем, что ищем максимум целевой функции, и указываем диапазон изменяемых ячеек ($B$10:$D$10). Затем через пункт таблицы «добавить» вводим указания на ограничения, предварительно установив параметры поиска:

1. Точность ограничения — 0.001.

2. Максимальное время (в секундах) — 100.

3. Число итераций — 100.

4. Максимальное число допустимых решений (установим, например) — 4.

При необходимости устанавливаем метки на такие пункты как «Использовать автоматическое масштабирование» и «Показывать результаты итераций» и др.

Минько А.А. рекомендует использовать автоматическое масштабирование во всех случаях [8]. Кроме того, многие авторы, например [4, 8] рекомендуют для решения задач линейного программирования использовать симплексный метод решения. Это же рекомендуется в самом окне «параметры поиска решения» MS Excel. Однако это, также как и использование автоматического масштабирования, как это будет показано ниже, не всегда оказывается целесообразным.

Теперь, нажав кнопку «найти решение» находим искомое решение. Максимум целевой функции будет помещен в ячейку E10. В ячейки В10, С10, D10 будут записаны соответственно Х1, Х2, хз.

В качестве начального приближения используем значения переменных Х1, х2, хз= 0.

После найденного оптимального решения убедимся, что существуют альтернативные оптимальные решения. Для этого создадим «отчет об устойчивости».

На рис. 3. поместим фрагмент отчета об устойчивости.

Ячейки переменных

Окончательное Приведенн. Целевая функция Допустимое Допустимое

Ячейка Имя Значение Стоимость Коэффициент Увеличение Уменьшение

$В$10 оптим значение xl1 2 0 1 1Е+30 0

$С$10 оптим значение х2′ 0 -1 1 1 1Е4-30

$D$10 оптим значение хЗ’ 2 0 1 0 1

Рисунок 3. Фрагмент отчета об устойчивости (получен авторами)

Как следует из рисунка, в двух крайних столбцах имеются нули. Это указывает на наличие альтернативных оптимальных решений.

Исследуем возможности надстройки «поиск решения» для получения оптимальных альтернативных решений. С этой целью будем различным образом задавать начальное приближение целевой функции (методом случайного поиска и предлагаемым способом), а также будем изменять сам метод поиска (с симплексного на метод обобщенного приведенного градиента (ОПТ) [9]). Результаты поместим в таблицы 1 и 2.

Таблица 1

Поиск альтернативных решений целевой функции (1) симплексным методом

(составлено авторами)

Метод решения Способ задание начального приближения Начальное приближение Значение целевой функции Значение переменных

Симплекс ный метод решения Случайный поиск Х1,Х2,Х3= 0 4. 00 Х1= 2.00; Х2=0.00; хз= 2.00

Х1,Х2,Х3= 1 4.00 Х1= 2.00; Х2=0.00; хз= 2.00

Х1,Х2,Х3 = 2 4.00 Х1= 2.00; Х2=0.00; хз= 2.00

Способ перестановки ограничений Х1,Х2,Х3= 0 4.00 Х1= 2.00; Х2=0.00; хз= 2.00

Х1 = 6; Х2 = 8; хз= 4 4.00 Х1= 2.00; Х2=0.00; хз= 2.00

Х1 = 4; Х2 = 6; хз= 8 4.00 Х1= 2.00; Х2=0.00; хз= 2.00

Х1 = 8; Х2 = 4; хз= 6 4.00 Х1= 2.00; Х2=0.00; хз= 2.00

Как следует из данных таблицы 1, при использовании различных способов задания начальных приближений симплексный метод не обеспечивает поиск альтернативных оптимальных решений. Изменим симплексный метод решения на метод обобщенного приведенного градиента (ОПТ). Результаты поместим в таблицу 2.

Как следует из данных таблицы 2, предлагаемый способ задания начальных приближений обеспечил поиск 4 альтернативных решений, если же использовать автоматическое масштабирование, то можно найти только два альтернативных решения.

Таблица 2

Поиск альтернативных решений целевой функции (1) методом ОПГ

(составлено автором)

Метод решения Способ задания начального приближения Начальное приближение Значение целевой функции Значение переменных

Метод решения нелинейных задач методом ОПГ Способ перестановки ограничений (без масштабирова ния) Х1,Х2,Х3= 0 4.00 Х1= 1.90; Х2= 0.00; хз= 2.10

Х1 = 6; Х2 = 8; хз= 4 4. 00 Х1= 1,27; Х2= 0.00; хз= 2,73

Х1 = 4; Х2 = 6; хз= 8 4.00 Х1= 0.67; Х2= 0.00; хз= 3.33

Х1 = 8; Х2 = 4; хз= 6 4.00 Х1= 2.00; Х2= 0.00; Х3= 2.00

Пример 2. Найти максимум целевой функции [10]:

Fx = х1 + 2х2 + 3х3 (3)

Ограничения:

!х1 + 2х2 + 3х3 < Ш

х1 + х2 < 5 }, х1, х2, х3 < 0 (4)

х1 < 1 )

Подобно примеру 1 вводим данные выражений (3) и (4) в таблицу Excel (см. рис. 4).

А1 £

А В С D Е F G

1 перем лев масть знак прав часть

2 наименование XI х2 хЗ

3 коэф в цел. функции 1 2 3

4

5 коэф в 1 ограним 1 2 3 =СУММПР0ИЗВ(В5:05;ВЮ:Ш 10

6 коэф в 2 ограним 1 2 0 =СУ М М П РО И ЗВ( В 6: D6; Б10: D1 < 5

7 коэф в 3 ограним 1 0 0 =СУ М М П Р а И ЗВ( В 7: D7; В10: D1 1

а

э х1гх2,хЗ хГ х2′ хЗ’ F(x) > 0

10 оптим значение 0 0 0 =СУММПРОИЗВ(ВЗ:ОЗ;В10: max t

Рисунок 4. Фрагмент листа Excel, заполненный данными (3) и (4) (произведен авторами)

Произведем поиск альтернативных решений, используя метод решения нелинейных задач ОПГ и предлагаемый способ задания начальных приближений. Результаты поиска поместим в таблицу 3.

Как видим из данных таблицы 3, найдено 3 альтернативных оптимальные решения, при этом мы избежали случайного поиска начальных значений.

Таблица 3

Поиск альтернативных решений целевой функции (3) методом ОПГ

(составлено авторами)

Метод решения Метод задания начального приближения Начальное приближение Значение целевой функции Значение переменных

Метод решения нелинейных задач методом ОПГ Способ перестановки ограничений (без масштабирова ния) Х1,Х2,Х3= 0 10.00 Х1= 0,71; х2= 1,43; хз= 2,14

Х1 = 10; Х2 = 5; хз = 1 4.00 Х1= 1,00; х2= 2,00; хз= 1,67

xi = 5; х2 = 1; хз = 10 4. 00 Х1= 0.00; х2= 0.00; хз= 3.33

Х1 = 1; х2 = 10; хз= 5 4.00 Х1= 1,00; х2= 2,00; х3= 1,67

На основании изложенного материала можно сделать следующие выводы:

1. Начинать решение задачи линейного программирования с помощью надстройки Excel «поиск решения» следует с помощью симплексного метода, получив при этом отчет об устойчивости. Если в отчете по устойчивости «в таблице «Изменяемые ячейки» в столбцах «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение»…» есть нули, то необходимо искать альтернативные оптимальные решения.

2. Симплексный метод решения не обеспечивает поиск альтернативных оптимальных решений.

3. Поиск альтернативных оптимальных решений следует производить методом обобщенного приведенного градиента (ОПГ) без автоматического масштабирования, используя задание начальных приближений с помощью

предлагаемого способа перестановки ограничений. Это позволит сократить затраченное время.

ЛИТЕРАТУРА

1. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: теория принятия решений: учебник. — М.: КНОРУС, 2011. — 568 с.

2. Титов В.В. Оценка эффективности оптимизационного планирования деятельности промышленного предприятия / Регион: экономика и социология. 2007. №1. С. 241-250.

3. Созонов С.В. Разработка моделей оптимизации производственной программы промышленного предприятия на основе формулирования целевых функций / Экономические науки. 2010. Т. 67. №6. С. 231-235.

4. Урубков А.Р., Федотов И.В. Методы и модели оптимизации управленческих решений: учебное пособие. — М.: Издательство «Дело» АНХ, 2009. — 240 с.

5. Баллод Б. А., Елизарова Н.Н. Методы и алгоритмы принятия решений в экономике: учебное пособие. — М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2009. -224 с.

6. Барышев А.В., Федотова Е.Л. К вопросу формирования творческих способностей выпускников вузов // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» 2014. №4 http:// http://naukovedenie.ru/PDF/80PVN414.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус.

7. Агальцов В.П. Математические методы в программировании: учебник. — М.: ИД «ФОРУМ», 2010. — 240 с.

8. Минько А.А. Принятие решений с помощью Excel. Просто как дважды два. -М.: Эксмо, 2007. — 240 с.

9. Метод обобщенного приведенного градиента. http://iasa.org.Ua/lections/iso/6/6.7.h tm.

10. Палий И.А. Линейное программирование. Учебное пособие. — М.: Эксмо, 2008. 256 с.

Рецензент: Ключников Анатолий Васильевич, доцент, кандидат технических наук, Национальный исследовательский университет «МИЭТ».

Barushev Alexsandr Vladimirowich

NOU VPO «Russian new University» Russia, Moscow E-mail: [email protected]

Vedotova Elena Leonidovha

National Research University of Electronic Technology

Russia, Moscow E-mail: [email protected]

Finding optimal solutions for linear programming decision problems using Microsoft Excel Solver Add-in.

Abstract. The vital necessity does exist for making effective management decisions.

Linear programming approach is widely used in case of the full certainty where an optimal decision must be found. The optimality of a found decision mostly depends on the number of existing alternatives and their scientific feasibility. In some cases there can be several alternative optimal solutions for a single decision problem. Finding the best one of these alternatives is a quite difficult and hard-working process.

Often Microsoft Excel Solver Add-in is used to solve linear programming decision problems. However not all of its techniques are equal when finding an optimal solution for a decision problem. Further, the efficiency of finding a solution depends on initial approximation of the objective function. Therefore, the aim of this paper is to choose the most efficient method for finding optimal solutions of linear programming problems using Microsoft Excel Solver Add-in by providing the best input approximation for objective function.

This paper compares the efficiency of simplex and generalized reduced gradient methods in Microsoft Excel for finding alternative optimal solutions of linear programming problems. ита! «NAUKOVEDENIE» 2014. №4 http:// http://naukovedenie.ru/PDF/80PVN414.pdf (dostup svobodnyy). Zagl. s екгапа. Yaz. rus.

7. Agal’tsov У.Р. Matematicheskie metody V programmirovanii: иЛеЬшк. — М.: ID «FORUM», 2010. — 240 s.

8. Мт’ко А.А. Prinyatie resheniy s pomoshch’yu Ехсе1. Prosto как dvazhdy dva. — М.: Eksmo, 2007. — 240 s.

9. Metod obobshchennogo privedennogo gradienta. http://iasa.org.Ua/lections/iso/6/6.7.htm.

10. Paliy 1.А. Lineynoe programmirovanie. Uchebnoe posobie. — М.: Eksmo, 2008. 256 s.

Учебные задачи для Excel

• При вычислениях длинных выражений Excel удобнее любого калькулятора, особенно тем, что легко править ошибки во введённой формуле или изменять часть формулы
• в Excel удобно решать уравнения с одним неизвестным при помощи «подбора параметра»
• несложно решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
• можно решать задачи оптимизации (линейного, целочисленного программирования)

1. Построение графика функции и решение уравнений с одним неизвестным
   
2. Численное интегрирование
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
4. Решение задач линейного программирования (Л.П.)

• Тема 1. Практикуемся в построении математической модели. Методичка, описание решений (скачать 3 документа Word в RAR-архиве — 100кб)
• Тема 2. Формы записи задачи линейного программирования (общая задача Л.П., основная форма, каноническая форма, допустимый план, оптимальный план). Методичка, описание решений (скачать 3 документа Word в RAR-архиве — 100кб)
• Тема 3. Графический метод решения задачи Л.П. Методичка, описание решений, документ Excel с решениями (скачать 2 документа Word и 1 док. Excel в RAR-архиве — 100кб)
  
  Графический метод (с использованием Excel)
• Тема 4. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИМПЛЕКСНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Л.П. Методичка, описание решения (скачать 2 документа Word в RAR-архиве — 50кб)
• Тема 5. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Л.П. (скачать методичку, описание решений, решения в Excel RAR-архив — 200кб)
• Тема 6. МЕТОД ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА. ДВУХЭТАПНЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Л.П. (скачать методичку, описание решений, решения в Excel RAR-архив — 200кб)
• Тема 7. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД (Р-МЕТОД) (скачать методичку, описание решений, решения в Excel RAR-архив — 100кб)
• Тема 8. Задача целочисленного Л.П. (скачать методичку, описание решений, решения в Excel RAR-архив — 450кб)
• Тема 9. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Л.П. С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL (скачать методичку, описание решений, решения в Excel RAR-архив — 350кб)

1. Численное интегрирование

Для численного интегрирования функции одной переменной применяют методы: прямоугольников, трапеций, Симпсона. Подробнее об этих методах можно прочесть в «Справочнике по высшей математике М.Я. Выгодского» ( см библиотеку)

Метод прямоугольников

Метод трапеций

Метод Симпсона

Все эти методы заключаются в:

1. Разбиении интервала (отрезка) интегрирования на n равных более мелких отрезков
2. Замене на каждом таком мелком отрезке исходной функции (её графика) соответственно:
   — горизонтальной прямой
   — наклонной прямой
   — параболой
   
3. Вычислении площади полученной фигуры, которая приблизительно равна площади под графиком функции, т е искомому интегралу.

Лист MS Excel с решением задачи

(Точное значение вычисляемого интеграла равно 30)

Скачать документ Excel с этим примером (в виде RAR-архива LAB1_win.rar — 22kB)

Решение игровых задач с нулевой суммой с помощью Microsoft Excel

Захарова, Т. Н. Решение игровых задач с нулевой суммой с помощью Microsoft Excel / Т. Н. Захарова. — Текст : непосредственный // Актуальные задачи педагогики : материалы I Междунар. науч. конф. (г. Чита, декабрь 2011 г.). — Чита : Издательство Молодой ученый, 2011. — С. 176-181. — URL: https://moluch.ru/conf/ped/archive/20/1343/ (дата обращения: 12.06.2021).

Рассмотрим общий случай игровой задачи m x n с нулевой суммой, когда модель задачи не имеет седловой точки. Такую модель можно представить в виде матрицы (табл.1):

Таблица 1. Общая таблица стратегий

Оптимальное решение необходимо искать в области смешанных стратегий. Обозначим вероятности применения стратегий первого игрока (игрока А) через , а цену игры — через v. Оптимальная смешанная стратегия игрока А определяется из условия

Пусть

Поскольку при оптимальной стратегии средний выигрыш не меньше v при любой стратегии противника, то справедлива система n неравенств:

Или

(1)

Тогда задача отыскания оптимальной смешанной стратегии игрока А может быть сформулирована в виде задачи линейного программирования.

Для этого необходимо максимизировать целевую функцию F =v при ограничениях

(2)

Введем новые неизвестные:

Поскольку

Разделим левую и правую части неравенств (1) и (2) на v, получим:

(3)

В силу того что

max v = min 1/v = min{x₁+x₂+…+x_m}.

задача принимает вид

F= x₁+x₂+…+x_m → min (4)

при ограничениях

(5)

Для второго игрока (игрока В) оптимальная стратегия определяется из условия:

при условии

q₁+q₂+…+q_n = 1

Эта задача записывается как симметричная двойственная задача линейного программирования к задаче игрока A (4), (5):

L= y₁ +y₂+… +y_n → max (6)

при ограничениях

(7)

Задачи игроков A и В решают симплекс-методом.

Использование возможностей Microsoft Excel позволяет существенно облегчить и ускорить решение этой задачи.

Сначала нужно создать исходную таблицу:

Затем, на основе этой таблицы записать формулы для нахождения решения:

Для нахождения решения используется надстройка Поиск решения. Нужно выделить ячейку, в которой вычисляется значение функции F и вызвать надстройку Поиск решения. Заполнить окно поиска решения:

В поле Ограничения нужно задать формулы для всех ограничений. Затем нажать кнопку Параметры и отметить поля Линейная модель и Неотрицательные значения. Нажать кнопку ОК, затем Выполнить.

Чтобы найти значения вероятностей и цену игры нужно записать формулы:

Решение задачи для игрока В выполняется по аналогичной схеме согласно формулам (6), (7).

Рассмотрим пример решения задачи. Найдем решение игры, заданной матрицей .

Проверим наличие седловой точки.

В режиме отображения формул эта запись имеет вид:

Поскольку нижняя цена игры (минимальный выигрыш игрока А) и верхняя цена игры (максимальный проигрыш игрока В) не равны, то модель данной задачи не имеет седловой точки. Поэтому решение следует искать в смешанных стратегиях. Составим задачи линейного программирования для нахождения решений игроков А (согласно формулам (4), (5)) и В(согласно формулам (6), (7)):

для игрока А и для игрока В.

Для решения этих систем используем надстройку «Поиск решения». Сначала оформим задачу для поиска решения игрока А:

В режиме отображения формул:

Затем нужно активировать ячейку В7 и запустить надстройку Поиск решения. Далее заполнить окно Поиска решения:

Затем нажать кнопку Параметры и отметить поля Линейная модель и Неотрицательные значения. Нажать кнопку ОК, затем Выполнить.

Получим результат:

Вероятности применения смешанных стратегий и цену игры найдем по формулам: p_i=x_i/F, v=1/F.

В режиме отображения формул:

Аналогично найдем решение для игрока В:

В режиме отображения формул:

Литература:

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М. «Высшая школа», 1993г.

2. Агальцов В.П., Волдайская И.В. Математические методы в программировании М. ИД «Форум» - ИНФРА-М, 2006г.

3. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем М. «Финансы и статистика», 2003г.

4. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы М. ИД «Форум» — ИНФРА-М, 2007г.

Основные термины (генерируются автоматически): игрок А, Поиск решения, режим отображения формул, игрок В, линейное программирование, цена игры, кнопка ОК, Линейная модель, оптимальная смешанная стратегия, оптимальная стратегия.

Похожие статьи

Создание и использование программы для статистического…

стратегия, игра, игрок, матричная игра, цена игры, решение игры, нулевая сумма, участник, верхняя цена игры, платежная матрица. Поиск решения как средство решения задач оптимизации…

Теория

Для второго игрока самой оптимальной смешанной стратегией является стратегия . Запишем цену игры

Алгоритм. Иначе цена игры находится в промежутке и решение игры находится в смешанных стратегиях.

Получится запись как на рис.1. В диалоговом окне Поиск решения нажать кнопку Параметры, установить флажок Линейная модель и задать условия неотрицательности переменных, установив флажок

Нажать кнопку ОК и перейти в диалоговое окно Поиск решения.

Математическое моделирование

‒ аспект оптимальных решений — теория математических моделей принятия оптимальных решений вусловиях конфликтов.

игрок, функция распределения, стратегия, конфликтная ситуация, функция, математическая модель, непрерывная игра, обычный риманов интеграл…

Интеграл Стильтьеса в теории

Аналогичным образом с помощью интеграла Стильтьеса находится цена непрерывной игры и оптимальная смешанная стратегия для обоих игроков-стратегов. Предположим, что есть платежная функция (или функция выигрыша)…

Целочисленное

Оптимальное решение в примере, в принципе, не может быть получено каким-либо округлением решения соответствующей задачи линейного программирования.

Рис. 1. Оптимальное решение задачи.

Основные термины (генерируются автоматически): критерий, задача, учет уступок, полученное решение, поиск решения, матрица коэффициентов, важность критерия, допустимая уступка, линейное программирование.

Применение метода

Метод линейного программирования при решении текстовых задач графически имеет следующий алгоритм

Литература: 1. Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели.

Модель линейного программирования имела бы множество переменных решений

Решение задач оптимального раскроя средствами MS Excel. Симплекс-метод, основанный на идеях Л. В. Канторовича, был описан и детально разработан рядом ученых из США в середине 20 века.

Решение задач линейного программирования » Привет Студент!

Факультет экономики и управления

Кафедра математических методов и моделей в экономике

ОТЧЕТ

по лабораторной работе

по курсу «Исследование операций»

на тему: «Решение задач линейного программирования»

Постановка задачи

На предприятии имеются три группы станков. Нужно изготовить два вида изделий – А и В. Фонд рабочего времени по первой группе станков составляет 400 часов, по второй- 360 часов, по третьей- 1320 часов. Время на обработку одного изделия вида А составляет для первой группы станков- 0,4 час., для второй – 0,84 час., для третьей- 8,0 часов. Соответственно для одного изделия группы В- 2,0; 1,2; 4,0 час. Каждое изделие вида А при его реализации дает прибыль предприятию в 1,2 ед., а изделие В- 4,8 ед. Найти план при котором прибыль будет максимальна.

Решить задачу:

• Симплекс- методом с помощью программного обеспечения DV SIMP;
• В МПП Excel с помощью надстройки «Поиск решения».

1 Обоснование симплекс- метода

Симплекс метод — это характерный пример итерационных вычислений, используемых при решении большинства оптимизационных задач. В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки (обычно начало координат), осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка, соответствующая оптимальному решению.

Пусть имеется задача линейного программирования в канонической форме:

F=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n→max(min),                                                                   (1)

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁,
…………………………,                                                                 (2)
a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n≤b_m;

x_i ≥0, i=1,…,n;

Введем в рассмотрение вектора ,  j=1,…,n.

Тогда задачу можно переписать в следующем виде:

F=<c,x>→max(min),                             (3)

A₁x₁+A₂x₂+…+A_nx_n=b,

,

и трактовать следующим образом: из всех разложений вектора b по векторам  с неотрицательными коэффициентами, требуется выбрать хотя бы одно такое, коэффициенты x_i которого доставляют целевой функции F оптимальной значение. Не ограничивая общности, считаем ранг матрицы А: r=m и n>m.

Ненулевое допустимое решение  называется опорным, если вектора , соответствующие отличным от нуля координатам , линейно независимы.

Ненулевое опорное решение называется невырожденным, если оно имеет m- положительных координат.

Если число положительных координат опорного решения меньше m, то оно называется вырожденным.

Упорядоченный набор из m- линейно независимых векторов , соответствующих положительным координатам опорного решения, назовем базисом.

Теорема: вектор  тогда и только тогда является опорным решением задачи, когда точка  является вершиной допустимого множества. Таким образом, задача нахождения вершины допустимого множества свелась к задаче нахождения опорного решения, а, следовательно, к нахождению базиса.

Будем считать, что исходный базис A_i1,…,A_im, тогда вектор b разложим по этому базису:

b==

.

 Аналогично можно представить любой вектор :

В частности, в качестве исходного базиса могут быть взяты вектора, образующие единичную матрицу:

 
если они присутствуют в канонической форме задачи; в противном случае, исходный базис нужно строить, то есть имеет место задача с искусственным базисом.

Используя разложение вектора  по базису векторами  можно сформулировать утверждения:

1. Если для данного базиса все оценки  

неотрицательны, то опорное решение  является оптимальной точкой задачи;

2. Если для данного базиса существует хотя бы одна оценка для нее все то это означает, что целевая функция данной задачи линейного программирования не ограничена сверху на допустимом множестве;
3. Если для данного базиса есть такая отрицательная оценка что среди координат вектора  в данном базисе

 координаты все векторов в новом базисе могут быть найдены через координаты векторов в старом базисе по формулам:

Алгоритм решения задачи симплекс методом.

Исходные данные:

1. Вычисляем координаты разложения векторов  по базису ;
2. Рассчитываем оценки по формулам (1) и проверяем, являются ли они положительными. Если да, то алгоритм заканчивает свою работу, опорное решения является оптимальным, если нет, то проверяем, существуют ли такие , что все . Если существуют, то алгоритм заканчивает свою работу, задача неразрешима. Если нет, находим  и находим

Далее производим замену в базисе вектора  на вектор  и снова выполняем разложение по новому базису.

В случае небольшого числа ограничений переменных указанный алгоритм легко реализовать без помощи ЭВМ, оформляя решение в виде симплекс-таблиц.

Пусть дана задача в канонической форме и найден исходный базис . Находим разложение всех векторов по базису. Результат оформляем в виде таблицы.

         2 Практическая часть

         Представим данную задачу в виде таблицы 1.

         Таблица 1- Исходные данные

         Обозначим:

х₁— количество произведенных изделий вида А;

х₂ – количество произведенных изделий вида В.

Таким образом, целевая функция имеет следующий вид:

F=1,2*x₁+4,8*x₂→max;

Система ограничений запишется в виде:

0,4*х₁+2*х₂ ≤ 400;

0,84*х₁+1,2*х₂ ≤ 360;

8*х₁+4*х₂ ≤ 1320;

х₁ ≥ 0,  х₂ ≥ 0.

         Решим задачу с помощью программы DV SIMP. Введем исходные данные (рисунок 1).

Рисунок 1- Исходные данные

         На следующем шаге необходимо привести систему к каноническому виду (рисунок 2).

Рисунок 2- Приведение к каноническому виду

После чего в целевой функции появятся переменные х₃, х₄, х₅, и коэффициенты системы ограничений имеют следующий вид (рисунок 3):

Рисунок 3- Коэффициенты

         Видим, что начальный базис можно указать. Он будет состоять из векторов А₃, А₄, А₅ , которые образуют единичную матрицу.

         Таким образом, на начальном этапе симплекс-таблица имеет следующий вид (рисунок 4):

Рисунок 4- Симплекс таблица

Для данной таблицы рассчитали оценки, среди которых оказались отрицательные, следовательно, решение не оптимально.

         Так как решение не найдено, продолжаем решение, определяем новый базис (рисунок 5).

Рисунок 5- Определение базиса

         По рисунку 5 видно, что ввести в базис нужно вектор А₂, так как ему минимальная оценка.

         Для определения вектора, который нужно вывести из базиса, рассчитаем ϴ для каждого вектора текущего базиса.

         ϴ₁=400/2=200;

ϴ₂=360/1,2=300;

ϴ₃=1320/4=330.

Минимальное значение ϴ соответствует вектору А₃, следовательно, его выводим из базиса.

         Для нового базиса симплекс- таблица представлена на рисунке 6.

Рисунок 6- Симплекс-таблица

         Среди оценок текущей симплекс- таблицы есть отрицательная, следовательно, оптимальное решение не найдено, и нужно продолжать решение.

Минимальное значение оценки соответствует вектору А₁, который введем в базис. Рассчитаем ϴ:

         ϴ₁=200/0,2=1000;

ϴ₂=120/0,6=200;

ϴ₃=520/7,2=72.222.

Минимальное значение ϴ соответствует вектору А₅, следовательно, его выводим из базиса.

         Для нового базиса симплекс- таблица представлена на рисунке 7.

Рисунок 7- Симплекс-таблица

         Видим, что среди оценок нет отрицательных, а значит, оптимальное решение найдено (рисунок 8).

Рисунок 8- Решение задачи

         В базис вошли вектора А₂, А₄, А₁. Оптимальное значение целевой функции F=977,333. Соответственно оптимальные значения х₁= 72,222; х₂= 185,556.

         Найдем решение данной задачи с помощью функции «Поиск решения» в МПП Excel.

         Результат представлен на рисунке 9.

Рисунок 9- Решение задачи в МПП Excel

Получили аналогичный результат, то есть оптимально производить 72 изделия вида А и 185 изделий вида В. При этом максимальная прибыть  будет равна 977,333 ед.

Скачать:  У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Лабораторная работа №4. Реализация пошагового алгоритма решения задачи линейного программирования табличным симплекс-методом средствами Excel при выполнении всех условий

Задание. Реализуйте все нижеприведенные шаги в табличном процессоре Excel, необходимые для решения задачи ЛП.

Поясним последовательность действий при решения задачи ЛП табличным симплекс-методом на примере.

Задача. Решить задачу табличным симплекс-методом [8].

при ограничениях

Порядок выполнения работы:

I. Проверка выполнения условий, необходимых для решения задачи табличным симплекс-методом в чистом виде.

1. .

2. Задача каноническая.

3. В каждом ограничении есть базисная переменная: — в первом,- во втором,- в третьем.

4. В целевой функции нет базисных переменных.

II. Оформление исходных данных.

1. Откройте табличный процессор Excel и введите заголовок Табличный способ решения задач линейного программирования.

2. Заполните начальную симплекс-таблицу.

Шапка таблицы: столбец базисных переменных (B), столбец свободных членов, имеющиеся переменные.

Следующая строка таблицы соответствует первому ограничению. Базисная переменная, найденная в первом ограничении, свободный член, коэффициенты при переменных соответствующего ограничения. Аналогичным образом заполняются 2 и 3 строки.

Последняя строка – это строка целевой функции, которая заполняется следующим образом, свободный член без изменения знака, а коэффициенты при переменных с противоположным (рис. 26).

Рис. 26. Исходная симплекс таблица.

5. Проконтролируйте правильность заполнения таблицы. Так как ,,- базисные переменные, то на пересечении(5 строка) с (столбецD) должна стоять 1 (ячейка D5), а в соответствующем столбце ниже – нули, на пересечении (6 строка) с (столбецE) должна стоять 1 (ячейка E6), а в соответствующем столбце ниже – нули, (7 строка) с (столбецH) должна стоять 1 (ячейка H7), а в соответствующем столбце ниже – нули.

3. Запишите значение целевой функции, начальный опорный план, опираясь на столбец свободных членов (рис. 27).

Рис. 27. Значение целевой функции и начальный опорный план.

III. Нахождение оптимального плана и оптимального значения целевой функции.

1. Так в индексной строке есть отрицательные коэффициенты при переменных, то опорный план не является оптимальным. Организуйте процесс улучшения плана, выполнив предложенные шаги.

2. Среди отрицательных элементов индексной строки выберите наибольший по модулю элемент. Соответствующий столбец назовите ведущим. Данный столбец показывает, какую переменную необходимо включить в базис (рис. 28).

Рис. 28. Выбор ведущего столбца.

3. Теперь необходимо определить какую переменную исключить из базиса. Для этого составьте отношения для всех элементов столбца свободных членов () к соответствующим элементам ведущего столбца (). Например, в ячейку I5 введите формулу =B5/C5. Растяните формулы для ячеек I6, I7, исключая ячейку индексной строки (рис. 29).

Рис. 29. Составление отношений.

4. Определите результат отношений (таблица 5), учитывая, что в результате может получиться число, отличное от нуля, 0 или бесконечность (рис. 30).

Рис. 30. Результат отношений.

5. Выберите наименьшее из отношений. Строку, в которой получился наименьший результат, назовите ведущей (рис. 31). Данная строка показывает, какую переменную необходимо исключить из базиса.

Рис. 31. Выбор ведущей строки.

6. На пересечении ведущей строки и ведущего столбца получается ведущий элемент (рис. 32).

Рис. 32. Ведущий элемент.

7. Постройте новую симплексную таблицу. Выведите переменную из базиса, на ее место запишите ту переменную, которой соответствует ведущий столбец (рис. 33). В нашем случае – это переменная.

Рис. 33. Новый базис.

8. Так как теперь — базисная переменная, то на пересечении(13 строка) с (столбецC) должна стоять 1 (ячейка С13), а в соответствующем столбце ниже – нули. С помощью элементарных преобразований сделайте ведущий столбец базисным.

Для получения 1 в ячейке С13 необходимо каждый элемент ведущей строки поделить на ведущий элемент.

В ячейку С13 запишите формулу = С5/2 (рис 34), нажмите Enter.

Рис. 34. Получение 1 в ячейке С13.

Растяните формулу (рис. 35).

Рис. 35. Первая строка второй симплексной таблицы.

Затем получите нуль в ячейке С14.

Для этого во второй симплексной таблице 1 (ячейка С13) умножьте на элемент предыдущей таблицы, соответствующий элементу ячейки С14, взятый с противоположным знаком и сложите с этим же элементом.

Так как элемент, соответствующий элементу ячейки С14 равен 1 (ячейка С6), то это означает, что все элементы первой строки второй симплексной таблицы умножаются на (-1) и складывается с соответствующими элементами первой симплексной ьаблицы. Запишите в ячейку С14 формулу =C13*(-1)+C6 (рис. 36).

Рис. 36. Элемент С14 второй симплексной таблицы.

Аналогичным образом получите остальные элементы базисного столбца (рис. 37 и рис. 38).

Рис. 37. Элемент С15 второй симплексной таблицы.

Рис. 38. Элемент С16 второй симплексной таблицы.

9. Растяните формулы базисного столбца по строкам, получите вторую симплексную таблицу (рис. 39).

Рис. 39. Первая и вторая симплексные таблицы.

10. Так в индексной строке есть отрицательные коэффициенты при переменных, то опорный план не является оптимальным.

11. Запишите значение целевой функции, найденный новый опорный план, опираясь на столбец свободных членов (рис. 40). Проконтролируйте, что значение целевой функции максимизируется.

Рис. 40. Значение целевой функции и опорного плана второй симплексной таблицы.

12. Организуйте процесс улучшения плана, выполнив предложенные шаги, начиная с пункта 5, до тех пор пока не будет выполняться какой-нибудь из критериев остановки. Получите третью симплексную таблицу (рис. 41).

Рис. 41. Первая, вторая и третья симплексные таблицы.

13. В индексной строке нет отрицательных элементов, поэтому план оптимален,.

Задание. Воспользуйтесь материалами лабораторной работы №3. Выполните проверку, используя программу MathCad.

Симплексный метод регрессии LAD | Реальная статистика с использованием Excel

Используя симплексный метод, мы решаем задачу нахождения минимума абсолютных отклонений между наблюдаемыми значениями y и предсказанными значениями y.

в задачу минимизации линейного программирования с учетом ограничений

для всех i = 1,…, n .

Мы можем использовать Excel Solver для решения этой задачи линейного программирования, применяя метод Simplex Linear Programming , где каждый элемент данных приводит к двум ограничениям.

Пример 1 : Повторите пример 1 наименьших квадратов для множественной регрессии с использованием регрессии LAD.

Мы повторяем данные из Примера 1 в диапазоне A3: E14 на Рисунке 1 вместе с настройкой, необходимой для использования симплексного метода Excel Solver.

Рисунок 1. Данные и настройка для симплекс-метода

Здесь ячейка D4 содержит формулу = $ F $ 15 + MMULT (A4: B4, $ F $ 16: $ F $ 17), E4 содержит = C4- D4, G4 содержит = -F4, а F19 содержит = СУММ (F4: F14). Ячейки в диапазоне F4: F14, которые представляют собой, установлены на начальное предположение 1, как и коэффициенты регрессии в диапазоне F15: F17.Мы могли бы заменить эти догадки какими-то другими значениями. Обратите внимание, что мы размещаем ячейки коэффициентов прямо под ячейками, чтобы у нас был непрерывный диапазон ячеек, который будет изменен во время работы алгоритма решателя.

Теперь мы выбираем Data> Analysis | Solver и заполняем диалоговое окно, которое появляется, как показано на рисунке 2.

Рисунок 2 — диалоговое окно Solver

Обратите внимание, что мы хотим минимизировать значение в ячейке F19, который будет содержать сумму абсолютного значения отклонения между наблюдаемыми значениями y (столбец C) и значениями, предсказанными регрессионной моделью (столбец D).Минимизация осуществляется путем изменения значений в диапазоне F4: F14, который содержит абсолютные отклонения, а также в диапазоне F15: F17, который содержит коэффициенты регрессии.

Мы указываем ограничения для процесса оптимизации обычным способом, за исключением того, что на этот раз мы объединяем такие ограничения, как E4 <= F4, E5 <= F5, E6 <= F6,…, E14 <= ​​F14, используя неравенство диапазона E4: E14 <= ​​F4: F14. Наконец, мы просим использовать метод Simplex LP . Когда мы нажимаем кнопку OK , мы получаем результаты, показанные на рисунке 3.

Рисунок 3 — Результаты регрессии LAD

Модель регрессии LAD —

Цена = 7,667 + 4,333 * Цвет + 2,778 * Качество

Поскольку у нас есть две независимые переменные, как отмечалось ранее, по крайней мере, три элемента данных будет иметь нулевой остаток, а именно строки 8, 10 и 11.

Одна проблема с использованием симплексного метода в Excel заключается в том, что он ограничен 100 ограничениями, что означает, что он будет поддерживать только модели LAD с не более чем 50 элементами данных .

3.3a. Решение стандартных задач максимизации с помощью симплекс-метода

В предыдущем разделе мы обнаружили, что графический метод решения задач линейного программирования, хотя и требует много времени, позволяет нам видеть области решения и определять угловые точки. Однако это невозможно при наличии нескольких переменных. Мы можем визуализировать до трех измерений, но даже это может быть сложно, когда есть множество ограничений.

Для решения задач линейного программирования, содержащих более двух переменных, математики разработали то, что теперь известно как симплекс-метод
.Это эффективный алгоритм (набор механических шагов), который «переключает» угловые точки, пока не найдет ту, которая максимизирует целевую функцию. Хотя это заманчиво, есть несколько вещей, на которые нам нужно обратить внимание, прежде чем использовать его.

Прежде чем приступить к математическим деталям, давайте рассмотрим пример задачи линейного программирования, для которой
соответствует симплекс-методу:

Пример 1

С помощью симплекс-метода можно решить следующую систему:

Цель Функция: P = 2 x + 3 y + z

При соблюдении ограничений:

3 x + 2 y ≤ 5

2 x + y — z ≤ 13

z ≤ 4

х, у, z≥0

Стандартная задача максимизации

С математической точки зрения, чтобы использовать симплексный метод для решения задачи линейного программирования, нам нужна стандартная задача максимизации:

,
• — целевая функция, а
—
• одно или несколько ограничений вида a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ +… a _n x _n le В
  • Все числа a представляют собой коэффициенты с действительными числами, а
  • x _номер представляет соответствующие переменные.
  • V — неотрицательное (0 или большее) действительное число

Наличие ограничений с верхними пределами должно иметь смысл, поскольку при максимизации количества у нас, вероятно, есть ограничения на то, что мы можем сделать. Если бы у нас не было ограничений, мы могли бы продолжать увеличивать, скажем, прибыль, бесконечно! Это противоречит тому, что мы знаем о реальном мире.

Чтобы использовать симплексный метод, технологически или вручную, мы должны настроить исходную симплексную таблицу
, которая представляет собой матрицу, содержащую информацию о задаче линейного программирования, которую мы хотим решить.

Во-первых, матрицы плохо справляются с неравенством. Во-первых, у матрицы нет простого способа отслеживать направление неравенства. Уже одно это препятствует использованию неравенств в матрицах. Как же нам этого избежать?

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования

Развернуть:

P = 7 x + 12 y

Субъект:

2 x + 3 y ≤ 6

3 x + 7 y ≤12

Поскольку мы знаем, что левые части обоих неравенств будут величинами, меньшими, чем соответствующие значения справа, мы можем быть уверены, что добавление «чего-то» к левой части сделает их в точности равными.То есть:

2 x + 3 y + с ₁ = 6

3 x + 7 y + s ₂ = 12

Например, предположим, что
x = 1, y = 1, тогда

2 + 3 + s ₁ = 6 или s ₁ = 1

3 + 7 + s ₂ = 12 или s ₂ = 2

Важно отметить, что эти две переменные, s ₁ и s ₂ , не обязательно одинаковы.Они просто действуют на неравенство, подбирая «слабину», которая не дает левой стороне выглядеть как правая. Следовательно, мы называем их резервными переменными . Это устраняет неравенство за нас. Поскольку расширенные матрицы содержат все переменные слева и константы справа, мы перепишем целевую функцию в соответствии с этим форматом:

–7 x — 12 y + P = 0

Теперь мы можем написать исходную систему уравнений :

Для этого нам потребуется матрица, которая может обрабатывать x , y , s ₁ , s ₂ и P .Мы разместим это в таком порядке. Наконец, симплексный метод требует, чтобы целевая функция была указана в нижней строке матрицы, чтобы мы имели:

Мы создали исходную симплексную таблицу . Обратите внимание, что горизонтальные и вертикальные линии используются просто для отделения коэффициентов ограничения от констант и коэффициентов целевой функции. Также обратите внимание, что столбцы переменных резервов вместе с выходными данными целевой функции образуют единичную матрицу.

Мы представим алгоритм решения, однако отметим, что он не совсем интуитивно понятен. Мы сосредоточимся на этом методе для одного примера, а затем перейдем к использованию технологий для выполнения процесса за нас.

1. Выберите столбец поворота

Сначала мы выбираем сводный столбец, который будет столбцом, содержащим наибольший отрицательный коэффициент в строке, содержащей целевую функцию. Обратите внимание, что наибольшее отрицательное число принадлежит члену, который больше всего влияет на целевую функцию.Это сделано намеренно, поскольку мы хотим сосредоточиться на значениях, которые делают вывод как можно большим.

Таким образом, наша точка поворота — это столбец и .

2. Выберите сводную строку

Сделайте это, вычислив отношение каждой константы ограничения к соответствующему коэффициенту в сводном столбце — это называется тестовым отношением . Выберите строку с наименьшим тестовым соотношением.

Сначала рассчитаем тестовые соотношения:

[латекс] \ displaystyle {\ left [\ matrix {{6 ÷ 3 = 2} \\ {12 ÷ 7≈1.7}} \ right]} [/ latex]

Поскольку тестовое соотношение для строки 2 меньше, мы выбираем ее в качестве сводной строки. Штучное значение теперь называется нашей опорной точкой . Чтобы объяснить, почему мы это делаем, заметим, что 2 и 1.7 — это просто вертикальные пересечения двух неравенств. Мы выбираем меньшее, чтобы убедиться, что угловая точка находится в допустимой области:

3. Используя метод исключения Гаусса, удалите строки 1 и 3

Умножьте R2 на (1/7), чтобы преобразовать 7 в 1.

Затем используйте 1, чтобы удалить 3 в R1: -3R ₂ + R ₁ → R ₁

И используйте 1, чтобы удалить -12 в R3: 12R ₂ + R ₃ → R ₃

Получаем следующую матрицу (возможно, дроби)

Что мы сделали? Во-первых, мы максимально увеличили вклад 2-2 входного коэффициента
y -значение в целевую функцию. Оптимизировали ли мы функцию? Не совсем так, поскольку мы все еще видим, что в первом столбце есть отрицательное значение.Это говорит нам о том, что все еще может вносить вклад в целевую функцию. Чтобы устранить это, мы сначала находим сводную строку, получая тестовые отношения:

[латекс] \ displaystyle {\ left [\ matrix {{5/7} & {0} & {1} & {- 3/7} & {0} & {|} {6/7} \\ {3 / 7} & {1} & {0} & {1/7} & {0} & {|} {12/7} \\ {- 13/7} & {0} & {0} & {12 / 7} & {1} & {|} {144/7}} \ right]} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ left [\ matrix {{(6/7) ÷ (5/7) ≈1.2} \\ {12 ÷ 3≈4}} \ right]} [/ latex]

Начиная с 1.2 <4, R1 - наша новая сводная строка.

Интересно, что это тестовое соотношение соответствует входному значению пересечения двух линий!

Аналогичным образом мы переходим к удалению всех неповоротных значений.

Умножьте R1 на (1 / 0,71), чтобы преобразовать 0,71 в 1.

Затем используйте 1, чтобы удалить 3 в R3: -3R ₁ + R ₂ → R ₂

И используйте 1, чтобы устранить -12 в R3: 1.86R ₁ + R ₃ → R ₃

Получаем следующую матрицу

[латекс] \ displaystyle {\ left [\ matrix {{1} & {0} & {7/5} & {- 3/5} & {0} & {|} {6/5} \\ {0 } & {1} & {- 3/5} & {2/5} & {0} & {|} {6/5} \\ {0} & {0} & {13/5} & {3 / 5} & {1} & {|} {114/5}} \ right]} [/ latex]

В строке целевой функции не осталось дополнительных отрицательных записей.Таким образом, мы имеем следующую матрицу:

[латекс] \ displaystyle {\ left [\ matrix {{1} & {0} & {7/5} & {- 3/5} & {0} & {|} {6/5} \\ {0 } & {1} & {- 3/5} & {2/5} & {0} & {|} {6/5} \\ {0} & {0} & {13/5} & {3 / 5} & {1} & {|} {114/5}} \ right]} [/ latex]

Таким образом, мы готовы читать решения.

4. Определите набор решений

Чтобы идентифицировать набор решений, мы сосредотачиваемся только на столбцах с ровно одной ненулевой записью — они называются базовыми переменными (столбцы с более чем одной ненулевой записью, таким образом, называются небазовыми переменными ) .

Мы замечаем, что оба столбца x any являются базовыми переменными. Нас действительно не волнуют переменные резервов, так же как мы игнорируем неравенство, когда находим пересечения. Теперь мы видим, что

[латекс] \ displaystyle {\ left [\ matrix {{1} & {0} & {7/5} & {- 3/5} & {0} & {|} {6/5} \\ {0 } & {1} & {- 3/5} & {2/5} & {0} & {|} {6/5} \\ {0} & {0} & {13/5} & {3 / 5} & {1} & {|} {114/5}} \ right]} [/ latex]

Установка переменных резервирования на 0 дает:

x ≈ 1.2

y ≈ 1,2

P = 22,8

Таким образом, x = 1,2, y = 1,2, P = 22,8 — это решение задачи линейного программирования. То есть входные данные x = 1,2 и y = 1,2 дадут максимальное значение целевой функции 22,8