Рубрика: Разное

Это работает, потому что, когда мы умножаем что-то на его сопряжение, мы получаем квадратов , как это:

(a + b) (a − b) = a ² — b ²

Вот как это сделать:

1 3 − √2

Как мы можем переместить квадратный корень из 2 вверх?

Мы можем умножить верхнюю и нижнюю части на 3 + √2 (сопряжение 3 − √2) , что не изменит значение дроби:

1 3 − √2 × 3 + √2 3 + √2 знак равно 3 + √2 3 ² — (√2) ² знак равно 3 + √2 7

(Вы видели, что мы использовали (a + b) (a − b) = a ² — b ² в знаменателе?)

Используйте свой калькулятор, чтобы вычислить значение до и после… это то же самое?

Есть еще один пример на странице Оценка пределов (расширенная тема), где я перемещаю квадратный корень сверху вниз.

Полезный

Так что постарайтесь запомнить эти маленькие уловки, они могут однажды помочь вам решить уравнение!

Конъюгаты и деление на радикалы

Purplemath

Иногда вам нужно умножать многочленные выражения, содержащие только радикалы.Это ситуация, в которой вертикальное умножение является прекрасным подспорьем.

• Упростить

Это упражнение выглядит некрасиво, но оно вполне выполнимо, если я аккуратен и точен в своей работе.

Сначала я выполняю умножение, используя вертикальный метод, чтобы все было прямо:

MathHelp.com

Затем я устанавливаю исходное выражение, равное последней строке из приведенного выше умножения, и завершаю вычисления, упрощая каждый член:

• Упростить:

Сначала делаю умножение:

А потом упрощаю:

Обратите внимание на последний пример выше, как я получил все целые числа.(Хорошо, технически они целые числа, но дело в том, что члены , а не включают какие-либо радикалы.) Я перемножил два радикальных бинома и получил ответ, в котором не было радикалов. Вы также могли заметить, что два «бинома» были одинаковыми, за исключением знака посередине: у одного был «плюс», а у другого — «минус».

Эта пара факторов, где второй фактор отличается только одним знаком посередине, очень важна; по сути, этот «тот же самый, за исключением знака посередине» второй фактор имеет собственное название:

Учитывая радикальное выражение

Конъюгат (KAHN-juh-ghitt) имеет те же числа, но с противоположным знаком посередине. Таким образом,

Кроме того, конъюгаты не обязательно должны быть двухчленными выражениями с радикалами в каждом из терминов. Фактически, любое двухчленное выражение может иметь конъюгат:

Чтобы создать конъюгат, все, что вам нужно сделать, это перевернуть знак посередине.Все остальное остается прежним.

• Что такое спряжение 3 + sqrt [5]?

В этом случае я нахожу сопряжение для выражения, в котором только один из терминов имеет радикал. Это хорошо. Независимо от этого, процесс тот же; а именно я переворачиваю знак посередине. Поскольку они дали мне выражение со знаком «плюс» в середине, спряжение — это те же два термина, но с «минусом» посередине:

• Найдите конъюгат –7 sqrt [3] — 2

На этот раз радикал находится в первом из двух членов, и перед первым термином стоит «минус».Это хорошо. Я оставлю первый «минус» в покое, потому что ничего не меняю, кроме среднего знака; Переверну второй «минус» посередине на «плюс»:

Когда мы умножаем конъюгаты, мы делаем нечто похожее на то, что происходит, когда мы умножаем на разность квадратов; а именно:

a ² — b ² = ( a + b ) ( a — b )

Когда мы умножаем множители a + b и a — b , средние члены « ab » сокращаются:

То же самое происходит, когда мы умножаем конъюгаты:

Мы вскоре увидим, почему это важно.Чтобы понять это, давайте сначала взглянем на дроби, в знаменателях которых есть радикалы.

Точно так же, как мы можем переключаться между умножением радикалов и радикалом, содержащим умножение, мы можем переключаться между делением корней и одним корнем, содержащим деление.

• Упростить:

Я могу упростить это, работая внутри, а затем извлекая квадратный корень:

…. или, в противном случае, разделив разделение на два радикала, упрощение и исключение:

В любом случае, мой окончательный ответ такой же.

• Упростить:

Я вижу, что в знаменателе есть полный квадрат, а в числителе — простое число.Так что упрощение будет легче, если я разделю радикал, содержащий фракцию, на фракцию, содержащую радикалы:

URL: https://www.purplemath.com/modules/radicals4.htm

Как избавиться от квадратного корня в уравнении

Обновлено 20 ноября 2020 г.

Лиза Мэлони

Когда вы впервые узнали о числах в квадрате, таких как 3 ² , 5 ² и x ² , вы, вероятно, узнали об обратной операции возведения в квадрат числа, то есть о квадратном корне.Эта обратная связь между возведением чисел в квадрат и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет действие другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями в нем, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала выделите квадратный корень на одной стороне уравнения.Затем возведите обе части уравнения в квадрат и продолжайте поиск переменной. Не забудьте в конце проверить свою работу.

Простой пример

Прежде чем рассматривать некоторые потенциальные «ловушки» решения уравнения с квадратными корнями в нем, рассмотрим простой пример: Решите следующее уравнение для x :

\ sqrt {x } + 1 = 5

Используйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение квадратного корня на одной стороне уравнения.2

x = 16

Вы удалили знак квадратного корня и , у вас есть значение x , так что ваша работа здесь сделана. Но подождите, есть еще один шаг:

Проверьте свою работу, подставив найденное вами значение x в исходное уравнение:

\ sqrt {16} + 1 = 5

4 + 1 = 5

5 = 5

Поскольку это вернуло допустимый оператор (5 = 5, в отличие от недопустимого оператора, такого как 3 = 4 или 2 = -2, решение, которое вы нашли на шаге 2, является действительным.В этом примере проверка вашей работы кажется тривиальной. Но этот метод устранения радикалов иногда может давать «ложные» ответы, которые не работают в исходном уравнении. Так что лучше иметь привычку всегда проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они возвращают действительный результат, начиная с этого момента.

Немного сложнее

Что делать, если у вас есть более сложное выражение под знаком корня (квадратный корень)? Рассмотрим следующее уравнение. Вы по-прежнему можете применить тот же процесс, что и в предыдущем примере, но это уравнение выделяет пару правил, которым вы должны следовать.2

y — 4 = 576

Теперь, когда вы исключили радикальный или квадратный корень из уравнения, вы можете изолировать переменную. Чтобы продолжить пример, добавив 4 к обеим сторонам уравнения, вы получите:

y = 580

Как и раньше, проверьте свою работу, подставив найденное вами значение y обратно в исходное уравнение. Это дает вам:

\ sqrt {580 — 4} + 5 = 29

\ sqrt {576} + 5 = 29

Упрощение радикала дает:

24 + 5 = 29

29 = 29

истинное утверждение, указывающее на действительный результат.

Умножение квадратного корня: 3 простых метода [с примерами]

Ваши ученики знают, как умножать экспоненты, но теперь пришло время научить их умножению квадратного корня и удивительному миру предалгебры. Но вы опасаетесь, что они могут подумать: «На уроке математики мы больше узнали об алгебре, например, X + 10 = Y, но почему меня это должно волновать?»

Вы хотите, чтобы они поняли, что французский математик Жан де Ронд д’Аламбер сказал знаменитую фразу: «алгебра щедра; она часто дает больше, чем от нее просят.

То, что вы не видите X и Y, не означает, что вы не используете алгебру каждый день. Умение умножать квадратные корни — это один из камней на живописном пути к пониманию актуальности алгебры в реальной жизни.

Преподаватели, подобные вам, знают, что не всегда легко сделать эти абстрактные и сложные концепции интересными и увлекательными.

Этот пост в блоге, разделенный на три части, призван изменить это!

• Что такое квадратные корни
• Как умножить квадратные корни
• Привлечение способов закрепить знания учащихся о квадратном корне

Часть первая: Что такое «квадратный корень»?

Квадратный корень из числа относится к множителю, который вы можете умножить само на себя, чтобы получить это число.Другими словами, нахождение квадратного корня — это процесс, противоположный возведению числа в квадрат.

Извлечь квадратный корень можно только из неотрицательных чисел — даже тех, которые не дают целых чисел. Это потому, что любое число раз само по себе является положительным или нулевым — вы никогда не получите отрицательный продукт, возведя в квадрат отрицательное число. Как вы видели выше, квадратный корень отменяет возведение в квадрат, поэтому отрицательные числа не могут иметь квадратные корни.

Тем не менее, точные квадратные числа являются наиболее эффективными при обучении студентов умножению квадратных корней.

На рисунке ниже мы видим, что квадратный корень из 16 равен 4, потому что 4 в квадрате, или 42, равно 16.

В математическом классе это уравнение будет выглядеть так:

Учащиеся видят это Впервые наверняка возникнут вопросы: Что это за символ в виде галочки? Почему на нем крошечная цифра?

Бретт Берри, основатель Math Hacks, в своей статье о понимании логарифмов и корней создала ясный и лаконичный образ со всей терминологией root .

Многие вопросы о нахождении квадратного корня не включают корневой индекс. Однако корневые индексы необходимы при вычислении более высоких индексированных корней, таких как кубические, четвертые или пятые корни.

Независимо от того, насколько хорошо вы преподаете эти алгебраические концепции, студенты всегда будут задавать этот вопрос. ☝️

И вы должны быть готовы предоставить им законные ответы. Например, умножение квадратного корня может быть важно для:

• Знание площади их будущих домов
• Архитекторов
• Художников
• Плотников
• Строителей
• Дизайнеров
• Инженеров

Есть еще кое-что! В то время как некоторым придется вычислять уравнения каждый день, другие будут использовать эти концепции для составления оценок.Одно можно сказать наверняка — люди этих профессий изучали математику в школе в детстве и используют ее до сих пор!

Часть вторая: 3 простых метода умножения квадратных корней

Умножение квадратных корней без коэффициентов

1. Умножьте каждое корневое и так же, как и без радикала или символа квадратного корня.

2. Упростите подкоренное выражение, вычленив все полные квадраты. Если в подкоренном выражении нет полных квадратов, значит, оно уже упрощено.В этом случае вы можете упростить √98 до √2, а √49 — до полного квадрата.

3. Извлеките квадратный корень из полного квадрата. В этом примере упростите √49 до 7 и поместите его перед оставшимся выражением √2.

Умножение квадратных корней на коэффициенты

1. Умножение коэффициентов перед знаками корня , если они есть.

2. Умножьте каждое подкоренное выражение так же, как и без радикала или символа квадратного корня.

3. Упростите подкоренное выражение, вычленив все полные квадраты. В этом примере вы можете упростить √40 до √4 и √10.

4. Извлеките квадратный корень из полного квадрата и умножьте его на коэффициент . В этом примере упростите √4 до 2 и умножьте его на 6.

Умножение квадратных корней с переменными

Помимо чисел, радикалы могут содержать другие вещи, такие как переменные и показатели степени.Упрощение радикалов с помощью переменных следует тем же правилам, что и упрощение радикалов с числами.

1. Умножьте подкоренные выражения . Если есть коэффициенты, их тоже умножьте.

Примечание : для умножения радикалов, содержащих переменные,:

• Корневой индекс должен быть таким же
• Значение x — вместе с любыми другими переменными — должно быть больше или равно нулю

2. Найдите разложения на простые множители, чтобы определить точные квадратные множители. Для этого вы можете использовать дерево факторов, как на изображении ниже.

Например, 2 и 9 равны 18, а 9 упрощается до 3 и 3. Таким образом, разложение на простые множители и квадратные множители для 18 будут 2, 3 и 3. Разложение на простые множители 30 равно 2, 3 и 5. Вы также можете разбить и переставить переменные экспоненты — вы можете переписать x3 как x2 и x .

Часть третья: Действия по закреплению знаний учащихся о квадратном корне

Создайте радикальные башни чисел

Лиза Тарман, педагог из Пенсильвании, создала сотни учебных материалов.Ее «Лабиринт упрощающих радикалов» — это освежающий и увлекательный подход к традиционным рабочим листам.

Попросите учащихся начать с левого верхнего угла. Им придется упростить радикалы, чтобы добраться до конца лабиринта. Получите доступ к бесплатной рабочей таблице Тармана и ответьте на него здесь.

Если вы хотите лабиринт умножающих радикалов, посмотрите этот от Teachers Pay Teachers!

Play Prodigy

Prodigy — бесплатная адаптивная математическая игра, которой пользуются полтора миллиона учителей и более 50 миллионов студентов по всему миру! Он предлагает контент по всем основным математическим темам и охватывает 1-8 классы, в том числе инструкции:

• Оценивать идеальные корни
• Переписывать показатели степени как корни

Использование Prodigy в вашем классе поможет ученикам развить беглость математики и уверенность в себе. будущая средняя школа и курсы математики на уровне колледжа.Ваш класс будет исследовать мир, наполненный захватывающими квестами, которые предоставляют персонализированный, согласованный с учебной программой контент и данные об учениках в реальном времени.

Помня об этих методах и упражнениях, вы поймете, что умножение квадратных корней не должно оставаться неуместным или пугающим для вас или ваших учеников.

При эффективном использовании упражнения, подобные приведенным выше, могут помочь укрепить понимание учащимися и повысить уровень вовлеченности учителей, которые редко становятся свидетелями на уроках математики.

Вы педагог? Настройте вопросы по математике, чтобы дополнить учебный материал и дифференцировать обучение, обращая внимание на проблемные места каждого учащегося.

Prodigy также предлагает мощные инструменты для немедленной подготовки отчетов как для учителей, так и для родителей. От отчетов о прогрессе до отчетов об использовании и т. Д. Используйте данные своего ученика или ребенка, чтобы определить, где они преуспевают или испытывают трудности, чтобы вы могли настроить для них контент в игре.

Нажмите здесь или на баннер ниже, чтобы начать работу менее чем за пять минут!

Как решать полиномиальные уравнения

Авторские права © 20022020 Стэн Браун

Сводка: В алгебре вы тратите много времени на решение многочлена уравнения или факторизации многочленов (что одно и то же).Было бы легко потеряться во всех техниках, но эта статья связывает их все вместе в единое целое.

Генеральный план

Убедитесь, что вас не смущает терминология. Все это то же:

• Решение полиномиального уравнения p ( x ) = 0
• Нахождение корней полиномиального уравнения p ( x ) = 0
• Нахождение нулей полиномиальной функции p ( x )
• Факторизация полиномиальной функции p ( x )

Есть коэффициент для каждого корня, и наоборот. ( x — r ) является множителем тогда и только тогда, когда r является корнем. Это Теорема о факторах : поиск корней или факторов по сути то же самое. (Основное различие заключается в том, как вы относитесь к постоянный коэффициент.)

точное или приблизительное значение?

Чаще всего, когда мы говорим о решении уравнения или факторизации многочлен, мы имеем в виду точное (или аналитическое) решение . В другой тип, приближенное (или числовое) решение , всегда возможно, а иногда и единственная возможность.

Когда найдешь, точное решение лучше . Вы всегда можете найти численное приближение к точному решению, но пойти другим путем гораздо труднее. Эта страница тратит больше всего своего времени на методы точных решений, но также расскажет, что нужно делать, когда аналитические методы терпят неудачу.

Шаг за шагом

Как найти множители или нули многочлена (или корни полиномиального уравнения)? В основном вам сточить . Каждый раз вы вычеркиваете множитель или корень из многочлена, у вас остается полином на одну степень проще.Используйте этот новый уменьшенный полином, чтобы найти оставшиеся факторы или корни.

На любом этапе процедуры, если вы доберетесь до кубическое или четвертое уравнение (степень 3 или 4), у вас есть выбор продолжения факторинга или использования кубические или четвертичные формулы. Этих формул много работы, поэтому большинство людей предпочитают продолжать факторинг.

Выполните эту процедуру, шаг за шагом:

1. Если вы решаете уравнение, запишите его в стандартную форму с 0 с одной стороны и упрощают .[ подробности ]
2. Знайте , сколько корней ожидать. [ подробности ]
3. Если у вас есть линейное или квадратное уравнение (степень 1 или 2), решите осмотром или по формуле корней квадратного уравнения. [ подробности ]
   Затем переходите к шагу 7.
4. Найдите один рациональный множитель или корень. Это самая сложная часть, но есть много методов, которые могут вам помочь. [ подробности ]
   Если вы можете найти фактор или корень, перейдите к шагу 5 ниже; если не можете, переходите к шагу 6.
5. Разделите на множитель . Это оставляет вас с новым приведенный многочлен , степень которого на 1 меньше. [ подробности ]
   Для остальной части задачи вы будете работать с уменьшенным многочлен, а не оригинал. Продолжите с шага 3.
6. Если вы не можете найти множитель или корень , обратитесь к численные методы. [ подробности ]
   Затем переходите к шагу 7.
7. Если это уравнение нужно было решить, запишите корни . Если это был многочлен для факторизации, запишите его в факторизованной форме , включая любые постоянные факторы, которые вы вывели на шаге 1.

Это пример алгоритма , набор шагов что приведет к желаемому результату за конечное количество операций. Это итеративная стратегия , потому что средние шаги повторять столько, сколько необходимо.

Кубические и четвертые формулы

Приведенные здесь методы находят рациональный корень и использовать синтетическое деление проще всего. Но если вы не можете найти рациональный корень, есть специальные методы для кубические уравнения (степень 3) и уравнения четвертой степени (степень 4), оба в Mathworld.Альтернативный подход предоставляется Дик Никаллс в PDF для кубический а также четвертичная уравнения.

Шаг 1. Стандартная форма и упрощение

К сожалению, это легко не заметить. Если у вас есть полиномиальное уравнение , отложите все члены в одну сторону. и 0 с другой. И независимо от того, является ли это проблема факторинга или уравнение, которое нужно решить, положите ваш многочлен в стандартной форме от до самой низкой степени .

Например, вы, , не можете решить это уравнение в такой форме:

x + 6 x + 12 x = −8

Вы должны изменить его на эту форму:

x + 6 x + 12 x + 8 = 0

Также убедитесь, что вы упростили, исключив любые общие факторы .Это может включать в себя вычитание −1 так что наивысшая степень имеет положительный коэффициент. Пример: в коэффициент

7-6 x -15 x — 2 х

начнем с того, что приведем его в стандартную форму:

−2 x -15 x -6 x + 7

, а затем вычтите −1

— (2 x + 15 x + 6 x -7) или же (−1) (2 x + 15 x + 6 x -7)

Если вы решаете уравнение, вы можете выбросить любых общий постоянный множитель.Но если вы факторизуете многочлен, вы должны сохранить общий множитель .

Пример: решить 8 x + 16 x + 8 = 0, вы можете разделите левую и правую на общий множитель 8. Уравнение х + 2 х + 1 = 0 имеет те же корни, что и исходное уравнение .

Пример: Фактор 8 x + 16 x + 8, вы узнаете общий множитель 8 и перепишем многочлен в виде 8 ( x + 2 x + 1), что является идентичен исходному многочлену .(Хотя это правда, что вы сосредоточит ваши дальнейшие усилия по факторингу на x + 2 x + 1, это будет ошибкой написать, что исходный многочлен равен х + 2 х + 1.)

Ваш общий фактор может быть дробь, потому что вы должны вычесть любые дроби, чтобы полином имеет целочисленных коэффициентов .

Пример: решить (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6 = 0, вы узнаете общий множитель 1/12 и разделите обе стороны на 1/12.Это в точности то же самое, что и распознавание и умножение на наименьший общий знаменатель из 12. В любом случае вы получите 4 x + 9 x -6 x + 10 = 0, которое имеет те же корни, что и исходное уравнение .

Пример: Фактор (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6, вы узнаете общий множитель 1/12 (или наименьший общий знаменатель 12) и вычитаем 1/12. Ты получаешь (1/12) (4 x + 9 x -6 x + 10), что идентично исходному многочлену .

Шаг 2. Сколько корней?

Многочлен степени n будет иметь n корней, некоторые из которых могут быть множественные корни.

Как узнать, что это правда? В Основная теорема алгебры говорит вам, что многочлен имеет хотя бы один корень. Теорема о факторах говорит вам, что если r является корнем, тогда ( x — r ) является множителем. Но если разделить многочлен степени n на множитель ( x — r ), степень которого равна 1, вы получите полином степени n −1.Неоднократно применяя Фундаментальную Теорема и теорема о множителях дают вам n корней и n факторов.

Правило знаков Декарта

Правило знаков Декарта может сказать вам, сколько положительных и сколько отрицательных действительных нулей многочлен. Это большое трудосберегающее устройство, особенно когда вы решаете, какой возможные рациональные корни, которые нужно искать.

Чтобы применить Правило знаков Декарта, вам необходимо понимать термин изменение знака .Когда многочлен расположен в стандартная форма, вариация в Знак возникает, когда знак коэффициента отличается от знака предыдущего коэффициента. (Нулевой коэффициент игнорируется.) Для пример,

p ( x ) = x ⁵ — 2 x ³ + 2 x ² — 3 x + 12

имеет четыре варианта знака.

Правило знаков Декарта:

• Число положительных корней из p ( x ) = 0 либо равно количество вариаций знака p ( x ), или меньше, чем на четное номер.
• Число отрицательных корней из p ( x ) = 0 либо равно количество вариаций знака p (- x ), или меньше, чем на четное номер.

Пример: рассмотрим p ( x ) выше. Поскольку у него четыре варианта в знаке должно быть либо четыре положительных корня, либо два положительных корня, или нет положительных корней.

Теперь сформируйте p (- x ), заменив x на (- x ) в выше:

p (- x ) = (- x ) ⁵ — 2 (- x ) ³ + 2 (- x ) ² — 3 (- x ) + 12

p (- x ) = — x ⁵ + 2 x ³ + 2 x ² + 3 x + 12

p (- x ) имеет один вариант знака, поэтому оригинал p ( x ) имеет один негатив корень.Поскольку вы знаете, что p ( x ) должен иметь отрицательный корень, но он может или может не иметь положительных корней, сначала ищите отрицательные корнеплоды.

p ( x ) — полином пятой степени, поэтому он должен иметь пять нулей. Поскольку x не является множителем, вы знаете, что x = 0 не является нуль полинома. (Для полинома с действительными коэффициентами, например в этом случае комплексные корни встречаются парами.) Следовательно, есть три возможности:

Сложные корни

Если полином имеет действительных коэффициентов , то либо все корни настоящие или есть четное число невещественных комплексных корней в сопряженных парах .

Например, если 5 + 2i является нулем многочлена с вещественными коэффициентов, то 5−2i также должен быть нулем этого многочлена. Также верно и то, что если ( x −5−2i) является множителем, то ( x −5 + 2i) также является фактором.

Почему это правда? Потому что, когда у вас есть фактор с воображаемым часть и умножьте ее на комплексное сопряжение, вы получите реальную результат:

( x −5−2i) ( x −5 + 2i) = x −10 x + 25−4i = х −10 х +29

Если ( x −5−2i) было фактором, но ( x −5 + 2i) не было, тогда многочлен будет иметь воображение в его коэффициентах, независимо от других факторов возможно.Если многочлен имеет только действительные коэффициентов, то любые комплексные корни должны входить в сопряженные пары.

Иррациональные корни

По тем же причинам, если многочлен имеет рациональных коэффициентов то иррациональные корни, содержащие квадратный корни встречаются (если вообще встречаются) в сопряженных парах. Если ( x −2 + √3) является множителем многочлена с рациональными коэффициентов, то ( x −2 − √3) также должно быть фактор. Чтобы понять почему, вспомните, как вы рационализируете бином знаменатель; или просто проверьте, что происходит, когда вы умножаете эти два факторы.(1/3) и два сложные корни.

Интересная проблема, нет ли иррациональности с четными корнями порядка ≥4 также должны встречаться в сопряженных пары. У меня нет немедленного ответа. Я работаю над доказательство, как я успеваю.

Множественные корни

Когда данный множитель ( x — r ) встречается m раз в полиноме, r равно называется кратным корнем или корнем с кратностью м .

• Если кратность м — четное число, график касается Ось x при x = r , но не пересекает ее.
• Если кратность m — нечетное число, график пересекает Ось x при x = r . Если кратность 3, 5, 7 и т. Д., График горизонтально в точке пересечения оси.

Примеры: сравните эти два многочлена и их графики:

f ( x ) = ( x −1) ( x −4) ² = x ³ — 9 x ² + 24 х — 16

г ( x ) = ( x −1) ³ ( x −4) ² = x ⁵ -11 x ⁴ + 43 x ³ — 73 x ² + 56 x — 16

Эти многочлены имеют одинаковые нули, но корень 1 встречается с разной кратностью.Посмотрите на графики:

Оба полинома имеют нули только в точках 1 и 4. f ( x ) имеет степень 3, что означает три корня. Из факторов видно, что 1 является корнем кратность 1 и 4 является корнем из кратности 2. Следовательно, граф пересекает ось в точке x = 1 (но не горизонтально там) и касается в точке х = 4 без пересечения.

Напротив, г ( x ) имеет степень 5. ( г ( x ) = f ( x ) раз ( x −1) ² .) Из пяти корней 1 встречается с кратность 3: график пересекает ось при x = 1 и является горизонтальным там; 4 встречается с кратностью 2, и график касается ось при x = 4 без пересечения.

Шаг 3. Квадратичные множители

Когда у вас есть квадратичные множители (Ax + Bx + C), он может или не может можно будет их дополнительно проанализировать.

Иногда вы можете просто увидеть факторы, как в случае с x — x −6 = ( x +2) ( x −3).В других случаях не так очевидно, квадратичный можно разложить на множители. Вот когда квадратная формула (показан справа) ваш друг.

Например, предположим, что у вас есть коэффициент 12 x — x −35. Можно ли это еще раз проанализировать? Судом и ошибка вам придется перепробовать много комбинаций! Вместо этого используйте факт что коэффициенты соответствуют корням , и примените формулу к найти корни из 12 x — x −35 = 0, например:

x = [- (- 1) √1 — 4 (12) (- 35)] / 2 (12)

x = [1 √1681] / 24

√1681 = 41, следовательно,

x = [1 41] / 24

x = 42/24 или -40/24

x = 7/4 или -5/3

Если 7/4 и −5/3 — корни, то ( x −7/4) и ( x +5/3) факторы.Следовательно,

12 x — x −35 = (4 x −7) (3 x +5)

А как насчет x −5 x +7? Этот выглядит как лучший, но как ты можешь быть уверен? Снова применим формулу:

x = [- (- 5) √25 — 4 (1) (7)] / 2 (1)

x = [5 √ − 3] / 2

Что с этим делать, зависит от исходной проблемы. Если это должен был разложить на множители действительные числа, тогда x −5 x +7 простое число.Но если этот фактор был частью уравнения, и вы должны были найти все сложные корни, у вас их два:

x = 5/2 + (√3 / 2) i, x = 5/2 — (√3 / 2) i

Поскольку исходное уравнение имело действительные коэффициенты, эти сложные корни встречаются в сопряженной паре.

Шаг 4. Найдите один фактор или корень

Этот шаг является сердцем факторизации многочлена или решения полиномиальное уравнение. Есть много методов, которые могут вам помочь найти фактор.

Иногда можно найти факторы путем осмотра (см. Первые два следующие разделы). Это отличный способ быстрого доступа, поэтому проверьте легкие факторы, прежде чем начинать более напряженные методы.

Мономиальные множители

Всегда начинайте с поиска любых мономиальных множителей, которые вы видите. Например, если ваша функция

f ( x ) = 4 x ⁶ + 12 x ⁵ + 12 x ⁴ + 4 x ³

, вы должны немедленно разложить его на

f ( x ) = 4 x ³ ( x ³ + 3 x ² + 3 x + 1)

Получение 4 из оттуда упрощает оставшиеся числа, x ³ дает вам корень x = 0 (с кратностью 3), и теперь у вас есть только кубический многочлен (степени 3) вместо sextic (степень 6).Фактически, теперь вы должны распознать эту кубику как особый продукт, идеальный куб ( x +1) ³ .

Когда вы вычитаете общий переменный множитель, убедитесь, что вы помните об этом в конце, когда перечисляете фактор или корни. x +3 x +3 x +1 = 0 имеет определенные корни, но x ( x +3 x +3 x +1) = 0 имеет те же корни и также корень при x = 0 (с кратностью 3).

Особые продукты

Будьте внимательны к применению специальных продуктов .Если вы сможете применить их, ваша задача станет намного проще. Специальный Продукты

• полный квадрат (2 формы): A 2 A B + B = ( A B )
• сумма квадратов: A + B нельзя разложить на множители на действительные числа, как правило (для исключительных случаев см. Как разложить на множители сумму квадратов)
• разность квадратов: A — B = ( A + B ) ( A — B )
• идеальный куб (2 формы): A 3 A B + 3 A B B = ( A B )
• сумма кубов: A + B = ( A + B ) ( A — A B + B )
• разность кубов: A — B = ( A — B ) ( A + A B + B )

Выражения для суммы или разности двух кубов выглядят так: хотя они должны учитывать дополнительные факторы, но они этого не делают. A A B + B является простым над реалами.

Рассмотрим

p ( x ) = 27 x — 64

Вы должны узнать это как

p ( x ) = (3 x ) — 4

Вы умеете множить разницу двух кубов:

p ( x ) = (3 x −4) (9 x +12 x +16)

Бинго! Как только вы дойдете до квадратичной, вы можете применить Квадратичная формула, и все готово.

Вот другой пример:

q ( x ) = x ⁶ + 16 x ³ + 64

Это просто идеальный квадратный трехчлен, но вместо x ³ х . Вы учитываете это точно так же:

q ( x ) = ( x ³ ) ² + 2 (8) ( x ³ ) + 8 ²

q ( x ) = ( x ³ + 8) ²

И вы можете легко разложить ( x ³ +8) ² как ( x +2) ² ( x ² −2 x +4) ² .

Рациональные корни

Предполагая, что вы уже учли легкое мономиальные факторы и специальные продукты, что вы будете делать, если у вас все еще есть многочлен степени 3 или выше?

Ответ — Rational Root Test . Он может показать вам некоторые корни кандидатов когда вы не видите, как разложить полином на множители, как показано ниже.

Рассмотрим многочлен стандартной формы, записанный с высшей степени. до самого низкого и всего с целочисленными коэффициентами :

f ( x ) = a _n x ⁿ +… + a _o

Теорема о рациональном корне говорит вам, что , если многочлен имеет рациональный нуль , затем , это должна быть дробь p / q , где p — коэффициент концевой константы a _o и q — множитель старшего коэффициента a _n .

Пример:

p ( x ) = 2 x ⁴ — 11 x ³ — 6 x ² + 64 x + 32

Коэффициенты старшего коэффициента (2) равны 2 и 1.В коэффициенты постоянного члена (32) равны 1, 2, 4, 8, 16 и 32. Следовательно, возможные рациональные нули: 1, 2, 4, 8, 16 или 32 разделить на 2 или 1:

любой из 1/2, 1/1, 2/2, 2/1, 4/2, 4/1, 8/2, 8/1, 16/2, 16/1, 32/2, 32/1

уменьшенный: любой из, 1, 2, 4, 8, 16, 32

Что мы имеем в виду, когда говорим, что это список всех возможных рациональных корней ? Мы имеем в виду, что никакое другое рациональное число, как или 32/7, может быть нулем этого конкретного многочлена.

Осторожно : Не делайте Rational Root Test больше, чем есть.Это не означает, что рациональные числа являются корнями , просто что никакие другие рациональные числа не могут быть корнями. И это не говорит вы что-нибудь о том, какие иррациональные или даже сложные корни существовать. Rational Root Test — это только отправная точка.

Предположим, у вас есть многочлен с нецелыми коэффициентами. Вы застряли? Нет, вы можете исключить наименее распространенные знаменатель (LCD) и получите многочлен с целыми коэффициентами, которые способ. Пример:

(1/2) x — (3/2) x + (2/3) x — 1/2

ЖК-дисплей 1/6.Выносим за скобки 1/6 получаем многочлен

(1/6) (3 x — 9 x + 4 x — 3)

Две формы эквивалентны, и поэтому имеют одинаковые корнеплоды. Но вы не можете применить Rational Root Test к первой форме, только ко второму. Тест говорит вам, что единственно возможное рациональное корни — любые из 1/3, 1, 3.

После того, как вы определили возможных рациональных нулей, как вы можете их проверить? Метод грубой силы заключался бы в том, чтобы взять каждый возможное значение и замените его на x в полиноме: если результат равен нулю, тогда это число является корнем.Но есть лучше способ.

Используйте Synthetic Division, чтобы узнать, кандидат делает полином равным нулю. Это лучше на троих причины. Во-первых, это проще в вычислительном отношении, потому что вам не нужно вычислить высшие степени чисел. Во-вторых, в то же время он сообщает независимо от того, является ли данное число корнем, он производит сокращенный многочлен , который вы будете использовать, чтобы найти оставшийся корнеплоды. Наконец, результаты синтетического деления могут дать вам верхняя или нижняя граница, даже если число тестирование оказывается не рутом.

Иногда правило знаков Декарта может поможет вам в дальнейшем выявить возможные рациональные корни. Например, Rational Root Test сообщает, что если

q ( x ) = 2 x ⁴ + 13 x ³ + 20 x ² + 28 x + 8

имеет какие-то рациональные корни, они должны быть из списка любой из, 1, 2, 4, 8. Но не начинайте с замены или синтетическое разделение. Поскольку нет изменений знака, нет положительные корни.Есть ли отрицательные корни?

q (- x ) = 2 x ⁴ -13 x ³ + 20 x ² -28 x + 8

имеет четыре смены знака. Следовательно, может быть целых четыре отрицательные корни. (Также может быть два отрицательных корня или ни одного.) Нет гарантии, что какой-либо из корней является рациональным, но любой корень рациональное должно происходить из списка -, −1, −2, −4, −8.

(Если у вас графического калькулятора, вы можете предварительно просмотреть рациональные корни, построив график полином и увидеть, где он, кажется, пересекает ось x .Но ты по-прежнему необходимо проверить корень алгебраически, чтобы увидеть, что f ( x ) там ровно 0, а не почти 0.)

Помните, Rational Root Test гарантирует нахождение всех рациональных корней. Но он полностью упустит настоящие корни, которых нет. рациональные, как корни x −2 = 0, которые √2, или корни из x + 4 = 0, которые 2i.

Наконец, помните, что Rational Root Test работает, только если все коэффициенты — целые числа.Посмотрите еще раз на эту функцию, которая На графике справа:

p ( x ) = 2 x ⁴ — 11 x ³ — 6 x ² + 64 x + 32

Теорема о рациональном корне говорит вам, что единственно возможный рациональный нули — это 1, 2, 4, 8, 16, 32. Но предположим, что вы вычтите 2 (как я когда-то сделал в классе), написав эквивалент функция

p ( x ) = 2 ( x ⁴ — (11/2) x ³ — 3 x ² + 32 x + 16)

Эта функция аналогична предыдущей, но вы не можете дольше применять Rational Root Test, потому что коэффициенты не целые числа.По сути — это ноль р ( х ), но это не так. появляются, когда я (незаконно) применил Rational Root Test к вторая форма. Моя ошибка заключалась в том, что я забыл, что применима теорема о рациональном корне. только когда все коэффициентов многочлена равны целые числа.

Графические подсказки

Построение графика функции вручную или с помощью графика Вы можете понять, где находятся корни, примерно, и сколько существует настоящих корней.

Пример: Если Rational Root Test говорит вам, что 2 возможных рациональных корня, вы можете посмотреть на график, чтобы увидеть, пересекает ли он (или касается) оси x в точках 2 или −2.Если да, используйте синтетическое деление, чтобы убедитесь, что предполагаемый корень на самом деле является корнем. Да ты всегда нужно проверить по графику, вы никогда не можете быть уверены является ли точка пересечения на ваш возможный рациональный корень или просто около это.

Границы корней

Некоторые методы не сообщают вам конкретное значение корня, но скорее, что корень существует между двумя значениями или что все корни меньше определенного числа больше определенного числа. Этот помогает сузить область поиска.

Теорема о промежуточном значении

Эта теорема говорит вам, что если график многочлена находится выше ось x для одного значения x и ниже оси x для другое значение x , оно должно пересекать ось x где-то посередине. (Если вы можете построить график функции, пересечения обычно будет очевидным.)

Пример:

p ( x ) = 3 x + 4 x -20 x −32

Рациональные корни (если есть) должны быть из списка любой из 1/3, 2/3, 1, 4/3, 2, 8/3, 4, 16/3, 8, 32/3, 16, 32.Естественно, сначала вы посмотрите на целые числа, потому что арифметика Полегче. Пробуя синтетическое деление, вы найти p (1) = −45, p (2) = −22 и p (4) = 144. Поскольку p (2) и p (4) имеют противоположные знаки, вы знайте, что график пересекает ось между x = 2 и x = 4, поэтому хотя бы один корень между этими числами. Другими словами, либо 8/3 — это корень или корень от 2 до 4 иррациональны. (По факту, синтетическое деление показывает, что 8/3 — это корень.)

Теорема о промежуточном значении может сказать вам, где находится root, но он не может сказать вам, где нет root. Например, считать

q ( x ) = 4 x -16 x + 15

q (1) и q (3) оба положительны, но это вам не говорит может ли график касаться или пересекать ось между ними. (Это на самом деле дважды пересекает ось, при x = 3/2 и х = 5/2.)

Верхняя и нижняя границы

Одним из побочных эффектов синтетического деления является что даже если число, которое вы тестируете, окажется не корневым, оно может сказать вам, что все корни меньше или больше этого номер:

• Если вы выполните синтетическое деление на положительное число a , и каждые число в нижней строке положительное или нулевое, тогда a — верхняя граница для корней, что означает, что все действительные корни ≤ — .
• Если вы делаете синтетическое деление на отрицательное число b , а числа в нижнем ряду чередуются знак, тогда b — это нижняя граница для корней, что означает, что все действительные корни ≥ b .

  Что делать, если нижняя строка содержит нули? Более полный Утверждение состоит в том, что чередуются неотрицательные и неположительные знаки , после синтетического деления на отрицательное число показать нижнюю границу корень. Следующие два примера поясняют это.

(Кстати, правило для нижних оценок следует из правила для верхних оценок. Нижние пределы корней p ( x ) равны верхним пределам корни p (- x ), и деление на (- x + r ) такое же, как деление на — ( x — r ).)

Пример:

q ( x ) = x ³ + 2 x ² — 3 x — 4

Использование Rational Root Тест, вы определяете единственно возможные рациональные корни как 4, 2 и 1.Вы решаете попробовать −2 как возможный корень, и вы тестируете его с синтетическим делением:

        -2 | 1 2 -3-4
            | -2 0 6
            | ------------------
               1 0–3 2 

−2 не является корнем уравнения f ( x ) = 0. В третьей строке чередуются знаки, и вы делили на отрицательное число; однако этот ноль все портит. Напомним, что у вас есть нижняя граница, только если знаки в нижнем ряду чередовать неположительный и неотрицательный.1 положительный (неотрицательный), и 0 может считаться неположительным, но −3 не считается неотрицательным. Чередование битая, а ты не знаешь есть ли корни меньше -2. (Фактически, графический или численные методы покажут корень около -2,5.) Следовательно, вам нужно попробовать нижний возможный рациональный корень, −4:

        -4 | 1 2 -3-4
            | -4 8-20
            | ------------------
               1–2 5–24 

Здесь знаки чередуются; поэтому вы знаете, что нет корни ниже −4.(Остаток −24 показывает, что −4 сам по себе не является корнем.)

Вот другой пример:

r ( x ) = x + 3 x — 3

Rational Root Test сообщает вам что возможные рациональные корни — 1 и 3. С синтетическим деление на −3:

        -3 | 1 3 0-3
            | -3 0 0
            | ------------------
               1 0 0-3 

−3 не является корнем, но знаки здесь чередуются, так как первый 0 считается неположительным, а второй — неотрицательным.Следовательно, −3 — это нижняя граница корней, а это означает, что уравнение не имеет вещественных корней ниже −3.

Коэффициенты и корни

Существует интересная взаимосвязь между коэффициентами многочлен и его нули. Я упоминаю об этом в последнюю очередь, потому что это больше подходит для формирования многочлена, который имеет нули с желаемыми свойствами, вместо нахождения нулей существующего многочлена. Однако если вы знать все корни многочлена, кроме одного или двух, вы можете легко использовать это техника, чтобы найти оставшийся корень.

Рассмотрим многочлен

f ( x ) = a _n x ⁿ + а _{n −1} x ^{n −1} + a _{n −2} x ^{n −2} + … + а ₂ x ² + а ₁ х + а _или

Существуют следующие отношения:

• — a _{n −1} a _n = сумма всех корней
• + a _{n − 2} a _n = сумма произведений корней взяты по два за раз
• — a _{n −3} a _n = сумма произведений корней взято по три за раз
• и так далее, пока
• (−1) ⁿ a ₀ a _n = произведение всех корней

Пример: f ( x ) = x ³ — 6 x ² — 7 x — 8 имеет степень 3 и, следовательно, не более трех действительных нулей.Если записываем действительные нули как r ₁ , r ₂ , r ₃ , тогда сумма корней равна r ₁ + r ₂ + r ₃ = — (- 6) = 6; в сумма произведений корней, взятых по два за раз, равна r ₁ r ₂ + r ₁ r ₃ + r ₂ r ₃ = −7, а произведение корней равно r ₁ r ₂ r ₃ = (-1) ³ (-8) = 8.

Пример: Учитывая, что многочлен

г ( x ) = x ⁵ — 11 x ⁴ + 43 x ³ — 73 x ² + 56 x — 16

имеет тройной корень x = 1, найдите два других корня.

Решение: Пусть два других корня будут c и d . Тогда вы знаете, что сумма всех корней равна 1 + 1 + 1 + c + d = — (- 11) = 11, или c + d = 8.Ты также знайте, что продукт всех корней 111 c d = (−1) ⁵ (−16) = 16, или c d = 16. c + d = 8, c d = 16; поэтому c = d = 4, поэтому оставшиеся корни представляют собой двойной корень с размером x = 4.

Дополнительные коэффициенты и корни

Есть еще несколько теорем о соотношении между коэффициентами и корнями. Статья в Википедии Свойства корней полиномов дает хорошее, хотя и несколько краткое резюме.

Шаг 5. Разделите на множитель

Помните, что r является корнем тогда и только тогда, когда x — r является множителем; это факторная теорема. Так что если ты хочешь чтобы проверить, является ли r корнем, вы можете разделить многочлен на x — r и посмотрите, выходит ли ровным (остаток от 0). Элизабет Стапель имеет хороший пример деления многочленов делением в столбик.

Но делать синтетическое деление проще и быстрее.Если твой синтетическое деление немного заржавело, вы можете взглянуть на Dr. Математика короткая Учебное пособие по Synthetic Division; если вам нужен более длинный учебник, Элизабет Стейплс Синтетический дивизион отличный. (У доктора Мата также есть страница о почему работает Synthetic Division.)

Синтетическое подразделение также имеет некоторые побочные преимущества. Если вы подозреваете корень на самом деле является корнем, синтетическое деление дает вам приведенный многочлен . А иногда и тебе везет, и синтетическое деление показывает вам верхнюю или нижнюю привязаны к корням.

Вы можете использовать синтетическое деление при делении на бином вида x — r для константы r . Если вы делите на x −3, вы проверяете, является ли 3 корнем, и вы синтетическое деление на 3 (не на −3). Если вы делите на x +11, вы тестируете является ли −11 корнем, и вы синтетически делите на −11 (не 11).

Пример:

p ( x ) = 4 x ⁴ — 35 x ² — 9

Вы подозреваете, что x −3 может быть фактором, и проверяете это с помощью синтетическое деление, например:

        3 | 4 0-35 0-9
           | 12 36 3 9
           | --------------------
              4 12 1 3 0 

Поскольку остаток равен 0, вы знаете, что 3 является корнем p ( x ) = 0, а x −3 является множителем p ( x ).Но ты знаешь более. Поскольку 3 положительно и нижняя строка синтетического деления все положительные или нулевые, вы знаете, что все корни p ( x ) = 0 должно быть ≤ 3. И вы также знаете что

p ( x ) = ( x −3) (4 x ³ + 12 x ² + x + 3)

4 x ³ + 12 x ² + x + 3 — это приведенный полином .Все его факторы также коэффициентов исходного p ( x ), но его степень на единицу ниже , поэтому его с ним легче работать.

Шаг 6. Численные методы

Когда у вашего уравнения больше нет рациональных корней (или ваша многочлен не имеет более рациональных множителей) можно перейти к числовым методы нахождения приблизительного значения иррациональных корней:

• Статья в Википедии Алгоритм поиска корней имеет достойное резюме с указателями на конкретные методы.
• Многие графические калькуляторы имеют Команда Root или Zero, которая поможет вам найти приблизительные корни. Например, на TI-83 или TI-84 вы график функцию, а затем выберите [2nd] [Calc] [zero].

Полный пример

Решить для всех сложных корней:

4 x + 15 x — 36 = 0

Шаг 1. Уравнение уже в стандартной форме, с только ноль с одной стороны и степени x от наибольшего к наименьшему.Там нет общих факторов.

Шаг 2. Поскольку уравнение имеет степень 3, будет 3 корнеплоды. Есть одна вариация знака, а от Правило знаков Декарта, которое, как вы знаете, должно быть одним положительным корнем. Изучите многочлен с заменой — x x :

−4 x -15 x -36

Нет изменений в знаке, а значит, нет отрицательные корни. Следовательно, два других корня должны быть сложными, и конъюгаты друг друга.

Шаги 3 и 4. Возможные рациональные корни к сожалению, довольно много: любые из 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 делится на любое из 4, 2, 1. (перечислены только положительные корни, потому что вы уже определили, что для этого нет отрицательных корней уравнение.) Вы решаете сначала попробовать 1:

        1 | 4 0 15 -36
           | 4 4 19
           | -----------------
              4 4 19-17 

1 не является корнем, поэтому вы проверяете 2:

        2 | 4 0 15 -36
           | 8 16 62
           | -----------------
              4 8 31 26 

Увы, 2 тоже не рут.Но обратите внимание, что f (1) = −17 и f (2) = 26. У них противоположные знаки, что означает, что график пересекает ось x между x = 1 и x = 2, а корень находится между 1 и 2. (В данном случае это единственный root, поскольку вы определили, что существует один положительный корень и нет отрицательных корней.)

Единственно возможный рациональный корень между 1 и 2 — 3/2, и следовательно, либо 3/2 является корнем, либо корень иррационален. Вы пытаетесь 3/2 по синтетическому разделению:

        3/2 | 4 0 15 -36
             | 6 9 36
             | -----------------
                4 6 24 0 

Ура! 3/2 — это корень.Приведенный полином равен 4 x + 6 x + 24. Другими словами,

(4 x + 15 x — 36) ( х −3/2) = 4 х + 6 х + 24

Приведенный многочлен имеет степень 2, так что нет необходимости в большем методом проб и ошибок, и вы переходите к шагу 5.

Шаг 5. Теперь вы должны решить

4 x + 6 x + 24 = 0

Сначала разделите общий делитель 2:

2 x + 3 x + 12 = 0

Нет смысла пытаться множить этот квадратичный коэффициент, потому что вы определили, используя Правило знаков Декарта, что больше нет настоящие корни.Итак, вы используете квадратичный формула:

x = [−3 √9 — 4 (2) (12)] / 2 (2)

x = [−3 √ − 87] / 4

x = −3/4 (√87 / 4) i

Шаг 6. Помните, что вы нашли корень в более ранний шаг! Полный список корней —

3/2, −3/4 + (√87 / 4) я, −3/4 — (√87 / 4) я

Что нового

• 19 октября 2020 г. : преобразовано в HTML5. Переменные, выделенные курсивом и имена функций; выделил мнимое i.
• 3 ноя 2018 : Некоторые изменения форматирования для ясности, особенно с радикалами. Здесь отметили, что 0 является тройным корнем в этом примере.
• (промежуточные изменения подавлены)
• 15 февраля 2002 г. : первая публикация.

Калькулятор преобразования кубического корня

$ \ epsilon = 8 $ — это слишком большая тень, но намного ближе, чем $ \ epsilon = 7 $, поэтому ответ — оттенок ниже 378. Если бы мы хотели продолжить, мы могли бы взять $ \ epsilon = 8 $ и вычислим величину, на которую квадратный корень должен быть меньше 378, или мы могли бы взять $ \ epsilon = 7 $ и вычислить величину, на которую квадратный корень должен превышать 377.

Квадратный корень из 3 равен. То, что 5 — это. И особенно квадратный корень из 1. Другими словами, равно. знак равно Точно так же, поскольку куб степени будет показателем степени, умноженным на 3 (куб из n равен 3n), кубический корень из степени будет показателем степени, деленным на 3. Кубический корень из 6 равен 2; что из 2 — это а. И …

Чтобы извлечь кубический корень с помощью SPSS, просто возведите переменную в степень 1/3. В коде это будет выглядеть так: wkincome **. 333 Я полагаю, что коды преобразования указаны на стр.(1/3) используется, чтобы найти кубический корень 216, который равен 6. Вычислить корни мнимых чисел.

Онлайн-калькулятор — это простое веб-приложение, которое позволяет выполнять расширенные вычисления, строить двухмерные и трехмерные графики и выполнять символьные вычисления, такие как дифференцирование. Введите функции в стандартной математической записи, используя x как независимую переменную.

28 января 2016 г. · Графики сдвига функций квадратного корня. Построить график функций квадратного корня с помощью графического калькулятора. Решайте реальные проблемы, используя функции извлечения квадратного корня.Вступление. В этой главе вы узнаете о другом виде функции, называемой функцией извлечения квадратного корня. Вы заметили, что извлечение квадратного корня очень полезно при решении квадратичных …

19 ноября 2018 г. · Чтобы получить кубический корень в графических калькуляторах серии TI-83, у вас есть несколько вариантов. Уравнения для нахождения куба или кубического корня из любого числа просты. Когда вы нажимаете все правильные клавиши для выполнения уравнения, калькулятор TI-83 мгновенно генерирует ответ.

Разделение растений — Могу ли я разделить растение?

Разделение растений включает выкапывание растений и разделение их на две или более секции. Это обычная практика, которую проводят садоводы, чтобы сохранить растения здоровыми и создать дополнительный запас. Давайте посмотрим, как и когда делить растения.

Могу ли я разделить растение?

Не знаете, как ответить на вопрос: «Могу ли я разделить растение?» Поскольку деление растений включает в себя расщепление или разделение кроны и корневого комка, его использование должно быть ограничено растениями, которые распространяются от центральной кроны и имеют привычку к комковатому росту.

Подходящими кандидатами для разделения являются многочисленные виды многолетних растений и луковиц. Однако растения с стержневыми корнями обычно размножают черенками или семенами, а не дроблением.

Когда делить садовые растения

Когда и как часто делят растение, зависит от типа растения и климата, в котором оно выращивается. Как правило, большинство заводов разделяют каждые три-пять лет или когда они становятся переполненными.

Большинство растений делятся ранней весной или осенью; однако некоторые растения можно разделить в любое время, например лилейники.Обычно весной и летом цветущие растения разделяются осенью, а остальные — весной, но это не всегда так.

Шпаргалка, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

В этом примере разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для примера начертим единичный отрезок и разделим его на девять частей.

Вычислим выражение

Отметим три части на отрезке, это и будет

Затем отметим еще две части на отрезке, это будет

Запишем полное решение

Откуда получился ответ пять девятых?

1. Мы взяли отрезок и разделили его на девять частей.
2. Отметили на отрезке три части и получили дробь три девятых.
3. Затем отметили на отрезке еще две части и получили дробь две девятых.
4. Прибавляем к трем частям еще две. Получаем ответ пять девятых.

Вычитание дробей с общим знаменателем.

Вычитание дробей происходит очень просто, так же как и сложение. Рассмотрим выражение дробей:

Как получит правила вычитания? Необходимо знаменатель оставить тот же а из числителя уменьшаемого, вычесть числитель вычитаемого. Семь минус четыре равняется три девятых.

При вычитании дробей с одинаковым числителем и знаменателем ответ всегда будет «0» .

Шпаргалка, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Запишем выражение:

Как видим в данном выражении разные знаменатели. Сначала на нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого нам нужно до множить эти дроби на какие то числа и числитель и знаменатель так, чтобы в результате мы получили в знаменателе обоих дробей одно и тоже число.

Если дробь одну третью до множить на 2 и числитель и знаменатель, мы получим результат две шестых.

Пример: Дробь две шестых будет равняться дроби одной третьей

Теперь знаменатель у наших дробей одинаковый. Берем дробь одну шестую и прибавляем две шестых. Складываем числители: 1 + 2 = 3, знаменатель остается тот же.

Пример:

Полученный результат необходимо сократитьРезультат три шестых необходимо разделить на максимальное делимое число, в нашем случае это три.

Запишем решение полностью

Ответ:

Вычитание дробей с разными знаменателями происходит так же как и сложение, сначала приводим дроби к общему знаменателю методом до множить. Когда знаменатели у нас одинаковые, отнимаем числители а знаменатель остается тот же.

Решить дроби в онлайн калькуляторе

Умножение простых дробей

Решить дроби в онлайн калькуляторе

Умножить натуральное число на простую дробь или простую дробь умножить на натуральное число.

Тут все очень просто, чтобы умножить натуральное число на простую дробь, нужно натуральное число умножить на числитель а знаменатель перенести.

Пример:

Таким же способом происходит умножение дроби на натуральное число.

ДУМАЮ НЕТ СМЫСЛА ДАЛЬШЕ ПРИВОДИТЬ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ДРОБЕЙ, ТАК КАК НАШ ОНЛАЙН КАЛЬКУЛЯТОР В НАЧАЛЕ СТРАНИЦЫ, РЕШАЕТ ЛЮБЫЕ ДРОБИ С ПОДРОБНЫМ РАЗЪЯСНЕНИЕМ В АВТОМАТИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ.

Поделитесь пожалуйста в соцсетях!

Учимся решать дроби в онлайн калькуляторе

В этом материале рассмотрим, каким образом применяя онлайн-калькулятор узнать, как решать дроби.

Беседа пойдет о калькуляторе дробей
http://reshit.ru/Kalkulyator-drobey-onlayn-s-resheniem

Этот калькулятор дает возможность решить стандартные операции с двумя дробями.Благодаря калькулятору возможно суммировать, отнимать, делить и множить дроби.
Результат выходит в форме компактного изображения, на котором ясно указано всё решение.
Приведем к рассмотрению стандартные варианты вычисления дробей, применяя этот онлайн-калькулятор попытаемся написать в него 2 дроби разъеденив их соответствующим знаком
Берем например 2/3 и 3/7.

• Для умножения вставляем между ними *
• Для деления ÷
• Для суммирования + и — для того чтобы отнять.

Калькулятор покажет нам результат в изображениях.

Как вы заметили, чтобы прибавить дроби нужно всего лишь перемножить знаменатели и числители.
Чтобы разделить две дроби, требуется умножить одну дробь, на другую перевернутую.
Для прибавления или вычитания требуется всего-лишь привести дроби к одному знаменателю и провести нужные операции с числителями.

И что в результате нужно сделать-это прибавить или отнять числители приведенных к одному знаменателю дробей.

Сложнейшие дроби, с целой частью, неположительные , случаи в которых у вас 3 и больше имеют решение.Нужно разделить этот более лёгкий пример на лёгкие операции с 2 дробями, и вы тоже будете иметь возможность сосчитать их на калькуляторе.

Например, у вас задача из сложения 3-ех дробей.Изначально суммируйте 2, а затем сложите к ней 3, чтобы получить результат.

Если дробь имеет целую часть, достаточно занести ее в дробное выражение, умножьте знаменатель на целую часть и добавьте умноженное к числителю.
Отрицательные дробные выражения вычисляются так как и простые.Если вы умеете вычитать, прибавлять, делить, умножать отрицательные, целочисленные выражения, то с дробями те же знаковые законы.

Но даже, если исследовав систему калькулятора, вы не совсем уловили смысл, то можете посмотреть ролик, в котором суть вычисления дробей показана на яблоках.

После изучения теории, закрепите полученные знания практикой.Вычислите несколько выражений самостоятельно, затем сверьтесь с онлайн-калькулятором. Несколько примеров вполне подойдет.

Знать как вычисляются дроби, очень нужно, так как они часто попадаются в заданиях университета, старшей школы, да и в жизни.
Они легки и изучаются с 3-5 класса, затем часто используются в дальнейшем.Усвоив суть их решения, вы навсегда запомните и вряд ли разучитесь их решать.

Но если вы и забудете, на помощь всегда придет онлайн-калькулятор дробей и напомнит умения и знания.
На этом можно завершить обзор онлайн-дробей.
Также кроме этих знаний на сайте, вы можете найти таблицу производных, онлайн-калькулятор вычисляющий квадратные уравнения (http://reshit.ru/reshit-kvadratnoe-uravnenie-onlain) и другие сервисы и материалы.

Онлайн калькулятор дробей с решением

Обыкновенная дробь — это способ представления рациональных чисел. На деле дробные числа используются для работы с частями целого, поэтому находят широкое применение не только в чистой математике или прикладных науках, но и в повседневной жизни.

Что такое дробь

Простая дробь — это рациональное число, в числителе которого стоит натуральное число, а в знаменателе — целое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби: 1/2, 2/3 или 22/7 — все это рациональные числа. Иррациональные объекты, такие как квадратные корни, числа Пи, е или фи нельзя выразить в виде отношения двух чисел, так как эти числа бесконечные и непериодические.

Виды дробей

Дробное число, у которого по модулям числитель меньше знаменателя, называется правильным. К таким математическим объектам относятся правильные дроби 1/3, 5/8 иди 14/27. Если по модулям числитель больше знаменателя, то дробь считается неправильной. Например, 22/7 — неправильная дробь. Неправильные дроби удобны для проведения вычислений, однако сложны для восприятия. Именно поэтому после арифметических операций с дробями правила хорошего тона требуют преобразования неправильных дробей в смешанные.

Смешанная дробь — это представление рационального числа в виде целой и дробной части. То же число 22/7 можно представить в виде 3 + 1/7, что гораздо проще для восприятия. Кроме того, существуют составные и цепные дроби, которые представляют собой «многоэтажные» выражения для записи приблизительных значений иррациональных чисел.

Арифметические операции с дробями

Еще в античные времена людям приходилось работать с частями целого. Торговцы и ремесленники постоянно оперировали дробями в своей повседневной деятельности, и хотя древние дроби отличались от современных, смысл был тот же. Рассмотрим основные правила работы с дробными числами.

Сложение и вычитание дробей

Для начала уясним, что одно и то же число можно представить множеством различных дробей. К примеру, очевидно, что число 0,5 — это 1/2. Если прочитать значение 0,5 вслух, мы получим пять десятых и соответствующую дробь — 5/10. Это же число можно записать и как 2/4, 3/6, 9/18 или 50/100 — список можно продолжать бесконечно. Это важное свойство дробей и его понимание необходимо для успешного сложения и вычитания рациональных чисел.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями не требует никаких дополнительных преобразований: для совершения операции достаточно сложить или вычесть числители. Например:

• 1/5 + 2/5 = 3/5;
• 12/17 − 4/17 = 8/17.

Если же у дробей знаменатели разные, требуется привести все члены выражения к общему знаменателю. Для этого используется метод поиска наименьшего общего кратного или разложение знаменателей на множители. Например, если вы хотите сложить или вычесть 1/5, 1/12 и 1/15, то все дроби должны иметь одинаковый знаменатель. Каждую из этих дробей мы можем увеличить на произвольное число, и ее значение при этом не изменится. Так, 1/5 — это все равно, что 2/10, 3/15 или 10/50.

НОК (5, 12, 15) = 60, следовательно, требуется умножить каждую дробь таким образом, чтобы в знаменателе получить 60:

• 1/5 умножим на 12 и получим 12/60;
• 1/12 умножим на 5, что равно 5/60;
• 1/15 умножим на 4 и получим 4/60.

Теперь мы легко можем сложить или вычесть эти числа, оперируя только числителями:

• 12/60 + 5/60 + 4/60 = 21/60;
• 12/60 − 5/60 − 4/60 = 3/60 = 1/20.

Если в задаче требуется сложить или вычесть смешанные дроби, то их необходимо преобразовать в неправильные, после чего привести слагаемые к общему знаменателю и выполнить необходимые расчеты. Например:

2 12/15 + 3 2/30 = 42/15 + 92/30 = 84/30 + 92/30 = 176/30 = 5 26/30 = 5 13/15.

Произведение и деление дробей

С этим все проще. Для произведения дробных чисел не требуется проводить дополнительные преобразования — достаточно выполнить операции между числителями и между знаменателями. Для произведения правильных и неправильных дробей, а также рациональных чисел с разными знаменателями операция умножения осуществляется по формуле:

a/b × c/d = a × c / b × d.

На практике это выглядит следующим образом:

• 1/2 × 1/2 = 1/4;
• 2/3 × 4/5 = 8/15;
• 5/10 × 3/12 = 15/120.

Деление — это действие, обратное умножению. В случае с дробями это определение приобретает буквальный смысл. Если требуется разделить первую дробь на вторую, то достаточно первую умножить на дробь, обратную второй. Математическим языком правило записывается так:

a/b / c/d = a/b × d/c = a × d / b × c.

Рассмотрим численные примеры:

• 1/2 / 1/2 = 1/2 × 2/1 = 2/2 = 1;
• 2/3 / 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6;
• 5/10 / 3/12 = 5/10 × 12/3 = 60/30 = 2.

Наша программа представляет собой полноценный калькулятор для решения дробных выражений. Меню калькулятора предлагает выбор одного из четырех арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), а поля программы рассчитаны на ввод составных или обыкновенных дробей. Результирующую дробь программа автоматически представит в виде правильной дроби с выделением целой части. Интуитивно понятный интерфейс калькулятора позволит вам решать любые примеры на тему арифметических операций с дробными числами.

Заключение

Во время изучения школьного курса математики нам кажется, что полученные знания нам никогда не пригодятся в жизни. Однако операции с дробями мы производим постоянно на интуитивном уровне, даже когда просим в магазине половинку хлеба или 300 грамм сыра, когда готовим пищу или занимаемся сборкой моделей. Дроби пронизывают человеческую реальность, а наша программа позволит вам научиться быстро оперировать частями целого.

Калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов и пр.

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам. Также универсальный калькулятор умеет решать уравнения, неравенства, системы уравнений/неравенств и выражения с логарифмами, вычислять пределы функций, определенные/неопределенные интегралы и производные любого порядка (дифференцирование), производить действия с комплексными числами, калькулятор дробей и пр.

Пояснения к калькулятору

1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
3. ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
4. C — очистить поле ввода.
5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками a^b и √ соответственно.2}(решить неравенство)

   Решение систем уравнений и неравенств

   Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ;.

   Вычисление выражений с логарифмами

   В калькуляторе кнопкой log_e(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: log_e(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$\log_a \left(b\right) = \frac{\log \left(b\right)}{\log \left(a\right)}$$ Например, $$\log_{3} \left(5x-1\right) = \frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}$$

   $$\log _2\left(x\right)=2\log _x\left(2\right)-1$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(2\right)}=2\cdot \frac{\log \left(2\right)}{\log \left(x\right)}-1$$ (найти x в уравнении)

   Вычисление пределов функций

   Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim.

   Решение интегралов

   Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
   ∫ f(x) — для неопределенного интеграла;
   ^b_a∫ f(x) — для определенного интеграла.

   В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

   Вычисление производных

   Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке «x». Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
   f'(x) — производная первого порядка;
   f»(x) — производная второго порядка;
   f»'(x) — производная третьего порядка.
   fⁿ(x) — производная любого n-о порядка.
   

   Действия над комплексными числами

   Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр.). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

   .

   ---

   Калькулятор онлайн для расчетов процентов, дробей, степеней

   
   Калькулятор давно и прочно вошел в нашу жизнь. Мы часто пользуемся им в повседневной жизни подбивая свои расходы за день, неделю, рассчитывая выплату коммунальных за месяц и т.д. С помощью онлайн калькулятора осуществляют простые арифметические расчеты студенты и школьники, продавцы в магазинах, торговцы на рынках, работники коммунальных служб, что позволяет сэкономить время, получить точные расчеты, избежать досадных ошибок.

   Функции онлайн-калькулятора
   Функции онлайн-калькулятора

   Клавиша	Символ	Операция
   pi	pi	Постоянная pi
   е	е	Число Эйлера
   %	%	Процент
   ( )	( )	Открыть/Закрыть скобки
   ,	,	Запятая
   sin	sin (α)	Синус угла
   cos	cos (β)	Косинус
   tan	tan (y)	Тангенс
   sinh	sinh ()	Гиперболический синус
   cosh	cosh ()	Гиперболический косинус
   tanh	tanh ()	Гиперболический тангенс
   sin-1	asin ()	Обратный синус
   cos-1	acos ()	Обратный косинус
   tan-1	atan ()	Обратный тангенс
   sinh-1	asinh ()	Обратный гиперболический синус
   cosh-1	acosh ()	Обратный гиперболический косинус
   tanh-1	atanh ()	Обратный гиперболический тангенс
   x2	^2	Возведение в квадрат
   х3	^3	Возведение в куб
   xy	^	Возведение в степень
   10x	10^()	Возведение в степень по основанию 10
   ex	exp ()	Возведение в степень числа Эйлера
   vx	sqrt (x)	Квадратный корень
   3vx	sqrt3 (x)	Корень 3-ей степени
   yvx	sqrt (x,y)	Извлечение корня
   log2x	log2 (x)	Двоичный логарифм
   log	log (x)	Десятичный логарифм
   ln	ln (x)	Натуральный логарифм
   logyx	log (x,y)	Логарифм
   I / II		Сворачивание/Вызов дополнительных функций
   Unit		Конвертер величин
   Matrix		Матрицы
   Solve		Уравнения и системы уравнений
   		Построение графиков
   Дополнительные функции (вызов клавишей II)
   mod	mod	Деление с остатком
   !	!	Факториал
   i / j	i / j	Мнимая единица
   Re	Re ()	Выделение целой действительной части
   Im	Im ()	Исключение действительной части
   |x|	abs ()	Модуль числа
   Arg	arg ()	Аргумент функции
   nCr	ncr ()	Биноминальный коэффициент
   gcd	gcd ()	НОД
   lcm	lcm ()	НОК
   sum	sum ()	Суммарное значение всех решений
   fac	factorize ()	Разложение на простые множители
   diff	diff ()	Дифференцирование
   Deg		Градусы
   Rad		Радианы

   Виды калькуляторов

   В зависимости от возможностей и сферы применения калькуляторы бывают простые, бухгалтерские, финансовые, инженерные.

   • Бухгалтерскими калькуляторами пользуются бухгалтера и кассиры для арифметических расчетов с денежными суммами.
   • Для финансовых расчетов пользуются финансовыми калькуляторами, у которых к стандартному набору математических функций добавлены операции со сложными процентами и функции, характерные для банковской сферы и финансовых приложений.
   • Специализированные — это калькуляторы, применяемые для вычислений в конкретной сфере деятельности (строительные, ипотечные, статистические, медицинские).
   • Печатающие — калькуляторы, которые с помощью печатающего устройства выводят полученные результаты, расчеты, графики и вычисления на бумажную ленту.

   Отдельно выделяются:

   • программируемые калькуляторы, используемые для выполнения сложных вычислений по заранее заложенной программе пользователя;
   • графические, выполняющие построение и отображение графиков функций.

   Простейший калькулятор предназначен выполнять ординарные арифметические расчеты (сложение, вычитание и т.п.), вычислять процент, извлекать квадратный корень, возводить число в степень. Помимо простых расчетов, строителям и архитекторам, инженерно-техническим и научным работникам, математикам и геодезистам, старшеклассникам и студентам технических специальностей очень часто приходится решать важнейшие инженерные задачи, осуществлять сложные математические расчеты.

   Представленный на сайте тригонометрический калькулятор выполняет расчет:

   • синусов;
   • косинусов;
   • тангенсов;
   • котангенсов.

   А также обратных тригонометрических функций:

   • арксинусов;
   • арккосинусов;
   • арктангенсов;
   • арккотангенсов.

   Все тригонометрические расчеты с углами выполняются в радианах, градах и градусах.

   На нашем сайте вы сможете пользоваться инженерным онлайн калькулятором, предназначенным для инженерных и научных расчетов разного уровня сложности.

   Инженерный калькулятор позволяет:

   • производить сложные расчеты с дробями;
   • возводить любое число в степень, извлекать корень из числа;
   • рассчитать онлайн проценты, логарифмы, интегралы любой сложности;
   • выполнять необходимые математические операции с одной или несколькими матрицами;
   • находить производную онлайн как от элементарной, так и от сложной функции;
   • решать алгебраические, линейные, логарифмические, тригонометрические и другие уравнения.

   Онлайн калькулятор прост и понятен в обращении, применять его не составит труда тем, кто пользуется настольным инженерным калькулятором, принципы работы функций и программ аналогичны. По своему виду инженерный калькулятор онлайн имитирует настоящий калькулятор, поэтому для ознакомления с ним вам не понадобится много времени.

   Калькулятор дробей. Решаем дроби онлайн.

   В статье мы рассмотрим, как можно используя современный онлайн калькулятор, научиться решать дроби.
   Речь пойдет о калькуляторе дробей — http://reshit.ru/Kalkulyator-drobey-onlayn-s-resheniem.

   Данный калькулятор позволяет выполнить базовые операции с двумя дробями.
   С помощью калькулятора можно складывать, вычитать, делить и умножать дроби.
   Ответ получается в виде удобной картинки, где понятно расписано все решение.

   Рассмотрим базовые приемы решения дробей, используя данный онлайн калькулятор.
   Попробуем взять и написать в него 2 дроби, разделив их нужным знаком.
   Возьмем к примеру 2/3 и 3/7.

   • Для умножения ставим между ними *
   • Для деления :
   • Для сложения +, и — для вычитания.

   Калькулятор выдаст нам готовое решение в виде картинок:
   
   Как вы можете видеть, чтобы сложить дроби достаточно просто перемножить числители и знаменатели.
   Чтобы поделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую.
   Чтобы сложить или вычесть, нужно просто привести дроби к общему знаменателю и выполнить соответствующие операции с числителями.
   Все, что останется по итогу сделать — это соответственно сложить или вычесть числители приведенных к общему знаменателю дробей.
   Более сложные дроби, с целой частью, отрицательные, ситуации, когда вы имеете 3 и более вполне разрешимы. Достаточно поделить данную более сложную задачу на простые операции по 2 дроби и вы также сможете решить их в калькуляторе.
   Это удобный и достаточно универсальный инструмент.
   Если у вас пример из сложения 3-х дробей, сложите сначала первые 2, а потом прибавьте к ней третью, чтобы получить ответ.
   Если у вас дроби с целой частью, просто занесите её в дробь, умножив целую часть на знаменатель и прибавив к числителю полученное произведение.
   Отрицательные дроби решаются точно также, как и обычные. Если вы умеете складывать, умножать, вычитать и делить отрицательные целые числа, то с дробями действуют все те же самые правила знаков.
   Если, изучив работу калькулятора, вы что-то до конца не поняли, то можете посмотреть видео, где на дольках яблока рассказывается суть дробей и показываются основные приемы решения на примерах.
   После того, как вы усвоите теорию, обязательно закрепите материал на практике.
   Прорешайте несколько дробей сначала на листочке, а потом сверьте решение с тем, что выдаст онлайн калькулятор.
   По 2-3 примера на каждую операцию будет вполне достаточно.

   Уметь решать дроби крайне важно, поскольку они встречаются достаточно часто в задачах в старших классах школы, университете и по жизни.
   Дроби не являются сложными сами по себе. Изучают их обычно с 3-5 классе и далее используют постоянно. Научившись решать их один раз и сформировав правильное понимание, вы вряд ли когда-то разучитесь решать дроби.
   Даже если такое когда-нибудь случиться, вы всегда можете найти калькулятор дробей и быстро освежить знания и умения.
   На этом хочется закончить обзор онлайн калькулятора дробей.
   Помимо рассмотренного инструмента на сайте, вы найдете таблицу производных http://reshit.ru/tablica-proizvodnyh, калькулятор для решения квадратных уравнений онлайн и другие полезные материалы.

   как возвести число в дробную степень примеры

   Как возвести число в дробную степень, если не представлять, как это работает, то можно, наверное, свихнуться! Но друзья мои! Я с вами и сегодня мы разберемся в такой непонятной
   вещи, как число в дробной дроби!
   

   Видео: Как возвести число в дробную степень примеры

   С самого начала выясним, что такое дробь, что я понимаю под этим – мы будем рассматривать дробь вида, например, как неудобная дробь 1/3, мы не будем сейчас обсуждать именно такую дробь и почему она очень неудобная в десятичном виде и десятичных степенях мы поговорим в другой раз!
   И конечно же будем разбираться вместе с примерами и потом, мы уже… как раз сегодня доделали работу нашего калькулятора. Который мы научили работать с дробями!
   

   Как вообще считать числа в степени дроби!?

   Если степень числа равна дроби, то это число можно представить, как корень в степени знаменателя из числа в степени числителя.
   Мы как-то уже размещали картинку, когда разбирались с разными корнями и степенями: Если не совсем понятно! То давайте приведём пример, который для меня всегда остается эталоном и если я когда забываю, то сразу вспоминаю эту схему:
   Чему равно число в степени одна третья!? Кубическом корню из этого числа! Единицу мы не видим, потому, что число в степени 1 будет число.
   

   Как возвести число в степень примеры

   Для примера мы можем взять число 8 в степени одна третья и это будет равно кубическому корню из 8, что в свою очередь равно 2.

   8^1/3 = ³√8 =2

   ---

   Какая скукотища – вы должны сказать! И вот мы подошли к самом интересному, из-за чего мы сделали данную страницу!

   Возвести число в дробную степень онлайн калькулятор.

   Мы уже писали, как возводить в любую степень, и сегодня же решили сделать возведение числа в дробь в нашем калькуляторе! Как мы видим. Что степень не активна, и она таковой останется до тех пор, пока вы не выберете то число, которое хотите возвести в степень дроби. 1.Не будем далеко ходить, возьмем то же число 8, как мы и делали сверху! Нажимаем кнопку 8. 2.Нажимаем кнопку степени – это кнопка «P»
   Как видим, кнопка степени стала активна, и справа сверху табло, так же высветлялась буква P
   3.После этого набираем нашу дробь… 1/3 и равно = 4.Видим результат возведения числа в степень дроби.

   Написать что-нибудь…

   как возвести число в дробную степень , программа возводящая число в степень , возвести число в дробную степень онлайн , калькулятор возвести число в дробную степень , что значит возвести число в степень , возвести число в дробную степень онлайн калькулятор , как возвести число в степень в дробях , как возвести число в степень примеры , число в степени дроби , степень числа в виде дроби , число со степенью дробь , как возвести число в степень в дробях , возведение числа в степень дроби , число в степени дробь как решать , как считать числа в степени дроби , калькулятор чисел со степенями и дробями , возведение числа в степень десятичной дроби ,

   Калькулятор дробей

   
   Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями, объединенными с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.

   Правила для выражений с дробями:

   Дроби — используйте косую черту «/» между числителем и знаменателем, т.е.е., для пяти сотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, не забудьте оставить один пробел между целой и дробной частью.
   Косая черта разделяет числитель (число над дробной чертой) и знаменатель (число ниже).

   Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью, то есть 1 2/3 (с тем же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
   Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. Е. 1/2: 3 .

   Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной запятой . , и они автоматически конвертируются в дроби — то есть 1,45 .

   Двоеточие : и косая черта / являются символом деления. Может использоваться для деления смешанных чисел 1 2/3: 4 3/8 или может использоваться для записи сложных дробей i.1/2
   • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
   • деление целого и дробного числа: 5 ÷ 1/2
   • комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
   • десятичное дробное: 0,625
   • Дробь в десятичную: 1/4
   • Дробь в проценты: 1/8%
   • сравнение дробей: 1/4 2/3
   • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
   • квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
   • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
   • выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 — 3 3/8)
   • сложная дробь: 3/4 от 5/7
   • кратная дробь: 2/3 от 3/5
   • разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3

   Калькулятор следует известным правилам для порядка операций .Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
   PEMDAS — круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
   BEDMAS — Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
   BODMAS — Скобки, порядок или, деление, умножение, сложение, вычитание.
   GEMDAS — Группирующие символы — скобки () {}, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
   Будьте осторожны, всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием .Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны вычисляться слева направо.

   Дроби в задачах со словами:

   следующие математические задачи »

   Калькулятор дробей — Сайт калькулятора

   Используйте этот популярный калькулятор дробей, чтобы складывать, вычитать, умножать и делить дроби, включая смешанные числовые дроби. Калькулятор дает объяснение задействованных рабочих шагов и упрощает результат, используя наибольший общий знаменатель.

   Нравится? Пожалуйста, поделитесь

   Пожалуйста, помогите мне распространить информацию, поделившись этим с друзьями или на своем веб-сайте / в блоге.Спасибо.

   Ссылка на сайт

   
   

   Заявление об ограничении ответственности: Несмотря на то, что для создания этого калькулятора были приложены все усилия, мы не можем несет ответственность за любой ущерб или денежные убытки, возникшие в результате или в связи с его использованием. Этот инструмент предназначен исключительно в качестве услуги для вас, пожалуйста, используйте его на свой страх и риск. Полный отказ от ответственности. Не используйте расчеты для тех случаев, когда неточные расчеты могут привести к гибели людей, деньгам, имуществу и т. Д.

   Как складывать дроби

   1. Проверьте, совпадают ли ваши знаменатели (нижние числа).
   2. Они делают? Отлично. Переходите к шагу 5.
   3. Нет? ОК. Умножьте ваши разные знаменатели вместе…
   4. … И пропорционально скорректируйте обоих ваших номинаторов (верхние числа). Например. если вы удвоили знаменатель, то удвоите его числитель.
   5. Сложите знаменатели и положите полученную сумму над общим знаменателем.
   6. Упростите дробь до наименьшего возможного знаменателя, при этом знаменатель также уменьшится пропорционально.

   Быстрая формула

   \ (\ dfrac {a} {b} + \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad + bc} {bd} \)

   Пример сложения дробей

   \ (\ dfrac {2} {3} + \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {(2 \ times4) + (3 \ times1)} {3 \ times4} = \ dfrac {11} {12} \)

   ---

   Как вычесть дроби

   1. Проверьте, совпадают ли ваши знаменатели (нижние числа).
   2. Они делают? Отлично. Переходите к шагу 5.
   3. Нет? ОК. Умножьте ваши разные знаменатели вместе…
   4. … И пропорционально скорректируйте обоих ваших номинаторов (верхние числа). Например. если вы удвоили знаменатель, то удвоите его числитель.
   5. Вычтите второй знаменатель из первого и положите полученную сумму над общим знаменателем.
   6. Упростите дробь до наименьшего возможного знаменателя, при этом знаменатель также уменьшится пропорционально.

   Быстрая формула

   \ (\ dfrac {a} {b} — \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad — bc} {bd} \)

   Пример вычитания дробей

   \ (\ dfrac {2} {3} — \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {(2 \ times4) — (3 \ times1)} {3 \ times4} = \ dfrac {5} {12} \)

   Вы можете узнать о том, как складывать и вычитать дроби в нашей статье, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби.

   Рекламное объявление

   ---

   Как умножать дроби

   1. Умножьте числители (верхние числа) вместе, чтобы получить ответ числителя.
   2. Умножьте знаменатели (нижние числа) вместе, чтобы получить ответ знаменателя.
   3. Упростите дробь до наименьшего возможного знаменателя, при этом знаменатель также уменьшится пропорционально.

   Быстрая формула

   \ (\ dfrac {a} {b} \ times \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ac} {bd} \)

   Пример умножения дробей

   \ (\ dfrac {2} {3} \ times \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {(2 \ times1)} {(3 \ times4)} = \ dfrac {2} {12} = \ dfrac {1} {6} \)

   ---

   Как делить дроби

   1. Выпишите всю сумму, НО замените ÷ на ×
   2. Переверните вторую дробь вверх дном, поменяв местами знаменатель (верхнее число) и знаменатель (второе число).
   3. Завершите сумму, умножив первую дробь на обратную вторую дробь.
   4. Упростите дробь до наименьшего возможного знаменателя, при этом знаменатель также уменьшится пропорционально.

   Быстрая формула

   \ (\ dfrac {a} {b} \ div \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad} {bc} \)

   Пример деления дробей

   \ (\ dfrac {2} {3} \ div \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {(2 \ times4)} {(3 \ times1)} = \ dfrac {8} {3} \)

   Если вам нужна помощь с преобразованием десятичных знаков в дроби, см. Наш статья как преобразовать десятичную дробь в дробь.

   Рекламное объявление

   Если вы хотите преобразовать десятичное число в дробь, попробуйте калькулятор десятичной дроби.

   Когда дело доходит до выполнения математического расчета, важно выполнять операции в правильном порядке. Вот где Порядок операций Приходит . К счастью, есть несколько мнемоник, которые помогут нам запомнить порядок выполнения операции. Прочтите нашу статью о PEMDAS.

   Калькулятор фракций — Расчет фракций

   Fraction Calc — это специальный калькулятор для умножения, деления, сложения и вычитания двух или более дробей и целых чисел.Он может обрабатывать сразу несколько дробей и целых чисел. Затем он отображает пошаговые решения любой операции, которую он обработал. Иногда мало кто назовет это решателем дробей, в то время как другие могут сказать, что это калькулятор смешанных чисел или калькулятор смешанных дробей. Это онлайн-калькулятор с кнопкой дроби. На данный момент он может вычислять до десяти дробей и смешанных чисел. Это полезно для всех учащихся всех уровней обучения. Его можно использовать в качестве справочника для всех учителей математики и даже тех профессионалов, которые часто используют дроби на рабочем месте или дома.

   
   
   

   ---

   Как использовать?

   Этот калькулятор разработан для удобного использования.

   1. Нажмите любую цифру с помощью кнопок с цифрами.
   2. Нажмите любое число из кнопок знаменателя.
   3. Нажмите кнопку добавления (+) .
   4. Нажмите любую цифру на кнопках числителя для второй дроби.
   5. Нажмите любое число на кнопках знаменателя второй дроби.
   6. Нажмите кнопку «равно (=) », чтобы вычислить ответ.Ответ и решение будут отображаться выше.
8. Сложение трех или более дробей
1. Повторите шаги выше, кроме последнего шага.
2. Нажмите кнопку добавления (+) .
3. Нажмите любую цифру из кнопок числителя для третьей дроби.
4. Нажмите любое число из кнопок знаменателя для третьей дроби.
5. Нажмите кнопку «равно (=) », чтобы вычислить ответ, или нажмите кнопку «добавить (+) », чтобы сложить дроби.
6. Тот же процесс будет использован для четвертой, пятой или любого количества дробей. Просто нажмите кнопку « (=) » для вычисления.
9. Вычитание двух, трех или более дробей
• Следуйте инструкциям по сложению дробей, но вместо нажатия кнопки добавления (+) нажмите кнопку вычитания (-) .
10. Умножение и деление двух, трех и более дробей
• Следуйте инструкциям по сложению дробей, но вместо нажатия кнопки сложения (+) нажмите кнопку умножения (x) для умножения и кнопку деления (÷) для деления.
11. Сложение, вычитание, умножение и деление смешанных чисел

При работе со смешанными числами важно помнить, что при использовании этого калькулятора никогда не забывайте вводить целые числа. Кнопки с целыми числами в калькуляторе больше, чем кнопки числителя и знаменателя. Вам нужно только сначала нажать кнопку с целым числом, а затем с дробью, после чего вы можете перейти к любой операции, которую хотите.

12. Операции с дробями, целыми и смешанными числами
1. Нажмите кнопку целого числа, если дробь состоит из целого числа, или вы можете напрямую нажать кнопку числителя, если целое число вам не нужно.Вы не можете нажать кнопку знаменателя, если вы не нажали кнопку целого числа или знаменателя. Это означает, что вам нужно сначала нажать кнопку целого числа или числителя. После нажатия кнопки числителя вы больше не можете нажимать кнопку с целым числом. Вы можете снова нажать кнопку целого числа, только если вы удалите числитель, нажав кнопку возврата. Не следует сначала нажимать нули. Ноль будет нажата после нажатия ненулевых чисел.
2. Нажмите кнопку знаменателя для вашего знаменателя.После нажатия вы не сможете снова нажать целую цифру или кнопку с числителем. Вы можете нажать кнопку числителя только в том случае, если вы удалите знаменатель, нажав кнопку возврата.
3. Выберите любую операцию, которую хотите.
4. Нажмите кнопку Равно , если вы закончили с дробью. Решение будет отображаться выше.
5. Нажмите Backspace , если вы хотите удалять по одному номеру за раз.
6. Нажмите кнопку AC , чтобы очистить уравнение дроби.
7. На данный момент этот калькулятор ограничен только 10 дробями.

---

Fraction Calc на мобильных телефонах Android

Выпущен наш Fraction Calc для мобильных телефонов Android. Он может обрабатывать основные и сложные операции дроби и может отображать решение как в методе перекрестного умножения, так и в методе ЖКД (наименьшего общего знаменателя). Вы можете получить его в магазине Google Play.




Как производился расчет?

Иногда возникают сомнения в том, как производится расчет при использовании нескольких операций.В нотации MDAS умножение и деление имеют тот же приоритет, но выше, чем сложение и вычитание. Сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет. Сначала обрабатывается более высокий приоритет. Это всегда правило, и его повсеместно соблюдают. Хотя с тем же приоритетом, операция выполняется слева направо.

---

Калькулятор целых чисел

Fraction Calc также является калькулятором дроби целых чисел, потому что он может обрабатывать множество целых чисел.Работа с целыми числами означает, что вам нужно больше учиться и делать дополнительные шаги, преобразовывая целые числа в формат, подходящий для математических операций. Выполнение математических операций с целыми числами означает, что вам придется проделать дополнительные шаги, чтобы получить правильный ответ. Это означает дополнительную энергию и нагрузку для людей, попавших в ситуацию, когда им приходится решать целые числа и дроби. Вот почему некоторые люди ищут калькулятор дробей и целых чисел, чтобы не только найти простые решения сложных проблем, но и сэкономить время и энергию.Экономия времени и энергии на выполнении определенной задачи означает, что вы получаете дополнительные ресурсы для выполнения еще более важной задачи, которая может оказаться очень полезной.

---

3 Калькулятор дробей

В большинстве случаев в математической арифметике используются только две дроби. Очень редко в какой-либо операции задействованы 3 фракции. Но если это так, то вам очень повезло, что вы нашли этот инструмент. Вы можете легко использовать этот инструмент в качестве калькулятора трех дробей, потому что он может ее решить.Это основная цель этого инструмента. Некоторые люди никогда не слышали об этом инструменте, поэтому они специально искали калькулятор с 3 дробями. Но теперь, когда его инструмент создан, я думаю, у них больше нет времени для беспокойства.

---

Калькулятор множественных дробей

Большинство созданных калькуляторов имеют ограниченные возможности до такой степени, что они могут вычислять только две дроби за раз. Но Fraction Calc может даже больше. Он может решить до 10 целых чисел или дробей вместе.Вот почему многие называют это калькулятором дробей. Это очень специализированный калькулятор с целыми числами. С комбинацией целого числа и дроби сложно справиться, но с этим калькулятором дробей вычисления становятся проще. Этот калькулятор может выполнять сложение смешанных чисел, преобразование дробей в целые числа, умножение дробей на целые числа, вычитание смешанных чисел и умножение смешанных дробей.

---

Преимущества и недостатки использования калькулятора дробей.

1. Легко использовать.
2. Это экономит больше времени и энергии.
3. Нет необходимости в ручном вычислении.
4. Вычисленный результат точен и точен.
13. Недостатки:
1. Это может сделать вас скучным в вычислении дробей.
2. Вы будете очень зависеть от него в будущем.
3. Вы можете забыть правила вычислений.

---

Правила работы с дробями

• Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание дроби происходит по тем же правилам.У них должны быть одинаковые знаменатели для обработки выбранной операции. Вы можете сложить или вычесть две дроби, если у них одинаковый знаменатель, если нет; вы должны создать общий знаменатель, прежде чем добавлять или вычитать их.

Подобные дроби — это дроби с одинаковыми знаменателями. Чтобы сложить дроби с одинаковым знаменателем, добавьте его числитель. Например, 2/5 + 1/5 = 3/5.

Дроби с разными знаменателями не похожи на дроби. Чтобы сложить непохожие дроби, вам нужно сделать так, чтобы у них был общий знаменатель.Самый простой способ сделать это — использовать метод бабочки. Чтобы выполнить метод бабочки, выполните следующие действия.

1. Умножьте числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Результатом будет числитель первой дроби.
2. Умножьте знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби. Результатом будет новый знаменатель первой дроби.
3. Умножьте числитель второй дроби на знаменатель первой дроби.Результатом будет новый числитель второй дроби.
4. Умножьте знаменатель второй дроби на знаменатель первой дроби. Результатом является новый знаменатель второй дроби.

Например: 2/3 + 3/5.

1. 2 x 5 = 10.
2. 3 х 5 = 15.
3. 3 x 3 = 9.
4. 5 x 3 = 15.

Новая дробь — 10/15 и 9/15.
15/10 + 9/15 = 19/15.
Новая дробь — 19/15.

Чтобы вычесть дроби с одинаковым знаменателем, просто вычтите числитель второй дроби из числителя первой дроби. Пример: 4/6 — 3/6 = 1/6.

Для дробей с разным знаменателем установите одинаковый знаменатель с помощью метода бабочки, а затем произведите вычитание после того, как у них будет одинаковый знаменатель.



14. Умножение и деление дробей

Правило умножения двух дробей простое. Умножьте числитель первой дроби на числитель второй дроби и умножьте знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби.Пример: 2/3 x 1/5 = 2/15.

Чтобы разделить две дроби, вы должны сначала инвертировать вторую дробь, а затем начать умножение двух дробей. Пример: 2/3 разделить на 1/5 = 2/3 x 5/1 = 10/3.



15. Как заменить неправильную дробь на смешанное число

Когда вы сокращаете неправильную дробь до наименьшего члена, вам нужно изменить ее на смешанное число. Это делается путем деления числителя на знаменатель. Частное будет целым числом. Остаток будет новым числителем, а знаменатель останется без изменений.



16. Как заменить смешанное число на неправильную дробь

При делении или умножении смешанных чисел вам нужно преобразовать его в неправильную дробь. Это делается путем умножения целого числа на знаменатель и добавления текущего числителя. Результатом будет новый числитель, а знаменатель останется без изменений.



17. Сравнение дробей

Для дробей с одинаковыми знаменателями дробь с наибольшим числителем является большей дробью, чем дробь с меньшим числителем.
Для дробей с одинаковыми числителями дробь с наибольшим знаменателем меньше дроби с меньшим знаменателем.



18. Упрощающие дроби

Из темы выше мы уже знаем, что есть эквивалентные дроби-дроби, которые имеют одинаковое значение, даже если у них разные числители и знаменатели. Упрощение дроби означает, что используется наименьший числитель и знаменатель, но одно и то же значение. Дробь находится в своей простейшей форме, когда нет общего множителя для числителя и знаменателя.Например, вместо 7/14 мы можем использовать ½, что является самой простой формой.



19. Наибольший общий множитель

Наибольший общий делитель — это наибольшее число, используемое для деления числителя и знаменателя, чтобы получить простейшую форму дроби. Например, для дроби 12/30 наибольшее число для деления числителя и знаменателя равно 6. Разделив его на 6, вы придете к его простейшей форме — 2/5.

---




Факты о дробях

Дроби — это части целого.Например, есть один торт на пятерых детей. Итак, торт делится на пять частей. Каждый ребенок получит по одной части торта. Дробь будет 1/5. Каждый ребенок получит 1/5 торта.

Дробь состоит из двух частей. Верхняя половина называется числителем. Нижняя половина называется знаменателем. Числитель — это часть целого, в которой он используется или обрабатывается в настоящее время.

Существует три типа дробей: правильная дробь, неправильная дробь и смешанные числа.

Правильная дробь — это дробь, числитель которой всегда меньше знаменателя.

Неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше или равен знаменателю.

Смешанное число представляет собой целые числа плюс дробь.

Эквивалентные дроби — это дроби, которые имеют разные числители и знаменатели, но имеют одинаковое значение, например 1/2, 2/4, 7/14, 8/16, 10/20, 20/40 и 50/100.




---

Как рассчитывалась фракция?

Когда я был студентом, у меня был этот предмет по математике.Одна из тем была о фракции. Хотя эта тема сложна, меня очень удивило, почему так трудно определить, правильное решение или неправильное. Вы должны просмотреть его несколько раз, чтобы убедиться, что ваше решение правильное. Это случилось не только со мной. Я узнал, что большинство студентов испытали то же самое. Так что с этого момента я мечтаю, что так или иначе помогу им. Я помогу им убедиться, что их решение верное, не проходя много обзоров.Вот почему я создал этот калькулятор. Этот калькулятор был создан в качестве справочника или руководства только для того, чтобы убедиться, что учащийся правильно ответит на свои задачи с дробями. От основателя FractionCalc.com

Калькулятор дробей

— лучший инструмент для сложения дробей

Сложите, вычтите, умножьте или разделите две дроби, указав их ниже. Используйте пробел, чтобы отделить целые числа от дроби.

Результат в виде дроби:

Результат как дробь

Результат в виде десятичной дроби:

---

Шаги для решения

Результат как дробь

Результат в виде десятичной дроби:

---

Шаги для решения

Результат как дробь

Результат в виде десятичной дроби:

---

Шаги для решения

---

---

Вы пытаетесь рассчитать дюймовые доли?

Как считать дроби

Калькулятор выше позволяет легко складывать, вычитать, умножать или делить дроби и даже показывает всю работу.

Но как считать дроби без калькулятора? См. Инструкции ниже, чтобы узнать, как их складывать, вычитать, умножать или делить.

Как складывать и вычитать дроби

Сложение и вычитание дробей немного отличается от сложения обычных целых чисел. Есть три простых шага, чтобы складывать или вычитать дроби.

Шаг первый: преобразование в дроби с общим знаменателем

При сложении или вычитании дробей первым делом необходимо преобразовать их в эквивалентные дроби с тем же знаменателем.

Для этого сначала найдите наименьший общий знаменатель знаменателей обеих дробей. Наименьший общий знаменатель — это наименьшее число, на которое можно равномерно разделить оба знаменателя.

Затем найдите кратное для каждого знаменателя, которое при умножении равно общему знаменателю. Найдите кратное, разделив общий знаменатель на каждый знаменатель.

Затем умножьте числитель и знаменатель на кратное, чтобы найти эквивалентные дроби с совпадающими знаменателями.

Например, преобразовываем дроби 13 и 14 в дроби с одинаковым знаменателем.

13 = 1 × 43 × 4 = 412
14 = 1 × 34 × 3 = 312

---

Шаг второй: сложите или вычтите числители

Как только знаменатели совпадают, сложение и вычитание дробей так же просто, как сложение или вычитание числителей.

Чтобы сложить дроби, сложите числители и положите их над общим знаменателем.

Чтобы вычесть, найдите разницу между числителями и положите разницу над общим знаменателем.

Например, , продолжая предыдущий пример, добавим 412 и 312.

412 + 312 = 4 + 312 = 712

Шаг третий: упростите дробь

Последний шаг к сложению или вычитанию дробей — это упростить полученную дробь. Начните с поиска наибольшего общего делителя числителя и знаменателя.Узнайте больше о поиске наибольшего общего фактора для получения дополнительных сведений.

Затем разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель, который нужно уменьшить. Или просто используйте наш упрощитель дробей, чтобы упростить и увидеть всю работу, необходимую для этого.

Вы также можете использовать наши калькуляторы сложения или вычитания, чтобы легко складывать и вычитать дроби.

Как умножать дроби

Умножить две дроби немного проще, чем сложить или вычесть, выполнив два простых шага.

Шаг первый: умножение числителей и знаменателей

Первый шаг — перемножить числители и умножить знаменатели. Результатом может быть неправильная дробь, но мы уменьшим ее на следующем шаге.

Например, , умножим 23 × 34.

23 × 34 = (2 × 3) (3 × 4)
23 × 34 = 612

Шаг второй: упростите дробь

Как и сложение и вычитание, последний шаг умножения дробей — это упрощение.Для упрощения найдите наибольший общий множитель числителя и знаменателя, а затем разделите их на общий множитель.

Чтобы упростить 612, найдите наибольший общий множитель.

Наибольший общий делитель 6 и 12 равен 6 .

---

Затем разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель.

612 = (6 ÷ 6) (12 ÷ 6)
612 = 12

Как разделить дроби

Есть два шага, чтобы разделить одну дробь на другую.

Шаг первый: умножьте каждый числитель на противоположный знаменатель

Чтобы разделить одну дробь на другую, начните с умножения первого числителя на второй знаменатель. Затем умножьте второй числитель на первый знаменатель.

Например, разделим 23 на 34.

23 ÷ 34 = (2 × 4) (3 × 3)
23 ÷ 34 = 89

Шаг второй: упростите дробь

Как и при умножении дробей, последний шаг их деления — упростить дробь.См. Инструкции, чтобы упростить дробь выше.

Как рассчитать смешанные дроби

Смешанные дроби могут показаться пугающими, но процесс их вычисления почти такой же, как и для обычных дробей с одним дополнительным шагом.

Первое, что нужно сделать при вычислении смешанной дроби, — это удалить целое число и увеличить числитель.

Начните с умножения целого числа на знаменатель.

Затем добавьте результат к числителю в оставшейся дроби.

Продолжайте выполнять описанные выше шаги, чтобы вычислить дроби после переноса результата в числитель.

Например, преобразовываем смешанную дробь 2 25 в целое число.

Умножьте целое число на знаменатель.

2 × 5 = 10

Добавьте результат в числитель.

10 + 2 = 12

Перепишите дробь.

2 25 = 125

Ознакомьтесь с нашим полным набором инструментов для вычисления дробей.

КАЛЬКУЛЯТОР НА 3 ФРАКЦИИ — EXAMN8.COM

РАССЧИТАТЬ, СРАВНИТЬ, УМЕНЬШИТЬ ПРОЧТИ МЕНЯ

Вычислить : введите 2 или 3 дроби, выберите арифметические операторы с помощью раскрывающихся списков и нажмите кнопку [=], чтобы получить результат.Эквивалентные десятичные дроби (D) и уменьшенные Внизу появятся дроби (R). Сравните : вычтите вторую дробь из первой: положительный результат означает, что первый больше, и наоборот. Уменьшить : введите «Дробь» в первое поле и нажмите [=].
1/3 + 5/12 = 9/12	D = 0,75 R = 3/4
1 4/5 ÷ 0,75 = 2 6/15	D = 2,4 R = 2 2/5
1/2 — 2 3/4 + 0,75 = -1 2/4	D = -1,5 R = -1 1/2
3/4 — 2 3/4 x 3/8 = 12/24	D = 0.5 R = 1/2

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ

КАЛЬКУЛЯТОРЫ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

РУКОВОДСТВО И ПРАКТИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ

Сложение, вычитание, деление и умножение дробей

Инструкция по эксплуатации

• Введите дроби в калькулятор выше.
• Выберите математическую операцию, которую вы хотите выполнить (сложение, вычитание, умножение, деление), используя серое раскрывающееся поле выбора между двумя дробями.
• Результаты будут обновляться автоматически при изменении любого значения в калькуляторе.
• Флажок под калькулятором позволяет вам выбирать между уменьшением дроби до эквивалента наименьшего общего знаменателя (если установлен) или отказом от уменьшения (если не отмечен).

Как вычислить дроби вручную

Как складывать дроби

• Найдите наименьший общий знаменатель, умножив каждый знаменатель на другой.
• Умножьте каждый числитель на те же числа, на которые были умножены знаменатели.
• Сложите числители.
• Уменьшить результат до наиболее упрощенного числа.

Как вычесть дроби

• Найдите наименьший общий знаменатель, умножив каждый знаменатель на другой.
• Умножьте каждый числитель на те же числа, на которые были умножены знаменатели.
• Складываем второй числитель с первого.
• Уменьшить результат до наиболее упрощенного числа.

Как умножать дроби

• Умножьте числа сверху вместе.
• Умножьте числа внизу вместе.
• Уменьшить результат до наиболее упрощенного числа.

Как делить дроби

• Переверните вторую дробь вверх дном, чтобы получить обратное число.
• Умножьте дроби вместе (как в разделе умножения выше).
• Уменьшить результат до наиболее упрощенного числа.

Дроби: история, актуальность и популярное использование

— Руководство Автор: Корин Б. Аренас , опубликовано 22 октября 2019 г.

Практически каждый день мы имеем дело с дробями. Подумай об этом. Независимо от того, получаете ли вы четвертинки для разнообразия, покупаете одежду со скидкой 75% или готовите с половиной стакана масла, вы используете дроби.

В этом разделе мы поговорим о происхождении дробей, их важности при передаче информации и золотом сечении.

Что такое дроби?

Дроби представляют части целого числа или любое количество равных частей. Он функционирует чтобы описать, как части соотносятся с целым числом.

Для иллюстрации представьте целое число как торт. Если вы разрежете торт на 4 равные части, один кусок будет частью этого торта. В данном случае это 1/4 часть всего торта.

• 1 представляет один фрагмент или часть целого числа, которое называется числителем .
• 4 представляет, сколько всего частей в целом числе, которое называется знаменателем .

Краткая история дробей

Слово Происхождение: Термин дробь происходит от латинского слово fractio что означает «сломанный». В раннем английском языке это означает «сломанный кусок или фрагмент ». Английское слово« разрушение »также имеет то же происхождение слова.

Концепция дробей существует уже более 4000 лет.Но у разных цивилизаций есть свой способ стандартизации дробей для универсального использования.

Египтяне

Согласно Математика на протяжении веков : Мягкая история для учителей и других, египтяне были одними из первых, кто придумал форму дроби еще в 1800 году до нашей эры. Их концепция в основном ограничивалась частями, иначе известными как единичные дроби. Дроби единиц используют 1 в качестве числителя.

Египетские математики создали систему с основанием 10. идея, которая похожа на системы счисления, которые мы используем сегодня.Цифра иероглифы представляли их числа, что означает символы, соответствующие определенное значение.

Поскольку числитель всегда равен 1, они должны были указать только знаменатель. Египтяне отметили знаменатель овалом или точкой над значением. Вот несколько примеров из книги Math Through the Ages :

Части были выражены как суммы долей единиц. Однако система не позволяла повторять дроби единиц в этой последовательности, что затрудняло выполнение расчетов.Чтобы решить эту проблему, египтяне создали обширные списки таблиц, в которых указаны двойные значения различных частей.

Вавилоняне

Другая цивилизация, создавшая сложную систему для По словам преподавателя математики и автора Лиз Памфри, фракции принадлежали вавилонянам.

Вавилоняне организовали фракции в группы по 60 человек (основание 60). Сегодня мы обычно организуем числа в группы по 10. Но для вычислений, таких как углы и минуты для времени, мы также используем основание 60.Система сгруппировала дроби по 10 и использовала два символа, один для единицы, а другой для 10.

Ниже приведены символы, представляющие вавилонскую систему счисления от 1 до 20:

.

Однако у них не было символа нуля (который они позже добавили около 311 года до н.э.) или знака, который функционировал как десятичная точка для обозначения дробей целого числа. Это затрудняло интерпретацию чисел.

Например, цифры ниже читаются как 12 и 15.

По словам Памфри, символы также могут читаться как разные значения:

x60	шт.	Шестидесятые	Номер
	12	15
12	15		720 + 15

• 12 и 15 как отдельные номера
• 15/12
• 12 15/60
• 720 + 15

Как видите, отсутствие индикатора дроби делает его трудно отделить целые числа от дробей.Вероятно, они полагались на контекст, чтобы разобраться в числовых значениях.

Как египетская, так и вавилонская системы были переданы позже людям в Греции, а затем и к средиземноморской цивилизации.

Греки

В Греции практика использования дробных величин в качестве сумм единицы дроби были довольно распространены до средневековья. Например, Liber Abbaci итальянского математика Фибоначчи — это примечательный текст 13 века. В нем широко использовались дроби, описывающие различные способы преобразования других дробей в суммы единичных дробей.

Чтобы лучше понять, ниже приведена таблица греческого языка. цифровые символы. Обратите внимание, что они такие же, как буквы в греческом алфавит:

Значение	Шт.	Десятки	сотен
1	α	ι	ρ
2	β	κ	σ
3	γ	λ	τ
4	δ	µ	υ
5	ε	ν	φ
6	ϝ	ξ	χ
7	ζ	ο	ψ
8	η	π	ω
9	θ	ϙ	ϡ

Греческий запись дробей требует от читателя понимания контекста для правильного интерпретация.Чтобы выделить дробь, они ставят диакритический знак . знак (‘) после знаменателя дроби.

Например, число β (2) становится ½ при записи с диакритический знак, β ’.

Аналогично, µβ (42) становится 1/42 при записи в µβ ’.

Однако здесь возникает путаница: µβ ’также может означать 40 ½. Вот почему понимание контекста имеет решающее значение при интерпретации греческих дробей.

Римлянам

У римлян дроби выражались только словами, которые усложняли любые вычисления.

Их система была основана на единице веса, называемой «as». При таком подходе 1 as было равно 12 uncia (римский базовая единица измерения, основа современной унции). Таким образом, дроби имеют знаменатели со значениями, кратными 12.

В таблице ниже указаны римские дроби. с соответствующими условиями:

Дробь	Римский термин
11/12	deunx для de uncia, забрал 1/12
10/12	декстанов для декстанов, 1/6 отнято
9/12	dodrans for de quadrans, 1/4 отнято
8/12	bes — bi as for duae partes, 2/3
7/12	перегородка для septem unciae
6/12	полуфабрикаты
5/12	quincunx для quinque unciae
4/12	триенс
3/12	квадрант
2/12	секстан
1/12	UNCIA
1/24	semuncia
1/48	сицилийский
1/72	сценарий
1/144	скрипичный лист
1/288	scrupulum

китайский

Китайцы написали Девять Главы по математическому искусству , датируемые примерно 100 годом до н. Э.С. Он включает текст о дробях, аналогичный тем, которые мы используем сегодня.

Согласно Math Through the Ages , он содержал большинство обычных правил вычисления с дробями, например, как складывать, делить и умножать дроби, а также сокращать дробь до наименьшего значения.

Однако в их системе не использовались неправильные дроби. Например, вместо неправильной дроби 9/4 они использовали бы ее эквивалентную смешанную дробь 2 1/4.

В отличие от западной математики, китайцы сосредоточились на практических приложениях, а не на теоретических рассуждениях и геометрии.

Индейцы

Индейцы разработали способ записи дробей, ближе к тому, что мы используем сегодня.

До 1000 г. до н.э. индуистские мантры в ранний ведический период вызывали силы от десяти до ста и даже до триллиона, согласно сайту The Story of Mathematics. Это свидетельство того, что ранняя индийская цивилизация использовала сложные математические операции, включая дроби, квадраты, кубы и корни.

Около 500 г. до н. Э. Они изобрели систему письма, называемую брахми, которая состояла из 9 цифровых символов и нуля. Учитель математики и писатель Лиз Памфри отмечает, что эти числа во многом повлияли на современные числа, которые мы используем сегодня. См. Изображение ниже.

Индийская система записывала дроби, помещая одно значение поверх другого, точно так же, как сегодня числитель пишется над знаменателем. Однако они не поставили между ними черту. Например, дробь 4/5 будет выглядеть так:

Позже эту систему использовали арабы при торговле с индейцами.Именно арабы нарисовали черту, чтобы отличить верхнее число от нижнего числа в дроби. В конечном итоге это привело к тому, что в современную эпоху мы пишем дроби.

Как дроби улучшают способ передачи информации

По словам доктора Петерсона из MathForum.org: «дроби были изобретены, чтобы обеспечить способ работы с величинами меньше единицы».

Если люди использовали только целые числа, единственный способ сослаться на меньшие количества — использовать меньшие единицы.Это то, что сделали римляне — они использовали целые числа при измерении футов и использовали дюймы, когда им нужно было учитывать меньшие единицы.

Например, вместо 1/12 фута они будут обозначать длину как 1 дюйм, а 1/4 фута будет 3 дюйма. Но что, если вы имеете в виду 2 с половиной фута? Как насчет 1 и 3/4 фута?

Если вы выбираете стандартную длину в соответствии с футами, это сбивает с толку одновременное упоминание футов и дюймов. По сути, фракции позволяют проводить измерения без необходимости создания новые юниты.Было бы лучше учесть измерения в последовательная мода.

США, как правило, больше используют дроби (английское измерение), поскольку они используют чашки, а не весы для измерения при приготовлении пищи и выпечке.

американцев еще не приняли метрическую систему, которая является десятичная система, в которой используются единицы, относящиеся к десятичному коэффициенту. Метрическая система обычно использует граммы и литры вместо американских единиц измерения. за унции, чашки, пинты и так далее.

В таблице ниже показано преобразование объема из английской единицы измерения в ее метрический эквивалент:

Преобразование объемов из США в метрическую систему

2 столовых ложки 1/4 стакана или 2 жидких унции 3/4 фунта (12 унций)

Обычное количество в США (на английском языке)	Метрический эквивалент
1 чайная ложка	5 мл
1 столовая ложка	15 мл
60 мл
1/3 стакана	80 мл
1/2 стакана или 4 жидких унции	125 мл
2 / 3 стакана	160 мл
3/4 стакана или 6 жидких унций	180 мл
1 стакан или 8 жидких унций или 1/2 пинты	250 мл
1 ½ стакана или 12 жидких унций	375 мл
2 c ИБП или 1 пинта или 16 жидких унций	500 мл
3 чашки или 1 ½ пинты	700 мл
4 чашки или или литра 950 мл
4 литра или 1 галлон	3.8 л
1 унция	28 граммов
1/4 фунта (4 унции)	112 граммов
1/2 фунта (8 унций)	225 граммов
337 грамм
1 фунт (16 унций)	450 грамм

Кроме того, сохранение измерений в одной единице позволяет нам складывать, вычитать, умножать и легко делить дроби.Это устраняет проблему преобразования, которая невозможна при измерении между двумя разными единицами.

Чтобы упростить вычисление дробей, воспользуйтесь калькулятором в верхней части этой страницы.

В то время как десятичные дроби предоставляют альтернативный способ обозначения дроби (и более простой способ вычисления дробей с помощью калькулятора), это необходимо понимать традиционные дроби и то, как их значения влияют на целое число.

По данным Thoughtco.com, студенты, которые не осваивают дроби в ранние годы, имеют тенденцию запутаться и испытать математическое беспокойство.Они также упомянули половину американской восьмерки грейдеры не могут расположить дроби по значению.

Интуитивное обучение дробям помогает детям развить более широкое понимание теоретических математических концепций, позволяя им использовать их в реальной жизни. Это намного лучше, чем запоминать таблицы с единицами измерения или символами.

Золотое сечение и последовательность Фибоначчи

В математике соотношение — это, по сути, сравнение двух числа, которые зависят от типа сравниваемых чисел.

Вы можете встретить такой пример: 1: 3 или 1 из 3. Например, бутылка концентрата апельсинового сока состоит из 1 части апельсина. сок и 3 части воды. Это также можно записать в виде дроби, 1/3.

Коэффициенты относятся к дробям, потому что они сравнивают разные ценности, которые могут представлять собой целое. В этом примере бутылка целиком апельсинового сока.

Золотое сечение — специальное число, представленное греческим символом фи ( φ ) с приблизительным значением 1.618.

Получается путем разделения линии на 2 части, так что длинный отрезок (а) деленная на короткую часть (б) равна всей длине, разделенной на длинный раздел.

Чтобы дать вам лучшее представление, вот иллюстрация со стандартным уравнением:

Исторически сложилось так, что соотношение соблюдалось в древних такие сооружения, как Парфенон и пирамиды Египта. В Великой пирамиде Гизы отношение основания к высоте примерно 1.5717, что является близко к золотому сечению. Он также встречается в повторяющихся закономерностях в природе, таких как как лепестки цветов, ракушки, ветви деревьев и спиральные галактики.

С другой стороны, Фибоначчи последовательность — еще одна известная математическая формула. Последовательность получена из сумма двух предшествующих чисел. Многие источники говорят, что Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанский) популяризировал его в своей книге Liber Abacci .

Но согласно Live Science, математик Кейт Девлин, автор книги Finding Fibonacci: The Quest to «Откройте для себя заново забытого математического гения, который изменил мир, », — говорится в заявлении. что Леонардо Фибоначчи на самом деле не «открыл» последовательность.

Древние санскритские письма, в которых использовались индо-арабские цифры системы были первыми, кто обсудил это за столетия до Леонардо Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи выглядит так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, и так далее…

Когда математики создают квадраты на основе этой последовательности, они могут нарисовать спираль.

Как золотое сечение связано с последовательностью Фибоначчи?

Исследователи заметили, что когда вы берете любые два последовательных числа Фибоначчи, их отношение очень близко к золотому сечению.Таким образом, φ составляет приблизительно 1,618. Чтобы дать вам представление, см. Таблицу ниже.

A	B	B / A
2	3	1,5
3	5	1,6666668 9067
8	13	1,625

Итог

Понятие дроби разработали разные древние цивилизации.Одними из первых, кто изобрели дробную систему с обширными таблицами, были египтяне. Другие древние общества, такие как вавилоняне, греки, римляне и китайцы, также внесли свой вклад в его улучшение. Но на современные цифры и то, как мы пишем дроби, в основном повлияли индейцы, которые ввели индуистско-арабскую систему счисления.

Использование дробей помогает нам легко передавать информацию об измерениях. Это не позволяет людям использовать разные единицы измерения, что упрощает их расчет.

Наконец, дроби связаны со знаменитым золотым рационом и последовательностью Фибоначчи, которая во многом повлияла на то, как мы проектируем все виды структур.

Об авторе

Корин — страстный исследователь и автор финансовых тем, изучающий экономические тенденции, их влияние на население, а также то, как помочь потребителям принимать более мудрые финансовые решения. Другие ее тематические статьи можно прочитать на Inquirer.net и Manileno.com. Она имеет степень магистра творческого письма в Филиппинском университете, одном из ведущих учебных заведений в мире, и степень бакалавра коммуникационных искусств в колледже Мириам.

Веселые мультфильмы по математике

Калькулятор дробей

— умножение, деление, сложение и вычитание

Эта страница содержит калькулятор дробей . Введите две дроби и выберите, нужно ли сложить, вычесть, умножить или разделить дроби. Мы выполним математику по вашему выбору и позволим инструменту вернуть вам простейшую форму дроби.

Дроби Арифметический калькулятор

Что такое дроби?

Дроби — это два числа, выраженные как часть целого.Они состоят из верхнего числа (числитель) и нижнего числа (знаменатель) и подразумевают деления .

дробь \ form = \ frac {числитель} {знаменатель}

Арифметика дроби

Для четырех основных арифметических функций — сложение , вычитание , деление и умножение — есть основные правила, которым нужно следовать при работе с дробями. Я проведу вас по каждому из них и покажу пример.

Сложение дробей

Чтобы сложить две дроби:

1. Сначала преобразуйте обе дроби в общее основание, умножив верхнюю и нижнюю части на одно и то же число, чтобы получить основание.(Вы можете найти наименьший общий знаменатель или лениво перемножить все знаменатели вместе).
2. Сложите два числителя и поместите результат в новый числитель.
3. Сложите два знаменателя и поместите результат в новый знаменатель.
4. (Необязательно) Найдите сокращенную или простейшую форму дроби.

Пример сложения дробей

Давайте сложим две дроби вместе: 3/9 и 1/7.

\ frac {3} {9} + \ frac {1} {7} \ common \ denominator \ = 21 \\ ~ \\\ frac {3} {9} = \ frac {1} {3} * \ frac {7} {7} = \ frac {7} {21} \\ ~ \\\ frac {1} {7} * \ frac {3} {3} = \ frac {3} {21} \\ ~ \\\ frac {7} {21} + \ frac {3} {21} = \ frac {10} {21}

Вычитание дробей

Чтобы вычесть две дроби:

1. Сначала преобразуйте обе дроби в общее база.Затем вам нужно умножить верхнее и нижнее числа на одно и то же число, чтобы получить основание. (Либо найдите наименьший общий знаменатель, либо просто умножьте знаменатели вместе).
2. Вычтите второй числитель из первого, поместив результат в новый числитель.
3. Вычтите второй знаменатель из первого, поместив результат в новый знаменатель.
4. (Необязательно) Найдите сокращенную или простейшую форму дроби.

Пример вычитания дроби

Давайте вычтем дробь 1/7 из 6/21.

\ frac {6} {21} — \ frac {1} {7} \ common \ denominator \ = 21 \\ ~ \\\ frac {1} {7} * \ frac {3} {3} = \ frac {3} {21} \\ ~ \\\ frac {6} {21} — \ frac {3} {21} = \ frac {3} {21} \\ ~ \\ (сокращенный) = \ frac { 1} {7}

Умножение дробей

Проще всего запомнить умножение двух дробей — просто умножьте числитель и знаменатель пополам:

1. Умножьте первый числитель на второй и вставьте его в новый числитель.
2. Умножьте первый знаменатель на второй и поместите его в новый знаменатель.
3. (Необязательно) Найдите сокращенную или простейшую форму дроби.

Пример умножения дробей

Давайте умножим дроби 3/9 и 1/7.

\ frac {3} {9} * \ frac {1} {7} = \ frac {3} {63} \\ ~ \\ (уменьшенный) = \ frac {1} {21}

Разделение на дроби

Деление на дроби также относительно несложно.