Рубрика: Разное

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-3 x_{4}-x_{5}=0 \\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=0 \\ 4 x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}+3 x_{4}-4 x_{5}=0 \\ 2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}-7 x_{5}=0 \end{array}\right.$

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

От четвертой строки отнимем $\frac{4}{3}$ третьей и третью строку умножим на $\frac{1}{3}$ :

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Здесь $x_{2}, x_{4}$ — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_{1}, x_{3}, x_{5}$ — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$

Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3=2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_{2}=1$ , $x_{4}=0$ получаем, что $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_{3}=1-\frac{5}{2} \cdot 0=1 \\ x_{5}=3 \cdot 0=0 \end{array}\right.$ . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря $x_{2}=0$ , $x_{4}=2$, будем иметь, что {x_{1}=12, x_{3}=-5, x_{5}=6} , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

где коэффициенты $C_{1}, C_{2}$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-C_{1}+12 C_{2} \\ x_{2}=C_{1} \\ x_{3}=C_{1}-5 C_{2} \\ x_{4}=2 C_{2} \\ x_{5}=6 C_{2} \end{array}\right.$    $C_{1}, C_{2} \neq 0$

Придавая константам $C_{1}, C_{2}$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.

Фундаментальное решение системы линейных уравнений. Взгляд со стороны / Хабр

Добрый день!

В данной статье я попробую взглянуть по новому на алгоритм поиска общего решения системы линейных уравнений.

Задача, которой мы займемся звучит так.
Найти общее решение следующей системы уравнений

Такую задачу решают, приведя исходную систему к треугольному виду по методике Гаусса. Потом выбрав свободные переменные вычисляют общее решение.

Я хочу показать, как можно решать подобные системы другим способом. Насколько она известна и применяется где либо, я узнать не смог. Во всех публичных/популярных материалах, используется метод Гаусса.

Сразу скажу что решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

А следовательно, корни системы равны

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Используем этот прием и рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Перенесем свободные члены в левую часть

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. (Прошу отнестись снисходительно)
Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Возьмем две переменных, которые будут правее всех, и назначим их свободными.
Note: Для других уравнений не всегда получается, что надо брать именно последние правые коэффициенты

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг 1. Здесь последняя колонка это свободные члены системы

Шаг 2. Здесь последняя колонка это коэффициенты при переменной

Шаг 3. Здесь последняя колонка это коэффициенты при переменной

Нет необходимости подробно рассказывать откуда мы берем данные. Я думаю для читающих это очевидно. (Кто решал систему уравнений методом Крамера, найдут общие черты)

Интереснее то, что мы с этими «векторами» делать будем.

Разделим их на -81

получаем следующие три вектора

выстроим их в вертикаль и таким образом фундаментальное решение принимает вид

Великолепно! Не правда ли…

Для критерия разрешимости заданной системы уравнений в большинстве случаев используется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид

где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты, то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных пропорциональна другой.

Эта статья первая, и хотелось бы услышать замечания, критику, пожелания в свой адрес.

Алгоритм и калькулятор создан еще в январе 2019 года и только сегодня я решил опубликовать информацию на Хабре.

Если примете в свой коллектив/общество, то следующая тема будет
— как находить общее решение системы диофантовых уравнений.

📝Фундаментальная система решений

Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув здесь. Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.

Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:

Найдём решение этой линейной системы уравнений методом Гаусса. Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.

Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.

Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.

Видим, что последние три строки – одинаковые, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.

По этой матрице записываем новую систему уравнений.

Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо.

Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.

После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.

Какие именно векторы создают фундаментальную систему решений данной системы уравнений?

Для лучшего понимания хода роботы можете посмотреть видео-урок по данном задании.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Фундаментальная система решений СЛАУ

Системой линейных уравнений называется система вида: $\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +…+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ … \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$

Замечание 1

Здесь каждая буква относится к своей группе обозначений, $x_1…x_n$ — это неизвестные числа или переменные, подлежащие поиску, $a_11…a_{mn}$ — множители, содержащиеся при неизвестных, $b_1…b_m$ — свободные члены таблицы из чисел, получаемой на основе приведённой СЛАУ.

В компактной форме СЛАУ принято записывать в виде формулы вида $A \cdot X = B$. В этой формуле под большой буквой $A$ подразумевается матрица множителей при неизвестных системы, а буквами $X$ и $B$ обозначены вектор-столбец неизвестных системы и свободных членов.

Матрица $A$ называется основной матрицей системы, вот как она будет выглядеть:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

Если через длинную черту после матрицы множителей при неизвестных записан столбец свободных членов, то матрицу называют расширенной матрицей системы.

Необходимая терминология

Определение 1

Решением системы называют такие $n$ значений неизвестных $x_1=c_1, x_2=c_2…x_n-c_n$, что при их использовании все её уравнения становятся верными соблюдающимися равенствами. Найденное решение системы можно записать в виде таблицы неизвестных одним столбцом:

$C= \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix}$.

В зависимости от количеств групп переменных, подходящих для соблюдения всей системы, различают совместные и несовместные СЛАУ. Объединённая в систему группа равенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Среди первого типа существуют определённые СЛАУ, имеющие только одно решение и неопределённые, под такие подпадают все, которые можно решить с получением больше одного ответа.

Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю. Если в системе хотя бы один из свободных членов ненулевой, то она называется неоднородной, другие же СЛАУ с нулевым $B$ наоборот однородны.

Однородные системы совместны, так как $x_1=x_2=…x_n=0$ будет решением для систем, имеющих особенность в виде нулевого столбца $B$. Иначе такая группа ответов называется нулевым или тривиальным способом решения.

Нетривиальными же называются ответы на СЛАУ, детерминант матрицы которой не $0$. В группе ответов таких систем хотя бы одно из неизвестных подходит под $x_i$ ≠ $0$. Для поиска детерминанта можно воспользоваться $LU$ разложениями, гаусовым методом или его модификацией в виде способа Жордана-Гаусса.

Общее, частное и фундаментальное решения

Определение 2

Частным решением системы называется индивидуальное записанное в одну строчку, тогда как общее $X_o$ записывается через свободные переменные в одну строчку, оно представляет собой некое множество чисел, подходящих под данные условия. Общее $X_o$ включает в себя все индивидуальные.

Фундаментальной же системой решений (ФСР) называется совокупность $(n-r)$ векторов, являющихся линейно независимыми векторами системы. Здесь $r$ — это ранг исследуемой матрицы, согласно теореме Капелли, он равен количеству её основных неизвестных. Найти его можно путём разрешённых преобразований над изучаемым объектом, в частности, можно использовать метод Гаусса или другие.

Фундаментальная система решений частенько представлена как сумма всех возможных решений:

$X=C_1X_1 + C_2X_2+…C_{n-r}X_{n-r}$.

Здесь $С_1, C_2,…C_{n-r}$ — некоторые постоянные.

Пример 1

Приведена пример, в котором все свободные члены ненулевые:

$\begin{cases} x_1 – x_2 + x_3-x_4=4 \\ x_1+x_2+2x_3+3x_4=8 \\ 2x_1+4x_2+5x_3+10x_4=20 \\ 2x_1-4x_2+x_3-6x_4=4\\ \end{cases}$.

Ранг всех матриц соответсвует двойке, рассчитаем базисный минор:

$M=\begin{array}{|cc|} 1 & -1 \\ 1 &1 \\ \end{array}=2$

Избавимся от двух нижних равенств из примера и получим:

$\begin{cases} x_1 – x_2=4-c_3+c_4 \\ x_1+x_2=8-2c_3-3c_4 \\ \end{cases}$

Общим решением системы будет строчка $(6-\frac{3}{2}c_3-c_4; 2-\frac{1}{2}c_3-2c_4;c_3; c_4)$.

Теперь посмотрим, что буде в случае с нулевым столбцом за чертой:

$\begin{cases} x_1 – x_2 + x_3-x_4=0 \\ x_1+x_2+2x_3+3x_4=0 \\ 2x_1+4x_2+5x_3+10x_4=0 \\ 2x_1-4x_2+x_3-6x_4=0 \end{cases}$.

Ранг также соответствует двойке, а её решениями будут

$c_1=-\frac{3}{2} c_3-c_4; c_2=-\frac{1}{2}c_3-2c_4$. Константы же $c_3$ и $c_4$ выберем любые, например, возьмём их равными $c_3=0;c_4=1$.

Итак, используя приведённые выше значения $c_3=0;c_4=1$:

$X_1=(-\frac32;-\frac12;1;0)$;

$X_2=(-1;-2;0;1)$.

Фундаментальное решение системы можно записать так:

$X=C_1 (-\frac{3}{2};-\frac{1}{2};1;0)+C_2(-1;-2;0;1)$.

ФРС. Фундаментальное решение системы уравнений

Попробуем решить систему уравнений, типа

Решение подобных систем неразрывно связывают с формулой приведения матрицы к треугольному виду. Это наглядно, красиво и никогда не дает сбоев.  Есть только одно но, нужно делать очень много ручной работы и использовать понятия ранга матрицы

Нет никаких сомнений подвергать выверенную веками технологию, но есть не менее красивое решение используя векторное произведение. Информации по ним на январь 2019 года в интернете нет, поэтому скромно назовемся первооткрывателем.

Это решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе  вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

А следоватетельно, корни системы равны 

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Такой же нехитрый прием используется  и при системах где количество переменных может быть и пять и десять.

Рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Приведем её вот в такой вид

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Так как фантазии ноль, то те из переменных, которые будут правее всех, те  и станут свободными.

То есть свободными у нас будут две переменных 

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг1.

Шаг 2.

Шаг 3.

Нет необходимости подробно рассказывать откуда  мы берем данные. Это очевидно

Интереснее то, что мы с этими «векторами» делать будем.

Разделим их на -81

получаем следующие три вектора

Таким образом фундаментальное решение  принимает вид

Великолепно! Не правда ли….

Хочется еще что то решить…. Еще один пример

Это интересное уравнение, так вектора в любом сочетании будут давать ноль.

Это говорит нам о том, что одно из уравнений «лишнее». Согласимся с этим и уберем его. Например последнее.

Тогда нам надо выбрать две свободных переменных, пусть это будут переменные с индексами 2 и 4.

Тогда вектора находятся как

Разделим на -3 и наше общее решение будет иметь вид

Не каждому сразу становиться ясно откуда у нас появляются нули и единицы в нашем стройном вектором ряде.   Это  связано с тем, что мы свободные переменные выбрали как нашей душе угодно, а не самые крайние правые. 

Если бы мы взяли переменные с индексами 3 и 4  как свободные то решение бы мы переписали так как нам бы выдала машина.

В начале статьи мы упомянули о критерии неразрешимости той или иной системы уравнений. В классической версии для этого исползуется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид 

где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет

Примеры, неразрешимых систем уравнений

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты ( мы такой пример рассмотрели выше), то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных  пропорциональна другой.

Калькулятор, представленный здесь, дает Вам возможность самому проанализировать исходную систему, за Вас он лишь сделает точные расчеты, по тем данным, что Вы ему введете.

Вот один из примеров

• Функция ошибок >>

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2),

1. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свобод­ные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

(1)

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или триви­альное) решение (0; 0; …; 0).

Если в системе (1) m = n , а ее определитель отличен от ну­ля, то такая система имеет только нулевое решение, как это сле­дует из формул Крамера. Ненулевые решения, следо­вательно, возможны лишь для таких систем линейных однород­ных уравнений, в которых число уравнений меньше числа пере­менных, или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang(A) < n.

Обозначим решение системы (1) х₁ = k₁, х₂ = k₂,….,x_n = k_n в виде строки е₁ = (k_1,k₂,…,k_n ).

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если строка е₁ = (k_1,k₂,…,k_n) — решение системы (1), то и строка е₁ = (k_1, k₂,…, k_n )— также решение этой системы.

2. Если строки е₁ = (k_1,k₂,…,k_n ) и е₂ = (l_1,l₂,…,l_n ) —решения системы (1), то при любых с₁ и с₂ их линейная комбинация

c₁ e₁ +c₂ e₂ = (c₁ k₁ +c₂ l₁ ,c₁ k₂ + c₂ l₂ ,…., c₁ k_n +c₂ l_n )

также решение данной системы.

Убедиться в справедливости указанных свойств решений сис­темы линейных однородных уравнений можно непосредственной подстановкой их в уравнения системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Поэтому представля­ет интерес найти такие линейно независимые решения систе­мы (1), через которые линейно выражались бы все осталь­ные ее решения.

Решения е_1, е₂, …, е_k называются линейно независимыми, если их линейная комбинация ₁е₁ + ₂е₂ +…+ _ке_к равна нулю, только при условии что ₁ = ₂ =….= _к = 0.

Определение 2.9. Система линейно независимых решений е_1, е₂, …, е_k называется фундаментальной, если каждое решение системы (1) является линейной комбинацией решений е₁, е₂, …, е_k .

Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа пере­менных n, то всякая фундаментальная система решений системы (1) состоит из n – r решений.

Общим решением системы (1) линейных однородных уравнений называется множество всех ее решений, записанных в виде: с₁е₁ + с₂е₂ + … + с _k е _k , где е₁, е₂, … , е_k — любая фундаментальная система решений, с₁, с₂, … , с_k — произвольные числа и k = n – г .

Общее решение неоднородной системы m линейных урав­нений с n переменными равно сумме общего решения соответ­ствующей ей системы однородных линейных уравнений и про­извольного частного решения этой системы.

Пример 1. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

Решение: Определитель системы , поэтому система имеет единственное нулевое решение:x = y = z = 0.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных алгебраических уравнений и записать фундаментальную систему решений

Решение: Определитель системы , поэтому система имеет бесконечное множество решений. Так как определитель из коэффициентов при неизвестныхx₁ и х₂ не равен нулю , то этот минор можно принять за базисный. Посколькуrang A = 2, n = 3, возьмем первые два уравнения системы и найдем ее общее решение.

В качестве базисных неизвестных возьмем x₁ и х₂ и переместим члены с х₃ в правые части уравнений:

Решая эту систему по формулам Крамера и задав свободной переменной х₃ значение х₃ = c₁ (с₁ – произвольное число), получаем

;

Отсюда находим, что

Итак — общее решение.

Полагая с₁ = 1, получим частное решение

Или в матричном виде . Таким образом, фундаментальная система решений состоит из единственного вектора.

Ответ: общее решение ,

где c₁ — произвольное число. — фундаментальная система решений.

Пример 3. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

Решение: Определитель системы , поэтому система имеет бесконечное множество решений. Поскольку все строки матрицы пропорциональны, тоrang A = 1. Возьмем любое (например, второе) уравнение системы и найдем ее решение. Так как rang A = 1, n = 3, то базисная переменная одна, остальные две свободные. Фундаментальная система решений состоит из k = n – r = 3 = 1 = 2 решений.

полагая х₂ = с₁, х₃ = с₂ получаем решение системы , гдес₁ и с₂ произвольные числа.

Ответ: общее решение , гдес₁ и с₂ произвольные числа.

Фундаментальное решение системы уравнений

86

Попробуем решить систему уравнений, например

Решение таких систем неразрывно связано с формулой приведения матрицы к треугольной форме.Он четкий, красивый и никогда не подводит. Есть только одна вещь, но вам нужно сделать много ручной работы и использовать концепции ранга матрицы

Нет никаких сомнений в демонстрации технологии, проверенной веками, но есть не менее красивое решение с использованием векторного продукта. Информации о них на январь 2019 года в Интернете нет, поэтому мы скромно называем себя первооткрывателями.

Это решение, конечно, не оптимальное (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения необходимо вычислять определитель матрицы, а это как-то вычисление треугольной матрицы.

Но решение красивое и понятное, кроме этого легко увидеть критерий, по которому система не имеет решений.

В чем суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, получаем

Следовательно, корни системы равны

Для тех, кто не верит, это легко проверяется подстановкой.

Такой же простой метод используется в системах, где количество переменных может быть от пяти до десяти.

Рассмотрим, как такие системы решаются с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Приводим в таком виде

Получилось 6 столбцов.

На данном этапе мы не будем вводить новые сущности и не будем использовать понятия матричного ранга в нашей работе. Мы просто видим, что есть 3 уравнения и 5 переменных. Следовательно, общее решение будет использовать 5-3 = 2 независимых переменных.

На этом же шаге мы можем определить, какая из переменных будет свободной.Поскольку фантазии равны нулю, то те из переменных, которые будут справа от всех, станут бесплатными.

То есть у нас будет две свободные переменные

А теперь за три шага определяем принципиальное решение исходной системы

Шаг 1.

Шаг 2

Шаг 3

Нет необходимости подробно рассказывать, откуда мы берем данные. Очевидно

Что еще интереснее, так это то, что мы будем делать с этими «векторами».

Разделите на -81

получаем следующие три вектора

Таким образом, принципиальное решение принимает вид

Превосходно! Не правда ли ….

Я бы хотел кое-что решить …. Другой пример

Это интересное уравнение, поскольку векторы в любой комбинации дадут ноль.

Это говорит нам о том, что одно из уравнений «лишнее».«Мы согласны с этим и удаляем. Например, последнее.

Затем нам нужно выбрать две свободные переменные, пусть это будут переменные с индексами 2 и 4.

Тогда векторы находятся как

Разделите на -3, и наше общее решение будет иметь вид

Не всем сразу понятно, откуда у нас в нашем тонком векторном ряду нули и единицы. Это связано с тем, что мы выбрали свободные переменные, как душе угодно, а не самые крайние правые.

Если бы мы взяли переменные с индексами 3 и 4 как свободные, то мы бы переписали решение так, как нам дала бы машина.

В начале статьи мы упомянули критерий неразрешимости той или иной системы уравнений. В классическом варианте для этого используется правило Кронекера-Копелли, здесь просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид

Где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один ненулевой, то в такой системе решений нет

Примеры неразрешимых систем уравнений

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты (мы рассмотрели такой пример выше), то это говорит о том, что либо хотя бы одно из уравнений является линейным представлением другого, и / или одна из переменных пропорциональна Другие.

Калькулятор, представленный здесь, дает вам возможность самостоятельно проанализировать исходную систему, он только сделает за вас точные вычисления в соответствии с данными, которые вы в него вводите.

Вот один пример

Система линейных уравнений — линейная алгебра с приложениями

Практические задачи во многих областях науки, таких как биология, бизнес, химия, информатика, экономика, электроника, инженерия, физика и социальные науки, часто можно свести к решению системы линейных уравнений.Линейная алгебра возникла из попыток найти систематические методы решения этих систем, поэтому естественно начать эту книгу с изучения линейных уравнений.

Если, и — действительные числа, график уравнения вида

— прямая линия (если и не равны нулю), поэтому такое уравнение называется линейным уравнением в переменных и. Однако часто удобно записывать переменные как, особенно когда задействовано более двух переменных.Уравнение вида

называется линейным уравнением в переменных. Здесь обозначают действительные числа (называемые коэффициентами соответственно), а также число (называемое постоянным членом уравнения). Конечный набор линейных уравнений с переменными называется системой линейных уравнений с этими переменными. Следовательно,

— линейное уравнение; коэффициенты при, и равны, и, а постоянный член равен.Обратите внимание, что каждая переменная в линейном уравнении встречается только в первой степени.

Для линейного уравнения последовательность чисел называется решением уравнения, если

, то есть, если уравнение удовлетворяется при выполнении замен. Последовательность чисел называется решением системы уравнений, если она является решением каждого уравнения в системе.

Система может вообще не иметь решения, или она может иметь уникальное решение, или она может иметь бесконечное семейство решений.Например, система не имеет решения, потому что сумма двух чисел не может быть одновременно 2 и 3. Система, не имеющая решения, называется несовместимой ; система с хотя бы одним решением называется согласованным .

Покажите, что для произвольных значений и

— это решение системы

Просто подставьте эти значения,, и в каждое уравнение.

Поскольку оба уравнения удовлетворяются, это решение для любого выбора и.

Величины и в этом примере называются параметрами , а набор решений, описанный таким образом, считается заданным в параметрической форме и называется общим решением системы. Оказывается, что решения каждой системы уравнений (если есть , — это решений) могут быть даны в параметрической форме (то есть, переменные задаются в терминах новых независимых переменных и т. Д. .).

Когда задействованы только две переменные, решения систем линейных уравнений могут быть описаны геометрически, потому что график линейного уравнения представляет собой прямую линию, если оба они не равны нулю. Более того, точка с координатами и лежит на прямой тогда и только тогда, когда — то есть когда, является решением уравнения. Следовательно, решения системы линейных уравнений соответствуют точкам, которые лежат на всех рассматриваемых линиях.

В частности, если система состоит только из одного уравнения, должно быть бесконечно много решений, потому что на прямой бесконечно много точек. Если система имеет два уравнения, есть три возможности для соответствующих прямых:

• Линии пересекаются в одной точке. Тогда система имеет уникальное решение , соответствующее этой точке.
• Линии параллельны (и различны) и поэтому не пересекаются. Тогда в системе нет решения .
• Строки идентичны. Тогда в системе будет бесконечно много решений — по одному для каждой точки на (общей) прямой.

С тремя переменными график уравнения может быть показан как плоскость и, таким образом, снова дает «картину» множества решений. Однако у этого графического метода есть свои ограничения: когда задействовано более трех переменных, физическое изображение графов (называемых гиперплоскостями) невозможно. Необходимо обратиться к более «алгебраическому» методу решения.

Перед описанием метода мы вводим понятие, упрощающее вычисления. Рассмотрим следующую систему

трех уравнений с четырьмя переменными. Массив чисел

, встречающееся в системе, называется расширенной матрицей системы. Каждая строка матрицы состоит из коэффициентов переменных (по порядку) из соответствующего уравнения вместе с постоянным членом. Для наглядности константы разделены вертикальной линией.Расширенная матрица — это просто другой способ описания системы уравнений. Массив коэффициентов при переменных

называется матрицей коэффициентов системы, а
называется постоянной матрицей системы.

Элементарные операции

Алгебраический метод решения систем линейных уравнений описывается следующим образом. Две такие системы называются эквивалентами , если они имеют одинаковый набор решений.Система решается путем написания серии систем, одна за другой, каждая из которых эквивалентна предыдущей системе. Каждая из этих систем имеет тот же набор решений, что и исходная; цель состоит в том, чтобы получить систему, которую легко решить. Каждая система в серии получается из предыдущей системы простой манипуляцией, выбранной так, чтобы она не меняла набор решений.

В качестве иллюстрации мы решаем систему таким образом. На каждом этапе отображается соответствующая расширенная матрица.Исходная система —

Сначала вычтите дважды первое уравнение из второго. В результате получается система

, что эквивалентно оригиналу. На этом этапе мы получаем, умножив второе уравнение на. В результате получается эквивалентная система

Наконец, мы дважды вычитаем второе уравнение из первого, чтобы получить другую эквивалентную систему.

Теперь эту систему легко решить! И поскольку он эквивалентен исходной системе, он обеспечивает решение этой системы.

Обратите внимание, что на каждом этапе в системе (и, следовательно, в расширенной матрице) выполняется определенная операция для создания эквивалентной системы.

Следующие операции, называемые элементарными операциями , могут в обычном порядке выполняться над системами линейных уравнений для получения эквивалентных систем.

1. Поменяйте местами два уравнения.
2. Умножьте одно уравнение на ненулевое число.
3. Добавьте одно уравнение, кратное одному, к другому уравнению.

Предположим, что последовательность элементарных операций выполняется над системой линейных уравнений. Тогда полученная система имеет тот же набор решений, что и исходная, поэтому две системы эквивалентны.

Элементарные операции, выполняемые над системой уравнений, производят соответствующие манипуляции с строками расширенной матрицы. Таким образом, умножение строки матрицы на число означает умножение каждой записи строки на.Добавление одной строки к другой означает добавление каждой записи этой строки к соответствующей записи другой строки. Аналогично производится вычитание двух строк. Обратите внимание, что мы считаем две строки равными, если соответствующие записи совпадают.

В ручных вычислениях (и в компьютерных программах) мы манипулируем строками расширенной матрицы, а не уравнениями. По этой причине мы переформулируем эти элементарные операции для матриц.

Следующие операции называются элементарными операциями со строками матрицы.

1. Поменять местами два ряда.
2. Умножить одну строку на ненулевое число.
3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую строку.

На иллюстрации выше серия таких операций привела к матрице вида

, где звездочки обозначают произвольные числа. В случае трех уравнений с тремя переменными цель состоит в том, чтобы получить матрицу вида

Это не всегда происходит, как мы увидим в следующем разделе.Вот пример, в котором это действительно происходит.

Решение:
Расширенная матрица исходной системы —

Чтобы создать в верхнем левом углу, мы можем умножить строку с 1 на. Однако можно получить без введения дробей, вычтя строку 2 из строки 1. Результат:

Верхний левый угол теперь используется для «очистки» первого столбца, то есть для создания нулей в других позициях в этом столбце.Сначала отнимите строку 1 от строки 2, чтобы получить

Далее вычтите строку 1 из строки 3. Результат:

Это завершает работу над столбцом 1. Теперь мы используем во второй позиции второй строки, чтобы очистить второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и затем добавляя строку 2 к строке 3. Для удобства обе операции со строками сделано за один шаг. Результат —

Обратите внимание, что две последние манипуляции не повлияли на первый столбец (во второй строке там стоит ноль), поэтому наши предыдущие усилия там не были подорваны.Наконец, мы очищаем третий столбец. Начните с умножения строки 3 на, чтобы получить

Теперь вычтите временную строку 3 из строки 1, а затем прибавьте умноженную строку 3 к строке 2, чтобы получить

Соответствующие уравнения:, и, которые дают (единственное) решение.

Алгебраический метод, представленный в предыдущем разделе, можно резюмировать следующим образом: Для данной системы линейных уравнений используйте последовательность элементарных операций со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в «красивую» матрицу (это означает, что соответствующие уравнения легко решить. ).В примере 1.1.3 эта красивая матрица приняла вид

Следующие определения идентифицируют хорошие матрицы, возникающие в этом процессе.

Матрица, как говорят, находится в форме рядов (и будет называться матрицей рядов , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Все нулевые строки (полностью состоящие из нулей) находятся внизу.
2. Первая ненулевая запись слева в каждой ненулевой строке — это a, называемая ведущей для этой строки.
3. Каждый ведущий элемент находится справа от всех ведущих строк в строках над ним.

Матрица строка-эшелон называется сокращенной строкой-эшелонной формой (и будет называться сокращенной матрицей строка-эшелон , если, кроме того, она удовлетворяет следующему условию:

4. Каждый ведущий элемент — это единственная ненулевая запись в своем столбце.

Матрицы «строка-эшелон» имеют форму «ступеньки», как показано в следующем примере (звездочки указывают произвольные числа).

Ведущие идут «вниз и вправо» через матрицу. Записи выше и справа от ведущих s произвольны, но все записи ниже и слева от них равны нулю. Следовательно, матрица в виде эшелона строк находится в сокращенной форме, если, кроме того, все записи непосредственно над каждым ведущим равны нулю. Обратите внимание, что матрица в форме эшелона строк может с помощью нескольких дополнительных операций со строками быть приведена к сокращенной форме (используйте операции со строками, чтобы последовательно создавать нули над каждой ведущей единицей, начиная справа).

Важность матриц «строка-эшелон» вытекает из следующей теоремы.

Каждая матрица может быть приведена к (сокращенной) форме строки-эшелона последовательностью элементарных операций со строками.

Фактически, мы можем дать пошаговую процедуру для фактического нахождения матрицы ряда строк. Обратите внимание: несмотря на то, что существует множество последовательностей операций со строками, которые приведут матрицу к форме ряда строк, та, которую мы используем, является систематической и ее легко программировать на компьютере. Обратите внимание, что алгоритм имеет дело с матрицами в целом, возможно, со столбцами нулей.

Шаг 1. Если матрица полностью состоит из нулей, остановитесь — она ​​уже в виде эшелона строк.

Шаг 2. В противном случае найдите первый столбец слева, содержащий ненулевую запись (назовите его), и переместите строку, содержащую эту запись, в верхнюю позицию.

Шаг 3. Теперь умножьте новую верхнюю строку на, чтобы создать интерлиньяж.

Шаг 4. Вычитая числа, кратные этой строке, из строк под ней, сделайте каждую запись ниже начального нуля. Это завершает первую строку, и все дальнейшие операции со строками выполняются с оставшимися строками.

Шаг 5. Повторите шаги 1–4 для матрицы, состоящей из оставшихся строк.

Процесс останавливается, когда либо на шаге 5 не остается строк, либо оставшиеся строки состоят полностью из нулей.

Обратите внимание на то, что алгоритм Гаусса является рекурсивным: после получения первого интервала процедура повторяется для оставшихся строк матрицы. Это упрощает использование алгоритма на компьютере. Обратите внимание, что в решении примера 1.1.3 не использовался гауссовский алгоритм в том виде, в каком он был написан, поскольку первый ведущий не был создан путем деления строки 1 на.Причина этого в том, что он избегает дробей. Однако общий шаблон ясен: создайте ведущие слева направо, используя каждый из них по очереди, чтобы создать нули под ним. Вот один пример.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица

Создайте первую ведущую, поменяв местами строки 1 и 2

Теперь вычтите умноженную строку 1 из строки 2 и вычтите умноженную строку 1 из строки 3.Результат —

Теперь вычтите строку 2 из строки 3, чтобы получить

Это означает, что следующая сокращенная система уравнений

эквивалентен исходной системе. Другими словами, у них одинаковые решения. Но эта последняя система явно не имеет решения (последнее уравнение требует этого и удовлетворяет, а таких чисел не существует). Следовательно, исходная система не имеет решения.

Для решения линейной системы расширенная матрица преобразуется в сокращенную форму строки-эшелон, а переменные, соответствующие ведущим, называются ведущими переменными .Поскольку матрица представлена ​​в сокращенной форме, каждая ведущая переменная встречается ровно в одном уравнении, поэтому это уравнение может быть решено для получения формулы для ведущей переменной в терминах не ведущих переменных. Принято называть нелидирующие переменные «свободными» переменными и маркировать их новыми переменными, называемыми параметрами . Каждый выбор этих параметров приводит к решению системы, и каждое решение возникает таким образом. Эта процедура в целом работает и получила название

Для решения системы линейных уравнений выполните следующие действия:

1. Перенести расширенную матрицу \ index {расширенная матрица} \ index {матрица! Расширенная матрица} в сокращенную матрицу-эшелон строк, используя элементарные операции со строками.
2. Если возникает строка, система несовместима.
3. В противном случае присвойте не ведущие переменные (если они есть) в качестве параметров и используйте уравнения, соответствующие сокращенной матрице строки-эшелон, чтобы найти ведущие переменные в терминах параметров.

Существует вариант этой процедуры, в котором расширенная матрица переносится только в строчно-эшелонированную форму. Не ведущие переменные назначаются как параметры, как и раньше. Затем последнее уравнение (соответствующее форме строки-эшелона) используется для решения последней ведущей переменной в терминах параметров.Эта последняя ведущая переменная затем подставляется во все предыдущие уравнения. Затем второе последнее уравнение дает вторую последнюю ведущую переменную, которая также подставляется обратно. Процесс продолжает давать общее решение. Эта процедура называется обратной заменой . Можно показать, что эта процедура численно более эффективна и поэтому важна при решении очень больших систем.

Рейтинг

Можно доказать, что уменьшенная строка-эшелонированная форма матрицы однозначно определяется.То есть, независимо от того, какая серия операций со строками используется для переноса в сокращенную матрицу эшелонов строк, результатом всегда будет одна и та же матрица. Напротив, это неверно для матриц ряда строк: разные серии операций со строками могут переносить одну и ту же матрицу в разные матрицы ряда строк. В самом деле, матрица может быть перенесена (с помощью одной строковой операции) в матрицу-эшелон строк, а затем с помощью другой строковой операции в (сокращенную) матрицу-эшелон. Однако — это верно, что количество ведущих единиц должно быть одинаковым в каждой из этих матриц эшелонов строк (это будет доказано позже).Следовательно, количество зависит только от того, каким образом приведено в строй.

Решение:

Приведение к строковой форме

Так как эта матрица эшелонов строк имеет два ведущих s, rank.

Предположим, что ранг, где — матрица со строками и столбцами.Тогда потому что ведущие s лежат в разных строках, и потому что ведущие s лежат в разных столбцах. Более того, у ранга есть полезное приложение к уравнениям. Напомним, что система линейных уравнений называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение.

Проба:

Тот факт, что ранг расширенной матрицы равен, означает, что есть ровно ведущие переменные и, следовательно, точно не ведущие переменные. Все эти нелидирующие переменные назначаются как параметры в гауссовском алгоритме, поэтому набор решений включает в себя именно параметры.Следовательно, если существует хотя бы один параметр, а значит, бесконечно много решений. Если, нет параметров и поэтому единственное решение.

Теорема 1.2.2 показывает, что для любой системы линейных уравнений существуют ровно три возможности:

1. Нет решения . Это происходит, когда ряд встречается в форме эшелона строк. Это тот случай, когда система несовместима.
2. Уникальное решение . Это происходит, когда каждая переменная является ведущей переменной.
3. Бесконечно много решений . Это происходит, когда система согласована и есть хотя бы одна не ведущая переменная, поэтому задействован хотя бы один параметр.

https://www.geogebra.org/m/cwQ9uYCZ
Пожалуйста, ответьте на эти вопросы после открытия веб-страницы:
1. Для данной линейной системы, что представляет каждая из них?

2. Исходя из графика, что можно сказать о решениях? Есть ли у системы одно решение, нет решения или бесконечно много решений? Почему

3.Измените постоянный член в каждом уравнении на 0, что изменилось на графике?

4. Для следующей линейной системы:

Можете ли вы решить это методом исключения Гаусса? Что вы наблюдаете, когда смотрите на график?

Многие важные проблемы включают линейных неравенств , а не линейных уравнений Например, условие для переменных может принимать форму неравенства, а не равенства.Существует метод (называемый симплексным алгоритмом ) для поиска решений системы таких неравенств, который максимизирует функцию вида где и — фиксированные константы.

Система уравнений с переменными называется однородной , если все постоянные члены равны нулю, то есть если каждое уравнение системы имеет вид

Очевидно, решение такой системы; это называется тривиальным решением .Любое решение, в котором хотя бы одна переменная имеет ненулевое значение, называется нетривиальным решением .
Наша главная цель в этом разделе — дать полезное условие, при котором однородная система имеет нетривиальные решения. Следующий пример поучителен.

Решение:

Приведение расширенной матрицы к сокращенной форме эшелона строк описано ниже.

Ведущими переменными являются,, и, например, назначается в качестве параметра.Тогда общее решение:,,,. Следовательно, взяв (скажем), мы получим нетривиальное решение:,,,.

Существование нетривиального решения в примере 1.3.1 обеспечивается наличием параметра в решении. Это связано с тем, что существует нелидирующая переменная (в данном случае). Но здесь должно быть не ведущей переменной, потому что здесь четыре переменные и только три уравнения (и, следовательно, не более три ведущие переменные).Это обсуждение обобщает доказательство следующей основной теоремы.

Если однородная система линейных уравнений имеет больше переменных, чем уравнений, то она имеет нетривиальное решение (фактически бесконечно много).

Проба:

Предположим, что есть уравнения в переменных, где, и пусть обозначают сокращенную строчно-эшелонированную форму расширенной матрицы. Если есть ведущие переменные, есть не ведущие переменные и, следовательно, параметры. Следовательно, достаточно показать это.Но потому что имеет ведущие единицы и строки, и по гипотезе. Итак, что дает.

Обратите внимание, что обратное утверждение теоремы 1.3.1 неверно: если однородная система имеет нетривиальные решения, у нее не должно быть больше переменных, чем у уравнений (система имеет нетривиальные решения, но.)

Теорема 1.3.1 очень полезна в приложениях. В следующем примере представлена ​​иллюстрация из геометрии.

Решение:

Пусть координаты пяти точек будут,,, и. График проходов if

Это дает пять уравнений, по одному для каждого, линейных по шести переменным,,,,, и. Следовательно, по теореме 1.1.3 существует нетривиальное решение. Если все пять точек лежат на линии с уравнением, вопреки предположению. Следовательно, один из « отличен от нуля.

Линейные комбинации и базовые решения

Что касается строк, два столбца считаются равными , если они имеют одинаковое количество записей и соответствующие записи одинаковы. Позвольте и быть столбцами с одинаковым количеством записей. Что касается операций с элементарными строками, их сумма получается путем сложения соответствующих записей, и, если это число, скалярное произведение определяется путем умножения каждой записи на. Точнее:

Сумма скалярных кратных нескольких столбцов называется линейной комбинацией этих столбцов.Например, это линейная комбинация и для любого выбора чисел и.

Решение:

Для, мы должны определить, существуют ли числа, и такие, что, то есть

Приравнивание соответствующих элементов дает систему линейных уравнений,, и для,, и. Путем исключения Гаусса решение есть, и где — параметр. Взяв, мы видим, что это линейная комбинация, и.

Обращаясь к, снова ищем, и такие, что; то есть

, что приводит к уравнениям,, и для действительных чисел, и.Но на этот раз существует без решения , как может проверить читатель, а также , а не , линейная комбинация, и.

Наш интерес к линейным комбинациям проистекает из того факта, что они предоставляют один из лучших способов описания общего решения однородной системы линейных уравнений. Когда
решает такую ​​систему с переменными, запишите переменные в виде матрицы столбцов:. Обозначается тривиальное решение. В качестве иллюстрации общее решение в примере 1
.3.1 — это,, и, где — параметр, и теперь мы могли бы выразить это как
, говоря, что общее решение -, где произвольно.

Теперь пусть и — два решения однородной системы с переменными. Тогда любая линейная комбинация этих решений снова оказывается решением системы. В более общем плане:

Фактически, предположим, что типичное уравнение в системе имеет вид, и предположим, что

, являются решениями. Потом и
.
Следовательно, это тоже решение, потому что

Аналогичный аргумент показывает, что Утверждение 1.1 верно для линейных комбинаций более двух решений.

Примечательно то, что каждое решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию определенных частных решений, и, фактически, эти решения легко вычисляются с использованием гауссовского алгоритма. Вот пример.

Решение:

Приведение дополненной матрицы к уменьшенной форме —

, поэтому решениями являются,, и методом исключения Гаусса.Следовательно, мы можем записать общее решение в матричной форме

Вот и частные решения, определяемые гауссовским алгоритмом.

Решения и в примере 1.3.5 обозначены следующим образом:

Алгоритм Гаусса систематически выдает решения для любой однородной линейной системы, называемые базовыми решениями , по одному для каждого параметра.

Кроме того, алгоритм дает стандартный способ выразить каждое решение как линейную комбинацию базовых решений, как в Примере 1.3.5, где общее решение принимает вид

Следовательно, вводя новый параметр, мы можем умножить исходное базовое решение на 5 и таким образом исключить дроби.

По этой причине:

Любое ненулевое скалярное кратное базового решения будет по-прежнему называться базовым решением.

Таким же образом алгоритм Гаусса выдает базовые решения для каждой однородной системы, по одному для каждого параметра (есть нет базовых решений, если система имеет только тривиальное решение).Более того, каждое решение задается алгоритмом как линейная комбинация
этих базовых решений (как в Примере 1.3.5). Если имеет ранг, теорема 1.2.2 показывает, что есть ровно параметры, а значит, и базовые решения. Это доказывает:

Решение:

Приведение расширенной матрицы к сокращенной строчно-эшелонированной форме —

, поэтому общее решение — это,,,, и где, и — параметры.В матричной форме это

Следовательно, базовые решения

Функции Грина и фундаментальные решения

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений мы знаем, что константы могут быть найдены из дополнительных граничных условий. Пространство неограниченно, поэтому условие на бесконечности является одним из таких граничных условий. Константа должна быть равна нулю, если мы ищем решение, исчезающее на бесконечности.Функция f также должна удовлетворять закону сохранения, который для потенциальных проблем означает, что поток от единичного источника должен быть равен полному потоку через любую поверхность S, которая его окружает.

Предположим, что поверхность S является сферой радиуса? можно математически сформулировать закон как

, из которого следует, что константа должна быть равна 1 / (4?).

Таким образом, следуя относительно простым аргументам, мы получили фундаментальное решение f = 1 / (4? R) уравнения Лапласа, которое Грин использовал в своем эссе.Хотя мы не использовали «распределения», фундаментальное решение не является регулярной функцией, поскольку оно стремится к бесконечности, когда r стремится к нулю. Итак, фундаментальное решение — сингулярная функция.

Выше мы предполагали, что начало декартовой системы координат совпадает с точечным источником. Перемещая начало координат в некоторую точку x ‘(x’, y ‘, z’), можно получить более общий вид фундаментального решения

, где расстояние r между точкой x ‘(x’, y ‘, z’) применяемого источника и точкой x (x, y, z) определяется следующим образом:

Это решение удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки x ‘.

Относительная простота описанной выше процедуры является результатом симметрии задачи. Ту же процедуру можно использовать, например, для получения фундаментального решения уравнения Гельмгольца, которое определяет некоторые задачи распространения волн. Фундаментальное решение этого уравнения представляет собой поле, создаваемое единичным концентрированным источником гармоник. К сожалению, аналогичные задачи для других дифференциальных уравнений в частных производных могут не обладать сферической симметрией. Например, рассмотрим теорию упругости.Чтобы найти фундаментальное решение уравнений упругости Навье-Коши, необходимо решить задачу о неограниченном пространстве, содержащем единичную точечную нагрузку. Поля в задачах теории упругости (перемещения и тяги) являются векторными полями, а не скалярными, как поля в теории потенциала (потенциал и поток). Точечная нагрузка может быть приложена в разных направлениях (например, в направлениях осей x, y, z декартовой системы координат), и смещения, создаваемые этими нагрузками, будут разными в разных направлениях.Этот пример демонстрирует, что в целом проблема поиска фундаментальных решений может быть сложной. Многие фундаментальные решения носят имена людей, которые их получили первыми (например, фундаментальное решение Кельвина, фундаментальное решение Мелана, фундаментальное решение Ронгведа по упругости и т. Д.).

Фундаментальные решения уравнений в частных производных обычно формулируются для бесконечных областей. В некоторых случаях можно найти решения основных дифференциальных уравнений для областей с дополнительными границами или для конечных областей, зная условия на некоторых частях этих границ.2} + p (t) \ frac {dy} {dt} + q (t) y = 0 $ — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, где $ p $ и $ q $ непрерывны на открытом интервале $ I $, таком что $ t_0 \ in I $, и пусть $ y = y_1 (t) $ и $ y = y_2 (t) $ — два решения этого дифференциального уравнения. Множество всех линейных комбинаций этих двух решений, $ y = Cy_1 (t) + Dy_2 (t) $, где $ C $ и $ D $ — константы, содержит все решения этого дифференциального уравнения тогда и только тогда, когда существует точка $ t_0 $, для которого вронксиан $ y_1 $ и $ y_2 $ в $ t_0 $ отличен от нуля, то есть $ W (y_1, y_2) \ biggr \ rvert_ {t_0} \ neq 0 $.2} + p (t) \ frac {dy} {dt} + q (t) y = 0 $ и предположим, что $ y = \ phi (t) $ также является произвольным решением. Мы хотим показать, что $ \ phi (t) $ представляет собой линейную комбинацию $ y_1 $ и $ y_2 $ для некоторых констант $ C $ и $ D $.

• $ \ Leftarrow $ Пусть $ t_0 $ таково, что вронскиан для $ y_1 $ и $ y_2 $, вычисленный в $ t_0 $, отличен от нуля, то есть:

\ begin {align} \ quad W (y_1, y_2) \ biggr \ rvert_ {t_0} \ neq 0 \ end {align}

• Возьмите это значение $ t_0 $ и на этом этапе оцените как $ \ phi $, так и $ \ phi ‘$.2} + p (t) \ frac {dy} {dt} + q (t) y = 0 $ с начальными условиями $ y (t_0) = y_0 $ и $ y ‘(t_0) = y’_0 $. Функция $ \ phi $ удовлетворяет этому дифференциальному уравнению. Поскольку $ W (y_1, y_2) \ biggr \ rvert_ {t_0} \ neq 0 $, то существуют константы $ C $ и $ D $ такие, что $ y = Cy_1 (t) + Dy_2 (t) $ удовлетворяет этому проблема начального значения. Но поскольку $ p $ и $ q $ непрерывны на открытом интервале $ I $, содержащем $ t_0 $, это означает, что существует единственное решение, и поэтому:

\ begin {align} \ phi (t) = Cy_1 (t) + Dy_2 (t) \ end {align}

• Итак, все решения этого дифференциального уравнения представляют собой линейную комбинацию решений $ y = y_1 (t) $ и $ y = y_2 (t) $.

• $ \ Rightarrow $ Предположим, что каждая точка $ t_0 \ in I $ такова, что $ W (y_1, y_2) \ biggr \ rvert_ {t_0} = 0 $, то есть не существует точки $ t_0 $ на $ I $, где вронскиан для $ y_1 $ и $ y_2 $, оцененный как $ t_0 $, отличен от нуля. Пусть $ y_0 $ и $ y’_0 $ будут значениями, для которых система $ \ left \ {\ begin {matrix} Cy_1 (t_0) + Dy_2 (t_0) = y_0 \\ Cy_1 ‘(t_0) + Dy_2’ (t_0) = y’_0 \ end {matrix} \ right. $ не имеет решений для набора констант $ C $ и $ D $.

• Теперь, поскольку $ p $ и $ q $ непрерывны на открытом интервале $ I $, содержащем $ t_0 $, такое решение $ \ phi (t) $ удовлетворяет начальным условиям $ y (t_0) = y_0 $ и $ y ‘(t_0) = y’_0 $.2} + p (t) \ frac {dy} {dt} + q (t) y = 0 $ даются по формуле:
  (3)

  \ begin {align} \ quad y = Cy_1 (t) + Dy_2 (t) \ end {align}

  Также обратите внимание, что до сих пор мы не говорили, что $ y = y_1 (t) $ и $ y = y_2 (t) $ должны быть разными. Однако с помощью приведенной выше теоремы мы видим, что если $ y_1 (t) = y_2 (t) $, то вронскиан $ W (y_1, y_2) = W (y_1, y_1) = W (y_2, y_2) $ равен нулю ( как вы должны проверить), и поэтому не все решения линейного однородного дифференциала второго порядка даются линейной комбинацией всего $ y_1 $.2} + p (t) \ frac {dy} {dt} + q (t) y = 0 $, где $ p $ и $ q $ непрерывны на открытом интервале $ I $, таком что $ t_0 \ in I $ и пусть $ y = y_1 (t) $ и $ y = y_2 (t) $ — решения этого дифференциального уравнения. Если вронскиан $ W (y_1, y_2) \ neq 0 $, то набор линейных комбинаций $ y_1 $ и $ y_2 $ известен как Фундаментальный набор решений этого дифференциального уравнения.

  Из определения выше мы видим, что если мы можем найти два решения $ y = y_1 (t) $ и $ y = y_2 (t) $, для которых вронскиан $ W (y_1, y_2) $ отличен от нуля, то $ y_1 $ и $ y_2 $ образуют фундаментальный набор решений.2 y} {dt} + p (t) \ frac {dy} {dt} + q (t) y = 0 $ — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, где $ p $ и $ q $ непрерывны на открытом интервале. $ I $ такое, что $ t_0 \ in I $. Если $ y = y_1 (t) $ является решением этого дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальным условиям $ y_1 (t_0) = 1 $ и $ y_1 ‘(t_0) = 0 $, и если $ y = y_2 (t) $ — решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $ y_2 (t_0) = 0 $ и $ y_2 ‘(t_0) = 1 $. Тогда $ y_1 $ и $ y_2 $ образуют фундаментальный набор решений этого дифференциального уравнения. (4)

  \ begin {align} \ quad W (y_1, y_2) \ biggr \ rvert_ {t_0} = \ begin {vmatrix} y_1 (t_0) & y_2 (t_0) \\ y_1 ‘(t_0) & y_2’ (t_0) \ конец {vmatrix} = \ begin {vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {vmatrix} = 1 \ neq 0 \ end {align}

  • Таким образом, из теоремы 1 следует, что ВСЕ решения этого дифференциального уравнения задаются формулами $ y = Cy_1 (t) + Dy_2 (t) $, где $ C $ и $ D $ — константы. Таким образом, $ y_1 $ и $ y_2 $ образуют фундаментальный набор решений этого дифференциального уравнения. $ \ blacksquare $

  404 Не найдено

  404 Не найдено

  Запрошенный URL / ~ aterras / matrix% 2520exp% 2520etc.pdf не найден на этом сервере.

  ---

  Наиболее частые причины этой ошибки:
  • Вы неправильно ввели URL-адрес, к которому вы пытаетесь получить доступ. Тщательно проверьте орфографию, пунктуацию и чувствительность к регистру URL-адреса и повторите попытку.
  • Файл или каталог, к которому вы пытаетесь получить доступ, больше не существует или был перемещен в другое место.
  Если вам нужна помощь в разрешении этой проблемы, обратитесь к владельцу веб-страницы или веб-мастеру, как описано ниже.

  ---

  Информацию о веб-сайтах класса см. В списке веб-сайтов класса по адресу http://www.math.ucsd.edu/resources/course-websites/.

  Для других веб-страниц, пожалуйста, начните с веб-сайта верхнего уровня математического факультета UCSD по адресу http://www.math.ucsd.edu/.

  ---

  Чтобы связаться с администраторами веб-сервера, отправьте электронное письмо по адресу [email protected].

  Чтобы мы могли должным образом устранить проблему, включите:

  • Точный URL-адрес, который вы пытаетесь получить, указан в вашем веб-браузере:
    REQUEST_URI = http: // math.ucsd.edu/~aterras/matrix%2520exp%2520etc.pdf
  • Предыдущая ссылающаяся веб-страница или ссылка, которая привела вас на этот URL:
    HTTP_REFERER = (нет)
  • Полное имя используемого вами веб-браузера, включая номер его версии:
    HTTP_USER_AGENT = Mozilla / 5.0 (X11; Linux x86_64; rv: 33.0) Gecko / 20100101 Firefox / 33.0
  • Любые сообщения об ошибках или подробное описание возникшей проблемы.
  • Название вашей операционной системы, включая номер ее версии.
  • Текущий IP-адрес или имя хоста вашего компьютера:
    REMOTE_ADDR (REMOTE_HOST) = 85.140.4.235 (235.mtsnet.ru)
  • Точная дата и время, когда вы столкнулись с проблемой:
    DATE_LOCAL = среда, 14-июл-2021 18:48:37 PDT
  Спасибо!

  ---

  Сопоставьте линейные уравнения третьего порядка с их наборами фундаментальных решений. 1. y ′ ′ ′ — 6y ′ ′ + y′ − 6y = 0 2.

  Фундаментальные системы решений линейных уравнений третьего порядка не приводятся.(-t)

  Пошаговое объяснение:

  Учитывая следующие дифференциальные уравнения

  (1) y » ‘- 6y’ ‘+ y’ — 6y = 0

  (2) y » ‘- 8y ‘+ 15y’ = 0

  (3) y » ‘+ y’ = 0

  (4) y » ‘- y’ ‘- y’ + y = 0

  (5) ty » ‘- y’ ‘= 0

  (6) y’ » + 3y » + 3y ‘+ y = 0

  РЕШЕНИЯ

  (1) y’ » — 6y ‘+ y’ — 6y = 0

  Записываем характеристическое уравнение и решаем. (- t)

  Метод изменения параметров

  Эта страница посвящена дифференциальным уравнениям второго порядка этого типа:

  d ² y dx ² + P (x) dy dx + Q (x) y = f (x)

  где P (x), Q (x) и f (x) — функции от x.

  Два метода

  Есть два основных метода решения уравнений, например

  d ² y dx ² + P (x) dy dx + Q (x) y = f (x)

  Undetermined Coefficients, который работает только тогда, когда f (x) является полиномом, экспонентой, синусом, косинусом или их линейной комбинацией.

  Вариация параметров (который мы узнаем здесь), который работает с широким спектром функций, но немного беспорядок в использовании.

  Изменение параметров

  Для простоты рассмотрим только корпус:

  d ² y dx ² + p dy dx + qy = f (x)

  где p и q — константы, а f (x) — ненулевая функция от x.

  Полное решение такого уравнения может быть найдено сочетая два типа решения:

  1. Общее решение однородное уравнение d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0
  2. Частные решения неоднородное уравнение d ² y dx ² + p dy dx + qy = f (x)

  Обратите внимание, что f (x) может быть одной функцией или суммой двух или более функции.

  Как только мы нашли общее решение и все частные решений, то окончательное полное решение находится путем добавления всех решения вместе.

  Этот метод основан на интеграции.

  Проблема с этим методом заключается в том, что, хотя он может дать решение, в некоторых случаях решение нужно оставить в виде интеграла.

  Начните с общего решения

  При введении в дифференциальные уравнения второго порядка мы узнаем, как найти общее решение.

  В основном мы берем уравнение

  d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0

  и свести его к «характеристическому уравнению»:

  р ² + пр + д = 0

  Квадратное уравнение, которое имеет три возможных типа решения в зависимости от дискриминанта p ² — 4q . Когда p ² — 4q — это

  положительный получаем два действительных корня, и решение

  y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x}

  ноль получаем один действительный корень, а решение —

  y = Ae ^rx + Bxe ^rx

  отрицательный получаем два комплексных корня r ₁ = v + wi и r ₂ = v — wi , и решение равно

  y = e ^vx (Ccos (wx) + iDsin (wx))

  Фундаментальные решения уравнения

  Во всех трех случаях «y» состоит из двух частей:

  • y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x} состоит из y ₁ = Ae ^{r ₁ x} и y

    7 = r ₂ x

  • y = Ae ^rx + Bxe ^rx состоит из y ₁ = Ae ^rx и y ₂ = Bxe ^rx
  • y = e ^vx (Ccos (wx) + iDsin (wx)) состоит из y ₁ = e ^vx Ccos (wx) и y ₂ = e ^vx iDsin (шх)

  y ₁ и y ₂ известны как фундаментальные решения уравнения

  И y ₁ и y ₂ называются линейно независимый , потому что ни одна функция не является постоянным кратным Другие.

  Вронскианец

  Когда y ₁ и y ₂ являются двумя фундаментальными решениями однородного уравнения

  d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0

  , то вронскиан W (y ₁ , y ₂ ) является определяющим матрицы

  Так

  W (y ₁ , y ₂ ) = y ₁ y ₂ ‘ — y ₂ y ₁ ‘

  Вронскиан назван в честь польского математика и философ Юзеф Хене-Вронский (1776–1853).

  Поскольку y ₁ и y ₂ линейно независимы, значение вронскиана не может равняться нулю.

  Особое решение

  Используя вронскиан, мы можем теперь найти частное решение дифференциального уравнения

  d ² y dx ² + p dy dx + qy = f (x)

  по формуле:

  y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  Пример 1: Решить

  d ² y dx ² — 3 dy dx + 2y = e ^3x

  1.Найдите общее решение для d ² y dx ² — 3 dy dx + 2y = 0

  Характеристическое уравнение: r ² — 3r + 2 = 0

  Фактор: (r — 1) (r — 2) = 0

  r = 1 или 2

  Итак, общее решение дифференциального уравнения: y = Ae ^x + Be ^2x

  Итак, в этом случае фундаментальные решения и их производные:

  y ₁ (x) = e ^x

  y ₁ ‘(x) = e ^x

  y ₂ (x) = e ^2x

  y ₂ ‘(x) = 2e ^2x

  2.Найдите вронскиана:

  W (y ₁ , y ₂ ) = y ₁ y ₂ ‘ — y ₂ y ₁ ‘= 2e ^3x — e ^3x = e ^3x

  3. Найдите частное решение по формуле:

  y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  4.Сначала решаем интегралы:

  ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  
  = ∫ e ^2x e ^3x e ^3x dx

  = ∫e ^2x dx

  = 1 2e ^2x

  Итак:

  −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = — (e ^x ) ( 1 2e ^2x ) = — 1 2e ^3x

  А также:

  ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  
  = ∫ e ^x e ^3x e ^3x dx

  = ∫e ^x dx

  = e ^x

  Итак:

  y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = (e ^2x ) (e ^x ) = e ^3x

  Наконец:

  y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  = — 1 2e ^3x + e ^3x

  = 1 2e ^3x

  и полное решение дифференциального уравнения d ² y dx ² — 3 dy dx + 2y = e ^3x is

  y = Ae ^x + Be ^2x + 1 2e ^3x

  Что выглядит следующим образом (примеры значений A и B):

  Пример 2: Решить

  d ² y dx ² — y = 2x ² — x — 3
  1.Найти общее решение d ² y dx ² — y = 0

  Характеристическое уравнение: r ² — 1 = 0

  Фактор: (r — 1) (r + 1) = 0

  r = 1 или −1

  Итак, общее решение дифференциального уравнения: y = Ae ^x + Be ^−x

  Итак, в этом случае фундаментальные решения и их производные:

  y ₁ (x) = e ^x

  y ₁ ‘(x) = e ^x

  y ₂ (x) = e ^−x

  y ₂ ‘(x) = −e ^−x

  2.Найдите вронскиана:

  W (y ₁ , y ₂ ) = y ₁ y ₂ ‘ — y ₂ y ₁ ‘= −e ^x e ^−x — e ^x e ^−x = −2

  3. Найдите частное решение по формуле:

  y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  4.Решите интегралы:

  ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  
  = ∫ e ^−x (2x ² −x − 3) −2 dx

  = — 1 2 ∫ (2x ² −x − 3) e ^−x dx

  = — 1 2 [- (2x ² −x − 3) e ^−x + ∫ (4x − 1) e ^−x dx]

  = — 1 2 [- (2x ² −x − 3) e ^−x — (4x — 1) e ^−x + ∫4e ^−x dx ]

  = — 1 2 [- (2x ² −x − 3) e ^−x — (4x — 1) e ^−x — 4e ^−x ]

  = e ^−x 2 [2x ² — x — 3 + 4x −1 + 4]

  = e ^−x 2 [2x ² + 3x]

  Итак:

  −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = (−e ^x ) [ e ^−x 2 ( 2x ² + 3x)] = — 1 2 (2x ² + 3x)

  А этот:

  ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  
  = ∫ e ^x (2x ² −x − 3) −2 dx

  = — 1 2 ∫ (2x ² −x − 3) e ^x dx

  = — 1 2 [(2x ² −x − 3) e ^x — ∫ (4x − 1) e ^x dx]

  = — 1 2 [(2x ² −x − 3) e ^x — (4x — 1) e ^x + ∫4e ^x dx ]

  = — 1 2 [(2x ² −x − 3) e ^x — (4x — 1) e ^x + 4e ^x ]

  = −e ^x 2 [2x ² — x — 3 — 4x + 1 + 4]

  = −e ^x 2 [2x ² — 5x + 2]
  

  Итак:

  y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = (e ^−x ) [ −e ^x 2 ( 2x ² — 5x + 2)] = — 1 2 ( 2x ² — 5x + 2)

  Наконец:

  y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  = — 1 2 (2x ² + 3x) — 1 2 (2x ² — 5x + 2)

  = — 1 2 (4x ² — 2x + 2)

  = −2x ² + x — 1

  и полное решение дифференциального уравнения d ² y dx ² — y = 2x ² — x — 3 равно

  y = Ae ^x + Be ^−x — 2x ² + x — 1

  (Это тот же ответ, который мы получили в Примере 1 на странице Метод неопределенных коэффициентов.)

  Пример 3: Решить

  d ² y dx ² — 6 dy dx + 9y = 1 x
  1. Найти общее решение

  d y dx ² -6 dy dx + 9y = 0

  Характеристическое уравнение: r ² — 6r + 9 = 0

  Фактор: (r — 3) (r — 3) = 0

  г = 3

  Итак, общее решение дифференциального уравнения: y = Ae ^3x + Bxe ^3x

  Итак, в этом случае фундаментальные решения и их производные:

  y ₁ (x) = e ^3x

  y ₁ ‘(x) = 3e ^3x

  y ₂ (x) = xe ^3x

  y ₂ ‘(x) = (3x + 1) e ^3x

  2.Найдите вронскиана:

  W (y ₁ , y ₂ ) = y ₁ y ₂ ‘ — y ₂ y ₁ ‘= (3x + 1) e ^3x e ^3x — 3xe ^3x e ^3x = e ^6x

  3. Найдите частное решение по формуле:

  y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  4.Решите интегралы:

  ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  
  = ∫ (xe ^3x ) x ⁻¹ e ^6x dx (Примечание: 1 x = x ⁻¹ )

  = ∫e ^−3x dx

  = — 1 3e ^−3x

  Итак:

  −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = — (e ^3x ) (- 1 3e ^−3x ) = 1 3

  А этот:

  ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  
  = ∫ e ^3x x ⁻¹ e ^6x dx

  = ∫e ^−3x x ⁻¹ dx

  Это не может быть интегрировано, поэтому это пример, когда ответ оставить как интеграл.

  Итак:

  y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = (xe ^3x ) (∫e ^−3x x ⁻¹ dx ) = xe ^3x ∫e ^−3x x ⁻¹ dx

  Наконец:

  y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  = 1 3 + xe ^3x ∫e ^−3x x ⁻¹ dx

  Итак, полное решение дифференциального уравнения d ² y dx ² — 6 dy dx + 9y = 1 x равно

  y = Ae ^3x + Bxe ^3x + 1 3 + xe ^3x ∫e ^−3x x ⁻¹ dx

  Пример 4 (более сложный пример): Решить

  d ² y dx ² -6 dy dx + 13y = 195cos (4x)
  

  В этом примере используются следующие тригонометрические удостоверения

  sin ² (θ) + cos ² (θ) = 1

  sin⁡ (θ ± φ) = sin (θ) cos (φ) ± cos (θ) sin (φ)

  cos⁡ (θ ± φ) = cos (θ) cos (φ) sin (θ) sin (φ)

  sin (θ) cos (φ) = 1 2 [sin⁡ (θ + φ) + sin⁡ (θ — φ)]
  cos (θ) cos (φ) = 1 2 [cos⁡ (θ — φ) + cos⁡ (θ + φ)]

  
  1.Найдите общее решение для d ² y dx ² -6 dy dx + 13y = 0

  Характеристическое уравнение: r ² — 6r + 13 = 0

  Используйте квадратное уравнение формула

  x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2a

  с a = 1, b = −6 и c = 13

  Итак:

  r = — (- 6) ± √ [(- 6) ² — 4 (1) (13)] 2 (1)

  = 6 ± √ [36−52] 2

  = 6 ± √ [−16] 2

  = 6 ± 4i 2

  = 3 ± 2i

  Итак, α = 3 и β = 2

  ⇒ y = e ^3x [Acos (2x) + iBsin (2x)]

  Итак, в данном случае имеем:

  y ₁ (x) = e ^3x cos (2x)

  y ₁ ‘(x) = e ^3x [3cos (2x) — 2sin (2x)]

  y ₂ (x) = e ^3x sin (2x)

  y ₂ ‘(x) = e ^3x [3sin (2x) + 2cos (2x)]

  2.Найдите вронскиана:

  W (y ₁ , y ₂ ) = y ₁ y ₂ ‘- y ₂ y ₁ ‘

  = e ^6x cos (2x) [3sin (2x) + 2cos (2x)] — e ^6x sin (2x) [3cos (2x) — 2син (2х)]

  = e ^6x [3cos (2x) sin (2x) + 2cos ² (2x) — 3sin (2x) cos (2x) + 2sin ² (2x)]

  = 2e ^6x

  
  3. Найдите частное решение по формуле:

  y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  4.Решите интегралы:

  ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  
  = ∫ e ^3x sin⁡ (2x) [195cos⁡ (4x)] 2e ^6x dx

  = 195 2 ∫e ^−3x sin (2x) cos (4x) dx

  = 195 4 ∫e ^−3x [sin (6x) — грех (2x)] dx … (1)

  В этом случае мы еще не выполняем интеграцию по причинам, которые проясняются в мгновение ока.

  Другой интеграл:

  ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  = ∫ e ^3x cos (2x) [195cos (4x)] 2e ^6x dx

  = 195 2 ∫e ^−3x cos (2x) cos (4x) dx

  = 195 4 ∫e ^−3x [cos (6x) + cos (2x)] dx … (2)

  
  
  Из уравнений (1) и (2) мы видим, что есть четыре очень похожих интеграций, которые нам необходимо выполнить:

  I ₁ = ∫e ^−3x sin (6x) dx
  I ₂ = ∫e ^−3x sin (2x) dx
  I ₃ 82 = ∫e 82 — ∫e 3x cos (6x) dx
  I ₄ = ∫e ^−3x cos (2x) dx

  Каждый из них может быть получен путем двукратного использования интеграции по частям, но есть более простой способ:

  I ₁ = ∫e ^−3x sin (6x) dx = — 1 6 e ^−3x cos (6x) — 3 6 ∫e ^−3x cos (6x) dx = — 1 6 e ^−3x cos (6x) — 1 2 I ₃

  ⇒ 2 I ₁ + I ₃ = — 1 3e ^−3x cos (6x) … (3)

  I ₂ = ∫e ^−3x sin (2x) dx = — 1 2 e ^−3x cos (2x) — 3 2∫e ^−3x cos (2x) dx = — 1 2e ^−3x cos (2x) — 3 2 I ₄

  ⇒ 2 I ₂ + 3 I ₄ = — e ^−3x cos (2x) … (4)

  I ₃ = ∫e ^−3x cos (6x) dx = 1 6 e ^−3x sin (6x) + 3 6 ∫e ^−3x sin (6x) dx = 1 6 e ^−3x sin (6x) + 1 2 I ₁
  ⇒ 2 I ₃ — I ₁ = 1 3e ^−3x sin (6x) … (5)
  I ₄ = ∫e ^−3x cos (2x) dx = 1 2 e ^−3x sin (2x) + 3 2∫e ^−3x sin (2x) dx = 1 2e ^−3x sin (2x) + 3 2 I ₂

  ⇒ 2 I ₄ — 3 I ₂ = e ^−3x sin (2x) … (6)

  Решите уравнения (3) и (5) одновременно:

  2 I ₁ + I ₃ = — 1 3e ^−3x cos (6x) … (3)

  2 I ₃ — I ₁ = 1 3e ^−3x sin (6x) … (5)

  Умножьте уравнение (5) на 2 и сложите их вместе (член I ₁ нейтрализует):

  ⇒ 5 I ₃ = — 1 3e ^−3x cos (6x) + 2 3e ^−3x sin (6x)

  = 1 3e ^−3x [2sin (6x) — cos (6x)]

  ⇒ I ₃ = 1 15e ^−3x [2sin (6x) — cos (6x)]

  Умножьте уравнение (3) на 2 и вычтите (член I ₃ нейтрализует):

  ⇒ 5 I ₁ = — 2 3e ^−3x cos (6x) — 1 3e ^−3x sin (6x)

  = — 1 3e ^−3x [2cos (6x) + грех (6x)]

  ⇒ I ₁ = — 1 15e ^−3x [2cos (6x) + грех (6x)]

  Решите уравнения (4) и (6) одновременно:

  2 I ₂ + 3 I ₄ = — e ^−3x cos (2x)… (4)

  2 I ₄ -3 I ₂ = e ^−3x sin (2x) … (6)

  Умножьте уравнение (4) на 3 и уравнение (6) на 2 и сложите (член I ₂ нейтрализует):

  ⇒ 13 I ₄ = — 3e ^−3x cos (2x) + 2e ^−3x sin (2x)

  = e ^−3x [2sin (2x) — 3 cos (2x)]

  ⇒ I ₄ = 1 13e ^−3x [2sin (2x) — 3cos (2x)]

  Умножьте уравнение (4) на 2 и уравнение (6) на 3 и вычтите (член I ₄ нейтрализует):

  ⇒ 13 I ₂ = — 2e ^−3x cos (2x) — 3e ^−3x sin (2x)

  = — e ^−3x [2cos (2x) + 3 sin (2x)]

  ⇒ I ₂ = — 1 13e ^−3x [2cos (2x) + 3sin (2x)]

  Заменить в (1) и (2):

  ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  = 195 4∫e ^−3x [sin (6x) — sin (2x)] dx… (1)

  = 195 4 [ — 1 15e ^−3x [2cos (6x) + sin (6x)] — [- 1 13e ^−3x [2cos (2x) + 3sin (2x)]]]

  = e ^−3x 4 [−13 (2cos (6x) + sin (6x)) + 15 (2 cos⁡ (2x) + 3sin (2x))]

  ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  = 195 4 ∫e ^−3x [cos (6x) + cos (2x)] dx… (2)

  = 195 4 [ 1 15e ^−3x [2sin (6x) — cos (6x)] + 1 13e ^−3x [2sin (2x) — 3cos (2x)]]

  = e ^−3x 4 [13 (2sin (6x) — cos (6x)) + 15 (2sin⁡ (2x) — 3cos (2x))]

  Итак, y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

  = — e ^3x cos (2x) e ^−3x 4 [−13 (2cos (6x) + sin (6x)) + 15 (2 cos⁡ (2x) + 3sin (2x))] + e ^3x sin (2x) e ^−3x 4 [13 (2sin (6x) — cos (6x)) + 15 (2sin⁡ (2x) — 3cos (2x))]

  = — 1 4cos (2x) [−13 (2cos (6x) — sin (6x)) + 15 (2 cos⁡ (2x) + 3sin (2x))] + 1 4 sin⁡ (2x) [13 (2sin (6x) — cos (6x)) + 15 (2 sin⁡ (2x) — 3cos (2x))]

  = 1 4 [26cos (2x) cos (6x) + 13cos (2x) sin (6x) — 30cos ² (2x) — 45cos (2x) sin (2x) + 26sin (2x) sin (6x) — 13sin (2x) cos (6x) + 30sin ² (2x) — 45sin (2x) cos (2x)]

  = 1 4 [26 [cos (2x) cos (6x) + sin (2x) sin (6x)] + 13 [cos (2x) sin (6x) — sin (2x) cos (6x)] — 30 [cos ² (2x) — sin ² (2x)] — 45 [cos (2x) sin (2x) + sin (2x) cos (2x)]]

  = 1 4 [26cos (4x) + 13sin (4x) — 30cos (4x) — 45sin (4x)]

  = 1 4 [−4cos (4x) — 32sin (4x)]

  = −cos⁡ (4x) — 8 sin⁡ (4x)

  Итак, полное решение дифференциального уравнения d ² y dx ² — 6 dy dx + 13y = 195cos (4x) — это

  y = e ^3x (Acos ​​(2x) + iBsin (2x)) — cos (4x) — 8sin (4x)
  

  9529, 9530, 9531, 9532, 9533, 9534, 9535, 9536, 9537, 9538

  .

Множества и операции над ними. Решение задач с помощью кругов Эйлера

Современный математический язык более краток и заменяет разговорный язык специальными буквенными и символьными выражениями. Понятия и обозначения языка теории множеств составляет фундамент современного математического языка. Всякий объект, входящий во множество, называют его элементом. Например, если множество – дни недели, то понедельник элемент этого множества.

Блок 1. Множества и операции над ними.

Презентация. (Слайд 2) Вопросы к слайду 2:

1. Перечислите элементы множеств:
   а) арабских цифр; (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)
   б) натуральных чисел; (1; 2; 3; 4;…)
   в) целых чисел (…-2; -1; 0; 1; 2;…).
2. Как называется множество цветов, стоящих в вазе? (букет).
3. Перечислите элементы множества планет солнечной системы. (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун).
4. Как называется множество фруктовых деревьев и кустарников растущих у дома? (сад).
5. Приведите примеры множеств, элементами которого являются геометрические фигуры.
6. Какие названия применяют для обозначения множеств животных? (млекопитающие, земноводные, хладнокровные и т.п.).
7. Перечислите элементы множества видов спорта (футбол, теннис, волейбол и т. п.).
8. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей? (флотилия, эскадра).

Задайте сами множество описанием.

(Слайд 3) Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В,  С, Д, и т. д. Некоторые числовые множества столь часто встречающиеся в различных  разделах математики, что для них ввели специальные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

(Слайд 4) Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены вместе в  некоторое множество, такое перечисление производят внутри фигурных скобок {,}.

Например, цифры десятичной системы счисления задаются множеством

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Если множество состоит из чисел, то при их перечислении иногда удобнее использовать не запятую, а знак препинания “ ; ” – точку с запятой. Так как “перечислительную” запятую можно спутать с “десятичной” запятой.

Элементы множества можно перечислять в произвольном порядке. От изменения порядка   перечисления элементов само множество не меняется. Например, множество гласных букв русского алфавита задается {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} или {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}.

Эти множества состоят из одних и тех же элементов, их называют равными, а для записи равенства двух множеств употребляют знак “ = ”.

{А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} = {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}.

Чтобы задать конечное множество, можно просто перечислить все его элементы.

Например, запись А = {2; 3; 5; 7; 11; 13} означает, что множество А состоит из первых шести простых чисел.

Однако задавать множество путем перечисления его элементов удобно только в том случае, когда их число невелико. Если число элементов множества достаточно велико или множество бесконечно, то явное перечисление элементов такого множества невозможно.

Способы задания, описания множеств весьма разнообразны. Например, множество всех квадратов натуральных чисел можно записать {1; 4; 9; 16; 25; …}, а множество всех чисел, которые больше 5 и меньше 12 записать {х | 5< х <12} или (5; 12). В примерах использован оборот “ … и так далее” и символ “ | ” внутри фигурных скобок заменяющий комбинацию слов “ … таких, что …”. (Множество всех х таких, что 5< х <12).

Описав словами некоторое множество, нельзя гарантировать, что найдется хотя бы один объект, отвечающий этому описанию. Предположим, о множестве С сказано, что оно состоит из чисел, делящихся на 6, но не делящихся на 3. Таких чисел просто нет. В подобных случаях множество называют пустым и обозначают символом O, в фигурные скобки его не ставят, так как никакого перечисления элементов пустого множества не происходит.

(Слайд 5) Задание 1. [3]

1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

2) Задайте множество А описанием:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {– 2, – 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }.

3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7},

S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно?

а) М = Р. б) Р S. в) М Т. г) Р = Т.

(Слайд 6) Словесные обороты, как “элемент х принадлежит множеству А” или “х – элемент множества А”, достаточно длинны и не всегда удобны в записи решений конкретных задач.

В математике эти выражения кратко записывают так: х А, где – знак принадлежности.

Например, 5N, лучше читать не буквально, а в “литературном переводе”, “5 – число натуральное”. Наряду со знаком принадлежит используют и его “отрицание” – знак (знак не принадлежит). Запись 0 N означает, что нуль не натуральное число.

(Слайд 7) Задание 2. [3; 1]

1. Запишите на символическом языке следующее утверждение:

а) число 10 – натуральное; б) число – 7 не является натуральным; в) число – 100 является целым; г) число 2,5 – не целое.

2. Верно ли, что:

а) – 5 N; б) -5 Z; в) 2,(45) Q?

3. Верно ли, что:

а) 0,7 {х | х² – 1 < 0}; б) – 7 {х | х² + 16х ? – 64}?

(Слайд 8) Возьмем множество А = {2; 4; 6} и В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В. В таких случаях говорят, что множество А является подмножеством множества В, и пишут: А В.

Знак “” называют знаком включения.

Соотношения между множествами А и В можно проиллюстрировать на рисунке с помощью так называемых кругов Эйлера (Леонард Эйлер российский ученый — математик, механик, физик и астроном.). Множество изображается в виде некоторого круга, а его элементы изображаются точками этого круга (рис 1).

Рис. 1

Пустое множество считают подмножеством любого множества. А В. Будем считать, что все элементы рассматриваемых множеств  взяты из некоторого одного и того же “универсального” множества К. Это множество будем изображать квадратом, а рассматриваемые множества А, В, С, … – подмножества множества К – кругами (или другими полученными из них фигурами, которые выделим штриховкой).

(Слайд 9) Задание 3. [3; 1]

1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}.

Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А… D; б) А…В; в) С…А; г) С…В.

2. Даны три множества А = {1, 2, 3,…, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16,…,36}.

Верно ли, что: а) А В; б) В С; в) С А; г) С В?

(Слайд 10) Из данных множеств с помощью специальных операций можно образовывать новые множества:

1) Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих 11элементов множеств А и В, т. е. из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В (рис. 2). Пересечение множеств А и В обозначают так: АВ. Это определение можно записать и так: АВ = {х | х А и х В}. Иными словами, пересечение двух множеств – это их общая часть. Например, если А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то АВ = {3; 9}. Если А = {10; 20; …90; 100} и В = {6; 12; 18;…}, то АВ = {30; 60; 90}. Можно рассматривать пересечение не только двух, но трех, четырех и т. д. множеств. Пересечение множеств В, С и D обозначают так: ВСD.

Рис. 2

(Слайд 11) Задание 4. [3; 1]

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) АВ; б) АС; в) СВ.

2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}.

Найдите АВ.

3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (АВ) С.

(Слайд 12)

2) Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств – или множеству А, или множеству В (рис. 3). Объединение множеств А и В обозначают так: АUВ.

Рис. 3

Это определение можно записать и так: АUВ = {х | х А или х В}. Например, если А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то АUВ = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}. Можно рассматривать объединение не только двух, но трех, четырех и т.д. множеств. Объединение множеств В, С и D обозначают так: ВUСUD.

(Слайд 13) Задание 5. [3; 1]

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.

2. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (АUВ)UС.

3. Даны три числовых промежутка: А = (7,7; 11), В = [; ], С = (; 13].

Найдите (АUВ)UС.

Продолжение статьи

Приложение

Презентация

urok.1sept.ru

Круги Эйлера: примеры и возможности

Математика по своей сути наука абстрактная, если отойти от элементарных понятий. Так, на паре-тройке яблок можно наглядно изобразить основные операции, что лежат в основе математики, но, как только плоскость деятельности расширяется, этих объектов становится недостаточно. Кто-нибудь пробовал изобразить на яблоках операции над бесконечными множествами? В том-то и дело, что нет. Чем сложнее становились понятия, которыми оперирует математика в своих суждениях, тем проблематичнее казалось их наглядное выражение, которое было бы призвано облегчить понимание. Однако, на счастье как современных студентов, так и науки в целом, были выведены круги Эйлера, примеры и возможности которых мы рассмотрим ниже.

Немного истории

17 апреля 1707 года мир подарил науке Леонарда Эйлера — замечательного ученого, чей вклад в математику, физику, кораблестроение и даже теорию музыки не переоценить.

Труды его признаны и востребованы по сей день во всем мире, несмотря на то что наука не стоит на месте. Особо занимательным является тот факт, что господин Эйлер принял непосредственное участие в становлении российской школы высшей математики, тем более что волею судеб он дважды возвращался в наше государство. Ученый обладал уникальной способностью выстраивать прозрачные в своей логике алгоритмы, отсекая все лишнее и в кратчайшие сроки переходя от общего к частному. Не станем перечислять все его заслуги, так как это займет немалое количество времени, и обратимся непосредственно к теме статьи. Именно он предложил использовать графическое изображение операций над множествами. Круги Эйлера решение любой, даже самой сложно составленной задачи, способны изобразить наглядно.

В чем же суть?

На практике круги Эйлера, схема которых изображена ниже, могут применяться не только в математике, так как понятия «множества» присущи не только данной дисциплине. Так, они с успехом применяются и в менеджменте.

Схема выше показывает отношения множеств А (иррациональные числа), В (рациональные числа) и С (натуральные числа). Круги показывают, что множество С включено в множество В, тогда как множество А с ними никак не пересекается. Пример простейший, но наглядно объясняет специфику «взаимоотношений множеств», которые слишком абстрактны для реального сравнения хотя бы в силу их бесконечности.

Алгебра логики

Данная область математической логики оперирует высказываниями, которые могут носить как истинный, так и ложный характер. Например, из элементарного: число 625 делится нацело на 25, число 625 делится нацело на 5, число 625 является простым. Первое и второе утверждения – истина, тогда как последнее – ложь. Конечно, на практике все сложнее, но суть показана ясно. И, конечно же, в решении опять участвуют круги Эйлера, примеры с их использованием слишком удобны и наглядны, чтобы их игнорировать.

Немного теории:

• Пусть множества А и В существуют и не являются пустыми, тогда для них определены следующие операции пересечения, объединения и отрицания.
• Пересечение множеств А и В состоит из элементов, что принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В.
• Объединение множеств А и В состоит из элементов, что принадлежат множеству А или множеству В.
• Отрицание множества А — это множество, что состоит из элементов, которые не принадлежат множеству А.

Все это изображают опять же круги Эйлера в логике, так как с их помощью каждая задача, вне зависимости от степени сложности, становится очевидной и наглядной.

Аксиомы алгебры логики

Положим, что 1 и 0 существуют и определены во множестве А, тогда:

• отрицание отрицания множества А есть множество А;
• объединение множества А с не_А есть 1;
• объединение множества А с 1 есть 1;
• объединение множества А с самим собой есть множество А;
• объединение множества А с 0 есть множество А;
• пересечение множества А с не_А есть 0;
• пересечение множества А с самим собой есть множество А;
• пересечение множества А с 0 есть 0;
• пересечение множества А с 1 есть множество А.

Основные свойства алгебры логики

Пусть множества А и В существуют и не являются пустыми, тогда:

• для пересечения и объединения множеств А и В действует переместительный закон;
• для пересечения и объединения множеств А и В действует сочетательный закон;
• для пересечения и объединения множеств А и В действует распределительный закон;
• отрицание пересечения множеств А и В есть пересечение отрицаний множеств А и В;
• отрицание объединения множеств А и В есть объединение отрицаний множеств А и В.

Ниже показаны круги Эйлера, примеры пересечения и объединения множеств А, В и С.

Перспективы

Работы Леонарда Эйлера обоснованно считаются базой современной математики, однако сейчас их с успехом применяют в областях человеческой деятельности, что появились относительно недавно, взять хотя бы корпоративное управление: круги Эйлера, примеры и графики описывают механизмы моделей развития, будь то российская или англо-американская версия.

fb.ru

Отношение между понятиями. Круги Эйлера.

Понятие – это форма мысли, отображающая предметы в их наиболее общих и существенных признаках.

Понятие – это форма мысли, а не форма слова, так как слово лишь метка, которой мы помечаем ту или иную мысль.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ. КРУГИ ЭЙЛЕРА.

По содержанию между понятиями могут быть два основных вида отношений: сравнимость и несравнимость.

Понятия, имеющие в своих содержаниях общие признаки, называются СРАВНИМЫМИ («адвокат» и «депутат»; «студент» и «спортсмен»).

В противном случае, понятия считаются НЕСРАВНИМЫМИ («крокодил» и «блокнот»; «человек» и «пароход»).

Если кроме общих признаков понятия имеют и общие элементы объёма, то они называются СОВМЕСТИМЫМИ.

Существует шесть видов отношений между сравнимыми понятиями. Отношения между объёмами понятий удобно обозначать с помощью кругов Эйлера (круговые схемы, где каждый круг обозначает объём понятия).

ВИД ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ	ИЗОБРАЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА
РАВНОЗНАЧНОСТЬ (ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ)   Объёмы понятий полностью совпадают. Т.е. это понятия, которые различаются по содержанию, но в них мыслятся одни и те же элементы объёма.	1) А – Аристотель В – основатель логики   2) А – квадрат В – равносторонний прямоугольник
ПОДЧИНЕНИЕ (СУБОРДИНАЦИЯ)   Объём одного понятия полностью входит в объём другого, но не исчерпывает его.	1) А – человек В – студент   2) А – животное В – слон
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (ПЕРЕКРЕЩИВАНИЕ)   Объёмы двух понятий частично совпадают. То есть понятия содержат общие элементы, но и включают элементы, принадлежащие только одному из них.	1) А – юрист В – депутат   2) А – студент В – спортсмен
СОПОДЧИНЕНИЕ (КООРДИНАЦИЯ)   Понятия, не имеющие общих элементов, полностью входят в объём третьего, более широкого понятия.	1) А – животное В – кот; С – собака; D – мышь   2) А – драгоценный металл В – золото; С – серебро; D — платина
ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (КОНТРАРНОСТЬ)   Понятия А и В не просто включены в объём третьего понятия, а как бы находятся на его противоположных полюсах. То есть, понятие А имеет в своём содержании такой признак, которых в понятии В заменён на противополжный.	1) А – белый кот; В – рыжий кот (коты бывают и чёрными и серыми)   2) А – горячий чай; холодный чай (чай может быть и тёплым)   Т.е. понятия А и В не исчерпывают всего объёма понятия, в которое они входят.
ПРОТИВОРЕЧИЕ (КОНТРАДИКТОРНОСТЬ)   Отношение между понятиями, одно из которых выражает наличие каких-либо признаков, а другое – их отсутствие, то есть просто отрицает эти признаки, не заменяя их никакими другими.	1) А – высокий дом В – невысокий дом   2) А – выигрышный билет В – невыигрышный билет   Т.е. понятия А и не-А исчерпывают весь объём понятия, в которое они входят, так как между ними нельзя поставить никакое дополнительное понятие.

studfiles.net

Круги Эйлера — Википедия

Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства:  — живое существо,  — человек,  — неживая вещь

Круги́ Э́йлера^[1] — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все комбинаций свойств, то есть конечную булеву алгебру. При диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.^[2]

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовались и немецкие математики Алекс ван Сивцео и Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

1. ↑ «Круги…» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые многомерные фигуры, иерархически расположенные в пространстве, то есть одни фигуры поглощают либо часть других фигур, либо полностью.
2. ↑ Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.

Логика
Формальная	Логические операции с понятиями Изменение содержания понятия: отрицание • ограничение • обобщение • деление Изменение объёма понятия: сложение • умножение • вычитание Типы: Многозначная логика • Бинарная логика Логическая константа Законы: Закон обратного отношения между содержанием и объёмом понятия
Математическая (теоретическая, символическая)	Логические связки (операции) над высказываниями Высказывание — построение над множеством {B, , , , 0, 1} В — непустое множество, над элементами которого определены три базовые операции: конъюнкция ( или &,бинарная) • дизъюнкция (,бинарная) • отрицание (,унарная) 2 константы: 0 • 1
См. также	импликация () • Круги Эйлера/Диаграмма Венна • Теория множеств

www.wiki-wiki.ru

калькулятор онлайн метод ньютона

Вы искали калькулятор онлайн метод ньютона? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и метод ньютона онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «калькулятор онлайн метод ньютона».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как калькулятор онлайн метод ньютона,метод ньютона онлайн,онлайн полином ньютона,онлайн решение нелинейных уравнений,полином ньютона онлайн,решение нелинейных уравнений онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и калькулятор онлайн метод ньютона. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, онлайн полином ньютона).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор онлайн метод ньютона Онлайн?

Решить задачу калькулятор онлайн метод ньютона вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Решение уравнений методом Ньютона онлайн

Решение произвольных уравнений

Теперь сервис позволяет считать численные вещественные корни уравнений, которые возникают при решении подобных задач

Этот сервис  позволяет ученикам/студентам сосредоточится на понимании задачи, а не умножении, делении, сокращении и упрощении полученной формулы, что конечно же важно, но не настолько что бы в угоду математическим формулам, ученики/студенты теряли смысл решения задачи.

Синтаксис

Jabber:  root <выражение>

WEB:  <выражение>

Выражением может быть любая формула выраженная языком PHP

Система решает уравнения только с одной переменной  и эта переменная обозначается как x (в английской раскладке)

Примеры

Длина детской площадки прямоугольной формы на 5 м больше её ширины. Длину площадки увеличили на 2 м, а ширину — на 5 м, при этом её площадь увеличилась на 280 м2. Найдите площадь новой детской площадки.

Решение выражается уравнением   

Пишем root (x+5)*(x+5+2)-x*(x+5)-280

Получаем ответ 35 — это ширина, а соответственно 40 это длина

Решение уравнения x*x-11=0

пишите root x*x-11 и получите 3.3166247903554

Функции PHP

• acos — Арккосинус
• acosh — Гиперболический арккосинус
• asin — Арксинус
• asinh — Гиперболический арксинус
• atan — Арктангенс
• atanh — Гиперболический арктангенс

• cos — Косинус

• cosh — Гиперболический косинус
• exp — Вычисляет число e в степени
• log10 — Десятичный логарифм
• log — Натуральный логарифм
• pi — Возвращает число Пи
• pow — Возведение в степень
• sin — Синус
• sinh — Гиперболический синус
• sqrt — Квадратный корень
• tan — Тангенс
• tanh — Гиперболический тангенс

• Свойства обратных тригонометрических функций >>

Метод хорд

Будем искать нуль функции f x {\displaystyle fx}. Выберем две начальные точки C 1 x 1 ; y 1 {\displaystyle C_{1}x_{1};y_{1}} и C 2 x 2 ; y 2 {\displaystyle C_{2}x_{2};y_{2}} и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке x 3 ; 0 {\displaystyle x_{3};0}. Теперь найдем значение функции с абсциссой x 3 {\displaystyle x_{3}}. Временно будем считать x 3 {\displaystyle x_{3}} корнем на отрезке }. Пусть точка C 3 {\displaystyle C_{3}} имеет абсциссу x 3 {\displaystyle x_{3}} и лежит на графике. Теперь вместо точек C 1 {\displaystyle C_{1}} и C 2 {\displaystyle C_{2}} мы возьмём точку C 3 {\displaystyle C_{3}} и точку C 2 {\displaystyle C_{2}}. Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, то есть будем получать две точки C n + 1 {\displaystyle C_{n+1}} и C n {\displaystyle C_{n}} и повторять операцию с ними. Отрезок, соединяющий последние две точки, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближённо считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока не получим значение корня с нужным приближением.

1. Алгебраическое описание метода секущих
Пусть x 1, x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} — абсциссы концов хорды, f x = 0 {\displaystyle fx=0} — уравнение функции, решаемое методом секущих. Найдём коэффициенты k {\displaystyle k} и b {\displaystyle b} из системы уравнений
{ f x 1 = k x 1 + b, f x 2 = k x 2 + b. {\displaystyle \left\.}
Повторять операцию следует до тех пор, пока | x i − x i − 1 | {\displaystyle |x_{i}-x_{i-1}|} не станет меньше или равно заданному значению погрешности.

2. Метод хорд с итерационной формулой
Иногда методом секущих называют метод с итерационной формулой
x i + 1 = x i − f x i ⋅ x i − x 0 f x i − f x 0. {3}-18x-83=0} методом секущих. Зададимся точностью ε=0.001 и возьмём в качестве начальных приближений x 0 {\displaystyle x_{0}} и x 1 {\displaystyle x_{1}} концы отрезка, на котором отделён корень: x 0 = 8 {\displaystyle x_{0}=8} и x 1 = 3 {\displaystyle x_{1}=3}, числовые значения x 0 = 8 {\displaystyle x_{0}=8} и x 1 = 3 {\displaystyle x_{1}=3} выбраны произвольно. Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет выполнено неравенство | x i + 1 − x i | ε {\displaystyle |x_{i+1}-x_{i}| f ″ b f b 0 {\displaystyle fbfb 0}, то можно доказать, что погрешность приближенного решения стремится к нулю при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty }, то есть метод сходится и сходится со скоростью геометрической прогрессии при этом говорят, что он имеет линейную скорость сходимости.

4. Историческая справка
Первым, кто смог найти приближённые решения кубических уравнений, был Диофант, тем самым заложив основу метода хорд. Сохранившиеся работы Диофанта сообщают об этом. Однако первым, кто понял его методы, был Ферма в XVII веке, а первым, кто дал объяснение методу хорд, был Ньютон 1670-е годов

5. Модификации
Метод ложного положения отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

• принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован
• словарь — М.: Сов. энциклопедия 1988 — С. 847. Метод Ньютона метод касательных Метод Мюллера Обратная параболическая интерполяция Метод хорд
• дающих различный результат. Метод случайных концов наудачу выберем две точки на окружности и проведём через них хорду Чтобы посчитать искомую вероятность
• 0 — 521 — 43064 — X. Метод секущих Обратная параболическая интерполяция Метод Ньютона Метод хорд Метод дихотомии Численное решение уравнений Модуль для метода Мюллера
• Численные вычислительные методы — методы решения математических задач в численном виде Представление как исходных данных в задаче, так и её решения
• достигнет требуемой точности. Основная статья: Метод простой итерации Обобщив метод хорд секущих и метод Ньютона можно прийти к выводу, что они оба являются
• Метод неделимых — возникшее в конце XVI века наименование совокупности приёмов, предназначенных для вычисления площадей геометрических фигур или объёмов
• метод графического представления связей данных в матрице. При этом значения располагаются по окружности, а связи между ними отображаются в виде хорд
• Терцидина в нескольких странах Европы. В результате было получено более 70 хорд внутри явления, что позволило прорисовать профиль астероида с точностью до
• график таблицы хорд определённого радиуса обычно 120 мм построенный по принципу поперечного масштаба. Исходя из длины отрезков хорд и определяется
• диаметр астероида как 219 25 км, а второй раз 14 октября 1999 года, тогда методом хорд удалось определить эллипсоидную форму астероида, а его размер оценили
• граф пересечений множества хорд окружности. То есть это неориентированный граф, вершины которого можно отождествить с хордами окружности, и эти вершины

• впоследствии Ибн Ирак и другие математики стран ислама, но на языке отношений хорд Перевод Сферики на арабский язык выполнил в начале X века Хунайн ал — Ибади
• между хордами На теореме о вписанном угле основан метод решения геометрических задач, так называемый метод вспомогательной окружности. Идея метода состоит
• технику хорд Перпендикуляр к хорде опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду Половина поделенной пополам хорды — это
• обходами, как выше, можно определить и для ориентированных графов. Цикл без хорд в графе, также называемый дырой или порождённым циклом, — это цикл, в котором
• серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках
• проектировки линий Московского метрополитена, при котором строящиеся участки хорды не проходят в центр Москвы, не пересекаются и не имеют пересадок на Кольцевую
• для которых характерно наличие энтодермального осевого скелета в виде хорды которая у высших форм заменяется позвоночником. По степени развития нервной
• визированием При рихтовке способом сглаживания изменение положения трос — хорды соответствующее отклонению пути в плане, вызывает смещение ползунков потенциометров
• реконструкциям величины хорд у Гиппарха были протабулированы с интервалом 7 30 Возможно, в основе вычисления таблицы Гиппарха лежал метод разработанный Архимедом
• прохождение было на два дня позже — после прохождения нисходящего узла, поэтому хорда пути Венеры наблюдалась в нижней части Солнца, в 2012 году Венера прошла

• функции Метод Ньютона метод касательных — нахождение нулей функций с помощью производной Метод секущих метод хорд — аппроксимирует корни функции Метод градиентов
• кривой — плоская обычно выпуклая фигура, заключённая между кривой и её хордой Наиболее простой и распространённый пример сегмента плоской кривой: сегмент
• теореме, согласно которой отношение большей хорды к меньшей менее отношения стягиваемых ими дуг. Составил таблицу хорд соответствующим дугам от 0 до 180 ввёл
• распространённые методы предотвращения реверса элеронов — использование элеронов — интерцепторов интерцепторы расположены ближе к центру хорды крыла и при выпуске
• усовершенствовании предложения Менелая в Сферике он заменил удвоенные хорды которыми пользовался Менелай, на синусы. В Книге о плоской и сферической
• характерные признаки этого типа: наличие хорды жаберные щели, пронизывающие глотку нервная система в виде нервной трубки хорда находится между нервной трубкой
• скелет включает в себя хорду и соединительную ткань. хрящевая — на 5 — 7 неделе внутриутробного развития — скелет включает в себя хорду и хрящевой скелет. костная
• отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей хорде проведённой через эти две точки. Обобщённая теорема Ролля Формула конечных

Метод хорд: метод хорд алгоритм, метод хорд маткад, метод хорд с++, метод хорд матлаб, метод хорд — python, метод хорд онлайн, метод хорд теория, метод хорд описание

Метод хорд онлайн.

Численные методы решения нелинейных уравнений. На уроке рассматриваются основные понятия математики: функция, способы решения уравнений, а также практическая реализация. Метод хорд описание. 3.4. Метод касательных Научно образовательная среда. Метод хорд итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения. Заходите на сайт, чтобы узнать подробнее. Метод хорд матлаб. Метод хорд Образовательный портал ТГУ. Доказательство теорем Ферма, Ролля и Лагранжа. Особенности и условия применения метода хорд при решении уравнений разного.

Метод хорд с.

Лекция Численные методы решения НОУ ИНТУИТ. Решение уравнения методом хорд, методом касательных метод Ньютона, методом половинного деления, методом простых итераций. Метод хорд маткад. Результаты поиска по запросу Хабр. Лабораторная работа Решение нелинейных алгебраических уравнений методом хорд на Turbo Pascal 7.0 DOS Паскаль. Программа решает. Метод хорд — python. Решение нелинейных уравнений методом хорд в MS Excel. Метод секущих метод хорд Метод половинного деления метод дихотомии​. Метод. Метод хорд Студопедия. 2.2 Метод хорд. В методе хорд в качестве приближенной оценки выбирается не середина отрезка, а его пересечение с хордой, имеющей координаты.

Метод хорд: В данном методе процесс итераций состоит в том.

Метод касательных Ньютона. Метод касательных отличается от метода хорд тем, что здесь рассматривается не секущая, соединяющая концы дуги. Комбинированный метод хорд и касательных презентация, доклад. При решении уравнения методом хорд поводится прямая соединяющая концы отрезка. Из двух точек А и В выбирается х0. Метод хорд Онлайн калькулятор. Решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения. Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность.

Метод хорд и касательных. Что такое Метод хорд.

Одним из вариантов решения нелинейных уравнений является метод хорд. Такое название метод получил потому, что точка деления это место. Метод хорд. Метод секущих Docsity. Онлайн калькулятор. Метод хорд итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения.

Метод хорд Карта знаний.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ. 2. 5. Комбинированный метод хорд и касательных. Методы. Лекция 12. Решение нелинейных уравнений ТОЭ. На языке Pascal реализуются четыре метода: дихотомии, касательных, хорд и простых итераций. Проводится сравнение их эффективности с точки. Модификации метода Ньютона. Метод хорд и касательных. Материал из Википедии свободной энциклопедии. Перенаправление на: Метод хорд. Что такое.moda Вики является. Regula falsi и метод хорд разные алгоритмы? Помогите. Онлайн калькулятор для нахождения корней уравнений алгебраических и трансцендентных методом хорд также известный как метод секущих.

Метод половинного деления, метод простых итераций, метод.

Метод хорд, так же как и метод бисекций всегда сходится. 3. Метод Ньютона метод касательных. 0. y. x. Этот метод в отличие от метода хорд. Метод хорд База знаний Allbest. Метод хорд. Метод основан на замене функции f x на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью Х дает приближение. Метод хорд это Что такое Метод хорд? DIC Academic. Метод хорд. Этот метод при тех же предположениях обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления. Для этого. 4.3 Метод хорд стр.1 Delphi Plus. Презентация на тему Комбинированный метод хорд и касательных, предмет презентации: Математика. Этот материал содержит 10 слайдов. 1.4. Метод хорд. В данной работе рассмотрены такие, как метод деления отрезка пополам, метод простой итерации, метод Ньютона касательных, метод хорд,.

Метод хорд Онлайн калькулятор.

Метод хорд. Идея способа хорд состоит в том, что можно с известным приближением допустить, что функция на достаточно малом участке. Численные методы ОГУ. Двух методов существует ещё масса методов, например: Метод бисекции довольно низкой скоростью Метод хорд не требует. Метод хорд 1 Реферат. Реферат Определить количество необходимых итераций для следующих значений погрешностей результата: Eps. Используемый метод: метод.

2.6. Метод хорд Электронная библиотека.

Метод хорд: В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения 1 принимаются значения х1, х2.​., хn. МЕТОД ХОРД ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ РАВНОВЕСНОЙ ЦЕНЫ. Для применения методов Ньютона и хорд необходимо выбрать начальное приближение x0. Так как f –1 0, f 0 0, f 6x – 0.4 0, то за начальное​. Метод хорд: определение и пример с решением. Метод хорд. Имеется возможность проверить свое решение прямо на сайте с оформлением всех промежуточных вычислений в формате Word. Метод Хорд Алгоритмы Киберфорум Форум программистов. Метод половинного деления, метод простых итераций, метод Ньютона, метод касательных, метод секущих, метод хорд. Численные методы линейной и нелинейной алгебры. Возможно, я задаю глупейший вопрос, простите меня, недостойного пожирателя кореньев, но regula falsi и метод хорд секущих это.

Результаты поиска по метод хорд Руконт.

По постановке задачи метод хорд близок к рассмотренной в разд. Ь. Основное различие методов дихотомии и хорд заключается в выборе точки хт. Метод хорд. Метод хорд для нелинейного уравнения. В методе хорд производная f x k метода Ньютона заменяется на еще более простую по сравнению с. Решение уравнения методом хорд, методом касательных. Метод хорд. След. Линия считается заданной на чертеже, если известен закон нахождения каждой ее точки. Для задания линии удобно использовать​. Поиск корней уравнения методом хорд m. Надежные методы численного определения корней уравнений: метод половинного деления и метод хорд. Процесс отделения корней начинается с.

УМКД Методы вычислений в экономике.

Метод хорд. Недостаток деления отрезка строго пополам проистекает. D.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Геометрическая интерпретация метода хорд состоит в следующем рис.6.2.​3 8. Рис.6.2.3 8. Проведем отрезок прямой через точки A и B. Очередное.

Метод хорд Онлайн калькулятор AllCalc.

Хорду по двум точкам провести легко с достаточно высокой степенью точности. Метод тем точнее, чем ближе хорда к дифференцируемой кривой,​. LibreOffice Calc. Метод хорд. Согласно методу хорд, о. Horda: proc f,otrezok,eps,M local x,a,b,c,ff,i: здесь локальные переменные пн​ левая часть отрезка присваиваем к пн x x: lhs otrezok Функция фц. Некоторые численные методы решения алгебраических и. 3. Методы хорд и касательных. К числу широко распространенных приближенных методов решения уравнения относятся метод хорд и метод.

Методы дихотомии Machi.

Метод хорд. Метод секущих. По прежнему решаем уравнение 1, где, на и. Т.е. на 1 имеет только один корень. Уравнение 1 запишем в виде, где. Методы графического дифференцирования и интегрирования. В качестве метода был выбран метод хорд, который позволяет приблизить значение равновесной цены к максимально рациональной цене для. Метод хорд или метод секущих. Рассматриваются алгоритмы реализации численных методов. деления отрезка пополам, метод касательных, метод хорд 1. деления отрезка. Метод хорд Программирование на C, C и Java. Метод хорд. Рассматриваемый метод так же, как и метод дихотомии предназначен для уточнения корня на интервале на концах которого левая часть.

Заказать контрольную работу недорого. Решение контрольных на заказ

Поступая в университет на интересную специальность, думаем, что будем охотно выполнять каждое задание, чтобы набраться знаний, опыта. Но жизнь вносит коррективы. Преподаватели могут решить выдать срочные задания одновременно, или подвернется перспективная вакансия на рынке труда. Не исключена вероятность усталости, которая сбивает с ног. В таких условиях студенты ищут, где недорого заказать контрольную работу.

Студент любой специальности ищет возможности тратить меньше сил. Если выполнение промежуточного задания не входит в планы, поручите исполнителю с фриланс-биржи Автор24! Оформите заявку и выберите автора из числа тех, кто откликнулся.

Преимущества Автор24

Фриланс-биржа – это помощник студента, который не знает, сколько может стоить промежуточное задание, но хочет получить его быстро и недорого. Автор24 не устанавливает высокие комиссии посредника. Доверяет написание работы по маркетингу или математике только аспирантам и преподавателям этой специальности.

Преимущества Автор24:

• Сотрудничество онлайн – не нужно ехать на другой конец города, чтобы впервые встретиться с исполнителем или забрать готовое задание.
• Высокий уровень ответственности – автор не забудет сдать в сроки.
• Можно заказать только теорию или получить решение задачи – опишите тему, требования, сообщите, какую часть выполнили или планируете сделать самостоятельно.

Обращаясь к исполнителю, вы не получаете копию текста из открытых источников сети Интернет, которая может оказаться у одногруппника. Если требуется анализ процесса или решение задачи, автор сделает задания, чтобы по итогу контрольная работа стала допуском к зачету или основанием для получения высокого промежуточного балла.

Сроки выполнения

Не спешите искать, где купить готовую работу, если она нужна завтра утром или к следующему понедельнику. Оставьте заявку на бирже Автор24 – найдется автор, который сделает хорошо и вовремя. Если потребуется доработка или исправление, можете обратиться к нему снова. Сроки выполнения устанавливает студент-заказчик.

Стоимость зависит от таких критериев:

• Сложность – хотите найти ответы на теоретические вопросы или заказать решение задач, выполнение анализа, исследования.
• Тема – чем обширнее, тем дороже.
• Объем – сколько страниц и усилий требует контрольная работа на заказ.

Если хотите потратить выходные на отдых, а не нервные поиски научных материалов и попытки сделать глубокий анализ, оставьте заявку на бирже Автор24. Исполнители справятся с заданием за 2 дня, вне зависимости от объемов и сложности.

Решение системы линейных уравнений методом гаусса-жордана

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

1. Записываем расширенную матрицу.
2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите «очень подробное решение» и посмотрите его решение онлайн.

метод Гаусса–Жордана — один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком, что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
2. Приводим матрицу к «треугольному» виду;
3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные значения;

Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент a i i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a 1 1 отличен от нуля — переходим к следующему шагу;
2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K j =a j i /a i i ;
3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a j k нов.=a j k -K j *a i k ; После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n — размерность матрицы A
4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пa i i , которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце. Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк. Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

4. Метод Жордана — Гаусса.

Схема с выбором главного элемента состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов akk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменятся более жестким: из всех элементов К-го столба выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента акк. Выбор главного элемента и связанная с ним перестановка строк необходимы в тех случаях, когда на каком-либо i-ом шаге акк=0 либо же акк очень мало по остальными элементами i- го столбца: при делении на такое «малое» акк будут получаться большие числа с большими абсолютными погрешностями, в результате чего решение может сильно исказиться.

Ниже излагается алгоритм полного исключения неизвестных или метод Жордана – Гаусса. Суть метода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, в нем неизвестное с коеффициэнтом, отличным от нуля (в дальнейшем разрешающий элемент), и разделив первое уравнение на этот коэффициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Выбрав во втором уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него второе уравнение, с помощью второго исключают другие неизвестные из всех уравнений, кроме второго и т.д., т.е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все уравнения.

Как известно, системы линейных алгебраических уравнений могут имеет одно решение, множество решений или системы несовместны. При элементарных преобразованиях элементов матрицы системы эти случаи выявляются в следующем:

1. В процессе исключений левая часть I –го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отличному от нуля. т.е. 02+=bc0.

Это означает, что система не имеет решений, так как I – му уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных;

2. Левая и правая части I – го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что I – ое уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено. В системе количество неизвестных больше количества уравнений и, следовательно, такая система имеет множество решений;

3. После того как все уравнения использованы для исключения неизвестных получено решение системы.

Таким образом, конечной целью преобразований Жордана-Гаусса является получение из заданной линейной системы

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.n+1

Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Решим следующую систему уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

· К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.

· Строку 2 делим на -2

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.

· К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

В методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона) Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1. 5) Графики…

Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n — ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с…

Математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2. Проведение разработанного факультативного курса. 3. Проведение диагностирующей контрольной…

… «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных…

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе…

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жо рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя .

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований .

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение : это первое задание урока Метод Гаусса для чайников , где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ :

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение : первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа , и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа . В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ : общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением .

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные . Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание : термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений , причём там выбран другой базис .

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ :

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5

Решение : присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса :

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет) . Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1) . Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ :

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице .

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных .

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей сайт:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел) , я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:


(1) Первую и вторую строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ : общее решение:

Пример 6: Решение : обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:


(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.


(6) Вторую строку разделили на 7.
(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ :

Пример 7: Решение : найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:


(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ :

Записывается в виде расширенной матрицы, т.е. в столбец свободных членов помещается в одну матрицу с коэффициентами неизвестных. Аалгоритм заключается в приведении исходной матрицы, характеризующей систему линейных уравнений, к единичной путем эквивалентных преобразований (домножения строки матрицы на константу и сложения с другой строкой матрицы). В качестве константы используется 1/a[i][i] , т.е. число, обратное по отношению к элементу диагонали. Естественно, в ряде случаев возникают проблемы, связанные с делением на ноль, которые решаются перестановкой строк и столбцов:

Весь алгоритм можно представить 10 пунктами:

В качестве опорной выбираем первую строку матрицы.

Если элемент опорной строки, индекс которого равен номеру опорной строки, равен нулю, то меняем всю опорную строку на первую попавшуюся строку снизу, в столбце которого нет нуля.

Все элементы опорной строки делим на первый слева ненулевой элемент этой строки.

Из оставшихся снизу строк вычитают опорную строку, умноженную на элемент, индекс которого равен номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем следующую строку.

Повторяем действия 2 – 5 пока номер опорной строки не превысит число строк.

В качестве опорной выбираем последнюю строку.

Вычитаем из каждой строки выше опорную строку, умноженную на элемент этой строки с индексом равным номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем строку выше.

Повторяем 8 – 9 пока номер опорной строки не станет меньше номера первой строки.

Пусть имеется система уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

и выполним элементарные преобразования ее строк.

Для этого умножим первую строку на 1 и вычитаем из второй строки; затем умножим первую строку на 2 и вычтем из третьей строки.

В результате мы исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Получим:

Теперь вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на 3:

Теперь вычитаем из 1 строки сначала 3 строку, а затем 2 строку:

После преобразований получаем систему уравнений:

Из этого следует, что система уравнений имеет следующее решение:

x1 = 1, x2 = 3 , x3 = -1

В качестве примера решим систему уравнений, представленную в виде матрицы (Таблица 1), методом Гаусса – Жордана.

Делим первую строку на 3 (элемент первой строки, расположенный на главной диагонали), получим:

Умножаем первую строку на 1 и вычитаем из второй строки. Умножаем первую строку на 6 и вычитаем из третьей строки. Получим:

В первом столбце все элементы кроме диагонального равны нулю, займемся вторым столбцом, для этого выберем вторую строку в качестве опорной. Вторая Делим ее на 17/3:

Умножаем строку 2 на -6 и вычитаем из третьей строки:

Теперь третья строка – опорная, делим ее на -33/17:

Умножаем опорную строку на 3/17 и вычитаем ее из второй. Умножаем третью строку на 1 и вычитаем ее из первой

Получена треугольная матрица, начинается обратный ход алгоритма (во время которого получим единичную матрицу). Вторая строка становится опорной. Умножаем третью строку на 4/3 и вычитаем ее из первой:

Последний столбец матрицы – решение системы уравнений.

---

Конвертер давления, механического напряжения, модуля Юнга • Популярные конвертеры единиц • Компактный калькулятор • Онлайн-конвертеры единиц измерения

Конвертер длины и расстоянияКонвертер массыКонвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питанияКонвертер площадиКонвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептахКонвертер температурыКонвертер давления, механического напряжения, модуля ЮнгаКонвертер энергии и работыКонвертер мощностиКонвертер силыКонвертер времениКонвертер линейной скоростиПлоский уголКонвертер тепловой эффективности и топливной экономичностиКонвертер чисел в различных системах счисления. Конвертер единиц измерения количества информацииКурсы валютРазмеры женской одежды и обувиРазмеры мужской одежды и обувиКонвертер угловой скорости и частоты вращенияКонвертер ускоренияКонвертер углового ускоренияКонвертер плотностиКонвертер удельного объемаКонвертер момента инерцииКонвертер момента силыКонвертер вращающего моментаКонвертер удельной теплоты сгорания (по массе)Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему)Конвертер разности температурКонвертер коэффициента теплового расширенияКонвертер термического сопротивленияКонвертер удельной теплопроводностиКонвертер удельной теплоёмкостиКонвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излученияКонвертер плотности теплового потокаКонвертер коэффициента теплоотдачиКонвертер объёмного расходаКонвертер массового расходаКонвертер молярного расходаКонвертер плотности потока массыКонвертер молярной концентрацииКонвертер массовой концентрации в раствореКонвертер динамической (абсолютной) вязкостиКонвертер кинематической вязкостиКонвертер поверхностного натяженияКонвертер паропроницаемостиКонвертер плотности потока водяного параКонвертер уровня звукаКонвертер чувствительности микрофоновКонвертер уровня звукового давления (SPL)Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давленияКонвертер яркостиКонвертер силы светаКонвертер освещённостиКонвертер разрешения в компьютерной графикеКонвертер частоты и длины волныОптическая сила в диоптриях и фокусное расстояниеОптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×)Конвертер электрического зарядаКонвертер линейной плотности зарядаКонвертер поверхностной плотности зарядаКонвертер объемной плотности зарядаКонвертер электрического токаКонвертер линейной плотности токаКонвертер поверхностной плотности токаКонвертер напряжённости электрического поляКонвертер электростатического потенциала и напряженияКонвертер электрического сопротивленияКонвертер удельного электрического сопротивленияКонвертер электрической проводимостиКонвертер удельной электрической проводимостиЭлектрическая емкостьКонвертер индуктивностиКонвертер реактивной мощностиКонвертер Американского калибра проводовУровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др. единицахКонвертер магнитодвижущей силыКонвертер напряженности магнитного поляКонвертер магнитного потокаКонвертер магнитной индукцииРадиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излученияРадиоактивность. Конвертер радиоактивного распадаРадиация. Конвертер экспозиционной дозыРадиация. Конвертер поглощённой дозыКонвертер десятичных приставокПередача данныхКонвертер единиц типографики и обработки изображенийКонвертер единиц измерения объема лесоматериаловВычисление молярной массыПериодическая система химических элементов Д. И. Менделеева

Давление в большинстве кастрюль-скороварок во время работы равно 1 атмосфере или 15 паскалям

Общие сведения

Воздушный шар, лопающийся в офисе TranslatorsCafe.com

В физике давление определяется как сила, действующая на единицу площади поверхности. Если две одинаковые силы действуют на одну большую и одну меньшую поверхность, то давление на меньшую поверхность будет больше. Согласитесь, гораздо страшнее, если вам на ногу наступит обладательница шпилек, чем хозяйка кроссовок. Например, если надавить лезвием острого ножа на помидор или морковь, овощ будет разрезан пополам. Площадь поверхности лезвия, соприкасающаяся с овощем, мала, поэтому давление достаточно велико, чтобы разрезать этот овощ. Если же надавить с той же силой на помидор или морковь тупым ножом, то, скорее всего, овощ не разрежется, так как площадь поверхности ножа теперь больше, а значит давление — меньше.

В системе СИ давление измеряется в паскалях, или ньютонах на квадратный метр.

Относительное давление

Иногда давление измеряется как разница абсолютного и атмосферного давления. Такое давление называется относительным или манометрическим и именно его измеряют, например, при проверке давления в автомобильных шинах. Измерительные приборы часто, хотя и не всегда, показывают именно относительное давление.

Атмосферное давление

Атмосферное давление — это давление воздуха в данном месте. Обычно оно обозначает давление столба воздуха на единицу площади поверхности. Изменение в атмосферном давлении влияет на погоду и температуру воздуха. Люди и животные страдают от сильных перепадов давления. Пониженное давление вызывает у людей и животных проблемы разной степени тяжести, от психического и физического дискомфорта до заболеваний с летальным исходом. По этой причине, в кабинах самолетов поддерживается давление выше атмосферного на данной высоте, потому что атмосферное давление на крейсерской высоте полета слишком низкое.

Анероид содержит датчик — цилиндрическую гофрированную коробку (сильфон), связанную со стрелкой, которая поворачивается при повышении или понижении давления и, соответственно, сжатия или расширения сильфона

Атмосферное давление понижается с высотой. Люди и животные, живущие высоко в горах, например в Гималаях, адаптируются к таким условиям. Путешественники, напротив, должны принять необходимые меры предосторожности, чтобы не заболеть из-за того, что организм не привык к такому низкому давлению. Альпинисты, например, могут заболеть высотной болезнью, связанной с недостатком кислорода в крови и кислородным голоданием организма. Это заболевание особенно опасно, если находиться в горах длительное время. Обострение высотной болезни ведет к серьезным осложнениям, таким как острая горная болезнь, высокогорный отек легких, высокогорный отек головного мозга и острейшая форма горной болезни. Опасность высотной и горной болезней начинается на высоте 2400 метров над уровнем моря. Во избежание высотной болезни доктора советуют не употреблять депрессанты, такие как алкоголь и снотворное, пить много жидкости, и подниматься на высоту постепенно, например, пешком, а не на транспорте. Также полезно есть большое количество углеводов, и хорошо отдыхать, особенно если подъем в гору произошел быстро. Эти меры позволят организму привыкнуть к кислородной недостаточности, вызванной низким атмосферным давлением. Если следовать этим рекомендациям, то организму сможет вырабатывать больше красных кровяных телец для транспортировки кислорода к мозгу и внутренним органам. Для этого организм увеличат пульс и частоту дыхания.

Первая медицинская помощь в таких случаях оказывается немедленно. Важно переместить больного на более низкую высоту, где атмосферное давление выше, желательно на высоту ниже, чем 2400 метров над уровнем моря. Также используются лекарства и портативные гипербарические камеры. Это легкие переносные камеры, в которых можно повысить давление с помощью ножного насоса. Больного горной болезнью кладут в такую камеру, в которой поддерживается давление, соответствующее более низкой высоте над уровнем моря. Такая камера используется только для оказания первой медицинской помощи, после чего больного необходимо спустить ниже.

Некоторые спортсмены используют низкое давление, чтобы улучшить кровообращение. Обычно для этого тренировки проходят в нормальных условиях, а спят эти спортсмены в среде с низким давлением. Таким образом, их организм привыкает к высокогорным условиям и начинает вырабатывать больше красных кровяных телец, что, в свою очередь, повышает количество кислорода в крови, и позволяет достичь более высоких результатов в спорте. Для этого выпускаются специальные палатки, давление в которых регулируются. Некоторые спортсмены даже изменяют давление во всей спальне, но герметизация спальни — дорогостоящий процесс.

Скафандры

Многоразовый транспортный космический корабль НАСА «Атлантис» в экспозиции Космического центра имени Кеннеди.

Пилотам и космонавтам приходится работать в среде с низким давлением, поэтому они работают в скафандрах, позволяющих компенсировать низкое давление окружающей среды. Космические скафандры полностью защищают человека от окружающей среды. Их используют в космосе. Высотно-компенсационные костюмы используют пилоты на больших высотах — они помогают пилоту дышать и противодействуют низкому барометрическому давлению.

Гидростатическое давление

Гидростатическое давление — это давление жидкости, вызванное силой тяжести. Это явление играет огромную роль не только в технике и физике, но также и в медицине. Например, кровяное давление — это гидростатическое давление крови на стенки кровеносных сосудов. Кровяное давление — это давление в артериях. Оно представлено двумя величинами: систолическим, или наибольшим давлением, и диастолическим, или наименьшим давлением во время сердцебиения. Приборы для измерения артериального давления называются сфигмоманометрами или тонометрами. За единицу артериального давления приняты миллиметры ртутного столба.

Цифровой аппарат для измерения давления, также называемый сфигмоманометром

Кружка Пифагора — занимательный сосуд, использующий гидростатическое давление, а конкретно — принцип сифона. Согласно легенде, Пифагор изобрел эту чашку, чтобы контролировать количество выпитого вина. По другим источникам эта чашка должна была контролировать количество выпитой воды во время засухи. Внутри кружки находится изогнутая П-образная трубка, спрятанная под куполом. Один конец трубки длиннее, и заканчивается отверстием в ножке кружки. Другой, более короткий конец, соединен отверстием с внутренним дном кружки, чтобы вода в чашке наполняла трубку. Принцип работы кружки схож с работой современного туалетного бачка. Если уровень жидкости становится выше уровня трубки, жидкость перетекает во вторую половину трубки и вытекает наружу, благодаря гидростатическому давлению. Если уровень, наоборот, ниже, то кружкой можно спокойно пользоваться.

Давление в геологии

Кристалл кварца, освещенный лазерной указкой

Давление — важное понятие в геологии. Без давления невозможно формирование драгоценных камней, как природных, так и искусственных. Высокое давление и высокая температура необходимы также и для образования нефти из остатков растений и животных. В отличие от драгоценных камней, в основном образующихся в горных породах, нефть формируется на дне рек, озер, или морей. Со временем над этими остатками собирается всё больше и больше песка. Вес воды и песка давит на остатки животных и растительных организмов. Со временем этот органический материал погружается глубже и глубже в землю, достигая нескольких километров под поверхностью земли. Температура увеличивается на 25 °C с погружением на каждый километр под земной поверхностью, поэтому на глубине нескольких километров температура достигает 50–80 °C. В зависимости от температуры и перепада температур в среде формирования, вместо нефти может образоваться природный газ.

Алмазные инструменты

Природные драгоценные камни

Образование драгоценных камней не всегда одинаково, но давление — это одна из главных составных частей этого процесса. К примеру, алмазы образуются в мантии Земли, в условиях высокого давления и высокой температуры. Во время вулканических извержений алмазы перемещаются в верхние слои поверхности Земли благодаря магме. Некоторые алмазы попадают на Землю с метеоритов, и ученые считают, что они образовались на планетах, похожих на Землю.

Синтетические драгоценные камни

Производство синтетических драгоценных камней началось в 1950-х годах, и набирает популярность в последнее время. Некоторые покупатели предпочитают природные драгоценные камни, но искусственные камни становятся все более и более популярными, благодаря низкой цене и отсутствию проблем, связанных с добычей натуральных драгоценных камней. Так, многие покупатели выбирают синтетические драгоценные камни потому, что их добыча и продажа не связана с нарушением прав человека, детским трудом и финансированием войн и вооруженных конфликтов.

Одна из технологий выращивания алмазов в лабораторных условиях — метод выращивания кристаллов при высоком давлении и высокой температуре. В специальных устройствах углерод нагревают до 1000 °C и подвергают давлению около 5 гигапаскалей. Обычно в качестве кристалла-затравки используют маленький алмаз, а для углеродной основы применяют графит. Из него и растет новый алмаз. Это самый распространенный метод выращивания алмазов, особенно в качестве драгоценных камней, благодаря низкой себестоимости. Свойства алмазов, выращенных таким способом, такие же или лучше, чем свойства натуральных камней. Качество синтетических алмазов зависит от метода их выращивания. По сравнению с натуральными алмазами, которые чаще всего прозрачны, большинство искусственных алмазов окрашено.

Благодаря их твердости, алмазы широко используются на производстве. Помимо этого ценятся их высокая теплопроводность, оптические свойства и стойкость к щелочам и кислотам. Режущие инструменты часто покрывают алмазной пылью, которую также используют в абразивных веществах и материалах. Большая часть алмазов в производстве — искусственного происхождения из-за низкой цены и потому, что спрос на такие алмазы превышает возможности добывать их в природе.

Некоторые компании предлагают услуги по созданию мемориальных алмазов из праха усопших. Для этого после кремации прах очищается, пока не получится углерод, и затем на его основе выращивают алмаз. Изготовители рекламируют эти алмазы как память об ушедших, и их услуги пользуются популярностью, особенно в странах с большим процентом материально обеспеченных граждан, например в США и Японии.

Метод выращивания кристаллов при высоком давлении и высокой температуре

Метод выращивания кристаллов при высоком давлении и высокой температуре в основном используется для синтеза алмазов, но с недавнего времени этот метод помогает усовершенствовать натуральные алмазы или изменить их цвет. Для искусственного выращивания алмазов используют разные прессы. Самый дорогой в обслуживании и самый сложный из них — это пресс кубического типа. Он используется в основном для улучшения или изменения цвета натуральных алмазов. Алмазы растут в прессе со скоростью примерно 0,5 карата в сутки.

Литература

Автор статьи: Kateryna Yuri

Unit Converter articles were edited and illustrated by Анатолий Золотков

Вы затрудняетесь в переводе единицы измерения с одного языка на другой? Коллеги готовы вам помочь. Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.

Калькулятор давления (перевод бар в МПа, кгс и psi)

Современный калькулятор перевода бар в мпа – это многофункциональный инструмент, который оперативно переводит любые введенные величины. Онлайн-калькулятор работает оперативно и безошибочно. Богатый функционал позволяет орудовать большой выборкой исходных и вторичных величин.

Как пользоваться онлайн-калькулятором?

Описание функционала калькулятора

1. Левая колонка калькулятора. Содержит выборку исходных величин. Под каждым столбцом отображается точное техническое описание величины.
2. Правая колонка калькулятора. Содержит конечную величину перевода. Под каждым столбцом есть подробное описание конечной величины перевода.
3. Получение результатов. Для того, чтобы перевести мпа в паскали, введите значения исходной величины. Онлайн-калькулятор оперативно переведет исходные данные.

Обратите внимание на особенность округления. Целые числа при переводе, рассматриваются как точные до 15 знаков.

Допустимое число цифр после запятой, составляет 10 единиц.

Для перевода чрезвычайно больших и малых чисел, применяется отдельное понятие: компьютерная экспоненциальная запись. Используя данный метод, можно записать числа с высоким сопутствующим сокращением.

Для кого разработан онлайн-калькулятор

1. Для специалистов, которые проводят научные исследования. Вы можете без труда перевести, к примеру, бар в торр.
2. Для владельцев транспортных средств. Очень часто нужно, например, перевести МПа в бары. Эти данные используются для анализа состояния топливной магистрали, а также для проверки номинального давления в шинах автомобиля.
3. Автовладельцы используют калькулятор при переводе отдельного значения в МПа в процессе заправки деталей авто фреоном.

Таблица перевода измерений бар в мпа, кгс, psi и обратно

Интерактивный онлайн калькулятор предназначен для перевода единиц измерения давления.

Давление — соотношение силы к площади поверхности.

Формула: P = F/S

Международная единица измерения давления – Паскаль. Паскаль упрощает формулировку единиц измерения давления, заменяя отношение силы к площади в виде Ньютона на квадратный метр.

Давление обозначается как кПа, МПа.

В разных сферах деятельности, давление измеряется по-разному. Давление в большинстве случаев обозначают научными величинами: бары, атмосферы, мега паскали, квадратные дюймы или технические атмосферы.

Поэтому рекомендуется изучить таблицу соотношений, представленной на сервисе.

Перед тем, как произвести перевод, изучите специфику градации. Механическое воздействие в определенной точке измеряется в традиционной величине – паскали. Один паскаль равняется одному ньютону, паттерны которого применяет онлайн–калькулятор.

Однако могут возникнуть сложности при  переводе Psi в нужную величину, когда используются британские системы измерения: фунты, квадратные дюймы.

Материал по теме: Калькулятор для перевода силы тока в мощность

Приборы для измерения давления

Основным прибором для получения значения давления в шинах является цифровой измеритель – манометр. В продаже имеются электронные или механические приборы.

Что такое бар (bar)?

Общепринятая единица измерения давления в bar представляет собой 1 атмосферу.

Что такое кгс (кГ)?

1 кгс расшифровывается как килограмм-сила.

Что такое Psi?

Psi обозначает давление, рассчитанное в фунтах на квадратный дюйм. Давление в psi принято для стран с дюймовой системой измерения.

Что такое мегапаскали (МПа)?

В СИ выделяют единицу измерения механического напряжения (давления) – Паскаль.

1 МПА = 1000000 Паскаль.

Онлайн-калькулятор: метод Ньютона

Этот онлайн-калькулятор реализует метод Ньютона (также известный как метод Ньютона – Рафсона) с использованием калькулятора производных для получения аналитической формы производной заданной функции, поскольку этого требует метод. Немного теории, чтобы напомнить основы метода, можно найти под калькулятором.

Метод Ньютона

Точность вычислений

Цифры после десятичной точки: 4

Файл очень большой. Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера.

Скачать закрыть

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Метод Ньютона – Рафсона

В численном анализе метод Ньютона (также известный как метод Ньютона – Рафсона), названный в честь Исаака Ньютона и Джозефа Рафсона, представляет собой метод для последовательного поиска более точных приближений к корням (или нулям) вещественной функции.

Метод начинается с функции f, определенной над действительными числами x, производной функции f ‘и начальным предположением x0 для корня функции f.Если функция удовлетворяет предположениям, сделанным при выводе формулы, и первоначальное предположение близко, то лучшее приближение x1 равно

.

Геометрически (x1, 0) — это пересечение оси x и касательной к графику f в точке (x0, f (x0)).

Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто достаточно точное значение.

Анимация метода Ньютона Ральфа Пфайфера (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif)

Идея метода заключается в следующем: каждый начинает с первоначального предположения, которое достаточно близко к истинному корню, затем функция аппроксимируется ее касательной (которую можно вычислить с помощью инструментов исчисления) и вычисляется x-точку пересечения этой касательной (что легко сделать с помощью элементарной алгебры).Этот пересечение по оси x обычно будет лучшим приближением к корню функции, чем исходное предположение, и метод может быть повторен.

Метод Ньютона — чрезвычайно мощный метод — в целом сходимость квадратичная: по мере того, как метод сходится к корню, разница между корнем и приближением возводится в квадрат (количество точных цифр примерно удваивается) на каждом шаге. Однако с этим методом связаны некоторые трудности: сложность вычисления производной функции, несходимость метода к корню, если не выполняются предположения, сделанные при доказательстве квадратичной сходимости метода Ньютона, медленная сходимость для корней кратность больше 1

Калькулятор по методу Ньютона — поиск корней методом Ньютона

Онлайн-калькулятор по методу Ньютона позволяет определить приближение корня действительной функции.Калькулятор использует формулу метода Ньютона для отображения итерации инкрементного вычисления. Здесь вы можете узнать больше о методе Ньютона, его формулах и примерах.

Что такое метод Ньютона?

В исчислении метод Ньютона (также известный как метод Ньютона-Рафсона) представляет собой алгоритм поиска корня, который обеспечивает более точное приближение к корню (или нулю) действительной функции.

Метод Ньютона основан на касательных прямых. Основная идея состоит в том, что если x достаточно близко к корню f (x), касательная к графику будет пересекать ось x в точке (x, f (x)) в точке, которая ближе к корню. чем х.

(изображение)

Однако онлайн-калькулятор касательной позволяет определить касательную линию к неявному, параметрическому, полярному и явному в определенной точке.

Формула метода Ньютона:

Если x_n является оценочным решением функции f (x), которое равно нулю, и если f ’(x_n) не равно нулю, то следующая оценка дается формулой

x_n + 1 = x_n — f (x_n) / f ’(x_n)

Эта формула метода Ньютона используется калькулятором метода Ньютона для нахождения корня функции с действительным знаком.2 = 1,5625

F ’(x_2) = f’ (1,25) = 2 (1,25) = 2,5

Теперь, используя формулу метода Ньютона:

X_3 = x_2 — f (x_2) / f ’(x_2)

X_3 = 1,25 — 1,5625 / 2,5

X_3 = 0,625

Следовательно, калькулятор по методу Ньютона дает таблицу итераций для тех же значений:

Шаг	x	f (x)	f ‘(x)
1	2.5	25	10
2	1,25	6,25	5
3	0,625	1,5625	2,5

Однако онлайн-калькулятор производной позволяет определить производную функции по заданной переменной.

Как работает калькулятор по методу Ньютона? Калькулятор метода Ньютона

реализует метод Ньютона для нахождения корня действительной функции и выполнения итераций, следуя этим инструкциям:

Ввод:

• Сначала подставьте вещественную функцию и ее производную (необязательно).
• Теперь вставьте начальное значение и максимальное количество итераций в соответствии с требованиями.
• Затем добавьте значащую цифру в соответствующее поле.
• Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти итерации заданной функции.

Выход:

• Калькулятор по методу Ньютона отображает заданную функцию и ее производную.
• Калькулятор применяет правило мощности к реальной функции и предоставляет таблицу итераций в соответствии с заданными значениями.
• Он дает пошаговое решение для всех итераций за доли секунды.

FAQ:

Почему метод Ньютона не удался?

Если производная равна нулю, метод Ньютона не работает. Когда производная близка к нулю, касательная почти горизонтальна, поэтому она может превышать требуемый корень (числовая сложность).

Всегда ли будет сходиться метод Ньютона?

Метод Ньютона не всегда сходится.Его теория конвергенции относится к «локальной» конвергенции, что означает, что она должна начинаться около корня, а «около» относится к функции, с которой вы хотите иметь дело.

Почему метод Ньютона быстрее, чем метод деления пополам?

Функция f должна иметь непрерывную производную. Если вы начнете слишком далеко от корня, метод Ньютона может не сойтись. Однако, когда он сходится, он быстрее, чем метод деления пополам, и обычно является квадратичным.

Будет ли расходиться метод Ньютона?

Если функция не может быть непрерывно дифференцирована рядом с корнем, метод Ньютона всегда будет расходиться и терпеть неудачу, если решение не будет угадано с первой попытки.

Какой метод сходимости самый быстрый?

Метод Ньютона — очень хороший метод. Когда условия выполняются, метод Ньютона сходится, и скорость сходимости выше, чем почти любая другая альтернативная итерационная схема, основанная на методе преобразования исходной f (x) в функцию с фиксированной точкой.

Заключение:

Воспользуйтесь этим онлайн-калькулятором по методу Ньютона, чтобы найти действительные корни нелинейных функций. Потому что этот калькулятор предоставляет полную таблицу итераций с использованием формулы метода Ньютона.Поиск итераций вручную — это длительный и трудоемкий метод. Чтобы вам было удобно, наш онлайн-калькулятор ньютонов выполняет все расчеты, связанные с методом Ньютона, бесплатно и быстро.

Артикул:

Из источника в Википедии: Метод Ньютона, Сложность вычисления производной функции, Неспособность метода сходиться к корню, Превышение.

Из источника онлайн-заметок Пола: Точка покоя, Плохая начальная оценка, Устранение несходимости, Анализ, Области притяжения.

Из источника AMSI: Поиск решения с помощью геометрии, Ключевой расчет, Алгоритм, Использование метода Ньютона, Чувствительная зависимость от начальных условий.

Решатель уравнений метода Ньютона

Критерии завершения r>

ДОМ Главы курса Основы калькулятора Обзор математики Основные понятия Advanced Concepts Газовые законы Термодинамика Кинетика Equilibria Редокс-химия Ядерная химия Линия Мастара Методы интеграции Секционные тесты Предварительное испытание Пост-тест Полезные материалы Глоссарий Онлайн-калькуляторы Калькулятор окислительно-восстановительного потенциала Калькулятор кинетики Аррениуса Калькулятор термодинамики Калькулятор ядерного распада Регрессия методом наименьших квадратов Решатель уравнений метода Ньютона Калькулятор сжимаемости Калькулятор перевода единиц Калькулятор номенклатуры Ссылки по теме Калькуляторы Texas Instruments Калькуляторы Casio Калькуляторы Sharp Калькуляторы Hewlett Packard Кредиты Связаться с веб-мастером	Введите функцию и ее производную, затем укажите параметры ниже.2
Производная (наклон) функция: 2 * x
Начальные значения
Начальное значение X
Округлите окончательное значение до этого числа мест:
Критерии завершения
Максимум:
Остановить, когда функция близка к нулю Остановить, когда x останется прежним	От нуля до этого числа десятичных разрядов:
	Для такого количества итераций: До такого количества десятичных знаков:

---

Вернуться на главную страницу метода Ньютона-Рафсона

---

Разработано
The Shodor Образовательный фонд, Inc.
Авторское право и копия 1998 г.
Последнее изменение:
Вопросы или комментарии об этой странице следует направлять по адресу [email protected]

---

Калькулятор интерполяционных полиномов Ньютона — онлайн-интерполяция

Поиск инструмента

Интерполирующий многочлен Ньютона

Инструмент для нахождения уравнения кривой с помощью алгоритма Ньютона. Алгоритм ньютоновской интерполяции — это полиномиальная интерполяция / аппроксимация, позволяющая получить полином Лагранжа как уравнение кривой, зная ее точки.

Результаты

Интерполирующий многочлен Ньютона — dCode

Тег (и): Функции

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Рекламные объявления

Калькулятор ньютоновской интерполяции

Ответы на вопросы (FAQ)

Как найти уравнение кривой с помощью алгоритма Ньютона?

dCode позволяет использовать метод Ньютона для полиномиальной интерполяции, чтобы найти уравнение полинома (идентичного Лагранжу) в форме Ньютона из уже известных значений функции. k {\ frac {y_j} {\ prod_ {0 \ leq i \ leq k, \, i \ neq j} (x_j-x_i)}} $$ они вмешиваются в вычисление интерполяции Ньютона.

NB: если $ k = 0 $, то продукт $ \ prod (x_j-x_i) = 1 $ (пустой продукт)

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Интерполирующий полином Ньютона». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент « Полинома интерполяции Ньютона » (преобразователь, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любые Функция Interpolating Polynomial (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести) написана на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)) и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для ‘Интерполирующего полинома Ньютона’ не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

ньютон, интерполяция, интерполяция, уравнение, полином, лагранж, кривая, точка, значение, функция

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/newton-interpolating-polynomial

© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Исчисление I — Метод Ньютона

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. , вероятно, вы пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-13: Метод Ньютона

Следующее приложение, которое мы рассмотрим в этой главе, — это важное приложение, которое используется во многих областях.Если вы до сих пор следили за главой, вполне возможно, что у вас сложилось впечатление, что многие из рассмотренных нами приложений созданы нами для того, чтобы вы работали. Это прискорбно, потому что все приложения, которые мы рассмотрели до этого момента, являются реальными приложениями, которые действительно используются в реальных ситуациях. Проблема часто заключается в том, что для работы с более значимыми примерами приложений нам потребуется больше знаний о науке и / или физике, стоящих за этой проблемой, чем мы обычно имеем.Без этих знаний мы вынуждены приводить довольно упрощенные примеры, которые часто не кажутся очень реалистично, и поэтому трудно понять, что приложение, которое мы рассматриваем, является настоящим приложением.

Это изменится в этом разделе. Это приложение, которое мы все можем понять, и все мы можем понять, что иногда нужно делать это, даже если мы не понимаем физику / науку, лежащую в основе реального приложения.

В этом разделе мы рассмотрим метод приближения решений уравнений.Все мы знаем, что уравнения нужно решать время от времени, и на самом деле мы сами решили довольно много уравнений к этому моменту. Во всех примерах, которые мы рассмотрели к этому моменту, мы действительно смогли найти решения, но не всегда возможно сделать это точно и / или выполнить работу вручную. Вот тут-то и пригодится это приложение. Итак, давайте посмотрим, что это за приложение.

Предположим, что мы хотим приблизить решение к \ (f \ left (x \ right) = 0 \), а также предположим, что мы каким-то образом нашли начальное приближение к этому решению, скажем, \ ({x_0} \).Это начальное приближение, вероятно, не так уж и хорошо, на самом деле это может быть не более чем быстрое предположение, которое мы сделали, и поэтому мы хотели бы найти лучшее приближение. Сделать это достаточно просто. Сначала мы получим касательную к \ (f \ left (x \ right) \) в точке \ ({x_0} \).

\ [y = f \ left ({{x_0}} \ right) + f ‘\ left ({{x_0}} \ right) \ left ({x — {x_0}} \ right) \]

Теперь взгляните на график ниже.

Синяя линия (если вы все равно читаете это в цвете…) — это касательная линия в точке \ ({x_0} \).Мы видим, что эта линия пересекает ось \ (x \) гораздо ближе к фактическому решению уравнения, чем \ ({x_0} \). Назовем эту точку, где касательная в \ ({x_0} \) пересекает \ (x \) — ось \ ({x_1} \), и мы будем использовать эту точку в качестве нашего нового приближения к решению.

Итак, как нам найти эту точку? Мы знаем его координаты, \ (\ left ({{x_1}, 0} \ right) \), и мы знаем, что он находится на касательной, поэтому подключите эту точку к касательной и решите относительно \ ({x_1} \ ) следующим образом:

\ [\ begin {align *} 0 & = f \ left ({{x_0}} \ right) + f ‘\ left ({{x_0}} \ right) \ left ({{x_1} — {x_0}} \ справа) \\ {x_1} — {x_0} & = — \ frac {{f \ left ({{x_0}} \ right)}} {{f ‘\ left ({{x_0}} \ right)}} \ \ {x_1} & = {x_0} — \ frac {{f \ left ({{x_0}} \ right)}} {{f ‘\ left ({{x_0}} \ right)}} \ end {align * } \]

Итак, мы можем найти новое приближение при условии, что производная не равна нулю в исходном приближении.

Теперь мы повторяем весь процесс, чтобы найти еще лучшее приближение. Мы формируем касательную линию к \ (f \ left (x \ right) \) в \ ({x_1} \) и используем ее корень, который мы назовем \ ({x_2} \), как новое приближение к фактическое решение. Если мы сделаем это, мы придем к следующей формуле.

\ [{x_2} = {x_1} — \ frac {{f \ left ({{x_1}} \ right)}} {{f ‘\ left ({{x_1}} \ right)}} \]

Эта точка также показана на графике выше, и мы можем видеть из этого графика, что если мы продолжим следовать этому процессу, мы получим последовательность чисел, которая очень приближается к фактическому решению.Этот процесс называется методом Ньютона.

Вот общий метод Ньютона

Метод Ньютона

Если \ ({x_n} \) является приближением решения \ (f \ left (x \ right) = 0 \) и если \ (f ‘\ left ({{x_n}} \ right) \ ne 0 \ ) следующее приближение дается выражением,

\ [{x_ {n + 1}} = {x_n} — \ frac {{f \ left ({{x_n}} \ right)}} {{f ‘\ left ({{x_n}} \ right)}} \]

Это должно привести к вопросу, когда нам остановиться? Сколько раз мы проходим этот процесс? Одна из наиболее распространенных точек остановки в процессе — это продолжение до тех пор, пока два последовательных приближения не согласятся с заданным количеством десятичных знаков.

Перед тем, как приступить к работе с какими-либо примерами, мы должны решить две проблемы. Во-первых, нам действительно нужно решить \ (f \ left (x \ right) = 0 \), чтобы применить метод Ньютона. На самом деле это не такая уж большая проблема, но мы должны убедиться, что уравнение находится в этой форме, прежде чем использовать метод.

Во-вторых, нам нужно каким-то образом получить начальное приближение к решению (, т.е. нам как-то понадобится \ ({x_0} \)). Один из наиболее распространенных способов получить \ ({x_0} \) — нарисовать график функции и использовать его для получения оценки решения, которое мы затем используем как \ ({x_0} \).Другой распространенный метод — если мы знаем, что есть решение функции в интервале, мы можем использовать середину интервала как \ ({x_0} \).

Давайте поработаем на примере метода Ньютона.

Пример 1 Используйте метод Ньютона для определения приближения к решению \ (\ cos x = x \), которое лежит в интервале \ (\ left [{0,2} \ right] \). Найдите приближение до шести знаков после запятой. Показать решение

Во-первых, обратите внимание, что нам не давали первоначального предположения.Однако нам дали время посмотреть. Мы будем использовать это, чтобы получить наше первоначальное предположение. Как отмечалось выше, общее практическое правило в этих случаях состоит в том, чтобы принять начальное приближение за середину интервала. Итак, мы будем использовать \ ({x_0} = 1 \) в качестве нашего первоначального предположения.

Затем напомним, что должно иметь функцию в виде \ (f \ left (x \ right) = 0 \). Поэтому сначала перепишем уравнение как,

\ [\ cos x — x = 0 \]

Теперь мы можем записать общую формулу для метода Ньютона.Это часто немного упрощает работу, поэтому, как правило, это неплохая идея.

\ [{x_ {n + 1}} = {x_n} — \ frac {{\ cos x_ {n} — x_ {n}}} {{- \ sin x_ {n} — 1}} \]

Давайте теперь получим первое приближение.

\ [{x_1} = 1 — \ frac {{\ cos \ left (1 \ right) — 1}} {{- \ sin \ left (1 \ right) — 1}} = 0,7503638679 \]

Здесь мы должны указать, что фраза «шесть знаков после запятой» не означает, что нужно просто получить \ ({x_1} \) до шести знаков после запятой, а затем остановиться.Вместо этого это означает, что мы продолжаем, пока два последовательных приближения не согласятся с шестью десятичными знаками.

Учитывая это условие остановки, нам явно нужно сделать хотя бы один шаг дальше.

\ [{x_2} = 0,7503638679 — \ frac {{\ cos \ left (0,7503638679 \ right) — 0,7503638679}} {{- \ sin \ left ({0,7503638679} \ right) — 1}} = 0,73909 \]

Хорошо, мы делаем успехи. У нас есть приближение к 1 десятичному знаку. Давайте сделаем еще один, оставив детали вычислений вам.

\ [{x_3} = 0,73334 \]

Мы разделили до трех десятичных знаков. Нам понадобится еще один.

\ [{x_4} = 0,73332 \]

И теперь у нас есть два приближения, которые согласуются с 9 десятичными знаками, и мы можем остановиться. Предположим, что решение приблизительно равно \ ({x_4} = 0,73332 \).

В этом последнем примере мы увидели, что нам не нужно делать слишком много вычислений, чтобы метод Ньютона дал нам приближение в желаемом диапазоне точности.Так будет не всегда. Иногда для достижения желаемой точности требуется много итераций процесса, а иногда он может полностью выйти из строя.

Следующий пример немного глупый, но он указывает на сбой метода.

Пример 2 Используйте \ ({x_0} = 1 \), чтобы найти приближение к решению \ (\ sqrt [3] {x} = 0 \). Показать решение

Да, глупый пример. Ясно, что решение - \ (x = 0 \), но это действительно очень важный момент.{- \ frac {2} {3}}}} = {x_n} - 3 {x_n} = - 2 {x_n} \]

На самом деле, здесь нам не нужно делать никаких вычислений. Эти вычисления удаляются все дальше и дальше от решения \ (x = 0 \) с каждой итерацией. Вот несколько вычислений, чтобы понять суть дела.

\ [\ begin {align *} {x_1} & = - 2 \\ {x_2} & = 4 \\ {x_3} & = - 8 \\ {x_4} & = 16 \\ & т. д. \ end {align * } \]

Итак, в этом случае метод терпит неудачу и дает очень эффектную ошибку.

Итак, нам нужно быть немного осторожнее с методом Ньютона. Обычно он быстро находит приближение к уравнению. Однако бывают случаи, когда для этого потребуется много работы или когда это вообще не сработает.

Метод

Ньютонов на TI-83/84 или TI-89 Метод

Ньютон на TI-83/84 или TI-89

Авторские права 20022020 Стэн Браун

Резюме: Метод Ньютона - это быстрый способ найти реальные решения уравнения .Ваш TI-83/84 или TI-89 может Метод Ньютона для вас, и на этой странице показаны два способа.

Метод Ньютона - это итеративный , что означает, что он использует процесс или рецепт для перехода от каждого предположения x _n к следующему угадайте x _{n +1} . Рецепт метода Ньютона показан справа. Этот рецепт проводит касательную к кривой в точке x = x _n , находит значение x , где эта строка пересекает ось x и использует это значение x в качестве следующего предположения x _{n +1} .В любом учебнике по математическому анализу есть иллюстрация этого метода.

То, что мы предполагаем, является нулем вещественной функции. Если предположения постепенно приближаются к желаемой точке, мы говорим что метод сходится к . Оказывается, если метод Ньютона вообще сходится к определенному ноль, быстро сходится , что означает, что требуется относительно немного шагов. (См. В вашем учебнике условия, в которых сходится метод Ньютона.)

Чтобы запустить любой из методов, запишите уравнение, которое вы хотите решить, в форму f ( x ) = 0. Технически метод Ньютона находит нули функции, а не корни уравнение. Поэтому вы бы переписали что-то вроде x sin x = 2 как x sin x - 2 = 0. (Помните из алгебры, что нуль функции f совпадает с решение или корень уравнения f ( x ) = 0 или x пересечение графика f .)

Метод 1: вы дифференцируете

Чтобы попрактиковаться в методе Ньютона, давайте найдем квадрат. корень 2, так как ответ будет несложно проверить.√2 является решением x = √2 или х = 2. (Да, −√2 - решение это новое уравнение, но не исходное уравнение. Но хорошо получи положительный корень из-за нашего выбора первоначального предположения.)

Для начала перепишем в виде f ( x ) = х - 2 = 0. Затем дифференцируйте функцию: f ′ ( x ) = 2 x .

Введите функцию как Y1 и производную как Y2.	TI-83/84: нажмите [ Y = ].] [ 2 ] [–] [ 2 ] [ ENTER ] В Y2 нажмите [ 2 ] [ X ] [ ENTER ], затем [ ▲ ] [ F4 ] чтобы сообщить TI-89 не отображать производную Y2.
(необязательно) Изобразите функцию, чтобы спланировать свое первоначальное предположение.	TI-83/84: нажмите [ ZOOM ] [ 6 ], чтобы ZStandard (стандартный зум).	TI-89: Нажмите [ F2 ] [ 6 ] для ZoomStd .
Вернуться на главный экран.	TI-83/84: Нажмите [ 2nd MODE делает QUIT ].	TI-89: Нажмите [ 2-я ESC делает QUIT ].

Затем вы установите x на ваше первое предположение, затем запрограммируете рецепт для следующего предположения. Давайте для начала угадаем 1.

Сохраните первоначальное предположение, 1, в x.	TI-83/84: нажмите [ 1 ] [ STO → ] [ x, T, θ, n ].	TI-89: нажмите [ 1 ] [. ] [ STO → ] [ X ]. Десятичная точка важна: она сообщает TI-89, что вы хотите десятичные приближения, а не точные числа.
Поскольку y1 является левой частью решаемого уравнения и y2 - производная, вы хотите вычесть y1 / y2 из x и сохранить результат в x как следующее предположение. После первой итерации вы увидите результат 1,5.	TI-83/84: [ x, T, θ, n ] [ - ] [ VARS ] [ ► ] [ 1 ] [ 1 ] вставляет Y1 на экран. [] [ VARS ] [ ► ] [ 1 ] [ 2 ] вставок / Y2 для растрирования. [ STO → ] [ x, T, θ, n ] [ ENTER ] вычисляет следующее предположение и сохраняет его в X.	TI-89: Вы должны передать аргумент (x) двум функциям. [ X ] [–] [ Y ] [ 1 ] [ (] [ X ] [) ] [] [ Y ] [ 2 ] [ (] [ X ] [) ] [ STO → ] [ X ]
Теперь повторяйте, пока предположения не сойдутся.	Оба: каждое дополнительное нажатие клавиши [ ENTER ] вычисляет дальнейшее предположение. Еще через четыре итерации процесс сходился.] [ 2 ], чтобы убедиться, что это действительно квадратный корень из 2.)
	ТИ-83/84:	TI-89:

Метод 2: Программа калькулятора

TI-83/84 и TI-89 запрограммированы несколько иначе. Вы можете скачать программы для обоих семейств калькуляторов в файле NEWTON.ZIP (31 КБ, исправленное 28 декабря 2016 г.) или введите программа, следуя инструкциям ниже.

Программа TI-83/84 для запуска метода Ньютона должна работать для любой функции, даже той, которую вы не умеете различать, потому что он вычисляет производную численно.Программа ТИ-89 будет работают для любой дифференцируемой функции, потому что TI-89 находит для вас алгебраическую производную.

Создайте новую программу.	TI-83/84: [ PRGM ] [ ◄ ] [ 1 ]	TI-89: [ APPs ] [ 7 ] [ 3 ]
Назовите программу NEWTON.	TI-83/84: Калькулятор уже переключил вас в альфа-режим. Ищите зеленых букв над каждой клавишей и нажмите [ N ] [ E ] [ W ] [ T ] [ O ] [ N ].Внимательно проверьте экран и при необходимости сделайте резервную копию и внесите исправления. Нажмите [ ВВЕДИТЕ ].	TI-89: нажмите [ ▼ ] [ ▼ ], чтобы перейти к экран названия программы. Калькулятор уже перевел вас в альфа-режим. Ищите фиолетовый букв над каждой клавишей и нажмите [ N ] [ E ] [ W ] [ T ] [ O ] [ N ]. Внимательно проверьте экран и при необходимости сделайте резервную копию и внесите исправления.Нажмите [ ВВЕДИТЕ ].
Войти в эту программу, адаптированную из Larson-Hostetler-Edwards Исчисление 6 / e. (Если вам нужна помощь, обратитесь к руководству по эксплуатации калькулятора.) Особенности программы TI-89: Буква d в ​​первой строке цикла - это Функция отличается от меню Calc. Режим «Точное / Прибл.» Сохраняется, устанавливается на Приблизительно и восстанавливается. Таким образом, вам не нужно забывать вводить 1.	ТИ-83/84: Диспетчер "НАЧАЛЬНАЯ УГАДА" Вход X 1 → С Фунт 1 X-Y1 / nDeriv (Y1, X, X) → R Если абс (X-R) <абс (X / 1E10) Перейти 2 R → X Disp {X, N} N + 1 → N Перейти 1 Фунт 2 Disp "ROOT =", R Disp "ITER =", N После входа и внимательной проверки программы нажмите [ 2nd MODE делает QUIT ], чтобы вернуться на главный экран.	ТИ-89: ньютон () Prgm getMode ("Точно / Приблизительно") → str1 setMode ("Точно / Приблизительно", "Приблизительно") ClrIO Disp "Начальное предположение =", t 1 → г Петля t-y1 (t) / (d (y1 (x), x)) | x = t → y Если abs (t-y) После входа и внимательной проверки программы нажмите [ 2-я ESC делает QUIT ] чтобы вернуться на главный экран.

Давайте протестируем программу, найдя решение x = cos ( x ). Это означает нахождение положительного нуля f ( x ) = x - cos ( x ). Хорошо используйте первоначальное предположение 0.

Убедитесь, что калькулятор находится в режиме радиан.

Поместите функцию в Y1.	TI-83/84: [ Y = ] В Y1 нажмите [ x, T, θ, n ] [–] [ COS ] [ x, T, θ, n ] [) ]	TI-89: [ ◆ ] [ Y = ] В Y1 нажмите [ X ] [ - ] [ 2-й Z составляет COS ] [ X ] [) ]
Вернуться на главный экран.	TI-83/84: Нажмите [ 2nd MODE делает QUIT ].	TI-89: Нажмите [ 2-я ESC делает QUIT ].
Запустите программу.	TI-83/84: нажмите [ PRGM ], затем цифру рядом с NEWTON программа. (Это число будет отличаться в зависимости от других программ в калькулятор.) Нажмите [ ENTER ], чтобы запустить программу. Вам будет предложено сделать первоначальное предположение. Введите 0.	ТИ-89: Нажмите [ 2nd - делает VAR-LINK ], прокрутите до ньютон и нажмите [ ВВЕДИТЕ ]. Это вставит ньютон ( на главный экран. Введите начальное предположение, 0, а затем [) ] [ ENTER ].
Программа находит ответ примерно 0,7391 за шесть итераций.	ТИ-83/84:	ТИ-89:

Что нового

• 17 ноя 2020 :

  Объяснили, почему можно переключаться от x = √2 до x = 2.

  Преобразовано из HTML 4.01 в HTML5, переменные выделены курсивом.

• (промежуточные изменения подавлены)
• Август 2002 : Новая статья.

, используя метод Ньютона, найдите приблизительный корень для следующего уравнения.

Метод Ньютона - это очень простой алгоритм, который можно применить к функции, которая производит все более и более точные приближения фактического корня. Все, что вам нужно, это уравнение для функции, уравнение для ее производной и первое приближение для корня.

В случае вышеперечисленных вопросов нам необходимо знать реальный корень с точностью до 4 (или 5) знаков после запятой, чтобы решить, когда мы получили достаточно точное приближение с использованием метода Ньютона. Мы можем использовать для этого калькулятор, а также применить метод Ньютона следующим образом:

1) f (x) = x ⁴ - x - 10. Введите эту функцию в Y ₁ в калькуляторе TI. Найдите f ^' (x), взяв производную. Введите в Y ₂ .

Найдите нуль функции f (x), используя функцию CALC ZERO.х ~ 1,8555. Нам говорят, что корень находится между 1 и 2, поэтому давайте выберем x ₀ = 2 в качестве первого приближения.

Метод Ньютона определяется формулой x _{n + 1} = x _n - (f (x _n )) / (f ^' (x _n )). (При этом следует следовать по касательной к кривой до тех пор, пока касательная линия не коснется оси x. У нас есть новое значение x, и мы повторяем процесс).

Здесь я покажу расчеты для получения x ₁ , а затем объясню шаги калькулятора для продолжения процесса:

x ₁ = 2 - 4/31 = 1.8709 ...

В калькуляторе сохраните это число в A, набрав STO → ALPHA A. Затем введите A - Y ₁ (A) / Y ₂ (A). ВХОДИТЬ.

x ₂ = 1,8557 ... STO> снова АЛЬФА A. Дважды нажмите ВВОД, чтобы вызвать A - Y ₁ (A) / Y ₂ (A). ENTER еще раз.

x ₃ = 1,8555 ... с точностью до 4 десятичных знаков, требуемых вопросом.

Между прочим, есть несколько онлайн-калькуляторов по методу Ньютона, которые сделают вычисления за вас и даже покажут вам необходимые шаги.Вот только один из них: https://keisan.casio.com/exec/system/1244946907

Вам следует запомнить формулу для метода Ньютона и знать, как ее применять. Также было бы полезно посмотреть на картинку и понять, почему эта формула дает вам нулевую касательную линию. Вы также можете подумать, почему нулевая линия касательной всегда дает вам лучшее приближение к действительному корню.

.

Таблица факториалов

	
# вычислим 3!
res = 1
for i in range(1, 4):
    res *= i
print(res)

# вычислим 5!
res = 1
for i in range(1, 6):
    res *= i
print(res)
Однако, если мы ошибёмся один раз в начальном коде, то потом эта ошибка попадёт в код во все места, куда мы скопировали вычисление факториала. Да и вообще, код занимает больше места, чем мог бы. Чтобы избежать повторного написания одной и той же логики, в языках программирования существуют функции.
Функции — это такие участки кода, которые изолированы от остальный программы и выполняются только тогда, когда вызываются.
Вы уже встречались с функциями sqrt(), len() и print(). Они все обладают общим свойством: они могут принимать параметры (ноль, один или несколько), и они могут возвращать значение (хотя могут и не возвращать). Например, функция sqrt() принимает один параметр и возвращает значение (корень числа). Функция print() принимает переменное число параметров и ничего не возвращает.
Покажем, как написать функцию factorial(), которая принимает один параметр — число, и возвращает значение — факториал этого числа.
	
def factorial(n):
    res = 1
    for i in range(1, n + 1):
        res *= i
    return res

print(factorial(3))
print(factorial(5))
Дадим несколько объяснений. Во-первых, код функции должен размещаться в начале программы, вернее, до того места, где мы захотим воспользоваться функцией factorial(). Первая строчка этого примера является описанием нашей функции. factorial — идентификатор, то есть имя нашей функции. После идентификатора в круглых скобках идет список параметров, которые получает наша функция. Список состоит из перечисленных через запятую идентификаторов параметров. В нашем случае список состоит из одной величины n. В конце строки ставится двоеточие.
Далее идет тело функции, оформленное в виде блока, то есть с отступом. Внутри функции вычисляется значение факториала числа n и оно сохраняется в переменной res. Функция завершается инструкцией return res, которая завершает работу функции и возвращает значение переменной res.
Инструкция return может встречаться в произвольном месте функции, ее исполнение завершает работу функции и возвращает указанное значение в место вызова. Если функция не возвращает значения, то инструкция return используется без возвращаемого значения. В функциях, которым не нужно  возвращать значения, инструкция return может отсутствовать.
Приведём ещё один пример. Напишем функцию max(), которая принимает два числа и возвращает максимальное из них (на самом деле, такая функция уже встроена в Питон).
10
20
def max(a, b):
    if a > b:
        return a
    else:
        return b

print(max(3, 5))
print(max(5, 3))
print(max(int(input()), int(input())))
Теперь можно написать функцию max3(), которая принимает три числа и возвращает максимальное их них.
	
def max(a, b):
    if a > b:
        return a
    else:
        return b

def max3(a, b, c):
    return max(max(a, b), c)

print(max3(3, 5, 4))
Встроенная функция max() в Питоне может принимать переменное число аргументов и возвращать максимум из них. Приведём пример того, как такая функция может быть написана.
	
def max(*a):
    res = a[0]
    for val in a[1:]:
        if val > res:
            res = val
    return res

print(max(3, 5, 4))
Все переданные в эту функцию параметры соберутся в один кортеж с именем a, на что указывает звёздочка в строке объявления функции.
2. Локальные и глобальные переменные
Внутри функции можно использовать переменные, объявленные вне этой функции
	
def f():
    print(a)

a = 1
f()
Здесь переменной a присваивается значение 1, и функция f() печатает это значение, несмотря на то, что до объявления функции f эта переменная 
не инициализируется. В момент вызова функции f() переменной a уже присвоено значение, поэтому функция f() может вывести его на экран.
Такие переменные (объявленные вне функции, но доступные внутри функции)
называются глобальными.
Но если инициализировать какую-то переменную внутри функции,
использовать эту переменную вне функции не удастся. Например:
	
def f():
    a = 1

f()
print(a)
Получим ошибку NameError: name 'a' is not defined. Такие переменные, объявленные внутри функции,
называются локальными. Эти переменные становятся недоступными после выхода из функции.
Интересным получится результат, если попробовать изменить значение глобальной переменной внутри функции:
	
def f():
    a = 1
    print(a)

a = 0
f()
print(a)
Будут выведены числа 1 и 0. Несмотря на то, что значение переменной a изменилось внутри функции, вне функции оно осталось прежним! Это сделано в целях
“защиты” глобальных переменных от случайного изменения из функции.
Например, если функция будет вызвана из цикла по переменной i, а в этой функции
будет использована переменная i также для организации цикла, то эти переменные должны
быть различными. Если вы не поняли последнее предложение, то посмотрите на следующий код и подумайте, как бы он работал,
если бы внутри функции изменялась переменная i.
	
def factorial(n):
    res = 1
    for i in range(1, n + 1):
        res *= i
    return res

for i in range(1, 6):
    print(i, '! = ', factorial(i), sep='')
Если бы глобальная переменная i изменялась внутри функции, то мы бы получили вот что:
5! = 1
5! = 2
5! = 6
5! = 24
5! = 120
Итак, если внутри функции модифицируется значение некоторой переменной,
то переменная с таким именем становится локальной переменной, и ее модификация не приведет
к изменению глобальной переменной с таким же именем.
Более формально: интерпретатор Питон считает переменную локальной для данной функции, если в её коде
 есть хотя бы одна инструкция, модифицирующая значение переменной, то эта переменная считается локальной
и не может быть использована до инициализации. Инструкция, модифицирующая значение переменной — это операторы =, +=, а также использование переменной в качестве параметра цикла for.
При этом даже если инструкция,
модицифицирующая переменную никогда не будет выполнена, интерпретатор это проверить
не может, и переменная все равно считается локальной. Пример:
	
def f():
    print(a)
    if False:
        a = 0

a = 1
f()
Возникает ошибка: UnboundLocalError: local variable 'a' referenced before assignment.
А именно, в функции f() идентификатор a становится локальной переменной,
т.к. в функции есть команда, модифицирующая переменную a, пусть даже никогда и 
не выполняющийся (но интерпретатор не может это отследить). Поэтому вывод переменной a приводит к обращению к неинициализированной локальной переменной.
Чтобы функция могла изменить значение глобальной переменной, необходимо объявить эту переменную
внутри функции, как глобальную, при помощи ключевого слова global:
	
def f():
    global a
    a = 1
    print(a)

a = 0
f()
print(a)
В этом примере на экран будет выведено 1 1, так как переменная a объявлена, как глобальная,
и ее изменение внутри функции приводит к тому, что и вне функции переменная
будет доступна.
Тем не менее, лучше не изменять значения глобальных переменных внутри функции. Если ваша функция должна поменять
какую-то переменную, пусть лучше она вернёт это значением, и вы сами при вызове функции явно присвоите в переменную это значение.
Если следовать этим правилам, то функции получаются независимыми от кода, и их можно легко копировать из одной программы в другую.
Например, пусть ваша программа должна посчитать факториал вводимого числа, который вы потом захотите сохранить в переменной f. Вот как это не стоит делать:
5
def factorial(n):
    global f
    res = 1
    for i in range(2, n + 1):
        res *= i
    f = res

n = int(input())
factorial(n)
# дальше всякие действия с переменной f
Этот код написан плохо, потому что его трудно использовать ещё один раз. Если вам завтра понадобится в другой программе использовать функцию «факториал», то вы не сможете просто скопировать эту функцию отсюда и вставить в вашу новую программу. Вам придётся поменять то, как она возвращает посчитанное значение.
Гораздо лучше переписать этот пример так:
5
# начало куска кода, который можно копировать из программы в программу
def factorial(n):
    res = 1
    for i in range(2, n + 1):
        res *= i
    return res
# конец куска кода

n = int(input())
f = factorial(n)
# дальше всякие действия с переменной f
Если нужно, чтобы функция вернула не одно значение, а два или более, то
для этого функция может вернуть список из двух или нескольких значений:
Тогда результат вызова функции можно будет использовать во множественном присваивании:
3.
 Рекурсия
def short_story():
    print("У попа была собака, он ее любил.")
    print("Она съела кусок мяса, он ее убил,")
    print("В землю закопал и надпись написал:")
    short_story()
Как мы видели выше, функция может вызывать другую функцию. Но функция также может вызывать и саму себя! 
Рассмотрим это на примере функции вычисления факториала. Хорошо известно, что 0!=1, 1!=1. 
А как вычислить величину n! для большого n? Если бы мы могли вычислить величину (n-1)!,
то тогда мы легко вычислим n!, поскольку n!=n⋅(n-1)!. Но как вычислить (n-1)!? Если бы
мы вычислили (n-2)!, то мы сможем вычисли и (n-1)!=(n-1)⋅(n-2)!. А как вычислить (n-2)!? 
Если бы… В конце концов, мы дойдем до величины 0!, которая равна 1. Таким образом, для вычисления факториала
мы можем использовать значение факториала для меньшего числа. Это можно сделать и в программе на Питоне:
	
def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n - 1)

print(factorial(5))
Подобный прием  (вызов функцией самой себя) называется рекурсией, а сама функция называется рекурсивной.
Рекурсивные функции являются мощным механизмом в программировании. К сожалению, они не всегда эффективны. Также часто использование рекурсии приводит к ошибкам. Наиболее распространенная
из таких ошибок – бесконечная рекурсия, когда цепочка вызовов функций никогда не завершается и продолжается,
пока не кончится свободная память в компьютере. Пример бесконечной рекурсии приведен в эпиграфе к этому разделу. 
Две наиболее распространенные причины для бесконечной рекурсии:
Неправильное оформление выхода из рекурсии. Например, если мы в программе вычисления факториала
забудем поставить проверку if n == 0, то factorial(0) вызовет factorial(-1),
тот вызовет factorial(-2) и т. д.
Рекурсивный вызов с неправильными параметрами. Например, если функция factorial(n) будет
вызывать factorial(n), то также получится бесконечная цепочка.
Поэтому при разработке рекурсивной функции необходимо прежде всего оформлять условия завершения рекурсии
и думать, почему рекурсия когда-либо завершит работу.
 Ссылки на задачи доступны в меню слева. Эталонные решения теперь доступны на странице самой задачи. 
Как обозначается факториал в паскале
Факториал – произведение натуральных чисел от единицы до заданного числа. Имеет условное обозначение в виде восклицательного знака. n!=1*2*3*. *n (Например: 3!=1*2*3=6).
В Turbo Pascal факториал находится, как правило, двумя способами: с помощью цикла или с помощью рекурсии.
Вычисление факториала в pascal с помощью цикла
Данный способ нахождения факториала исключительно прост. В цикле от 1 до n умножается число само на себя. При этом необходимо учитывать условие, что 0!=1. Ниже представлена реализация программы с помощью цикла for. Аналогично используются repeat и while.
if (n=0) then writeln(‘0!=1’) else
if x=0 then fact:=1
Факториал числа – Вычисление с помощью цикла (1 способ)
Факториал – Нахождение факториала в паскале с помощью рекурсии (2 способ)
Задача
Факториал числа представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно. Например, факториал числа 7 выглядит так: 
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7
Факториал числа обозначается как само число после которого следует восклицательный знак. Например, 7!. Таким образом: 
7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040
С увеличением числа его факториал быстро возрастает. Так если 3! = 6, то уже 10! = 3628800. Поэтому для натуральных чисел больше 12-ти в языке программирования Паскаль просто так факториал вычислить нельзя.
Допустим, требуется определить факториал числа, которое ввел пользователь.
Решение
Переменной factorial сначала присваивается значение 1. 
0! = 1 и 1! = 1.
Если пользователь ввел число больше единицы, то выполняется цикл, в теле которого на каждой итерации значение переменной factorial умножается на следующее натуральное число (переменную i ).
Обучение программированию идёт по пути от простого к сложному. Освоив типы данных и операторы языка, переходят к циклическим конструкциям. Задач на циклы существует бесчисленное количество: начиная от вывода цифр в столбик до подсчёта сумм по сложным формулам. Тем не менее у начинающих программистов остаётся вопрос: «Как вычислить факториал в «Паскале»?»
Реализовать задачу можно как минимум тремя способами. Отличаются они используемыми операторами.
Математические сведения
Перед тем как перейти к построению алгоритмов и написанию программ, следует изучить теорию. В математике факториалом называют произведение целого числа, для которого вычисляется выражение, на целые положительные числа меньше его.
Понять определение поможет пример. Пусть требуется выполнить нахождение факториала для числа 3. Решение: 3! = 3 * 2 * 1 = 6.
Обозначается действие восклицательным знаком, который ставится после числа. Важное замечание: факториал определён только для целых положительных чисел. Вместе с тем, введено понятия для нуля: 0! = 1.
Считать выражение для больших значений вручную – занятие долгое. Чтобы убыстрить процесс вычислений, используют компьютерные программы. Далее рассмотрены способы, как найти факториал в «Паскале».
Первый способ
Код ниже показывает вариант программы.
В примере используют составную конструкцию с условием, которое записывается перед телом цикла. Синтаксис записи:
Выполняется код следующим образом: программа проверяет истинность выражения , в случае положительной проверки переходит на .
Возвращаясь к программе, нужно обратить внимание на следующие строки:
2 – задаётся число n, для которого будет выполнен расчёт;
6 – заголовок цикла;
7 – начало цикла;
8 – вычисление переменной fact, которая хранит значение факториала числа n;
9 – увеличение переменной-счётчика на единицу;
10 – конец цикла.
Второй способ
Следующий предлагает вычислить факториал в «Паскале» с помощью оператора repeat.
Конструкция цикла: repeat until <условие>;
Чтобы понять, как работает программа, рассмотрим её построчно:
2 – константе n назначается число, для которого выполняется вычисление;
7 – начало цикла;
8, 9 – расчёт факториала и увеличения счётчика i;
10 – конец тела цикла;
11 – проверка условия, поскольку условие располагается после последовательности операторов, повтор действий будет выполнен как минимум один раз.
Третий способ
Последняя программа также дает возможность вычислить факториал в «Паскале» и является самой компактной по размеру. Причина – используемый оператор for, для которого увеличение счётчика i задаётся в параметрах цикла.
Работает код следующим образом (цифрами указаны строки листинга):
2 – константе n присваивают значение числа, для которого вычисляется факториал;
6 – задаются параметры цикла – начальное и конечное значения;
7 – начало цикла;
8 – вычисление переменной fact;
9 – конец цикла.
Замечание
Даже для чисел из первой десятки факториал имеет значение больше, чем допускает тип данных integer. Поэтому программа в «Паскале» покажет сообщение об ошибке. Исправить её просто – нужно заменить тип данных для переменной-результата на longint или использовать типы для хранения вещественных значений.
swift — В Swift 3, как рассчитать факториал, когда результат становится слишком высоким?
Я написал эту функцию, чтобы вернуть факториал данного числа
func factorial(_ n: Int) -> Int {
    if n == 0 {
        return 1
    }
    else {
        return n * factorial(n - 1)
    }
}

print( factorial(20) )  // 2432902008176640000
Работает как надо, пока данное число не превышает 20, потому что тогда результат становится слишком высоким!
Как я могу обойти этот предел и таким образом вычислить факториал больших чисел?
Я искал вокруг и нашел несколько библиотек bignum для Swift. Я делаю это, чтобы изучить и быть знакомым со Swift, поэтому я хочу понять это самостоятельно.
 6
 Jon 
 7 Май 2017 в 13:00
2 ответа
Лучший ответ
Вот подход, который позволит вам найти очень большие факториалы.
Представлять большие числа в виде массива цифр. Например, 987 будет [9, 8, 7]. Умножение этого числа на целое число n потребует двух шагов.
Умножьте каждое значение в этом массиве на n.
Выполните операцию переноса, чтобы получить результат, состоящий из одной цифры.
Например, 987 * 2:
let arr = [9, 8, 7]
let arr2 = arr.map { $0 * 2 }
print(arr2)  // [18, 16, 14]
Теперь выполните операцию переноса. Начиная с цифры, 14 слишком велик, поэтому оставьте 4 и несите 1. Добавьте 1 в 16, чтобы получить 17.
[18, 17, 4]
Повторите с десятым местом:
[19, 7, 4]
А потом с сотней место:
[1, 9, 7, 4]
Наконец, для печати вы можете преобразовать это обратно в строку:
let arr = [1, 9, 7, 4]
print(arr.map(String.init).joined())
1974
Применяя эту технику, здесь есть carryAll функция, которая выполняет операцию переноса, и factorial, которая использует ее для вычисления очень больших факториалов:
func carryAll(_ arr: [Int]) -> [Int] {
    var result = [Int]()

    var carry = 0
    for val in arr.reversed() {
        let total = val + carry
        let digit = total % 10
        carry = total / 10
        result.append(digit)
    }

    while carry > 0 {
        let digit = carry % 10
        carry = carry / 10
        result. append(digit)
    }

    return result.reversed()
}



func factorial(_ n: Int) -> String {
    var result = [1]
    for i in 2...n {
        result = result.map { $0 * i }
        result = carryAll(result)
    }

    return result.map(String.init).joined()
}

print(factorial(1000))
4023872600770937735437024339230039857193748642107146325437999104299385123986290205920442084869694048004799886101971960586316668729948085589013238296699445909974245040870737599188236277271887325197795059509952761208749754624970436014182780946464962910563938874378864873371191810458257836478499770124766328898359557354325131853239584630755574091142624174743493475534286465766116677973966688202912073791438537195882498081268678383745597317461360853795345242215865932019280908782973084313928444032812315586110369768013573042161687476096758713483120254785893207671691324484262361314125087802080002616831510273418279777047846358681701643650241536913982812648102130927612448963599287051149649754199093422215668325720808213331861168115536158365469840467089756029009505376164758477284218896796462449451607653534081989013854424879849599533191017233555566021394503997362807501378376153071277619268490343526252000158885351473316117021039681759215109077880193931781141945452572238655414610628921879602238389714760 8850627686296714667469756291123408243920816015378088989396451826324367161676217916890977991190375403127462228998800519544441428201218736174599264295658174662830295557029902432415318161721046583203678690611726015878352075151628422554026517048330422614397428693306169089796848259012545832716822645806652676995865268227280707578139185817888965220816434834482599326604336766017699961283186078838615027946595513115655203609398818061213855860030143569452722420634463179746059468257310379008402443243846565724501440282188525247093519062092902313649327349756551395872055965422874977401141334696271542284586237738753823048386568897646192738381490014076731044664025989949022222176590433990188601856652648506179970235619389701786004081188972991831102117122984590164192106888438712185564612496079872290851929681937238864261483965738229112312502418664935314397013742853192664987533721894069428143411852015801412334482801505139969429015348307764456909907315243327828826986460278986432113908350621709500259738986355 4277196742822248757586765752344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701244516461260379029309120889086942028510640182154399457156805941872748998094254742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
 17
 vacawama
 8 Июн 2018 в 10:37
Вы можете использовать эту библиотеку: BigInt
Установите его с помощью CocoaPods:
pod 'BigInt'
Тогда вы можете использовать это так:
import BigInt

    func factorial(_ n: Int) -> BigInt {
        if n == 0 {
            return 1
        }
        else {
            return BigInt(n) * factorial(n - 1)
        }
    }

    print( factorial(50) )  // 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
 1
 Anton Novoselov
 7 Май 2017 в 10:18
Функция ФАКТР — Служба поддержки Office
 
Предположим, что у вас шесть колоколов с разными тонами и вы хотите найти количество уникальных последовательностей, в которых каждый колокол может запускаться один раз. В этом примере вычисляются факториал из шести. В общем, с помощью факториала можно подсчитать количество способов у организовать группу отдельных элементов (перемитации). Чтобы вычислить факториал числа, используйте функцию ФАКТС.
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ФАКТР в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает факториал числа. Факториал числа — это значение, равное 1*2*3*…* число.
Синтаксис
ФАКТР(число)
Аргументы функции ФАКТР описаны ниже.


 Число    — обязательный аргумент. Неотрицательное число, для которого вычисляется факториал. Если число не является целым, оно усекается.

Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

 Формула

 Описание 

 Результат

=ФАКТР(5)


Факториал числа 5 или 1*2*3*4*5


120


=ФАКТР(1,9)


Факториал целой части числа 1,9


1


=ФАКТР(0)


Факториал числа 0


1


=ФАКТР(-1)


Факториал отрицательного числа возвращает значение ошибки


#ЧИСЛО!


=ФАКТР(1)


Факториал числа 1


1

Python алгоритмы: Вычисление факториала
 
Мне кажется, что это самый классический алгоритм из существующих. С примером реализации вы наверняка сталкивались и не раз, но для полноты картины, я просто обязан его описать. :))
 Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:
.
 По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
 *-Нравится статья? Кликни по рекламе! 🙂
 
 Комбинаторная интерпретация
ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA 
 
Рекуррентная формула
  Итак это был тот минимум, который, как я считаю, должен знать любой уважающий себя. и всех тех кто его окружает, человек.
 Теперь о реализации алгоритма. Как всегда средств много, от чего мы познакомимся с несколькими из них. 
 2 классических я возьму с сайта http://younglinux.info/algorithm/factorial
   
 С использованием цикла
def fac(n):
    fac = 1 
    i = 0 
    while i < n:
        i += 1
        fac = fac * i
    return fac

 С использованием рекурсии
def fac(n):
     if n == 0:
          return 1
     return fac(n-1) * n

 И на закуску, высокоинтеллектуальный пример с Вики :))
def factorial(x):
    return 1 if x==0 else reduce(lambda x,y:x*y,xrange(1,x+1))

 Ну и теперь самое вкусное и интересное, тестирование!
 По их результатам я пришел к выводу, что скорость роста данных алгоритмов приблизительно равна. И по сему результат вычисления 70000! следующий:
алгоритм с использованием цикла 4 function calls in 11.872 seconds
алгоритм рекурсивный выбыл, подробнее читать тут
зверский алгоритм с вики 70004 function calls in 13.211 seconds
встроенный модуль math.factorial  4 function calls in 8. 377 CPU seconds
 Вывод таков, что не все нужно брать с википедии :)))
 Просто получается многовато вызовов лямбда функций, ведь каждый вызов — это потери, хотим мы этого или нет. 
 Проблемы, возникшие с рекурсией: по умолчанию, максимальная глубина рекурсии равна 1000. Это ограничение предотвращает переполнение стека при бесконечных рекурсиях.
 Я установил при помощи sys.setrecursionlimit(70000) новую глубину, но python падает через пару секунд, все таки нужно помнить, что рекурсия не самая хорошая штука для таких вычислений :((
Почему встроенная функция сильнее, лучше и быстрее? Могу предположить что написание на чистом С ему придает бодрости)))


Вычисление времени выполнения


Для примера разберем рекурсивный вариант. Мы должны с каждой рекурсивной процедурой связать временную функцию T(n), где n определяет объём аргументов процедуры. Затем получить рекуррентное соотношение для T(n). Естественной мерой объёма входных данных для функции fac, является значение n. Обозначим, через T(n) — время выполнения программы.
Время сравнения if имеет порядок роста О(1), а для последней строки О(1)+T(n-1), где О(1)-умножение на n, а T(n-1)-факториала с меньшим входным аргументом. Таким образом для некоторых констант c и d имеем,
 Полагая, что n>2 и раскрывая выражение T(n-1)(т.е. подставляя n-1 вместо n и получившееся T(n-1) в предыдущую формулу T(n)), получим T(n)=2с+T(n-2), продолжая такие рассуждения до n-1 раз, получим T(n)=c(n-1)+d. Откуда имеем порядок роста О(n).
UPD:На сайте http://www.iso.ru/journal/articles/199.html
 нашел интересный пример, который, как там и пишут считается скорее шуткой или поводом выиграть спор(на пыво))) у своих друзей:
f = lambda n: n-1 +abs(n-1) and f(n-1)*n or 1
Этот «рецепт» реализует рекурсивное определение функции факториала в  виде lambda формы. Поскольку lambda формы должны быть выражениями, это  несколько мудрено. Директива if/else не допускается внутри выражения.  Все же, закороченная форма идиомы Python для «условного (трехместного)  оператора» справляется с этим (другие способы моделирования трехместного  оператора, как закороченного, так и нет,  см. в «Моделирование  трехместного оператора» в «Справочном руководстве по Python»).
 Реальная проблема, разумеется, состоит в том, что раз сильная сторона  lambda в создании безымянных функций, то, как же мы выполняем рекурсию?
Подсчет числа размещений с использованием функции вычисления факториала — Процедуры и функции
[ЗВУК] [ЗВУК]  [ЗВУК] Рассмотрим пример того,  как может использоваться функция.  Напишем постановку задачи, а также программу с использованием  подпрограммы для вычисления значения по следующей формуле.  Эта формула носит название «число размещений».  Мы с вами видим, что в этой формуле дважды встречается факториал,  то есть для вычисления факториала удобно будет сделать отдельную подпрограмму.  Мы с вами видим,  что результатом вычисления факториала является ровно одно число.  Следовательно, мы можем сделать функцию.  Например, если параметры для вычисления числа размещений равны 3 и 8,  то по нашей формуле получается 336.  Кстати говоря, это количество способов,  которыми могут занять 3 первых места соревнующиеся 8 команд. Теперь вспомним, каково определение факториала.  В школьном учебнике математики определение факториала звучит так: факториал есть  произведение натуральных чисел от 1 до заданного числа.  Это не совсем точное определение, потому что, строго говоря,  факториал нуля тоже определен, и он равен 1, это во-первых.  А во-вторых, мы с вами понимаем,  что в математике произведение включает в себя как минимум два числа,  а для единицы у нас получится произведение из одного числа, что как-то странно.  Рассмотрим другое определение факториала.  n факториал мы с вами будем вычислять по формуле,  которая включает в себя два случая: n!  = 1, когда n = 0, и вычисляется как факториал числа на единицу меньшего,  умноженного на само это число, если n — это натуральное число.  И рассмотрим постановку задачи.  Нам с вами даны два целых числа, n и k.  Результатом является A — число размещений.  n должно быть положительным или равным нулю.  k должно быть больше или равно n,  и оба эти числа должны принадлежать множеству целых чисел. Мы с вами проверим при вводе, что это действительно так.  Связью в данном случае является наша формула.  И теперь рассмотрим программу, которая решает нашу задачу.  Здесь у нас две переменных целого типа, это n и k.  Кроме того, у нас есть три переменных вещественного типа: это n1 и k1,  которые мы будем использовать для организации надежного ввода данных,  и переменная a, которая является результатом.  Так как результатом является частное, то переменная a, конечно же,  имеет вещественный тип.  Далее рассмотрим функцию, которая называется f.  На входе у нее целое число, а на выходе — значение вещественного типа,  причем эта функция будет рекурсивной,  так как эта функция будет вычислять значение по второй формуле,  где значение факториала вычисляется через факториал числа, на единицу меньшего.  И посмотрите, как интересно.  Наши исходные данные имеют целый тип, а результат — вещественный,  хотя вроде бы у нас результатом является произведение целых чисел.  Почему же мы выбрали вещественный тип для результата?  Дело в том, что у целого типа гораздо более узкий диапазон, чем у вещественного. То есть мы выбрали вещественный тип для результата,  чтобы просто можно было вычислять значения факториалов больших чисел.  И теперь записываем тело функции, используя вторую формулу.  Если n = 0, то результатом будет 1, а в противном случае мы  делаем рекурсивный вызов нашей функции, то есть вычисляем факториал числа,  на единицу меньшего, и домножаем его на очередное n.  Далее рассмотрим основную программу.  Мы вводим два целых числа, на которые накладываются ограничения,  соответствующие пункту три в постановке задачи.  При этом, чтобы при вводе нецелых чисел наша программа не завершалась аварийно,  мы используем переменные n1 и k1 вещественного типа, читаем в них значения,  и будем повторять наш ввод до тех пор, пока n1 не будет больше или равно нулю,  k1 не будет больше или равно n1, и,  кроме того, на переменную k1 еще наложено ограничение сверху,  то есть ее значение не может превышать числа 170.  Это самое большое число, факториал которого мы сможем вычислить.  И кроме того, n1 и k1 должны быть целого типа, то есть результат  округления равен самому этому числу, как для первого, так и для второго числа. Затем мы, для того чтобы передать наше значение в функцию,  чтобы оно приобрело целый тип, мы переменной n присваиваем результат  округления n1 до целого, а переменной k — результат округления k1 до целого.  Вычисляем значения переменной a, вызывая нашу функцию два раза,  и выводим на экран полученный результат.  Затем наша программа завершается.  Рассмотрим программу с использованием рекурсивной функции для вычисления  количества размещений по заданной формуле.  Вначале у нас объявлены все глобальные  переменные: это n и k — два значения, для которых мы  будем считать количество размещений; это две переменных n1 и k1 типа real,  для того чтобы проверить правильность ввода исходных данных; и это величина a,  которая является результатом.  Так как по формуле значение a является частным, то есть одна величина делится  на другую, здесь нужно использовать переменную типа real,  несмотря на то, что результат будет целым числом.  Далее у нас следует тело функции, которое использует рекурсивную формулу. При n = 0, результат будет равен 1, а во всех остальных случаях он будет считаться  по формуле: факториал предыдущего числа, умноженный на текущее число.  Далее мы рассматриваем основную программу,  которая всегда располагается после всех процедур и функций.  В основной программе вводятся значения n и k,  причем пользователю сообщается, какие ограничения наложены на эти значения.  У нас n должно быть больше или равно нулю, k должно быть больше или равно n,  и оба значения должны быть целыми числами.  Мы читаем данные в переменной n1 и k1,  для того чтобы можно было проверить, что эти данные принадлежат к целому типу.  Если это не так, то есть какое-нибудь из чисел не равно своей целой части,  то будет повторный ввод данных.  Далее, мы с вами приводим n и k к целому типу,  чтобы можно было передать их в качестве аргументов в функцию,  потому что параметр, который мы передаем в функцию, имеет целый тип.  Дальше мы считаем значение a, вызывая функцию два раза,  и выводим на экран полученный результат. Давайте попробуем запустить программу и введем исходные данные.  Если я дам, например, значения, равные 3 и 8, то я получу результат,  который мы с вами получали, когда рассматривали саму формулу.  Теперь попробуем, что будет, если я введу данные, например, наоборот.  Программа не восприняла эти данные,  нужно вести их заново, допустим,  то есть первым должно стоять число, которое меньше.  Теперь посмотрим, что будет получаться, если я введу, например, нецелые числа.  [БЕЗ_ЗВУКА] В  данном случае результат у нас не достигнут,  данные не введены, и нам нужно повторить ввод.  Если я ввожу числа в правильном порядке, то я получаю правильный результат.  Обращаю ваше внимание, что если я ошибусь второй раз, то есть задам сначала большее  число, а потом меньшее, то снова будет повторный ввод, как в данном случае.  Если я даю правильную пару, то получаю результат.  То же самое происходит, если я ввожу не только нецелые числа,  но и, например, отрицательные.  − 1,5 и 4,3 — это неправильная пара значений. Если я введу правильную пару, первое число должно быть меньше,  а второе — больше, и оба должны быть целыми, то тогда получается результат.  Таким образом, эта программа работает правильно и проверяет исходные  данные на допустимость, то есть проверяет,  что числа у нас принадлежат к расширенному натуральному ряду.  Они являются либо натуральным числом, либо допустимо значение, равное нулю.  И также проверяется, что у нас с вами k больше или равно n.  При вводе неправильных данных происходит повторный ввод,  и так, пока пользователь не даст нам правильную пару чисел.  Только в этом случае мы с вами получим результат.  [ЗВУК] [ЗВУК]  [ЗВУК]
 C Программа для печати факториала заданного числа
 Это программа на языке C для печати факториала заданного числа.
 Описание проблемы
 Эта программа на C печатает факториал заданного числа.
 Решение проблемы
 Факториал — это произведение всех чисел от 1 до n, где n — это число, указанное пользователем. Эта программа находит произведение всех чисел от 1 до указанного пользователем числа.
 Программа / исходный код
 Вот исходный код программы C для вывода факториала заданного числа.Программа на C успешно скомпилирована и запускается в системе Linux. Вывод программы также показан ниже.
 / *
 * Программа на C для поиска факториала заданного числа
 * /

#include 
пустая функция()
{
    int i, fact = 1, num;

    printf ("Введите число \ n");
    scanf ("% d", & num);
    если (число <= 0)
        факт = 1;
    еще
    {
        для (я = 1; я <= число; я ++)
        {
            факт = факт * я;
        }
    }
    printf ("Факториал% d =% 5d \ n", число, факт);
} 
 Описание программы
 В этой программе на C мы читаем целое число с помощью целочисленной переменной num.Факториал - это произведение всех чисел от 1 до n, где n - это число, указанное пользователем.
  Реклама: Присоединяйтесь к Sanfoundry @ Linkedin 
 Если для проверки используется оператор условия, значение переменной «num» меньше или равно 0. Если условие истинно, оно выполнит оператор и присвоит значение переменной «fact» как единицу. В противном случае, если условие ложно, выполняется инструкция else. Используя цикл for, умножьте все числа от 1 до n и отобразите факториал данного числа в качестве вывода.
 Случаи тестирования
$ cc pgm79.c
$ a.out
Введите номер
10
Факториал 10 = 3628800 
  Sanfoundry Global Education & Learning Series - Программы 1000 C. 
 Вот список лучших справочников по программированию, структурам данных и алгоритмам на C
 Примите участие в конкурсе сертификации Sanfoundry, чтобы получить бесплатную Почетную грамоту. Присоединяйтесь к нашим социальным сетям ниже и будьте в курсе последних конкурсов, видео, стажировок и вакансий! 
 Факториал
 на языке программирования C - Newtum
 Factorial в языке программирования C в основном используется для демонстрации применения цикла While Loop, For Loop и Recursion.На самом деле факторный ряд имеет много практических применений и используется для решения задач перестановок и комбинаций.
 В этой статье мы пытаемся понять, что такое факторный ряд. Как используются факториальные ряды и как писать факториальные программы на языке программирования C
 В этом блоге мы поймем, как написать факторную логику, используя 3 различных метода
 Факториальная программа с использованием цикла While
 Факториальная программа на языке C с использованием цикла For
 Рекурсивная функция для вычисления факториального значения
 Сначала разберитесь, что такое факторный ряд и что он использует
  Что такое факторный ряд? 
 Факториальная серия обозначается восклицательным знаком (!) Вот так.Факториальный ряд - это умножение любого натурального числа на все меньшее, чем это число. Таким образом, математическое представление факторного ряда будет таким: 
 n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ……… .. * 3 * 2 * 1
  Каково практическое применение факторных рядов? 
 Факториальный ряд используется для решения многих математических задач, таких как перестановка и комбинация. 
 Эта перестановка и комбинация в дальнейшем используются в сложном аналитическом программировании, таком как искусственный интеллект и отчетность.
 Можно сказать, что факторный ряд используется для решения многих других сложных рядов и операций.
  Зачем нужно изучать факториал на языке программирования C? 
 Как программист, нам нужно написать много программ для решения многих сложных проблем. Например, мы пишем программы для проектирования машин, расчета стресса или прогнозирования рынка акций.
 Эта логика расчета стресса, прогнозирования рынка акций или прогнозирования поведения пользователей написана каким-то великим математиком.
 Разработчик программного обеспечения или программист реализует эту логику математика или ученого на компьютере. Эта логика имеет множество вариантов использования факториалов.
 Итак, если вы хотите работать в очень большой компании, которая использует много аналитики и занимается основным программированием, вы должны знать, как написать факториальную программу на любом языке программирования. 
 Написание факторной программы с использованием цикла while
 Цикл в то время как цикл очень важен для каждого языка программирования. Помимо цикла while вам нужно знать переменные, printf и scanf.Если вы не знаете, что такое программирование на C или инструкции printf и scanf. Затем вам нужно вернуться к книгам и обратиться к онлайн-курсу.
 Если вы находитесь в США, вы можете посмотреть курс программирования C на Amazon Prime или также можете посмотреть серию программ C в Великобритании. Серия Amazon Prime C Programming - лучшая, бесплатная (для участников Amazon Prime) и очень простая для понимания.
 Если вы находитесь за пределами США и Великобритании, вам следует подписаться на курс программирования на языке C в Newtum.
 Подробное объяснение этой факториальной программы, использующей цикл While, приведено внизу в разделе how to этого блога.
 Написание факториала в программировании на C с использованием цикла For
 For Loop очень важен для каждого языка программирования. Он используется для написания сложных и вложенных циклов. Если вы не понимаете цикл for, вам следует изучить его в нашем другом блоге или на курсах.
 Если вы находитесь в США, вы можете посмотреть курс программирования C на Amazon Prime или также можете посмотреть серию программ C в Великобритании. Серия Amazon Prime C Programming - лучшая, бесплатная (для участников Amazon Prime) и очень простая для понимания.
 Если вы находитесь за пределами США и Великобритании, вам следует подписаться на курс программирования на языке C в Newtum.
 Подробное объяснение этой факторной программы, использующей цикл For, приведено внизу в разделе how to этого блога.
 Запись факториала в программировании на C с использованием рекурсивной функции
 Функция - бесполезная тема, и она не входит в рамки этого блога. Вы всегда можете обратиться к нашему курсу программирования на C, если хотите более подробно разобраться в функциях
 Раздел «Как сделать» подробно объясняет каждую программу из перечисленных выше программ на языке C
 Необходимое время: 10 часов.
 Как написать факториальную программу C тремя разными способами
  Использование цикла while 
 1. Объявите 3 переменные «n» для входного числа, «i» для счетчика и «f» для хранения окончательных результатов. 
 2. Введите число, используя операторы scanf и выше, которые записывают оператор printf, чтобы пользователь понял. 
 3. Инициализируйте переменные i и f равными 1, это необходимо, поскольку факториал включает умножение и значение не может быть нулевым. 
 4. Напишите цикл while с условием i <= n, чтобы наш цикл выполнялся n раз 
 5.Внутри цикла while записываем логику умножения f = n * i, чтобы каждый раз, когда значение i увеличивалось, умножение выполнялось. 
 6. Увеличивайте значение i каждый раз, когда цикл выполняется с помощью оператора увеличения 
 7. После цикла while выведите значение переменной «f». 
  Использование для цикла 
 1. Сначала мы объявим 3 переменных «n» для входного числа, «i» для счетчика и «f» для хранения окончательных результатов. 
 2. Мы попросим пользователя ввести число с помощью оператора printf и оператора scanf.
 3. Инициализировать переменную «f» значением 1 
 3. Записать цикл for с i = 1 и условием i <= n 
 4. Внутри цикла записать логику умножения f = n * i, чтобы каждый раз значение i увеличивается умножение будет выполнено. 
 5. После цикла for выведите значение переменной «f». 
  Факториальная программа на C с использованием рекурсивной функции 
 
 1. Сначала мы объявим 3 переменных «n» для входного числа, «i» для счетчика и «f» для хранения окончательных результатов.
 2. Мы попросим пользователя ввести число с помощью оператора printf и оператора scanf. 
 3. Инициализировать переменную «f» значением 1 
 3. Вызвать функцию factorial, передав значение «n» 
 4. После цикла for выведите значение переменной «f». 
 5. Объявите функцию factorial в функции, принимающей ввод в переменной «x». 
 6. Внутри функции factorial объявите переменную temp. 
 7. Напишите оператор if и else для x> 1, а внутри условия напишите необходимое выражение, как показано в коде, и верните значение.Здесь мы снова вызываем ту же функцию, пока не будет выполнено условие. Это рекурсия. 
 8. В условии else напишите return 1. 
 (Посещали 165 раз, 1 посещали сегодня)
 Программа на C ++ для определения суммы факторного ряда 1! + 2! + 3! + 4! ...
 Программа на C ++ для определения суммы факторного ряда 1! + 2! + 3! + 4!…
 В этом руководстве мы узнаем, как найти сумму факториалов ряда до определенной длины.Наша программа получит от пользователя значение  n  и найдет сумму  . Например, если значение  n  равно  2 , будет найдено  1! + 2! , это  5 , найдет  1! + 2! +… 5!  и т. Д.
 Из этого поста вы узнаете, как получить вводимые пользователем данные и как найти факториал в C ++.
 Программа C ++:
  #include 

используя пространство имен std;

интервал findFact (интервал n)
{
    вернуть n == 1? 1: n * findFact (n - 1);
}

int main ()
{
    int n, сумма = 0;

    cout << "Введите значение n:" << endl;

    cin >> n;

    для (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        сумма + = findFact (i);
    }

    cout << "Sum:" << sum << endl;
}  
 Explanation:
  findFact Метод  используется для определения факториала числа.
 В основной функции   у нас есть две переменные типа int  n  и сумма  .
 Значение  n  принимается как вводимое пользователем. Используя цикл  для , мы находим факториал всех чисел от  1  до  n  и складываем все значения для вычисления итоговой суммы результата.
 Пример вывода:
  Введите значение n:
4
Сумма: 33

Введите значение n:
10
Сумма: 4037913  
 Метод 2: Используя текущее значение факториала:
 Мы также можем сохранить текущее значение факториала в переменной и умножить его на следующее число, чтобы получить следующее значение.
  факториал 1: 1
факториал 2: факториал 1 * 2
факториал 3: факториал 2 * 3
факториал 4: факториал 3 * 4  
 Ниже приведена программа на C ++:
  #include 

используя пространство имен std;

int main ()
{
    int n, сумма = 0, currentFact = 1;

    cout << "Введите значение n:" << endl;

    cin >> n;

    для (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        currentFact * = i;
        сумма + = currentFact;
    }

    cout << "Sum:" << sum << endl;
}  
 Здесь мы сохраняем факториал в переменной currentFact  .

Готовый кроссворд по бухгалтерскому учету (бухучету)

По горизонтали
1. Как называется часть прибыли акционерного общества или иного хозяйствующего субъекта, распределяемая между акционерами, участниками в соответствии с количеством и видом акций, долей, находящихся в их владении
3. Первичные документы группируются по признаку:
4. Это предприятия и организации, которым предприятие оказывает услуги или выполняет какие либо работы
6. Внесение чего не допускается в кассовых и банковских документах
10. Внешние и внутренние … учетной информацией
13. Баланс при изменении структуры подчиненности в условиях приватизации
17. Свод оборотов и сальдо по всем синтетическим счетам, который предназначен для контроля учётных записей
23. Работник предприятия, получивший авансом наличные денежные суммы на предстоящие расходы, связанные с хозяйственной деятельностью называется … лицом
По вертикали
1. Собственный капитал организации, включающий сумму дооценки основных средств и сумму имиссионного дохода акционерного общества
2. Способ обобщения затрат на производство и реализацию продукции, выраженный в денежной форме
5. Бизнес, опирающееся на деятельность небольших фирм, малых предприятий, формально не входящих в объединения
7. Как учитываются в бухгалтерском учете кредитных организаций текущие внутрибанковские операции и операции по учету затрат капитального характера
8. 4. Лицо, получившее чек – чекодержатель
9. Общее руководство бухгалтерским учетом в России осуществляет —
11. Что разрабатывает и утверждает кредитная организация в соответствии с Правилами Положения и иными нормативными актами Банка России
12. Баланс составляется для характеристики имущества организации на дату прекращения ее деятельности как юридического лица
14. Затраты, растущие быстрее деловой активности предприятия, называются
15. Выполнение основной задачи предприятия, о каком процессе идёт речь?
16. Это совокупность форм отчетности, составленных на основе данных финансового учета с целью пре¬доставления пользователям обобщенной информации о финансо¬вом положении, результатах деятельности, а также изменениях в его финансовом положении за отчетный период в удобной и понятной форме для принятия этими пользователями определен¬ных деловых решении
18. Документ, применяемый при выдаче материалов со склада и при перемещении материалов внутри учреждения
19. Фактическая стоимость создания основных средств. По первоначальной стоимость основные средства учитываются и оцениваются в ценах тех лет, когда они были созданы. — первоначальная
20. Способ экономической группировки для отражения однородных объектов учета
21. В каком балансе отражаются все совершенные за рабочий день операции в кредитной организации
22. Когда стоимость значительного активы размазывается по определенному количеству лет, в течение которых этот актив служит
24. Счет N 615 Резервы — … обязательства некредитного характера

Тесты по бухгалтерскому учету с ответами

Тесты по бухучету с ответами

1. Учитывается ли материальная помощь при расчете средней заработной платы для начисления отпускных?

а. нет

б. учитывается только та, которая не облагается налогом с доходов

в. учитывается только та, которая облагается налогом с доходов

г. да

2. Недостачи и потери от порчи материальных ценностей в цехах включаются в состав…

а. Административных расходов

б. Других прямых расходов

в. Прямых материальных расходов

г. Общепроизводственных расходов

3. Каким образом не производится исправление ошибок в финансовом учете?

а. Исправлением первичной документации

б. Корректурным способом

в. Дополнительной проводкой

г. Методом «красного сторно»

4. Какие из данных расходов не относятся к административным расходам?

а. амортизация производственного оборудования

б. расходы на связь

в. расходы на служебные командировки

г. налоги

5.Тест. Расходы на охрану труда, технику безопасности и охрану окружающей среды на производственном предприятии включаются в состав:

а. Административных расходов

б. Общепроизводственных расходов

в. Расходов на сбыт

г. Прочих операционных расходов

6. Какие из данных расходов включаются в производственную себестоимость продукции (работ, услуг)?

а. переменные общепроизводственные и распределенные постоянные общепроизводственные расходы

б. прямые расходы на оплату труда

в. прямые материальные расходы

г. расходы на сбыт

7. За какую задолженность нельзя выписывать вексель?

за полученные работы, услуги

за прибретенные акции

за произведенную предоплату

за полученный товар

8. Фактическая производственная себестоимость выпущенной готовой продукции отражается в фин. учете записью

Дт 79 Кт 23

Дт 91 Кт 23

Дт 26 Кт 23

Дт 90 Кт 26

9. Запасы отражаются в Балансе в составе…

а. Необоротных активов

б. Собственного капитала

в. Оборотных активов

г. Расходов будущих периодов.

10. Постоянные распределенные и переменные общепроизводственные расходы относятся на себестоимость записью…

а. Дт 79 Кт 91

б. Дт 23 Кт 91

в. Дт 26 Кт 91

г. Дт 901 Кт 91

11. Предприятие заказало у транспортной организации услуги по перевозке собственного груза. на условиях сдельной оплаты за транспортные услуги. Какие первичные документы необходимо требовать бухгалтеру у транспортной организации по полученным транспортным услугам?

а. Акт выполненных работ и талон заказчика

б. Акт выполненных работ, копия путевого листа грузового автомобиля, заверенная транспортной организацией

в. Акт выполненных работ, товарно-транспортная накладная, талон заказчика

г Акт выполненных работ, товарно-транспортная накладная

12. Какие из затрат по приобретению основных средств не относятся на увеличение их балансовой стоимости

а. проценты по кредиту, взятому для приобретения ОС

б. транспортные расходы по доставке

в. гос. пошлина

г. страховые платежи

Тест. 13. Какой метод оценки запасов при выбытии предусматривает выбытие запасов в той же последовательности, в которой они поступили на предприятие?

а. метод FIFO

б. метод средневзвешенной себестоимости

в. метод LIFO

г. метод цены продажи

Тест — 14. Что является критерием признания актива основным средством?

а. Стоимость более 1000 грн.

б. Использование в хозяйственной деятельности более года (операционного цикла, если он больше года)

в. Если их оприходуют по первоначальной стоимости.

г. Если операционный цикл меньше 12-ти месяцев

15. Зачислен в состав основных средств объект не требующих затрат по вводу в эксплуатацию от учредителя.

а. Дт 10 Кт46

б. Дт 10 Кт15

в. Дт 10 Кт50

г. Дт 12 Кт 10

16. Согласно ПСБУ 16 расходами отчетного периода не являются…

а. изъятие капитала собственником

б. увеличение обязательств

в. уменьшение активов

г. затраты на збыт.

17. Запасы признаются активами, если:

1. Предприятие получет выгоды от их использования

2. Их стоимость может быть достоверно определена

Какое утверждение верно?

а. Ни одно

б. Первое

в. Второе

д. Оба

18. Что считается для готовой продукции первоначальной стоимостью?

а. стоимость запасов, используемых для изготовления данной готовой продукции

б. производственная себестоимость данной готовой продукции

в. производственная себестоимость плюс расходы на сбыт

г. цена, по которой реализуется готовая продукция

19. В соответствии с приказом по предприятию, работник возвращается из командировки и в тот же день отбывает в новую командировку. В каком размере ему следует выплатить суточные?

а. За двое суток

б. Суточные за этот день не выплачиваются

в. За одни сутки

г. Выдать премию

20. Расходы на исправление технически неизбежного брака относятся в состав

а. Других прямых расходов

б. Расходов на оплату труда

в. Общепроизводственных расходов

г. Прямых материальных расходов

21. Первоначальная стоимость основных средств в финансовом учете увеличивается на сумму расходов

а. по капитальному ремонту

б. модернизация и реконструкция

в. по текущему ремонту

г. по текущему, капитальному ремонту, модернизации и реконструкции

22. Амортизация это:

а. это систематическое распределение стоимости необоротных активов которые амортизируются в течении срока полезного ископаемого.

б. окупаемый период в течении которого используется предприятие.

в. часть стоимости основных средств которая переносится на готовую продукцию.

г. первоначальная или переоценена стоимость за вычетом ликвидационной стоимости.

23. В каком П(с)БУ признаются основные средства.

а. 7

б. 16

в. 11

г. 30

24. Оплачено векселем покупателю

а. Дт 36 Кт79

б. Дт30 Кт36

в. Дт 34 Кт36

г. Дт38 Кт 36

25. Тест. Приобретены необоротные активы через подотчетное лицо

а. Дт372 Кт 30

б. Дт15 Кт372

в. Дт20 Кт 372

г. Дт 97 Кт 372

26. Капитальные инвестиции это:

а. совокупность затрат на приобретение или создание материальных и нематериальных оборотных активов.

б. производственная себестоимость данной готовой продукции

в. производственная себестоимость плюс расходы на сбыт

г. цена, по которой реализуется готовая продукция

27. Начислена з/п работником строительной бригады

а. Дт 10 Кт46

б. Дт 10 Кт15

в. Дт151 Кт 66

г. Дт 97 Кт 66

Тест № 28. Распределена часть общепроизводительных расходов

а. Дт 10 Кт46

б. Дт 10 Кт15

в. Дт 10 Кт50

г. Дт 151 Кт 91

29. Как оцениваются долгосрочные биологические активы.

а. по справедливой и первоначальной стоимости.

б. Использование в хозяйственной деятельности более года (операционного цикла, если он больше года)

в. Если их оприходуют по первоначальной стоимости.

г. Если операционный цикл меньше 12-ти месяцев

30. Ликвидационная стоимость это

а. систематическое распределение стоимости необоротных активов которые амортизируются в течении срока полезного ископаемого.

б. окупаемый период в течении которого используется предприятие.

в. сумма которая ожидает получить от реализации долгосрочные биологические активы после окончания срока полезного использования.

г. цена, по которой реализуется готовая продукция

31. Начислена амортизация на ДБА.

а. Дт83 Кт 134

б. Дт 10 Кт15

в. Дт151 Кт 66

г. Дт 97 Кт 66

32. Операционный цикл это:

а. стоимость запасов, используемых для изготовления данной готовой продукции

б. производственная себестоимость данной готовой продукции

в. производственная себестоимость плюс расходы на сбыт

г. прмежуток времени между приобретением запасов и получением средств от реализации продукции

33. Акция это:

а. проценты по кредиту, взятому для приобретения ОС

б. транспортные расходы по доставке

в. бессрочная рыночная ценная бумага без определенного срока обращения

г. ценная бумага которая подтверждается собственником.

34. Какой документ является основанием для оприходования депозитных сертифекатов

а. выписка банка

б. чек

в. платежное поручение

г. акредетив

35. Приобретены ценные бумаги за наличные

а. Дт83 Кт 134

б. Дт14 Кт 30,31

в. Дт151 Кт 66

г. Дт 97 Кт 66

36. На каком счету учитываются финансовые результаты

а. 56

б. 78

в. 79

г. 59

37. МБП-это:

а. активы которые используются в течении не более одного года

б. окупаемый период в течении которого используется предприятие.

в. сумма которая ожидает получить от реализации долгосрочные биологические активы после окончания срока полезного использования.

г. цена, по которой реализуется готовая продукция.

Тест. 38. В каком П(с)БУ признаются МБП:

а.11

б. 10

в. 30

г. 7

39. Начислен % за за использования кредита банка

а. Дт 951 Кт684

б. Дт 10 Кт15

в. Дт151 Кт 66

г. Дт 97 Кт 66

40. Начислен фиксированный селскохозяйственый налог

а. Дт 951 Кт684

б. Дт 91 Кт 641

в. Дт151 Кт 66

г. Дт 97 Кт 66

41. Укажите удержания из заработной платы

а. 1.5

б. 1.4

в. 33.2

г. 0.2

42 — Тест. Учетная стоимость это:

а. проценты по кредиту, взятому для приобретения ОС

б. транспортные расходы по доставке

в. бессрочная рыночная ценная бумага без определенного срока обращения

г. стоимость по которой ценные бумаги учитываются на балансе предприятия

43. Какие факторы влияют на изменение национальной системы бухгалтерского учета? А) экономические

б) внутренние, внешние и социальные

В) политические

Г) исторические и экономические

Д) внутренние и внешние

44. Что обязано прикладываться к финансовой отчетности?

А) Приказ об учетной политике

Б) Баланс

В) Устав

Г) налоговая декларация по НДС

Д) нет верного ответа

Тест — 45. Уменьшение экономических выгод в виде выбытия активов или увеличение обязательств, что приводит к уменьшению собственного капитала — это

А) доход

Б) расход

В) амортизация

Г) убыток

Д) нет верного ответа

46. Часть активов предприятия, которая остается после вычета его обязательств – это

А) прибыль

Б) собственный капитал

В) акционерный капитал

Г) заемный капитал

Д) нераспределенная прибыль (убыток)

47. Систематическое распределение стоимости объекта, подлежащего амортизации в течении срока его полезной эксплуатации – это

А) инвентаризация

Б) амортизация

В) ЛИФО

Г) ФИФО

48. Тест. Способ записи хозяйственных операций на счетах бухгалтерского учета осуществляется с применением принципа:

А) двойной записи

Б) существующего предприятия

В) оценки активов по фактической стоимости

Г) соответствия

Д) значимости

49. На каком счету учитывается целевое финансирование и целевые поступления

а. 64

б. 48

в. 70

г. 69

50. Сельскохозяйственная продукция это:

а. стоимость запасов, используемых для изготовления данной готовой продукции

б. систематическое распределение стоимости необоротных активов которые амортизируются в течении срока полезного ископаемого.

в. актив полученный в резервное отделение от биологических активов, предназначенны для продажи.

г. цена, по которой реализуется готовая продукция

Ответы на тесты по бухгалтерскому учету:                     

1.    г                   
2.    г
3.    а
4.    а
5.    г
6.    г
7.    б
8.    г
9.    в
10.    в
11.    г
12.    а
13.    б
14.    б
15.    а
16.    а
17.    в
18.    в
19.    в
20.    г
21.    г
22.    а
23.    г
24.    г
25.    б
26.    а
27.    в
28.    г
29.    а
30.    в
31.    а
32.    г
33.    в
34.    а
35.    б
36.    в
37.    а
38.    г
39.    а
40.    б
41.    в
42.    г
43.    д
44.    а
45.    б
46.    б
47.    б
48.    а
49.    б
50.     в

 

Тест по бухгалтерскому учету с ответами 2017 год

 Правильные ответы в тестах по бухучету обозначены « * «.

1. Учет основного состава сотрудников на предприятии должен вестись:

*а) в отделе кадров;

б) на каждом структурном подразделении;

в) нет никаких требований или ограничений по месту организации учета основного состава сотрудников;

г) ведет лично главный бухгалтер.

2. Анкетные данные сотрудника и все изменения в его работе фиксируются в таком первичном документе, как:

а) табель учета использования рабочего времени;

б) лицевой счет;

*в) личная карточка;

г) приказ (распоряжение) о приеме на работу.

3. Какие в Украине применяются формы оплаты труда?

а) почасовая и понедельная;

*б) повременная и сдельная;

в) повременная и фактическая;

г) фактическая и сдельная.

4. При какой форме оплаты труда заработная плата начисляется, исходя из количества (объема) изготовленной продукции (выполненных работ) и их сложности?

*а) сдельной форме оплаты труда;

б) повременной форме оплаты труда;

в) фактической форме оплаты труда;

г) почасовой форме оплаты труда.

5. Расчетно-платежная ведомость – это:

а) документ, который применяется только для расчета заработной платы, а выдача осуществляется по другому документу;

б) документ, в котором собираются сведения о суммах, выплаченных работнику в течение расчетного периода;

в) документ, который используется для выплаты заработной платы и сумм аванса, выданных за первую половину месяца;

*г) документ, используемый для начисления зарплаты и удержаний из нее, а так же для выдачи по нему заработной платы.

6. Лицевой счет – это:

*а) документ, в котором собираются сведения о суммах, выплаченных работнику в течение расчетного периода;

б) документ, который применяется только для расчета заработной платы, а выдача осуществляется по другому документу;

в) документ, который используется для выплаты заработной платы и сумм аванса, выданных за первую половину месяца;

г) документ, используемый для начисления зарплаты и удержаний из нее, а так же для выдачи по нему заработной платы.

7. Расчетная ведомость – это документ:

а) документ, который используется для выплаты заработной платы и сумм аванса, выданных за первую половину месяца;

б) документ, используемый для начисления зарплаты и удержаний из нее, а так же для выдачи по нему заработной платы.

*в) документ, который применяется только для расчета заработной платы, а выдача осуществляется по другому документу;

г) документ, в котором собираются сведения о суммах, выплаченных работнику в течение расчетного периода;

8. Платежная ведомость – это документ:

а) документ, в котором собираются сведения о суммах, выплаченных работнику в течение расчетного периода;

б) документ, который применяется только для расчета заработной платы, а выдача осуществляется по другому документу;

*в) документ, который используется для выплаты заработной платы и сумм аванса, выданных за первую половину месяца;

б) документ, используемый для начисления зарплаты и удержаний из нее, а так же для выдачи по нему заработной платы.

9. Проверяя правильность начисления заработной платы почасовым работникам при повременной форме оплаты труда, ревизор берет за основание:

*а) месячную или почасовую ставку;

б) количество выполненной работы;

в) стоимость и количество (объем) изготовленного работником изделия или выполненных работ;

г) средний заработок работника за последние двенадцать месяцев.

10.Тест с ответом.  Материальная помощь, выплата которой предусмотрена коллективным (трудовым договором), которая имеет систематический характер и предоставляется большинству работников предприятия, относиться к расходам на оплату труда, и включается в полном объеме в налогооблагаемый доход получателя.

*а) да;

б) нет;

в) в зависимости от приказа (распоряжения) руководства предприятия;

г) в зависимости от того, в каком структурном подразделении работает сотрудник.

11. Решение о выдачи премии сотруднику предприятия утверждается:

а) приказом главного бухгалтера;

б) решением трудового коллектива;

*в) приказом руководителя предприятия;

г) решением проверяющих органов.

12. Проверка реальности выполненных строительных работ на предприятии проводиться ревизором при помощи:

а) арифметических расчетов;

*б) визуального осмотра;

в) замеров и взвешивания;

г) взаимной сверки.

13. При проведении ревизии удержаний и отчислений из заработной платы первым делом ревизор проверяет:

*а) зарегистрировано ли предприятие, как плательщик страховых взносов;

б) своевременность уплаты удержаний и начислений;

в) какие документы ведет бухгалтер при осуществлении данного вида учета;

г) полноту и правильность отражения начислений.

14. Отчетность в Пенсионный фонд в обязательном порядке сдается:

а) ежегодно;

б) каждое полугодие;

в) ежеквартально;

*г) ежемесячно.

15. При проверке полноты и правильности отражения начислений на заработную плату ревизор проводит взаимную сверку расчетно-платежной ведомости (расчетной ведомости) с:

а) журналом-ордеров №13 с. -х.;

б) журналом-ордером № 10.2 с.-х.;

в) производственными отчетами 10–3 а, б, в, г;

г) производственными отчетами 10–4 а, б, в, г.

16. При поступлении денежных средств в кассу для выплаты заработной платы бухгалтер составляет такой первичный документ:

а) авансовый отчет;

*б) приходный кассовый ордер;

в) платежное поручение;

г) расходный кассовый ордер.

20. Основанием для начисления заработной платы работникам по трудовым договорам или временным работникам является:

а) табель учета использования рабочего времени;

б) маршрутная карта;

*в) акт выполненных работ;

г) лицевой счет.

Тест № 22. Выплаты, которые являются доходом работника, но не относятся к ФОТ, в частности пособия по временной нетрудоспособности, отражаются по:

а) Кт 231

б) Кт 661

в) Кт 651

*г) Кт 663

24. Отчеты в фонды социального страхования сдаются:

а) ежегодно;

б) каждое полугодие;

*в) ежеквартально;

г) ежемесячно.

25. В течение, какого периода сверхлимитная сумма денежных средств может находиться в кассе предприятия:

а) двух дней;

*б) трех дней;

в) четырех дней;

г) пяти дней.

26. Депонированная сумма заработной платы отражается такой корреспонденцией:

а) Дт 662 Кт 661

б) Кт 301 Кт 662

*в) Кт 661 кт 662

г) кт 601 Кт 661

27. Тест  с ответом. Расходы на выплату материальной помощи отражаются в Кт:

*а) счета 94

б) счета 93

в) счета 92

г) счета 91

28. Перечисление денежных средств со счета предприятия на соответствующие счета фондов социального страхования, пенсионного фонда и налоговую инспекцию осуществляется на основании:

а) расходного кассового ордера;

б) платежного требования;

*в) платежного поручения;

г) счета.

29. Когда должно быть осуществлено перечисление денежных средств со счета предприятия на соответствующие счета фондов социального страхования в размере удержаний и начислений на заработную плату сотрудников предприятия:

а) в течение месяца, за который выдается зарплата работнику;

*б) до момента получения денежных средств на выплату заработной платы по чеку;

в) после получения денежных средств на выплату заработной платы по чеку;

г) нет никаких ограничений.

Тест № 30 с ответом. Уплата удержаний и начислений на заработную плату сотрудников предприятия в Пенсионный фонд должна быть произведена:

*а) до 20-го числа месяца, следующего за отчетным месяцем;

б) до 20-го числа отчетного месяца;

в) в любой день по мере поступления средств;

г) не никаких ограничений.

Касса, денежные документы и переводы в пути

Тесты по бухгалтерскому учету с ответами: Касса, денежные документы и переводы в пути

 

 

ЗАДАНИЕ ТЕСТА ВАРИАНТ 1

Кто несет ответственность за сохранность денежных средств в кассе предприятия?
А) кассир; Б) главный бухгалтер; В) руководитель;

Г) руководитель и главный бухгалтер.

Полученные денежные средства от учреждений банков организация может расходовать:
А) на любые цели, предусмотренные уставом организации;

Б) только на те цели, на которые они получены;

В) на любые собственные цели, не запрещенные законодательством РФ;

Г) только на покупку товара.

На основании какого регистра аналитического учета производят записи по дебету счету 50 «Касса» в ведомости №1?
А) на основании кассовых отчетов; Б) на основании выписок банка с расчетного счета;

В) на основании кассовых ордеров; Г) на основании платежных поручений.

В расходном кассовом ордере допущена ошибка при исчислении суммы. Какой способ исправления ошибки наиболее приемлем в данном случае
А) сторно; Б) дополнительной записи;

В) корректурный; Г) документ должен быть уничтожен и выписан новый документ.

.Кто уполномочен подписывать приходные кассовые ордера?
А) руководитель и главный бухгалтер; Б) только руководитель;

В) только главный бухгалтер; Г) финансовый директор и главный бухгалтер.

Сдача наличных денежных средств на расчетный счет оформляется:
А) денежным чеком; Б) объявлением на взнос наличными;

В) платежным поручением;

Г) или чеком или объявлением на взнос наличными.
Какой записью на счетах бухгалтерского учета отразится сумма недостача денежных
средств в кассе предприятия, обнаруженная в результате инвентаризации?

А) Дт 50 КТ 91/1; Б) Дт 51 Кт 94; В) Дт 94 Кт 50; Г) Дт 50 Кт 94.

Кассовая книга – это:
А) первичный документ; Б) регистр аналитического учета;

В) регистр синтетического учета; Г) нет правильного ответа.

10. Выберите правильную запись на счетах бухгалтерского учета: в кассу поступили

денежные средства от покупателей в оплату готовой продукции:

А) Дт 51 Кт 62; Б) Дт 50 Кт 51;

В) Дт 50 Кт 62; Г) Дт 62 Кт 50.

10. Кто оформляет кассовые ордера?

А) бухгалтер; Б) кассир; В) руководитель;

Г) лицо, вносящее денежные средства в кассу.

ЗАДАНИЕ ТЕСТА ВАРИАНТ 2

Сколько кассовых книг может быть на предприятии?
А) только одна; Б) две обязательно;

В) количество кассовых книг зависит от масштабов деятельности организации;

Г) нет правильного ответа.

2. Чьи подписи содержит денежный чек?
А) руководителя, главного бухгалтера, работника, на чье имя выписан чек;

Б) руководителя и главного бухгалтера;

В) кассира организации;

Г) работников банка, так как чек — банковский документ.

Кто производит записи в кассовой книге организации?
А) главный бухгалтер, так как он контролирует работу всех работников бухгалтерии;

Б) бухгалтер, который контролирует работу кассира;

В) кассир; Г) финансовый менеджер.

На основании какого бухгалтерского регистра производятся записи в журнале –
ордере № 1 ?

А) на основании приходных и расходных кассовых ордеров;

Б) на основании денежных чеков;

В) на основании кассовых отчетов;

Г) на основании расходных кассовых ордеров.

Кто устанавливает лимит наличных денежных средств в кассе организации?
А) обслуживающий банк; Б) Центральный банк РФ;

В) организация самостоятельно, известив об этом обслуживающий банк;

Г) Сберегательный банк РФ, так как он – государственный банк РФ.

В скольких экземплярах оформляется договор об индивидуальной материальной
ответственности кассира?

А) в одном – только для кассира; Б) в одном – только для руководителя;

В) в двух – для руководителя и кассира;

Г) в трех – для руководителя, главного бухгалтера и кассира.

Выберите правильную запись на счетах бухгалтерского учета: выдано из кассы подотчетному лицу в возмещение перерасхода по авансовому отчету:
А) Дт 50 Кт 71; б) Дт 51 Кт 71; В) Дт 71 Кт 51; Г) Дт 71 Кт 50.

Кто несет на предприятии ответственность за организацию работы кассы, как структурного подразделения бухгалтерии?
А) кассир; б) главный бухгалтер; В) руководитель;

Г) руководитель и главный бухгалтер.

На каком счете отражается выручка, сданная из кассы инкассатору?
А) 57; Б) 50/2; В) 51; Г) 91.

Допускаются ли исправления в кассовой книге?
А) допускаются корректурным способом;

Б) не допускаются;

В) допускаются только с разрешения обслуживающего банка;

Г) допускаются способом сторно.
 

 

 

 

 

ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ТЕСТОВ

ВАРИАНТ 1
Номер вопроса	1	2		3		4	5		6		7		8		9	10
Ответ	В	Б		А		Г	В		Б		В		В		В	А
ВАРИАНТ 2
Номер вопроса	1		2		3	4		5		6		7		8	9	10
Ответ	А		А		В	В		В		В		Г		В	А	А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

////////////////////////////

 

Экзаменационные тесты с ответами по дисциплине Теория бухгалтерского учета

Кто впервые в истории описал существование двойного учета?
А) А. Смит
Б) Л. Пачоли +
В) Э. Дегранж
Г) Ф. Аквинский

Когда это произошло?
А) в 1196 г.
Б) в 1789 г.
В) в 1391 г. +
Г) в 1540 г.

Учет, который изучает явления, носящие обобщающий, массовый атрибут в различных областях хозяйства, экономики, науки, образования – это
А) оперативный
Б) статистический +
В) бухгалтерский
Г) хозяйственный

Что относят к трудовым измерителям в бухгалтерии?
А) кг
Б) м2
В) шт.
Г) день +

… — процесс ведения бухгалтерского учета, средство регистрации хозяйственных операций и хранения учетной документации
А) счетоводство +
Б) аудит
В) тарифная сетка
Г) все варианты неверны

Такая цель, как составление финансового отчета, относится к:
А) управленческому учету
Б) финансовому учету +
В) хозяйственному учету
Г) статистическому учету

Назовите функцию, которая не относится к бухгалтерскому учету:
А) аналитическая
Б) информационная
В) обратной связи
Г) оценочная +

Материальные основные средства делят на:
А) основные
Б) основные и другие необоротные материальные активы +
В) оборотные и другие необоротные материальные активы
Г) денежные средства и их эквиваленты

Сумма дооценки необоротных активов, дарственная капитал (стоимость активов, бесплатно полученных предприятием от физических и юридических лиц) – это капитал:
А) Собственный
Б) Уставной
В) Дополнительно вложенный
Г) Другой дополнительный +

Путь прохождения документов от места его составления или поступления снаружи к месту обработки и хранения по определенному маршруту в определенном порядке и в установленные сроки – это:
А) документооборот +
Б) планирование
В) контроль
Г) кредитование

Таксировка – это:
А) оценка в денежном измерении указанных в документах материальных ценностей +
Б) указание корреспонденции между счетами по данной операции
В) отбор документов стопки, однородные по своему существу
Г) обобщение показателей путем соответствующей их группировки или систематизации

Контировка – это:
А) оценка в денежном измерении указанных в документах материальных ценностей
Б) указание корреспонденции между счетами по данной операции, то есть составления бухгалтерской записи +
В) отбор документов стопки, однородные по своему содержанию
Г) обобщение показателей путем соответствующей их группировки или систематизации

Что означает термин «баланс»?
А) способ отображения, состояния и изменения хозяйственных средств или источников их образования под влиянием хозяйственных операций за отчетный период в денежном выражении.
Б) отражение на счетах бухгалтерского учета состояния и изменения хозяйственных средств и их источников по определенной системе.
В) равновесие или количественное выражение отношений между сторонами какой-либо деятельности. +
Г) нет верного ответа

Сколько разделов в активе и пассиве баланса соответственно?
А) 5 и 2
Б) 3 и 4
В) 3 и 5 +
Г) 8 и 6

… — это способ отображения, состояния и изменения хозяйственных средств или источников их образования под влиянием хозяйственных операций за отчетный период в денежном отображении
А) бухгалтерский счет +
Б) счет
В) контокоррентная карта
Г) систематическая запись

Мера детализации аналитического учета определяется:
А) синтетическим счетом
Б) производственной необходимостью +
В) аналитическим учетом
Г) все ответы верны

Разница между приходом и расходом счёта – это…
А) шахматная ведомость
Б) субсчет
В) сальдо +
Г) учетный регистр

. … — сведения оборотов по счетам, служащий для раскрытия их содержания и проверки правильности корреспонденции счетов
А) шахматная ведомость +
Б) субсчет
В) сальдо
Г) учетный регистр

К какому синтетическому счету относят субсчет «Транспортные средства»?
А) производственные запасы
Б) основные средства +
В) дебиторская задолженность
Г) затраты будущих периодов

План счетов бухгалтерского учета представляет собой систематизированный перечень счетов бухгалтерского учета, в основе которого используется классификация счетов по их:
А) экономическому содержанию +
Б) финансовому содержанию
В) бухгалтерскому содержанию
Г) учетному содержанию

План счетов сгруппирован по классам, существует … классов счетов:
А) 11
Б) 9
В) 10 +
Г) 8

Классификация счетов в бухгалтерском учете – это:
А) зачисление средств, которые не принадлежат предприятию, но временно находящихся там.
Б) контроль за наличием и нарушением средств предприятия (актив) и их источников (пассив)
В) накопление затрат по тому или иному хозяйственному процессу с целью дальнейшего их распределения
Г) метод изучения всей совокупности счетов путем их группировки по определенным признакам, а также выяснения характерных особенностей каждой группы +

Для чего служат калькуляционные счета?
А) для определения сальдо баланса
Б) для сведения актива и пассива баланса
В) для определения себестоимости хозяйственных средств +
Г) для определения финансовых результатов

Какие счета относят к бюджетно-распределительным?
А) внутренние
Б) затраты будущих периодов +
В) контрарные
Г) дополнительные

Какие счета относят к калькуляционным?
А) производство +
Б) финансовые результаты
В) резерв будущих затрат
Г) контрарные

… — счетные таблицы определенной формы, построенные в соответствии с экономической группировкой данных о хозяйственных средствах и источниках их образования.
А) калькуляция
Б) шахматная ведомость
В) учетный регистр +
Г) контокоррентная карта

К какому признаку учетных регистров относят признак «Двусторонние учетные регистры»?
А) по внешнему виду
Б) по объему содержания
В) по характеру записи
Г) по форме построения +

К какому признаку учетных регистров относят признак «Регистры аналитического учета»?
А) по внешнему виду
Б) по объему содержания +
В) по характеру записи
Г) по форме построения

В зависимости от внешнего вида учетные регистры делятся на: (отметить лишнее)
А) бухгалтерские книги
Б) карточки
В) свободные листы
Г) контокоррентные карты +

Для чего предназначены свободные листы?
А) выполняют функцию учетного регистра
Б) для накопления информации +
В) для обобщения ведомостей
Г) для анализа конкретного синтетического счета

Менеджеры и внешние потребители относятся к … финансового учета:
А) измерителям
Б) главным потребителям +
В) объектам анализа
Г) ограничителям

Кроссворд по «Бухгалтерскому учету»

Фасхиев Риназ 301-о

 

Кроссворд

 

2

3

1

ф

з

1

ц

е

н

а

2

и

н

в

е

н

т

а

р

и

з

а

ц

и

я

а

5

н

к

7

л

с

6

а

3

к

а

л

ь

к

у

л

я

ц

и

я

4

о

а

м

н

ю

р

4

б

у

х

г

а

л

т

е

р

с

к

и

й

ч

е

п

о

ь

т

о

и

д

р

в

д

о

в

5

с

ч

е

т

и

а

ы

о

д

ы

е

т

6

а

к

т

и

в

й

й

8

9

л

10

л

б

ф

ь

в

7

д

е

б

е

т

8

л

и

к

в

и

д

а

ц

и

о

н

н

ы

й

н

л

ф

ы

р

9

с

у

б

с

ч

е

т

а

а

о

й

у

е

н

ч

10

п

а

с

с

и

в

с

к

к

а

и

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

														2						3
								1
					1								2
										5												7
												6					3
						4
				4
																5
	6															8		9				10
		7							8
	9
			10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы

 

По горизонтали:

 

1. Количество денег, в обмен на которые продавец готов передать (продать) единицу товара.
2. Проверка наличия имущества организации и состояния её финансовых обязательств на определённую дату путём сличения фактических данных с данными бухгалтерского учёта. Это основной способ фактического контроля за сохранностью имущественных ценностей и средств.
3. Стоимость расчетов себестоимости единицы продукции.
4. … учет – упорядоченная система сбора, регистрации и обобщения информации в денежном выражении об имуществе организации и их движения путем сплошного непрерывного и документального учета всех хозяйственных операций.
5. Основные единицы хранения информации в бухгалтерском учете.
6. Часть бухгалтерского баланса (левая сторона), отражающая состав и стоимость имущества организации на определённую дату.
7. Счет представляет собой таблицу двухсторонней формы. Левая сторона …
8. Вид баланса. Баланс состоит на момент окончания деятельности.
9. Предназначены для дополнительной группировки аналитических счетов в пределах одного синтетического счета.
10. Противоположная активу часть бухгалтерского баланса (правая сторона), — совокупность всех обязательств (источников формирования средств) предприятия.

 

 

 По вертикали:

 

1. … учет – осуществляется исключительно с целью выполнения требований государственных налоговых органов в строго определенном формате, отвечающим интереса контроля за своевременностью и правильности выплаты налогов.
2. … учет – учет осуществляющий с целью получения информации необходимый для внешних пользователей, строго регламентированный и подчиняется установленным стандартам.
3. Вид баланса. Баланс состоит на момент окончания деятельности.
4. … учет – учет внутри организации необходимый для управления ресурсами, строго не регламентирован.
5. Имущество которое зарегистрировано на начало.
6. … бухгалтерского учета – способы и приемы с помощью которых изучается предмет бухгалтерского учета.
7. Счет представляет собой таблицу двухсторонней формы. Правая сторона …
8. Бухгалтерский … — способ обобщения и группировки имущества и источников его образования на определенную дату денежной оценки.
9. Метод бухгалтерского учета товарно — материальных запасов по цене первой поступившей или изготовленной партии.
10. Количество денежных средств или иных благ, получаемое компанией за определённый период её деятельности, в основном за счёт продажи товаров или услуг своим клиентам.

Тесты по бухгалтерским проводкам с ответами

Тесты по бухгалтерскому учету

Тесты по бухучету — это задания для самопроверки. Тест по бухгалтерскому учету представляет собой набор вопросов и варианты ответов на каждый вопрос теста. Выбор правильного на ваш взгляд варианта можно сделать напротив каждого варианта ответа к вопросу теста. На один вопрос предполагается наличие только одного правильного ответа. Результат теста по бухучету можно узнать сразу бесплатно, без смс или оформления подписок, как это иногда предлагается на других сайтах. Для того чтобы узнать правильные ответы на тест, нужно нажать на надпись «показать правильные ответы» внизу страницы со списком вопросов. Правильный ответ будет подчеркнут снизу цветной линией.

Более того, правильные ответы на тест по бухучету можно узнать сразу, не отвечая на вопросы теста. Тем не менее, мы рекомендуем предварительно попытаться ответить на вопросы, ведь предложенные задания носят не столько характер проверки знаний, сколько возможность самостоятельной оценки способности найти правильный ответ.

Задания тестов по бухучету подобраны по темам. В настоящий момент доступны тесты по следующим темам бухгалтерского учета:

1. Тест по бухучету — тема основы бухгалтерского учета

2. Тест по бухучету — тема основы бухучета, банк, касса

3. Тест по бухучету — тема учет основных средств и НМА

4. Тест по бухучету — тема учет ТМЦ

5. Тест по бухучету — тема учет заработной платы

Тест по бухгалтерскому учету и анализу с ответами

Нет времени или сил пройти тест онлайн? Поможем сдать тест дистанционно для любого учебного заведения: подробности.

Вопрос 1. Активные счета — это счета для учёта

• имущества
• источников образования имущества
• результатов хозяйственной деятельности

Вопрос 2. Активы организации — это

• действия, связанные с движением имущества в процессе хозяйственной деятельности
• имущество, принадлежащее организации на правах собственности
• источники приобретения имущества организации
• хозяйственные средства, контроль над которыми организация получила в результате свершившихся фактов её хозяйственной деятельности и которые должны принести ей экономические выгоды в будущем

Вопрос 3. Активы организации подразделяются на

• внеоборотные и оборотные активы
• основные активы и не основные активы
• предметы труда и методы труда

Вопрос 4. Амортизация в бухгалтерском учете — это

• постепенный перенос стоимости имущества в течение всего срока его полезного использования на себестоимость продукции (работ, услуг)
• способность имущества к использованию в хозяйственной деятельности организации
• физический износ имущества

Вопрос 5. Амортизация основных средств начисляется в течение

• 12 лет
• 20 лет
• всего срока нахождения их в организации
• срока их полезного использования

Вопрос 6. Аналитические счета — это счета для

• подробной характеристики объектов учета
• текущего контроля за хозяйственными операциями
• укрупненной группировки и учета однородных объектов

Вопрос 7. Баланс считается абсолютно ликвидным, если имеют место следующие соотношения:

• А1 П2; A3 > ПЗ; А4
• А1 >П1; А2 ПЗ; А4
• А1 >П1; А2>П2; A3 > ПЗ; А4
• А1 >П1; А2>П2; A3 > ПЗ; А4>П4

Вопрос 8. Без подписи главного бухгалтера считаются недействительными

• акты выполненных работ с поставщиками и подрядчиками
• денежные и расчетные документы
• договора с покупателями и заказчиками
• финансовые и кредитные обязательства

Вопрос 9. Бухгалтерская запись (проводка) – это запись

• дебетуемого (кредитуемого) счета
• корреспондирующих счетов
• суммы по хозяйственной операции
• хозяйственной операции в денежном выражении путем отражения на корреспондирующих счетах

Вопрос 10. Бухгалтерская отчетность составляется на основе данных учета

• бухгалтерского
• налогового
• оперативного
• статистического

Вопрос 11. Бухгалтерские проводки активно-активного типа меняют

• валюту баланса
• структуру актива баланса
• структуру пассива баланса

Вопрос 12. Бухгалтерские проводки активно-пассивного типа валюту баланса

• не изменяют
• увеличивают
• уменьшают

Вопрос 13. Бухгалтерские проводки пассивно-активного типа валюту баланса

• не изменяют
• увеличивают
• уменьшают

Вопрос 14. Бухгалтерские проводки пассивно-пассивного типа меняют

• валюту баланса
• структуру актива баланса
• структуру пассива баланса

Вопрос 15. Бухгалтерский баланс — это обобщенное отражение информации об имуществе организации

• в денежной оценке по его видам и источникам образования на определенную дату
• в натурально-вещественной форме
• на определенную дату в натурально-стоимостных показателях
• по его видам и источникам образования за определенный период времени

Вопрос 16. Бухгалтерский баланс представляет собой таблицу, состоящую из

• актива и пассива
• дебета и кредита
• доходов и расходов
• прибылей и убытков

Вопрос 17. Бухгалтерский учет дает информацию об объектах бухгалтерского учета в … выражении

• денежном
• натуральном
• натурально-стоимостном
• трудовом

Вопрос 18. Бухгалтерский учет по валютным счетам ведется

• в иностранной валюте
• в рублях на основании пересчета по курсу банка, в котором открыт валютный счет
• в рублях на основании пересчета по курсу Центрального Банка РФ

Вопрос 19. В активе баланса имущество группируется по

• видам и источникам образования
• источникам образования и назначению
• степени ликвидности

Вопрос 20. В активе баланса отражаются

• долги поставщикам за товары и услуги
• задолженность покупателей за продукцию
• уставный капитал

Вопрос 21. В активе баланса сгруппированы

• имущество и дебиторская задолженность
• источники формирования имущества
• хозяйственные процессы за отчетный период

Вопрос 22. В зависимости от объема учетной работы руководитель организации может

• не организовывать ведение бухгалтерского учета
• поручить ведение учета работникам сферы производства
• учредить бухгалтерскую службу или вести учет лично

Вопрос 23. В пассиве баланса отражаются

• дебиторская задолженность
• капитал
• основные средства

Вопрос 24. В пассиве баланса сгруппированы

• дебиторская задолженность
• имущество и денежные средства
• источники формирования имущества и кредиторская задолженность

Вопрос 25. В первичные документы (кроме кассовых и банковских) исправления

• могут вноситься по согласованию с вышестоящей организацией
• могут вноситься по согласованию с налоговыми органами
• могут вноситься по согласованию с участниками хозяйственной операции
• не могут вноситься

Вопрос 26. В состав годовой бухгалтерской отчетности обязательно включаются

• бухгалтерский баланс
• декларация по налогу на прибыль
• отчет о затратах на производство
• отчет о продукции
• отчет о финансовых результатах

Вопрос 27. Величина, обратная времени, необходимому для превращения активов в денежные средства называется

• кредитоспособность
• ликвидность активов
• ликвидность баланса
• финансовая устойчивость

Вопрос 28. Внесение изменений в кассовые и банковские документы

• допускается
• допускается в отдельных случаях
• не допускается

Вопрос 29. Вновь созданная организация оформляет учетную политику не позднее

• 30 дней с начала календарного года
• 60 дней со дня государственной регистрации
• 90 дней с начала календарного года
• 90 дней со дня государственной регистрации

Вопрос 30. Впервые необходимость двойной записи на счетах была обоснована

• А. П.Рудановским
• Бенедиктом Котрульи
• Гюгли и Шерром
• Лукой Пачоли

Вопрос 31. Выдача денежных средств подотчетным лицам отражается записью

• Д-т сч.50 «Касса» Кт сч.71 «Расчеты с подотчетными лицами»
• Д-т сч.71 «Расчеты с подотчетными лицами» Кт сч. 26 «Общехозяйственные расходы»
• Д-т сч.71 «Расчеты с подотчетными лицами» Кт сч. 51 «Расчетные счета»
• Д-т сч.71 «Расчеты с подотчетными лицами» Кт сч.50 «Касса»

Вопрос 32. Выплачена из кассы зарплата работникам

• Д 70 » Расчеты с персоналом по оплате труда» К 50 «Касса»
• Д 70 » Расчеты с персоналом по оплате труда» К сч.51 «Расчетные счета»
• Д-т сч. 25 «Общехозяйственные расходы» Кт сч.70 «Расчеты с персоналом по оплате труда»

Вопрос 33. Выявленные при инвентаризации расхождения между фактическим наличием имущества и данными бухгалтерского учета могут быть в виде

• избытка
• излишка
• недобора
• недостачи
• неполноты

Вопрос 34. Главный бухгалтер назначается (освобождается) на должность

• Министерством финансов РФ
• налоговыми органами
• руководителем организации
• финансовым директором

Вопрос 35. Главный бухгалтер несет ответственность за

• ведение бухгалтерского учета и представление отчетности
• действия материально ответственных лиц
• обеспечение организации средствами оргтехники

Вопрос 36. Двойная запись — это способ

• группировки объектов учета
• обобщения данных бухгалтерского учета
• отражения хозяйственных операций

Вопрос 37. Действия, связанные с движением активов и пассивов называются

• активизация
• хозяйственная деятельность
• хозяйственные операции

Вопрос 38. Для осуществления бухгалтерских записей основанием являются документы

• бухгалтерского оформления
• первичные
• распорядительные

Вопрос 39. Для отражения в учете денежных средств используются счета

• с 01 по 09
• с 20 по 29
• с 50 по 59
• с 60 по 69

Вопрос 40. Для следующих случаев проведение инвентаризации обязательно

• в случаях стихийных бедствий и чрезвычайных ситуаций
• перед составлением квартальной отчетности
• при изменении норм расхода материалов

Сдадим ваш тест на хорошо или отлично

Тест по бухгалтерским проводкам

При трудоустройстве тест по бухгалтерским проводкам позволяет оценить компетентность и профессиональные навыки, а также определить слабые стороны соискателя. Также такие проверочные задания будут полезны аудиторам, финансовым консультантам и экономистам для проверки уровня знаний.

Вас ожидает тест по Бухгалтерскому учету?

ПодготовитьсяПодготовиться

Для чего нужны бухгалтерские тесты

Любой работодатель преследует цель – найти компетентного сотрудника, который гарантированно будет справляться с возложенными на него обязанностями. Бухгалтер занимает одну из ключевых должностей и отвечает за финансовое состояние компании. Ошибка в учете может стать причиной непредвиденных затрат, а также привлечь внимание налоговых органов.

Отборочные тесты по проводкам бухгалтерского учета позволяют оценить следующие навыки:

• Знание ПБУ;
• Умение работать с первичными документами;
• Знание налогового законодательства и нормативных актов;
• Работа с планом счетов;
• Решение нестандартных задач.

Раньше проверка знаний кандидата на должность бухгалтера ограничивалась выполнением нескольких стандартных проводок. Современное тестирование построено на решении нестандартных задач и требует от кандидата более углубленных знаний.

Онлайн-пример теста по Бухгалтерским проводкам: ПройтиПодготовитьсяПройти Подготовиться

Сложность проверочного задания зависит от размера компании и её запросов. А также от сферы деятельности и перечня должностных обязанностей. Стандартные тесты определяют соответствие соискателя установленным требованиям. Продвинутые – составляются экспертами и применяются для отбора кандидатов на узкопрофильные участки бухгалтерии.

Приём на работу по результатам устного собеседования значительно повышает риск получения некомпетентного сотрудника. В связи с этим тест по бухгалтерским проводкам онлайн приобретает всё большую популярность.

По статистике, из 50 кандидатов только 20 проходят тестирование до конца, и из них только 5 человек успешно справляются с заданием.

Бухгалтерские тесты при аттестации

Тестовые задания для аттестации профессиональных бухгалтеров составляются и утверждаются Институтом профессиональных бухгалтеров и аудиторов России. Их основная цель – проверить уровень знаний и профпригодность работника. В связи с тем, что в российском законодательстве происходят постоянные изменения, подборка вопросов периодически дорабатывается в соответствии с нормативными документами.

Прохождение аттестации может быть добровольным либо инициировано работодателем. В первом случае положительные результаты тестирования позволяют кандидату повысить свою квалификационную категорию, а также получить право занять более высокую должность.

Важно:

«Перед аттестационным тестированием бухгалтер не обязан проходить дополнительное обучение, если иное не предусмотрено внутренними нормативными актами компании. В 2019 году оценивать результаты тестирования имеет право не только сам работодатель, но и специальные независимые центры по оценке квалификации».

Как проходить бухгалтерские тесты при приёме на работу

Бухгалтерские тесты по проводкам по сути являются набором различных задач, которые необходимо решить в установленный временной период. Для того чтобы успешно пройти проверку, перед тестированием необходимо повторить план счетов, а также вспомнить основные проводки по наиболее распространенным хозяйственным операциям.

При хорошем знании теории кандидат тратит меньше времени на обдумывание задачи. Поэтому в рамках подготовки к тестированию рекомендуется повторять не только проводки, но и нормативные акты. Если соискатель имеет не только теоретические, но и практические знания, то пройти стандартный тест не составит особого труда, так как подборка задач составляется из наиболее востребованных хозяйственных операций. Например:

Темы в тестах по Бухгалтерским проводкам:

Денежные средства	Начисление заработной платы Поступление денег на счет и в кассу Возврат ранее полученного аванса Работа с валютными счетами Кредиты Кассовая дисциплина
Расчеты с поставщиками	Приобретение материалов Учет основных средств Курсовые разницы НДС
Налогообложение	Начисление налога на прибыль Отнесение затрат на себестоимость Расчет взносов с ФОТ Возмещение НДС
Реализация	Расчеты с покупателями Курсовые разницы Учет авансовых платежей Внереализационные доходы и расходы

Довольно часто набор кадров для бухгалтерии поручается главному бухгалтеру, так как именно ему известны все нюансы вакантной должности. В связи с этим вопросы по проводкам могут составляться с учетом специфики компании. Поэтому при подготовке к тестированию в определенную фирму рекомендуется заранее изучить основное направление деятельности компании. И на основе полученных сведений провести профильную подготовку.

Можно ли узнать ответы по тестам заранее

Бухгалтерские тесты могут быть общими и узкоспециализированными. Первая категория имеет довольно стандартный набор вопросов, вторая – составляется с учетом требований конкретного работодателя и в этом случае тест по бухгалтерским проводкам с ответами найти довольно сложно.

В интернете всегда можно найти бесплатные тренировочные задания для подготовки к основному тестированию. Однако, используя такие вопросы, всегда нужно рассчитывать на то, что на собеседовании будут предложены более сложные задачи. Другой вариант – это покупка платных кейсов, но, к сожалению, и они не гарантируют полное соответствие вопросов на собеседовании. Они лишь дают примерное представление о том, как будет выглядеть тестовое задание, и каким проводкам будет отдан приоритет.

Несмотря на то, что найти точную подборку вопросов онлайн практически невозможно, для подготовки к тестированию следует использовать любую возможность. Подборка задач с ответами будет полезна для определения пробелов в знаниях и самоподготовки.

Готовые задачи по проводкам помогают научиться правильно распределять отведенное время на изучение условия и составление ответа.

Такая тренировка будет особенно полезна начинающим бухгалтерам, которые хотят проверить свой уровень знаний.

Проверка результатов бухгалтерского теста

Оценка результатов тестирования всегда индивидуальна и зависит от конкретного работодателя. Тест по бухучету может сдаваться непосредственно в офисе компании или до собеседования на этапе отбора кандидатов. При тестировании в домашних условиях результат можно распечатать на бумаге или отправить работодателю по электронной почте.

Если тестирование происходит в онлайн-режиме, то результат можно получить по истечении установленного времени. Знания соискателя оцениваются в процентном соотношении верных и неверных ответов либо в установленных баллах.

Если тестирование проходит в офисе компании или кадровом агентстве, то работодатель может признать профнепригодность кандидата без объяснения причин или отправить ответ на электронный адрес соискателя.

Каким бы ни был результат, его необходимо обязательно проанализировать. Работа над ошибками позволяет устранить недочеты при следующем прохождении теста.

Онлайн тесты для главных бухгалтеров

Постоянное изменение Налогового Кодекса заставляет бухгалтеров быть в курсе всех нововведений. Чтобы держать руку на пульсе, многим приходится заниматься самообразованием: посещать профессиональные курсы и семинары. Однако наиболее точный и быстрый способ оценить свои знания – это пройти online тест в интернете. Такой вариант оценки знаний позволяет без особых временных затрат оценить свою квалификацию без отрыва от работы.

Большим плюсом бесплатных тестов является их доступность. Прежде чем записаться на платные курсы повышения квалификации следует обязательно пройти такую предварительную проверку знаний. Также подборка тренировочных задач поможет подготовиться к более серьёзным вопросам, которые будут в тестах при сдаче экзамена на аттестат профессионального бухгалтера.

В тест по проводкам на должность главного бухгалтера могут быть включены дополнительные задачи, охватывающие сферу управленческого учета, а также вопросы, направленные на проверку знаний специализированных программ.

Тренировочный тест по бухгалтерским проводкам позволяет не только установить пробелы в образовании, но и подготовиться к профессиональному тестированию, которое может потребоваться при приёме на должность бухгалтера.

Чем больше тестов будет пройдено в подготовительный период, тем выше вероятность успешного прохождения аттестационного теста при трудоустройстве. Решение задач в условиях строгого временного регламента помогает правильно концентрироваться на основных моментах, что положительно влияет на стрессоустойчивость.

Тест с ответами Бухгалтерский учет в банках (Баланс банка включает …)

Рубрика: Финансы

Рубрика: Бухучет

 

1. Баланс банка включает в себя столько разделов:
а) 7 +
б) 5
в) 6

2. На счетах депо отражаются:
а) кредиты и средства, предоставленные Минфину России
б) депозитарные операции с ценными эмиссионными бумагами +
в) договорные условия депозитов, вкладов, прочих привлеченных средств

3. Базовая модель баланса коммерческого банка выглядит таким образом:
а) актив > пассив
б) пассив > актив
в) актив = пассив +

4. В целях исключения злоупотреблений со средствами клиентов полномочия работников кассы и бухгалтерии:
а) разделены +
б) дублируют друг друга
в) совмещены

5. Из представленного ниже, к принципам построения баланса банка можно отнести:
а) при построении баланса нет необходимости в обеспечении достоверности данных и наглядности их изображения
б) баланс должен иметь разрозненную схему построения для всех балансовых учреждений
в) баланс должен иметь экономически и логически обоснованные принципы группировки статей +

 

6. Из представленного ниже, к принципам построения баланса банка можно отнести:
а) баланс должен иметь разрозненную схему построения для всех балансовых учреждений
б) баланс должен быть легко читаем и предельно ясен +
в) при построении баланса нет необходимости в обеспечении достоверности данных и наглядности их изображения

7. Сто система регистрации и обобщения информации о совершаемых налогоплательщиком однородных операциях, приводящих к возникновению доходов или расходов, учитываемых при исчислении налоговой базы в соответствии с порядком, установленным НК РФ:
а) налоговая декларация
б) бухгалтерский учет
в) налоговый учет +

8. Данные бухгалтерского учета используются Центральным банком России для:
а) регулирования банковской деятельности +
б) определения величины собственных средств, предоставленных кредитной организации
в) оценки возможности получить часть прибыли в виде дивидендного дохода

9. Агентами валютного контроля в РФ являются:
а) нерезиденты, осуществляющие валютные операции
б) физические лица
в) уполномоченные банки +

10. Как называется принцип построения Плана счетов банковского учета, предполагающий, что активы и пассивы учитываются по их первоначальной стоимости на момент приобретения или возникновения:
а) открытость
б) «единица измерения» +
в) непрерывность деятельности

11. Отсутствие кредитного риска (вероятность финансовых потерь вследствие неисполнения либо ненадлежащего исполнения заемщиком обязательств по ссуде равна нулю) относится к:
а) I (высшей) категории качества (стандартные ссуды) +
б) II (высшей) категории качества (сомнительны ссуды)
в) III (высшей) категории качества (нестандартные ссуды)

12. В лицевых счетах показывается:
а) входящий остаток на конец дня
б) входящий остаток на начало дня +
в) исходящий остаток на конец дня

13. В лицевых счетах показывается:
а) обороты по дебету и кредиту, отраженные по каждому документу (сводному документу) +
б) остаток до отражения каждой операции и на начало дня
в) входящий остаток на конец дня

14. В лицевых счетах показывается:
а) остаток до отражения каждой операции и на начало дня
б) дата будущей операции по счету
в) дата предыдущей операции по счету +

15. В кассовых и мемориальных ордерах на оприходование и списание ценностей и документов, хранящихся в кладовой, итоговые суммы повторяются:
а) прописью +
б) цифрами
в) не повторяются

16. Депозитный сертификат коммерческий банк выдает:
а) юридическим и физическим лицам по решению банка
б) юридическим лицам +
в) физическим лицам

17. Сверка аналитического учета с синтетическим по оборотам производится … по заключительным оборотам прошлого года и по оборотам текущего года:
а) не производится
б) совместно
в) раздельно +

18. Учет произведенных расходов ведется на активном счете первого порядка:
а) 072
б) 702 +
в) 207

19. Счета, открытые клиентам, регистрируются в книге регистрации:
а) счетов, находящихся под арестом
б) пролонгированных счетов
в) открытых счетов +

20. Операция банка в виде купли-продажи ценных бумаг от имени клиента или по его поручению, а также за счет средств самого банка:
а) чистая прибыль с ценными бумагами
б) торговая операция с ценными бумагами
в) финансовый лизинг с ценными бумагами

21. Для учета наличных денежных средств в рублях и иностранной валюте, находящихся в банкоматах, которые принадлежат кредитной организации, предназначен именно этот счет:
а) 20208 +
б) 20202
в) 20207

22. Соглашение, на основании которого заёмщик приобретает право на получение и использование в течение обусловленного срока денежных средств:
а) привлеченные средства
б) кредитная линия +
в) кредитная политика

23. Приход денежных средств в кассу банка отражается по:
а) дебету и кредиту счета 20202 «Касса кредитных организаций»
б) кредиту счета 20202 «Касса кредитных организаций»
в) дебету счета 20202 «Касса кредитных организаций» +

24. К учету процентов по размещенным средствам, отнесенным в установленном Банком России порядке, ко 2-й и выше группе риска применяется только такой метод:
а) начислений
б) кассовый +
в) экспертных оценок

25. Основой организации первичного учета является утвержденный главным бухгалтером:
а) проект документооборота
б) модель документооборота
в) график документооборота +

26. При осуществлении безналичных расчетов КБ:
а) при необходимости вмешивается в договорные отношения хозяйствующих субъектов
б) несет ответственность за несвоевременное и неправильное списание или зачисление средств на счета клиентов +
в) осуществляет платежи без распоряжения владельца счета в порядке очередности

27. Получив из кассы ордер с подписью кассира о приеме денег, он осуществляет зачисление денежных средств на счет клиента:
а) ответственный исполнитель +
б) кассир
в) бухгалтер

28. Кредитная организация имеет право в одностороннем порядке изменять процентные ставки по кредитам, вкладам, так ли это:
а) да
б) в редких случаях
в) нет +

29. Кассовый работник приходной кассы ведет ежедневные записи принятых от клиентов и сданных заведующему кассой денежных сумм в … принятых и выданных денег:
а) книге учета +
б) журнале учета
в) тетраде учета

30. На расчетных документах, предоставляемых в банк клиентами, подписи руководителя и главного бухгалтера предприятия и оттиск печати ставятся:
а) на любом экземпляре
б) только на первых экземплярах +
в) на всех экземплярах

 

 

 

Бухгалтерский кроссворд — WordMint

Отделения банка, часы работы, наличие банкомата. Расположение
Прямой депозит, автоматические платежи, защита от овердрафта, онлайн-банкинг, скидки или бесплатная проверка для студентов. чеков, стоимость запроса баланса, чеки через банкомат Сборы
Минимальный остаток, период хранения депонированных чеков Ограничения
Платежная система, в которой счета оплачиваются путем прямого снятия с банковского счета Автоматический платеж
Финансовый кооператив, принадлежащий его членам для обслуживания своих членов.Он предлагает те же финансовые услуги, что и банк Credit Union
Позволяет клиентам получать наличные и проводить банковские операции ATM
Счет, который позволяет вам вносить деньги и выписывать чеки на этот счет. Текущий счет
Сумма денег в настоящее время на счете Остаток
Бизнес, который хранит деньги в безопасности для своих клиентов, ссужает деньги заемщикам и предоставляет другие финансовые услуги. Банк
Банковская карта, которая может использоваться для покупки товаров и услуг в электронном виде.Сумма переводится сразу. Дебетовая карта
Минимальная сумма денег, которую банк требует при открытии счета Минимальный депозит
Деньги, помещенные на банковский счет Депозит
Сберегательный или текущий счет, открытый на имена более чем одного человека Совместный счет
Деньги, которые платит банк за использование денег человека. Проценты относятся к годовой процентной ставке (APR) Проценты
Сообщает, сколько денег у вас в настоящее время находится на вашем счете (остаток на счете). Запрос
Секретный номер или код, который защищает безопасность счета PIN
Сумма взятых денег из счета Снятие средств
Банковский счет, который позволяет вам откладывать деньги, чтобы использовать их позже.Банк выплачивает проценты в обмен на использование денег на сберегательном счете
Деловые операции с банком, включая депозиты и снятие средств Транзакция
Банковский служащий, который выполняет банковские услуги для населения, такие как обналичивание чеков и прием депозитов Кассир

Quia — Бухгалтерский учет Глава 4 Кроссворды

A	B
бухгалтерская книга	Группа счетов
Главная книга	Главная книга, содержащая все счета, необходимые для подготовки финансовой отчетности.
номер счета	Номер, присвоенный счету
ведение файла	Процедура для размещения счетов в главной книге, присвоения номеров счетов и поддержания записей в актуальном состоянии.
открытие счета	Запись названия и номера счета в заголовке счета.
проводка	Перенос информации из записи журнала на счет главной книги.
запись исправления	Запись журнала, сделанная для исправления ошибки в предыдущей записи журнала.
Балансовый счет	Поскольку в форме счета есть столбцы для дебетового и кредитового сальдо счета, ее часто называют формой _______.
110	Денежный счет является первым счетом активов и имеет номер ____.
в пределах	Последние две цифры в трехзначном номере счета указывают _____ раздел главной книги счета.
515	При добавлении нового расходного счета между счетами с номерами 510 и 520 новому счету присваивается номер счета ____.
по алфавиту	Счета расходов в главной книге расположены в ______ порядке.
номер счета	Два шага для открытия счета — это написание названия счета и _______.
итого	Отдельные суммы в столбцах специальных сумм разносятся как _____.
индивидуально	Разносятся отдельные суммы в столбцах общих сумм ______.
опубликовано	Флажок в скобках под итоговой суммой в столбце «Общий дебет» означает, что сумма составляет _____.

Кроссворд для бухгалтеров

1. Характеристика
2. СТОЛЕТНИЙ ОТЧЕТ

Упражнение для ума.

ПО РОБЕРТУ ТИ

{:еще}

{timeSince}

{/если} {@if cond = «{isCGMA}»} {:еще} {/если} {/.}

ПО 1 Надежные консультанты 5 Историческое пенсионное право 10 Кутюрье Cassini 14 Торжественное обещание 15 Boca _____ 16 Римский прелат 17 Джин сливовый 18 Экспресс 19 Исламский правитель 20 Принцип 22 Отдача 23 Ингредиент сакэ 24 Британский подготовительная школа 26 ____ Исследователь, прославленный среди детей 28 Группа самопомощи 30 Закрыть 32 Причина 36 Маленький напиток 38 Электронный компонент 41 Восклицание удивления 42 Порока 44 Отшельник 46 Аббревиатура в конце страницы 47 _____ -ski 49 Полуостров Юго-Восточная Азия 51 Собственник 52 Упаковано 54 Мелкая ссора 56 Младший отец 57 Инвестиционная компания в сфере недвижимости 59 Snare 61 Шпагат 64 Мальчики Джеффа Дэвиса 67 Скорбная песня 70 Хранитель рабочего места 71 Расширенная период 73 Внешний вид 74 Поэтические ритмы 75 Ливанское дерево 76 Деревянные духовые 77 Геральдические символы 78 Зубцы 79 Сильно рвать	ВНИЗ 1 Оценка товара или услуги приобретено 2 Защитное пространство 3 Исправить 4 Постельное белье 5 Геологическая мера времени 6 Конкурс 7 Индивидуальная деталь 8 Звук 9 Оппенгеймер расколол одну 10 Гранд в стиле 11 Аббревиатура объявления о подержанной машине 12 Повествовательная поэма 13 Играл офицер и кавалер 21 ____ линия 25 Застежка 27 Scot Rob 28 Индийский чай регион 29 Форест КПЕС ассоциация 31 Ткачество машина 33 Устройство Джобса 34 Вторая планета 35 Ароматно-химический состав 37 Роль 39 Основа наследственности 40 Длинная рыба 43 Заказники 45 Поглощено 48 Эдвард Г.Словесный тик Робинсона 50 Единица длины 53 Метод распределения затрат 55 Адапт 58 Палатка 60 Исследование 61 Вы читаете 62 Звонящий в службу поддержки 63 Не мы 65 Авгур 66 Джазовый вокальный стиль 68 Запугиватель 69 Добывается с трудом 72 Король или королева
Нажмите здесь, чтобы разгадать головоломку решение.

Финансовый кроссворд | продвинутая игра в английские слова

Продвинутый ресурсы EFL уровня: игры в слова и кроссворды

Деньги нужны всем; без него очень сложно обойтись.И деньги мы все используем каждый день. Финансовая лексика предназначена не только для финансисты и экономисты; это для вас — студентов, туристов, работодатели и сотрудники. Так что проверьте свой финансовый словарный запас с помощью этого тематический словарный кроссворд.

КЛЮЧ ПО

1. Название британской валюты.

3. Направление, в котором, кажется, всегда движутся цены.

9 Закон об уменьшении международной стоимости валюты.

10. Проверка счетов компании.

12. Отрицательный остаток денег

13. Примите меры.

16. Мужчина (или женщина), работающий в банке.

19. Ссуженные деньги.

20. Торговля.

21. Круглосуточно.

22. Бандиты могут захотеть ______ банк.

23. Американское слово для обозначения банкнот

КЛЮЧ ВНИЗ

2. Список цен.

3. Если вы «в _____», у вас отрицательный сумма денег на вашем банковском счете..

4. Деньги, размещенные для получения процентов.

5. Ценный металл.

6. Деньги, которыми можно пользоваться, хотя на самом деле их может и не быть.

8. Единица британской валюты.

11. Национальный «___________»: финансовая система страны и ее функционирование.

14. Уменьшить

15. На нем портрет Джорджа Вашингтона.

16. Тип финансового холдинга — но делать нечего с 007.

17.Улица, на которой расположена фондовая биржа США.

18. Деньги, взимаемые юристами или другими специалистами за услуга или совет.

Авторские права уведомление.
Авторские права на этот документ принадлежат © Linguapress 2015.
Его нельзя воспроизводить на других веб-сайтах или в печатной форме для распределение.
Он может быть распечатан для индивидуального использования или для учителей с их классы.
В школы, объявляющие источник скопированных материалов национальному агентство авторских прав, кроссворды и ресурсы продвинутого уровня Linguapress следует отнести к «Спектруму» как к источнику и к «Linguapresss» Франция «как издатель.
Multicopiage en France: en cas de declaration CFEDC par l’établissement, документ с атрибутом à «Spectrum», автор «Linguapress». Нажмите здесь для решения (но сначала решите головоломку!)

Как создать собственное взаимодействие кроссворда в Storyline 360 ​​

Поскольку мы продолжаем адаптироваться к меняющейся рабочей среде в эти непредсказуемые времена, одно можно сказать наверняка: обучение развивается. Электронное обучение становится все более распространенным, чем когда-либо, поскольку профессионалы стараются быть в курсе знаний и навыков, необходимых для работы и лицензий, в то время, когда личное обучение просто невозможно.

В GAAP Dynamics мы знаем, насколько важно обучение и как хорошее обучение приводит к тому, что сотрудники становятся более счастливыми и лучше справляются со своей работой, что в конечном итоге экономит время, деньги и ошибки организации. Наша компания была основана почти 20 лет назад на основе идеи, что обучение бухгалтерскому учету может и должно быть информативным и развлекательным, и это понятие нашло отражение и в наших курсах электронного обучения. Мы стремимся сделать все наши тренировки максимально интерактивными и увлекательными, независимо от их формы.Один из способов достижения этого в наших курсах электронного обучения — создание пользовательских взаимодействий в Storyline 360. Недавно у меня появилась возможность создать собственный кроссворд, где учащийся читает подсказки на экране, а затем заполняет головоломку по буквам. письмо для завершения ответных слов и фраз. Отправив свои ответы, они получают обратную связь, основанную на том, правильно ли они выполнили упражнение.

Хотите знать, как мне это удалось? В этом посте я расскажу обо всех шагах, которые я предпринял (на упрощенном примере), чтобы вы могли создать свой собственный кроссворд в Storyline.

Шаг 1. Придумайте слова (и подсказки!), Которые потребуются вашему учащемуся для заполнения этого слайда. Затем используйте онлайн-генератор кроссвордов, подобный этому, чтобы облегчить себе задачу при создании головоломки в Storyline.

Шаг 2. Теперь, когда у вас есть руководство по тому, как должна выглядеть ваша головоломка, откройте пустой слайд в файле Storyline и вставьте подсказки и инструкции. Не забудьте указать учащемуся, какие слова идут поперек, а какие — вниз! Вам также потребуется создать кнопку «Отправить» с двумя связанными слоями: «Верно» и «Неправильно».

Шаг 3. Теперь, когда у вас есть остальная часть слайда, пора приступить к решению головоломки! Вставьте поле ввода текста, выбрав «Вставка»> «Ввод»> «Ввод данных». Измените размеры так, чтобы поле было идеальным квадратом (в этом примере я сделал свое 80 пикселей на 80 пикселей, но в зависимости от размера вашего слайда и количества слов в головоломке вы можете сделать свое любого размера, который вам нравится! ). Затем назовите поле ввода текста, чтобы его было легче идентифицировать при создании триггера.Я назвал свое имя буквой и словом, которому оно соответствовало — поэтому, если буква, которую предполагалось ввести в это поле, была «C», что означает «Корова», я назвал поле «C Cow».

(Подсказка: гораздо проще отслеживать свою работу, если вы перейдете в «Управление переменными проекта» и переименуете встроенные переменные по мере работы! Как вы можете видеть на видео выше, я переименовал встроенную переменную для это поле ввода текста от «TextEntry» до «C_Cow».)

Шаг 4. Теперь пора назначить триггеры и переменные! Как упоминалось ранее, вы заметите, что с каждым новым полем ввода текста, которое вы добавляете, появляется триггер, в котором говорится: «Установите TextEntry равным введенному значению, когда C Cow теряет фокус.Это означает, что встроенная переменная («TextEntry», пока я не изменил имя на «C_Cow») для каждого поля ввода текста будет установлена ​​на любую букву, которую набирает учащийся после того, как наберет ее и щелкнет в другом месте, кроме этого поля ввода текста. («C Cow»).

Вам также потребуется создать триггер, который говорит: «Показать уровень . Исправить , когда пользователь нажимает . Отправить , если C_Cow = значение C (без учета регистра). Используйте параметр «игнорировать регистр» на панели «Условия», если не имеет значения, набирает ли учащийся заглавными или строчными буквами.Этот триггер сообщает Storyline показывать правильный слой, если пользователь вводит правильный ответ.

Шаг 5. Затем создайте остальные поля ввода текста, используя тот же процесс, который описан в шагах 3 и 4, следуя руководству, которое вы сделали на шаге 1. Вы также можете скопировать и вставить первое, созданное для ускорения. вверх по процессу, но не забудьте переименовать поля ввода текста и встроенные переменные! Вам также необходимо будет добавить новое условие к триггеру, созданному вами на кнопке «Отправить» для каждого нового поля ввода текста.Ваш триггер должен в конечном итоге выглядеть так, как на изображении справа.

(Подсказка: внесите любые изменения форматирования в поле ввода текста перед копированием и вставкой, чтобы еще больше сократить время программирования! Я изменил шрифт, сделал текст немного больше и изменил выравнивание текста по центру. Вы также можно изменить цвет заливки и контура поля ввода текста, чтобы оно больше походило на традиционный кроссворд!)

Шаг 6. После того, как вы создали все поля ввода текста и добавили каждое из условий в триггер на кнопке отправки, вам нужно будет скопировать этот триггер и внести следующие изменения: Измените слой с «Правильно» на «Неверно» »И измените знак равенства на« не равно »для каждого условия. Вам также нужно будет заменить каждое «и» на «или» на панели условий. Это сообщает Storyline о том, что если пользователь вводит неправильную букву, отображать неверный слой вместо правильного.

Шаг 7. Тестировать, тестировать, тестировать! После того, как вы внесете все необходимые изменения в форматирование, пора предварительно просмотреть свой кроссворд и убедиться, что он работает!

Поздравляем! Теперь вы знаете, как создать свой собственный кроссворд в Storyline. Если вы воссоздали это взаимодействие или создали свой собственный кроссворд другим способом, давайте пообщаемся в комментариях! Я уже придумываю способы улучшить это взаимодействие в следующий раз, когда создам его … Недавно я видел пример, где учащийся вводит свой ответ в одно текстовое поле, а затем каждая буква из его ответа заполняется в отдельном поле на экране (если был введен правильный ответ), когда пользователь нажимает кнопку «Отправить».Это было бы отличным способом подстроить процесс под более сложные головоломки, чтобы учащемуся не приходилось вводить каждую букву в ее собственное уникальное поле!

Хотите увидеть эту головоломку в действии? Обязательно ознакомьтесь с нашим курсом «Основы банковской индустрии: обзор отрасли», который скоро будет на пороге Революции!

О GAAP Dynamics

Мы — ДРУГОЙ тип фирмы по обучению бухгалтерскому учету. Мы не рассматриваем обучение как упражнение для «галочки», а скорее как возможность дать вашим сотрудникам возможность помочь им принимать правильные решения в нужное время.Будь то обучение по ОПБУ США, обучение по МСФО или аудиторское обучение, с 2001 года мы помогли тысячам профессионалов. Среди наших клиентов — одни из крупнейших бухгалтерских фирм и компаний в мире. Как ученики на протяжении всей жизни, мы считаем, что обучение важно. Как CPA, мы считаем, что отличное обучение жизненно важно для хорошего выполнения вашей работы и поддержания общественного доверия. Мы хотим помочь вам разобраться в сложных бухгалтерских вопросах и считаем, что вы заслуживаете лучшего в мире обучения, независимо от того, работаете ли вы в крупной международной компании или в небольшой региональной бухгалтерской фирме.Мы с энтузиазмом создаем качественные тренинги, которые мы хотели бы пройти. Это означает, что он точный, актуальный, привлекательный, визуально привлекательный и забавный. Это обещание нашего бренда. Хотите узнать больше о том, как GAAP Dynamics может вам помочь? Давайте поговорим!

Заявление об ограничении ответственности

Этот пост опубликован для распространения любви к GAAP и предоставлен только в информационных целях. Несмотря на то, что мы являемся CPA и прилагаем все усилия для обеспечения фактической точности сообщения на дату его публикации, мы не несем ответственности за ваше полное соответствие стандартам бухгалтерского учета или аудита, и вы соглашаетесь не возлагать на нас ответственность за это.Кроме того, мы не несем ответственности за обновление старых сообщений, но можем делать это время от времени.

Новостных аккаунтов Кроссворд | Поиск страниц входа

Аккаунты новостей

Кроссворд crosswordtracker.com Подробнее ››

Аккаунты новостей — это разгадка кроссворда . Подсказка: Аккаунты новостей . Новостные аккаунты — это кроссворд, разгадка головоломки, который мы заметили 1 раз. Есть связанные подсказки (показаны ниже).

49 Люди Использовали Посетите Вход ›› Срок действия: март 2022 г.

НОВОСТИ АККАУНТА

Решение ultimatesuccesspuzzle.com Подробнее ››

Новостной аккаунт — Пазлы Кроссворд Подсказка. Мы нашли 1 ответов на подсказку « Аккаунт новостей ». Попробуйте найти несколько букв, чтобы вам было легче найти решение. Если у вас есть другой ответ, было бы любезно добавить его в наш словарь кроссвордов . Длина подсказки

62 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: февраль 2022 г.

Аккаунт новостей

Подсказка кроссвордов.com Подробнее ››

Подсказка: Аккаунт новостей . Новостной аккаунт представляет собой разгадку кроссвордов, разгадку, которую мы заметили 1 раз. Есть связанные подсказки (показаны ниже).

50 человек Использовали Посетите Вход ›› Срок действия: февраль 2022 г.

НОВОСТИ АККАУНТА

‘УЧЕТНАЯ ЗАПИСЬ the-crossword-solver.com Подробнее ››

«АККАУНТ НОВОСТЕЙ» — это фраза из 13 букв, начинающаяся с А и заканчивающаяся S. Ключи к кроссвордам. для «АККАУНТ НОВОСТЕЙ» Синонимы, ответы на кроссворды и другие похожие слова для АККАУНТА НОВОСТЕЙ [отчет] Мы надеемся, что следующий список синонимов к слову «отчет» поможет вам разгадать кроссворд сегодня.

61 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: май 2022 г.

Рассказы, аккаунты Кроссворд Clue, Crossword Solver

Кроссворд wordplays.com Подробнее ››

The Crossword Solver нашел 20 ответов на истории, кроссвордов подсказки. Crossword Solver находит ответы на кроссворды в американском стиле, кроссворды в британском стиле, общие кроссворды и загадочные кроссворды головоломки. Введите длину ответа или образец ответа, чтобы получить лучшие результаты.Щелкните ответ, чтобы найти похожих кроссворда, подсказок.

66 человек использовали Посетите Войти ›› Срок действия: январь 2022 г.

Ежедневные кроссворды бесплатно от The Washington Post

Таймер washtonpost.com Подробнее ››

Добро пожаловать в Вашингтон Пост Кроссворды! Нажмите «Печать» в верхней части доски головоломки, чтобы сыграть в кроссворд ручкой и бумагой. Чтобы поиграть с другом, выберите значок рядом с таймером в верхней части экрана.

62 Используемые люди Посетите Вход ›› Срок действия: апрель 2022 г.

Кроссворд

Судоку nytimes.com Подробнее ››

Играть в Daily New York Times Кроссворд , отредактированный Уиллом Шортцем онлайн. Попробуйте бесплатные игры NYT, такие как Mini Crossword , Ken Ken, Sudoku…

42 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия истекает: март 2022 г.

Истории аккаунты разгадка кроссворда

Кроссворды. Pageanswers.com Подробнее ››

историй, аккаунтов кроссвордов, подсказок размещены на нашем сайте. Кроссворды Puzzle Page выделяются как очень уникальные и умные во всем жанре.Эти кроссворды созданы, чтобы усложнить вашу игру со словами. Не нужно подчеркивать цель игры, вам просто нужно заполнить белые квадраты…

71 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: январь 2022 года

Играть в кроссворды USA Today

Пазлы puzzles.usatoday.com Подробнее ››

Играть в головоломки USA Today’s Crossword . Кроссворд — это веселая и увлекательная бесплатная онлайн-игра. Играйте в нее и другие головоломки USA Today!

61 человек воспользовался посещением Войти ›› Срок действия: март 2022 г.

Ежедневный кроссворд Newsday

Сообщение дня новостей.com Подробнее ››

All Puzzles Проверьте свои знания и решите Кроссворд Newsday , отредактированный Стэнли Ньюманом. Получите наши ежедневные и воскресные Кроссворды . F.A.Q .. Прочтите сообщение от…

82 Пользователи Использовали Посетить Вход ›› Срок действия: февраль 2022 г.

Аккаунты разгадка кроссворда

Кроссворд nytimescrossword.org Подробнее ››

На этой странице вы найдете решение кроссворда подсказки кроссворда подсказки.Эту подсказку в последний раз видели 3 июня 2019 года в газете New York Times Crossword . Если у вас есть другие вопросы или вам нужна дополнительная помощь, свяжитесь с нами или воспользуйтесь окном поиска / календарем для любой подсказки.

65 Люди Использовали Посетите Вход ›› Срок действия: март 2022 г.

Аккаунты Обзор Кроссворд Clue and Solver

Ежедневно crosswodsolver.com Подробнее ››

Система CroswodSolver.com нашла 25 ответов для аккаунтов обзора кроссворда подсказки.Наша система собирает кроссвордов, подсказок из самых популярных, кроссвордов, , загадочные головоломки, быстрые / маленькие кроссвордов, , которые можно найти в Daily Mail, Daily Telegraph, Daily Express, Daily Mirror, Herald-Sun, The Courier-Mail, Dominion Post и многие другие популярные газеты.

69 Людей Использовали Посетите Вход ›› Истекает: Январь 2022 г.

Истории Счета связанных событий Кроссворд Clue и

Ежедневно crosswodsolver.com Подробнее ››

The CroswodSolver.com система нашла 25 ответов на истории аккаунтов связанных событий кроссвордов подсказки. Наша система собирает кроссвордов, подсказок из самых популярных, кроссвордов, , загадочные головоломки, быстрые / маленькие кроссвордов, , которые можно найти в Daily Mail, Daily Telegraph, Daily Express, Daily Mirror, Herald-Sun, The Courier-Mail, Dominion Post и многие другие популярные газеты.

91 человек использовал Посетите Войти ›› Срок действия истекает: июнь 2022 г.

Yahoo News

Последние новости.yahoo.com Подробнее ››

Последние новости и заголовки Yahoo! Новости . Получайте последние новостей, историй и подробное освещение с видео и фотографиями.

38 Людей Использовано Посетить Вход ›› Срок действия: декабрь 2022 г.

Аккаунты

ответы crosswordclues.com Подробнее ››

Мы нашли 5 ответов на « счетов ». На этой странице показаны ответы на подсказку Аккаунты . Счета можно определить как «Все операционные органы». Счета представляют собой отчет о прибылях и убытках «Отчет о прошлом финансовом положении организации».Синоним счетов — бюджет.

60 Людей Использовали Посетите Войти ›› Срок действия истекает: Август 2022 г.

НОВОСТИ

слов the-crossword-solver.com Подробнее ››

Синонимов, кроссворда ответов и другие похожие слова для НОВОСТИ Мы надеемся, что следующий список синонимов к слову новости поможет вам закончить свой кроссворд сегодня. Мы упорядочили синонимы по длине, чтобы их было легче найти.3-буквенные слова RAG 4-буквенные слова DIRT — DOPE — INFO — NEWS — POOP — TALK — WORD 5-буквенные слова

63 Люди использовали Вход в систему ›› Срок действия: апрель 2022 г.

Crossword newsdaycrosswordanswers.com Подробнее ››

Newsday Кроссворд Головоломка — очень занимательная и популярная головоломка кроссворд , в которую каждый день играют миллионы людей по всему миру. кроссворд доступен для игры онлайн 7 дней в неделю и редактируется Стэнли Ньюманом.Этот веб-сайт был запущен с единственной целью помочь вам с любыми […]

54 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: февраль 2022 г.

Игры: Кроссворды, Судоку, Маджонг

Anchorage adn.com Подробнее ››

Работодатели Анкориджа имеют рабочие места, но мало соискателей, поскольку экономика набирает обороты. Куда ушли рабочие?

65 Людей Использовали Посетите Вход ›› Истекает: Май 2022 г.

Обзоры (аккаунты) Кроссворды Ответы на Кроссворды, Решатель Кроссвордов

Кроссворд кроссворд.com Подробнее ››

Этот кроссворд Обзоры подсказок ( аккаунтов ) в последний раз были обнаружены 28 августа 2020 года в NZ Herald Crossword . Кроссворд Возможный ответ доступен в 6 буквах. Это ответы, первая буква которых начинается с А и находится в конце S.

61 Люди использовали Визит Войти ›› Срок действия: сентябрь 2022 г.

Новости

Найдено crosswordclues.com Подробнее ››

Мы нашли 11 ответов на запрос « Новости ».На этой странице показаны ответы на подсказку Новости , за которыми следуют десять определений, таких как «(n) Носитель новостей », «Отчет о недавнем событии» и «Новая информация любого рода». Синонимы для Новости это, например, общение, отчет и еженедельно. Больше синонимов можно найти под ответами на головоломки.

61 человек Использовал Посетить Войти ›› Срок действия: апрель 2022 г.

Аккаунт новости Crossword Clue

Ответов / ответов crosswordbuzz.com Подробнее ››

Кроссворд подсказка ‘ Учетная запись из новостей ‘ опубликована 10 раз / и имеет 1 уникальный ответ / в нашей системе.Посмотрите ответы «Irish Times Simplex» на СЕГОДНЯ!

73 Люди Использовали Посетите Войти ›› Срок действия истекает: Апрель 2022 г.

Играйте в кроссворды и игры СЕГОДНЯ США

Игры puzzles.usatoday.com Подробнее ››

Сыграйте в кроссворда, головоломок и игр из США СЕГОДНЯ! Кроссворд — это веселая и увлекательная бесплатная онлайн-игра. Играйте в эту и другие игры Пазлы США СЕГОДНЯ сегодня!

52 Пользователей Посетили Вход ›› Срок действия: март 2022 г.

Пазлы и кроссворды

Пазлы theglobeandmail.com Подробнее ››

Играйте и испытайте себя с помощью разнообразных головоломок The Globe и Mail , таких как кроссворд , , судоку и другие головоломки, в том числе наш ежегодный гигантский кроссворд

79 Люди использовали Визит Войти ›› Истекает: Февраль 2022 г.

Daytona Beach News Journal: Местные новости, политика и спорт

Daytona news-journalonline.com Подробнее ››

Получите последние последние новости , спорт, развлечения и некрологи в Дейтона-Бич, Флорида из Дейтона-Бич Новости — Журнал.

60 человек использовали Посетите Вход ›› Срок действия: февраль 2022 г.

США СЕГОДНЯ: Последние новости мира и США

Технологии usatoday.com Подробнее ››

USA TODAY предоставляет текущие местные и национальные новости , спорт, развлечения, финансы, технологии и многое другое с помощью отмеченной наградами журналистики, фотографий, видео и VR.

51 человек Используется Посетить Вход ›› Срок действия: май 2022 г.

Моя учетная запись

Управление myaccount.buffalonews.com Подробнее ››

Управляйте всеми данными учетной записи в одном месте.

61 человек использовал Посетить Войти ›› Срок действия: декабрь 2022 г.

Ежедневный кроссворд в Лос-Анджелесе Бесплатная онлайн-игра Chicago Tribune

Кроссворд fun.chicagotribune.com Подробнее ››

Одна из самых увлекательных головоломок Los Angeles Times Daily Crossword Puzzle предлагает широкий словарный запас и культурные подсказки, а также немного юмора и игры слов.Этот кроссворд, выполненный в классическом стиле, с каждым днем ​​становится все сложнее. Наслаждайтесь головоломкой LA Times Daily Crossword прямо сейчас.

99 Людей Использовали Визит Войти ›› Срок действия: сентябрь 2022 г.

Ежедневный кроссворд от The Denver Post

Ежедневно denverpost.com Подробнее ››

Играйте в ежедневный кроссворд на The Denver Post.

78 Людей Использовали Посетите Вход ›› Срок действия истекает: Март 2022 г.

Бухгалтерский учет кроссвордов Викторина Free Practice My

Пазлы мой бухгалтерский курс.com Подробнее ››

Инструкции. Кроссворды — отличный способ проверить свои бухгалтерские знания. Я придумал эти головоломки, чтобы их было легко использовать. Просто щелкните слово, которое хотите решить.

101 человек Использовали Посетите Вход ›› Срок действия: март 2022 г.

Кроссворд

Последние новости wsj.com Подробнее ››

Последнее из « кроссворда » в The Wall Street Journal. Новости Corp — глобальная диверсифицированная компания, предоставляющая средства массовой информации и информационные услуги, ориентированная на создание и распространение авторитетных и привлекательных пользователей.

71 человек Используется Посетить Вход ›› Срок действия: сентябрь 2022 г.

Бесплатный ежедневный словарь кроссвордов.com

Crossword dictionary.com Подробнее ››

Онлайн Кроссворд Пазлов. Играйте в ежедневный кроссворд от Dictionary.com, расширяйте словарный запас и улучшайте свои языковые навыки. Учите новые слова и тренируйтесь в решении задач, играя в ежедневную головоломку кроссворд . Используйте кроссворд от Dictionary.com, чтобы…

71 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: апрель 2022 г.

Daily Crossword

Ежедневные игры.newsobserver.com Подробнее ››

Ежедневно Кроссвордов игрокам также нравится: Больше игр. Увидеть все. Word Wipe. Outspell. Ежедневная головоломка. Судоку Daily. Лучшие результаты. Сегодня. На этой неделе. Этот месяц. Ежедневно Кроссворд . Лучший бесплатный онлайн кроссворд новенький, каждый день. Карандаш и ластик не требуются! Рекламное объявление. Войдите, чтобы сохранить свои результаты. Рекламное объявление.

86 Людей Использовали Посетите Вход ›› Истекает: Май 2022 г.

Моя учетная запись Вход в систему

Аккаунт myaccount.dallasnews.com Подробнее ››

Для активации ваших цифровых преимуществ. СОЗДАТЬ АККАУНТ ; С вашим аккаунтом новостей Dallas Morning вы можете. Сообщите о проблеме с доставкой. Запланируйте остановку в отпуске. Войти…

78 Людей Использовали Посетите Вход ›› Срок действия: июнь 2022 г.

Ежедневный кроссворд Merriam Webster

Подсказки merriam-webster.com Подробнее ››

Решите подсказки, чтобы получить ответы с подсказками и темами, обновляемыми ежедневно.Возвращайтесь каждый день, чтобы получить новый вызов для кроссвордов, фанатиков и других любителей словесных головоломок.

103 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: сентябрь 2022 г.

__ аккаунт разгадывать кроссворд

Кроссворд nytimescrossword.org Подробнее ››

На этой странице вы найдете решение __ кроссворда подсказки кроссворда подсказки. В последний раз эту подсказку видели 11 августа 2019 года в газете New York Times Crossword .Если у вас есть другие вопросы или вам нужна дополнительная помощь, свяжитесь с нами или воспользуйтесь окном поиска / календарем для любой подсказки.

91 человек Используется Посетить Вход ›› Срок действия: май 2022 г.

Содержание учетной записи разгадка кроссворда

Thomas jumbleanswers.com Подробнее ››

Ниже вы найдете все содержимое учетной записи кроссворд подсказки ответов и решения для Томаса Джозефа кроссворд 26 сентября 2020 ответы. В случае, если что-то не так или отсутствует, пожалуйста, дайте мне знать, и я буду более чем счастлив помочь вам с правильным решением для каждой разгадки кроссворда Томаса Джозефа.

95 Людей Использовали Посетите Вход ›› Срок действия: Январь 2022 г.

Аккаунты

К оплатеНиже crossword-solver.io Подробнее ››

Кроссворд Подсказка Кроссворд Подсказка Аккаунты __ с 7 буквами последний раз видели 17 мая 2020 г. Мы думаем, что вероятным ответом на эту подсказку является ВЫПЛАТА. Ниже приведены все возможные ответы на эту подсказку, отсортированные по рангу . Вы можете легко улучшить свой поиск с помощью…

83 Люди использовали Посетите Войти ›› Срок действия истекает: август 2022 г.

Журналы кроссвордов и головоломок Lovatts или игра в Интернете

Пазл lovattspuzzles.com Подробнее ››

Купите свой любимый кроссворд Lovatts , и журналы головоломок из любой точки мира. Приобретайте названия по отдельности или ознакомьтесь с нашими пакетами и сэкономьте! Все журналы посещают магазин. Стол Кристины. Сделайте перерыв за столом Кристины. Здесь вы найдете популярную ежемесячную колонку «Hello» Кристины, пазл , новости , разговоры о словах, учебные пособия по головоломкам и многое другое

66 Людей Используется Посетить Вход ›› Срок действия: август 2022 года

Аккаунт

Приложение myaccount.nytimes.com Подробнее ››

Приложение для управления подписками на NYT

73 Люди использовали Визит Войти ›› Срок действия: июль 2022 г.

Аккаунт разгадка кроссворда

Решение nytcrosswordsolver.com Подробнее ››

Мы нашли 1 возможное решение для кроссворда Учетная запись подсказка: ВОЗМОЖНЫЙ ОТВЕТ: ОПИСАНИЕ На этой странице вы найдете решение кроссворда Учетная запись подсказка. Эту подсказку в последний раз видели в New York Times. Кроссворд, , 17 мая 2020 г. Ответы. Если подсказка не подходит или что-то не так, свяжитесь с нами.Вы нашли […]

102 Людей Использовали Посетите Вход ›› Срок действия: февраль 2022 г.

Sheffer Crossword

Sheffer games.charlotteobserver.com Подробнее ››

Sheffer Crossword Головоломка понравится игрокам всех возрастов и способностей. Этот ежедневный кроссворд увеличивает силу слов и умственную ловкость.

102 Пользователей Посетили Вход ›› Срок действия истекает: июль 2022 г.

На счету

Ответ английский кроссворд.com Подробнее ››

На этой странице найдете решение на кроссворд на аккаунте подсказка. Просто нажмите на подсказку, опубликованную в Universal Crossword 14 апреля 2019 года, и мы представим вам правильный ответ. Если есть вероятность, что мы упустили ответ, который вы ищете, не стесняйтесь обращаться к нам, и мы свяжемся с вами в ближайшее время Кроссворды — отличный способ сохранить вашу память

93 Люди использовали Посетить Логин ›› Срок действия: май 2022 г.

Нет аккаунтов

Ответ английский кроссворд.com Подробнее ››

На этой странице найдете решение № счета кроссворда разгадка. Просто нажмите на подсказку, опубликованную в Universal Crossword 27 июня 2017 года, и мы представим вам правильный ответ. Если есть вероятность, что мы упустили ответ, который вы ищете, не стесняйтесь обращаться к нам, и мы свяжемся с вами в ближайшее время Кроссворды — отличный способ сохранить вашу память…

90 Люди использовали Посетите Вход ›› Истекает: Январь 2022 г.

* Трагические аккаунты Crossword Clue

Ответы на кроссворд.com Подробнее ››

Кроссворд clue » * Tragic accounts » опубликовано 1 раз / сек и имеет 1 уникальный ответ / в нашей системе. Ознакомьтесь с ответами «Вашингтон пост воскресенье» на СЕГОДНЯ!

92 Люди Использовали Посетите Вход ›› Срок действия истекает: Январь 2022 г.

* Tragic Accounts

SadstoriesBelow crossword-solver.io Подробнее ››

Кроссворд Подсказка Кроссворд Подсказка * Трагические аккаунты с 10 буквами в последний раз видели 9 мая 2021 года.Мы думаем, что вероятным ответом на эту подсказку являются печальные истории. Ниже приведены все возможные ответы на эту подсказку, упорядоченные по ее рангу. Вы можете легко улучшить свой поиск,…

96 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: июнь 2022 г.

The Crossword Stumper

Разработано nytimes.com Подробнее ››

1 день назад · Взгляните на одну из записей, которые обманули решателей в головоломках на прошлой неделе. Автор Isaac Aronow STARCRAFT — это серия стратегических игр в реальном времени, разработанная…

125 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: январь 2022 г.

Связанный поиск

Пожалуйста, оставьте свои комментарии здесь:

Глава 1 кроссворд правительство отвечает.глава 1 кроссворд ответы бухгалтерия

Кроссворды Раздел 2 Кроссворды — отличное средство для совместного обучения. Кроссворды в этом разделе имеют рейтинг. Кроссворд пропорции и проценты 1 2 3.

Глава кроссворда Ответы на этот кроссворд можно найти в Задании 1. Задание 3. Задание 7. Арденвудские кроссворды Ян Саутворт Цель: Эти задания по языковым искусствам предназначены для закрепления терминов и информации, включенной в три интерпретирующих материала.

Скачать бухгалтерский документ с ответами на кроссворд по главе 1. На этой странице вы можете прочитать или скачать главу 1 учет ответов кроссвордов в формате PDF. Ответы на этот кроссворд можно найти в разделе Ответы на этот кроссворд можно найти в разделе Ответы — Woolwise com Задание 1. Предлагаемый документ Geografie Graad 11 Vraestelle En Memorandums Geografie Graad 12 Vraestel Memorandums Geografie Graad 12 Take Geografie Graad 11 Navorsings Taak Geografie Eksamen Vra Graad 11 Случайный документ лицей колледж предыдущий вопросный лист ecd уровень 4 класс 4 модуль 1 урок 3 мой библиотекарь — верблюд вдохновение речи для студентов pdf постэкзаменационные документы и меморунд география скачать рисунок здания n1 сданные экзаменационные документы подготовительный экзамен и надзорное руководство учебное пособие n4 основная учебная программа вводные навыки ремесла ответы nccer.

Если вы не нашли ничего интересного для вас, воспользуйтесь формой поиска ниже: Find.Chapter 1 dictionary Crossword. Авторизоваться. Наиболее распространенным, но не единственным средством политического участия в демократии является голосование. Другие способы включают протест и гражданское неповиновение. В Соединенных Штатах выборы, политические партии и группы интересов являются тремя основными. См. Также права меньшинств. Гиперплюрализм — это крайняя, преувеличенная или извращенная форма плюрализма.

Сравните теорию элит и классов, плюралистическую теорию и традиционную демократическую теорию.Политика — это курс действий, предпринятый в отношении некоторой проблемы. Сравните гиперплюрализм, плюралистическую теорию и традиционную демократическую теорию.

Dmr codeplug editor

Одной из основных причин сравнительно небольших масштабов американского правительства является выдающееся положение этой веры в американской политической мысли и практике. Эти особенности отличают их от традиционных групп интересов. Сравните теорию элит и классов, гиперплюрализм и традиционную демократическую теорию.

В результате ничего нельзя сделать.Конституция США установила три из них: Конгресс, президентство и суды.

Сегодня власть бюрократии настолько велика, что большинство политологов считают ее четвертью. Создайте свой собственный кроссворд бесплатно! Показывать ошибки при вводе. Ищите подсказки, синонимы, слова, анаграммы или, если у вас уже есть несколько букв, введите их здесь, используя вопросительный знак или точку, вместо тех, которых вы не знаете e. Определение правительства как акта управления; осуществление власти; «правила управления государственными тюрьмами»; «у него был значительный опыт управления» правительство — система или форма, с помощью которой управляется сообщество или другая политическая единица; «тираническое правительство» организация, которая является руководящей властью политической единицы; «правительство снизило налоги»; «дело было передано в вышестоящие инстанции».

Мы перечислили все подсказки из нашей базы данных, которые соответствуют вашему поисковому запросу. Также будет список синонимов для вашего ответа. Синонимы расположены в зависимости от количества символов, чтобы их было легко найти.

Если конкретный ответ вызывает большой интерес на сайте сегодня, он может быть выделен оранжевым цветом. Если в вашем слове есть анаграммы, они тоже будут перечислены вместе с определением слова, если оно у нас есть. Отсутствие конфиденциальности ссылки.

Спасибо, что посетили Решатель кроссвордов.Мы надеемся, что сайт окажется для вас полезным. С уважением, команда разгадывателей кроссвордов. Дополнительные подсказки, которые могут вас заинтересовать в колее, комфорт в беде, украшение свежая и необычная лодка с тремя корпусами, короткая содержательная поговорка, отношение, КОВРИРОВАНИЕ, непредубежденное сияние, устойчиво, сочувствие, плоскость, наушники, наушники, художник, нападение, заблудшая птица, затруднительное положение, контроль путешественника, красота, выученная, защищенная, изъятая, заливная, гарнир, задерживающая, ласковая, изогнутый меч, капитал. буйства литвы.

Мы упорядочили синонимы по длине, чтобы их было легче найти.Просмотрите и распечатайте поисковые запросы социальных исследований ниже. Вы также можете просматривать кроссворды по социальным наукам или создавать свои собственные кроссворды для поиска слов по социальным наукам.

Сравнение государственных и некоммерческих организаций с коммерческими организациями — Государственный учет — CPA

Они не проверялись на предмет соответствия или точности. Мы настоятельно рекомендуем вам убедиться, что головоломка по общественным наукам соответствует вашим стандартам, прежде чем использовать ее в классе.Ищете дополнительные занятия по общественным наукам? Создавайте свои собственные с помощью наших быстрых и простых рабочих листов, в том числе: Конфиденциальность очень важна для нас.

Все пользователи My Word Search, которые хотят, чтобы их головоломки оставались конфиденциальными, могут добавить пароль к своим головоломкам на экране головоломки при входе в систему. Ваш адрес электронной почты будет конфиденциальным и не будет передан третьим лицам. Все ваши головоломки доступны на вашей странице «Мои головоломки», к которой вы можете получить доступ, используя панель навигации вверху, когда вы вошли в систему.

После оплаты эта кнопка превратится в кнопку «Опубликовать», которая переведет вашу головоломку в формат, который можно распечатать или решить онлайн. Мы вложили средства в создание ряда дополнительных функций, которые бесплатные сайты не могут предложить: полная настройка стиля, редактирование головоломок с сохранением в процессе, возможность доступа к головоломкам с любого компьютера, лаконичный интерфейс без рекламы, возможность для друзей и коллег решать ваши головоломки в Интернете и быстрое реагирование на обнаруженные проблемы.

My Word Search — это самый дешевый сервис, который мы обнаружили, который предоставляет эти функции, и предназначен для людей, которые не удовлетворены тем, что могут предоставить бесплатные сайты.Сначала проверьте, не использовали ли вы другой адрес электронной почты для создания учетной записи. Ваш адрес электронной почты для входа — это адрес электронной почты, на который вы получили от нас приветственное письмо.

Если да, сообщите о проблеме ниже и укажите имя и последние четыре цифры на карте, которую вы использовали при регистрации. Если вы являетесь участником My Word Search и вас все еще просят об оплате, возможно, вы случайно создали вторую учетную запись. В вашей платной учетной записи будет указан адрес электронной почты, на который вы получили письмо с подтверждением подписки.

Если вы никогда не получали такое электронное письмо или все еще не можете найти свою платную учетную запись, сообщите о проблеме ниже и укажите имя и последние четыре цифры на карте, которую вы использовали при регистрации. Вы можете отменить подписку на странице «Моя учетная запись», к которой вы можете получить доступ, используя панель навигации вверху, когда вы вошли в систему. См. «Как распечатать? Вместо того, чтобы пытаться возиться с настройками принтера, что может занять много времени и разочарований, вы можете попробовать несколько обходных путей.Ключ ответа — через: 4.

Общественная безопасность 8. Справочник. Наполеон Бонапарт. Национальное собрание.

Примеры обучения на основе авиационных сценариев

Вниз: 1. Гражданская конституция. Террор.

Отзывы о масле ладана

Конвенция. Все ссылки считаются релевантными и размещаются не только для получения прибыли. Покупка по этим ссылкам помогает поддерживать этот образовательный веб-сайт онлайн и бесплатно. 1 класс. 2-й класс. 3-й класс. 4-й класс. 5. класс. 6. класс. 7. класс. 8-й класс. История Америки.Формы посещаемости. Биографические рабочие тетради. Головоломки. Календари и планировщики. Организация класса. Путеводители по фильмам и книгам. Формы для учителей. Игры для обучения. Выставление оценок и оценка.

Графические органайзеры. Почерк. Исторические фигуры.

Поиск кроссвордов

Holidays and Fun.Magruder’s American Government. Перейти к основному содержанию. Районный дом. Выберите школу Выберите школу. Войти. Поиск по нашему сайту. Английский Бушонг, специальный редактор Джанель.

Как заменить картридж с тонером xerox workcentre 3215

Business Chronister, James Tech.Eck, Thomas Phys. Английский Etsweiler, William Tech. Ливельсбергер, Кристин Арт Людвиг, Б. Вайт, Анжела М. Исследования Йоос, Джоди Социальные исследования. Центральная средняя школа дофинов. Добро пожаловать в американское правительство! Наши уроки будут построены таким образом, чтобы способствовать большему взаимодействию и независимому исследованию.

Для предварительного просмотра того, что мы узнаем в этом году, вы можете просмотреть карту учебного плана округа. Вы можете получить доступ ко всему тексту онлайн! Зайдите на www. Щелкните Зарегистрироваться. На первом экране введите код доступа, соответствующий вашему периоду, см. Ниже.Следуйте инструкциям для регистрации; создать имя пользователя и пароль. Вам нужно будет использовать код доступа, созданный для вашего учебного периода.

One Clue Crossword Ответы на главу 1

Период 9. Глава 1 — Принципы государственного управления. Глава 1 Рабочий лист Заметки учащегося. Глава 1 Учебное пособие по основам. Глава 1 Словарь кроссвордов. Глава 1 Обзор Учебное пособие.

Глава 1 Наброски для учителей. Глава 1 Веб-сайт издателя онлайн-контента.Глава 2 — Истоки американского правительства. В этой главе мы кратко рассмотрим причины независимости Америки, чтобы лучше понять цели и мотивы наших отцов-основателей, прежде чем исследовать способы, которыми их видение продолжает формировать нашу национальную судьбу.

Рабочий лист по главе 2 Заметки для учащихся. Глава 2 Учебное пособие по основам. Глава 2 Обзор Учебное пособие.

Сетка T-6-12 Ответы

Глава 2 Наброски для учителей. Глава 2 Веб-сайт издателя онлайн-контента.Глава 1 Кроссворды Правительство — Чтобы вы могли разгадывать кроссворды, вам нужно начать с усвоения техник, чтобы подготовиться. Несколько полезных предметов, безусловно, — это словарь и тезаурус, чтобы вы не запутались в словах и фразах.

Другие предметы первой необходимости — отличная, острая как бритва ручка или два, а также ластик. Вы также захотите сесть за стол или рабочий стол в хорошо освещенном месте. Начните с общего изучения подсказок.Это дает вам отличное представление о тех простых и тех, которые могут вызвать некоторые проблемы.

Это также поможет вам пометить подсказки в соответствии с проблемой, просто сделав отметку о проверке с помощью подсказок, которые вы можете легко исправить, и обведя жесткие подсказки, которые вам, возможно, придется исследовать, чтобы вы могли исправить.

Htb openadmin walkthrough

Возможно, вы захотите почаще отдыхать и расслаблять свой мозг, особенно если вы решаете одну из нескольких больших головоломок. Исправляя кроссворды, вы быстро начнете разгадывать более сложные и длинные фразы и избавитесь от большинства проблем.Вы можете разбить задачу на блоки, поперек и прямо вниз, прежде чем дойдете до конца из списка подсказок.