Разное — Страница 2803 — Таловская средняя школа

Доказательства свойств модуля

☰

Существуют следующие свойства модуля действительных чисел:

1) |a + b| ≤ |a| + |b|;

2) |ab| = |a| × |b|;

3) , a ≠ 0;

4) |a – b| ≥ |a| – |b|.

Проведем доказательства, рассматривая различные случаи значений a и b.

Доказательство 1) |a + b| ≤ |a| + |b|:

Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с их значениями: |a| = a, |b| = b. Из этого следует, что |a + b| = |a| + |b|.

Если a – отрицательное число, а b – положительное число, то выражение |a + b| можно записать как |b – a|. Выражение же |a| + |b| равно сумме абсолютных значений a и b, что больше, чем b – a. Поэтому |a + b| < |a| + |b|.

Если b – отрицательное число, а a – положительное, то |a + b| принимает вид |a – b|, что также меньше суммы модулей |a| + |b|.

Если a и b – отрицательные числа, то получим |–a – b|. Результат этого выражения равен |a + b| (т. к. |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b|). Но уже было доказано, что |a + b| = |a| + |b|, следовательно и |–a – b| = |a| + |b|.

Доказательство 2) |ab| = |a| × |b|:
Здесь, в отличие от сложения, рассматривать все случаи особо не требуется, т. к. абсолютное значение произведения любых чисел (положительных ли, отрицательных ли) не зависит от знаков множителей. В выражении |ab| мы сначала перемножаем числа, а потом «отбрасываем» знак (отрицательный, если он есть), в выражении |a| × |b| сначала избавляемся от знаков, а потом перемножаем. Но от того, в какой момент был взят модуль (до или после умножения), не зависит абсолютное значение произведения.

Доказательство 3) , a ≠ 0:

Если a – положительное число, то |a| = a и, следовательно, доказываемое равенство верно, т. к. и правая и левая части равны 1/a.

Если a – отрицательное число, то имеем . Взятие модуля в обоих выражениях приведет к делению единицы на абсолютное значение a. 2-1}{4}d$. Равенство в нем достигается, когда $a_1 = \ldots = a_m \lt a_{m+1} = \ldots = a_{2m+1}$.

Поделиться ссылкой:

Похожее

Внеклассный урок — Модуль числа

Модуль числа

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5.

То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.

Обозначается так: |5|, |х|, |а| и т.д.

Правило:

|а| = а, если а ≥ 0.

|а| = –а, если а < 0.

Пояснение:

|5| = 5
Читается так: модулем числа 5 является 5.

|–5| = –(–5) = 5
Читается так: модулем числа –5 является 5.

|0| = 0
Читается так: модулем нуля является ноль.

Свойства модуля:

1) Модуль числа есть неотрицательное число:

|а| ≥ 0

2) Модули противоположных чисел равны:

|а| = |–а|

3) Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:

|а|² = a²

4) Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел:

|а · b| = |а| · |b|

6) Модуль частного чисел равен отношению модулей этих чисел:

|а : b| = |а| : |b|

7) Модуль суммы чисел меньше или равен сумме их модулей:

|а + b| ≤ |а| + |b|

8) Модуль разности чисел меньше или равен сумме их модулей:

|а – b| ≤ |а| + |b|

9) Модуль суммы/разности чисел больше или равен модулю разности их модулей:

|а ± b| ≥ ||а| – |b||

10) Постоянный положительный множитель можно вынести за знак модуля:

|m · a| = m · |а|, m >0

11) Степень числа можно вынести за знак модуля:

|а^k| = |а|^k, если а^k существует

12) Если |а| = |b|, то a = ± b

Геометрический смысл модуля.

Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа.

Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см.

На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.

Пример 1. Решить уравнение |х – 1| = 3.

Решение.

Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х:
х₁ = –2, х₂ = 4.

Можем и вычислить.

│х – 1 = 3
│х – 1 = –3

↕

│х = 3 + 1
│х = –3 + 1

↕

│х = 4
│ х = –2.

Ответ: х₁ = –2; х₂ = 4.

Пример 2. Найти модуль выражения:

3√5 – 10.

Решение.

Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность:

3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45

10 = √100.

Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля:

3√5 – 10 < 0.

Но согласно правилу, модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. У нас отрицательное выражение. Следовательно, надо поменять его знак на противоположный. Выражением, противоположным 3√5 – 10, является –(3√5 – 10). Раскроем в нем скобки – и получим ответ:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Ответ:

|3√5 – 10| = 10 – 3√5.

Модуль — сумма — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Модуль — сумма

Cтраница 1

Модуль суммы не может превзойти сумму модулей слагаемых. [1]

Модуль суммы двух или нескольких комплексных чисел не превосходит суммы модулей этих чисел. [2]

Модуль суммы двух или нескольких чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел. [3]

Модуль суммы индексов всех особых точек невырожденного векторного поля v степени т ( обозначается Ind v) не превосходит числа Петровского — — Олейник II ( т) и сравним по модулю 2 с числом и. Никаких других ограничений на Irul v не существует. [4]

Заменим модуль суммы в правой части ( 20) суммой модулей и потребуем выполнения полученного неравенства. В этом случае ( 20) будет выполняться автоматически. [5]

Докажите, что модуль суммы двух перемещений не превосходит суммы модулей составляющих перемещений. В каком случае модуль суммы равен сумме модулей слагаемых перемещений. [6]

Известно, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых. [7]

Доказать, что модуль суммы двух комплексных чисел не превосходит суммы модулей этих чисел. [8]

Установим теперь свойства модуля суммы и разности двух комплексных чисел. [9]

Теорема о том, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых, легко распространяется на случай абсолютно сходящихся рядов. [10]

Теорема о том, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых, легко распространяется на случай абсолютно сходящихся рядов. [11]

Поскольку разложить в ряд Фурье модуль суммы гармоник в общем виде нельзя, укажем, что при незначительных искажениях несущей выходной сигнал будет подобен детектированному. [12]

Принципиальный интерес представляет способ выделения модуля суммы и разности входных — величин, предложенный в. [13]

Установим теперь важные для дальнейшего свойства модуля суммы и разности двух комплексных чисел. [14]

Такое отображение, фактически представляющее собой натягивание модуля суммы гауссовскнх полей на параболоиды в направлении внешней нормали, переведет гладкие параболоиды в некоторые случайные геометрические тела. {2}}\Leftrightarrow \\xy>\left| x \right|\cdot \left| y \right|\Leftrightarrow \\xy>\left| xy \right|,\end{array}\)

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких $ x;y\in \mathbb{R}$ не существует, а значит, при всех $ x,\text{ }y\in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $ \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|.$

Примеры для самостоятельного решения:

1) Докажите свойство №6.

2) Упростите выражение $ \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|$.

Ответы:

1) Воспользуемся свойством №3: $ \left| c\cdot x \right|=\left| c \right|\cdot \left| x \right|$, а поскольку $ c>0\text{ }\Rightarrow \text{ }\left| c \right|=c$, тогда

$ \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|$, ч.т.д.

2) $ \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|$. {2}}\overset{<}{\mathop{\vee }}\,15\cdot 16\text{ }\Rightarrow \text{ }\)

$ \frac{15}{4}-\sqrt{15}\text{ }<0\text{ }\Rightarrow \text{ }\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\sqrt{15}-\frac{15}{4}$.

Складываем значения модулей:

$ \displaystyle \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\frac{31}{8}-\sqrt{15}+\sqrt{15}-\frac{15}{4}=\frac{1}{8}=0.125$

В уравнении сумма равна 0

Мы уже рассматривали уравнения, равные нулю (типа «произведение равно нулю»). К виду «произведение равно нулю» сводятся многие уравнения из разных разделов алгебры.

Если в уравнении сумма равна нулю, в некоторых случаях его можно решить, применяя следующее свойство функций:

Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из функций равна нулю.

Таким образом, уравнение

где

равносильно системе уравнений

В частности,

где 2n — чётное натуральное число

Примеры уравнений, решение которых основано на этом свойстве функций.

ОДЗ: x∈R.

Сумма модулей равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе

Найдём корни каждого уравнения:

Оба модуля обращаются в нуль при x=2.

Ответ: 2.

ОДЗ: x∈[-4;2].

Сумма корней чётной степени равна нулю, если каждое из слагаемых рано нулю. Следовательно, это уравнение равносильно системе

Решаем каждое уравнение:

Оба слагаемых обращаются в нуль при x= -4.

Ответ: -4.

Для нахождения корней достаточно решить только одно из уравнений и проверить, удовлетворяют ли полученные корни остальным уравнениям системы.

ОДЗ: x∈(-∞; 1]U[9; ∞).

Сумма неотрицательных функций равна нулю, если каждая каждая из функций равна нулю:

Корень третьего уравнения — x=9 — удовлетворяет также 1-му и 2-му уравнениям системы.

Ответ: 9.

ОДЗ: x∈[-1; 1].

Правая часть уравнений — сумма неотрицательных функций. Соответственно, уравнение равносильно системе

Корни второго уравнения

x=1 и x= -1. Оба корня удовлетворяют и первому уравнению.

Ответ: ±1.

Как в другие уравнения из курса алгебры, решаемые с применением свойств функций, уравнения, в которых сумма неотрицательных функций равна нулю, при первом рассмотрении могут производить впечатление сложных. На самом деле, решить их достаточно просто, если помнить соответствующий теоретический материал.

Сумма модулей отклонений — Студопедия

плюсы:

— нечувствительность к выбросам.

минусы:

— сложность вычислительной процедуры;

— возможность больших отклонений между фактическими и проектными функциями;

— неоднозначность значений параметров и т.д.

Исходя из этих преимуществ и недостатков, обычно в качестве меры близости выбирают сумму квадратов и выбирают такую функцию y=f(x), у которой эта сумма квадратов достигает минимума.

Для того, чтобы лучше понять сущность метода наименьших квадратов, необходимо вначале вспомнить математические основы определения экстремума функции нескольких переменных.

В первую очередь, введем некоторые определения:

Определение 1.Функция Z = ƒ (x, y)имеет максимум в точке М₀ (х₀, у₀), если значение функции в этой точке больше значений ее в точках, достаточно близких к точке М₀ (х₀, у₀), т.е.

ƒ (х₀, у₀) > ƒ (х₀+ Δх, у₀ + Δу).

Это означает, что полное приращение функции Z = ƒ (х, у), вызванное переходом от точки (х₀, у₀) к соседней точке, будет величиной отрицательной:

ΔZ = ƒ (х₀ + Δх, у₀ + Δу) — ƒ (х₀, у₀) < 0. (2.1)

Определение 2.Функция Z = ƒ (x, y)имеет минимум в точке М₀ (х₀, у₀), если значение функции в этой точке меньше значений ее в точках, достаточно близких к точке М₀ (х₀, у₀), т. е.

ƒ (х₀, у₀) < ƒ (х₀+ Δх, у₀ + Δу).

Это означает, что полное приращение функции Z = ƒ (х, у), будет величиной положительной:

ΔZ = ƒ (х₀ + Δх, у₀ + Δу) — ƒ (х₀, у₀) > 0. (2.2)

Допустим, что функция Z = ƒ (х, у) имеет в точке М₀ (х₀, у₀) максимум или минимум (экстремум).Тогда для функции должно выполняться одно из неравенств (3.1) или (3.2) при любых, достаточно малых Δх, Δу.

Предположим, что Δу = 0; тогда функция Z = ƒ (х, у) сделается функцией только одной переменной х. Эта функция по условию имеет экстремум.

Таким образом, условия обращения в нуль частных производных функции или несуществование хотя бы одной из них являются необходимыми условиями, но недостаточными условиями экстремума функции.

Имеем систему:

. (2.4)

Условия (2. 4) являются необходимыми для существования экстремума функции. Но может случиться, что эти условия в некоторых обстоятельствах невыполнимы.

Достаточные условия существования экстремума функции нескольких переменных имеют более сложный вид.

Пусть в точке М₀ (х₀, у₀) частные производные обращаются в нуль, т.е.

, .

Подсчитаем значения частных производных второго порядка функции

Z = ƒ (х, у) в этой точке и обозначим их соответственно буквами: А, В, С:

тогда:

1. Если АС — В² > 0, то функция Z = ƒ (х, у) имеет в точке М₀ (х₀, у₀) экстремум, а именно:

при А < 0 максимум,

при А > 0 минимум.

2. Если АС — В² < 0, то функция Z = ƒ (х, у) не имеет в точке М₀ (х₀, у₀) экстремума.

3. Если АС — В² = 0, то вопрос о существовании экстремума функции в точке М₀ (х₀, у₀) остается открытым и требуются дополнительные исследования.

Метод наименьших квадратов является одним из важных применений теории экстремума функции нескольких переменных.

Предположим, что в результате некоторого опыта или наблюдения установлена зависимость между переменными величинами х и у, выражаемая в виде таблицы:

х	х₁	х₂	…	х_n
у	у₁	у₂	…	у_n

Пусть требуется перейти от табличного метода задания функции к аналитическому (т.е. выраженному в виде формулы), причем, если это нельзя сделать точно, постараемся получить аналитическую связь приближенно.

Теперь обратимся к графическому изображению данной системы. Рассматривая значения х и у как координаты точек в прямоугольной системе координат, наносим эти точки на график. Пусть, например, построенные точки расположены достаточно близко к некоторой прямой. Поэтому можно приблизительно считать, что между х и у существует линейная зависимость, выражаемая формулой,

у = ах + b.

Поставим задачу аналитического определения неизвестных коэффициентов а и b.

В основе аналитического метода определения а и b лежит метод наименьших квадратов. Точки, полученные на основании опытных данных, вообще говоря, не лежат на искомой прямой. Если бы некоторая точка (х_i, у_i) лежала на прямой, то ее координаты удовлетворяли бы уравнению прямой, т.е. имело бы место равенство:

у_i = ax_i + b или ax_i + b — y_i = 0

Однако в общем случае подстановка координат точки в уравнение прямой дала бы:

ax_i + b — y_i = ε_i,

где ε_i ─ какая то малая величина.

Прямая сумма модулей — Примеры задач

В абстрактной алгебре прямая сумма — это конструкция, которая объединяет несколько модулей в новый, более крупный. В некотором смысле прямая сумма модулей — это «самый общий» модуль, который содержит данные модули как подпространства.

Наиболее известные примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств (модулей над полем) и абелевых групп (модулей над кольцом Z целых чисел). Конструкция также может быть расширена для покрытия банаховых и гильбертовых пространств.

Конструкция векторных пространств и абелевых групп

Мы даем конструкцию первой в этих двух случаях в предположении, что у нас есть только два объекта. Затем мы обобщаем на произвольное семейство произвольных модулей. Ключевые элементы общей конструкции более четко определяются при более глубоком рассмотрении этих двух случаев.

Конструкция для двух векторных пространств

Предположим, что V и W — векторные пространства над полем K .Мы можем превратить декартово произведение V × W в векторное пространство над K , определив операции покомпонентно:

( v ₁, w ₁) + ( v ₂, w ₂) = ( v ₁ + v ₂, ш ₁ + ш ₂)
α ( v , w ) = (α v , α w )

для v , v ₁, v ₂ дюймов V , w , w ₁, w ₂ в W и α в K .

Результирующее векторное пространство называется прямой суммой V и W и обычно обозначается знаком плюса внутри круга:

V⊕W {\ displaystyle V \ oplus W}

Подпространство V × {0} V ⊕ W изоморфно V и часто идентифицируется с V ; аналогично для {0} × W и W . (См. Внутреннюю прямую сумму ниже.) При такой идентификации верно, что каждый элемент V ⊕ W может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента V и элемента W . Размер V ⊕ W равен сумме размеров V и W .

Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число векторных пространств.

Конструкция для двух абелевых групп

Для абелевых групп G и H , которые записываются аддитивно, прямое произведение также называется прямой суммой.Таким образом, мы превращаем декартово произведение G × H в абелеву группу, определяя операции покомпонентно:

( г ₁, ч ₁) + ( г ₂, ч ₂) = ( г ₁ + г ₂, h ₁ + h ₂)

для г ₁, г ₂ дюймов G и h ₁, h ₂ дюймов Н .

Обратите внимание, что мы также можем расширить операцию взятия целых кратных до прямой суммы:

для г в G , h в H и n целое число. Это аналогично расширению скалярного произведения векторных пространств до указанной выше прямой суммы.

Результирующая абелева группа называется прямой суммой из G и H и обычно обозначается знаком плюса внутри круга:

G⊕H {\ displaystyle G \ oplus H}

Подпространство G × {0} из G ⊕ H изоморфно G и часто идентифицируется с G ; аналогично для {0} × H и H .(См. Внутреннюю прямую сумму ниже.) С этой идентификацией верно, что каждый элемент G ⊕ H может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента G и элемента из H . Ранг G ⊕ H равен сумме рангов G и H .

Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число абелевых групп.

Построение произвольного семейства модулей

Следует заметить явное сходство между определениями прямой суммы двух векторных пространств и двух абелевых групп.Фактически каждый из них является частным случаем построения прямой суммы двух модулей. Кроме того, изменяя определение, можно учесть прямую сумму бесконечного семейства модулей. Точное определение выглядит следующим образом.

Предположим, что R — некоторое кольцо, а { M _i: i in I } — семейство левых модулей R , индексированных набором I . Прямая сумма для { M _i} затем определяется как набор всех функций α с областью I , таких что α ( i ) ∈ M _i для все i ∈ I и α ( i ) = 0 для всех, кроме конечного числа индексов i .

Две такие функции α и β можно добавить, записав (α + β) ( i ) = α ( i ) + β ( i ) для всех i (обратите внимание, что это снова ноль для все, кроме конечного числа индексов), и такая функция может быть умножена на элемент r из R , записав ( r α) ( i ) = r (α ( i )) для все и . Таким образом, прямая сумма становится левым модулем R . Обозначим его через

⨁i∈IMi {\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i}}

Свойства

При правильной идентификации мы снова можем сказать, что каждый элемент x прямой суммы может быть записан одним и только одним способом как сумма конечного числа элементов M _i.

Если M _i на самом деле являются векторными пространствами, то размерность прямой суммы равна сумме размеров M _i. То же верно и для ранга абелевых групп и длины модулей.

Каждое векторное пространство над полем K изоморфно прямой сумме достаточно большого количества копий K , поэтому в определенном смысле следует учитывать только эти прямые суммы. Это неверно для модулей над произвольными кольцами.

Тензорное произведение распределяется по прямым суммам в следующем смысле: если N — некоторый правильный R -модуль, то прямая сумма тензорных произведений N на M _i (что являются абелевыми группами) естественно изоморфно тензорному произведению N на прямую сумму M _i.

Прямые суммы также коммутативны и ассоциативны, что означает, что не имеет значения, в каком порядке формируется прямая сумма.

Группа линейных гомоморфизмов R из прямой суммы в некоторую левую R -модуль L естественно изоморфна прямому произведению групп R -линейных гомоморфизмов из M _i до L .

Внутренняя прямая сумма

Предположим, что M — это некий модуль R , а M _i — это подмодуль M для каждых i в I .Если каждое x в M может быть записано одним и только одним способом как сумма конечного числа элементов M _i, то мы говорим, что M — это внутренняя прямая сумма субмодулей M _i. В этом случае M естественно изоморфна (внешней) прямой сумме M _i, как определено выше.

Прямое слагаемое из M — это подмодуль N , такой, что есть другой подмодуль N ‘ из M , такой, что M является внутренней внутренней прямой суммой N и N ′ .

Категориальная интерпретация

На языке теории категорий прямая сумма является копроизведением и, следовательно, копределом в категории левых R -модулей, что означает, что она характеризуется следующим универсальным свойством. Для каждых i в I учитывайте естественное вложение

ji: Mi → ⨁i∈IMi {\ displaystyle j_ {i}: M_ {i} \ rightarrow \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i}}

, который отправляет элементы M _i к тем функциям, которые равны нулю для всех аргументов, кроме i .Если f _i: M _i → M являются произвольными линейными картами R для каждого i , то существует ровно одна линейная карта R

f: ⨁i∈IMi → M {\ displaystyle f: \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i} \ rightarrow M}

, так что f o j _i = f _i для всех i .

Прямая сумма модулей с дополнительной структурой

Если рассматриваемые нами модули несут некоторую дополнительную структуру (например,грамм. норма или внутренний продукт), то прямая сумма модулей часто также может содержать эту дополнительную структуру. В этом случае мы получаем копродукт в соответствующей категории всех объектов, несущих дополнительную структуру. Два наиболее ярких примера относятся к банаховым и гильбертовым пространствам.

Прямая сумма банаховых пространств

Прямая сумма двух банаховых пространств X и Y является прямой суммой X и Y , рассматриваемых как векторные пространства, с нормой || ( x , y ) || = || x || _X + || y || _Y для всех x дюймов X и y дюймов Y .

Как правило, если X _i, где i пересекает набор индексов I , представляет собой набор банаховых пространств, то прямая сумма ⊕ _{i ∈ I} X _i состоит из всех функций x с доменом I , так что x ( i ) ∈ X _i для всех i ∈ I и

∑i∈I‖x (i) ‖Xi конечно. {\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ | x (i) \ | _ {X_ {i}} {\ mbox {конечно.}}}

Норма определяется суммой выше. Прямая сумма с этой нормой снова является банаховым пространством.

Например, если мы возьмем набор индексов I = N и X _i = R , то прямая сумма ⊕ _{i ∈ N} будет пробелом l ₁, который состоит из всех последовательностей ( a _i) вещественных чисел с конечной нормой || a || = ∑ _i | a _i |.

Прямая сумма гильбертовых пространств

Если дано конечное число гильбертовых пространств H ₁, …, H _n, можно построить их прямую сумму, как указано выше (поскольку они являются векторными пространствами), а затем повернуть прямую сумму в гильбертово пространство, определив внутренний продукт как:

⟨(x1, . .., xn), (y1, …, yn)⟩ = ⟨x1, y1⟩ + … + ⟨xn, yn⟩ {\ displaystyle \ langle (x_ {1}, …, x_ {n}), (y_ {1}, …, y_ {n}) \ rangle = \ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle +… + \ langle x_ {n}, y_ {n} \ rangle}

Это превращает прямую сумму в гильбертово пространство, которое содержит данные гильбертовы пространства как взаимно ортогональные подпространства.

Если дано бесконечно много гильбертовых пространств H _i для i в I , мы можем провести такое же построение; обратите внимание, что при определении внутреннего продукта только конечное число слагаемых будет отличным от нуля. Однако результатом будет только внутреннее пространство продукта, и оно не будет полным.Затем мы определяем прямую сумму гильбертовых пространств H _i как завершение этого внутреннего пространства продукта.

В качестве альтернативы и эквивалентно, можно определить прямую сумму гильбертовых пространств H _i как пространство всех функций α с областью I , так что α ( i ) является элементом H _i для каждых i в I и:

∑i‖α (я) ‖2 <1 {\ displaystyle \ sum _ {i} \ left \ | \ alpha _ {(i)} \ right \ | ^ {2} <{\ mathcal {1}} }

Тогда скалярное произведение двух таких функций α и β определяется как:

⟨α, β⟩ знак равно ∑i⟨αi, βi⟩ {\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle = \ sum _ {i} \ langle \ alpha _ {i}, \ beta _ {i} \ rangle}

Это пространство заполнено, и мы получаем гильбертово пространство. {2}}. Сравнивая это с примером для банаховых пространств, мы видим, что прямая сумма банахова пространства и прямая сумма гильбертова пространства не обязательно совпадают. Но если имеется только конечное число слагаемых, то прямая сумма банахова пространства изоморфна прямой сумме гильбертова пространства.

Каждое гильбертово пространство изоморфно прямой сумме достаточно большого числа копий основного поля (либо R , либо C ).

de: Direkte Summe es: Suma directa fr: somme directe он: סכום ישר ja: 直和

(PDF) Подмодули типов и разложение модулей по прямой сумме

98 J.DAUNS AND Y. ZHOU

(4) ⇒ (2). Пусть K — естественный класс. Чтобы показать (2), достаточно показать

, что для любых подмодулей X и Y из M, если X и Yare в K, тогда

будет X + Y. По лемме Цорна существует подмодуль Pmaximal

относительно X⊆P∈K и подмодуль Qmaximal относительно

до Y⊆Q∈K. Тогда P и Q дополняют подмодули M,

P∩Q≤eP и P∩Q ≤eQ. Таким образом, P и Q оба являются замыканиями

P∩Qin M. Если P = Q, по (4) существует 0– = X⊆P + Q, например

P∩X = 0 и X → P∩Q.Тогда X∈K и P⊂P⊕X∈K, противоречие

. Итак, P = Q и, значит, X + Y⊆P∈K.

(5) ⇒ (1). Предположим, что (1) не выполняется. Тогда существуют подмодули типа

T1- = T2 Mof типа K для естественного класса K. Отсюда следует

, что T1∩T2- = 0, T1∩T2≤eTifor i = 1,2, и T1∩T2 не является существенным

. в T1 + T2. Таким образом, существует 0  = A⊆T1 + T2, такое что

T1∩T2∩A = 0. Отсюда следует, что Ti∩A = 0fori = 1,2. Поскольку

каждый Ti является подмодулем типа M, мы имеем TiTA. Мы знаем, что

A = A / (T1∩A) ∼

= (A + T1) / T1⊆ (T2 + T1) / T1∼

= Т2 / (Т1∩Т2).Тогда

A∼

= B / (T1∩T2) для некоторого B с T1∩T2≤eB⊆T2. Обратите внимание, что B⊥A,

и поэтому B∩A = 0 иB⊕A⊆M.

(3) ⇒ (5). Предположим, что существует вложение X⊕ (X / Y) α

→ M

, где Y — собственный существенный подмодуль X и X⊥ (X / Y). Возьмем

x∈X, но x / ∈Y, и пусть m1 = α (x) и m2 = α (x + Y). Тогда m1R⊥

m2R. Чтобы в этом убедиться, пусть m1aR ∼

= m2bR для некоторых a, b ∈R. Отсюда следует, что

α (xaR) ∼

= α ((x + Y) bR). Это дает xaR ∼

= (x + Y) bR.Должно быть

xaR = 0, поскольку X⊥ (X / Y). Итак, m1aR = 0. Таким образом, m1R⊥m2R.

Кроме того, m⊥

1⊆m⊥

2 и m⊥

2 / m⊥

1≤eR / m⊥

1.Wenextprovem2 = 0,

, что дает противоречие. Определим β: m1R → m2R по β (m1r) = m2r,

r∈R. Тогда β является гомоморфизмом и ker (β) = m1m⊥

2. Пусть L будет замыканием типа

для ker (β) inm1R. Определим f: m1R → m1R⊕m2R (⊆M)

как f (x) = x + β (x), x∈m1R. Тогда это мономорфизм. Поскольку L

является замыканием типа ker (β) inm1R, f (ker (β)) параллельно f (L).Это

дает, что ker (β) параллельно f (L). Пусть Ltc и f (L) tc — замыкания типа

Земли f (L) inM соответственно. Тогда и Ltc, и f (L) tc

являются замыканиями типа ker (β) в M. По (3) Ltc = f (L) tc. Отсюда следует, что

L + f (L) является параллельным расширением L.ПримечаниеL — это подмодуль типа

m1R. Так как m1R⊥m2R, Lis — подмодуль типа для m1R⊕m2R. Это

означает, что L = L + f (L), т. Е. F (L) .L. Отсюда следует, что β (L) ⊆L.

прямая сумма в nLab

Прямые суммы и слабые прямые произведения
Контекст
Пределы и пределы
пределы и коллимиты
1-категориальный
предел и копредел
лимитов и копределов на примере
Коммутативность пределов и копределов
малый лимит
отфильтрованный colimit
колимит просеянный
подключенный лимит, широкий откат
сохраненный лимит, отраженный лимит, созданный лимит
продукт, продукт волокна, изменение базы, сопродукт, откат, выталкивание, изменение базы, эквалайзер, коэквалайзер, соединение, встреча, конечный объект, исходный объект, прямой продукт, прямая сумма
конечный предел
Канский добавочный номер
взвешенный лимит
конец и коэнда
2-категоричный
(∞, 1) -категория
Модельно-категориальная
Идея
Понятие прямой суммы или слабого прямого произведения — это понятие из алгебры, которое действительно имеет смысл в любой категории CC с нулевыми морфизмами (то есть любой категории, обогащенной над замкнутой моноидальной категорией заостренных множеств), поскольку пока существуют необходимые (со) лимиты.
Базовый и знакомый пример — прямая сумма V1⊕V2V_1 \ oplus V_2 двух векторных пространств V1V_1 и V2V_2 над некоторым полем или, в более общем смысле, двух модулей над некоторым кольцом. Как правило, для II — множество и {Vi} i∈I \ {V_i \} _ {i \ in I} — индексируемое II семейство векторных пространств или модулей, их прямая сумма ∈i∈IVi \ bigoplus_ {i \ in I } V_i — это набор формальных линейных комбинаций элементов в каждом из ViV_i. Это может частично мотивировать терминологию: элемент в прямой сумме — это сумма элементов , по крайней мере, в этих случаях.
Это обобщает двумя разными способами, которые мы называем прямой суммой и слабым прямым произведением . Во многих случаях (как в примере выше) они совпадают, но не всегда. Также во многих случаях прямые суммы будут такими же, как и сопутствующие продукты. В любом случае конечные слабые прямые продукты такие же, как и продукты, но бесконечные версии (почти всегда) разные.
Терминология
Название «слабый прямой продукт» происходит от понятия прямого продукта в алгебре для продукта в конкретной категории, созданного с помощью функтора забывчивости; слабый прямой продукт будет подобъектом прямого продукта (и всего прямого продукта в конечных случаях). Но здесь мы не будем ограничиваться контекстом такой конкретной категории.
Термин «прямая сумма» происходит от конечного побочного продукта (одновременно продукта и сопутствующего продукта) в аддитивных категориях. Аддитивный характер этих побочных продуктов распространяется в бесконечном случае (где побочные продукты обычно больше не появляются) на побочные продукты, а не на продукт. Даже когда прямая сумма не совпадает с побочным продуктом, он все равно сохраняет часть этого аромата.
В классических примерах CC прямая сумма и слабое прямое произведение совпадают.Однако приведенные ниже общие определения различают их в некоторых случаях, и мы используем термины «прямая сумма» и «слабый прямой продукт», чтобы лучше всего вызвать ощущения «как сопутствующий продукт» и «часть продукта».
Определения
Пусть 𝒞 \ mathcal {C} — категория с произведениями и копроизведениями, а также с нулевыми морфизмами. Пусть II — множество, и пусть (Ai) i∈I (A_i) _ {i \ in I} — II-индексированное семейство объектов в 𝒞 \ mathcal {C}, следовательно, функция A: I → Obj ( 𝒞) A: I \ to Obj (\ mathcal {C}).
Теперь мы определим как прямую сумму, так и слабое прямое произведение этого семейства.AiA_i будем называть прямыми слагаемыми или (слабыми) прямыми множителями .
Прямая сумма
Здесь мы должны предположить, кроме того, что 𝒞 \ mathcal {C} — обычная категория (или иначе имеет хорошее представление об изображении).
Определение
Пусть rr — морфизм копроизведения ∐iAi \ coprod_i A_i в произведение ∏iAi \ prod_i A_i, характеризующийся наличием следующих компонентов
(Ai → ∐A → r∏A → Aj) = {IdAiifi = j0ijifi ≠ j, \оставил( A_i \ to \ coprod A \ stackrel {r} {\ to} \ prod A \ to A_j \верно) знак равно \оставил\{ \множество{ Id_ {A_i} & if \; я = j \\ 0_ {ij} & если \; я \ neq j ,} \верно.\,
, где 0ij0_ {ij} — нулевой морфизм от AiA_i к AjA_j.
Прямая сумма по семейству {Ai} \ {A_i \} — это изображение
∐iAi → coimr⨁iAI → imriAi \ coprod_i A_i \ overset {\ coim r} \ to \ bigoplus_i A_I \ overset {\ im r} \ to \ prod_i A_i
морфизма рр.
Слабое прямое произведение
Здесь мы рассматриваем финишные изделия
∏i∈FAi \ prod_ {i \ in F} A_i
, поскольку FF изменяется на конечных подмножествах индексного множества II. (В конструктивной математике используйте здесь «конечно индексированные» или «конечные по Куратовски» … хотя если II имеет разрешимое равенство, как это имеет место в обычных примерах, то каждое конечно индексированное подмножество II на самом деле конечно в самом строгом смысле.)
Эти конечные произведения образуют прямую систему, индексируемую направленным множеством 𝒫finI \ mathcal {P} _ {fin} I конечных подмножеств II (упорядоченных по включению) с отображением
∏i∈FAi → ∏i∈GAi, \ prod_ {i \ in F} A_i \ to \ prod_ {i \ in G} A_i,
, где F⊆GF \ substeq G, заданная формулой
∏i∈FAi≅∏i∈FAi × ∏i∈G ∖ F1 → (id, 0) ∏i∈FAi × ∏i∈G ∖ FAi≅∏i∈GAi. \ prod_ {i \ in F} A_i \ cong \ prod_ {i \ in F} A_i \ times \ prod_ {i \ in G \ setminus F} 1 \ stackrel {(id, 0)} {\ to} \ prod_ { i \ in F} A_i \ times \ prod_ {i \ in G \ setminus F} A_i \ cong \ prod_ {i \ in G} A_i. wk_i A_i определяется как направленный копредел этой прямой системы.
Примеры
Пример
В категориях Grp или Ab (абелевых) групп прямая сумма и слабое прямое произведение согласуются. Для конечного числа объектов это то же самое, что и прямой продукт, который является продуктом в обеих категориях.
Предложение
В этих примерах прямая сумма также может быть описана в более элементарных терминах как подгруппа прямого произведения:
⨁i: IAi = {(ai) i: I | ess∀ (i: I), ai = 0}, \ bigoplus_ {i: I} A_i = \оставил\{ (a_i) _ {i: I} \; | \; ess \ forall (i: I), \; a_i = 0 \верно\} \ ,,
, где «ess∀ess \ forall» означает «для всех, кроме конечного множества».Это проясняет, что прямая сумма равна прямому продукту, когда задействовано только конечное число объектов.
Для 𝒞 = \ mathcal {C} = Ab, RRMod это группа формальных линейных комбинаций элементов в слагаемых.
Пример
Для RR кольца прямые суммы в категории RRMod или модулей над RR даются суммами на нижележащих абелевых группах.
Пример
В категории заостренных множеств прямая сумма и слабое прямое произведение различаются.p прямых сумм для 1≤p≤∞1 \ leq p \ leq \ infty, хотя я не знаю, каким универсальным свойствам они все удовлетворяют.) В этом случае прямая сумма совпадает с копроизведением, а слабое прямое произведение — то же самое, что и произведение даже для бесконечно большого числа объектов. См. Прямую сумму банаховых пространств.
Внутренние прямые суммы
Дан объект BB и семейство подобъектов? AiA_i группы BB (или, в более общем смысле, семейство морфизмов Ai → BA_i \ to B, или эквивалентно отображение ∐iAi → B \ coprod_i A_i \ to B), предположим, что существует прямая сумма ⨁iAi \ bigoplus_i A_i.Предположим далее, что отображение ∐iAi → B \ coprod_i A_i \ в B факторизуется через отображение ∐iAi → ⨁iAi \ coprod_i A_i \ в \ bigoplus_i A_i (что означает, что оно уникально множится, если ∐iAi → ⨁iAi \ coprod_i A_i \ to \ bigoplus_i A_i эпично, так как должно быть в обычной категории). Наконец, предположим, что (или) фактор-отображение ⨁iAi → B \ bigoplus_i A_i \ to B является изическим. Затем мы говорим, что BB — это внутренняя прямая сумма AiA_i.
Напротив, абстрактно определенная прямая сумма ⨁iAi \ bigoplus_i A_i может называться внешней прямой суммой .Эти термины обычно используются с конкретными категориями, где AiA_i может быть задан независимо (для внешней прямой суммы) или как подмножество некоторого окружающего пространства (либо BB, либо что-то из того, что BB является подмножеством) для внутренней прямой суммы. В слишком абстрактном контексте разницы нет: с одной стороны, любая внутренняя прямая сумма тем более изоморфна любой внешней прямой сумме; с другой стороны, для внешней прямой суммы существует естественное отображение ∐iAi → ⨁iAi \ coprod_i A_i \ to \ bigoplus_i A_i, относительно которого внешняя прямая сумма является внутренней прямой суммой.3 | y \ in \ mathbb {F} \} \), то уравнение (4.4.2) остается в силе.
Если \ (U = U_1 + U_2 \), то для любого \ (u \ in U \) существуют \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \) такие, что \ (u = u_1 + u_2. \)
Если так получилось, что \ (u \) можно однозначно записать как \ (u_1 + u_2 \), то \ (U \) называется прямой суммой \ (U_1 \) и \ (U_2. \)
Определение 4.4.3: Прямая сумма
Предположим, что каждое \ (u \ in U \) может быть однозначно записано как \ (u = u_1 + u_2 \) для \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \).{2m + 1} \}. \]
Тогда \ (\ mathbb {F} [z] = U_1 \ oplus U_2. \)
Предложение 4.4.6 . Пусть \ (U_1, U_2 \ subset V \) — подпространства. Тогда \ (V = U_1 \ oplus U_2 \) тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
\ (V = U_1 + U_2; \)
Если \ (0 = u_1 + u_2 \) с \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \), тогда \ (u_1 = u_2 = 0. \)
Доказательство.
\ ((«\ Rightarrow») \) Предположим, \ (V = U_1 \ oplus U_2 \).Тогда по определению выполняется условие 1. Конечно, \ (0 = 0 + 0 \), и, поскольку по уникальности это единственный способ записать \ (0 \ in V \), мы имеем \ (u_1 = u_2 = 0 \).
\ ((«\ Leftarrow») \) Предположим, что выполнены условия 1 и 2. По условию 1 для всех \ (v \ in V \) существуют \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \) такие, что \ (v = u_1 + u_2 \). Предположим, \ (v = w_1 + w_2 \) с \ (w_1 \ in U_1 \) и \ (w_2 \ in U_2 \). Вычитая два уравнения, получаем
\ [0 = (u_1 — w_1) + (u_2 — w_2), \]
, где \ (u_1 — w_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 — w_2 \ in U_2 \).По условию 2 это подразумевает \ (u_1 — w_1 = 0 \) и \ (u_2 — w_2 = 0 \), или, что эквивалентно, \ (u_1 = w_1 \) и \ (u_2 = w_2 \), как требуется.
Предложение 4.4.7. Пусть \ (U_1, U_2 \ subset V \) будут подпространствами. Тогда \ (V = U_1 \ oplus U_2 \) тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
\ (V = U_1 + U_2; \)
\ (U_1 \ cap U_2 = \ {0 \}. \)
Доказательство.
\ ((«\ Rightarrow») \) Предположим, \ (V = U_1 \ oplus U_2 \).Тогда по определению выполняется условие 1. Если \ (u \ in U_1 \ cap U_2 \), то \ (0 = u + (−u) \) с \ (u \ in U_1 \) и \ (- u \ in U_2 \) (почему?). По предложению 4.4.6 имеем \ (u = 0 \) и \ (- u = 0 \), так что \ (U_1 \ cap U_2 = \ {0 \}. \)
\ ((«\ Leftarrow») \) Предположим, что выполнены условия 1 и 2. Чтобы доказать, что выполняется \ (V = U_1 \ oplus U_2 \), предположим, что
\ [0 = u_1 + u_2, \ rm {~ где ~} u_1 \ в U_1 \ rm {~ и ~} u_2 \ в U_2. \ tag {4.3} \]
По предложению 4.4.6 достаточно показать, что \ (u_1 = u_2 = 0 \).3 \ neq U_1 \ oplus U_2 \ oplus U_3 \), поскольку, например,
\ [(0, 0, 0) = (0, 1, 0) + (0, 0, 1) + (0, -1, -1). \]
Но \ (U_1 \ cap U_2 = U_1 \ cap U_3 = U_2 \ cap U_3 = \ {0 \} \), так что аналог предложения 4.4.7 не выполняется.
Авторы
Версии этого учебника в твердом и мягком переплете доступны на сайте WorldScientific. com.
О. В. Камловский, “Сумма модулей коэффициентов Уолша для некоторых сбалансированных булевых функций”, Матем.Вопр. Криптогр., 8: 4 (2017), 75–98

Эта статья цитируется в научной статье 1 (всего в статье 1 )
Сумма модулей коэффициентов Уолша для некоторых сбалансированных булевых функций
О.В. Камловский
ООО «Центр Сертификационных Исследований», Москва
Аннотация: Мы рассматриваем следующие сбалансированные булевы функции: а) построенные из нормальной бент-функции методом Доббертина, б) мажоритарная функция, в) функции, значения единиц которых последовательно расположены в таблице истинности. Получены точные формулы и оценки сумм модулей коэффициентов Уолша.
Ключевые слова: Логические функции, коэффициенты Уолша, генераторы фильтрации, генераторы комбинирования.
DOI: https://doi.org/10.4213/mvk240
Полный текст: PDF-файл (225 kB)
Ссылки : PDF файл HTML файл
Библиографические базы данных:

УДК: 519.12 + 519.719.2
Поступила 11.V.2017
Образец цитирования: О. В. Камловский, “Сумма модулей коэффициентов Уолша для некоторых сбалансированных булевых функций”, Матем. Вопр. Криптогр., 8: 4 (2017), 75–98
Цитирование в формате AMSBIB
\ RBibitem {Kam17} \ by О. ~ В. ~ Камловский \ paper Сумма модулей коэффициентов Уолша для некоторых сбалансированных булевых функций \ jour Матем. Вопр. Криптогр. \ год 2017 \ vol 8 \ issue 4 \ pages 75--98 \ mathnet {http://mi. mathnet.ru/mvk240} \ crossref {https://doi.org/10.4213/mvk240 } \ mathscinet {http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3770676} \ elib {https://elibrary.ru/item.asp?id=32641310}
Варианты соединения:
http://mi.mathnet.ru/eng/mvk240
https://doi.org/10.4213/mvk240
http://mi.mathnet.ru/eng/mvk/v8/i4/p75
Цитирующие статьи в Google Scholar: Русские цитаты, Цитаты на английском языке
Статьи по теме в Google Scholar: Русские статьи, Английские статьи
Эта публикация цитируется в следующих статьях:
О.А. Логачев, С. Н. Федоров, В. В. Ященко, “О $ \ Delta $ -эквивалентности булевых функций”, Дискретная математика. Appl., 30: 2 (2020), 93–101
Количество просмотров:
Эта страница: 295
Полный текст: 143
Ссылки: 38
Первая страница:
прямой перевод% 20sum% 20of% 20modules — английский французский перевод прямого% 20sum% 20of% 20modules
Ваш поиск не дал результатов
EN Слова, похожие на прямые% 20sum% 20of% 20modules
отстранение ,
Därstetten ,
du reste ,
Drust IX des Pictes ,
Друк Цендхен ,
Drucat ,
Дроге де Травейл ,
Дроге-де-Травей ,
Дроэда ,
Driss Jettou ,
Дрезденко ,
Дрезднер Банк ,
Дрезден ,
Дрезде
FR Слова, похожие на прямые% 20sum% 20of% 20modules
Därstetten ,
Дурресский район ,
Сухих дрожжей ,
Стены из сухого камня ,
Стена из сухого камня ,
Сухой камень ,
галантерея ,
Друст IX пиктов ,
Друк Цендхен ,
аптека ,
Торговля наркотиками ,
Наркотуризм ,
Дизайн лекарств ,
наркозависимый ,
наркозависимость
Прямая сумма — go2kanid
Прямые суммы определены для ряда различных видов математических объектов,
включая подпространства, матрицы, модули и группы.
Прямая сумма матрицы определяется как
(Ayres 1962, стр. 13-14).
Прямая сумма двух подпространств и представляет собой сумму подпространств, в которых и имеют общий только нулевой вектор (Розен 2000, стр. 357).
Важным свойством прямой суммы является то, что она является копродуктом в категории модулей (т. Е. Прямой суммой модулей). Это общее определение как следствие дает определение прямой суммы абелевых групп и (поскольку они являются -модулями, т.е., модули над целыми числами) и прямую сумму векторных пространств (поскольку они являются модулями над полем). Обратите внимание, что прямая сумма абелевых групп такая же, как прямое произведение группы, но термин прямая сумма не используется для неабелевых групп.
Обратите внимание, что прямые продукты и прямые суммы различаются для бесконечных индексов. Элемент прямой суммы равен нулю для всех элементов, кроме конечного, в то время как элемент прямого произведения может иметь все ненулевые элементы.
СМОТРИ ТАКЖЕ: Abelian Group, Direct Product, Direct Summand, Group Direct Product, Group Direct Sum, Matrix Direct Sum, Module, Module Direct Sum
Части этой записи предоставлены Тоддом Роулендом
ССЫЛКИ:
Ayres , Ф.Jr. Очерк теории и проблем матриц Шаума. New York: Schaum, 1962.
Rosen, K.H. (Ed.). Справочник по дискретной и комбинаторной математике. Boca Raton, FL: CRC Press, 2000.
Прямая сумма двух подпространств и является суммой подпространств, в которых и имеют общий только нулевой вектор (Rosen 2000, стр. 357).
Важным свойством прямой суммы является то, что она является сопутствующим продуктом в категории модулей (т.е., модульная прямая сумма). Это общее определение как следствие дает определение прямой суммы абелевых групп и (поскольку они являются -модулями, т. Е. Модулями над целыми числами) и прямой суммы векторных пространств (поскольку они являются модулями над полем).
Оставить комментарий on Сумма модулей: Доказательства свойств модуля/
Логарифмы примеры и решения 10 класс: Свойства логарифмов и примеры их решений (ЕГЭ — 2021)
alexxlab / 03.01.197016.06.2021 / Разное
{\frac{1}{2}}}=\sqrt{4}=2\)), а вот $ \displaystyle {{\log }_{-4}}2$ не существует.
Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.
Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.
Значит, аргумент должен быть положительным.
Например, $ \displaystyle {{\log }_{2}}\left( -4 \right)$ не существует, так как $ 2$ ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому $ \displaystyle {{\log }_{2}}0$ тоже не существует).
В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ.
Приведу пример:
Решим уравнение $ \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2$.
Вспомним определение: логарифм $ \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)$ – это степень, в которую надо возвести основание $ x$, чтобы получить аргумент $ \displaystyle \left( x+2 \right)$.
И по условию, эта степень равна $ 2$: $ \displaystyle {{x}^{2}}=x+2$.{2}}-x-2=0\).
Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна $ 1$, а произведение $ -2$. Легко подобрать, это числа $ 2$ и $ -1$.
Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.
Почему?
Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?
$ \displaystyle x=2\text{: }{{\log }_{2}}\left( 2+2 \right)={{\log }_{2}}4=2$ – верно.
$ \displaystyle x=-1\text{: }{{\log }_{-1}}\left( -1+2 \right)=2$ – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень $ x=-1$ – «сторонний».
Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1\\x+2>0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.$
Тогда, получив корни $ x=2$ и $ x=-1$, сразу отбросим корень $ -1$, и напишем правильный ответ.
Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)
Найдите корень уравнения $ \displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2$. Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.
Решение:
$ \displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2$.
В первую очередь напишем ОДЗ:
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+1>0\\x+1\ne 1\\2x+5>0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\ne 0\\x>-\frac{5}{2}\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\ne 0.\end{array} \right.$
Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание $ \displaystyle x+1$, чтобы получить аргумент $ \displaystyle 2x+5$?
Хотите читать учебник без ограничений? Зарегистрируйтесь:
Во вторую. То есть:
$ \displaystyle {{\left( x+1 \right)}^{2}}=2x+5\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}+2x+1=2x+5\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-4=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-2.\end{array} \right.$
Казалось бы, меньший корень равен $ \displaystyle -2$. Но это не так: согласно ОДЗ корень $ \displaystyle x=-2$ – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: $ \displaystyle x=2$.
Ответ: $ \displaystyle x=2$.
Урок 27. логарифмические уравнения — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 27. Логарифмические уравнения.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Понятие простейшего логарифмического уравнения
2) Основные способы решения логарифмический уравнений
3) Общие методы в решении логарифмических уравнений
Глоссарий по теме
Простейшее логарифмическое уравнение. Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1.
Основные способы решения логарифмических уравнений
1. , где, a > 0, a ≠ 1, то , при условии, что
2. .
Общие методы для решения логарифмических уравнений
Разложение на множители.
Введение новой переменной.
Графический метод.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014.–384с.
Открытые электронные ресурсы:
http://fipi.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1 называют простейшим логарифмическим уравнением.
Данное уравнение имеет единственное решение, которое мы можем получить графически или по определению логарифма: .
Способы решения логарифмических уравнений:
Если , то (где, a > 0, a ≠ 1,
Пример 1.
.
Воспользуемся определением логарифма
;
.
Оба корня удовлетворяют неравенству
Ответ: – 8; 1.
Если
Если ,
Пример 2.
.
;
_;
;
_;
Ответ: 1.
Пример 3.
.
В данном уравнении систему с ограничивающими условиями можно не составлять, сделав в конце проверку о существовании логарифмов для конкретных значений х.
Сумму логарифмов в левой части заменим логарифмом произведения:
.
Подставим каждый корень в исходное уравнение, получаем верные числовые равенства.
Ответ: 3; 4.
Встречаются уравнения, когда нельзя сразу использовать 1 или 2 правило. В этом случае сначала используют общие методы решения уравнений.
Разложение на множители.
Пример 4.
Перенесем все в левую часть:
Можно увидеть общий множитель: .
Для этого приведем к основанию первый логарифм:
.
Вынесем за скобку общий множитель:
Имеем произведение равное нулю. (Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю)
, два простейших логарифмических уравнения.
;
Выполняем проверку. Оба числа являются корнями уравнения.
Ответ: 3; 5.
Введение новой переменной.
Пример 5.
Замена: тогда
Обратная замена:
Оба числа являются корнями уравнения.
Ответ: ; 5.
Графический способ решения.
Строим графики левой и правой частей уравнения, определяем абсциссы точек пересечения графиков.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Решите уравнение:
Решение.
Дважды используем определение логарифма:
Ответ: 6.
№2 Укажите промежуток, содержащий нули функции
.
Возможные варианты ответа:
Решение: Чтобы найти нули функции, приравниваем ее к нулю.
Приведем логарифмы к основанию 5: .
Две равные дроби с равными знаменателями, следовательно, равны и числители. Т. е. Слева и справа логарифмы по одинаковому основанию, значит .
Ответ: 4
Логарифмические уравнения. 10-11 класс
Стоит напомнить всем, что логарифмическими называют уравнения, в которых переменная или функция от «икс» находится под знаком логарифма.
При равносильных преобразованиях справедливая формула перехода от логарифмического до простого уравнения
log_af(x)=c⇔f(x)=a^c.
ОДЗ: основание логарифма должно быть больше нуля и не равняться единице,
функция – положительной
{x>0, x≠1, f(x)>0}.
Важно знать частные случаи простейших логарифмических уравнений:
правая сторjна равна нулю (с=0) или единицы (с=1):
логарифм основания равен единице
c=1⇔log_aa=1⇔f(x)=a.
логарифм единицы равен нулю
c=1⇔log_a1=0⇔f(x)=1.
Эти формулы Вы должны знать на память, поскольку их чаще всего применяют при сведении логарифмов до простейшего типа.
С целью научить Вас раскрывать логарифмические уравнения, а также подготовить к ВНО тестированию нами решены 40 примеров, которые в полной мере охватывают все известные методы решения логарифмических уравнений, которые Вас учат в 10-11 классе школьной программы, и дальше на первых курсах в ВУЗ-ах.
Схема вычисления логарифмических уравнений
если возможно, выписать область допустимых значений логарифмов и функций, которые в него входят.
свести уравнение к простейшему типу путем элементарных преобразований, которые заключаются в вынесении степени из основания логарифма (или наоборот), логарифмированию и потенцированию (возведение в степень по основанию (экспонента, основы =10, 2, π)
в случаях сложных уравнений вводят замену переменных и сводят к квадратным или другим известным уравнениям.
Вычисление уравнений с логарифмом
Пример 16.1 Решить уравнение log_ax=c.
Решение: Имеем простейшее логарифмическое уравнение, которое решается методом сведения к одному основанию логарифмов:
log_ax=c
(здесь a>0, a≠1),
log_ax=c•1,
log_ax=c•log_aa,
log_ax= log_aa^c
Здесь использовали свойства логарифма, единицу расписали как логарифм основания, после чего множитель c внесли под логарифм.
Далее опустили основы и приравняли выражения в логарифмах:
x=a^c.
ОДЗ: x>0.
Ответ: a^c – Г.

Пример 16.2 Решить уравнение log_1/2(x)=-4.
А
Б
В
Г
Д
ø
-16
1/16
1/16; 16
16
Решение: ОДЗ функции под логарифмом: x>0.
Сводим уравнение к одному основанию логарифмов

При равных основах приравниваем выражения под логарифмами:
x=(1/2)^-4,
x=2⁴,
x=16.
Ответ: 16 – Д.

Пример 16.3 Решить уравнение log₂(-x)=5.
А
Б
В
Г
Д
ø
32
-32
1/32
-1/32
Решение: Выполняем раскрытия логарифмов по данной в начале инструкции:
ОДЗ – -x>0,x<0.
Упростим уравнения
log₂(-x)=5
log₂(-x)=5•1
log₂(-x)=5• log₂2
log₂(-x)= log₂2⁵
опустим основы и приравняем логарифмические выражения:
-x=2⁵,
-x=32,
x=-32.
Ответ: -32 – У.

Пример 16.4 Решить уравнение lg(x²-x)=1-lg(5).
А
Б
В
Г
Д
ø
-3; 2
-2; 1
-2; 3
-1; 2
Решение: ОДЗ: x²-x>0,
x(x-1)>0
Решим неравенство методом интервалов
x(x-1)=0,
x₁=0,
x₂=1.

x∈(-∞;1)∪(1;+∞).
На этом множестве значений и ищем решение уравнения, сперва сведя к одной основе логарифмы

по теореме Виета:
x₁+x₂=1,
x₁•x₂=-2.
x₁=-1,
x₂=2.
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: -1; 2 – Д.
ОДЗ неравенства могут быть сложнее, чем сами уравнения, тогда достаточно сами корни уравнения подставить в неравенство (или систему неравенств) и определить, принадлежат ли корни области допустимых значений логарифмческого уравнения.
Пример 16.5 Сколько корней имеет уравнение lg(x⁴-10x²)=lg₃x³?
А
Б
В
Г
Д
Ни одного
один
два
три
четыре
Решение: В логарифме имеем биквадратное выражение, которое при условиях на ОДЗ требует вычислений.2)=lg₃x³ имеет один корень.
Ответ: один – Б.

Пример 16.6 Решить уравнение log₆(x-2)+log₆(x-1)=1 и указать промежуток, которому принадлежит его корень.

Решение: Выпишем систему неровностей для ОДЗ:

По правилу, что сумма логарифмов чисел равна логарифму их произведения ln(a)+ln(b)=ln(a•b) и свойству log₆6=1, сведем логарифмы к общему основанию:

При преобразованиях получили квадратное уравнение, корни которого находим по теореме Виета:
x₁+x₂=3
x₁•x₂=-4.
x₁=-1<2 (не принадлежит ОДЗ)
x₂=4.
x=4 – единственный корень заданного уравнения, он принадлежит промежутку (3,9;4,1).
Ответ: (3,9;4,1) – Б.

Пример 16.9 Решить уравнение (log₂x)²-2log₂x-3=0 и указать сумму его корней.

Решение: ОДЗ: x>0.
логарифмическое уравнение
(log₂x)²-2log₂x-3=0
сведем к квадратному заменой log₂x=t.
t²-2•t-3=0
По формулам Виета имеем:
t₁+t₂=2 – сумма корней уравнения;
t₁•t₂=3 – их произведение, тогда
t₁=-1 и t₂=3 – корни квадратного уравнения.
Возвращаемся к замене, и вычисляем простые логарифмические уравнения

Оба корня принадлежат ОДЗ, по условию найдем их сумму:
x₁+x₂=0,5+8=8,5.
Ответ: 8,5 – Д.
С простых примеров на раскрытие логарифмических уравнений Вы увидели, что достаточно знать несколько формул и базовые свойства логарифма и уже можно самостоятельно решать уравнения. Для простых условий это работает, но напоминаем, что курс ВНО подготовки содержит 40 примеров, причем ряд задач сочетают в себе не только логарифмы, но и корни, модули, показательные выражения. Вы научитесь сводить уравнения к квадратным, логарифмировать и еще много чего нового.
Алгебра 10 класс — Личный сайт учителя Чендевой Ю.А.
Логарифмы

Логарифм числа b по основанию а – это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Формула
Примеры
log_a b = c (при a > 0, a ≠ 1, b > 0).
Это означает, что a^c = b.
^log₅ ^{25 = 2}
Читается так: логарифмом числа 25 по основанию 5 является 2.
Число 2 является показателем степени.
Это означает, что 5² = 25.

^log₄^{64 = 3}
Логарифмом числа 64 по основанию 4 является 3.
Это означает, что 4³ = 64

Говоря иначе, логарифмирование – это действие, обратное возведению в степень.

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом.
Примеры десятичного логарифма:
log₁₀ 100
log₁₀ 5
log₁₀ 0,01

Десятичный логарифм обозначают символом lg. Таким образом:
вместо log₁₀ 100 следует писать lg 100;
вместо log₁₀ 5 пишем lg 5;
вместо log₁₀ 0,01 пишем lg 0,01.
Логарифмирование и потенцирование.
Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.
                                                            b
Пример: Найдем логарифм x = a² · — .
                                                            c
Решение.
Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
                      b
lg x = lg (a² · —) = lg a² + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c.
                      c
Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения).
Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.
Например, надо решить уравнение log₂ 3x = log₂ 9.
Убираем значки логарифмов – то есть потенцируем:
3х = 9.
В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:
х = 9 : 3 = 3.
Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это число 2). Подробнее о потенцировании и его правилах – в следующем разделе.
Урок по математике на тему «Решение логарифмических уравнений» (10 класс)
Тема: Решение логарифмических уравнений (10 класс)
Цель урока: повторить понятие и свойства логарифма; повторить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.
Задачи:
— обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;
-развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;
-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету
Тип урока: урок повторения и закрепления ранее изученного материала.
Ход урока:
Организационный момент.
Проверка готовности обучающихся и кабинета к занятию. Объявление темы.
Устная работа.
Повторение понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:
Разминка по теории:
1. Дайте определение логарифма.
2. От любого ли числа можно найти логарифм?
3. Какое число может стоять в основании логарифма?
4. Функция y=log_0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?
5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?
6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?
7. Назовите основные свойства логарифмов.
8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?
Работа по карточкам:
Карточка №1:
Вычислить: а) log₆4 + log₆9 =
б) log_1/336 – log_1/312 =
Решить уравнение:
log₅х = 4 log₅3 – 1/3 log₅27
Карточка №2:
Вычислить: а) log211 – log244 =
б) log1/64 + log1/69 =
Решить уравнение:
log₇х = 2 log₇5 + 1/2 log₇36 – 1/3log₇125.
Фронтальный опрос класс
Вычислить:
log₂16
lоg₃ √3
log₇1
log₅(¹/₆₂₅)
log₂11 — log ₂44
log₈14 + log ₈32/7
log₃5 ∙ log₅3
5 ^log₅⁴⁹
8 ^lоg₈^{5 — 1}
25 ^–log₅¹⁰
Сравнить числа:
log_½ е и log_½π;
log₂√5/2 и log₂√3/2.
Выяснить знак выражения log_0,83 · log₆2
Повторение решения логарифмических уравнений.
Класс делится на группы по 4 человека. Каждый из четырех членов группы выбирает один из способов решения, разбирается с ним (при затруднении можно обратиться к учителю), проводит взаимообучение с остальными тремя товарищами. Далее вместе прорешивают четыре примера, ответы проверяются учителем.
Решение уравнений на основании определения логарифма.
имеет решение .
На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:
по данным основаниям и числу определяется логарифм,
по данному логарифму и основанию определяется число,
по данному числу и логарифму определяется основание.
Ответ: 7
Ответ: 8
Ответ: 3
2.Метод потенцирования.
Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е. , то , при условии, что .
Пример: Решите уравнение
3
— неверно
Ответ: решений нет.
ОДЗ:
3.Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.
Пример: Решите уравнение
– не принадлежит ОДЗ
– принадлежит ОДЗ
Ответ: х=2
ОДЗ:
Домашнее задание: Решить задание на карточке.
Подведение итогов, рефлексия
Музыка может возвышать или умиротворять душу
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни,
А математика способна достичь всех этих целей.
Конспект урока по Математике «Способы решения логарифмических уравнений» 10 класс
Тема: «Способы решения логарифмических уравнений».
Цель урока: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.
Задачи:
— обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;
-развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;
-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету
Тип урока: урок изучения нового материала.
Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.
Структура и ход урока:
Организационный момент.
Учитель.
— Здравствуйте, садитесь! Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и свойства логарифмов. (слайд № 1)
Устная работа.
Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:
1. Разминка по теории:
1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)
2. От любого ли числа можно найти логарифм?
3. Какое число может стоять в основании логарифма?
4. Функция y=log_0,8x является возрастающей или убывающей?Почему?
5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?
6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?
7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3)
8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4)
2. Работа по карточка(3-4 ученика):
Карточка №1: Вычислить: а) log₆4 + log₆9 =
б) log_1/336 – log_1/312 =
Решить уравнение: log₅х = 4 log₅3 – 1/3 log₅27
Карточка №2:
Вычислить: а) log211 – log244 =
б) log1/64 + log1/69 =
Решить уравнение: log₇х = 2 log₇5 + 1/2 log₇36 – 1/3 log₇125.
Фронтальный опрос класса (устные упражнения)
Вычислить: (слайд № 5)
log₂16
lоg₃√3
log₇1
log₅(¹/₆₂₅)
log₂11 — log ₂44
Сравнить числа: (слайд № 6)
log_½ е и log_½π;
log₂√5/2 и log₂√3/2.
Выяснить знак выражения log_0,83 · log₆2/3. (слайд № 7)
Проверка домашнего задания:
На дом были задания следующие упражнения: №327(неч.), 331(неч.), 333(2) и 390(6). Проверить ответы к данным заданиям и ответить на вопросы учащихся.
Изучение нового материала:
Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.
Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение
log_a х =с (а > 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений: (слайд № 8)
Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд № 9)
log_a х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = а^с.
На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:
по данным основаниям и числу определяется логарифм,
по данному логарифму и основанию определяется число,
по данному числу и логарифму определяется основание.
Примеры:
log₂ 128= х, log₁₆х = ¾, log_х 27= 3,
2^х= 128, х =16^¾ , х³ =27,
2^х = 2⁷, х =2³ , х³ = 3³ ,
х =7 . х = 8. х =3.
С классом решить следующие уравнения:
а) log₇(3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)
б) log₂(7-8х)=2 (ответ: х=3/8).
Метод потенцирования. (слайд № 10)
Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.
log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.
Пример:
Решите уравнение =
ОДЗ:
3х-1>0; х>1/3
6х+8>0.
3х-1=6х+8
-3х=9
х=-3
-3 >1/3 — неверно
Ответ: решений нет.
С классом решить следующее уравнение:
lg(х²-2) = lg х (ответ: х=2)
Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд №11)
Пример:
Решите уравнение =log₂(6-х)
ОДЗ:
6-х>0;
х>0;
х≠1;
log₂х²>0;
х²>0.
Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).
= log₂(6-х)
х² = 6-х
х²+х-6=0
х=-3 не принадлежит ОДЗ.
х=2 принадлежит ОДЗ.
Ответ: х=2
С классом решить следующее уравнение:
⁼^{(ответ: х=1)}
Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 12)
Пример:
Решите уравнение log₁₆х+ log₄х+ log₂х=7
ОДЗ: х>0
¼ log₂х+½ log₂х+ log₂х=7
7/4 log₂х=7
log₂х=4
х=16 – принадлежит ОДЗ.
Ответ: х=16.
С классом решить следующее уравнение:
^{+ ^{=3 (ответ: х=5/3)}}
Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 13)
Пример:
Решите уравнение log₂ (х +1) — log₂ (х -2 ) = 2.
ОДЗ:
х+1>0;
х-2>0. х>1.
Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log₂= 2, откуда следует = 4.
Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 — верно
Ответ: х = 3.
С классом решить следующие уравнения:
а)log₅^{(х +1) + log₅(х +5) = 1 (ответ: х=0).}
б)log₉( 37-12х ) log_7-2х 3 = 1,
37-12х >0, х
7-2х >0, х
7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;
log₉( 37-12х ) / log₃ (7-2х ) = 1,
½ log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х ) ,
log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х )² ,
37-12х= 49 -28х +4х² ,
4х²-16х +12 =0,
х²-4х +3 =0, Д=19, х₁=1, х₂=3, 3 –посторонний корень .
Ответ: х=1 корень уравнения.
в) lg(х²-6х+9) — 2lg(х — 7) = lg9.
(х²-6х+9) >0, х≠ 3,
х-7 >0; х >7; х >7.
lg ((х-3)/(х-7))² = lg9
((х-3)/(х-7))² = 9,
(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= — 3 ,
х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,
х =9. х=6 — посторонний корень.
Проверка показывает 9 корень уравнения.
Ответ : 9
Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 14)
Пример:
Решите уравнение lg²х — 6lgх+5 = 0.
ОДЗ: х>0.
Пусть lgх = р, тогда р²-6р+5=0.
р₁=1, р₂=5.
Возвращаемся к замене:
lgх = 1, lgх =5
х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно
Ответ: 10, 100000
С классом решить следующее уравнение:
log₆² х + log₆ х +14 = (√16 – х²)² +х²,
16 – х²≥0 ; — 4≤ х ≤ 4;
х >0 , х >0, О.Д.З. [ 0,4).
log₆² х + log₆ х +14 = 16 – х² +х²,
log₆² х + log₆ х -2 = 0
заменим log₆ х = t
t ² + t -2 =0 ; D = 9 ; t₁=1 , t₂= -2.
log₆ х = 1 , х = 6 посторонний корень .
log₆ х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем .
Ответ : 1/36.
Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)
Пример:
Решите уравнение log₄(2х-1)∙ log₄х=2 log₄(2х-1)
ОДЗ:
2х-1>0;
х >0. х>½.
log₄(2х-1)∙ log₄х — 2 log₄(2х-1)=0
log₄(2х-1)∙(log₄х-2)=0
log₄(2х-1)=0 или log₄х-2=0
2х-1=1 log₄х = 2
х=1 х=16
1;16 – принадлежат ОДЗ
Ответ: 1;16
С классом решить следующее уравнение:
log₃х ∙log₃(3х-2)= log₃(3х-2) (ответ: х=1)
Метод логарифмирования обеих частей уравнения. (слайд № 16)
Пример:
Решите уравнения
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.
Получим log₃ = log₃ (3х)
.
получаем : log₃ х² log₃ х = log₃ (3х),
2log₃ х log₃ х = log₃ 3+ log₃ х,
2 log₃² х = log₃ х +1,
2 log₃² х — log₃ х -1=0,
заменим log₃ х = р , х >0
2 р ² + р -2 =0 ; D = 9 ; р₁=1 , р₂= -1/2
log₃ х = 1 , х=3,
log₃ х = -1/ 2 , х= 1/√3.
Ответ: 3 ; 1/√3
С классом решить следующее уравнение:
log₂х — 1
х = 64 (ответ: х=8 ; х=1/4)
Функционально – графический метод. (слайд № 17)
Пример:
Решите уравнения: log₃ х = 12-х.
Так как функция у= log₃ х возрастающая , а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.
Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log₃ х и у =12-х.
При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.
С классом решить следующее уравнение:
1-√х =ln х (ответ : х=1).
Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое настроение рисунком). (слайд № 18,19)
Определить метод решения уравнения:

Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)
Литература
Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/ А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002
Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16, 17, 20, 21, 47.
Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2004
Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004
Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.-М.: Наука, 1987
6
Предмет
Алгебра и начала математического анализа
Класс
10
Тема урока
«Способы решения логарифмических уравнений», 2 часа
Базовый учебник
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. / М. Просвещение 2014
log₈14 + log ₈32/7
log₃5 ∙ log₅3
5 ^log₅⁴⁹
8 ^l^о^g^{₈⁵^{— 1}}
25 ^–^log₅¹⁰
Изучение логарифмов в старшей школе
Понятие логарифма
При решении показательных уравнений удается представить обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями и рациональными показателями. Так, например, при решении уравнения мы заменяем степенью и из равенства степеней с одинаковыми основаниями делаем вывод о равенстве показателей: х = −5/6. Однако, чтобы решить, казалось бы, более простое уравнение 2^х= 3, стандартных знаний оказывается недостаточно. Дело в том, что число 3 нельзя представить в виде степени с основанием 2 и рациональным показателем.
Действительно, если бы равенство , где m и n — натуральные числа, было верным, то, возведя его в степень n, мы должны были бы получить верное равенство 2^m= 3ⁿ. Но последнее равенство неверно, так как левая его часть является четным числом, а правая — нечетным. Значит, не может быть верным и равенство .

С другой стороны, график непрерывной функции y = 2^x пересекается с прямой y = 3, и, значит, уравнение 2^x= 3 имеет корень. Таким образом, перед нами стоят два вопроса: «Как записать этот корень?» и «Как его вычислить?».
Показатель степени, в которую нужно возвести число a (a > 0, a ≠ 1), чтобы получить число b, называется логарифмом b по основанию a и обозначается log_ab.
Теперь мы можем записать корень уравнения 2^х= 3:
х = log_a3
Равенства a^x= b и x = log_ab, в которых число a положительно и не равно единице, число b положительно, а число x может быть любым, выражают одно и то же соотношение между числами a, b и x. Подставив в первое равенство выражение x из второго, получим основное логарифмическое тождество.

Понятие логарифма в методическом пособии
Задание
Решите уравнение: а) 2^x = 64; б) ; в) ; г) 4^x= 0; д) 7^x= −12.
После проверки ученикам предлагается ответить на вопрос, какое из заданий показалось им наиболее трудным. Вероятный ответ: 2 (в), так как в нем нужно было приводить дробь к степени числа 5. Затем школьникам предлагается высказать мнение о сравнительной с заданием 2 (в) трудности уравнения 2^x= 3. На первый взгляд кажется, что это уравнение проще, однако представить 3 в виде степени числа 2 школьникам не удается.
Дальше изучение нового материала проводится в соответствии с учебником. При этом в зависимости от уровня класса рассматривается или не рассматривается дополнительный материал о невозможности представления 3 в виде 2^r, где r = m/n.
После этого диалог с классом можно строить примерно так:
— Как вы думаете, имеет ли уравнение 2^x= 3 корень? Ответ обоснуйте. [Если построить график функции у = 2^x и провести прямую у = 3, то они пересекутся в одной точке, значит, уравнение имеет один корень.]
— Что можно сказать о корне уравнения a^x = b, где а > 0 и а ≠ 1? При всех ли значениях b оно имеет корни?
Затем вводится определение логарифма числа b по основанию а и записывается основное логарифмическое тождество . При этом выписывание равенства происходит синхронно с повторным чтением определения теперь уже в обратном, по сравнению с учебником, порядке. Теперь можно записать корень уравнения 2^х= 3: х = log_a3 и предложить школьникам серию самостоятельных работ.
Логарифмическая функция

Выразим x из равенства y = log_ax, получим x = a^y. Последнее равенство задает функцию x = a^y, график которой симметричен графику показательной функции y = a^x относительно прямой y = x.
Показательная функция x = a^y является монотонной, и, значит, разные значения y соответствуют разным значениям x, но это говорит о том, что y = log_ax, в свою очередь, является функцией x.
Показательная функция y = a^x и логарифмическая функция y = log_ax являются взаимно обратными. Сравнивая их графики, можно отметить некоторые основные свойства логарифмической функции.
Свойства функции y = log_ax, a > 0, a ≠ 11:
Функция y = log_ax определена и непрерывна на множестве положительных чисел.

Область значений функции y = log_ax — множество действительных чисел.

При 0 < a < 1 функция y = log_ax является убывающей; при a > 1 функция y = log_ax является возрастающей.

График функции y = log_ax проходит через точку (1; 0).

Ось ординат — вертикальная асимптота графика функции y = log_a.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс. Учебник
Учебник входит в учебно-методический комплекс по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на углубленном уровне. Теоретический материал в нем разделен на обязательный и дополнительный. Каждая глава завершается домашней контрольной работой, а каждый пункт главы — контрольными вопросами и заданиями. Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, имеет гриф «Рекомендовано» и включен в Федеральный перечень учебников.
Купить
Решение логарифмических уравнений и неравенств на основе свойств логарифмической функции
Освобождаясь от внешнего логарифма, имеющего основание 3, мы ссылаемся на возрастание соответствующей логарифмической функции, то есть на то, что большему значению логарифма соответствует большее значение выражения, стоящего под его знаком. Однако следует иметь в виду, что если функцию y = log₃ log_0,5(2x + 1) считать логарифмической, то ее аргумент не переменная x, а все выражение log_0,5(2x + 1). Если же все-таки рассматривать x как аргумент функции y = log₃ log_0,5(2x + 1), то эта функция окажется убывающей, так как при увеличении значения x увеличивается значение выражения 2x + 1, уменьшается значение выражения log_0,5(2x + 1) и, соответственно, уменьшается значение самой функции.
Свойства логарифмов
Связь двух форм записи соотношения между числами a, b и x (речь о a^x= b и x = log_ab) позволяет получить свойства логарифмов, основываясь на известных свойствах степеней.
Рассмотрим, например, произведение степеней с одинаковым основанием: a^xa^y. Пусть a ^x = b и a ^y = c. Перейдем к логарифмической форме: x = log_ab и y = log_ac, тогда bc = a ^log_a^b × a ^log_a^c = a ^log_a^{b +} ^log_a^c. От показательной формы равенства bc = a ^log_a^{b +} ^log_a^c перейдем к логарифмической форме:
log_a(bc) = log_ab + log_ac
Заметим, что в левой части формулы числа a и b могут быть отрицательными. Тогда формула будет выглядеть так:
log_a(bc) = log_a|b| + log_a|c|
Аналогично можно получить еще два свойства для логарифмов частного и степени.
логарифм произведения log_a (bc) = log_a |b| + log_a |c|

логарифм частного

логарифм степени log_ab^p= p log_a|b|

Последнее свойство дает возможность вывести важную формулу, с помощью которой можно выразить логарифм с одним основанием через логарифм с другим основанием.
Пусть log_ab = x. Перейдем к показательной форме a^x= b. Прологарифмируем это равенство по основанию c, т.е. найдем логарифмы с основанием c обеих частей этого равенства: log_ca^x= log_cb. Применяя к левой части свойство логарифма степени, получим x log_ca = log_cb или , откуда .
Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Полезно запомнить частный случай формулы перехода, когда одно из оснований является степенью другого:

Рассмотренные свойства и формула перехода «работают», конечно, только когда все входящие в них выражения имеют смысл.
Что ещё почитать?
Логарифмы на ЕГЭ
Логарифмы встречаются на ЕГЭ: как во второй части (обычно, это задание 15), так и, реже, в первой части. Задания из аттестации — одно из средств мотивации детей на уроках. Зная, что упражнение на доске аналогично заданию ЕГЭ, ученик будет внимательнее следить за его решением.
Разберем несколько таких заданий.
Из первой части (определение логарифма на ЕГЭ профильного уровня)
Решите уравнение log₃(x+1)²+ log₃|x+1| = 6 . Если корней несколько, укажите наименьший из них.
Решение. Решаем квадратное относительно log₃|x+1| уравнение. Его корни 2 и −3.
log₃|x+1| = 2, |x+1| = 9, x = −10 — это наименьший из корней.
Ответ: −10.
Из второй части (логарифмическое неравенство на ЕГЭ профильного уровня)
Решите неравенство .
Решение. ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Перейдем к логарифмам по основанию 10:
;
;
Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы уйти от радикала:
;
Нули числителя: 2/3, 3, с учетом положительности x, нуль заменяется на 1.
Ответ:
Алгебра в таблицах. 7-11 классы. Справочное пособие
Пособие содержит таблицы по всем наиболее важным разделам школьного курса арифметики, алгебры, начал анализа. В таблицах кратко изложена теория по каждой теме, приведены основные формулы, графики и примеры решения типовых задач. В конце книги помещен предметный указатель. Пособие будет полезно учащимся 7-11 классов, абитуриентам, студентам, учителям и родителям.
Купить
Из второй части (логарифмическое уравнение с параметром на ЕГЭ профильного уровня)
Найдите все значения a, для которых при любом положительном значении b уравнение имеет хотя бы одно решение, меньше 1/3.
Решение. Найдем ОДЗ:
Стандартно приводим логарифмы к одному основанию
,
.
Получили квадратное уравнение относительно .
Оно должно иметь корень при
Обозначим, что и рассмотрим квадратичную функцию y = t²— bt — 2a.
Ветви ее графика направлены вверх, а вершина, поскольку b > 0, расположена в левой координатной полуплоскости. Первая ветвь параболы пересекает ось абсцисс правее t = 0, значит при t = 0 y < 0. Получаем −2a < 0 a > 0.
Ответ: a > 0.
Учебник «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс» схож по структуре с учебником базового уровня, однако предполагает больше часов на изучение сложных задач. Эти и другие издания линейки вы можете апробировать прямо сейчас, воспользовавшись акцией «5 учебников бесплатно». Методическое пособие представлено в свободном доступе. Приглашаем познакомиться с другими вебинарами экспертов и порекомендовать нам интересующую вас тему для последующих трансляций.
#ADVERTISING_INSERT#

Решение логарифмических функций — объяснения и примеры
В этой статье мы узнаем, как вычислять и решать логарифмические функции с неизвестными переменными.
Логарифмы и экспоненты — две тесно связанные между собой темы в математике. Поэтому полезно взять краткий обзор показателей.
Показатель степени — это форма записи многократного умножения числа на само себя. Показательная функция имеет вид f (x) = b ^y, где b> 0
Например, , 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 ².
Экспоненциальная функция 2 ² читается как « два в степени пяти, » или « два в возведении в пятерку » или « два в пятой степени. ”
С другой стороны, логарифмическая функция определяется как функция, обратная возведению в степень. Снова рассмотрим экспоненциальную функцию f (x) = b ^y, где b> 0
y = журнал _b x
Тогда логарифмическая функция имеет вид;
f (x) = log _b x = y, где b — основание, y — показатель степени, а x — аргумент.
Функция f (x) = log _b x читается как «log base b of x». Логарифмы полезны в математике, потому что они позволяют нам выполнять вычисления с очень большими числами.
Как решать логарифмические функции?
Для решения логарифмических функций важно использовать экспоненциальные функции в данном выражении.Натуральное бревно или ln — это обратное значение e . Это означает, что один может отменить другой, то есть
ln (e ^x) = x
e ^{ln x} = x
Чтобы решить уравнение с логарифмом (ами), важно знать их свойства.
Свойства логарифмических функций
Свойства логарифмических функций — это просто правила для упрощения логарифмов, когда входные данные имеют форму деления, умножения или показателя степени логарифмических значений.
Некоторые из объектов недвижимости перечислены ниже.
Правило произведения логарифмов гласит, что логарифм произведения двух чисел, имеющих общее основание, равен сумме отдельных логарифмов.
⟹ log _a (p q) = log _a p + log _a q.
Правило частного логарифмов гласит, что логарифм отношения двух чисел с одинаковыми основаниями равен разности каждого логарифма.
⟹ log _a (p / q) = log _a p — log _a q
Правило степени логарифма утверждает, что логарифм числа с рациональной экспонентой равен произведению показателя степени и его логарифма.
⟹ журнал _a (p ^q) = q журнал _a p
⟹ журнал _a p = журнал _x p ⋅ журнал _a x
⟹ log _q p = log _x p / log _x q
⟹ журнал _p 1 = 0.
Другие свойства логарифмических функций включают:
Основания экспоненциальной функции и ее эквивалентной логарифмической функции равны.
Логарифмы положительного числа по основанию того же числа равны 1.
журнал _a a = 1
Логарифмы от 1 до любого основания равны 0.
log _a 1 = 0
Журнал _a 0 не определено
Логарифмы отрицательных чисел не определены.
Основание логарифмов никогда не может быть отрицательным или 1.
Логарифмическая функция с основанием 10 называется десятичным логарифмом. Всегда принимайте основание 10 при решении с помощью логарифмических функций без маленького индекса для основания.
Сравнение экспоненциальной функции и логарифмической функции
Каждый раз, когда вы видите логарифмы в уравнении, вы всегда думаете о том, как отменить логарифм, чтобы решить уравнение. Для этого вы используете экспоненциальную функцию . Обе эти функции взаимозаменяемы.
В следующей таблице описан способ записи и перестановки экспоненциальных функций и логарифмических функций . В третьем столбце рассказывается о том, как читать обе логарифмические функции.
Экспоненциальная функция Логарифмическая функция Читать как
8 ² = 64 журнал ₈ 64 = 2 журнал, основание 8 из 64
10 ³ = 1000 журнал 1000 = 3 лог по основанию 10 из 1000
10 ⁰ = 1 журнал 1 = 0 лог по основанию 10 из 1
25 ^{2 =} 625 журнал ₂₅ 625 = 2 бревно, база 25 из 625
12 ² = 144 журнал ₁₂ 144 = 2 бревно, основание 12 из 144
Давайте воспользуемся этими свойствами для решения пары задач, связанных с логарифмическими функциями.
Пример 1
Записываем экспоненциальную функцию 7 ² = 49 в ее эквивалентную логарифмическую функцию.
Раствор
Дано 7 ² = 64.
Здесь основание = 7, показатель степени = 2 и аргумент = 49. Следовательно, 7 ² = 64 в логарифмической функции;
⟹ лог ₇ 49 = 2
Пример 2
Запишите логарифмический эквивалент 5 ³ = 125.
Раствор
База = 5;
показатель степени = 3;
и аргумент = 125
5 ³ = 125 ⟹ лог ₅ 125 = 3
Пример 3
Решить относительно x в журнале ₃ x = 2
Раствор
журнал ₃ x = 2
3 ² = x
⟹ x = 9
Пример 4
Если 2 log x = 4 log 3, найдите значение «x».
Раствор
2 журнала x = 4 журнала 3
Разделите каждую сторону на 2.
журнал x = (4 журнал 3) / 2
журнал x = 2 журнал 3
журнал x = журнал 3 ²
журнал x = журнал 9
х = 9
Пример 5
Найдите логарифм 1024 по основанию 2.
Раствор
1024 = 2 ¹⁰
журнал ₂ 1024 = 10
Пример 6
Найдите значение x в журнале ₂ ( x ) = 4
Раствор
Перепишите логарифмическую функцию log ₂ ( x ) = 4 в экспоненциальную форму.
2 ⁴ = x
16 = x
Пример 7
Найдите x в следующей логарифмической функции log ₂ (x — 1) = 5.
Решение
Записываем логарифм в экспоненциальной форме как;
журнал ₂ (x — 1) = 5 ⟹ x — 1 = 2 ⁵
Теперь решите относительно x в алгебраическом уравнении.
⟹ х — 1 = 32
х = 33
Пример 8
Найдите значение x в логарифме x 900 = 2.
Раствор
Запишите логарифм в экспоненциальной форме как;
х ² = 900
Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы получить;
x = -30 и 30
Но поскольку основание логарифмов никогда не может быть отрицательным или 1, то правильный ответ — 30.
Пример 9
Решить относительно заданного x, log x = log 2 + log 5
Раствор
Используя правило продукта Log _b (m n) = log _b m + log _b n получаем;
⟹ журнал 2 + журнал 5 = журнал (2 * 5) = журнал (10).
Следовательно, x = 10.
Пример 10
Журнал решения _x (4x — 3) = 2
Раствор
Записываем логарифм в экспоненциальной форме, чтобы получить;
x ² = 4x — 3
Теперь решите квадратное уравнение.
x ² = 4x — 3
x ² — 4x + 3 = 0
(x -1) (x — 3) = 0
x = 1 или 3
Поскольку основание логарифма никогда не может быть 1, единственное решение — 3.
Практические вопросы
1. Выразите следующие логарифмы в экспоненциальной форме.
а. 1ог ₂ 6
г. журнал ₉ 3
г. журнал ₄ 1
г. журнал ₆ 6
e. журнал ₈ 25
ф. журнал ₃ (-9)
2. Найдите x в каждом из следующих логарифмов
а. журнал ₃ (x + 1) = 2
г. журнал ₅ (3x — 8) = 2
г.журнал (x + 2) + журнал (x — 1) = 1
г. журнал x ⁴ — журнал 3 = журнал (3x ²)
3. Найдите значение y в каждом из следующих логарифмов.
а. журнал ₂ 8 = y
г. журнал ₅ 1 = y
г. журнал ₄ 1/8 = y
г. журнал y = 100000
4. Решите относительно xif log _x (9/25) = 2.
5. Решить журнал ₂ 3 — журнал ₂ 24
6. Найдите значение x в следующем логарифме log ₅ (125x) = 4
7.Учитывая, что Log ₁₀ 2 = 0,30103, Log ₁₀ 3 = 0,47712 и Log ₁₀ 7 = 0,84510, решите следующие логарифмы:
а. журнал 6
г. журнал 21
г. журнал 14
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Вопросы по логарифму — Вопросы, основанные на логарифме и решениях
В доске CBSE главы логарифма включены в программу 9, 10 и 11 класса.Учащимся 9 класса впервые будут представлены вопросы и ответы по логарифму. Следовательно, тщательная практика решения логарифмических задач и ответов требует времени.
Однако, прежде чем перейти к главе, посвященной логарифму, учащиеся должны быть абсолютно ясны в основных понятиях. Только тогда решение сложных логарифмических вопросов станет значительно проще.
Вопросы, основанные на логарифме
Вот несколько вопросов, связанных с логарифмом, которые могут дать учащимся некоторое представление.
Вопрос 1: Найдите неверное утверждение снизу —
(a) log (1 + 2 + 3) = log 1 + log 2 + log 3
(b) log (2 + 3) = log (2 x 3)
(c) log10 10 = 1
(d) log10 1 = 0
Решение: ответ: вариант (b) log (2 + 3) = log (2 x 3).
Вопрос 2: Каково значение log5512, когда log 2 = 0,3010 и log 3 = 0,4771?
(а) 3,912
(б) 3,876
(в) 2,967
(г) 2,870
Решение: ответ — вариант (б) 3.876.
Вопрос 3: Найдите значение log 9, когда log 27 составляет 1,431.
(а) 0,954
(б) 0,945
(в) 0,958
(г) 0,934
Решение: ответ — вариант (а) 0,954.
Вопрос 4. Каково значение log2 10, когда log10 2 = 0,3010?
(a) 1000/301
(b) 699/301
(c) 0,6990
(d) 0,3010
Решение: ответ — вариант (a) 1000/301.
Вопрос 5: Каково значение log10 80, когда log10 2 = 0.3010?
(a) 3,9030
(b) 1,9030
(c) 1,6020
(d) Ни один из вышеперечисленных вариантов
Решение: Ответ — вариант (b) 1.9030.
Вопрос 6: Сколько цифр в 264, если log 2 = 0,30103?
(a) 21
(b) 20
(c) 18
(d) 19
Решение: ответ — вариант (b) 20.
Вопрос 7: Что из следующего верно, если топор = по?
(a) log a / log b = x / y
(b) log a / b = x / y
(c) log a / log b = y / x
(d) Ничего из вышеперечисленного option
Решение: Ответ: вариант (c) log a / log b = y / x.
Вопрос 8: Каково значение log2 16?
(a) 8
(b) 4
(c) 1/8
(d) 16
Решение: Ответ: (b) 4.
Вопрос 9: Найдите значение y, если logx y = 100 и log2 x = 10.
(a) 21000
(b) 210
(c) 2100
(d) 210000
Решение: ответ — вариант (a) 21000.
Вопрос 10: Найдите значение log10 (0,0001).
(a) — 1/4
(b) 1/4
(c) 4
(d) — 4
Решение: ответ — вариант (d) — 4.
Вопрос 11: Каково значение x, когда log2 [log3 (log2x)] = 1?
(a) 512
(b) 12
(c) 0
(d) 128
Решение: ответ — вариант (a) 512.
Вопрос студентов по логарифмическим вопросам можно пояснить в Веданту. онлайн-классы. У вас также есть возможность скачать материалы в формате PDF с официального сайта. Загрузите приложение сегодня!
Log-Base-10 — Алгебра II
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Обогащение: подробнее о логарифмах | Функции
\ (\ log_ {3} {a} — \ log {\ text {1,2}} = 0 \)
\ begin {align *} \ log_ {3} {a} — \ log {\ text {1,2}} & = 0 \\ \ log_ {3} {a} & = \ log {\ text {1,2}} \\ \ text {Перейти к экспоненциальной форме:} & \\ 3 ^ {\ log {\ text {1,2}}} & = a \\ \ поэтому a & = \ text {1,09} \ end {выровнять *}
Альтернативный (более длинный) метод:
\ begin {align *} \ log_ {3} {a} — \ log {\ text {1,2}} & = 0 \\ \ log_ {3} {a} & = \ log {\ text {1,2}} \\ \ frac {\ log {a}} {\ log {3}} & = \ log {\ text {1,2}} \\ \ log {a} & = \ log {3} \ times \ log {\ text {1,2}} \\ \ log {a} & = \ text {0,037} \ ldots \\ \ поэтому a & = \ text {1,09} \ end {выровнять *}
\ (\ log_ {2} {(a — 1)} = \ text {1,5} \)
\ begin {align *} \ log_ {2} {(a — 1)} & = \ text {1,5} \\ \ text {Перейти к экспоненциальной форме:} & \\ 2 ^ {\ text {1,5}} & = a — 1 \\ 2 ^ {\ text {1,5}} + 1 & = a \\ \ поэтому a & = \ text {3,83} \ end {выровнять *}
Альтернативный (более длинный) метод:
\ begin {align *} \ log_ {2} {(a — 1)} & = \ text {1,5} \\ \ frac {\ log {(a — 1)}} {\ log {2}} & = \ text {1,5} \\ \ log {(a — 1)} & = \ log {2} \ times \ text {1,5} \\ \ поэтому a — 1 & = \ text {2,83} \ ldots \\ \ поэтому a & = \ text {3,83} \ end {выровнять *}
\ (\ log_ {2} {a} — 1 = \ text {1,5} \)
\ begin {align *} \ log_ {2} {a — 1} & = \ text {1,5} \\ \ log_ {2} {a} & = \ text {2,5} \\ \ text {Перейти к экспоненциальной форме:} & \\ 2 ^ {\ text {2,5}} & = а \\ \ поэтому a & = \ text {5,66} \ end {выровнять *}
Альтернативный (более длинный) метод:
\ begin {align *} \ log_ {2} {a} — 1 & = \ text {1,5} \\ \ frac {\ log {a}} {\ log {2}} & = \ text {2,5} \\ \ log {a} & = \ log {2} \ times \ text {2,5} \\ \ поэтому a & = \ text {5,66} \ end {выровнять *}
\ (3 ^ {a} = \ text {2,2} \)
\ begin {align *} 3 ^ {a} & = \ text {2,2} \\ \ поэтому a & = \ log_ {3} {\ text {2,2}} \\ & = \ frac {\ log {\ text {2,2}}} {\ log {3}} \\ \ поэтому a & = \ text {0,72} \ end {выровнять *}
\ (2 ^ {(a + 1)} = \ text {0,7} \)
\ begin {align *} 2 ^ {(a + 1)} & = \ text {0,7} \\ \ поэтому a + 1 & = \ log_ {2} {\ text {0,7}} \\ \ поэтому a & = \ frac {\ log {\ text {0,7}}} {\ log {2}} — 1 \\ & = — \ text {1,51} \ end {выровнять *}
\ ((\ text {1,03}) ^ {\ frac {a} {2}} = \ text {2,65} \)
\ begin {align *} (\ text {1,03}) ^ {\ frac {a} {2}} & = \ text {2,65} \\ \ поэтому \ frac {a} {2} & = \ log _ {\ text {1,03}} {\ text {2,65}} \\ \ поэтому a & = 2 \ times \ frac {\ log {\ text {2,65}}} {\ log {\ text {1,03}}} \\ & = \ text {65,94} \ end {выровнять *}
\ ((\ text {9}) ^ {(1 — 2a)} = \ text {101} \)
\ begin {align *} (\ text {9}) ^ {(1 — 2a)} & = \ text {101} \\ \ поэтому 1 — 2a & = \ log _ {\ text {9}} {\ text {101}} \\ \ поэтому 1 — \ frac {\ log {\ text {101}}} {\ log {\ text {9}}} & = 2a \\ — \ text {1,10} \ ldots & = 2a \\ \ поэтому — \ text {0,55} & = a \ end {выровнять *}
Свойства логарифмов | Колледж алгебры
Результаты обучения
Перепишите логарифмическое выражение, используя правило степени, правило произведения или правило частного. {1} = 5 [/ latex].{{\ mathrm {log}} _ {e} 7} = 7 [/ латекс].
Наконец, у нас есть свойство однозначно .
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} M = {\ mathrm {log}} _ {b} N \ text {тогда и только тогда, когда} \ text {} M = N [/ latex]
Мы можем использовать однозначное свойство для решения уравнения [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (3x \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (2x + 5 \ right) [/ latex] для x . Поскольку основы одинаковы, мы можем применить свойство «один к одному», установив равные аргументы и решив для x :
[латекс] \ begin {array} {l} 3x = 2x + 5 \ hfill & \ text {Установите равные аргументы} \ text {.} \ hfill \\ x = 5 \ hfill & \ text {Вычесть 2} x \ text {.} \ hfill \ end {array} [/ latex]
А как насчет уравнения [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (3x \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (2x + 5 \ right) = 2 [/латекс]? Свойство «один к одному» в данном случае нам не помогает. {a + b} [/ латекс].У нас есть аналогичное свойство для логарифмов, которое называется правилом произведения для логарифмов , которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Поскольку бревна — это экспоненты, и мы умножаем их как основания, мы можем складывать экспоненты. Мы будем использовать обратное свойство для вывода правила произведения ниже.
Для любого действительного числа x и положительных вещественных чисел M , N и b , где [latex] b \ ne 1 [/ latex], мы покажем
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (MN \ right) \ text {=} {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (M \ right) + {\ mathrm { log}} _ {b} \ left (N \ right) [/ latex].{m + n} \ right) \ hfill & \ text {Применить правило продукта для показателей степени}. \ hfill \\ \ hfill & = m + n \ hfill & \ text {Применить обратное свойство журналов}. \ hfill \ \ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (M \ right) + {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (N \ right) \ hfill & \ text {Заменить на } m \ text {и} n. \ hfill \ end {array} [/ latex]
Обратите внимание, что повторное применение правила произведения для логарифмов позволяет упростить логарифм произведения любого количества факторов. Например, рассмотрим [латекс] \ mathrm {log} _ {b} (wxyz) [/ latex].Используя правило продукта для логарифмов, мы можем переписать этот логарифм продукта как сумму логарифмов его множителей:
[латекс] \ mathrm {log} _ {b} (wxyz) = \ mathrm {log} _ {b} w + \ mathrm {log} _ {b} x + \ mathrm {log} _ {b} y + \ mathrm { log} _ {b} z [/ латекс]
Общее примечание: правило произведения логарифмов
Правило произведения для логарифмов можно использовать для упрощения логарифма произведения, переписав его как сумму отдельных логарифмов.
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (MN \ right) = {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (M \ right) + {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (N \ right) \ text {for} b> 0 [/ latex]
Пример: использование правила произведения для логарифмов
Разверните [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (30x \ left (3x + 4 \ right) \ right) [/ latex].
Показать решение
Начнем с написания уравнения равных сумм логарифмов каждого множителя.
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (30x \ left (3x + 4 \ right) \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (30x \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (3x + 4 \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (30 \ right) + {\ mathrm {log}} _ { 3} \ left (x \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (3x + 4 \ right) [/ latex]
Последнее расширение выглядит так. Обратите внимание, как коэффициент [латекс] 30x [/ latex] можно разложить до суммы двух логарифмов:
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (30 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (x \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (3x + 4 \ right) [/ латекс]
Попробуйте
Разверните [латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (8k \ right) [/ latex].{a-b} [/ латекс]. Правило частного для логарифмов говорит, что логарифм частного равен разности логарифмов. Как и в случае с правилом произведения, мы можем использовать обратное свойство для получения правила частного.
Для любого действительного числа x и положительных вещественных чисел M , N и b , где [latex] b \ ne 1 [/ latex], мы покажем
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (\ frac {M} {N} \ right) \ text {=} {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (M \ справа) — {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (N \ right) [/ latex].{2} + 6x} {3x + 9} \ right) & = \ mathrm {log} \ left (\ frac {2x \ left (x + 3 \ right)} {3 \ left (x + 3 \ right)} \ right) \ hfill & \ text {Разложите числитель и знаменатель на множители}. \ hfill \\ & \ text {} = \ mathrm {log} \ left (\ frac {2x} {3} \ right) \ hfill & \ text {Отменить общие множители}. \ Hfill \ end {array} [/ latex]
Затем мы применяем правило частного, вычитая логарифм знаменателя из логарифма числителя. Затем применяем правило продукта.
[латекс] \ begin {array} {lll} \ mathrm {log} \ left (\ frac {2x} {3} \ right) & = \ mathrm {log} \ left (2x \ right) — \ mathrm {log } \ left (3 \ right) \ hfill \\ \ text {} & = \ mathrm {log} \ left (2 \ right) + \ mathrm {log} \ left (x \ right) — \ mathrm {log} \ слева (3 \ справа) \ hfill \ end {array} [/ latex]
Общее примечание: Правило частного для логарифмов
Правило частного для логарифмов можно использовать для упрощения логарифма или частного, переписав его как разность отдельных логарифмов.
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (\ frac {M} {N} \ right) = {\ mathrm {log}} _ {b} M — {\ mathrm {log}} _ {b} N [/ латекс]
Как сделать: учитывая логарифм частного, используйте правило частного логарифмов, чтобы записать эквивалентную разницу логарифмов
Выразите аргумент в наименьших числах, разложив числитель и знаменатель на множители и исключив общие термины.
Напишите эквивалентное выражение, вычтя логарифм знаменателя из логарифма числителя.
Убедитесь, что каждый член полностью раскрыт. Если нет, примените правило произведения для логарифмов, чтобы полностью раскрыть логарифм.
Пример: использование правила частного для логарифмов
Разверните [латекс] {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (\ frac {15x \ left (x — 1 \ right)} {\ left (3x + 4 \ right) \ left (2-x \ right)} \ right) [/ латекс].
Показать решение
Сначала отметим, что частное факторизуется в наименьших значениях, поэтому мы применяем правило частного.
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (\ frac {15x \ left (x — 1 \ right)} {\ left (3x + 4 \ right) \ left (2-x \ right) )} \ right) = {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (15x \ left (x — 1 \ right) \ right) — {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (\ left (3x + 4 \ right) \ left (2-x \ right) \ right) [/ латекс]
Обратите внимание, что полученные члены являются логарифмами произведений.Для полного расширения мы применяем правило продукта.
[латекс] \ begin {array} {l} {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (15x \ left (x — 1 \ right) \ right) — {\ mathrm {log}} _ {2 } \ left (\ left (3x + 4 \ right) \ left (2-x \ right) \ right) \\\ text {} = \ left [{\ mathrm {log}} _ {2} \ left (15 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (x \ right) + {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (x — 1 \ right) \ right] — \ left [ {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (3x + 4 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (2-x \ right) \ right] \ hfill \\ \ text {} = {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (15 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (x \ right) + {\ mathrm {log}} _ { 2} \ left (x — 1 \ right) — {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (3x + 4 \ right) — {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (2-x \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]
Анализ решения
В этом и последующих примерах есть исключения. {2} + 21x} {7x \ left (x — 1 \ right) \ left (x — 2 \ right)} \ right) [/ латекс].{2} \ right) \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (x \ cdot x \ right) \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} x + {\ mathrm {log}} _ {b} x \ hfill \\ \ hfill & = 2 {\ mathrm {log}} _ {b} x \ hfill \ end {array} [/ latex]
Обратите внимание, что мы использовали правило произведения для логарифмов , чтобы найти решение для приведенного выше примера. Таким образом, мы вывели правило мощности для логарифмов , которое гласит, что логарифм степени равен экспоненте, умноженной на логарифм основания. Имейте в виду, что хотя вход логарифма не может быть записан как степень, мы можем изменить его на степень.{2}} \ right) [/ латекс].
Показать решение
[латекс] -2 \ mathrm {ln} \ left (x \ right) [/ latex]
Внесите свой вклад!
У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Основы — примеры проблем с решениями
Логарифм
Логарифм положительного числа x по основанию a (a — положительное число, не равное 1) — это степень y, до которой необходимо возвести основание a, чтобы получить число x.

log _a x = y, потому что a ^y = x a> 0 и a ≠ 1
Свойства логарифмов:
1. Запишем в виде логарифмов:

10 ² = 100 лог ₁₀ 100 = 2
4 ⁵ = 1024 журнал ₄ 1024 = 5
13 ⁰ = 1 лог ₁₃ 1 = 0
10 ^-3 = 0,001 лог ₁₀ 0,001 = -3
64 ^0,5 = 8 лог ₆₄ 8 = 0,5
5 ^-2 = 0,04 лог ₅ 0,04 = -2
2.Решите и объясните причину:

журнал ₁₀ 1000 журнал ₁₀ 1000 = 3, потому что 10 ³ = 1000
журнал ₃ 81 журнал ₃ 81 = 4, потому что 3 ⁴ = 81
log ₂ 0,5 log ₂ 0,5 = -1, потому что 2 ^-1 = 0,5
журнал ₁₇ 1 журнал ₁₇ 1 = 0, потому что 17 ⁰ = 1
журнал ₁₁ 11 журнал ₁₁ 11 = 1, потому что 11 ¹ = 11
log ₅ 0,2 log ₅ 0,2 = -1, потому что5 ^-1 = 0,2
журнал ₁₅ 0 журнал ₁₅ 0 =
журнал ₅ (-25) журнал ₅ (-25) = n0
log _0,4 0,4 log _0,4 0,4 = 1, потому что 0,4 ¹ = 0,4
журнал ₁ 49 журнал ₁ 49 = 0 не определено
3.Определите x:

журнал ₂ x = 3 x = 2 ³ = 8
журнал ₁₀ x = -4 x = 10 ^-4 = 0,0001
журнал ₁₆ x = 0,5 x = 16 ^0,5 = 4
журнал ₂₀ x = 1 x = 20 ¹ = 20
журнал ₂₅ x = -0,5 x = 25 ^-0,5 = 0,2
журнал _0,2487 x = 0 x = 0,2487 ⁰ = 1
4. Определите:

журнал _a 25 = 2 a = 5
журнал _a 81 = 4 a = 3
журнал _a 100000 = 5 a = 10
журнал _a 512 = 3 a = 8
журнал _a 0,01 = -2 a = 10
журнал _a 5 = 0,5 a = 25
журнал _a 36 = 2 a = 6
журнал _a 64 = 1 a = 64
5.Логарифмируем следующие выражения (с основанием a)
6. Определите x:
7. Пронумеруйте выражение:

Решение:
Причина:

8. Логарифмируем выражение (с основанием a):
Решение:

9. Пронумеруйте выражение:

Решение:
Причина:

10.Перечислите выражение:

Решение:

Причина:

11. Используйте десятичный логарифм, чтобы решить уравнение:

Решение:

12. Используйте десятичный логарифм, чтобы решить уравнение:

Решение:

13. Используйте десятичный логарифм, чтобы решить уравнение:

Решение:

14.За t = 50 часов активность радиоактивного натрия снижается до 1/10 от исходного значения. x \), где \ (x \) представляет количество недель, в течение которых прошли.Икс . \ nonumber \]
Хотя мы создали экспоненциальные модели и использовали их для прогнозов, вы, возможно, заметили, что решение экспоненциальных уравнений еще не упоминалось. Причина проста: ни один из рассмотренных до сих пор алгебраических инструментов не достаточен для решения экспоненциальных уравнений. Рассмотрим уравнение 2 ^x = 10 выше. Мы знаем, что 2 ³ = 8 и 2 ⁴ = 16, поэтому ясно, что x должно быть некоторым значением от 3 до 4, поскольку g ( x ) = 2 ^x — это увеличивается.Мы могли бы использовать технологию для создания таблицы значений или графика, чтобы лучше оценить решение, но мы хотели бы найти алгебраический способ решения уравнения.
Нам нужна операция, обратная возведению в степень, чтобы найти переменную, если переменная находится в экспоненте. Как мы узнали на уроке алгебры (предварительное условие для этого конечного курса математики), обратная функция для экспоненциальной функции является логарифмической функцией.
Мы также узнали, что экспоненциальная функция имеет обратную функцию, потому что каждое выходное значение (y) соответствует только одному входному значению (x).Этому свойству присвоено имя «один к одному».
Источник: Материал в этом разделе учебника взят из книги Дэвида Липпмана и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: Исследование функций, «Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции» под лицензией Creative Commons CC BY-SA 3.0 лицензия. Приведенный здесь материал основан на материалах, содержащихся в этом учебнике, но был изменен Робертой Блум в соответствии с этой лицензией.
Логарифм
Логарифм (основание b ), записанный журнал _b ( x ), является обратной экспоненциальной функции (основание b ), b ^x .{\ log_ {b} (x)} = x \ nonumber \]
Поскольку журнал является функцией, его наиболее правильно записать как журнал _b ( c ), используя круглые скобки для обозначения оценки функции, как и в случае с f (c) . {- 3} = \ frac {1} {1000} \)
Решение
а.{2} = 9 \)
Установив связь между экспоненциальными и логарифмическими функциями, теперь мы можем решать основные логарифмические и экспоненциальные уравнения путем переписывания.
Пример \ (\ PageIndex {3} \)
Журнал решения ₄ ( x ) = 2 для x .
Решение
Переписав это выражение в экспоненту, 4 ² = x , поэтому x = 16
Пример \ (\ PageIndex {4} \)
Решите 2 ^x = 10 для x .
Решение
Переписав это выражение в виде логарифма, мы получим x = log ₂ (10)
Хотя это и определяет решение, вы можете найти его несколько неудовлетворительным, поскольку трудно сравнить это выражение с десятичной оценкой, которую мы сделали ранее. Кроме того, предоставление точного выражения для решения не всегда полезно — часто нам действительно нужно десятичное приближение к решению. К счастью, это задача, с которой калькуляторы и компьютеры неплохо справляются.К несчастью для нас, большинство калькуляторов и компьютеров оценивают только логарифмы двух оснований: 10 и и . К счастью, это не проблема, так как вскоре мы увидим, что можем использовать формулу «изменения основания» для вычисления логарифмов для других оснований.
Обычный и натуральный логарифмы
Общий журнал представляет собой логарифм с основанием 10 и обычно записывается как \ (\ log (x) \), а иногда как \ (\ log_ {10} (x) \). Если база не указана в функции журнала, то используется база b \ (b = 10 \).
натуральный логарифм — это логарифм с основанием \ (e \), обычно записывается как \ (\ ln (x) \).
Обратите внимание, что для любой другой базы b, кроме 10, база должна быть указана в виде \ (\ log_b (x) \).
Пример \ (\ PageIndex {5} \)
Оцените \ (\ log (1000) \), используя определение общего журнала.
Решение
В таблице приведены значения общего журнала
номер
число в виде экспоненты
журнал (номер )
1000
10 ³
3
100
10 ²
2
10
10 ¹
1
1
10 ⁰
0
0.1
10 ^-1
–1
0,01
10 ^-2
-2
0,001
10 ^-3
-3
Чтобы оценить log (1000), мы можем сказать
\ [x = \ log (1000) \ nonumber \]
Затем перепишите уравнение в экспоненциальной форме, используя общий логарифм с основанием 10
. 5 \)
\ (\ ln \ sqrt {e} \)
Решение
а.{1/2} \ right) = 1/2 \ nonumber \]
Пример \ (\ PageIndex {8} \)
Оцените следующее с помощью калькулятора или компьютера:
\ (\ лог 500 \)
\ (\ ln 500 \)
Решение
а. Используя кнопку LOG на калькуляторе для вычисления логарифмов по основанию 10, мы вычисляем LOG (500)
Ответ: \ (\ log 500 \ приблизительно 2.69897 \)
г. Используя клавишу LN на калькуляторе для вычисления натуральных логарифмов , , мы вычисляем LN (500)
Ответ: \ (\ ln 500 \ примерно 6.{x} = \ log _ {c} A \).
Теперь используется свойство экспоненты для журналов с левой стороны,
\ [x \ log _ {c} b = \ log _ {c} A \ nonumber \]
Разделив, мы получим \ (x = \ frac {\ log _ {c} (A)} {\ log _ {c} (b)} \), который является заменой базовой формулы.
Вычисление логарифмов
С изменением базовой формулы \ (\ log _ {b} (A) = \ frac {\ log _ {c} (A)} {\ log _ {c} (b)} \) для любых оснований \ (b \), \ (c> 0 \), мы наконец можем найти десятичное приближение к нашему вопросу с начала раздела.х = 10 \) для \ (х \).
Решение
Перепишите экспоненциальное уравнение 2 ^x = 10 в виде логарифмического уравнения
\ [x = \ log _ {2} (10) \ nonumber \]
Используя формулу изменения базы, мы можем переписать логарифм по основанию 2 как логарифм любого другого основания. Поскольку наши калькуляторы могут вычислять натуральный логарифм, мы можем использовать натуральный логарифм, который является логарифмической базой e :
.
Используя наши калькуляторы, чтобы оценить это, \ (\ frac {\ ln (10)} {\ ln (2)} = \ mathrm {LN} (10) / \ mathrm {LN} (2) \ приблизительно 3.3219 \)
Это, наконец, позволяет нам ответить на наш первоначальный вопрос из начала этого раздела:
Для популяции из 50 мух, которая удваивается каждую неделю, потребуется примерно 3,32 недели, чтобы вырасти до 500 мух.
Пример \ (\ PageIndex {10} \)
Вычислить \ (\ log_ {5} (100) \), используя изменение базовой формулы.
Решение
Мы можем переписать это выражение, используя любую другую основу.
Метод 1: Мы можем использовать натуральный логарифм с основанием e с заменой основной формулы
\ [\ log _ {5} (100) = \ frac {\ ln (100)} {\ ln (5)} = \ mathrm {LN} (100) / \ mathrm {LN} (5) \ приблизительно 2 .861 \ nonumber \]
Метод 2: Мы можем использовать десятичный десятичный логарифм с заменой формулы основания,
\ [\ log _ {5} (100) = \ frac {\ log (100)} {\ log (5)} = \ operatorname {LOG} (100) / \ mathrm {LOG} (5) \ около 2,861 \ nonumber \]
Резюмируем взаимосвязь между экспоненциальными и логарифмическими функциями
Логарифмы
Логарифм (основание b ), записанный журнал _b ( x ), является обратной экспоненциальной функции (основание b ), b ^x .{q} \ right) = q \ log _ {b} (A) \ nonumber \)
Свойства журналов: изменение базы: \ (\ log _ {b} (A) = \ frac {\ log _ {c} (A)} {\ log _ {c} (b)} \ text { для любого основания} b, c> 0 \ nonumber \)
Обратное, экспоненциальное и изменение основных свойств, указанных выше, позволит нам решить уравнения, которые возникают в задачах, с которыми мы сталкиваемся в этом учебнике. Сформулируем для полноты картины еще несколько свойств логарифмов
.
Сумма логов: \ (\ log _ {b} (A) + \ log _ {b} (C) = \ log _ {b} (A C) \)
Разница в свойствах журналов: \ (\ log _ {b} (A) — \ log _ {b} (C) = \ log _ {b} \ left (\ frac {A} {C} \ справа) \)
Журналы взаимных вычислений: \ (\ log _ {b} \ left (\ frac {1} {C} \ right) = — \ log _ {b} (C) \)
Взаимные основы: \ (\ log _ {1 / b} C = — \ log _ {b} (C) \)
Источник: материалы в этом разделе учебника взяты из книги Дэвида Липпмана и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, «Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции» под лицензией Creative Commons CC BY-SA 3 .0 лицензия. Приведенный здесь материал основан на материалах, содержащихся в этом учебнике, но был изменен Робертой Блум в соответствии с этой лицензией.
.
Оставить комментарий on Логарифмы примеры и решения 10 класс: Свойства логарифмов и примеры их решений (ЕГЭ — 2021)/
Эконометрика это: Эконометрика как наука — это… Что такое Эконометрика как наука?
alexxlab / 03.01.197014.07.2021 / Разное
Профессия — специалист по эконометрике :: Федеральный образовательный портал
Ольга Демидова, доцент кафедры математической экономики и эконометрики НИУ ВШЭ
— Ольга Анатольевна, многие считают, что эконометрика и математическая экономика – это одно и то же. Есть ли между ними различие?
— Термин «эконометрика» был введен в широкий научный обиход норвежским экономистом и статистиком, лауреатом Нобелевской премии Рагнаром Фришем в 1930-е годы. В 1933 году Фриш начал издавать одноименный журнал. До 1950–1960-х годов эконометрикой называли все математические измерения в экономике, а потом произошло разделение на математическую экономику – и эконометрику. Если специалист в области математической экономики стремится выразить утверждения экономической теории в форме математических уравнений, то эконометрист стремится верифицировать (проверить) эти модели с помощью эмпирических данных.
Для специалиста по математической экономике достаточно сказать, что между такими величинами, как выпуск, труд и капитал существует определенная связь, которую можно описать математически и предложить достаточно абстрактное, универсальное ее описание, например, функцию Кобба-Дугласа. Она характеризует положительную зависимость объема производства от затрат труда и капитала. Специалист по эконометрике сначала соберет данные по объему производства на интересующих его предприятиях. После этого он оценит параметры функции, характеризующей зависимость выпуска от различных факторов для конкретных предприятий в определенных условиях.
— Не могли бы вы привести пример использования эконометрики на практике?
— Приведу один из моих любимых примеров. В 1980-е годы на Нью-Йоркской фондовой бирже комиссионные, которые брокеры получают по итогам сделок, регулировал биржевой комитет. Клиент не мог договориться непосредственно с брокером о размере комиссионных за услуги, а был вынужден платить проценты, установленные биржевым комитетом.
Американский аналог нашей Федеральной антимонопольной службы усмотрел в этом признаки монополии и потребовал либерализовать цены. На суде представители биржевого комитета привели уравнение регрессии, оцененное по конкретным данным для сделок, из которого следовало, что имеет место естественная монополия. То есть в результате либерализации комиссионные только вырастут. Тогда антимонопольная служба заявила, что уравнение неправильно характеризует зависимость вознаграждения брокеров и объема проданных акций, и на самом деле естественной монополии нет. Их оппоненты не учли проблемы гетероскедастичности[1] данных. Если учесть гетероскедастичность, то результат приводит к противоположным выводам. Прошло несколько заседаний, на которых специалисты выясняли, чьи оценки правильнее. В результате борцы с монополией, видимо, лучше знавшие эконометрику, выиграли процесс.
— В каких областях чаще всего работают специалисты по эконометрике?
— В самых разных. На мой взгляд, лучше всего о востребованности специалистов по эконометрике на рынке труда говорит тот факт, что из четырех лауреатов премии «Золотая Вышка» в номинации «Успех выпускника» за последние годы двое были выпускниками кафедры математической экономики и эконометрики, а один (первый заместитель председателя Центрального банка России Владислав Конторович) писал магистерскую работу под руководством профессора нашей кафедры Эмиля Ершова.
Многие наши выпускники работают в банковской сфере, где их познания в математике очень востребованы. Так, одна студентка, писавшая под моим руководством магистерскую диссертацию, работала в ВТБ24 и занималась вопросами ипотечного кредитования. Тема ее работы была связана с исследованием, которое она проводила для банка. Нужно было попытаться предсказать поведение людей, берущих ипотечные кредиты: выяснить, кто и с какой вероятностью вернет кредит заранее или выплатит его в срок, или не выплатит вовсе. Банкам не всегда выгодно то, что клиент заранее возвращает кредит. Для них невыгодно получить деньги, на которые они сейчас не рассчитывают. Соответственно банку нужно заранее знать, сколько людей может вернуть кредит раньше срока и на какой объем средств в каждый момент времени он может рассчитывать. В рамках исследования был собран большой объем данных. После их анализа стало ясно, что помимо таких факторов, как возраст и образование, на поведение заемщиков влияет их место жительства. Живущие за Уралом оказались склонны погашать кредиты раньше, чем жители европейской территории.
Пример из совершенно другой области: один из проектов, в котором я сейчас принимаю участие, называется SEARCH. Он посвящен изучению разнообразных вопросов, связанных с взаимодействием стран – членов ЕС и их соседей, в частности – России. Например, как распределяются потоки мигрантов, торговые потоки, происходит ли «диффузия» инноваций и т.д. Я включена в блок, посвященный оценке социального капитала и пытаюсь с помощью эконометрических моделей сравнить отношение жителей двух выделенных групп стран к основным социальным и политическим институтам.
Специалисты по эконометрике могут заниматься достаточно широким спектром вопросов. Наши выпускники работают и в рекламе. Здесь важно оценить, в каких средствах массовой информации реклама наиболее эффективна, какая реклама лучше. Многие работают в аналитических отделах достаточно известных торговых фирм и с помощью эконометрических моделей пытаются оценить, допустим, эффект от проведения рекламной компании или обосновать выбор ассортимента торговых точек. Некоторые выпускники нашей кафедры заняты на госслужбе и сделали неплохую карьеру, некоторые принимают участие в работе экспертных групп, нередко дают в средствах массовой информации комментарии по поводу различных макроэкономических проблем. Немало выпускников кафедры после окончания магистратуры или аспирантуры занимаются преподавательской и научной деятельностью.
— Как вы считаете, что является самой большой сложностью для молодых специалистов по эконометрике в их работе?
— Мне бы хотелось предостеречь своих молодых коллег от одной очень распространенной практики. Часто они, прочитав какую-нибудь статью западного автора, берут использованные им модели и методы и просто переносят их на наши реалии. Это не всегда позволяет получить адекватные результаты. Надо попытаться преодолеть искушение использовать какую-либо модель только потому, что «все так делают». Молодые исследователи, насколько я могу судить по моему опыту участия в конференциях, как отечественных, так и зарубежных, очень любят включать в свои работы модель Арелано-Бонда, модель стохастической границы, метод разностей в разностях и т. д., иногда просто следуя эконометрической моде, благо современные статистические пакеты легко позволяют оценить эти модели. Из полученных результатов зачастую очевидно, что для использованных в работе данных выбранная модель не годится, предварительный анализ данных был проведен достаточно поверхностно, сделанные на основе оцененных моделей выводы весьма сомнительны.
Работающим с российскими данными надо четко понимать, что западные модели и методы к нашим параметрам могут быть неприменимы. Не стоит просто брать западную статью и оценивать приведенные в ней модели по российским данным, хотя иногда это и может дать интересные результаты. Одна моя дипломница, Полина Ковалева (сейчас она учится в аспирантуре университета Сити в Лондоне) пыталась вслед за Джеймсом Хекманом выяснить, применимы ли модели типа Минцера для оценки отдачи от образования. Напомню, что в моделях такого типа отдача от образования считается постоянной, т.е. каждый дополнительный год обучения увеличивает заработную плату на одну и ту же величину. Если это так, то профили (графики зависимости) «зарплата – опыт работы» должны быть параллельны для различных лет обучения, т.е. получаться один из другого простым сдвигом. Для американских данных 1980 года параллельность профилей имела место. Однако для российских данных этот факт не подтвердился. Наличие послевузовского образования сначала приводило к достаточно быстрому росту заработной платы, а затем к достаточно быстрому ее иснижению. Из этого результата можно сделать вывод, что полученные знания достаточно быстро устаревают, и если ты не хочешь допустить падения заработной платы, то должен все время повышать свою квалификацию.
— Часто приходится слышать, что в российских условиях самая трудная задача для аналитика — получить достоверные данные. Так ли это?
— Это не только российская проблема: зарубежные исследователи тоже жалуются на недостаток данных, проведение социологических опросов – достаточно дорогое удовольствие.
Но даже когда данные есть, казалось бы, в открытом доступе, их не всегда легко использовать. При работе в проекте «Анализ системы госзакупок в России» в Институте анализа предприятий и рынков НИУ ВШЭ я вместе с коллегами столкнулась со следующей проблемой. Есть сайт, где публикуется вся информация о государственных контрактах, однако в неудобном для пользователей виде. Если требуется выгрузить информацию о контрактах на группу каких-либо однородных товаров, то система «зависает», а собирать информацию по каждому контракту вручную очень долго.
— Каким, по-вашему, должен быть хороший учебник по эконометрике?
— Большинство учебников по эконометрике строится так: сначала теория, потом практические примеры. Причем для реальных данных, увы, не всегда выполняются предположения, позволяющие получить удобные аналитические формулы, приведенные в учебнике.
Недаром Марно Вербик, автор очень известного и переведенного на русский язык учебника «Путеводитель по современной эконометрике» приводит высказывание своего слушателя: «Эконометрика была бы гораздо проще без данных». Однако есть точка зрения, что учебники по эконометрике должны идти от практики к теории и изобиловать примерами.
Есть очень известный американский учебник «Практика эконометрики» профессора Массачусетского технологического института Эрнста Р. Берндта. Он как раз построен по противоположному принципу: берется практическая задача, например, изучение издержек американских фирм-производителей электроэнергии, диверсификация портфеля ценных бумаг, а дальше рассказывается о способах ее решения с применением эконометрики. Студенты сразу погружаются в практику. При составлении своих учебных пособий я попыталась частично взять на вооружение тот же принцип и по максимуму использовать российские кейсы.
— Каково соотношение теории и практики в вашем лекционном курсе эконометрики?
— Я пытаюсь соблюсти баланс теории и практики. На каждой лекции я сопровождаю теоретический материал практическими примерами. На компьютерных занятиях мы со студентами работаем с реальными данными, конечно, интереснее всего для них российские.
Темой последнего семинара были модели бинарного выбора. По данным мониторинга экономического положения и здоровья населения мы исследовали, какие факторы влияют на удовлетворенность человека жизнью. Оказалось, что влияют и доход, и образование, и пол. Тогда студенты решили выяснить, делает ли законный брак человека счастливее. Проверили, оказалось, что женщин – да, а мужчин – нет. Конечно, студенты не остановились на достигнутом и проверили еще много интересных предположений. Возможно, они сделали первый шаг к будущим научным исследованиям.
— Эконометрика традиционно считается сложным для изучения предметом. Что бы вы посоветовали студентам для успешной сдачи этого курса?
— Как и в математике, в эконометрике нет «королевской дороги». Изучение эконометрики требует вдумчивой, планомерной работы с теоретическим материалом и освоения современных статистических пакетов. Настойчивость и трудолюбие будут вознаграждены не только хорошей оценкой за курс, но и возможностью в будущем проводить полноценные эконометрические исследования, а это очень увлекательное занятие!

Беседовала Екатерина Рылько

[1]    То есть в уравнении регрессии дисперсия ошибки отличалась от наблюдения к наблюдению.
Объект эконометрики
Сущность эконометрики
Определение 1
Эконометрика — это наука, которая изучает качественные и количественные экономические взаимосвязи, применяя математические статистические методы и модели.
Современная трактовка объекта эконометрики выработана в соответствии с положениями устава «Эконометрического общества», при этом главными целями стали применение математики и статистики для дальнейшего совершенствования экономической теории.
Эконометрика является наукой, которая позволяет качественному социальному процессу присвоить количественную характеристику и интерпретировать их с экономической позиции.
С теоретической точки зрения, эконометрика изучает статистические свойства испытаний и оценок, тогда как с прикладной позиции эконометрика отвечает за применение эконометрических методов для проведения оценки различных экономических теорий. Эконометрика предоставляет инструментарий для проведения экономических измерений, определяет методологию анализа параметров микро- и макроэкономических моделей.
Помимо этого, эконометрика часто используется для составления прогнозов экономических процессов не только в масштабе экономики и целом, но и на уровне отдельного предприятия, Вместе с тем, эконометрика — это такая же часть экономической теории, как макро- и микроэкономика.
Замечание 1
Объектом изучения эконометрики являются экономико-математические модели (эконометрические модели), в основе построения которых — случайные факторы.
Эконометрика — составной элемент обширного семейства дисциплин, которые посвящены измерениям и использованию статистических инструментов и методов в различных научно-практических областях. Эго семейство, в частности, включает биометрию, технометрику, наукометрию, психометрию, хемометрию, квалиметрию. Особая роль отводится социометрии, которая изучает статистические методы анализа взаимоотношений малых групп и является частью статистического анализов в психологии и социологии.
Цели и задачи эконометрики
Основные задачи эконометрики:
выявить связи отдельных количественных характеристик экономических объектов для построения математических правил прогнозирования;
установить значения каждого числового параметра, входящего в модель;
и привести их в соответствие поведению объекта в реальности;
получить наилучшие опенки параметров экономико-математических моделей, сконструированных в прикладных целях;
проверить теоретико-экономические положения и выводы на фактическом материале;
создать универсальные и специальные методы для выявления в экономике статистических закономерностей.
Замечание 2
Основной целью эконометрики является поиск адекватного инструмента прогнозирования поведения экономических объектов в разнообразных ситуациях, а также решение на базе прогнозирования практических задач в части оптимального управления объектом; выбора стратегии рыночного поведения.
Специфика экономических измерений
Измерение экономических данных характеризуются следующими специфическими особенностями:
Измерению поддаются только данные, определенные операционально.
Экономические измерения при этом подвержены сильному воздействию теоретических мнений относительно данных величин.
Короткие ряды наблюдений и неэкспериментальный характер данных заставляют сомневаться в адекватности полученного результата.
Косвенный характер экономических данных, при этом зачастую первичные изменения не несут экономического характера.
Изменчивый характер единиц измерения.
Острая проблема, связанная с влиянием инструментов измерения на изучаемый объект.
Что такое Эконометрика — классификация и задачи
Рубрика: Экономический глоссарий Опубликовано 07.06.2014 · Комментарии: 0 · На чтение: 2 мин · Просмотры:
Post Views: 484
Эконометрика -это наука об экономических измерениях.
Термин происходит от двух слов: «экономика» и «метрика». Греческий корень «метрон» означает правило определения расстояния между двумя точками в пространстве, «метрия» – измерение.
Эконометрика — это наука, базирующаяся на анализе связи между различными экономическими показателями с учётом реальных статистических данных, а также с применением математической статистики и методов теории вероятностей. Она позволяет выявить, уточнить, опровергнуть связи, и гипотезы, отражающие существование данных связей между экономическими показателями, предлагаемые конкретной экономической теорией.
Цель эконометрики заключается в модельном описании количественных взаимосвязей. Данные взаимосвязи обусловливаются общими качественными закономерностями, которые выявляются и оцениваются в экономической теории.
Предметом исследования являются массовые экономические явления и процессы.
Основные задачи эконометрики
1.обнаружение статистических закономерностей в экономике
2.анализ данных закономерностей
3.выявление эмпирических экономических зависимостей
4.построение на их базе эконометрических моделей.
Классификация задач эконометрики
Основные признаки классификации всех задач, рассматриваемых эконометрикой:
1. Классификация задач в зависимости от конечных прикладных целей (прогноз социально-экономических показателей, моделирование возможных вариантов социально-экономического развития системы, выявление факторов, оказывающих наиболее мощное влияние на состояние системы в целом).
2. Классификация задач в зависимости от уровня иерархии (макроуровень, мезоуровень, микроуровень).
3. Классификация задач в зависимости от профиля изучаемой экономической системы (рынок,инвестиции,спрос, потребление, ценообразование и прочее).
Много общих черт существует у эконометрики и статистики – в некоторой степени, эконометрика является часть статистической науки: статистика изучает глобальные явления всех направлений, в том числе и экономических, а эконометрика занимается теми же процессами, но ограничивается исключительно экономическими задачами.
Post Views: 484
План. Что такое эконометрика. Как это работает на первый взгляд. Литература. Как это работает на самом деле. три истории
Probit, logit, heckit модели
Probit, logit, heckit модели 11 13 июля 2017 г. Курс лекций «Макроэконометрика» 1 Оглавление Дискретные зависимые переменные Probit Logit Цензурированные выборки Tobit Модель Хекмана 2 Дискретные зависимые
Подробнее https://sites.google.com/site/ekonometriya2014
Тема 1. Введение в эконометрию 1.1. История эконометрии 1.2. Основные понятия и определения эконометрии 1.3. Эконометрическое моделирование 1.4. Литература 1.5. Статистические данные 1.6. Статистические
Подробнее Модель парной регрессии
Модель парной регрессии 30 25 20 15 10 В статистических данных редко встречаются точные линейные соотношения: y x 1 2 Обычно они бывают приближенными: y x 1 2 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Подробнее Эконометрика (базовая) Лекция 1
Эконометрика (базовая) Лекция 1 Рекомендуемая литература 1. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА-М, 2001. 2. Магнус Я.Р. и др. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2001. 3. Кремер Н.Ш., Путко
Подробнее Правительство Российской Федерации
Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Подробнее ЭКОНОМЕТРИКА Программа
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА Кафедра общематематических и естественнонаучных дисциплин ЭКОНОМЕТРИКА Программа Москва 2003 1 Составитель: Харламов С.А., доктор технических наук Эконометрика:
Подробнее 1 Предисловие. Ф-ПР Рабочая программа
Предисловие Данная дисциплина рассматривает и изучает эконометрические модели и методы анализа и прогнозирования социально-экономических процессов. Методика преподавания данной дисциплины предусматривает:
Подробнее Эконометрическое моделирование
Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 5 Множественная регрессия Оглавление Множественная регрессия… 3 Мультиколлинеарность… 4 Задание 1. Построение модели множественной регрессии… 5
Подробнее УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИЛИНЫ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ШАКАРИМА ГОРОДА СЕМЕЙ Документ СМК 3 уровня УМКД Программа дисциплины «Эконометрика» для студентов УМКД Редакция
Подробнее Введение. кономерности до экономических
Эконометрика является одной из важнейших составляющих современного экономического образования. В ведущих мировых университетах в программах подготовки экономистов ей уделяется большое внимание. Применение
Подробнее Эконометрика и прогнозирование
Эконометрика и прогнозирование Автор-составитель: доцент кафедры экономической информатики и математической экономики экономического факультета БГУ, к.ф.-м.н. Васенкова Е.И. Цель и учебная задача Эконометрика
Подробнее Аннотация. Цели и задачи дисциплины
Цели и задачи дисциплины Аннотация Целью курса является приобретение опыта построения эконометрических моделей и определение возможностей их использования для описания, анализа и прогнозирования реальных
Подробнее ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ для поступающих на основную образовательную программу магистратуры «Математические методы в экономике» по направлению подготовки 38.04.01 «ЭКОНОМИКА» по предмету «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
Подробнее Рабочая программа дисциплины Эконометрика
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Факультет экономических наук Департамент прикладной
Подробнее 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Изучение дисциплины «Эконометрика» ориентировано на получение обучающимися знаний о сложной взаимосвязи различных факторов, оказывающих существенное воздействие на
Подробнее Правительство Российской Федерации
Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет — Высшая школа экономики» Нижегородский филиал
Подробнее ЭКОНОМЕТРИКА. Лекция Введение.
Лекция 1. ЭКОНОМЕТРИКА 1. Введение. Список рекомендуемой литературы. Основная. 1. Бородич С.А., Эконометрика. Минск, ООО «Новое знание», 2004. 2. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.Л. Эконометрика.
Подробнее РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный гуманитарный университет» (ФГБОУ ВПО
Подробнее 2011 Экономика 2(14)
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 211 Экономика 2(14) УДК 331.11.3:3 МОТИВАЦИЯ ТРУДОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: ФАКТОРЫ И ИХ ОЦЕНКА РЫНКОМ ТРУДА Статья посвящена факторам, влияющим на уровень заработной
Подробнее НОУ ИНТУИТ | Лекция | Сущность и история возникновения эконометрики
1.1. Предмет исследований эконометрики
Курс эконометрики занимает важное место в современных программах экономических вузов во всем мире наряду с такими предметами, как микроэкономика, макроэкономика, финансовый анализ. Эконометрические методы используются для прогнозирования в банковском деле, финансах, бизнесе, при государственном регулировании экономики. Что же такое эконометрика? Эконометрика — быстроразвивающаяся отрасль экономической науки, целью которой является количественное описание экономических отношений. Приведем несколько цитат о существе данной науки.
«Эконометрика позволяет проводить количественный анализ реальных экономических явлений, основываясь на современном развитии теории и наблюдениях, связанных с методами получения выводов» (П. Самуэльсон).
«Основная задача эконометрики — наполнить эмпирическим содержанием априорные экономические рассуждения» (Л. Клейн).
«Цель эконометрики — эмпирический анализ экономических законов. Эконометрика дополняет теорию, используя реальные данные для проверки и уточнения постулируемых отношений» (Э. Маленво).
Термин «эконометрия» впервые ввел П. Цьемпа в 1910 г., который пытался применить методы алгебры и геометрии к анализу хозяйственной деятельности. В настоящее время этот термин используется для того раздела эконометрики и теории экономического анализа, который изучает влияние факторов, формирующих результаты работы фирмы (предприятия).
В мировой науке термин «эконометрика» обычно употребляется применительно к науке об измерении и анализе экономических явлений. Эта наука возникла на стыке трех дисциплин: экономической теории, методов математического анализа и математической статистики. Основатель журнала «Эконометрика» Р. Фриш привел следующее определение эконометрики: «Эконометрика — это не то же самое, что экономическая статистика. Она не идентична тому, что мы называем экономической теорией, хотя значительная часть этой теории носит количественный характер. Эконометрика не является синонимом приложений математики к экономике. Как показывает опыт, каждая из трех отправных точек — статистика, экономическая теория и математика — необходимое, но не достаточное условие для понимания количественных соотношений в современной экономической жизни. Это — единство всех трех составляющих. И это единство образует эконометрику».
Однозначного определения эконометрики пока не существует. Есть по крайней мере еще четыре дисциплины, использующие математические методы применительно к экономике:
многомерный статистический анализ данных, тесно связанный с эконометрикой;
финансовая математика, также использующая в своих современных разделах эконометрические методы;
математические модели в экономике — наука, применяющая для подтверждения теоретических концепций эконометрическую технику верификации моделей;
математические методы в экономике (старое название — исследование операций) — наука о постановках и решении оптимизационных задач в экономике, состоящая из таких широко известных разделов, как линейное и нелинейное программирование, сетевое планирование, управление запасами, теория игр. Несколько особняком стоит теория массового обслуживания.
Некоторые исследователи, в том числе Э. Маленво, придавали широкое толкование эконометрике, интерпретируя ее как любое применение математики или статистических методов к изучению экономических явлений. Однако доминирующим стало мнение, что эконометрика применяет статистические подходы к эконометрическим измерениям. Это обстоятельство обусловило содержание настоящего курса лекций.
Эконометрика содержит два больших раздела: моделирование данных, неупорядоченных во времени, и теория временных рядов.
Тест по эконометрике с ответами
Сборник итоговых тестов по теме Эконометрика с ответами
Правильный вариант ответа отмечен знаком +
1. Что является предметом изучения эконометрики?
— Количественная сторона экономических процессов и явлений
+ Массовые экономические процессы и явления
— Система внутренних связей между явлениями национальной экономики
2. Гетероскедастичность – это в эконометрике термин, обозначающий:
+ Неоднородность наблюдений, которая выражается в непостоянной (неодинаковой) дисперсии случайной ошибки эконометрической (регрессионной) модели
— Однородную вариантность значений наблюдений, которая выражена в относительной стабильности, гомогенности дисперсии случайной ошибки эконометрической (регрессионной) модели
— Меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания
3. Мультиколлинеарность – это в эконометрике термин, обозначающий:
— Метод, позволяющий оценить параметры модели, опираясь на случайные выборки
— Статистическую зависимость между последовательными элементами одного ряда, которые взяты со сдвигом
+ Наличие линейной зависимости между факторами (объясняющими переменными) регрессионной модели
4. Теорема Гаусса-Маркова в эконометрике опирается на:
+ Метод наименьших квадратов
— Метод наименьших модулей
— Метод инструментальных переменных
5. Эконометрика – это наука, которая изучает:
— Структуру, порядок и отношения, сложившиеся на основе операций подсчета, измерения и описания формы объектов
— Возможности применения методов математики для решения экономических задач
+ Количественные и качественные экономические взаимосвязи, и взаимозависимости, опираясь на методы и модели математики и статистики
6. Коэффициент эластичности (формула в общем виде) в эконометрике имеет вид:
+
—
—
7. Модели временных рядов в эконометрике – это модели:
— Которые используются для того, чтобы определить, как себя будет вести тот или иной фактор в течение определенного промежутка времени
— Которые позволяют максимально точно рассчитать период времени, требующийся для того, чтобы значение фактора изменилось на значимую величину
+ Для построения которых используются данные, характеризующие один объект за несколько последовательных периодов
8. Метод наименьших квадратов в эконометрике – это метод:
— Который используется для расчета наименьших отклонений случайных величин, влияющих на конечный результат
+ Который позволяет решать задачи, опираясь на минимизацию суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных
— Который позволяет оценить значение неизвестного параметра, минимизируя значение функции правдоподобия
9. Линейный коэффициент корреляции в эконометрике выражается формулой:
—
+
—
тест 10. Истинный коэффициент детерминации в эконометрике выражается формулой:
—
—
+
11. Модели в эконометрике – это:
+ Средство прогнозирования значений определенных переменных
— Экономические и статистические зависимости, выраженные математическим языком
— Данные одного типа, сгруппированные определенным образом
12. Какие существуют типы данных в эконометрике?
— Постоянные, переменные
— Определенные, неопределенные, качественные, количественные
+ Пространственные, временные, панельные
13. Зависимая переменная в эконометрике – это:
— Параметр, состоящий из случайной и неслучайной величин
+ Некоторая переменная регрессионной модели, которая является функцией регрессии с точностью до случайного возмущения
— Переменная, которая получается путем перевода качественных характеристик в количественные, т.е. путем присвоения цифровой метки
14. Какова цель эконометрики?
— Поиск, трактовка (с использованием математического инструментария) и систематизация факторов, которые влияют на поведение экономического объекта
— Выявление качественных и количественных связей между характеристиками экономических объектов с целью построить экономическую модель их развития
+ Разработка инструментов для прогнозирования поведения экономического объекта в различных ситуациях и на их базе решение практических задач по управлению объектом, выбору поведения в сложившихся экономических условиях и т.д.
15. Что представляет собой выборочная дисперсия?
+ Несмещенную оценку генеральной дисперсии
— Смещенную оценку генеральной дисперсии
— Смещенную оценку моды
16. Какие приемы используют для идентификации модели?
— Проверка адекватности, статистический анализ
+ Оценка параметров, статистический анализ
— Расчет математических ожиданий, проверка адекватности
17. Предельно допустимое значение средней ошибки аппроксимации составляет … %.
— Не более 10-12
— Не более 3-5
+ Не более 8-10
18. Какие существуют типы переменных в эконометрике?
+ Предопределенные, экзогенные, эндогенные
— Пространственные, временные, панельные
— Экзогенные, эндогенные
19. Назовите ученого, который ввел термин «эконометрика».
— Н. Кондратьев
+ Р. Фриш
— К. Грэнджер
тест_20. Какой показатель измеряет тесноту статистической связи между переменной и объясняющими переменными?
+ Коэффициент детерминации
— Коэффициент рекурсии
— Коэффициент корреляции
21. Укажите, какими способами оценивают параметры линейной регрессии:
— Дисперсия, метод наименьших квадратов, математическое ожидание
+ Дисперсия, математическое ожидание, ковариация, среднеквадратичное отклонение
— Математическое ожидание, регрессия, медиана
22. Критические значения статистики Дарбина-Уотсона зависят от следующих факторов:
+ Количество наблюдений в выборке и число объясняющих переменных
— Число объясняющих переменных и конкретные значения переменных
— Количество наблюдений в выборке и конкретные значения переменных
23. Для установления влияния какого-либо события на коэффициент линейной регрессии при не фиктивной переменной в модель включают:
— Фиктивную переменную взаимодействия
+ Фиктивную переменную для коэффициента наклона
— Лаговую переменную
24. Случайная величина, принимающая отдельные, изолированные друг от друга значения – это:
+ Дискретная величина
— Вероятностный парадокс
— Неравномерная величина
25. Перечислите этапы построения эконометрической модели:
— Априорный, контекстный, информационный, аналитический, прогностический, идентификация модели
— Постановочный, контекстный, информационный, аналитический, идентификация модели, параметризация модели
+ Постановочный, априорный, параметризация, информационный, идентификация модели, верификация модели
26. Эндогенные переменные – это переменные:
— Внешние, задаваемые вне социально-экономической модели и не зависящие от ее состояния
+ Внутренние, сформированные в результате функционирования социально-экономической системы
— Которые постоянно изменяются
27. Что представляет собой априорный этап построения эконометрической модели?
+ Предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации
— Сбор и регистрация информации об участвующих в модели факторах и показателях
— Независимое оценивание значений участвующих в модели факторах и показателях
28. Если увеличить размер выборки, то оценка математического ожидания:
— Станет менее точной
+ Станет более точной
— Не изменится
тест № 29. Ситуация, при которой нулевая гипотеза была опровергнута, хотя и являлась истинной, называется:
+ Ошибка I рода
— Системная ошибка
— Стандартная ошибка
30. Если предположение о природе гетероскедастичности верно, то дисперсия случайного члена для первых наблюдений в упорядоченном ряду будет … для последних.
— Такой же, как
— Выше, чем
+ Ниже, чем
Эконометрика как учебная дисциплина Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»
УДК 519.2:005.521:633.1:004.8
01.00.00 Физико-математические науки
ЭКОНОМЕТРИКА КАК УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА
Орлов Александр Иванович
д.э.н., д.т.н., к.ф.-м.н., профессор
РИНЦ SPIN-код: 4342-4994
Московский государственный технический
университет им. Н.Э. Баумана, Россия, 105005,
Москва, 2-я Бауманская ул., 5, prof-orlov@mail.т
Статистические методы широко используются в отечественных технико-экономических исследованиях. Однако для большинства менеджеров, экономистов и инженеров они являются экзотикой. Это объясняется тем, что в вузах современным статистическим методам не учат. Обсудим сложившуюся ситуацию, уделив основное внимание статистическим методам в экономических и технико-экономических исследованиях, т.е. эконометрике. В мировой науке эконометрика занимает достойное место. Имеются научные журналы по эконометрике, нобелевские премии по экономике присуждены ряду эконометриков. Положение в области научных и практических работ и особенно преподавания эконометрики в России является неблагополучным. Зачастую за эконометрику выдают отдельные частные построения, например, относящиеся к регрессионному анализу. Статья посвящена эконометрике как учебной дисциплине. Начинается курс с обсуждения структуры современной эконометрики, соотношения прикладной статистики и эконометрических методов. Рассмотрены выборочные исследования (анализ результатов опросов), элементы эконометрики чисел, методы статистической проверки гипотез однородности. Даны понятия о регрессионном анализе, эконометрических методах классификации, современной теории измерений. Важное место занимает статистика нечисловых данных (включая нечеткие множества и их связь со случайными), статистика интервальных данных. Обсуждается проблема устойчивости статистических процедур по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели. Дано представление об эконометрических методах экспертных исследований и управления качеством, анализе и прогнозе временных рядов, эконометрике прогнозирования и риска
Ключевые слова: СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ЭКОНОМЕТРИКА, УПРАВЛЕНИЕ, ЭКОНОМИКА, СТАТИСТИКА НЕЧИСЛОВЫХ И ИНТЕРВАЛЬНЫХ ДАННЫХ, ИНФЛЯЦИЯ
UDC 519:2:005.521:633.1:004.8
Physics and mathematical sciences
ECONOMETRICS AS AN ACADEMIC DISCIPLINE
Orlov Alexander Ivanovich
Dr.Sci.Econ., Dr.Sci.Tech., Cand.Phys-Math.Sci.,
professor
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Statistical methods are widely used in domestic feasibility studies. However, for most managers, economists and engineers, they are exotic. This is due to the fact that modern statistical methods are not taught in the universities. We discuss the situation, focusing on the statistical methods for economic and feasibility studies, ie, econometrics. In the world of science, econometrics has a rightful place. There are scientific journals in econometrics, Nobel Prizes in Economics are given to series of researches in econometrics. The situation in the field of scientific and practical work and especially the teaching of econometrics in Russia is disadvantaged. Often, individual particular constructions replace econometrics in general, such as those related to regression analysis. The article is devoted to econometrics as an academic discipline. Our course begins with a discussion of the structure of modern econometrics, the connections between applied statistics and econometric methods. We consider sample researches (analysis of surveys results), the elements of econometrics numbers, and methods of testing of statistical hypothesis about homogeneity. We have given the concepts of regression analysis, econometric classification methods, modern measurement theory. The important places are occupied by the statistics of non-numerical data (including fuzzy sets and their links with random sets) and the statistics of interval data. The problem of the stability of statistical procedures with respect to the tolerances of input data and model prerequisites is discussed. The representations of the econometric methods of expert research and quality control, analysis and forecasting of time series, econometrics of forecasting and risks are given
Keywords: STATISTICAL METHODS, ECONOMETRICS, MANAGEMENT, ECONOMICS, STATISTICS OF NON-NUMERIC AND INTERVAL DATA, INFLATION
йо!: 10.21515/1990-4665-128-050
1. Введение
Известно, что современные эконометрические методы — полезные интеллектуальные инструменты инженера, управленца и экономиста [1]. Эконометрика — самостоятельная научная, прикладная и учебная дисциплина. В настоящей статье рассмотрим примерное содержание эконометрики как учебного предмета в соответствии с подходом отечественной научной школы в области эконометрики [2]. Комментарии к разделам курса показывают их место в современной эконометрике и обосновывают необходимость включения соответствующего материала в учебную программу.
2. Вводный раздел: структура современной эконометрики
Структура современной статистики: математическая статистика, прикладная статистика, применения статистических методов в конкретных областях. Определение эконометрики как науки о применении статистических методов для анализа конкретных экономических данных, а эконометрических методов — как статистических методов анализа экономических данных. Разрыв между математической статистикой и Госкомстатом РФ. Всегда ли можно верить данным Госкомстата РФ? Пример с оцениванием вузовской науки по числу научных ставок в вузах. Особенности экономических данных и их учет при применении методов прикладной статистики. Понятие об эконометрических моделях (на примерах моделей управления качеством, анализа экспертных оценок и др.). Понятие о конкретных применениях эконометрики (на примере динамики цен и индекса инфляции).
Содержание этого вводного раздела достаточно полно раскрыто в статье [1]. Приведем содержание только одного из наиболее интересных
для студентов раздела эконометрики, посвященного изучении динамики цен с помощью индексов инфляции.
Проблемы и методы анализа динамики цен. Инфляция как рост цен. Рост цен на отдельные товары и услуги и проблемы построения сводной характеристики. Различные варианты потребительских корзин. Определение и расчет индексов инфляции. Динамика инфляции в России. Теорема умножения (связь между значениями индексов инфляции для трех значений времени) и средний индекс (темп) инфляции как среднее геометрическое. Распространенные ошибки при агрегировании индексов инфляции. Принципиальная разница между малыми и большими значениями индексов инфляции. Связь годового индекса и помесячными и средним за год. Теорема сложения для индекса инфляции (правило объединения индексов инфляции для отдельных товарных групп).
Применения индекса инфляции в различных экономических расчетах. Приведение к сопоставимым ценам. Сравнения средней заработной платы, пенсий, стипендий в различные моменты времени. Реальные результаты индексирования заработной платы и пенсий. Расчет прожиточного минимума, его динамика. Учет индекса инфляции при расчете реального значения процента на вклад в банк, реального процента платы за кредит. Как процент платы за кредит может быть отрицательным? Оценка динамики курса доллара США в России с помощью потребительских паритетов, сравнение с Китаем. Применение индекса инфляции при оценке стоимости основных и оборотных фондов. Опыт прогнозирования индекса инфляции и стоимости потребительской корзины. Применение индекса инфляции при организации производства. Конверсия, индекс инфляции и сохранность технологических цепочек (на примере специальной техники). Динамика макроэкономических показателей России. Использование индекса инфляции при оценивание
экономического положения предприятий, при финансовом анализе результатов их деятельности.
3. Прикладная статистика и эконометрические методы
Области современных статистических методов: статистика чисел (случайных величин), статистика векторов (многомерный статистический анализ), статистика функций (случайных процессов и временных рядов), статистика нечисловых данных. Современная прикладная статистика и эконометрика. Пять точек роста эконометрических методов: непараметрическая статистика, устойчивость статистических процедур, размножение выборок, статистика нечисловых данных, статистика интервальных данных.
Объем знаний, которым могут овладеть студенты в вузе, ограничен. Перед организаторами образования постоянно стоит проблема — что включать в учебную программу, а что не включать. Эта проблема решается проще, если известно будущее место работы студентов, т.е. подготовка идет для нужд конкретного предприятия. Представляется очевидным, что студент должен владеть современными методами своей специальности. Следовательно, постоянно должна вестись методическая работа по внедрению современных идей, концепций, подходов, методов, расчетных алгоритмов в учебный процесс (этот раздел методики преподавания называют онтодидактикой). Однако онтодидактические работы предполагают хорошее знакомство с современным уровнем знаний и практического применения, личную работу преподавателя на переднем крае науки и постоянное участие в прикладных исследованиях. Кроме того, приходится постоянно пересматривать само содержание преподавания, модернизировать методическое обеспечение — учебники, учебные пособия, задачники, методические разработки по отдельным темам, лабораторные работы, тематики курсовых и дипломных работ.
Это нелегко. Поэтому вполне естественно, что наблюдается тенденция к консервации. Она выгодна для преподавателя — однажды разработанный курс и его методическое обеспечение используется (с небольшими вариациями) десятилетиями. Она удобна для студентов — те пользуются учебниками, которые за несколько изданий доведены до возможного совершенства, обеспечены заблаговременно изданными задачниками, лабораторными работами и пр. Такая тенденция к консервации обычно наблюдается у курсов «Статистика» (она же «Общая теория статистики») и «Теория вероятностей и математическая статистика». Как следствие консервации, студенты получают знания на уровне 40-60-х годов ХХ в., т.е. с запозданием на 50-70 лет. Наивно думать, что им будет легко самостоятельно осознать и тем более овладеть тем, что возникло за последние полвека.
При ориентации на современные методы есть свои опасности. Можно неправильно оценить значимость тех или иных научных направлений, пропустить перспективные или, что еще хуже, посвятить много времени тем, чье время быстро пройдет. Однако предшествующие эконометрике курсы «Статистика» и «Теория вероятностей и математическая статистика», как правило, настолько далеки от современности, что за основу выбора можно взять развитие эконометрических идей в 70-90-х годах ХХ в.
И преподавателю, и студенту труднее при ориентации на курсы с современной тематикой, чем на консервативные. Однако труд студента оправдывается при выходе на самостоятельное поприще по окончании вуза. Автор настоящей статьи более 45 лет разрабатывал и применял эконометрические методы в различных отраслях народного хозяйства и областях науки и смеет надеяться, что опыт научно-прикладной деятельности позволил разработать и внедрить на кафедре «Экономика и организация производства» факультета «Инженерный бизнес и
менеджмент» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана современный курс эконометрики (см. [2]).
Пользуясь тем, что студенты уже изучили курс «Теория вероятностей и математическая статистика», в разделе 3 даем представление о современной прикладной статистике согласно [3]. Первые три области современных статистических методов: — статистика чисел (случайных величин), статистика векторов (многомерный статистический анализ), статистика функций (случайных процессов и временных рядов) являются достаточно традиционными, хотя в предваряющих эконометрику курсах о них говорится явно недостаточно, а иногда не так и не то. Статистика нечисловых данных как самостоятельная область возникла в 1970-е годы и до сих пор продолжает активно развиваться, поэтому она выделена как одна из точек роста эконометрических методов.
В соответствии со сказанным выше о необходимости показа студентам современного фронта эконометрических исследований предлагается кратко охарактеризовать основные точки роста, т.е. направления, которые в настоящее время активно развиваются, полезны для практики, но недостаточно представлены в стандартных учебниках. Первой из таких точек указаны непараметрические методы. Хотя они имеют длинную историю, начинающуюся с коэффициентов ранговой корреляции Кендалла и Спирмена начала века и статистик Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат тридцатых годов, в преподавании они оттеснены на задний план параметрической статистикой. Почему это произошло? Видимо, тем, что параметрическая статистика, изучающая выборки из семейств распределений, описываемых одним-двумя, максимум тремя числовыми параметрами, имеет дело со сравнительно простым с математической точки зрения объектом. Именно из-за его простоты удалось построить достаточно глубокую, но доступную студентам теорию. Вместе с тем хорошо известно, что распределения реальных данных почти
никогда не удается адекватно описать с помощью какого-либо параметрического семейства. В частности, распределения погрешностей измерений, вопреки распространенному заблуждению, почти всегда отличны от нормальных [4]. Таким образом, анализ данных с помощью параметрических методов статистики напоминает поиск ключей под фонарем, где светлее, а не в кустах, где они потеряны.
В настоящее время непараметрическими методами можно решать тот же круг задач, что и параметрическими. При этом вместе неоправданных предположений о принадлежности функций распределения тому или иному параметрическому семейству делаются лишь общие предположения о непрерывности функций распределения. Из общих соображений можно ожидать, что такое расширение области применения может привести к снижению эффективности непараметрических эконометрических методов по сравнению с параметрическими. Однако во многих случаях непараметрические методы оказываются не хуже параметрических, особенно при больших объемах выборок. Иногда, тем не менее, параметрические методы представляются конкурентоспособными. Тогда необходимо изучить устойчивость эконометрических выводов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели. Общая схема изучения устойчивости эконометрических и экономико-математических методов и моделей дана в [5]. Кроме термина «устойчивость», в данном контексте используются термины «робастность» (от robust — крепкий, грубый (англ.)), чувствительность. Можно выделить два этапа исследования — анализ устойчивости известных процедур, затем поиск новых наиболее устойчивых и вместе с тем достаточно точных. Иногда параметрические и непараметрические методы дают практически одни и те же алгоритмы, особенно при больших объемах выборок. Например, правила доверительного оценивания математического ожидания (при неизвестной дисперсии) в параметрическом случае
нормального распределения и в непараметрическом случае произвольного распределения (правило строится на основе центральной предельной теоремы теории вероятностей и теорем о наследовании сходимости [6]) отличаются только тем, что в первом случае используются процентные точки распределения Стьюдента, а во втором — процентные точки стандартного распределения. Как известно, при росте объема выборки первые стремятся ко вторым. Однако иногда изучение устойчивости приводит к неожиданным выводам. Так, анализ проблемы обнаружения резко выделяющихся наблюдений (выбросов) привел к выводу о крайней неустойчивости классических методов: если зафиксировать процентную точку (т.е. правило принятия решений), то велик интервал изменения уровня значимости, если же, наоборот, исходить из заданного уровня значимости, то весьма велик интервал для границы, задающей правил отбраковки [4]. Следовательно, правила отбраковки не имеют научного обоснования, их следует рассматривать как эвристические.
Общеинженерным принципом является указание не только точечного значения измеряемой величины, но и погрешности этого измерения. В экономике и менеджменте, к сожалению, не всегда указывают величины возможных погрешностей измерения. Требование изучения устойчивости статистических процедур нацелено на внедрение указанного общеинженерного принципа в область экономики, инженерного бизнеса и менеджмента. Одним из подходов является статистика интервальных данных (СИД). В ней прослеживается, как погрешности исходных данных, влияют на погрешности выводов, а для этого и исходные данные, и выводы приходится описывать с помощью интервалов, а не чисел, как в классической статистике. СИД активно развивается с 1980-90-х гг., основные ее идеи доступны студентам, поэтому элементы СИД включены в программу по эконометрике.
Другой подход к изучению устойчивости статистических (эконометрических) выводов предполагает интенсивное использование современной вычислительной техники и основан на «размножении выборок». По выборке можно рассчитать одно число — точечную оценку характеристики или параметра, но этого мало — надо иметь доверительный интервал, т.е. нижнюю и верхнюю границы, между которыми с заданной вероятностью находится истинное значение. Параметрическая теория позволяет это сделать, но ее предпосылки неприемлемы. Поэтому вполне естественным является желание «размножить выборку» — вместо одной получить много похожих, по каждой из них рассчитать оценку, а по совокупности оценок построить распределение оценки, указать доверительный интервал. Метод размножения может быть очень простым: из одной выборки объема п можно получить п выборок объема (п-1), если исключать из исходной выборки последовательно по одному элементу (возвращая ранее исключенные обратно). Есть и много иных методов размножения выборок.
4. Выборочные исследования (анализ результатов опросов)
Польза и необходимость выборочных эконометрических исследований. Анкетное исследование (на примере маркетингового исследования потребителей растворимого кофе). Различные виды формулировок вопросов (открытый, закрытый, полузакрытый вопросы), их достоинства и недостатки. Техника интервью. Экономика опросов. Биномиальная и гипергеометрическая модели выборки, их близость в случае большого объема генеральной совокупности по сравнению с выборкой. Асимптотическое распределение выборочной доли (в случае ответов типа «да»-«нет»). Интервальное оценивание доли и метод проверки статистической гипотезы о равенстве долей (на основе теоремы Муавра-Лапласа и таблиц ВЦИОМ).
Изучение конкретных эконометрических методов естественно начать с методов выборочных опросов, практическая польза которых очевидна (разбираем маркетинговое исследование, выполненное по заказу конкретной фирмы), а математическая сложность невелика. Естественным образом возникает сюжет о проверке однородности (другими словами. обнаружении различий), который продолжается в следующей теме.
5. Элементы эконометрики чисел
Определения нормального и логарифмически нормального распределений и их плотностей. Центральная предельная теорема в аддитивном и мультипликативном случае. Методы оценивание параметров логарифмически нормального распределения. Логарифмически нормальное распределение доходов (заработной платы) и «данные» Госкомстата РФ. Непараметрическое оценивание характеристик распределений и доверительных границ для них. Непараметрические методы оценивания плотности.
Тема начинается с сопоставления нормального и логарифмически нормального распределений. Первое из них иногда допустимо использовать при решении технических задач. В эконометрике его использовать нельзя, поскольку плотность нормального распределения всюду положительна, т.е. вероятность отрицательных значений, а в эконометрике обычно рассматриваются неотрицательны величины. Основная причина популярности нормального распределения в эконометрике — центральная предельная теорема теории вероятностей, в которой речь идет о суммах большого числа независимых случайных величин. Если же вместо сумм имеем дело с произведениями, то вместо нормального распределения получаем логарифмически нормальное, сосредоточенное на положительной полуоси. Им можно приближать распределения различных экономических величин, например, доходов
населения. В Росстате настолько верят в законность такого приближения, что вместо эмпирических величин публикуют лишь расчетные значения.
При рассмотрении распределения доходов выявляется целесообразность рассмотрения различных видов средних -математического ожидания, медианы, моды. Непараметрическую статистику начинаем с непараметрического точечного и доверительного оценивания таких характеристик распределения, как математическое ожидание, медиана, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Термин «непараметрическое оценивание» означает, что предположения о принадлежности распределения выборки к какому-либо параметрическому семейству отсутствуют, но предполагается существование моментов нужного порядка. С практической точки зрения это всегда выполнено, поскольку реальные распределения всегда сосредоточены на каком-то отрезке (другими словами, финитны).
Завершается раздел рассмотрением непараметрических ядерных оценок плотности распределения, использование которых на базе современной вычислительной техники позволит существенно сузить область применения гистограмм — классического способа наглядного представления данных, обладающего неустранимым недостатками -отсутствием обоснования для выбора числа интервалов и потерей информации из-за группирования.
6. Методы статистической проверки гипотез однородности
Проблема проверки однородности двух выборок (независимых и связанных). Различные формулировки гипотезы однородности двух выборок. Критерий Крамера-Уэлча для проверки равенства математических ожиданий (на основе Центральной предельной теоремы и теоремы о наследовании сходимости).
Эмпирическая функция распределения и основанные на ней непараметрические одновыборочные статистические критерии А.Н.Колмогорова, Н.В.Смирнова, омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова). Проверка гипотезы согласия с параметрическим семейством распределений и распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат.
Двухвыборочный критерий Вилкоксона (Манна-Уитни) и его асимптотическая нормальность. Достигаемый уровень значимости. Асимптотическое распределение критерия Вилкоксона при справедливости альтернативной гипотезы и его асимптотическая мощность. Какие выводы можно сделать на основе критерия Вилкоксона? Альтернатива сдвига. Двухвыборочные критерии Смирнова и типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта). Задача обнаружения различия в связанных выборках (письмо главного инженера Рошальского химического комбината). Критерий знаков. Проверка равенства 0 математического ожидания. Одновыборочный критерий Вилкоксона. Проверка симметрии функции распределения относительно 0 с помощью критерия типа омега-квадрат.
Эта тема — одна из примыкающих к классической тематике математической статистики. Однако различия видны с самого начала. Для проверки равенства математических ожиданий двух выборок используем критерий Крамера-Уэлча. Любопытно, что ни в одном «классическом» пособии по математической статистики нельзя найти доказательства асимптотической нормальности этого критерия. Для доказательства (которое в курсе опущено) приходится ссылаться на теорему о наследовании сходимости [6]. Необходимо обратить внимание на отличие критерия Крамера-Уэлча от критерия Стьюдента, который предпочитают рассматривать в курсах математической статистики. Критерий Стьюдента опирается на две предпосылки — нормальность распределения обеих
выборок и равенства дисперсий у них. Ни одна из предпосылок обычно не выполняется, особенно для экономических данных.
Проверку согласия с параметрическим семейством с помощью критериев Колмогорова и омега-квадрат любят включать в учебники по «Общей теории статистики», причем обычно делают это с ошибками, о чем подробно написано в статье [7]. Поэтому уклониться от разбора этого вопроса нельзя. Много недоразумений связано и с двухвыборочным критерием Вилкоксона, самым популярным в переводной литературе (разбору неточных утверждений, связанных со свойствами этого критерия, посвящена статья [8]).
Необходимость решения вопроса об однородности в связанных выборках естественно начать с практической задачи, например, с письма главного инженера Рошальского химического комбината, в котором тот просит установить, есть ли различия в показаниях двух вискозиметров, используемых при производстве мастики. От решения этого вопроса зависит, включать ли в соответствующий нормативный документ указание на средство измерения вязкости или в этом нет необходимости.
7. Понятие о регрессионном анализе
Метод наименьших квадратов для линейной прогностической функции. Вид расчетной таблицы. Оценивание параметров. Критерий правильности расчетов. Точечный и интервальный прогноз. Изменение ширины доверительного интервала при увеличении горизонта прогнозирования. Метод наименьших квадратов в случае линейной функции двух переменных. Вид расчетной таблицы. Оценивание параметров. Критерий правильности расчетов. Более общие варианты метода наименьших квадратов. Модель, линейная по параметрам. Преобразования переменных. Оценивание многочлена. Оценка остаточной
дисперсии как показатель качества модели. Оценивание размерности модели. Непараметрическая регрессия.
Регрессионный анализ — одна из наиболее разработанных частей эконометрики. Имеются толстые монографии, посвященные отдельным направлениям регрессионного анализа. На основе регрессионного анализа построена теория планирования эксперимента, дающая большой экономический эффект. Методы восстановления зависимостей на основе наименьших квадратов и наименьших модулей, модели линейной и нелинейной (по параметрам) регрессии, оценивание необходимой степени полинома, различные варианты непараметрической регрессии, дисперсионный анализ, многочисленные модели планирования эксперимента, в том числе экстремального — весь этот перечень тем заслуживает того, чтобы студенты их изучали. Для этого необходимо увеличение продолжительности преподавания эконометрики, переход от одного к системе курсов, как это сделано, например, в Высшей школе экономики — «Эконометрика-1», «Эконометрика-2», «Эконометрика-3» …
Необходимо рассчитывать не только точечные оценки параметров, но и доверительные границы для прогностической функции. Подробно разбираются методы расчета для линейной регрессии с одной независимой переменной. В то же время вероятностной теории уделяется меньше внимания, хотя и дается общее понятие регрессии как условного математического ожидания, описывается ее непараметрическая оценка.
8. Эконометрические методы классификации
Классификация и прогнозирование. Триада: построение классификаций — анализ классификаций — использование классификаций. Лемма Неймана-Пирсона и непараметрический дискриминантный анализ на основе непараметрических оценок плотности в пространствах произвольной природы. Линейный дискриминантный анализ Р.Фишера.
Многообразие параметрических и непараметрические методов классификации (распознавания образов). Группировки и кластер-анализ. Методы оценки качества алгоритмов классификации.
Хотя теория классификации несколько менее популярна среди научно-технических работников, количество посвященных ей работ измеряется десятками тысяч. Активно работавшая в 1980-е годы Комиссия ВСНТО по классификации охватывала около 1000 специалистов. Однако классификация как область эконометрики еще не достигла достаточной внутренней стройности. Слишком много отдельных подходов и методов, не связанных друг с другом. О том же свидетельствует и разнобой в терминологии. Построение классификаций называют также распознаванием образов без учителя, автоматической классификацией, кластерным анализом. Использование классификаций — дискриминантным анализом, диагностикой, распознаванием образов с учителем. Тем не менее представляется целесообразным познакомить студентов с основными идеями в области классификации, с алгоритмами кластер-анализа (прежде всего иерархическими агломеративными алгоритмами «ближнего соседа», средней связи, «дальнего соседа»), параметрическими (линейный дискриминантный анализ Р. Фишера) и непараметрическими (на основе непараметрических оценок плотностей, построенных по обучающим выборкам) алгоритмами использования классификаций. Используется также теория принятия статистических решений (при известной матрице потерь из-за ошибочной классификации). Анализ классификаций (разбиений) рассматривается позже, как одна из задач статистики объектов нечисловой природы. Важное место в теме занимают методы оценки качества алгоритмов классификации, в том числе метод пересчета на модель линейного дискриминантного анализа, позволяющий проверять обоснованность использования линейных прогностических индексов. Тема связана как с курсом «Теория вероятностей и математическая статистика»
(лемма Неймана-Пирсона), так и с курсом «Статистика» (построение группировок).
Другие многомерные эконометрические методы (многомерное шкалирование, целенаправленное проецирование, метод главных компонент, факторный анализ, канонические корреляции, анализ структуры связей и др.) целесообразно рассмотреть при условии увеличения объема преподавания эконометрики.
9. Современная теория измерений
Шкалы наименований, порядка (ранговая), интервалов, отношений, абсолютная. Проблема адекватности эконометрического вывода. Средние величины, результат сравнения которых инвариантен относительно допустимых преобразований шкалы. Применения к расчету рейтингов.
Рассматриваются основы (репрезентативной) теории измерений: определения, примеры, группы допустимых преобразований для основных типов шкал (наименований, порядка, интервалов, отношений, абсолютной). В качестве основного для эконометрики выдвигается требование устойчивости статистических выводов относительно допустимых преобразований шкал. Сравниваются три вида средних (среднее арифметическое, мода, медиана) для зарплаты работников предприятия. Дается определение средних по Коши. Обсуждается «теорема о медиане» — описание средних, результат сравнения которых устойчив в порядковой шкале. Рассматриваются применения «теоремы о медиане» к рейтингам. Вводятся ассоциативные средние по Колмогорову и дается описание средних, результат сравнения которых устойчив в шкалах интервалов и отношений. Рассматриваются иные применения теории измерений к выбору адекватных методов анализа экономических данных.
10. Статистика нечисловых данных
Различные виды нечисловых данных, связи между ними. Люсианы. Нечеткие множества и их связь со случайными. Метрики (показатели различия), эмпирические и теоретические средние, медиана Кемени, асимптотическое поведение решений экстремальных статистических задач, законы больших чисел непараметрические оценки плотности в произвольных пространствах.
В 1970-х годах стала очевидной большая роль в эконометрике экономических и управленческих данных ранее слабо изучавшихся видов -нечисловых данных, или объектов нечисловой природы. В литературе имеется достаточно подробное описание различных пространств нечисловых данных, а также связей между ними [9]. К нечисловым данным относятся, как уже говорилось, результаты измерений по качественным шкалам (в шкалах наименований и порядка), бинарные отношения (ранжировки (упорядочения), разбиения (отношения эквивалентности), толерантности), последовательности из 0 и 1, множества, нечеткие множества и др. Основные связи между перечисленными видами нечисловых данных были установлены еще в 1970-е годы. Позже была развита, например, теория люсианов (конечных последовательностей испытаний Бернулли с, вообще говоря, различными вероятностями успеха, дающая вероятностную основу для анализа последовательностей из 0 и 1.
Рассматриваются основы теории нечеткости. Даются определения нечетких множеств и операций над ними. Разбираются примеры нечетких множеств, в частности, нечеткие ответы экспертов, и свойства операций над нечеткими множествами. Анализируется связь нечетких множеств со случайными, позволяющая свести теорию нечеткости к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей.
Вводятся метрики (показатели различия) в пространствах произвольной природы — основа методов статистики нечисловых данных. Дан оптимизационный подход к определению эмпирических и теоретических средних в пространствах произвольной природы, проведено сравнение со свойствами среднего арифметического, математического ожидания, теоретической и выборочной медианы. Эмпирическое среднее предлагается рассматривать как агрегирование мнений экспертов. Обсуждается формулировка законов больших чисел в пространствах произвольной природы.
В качестве эконометрических данных рассматриваются бинарные отношения (ранжировки, разбиения, толерантности). Разбирается их связь с матрицами из 0 и 1 и введение расстояния Кемени между бинарными отношениями. Изучается медиана Кемени, ее асимптотика и свойства при малых объемах выборок и различных предположениях о распределении ранжировок. Вводятся изотропные распределения и устанавливается единственность среднего (медианы). Интерпретация законов больших чисел для нечисловых данных может быть дана в терминах теории экспертного опроса. Устанавливается связь метода средних рангов с коэффициентом ранговой корреляции Спирмена и линейная зависимость расстояния Кемени от коэффициента ранговой корреляции Кендалла. Разбирается метод «идеальной точки» с использованием средних рангов на примере сравнения математических моделей испарения жидкости.
Вводятся расстояния, теоретические и эмпирические средние в пространстве подмножеств конечного множества. Построение эмпирического среднего (итогового мнения комиссии экспертов) проводится по правилу большинства. Вводятся различные расстояния между нечеткими множествами и применяются для усреднение нечетких ответов экспертов.
Полученные результаты применяются для изучения асимптотического поведения решений экстремальных статистических задач. Предлагается использовать непараметрические оценки плотности в пространствах произвольной природы, в частности, для дискретных пространств. Обсуждается применение статистики объектов нечисловой природы при построения новой хронологии и значение полученных выводов для современных социально-экономических проблем.
11. Статистика интервальных данных
Погрешности измерения и интервальные данные. Нотна -максимально возможное отклонение, вызванное интервальностью статистических данных. Рациональный объем выборки. Их расчет для ряда задач оценивания, проверки гипотез, регрессионного, кластерного и дискриминантного анализов.
Необходимость учета в эконометрических методах погрешностей измерения, как уже обсуждалось выше, приводит к введению в теорию и практику статистического анализа интервальных данных. Определяются операции над интервальными числами и дается обоснование правил приближенных вычислений. Сравниваются по точности две формулы для выборочной дисперсии. Обсуждается основная модель интервальной статистики. Вводятся основополагающие понятия нотны — максимально возможного отклонения, вызванного интервальностью статистических данных, и асимптотической нотны (при малой абсолютной погрешности). Дается алгоритм расчета асимптотической нотны для квадратичных функций второго порядка. Изучение влияния интервальности дисконт-факторов на величину NPV (чистой приведенной стоимости, net present value) приводит к признанию интервальности самой величину NPV и необходимости использования экспертных оценок при оценке и сравнении инвестиционных проектов.
Разбираются основные результаты статистики интервальных данных, в том числе второе основополагающее понятие — рациональный объем выборки. Проводится расчет асимптотической нотны, рационального объема выборки и доверительных интервалов при оценивании математического ожидания и дисперсии, а также расчет основных показателей статистики интервальных данных для ряда задач оценивания, проверки гипотез, регрессионного, кластерного и дискриминантного анализов.
12. Проблема устойчивости статистических процедур по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели
Робастные методы статистики. Общая схема устойчивости. Метод складного ножа Кенуя. Бутстреп Эфрона и его критика.. Размножение выборок как эффективный способ интенсивного применения вычислительной техники в эконометрике.
Обсуждаются различные робастные методы и модели статистики и эконометрики, в том числе модель Тьюки-Хубера засорения экономических данных резко выделяющимися наблюдениями и модель Ю.Н. Благовещенского отклонений, имеющих быть на всей числовой оси. Согласно [5] дается формулировка общей схемы изучения устойчивости и разбираются примеры ее применения.
Рассматриваются методы размножения выборок (различные варианты бутстрепа): метод складного ножа Кенуя, бутстреп Эфрона [31] (и его критика). Размножение выборок выдвигается как эффективный способ интенсивного применения информационно-коммуникационных технологий в эконометрике. Даны различные варианты применения метода размножения выборок в эконометрических исследованиях.
13. Эконометрические методы экспертных исследований
Примеры и основные этапы применения методов экспертных оценок. Формирование экспертной комиссии. Метод «снежного кома». Различные виды экспертных процедур (с взаимодействием или без, одно- и многотуровые и др.). Метод средних рангов и метод медиан. Согласование кластеризованных ранжировок. Применение коэффициентов ранговой корреляции, теории люсианов, медианы Кемени и иных методов статистики нечисловых данных.
Обосновывается необходимость проведения экспертных исследований, особенно в ситуациях быстрого изменения, когда нет возможности опираться на длинные временные ряды статистических данных. Основными представлениями о теории и практике экспертного оценивания должен владеть каждый инженер, экономист, менеджер. Примерами процедур экспертных оценок являются методы оценки техники и артистичности фигуристов, успешности команд КВН, целесообразности финансирования научно-технических проектов, анализируемых в Республиканском исследовательском научно-консультативном центре экспертизы (РИНКЦЭ) на основе методических документов РИНКЦЭ. Они используются на соревнованиях, при выборе, распределении финансирования, при экологических экспертизах, в частности, согласно Закону РФ «Об экологических экспертизах». Другие методы экспертных исследований: метод Дельфи, мозговой штурм, метод средних рангов, метод медиан, метод сценариев.
Планирование и организация экспертного исследования как один из видов деятельности менеджера. Сравнение ролей лиц, принимающих решения (ЛПР), и специалистов (экспертов) в процедурах экспертиз и принятия решений. Зоны ответственности Рабочей Группы и Экспертной Комиссии. Основные этапы проведения экспертного исследования как основа деятельности менеджера, организующего экспертное исследование.
Экономические вопросы проведения экспертного исследования — часть знаний менеджера.
Цели экспертного исследования можно поставить по-разному: сбор информации для ЛПР и/или подготовка проекта решения для ЛПР и др. Используется ряд методов формирования состава экспертной комиссии: методы списков (реестров),» снежного кома», самооценки, взаимооценки. Важна проблема априорных предпочтений экспертов. Достоинства и недостатки процедур, используемых при отборе экспертов, заслуживают подробного обсуждения, равно как и. различные варианты организации экспертного исследования, различающиеся по числу туров (один, несколько, не фиксировано), порядку вовлечения экспертов (одновременно, последовательно), способу учета мнений (с весами, без весов), организации общения экспертов (без общения, заочное, очное с ограничениями («мозговой штурм») или без ограничений).
Методы анализа экспертных оценок основаны на статистике нечисловых данных, а также на применении непараметрической статистики (коэффициентов ранговой корреляции). Бинарные отношения на конечном множестве часто возникают как способы описания ответы экспертов. Бинарные отношения находятся во взаимно-однозначном соответствии с матрицами из 0 и 1. При анализе мнений экспертов важны такие свойства бинарных отношений, как рефлексивность, симметричность, транзитивность, и соответствующие им подпространства бинарных отношений — подпространства ранжировок (упорядочений), разбиений (отношений эквивалентности), толерантностей. Аксиоматическое введение расстояния Кемени между бинарными отношениями дает возможность применить методы статистики объектов нечисловой природы для анализа ответов экспертов. Применение теории люсианов, вычисление медианы Кемени и использование иных методов статистики нечисловых и интервальных данных — основа работы
специалиста по анализу экспертных данных. Согласование кластеризованных ранжировок рассматриваем на примере сравнения 8 математических моделей испарения жидкости по экспериментальным данным (при создании банка математических моделей с целью оценки последствий аварий при экологическом страховании).
Обобщенный показатель (полезность) объекта экспертизы строится как функция частных показателей. Разработан ряд методов построения обобщенного показателя. В частности, есть два подхода к определению весовых коэффициентов линейной функции полезности. Один из них -линейная свертка с коэффициентами, которые оценивают эксперты. Критику такого подхода даем на основе анализа реальных предложений по процедуре выбора технологии уничтожения химического оружия. Недостатки экспертных методов непосредственного определения коэффициентов весомости имеют причиной то, что эксперту свойственно работать в порядковой шкале, а не в количественных шкалах. Рассматривается экспертно-статистический метод и его реализация с помощью метода наименьших квадратов.
14. Эконометрические методы управления качеством
Статистический приемочный контроль по альтернативному признаку. Планы контроля. Оперативная характеристика. Приемочный и браковочный уровни дефектности. Предел среднего выходного уровня дефектности. Применение Центральной предельной теоремы теории вероятностей. Статистический приемочный контроль по количественному признаку. Применение статистики люсианов. Всегда ли нужен выходной контроль? Контрольные карты Шухарта и кумулятивных сумм.
В договорах купли-продажи, создания научно-технической продукции и иных договорах между предприятиями практически всегда имеется
раздел «Правила приемки и методы контроля». Эти разделы, как и правила сертификации, часто основаны на статистическом приемочном контроле. Под ним понимают выборочный контроль, основанный на эконометрической теории. Его необходимость связана с применением разрушающих методов контроля и с экономической эффективностью, основанной на сокращении затрат на контроль (в машиностроении они составляют в среднем 10% от стоимости продукции).
Планы контроля по альтернативному признаку разнообразны. Наиболее простым является одноступенчатый контроль. Основной инструмент анализа и синтеза планов контроля — это оперативная характеристика, т.е.функция, определяющая вероятность приемки партии в зависимости от входного уровня дефектности. С помощью оперативной характеристики определяются приемочный и браковочный уровни дефектности. соответствующие заданным рискам поставщика и потребителя. Расчеты наиболее просты для плана (п,0).
Если применяется контроль с разбраковкой, то находят средний выходной уровень дефектности и его предел (ПСВУД), т.е. максимально возможное значение. Нетрудно рассчитать ПСВУД для плана (п,0). Выбор плана контроля на основе ПСВУД целесообразен в ситуации, когда потребитель должен быть защищен от проникновения в поставляемую ему партию продукции доли брака, превышающей заданную.
Если поставщик и потребитель по-разному оценивают качества продукции в партии, поступившей от поставщика к потребителю, то возникает арбитражная ситуация. Арбитражная характеристика задает вероятность возникновения арбитражной ситуации. Для уменьшения числа споров применяют принцип распределения приоритетов. Расчет планов контроля поставщика и потребителя на основе принципа распределения приоритетов отличается тем, что приемлемый уровень качества выступает
для поставщика в качестве браковочного, а для потребителя — в качестве приемочного.
При достаточно большом объеме выборки (несколько десятков единиц продукции) расчет приемочного и браковочного уровней дефектности для одноступенчатого плана с помощью теоремы Муавра-Лапласа теории вероятностей. Выбор одноступенчатого плана контроля по заданным приемочным и браковочным уровням дефектности также может быть проведен на основе асимптотических соотношений, вытекающих из теоремы Муавра-Лапласа.
Ограниченность возможности использования экономических показателей при статистическом контроле основана на том, что последствия отказов изделий типа гибели людей нельзя по этическим соображениям описывать в экономических терминах. Поэтому математические модели типа модели Хальда, учитывающие все виды затрат — затраты на контроль, убытки от излишнего забракования и потери от пропуска брака, — остаются теоретическими.
Основной парадокс теории статистического контроля состоит в том, что чем лучше качество и меньше дефектность, тем больший объем контроля требуется. Поэтому естественно поставить вопрос: всегда ли нужен выходной контроль? Сравнение экономической эффективности сплошного контроля и увеличения объема партии; сплошного контроля и замены дефектных единиц продукции в системе гарантийного обслуживания приводит к выводу о целесообразности во многих случаях отказаться от выходного контроля.
Обычно выделяют следующие виды статистических методов управления качеством (обеспечения, повышения качества): статистический анализ точности и стабильности технологических процессов (методами прикладной статистики), статистический приемочный контроль по альтернативному и количественному признаку., статистическое
регулирование технологических процессов (контрольные карты Шухарта и кумулятивных сумм), планирование экспериментов (в том числе экстремальное, с целью добиться максимального выхода полезного продукта), надежность и испытания. При контроле по нескольким альтернативным признакам полезно применение статистики люсианов -одного из разделов статистики объектов нечисловой природы. Используют наглядные диаграммы Парето и диаграммы причин и результатов (известные также как диаграммы Исикавы или «рыбий скелет»).
Проблемы управления качеством рассматриваются не только на уровне предприятия, но и на отраслевом, государственном и межгосударственном уровнях. Можно указать на проблемы сертификации производства (отдельной партии продукции, конкретного технологического процесса, всего производства в целом) согласно международным стандартам серии ИСО 9000. На всех одиннадцати этапах жизненного цикла продукции (по международному стандарту ИСО 900487). необходимо использование эконометрических методов. В настоящее время переходим от систем контроля качества, основанных на допусках (системы Тейлора), к основанным на функциях потерь (системы Тагути).
Организационные вопросы управления качеством делятся на вопросы, решаемые государством (стандартизация, аттестация, сертификация), и вопросы, решаемые общественностью (кружки качества, защита прав потребителей). Развиваются комплексные системы управления качеством продукции, используется серия международных стандартов ИСО серии 9000 и лозунг тотального (всеобщего) управление качеством, система «Шесть сигм». Статистические методы управления качеством могут использоваться также при решении экологических задач мониторинга, контроля, управления, других экологических проблем на предприятиях и в регионах, при аудите (контроле массива документов), мониторинге социально-экономического положения и в других областях.
15. Анализ и прогноз временных рядов
Методы выделения трендов. Спектральный анализ. Оценивание периода. Модели авторегрессии. Системы эконометрических уравнений.
Применяют методы восстановления временных зависимостей на основе наименьших квадратов и наименьших модулей. Среди них важное место занимают модели линейной (по параметрам) регрессии. Большое значение приобретает задача оценивание необходимой степени полинома. Полезны модели авторегрессии, в том числе простейшая эмпирическая модель экспоненциального сглаживания. Оценка длины периода может быть сделана на основе методов статистики объектов нечисловой природы путем минимизации в функциональном пространстве. Выделение циклов во временных рядах имеет давнюю историю.. Рассматриваются системы эконометрических моделей и примеры их практического применения.
16. Эконометрика прогнозирования и риска
Статистические и экспертные прогнозы. Неопределенности и риски, их моделирование в эконометрике. Диверсификация и страхование. Принятие решений в условиях неопределенности. Применение экспертных оценок при оценке и сравнении инвестиционных проектов.
Среди пяти основных функцией менеджмента первая -прогнозирование и планирование. Необходимость для менеджера владеть различными методиками прогнозирования не вызывает сомнения. Из различных видов прогнозов выделим статистические и экспертные, качественные и количественные. К частным видам прогнозирования относятся прогнозы невозможности, самоосуществляющиеся прогнозы. Прогнозирование является основой планирования.
Вопрос о целях предприятия непрост. Неопределенность выражения «максимизация прибыли» без указания интервала времени показывает это.
Полезно прогнозирование экономической (и не только!) ситуации методом сценариев. Выделены этапы процесса планирования работы отрасли и предприятия, практически на всех нужны те или иные прогнозы.. Часто используется иерархия: миссия и ценности -стратегические цели — задачи — конкретные задания, что соответствует этапам планирования, основанного на прогнозировании: разработка стратегии, бизнес планирование и оперативное планирование.
Неопределенности и риски сопровождают менеджера постоянно. Различные виды рисков в работе предприятия перечислить трудно, но необходимо. Разработаны методы декомпозиции риска, в частности, используются деревья причин и результатов (диаграммы типа «рыбий скелет» — см. выше).
Разработаны различные методы описания неопределенностей, прежде всего вероятностно-статистические (наиболее распространенные), основанные на теории нечетких множеств и на статистике интервальных данных. Вероятностно-статистические методы описания риска широко используются, тесно связаны с теорией надежности, с вероятностным анализом безопасности( в атомной энергетике). Выделяют риск события (когда риск состоит в осуществлении нежелательного события) и риск ущерба (количественный). Есть ряд вариантов количественной оценки риска: по среднему ущербу (математическому ожиданию), по медиане ущерба, по квантилю, близкому к 1, по линейной комбинации среднего ущерба и среднего квадратического отклонения, по функции потерь и даже по дисперсии. Плата за риск может быть выявлена при наблюдении за поведением людей, которые обычно стремятся уменьшить риск, например, путем страхования. Плату за риск можно оценить, вычитая среднюю цену акций и цены гарантированных государством облигаций (в США). Один из приемов уменьшения риска — диверсификация деятельности, в том числе диверсификация при управлении пакетом ценных бумаг в условиях риска.
Дается понятие о вероятностных моделях страхования, в том числе экологического.
Имеются различные подходы к принятию решений в условиях неопределенности: подход пессимиста, основанный на максимизации выигрыша в наихудшей ситуации (это — подход теории антагонистических игр), подход оптимиста (максимизация выигрыша в наилучших условиях), подход на основе среднего выигрыша (возможно, дополненный оценкой доверительного интервала), подход, основанный на минимизации упущенной выгоды, и др. При несовпадении рекомендаций, даваемых различными подходами, необходимо применение оценок экспертов. В частности, имеются различные подходы к оценке эффективности и выбору инвестиционных проектов. С чисто финансовой точки зрения сравнение инвестиционных проектов сводится к сравнению потоков платежей. Очевидна необходимость изучения устойчивости (чувствительности) выводов по отношению к отклонениям коэффициентов дисконтирования и величин платежей. Столь же очевидна необходимость использования метода экспертных оценок в случае получения противоречивых рекомендаций после проведения анализа чувствительности, например, когда интервалы для используемых характеристик потоков платежей перекрываются.
17. Заключение
Подведем итоги. В настоящей статье продемонстрирована необходимость обучения будущих менеджеров, экономистов, инженеров эконометрическим методам. Рассмотрено место курса эконометрики в системе высшего технического образования: опираясь на курсы «Теория вероятностей и математическая статистика» и «Статистика», он призван довести знания студентов до уровня современности. Указаны связи курса эконометрики со многими иными учебными предметами — менеджментом,
маркетингом, экологией, стандартизацией, метрологией и управлением качеством, инвестиционной, инновационной, контрольной и контроллинговой деятельностью, оценкой финансового состояния предприятия, прогнозированием и технико-экономическим планированием, экономико-математическим моделированием
производственных систем и др.
Разработано содержание основного курса эконометрики, который реализован в нескольких конкретных вариантах (многочисленные учебники представлены в [2]). Есть перспективы для его развертывания при увеличении количества часов. о чем подробнее сказано выше. Особенно важным представляется развертывание наиболее современных разделов эконометрики — статистики нечисловых и интервальных данных.
Наряду с очевидными преимуществами ориентация курса эконометрики на последние научные достижения имеет свои отрицательные стороны, в частности, слабым является методическое обеспечение.
Литература
1. Орлов А.И. Современные эконометрические методы — интеллектуальные инструменты инженера, управленца и экономиста // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2016. № 116. С. 484 — 514.
2. Орлов А.И. Отечественная научная школа в области эконометрики / А.И. Орлов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2016. — №07(121). С. 235 — 261. — IDA [article ID]: 1211607006. — Режим доступа: http://ej .kubagro.ru/2016/07/pdf/06.pdf
3. Орлов А.И. Прикладная статистика — состояние и перспективы // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2016. № 119. С. 44-74.
4. Орлов А.И. Распределения реальных статистических данных не являются нормальными // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2016. № 117. С. 71-90.
5. Орлов А.И. Новый подход к изучению устойчивости выводов в математических моделях // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2014. № 100. С. 146-176.
6. Орлов А.И. Теоретические инструменты статистических методов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2014. № 101. С. 253-274.
7. Орлов А.И. Непараметрические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат и ошибки при их применении // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2014. № 97. С. 32-45.
8. Орлов А.И. Двухвыборочный критерий Вилкоксона — анализ двух мифов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2014. № 104. С. 91 — 111.
9. Орлов А.И. О развитии статистики объектов нечисловой природы // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2013. № 93. С. 41-50.
References
1. Orlov A.I. Sovremennye jekonometricheskie metody — intellektual’nye instrumenty inzhenera, upravlenca i jekonomista // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2016. № 116. S. 484
— 514.
2. Orlov A.I. Otechestvennaja nauchnaja shkola v oblasti jekonometriki / A.I. Orlov // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs].
— Krasnodar: KubGAU, 2016. — №07(121). S. 235 — 261. — IDA [article ID]: 1211607006. -Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2016/07/pdf/06.pdf
3. Orlov A.I. Prikladnaja statistika — sostojanie i perspektivy // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2016. № 119. S. 44-74.
4. Orlov A.I. Raspredelenija real’nyh statisticheskih dannyh ne javljajutsja normal’nymi // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2016. № 117. S. 71-90.
5. Orlov A.I. Novyj podhod k izucheniju ustojchivosti vyvodov v matematicheskih modeljah // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2014. № 100. S. 146-176.
6. Orlov A.I. Teoreticheskie instrumenty statisticheskih metodov // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2014. № 101. S. 253-274.
7. Orlov A.I. Neparametricheskie kriterii soglasija Kolmogorova, Smirnova, omega-kvadrat i oshibki pri ih primenenii // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2014. № 97. S. 32-45.
8. Orlov A.I. Dvuhvyborochnyj kriterij Vilkoksona — analiz dvuh mifov // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2014. № 104. S. 91 — 111.
9. Orlov A.I. O razvitii statistiki ob#ektov nechislovoj prirody // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2013. № 93. S. 41-50.
Что такое эконометрика? Типы, этапы и функции
Недавно мы изучали методы маркетинга, и основной целью маркетинга является увеличение прибыли компании. Прежде чем тратить большие деньги, менеджер по маркетингу должен быть уверен в том, как будет работать кампания и как на нее отреагирует аудитория.
В таких ситуациях эконометрика используется для определения взаимосвязи между маркетинговыми усилиями и продажами, например:
Какой дополнительный доход можно получить от дополнительных сотен рупий, потраченных на рекламу?
Какой вид рекламы (цифровая, телевизионная, газетная и т. Д.)) оказывает наибольшее влияние на продажи?
Вопросы такого типа можно решить с помощью эконометрических методов.
Введение в эконометрику
Эконометрика — это количественное применение статистических выводов, экономической теории и математических моделей с использованием данных для разработки теорий или проверки существующих гипотез в экономике и для прогнозирования будущих тенденций на основе огромного количества данных, полученных с течением времени.
Его функция заключается в преобразовании реальных данных в статистические исследования, а затем в сравнении результатов с теорией или теориями, которые проверяются на аналогичные закономерности.
Другими словами, анализирует теоретические экономические модели и использует их для разработки экономической политики .
Основная функция эконометрики — для преобразования качественных отчетов в количественные .
Согласно книге Stock and Watson (2007), «Эконометрические методы используются во многих отраслях экономики, включая финансы, экономику труда, макроэкономику, микроэкономику и экономическую политику».
Лоуренс Кляйн, Рагнар Фриш и Саймон Кузнец считаются пионерами эконометрики, а также получили Нобелевскую премию по экономике в 1971 г. за свой вклад. Сегодня он широко используется как учеными, так и практиками, такими как трейдеры и аналитики с Уолл-стрит.
В зависимости от того, заинтересованы ли вы в проверке существующей теории или в использовании существующих данных для разработки новой гипотезы, основанной на этих выводах, эконометрику можно разделить на следующие категории: теоретическая и прикладная эконометрика.
Типы эконометрики
1. Теоретическая эконометрика
Это исследование свойств существующих статистических моделей и процедур для определения неизвестных значений в модели.При этом мы стремимся разработать новые статистические процедуры, которые действительны, несмотря на то, что природа экономических данных может изменяться одновременно.
Теоретическая эконометрика в значительной степени опирается на математику, теоретическую статистику и числовые величины, чтобы доказать, что новые процедуры способны делать правильные выводы .
(Также проверьте: Статистический анализ данных)
Теоретическая эконометрика фокусируется на таких вопросах, как общая линейная модель, модели одновременных уравнений, распределенные задержки и вспомогательные темы.Большинство из этих проблем возникло при работе над эмпирическими исследованиями.

Типы эконометрики
2. Прикладная эконометрика
Это специальное использование эконометрических методов для преобразования качественных экономических отчетов в количественные, в отличие от теоретического подхода. Поскольку прикладные эконометристы приобретают более близкий опыт работы с данными, они часто сталкиваются с проблемами, связанными с атрибутами данных, которые указывают на ошибки в существующем наборе методов оценки, а также предупреждают их теоретиков-эконометристов об аномалиях.
Прикладная эконометрика посвящена темам производства товаров и их производительности, спросу на рабочую силу, теории арбитражного ценообразования, вопросам спроса на жилье .
Например, эконометрист может обнаружить, что дисперсия данных (насколько отдельные значения в серии отличаются от общего среднего) всегда меняется и никогда не фиксируется с течением времени.

Главный инструмент эконометрики
Основным инструментом эконометрики является модель линейной множественной регрессии, которая помогает оценить, как изменение одной из независимых переменных влияет на работу модели, от объясняемой переменной до изменений, происходящих в зависимой переменной.В современной эконометрике многие статистические инструменты оказались в центре внимания, но простая линейная регрессия по-прежнему является наиболее часто используемой отправной точкой для анализа.
Этот шаг необходим, потому что регрессия имеет тенденцию оценивать предельное влияние конкретной объясняющей переменной после учета дисперсии, вызванной влиянием других объясняющих переменных на модель .
Например, модель может попытаться дифференцировать влияние увеличения налогов на 1 процентный пункт на средние потребительские расходы домохозяйства, предполагая, что другие факторы потребления, такие как доход до налогообложения, богатство и процентные ставки, статичны.

Этапы эконометрики
Методология эконометрики довольно проста.

Этапы эконометрики
Предложение теории
Первый шаг — предложить теорию или гипотезу, чтобы начать изучение определенной части данных.Объясняющие переменные в модели указываются заранее, а знак и / или величина взаимосвязи между каждой отдельной независимой переменной и зависимой переменной четко устанавливаются, чтобы не вызывать путаницы.
На этом этапе в игру вступают прикладные эконометристы, которые в значительной степени полагаются на экономическую теорию, чтобы успешно сформулировать гипотезу на основе предоставленных данных.
(Предлагается прочитать: 7 основных разделов дискретной математики)
Например, философия международной экономики заключается в том, что цены через открытые границы идут рука об руку после того, как разрешен паритет покупательной способности.Эмпирическая взаимосвязь между внутренними ценами и иностранными ценами (с поправкой на сценарии номинального обменного курса) всегда должна быть положительной, и они должны всегда стараться поддерживать паритет.
Определение статистической модели
Второй шаг — определить статистическую модель, отражающую суть теории. Экономист пытается предложить уникальную связь между зависимой переменной и независимыми переменными через модель.
Безусловно, самый простой подход — это допустить линейность, то есть любое изменение независимой переменной всегда будет вызывать аналогичное изменение зависимой переменной. Конечно, невозможно учесть каждое небольшое влияние на зависимую переменную, поэтому в статистическую модель добавляется переменная, чтобы свести на нет внешние возмущения.
Роль новой переменной здесь состоит в том, чтобы представить все детерминанты зависимой переменной, которые не могут быть учтены.В основном из-за сложности данных.
Просто чтобы быть последовательным и обеспечить выполнение всех условий для статистической модели, экономисты обычно предполагают, что этот термин «ошибка» в среднем равен нулю и непредсказуем.
(Рекомендуемое чтение: Типы статистического анализа)

Расчетные переменные
Третий шаг — оценить неизвестные переменные модели с использованием имеющихся экономических данных.Обычно для этого используется соответствующая статистическая процедура и пакет эконометрических программ.
Это называется самой простой частью анализа благодаря легкому доступу к обширным экономическим данным и отличным эконометрическим методам и программному обеспечению. Эконометрика по-прежнему основывается на принципах известного стиля вычислений GIGO (мусор на входе, мусор на выходе).

Корректура
Это четвертый шаг, а также самый важный из всех.На этом этапе нужно задать себе правильные вопросы. Например,
Соответствуют ли знаки и взаимосвязь оценочных параметров, связывающих зависимую переменную с независимыми переменными, с предсказаниями экономической теории?
Если расчетные параметры не имеют смысла, как следует отредактировать статистическую модель специалисту по эконометрике, чтобы получить соответствующие результаты?
А более точная оценка гарантирует получение экономически значимой модели?
На этом этапе, в частности, проверяются навыки и опыт эконометриста в данной области.

Проверка гипотезы

Основным инструментом четвертого этапа является проверка гипотез, статистическая процедура, в которой исследователь отмечает истинное значение экономического параметра, и проводится статистический тест, чтобы выяснить, является ли оцениваемый параметр синонимом конкретной гипотезы.
Если это не так, исследователь должен либо отвергнуть гипотезу, либо внести изменения в статистическую модель и начать все сначала.
Если все четыре этапа проходят успешно, результатом является модель, которую можно использовать в качестве инструмента для оценки эмпирической достоверности экономической модели.
Эмпирическая модель также может использоваться для прогнозирования зависимой переменной, потенциально помогая политикам принимать важные решения об изменениях в денежно-кредитной и / или налогово-бюджетной политике, чтобы экономика оставалась на стабильной платформе.
Студенты, изучающие эконометрику, часто увлекаются возможностью линейной множественной регрессии для прогнозирования экономических отношений.
Стоит помнить о трех основах эконометрики;
Первый , качество вывода параметров зависит от текущего рабочего состояния экономической модели.
Вторая , если релевантная объясняющая переменная исключена из модели, наиболее вероятно, что оценки параметров станут ненадежными и неточными.
В-третьих, , у оценок параметров очень малая вероятность совпадения с фактическими значениями параметров, которые генерируются статистическими данными, даже если эконометрист идентифицирует процесс как источник исходных данных.

В конечном итоге оценки используются, потому что они станут точными по мере того, как будет доступно больше данных, а оценки будут соответствовать широте охвата.

Функции эконометрики
Эконометрика выполняет в основном три тесно взаимосвязанные функции.
Первая функция эконометрики — проверка экономических теорий или гипотез, выдвинутых желанными эконометриками.Например, напрямую связано потребление с доходом? Связано ли количество спроса на определенный товар обратно пропорционально его цене?
Вторая функция эконометрики заключается в предоставлении числовых оценок переменных экономических отношений. Это очень важно для принятия решений.
Например, государственному разработчику политики необходимо иметь точную оценку коэффициента взаимосвязи между потреблением и доходом, чтобы понять стимулирующий эффект предлагаемого снижения налога и принять правильное решение.
Третья функция эконометрики — предсказывать экономические события. Это также необходимо для того, чтобы лица, определяющие политику, предприняли экономически обоснованные действия, если уровень безработицы или инфляции, согласно прогнозам, вырастет в будущем.

Заключение
Ни для кого не секрет, что экономика правит миром, и с помощью эконометрики ежедневно подтверждаются новые теории, делаются новые выводы и статистические модели отвергаются или утверждаются.
Эконометрика делит мир на безграничные возможности для формирования новых теорий, которые дополняются данными, предоставляемыми эконометристам.
Политики считают эти данные очень информативными и полагаются на эти выводы при формировании очень важных политик и решений.
Эконометрика — Изучение экономики
Эконометрика интересна тем, что предоставляет инструменты, позволяющие нам извлекать полезную информацию о важных вопросах экономической политики из имеющихся данных.Студенты, которые приобретают знания в области эконометрики, также обнаруживают, что они улучшают свои перспективы трудоустройства.
Guy Judge , старший преподаватель кафедры количественной экономики Портсмутского университета

Изображение Dunechaser на Flickr
Эконометрика — это использование статистических методов для понимания экономических проблем и проверки теорий. Без доказательств экономические теории абстрактны и могут не иметь отношения к реальности (даже если они абсолютно строгие). Эконометрика — это набор инструментов, которые мы можем использовать для сопоставления теории с данными реального мира.
Если после получения первой степени вы заинтересованы в том, чтобы продолжить свою экономическую деятельность (будь то дальнейшее обучение или профессиональный экономист в правительстве или частном секторе), вам может помочь эконометрика. Большинство магистерских курсов включают в себя обязательные продвинутые компоненты эконометрики, и большинство работодателей экономистов ищут людей, которые смогут вычислять числа и, что особенно важно, интерпретировать результаты.
Целью прикладного эконометрического исследования может быть проверка гипотезы — например, определение того, какая часть «гендерного разрыва в оплате труда» может быть объяснена различиями в образовании и опыте.В качестве альтернативы, исследование может оценить ключевой параметр, например эластичность спроса на нефть по цене. Или же для составления прогнозов можно использовать эконометрические методы, подобные тем, которые Банк Англии использует для определения уровня, на котором базовая процентная ставка должна устанавливаться каждый месяц.
Изучение эконометрики увеличивает ваш человеческий капитал двумя способами. Во-первых, он позволяет вам самостоятельно проводить прикладные эконометрические исследования, что может быть очень полезно, если вы также пишете диссертацию. Современное эконометрическое программное обеспечение значительно облегчает процесс формулирования, оценки и проверки модели и предоставляет полезную графическую информацию, а также таблицы результатов.
Во-вторых, он позволяет критически оценивать эмпирические работы других. Это может быть полезно при обсуждении соответствующей академической литературы в любом другом модуле — и возможность прокомментировать, почему тот или иной метод может быть подходящим, а может и не подходящим, часто может быть очень впечатляющим.
Эконометрика — непростой вариант. Изначально многие студенты находят это сухим и скучным. Но те, кто настойчиво с этим справляются, обычно получают вознаграждение за свои усилия. Когда вы понимаете, что делаете, проведение эконометрического исследования и поиск чего-то нового в этом мире приносит удовлетворение и, осмелюсь сказать, весело.
Ссылки
Нам прислали это отличное видео, которое понравится вам всем экономическим категориям
Наш список источников данных в сети
Предыдущая: Экономика развития
Далее: Экономический анализ закона
Введение в эконометрику Глава 1: Введение
Глава 1. Введение
В этой главе мы обсуждаем содержание этой книги, включая основные идеи
мы пытаемся передать и используемые инструменты анализа.Начнем с нашего определения темы: Эконометрика — это применение статистических методов и анализы к изучению проблем и вопросов в экономике.

Термин эконометрика был придуман в 1926 году норвежцем Рагнаром А. К. Фришем. экономист, получивший первую Нобелевскую премию по экономике в 1969 г. еще один пионер эконометрики Ян Тинберген. Хотя многие экономисты использовал данные и провел расчеты задолго до 1926 года, Фриш чувствовал, что ему нужно новое слово для описания того, как он интерпретировал и использовал данные в экономике.Сегодня эконометрика — это широкая область изучения экономики. Поле постоянно меняется по мере добавления новых инструментов и методов. Однако его центр содержит стабильный набор фундаментальных идей и принципов. Эта книга о сути эконометрики. Мы объясним основную логику и метод эконометрики, сосредоточившись на точном воплощении основных идей. Мы делим изучение эконометрики в этой книге на следующие два основные части:
Часть 1.Описание
Часть 2. Вывод
В каждой части регрессионный анализ будет основным инструментом. Показывая регресс снова и снова в различных контекстах мы подкрепляем идею о том, что это является мощный и гибкий метод, определяющий большую часть эконометрики. В то же время, однако, мы описываем условия, которые должны быть выполнены для его надлежащего использование и ситуации, в которых регрессионный анализ может привести к катастрофическим ошибочные выводы при несоблюдении этих условий.
В дополнение к регрессионному анализу мы будем использовать моделирование Монте-Карло. на протяжении второй части книги, чтобы смоделировать роль случая в процесс генерации данных. Метод Монте-Карло является неотъемлемой частью нашего подход к обучению, который подчеркивает конкретное, визуальное понимание. В разделе 1.2 используется пример исследования спроса на сигареты для проиллюстрировать цели и методы эконометрического анализа и то, как регрессия вписывается в это предприятие.Далее мы обсудим концепцию Монте. Карло анализ в главе 9, первой главе части 2 книги.
Эконометрика | Encyclopedia.com
Краткая история
Обзор эконометрики
БИБЛИОГРАФИЯ
Кратко определенная, эконометрика — это исследование экономической теории в ее отношении к статистике и математике. Основная предпосылка состоит в том, что экономическая теория поддается математической формулировке, обычно как система отношений, которая может включать случайные величины.Экономические наблюдения обычно рассматриваются как образец, взятый из вселенной, описываемой теорией. Используя эти наблюдения и методы статистического вывода, эконометрист пытается оценить отношения, составляющие теорию. Затем эти оценки могут быть оценены с точки зрения их статистических свойств и их способности предсказывать дальнейшие наблюдения. Качество оценок и природа ошибок прогноза могут, в свою очередь, привести к пересмотру самой теории, с помощью которой были организованы наблюдения и на основе которой были выведены постулируемые числовые характеристики Вселенной.Таким образом, существует взаимная связь между формулировкой теории и эмпирической оценкой и проверкой. Отличительной чертой является явное использование математики и статистических выводов. Нематематические теории и чисто описательная статистика не являются частью эконометрики.
Объединение экономической теории, математики и статистики было больше стремлением эконометриста, чем ежедневным достижением. Многое из того, что принято называть эконометрикой, является математической экономической теорией, которая не опирается на эмпирическую работу; и часть того, что известно как эконометрика, представляет собой статистическую оценку специальных отношений, которые имеют лишь хрупкую основу в экономической теории.Однако это достижение не оправдывает ожиданий, однако его не следует обескураживать. Частью процесса развития науки является то, что теории могут выдвигаться непроверенными и что поиск эмпирических закономерностей может предшествовать систематическому развитию теоретической основы. Однако следствием этого является то, что, хотя слово «эконометрика» явно подразумевает измерение, многие абстрактные математические теории, которые могут или не могут в конечном итоге поддаются эмпирической проверке, часто упоминаются как часть эконометрики.Значение этого слова часто применялось как к математической экономике, так и к статистической экономике; а в просторечии «эконометрист» — это экономист, опытный и интересующийся применением математики, будь то математическая статистика или нет. В этой статье я приму это расширенное определение и рассмотрю как эконометрику в ее узком смысле, так и математическую экономическую теорию.
Использование математики и статистики в экономике возникло не недавно.Во второй половине семнадцатого века сэр Уильям Петти написал свои эссе о «политической арифметике» [ см. Биографию Петти]. Эта молодая работа, замечательная для своего времени, была эконометрической по своей методологической основе даже с современной точки зрения. Несмотря на то, что на нее не ссылался Адам Смит, она оказала заметное влияние на более поздних авторов. В 1711 году итальянский инженер Джованни Чева призвал использовать математический метод в экономической теории. Хотя за прошедшие годы появилось много статистических исследований, революционное влияние математического метода проявилось только во второй половине девятнадцатого века.Леон Вальрас, профессор Лозаннского университета, больше, чем кто-либо другой, признан создателем экономики общего равновесия, которая является базовой структурой современной математической экономики [ см. Биографию Вальраса]. Его работа, оторванная от каких-либо непосредственных статистических приложений, разработала всеобъемлющую систему отношений между экономическими переменными, включая деньги, чтобы объяснить взаимное определение цен и количества товаров и капитальных благ, производимых и обмениваемых.Вальрас рассматривал экономику как функционирующую в соответствии с классической механикой, при этом состояние экономики определяется балансом сил между всеми участниками рынка. Однако его система общего равновесия была по существу статичной, потому что значения экономических переменных сами по себе не определяли их собственные временные скорости изменения. По этой причине термин «равновесие» употребляется неправильно, поскольку, поскольку общая система Вальраса не была явно динамической, ее решение нельзя описать как состояние равновесия.Тем не менее, как это все еще верно в большинстве экономических теорий, были сторонние дискуссии о регулирующих свойствах экономики, и поэтому, в более широком контексте, решение можно рассматривать как результат уравновешивания динамических сил адаптации.
Значительное сочетание математической теории и статистической оценки впервые произошло в работе Генри Ладделла Мура, профессора Колумбийского университета в начале двадцатого века [ см. Биографию Мура, Генри Л.]. Мур проделал настоящую эконометрическую работу над экономическими циклами, определением ставок заработной платы и спросом на определенные товары. Его главной публикацией, кульминацией которой стало около трех десятилетий работы, была книга Synthetic Economics , вышедшая в 1929 году. Невероятно, но эта работа, имеющая такое основополагающее значение для последующего развития значительной области социальных наук, было продано всего 873 экземплярами (Stigler 1962 ).
Эконометрика приобрела свою идентичность как отдельный подход к изучению экономики в течение 1920-х годов.Число людей, посвятивших себя этой детской области, неуклонно росло, и 29 декабря 1930 года они основали международную ассоциацию под названием Эконометрическое общество. Это было достигнуто во многом благодаря энергии и настойчивости Рагнара Фриша из Университета Осло при помощи и поддержке выдающегося американского экономиста Ирвинга Фишера, профессора Йельского университета [ см. Биографию Фишера, Ирвинга] . Назвать это небольшое меньшинство экономистов культом означало бы приписать им слишком узкие и евангельские взгляды; тем не менее, у них было чувство миссии «продвигать исследования, которые направлены на объединение теоретико-количественного и эмпирическо-количественного подходов к экономическим проблемам, и которые пронизаны конструктивным и строгим мышлением, аналогичным тому, которое стало доминировать в мире. естественные науки »(Frisch 1933).
Их идеи и амбиции были хорошо обоснованы. В последующие годы и в ходе многих методологических споров о роли математики в экономике (тема сейчас довольно устарела) их число росло, а их влияние в более широкой экономической профессии неуклонно расширялось. Сегодня все основные экономические факультеты университетов в западном мире, в том числе совсем недавно в странах советского блока, предлагают работу по эконометрике, и многие придают ей значительный упор.Специальные курсы по эконометрике были введены даже на уровне бакалавриата; написаны учебники; молодое поколение экономистов, поступающих в аспирантуру, прибывает с улучшенной подготовкой по математике и статистическим методам, тяготеет к тому, что, по-видимому, становится все больше, к специализации по эконометрике и вскоре превосходит своих учителей в знании эконометрических методов. Членство в Эконометрическом обществе увеличилось со 163 в 1931 году до более 2500 человек в 1966 году.Журнал общества, Econometrica , за эти годы практически удвоился в размерах, и почти все другие научные журналы по экономике регулярно публикуют статьи, математическая и статистическая сложность которых поразила бы основателей движения в 1920-х и 1930-х годах.
Сферы применения эконометрики в экономике неуклонно расширяются. В настоящее время едва ли есть область прикладной экономики, в которую не вошли бы математическая и статистическая теория, включая экономическую историю.С ростом интереса к эконометрике и ее концентрации со стороны экономистов само понятие специализации стало размытым. Благодаря своему успеху в качестве основного интеллектуального движения в экономике, эконометрика теряет свою идентичность и исчезает как особая отрасль дисциплины, становясь теперь почти совпадающей со всей областью экономики. Однако эти замечания нельзя неправильно понимать. В экономике остается много проблем и много исследований, которые не являются ни математическими, ни статистическими, и хотя общий уровень подготовки современного экономиста и его интерес к математике и статистике намного превосходит уровень его предшественников, вполне надлежащая градация этих навыков и интересов неизбежно продолжается. существовать.Более того, повторяю, многое из того, что известно как эконометрика, все еще не соответствует взаимосвязи математико-теоретического и статистического, что является целью, содержащейся в определении этой области.
Поскольку эконометрика больше не является маленьким анклавом в экономической науке, обзор ее предмета должен охватывать большую часть самой экономики.
Общее равновесие
Следуя концепции Вальраса об общем экономическом равновесии, экономисты-математики в последние годы занимались гораздо более тщательным анализом проблемы, чем предлагал Вальрас [ см. Экономическое равновесие].В более ранней работе общее экономическое равновесие описывалось системой равенств, включающей бесконечно большое количество экономических переменных, но число, равное количеству независимых уравнений. Предполагалось, что система одновременных уравнений с тем же числом неизвестных, что и независимые, будет иметь «равновесное» решение. Это свободная математика, и в последнее время теоретики-экономисты были озабочены тем, чтобы заново разработать более раннюю теорию с большей строгостью.Равенство уравнений и неизвестных не является ни необходимым, ни достаточным условием существования или единственности решения. Следовательно, нельзя быть уверенным в том, что ранняя теория адекватна для объяснения общего состояния равновесия, к которому экономика, как предполагается, должна сходиться. Это может быть связано с тем, что теория не накладывает условий, необходимых для обеспечения существования общего состояния равновесия, или потому, что теория может быть неопределенной, поскольку она подразумевает несколько различных решений.Поэтому современный теоретик равновесия попытался определить необходимые и достаточные условия для существования и уникальности общего экономического равновесия.
Концепция равновесия — это состояние, в котором никакие силы внутри модели, действующие во времени, не приводят к дисбалансу системы. Даже если можно продемонстрировать существование такого состояния в рамках какой-либо модели общего равновесия, остается вопрос, является ли оно стабильным или нестабильным, то есть стремятся ли при любом отклонении системы от него силы восстановить прежнее состояние. исходное равновесие или сдвинуть систему дальше.Анализ этих вопросов, которые являются более сложными, чем предложенные здесь, требует явного введения отношений динамической настройки.
Вопросы существования, уникальности и стабильности равновесия в данном контексте — это не вопросы о реальной экономике, а вопросы, касающиеся свойств теоретической модели, утвержденной для описания реальной экономики. В этом смысле их исследование ориентировано на лучшее понимание последствий альтернативных уточнений самой теории, а не на улучшенное эмпирическое понимание того, как работает наша экономика.
Большая часть этой работы, кроме того, была ограничена исследованием модели общего равновесия конкурентоспособной экономики , что действительно является частным случаем. Тем не менее, это случай особого интереса, потому что, согласно идеализированным предположениям, экономисты благосостояния приписали конкурентному равновесию характеристики, которые удовлетворяют критериям, которые считаются интересными для социальной оценки экономической деятельности [ см. Экономика благосостояния], согласно Согласно концепции Парето, состояние экономики (не считающееся уникальным) считается оптимальным, если нет другого технологически выполнимого состояния, в котором какой-либо человек находился бы в положении, которое он предпочитает, в то время как ни один человек не был бы в положении, которое он считает худшим [ см. биографию Парето].Таким образом, условия, при которых общее экономическое равновесие было бы оптимальным в этом смысле, подвергались жесткой проверке. Таким образом, экономика благосостояния Парето тесно связана с современными исследованиями систем общего равновесия, но она недостаточно развита как эмпирическое исследование.
Экономист-позитивист, озабоченный прогнозированием, в принципе также интересовался системами общего равновесия, но с другой точки зрения. Его центральный вопрос: как изменение экономического параметра (коэффициента или, возможно, значения некоторой автономной переменной, которая сама не определяется системой) вызывает изменение равновесного значения одной или нескольких других переменных, которые определяются системой? ? Короче говоря, как равновесное решение зависит от параметров? Это проблема в сравнительной статике , которая противопоставляет два различных равновесия, определяемых разницей в значениях одного или нескольких параметров.
Сравнительная статика — частичное равновесие
Именно в проблеме сравнительной статики — сравнении альтернативных состояний равновесия — мы можем наиболее точно провести различие между экономикой общего равновесия и экономикой частичного равновесия , что является знакомым контрастом в литературе.
Предположим, что в окрестности равновесия общая система одновременных экономических отношений полностью дифференцируется по отношению к изменению определенного параметра, так что все прямые и косвенные эффекты этого изменения учтены.Затем можно надеяться установить направление изменения конкретной экономической переменной по отношению к этому параметру. Например, если повышается определенная налоговая ставка или предпочтения потребителей смещаются в пользу определенного товара, будет ли увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменным количество спроса на какой-либо другой товар? На этот вопрос иногда можно ответить на основе совокупности знаков (плюс, минус, ноль) многих или всех частных производных функций, составляющих систему (при условии, что они являются непрерывно дифференцируемыми).Теоретические соображения или здравый смысл могут позволить априори указать знаки этих частных производных, например, чтобы утверждать, что эластичность спроса отрицательна или перекрестная эластичность спроса положительна. Однако в некоторых случаях теоретику неудобно делать такие утверждения о производной, и, следовательно, некоторые признаки могут быть оставлены неопределенными. Вопрос в том, достаточны ли ограничения, которые теоретик готов наложить априори, для определения того, является ли полная производная интересующей экономической переменной по данному параметру положительной, отрицательной или нулевой.Формальное рассмотрение необходимых и достаточных ограничений, необходимых для решения этого вопроса, однозначно составляет исследование качественной экономики и представляет собой самостоятельную математическую проблему (Samuelson 1947; Lancaster 1965). В некоторых ситуациях может быть важно знать не только знаки различных частных производных, но и их относительные алгебраические величины. Это указывает на необходимость статистической оценки этих производных, что относится к эконометрике в ее самом узком смысле.
Иногда также полезно знать, что некоторые производные достаточно близки к нулю, и если их принять равными нулю, это не повлияет на вывод о знаке исследуемой полной производной. Уловка или искусство решать, когда рассматривать определенные частные производные как ноль, то есть решить, что определенные экономические переменные не входят в какие-либо существенные отношения в определенные отношения, является сущностью анализа частичного равновесия, названного так потому, что он стремится изолировать часть общей системы из других частей, которые мало с ней взаимодействуют.Таким образом, анализ частичного равновесия является частным случаем анализа общего равновесия, в который были введены более смелые априорные ограничения с целью получения более конкретных и значимых результатов в сравнительной статике. Так же, как экономика общего равновесия обычно ассоциируется с именем Вальраса, так и экономика частичного равновесия ассоциируется с работами Альфреда Маршалла [ см. Биографию Маршалла].
В качественной экономике некоторый свет проливает свет на признаки частных производных системы с учетом динамической устойчивости модели.С допущениями о природе отношений динамической регулировки можно найти соответствия между условиями, необходимыми для того, чтобы равновесие было устойчивым, и знаками частных производных. Таким образом, точно так же, как стабильность зависит от предположений о том, входят ли различные переменные в данное отношение, положительно или отрицательно, точно так же, как эти переменные входят в данное отношение, иногда можно вывести из предположения, что равновесие является стабильным. Это знаменитый принцип соответствия, созданный Самуэльсоном.[ См. Статика и динамика в экономике.]
Пространственные модели
В большинстве моделей общего равновесия экономика рассматривается как существующая в одной точке пространства, игнорируя, таким образом, транспортные расходы, региональную специализацию ресурсов и предпочтения местоположения. Некоторые исследования, однако, явно вводят пространственное измерение, в котором происходит общее равновесие. Это обеспечивает основу для изучения межрегионального расположения, специализации и взаимозависимости в обмене.[ См. Пространственная экономика, статья , посвященная подходу общего равновесия ]. Эти модели, из-за их большей сложности, обычно включают более специальные допущения, такие как линейность отношений и отсутствие возможностей для замены среди факторных услуг в производстве. . Однако они также более непосредственно поддались эмпирической работе.
При применении анализа частичного равновесия к задачам пространственной экономики, кроме того, предполагается, что местоположения определенных видов экономической деятельности определяются независимо от решений о местоположении в отношении других видов экономической деятельности, и, следовательно, первое можно рассматривать как фиксированное в анализ последнего.[ Обсуждение этого направления исследования см. В Пространственная экономика, в статье о подходе частичного равновесия.]
Агрегационные и агрегативные модели
Поскольку системы общего равновесия рассматриваются как охватывающие миллионы индивидуальных отношений, они, очевидно, не поддаются количественной оценке. Поэтому большой интерес представляет уменьшение размерности системы, так что существует некоторая возможность эконометрической оценки.Это означает, что отношения общего типа, например отношения, описывающие поведение фирм в данной отрасли или домохозяйства определенного характера, должны быть объединены в единое отношение, описывающее поведение совокупности сопоставимых экономических агентов. Условия, необходимые для того, чтобы такое агрегирование стало возможным, и используемые методы все еще находятся на довольно предварительной стадии изучения. Но литература по этому поводу развивается. [ См. Агрегирование .]
Более старая проблема — это просто объединение в одну переменную множества похожих переменных. Это известная проблема «индексов» * — например, как лучше всего представить цены на большое количество различных товаров с помощью единого индекса цен. Таким образом, проблема с индексными числами имеет свои теоретические аспекты [ см. индексные номера, статью о теоретических аспектах], а также свои статистические аспекты [ см. индексные номера, статей по практическим приложениям, и выборка].Теория оказалась полезной при интерпретации альтернативных статистических формул.
Основные усилия по эмпирическому исследованию систем общего равновесия, которые до некоторой ограниченной степени были агрегированы, относятся к заголовку «Анализ затрат-выпуска». Этот подход, предложенный Василием Леонтьевым в конце 1930-х годов, состоит, по сути, в рассмотрении экономики как системы одновременных линейных отношений и рассмотрении как постоянных относительных величин входов в производственный процесс, которые необходимы для производства продукции процесса. .Эти входы, конечно, могут быть выходами других процессов. Таким образом, с фиксированными коэффициентами, относящимися к входам и выходам интегрированной производственной структуры, можно определить, какой «перечень товаров» может быть произведен, с учетом количества различных «первичных» непроизведенных ресурсов, которые доступны. В качестве альтернативы также могут быть определены количества первичных ресурсов, необходимых для производства данной товарной накладной. Коэффициенты такой системы можно оценить, наблюдая за соотношениями входов и выходов для различных процессов в данный год, или усредняя эти отношения по последовательности лет, или используя инженерные оценки.Это может быть сделано для экономики, разделенной на большое количество различных секторов (сотня или более), или это может быть сделано для частей экономики, таких как мегаполис. Более того, секторирование экономики может быть как по регионам, так и по отраслям, и первое делает метод применимым к изучению межрегиональных или международных торговых отношений. Было проведено большое количество эмпирических исследований по моделям затрат-выпуска, таблицы коэффициентов к настоящему времени разработаны для более чем сорока стран.Количественный анализ работы этих моделей, как легко предположить, потребовал наличия крупномасштабных компьютеров. [ См. Анализ затрат – выпуска.]
Агрегативные модели в экономике могут относиться к типу частичного или общего равновесия. Те из них, которые относятся к типу частичного равновесия, имеют дело с отдельным сектором экономики изолированно, исходя из предположения, что внешние экономические переменные, которые имеют важное влияние на этот сектор, в свою очередь, не зависят от его поведения.Так, например, рыночная модель спроса и предложения на конкретный товар может рассматривать общий доход потребителей и его распределение как определяемые независимо от цены и выпуска конкретного изучаемого товара. Тем не менее, функции рыночного спроса и предложения являются совокупностью функций спроса и предложения многих людей и фирм. Агрегированные модели типа общего равновесия могут объяснить взаимное определение многих основных экономических переменных, которые являются агрегатами огромного числа индивидуальных переменных.Примерами агрегированных переменных являются общая занятость, общий объем импорта, общие инвестиции в товарные запасы и т. Д. Эти модели обычно называются макроэкономическими моделями , , в отличие от микроэкономических моделей , , которые имеют дело в смысле частичного равновесия с отдельным домохозяйством, фирмы, профсоюзы и т. д. Многие макроэкономические модели рассматривают не только так называемые реальных переменных, которые представляют собой физические запасы и потоки товаров и производственных услуг, но также денежные переменные , такие как уровни цен, количество денег, стоимость общего выпуска и процентная ставка.Подобные модели были особенно распространены с 1936 года, поскольку их стимулировала книга Джона Мейнарда Кейнса «Общая теория занятости, процента и денег» Джона Мейнарда Кейнса и созданная на ее основе литература.
Один тип агрегированной макроэкономической модели — это модель, которая выделяет несколько важных секторов экономики или связывает макроэкономические переменные двух или более экономик, взаимосвязанных в торговле. Большая часть теории международной торговли имеет дело с подобными моделями [ см. Международная торговля, статья по математической теории ].Фактически, поскольку это был естественный способ анализа международных экономических проблем, теория международной торговли исторически была одной из самых оживленных областей для развития экономической теории, как математической, так и иной. Более узкие эконометрические исследования в этой области были сосредоточены на оценках эластичности импортного спроса.
Более того, макроэкономические модели пригодились для изучения экономических изменений, и именно с этими моделями была проведена наиболее значительная работа в экономической динамике.Динамические системы в экономике — это такие системы, в которых значения экономических переменных в данный момент времени определяют либо их собственные скорости изменения (непрерывные модели дифференциальных уравнений), либо их значения в последующий момент времени (дискретные модели разностных уравнений). . [ Для общего обсуждения динамических моделей см. Статика и динамика в экономике.] Таким образом, динамические модели включают как переменные, так и меру их изменений во времени. Первые часто встречаются как «запасы», а вторые — как «потоки».«Когда и запасы, и потоки входят в данную модель, возникают сложности с согласованием желаемых количеств каждого из них. Эти проблемы становятся особенно важными, когда вводятся денежные переменные, например, когда мы рассматриваем желание людей как удерживать определенную стоимость денежных активов, так и откладывать (добавлять к активам) по определенной ставке. [ Конкретные проблемы моделей потока запасов обсуждаются в Анализ потока запасов.]
Динамические модели возникают как в теории долгосрочного экономического роста [ см. Экономический рост, статья по математической теории ], где обе макроэкономические использовались полностью дезагрегированные модели общего равновесия, а также в теории деловых колебаний или деловых циклов [ см. Деловые циклы, статья о математических моделях], где макроэкономические модели являются наиболее распространенными.Не все модели, предназначенные для объяснения уровня деловой активности, должны иметь циклический характер. Современный упор делается на макроэкономические модели, циклические или нет, которые объясняют уровень деловой активности и его изменение динамической системой, которая реагирует на внешние переменные. К ним относятся переменные экономической политики (государственный дефицит, политика центрального банка и т. Д.) И другие переменные, которые, хотя и оказывают важное влияние на экономику, имеют свое объяснение за пределами теории, например, рост населения и темпы роста населения. технологические изменения.Таким образом, внешние переменные, известные как экзогенные или автономные переменные, воздействуют на динамическую экономическую систему и порождают колебания во времени, которые не обязательно должны быть периодическими. Эти модели поддаются эмпирическому исследованию, и для их оценки была проделана большая работа [ см. Эконометрические модели, совокупность]. Структура этих моделей была уточнена и доработана в результате эмпирической работы.
Огромное преимущество агрегированных моделей, конечно, состоит в том, что они существенно сокращают огромное количество переменных и уравнений, которые появляются в системах общего равновесия, и тем самым делают возможными оценки.Даже в этом случае эти модели могут быть довольно сложными либо потому, что они все еще содержат большое количество переменных и уравнений, либо из-за нелинейностей в их функциональных формах. Однако современный компьютер позволяет оценивать системы такой степени сложности. Но если кто-то заинтересован в анализе динамического поведения этих систем, трудности часто выходят за рамки наших возможностей в математическом анализе. На помощь снова приходит компьютер. С помощью компьютера можно моделировать сложные системы рассматриваемого типа, управлять ими с помощью экзогенных переменных и шокировать их случайными возмущениями, извлеченными из определенных распределений вероятностей.Таким образом можно исследовать производительность этих систем при различных предположениях относительно поведения экзогенных переменных и для большой выборки случайных величин.
[ Симуляционные исследования такого рода обсуждаются в Simulation, статье об экономических процессах ].
Переменные, которые обычно возникают в макроэкономических моделях, — это совокупные потребительские расходы, инвестиции в товарные запасы и инвестиции в оборудование. Совокупные потребительские расходы или потребление отражают поведение домохозяйств при принятии решения о том, сколько потратить на потребительские товары, которые в некоторых исследованиях могут быть далее разбиты на такие категории, как потребительские товары длительного пользования, товары краткосрочного пользования и услуги.Используя методы регрессии, потребительские расходы устанавливаются в зависимость от других переменных, некоторые из которых имеют экономический характер (доход потребителей, изменение дохода, самый высокий прошлый доход, уровень потребительских цен и скорость их изменения, процентные ставки и условия потребительского кредита). , ликвидные активы и т. д.), некоторые из которых являются демографическими (раса, размер семьи, проживание в городе или деревне и т. д.). Эмпирическое исследование зависимости потребительских расходов от этих переменных проводилось интенсивно в течение последних двадцати лет.[Для обзора этой работы см. Функция потребления.]
Динамика инвестиций в товарно-материальные запасы также была объектом интенсивного изучения, как с точки зрения того, как запасы менялись с течением времени относительно общего уровня деловой активности, так и с точки зрения того, как инвестиции в товарные запасы отреагировали на такие переменные, как процентная ставка, изменения продаж, невыполненные заказы и т. д. [ Эта работа рассмотрена в статье Inventories, , посвященной поведению запасов .] Есть некоторые тонкие вопросы, связанные с формулировкой функции инвестирования в запасы. Иногда запасы накапливаются, когда фирмы предполагают, что они должны это делать, а в других случаях они накапливаются, несмотря на желание фирм сократить их, например, когда продажи быстро падают относительно способности фирм изменять темпы выпуска продукции. Таким образом, теоретическая работа, посвященная оптимальному поведению фирм в вопросах политики запасов, может дать некоторую основу для выбора и интерпретации роли различных переменных в функции инвестирования в запасы.[ См. Запасы, статья по теории управления запасами.]
Зависимость инвестиций в машины и оборудование от таких переменных, как коммерческие продажи, изменения продаж, коммерческая прибыль, ликвидность и т.д., также может быть изучена с помощью эконометрических методов. и различные теории были выдвинуты в поддержку представлений об относительной важности этих различных переменных. Как и в случае с функцией потребления и определением инвестиций в запасы, функция инвестиций в машины и оборудование также была предметом интенсивных эмпирических исследований в течение последних двух десятилетий.[ Эта работа рассматривается в Investment, статье о совокупной инвестиционной функции.]
Принятие решений
Хотя для экономиста методологически правильно постулировать ad hoc взаимосвязи между макроэкономическими переменными (Peston 1959), это будет более отрадным, более объединяющим экономическую теорию, если поведение макропеременных может быть выведено из элементарных предположений относительно поведения микропеременных, совокупностями которых они являются.Это проблема агрегирования, о которой говорилось ранее. Предполагается, что аксиоматическая теория поведения отдельного лица, принимающего экономические решения, особенно индивидуума (или домохозяйства) и фирмы, может служить основой для теорий взаимодействия агрегированных макропеременных. Однако большая часть поведенческой теории фирм и домашних хозяйств проводится в контексте анализа частичного равновесия, поскольку отдельный экономический агент не заботится о том, чтобы учесть очень незначительное влияние, которое его собственные решения оказывают на рынок или на экономику как целое.Таким образом, каждое домохозяйство и каждая конкурирующая (но не монополистическая) фирма считает рыночные цены фиксированными и не зависит от их собственного выбора. Но, связывая вместе такие модели частичного равновесия поведения огромного множества отдельных домохозяйств и фирм, нельзя игнорировать влияние их совместного поведения на те самые рыночные переменные, которые они считают константами. Таким образом, микромодели частичного равновесия должны быть преобразованы в более общие модели, учитывающие эти индивидуально не воспринимаемые, но коллективно важные взаимодействия.
Микроэкономическая теория в значительной степени дедуктивна, она систематически исходит от аксиом, касающихся предпочтения и выбора, к теоремам об экономическом поведении. Для тщательного изучения логических сложностей этой дедуктивной теории часто используется формальная математика. Рыночные решения экономических агентов обычно предполагаются как осмотрительные или рациональные решения, что означает, что они в целом соответствуют определенным основным критериям принятия решений, которые, как считается, имеют широкую интуитивную привлекательность как предписания осмотрительного или рационального выбора.Ситуации, в которых лицо, принимающее решения, может сделать выбор, можно сформулировать по-разному. Бывают «статические» ситуации, когда не предполагается, что решение имеет временный или последовательный характер. Существуют «динамические» ситуации, в которых необходимо принимать последовательность решений, причем определенным образом. Проблема принятия решения также может быть классифицирована в зависимости от того, насколько лицо, принимающее решения, знает о последствиях своих решений. Одна крайность — это случай полной уверенности, когда предполагается, что последствия полностью известны заранее.Другие случаи связаны с риском и возникают, когда предполагается, что лицо, принимающее решения, знает только распределение вероятностей различных результатов, которые могут возникнуть в результате принятого им решения. Наконец, с другой стороны, проблема принятия решения может рассматриваться как включающая почти полную неопределенность, и в этом случае лицо, принимающее решение, знает, каковы возможные результаты, но не имеет априорной информации об их вероятностях. [Для обсуждение различных критериев, предлагаемых для этих различных ситуаций, см. Принятие решений, статью , посвященную экономическим аспектам .] Однако фундаментальным является представление о том, что лицо, принимающее решения, имеет предпочтения и использует их в пределах доступного ему диапазона выбора. Индекс, определяющий его предпочтения, обычно называется полезностью и рассматривается как функция от выбранных им объектов. В частности, когда человек с фиксированным доходом выбирает среди различных «рыночных корзин» товаров, полезность обычно постулируется как функция компонентов рыночной корзины. Аксиоматические системы, необходимые и достаточные для существования такой функции, были объектом интенсивного изучения экономистов-математиков.[ Эта центральная проблема и многие ее тонкие аспекты рассматриваются в Полезности.] Большие усилия, возможно, с небольшой пользой для эмпирической экономики, были направлены на уточнение аксиоматики теории полезности или теории потребительского выбора; К сожалению, было сделано гораздо меньше работы по укреплению предположений теории и увеличению ее эмпирического содержания. Из теории поведения потребителей вытекает концепция функции спроса потребителя на конкретный товар, зависящей, как правило, от всех цен и дохода.
Что касается теории фирмы, то также предполагается осмотрительное, целенаправленное поведение, и в наиболее распространенной формулировке теории предполагается, что фирма желает в какой-то мере максимизировать свои предпочтения среди потоков будущих прибылей. Это должно происходить с учетом цен, которые фирма должна платить за факторные услуги, рыночных возможностей, с которыми она сталкивается при продаже своей продукции, и ее внутренней технологии производства. Из этого анализа вытекает теория производства и предложения.[Для теория производства фирмы см. Производство; для эконометрических исследований производственных отношений и себестоимости продукции, см. Производство и анализ затрат; , а для эконометрических исследований спроса и предложения см. Спрос и предложение, статью «О эконометрических исследованиях».
При выводе теории поведения потребителей и теории фирмы целеустремленное и осмотрительное поведение обычно ассоциировалось с понятием, что лицо, принимающее решения, пытается максимизировать некоторую функцию с учетом рыночных и технологических ограничений.Таким образом, математика ограниченной максимизации служила экономисту самым важным инструментом в его профессии. В попытке разработать модели максимизирующего поведения, которые лучше поддаются количественной формулировке и решению, интерес сосредоточился на задачах, в которых максимизируемая функция является линейной, а ограничения составляют набор линейных неравенств. Методы решения таких задач получили название линейного программирования. С дальнейшим развитием были введены нелинейности и случайные элементы, и этот метод стал применяться также к задачам последовательного принятия решений.Вся эта область теперь известна как математическое программирование [ см. Программирование]. В силу своей практической полезности эти методы позволяют анализировать различные конкретные проблемы планирования и оптимизации, особенно проблемы, связанные с деятельностью фирмы. Стимулируемый доступностью этих методов, а также достижениями теории вероятностей и некоторым военным опытом в области системного анализа, расцвел современный количественный подход к проблемам производства и управления бизнесом.Это известно как наука об управлении или исследование операций [ см. Исследование операций]. Это развитие представляет собой случай расщепления, поскольку наука управления теперь рассматривается отдельно от эконометрики, хотя обе области имеют много общего, и у них есть много профессоров и практиков.
Самыми сложными проблемами в области осмотрительного принятия решений являются те, которые связаны со стратегическими соображениями. По сути, это означает, что последствия решения или действия, предпринятого одним участником, зависят от действий, предпринятых другими; но их действия, в свою очередь, зависят от действий каждого из других участников.Таким образом, структура проблемы заключается не в простом максимизации даже перед лицом риска или неопределенности, а в стратегической игре. [ См. Game Theory, статья о теоретических аспектах.] Основываясь на соображениях разумной стратегии отдельного участника и стимулов для подмножеств участников формировать коалиции, теорию игр можно представить как общую задачу равновесия. и стал тесно связан с современной работой в области экономики общего равновесия.В более частном контексте теория игр оказалась применимой к решению проблем фирм в ситуациях олигополистической и двусторонней монополии. Они характеризуются тем, что каждая фирма, выбирая наилучший образ действий, должна учитывать влияние своих действий на действия других фирм, которые также действуют осмотрительно. В целом, ранний энтузиазм по поводу применения теории игр к этим проблемам промышленного поведения пока подтвержден лишь в ограниченной степени.[Обзор приложений теории игр к деловому поведению см. В Теория игр, в статье о экономических приложениях.]
Процессы распределения
Давно озабоченным в экономике было распределение экономических переменных по размеру. Что определяет распределение семейных доходов или распределение активов или продаж фирм в данной отрасли? В прошлые годы эти проблемы решались описательно путем подгонки частотных распределений к данным по разным странам, разным годам или различным отраслям.Соответствие данным из разных источников можно было бы объявить эмпирическим «законом»; таким образом, закон Парето распределения доходов. В последние годы проблема распределения по размерам была пересмотрена. Эконометристы теперь рассматривают его как формулировку динамического процесса роста или распада со случайными элементами. Задача состоит в том, чтобы оценить параметры процесса и определить, существует ли равновесное распределение размеров единиц и каково это распределение. Таким образом, хорошее соответствие может иметь теоретический механизм, а параметры могут зависеть от других экономических переменных, которые могут изменяться или могут контролироваться.[ В этой связи см. Распределения размеров в экономике и Цепи Маркова.]
Статистические методы
В естественных науках исследователь должен проводить свои собственные измерения. В экономике, однако, сама экономика генерирует данные в огромных количествах. Налогоплательщики, коммерческие фирмы, банки и т. Д. Регистрируют свои операции, и во многих случаях эти записи доступны экономисту. К сожалению, эти данные не всегда именно те, которые нужны экономисту, и их необходимо часто корректировать в научных целях.В последние десятилетия правительство все активнее занимается сбором и обработкой экономических данных. Это оказало огромную помощь в развитии эконометрики. Это касается не только правительств США и стран Западной Европы, но и данные накапливаются в странах с плановой экономикой, где они имеют решающее значение для операций планирования. [ См. Экономические данные.] Отсутствие адекватных данных наиболее остро ощущается при изучении слаборазвитых экономик, хотя через Организацию Объединенных Наций и другие организации собирается все больший объем данных по этим частям мира и сопоставлено.
Основная форма представления экономических данных — это последовательные записи экономических наблюдений за определенный период времени. Таким образом, могут существовать данные о ценах на определенные товары, данные о занятости и т. Д. За многие годы. Следовательно, эконометристы традиционно серьезно занимались анализом временных рядов [ см. Временные ряды] и особенно использованием методов регрессии, где различные наблюдения упорядочены во временной последовательности. Это привело к разработке уравнений динамической регрессии, пытающихся объяснить наблюдение конкретной даты как функцию не только других переменных, но также одного или нескольких прошлых значений одной и той же переменной.Таким образом, отношение динамической регрессии представляет собой разностное уравнение, включающее случайный член. Когда в разностное уравнение вводится много прошлых значений переменной, так что это уравнение очень высокого порядка, становится трудно оценить коэффициенты этих прошлых переменных без потери многих степеней свободы. В результате эконометрист попытался наложить определенную схему взаимосвязи на эти коэффициенты, чтобы все они могли быть оценены как функции относительно небольшого числа параметров.Это метод регрессии с распределенным запаздыванием. [ См. Распределенные запаздывания.]
Только что описанные методы в значительной степени пришли на смену более старым методам декомпозиции временных рядов, в соответствии с которыми временной ряд разбивается на такие компоненты, как тренд, циклы различной длины, сезонный образец изменения , и случайный компонент. Эти методы предполагали взаимодействие повторяющихся воздействий регулярной периодичности и амплитуды. С переходом к разностному уравнению и подходу регрессии были введены экзогенные переменные, и случайные возмущения стали кумулятивными в их эффектах.Таким образом, временные характеристики временного ряда описываются меньше в терминах некоторого внутреннего закона периодичности и больше в терминах последовательности реакций на случайные воздействия и временные вариации других причинных переменных. Таким образом, прогнозирование не является неумолимой экстраполяцией ритмов, а является пересмотренным прогнозом, период за периодом, возрастающей взаимосвязи, зависящей от настоящих и прошлых значений, от экзогенных переменных и случайных элементов. [ См. Прогнозирование и прогнозирование, экономическое.]
Тем не менее, всегда было разумно предположить довольно строгую периодичность для сезонной составляющей из-за повторяющегося характера сезонов, праздников и т. Д. В результате, при изучении временных рядов, где наблюдения проводятся ежедневно, еженедельно или ежемесячно. , принято сначала оценивать и снимать сезонное влияние. [ Методы для этого обсуждаются в Временных рядах, статье о сезонной корректировке .]
Другой вид данных, которые использует экономист, — это перекрестные данные.Например, он может использовать выборку наблюдений, сделанных примерно в одно и то же время, за активами, доходами и расходами разных домохозяйств, фирм или отраслей. [ См. Поперечный анализ.] Наблюдая за различиями в поведении людей в выборке и, опять же, обычно с помощью регрессионного анализа, приписывая эти различия различиям в других переменных, находящихся вне контроля этих людей, эконометрист пытается сделать вывод как изменилось бы поведение аналогичных экономических единиц со временем, если бы изменились значения независимых переменных.Есть много ошибок в этом процессе вывода изменений во времени для данной фирмы или домохозяйства на основе различий между фирмами и домохозяйствами в данный момент времени. Особенно полезными становятся данные, которые являются как поперечными, так и временными рядами по своему характеру, как, например, когда наблюдаются бюджеты выборки домашних хозяйств, каждое за несколько последовательных лет. Для получения полезной информации поперечного сечения или поперечного сечения и сортировки временных рядов обычно требуется разработка выборочного обследования.[ Применение методов обследования в экономике обсуждается в Анализ обследований, статья О приложениях в экономике.]
Очень распространенная проблема в эконометрике возникает, когда разные переменные связаны по-разному. Например, совокупные инвестиции зависят от национального дохода, но национальный доход по-разному зависит от совокупных инвестиций. В анализе спроса и предложения равновесное обмениваемое количество и рыночная цена должны одновременно удовлетворять как функцию спроса, так и функцию предложения.Эта одновременность множественных отношений между одними и теми же переменными представляет особые проблемы при применении методов регрессии. Эти проблемы были тщательно изучены в течение последних двадцати лет, и теперь доступны различные устройства для их решения. Эти методы часто довольно сложны, но с развитием статистической теории и доступности данных и с использованием крупномасштабного компьютера они стали широко использоваться при оценке как частичного равновесия, так и макроэкономических моделей, иногда довольно больших измерение.Хотя здесь упоминается лишь кратко, эта важнейшая проблема статистической методологии, возможно, является самой центральной особенностью эконометрического анализа и является предметом ряда текстов и трактатов. Это также, вероятно, самый большой блок материалов, охватываемых большинством специальных курсов по эконометрике. [ См. Одновременное вычисление уравнений.]
Тем, кто занимается исследованиями на переднем крае любой науки, прогресс всегда кажется чрезвычайно медленным; но обзор достижений эконометристов как в развитии экономической теории, так и в ее количественной оценке и проверке за последние два или три десятилетия дает ощущение большого достижения.Но по мере того, как решаются старые проблемы, изобретаются новые. Таким образом, развитие эконометрики не ослабевает.
Роберт Х. Штроц
Работы, посвященные природе и истории эконометрики: Divisia 1953; Frisch 1933; Tintner 1953; 1954. Основные работ в области: Аллен 1956; Malinvaud 1964; Самуэльсон 1947.
Аллен Р. Г. (1956) 1963 Математическая экономика. 2-е изд. Нью-Йорк: Сент-Мартинс; Лондон: Макмиллан. Divisia, Franéois 1953 La Société d’Économétrie a atteint sa Majorité. Econometrica 21: 1–30.
[Фриш, Рагнар] 1933 г. От редакции. Econometrica 1: 1–4.
Ланкастер, К. Дж. 1965 Теория качественных линейных систем. Econometrica 33: 395–408.
Малинво, Эдмонд (1964) 1966 Статистические методы в эконометрике. Чикаго: Рэнд МакНалли. → Впервые опубликовано на французском языке.
Пестон, М. Х. 1959 Взгляд на проблему агрегирования. Обзор экономических исследований 27, вып. 1: 58–64.
Самуэльсон, Пол А. (1947) 1958 Основы экономического анализа. Гарвардские экономические исследования, Vol. 80. Кембридж, Массачусетс: Harvard Univ. Нажмите. → Издание в мягкой обложке было опубликовано в 1965 году издательством Atheneum.
Стиглер, Джордж Дж. 1962 Генри Л. Мур и статистическая экономика. Econometrica 30: 1–21.
Тинтнер, Герхард 1953 Определение эконометрики. Econometrica 21: 31–40.
Тинтнер, Герхард 1954 г. Преподавание эконометрики. Econometrica 22: 77–100.
Что следует знать об эконометрике
Есть много способов определить эконометрику, самый простой из которых — это статистические методы, используемые экономистами для проверки гипотез с использованием реальных данных. В частности, он количественно анализирует экономические явления в связи с текущими теориями и наблюдениями, чтобы сделать краткие предположения о больших наборах данных.
Вопросы типа «Связана ли стоимость канадского доллара с ценами на нефть?» или «Действительно ли бюджетные стимулы стимулируют экономику?» На это можно ответить, применив эконометрику к наборам данных по канадским долларам, ценам на нефть, бюджетным стимулам и показателям экономического благосостояния.
Университет Монаша определяет эконометрику как «набор количественных методов, которые полезны для принятия экономических решений», в то время как «Экономический словарь» The Economist определяет ее как «создание математических моделей, описывающих математические модели, описывающие экономические отношения (например, требуемое количество товара зависит положительно от дохода и отрицательно от цены), проверяя обоснованность таких гипотез и оценивая параметры, чтобы получить меру силы влияний различных независимых переменных.»
Базовый инструмент эконометрики: модель множественной линейной регрессии
Эконометристы используют множество простых моделей, чтобы наблюдать и находить корреляцию в больших наборах данных, но наиболее важной из них является модель множественной линейной регрессии, которая функционально предсказывает значение двух зависимых переменных как функцию независимой переменной.
Визуально модель множественной линейной регрессии можно рассматривать как прямую линию, проходящую через точки данных, которые представляют парные значения зависимых и независимых переменных.При этом специалисты по эконометрике пытаются найти объективные, эффективные и последовательные оценщики для прогнозирования значений, представленных этой функцией.
Таким образом, прикладная эконометрика использует эти теоретические практики для наблюдения за данными из реального мира и формулирования новых экономических теорий, прогнозирования будущих экономических тенденций и разработки новых эконометрических моделей, которые создают основу для оценки будущих экономических событий, связанных с наблюдаемым набором данных.
Использование эконометрического моделирования для оценки данных
В тандеме с моделью множественной линейной регрессии эконометристы используют различные эконометрические модели для изучения, наблюдения и формирования кратких наблюдений за большими наборами данных.
«Экономический глоссарий» определяет эконометрическую модель как модель, «сформулированную таким образом, чтобы ее параметры можно было оценить, если сделать предположение, что модель верна». По сути, эконометрические модели — это модели наблюдений, которые позволяют быстро оценить будущие экономические тенденции на основе текущих оценок и исследовательского анализа данных.
Эконометристы часто используют эти модели для анализа систем уравнений и неравенств, таких как теория равновесия спроса и предложения, или для прогнозирования изменений рынка на основе экономических факторов, таких как фактическая стоимость внутренних денег или налог с продаж на этот конкретный товар или услугу. .
Однако, поскольку эконометристы обычно не могут использовать контролируемые эксперименты, их естественные эксперименты с наборами данных приводят к множеству проблем с данными наблюдений, включая смещение переменных и плохой причинно-следственный анализ, который приводит к искажению корреляций между зависимыми и независимыми переменными.
эконометрики (определение, примеры) | Что такое эконометрика для финансов?
Что такое эконометрика?
Эконометрика — это понимание взаимосвязей экономических данных путем использования ссылок на статистические модели и получения наблюдения или закономерностей из предоставленных данных для разработки приближенного будущего тренда.Эконометрика просто экономична с добавлением математики и статистики и помогает в прогнозировании и оценке с помощью статистических методов.
Методы эконометрики
Наиболее распространенные методы:
Вы можете свободно использовать это изображение на своем веб-сайте, в шаблонах и т. Д. Пожалуйста, предоставьте нам ссылку с указанием авторства Ссылка на статью с гиперссылкой
Например:
Источник: Econometrics (wallstreetmojo.com)
Примеры эконометрики для финансов
Ниже приведены примеры эконометрики для финансов
Пример № 1 по эконометрике
Майкл имеет доход 50000 долларов.Структура расходов его дохода составляет 10000 — фиксированная арендная плата и другие домашние расходы составляют 50% его валового дохода, полученного в течение периода.
Множественная линейная регрессия — один из лучших инструментов для развития отношений на основе прошлых тенденций.
Уравнение будет иметь вид = B ₀ (точка пересечения) + B ₁ + e (член ошибки)
Используя уравнение, можно получить сумму, которую Майкл потратит на основе своего заработанного дохода.
Расходы = B ₀ (фиксированная арендная плата) + B ₁ (эксп.) + e (Член ошибки)
= 10000 + 50% (50000)
= 35000
Термин ошибки показывает, что может быть небольшое отклонение вверх или вниз от результата, полученного с помощью статистических инструментов.
Пример эконометрики 2
Узнаем заработную плату человека исходя из его опыта работы
Минимальная заработная плата: 10 тысяч долларов
На основе регрессии по заработной плате человека получается, что B ₁ = 2000
Таким образом, применяя метод, можно понять, что человек получит минимальную заработную плату в размере 10000 + (2000 * No.лет опыта)
Эти 10K и 2K являются гипотетическими значениями и должны быть проверены с помощью статистических инструментов, таких как t-тест. T-тест — это метод определения того, значительно ли отличаются друг от друга средние значения двух групп. Это метод логической статистики, который упрощает проверку гипотез.Подробнее и F-тест. Если они существенно не отличаются от 0, то предполагаемое значение не имеет значения, и необходимо повторить проверку, чтобы получить другое значение.
Как эконометрика работает в финансах?
Входные данные Выходные данные
Теории, на которые ссылаются Параметры, используемые в данных
Выбранные модели Нарисованная область достоверности Проведение теста на предположение
Применяемые методы Используемые графические инструменты
Преимущества эконометрики
Вот преимущества эконометрики.
Используя инструменты или прикладную эконометрику, можно преобразовать данные в конкретную модель с целью принятия решения, которое поддерживает эмпирические данные.
Помогите получить указанный узор или результат из разбросанных данных.
Позволяет нам извлекать релевантную информацию из корзины информации.
Недостатки эконометрики
Эконометрика имеет некоторые недостатки.
Иногда построение отношений с помощью экономических инструментов является ложным i.е. даже не существует никакой связи между двумя переменными, но модель показывает закономерность на основе прошлой информации. Бывший. Корреляция между дождем и выплаченными дивидендами
Это показывает, что всякий раз, когда в квартале выпадает дождь, только компания объявляет дивиденды за этот период. Даже дождь не имеет отношения к выплаченным дивидендам, но, согласно установившейся тенденции, он может давать ложные сигналы, которые могут привести к неправильному решению.
Всегда есть выбор между простотой и точностью.Спецификация модели — очень важная задача в прикладной экономике. Выбор меньшего количества переменных может помочь в упрощении и обеспечить более быстрый результат, но он может быть неточным из-за недостатка информации или из-за высокого «нет». переменной, то модель может быть критической, неэкономичной или гигантской.
Может возникнуть проблема мультиколлинеарности между переменными, используемыми в данных. Очень важно, чтобы выбранная переменная имела низкую корреляцию между двумя независимыми переменными.Модель оставила этот раздел на пользователя модели.
Важные моменты
Инструменты эконометрики очень критичны. Окончательный вывод может варьироваться от пользователя к пользователю.
Результат зависит от типа и спецификации модели. Результаты ориентированы на модели.
Данные экономичны, осуществимы, пора получить результаты, которые следует учитывать при применении модели.
Может применяться как к данным поперечного сечения, так и к данным временного ряда.
Должен быть периметр или тест, необходимый для проведения итоговой эффективности, такой как f-тест в Excel, T-тест, таблица статистики, анализ таблицы ANOVA с использованием пакетов инструментов.
Заключение
Всегда не забывайте проверять, являются ли полученные результаты статистически значимыми для принятия решений.
Они развиваются из рассматриваемой модели или периметра.
Результат должен быть как эмпирически, так и футуристически благоприятным.
Это повторяющееся упражнение, и различные модели также могут быть применены к одной проблеме, чтобы получить лучшее понимание.
Переоснащение или недостаточное соответствие результатов может быть разбавлено улучшенной спецификацией модели.
Рекомендуемые статьи
Это был путеводитель по эконометрике и ее определению. Здесь мы обсуждаем основные методы и примеры эконометрики для финансов, а также их преимущества и недостатки. Подробнее о наших статьях по бухгалтерскому учету вы можете узнать ниже —
Что такое эконометрика? | GoCardless
Термин «эконометрика» впервые был введен польским экономистом Павлом Чомпа в 1910 году. Однако именно Рагнар Фриш и Ян Тинберг определили его современное использование и значение, в результате чего в 1969 году им была присуждена Нобелевская премия по экономике.Вот посмотрите, как сегодня используются методы эконометрики.
Понимание эконометрики для финансов
Эконометрика использует сочетание статистических и математических методов для проверки теорий и прогнозирования будущих экономических тенденций. Благодаря сочетанию статистических выводов, экономической теории и основных математических принципов эконометрика для финансов помогает описывать современные экономические системы.
По сути, он превращает качественные идеи в количественные результаты. Например, эконометрический анализ можно использовать для преобразования теоретической модели в реальный инструмент или результат, который политики могут применить на практике.Для этого эконометристы — это те, кто просеивает огромные груды данных, превращая их в количественные утверждения с помощью моделирования и анализа.
Эконометрика против статистики
Хотя между эконометрикой и статистикой есть некоторое совпадение, эти два термина различаются по значению. Эконометрика действительно использует статистические теории и данные при анализе экономических теорий, но она включает в себя больше, чем просто цифры. При применении статистических методов он смотрит на более широкую картину экономики.
Есть еще много общего в изучении эконометрики и статистики. Для выполнения эконометрического анализа экономист может использовать статистические инструменты, в том числе:
Вероятность
Частотные распределения
Статистический вывод
Корреляционный анализ
8 9004 Методы временных рядов
Какова цель эконометрики?
Эконометрический анализ используется для проверки гипотезы, будь то существующая экономическая теория или совершенно новая идея.Его также можно использовать для прогнозирования будущих финансовых или экономических тенденций с использованием текущих данных. Это делает эконометрику для финансов повседневным инструментом трейдеров с Уолл-стрит и финансовых аналитиков.
Идея эконометрики может быть применена для проверки многих теорий. Например, экономист может захотеть проверить гипотезу о том, что по мере увеличения компанией прибыли ее расходы соответственно увеличиваются. Эконометрика будет использовать данные, лежащие в основе этого предположения, а затем использовать статистические инструменты, такие как регрессионный анализ, для более глубокого изучения взаимосвязи между прибылью и расходами.
Основы эконометрики: теоретические и прикладные
Эконометрика состоит из двух основных компонентов: теоретической и прикладной. Вот еще немного информации о том, как работают эти элементы эконометрики для финансов.
Теоретическая эконометрика
Этот вид эконометрического анализа рассматривает свойства существующих статистических процедур или тестов для оценки любых неизвестных. Теоретики-эконометристы могут разработать новые статистические методологии, учитывающие аномалии в экономических данных.Этот раздел эконометрики опирается в первую очередь на теоретическую статистику, числовые данные и математику с целью доказать, что новые процедуры действительно жизнеспособны.
Прикладная эконометрика
Второй компонент эконометрики использует методы преобразования качественных заявлений в количественные. Когда теоретики-эконометристы разрабатывают новые статистические процедуры, это часто является ответом на работу эконометристов-прикладников, которые обнаружили необъяснимые различия в наборах данных.Затем специалисты по прикладной эконометрике могут использовать эти новые методы для проверки своих гипотез.
Методы эконометрики
Стандартные методы эконометрики включают несколько этапов. Самый первый шаг — выбрать набор данных для анализа. Это может быть что угодно, от уровня инфляции до показателей безработицы или исторических цен на акции финансовых технологий.
Выбрав данные, эконометрист предлагает гипотезу или теорию для их объяснения. Эта модель должна определять различные задействованные переменные, а также величину взаимосвязи между переменными.Экономическая теория играет большую роль на этом начальном этапе эконометрического анализа.
Следующим шагом является определение статистической модели, которая наилучшим образом соответствует проверяемой экономической теории. Обычно предполагается линейная зависимость, что означает, что любое изменение независимых переменных приведет к тому же уровню изменения зависимой переменной для линейной прогрессии.
Затем вы воспользуетесь статистической процедурой для оценки любых неизвестных параметров или коэффициентов модели.Программное обеспечение для эконометрики обычно быстро справляется с этим шагом.
Гипотеза должна быть проанализирована логически, чтобы увидеть, имеет ли она смысл в рамках предполагаемых параметров и экономических теорий.
Наконец, пришло время проверить гипотезу, чтобы убедиться, что оцениваемый параметр верен.
Оставить комментарий on Эконометрика это: Эконометрика как наука — это… Что такое Эконометрика как наука?/
Как посчитать коэффициент рождаемости на 1000 человек – CGI script error
alexxlab / 02.01.197011.08.2019 / Разное
Рекомендации для самостоятельной работы студентов -Расчет демографических показателей
Рекомендации для самостоятельной работы студентов
Расчет демографических показателей (рождаемость, смертность, естественный прирост).
1.Возрастная структура населения определяется по следующей формуле (1.1):
В= число лиц определенной возрастной группы : среднегодовая численность населения х100% (1.1)
где В — доля лиц соответствующей возрастной группы.
2. Половая структура населения рассчитывается по формуле (1.2):
П= число лиц определенного пола : среднегодовая численность населения х100% (1.2)
где П — доля лиц соответствующего пола.
3. Общий показатель рождаемости (рождаемость) представляет собой общее число родившихся живыми в течение года детей, приходящееся на 1000 населения, и рассчитывается по формуле (1.3):
ОПР = общее число родившихся в течение года: среднегодовая численность населения x1000 (1.3)
где ОПР — общий коэффициент рождаемости (рождаемость).
4.Коэффициент плодовитости рассчитывают по следующей формуле (1.4):
П = общее число родившихся в течение года : среднегодовая численность женского населения фертильного возраста (15-49 лет) х1000 (1.4)
где П — общий коэффициент плодовитости.
5. Общий показатель смертности рассчитывается по формуле (1.5):
ОПС = общее число умерших в течение года : среднегодовая численность населения х1000 (1.5)
где ОПС — общий показатель смертности.
6.Показатель естественного прироста, определяемый разностью между показателями рождаемости и общей смертности (формула 1.6).
ЕП = ОПР-ОПС, (1.6)
где ЕП — показатель естественного прироста,
ОПР — общий коэффициент рождаемости (рождаемость),
ОПС — общий показатель смертности.
Воспользовавшись вышеприведенными формулами, можно определить основные демографические показатели на территории области, города, в районе обслуживания поликлиники или на конкретном терапевтическом участке.
Пример. Среднегодовая численность населения, находящегося под наблюдением семейного врача, составляет 1500 человек, из них в возрасте до 14 лет — 225 человек, лиц старше 50лет — 300, женщин — 780, в течение года в семьях родилось 15 детей, умерло 18 человек. Таким образом, используя формулы 1.1-1.6, можно определить:
* возрастной тип населения;
* рождаемость;
* смертность;
* естественный прирост населения.
1)определение возрастного типа населения:
доля лиц до 14 лет =225:1500х100% = 15 %
доля лиц старше 50 лет =300 :1500 х100% = 20 %
2)структура населения по полу:
доля женщин = 780:1500 х100% =52%;
доля мужчин =100 % — 52% =48%
3) общий показатель рождаемости:
ОПР =15:1500 х 100% =10 %
4)общий показатель смертности:
ОПС = 18:1500 х 100% = 12%
5)естественный прирост:
10-12=-2 (%)
Таким образом, характеризуя демографическую ситуацию среди семей, находящихся под наблюдением, можно отметить, что возрастной тип населения является регрессивным с преобладанием женского населения, рождаемость находится на низком уровне, смертность — на среднем уровне, естественный прирост населения отрицателен, то есть можно говорить о противоестественной убыли населения. На основании этих данных можно сделать вывод о необходимости усиления деятельности медицинской сестры по планированию семьи, следует также уделить внимание охране здоровья женщин и лиц пожилого возраста.
infourok.ru
3) Специальный коэфициент разводимости
Спец. коэфф. разводимости = ×1000
Специальные коэффициенты брачности и разводимости могут быть рассчитаны только за год (или двухгодичный период), когда проводится перепись населения, потому что только по данным переписи можно определить численность лиц, состоящих и не состоящих в браке.
Специальный коэффициент смертности не рассчитывается потому, что совпадает с общим коэффициентом смертности.
С помощью расчета специальных коэффициентов можно устранить второй недостаток общих коэффициентов, т.е., несопоставимость числителя и знаменателя дроби при вычислении общих коэффициентов рождаемости, брачности и разводимости. Однако первый недостаток общих коэффициентов (то есть, их зависимость от возрастной структуры) при этом не устраняется.
Например, специальный коэффициент рождаемости также зависит от возрастного состава продуцирующего контингента (женщины 15-49 лет).
Если в этом контингенте высока доля женщин от 20 до 29 лет, которые часто рожают детей, то специальный коэффициент рождаемости будет относительно высоким.
Если же в этом контингенте высока доля женщин от 40 до 49 лет, которые очень редко рожают детей, то специальный коэффициент рождаемости будет относительно низким.
Однако есть еще и третий (и самый главный) недостаток общих коэффициентов. Он состоит в том, что ни один из общих коэффициентов не дает представления об основных параметрах того демографического процесса, к которому он относится.
Общий коэффициент рождаемости не дает представления о том, сколько детей рожает одна женщина за всю жизнь. Специальный коэффициент рождаемости (в расчете на 1000 женщин 15-49 лет) тоже не дает представления об этом. Для этого требуется другой показатель – СУММАРНЫЙ
КОЭФФИЦИЕНТ РОЖДАЕМОСТИ. Он характеризует среднее число детей, которых одна женщина рожает за всю жизнь.
Общий коэффициент смертности (число умерших на 1000 населения) не дает представления о том, в каком возрасте умирают люди. Для этого существует другой показатель – СРЕДНЯЯ ОЖИДАЕМАЯ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ЖИЗНИ.
Общий коэффициент брачности (число браков на 1000 населения) не дает представления о действительно важных параметрах брачности, то есть, о том, в каком возрасте мужчины и женщины вступают в брак, какая часть мужчин и женщин не вступает в брак вообще, в течение всей жизни, а какая часть мужчин и женщин вступает в брак по нескольку раз. Для этого используются другие показатели.
Общий коэффициент разводимости не дает представления о том, какая часть браков заканчивается разводами. Чтобы получить представление об этом, надо сравнивать число разводов не с общей численностью населения, а с числом браков, или разделить общий коэффициент разводимости (в 2010 г. – 4,5‰) на общий коэффициент брачности (в 2010 г. – 8,5‰)
Коэффициент неустойчивости браков = Число разводов на 100 браков =
= число разводов/число браков =
= общий коэффициент разводимости/общий коэффициент брачности =
= 4,5:8,5≈0,52 или 52%
Коэффициент неустойчивости браков=×1000‰
В России в последние годы на каждые 100 браков приходится от 50 до 60 разводов, то есть большая часть браков заканчивается разводами.
Поэтому общие коэффициенты могут использоваться лишь на начальном этапе демографического анализа, главным образом для изучения динамики рождаемости, смертности, брачности и разводимости в одной стране или регионе. Если эти коэффициенты за один год повышаются или понижаются на 0,3‰ и более, это свидетельствует о реальном повышении или понижении интенсивности данных демографических процессов. Изменение коэффициентов на 0,1-0,2‰ не надо воспринимать всерьез, поскольку оно может быть вызвано влиянием изменений в возрастном составе населения, который за один год в одной стране сильно измениться не может.
С ПОМОЩЬЮ ОБЩИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ, КАК ПРАВИЛО, НЕЛЬЗЯ СРАВНИВАТЬ РАЗНЫЕ СТРАНЫ ИЛИ РЕГИОНЫ, поскольку возрастной состав их населения может сильно различаться. Такое сравнение допустимо лишь в тех случаях, когда один из сравниваемых общих коэффициентов превосходит другой в несколько раз.
Если в книге или в статье, посвященной проблемам демографии, которые в наше время вызывают всеобщий интерес, приводится только общая численность населения, темпы его роста и прироста, абсолютные числа родившихся и умерших, а также вышеупомянутые общие коэффициенты рождаемости, смертности или естественного прироста, и не приводится никаких других демографических показателей, то сразу понятно, что АВТОР ЭТОГО ТЕКСТА НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫМ ДЕМОГРАФОМ.
УРОВНИ СЛОЖНОСТИ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ (уровни глубины демографического анализа)
studfiles.net
Коэффициент рождаемости — это… Что такое Коэффициент рождаемости?
Абсолютные демографические показатели
Общая численность населения
P= P₀ + (N — M) + (V₊ — V_—) = P₀ + E + V_пр (уравнение демографического баланса)
P — общая численность населения
P₀ — численность населения на начало года
N — общее число родившихся
M — общее число умерших
E — естественный прирост населения
V₊ — число прибывших
V_— — число выбывших
Общий прирост населения
P₁ — P₀ = P_пр
Р₀ — численность населения на начало периода (обычно год)
Р₁ — на конец периода
Естественный прирост населения
N — M = E
N — общее число родившихся
M — общее число умерших
Значение показателя может быть отрицательным, если имеет место естественная убыль населения (в России с 1992)
Миграционное сальдо (чистая миграция)
V₊ — V_— = V_пр
V₊ — число прибывших (иммигранты)
V_— — число выбывших (эмигранты)
V = O — E (косвенный метод)
O = P₁ — P₀
В отношении прибывших и выбывших во многих странах существует недоучет, в США эмигрантов вообще не учитывают. Тогда ищут сальдо косвенно из уравнения демографического баланса, предложенного ООН в 1960-х.
Доля женщин репродуктивного возраста
Общие демографические коэффициенты
Для общих коэффициентов характерно: стоящее в числителе число демографических событий относится ко всему населению, а не только к той его части, которая порождает данное событие; при этом наступление данного события не уменьшает величину знаменателя.
Коэффициенты рождаемости и смертности
;
;
N_x — число рождений за данный год
М_x — число смертей за данный год
P_x — общая численность населения
Специальный коэффициент рождаемости
‰
W_15-49 — средняя численность женщин репродуктивного возраста
см. Коэффициент фертильности
Коэффициент интенсивности рождений
N_x — число рождений у женщин возраста x лет
W_x — их среднегодовая численность
Коэффициент младенческой смертности
; (формула Ратса)
;
M₀ — число умерших в возрасте от 0 до 1 года
M₀^-1 — число детей, умерших в возрасте до года из числа родившихся в предыдущем году
N₀ — число родившихся в отчетном году
N_-1 — число родившихся в предыдущем году
Коэффициент брачности
‰
B — общее число браков
P — среднее население в трудоспособном возрасте
Коэффициент разводимости
‰
R — общее число разводов
Индекс разводимости
Показатель средней продолжительности предстоящей жизни
T_x — число человеколет, которое предстоит прожить после достижения точного возраста x лет l_x — число доживающих до возраста x лет
Подробнее о показателе: Ожидаемая продолжительность жизни
Wikimedia Foundation. 2010.
dic.academic.ru
Решенные задачи к экзамену по общественному здоровью и здравоохранению, страница 3
Для решения задачи необходимо рассчитать следующие коэффициенты.
1. Общий коэффициент рождаемости = Общее число родившихся живыми за год   =
                                                                      Среднегодовая численность населения
= = 11, 2‰.
2. Коэффициент плодовитости (фертильности)=Общее число родившихся живыми за год=
                                                                                                       Среднегодовая численность женщин детородного
                                                                                                        (фертильного) возраста (15-49 лет)
= = 2,07%
3. Суммарный коэффициент рождаемости равен сумме возрастных коэффициентов рождаемости, рассчитанным по однолетним или пятилетним возрастным группам.:
(25,5*5 + 159*5 + 126*5 + 97*5 + 50*5 + 19,1*5 + 4,4*5)/1000 = 2,405.
4. Брутто-коэффициент воспроизводства женского населения ― это число девочек, рожденных одной женщиной за весь репродуктивный период жизни. Он равен произведению суммы возрастных коэффициентов рождаемости на долю девочек среди родившихся в те годы, для которых вычислен коэффициент.
= 2,405 · 0,477 = 1,15.
5. Смертность(общий коэффициент смертности) = Общее число умерших за год_0    =                                                                                                                     .                                                                                      Среднегодовая численность населения
= = 14,9%0.
6. Естественный прирост (убыль) населения:
Коэффициент естественного прироста = Общий коэффициент рождаемости ― Общий коэффициент смертности =
= 11,2 %о-14,9 %о = -3,74‰.
7.                                Число детей, умершие на 1-м году жизни
Младенческая =                        в течение года_____________     х 1000 =
смертность              Число родившихся живыми в данном году
= = 23,2‰.
8. Мертворождаемость =   Родились мертвыми в течение года   х 1000 =
Родились живыми и мертвыми
= = 16,05‰.
9.                                        Число родившихся     Число умерших в пер
Перинатальная =           мертвыми         + вые 168 часов жизни   х 1000 =
смертность          Общее число родившихся живыми и мертвыми
= = 22,3‰.
10. Неонатальная        Число умерших в первые четыре недели
смертность    =   жизни ребенка (до 28 дней) в данном году_   х 1000 =
                              Число родившихся живыми в данном году
= = 16,3‰.
11. Ранняя неонаталь-       Число умерших в возрасте 0-7 дней
ная смертность       = (до 168 часов) в данном году_________ х 1000 =
(постнатальная)          Число родившихся живыми в течение года
= = 6,32‰.
12. Поздняя неонаталь-
ная смертность (на        =   Число детей, умерших на 2-4 неделе жизни х 1000 =
2-4 неделе жизни)                  Число детей, ро-      —   Число детей, умерших
                                                  дившихся живыми       в 1-ю неделю жизни
= = 10,1‰.
13. Постнеона-         Число детей, умерших в период с 29 дня
тальная       =                                   до 1 года жизни______________   х 1000 =
смертность        Число детей, родив-   —    Число детей, умерших в
                                шихся живыми               первые 4 недели жизни
= = 6,96‰.
№ 2
Статистика населения и медицинская демография, Шаршакова, Дорофеев, 2009
Общий коэффициент рождаемости
Общее число родившихся живыми за год
                                                               Среднегодовая численность населения
Коэффициент плодовитости или фертильности
        Общее число родившихся живыми за год_____
                                                         Среднегодовая численность женщин детородного
                                                         (фертильного) возраста (15-49 лет)
Суммарный коэффициент рождаемости равен сумме возрастных коэффициентов рождаемости, рассчитанным по однолетним или пятилетним возрастным группам.
Общий коэффициент смертности
                 Общее число умерших за год____
Среднегодовая численность населения
Величины общего коэффициента смертности оцениваются по специальной шкале.
Таблица 5 ― Величины общего коэффициента смертности.
Общий коэффициент смертности, ⁰/₀₀
Оценка уровня смертности
до 10
Низкий
10,0 — 14,9
Средний
15,0 – 24,9
Высокий
25,0 – 34,9
Очень высокий
35,0 и выше
Чрезвычайно высокий
Брутто-коэффициент воспроизводства женского населения ― это число девочек, рожденных одной женщиной за весь репродуктивный период жизни. Он равен произведению суммы возрастных коэффициентов рождаемости на долю девочек среди родившихся в те годы, для которых вычислен коэффициент.
Коэффициент младенческой смертности
                                               Число детей, умершие на 1-м году жизни
Младенческая =                        в течение года_____________ х 1000
смертность              Число родившихся живыми в данном году
Шкала для оценки общего коэффициента младенческой смертности
Коэффициент младенческой смертности, ⁰/₀₀
Оценка уровня младенческой смертности
до 7,0
Низкий
7,0–9,9
Средний
10,0–14,9
Высокий
15,0–19,9
Очень высокий
20 и выше
Чрезвычайно высокий
Антенна-           Число родившихся мертвыми за год (или число
тальная      = _умерших до родов после 22 недель беременности) х 1000
смертность      Общее число родившихся живыми и мертвыми
Интранатальная = _______Число умерших в родах за год_______ х 1000
смертность               Общее число родившихся живыми и мертвыми
                               Число родившихся     Число умерших в пер-
Перинатальная=         мертвыми          +   вые 168 часов жизни х 1000
vunivere.ru
81. Рождаемость населения, репродуктивное поведение. Показатели рождаемости (методика расчета).
Рождаемость — процесс деторождения в совокупности людей, составляющих поколение, или в совокупности поколений.
Биологическая основа рождаемости – это способность человека к воспроизводству потомства. Потенциальная возможность деторождения – плодовитость, реализуется в совокупности женщин в результате репродуктивного поведения, которое в обществе детерминируется системой социально обусловленных потребностей и регулируется социальными и культурными нормами, религиозными традициями, общественным мнением и другими факторами.
Для определения интенсивности процесса рождения обычно пользуются показателями рождаемости.
1.Общий показатель рождаемости. Средняя численность населения за год вычисляется как сумма чисел населения на первое число каждого месяца, деленная на 12, или, или как полусумма чисел на начало и конец года.
Как любой общий коэффициент он обеспечивает только приближенное ориентировочное представление об интенсивности явления во времени и пространстве и в значительной мере связан с возрастно-половым составом населения и исчисляется по отношению к численности всего населения; тогда как рожают только женщины, и не во всяком возрасте.
Общее число родившихся живыми за год
———————————————————— • 1000
Среднегодовая численность населения
2. Коэффициент плодовитости. Это специальный показатель, он дает более точные характеристики рождаемости. Рассчитывается на женщин репродуктивного возраста.
Репродуктивный возраст (синоним – генеративный) – это возраст женщины, в котором она способна к деторождению. Указанием границ репродуктивного возраста в демографии характеризуется продолжительность репродуктивного периода. Как правило, под репродуктивным возрастом для женщин понимается возраст 15 – 49 лет.
От доли женщин в репродуктивном возрасте зависит общее число родившихся и общий коэффициент рождаемости. Чем больше эта доля, тем, при прочих равных условиях, больше общее число родившихся и общий коэффициент рождаемости.
3. Показатели плодо¬витости: уточняют показатель рождаемости, для этого при расчете весь репродуктивный период женщины условно подразделяют на отдельные интервалы (15—19, 20—24, 30—34, 35—39, 40—44, 45—49 лет).
1. Показатель общей плодовитости:
Общее число родившихся живыми за год
—————————————————————————- • 1000
Средне¬годовая численность женщин в возрасте 15 — 49 лет
2. Показатель повозрастной плодовитости:
Общее число родившихся живыми за год
у женщин соот¬ветствующего возраста
————————————————————— • 1000
Среднегодовая численность женщин
соответствующего возраста
4. Суммарный коэффициент рождаемости показывает, сколько в среднем детей родила бы одна женщина на протяжении всей ее жизни при сохранении в каждом возрасте существу¬ющего уровня рождаемости. Вычисляется как сумма возрастных коэффициентов рождаемости, рассчитанных по одногодичным возрастным группам, не зависит от возрастного состава населения и характеризует средний уровень рождаемости в данный календарный период.
Так как практически в процессе рождаемости участвует не все население, и реально рождения происходят у женщин определенного возраста, то более точное представле¬ние дают специальные коэффициенты рождаемости — коэф¬фициенты плодовитости. Они вычисляются либо как общий показатель (число рождений на 1000 женщин репродуктивного возраста, т.е. от 15 до 49 лет), либо в виде коэффициентов повозрастной плодо¬витости, для чего весь генеративный период женщины условно подразделяют на отдельные интервалы (15-19, 20-24, 30-34, 35-39, 40-44, 45-49 лет). Число рождений до и после этого возрастного интервала незначительно, и им можно пренебречь.
studfiles.net
4.2.2. Система показателей рождаемости
Измерение рождаемости производится с помощью системы показателей, включающей:
1. Абсолютное число рождений.
2. Коэффициенты рождаемости.
Абсолютное число рождений – число родившихся детей в том или ином населении (или в какой-либо его группе) за определённый период (обычно за год).
По абсолютному числу рождений нельзя судить об уровне рождаемости (много родилось детей или мало). Для этого существуют относительные показатели – коэффициенты рождаемости.
Коэффициент рождаемости – отношение абсолютного числа родившихся детей у данного населения (или какой-либо его группы) к средней (обычно среднегодовой) численности этого населения (или его группы).
Рассчитывают следующие коэффициенты рождаемости:
— общий;
— специальные;
— частные.
Более достоверными показателями рождаемости являются специальные и особенно – частные коэффициенты рождаемости. Специальные и частные коэффициенты рождаемости рассчитываются для групп населения, которые обладают характеристиками, имеющими непосредственное отношение к рождаемости (пол, возраст, брачное состояние).
Для более точной оценки коэффициентов рождаемости используют промилле, т.е. расчёт ведётся на 1000 человек. При этом учитывается только число живорождённых детей.
4.2.3. Коэффициенты рождаемости
1. Общий коэффициент рождаемости (n) – отношение числа родившихся детей в исследуемом периоде (обычно за календарный год) к средней (обычно среднегодовой) численности населения.
, (4.1)
где N – число родившихся детей в исследуемом периоде;
T – число лет в исследуемом периоде;
–среднегодовая численность населения в исследуемом периоде.
Если T = 1 году, то (4.2)
Таблица 4.1
Шкала оценки рождаемости
(авторы Урланис Б.Ц. и Борисов В.А.)
Общий коэффициент рождаемости
Оценка рождаемости
менее 16
16-24
25-29
30-39
40 и более
низкая
средняя
выше средней
высокая
очень высокая
Задание 4.1. Требуется определить общий коэффициент рождаемости, если известно, что в течение года родилось 40 тыс. детей, а среднегодовая численность населения равняется 7200 тыс. человек (исходные данные условные).
Решение:
Используя формулу 4.2, получаем:
,
т.е. на тысячу человек данного населения приходится в среднем 5,6 рождённых в течение года детей.
В соответствии со шкалой оценки рождаемости, представленной в таблице 4.1, рождаемость в данном населении низкая.
Общий коэффициент рождаемости даёт обобщающую характеристику, но не учитывает специфики рождаемости, т.е. того обстоятельства, что рожают детей женщины.
2. Специальный коэффициент рождаемости (F) – отношение числа родившихся (обычно за год) к среднегодовой численности женщин репродуктивного возраста (от 15 до 49 лет).
F = , (4.3)
где – среднегодовая численность женщин репродуктивного возраста.
Между общим коэффициентом рождаемости и специальным коэффициентом рождаемости существует взаимосвязь:
n=, (4.4)
где – доля женщин репродуктивного возраста во всём населении.
Представленная мультипликативная модель позволяет демографам проводить факторный анализ, т.е. оценивать изменение общего коэффициента рождаемости под влиянием каждого фактора в отдельности: специального коэффициента рождаемости и доли женщин репродуктивного возраста во всём населении.
Задание 4.2. Требуется определить специальный коэффициент рождаемости, если известно, что общий коэффициент рождаемости равен 5,6%о, а удельный вес женщин репродуктивного возраста во всём населении составляет 30%.
Решение:
Преобразуя формулу 4.4, получаем:
,
т.е. на тысячу женщин репродуктивного возраста данного населения приходится в среднем 18,7 рождённых в течение года детей.
Возрастные границы 15-49 лет – это дань традиции, установлены ещё в 19 веке и связаны с категорией плодовитости (фертильности). Поэтому специальный коэффициент рождаемости часто называют коэффициентом фертильности (плодовитости). Но фактическая рождаемость, например, для развитых стран связана с более сжатыми возрастными границами женщин: 22-35 лет. Поэтому возникает потребность в показателях более частного порядка. Частные коэффициенты рассчитываются для отдельных групп населения. Наиболее известные из них – половозрастные (или просто – возрастные) коэффициенты рождаемости. Они учитывают уже две характеристики населения, которые имеют прямое отношение к рождаемости – пол (женский) и возраст (матери).
3. Половозрастной (возрастной) коэффициент рождаемости (F) – отношение числа родившихся детей у женщин возраста «x» к среднегодовой численности женщин этой группы.
F =, (4.5)
где N – число родившихся детей у женщин возраста «x»;
–среднегодовая численность женщин возраста «x».
Половозрастные (возрастные) коэффициенты рождаемости учитывают пол, возраст, но не учитывают третью немаловажную характеристику населения, так же имеющую непосредственное отношение к рождаемости – брачное состояние. Поэтому возникает потребность в следующей группе коэффициентов рождаемости.
4. Коэффициенты брачной и внебрачной рождаемости рассчитываются дифференцированно для женщин состоящих и не состоящих в браке.
Специальный коэффициент брачной рождаемости – отношение числа родившихся детей у замужних женщин к среднегодовой численности замужних женщин.
Половозрастной (возрастной) коэффициент брачной рождаемости – отношение числа родившихся детей у определённой возрастной группы замужних женщин к среднегодовой численности этой группы.
Аналогично рассчитываются коэффициенты внебрачной рождаемости.
Коэффициенты брачной и внебрачной рождаемости рассчитывают в нашей стране в основном по данным специальных выборочных обследований. Динамика этих коэффициентов свидетельствует о качественных изменениях в нормах демографического поведения, изменении семейных ценностей, института брака в целом.
Получить дополнительную информацию о динамике рождаемости позволяют коэффициенты рождаемости, дифференцированные по очерёдности рождения (см. следующую группу коэффициентов).
5. Коэффициенты рождаемости по очерёдности рождения рассчитываются для женщин по порядку рождения у них детей: как для всех женщин репродуктивного возраста (специальные коэффициенты рождаемости по очерёдности рождения), так и для отдельных возрастных групп женщин (половозрастные коэффициенты рождаемости по очерёдности рождения).
Специальный коэффициент рождаемости по очерёдности рождения – отношение числа рождений детей i-й очерёдности к среднегодовой численности женщин репродуктивного возраста.
Как видим из определения этого показателя, сумма специальных коэффициентов рождаемости по очерёдности рождения равна просто специальному коэффициенту рождаемости.
Половозрастные коэффициенты рождаемости по очерёдности рождения – отношение числа рождений детей i-й очерёдности у женщин возраста «x» к среднегодовой численности женщин этой группы.
studfiles.net
5.6. Суммарный коэффициент рождаемости
Теперь вернемся снова к возрастным коэффициентам рождаемости. Если иметь в виду упомянутые трудности с использованием коэффициентов брачной рождаемости, то обычные, не дифференцированные по брачному состоянию возрастные коэффициенты остаются наилучшими показателями уровня рождаемости, дающими хорошие возможности для анализа его состояния и динамики. Как уже отмечалось, их достоинством является независимость от влияния возрастной структуры внутри женского репродуктивного возрастного контингента. Но и у них есть недостаток, который состоит в том, что их много. При использовании однолетних коэффициентов их будет целых 35 (от 15 до 49 лет включительно).
В случае использования пятилетних коэффициентов их число уже значительно меньше — 7, но все же их остается еще много для обозрения. Причем динамика коэффициентов может быть различной, иногда до противоположности. В самом деле, тенденция динамики коэффициентов в большинстве экономически развитых стран в нынешнем веке была такой, что в младших возрастных группах коэффициенты рождаемости росли, в то время как в старших — снижались. Иногда, глядя на картину динамики возрастных коэффициентов рождаемости, трудно решить, что же все-таки происходит — снижается рождаемость или растет. И некоторые научные спекулянты небескорыстно пользуются этим обстоятельством, утверждая, будто рождаемость в нашей стране не снижается. Нужен один обобщающий показатель, который соединял бы в себе достоинства целой системы показателей. И такой показатель есть. Его зовут — суммарный коэффициент рождаемости.
Суммарный коэффициент рождаемости вычисляется путем суммирования возрастных коэффициентов рождаемости с умножением их на длину каждого возрастного интервала в целых годах (при однолетних коэффициентах множитель равен 1, при пятилетних — 5, и т. д.). Сумма в итоге делится на 1000, т.е. показатель выражается в расчете на одну женщину в среднем. Формула расчета такова:
(5.6.1)
где СКР — суммарный коэффициент рождаемости; F_x— возрастные коэффициенты; n — длина возрастного интервала (при одинаковой длине интервала, его можно вынести за знак суммы, т.е. сначала сложить коэффициенты, а затем один раз умножить сумму коэффициентов на длину возрастного интервала. Если же интервалы разные по длине (редко, но бывает), то придется каждый коэффициент умножать отдельно на соответствующую ему длину возрастного интервала).
Суммарный коэффициент рождаемости является одним из сводных, итоговых показателей, которые строятся как по методу реального, так и условного поколения. Приведенная выше формула расчета суммарного коэффициента относится к условному поколению, т.е., мы рассматриваем все возрастные коэффициенты рождаемости, относящиеся к разным реальным поколениям женщин, условно как относящиеся к одному поколению, будто бы прожившему в данном одном календарном году, в году наблюдения, всю свою репродуктивную жизнь, с 15 до 50 лет.
Суммарный коэффициент рождаемости показывает, сколько детей рожает в среднем одна женщина за всю свою жизнь с 15 до 50 лет при условии, что на всем протяжении репродуктивного периода жизни данного поколения возрастные коэффициенты рождаемости в каждой возрастной группе остаются неизменными на уровне расчетного периода^¹.
Рассмотрим пример расчета суммарного коэффициента рождаемости (см. таблицу 5.1).
Таблица 5.1
studfiles.net
Оставить комментарий on Как посчитать коэффициент рождаемости на 1000 человек – CGI script error/
Синуса разложение в ряд: Разложение синуса в ряд Тейлора
alexxlab / 02.01.197015.06.2021 / Разное
Нужна помощь в аппроксимации синусоидальной функции в python с помощью ряда Тейлора

Я очень новичок в Python и пытаюсь аппроксимировать синусоидальную функцию с помощью этой серии.
Мой код выглядит так:
import math def sin(x,n): sine = 0 for i in range(n): sign = (-1)**i sine = sine + ((x**(2.0*i-1))/factorial(2**i-1))*sign return sine
Это не дает ответа, на который я надеялся, но я очень смущен и не могу найти свою ошибку… или, может быть, я просто иду по этому совершенно неправильному пути (как я уже сказал, Я очень новичок в python и в программировании вообще).
Это похоже на программу, которую я должен был написать некоторое время назад, чтобы приблизить pi с учетом этой серии:
def piApprox(n): pi = 0 for i in range(n): sign = (-1)**i pi = pi + 1.0/(2*i+1)*sign return 4*pi
Я не знаю, полезно ли это в любом случае, но это то, что я пытался использовать, чтобы выяснить мой метод синуса. Любая помощь в исправлении этого или указании мне правильного направления будет очень признательна!
python
Поделиться Источник user2141367 06 марта 2013 в 19:24
2 ответа
Разложение в ряд Тейлора произвольной функции
Я пытаюсь получить коэффициенты разложения ряда Тейлора произвольных функций. Входная функция должна быть в виде переменных, а выходная должна содержать только коэффициенты. Я пробовал некоторые функции MATLAB, такие как ‘taylor’, но они дают все расширение в виде выражения, написанного в…
Вычисление ряда Тейлора многомерной функции с помощью sympy
Я пытаюсь вычислить с помощью SymPy ряд Тейлора функции, которая зависит от тригонометрической функции sinc ( здесь ), чтобы упростить мою задачу, мы можем предположить, что функция, которая мне нужна, является рядом Тейлора : f(x1, x2) = sinc(x1) * sinc(x2) Моя проблема в том, что при импорте. ..

4

Ряд Тейлора для sin (x ) равен:
Сравнивая ваш код с этим определением, эти две части имеют некоторые ошибки:
x**(2.0*i-1) factorial(2**i-1)
Минусы должны быть плюсами, а показатель в факториале должен быть умножением.
x**(2.0*i+1) factorial(2*i+1)
Поделиться John Kugelman 06 марта 2013 в 19:27

1

Вы можете использовать символическую библиотеку SymPy для построения аппроксимированной функции с использованием рядов Тейлора:
from sympy import sin from sympy.abc import x # creates a generator taylor_series = sin(x).series(n=None) # takes the number of terms desired for your generator taylor_series = sum([next(taylor_series) for i in range(num_of_terms)]) # creates a function that calculates the approximated sine function mysin = sympy. lambdify((x,), taylor_series)
Поделиться Saullo G. P. Castro 25 сентября 2013 в 11:58
Похожие вопросы:

Погрешность аппроксимации синуса в Java
Меня немного раздражает метод, который я написал для аппроксимации синусоидальной функции в Java. Вот она, она основана на серии Тейлора. static double PI = 3.14159265358979323846; static double eps…

Verilog код для вычисления cosx с использованием аппроксимации рядов Тейлора
Я пытаюсь реализовать функцию COS X в Verilog, используя ряд Тейлора. Постановка задачи, представленная мне, выглядит следующим образом Напишите код Verilog для вычисления cosX с использованием…

«декодирование» аппроксимации ряда sin Тейлора
Я использую ряд Тейлора для вычисления sin() . Ряд Тейлора для греха: Реализация, которую я использую, выглядит следующим образом: float sine(float x, int j) { float val = 1; for (int k = j — 1; k. ..

Разложение в ряд Тейлора произвольной функции
Я пытаюсь получить коэффициенты разложения ряда Тейлора произвольных функций. Входная функция должна быть в виде переменных, а выходная должна содержать только коэффициенты. Я пробовал некоторые…

Вычисление ряда Тейлора многомерной функции с помощью sympy
Я пытаюсь вычислить с помощью SymPy ряд Тейлора функции, которая зависит от тригонометрической функции sinc ( здесь ), чтобы упростить мою задачу, мы можем предположить, что функция, которая мне…

Вычисление Pi с использованием ряда Тейлора C++
Я пытаюсь реализовать функцию для вычисления pi с помощью ряда Тейлора, вот мой код для этого #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; double pi(int n) { double sum =…

какова может быть временная сложность синусоидальной функции по ряду Тейлора?
Я искал везде, даже на SO. а научные статьи в Гугле-это далеко за пределами моих умственных возможностей. x , и мне интересно, как реализовать это в python. Для простоты я думаю, что могу использовать серию…
Синус функция, разложение в ряд
Синус функция, разложение в ряд 137 Система единиц 24, естественная 26, когерентная 23, международная 27 [c.299]
Так, если в выражениях (4.37), (4.38) ограничиться п членами разложения, то и функцию ф также представим в виде разложения в ряд по синусам с п членами. Тогда [c.86]
Уравнения п. 18 не содержат в себе никаких иных функций времени, кроме частных дифференциалов функции П поэтому, когда определяют ту часть А функции Q, которая не зависит от времени t и содержит только произвольные постоянные а,Ь,с,. . путем разложения в ряды или каким-либо иным способом, то достаточно в этих уравнениях поставить А вместо Д, и тогда мы прямо получим уравнения между величинами а,Ь,с,…, которые стали переменными, и временем t эти уравнения послужат для определения их вековых изменений, так как они совершенно свободны от всяких синусов и косинусов. [c.432]

В этой формуле а , а п, Ьп, Ь п являются коэфициентами разложения в ряд синусов функций . [c.107]
Функция / (х) = аР четная, поэтому разложение в ряд Фурье не будет содержать синусов. Подставив в подынтегральное выражение значения для До и а также приведя функцию f (х) к 2и функции, т. е. /(х) = т [c.306]
Таким образом, рещение, соответствующее одному члену разложения функции ф в ряд по синусам, имеет вид [c.369]
Пользуясь разложением в ряд известной функции гиперболического синуса, формулу (46,2) можно записать в виде [c.178]
Предварительно рассмотрим разложение в ряд Фурье по синусам функции / (х), заданной в интервале О / — Ли равна единице при /г [c.521]
В частном случае, при большом п, коэфициенты после разложения функции a в ряд Фурье по синусам кратных дуг получаются равными [c. 696]
Выражение (3.64) представляет собой разложение функции F x) в ряд Фурье по синусам (предполагается, что такое разложение возможно). Коэффициенты этого разложения определяются известной ( рмулой [c.289]
Здесь р — целое положительное число. Для получения формулы обращения воспользуемся теорией рядов Фурье. Будем считать, что функция (х) разложима в ряд Фурье по синусам. Тогда коэффициенты разложения определяются формулами [c.81]
Это равенство есть разложение функции F(x) в ряд Фурье по синусам. Коэффициенты ряда Фурье определяются следующим выражением . [c.61]
Для определения вековых возмущений необходимо лишь вместо Q подставить непериодическую часть этой функции, т. е. первый член разложения О в ряды синусов и косинусов углов, зависящих от средних движений возмущаемой и возмущающих планет. Действительно, так как 9 является только функцией эллиптических координат этих планет, которые всегда —по крайней мере в том случае, когда эксцентриситеты и наклонения незначительны — могут быть разложены в ряды синусов и косинусов углов, пропорциональных аномалиям и средним долготам, то функцию 9 можно разложить в ряд подобного же вида, и тогда первый член, не содержащий синуса и косинуса, будет единственным, который может дать вековые уравнения. [c.114]
Легко убедиться, что это уравнение однозначно определяет значение Действительно, припоминая определение гиперболического синуса и подставляя вместо показательных функций, входящих в его выражение, их разложения в степенные ряды по степеням , найдем [c.214]
Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма — Лиувилля. Поэтому рещения, получаемые этими методами, имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, получаемые классическими методами. Так, формулы обращения имеют вид для синус-преобразования [c.83]

Разложение функции 8(2) в ряд по косинусам означает ее четность, т. е. мы считаем, что на поверхности МИС расположен слой вещества половинной толщины (как это и показано на рис. 3.4). При более общем разложении 8 (г) в ряд по синусам и косинусам появляется только дополнительный фазовый сдвиг у отраженной и прошедшей волн. Энергетические же коэффициенты отражения и прохождения при этом не изменятся. [c.86]
Здесь i z и si z — интегральные косинус и синус. Используя известные [12] разложения этих функций в ряды нри малых з, убедимся, что для Hiz) прн всех 0[c.376]
Последние формулы представляют собой разложение функций ф(а ) Ифг(а ) в ряд Фурье по синусам в интервале (О, Z). [c.353]
Постоянство передаточной функции имеет место при ф [c.137]
Силовые функции Н х), Н х), Нз х), направление осей координат, коэффициенты а, рассматривают согласно изложенному в п. 12.4. При этом нужно учесть, что 033 = 0,6022 при грузовом воздействии все элементы настила основной системы (если они одинаковы) имеют один и тот же прогиб, вследствие чего а1р = а2р — 0. В третьем уравнении грузовой член представляет прогиб элемента под нагрузкой как балки, опертой на две опоры по коротким сторонам. Поэтому при удержании только первого члена из разложения нагрузки в ряд по синусам имеем [c. 227]
III. Разложение по синусам. Разложим теперь только что проанализированную функцию в ряд синусов. Допустим снова, что [c.138]
Введем следующее важное соотнощение, связывающее показательную функцию, косинус и синус и доказываемое разложением этих трех функций в степенные ряды [c.139]
Поскольку получить точное аналитическое решение дифференциального уравнения (20.12) в общем случае невозможно, будем искать его в виде бесконечного ряда. Для пластины с шарнирно опертыми по всем четырем сторонам краями удобно использовать разложение искомой функции прогиба w(x,y) в двойной тригонометрический ряд по синусам [c.436]
Обыкновенно не имеется аналитического выражения f(t), а на основании снятых индикаторных диаграмм возможно только графически представить изменение этой функции тогда разложение в ряд (4) можно выполнить графическим приемом Фишер-Хиннена i) или известным прибором гармонический анализатор , который за один обвод дает пять коэффициентов ряда синусов и пять коэффициентов ряда косинусов, что вполне достаточно для практических целей. Когда разложение тем или другим способом выполнено, мы можем уравнение (3) переписать так [c.16]
Здесь величины, обозначенные индексом я, зависят лишь от угла а. Каждому целому значению п соответствует три таких уравнения. Если бы ) разложении функций X, Y ч Z ъ ряд Фурье входили как синусы, так и косинусы, то для каждого целого п кроме трех уравнений (16) получились бы еще три уравнения для определения коэфициентов более общего разложения в ряд Фурье эти нозые уравнения отличались бы от уравнений (16) лишь знаками перед п в двух последних уравнениях (16). Но мы для упрощения вычислений предположим, что разложение в ряд Фурье внешних сил, а следовательно, и напряжений, можно представить в следующем простом виде [c.26]
Приближенные значения сосредоточенных постоянных для всех описанных выше эквивалентных схем могут быть получены тем же способом, т. е. путем разложения в ряд параметров эквивалентной схемы вблизи частоты резонанса и приравнивания членов первого порядка в этих рядах и в аналогичных рядах, полученных для простейшей электрической цепи с сосредоточенными постоянными. Функции, выраженные через синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, вблизи их нулей могут быть анироксимированы последовательной цепью ЬС, а вблизи их полюсов — параллельной цепью ЬС. Область применимости каждой схемы с сосредоточенными постоянными может быть определена путем сравнения членов второго порядка в разложениях, которые рассмотрены выше. [c.293]
Усилия, моменты, компоненты деформации и углы поворота с помощью соотношений 23.1 можно также без труда выразить через ряды вида (23.4.3). Формулы для коэффициентов этих рядов громоздки, и их приводить не будем. Заметим только, что величины Ut, S21, 5i2, H i, Нц и Ni будут при этом разложены в ряды по косинусам, а величины и , w, ТТ , Gi, G , — в ряды по синусам. Отсюда, между прочим, вытекает, что ряды для первой группы величин оказываются неполными — в них отсутствуют слагаемые, отвечающие m = 0. Это связано с тем, что для потенциальной функции Ф использовано разложение (23.4.1), в котором соответствующий член отсутствует. В дальнейшем считается, что пропорционально т, поэтому было бы бессмысленно начинать ряд для Ф с нулевого члена, но к разыскиваемому решению надо присоединить еще одно, в котором и , S i, S , Н , Я12, Ni являются функциями одного 9, а остальные перемещения, усилия и мом ты равны нулю. При помощи уравнений (23.1.7), положив в них X = Y = Z = = О, мы без труда найдем такое напряженное состояние. О)ответствующие перемещения будут [c.343]

Однако с другой точки зрении особое значение имеет именно разложение функций в ряд по синусам или косинусам это относится к вопросу о разложении функций от времени. В 19 мы уже останавливались на причине этого с точки зрения диналгнки. [c.136]
Для определения нормальных колебаний примем, что и и V пропорциональны os( + e). Далее, поскольку кольцо образует полный круг, м и у являются периодическими функциями 0 с периодом 2я и, согласно теореме О урье, могут быть разложены в ряд по синусам и косинусам углов, кратных 9. Более того, легко показать, что каждый член любого порядка в разложении должен в отдельности удовлетворять каждому уравнению. Действительно, оказывается, что решение можно выбрать в виде [c.177]
В работе Морлэнда [76] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась достаточно малой, так что инерционные эффекты не учитывались кроме того, касательные силы на поверхности контакта считались отсутствующими и, таким образом, контактная деформация была обусловлена лишь распределением нормального давления. Длина линии контакта полагалась малой по сравнению с диаметром движущегося цилиндра. Выведены интегральные выражения для перемещений и напряжений в вязкоупругом полупространстве. Математически задача свелась к совместному решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими косинус и синус. Решение этих уравнений осуществлялось путем разложения искомых вспомогательных функций в бесконечные ряды по функциям Бесселя, в то время как для определения коэффициентов ряда требовалось решить бесконечную систему алгебраических уравнений. Если использована связь искомой функции контактного давления с найденными вспомогательными функциями и учтено, что распределение давления не имеет особенностей на краях контактной зоны, то окончательный вид распределения контактного давления представим тригонометрическими рядами. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы числовым примером, когда реологические свойства полупространства характеризуются одним временем ретордации. Расчеты дают картину несимметричного распределения нормального давления, являющегося следствием влияния фактора времени. [c.402]
Будем рассматривать, как основные переменные, элементы Пуанкаре (13.60) и предположим для простоты, что возмущающая функция / не зависит от времени. Тогда, если движение рассматриваемой точки принадлежит к эллиптическому типу, то Я, как это уже неоднократно отмечалось, будет периодической функцией от средней аномалии I, или от средней долготы X, 1 может быть разложена в ряд Фурье, расположенный по синусам и косинусам целых кратностей средней аномалии. Коэффициенты этого разложения будут некоторыми функциями от остальных элементов Пуанкаре, т. е. от Л, эксцентрических элементов т] и облических элементов р, д. Мы покажем те перь, что эти коэффициенты разложимы по целым, положительным степеням величин [c.697]
Введение. Методы, изложенные в гл. I, достаточны для вычисления координат планеты в эллиптической орбите для любого момента времени по элементам этой орбиты. Для различных приложений в небесной механике необходимо иметь в распоряжении методы, которые позволят разложить координаты и функции от координат в эллиптической орбите в периодические ряды. При движении по эллипсу все конечные и непрерывные функции от координат после полного обращения тела возвращаются к исходным значениям. Поэтому такие функции разложимы в периодические ряды по любой непрерыно возрастающей угловой переменной, которая за время полного обращения тела увеличивается на 2л. Угловыми переменными, представляющими в этой связи особый интерес, являются средняя аномалия I, эксцентрическая аномалия и и истинная аномалия /. Они не являются единственными аргументами, которые могут быть рассмотрены в некоторых приложениях используются другие аргументы. Функциями, которые представляются наиболее естественными для этой цели, являются пли четные, или нечетные периодическпе функции от этпх переменных, порождающие либо ряды косинусов, либо ряды синусов. Поскольку обычно удобнее оперировать степенными рядами, чем тригонометрическими разложениями, то полезно познакомиться с разложениями в экспоненциальной форме. [c.58]
Важное свойство четырех функций, которые были разложены в ряды Фурье с кратными I в качестве аргументов и степенными рядами по е в качестве коэффициентов, заключается н том, что самая низкая степень е, входяп ая в коэффициент при синусе или косинусе, равна кратности I в аргументе этого члена. Степенные ряды идут далее по степеням е , так что в коэффициент при косинусе или синусе нечетного аргумента входят только нечетные степени е, а в коэффициенте члена с четным аргументом встречаются только четные степени е. Это свойство тесно связано со свойствами разложений бесселевых функций. Оно впервые было особо отмечено Даламбером. По этой причине Браун назвал его даламберовой характеристикой. [c.74]
Можно видеть, что форма осцилляций величины (как функции 1/Я) будет, вообще говоря, совершенно отличной от формы осцилляций Л/, поскольку коэффициенты / (гХ) могут существенно отличаться друг от друга и поскольку при нечетных значениях к синус в формуле (3.30) превращается в косинус того же аргумента в формуле (3.31). В общем случае для восстановления первоначальной формы осцилляций (3.30) выходной сигнал как функцию 1/Я нужно разложить в ряд Фурье, разделить каждый коэффициент на J r ) и вновь синтезировать, взяв все компоненты с соответствующими фазами 0 , определенными при разложении. Однако в частном случае достаточно слабой модуляции коэффициенты JЛr ) пропорциональны и вид осцилляций величин Vf и d M/dH в точности совпадает на самом деле нетрудно проверить, что в этом пределе выражение (3. 31) сводится как раз к /г-му слагаемому формулы (3.20). Практически в условиях слабой модуляции амплитуды высших гармоник слишком малы, чтобы их можно было использовать. Таким образом, непосредственно записать без искажений можно только осцилляции величины dM/dH (и, возможно, d M/dH ) при детектировании на частоте со (или 2оо) и при малой амплитуде модуляции. Легко показать, что, для того чтобы коэффициент У,(гХ) отличался от (УгУХ менее чем на 1%, величина гХ должна быть меньше 0,28 это и есть критерий достаточно слабой модуляции, при которой зависимость величины 1> верно воспроизводит зависимость dM/dH. [c.143]

Рассмотрение общей задачи о распространении импульса произвольного вида очень упрощается тем, что любую функцию можно представить в виде суммы (вообще говоря, с бесконечным числом членов) некоторых определенных функций. Физически это означает, что произвольный импульс может быть представлен как сумма (бесконечно большого числа) импульсов определенного вида. Подавляющее большинство приемных устройств подчиняется принципу суперпозиции, который означает, что результат нескольких одновременных воздействий представляет собой просто сумму результатов, вызванных каждым воздействием в отдельности. Принцип суперпозиции применим в том случае, когда свойства принимающей системы не зависят от того, находится ли она уже под действием принимаемого возбуждения или нет, а эта независимость всегда имеет место, если воздействие не становится слишком сильным ). Поскольку принцип суперпозиции применим, мы можем заменить произвольный импульс суммой его слагающих и рассматривать действие каждой слагаюпгей отдельно. Рациональный выбор этих слагающих, т. е. рациональный выбор метода разложения сложного импульса, позволяет чрезвычайно упростить рассмотрение задачи. Таким рациональным разложением является разложение на монохроматические волны, т. е. представление произвольной функции в виде совокупностей косинусов и синусов, введенное Фурье. Согласно теореме Фурье любая функция ) может быть представлена с какой угодно точностью в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций с соответственно подобранными амплитудами, периодами и начальными фазами. При этом, если исходная функция периодична (с периодом Т), то периоды слагающих синусов и косинусов находятся в простом кратном отношении Т, 1 ,Т, /.1Т,. .. (представление в виде ряда Фурье). Если же функция не периодична, то в разложении содержатся не только кратные, но и все возможные периоды (представление в виде интгг- [c.32]
Разложения (111) проще, чем (108), так как функции Xi Q) м t/i(0) представляются тригонометрическими рядами только по косинусам, а J 2(0) и i/2(0) —только по синусам. Кроме того, для определения функций j (0) и у(0) в интервал О 02л достаточно знать разложения Х](0), X2IQ), yi(Q), г/г(0) в интервале О[c.240]
Так как все функции X, У, Хв в уравнениях (3.17) не содержат в своих разло.женпях членов ниже второго порядка относительно X, у, х, то правые части уравнений (3.19 ) будут голоморфными функциями величин г, г , Хд,. . ., г , уничтожающимися при одновременном равенстве все этих величин нулю и коэффициенты разложений которых суть периодические функции величины О, которые всегда можно представить в виде конечных рядов косинусов и синусов целых кратностей О. [c.137]
См. разложения степеней синуса и косинуса ио таким же функциям кратных дуг, например, в справочнике И М. Р ы ж и к и И. С. Г р а flui т е й н, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений , Физматгиз, 1963. [c.156]
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1.

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Степенные ряды Тейлора, Маклорена (=Макларена) и периодический ряд Фурье. Разложение функций в ряды. / / Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1.
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1. Первые члены разложений основных функций в ряды Тейлора и Макларена.
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена( =Макларена, Тейлора в окрестностях точки 0)

Примеры некоторых распространенных разложений в ряды Тейлора в окрестностях точки 1
Ссылки по теме:
Тригонометрические функции
Производные
Гиперболические функции
Чтобы еще хотели? Пишите

Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.
TehTab.ru
Реклама, сотрудничество: info@tehtab. ru
Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.
Приближенные вычисления — ряды Тейлора и Маклорена
Задачи на вычисление значения функций в окрестности нуля, или иной точки очень важны в математике и без специальных калькуляторов или программ найти их значение трудно. В помощь студентам, инженерам и другим специалистам приходят ряды Тейлора. Функцию раскладывают в ряд, отбирают несколько первых членов, которые вносят наибольший вклад и обеспечивают достаточную точность вычислений. После этого находят значение в заданной точке.
Рассмотрим примеры применений рядов Тейлора к приближенным вычислениям.
———————————————
Пример 1. Вычислить с точностью до 0,0001
1)
2) (9.331)
3) (9.333)
4) (9.333)
Решение. 1) Запишем заданную функцию в удобном виде

Воспользуемся формулой разложения в ряд Тейлора

и выпишем несколько членов ряда при степенях аргумента

В результате получим значение

Согласно записанной выше формуле, умножаем полученное число на 2

2)
Воспользуемся разложением синус функции в окрестности нуля

Заданное выражение перепишем в следующей форме

и подставим в формулу

Взяв только два члена ряда получаем достаточно хорошую сходимость. И такая сходимость бывает не всегда. Чем дальше отдаляемся от точки в которой развит ряд, тем больше членов разложения нужно брать для точности результата.
3)
Выпишем разложение логарифма около единицы

В данном случае подставим и просуммируем несколько членов ряда

Точный результат равный

Для обеспечения сходимости с точностью 0,0001 нужно брать больше членов ряда

Получили хорошую сходимость, но пришлось брать пять членов разложения в ряд. Это связано с тем что точка в которой искали приближенное значение находится далеко от точки разложения ряда.
4)
Пусть имеем разложение арксинуса возле нуля

Точное значение будет следующим

Взяв два члена ряда

получим хорошую сходимость.
По аналогии с прведенными примерами поступаем и для ряда других функций.
Ряды косинусов — Справочник химика 21
При решении многих задач пределы интегрирования являются конечными, тогда как во всех приведенных выше формулах преобразований пределы интегрирования бесконечные. Преобразования с конечными пределами интегрирования реализуются на практике через ряды преобразования Фурье двумерного случая — через ряды косинусов или синусов, преобразования Ханкеля — через ряды бесселевых функций. [c.20]
В зависимости от числа цилиндра сумма ряда косинусов, число которых . [c.46]
При решении различных задач применяются еще так называемые преобразования Фурье и преобразования Ханкеля с конечными пределами. Эти преобразования в основном сводятся к рядам Фурье (разложение функции на некотором ограниченном интервале в ряды косинусов и синусов), рассмотренным выше, и к рядам бесселевых функций. [c.20]
Выражения же (2.12), (2.13) — не что иное, как некоторые усеченные ряды косинусов и ряды бесселевых функций, совпадающих с точной частотной характеристикой трансформации до некоторой граничной частоты со, или р, (рис. 4). [c.59]
При 2С = С и произвольном значении границы интервала выполнения условия (2.46) (в выражении (2.43) сОг = = 7г/Дх) получение вычислительных схем из этого условия сводится к разложению частотной характеристики трансформации в ряды косинусов, т.е. к способу, описанному в начале этого раздела для случая двухмерной задачи. [c.67]
Для реализации фильтра с такой частотной характеристикой разложим функции (4.17) в ряд косинусов на интервале со от -л до л. Для облегчения процесса разложения представим формулу (4. 17) в виде отрезков двух прямых [c.133]
Разлагая эту функцию в ряд косинусов для определения коэффициентов С/е, из формулы (2.18) в общем виде (при I = л) получим [c.133]
Фильтр с прямоугольной частотной характеристикой можно реализовать, пользуясь разложением его частотной характеристики в ряд косинусов или в ряд бесселевых функций. Например, в двухмерном случае, если обозначить через Юг = л/Ах граничную частоту спектра аномалии, то при со, определения коэффициентов вычислительной схемы, соответствующей фильтру с прямоугольной формой частотной характеристики (4.29), при а = 1 получим следующие выражения [c.143]
Для реализации оптимального или комбинированного фильтра сглаживания аномалий с частотной характеристикой (4.43) разложим последнюю в ряды косинусов на интервале -л основании формулы (2.18) получим [для упрощения процесса вычисления интегралов при расчетах значение ш, принято равным п/2 = 1,57 — вместо 1,5, соответствующего формуле (4. 43)1, [c.147]
Для сравнения остановимся вначале на вычислении вторых вертикальных производных на исходном уровне задания аномалий Я = 0. Частотную характеристику вычислительной схемы этого преобразования в случае двухмерных аномалий получим, разлагая функцию со на интервале (О, Шг) в ряды косинусов вида (2.18) [c.155]
Выражения для 5 и Ф значительно упрощаются, если в (111.52) экспоненциальную зависимость и косинус разложить в ряд и получающиеся при этом мнимые члены отбросить. [c.59]
Определим функцию рассеяния f следующим образом f (т)) йц — доля всех рассеивающих соударений, которые приводят к рассеянию на такие углы в системе С), косинусы которых попадают в интервал между значениями т] и T]-f Т1 , и представим ее в впде ряда [c.53]
Решение в виде ряда получается разложением О в ряд Фурье по косинусам [c.515]
Находят приближенное значение корня этого уравнения, предполагая, что хЯо[c. 165]
Известно, что любую периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье, т. е. бесконечного ряда синусов и (или) косинусов [c.55]
С точки зрения подобной возможности следует оценить и остальные формы точного решения основного интегрального уравнения. Нетрудно видеть, что в этом случае наиболее неудобным является решение [53], а также некоторое видоизменение этого решения, приводимое Темкиным и Левичем (см. формулу [22] их стать ), поскольку интегралы Фурье содержат расходящуюся амплитуду — гиперболический синус или косинус. Благодаря последнему обстоятельству очевидно, что утверждение Темкина и Левича (конец 2 их работы) о практической возможности приближенной замены этого интеграла Фурье соответствующими рядами Фурье не выдерживает критики. [c.293]
Предварительные замечания. Для полного описания более или менее произвольной функции нункоэффициенты разложения в ряд Тейлора, коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам и косинусам, значения непрерывной функции во всех рациональных точках и т. п.). Однако при решении задач с помощью ЭВМ имеют дело только с конечными совокупностями чисел, поэтому возникает необходимость приближенно охарактеризовать функцию конечным набором чисел. [c.16]
Если /(л) — четная функция, т. е. если/(д ) = /(—(рис. Х-1), то она разлагается в ряд по одним только косинусам [c.273]
Тригонометрический ряд может состоять только нэ косинусов или же только из синусов угла х, выраженного в радианах. Для доказательства справедливости этого положения напишем [c.573]
Если f х) — четная функция, т. е. если f (х) = f —х) (рис. Х1П-2), то она может быть разложена в ряд по одним только косинусам [c.398]
Если функция задана лишь на промежутке О х л, то приведенные выше соображения позволяют по нашему выбору разлагать данную функцию в ряд, содержащий только одни синусы или одни косинусы. Если желателен ряд с косинусами, то функция определяется в интервале от —я до О так, чтобы было f (—х) = f (х) тогда коэффициенты определяются из формул (28). Если желателен ряд с синусами, то функция определяется так, чтобы было [c.399]

Нетрудно показать, что выражение, стоящее а скобках правой части уравнения (4.13), есть разложения в ряд Фурье по косинуса.м функции [c.181]
В опытах по рассеянию молекулярных пучков на чистых поверхностях в ряде случаев наблюдалась повышенная доля зеркально отраженных молекул [6, 7]. Мы рас- сматриваем системы, в которых время контакта с поверхностью достаточно, чтобы выполнялся закон косинуса. [c.438]
Равенство (3.40) формально является разложением единицы (равномерное начальное распределение температуры) в ряд Фурье по косинусам. [c.225]
Разложим косинус в ряд Тэйлора с остаточным членом [c.123]
В ОДНИХ местах и меньшей в других. Как и любую периодическую функцию, это распределение можно представить в виде суммы синусов и косинусов (ряд Фурье), и коэффициенты при членах этого ряда оказываются равными отдельным структурным факторам, поделенным на объем элементарной ячейки. Используя предварительный набор структурных факторов, можно вычислить, таким образом, электронную плотность р(х, у, г) в зависимости от положения в кристалле. Эти вычисления довольно трудоемки, и часто предпочитают, особенно на первых стадиях структурного исследования, рассчитывать двумерные синтезы Фурье, дающие р(х, у) и т. д. Величины р(х, у) представляются в виде контурных карт, изображающих проекции электронной плотности на выбранную плоскость кристалла. Если какие-либо молекулы расположены более или менее параллельно рассматриваемой плоскости, то из проекции довольно точно можно определить положение атомов таких молекул. Положения атомов, выведенные таким путем из нескольких проекций электронной плотности, могут использоваться теперь для получения лучшего соответствия с наблюдаемыми интенсивностями, и затем строятся новые синтезы Фурье. Несколько повторений такой операции приводят, наконец, к наилучшему возможному набору параметров для исследуемой структуры. Карта электронной плотности приведена в приложении на рис. 17. [c.315]
Однако расчет связан с принятием ряда допущений поток газа свободномолекулярный и равномерно распределен по всей входной поверхности экрана, вероятность попадания молекул в единицу телесного угла пропорциональна косинусу угла падения молекул. Молекулы, сталкивающиеся с поверхностью, отражаются диффузно. При вычислении коэффициента пропускания теплового излучения используются полученные при каждом соударении с поверхностями экранов доли молекулярных потоков. Это возможно потому, что законы отражения тепловых и [c.140]
Таким образом, если функция четная, то ее ряд Фурье (9) содержит только косинусы, а если нечетная — только синусы. Говорят, что функция разлагается в неполный ряд по косинусам или соответственно по синусам. [c.192]
Выражение для Ах» с достаточным приближением можно разложить в ряд Фурье по косинусам. [c.121]
Таким образом, с увеличением времени несимметричные компоненты первоначального распределения фо (ж) (выраженные через синусы) уменьшаются более быстро, чем симметричные компоненты (содержащие косинусы). Из этого можно сделать следующий вывод неза1шспмо от начальной формы распределения потока в последующие моменты времени распределение становится все более симметричным, если, конечно, отсутствуют дальнейшие изменения в ядерных характеристиках системы. Этот результат является следствием предположения, что делящееся вещество равномерно распределено по всему объему размножающей сферы, т. е. 2, не зависит от X. Существует еще одно важное следствие, которое может быть выведено из выражения (5.119), а именно всегда существует один член ряда (5.119), который преобладает над другими, и с увеличением времени I этот член один дает все более точную аппроксимацию всего ряда. Докажем это путем следующих рассуждений рассмотрим величину которую запишем в форме [c.143]
Выражению (IX—28) для электростатической составляющей расклинивающего давления. можно придать следующий наглядный физический смысл. В соответств.ии с (IX—27), первое слагаемое в нем представляет собой осмотическое давление ионов в центре зазора, а второе — осмотическое давление в объеме диспероионной среды. Можно поэтому сказать, что расклинивающее давление равно разности осмотических давлений, под действием которой среда стремятся затечь в прослойку, раоклипивая ее. При малых зргачеииях ф(/г/2) разложение гиперболического косинуса в ряд сЬ [c.258]
Цисман [20] предложил в качестве характеристики поверхностной энергии полимеров использовать значения так называемого критического поверхностного натяжения. Эта величина определяется путем экстраполяции зависимости косинуса краевого угла смачивания поверхности os 6 жидкостями с различным поверхностным натяжением (а) от а к значению os 0 = 1. Ряд авторов отождествляет эту величину с собственно поверхностным натяжением твердого тела [23, 24]. Эти представления исходят из уравнений Юнга [c.312]
При п > п.1 спектральная функция Рг п) практически равна нулю, и, следовательно, если ограничиться малыми временами, например /[c.128]
ЧТО при 2а Ф d уравнение (132) значительно усложняется можно, однако, получить приближенные выражения, полагая 2ald) = 1 б, причем в области интегрирования б 1 и 2/г 1. Синусы и косинусы при этом представляются в виде степенных рядов. Выкладки мы предлагаем читателям в качестве упражнения. [c.165]
Калейдоскоп формул для пи
Калейдоскоп формул для пи
«…я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической. Возьмите, например, формулу длины окружности — там есть “геометрическое” число $\pi$. Или, скажем, синус — он определяется чисто геометрически.
Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой.»
— из интервью И. М. Гельфанда
«Калейдоскоп» ниже состоит из нескольких «алгебраических» формул для $\pi$ с краткими комментариями. Он также опубликован (с сокращениями) в журнале «Квант» (№5 за 2020 год).
1. Формула Виета
Одна из первых алгебраических формул для $\pi$ — это открытое в XVI веке Виетом бесконечное произведение $$ \frac\pi2=\frac2{\sqrt2}\cdot\frac2{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot\frac2{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\ldots $$ Это равенство не очень сложно доказать. 2$ (последнее равенство — это, по сути, основная теорема арифметики). Более серьезное обсуждение вопроса можно найти, например, в книге «Введение в теорию чисел» Харди и Райта.
4. Формула Валлиса
Если подставить $x=\pi/2$ в разложение Эйлера синуса в бесконечное произведение, то получается равенство $$ \frac\pi2= \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot\ldots}{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot\ldots} $$ Впрочем, Джон Валлис нашел эту формулу уже в середине XVII века, почти за 100 лет до формулы Эйлера, вычисляя некоторые интегралы.
В упоминавшейся выше статье Ягломов при помощи элементарной тригонометрии доказывается и формула Валлиса. А J. Wästlund нашел и доказательство (в духе «геометрического суммирования»), непосредственно связывающее произведение Валлиса с площадью круга — см. его статью (AMM, 2007) или лекцию Д. Кнута.
При помощи формулы Валлиса можно доказать, что если подкинуть монету $2n$ раз, то вероятность того, что орлов и решек выпадет в точности поровну, приблизительно равна $1/\sqrt{\pi n}$. наверх
Как разложить функцию в ряд Фурье
Разложение функций в ряды Фурье используется достаточно часто, поскольку в таком виде их удобно дифференцировать, интегрировать, использовать сдвиг функции по аргументу, а также свёртку функций. Несмотря на то, что процедура разложения функции в ряд Фурье даже в самом простом случае может быть достаточно трудоёмкой, система Вольфрам Альфа, как правило, легко справляется с этой задачей.
Ряды Фурье представляются в тригонометрической и экспоненциальной (комплексной) форме:
В первом варианте в качестве базиса разложения используется система синусов и косинусов. Но при работе с рядами Фурье вместо них бывает удобнее использовать экспоненты мнимого аргумента. Видимо поэтому, Вольфрам Альфа отдает предпочтение второму варианту.
Самый простой способ разложить функцию в ряд Фурье — отправить в Вольфрам Альфа запрос вида Fourier series [функция, аргумент, количество членов ряда]. Например,

В полученном результате, как и требуется, представлены члены разложения до 5-го номера включительно; коэффициенты при сопряженных степенях экспоненты являются комплексно-сопряженными числами. 2+t]; зависит от того, поставите ли вы между словом «Fourier» и скобкой пробел или нет.
Если в запросе Fourier series  не указывать явно количество членов разложения n, то система Вольфрам Альфа по умолчанию выводит четыре варианта для значений n от 0 до 3, и только для комплексной формы ряда Фурье:
Дополнительные варианты разложения для n больше 3 можно получить тут же с помощью кнопки «More». Но это относится только к графическому представлению результатов:
Таким образом, чтобы получить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье, нужно в запросе Fourier series явно указывать количество членов разложения.
Что делать, если стоит задача найти не разложение в ряд Фурье, а коэффициенты ряда Фурье?

Прежде всего, можно использовать запрос FourierCoefficient[выражение, аргумент, n], по которому система Вольфрам Альфа выводит n-й коэффициент разложения выражения в комплексный ряд Фурье.
Например, 5-й коэффициент разложения выражения (t^2+t) в ряд Фурье можно получить так:
FourierCoefficient[t^2+t, t, 5]

Если же при не указывать явно n, то данный запрос выведет общее выражение для n-го коэффициента ряда Фурье данного выражения:
FourierCoefficient[t^2+t, t, n]
Кроме этого, Вольфрам Альфа тут же выводит также таблицу коэффициентов комплексного ряда Фурье (до 15-го члена включительно, если нажать «More»):
В этом кратком обзоре я не упомянул, как разложить функцию в ряд Фурье по синусам и косинусам или как использовать калькулятор рядов Фурье системы Вольфрам Альфа, а также ничего не сказал о двумерных рядах Фурье. Все это — темы моих будущих постов. Следите за блогом.
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
4.4: Ряды синусов и косинусов
4.4.1: Нечетные и четные периодические функции
Вы, наверное, заметили, что нечетная функция не имеет членов косинуса в ряду Фурье, а четная функция не имеет членов синуса в ряду Фурье. . Это наблюдение не случайно. Рассмотрим подробнее четную и нечетную периодическую функцию.
Напомним, что функция \ (f (t) \) нечетная, если \ (f (-t) = -f (t) \). Функция \ (f (t) \) даже если \ (f (-t) = f (t) \). Например, \ (\ cos {(nt)} \) четное, а \ (\ sin {(nt)} \) нечетное.k \) четно, если \ (k \) четно, и нечетно, если \ (k \) нечетно.
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \):
Возьмите две функции \ (f (t) \) и \ (g (t) \) и определите их произведение \ (h (t) = f (t) \ , g (t) \). а) Предположим, что оба нечетные, нечетно или четно \ (h (t) \)? б) Предположим, что один четный, а другой нечетный, является ли \ (h (t) \) нечетным или четным? в) Предположим, что оба четны, является ли \ (h (t) \) нечетным или четным?
Если \ (f (t) \) и \ (g (t) \) оба нечетны, то \ (f (t) + g (t) \) нечетно. Аналогично для четных функций. С другой стороны, если \ (f (t) \) нечетно, а \ (g (t) \) четно, то мы ничего не можем сказать о сумме \ (f (t) + g (t) \).Фактически, ряд Фурье любой функции представляет собой сумму нечетной (синусоидальные) и четной (косинусные) функций.
В этом разделе мы рассматриваем нечетные и четные периодические функции. Ранее мы определили \ (2L \) — периодическое расширение функции, определенной на интервале \ ([- L, L] \). Иногда нас интересует только функция в диапазоне \ ([0, L] \), и было бы удобно иметь нечетную (соответственно четную) функцию. Если функция нечетная (соответственно четная), все члены косинуса (соответственно синуса) исчезнут.Что мы сделаем, так это возьмем нечетное (соответственно четное) расширение функции на \ ([- L, L] \), а затем продолжим периодически до \ (2L \) — периодической функции.
Возьмем функцию \ (f (t) \), определенную на \ ([0, L] \). На \ ((- L, L] \) определите функции
\ [F _ {\ rm {odd}} (t) \ overset {\ rm {def}} {=} \ left \ {\ begin {array} {ccc} f (t) & \ rm {if} & 0 \ leq t \ leq L, \\ -f (-t) & \ rm {if} & -L \\ F _ {\ rm {even}} (t) \ overset {\ rm {def}} {=} \ left \ {\ begin {array} {ccc} f (t) & \ rm {if} & 0 \ leq t \ leq L, \\ f (-t) & \ rm {if} & -L
Расширить \ (F_ {odd} (t) \) и \ (F_ {even} (t) \) до \ (2L \) — периодичности. Тогда \ (F_ {odd} (t) \) называется нечетным периодическим расширением \ (f (t) \), а \ (F_ {even} (t) \) называется четным периодическим расширением \ (f (t) \).
Упражнение \ (\ PageIndex {2} \):
Убедитесь, что \ (F_ {odd} (t) \) нечетное, а \ (F_ {even} (t) \) четное.
Пример \ (\ PageIndex {1} \):
Возьмем функцию \ (f (t) = t (1-t) \), определенную на \ ([0,1] \). На рис. 4.11 показаны графики нечетного и четного расширений \ (f (t) \).L f (t) \ text {cos} \ left (\ frac {n \ pi} {L} t \ right) dt = 0. \]
То есть нет косинусных членов в ряду Фурье нечетного функция. Интеграл равен нулю, потому что \ (f (t) \ cos {(\ frac {n \ pi} {L} t)} \) является нечетной функцией (произведение нечетной и четной функций является нечетным), а интеграл от нечетная функция на симметричном интервале всегда равна нулю. Интеграл от четной функции на симметричном интервале \ ([- L, L] \) равен удвоенному интегралу функции на интервале \ ([0, L] \). Функция \ (f (t) \ sin {(\ frac {n \ pi} {L} t)} \) является произведением двух нечетных функций и, следовательно, является четной.{\ infty} a_n \ cos {\ left (\ dfrac {n \ pi} {L} t \ right)}. \]
Интересным следствием является то, что коэффициенты ряда Фурье нечетной (или четной) функции можно вычислить простым интегрированием по полуинтервалу \ ([0, L] \). Следовательно, мы можем вычислить ряд Фурье нечетного (или четного) расширения функции, вычислив определенные интегралы по интервалу, в котором определена исходная функция.
Теорема 4.4.1. Пусть \ (f (t) \) — кусочно-гладкая функция, определенная на \ ([0, L] \).L f (t) g (t) \, dt, \]
и следуя процедуре п. 4.2. Эта точка зрения полезна, поскольку мы обычно используем конкретный ряд, возникший из-за того, что наш основной вопрос привел к определенной проблеме собственных значений. 2 \) для \ (0 \ leq t \ leq \ pi \ ).2} {3} -4 \ cos {(t)} + \ cos {(2t)} — \ dfrac {4} {9} \ cos {(3t)} + \ cdots \]
Упражнение \ (\ PageIndex {3} \):
a) Вычислите производную четного расширения \ (f (t) \), указанного выше, и убедитесь, что у нее есть скачкообразные разрывы. Используйте фактическое определение \ (f (t) \), а не его косинусный ряд! б) Почему производная четного расширения \ (f (t) \) является нечетным расширением \ (f ‘(t) \)?
4.4.3 Приложение
Ряды Фурье связаны с краевыми задачами, которые мы изучали ранее.Рассмотрим эту связь подробнее.
Предположим, у нас есть краевая задача для \ (0
\ [x » (t) + \ lambda x (t) = f (t), \]
для граничных условий Дирихле \ (x (0) = 0, x (L) = 0 \ ). Используя альтернативу Фредгольма (теорема 4.1.2), мы отмечаем, что до тех пор, пока \ (\ lambda \) является , а не собственным значением основной однородной задачи, существует единственное решение. Обратите внимание, что собственные функции этой задачи на собственные значения — это функции \ (\ sin {\ left (\ frac {n \ pi} {L} t \ right)} \).Следовательно, чтобы найти решение, мы сначала находим ряд синусов Фурье для \ (f (t) \). Запишем \ (x \) также как ряд синусов, но с неизвестными коэффициентами. Подставляем ряд для \ (x \) в уравнение и решаем неизвестные коэффициенты. Если у нас есть граничные условия Неймана \ (x ‘(0) = 0 \) и \ (x’ (L) = 0 \), мы проделываем ту же процедуру, используя ряд косинусов.
Давайте посмотрим, как работает этот метод на примерах.
Пример \ (\ PageIndex {3} \):
Возьмем краевую задачу для \ (0
\ [x » (t) + 2x (t) = f (t) , \]
, где \ (f (t) = t \) на \ (0 граничным условиям Дирихле \ (x (0) = 0 \) и \ (x ( 1) = 0 \).а е (х) \ грех (п \ пи х / а) dx \]
Обратите внимание, что b _n только зависит от значений f (x) на полуинтервале $ [0, a] $, а не на $ [- a, a] $. \ pi \ big (\ frac {1} {2} (\ sin ((n + 1) x) + \ sin ((n-1) x) \ big) dx.2-1) \ pi} \ sin (2kx). \] Обратите внимание, что эта серия действительно только на $ [0, \ pi] $, где $ f (x) = \ cos (x) $ было определенный. Пусть вас не смущает то, что косинус даже на $ [- \ pi, \ pi] $. В sine серия происходит от нечетного расширения , $ f_ {odd} $, поскольку определено выше.
Приближение зданий для греха (x)
Александр из Гдыни, двуязычная школа Школа № 3, Польша использовала свойства синусоидальной функции для найти полиномиальное приближение.
Как известно, полиномы — одна из самых гибких функций. и, следовательно, могут иметь самые разные формы.3 \ более 6} $.
Чтобы получить приближение $ \ sin x $, используя многочлены высших степеней, мы должны помнить, что коэффициенты при четных степенях должен быть равен 0. По этой причине следующая степень полином, который можно здесь использовать, — 5-й.
Андрей из Румынии использовал Taylor серии и нарисовали графики, чтобы показать полиномиальные приближения . {4k + 3} (x) & = — \ cos x}.7 \ over 7!} + … $$ Простейший метод проверки точности расширение ряда должно представить на том же графике функцию и его расширения разного порядка.
Функция sin (x) представлена белым цветом, первый порядок многочлен красным, третий — голубым, пятый — зеленым и седьмой желтым. Можно заметить, что точность лучше и лучше. По мере увеличения порядка полинома точность увеличивается.
Примечательно, что, используя только до седьмого порядка полином, я получаю очень хорошее приближение функции.6 \ over 6!} + … $$
Функция выделена синим цветом, полином второго порядка фиолетовым, четвертый — белым и шестой — красным. Я вижу, что шестой порядок многочлен — довольно хорошее приближение в целом интервал.
Поскольку cos периодичен, интервал $ [- \ pi, \ pi] $ достаточен, и более того, поскольку cos (x) четно, достаточно $ [0, \ pi] $.
Для, $ \ log (1 + x) $, я считаю логарифм по основанию e. Здесь я получим следующее разложение в ряд Маклаурина: $$ \ log (1 + x) = x — {x ^ 2 \ over 2} + {x ^ 3 \ over 3} — {x ^ 4 \ over 4} + {x ^ 5 \ over 5}. 5 \ over 160} 1.{k-1}} {2k-1} = \ frac {\ pi} {4} долл. США
Чтобы получить разложение в ряд Фурье по синусам для $ f (x) $, коэффициенты $ a_n $ должны равняться нулю (см. Ниже). Итак, пусть $ g (x) $ будет нечетной функцией , расширяющей $ f (x) $ до интервала $ [- \ pi, 0 [$, определенного в
\ begin {уравнение *} g (x) = \ left \ { \ begin {array} {l} \ phantom {-} f (x) & = \ phantom {-} \ dfrac {\ pi -x} {2}, \ qquad \ phantom {-} 0 \ leq x \ leq \ pi \\ \\ -f (-x) & = \ color {blue} {- \ dfrac {\ pi + x} {2}} \ qquad — \ pi \ leq x <0 \ end {массив} \верно. \ end {уравнение *}
, график которого в $ [\ pi, \ pi] $ показан на следующем рисунке
$$ g (x) = f (x) = \ frac {\ pi -x} {2}, x \ in [0, \ pi [; \; g (x) = — f (-x) = \ color {blue} {- \ frac {\ pi + x} {2}}, x \ in [- \ pi, 0] $$
Мы знаем, что разложение в тригонометрический ряд Фурье для $ g (x) $ в интервал $ \ left [- \ pi, \ pi \ right] $ равен
\ begin {уравнение *} \ frac {a_ {0}} {2} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} \ cos (nx) + b_ {n} \ sin (nx) \ right), \ end {уравнение *} где коэффициенты — интегралы \ begin {eqnarray *} a_ {n} & = & \ frac {1} {\ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} g (x) \ cos (nx) \, dx \ qquad п = 0,1,2, \ ldots, \\ b_ {n} & = & \ frac {1} {\ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} g (x) \ sin (nx) \, dx \ qquad п = 1,2,3, \ ldots. {\ infty} \ frac {1} {n} \ sin (nx), \ qquad 0 \ leq x \ leq \Пи , \ end {уравнение *} (синус-ряд Фурье для функции $ f (x) $ в интервал $ \ left [0, \ pi \ right] $). Мы видим, что $ f (\ pi / 2) = \ pi / 4 $. Нам просто нужно подтвердить, что для $ x = \ pi / 2 $ эта последняя серия сводится к вашей. Действительно, поскольку \ begin {уравнение *} \ sin \ big (\ frac {n \ pi} {2} \ big) = \ left \ { \ begin {array} {l} 1, \ qquad n = 1,5, \ ldots, 4k + 1, \ ldots \\ 0, \ qquad n = 2,4, \ ldots, 2k + 2, \ ldots \ quad (k = 0,1,2, \ ldots) \\ -1, \ quad \; n = 3,5, \ ldots, 4k + 3, \ ldots, \ end {массив} \верно.{k-1}} {2k-1}. \ end {уравнение *}
Замечание . Для ряда косинусов Фурье нам нужно будет расширить $ f (x) $ до функции и даже , потому что тогда $ b_n $ исчезнет.
Серия
по синусу и косинусу Фурье Серия
по синусу и косинусу Фурье
Напомним, что ряд Фурье f ( x ) определяется как

где
У нас есть следующий результат:
Теорема. Пусть f ( x ) — функция, определенная и интегрируемая на интервале .
(1)
Если f ( x ) четное, то мы имеем

а также

(2)
Если f ( x ) нечетное, то имеем

а также

Эта теорема помогает определить ряд Фурье для функций, определенных только на интервале. Основная идея — распространить эти функции на интервал а затем воспользуйтесь определением ряда Фурье.
Пусть f ( x ) — функция, определенная и интегрируемая на. Набор

а также

Тогда f ₁ нечетное, а f ₂ четное. Легко проверить, что эти две функции определены и интегрируемы на и равны f ( x ) на. Функция f ₁ называется нечетным расширением из f ( x ),
, а f ₂ называется его четным расширением .
Определение. Пусть f ( x ), f ₁ ( x ) и f ₂ ( x ), как определено выше.
(1)
Ряд Фурье f ₁ ( x ) называется серией синуса Фурье функции f ( x ) и определяется как

где

(2)
Ряд Фурье f ₂ ( x ) называется серией косинусов Фурье функции f ( x ) и определяется как

где

Пример. Найдите ряд косинусов Фурье для f ( x ) = x для .
Ответ. У нас есть

а также

Следовательно, мы имеем

Пример. Найдите ряд синуса Фурье функции f ( x ) = 1 для .
Ответ. У нас есть

Следовательно

Пример. Найдите ряд Фурье-синус функции для .
Ответ. У нас есть

что дает b ₁ = 0 и для n > 1 получаем

Следовательно

Частный случай 2 L -периодических функций.
Как мы делали для -периодических функций, мы можем определить ряды синуса и косинуса Фурье для функций, определенных на интервале [- L , L ].Во-первых, вспомним ряд Фурье f ( x )

где

для .
1.
Если f ( x ) четно, то b _n = 0, для. Кроме того, у нас есть

а также

Наконец, у нас есть

2.
Если f ( x ) нечетное, то a _n = 0, для всех, а также

Наконец, у нас есть

Аналогичным образом можно расширить определения синуса Фурье и косинуса.
[Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра]
S.O.S MATH: Домашняя страница
Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.
Автор : М.А.Хамси
Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователя онлайн за последний час
Построение ряда Тейлора для синуса и косинуса
Ряд Тейлора используется для приближения функций. Прочтите нашу статью о сериале Тейлор, если вам нужно больше деталей. Как известно, для решения задач часто не хватает общей формулы. Нет необходимости изобретать велосипед каждый раз, когда вы сталкиваетесь с одной из общих функций. Более выгодный способ — запомнить несколько расширений и при необходимости использовать готовые формулы. Ранее мы рассматривали разложения Тейлора для экспоненты и логарифма (щелкните здесь, чтобы узнать подробности). Давайте продолжим и найдем формулы для синуса и косинуса.
Тригонометрические функции
Снова ограничимся рассмотрением так называемой серии Маклорена.{(4)} \ left. \ Begin {matrix} \ end {matrix} \ right | _ {x = 0} = \ sin {0} = 0
Опять же, на 4-м шаге мы получаем начальную функцию и, следовательно, дальше мы получим производные в той же последовательности. Таким образом, мы имеем значения производных в следующей последовательности: 1,0, -1,0 и так далее. На этот раз четные степени x отсутствуют, так как нули стоят рядом с соответствующими членами. {2n + 1 }}
для х \ дюйм Р.n}, | x | <1
Этого достаточно для решения проблем, хотя, при необходимости, проверьте наличие дополнительных расширений общих функций.
В поисках серии Маклорена для греха (x)
Что такое серия Маклорена?
A Серия Маклорена — это способ представления определенных функций, включая синусоидальную функцию, с использованием бесконечной суммы целочисленных степеней x. В общем, серия Маклорена для функции f ( x ) выглядит так:
Помните, символ Σ говорит нам, что мы складываем члены в соответствии с формулой справа от символа.Нижнее уравнение сообщает нам первое число, которое мы вводим для n , а верхнее число сообщает нам последнее число, которое мы вводим для n . Поскольку у нас вверху ∞, это бесконечный ряд или тот, в котором мы складываем бесконечное количество членов.
Давайте разберем формулу справа от Σ. Помните, что n ! означает, что мы умножаем все натуральные числа от 1 до на вместе. Так, например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. Затем ƒ ( n ) (0) представляет собой n -ю производную от ƒ, оцененную как 0.
Вычисление серии Маклорена для греха (
x )
На этом этапе вы можете подумать, что больше нечего делать, чтобы найти серию Маклорена для греха ( x ). Однако, чтобы сделать серию более полезной, мы собираемся посмотреть, сможем ли мы найти закономерность в производных синусоидальной функции. Другими словами, чтобы помочь калькулятору использовать ряд Маклорена, мы собираемся посмотреть, сможем ли мы написать ряд Маклорена для синусоидальной функции без использования записи ƒ ( n ) (0).В следующей таблице показаны производные синуса с точностью до пятой. Посмотри, сможешь ли ты найти узор.
Какой узор? Получается, что ƒ ( n ) (0) = ± 1, когда n нечетное, и 0, когда n четное. Таким образом, выписывая ряд Маклорена для sin (x), мы получаем следующее.
Упрощение дает следующее.
Чтобы записать это с обозначением Σ, нам нужно будет найти образец для терминов, отличный от того, который использовался для его создания, поскольку все остальные степени x исчезли.Обратите внимание, что у нас есть только нечетные степени x и соответствующие нечетные числа внизу каждой дроби. Поскольку нечетные числа начинаются с 1 и увеличиваются на 2 с каждым членом, мы можем представить их в суммировании выражением 2 n + 1, где n — номер члена. Затем нам нужно представить, что термины чередуются между положительными и отрицательными. Мы можем сделать это, используя (-1) n , поскольку умножение -1 на себя поочередно дает 1 и -1.
Таким образом, мы можем написать следующее.
Как калькулятор использует серию Маклорена?
Возможно, вам интересно: «Если серия Маклорена — это бесконечная серия, как мой калькулятор ее использует? Разве не потребуется бесконечное количество времени, чтобы его использовать? » Потребовалось бы бесконечное количество времени, чтобы попытаться полностью вычислить значение ряда Маклорена в определенной точке. Вот почему ваш калькулятор не использует полную серию. Он использует только его часть. Количество используемых терминов может варьироваться от калькулятора к калькулятору, но поскольку калькуляторы могут очень быстро складывать, вычитать, умножать и делить, использование большого количества членов в ряду, даже до 100, очень выполнимо для калькулятора.Таким образом, значение, которое ваш калькулятор дает вам для синуса числа, на самом деле является приблизительным. Однако из-за природы ряда Маклорена это очень и очень точное приближение.
Краткое содержание урока
Чтобы избежать необходимости хранить тригонометрические таблицы, калькуляторы используют ряд Маклорена для вычисления значения sin ( x ). Ряд Маклорена для функции — это ряд, заданный следующим образом.
Используя это определение ряда Маклорена, мы можем определить, что синусоидальная функция может быть представлена следующим образом.
Оставить комментарий on Синуса разложение в ряд: Разложение синуса в ряд Тейлора/
Какой из перечисленных ниже факторов мог привести к снижению цен на товар а: Маркетинг_шпора_алф
alexxlab / 02.01.197021.06.2021 / Разное
Что мешает упасть цене на квадратный метр :: Мнения :: РБК Недвижимость
Руководитель группы управления проектами «Рейтингового агентства строительного комплекса» (РАСК) Алексей Рыбалка в авторской колонке на «РБК-Недвижимости» рассказывает об устранении административных барьеров в строительстве. По его мнению, только это может снизить цены на жилье на 5–10%
В текущих условиях макроэкономическая ситуация в стране такова, что доходы населения едва ли соразмерны ценам на квадратные метры с учетом подорожавшей потребительской корзины. Чтобы привлечь покупателя в периоды пониженного спроса, застройщик вынужден снижать свою маржу. Но данное снижение несет временный характер — куда более важными являются изменения в законодательстве, о которых ниже и пойдет речь.
Из чего складывает цена квадратного метра в новостройках? Список достаточно наглядный: аренда земельного участка, прокладка внешних инженерных сетей, издержки на строительно-монтажные работы, проектирование, экспертиза, согласование проекта и спрос. Но все ли знают, что цену можно снизить на 5–10%, устранив лишь административные барьеры?
В рейтинге экономик Doing Business, который ежегодно проводит Всемирный банк, Россия занимает 156-е место из 189 по простоте получений разрешений на строительство. Административные барьеры не только повышают цену на строительство, но и удлиняют сроки на возведение зданий.
Количество процедур у нас сейчас сократилось с 220 до 134. При этом в России перечень необходимых процедур для получения разрешения на строительство разнился от региона к региону. Для сравнения, по данным Всемирного банка в США, среднее количество дней, необходимых для получения разрешения на строительство, — это 79 дней, в Германии — 96 дней, в Индии — 186 дней. А в России данная процедура занимает в среднем 238 дней. Такое количество барьеров снижает рентабельность построенного жилья, дополнительно стимулируя повышение цен на новостройки. Ведь ни для кого не секрет, что все издержки, потраченные на создание продукта, вкладываются в цену, в частности в графу «согласование проекта», и что ограниченная конкуренция часто приводит к удорожанию предлагаемого продукта. Поэтому прежде чем ругать только лишь застройщиков, которые взвинчивают цены на квадратные метры в новостройках, стоит задуматься и о сопутствующих этому причинах. Кроме снижения платежеспособного спроса, значительно прибавилось проблем, связанных с инфляцией и повышением цен на строительные материалы.
В связи с этим весьма актуальным выглядит постановление правительства РФ «Об исчерпывающем перечне процедур в сфере жилищного строительства», положительный эффект от которого в итоге должны ощутить на себе конечные потребители.
Последние несколько лет проблема бюрократических согласований обсуждалась множество раз на самых разных уровнях. Постановление, которое вступило в силу в начале ноября прошлого года, должно стать серьезным шагом на пути предоставления гарантий застройщикам об отсутствии дополнительных требований вне исчерпывающего перечня необходимых процедур в строительстве. И благодаря этому на данный момент общее число административных процедур сократилось примерно на 40%. В это непростое время, снижение административных барьеров позволит застройщикам сэкономить — удержать и в дальнейшем не повышать цены.
В целях обеспечения исполнения инициативы президента РФ, которая была озвучена на совещании с членами правительства в ноябре 2014 года, создан Координационный совет при Минстрое России. Шесть месяцев, отведенных субъектам РФ для приведения в соответствие с новым законодательством правовых и нормативных актов, уже истекли. Совет начал проводить регулярные «контрольные закупки», выявляя несоответствие муниципальных процедур в сфере жилищного строительства исчерпывающему перечню.
Промежуточные результаты опросов застройщиков показывают, что в регионах еще имеет место незаконное требование прохождения процедур, не установленных утвержденным перечнем. Также отмечаются случаи неправомерного требования излишних документов и необоснованных отказов в выдаче разрешений.
В экспертной среде не единожды высказывалось мнение, что снижение административных барьеров окажет прямой эффект на снижение цены квадратного метра в пределах 2%, но здесь возможен и дополнительный эффект. За счет входа на рынок новых игроков увеличится конкуренция, так как она всегда положительно сказывается на цене и в совокупности может повлечь ее снижение уже на 5–10%. Также стоит учитывать следующий положительный фактор — у застройщика уменьшится жизненный цикл каждого объекта. Деньги девелопера начнут работать быстрее, и объемы строительства должны увеличиться. Таким образом, перечисленные факторы, по нашим оценкам, смогут оказывать влияние на снижение цены квадратного метра, но не более чем на 10%. Так как на итоговую стоимость объектов в значительно большей степени влияют другие факторы: подключение к инженерным сетям, строительство необходимой инфраструктуры и кадастровой стоимости земли.
Для того чтобы новые правила в сфере жилищного строительства заработали интенсивней, необходимо на законодательном уровне двигаться в сторону лучших отечественных практик. Например, в Калужской области документы территориального планирования размещены в открытом доступе на сайтах муниципальных образований, что значительно сокращает затрачиваемое время на подготовку земельных участков и минимизирует коррупцию. В данной области срок согласования градостроительного плана земельного участка с администрацией составляет от трех до пяти дней. В Санкт-Петербурге начинает работу принцип единого окна, прорабатывается улучшение организации электронного документооборота, что позволит стать процессу согласований более прозрачным.
Говорить о положительных сдвигах после вступления в силу ноябрьского постановления о сокращении административных процедур пока рано. Но активная работа в этом направлении продолжается, а значит, есть основания полагать, что положительный эффект, выраженный в более низких ценах на квадратный метр, конечный потребитель все-таки почувствует. Тем более что уже 1 июля 2015 года по очередному поручению президента РФ правительство должно представить новые предложения, касающиеся сокращения количества процедур, необходимых для реализации инвестиционно-строительных проектов. А насколько сильный эффект они окажут в действительности — вопрос будущих дискуссий.
Алексей Рыбалка специально для «РБК-Недвижимости»
Точка зрения авторов, статьи которых публикуются в разделе «Эксперты/Мнения», может не совпадать с мнением редакции
Об авторах
Алексей Рыбалка, РАСК
Точка зрения авторов, статьи которых публикуются в разделе «Мнения», может не совпадать с мнением редакции.
Механизмы формирования и причины изменения цен на нефть за последние 15 лет — Экономика, финансы, рынки
Снижение цен на нефть может негативным образом сказаться на поступлениях в российский бюджет и в целом на российской экономике. Сегодня любое прогнозирование для нефтегазового сектора может быть слишком рискованным мероприятием, т.к. слишком много взаимосвязанных переменных отвечают за изменение цены на углеводороды. В статье рассмотрены два противоположных подхода и предпринята попытка определить «золотую середину» к определению механизмов формирования и причин изменения цены на нефть
.
Очевидно, что любое прогнозирование для нефтегазового сектора может быть слишком рискованным мероприятием, т.к. слишком много взаимосвязанных переменных отвечают за изменение цены на углеводороды. В статье рассмотрены два противоположных подхода и найдена некая «золотая середина» к определению механизмов формирования и причин изменения цены на нефть.
На современном этапе аналитические материалы и выступления лидеров нефтегазового комплекса изобилуют паническими прогнозами длительного сохранения низкой цены на нефть и паническими прогнозами «дна» в 50-65 долл США/ баррель. Еще в 2011 г министр нефти Саудовской Аравии заявлял, что «черное золото» может в ближайшем будущем подорожать до 300 долларов за баррель, но уже в 2014 году, после того как цена на нефть марки Brent опустилась ниже «психологического барьера» в 80 долларов упав с июньской отметки в 115 долларов, многие эксперты осуществление такого прогноза считают нереалистичным. В статье доказательно говорится об обратном, то есть возможности достижения прежнего ценового уровня после непродолжительного снижения и дальнейшей эскалации цен на нефть.
Очевидно, что снижение цен на нефть может негативным образом сказаться на поступлениях в российский бюджет и в целом на российской экономике. Перед тем как перейти к обсуждению текущего снижению цен для начала нужно разобраться, что изменилось в конце 90-х в нефтегазовом секторе и что привело к этому огромному росту в 2000-х. Искушенный читатель может предположить, что в статье использована так называемая теория «пиковой нефтедобычи» (Peak Oil), где неизбежный рост цен на нефть является ожиданием исчерпанием существующих запасов нефти, где запасы сланцевой нефти лишь немного сдвигают этот рубеж высоких цен во времени. Однако следует отметить, что в статье, показаны другие причины изменения цены на нефть в последние годы, что на наш взгляд выделяет важную и необычную сторону в этой непростой тематике.
Нефть, как экономическое оружие
В 80-90-х годах после активной фазы «холодной войны» безоговорочным мировым лидером стали США. В 90-х Соединенные Штаты целиком и полностью были увлечены созданием «свободного рынка» и насаждению «демократических ценностей» на территории России и бывших союзных республик. Однако в этот период Вашингтон совершенно упустили тот момент, когда Китай, начинавший в свое время как «филиал западных ТНК», сумел не только обрести огромную промышленно-экономическую мощь, но и очень искусно развить кредитно-финансовую силу Юаня. Сама мысль о Юане как альтернативе Доллару — стала прямой угрозой мировому доминированию валюты ФРС США. Однако на финансово-экономическом фронте борьбы США с КНР возникла интересная и сложная ситуация, когда ни один из противников не решался нанести открытый удар по финансово-экономической системе противника. «Боевые действия» переместились в позиционную войну. В качестве метода борьбы была выбрана высокая цена на нефть (углеводороды).
По словам декана пекинского института международных стратегических исследований Вана Джиши (Wang Jisi)*, США имеет планы по ограничению роста мощи Китая и намеренно поддерживало высокие цены на нефть в 2000-х, что негативно отражалось на китайской экономике. США также заинтересованы в ограничении роста присутствия китайских нефтедобывающих компаний на Ближнем Востоке и др. регионах мира[[i]]. Именно это, по нашему мнению, дает уверенность в том, что цены на нефть после непродолжительного снижения начнут свой бурный рост аналогичный росту 2001-2008 годов.
Для того, чтобы перейти к сути рассматриваемого вопроса нужно понимать что цена нефть плавала с небольшими колебаниями вокруг отметки в $20 за баррель в течении очень длительного периода времени (1985 — 1999) и в то время ничто не предвещало началу её молниеносного роста в «нулевых». Также нужно вспомнить июль 2008 года, когда цены на нефть достигли более $147 за баррель, совершив 13-кратный подъем от их минимума с $11/барр в конце 1998 года. Ряд аналитиков и отраслевых экспертов тогда прогнозировали достижение отметки в $200 и даже $300 за баррель нефти по итогам 2008 года, но цены на нефть достигли максимума 14 июля и начали резкое снижение, доказывая, вне всякого сомнения, что этот бурный разбег и последовавший за ним спад имел мало общего с тем, что можно было бы считать «фундаментальными» факторами.
На рисунке 1 изображены относительные значения изменения цены мировой сырой нефти (красная кривая) и цены на газ в США (синяя кривая). Нетрудно заметить повторение динамики цены на нефть, динамики цены на газ в США с лагом от одного до 2 лет в разные временные периоды. Если такая динамика сохранится, то цена на нефть может достичь даже $50 в ближайшее время. Однако это маловероятно из-за других факторов, о которых будет сказано ниже.
Директива NSDD-66
В 1982 была разработана и запущена директива NSDD-66 (National Security Decision Directive), которая предполагала что ЦРУ, Пентагон, казначейство и другие правительственные учреждения разработают методы повышения экономического давления на «Советы». Это породило целый ряд исследований, направленных на выявление экономической слабости СССР. Одной из них оказалась цена на нефть. В исследовании Министерства финансов США в начале 1980-х снижение цены на нефть с 36 $ до $ 13 / баррель дало бы экономике США экономию в $ 140 млрд. в год. Это пошло на благо всей американской экономики за исключением некоторых нефтедобывающих бизнесов.
Однако снижение цен на нефть и других углеводородов вступает в противоречие с интересами нефтегазовых корпораций США напрямую из-за снижения доходности компаний, особенно тех, кто добывает сланцевую нефть, т. к. себестоимость добычи составляет от $35 до $80, что в несколько раз выше нефти «традиционных» месторождений. Однако это не совсем верно. Основная часть так называемой «сланцевой нефти» добывается как побочный продукт сланцевого газа *, поэтому низкая цена на нефть не так критично отражается на нефтяных корпорациях США к тому же получающих налоговые послабления и компенсацию части затрат из бюджета.
Договоренность об увеличении добычи нефти в Саудовской Аравии была достигнута благодаря предоставлению со стороны США финансовой помощи и новых технологий промышленного и военного назначения. В то время была и другая причина заинтересованности Саудовской Аравии в понижении цены на нефть. В 80-х годах члены ОПЕК нарушали квоты по добыче нефти и Саудовская Аравия, чтобы показать, кто лидер на нефтяном рынке, пошла на такой шаг и увеличила добычу повлияв на нефтяные цены. По разработанной в 80-х годах схеме, США договорились, чтобы «саудовцы» гарантировали поддержание поставок нефти и цен на нее на уровне, который мог колебаться, при этом оставаясь приемлемым для США и их союзников. В обмен на эту гарантию Вашингтон предложил саудовскому королевскому дому исключительно привлекательную сделку: обязательство обеспечить полную экономическую, политическую и военную поддержку, таким образом, гарантируя их нахождение у власти. Условие заключалось в том, что Саудовская Аравия использует нефтедоллары на покупку ценных бумаг правительства Соединенных Штатов. Проценты, полученные от этих ценных бумаг, будут расходоваться министерством финансов США на то, чтобы помочь Саудовской Аравии выйти из средневековья и войти в современный индустриальный мир. Иными словами, проценты на полученные саудовцами от продажи нефти миллиарды долларов будут использоваться для оплаты американских компаний, воплощающих разработанную идею по превращению страны в современную индустриальную державу. В то время когда Саудовская Аравия увеличила добычу и предложение на миром рынке, когда спрос и предложения еще играло определенную роль в формировании цены Соединенные Штаты синхронно снизили импорт нефти в абсолютных показателях также как долю импорта нефти в собственном потреблении, что еще больше увеличило предложение нефти на мировом рынке (рис 2).
И если вспомнить недавнее прошлое, когда после скачка цен в конце 1970-х годов, пик которого пришелся на 1982 в 80-х мировой спрос на нефть был в состоянии стагнации и даже начал было снижаться, во главе с крупнейшим потребителем нефти — США. Тогда, чтобы сдержать повышение цен на нефть США пошли на беспрецедентный шаг. Высокие цены на нефть в 1970-х и новые нормативы по выбросам в воздух подтолкнули оптимизацию производства топлив и их использования. Постепенно США снизили сжигание мазута для производства электроэнергии, часть которой также была заменена на ядерную, энергию, природный газ и уголь добывающийся в США и Канаде. Общий спрос на нефть в Северной Америке снизился к 1983 году с 890 млн.т. до 690 млн.т. или на 20% по сравнению с 1977 годом, и не превышал уровень 1978 вплоть до 2002 года (25 лет). Это также было достигнуто и благодаря оптимизации потребления в автомобильном транспорте. Это при том, что на американских дорогах наблюдался устойчивый рост автомобилей, пройденного ими расстояния и количества перевезенных грузов. Т.е. лидер по потреблению нефти и нефтепродуктов повлиял на цены, используя рыночные методы. Нужно учитывать, что спекулятивная составляющая тогда не обладала таким значимым влиянием на цену по сравнению с настоящим временем.
В свою очередь каждое изменение на $1/барр. цены на нефть означало потери около 2 млрд. в год для СССР. Кроме того, задержка строительства и расширения планируемого нового сибирского экспортного трубопровода с природным газом в Европу имело серьезные последствия для бюджета СССР. С помощью различных средств, в том числе откровенного саботажа США удалось задержать запуск первого газа на два года, лишив россиян около $ 20 млрд. Строительство второй трубы, которая должна была удвоить доходы, было отложено на более чем десять лет. Более того, Вашингтон постоянно мешал финансированию строительства трубопроводов из Сибири за счет западных банков. Это очень сильно напоминает современную ситуацию с санкциями.
Однако, чтобы понять современную ситуацию с нефтью нужно знать систему приоритетов, которыми руководствуется Администрация США при принятии решений сейчас. Приоритетом тогда и сейчас являлся прагматичный подход, основанный на повышении промышленно-экономической и финансовый собственно мощи США. Если в настоящее время, стратегия Вашингтона приводит к уменьшению потока нефтедолларов в казну Венесуэлы и России — это можно рассматривать только как «побочный эффект» от основной стратегии. К объяснению этому перейдем в самом конце статьи.
Геополитика и рынок
Для того, чтобы не перемешивать анализ нетождественных друг другу факторов условно можно выделить два лагеря экспертов по тому, как они трактуют причины изменения нефтяных цен. Условно приверженцы одного из течений объясняют это естественными экономическими законами или «невидимой рукой рынка». Второе течение можно было бы охарактеризовать как воздействие на цены рыночными и нерыночными методами с целью достижения явного геополитического преимущества.
Без предвзятых попыток во всем, в каждом событии, видеть руку ЦРУ, не впадая в эмоциональную паранойю усматривать во всех зигзагах истории заговор, так или иначе все равно все сводится к интересам корпораций или финансово-промышленных групп преимущественно развитых стран запада. Ценовой менеджмент, приводивший к повышению цены на нефть на протяжении последних 15 лет (условно с 1998 по 2013), осуществляется отнюдь не при молчаливом, а скорее при полноценном участии правительств известных стран и корпораций. Существование сговоров на рынке нефти, к примеру, подтверждает шейх Ямани, который занимал этот пост министра нефти Саудовской Аравии четверть века. В свое время его спросили: «Насколько цена нефти зависит от решения ОПЕК, а насколько от рыночных факторов?» На что ответ был следующим: «Первые две цифры (до запятой) определяет ОПЕК (во главе Саудовской Аравии), а последние две (после запятой) фундаментальные факторы». Однако сейчас ситуация еще больше поменялась и для изменения цены на нефть уже нет такой необходимости договариваться с Саудовской Аравией. Безусловно, рынок реагирует, когда саудиты увеличивают добычу. Но здесь уже следует оговориться. После кризиса 2008-2009 годов среди экономистов стал приобретать популярность новый подход в понимании ценообразования нефти на мировом рынке. Спрос и предложение нефти перестали играть значительную роль в формировании цен. На первый план вышла спекулятивная составляющая. Цена на нефть стала все меньше и меньше зависеть от фактического спроса и предложения «мокрых» баррелей, хотя это не учитывают сторонники рыночного подхода. Новый фактор стал постепенно играть важную роль в определении цены — это суммы финансовых потоков вливающихся в нефтяные фьючерсы на бирже NYMEX из пенсионных и других инвестиционных фондов, молчаливо одобренными регулирующими органами США. Ежедневные объемы торговлей «бумажной нефтью» на NYMEX затмевает объемы глобального потребления физической нефти. По разным оценкам они превышают объемы торговли «бумажной нефтью» в 10-100 раз.
В 1999 г. был отменен закона Гласса-Стигалла* тем самым, ликвидированы ограничения коммерческим банкам заниматься инвестиционной деятельностью и операциями с ценными бумагами, который был установлен во время кризиса 1929-33 гг. В 2000 г. был принят «Закон о Модернизации Сырьевых Фьючерсов», что позволило снизить до минимума регуляторный надзор за слишком рискованными операциями инвестиционных компаний[[ii]]. То есть для того, чтобы снизить цену на нефть необходимо поставить ограничения на приток долларов на нефтяную биржу в Нью-Йорке (NYMEX), обеспечить отток капиталов из нефтяных фьючерсов и пустить их на другие рынки [[iii],[iv]]. Доказательством этому служит сильная волатильность цены нефти или 2-3-х кратное изменение цен в кризисный 2008-2009 годы и после кризисный период (подъем до $147, падение до $34 и последующая коррекция). Секьюритизация нефтяных фьючерсов поощряет массивное расширение внешнего участия в нефтяных рынках, позволяя мелким инвесторам, пенсионным фондам и другим игрокам из не нефтяной индустрии купить фьючерсы косвенно через нефтяные или товарно-биржевые фонды. Аналитики рассчитали, что к моменту кризиса 2008 г. несколько сотен миллиардов долларов было втянуто только из второстепенных инвестиционных потоков. Эти растущие производные инвестиционные средства также создали больше возможностей для незаметного вмешательства правительства в этот рынок, чтобы поддерживать высокие цены.
Итак «Закон о Модернизации Сырьевых Фьючерсов» или «Лазейка Энрон» позволила многим энергетическим компаниям выйти из сферы государственного регулирования и регулирования электронных торгов энергетическими фьючерсами, что породило самые сильные спекуляции и образование так называемых «пузырей». Известно, что случилось вскоре после этого с Enron. Но лазейка, тем не менее, осталась. И сегодня нефть стала самым спекулятивным продуктом в мире. Теперь спрос и предложение в лишь незначительно влияет на цену, тогда как спрос на нефтяные фьючерсы фактически определяет спрос на нефть что отражается на его цене.
«Невидимая рука рынка»
В «нулевых» интенсивно строились прогнозы о том, что в мире заканчивается нефть и так быстро и неминуемо, что приближается угроза глобального конфликта в условиях нависшего дефицита этого важнейшего ресурса. Своеобразная мантра «Peak Oil» или «Пик (добычи) Нефти» прочно встроилась в общественное сознание и в настоящее время она, казалось бы, принята без вопросов, как здравый смысл. Это, надо отметить, может служить основой для потока спекулятивных сделок с фьючерсами на нефть на Нью-Йоркской товарной бирже, где сейчас «справедливо» устанавливается базовая цена на нефть. И как нас заверяют сторонники рыночной теории — без любого неправомерного внешнего влияния «невидимая рука рынка» Адама Смита безжалостно взвинчивает вверх стоимость нефти в совершенно рациональном рыночном процессе ценообразования. Или наоборот понижает при обнаружении запасов нетрадиционных сланцевых углеводородов.
Анализируя фундаментальные факторы, выделим основные два, которые не противоречат рыночным законам и могут влиять на формирование цены на нефть: Рост добычи сланцевой нефти, как следствие приведший к сокращению закупок углеводородов США. Рост продажи нефти странами ОПЕК по демпинговым ценам, преследующих цель потеснить конкурентов в Азии и Европе как следствие сокращения экспорта нефти в США.
Рост добычи сланцевой нефти
Действительно, за счет общей добычи сланцевой в США и других видов «нетрадиционной» нефти произошел ее резкий прирост добычи в 2012 и 2013 году на 14% и 13,5% соответственно. В 2014 году ожидается не меньший прирост. Добыча в США в 2013 достигла своего максимума и составила 442 млн.т. (максимум за последние 28 лет), а импорт снизился с 67% до 46% от потребления (табл.1).
Таблица 1. Добыча, потребление, чистый импорт нефти и нефтепродуктов в США по годам.
Этот фундаментальный фактор, который по мнению многих специалистов приводит к изменению цену на реальную нефть. В свою очередь следствием сокращения импорта нефти со стороны США и явилось снижение цен Саудовской Аравией, Кувейтом, Ираком, Ираном и Объединенными Арабскими Эмиратами и предоставление скидок для азиатских и европейских покупателей, на фоне усилившейся борьбы за долю энергетического рынка эти регионов. США и их союзники, в том числе Саудовская Аравии, Канада, Мексика и другие довольно хорошо сбалансированы на поставку сырой нефти и имеют очень долгую историю манипулирования ценами на нефть для осуществления разных таких целей.
Анализ структуры потребления нефти Соединенными Штатами показал, что США в последние годы на фоне небольшого посткризисного снижения общего потребления нефти и нефтепродуктов на 98 млн. т., также снизили и импорт нефти из Южной и Центральной Америки, Африки, Мексики, Ближнего Востока, Норвегии и нарастили экспорт из Канады (табл. 2).
Таблица 2. Изменение структуры потребления нефти США по странам с 2001 по 2013 г.
Поставщики
2001
2013
Канада
88,0
154,5
Мексика
70,8
45,6
Южная и центральная Америка
126,3
83,8
Европа
46,2
23,8
Россия и СНГ
4,3
25,0
Ближний Восток
138,0
100,1
Северная Африка
13,7
9,0
Западная Африка
68,1
31,5
Восточная и Южная Африка
—
0,1
Австралия
2,2
0,1
Китай
1,1
0,3
Индия
—
2,9
Сингапур
—
0,7
Другие страны
15,0
6,1
Всего импортировано
573,7
483,5
Таким образом, причины снижения цены на нефть заключаются частично в эволюции факторных условий — появлении сланцевого фактора в США и снижения импорта ведущей державой. Стимулирование добычи сланцевой нефти и газа в США налоговыми льготами, прямыми вливаниями в новые технологии и сопутствующие технологические цепочки привело к экономическому росту в США, основанному на дешевом газе и нефти и новых технологиях. Как следствие изменилась динамика цен нефти в мире, поскольку США остается крупнейшим ее потребителем наряду с Китаем. Это можно отнести к фундаментальным факторам снижения цены, который, по мнению многих специалистов, приводит к изменению цены на нефть. Однако, несложно заметить, что увеличение добычи с 2007 по 2013 год и снижение импорта в США составило 254 млн.т., что составляет около 10 % от всего мирового импорта нефти и нефтепродуктов, который составляет 2 775 млн.т. Тем не менее, цена снизилась более чем на 30% с июня этого года. Это можно объяснить не столько переизбытком предложения нефти в мире, которое увеличилось на фоне сокращения импорта в США, сколько спекулятивной составляющей (оттоком капитала из нефтяных фьючерсов в другие финансовые инструменты и ценные бумаги). Понижательное давление на цену нефти вызвано не только снижением и появлением свободных объемов нефти и нефтепродуктов. Определенную роль играет негативная статистика, поступающая из Китая, отчасти связанная с ожиданием роста производства товаров в США и соответственно ожиданием уменьшения спроса на китайские товары, ориентированные на США.
Геополитический фактор
Современный мир условно делится на две группы — на тех, у кого есть нефть и тех, у кого ее нет, поэтому борьба за ресурсы достигает невообразимо больших масштабов. Мировой импорт во все страны потребляющие нефть и нефтепродукты в 2013 году составил 2775,5 млн.т. На Индию, Китай Японию, Сингапур приходится треть мирового потребления нефти и нефтепродуктов или 951,3 млн.т. — 34,3% от мирового импорта нефти и нефтепродуктов среди всех стран импортеров. Из этого количества 498,9 млн. т. или 52,4% от общего объема импорта в перечисленные страны поставляется странами Ближнего Востока. Если к перечисленным четырем странам добавить остальные страны Тихоокеанской Азии (Asia Pacific) без учета Австралии то общий объем импорта составит 1308,8 млн.т или 47,2% от всего мирового импорта. Объем импорта перечисленными странами вырос с 768,5 млн. т. до 1309 млн.т. или на 70% с 2001 по 2013 год. У этих стран нет достаточного количества ресурсов для обеспечения собственных потребностей и США не может не беспокоить молниеносный взлет объемов потребления столь ценных ресурсов планеты с их стороны.
Чтобы бороться с чрезмерным потреблением цена такого глобального товара как нефть при этом регулируется. Она может быть резко увеличена или также резко опущена — в нарушение принципов свободного рынка. Если нефть при цене скажем в $100 за баррель переоценена, скажем, на половину ($50 за баррель) — это можно сейчас приравнять к глобальному ежегодному перераспределению богатства в 2 триллионов долларов от потребителей к поставщикам, за исключением США. Почему за исключением США? Потому что, к примеру, часть доходов Саудовской Аравии от нефти стабильно возвращается в США в американские облигации или в виде инвестиций в акции американских компаний. К тому же высокая стоимость нефти поддерживает спрос на валюту ФРС США, в которой осуществляется сделки по нефти. То есть всем потребителям выгодна низкая цена на нефть, кроме США. Ниже будет объяснено, почему сейчас Соединенные Штаты заставили цену пойти вниз, в разрез экономической логики.
Высокие цены на нефть против Китая
Среди китайского населения и истеблишмента не бездоказательно растет убеждение, что США способствовали поднятию цен цены на нефть, и, вероятно, в скором времени они прийдут к такой же политике. Основная цель: сдержать превращение Китая в доминирующую мировую экономику. Истэблишмент национальной безопасности США рассматривает Китай как неизбежное стратегическую угрозу, и КНР убежден, что США пытаются содержать рост в экономической и военной мощи Китая и его геополитического влияния. Обе стороны не могут позволить себе говорить об этом открыто т.к. ставки чрезвычайно высоки. Для США: продолжение своего статуса безраздельного мировой сверхдержавы и хранитель мировой резервной валюты. Для Китая: выживание однопартийной коммунистической власти и небольшой элиты, которая сформировалась за ней. Между США и Китаем уже виден устойчивый рост напряженности и недоверия в течение последних двух десятилетий. Их отношения держится в основном на симбиотической зависимости от торговли друг друга.
На мировой арене больше США не является монополистом в потреблении — появился новый крупный потребитель нефти в виде Китая, который превратился из скромного экспортера нефти в начале 1990-х, в ненасытного ее потребителя. Истощающиеся нефтяные месторождения Поднебесной не смогли идти в ногу с растущими спросом на топливо, чтобы успевать за двузначными цифрами экономического прироста Китая. Отчаянно нуждаясь в энергии, КНР быстро стал вторым по величине мировой импортером нефти, и сейчас покупает за рубежом (импорт) как уже было сказано выше более 378 млн.т. (импорт) или 346 млн.т. (импорт минус экспорт) или 12,5 % от импорта мировой нефти и нефтепродуктов против 484 млн.т которые импортирует США или 327 млн.т «импорт минус экспорт» или 11,8 % от импорта мировой нефти и нефтепродуктов, которые в 2013 году приходилось на США. Чтобы лучше понять масштабы потребления Китая, следующие два места, которые занимают Япония и Индия уже составляют 7,5 % и 7,5% соответственно. Среднегодовой темп прироста потребления импорта нефти и нефтепродуктов (за вычетом экспорта) с 2001 по 2013 годы также впечатляет. Для Китая эта цифра составила 13,7 % в то время как для США (- 4%).
Большая часть напряженности между странами находится вне нашего поля зрения. Однако можно отметить несколько моментов в отношениях между США и Китаем доминирующих в последние годы. США препятствует роста углеводородных аппетитов поднебесной. Из рисунка 3 видно, что ряд стран, из которых получает нефть Китай, такие как Саудовская Аравия, Оман, ОАЭ, Кувейт имеют лояльную политическую ориентации на основного соперника КНР — США. В то же время на ряд стран — Россия, Иран, Судан наложены санкции. Таким образом, только 37% нефти поставляемой в Китай осуществляется из относительно «безопасных» и источников, не подпадающих под пристальное внимание США.
Цена и доступность нефти — это ключевые точки давления для Китая. Это привело его в неустанному поиске нефти у стран изгоев и там где «другие» ее добывают в последнюю очередь. Китай расширяет сферы своего присутствия в Судане, Йемене, Иране, Сирии, Венесуэле, Анголе. Китай интенсивно сотрудничал с Ираком в последние годы режима Садама Хусейна. И везде, где Китай ищет и добывает нефть — «беда идет следом». Можно с уверенностью сказать, что в настоящее время идет самая настоящая борьба по ограничению допуска Китая к мировому «углеводородному пирогу».
В таблице 3 показано сравнительные характеристики как следствия этих ограничений, где видно различия условий влияющих на эффективность экономики ведущих государств в целом (табл. 3)
Когда США покупает нефть
Когда Китай покупает нефть.
большая часть нефти поступает от дружественных соседей, таких как Канада и Мексика и давнего союзника на Ближнем Востоке Саудовской Аравии.
большая часть нефти поступает из Саудовской Аравии, Омана, ОАЭ, Кувейта стран имеющих лояльную политическую ориентации на основного соперника КНР — США. Часть нефти поступает из стран, на которые наложены санкции — Россия, Иран, Судан. Таким образом, только 37% нефти поставляемой в Китай осуществляется из относительно «безопасных» и «отстраненных» от влияния США источников.
США может купить самые тяжелые, сернистые сорта с существенной скидкой по сравнению с легкой нефтью, поскольку ее нефтеперерабатывающие заводы ориентированны на тяжелые сорта нефти.
обычно приобретает легкие сорта нефти по более высоким ценам.
нефть поступает в основном по низко-затратной трубопроводной инфраструктуре (более 45% импортируемой нефти), а часть по морю из стран Карибского бассейна (коротким транспортным плечом).
поставки нефти осуществляются посредством дальне магистральных танкерных партий, на которые установлены высокие фрахтовые ставки (более 84% импортируемой нефти).
ведет расчеты в долларах США, часть из которых возвращаются в виде инвестиций в акции американских компаний и гос.облигации.
ведет расчеты за нефть в долларах США (как и другие страны) поддерживая спрос на объем американской валюты, созданной под эти сделки.
ввиду сложности нефтеперерабатывающих заводов перерабатывает большой объем сырой нефти в высокий по добавленной стоимости бензин, или дизельное топливо с остатком в виде нефтяного кокса (индекс Нельсона для США составляет 11)
ввиду простоты заводов на НПЗ больший выход дизельного топлива и мазута по сравнению с бензиновыми фракциями (индекс Нельсона для НПЗ Китая по разным оценкам составляет 6,5-8)
«Свободный» рынок нефти в мире
Возможно, наиболее заметным, в политике подъема цен на нефть и углеводороды была волны мега-слияний в нефтяной промышленности в конце 90-х. Это было необходимо для сдерживания мировой добычи сырой нефти. В короткий промежуток времени — всего за 13 месяцев, с середины 1998 г. до конца 1999 года произошли четыре огромных слияния нефтяных компаний на общую сумму четверть триллиона долларов, что резко увеличило концентрацию в нефтяной индустрии и перекроило ее конкурентную среду. Бум начался с British Petroleum (BP) объявивший дружественное слияние с Amoco (бывшая Standard Oil Company) в августе 1998 года, чтобы сделать BP преимущественно компанией находящийся в собственности США. Ранее в 1987 году компания приобрела BritOil и Standart Oil. В конце 1990-х годов в состав BP вошли также компании ARCO, Castrol и Aral. За этим последовала очередь Exxon, которая осуществила сделку по покупке Mobil. ВР в апреле 1999 года, приобрел отягощенный большими долгами Atlantic Richfield за $33 млрд., что поставило BP выше по рыночной стоимости одного из главных конкурентов — Royal Dutch Shell. Между тем, в Европе, французский «мейджор» Total поглотил бельгийский Petrofina в декабре 1998 за $ 13 млрд, и в июле 1999 года было запущенно успешное поглощение гиганта государственного конкурента Elf Aquitaine за $ 70 миллиардов.
Едва через год, стоимость ценных бумаг четырех топовых нефтяных игроков (ExxonMobil, BP, Shell и Total) увеличилось с менее чем половины, или 46% (от общей рыночной капитализации отрасли) до почти две трети, на 63%. Это был беспрецедентный разгул нефтяных слияний, которая продолжился с приобретением Texaco Chevron-ом годом позже, Conoco и Phillips объединились в 2001 году, и далее прошла волна более мелких аналогичных приобретений и слияний других добывающих и перерабатывающих независимых компаний.
Регулирующие органы США, однако, спокойно относились к событиям подобного рода. Они не препятствовали этому порыву к укрупнению как у некому логическому движению, которое может помочь американским «майджорам» конкурировать с иностранными государственными нефтяными компаниями. Если не брать в расчет некоторые нефтеперерабатывающие и сбытовые активы, которые принуждали продавать, чтобы решить локальные задачи в рамках антимонопольной работы, правительственный контроль и антимонопольные шаги по крупным сделкам по слиянию почти отсутствовали. Они проходили с минимальным количеством общественных дебатов, что сильно контрастировало на фоне той волны недовольств, которая была во время попытки Китая купить гораздо меньше по размером компанию Unocal несколько лет спустя. Основной вопрос, для какой цели осуществлялись слияние и как это повлияло тогда на цену на нефть?
Ответом будет то, что в каждом случае, соразмерные капитальные расходы объединенных компаний резко снижались. Их добыча нефти оставалась на одном уровне или снижалась, начиная с момента слияния, несмотря на «розовые» заверения, что сделки сделали крупные фирмы более эффективными и конкурентоспособными. Удивительно, как западные нефтяные компании, представляя объеденный организм был потрясающе неспособен (или проще «не хотел») ответить на резкий рост цен на нефть с увеличением ее предложения, несмотря на достаточные потоки денежных средств для инвестирования в добычу и постоянно совершенствующихся технологии. Китайские нефтяные компании, с другой стороны, показали, последовательный и существенный рост объема добычи нефти, несмотря на их относительно отсталую техническую базу.
Оккупация Ирака — метод отстранения Китая от ближневосточной нефти
Не желая мириться с посягательством со стороны Китая на нефтяные запасы на Ближнем Востоке президент Джордж Буш выбрал эффективный метод контроля над запасами — вторжение и оккупация Ирака, которая в другой форме (с помощью подконтрольной ИГИЛ) сохраняется до сих пор и конца ей не видно. Цель войны и оккупации было не обогащение друзей семьи Буша связанных с нефтегазовой отраслью, а в том, чтобы держать иракскую нефть в земле подольше и подальше от китайцев. Очевидно, что та экономика, которая контролирует углеводородные ресурсы или те остатки углеводородов, извлечение, которых будет рентабельно в будущем останется «на плаву» дольше всех других экономик.
В дополнение к блокированию Китая от развития экономических отношений с Ираком, которые к моменту вторжения уже достигли угрожающих масштабов для США, война в Ираке как следствие изъяла из мировой торговли 3 млн. баррелей в день сырой нефти. Это составляло около 4% от мирового производства в 2003, что частично также повлияло на баланс спроса и предложения позволяющий спекулянтам на бирже NYMEX начать эскалацию цен в 2000-х. Оккупация Ирака, чтобы отстранить китайцев от Ирака отложила и, возможно, вообще позволила избежать в краткосрочной перспективе прямой военной конфронтации между США и Китаем за углеводородные ресурсы. Оккупация Ирака тогда была сделкой, где вместо Ирака «на откуп» Китаю был отдан ИРАН как надежный поставщик нефти. Однако сейчас ситуация коренным образом меняется и с Ираном. США развивают отношения с этим государством. По словам президента Института Ближнего Востока Евгения Сатановского — сегодня «идея фикс» для США именно Иран вывести на европейский рынок как основного поставщика природного газа, нефти и нефтепродуктов. Ирану это позволит уйти из под санкций, вооружиться, провести технологическое обновление своих производств. Для США перенаправить углеводороды на территорию Европы, где господствуют Россия и страны Ближнего Востока. Безусловно то, что это может стать проблемой Саудовской Аравии создает определенное напряжение.
Учитывая чрезвычайно высокий геополитические ставки, не удивительно, что ни один из ключевых игроков в этой игре не готов раскрывать свои истинные цели, придумывая теории, почему цены на нефть были так высоки, о том, почему США вторглись в Ирак.
Китай, понимая, что серьезно уязвим к росту мировых цен на нефть, который снижает конкурентоспособность китайских товаров, предпринял комплексную стратегию, чтобы защитить себя, имея относительно слабые карты на руках. Ограниченный в собственной нефти Китай вынужден покупать нефть извне или искать внешние источники для участия в долевой собственности при разработке нефти. И везде, где Китай идет за нефтью или нефтяными активами, проблемы следуют по пятам. Решительные усилия КНР сделать себя продуцентом основных товаров для всего мира — и вместе с этим материалов — стали, стекла и нефтехимии заставила расти потребление энергии, даже быстрее, чем рост ВВП. Это нетипичное явление для современной экономики усугубляется еще тем, что Китай, несмотря на постоянную модернизацию, растрачивает энергию не всегда эффективно. В Китае повсеместные субсидии, установленные для промышленных тарифов на электроэнергию позволяли (до сланцевой революции) опустить цену на электроэнергии, ниже чем в США и других промышленно развитых странах. Автомобильные топлива также субсидируется, путем ограничения оптовых цен, которые могут быть установлены переработчиками и установление пределов добавленной стоимости при розничной реализации. В то время как энергетические субсидии могут помочь промышленности и снять нагрузку с потребителей такая практика при повышении стоимости нефти может крайне негативно отразится на способности КНР поддерживать режим субсидирования. Ранее он был направлен, чтобы сохранить эффективную стоимость нефти на уровне S40/барр нефти. Если скажем нефть на внешних рынках Китай закупал по S100/барр (ранее), ежегодные расходы Пекина ошеломляют своим размером — $ 140 млрд. потерь в виде денежных затрат на субсидии. Очевидно, что при более высоких ценах, проблема усугубляется. Это отчасти объясняет почему США могут вернутся к стратегии высоких цен очень скоро. Проблему еще сильнее усугубляет заниженный курс юаня к доллару США с его фактически сохраняющейся привязкой к обесценивающимусядоллару.
Выводы
Резкие колебания в конце 70-х начало 80-х усилили доказательство того, что ценами на нефть можно манипулировать как геополитическим инструментом или оружием. Если основным стимулом США снизить цены в 1980-х был ослабить СССР, одновременно стимулировать экономику США, за счет приобретения дешевой нефти и снижения налогов на свою нефтяную отрасль. Зачем изменять стратегию на противоположную после 1999 год и запускать механизм роста цен, а в 2010-х снова снижать цены? По словам многих западных экспертов в частности, они могут быть использованы, чтобы наказать Россию за успехи в последние годы в геополитической сфере, чья экономика оживает или ослабевает в зависимости от стоимости экспорта нефти и производной от нефти цены газа. На фоне снижения собственного экономического и военного влияния США не могут проводить экономическую политику сдерживания и против Китая, и против России. Стратегия может быть одна — или понижение цены на нефть или ее повышение. США будут выбирать и, вероятнее всего, выберут Китай как противника т.к. при повышении цены удовлетворяется еще одно условие — рост спроса на доллар как валюту расчета за нефтяные сделки.
Одна есть и другая экономическая стратегия, которая заставила в 2014 году пойти резко вниз и цель подорвать экономику России отнюдь не главная — это скорее побочный эффект. Основная причина нынешнего снижения — стабильность доллара как резервной валюты мира, которая зависит от многих факторов одним из которых является рост инвестиционной привлекательности США. Одна из важнейших сторон экономики США является финансовая система. С одной стороны она подпитывается за счет международных расчетов других стран за нефть в валюте США (снижение цены уменьшает эту подпитку). С другой стороны она попитывается благодаря росту инвестиций в американскую экономику. Для Вашингтона, на современном этапе, нужно показать эффективность платежеспособности своей экономики перед странами-кредиторами, поэтому нужно демонстрировать настоящий рост экономики. Этот рост в сейчас США достигнут благодаря «дешевому» сланцевому газу и сланцевой нефти, а не только за счет доп. эмиссии доллара. Благодаря перепроизводству газа и увеличения генерации электроэнергии за счет газа стоимость энергии в Америке резко упала. Падение стоимости энергии в США качественно повысило конкурентоспособность американской экономики, запустила процессы реиндустриализации, что чрезвычайно серьезно оздоровило и продолжает оздаравливать экономику сейчас. Экономика США становится не только более конкурентоспособной, но и более устойчивой к экономическим потрясениям. Президент США, выступая с ежегодным посланием 28 января 2014 г в Конгрессе, заявил, что за счет мультипликативного эффекта, полученного от сланцевого газа, впервые, за более чем 10-летие, Америка обогнала Китай в инвестиционной привлекательности, став местом № 1 в мире для инвестиций. Существенное снижение стоимости газа (из-за сланцевой революции) в США, привело к снижению затрат на производство американских товаров. Дело дошло до того, что из традиционных районов производства товаров в Юго-Восточной Азии транснациональные компании (ТНК) стали возвращать капитал и промышленные предприятия в США. Очевидно сланцевый газ не только механизм возврата доверия к США как основному кредитополучателю, но и механизм роста инвестиционной привлекательности.
Заключение. Следует отметить, что США имеют сильное влияние на страны ЕС, что в свою очередь отражается на России. Многие понимают и видят, что санкции против России носят временный и не всеобъемлющий характер, однако в этих условиях Россия все сильнее и сильнее осуществляет разворот на восток, особенно если рассматривать поставки углеводородов и строительства нефтегазоперерабатывающих и нефтехимических комплексов на дальнем Востоке. Россия, в настоящее время, интенсивно развивает свое военное политическое и экономическое сотрудничество с Пекином. Однако, открывая «двери» в Азию мы должны знать и учитывать особенности азиатского менталитета. Любая уступка в Азии расценивается не как решение проблемы, а как проявление слабости, за которой последует требование новой уступки. С Китаем трудно иметь дело, если нет конкуренции. Скидки которых добивается Китай на иранскую нефть, вызванные блокадой иранской нефти западом, грабительские. А с кем можно иметь дело, если нет конкуренции? Пожалуй, что ни с кем. Для России важно не уходить с европейского рынка, чтобы имеет возможность торговаться с Китаем.
Что касается США как главного мировой регулятора цен на нефть — сдерживать рост цен на нефть не находится в долгосрочных в интересах США т.к. является критической точкой давления на Китай. Однако следует ожидать некоторого снижения цен от текущего уровня к лету 2015 года с последующей коррекцией и подъему выше $150 к 2020 г. Сложно прогнозировать изменение цен в течение 5 лет, но однозначно сказать, что он будет понижательным или повышательным нельзя. США стимулирует собственную экономику за счет дешевых углеводородов. По мере ее восстановления баланс должен сместиться в сторону роста цен на углеводороды.
1. Wang Jisi, America in Asia: How much does China care?
ссылка: http://currencywar.blog.hexun.com.tw/13271626_d.html
2.А.А.Конопляник, Эволюция контрактной структуры и механизмов ценообразования на мировом рынке нефти: кто определяет цену нефти, доклад на XXV юбилейном заседании Зернового клуба, Москва, гост. «Метрополь», 30 августа 2012 г.
В.В. Бушуев, А.А. Конопляник, Я.М. Миркин, Цены на нефть: Анализ, тенденции, прогноз, Москва 2013.
ссылка: http://www.konoplyanik.ru/ru/publications/77m.pdf
4. Константин Симонов, Что делал Обама в Эр-Рияде?
ссылка: http://www.redstar.ru/index.php/news-menu/ino-military-menu/usarmy/item/15337-chto-delal-obama-v-er-riyade
импортозамещение или экспортная ориентация? – Газета.uz
Доктор экономических наук, профессор Университета мировой экономики и дипломатии Нишанбай Сиражиддинов приводит аргументы в пользу экспортоориентированной внешнеторговой стратегии, акцентируя внимание на необходимости проведения сопутствующих административных, налоговых, банковских и образовательных реформ.
Импортозамещение vs экспортная ориентация
В последнее время в СМИ идет дискуссия по внешнеторговой стратегии Узбекистана. Одна группа экспертов выступает за проведение политики импортозамещения, другая группа — за экспортную ориентацию, третья — за их сочетание.
Одна из причин такого разброса мнений заключается в том, что некоторые участники дискуссий, особенно сторонники импортозамещения, не понимают суть стратегий импортозамещения и экспортной ориентации. Если в экономике страны в течение года осваивается производство определенного количества ранее импортируемых товаров, пусть даже большого их количества, это не говорит о проведении политики импортозамещения. Аналогичным образом, если страна начинает экспортировать большое количество новых товаров, это еще не говорит о проведении политики экспортной ориентации.
Как показывает опыт зарубежных стран, при проведении политики стимулирования экспорта осваивается производство значительно большего количество новых товаров, чем при проведении политики импортозамещения. Естественно, значительная часть этих новых товаров сначала продается на внутреннем рынке, лишь потом начинается их экспорт.
По этой причине внешнеторговая стратегия — это не техническое понятие, отличающееся тем, производится ли товар для внутреннего рынка или для экспорта. Она представляет собой совокупность мер всей экономической политики, которая в комплексе создает стимулы либо для расширения экспорта и интеграции экономики в мировую экономику, либо для сокращения импорта и изоляции экономики от внешнего мира.
Теоретически можно различать политику импортозамещения, нейтральную политику по отношению к внешней торговле и политику стимулирования экспорта.
Основной характеристикой политики импортозамещения является создание искусственных стимулов для развития отдельных отраслей отечественной промышленности с целью повышения их конкурентоспособности на внутреннем рынке. При импортозамещении стимулы искажены в пользу импортируемых товаров, т. е. совокупность всех инструментов экономической политики создает такую ситуацию, когда хозяйствующие субъекты от продажи своего товара на внутреннем рынке получают больше прибыли, чем от его экспорта. Такое смещение стимулов в сторону импортозамещения является, как правило, следствием установления высоких импортных тарифов, квотирования импорта, валютного контроля, массированного субсидирования импортозамещающих производств при помощи налоговых, кредитных, таможенных и других льгот. При проведении политики импортозамещения на практике чаще всего используются все эти инструменты одновременно.
Нейтральная внешнеторговая политика означает, что для страны стимулы нейтральны между экономией единицы иностранной валюты через замещение импорта и зарабатыванием единицы иностранной валюты через экспорт. При нейтральной внешнеторговой политике хозяйствующие субъекты зарабатывают примерно одинаковую прибыль независимо от того, продают ли свой товар на внутреннем рынке или его экспортируют. Такая политика возможна либо при установлении свободного внешнеторгового режима, либо если стимулы взаимно компенсируют друг друга. Например, если правительство облагает налогом весь импорт тарифом по ставке 20%, и одновременно предоставляет на такую же сумму субсидии на экспорт, то это означает, что правительство проводит нейтральную внешнеторговую политику.
Политика стимулирования экспорта предполагает индустриализацию экономики путем наращивания экспортного потенциала страны. На практике проведение этой политики не сводится к сильному смещению стимулов в сторону экспорта и массированному его субсидированию. Массированное субсидирование экспорта не может привести к росту экспорта страны, так как снижение цен экспортных товаров и увеличение спроса на них на мировом рынке в результате субсидирования приведет к повышению обменного курса национальной валюты. Последнее, в свою очередь, будет сдерживать экспорт, поскольку отечественные товары будут обходиться дороже иностранным покупателям (либо доходы экспортеров от экспорта в национальной валюте уменьшаются), и стимулировать импорт, так как импортные товары будут обходиться дешевле для отечественных потребителей. В результате эффект от субсидирования экспорта сводится на нет.
Поэтому многие экономисты под экспортоориентированной политикой понимают политику, близкую к свободной торговле, когда стимулы не искажены, а для производителей стимулы к экспорту и продаже продукции на внутреннем рынке нейтральны.
На практике страны, выбравшие стратегию стимулирования экспорта, не проводят абсолютно свободную внешнеторговую политику, а страны, выбравшие стратегию импортозамещения, не ограничивают импорт всех товаров. Абсолютно открытой экономики и абсолютно свободного внешнеторгового режима нигде в мире не существует. Даже в развитых странах активно проводится промышленная политика, направленная на ускорение структурных изменений в экономике. Однако при проведении политики экспортной ориентации внешнеторговые ограничения, с одной стороны, не должны приводить к высокому уровню импортного протекционизма, который будет провоцировать монополизацию внутренних товарных рынков, убивать стимулы производителей к экспорту, стимулировать теневой импорт. При этом важно выбирать наиболее эффективные инструменты защиты отечественных производителей, а высокие импортные пошлины, акцизы на импорт, валютный контроль, административное распределение финансовых и материальных ресурсов не всегда могут претендовать на роль такого инструмента.
С другой стороны, при экспортоориентированной политике нельзя распространять высокий уровень импортного протекционизма в экономике на большое число отраслей: защита отраслей должна быть строго селективной, и основываться на дефектах рыночного регулирования. Другими словами, надо поддержать только те отрасли и виды деятельности, которые потенциально несут убытки от несовершенства рынка. Защита большого количества отраслей от импортной конкуренции означает уже проведение политики импортозамещения, а не экспортной ориентации.
Как показал опыт зарубежных стран, политика экспортной ориентации имеет неоспоримые преимущества по сравнению с политикой импортозамещения. По данным Всемирного банка, в 1965—1990 годах ВВП стран, проводивших политику стимулирования экспорта, показал ежегодный прирост в 7,6%, тогда как у всех развивающихся стран этот показатель составил 3%.
Преимущества политики стимулирования экспорта
Чем вызвана такая высокая эффективность политики стимулирования экспорта по сравнению с политикой импортозамещения?
Существует большое число факторов, влияющих на высокую эффективность политики стимулирования экспорта и низкую эффективность политики импортозамещения. Наиболее важными из них можно считать следующие:
1. Проведение политики стимулирования экспорта предполагает большее использование косвенных методов государственного регулирования, тогда как политика импортозамещения более широко опирается на прямые (административные) методы государственного регулирования (валютный контроль, импортные квоты, административное распределение финансовых и материальных ресурсов и т. д.). Когда выпускаемая фирмами продукция ориентирована в основном на внешние рынки, государство волей-неволей вынуждено проводить либерализацию экономики, а значит и отказываться от административного регулирования. Когда же выпускаемая продукция фирм в основном ориентирована на внутренний рынок, а отечественные производители защищены протекционистскими барьерами, у правительства появляются возможности и желание более активно использовать административные методы регулирования.
В большинстве случаев прямые (административные) методы государственного регулирования менее эффективны, чем рыночные, что и является, на наш взгляд, одним из главных преимуществ политики экспортной ориентации по сравнению с политикой импортозамещения.
Применение прямых, административных методов государственного регулирования, в частности, может привести к значительным искажениям цен, что исключено при использовании косвенных методов. Так, при наличии единого равновесного обменного курса, характерного для политики экспортной ориентации, стимулирование экспорта может быть осуществлено только при помощи инструментов, которые непосредственно влияют на состояние государственного бюджета (например, субсидии экспортерам). Государственные расходы на стимулирование экспорта при этом не могут достигнуть чрезмерных размеров. Это объясняется, с одной стороны, тем, что данные расходы прозрачны для политиков, а с другой стороны — тем, что они ограничены возможностями государственного бюджета.
При проведении же политики импортозамещения появляется соблазн покрыть дополнительные расходы на защиту отечественных производителей, конкурирующих с импортом, за счет потребителей и производителей-экспортеров через искажение цен путем применения административных методов государственного регулирования, в частности, при помощи внешнеторговых и валютных ограничений, административного распределения финансовых и материальных ресурсов.
По этой причине при проведении политики импортозамещения ценовые искажения могут достичь значительных размеров. А это, в свою очередь, имеет своим следствием неэффективное распределение и использование ограниченных ресурсов страны, является основным препятствием на пути максимального использования преимуществ международного разделения труда и интеграции в мировую экономику, причиной низких темпов экономического роста и благосостояния народа.
2. При проведении политики экспортной ориентации все больше отечественных фирм будут продавать свою продукцию на мировом рынке, где они столкнутся с жесткой конкуренцией как по цене, так и по качеству продукции. Это вынудит их постоянно совершенствовать производство, снижать себестоимость и повышать качество продукции.
При проведении же политики импортозамещения на внутреннем рынке, как правило, отсутствует конкуренция, так как создаются «тепличные» условия для отечественных производителей, ориентированных на внутренний рынок, что усиливает их монополистические позиции. Монополии, как известно, стремятся максимизировать свою прибыль не путем увеличения объемов производства, снижения себестоимости и повышения качества выпускаемой продукции, а путем ограничения объемов производства и повышения цен на свою продукцию. Это и является одной из причин низкой эффективности производства и инвестиций во вновь организованных отраслях промышленности в странах, выбравших путь индустриализации при помощи импортозамещения.
3. Политика импортозамещения означает, что более высокие цены товаров на внутреннем рынке как результат высокого уровня импортного протекционизма снижают стимулы к экспорту, стимулируя продажу товаров на внутреннем рынке. Поскольку высокий уровень импортного протекционизма в большей степени применяется для защиты отечественных производителей готовых и промежуточных изделий, относительно высокие внутренние их цены по сравнению с их ценами на внешних рынках убивают стимулы этих производителей к экспорту своей продукции. По этой причине страны, выбравшие политику импортозамещения, не смогли добиться диверсификации экспорта и увеличения доли продукции обрабатывающей промышленности в структуре экспорта, превратились либо в поставщиков сырьевых ресурсов, если они имелись, либо довольствовались крайне низкими темпами экономического роста и отсталой структурой экспорта. В странах, проводивших политику экспортной ориентации, у производителей были стимулы к наращиванию экспорта.
4. Не менее важным преимуществом стимулирования экспорта по сравнению с импортозамещением является то, что первая политика позволяет достичь эффекта масштаба. Это может происходить как в результате увеличения численности фирм-производителей аналогичной продукции и усиления между ними конкуренции за рынки сбыта (внешняя экономия), так и в результате увеличения объемов производства каждой фирмы, работающей на мировой рынок (внутренняя экономия). Как известно, в настоящее время экономия на масштабе становится одним из основных факторов конкурентоспособности фирм.
При проведении же политики импортозамещения достичь эффекта масштаба из-за недостаточной емкости отечественного рынка зачастую невозможно. Это в значительной степени связано и с низким уровнем доходов населения развивающихся стран.
5. Высокий протекционизм, характерный для политики импортозамещения, имеет неизбежным своим следствием возникновение «непроизводительных» с точки зрения общества затрат в виде «поиска рентной прибыли». Значительные средства и время предпринимателей затрачиваются не на совершенствование производства и удовлетворение запросов потребителей, а на получение лицензий, различных таможенных и налоговых льгот, получение квоты на импорт или приобретение иностранной валюты для импорта, приобретение ресурсов по заниженным ценам, на увековечение монопольного положения фирм, имеющих привилегии и т. д. Наличие свободной конвертации национальной валюты, низких таможенных пошлин и либеральной экономики при проведении политики стимулирования экспорта приводят к тому, что этих непроизводительных затрат общества становится несоизмеримо меньше, а предприниматели тратят свои доходы на модернизацию своего производства для повышения его конкурентоспособности.
6. Неизбежным следствием высокого уровня импортного протекционизма при проведении политики импортозамещения становится рост теневого импорта, при этом с течением времени доля теневого сектора будет расти, т. к. импортеры найдут способы обходить существующие барьеры. В результате развивается коррупция, государственная казна недополучает доходы, эффект защиты отечественных производителей снижается. При проведении же политики экспортной ориентации, из-за высокой открытости экономики, этих негативных явлений для экономики и общества также будет несравнимо меньше.
7. Высокие темпы инфляции как следствие неразвитости финансового рынка и наличия государственного контроля над процентными ставками в странах, выбравших политику импортозамещения, сдерживают вовлечение сбережений домохозяйств в оборот и становятся дополнительным источником инфляции, постоянно воспроизводящим себя. Основным направлением вложения сбережений домохозяйств становится покупка свободно конвертируемых валют, т. к. темпы роста обменного курса иностранной валюты будут выше процентных ставок. Это существенно ограничивает возможности инвестирования и вынуждает правительства развивающихся стран финансировать инвестиции при помощи дополнительной эмиссии денег. Политика экспортной ориентации, предполагающая либеральную экономическую политику, вынуждает правительство проводить взвешенную экономическую политику, направленную на сохранение макроэкономической стабильности и макроэкономических пропорций.
8. Результаты первых лет осуществления политики импортозамещения в дальнейшем будут способствовать еще большему усилению протекционизма. В частности, амбициозные планы индустриализации, высокие темпы инфляции в условиях низких или отрицательных темпов роста экспорта и притока иностранной валюты приводят к резкому повышению спроса на иностранную валюту. В то же время в большинстве развивающихся стран, проводивших политику импортозамещения, с целью субсидирования импорта инвестиционных товаров и уменьшения расходов на обслуживание внешнего долга либо установился режим фиксированного обменного курса, либо темпы снижения обменного курса национальной валюты сильно отставали от темпов инфляции, что вынуждало правительство вводить валютное рационирование. Такая стратегия приводила к повышению реального обменного курса национальной валюты этих стран, что вызывало снижение конкурентоспособности их товаров на мировом рынке, проблемы с платежным балансом и усиление протекционизма из-за «недостаточности» иностранной валюты. А дальнейшее усиление протекционизма означало усиление ценовых искажений и, следовательно, еще большее снижение эффективности распределения и использования ресурсов.
9. Проведение политики импортозамещения в конечном счете означает сокращение не только импорта, но и экспорта вследствие снижения конкурентоспособности отечественных товаров на мировом рынке. Другими словами, проведение политики импортозамещения снижает конкурентоспособность отечественных товаров на мировом рынке. Это может происходить либо в результате роста издержек производства экспортных товаров (следствие ограничения импорта и, соответственно, повышения цены импортных товаров, используемых при производстве экспортной продукции), либо в результате повышения реального обменного курса национальной валюты (следствие сокращения спроса на импортные товары и иностранную валюту).
Однако объем и темпы роста экспорта страны — в числе важнейших показателей кредитоспособности страны. Возможности страны как во внешнем заимствовании, так и в привлечении прямых иностранных инвестиций во многом зависят от этих показателей. Как подтвердили исследования, основная разница между странами, испытавшими кризис внешней задолженности, и странами, которые его избежали, заключается не в отношении объема внешнего долга к ВВП (по этому признаку эти две группы стран мало чем отличались), а в отношении объема внешнего долга к экспорту.
Следовательно, политика экспортной ориентации, имеющая своим следствием высокие темпы экспорта и импорта, дает больше возможностей для привлечения иностранных инвестиций, столь необходимых для экономического роста в развивающихся странах.
Какой должна быть роль государства
Какова роль государства в ускорении темпов структурной перестройки экономики, повышении доли готовых изделий с высокой добавленной стоимостью в общем объеме производства и экспорта при проведении политики стимулирования экспорта? Не приведет ли либерализация импорта и снижение уровня защиты отечественных производителей к замедлению этих процессов в экономике?
Высокие импортные тарифы, акцизы на импорт, валютный контроль и другие административные меры, широко применяемые в проведении политики импортозамещения, не единственные инструменты защиты отечественных производителей. Более того, они часто являются самыми неэффективными инструментами экономической политики. Существуют альтернативные, более эффективные инструменты экономические политики, позволяющие повысить конкурентоспособность как экспортеров, так и отечественных товаров, конкурирующих с импортом.
Во-первых, страны, выбравшие экспортоориентированную стратегию развития, в качестве основного инструмента повышения конкурентоспособности отечественных производителей на внутреннем и внешнем рынках использовали и используют заниженный реальный обменный курс национальной валюты. В результате такой политики цены на внутреннем рынке оказываются ниже, чем на внешнем рынке, что создает мощный стимул, с одной стороны, к расширению экспорта, с другой стороны, к расширению производства товаров, конкурирующих с импортом на внутреннем рынке. Снижение обменного курса национальной валюты на 10% равнозначно, при прочих равных условиях, введению импортного тарифа на весь спектр импортных товаров по ставке 10% и субсидированию всего экспорта на 10%, вместе взятых. Такая мера повышает цену импортных товаров на внутреннем рынке на 10%, повышая конкурентоспособность отечественных производителей, конкурирующих с импортом, и снижает цену отечественных товаров для иностранных покупателей на 10%, повышая конкурентоспособность отечественных производителей на внешних рынках. Не случайно между США и КНР до сих пор идут споры по поводу обменного курса юаня: США требуют повышения его курса, а КНР этого не хочет, чтобы не допустить снижения конкурентоспособности китайских товаров на внутреннем и внешнем рынках.
Во-вторых, важным инструментом защиты и повышения конкурентоспособности отечественных производителей является снижение транзакционных издержек бизнеса путем углубления институциональных и административных реформ, проведения стабильной и предсказуемой экономической политики. Исходя из существующей ситуации в Узбекистане, наиболее актуальными проблемами перехода к политике стимулирования экспорта в этой сфере являются:
а) кардинальная реформа бюджетно-налоговой системы, включая упрощение налогового администрирования и снижение налогового бремени, более равномерное его распределение как между отраслями экономики, так и между малым и крупным бизнесом, формирование налоговой системы, стимулирующей легализацию теневого сектора, развитие трудоемких отраслей экономики, рост эффективности производства путем углубления специализации и укрупнения предприятий;
б) дальнейшее углубление реформ в банковской и финансовой системе, совершенствование монетарной политики. Критически важно формирование конкурентной среды в банковском секторе, расширение ассортимента банковских услуг и доступа к кредитным ресурсам, развитие фондового рынка, что предполагает повышение доверия населения к финансовому сектору, стимулирование вовлечения сбережений населения и предприятий в финансовый оборот и их эффективную трансформацию в инвестиции;
в) реформа внешнеторговой политики, включая снижение уровня импортного протекционизма, упрощение и ускорение внешнеторговых процедур. К реформам в этой сфере мы еще даже не приступили, а снижение таможенных платежей осенью прошлого года является не реформой импортного режима, а приспособлением существовавших таможенных платежей к новому обменному курсу национальной валюты. Снижение транзакционных издержек отечественных производителей и рост их конкурентоспособности невозможно без кардинальной реформы внешнеторгового режима, направленной на его либерализацию и снижение уровня импортного протекционизма, упрощения таможенных процедур и перехода к экспортоориентированной стратегии развития. Важным фактором реформы внешнеторгового режима в этом направлении может стать вступление Узбекистана в ВТО.
г) углубление институциональных реформ, включая административную реформу, направленную на снижение роли государства в экономике, повышение самостоятельности хозяйствующих субъектов, более широкое использование рыночных инструментов регулирования экономики вместо существующих административных методов регулирования, повышение качества и доступности государственных услуг, реформа судебной системы и укрепление защиты прав собственности, развитие производственной и социальной инфраструктуры и т. д.
Решение перечисленных проблем позволяет снизить транзакционные издержки бизнеса и создать благоприятный инвестиционный и бизнес-климат, что является лучшим способом защиты отечественных производителей как на внутреннем рынке от импортной конкуренции, так и на внешних рынках.
В-третьих, для увеличения доли товаров с высокой добавленной стоимостью в структуре производства и экспорта надо понять, почему одни товары имеют высокую, и другие товары — низкую удельную добавленную стоимость, и принять меры для совершенствования структуры производства и экспорта. Например, если отбросить ситуацию с монопольными рынками, высокая добавленная стоимость в цене товара является, как правило, следствием того, что:
а) для производства товара требуется квалифицированная рабочая сила, и высокая заработная плата квалифицированной рабочей силы создает больше добавленной стоимости;
б) товар является капиталоемким и высокие амортизационные отчисления создают больше добавленной стоимости;
в) товар является и капиталоемким, и требует для своего производства квалифицированной рабочей силы.
Однако для того, чтобы иметь сравнительное преимущество в производстве товаров, требующих для своего производства высокой квалификации и имеющих капиталоемкий характер, относительная обеспеченность страны квалифицированной рабочей силой и капиталом должна быть выше, чем у основных торговых партнеров. По мере роста относительной обеспеченности страны квалифицированной рабочей силой и капиталом на одного работающего по сравнению со странами-торговыми партнерами меняются и сравнительные преимущества страны, и экономика начинает переходить от производства товаров с низкой к товарам с высокой добавленной стоимостью.
По этой причине кардинальная реформа системы образования в целях повышения качества рабочей силы, с одной стороны, и реформа всего финансового сектора в целях стимулирования сбережений и инвестиций должны стать приоритетными направлениями экономической политики правительства.
Не случайно страны, выбравшие стратегию стимулирования экспорта, имели более высокие темпы структурной перестройки экономики: по темпам диверсификации экономики и повышению доли готовых изделий с высокой добавленной стоимостью в структуре производства и экспорта они существенно опережали страны, выбравшие стратегию импортозамещения.
Мнение автора может не совпадать с мнением редакции.
3.2 Изменения спроса и предложения товаров и услуг — принципы экономики
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Определите факторы, влияющие на спрос
График кривых спроса и изменений спроса
Определите факторы, влияющие на снабжение
График кривых предложения и сдвигов предложения
В предыдущем модуле изучалось, как цена влияет на объем спроса и объем поставки.В результате появилась кривая спроса и кривая предложения. Однако цена — не единственное, что влияет на спрос. И это не единственное, что влияет на предложение. Например, как повлияет спрос на вегетарианскую пищу, если, скажем, проблемы со здоровьем заставят больше потребителей избегать употребления мяса? Или как повлияет на предложение алмазов, если производители алмазов откроют несколько новых алмазных рудников? Какие основные факторы, помимо цены, влияют на спрос или предложение?
Посетите этот веб-сайт, чтобы прочитать краткую заметку о том, как маркетинговые стратегии могут влиять на спрос и предложение продуктов.

Мы определили спрос как количество некоторого продукта, который потребитель готов и может купить по каждой цене. Это предполагает наличие как минимум двух факторов помимо цены, которые влияют на спрос. Готовность к покупке предполагает желание, основанное на том, что экономисты называют вкусами и предпочтениями. Если вам что-то не нужно и не нужно, вы это не купите. Возможность покупки говорит о том, что важен доход. Профессора обычно могут позволить себе лучшее жилье и транспорт, чем студенты, потому что у них больше доходов.Цены на сопутствующие товары также могут повлиять на спрос. Если вам нужен новый автомобиль, цена Honda может повлиять на ваш спрос на Ford. Наконец, размер или состав населения может повлиять на спрос. Чем больше детей в семье, тем больше у них спроса на одежду. Чем больше в семье детей водительского возраста, тем выше их спрос на автострахование и тем меньше на подгузники и детское питание.
Эти факторы имеют значение как для индивидуального спроса, так и для спроса на рынке в целом.Как именно эти различные факторы влияют на спрос и как мы можем показать эти эффекты графически? Чтобы ответить на эти вопросы, нам понадобится предположение ceteris paribus .
Кривая спроса или кривая предложения — это взаимосвязь между двумя и только двумя переменными: количеством на горизонтальной оси и ценой на вертикальной оси. Предположение, лежащее в основе кривой спроса или кривой предложения, заключается в том, что никакие важные экономические факторы, кроме цены продукта, не меняются.Экономисты называют это предположение ceteris paribus , что на латыни означает «при прочих равных». Любая заданная кривая спроса или предложения основана на предположении ceteris paribus , что все остальное остается равным. Кривая спроса или кривая предложения — это взаимосвязь между двумя и только двумя переменными, когда все остальные переменные остаются постоянными. Если все остальное не считается равным, то законы спроса и предложения не обязательно будут соблюдаться, как показывает следующая функция Clear It Up.
Когда применяется
ceteris paribus ?
Ceteris paribus обычно применяется, когда мы смотрим, как изменения цены влияют на спрос или предложение, но ceteris paribus может применяться в более общем плане. В реальном мире спрос и предложение зависят не только от цены. Например, потребительский спрос зависит от дохода, а предложение производителя зависит от затрат на производство продукта. Как мы можем проанализировать влияние на спрос или предложение, если одновременно изменяются несколько факторов, например рост цен и падение доходов? Ответ заключается в том, что мы исследуем изменения по очереди, предполагая, что другие факторы остаются неизменными.
Например, мы можем сказать, что повышение цены уменьшает количество, которое потребители будут покупать (при условии, что доход и все остальное, что влияет на спрос, не изменится). Кроме того, уменьшение дохода уменьшает количество, которое потребители могут позволить себе купить (при условии, что цена и все остальное, что влияет на спрос, не изменится). Это то, что на самом деле означает предположение ceteris paribus . В данном конкретном случае, проанализировав каждый фактор в отдельности, мы можем объединить результаты. Количество покупок падает по двум причинам: во-первых, из-за более высокой цены, а во-вторых, из-за более низкого дохода.
Давайте используем доход в качестве примера того, как другие факторы, помимо цены, влияют на спрос. На Рисунке 1 показан первоначальный спрос на автомобили как D ₀. В точке Q, например, если цена составляет 20 000 долларов за автомобиль, количество требуемых автомобилей составляет 18 миллионов. D ₀ также показывает, как количество требуемых автомобилей изменится в результате повышения или понижения цены. Например, если цена автомобиля вырастет до 22 000 долларов, объем спроса снизится до 17 миллионов в точке
р.
Исходная кривая спроса D ₀, как и любая кривая спроса, основана на предположении ceteris paribus о том, что никакие другие экономически значимые факторы не меняются.А теперь представьте, что экономика расширяется, увеличивая доходы многих людей, делая автомобили более доступными. Как это повлияет на спрос? Как это показать графически?
Вернуться к рисунку 1. Цена автомобилей по-прежнему составляет 20 000 долларов, но при более высоких доходах объем спроса теперь увеличился до 20 миллионов автомобилей, показанных в точке S. В результате более высоких уровней доходов кривая спроса смещается в сторону справа от новой кривой спроса D ₁, что указывает на рост спроса.Таблица 4 ясно показывает, что этот повышенный спрос будет иметь место при любой цене, а не только при первоначальной.
Рис. 1. Сдвиг спроса: пример автомобиля. Повышенный спрос означает, что при каждой данной цене объем спроса выше, так что кривая спроса смещается вправо от D ₀ до D ₁. Снижение спроса означает, что при каждой данной цене объем спроса ниже, так что кривая спроса смещается влево от D ₀ до D ₂.
Цена Уменьшить до D ₂ Требуемое первоначальное количество D ₀ Увеличить до D ₁
16 000 долл. США 17,6 млн. 22,0 млн. 24,0 млн.
18 000 долл. США 16,0 млн. 20,0 млн. 22,0 млн.
20 000 долл. США 14,4 млн. 18.0 миллионов 20,0 млн.
22 000 долл. США 13,6 млн. 17,0 млн. 19,0 млн.
24 000 долл. США 13,2 миллиона 16,5 млн. 18,5 млн.
26 000 долл. США 12,8 млн. 16,0 млн. 18,0 млн.
Таблица 4. Сдвиг цен и спроса : пример автомобиля
А теперь представьте, что экономика замедляется, и многие люди теряют работу или работают меньше часов, уменьшая свои доходы.В этом случае снижение дохода приведет к уменьшению спроса на автомобили по каждой данной цене, и исходная кривая спроса D ₀ сместится влево до D ₂. Переход от D ₀ к D ₂ представляет такое снижение спроса: при любом заданном уровне цен объем спроса теперь ниже. В этом примере цена в 20 000 долларов означает 18 миллионов автомобилей, проданных по первоначальной кривой спроса, но только 14,4 миллиона автомобилей, проданных после падения спроса.
Когда кривая спроса сдвигается, это не означает, что количество, требуемое каждым отдельным покупателем, изменяется на одну и ту же величину.В этом примере не все будут иметь более высокий или более низкий доход, и не все будут покупать или не покупать дополнительную машину. Вместо этого сдвиг кривой спроса отражает модель рынка в целом.
В предыдущем разделе мы утверждали, что более высокий доход вызывает больший спрос при любой цене. Это верно для большинства товаров и услуг. Для некоторых — роскошных автомобилей, отпуска в Европе и ювелирных украшений — эффект роста доходов может быть особенно заметен. Продукт, спрос на который растет с ростом дохода, и наоборот, называется нормальным товаром .Есть несколько исключений из этого шаблона. По мере роста доходов многие люди будут покупать меньше продуктов обычных брендов и больше продуктов известных брендов. Они с меньшей вероятностью купят подержанные автомобили и с большей вероятностью купят новые автомобили. Они с меньшей вероятностью будут снимать квартиру и с большей вероятностью будут владеть домом и так далее. Товар, спрос на который падает с ростом дохода, и наоборот, называется товаром неполноценного качества . Другими словами, когда доход увеличивается, кривая спроса смещается влево.
Доход — не единственный фактор, вызывающий изменение спроса.Другие факторы, влияющие на спрос, включают вкусы и предпочтения, состав или размер населения, цены на сопутствующие товары и даже ожидания. Изменение любого из основных факторов, определяющих, какое количество люди готовы покупать по данной цене, вызовет изменение спроса. Графически новая кривая спроса лежит либо справа (увеличение), либо слева (уменьшение) от исходной кривой спроса. Давайте посмотрим на эти факторы.
Изменение вкусов и предпочтений
С 1980 по 2014 год потребление курицы американцами на человека выросло с 48 фунтов в год до 85 фунтов в год, а потребление говядины упало с 77 фунтов в год до 54 фунтов в год, согласно данным U.S. Министерство сельского хозяйства (USDA). Подобные изменения в значительной степени обусловлены изменениями вкусовых качеств, которые изменяют количество товара, востребованного при любой цене: то есть они сдвигают кривую спроса на этот товар, вправо для курицы и влево для говядины.
Изменения в составе населения
Доля пожилых граждан в населении США растет. Он вырос с 9,8% в 1970 году до 12,6% в 2000 году и будет прогнозируемым (к U.S. Census Bureau ) 20% населения к 2030 году. Общество с относительно большим количеством детей, как в Соединенных Штатах в 1960-х годах, будет иметь больший спрос на товары и услуги, такие как трехколесные велосипеды и детские сады. Общество с относительно большим количеством пожилых людей, как прогнозируется в США к 2030 году, имеет более высокий спрос на дома престарелых и слуховые аппараты. Аналогичным образом изменение численности населения может повлиять на спрос на жилье и многие другие товары. Каждое из этих изменений спроса будет отображаться как сдвиг кривой спроса.
Спрос на продукт также может зависеть от изменений цен на сопутствующие товары, такие как заменители или дополнения. Заменитель — это товар или услуга, которые можно использовать вместо другого товара или услуги. По мере того как электронные книги, подобные этой, становятся все более доступными, можно ожидать снижения спроса на традиционные печатные книги. Более низкая цена на заменитель снижает спрос на другой продукт. Например, в последние годы, когда цена на планшетные компьютеры упала, объем спроса увеличился (из-за закона спроса).С тех пор, как люди покупают планшеты, наблюдается снижение спроса на ноутбуки, что может быть показано графически как сдвиг влево кривой спроса на ноутбуки. Более высокая цена на товар-заменитель имеет обратный эффект.
Другие товары дополняют друг друга , что означает, что товары часто используются вместе, поскольку потребление одного товара имеет тенденцию увеличивать потребление другого. Примеры включают хлопья для завтрака и молоко; блокноты и ручки или карандаши, мячи для гольфа и клюшки для гольфа; бензиновые и внедорожники; и пятикомпонентное сочетание бекона, салата, помидоров, майонеза и хлеба.Если цена на клюшки для гольфа растет, так как количество спроса на клюшки падает (из-за закона спроса), уменьшается и спрос на дополнительные товары, такие как мячи для гольфа. Точно так же более высокая цена на лыжи сместит кривую спроса на дополнительные товары, такие как поездки на горнолыжные курорты, влево, в то время как более низкая цена на комплекты будет иметь обратный эффект.
Изменения ожиданий относительно будущих цен или других факторов, влияющих на спрос
Хотя очевидно, что цена товара влияет на объем спроса, верно также и то, что ожидания относительно будущей цены (или ожидания относительно вкусов и предпочтений, дохода и т. Д.) Могут повлиять на спрос.Например, если люди слышат, что надвигается ураган, они могут броситься в магазин, чтобы купить батарейки для фонарей и воду в бутылках. Если люди узнают, что цена на такой товар, как кофе, вероятно, вырастет в будущем, они могут отправиться в магазин, чтобы запастись кофе прямо сейчас. Эти изменения спроса показаны в виде сдвигов на кривой. Следовательно, смещение спроса происходит, когда изменение какого-либо экономического фактора (отличного от цены) вызывает спрос на разное количество по каждой цене. Следующая функция Work It Out показывает, как это происходит.
Изменение спроса
Изменение спроса означает, что при любой цене (и при каждой цене) объем спроса будет отличаться от того, что было раньше. Ниже приводится пример изменения спроса из-за увеличения дохода.
Шаг 1. Постройте график кривой спроса на обычный товар, например пиццу. Выберите цену (например, P ₀). Найдите соответствующий Q ₀. Пример показан на рисунке 2.
Рисунок 2. Кривая спроса . Кривая спроса может использоваться для определения того, сколько потребители купили бы по любой заданной цене.
Шаг 2. Предположим, доход увеличивается. Собираются ли потребители покупать больше или меньше пиццы в результате изменений? Ответ больше. Нарисуйте пунктирную горизонтальную линию от выбранной цены через исходное количество спроса до новой точки с новым Q ₁. Проведите вертикальную пунктирную линию вниз до горизонтальной оси и назовите новый Q ₁. Пример представлен на Рисунке 3.
Рисунок 3. Кривая спроса с увеличением дохода. С увеличением дохода потребители будут покупать в больших количествах, что подтолкнет спрос вправо.
Шаг 3. Теперь переместите кривую через новую точку. Вы увидите, что увеличение дохода вызывает сдвиг кривой спроса вверх (или вправо), так что при любой цене объем спроса будет выше, как показано на Рисунке 4.
Рис. 4. Кривая спроса смещена вправо. С увеличением дохода потребители будут покупать в больших количествах, сдвигая спрос вправо и вызывая смещение кривой спроса вправо.
Шесть факторов, которые могут изменить кривые спроса, приведены на Рисунке 5.Направление стрелок указывает, представляют ли сдвиги кривой спроса увеличение спроса или уменьшение спроса. Обратите внимание, что изменение цены на товар или услугу не входит в список факторов, которые могут сдвинуть кривую спроса. Изменение цены на товар или услугу вызывает движение по определенной кривой спроса и обычно приводит к некоторому изменению объема спроса, но не сдвигает кривую спроса.
Рис. 5. Факторы , которые изменяют кривые спроса.(a) Список факторов, которые могут вызвать увеличение спроса с D ₀ до D ₁. (b) Те же факторы, если их направление поменять местами, могут вызвать снижение спроса с ₀ D до ₁ D.
Когда кривая спроса сдвигается, она затем пересекается с данной кривой предложения при другой равновесной цене и количестве. Однако мы забегаем вперед. Прежде чем обсуждать, как изменения спроса могут повлиять на равновесную цену и количество, нам сначала нужно обсудить сдвиги в кривых предложения.
Кривая предложения показывает, как будет изменяться поставляемое количество по мере роста и падения цены, при условии ceteris paribus , так что никакие другие экономически значимые факторы не меняются. Если другие факторы, относящиеся к предложению, действительно изменятся, вся кривая предложения сместится. Подобно тому, как изменение спроса представлено изменением количества, требуемого по каждой цене, смещение предложения означает изменение количества, поставляемого по каждой цене.
Размышляя о факторах, влияющих на предложение, помните, что мотивирует фирмы: прибыль, которая представляет собой разницу между доходами и затратами.Товары и услуги производятся с использованием комбинации рабочей силы, материалов и оборудования, или того, что мы называем факторов производства или факторов производства . Если фирма сталкивается с более низкими производственными затратами, а цены на товары или услуги, производимые фирмой, остаются неизменными, прибыль фирмы возрастает. Когда прибыль компании увеличивается, у нее больше мотивации производить продукцию, поскольку чем больше она производит, тем больше прибыли она получит. Таким образом, когда издержки производства падают, фирма будет стремиться поставлять большее количество по любой заданной цене за свою продукцию.Об этом свидетельствует смещение кривой предложения вправо.
Возьмем, к примеру, курьерскую компанию, доставляющую посылки по городу. Компания может обнаружить, что покупка бензина является одной из основных затрат. Если цена на бензин упадет, компания обнаружит, что может доставлять сообщения дешевле, чем раньше. Поскольку более низкие затраты соответствуют более высокой прибыли, курьерская компания теперь может предоставлять больше своих услуг по любой заданной цене. Например, учитывая более низкие цены на бензин, компания теперь может обслуживать большую территорию и увеличивать свои поставки.
И наоборот, если фирма сталкивается с более высокими издержками производства, то она будет получать меньшую прибыль при любой заданной цене продажи своей продукции. В результате более высокие производственные затраты обычно заставляют фирму поставлять меньшее количество по любой заданной цене. В этом случае кривая предложения смещается влево.
Рассмотрим предложение автомобилей, показанное кривой S ₀ на рисунке 6. Точка J указывает, что если цена составляет 20 000 долларов, то поставленное количество составит 18 миллионов автомобилей. Если цена вырастет до 22 000 долларов за автомобиль, ceteris paribus, , то количество поставленных автомобилей вырастет до 20 миллионов автомобилей, как показывает точка K на кривой S ₀.Та же информация может быть представлена в виде таблицы, что и в таблице 5.
Рисунок 6. Сдвиги в предложении: на примере автомобилей. Уменьшение предложения означает, что при каждой данной цене количество предложения меньше, так что кривая предложения смещается влево, с ₀ на S ₁. Увеличение предложения означает, что при каждой данной цене количество предложения выше, так что кривая предложения смещается вправо, с ₀ на S ₂.
Цена Уменьшить до S ₁ Первоначальное количество в поставке S ₀ Увеличить до ₂
16 000 долл. США 10.5 миллионов 12,0 млн. 13,2 миллиона
18 000 долл. США 13,5 млн. 15,0 млн. 16,5 млн.
20 000 долл. США 16,5 млн. 18,0 млн. 19,8 млн.
22 000 долл. США 18,5 млн. 20,0 млн. 22,0 млн.
24 000 долл. США 19,5 млн. 21,0 млн. 23.1 миллион
26 000 долл. США 20,5 млн. 22,0 млн. 24,2 миллиона
Таблица 5. Цена и изменение предложения: пример автомобиля
А теперь представьте, что цена на сталь, важный ингредиент в производстве автомобилей, растет, так что производство автомобиля стало дороже. При любой заданной цене продажи автомобилей производители автомобилей отреагируют поставкой меньшего количества. Это может быть показано графически как сдвиг предложения влево с ₀ на S ₁, что указывает на то, что при любой заданной цене объем поставки уменьшается.В этом примере при цене 20 000 долларов предложенное количество уменьшается с 18 миллионов на исходной кривой предложения (S ₀) до 16,5 миллионов на кривой предложения S ₁, которая обозначена как точка L.
И наоборот, если цена на сталь снижается, производство автомобиля становится дешевле. При любой заданной цене продажи автомобилей производители автомобилей теперь могут рассчитывать на более высокую прибыль, поэтому они будут поставлять большее количество. Смещение предложения вправо, с ₀ S на ₂ S означает, что при всех ценах объем поставки увеличился.В этом примере при цене 20 000 долларов объем предложения увеличивается с 18 миллионов на исходной кривой предложения (S ₀) до 19,8 миллионов на кривой предложения S ₂, которая обозначена M.
В приведенном выше примере мы увидели, что изменения цен на вводимые ресурсы в производственном процессе повлияют на стоимость производства и, следовательно, на предложение. Некоторые другие факторы также влияют на стоимость производства, например, изменения погоды или других природных условий, новые технологии производства и некоторые меры государственной политики.
На стоимость производства многих сельскохозяйственных продуктов будут влиять изменения природных условий. Например, в 2014 году на Маньчжурской равнине на северо-востоке Китая, производящей большую часть пшеницы, кукурузы и сои в стране, была самая сильная засуха за 50 лет. Засуха снижает предложение сельскохозяйственной продукции, а это означает, что при любой заданной цене будет поставлено меньшее количество; и наоборот, особенно хорошая погода сместит кривую предложения вправо.
Когда фирма обнаруживает новую технологию, которая позволяет фирме производить продукцию с меньшими затратами, кривая предложения также сместится вправо. Например, в 1960-х годах крупная научная работа под названием «Зеленая революция» была сосредоточена на выращивании улучшенных семян основных культур, таких как пшеница и рис. К началу 1990-х более двух третей пшеницы и риса в странах с низким доходом по всему миру было выращено с использованием этих семян Зеленой революции, а урожайность с гектара была вдвое выше.Технологическое усовершенствование, которое снижает издержки производства, сместит предложение вправо, так что при любой заданной цене будет произведено большее количество.
Государственная политика может влиять на стоимость производства и кривую предложения посредством налогов, регулирования и субсидий. Например, правительство США вводит налог на алкогольные напитки, который собирает с производителей около 8 миллиардов долларов в год. Налоги рассматриваются предприятиями как расходы. Более высокие затраты уменьшают предложение по причинам, описанным выше.Другими примерами политики, которая может повлиять на стоимость, является широкий спектр правительственных постановлений, требующих от фирм тратить деньги на создание более чистой окружающей среды или более безопасных рабочих мест; соблюдение нормативных требований увеличивает затраты.
С другой стороны, государственная субсидия — это противоположность налога. Субсидия возникает, когда государство платит фирме напрямую или снижает налоги фирмы, если фирма выполняет определенные действия. С точки зрения фирмы, налоги или правила — это дополнительные издержки производства, которые смещают предложение влево, заставляя фирму производить меньшее количество по каждой заданной цене.Государственные субсидии снижают стоимость производства и увеличивают предложение при каждой заданной цене, сдвигая предложение вправо. Следующая функция Work It Out показывает, как происходит этот сдвиг.
Смена предложения
Мы знаем, что кривая предложения показывает минимальную цену, которую фирма примет за производство заданного количества продукции. Что происходит с кривой предложения при повышении себестоимости продукции? Ниже приводится пример изменения предложения из-за увеличения производственных затрат.
Шаг 1.Нарисуйте график кривой предложения пиццы. Выберите количество (например, Q ₀). Если вы проведете вертикальную линию от Q ₀ до кривой предложения, вы увидите цену, которую выбирает фирма. Пример показан на рисунке 7.
Рисунок 7. Кривая предложения . Кривая предложения может использоваться, чтобы показать минимальную цену, которую фирма примет за производство заданного количества продукции.
Шаг 2. Почему фирма выбрала эту цену, а не другую? Один из способов подумать об этом — это то, что цена состоит из двух частей.Первая часть — это средняя стоимость производства, в данном случае стоимость ингредиентов для пиццы (тесто, соус, сыр, пепперони и т. Д.), Стоимость печи для пиццы, арендная плата в магазине и заработная плата. рабочих. Вторая часть — это желаемая прибыль фирмы, которая определяется, среди прочего, величиной прибыли в этом конкретном бизнесе. Если вы сложите эти две части вместе, вы получите цену, которую фирма желает установить. Количество Q0 и соответствующая цена P0 дают вам одну точку на кривой предложения фирмы, как показано на рисунке 8.
Рисунок 8. Установка цен. Стоимость производства и желаемая прибыль равны цене, которую фирма устанавливает за продукт.
Шаг 3. Теперь предположим, что стоимость производства растет. Возможно, сыр стал дороже на 0,75 доллара за пиццу. Если это так, фирма захочет поднять цену на сумму увеличения затрат (0,75 доллара). Нарисуйте эту точку на кривой предложения непосредственно над начальной точкой кривой, но на 0,75 доллара выше, как показано на Рисунке 9.
Рисунок 9. Рост затрат ведет к увеличению цены. Поскольку издержки производства и желаемая прибыль равны цене, которую фирма установит для продукта, при увеличении издержек производства цена на продукт также должна будет увеличиться.
Шаг 4. Переместите кривую предложения через эту точку. Вы увидите, что увеличение затрат вызывает сдвиг кривой предложения вверх (или влево), так что при любой цене поставляемые количества будут меньше, как показано на Рисунке 10.
Рисунок 10. Сдвиги кривой предложения. Когда стоимость производства увеличивается, кривая предложения смещается вверх до нового уровня цен.
Изменения стоимости вводимых ресурсов, стихийные бедствия, новые технологии и влияние правительственных решений — все это влияет на стоимость производства. В свою очередь, эти факторы влияют на то, сколько фирмы готовы поставить по любой заданной цене.
На рисунке 11 обобщены факторы, влияющие на предложение товаров и услуг. Обратите внимание, что изменение цены самого продукта не входит в число факторов, сдвигающих кривую предложения.Хотя изменение цены на товар или услугу обычно вызывает изменение в поставленном количестве или движение вдоль кривой предложения для этого конкретного товара или услуги, это не вызывает смещения самой кривой предложения.
Рис. 11. Факторы , которые меняют кривые предложения. (a) Список факторов, которые могут вызвать увеличение предложения с ₀ S до ₁ S. (b) Те же факторы, если их направление поменять местами, могут вызвать снижение предложения с ₀ юаней до ₁ юаней.
Поскольку кривые спроса и предложения появляются на двумерной диаграмме с только ценой и количеством на осях, неосторожный посетитель страны экономики может быть обманут, полагая, что экономика затрагивает только четыре темы: спрос, предложение, цена и количество. Однако спрос и предложение на самом деле являются «зонтичными» концепциями: спрос охватывает все факторы, влияющие на спрос, а предложение охватывает все факторы, влияющие на предложение. Другие факторы, помимо цены, которые влияют на спрос и предложение, включаются с помощью сдвигов в кривой спроса или предложения.Таким образом, двумерная модель спроса и предложения становится мощным инструментом для анализа широкого спектра экономических обстоятельств.
Экономисты часто используют допущение ceteris paribus или «при прочих равных»: при изучении экономического воздействия одного события все остальные факторы остаются неизменными для целей анализа. Факторы, которые могут сдвинуть кривую спроса на товары и услуги, вызывая спрос на различное количество по любой заданной цене, включают изменения вкусов, населения, дохода, цен на товары-заменители или дополнительные товары, а также ожидания относительно будущих условий и цен.Факторы, которые могут сдвинуть кривую предложения товаров и услуг, вызывая поставку другого количества по любой заданной цене, включают в себя цены на сырье, естественные условия, изменения в технологии, а также государственные налоги, нормативные акты или субсидии.
Вопросы для самопроверки
Почему экономисты используют предположение ceteris paribus ?
При анализе рынка красок экономист обнаруживает факты, перечисленные ниже. Укажите, повлияет ли каждое из этих изменений на спрос или предложение и в каком направлении.
В последнее время было сделано несколько важных изобретений в технологии производства красок.
Краска держится дольше, поэтому владельцам недвижимости не нужно так часто перекрашивать.
Из-за сильного града многим сейчас приходится перекрашивать.
Град повредил несколько заводов по производству красок, вынудив их закрыть на несколько месяцев.
Многие изменения влияют на рынок нефти. Предскажите, как каждое из следующих событий повлияет на равновесную цену и количество нефти на рынке.В каждом случае укажите, как событие повлияет на диаграмму спроса и предложения. При необходимости создайте эскиз схемы.
Автомобили становятся более экономичными и, следовательно, расходуют больше миль на галлон.
Зима исключительно холодная.
Крупное открытие новой нефти сделано у берегов Норвегии.
Экономика некоторых крупных нефтедобывающих стран, таких как Япония, замедляется.
Война на Ближнем Востоке нарушает график прокачки нефти.
Арендодатели устанавливают в зданиях дополнительную изоляцию.
Стоимость солнечной энергии резко падает.
Химические компании изобретают новый популярный вид пластика из масла.
Контрольные вопросы
Анализируя рынок, как экономисты решают проблему одновременного изменения многих факторов, влияющих на рынок?
Назовите некоторые факторы, которые могут вызвать сдвиг кривой спроса на рынках товаров и услуг.
Назовите некоторые факторы, которые могут вызвать сдвиг кривой предложения на рынках товаров и услуг.
Вопросы о критическом мышлении
Учитывайте спрос на гамбургеры. Если цена на товар-заменитель (например, хот-доги) увеличивается, а цена на дополнительный товар (например, булочки для гамбургеров) увеличивается, можете ли вы точно сказать, что произойдет со спросом на гамбургеры? Почему или почему нет? Проиллюстрируйте свой ответ графиком.
Как, по вашему мнению, демография стареющего населения «бэби-бумеров» в Соединенных Штатах повлияет на спрос на молоко? Обосновать ответ.
Мы знаем, что изменение цены продукта вызывает движение по кривой спроса. Предположим, потребители верят, что в будущем цены будут расти. Как это повлияет на спрос на продукт в настоящее время? Можете ли вы показать это графически?
Предположим, существует налог на газированные напитки для борьбы с ожирением. Как снижение налога на газированные напитки должно повлиять на предложение газированных напитков, а также на равновесную цену и количество? Можете ли вы показать это графически? Подсказка : предположим, что налог на газировку взимается с продавцов
Проблемы
Таблица 6 показывает информацию о спросе и предложении на велосипеды, где количество велосипедов измеряется тысячами.
Цена Qd Qs
$ 120 50 36
150 долл. США 40 40
$ 180 32 48
210 долл. США 28 56
240 долл. США 24 70
Таблица 6. Спрос и предложение на велосипеды
Каков объем спроса и объем предложения по цене 210 долларов США?
По какой цене поставленное количество равно 48 000?
Изобразите кривую спроса и предложения на велосипеды.Как по графику определить равновесную цену и количество? Как по таблице определить равновесную цену и количество? Каковы равновесная цена и равновесное количество?
Если бы цена составляла 120 долларов, каковы были бы объемы спроса и предложения? Будет ли существовать дефицит или избыток? Если да, то насколько велик будет дефицит или излишек?
На компьютерном рынке в последние годы появилось гораздо больше компьютеров, продаваемых по гораздо более низким ценам. Какое изменение спроса или предложения, скорее всего, объясняет этот результат? Нарисуйте диаграмму спроса и предложения и объясните свои аргументы по каждому из них.
Рост спроса
Падение спроса
Увеличение предложения
Падение питания
Ландсбург, Стивен Э. Кресловой экономист: экономика и повседневная жизнь . Нью-Йорк: Свободная пресса. 2012. В частности, Раздел IV: Как работают рынки.
Национальный куриный совет. 2015. «Потребление птицы и скота на душу населения, с 1965 по расчетный 2015 год, в фунтах». По состоянию на 13 апреля 2015 г. http://www.nationalchickencouncil.org / about-the-industry / statistics / на душу-потребление-птицы-и-скота-1965-к-оценкам-2012-фунтам /.
Вессель, Дэвид. «Саудовская Аравия тоже опасается нефти за 40 долларов за баррель». Уолл Стрит Джорнэл . 27 мая 2004 г., с. 42. http://online.wsj.com/news/articles/SB108561000087822300.
Глоссарий
при прочих равных условиях
при прочих равных
дополняет
товар, который часто используется вместе, так что потребление одного товара имеет тенденцию увеличивать потребление другого
факторы производства
комбинация рабочей силы, материалов и оборудования, которая используется для производства товаров и услуг; также называется входами
низшая хорошая
Товар, объем спроса на который падает с ростом дохода, спрос на который растет, а доход падает
входы
комбинация рабочей силы, материалов и оборудования, которая используется для производства товаров и услуг; также называемые факторами производства
нормально хорошее
товар, объем спроса на который увеличивается с ростом дохода, а количество спроса падает с уменьшением дохода
смена спроса
когда изменение какого-либо экономического фактора (кроме цены) вызывает спрос на различное количество при каждой цене
смена подачи
, когда изменение какого-либо экономического фактора (кроме цены) приводит к поставке разного количества по каждой цене
заменитель
товар, который может до некоторой степени заменить другой, так что большее потребление одного товара может означать меньшее потребление другого
Решения
Ответы на вопросы самопроверки
Чтобы упростить анализ сложных проблем. Ceteris paribus позволяет вам анализировать влияние одного фактора за раз на то, что вы пытаетесь проанализировать. Когда вы проанализировали все факторы по отдельности, вы складываете результаты, чтобы получить окончательный ответ.
Улучшение технологии, которое снижает стоимость производства, приведет к увеличению предложения. В качестве альтернативы вы можете думать об этом как о снижении цены, которое необходимо фирмам для поставки любого количества. В любом случае это может быть показано как сдвиг кривой предложения вправо (или вниз).
Улучшение качества продукции рассматривается как увеличение вкусов или предпочтений, что означает, что потребители требуют больше краски при любом уровне цен, поэтому спрос увеличивается или смещается вправо. Если это кажется нелогичным, обратите внимание, что в будущем спрос на краску с более длительным сроком службы упадет, поскольку потребители по существу смещают спрос с будущего на настоящее.
Увеличение потребности вызывает увеличение спроса или сдвиг кривой спроса вправо.
Заводское повреждение означает, что фирмы не могут поставить столько в настоящее время.Технически это удорожание производства. В любом случае кривая предложения сдвигается влево.
Более экономичные автомобили означают меньшую потребность в бензине. Это вызывает сдвиг влево спроса на бензин и, следовательно, на нефть. Поскольку кривая спроса смещается вниз по кривой предложения, как равновесная цена, так и количество падают.
Холодная погода увеличивает потребность в мазуте. Это вызывает сдвиг вправо в спросе на топочный мазут и, следовательно, на масло.Поскольку кривая спроса смещается вверх по кривой предложения, равновесная цена и количество растут.
Открытие новой нефти сделает нефть более богатой. Это может быть показано как сдвиг кривой предложения вправо, который вызовет снижение равновесной цены вместе с увеличением равновесного количества. (Кривая предложения смещается вниз по кривой спроса, поэтому цена и количество подчиняются закону спроса. Если цена снижается, то количество увеличивается.)
Когда экономика замедляется, она производит меньше продукции и требует меньше затрат, включая энергию, которая используется для производства практически всего.Снижение спроса на энергию отразится как снижение спроса на нефть или сдвиг влево спроса на нефть. Поскольку кривая спроса смещается вниз по кривой предложения, как равновесная цена, так и количество нефти упадут.
Нарушение перекачки нефти приведет к уменьшению подачи масла. Этот сдвиг кривой предложения влево покажет движение вверх по кривой спроса, что приведет к увеличению равновесной цены на нефть и уменьшению равновесного количества.
Повышенная изоляция снизит потребность в отоплении.Этот сдвиг влево в спросе на нефть вызывает движение вниз по кривой предложения, что приводит к снижению равновесной цены и количества нефти.
Солнечная энергия заменяет энергию на нефтяной основе. Таким образом, если солнечная энергия станет дешевле, спрос на нефть снизится, поскольку потребители переключатся с нефти на солнечную. Снижение спроса на нефть будет показано как сдвиг кривой спроса влево. Когда кривая спроса смещается вниз по кривой предложения, как равновесная цена, так и количество нефти будут падать.
Новый популярный вид пластика повысит спрос на масло. Увеличение спроса будет показано как сдвиг спроса вправо, повышая равновесную цену и количество нефти.
факторов, влияющих на спрос | Микроэкономика
Цели обучения
Опишите, какие факторы вызывают сдвиг кривой спроса, и объясните, почему происходит сдвиг
Определите и приведите примеры замен и дополнений
Нарисуйте кривую спроса и графически представьте изменения спроса
Мы знаем, что изменение цен влияет на объем спроса.Однако цена — не единственное, что влияет на спрос. Например, как повлияет спрос на вегетарианскую пищу, если, скажем, проблемы со здоровьем заставят больше потребителей избегать употребления мяса?
Влияние дохода на спрос
Давайте используем доход в качестве примера того, как другие факторы, помимо цены, влияют на спрос. На Рисунке 1 показан первоначальный спрос на автомобили как D ₀. В точке Q, например, если цена составляет 20 000 долларов за автомобиль, количество требуемых автомобилей составляет 18 миллионов. D ₀ также показывает, как количество требуемых автомобилей изменится в результате повышения или понижения цены.Например, если цена автомобиля вырастет до 22 000 долларов, объем спроса снизится до 17 миллионов в точке
р.
Рис. 1. Сдвиг спроса: пример автомобиля.
Исходная кривая спроса D ₀, как и любая кривая спроса, основана на предположении ceteris paribus о том, что никакие другие экономически значимые факторы не меняются. А теперь представьте, что экономика расширяется, увеличивая доходы многих людей, делая автомобили более доступными. Как это повлияет на спрос? Как это показать графически?
Вернуться к рисунку 1.Цена автомобилей по-прежнему составляет 20 000 долларов, но при более высоких доходах объем спроса теперь увеличился до 20 миллионов автомобилей, показанных в точке S. В результате более высоких уровней доходов кривая спроса смещается вправо к новой кривой спроса. D ₁, что свидетельствует о росте спроса. Таблица 1, приведенная ниже, ясно показывает, что этот повышенный спрос будет иметь место при любой цене, а не только при первоначальной.
Таблица 1. Сдвиги цен и спроса: пример автомобиля
Цена Уменьшить до D ₂ Требуемое первоначальное количество D ₀ Увеличить до D ₁
16 000 долл. США 17.6 миллионов 22,0 млн. 24,0 млн.
18 000 долл. США 16,0 млн. 20,0 млн. 22,0 млн.
20 000 долл. США 14,4 млн. 18,0 млн. 20,0 млн.
22 000 долл. США 13,6 млн. 17,0 млн. 19,0 млн.
24 000 долл. США 13,2 миллиона 16,5 млн. 18.5 миллионов
26 000 долл. США 12,8 млн. 16,0 млн. 18,0 млн.
А теперь представьте, что экономика замедляется, и многие люди теряют работу или работают меньше часов, уменьшая свои доходы. В этом случае снижение дохода приведет к уменьшению спроса на автомобили по каждой данной цене, и исходная кривая спроса D ₀ сместится влево до D ₂. Переход от D ₀ к D ₂ представляет такое снижение спроса: при любом заданном уровне цен объем спроса теперь ниже.В этом примере цена в 20 000 долларов означает 18 миллионов автомобилей, проданных по первоначальной кривой спроса, но только 14,4 миллиона автомобилей, проданных после падения спроса.
Рисунок 2. Новое путешествие по магазинам. Когда этому человеку повысили зарплату, он сделал покупки в дорогом продуктовом магазине, где продаются экологически чистые продукты, вместо того, чтобы покупать обычные продукты. Обычные продукты являются примером некачественного товара.
Когда кривая спроса сдвигается, это не означает, что количество, требуемое каждым отдельным покупателем, изменяется на одну и ту же величину.В этом примере не все будут иметь более высокий или более низкий доход, и не все будут покупать или не покупать дополнительную машину. Вместо этого сдвиг кривой спроса отражает закономерность для рынка в целом: повышенный спрос означает, что при каждой данной цене объем спроса выше, так что кривая спроса смещается вправо с D ₀ на D _{. 1}. А снижение спроса означает, что при каждой данной цене объем спроса ниже, так что кривая спроса смещается влево от D ₀ до D2.
Мы только что утверждали, что более высокий доход вызывает больший спрос при любой цене. Это верно для большинства товаров и услуг. Для некоторых — роскошных автомобилей, отпуска в Европе и ювелирных украшений — эффект роста доходов может быть особенно заметен. Продукт, спрос на который растет с ростом дохода, и наоборот, называется нормальным товаром . Однако существует несколько исключений из этого шаблона. По мере роста доходов многие люди будут покупать меньше продуктов обычных брендов и больше продуктов известных брендов.Они с меньшей вероятностью купят подержанные автомобили и с большей вероятностью купят новые автомобили. Они с меньшей вероятностью будут снимать квартиру и с большей вероятностью будут владеть домом и так далее. Товар, спрос на который падает с ростом дохода, и наоборот, называется товаром неполноценного качества . Другими словами, когда доход увеличивается, кривая спроса смещается влево.
Смотри
Изменение цены не меняет кривую спроса. Это только показывает разницу в объеме спроса. Кривая спроса будет двигаться влево или вправо, когда будет происходить основное изменение спроса по всем ценам.

Другие факторы, меняющие кривые спроса
Доход — не единственный фактор, вызывающий изменение спроса. Другие факторы, влияющие на спрос, включают вкусы и предпочтения, состав или размер населения, цены на сопутствующие товары и даже ожидания. Изменение любого из основных факторов, определяющих, какое количество люди готовы покупать по данной цене, вызовет изменение спроса. Графически новая кривая спроса лежит либо справа (увеличение), либо слева (уменьшение) от исходной кривой спроса.Давайте посмотрим на эти факторы.
Изменение вкусов и предпочтений
Рисунок 3. Меняющиеся вкусы. Этот человек ест куриную ножку. Изменения в предпочтениях общества в отношении курицы привели к изменению спроса на определенные продукты.
С 1980 по 2012 год потребление курицы американцами на человека выросло с 33 фунтов в год до 81 фунта в год, а потребление говядины упало с 77 фунтов в год до 57 фунтов в год, согласно данным U.S. Министерство сельского хозяйства (USDA). Подобные изменения в основном происходят из-за сдвигов во вкусе, которые меняют количество товара, востребованного при любой цене: то есть они сдвигают кривую спроса на этот товар — вправо для курицы и влево для говядины.
Изменения в составе населения
Доля пожилых граждан в населении США растет. Он вырос с 9,8 процента в 1970 году до 12,6 процента в 2000 году и будет прогнозируемым (США).S. Census Bureau) 20 процентов населения к 2030 году. Общество с относительно большим количеством детей, как в Соединенных Штатах в 1960-х годах, будет иметь больший спрос на товары и услуги, такие как трехколесные велосипеды и детские сады. Общество с относительно большим количеством пожилых людей, как прогнозируется в США к 2030 году, имеет более высокий спрос на дома престарелых и слуховые аппараты. Аналогичным образом изменение численности населения может повлиять на спрос на жилье и многие другие товары. Каждое из этих изменений спроса будет отображаться как сдвиг кривой спроса.
Изменение цен на сопутствующие товары
Спрос на продукт также может зависеть от изменений цен на сопутствующие товары, такие как заменители или дополнения. Заменитель — это товар или услуга, которые можно использовать вместо других товаров или услуг. По мере того, как электронные книги становятся более доступными, можно ожидать снижения спроса на традиционные печатные книги. Более низкая цена на заменитель снижает спрос на другой продукт.Например, в последние годы, когда цена на планшетные компьютеры упала, объем спроса увеличился (из-за закона спроса). С тех пор, как люди покупают планшеты, наблюдается снижение спроса на ноутбуки, что может быть показано графически как сдвиг влево кривой спроса на ноутбуки. Более высокая цена на товар-заменитель имеет обратный эффект.
Рисунок 4 . Канцелярские товары. Падение цен на ручки и карандаши может привести к увеличению спроса на дополнительные канцелярские товары.
Прочие товары дополняют друг друга, что означает, что товары часто используются вместе, поскольку потребление одного товара имеет тенденцию увеличивать потребление другого. Примеры включают хлопья для завтрака и молоко; блокноты и ручки или карандаши, мячи для гольфа и клюшки для гольфа; бензиновые и внедорожники; и пятикомпонентное сочетание бекона, салата, помидоров, майонеза и хлеба. Если цена на клюшки для гольфа растет, поскольку количество спроса на клюшки падает (из-за закона спроса), то уменьшается и спрос на дополнительные товары, такие как мячи для гольфа.Точно так же более высокая цена на лыжи сместит кривую спроса на дополнительные товары, такие как поездки на горнолыжные курорты, влево, в то время как более низкая цена на комплекты будет иметь обратный эффект.
Изменения ожиданий относительно будущих цен
Хотя очевидно, что цена товара влияет на объем спроса, верно также и то, что ожидания относительно будущей цены (или ожидания относительно вкусов и предпочтений, дохода и т. Д.) Могут повлиять на спрос. Например, если люди слышат, что надвигается ураган, они могут броситься в магазин, чтобы купить батарейки для фонарей и воду в бутылках.Если люди узнают, что цена на такой товар, как кофе, вероятно, вырастет в будущем, они могут отправиться в магазин, чтобы запастись кофе прямо сейчас. Эти изменения спроса показаны в виде сдвигов на кривой. Следовательно, смещение спроса происходит, когда изменение какого-либо экономического фактора (отличного от текущей цены) вызывает спрос на разное количество по каждой цене.
Упражнение: изменение спроса в связи с увеличением дохода
Изменение спроса означает, что при любой цене (и при каждой цене) объем спроса будет отличаться от того, что было раньше.Ниже приводится графическая иллюстрация изменения спроса из-за увеличения доходов.
Шаг 1 . Нарисуйте график кривой спроса на обычный товар, например пиццу. Выберите цену (например, P ₀). Найдите соответствующий Q ₀. Пример показан на рисунке 5.
Рисунок 5. Кривая спроса. Кривая спроса может использоваться для определения того, сколько потребители купили бы по любой заданной цене.
S теп 2 .Допустим, доход увеличивается. Собираются ли потребители покупать больше или меньше пиццы в результате изменений? Ответ больше. Нарисуйте пунктирную горизонтальную линию от выбранной цены через исходное количество спроса до новой точки с новым Q ₁. Проведите вертикальную пунктирную линию вниз до горизонтальной оси и назовите новый Q ₁. Пример представлен на Рисунке 6.
Рисунок 6. Кривая спроса с увеличением дохода. С увеличением дохода потребители будут покупать в больших количествах, сдвигая спрос вправо.
Шаг 3 . Теперь переместите кривую через новую точку. Вы увидите, что увеличение дохода вызывает сдвиг кривой спроса вверх (или вправо), так что при любой цене объем спроса будет выше, как показано на Рисунке 7.
Рис. 7. Кривая спроса смещена вправо . С увеличением дохода потребители будут покупать в больших количествах, сдвигая спрос вправо и вызывая смещение кривой спроса вправо.
Рисунок 8. Помните, что изменения цены изменяют точку количественного спроса на кривой спроса, но изменения других факторов (таких как вкус, население, доход, ожидания и цены на другие товары) вызовут сдвиг всей кривой спроса.
Резюме: Какие факторы изменяют спрос?
Шесть факторов, которые могут изменить кривые спроса, приведены на Рисунке 9 ниже. Направление стрелок указывает, представляют ли сдвиги кривой спроса увеличение спроса или уменьшение спроса.Обратите внимание, что изменение цены на товар или услугу не входит в список факторов, которые могут сдвинуть кривую спроса. Изменение цены на товар или услугу вызывает движение по определенной кривой спроса и обычно приводит к некоторому изменению объема спроса, но не сдвигает кривую спроса.
Рис. 9. Факторы, которые изменяют кривые спроса (a) Список факторов, которые могут вызвать увеличение спроса с D ₀ до D ₁. (b) Те же факторы, если их направление поменять местами, могут вызвать снижение спроса с ₀ D до ₁ D.
Попробуйте
Эти вопросы позволят вам получить столько практики, сколько вам нужно, поскольку вы можете щелкнуть ссылку вверху первого вопроса («Попробуйте другую версию этих вопросов»), чтобы получить новый набор вопросов. Практикуйтесь, пока не почувствуете себя комфортно, задавая вопросы, а затем двигайтесь дальше.
Обратите внимание, что вы будете использовать информацию, указанную в первом вопросе, для всех вопросов на этой странице.
Попробуйте
Сыграйте в симуляцию ниже, чтобы изучить, как меняется спрос на напитки при изменении цен или погоды.Моделирование допускает неограниченное количество попыток, так что вы можете получить опыт применения концепций.

Глоссарий
дополнения:
товары или услуги, которые используются вместе, потому что использование одного улучшает использование другого
заменителей:
товары или услуги, которые можно использовать вместо друг друга
низкое качество:
товар или услуга, спрос на которые уменьшается, когда доход потребителя увеличивается, и спрос увеличивается, когда доход уменьшается
нормально хорошее:
товар или услуга, спрос на которые увеличивается, когда доход потребителя увеличивается, и спрос уменьшается, когда доход уменьшается
Какие факторы способствуют росту инфляции?
Это отличный вопрос! В средствах массовой информации так часто упоминаются темпы инфляции и предположения о будущей инфляции, поэтому важно знать некоторые основы инфляции.
Что такое инфляция?
Инфляция определяется как повышение общего уровня цен. Другими словами, цены на многие товары и услуги, такие как жилье, одежда, продукты питания, транспорт и топливо, должны расти, чтобы инфляция произошла в экономике в целом. Если цены только на несколько видов товаров или услуг растут, это не обязательно инфляция.
Инфляцию можно измерить несколькими способами. В вопросе «Спросите доктора экона» от сентября 1999 г. отмечается, что инфляция обычно измеряется «либо дефлятором валового внутреннего продукта (дефлятор ВВП), либо индикатором индекса потребительских цен (ИПЦ).Дефлятор ВВП — это общий индекс инфляции в экономике; Индекс ИПЦ измеряет изменения уровня цен на широкую корзину потребительских товаров «. Каждый месяц Бюро статистики труда (BLS) публикует пресс-релиз, в котором сообщается о последних изменениях ИПЦ по категориям продуктов и для нескольких крупных мегаполисов в Соединенные Штаты. Другим показателем инфляции является индекс цен цепочки расходов на личное потребление или индекс цен PCE. Индекс цен PCE публикуется Бюро экономического анализа и измеряет инфляцию по корзине товаров, покупаемых домашними хозяйствами.
Что вызывает инфляцию?
Экономисты различают два типа инфляции: инфляция спроса и инфляция затрат. Оба типа инфляции вызывают повышение общего уровня цен в экономике.
Инфляция спроса происходит, когда совокупный спрос на товары и услуги в экономике растет быстрее, чем производственные возможности экономики. Один из потенциальных потрясений для совокупного спроса может исходить от центрального банка, который быстро увеличивает предложение денег.См. Диаграмму 1 для иллюстрации того, что может произойти в результате этого шока. Увеличение денег в экономике увеличит спрос на товары и услуги с D0 до D1. В краткосрочной перспективе предприятия не могут значительно увеличить производство, и предложение (S) остается постоянным. Равновесие экономики перемещается из точки A в точку B, и цены будут иметь тенденцию к росту, что приведет к инфляции.
Инфляция издержек, с другой стороны, происходит, когда цены на вводимые ресурсы производственного процесса увеличиваются.Быстрое повышение заработной платы или рост цен на сырье — частые причины инфляции этого типа. Резкий рост цен на импортируемую нефть в 1970-е годы является типичным примером инфляции издержек (см. Диаграмму 2). Рост цен на энергоносители привел к росту затрат на производство и транспортировку товаров. Более высокие производственные затраты привели к снижению совокупного предложения (с S0 до S1) и увеличению общего уровня цен, поскольку точка равновесия переместилась из точки Z в точку Y.
Хотя указанные выше различия в инфляции могут показаться простыми, причины изменений уровня цен, наблюдаемых в реальной экономике, часто гораздо более сложны.В динамичной экономике может быть особенно сложно выделить единственную причину изменения уровня цен. Однако знание того, что такое инфляция и какие условия могут ее вызвать, — отличное начало!
Дополнительная литература
Парри, Роберт Т. «Проблемы в прогнозе инфляции». Еженедельное письмо FRBSF 96-09, Федеральный резервный банк Сан-Франциско. 1 марта 1996 г.
/econrsrch/wklyltr/wl9609.html
Лансинг, Кевин Дж. «Изучение причин большой инфляции» FRBSF Economic Letter 2000-21, Федеральный резервный банк Сан-Франциско.7 июля 2000 г.
/econrsrch/wklyltr/2000/el2000-21.html.
Брайан, Майкл Ф. «Это дороже или просто дороже?» Экономический комментарий 2002 г. , Федеральный резервный банк Кливленда. 15 мая 2002 г.
http://www.clevelandfed.org/research/com2002/0515.pdf .
Гэвин, Уильям Т. и Рэйчел Дж. Мандал. «Прогнозирование инфляции: пища для размышлений». Региональный экономист Федеральный резервный банк Сент-Луиса.Январь 2002 г.
http://www.stls.frb.org/publications/re/2002/a/pages/lead-article.html.
Банкноты
Календарь предстоящих дат выпуска ИПЦ доступен в BLS:
http://www.bls.gov/cpi/cpireldates2003.htm.
Ресурсы
Баумоль, Уильям Дж. И Алан С. Блиндер. Экономика; Принципы и политика . 1988. Харкорт Брейс Йованович, Издательство. Сан Диего.
МакКоннелл, Кэмпбелл Р.и Стэнли Л. Брю. Экономика . 1996. McGraw-Hill, Inc., Нью-Йорк.
Самеульсон, Пол А. и Уильям Д. Нордхаус. Экономика . 1998. Ирвин МакГроу-Хилл. Бостон.
Бюро экономического анализа (БЭА).
http://www.bea.gov.
Бюро статистики труда (BLS).
http://www.bls.gov.
Что вызывает отрицательную инфляцию или дефляцию?
Что такое дефляция?
Дефляция, или отрицательная инфляция, происходит, когда цены в экономике обычно падают.Это может быть связано с тем, что предложение товаров превышает спрос на эти товары, но также может быть связано с увеличением покупательной способности денег. Покупательная способность может расти из-за сокращения денежной массы, а также сокращения предложения кредита, что отрицательно сказывается на потребительских расходах.
Ключевые выводы
Дефляция — это общее снижение уровня цен на товары и услуги.
Дефляция обычно связана с сокращением предложения денег и кредита, но цены также могут падать из-за повышения производительности и технического прогресса.
Дефляция побуждает людей копить наличные, потому что в будущем они могут купить на доллар относительно больше, чем сейчас — это имеет петли отрицательной обратной связи, которые могут привести к экономической депрессии.
Причины дефляции
Дефляция может быть вызвана сочетанием различных факторов, в том числе нехваткой денег в обращении, что увеличивает стоимость этих денег и, в свою очередь, снижает цены; производство большего количества товаров, чем существует спрос, что означает, что предприятия должны снизить свои цены, чтобы люди покупали эти товары; нехватка денег в обращении, из-за чего те, у кого есть деньги, держатся за них, а не тратят; и снижение спроса на товары в целом, что снижает расходы.
По определению, денежная дефляция может быть вызвана только уменьшением предложения денег или финансовых инструментов, которые можно погасить деньгами. В наше время на денежную массу больше всего влияют центральные банки, такие как Федеральная резервная система. Когда предложение денег и кредита падает без соответствующего уменьшения объема производства, цены на все товары имеют тенденцию к падению. Периоды дефляции чаще всего возникают после длительных периодов искусственной денежной экспансии. Начало 1930-х годов было последним случаем значительной дефляции в Соединенных Штатах.Основным фактором этого дефляционного периода было падение денежной массы после катастрофических банкротств банков. Другие страны, такие как Япония в 1990-х годах, испытали дефляцию в наше время.
Всемирно известный экономист Милтон Фридман утверждал, что при оптимальной политике, при которой центральный банк стремится к уровню дефляции, равному реальной процентной ставке по государственным облигациям, номинальная ставка должна быть равна нулю, а уровень цен должен постоянно падать на уровне реальной ставки. представляет интерес.Его теория породила правило Фридмана, правило денежно-кредитной политики.
Однако снижение цен может быть вызвано рядом других факторов: снижением совокупного спроса (уменьшение совокупного спроса на товары и услуги) и повышением производительности. Снижение совокупного спроса обычно приводит к последующему снижению цен. Причины этого сдвига включают сокращение государственных расходов, крах фондового рынка, желание потребителей увеличить сбережения и ужесточение денежно-кредитной политики (более высокие процентные ставки).
Падение цен также может произойти естественным образом, когда объем производства в экономике растет быстрее, чем предложение денег в обращении и кредита. Это происходит особенно в тех случаях, когда технологии повышают производительность экономики и часто концентрируются на товарах и отраслях, которые извлекают выгоду из технологических улучшений. По мере развития технологий компании работают более эффективно. Эти эксплуатационные улучшения приводят к снижению производственных затрат и экономии средств, передаваемой потребителям в виде более низких цен.Это отличается, но похоже на общую дефляцию цен, которая представляет собой общее снижение уровня цен и повышение покупательной способности денег.
Дефляция цен за счет повышения производительности отличается в отдельных отраслях. Например, подумайте, как повышение производительности влияет на технологический сектор. За последние несколько десятилетий усовершенствования технологий привели к значительному снижению средней стоимости гигабайта данных. В 1980 году средняя стоимость одного гигабайта данных составляла 437 500 долларов; к 2014 году средняя стоимость составляла 3 цента.Это снижение привело к значительному падению цен на производимую продукцию, в которой используется эта технология.
Последствия дефляции
Хотя может показаться, что более низкие цены — это хорошо, дефляция может сказаться на экономике, например, когда она вызывает высокий уровень безработицы, и может превратить плохую ситуацию, такую как рецессия, в более худшую ситуацию, такую как депрессия.
Дефляция может привести к безработице, потому что, когда компании зарабатывают меньше денег, они сокращают расходы, чтобы выжить.Это включает закрытие магазинов, заводов и складов и увольнение рабочих. Затем этим работникам приходится сокращать свои собственные расходы, что приводит к еще большему снижению спроса и большей дефляции и вызывает дефляционную спираль, которую трудно сломать. Единственный раз, когда дефляция может работать, не нанося ущерба остальной экономике, — это когда предприятия могут сократить производственные затраты, чтобы снизить цены, например, с помощью технологий. Стоимость технологических продуктов с годами снизилась, но это связано с тем, что стоимость производства этой технологии снизилась, а не из-за снижения спроса.
Дефляционная спираль может возникать в периоды экономического кризиса, такого как рецессия или депрессия, когда объем экономического производства замедляется, а спрос на инвестиции и потребление иссякает. Это может привести к общему снижению цен на активы, поскольку производители вынуждены ликвидировать запасы, которые люди больше не хотят покупать. Как потребители, так и предприятия начинают держаться за ликвидные денежные резервы, чтобы смягчить дальнейшие финансовые потери. Чем больше денег экономится, тем меньше денег тратится, что еще больше снижает совокупный спрос.На этом этапе ожидания людей относительно будущей инфляции также снижаются, и они начинают копить деньги. У потребителей меньше стимулов тратить деньги сегодня, когда они могут разумно ожидать, что их деньги будут иметь большую покупательную способность завтра.
Инфляция
, стимулирующая рост издержек, и инфляция, обусловленная спросом: в чем разница?
Инфляция, вызывающая рост издержек, и инфляция, обусловленная спросом: обзор
Есть четыре основных движущих силы инфляции. Среди них — инфляция издержек или снижение совокупного предложения товаров и услуг, вызванное увеличением себестоимости производства, и инфляция спроса, или увеличение совокупного спроса, классифицируемые по четырем разделам макроэкономики. : домохозяйства, бизнес, правительства и иностранные покупатели.Два других фактора, способствующих инфляции, включают увеличение денежной массы в экономике и снижение спроса на деньги.
Инфляция — это скорость повышения общего уровня цен на товары и услуги. Это, в свою очередь, вызывает падение покупательной способности. Это не следует путать с изменением цен на отдельные товары и услуги, которые постоянно растут и падают. Инфляция происходит, когда цены в экономике в определенной степени повышаются.
Ключевые выводы
Инфляция издержек — это уменьшение совокупного предложения товаров и услуг в результате увеличения себестоимости продукции.
Инфляция спроса — это увеличение совокупного спроса, классифицируемого по четырем сегментам макроэкономики: домохозяйства, бизнес, правительства и иностранные покупатели.
Увеличение стоимости сырья или рабочей силы может способствовать инфляции затрат.
Инфляция спроса может быть вызвана растущей экономикой, увеличением государственных расходов или ростом за рубежом.
Как инфляция может быть полезной для экономики?
Инфляция, вызванная ростом затрат
Совокупное предложение — это общий объем товаров и услуг, производимых экономикой при заданном уровне цен.Когда совокупное предложение товаров и услуг уменьшается из-за увеличения производственных затрат, это приводит к инфляции издержек.
Инфляция издержек означает, что цены «подтолкнули» вверх из-за увеличения стоимости любого из четырех факторов производства — рабочей силы, капитала, земли или предпринимательства, — когда компании уже работают на полную производственную мощность. Компании не могут поддерживать норму прибыли, производя такое же количество товаров и услуг, когда их затраты выше, а их производительность максимальна.
Цена на сырье также может вызвать увеличение затрат. Это может происходить из-за нехватки сырья, увеличения стоимости рабочей силы для производства сырья или увеличения стоимости импорта сырья. Правительство может также увеличить налоги для покрытия более высоких затрат на топливо и энергию, вынуждая компании выделять больше ресурсов на уплату налогов.
Для компенсации увеличение затрат перекладывается на потребителей, вызывая рост общего уровня цен: инфляцию.
Для возникновения инфляции издержек спрос на товары должен быть статическим или неэластичным. Это означает, что спрос должен оставаться постоянным, в то время как предложение товаров и услуг сокращается. Одним из примеров инфляции издержек является нефтяной кризис 1970-х годов. Цена на нефть была увеличена странами ОПЕК, в то время как спрос на сырье остался прежним. Поскольку цена продолжала расти, стоимость готовой продукции также увеличивалась, что приводило к инфляции.
Давайте посмотрим, как работает инфляция издержек, используя этот простой график цены и количества.На приведенном ниже графике показан уровень выпуска, который может быть достигнут на каждом уровне цен. По мере увеличения производственных затрат совокупное предложение уменьшается с AS1 до AS2 (при условии, что производство работает на полную мощность), что приводит к увеличению уровня цен с P1 до P2. Обоснование этого увеличения заключается в том, что для поддержания или увеличения рентабельности компаниям необходимо будет повысить розничную цену, которую платят потребители, что приведет к инфляции.
Изображение Джули Банг © Investopedia 2019
Инфляция спроса
Инфляция спроса происходит при увеличении совокупного спроса, классифицируемого по четырем сегментам макроэкономики: домохозяйства, предприятия, правительства и иностранные покупатели.
Когда одновременный спрос на продукцию превышает то, что может произвести экономика, четыре сектора конкурируют за покупку ограниченного количества товаров и услуг. Это означает, что покупатели снова «повышают цену» и вызывают инфляцию. Этот чрезмерный спрос, также называемый «слишком много денег в погоне за слишком малым количеством товаров», обычно имеет место в условиях расширяющейся экономики.
В кейнсианской экономике увеличение совокупного спроса вызвано ростом занятости, поскольку компаниям необходимо нанимать больше людей для увеличения своей продукции.
Увеличение совокупного спроса, которое вызывает инфляцию спроса, может быть результатом различной экономической динамики. Например, увеличение государственных расходов может увеличить совокупный спрос, что приведет к повышению цен. Еще одним фактором может быть снижение курса местной валюты, которое приводит к повышению цен на импорт и, для иностранцев, к снижению экспортных цен. В результате закупка импорта сокращается, а покупка экспортной продукции иностранцами увеличивается. Это повышает общий уровень совокупного спроса при условии, что совокупное предложение не может успевать за совокупным спросом в результате полной занятости в экономике.Взаимодействие с другими людьми
Быстрый рост за рубежом также может спровоцировать рост спроса, поскольку иностранцы потребляют все больше экспортных товаров. Наконец, если правительство снижает налоги, у домашних хозяйств остается больше располагаемого дохода в карманах. Это, в свою очередь, приводит к росту доверия потребителей, что стимулирует потребительские расходы.
Снова посмотрев на график цена-количество, мы можем увидеть взаимосвязь между совокупным спросом и предложением. Если совокупный спрос увеличится с AD1 до AD2, в краткосрочной перспективе это не изменит совокупного предложения.Вместо этого это вызовет изменение поставляемого количества, представленное движением по кривой AS. Причина отсутствия сдвига в совокупном предложении заключается в том, что совокупный спрос имеет тенденцию быстрее реагировать на изменения экономических условий, чем совокупное предложение.
По мере того как компании реагируют на более высокий спрос увеличением производства, затраты на производство каждой дополнительной продукции возрастают, что выражается изменением с P1 на P2. Это потому, что компаниям нужно будет платить работникам больше денег (например,g., сверхурочные) и / или инвестируйте в дополнительное оборудование, чтобы не отставать от спроса. Подобно инфляции издержек, инфляция спроса может возникнуть, когда компании перекладывают более высокие производственные затраты на потребителей, чтобы поддерживать уровень своей прибыли.
Изображение Джули Банг © Investopedia 2019
Особые соображения
Есть способы противостоять как инфляции издержек, так и инфляции спроса, которые заключаются в применении различных мер политики.
Чтобы противостоять инфляции издержек, необходимо проводить политику со стороны предложения с целью увеличения совокупного предложения.Для увеличения совокупного предложения налоги могут быть снижены, а центральные банки могут проводить ограничительную денежно-кредитную политику, достигаемую за счет повышения процентных ставок.
Противодействие инфляции спроса будет достигнуто за счет проведения правительством и центральным банком сдерживающей денежно-кредитной и фискальной политики. Это будет включать повышение процентной ставки; то же самое, что противодействие инфляции издержек, потому что она приводит к снижению спроса, сокращению государственных расходов и увеличению налогов — все меры, которые могут снизить спрос.
Узнайте о причинах и последствиях дефляции
Что такое дефляция?
Дефляция — снижение общего уровня цен на товары и услуги. Другими словами, дефляция — это отрицательная инфляция. Когда это происходит, стоимость валюты USD / CAD Валютный кросс Валютная пара USD / CAD представляет собой котируемый курс обмена США на CAD или количество получаемых канадских долларов за доллар США. Например, курс доллара США к канадскому доллару, равный 1,25, означает, что 1 доллар США эквивалентен 1.25 канадских долларов. На обменный курс доллара США / канадский доллар влияют экономические и политические силы, оба из которых со временем растут. Таким образом, за ту же сумму денег можно приобрести больше товаров и услуг.
Дефляция широко рассматривается как экономическая «проблема», которая может усилить рецессию или привести к дефляционной спирали.
Причины дефляции
Экономисты определяют две основные причины дефляции в экономике: (1) падение совокупного спроса и (2) увеличение совокупного предложения Закон предложения Закон предложения является основным принципом в экономике, который утверждает, что при условии, что все остальное является постоянным, рост цен на товары.
Падение совокупного спроса вызывает снижение цен на товары и услуги. Некоторые факторы, ведущие к снижению совокупного спроса:
Падение денежной массы
Центральный банк Федеральный резерв (ФРС) Федеральный резерв является центральным банком Соединенных Штатов и финансовым органом, стоящим за крупнейшим в мире банком. свободная рыночная экономика. может использовать более жесткую денежно-кредитную политику, увеличивая процентные ставки Процентная ставка Процентная ставка означает сумму, взимаемую кредитором с заемщика за любую форму предоставленного долга, обычно выраженную в процентах от основной суммы долга.. Таким образом, люди вместо того, чтобы сразу тратить свои деньги, предпочитают их больше откладывать. Кроме того, повышение процентных ставок приводит к увеличению затрат по займам, что также препятствует расходам в экономике.
Снижение уверенности
Негативные события в экономике, такие как рецессия, также могут вызвать падение совокупного спроса. Например, во время рецессии люди могут стать более пессимистичными в отношении будущего экономики. Впоследствии они предпочитают увеличивать свои сбережения и сокращать текущие расходы.
Увеличение совокупного предложения — еще один триггер для дефляции. Впоследствии производители столкнутся с более жесткой конкуренцией и будут вынуждены снизить цены. Рост совокупного предложения может быть вызван следующими факторами:
Снижение производственных затрат
Снижение цен на основные производственные ресурсы (например, нефть) приведет к снижению производственных затрат. Производители смогут увеличить выпуск продукции, что приведет к переизбытку предложения в экономике.Если спрос останется неизменным, производителям придется снизить цены на товары, чтобы люди их покупали.
Технологический прогресс
Технологический прогресс или быстрое применение новых технологий в производстве могут вызвать увеличение совокупного предложения. Технологический прогресс позволит производителям снизить затраты. Таким образом, цены на продукцию, скорее всего, будут снижаться.
Эффекты дефляции
Часто дефляция происходит во время спадов.Это считается неблагоприятным экономическим событием и может вызвать множество негативных последствий для экономики, в том числе:
Рост безработицы
Во время дефляции уровень безработицы вырастет. Поскольку уровень цен снижается, производители, как правило, сокращают свои расходы за счет увольнения своих сотрудников.
Увеличение реальной стоимости долга
Дефляция связана с увеличением процентных ставок, что приведет к увеличению реальной стоимости долга.В результате потребители могут отложить свои расходы.
Дефляционная спираль
Это ситуация, когда снижение уровня цен запускает цепную реакцию, которая приводит к снижению производства, снижению заработной платы, снижению спроса и даже более низкому уровню цен. Во время рецессии спираль дефляции представляет собой серьезную экономическую проблему, поскольку она еще больше ухудшает экономическую ситуацию.
Дополнительные ресурсы
Для дополнительного обучения CFI предлагает широкий спектр онлайн-курсов по экономике, бухгалтерскому учету и финансовому анализу.Чтобы продолжить карьеру, вам будут полезны следующие ресурсы CFI:
Экономические индикаторы Экономические индикаторы Экономический индикатор — это показатель, используемый для оценки, измерения и оценки общего состояния макроэкономики. Экономические показатели
Валовой национальный продукт Валовой национальный продукт Валовой национальный продукт (ВНП) является мерой стоимости всех товаров и услуг, производимых резидентами страны и предприятиями. Это
Рыночная экономика Рыночная экономика Рыночная экономика определяется как система, в которой производство товаров и услуг регулируется в соответствии с меняющимися желаниями и возможностями
Паритет покупательной способности Паритет покупательной способности Концепция паритета покупательной способности (ППС) — это инструмент, используемый для создания многосторонние сопоставления национального дохода и уровня жизни
Экономика 504
Схема главы 3
I.АНАЛИЗ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
A. Общие определения и комментарии
1. Закон спроса гласит, что потребители будут покупать больше товаров в более низкие цены и меньше товаров по более высоким ценам.
2. Закон предложения гласит, что производители будут продавать меньше товаров по более низким ценам. и многое другое по более высоким ценам.
3.Равновесие выходит, когда нет причин для изменения ситуации.
а. При выходе из равновесия количество людей, планирующих купить, равно количество, которое производители планируют продать.
б. Законы спроса и предложения заставляют рынок двигаться к равновесию.
B. Другие факторы спроса
1.Изменения в факторах спроса, помимо цены на товар, приведут к изменению спроса.
а. Увеличение спроса изображается как сдвиг спроса вправо. изгиб.
б. Увеличение спроса означает, что потребители планируют покупать больше добро по каждой возможной цене.
с. Снижение спроса изображается как сдвиг кривой спроса влево
d.Снижение спроса означает, что потребители планируют покупать меньше хорошо по каждой возможной цене.
2. Цена сопутствующих товаров является одним из других факторов, влияющих на спрос.
а. Сопутствующие товары классифицируются как заменители или дополнения.
1. Заменители — это товары, которые удовлетворяют аналогичную потребность или желание.
а. Увеличение цены на товар приведет к увеличению спроса на его заменитель, в то время как снижение цены на товар приведет к уменьшению спроса на его заменитель.
2. Дополнения — это товары, которые используются совместно.
а. Увеличение цены на товар приведет к снижению спроса на его дополнение, в то время как снижение цены на товар увеличит спрос на его дополнение.
3. Доход — еще один фактор, который может повлиять на спрос.
а. Если товар является обычным товаром, увеличение дохода приведет к увеличению спросом, в то время как снижение доходов приведет к снижению спроса.
б. Если товар является некачественным товаром, увеличение дохода приведет к снижению спроса, а уменьшение дохода увеличит спрос.
С.Другие факторы предложения
1. Изменения в других факторах предложения приведут к изменению предложения.
а. Увеличение предложения изображается как сдвиг кривой предложения вправо.
б. Увеличение предложения означает, что производители планируют продавать больше товаров. по каждой возможной цене.
с.
Оставить комментарий on Какой из перечисленных ниже факторов мог привести к снижению цен на товар а: Маркетинг_шпора_алф/
Онлайн конвертер док в докс: Он-лайн конвертер docx
alexxlab / 02.01.197014.07.2021 / Разное
Конвертируйте в формат .doc от Word
Ошибка: количество входящих данных превысило лимит в 3.
Чтобы продолжить, вам необходимо обновить свою учетную запись:
Ошибка: общий размер файла превысил лимит в 100 MB.
Чтобы продолжить, вам необходимо обновить свою учетную запись:
Ошибка: общий размер файла превысил абсолютный лимит в 8GB.
Для платных аккаунтов мы предлагаем:
Премиум-пользователь
Вплоть до 8GB общего размера файла за один сеанс конвертирования
200 файлов на одно конвертирование
Высокий приоритет и скорость конвертирования
Полное отсутствие рекламы на странице
Гарантированный возврат денег
Купить сейчас
Бесплатный пользователь
До 100 Мб общего размера файла за один сеанс конвертирования
5 файлов на одно конвертирование
Обычный приоритет и скорость конвертирования
Наличие объявлений
Мы не может загружать видео с Youtube.
Лайфхак. Как перевести из PDF в Word и обратно?

Лайфхак. Как перевести из PDF в Word и обратно?

Согласитесь, знакомая ситуация – нужно срочно конвертировать документ из формата PDF в формат DOC или DOCХ. Зачем? Например, в документе пдф нам понадобилось что-то исправить. Или преподаватель требует сдать работу именно в таком формате. Время не ждет, и нужно сделать все в темпе. Прямое копирование текста из pdf в word — далеко не лучший выход. Он применим, если текст в файле пдф не защищен от копирования, но часто формулы и форматирование «плывут». В результате, вместо красивого и аккуратного текста, над которым мы столько трудились, на выходе получаем абы-что. Это не то что преподавателю, это и друзьям показать стыдно.
Как избежать подобной ситуации и решить вопрос быстро и элегантно? Рассказываем!
Для начала, разберемся, что это за форматы такие, и для чего каждый предназначен.
PDF — Portable Document Format. Этот формат создан специалистами компании Adobe Systems и предназначен для хранения текстовых документов, изображений, электронных книг. Его главная особенность такова – при открытии на любом компьютере, в принципиально разных ОС, Ваш документ будет выглядеть совершенно одинаково. Информационные потери в этом формате сведены к нулю. Именно поэтому пдф находит такое широкое применение. Документ пдф удобен и прост в использовании, занимает мало места на диске. С другой стороны, возможность редактирования такого документа очень ограничена.
DOC, DOCX – всем известная разработка компании Microsoft, формат файлов программы Word, позволяющей создавать и редактировать текстовые документы. Если нужна задача по сканированию и распознаванию текста, то рекомендуем указанную по ссылке статью.
Как перевести из PDF в Word
Итак, как перевести одно в другое?
Начнем с перевода PDF- DOC.
Можно использовать онлайн конвертеры, которых на просторах интернета великое множество. Конвертер — это такая программа перевода из пдф в ворд онлайн, т.е в режиме реального времени. Другое дело, что, как показывает практика, не каждый из них справляется с задачей. Качественно конвертировать текст из пдф в ворд могут не все существующие сервисы. Многие бесплатные конвертеры очень любят превратить текст в набор «кракозябликов». Чтобы Вы не столкнулись с такими, вот Вам заранее проверенные нами исправные конвертеры, совершающие преобразование пдф-ворд совершенно бесплатно:
http://pdf2doc.com/ru/
https://smallpdf.com/ru/pdf-to-word
http://www.pdftoword.ru/
Просто загружаете Ваш документ, и через пару минут достаете его же, но в другом формате.
Если Вам по какой-то причине неудобно заходить на сайт и конвертировать документ в режиме онлайн, то следует рассмотреть программы-конвертеры из одного формата в другой. Программы платные, но что поделать – за все в этом мире нужно платить. Одна из них называется First PDF. Если Вы скачаете и установите эту программу, расплачиваться за пользование ей придется, но, правда, не сразу. Целый месяц можно пользоваться пробной версией. Интерфейс программы выглядит вот так: First PDF
Перевод из пдф в ворд онлайн с помощью Google. Практически у каждого есть почта на сервисе гугл. Итак, закачиваем наш документ в пдф на гугл-диск, затем выбираем “Открыть с помощью”, далее – “Google документы”. В открывшемся документе выбираем «Файл» — «Скачать как» — «Microsoft Word (DOCX)». Все, вуаля, готово.
Жизнь – сложная штука, и в ней бывают ну совсем уж сложные случаи. Например, Ваш текст изобилует формулами, и ни один конвертер не справляется с переводом в другой формат. В таком случае, Вы можете обратиться к нашим специалистам, которые при необходимости вручную доведут Ваш текст до совершенства. Точнее, почти до совершенства. Ведь мы, как образованный люди, знаем, что абсолютного совершенства в нашем мире нет, и быть не может.
Перевести из PDF в Word и обратно
А если переводить формат обратно? Иными словами, как ворд сохранить в pdf? В данном случае все гораздо проще. Если кто-то не знал — знайте! Ворд прекрасно умеет сохранять файлы в формате пдф – так что, при сохранении документа просто указывайте нужный формат. Собственно, сохранять в пдф умеют все программы Майкрософт Офис.
Искренне надеемся, что данная статья принесет Вам пользу. Ведь так приятно узнавать что-то новое каждый день. Оставайтесь с нами!
Автор: Иван
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Почему при конвертировании ворд в пдф съезжает. Как преобразовать документ Word (doc) в PDF файл, а так же конвертировать его в FB2
PDF — это один из популярнейших электронных форматов. Необходимость перевода прочих файлов в PDF может появиться при разных обстоятельствах. Чаще всего в PDF переделывают документы Word, но при желании можно выполнить конвертацию практически любого файла. Следующее руководство поможет вам разобраться, как это сделать.
Конвертация Word-файлов
В Ворде присутствует встроенный конвертер. Его можно использовать для получения PDF-документов. Сначала вы оформляете простой вордовский документ с текстом и требуемыми дополнительными элементами, форматируете его нужным образом, а на этапе сохранения выбираете следующий вариант:
При этом конвертер дает возможность выбрать, будет ли файл сохранен в сжатом виде «для Веба», либо же документ сохранится в максимально высоком качестве. На практике разница в итоговом размере не особо ощутима. Готовый PDF будет иметь заметно больший размер по сравнению с исходным документом Word.
Универсальный метод конвертирования файлов в.PDF
Для преобразования любых текстовых и графических файлов в PDF используйте специальный софт. Утилит, имеющих такие функции, достаточно много. Одним из наиболее простых и одновременно с этим функциональных приложений является doPDF. Утилита распространяется полностью бесплатно.
Приложение устанавливается на компьютер как виртуальный драйвер для печати. Это делает утилиту универсальным конвертером, позволяющим сохранять в PDF документы из любых программных продуктов, в которых доступна функция печати файлов.
Сама инсталляция проводится в порядке, аналогичном процессу установки любых других приложений. Вначале установщик спросит вас, необходимо ли устанавливать специальное дополнение для Word.
После успешного завершения инсталляции программы вы сможете переводить любые файлы, которые можно было бы распечатать, в PDF. Для этого зайдите в настройки печати и выберите из выпадающего меню виртуальный принтер с именем программы.
На вкладке «Свойства» доступен выбор разрешения для печати. Также при сохранении можно устанавливать качество PDF файла. Если документ оформлен с применением нестандартных шрифтов, отметьте строку «Embed fonts» галочкой. Благодаря этому сторонние шрифты будут сохранены в окончательном PDF.
Если в начале установки вы не отказались от инсталляции дополнения для MS Word, на панели офисного редактора появится новая вкладка. По ней доступны предлагаемые утилитой инструменты и настройки для сохранения в PDF.
Настройки, по своей сути, никак не меняются, но кнопка делает работу с утилитой более удобной.
Теперь вы сможете конвертировать в PDF практически любые файлы без особого труда, надеюсь вам понравилась моя статья, а если у вас возникли вопросы или вы знаете способ проще и лучше, то пишите в комментарии!
Конвертировать файлы doc и docx в PDF может понадобиться по разным причинам, так как формат PDF является универсальным для всех устройств на разных операционных системах. Способов сделать это несколько: воспользоваться онлайн конвертерами, использовать Microsoft Office Word 2010 и старше, скачать себе на компьютер один из конвертеров на выбор. В данной статье будет рассмотрено два основных способа с наглядными примерами.
Как перевести Вордовский документ в ПДФ через Microsoft Office Word
Прежде всего, вам нужно иметь на своем компьютере версию Ворд не моложе 2010 года. Если вы пользуетесь версией 2007 года, либо 2003, то нужно скачать специальную утилиту от официального разработчика. Установив её, в программе появится возможность сохранять документ сразу в формате PDF. Для всех остальных версий справедлив такой алгоритм:
Создайте doc файл, либо откройте уже готовый.
Кликните на кнопку “Файл” в самом верхнем левом углу программы.
Во всплывающем списке кликните на строку “Сохранить как”.

В появившемся окне выберите директорию сохранения документа. Под строкой с названием файла вы увидите поле “Тип файла”. Откройте его и отыщите формат PDF в списке, кликните на него.
Нажмите “Ок” для сохранения.

Теперь в указанной директории вы увидите не doc файл, а PDF, сразу сохраненный в программе Word. При его открытии будет загружаться не Microsoft Office Word, а программа для чтения PDF, выбранная у вас по умолчанию.

Попробуйте открыть сохраненный файл двойным нажатием. В данном случае, документ будет загружаться в Adobe Acrobat Reader.

Как перевести Вордовский документ в ПДФ через онлайн конвертеры
Если с вашей программой MS Office Word возникли какие-либо проблемы, либо вы попросту не имеете к ней доступа, то лучше воспользоваться онлайн программами для преобразования формата.doc в.pdf, которых в сети интернет большое множество. Попробуйте ввести соответствующий поисковой запрос и самостоятельно выбрать сервис, либо воспользуйтесь этим: http://convertonlinefree.com.
Пролистав страницу вниз, вы увидите специальную форму для загрузки документа. Кликните на кнопку “Обзор”.

Найдите папку расположения Вордовского файла, который требуется преобразовать в PDF, отметьте его мышкой и нажмите “Открыть”.

На сайте сразу же появится имя документа, рядом вы увидите кнопку “Конвертировать”. Чтобы приступить к процессу преобразования, нажмите на неё.

Если у вас стабильное интернет соединение и файл имеет небольшой объём, то сайту понадобится несколько секунд для конвертации. Однако, при большом объёме информации, либо плохом и медленном интернете, вам придётся подождать подольше. Если время ожидания превышает пятнадцать минут, то перейдите на зеркало сайта по указанной над формой ссылке: попробуйте использовать для преобразования его.
Как только процедура завершится, автоматически появится окно сохранения файла. Нажмите “Сохранить файл”.

Выберите желаемую директорию, по желанию измените имя документа. Теперь PDF файл сохранен на вашем компьютере, а исходный doc или docx документ остался нетронутым.

Оба способа занимают относительно короткое количество времени, вся разница заключается в том, что для первого варианта вам понадобится программа MS Office Word не ранее 2010 года выпуска, а для второго – стабильная работа интернета.
Попробуйте оба метода и выберите для себя наиболее комфортный.
Максимальный размер файла!»
Выбранный вами файл превышает максимально допустимый размер файла 10 МБ. Он не был добавлен.
Если вы хотите увеличить лимит до 20 МБ, зарегистрируйтесь бесплатно. И, если вам нужно больше, вы можете подписаться на Hipdf Pro и получить до 50 МБ.
Вход Регистрация
Максимальный размер файла!»
Выбранный вами файл превышает максимально допустимый размер файла 20 МБ. Он не был добавлен.
Если вы хотите увеличить лимит до 50 МБ, обновите его до Hipdf Pro.
{{ mutiExceddsTip }}
Выбранный вами файл превышает максимально допустимое количество страниц. Он не был добавлен.
Если вы хотите увеличить лимиты до 100 страниц, пожалуйста, зарегистрируйтесь бесплатно. А, если вам нужно больше, вы можете подписаться на Hipdf Pro и получить до 2000 страниц.
Вход Регистрация
Максимальное количество страниц превышено!
Выбранный вами файл превышает максимальное количество разрешенных страниц. Он не был добавлен.
Если вы хотите увеличить лимит до 2000 страниц, перейдите на пакет Hipdf Pro.
{{ mutiExceddsTip }}
Подписаться на Hipdf Pro Нет, спасибо
{{ file.file_name | subLengthStr(80) }}
Идёт конвертация %…
Эта функция доступна только подписчикам Hipdf Pro
Подписаться на Hipdf Pro Конвертировать без OCR

Это отсканированный PDF-документ, выполнение OCR позволит вам редактировать текст после преобразования. Файл PDF содержит отсканированные страницы, если вы хотите бесплатно конвертировать этот PDF-документ в редактируемый документ, используя наш мощный движок OCR, сначала войдите в систему.
Язык документа: {{ ocrLanguage.join(«, «) }}
Изменить язык
Привет друзья, сегодня я хочу вам рассказать о 4-х способах конвертации документа word в pdf-формат. Когда был полностью написан и оформлен мой , передо мной постала задача сконвертировать готовый word-файл со скриншотами довольно внушительного размера в формат приемлемый для большинства пользователей. Выбор практически сразу пал на pdf-формат, так как именно он отличается высоким качеством при преобразовании и сжатием размера документа, что очень хорошо, особенно для материалов с графикой. В процессе поиска подходящих ресурсов для преобразования свой выбор я остановил на 2-x сервисах, которые работают в on-line режиме, и десктопной программе – работу, которой мы рассмотрим далее. Также есть возможность конвертирования, прямо с текстового редактора Word.
Быстрая конвертация word в pdf
Конвертация с помощью Microsoft Word.
В принципе это самый простой способ конвертации документов. Для того, чтобы у вас появилась возможность напрямую конвертировать из приложения Word, скачайте приложение – «Надстройка 2007 Microsoft Office: сохранение в формате PDF или XPS (Майкрософт)» и установите его.
Начиная с версии Microsoft Word 2007 эта функция уже добавлена по умолчанию!
On-line сервис для конвертации №1. Переходим по ссылке , в открывшемся окне, нажатием кнопки Обзор выбираем необходимый файл для преобразования, и жмем кнопку Преобразовать.
В зависимости от размера вашего исходного файла, через некоторое время (в период преобразования документа, не закрывайте браузер и не обновляйте страницу) появится запрос на сохранение уже преобразованного файла в pdf-формате. Сохраняете этот файл в удобное для вас место и наслаждаетесь результатом работы.
On-line сервис для конвертации №2. Этот сервис немного сложнее в работе чем предыдущий, но особых сложностей в нем нет. Опять-таки переходим по ссылке , в открывшемся окне жмем зеленую кнопку Upload и выбираем необходимый файл для конвертации, также можно просто перетянуть файл в окно браузера.
После того, как файл в word-формате появится в окошке, перетаскиваем мышкой его в область поля Convert. Вписываем e-mail, на который нам придет ссылка для скачивания файла, и жмем кнопку Convert.
Перед вами сразу появится окошко со словами благодарения за использование их сервиса и уведомлением что на ваш e-mail придет ссылка для скачивания преобразованного файла. В зависимости от размера исходного файла, через некоторое время проверяем почту, и переходим по ссылке для скачивания файла. Конвертация word в pdf выполнена.
Программа для конвертации Pdfcreator. Два предыдущих сервиса хороши и быстрые в работе, но для поклонников десктопных приложения я рекомендую использовать программу Pdfcreator .
Программа устанавливает на компьютер виртуальный драйвер принтера и если вам необходима конвертация word в pdf, то как обычно пускаете документ на печать, только при выборе принтера указываете виртуальный принтер — PDFCreator .
По сравнению с on-line сервисами, программа намного быстрее преобразует файлы большого размера, и я работаю по такому принципу – файлы небольшого размера до 500 KB – преобразование с помощью on-line сервисов, больше 500 KB – с помощью программы Pdfcreator.
Установка и настройка программы Pdfcreator
Сама программа Pdfcreator, устанавливается достаточно просто, поэтому расписывать весь процесс не имеет смысла. Единственный момент, на который хочу обратить ваше внимание, это выбор языка в процессе установки. На скриншоте, я показал, что нужно сделать.
Все, установка программы закончена, и если все сделано правильно, то в списке принтеров установленных в вашей операционной системе, появится виртуальный принтер — PDFCreator
Теперь, если вы хотите провести процедуру конвертации word-документа, то просто выбираете в выпадающем списке, принтер PDFCreator и жмете кнопку ОК.
После этих действий, у вас появится еще одно окно, где можно указать заголовок документа и прочие параметры. Нажимаете кнопку Сохранить, и выбираете место сохранения, уже pdf-документа.
Друзья, из более чем 10-ти протестированных мною сервисов, эти 3 являются наиболее практичны в использовании, и работоспособны. Если знаете еще какие-то хорошие сервисы, пишите в
Формат PDF (портативный формат документа) был разработан компанией Adobe для федеральных властей США для создания и хранения их рабочих документов. В настоящее время PDF используется при публикации, распространении факсов, налоговой отчетности, в образовательных, юридических, финансовых учреждениях, а также обычными пользователями ПК по электронной почте, в сообщениях и других типах корреспонденции. Такой файл легко распечатать и затем использовать для совместной работы. Кроме того, документы в формате PDF достаточно проблематично изменить и взломать. Это формат — взаимно бенефициарное соглашение между отправителем и получателем, таким образом если вы отправите документ в формате PDF, то получатель не сможет редактировать документ. Он будет использоваться, де-факто, как окончательный тип документа и должен быть принят, как он есть – без изменений. Учитывая изложенное выше, онлайн конвертер DOC в PDF — это верный способ избежать больших расходов при документообороте и простой способ получить окончательный документ в формате PDF без установки дополнительного программного обеспечения.
Для чего необходимо конвертировать DOC в PDF онлайн?
Как соблюдается начальный формат WORD документ и гарантируется защита данных после преобразование в формат PDF?
Предположим вы создали документ Word, в котором использовано несколько различных шрифтов и форматов текста. Когда вы передадите документ другому пользователю, существует большая вероятность, что при открытии документа этот пользователь будет иметь проблемы с отображением текста или форматную несовместимость. В PDF же формате шрифты встраиваются, как часть контента, так что проблемы со шрифтом — это редкость для PDF. Кроме того, PDF-файлы являются более безопасными, чем любой иной формат. PDF формат обеспечивает высокую безопасность ваших данных — алгоритмы хеширования, цифровые подписи резко сокращают возможность кражи данных документа или изменения его содержимого, PDF файлы являются обязательными.
Почему я должен использовать ваш онлайн конвертер для преобразования DOC в PDF?
Вы можете найти различные программы и конвертеры доступных в Интернете, которые помогут вам в преобразовании DOC файлов в PDF, однако, в большинстве своём многие являются платными, или имеют ограничения по количеству онлайн конвертаций или могут требовать онлайн регистрации. Некоторые из этих программ могут вызывать трудности при использовании. По этой причине, онлайн конвертеры – хорошая альтернатива дорогостоящим офлайн продуктам. При использовании нашего конвертера Вам просто необходимо следовать инструкциям при конвертации в PDF.
Использование онлайн конвертера DOC в PDF является отличным бюджетным решением.
Основные преимущества формата PDF:
Стандартизация и популярность: PDF документ может быть открыт на любых устройствах с любыми операционными системами точно так, как он был создан — один к одному;
Программы для просмотра PDF: PDF Viewer и Adobe Acrobat Reader, часто уже предустановлены на вашем компьютере, если устройство было отправлено с операционной системой. Если нет, то они доступны для скачивания с официального сайта Adobe Systems и являются полностью бесплатными;
PDF документ занимает гораздо меньше места на жестком диске, чем Word или RTF форматы, потому что он поддерживает много алгоритмов сжатия и хеширования;
Пользователь может самостоятельно настроить параметры безопасности для своего PDF-файла, например: запретить печать, запретить редактирование, использовать электронную подпись для определения подлинности документа и т. д. Это может быть сделано уже после преобразования DOC в PDF нашим онлайн конвертером;
Как открыть файлы DOCX без помощи Microsoft Word
Microsoft Word – ведущее в мире приложение для обработки текстов. Созданные в программе документы имеют собственные фирменные форматы: устаревший .doc и более новый .docx. Хотя эти файлы являются родными для Word, их можно открыть, не владея программой. Бесплатные онлайн-инструменты и приложения позволяют не только читать документы Word, но и редактировать их.
DOCX – это новый стандартный формат документа, впервые представленный в 2007 году вместе с выпуском Microsoft Office 2007. По сравнению с DOC, который для хранения данных использует двоичный файл, новый формат хранит документы в виде набора отдельных папок и файлов в архивном ZIP-пакете. Он содержит три папки (docProps, rels, word) и один XML-файл.
Чтобы изучить содержимое файла DOCX, следует поменять его расширение на .zip, распаковать полученный архив, используя любой архиватор. Разобравшись со структурой родного формата Word, проанализируем способы его открытия с помощью сторонних программ и онлайн инструментов.
LibreOffice Writer
LibreOffice считается одной из лучших бесплатных альтернативных программ Microsoft Office. Это бесплатный кроссплатформенный офисный пакет, содержащий отдельное приложение LibreOffice Writer. Приложение предназначено для замены Word, поскольку может открывать, читать, а также изменять тексты DOCX.
WPS Office
Создан в Китае в качестве замены распространенного Microsoft Office. Содержит три основных редактора: текстовый, презентаций, электронных таблиц. WPS поддерживает многие платформы, включая мобильные. Текстовый редактор совместим с продуктом Microsoft, имеет удобный интерфейс, позволяющий открывать несколько вкладок. Базовая версия может быть использована бесплатно.
OnlyOffice Editors
Это кроссплатформенный офисный пакет, доступный для Windows, Mac и Linux. Содержит текстовый процессор (модуль), совместимый с Microsoft Office. Поставляется с интерфейсом, имеющим отдельные вкладки, что позволяет открывать несколько текстов в одном окне.
Чтобы открыть DOCX с помощью OnlyOffice Editors, необходимо запустить программу на своем компьютере. Когда откроется ее окно, следует нажать на вкладку «Open local file» и выбрать нужный текст. Для создания нового документа можно использовать значок ONLYOFFICE в строке заголовка.
OnlyOffice Editors, по сути, представляет собой облачный офисный пакет, очень похожий на Office 365. Настольная (десктопная) версия приложения также доступна. Скачать настольную версию OnlyOffice Editors можно на его официальном сайте.
AbleWord
AbleWord — простой текстовый редактор, способный открывать и изменять файлы DOCX. В отличие от трех первых инструментов, описанных выше, представляет собой отдельное приложение. Внешний вид интерфейса программы очень похож на Microsoft Word. Открыть текст DOCX с помощью AbleWord можно при помощи вкладок «Файл» – «Открыть» или щелкнуть на значок папки на панели инструментов.
Достоинствами приложения являются небольшой вес установочного дистрибутива, отличное быстродействие, поддержка множества платформ. Недостатками можно назвать ограниченную функциональность и прекращение поддержки со стороны разработчиков.
Zoho Docs
Интернет- сервис Zoho Docs – это онлайн-пакет из трех офисных программ. Текстовый редактор, программа для презентаций, ПО для работы с электронными таблицами объединяются в одну отличную альтернативу Microsoft Office.
Текстовый редактор Zoho поддерживает работу с популярными форматами DOCX. Однако приложение накладывает довольно большое ограничение на размер загружаемых файлов: не более 10 МБ.
Google Docs
Это один из бесплатных способов чтения и изменения документов Microsoft в Интернете. Является частью облачного Google Drive. Доступен только для авторизованных пользователей Google.
Чтобы использовать тексты Word в Google Docs, необходимо сначала загрузить их на Google Drive. После этого загруженные документы можно сохранить с целью резервного копирования или для обмена с другими пользователями.
Для редактирования текстов Word с помощью Google Docs понадобится конвертировать их в формат Google. После конвертации исходные файлы по-прежнему останутся на хранении в учетной записи Google Drive.
Заключение
Пользователям, которым все вышеперечисленные варианты не подойдут из-за создания учетных записей (Google, Zoho), либо по причине нежелания установки сторонних программ на ПК, можно использовать Online Document Viewer. Однако нужно помнить, что этот интернет-сервис позволяет только открывать и читать документы .docx, но не редактировать их.

Работа с форматами doc, docx, rtf, pdf…
В процессе работы с документами нам часто приходится работать с различного рода форматами документов. В этой небольшой заметке разберем известные форматы, а также каким образом и с помощью каких инструментов пользователь может их открыть.
Формат doc
Файлы с расширением doc являются сокращением от английского document. Microsoft использовала данный формат для файлов текстового процессора Word до 2003 версии включительно. Сегодня doc открыть можно как современным текстовым процессором Word, так и устаревшими версиями. Также doc можно открыть текстовым процессором из бесплатного пакета офисных программ Open Office, либо онлайн сервисами работы с текстовыми файлами такими как Office Online и Google Docs.
Существует возможность и сохранить документ в устаревшем формате doc, для этого необходимо воспользоваться командой «Сохранить как…»
Формат docx
Формат doc во многом был неудобен, в работе ввиду своей нестабильности, особенно в плане совместимости с разными версиями Word. В 2007 году вместе с выходом Office 2007 Microsoft сделала основным рабочим форматом для своего текстового процессора Word формат docx, или Open Office XML.
Формат docx является родным форматом для текстового процессора Word начиная с версии 2007, соответственно, открыть docx можно в Word 2007, 2010 или 2013. На самом деле, открыть docx можно и в старой 2000 – 2003й версии Word, однако, для этого придется установить специальное дополнение с сайта Microsoft —пакет обеспечения совместимости.
Пакет обеспечения совместимости позволяет открывать не только файлы формата docx в версиях Word ниже 2007й, но и файлы табличного процессора xlsx в устаревшем табличном процессоре Excel (2000 — 2003), а также формат pptx в устаревшем PowerPoint.
Формат rtf
Это так называемый «формат обогащенного текста» является межплатформенным форматом хранения текста, но в отличие от формата txt, позволяет хранить рисунки в документе. Вопроса «Чем открыть rtf?» не должно возникать, т.к. с ним может работать практически любой текстовый процессор. Например, в Windows системах бесплатный WordPad прекрасно справиться с задачей открытия rtf формата.
Формат txt
Самый простой формат сохранения текста. Его часто ассоциируют с блокнотом в Windows, однако, текстовые файлы может просмотреть даже файловый менеджер. В текстовом файле txt не может быть никаких рисунков или других элементов в принципе.
Формат pdf
Portable Document Format или просто pdf является межплатформенным форматом для электронных документов. Открыть для чтения pdf может бесчисленное множество программ, наверное, самой популярной является Adobe Reader. Начиная с 2013 версии Word может не только сохранять файлы в формате pdf, но открывать для редактирования их. Особенностью данного формата есть то, что напечатанный текст будет в точности таким, каким он представлен в файле pdf. Подробнее о работе с pdf файлами в этом материале.
— Advertisement —
Из PDF в DOCX и обратно

Ещё не так давно, чтобы отредактировать документ в формате PDF, приходилось устраивать танцы с бубнами: искать онлайн-сервис или специальное приложение для конвертирования, заливать туда PDF-файл, скачивать преобразованный документ и только после этого приступать, собственно, к работе.

Теперь всё стало намного проще, ведь в версиях MS Word 2013-2016 возможность конвертировать PDF-файлы в формат обычного документа встроена в саму программу. То есть вам больше не нужно искать какие-то дополнительные решения, можно открыть ваш PDF-файл прямо в Word.

Вот пошаговое описание того, как это сделать:

Шаг первый — запустите программу MS Word.

Шаг второй – кликните на команду «Открыть другие документы», чтобы перейти в раздел открытия файлов.

Шаг третий – нажмите на кнопку «Обзор», чтобы открыть стандартное диалоговое окно.

Шаг четвёртый – выберите нужный PDF-файл и нажмите «Открыть» или просто кликните по файлу два раза.

В результате появится сообщение с предупреждением, что файл будет конвертирован в документ Word. Чтобы продолжить, нажмите ОК.

О том, что конвертация началась, вы узнаете, взглянув на индикатор прогресса на строке состояния.

Сколько времени займёт этот процесс зависит от того, какой размер исходного документа, сколько в нём изображений, каково качество этих изображений и т.д. Чем меньше картинок в документе и чем ниже их качество, тем меньше размер файла и, соответственно, тем быстрее документ будет конвертироваться.

Иногда Word сперва открывает PDF-документ в режиме защищённого просмотра, о чём свидетельствует сообщение под лентой меню.

Как понятно из названия, в этом режиме вы можете читать документ, но не можете его редактировать. Однако, мы открываем PDF-файлы в Word не для того, чтобы только просматривать их, а для того, чтобы вносить в них какие-то изменения. В таком случае вам нужно будет перейти в режим редактирования. Сделать это легко – достаточно нажать на кнопку «Разрешить редактирование» справа на сообщении и снова подтвердить преобразование файла. Когда конвертация закончится, можете начинать работу.

Обратный процесс тоже довольно прост. Если вам нужно преобразовать документ Word в формат PDF, то сделайте вот что:

Шаг первый — перейдите во вкладку «Файл».

Шаг второй — откройте раздел «Экспорт».

Шаг третий — в правой части окна нажмите кнопку «Создать документ PDF/XPS».

Шаг четвёртый – в стандартном диалоговом окне укажите папку для сохранения документа, если нужно, поменяйте его название и нажмите кнопку «Опубликовать».

Как видите, конвертировать PDF-файлы в формат обычного документа и обратно очень просто. Но главное, вам не нужно тратить время на поиск специальных приложений, ведь всё можно сделать прямо в Word.
Как конвертировать doc в fb2 и epub
Делюсь собственным опытом по преобразованию вордовских документов (книг или структурированных определенным образом каких-либо работ) в форматы читалок fb2 и epub. Скажу сразу, что напрямую конвертирование doc в epub ни одной из нескольких десятков перепробованных программ к желаемому результату не приводит: то сносок нет, то содержание дублируется, то еще что-нибудь обязательно выползает. И даже такой гигант как «calibre» с этим грамотно не справляется.
Выход очень простой и одновременно полезный – нужно конвертировать документ Word в формат fb2. Полезность заключается в том, что вместо одного популярного формата для различных ридеров, вы получаете сразу два, ну и плюс ко всему редактировать его гораздо проще, чем формат epub.
Правильное оформление исходного документа в doc
Итак, начнем подробнейшим образом разбираться с самим процессом преобразования. Для начала необходимо убедиться, что исходный текстовый документ у вас оформлен и отформатирован надлежащим образом. Мало кто знает и использует такие полезные вещи в Ворде, как заголовки, разрывы страниц, сноски и многое другое. Привожу в качестве примера небольшой документ, предполагаемую книгу, которая специально оформлена неправильно. Скачать ее можно, кликнув на скриншот.
Сразу бросается в глаза безобразное оформление: заголовки выделены только с помощью жирности, сноски просто помечены курсивом, а каждая последующая глава идет без какого-либо малейшего разрыва от предыдущей. Что ж, придется отформатировать текст должным образом. Для начала избавимся от лишних абзацев и сделаем название каждой главы на новой странице, причем отформатируем его именно как Заголовок. Включаем отображение непечатаемых знаков.
Перед каждой главой ставим курсор и нажимаем Ctrl+Enter. Указанное сочетание клавиш создаст разрыв страницы и перенесет нашу главу на новый лист. Удаляем лишний перенос строки перед названием главы. Выделяем само название и идем в «Стили». Здесь нужно выбрать «Заголовок 1», после чего можно продолжить форматировать название: выравнивать по центру, менять размер и сам шрифт.

Проделываем эту процедуру с каждой главой. Для чего это нужно? Во-первых, это правильное оформление текста, ну а во-вторых, подобная разметка сильно поможет впоследствии в автоматическом формировании активного (кликабельного) оглавления на читалках.
Двигаемся дальше. Всякая уважающая себя книга имеет обложку, поэтому мы не будем отставать от традиций и вставим изображение (обложку) в самое начало документа.
Осталось разобраться со сносками и наша будущая книга почти готова. Напоминаю, что сейчас сноски оформлены неправильно, точнее вовсе никак не оформлены, а идут сплошным текстом.
Но это как раз легко исправить. Ставим курсор непосредственно в конце текста, после которого должна идти сноска и нажимаем комбинацию клавиш Alt+Ctrl+F. Рядом с текстом появится маленькая цифра, номер сноски, а в конце страницы (курсор сам переместится в нужное место) можно вставить сам текст сноски.
Оформляем подобным образом все сноски в тексте и на этом работа с исходным документом окончена. На всякий случай еще раз оговорюсь, что мы не ставим перед собой целью оформление документа абсолютно правильно, по ГОСТу и так далее. Мы его отформатировали только для того, чтобы на следующих этапах получались правильные книги в формате fb2 и epub.
Конвертирование doc в fb2
На мой взгляд, самой лучшей, удобной и наиболее правильной конвертирующей документ в fb2 программой является «FictionBook Tools». Она единственная в своем роде, которая правильно определяет и форматирует сноски в fb2. Да и скорость работы у нее шикарнейшая. Итак, скачиваем программу, устанавливаем (либо можно воспользоваться архивом в конце статьи и распаковать в любое место на диск). Кладем в папку с этой программой наш отформатированный doc-файл «Correct.doc» и запускаем приложение «doc2fb.hta».
Заходим в настройки и ставим галочку «Определять сноски как». Это если у вас в исходном документе сноски присутствуют. Если же их нет, то в настройках нам делать нечего вовсе, там все и так правильно выставлено по умолчанию.
Нажимаем кнопку «Преобразовать» и ждем, когда чуть ниже нее в «Журнале» появится новый пункт «Преобразованные файлы».

Таким образом программа нам дает знать, что процесс конвертации закончен. Смотрим папку с программой и обнаруживаем там появление нашей книги уже в формате fb2.
Редактирование fb2
В принципе, книгу уже можно открывать на электронных читалках и в таком виде, но я предлагаю все-таки ее немножко отредактировать и сделать более корректной. Для этого можно воспользоваться замечательной программой «FictionBook Editor», а если же вы уже съели не одну собаку на этом деле, то вам вполне может быть достаточно и любого текстового редактора. Я же буду рассматривать процесс редактирования именно через указанную выше программу.
Итак, запускаем ее (естественно, после скачивания и установки) и открываем в ней нашу книгу. Мы видим, что книга вполне себе читается, и даже отображаются обложка и сноски. Но явно не хватает автора и названия книги, да и эпиграф почему выглядит обычным текстом. Поэтому сразу идем в режим редактирования кода.
Первое, что надо сделать, это указать жанр, к которому относится наша книга. Проще всего это сделать войдя в режим «Описание документа» и выбрав соответствующий жанр из выпадающего списка.
Там же можно указать ФИО автора книги, название книги, ее язык и прочие атрибуты. После этого возвращаемся в режим редактирования кода. Сразу же переходим к разделу Body и его первой секции.
Так как у нас уже есть обложка, то строку
«<subtitle><image l:href="#doc2fb_image_03000001.png"/></subtitle>»
смело удаляем. А вот этот кусок текста:
<section>
<empty-line/>
<subtitle><strong>Заголовок книги</strong></subtitle>
<subtitle><strong>Автор книги</strong></subtitle>
<empty-line/>
<p><emphasis>Текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа Автор эпиграфа</emphasis></p>
</section>
<section>
<title>
<p>Название 1 главы</p>
</title>
Заменяем на:
<title>
<p>Заголовок книги</p>
<p>Автор книги</p>
</title>
<epigraph>
<p>Текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа текст эпиграфа</p>
<text-author>Автор эпиграфа</text-author>
</epigraph>
<section>
<title>
<p>Название 1 главы</p>
</title>
В итоге, код у нас должен теперь выглядеть вот таким образом:
Дальше переходим к разделу « <body name=»notes»>» и добавляем сразу после указанной строки название раздела:
<title>
<p>Примечания</p>
</title>
Все, на этом мелкие правки книги в формате fb2 можно считать оконченными. Она уже вполне корректно будет открываться на любых читалках. Но для того, чтобы быть оформлять грамотно и красиво книги в формате fb2 я бы рекомендовал хорошенько изучить спецификации данного формата. Например, можно воспользоваться неплохим описанием по этой ссылке.
Конвертирование fb2, который был получен из doc в epub
Этот процесс, наверное, самый простой из всего, что мы уже сделали. Для его успешного завершения нам понадобится программа «calibre». После скачивания и установки, запускаем ее и добавляем в нее нашу отредактированную книгу в формате fb2 (можно просто перетянуть в окно программы). Справа отобразится наша обложка и немного информации о книге. Для того чтобы получить книгу в формате epub нажимаем соответствующую кнопку вверху.

Перед нами откроется большое окно с многочисленными настройками будущей книги и процесса конвертации. Не буду все их описывать, укажу только те, которые требуются для нашей задачи.
В разделе «Метаданные» проверяем все атрибуты книги: название, автор, жанр (пометки) и прочие.
В разделе «Вид и функции» в пункте «Вставить семейство шрифтов» выбираем именно тот шрифт, в котором по нашей задумке будет книга.
В разделе «Содержание» ставим галочку «Вручную исправить оглавление после завершения преобразования».
В разделе «Импорт FB2» ставим галочку «Не вставлять Оглавление в начало книги».
В разделе «EPUB выход» ставим галочку «Сохранять соотношение сторон обложки».
После установок указанных настроек можно нажимать «ОК» и процесс конвертации запустится. Когда дойдет очередь до формирования содержания, то программа покажет окно, в котором вручную можно добавлять или удалять разделы, которые будут находиться в содержании книги. У нас в примере в содержание попали сноски и заголовок книги, значит, нужно их удалить, выделив и нажав соответствующую кнопку.
После чистки и правки будущего содержания список стал выглядеть следующим образом:
Нажимаем «ОК» и завершаем процесс преобразования. Получившаяся книга по умолчанию сохраняется в папке «C:\Users\Имя_Пользователя\Documents\Библиотека Calibre\» во вложенной подпапке с именем автора.
Заключение
Данная статья не претендует на оригинальность и какой-то единственный возможный вариант решения поставленной задачи. Здесь также не рассмотрены все доступные корректировки выходных форматов книг. Тем не менее, в рамках минимального ознакомления с правильной конвертацией вордовских документов в наиболее популярные электронные книжные форматы данной статьи вам будет вполне достаточно. При наличии желания и свободного времени вы всегда сможете сделать что-то лучше.

В конце прилагаю архив с программой doc2fb и исходных/конечных файлов, с которыми мы работали в этой статье. Остальные программы вы можете скачать с официальных страниц разработчиков:
FictionBook Tools
Fiction Book Editor
calibre
Преобразование документов Pages в PDF, Microsoft Word и др.
Чтобы открывать документы Pages в других приложениях, сначала конвертируйте их с помощью приложения Pages. Вы также можете открывать документы Microsoft Word и другие типы файлов в Pages.
Вы можете конвертировать и открывать документы в Pages на iPhone, iPad, iPod touch или Mac.Если у вас нет устройства Apple, вы можете использовать Pages на сайте iCloud.com.
Преобразование и открытие документов в Pages на iPhone или iPad
Преобразование документа Pages в Pages на iPhone или iPad
Если вы хотите открыть документ Pages в другом приложении, например Microsoft Word, используйте Pages для преобразования документа в соответствующий формат.
Откройте документ, который вы хотите преобразовать, затем нажмите кнопку «Еще».
Нажмите «Экспорт».
Выберите формат для вашего документа.
Если вы выбрали EPUB, установите дополнительные параметры.
Выберите способ отправки документа, например, с помощью почты или сообщений.
Откройте файл в Pages на iPhone или iPad
Чтобы открыть файл, например документ Microsoft Word, в Pages на iPhone или iPad, коснитесь файла в диспетчере документов.Если вы не видите диспетчер документов, нажмите «Документы» (на iPad) или кнопку «Назад» (на iPhone), затем нажмите файл, который хотите открыть. Если файл затемнен, это значит, что он не в совместимом формате.
Вы также можете открыть файл в Pages из другого приложения, например из приложения «Файлы», или из электронной почты:
Откройте другое приложение, затем выберите документ или вложение.
Нажмите кнопку «Поделиться».
Коснитесь Копировать на страницы. Исходный файл остается нетронутым.
При открытии файла вы можете получить сообщение о том, что документ будет выглядеть иначе.Например, Pages уведомляет вас об отсутствии шрифтов. Нажмите Готово, чтобы открыть документ в Pages.
Преобразование и открытие документов в Pages для Mac
Преобразование документа Pages в Pages для Mac
Если вы хотите открыть документ Pages в другом приложении, например Microsoft Word, используйте Pages для преобразования документа в соответствующий формат.
Откройте документ Pages, который нужно преобразовать.
Выберите «Файл»> «Экспортировать в», затем выберите формат.
В открывшемся окне вы можете выбрать другой формат или настроить дополнительные параметры. Например, вы можете запросить пароль для открытия экспортированного PDF-файла, выбрать использование оглавления в экспортированной книге EPUB или выбрать формат для экспортированного документа Word.
Щелкните Далее.
Введите имя для вашего файла, затем выберите расположение для файла.
Щелкните «Экспорт».
Чтобы отправить файл в определенном формате с помощью почты, сообщений, AirDrop или Notes, выберите «Поделиться»> «Отправить копию», выберите способ отправки документа, затем выберите формат.
Откройте файл в Pages для Mac
Вы можете открыть файл из Finder или из приложения Pages:
В Finder щелкните файл, удерживая клавишу Control, затем выберите «Открыть с помощью»> «Страницы».Если Pages — единственный текстовый редактор на вашем Mac, вы можете просто дважды щелкнуть файл.
В приложении Pages для Mac выберите «Файл»> «Открыть», выберите файл и нажмите «Открыть». Если файл затенен, это несовместимый формат.
При открытии файла вы можете получить сообщение о том, что документ будет выглядеть иначе. Например, Pages уведомляет вас об отсутствии шрифтов. Вы также можете увидеть предупреждения при открытии документов, созданных в более старых версиях Pages.
Открытие и преобразование документов в Pages для iCloud
Преобразование документа Pages в Pages для iCloud
Войдите в iCloud.com с вашим Apple ID.
Щелкните Страницы.
В диспетчере документов нажмите кнопку «Дополнительно» на файле, который нужно преобразовать, затем выберите «Загрузить копию». Если у вас открыт документ, нажмите кнопку «Инструменты» на панели инструментов, затем выберите «Загрузить копию». *
Выберите формат для документа. Начнется загрузка файла в место загрузки вашего браузера.
* Чтобы преобразовать документ в книгу EPUB, откройте документ, нажмите кнопку «Инструменты» на панели инструментов, затем выберите «Загрузить копию».
Откройте файл в Pages для iCloud
Войдите на iCloud.com со своим Apple ID.
Щелкните Страницы.
Перетащите файл, который вы хотите загрузить, в диспетчер документов Pages в браузере. Или нажмите кнопку «Загрузить», выберите файл и нажмите «Выбрать».
Дважды щелкните файл в диспетчере документов.
Проверить совместимость формата файла
Форматы, которые можно открывать на страницах
Файлы этих форматов можно открывать в Pages на iPhone, iPad, Mac и в Интернете в iCloud.com:
Все версии страниц
Microsoft Word: Office Open XML (.docx) и Office 97 или более поздняя версия (.doc)
Форматированный текст (.rtf / .rtfd)
Обычные текстовые файлы (.txt)
форматов, в которых вы можете конвертировать документы Pages в
Pages на iPhone или iPad:
Microsoft Word: Office Open XML (.docx)
Форматированный текст (.rtf / .rtfd)
PDF
EPUB
Pages для Mac:
Microsoft Word: Office Open XML (.docx) и Office 97 или более поздняя версия (.doc)
Форматированный текст (.rtf / .rtfd)
Обычные текстовые файлы (.txt)
PDF
EPUB
Страницы ’09
страниц для iCloud:
Microsoft Word: Office Open XML (.docx)
PDF
EPUB
Узнать больше
Страницы на iPhone, iPad, Mac и в Интернете на iCloud.com используют один и тот же формат файлов. Если вы создаете или редактируете документ в Pages на одной платформе, вы можете открыть его в Pages на любой из других платформ.
Вы можете обновить до текущих версий Pages на своем iPhone или iPad из App Store.Чтобы обновить Pages на Mac, используйте приложение App Store на Mac.
Если вы конвертируете документ Pages в совместимый со Pages ’09, узнайте больше об изменениях, которые происходят при экспорте в iWork ’09.
Информация о продуктах, произведенных не Apple, или о независимых веб-сайтах, не контролируемых и не проверенных Apple, предоставляется без рекомендаций или одобрения.Apple не несет ответственности за выбор, работу или использование сторонних веб-сайтов или продуктов. Apple не делает никаких заявлений относительно точности или надежности сторонних веб-сайтов. Свяжитесь с продавцом для получения дополнительной информации.
Дата публикации: 2 октября 2020 г.
Конвертер файлов
Cometdocs.Конвертируйте Excel в Word и многое другое.
Конвертируйте свои PDF-файлы в Word, Excel, PowerPoint и другие.
Конвертируйте различные форматы в PDF. Храните и делитесь своими документами бесплатно.
Cometdocs гордится тем, что обеспечивает лучшее преобразование документов в бизнесе.
Подробнее »
Cometdocs — это популярная бесплатная онлайн-система управления документами, которая обслужила более 3 миллионов клиентов и продолжает расти. Он начинался как онлайн-сервис конвертации файлов в 2009 году, но теперь предлагает гораздо больше бесплатных услуг, включая совместное использование документов, передачу и хранение.Cometdocs стремится предоставить полное онлайн-решение для всех ваших потребностей в управлении документами. Все доступно через Интернет и полностью безопасно. Конфиденциальность гарантируется. Ваши личные данные, включая файлы, электронные письма и все остальное, никогда никому не передаются. И что лучше всего для пользователей, Cometdocs доступен бесплатно.
Зарегистрируйте бесплатную учетную запись сегодня и попробуйте!
30.09.2013
Мы рады объявить о трех новых функциях Cometdocs: мобильных приложениях Cometdocs, новой реферальной системе и службе API.
Мобильное приложение доступно для смартфонов и планшетов iOS и Android.
Наша новая реферальная система позволяет пользователям зарабатывать дополнительные еженедельные конверсии, рассказывая своим друзьям о Cometdocs и побуждая их зарегистрироваться.
Служба API предоставляет отличную возможность для разработчиков, которые заинтересованы в интеграции наших инструментов преобразования облака в свои собственные приложения.
15.01.2012
Cometdocs.com, ведущий онлайн-сервис документов, который успешно обслужил более 3 миллионов клиентов с момента своего запуска в 2009 году, рад объявить о полностью новой версии своего популярного веб-сайта.Cometdocs теперь предлагает гораздо больше, чем просто преобразование файлов, сделавшее его известным. Cometdocs теперь представляет собой полноценную онлайн-систему управления документами. Теперь пользователи могут конвертировать, передавать, размещать и делиться своими документами с помощью этого бесплатного онлайн-сервиса. Новый и значительно упрощенный интерфейс предоставляет пользователям комплексную услугу для решения всех задач в области управления документами.
Дополнительную информацию о выпуске можно найти здесь: http://blog.cometdocs.com/introduction-the-new-cometdocs
Новая услуга по-прежнему на 100% бесплатна, но теперь есть и премиум-версия, которая предлагает множество дополнительных функций.Узнайте больше обо всем этом здесь.
Безопасность и защита данных
Я не решаюсь предоставить свой адрес электронной почты. Как это будет использоваться?
Мы гарантируем, что ваш адрес электронной почты НИКОГДА не будет продан, сдан в аренду или передан третьим лицам. Пользователи будут получать электронные письма только для служебных целей (уведомление о том, что ваш файл готов к загрузке или что ваш файл был передан) и ничего более. Никакие другие электронные письма отправляться не будут.Ознакомьтесь с нашими Условиями использования и Политикой конфиденциальности для получения дополнительной информации.
Что происходит с загруженными мной документами?
Все загруженные документы доступны только для служебных целей и видны только через URL-адрес, отправленный пользователям по электронной почте или через наш онлайн-интерфейс. Документы, которые не сохраняются, удаляются с наших серверов безвозвратно после истечения срока действия их URL-адресов. Видимость сохраненных документов полностью находится под контролем пользователя, что означает, что пользователь решает, хочет ли он сделать документ общедоступным, поделиться им с определенными лицами или сохранить его полностью конфиденциальным.
Кому принадлежат документы, опубликованные на Cometdocs?
Все документы, загруженные в Cometdocs, принадлежат людям, которые их загрузили, и мы не претендуем на право собственности. Загружать документы, которые принадлежат кому-то другому, противоречит нашим УО. Ознакомьтесь с нашей Политикой в отношении авторских прав и УО для получения дополнительной информации
Регистрация аккаунта
Мне нужно регистрироваться?
Вы можете использовать наши варианты преобразования и передачи бесплатно, но для получения доступа к другим функциям, таким как хостинг, совместное использование и увеличение лимита на переводы и преобразования, вам необходимо будет зарегистрировать учетную запись.
Как я могу зарегистрироваться?
Вы можете войти в систему со своей учетной записью в социальных сетях (Google, Facebook, Live) или нажав кнопку «Зарегистрироваться» в правом верхнем углу и указав все необходимые данные.
Что произойдет с моей старой учетной записью?
Вам необходимо перенести данные своей предыдущей учетной записи в новый Cometdocs. Чтобы начать процедуру переноса, нажмите здесь.
Регистрация бесплатна?
Да, услуга полностью бесплатна.Однако следует отметить, что бесплатный сервис имеет определенные ограничения. Чтобы снять эти ограничения, ознакомьтесь с нашими вариантами для премиум-пользователей: http://www.cometdocs.com/user/subscriptions
Конвертировать
Какие типы файлов поддерживаются?
Поддерживаемые типы файлов преобразования:
PDF в Word,
создание pdf,
PDF в Excel,
pdf в текст,
PDF в AutoCAD,
pdf в изображение,
PDF в HTML,
и больше….
xls в csv и преобразование tabdelimited временно не работают, но мы работаем над их исправлением.
Каков максимальный поддерживаемый размер файла?
Максимальный размер файла для преобразования составляет 30 МБ, а для передачи и хостинга — 100 МБ. Если вы хотите работать с большими файлами, вы можете воспользоваться нашим премиум-сервисом: http://www.cometdocs.com/user/subscriptions
Я получил сообщение об ошибке «Преобразование не выполнено.» Что это значит?
Это означает, что с вашим типом файла произошла какая-то ошибка, и мы не поддерживаем преобразование этого конкретного типа файла. Также существует вероятность того, что файл отсканирован или защищен паролем / копированием.
Мне не пришло письмо со ссылкой на преобразованный файл. Что мне делать?
Иногда наши серверы перегружены. В таких ситуациях премиум-пользователи имеют преимущество перед бесплатным пользователем для конверсий.Пожалуйста, повторите попытку позже.
Передача
Какой тип файла я могу отправить?
Вы можете передавать файлы любого типа, кроме файлов .exe. Мы рекомендуем вам заархивировать все файлы перед их отправкой.
Каков максимальный / общий размер файла?
Максимальный и общий размер файла, который вы можете отправить, составляет 100 МБ в день для бесплатных пользователей. Премиум-пользователи могут отправлять больше.
Сколько времени у него будет на скачивание после того, как я отправлю кому-нибудь свой файл?
У зарегистрированных пользователей есть три дня, чтобы скачать переданные файлы, которые вы им отправили.У незарегистрированных пользователей есть 24 часа. Однако, если вы переносите файл, который был сохранен как часть вашей учетной записи, то ссылка для передачи действительна до тех пор, пока вы не удалите документ.
Магазин
Какие типы файлов я могу хранить в Интернете?
Вы можете загружать и хранить документы любого типа, кроме файлов .exe.
Каков максимальный поддерживаемый размер файла?
Общий размер хранимых файлов для зарегистрированных бесплатных пользователей составляет 1 ГБ.Если вы хотите хранить больше, ознакомьтесь с нашими услугами премиум-класса.
Как создать папку?
Вы можете сортировать сохраненные файлы и управлять ими, создавая папки. Перейдите на вкладку «Магазин» — «Новая папка» для создания папки
Как просмотреть файлы?
Просмотр документов PDF поддерживается только для премиум-пользователей.
Кто может просматривать мои файлы?
Когда вы впервые загружаете файл, он виден только вам.Однако в настройках общего доступа вы можете настроить видимость файла. Выберите между общедоступным доступом или разрешением просматривать ваши файлы только тем, на кого вы отправляли ссылки или которым вы поделились файлами.
Хост
Как долго действительна моя ссылка для обмена?
Ваша ссылка для совместного использования действительна до тех пор, пока вы не удалите документы из своей учетной записи или не измените настройки документа на личные.
Что означает «Не в списке»?
Не включенные в список документы не являются частью вашего общедоступного каталога и видны только людям, имеющим прямую ссылку на документ.
Есть ли ограничение на скачивание?
Cometdocs не имеет ограничения на загрузку, однако для бесплатных пользователей мы оставляем за собой право ограничить его в случае перегрузки сервера.
Премиум
Что мне предлагает услуга Premium?
Премиум-пользователи не имеют ограничений на количество совершаемых ими конверсий. Они также могут конвертировать отсканированные документы и имеют повышенные ограничения на хранение, продолжительность ссылки для передачи файлов и многое другое.Посмотрите сравнение здесь: http://www.cometdocs.com/user/subscriptions
Есть ли гарантия возврата денег?
Да, если вы не удовлетворены нашим сервисом через 7 дней после регистрации, вы можете вернуть свои деньги. Отправьте нам письмо по адресу [email protected].
Я премиум-пользователь, но хочу еще больше увеличить объем хранилища. Могу я это сделать?
Есть возможность увеличить объем хранилища. Пожалуйста, нажмите здесь, чтобы узнать больше.
Что произойдет, если я перейду на более раннюю версию своей учетной записи?
Мы отправим вам уведомление по электронной почте, чтобы вы могли сделать резервную копию всех ваших документов. Однако, если вы не сделаете это вовремя, мы удалим все лишние данные и вернем ваш аккаунт к бесплатному
Технологии
Кто разработал Cometdocs?
Новый Cometdocs был разработан командой энтузиастов разработчиков программного обеспечения, которые верят, что будущее вычислений находится в облаке.Все технологии, с которыми вы взаимодействуете как пользователь Cometdocs, были разработаны нашей командой (за исключением двух компонентов — см. Ниже). Таким образом, если у вас возникнут какие-либо проблемы с функцией, вы можете написать нашей команде по электронной почте, и мы исправим ее для вас. Мы тоже рады принимать похвалы, когда у вас все работает безупречно =).
Какие компоненты cometdocs лицензированы?
Есть два компонента технологии cometdocs, лицензированные у третьих сторон.Первым лицензированным компонентом является конвертер PDF от Investintech.com. Серверы Cometdocs используют Absolute PDF Server для преобразования PDF в Excel, PDF в Word, а также для создания PDF. Второй лицензированный компонент cometdocs — это предварительный просмотр документа с использованием Flexpaper от Devaldi в Австралии. Это позволяет нашим пользователям просматривать свои документы прямо из окна браузера.
Просто нужен единый формат преобразования? Добавить в закладки эти сайты:
Конвертировать PDF в Word Online
Конвертируйте PDF в Word бесплатно с помощью лучшего онлайн-конвертера PDF в Word
Загрузка….

Размер загруженного файла (ов) превышает 2 МБ, загрузка может занять больше времени.
Пожалуйста, проявите терпение.
ОТМЕНА
Ваши файлы останутся конфиденциальными. Безопасная загрузка файлов по HTTPS.
Преобразование PDF в Word за три простых шага
1
Шаг 1. Загрузите файл PDF
Перетащите свой PDF-файл в зону размещения выше или нажмите «Загрузить», чтобы выбрать файл на своем компьютере.
2
Шаг 2. Преобразование PDF в Word
3
Шаг 3. Загрузите файл
Получите 3 бесплатных загрузки вашего файла DOC. Подпишитесь на ежемесячную или годовую подписку для неограниченного количества загрузок.
DocFly позволяет быстро, легко и полностью онлайн конвертировать файлы PDF в Word. Загрузите свои файлы на нашу платформу, позвольте нашему конвертеру PDF в DOC творить чудеса и сразу же загрузить новый созданный документ.Больше никаких хлопот, конвертируйте PDF в редактируемый Word всего за несколько шагов. Узнайте, как преобразовать PDF в документ Word с помощью DocFly, выполнив указанные выше действия.
Самый простой способ конвертировать PDF-файлы в Word онлайн
Быстро конвертирует PDF в Word
Ищете способ быстро преобразовать файлы PDF в Word? Не смотрите дальше, чем DocFly! С помощью нашего онлайн-конвертера PDF в Word вы начнете создавать документы Word менее чем за минуту.
Простой в использовании онлайн-конвертер PDF
Устали получать сложные файлы PDF, которые невозможно редактировать? Превратите PDF в Word с помощью DocFly.Наши онлайн-инструменты упрощают преобразование PDF в Word и редактирование PDF-файлов.
Точное преобразование PDF в Word
Конвертер PDF в Word DOC
DocFly — один из самых точных. Наш конвертер отображает документ Word, максимально приближенный к исходному формату файла PDF.
Безопасная загрузка и хранение файлов
Все загружаемые файлы зашифрованы через HTTPS для защиты вашего контента. Файлы хранятся в защищенной базе данных, управляемой облачным хостингом Amazon.Вы можете удалить свои файлы из нашей системы в любое время.
Доступ к файлам из любого места
DocFly — это онлайн-сервис, доступный через любое устройство, подключенное к Интернету. Вы можете получить доступ к своему файлу из дома, офиса или в любом другом месте.
Всегда в курсе
DocFly находится в облаке, поэтому всякий раз, когда вы заходите на сайт, вы получаете доступ к последней версии программного обеспечения. Никаких длительных обновлений или загрузки программного обеспечения не требуется.
Готовы конвертировать PDF в Word онлайн?
Зачем конвертировать PDF в документ Word?
Основным преимуществом преобразования PDF-файлов в документы Microsoft Word является возможность редактировать текст непосредственно в файле.Это особенно полезно, если вы хотите внести существенные изменения в свой PDF-файл, так как большинству людей удобно и знакомо с Microsoft Word. Если вам интересно, как бесплатно преобразовать PDF в Word, важно отметить, что качество итогового документа Word также важно, а не только его стоимость. Хотя существует несколько бесплатных конвертеров PDF в Word, большинство из них не поддерживают исходное форматирование и интервалы файла в достаточной степени. Наш инструмент преобразования обеспечивает результат, похожий на исходный файл PDF.
Мы создали наш бесплатный инструмент для конвертации PDF в Word, чтобы вам больше не приходилось тратить время на перепечатку файлов в Word. В считанные секунды вы можете преобразовать ваш PDF-файл в Docx и внести необходимые правки. Наш конвертер PDF в Word не только бесплатный, он-лайн и доступен всякий раз, когда вам это нужно, мы также позволяем пользователям конвертировать 2 дополнительных файла в месяц бесплатно. Так что вперед и конвертируйте PDF в DOC онлайн бесплатно. Думаем, вы останетесь довольны результатом!
СОЗДАТЬ PDF
ИЗМЕНИТЬ PDF
ПРЕОБРАЗОВАТЬ PDF
Онлайн-редактор Docx | pdfФиллер
Для часто задаваемых вопросов pdfFiller — Редактировать файл Docx онлайн
Ниже приводится список наиболее частых вопросов клиентов.Если вы не можете найти ответ на свой вопрос, не стесняйтесь обращаться к нам.
Как отредактировать файл DOCX в Интернете?
Щелкните внутри области размещения файла, чтобы загрузить файл DOCX, или перетащите файл DOCX. Файл будет автоматически отображен, чтобы вы могли мгновенно просмотреть, отредактировать и загрузить. Загрузите исходный или отредактированный файл DOCX.Преобразуйте и загрузите отредактированный файл DOCX в формате PDF.
Как отредактировать файл DOCX?
Если вам нужно отредактировать или изменить документ, вам нужно будет использовать OpenOffice. Документы DOCX Word отличаются от версии DOC тем, что они используют формат Microsoft Office Open XML. Формат Open XML позволяет другим программам, таким как Apache OpenOffice, легко читать файлы DOCX (и другие типы файлов Open XML).
Как отредактировать документ Word в Интернете?
Для редактирования нажмите «Редактировать документ» в верхнем левом углу и выберите «Редактировать в Word Online». После этого документ откроется в редакторе, и вы сможете вносить в него изменения. Чтобы отредактировать документ с помощью Word на рабочем столе, выберите «Редактировать в Word» в версии документа OneDrive только для чтения.
Как отредактировать документ Word?
Предлагаемый зажим Добавление и редактирование текста в Microsoft Word — YouTubeYouTubeНачало предложенного клипа Конец предложенного клипа Добавление и редактирование текста в Microsoft Word — YouTube
Как я могу редактировать документ?
На вашем компьютере откройте документ в Google Docs.Чтобы выделить слово, дважды щелкните его или используйте курсор, чтобы выделить текст, который нужно изменить. Начать редактирование. Чтобы отменить или повторить действие, вверху нажмите «Отменить» или «Вернуть».
Как открыть и отредактировать файл DOCX?
Microsoft Word (версия 2007 и выше) — это основная программа, используемая для открытия и редактирования файлов DOCX. Если у вас установлена более ранняя версия Microsoft Word, вы можете загрузить бесплатный пакет обеспечения совместимости Microsoft Office, чтобы открывать, редактировать и сохранять файлы DOCX в старой версии MS Word.
Как открыть файл .docx?
Если вам нужно открыть файл. DOCX на вашем телефоне или планшете и еще не установил бесплатное приложение Microsoft Word, начните с этого сейчас. Android: откройте приложение Play Store на панели приложений, выполните поиск по слову Microsoft, а затем нажмите «УСТАНОВИТЬ» в приложении.
Как конвертировать документы Google в Microsoft Word
Облачное хранилище дало нам возможность получать доступ к файлам и документам из любого места.Еще более удобно, что некоторые службы позволяют нам добавлять, редактировать и делиться файлами в любой точке мира. Хотя Документы Google всегда были популярным выбором для тех, кто хочет с легкостью получать доступ к документам, делиться ими и подписывать их, бывают случаи, когда вам нужны документы в проверенном формате, таком как DOCX. Если у вас есть документ, хранящийся в Документах Google, и вы хотите загрузить автономную копию, можно легко преобразовать Документы Google в формат Microsoft Word.
Примечание : хотя вы можете конвертировать документы из Google Docs в Word, нет гарантии, что форматирование в вашем документе будет сохранено во время преобразования.
Связанные : Лучшее программное обеспечение для преобразования VCE в файлы PDF
Как преобразовать отдельный документ
Поскольку Документы Google находятся в онлайн-формате, мы не можем просто импортировать их в Word! Чтобы использовать их в Microsoft Word, нам нужно будет преобразовать Документы Google в формат DOCX Microsoft Word, а затем загрузить его. Вы можете легко выполнить это преобразование как из Документов Google, так и из Google Диска.
Если вы хотите преобразовать в формат DOC, вам необходимо открыть преобразованный файл DOCX в Word, а затем сохранить в формате DOC.Если у вас не установлен Word, вы также можете сделать это в Интернете.
Преобразование в Документах Google
Сначала откройте файл, который нужно преобразовать в формат Word. Нажмите «Файл» в верхней части документа, затем наведите указатель мыши на «Загрузить».
В этом меню появится список опций. Как видите, преобразование в документы Word — не единственное, что умеют Документы Google! Если вам когда-либо понадобится загрузить документ Google в формате PDF или даже преобразовать его в формат электронной книги EPUB, вы можете вернуться в это меню и сделать это.Однако пока мы выберем опцию «Microsoft Word».
Google Docs откроет окно «Сохранить как…», где вы можете выбрать, где вы хотите сохранить документ. После сохранения в запоминающемся месте вы сможете открыть файл в Microsoft Word.
Связанные : Microsoft Word против Google Docs: кто победит?
Преобразование на Google Диске
Для Google Диска это преобразование еще проще. Вы не сможете выполнить преобразование в другие форматы (например, PDF и EPUB) на Диске, но если вам нужен только документ Word, этот метод отлично подойдет.
Для этого найдите документ, который вы хотите преобразовать, на своем Google Диске, затем щелкните его правой кнопкой мыши и выберите «Загрузить».
Google Drive автоматически преобразует его в формат Word и откроет окно «Сохранить как…», чтобы сохранить его.
Как конвертировать несколько документов одновременно
Иногда вам не нужно сохранять только один документ в виде файла DOCX. Иногда вам нужно одновременно преобразовать несколько Документов Google в документы Word. К сожалению, поскольку метод Документов Google требует ввода каждого документа для его загрузки, загрузка их всех занимает немного времени.Однако, поскольку Drive выполняет преобразование через контекстное меню на главной странице, мы можем сделать это там, что значительно ускорит и упростит процесс.
Пакетное преобразование на Google Диске
Метод пакетной загрузки на Google Диск работает почти так же, как и загрузка одного документа. Однако, если вы удерживаете нажатой клавишу Ctrl при нажатии на файлы, вы можете выбрать сразу несколько файлов. Файлы, выбранные в пакете, будут светиться синим цветом при нажатии на них.
Затем щелкните правой кнопкой мыши любой из выделенных и нажмите «Загрузить» как обычно.
Когда вы нажмете эту кнопку, Google Диск преобразует все выбранные документы, а затем упакует их в ZIP-файл. Когда все будет готово, вам будет предоставлен ZIP-файл для загрузки. Просто сохраните это где-нибудь на память и разархивируйте, чтобы получить доступ ко всем своим файлам.
Связанные : Как удалить все изображения из документа Word
Загрузка документов
Несмотря на все преимущества облачного хранилища, иногда вам просто нужна автономная копия ваших документов.С помощью нескольких щелчков мышью вы можете легко конвертировать Google Docs в файлы Microsoft Word.
Если вы пытаетесь сохранить все форматирование, попробуйте преобразовать его в PDF, чтобы ничего не осталось.
Насколько часто вы используете облачные документы вместо «физических»? Сообщите нам об этом ниже!
Связанный:
Эта статья полезна? да Нет
Кристальный Краудер
Кристал Краудер более 15 лет проработала в сфере высоких технологий, сначала в качестве ИТ-специалиста, а затем в качестве писателя.Она работает, чтобы научить других максимально эффективно использовать свои устройства, системы и приложения. Она всегда в курсе последних тенденций и всегда находит решения общих технических проблем.
2 бесплатных способа конвертировать DOC в документы DOCX Word
Разница между DOCX и DOC
Расширение .docx — это файл, обычно сохраняемый Microsoft Word в формате XML.Он содержит таблицы стилей XML, чтобы придать .doc больше возможностей и стиля, что-то похожее на .xslt. Это новый формат документа, представленный в Microsoft Word 2007 и несовместимый с версиями Word, отличными от XML (старше 2007 года). Word 2007 и новее по умолчанию сохраняет все документы как файл .docx. Некоторые люди не могут открыть документ Word в формате .docx, вероятно, потому, что у них установлена более старая версия Microsoft Word. Или если вы хотите преобразовать файлы Doc в другой формат файла, такой как PDF, ePub и т. Д., С помощью сторонней программы, но вы найдете инструмент, который поддерживает только формат Docx.В этом случае все больше и больше людей ищут способ конвертировать DOC в DOCX.
Вот почему я пишу этот пост, который включает в себя два разных, но простых решения для простого и быстрого преобразования ваших документов Word из DOC в DOCX. Один из них выполняет преобразование с помощью Microsoft 2007 или более поздней версии, а другой — с помощью службы онлайн-преобразования. Прочтите, чтобы узнать подробности и выбрать способ, который вам больше нравится.
Решение 1. Превратите файлы DOC в формат DOCX в Microsoft 2007 или более поздней версии
Шаг 1. Если вы уже загрузили и установили Microsoft Office 2007 на свой компьютер, вы можете запустить его, чтобы открыть документ Word DOC, который вы хотите преобразовать в DOCX.
Шаг 2. Перейдите в верхний левый угол окна Word и нажмите кнопку «Офис». Затем вы увидите, что на вашем компьютере отображается меню файлов.
Шаг 3. Выберите «Сохранить как» и выберите «Документ Word: сохранить документ в формате файла по умолчанию» из 6 различных альтернативных вариантов.Затем импортированный DOC будет автоматически преобразован в DOCX.
Примечание: Чтобы преобразовать документ Word DOCX в формат DOC , на третьем шаге необходимо выбрать «Документ Word 97-2003».
Вы также можете узнать:
* Как сохранить документ Word как файл PDF
* Как преобразовать файл PDF в DOC / DOCX
Решение 2: преобразовать документ Word Word в DOCX с помощью Zamzar
Если вам не нравится описанный выше метод, вы можете обратиться в онлайн-сервис.Здесь мы рекомендуем Zamzar, известный онлайн-инструмент для преобразования файлов, который поддерживает практически все форматы файлов, включая видео, аудио, изображения, документы и т. Д. Вам просто нужно загрузить файл DOC, выбрать DOCX в качестве выходного формата, указать свой адрес электронной почты и затем нажмите «Конвертировать», чтобы начать преобразование. После этого Zamzar отправит электронное письмо на ваш почтовый ящик с документом DOCX word, который вы хотите прикрепить.
Ограничение онлайн-сервиса заключается в том, что вы можете загрузить файл PDF размером менее 4 МБ за один раз.Было бы напрасной тратой времени, если вам нужно преобразовать много файлов PDF.
слов в конце:
Microsoft Word — хороший формат для редактирования, копирования и печати, но не идеальный формат для управления и обмена. Итак, мы хотели бы порекомендовать вам Coolmuster Word to PDF Converter или Word to PDF Converter для Mac для справки. Загрузите бесплатную пробную версию программы преобразования Word в PDF, чтобы попробовать.
Статьи по теме:
Как конвертировать PDF, защищенный паролем
Как конвертировать PDF в Word на Mac OS X
10 лучших бесплатных конвертеров PDF для сохранения PDF как DOCX
10 лучших бесплатных конвертеров PDF для сохранения PDF как DOCX
В файлы PDF помещается много важной информации, поскольку PDF может одновременно содержать текст, изображения, графику и другие данные.Это широко используемый, но трудно редактируемый формат. Итак, иногда вам нужно преобразовать файлы PDF в Word, JPEG, Excel или другие форматы, чтобы внести в них изменения. Ознакомьтесь с нашими 10 лучшими конвертерами PDF, которые могут помочь вам в этой цели.
СМОТРИ ТАКЖЕ: 5 простых способов уменьшения, сжатия и архивирования файлов PDF Бесплатно
СМОТРИ ТАКЖЕ: Как подготовить большие видео для отправки в Интернет
Как конвертировать PDF в DOCX с помощью программного обеспечения
Вы можете найти много бесплатных и платных программ, позволяющих конвертировать файлы PDF в формат DOCX или DOC.Вот 6, которые мы выбрали для вас.
WPS PDF to Word Converter
WPS PDF to Word Converter — это программа для Windows, которая может легко преобразовывать ваши PDF-файлы в файлы DOC или DOCX. Шрифты и макеты останутся без изменений, включая все маркеры и таблицы. Вы можете добавить несколько файлов PDF и конвертировать их сразу. Также есть два приятных варианта: разделение PDF-файлов и объединение PDF-файлов. Для файлов, содержащих более 5 страниц, для этих опций потребуется лицензионный ключ.
Загрузите бесплатную версию здесь или купите премиум-версию за 29 долларов.95.
Как преобразовать PDF в DOC с помощью конвертера WPS
Шаг 1. Установите и запустите WPS PDF to Word Converter
Шаг 2. Добавьте PDF-файл, который вы хотите преобразовать в DOC
Шаг 3 Выберите формат: DOC, DOCX, RTF, Native DOC
Шаг 4. Нажмите Запустите и получите преобразованный файл DOC.
Acrobat Reader
Acrobat PDF Reader — самая популярная программа для чтения файлов PDF.Он также преобразует их в текстовые файлы. Эта процедура невероятно проста и занимает около 2 минут. Что вам нужно сделать, так это открыть файл в Acrobat Reader, затем перейти на вкладку Файл и выбрать опцию Сохранить как текст . Все важные слова и символы можно легко скопировать в Microsoft Word из текстового файла. Кроме того, Adobe предлагает онлайн-сервис «Adobe Export PDF», который конвертирует ваши PDF-файлы в DOCX всего за 1,99 доллара в месяц.
СМОТРИ ТАКЖЕ: Экспорт старых DVD в цифровой формат с помощью этого программного обеспечения для копирования DVD
Вы можете бесплатно скачать Acrobat Reader здесь.
Doxillion Document Converter
Используя Doxillion Document Converter от NCH Software, вы можете конвертировать один файл PDF или их несколько за один шаг. Вам просто нужно добавить файлы PDF, выбрать DOCX в качестве выходного формата и нажать кнопку Преобразовать . Когда вы закончите преобразование, вы можете записать готовые файлы на DVD-диск. Программа действительно проста в использовании.
Загрузите Doxillion Document Converter с официального сайта за 14,99 долларов США.
HelloPDF
HelloPDF кажется очень быстрой и умной бесплатной программой. Вы просто выбираете PDF-файл и нажимаете кнопку « Конвертировать ». Программа мгновенно конвертирует PDF в Word. Что вам нужно сделать, так это добавить файл PDF, выбрать папку назначения для файла DOC / DOCX и нажать кнопку Преобразовать в документ Word . Вы также можете указать, хотите ли вы преобразовать весь документ или отдельные страницы. HelloPDF полезен для занятых людей, которые не хотят ломать голову над сложными инструкциями.
Вы можете бесплатно скачать HelloPDF здесь.
Foxit Phantom PDF
Foxit PhantomPDF своим интерфейсом напоминает интерфейс Microsoft Office. Он быстро конвертирует файлы PDF в разные форматы. Помимо опции DOCX, вы можете конвертировать файл в форматы PowerPoint, Excel, RTF, HTML, XML, текст или изображения. Здесь вы также можете вносить изменения в свои PDF-файлы. Программа достойна опытных пользователей компьютеров. К сожалению, это не бесплатно. Пробная версия действует всего 30 дней.
Вы можете бесплатно скачать пробную версию здесь. Или вы можете купить полную версию за 89 долларов.
Nuance PDF Converter
Nuance PDF Converter — это простая в установке и использовании программа. Программа представляет собой более продвинутый конвертер PDF, чем все предыдущие. С помощью этого инструмента вы также можете редактировать файлы PDF перед их преобразованием в DOCX. Он легко интегрируется с различными операционными системами и предоставляет файлы, которые можно открывать на устройствах iOS или Android. Таким образом, это очень удобно для тех, кто работает на разных платформах.
Вы можете скачать пробную версию бесплатно. Или вы можете купить его за 89 долларов в магазине Nuance. Посетите магазин Nuance сегодня
Преобразование PDF в DOCX онлайн
Хотя программное обеспечение более надежно и имеет больше возможностей, чем онлайн-сервисы, иногда вам может потребоваться выполнить простое преобразование без установки каких-либо инструментов. Здесь выигрывают онлайн-конвертеры. Давайте посмотрим на самые популярные.
PDF в DOCX
Как видно из названия, сервис предлагает бесплатное преобразование PDF в DOCX.Чтобы преобразовать файл PDF, просто перетащите его в специальное поле на странице или используйте кнопку Загрузить файлы . Вы можете добавить сразу до 20 файлов и скачивать готовые DOCX по одному или в ZIP-архиве.
Если вам нравится эта услуга, перейдите по адресу http://pdf2docx.com/
Online2PDF
Услуга Online2PDF предлагает набор опций для тех, кто хочет конвертировать файлы PDF в DOCX. Здесь вы можете добавить до 20 файлов PDF общим размером не более 100 Мб.Служба также позволяет выбрать, какие страницы вам нужно преобразовать, и предоставляет возможность объединять, вращать, редактировать и разблокировать файлы. Чтобы преобразовать PDF в DOCX, выберите необходимые файлы и нажмите красную кнопку Конвертировать . Подождите немного, а затем загрузите готовые документы.
Convertonlinefree
Вот еще одна услуга, которую вы можете использовать для преобразования PDF в Word DOXC или DOC. Convertonlinefree — это простой сайт, на котором нет дополнительных возможностей. Что вам нужно сделать, так это выбрать, хотите ли вы конвертировать PDF в DOCX или в DOC, затем выберите файлы (не более 50 МБ) и нажмите Конвертировать .
Замзар
Замзар — один из самых известных интернет-сервисов по конвертации документов. Единственное, что он не может сделать, — это конвертировать MP4 в DVD. Однако вы легко можете сделать это с помощью Freemake. Чтобы преобразовать файл с помощью Zamzar, нажмите кнопку Выбрать файлы и выберите нужный документ. Затем выберите папку вывода, введите свой адрес электронной почты и нажмите кнопку Преобразовать . Когда процесс конвертации завершится, вам будет отправлена ссылка на новый файл по электронной почте.Это не очень удобный вариант, но он кажется хорошим, если сейчас неподходящий момент для загрузки нового файла на свой компьютер.
Хотите использовать Замзар? Тогда посетите этот сайт: http://www.
Оставить комментарий on Онлайн конвертер док в докс: Он-лайн конвертер docx/
Y x x2 4: Исследовать функцию и построить ее график : y= x/x²-4
alexxlab / 02.01.197009.06.2021 / Разное
Сдвиги графиков функций
☰
Изменение значения k влияет на вид графика (степень крутизны в случае параболы), расположение ветвей в координатных четвертях и др. Однако точкой, через которую можно провести ось симметрии графиков, является точка O с координатами (0; 0).
Если же рассматривать функций, подобные перечисленным выше, у которых к переменной x или ко всей исходной функции прибавляется (или вычитается) какое-либо число, то графики этих функций остаются такими же как у исходных, однако смещаются относительно точки (0; 0).
Если обозначить исходные функции как y = f(x), то прибавление к x числа дает функции вида y = f(x+l), а прибавление ко всей исходной функции значения дает вид y = f(x) + m.
Например, если исходная функция y = 2x², то примером первого типа будет функция y = 2(x+5)², а второго — y = 2x² + 5.
Для функций вида y = f(x+l) график смещается влево на l единиц, если l прибавляется. Если же l вычитается, то график смещается вправо. Действительно, представим параболу функции y = x² и сравним ее с функцией y = (x+1)². Когда x = 1, то для первой функции y = 1, а для второй — y = 4. Когда x = 0, для первой y = 0, для второй y = 1. Когда x = –1, для первой y = 1, для второй y = 0.
То есть график второй функции касается оси x в точке (–1; 0). Это значит, что график смещен влево по сравнению с исходным на 1.
Для функций вида y = f(x) + m график соответствующей функции y = f(x) смещается на m единиц, но уже по вертикальной оси (ось y). Здесь если m прибавляется, то график сдвигается вверх. Если m вычитается, то график сдвигается вниз.
Рассмотрим ту же параболу y = x² и функцию y = x² + 1. Когда x = 0, первая принимает значение 0, а у второй y = 1. Получить у второй функции значение y, которое равно 0, вообще невозможно. Это значит, что парабола имеет точку симметрии с координатами (0; 1), т. е. сдвинута от исходной вверх на 1.
«Смешанные» функции вида y = f(x + l) + m сдвигаются вдоль оси x и y. Вдоль оси x они сдвигаются на l, а вдоль y — на значение m.
Урок 13. многочлены от нескольких переменных — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) определение многочлена от нескольких переменных;
2) понятие симметрических многочленов;
3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;
4) бином Ньютона;
5) метод неопределенных коэффициентов.
Глоссарий по теме
Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.
Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.
Уравнение Р(x;y) = а, где , называютсимметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен.
Треугольник Паскаля —бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры 7—9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.
Пример 1. Разложить на множители многочлен: 2x²-5xy+2y².
Воспользуемся методом группировки
2x²-5xy+2y²⁼2x²-4xy-xy+2y²= 2x(x-2y) –y(x-2y)=
(x-2y)(2x+2y).
Пример 2. Выведем формулу сокращенного умножения для «квадрата суммы» (x+y+z+u)².
(x+y+z+u)²=((x+y)+(z+u))²= (x+y)²+2(x+y)(z+u)+(z+u)²= x²+y²+z²+u²+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).
Итак, мы получили (x+y+z+u)²= x²+y²+z²+u²+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).
Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.
Приведем примеры.
1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.
2) р(х; у)=3х²+5ху-7у²  — однородный многочлен второй степени; соответственно 3х²+5ху-7у² =0 — однородное уравнение второй степени.
3) p(x; y)= x³+4xy²-5y³ — однородный многочлен третьей степени; x³+4xy²-5y³ =0 соответственно  — однородное уравнение третьей степени.
4) p(x; y)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1y+a_n-2x^n-2y²₊…+a₁xy^n-1+a₀yⁿ — общий вид однородного многочлена n-й степени.
Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-
метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.
Пример 3. Разложить на множители многочлен
3 x ³ – x ² – 3 x + 1.
Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax ² + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 = ( x – p )( ax ²+ bx + c ) = ax ³ + ( b – ap ) x ² + ( c – bp ) x – pc . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов:
Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x ² + 2 x – 1).
Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.
Пример 4. Решим уравнение x³+4xy²-5y³ =0
Заметим, что если в заданном уравнении взять х=0, то получится у=0; это означает, что пара (0; 0) является решением однородного уравнения. Пусть теперь х. Разделим почленно обе части заданного однородного уравнения на х³, получим:
Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид 1+4z²-5z³=0.
Далее последовательно находим:
5z³-4z²-1=0
(5z³-5z²)+(z²-1)=0
5z²(z-1)+(z-1)(z+1)=0
(z-1)(5z²+z+1)=0
Из уравнения z-1=0 находим z=1, уравнение 5z³-4z²-1=0 действительных корней не имеет.
Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.
Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.
Теперь поговорим о симметрических многочленах. Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Например, симметрическим является двучлен x²y+xy². В самом деле, при одновременной замене х на у и у на х получится двучлен y²x+yx², но это то же самое, что x²y+xy² . Другие примеры симметрических многочленов: xy, x+y, x²+y², x³+y³, x⁴+y⁴ и т.д. Первые два из записанных многочленов считаются основными в том смысле, что любые другие симметрические многочлены можно представить в виде некоторой комбинации многочленов х + у и ху.
Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.
Например,
x²+y²=(x+y)²-2xy
x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)
x⁴+y⁴= 2xy(x²+y²)-(x⁴+y⁴)+3(xy)² и т.д.
Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.
А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.
Слово бином означает «Два числа». В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Бином Ньютона — название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.
Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.
Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах
(a+b)²=(a+b)(a+b)
(a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)
Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?
Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):
(a+b)⁴=(a+b)³(a+b)=(a³+3a²b+3ab²+b³)(a+b)=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
(a+b)⁵=(a+b)⁴(a+b)=(a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴)(a+b)=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:
n=2 1,2,1
n=3 1,3,3,1
n=4 1,4,6,4,1
n=5 1,5,10,5,1
Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):
n=0, (a+b)⁰=1
n=1, (a+b)¹=a+b
Окончательно получим:
n=0 1
n=1 1,1
n=2 1,2,1
n=3 1,3,3,1
n=4 1,4,6,4,1
n=5 1,5,10,5,1
Общая формула бинома Ньютона:
.
Правая часть формулы называется разложением степени бинома.
— называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.
Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.
На самом деле, о треугольнике Паскаля было известно задолго до Паскаля — его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел   (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.
Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.
В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.
Пример 5.
Доказать, что значение выражения 5ⁿ+28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.
Решение: представим первое слагаемое выражение как 5ⁿ= (4+1)ⁿ и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16.
Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
№1.
Из данных многочленов выделите симметрические:
2х²-5ху+2у²-6
6x⁴-16xy²-6y³+19
-3ху+6х²-5у²+8
16x⁴y²+16x²y⁴-x⁴-y⁴
Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.
Верный ответ:
2х²-5ху+2у²-6
6x⁴-16xy²-6y³+19
-3ху+6х²-5у²+8
16x⁴y²+16x²y⁴-x⁴-y⁴
№2.
(а+b)⁵= __a⁵ +___a⁴b+___a³b²+___a²b³+___ab⁴+__b⁵
Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля
1
1    1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
1    5    10    10    5    1
Нас интересует последняя строчка.
Применив ее, получим ответ:
(а+b)⁵= 1a⁵ +5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+1b⁵
Применение табличного процессора Excel для графического решения уравнений n-й степени
Цели урока:
Формирование умений и навыков, носящих в современных условиях общенаучный и обще интеллектуальный характер.

Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.

Научить учащихся применять современное программное обеспечение в решении нестандартных задач.

Повторение пройденного материала.

Задачи урока:
Воспитательная – развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.

Учебная – изучить и закрепить основные навыки работы с электронными таблицами.

Развивающая – развитие логического мышления, расширение кругозора.

Оборудование: персональные компьютеры (ПК), раздаточный материал, доска, маркеры, проектор.
План урока
Организационный момент.

Фронтальный опрос для проверки уровня подготовки учащихся к усвоению нового материала.

1) Какие дополнительные возможности есть у программы Excel?
2) Как вы понимаете термин деловая графика?
3) Какими возможностями для создания деловой графики обладает Excel?
4) При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Excel?
5) Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле?
6) Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее?

Объяснение нового материала. Проводится одновременно с работой учеников на ПК синхронно с учителем.

Самостоятельная работа учащихся на компьютерах.

Сравнение результатов, полученных графическим способом (Excel) и аналитическим (Qbasic).

Выполнение индивидуальных заданий.

Подведение итогов.

Выставление оценок.

Домашнее задание.

Ход урока
1. Организационный момент.
2. Фронтальный опрос.
1) Для чего нужна программа Excel?
Ответ: для создания таблиц, вычисляемых таблиц, диаграмм и графиков (деловой графики).
2) Какими возможностями для создания деловой графики обладает Excel?
Ответ: с помощью библиотеки диаграмм можно составлять диаграммы и графики разных видов (гистограммы, круговые диаграммы, столбчатые, графики и др.), их можно снабжать заголовками и пояснениями, можно задавать цвет и вид штриховки в диаграммах, редактировать их, печатать их на бумаге, изменяя размеры и расположение на листе, вставлять диаграммы в нужное место листа.
3) При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Excel?
Ответ: с помощью вызова Мастера диаграмм (по команде Вставка-Диаграмма или с помощью кнопки Мастер диаграмм).
4) Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле?
Ответ: активизировать нужную ячейку, затем ввести знак «=» и формулу, которая может содержать адреса ячеек, знаки арифметических операций и функции. Контролировать и редактировать ввод формулы можно с помощью строки ввода формулы, которая расположена в верхней части окна программы.
5) Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее.
Ответ: ввести формулу в ячейку, установить курсор на нижнем правом маркере ячейки (при этом курсор должен принять вид маленького черного крестика) и протянуть его до последней ячейки в нужном диапазоне.
3. Объяснение нового материала (проводится одновременно с работой учеников на компьютерах синхронно с учителем).
Тема урока «Применение табличного процессора Excel для графического решения уравнений n-ой степени».
Из курса математики нам известно, что корнями уравнения являются значения точек пересечения графика функции (то есть нашего уравнения) с осью абсцисс. Если же мы решаем систему уравнений, то ее решениями будут координаты точек пересечения графиков функций. Этот метод нахождения корней называется графическим. На прошлом занятии мы узнали, что с помощью программы Excel можно строить практически любые графики. Воспользуемся этими знаниями для нахождения корней системы уравнений графическим методом.
Для примера рассмотрим решение следующей системы уравнений:

Y — X² = 0
Y – 2X = 9

Преобразуем данную систему в приведенную:

Y = X²
Y = 2X + 9

Для оценки решений воспользуемся диаграммой, на которой отобразим графики обеих функций. Сначала построим таблицу 1 (рисунок 1).
Таблица 1
Рисунок 1
Первая строка – строка заголовков. Далее для построения таблицы используем формулы.

При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х=-10, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу А2+1 и скопировать ее до ячейки А23.

При заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2, которая затем копируется до ячейки В23.

При заполнении столбца С в ячейку С2 заносится формула 2*А2+9, и также копируется до С23.

Выделяем таблицу вместе со строкой заголовка и помощью мастера диаграмм выберем тип диаграмм Точечная и построим черновую диаграмму первоначальной оценки решений.

Вводим заголовок «Диаграмма оценки решения» и обозначения осей x, y (поле ввода текста).

Добавляем основные линии сетки по оси X и по оси Y (выставляем флажки).

Размещаем легенду справа от графиков (выставляем флажок «добавить легенду» и включаем переключатель «размещение справа»).

Размещаем графики на имеющемся листе.

Подписываем лист 1 «Диаграмма оценки решения» (рисунок 2).

Диаграмма оценки решения
Рисунок 2
На диаграмме видно, что оба графика имеют точки пересечения – эти координаты точек и есть решения системы. Так как шаг изменения аргумента был достаточно велик, то мы получили приближенные значения решений. Уточним их, построив два графика в интервалах от –3 до 0, где находится первое решение, и от 3 до 5 – где находится второе. Составим новые таблицы.
Для первого решения (таблица 2, рисунок 3).
Таблица 2
Рисунок 3
При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х=-3, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу А2+0,1(в этом случае мы уменьшаем шаг изменения аргумента для более точного построения) и скопировать ее до ячейки А23.

При заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2, которая затем копируется до ячейки В23.

При заполнении столбца С в ячейку С2 заносится формула 2*А2+9, и также копируется до С23.

Выделяем таблицу вместе со строкой заголовка и помощью мастера диаграмм

выберем тип диаграмм Точечная и построим диаграмму для первого решения.

Вводим заголовок «Первое решение» и обозначения осей x, y (поле ввода текста).

Добавляем основные линии сетки по оси X и по оси Y (выставляем флажки).

Размещаем легенду справа от графиков (выставляем флажок «добавить легенду» и включаем переключатель «размещение справа»).

Размещаем графики на имеющемся листе.

Подписываем лист 2 «Первое решение» (рисунок 4).

Первое решение
Рисунок 4
4. Самостоятельная работа.
Для второго решения ребята самостоятельно строят таблицу (таблица 3, рисунок 5), выбрав правильно промежуток. Затем по таблице строят диаграмму для второго решения (рисунок 6). Учитель проходит и проверяет правильность выполнения работы. И если нужна помощь, то в индивидуальном порядке оказывает ее.
Таблица 3
Рисунок 5
Второе решение
Рисунок 6
Решением нашей системы будут координаты точек пересечения графиков: X1=-2,1; Y1=4,8; X2=4,2; Y2=17,4.
Как вы уже поняли, графическое решение системы дает приблизительные результаты.
5. Сравнение результатов, полученных графическим способом (Excel) и аналитическим (Qbasic).
Учитель предлагает решить данную систему уравнений аналитическим способом, используя ранее полученную на уроках информатики программу решения квадратного уравнения.2-4*a*c
IF d<0 THEN PRINT «Решений нет»: GOTO 90
IF d=0 THEN x=-b/(2*a): PRINT «x=»; x: GOTO 90
X1=(-b-SQR(d))/(2*a)
X2=(-b+SQR(d))/(2*a)PRINT “x1=”; x1, “x2=”; x2
90 END
Подставив коэффициенты в программу, получаем точное значение абсцисс:
x1=-2,162278
x2= 4,162278
Сравниваем решения системы, полученные графическим способом и аналитическим. Делаем выводы.
6. Выполнение индивидуальных заданий.
1. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²
Y=4X+12

2. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+5
Y=6X+12

3. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+4
Y=X+12

4. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+5
Y=4X+4

5. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+5
Y=3X+12

6. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=2X²+4X+12

7. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²
Y=8X+12

8. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=X+12

9. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+3
Y=5X+1

10. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+2
Y=X+12

11. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=4X²+12

12. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=X²+4X+12

7. Подведение итогов.
Распечатка отчетов.
8. Выставление оценок.
9. Домашнее задание.
Проанализировать и проверить свои индивидуальные задания и оформить отчеты на листочках.
Ограничить область определения значения, обратного полиномиальной функции
Пример 7: Нахождение области определения радикальной функции, составленной с помощью рациональной функции
Найдите область определения функции [латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt {\ frac {\ left (x + 2 \ right) \ left (x — 3 \ right)} {\ left (x — 1 \ right)}} [/ латекс].
Решение
Поскольку квадратный корень определяется только тогда, когда величина под радикалом неотрицательна, нам нужно определить, где [латекс] \ frac {\ left (x + 2 \ right) \ left (x — 3 \ right)} { \ left (x — 1 \ right)} \ ge 0 [/ латекс].Выходные данные рациональной функции могут менять знаки (с положительных на отрицательные или наоборот) на x -перехваченных точках и на вертикальных асимптотах. Для этого уравнения график может менять знаки при x = –2, 1 и 3.
Чтобы определить интервалы, на которых рациональное выражение является положительным, мы могли бы проверить некоторые значения в выражении или нарисовать график. Хотя оба подхода работают одинаково хорошо, для этого примера мы будем использовать график.
Рисунок 9
Эта функция имеет два перехвата x , оба из которых демонстрируют линейное поведение рядом с перехватами x .Имеется одна вертикальная асимптота, соответствующая линейному множителю; это поведение аналогично базовой функции обратного инструментария, и здесь нет горизонтальной асимптоты, потому что степень числителя больше степени знаменателя. В точке (0, 6) находится перехват y .
Из интервала y и интервала x при x = –2, мы можем нарисовать левую часть графика. По поведению на асимптоте мы можем нарисовать правую часть графика.
Теперь по графику мы можем сказать, на каких интервалах выходы будут неотрицательными, так что мы можем быть уверены, что исходная функция f ( x ) будет определена. f ( x ) имеет домен [latex] -2 \ le x <1 \ text {или} x \ ge 3 [/ latex], или в обозначении интервала, [latex] \ left [-2,1 \ right) \ чашка \ left [3, \ infty \ right) [/ латекс].
Нахождение точек пересечения по уравнению
X Intercept : график уравнения пересекает ось x
Y Intercept : график уравнения пересекает ось Y
Чтобы найти перехватчики:
Если вы хотите, чтобы x перехватывал (x, 0):
Установите y = 0, затем решите относительно x
Если вы хотите, чтобы y перехватывал (0, y):
Установите x = 0, затем решите относительно y
Пример: найти точки пересечения y = x
² — 4
x пересечение: установить y = 0
0 = х ² — 4
x ² = 4
x = 2 или −2
Точки: (2,0) и (−2,0)
Перехват y: установить x = 0
y = 0 ² — 4
г = −4
Точка (0, -4)
А вот график x ² — 4, чтобы подтвердить то, что мы нашли:
Пример: найти точки пересечения x
² — 5x + y ² + 3y = 0
x пересечение: установить y = 0
x ² — 5x + 0 ^{+ 0 = 0}
х (х − 5) = 0
x = 0 и 5
Точки: (0,0) и (5,0)
Перехват y: установить x = 0
0 ^{— 0 + y ² + 3y = 0}
г (у + 3) = 0
y = 0 или −3
Точки: (0,0) и (0, −3)
Итак, всего 3 балла:
(0,0), (5,0) и (0, −3)
А вот и график… это круг!
колледж-алгебра — ближайшая точка
Общественный колледж Меса
Концепции алгебры колледжа — MAT 150 онлайн
Задача: Найдите точку на графике кривой y = x ² + 1, ближайшую к фиксированной точке (4,1).
Предпосылки: Эта проблема относится к классу задач, обычно называемых проблемами минимизации, минимальными / максимальными проблемами или проблемами экстремумов. Курсы математического анализа традиционно решают этот тип проблем, задав любой из следующих вопросов:
Каковы размеры правильного круглого цилиндра с объемом 1000 см ³, который минимизирует площадь поверхности?
Водопровод должен быть проложен из точки P в точку S и должен проходить через регионы, где затраты на строительство различаются (представлена диаграмма).Найдите путь, по которому должен пройти инженер, чтобы затраты на прокладку трубы были минимальными.
Тренажерный зал состоит из прямоугольной области с полукругом на каждом конце. Если по периметру комнаты должна быть беговая дорожка длиной 200 метров, найдите размеры комнаты, которые сделают площадь прямоугольной области как можно большей.
В каждой задаче мы пытаемся найти наименьшее или наибольшее значение. Хотя исчисление можно использовать для нахождения точных решений этих проблем, мы будем использовать алгебру и наши графические калькуляторы для аппроксимации решения.Часть нашего решения, относящаяся к алгебре, на самом деле такая же, как если бы мы использовали исчисление.
Переформулировка задачи: Найдите точку (x, y) на графике кривой y = x ² + 1, ближайшую к фиксированной точке (4,1).
Сначала давайте нарисуем график, чтобы получить более четкое представление о том, что происходит.
Мы пытаемся найти точку A (x, y) на графике параболы y = x ² + 1, которая ближе всего к
точке B (4,1).
Переформулировка задачи: Найдите точку A (x, y) на графике параболы, y = x ² + 1, что минимизирует расстояние d между кривой и точка B (4,1).
Проблема разбивается на три части:
1. Поскольку мы хотим минимизировать d, нам нужна функция, описывающая расстояние между (x, y) и (4,1).
2.Найдите значение x, которое минимизирует d.
3. Найдите точку (x, y) на графике параболы y = x ² + 1, которая минимизирует d.

Часть 1:
Постройте функцию, описывающую расстояние между (x, y) и (4,1).
По «distance forumla» расстояние d между (x, y) и (4,1) равно
Для любой точки (x, y) на параболе y = x ² + 1,
Подставляя y в формулу для d, получаем
Упрощение,

Часть 2:
Используя графический калькулятор, мы зарисовываем график d и ищем точку, в которой встречается минимальное значение d.
Используя функцию трассировки, мы можем увидеть, что минимальное значение d происходит (приблизительно) в точке
(x, d ) = (1,12817, 3,4123 )
То есть d — это минимум , когда x составляет приблизительно 1,12817
Кратчайшее расстояние между B и параболой составляет примерно 3.14123

Часть 3:
Помните, что мы предполагаем, что найдет точку (x, y) на графике параболы, y = x ² + 1, что минимизирует d . Пока мы знаем x и знаем d, но мы еще не нашли y.
Используя уравнение для параболы, y = x ² + 1 и значение x, которое минимизировало d, (x = 1,12817), получаем y = 2,27277 (приблизительно).
Итак, чтобы ответить на исходный вопрос, ближайшая точка параболы y = x ² + 1 к точке (4,1) приблизительно равна (1.12817, 2.27277).
© 1999 Джо Стейг
Решение линейно-квадратичных систем
Вы, наверное, решили системы линейных уравнений. Но как насчет системы двух уравнений, в которой одно уравнение является линейным, а другое — квадратичным?
Мы можем использовать версию метода подстановки для решения систем этого типа.
Помните, что уравнение прямой имеет вид y = mx + b, а стандартная форма уравнения параболы с вертикальной осью симметрии — y = ax2 + bx + c, a ≠ 0.
Чтобы избежать путаницы с переменными, запишем линейное уравнение в виде y = mx + d, где m наклон и d является точкой пересечения оси Y линии.
Подставляем выражение для y из линейного уравнения в квадратное уравнение. То есть подставляем mx + d для тебя в y = ax2 + bx + c .
мх + д = ах2 + Ьх + с
Теперь перепишите новое квадратное уравнение в стандартной форме.
Вычесть mx + d с обеих сторон.
(mx + d) — (mx + d) = (ax2 + bx + c) — (mx + d) 0 = ax2 + (b − m) x + (c − d)
.
Теперь у нас есть квадратное уравнение с одной переменной, решение которого можно найти с помощью формулы корней квадратного уравнения.
Решения уравнения ax2 + (b − m) x + (c − d) = 0 даст x-координаты точек пересечения графиков прямой и параболы.Соответствующие координаты y могут быть найдены с помощью линейного уравнения.
Другой способ решения системы — построить график двух функций на одной и той же координатной плоскости и определить точки пересечения.
Пример 1:
Найдите точки пересечения прямой y = 2x + 1 и парабола y = x2−2.
Замена 2x + 1 для y в y = x2−2.
2x + 1 = x2−2
Напишите квадратное уравнение в стандартной форме.
2x + 1−2x − 1 = x2−2−2x − 10 = x2−2x − 3
Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни квадратного уравнения.
Здесь a = 1, b = −2, c = −3.
x = — (- 2) ± (−2) 2-4 (1) (- 3) 2 (1) = 2 ± 4 + 122 = 2 ± 42 = 3, −1
Подставьте значения x в линейное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y.
x = 3⇒y = 2 (3) +1 = 7x = −1⇒y = 2 (−1) +1 = −1
Следовательно, точки пересечения равны (3,7) и (−1, −1).
Постройте параболу и прямую линию на координатной плоскости.

Аналогичный метод можно использовать для поиска точек пересечения прямой и окружности.
Пример 2:
Найдите точки пересечения прямой y = −3x и окружность x2 + y2 = 3.
Заменитель −3x для тебя в x2 + y2 = 3 .
x2 + (- 3x) 2 = 3
Упростить.
x2 + 9×2 = 310×2 = 3×2 = 310
Извлечение квадратного корня, x = ± 310.
Подставьте значения x в линейное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y.
x = 310⇒y = −3 (310) = −3310x = −310⇒y = −3 (−310) = 3310
Следовательно, точки пересечения (310, −3310) и (-310, 3310).
Постройте окружность и прямую линию на координатной плоскости.

… или линия и эллипс.
Пример 3:
Решите систему уравнений y = −5 и x29 + y24 = 1.
Заменитель −5 для тебя в −5.
x29 + (- 5) 24 = 1
Упростить.
x29 + (- 5) 24 = 14×236 + 9 (25) 36 = 14×2 + 225 = 364×2 = −189×2 = −1894
Здесь у нас есть отрицательное число как квадрат числа. Итак, два уравнения не имеют реальных решений.
Постройте эллипс и прямую линию на координатной плоскости.
Мы видим, что два не пересекаются.
переводов графа — темы в предварительном исчислении
17
Перевод графика
Переводы параболы
Вершина параболы
Уравнение окружности
Вертикальное растяжение и сжатие
ПЕРЕВОД ГРАФИКИ — это его жесткое движение по вертикали или горизонтали.
Слева — график функции абсолютного значения. Справа его перевод в «новое происхождение» в (3, 4).
Уравнение функции абсолютного значения:
y = | x |.
Уравнение его перевода в (3, 4):
y — 4 = | x — 3 |.
Например, когда x = 3, тогда y -4 = 0, то есть y = 4.
Таким образом, точка (3, 4) — это та точка на транслированном графе, которая изначально находилась в (0, 0).
В целом
Если график
y = f ( x )
переводится на a единицы по горизонтали и b единицы
вертикально, затем уравнение переведенного
график
y — b = f ( x — a ).
Когда f ( x ) переводится в на единицы по горизонтали, тогда аргумент f ( x ) становится x — a . В приведенном выше примере аргумент | x | становится x — 3.
Мы докажем это ниже.
Пример 1. Напишите уравнение этого графика:
Ответ . y — 3 = | x + 5 |.
График абсолютного значения был переведен на 3 единицы вверх, но на 5 единиц до осталось . a = −5. Следовательно, x — , а становится
.
x — (−5) = x + 5.
Задача 1. Напишите уравнение этого графика:
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
y + 3 = — | x + 4 |.
Мало того, что график абсолютного значения был переведен, он сначала был отражен относительно оси x .
Тема 15.
Перевод — это жесткое движение графика. График , отраженный , представляет собой жесткое движение y = — | x |.Таким образом, отражение происходит до преобразования в x = −4. Другими словами, если вы записали неотраженный перевод в (−3, −4) как
y = | x + 4 | — 3,
, а затем записал отражение о оси x как
y = — | x + 4 | + 3,
, что было бы неправильно. Вы могли видеть это, потому что, когда x = −4, y не равно −3.
Задача 2. Нарисуйте график
.
y = | x — 3 |.
Задача 3. Нарисуйте график
.
y = — | x + 2 |.
Задача 4. Нарисуйте график
.
y = — | x — 3 | + 2.
Это эквивалентно y — 2 = — | x — 3 |.
График отображается относительно оси x и переводится в (3, 2).
Задача 5. Нарисуйте график y =.
Задача 6. Нарисуйте график y = -.
Это функция квадратного корня, переведенная на 3 единицы влево.
Задача 7. Нарисуйте график y = 1 — x ².
Это эквивалентно y — 1 = — x ², что является отраженной параболой, переведенной на 1 единицу вверх.
Пример 2. Вершина параболы. Напишите уравнение параболы (со старшим коэффициентом 1), вершина которой находится в точке ( a , b ).
Ответ . y — b = ( x — a ) ². Это перевод y = x ² в ( a , b ).
Задача 8. Напишите уравнение параболы, вершина которой находится в точке
.
а) (1, 2) y — 2 = ( x — 1) ²
б) (-1, 2) y — 2 = ( x + 1) ²
в) (1, −2) y + 2 = ( x — 1) ²
Пример 3.Каковы координаты вершины этой параболы?
y = x ² + 6 x + 9
Решение . Чтобы ответить, мы должны сделать уравнение таким:
y — b = ( x — a ) ²
Тогда вершина будет в точке ( a , b ).
Теперь, x ² + 6 x + 9 — это полный квадрат ( x + 3):
y = x ² + 6 x + 9 = ( x + 3) ².
Следовательно, a = −3 и b = 0. Вершина находится в точке (−3, 0.)
Пример 4. Каковы координаты вершины этой параболы?
y = x ² + 5
Решение .Опять же, мы должны сделать уравнение таким:
y — b = ( x — a ) ².
Если просто переставить 5 —
y -5 = x ²
— мы видим, что a = 0, а b = 5. Вершина находится в точке (0, 5).
Пример 5. Завершение квадрата. Каковы координаты вершины этой параболы?
y = x ² + 6 x −2
Решение .Сделать такую форму —
y — b = ( x — a ) ²
— постоянный член транспонируем, а квадрат справа заполним.
y + 2 = x ² + 6 x
Завершите квадрат, добавив 9 к обеим сторонам:
y + 2 + 9 = x ² + 6 x + 9
y + 11 = ( x + 3) ²
Вершина находится в точке (−3, −11).
Задача 9. Каковы координаты вершины этой параболы?
y = x ²-10 x + 25
Правая часть представляет собой идеальный квадрат ( x — 5).
y = ( x -5) ²
Таким образом, вершина находится в точке (5, 0).
Проблема 10.Каковы координаты вершины этой параболы?
y = x ² — 1
Из уравнения следует
y + 1 = x ².
Вершина находится в точке (0 −1).
Задача 11. Каковы координаты вершины этой параболы?
y = x ²-8 x + 1
Переставьте постоянный член и заполните квадрат справа:
y — 1 = x ²-8 x
y — 1 + 16 = x ² — 8 x + 16
y + 15 = ( x -4) ²
Вершина находится в точке (4, −15).
Уравнение окружности
Что характеризует каждую точку ( x , y ) на окружности круга?
Каждая точка ( x , y ) находится на одинаковом расстоянии r от центра. Следовательно, согласно формуле расстояния Пифагора для расстояния точки от начала координат:
x ² + y ² = r ².
Это уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат (0, 0).
Конкретно это —
x ² + y ² = 25
— уравнение окружности радиуса 5 с центром в начале координат.
Каждая пара значений ( x , y ), которая решает это уравнение, то есть делает его истинным утверждением, будет координатами точки на окружности.
Вопрос. Каково уравнение окружности с центром в точке ( a , b ) и радиусом r ?
Ответ . ( x — a ) ² + ( y — b ) ² = r ².
Круг был переведен с (0, 0) на ( a , b ).
Проблема 12.Напишите уравнение окружности радиуса 3 с центром в следующей точке.
а) (1, 2) ( x — 1) ² + ( y — 2) ² = 9
б) (-1, -2) ( x + 1) ² + ( y + 2) ² = 9
в) (1, −2) ( x — 1) ² + ( y + 2) ² = 9
Пример 6.Покажите, что это уравнение круга. Назовите радиус и координаты центра.
x ²-4 x + y ²-2 y = 11
Решение . Чтобы показать, что что-то является уравнением круга, мы должны показать, что оно может иметь такую форму:
( x — a ) ² + ( y — b ) ² = r ².
Таким образом, мы завершим квадрат как x , так и y .
Чтобы завершить квадрат размером x , мы прибавим 4 к обеим сторонам.
Чтобы завершить квадрат y , мы прибавим 1 к обеим сторонам.
( x ²-4 x + 4) + ( y ²-2 y + 1) = 11 + 4 + 1
( x -2) ² + ( y -1) ² = 16.
Это уравнение окружности радиуса 4, центр которой находится в точке (2, 1).
Тогда мы можем сказать, что когда квадратичный в x плюс квадратичный в y равен числу —
x ²-4 x + y ²-2 y = 11
— тогда это уравнение круга.
Коэффициенты при x ² и y ² равны 1.И число должно быть больше, чем минус суммы квадратов половин коэффициентов x и y .
Задача 13. Покажите, что это уравнение круга. Назовите радиус и координаты центра.
x ² + 6 x + y ² + 10 y — 2 = 0
Переставьте постоянный член и заполните квадрат как x , так и y .Добавьте одинаковые квадратные числа с обеих сторон:
( x ² + 6 x + 9 ) + ( y ² + 10 y + 25 ) = 2 + 9 + 25
( x + 3) ² + ( y + 5) ² = 36
Это уравнение круга радиуса 6 с центром в (−3, −5).
Вот доказательство основной теоремы.
Теорема. Если график y = f ( x ) переведен на a единиц по горизонтали и b единиц по вертикали, то уравнение переведенного графика будет
y — b = f ( x — a ).
Ибо в переводе каждая точка на графике перемещается одинаково.Пусть ( x ₁, y ₁), тогда будут координатами любой точки на графике y = f ( x ), так что
y ₁ = f ( x ₁).
А переведем график на единиц по горизонтали и на единиц по вертикали, так что x ₁ перейдет в точку
x ₁ + a ,
и y ₁ переходит в точку
y ₁ + b .
Если a — положительное число, то эта точка будет справа от x ₁, а если a отрицательное число, то она будет слева. Точно так же, если b — положительное число, тогда y ₁ + b будет больше y ₁, а если b отрицательно, оно будет ниже.
Теперь, каким будет уравнение переведенного графика, когда значение x в уравнении равно x ₁ + a , значение y будет y ₁ + б ?
Мы говорим, что следующее уравнение:
y — b = f ( x — a ).
Для, когда x = x ₁ + a :
y — b = f ( x ₁ + a — a ) = f ( x ₁) = y ₁ 1 ₁
y = y ₁ + b .
И ( x ₁, y ₁) — любая точка на графике y = f ( x ).Следовательно, уравнение переведенного графика —
.
y — b = f ( x — a ).
Что мы и хотели доказать.
Вертикальное растяжение и сжатие
Если мы умножим функцию f ( x ) на число c — получим c f ( x ) — каков будет эффект на графике?
Если мы умножим f ( x ) на число больше 1 — как на графике в центре — то каждое значение y будет растянуто; на этом графике в 2 раза.
Но если мы умножим f ( x ) на число меньше 1 — как на графике справа — то каждое значение y уменьшится; в этом графике в ½ раза.
Следующая тема: Рациональные функции
Содержание | Дом
Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.
Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Электронная почта: themathpage @ яндекс.com

Перемещение графика
Перемещение графика
Переместите график, напишите уравнение
А. Переместить график на 2 единицы вверх
Переместите исходный график y = x до 2 шт. Результирующий график y = x + 2.
Переместите исходный график y = Abs (x) до 2 шт. Результирующий график y = Abs (x) +2.
Переместите исходный график y = x ² до 2 шт. Результирующий график y = х ² +2
Переместите исходный график y = sin (x) до 2 шт. Результирующий график y = 2 + sin (x).
Переместите исходный график y = x ³ до 2 шт.Результирующий график y = х ³ +2.
Переместить исходный график круга х ² + у ² = 4 на 2 единицы измерения. Полученный график представляет собой круг x ² + (у-2) ² = 4.
Переместить исходный график эллипса
x ²/9 + y ²/4 = от 1 до 2 единиц.Результирующий график — это эллипс
x ²/9 + (y-2) ²/4 = 1
Переместите исходный график гиперболы x ²/9 — y ²/4 = от 1 до 2 единиц. Результирующий график — это гипербола
х ²/9 — (у-2) ²/4 = 1
Переместите исходный график экспоненты функция y = 2 ^x до 2 единиц.Результирующий график представляет собой экспоненциальную функцию у = 2 ^х + 2.
Сдвинуть график вправо 2 единиц:
Переместить оригинал график г = x вправо на 2 единицы.Результирующий график: y = x- 2 .
Переместить оригинал график г = lxl вправо 2 шт. Результирующий график: y = lx-2l.
Переместить оригинал график г = x ² вправо 2 шт.Результирующий график
у = (х — 2) ² .
Переместить оригинал график г = sin (x) вправо на 2 единицы. Результирующий график г = грех (х-2).
Переместить оригинал график г = x ³ вправо 2 шт.Результирующий график: y = (x ‘2) ³ 900 18.
Переместить оригинал график круга x ² + y ² = 9 до правые 2 шт. Полученный график представляет собой окружность (x — 2) ² + y ² = 9 .
Переместить оригинал график эллипса
x ² /9 + y ² /4 = 1 справа 2 шт. Результирующий график — эллипс
(x-2) ² /9 + y ² /4 = 1
Переместить оригинал график гиперболы x ² / 9 — y ² /4 = 1 справа 2 шт.Результирующий граф — это гипербола
(х — 2) ² /9 — y ² / 4 = 1
Переместить оригинал график экспоненциальной функции y = 2 ^x вправо 3 шт.Полученный график представляет собой экспоненциальную функцию
.
г = 2 ^(x- ³ ⁾.
Назад к Паттерны математики
Для загрузки Материалы Дона
Mathman home
Инверсия функции — объяснение и примеры
Что такое обратная функция?
В математике обратная функция — это функция, отменяющая действие другой функции.
Например, , сложение и умножение являются инверсией соответственно вычитания и деления.
Обратную функцию можно рассматривать как отражение исходной функции по линии y = x. Проще говоря, обратная функция получается заменой (x, y) исходной функции на (y, x).
Мы используем символ f ^{— 1} для обозначения обратной функции. Например, если f (x) и g (x) противоположны друг другу, то мы можем символически представить это утверждение как:
g (x) = f ^{— 1} (x) или f (x) = g ⁻¹ (x)
Следует отметить, что обратная функция — это не то же самое, что обратная функция, т.е.е., f ^{— 1} (x) ≠ 1 / f (x). В этой статье мы обсудим, как найти обратную функцию.
Поскольку не все функции имеют инверсию, важно проверить, есть ли у функции инверсия, прежде чем приступать к определению инверсии.
Мы проверяем, есть ли у функции инверсия, чтобы не тратить время на поиск чего-то, чего не существует.
Индивидуальные функции
Итак, как мы можем доказать, что данная функция имеет обратную? Функции, у которых есть обратные, называются взаимно однозначными функциями.
Функция называется взаимно однозначной, если для каждого числа y в диапазоне f существует ровно одно число x в области определения f такое, что f (x) = y.
Другими словами, домен и диапазон однозначной функции имеют следующие отношения:
Область f ⁻¹ = Диапазон f.
Диапазон f ^-1 = Область f.
Например, чтобы проверить, является ли функция f (x) = 3x + 5 взаимно однозначной заданной, f (a) = 3a + 5 и f (b) = 3b + 5.
⟹ 3a + 5 = 3b + 5
⟹ 3a = 3b
⟹ а = б.
Следовательно, f (x) является взаимно однозначной функцией, потому что a = b.
Рассмотрим другой случай, когда функция f задается формулой f = {(7, 3), (8, –5), (–2, 11), (–6, 4)}. Эта функция взаимно однозначна, потому что ни одно из ее значений y не встречается более одного раза.
А как насчет этой другой функции h = {(–3, 8), (–11, –9), (5, 4), (6, –9)}? Функция h не является взаимно однозначной, потому что значение y, равное –9, встречается более одного раза.
Вы также можете графически проверить взаимно однозначную функцию, проведя вертикальную и горизонтальную линии через график функции. Функция взаимно однозначна, если и горизонтальная, и вертикальная линии проходят через график один раз.
Как найти обратную функцию?
Найти инверсию функции — несложный процесс, хотя нам действительно нужно быть осторожными с парой шагов. В этой статье мы будем предполагать, что все функции, с которыми мы будем иметь дело, относятся друг к другу.
Порядок нахождения обратной функции f (x):
Заменить обозначение функции f (x) на y.
Поменять местами x на y и наоборот.
Начиная с шага 2, решите уравнение относительно y. Будьте осторожны с этим шагом.
Наконец, измените y на f ⁻¹ (x). Это обратная функция.
Вы можете проверить свой ответ, проверив, верны ли следующие два утверждения:
⟹ (f ∘ f ⁻¹) (x) = x
⟹ (f ⁻¹ ∘ f) (x) = x
Давайте поработаем пару примеров.
Пример 1
Дана функция f (x) = 3x — 2, найти обратную ей.
Решение
f (x) = 3x — 2
Заменить f (x) на y.
⟹ у = 3х — 2
Поменять местами x на y
⟹ x = 3y — 2
Решить для y
х + 2 = 3 года
Разделим на 3, чтобы получить;
1/3 (х + 2) = у
х / 3 + 2/3 = у
Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).
f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3
Проверить (f ∘ f ⁻¹) (x) = x
(f ∘ f ⁻¹) (x) = f [f ⁻¹ (x)]
= е (х / 3 + 2/3)
⟹ 3 (х / 3 + 2/3) — 2
⟹ х + 2–2
= х
Следовательно, f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3 — правильный ответ.
Пример 2
Дано f (x) = 2x + 3, найти f ⁻¹ (x).
Решение
f (x) = y = 2x + 3
2x + 3 = y
Поменять местами x и y
⟹2y + 3 = х
Теперь решите для
у.
⟹2y = х — 3
⟹ у = х / 2 — 3/2
Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x)
⟹ f ⁻¹ (x) = (x– 3) / 2
Пример 3
Задайте функцию f (x) = log ₁₀ (x), найдите f ⁻¹ (x).
Решение
f (x) = log₁₀ (x)
Заменено f (x) на y
⟹ y = журнал ₁₀ (x) ⟹ 10 ^y = x
Теперь поменяйте местами x на y, чтобы получить;
⟹ y = 10 ^x
Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).
f ^-1 (x) = 10 ^x
Следовательно, обратное значение f (x) = log ₁₀ (x) равно f ^-1 (x) = 10 ^x
Пример 4
Найдите обратную функцию к следующей функции g (x) = (x + 4) / (2x -5)
Решение
г (x) = (x + 4) / (2x -5) ⟹ y = (x + 4) / (2x -5)
Обмен y с x и наоборот
y = (x + 4) / (2x -5) ⟹ x = (y + 4) / (2y -5)
⟹ х (2у-5) = у + 4
⟹ 2xy — 5x = y + 4
⟹ 2xy — y = 4 + 5x
⟹ (2x — 1) y = 4 + 5x
Разделите обе части уравнения на (2x — 1).
⟹ у = (4 + 5x) / (2x — 1)
Заменить y на g ^-1 (x)
= г ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)
Проба:
(г г ^-1) (x) = г [г ^-1 (x)]
= г [(4 + 5x) / (2x — 1)]
= [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5]
Умножьте числитель и знаменатель на (2x — 1).
⟹ (2x — 1) [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5] (2x — 1).
⟹ [4 + 5x + 4 (2x — 1)] / [2 (4 + 5x) — 5 (2x — 1)]
⟹ [4 + 5x + 8x − 4] / [8 + 10x — 10x + 5]
⟹13x / 13 = x
Следовательно, g ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)
Пример 5
Определите значение, обратное следующей функции f (x) = 2x — 5
Решение
Заменить f (x) на y.
f (x) = 2x — 5⟹ y = 2x — 5
Переключите x и y, чтобы получить;
⟹ х = 2у — 5
Изолировать переменную y.
2у = х + 5
⟹ у = х / 2 + 5/2
Измените y обратно на f ^–1 (x).
⟹ f ^–1 (x) = (x + 5) / 2
Пример 6
Найти обратную функцию к функции h (x) = (x — 2) ³.
Решение
Измените h (x) на y, чтобы получить;
h (x) = (x — 2) ³ ⟹ y = (x — 2) ³
Поменять местами x и y
⟹ х = (у — 2) ³
Изолятор ул.
y ³ = x + 2 ³
Найдите кубический корень из обеих частей уравнения.
³ √y ³ = ³ √x ³ + ³ √2 ³
y = ³ √ (2 ³) + 2
Заменить y на h ^-1 (x)
ч ^{— 1} (x) = ³ √ (2 ³) + 2
Пример 7
Найти обратную величину h (x) = (4x + 3) / (2x + 5)
Решение
Заменить h (x) на y.
h (x) = (4x + 3) / (2x + 5) ⟹ y = (4x + 3) / (2x + 5)
Поменять местами x и y.
⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5).
Решите относительно y в приведенном выше уравнении следующим образом:
⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5)
Умножаем обе стороны на (2y + 5)
⟹ х (2у + 5) = 4у + 3
Распределить x
⟹ 2xy + 5x = 4y + 3
Изолятор ул.
⟹ 2xy — 4y = 3 — 5x
⟹ y (2x — 4) = 3-5x
Разделим на 2x — 4, чтобы получить;
⟹ у = (3 — 5x) / (2x — 4)
Наконец, замените y на h ^{— 1} (x).
⟹ ч ^{— 1} (x) = (3 — 5x) / (2x — 4)
Практические вопросы
Найдите обратное значение для следующих функций:
г (x) = (2x — 5) / 3.
h (x) = –3x + 11.
г (x) = — (x + 2) ² — 1.
г (х) = (5/6) х — 3/4
f (x) = 3 x — 2.
ч (х) = х ² + 1.
г (x) = 2 (x — 3) ²-5
f (x) = x ² / (x ² + 1)
ч (х) = √x — 3.
Оставить комментарий on Y x x2 4: Исследовать функцию и построить ее график : y= x/x²-4/
3 x y 7: Как решить систему:x+y=3,x-y=7?
alexxlab / 02.01.197009.06.2021 / Разное
XY-7 TWS Беспроводной Bluetooth 5.0 Наушники для наушников SIRI голосовой ассистент батареи Дисплей сенсорные работы наушники
Поделиться в:
Цена: 15.99 ~~$23.06~~ скидка 31%
Склад:
Отправка: БЕСПЛАТНАЯ ДОСТАВКА COD Этот продукт поддерживает наложенный платеж при доставке. Совет: не размещайте заказы на товары не наложенным платежом, иначе Вы не сможете выбрать способ оплаты наложенным платежом. Отправка между: Jun 18 — Jun 20, Расчетное время доставки: рабочих дней Время обработки заказа может занять несколько дней. После отправки со склада время доставки (или доставки) зависит от способа доставки.
Цвет:
Количество
－ +
Рассрочка: Беспроцентный Вы можете наслаждаться максимальной 0 беспроцентной рассрочкой, и может не пользоваться этим предложением при размещении заказов с другими товарами »
Распродажа
Рекомендуемые для вас
Описания XY-7 Wireless Bluetooth Headphone
Основные характеристики:
● Bluetooth 5.0
● голосовой помощник Siri
● дисплей питания
● сенсорная операция
● Авто подключение
● HD Call.
● Интеллектуальное снижение шума
Спецификация
Общий
Номер модели: XY-7.
тип наушников: наушники
Материалы: ABS
В основном совместим с: iPad,iPhone,iPhone 5/5S,iPhone 6,iPhone 6 Plus,iPhone 6S,iPod
Функция: переключение песен
Версия Bluetooth: V5.0
Протокол Блютуз: A2DP v1.3,AVRCP v1.6,HSP v1.2
диапазон передачи: 10 метров
Режим Блютуз: громкая связь,накладные наушники
Емкость аккумулятора(мАч): Наушники: 40 мАч, зарядная коробка: 400 мАч
Аудио: стерео
Цвет: Чёрный,Синий,Белый
Размер и вес
Вес упаковки: 0. 1500 кг
Размер упаковки (Д x Ш x В): 10.00 х 10.00 х 4.00 см / 3,94 х 3,94 х 1,57 дюйма
Комплектация
Комплектация: 1 x Пара наушников, 1 x Зарядная коробка, 1 х USB Зарядка кабеля, 1 х руководство
Предлагаемые продукты
Отзывы клиентов
Andrea
Not bad
The audio has a good range and clarity, with a noticeable bass at higher volume levels. The noise-canceling makes the voice clearer eliminating background noise. They fit nicely in your ears even when I was doing sport. The battery life also is great.»>Bluetooth earbuds are one of the most wished-for gadgets this holiday by kids. The audio has a good range and clarity, with a noticeable bass at higher volume levels. The noise-canceling makes the voice clearer eliminating background noise. They fit nicely in your ears even when I was doing sport. The battery life also is great.
Jan 01,2021
Selina
Great product
I don’t feel tired even after listening for a long time. The sound is crystal clear. They do not take long to charge and last a long time.» data-content_en=»I can’t complain considering its price. The touch control takes some practice. Once you are used to it, it is quite convenient. They are so comfortable to wear that I could easily wear them all day. I don’t feel tired even after listening for a long time. The sound is crystal clear. They do not take long to charge and last a long time.»>I can’t complain considering its price. The touch control takes some practice. Once you are used to it, it is quite convenient. They are so comfortable to wear that I could easily wear them all day. I don’t feel tired even after listening for a long time. The sound is crystal clear. They do not take long to charge and last a long time.
Aug 19,2020
Luigi
Worth buying
I’ve always gotten the ones that go around your neck afraid I would lose them. These are great, especially for a good price. They were no trouble at all connecting to my phone. The battery life seems good, too. Comes nicely packaged and would make a great gift.» data-content_en=»I was surprised by these Bluetooth headphones. I’ve always gotten the ones that go around your neck afraid I would lose them. These are great, especially for a good price. They were no trouble at all connecting to my phone. The battery life seems good, too. Comes nicely packaged and would make a great gift.»>I was surprised by these Bluetooth headphones. I’ve always gotten the ones that go around your neck afraid I would lose them. These are great, especially for a good price. They were no trouble at all connecting to my phone. The battery life seems good, too. Comes nicely packaged and would make a great gift.
Nov 18,2020
LEE
Better than I thought
» data-content_en=»If you are looking for an inexpensive good quality earbud, this product should be on top of your list.»>If you are looking for an inexpensive good quality earbud, this product should be on top of your list.
Dec 15,2020
Soki
Recommend it to you
I bought this earbuds for my nephew, and for the price point, this earbuds is a must hear to believe.
Oct 01,2020
FAQ для XY-7 Wireless Bluetooth Headphone
Почему наушники не заряжается?
Пожалуйста, убедитесь, что оба конца кабеля USB надежно подключены. Если вы используете сетевую розетку, убедитесь, что источник питания подключен надежно и выпускной работы. Если вы используете компьютер, убедитесь, что он подключен, и порт USB работает. Включите гарнитуру, а затем включите их. Отключите и снова подключите USB-кабель для зарядки.
Почему наушники отсоединять с мобильным телефоном в пределах 10 метров?
Пожалуйста, проверьте, есть ли металл или любой другой материал, в пределах относительно близкого расстояния, которые могут помешать соединению Bluetooth. Bluetooth является технологией радиосвязи, является чувствительным к объектам, расположенных между наушниками и подключенным устройством.
Там нет звукового сигнала, что я могу сделать?
Проверьте, если головные телефоны выключены. Проверьте, если наушники в паре. При необходимости, пара наушников с источником звука снова. Проверьте подключение аудио источника. Если объем слишком мал, чтобы увеличить громкость.
Почему я не могу использовать наушники для регулировки громкости или выберите дорожку на App мобильного телефона?
Настройки приложения программного обеспечения могут различаться в зависимости от некоторых функций приложения сам не в зависимости от телефона.
Почему наушники не могут спариваться с мобильным телефоном?
1. Проверьте, находится ли ваш наушник в режиме сопряжения или в режиме переподключения, и проверьте, открыта ли функция поиска Bluetooth на вашем мобильном телефоне; 2. Проверьте меню Bluetooth вашего мобильного устройства и удалите / забудьте наушники, затем снова подключите наушники, следуя инструкциям в руководстве пользователя.
Что означает логотип сертификации для наушников означает?
Как выбрать гарнитуру?
Почему мой смартфон не может найти свои наушники Bluetooth?
1. Убедитесь, что ваш смартфон и наушники достаточно близко друг к другу, когда вы хотите подключить их; 2. Проверьте рекомендуемый производителем процесс сопряжения; 3. Попробуйте выключить и снова включить их; 4. Выключите или удалите все мешающие устройства; 5. Отойдите от WiFi роутера.
Какие факторы влияют на качество звука гарнитуры Bluetooth? Факторы, которые действительно влияют на качество звука Bluetooth являются протоколами для передачи аудио и технологии кодирования. В настоящее время существуют четыре основные технологии кодирования на рынке: ACC, SBC, APT-X и LDAC. Теперь мы расскажем вам, в чем разница между ними? Пожалуйста, проверьте этот пост: 4 audio coding technologies tell you the secret of Bluetooth sound quality
Почему статична, когда я слушаю музыку на наушниках Bluetooth?
1. Сначала вы должны отключить или отключить любые другие неиспользуемые устройства Bluetooth в этом районе; 2. Если статический заряд не исчезает, попробуйте перезагрузить наушники; 3. Включите медиаплеер, затем отсоедините наушники на 30 секунд, а затем выполните их сопряжение; 4. Уменьшите расстояние между вашим смартфоном и наушниками, так как это также помогает уменьшить статический заряд.
Сколько видов наушников есть на рынке?
Почему мои устройства не могут распознать Bluetooth наушники?
1. Функция Bluetooth в телефоне не включена. 2. Гарнитура не находится в режиме сопряжения / обнаружения. Телефон не найдет гарнитуру, если она не находится в этом режиме.
Может этот деталь быть отправлены в моей стране?
Подробнее
Вопросы клиентов
Все
Информация о товаре
Состояние запасов
Оплата
О доставке
Другие
Будьте первым, кто задаст вопрос. Хотите G баллы? Просто напишите отзыв!
Хотите купить оптом XY-7 Wireless Bluetooth Headphone ? Пожалуйста, отправьте ваш оптовый запрос XY-7 Wireless Bluetooth Headphone ниже. Обратите внимание, что мы обычно не предоставляем бесплатную доставку при оптовых заказах XY-7 Wireless Bluetooth Headphone, но оптовая цена будет большой сделкой.
Ваши недавно просмотренные товары
Руководство пользователя беспроводных стереонаушников XY-7
XY-7 Беспроводные стереонаушники
инструкция
Принципиальная схема продукта
список пакета
Беспроводные наушники
Зарядный чехол
Кабель для зарядки кейса
Шапочка для ушей
инструкция
Ящик
Спецификация продуктов
Модель: XY — 7
Версия Bluetooth: V5. 0
Емкость батареи: 40mAh
Зарядка аккумулятора: 400mAh
Время работы: 3-5 часов
Время зарядки: около 2 часов
Время ожидания: 120 часов
Соглашение о поддержке: SBC, AAC FHSS Не поддерживает аудиокод APTX
TWS Реализует беспроводное стерео, отдельные левый и правый каналы. Левое и правое ухо имеют полную функциональность Bluetooth и могут использоваться по отдельности или парами.
спаривание
Нажмите и удерживайте сенсорную позицию в течение 5 секунд, пока красный и синий индикаторы не начнут мигать попеременно.
Найдите имя Bluetooth 【XY-7】 в списке Bluetooth сотовых телефонов и щелкните его, чтобы подключиться. В случае успешного подключения светодиодный индикатор не горит.
Метод сопряжения левого и правого наушников: левый и правый наушники загораются красным и синим светом, коснитесь правого уха 2, гарнитура «Успех куплета 2» синий свет ﬂ медленно мигает, ожидая подключения устройства.
Повторное использование для того же телефона: нажмите и удерживайте сенсорную позицию в течение 5 секунд, пока красный и синий индикаторы не начнут мигать попеременно. Сопряжение будет выполнено автоматически.
Выключение
Нажмите и удерживайте сенсорную позицию в течение 5 секунд, пока красный свет не мигнет три раза.
когда наушники соединяются друг с другом, при повороте одного бокового наушника другая сторона отключается автоматически.
Если наушники включены и не подключены к мобильному телефону, они автоматически выключатся через 5 минут.
Заказать обратный звонок
Поддержка ответа на звонок, когда наушники подключаются к мобильному телефону. Поддержка бинаурального вызова.
Наушники будут напоминать вам о входящем звонке, когда наушники подключаются к вашему телефону.
Ответ или повесить трубку: коротко нажмите на наушник, чтобы ответить или повесить звонок. Отклонение вызова: нажмите и удерживайте наушник, чтобы отклонить вызов.
Прерывание исходящего вызова: кратковременно нажмите на наушник, чтобы прервать вызов при наборе номера.
Слушать музыку
Поддержка прослушивания музыки, когда наушники включены и подключаются к мобильному телефону.
Пауза / воспроизведение: коротко нажмите на наушник, чтобы приостановить или приостановить воспроизведение музыки.
Следующая песня: дважды нажмите на правый наушник, чтобы перейти к следующей песне.
Предыдущая песня: дважды щелкните левый наушник, чтобы перейти к предыдущей песне. Увеличение громкости: нажмите на левый наушник три раза, чтобы увеличить громкость. Уменьшение громкости: трижды нажмите на правый наушник, чтобы уменьшить громкость. Вызов сири: нажмите и удерживайте наушники в течение 3 секунд, чтобы вызвать голосового помощника (сири).
Использование продуктов
Наушники следует хранить в сухом и вентилируемом помещении, избегая попадания масла и воды; влага и пыль влияют на характеристики продукта.
Избегайте использования раздражителей, органических растворителей или предметов, содержащих эти ингредиенты, для чистки наушников.
Использование наушников должно быть правильным в соответствии со спецификацией, обратите внимание на влияние окружающей среды на наушники. Для обеспечения плавного соединения рекомендуется, чтобы расстояние между наушниками и телефонами не превышало 10 метров.
Если наушники не подключились или соединение плохое, пожалуйста, не разбирайте наушники или аксессуары самостоятельно. В остальном никаких гарантий.
По поводу зарядки наушников. Пожалуйста, используйте стандартный USB-кабель или заостренный зарядный кабель от нашей компании для зарядки наушников.
Для обеспечения нормального использования убедитесь, что наушники достаточно мощности.
Руководство пользователя беспроводных стереонаушников XY-7 — Скачать [оптимизировано]
Руководство пользователя беспроводных стереонаушников XY-7 — Скачать
4×+3y=5 X-y=3 X-y=7 5x-3y=1 6x+5y=6 2x+y=-2
1)168:2=84(кг) 2)84:28=3(кг)-масса 1 каробки крыжовника 3)3+2=5(кг)масса 1 ящика малины
7 месяцев назад
Накресли відрізки МN=6 см і КО=4 см так щоб їхньою спільною частиною був відрізок АВ розглянь різні випатки
4 месяца назад
Ответ:
3,88
Пошаговое объяснение:
2*3=6 баллов всего набрали ученики получившие 2
3*7=21 баллов всего набрали ученик получившие «3»
4*13=52 баллов набрали ученики получившие «4»
5*9=45 баллов набрали ученики получившие «5»
3+7+13+9=32 работы всего написано
6+21+52+45=124 балла за все работы
124/32=3,875 средний балл
6 месяцев назад
1)85*3=275 (км) прошел первый
2)60*3=180 (км) прошел второй
3)275+180=455 (км) прошли оба поезда
4)846-455=391 (км) оставшееся расстояние
Ответ: 391 км будет между поездами через 3 часа.
1. 1)-36.006 2) +60.005
28.097 7.909
———- ————
7.909 67914
2. 1) _87.007 2) _100.105
679 86.328
———— ————
86.328 13.777
3. 1) 80:4= 20
2) 20*5 = 100
3) +100
400
——-
500
4. 1)640:2=320
2)320:4= 80
3) _ 800
320
———
480
6 месяцев назад
Учебное пособие по калькулятору алгебры
— MathPapa
Это руководство по использованию калькулятора алгебры , пошагового калькулятора для алгебры.
Решение уравнений
Сначала перейдите на главную страницу калькулятора алгебры. (экспонента: «в степени»)
Построение графика
Для построения графика уравнения введите уравнение, которое начинается с «y =» или «x =».2.
Вычисление выражений
Калькулятор алгебры может вычислять выражения, содержащие переменную x.
Чтобы оценить выражение, содержащее x, введите выражение, которое вы хотите оценить, затем знак @ и значение, которое вы хотите вставить для x. Например, команда 2x @ 3 вычисляет выражение 2x для x = 3, что равно 2 * 3 или 6.
Калькулятор алгебры также может вычислять выражения, содержащие переменные x и y.Чтобы оценить выражение, содержащее x и y, введите выражение, которое вы хотите оценить, затем знак @ и упорядоченную пару, содержащую ваше значение x и значение y. Вот пример вычисления выражения xy в точке (3,4): xy @ (3,4).
Проверка ответов для решения уравнений
Так же, как калькулятор алгебры можно использовать для вычисления выражений, Калькулятор алгебры также можно использовать для проверки ответов на решение уравнений, содержащих x.
В качестве примера предположим, что мы решили 2x + 3 = 7 и получили x = 2.Если мы хотим вставить 2 обратно в исходное уравнение, чтобы проверить нашу работу, мы можем сделать это: 2x + 3 = 7 @ 2. Поскольку ответ правильный, калькулятор алгебры показывает зеленый знак равенства.
Если вместо этого мы попробуем значение, которое не работает, скажем, x = 3 (попробуйте 2x + 3 = 7 @ 3), вместо этого калькулятор алгебры покажет красный знак «не равно».
Чтобы проверить ответ на систему уравнений, содержащую x и y, введите два уравнения, разделенных точкой с запятой, за которыми следует знак @ и упорядоченную пару, содержащую ваше значение x и значение y.Пример: x + y = 7; х + 2у = 11 @ (3,4).
Режим планшета
Если вы используете планшет, например iPad, войдите в режим планшета, чтобы отобразить сенсорную клавиатуру.
Статьи по теме
Вернуться к калькулятору алгебры »
Исследование кариотипа пациента показало 45, XY, -7 (моносомия 7)
Контекст 1
. .. злокачественные новообразования обычно лечатся системной химиотерапией. Нарушение индукции по-прежнему является неприятным явлением при остром лейкозе, особенно при хромосомных аномалиях, таких как моносомия 5 и 7.После трансплантации стволовых клеток у этих пациентов часто наблюдается низкий процент безрецидивной выживаемости. Множественная лекарственная устойчивость — основная причина неэффективности лечения и смерти у них. 1 Несмотря на получение комбинированной химиотерапии, более чем в половине случаев острого миелоидного лейкоза (ОМЛ) неэффективность лечения и рецидивы возникают. 1 Известно несколько терапевтических стратегий лечения ОМЛ для улучшения выживаемости у пациентов с рецидивирующими хромосомными аномалиями. Ингибирование гистондеацетилаз (HDAC) с помощью непрерывного приема низких доз полностью транс-ретиноевой кислоты (ATRA) и вальпоровой кислоты в качестве дифференцирующих агентов было предложено в качестве альтернативного лечения ОМЛ в течение последнего десятилетия. Он используется в качестве метрономной химиотерапии, которая предназначена для предотвращения ангиогенеза опухоли и индукции апоптоза в миелоидных бластах. 2 Здесь мы сообщаем о пациенте с первичным рефрактерным ОМЛ, который лечился пероральной низкодозной метрономной терапией после стандартной системной химиотерапии. 13-летний иранский мальчик поступил в нашу больницу с бледностью, лихорадкой и летаргией за 1 неделю до госпитализации. Медицинский осмотр показал субфебрильную лихорадку, бледность без каких-либо неврологических признаков, гепатоспленомегалию или лимфаденопатию.Общий анализ крови показал гемоглобин 3,5 г / дл, тромбоциты 64 × 10 9 / мкл и лейкоциты 55 × 10 9 / мкл с 4% бластов, 8% нейтрофилов, 80% лимфоцитов, 6% моноцитов и 2% эозинофилов. Аспирация костного мозга показала, что 75% всех ядерных клеток имели миелобластный фенотип (рисунок 1). Иммунофенотипический анализ с помощью проточной цитометрии выполняли с использованием панели антител. Бластные клетки были положительными по CD45, CD13, CD117, CD34, CD19, HLA-DR и отрицательными по другим лимфоидным маркерам, включая CD5, CD10, а также CD14. Отрицательные контроли оценивали по IgG1FITC / IgG1PE.Таким образом, пациенту был поставлен диагноз AML FAB-M 1 с аберрантной экспрессией CD19 (рисунок 1). Исследование кариотипа показало, что 45, XY, -7 совместимы с моносомией 7 (рисунок 2). Пациент рассматривался как кандидат на аллогенную трансплантацию костного мозга после достижения первой индукционной ремиссии. Первоначально он проходил курс лечения по протоколу MRC-12: адриамицин (33,5 мг / м 2, дни 1,3,5), цитарабин арабинозид (100 мг / м 2, дни с 1 по 10) и этопозид (100 мг / м 2). 2, дни с 1 по 5) был первым курсом фазы индукции, который не увенчался успехом (отказ индукции), а затем ему были назначены 1 и 2 курсы протокола FLAI (флударабин (25 мг / м 2, дни 1–4), Цитарабин арабинозид (1000 мг / м 2, дни 1–4) и идарубицин (5 мг / м 2, дни 1-3).Однако у него не было ответа ни на 2 курса протокола FLAI, а повторная аспирация костного мозга и биопсия показали 60% миелобластов в образце костного мозга. Затем пациентка лечилась по альтернативному протоколу химиотерапии, включая 5-дневный курс кладрибина (9 мг / м 2 / доза) и цитарабина арабинозида в виде ежедневных 2-часовых инфузий (500 мг / м 2 / доза). Но снова он не ответил на 1 курс альтернативного протокола. Наконец, после объяснения ситуации пациенту и его родителям, он был назначен на нашу целевую схему пероральной метрономной химиотерапии, в которую были включены ингибиторы гистон-деацетилазы (HDAI): 6-тиогуанин 40 мг / м 2 в течение 21 дня, преднизолон 40 мг / сут. м 2 в течение 5 дней, этопозид перорально 50 мг / м 2 / день в течение 21 дня плюс ATRA 45 мг / м 2 / день и вальпроевая кислота 2.5-5 мг / кг / день в течение первых 14 дней месяца с последующими 7 днями отдыха. Сейчас, по прошествии 1 года с начала метрономной химиотерапии, он иногда получает только поддерживающую терапию, такую как антибиотики и переливание продуктов крови; однако нет данных о ремиссии в мазках костного мозга и периферической крови. Пациент не испытал каких-либо побочных эффектов, связанных с лечением ATRA (сухость слизистой оболочки, головная боль и повышение уровня трансаминаз или триглицеридов). Метрономическая химиотерапия в качестве поддерживающей терапии была продолжена для пациента из-за отсутствия ответа на стандартную системную химиотерапию с целью продления выживаемости и улучшения качества жизни пациента. Метрономная химиотерапия — это непрерывное системное введение нетоксичных доз лекарств, которые атакуют пролиферирующие эндотелиальные клетки как мишени во время ангиогенеза опухоли. Эта стратегия была изобретена 40 лет назад в онкологии взрослых, но опыт в детской онкологии скуден, особенно в отношении гематологического рака. Эта стратегия часто используется при лечении солидных опухолей путем совместного введения антиангиогенных препаратов плюс непрерывная химиотерапия в низких дозах вместо прерывистой химиотерапии в высоких дозах.3 В настоящее время протокол PrET (преднизолон, этопозид и тиогуанин) представляет собой хорошо известный метрономный режим для резистентных пациентов с ОМЛ. Антиангиогенная способность 6TG вместе с его антиметаболитной активностью по отношению к опухолевым клеткам играет важную роль в поддержании эффективности этого метода. 4 В одном исследовании сообщалось о 68-летнем мужчине, у которого был ОМЛ с цитогенетическими особенностями высокого риска, например, наш пациент, который достиг полной ремиссии во время фазы индукции пероральной метрономной химиотерапией по аналогичному режиму в амбулаторных условиях. Затем его лечили высокой дозой цитарабина арабинозида (HDAC) в качестве консолидации с последующей поддерживающей терапией по протоколу PrET. Он выжил 35 месяцев с момента постановки диагноза и 21 месяц перерыва в лечении. 5 Наш пациент не достиг ремиссии, несмотря на различные схемы лечения, которые он получал (FLAI, кладрибин и HDAC). В результате было определено, что он будет лечиться по протоколу PrET в качестве паллиативного лечения. Двумя компонентами нашего лечения были введение ингибиторов гистон-деацетилазы (HDACI), включая вальпоровую кислоту (VPA) и All-trans-ретиноевую кислоту (ATRA), которые вводились одновременно в качестве метрономной химиотерапии.Вальпоровая кислота (ВПК) оказывает противолейкемическое действие при ОМЛ, используемом в сочетании с другими противолейкозными средствами. 4 Это лечение может вызвать клинически значимое улучшение количества клеток периферической крови и стабилизацию клинического статуса для подгруппы пациентов с ОМЛ, а также снизить риск клинически значимой токсичности. Хотя наш пациент имел стабильный клинический статус, наибольшее количество клеток в периферической крови и костном мозге составляли миелобласты. Похоже, что VPA может индуцировать дифференцировку и оказывает антипролиферативное и проапоптотическое действие в клеточных линиях AML.Однако пациенты, скорее всего, неоднородны с точки зрения восприимчивости к VPA и молекулярных механизмов, опосредующих его противолейкемический эффект. Прямое действие препарата на лейкозные клетки, по-видимому, является наиболее важным, но могут быть косвенные эффекты, опосредованные повышенной противолейкозной иммунной реактивностью. 6,7 ATRA также является ингибитором HDAC, дифференцирующий эффект которого на клетки острого промиелоцитарного лейкоза (APL) человека in vitro был хорошо установлен. 7 В APL отсутствие ATRA ведет к активности HDAC, вызывая конденсацию хроматина и репрессию транскрипции.4 ATRA вызывает конформационные изменения в слитном онкобелке промиелоцитарного лейкоза (PML) / рецептора ретиноевой кислоты α (RARα), тем самым позволяя высвобождать комплексы HDAC и рекрутировать транскрипцию. Лечение ATRA значительно улучшило прогноз APL, а также использовалось для лечения не-APL AML. 2 Мы использовали комбинацию метрономной химиотерапии PrET вместе с ATRA и VPA после неудачи различных протоколов интенсивного спасения для этого пациента, поскольку у него не было шансов на продолжение лечения и продление жизни; однако этот метод привел к увеличению выживаемости и повышению качества жизни.Синхронное назначение ATRA и VPA можно сочетать с низкими дозами цитотоксических препаратов, таких как цитарабин арабинозид. 8 Гидроксимочевина и 6-тиогуанин, 6 также могут вызывать ремиссию в соответствии с критериями ответа на синдром миелодиспластического синдрома (МДС) и полную гематологическую ремиссию. Наш пациент продемонстрировал доказательства клинической стабильности метрономной стратегии, несмотря на отсутствие признаков индукции ремиссии в костном мозге. Сообщалось об удовлетворительных результатах с другими комбинациями пероральных метрономных методов лечения, такими как мелфалан и леналидомид, но без ингибиторов HDAC. 9-12 Похоже, что этот метод может вызвать у пациента жизненно важное состояние покоя, предотвращая обострение основного заболевания. Метрономическая химиотерапия с ингибиторами HDAC может использоваться в качестве терапевтической стратегии, особенно в рефрактерных случаях AML, не поддающихся лечению другими видами лечения. Этот клинический случай предполагает вероятную эффективность комбинации пероральной низкоинтенсивной метрономной химиотерапии с ингибиторами HDAC у пациентов с ОМЛ с индукцией …
Руководство пользователя беспроводных стереонаушников XY-7
XY-7 Беспроводные стереонаушники
Инструкция
Принципиальная схема изделия
Список пакетов
Беспроводные наушники
Зарядный футляр
Зарядный кабель для кейса
Колпачок для ушей
Инструкция
Упаковочная коробка
Спецификация продукции
Модель: XY — 7
Версия Bluetooth: V5. 0
Емкость аккумулятора: 40 мАч
Зарядка аккумулятора: 400 мАч
Время работы: 3-5 часов
Время зарядки: около 2 часов
Время ожидания: 120 часов
Соглашение о поддержке: SBC, AAC FHSS Не поддерживает аудиокод APTX
TWS Реализуйте беспроводную стереосистему, раздельные левый и правый каналы. И левое, и правое ухо имеют полную функциональность Bluetooth и могут использоваться по отдельности или парами.
Сопряжение
Нажмите и удерживайте сенсорную позицию в течение 5 секунд, пока красный и синий индикаторы не начнут мигать попеременно.
Найдите имя Bluetooth 【XY-7】 в списке Bluetooth сотового телефона и щелкните его, чтобы подключиться. В случае успешного подключения светодиодный индикатор не горит.
Метод соединения левого и правого наушников: левый и правый наушники загораются красным и синим светом, коснитесь правого уха 2, гарнитуры успешного соединения 2 синий свет ﬂ медленно мигает, ожидание подключения устройства.
Повторное использование для того же телефона: нажмите и удерживайте кнопку касания в течение 5 секунд, пока красный и синий индикаторы не начнут мигать попеременно. Сопряжение будет выполнено автоматически.
Выключение питания
Нажмите и удерживайте сенсорную позицию в течение 5 секунд, пока красный свет не мигнет три раза.
, когда наушники соединяются друг с другом, при выключении одного бокового наушника другая сторона отключается автоматически.
Если наушники включены и не подключены к мобильному телефону, они автоматически выключатся через 5 минут.
Позвонить
Поддержка ответа на звонок, когда наушники подключаются к сотовому телефону. Поддержка бинаурального вызова.
Наушники будут напоминать вам о входящем звонке, когда наушники подключаются к вашему телефону.
Ответ или повесить трубку: коротко нажмите на наушник, чтобы ответить или повесить звонок. Отклонение вызова: нажмите и удерживайте наушник, чтобы отклонить вызов.
Прерывание исходящего вызова: кратковременно нажмите на наушник, чтобы прервать вызов при наборе номера.
Слушать музыку
Поддерживает прослушивание музыки, когда наушники включены и подключаются к мобильному телефону.
Пауза / воспроизведение: коротко нажмите на наушник, чтобы приостановить или приостановить воспроизведение музыки.
Следующая песня: дважды щелкните по правому наушнику, чтобы перейти к следующей песне.
Предыдущая песня: дважды щелкните левый наушник, чтобы перейти к предыдущей песне. Увеличение громкости: нажмите на левый наушник три раза, чтобы увеличить громкость. Уменьшение громкости: трижды нажмите на правый наушник, чтобы уменьшить громкость. Вызов сири: нажмите и удерживайте наушники в течение 3 секунд, чтобы вызвать голосового помощника (сири).
Использование продуктов
Наушники следует хранить в сухом и вентилируемом помещении, избегая попадания масла и воды; влага и пыль влияют на характеристики продукта.
Не используйте раздражители, органические растворители или предметы, содержащие эти ингредиенты, для чистки наушников.
Использование наушников должно быть правильным в соответствии со спецификацией, обратите внимание на влияние окружающей среды на наушники. Чтобы обеспечить бесперебойное соединение, рекомендуется, чтобы расстояние между наушниками и телефонами не превышало 10 метров.
Если наушники не подключились или соединение с ними плохое, не разбирайте наушники или аксессуары самостоятельно.В остальном никаких гарантий.
По поводу зарядки наушников. Пожалуйста, используйте стандартный USB-кабель или заостренный зарядный кабель от нашей компании для зарядки наушников.
Для нормального использования убедитесь, что наушники достаточно мощности.
Руководство пользователя беспроводных стереонаушников
XY-7 — Загрузить [оптимизировано]
Руководство пользователя беспроводных стереонаушников XY-7 — Загрузить
3 8 отработать функции абсолютного значения клавиша ответа
Windows 10 безопасный режим dell inspiron 15
3. Учитывая график функции абсолютного значения, запишите функцию в форме g (x) = al — h) + k. Заменять. Упрощать. Отнимите 5 с каждой стороны. Перепишите абсолютное значение в виде двух уравнений. 1 = Решите для b. — или I = 4 или b = В зависимости от условий задачи учитывайте только b = 4. Подставьте вместо g (x), чтобы найти уравнение для графика … Если вам нравится этот сайт о решении математических задач, сообщите об этом в Google нажав кнопку +1. Если вам нравится эта страница, пожалуйста, нажмите и эту кнопку +1. Примечание. Если кнопка +1 темно-синего цвета, вы уже поставили ей +1.Кинематические уравнения для углового и линейного движения. Кинематические уравнения 1 v = vo + at = o + t Кинематические уравнения 2 x = xo + vot + 1/2 at2 = o + ot + 1/2 t2 Кинематические уравнения 3 v2 = vo 2 + 2a (xxo) 2 = o 2 + 2 (o) Инерция вращения Аналог массы вращения Для точечных масс I = mr2 I: инерция вращения (кг · м2) m: масса (кг) Создание программ Java, Решения самопроверки 3-го издания ПРИМЕЧАНИЕ. опубликованы на нашем веб-сайте и доступны для студентов. Это означает, что задачи самопроверки, как правило, не следует рассматривать как оцениваемые домашние задания, потому что учащиеся могут легко найти решения для всех из них.1-7 Практические функции Определите, является ли каждое отношение функцией. ДАТА 2 ПЕРИОД да 10. 13. g (-3) + 13 16. + l] 3 6.x = -2 Iff (x) = 2x — 6 и «(x) 11. g найдите каждое значение. 12.f (7) — 9 15. g (3y) 2×2, 17. ЗАРАБОТКА Мартин зарабатывает 7,50 долларов в час, корректируя рекламные объявления в местной газете. Его недельную зарплату w можно описать с помощью Answer KeyGeometryAnswer KeyThis предоставляет ответы и решения для Put Me in, Ящики для упражнений Coach!, Организованные по секциям. Снятие бремени с доказательств Да Теорема 8.3: Если два угла дополняют один и тот же угол, то эти два угла совпадают.
Сколько времени нужно на активацию телефона verizon
Задачи Deco m9
5.
2 дополнительные практические ответы 5.2 дополнительные практические ответы
Практика: Системы уравнений с подстановкой. Это текущий выбранный элемент. Обзор метода подстановки (системы уравнений) Следующее занятие.
ПРОБЛЕМЫ ГЕНЕТИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ. Часть 3. Вопрос 1. Желтые морские свинки, скрещенные с белыми, всегда дают потомство кремового цвета. Две морские свинки кремового окраса при скрещивании дали потомство желтого, кремового и белого цвета в соотношении l желтого: 2 кремового: l белого.Как эти цвета передаются по наследству? ответ (щелкните здесь) —— Вопрос 2
урок 3 Дополнительные практические углы треугольников ответ на вопрос: каков третий угол прямоугольного треугольника, если один из углов равен 51 °? 12. АЛГЕБРА Найдите m∠A в ABC, если m∠B = 38 ° и m∠C = 38 °, 13.
Рабочие листы, учебные ресурсы и листы с практическими занятиями по математике для печати для учителей. Еженедельные рабочие тетради для К-8. Сайт домашних заданий для учителей!
Викторина по дробям: проверьте свои навыки дроби, отвечая на вопросы. В этом тесте вас просят упростить дроби, преобразовать дроби в десятичные числа и проценты, а также ответить на вопросы по алгебре, связанные с дробями. Выберите уровень сложности, типы вопросов и время. Fraction Quiz — это одна из интерактивных оценочных викторин.
Решения для дополнительных страниц практики Описание курсов для целей / письменных показаний Нас попросили предоставить описания наших курсов средней математики (предалгебра через исчисление и управление), которые родители могут скопировать и вставить в документацию по домашнему обучению.
Ключ для продвинутого среднего уровня для ведущего по новому языку. 2 1 Если вы исправите, то сдадите экзамены. 2 Мы должны спросить вашего учителя о правильном ответе, когда мы его увидим. 3 В будущем в мире может быть только один или два языка, если мы не защитим их. 4 Я не пойду, пока ты не уйдешь.
1. Установите квадрат Пеннета 2 на 2. 2. Напишите аллели родителя 1 в левой части квадрата Пеннета. Каждая гамета будет иметь один из двух аллелей родителя. В этом конкретном скрещивании половина гамет будет иметь доминантный (S) аллель, а половина — рецессивный (s) аллель.
Twsbi vac 700
Упражнение с запятыми 1. В этом упражнении вам предлагается применить свои знания о запятых, определив, сколько запятых необходимо в примерах предложений. Щелкните ссылку внизу страницы, чтобы увидеть ответы. Улучшите свои математические знания с помощью бесплатных вопросов из раздела «Вероятность простых событий» и тысяч других математических навыков.
Стажировка в Arup
Ответный ключ для практических заданий 5-1 и 5-2 1) QR = 5 опп. стороны равны ≅ 2) PX = 10 диаг.разделите друг друга пополам 3) m
Урок 5-2 Скажите, является ли каждое уравнение прямой вариацией. Если да, то найдите постоянную вариации. 11. y 2x 12. 4y x 13. y x 3 Изобразите прямое изменение, которое включает данную точку. Напишите уравнение линии. 14. ((5, 4) 15.(7,) 16. (3 10 17. 4, 8) 2 2-2-2 yx O 2 2-2-2 yx O 2 2-2-2 yx O Дополнительная практика Глава 5 2 1 3 не определено …
Дополнительная практика в классе : Dilations БЛОК 4 — Вы пройдете викторину, которая была запланирована на вчерашний день! Блок 4 ТОЛЬКО для HW (срок сдачи — понедельник): необходимо посмотреть видео 6.5 «Симметрии четырехугольников» и заполнить 6.5 «Готовься, устанавливай, вперед» [2, 5, 6, 10] Ответы по дополнительным упражнениям по геометрии Холта Холт Макдугал Ларсон ответы на вопросы учебника предварительной практики алгебры, предварительная алгебра онлайн Дата обновления учебника: 28 02 Холт Макдугал Ларсон.. Геометрия ответы бесплатно. . Предалгебра Алгебра Интегрированная математика Геометрия Алгебра 2 Тригонометрия Предвычисление Статистическое исчисление Вероятность Колледж.
Rewind iptv
Math goodies была пионером онлайн-помощи по математике. Мы начали в 1998 году с нашими уникальными ресурсами. Чтобы получить помощь, выберите элемент из списка ниже ». Уроки математики с пошаговыми инструкциями для использования в удобном для вас темпе. Электронные и распечатываемые рабочие листы для дополнительной практики. Решения включены.
Вот еще одно увлекательное занятие, которое поможет студентам попрактиковаться в определении тем в рассказах.На этом рабочем листе студенты прочитают пять отрывков из оригинального рассказа и определят тему или смысл рассказа. Также они объяснят, как они получили свои ответы. Рекомендуемый уровень чтения этого текста: 5–9 классы.
Extra Practice 8.1 Имя ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ Ответьте на эти вопросы, используя любой метод, который вам нравится, но убедитесь, что вы можете объяснить свои рассуждения. Не расстраивайтесь, если вы не можете решить эту проблему сразу; вам не дали метода. Подумайте об этом и попробуйте то, что кажется логичным.Тест по гражданскому праву содержит только вопросы и ответы из версии теста по гражданскому праву 2008 года. Добро пожаловать на тест по гражданскому праву! Практический тест по гражданскому праву — это учебный инструмент, который поможет вам проверить свои знания в области истории и правительства США.
A2 передняя стойка в сборе
В этой практической оценке навыков вы настроите сеть XYZ Corporation. Вы установите сетевое соединение, настроив адреса IPv4 и IPv6 на интерфейсах маршрутизатора.Вы настроите службы адресации DHCPv4 и NAT и установите связь между сетями с помощью …
«У меня было всего 2 студента, готовящихся к CAE, и их самым большим опасением был экзамен по устной речи. Для части 2 я вырезал разные изображения и складывал их в две стопки. Прежде всего, им нужно было найти пары, а затем они должны были рассказать о 2 сходствах, 2 различиях и ответить на мои вопросы. Это повысило уверенность! ”Татьяна Балаш, Liceul Tehnologic» Henri Coanda «
Практика — это онлайн-инструмент для практических занятий, который помогает студентам в колледжах и старших классах программирования изучать и практиковать основные концепции программирования CS1 и CS2. Вот набор практических задач для второго экзамена. экзамен-2 практика Ниже представлен набор практических задач и ответы на них для третьего экзамена обзор-ответы Вот копия первого экзамена для практики. 1. экзамен-1-spring01 Вот копия второго экзамена для практики. 1. экзамен-2-spring01 Вот копия третьего экзамена для практики. 1. экзамен-3 …
6l80 Программирование tcm
Вопросы: Какой дополнительный шаг мы делаем, когда формируем двойное дополнение отрицательного двоичного числа? [Запишите дополнение до 2 для каждого из следующих 5-битных двоичных чисел.
Проверьте свои ответы по ссылке в уроке, чтобы узнать, насколько хорошо вы справились. Решите следующие задачи. 1. Что такое среднее из следующих чисел? 10, 39, 71, 39, 76, 38, 25 а. 42 б. 39 с. 42,5 г. 35,5 2. На какое число вы разделите, чтобы вычислить среднее значение 3, 4, 5 и 6? а. 6 б. 3 в. 5 дн. 4 3. Пул
EXTRA Class (Элемент 4) действует с 1 июля 2020 года и действует до 30 июня 2024 года. Пул технических специалистов был пересмотрен в 2018 году. Общий пул был пересмотрен в 2019 году.Дополнительный пул был пересмотрен в 2020 году. Никакие пулы вопросов не будут обновляться или выпускаться в 2021 году. Обзор пулов вопросов является частью регулярного процесса. Математическая практика не должна быть скучной или утомительной. Вы можете сделать математические занятия настолько увлекательными, что ваши дети будут просить об этом! Ознакомьтесь с различными способами, которыми вы можете дать своему ребенку дополнительную математическую практику, в которой он / она нуждается: Математические задания; Планы уроков математики; Ментальная математика; Математические навыки Забавные способы практиковать математику. Дети могут заниматься математикой весело …
Стенд для горелки
Упражнение на простое настоящее — настоящее прогрессивное — ex10 :: Учите английский онлайн — бесплатные упражнения, объяснения, игры, учебные материалы и много информации по английскому языку. :: page Ex10
Раздел 2: Сложение и вычитание Факты по 10 Глава 5: Стратегии сложения с помощью 10 правил викторины. Вам зададут несколько вопросов. Выберите ответ, который вы считаете правильным, а затем нажмите кнопку «Проверить свой ответ».
Если вы готовитесь к школьному тесту по математике или хотите проверить свои математические навыки, этот бесплатный практический тест бросит вызов вашим знаниям по алгебре. Оценивайте ответы на ходу Просматривайте по 1 вопросу за раз QuickMath автоматически отвечает на наиболее распространенные задачи по алгебре, уравнениям и исчислению, с которыми сталкиваются учащиеся старших классов и колледжей.Раздел алгебры позволяет вам расширить, разложить на множители или упростить практически любое выражение, которое вы выберете.
Обзорная статья об искусственном интеллекте
Проверьте свои ответы по ссылке в уроке, чтобы узнать, насколько хорошо вы справились. Решите следующие задачи. 1. Что такое среднее из следующих чисел? 10, 39, 71, 39, 76, 38, 25 а. 42 б. 39 с. 42,5 г. 35,5 2. На какое число вы разделите, чтобы вычислить среднее значение 3, 4, 5 и 6? а. 6 б. 3 в. 5 дн. 4 3. Пул
EXTRA Class (Элемент 4) действует с 1 июля 2020 г. и действует до 30 июня 2024 г.Пул технических специалистов был пересмотрен в 2018 году. Общий пул был пересмотрен в 2019 году. Дополнительный пул был пересмотрен в 2020 году. Никакие пулы вопросов не будут обновляться или выпускаться в 2021 году. Обзор пулов вопросов является частью регулярного процесса.
Доступный технический пул вопросов по лицензиям. Для экзаменов, сданных с 1 июля 2018 г. по 30 июня 2022 г. Общий. Для экзаменов, сданных с 1 июля 2019 г. по 30 июня 2023 г. Дополнительные задачи для ознакомления с вводной физикой 1 мая 20,2019 Роберт Браун, преподаватель кафедры физики Университета Дьюка, NC27708-0305 [электронная почта защищена]
Chiappa pak 9 bump fire
ОТВЕТ КЛЮЧЕВАЯ Практика 5-3. Линия 1.2 2. –2 3. 5 4. –2 5. a) Наклон линии 1 равен 2. Наклон линии 2 равен 0. b) C 6. A, 0 7. 2 — 1 8. a) 4 б) Ответы будут различаться 9. a) 2 b) Ответы будут различаться 10. a) –2 b) B 11. a) Наклон строки 1 равен 1. Наклон строки 2 равен 2. b) C c) Ответы будет меняться 12. 3 5 13. a) 2 — 1 b) Ответы …
Предоставляет интерактивные образовательные инструменты для учащихся начальной и средней школы. Развивайте базовые математические навыки с помощью карточек. Предметы включают геометрию, дроби, правила делимости, начальную алгебру или столицы штатов.
5.2 Разминка Для использования перед уроком 5.2 Ответы на упражнения 1–6 могут быть разными. Приведены примеры ответов. 1. xy2 xy + = = 2. 1 23 yx xy = + — = 3. 3 210 xy xy = — = 4. 2 6 yx xy = + = 5. 11 1 xy xy + = — = — 6. 27 3 xy xy + = = 5.2 Практика A 1. yx = −52; Это уже решено за y. 2. 312 6; xy− = Каждый член делится на 3, поэтому вы можете легко …
Карта поиска недвижимости в округе Гуадалупе
Appnana mod apk неограниченное количество nanas 2020 скачать
Mini cooper rpm колеблется
Лучший тюнер мм3 для 6.
7 cummins
Руническая клавиатура для iphone бесплатно
Chrome couldnpercent27t загрузить плагин pdf
1995 fleetwood bounder parts
Ucla летняя сессия регистрационный взнос
amino
Tomodachi life читы citra
Afro mix 2020 mp3 скачать
Код syair naga mas sgp hari ini
Оклады сотрудников округа Хиллсборо
не синхронизируются с Windows
не синхронизируются
Рабочий лист 7 2 синтетических ответа на деление
Сценарии проверок и противовесов
Практический тест Psi
Скачки соединения Discord rtc
Исключения происходят с элементами be mg и ca в группе
9000 extra упражняться решать системы уравнений алгебраически Урок 7 Дополнительная практика Решайте системы уравнений алгебраически
Прямо от свободной алгебры Аддисона-Уэсли, создавая забавные рабочие листы для практики до умножения, у нас есть все, что есть. Зайдите на Emaths.net и прочтите и узнайте об алгебре, программе курса алгебры среднего уровня и множестве дополнительных предметов по математике
Этот план урока по нелинейным системам уравнений подходит для 10–12 классов. Исследуйте нелинейные системы с помощью графиков и алгебры. Старшеклассники начинают с изучения различных типов квадратичных функций и их возможных пересечений.
Практика алгебры Квадратичные полиномы Экспоненты 1 уравнения с переменными уравнениями 2 уравнения с переменными уравнениями Алгебра Задачи со словами Бесплатная викторина по алгебре Если вы волонтер или некоммерческая организация, мы будем рады предоставить материалы для подготовки к тесту по сниженной цене или бесплатно.
15 мая 2011 г. · Эти методы будут реализованы таким же образом, как и для систем линейных уравнений, мы просто применим их к нелинейным системам в этом руководстве. Если вам нужен обзор решения систем линейных уравнений с двумя переменными, смело переходите к Урок 49: Решение систем линейных уравнений с двумя переменными. Итак, поехали …
Math On the Spot my.hrw.com Мои заметки O 5-5 5 xy O 5-5 5-5 xy Графическое решение систем Упорядоченная пара (x, y) представляет собой решение уравнение с двумя переменными, если подстановка значений x и y в уравнение приводит к истинному утверждению.Система уравнений — это система уравнений с одинаковыми переменными.
Как решить системные линии (2 переменных линейных уравнения) путем подстановки объяснено с примерами и интерактивными практическими задачами, разработанными шаг за шагом. Как решать системы линейных уравнений подстановкой, примеры, картинки, практика.
Набор задач 2-7: Видеоурок и практика: Глава 2: Примечания: Ответы на наборы задач: Обзор задач: Графические системы уравнений (3-1) Набор задач 3-1: Видеоурок и практика: Алгебраическое решение систем ( 3-2) Набор задач 3-2: Видеоурок и практика: Видеоурок и практика: Системы неравенств (3-3) Набор задач 3-3…
В этой статье мы узнаем, как решать системы линейных уравнений, используя обычно используемые методы, а именно замену и исключение. Метод подстановки Подстановка — это метод решения систем линейных уравнений, в котором переменная в одном уравнении выделяется, а затем используется в другом уравнении для определения оставшейся переменной.
Игровой микрофон Bose qc35
Отображение всех рабочих листов, относящихся к — Урок 7 Дополнительная практика Решайте системы уравнений по графику.Рабочие листы: Имя, дата, период, урок 7, практика навыков, Глава 7, решение систем линейных уравнений и, Практика решения систем 3-х различных уравнений, Одношаговые неравенства, период даты, построение системы уравнений алгебры 7, Решение систем уравнений с помощью построения графиков, Дополнительная практика … Решение систем уравнений (Gr) — учащийся будет решать системы уравнений путем построения графиков линейных уравнений. Решение полиномиальных уравнений — научите студентов решать полиномиальные уравнения с помощью построения графиков, суммы и разности кубов, формулы квадратичной формулы, квадратичной формы и факторизации.
Chelsea manluco.
Мы будем рады разработать любые рабочие листы по математике, которые могут вам понадобиться при планировании урока. Просто свяжитесь с нами, мы будем рады вам помочь. Учителя и домашние школьники используют рабочие листы по математике на этом веб-сайте, чтобы измерить уровень усвоения детьми основных математических навыков, дать дополнительную практику, выполнить домашнее задание и сэкономить драгоценное время на планирование.
Быстрая проверка: стр.110: 2-1: Решение уравнений с рациональными коэффициентами: Ссылка в реальном мире: стр.111: Практическое руководство: стр.114: Независимая практика: стр.115: Исследование: стр.119
В этой части Урока 2 закон сохранения количества движения будет использоваться для таких предсказаний. Закон сохранения количества движения будет сочетаться с использованием «таблицы импульсов» и некоторыми навыками алгебры для решения проблем, связанных со столкновениями, происходящими в изолированных системах. Пример 1. Рассмотрим следующую задачу: Какие отличные пошаговые объяснения. Как отец, иногда это помогает мне яснее объяснять вещи своим детям, а иногда показывает, как лучше решать проблемы.Келли Браун, штат Нью-Йорк. В прошлом году я купил Algebrator, и теперь он помогает мне с уроком алгебры в 9-м классе, мне очень нравится пошаговое решение уравнений, это просто …
Что на самом деле было гражданской войной
Решение проблем с помощью Системы уравнений При использовании графиков для решения системы уравнений лучше всего переписать оба уравнения в форме пересечения наклона для упрощения построения графиков. Чтобы написать уравнение в форме пересечения наклона, начиная с ax + by = c: ax + by = c by = c-ax Вычтите ax с обеих сторон.y = __c b-ax ___ Разделите обе стороны на b b. y = — a__x b + __c b
368 Глава 7 Решение систем линейных уравнений и неравенств Предварительный просмотр урока 7-1 Системы уравнений Вы можете использовать электронную таблицу, чтобы выяснить, когда две величины будут равны. Введите каждую формулу в электронную таблицу и найдите строку, в которой обе формулы имеют одинаковый результат. Пример Билл Винтерс рассматривает две работы.
Решение систем уравнений (Gr) — учащийся будет решать системы уравнений путем построения графиков линейных уравнений.Решение полиномиальных уравнений — научите студентов решать полиномиальные уравнения с помощью построения графиков, суммы и разности кубов, формулы квадратичной формулы, квадратичной формы и факторизации. 13 марта 2012 г. · Interactive Algebra Review — Решение полиномиальных уравнений (см. Также часть B этого руководства) Умножение полиномов — пошаговое объяснение от PurpleMath Решение полиномиальных уравнений — В алгебре вы тратите много времени на решение полиномиальных уравнений или факторизацию полиномов (что одно и то же).
Какой пациент, скорее всего, будет кандидатом на энтеральное зондовое питание.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДОПОЛНЕНИЕМ I. Мы можем решать системы уравнений алгебраически. Более того, решения, которые мы получаем алгебраическими методами, точны. Система в следующем примере — это система, которую мы рассматривали в разделе 8.1 на стр. 335. Пример 1. Решать. x + y = 5 (1) x — y = 1 (2) Решение
Как решить системные линии (2 переменных линейных уравнения) с помощью подстановки, объяснено с примерами и интерактивными практическими задачами, разработанными шаг за шагом.Как решать системы линейных уравнений подстановкой, примеры, картинки, практика.
Этот краткий урок покажет студентам, как решать многоступенчатые уравнения. Перед этим уроком ваши ученики должны были ранее научиться писать уравнения, переводить предложения в уравнения и наоборот, решать одношаговые уравнения с помощью сложения и вычитания и решать простые уравнения с помощью умножения или деления. Выберите одну тему из главы для подробного объяснения: решение систем уравнений, решение систем неравенств, оптимизация с помощью линейного программирования, системы уравнений с тремя переменными, операции с матрицами, умножение матриц, решение систем уравнений с использованием правила Крамера или решение Системы уравнений с использованием обратных матриц.
Сакс, пятая авеню от 5-го магазина, Нью-Йорк
Книга по экономике — это курс экономики на уровне средней школы, который обеспечит основу для решения словесных задач, необходимых для успешного изучения алгебры «Жизнь Фреда». Для дополнительной практики рассмотрите возможность получения огромного количества практических задач для начинающих алгебр.
Урок 7.2 — Академия Хана Урок 7.3 — Академия Хана 8 12/3 — 12/7 Блок 3 — Решение уравнений и систем уравнений Модуль 7 — Урок 7.4 Уравнения с множеством решений или без решения Академия Хана 9 12/10 — 12 / 14 Семестр Оценка 10/17 — 12/21 Раздел 3 — Решение уравнений и систем уравнений Модуль 8 — Решение систем линейных…
7 декабря 2020 г. · Veganarto — Распечатанные рабочие листы для понимания прочитанного для 2-го класса. Лабиринт умножения. Рабочие листы по алгебре отсутствующих углов. рабочие листы для детского сада. бесплатные образовательные печатные издания для детей. бесплатные распечатанные элементарные рабочие листы. письменная деятельность для детского сада. лучшие рабочие листы для детского сада. Алгебраическое решение систем 25 (L2.6) Семейства функций)) 26 27 28 (L3.1) Решение систем с использованием таблиц и графиков (День 1) 29 (L 3.1) Решение систем с использованием таблиц и графиков (День 2) 30 (3 .2) Алгебраическое решение систем Октябрь 2014 Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб 1 Контрольная точка 2 Обзор оценки блока 2 Аутентичный блок оценки
Исходный код шахматной игры Java
Решение уравнений с распределительным свойством 2– Этот рабочий лист из 12 задач разработан чтобы познакомить вас с решением уравнений, содержащих свойство распределения. Все эти задачи включают в себя вычитание в уравнении, но учащиеся будут иметь дело только с положительными числами и положительными ответами.
Обратите внимание, что здесь мы решаем задачи алгебраических слов без систем, и мы решаем системы с использованием матриц в разделе «Матрицы и решение систем с матрицами» здесь. Введение в системы «Системы уравнений» просто означает, что мы имеем дело с более чем одним уравнением и переменной.
ИМЯ _____ ДАТА _____ ПЕРИОД _____ Урок 8 Дополнительная практика. Решайте системы уравнений алгебраически. Решайте каждую систему уравнений алгебраически. 1. y = x 2 (6, 4) 2. y = x + 8 (10, 2) 3. y = x 5 (11, 6) y = 4 y = 2 y = 6 4.y = x + 6 (10, 4) 5. y = x 9 (12, 3) 6. y = x + 4 (2, 2) y = 4 y = 3 y = x 7. y = x 5 (5 , 10) 8. y = x + 12 (24, 12 … Этот недельный пакет уроков по линейной системе учит решать линейные уравнения с помощью построения графиков, замены и исключения. Урок представлен как в формате Word, так и в формате PDF, а также включает 2 викторины (с ключами ответов), 2 рабочих листа и интересное задание.
Greyridgehosting
решение уравнений для x со знаменателями; практические занятия по алгебре и тригонометрии 2 ответа; рабочий лист с отрицательными дробями; основные вопросы алгебры; связанная математика 2 / линейные уравнения / предварительная алгебра; практические занятия по алгебре и тригонометрии, книга 2; решите этот предел с помощью калькулятора; искусство с использованием упорядоченных пар ebooks
Форма пересечения наклона записывается как: y = mx + b, где m = наклон и b = y- перехватить.Просмотрите следующие примечания, чтобы освежить в памяти, как построить график с использованием формы пересечения наклона, а затем попробуйте …
Начать изучение алгебры: Урок 7.1 — Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков. Изучите словарный запас, термины и многое другое с помощью дидактических карточек, игр и других учебных инструментов. Дополнительная практика Решайте системы уравнений с помощью графического представления — отображение 8 основных рабочих листов, найденных для этой концепции. Некоторые из рабочих листов для этой концепции — это практика решения систем уравнений 3 разное, название дата период урок 7 практические навыки, решение систем уравнений путем построения графиков, системы уравнений, глава 7 решение систем линейных уравнений и, построение графиков работы линейных уравнений…
Блокировка discord ip
Набор задач 2-7: Видеоурок и практика: Глава 2: Примечания: Ответы на наборы задач: Обзор задач: Графические системы уравнений (3-1) Набор задач 3-1: Видеоурок и практика: Алгебраическое решение систем (3-2) Набор задач 3-2: Видеоурок и практика: Видеоурок и практика: Системы неравенств (3-3) Набор задач 3-3 …
10. Определить какие уравнения ниже в сочетании с уравнением 3x-4y = 2 образуют систему без решений.Выберите все, что подходит.
Учебное пособие и вмешательство Решение систем уравнений путем построения графических систем уравнений Система уравнений — это набор из двух или более уравнений, содержащих одинаковые переменные. Вы можете решить систему линейных уравнений, построив уравнения на одной и той же координатной плоскости. Если линии пересекаются, решение — это точка пересечения. Решите систему уравнений с помощью графиков. x 2 y (4 xyy 2 2 Запишите каждое уравнение в форме пересечения наклона. x 2 y 4
На объект действуют две силы f120n и f230n
Указанная учетная запись уже существует itunes
Peoplesoft fluid ширина сетки
Top Gear Season 28 серия 4 смотреть онлайн
New balance store рядом со мной
Внешняя политика в период с 1783 по 1828 год
Minecraft mesa biome seed 2020
Rumus ai semua pasaran
Площадь Ганна
Пропавшая подруга Статус WhatsApp тамильский
Галактика s7 Wi-Fi вызов не работает t мобильный
Matlab fftshift vs ifftshift
9000 9000 команда для рабочего стола Mac6 Ленточный счетчик Factorio
3800 серия 2 диаграмма вакуума
BIM compone nts
Demarini prism 2020 drop 11
Handsfreelink не подключается
Hm 19 bluetooth
Unit 7 Проверка прогресса mcq ap Psyology College Board
18s с пультом дистанционного управления
18s с пультом дистанционного управления
Сколько миль пройти цикл движения
Трансформаторы DC2 загрузить vk
Как превратить старый компьютер в сервер
7 2 повторных соотношения в похожих многоугольниках ответы
Подозрительное сообщение в строке темы outlook
Чтобы определить, какие пары фигур действительно похожи, вы должны сравнить соотношение одной стороны к другой.A) \ (\ frac {18} {27} = \ frac {10} {15} \) Упрощая обе дроби до простейших выражений, \ (\ frac {2} {3} = \ frac {2} {3} \), что действительно доказывает схожесть обоих рисунков. Б) Проделайте то же самое с прямоугольниками. \ (\ frac {7} {10} = \ frac {14 …
Пример ответа: если два многоугольника имеют соответствующие углы, которые равны, а соответствующие стороны пропорциональны, то они подобны. Каждая пара многоугольников похожа Найдите каждую недостающую боковую меру 7. ПЛИТКИ Синяя прямоугольная плитка и красная прямоугольная плитка подобны.Синяя плитка имеет длину 10 дюймов и Урок 10.5 Подобные и совпадающие многоугольники | 223 Цель: использовать свойства похожих и совпадающих многоугольников. Похожие и конгруэнтные многоугольники Л Е С С О Н Словарь Подобные многоугольники: Конгруэнтные многоугольники: Конгруэнтные многоугольники — это похожие многоугольники, которые имеют одинаковую форму и размер. Два многоугольника похожи, если у них одинаковые
Геометрия Холта. 7-6 Расширения и сходство в координатной плоскости. Разминка Упростите каждый радикал. 1. 2. 3. Найдите расстояние между каждой парой точек.Запишите свой ответ в простейшем виде 1/2 1: 2 1 к 2 Пропорция: два эквивалентных соотношения. 1 2 6 3 = Подобные фигуры Та же форма, разные размеры Примеры фигур: Расширения = Увеличение | Уменьшение = меньшие похожие многоугольники 2 2 60o2 60o60o ~ 4 4 4 60o 60o 60o 1.) Соотношения мер соответствующих * Определите и классифицируйте многоугольники, включая четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и треугольники на основе угловых размеров и сторон. (MA.5.G.2) * Понимать, что двухмерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой посредством последовательности преобразований.(MA.8.GM.5) * Установите критерий AA для сходства двух треугольников.
Похожие полигоны. Соответствующие углы равны. Ответы к главе Сходство. 7-1. Соотношения в похожих полигонах. Практика А. 7. Соотношение упростится до 1: 1. 7-2. СХОДСТВО AND.Reddit дает вам лучшее из Интернета в одном месте. Получите постоянно обновляемую ленту последних новостей, забавных историй, картинок, мемов и видео только для вас. Вы увлечены чем-то нишевым? Reddit имеет тысячи ярких сообществ с людьми, которые разделяют ваши интересы.В качестве альтернативы, узнайте, что … Учебники по геометрии :: Бесплатные домашние задания и ответы :: Slader. Учебник геометрии отвечает на вопросы Обзор. Икс. Идти. 1. Введение в геометрию … 2.3 Биконусные утверждения 2.4 Дедуктивные рассуждения 2.5 Алгебраические рассуждения и доказательства 2.6 Геометрические рассуждения и доказательства 2.7 Доказательство угловых отношений 2.8 Доказательство отношений сегментов 2.9 Логика 2.10 Постулаты и доказательства абзацев 3.
Gensim постоянно тестируется под Python 3.5, 3.6, 3.7 и 3.8. Поддержка Python 2.7 была прекращена в gensim 4.0.0 — установите gensim 3.8.3, если вам необходимо использовать Python 2.7.
2. Убедитесь, что соотношения соответствующих длин сторон равны. Соотношение 1: Соотношение 2: Соотношение 3: Все три соотношения равны? 3. Запишите соотношения соответствующих длин сторон в заявлении о пропорциональности. Пример 2: Найдите коэффициент линейного масштабирования. Определите, похожи ли многоугольники. Если да, напишите сходство 1 День 1 — Глава 8–1: Соотношения и пропорции SWBAT: Используйте пропорции для решения задач Примените теоремы о произведении и соотношении Разминка — Разминка 1) 2) Отношение длин сторон четырехугольника равно 2 : 3: 5: 7, и его периметр Линейный масштабный коэффициент Коэффициент периметра Коэффициент площади 2 3 5 6 8 32 6 м Периметры похожих многоугольников Если два многоугольника похожи с длинами соответствующих сторон в соотношении a: b, то соотношение их периметров _____: _____.Коэффициент линейного масштабирования: 𝑺 𝑳 𝒕 𝑷 𝒍𝒚 Подобные многоугольники — многоугольники, которые имеют одинаковую форму, но разного размера. Масштаб — соотношение, в котором 2 одинаковых фигуры аналогичных многоугольников. 3 масштабный чертеж масштабный коэффициент масштаб AC = AT = CT GO GD OD 16 ABCD ~ NMPO Укажите масштабный коэффициент многоугольников. Найдите значение x. Округлите ответы на …
Ключ ответов для рабочего листа 7-1 и 7-2. … Видео к урокам 7-1 и 7-2: Соотношения и пропорции. … Подобные треугольники и многоугольники. Примечания к уроку 7-3. Практическое пособие 0-07-877348-2 978-0-07-877348-8 Ответы для рабочих тетрадейОтветы к главе 7… Урок 7-2 Подобные многоугольники … коэффициент масштабирования подобных многоугольников. Джек сам знал ответы на все вопросы, и ему стало скучно. «Он угрюмый, — сказал Фрост, — поэтому он перебивает остальных или дает неправильный ответ, чтобы усложнить задачу». Задание 3. Прочтите текст ниже и решите, какой ответ A, B, C или D лучше всего подходит для каждого пробела. Выберите правильный ответ из предложенных вариантов.
В этом похожем учебном упражнении с многоугольниками и треугольниками учащиеся решают 33 задачи с короткими ответами. Учащиеся определяют, похожи ли два заданных многоугольника.Учащиеся объясняют тип сходства, если обнаруживают, что два многоугольника похожи.
Отношение показывает относительные размеры двух или более значений. Отношения могут быть показаны по-разному: • с помощью символа «:» для разделения примерных значений • с помощью «/» для отделения одного значения от общего • в виде десятичного числа после деления одного значения на общее • в процентах после деления одно значение в сумме
⟹ Ответьте на следующие вопросы. 1. С кем вы общаетесь каждый день? «Другая женщина выразила аналогичный парадокс.ее муж: «Когда мы выходим, он … Если я. 1. Какой ритуал вы видите на каждой фотографии? 2. Делаете ли вы что-нибудь подобное в своей стране? Используйте соотношение длин соответствующих сторон, чтобы написать пропорция, содержащая неизвестную длину. PHQI Запишите пропорцию, содержащую Q IJ R QR. 1 2 2 1 1 x 6 Замените известные значения. 12x 21 p 16 Свойство перекрестных произведений. 12x} 12 21 p 16} 12 Разделите каждую сторону на 12. x 28 Упростите. Ответ: Длина QR составляет 28 м. Упражнения для примера 1
2 декабря 2020 г. · Ab bc cd de ae rs st tu uv rv отношение длин двух соответствующих сторон двух одинаковых многоугольников называется .Подобные и совпадающие многоугольники гр. 6 5 докажите, что треугольники похожи на рабочие листы sss и sas 6 4 и 6 5 13 f 12 12. Средство аналогично утверждению пропорциональности ar. Ключ к ответу на аналогичные рисунки 2 D Geometry Pack В 2020 году … geometry-7-2-ratios-in-similar-polygons. Добро пожаловать в клип от. План интерактивного видеоурока: Геометрия: 7-2 Соотношения в похожих многоугольниках.7-2 Подобные многоугольники Глава 7 186 1. … Запишите соотношения соответствующих сторон в простейшей форме. KL XY 5 10 15 5 LM YZ 5 15 5 MN ZW 5 15 5 NK WX 5 5
Отношения длин соответствующих сторон равны, поэтому соответствующие стороны пропорциональны.Согласно постулату подобия многоугольников, JKL PQR. JL PR 2 3 KL QR 86 129 2 3 JK PQ 46 69 2 3 KL QR JL PR JK PQ Q 180 ° (70 ° 30 °) 80 ° L (70 ° 80 °) 30 ° KJ LP QR 86 129 69 46 70 ° 70 ° 30 ° 80 ° 90 135 Определите, похожи ли многоугольники. Если да, напишите 2/3 = 8/9. Как видите, это уравнение неверно — 8 — это произведение 2 на 4, а 9 — это произведение 3 на 3. Это означает, что эти отношения непропорциональны. Если бы мы хотели найти пропорциональное отношение к 2/3, сохраняя знаменатель другого отношения, нам пришлось бы умножить числитель 2 на число 3.
Многоугольники в каждой паре похожи. Найдите недостающую длину стороны. ОТВЕТ-НАУКА-7.docx. Золотое сечение в 3D-моделировании лица. Практическая линейная алгебра и набор инструментов для геометрии. Программное обеспечение Kuta — Бесконечная геометрия. Похожие полигоны. Многоугольники в каждой паре похожи. Найдите коэффициент масштабирования меньшей фигуры по отношению к большей фигуре. Решите каждую пропорцию, используя известное соотношение, и соотношение с неизвестным. _ 5 a = 4 16 _ 7 b = _ 4 4a = 5 × 16 4b = 7 × 16 a = 20 b = 28 Следовательно, WX = 28 и YW = 20.Заявление о подобии — это утверждение, указывающее, что два многоугольника похожи, путем перечисления их вершин в порядке соответствия. Это очень похоже на написание раздела 5.2. Периметры и площади похожих фигур 203. Найдите соотношение (красного и синего) площадей 6 10 подобных треугольников. Площадь красного треугольника —— Площадь синего треугольника = (- 6 10) 2 = (3—5) 2 = 9 — 25 Отношение площадей равно 9 — 25. ПРИМЕР 2 Определение соотношений площадей ПРИМЕР 3 Реальное применение Вы помещаете изображение на …
Полезный способ сравнить две величины — записать соотношение.Если в вашей семье 2 собаки и 3 кошки, соотношение собак и кошек составляет 2/3 или 2: 3. геометрия-7-2-отношения-в-похожих-многоугольниках. Добро пожаловать в клип от. План интерактивного видео-урока: Геометрия: Соотношения 7-2 в похожих многоугольниках. Обратите внимание, что в приведенных выше реализациях предполагается, что точки covnvex многоугольника даны по порядку (по часовой стрелке или против часовой стрелки). Упражнение: распространите вышеприведенное решение и на печать триангуляции.
21 января 2015 г. · 7-3 похожих многоугольников 1.
Оставить комментарий on 3 x y 7: Как решить систему:x+y=3,x-y=7?/
Котангенс 65: Таблица котангенсов, прочитать полную таблицу котангенсов
alexxlab / 02.01.197009.06.2021 / Разное
Таблица котангенсов, прочитать полную таблицу котангенсов
Содержание:
Котангенс — равен отношению косинуса к синусу (ctg(x) = Cos(x)/Sin(x)), тоесть таблицу котангенсов можно получить просто поделив значения из таблицы косинусов на значения из таблицы синусов. Тангенс и котангенс находятся в прямой зависимости, так как tg(x) = Sin(x)/Cos(x), а ctg(x) = Cos(x)/Sin(x), то ctg(x) = 1/tg(x). Таким образом таблицу котангенсов можно получить из таблицы тангенсов (Надо только подставить нужное Вам значение в предыдущую формулу). Пользуйтесь таблицей котангенсов на здоровье.

Таблица котангенсов 0° — 180°

ctg(1°) 57.29
ctg(2°) 28.6363
ctg(3°) 19.0811
ctg(4°) 14.3007
ctg(5°) 11.4301
ctg(6°) 9.5144
ctg(7°) 8. 1443
ctg(8°) 7.1154
ctg(9°) 6.3138
ctg(10°) 5.6713
ctg(11°) 5.1446
ctg(12°) 4.7046
ctg(13°) 4.3315
ctg(14°) 4.0108
ctg(15°) 3.7321
ctg(16°) 3.4874
ctg(17°) 3.2709
ctg(18°) 3.0777
ctg(19°) 2.9042
ctg(20°) 2.7475
ctg(21°) 2.6051
ctg(22°) 2.4751
ctg(23°) 2.3559
ctg(24°) 2.246
ctg(25°) 2.1445
ctg(26°) 2.0503
ctg(27°) 1.9626
ctg(28°) 1.8807
ctg(29°) 1.804
ctg(30°) 1.7321
ctg(31°) 1. 6643
ctg(32°) 1.6003
ctg(33°) 1.5399
ctg(34°) 1.4826
ctg(35°) 1.4281
ctg(36°) 1.3764
ctg(37°) 1.327
ctg(38°) 1.2799
ctg(39°) 1.2349
ctg(40°) 1.1918
ctg(41°) 1.1504
ctg(42°) 1.1106
ctg(43°) 1.0724
ctg(44°) 1.0355
ctg(45°) 1
ctg(46°) 0.9657
ctg(47°) 0.9325
ctg(48°) 0.9004
ctg(49°) 0.8693
ctg(50°) 0.8391
ctg(51°) 0.8098
ctg(52°) 0.7813
ctg(53°) 0.7536
ctg(54°) 0.7265
ctg(55°) 0. 7002
ctg(56°) 0.6745
ctg(57°) 0.6494
ctg(58°) 0.6249
ctg(59°) 0.6009
ctg(60°) 0.5774
ctg(61°) 0.5543
ctg(62°) 0.5317
ctg(63°) 0.5095
ctg(64°) 0.4877
ctg(65°) 0.4663
ctg(66°) 0.4452
ctg(67°) 0.4245
ctg(68°) 0.404
ctg(69°) 0.3839
ctg(70°) 0.364
ctg(71°) 0.3443
ctg(72°) 0.3249
ctg(73°) 0.3057
ctg(74°) 0.2867
ctg(75°) 0.2679
ctg(76°) 0.2493
ctg(77°) 0.2309
ctg(78°) 0. 2126
ctg(79°) 0.1944
ctg(80°) 0.1763
ctg(81°) 0.1584
ctg(82°) 0.1405
ctg(83°) 0.1228
ctg(84°) 0.1051
ctg(85°) 0.0875
ctg(86°) 0.0699
ctg(87°) 0.0524
ctg(88°) 0.0349
ctg(89°) 0.0175
ctg(90°) 0
ctg(91°) -0.0175
ctg(92°) -0.0349
ctg(93°) -0.0524
ctg(94°) -0.0699
ctg(95°) -0.0875
ctg(96°) -0.1051
ctg(97°) -0.1228
ctg(98°) -0.1405
ctg(99°) -0.1584
ctg(100°) -0.1763
ctg(101°) -0.1944
ctg(102°) -0. 2126
ctg(103°) -0.2309
ctg(104°) -0.2493
ctg(105°) -0.2679
ctg(106°) -0.2867
ctg(107°) -0.3057
ctg(108°) -0.3249
ctg(109°) -0.3443
ctg(110°) -0.364
ctg(111°) -0.3839
ctg(112°) -0.404
ctg(113°) -0.4245
ctg(114°) -0.4452
ctg(115°) -0.4663
ctg(116°) -0.4877
ctg(117°) -0.5095
ctg(118°) -0.5317
ctg(119°) -0.5543
ctg(120°) -0.5774
ctg(121°) -0.6009
ctg(122°) -0.6249
ctg(123°) -0.6494
ctg(124°) -0. 6745
ctg(125°) -0.7002
ctg(126°) -0.7265
ctg(127°) -0.7536
ctg(128°) -0.7813
ctg(129°) -0.8098
ctg(130°) -0.8391
ctg(131°) -0.8693
ctg(132°) -0.9004
ctg(133°) -0.9325
ctg(134°) -0.9657
ctg(135°) -1
ctg(136°) -1.0355
ctg(137°) -1.0724
ctg(138°) -1.1106
ctg(139°) -1.1504
ctg(140°) -1.1918
ctg(141°) -1.2349
ctg(142°) -1.2799
ctg(143°) -1.327
ctg(144°) -1.3764
ctg(145°) -1.4281
ctg(146°) -1.4826
ctg(147°) -1. 5399
ctg(148°) -1.6003
ctg(149°) -1.6643
ctg(150°) -1.7321
ctg(151°) -1.804
ctg(152°) -1.8807
ctg(153°) -1.9626
ctg(154°) -2.0503
ctg(155°) -2.1445
ctg(156°) -2.246
ctg(157°) -2.3559
ctg(158°) -2.4751
ctg(159°) -2.6051
ctg(160°) -2.7475
ctg(161°) -2.9042
ctg(162°) -3.0777
ctg(163°) -3.2709
ctg(164°) -3.4874
ctg(165°) -3.7321
ctg(166°) -4.0108
ctg(167°) -4.3315
ctg(168°) -4.7046
ctg(169°) -5.1446
ctg(170°) -5. 6713
ctg(171°) -6.3138
ctg(172°) -7.1154
ctg(173°) -8.1443
ctg(174°) -9.5144
ctg(175°) -11.4301
ctg(176°) -14.3007
ctg(177°) -19.0811
ctg(178°) -28.6363
ctg(179°) -57.29
ctg(180°) — ∞

Таблица котангенсов 180° — 360°

ctg(181°) 57.29
ctg(182°) 28.6363
ctg(183°) 19.0811
ctg(184°) 14.3007
ctg(185°) 11.4301
ctg(186°) 9.5144
ctg(187°) 8.1443
ctg(188°) 7.1154
ctg(189°) 6.3138
ctg(190°) 5. 6713
ctg(191°) 5.1446
ctg(192°) 4.7046
ctg(193°) 4.3315
ctg(194°) 4.0108
ctg(195°) 3.7321
ctg(196°) 3.4874
ctg(197°) 3.2709
ctg(198°) 3.0777
ctg(199°) 2.9042
ctg(200°) 2.7475
ctg(201°) 2.6051
ctg(202°) 2.4751
ctg(203°) 2.3559
ctg(204°) 2.246
ctg(205°) 2.1445
ctg(206°) 2.0503
ctg(207°) 1.9626
ctg(208°) 1.8807
ctg(209°) 1.804
ctg(210°) 1.7321
ctg(211°) 1.6643
ctg(212°) 1.6003
ctg(213°) 1. 5399
ctg(214°) 1.4826
ctg(215°) 1.4281
ctg(216°) 1.3764
ctg(217°) 1.327
ctg(218°) 1.2799
ctg(219°) 1.2349
ctg(220°) 1.1918
ctg(221°) 1.1504
ctg(222°) 1.1106
ctg(223°) 1.0724
ctg(224°) 1.0355
ctg(225°) 1
ctg(226°) 0.9657
ctg(227°) 0.9325
ctg(228°) 0.9004
ctg(229°) 0.8693
ctg(230°) 0.8391
ctg(231°) 0.8098
ctg(232°) 0.7813
ctg(233°) 0.7536
ctg(234°) 0.7265
ctg(235°) 0.7002
ctg(236°) 0. 6745
ctg(237°) 0.6494
ctg(238°) 0.6249
ctg(239°) 0.6009
ctg(240°) 0.5774
ctg(241°) 0.5543
ctg(242°) 0.5317
ctg(243°) 0.5095
ctg(244°) 0.4877
ctg(245°) 0.4663
ctg(246°) 0.4452
ctg(247°) 0.4245
ctg(248°) 0.404
ctg(249°) 0.3839
ctg(250°) 0.364
ctg(251°) 0.3443
ctg(252°) 0.3249
ctg(253°) 0.3057
ctg(254°) 0.2867
ctg(255°) 0.2679
ctg(256°) 0.2493
ctg(257°) 0.2309
ctg(258°) 0. 2126
ctg(259°) 0.1944
ctg(260°) 0.1763
ctg(261°) 0.1584
ctg(262°) 0.1405
ctg(263°) 0.1228
ctg(264°) 0.1051
ctg(265°) 0.0875
ctg(266°) 0.0699
ctg(267°) 0.0524
ctg(268°) 0.0349
ctg(269°) 0.0175
ctg(270°) 0
ctg(271°) -0.0175
ctg(272°) -0.0349
ctg(273°) -0.0524
ctg(274°) -0.0699
ctg(275°) -0.0875
ctg(276°) -0.1051
ctg(277°) -0.1228
ctg(278°) -0.1405
ctg(279°) -0.1584
ctg(280°) -0.1763
ctg(281°) -0. 1944
ctg(282°) -0.2126
ctg(283°) -0.2309
ctg(284°) -0.2493
ctg(285°) -0.2679
ctg(286°) -0.2867
ctg(287°) -0.3057
ctg(288°) -0.3249
ctg(289°) -0.3443
ctg(290°) -0.364
ctg(291°) -0.3839
ctg(292°) -0.404
ctg(293°) -0.4245
ctg(294°) -0.4452
ctg(295°) -0.4663
ctg(296°) -0.4877
ctg(297°) -0.5095
ctg(298°) -0.5317
ctg(299°) -0.5543
ctg(300°) -0.5774
ctg(301°) -0.6009
ctg(302°) -0.6249
ctg(303°) -0. 6494
ctg(304°) -0.6745
ctg(305°) -0.7002
ctg(306°) -0.7265
ctg(307°) -0.7536
ctg(308°) -0.7813
ctg(309°) -0.8098
ctg(310°) -0.8391
ctg(311°) -0.8693
ctg(312°) -0.9004
ctg(313°) -0.9325
ctg(314°) -0.9657
ctg(315°) -1
ctg(316°) -1.0355
ctg(317°) -1.0724
ctg(318°) -1.1106
ctg(319°) -1.1504
ctg(320°) -1.1918
ctg(321°) -1.2349
ctg(322°) -1.2799
ctg(323°) -1.327
ctg(324°) -1.3764
ctg(325°) -1.4281
ctg(326°) -1. 4826
ctg(327°) -1.5399
ctg(328°) -1.6003
ctg(329°) -1.6643
ctg(330°) -1.7321
ctg(331°) -1.804
ctg(332°) -1.8807
ctg(333°) -1.9626
ctg(334°) -2.0503
ctg(335°) -2.1445
ctg(336°) -2.246
ctg(337°) -2.3559
ctg(338°) -2.4751
ctg(339°) -2.6051
ctg(340°) -2.7475
ctg(341°) -2.9042
ctg(342°) -3.0777
ctg(343°) -3.2709
ctg(344°) -3.4874
ctg(345°) -3.7321
ctg(346°) -4.0108
ctg(347°) -4.3315
ctg(348°) -4.7046
ctg(349°) -5. 1446
ctg(350°) -5.6713
ctg(351°) -6.3138
ctg(352°) -7.1154
ctg(353°) -8.1443
ctg(354°) -9.5144
ctg(355°) -11.4301
ctg(356°) -14.3007
ctg(357°) -19.0811
ctg(358°) -28.6363
ctg(359°) -57.29
ctg(360°) ∞
Слишком сложно?
Таблица котангенсов, таблица значений котангенсов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Новости за 7 дней.
Сколько предметов домашнего обихода должно быть под рукой в ванной комнате? Их десятки. И что с ними делать? Как правило, они не отличаются выдающимся дизайном. Основой набора мебели для ванной комнаты Step стали популярные накладные раковины, устанавливаемые на столешницу, для которых предусмот. …
Ассортимент гофрированных труб из нержавеющей стали торговой марки Stahlmann пополнился новыми диаметрами: 40А и 50А. Компания «Электросистемы и технологии» (входит в ГК «ССТ), официальный дистрибьютор бренда Stahlmann, по многочисленным просьбам клиентов расширила ассортимент гибких гофрированны….
Компания группы PORCELANOSA Grupo представляет свои новые коллекции напольного покрытия для наружного применения и самые инновационные технические решения для ванных комнат и систем гидроизоляции в официальных магазинах Испании и Португалии. Butech расширяет свой каталог продукции и технических реш….
В ассортименте EKF появилась эргономичная розетка для кухни со встраиваемой техникой. Новинка c разъёмами типа РШ-ВШ позволяет удобно и эстетично подключить сразу два прибора – варочную панель и духовку. Преимущества нового изделия: привлекательная цена – можно сэкономить до 20 % бюджета; ла….
Серия MPT включает четыре модели носимых видеорегистраторов Dahua со встроенными видеокамерами для ведения аудио- и видеозаписи непосредственно на месте события и формирования в случае происшествия доказательной базы. Эти мобильные устройства предназначены для использования в сфере обеспечения обще….
Одноабонентская вызывная панель IP-видеодомофона VTO2211G-WP обладает элегантным дизайном и тонкой легкой конструкцией. При этом она оснащена всем необходимым для быстрой установки и удобства эксплуатации. Помимо проводного интерфейса Ethernet, который также поддерживает подачу питания PoE, вызывн….
Стремительное развитие технологий и рост современных городов значительно влияют на наш образ жизни, дизайн и архитектуру. В интерьерах стиль лофт лучше всего отражает урбанистический дух, предоставляя простор для творчества и самовыражения. Новая коллекция мебели AQUATON ЛОФТ Урбан объединяет ос….
Решить проблему размещения на плоских кровлях дополнительного оборудования призваны два инновационных технических решения, разработанных Группой компаний fischer, мировым лидером в разработке и производстве современных крепежных изделий. Новые кровельные опоры — FFRB и FFRBH — призваны сделать эксп. …
За изысканным интерьером всегда стоит качественный крепёж, который позволяет надёжно фиксировать полки, картины, люстры и другие аксессуары. Именно эту задачу решает серия пластиковых дюбелей с крюком EasyHook — новинка компании fischer, мирового лидера в сфере инновационных крепёжных решений. В с….
Качественная краска для деревянного пола – эффективное решение при реставрации старого или обустройстве нового напольного покрытия. Правильно подобранный ЛКМ защитит дерево от истирания, исцарапывания, влаги, ультрафиолета, сохранит красивую фактуру дерева, придаст нужный оттенок, а также продлит с….
Представляем НОВИНКУ – клей SUPERFLEX K77 Белый для керамической плитки и керамогранита. SUPERFLEX K77 Белый – высокоэластичный плиточный клей на основе белого цемента для укладки любого типа плитки из керамогранита, клинкера, керамики и натурального камня, в том числе крупного формата. Свойства….
Динамики подавляющего большинства телевизоров хорошо справляются лишь с воспроизведением голосов дикторов новостей, а вот для музыки и спецэффектов в кино требуется более серьезное решение. Вот только большие колонки полноформатного домашнего кинотеатра — далеко не самый удобный и комфортный выход ….
Устройства ввода — это та часть компьютера, с которой мы напрямую контактируем каждый день. И именно от них часто зависит, насколько удобно нам будет работать, учиться или играть. Поэтому компания SVEN постоянно расширяет ассортимент компьютерных мышей и клавиатур, предлагая все новые решения. Ко….
Выбирайте паровую станцию, чтобы почувствовать себя обладателем профессиональной техники для домашнего использования. По сравнению с классическими паровыми утюгами, паровая станция VT-2430 позволит Вам гладить белье в несколько раз быстрее и качественнее. Отгладить костюм, брюки, платье, плащ или ….
Новый цвет — море сочетаний. За поисками этого оттенка мы отправились в Северную Европу. Нам нужен был серый, который вызывает ассоциацию с природой, а не бетонными джунглями. Глядя на пейзажи Исландии, мы поняли: «Вот он. Тот самый цвет». Спокойный, насыщенный, с теплым коричневым подтоном. ….
Компания dormakaba рада предложить Вам бесшумные решения для межкомнатных дверей — защёлки DORMA со смещённым магнитным ригелем серии 940-М WC и 940-М PZ. Товар на складе. Цвет исполнения торцевой планки замка: АВ – античная бронза и SN – матовый никель. Магнитные замки рекомендуются для установ….
Стилизованный рисунок натюрморта с кофе в обрамлении кофейных зернышек и сегменты с надписями на кофейную тематику чередуются с плитками, воспроизводящими фактуру шероховатого камня. Баланс между акцентными и фоновыми элементами решен в пользу фона, что создает воздушность композиции, но при этом с….
Нежный узор из стилизованных полевых цветов. Плавными каллиграфическими росчерками он заполняет пространство, создавая легкий, вальсирующий ритм композиции. Отдельные элементы узора не объединены в сетку или колонны, традиционные для ритмики обойных принтов, а соединены в V-образные пересечения со. …
Ветки, усыпанные некрупными цветами, застилают все полотно. Цельность композиции и наполненность пространства дизайна создают умиротворяющую обстановку и успокаивающий ритм. Тонкие веточки почти полностью укрыты цветами, присутствуют в узоре минимально. Переходы между элементами сглажены, отсутст….
Компактная вилка PPG16-42-201 с заземлением имеют разборную конструкцию и выполнена из ABS пластика и латунных токоведущих контактов. Заземляющие стальные контакты, предусмотренные в конструкции, позволяют безопасно эксплуатировать электроприборы. Применение: Вилки разборные STEKKER серии PPG п….
Коробка «Express» 53800R теперь выпускаются в обновленном конструктиве. 8 герметичных вводов расположены по периметру коробки с максимальным размером вводов до 25 мм, а 2 дополнительных отверстия – на торцевой части коробки (их размер до 20 мм). Теперь есть возможность использовать c ответвительны….
Ассортимент шкафов из фибергласа пополнился новинками – в линейке появились цельнолитые навесные шкафы. Корпуса, изготовленные по этой технологии, имеют более высокую степень пыле- и влагозащиты и меньшую стоимость. При этом в новых моделях реализуются и все преимущества фибергласа: абсолютная кор….
Беспроводная технология LoRa – отличное решение для управления уличным освещением как для целых районов или дорог, так и для ограниченных участков – парковок ТЦ, дворов ЖК, парков и скверов. Достаточно «защелкнуть» в светильник «умный» LoRa контроллер через стандартный NEMA разъем и освещение управ….
Ассортимент Werkel™ пополнился розетками с подсветкой в новых цветах: серебряный и слоновая кость. Кроме своей основной функции — питания электроприборов, розетка с помощью подсветки помогает обозначить себя в темное время суток. Подсветка создает равномерное рассеянное свечение, подходящее для ….
“Освещение придает пространству индивидуальный шарм. Важно, чтобы оно было отражением владельцев, подчеркивало многогранность дизайнерской идеи, даже в сдержанном и минималистичном интерьере. ” — Добрый день! Меня зовут Заблодская Камилия, дизайнер студии «Time» с пятилетним опытом, и сегодня я под….
Идеально вписываются в любой интерьер и экономят средства на электроэнергии! ЭРА обновила ассортимент светодиодных ламп со штырьковым цоколем G4-G9, созданных для прямой замены предшественника – галогенной лампы. Капсульный светодиод мощностью 3-6 Вт излучает столько же света, сколько галогенная л….
К летнему сезону сформирован хороший товарных запас по силовым удлинителям ЭРА для дачных и строительных работ. Второй квартал это самое горячее время для данной товарной группы, предлагаем обратить внимание на ассортимент. Серия ЭРА RPx — удлинители на пластиковой катушке; Серия ЭРА RMx — уд….
Компания ФОКУС представляет новый светильник ЖКХ 10, разработанный для освещения подъездов, лестничных площадок, коридоров и вспомогательных помещений. Благодаря степени защиты IP 65, обеспечивающей достаточную защиту от влаги и пыли, светильник так же можно размещать в помещениях с повышенной вл. …
Компания представляет новую мебель для ванных комнат и спален, а также инновационную линейку кухонных гарнитуров, изготовленных из дерева и XTONE, для организации функциональных пространств. Компания Gamadecor делает выбор в пользу бесконечных и функциональных пространств за счет использования див….
Таблица котангенсов | umath.ru
Котангенсом угла называется отношение косинуса этого угла к синусу:

Таблица котангенсов — таблица, содержащая значения котангенсов углов. В нашей таблице вычислены котангенсы углов от 1° до 180°.
Таблицы котангенсов удобно использовать при отсутствии калькулятора с тригонометрическими функциями.
См. также: таблица синусов, таблица косинусов, таблица тангенсов.
Таблица котангенсов углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
Замечание: котангенс 0° не определён, так как .
Таблица котангенсов углов от 1° до 90°
ctg(1°) = 57.289962
ctg(2°) = 28. 636253
ctg(3°) = 19.081137
ctg(4°) = 14.300666
ctg(5°) = 11.430052
ctg(6°) = 9.514364
ctg(7°) = 8.144346
ctg(8°) = 7.115370
ctg(9°) = 6.313752
ctg(10°) = 5.671282
ctg(11°) = 5.144554
ctg(12°) = 4.704630
ctg(13°) = 4.331476
ctg(14°) = 4.010781
ctg(15°) = 3.732051
ctg(16°) = 3.487414
ctg(17°) = 3.270853
ctg(18°) = 3.077684
ctg(19°) = 2.904211
ctg(20°) = 2.747477
ctg(21°) = 2.605089
ctg(22°) = 2.475087
ctg(23°) = 2.355852
ctg(24°) = 2.246037
ctg(25°) = 2.144507
ctg(26°) = 2.050304
ctg(27°) = 1.962611
ctg(28°) = 1.880726
ctg(29°) = 1.804048
ctg(30°) = 1.732051 ctg(31°) = 1.664279
ctg(32°) = 1.600335
ctg(33°) = 1.539865
ctg(34°) = 1.482561
ctg(35°) = 1.428148
ctg(36°) = 1.376382
ctg(37°) = 1.327045
ctg(38°) = 1.279942
ctg(39°) = 1.234897
ctg(40°) = 1.191754
ctg(41°) = 1.150368
ctg(42°) = 1.110613
ctg(43°) = 1.072369
ctg(44°) = 1. 035530
ctg(45°) = 1
ctg(46°) = 0.965689
ctg(47°) = 0.932515
ctg(48°) = 0.900404
ctg(49°) = 0.869287
ctg(50°) = 0.839100
ctg(51°) = 0.809784
ctg(52°) = 0.781286
ctg(53°) = 0.753554
ctg(54°) = 0.726543
ctg(55°) = 0.700208
ctg(56°) = 0.674509
ctg(57°) = 0.649408
ctg(58°) = 0.624869
ctg(59°) = 0.600861
ctg(60°) = 0.577350 ctg(61°) = 0.554309
ctg(62°) = 0.531709
ctg(63°) = 0.509525
ctg(64°) = 0.487733
ctg(65°) = 0.466308
ctg(66°) = 0.445229
ctg(67°) = 0.424475
ctg(68°) = 0.404026
ctg(69°) = 0.383864
ctg(70°) = 0.363970
ctg(71°) = 0.344328
ctg(72°) = 0.324920
ctg(73°) = 0.305731
ctg(74°) = 0.286745
ctg(75°) = 0.267949
ctg(76°) = 0.249328
ctg(77°) = 0.230868
ctg(78°) = 0.212557
ctg(79°) = 0.194380
ctg(80°) = 0.176327
ctg(81°) = 0.158384
ctg(82°) = 0.140541
ctg(83°) = 0.122785
ctg(84°) = 0.105104
ctg(85°) = 0.087489
ctg(86°) = 0. 069927
ctg(87°) = 0.052408
ctg(88°) = 0.034921
ctg(89°) = 0.017455
ctg(90°) = 0
Таблица котангенсов углов от 91° до 180°
ctg(91°) = -0.017455
ctg(92°) = -0.034921
ctg(93°) = -0.052408
ctg(94°) = -0.069927
ctg(95°) = -0.087489
ctg(96°) = -0.105104
ctg(97°) = -0.122785
ctg(98°) = -0.140541
ctg(99°) = -0.158384
ctg(100°) = -0.176327
ctg(101°) = -0.194380
ctg(102°) = -0.212557
ctg(103°) = -0.230868
ctg(104°) = -0.249328
ctg(105°) = -0.267949
ctg(106°) = -0.286745
ctg(107°) = -0.305731
ctg(108°) = -0.324920
ctg(109°) = -0.344328
ctg(110°) = -0.363970
ctg(111°) = -0.383864
ctg(112°) = -0.404026
ctg(113°) = -0.424475
ctg(114°) = -0.445229
ctg(115°) = -0.466308
ctg(116°) = -0.487733
ctg(117°) = -0.509525
ctg(118°) = -0.531709
ctg(119°) = -0.554309
ctg(120°) = -0.577350 ctg(121°) = -0.600861
ctg(122°) = -0. 624869
ctg(123°) = -0.649408
ctg(124°) = -0.674509
ctg(125°) = -0.700208
ctg(126°) = -0.726543
ctg(127°) = -0.753554
ctg(128°) = -0.781286
ctg(129°) = -0.809784
ctg(130°) = -0.839100
ctg(131°) = -0.869287
ctg(132°) = -0.900404
ctg(133°) = -0.932515
ctg(134°) = -0.965689
ctg(135°) = -1
ctg(136°) = -1.035530
ctg(137°) = -1.072369
ctg(138°) = -1.110613
ctg(139°) = -1.150368
ctg(140°) = -1.191754
ctg(141°) = -1.234897
ctg(142°) = -1.279942
ctg(143°) = -1.327045
ctg(144°) = -1.376382
ctg(145°) = -1.428148
ctg(146°) = -1.482561
ctg(147°) = -1.539865
ctg(148°) = -1.600335
ctg(149°) = -1.664279
ctg(150°) = -1.732051 ctg(151°) = -1.804048
ctg(152°) = -1.880726
ctg(153°) = -1.962611
ctg(154°) = -2.050304
ctg(155°) = -2.144507
ctg(156°) = -2.246037
ctg(157°) = -2.355852
ctg(158°) = -2.475087
ctg(159°) = -2.605089
ctg(160°) = -2.747477
ctg(161°) = -2. 904211
ctg(162°) = -3.077684
ctg(163°) = -3.270853
ctg(164°) = -3.487414
ctg(165°) = -3.732051
ctg(166°) = -4.010781
ctg(167°) = -4.331476
ctg(168°) = -4.704630
ctg(169°) = -5.144554
ctg(170°) = -5.671282
ctg(171°) = -6.313752
ctg(172°) = -7.115370
ctg(173°) = -8.144346
ctg(174°) = -9.514364
ctg(175°) = -11.430052
ctg(176°) = -14.300666
ctg(177°) = -19.081137
ctg(178°) = -28.636253
ctg(179°) = -57.289962
ctg(180°) не определено
Таблица котангенсов.
Таблица котангенсов — это записанные в таблицу посчитанные значения котангенсов углов от 0° до 360°. Используя таблицу котангенсов Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение котангенса от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице.
Таблица котангенсов в радианах
α 0 π6 π4 π3 π2 π 3π2 2π
сtg α ∞ √3 1 √33 0 ∞ 0 ∞
Таблица котангенсов углов от 0° до 180°
ctg(0°) = ∞
ctg(1°) = 57. 28996
ctg(2°) = 28.63625
ctg(3°) = 19.08114
ctg(4°) = 14.30067
ctg(5°) = 11.43005
ctg(6°) = 9.51436
ctg(7°) = 8.14435
ctg(8°) = 7.11537
ctg(9°) = 6.31375
ctg(10°) = 5.67128
ctg(11°) = 5.14455
ctg(12°) = 4.70463
ctg(13°) = 4.33148
ctg(14°) = 4.01078
ctg(15°) = 3.73205
ctg(16°) = 3.48741
ctg(17°) = 3.27085
ctg(18°) = 3.07768
ctg(19°) = 2.90421
ctg(20°) = 2.74748
ctg(21°) = 2.60509
ctg(22°) = 2.47509
ctg(23°) = 2.35585
ctg(24°) = 2.24604
ctg(25°) = 2.14451
ctg(26°) = 2.0503
ctg(27°) = 1.96261
ctg(28°) = 1.88073
ctg(29°) = 1.80405
ctg(30°) = 1.73205
ctg(31°) = 1.66428
ctg(32°) = 1.60033
ctg(33°) = 1.53986
ctg(34°) = 1.48256
ctg(35°) = 1.42815
ctg(36°) = 1.37638
ctg(37°) = 1.32704
ctg(38°) = 1.27994
ctg(39°) = 1.2349
ctg(40°) = 1.19175
ctg(41°) = 1.15037
ctg(42°) = 1.11061
ctg(43°) = 1.07237
ctg(44°) = 1.03553
ctg(45°) = 1
ctg(46°) = 0. 96569
ctg(47°) = 0.93252
ctg(48°) = 0.9004
ctg(49°) = 0.86929
ctg(50°) = 0.8391
ctg(51°) = 0.80978
ctg(52°) = 0.78129
ctg(53°) = 0.75355
ctg(54°) = 0.72654
ctg(55°) = 0.70021
ctg(56°) = 0.67451
ctg(57°) = 0.64941
ctg(58°) = 0.62487
ctg(59°) = 0.60086
ctg(60°) = 0.57735
ctg(61°) = 0.55431
ctg(62°) = 0.53171
ctg(63°) = 0.50953
ctg(64°) = 0.48773
ctg(65°) = 0.46631
ctg(66°) = 0.44523
ctg(67°) = 0.42447
ctg(68°) = 0.40403
ctg(69°) = 0.38386
ctg(70°) = 0.36397
ctg(71°) = 0.34433
ctg(72°) = 0.32492
ctg(73°) = 0.30573
ctg(74°) = 0.28675
ctg(75°) = 0.26795
ctg(76°) = 0.24933
ctg(77°) = 0.23087
ctg(78°) = 0.21256
ctg(79°) = 0.19438
ctg(80°) = 0.17633
ctg(81°) = 0.15838
ctg(82°) = 0.14054
ctg(83°) = 0.12278
ctg(84°) = 0.1051
ctg(85°) = 0.08749
ctg(86°) = 0.06993
ctg(87°) = 0.05241
ctg(88°) = 0.03492
ctg(89°) = 0.01746
ctg(90°) = 0
ctg(91°) = -0. 01746
ctg(92°) = -0.03492
ctg(93°) = -0.05241
ctg(94°) = -0.06993
ctg(95°) = -0.08749
ctg(96°) = -0.1051
ctg(97°) = -0.12278
ctg(98°) = -0.14054
ctg(99°) = -0.15838
ctg(100°) = -0.17633
ctg(101°) = -0.19438
ctg(102°) = -0.21256
ctg(103°) = -0.23087
ctg(104°) = -0.24933
ctg(105°) = -0.26795
ctg(106°) = -0.28675
ctg(107°) = -0.30573
ctg(108°) = -0.32492
ctg(109°) = -0.34433
ctg(110°) = -0.36397
ctg(111°) = -0.38386
ctg(112°) = -0.40403
ctg(113°) = -0.42447
ctg(114°) = -0.44523
ctg(115°) = -0.46631
ctg(116°) = -0.48773
ctg(117°) = -0.50953
ctg(118°) = -0.53171
ctg(119°) = -0.55431
ctg(120°) = -0.57735
ctg(121°) = -0.60086
ctg(122°) = -0.62487
ctg(123°) = -0.64941
ctg(124°) = -0.67451
ctg(125°) = -0.70021
ctg(126°) = -0.72654
ctg(127°) = -0.75355
ctg(128°) = -0.78129
ctg(129°) = -0.80978
ctg(130°) = -0.8391
ctg(131°) = -0.86929
ctg(132°) = -0. 9004
ctg(133°) = -0.93252
ctg(134°) = -0.96569
ctg(135°) = -1
ctg(136°) = -1.03553
ctg(137°) = -1.07237
ctg(138°) = -1.11061
ctg(139°) = -1.15037
ctg(140°) = -1.19175
ctg(141°) = -1.2349
ctg(142°) = -1.27994
ctg(143°) = -1.32704
ctg(144°) = -1.37638
ctg(145°) = -1.42815
ctg(146°) = -1.48256
ctg(147°) = -1.53986
ctg(148°) = -1.60033
ctg(149°) = -1.66428
ctg(150°) = -1.73205
ctg(151°) = -1.80405
ctg(152°) = -1.88073
ctg(153°) = -1.96261
ctg(154°) = -2.0503
ctg(155°) = -2.14451
ctg(156°) = -2.24604
ctg(157°) = -2.35585
ctg(158°) = -2.47509
ctg(159°) = -2.60509
ctg(160°) = -2.74748
ctg(161°) = -2.90421
ctg(162°) = -3.07768
ctg(163°) = -3.27085
ctg(164°) = -3.48741
ctg(165°) = -3.73205
ctg(166°) = -4.01078
ctg(167°) = -4.33148
ctg(168°) = -4.70463
ctg(169°) = -5.14455
ctg(170°) = -5.67128
ctg(171°) = -6.31375
ctg(172°) = -7.11537
ctg(173°) = -8. 14435
ctg(174°) = -9.51436
ctg(175°) = -11.43005
ctg(176°) = -14.30067
ctg(177°) = -19.08114
ctg(178°) = -28.63625
ctg(179°) = -57.28996
ctg(180°) = ∞
Таблица котангенсов углов от 181° до 360°
ctg(181°) = 57.28996
ctg(182°) = 28.63625
ctg(183°) = 19.08114
ctg(184°) = 14.30067
ctg(185°) = 11.43005
ctg(186°) = 9.51436
ctg(187°) = 8.14435
ctg(188°) = 7.11537
ctg(189°) = 6.31375
ctg(190°) = 5.67128
ctg(191°) = 5.14455
ctg(192°) = 4.70463
ctg(193°) = 4.33148
ctg(194°) = 4.01078
ctg(195°) = 3.73205
ctg(196°) = 3.48741
ctg(197°) = 3.27085
ctg(198°) = 3.07768
ctg(199°) = 2.90421
ctg(200°) = 2.74748
ctg(201°) = 2.60509
ctg(202°) = 2.47509
ctg(203°) = 2.35585
ctg(204°) = 2.24604
ctg(205°) = 2.14451
ctg(206°) = 2.0503
ctg(207°) = 1.96261
ctg(208°) = 1.88073
ctg(209°) = 1.80405
ctg(210°) = 1.73205
ctg(211°) = 1. 66428
ctg(212°) = 1.60033
ctg(213°) = 1.53986
ctg(214°) = 1.48256
ctg(215°) = 1.42815
ctg(216°) = 1.37638
ctg(217°) = 1.32704
ctg(218°) = 1.27994
ctg(219°) = 1.2349
ctg(220°) = 1.19175
ctg(221°) = 1.15037
ctg(222°) = 1.11061
ctg(223°) = 1.07237
ctg(224°) = 1.03553
ctg(225°) = 1
ctg(226°) = 0.96569
ctg(227°) = 0.93252
ctg(228°) = 0.9004
ctg(229°) = 0.86929
ctg(230°) = 0.8391
ctg(231°) = 0.80978
ctg(232°) = 0.78129
ctg(233°) = 0.75355
ctg(234°) = 0.72654
ctg(235°) = 0.70021
ctg(236°) = 0.67451
ctg(237°) = 0.64941
ctg(238°) = 0.62487
ctg(239°) = 0.60086
ctg(240°) = 0.57735
ctg(241°) = 0.55431
ctg(242°) = 0.53171
ctg(243°) = 0.50953
ctg(244°) = 0.48773
ctg(245°) = 0.46631
ctg(246°) = 0.44523
ctg(247°) = 0.42447
ctg(248°) = 0.40403
ctg(249°) = 0.38386
ctg(250°) = 0.36397
ctg(251°) = 0.34433
ctg(252°) = 0.32492
ctg(253°) = 0. 30573
ctg(254°) = 0.28675
ctg(255°) = 0.26795
ctg(256°) = 0.24933
ctg(257°) = 0.23087
ctg(258°) = 0.21256
ctg(259°) = 0.19438
ctg(260°) = 0.17633
ctg(261°) = 0.15838
ctg(262°) = 0.14054
ctg(263°) = 0.12278
ctg(264°) = 0.1051
ctg(265°) = 0.08749
ctg(266°) = 0.06993
ctg(267°) = 0.05241
ctg(268°) = 0.03492
ctg(269°) = 0.01746
ctg(270°) = 0
ctg(271°) = -0.01746
ctg(272°) = -0.03492
ctg(273°) = -0.05241
ctg(274°) = -0.06993
ctg(275°) = -0.08749
ctg(276°) = -0.1051
ctg(277°) = -0.12278
ctg(278°) = -0.14054
ctg(279°) = -0.15838
ctg(280°) = -0.17633
ctg(281°) = -0.19438
ctg(282°) = -0.21256
ctg(283°) = -0.23087
ctg(284°) = -0.24933
ctg(285°) = -0.26795
ctg(286°) = -0.28675
ctg(287°) = -0.30573
ctg(288°) = -0.32492
ctg(289°) = -0.34433
ctg(290°) = -0.36397
ctg(291°) = -0.38386
ctg(292°) = -0.40403
ctg(293°) = -0.42447
ctg(294°) = -0.44523
ctg(295°) = -0. 46631
ctg(296°) = -0.48773
ctg(297°) = -0.50953
ctg(298°) = -0.53171
ctg(299°) = -0.55431
ctg(300°) = -0.57735
ctg(301°) = -0.60086
ctg(302°) = -0.62487
ctg(303°) = -0.64941
ctg(304°) = -0.67451
ctg(305°) = -0.70021
ctg(306°) = -0.72654
ctg(307°) = -0.75355
ctg(308°) = -0.78129
ctg(309°) = -0.80978
ctg(310°) = -0.8391
ctg(311°) = -0.86929
ctg(312°) = -0.9004
ctg(313°) = -0.93252
ctg(314°) = -0.96569
ctg(315°) = -1
ctg(316°) = -1.03553
ctg(317°) = -1.07237
ctg(318°) = -1.11061
ctg(319°) = -1.15037
ctg(320°) = -1.19175
ctg(321°) = -1.2349
ctg(322°) = -1.27994
ctg(323°) = -1.32704
ctg(324°) = -1.37638
ctg(325°) = -1.42815
ctg(326°) = -1.48256
ctg(327°) = -1.53986
ctg(328°) = -1.60033
ctg(329°) = -1.66428
ctg(330°) = -1.73205
ctg(331°) = -1.80405
ctg(332°) = -1.88073
ctg(333°) = -1.96261
ctg(334°) = -2.0503
ctg(335°) = -2.14451
ctg(336°) = -2. 24604
ctg(337°) = -2.35585
ctg(338°) = -2.47509
ctg(339°) = -2.60509
ctg(340°) = -2.74748
ctg(341°) = -2.90421
ctg(342°) = -3.07768
ctg(343°) = -3.27085
ctg(344°) = -3.48741
ctg(345°) = -3.73205
ctg(346°) = -4.01078
ctg(347°) = -4.33148
ctg(348°) = -4.70463
ctg(349°) = -5.14455
ctg(350°) = -5.67128
ctg(351°) = -6.31375
ctg(352°) = -7.11537
ctg(353°) = -8.14435
ctg(354°) = -9.51436
ctg(355°) = -11.43005
ctg(356°) = -14.30067
ctg(357°) = -19.08114
ctg(358°) = -28.63625
ctg(359°) = -57.28996
ctg(360°) = ∞
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Внеклассный урок — Таблица котангенсов
ctg(1°)
57.29
ctg(2°)
28.6363
ctg(3°)
19.0811
ctg(4°)
14. 3007
ctg(5°)
11.4301
ctg(6°)
9.5144
ctg(7°)
8.1443
ctg(8°)
7.1154
ctg(9°)
6.3138
ctg(10°)
5.6713
ctg(11°)
5.1446
ctg(12°)
4.7046
ctg(13°)
4.3315
ctg(14°)
4.0108
ctg(15°)
3.7321
ctg(16°)
3.4874
ctg(17°)
3.2709
ctg(18°)
3.0777
ctg(19°)
2.9042
ctg(20°)
2.7475
ctg(21°)
2.6051
ctg(22°)
2.4751
ctg(23°)
2. 3559
ctg(24°)
2.246
ctg(25°)
2.1445
ctg(26°)
2.0503
ctg(27°)
1.9626
ctg(28°)
1.8807
ctg(29°)
1.804
ctg(30°)
1.7321
ctg(31°)
1.6643
ctg(32°)
1.6003
ctg(33°)
1.5399
ctg(34°)
1.4826
ctg(35°)
1.4281
ctg(36°)
1.3764
ctg(37°)
1.327
ctg(38°)
1.2799
ctg(39°)
1.2349
ctg(40°)
1.1918
ctg(41°)
1.1504
ctg(42°)
1. 1106
ctg(43°)
1.0724
ctg(44°)
1.0355
ctg(45°)
1
ctg(46°)
0.9657
ctg(47°)
0.9325
ctg(48°)
0.9004
ctg(49°)
0.8693
ctg(50°)
0.8391
ctg(51°)
0.8098
ctg(52°)
0.7813
ctg(53°)
0.7536
ctg(54°)
0.7265
ctg(55°)
0.7002
ctg(56°)
0.6745
ctg(57°)
0.6494
ctg(58°)
0.6249
ctg(59°)
0.6009
ctg(60°)
0.5774
ctg(61°)
0. 5543
ctg(62°)
0.5317
ctg(63°)
0.5095
ctg(64°)
0.4877
ctg(65°)
0.4663
ctg(66°)
0.4452
ctg(67°)
0.4245
ctg(68°)
0.404
ctg(69°)
0.3839
ctg(70°)
0.364
ctg(71°)
0.3443
ctg(72°)
0.3249
ctg(73°)
0.3057
ctg(74°)
0.2867
ctg(75°)
0.2679
ctg(76°)
0.2493
ctg(77°)
0.2309
ctg(78°)
0.2126
ctg(79°)
0.1944
ctg(80°)
0.1763
ctg(81°)
0.1584
ctg(82°)
0.1405
ctg(83°)
0.1228
ctg(84°)
0.1051
ctg(85°)
0.0875
ctg(86°)
0.0699
ctg(87°)
0.0524
ctg(88°)
0.0349
ctg(89°)
0.0175
ctg(90°)
0
ctg(91°)
-0.0175
ctg(92°)
-0.0349
ctg(93°)
-0.0524
ctg(94°)
-0.0699
ctg(95°)
-0.0875
ctg(96°)
-0.1051
ctg(97°)
-0.1228
ctg(98°)
-0.1405
ctg(99°)
-0.1584
ctg(100°)
-0.1763
ctg(101°)
-0.1944
ctg(102°)
-0.2126
ctg(103°)
-0.2309
ctg(104°)
-0.2493
ctg(105°)
-0.2679
ctg(106°)
-0.2867
ctg(107°)
-0.3057
ctg(108°)
-0.3249
ctg(109°)
-0.3443
ctg(110°)
-0.364
ctg(111°)
-0.3839
ctg(112°)
-0.404
ctg(113°)
-0.4245
ctg(114°)
-0.4452
ctg(115°)
-0.4663
ctg(116°)
-0.4877
ctg(117°)
-0.5095
ctg(118°)
-0.5317
ctg(119°)
-0.5543
ctg(120°)
-0.5774
ctg(121°)
-0.6009
ctg(122°)
-0.6249
ctg(123°)
-0.6494
ctg(124°)
-0.6745
ctg(125°)
-0.7002
ctg(126°)
-0.7265
ctg(127°)
-0.7536
ctg(128°)
-0.7813
ctg(129°)
-0.8098
ctg(130°)
-0.8391
ctg(131°)
-0.8693
ctg(132°)
-0.9004
ctg(133°)
-0.9325
ctg(134°)
-0.9657
ctg(135°)
-1
ctg(136°)
-1.0355
ctg(137°)
-1.0724
ctg(138°)
-1.1106
ctg(139°)
-1.1504
ctg(140°)
-1.1918
ctg(141°)
-1.2349
ctg(142°)
-1.2799
ctg(143°)
-1.327
ctg(144°)
-1.3764
ctg(145°)
-1.4281
ctg(146°)
-1.4826
ctg(147°)
-1.5399
ctg(148°)
-1.6003
ctg(149°)
-1.6643
ctg(150°)
-1.7321
ctg(151°)
-1.804
ctg(152°)
-1.8807
ctg(153°)
-1.9626
ctg(154°)
-2.0503
ctg(155°)
-2.1445
ctg(156°)
-2.246
ctg(157°)
-2.3559
ctg(158°)
-2.4751
ctg(159°)
-2.6051
ctg(160°)
-2.7475
ctg(161°)
-2.9042
ctg(162°)
-3.0777
ctg(163°)
-3.2709
ctg(164°)
-3.4874
ctg(165°)
-3.7321
ctg(166°)
-4.0108
ctg(167°)
-4.3315
ctg(168°)
-4.7046
ctg(169°)
-5.1446
ctg(170°)
-5.6713
ctg(171°)
-6.3138
ctg(172°)
-7.1154
ctg(173°)
-8.1443
ctg(174°)
-9.5144
ctg(175°)
-11.4301
ctg(176°)
-14.3007
ctg(177°)
-19.0811
ctg(178°)
-28.6363
ctg(179°)
-57.29
ctg(180°)
— ∞
Таблица котангенсов, найти котангенс угла
Тригонометрические функции – это соотношение катетов и гипотенузы угла в прямоугольном треугольнике. Это очень важно. Длина сторон может изменяться, но соотношение останется прежним. На этом основании были созданы таблицы Брадиса, в котором указаны синус, косинус, тангенс и котангенс угла.
Котангенс – это соотношение катетов угла прямоугольного треугольника. Записывается следующим образом: ctg (А) = АС/ВС, где АС – ближний к углу катет, ВС – противолежащий катет.
Все данные есть в таблице котангенсов угла. Зная угол и одну из сторон, можно получить остальные данные. Производить расчеты можно на сайте посредством онлайн-калькулятора. Утверждение: знаю угол – знаю его тригонометрические функции, верно во все времена.
Таблица котангенсов от 0° — 360°

ctg(1°) 57.29
ctg(2°) 28.6363
ctg(3°) 19.0811
ctg(4°) 14.3007
ctg(5°) 11.4301
ctg(6°) 9.5144
ctg(7°) 8.1443
ctg(8°) 7.1154
ctg(9°) 6.3138
ctg(10°) 5.6713
ctg(11°) 5.1446
ctg(12°) 4.7046
ctg(13°) 4.3315
ctg(14°) 4.0108
ctg(15°) 3.7321
ctg(16°) 3.4874
ctg(17°) 3.2709
ctg(18°) 3.0777
ctg(19°) 2.9042
ctg(20°) 2.7475
ctg(21°) 2.6051
ctg(22°) 2.4751
ctg(23°) 2.3559
ctg(24°) 2.246
ctg(25°) 2.1445
ctg(26°) 2.0503
ctg(27°) 1.9626
ctg(28°) 1.8807
ctg(29°) 1.804
ctg(30°) 1.7321
ctg(31°) 1.6643
ctg(32°) 1.6003
ctg(33°) 1.5399
ctg(34°) 1.4826
ctg(35°) 1.4281
ctg(36°) 1.3764
ctg(37°) 1.327
ctg(38°) 1.2799
ctg(39°) 1.2349
ctg(40°) 1.1918
ctg(41°) 1.1504
ctg(42°) 1.1106
ctg(43°) 1.0724
ctg(44°) 1.0355
ctg(45°) 1
ctg(46°) 0.9657
ctg(47°) 0.9325
ctg(48°) 0.9004
ctg(49°) 0.8693
ctg(50°) 0.8391
ctg(51°) 0.8098
ctg(52°) 0.7813
ctg(53°) 0.7536
ctg(54°) 0.7265
ctg(55°) 0.7002
ctg(56°) 0.6745
ctg(57°) 0.6494
ctg(58°) 0.6249
ctg(59°) 0.6009
ctg(60°) 0.5774
ctg(61°) 0.5543
ctg(62°) 0.5317
ctg(63°) 0.5095
ctg(64°) 0.4877
ctg(65°) 0.4663
ctg(66°) 0.4452
ctg(67°) 0.4245
ctg(68°) 0.404
ctg(69°) 0.3839
ctg(70°) 0.364
ctg(71°) 0.3443
ctg(72°) 0.3249
ctg(73°) 0.3057
ctg(74°) 0.2867
ctg(75°) 0.2679
ctg(76°) 0.2493
ctg(77°) 0.2309
ctg(78°) 0.2126
ctg(79°) 0.1944
ctg(80°) 0.1763
ctg(81°) 0.1584
ctg(82°) 0.1405
ctg(83°) 0.1228
ctg(84°) 0.1051
ctg(85°) 0.0875
ctg(86°) 0.0699
ctg(87°) 0.0524
ctg(88°) 0.0349
ctg(89°) 0.0175
ctg(90°) 0
ctg(91°) -0.0175
ctg(92°) -0.0349
ctg(93°) -0.0524
ctg(94°) -0.0699
ctg(95°) -0.0875
ctg(96°) -0.1051
ctg(97°) -0.1228
ctg(98°) -0.1405
ctg(99°) -0.1584
ctg(100°) -0.1763
ctg(101°) -0.1944
ctg(102°) -0.2126
ctg(103°) -0.2309
ctg(104°) -0.2493
ctg(105°) -0.2679
ctg(106°) -0.2867
ctg(107°) -0.3057
ctg(108°) -0.3249
ctg(109°) -0.3443
ctg(110°) -0.364
ctg(111°) -0.3839
ctg(112°) -0.404
ctg(113°) -0.4245
ctg(114°) -0.4452
ctg(115°) -0.4663
ctg(116°) -0.4877
ctg(117°) -0.5095
ctg(118°) -0.5317
ctg(119°) -0.5543
ctg(120°) -0.5774
ctg(121°) -0.6009
ctg(122°) -0.6249
ctg(123°) -0.6494
ctg(124°) -0.6745
ctg(125°) -0.7002
ctg(126°) -0.7265
ctg(127°) -0.7536
ctg(128°) -0.7813
ctg(129°) -0.8098
ctg(130°) -0.8391
ctg(131°) -0.8693
ctg(132°) -0.9004
ctg(133°) -0.9325
ctg(134°) -0.9657
ctg(135°) -1
ctg(136°) -1.0355
ctg(137°) -1.0724
ctg(138°) -1.1106
ctg(139°) -1.1504
ctg(140°) -1.1918
ctg(141°) -1.2349
ctg(142°) -1.2799
ctg(143°) -1.327
ctg(144°) -1.3764
ctg(145°) -1.4281
ctg(146°) -1.4826
ctg(147°) -1.5399
ctg(148°) -1.6003
ctg(149°) -1.6643
ctg(150°) -1.7321
ctg(151°) -1.804
ctg(152°) -1.8807
ctg(153°) -1.9626
ctg(154°) -2.0503
ctg(155°) -2.1445
ctg(156°) -2.246
ctg(157°) -2.3559
ctg(158°) -2.4751
ctg(159°) -2.6051
ctg(160°) -2.7475
ctg(161°) -2.9042
ctg(162°) -3.0777
ctg(163°) -3.2709
ctg(164°) -3.4874
ctg(165°) -3.7321
ctg(166°) -4.0108
ctg(167°) -4.3315
ctg(168°) -4.7046
ctg(169°) -5.1446
ctg(170°) -5.6713
ctg(171°) -6.3138
ctg(172°) -7.1154
ctg(173°) -8.1443
ctg(174°) -9.5144
ctg(175°) -11.4301
ctg(176°) -14.3007
ctg(177°) -19.0811
ctg(178°) -28.6363
ctg(179°) -57.29
ctg(180°) — ∞

ctg(181°) 57.29
ctg(182°) 28.6363
ctg(183°) 19.0811
ctg(184°) 14.3007
ctg(185°) 11.4301
ctg(186°) 9.5144
ctg(187°) 8.1443
ctg(188°) 7.1154
ctg(189°) 6.3138
ctg(190°) 5.6713
ctg(191°) 5.1446
ctg(192°) 4.7046
ctg(193°) 4.3315
ctg(194°) 4.0108
ctg(195°) 3.7321
ctg(196°) 3.4874
ctg(197°) 3.2709
ctg(198°) 3.0777
ctg(199°) 2.9042
ctg(200°) 2.7475
ctg(201°) 2.6051
ctg(202°) 2.4751
ctg(203°) 2.3559
ctg(204°) 2.246
ctg(205°) 2.1445
ctg(206°) 2.0503
ctg(207°) 1.9626
ctg(208°) 1.8807
ctg(209°) 1.804
ctg(210°) 1.7321
ctg(211°) 1.6643
ctg(212°) 1.6003
ctg(213°) 1.5399
ctg(214°) 1.4826
ctg(215°) 1.4281
ctg(216°) 1.3764
ctg(217°) 1.327
ctg(218°) 1.2799
ctg(219°) 1.2349
ctg(220°) 1.1918
ctg(221°) 1.1504
ctg(222°) 1.1106
ctg(223°) 1.0724
ctg(224°) 1.0355
ctg(225°) 1
ctg(226°) 0.9657
ctg(227°) 0.9325
ctg(228°) 0.9004
ctg(229°) 0.8693
ctg(230°) 0.8391
ctg(231°) 0.8098
ctg(232°) 0.7813
ctg(233°) 0.7536
ctg(234°) 0.7265
ctg(235°) 0.7002
ctg(236°) 0.6745
ctg(237°) 0.6494
ctg(238°) 0.6249
ctg(239°) 0.6009
ctg(240°) 0.5774
ctg(241°) 0.5543
ctg(242°) 0.5317
ctg(243°) 0.5095
ctg(244°) 0.4877
ctg(245°) 0.4663
ctg(246°) 0.4452
ctg(247°) 0.4245
ctg(248°) 0.404
ctg(249°) 0.3839
ctg(250°) 0.364
ctg(251°) 0.3443
ctg(252°) 0.3249
ctg(253°) 0.3057
ctg(254°) 0.2867
ctg(255°) 0.2679
ctg(256°) 0.2493
ctg(257°) 0.2309
ctg(258°) 0.2126
ctg(259°) 0.1944
ctg(260°) 0.1763
ctg(261°) 0.1584
ctg(262°) 0.1405
ctg(263°) 0.1228
ctg(264°) 0.1051
ctg(265°) 0.0875
ctg(266°) 0.0699
ctg(267°) 0.0524
ctg(268°) 0.0349
ctg(269°) 0.0175
ctg(270°) 0
ctg(271°) -0.0175
ctg(272°) -0.0349
ctg(273°) -0.0524
ctg(274°) -0.0699
ctg(275°) -0.0875
ctg(276°) -0.1051
ctg(277°) -0.1228
ctg(278°) -0.1405
ctg(279°) -0.1584
ctg(280°) -0.1763
ctg(281°) -0.1944
ctg(282°) -0.2126
ctg(283°) -0.2309
ctg(284°) -0.2493
ctg(285°) -0.2679
ctg(286°) -0.2867
ctg(287°) -0.3057
ctg(288°) -0.3249
ctg(289°) -0.3443
ctg(290°) -0.364
ctg(291°) -0.3839
ctg(292°) -0.404
ctg(293°) -0.4245
ctg(294°) -0.4452
ctg(295°) -0.4663
ctg(296°) -0.4877
ctg(297°) -0.5095
ctg(298°) -0.5317
ctg(299°) -0.5543
ctg(300°) -0.5774
ctg(301°) -0.6009
ctg(302°) -0.6249
ctg(303°) -0.6494
ctg(304°) -0.6745
ctg(305°) -0.7002
ctg(306°) -0.7265
ctg(307°) -0.7536
ctg(308°) -0.7813
ctg(309°) -0.8098
ctg(310°) -0.8391
ctg(311°) -0.8693
ctg(312°) -0.9004
ctg(313°) -0.9325
ctg(314°) -0.9657
ctg(315°) -1
ctg(316°) -1.0355
ctg(317°) -1.0724
ctg(318°) -1.1106
ctg(319°) -1.1504
ctg(320°) -1.1918
ctg(321°) -1.2349
ctg(322°) -1.2799
ctg(323°) -1.327
ctg(324°) -1.3764
ctg(325°) -1.4281
ctg(326°) -1.4826
ctg(327°) -1.5399
ctg(328°) -1.6003
ctg(329°) -1.6643
ctg(330°) -1.7321
ctg(331°) -1.804
ctg(332°) -1.8807
ctg(333°) -1.9626
ctg(334°) -2.0503
ctg(335°) -2.1445
ctg(336°) -2.246
ctg(337°) -2.3559
ctg(338°) -2.4751
ctg(339°) -2.6051
ctg(340°) -2.7475
ctg(341°) -2.9042
ctg(342°) -3.0777
ctg(343°) -3.2709
ctg(344°) -3.4874
ctg(345°) -3.7321
ctg(346°) -4.0108
ctg(347°) -4.3315
ctg(348°) -4.7046
ctg(349°) -5.1446
ctg(350°) -5.6713
ctg(351°) -6.3138
ctg(352°) -7.1154
ctg(353°) -8.1443
ctg(354°) -9.5144
ctg(355°) -11.4301
ctg(356°) -14.3007
ctg(357°) -19.0811
ctg(358°) -28.6363
ctg(359°) -57.29
ctg(360°) ∞
Смотрите также
Таблица котангенсов для школьников и студентов
Таблица котангенсов необходима для вычислений, связанных со значениями тригонометрических функций.
Легко запомнить, что значения ctg 0° = ctg 180° = ctg 360° = ∞,
а ctg 90° = ctg 270° = 0.
ctg 1° — ctg 90°
ctg 1° = 57.28996
ctg 2° = 28.63625
ctg 3° = 19.08114
ctg 4° = 14.30067
ctg 5° = 11.43005
ctg 6° = 9.51436
ctg 7° = 8.14435
ctg 8° = 7.11537
ctg 9° = 6.31375
ctg 10° = 5.67128
ctg 11° = 5.14455
ctg 12° = 4.70463
ctg 13° = 4.33148
ctg 14° = 4.01078
ctg 15° = 3.73205
ctg 16° = 3.48741
ctg 17° = 3.27085
ctg 18° = 3.07768
ctg 19° = 2.90421
ctg 20° = 2.74748
ctg 21° = 2.60509
ctg 22° = 2.47509
ctg 23° = 2.35585
ctg 24° = 2.24604
ctg 25° = 2.14451
ctg 26° = 2.05030
ctg 27° = 1.96261
ctg 28° = 1.88073
ctg 29° = 1.80405
ctg 30° = 1.73205
ctg 31° = 1.66428
ctg 32° = 1.60033
ctg 33° = 1.53986
ctg 34° = 1.48256
ctg 35° = 1.42815
ctg 36° = 1.37638
ctg 37° = 1.32704
ctg 38° = 1.27994
ctg 39° = 1.23490
ctg 40° = 1.19175
ctg 41° = 1.15037
ctg 42° = 1.11061
ctg 43° = 1.07237
ctg 44° = 1.03553
ctg 45° = 1.00000
ctg 46° = 0.96569
ctg 47° = 0.93252
ctg 48° = 0.90040
ctg 49° = 0.86929
ctg 50° = 0.83910
ctg 51° = 0.80978
ctg 52° = 0.78129
ctg 53° = 0.75355
ctg 54° = 0.72654
ctg 55° = 0.70021
ctg 56° = 0.67451
ctg 57° = 0.64941
ctg 58° = 0.62487
ctg 59° = 0.60086
ctg 60° = 0.57735
ctg 61° = 0.55431
ctg 62° = 0.53171
ctg 63° = 0.50953
ctg 64° = 0.48773
ctg 65° = 0.46631
ctg 66° = 0.44523
ctg 67° = 0.42447
ctg 68° = 0.40403
ctg 69° = 0.38386
ctg 70° = 0.36397
ctg 71° = 0.34433
ctg 72° = 0.32492
ctg 73° = 0.30573
ctg 74° = 0.28675
ctg 75° = 0.26795
ctg 76° = 0.24933
ctg 77° = 0.23087
ctg 78° = 0.21256
ctg 79° = 0.19438
ctg 80° = 0.17633
ctg 81° = 0.15838
ctg 82° = 0.14054
ctg 83° = 0.12278
ctg 84° = 0.10510
ctg 85° = 0.08749
ctg 86° = 0.06993
ctg 87° = 0.05241
ctg 88° = 0.03492
ctg 89° = 0.01746
ctg 90° = 0.00000
ctg 91° — ctg 180°
ctg 91° = -0.01746
ctg 92° = -0.03492
ctg 93° = -0.05241
ctg 94° = -0.06993
ctg 95° = -0.08749
ctg 96° = -0.10510
ctg 97° = -0.12278
ctg 98° = -0.14054
ctg 99° = -0.15838
ctg 100° = -0.17633
ctg 101° = -0.19438
ctg 102° = -0.21256
ctg 103° = -0.23087
ctg 104° = -0.24933
ctg 105° = -0.26795
ctg 106° = -0.28675
ctg 107° = -0.30573
ctg 108° = -0.32492
ctg 109° = -0.34433
ctg 110° = -0.36397
ctg 111° = -0.38386
ctg 112° = -0.40403
ctg 113° = -0.42447
ctg 114° = -0.44523
ctg 115° = -0.46631
ctg 116° = -0.48773
ctg 117° = -0.50953
ctg 118° = -0.53171
ctg 119° = -0.55431
ctg 120° = -0.57735
ctg 121° = -0.60086
ctg 122° = -0.62487
ctg 123° = -0.64941
ctg 124° = -0.67451
ctg 125° = -0.70021
ctg 126° = -0.72654
ctg 127° = -0.75355
ctg 128° = -0.78129
ctg 129° = -0.80978
ctg 130° = -0.83910
ctg 131° = -0.86929
ctg 132° = -0.90040
ctg 133° = -0.93252
ctg 134° = -0.96569
ctg 135° = -1.00000
ctg 136° = -1.03553
ctg 137° = -1.07237
ctg 138° = -1.11061
ctg 139° = -1.15037
ctg 140° = -1.19175
ctg 141° = -1.23490
ctg 142° = -1.27994
ctg 143° = -1.32704
ctg 144° = -1.37638
ctg 145° = -1.42815
ctg 146° = -1.48256
ctg 147° = -1.53986
ctg 148° = -1.60033
ctg 149° = -1.66428
ctg 150° = -1.73205
ctg 151° = -1.80405
ctg 152° = -1.88073
ctg 153° = -1.96261
ctg 154° = -2.05030
ctg 155° = -2.14451
ctg 156° = -2.24604
ctg 157° = -2.35585
ctg 158° = -2.47509
ctg 159° = -2.60509
ctg 160° = -2.74748
ctg 161° = -2.90421
ctg 162° = -3.07768
ctg 163° = -3.27085
ctg 164° = -3.48741
ctg 165° = -3.73205
ctg 166° = -4.01078
ctg 167° = -4.33148
ctg 168° = -4.70463
ctg 169° = -5.14455
ctg 170° = -5.67128
ctg 171° = -6.31375
ctg 172° = -7.11537
ctg 173° = -8.14435
ctg 174° = -9.51436
ctg 175° = -11.43005
ctg 176° = -14.30067
ctg 177° = -19.08114
ctg 178° = -28.63625
ctg 179° = -57.28996
ctg 180° = ∞
ctg 181° — ctg 270°
ctg 181° = 57.28996
ctg 182° = 28.63625
ctg 183° = 19.08114
ctg 184° = 14.30067
ctg 185° = 11.43005
ctg 186° = 9.51436
ctg 187° = 8.14435
ctg 188° = 7.11537
ctg 189° = 6.31375
ctg 190° = 5.67128
ctg 191° = 5.14455
ctg 192° = 4.70463
ctg 193° = 4.33148
ctg 194° = 4.01078
ctg 195° = 3.73205
ctg 196° = 3.48741
ctg 197° = 3.27085
ctg 198° = 3.07768
ctg 199° = 2.90421
ctg 200° = 2.74748
ctg 201° = 2.60509
ctg 202° = 2.47509
ctg 203° = 2.35585
ctg 204° = 2.24604
ctg 205° = 2.14451
ctg 206° = 2.05030
ctg 207° = 1.96261
ctg 208° = 1.88073
ctg 209° = 1.80405
ctg 210° = 1.73205
ctg 211° = 1.66428
ctg 212° = 1.60033
ctg 213° = 1.53986
ctg 214° = 1.48256
ctg 215° = 1.42815
ctg 216° = 1.37638
ctg 217° = 1.32704
ctg 218° = 1.27994
ctg 219° = 1.23490
ctg 220° = 1.19175
ctg 221° = 1.15037
ctg 222° = 1.11061
ctg 223° = 1.07237
ctg 224° = 1.03553
ctg 225° = 1.00000
ctg 226° = 0.96569
ctg 227° = 0.93252
ctg 228° = 0.90040
ctg 229° = 0.86929
ctg 230° = 0.83910
ctg 231° = 0.80978
ctg 232° = 0.78129
ctg 233° = 0.75355
ctg 234° = 0.72654
ctg 235° = 0.70021
ctg 236° = 0.67451
ctg 237° = 0.64941
ctg 238° = 0.62487
ctg 239° = 0.60086
ctg 240° = 0.57735
ctg 241° = 0.55431
ctg 242° = 0.53171
ctg 243° = 0.50953
ctg 244° = 0.48773
ctg 245° = 0.46631
ctg 246° = 0.44523
ctg 247° = 0.42447
ctg 248° = 0.40403
ctg 249° = 0.38386
ctg 250° = 0.36397
ctg 251° = 0.34433
ctg 252° = 0.32492
ctg 253° = 0.30573
ctg 254° = 0.28675
ctg 255° = 0.26795
ctg 256° = 0.24933
ctg 257° = 0.23087
ctg 258° = 0.21256
ctg 259° = 0.19438
ctg 260° = 0.17633
ctg 261° = 0.15838
ctg 262° = 0.14054
ctg 263° = 0.12278
ctg 264° = 0.10510
ctg 265° = 0.08749
ctg 266° = 0.06993
ctg 267° = 0.05241
ctg 268° = 0.03492
ctg 269° = 0.01746
ctg 270° = 0.00000
ctg 271° — ctg 360°
ctg 271° = -0.01746
ctg 272° = -0.03492
ctg 273° = -0.05241
ctg 274° = -0.06993
ctg 275° = -0.08749
ctg 276° = -0.10510
ctg 277° = -0.12278
ctg 278° = -0.14054
ctg 279° = -0.15838
ctg 280° = -0.17633
ctg 281° = -0.19438
ctg 282° = -0.21256
ctg 283° = -0.23087
ctg 284° = -0.24933
ctg 285° = -0.26795
ctg 286° = -0.28675
ctg 287° = -0.30573
ctg 288° = -0.32492
ctg 289° = -0.34433
ctg 290° = -0.36397
ctg 291° = -0.38386
ctg 292° = -0.40403
ctg 293° = -0.42447
ctg 294° = -0.44523
ctg 295° = -0.46631
ctg 296° = -0.48773
ctg 297° = -0.50953
ctg 298° = -0.53171
ctg 299° = -0.55431
ctg 300° = -0.57735
ctg 301° = -0.60086
ctg 302° = -0.62487
ctg 303° = -0.64941
ctg 304° = -0.67451
ctg 305° = -0.70021
ctg 306° = -0.72654
ctg 307° = -0.75355
ctg 308° = -0.78129
ctg 309° = -0.80978
ctg 310° = -0.83910
ctg 311° = -0.86929
ctg 312° = -0.90040
ctg 313° = -0.93252
ctg 314° = -0.96569
ctg 315° = -1.00000
ctg 316° = -1.03553
ctg 317° = -1.07237
ctg 318° = -1.11061
ctg 319° = -1.15037
ctg 320° = -1.19175
ctg 321° = -1.23490
ctg 322° = -1.27994
ctg 323° = -1.32704
ctg 324° = -1.37638
ctg 325° = -1.42815
ctg 326° = -1.48256
ctg 327° = -1.53986
ctg 328° = -1.60033
ctg 329° = -1.66428
ctg 330° = -1.73205
ctg 331° = -1.80405
ctg 332° = -1.88073
ctg 333° = -1.96261
ctg 334° = -2.05030
ctg 335° = -2.14451
ctg 336° = -2.24604
ctg 337° = -2.35585
ctg 338° = -2.47509
ctg 339° = -2.60509
ctg 340° = -2.74748
ctg 341° = -2.90421
ctg 342° = -3.07768
ctg 343° = -3.27085
ctg 344° = -3.48741
ctg 345° = -3.73205
ctg 346° = -4.01078
ctg 347° = -4.33148
ctg 348° = -4.70463
ctg 349° = -5.14455
ctg 350° = -5.67128
ctg 351° = -6.31375
ctg 352° = -7.11537
ctg 353° = -8.14435
ctg 354° = -9.51436
ctg 355° = -11.43005
ctg 356° = -14.30067
ctg 357° = -19.08114
ctg 358° = -28.63625
ctg 359° = -57.28996
ctg 360° = ∞
Коротко о важном

Таблицы

Формулы

Формулы по геометрии

Теория по математике

Табличные значения синуса 30, 45, 60 градусов.

Подготовка к контрольной работе по геометрии 8 класса.

Теорема о вписанном угле.

Таблица умножения (от 1 до 10).

Расширенная таблица умножения (от 1 до 20).

Таблица квадратов (от 1 до 10).

Таблица кубов (от 1 до 10).

Таблица степеней (от 1 до 10).

Таблица факториалов (от 1 до 10).

Таблица Брадиса (с уточнениями).

Таблица синусов.

Таблица косинусов.

Таблица тангенсов.

Таблица котангенсов.

Таблица тригонометрических функций.

Таблица натуральных логарифмов.

Таблица десятичных логарифмов.

Таблица логарифмов по основанию.

Формулы сокращённого умножения (2, 3, 4 и n-ой степеней).

Формулы и свойства степеней.

Формулы и свойства корней.

Формулы и свойства логарифмов.

Формулы и свойства арифметической прогрессии.

Формулы и свойства геометрической прогрессии.

Тригонометрические формулы.

Обратные тригонометрические функции.

Площади фигур.

Объёмы фигур.

Периметры фигур.

Площади поверхностей фигур.

Правильный многоугольник.

Треугольник.

Теорема Пифагора.

Натуральные числа.

Таблица котангенсов.

детская кроватка (20 °) = 2,74748
детская кроватка (21 °) = 2,60509
детская кроватка (22 °) = 2,47509
детская кроватка (23 °) = 2,35585
детская кроватка (24 °) = 2,24604
детская кроватка (25 °) = 2,14451
детская кроватка (26 °) = 2,0503
детская кроватка (27 °) = 1,96261
детская кроватка (28 °) = 1,88073
детская кроватка (29 °) = 1,80405
детская кроватка (30 °) = 1,73205
детская кроватка (31 °) = 1,66428
детская кроватка ( 32 °) = 1,60033
детская кроватка (33 °) = 1,53986
детская кроватка (34 °) = 1,48256
детская кроватка (35 °) = 1,42815
детская кроватка (36 °) = 1,37638
детская кроватка (37 °) = 1,32704
детская кроватка (38 ° ) = 1,27994
детская кроватка (39 °) = 1,2349
детская кроватка (40 °) = 1.19175
детская кроватка (41 °) = 1,15037
детская кроватка (42 °) = 1,11061
детская кроватка (43 °) = 1,07237
детская кроватка (44 °) = 1,03553
детская кроватка (45 °) = 1
детская кроватка (46 °) = 0,96569
детская кроватка (47 °) = 0,
детская кроватка (48 °) = 0,9004
детская кроватка (49 °) = 0,86929
детская кроватка (50 °) = 0,8391
детская кроватка (51 °) = 0,80978
детская кроватка (52 °) = 0,78129
детская кроватка ( 53 °) = 0,75355
детская кроватка (54 °) = 0,72654
детская кроватка (55 °) = 0,70021
детская кроватка (56 °) = 0,67451
детская кроватка (57 °) = 0,64941
детская кроватка (58 °) = 0,62487
детская кроватка (59 ° ) = 0,60086
детская кроватка (60 °) = 0,57735

детская кроватка (162 °) = -3,07768
детская кроватка (163 °) = -3,27085
детская кроватка (164 °) = -3,48741
детская кроватка (165 °) = -3,73205
детская кроватка (166 °) = -4,01078
детская кроватка (167 °) = -4,33148
детская кроватка (168 °) = -4,70463
детская кроватка (169 °) = -5,14455
детская кроватка (170 °) = -5,67128
детская кроватка (171 °) = -6,31375
детская кроватка (172 °) = -7,11537
детская кроватка (173 °) = -8,14435
детская кроватка (174 °) = -9,51436
детская кроватка (175 °) = -11,43005
детская кроватка (176 ° ) = -14,30067
детская кроватка (177 °) = -19,08114
детская кроватка (178 °) = -28.63625
детская кроватка (179 °) = -57,28996
детская кроватка (180 °) = ∞
детская кроватка (0 °) = ∞
детская кроватка (1 °) = 57,28996
детская кроватка (2 °) = 28,63625
детская кроватка (3 °) = 19,08114
детская кроватка (4 °) = 14,30067
детская кроватка (5 °) = 11,43005
детская кроватка (6 °) = 9,51436
детская кроватка (7 °) = 8,14435
детская кроватка (8 °) = 7,11537
детская кроватка (9 °) = 6,31375
детская кроватка (10 °) = 5,67128
детская кроватка (11 °) = 5,14455
детская кроватка ( 12 °) = 4,70463
детская кроватка (13 °) = 4,33148
детская кроватка (14 °) = 4,01078
детская кроватка (15 °) = 3,73205
детская кроватка (16 °) = 3,48741
детская кроватка (17 °) = 3,27085
детская кроватка (18 ° ) = 3,07768
детская кроватка (19 °) = 2. детская кроватка (61 °) = 0.55431
детская кроватка (62 °) = 0,53171
детская кроватка (63 °) = 0,50953
детская кроватка (64 °) = 0,48773
детская кроватка (65 °) = 0,46631
детская кроватка (66 °) = 0,44523
детская кроватка (67 °) = 0,42447
детская кроватка (68 °) = 0,40403
детская кроватка (69 °) = 0,38386
детская кроватка (70 °) = 0,36397
детская кроватка (71 °) = 0,34433
детская кроватка (72 °) = 0,32492
детская кроватка (73 °) = 0,30573
детская кроватка ( 74 °) = 0,28675
детская кроватка (75 °) = 0,26795
детская кроватка (76 °) = 0,24933
детская кроватка (77 °) = 0,23087
детская кроватка (78 °) = 0,21256
детская кроватка (79 °) = 0,19438
детская кроватка (80 ° ) = 0,17633
детская кроватка (81 °) = 0,15838
детская кроватка (82 °) = 0.14054
детская кроватка (83 °) = 0,12278
детская кроватка (84 °) = 0,1051
детская кроватка (85 °) = 0,08749
детская кроватка (86 °) = 0,06993
детская кроватка (87 °) = 0,05241
детская кроватка (88 °) = 0,03492
детская кроватка (89 °) = 0,01746
детская кроватка (90 °) = 0
детская кроватка (91 °) = -0,01746
детская кроватка (92 °) = -0,03492
детская кроватка (93 °) = -0,05241
детская кроватка (94 °) = — 0,06993
детская кроватка (95 °) = -0,08749
детская кроватка (96 °) = -0,1051
детская кроватка (97 °) = -0,12278
детская кроватка (98 °) = -0,14054
детская кроватка (99 °) = -0,15838
детская кроватка (100 °) = -0,17633
детская кроватка (101 °) = -0,19438
детская кроватка (102 °) = -0.21256
детская кроватка (103 °) = -0,23087
детская кроватка (104 °) = -0,24933
детская кроватка (105 °) = -0,26795
детская кроватка (106 °) = -0,28675
детская кроватка (107 °) = -0,30573
детская кроватка (108 °) = -0,32492
детская кроватка (109 °) = -0,34433
детская кроватка (110 °) = -0,36397
детская кроватка (111 °) = -0,38386
детская кроватка (112 °) = -0,40403
детская кроватка (113 °) = -0,42447
детская кроватка (114 °) = -0,44523
детская кроватка (115 °) = -0,46631
детская кроватка (116 °) = -0,48773
детская кроватка (117 °) = -0,50953
детская кроватка (118 °) = -0,53171
детская кроватка (119 ° ) = -0,55431
детская кроватка (120 °) = -0,57735
детская кроватка (121 °) = -0.60086
детская кроватка (122 °) = -0,62487
детская кроватка (123 °) = -0,64941
детская кроватка (124 °) = -0,67451
детская кроватка (125 °) = -0,70021
детская кроватка (126 °) = -0,72654
детская кроватка (127 °) = -0,75355
детская кроватка (128 °) = -0,78129
детская кроватка (129 °) = -0,80978
детская кроватка (130 °) = -0,8391
детская кроватка (131 °) = -0,86929
детская кроватка (132 °) = -0,9004
детская кроватка (133 °) = -0,
детская кроватка (134 °) = -0,96569
детская кроватка (135 °) = -1
детская кроватка (136 °) = -1,03553
детская кроватка (137 °) = -1,07237
детская кроватка (138 ° ) = -1,11061
детская кроватка (139 °) = -1,15037
детская кроватка (140 °) = -1.19175
детская кроватка (141 °) = -1,2349
детская кроватка (142 °) = -1,27994
детская кроватка (143 °) = -1,32704
детская кроватка (144 °) = -1,37638
детская кроватка (145 °) = -1,42815
детская кроватка (146 °) = -1,48256
детская кроватка (147 °) = -1,53986
детская кроватка (148 °) = -1,60033
детская кроватка (149 °) = -1,66428
детская кроватка (150 °) = -1,73205
детская кроватка (151 °) = -1,80405
детская кроватка (152 °) = -1,88073
детская кроватка (153 °) = -1,96261
детская кроватка (154 °) = -2,0503
детская кроватка (155 °) = -2,14451
детская кроватка (156 °) = -2,24604
детская кроватка (157 ° ) = -2,35585
детская кроватка (158 °) = -2,47509
детская кроватка (159 °) = -2.60509
детская кроватка (160 °) = -2,74748
детская кроватка (161 °) = -2,
Тригонометрические таблицы
Тригонометрический Столы
(Математика | Триггер | Таблицы)
PI = 3.141592 … (примерно 22/7 = 3,1428)
радианы = градусы x PI / 180 (преобразование градуса в рад)
градусы = радианы x 180 / PI (преобразование рад в градус)

Рад градусов Грех Cos Желто-коричневый Csc сек Детская кроватка
.0000 00 .0000 1,0000 .0000 —— 1,0000 —— 90 1,5707
.0175 01 .0175 .9998 .0175 57.2987 1.0002 57.2900 89 1,5533
0,0349 02 0,0349 .9994 0,0349 28,6537 1.0006 28,6363 88 1,5359
.0524 03 . 0523 .9986 .0524 19.1073 1,0014 19.0811 87 1,5184
0,0698 04 . 0698 .9976 .0699 14.3356 1,0024 14,3007 86 1,5010
.0873 05 . 0872 .9962 . 0875 11,4737 1.0038 11.4301 85 1.4835
. 1047 06 . 1045 .9945 . 1051 9,5668 1,0055 9.5144 84 1,4661
. 1222 07 . 1219 .9925 . 1228 8.2055 1,0075 8,1443 83 1.4486
. 1396 08 . 1392 . 9903 .1405 7,1853 1,0098 7,1154 82 1.4312
.1571 09 . 1564 . 9877 . 1584 6.3925 1.0125 6.3138 81 1,4137
. 1745 10 .1736 . 9848 . 1763 5,7588 1.0154 5,6713 80 1,3953
.1920 11 . 1908 .9816 . 1944 5.2408 1.0187 5.1446 79 1,3788
. 2094 12 . 2079 .9781 .2126 4,8097 1.0223 4,7046 78 1,3614
. 2269 13 . 2250 . 9744 . 2309 4.4454 1.0263 4,3315 77 1,3439
. 2443 14 . 2419 . 9703 . 2493 4,1336 1.0306 4,0108 76 1,3265
. 2618 15 . 2588 . 9659 ,2679 3,8637 1.0353 3.7321 75 1,3090
. 2793 16 ,2756 . 9613 . 2867 3.6280 1.0403 3,4874 74 1.2915
,2967 17 ,2924 . 9563 . 3057 3,4203 1.0457 3,2709 73 1,2741
.3142 18 .3090 .9511 ,3249 3,2361 1.0515 3,0777 72 1,2566
.3316 19 .3256 . 9455 . 3443 3,0716 1,0576 2,9042 71 1,2392
. 3491 20 . 3420 .9397 ,3640 2,9238 1.0642 2,7475 70 1,2217
,3665 21 .3584 . 9336 .3839 2,7904 1.0711 2,6051 69 1,2043
,3840 22 .3746 . 9272 . 4040 2.6695 1.0785 2,4751 68 1,1868
. 4014 23 .3907 . 9205 . 4245 2,5593 1.0864 2,3559 67 1,1694
. 4189 24 . 4067 . 9135 . 4452 2.4586 1.0946 2.2460 66 1,1519
.4363 25 . 4226 .9063 . 4663 2,3662 1,1034 2,1445 65 1.1345
. 4538 26 . 4384 .8988 . 4877 2,2812 1,1126 2,0503 64 1,1170
.4712 27 . 4540 .8910 . 5095 2,2027 1,1223 1,9626 63 1.0996
. 4887 28 .4695 . 8829 . 5317 2,1301 1,1326 1,8807 62 1.0821
. 5061 29 . 4848 .8746 .5543 2,0627 1,1434 1,8040 61 1.0647
. 5236 30 . 5000 . 8660 .5774 2,0000 1,1547 1,7321 60 1.0472
. 5411 31 .5150 . 8572 . 6009 1.9416 1,1666 1,6643 59 1.0297
.5585 32 . 5299 .8480 . 6249 1.8871 1.1792 1,6003 58 1.0123
. 5760 33 . 5446 . 8387 .6494 1,8361 1,1924 1.5399 57 .9948
.5934 34 .5592 . 8290 .6745 1,7883 1,2062 1.4826 56 .9774
. 6109 35 . 5736 . 8192 . 7002 1.7434 1,2208 1,4281 55 . 9599
.6283 36 . 5878 .8090 . 7265 1,7013 1,2361 1,3764 54 .9425
. 6458 37 .6018 .7986 . 7536 1,6616 1,2521 1,3270 53 . 9250
.6632 38 . 6157 .7880 . 7813 1,6243 1,2690 1,2799 52 .9076
. 6807 39 . 6293 . 7771 .8098 1,5890 1,2868 1,2349 51 . 8901
. 6981 40 .6428 .7660 . 8391 1.5557 1,3054 1,1918 50 . 8727
. 7156 41 .6561 . 7547 . 8693 1,5243 1.3250 1,1504 49 . 8552
0,7330 42 .6691 . 7431 .9004 1.4945 1,3456 1.1106 48 . 8378
. 7505 43 .6820 . 7314 . 9325 1,4663 1,3673 1.0724 47 .8203
. 7679 44 . 6947 . 7193 . 9657 1,4396 1,3902 1.0355 46 .8029
.7854 45 . 7071 . 7071 1,0000 1,4142 1,4142 1,0000 45 . 7854
COs Грех Детская кроватка сек CSC Желто-коричневый градусов Рад
Те, в знаменателе которых стоит ноль, не определены.Они включены исключительно для демонстрации рисунка.
Калькулятор Arctan. Найти арктангенс
Воспользуйтесь этим калькулятором арктангенса, чтобы быстро найти арктангенс. Ищете ли вы простой ответ на вопрос «что такое арктан?» или вам интересно узнать об интегральном или производном от arctan, вы попали в нужное место.Ниже вы также найдете график arctan, а также аккуратную таблицу с часто используемыми значениями, такими как arctan (1) и arctan (0). Кроме того, вы можете просто ввести интересующее значение в этот инструмент, и вы найдете ответ в мгновение ока.
Заинтересованы в более продвинутой тригонометрии? Ознакомьтесь с нашими калькуляторами закона синусов и закона косинусов, если вам нужно решить треугольники.
Что такое арктан?
Арктангенс — это функция, обратная касательной. Проще говоря, мы используем arctan, когда хотим найти угол, для которого нам известно значение тангенса.
Однако, в самом строгом смысле, поскольку касательная является периодической тригонометрической функцией, у нее нет обратной функции. Тем не менее, мы можем определить обратную функцию, если ограничим область до интервала, в котором функция является монотонной. Обычно выбираемый интервал -π / 2
рэнд
Сокращение Определение Домен арктана x Диапазон обычных
основных значений
arctan (x)
tan ^-1 x,
atan х = загар (у) все действительные числа -π / 2 -90 °
Использование условного обозначения tan ^-1 x может привести к путанице в отношении разницы между арктангенсом и котангенсом.Оказывается, арктан и детская кроватка — разные вещи:
cot (x) = 1 / tan (x) , поэтому котангенс в основном является обратной величиной тангенса или, другими словами, мультипликативной обратной величиной
arctan (x) — угол, тангенс которого равен x
Надеемся, что теперь вы не сомневаетесь в том, что арктан и котан разные. Чтобы избежать дальнейших недоразумений, вы можете использовать арктангенс (x), а не загар ^-1 x нотацию .
График Arctan
Ограничивая область определения главной касательной функции, мы получаем арктангенс, который изменяется исключительно от −π / 2 до π / 2 радиан.Однако область определения функции арктангенса — это все действительные числа. Тогда график выглядит следующим образом:
График Обычно используемые значения
x арктан (х)
рад °
-∞ -π / 2 -90 °
-3 -1.2490 -71,565 °
-2 -1,1071 -63,435 °
-√3 -π / 3 -60 °
-1 -π / 4 -45 °
-√3 / 3 -π / 6 -30 °
0 0 0 °
√3 / 3 π / 6 30 °
1 π / 4 45 °
√3 π / 3 60 °
2 1.1071 63,435 °
3 1,2490 71,565 °
∞ π / 2 90 °
Как создается этот арктановый граф? Отражая tan (x) в диапазоне (-π / 2 π / 2) через линию y = x.Вы также можете посмотреть на это как на замену горизонтальной и вертикальной осей:
Свойства Arctan, отношения с тригонометрическими функциями, интеграл и производная от arctan
Отношения в тригонометрии имеют решающее значение для более глубокого понимания этой темы. Изучение прямоугольного треугольника с длинами сторон 1 и x является хорошей отправной точкой, если вы хотите найти отношения между arctan и основными тригонометрическими функциями:
Синус: sin (arctan (x)) = x / √ (1 + x²)
Косинус: cos (arctan (x)) = 1 / √ (1 + x²)
Касательная: tan (arctan (x)) = x
Другие полезные отношения с арктангенсом:
arctan (x) = π / 2 - arccot (x)
арктан (-x) = -арктан (x)
arcsin (x) = arctan (x / √ (1 - x²))
интеграл от arctan: arctan (x) dx = x arctan (x) - (1/2) ln (1 + x²) + C
производное арктана: d / dx arctan (x) = 1 / (1 + x²) , где x ≠ -i, i
arctan (x) + arctan (1 / x) = π / 2 , для x> 0 и arctan (x) + arctan (1 / x) = -π / 2 , для x <0
Первое уравнение легко доказать, исходя из свойств прямоугольного треугольника с длинами сторон 1 и x, поскольку мы прекрасно знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 °.Вычитая прямой угол, равный 90 °, мы получаем два непрямых угла, которые в сумме должны составлять 90 °. Таким образом, мы можем записать углы как arctan (x) и arctan (1 / x).
Калькулятор Arctan — как пользоваться
Это действительно один из самых простых в использовании калькуляторов! Просто введите номер , по которому вы хотите найти арктан . Поскольку домен arctan — это все вещественные числа, вам не о чем беспокоиться. Допустим, мы хотим найти арктангенс 1. Просто введите число, и калькулятор арктангенса отобразит результат .Как мы и ожидали, арктангенс 1 равен 45 °. Этот калькулятор арктангенса работает и в обратном направлении, то есть как стандартный калькулятор тангенса — введите угол во второе поле, и появится тангенс этого угла.
cos 65 | cos 65 градусов
Что такое cos 65?
Значение Cos 65 градусов = 0,4226182617407
Значение Cos 65 радиан = -0,56245385123817
Значение 65 градусов в радианах = 1,1344640137963
Значение 65 радиан в градусах = 3724.2256683504
Вычислить точное значение косинуса 65 градусов
65
Тангенс к котангенсу эквивалентен делению 1 на тангенс.
Следовательно,
0,00737621365 касательная к котангенсу = 1 / 0,00737621365
= 135.570
Что такое cos
Другие преобразования косинусов
Cosh 65 градусов = 8,4744462220517E + 27. Примечание: Cosh означает гиперболический косинус.
acosh 65 градусов = 4,8674752736053. Примечание: acosh означает обратный гиперболический косинус.
acos 65 градусов = NAN.Примечание: acos означает арккосинус.
косинус 30 дробь
косинус 30 дробь = 422,6182617407 / 1000
косинус 65 к синусу
= 0.4226182617407 в синусоиде
= 0,0073760132620899
косинус 65 к котангенсу
= 0,4226182617407 по касательной
= 0,007376213
951
Как вычислить косинус 65 в радианах или точное значение косинуса 65 градусов
При вычислении точного значения косинуса 65 в радианах или точного значения косинуса 65 градусов вы используете инструмент вычисления выше, чтобы получить преобразование, или вы используете предоставленные формулы, чтобы вычислить себя математически. Вы также можете вычислить другие числовые значения углов, используя калькулятор выше, и ввести любое значение, которое хотите вычислить.
что такое Cosh
Ответ: Cosh — это гиперболический косинус, математическая функция с обозначением cosh (x).cosh числа можно рассчитать с помощью вышеуказанного инструмента.
Как вычислить cosh (x) без вычисления?
Ответ: Вы вычисляете cosh (x), используя эту формулу cosh (x) = (e ^x + e ^-x) / 2, чтобы решить это самостоятельно, или легко используйте инструмент выше
что такое ACosh?
Ответ: ACosh — это обратный гиперболический косинус, математическая функция с обозначением acosh (x). Акошу числа можно рассчитать с помощью инструмента, описанного выше.
Как рассчитать acosh (x) по формуле
Ответ: Расчет ACosh (x) по формуле выполняется путем получения обратной величины cosh, которая равна ACosh (x) = 1 / ((e ^x + e ^-x) / 2)
Как рассчитать acos (x) по формуле
Ответ: Расчет acos (x) по формуле выполняется с использованием формулы Арккосинуса, которая равна acos (x) = Арккосинус x в радианах, 2 * pi / 3
Формула и уравнение для радианов с точностью до градуса
Ответ: 1 радиан >> 1 радиан = 180 / пи
Формула и уравнение для градусов в радианах
Ответ: 1 градус >> 1 градус = пи / 180.Например, 200 градусов до радиана = 200 x пи / 180 >> 10pi / 9 >> = 3,49 радиана
Что такое радианы?
Ответ: Радиан — стандартная единица измерения угла, используемая в различных областях математики. Длина дуги окружности равна измеренному в радианах углу, который она окружает; один радиан составляет чуть менее 57,3 градуса (когда длина дуги равна радиусу; расширение в OEIS A072097). Единица радиан ранее была дополнительной единицей СИ.но это было отменено в 1995 году, и теперь радиан считается производной единицей СИ. 2 радиана равны 360 градусам. Это означает, что 1 радиан = 180 / градус, а 1 градус = / 180 радиан
.
Что такое степень?
Градус, который обозначается полностью как градус дуги, градус дуги или градус дуги, обычно обозначаемый символом °, представляет собой измерение плоского угла, определяемого таким образом, что полный поворот составляет 360 градусов. Это не единица СИ, потому что единицей измерения угла СИ является радиан, но она используется в брошюре СИ как единица измерения, поскольку полный оборот равен 2π радиан, один градус эквивалентен π / 180 радиан.
Если вы обнаружите ошибку на этом сайте, мы будем благодарны, если вы сообщите нам об этом, используя предоставленный контактный адрес электронной почты. отправьте электронное письмо в контакт на нашем сайте.
Далее Назад
Раздел 4.3: Тригонометрия прямоугольного треугольника
Результаты обучения
Используйте прямоугольные треугольники для вычисления тригонометрических функций.
Найдите значения функции для 30 ° (π / 6), 45 ° (π / 4) и 60 ° (π / 3).
Используйте функции дополнительных углов.
Используйте определения тригонометрических функций любого угла.
Используйте тригонометрию прямоугольного треугольника для решения прикладных задач.
Использование прямоугольных треугольников для вычисления тригонометрических функций
В предыдущих разделах мы использовали единичный круг для определения тригонометрических функций . В этом разделе мы расширим эти определения, чтобы применить их к прямоугольным треугольникам. Значение функции синуса или косинуса [latex] t [/ latex] — это его значение в [latex] t [/ latex] радианах.Во-первых, нам нужно создать наш прямоугольный треугольник. На рисунке 1 показана точка на единичной окружности радиуса 1. Если мы опустим вертикальный отрезок из точки [latex] \ left (x, y \ right) \\ [/ latex] на ось x , у нас есть прямоугольный треугольник, вертикальная сторона которого имеет длину [латекс] y [/ латекс], а горизонтальная сторона имеет длину [латекс] x [/ латекс]. Мы можем использовать этот прямоугольный треугольник, чтобы переопределить синус, косинус и другие тригонометрические функции как отношения сторон прямоугольного треугольника.
Рисунок 1
Мы знаем
[латекс] \ cos t = \ frac {x} {1} = x [/ латекс]
Точно так же мы знаем
[латекс] \ sin t = \ frac {y} {1} = y [/ латекс]
Эти соотношения по-прежнему применяются к сторонам прямоугольного треугольника, когда не используется единичный круг, и когда треугольник находится не в стандартном положении и не отображается на графике с использованием координат [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] .Чтобы иметь возможность свободно использовать эти соотношения, мы дадим сторонам более общие имена: вместо [latex] x [/ latex] мы будем называть сторону между заданным углом и прямым углом смежной стороной к углу [ латекс] т [/ латекс]. (Соседний означает «рядом с.») Вместо [латекс] y [/ латекс] мы будем называть сторону, наиболее удаленную от данного угла, противоположной стороной под углом [латекс] t [/ латекс]. И вместо [latex] 1 [/ latex] назовем сторону прямоугольного треугольника, противоположную прямому углу, гипотенузой .Эти стороны обозначены на Рисунке 2.
Рисунок 2. Стороны прямоугольного треугольника относительно угла [латекс] t [/ латекс].
Понимание отношений правого треугольника
Дан прямоугольный треугольник с острым углом [латекс] т [/ латекс],
[латекс] \ begin {align} & \ sin \ left (t \ right) = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}} & \ csc \ left (t \ right) = \ frac { \ text {гипотенуза}} {\ text {напротив}} \\ & \ cos \ left (t \ right) = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} & \ sec \ left (t \ справа) = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {смежный}} \\ & \ tan \ left (t \ right) = \ frac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}} & \ cot \ left (t \ right) = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {противоположный}} \ end {align} [/ latex]
Распространенным мнемоническим символом для запоминания этих отношений является SohCahToa, образованный из первых букв « S ine is o pposite over h ypotenuse, C osine a djacent over h ypotenuse, ypotenuse, angent — o pposite over a djacent.”
Как сделать: учитывая длины сторон прямоугольного треугольника и один из острых углов, найдите синус, косинус и тангенс этого угла.
Найдите синус как отношение противоположной стороны к гипотенузе
Найдите косинус как отношение смежной стороны к гипотенузе.
Найдите касательную — это отношение противоположной стороны к прилегающей.
Пример 1: Вычисление тригонометрической функции прямоугольного треугольника
Дайте треугольнику, показанному на рисунке 3, найдите значение [latex] \ cos \ alpha [/ latex].
Рисунок 3
Показать решение
Сторона, прилегающая к углу, равна 15, а гипотенуза треугольника равна 17, поэтому:
[латекс] \ begin {align} \ cos \ left (\ alpha \ right) = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {15} {17} \ end {align} [/ латекс]
Попробуйте
Для треугольника, показанного на рисунке 4, найдите значение [latex] \ text {sin} t [/ latex].
Рисунок 4
Показать решение
[латекс] \ frac {7} {25} [/ латекс]
Взаимосвязь углов и их функций
При работе с прямоугольными треугольниками применяются одни и те же правила независимо от ориентации треугольника.Фактически, мы можем оценить шесть тригонометрических функций любого из двух острых углов в треугольнике на рисунке 5. Сторона, противоположная одному острому углу, является стороной, смежной с другим острым углом, и наоборот.
Рис. 5. Сторона, прилегающая к одному углу, противоположна другой.
Нас попросят найти все шесть тригонометрических функций для заданного угла в треугольнике. Наша стратегия — сначала найти синус, косинус и тангенс углов. Затем мы можем легко найти другие тригонометрические функции, потому что мы знаем, что величина, обратная синусу, является косекансной, обратная величина косинуса — секущей, а обратная величина касательной — котангенсом.
Как сделать: учитывая длины сторон прямоугольного треугольника, вычислите шесть тригонометрических функций одного из острых углов.
При необходимости нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте полученный угол.
Определите угол, прилегающую сторону, сторону, противоположную углу, и гипотенузу прямоугольного треугольника.
Найдите нужную функцию:
синус как отношение противоположной стороны к гипотенузе
Косинус как отношение смежной стороны к гипотенузе
касательная как отношение противоположной стороны к соседней стороне
секанс как отношение гипотенузы к смежной стороне
косеканс как отношение гипотенузы к противоположной стороне
котангенс как отношение соседней стороны к противоположной
Пример 2: Оценка тригонометрических функций углов, отличных от стандартного положения
Используя треугольник, показанный на рисунке 6, оцените [latex] \ sin \ alpha [/ latex], [latex] \ cos \ alpha [/ latex], [latex] \ tan \ alpha [/ latex], [latex] \ sec \ alpha [/ latex], [latex] \ csc \ alpha [/ latex] и [latex] \ cot \ alpha [/ latex].
Рисунок 6
Показать решение
[латекс] \ begin {align} & \ sin \ alpha = \ frac {\ text {напротив} \ alpha} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {4} {5} \\ & \ cos \ alpha = \ frac {\ text {примыкает к} \ alpha} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {3} {5} \\ & \ tan \ alpha = \ frac {\ text {напротив} \ alpha} {\ text {примыкает к} \ alpha} = \ frac {4} {3} \\ & \ sec \ alpha = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {примыкает к} \ alpha} = \ frac {5} { 3} \\ & \ csc \ alpha = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив} \ alpha} = \ frac {5} {4} \\ & \ cot \ alpha = \ frac {\ text {примыкает к} \ alpha} {\ text {напротив} \ alpha} = \ frac {3} {4} \ end {align} [/ latex]
Попробуйте
Используя треугольник, показанный на рисунке 7, оцените [latex] \ sin t [/ latex], [latex] \ cos t [/ latex], [latex] \ tan t [/ latex], [latex] \ sec t [ / latex], [латекс] \ csc t [/ latex] и [латекс] \ cot t [/ latex].
Рисунок 7
Показать решение
[латекс] \ begin {align} & \ sin t = \ frac {33} {65}, \ cos t = \ frac {56} {65}, \ tan t = \ frac {33} {56}, \ \ & \ sec t = \ frac {65} {56}, \ csc t = \ frac {65} {33}, \ cot t = \ frac {56} {33} \ end {align} [/ latex]
Нахождение тригонометрических функций специальных углов по длинам сторон
Мы уже обсуждали тригонометрические функции в связи с особыми углами на единичной окружности. Теперь мы можем использовать эти отношения для оценки треугольников, содержащих эти особые углы.\ circ [/ latex] треугольник, который также можно описать как [latex] \ frac {\ pi} {4}, \ frac {\ pi} {4}, \ frac {\ pi} {2} [/ latex ] треугольник, имеют длины в соотношении [latex] s, s, \ sqrt {2} s [/ latex]. Эти отношения показаны на рисунке 8.
Рисунок 8. Длины сторон специальных треугольников
Затем мы можем использовать отношения длин сторон для оценки тригонометрических функций специальных углов.
Как сделать: даны тригонометрические функции специального угла, оцените, используя длины сторон.
Используйте длины сторон, показанные на рисунке 8, для особого угла, который вы хотите оценить.
Используйте соотношение длин сторон, соответствующее функции, которую вы хотите оценить.
Пример 3: Оценка тригонометрических функций специальных углов с использованием длин сторон
Найдите точное значение тригонометрических функций [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], используя длины сторон.
Показать решение
[латекс] \ begin {align} & \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {opp}} {\ text {hyp}} = \ frac {\ sqrt {3} s} {2s} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ & \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {adj} } {\ text {hyp}} = \ frac {s} {2s} = \ frac {1} {2} \\ & \ tan \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac { \ text {opp}} {\ text {adj}} = \ frac {\ sqrt {3} s} {s} = \ sqrt {3} \\ & \ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {hyp}} {\ text {adj}} = \ frac {2s} {s} = 2 \\ & \ csc \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right ) = \ frac {\ text {hyp}} {\ text {opp}} = \ frac {2s} {\ sqrt {3} s} = \ frac {2} {\ sqrt {3}} = \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} \\ & \ cot \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {adj}} {\ text {opp}} = \ frac { s} {\ sqrt {3} s} = \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {\ sqrt {3}} {3} \ end {align} [/ latex]
Попробуйте
Найдите точное значение тригонометрических функций [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex], используя длины сторон. {\ circ} [/ latex]
Косинус 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] 0
Синус 0 [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] 1
Касательная 0 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 1 [латекс] \ sqrt {3} [/ латекс] Неопределенный
Секант 1 [латекс] \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} [/ латекс] [латекс] \ sqrt {2} [/ латекс] 2 Неопределенный
Косеканс Неопределенный 2 [латекс] \ sqrt {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 1
Котангенс Неопределенный [латекс] \ sqrt {3} [/ латекс] 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 0
Теперь, когда у нас есть эта таблица, мы можем использовать ее для нахождения точных значений тригонометрических выражений. \ circ \ right) [/ latex], используя таблица выше.
Использование равных функций дополнений
Если мы посмотрим на таблицу выше, мы заметим закономерность. В прямоугольном треугольнике с углами [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] и [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] мы видим, что синус [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], а именно [latex] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex], также является косинусом [latex] \ frac {\ pi} { 6} [/ latex], в то время как синус [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex], а именно [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], также является косинусом [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс].
[латекс] \ begin {align} & \ sin \ frac {\ pi} {3} = \ cos \ frac {\ pi} {6} = \ frac {\ sqrt {3} s} {2s} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ & \ sin \ frac {\ pi} {6} = \ cos \ frac {\ pi} {3} = \ frac {s} {2s} = \ frac {1 } {2} \ end {align} [/ latex]
Рис. 9. Синус [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] равен косинусу [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] и наоборот.
Этот результат не должен вызывать удивления, потому что, как мы видим на Рисунке 9, сторона, противоположная углу [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], также является стороной, смежной с [latex] \ frac { \ pi} {6} [/ latex], поэтому [latex] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) [/ latex] и [latex] \ cos \ left (\ frac {\ pi } {6} \ right) [/ latex] — это точно такое же соотношение тех же двух сторон, [latex] \ sqrt {3} s [/ latex] и [latex] 2s [/ latex].Аналогично, [latex] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) [/ latex] и [latex] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex ] также имеют такое же соотношение с использованием тех же двух сторон, [латекс] [/ латекс] и [латекс] 2 [/ латекс].
Взаимосвязь между синусами и косинусами [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] и [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] также сохраняется для двух острых углов в любой прямоугольный треугольник, так как в любом случае отношение одних и тех же двух сторон будет составлять синус одного угла и косинус другого.Поскольку три угла треугольника складываются в [латекс] \ pi [/ latex], а прямой угол равен [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex], оставшиеся два угла также должны составлять [латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]. Это означает, что прямоугольный треугольник может быть образован любыми двумя углами, которые складываются с [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex] — другими словами, любыми двумя дополнительными углами. Таким образом, мы можем сформулировать тождество совместной функции : Если любые два угла дополняют друг друга, синус одного является косинусом другого, и наоборот.Эта идентичность проиллюстрирована на рисунке 10.
Рис. 10. Идентичность совместных функций синуса и косинуса дополнительных углов
Используя это тождество, мы можем утверждать, не вычисляя, например, что синус [latex] \ frac {\ pi} {12} [/ latex] равен косинусу [latex] \ frac {5 \ pi} {12 } [/ latex], и что синус [latex] \ frac {5 \ pi} {12} [/ latex] равен косинусу [latex] \ frac {\ pi} {12} [/ latex]. Мы также можем заявить, что если для определенного угла [латекс] t [/ латекс], [латекс] \ cos \ text {} t = \ frac {5} {13} [/ latex], то [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) = \ frac {5} {13} [/ latex].
Общее примечание: идентификационные данные совместных функций
Идентификаторы совместных функций в радианах перечислены в таблице ниже.
[латекс] \ cos t = \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex] [латекс] \ sin t = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]
[латекс] \ tan t = \ cot \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex] [латекс] \ cot t = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]
[латекс] \ sec t = \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex] [латекс] \ csc t = \ sec \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]
Как сделать: учитывая синус и косинус угла, найдите синус или косинус его дополнения.
Чтобы найти синус дополнительного угла, найдите косинус исходного угла.
Чтобы найти косинус дополнительного угла, найдите синус исходного угла.
Пример 5: Использование идентификаторов совместных функций
Запишите следующее как эквивалентное выражение косинуса: [latex] \ sin \ left (\ frac {5 \ pi} {12} \ right) [/ latex].
Показать решение
Согласно тождествам совместных функций для синуса и косинуса,
[латекс] \ sin t = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex].\ circ \ right) [/ латекс]

Использование тригонометрических функций
В предыдущих примерах мы вычисляли синус и косинус в треугольниках, где мы знали все три стороны. Но настоящая сила тригонометрии прямоугольного треугольника проявляется, когда мы смотрим на треугольники, в которых мы знаем угол, но не знаем всех сторон.
Как: для прямоугольного треугольника, длины одной стороны и меры одного острого угла найдите оставшиеся стороны.
Для каждой стороны выберите тригонометрическую функцию с неизвестной стороной в качестве числителя или знаменателя.Известная сторона, в свою очередь, будет знаменателем или числителем.
Напишите уравнение, устанавливающее значение функции известного угла, равное отношению соответствующих сторон.
Используя значение тригонометрической функции и известную длину стороны, найдите недостающую длину стороны.
Пример 7: Нахождение недостающих длин сторон с использованием тригонометрических соотношений
Найдите неизвестные стороны треугольника на рисунке 11.
Рисунок 11
Показать решение
Нам известны угол и противоположная сторона, поэтому мы можем использовать касательную, чтобы найти прилегающую сторону.\ circ \ right)} \\ & = 14 \ end {align} [/ latex]
Попробуйте
Прямоугольный треугольник имеет один угол [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] и гипотенузу 20. Найдите неизвестные стороны и угол треугольника.
Показать решение
[латекс] \ text {смежный} = 10 [/ латекс]; [латекс] \ текст {напротив} = 10 \ sqrt {3} [/ латекс]; отсутствующий угол [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ latex]
Тригонометрия прямоугольного треугольника имеет множество практических приложений. Например, способность вычислять длины сторон треугольника позволяет определить высоту высокого объекта, не взбираясь на вершину и не протягивая рулетку по его высоте.Мы делаем это, измеряя расстояние от основания объекта до точки на земле на некотором расстоянии, откуда мы можем смотреть на вершину высокого объекта под углом. Угол подъема объекта над наблюдателем относительно наблюдателя — это угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя. Правый треугольник, создаваемый этим положением, имеет стороны, которые представляют неизвестную высоту, измеренное расстояние от основания и наклонную линию обзора от земли до вершины объекта.Зная измеренное расстояние до основания объекта и угол прямой видимости, мы можем использовать тригонометрические функции для вычисления неизвестной высоты. Точно так же мы можем сформировать треугольник из вершины высокого объекта, глядя вниз. Угол наклона объекта под наблюдателем относительно наблюдателя — это угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя. На рисунке ниже [latex] \ alpha [/ latex] представляет угол возвышения , а [latex] \ beta [/ latex] представляет угол возвышения .
Рисунок 12
Практическое руководство. Для высокого объекта измерьте его высоту косвенно.
Сделайте набросок проблемной ситуации, чтобы отслеживать известную и неизвестную информацию.
Разместите измеренное расстояние от основания объекта до точки, где верх объекта будет хорошо виден.
На другом конце измеренного расстояния посмотрите на верхнюю часть объекта. Измерьте угол, под которым линия визирования образует горизонталь.\ circ \ right) && \ text {Умножение}. \\ & h \ приблизительно 46,2 && \ text {Используйте калькулятор}. \ end {align} [/ latex]
Дерево примерно 46 футов в высоту.
Попробуйте
Какова длина лестницы, чтобы добраться до подоконника на высоте 50 футов над землей, если лестница упирается в здание под углом [латекс] \ frac {5 \ pi} {12} [/ latex]? Округлите до ближайшего фута.

Обратная тригонометрическая функция на калькуляторе
Если заданы две стороны прямоугольного треугольника, обратная тригонометрическая функция может использоваться для нахождения острого угла в треугольнике.{-1} [/ латекс]. Калькулятор вернет угол в радианах или градусах, в зависимости от того, в каком режиме находится ваш калькулятор. Нам понадобится функция арктангенса для пеленга.
Подшипник
Пеленг — это направление, в котором вы движетесь по компасу. На большинстве карт N вверху, S внизу, W слева, а E справа. Подшипники записываются в такой форме: (N или S) (Острый угол) (E или W). Угол измеряется либо от севера, либо от юга, в зависимости от того, какая буква идет первой в вашем азимуте.\ circ E [/ latex] означает, что вы пойдете на север, а затем на 20 градусов на восток или вправо. На рисунке ниже показан пример рисования подшипников. Как видите, каждый угол измеряется от N или S в зависимости от первой буквы подшипника. Подшипники НЕ рисуются в стандартном положении, что означает, что НЕ отрисовываются от положительной оси x.
Теперь мы рассмотрим некоторые прикладные задачи, связанные с пеленгами и прямоугольными треугольниками.
Пример 9: Найти подшипник
Полуавтоматический самолет едет на восток на 8 миль, делает поворот направо, а затем едет на юг еще на 11 миль.\ circ E [/ latex] на 5 миль. Как далеко на восток и как далеко на юг бегун от исходной точки? Округлите ответы до ближайшей мили.
Показать решение
4 мили на восток, 3 мили на юг
Преобразовать процентную оценку в градусы
Процентный уклон часто встречается на дорогах или тропах, и это показатель крутизны. Например, если дорога имеет уклон 6%, это означает, что дорога поднимается на 6 футов на горизонтальное расстояние (пробег) в 100 футов. Процентное уклонение определяется путем деления прибавки за пробег, как показано на Рисунке 14.Подъем и бег — это тоже противоположные и смежные стороны. Мы можем найти [latex] \ theta [/ latex], взяв арктангенс.
Рисунок 14
Чтобы вычислить градусное измерение степени в процентах, сначала измените процент на десятичное число, разделив его на 100. Затем возьмите арктангенс этого десятичного числа, и это даст угол в градусах. На самом деле это угол возвышения , который мы изучали ранее в этом разделе!
Как преобразовать процентную оценку в градусы
Убедитесь, что ваш калькулятор работает в градусном режиме. {- 1} \ left (\ dfrac {\ text {процентная оценка}} {100} \ right) [/ latex]
Ключевые понятия
Мы можем определить тригонометрические функции как отношения длин сторон прямоугольного треугольника.
Можно использовать одинаковые длины сторон для оценки тригонометрических функций любого острого угла в прямоугольном треугольнике.
Мы можем оценить тригонометрические функции особых углов, зная длины сторон треугольников, в которых они встречаются.
Любые два дополнительных угла могут быть двумя острыми углами прямоугольного треугольника.
Если два угла дополняют друг друга, тождества совместных функций утверждают, что синус одного равен косинусу другого и наоборот.
Мы можем использовать тригонометрические функции угла, чтобы найти неизвестные длины сторон.
Выберите тригонометрическую функцию, представляющую отношение неизвестной стороны к известной стороне.
Тригонометрия прямоугольного треугольника позволяет измерять недоступные высоты и расстояния.
Неизвестную высоту или расстояние можно найти, создав прямоугольный треугольник, в котором неизвестная высота или расстояние являются одной из сторон, а другая сторона и угол известны.
Подшипники измеряются от N или S, в зависимости от первой буквы подшипника.
Процент уклона можно выразить в градусе, который представляет собой угол подъема.
Глоссарий
смежная сторона
в прямоугольном треугольнике, сторона между заданным углом и прямым углом
угол наклона
угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя, предполагая, что объект расположен ниже, чем наблюдатель
угол возвышения
угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя, предполагая, что объект расположен выше, чем наблюдатель
противоположная сторона
в прямоугольном треугольнике со стороной, наиболее удаленной от заданного угла
гипотенуза
сторона прямоугольного треугольника напротив прямого угла
процентная оценка
Коэффициент роста за пробег, выраженный в процентах.Это мера крутизны.
Раздел 4.3 Домашние упражнения
1. Для данного прямоугольного треугольника отметьте прилегающую сторону, противоположную сторону и гипотенузу для указанного угла.
2. Когда прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 помещается в единичный круг, какие стороны треугольника соответствуют координатам x и y?
3. Тангенс угла сравнивает стороны прямоугольного треугольника?
4. Как соотносятся два острых угла в прямоугольном треугольнике?
5.\ circ \ right) [/ латекс]
13. [латекс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = \ cot \ left (\ text {__} \ right) [/ latex]
Для следующих упражнений найдите длины недостающих сторон, если сторона [латекс] a [/ латекс] находится под противоположным углом [латекс] A [/ латекс], сторона [латекс] b [/ латекс] находится под противоположным углом [латекс] B [/ latex], а side [latex] c [/ latex] — гипотенуза.
14. [латекс] \ cos B = \ frac {4} {5}, a = 10 [/ латекс]
15. [латекс] \ sin B = \ frac {1} {2}, a = 20 [/ латекс]
16. [латекс] \ tan A = \ frac {5} {12}, b = 6 [/ latex]
17.{\ circ} [/ латекс]
Для следующих упражнений используйте Рис. 14, чтобы оценить каждую тригонометрическую функцию угла [латекс] A [/ латекс].
Рисунок 14
21. [латекс] \ sin A [/ латекс]
22. [латекс] \ cos A [/ латекс]
23. [латекс] \ tan A [/ латекс]
24. [латекс] \ csc A [/ латекс]
25. [латекс] \ сек A [/ латекс]
26. [латекс] \ cot A [/ латекс]
Для следующих упражнений используйте Рис. 15, чтобы оценить каждую тригонометрическую функцию угла [латекс] A [/ латекс].
Рисунок 15
27. [латекс] \ sin A [/ латекс]
28. [латекс] \ cos A [/ латекс]
29. [латекс] \ tan A [/ латекс]
30. [латекс] \ csc A [/ латекс]
31. [латекс] \ сек A [/ латекс]
32. [латекс] \ cot A [/ latex]
Для следующих упражнений решите неизвестные стороны данного треугольника.
33.
34.
35.
Для следующих упражнений используйте калькулятор, чтобы найти длину каждой стороны с точностью до четырех знаков после запятой.\ circ [/ латекс]. Насколько высоко лестница поднимается к стене здания?
58. Угол подъема к верху здания в Нью-Йорке составляет 9 градусов от земли на расстоянии 1 мили от основания здания. Используя эту информацию, найдите высоту здания.
59. Угол подъема к вершине здания в Сиэтле составляет 2 градуса от земли на расстоянии 2 миль от основания здания. Используя эту информацию, найдите высоту здания.\ circ [/ latex], как далеко я от основания дерева?
61. Автомобиль едет на запад 5 миль, поворачивает налево и затем 9 миль на юг. Каков пеленг от исходного положения автомобиля до его текущего положения? Округлите ответ до двух десятичных знаков.
62. Грузовик едет на восток 4 мили, поворачивает налево, а затем едет на север 6 миль. Каков подшипник от исходного положения грузовика до его текущего положения? Округлите ответ до двух десятичных знаков.
63.\ circ W [/ latex] на 20 дюймов. Как далеко на запад и как далеко на юг находится паук от начальной точки? Округлите ответы до двух десятичных знаков.
65. Построен в 1901 году полковником Дж. У. Эдди, компания Angels Flight в Лос-Анджелесе, как говорят, является самой короткой в мире железной дорогой с внутренним доступом. Машины с противовесом, управляемые тросами, преодолевают уклон 33% на расстояние 315 футов. Какой угол образует дорожка с горизонтальной линией, округленной до одного десятичного знака?
66. Saluda Grade — это самый крутой уклон магистральной железной дороги стандартной колеи в Соединенных Штатах.Между Мелроузом и Салудой, Северная Каролина, максимальный уклон составляет 4,9% на расстоянии около 300 футов. Какой угол образует дорожка с горизонтальной линией, округленной до одного десятичного знака?
Трехместная тригонометрическая таблица
Темы | Дом
Для углов до 45 ° используйте левый столбец и обозначения функций синего цвета. Для углов больше 45 ° используйте правый столбец и обозначения функций красного цвета.
Например,
sin 5 ° = 0,087
грех 85 ° = 0,996

θ sin θ
cos θ cos θ
sin θ коричневый θ
детская кроватка θ детская кроватка θ
желто-коричневый θ сек θ
csc θ csc θ
сек θ
0 ° . 000 1 . 000 . 000 …….. 1 . 000 …….. 90 °
1 ° . 017 1 . 000 . 017 57 . 290 1 . 000 57 . 299 89 °
2 ° . 035 . 999 . 035 28 . 636 1 . 001 28 . 654 88 °
3 ° . 052 . 999 . 052 19 . 081 1 . 001 19 . 107 87 °
4 ° . 070 . 998 . 070 14 . 301 1 . 002 14 . 336 86 °
5 ° . 087 . 996 . 087 11 . 430 1 . 004 11 . 474 85 °
6 ° . 105 . 995 . 105 9 . 514 1 . 006 9 . 567 84 °
7 ° . 122 . 993 . 123 8 . 144 1 . 008 8 . 206 83 °
8 ° . 139 . 990 . 141 7 . 115 1 . 010 7 . 185 82 °
9 ° . 156 . 988 . 158 6 . 314 1 . 012 6 . 392 81 °
sin θ
cos θ cos θ
sin θ коричневый θ
детская кроватка θ детская кроватка θ
желто-коричневый θ сек θ
csc θ csc θ
сек θ
10 ° . 174 . 985 . 176 5 . 671 1 . 015 5 . 759 80 °
11 ° . 191 . 982 . 194 5 . 145 1 . 019 5 . 241 79 °
12 ° . 208 . 978 . 213 4 . 705 1 . 022 4 . 810 78 °
13 ° . 225 . 974 . 231 4 . 331 1 . 026 4 . 445 77 °
14 ° . 242 . 970 . 249 4 . 011 1 . 031 4 . 134 76 °
15 ° . 259 . 966 . 268 3 . 732 1 . 035 3 . 864 75 °
16 ° . 276 . 961 . 287 3 . 487 1 . 040 3 . 628 74 °
17 ° . 292 . 956 . 306 3 . 271 1 . 046 3 . 420 73 °
18 ° . 309 . 951 . 325 3 . 078 1 . 051 3 . 236 72 °
19 ° . 326 . 946 . 344 2 . 904 1 . 058 3 . 072 71 °
sin θ
cos θ cos θ
sin θ коричневый θ
детская кроватка θ детская кроватка θ
желто-коричневый θ сек θ
csc θ csc θ
сек θ
20 ° . 342 . 940 . 364 2 . 747 1 . 064 2 . 924 70 °
21 ° . 358 . 934 . 384 2 . 605 1 . 071 2 . 790 69 °
22 ° . 375 . 927 . 404 2 . 475 1 . 079 2 . 669 68 °
23 ° . 391 . 921 . 424 2 . 356 1 . 086 2 . 559 67 °
24 ° . 407 . 914 . 445 2 . 246 1 . 095 2 . 459 66 °
25 ° . 423 . 906 . 466 2 . 145 1 . 103 2 . 366 65 °
26 ° . 438 . 899 . 488 2 . 050 1 . 113 2 . 281 64 °
27 ° . 454 . 891 . 510 1 . 963 1 . 122 2 . 203 63 °
28 ° . 469 . 883 . 532 1 . 881 1 . 133 2 . 130 62 °
29 ° . 485 . 875 . 554 1 . 804 1 . 143 2 . 063 61 °
sin θ
cos θ cos θ
sin θ коричневый θ
детская кроватка θ детская кроватка θ
желто-коричневый θ сек θ
csc θ csc θ
сек θ
30 ° . 500 . 866 . 577 1 . 732 1 . 155 2 . 000 60 °
31 ° . 515 . 857 . 601 1 . 664 1 . 167 1 . 972 59 °
32 ° . 530 . 848 . 625 1 . 600 1 . 179 1 . 887 58 °
33 ° . 545 . 839 . 649 1 . 540 1 . 192 1 . 836 57 °
34 ° . 559 . 829 . 675 1 . 483 1 . 206 1 . 788 56 °
35 ° . 574 . 819 . 700 1 . 428 1 . 221 1 . 743 55 °
36 ° . 588 . 809 . 727 1 . 376 1 . 236 1 . 701 54 °
37 ° . 602 . 799 . 754 1 . 327 1 . 252 1 . 662 53 °
38 ° . 616 . 788 . 781 1 . 280 1 . 269 1 . 624 52 °
39 ° . 629 . 777 . 810 1 . 235 1 . 287 1 . 589 51 °
sin θ
cos θ cos θ
sin θ коричневый θ
детская кроватка θ детская кроватка θ
желто-коричневый θ сек θ
csc θ csc θ
сек θ
40 ° . 643 . 766 . 839 1 . 192 1 . 305 1 . 556 50 °
41 ° . 656 . 755 . 869 1 . 150 1 . 325 1 . 524 49 °
42 ° . 669 . 743 . 900 1 . 111 1 . 346 1 . 494 48 °
43 ° . 682 . 731 . 933 1 . 072 1 . 367 1 . 466 47 °
44 ° . 695 . 719 . 966 1 . 036 1 . 390 1 . 440 46 °
45 ° . 707 . 707 1 . 000 1 . 000 1 . 414 1 . 414 45 °
Темы | Дом
Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Эл. Почта: themathpage @ яндекс.com

Периодичность тригонометрических функций
Периодические процессы и функции
Мы часто сталкиваемся с периодическими явлениями в природе, технологиях и человеческом обществе. Вспомните \ (24 \ text {-hour} \) цикл день-ночь или приливные циклы, вызванные вращением Луны вокруг Земли.
Рисунок 1.
Другой пример — маятник. Когда маятник совершает один полный оборот вперед и назад за \ (T \) секунд, отклонение маятника от положения равновесия будет таким же временами \ (t, \) \ (t + T, \) \ (t + 2T, \) и т. Д.
Периодические процессы описываются с помощью периодических функций.
Положительное действительное число \ (T \) называется периодом функции \ (f \), если
для всех значений \ (t \) из области \ (f. \)
Если \ (T \) — период функции \ (f, \), то произведение \ (nT, \), где \ (n \ in \ mathbb {Z}, \) также является периодом функции \ (ж: \)
\ [f \ left (t \ right) = f \ left ({t + nT} \ right). \]
В частности, для \ (n = -1, \) мы имеем
\ [е \ влево ({т — Т} \ вправо) = е \ влево (т \ вправо).\]
Наименьший положительный период функции называется основным периодом или просто периодом функции.
Период функций синуса и косинуса
Функции синуса и косинуса периодические с периодом \ (2 \ pi. \)
Действительно, рассмотрим две точки \ (M \ left (\ theta \ right) \) и \ (N \ left ({\ theta + 2 \ pi} \ right) \), лежащие на единичной окружности.
Рис. 2.
Эти точки совпадают и имеют одинаковые координаты. Поскольку точка \ (M \ left (\ theta \ right) \) имеет координаты \ (\ cos \ theta \) и \ (\ sin \ theta, \), мы можем написать
Эти отношения показывают, что \ (2 \ pi \) является одним из периодов синуса и косинуса.
Докажите, что \ (2 \ pi \) — наименьший период для этих функций. От противного, предположим, что для функции косинуса существует период \ (T \) меньше \ (2 \ pi \). Тогда у нас
\ [\ cos \ left ({\ theta + T} \ right) = \ cos \ theta. \]
Это тождество верно для любого \ (\ theta, \), поэтому пусть \ (\ theta = 0: \)
\ [\ cos T = \ cos 0 = 1 \]
Уравнение \ (\ cos T = 1 \) имеет следующие решения: \ (T = 0, 2 \ pi, 4 \ pi, 6 \ pi, \ ldots \) Однако по нашему предположению \ (0 \ lt T \ lt 2 \ pi.\) Получили противоречие. Следовательно, уравнение \ (\ cos T = 1 \) ложно, и функция косинуса не имеет положительных периодов меньше, чем \ (2 \ pi. \)
Доказательство для синусоидальной функции проводится таким же образом.
Период других тригонометрических функций
Касательная функция имеет период \ (\ pi: \)
Функция касательной определяется для любых углов \ (\ theta \), кроме значений, где \ (\ cos \ theta = 0, \), то есть значений \ (\ large {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z}.\)
Аналогично, период функции котангенса также равен \ (\ pi: \)
Функция котангенса — это отношение косинуса к синусу. Его область определения содержит все углы \ (\ theta \), кроме точек \ (\ pi n, n \ in \ mathbb {Z}, \), где синусоидальная функция равна нулю.
Секанс и косеканс являются обратными функциями косинуса и синуса соответственно. Следовательно, секущая функция периодическая с периодом \ (2 \ pi: \)
Он определен для всех действительных чисел \ (\ theta \), кроме точек \ (\ large {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z }. \ circ} \ right) \)
Решение.\ circ}} = {- 1.} \]
Пример 2.
Вычислить точные значения тригонометрических функций:
\ (\ sin \ large {\ frac {{17 \ pi}} {3}} \ normalsize \)
\ (\ cos \ left ({- \ large {\ frac {{38 \ pi}} {3}} \ normalsize} \ right) \)
\ (\ sec {\ large {\ frac {{43 \ pi}} {6}} \ normalsize} \)
\ (\ csc \ left ({- \ large {\ frac {{27 \ pi}} {4}} \ normalsize} \ right) \)
Решение.
Выразим угол \ (\ large {\ frac {{17 \ pi}} {3}} \ normalsize \) в виде \ [{\ frac {{17 \ pi}} {3} = \ frac {{5 \ pi}} {3} + \ frac {{12 \ pi}} {3}} = {\ frac {{5 \ pi}} {3} + 4 \ pi} = {\ frac {{5 \ pi}} {3} + 2 \ pi \ times 2.} \] Учитывая, что синус — периодическая функция, с периодом \ (2 \ pi, \) получаем \ [{\ sin \ frac {{17 \ pi}} {3} = \ sin \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {3} + 2 \ pi \ times 2} \ right)} = { \ sin \ frac {{5 \ pi}} {3}.} \] Угол \ (\ large {\ frac {{5 \ pi}} {3}} \ normalsize \) лежит в квадранте \ (4 \ text {th} \) и имеет опорный угол \ (\ large {\ frac {{\ pi}} {3}} \ normalsize. \) Синус-функция отрицательна в этом квадранте. потом \ [{\ sin \ frac {{17 \ pi}} {3} = \ sin \ frac {{5 \ pi}} {3}} = {- \ sin \ frac {\ pi} {3}} = { — \ frac {{\ sqrt 3}} {2}.} \]
Представим отрицательный угол \ ({- \ large {\ frac {{38 \ pi}} {3}} \ normalsize} \) следующим образом: \ [{- \ frac {{38 \ pi}} {3}} = {\ frac {{4 \ pi}} {3} — \ frac {{42 \ pi}} {3}} = {\ frac { {4 \ pi}} {3} — 14 \ pi} = {\ frac {{4 \ pi}} {3} — 2 \ pi \ times 7.} \] Период косинуса равен \ (2 \ pi. \) Тогда \ [{\ cos \ left ({- \ frac {{38 \ pi}} {3}} \ right)} = {\ cos \ left ({\ frac {{4 \ pi}} {3} — 2 \ pi \ times 7} \ right)} = {\ cos \ frac {{4 \ pi}} {3}.} \] Угол \ (\ large {\ frac {{4 \ pi}} {3}} \ normalsize \) находится в квадранте \ (3 \ text {rd} \), в котором косинус имеет отрицательные значения.Базовый угол для \ (\ large {\ frac {{4 \ pi}} {3}} \ normalsize \) равен \ (\ large {\ frac {{\ pi}} {3}} \ normalsize. \) Таким образом , \ [{\ cos \ left ({- \ frac {{38 \ pi}} {3}} \ right)} = {\ cos \ frac {{4 \ pi}} {3}} = {- \ cos \ frac {\ pi} {3}} = {- \ frac {1} {2}.} \]
Здесь имеем: \ [{\ frac {{43 \ pi}} {6} = \ frac {{7 \ pi}} {6} + \ frac {{36 \ pi}} {6}} = {\ frac {{7 \ pi}} {6} + 6 \ pi} = {\ frac {{7 \ pi}} {6} + 2 \ pi \ times 3.} \] Период секанса равен \ (2 \ pi. \), Поэтому уменьшаем значение угла: \ [{\ sec \ frac {{43 \ pi}} {6} = \ sec \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {6} + 2 \ pi \ times 3} \ right)} = { \ sec \ frac {{7 \ pi}} {6}.} \] Угол \ ({\ large {\ frac {{7 \ pi}} {6}} \ normalsize} \) лежит в квадранте \ (3 \ text {rd} \), где секущая отрицательна. Его опорный угол равен \ ({\ large {\ frac {{\ pi}} {6}} \ normalsize}, \), поэтому мы имеем \ [{\ sec \ frac {{43 \ pi}} {6} = \ sec \ frac {{7 \ pi}} {6}} = {- \ sec \ frac {\ pi} {6}} = { — \ frac {2} {{\ sqrt 3}}.} \]
Угол \ (\ left ({- \ large {\ frac {{27 \ pi}} {4}} \ normalsize} \ right) \) можно записать как \ [{- \ frac {{27 \ pi}} {4} = \ frac {{5 \ pi}} {4} — \ frac {{32 \ pi}} {4}} = {\ frac {{5 \ pi}} {4} — 8 \ pi} = {\ frac {{5 \ pi}} {4} — 2 \ pi \ times 4.} \] Учитывая, что период косеканса равен \ (2 \ pi, \), получаем \ [{\ csc \ left ({- \ frac {{27 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ csc \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {4} — 2 \ pi \ times 4} \ right)} = {\ csc \ frac {{5 \ pi}} {4}.} \] Угол \ ({\ large {\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ normalsize} \) находится в квадранте \ (3 \ text {rd} \), в котором косеканс отрицательный. Базовый угол \ ({\ large {\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ normalsize} \) равен \ ({\ large {\ frac {{\ pi}} {4}} \ normalsize} . \) Тогда имеем \ [{\ csc \ left ({- \ frac {{27 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ csc \ frac {{5 \ pi}} {4}} = {- \ csc \ frac {\ pi} {4}} = {- \ sqrt 2.\ circ}} = {0 — \ frac {{\ sqrt 2}} {2} — \ frac {{\ sqrt 2}} {2}} = {- \ sqrt 2.} \]
Пример 5.
Упростите выражение \ [\ frac {{\ sin \ left ({- \ frac {{13 \ pi}} {2}} \ right) + \ tan \ left ({- 7 \ pi} \ right)}} {{\ cos \ left ({- 7 \ pi} \ right) + \ cot \ left ({- \ frac {{65 \ pi}} {4}} \ right)}}. \]
Решение.
Рассчитываем каждый член отдельно:
\ [{\ sin \ left ({- \ frac {{13 \ pi}} {2}} \ right)} = {\ sin \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {2} — \ frac {{16 \ pi}} {2}} \ right)} = {\ sin \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {2} — 8 \ pi} \ right)} = {\ sin \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {2} — 2 \ pi \ times 4} \ right)} = {\ sin \ frac {{3 \ pi}} {2}} = {- 1,} \]
\ [{\ tan \ left ({- 7 \ pi} \ right)} = {\ tan \ left ({0 — \ pi \ times 7} \ right)} = {\ tan 0} = {0,} \]
\ [{\ cos \ left ({- 7 \ pi} \ right) = \ cos \ left ({\ pi — 8 \ pi} \ right)} = {\ cos \ left ({\ pi — 2 \ pi \ times 4} \ right)} = {\ cos \ pi} = {- 1,} \]
\ [{\ cot \ left ({- \ frac {{65 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ cot \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {4} — \ frac {{68 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ cot \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {4} — 17 \ pi} \ right)} = {\ cot \ гидроразрыв {{3 \ pi}} {4}.} \]
Угол \ (\ large {\ frac {{3 \ pi}} {4}} \ normalsize \) лежит в квадранте \ (2 \ text {nd} \), в котором котангенс отрицательный. Базовый угол \ (\ large {\ frac {{3 \ pi}} {4}} \ normalsize \) равен \ (\ large {\ frac {{\ pi}} {4}} \ normalsize, \ ) так
\ [{\ cot \ left ({- \ frac {{65 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ cot \ frac {{3 \ pi}} {4}} = {- \ cot \ frac {\ pi} {4}} = {- 1.} \]
Следовательно,
\ [{\ frac {{\ sin \ left ({- \ frac {{13 \ pi}} {2}} \ right) + \ tan \ left ({- 7 \ pi} \ right)}} {{ \ cos \ left ({- 7 \ pi} \ right) + \ cot \ left ({- \ frac {{65 \ pi}} {4}} \ right)}}} = {\ frac {{- 1 + 0}} {{- 1 — 1}}} = {\ frac {1} {2}.} \]
Пример 6.
Упростите выражение \ [\ frac {{\ cos \ left ({- 3 \ pi} \ right) + \ sin {\ frac {{8 \ pi}} {3}}}} {{\ tan {\ frac {{9 \ pi}} {4}} + \ cot {\ frac {{13 \ pi}} {6}}}}. \]
Решение.
Найдите значение каждого члена:
\ [{\ cos \ left ({- 3 \ pi} \ right) = \ cos \ left ({\ pi — 4 \ pi} \ right)} = {\ cos \ left ({\ pi — 2 \ pi \ times 2} \ right)} = {\ cos \ pi} = {- 1,} \]
\ [{\ sin \ frac {{8 \ pi}} {3}} = {\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3} + \ frac {{6 \ pi}} { 3}} \ right)} = {\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3} + 2 \ pi} \ right)} = {\ sin \ frac {{2 \ pi}} { 3}.} \]
Базовый угол для \ (\ large {\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ normalsize \) равен \ (\ large {\ frac {{\ pi}} {3}} \ normalsize. \) Тогда
\ [{\ sin \ frac {{8 \ pi}} {3} = \ sin \ frac {{2 \ pi}} {3}} = {\ sin \ frac {\ pi} {3}} = { \ frac {{\ sqrt 3}} {2}.} \]
Остальные термины даны в
\ [{\ tan \ frac {{9 \ pi}} {4}} = {\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4} + \ frac {{8 \ pi}} {4}}) \ right)} = {\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4} + 2 \ pi} \ right)} = {\ tan \ frac {\ pi} {4}} = {1,} \ ]
\ [{\ cot \ frac {{13 \ pi}} {6}} = {\ cot \ left ({\ frac {\ pi} {6} + \ frac {{12 \ pi}} {6}}) \ right)} = {\ cot \ left ({\ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi} \ right)} = {\ cot \ frac {\ pi} {6}} = {\ sqrt 3.} \]
Подставляем найденные значения:
\ [{\ frac {{\ cos \ left ({- 3 \ pi} \ right) + \ sin \ left ({\ frac {{8 \ pi}} {3}} \ right)}} {{\ загар \ left ({\ frac {{9 \ pi}} {4}} \ right) + \ cot \ left ({\ frac {{13 \ pi}} {6}} \ right)}}} = {\ frac {{- 1 + \ frac {{\ sqrt 3}} {2}}} {{1 + \ sqrt 3}}} = {\ frac {{- 2 + \ sqrt 3}} {{2 \ left ( {1 + \ sqrt 3} \ right)}}} = {\ frac {{\ left ({- 2 + \ sqrt 3} \ right) \ left ({1 — \ sqrt 3} \ right)}} {{ 2 \ left ({1 + \ sqrt 3} \ right) \ left ({1 — \ sqrt 3} \ right)}}} = {\ frac {{- 2 + \ sqrt 3 + 2 \ sqrt 3 — 3} } {{2 \ left ({{1 ^ 2} — {{\ left ({\ sqrt 3} \ right)} ^ 2}} \ right)}}} = {\ frac {{3 \ sqrt 3 — 5 }} {{2 \ left ({1 — 3} \ right)}}} = {\ frac {{5 — 3 \ sqrt 3}} {4}.
Оставить комментарий on Котангенс 65: Таблица котангенсов, прочитать полную таблицу котангенсов/
« Предыдущая 1 … 2 801 2 802 2 803 2 804 Следующая »
Навигация по записям
Предыдущая 1 … 2 799 2 800 2 801 2 802 2 803 2 804 Следующая
Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта