6.02. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Общее решение любого дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у’) = 0, как это следует из схемы его получения (1.3), содержит бесчисленное множество частных решений. Возникает естественный вопрос: как из этого множество частных решений выделить интересующее нас конкретное частное решение? Иначе говоря, как из множества интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить нужную интегральную кривую?
Ответ почти очевиден: для этого на плоскости Хоу нужно задать некоторую точку , через которую должна пройти искомая интегральная кривая. Тогда её уравнение и будет тем частным решением, которое выделяется из прочих (рис. 6.2).
Задание точки равносильно заданию условия для искомого, выделяемого из прочих, частного решения данного дифференциального уравнения. Это условие называется Начальным условием для дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у’) = 0. Начальным оно называется потому, что очень часто в реальных задачах по исследованию различного рода процессов роль независимой переменной Х играет время T, а начальным значением Х0 является начальный момент времени T0 (обычно T0 = 0). Тогда начальное условие показывает, какое значение У0 имела искомая функция , описывающая исследуемый процесс, в начальный момент времени Х0. Ну, а сама функция , если нас не интересует предистория процесса, то есть времена Х < х0, ищется для Х > х0.
Если дифференциальное уравнение первого порядка F(х; у; у’) = 0 задано вместе с начальным для него условием , То говорят, что для этого уравнения задана Задача Коши:
(2.1)
Решить её — это значит найти те частные решения дифференциального уравнения F(х; у; у’) = 0 , которые еще удовлетворяют и заданному начальному условию . С точки зрения рисунка 6.2 решить задачу Коши (2.1) – это значит найти уравнения всех интегральных кривых дифференциального уравнения F(х; у; у’) = 0, проходящих через начальную точку .
Как правило, задача Коши (2.1) имеет единственное решение . То есть через заданную начальную точку проходит единственная интегральная кривая дифференциального уравнения F(х; у; у’) = 0 (как на рис. 6.2). Но бывает, что задача Коши не имеет решений. То есть бывает, что ни одна из интегральных кривых не проходит через заданную начальную точку . Тогда такая точка называется Особой точкой дифференциального уравнения. А бывает, что задача Коши имеет несколько решений. То есть бывает, что через начальную точку проходит несколько интегральных кривых. Сколько решений будет у задачи Коши (2.1) и каковы они, выясняется в процессе её решения. А Схема решения задачи Коши (2.1) такова:
1. Решаем дифференциальное уравнение F(х; у; у’) = 0 и находим все его решения. То есть находим общее решение (общий интеграл) и возможные особые решения .
2. Подставляем начальные значения Х = х0 И У = у0 в общее решение и находим соответствующее значение (значения) константы С:
(2. 2)
3. Подставляем каждое из найденных значений С В общее решение и получаем частные решения
,
Являющиеся решением задачи Коши. Это те решения этой задачи, которые выделяются из общего решения дифференцированного уравнения F(х; у; у’) = 0.
4. Проверяем, нет ли среди особых решений Дифференциального уравнения F(х; у; у’) = 0 таких, которые удовлетворяют начальному условию У(х0) = у0. Если такие найдутся, они тоже будут решениями задачи Коши (2.1).
Пример1. Решить задачу Коши:
Решение.
1. Сначала решим дифференциальное уравнение . Оно уже решено ранее – его решение найдено в примере 3, §1:
— общее решение; – особое решение.
2. Подставим начальные значения В общее решение и найдем С:
3. Подставим в общее решение и получим частное решение
.
Эта функция является решением данной задачи Коши.
4. Обратим внимание на особое решение У=0. Начальному условию У(0)=1 оно не удовлетворяет, поэтому решением данной задачи Коши не является.
Ответ: — единственное решение поставленной задачи Коши.
Пример 2. Материальное тело поднято на высоту H и в начальный момент времени T=0 отпущено в свободное падение. Описать математически процесс падения тела. А именно, найти зависимость ν = ν(T) скорости ν падающего тела от времени T, и найти зависимость S = S(T) пути S, пройденного падающим телом, от времени T. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Как известно, все свободно падающие тела падают с постоянным ускорением G ≈ 9,8 м/сек2 — с ускорением свободного падения. А так как ускорение – это производная от скорости, то получаем: . Это — дифференциальное уравнение первого порядка для искомой функции . Учтём еше, что в начальный момент времени T = 0 тело покоилось, а значит, выполняется начальное условие: . В итоге для определения функции Получаем задачу Коши:
Решим эту задачу.
1. Сначала решим дифференциальное уравнения:
Это – общее решение уравнения , содержащее все его решения. Особых решений у него нет.
2. Используем начальное условие и найдем С:
0 = G0+С => С = 0.
3. Подставим С=0 в общее решение V=Gt+C и получим окончательно: V=Gt. Это и есть решение поставленной задачи Коши (единственное). И заодно V=Gt — это искомая зависимость скорости V падающего тела от времени T.
А теперь займёмся поиском зависимости S=S(t) Пути S От времени T. Учтём, что и что . Тогда для определения этой зависимости получим следующую задачу Коши:
Решим эту задачу.
1. Сначала решим дифференциальное уравнение :
;
Это — общее решение уравнения , содержащее все его решения. Особых решений у него нет.
2. Используем начальное условие и найдём С:
.
3. Подставим С=0 в общее решение и получим окончательно: . Это и есть решение рассматриваемой задачи Коши. И заодно — это искомая зависимость пути S, проходимого свободно падающим телом, от времени T.
Ответ: — известные школьные формулы.
Пример3. Дать математическое описание демографического процесса (процесса изменение численности населения со временем) для достаточно крупного населённого региона, если в начальный момент времени численность населения региона составляла человек.
Решение. Пусть – искомая зависимость численности населения региона от времени . И пусть за время , прошедшее с некоторого момента до момента , родилось человек и умерло человек. Эти количества, очевидно, пропорциональны как исходной (в момент ) численности населения , так и величине временного промежутка . То есть
;
Здесь и – некоторые числовые коэффициенты, связанные соответственно с уровнем рождаемости и уровнем смертности в данном регионе. Тогда общее изменение численности населения за время найдется по формуле:
.
Здесь .Из получённого равенства следует: . Устремляя здесь (при этом, очевидно, и ), то есть переходя к бесконечно малым и , получим:
, или .
Это – дифференциальное уравнение первого порядка для искомой функции . Дополняя это заданным начальным условием , получим для этой функции задачу Коши:
Решим эту задачу.
1. Сначала решим дифференциальное уравнение . Функция является его очевидным частным решением. Но это, очевидно, не та функция, которую мы ищем – она не удовлетворяет начальному условию, да и вообще она означает, что население в регионе отсутствует.
Будем искать те решения уравнения для которых :
Итак, — общее решение дифференциального уравнения . В него, кстати, при С = 0 входит и отмеченное ранее нулевое решение . То есть в найденном общем решении содержатся все решения дифференциального уравнения.
2. Используем начальное условие и найдём С:
.
3. Подставим в общее решение и получим искомое решение задачи Коши:
.
Это и есть искомая зависимость Численности населения региона от времени .
Проанализируем эту зависимость.
а) Если , то численность населения экспоненциально растёт со временем (рис. 6.3(а)).
б) Если , то численность населения Экспоненциально убывает со временем (рис. 6.3(б)).
в) Если , то , то есть численность населения региона не меняется (рис. 6.3(в).
Какой именно будет величина для данного региона, можно выяснить опытным путём. Пусть, например, перепись населения показала, что в некоторый момент времени в регионе проживало человек. Подставляя эти данные в формулу , можем найти :
.
Примечание. Полученная формула будет верно описывать демографический процесс в регионе, если уровень рождаемости и уровень смертности в нем не меняются со временем. То есть если коэффициенты и рождаемости и смертности не меняются со временем. А значит, если не меняется со временем и итоговый коэффициент . Но это, как известно, не так: с течением времени, в силу разных причин, ситуация и со смертностью, и с рождаемостью может существенно измениться. Поэтому полученную формулу при конкретном числовом значении оправданно применять лишь на протяжении достаточно ограниченного периода времени. В другой период времени тоже можно применять эту формулу, но уже при другом значении .
Пример 4. Рассмотрим задачу о математической модели естественного роста выпуска продукции.
Пусть — объем продукции некоторого предприятия, реализованной моменту времени . Будем считать, что вся продукция реализуется по некоторой фиксированной цене за единицу продукции независимо от объема продаж . Это значит, что рынок данной продукции длительное время является насыщенным – удается продавать по фиксированной цене практически любые объемы этой продукции.
Доход от продаж составит: . Будем считать, что некоторая часть этого дохода используется в качестве инвестиций в производство выпускаемой продукции. То есть объем инвестиций составит:
(2.4)
Здесь – так называется Норма инвестиций. Она показывает, какая часть дохода возвращается в производство.
Чем больше объем инвестиций , тем быстрее растёт объем производства . В модели естественного роста это значит, что скорость роста объема производства (так называемая Акселерация производства) пропорциональна объему инвестиций :
. (2.5)
Здесь
(2.6)
— так называемая Норма акселерации, которая показывает, каким должен быть объём инвестиций , чтобы обеспечить единичную скорость роста объема производства (обеспечить рост на единицу продукции за единицу времени). Подставляя (2.4) в (2.5), получим
, (2.7)
Где – числовой коэффициент. Равенство (2.7) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка для функции . Дополняя его некоторым начальным условием , получим задачу Коши:
(2.8)
Эта задача полностью совпадает с задачей Коши для демографического процесса (см. пример 3). Значит, у них полностью совпадают и решения:
(2.9)
Заметим, что условие постоянства цены единицы продаваемой продукции, то есть условие насыщенности рынка, не может выполнятся всегда, при любых . С увеличением объема продаж на некотором этапе рынок насыщается, спрос на товар падает, и дальнейшее увеличении объема продаж возможно лишь при снижении цены на него – в соответствии с классической убывающей кривой спроса . Если учесть эту зависимость от , то выражение (2.4) для примет вид:
(2.10)
А вместо (2.7) из (2.5) получим:
, (2.11)
Где . Это дифференциальное уравнение вместе с начальным условием составит задачу Коши:
(2.12)
Для определения функции , характеризующей объем продаж при насыщенном спросе, когда рост объема продаж возможен лишь при снижении цены на продаваемую продукцию. Эта функция, естественно, будет отличаться от функции (2.9) (будет более сложной).
Упражнения
1. Сформулировать и решить задачу по определению скорости V=V(T) свободно падающего тела массой M при условии, что учитывается сопротивление воздуха, пропорциональное скорости падения тела.
Ответ: .
2. Сформулировать и решить задачу по определению объема У=y(t) реализованной продукции, если известно, что кривая спроса Р= р(у) задаётся уравнением Р=2-у; норма инвестиций M=0,5; норма акселерации ; У(0)=0,5 – начальное условие.
Ответ:
3. При условиях предыдущей задачи 2 найти эластичность объема продаж относительно цены Р и определить условия, при которых продажи продукции являются эластичными и неэластичными.
Ответ: .
Если 0,5<Y<1, то есть если , то , и продажи представляют собой эластичный процесс (продажи растут относительно быстрее снижения цены). Доход от продаж при снижении цены возрастает. А если 1<Y<2, то есть если , то , и продажи представляют собой неэластичный процесс (продажи растут относительно медленнее снижения цены). Доход от продаж растёт при увеличении цены товара (см. §7 главы 4).
< Предыдущая
Следующая >
Сообщество Экспонента
вопрос
24. 04.2023
Системы управления,
Электропривод и силовая электроника,
Другое,
Автоматизация испытаний
Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…
Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…
1 Ответ
Simulink
24.04.2023
вопрос
23.04.2023
ПЛИС и СнК
Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…
Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…
1 Ответ
вопрос
19.04.2023
Изображения и видео,
Цифровая обработка сигналов,
Математика и статистика
Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?
Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?
вопрос
14.04.2023
Глубокое и машинное обучение(ИИ),
Математика и статистика,
Системы управления
Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо
Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо
6 Ответов
Simulink
modeling
газ
14.04.2023
вопрос
12. 04.2023
Математика и статистика,
Робототехника и беспилотники,
Системы связи,
Цифровая обработка сигналов
Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете.
Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…
Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете.
Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…
2 Ответа
вопрос
06.04.2023
Цифровая обработка сигналов
Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.
Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.
1 Ответ
вопрос
04.04.2023
Цифровая обработка сигналов
End
End
3 Ответа
вопрос
02.04.2023
Другое
Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…
Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…
Публикация
29.03.2023
Глубокое и машинное обучение(ИИ)
Но давайте будем честными, для не технических менеджеров продуктов, дизайнеров и предпринимателей, внутреннее устройство ChatGPT может показаться как волшебный черный ящик. Не волнуйтесь! В этой статье я постараюсь объяснить технологию и модель, лежащие в осно. ..
Это перевод статьи: https://bootcamp.uxdesign.cc/how-chatgpt-really-works-explained-for-non-technical-people-71efb078a5c9
Автор: Guodong (Troy) Zhao
Выход ChatGPT, созданного OpenAI в конце прошлого года, был явлением феноменальным — даже моя бабушка спрашивает об этом. Его возможности генерировать язык, похожий на человеческий, вдохновляют людей экспериментировать с его потенциалом в различных продуктах. Его крайне успешный запуск даже поставил давление на гигантов технологической отрасли, таких как Google, чтобы спешить выпустить свою собственную версию ChatGPT.
ИИ
ChatGPT
OpenAI
Искусственный интеллект
NLP
GPT
29.03.2023
вопрос
27.03.2023
Цифровая обработка сигналов,
Системы связи,
Математика и статистика,
Автоматизация испытаний,
Встраиваемые системы,
Радиолокация,
Другое,
Изображения и видео
Прошу помочь в реализации программы написанной в AppDesigner.
оптический волновод , входные параметры, законы геометрической оптики , построение мод (волн) учитывая вышеперечисленные параметры,…
Прошу помочь в реализации программы написанной в AppDesigner.
оптический волновод , входные параметры, законы геометрической оптики , построение мод (волн) учитывая вышеперечисленные параметры,…
оптика
Оптические системы
Волоконная оптика
27.03.2023
Задача Коши — Математическая энциклопедия
Одна из фундаментальных задач теории (обыкновенных и частных) дифференциальных уравнений: найти решение (интеграл) дифференциального уравнения, удовлетворяющее так называемым начальным условиям (начальным данным). . Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, формулируемым математически в терминах дифференциального уравнения и начального условия (отсюда терминология и выбор обозначений: начальные данные заданы для $ t = 0 $
и решение требуется при $ t \geq 0 $). Задачи Коши отличаются от краевых задач тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, не указывается заранее. Тем не менее задачи Коши, как и краевые задачи, определяются наложением предельных условий для решения на (части) границы области определения.
Основные вопросы, связанные с задачами Коши, следующие:
1) Существует ли (хотя и локально) решение?
2) Если решение существует, то к какому пространству оно принадлежит? В частности, какова его область существования?
3) Является ли решение уникальным?
4) Если решение единственно, то является ли задача корректной, т. е. является ли решение в каком-то смысле непрерывной функцией исходных данных?
Простейшая задача Коши — найти функцию $ u ( x) $
определяется на полупрямой $ x \geq x _ {0} $,
удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка
($ ф $
— заданная функция) и принимающая заданное значение $ u _ {0} $
в $ х = х _ {0} $:
$$ \тег{2}
ты ( Икс _ {0} ) знак равно ты _ {0} . $$
В геометрических терминах это означает, что, рассматривая семейство интегральных кривых уравнения (1) в $ ( x, u) $-
плоскости нужно найти кривую, проходящую через точку $ ( x _ {0} , u _ {0} ) $.
Первое предложение о существовании такой функции (в предположении, что $ f $
непрерывна для всех $ x $
и непрерывно дифференцируемой по $u$)
была доказана А. Л. Коши (1820–1830) и обобщена Э. Пикаром (1891–1896) (который заменил дифференцируемость условием Липшица по $u$).
Оказывается, что в этих условиях задача Коши имеет единственное решение, которое к тому же непрерывно зависит от начальных данных. Современные представления о проблеме Коши по существу являются далеко идущим обобщением этой проблемы.
Тот факт, что вопросы с 1) по 4) глубоко затрагивают самую суть дела, т. е. для удовлетворительного ответа на них требуется наложение определенных условий, уже иллюстрируется в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, решение задачи Коши для уравнения (1) с условием (2), где $ f $
задано на открытом множестве $G$
и является только непрерывным, существует на некотором интервале, зависящем от $G$
и $ ( х _ {0} , и _ {0} ) $ (
см. теорему Пеано), но оно не обязательно должно быть уникальным. Решение не обязательно должно существовать во всех точках области определения $f$.
9{( п — 1) } ,
$$
Стандартным устройством
можно свести к соответствующей задаче типа (1), (2).
В случае обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые не могут быть выражены непосредственно через производную неизвестной функции (как в уравнении (1)), формулировка задачи Коши аналогична, за исключением того, что она опирается на высокая степень по геометрической интерпретации; однако реальное исследование уравнения может быть затруднено невозможностью (даже локально) приведения уравнения к нормальной форме (1).
Если ни постановка, ни исследование задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения не вызывают существенных затруднений, то в случае уравнений в частных производных дело обстоит значительно сложнее (это относится, в частности, к ответам на вопросы 1)–4) ). Это верно даже в том случае, если задействованные функции достаточно регулярны (гладки). Основным источником трудностей является тот факт, что пространство независимых переменных является многомерным, что приводит к проблемам (алгебраической) разрешимости. Например, рассмотрим задачу Коши для системы уравнений в полных дифференциалах,
9\альфа}
«=»
ж (х)
$$
Задача Коши может быть сформулирована следующим образом. В определенном регионе $G$
переменных $ x = ( x _ {1} \dots x _ {n} ) $
требуется найти решение, удовлетворяющее начальным условиям, т.е. принимающее заданные значения, вместе с его производными порядка до $m — 1$ включительно,
на некотором $ ( n — 1) $-
размерная гиперповерхность $ S $
в $Г$.
Эта гиперповерхность известна как носитель начальных условий (или начальная поверхность). Начальные условия могут быть заданы в виде производных от $ u $
относительно направления единичной нормали $ \nu $
до $S$:
9{\ простое число \ альфа} }
\верно ) ,\ \
\alpha = (\alpha _ {1} \dots \alpha _ {n}),\ \
\альфа _ {п} < м.
$$
Задачи Коши обычно изучают, когда носителем исходных данных является нехарактеристическая поверхность, т. е. когда условие (5) выполняется для всех $ x _ {0} \in S $.
Теорема Коши–Ковалевской занимает важное место в теории задач Коши; это работает следующим образом. Если $S$
является аналитической поверхностью в окрестности одной из своих точек $ x _ {0} $,
если функции $a_\alpha$,
$ ж $
и $\phi_{k}$,
$ 0 \leq k \leq m — 1 $,
аналитичны в одной и той же окрестности, и если к тому же выполнено условие (5), то задача Коши (3), (4) имеет аналитическое решение $ u ( x) $
в окрестности точки; это решение единственно в классе аналитических функций. При допущении аналитичности эта теорема справедлива и для общих нелинейных уравнений, если последние можно привести к нормальной форме (6), а также для систем таких уравнений. Теорема носит универсальный характер, так как она применима к аналитическим уравнениям независимо от их типа (эллиптические, гиперболические и т. д.) и устанавливает локальное существование решения. Решение единственно в классе неаналитических функций.
9{2} }
= 0
$$
не имеет решения, если $ \phi _ {0} ( x, y) $
не является аналитической функцией. {k}$
метрика) по этим функциям. Для случаев $ n = 1, 2 $
и $n = 3$,
явный вид решения задается формулами Даламбера, Пуассона и Кирхгофа соответственно:
9{2} } }
,
$$
где $ х = ( х _ {1} , х _ {2} ) $,
$ у = ( у _ {1} , у _ {2} ) $;
$$
и (х, т) = \
\frac{1}{4 \pi }
т
\int\limits _ {| \xi | = 1 }
\phi _ {1} ( x + t \xi ) \
д\сигма +
$$
$$
+
\frac{1}{4 \pi }
\ гидроразрыв \ парциальное {\ парциальное т}
\left [ т \int\limits _
{| \xi | = 1 } \phi _ {0} ( x + t \xi ) d \sigma \right ] ,
$$
где $ х = ( х _ {1} , х _ {2} , х _ {3} ) $,
$ \xi = ( \xi _ {1} , \xi _ {2} , \xi _ {3} ) $,
и $d\sigma$
элемент поверхности на единичной сфере $ | \xi | = 1$.
9{2} $(
в зависимости от обстоятельств), лежит в $S$.
Эти результаты переносятся на более общий случай, когда носителем данных Коши является поверхность $ S $
пространственного типа, т.е. поверхность, для которой $ Q $(
см. (5)) остается положительным на $S$.
Существуют и другие задачи, помимо задачи Коши, которые оказались корректными для гиперболических уравнений; примерами являются характеристическая задача Коши и смешанные начально-краевые задачи. В задаче последнего типа решение существует в $ ( n + 1) $-
размерный цилиндр с образующей, параллельной $t$-
ось и основание $S$
которая является некоторой областью в пространстве переменных $ x = ( x _ {1} \dots x _ {n} ) $
с границей $\Gamma$.
Носителем начальных условий является $S$,
а значение функции, ее нормальная производная (в случае уравнений второго порядка) или более общие краевые условия задаются на боковой поверхности $\Gamma\times\{t > 0\}$
цилиндра.
В случае вырождающихся уравнений формулировка задачи Коши также должна быть изменена. Например, если уравнение имеет гиперболический тип и носителем данных Коши является поверхность, на которой уравнение становится параболически вырожденным, то в зависимости от характера вырождения начальные условия могут включать использование некоторой весовой функции.
Литература
[1]
С. Ковалевская, «Научные труды», Москва (1948) (На русском языке) MR0049124
[2]
Ж. Адамар, «Лекции по проблеме Коши в линейных дифференциальных уравнениях в частных производных», Дувр, переиздание (1952) (Перевод с французского)
[3]
Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер, «Уравнения в частных производных», Interscience (1964) MR0163043 Zbl 0126.00207
[4]
А.В. Бицадзе, «Уравнения математической физики», МИР (1980) (перевод с русского) MR0587310 MR0581247 Збл 0499.35002
[5]
Р. Курант, Д. Гильберт, «Методы математической физики. Уравнения в частных производных», 2 , Interscience (1965) (перевод с немецкого) MR0195654 9013 1
[6]
С. Мизохата, «Теория уравнений в частных производных», Кембриджский унив. Press (1973) (перевод с японского) MR0599580 Zbl 0263.35001
[7]
А.Н. [А.Н. Тихонов] Тихонов, А. А. Самарский, «Дифференциальные глэйхунген дер математической физики», Дойч. Verlag Wissenschaft. (1959) (Перевод с русского) MR104888
[8]
Л. Хермандер, «Линейные операторы в частных производных», Springer (1964) MR2512677 MR2304165 MR2108588 MR1996773 MR148 1433 MR1313500 MR1065993 MR1065136 MR0961959 MR0925821 MR0881605 MR0862624 MR1540773 MR0781537 MR0781536 MR0717035 MR0705278 MR0404822 MR0248435 MR1533716 Zbl 1178.35003 Zbl 1115.35005 Zbl 1062.35004 Zbl 1028.35001 Zbl 0712.35001 Zbl 0687.35002 Zbl 0619.35002 Zbl 0619.35001 Збл 0612.35001 Збл 0601.35001 Збл 0521.35002 Збл 0521.35001 Збл 0321.35001 Збл 0175.39{2} } \} $.
Актуальность этого замечания для общего определения области зависимости гиперболических уравнений в частных производных обсуждается в [5, разд. VI.7.
В современной практике гиперболичность оператора в частных производных определяется как необходимое условие корректности задачи Коши, см. [a2], т. 1, с. 2, разд. 12.3.
Ссылки
[a1]
П. Р. Гарабедян, «Уравнения в частных производных», Wiley (1964) МР0162045 Збл 0124.30501
[а2]
Л.В. Хёрмандер, «Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных», 1–2 , Springer (1985) ]
Ф. Тревес, «Основные дифференциальные уравнения в частных производных», Acad. . Press (1975) MR447753 Zbl 0305.35001
Как цитировать эту запись: Задача Коши. Энциклопедия математики. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cauchy_problem&oldid=46284
Эта статья адаптирована из оригинальной статьи А.П. Солдатова (составитель), опубликованной в Encyclopedia of Mathematics — ISBN 1402006098. См. оригинальную статью
Энтропия | Бесплатный полнотекстовый | О приближенном решении задачи Коши для систем уравнений эллиптического типа первого порядка
1.
Введение
Наиболее активно развивающейся современной областью научных знаний является теория правильно и неправильно поставленных задач, большинство из которых имеют практическое значение. ценности и требуют принятия решений в неопределенных или противоречивых условиях. В настоящее время интенсивно исследуется разработка и обоснование методов решения такой сложной задачи, как некорректно поставленные. Результаты, касающиеся некорректных задач, являются аппаратом научных исследований для многих научных направлений, таких как дифференцирование приближенно заданных функций, решение обратных краевых задач, решение задач линейного программирования и систем управления, решение систем линейных уравнений, вырождающихся или некорректно кондиционированные и др.
Понятие «корректная задача» впервые было введено французским математиком Ж. Адамаром в 1923 г., когда он рассмотрел для дифференциальных уравнений в частных производных математической физики расширение краевых задач. Понятие корректности задач легло в основу классификации краевых задач. При этом корректность постановки задачи обеспечивалась выполнением двух условий: существование решения и его единственность. Требование устойчивости решения было впоследствии присоединено к первым двум другими математиками уже при более глубоком изучении этого класса задач. Задачи, в которых не выполняется любое из трех условий корректной постановки задачи (устойчивость, существование или единственность), относятся к классу некорректно поставленных задач. Необходимость решения неустойчивых задач, подобных приведенной выше, требует более точного определения решения задачи (пример Адамара, см., например, [1], с. 39).).
Будем говорить, что задача поставлена правильно по Тихонову (см. [2]), если:
(1)
решение задачи существует в некотором классе;
(2)
уникальное решение в своем классе;
(3)
решение задачи непрерывно зависит от входных данных.
Задача Коши для систем эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами относится к семейству некорректных задач: решение задачи единственно, но неустойчиво. Для более подробной информации по этому вопросу можно обратиться [2,3,4,5,6,7,8,9,10]. В статье исследуется построение точного и приближенного решений некорректной задачи Коши для матричных факторизаций уравнения Гельмгольца. Такие задачи естественно возникают в математической физике и в различных областях естествознания (например, в электрогеологической разведке, в кардиологии, в электродинамике и т. д.). В целом теория некорректных задач для эллиптических систем уравнений получила достаточное развитие благодаря работам А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, Н.Н. Тарханова и других известных математиков. Среди них наиболее важными для приложений являются так называемые условно корректные задачи, характеризующиеся устойчивостью при наличии дополнительной информации о характере данных задачи. Одним из наиболее эффективных способов изучения таких задач является построение регуляризующих операторов. Например, это могут быть формулы типа Карлемана (как в комплексном анализе) или итерационные процессы (алгоритм Козлова-Мазья-Фомина и др. ) [10]. Краевые задачи, а также численные решения некоторых задач рассмотрены в работах [11,12,13,14,15,16,17,18,19].,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32].
В этой статье мы строим явную матрицу Карлемана относительно задачи Коши для уравнения Гельмгольца на основе работ [7,8,9,10]. С его помощью дается регуляризованное решение задачи Коши для матричной факторизации уравнения Гельмгольца. Некоторые формулы типа Карлемана для некоторых уравнений и систем эллиптического типа приведены в [7,8,9,10,33,34,35,36,37,38,39]. В работе [33] рассматривалась задача Коши для уравнения Гельмгольца в произвольной ограниченной плоской области с данными Коши, известными только на границе области. В [40] рассмотрена задача Коши для уравнения Гельмгольца в ограниченной области. В настоящей работе построено приближенное решение задачи Коши для матричных факторизаций уравнения Гельмгольца в двумерной неограниченной области.
Во многих корректных задачах нелегко вычислить значения функции на всей границе. Так, одной из важных задач теории дифференциальных уравнений является восстановление решения систем уравнений эллиптического типа первого порядка, факторизующее оператор Гельмгольца (см., например, [34,35,36,37,38,39 ]).
Задача Коши для эллиптических уравнений была исследована в [6,7,40] и впоследствии развита в [9,10,33,35,36,37,38,39].
Далее мы устанавливаем обозначения, используемые в статье.
Пусть x=(x1,x2)∈R2,y=(y1,y2)∈R2. Рассмотрим в R2 неограниченную односвязную область Ω⊂R2. Предположим, что его граница ∂Ω кусочно-гладкая и состоит из плоскости T: y2=0 и гладкой кривой Σ, лежащей в полупространстве y2>0, т. е. ∂Ω=Σ⋃T.
где D*(ξT) — эрмитова сопряженная матрица D(ξT,)λ∈R, а элементы D(ξT) — линейные функции с постоянными коэффициентами комплексной плоскости.
Рассмотрим также систему дифференциальных уравнений:
D∂x – матрица дифференциальных операторов первого порядка.
Пусть
AΩ={V:Ω¯⟶Rn∣V непрерывно на
Ω¯=Ω∪∂Ω и V удовлетворяет системе (1)}.
2. Постановка задачи Коши
Пусть f∈C(Σ,Rn). Сформулируем следующую задачу Коши для системы (1):
Пусть V(y)∈A(Ω) такое, что
Уточним, что V(y) определено на Ω, зная f(y),y∈Σ.
Если V(y)∈A(Ω), то
где t=(t1,t2) означает единичную внешнюю нормаль в точке y∈∂Ω, а φ2(λr) представляет фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в R2, т. е.
H0(1)(λr) – функция Ганкеля первого рода [41].
Вводится целая функция K(z), принимающая действительные значения для действительной части z (z=a+ib,a,b∈R) и такая, что:
Пусть
где I0(λa)=J0(iλa) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка [4].
Заметим, что (3) выполняется, если мы рассмотрим
вместо этого φ2(λr), g(y,x) — регулярное решение уравнения Гельмгольца относительно переменной y, включая случай y=x.
Отсюда (3) принимает вид:
Формулу (8) можно обобщить на случай, когда Ω неограниченно.
Предположим, что Ω лежит внутри полосы наименьшей ширины, определяемой:
и ∂Ω продолжается до бесконечности.
Итак, далее мы рассматриваем неограниченную конечносвязную область Ω⊂R2, имеющую кусочно-гладкую границу ∂Ω (∂Ω — простирается до бесконечности).
Пусть ΩR – часть Ω, расположенная внутри окружности с центром в нуле и радиусом R:
Условие (12) можно ослабить.
Учитывать
Доказательство.
Разделите Ω линией y2=h3 на следующие две области:
.
Сначала рассмотрим область Ω1. Подставим K1(z) в (6),
K(z) задается формулой (12). В этих обозначениях верно (10).
Действительно,
Обозначим через Ψ+(y,x;λ) соответствующую функцию Ψ(y,x;λ). Как
тогда для фиксированных x∈Ω1,y∈Ω1⋃∂Ω1,
Предположим, что V(y)∈Aρ(Ω1) удовлетворяет условию:
Рассмотрим τ такое, что 2ρ−ε<τ<2ρ в (17).
Отсюда (17) выполняется для области Ω1, поэтому
Если V(y)∈Aρ(Ω2) удовлетворяет условию роста (16) в Ω2 и 2ρ−ε<τ<2ρ, то
Здесь Ψ−(y,x;λ) определяется формулой (6), в которой K(z) заменена функцией K2(z):
где
В формулах, полученных с помощью этой формулы, интегралы (согласно (11)) сходятся равномерно при δ≥0, когда V(y)∈Aρ(Ω). В этих формулах положено δ=0, поэтому
(интегралы по сечению y2=h3 взаимно разрушаются)
Ψ˜(y,x;λ) здесь получается из (6), K(z) определяется из (17), где рассматривается δ=0. Используя теперь принцип продолжения, выполняется (22), ∀x∈Ω. При выполнении условия (18) и (22) ∀δ1≥0. Учитывая δ1=0, теорема 2 доказана. □
Выбор
в (6) получаем
Отсюда (8) принимает вид:
3. Регуляризованное решение задачи Коши
Доказательство.
Сначала докажем (28). Используя (25) и (27), имеем
Используя сейчас (26), получаем
Оценим теперь ∫TΨσ(y,x;λ)dsy и ∫T∂Ψσ(y,x;λ)∂yjdsy,j∈{1,2}.
Используя (24), имеем
где
Учитывая (31) и неравенство
у нас есть
Сейчас используется
согласно (31) и (32) получаем
Согласно (31) и (32) имеем
Используя неравенства (33), (35), (36) и (30), получаем оценку (28).
Теперь докажем (29). Из (25) и (27) получаем:
Согласно (37) и (26) имеем
Оценим теперь ∫T∂Ψσ(y,x;λ)∂x1dsy и ∫T∂Ψσ(y,x;λ)∂x2dsy на части T плоскости y2=0.
Мы используем
для оценки первого интеграла.
Из (31) и (32) и (39) имеем
Согласно (31) и (32) имеем
Из неравенств (40), (41) и (38) получаем (29). □
ψ(x1) — кривая, а Ω¯ε⊂Ω — компакт.
Уточним, что множество Eε=Ω\Ω¯ε является границей слоя для этой задачи.
Рассмотрим теперь границу области Ω, состоящую из гиперплоскости y2=0 и гладкой кривой Σ, уходящей в бесконечность и лежащей в полосе
Считаем Σ заданным
где ψ(y1) удовлетворяет условию
Считаем
Доказательство.
Докажем сначала (43). Из (25) получаем
и поэтому
Из (42) имеем
Оценим теперь ∫ΣΨσ(y,x;λ)dsy,∫Σ∂Ψσ(y,x;λ)∂y1dsy и ∫Σ∂Ψσ(y,x;λ)∂y2dsy на Σ.
Учитывая равенство (31) и (32), имеем
Используя теперь (31), (32) и (34), получаем
Из (31) и (32) имеем
Из (48)–(50) и применения (49) получаем
Мы знаем, что
Согласно (51), (52) и (46) получаем
Учитывая
получаем (43).
Докажем теперь (44). Из (25) получаем:
где
Получаем
Из (42) имеем:
Теперь мы имеем дело с ∫Σ∂Ψσ(y,x;λ)∂x1dsy и ∫Σ∂Ψσ(y,x;λ)∂x2dsy на Σ.
Из (31), (32) и (39) имеем
Из (31) и (32) следует:
Из (59) и (60) с учетом (58) имеем
Мы знаем, что
Согласно (61), (62) и (57) получаем
Рассматривая σ как в (54), получаем (44). □
Предположим, что V(y)∈A(Ω) и вместо V(y) на Σ заданы его непрерывные приближения fδ(y) с ошибкой 0<δ<1. У нас есть
Ставим
Следующий пример иллюстрирует возможность некорректной постановки классической задачи Коши для системы (1).
Пример 1.
Докажите некорректность задачи Коши для следующих систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных:
Решения этой системы будем искать в виде
Подставляя их в систему, получаем
Выбираем следующие µ=n,λ=−in. Затем
Выделив действительную часть, находим решения
Постоянные U1n и U3n находятся по формуле U1n=U3n=e−n.
Решения (V1n,V2n), (V3n,V4n) удовлетворяют при x1=0 следующим начальным данным:
При n→∞ эти начальные данные стремятся к нулю. При этом их производные φ1n(k)(x),φ2n(k)(x), φ3n(k)(x),φ4n(k)(x) порядков k=1,2,…,p стремятся к нулю при n→∞ (здесь p− — произвольное фиксированное натуральное число). Действительно,
φ1n(x)=±nke−ncosnx2φ2n(x)=±nke−nsinnx2, если k− четно,
φ1n(x)=±nke−nsinnx2φ2n(x)=±nke−ncosnx2, если k− нечетно,
φ3n(x)=±nke−ncosnx2φ4n(x)=±nke−nsinnx2, если k− четное,
φ3n(x)=±nke−nsinnx2φ4n(x)=±nke−ncosnx2, если k− нечетно.
С другой стороны, V1n(x1,x2),V2n(x1,x2),V3n(x1,x2),V4n(x1,x2) неограничен для любого x1.
Мы видим, что какую бы норму мы ни выбрали для оценки значения исходных данных, мы не сможем утверждать, что малость этой нормы влечет малость решения (решение здесь оценивается по максимуму его модуль). В качестве допустимых норм для исходных данных мы здесь принимаем следующие нормы:
То есть непрерывной зависимости от исходных данных нет и, следовательно, задача поставлена некорректно. Таким образом, эта задача не обладает свойствами устойчивости и, следовательно, является некорректной. Мы видели, что решение задачи Коши для этой системы неустойчиво. Если сузить класс рассматриваемых решений до компактного множества, то задача становится условно корректной. Для оценки условной устойчивости можно применить результаты приведенных выше теорем.
4. Выводы
В явном виде найдено регуляризованное решение задачи Коши для матричной факторизации уравнения Гельмгольца в неограниченной двумерной области. Уточним, что для решения применимых задач необходимо определить приближенные значения V(x) и ∂V(x)∂xj,x∈Ω,j∈{1,2}.
Мы построили семейство вектор-функций V(x,fδ)=Vσ(δ)(x) и ∂V(x,fδ)∂xj=∂Vσ(δ)(x)∂xj, (j∈{ 1,2}) в зависимости от σ (который является параметром), и мы доказали, что при определенных выборах σ=σ(δ), δ→0 и при определенных условиях семейства Vσ(δ)(x) и ∂ Vσ(δ)(x)∂xj сходится к V(x) и соответственно к ∂V(x)∂xj,x∈Ω.
Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.
Пример 2. а) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\) б) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}=k\)
Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью \(y=1\). Это и будет ответом на вопрос задачи (а). Исследуем функцию: $$ f(x)=\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3} $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника. 1) ОДЗ: \(x\ne\left\{0;1;3\right\}\) Все три точки – точки разрыва 2-го рода. \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=-\infty-1-\frac13=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow +0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=+\infty-1-\frac13=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow 1-0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=1-\infty-\frac12=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow 1+0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=1+\infty-\frac12=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow 3-0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=\frac13+\frac12-\infty=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow 3+0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=\frac13+\frac12+\infty=+\infty \end{gather*} 2) Функция ни четная, ни нечетная. 2}\lt 0 $$ Производная отрицательная на всей ОДЗ. Функция убывает.
5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.
6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. \(x=0\) – асимптота Точки пересечения с OX – две, \(0\lt x_1\lt 1,1\lt x_2\lt 3\)
7) График
Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.
Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь \(y=k\) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем: При \(k\lt 0\) — три корня При \(k=0\) — два корня При \(k\gt 0\) — три корня
Ответ: а) 3 корня; б) при \(k=0\) два корня, при \(k\ne 0\) три корня.
Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ \sqrt{x-1}+\sqrt{10-2x}=a $$ имеет по крайней мере одно решение.
Исследуем функцию \(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{10-2x}\) ОДЗ: \( \begin{cases} x-1\geq 0\\ 10-2x\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\geq 1\\ x\leq 5 \end{cases} \Rightarrow 1\leq x\leq 5 \) Функция определена на конечном интервале. Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика. Значения функции на концах интервала: \(f(1)=0+\sqrt{8}=2\sqrt{2},\ f(5)=\sqrt{4}+0=2\) Первая производная: \begin{gather*} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+\frac{-2}{2\sqrt{10-2x}}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{10-2x}}\\ f'(x)=0\ \text{при}\ 2\sqrt{x-1}=\sqrt{10-2x}\Rightarrow 4(x-1)=10-2x\Rightarrow 6x=14\Rightarrow x=\frac73\\ f\left(\frac73\right)=\sqrt{\frac73-1}+\sqrt{10-2\cdot \frac73}=\sqrt{\frac43}+\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \end{gather*} Промежутки монотонности:
\(x\)
1
(1; 7/3)
7/3
(7/3; 5)
5
\(f'(x)\)
∅
+
0
—
∅
\(f(x)\)
\(2\sqrt{2}\)
\(\nearrow \)
max \(2\sqrt{3}\)
\(\searrow \)
2
Можем строить график:
\(y=a\) — горизонтальная прямая. Количество точек пересечения \(f(x)\) и \(y\) равно количеству решений. Получаем:
$$ a\lt 2 $$
нет решений
$$ 2\leq a\lt 2\sqrt{2} $$
1 решение
$$ 2\sqrt{2}\leq a\lt 2\sqrt{3} $$
2 решения
$$ a=2\sqrt{3} $$
1 решение
$$ a\gt 2\sqrt{3} $$
нет решений
По крайней мере одно решение будет в интервале \(2\leq a\leq 2\sqrt{3}\).
Ответ: \(a\in\left[2;2\sqrt{3}\right]\)
п.3. Решение неравенств с построением графиков
Пример 4. Решите неравенство \(\frac{2+\log_3 x}{x-1}\gt \frac{6}{2x-1}\)
Разобьем неравенство на совокупность двух систем. Если \(x\gt 1\), то \(x-1\gt 0\), на него можно умножить слева и справа и не менять знак. Если \(x\lt 1\), то \(x-1\lt 0\), умножить также можно, только знак нужно поменять. Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: \(x\gt 0\)
Получаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x\gt 1\\ 2+\log_3 x\gt\frac{6(x-1)}{2x-1} \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ 2+\log_3 x\lt\frac{6(x-1)}{2x-1} \end{cases} \end{array} \right. \\ 2+\log_3 x\gt \frac{6(x-1)}{2x-1}\Rightarrow \log_3 x\gt \frac{6(x-1)-2(2x-1)}{2x-1}\Rightarrow \log_3 x\gt \frac{2x-4}{2x-1}\\ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x\gt 1\\ \log_3 x\gt\frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ \log_3 x\lt\frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Исследуем функцию \(f(x)=\frac{2x-4}{2x-1}=\frac{2x-1-3}{2x-1}=1-\frac{3}{2x-1}\) Точка разрыва: \(x=\frac12\) – вертикальная асимптота Односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow \frac12 -0}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{-0}=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow \frac12 +0}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{+0}=-\infty \end{gather*} Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: \(y=1\) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{-\infty}=1+0\\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{+\infty}=1-0 \end{gather*} На минус бесконечности кривая стремится к \(y=1\) сверху, а на плюс бесконечности – снизу. 3} $$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)
\(x\)
\(\left(0;\frac12\right)\)
\(\frac12\)
\(\left(\frac12;+\infty\right)\)
\(f»(x)\)
>0
∅
<0
\(f(x)\)
\(\cup\)
∅
\(\cap\)
Пересечения с осью OY: \(f(0)=1-\frac{3}{0-1}=4\), точка (0;4) Пересечение с осью OX: \(1-\frac{3}{2x-1}=0\Rightarrow 2x-1=3 \Rightarrow x=2\), точка (2;0) Строим графики \(f(x)=\frac{2x-4}{2x-1}\) и \(g(x)=\log_3 x\)
Первая система из совокупности \( \begin{cases} x\gt 1\\ \log_3 x\gt \frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \) Логарифм при \(x\gt 1\) все время выше, чем правая ветка гиперболы, т.е. система справедлива для всех \(x\gt 1\). Вторая система из совокупности \( \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ \log_3 x\lt \frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \) Логарифм попадает под левую ветку гиперболы на интервале \(0\lt x\lt\frac12\), т. е. $$ \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ 0\lt x\lt\frac12 \end{cases} \Rightarrow 0\lt x\lt\frac12 $$ Решение совокупности – это объединение полученных решений систем: $$ 0\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1 $$ Ответ: \(x\in\left(0;\frac12\right)\cup (1;+\infty)\)
§25 Решение кубических уравнений
Пусть даноуравнение 3 степени. нормируя получим (1)
применим подстановку:
Пусть :
Если система имеет решение то сумма эти
чисел равно которое будет решением уравнения (2) а
потом и данного уравнения. Перепишем
систему (3):
Считая некоторыми корнями квадратного уровнения
составим его с помощи теоремы Виета.
Так как кубическое уравнение имеет 3
решения то для u и v
найдется по 3 решения, а их сумма дает 9
вариантов корней в действительности
они должны быть выбраны, что бы выполнялись
условия системы (3`) то есть .
Докажем что корней 3. Воспользуемся
теоремой из комплексных чисел:
26
Т1: Что бы извлечь корень энной
степени из комплексного числа z
достаточно какое-нибудь 1 значение корня умножить
последовательно на корни энной степени
из 1 тоесть
также являются корнями.
Извлекаем корень из 1
Пусть какой-то значения кубических корней:
и
Тогда другими значения первого кубического
корня будут
Заметим, что значению отвечает значение
Значению отвечает значение
Корнями уравнения (2)
будут:
■
Решения приведенного кубического
уравнения (2) находят по формулам:
Где выражениядискриминант.
Пример 1:
Т2: Если дискриминант кубического
уравнения равен 0 то уравнение имеет 2 равных корня.
Доказательство:
Пусть одно из значений получается при тогда найдем соответствующее значение из условия:
■
Т3: Пусть кубическое уравнение имеет
действительные коэффициенты:
Если
D>0 то уравнение имеет
3 различных корня причем 1 действительный
и 2 комплексных сопряжённых.
Если дискриминант меньше 0 то уравнение
имеет три различных действительных
корня.
Если
декремента равен 0 то три действительных
корня 2 из которых равны между собой.
Доказательство:
Пусть
D>0 тогдадва действительных числа, тогда
получаем 1 корня действительных, а 2
мнимых, обозначим:
тогда получим тогда мнимые.
И все корни кубические из этих чисел
также будут мнимыми. Все корни мнимые
причем все эти корни имеют один и тот
же модуль. .
Покажем, что мнимые: ,u—0.,v—0.=-,p—3.>0(т.к
дескрименант меньше 0). Таким образом,
равенство модулей и положительное
действительное число произведение,
возможно только для комплексных
сопряжённых
В
Т1 было показано, что ,u—0.=,3q—2p.,v—0.=,3q—2p. икорни ,z—0.=,3q—p.,z—1,2.=-,3q—2p.
■
Пусть дано нормированное уравнение 4
степени ,x—4.+a,x—3.+b,x—2.+cx+d=0
Все слагаемые начиная с 2 переносим в
право ,x—4.+a,x—3.=-b,x—2.-cx-d
Замечание: Начиная с 16 века почти 3
лет продолжались попытки ученых разрешить
уравнения 5 степени и выше в радикалах
(выразить корни уравнений в виде выражений
содержащих коэффициенты). В 19 веке была
доказана теорема Руфини Абеля о том,
что алгебраическое уравнение n
степени с произвольными буквенными
коэффициентам при n>=5
нельзя решить в радикалах.
Производная квадратного корня (3 ключевых понятия, которые вы должны знать) – JDM Educational
Нам часто приходится находить производную квадратного корня на курсах математического анализа. Мы можем вычислить производную квадратного корня, используя определение предела или используя ярлык, описанный ниже.
Итак, как извлечь производную из квадратного корня? Чтобы получить производную функции квадратного корня f(x) = √x, сначала преобразуйте ее в форму f(x) = x 1/2 . Затем используйте правило степени для производных, чтобы найти f’(x) = (1/2)*x -1/2 . Затем упростите до вида 1/2√ x. Мы также можем использовать цепное правило, чтобы найти производную функции композиции квадратного корня.
Конечно, аналогичное правило применяется для извлечения производной кубического корня, корня четвертой степени и других радикальных функций.
В этой статье мы поговорим о том, как извлечь производную из функции квадратного корня и когда использовать цепное правило. Мы также рассмотрим несколько примеров, чтобы прояснить концепцию.
Начнем.
Производная квадратного корня
Производная функции квадратного корня f(x) = √x определяется как:
f'(x) = 1/2√x
Мы можем доказать это формулу путем преобразования радикальной формы квадратного корня в выражение с рациональным показателем степени. Помните, что для f(x) = √x. у нас есть радикал с индексом 2.
Вот график квадратного корня из x, f(x) = √x.
Это дает нам рациональный показатель степени 1/2. Итак, у нас есть:
Использование квадратных корней
Пожалуйста, включите JavaScript что степенное правило для производных говорит нам, что для g(x) = x N производная определяется как:
g'(x) = Nx N-1
Используя правило степени (с N = ½] если взять производную от f(x), получим:
f'(x) = (1/2)*x (1/2) – 1 [здесь, N = 1/2]
f'(x) = (1/2)*x -1/2
f'(x) = 1/2x 1/2 [так как x -1/2 = 1/x 1/2 ]
f'(x) = 1/2√x
9002 9
Вот график f'(x) = 1/2√x, производной f(x) = √x:
Это график производной квадратного корня из x, f'(x) = 1/2√ Икс.
Аналогичным образом мы можем найти производную от кубических корней, корней четвертой степени и т. д.:
Функция
Производная
Кубический корень f(x) = x 1/3
f'( х) = 1/(3x 2/3 )
Корень четвертой степени f(x) = x 1/4
f'(x) = 1/(4x 3/4 )
Корень пятой степени f(x) = x 1/5
f'(x) = 1/(5x 4/5 )
N-й корень f(x) = x 1/N
f'(x) = 1/(Nx (N-1)/N )
В этой таблице показаны различные радикальные функции и их производные.
Производная квадратного корня с помощью цепного правила
Чтобы найти производную квадратного корня с функциональной композицией, нам нужно будет использовать цепное правило.
Помните, что цепное правило говорит нам: для функциональной композиции f(g(x)) производная есть f'(g(x))*g'(x):
Если h(x) = f(g(x)), то h'(x) = f'(g(x))*g'(x)
Предполагается, что функции дифференцируемы.
Применение цепного правила, когда f(x) является функцией квадратного корня, даст нам:
Если h(x) = √g(x), то h'(x) = (1/2)*g (x) -1/2 *g'(x)
После упрощения получаем h'(x) = g'(x)/2√g(x)
Как найти производную Квадратный корень с использованием определения
Мы также можем использовать определение предела, чтобы найти производную квадратного корня.
Помните, что предельное определение производной говорит нам, что:
f'(x) = lim h–>0 [f(x + h) – f(x)] / h
Используя f(x) = √x в приведенном выше уравнении получаем:
f'(x) = lim h–>0 [√(x + h) – √x] / h
Мы умножит верх и низ на √(x + h) + √x, сопряженное с числителем.
Новый числитель:
[√(x + h) – √x]*[ √(x + h) + √x] = (x + h) – x [средние члены отменяются, когда мы используем FOIL]
Поскольку (x + h) – x = h, наш новый числитель равен h.
Новый знаменатель равен h*[√(x + h) + √x].
Итак, новый предел:
f'(x) = lim h–>0 [h] / h*[√(x + h) + √x]
f'( x) = lim h–>0 [1] / 1*[√(x + h) + √x] [отменить h вверху и внизу]
f'(x) = [1] / [2√(x)] [объединить подобные термины внизу]
f'(x) = 1/2√x
Это то же самое, что (1/2)*x -1/2 , что мы получаем из правила степени для производных.
Как извлечь производную квадратного корня
Чтобы извлечь производную квадратного корня, лучше всего начать с преобразования радикала в выражение с рациональным показателем степени. Затем вы можете использовать правило степени для производных (и, если необходимо, цепное правило), чтобы найти производную.
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Чему равна производная квадратного корня из 2x?
Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(2x). Его график показан ниже.
Это график функции f(x) = √(2x).
Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:
f(x) = √(2x)
f(x) = (2x) 1/2
90 029
Сейчас , мы используем степенное правило и цепное правило, чтобы взять производную:
f'(x) = (1/2)(2x) -1/2 *(2) [1/2 соответствует степенному правилу, а 2 — цепному правилу]
f'(x) = (2x) -1/2 [(1/2)*2 = 1]
f'(x) = 1/(2x) 1/2
f'(x) = 1/√(2x)
Вы можете увидеть график f'(x) = 1/√(2x) ниже.
Это график функции f'(x) = 1/√(2x).
Пример 2. Чему равна производная квадратного корня из 3x?
Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(3x). Его график показан ниже.
Это график функции f(x) = √(3x).
Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:
f(x) = √(3x)
f(x) = (3x) 1/2
90 029
Сейчас , мы используем степенное правило и цепное правило для получения производной:
f'(x) = (1/2)(3x) -1/2 *(3) [½ из правила степени, а 3 из правила цепочки]
f'(x) = (3/2)(3x) -1/2 [(1/2)* 3 = 3/2]
f'(x) = 1,5/(3x) 1/2
f'(x) = 1,5/√(3x)
9000 2 Вы можете увидеть график f'(x) = 1,5/√(3x) ниже. Это график функции f'(x) = 1,5/√(3x).
Пример 3. Чему равна производная квадратного корня из x + 1?
Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(x+1). Его график показан ниже.
Это график функции f(x) = √(x+1).
Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:
f(x) = √(x+1)
f(x) = (x+1) 1/2
Теперь воспользуемся степенным правилом и цепным правилом для получения производной:
f'(x) = (1/2)(x+1) -1/2 *(1) [½ из правила степени, а 1 из правила цепочки]
f'(x) = 0,5*(x+1) -1/2
f'(x) = 0,5/(x+1) 1/2
f'(x) = 0,5/√(x+1) 9 0028
Вы можете увидеть график f'(x) = 0,5/√(x+1) ниже.
Это график функции f'(x) = 0,5/√(x+1).
Пример 4: Чему равна производная квадратного корня из 1 – x
2 ?
Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(1 – x 2 ). Его график показан ниже.
Это график функции f(x) = √(1 – x 2 ).
Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:
f(x) = √(1 – x 2 )
f(x) = (1 – x 2 ) 1/2
Теперь воспользуемся степенным правилом и цепным правилом, чтобы найти производную: 1/2 *(-2x) [½ соответствует степенному правилу, а -2x соответствует цепному правилу]
f'(x) = -x*(1 – x 2 ) -1/2 [(1/2)*(-2x) = -x]
f'(x) = — x/(1 – x 2 ) 1/2
f'(x) = -x/√(1 – x 2 )
график f'( x) = -x/√(1 – x 2 ) ниже.
Это график функции f'(x) = -x/√(1 – x 2 ).
Пример 5: Чему равна производная квадратного корня из x
3 ?
Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(x 3 ). Его график показан ниже.
Это график функции f(x) = √(x 3 ).
Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:
f(x) = √(x 3 )
f(x) = (x 3 ) 90 006 1/2
f(x) = x 3*1/2
f(x) = x 3/2
900 02 Теперь воспользуемся степенным правилом, чтобы найти производную:
f'(x) = (3/2)x 1/2
f'(x) = 1,5√x
Вы можете увидеть график f'( х) = 1,5√x ниже.
Это график функции f'(x) = 1,5√x.
Пример 6. Чему равна производная квадратного корня из 1/квадратный корень из x?
Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(1/√x). Его график показан ниже.
Это график функции f(x) = √(1/√x).
Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:
f(x) = √(1/√x)
f(x) = √(1/x 1/2 ) [√x = x 1/2 9 0007 ]
f(x) = √(x -1/2 ) [1/x 1/2 = x -1/2 ]
f(x) = (x -1/2 ) 1/2
f(x) = x (-1/2)*(1/2)
f(x) = x -1/4 900 07
Теперь воспользуемся степенным правилом для получения производной:
f'(x) = (-1/4)x -5/4
f'(x) = -0,25/x 5/4
9000 2 Вы можете увидеть график f'(x) = -0,25/x 5/4 ниже. Это график функции f'(x) = -0,25/x 5/4 .
Как найти вторую производную квадратного корня
Чтобы найти вторую производную квадратного корня, мы используем правило степени, чтобы найти производную первой производной.
Если f(x) = √x, то f’(x) = (1/2)x -1/2 , как мы видели ранее.
Если снова взять производную, то получим:
f»(x) = (-1/2)*(1/2)*x -1/2 – 1
f »(x) = (-1/4)*x -3/2
f»(x) = -1/4x 3/2
Эта вторая производная говорит нам вогнутость функции квадратного корня f(x) = √x. Поскольку f’’(x) < 0 (оно всегда отрицательное), мы знаем, что график f(x) = √x вогнут вниз (вогнут).
Заключение
Теперь вы знаете, как найти производную функции квадратного корня. Вы также знаете, как найти производные для некоторых его распространенных вариаций, используя цепное правило.
Здесь вы можете узнать, как построить график функции от ее производной.
Надеюсь, эта статья оказалась вам полезной. Если это так, пожалуйста, поделитесь ею с теми, кто может использовать эту информацию.
Не забудьте подписаться на мой канал YouTube и получать обновления о новых математических видео!
Подпишитесь на наш канал на YouTube!
~Джонатон
Видео с вопросами: Нахождение первой частной производной корневой функции нескольких переменных двух переменных 𝑦 минус четыре относительно 𝑥.
В этом вопросе нам дана многомерная функция, функция от двух переменных: 𝑥 и 𝑦. Нас просят найти первую частную производную этой функции по 𝑥. Так что это значит? Что ж, в данном случае это означает, что мы рассматриваем любую другую переменную, кроме 𝑥, как константу. Итак, мы рассматриваем 𝑦 здесь как константу. Мы представляем эту частную производную, как показано. Итак, чтобы найти частную производную нашей функции по 𝑥, мы собираемся продифференцировать ее и рассматривать 𝑦 как константу. Мы собираемся немного переписать его как 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 минус четыре в степени одной трети.
И тогда мы видим, что относительно 𝑥 у нас есть функция от функции или составная функция. Итак, мы могли бы использовать цепное правило или общее правило мощности, чтобы различать его. Воспользуемся цепным правилом. Цепное правило гласит, что если 𝑦 — некоторая дифференцируемая функция от 𝑢, а сама 𝑢 — некоторая дифференцируемая функция от 𝑥, то производная от 𝑦 по 𝑥 равна произведению производных каждой из наших функций, d𝑦 на d𝑢 раз д𝑢 от д𝑥.
Теперь нам нужно быть немного осторожными, так как наша функция выражена в терминах 𝑥 и 𝑦. Итак, пусть 𝑢 будет равно внутренней части нашей функции, 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 минус четыре. Тогда 𝑓 из 𝑢 равно 𝑢 в степени одной трети. Первая частная производная нашей функции по 𝑥 — это произведение производных каждой из этих функций. Когда мы находим частную производную от 𝑢, мы получаем два 𝑥. Помните, мы рассматриваем 𝑦 как константу, а производная константы равна нулю. Затем мы дифференцируем нашу функцию в 𝑢 по 𝑢. Итак, мы получаем третье умножение на 𝑢 в степени отрицательных двух третей.
Помните, мы умножаем весь член на показатель степени, а затем уменьшаем эту степень на единицу. Но, конечно, наша частная производная относится к 𝑥. Итак, мы возвращаемся к нашей первоначальной замене. Мы заменяем 𝑢 на 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 минус четыре. И наша первая частная производная равна двум 𝑥, умноженным на треть, умноженным на 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 минус четыре в степени отрицательных двух третей. Теперь отрицательный показатель говорит нам найти обратную величину. Итак, мы можем записать это как два 𝑥 на три, умноженные на 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 минус четыре в степени две трети.
Используя один из наших законов показателей, который гласит, что 𝑥 в степени 𝑎 в степени 𝑏 равно 𝑥 в степени 𝑎, умноженной на 𝑏, мы можем разделить наш показатель степени. И мы можем записать 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 минус четыре в степени двух третей как 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 минус четыре в квадрате в степени одной трети. Но, конечно, мы уже видели, что степень одной трети равна нахождению кубического корня из этого числа.
Готовые домашние задания для 7 класса по алгебре Макарычева
Если в прошлом к решебникам относились скептически, то сегодня они стали важным дополнением учебного процесса. Пособиями с готовыми ответами активно пользуются не только ученики, но и их родители, которые хотят проконтролировать своих детей.
ГДЗ от Ответкина это не просто краткие материалы для списывания. Наш сайт не имеет аналогов, потому что здесь вы можете найти подробный алгоритм решения задач, несколько вариантов ответов, комментарии, благодаря которым можно понять трудную тему.
Что такое Ответкин?
Это актуальная база данных. В других решебниках школьники вынуждены сверять номера, тратить дополнительное время на поиск нужного ответа. Но на нашем портале мы разместили только свежие ГДЗ к актуальным учебникам, по которым учатся в школах Российской Федерации.
Подробные решения. Практически к каждому заданию на Ответкине есть короткий ответ и подробный, с алгоритмом выполнения примера, комментариями к нему. Когда нет времени и нужно быстро ответить на уроке, ученик может воспользоваться кратким решением, но если нужно разобраться с непонятной темой – помогут пояснения.
Бесплатный помощник. Наш сайт бесплатно помогает учащимся и их родителям контролировать правильность выполнения домашней работы. Это позволяет сэкономить деньги на репетиторах.
Несколько вариантов ответа. Видя альтернативные способы решения – школьник понимает механизм выполнения задачи, ему становятся понятны важные нюансы, которые он пропустил или не усвоил на уроке.
Удобный поиск по сайту. Учебное пособие с пояснениями можно просматривать как с компьютера, так с мобильного телефона. Чтобы быстро найти определенный номер нужно лишь ввести его в строку поиска. Кроме того, в личном кабинете сохраняется история просмотров, с помощью которой удобно возвращаться к предыдущим заданиям.
ГДЗ от Ответкина становятся незаменимы в конце четверти или учебного года, когда нужно быстро повторить пройденный материал, подтянуть успеваемость.
Уникальные подробные решения с пояснениями Ответкина
С 7 класса школьники начинают изучать новый для них раздел математики – алгебру. Это важный, но не простой предмет, который тесно связан с экономикой, информатикой, физикой и другими точными науками.
Нередко семиклассники теряются при выполнении разнообразных алгебраических задач. Теперь им нужно решать уравнения не только с одной, но и двумя переменными, строить графики функций, осуществлять разложение многочленов на множители. Далеко не каждый учитель может объяснить эти сложные темы простым и понятным для детей способом. Поэтому родители ломают голову, где бы найти хорошего репетитора, как проверить домашнее задание ребенку, когда сам уже забыл пройденную школьную программу.
С решением этих проблем помогает Ответкин. Он дает возможность узнать правильный ответ и его разные варианты, понять алгоритм выполнения примера.
Почему наш сайт достойная альтернатива занятиям с репетитором?
Это быстро и бесплатно. Использование учебного пособия с пояснениями позволяет родителям сэкономить деньги. Ученикам не нужно тратить дополнительное время на дорогу к репетитору и обратно домой. В любой момент школьник может самостоятельно проверить себя, открыть подробные пояснения, чтобы разобраться в трудном материале. Теперь ему можно не переживать, если он пропустил занятия, был невнимательным на уроке при объяснении новой темы.
Это удобно. Репетитор занимается с ребенком в назначенное время, поэтому все вопросы школьник вынужден откладывать до следующего дополнительного занятия. А решебником можно воспользоваться в любой момент, как находясь на уроке в школе, так и дома.
Ответкин приучает к самостоятельности. Готовые домашние задания на нашем сайте — это не просто материалы для списывания, а подробное объяснение важных нюансов школьной программы. Практически каждый номер содержит не только несколько вариантов ответа, на и комментарии, с помощью которых можно восполнить пробелы в знаниях алгебры.
Если говорить о видеоуроках, то они не могут сравниться с нашим порталом по эффективности, удобству и актуальности данных. Нередко спикеры объясняют материал 7 класса, не имея опыта преподавания в школе. Они могут говорить много, но без конкретики, не дают подсказок к выполнению домашней работы. Видеоролики нужно проматывать несколько раз, тратить 30-40 минут на усвоение одной только темы. В то время как школьник, возможно, хочет уточнить несколько важных нюансов, а не прослушивать материал всего урока.
Как пользоваться сайтом и открывать нужную задачу с комментариями?
Наша команда сделала Ответкин максимально удобным для пользователей. Мы учли, что семиклассники часто просматривают готовые домашние задания в мобильном телефоне. В отличие от других сайтов у нас все материалы размещены на узком полотне, выполнены красивым понятным шрифтом, который комфортно читать со смартфона.
Подсказки как пользоваться сайтом:
Чтобы найти нужное задание введите его в строку быстрого поиска. Ознакомьтесь с кратким вариантом ответа, который откроется на новой странице. Если вы хотите увидеть подробный алгоритм решения задачи с разными вариантами – зарегистрируйтесь на нашем сайте.
Вы можете выбрать один из двух, наиболее удобный для вас вариант авторизации. Первый – через социальные сети. Рядом с кнопкой «Войти» нажмите на социальную сеть, например, гугл аккаунт. Подтвердите вход, дайте свое согласие, что ознакомлены с правилами пользования сайтом. Второй вариант – регистрация с нуля с использованием почтового ящика. Напишите адрес вашей почты и ждите письма со ссылкой для активизации аккаунта. Перейдите по ссылке и пользуйтесь сайтом.
После авторизации вам откроется доступ в личный кабинет. По умолчанию вам будет предоставлена бесплатная подписка, где будет видно количество оставшихся ответов. Каждые сутки пользователь может открывать не более трех заданий. Открытые решения будут храниться в личном кабинете в течение 24 часов, которые можно просматривать неограниченное количество раз.
Если пользователь желает получить большее число открываний в сутки – ему стоит приобрести подписку на платной основе сроком на месяц. В этом случае в личном кабинете исчезнет реклама. В профиле будет видно сколько дней еще действует платная подписка.
Для удобства, чтобы пользователь быстро сориентировался в задании – на белом фоне изображен краткий ответ для записи в тетрадь, на цветном фоне отображена теория и подробные пояснения к номеру. Но даже краткие решения на нашем сайте более подробные, чем в других ГДЗ.
Решебник алгебры седьмого класса к учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К.И. Нешкова, С.Б. Суворова
Решения с пояснениями по алгебре за 7 класс составлены на основе учебника Макарычева 2013 года, который соответствует Федеральным государственным образовательным стандартам. Номера в пособии с готовыми домашними заданиями соответствуют нумерации учебника.
Алгебра седьмого класса содержит 5 глав, состоящих из 16 параграфов, которые в свою очередь в общей сложности разбиты на 46 подпунктов. К каждой теме помимо теории есть практические упражнения. Для коллективного решения предусмотрены «задачи-исследования» и задания для работы в парах. В конце каждого параграфа, для закрепления изученного материала размещены контрольные вопросы. По уровню подготовки среди упражнений есть обязательные, а также повышенной сложности, которые выполняют на добровольной основе.
Готовые домашние задания по алгебре от Ответкина направлены на усвоение следующих тем и понятий:
Числовые выражения, сравнение их значений и преобразование.
Уравнение, решение задач с его помощью, линейные уравнения с одной и двумя переменными, графики и системы линейных уравнений. Линейные неравенства с двумя переменными. Способ подстановки и способ сложения.
Функция, линейная функция и ее график, вычисление функции по формуле.
Стандартный вид одночлена и многочлена. Умножение одночленов, одночлена на многочлен, многочлена на многочлен. Возведение одночлена в степень. Сложение и вычитание многочленов. Преобразование целого выражения в многочлен. Разложение многочлена на множители.
Квадрат суммы и квадрат разности. Возведение в квадрат разности и суммы двух выражений. Разложение на множители разности квадратов, суммы и разности кубов.
Подробные ответы с комментариями по алгебре за 7 класс помогут школьникам вспомнить пройденный материал: различные действия с дробями и целыми числами, решение текстовых задач, поиск корня уравнения. Но главное, решебник станет надежным советчиком в изучении новых тем, которые впервые вводятся с 7 класса. Это операции с многочленами, решение системных уравнений с двумя переменными, построение графиков функций.
Мы уверены, что учебное пособие от Ответкина поможет полюбить новый предмет – алгебру. С его помощью школьники разберутся в пропущенных темах, подтянут успеваемость, будут уверены в правильности выполнения упражнений.
Основной задачей девятиклассника является подготовка к обязательному ОГЭ по математике, где алгебра составляет значительный блок заданий. Поэтому актуальными к изучению становятся представленные на площадке еуроки ответы по алгебре для 9 класса — ко всем теоретическим и практическим учебным пособиям. Здесь есть решения заданий учебников и практикумов стандартного и углубленного уровня сложности, тестов, дидактических материалов, проверочных, самостоятельных и контрольных работ по дисциплине.
Еуроки — это всегда результативная подготовка, это ответы на пятёрку. Все представленные на площадке решения основываются на трех китах, на трех «П» гарантии высокого результата. Это П — Подробно, то есть, даны все пояснения, разъяснения, алгоритм и ход действий. П — Правильно оформленные, на основе последних изменений регламентов ФГОСов и требований конкретных учебников. П- Проверено, все данные ответы изучены, оценены на отсутствие ошибок в логике решения и оформлении ответов. Гарантированно высокий результат!
Учебники
Дидактические (к/р, с/р)
Рабочие тетради
Тесты
Решебники к учебникам
Алгебра 9 класс
Авторы:Макарычев, Миндюк, Нешков
Год:2021
Тип:учебник
Алгебра 9 класс
Авторы:Мерзляк, Полонский, Якир
Тип:учебник
org/Book»>
Алгебра 9 класс
Авторы:Колягин, Ткачева, Фёдорова
Год:2021
Тип:учебник
Алгебра 9 класс
Авторы:Дорофеев, Суворова
Год:2021
Тип:учебник
Алгебра 9 класс
Авторы:Никольский, Потапов
Год:2021
Тип:учебник
Алгебра 9 класс
Авторы:Мерзляк. Углубленный, Поляков
Год:2021
Тип:учебник
Алгебра 9 класс. Сборник заданий
Авторы:Кузнецова, Бунимович
Тип:задачник
Алгебра 9 класс
Авторы:Мордкович, Александрова, Мишустина
Тип:задачник
org/Book»>
Алгебра 9 класс
Авторы:Макарычев Углубленный
Год:2022
Тип:учебник
Алгебра 9 класс
Авторы:Бунимович, Кузнецова, Минаева
Год:2021
Тип:учебник
Сборник задач по алгебре 9 класс
Авторы:Галицкий, Гольдман
Тип:задачник
Контрольно-измерительные материалы (КИМ) по алгебре 9 класс. ФГОС
Авторы:Мартышова
Тип:КИМ
Контрольно-измерительные материалы (КИМ) по алгебре 9 класс. ФГОС
Авторы:Глазков, Гаиашвили
Тип:КИМ
Решебники к контрольным и самостоятельным
Дидактические материалы по алгебре 9 класс
Авторы:Макарычев, Миндюк, Крайнева
Тип:дидактические материалы
org/Book»>
Дидактические материалы по алгебре 9 класс
Авторы:Мерзляк, Полонский, Рабинович
Тип:дидактические материалы
Дидактические материалы по алгебре 9 класс
Авторы:Никольский, Потапов, Шевкин
Тип:контрольные и самостоятельные
Дидактические материалы по алгебре 9 класс
Авторы:Евстафьева, Карп
Тип:дидактические материалы
Дидактические материалы по алгебре 9 класс
Авторы:Зив, Гольдич
Тип:дидактические материалы
Дидактические материалы по алгебре 9 класс
Авторы:Звавич, Дьяконова
Тип:дидактические материалы
Контрольные работы по алгебре 9 класс
Авторы:Макарычев, Миндюк
Год:2021
Тип:контрольные и самостоятельные
org/Book»>
Контрольные работы по алгебре 9 класс
Авторы:Мерзляк, Буцко. 4 варианта
Тип:контрольные и самостоятельные
Контрольные работы по алгебре 9 класс
Авторы:Александрова
Тип:контрольные работы
Контрольные работы по алгебре 9 класс
Авторы:Дорофеев, Кузнецова, Минаева
Тип:контрольные работы
Контрольные работы по алгебре 9 класс
Авторы:Рурукин, Макарычев
Тип:контрольные и самостоятельные
Контрольные работы по алгебре 9 класс
Авторы:Мордкович
Тип:контрольные работы
Контрольные и самостоятельные работы по алгебре 9 класс
Авторы:Журавлев, Малышева
Тип:контрольные и самостоятельные
org/Book»>
Контрольные и самостоятельные работы по алгебре 9 класс. ФГОС
Авторы:Попов
Тип:контрольные и самостоятельные
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 9 класс
Авторы:Глазков, Варшавский
Тип:контрольные и самостоятельные
Самостоятельные работы по алгебре 9 класс
Авторы:Александрова
Тип:контрольные и самостоятельные
Решебники к рабочим тетрадям
Рабочая тетрадь по алгебре 9 класс
Авторы:Мерзляк, Полонский, Якир
Тип:рабочая тетрадь
Часть:1, 2
Рабочая тетрадь по алгебре 9 класс
Авторы:Минаева, Рослова
Тип:рабочая тетрадь
Часть:1, 2
org/Book»>
Рабочая тетрадь по алгебре 9 класс
Авторы:Миндюк, Шлыкова
Тип:рабочая тетрадь
Часть:1, 2
Рабочая тетрадь по алгебре 9 класс. ФГОС
Авторы:Ткачёва, Фёдорова
Тип:рабочая тетрадь
Рабочая тетрадь по алгебре 9 класс
Авторы:Ерина, Макарычев
Тип:рабочая тетрадь
Рабочая тетрадь по алгебре 9 класс
Авторы:Ключникова, Мордкович, Комиссарова
Тип:рабочая тетрадь
Решебники к тестам
Тесты по алгебре 9 класс. ФГОС
Авторы:Мордкович, Тульчинская
Тип:тесты
Тематические тесты по алгебре 9 класс. ФГОС
Авторы:Ткачева
Тип:тесты
org/Book»>
Тематические тесты по алгебре 9 класс. ФГОС
Авторы:Дудницын, Кронгауз
Тип:тесты
Тематические тесты по алгебре 9 класс. ФГОС
Авторы:Чулков, Струков
Тип:тесты
Тесты по алгебре 9 класс
Авторы:Ключникова, Мордкович
Тип:тесты
Тесты по алгебре 9 класс. ФГОС
Авторы:Глазков, Макарычев
Тип:тесты
Для эффективной подготовки к ОГЭ по математике желательно использовать гдз по алгебре за 9 класс системно, заранее планируя такую работу. Важные моменты, которые следует учесть в процессе разработки и реализации подготовки:
Количество времени, которое будет реально тратиться на неё. Если знания достаточно крепкие и глубокие, и все годы изучения, начиная с 7-го класса, дисциплине уделялось достаточно внимания, эксперты рекомендуют ежедневные часовые занятия. В том случае, когда надо наверстывать упущенное и интенсивно не просто повторять, а заново проходить некоторые параграфы и темы курса, необходимо минимум два часа ответственных занятий ежедневно.
Цели подготовительной работы. Некоторые выпускники нацелены исключительно на выполнение заданий итоговых испытаний. Другие — на более глубокую подготовку. Для них нужны решебники по алгебре за 9 класс к задачникам и другим практикумам повышенного уровня, например, содержащие олимпиадные задания. По результатам такой работы можно активно принимать участие в математических олимпиадах и конкурсах, в том числе – проводимых на внешкольных площадках, дающих право на дополнительные баллы при поступлении в ВУЗы и колледжи.
Включение в работу материалов не только по тому УМК, программе, по которому предмет изучается в рамках школьных уроков. Но и по другим – для того, чтобы освоение курса было максимально объемным и широким. В этом случае справочники по алгебре для 9 класса смогут заменить полностью или частично занятия с репетиторами или на специализированных подготовительных кружках и курсах. Такая экономия без потери качества крайне важна многим семьям.
Внимательное изучение и запоминание того, как следует правильно, грамотно записать полученные результаты. Нередко правильно выполненное задание оказывается неверно оформленным. В результате школьники, выпускники теряют баллы на диагностических, контрольных, ВПР, экзаменах, лишаются призовых мест и побед на математических конкурсах. Во избежание такого досадного недоразумения следует вдумчиво, ответственно подходить к изучению порядка правильной записи ответов. В справочных материалах по алгебре они представлены в соответствии с действующими стандартами образования, то есть – запись результатов грамотна и актуальна. Постоянно занимаясь по сборникам решений, школьники автоматически запомнят, как надо записать результат.
Альтернатива – занятия по решебникам или репетитор
В последнее время эксперты все активнее выступают в защиту применения еуроки ГДЗ, хотя некоторые педагоги-предметники до сих пор против «практики списывания». Но так однозначно оценивать эту работу можно лишь на первый и довольно предвзятый взгляд. На самом деле – польза такого подхода очевидна:
времени, чтобы работать с решебниками дома, у девятиклассников достаточно. А это значит, что можно не только переписать ответы, но и внимательно разобрать их, проверить свои знания. Переписывание перед уроком у одноклассников в условиях нехватки времени гораздо менее полезно;
решения составлены в соответствии с действующими регламентами ФГОСов. А значит – школьник может увидеть в них, как правильно записать условие, дано, сформулировать и отобразить вопрос, построить график, отметив область функций и графический ответ, записать результат решения. Вся информация, данная в сборнике решебников, соответствует последним изменениям образовательных норм, а следовательно – актуальная;
больше возможностей для самообразования, поскольку многообразие решебников по алгебре для 9 класса позволяет изучить дисциплину с позиций различных школьных программ.
Многие репетиторы сами прибегают к сборникам ответов, чтобы посмотреть и взять на вооружение школьную методику преподавания дисциплины. В том случае, если девятиклассник умеет и активно пользуется самоподготовкой, методами самопроверки, он сможет самостоятельно заниматься и успешно сдать экзамены с помощью решебников, не задействовав стороннюю дополнительную помощь (репетиторов, курсов). Если же такого навыка нет, целесообразно развивать его постепенно, объединив подготовку с репетитором, в кружках, на курсах с самостоятельной работой по сборникам ответов, постепенно увеличивая роль последней в процессе работы. Это не только положительно скажется на бюджете семьи, что тоже безусловный плюс от применения этого варианта. Но и позволит выработать ценный и незаменимый навык самостоятельной работы с информацией:
её поиском;
проработкой и выбором необходимых источников;
анализом и сравнением;
оценкой достижений — фактических и в динамике;
практическим применением и грамотным записыванием. Такой навык пригодится не только в школьные годы, но и впоследствии, в том числе — в деловой и профессиональной сфере.
Технология грамотной работы с решебиками к школьным учебникам
Если переписывание ответов приветствуется и одобряется далеко не всеми учителями, то использование пособий-решебников по приведенной ниже схеме расценивается как полезная и грамотная работа с такими материалами. Действовать рекомендуется так:
Внимательно и вдумчиво прочесть теоретический материал параграфа, темы, повторить изученное на школьном уроке.
Самостоятельно выполнить практические задания после параграфа или заданные на дом преподавателем.
Сверить полученные собственные ответы, решения, принцип записи результатов с приведенными в готовых ответах по алгебре 9 класс эталонными. В ходе сопоставления не только определить расхождения, но и выявить причины, факторы, повлиявшие на них, оценить возможность исправить неточности и недочеты, устранить проблемы.
Самостоятельно выполнить аналогичные задания по теме, приведенные в другом варианте того же или другого учебника, практикума по этому или иному УМК, сравнить результаты с ответами решебника.
Повторять пункт 4 до тех пор, пока тема не будет полностью усвоена, а расхождения не исчезнут.
В том случае, если у девятиклассника нет идей по выполнению предложенного задания, следует сразу же переходить к пункту 3 приведенной схемы. В этом случае онлайн ответы по алгебре 9 класс станут базой для разбора темы на практике. Но не стоит пренебрегать и последующими пунктами 4-5 для полного, более глубокого понимания тематик и разделов учебника.
Пользователи сборников готовых ответов по алгебре для девятиклассников
Хотя бы единожды к такой экстренной помощи прибегал практически каждый ученик. Но есть и те, кто использует готовые ответы на постоянной или регулярной основе. В их числе:
Школьники, по тем или иным причинам пропустившие объяснение материала в классе. Например, заболевшие, находящиеся на конкурсах, спортивных сборах и пр. Для них решебники станут альтернативой объяснения учителя, позволят проработать на практике материал пропущенных уроков.
Репетиторы и руководители кружков, не являющиеся школьными учителями и экспертами ОГЭ или ЕГЭ. Они опираются на готовые домашние задания по алгебре 9 класс, чтобы пользоваться ими в своих объяснениях, приводить их к четким требованиям стандартов. Для этих специалистов решебник – это понятная и доступная методическая разработка для качественного изложения и проверки материала, оценки знаний своих учеников.
Находящиеся на домашней или семейной форме обучения, не получающие регулярных объяснений от школьных педагогов. Эти ученики отмечают сборники ответов как эффективную и полезную альтернативу присутствию в школе.
В период осуществления карантинных мероприятий, когда все школьники были переведены на дистанционное обучение, девятиклассники отметили особую полезность сборников-решебников. С их помощью они освоили материал, на который не хватило времени на уроках – ведь количество последних, а также их продолжительность, значительно сократились.
Рабочие листы по алгебре
Перевод рабочих листов по алгебраическим выражениям
Рабочие листы по алгебре здесь сосредоточены на переводе словесных фраз в алгебраические выражения с упражнениями с выражениями с одной и несколькими переменными, переводе линейных уравнений, включающих один или два шага, определении неравенств и многом другом.
Рабочие листы для вычисления алгебраических выражений
Доступ к печатным листам здесь позволяет попрактиковаться в вычислении алгебраических выражений с одной и несколькими переменными, найти размеры геометрических фигур, расположить алгебраические выражения в порядке возрастания или убывания, и это лишь некоторые из них.
Рабочие листы по упрощению алгебраических выражений
Расширьте свои знания по упрощению алгебраических выражений с помощью этой серии рабочих листов, содержащих навыки упрощения линейных, полиномиальных и рациональных выражений; выражения с положительными и отрицательными показателями, нахождение площади и периметра прямоугольника и многое другое.
Рабочие листы по алгебраическим тождествам
Попрактикуйтесь в этой коллекции рабочих листов по алгебраическим тождествам, которые содержат яркие диаграммы тождеств, и отточите свои навыки расширения, факторизации и вычисления алгебраических выражений с использованием тождеств, упрощения выражений и многого другого.
Рабочие листы для решения уравнений
Выберите из неисчерпаемого набора рабочих листов, состоящих из одношаговых, двухшаговых и многошаговых уравнений. Напишите уравнение линии в различных формах, нарисуйте линейные уравнения, квадратные уравнения и уравнения с абсолютной величиной, решите систему уравнений, и это лишь некоторые из них.
Рабочие листы для решения текстовых задач
Ознакомьтесь с концепцией решения уравнений с помощью этих рабочих листов для решения текстовых задач. Решайте реальные текстовые задачи с целыми, десятичными и дробными числами за один, два или несколько шагов.
Рабочие листы для преобразования уравнений
Включите эти рабочие листы для преобразования уравнений, показывая навыки, чтобы сделать «x» предметом, изменить и оценить часто используемые формулы и решить задачи с реальными словами, доступные в обычных и метрических единицах измерения и многое другое.
Уравнение прямой / Рабочие листы линейного уравнения
Используйте набор рабочих листов по алгебре, чтобы найти линейное уравнение прямой, используя форму точка-наклон, форму наклона-пересечения, форму с двумя точками, форму с двумя точками. Кроме того, найдите точки пересечения x и y, решите задачи со словами, включающие параллельные и перпендикулярные линии, и это лишь некоторые из них.
Рабочие листы для построения графиков линейных уравнений
Получите множество рабочих листов с заполнением таблиц функций, построением графика с использованием наклона и пересечения оси Y, графических уравнений с использованием горизонтальных и вертикальных линий и т. д. Сюда также включены рабочие листы для построения упорядоченных пар.
Рабочие листы квадратных уравнений
Используйте этот набор рабочих листов квадратных уравнений для решения уравнений путем нахождения суммы и произведения корней, использования свойства нулевого произведения, метода факторизации и квадратичной формулы. Кроме того, научитесь решать, заполнив квадрат.
Рабочие листы функций
В этом разделе специально рассматриваются упражнения по поиску домена и диапазона из списка упорядоченных пар и графиков. Научитесь заполнять таблицы функций; точки графика, функции графика и оценить состав функций.
Рабочие листы для построения графиков линейных функций
Этот набор состоит из тщательного построения графиков линейных функций путем нанесения точек на сетки, вычисления таблиц функций, построения точек и построения графиков линейных функций. Сюда также включены наклоны, представленные в виде дробей.
Рабочие листы преобразования линейной функции
Эта группа рабочих листов по алгебре включает в себя задания для четкого понимания преобразования линейной функции и графика. Преобразуйте функцию или график в горизонтальный/вертикальный сдвиг, найдите отражение, найдите растяжение и сжатие и многое другое.
Рабочие листы квадратичных функций
Реализуйте этот набор индивидуальных рабочих листов с достаточным количеством упражнений для оценки или записи квадратичных функций; интерпретация квадратичной функции в различных формах, заполнение таблиц функций, определение вершин и пересечений на основе формул и многое другое.
Рабочие листы для построения графиков квадратичных функций
Определение нулей, запись и построение графиков квадратичных функций, заполнение таблицы функций — вот некоторые из упражнений, включенных в этот сборник практических печатных материалов.
Рабочие листы квадратичного преобразования
Используйте этот набор простых, но увлекательных рабочих листов квадратичного преобразования для преобразования графиков, нахождения функции преобразования g(x) по ее родительскому элементу f(x) и определения различных типов сдвигов, и это лишь некоторые из них.
Таблицы полиномов
Доступ к этим таблицам алгебры позволяет распознавать полиномы, определять степени полиномов, складывать, вычитать, умножать, делить и разлагать на множители мономиальные, биномиальные и полиномиальные выражения. Найдите также LCM и GCF полиномов.
Рабочие листы абсолютных значений
Навигация по этому набору печатных рабочих листов абсолютных значений с положительными и отрицательными целыми числами. Выполняйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление над абсолютным значением действительных чисел.
Рабочие листы по неравенствам
Воспользуйтесь этим разделом рабочих листов по неравенствам для построения графиков и записи неравенств, решения одноэтапных, двухэтапных или многоэтапных неравенств, решения и построения графиков составных неравенств, графических решений и многого другого.
Рабочие листы последовательностей и рядов
Дополните свои основные инструкции этой группой рабочих листов последовательностей и рядов, уделяя особое внимание арифметическим рядам и последовательностям, геометрическим последовательностям, специальным рядам, рекурсивным последовательностям, частичной сумме и многим другим.
Рабочие листы с матрицами
Добейтесь оптимального обучения с помощью этого набора рабочих листов с матрицами. Определить порядок матриц и их обратных; складывать, вычитать и умножать матрицы; найти их решения и определители также в этом наборе печатных рабочих листов здесь.
Рабочие листы для определения определителей
Получить глубокие знания по нахождению определителей; определение количества решений и решение уравнений с использованием правила Крамера с помощью этой партии рабочих листов, содержащих бесчисленные упражнения.
Рабочие листы по комплексным числам
Изучите эту подборку рабочих листов по комплексным числам, разработанных и рекомендованных для учащихся старших классов. Отточите свои навыки в поиске абсолютного значения и аргумента, упрощении, оценке степеней i, поиске сопряжения, определении действительной и мнимой части и многом другом!
Рабочие листы с векторами
Этот набор распечатываемых векторных листов является идеальным ресурсом для детей, чтобы попрактиковаться в представлении векторов в компонентной форме и полярной форме; сложение, вычитание и умножение векторов; нахождение единичных векторов, результирующих векторов, а также величины и угла направления вектора; и многое другое.
Рабочие листы по тригонометрии
Просмотрите множество тригонометрических рабочих листов, касающихся основных, обратных тригонометрических отношений, квадрантов и углов, базовых и котерминальных углов, рабочих листов по теореме Пифагора и многого другого.
Бесплатные рабочие листы по алгебре, которые можно распечатать, а также найти в Интернете.
Станьте экспертом по алгебре Решайте эти бесплатные рабочие листы для печати По общему мнению, математика сложна, а алгебра невозможна. Если у вас нет четкого понимания основ, то вы, вероятно, чувствуете то же самое. Хорошая база по математике имеет решающее значение для успеха учащегося в алгебре. Если я начну учащегося с рабочего листа по алгебре 2, он или она может почувствовать себя потерянным, если пропустит алгебру 1. Когда учащийся теряется, он быстро теряет интерес. Незаинтересованные студенты-алгебраисты будут бороться. Лучший способ выучить алгебру — начать с самого начала и освоить основы. Я рекомендую начать с вводной алгебры, используя наши рабочие листы по элементарной алгебре. Порядок изучения должен быть следующим: предалгебра, алгебра1, алгебра 2 и промежуточная алгебра. Закончите все эти бесплатные рабочие листы, и вы будете на пути к тому, чтобы стать экспертом в решении алгебры.
Рабочие листы по алгебре легко распечатать Эффективные рабочие листы по алгебре должны быть просты в использовании. Все бесплатные рабочие листы на этом веб-сайте по алгебре можно распечатать и загрузить. Самый простой способ распечатать рабочие листы — это выбрать слово print на фактическом рабочем листе по алгебре. Это позволит получить доступ к вашему принтеру и распечатать рабочий лист. Другой способ — загрузить PDF-файл рабочего листа. Это позволит получить максимально качественный результат. Возможно, это лучший вариант для учителей, которые хотят раздавать листы с заданиями по алгебре в качестве раздаточного материала в классе. Вы можете открывать файлы PDF для печати в нескольких бесплатных программах. Широко используемой программой для открытия PDF-файлов является Adobe Reader. Заполните рабочие листы по алгебре онлайн с помощью iPad или современного браузера Мы только что добавили еще одно измерение в наши бесплатные рабочие листы по алгебре. Теперь вы можете выполнять их без использования принтера. Все наши рабочие листы имеют две версии. Первый — это печатный рабочий лист по алгебре, оптимизированный для печати. Вторая версия представляет собой онлайн-рабочий лист по алгебре. Онлайн-версия позволяет вам использовать iPad или другие планшетные устройства для заполнения рабочих листов. Наша передовая технология использует функцию мультитач мобильных устройств. Пишите числа пальцами прямо на листах по алгебре. Онлайн-рабочие листы по алгебре также можно выполнять на настольных и портативных компьютерах при использовании современных браузеров, таких как Chrome, Safari и Firefox. Практика по алгебре 1, алгебре 2, элементарной алгебре, предварительной алгебре, средней алгебре и задачам по алгебре Какой студент не получил бы удовольствия от работы с полиномами, терминами, уравнениями и алгебраическими структурами? Я не знаю многих, кто думал бы, что алгебра может быть интересной, когда они только начинают. Опытные студенты, изучающие алгебру, обнаружат, что решение задач — это интересно. Так как же дойти до того, что алгебра будет интересной? Тебе нужно потренироваться. К счастью, у нас есть множество рабочих листов по алгебре , на которых вы можете попрактиковаться. Рабочие листы охватывают различные уровни алгебры. Существуют рабочие листы по элементарной алгебре, предварительные рабочие листы по алгебре, рабочие листы по алгебре 1, рабочие листы по алгебре 2, рабочие листы по алгебре со словами и рабочие листы по промежуточной алгебре. У меня также есть алгебраический калькулятор, который вы можете использовать, когда будете решать задачи по алгебре. Вы ищете что-то более продвинутое? Вы можете попробовать онлайн-курс «Введение в линейные модели и матричную алгебру» Гарвардского университета. Ответы предоставляются Все рабочие листы по алгебре на этом веб-сайте имеют дополнительный PDF-файл с ответами. Это позволяет учащимся проверить свою работу. Это также полезно для учителей, у которых мало времени, поскольку они могут упростить процесс выставления оценок. Зачем мне изучать алгебру? Каждое испытание, с которым вы сталкиваетесь в жизни, делает вас умнее. Успешное преодоление препятствий, представленных алгеброй, улучшит ваши навыки критического мышления, которые могут принести дивиденды в будущем. Изучение основ алгебры закладывает основу для изучения геометрии, тригонометрии и исчисления в будущем. Самая главная причина, по которой вы должны начать свое путешествие по алгебре, заключается в том, что она используется в повседневной жизни. Покупки, банковское дело, путешествия и приготовление пищи — все это использует элементы алгебры. Вы можете узнать больше об алгебре из Стэндфордской энциклопедии философии. Даже если вы только начинаете изучать алгебру, наши бесплатные рабочие листы помогут Получение помощи по алгебре является важной частью учебного процесса.
Онлайн-калькулятор Semestr Math. Основные возможности
Оформление результатов в формате Word
По умолчанию все вычисления оформляются в файле формата MS Word. Однако следует учесть, что такая возможность имеется только для браузеров, поддерживающих javascript. Если javascript отключены, необходимо включить их (в настройках браузера). В остальных случаях всегда доступен просмотр решения в формате html (т.е. непосредственно в браузере).
Решение в Word не доступно чаще всего в этих случаях:
В браузере установлен блокиратор AdBlock (AdFender, AdMuncher, Adguard). Если установлены антивирусы Kaspersky, DrWeb или Avast), то необходимо временно отключить этот фильтр или добавить сайт в список исключений (Подробнее).
Если Вы ранее пользовались калькулятором, то необходимо очистить кэш вашего браузера и перезагрузить страницу.
Загрузились не все javascript на предыдущем шаге. Необходимо вернуться на предыдущий шаг, обновить страницу и дождаться загрузки всех скриптов javascript. 2
Работа с формулами WORD
Для редактирования формул в MS Word 2003 используйте Shift+F9 или двойной щелчок мышью для запуска редактора формул Equation 3.0.
Частые вопросы и ответы
Использовал ваш метод ветвей и границ, но рисунки не подгружаются.
Если количество рисунков на странице решения больше 15, то многие из них сразу не будут отображены. Для их отображение нажмите на правую кнопку мыши и выполните команду Перезагрузить изображение.
Картинки в калькуляторе Графический метод все равно не отображаются.
Проверьте формат входных данных. Например, положительные числа записываются без знака +. Правильно: 3,6,11. Неправильно: +3,+5.
Не получается решить задачу методом ветвей и границ с тремя переменными На данный момент сервис учитывает только две переменные. (1/5)-1
Не могу скачать решение в Word Файл в Word необходимо скачать в течение 20 минут после получения решения.
В полученном решении формата Word в тексте встречаются слова Ошибка.
Возможно в двух случаях.
1. Это особенности отображения формул при большом размере шрифта. Необходимо выделить формулу Ошибка и выбрать меньший размер шрифта. Если формула находится в таблице, можно увеличить ширину столбца.
2. Зависит от региональных настроек интерфейса программы MS Word. А именно, какой символ используется в качестве разделителя списков. Подробнее.
Автозаполнение данных в браузере
Чтобы не заполнять ранее введенные данные, нажмите кнопку Backspace на клавиатуре.
Часто на ней просто нарисована стрелка, направленная влево.
Или можно нажать кнопку Назад в меню браузера.
Использование Microsoft Excel в качестве калькулятора
Знакомство с Excel
Справка и обучение по Excel
Знакомство с Excel
Знакомство с Excel
Использование Microsoft Excel в качестве калькулятора
Создание книги
Статья
Вставка и удаление листов
Статья
Как перемещать и копировать листы или их данные в Excel
Статья
Печать листа или книги
Статья
Использование Microsoft Excel в качестве калькулятора
Статья
Автоматическое заполнение ячеек листа данными
Статья
Создание раскрывающегося списка
Статья
Далее:
Строки и столбцы
Вместо калькулятора используйте для математических расчетов Microsoft Excel!
Вы можете ввести простые формулы для с суммы, деления, умножения и вычитания двух или более числных значений. Кроме того, с помощью функции «Автоумма» можно быстро свести ряд значений, не вводя их в формулу вручную. Создав формулу, вы можете скопировать ее в смежные ячейки, не создав одну и ту же формулу раз за разом.
Вычитание в Excel
Умножение в Excel
Деление в Excel
Простые формулы
Все записи формул начинаются со знака равенства (=). Чтобы создать простую формулу, просто введите знак равенства, а следом вычисляемые числовые значения и соответствующие математические операторы: знак плюс (+) для сложения, знак минус (—) для вычитания, звездочку (*) для умножения и наклонную черту (/) для деления. Затем нажмите клавишу ВВОД, и Excel тут же вычислит и отобразит результат формулы.
Например, если в ячейке C5 ввести формулу =12,99+16,99 и нажать клавишу ВВОД, Excel вычислит результат и отобразит 29,98 в этой ячейке.
Формула, введенная в ячейке, будет отображаться в строке формул всякий раз, как вы выберете ячейку.
Важно: Хотя существует функция СУММ, функция ВЫЧЕСТЬ не существует. Вместо этого используйте в формуле оператор минус (-). Например, =8-3+2-4+12. Вы также можете использовать знак «минус» для преобразования числа в его отрицательное значение в функции СУММ. Например, в формуле =СУММ(12;5;-3;8;-4) функция СУММ используется для сложить 12, 5, вычесть 3, сложить 8 и вычесть 4 в этом порядке.
Использование автосуммирования
Формулу СУММ проще всего добавить на лист с помощью функции автосуммирования. Выберите пустую ячейку непосредственно над или под диапазоном, который нужно суммировать, а затем откройте на ленте вкладку Главная или Формула и выберите Автосумма > Сумма. Функция автосуммирования автоматически определяет диапазон для суммирования и создает формулу. Она также работает и по горизонтали, если вы выберете ячейку справа или слева от суммируемого диапазона.
Примечание: Функция автосуммирования не работает с несмежными диапазонами.
Автосуммирование по вертикали
На рисунке выше показано, что функция автосуммирования автоматически определила ячейки B2: B5 в качестве диапазона для суммирования. Вам нужно только нажать клавишу ВВОД для подтверждения. Если вам нужно добавить или исключить несколько ячеек, удерживая нажатой клавишу SHIFT, нажимайте соответствующую клавишу со стрелкой, пока не выделите нужный диапазон. Затем нажмите клавишу ВВОД для завершения задачи.
Руководство по функции Intellisense: СУММ(число1;[число2];. ..) Плавающий тег под функцией — это руководство Intellisense. Если щелкнуть имя функции или СУММ, изменится синяя гиперссылка на раздел справки для этой функции. Если щелкнуть отдельные элементы функции, их представительные части в формуле будут выделены. В этом случае будет выделен только B2:B5, поскольку в этой формуле есть только одна ссылка на число. Тег Intellisense будет отображаться для любой функции.
Автосуммирование по горизонтали
Дополнительные сведения см. в статье о функции СУММ.
Избегание переписывания одной формулы
После создания формулы ее можно просто копировать в другие ячейки, а не создавать ту же формулу. Вы можете скопировать формулу или использовать маркер заполнения для копирования формулы в смежные ячейки.
Например, когда вы копируете формулу из ячейки B6 в ячейку C6, в ней автоматически изменяются ссылки на ячейки в столбце C.
При копировании формулы проверьте правильность ссылок на ячейки. Ссылки на ячейки могут меняться, если они являются относительными. Дополнительные сведения см. в статье Копирование и вставка формулы в другую ячейку или на другой лист.
Что использовать в формуле для имитации клавиш калькулятора?
Клавиша калькулятора
Метод Excel
Описание, пример
Результат
+ (клавиша плюс)
+ (плюс)
Используйте в формуле для сложения чисел. Пример: =4+6+2
12
— (клавиша минус)
— (минус)
Используйте в формуле для вычитания чисел или обозначения отрицательного числа.
Пример: =18-12
Пример: =24*-5 (24 умножить на отрицательное число 5)
6
-120
x (клавиша умножения)
* (звездочка)
Используйте в формуле для умножения чисел. Пример: =8*3
24
÷ (клавиша деления)
/ (косая черта)
Используйте в формуле для деления одного числа на другое. Пример: =45/5
9
% (клавиша процента)
% (процент)
Используйте в формуле со знаком * для умножения на процент. Пример: =15%*20
3
√ (квадратный корень)
SQRT (функция)
Используйте функцию SQRT в формуле, чтобы найти квадратный корень числа. Пример: =SQRT(64)
8
1/x (обратная величина)
=1/n
Используйте в формуле выражение =1/n, где n — число, на которое нужно разделить 1.
Пример: =1/8
0,125
Дополнительные сведения
Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.
Калькулятор цифрового корня
Начнем с самого интересного применения цифрового корня:
фокус !
Во-первых, вам нужен такой же занудный друг, как и вы. Попросите их мысленно выбрать число от 1 до 10. Теперь попросите их умножить его на 9 и найти сумму цифр кратного. Теперь притворитесь, что читаете их мысли, и скажите им, что они получили 9 в качестве ответа. Вы можете проделать этот трюк и с гораздо большими числами, однако вашему другу может потребоваться немного больше времени, чтобы вычислить цифровой корень из больших чисел, не зная этого трюка. Обратитесь к Свойству 1, упомянутому ниже, для получения дополнительных разъяснений по этому вопросу.
А теперь время откровений! Например, ваш друг выбрал 5. Умножив 5 на 9, он получит 45. «4+5=9», что не должно быть слишком сложно вычислить. Вы можете усложнять фокус, добавляя дополнительную драму, например, попросив друга перетасовать цифры.
Цифровые корни можно использовать как примитивный способ проверки точности арифметических операций, таких как вычитание, умножение и сложение.
Давайте посмотрим, как мы можем использовать цифровой корень для проверки правильность умножения . Чтобы проверить правильность умножения или нет, перед выполнением умножения вычислите цифровой корень чисел в обеих частях уравнения. Затем умножьте цифровые корни и вычислите цифровой корень произведения. Цифровой корень в обеих частях уравнения должен быть равен, чтобы умножение было правильным. Давайте рассмотрим пример: 456*376= 398765 .
Давайте сначала посмотрим на левую часть уравнения и найдем сумму цифр в этой части. Цифровой корень из 456 это 6 . Цифровой корень 376 равен 7 . Перемножив 6 и 7 , мы получим 42 . Цифровой корень 42 равен 6 . Теперь цифровой корень правой части выглядит как 2 . Поскольку цифровые корни, полученные по обе стороны от знака равенства, различны, это умножение неверно.
Аналогичным образом давайте посмотрим, как мы можем использовать цифровой корень для проверки правильности задачи на вычитание . Например, рассмотрим 340-172=168 . Цифровой корень 340 равен 7 . Цифровой корень 172 равен 1 . Вычитая эти два, мы получаем 6 . Теперь давайте проверим цифровой корень правой стороны. Цифровой корень 168 равен 6 , так что это вычитание верно.
Цифровые корни также могут помочь обнаружить ошибки округления в последовательности Фибоначчи .
При вычислении последовательности Фибоначчи для очень больших чисел вычислительные программы могут округлить и, следовательно, привести к ошибке при создании следующего числа в последовательности. Цифровой корень последовательности Фибоначчи имеет 24-значный цикл (1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9)., 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9), что означает, что последовательность цифрового корня повторяется каждые 24 числа. Если есть какое-то изменение в ожидаемой последовательности цифровых корней, это может быть связано с ошибкой округления. Вы можете использовать наш калькулятор Фибоначчи, чтобы легко сгенерировать последовательность Фибоначчи!
Мы также можем использовать метод цифровой суммы для корректности квадратного корня .
Здесь, просто взглянув на цифровой корень полного квадрата, мы можем догадаться, правильный он или нет. Цифровым корнем полного квадрата будет одна из четырех цифр 1, 4, 7, 9.только. Следовательно, если мы найдем любую другую цифру в качестве цифровой суммы, число точно не будет идеальным квадратом.
Калькулятор квадратного корня — ТАБЛИЦА ОЦЕНОК Z
Калькулятор квадратного корня
Быстро вычисляйте квадратный корень с помощью нашего простого в использовании онлайн-калькулятора квадратного корня. Получите мгновенные результаты и сэкономьте время с помощью нашего эффективного инструмента.
Калькулятор квадратного корня
Введите число:
Как использовать наш калькулятор квадратного корня
Введите число, для которого вы хотите вычислить квадратный корень, в поле ввода с надписью «Введите число».
Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы увидеть квадратный корень из введенного числа.
Значение квадратного корня будет отображаться в сообщении под кнопкой «Рассчитать» с пометкой «Результат».
Если вы хотите вычислить квадратный корень для другого числа, просто введите новое число и снова нажмите «Вычислить».
Вот оно! Этот калькулятор может вычислять только квадратные корни. Если вам нужно вычислить другие типы корней, такие как кубический корень, корень четвертой степени, корень пятой степени и т. д., воспользуйтесь нашим калькулятором корней.
Руководство по квадратным корням: все, что вам нужно знать
Квадратные корни могут быть сложной темой для многих людей, но при правильном понимании и инструментах любой может освоить эту концепцию. В этом посте мы рассмотрим различные аспекты квадратных корней, в том числе способы их вычисления вручную, формулы, используемые в калькуляторах квадратных корней, и способы нахождения квадратного корня из полных квадратов. Мы также рассмотрим иррациональные числа, отрицательные квадратные корни и способы нахождения квадратных корней с помощью деления в длину. Помните, что если вам нужно выполнить быстрый расчет, вы всегда можете воспользоваться нашим бесплатным калькулятором квадратного корня выше.
Как вычислить квадратный корень
Прежде чем мы углубимся в различные методы вычисления квадратного корня, давайте сначала определим, что такое квадратный корень. Квадратный корень — это число, которое при умножении само на себя дает исходное значение. Например, квадратный корень из 81 равен 9, потому что 9, умноженное само на себя, равно 81. Символ квадратного корня представлен символом √ и используется для обозначения квадратного корня числа. Например, √25 равно 5.
Чтобы вычислить квадратный корень вручную, можно использовать несколько различных методов. Одним из наиболее распространенных является алгоритм квадратного корня, который включает в себя деление числа, из которого вы хотите найти квадратный корень, на серию меньших чисел. Например, чтобы найти квадратный корень из 64, вы должны начать с деления его на 2, что дает вам 32. Затем вы делите 64 на 32, что дает вам 2. Отсюда вы продолжаете процесс, пока не достигнете желаемого уровень точности.
Может ли квадратный корень быть отрицательным
Отрицательные числа являются важным аспектом математики и играют важную роль в квадратных корнях. Отрицательный квадратный корень — это квадратный корень, который меньше нуля. Например, квадратный корень из -81 равен -9.
Для вычисления отрицательных квадратных корней можно использовать те же методы, что и для положительных квадратных корней. Однако нужно иметь в виду, что результат будет отрицательным.
Вычисление квадратного корня вручную
Вычисление квадратного корня вручную может быть утомительным процессом, но это важный навык. Чтобы вычислить квадратный корень вручную, вы можете использовать метод, называемый делением в длину. Этот метод включает в себя разбиение числа, из которого вы хотите найти квадратный корень, на более мелкие части, а затем деление его на ряд меньших чисел, пока вы не достигнете желаемого уровня точности.
Например, чтобы найти квадратный корень из 100, сначала нужно разбить его на две цифры (10 и 0). Затем вы разделите 10 на 2, что даст вам 5. Затем вы добавите следующую цифру (0) и получите 50. Затем вы разделите 50 на 20, что даст вам 2,5. Вы продолжаете этот процесс, пока не достигнете желаемого уровня точности. Конечно, всегда достаточно просто ввести числа в онлайн-калькулятор квадратного корня выше и нажать «Рассчитать».
Почему квадратный корень из 2 иррационален
Число, которое нельзя представить в виде простой дроби, называется иррациональным числом. Квадратный корень из 2 — это пример иррационального числа, и он особенно интересен, потому что это одно из простейших иррациональных чисел.
Чтобы доказать, что квадратный корень из 2 иррационален, можно использовать доказательство от противного. Предположим, что квадратный корень из 2 можно выразить в виде дроби, а затем показать, что это приводит к противоречию. Доказательство относительно простое и включает в себя демонстрацию того, что если квадратный корень из 2 можно выразить в виде дроби, то эту дробь можно сократить до еще меньшей дроби, что противоречит исходному предположению.
Калькулятор квадратного корня Формула
Калькулятор квадратного корня — полезный инструмент для быстрого вычисления квадратного корня. Эти калькуляторы используют формулу для вычисления квадратных корней, основанную на алгоритме извлечения квадратного корня. Формула выглядит следующим образом:
x(n+1) = (x(n) + a/x(n))/2
, где x(n) — n-я оценка квадратного корня, а a — число, из которого вы хотите найти квадратный корень.
Чтобы использовать калькулятор квадратного корня, все, что вам нужно сделать, это ввести число, из которого вы хотите найти квадратный корень, и калькулятор предоставит вам результат.
Идеальный квадрат
Число считается идеальным квадратом, если оно является произведением целого числа на само себя. Например, 49 — это идеальный квадрат, поскольку он равен 7, умноженному на 7. Найти квадратный корень из полного квадрата несложно; вам просто нужно взять квадратный корень из целого числа. Например, квадратный корень из 49 равен 7.
Идеальная таблица квадратных корней
Число
Идеальный квадрат
Идеальный квадратный корень
0
0
0
1
1
1
9017
9 6 4
2
3
9
3
4
16
4
5
25
5
6
9016 6 9 01667 6
7 2
7
49
7
8
64
8
9
81
9
10
906 10
160 167
Квадратный корень из рациональных и иррациональных чисел
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде простой дроби, а иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде простой дроби. Чтобы вычислить квадратный корень из рационального числа, вы можете использовать алгоритм квадратного корня или калькулятор квадратного корня.
Для вычисления квадратного корня из иррационального числа можно использовать те же методы, что и для рациональных чисел. Однако результатом будет само иррациональное число.
Как найти квадратный корень с помощью длинного деления
Как мы упоминали ранее, длинное деление — это один из способов нахождения квадратного корня вручную. Чтобы использовать этот метод, вам нужно разбить число, из которого вы хотите найти квадратный корень, на более мелкие части, а затем разделить его на серию меньших чисел.
Чтобы найти квадратный корень числа с помощью деления в большую сторону, вы начинаете с группировки цифр числа в пары, начиная с самой правой цифры. Затем вы найдете наибольшее целое число, квадрат которого меньше или равен первой паре цифр. Это целое число становится первой цифрой квадратного корня. Вы вычитаете квадрат этого целого числа из первой пары цифр и опускаете следующую пару цифр. Затем вы повторяете процесс, пока не получите желаемый уровень точности.
Логические задачи с ответами, задания для детей на логику и смекалку
Математика и логика для детей
Классические текстовые задачи на логику, интерактивные задания на сообразительность
и внимательность. На сайте ЛогикЛайк 3500 заданий на логику!
Выберите возраст ученика, чтобы начать
4-5 лет
6-7 лет
1-2 класс
3-5 класс
6-9 класс
15+ для себя
На образовательной платформе LogicLike. com дети учатся рассуждать, развивают
логику, способности к математике и познавательный интерес. Взрослые
поддерживают мозг в хорошей форме и развивают смекалку.
У нас есть всё, что вы искали
Попробуйте полный курс ЛогикЛайк!
Логические задачи
Логические игры
Вопросы на логику
Перестановки
Найди лишнее
Наведи порядок
Арифметические ребусы
Решайте логические задачи и добивайтесь высоких результатов!
Logiclike — не просто задачки на логику. Вас ждёт курс
развития мышления, онлайн-тренажер, обучающий думать и рассуждать.
Классические логические задачи
Вопросы, загадки на логику, задачи на логику,
смекалку и сообразительность — хороший набор для развития
пытливости детского ума, любознательности и интереса к учебе, для полезного семейного досуга.
Регулярные тренировки в решении задач на логику помогают ребенку развивать нестандартное
мышление. Текстовые логические задачи, задания на поиск закономерностей, выстраивание
последовательностей особенно рекомендованы дошколятам и младшим школьникам.
Категории задач по возрасту с ответами и комментариями
5-6
лет
6-7
лет
1
класс
2
класс
3
класс
4
класс
Смотрите примеры задач на развитие логического мышления из Лаборатории LogicLike и
решайте онлайн.
Интересные нестандартные задачи на логику
Занимательные сюжеты, привлекательные для детей картинки, обучающие подсказки и комментарии к
ответам.
Закономерности,
последовательности
Задачи на истину и
ложь
Найди лишний предмет
(слово)
Головоломки из спичек
Математические
ребусы
Задачи на шахматном
поле
7 логических задач для разминки
Задача 1. Четвёртый лишний
Чтобы решать
задачи, нажмите Начать занятия!
Вопрос: Какой
предмет лишний в ряду?
Cмотреть
ответ
Ответ:
самолет.
Комментарий:
Автомобиль, фургон и грузовик относятся к наземному
транспорту, а самолёт — к воздушному.
Взять
подсказку
Подсказка
Найди общий признак для всех предметов, кроме
одного…
Задача 2.
Знакомимся
с высказываниями
Условие:
Вруниш (всегда говорит неправду) и Правдиш (всегда говорит правду) решили
взять для внука одного кота.
Правдиш: Рыжего брать не будем.
Вруниш: Возьмём белого.
Задание:
Определи, кого же они выбрали.
Узнать ответ
Ответ:
чёрный.
Решение
Правдиш говорит правду. Значит, кот-везунчик НЕ
рыжий.
Вруниш всегда говорит неправду. Значит, домой
возьмут НЕ белого кота.
НЕ рыжий и НЕ белый, значит, чёрный.
Взять
подсказку
Подсказка
Правдиш всегда говорит правду. Значит, рыжего кота
брать не будут.
Вруниш всегда говорит неправду. Добавь к его
высказыванию «НЕ» и посмотри, что
получится.
Задача 3. Последовательное
исключение вариантов
Условие: Вика,
Полина и Коля раскрашивали картинки карандашами трёх цветов: красным, синим
и зелёным
Вика раскрашивала НЕ красным и НЕ синим.
Коля – НЕ синим.
Вопрос: Какой
карандаш был у каждого ребёнка?
Узнать ответ
Ответ:
у Вики был зелёный
карандаш, у Полины — синий, у Коли — красный.
Взять
подсказку
Подсказка
Вика раскрашивала НЕ красным и НЕ синим.
Подумай, карандашом какого цвета она рисовала?
Попробуйте курс ЛогикЛайк
«ВСЯ ЛОГИКА В ИГРОВОЙ ФОРМЕ»
Гибкий ум
и уверенность Когда дети решают
задачи и головоломки на LogicLike, они тренируют «извилины»
и развивают смекалку.
Строим
фундамента успеха
Учим грамотно работать с информацией, тренируем память
и развиваем логико‑математический интеллект. Повышаем
познавательный интерес и уверенность в себе.
Глоток
«свежего воздуха» Потратьте 20-30
минут на себя, пока ребёнок занят полезным делом. Кстати, заниматься
на ЛогикЛайк интересно и взрослым.
Начать курс!
Задача 4. Думай частями
от целого
Условие: По
правилам пользования, грузовой лифт в гостинице вмещает и может перевезти не
более 15 взрослых или не более 20 детей.
Вопрос: Какое
наибольшее число детей может ехать в лифте с шестью взрослыми?
Узнать ответ
Ответ:
12.
Решение
Максимальный груз, который может безопасно
перевозить лифт — 15 взрослых или 20 детей. Пятая
часть этого максимального груза — это трое взрослых
или четверо детей.
Если в лифт зайдут 6 взрослых (две части от общей
допустимой массы), дети могут дополнить три
оставшиеся части:
4 ∙ 3 = 12.
Взять
подсказку
Подсказка
Есть некоторая максимальная масса груза, которую
может безопасно перевозить лифт.
Этот максимум — масса 15 взрослых человек или масса
20 детей.
Пятая часть этого максимального груза — это трое
взрослых или четверо детей.
Задача 5.
Математический ребус
Чтобы решать
задачи, нажмите «Начать занятия»!
Условие: Общая
стоимость фруктов по вертикали и горизонтали указана в таблице.
Задание: Найди
цену клубники.
Узнать ответ
Ответ:
1.
Решение
6 — 2 — 3 = 1.
Перейти
к интерактивным заданиям!
Взять
подсказку
Подсказка
Видишь ряд или столбец, в котором все фрукты
одинаковые?
Задача 6.
Группировка объектов
Условие: На
отдыхе папа, мама, сын, дочка и бабушка решили покататься. Они взяли
напрокат 3 велосипеда и 2 скутера.
У папы и мамы оказались разные транспортные средства, а у папы и дочки -
одинаковые.
Вопрос: Сын и
мама уехали на разном транспорте. На чём поехала бабушка?
Узнать ответ
Ответ:
У папы, дочери и
сына — велосипеды, у мамы и бабушки — скутеры.
Решение
У папы и мамы были разные транспортные средства.
Обозначим их кругами разного цвета.
Дополним схему в соответствии с условием: у папы и
дочки — одинаковый транспорт, у мамы и сына -
разный.
Очевидно, что у папы, дочери и сына — одинаковый
транспорт.
Это велосипеды, так как их было 3.
Получается, что у мамы и бабушки — скутеры.
Взять
подсказку
Подсказка
Обрати внимание, кто или что упоминается в условиях
чаще, чем другие. С этого и начни рассуждения.
Задача 7.
Разбираем, рассуждаем
Условие: Егор,
Иван и Сергей – друзья. У них разные увлечения: один пишет стихи, второй
играет в футбол, а третий — шахматист.
Как-то один из них сообщил другому: «Иван, мы обыграли соперника со счетом
2:1. Я смог отразить все пенальти!».
Иван тут же отправил их товарищу sms такого содержания: «Сергей, срочно
придумай стишок о победе наших футболистов».
Задание:
Догадайся, как зовут футболиста.
Узнать ответ
Ответ:
Егор.
Решение
Первое сообщение про победу адресовано Ивану, это
означает, что он не футболист.
Из следующего условия задачи понятно, что стихи
пишет Сергей.
Значит, в футбол играет Егор.
Взять
подсказку
Подсказка
Эту задачу можно решать с помощью таблицы или путем
последовательных рассуждений.
Учим решать задачи на логику
Ответы, решения, комментарии. Онлайн-формат на LogicLike.com.
3500 заданий, разделенных на 15 категорий и 5 уровней
сложности.
Более 40 видеоуроков, комментарии экспертов к задачам.
Сертификаты на разных этапах прохождения курса логики.
Занимайтесь логикой онлайн!
Более 150 000 родителей со всего мира уже
развивают логическое мышление со своими детьми.
Начать обучение!
Начать обучение
15 упражнений для тренировки мозга
Программистам без логики никуда. Поэтому время прокачать мозг: проверьте свои способности. Вам под силу эти логические задачи?
Полезно решать и логические задачи, и математические. Так вы развиваете логику и тренируете мозг. В силу профессии айтишнику крайне важно следить за тонусом своей главной «мышцы». Мозг любит задачки и головоломки, а ещё переключение внимания и отдых от рутины. Поэтому скорее приступим к развлечениям с пользой!
Логические задачи для разминки
1 задача
Поставьте правильное число вместо вопросительного знака:
4 5 6 7 8 9
61 52 63 94 46 ?
Ответ
Числа нижнего ряда – квадраты чисел верхнего ряда с перестановкой цифр. Вместо знака ставьте число 18.
2 задача
Один парень в компании предложил друзьям такой спор:
– Спорим, я выставлю бутылку на середину комнаты и вползу в неё.
И получилось. Он победил.
Как парню посчастливилось это сделать?
Ответ
Он без труда вполз в неё – в комнату.
3 задача
Представьте ряд из шести чашек на столе. Три первые из них ничем не наполнены, а три следующие – с водой. Как добиться чередования пустых чашек и чашек с водой? Касаться разрешается только одной чашки. При этом толкать чашку чашкой запрещается.
Что вы предпримете?
Ответ
Возьмите пятую чашку, перелейте из неё воду во вторую и поставьте чашку на место.
4 задача
В санатории на лужайке двое мужчин заняты настольным теннисом. Один ударяет ракеткой так сильно, что теннисный шарик улетает далеко и попадает в трубу из стали. Труба зарыта в землю вертикально на три метра. Шарик лежит на дне трубы, то есть на расстоянии трёх метров от плоскости земли. У игроков нет другого шарика.
Ответьте, как спортсменам достать игральный шар без извлечения трёхметровой трубы из-под земли?
Ответ
Спортсмены наполнят трубу водой до краёв, и тогда шарик всплывёт.
5 задача
Получится ли у вас записать число 1000 с использованием только восьми восьмёрок и символов математического сложения?
Ответ
888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000
Логические задачи основного комплекса
6 задача
Попробуйте установить принцип построения указанной последовательности:
8 2 9 0 1 5 7 3 4 6
Ответ
Последовательность цифр построена на основании алфавитного порядка их названий (восемь, два, девять, ноль и т. д.).
7 задача
Вообразите десятикилометровый мост через пролив. Максимальная нагрузка для него – 25 тонн. С начала этого моста стартовал грузовик, масса которого – ровно 25 тонн. Автомобиль продолжает движение к противоположному краю. Баланс моста пока не нарушен. Неожиданно, когда грузовик достиг середины этого путепровода, на него сел воробей со своим весом.
Вопрос к вам: приведёт ли вес птицы к нарушению балансировки и разрушению моста?
Ответ
Не приведёт. Так как грузовик преодолел путь до середины моста, что равно 5 км, расход потраченного топлива в разы превысил вес птицы.
8 задача
В одно и то же время к водному каналу приблизилось двое. Добраться до другого берега поможет лодка, которая рассчитана только на одну персону. Тем не менее, без стороннего участия оба переправились на противоположный берег на этой лодке.
Как люди справились?
Ответ
Люди приблизились к противоположным берегам водного канала.
9 задача
Отважного воина захватили слуги султана. Султан приказал отправить смельчака в темницу, где вместе с ним беспрерывно будут рядом два надзирателя. Один стражник исключительно правдив в разговоре, а второй лжёт. Внутри темницы оказались два закрытых входа. Войдёшь в один – выберешь «неволю навсегда», а в другой – «освобождение». Султан предложил воину избрать один вход: если это окажется «освобождение», то пленник свободен.
Воину позволили спросить надзирателей только один раз. То есть один вопрос на двоих надзирателей. Пленник не в курсе, кто из них лжец, а кто правдив. Надзиратели, несомненно, знают, какой вход подарит воину освобождение.
Какой вопрос задаст воин одному из стражников для достоверного определения входа, который означает «освобождение»?
Ответ
Воин задаст только один вопрос любому из надзирателей: «Если попросить твоего коллегу указать на вход «освобождение», то куда он направит меня?» В обеих ситуациях надзиратель укажет на «вход в неволю».
10 задача
В лесу десять родников с мёртвой водой: от первого до десятого. Мёртвая вода из родников с первого по девятый доступна каждому, а десятый родник во власти Кощея в пещере, в которую он никого не впускает. По вкусу и цвету мёртвую воду не отличить от обыкновенной, однако глоток воды из родника означает смерть. Спасёт только вода из родника с номером выше. Поэтому того, кто изначально выпьет десятую воду, ничего не спасёт.
Иванушка бросил вызов Кощею. Условились принести с собой чашку с водой и дать её осушить сопернику. Радости Кощея не было предела: «Ура! Я налью десятый яд, и Иванушка не спасётся! В то же время выпью то, что даст Иванушка, следом выпью десятый яд и останусь живым!»
В оговоренный день соперники столкнулись. Последовал честный обмен чашками. Содержимое выпито. При этом Кощей погиб, а Иванушка выжил.
Как Иванушка победил Кощея?
Ответ
Иванушка предложил Кощею обыкновенную воду. А Кощей, по неверным предположениям, «запил» её собственным десятым ядом. Перед встречей с соперником Иванушка выпил воду из любого родника. Вышло, что он запил яд Кощеевым десятым, что привело к нейтрализации яда.
Логические задачи для «растяжки»
11 задача
Отец решил задать своему сыну-школьнику каверзный вопрос: назови самое большое число. Ответ сына ошеломил отца, возразить было нечего.
Для программиста это дело лёгкое, правда? Но что сказал школьник?
Ответ
Тридцать первое. Предполагается число месяца.
12 задача
Воинственное племя захватило странника. Вождь хотел смерти страннику и позволил ему выбирать. Страннику разрешалось озвучить одну фразу. При правдивости фразы его сбросят с отвесной скалы. Окажись фраза лживая, и его отдадут львам на растерзание. Но странник подобрал такую фразу, которая подарила ему свободу.
Отгадайте, что это за фраза?
Ответ
Фраза: «Меня растерзают львы». Тогда, если бы вождь отдал странника львам на растерзание, то сказанная фраза стала бы правдивой, и его полагалось бы бросить с отвесной скалы. Но если странника сбросят со скалы, то фраза окажется лживой. Вождь посчитал, что исключительно правильным исходом будет подарить свободу страннику.
13 задача
После гулянки мужчина направлялся домой слегка навеселе. Он шёл по центру песчаной проселочной дороги. Путь не освещался лунным светом. К тому же, на дороге отсутствовали фонари. Одежда мужчины была чёрной. Вдруг на дорогу выехал автомобиль с выключенными фарами. В конце концов, водитель заметил мужчину и свернул.
Как ему удалось увидеть пешехода?
Ответ
На улице стоял день.
Логические задачи для заминки
14 задача
Вам даётся три письма. Одно придётся незамедлительно проглотить. В каждом письме найдёте пару предложений. Два предложения в одном письме истинные, в другом – ложные, а в третьем – пополам – истинное и ложное. Смотрите, какие там предложения:
Первое письмо:
Не ешьте это письмо.
Непременно съешьте второе письмо.
Второе письмо:
Не стоит есть первое письмо.
Жуйте третье письмо.
Третье письмо:
Есть это письмо не стоит.
Скорее съедайте первое письмо.
Поделитесь своим мнением, какое письмо съесть?
Ответ
Третье письмо.
15 задача
Вы очутились в помещении, в котором четыре двери и крошечное окошко. Три двери фальшивые, то есть за ними сразу кирпичная кладка. И одна дверь с выходом на улицу. Вам дали ключ, который открывает все четыре двери, однако вы без понятия, какая дверь выведет на улицу. Попытаться можно один раз. При открывании одной двери оставшиеся замки блокируются механически и безвозвратно. Вдобавок комната тёмная и слегка озаряется светом одной свечи.
Какие вы примете меры, чтобы отыскать единственную дверь, которая ведёт на улицу?
Ответ
Стоит распахнуть окошко и подставлять свечу по очереди к дверям: к щелям или к замочной скважине. При этом внимательно смотреть на пламя свечи. Колебание пламени будет указывать на выход.
Эти логические задачи показались вам лёгкими или не очень?
Попробуйте другие логические задачи:
Логика в программировании: логические задачи с собеседований
Тренируй свои мозги или ТОП-15 логических задач
20 математических головоломок для развлечения ваших учеников
Пришло время урока математики, а вашим ученикам скучно.
Это может показаться суровым, но это правда — только около половины учеников сообщают, что они вовлечены в школу, а уровень вовлеченности снижается только по мере того, как ученики становятся старше.
Математические головоломки — один из лучших и старейших способов поощрения участия учащихся. Головоломки, логические головоломки и математические загадки задают учащимся задачи, стимулирующие решение проблем и логическое мышление. Их можно использовать для геймификации в классе и для того, чтобы вдохновить учащихся на решение проблем, которые раньше казались им слишком сложными.
Пазлы для распечатки
Возьмите кроссворд и сделайте из него математику: такова основная концепция этого легко адаптируемого математического задания. Вместо слов учащиеся используют цифры для заполнения вертикальных и горизонтальных полос. Математические кроссворды можно адаптировать для обучения таким понятиям, как деньги, сложение или округление чисел. Решения могут быть произведениями уравнений или чисел, заданных подсказками.
2. Поиск математических задач
Предложите учащимся попрактиковаться в навыках сложения, вычитания, умножения и деления путем поиска скрытых математических уравнений в головоломке в стиле поиска слов. Его можно адаптировать к любому навыку, который вы хотите, чтобы учащиеся практиковали, и он способствует глубокому пониманию основных математических фактов.
3. Математические загадки
Ваши ученики любят текстовые задачи? Попробуйте дать им несколько математических загадок, которые сочетают критическое мышление с базовыми математическими навыками. Повесьте один на доске, чтобы учащиеся могли обдумать его перед началом урока, или раздайте его в качестве дополнительной практики после того, как они закончат свою работу.
4. Prodigy
Prodigy — увлекательная игровая платформа, превращающая математику в приключение! Хотя это и не математическая головоломка в традиционном смысле, Prodigy использует многие из тех же принципов для развития навыков критического мышления и беглости математики.
Учащиеся выполняют математические задания, соответствующие учебной программе, чтобы заработать монеты, собрать питомцев и выполнить квесты. Учителя могут предоставлять дифференцированный математический контент каждому учащемуся, готовиться к стандартизированным тестам и легко анализировать данные об успеваемости учащихся с помощью бесплатной учетной записи.
Зарегистрируйтесь сейчас 5. KenKen
KenKenKenKen
— это числовая головоломка на основе сетки, которая выглядит как комбинированный крест чисел и сетка судоку. Изобретенный в 2004 году известным японским учителем математики по имени Тэцуя Миямото, он ежедневно публикуется в The New York Times и другие газеты. Он предлагает учащимся практиковать свои основные математические навыки, применяя логику и навыки критического мышления для решения проблемы.
6. Предалгебраические головоломки
Предалгебраические головоломки используют забавные замены, чтобы подготовить учащихся к выполнению основных функций и побудить их развить навыки решения задач. Они способствуют абстрактному мышлению и побуждают учащихся критически относиться к стоящим перед ними задачам. В качестве дополнительного бонуса учащиеся, страдающие от математической тревожности, могут обнадежить отсутствие сложных уравнений и с большей готовностью попытаются найти решение.
7. Доска-головоломка домино
Игры 4 Gains
Существуют сотни способов использования домино на уроке математики, но эта головоломка дает учащимся возможность попрактиковаться в сложении и умножении в увлекательной игровой форме. Вы можете предложить учащимся работать в одиночку или в парах, чтобы собрать головоломку.
8. 2048
2048
В этой онлайн-игре и приложении игроки должны перемещать пронумерованные плитки по сетке, пока не достигнут 2048. назначая его после того, как остальная часть урока закончена. Это побуждает студентов стратегически обдумывать свой следующий шаг, и это отличный инструмент для изучения экспонентов.
9. Какуро
Математика на английском языке
Какуро, также называемое «Перекрестные суммы», представляет собой еще один математический кроссворд. Игроки должны использовать числа от одного до девяти, чтобы добраться до «подсказок» за пределами ряда. Уменьшите размер сетки, чтобы упростить ее для младших игроков, или оставьте ее без изменений для учащихся, которым нужны задачи. Учащиеся могут сочетать дополнение и критическое мышление и развивать несколько навыков с помощью одного веселого задания.
10. Магический квадрат
Википедия
Магические квадраты существуют уже тысячи лет и были представлены западной цивилизации в переводе арабских текстов в эпоху Возрождения. В то время как магические квадраты могут быть самых разных размеров, сетка три на три является самой маленькой из возможных версий и наиболее доступна для младших школьников.
Это также отличная математическая головоломка, которую стоит попробовать, если ваши ученики учатся тактильно. Используя переработанные крышки от бутылок, пометьте каждую цифрой от одного до девяти. Попросите учащихся расположить их в виде квадрата три на три так, чтобы сумма любых трех заглавных букв в строке (по горизонтали, вертикали и диагонали) равнялась 15.
11. Магический треугольник с периметром
В этом упражнении используются те же материалы и концепция, что и в магическом квадрате, но учащимся предлагается расположить числа от одного до шести в треугольнике, все три стороны которого равны одному и тому же числу. У этой головоломки есть несколько различных решений, поэтому предложите учащимся посмотреть, сколько из них они смогут найти.
12. Судоку
Судоку — отличное занятие после уроков, которое развивает логическое мышление и решение проблем. Вы, наверное, уже играли в эту классическую головоломку, и это отличный выбор для ваших учеников. Головоломки судоку появляются в газетах по всему миру каждый день, и существуют сотни онлайн-ресурсов, которые создают головоломки в зависимости от сложности.
13. Flexagon
Есть большая вероятность, что к настоящему времени в ваш класс проникли спиннеры. Если вы хотите противостоять этому вторжению, подумайте о том, чтобы предложить своим ученикам создать флексагоны. Флексагоны — это объекты, сложенные из бумаги, которые можно трансформировать в различные формы, сжимая и складывая, и они будут держать блуждающие пальцы занятыми и сосредоточенными на чудесах геометрии.
14. Переверни рыбу
TransumЭта головоломка
кажется простым, но это может поставить ваших учеников в тупик. Расставив палочки в нужном порядке, дайте им задание заставить рыбу плыть в другом направлении, переместив всего три спички.
15. Соедини точки
Cool Math 4 Kids
В этой головоломке учащиеся должны соединить все точки в сетке три на три, используя только четыре прямые линии. Хотя это может показаться простым, есть вероятность, что вашему классу потребуется некоторое время, чтобы найти решение. (Подсказка: это требует некоторого «нестандартного» мышления.)
16. Головоломки
Хотя они не всегда связаны непосредственно с математическими навыками, головоломки могут быть важными инструментами в развитии навыков критического мышления ребенка. Включите головоломки в обсуждение в классе или используйте их в качестве подсказок к математическому журналу и предложите учащимся объяснить свое мышление.
Бонус: для обсуждения вероятности познакомьте старшего класса с проблемой Монти Холла, одной из самых противоречивых математических логических задач всех времен.
17. Ханойская башня
Эта интерактивная логическая головоломка была изобретена французским математиком Эдуардом Лукасом в 1883 году. .
Жрецы перемещают эти диски в соответствии с правилами игры, чтобы исполнить пророчество, утверждающее, что конец света наступит с последним ходом головоломки. Но не беспокойтесь — жрецам потребуется около 585 миллиардов лет, чтобы закончить, так что вы сможете вписаться в остальную часть вашего математического класса.
Начиная с трех дисков, поставленных друг на друга, учащиеся должны переместить все диски с первого столба на третий, не кладя больший диск поверх меньшего. Старшие школьники могут даже узнать о функциях, лежащих в основе решения: минимальное количество ходов можно выразить уравнением 2n-1, где n — количество дисков.
18. Танграм
Википедия
Головоломки Танграм, которые возникли в Китае и были привезены в Европу в начале 19 века.через торговые пути — используйте семь плоских геометрических фигур, чтобы составить силуэты. Хотя танграмы обычно делаются из дерева, вы можете сделать наборы для своего класса из цветной плотной бумаги или войлока.
Танграммы — отличный инструмент для учащихся, которым нравится управлять своей работой. Существуют тысячи опубликованных задач, чтобы занять ваших учеников.
19. Str8ts
Str8ts
Подобно судоку, Str8ts предлагает игрокам использовать свои логические навыки для размещения чисел в пустых квадратах. Числа могут быть последовательными, но могут появляться в любом порядке. Например, строка может быть заполнена 5, 7, 4, 6 и 8 . Эта головоломка больше подходит для учащихся старшего возраста, и ее можно использовать в качестве задания до или после урока, чтобы укрепить основные логические навыки.
20. Лента Мебиуса
Это магия? Это геометрия? Ваши ученики будут настолько поражены, что им может быть трудно понять это. Попросите их смоделировать задачу с помощью полосок бумаги и самим посмотреть, как это работает в реальной жизни. Со старшими учениками используйте ленты Мебиуса, чтобы говорить о геометрии и площади поверхности.
Зачем использовать математические головоломки для обучения?
Критическое мышление и логические навыки важны для всех профессий, а не только для тех, кто связан с STEM. Головоломки побуждают учащихся понимать структуру и применять навыки логического мышления для решения новых задач.
Исследование Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education показало, что головоломки «развивают логическое мышление, комбинаторные способности, усиливают способность к абстрактному мышлению и работе с пространственными образами, прививают критическое мышление и развивают математическую память».
Все эти навыки позволяют юным учащимся заложить фундамент навыков, которыми они будут пользоваться всю оставшуюся жизнь, независимо от того, какое высшее образование они выберут.
Они помогают развить беглость математики
Математические игры могут помочь учащимся получить базовое понимание основных математических понятий и, как показывает другое исследование, также могут помочь им дольше запоминать понятия.
В ходе исследования ученики младших классов постепенно перешли от использования «счетной» части своего мозга для решения математических задач к «запоминающей» части, которую используют взрослые. Предполагается, что математические головоломки и повторяющиеся задачи могут помочь развить необходимый навык беглость математики .
Многие из вышеперечисленных математических головоломок позволяют учащимся практиковать основные навыки сложения, вычитания, умножения и деления, а сложные или модифицированные задачи можно использовать для ознакомления с предалгебраическими понятиями и углубленными логическими навыками.
Математические головоломки связаны с существующими учебными планами
Независимо от того, какую учебную программу вы используете, есть большая вероятность, что она делает упор на решение проблем, критический анализ и абстрактное мышление. Это особенно верно в отношении математики Common Core и подобных учебных программ.
Как математические навыки влияют на развитие учащихся
Математические головоломки позволяют учащимся развивать базовые навыки в ряде ключевых областей и могут повлиять на практический и абстрактный подход учащихся к математике. Вы также можете связать их со стратегиями, такими как активное обучение и дифференцированное обучение.
Вместо того, чтобы просто учить факты и формулы, математические головоломки позволяют вам напрямую связываться с основными стандартами учебной программы. Вы также можете использовать их, чтобы предоставить ценную отправную точку для измерения того, насколько хорошо учащиеся развивают свои навыки критического мышления и абстрактного мышления.
Советы по использованию математических головоломок в классе
Теперь, когда у вас есть несколько отличных математических головоломок, может быть сложно понять, как лучше всего использовать их в классе. Вот несколько советов, как максимально эффективно использовать время урока:
Убедитесь, что уровень головоломок подходит для вашего класса
Если задачи слишком простые, учащимся станет скучно, и они отвлекутся от урока. Однако, если проблемы слишком сложны для решения, есть большая вероятность, что они разочаруются и сдадутся раньше времени.
Есть время и место
Хотя математические головоломки — отличный способ вовлечь учащихся в развитие навыков критического мышления, они не являются инструментом для обучения важным математическим понятиям. Вместо этого используйте их, чтобы закрепить понятия, которые они уже изучили.
Китти Резерфорд, консультант по математике из Северной Каролины, подчеркивает, что математические головоломки и игры должны основываться не только на математических способностях в уме, но и на «концептуальном понимании», которое со временем улучшает беглость речи. Математические головоломки помогают установить необходимый баланс между мышлением и запоминанием.
Дайте им пространство для размышлений
Рэйчел Кин из факультета психологии Университета Вирджинии провела исследование навыков решения проблем у дошкольников. Она обнаружила, что «игровое, исследовательское обучение приводит к более творческому и гибкому использованию материалов, чем явное обучение взрослых».
Дайте учащимся пространство для борьбы с проблемой и применения собственных решений, прежде чем броситься им на помощь. Если задача соответствует классу и решаема, учащиеся узнают больше, применяя к ней собственные рассуждения, а не просто наблюдая за тем, как вы решаете ее за них.
Моделирование головоломок для ваших учеников
Используйте такие задачи, как лента Мебиуса, чтобы вызвать благоговейный трепет и удивление ваших учеников, прежде чем вовлечь их в более масштабное обсуждение математической концепции, которую она представляет. Если возможно, сделайте математические головоломки физическими, используя переработанные материалы для рукоделия или модульные инструменты.
После этого проведите обсуждение в классе или разместите подсказки в журнале по математике. Какие методы пробовали ваши ученики? Какие инструменты они использовали? Что сработало, а что нет? Когда учащиеся четко указывают, как они пришли к своему решению (или даже где они застряли), это побуждает их исследовать свой процесс и делать выводы из своего опыта.
Заключительные мысли о математических головоломках
Имейте в виду, что может потребоваться некоторое время, чтобы собрать всех ваших учеников на борту — они могут сомневаться в подходе к незнакомым задачам или застрять в отсутствии энтузиазма, которое часто приносит урок математики. Рассмотрите возможность создания еженедельной таблицы лидеров в своем классе для учеников, которые решают больше всего головоломок, или проработайте несколько вместе с классом, прежде чем отправлять учеников самостоятельно.
Вместо зевоты и скучающих взглядов приготовьтесь к активным участникам и вдумчивой концентрации. Независимо от того, решите ли вы использовать их в качестве бонуса после уроков, в первый день школьных занятий или как часть целевого плана урока, математические головоломки порадуют ваших учеников, а также позволят им развить важные навыки, которые они будут использовать для остальных. их жизни.
Чего ты ждешь? Загадывайте!
>>Создайте или войдите в свою учетную запись учителя в Prodigy — увлекательной игровой платформе для обучения математике, которую легко использовать как преподавателям, так и учащимся. В соответствии с учебными планами в англоязычном мире, его используют из более чем миллионов учителей и из 50 миллионов учащихся.
Зарегистрируйтесь сейчас
5 логических головоломок, которые сломают ваш мозг0003
Хочешь решить веселые и сложные логические головоломки и проверить свои умственные способности?
Попытки решить логические головоломки — один из лучших способов улучшить свои навыки решения проблем и логического мышления, одновременно получая массу удовольствия.
В сегодняшней публикации вы найдете коллекцию из 5 логических головоломок для детей и взрослых, сложность которых постепенно увеличивается, а также есть особая бонусная головоломка, которая ставит людей в тупик уже более 100 лет!
Обратите внимание, что решение каждой логической головоломки находится внизу поста (мы рекомендуем сначала решить все задачи самостоятельно, а затем проверить правильность ваших ответов).
Вы готовы начать?
5 логических головоломок, которые сломают ваш мозг
Некоторые из этих головоломок можно решить менее чем за одну минуту, в то время как другие достаточно сложны, чтобы поставить вас в тупик на весь день, подвергая ваш мозг испытанию!
Сегодня у вас будет возможность потренировать свой мозг, решив некоторые из этих знаменитых логических и числовых головоломок.
Итак, вы готовы принять вызов? И не забудьте решить бонусную головоломку — простую, но сложную загадку, которая существует уже более 100 лет.
А если вам нужны более подробные объяснения того, как решить каждую логическую головоломку, посмотрите наше видео 5 логических головоломок, которые сломают ваш мозг ниже, и обязательно нажмите кнопку «Нравится» и оставьте комментарий!
Посмотрите видео с 5 логическими головоломками: Логическая головоломка #1
Сколько всего блоков на диаграмме ниже?
Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.
Нажмите здесь, чтобы подписаться на нашу бесплатную еженедельную рассылку по электронной почте!
Логическая головоломка #2
Как далеко может пройти медведь в лесу?
Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.
Логическая головоломка #3
Как перевернуть пирамиду мармеладных мишек вверх дном, перемещая только 3 мармеладных мишек?
Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.
Вы ищете еще больше увлекательных математических загадок, головоломок и головоломок, чтобы поделиться ими со своими детьми?
Самая продаваемая рабочая тетрадь 101 математические загадки, головоломки и головоломки для детей от 10 лет! теперь доступен для загрузки в формате PDF. Вы можете получить свой сегодня, нажав здесь.
Логическая головоломка #4
Когда Берту исполнилось 14 лет, его младший брат Чип был вдвое моложе его. Если сегодня Берту 31 день рождения, то сколько лет Чипу?
Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.
Логическая головоломка #5
Если в комнате 7 медведей, и каждый из них обнимает друг друга один и только один раз, сколько всего медвежьих объятий было всего?
Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.
Бонусная логическая головоломка!
Исследователь, который проходит одну милю на юг, одну милю на восток и одну милю на север и в конечном итоге оказывается там же, где и начал. Пока он идет, он видит медведя. Какого цвета медведь?
Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.
Готовы к ответам?
Помните, что нет необходимости спешить с ответами на сегодняшние логические задачи. Можно подождать, пока вы не найдете ответ на каждую проблему, прежде чем прокрутить вниз, чтобы увидеть ответы ниже.
КЛЮЧ ОТВЕТА:
1.) 11 блоков
2.) Полпути (после этого медведь идет из леса)
3.) Схема:
4.) Чипу 24 года
5.) 21 объятие
Бонус: Медведь белый (Белый медведь на Северном полюсе)
Вы ищете еще больше увлекательных математических головоломок, чтобы поделиться ими со своими детьми?
Моя самая продаваемая рабочая тетрадь 101 ежедневные задания по математике для учащихся 3–8 классов теперь доступна для скачивания в формате PDF. Вы можете получить свой сегодня, нажав здесь.
Я пропустил вашу любимую математическую загадку для детей? Поделитесь своими мыслями, вопросами и предложениями в разделе комментариев ниже!
(Never miss a Mashup Math blog—click here to get our weekly newsletter!)
By Anthony Persico
Anthony is the content crafter and head educator for YouTube’s MashUp Math and советник кампании Amazon Education « With Math I Can ». Вы часто можете увидеть, как я с радостью разрабатываю анимированные уроки математики, которыми я делюсь на своих Канал YouTube . Или проводить слишком много времени в тренажерном зале или играть на своем телефоне.
Понимание влияния органических сорастворителей на структуру и функцию белка имеет ключевое значение для разработки ферментов для биотрансформации в неводных растворителях. Влияние ДМСО на каталитическую активность цитохрома P450 BM3 было ранее исследовано, и была определена важность Phe87 в его устойчивости к органическим сорастворителям…
Понимание влияния органических сорастворителей на структуру и функцию белков имеет ключевое значение для разработки ферментов для биотрансформации в неводных растворителях. Ранее было исследовано влияние ДМСО на каталитическую активность цитохрома Р450 ВМ3, и была определена важность Phe87 в его устойчивости к органическим сорастворителям. Чтобы исследовать механизм инактивации ДМСО и функциональную роль Phe87 в модулировании устойчивости P450 BM3 к органическим сорастворителям, гем-домен (Thr1-Leu455) варианта F87A сокристаллизовывали в присутствии 14% (об./об.) 28% (об./об.) ДМСО. При обеих концентрациях ДМСО белок сохранял каноническую структуру гемного домена P450 без каких-либо признаков частичного или глобального развертывания. Интересно, что в активном центре обеих структур была обнаружена молекула ДМСО, атом О которой направлен в сторону железа гема. Ориентация молекулы ДМСО указывает на процесс динамической координации, который конкурирует с молекулой воды в активном центре. Способность молекулы ДМСО координировать железо гема, вероятно, является основной причиной, по которой P450 BM3 инактивируется при повышенных концентрациях ДМСО. Данные позволили провести интересное сравнение со структурами дикого типа, о которых сообщалось ранее. Молекула ДМСО была обнаружена, когда белок дикого типа был помещен в 28% (об./об.) ДМСО, в котором молекула ДМСО координировала железо гема непосредственно через его атом S. Интересно, что молекулы ДМСО не наблюдали при 14% (об./об.) ДМСО для структуры дикого типа. Эти результаты свидетельствуют о том, что объемная фенильная боковая цепь Phe87 защищает гем от доступа молекулы ДМСО и объясняет более высокую толерантность фермента дикого типа к органическим сорастворителям по сравнению с его вариантом F87A.
Организационная принадлежность : 
Центр биомедицинских исследований Рудольфа Вирхова, Йозеф Шнайдер Штрассе 2, 97070 Вюрцбург, Германия.
Mathway | Популярные проблемы
1
Оценка с использованием заданного значения
квадратный корень из 50
2
Оценка с использованием заданного значения
квадратный корень из 45
3
Оценить
5+5
4
Оценить
7*7
5
Найти простую факторизацию
24
6
Преобразование в смешанный номер
52/6
7
Преобразование в смешанный номер
93/8
8
Преобразование в смешанный номер
34/5
9
График
у=х+1
10
Оценка с использованием заданного значения
квадратный корень из 128
11
Найдите площадь поверхности
сфера (3)
12
Оценка
54-6÷2+6
13
График
г=-2x
14
Оценить
8*8
15
Преобразование в десятичное число
5/9
16
Оценка с использованием заданного значения
квадратный корень из 180
17
График
у=2
18
Преобразование в смешанный номер
7/8
19
Оценить
9*9
20
Решить для C
С=5/9*(Ф-32)
21
Упростить
1/3+1 1/12
22
График
у=х+4
23
График
г=-3
24
График
х+у=3
25
График
х=5
26
Оценка
6*6
27
Оценить
2*2
28
Оценить
4*4
29
Оценить
1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30
Оценить
1/3+13/12
31
Оценить
5*5
32
Решите для d
2д=5в(о)-вр
33
Преобразование в смешанный номер
3/7
34
График
г=-2
35
Найдите склон
у=6
36
Преобразовать в проценты
9
37
График
у=2х+2
38
График
у=2х-4
39
График
х=-3
40
92+5х+6=0
41
Преобразование в смешанный номер
1/6
42
Преобразование в десятичное число
9%
43
Найти n
12н-24=14н+28
44
Оценить
16*4
45
Упростить
кубический корень из 125
46
Преобразование в упрощенную дробь
43%
47
График
х=1
48
График
у=6
49
График
г=-7
50
График
у=4х+2
51
Найдите склон
у=7
52
График
у=3х+4
53
График
у=х+5
54
График
92-9=0
58
Оценка с использованием заданного значения
квадратный корень из 192
59
Оценка с использованием заданного значения
квадратный корень из 25/36
60
Найти простую факторизацию
14
61
Преобразование в смешанный номер
7/10
62
Найди
(-5а)/2=75
63
Упростить
х
64
Оценить
6*4
65
Оценить
6+6
66
Оценить
-3-5
67
Оценить
-2-2
68
Упростить
квадратный корень из 1
69
Упростить
квадратный корень из 4
70
Найдите обратное
1/3
71
Преобразование в смешанный номер
20. 11.
72
Преобразование в смешанный номер
7/9
73
Найти LCM
11, 13, 5, 15, 14
, , , ,
92+2x-8=0
76
График
3x+4y=12
77
График
3x-2y=6
78
График
у=-х-2
79
График
у=3х+7
80
Определить, является ли многочлен
2x+2
81
График
у=2х-6
82
График
у=2х-7
83
График
у=2х-2
84
График
у=-2х+1
85
График
у=-3х+4
86
График
у=-3х+2
87
График
у=х-4
88
Оценить
(4/3)÷(7/2)
89
График
2x-3y=6
90
График
х+2у=4
91
График
х=7
92
График
х-у=5
93
Решение с использованием свойства квадратного корня 92-2x-3=0
Базовые алгоритмы нахождения кратчайших путей во взвешенных графах / Хабр
Наверняка многим из гейм-девелоперов (или просто людям, увлекающимися програмировагнием) будет интересно услышать эти четыре важнейших алгоритма, решающих задачи о кратчайших путях.
Сформулируем определения и задачу.
Графом будем называть несколько точек (вершин), некоторые пары которых соединены отрезками (рёбрами). Граф связный, если от каждой вершины можно дойти до любой другой по этим отрезкам. Циклом назовём какой-то путь по рёбрам графа, начинающегося и заканчивающегося в одной и той же вершине. И ещё граф называется взвешенным, если каждому ребру соответствует какое-то число (вес). Не может быть двух рёбер, соединяющих одни и те же вершины.
Каждый из алгоритмов будет решать какую-то задачу о кратчайших путях на взвешенном связном. Кратчайший путь из одной вершины в другую — это такой путь по рёбрам, что сумма весов рёбер, по которым мы прошли будет минимальна. 3 операций.
Псевдокод:
прочитать g // g[0 ... n - 1][0 ... n - 1] - массив, в котором хранятся веса рёбер, g[i][j] = 2000000000, если ребра между i и j нет
d = g
for i = 1 ... n + 1
for j = 0 ... n - 1
for k = 0 ... n - 1
if d[j][k] > d[j][i - 1] + d[i - 1][k]
d[j][k] = d[j][i - 1] + d[i - 1][k]
вывести d
Алгоритм Форда-Беллмана
Находит расстояние от одной вершины (дадим ей номер 0) до всех остальных за количество операций порядка n * m. Аналогично предыдущему алгоритму, веса могут быть отрицательными, но у нас не может быть циклов с отрицательной суммой весов рёбер.
Заведём массив d[0… n — 1], в котором на i-ой итерации будем хранить ответ на исходную задачу с ограничением на то, что в путь должно входить строго меньше i рёбер. Если таких путей до вершины j нет, то d[j] = 2000000000 (это должна быть какая-то недостижимая константа, «бесконечность»). В самом начале d заполнен 2000000000. Чтобы обновлять на i-ой итерации массив, надо просто пройти по каждому ребру и попробовать улучшить расстояние до вершин, которые оно соединяет. Кратчайшие пути не содержат циклов, так как все циклы неотрицательны, и мы можем убрать цикл из путя, при этом длина пути не ухудшится (хочется также отметить, что именно так можно найти отрицательные циклы в графе: надо сделать ещё одну итерацию и посмотреть, не улучшилось ли расстояние до какой-нибудь вершины). Поэтому длина кратчайшего пути не больше n — 1, значит, после n-ой итерации d будет ответом на задачу.
n итераций по m итераций, итого порядка n * m операций.
Псевдокод:
прочитать e // e[0 ... m - 1] - массив, в котором хранятся рёбра и их веса (first, second - вершины, соединяемые ребром, value - вес ребра)
for i = 0 ... n - 1
d[i] = 2000000000
d[0] = 0
for i = 1 ... n
for j = 0 ... m - 1
if d[e[j].second] > d[e[j].first] + e[j].value
d[e[j]. 2. Все веса неотрицательны.
На каждой итерации какие-то вершины будут помечены, а какие-то нет. Заведём два массива: mark[0… n — 1] — True, если вершина помечена, False иначе, d[0… n — 1] — для каждой вершины будет храниться длина кратчайшего пути, проходящего только по помеченным вершинам в качестве «пересадочных». Также поддерживается инвариант того, что для помеченных вершин длина, указанная в d, и есть ответ. Сначала помечена только вершина 0, а g[i] равно x, если 0 и i соединяет ребро весом x, равно 2000000000, если их не соединяет ребро, и равно 0, если i = 0.
На каждой итерации мы находим вершину, с наименьшим значением в d среди непомеченных, пусть это вершина v. Тогда значение d[v] является ответом для v. Докажем. Пусть, кратчайший путь до v из 0 проходит не только по помеченным вершинам в качестве «пересадочных», и при этом он короче d[v]. Возьмём первую встретившуюся непомеченную вершину на этом пути, назовём её u. Длина пройденной части пути (от 0 до u) — d[u]. 2, то есть эта вариация алгоритма Дейкстры не всегда быстрее классической, а только при маленьких m.
Что нам нужно в алгоритме Дейкстры? Нам нужно уметь находить по значению d минимальную вершину и уметь обновлять значение d в какой-то вершине. В классической реализации мы пользуемся простым массивом, находить минимальную по d вершину мы можем за порядка n операций, а обновлять — за 1 операцию. Воспользуемся двоичной кучей (во многих объектно-ориентированных языках она встроена). Куча поддерживает операции: добавить в кучу элемент (за порядка log(n) операций), найти минимальный элемент (за 1 операцию), удалить минимальный элемент (за порядка log(n) операций), где n — количество элементов в куче.
Создадим массив d[0… n — 1] (его значение то же самое, что и раньше) и кучу q. В куче будем хранить пары из номера вершины v и d[v] (сравниваться пары должны по d[v]). Также в куче могут быть фиктивные элементы. Так происходит, потому что значение d[v] обновляется, но мы не можем изменить его в куче. Поэтому в куче могут быть несколько элементов с одинаковым номером вершины, но с разным значением d (но всего вершин в куче будет не более m, я гарантирую это). Когда мы берём минимальное значение в куче, надо проверить, является ли этот элемент фиктивным. Для этого достаточно сравнить значение d в куче и реальное его значение. А ещё для записи графа вместо двоичного массива используем массив списков.
m раз добавляем элемент в кучу, получаем порядка m * log(n) операций.
Псевдокод:
прочитать g // g[0 ... n - 1] - массив списков, в i-ом списке хранятся пары: first - вершина, соединённая с i-ой вершиной ребром, second - вес этого ребра
d[0] = 0
for i = 0 ... n - 1
d[i] = 2000000000
for i in g[0] // python style
d[i.first] = i.second
q.add(pair(i.second, i.first))
for i = 1 ... n - 1
v = -1
while (v = -1) or (d[v] != val)
v = q.top.second
val = q.top.first
q.removeTop
mark[v] = true
for i in g[v]
if d[i.first] > d[v] + i. second
d[i.first] = d[v] + i.second
q.add(pair(d[i.first], i.first))
вывести d
Алгоритм Дейкстры - поиск кратчайшего пути в графе
Алгоритм Дейкстры — это метод, который находит кратчайший путь от одной вершины графа к другой. Граф — структура из точек-вершин, соединенных ребрами-отрезками. Его можно представить как схему дорог или как компьютерную сеть. Ребра — это связи, по ним можно двигаться от одной вершины к другой.
Графы используют для моделирования реальных объектов, а алгоритмы поиска пути — при их изучении, а также решении практических задач. Алгоритм Дейкстры работает для графов, у которых нет ребер с отрицательным весом, т.е. таких, при прохождении через которые длина пути как бы уменьшается.
В отличие от похожих методов, алгоритм Дейкстры ищет оптимальный маршрут от одной заданной вершины ко всем остальным. Попутно он высчитывает длину пути — суммарный вес ребер, по которым проходит при этом маршруте.
Кто пользуется алгоритмом Дейкстры
Математики и другие ученые, которые пользуются графами как абстрактными единицами. Задача поиска маршрута в науке может быть и чисто фундаментальной, и прикладной.
Дата-сайентисты. В этой области много математики, в том числе активно используется теория графов.
Сетевые инженеры, так как алгоритм Дейкстры лежит в основе работы нескольких протоколов маршрутизации. Сама по себе компьютерная сеть представляет собой граф, поэтому специалисты по сетям должны знать, что это такое.
Зачем нужен алгоритм Дейкстры
Основная задача — поиск кратчайшего пути по схеме, где множество точек соединено между собой отрезками. В виде такой схемы можно представить многие объекты реального мира, поэтому практических примеров использования алгоритма много:
автоматическое построение маршрута на онлайн-карте;
поиск системой бронирования наиболее быстрых или дешевых билетов, в том числе с возможными пересадками;
моделирование движения робота, который перемещается по местности;
разработка поведения неигровых персонажей, создание игрового ИИ в геймдеве;
автоматическая обработка транспортных потоков;
маршрутизация движения данных в компьютерной сети;
расчет движения тока по электрическим цепям.
Как работает алгоритм
Алгоритм Дейкстры пошаговый. Сначала выбирается точка, от которой будут отсчитываться пути. Затем алгоритм поочередно ищет самые короткие маршруты из исходной точки в другие. Вершины, где он уже побывал, отмечает посещенными. Алгоритм использует посещенные вершины, когда рассчитывает пути для непосещенных.
Это может звучать сложно, поэтому мы хотим показать вам, как это выглядит на примере. Возьмем такой граф: цифрами в кружках обозначены вершины, а числа возле ребер — это вес путей между ними.
Инициализация. Пусть вершиной, из которой мы будем считать маршруты, будет 0. Расстояние до самой себя у этой вершины логично равно нулю. Остальные мы пока не знаем, поэтому отметим символом бесконечности.
Расстояние от 0 до 0 помечаем равным нулю, а саму вершину — посещенной.
Первый шаг алгоритма. Мы выбираем еще не посещенную вершину с самой маленькой меткой относительно исходной — то есть такую, которая находится ближе всех. На первом шаге это одна из соседних вершин — та, которая соединена с исходной самым «маленьким» ребром.
Для графа, который мы рассматриваем, это точка 2. Мы выбираем ее, «переходим» в нее и смотрим уже на ее соседей.
Дальнейшие шаги алгоритма. Для выбранной точки нужно осмотреть соседей и записать длину пути до них с учетом пройденного пути. А потом выбрать ближнюю точку. Но есть нюанс: нужно учитывать точки, которые мы уже использовали в прошлый раз. Если они дают более «выгодный» путь, лучше воспользоваться ими.
Например, на выбранном графе есть точка 1. В нее можно перейти из точки 2, где мы находимся. Но этот путь будет длиннее, чем при переходе напрямую из точки 0, а ведь она для нас исходная. Поэтому «короткий путь» для точки 1 — это маршрут 0–1. Отмечаем вершину посещенной.
Шаги повторяются, пока на графе есть непосещенные точки. Если вершину не посетили, она не участвует в расчетах. Если после ее «открытия» появился новый, более короткий путь к какой-либо точке, то минимальное расстояние для нее перезаписывается.
Конец алгоритма. Когда непосещенные вершины заканчиваются, алгоритм прекращает работу. Результат его действия — список кратчайших маршрутов до каждой точки из исходной. Для каждого маршрута указана его длина.
Мы говорим «длина», но это условно. Например, при поиске билетов в роли веса ребра может выступать их цена, а при организации электрической цепи — расход электроэнергии.
Теория графов — обширная отрасль дискретной математики. Ее используют во множестве сфер, от химии до разработки. В профильных университетах теорию графов изучают на курсе дискретной математики. Также получить базу знаний и решать практические задачи под контролем наставника можно на курсах SkillFactory.
Кратчайший путь | Математика для гуманитарных наук
Результаты обучения
Определение вершин, ребер и петель графа
Определить степень вершины
Определить и нарисовать как путь, так и цепь через граф
Определить, подключен граф или нет
Найдите кратчайший путь через граф с помощью алгоритма Дейкстры
Когда вы посещаете веб-сайт, такой как Google Maps, или используете свой смартфон, чтобы узнать дорогу от дома до дома вашей тети в Пасадене, вы обычно ищете кратчайший путь между двумя точками. Эти компьютерные приложения используют представления карт улиц в виде графиков с расчетным временем в пути в качестве весовых коэффициентов.
Хотя часто можно найти кратчайший путь на небольшом графе методом угадывания и проверки, наша цель в этой главе — разработать методы для систематического решения сложных задач, следуя алгоритмам . Алгоритм — это пошаговая процедура решения проблемы. Алгоритм Дейкстры (произносится как дайк-стра) найдет кратчайший путь между двумя вершинами.
Алгоритм Дейкстры
1. Отметьте конечную вершину нулевым расстоянием. Назовите эту вершину текущей.
2. Найти все вершины, ведущие к текущей вершине. Вычислите их расстояния до конца. Поскольку мы уже знаем, на каком расстоянии от конца находится текущая вершина, потребуется просто добавить самое последнее ребро. Не записывайте это расстояние, если оно больше, чем ранее записанное расстояние.
3. Отметить текущую вершину как посещенную. Мы больше никогда не будем смотреть на эту вершину.
4. Отметьте вершину с наименьшим расстоянием как текущую и повторите действия, начиная с шага 2.
ПРИМЕР
Предположим, вам нужно проехать из Такомы, штат Вашингтон (вершина T), в Якима, штат Вашингтон (вершина Y). Глядя на карту, кажется, что ехать через Оберн (A), а затем через Маунт-Рейнир (MR) может быть кратчайшим, но это не совсем ясно, поскольку эта дорога, вероятно, медленнее, чем ехать по главному шоссе через Норт-Бенд (NB). Ниже показан график времени в пути в минутах. Также показан альтернативный маршрут через Итонвилль (E) и Паквуд (P).
Шаг 1: Отметьте конечную вершину нулевым расстоянием. Расстояния будут записаны в [скобках] после имени вершины
Шаг 2: Для каждой вершины, ведущей к Y, мы вычисляем расстояние до конца. Например, NB — это расстояние 104 от конца, а MR — 96 от конца. Помните, что расстояния в данном случае относятся к времени в пути в минутах.
Шаг 3 и 4: Мы отмечаем Y как посещенную и отмечаем вершину с наименьшим записанным расстоянием как текущую. В этот момент P будет обозначаться текущим. Вернемся к шагу 2.
Шаг 2 (#2): Для каждой вершины, ведущей в P (и не ведущей в посещенную вершину), мы находим расстояние от конца. Так как Е равно 96 минут от P, и мы уже подсчитали, что P составляет 76 минут от Y, мы можем вычислить, что E составляет 96+76 = 172 минуты от Y. и обозначим вершину с наименьшим зарегистрированным расстоянием как текущую: MR. Вернемся к шагу 2.
Шаг 2 (#3): Для каждой вершины, ведущей в MR (и не ведущей в посещенную вершину), мы находим расстояние до конца. Единственная рассматриваемая вершина — это A, так как мы уже посетили Y и P. Добавление расстояния MR 96 к длине от A до MR дает расстояние 96+79 = 175 минут от A до Y.
Шаги 3 и 4 (#3): Мы помечаем MR как посещенную и обозначаем вершину с наименьшим зарегистрированным расстоянием как текущую: NB. Вернемся к шагу 2.
Шаг 2 (№4): Для каждой вершины, ведущей к NB, мы находим расстояние до конца. Мы знаем, что кратчайшее расстояние от NB до Y равно 104, а расстояние от A до NB равно 36, поэтому расстояние от A до Y через NB равно 104+36 = 140. Так как это расстояние короче рассчитанного ранее расстояния от Y до А через MR, заменяем.
Шаги 3 и 4 (#4): Мы помечаем NB как посещенный и обозначаем A как текущий, так как теперь он имеет кратчайшее расстояние.
Шаг 2 (#5): T — единственная непосещаемая вершина, ведущая к A, поэтому мы вычисляем расстояние от T до Y через A: 20+140 = 160 минут.
Шаг 3 и 4 (#5): Мы помечаем A как посещенный, а E — как текущий.
Шаг 2 (#6): Единственная непосещаемая вершина, ведущая к E, — это T. Вычисляя расстояние от T до Y через E, мы вычисляем 172+57 = 229минут. Поскольку это больше, чем существующее отмеченное время, мы не заменяем его.
Шаг 3 (#6): Мы отмечаем E как посещенный. Поскольку все вершины были посещены, мы закончили.
Отсюда мы знаем, что кратчайший путь от Такомы до Якимы займет 160 минут. Отслеживая, какая последовательность ребер дала 160 минут, мы видим, что кратчайший путь — это T-A-NB-Y.
Алгоритм Дейкстры является оптимальным алгоритмом , а это означает, что он всегда выдает фактический кратчайший путь, а не просто довольно короткий путь, если он существует. Этот алгоритм тоже эффективен , что означает, что его можно реализовать за разумное время. Алгоритм Дейкстры требует около V2 вычислений, где V — количество вершин в графе[1]. Граф со 100 вершинами потребует около 10 000 вычислений. В то время как это было бы много, чтобы сделать вручную, это не так уж много для компьютера. Именно благодаря этой эффективности GPS-устройство вашего автомобиля может вычислить направление движения всего за несколько секунд.
[1] Его можно ускорить за счет различных оптимизаций реализации.
Напротив, неэффективный алгоритм может попытаться перечислить все возможные пути, а затем вычислить длину каждого пути. Попытка перечислить все возможные пути может легко потребовать 1025 вычислений для вычисления кратчайшего пути всего с 25 вершинами; это 1 с 25 нулями после нее! Для сравнения, самый быстрый компьютер в мире все равно потратил бы более 1000 лет на анализ всех этих путей.
ПРИМЕР
Транспортной компании необходимо направить посылку из Вашингтона, округ Колумбия, в Сан-Диего, Калифорния. Чтобы свести к минимуму затраты, посылка сначала будет отправлена в их центр обработки в Балтиморе, штат Мэриленд, а затем отправлена в рамках массовых поставок между их различными центрами обработки и в конечном итоге окажется в их центре обработки в Бейкерсфилде, Калифорния. Оттуда он будет доставлен на небольшом грузовике в Сан-Диего.
Время в пути в часах между их центрами обработки показано в таблице ниже. К каждому времени в пути было добавлено три часа для обработки. Найдите кратчайший путь из Балтимора в Бейкерсфилд.
Балтимор
Денвер
Даллас
Чикаго
Атланта
Бейкерсфилд
Балтимор
*
15
14
Денвер
*
18
24
19
Даллас
*
18
15
25
Чикаго
15
18
18
*
14
Атланта
14
24
15
14
*
Бейкерсфилд
19
25
*
Хотя мы могли бы нарисовать график, мы также можем работать непосредственно с таблицей.
Шаг 1: Конечная вершина Бейкерсфилд помечается как текущая.
Шаг 2: Все города, связанные с Бейкерсфилдом, в данном случае Денвер и Даллас, рассчитываются по расстоянию; мы отметим эти расстояния в заголовках столбцов.
Шаг 3 и 4: Отметьте Бейкерсфилд как посещенный. Здесь мы делаем это, затеняя соответствующую строку и столбец таблицы. Мы помечаем Денвер как текущий, выделенный жирным шрифтом, так как это вершина с кратчайшим расстоянием.
Балтимор
Денвер
[19]
Даллас
[25]
Чикаго
Атланта
Бейкерсфилд
[0]
Балтимор
*
15
14
Денвер
*
18
24
19
Даллас
*
18
15
25
Чикаго
15
18
18
*
14
Атланта
14
24
15
14
*
Бейкерсфилд
19
25
*
Шаг 2 (#2): Для городов, связанных с Денвером, рассчитайте расстояние до конца. Например, Чикаго находится в 18 часах от Денвера, а Денвер — в 19 часах от конца, расстояние от Чикаго до конца составляет 18+19 = 37 (от Чикаго до Денвера до Бейкерсфилда). Атланта находится в 24 часах от Денвера, поэтому расстояние до конца равно 24+19 = 43 (от Атланты до Денвера до Бейкерсфилда).
Шаг 3 и 4 (#2): Мы отмечаем Денвер как посещенный и помечаем Даллас как текущий.
Балтимор
Денвер
[19]
Даллас
[25]
Чикаго
[37]
Атланта
[43]
Бейкерсфилд
[0]
Балтимор
*
15
14
Денвер
*
18
24
19
Даллас
*
18
15
25
Чикаго
15
18
18
*
14
Атланта
14
24
15
14
*
Бейкерсфилд
19
25
*
Шаг 2 (#3): Для городов, связанных с Далласом, рассчитайте расстояние до конца. Для Чикаго расстояние от Чикаго до Далласа равно 18, а от Далласа до конца — 25, поэтому расстояние от Чикаго до конца через Даллас будет 18 + 25 = 43. Поскольку это больше, чем отмеченное в настоящее время расстояние для Чикаго, мы не заменяем его. Для Атланты мы вычисляем 15+25 = 40. Так как это меньше, чем текущее отмеченное расстояние для Атланты, мы заменяем существующее расстояние.
Шаг 3 и 4 (#3): Мы отмечаем Даллас как посещенный, а Чикаго как текущий.
Балтимор
Денвер
[19]
Даллас
[25]
Чикаго
[37]
Атланта
[40]
Бейкерсфилд
[0]
Балтимор
*
15
14
Денвер
*
18
24
19
Даллас
*
18
15
25
Чикаго
15
18
18
*
14
Атланта
14
24
15
14
*
Бейкерсфилд
19
25
*
Шаг 2 (#4): Балтимор и Атланта — единственные непосещаемые города, связанные с Чикаго. Для Балтимора мы вычисляем 15+37 = 52 и отмечаем это расстояние. Для Атланты мы вычисляем 14+37 = 51. Поскольку это больше, чем существующее расстояние 40 для Атланты, мы не заменяем это расстояние.
Шаг 3 и 4 (#4): Отметьте Чикаго как посещенный, а Атланту как текущий.
Балтимор
[52]
Денвер
[19]
Даллас
[25]
Чикаго
[37]
Атланта
[40]
Бейкерсфилд
[0]
Балтимор
*
15
14
Денвер
*
18
24
19
Даллас
*
18
15
25
Чикаго
15
18
18
*
14
Атланта
14
24
15
14
*
Бейкерсфилд
19
25
*
Шаг 2 (#5): Расстояние от Атланты до Балтимора равно 14. Прибавив это к расстоянию, уже рассчитанному для Атланты, мы получим общее расстояние 14+40 = 54 часа от Балтимора до Бейкерсфилда через Атланту. Так как это больше рассчитываемого в настоящее время расстояния, мы не заменяем расстояние для Балтимора.
Шаг 3 и 4 (#5): Мы отмечаем Атланту как посещенную. Все города были посещены, и мы закончили.
Самый короткий маршрут из Балтимора в Бейкерсфилд займет 52 часа и пройдет через Чикаго и Денвер.
Попробуйте
Найдите кратчайший путь между вершинами A и G на приведенном ниже графике.
В следующем видео обобщены темы, затронутые на этой странице.
Введение в графики | Типы графиков
Введение
«В графиках есть магия. Профиль кривой мгновенно раскрывает всю ситуацию — историю жизни эпохи процветания. Кривая информирует ум, пробуждает воображение, убеждает».
– Генри Д. Хаббард
Визуализация — это мощный способ упростить и интерпретировать лежащие в основе шаблоны данных. Первое, что я делаю, когда работаю над новым набором данных, — это исследую его с помощью визуализации. И этот подход хорошо сработал для меня. К сожалению, я не вижу, чтобы многие люди так активно использовали визуализацию. Вот почему я подумал, что поделюсь с миром частью своего «секретного соуса»!
Использование графиков является одним из таких методов визуализации. Это невероятно полезно и помогает компаниям принимать более обоснованные решения на основе данных. Но чтобы детально понять концепции графов, мы должны сначала понять их основу — теорию графов.
В этой статье мы будем изучать концепции графов и теории графов. Мы также рассмотрим основы и основные свойства графов, а также различные типы графов.
Затем мы будем работать над конкретным примером, чтобы решить часто встречающуюся проблему в авиационной отрасли, применяя концепции теории графов с использованием Python.
Начнем!
Содержание
Знакомство с графиками
Почему графики?
Происхождение теории графов: семь мостов Кенигсберга
Основы графиков
Основные свойства и терминология, относящиеся к графикам
Типы графиков
Продолжение задачи о семи мостах Кенигсберга
Знакомство с деревьями
Обход графа
Реализация концепций теории графов для решения задачи авиакомпаний
Введение в графики 907:10
Рассмотрим график, показанный ниже:
Это хорошая визуализация продаж определенного товара в магазине. Но это не график, это график. Теперь вам может быть интересно, почему это диаграмма, а не график, верно?
Диаграмма представляет собой график функции. Позвольте мне объяснить это, расширив приведенный выше пример.
Из общего количества единиц определенного товара 15,1% продается в магазине А, 15,4% — в магазине Б и так далее. Мы можем представить это с помощью таблицы:
Каждому магазину соответствует его вклад (в %) в общий объем продаж. На приведенной выше диаграмме мы сопоставили магазин A с вкладом 15,1%, магазин B с 15,4% и т. д. и т. д. Наконец, мы визуализировали это с помощью круговой диаграммы. Но тогда в чем разница между этой диаграммой и графиком?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрите изображение, показанное ниже:
Точки на изображении выше представляют персонажей Игры престолов, а линии, соединяющие эти точки, представляют собой связь между ними. У Джона Сноу есть связи с несколькими персонажами, и то же самое касается Тириона, Серсеи, Джейми и т. д.
А вот так выглядит график. Одна точка может иметь соединения с несколькими точками или даже с одной точкой. Обычно граф представляет собой комбинацию вершин (узлов) и ребер. В представленном выше GOT-визуале все символы являются вершинами, а соединения между ними — ребрами.
Теперь у нас есть представление о том, что такое графы, но зачем нам вообще нужны графы? Мы рассмотрим этот актуальный вопрос в следующем разделе.
Почему графики? 907:10
Предположим, вы заказали такси Uber. Одна из самых важных вещей, которая имеет решающее значение для функционирования Uber, — это его способность эффективно подбирать водителей с пассажирами. Учтите, что есть 6 возможных аттракционов, с которыми вы можете совпасть. Итак, как Uber выделяет вам поездку? Мы можем использовать графики, чтобы визуализировать процесс распределения поездок:
Как вы понимаете, существует 6 возможных аттракционов (Поездка 1, Поездка 2, …. Поездка 6), с которыми может сочетаться всадник. Представление этого в виде графика упрощает визуализацию и, наконец, достижение нашей цели, то есть сопоставление ближайшей поездки к пользователю. Числа на приведенном выше графике представляют собой расстояние (в километрах) между гонщиком и его/ее соответствующей поездкой. Мы (и, конечно же, Uber) можем ясно представить, что Ride 3 — ближайший вариант.
Примечание. Для простоты я использовал только показатель расстояния, чтобы решить, какая поездка будет назначена гонщику. В то время как в реальном сценарии существует несколько показателей, по которым определяется распределение поездки, например, , например, , рейтинг гонщика и водителя, трафик между разными маршрутами, время, в течение которого гонщик простаивает, и т. д.
Точно так же агрегаторы онлайн-доставки еды, такие как Zomato, могут выбрать водителя, который заберет наши заказы из соответствующего ресторана и доставит их нам. Это один из многих вариантов использования графов, с помощью которого мы можем решить множество задач. Графики упрощают визуализацию и делают ее более интерпретируемой.
Чтобы понять концепцию графов в деталях, мы должны сначала понять теорию графов.
Происхождение теории графов: семь мостов Кенигсберга
Сначала мы обсудим истоки теории графов, чтобы получить интуитивное представление о графах. За его происхождением стоит интересная история, и я стремлюсь сделать его еще более интригующим, используя сюжеты и визуализации.
Все началось с семи мостов Кенигсберга. Задача (или просто головоломка) с мостами Кенигсберга заключалась в том, чтобы пройти через весь город, перейдя все семь мостов только один раз. Давайте сначала визуализируем его, чтобы иметь четкое представление о проблеме:
Попробуйте и посмотрите, сможете ли вы пройтись по городу с этим ограничением. Вы должны помнить о двух вещах, пытаясь решить вышеупомянутую проблему (или я должен сказать загадку?):
Вы не можете перейти ни один мост
Каждый мост нельзя пересекать более одного раза
Вы можете пробовать любое количество комбинаций, но взломать ее по-прежнему невозможно. Невозможно пройти через город, пройдя каждый мост только один раз. Леонард Эйлер углубился в эту загадку, чтобы понять, почему это такая невыполнимая задача. Давайте проанализируем, как он это сделал:
На изображении выше есть четыре разных места: два острова (B и D), две части материка (A и C) и всего семь мостов. Давайте сначала посмотрим на каждую землю отдельно и попробуем найти закономерности (если они вообще существуют):
Один из выводов из приведенного выше изображения заключается в том, что каждая земля связана с нечетным количеством мостов. Если вы хотите пересечь каждый мост только один раз, то вы можете войти и покинуть землю, только если она соединена с четным числом мостов. Другими словами, мы можем обобщить, что если есть четное количество мостов, то можно покинуть землю, а с нечетным - нельзя.
Давайте попробуем добавить еще один мост к текущей проблеме и посмотрим, сможет ли он решить эту проблему:
Теперь у нас есть 2 земли, соединенные четным числом мостов, и 2 земли, соединенные нечетным числом мостов. Нарисуем новый маршрут после добавления нового моста:
Добавление одного моста решило проблему! Вам может быть интересно, сыграло ли количество мостов значительную роль в решении этой проблемы? Должно ли оно быть ровным все время? Ну, это не всегда так. Эйлер объяснил, что наряду с количеством мостов имеет значение и количество участков земли с нечетным числом соединенных между собой мостов. Эйлер преобразовал эту задачу от земли и мостов к графам, где он представил землю как вершины, а мосты как ребра:
Здесь визуализация проста и кристально ясна. Прежде чем мы двинемся дальше и углубимся в эту проблему, давайте сначала разберемся с основами и основными свойствами графа.
Основы графов
Есть много ключевых моментов и ключевых слов, которые мы должны иметь в виду, когда имеем дело с графиками. В этом разделе мы подробно обсудим все эти ключевые слова.
Вершина : это точка, где сходятся несколько линий. Он также известен как узел . Вершина обычно обозначается алфавитом, как показано выше.
Край : Это линия, соединяющая две вершины.
Граф : Как обсуждалось в предыдущем разделе, граф представляет собой комбинацию вершин (узлов) и ребер. G = (V, E), где V представляет набор всех вершин, а E представляет набор всех ребер графа.
Степень вершины : Степень вершины – это количество соединенных с ней ребер. В приведенном ниже примере степень вершины A, deg(A) = 3, степень вершины B, deg(B) = 2.
Параллельное ребро : Если две вершины соединены более чем одним ребром, то эти ребра называются параллельными ребрами.
Multi Graph : Это графы с параллельными ребрами:
Вот некоторые основные принципы, которые вы должны помнить при работе с графиками. Теперь о понимании основных свойств графа.
Основные свойства и терминология, относящиеся к графам
До сих пор мы видели, как выглядит граф и его различные компоненты. Теперь мы сосредоточимся на некоторых основных свойствах и терминах, связанных с графом. Мы будем использовать приведенный ниже график (обозначенный как G) и понимать каждую терминологию, используя одно и то же:
Найдите минутку и подумайте о возможных решениях следующих вопросов:
Как далеко вершина от других вершин графа?
Каково максимальное расстояние между вершиной и всеми остальными вершинами?
Существует ли вершина, ближайшая ко всем остальным вершинам? Если да, то каково это кратчайшее расстояние?
Что является центральной точкой графика?
Я попытаюсь ответить на все эти вопросы, используя базовую терминологию графов:
Расстояние между двумя вершинами : это количество ребер на кратчайшем пути между двумя вершинами. Попробуем вычислить расстояние между вершинами A и D: Возможные пути между A и D: AB -> BC -> CD AD AB -> BD Из этих трех путей AD является кратчайшим, имеющим только один край. Следовательно, расстояние между A и D равно 1. Точно так же мы можем вычислить расстояние между каждой парой вершин. Итак, это ответило на наш первый вопрос об определении расстояния между любой парой вершин.
Эксцентриситет вершины : Максимальное расстояние между вершиной и всеми другими вершинами. Чтобы вычислить эксцентриситет любой вершины, мы должны знать расстояние между этой вершиной и всеми другими вершинами. Вычислим эксцентриситет для вершины A. Итак, расстояния равны: Расстояние между A и B – 1 Расстояние между A и C – 2 Расстояние между A и D – 1 Максимум всех этих расстояний – эксцентриситет вершины . Эксцентриситет A, e(A) = 2 : Когда эксцентриситет вершины высок, это означает, что есть вершины, которые находятся далеко от этой вершины. Это отвечает на наш второй вопрос, где мы стремились вычислить максимальное расстояние между вершиной и всеми другими вершинами.
Радиус связного графа : Минимальный эксцентриситет всех вершин графа называется радиусом этого графа. Сначала мы должны вычислить эксцентриситет для каждой вершины. Попробуйте рассчитать эксцентриситет самостоятельно, и если у вас возникнут трудности с вычислениями, не стесняйтесь спрашивать в разделе комментариев. Эксцентриситет для всех вершин: e(A) = 2 e(B) = 1 e(C) = 2 e(D) = 1 Минимальное значение эксцентриситета для всех вершин равно радиусу этого графа. В нашем случае минимальный эксцентриситет равен 1, и, следовательно, радиус графика равен: r(G) = 1 Он говорит нам о расстоянии вершины, которая является ближайшей ко всем остальным вершинам.
Диаметр связного графа : Радиус графа — это минимальное значение эксцентриситета для всех вершин, аналогично, Диаметр графа — это максимальное значение эксцентриситета для всех вершин. В нашем случае Диаметр графика равен: d(G) = 2
Центральная точка графика : Вершина, эксцентриситет которой равен радиусу графика, называется центральной точкой графика. Граф также может иметь более одной центральной точки. В нашем случае радиус графа равен 1, а вершины с эксцентриситетом, равным 1, — это B и D. Следовательно, «B» и «D» — центральные точки графа G. Это отвечает на наш последний вопрос об определении центральной точки. графика. Рассмотрим пример графа связности аэропорта. Таким образом, аэропорт, который соединен с большинством других аэропортов, может считаться центральным аэропортом.
Вот некоторые из терминов, связанных с графиками. Далее мы обсудим различные типы графиков.
Типы графиков
Существуют различные типы графиков. В этом разделе мы обсудим некоторые из наиболее часто используемых.
Нулевой граф: Это графы, которые не содержат ребер.
Нет связи между вершинами.
Неориентированный граф: Это графы, которые имеют ребра, но эти ребра не имеют определенного направления.
Направленный граф : Когда ребра графа имеют определенное направление, они называются ориентированными графами.
Рассмотрим пример соединений Facebook и Twitter. Когда вы добавляете кого-то в свой список друзей на Facebook, вы также будете добавлены в его список друзей. Это двусторонняя связь, и этот граф соединений будет ненаправленным. Принимая во внимание, что если вы подписаны на человека в Твиттере, этот человек может не подписаться на вас в ответ. Это ориентированный граф.
Связный граф : Когда нет недостижимой вершины, т. е. существует путь между каждой парой вершин, такие графы называются связными графами.
Несвязный граф : это те графы, которые имеют недостижимую вершину (вершины), т. Е. Между каждой парой вершин не существует пути. Если граф связен, то всегда существует путь от каждой вершины ко всем остальным вершинам этого графа. А если граф несвязный, то всегда найдется хотя бы одна вершина, не имеющая связи со всеми остальными вершинами графа. Это может помочь авиакомпаниям решить, все ли аэропорты подключены или нет. Они могут визуализировать стыковки, и, если есть какой-либо несвязанный аэропорт, могут быть введены новые рейсы, чтобы улучшить существующую ситуацию.
Обычный граф : Когда все вершины в графе имеют одинаковую степень, такие графы называются k-регулярными графами (где k — степень любой вершины). Рассмотрим два графика, показанные ниже:
Для графа-1 степень каждой вершины равна 2, следовательно, граф-1 является обычным графом. Граф-2 не является регулярным графом, так как степень каждой вершины неодинакова (для A и D степень равна 3, а для B и D — 2).
Теперь, когда у нас есть представление о различных типах графов, их компонентах и некоторых основных терминах, связанных с графами, давайте вернемся к проблеме, которую мы пытались решить, то есть к семи мостам Кенигсберга. Мы еще более подробно рассмотрим, как Леонард Эйлер подошел к своим рассуждениям и объяснил их.
Продолжение задачи о семи мостах Кенигсберга
Ранее мы видели, что Эйлер преобразовал эту задачу с помощью графов:
Здесь A, B, C и D обозначают землю, а соединяющие их линии — мосты. Мы можем вычислить степень каждой вершины.
град(В) = 5
град(А) = град(С) = град(D) = 3
Эйлер показал, что возможность обхода графа (города) по каждому ребру (мосту) только один раз строго зависит от степени вершин (земли). И такой путь, который содержит каждое ребро графа только один раз, называется путем Эйлера.
Можете ли вы вычислить путь Эйлера для нашей задачи? Давай попробуем!
Вот как можно решить классическую задачу «Семь мостов Кенигсберга» с помощью графов и пути Эйлера. И это в основном происхождение теории графов. Спасибо Леонарду Эйлеру!
Деревья — один из самых мощных и эффективных способов представления графа. В этом разделе мы узнаем, что такое бинарные деревья поиска, как они работают и как они делают визуализацию более интерпретируемой. Но прежде чем все это, найдите минутку, чтобы понять, что на самом деле представляют собой деревья в этом контексте.
Деревья — это графы, не содержащие ни одного цикла:
В приведенном выше примере первый граф не имеет цикла (он же дерево), а второй граф имеет цикл (A-B-E-C-A, следовательно, это не дерево).
Элементы дерева называются узлами. (A, B, C, D и E) — это узлы в приведенном выше дереве. Первый узел (или самый верхний узел) дерева известен как корневой узел, а последний узел (узел C, D и E в приведенном выше примере) известен как конечный узел. Все остальные узлы известны как дочерние узлы (узел B в нашем случае).
Пришло время перейти к одной из самых важных тем теории графов, а именно к обходу графа.
Обход графа
Предположим, мы хотим определить положение определенного узла в графе. Какое возможное решение для идентификации узлов графа? Как начать? Что должно быть отправной точкой? Как только мы узнаем начальную точку, как двигаться дальше? Я постараюсь ответить на все эти вопросы в этом разделе, объясняя концепции обхода графа.
Обход графа означает посещение каждой вершины и ребра графа ровно один раз в строго определенном порядке. Поскольку цель обхода состоит в том, чтобы посетить каждую вершину только один раз, мы отслеживаем пройденные вершины, чтобы не покрывать одну и ту же вершину дважды. Существуют различные методы обхода графа, и мы обсудим некоторые из известных методов:
Поиск в ширину
Мы начинаем с исходного узла (корневого узла) и проходим по графу по слоям. Шаги для поиска в ширину:
Сначала переместитесь по горизонтали и посетите все узлы текущего слоя.
Перейдите на следующий слой и повторите шаги, сделанные выше.
Позвольте мне объяснить это визуализацией:
Итак, при поиске в ширину мы начинаем с исходного узла (в нашем случае A) и двигаемся вниз к первому слою, т. е. к слою 1. Мы покрываем все узлы этого слоя, перемещаясь по горизонтали (B -> C). Затем переходим к следующему слою, т.е. Layer 2 и повторяем тот же шаг (движемся от D -> E -> F). Мы продолжаем этот шаг, пока все слои и вершины не будут покрыты.
Ключевое преимущество такого подхода в том, что мы всегда найдем кратчайший путь к цели. Это подходит для небольших графов и деревьев, но для более сложных и больших графов его производительность очень низкая, а также требуется много памяти. Мы рассмотрим другой подход обхода, который занимает меньше места в памяти по сравнению с BFS.
Поиск в глубину
Давайте сначала рассмотрим шаги, связанные с этим подходом:
Сначала мы выбираем исходный узел и сохраняем все его соседние узлы.
Затем мы выбираем узел из сохраненных узлов и сохраняем все его соседние узлы.
Этот процесс повторяется до тех пор, пока ни один узел не станет доступным.
Последовательность поиска в глубину для приведенного выше примера будет следующей:
А -> В -> Г -> Е -> С -> F
После того, как путь был полностью исследован, его можно удалить из памяти, поэтому DFS нужно сохранить только корневой узел, все дочерние элементы корневого узла и его текущее местоположение. Следовательно, он преодолевает проблему памяти BFS.
Двоичное дерево поиска
В этом подходе все узлы дерева располагаются в отсортированном порядке. Давайте посмотрим на пример двоичного дерева поиска:
.
Как упоминалось ранее, все узлы в приведенном выше дереве упорядочены на основе условия. Предположим, мы хотим получить доступ к узлу со значением 45. Если бы мы следовали BFS или DFS, нам потребовалось бы много вычислительного времени, чтобы добраться до него. Теперь давайте посмотрим, как двоичное дерево поиска поможет нам добраться до нужного узла, используя наименьшее количество шагов. Шагов для достижения узла со значением 45 с помощью двоичного дерева поиска:
Начинаем с корневого узла, т.е. 50.
Теперь 45 меньше 50 (45 < 50), поэтому мы движемся влево от корневого узла.
Затем мы сравниваем значения. Как оказалось, 45 больше 40 (45 > 40), поэтому мы двигаемся вправо от этого узла.
Здесь мы находимся в узле со значением 45.
Этот подход очень быстрый и требует очень меньше памяти. Были рассмотрены большинство концепций теории графов. Далее мы попытаемся реализовать эти концепции для решения реальной проблемы с помощью Python.
Реализация теории графов на Python для решения задачи авиакомпании
И, наконец, мы приступаем к работе с данными в Python! В этом наборе данных у нас есть записи о более чем 7 миллионах рейсов из США. Были предоставлены следующие переменные:
Пункт отправления и назначения
Запланированное время прибытия и отправления
Фактическое время прибытия и отправления
Дата поездки
Расстояние между источником и получателем
Общее эфирное время рейса
Это гигантский набор данных, и я взял из него только образец для этой статьи. Идея состоит в том, чтобы дать вам понимание концепций, используя этот образец набора данных, и затем вы можете применить их ко всему набору данных. Загрузите набор данных, который мы будем использовать для тематического исследования, отсюда . Сначала мы импортируем обычные библиотеки и считываем набор данных, который предоставляется в формате .csv:
.
импортировать панд как pd
импортировать numpy как np
данные = pd.read_csv('data.csv')
Давайте посмотрим на первые несколько строк набора данных, используя функцию head() :
data.head()
Здесь CRSDepTime , CRSArrTime , DepTime и ArrTime представляют запланированное время отправления, запланированное время прибытия, фактическое время отправления и фактическое время прибытия соответственно. Пункт отправления и пункт назначения являются пунктом отправления и пунктом назначения путешествия.
Часто может быть несколько путей из одного аэропорта в другой, и цель состоит в том, чтобы найти кратчайший путь между всеми аэропортами. Есть два способа определить путь как кратчайший:
По расстоянию
По эфиру
Мы можем решать такие задачи, используя концепции теории графов, которые мы уже изучили. Можете ли вы вспомнить, что нам нужно сделать, чтобы построить график?
Ответ заключается в определении вершин и ребер! Мы можем преобразовать задачу в граф, представив все аэропорты в виде вершин, а маршрут между ними — в виде ребер. Мы будем использовать NetworkX для создания и визуализации графиков. NetworkX — это пакет Python для создания, управления и изучения структуры, динамики и функций сложных сетей. Вы можете обратиться к документации NetworkX здесь.
После установки NetworkX мы создадим ребра и вершины для нашего графа, используя набор данных:
импортировать networkx как nx
df = nx.from_pandas_edgelist(data, source='Origin', target='Dest', edge_attr=True)
Он автоматически сохранит вершины и ребра. Взгляните на ребра и вершины графа, который мы создали:
df.nodes()
дф.края()
Давайте построим и визуализируем график, используя функции matplotlib и draw_networkx() networkx.
импортировать matplotlib.pyplot как plt
% matplotlib встроенный
plt.figure(figsize=(12,8))
nx.draw_networkx(df, with_labels=Истина)
Вышеупомянутая удивительная визуализация представляет различные маршруты полета. Предположим, пассажир хочет выбрать кратчайший маршрут от AMA до PBI . Теория графов снова приходит на помощь!
Попробуем рассчитать кратчайший путь, исходя из эфирного времени между аэропортами AMA и PBI. Мы будем использовать алгоритм кратчайшего пути Дейкстры . Этот алгоритм находит кратчайший путь от исходной вершины ко всем вершинам данного графа. Позвольте мне дать вам краткий обзор шагов, которым следует этот алгоритм:
Создает набор sptSet (набор деревьев кратчайших путей), который отслеживает вершины, включенные в дерево кратчайших путей, т. е. минимальное расстояние от исходной вершины вычисляется и завершается. Изначально это множество пусто.
Присвоить значение расстояния всем вершинам входного графа. Мы присваиваем значение 0 исходной вершине и значение INFINITE всем остальным вершинам.
Пока sptSet не включает все вершины, мы выполняем следующие подэтапы:
Выберите вершину, не входящую в sptSet и ближайшую к исходной вершине
Включить эту вершину в sptSet
Обновить расстояния до всех соседних вершин
Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять этот алгоритм:
Здесь исходной вершиной является A. Числа обозначают расстояние между вершинами. Изначально sptSet пуст, поэтому мы назначим расстояния для всех вершин. Дистанции:
{0, INF, INF, INF, INF, INF}, где INF представляет БЕСКОНЕЧНОЕ.
Теперь мы выберем вершину с минимальным расстоянием, т. е. A, и она будет включена в sptSet. Итак, новый sptSet — это {A}. Следующим шагом является выбор вершины, которая не входит в sptSet и находится ближе всего к исходной вершине. В нашем случае это B со значением расстояния 2. Так что это будет добавлено в sptSet.
sptSet = {A,B}
Теперь обновим расстояния вершин, прилегающих к вершине B:
Значение расстояния вершины F становится равным 6. Мы снова выберем вершину с минимальным значением расстояния, которая еще не включена в SPT (C со значением расстояния 4).
sptSet = {A,B,C}
Мы будем следовать аналогичным шагам, пока все вершины не будут включены в sptSet. Давайте реализуем этот алгоритм и попробуем вычислить кратчайшее расстояние между аэропортами. Для этого мы воспользуемся функцией dijkstra_path() networkx:
Это кратчайший путь между двумя аэропортами, исходя из расстояния между ними. Мы также можем рассчитать кратчайший путь на основе эфирного времени, просто изменив гиперпараметр weight='AirTime' :
Это кратчайший путь, основанный на эфирном времени. Интуитивно понятный и простой для понимания, это все о теории графов!
Конечные примечания
Это лишь одно из многих приложений теории графов. Мы можем применить его практически к любой проблеме и получить решения и визуализации. Некоторые из приложений теории графов, о которых я могу думать, это:
Поиск наилучшего маршрута доставки почты
Представление сетей связи. Например, ссылочную структуру веб-сайта можно представить с помощью ориентированных графов.
Определение социального поведения человека по графу его социальных связей
Планирование поездок, как обсуждалось в тематическом исследовании авиакомпаний
Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений
Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида
,
где m ≠ 0 и m ≠ 1.
Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.
В случае, если m = 0, уравнение
является линейным, а в случае, если m = 1, уравнение
является уравнением с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.
Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
Методом Бернулли.
Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.
Уравнение делим на :
,
.
Обозначим . Тогда , откуда
. Переходя к новой
переменной, получим уравнение
,
которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить
методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.
Решение методом Бернулли.
Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v.
Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение
.
Из слагаемых, содержащих функцию u в
первой степени, вынесем её за скобки:
.
Приравняв выражение в скобках нулю, то есть
,
получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v.
Функцию u следует находить из дифференциального
уравнения
,
которое также является уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.
1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³:
.
Введём обозначение , тогда
,
и приходим к уравнению
или
.
Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v, z‘ = u‘v + uv‘:
,
.
Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:
Полученную функцию v подставим в уравнение:
Тогда
2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив
его и y‘ = u‘v + uv‘
в данное дифференциальное уравнение, получим
Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:
Полученную функцию v подставим в уравнение и
определим функцию u:
И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Это уравнение, в котором m = −1.
Применив подстановку y = u ⋅ v,
получим
Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:
Полученную функцию v подставим в уравнение и
определим функцию u:
Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:
.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v. Получаем
Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися
переменными:
Подставляем v в данное уравнение и решаем
полученное уравнение:
или
Разделим переменные:
и проинтегрируем обе части уравнения:
Далее используем подстановку
:
.
Введём обозначения:
Продолжаем:
Таким образом, получаем функцию u:
.
и решение данного дифференциального уравнения:
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
при условии .
Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую —
нелинейные:
.
Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v, y‘ = u‘v + uv‘:
Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными:
Подставим функцию v в данное уравнение и
решим полученное дифференциальное уравнение:
Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:
.
Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:
Решаем:
Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u:
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:
.
Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:
В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:
.
И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом —
переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³,
получим
.
Введём новую функцию . Тогда
.
Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:
.
Найдём его общий интеграл:
,
.
Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем
или
.
Приравниваем нулю выражение в скобках:
Для определения функции u получаем уравнение
.
Разделяем переменные:
Интегрируем по частям:
Таким образом, общий интеграл данного уравнения
или
.
Назад
Листать
Вперёд>>>
К началу страницы
Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться с друзьями
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли
Все кто ищет готовые ответы на линейные дифференциальные уравнения пришли по правильному адресу. У нас Вы сможете не только получить быстрый ответ, но и научиться методике решения уравнений. Будет ли сложной схема Бернулли для линейных уравнений зависит от Вашего уровня подготовки. Разберите внимательно приведенные ответы и сделайте выводы, что и как Вам нужно углубленно изучить. Линейным дифференциальным уравнением первого порядканазывается уравнение вида y’+p(x)*y=g(x), где p(x) и g(x) – непрерывные на определенном промежутке функции.
1. Решение линейного дифференциального уравнения необходимо представить в виде произведения двух неизвестных функций y=u*v от аргумента u=u(x),v=v(x). Одну из этих функций можно выбрать произвольно, а вторая определяется из дифференциального уравнения. 2. По правилу производная произведения равна y=u*v,то y’=u’v+uv’. 3. Подставим запись функции y=u*v и производной y’=u’v+uv’ в уравнение y’+p(x)*y=g(x) и получим u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x). Сгруппируем второй и третий слагаемые, вынеся общий множитель (u) за скобки и придем к диф. уравнению u’v+u(v’+p(x)*v)=g(x). 4. Сперва определяем частное решение v=v(x), для этого решаем диф. уравнения v’+p(x)*v=0 и за произвольную постоянную интегрирования берем ноль (С=0). Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. 5. Далее подставим найденную функцию v=v(x) в исходное диф. уравнение u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x), которое при этом упростится до вида u’v+u*0=g(x), то есть к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными u’v(х)=g(x) относительно u(x). Из этого уравнения находим u=u(x)+С. 6. Имея u=u(x) и v=v(x) находим общее решение ДУ через произведение y=u*v=( u(x)+С)* v(x). 7. Если задана задача Коши то с дополнительной условия на решение y(x0)=y0 определяем сталую С.
Пример 1. Найти решение задачи Коши Решение:Имеем неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Запишем его в правильном виде, для этого перенесем в правую сторону функцию
Далее по схеме Бернулли делаем замену переменных y=u*v, y’=u’v+uv’, где u=u(x) і v=v(x). Учитывая что множители в левой части уровне и y2=u2v2 получим следующее уравнение
Согласно алгоритму Бернулли уравнение разделим на 2, для этого дужку слева (выделена черным) приравняем к нулю
Сводим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными
и решаем интегрированием
В результате получили экспоненту с отрицательным показателем синуса. При этом исходное дифференциальное уравнение достаточно упростится для поиска второй неизвестной пока функции
Перенесем экспоненту с отрицательным показателем в правую сторону
и сведем к ДУ с разделенными переменными
Интегрированием уравнения в дифференциалах
находим решение дифференциального уравнения
Как описано в начале, общее решение дифференциального уравнения равно произведению функций
Но это еще не конечная ответ к задаче. Найдем частичное решение дифференциального уравнения (задача Коши), для этого определим постоянную с начального условия на функцию
Сталая равна нулю, это позволяет упростить формулу решения диф. уравнения, хотя мало кто из Вас увидит эту подсказку
Мы нашли частичный решение дифференциального уравнения и он равен экспоненте в степени «икс» y=ex.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение та задачу Коши Решение:Задано неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, которое перепишем в виде
Выполняем замену переменных в уравнении , где «у» и «в» принимают функциональные зависимости Находим выражения которые фигурируют в записи
и подставляем в исходное дифференциальное уравнение
Далее схема вычислений заключается в разделении переменных. По алгоритму Бернулли выражение, содержащее «v» приравняем к нулю
Записываем уравнение в дифференциалах
Видим что имеем уравнение с разделяющимися переменным, поетому целесообразно разделить переменные
Проинтегрировав обе части
получим логарифм и синус.
Далее экспонируем обе части и таким образом находим одну из неизвестных функций
Исходное дифференциальное уравнение при этом упростится к виду
Экспоненту в отрицательном показателе переносим вправо от знака равенства
Далее распишем уравнения через дифференциалы (/2)
и сведем к уравнению с разделенными переменными
Интеграл в правой части выглядит тяжелым для высчисления, но если внести дужку под дифференциал, то получим показатель экспоненты
Окончательно после интегрирования получим
Общий интеграл дифференциального уравнения записываем через произведение функций
Чтобы найти частичное решение дифференциального уравнения (задачи Коши) используем начальное условие
Из него определим постоянную и подставим в уравнение частного решения дифференциального уравнения
На этом и построен алгоритм Бернулли вычислений дифференциальных уравнений такого типа. Используйте алгоритм решения уравнения Бернулли ко всем подобным дифференциальным уравнениям.
Назад
Вперёд
Калькулятор уравнения Бернулли
Если вы интересуетесь механикой жидкости, вам обязательно пригодится этот калькулятор уравнения Бернулли. Это инструмент, который позволяет вам сравнивать две точки вдоль линии тока и определять их высоту, скорость потока и давление.
Дополнительно можно использовать калькулятор Бернулли для определения расхода анализируемой жидкости. Таким образом, вы можете выбрать правильный диаметр трубы, чтобы обеспечить постоянный поток.
Пожалуйста, продолжайте читать, чтобы узнать больше об уравнении Бернулли, или взгляните на наш калькулятор плавучести!
Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли описывает стационарное течение несжимаемой жидкости. Это означает, что жидкость не меняет своих свойств (например, плотности) с течением времени. Согласно принципу Бернулли, полное давление такой жидкости (как статическое, так и динамическое) остается постоянным вдоль линии тока независимо от изменений окружающей среды.
92 + \rho h g = \text{constant}p+21ρv2+ρhg=constant
где:
ppp – давление в выбранной точке. Чтобы узнать больше о давлении, посетите наш раздел преобразования давления.
ρ\rhoρ – Плотность жидкости (постоянная во времени). Узнайте больше о плотности в нашем калькуляторе плотности.
vvv – скорость потока в данной точке;
ччч – высота выбранной точки; и
ggg — Ускорение свободного падения (на Земле обычно принимается равным 9,80665 м/с²). 92\! +\! \rho h_2 gp1+21ρv12+ρh2g=p2+21ρv22+ρh3g
Это означает, что если вы знаете пять из следующих значений: p1p_1p1, v1v_1v1, h2h_1h2, p2p_2p2 , v2v_2v2 и h3h_2h3, вы можете легко рассчитать шестую с помощью нашего калькулятора.
Если вы хотите выполнить эти расчеты вручную, просто выполните следующие действия:
Выберите плотность жидкости. Можно принять ρ=1000 кг/м³\rho = 1000\ \text{кг/м}³ρ=1000 кг/м³.
Определить свойства жидкости в начальной точке. Предположим, что жидкость находится под давлением 1000 Па , на высоте 3 метра и течет при 2 метра в секунду .
Выберите два из трех свойств жидкости во второй точке. Можно сказать, что давление увеличилось до 1200 Па без изменения высоты.
Вы также можете использовать калькулятор уравнения Бернулли, чтобы определить объемный и массовый расход вашей жидкости . Расход показывает, сколько кубических метров (в случае объемного расхода) или сколько килограммов (в случае массового расхода) проходит через одну точку на линии тока в течение одного часа.
Чтобы рассчитать скорость потока, вам нужно знать площадь поперечного сечения , через которое протекает жидкость. Поскольку вы обычно используете трубы, все, что вам нужно знать, это диаметр такой трубы. Затем можно рассчитать объемный расход по следующей формуле: 92v_2π(d/2)2v1=π(d/2)2v2
Чтобы рассчитать массовый расход ммм, просто умножьте объемный расход на плотность жидкости:
m=qρ\small
m = q\rhom=qρ
Массовый расход является одной из основных характеристик, указываемых для вентиляторов, турбин и т. д.
Несжимаемые и сжимаемые жидкости
Как упоминалось ранее, этот калькулятор уравнения Бернулли можно использовать только для анализа течение несжимаемой жидкости . В реальных приложениях уравнение Бернулли используется для проектирования систем водяных насосов, в которых необходимо контролировать изменение давления на всасывании насоса, чтобы избежать кавитации.
То, что вы знаете как сжимаемый газ, может стать несжимаемой жидкостью при более низких температурах . Это означает, что жидкость имеет постоянную плотность и не может быть сжата под давлением. Тем не менее, можно разработать аналогичное уравнение для сжимаемых жидкостей. В таком случае влияние изменения высоты не учитывается. Однако в этом случае расход зависит от дополнительной величины – удельной теплоемкости жидкости. Чтобы проверить применение уравнения Бернулли к потоку несжимаемой жидкости, воспользуйтесь нашим калькулятором силы Магнуса. 93}\]
Итак, как отмечалось выше, это линейное дифференциальное уравнение, которое мы знаем, как решать. Мы подробно остановимся на этом, а затем оставим детали остальных примеров в этом разделе для вас. Если вам нужно освежить в памяти решение линейных дифференциальных уравнений, вернитесь к этому разделу для быстрый обзор.
Обратите внимание, что мы опустили столбцы абсолютного значения для \(x\) в логарифме из-за предположения, что \(x > 0\).
Теперь нам нужно определить постоянную интегрирования. Это можно сделать одним из двух способов. Мы можем преобразовать приведенное выше решение в решение в терминах \(y\), а затем использовать исходное начальное условие, или мы можем преобразовать начальное условие в начальное условие в терминах \(v\) и использовать его. Поскольку в конце концов нам все равно придется преобразовать решение в \(y\), и это не добавит столько работы, мы сделаем это таким образом. 94}\left( {1 + 16\ln \frac{x}{2}} \right)}}\]
Обратите внимание, что мы немного упростили решение. Это поможет найти интервал действия.
Однако, прежде чем найти интервал достоверности, мы упомянули выше, что можем преобразовать исходное начальное условие в начальное условие для \(v\). Кратко поговорим о том, как это сделать.
Страница не найдена « Региональный центр развития образования
Вход и регистрация
Зарегистрироваться и войти
Планы работы РЦРО
Ежемесячные планы работы
Полезные ссылки
Спутники сайта
Извините, но вы ищете то чего здесь нет.
Главное
Конкурс на соискание премии Томской области в сфере образования, науки, здравоохранения и культуры и на звание «Лауреат премии Томской области в сфере образования, науки, здравоохранения и культуры»
Версия для слабовидящих
Архив
АрхивВыберите месяц Май 2023 (18) Апрель 2023 (90) Март 2023 (88) Февраль 2023 (52) Январь 2023 (52) Декабрь 2022 (82) Ноябрь 2022 (97) Октябрь 2022 (98) Сентябрь 2022 (66) Август 2022 (39) Июль 2022 (33) Июнь 2022 (58) Май 2022 (73) Апрель 2022 (103) Март 2022 (96) Февраль 2022 (63) Январь 2022 (51) Декабрь 2021 (68) Ноябрь 2021 (95) Октябрь 2021 (62) Сентябрь 2021 (92) Август 2021 (48) Июль 2021 (40) Июнь 2021 (54) Май 2021 (64) Апрель 2021 (111) Март 2021 (112) Февраль 2021 (87) Январь 2021 (74) Декабрь 2020 (125) Ноябрь 2020 (133) Октябрь 2020 (130) Сентябрь 2020 (96) Август 2020 (47) Июль 2020 (35) Июнь 2020 (83) Май 2020 (78) Апрель 2020 (86) Март 2020 (118) Февраль 2020 (117) Январь 2020 (77) Декабрь 2019 (115) Ноябрь 2019 (151) Октябрь 2019 (165) Сентябрь 2019 (100) Август 2019 (48) Июль 2019 (20) Июнь 2019 (52) Май 2019 (100) Апрель 2019 (180) Март 2019 (128) Февраль 2019 (118) Январь 2019 (86) Декабрь 2018 (103) Ноябрь 2018 (149) Октябрь 2018 (125) Сентябрь 2018 (78) Август 2018 (65) Июль 2018 (19) Июнь 2018 (57) Май 2018 (106) Апрель 2018 (140) Март 2018 (123) Февраль 2018 (116) Январь 2018 (71) Декабрь 2017 (130) Ноябрь 2017 (121) Октябрь 2017 (109) Сентябрь 2017 (82) Август 2017 (59) Июль 2017 (31) Июнь 2017 (52) Май 2017 (80) Апрель 2017 (112) Март 2017 (112) Февраль 2017 (83) Январь 2017 (76) Декабрь 2016 (96) Ноябрь 2016 (92) Октябрь 2016 (101) Сентябрь 2016 (74) Август 2016 (51) Июль 2016 (25) Июнь 2016 (53) Май 2016 (80) Апрель 2016 (92) Март 2016 (81) Февраль 2016 (60) Январь 2016 (49) Декабрь 2015 (54) Ноябрь 2015 (82) Октябрь 2015 (70) Сентябрь 2015 (72) Август 2015 (24) Июль 2015 (16) Июнь 2015 (60) Май 2015 (56) Апрель 2015 (78) Март 2015 (74) Февраль 2015 (59) Январь 2015 (39) Декабрь 2014 (52) Ноябрь 2014 (48) Октябрь 2014 (76) Сентябрь 2014 (67) Август 2014 (81) Июль 2014 (18) Июнь 2014 (33) Май 2014 (52) Апрель 2014 (67) Март 2014 (68) Февраль 2014 (68) Январь 2014 (35) Декабрь 2013 (45) Ноябрь 2013 (46) Октябрь 2013 (43) Сентябрь 2013 (42) Август 2013 (86) Июль 2013 (10) Июнь 2013 (40) Май 2013 (28) Апрель 2013 (76) Март 2013 (62) Февраль 2013 (47) Январь 2013 (29) Декабрь 2012 (44) Ноябрь 2012 (58) Октябрь 2012 (43) Сентябрь 2012 (53) Август 2012 (89) Июль 2012 (19) Июнь 2012 (19) Май 2012 (47) Апрель 2012 (55) Март 2012 (56) Февраль 2012 (59) Январь 2012 (34) Декабрь 2011 (34) Ноябрь 2011 (47) Октябрь 2011 (50) Сентябрь 2011 (26) Август 2011 (11) Июль 2011 (8) Июнь 2011 (29) Май 2011 (26) Апрель 2011 (57) Март 2011 (100) Февраль 2011 (47) Январь 2011 (42) Декабрь 2010 (25) Ноябрь 2010 (40) Октябрь 2010 (19)
Май 2023
Пн
Вт
Ср
Чт
Пт
Сб
Вс
« Апр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Методическая разработка урока по математики на тему «Решение системы линейных уравнений методом Крамера» — Информио
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Данная методическая разработка предназначена для проведения учебного занятия по дисциплине «Математика» на тему «Решение систем линейных уравнений методом Крамера» для студентов первого курса по программе учебной дисциплины, разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта для специальностей среднего профессионального образования.
В результате изучения темы студент должен:
знать:
решение систем линейных уравнений методом Крамера;
применение знаний при решении систем линейных уравнений.
уметь:
решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера
решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера
При разработке данного урока в зависимости от специфики подготовки студентов можно внести дополнения и изменения в содержание, последовательность изучения материала урока и распределение времени.
Наблюдается связь истории с математикой, при изучении материала использована задача прикладного характера для будущей практической деятельности, что прививает интерес к предмету. Данная методическая разработка содержит: учебно-методическую карту, ход, где сформулированы цели занятия и последовательность проведения урока, указан список литературы.
При проведении занятия, использованы учебные пособия, технические и наглядные средства обучения
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА
Дисциплина: Математика
Тема занятия: Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Вид занятия (тип урока): Комбинированный
Цели урока:
Дидактическая:
повторить пройденный материал;
углубить знания студентов по теме «Решение систем линейных уравнений»;
3) изучить решение систем линейных уравнений c помощью метода Крамера;
4) научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.
Обеспечивающие: история, русский язык, информатика
Обеспечиваемые: специальные предметы
Обеспечение занятия:
Наглядные пособия: Приложение (Презентация к уроку), меловые иллюстрации
Раздаточный материал: карточки.
Технические средства обучения: калькуляторы, компьютеры, интерактивная доска
ПЛАН УРОКА
1.Организационный момент
Здравствуйте, студенты. Тема урока: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера». Ученый-математик Колмогоров А.Н. говорил: «Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления», поэтому математика связана с будущей специальностью. В результате изучения темы научимся решать задачи прикладного характера для профессиональной деятельности.
2. Постановка целей занятия
Цели урока: повторить пройденный материал; углубить знания по теме «Решение систем линейных уравнений»; изучить решение систем линейных уравнений с помощью метода Крамера; научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.
3. Проверка домашнего задания
4. Проверка знаний
Экспресс — опрос
Какое уравнение называется линейным?
Напишите систему m линейных уравнений с n переменными.
Назовите коэффициенты при переменных.
Какие числа называются свободными членами?
Что является решением системы?
Какие методы решения систем линейных уравнений знаете?
Ответы: Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.
5. Изучение нового материала
В школьном курсе рассматриваются способ подстановки и способ сложения. В курсе высшей математике решают методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера
5.1 Знакомство с биографией Крамера
При изучении новой темы «Решение систем линейных уравнений методом Крамера» важное место занимает связь истории с математикой, что прививает интерес к предмету. Познакомимся с биографией Габриэля Крамера.
Сведения из истории
Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача.
Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.
В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции
5.2 Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Теорема Крамера.
Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной свободными членами:
6. Закрепление.
6.1 Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера
2) Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?
Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году.
Тогда условие задачи можно записать в виде системы:
Решив систему, получим x = 4, y = 8.
Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения — 4 млн усл. ед., второго — 8 усл.ед.:
б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед.,
второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.
При решении системы уравнений могут встретиться три случая:
1) система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Условия:
2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместна и неопределённа)
Условия:
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
3) система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Условия:
Система называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.
6.2 Решение системы трех линейных уравнений с тремя двумя неизвестными методом Крамера
Ответ: (1; 0; -1) .
Решение. Находим определители системы:
Ответ: (1; 0; -1) .
7. Домашнее задание (слайд № 23)
Решите системы:
8. Подведение итогов
Подведем итоги урока. По результатам работы на уроке выставляются оценки, с последующей демонстрацией успеваемости в виде диаграммы на интерактивной доске.
Урок окончен. Спасибо за внимание. До свидания.
Литература:
Основная
Григорьев В.П.Дубинский Ю.А Элементы высшей математики. Москва, 2014
Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика. Москва, 2008
Дополнительная
Богомолов Н.В. Практические занятия по математики. Москва, 2013
Интернет-ресурсы: www. en.edu.ru
ХОД УРОКА
№п/п
Элементы урока, содержание и последовательность изучаемых вопросов
Формы и методы обучения, контроля
Наглядные пособия, ТСО, дидактический материал
Преподаватель
Студенты
Время 45 мин.
1.
Организационный момент. Взаимное приветствие.
Проверка отсутствующих, рабочих мест
Интерактивная доска слайд №1
Приветствует, отмечает в журнале отсутствующих.
Приветствуют
1 мин
2.
Постановка целей занятия.
Организация внимания
Интерактивная доска
Ставит цели урока
Слушают
1 мин
3.
Проверка домашнего задания
Групповая работа
Интерактивная доска
Контролирует
Дежурный проверяет
5 мин
4.
Проверка знаний
Экспресс-опрос
Слайды № 2,3,4
Задает вопрос, поправляет ответ
Думают, отвечают
5 мин
5.
Изучение нового материала
Организация внимания
Интерактивная доска
Объясняет
Слушают, рассуждают, отвечают на вопросы.
5.1
Знакомство с биографией Крамера
Рассказ материала
Слайды № 5-10
Рассказывает
Смотрят
5 мин
5.2
Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Изучение темы
Слайды № 11-15
Объясняет
Смотрят, слушают
10 мин
6.
Закрепление
Самостоятельная работа
Интерактивная доска
Выдает задания
Думают, решают
6.1
Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера
Групповая работа
Слайды № 16-19
Выдает задания, проверяет
Решают
5 мин
6.2
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера
Самостоятельная работа
Слайды № 20-22
Контролирует, проверяет
Думают, решают
10 мин
7.
Домашнее задание
Слайды № 23
Выдает задания
Пишут
1 мин
8.
Подведение итогов.
Анализ работы
Интерактивная доска
Подводит итоги, обобщает
Получают оценки
2 мин
Презентация «Решение системы линейных уравнений методом Крамера»
Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными | Колледж Алгебра |
Решение систем с помощью правила Крамера
Вычисление определителя матрицы 2×2
Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы , чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.
Общее примечание. Найдите определитель матрицы 2 × 2
Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными
Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как Правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий Курба. алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.
Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.
Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.
Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, мы хотим найти
xxx
. Если уравнение (2) умножается на коэффициент, противоположный
yyy
в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент
yyy
в уравнении (2), и мы добавим два уравнения, переменная
yyy
будет исключена.
b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1Умножить R_1 на b_2−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2Умножить R_2 на −b_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1 c_2\begin{matrix} b\text{\textunderscore}{ 2}a\text{\textunderscore}{1}x+b\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}y=b\text{\textunderscore}{2}c\text{ \textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }b\text{\textunderscore}{2} \\-b\text{\textunderscore}{1 }a\text{\textunderscore}{2}xb\text{\textunderscore}{1}b\text{\textunderscore}{2}y=-b\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-b\text{\textunderscore}{2} \\ \text{——— —————} \\ b\text{\textunderscore}{2}a\text{\textunderscore}{1}xb\text{\textunderscore}{1}a\text {\ textunderscore} {2} x = -b \ text {\ textunderscore} {2} c \ text {\ textunderscore} {1} -b \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2 }\end{матрица}b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1c_2Умножить R_1 на b_2Умножить R_2 на −b_2
a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1Умножить R_1 на a_2−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2Умножить R_2 на −a_1————————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_1−a_1c _2\begin{matrix} a\text{\textunderscore}{2 } а \ текст {\ textunderscore} {1} х + а \ текст {\ textunderscore} {2} б \ текст {\ textunderscore} {1} у = а \ текст {\ textunderscore} {2} с \ текст {\ textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }a\text{\textunderscore}{2} \\-a\text{\textunderscore}{1} a \ text {\ textunderscore} {2} x-a \ text {\ textunderscore} {1} b \ text {\ textunderscore} {2} y = -a \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-a\text{\textunderscore}{1} \\ \text{——— ————-} \\ a\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}ya\text{\textunderscore}{1}b\text{ \textunderscore}{2}y=a\text{\textunderscore}{2}c\text{\textunderscore}{1}-a\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore}{2}\ end{matrix}a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2————————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_1−a_1c_2Умножить R_1 на a_2Умножить R_2 на −a_1
Precalculus. Автор: : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. Лицензия : CC BY: Атрибуция
Предыдущая
Следующая
Системы трех уравнений: решение с использованием матриц и правила Крамера
Определяющий
Есть и другой способ решения систем уравнений с тремя переменными.
Он включает в себя величину, называемую определителем.
Каждая матрица размером 90 247 м 90 248 × 90 247 м 90 248 имеет уникальный определитель. Определитель
единый номер. Чтобы найти определитель 2×2 матрица ,
умножьте числа по диагонали вниз и вычтите произведение
числа на восходящей диагонали:
detA = a 1 b 2 — a 2 б 1 . Например,
det = 4(6) — (- 1)(- 2) = 24 — 2 = 22
Чтобы найти определитель матрицы 3×3, скопируйте первые два
столбцы матрицы справа от исходной матрицы. Следующий,
умножьте числа на трех нисходящих диагоналях и добавьте эти
продукты вместе. Умножьте числа на восходящих диагоналях, и
добавить эти продуктов вместе. Затем вычтите сумму из
произведения восходящих диагоналей из суммы произведений
диагоналей вниз (отнять второе число от первого
число):
Пример : Найдите определитель:
Решение :
Шаг 1
Этап 2
Этап 3
Этап 4
10 — 80 = -70. detA = — 70.
Правило Крамера
Вспомните общую матрицу 3×4, используемую для решения систем из трех
уравнения:
Эта матрица будет использоваться для решения систем по правилу Крамера. Мы
разделите его на четыре отдельные матрицы 3×3:
D — матрица коэффициентов 3×3, а D x , D 90 261 y и D z являются результатом замены столбца констант одним из
столбцы коэффициентов в Д .
Правило Крамера гласит:
х = у = z =
Таким образом, для решения системы трех уравнений с тремя переменными с использованием
Правило Крамера,
Оформите систему в следующем виде:
a 1 x + b 1 y + c 1 z 902 48 = д 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 90 370
Отображения. Инъективные и сюръективные отображения
Если указан
закон, сопоставляющий каждому элементу
множества А единственный элемент
множества В, то говорят, что имеется
однозначное отображение
АВ.
Отображение
АВ
называется инъективным, если разные
элементы множестваA переходят в разные элементы множества B:
если ав, то
.
Отображение
АВ
называется сюръективным, если каждый
элемент множества В имеет свой прообраз
в множестве А.
Если отображение
одновременно инъективное и сюръективное,
то оно называется биективным.
1. Пусть f: RR задано формулой f(x)
= x2-1
(рис.3). Определить, является ли отображение
f
инъективным, сюръективным, биективным.
Область определения
функции – R,
область значений функции –
[-1;+).
f
– отображение. Если (х,у) f и (х,z) f ,
то y
= z,
так как (x,y)f,
т.е. y
= x2-1,
(x,z)f,
т.е. z
= x2-1.
Найдутся х1,
х2R, такие что
х1 х2,
но: f(x1)
= f(x2),
например, пусть х1 = 1, х2 = -1, тогда
f(x1)
= 0 и f(x2)
= 0, т.е. х1 х2,
а f(x1)
= f(x2).
Таким образом, это неинъективное
отображение.
Так как область
значений функции [1;+
)
не совпадает сR,
то отображение несюръективно.
2. Пусть f: RR задано формулой f(x)
= x4.
Является ли отображение инъективным,
сюръективным?
Поскольку х1=2R,
х2 =
-2R,
f(2)
= f(-2)
= 16, т.е. х1 х2,
а f(x1)
= f(x2),
то отображение неинъективно.
Для любого xR не существует f(х),
такого что f(х)
= -16, так как х4-16, поэтому отображение несюръективно.
3. Пусть отображение f:
[0;+)[0;+)
задано формулойf(x)=x2.
Является ли оно инъективным, сюръективным?
Для любых х1,
х2[0;+),
х1х2,
f(x1)=x12,
f(x2)=x22,
но f(x1)
f(x2),
т.е для каждого х существует единственное
f(x),
следовательно, f(х)
— инъективное отображение.
Для каждого
значения f(x)[0;+)
найдётся х[0;+),
поэтомуf(х)
— сюръективное отображение.
из
1. и 2. следует, что отображение биективно.
Всякое подмножество
Г декартова произведения АхА называется
отношением на множестве А.
Отношение Г
называют рефлексивным, если aГа
для всех aA.
Отношение Г
называют симметричным, если аГbbГа.
Отношение Г
называют транзитивным, если аГb, bГааГс.
Если отношение
рефлексивно, симметрично, транзитивно,
то оно называется отношением
эквивалентности.
1. Проверить, является ли D
отношением эквивалентности на R,
если D={(x;y)|
sin
x
= sin
y}.
D
– рефлексивно, так как для любого R ()D,
т.е. для любого xR имеем sin
x
= sin
x.
D
– симметрично, так как для любой пары
(,)D
имеем ()D,
т.е. для любых R из (x,y)D
следует, что sin
x
= sin
y,
тогда и sin
y
= sin
x,
следовательно, (y,x)D.
D
– транзитивно, так как для любых а,b,cR из того что ()D
и ()D
следует, что ()D,
т. е. если (x,y)D,
то sinx=siny,
если (y,z)D,
то sin
y
= sin
z,
тогда sin
x=sin
z,
следовательно, (x,z)
D.
Из 1., 2., 3. следует,
что D
– отношение эквивалентности на R (где R – множество действительных чисел).
2.Упражнение.
Выяснить, является ли
отношением эквивалентности, если ху
= {(x,y)|
x
= 3y}.
Mathway | Популярные задачи
1
Найти число возможных исходов
7 выбор 3
2
Найти число возможных исходов
8 выбор 3
3
Найти число возможных исходов
5 выбор 2
4
Найти число возможных исходов
4 выбор 2
5
Найти число возможных исходов
8 выбор 4
6
Найти число возможных исходов
10 выбор 3
7
Найти число возможных исходов
7 выбор 4
8
Найти число возможных исходов
6 выбор 3
9
Найти число возможных исходов
9 выбор 3
10
Найти число возможных исходов
3 выбор 2
11
Найти число возможных исходов
6 выбор 4
12
Найти число возможных исходов
5 выбор 4
13
Найти число возможных исходов
7 перестановка 3
14
Найти число возможных исходов
7 выбор 2
15
Найти число возможных исходов
10 выбор 5
16
Найти число возможных исходов
10 выбор 6
17
Найти число возможных исходов
13 выбор 5
18
Найти число возможных исходов
3 выбор 3
19
Найти число возможных исходов
4 выбор 1
20
Найти число возможных исходов
4 выбор 4
21
Найти число возможных исходов
5 выбор 1
22
Найти число возможных исходов
6 перестановка 3
23
Найти число возможных исходов
8 выбор 5
24
Найти число возможных исходов
9 перестановка 4
25
Найти число возможных исходов
13 выбор 3
26
Найти число возможных исходов
12 выбор 2
27
Найти число возможных исходов
12 выбор 4
28
Найти число возможных исходов
12 выбор 3
29
Найти число возможных исходов
9 выбор 5
30
Найти число возможных исходов
9 выбор 2
31
Найти число возможных исходов
7 выбор 5
32
Найти число возможных исходов
6 перестановка 6
33
Найти число возможных исходов
8 перестановка 5
34
Найти число возможных исходов
8 перестановка 3
35
Найти число возможных исходов
7 перестановка 5
36
Найти число возможных исходов
52 выбор 5
37
Найти число возможных исходов
5 перестановка 3
38
Найти число возможных исходов
12 выбор 5
39
Найти число возможных исходов
3 выбор 1
40
Найти число возможных исходов
11 выбор 5
41
Найти число возможных исходов
10 выбор 2
42
Найти число возможных исходов
15 выбор 3
43
Найти число возможных исходов
52 выбор 4
44
Найти число возможных исходов
9 выбор 4
45
Найти число возможных исходов
9 перестановка 3
46
Найти число возможных исходов
7 перестановка 4
47
Найти число возможных исходов
7 перестановка 2
48
Найти число возможных исходов
11 выбор 4
49
Найти число возможных исходов
11 выбор 2
50
Найти число возможных исходов
11 выбор 3
51
Найти число возможных исходов
10 перестановка 5
52
Найти число возможных исходов
5 выбор 5
53
Найти число возможных исходов
6 выбор 1
54
Найти число возможных исходов
8 перестановка 4
55
Найти число возможных исходов
8 выбор 6
56
Найти число возможных исходов
13 выбор 4
57
Вычислить
e
58
Найти уравнение, перпендикулярное прямой
-7x-5y=7
59
Найти число возможных исходов
13 выбор 2
60
Найти число возможных исходов
10 перестановка 2
61
Найти число возможных исходов
10 перестановка 3
62
Найти число возможных исходов
10 выбор 7
63
Найти число возможных исходов
20 выбор 4
64
Найти число возможных исходов
6 перестановка 4
65
Найти число возможных исходов
5 перестановка 4
66
Найти число возможных исходов
6 выбор 5
67
Найти число возможных исходов
52 выбор 3
68
Найти число возможных исходов
4 выбор 0
69
Найти число возможных исходов
9 перестановка 7
70
Найти число возможных исходов
6 выбор 2
71
Найти число возможных исходов
5 перестановка 5
72
Найти число возможных исходов
5 перестановка 2
73
Найти число возможных исходов
6 выбор 6
74
Найти число возможных исходов
7 выбор 6
75
Найти число возможных исходов
8 перестановка 6
76
Найти число возможных исходов
7 перестановка 7
77
Найти число возможных исходов
9 перестановка 5
78
Найти число возможных исходов
2 перестановка 2
79
Найти число возможных исходов
10 выбор 8
80
Найти число возможных исходов
12 выбор 7
81
Найти число возможных исходов
15 выбор 5
82
Найти обратный элемент
[[1,0,1],[2,-2,-1],[3,0,0]]
83
Определить область значений
1/4x-7
84
Найти число возможных исходов
10 перестановка 7
85
Найти число возможных исходов
12 выбор 6
86
Найти число возможных исходов
2 выбор 1
87
Найти число возможных исходов
30 выбор 3
88
Найти число возможных исходов
9 выбор 6
89
Найти число возможных исходов
8 перестановка 2
90
Найти число возможных исходов
7 выбор 1
91
Найти число возможных исходов
6 перестановка 2
92
Найти число возможных исходов
4 перестановка 2
93
Найти число возможных исходов
4 перестановка 3
94
Найти число возможных исходов
3 перестановка 3
95
Найти число возможных исходов
46 выбор 6
96
Найти число возможных исходов
5 перестановка 1
97
Найти число возможных исходов
52 выбор 7
98
Найти число возможных исходов
52 перестановка 5
99
Найти число возможных исходов
9 выбор 1
100
Найти число возможных исходов
9 перестановка 6
Различия между инъективной функцией и сюръективной функцией
В математике функции широко используются для определения и описания определенных отношений между множествами и другими математическими объектами. Кроме того, функции можно использовать для наложения математических структур на множества.
Если никакие два компонента домена не указывают на одно и то же значение в совместном домене, функция является инъективной. Функция сюръективна, если каждый элемент в области определения указывает по крайней мере на один элемент в области определения. Если функция обладает как инъективными, так и сюръективными свойствами.
Инъекция A→B сопоставляет A с B, позволяя вам найти копию A внутри B. Сюръекция A→B сопоставляет A с B в том смысле, что изображение охватывает всю ширину B. Sur” – это латинское фраза, означающая «выше» или «выше», например, «избыток» или «обзор».
Инъективные и сюръективные функции
Инъективные функции
Инъективная функция или функция взаимно однозначного соответствия — это функция, которая отображает различные элементы одной области в различные элементы другой области.
Таким образом, рассмотрим f как функцию, область определения которой установлена в A. Если для всех x и y в A функция называется инъективной.
Предположим, что f(x) = f(y), а затем продемонстрируем, что x = y.
Предположим, что x не равно y, и продемонстрируем, что f(x) не равно f. (Икс).
Субъективные функции
Сюръективная функция (также сюръективная или онто-функция) в математике — это функция f, которая отображает элемент x в каждый элемент y; то есть для любого y существует такой x, что f(x) = y. Другими словами, каждый элемент кодового домена функции является образом хотя бы одного элемента домена функции.
Если каждый элемент кодового домена отображается хотя бы в один элемент домена, кодовый домен является сюръективным или на. Другими словами, каждый элемент кодомена имеет непустой прообраз. Функция сюръективна, если ее образ совпадает с кодовым доменом.
Если диапазон f равен кодовой области f, функция f : A → B сюръективна, или on.RB в каждой функции с диапазоном R и кодовой областью B. Чтобы продемонстрировать, что данная функция сюръективна, мы должны установить, что Б Р; поэтому R = B будет истинным.
Различия инъективных и сюръективных функций
Инъективные функции
Сюръективные функции
333 037
Инъективная функция — это функция, в которой каждый элемент Y переносится не более чем один элемент X.
Сюръектива — это функция, которая отображает каждый элемент Y в некоторый (т. е. хотя бы один) элемент X.
Функция является однозначной или инъективной, если она не отображает два разных элемента домена в один и тот же элемент диапазона.
Два простых качества, которыми могут обладать функции, оказываются чрезвычайно полезными. Если кодовый домен функции также является ее диапазоном, функция является онтогенной или сюръективной.
функция f инъективна, если из a1a2 следует f(a1)≠f(a2)
Если f равно своему диапазону, функция f:A→B сюръективна (на). Альтернативно, для любого bB существует некоторый aA такой, что f(a)=b. Это означает, что для любого y в B существует некоторый x в A, такой что y=f (x).
Определить приемистость в заданной области.
Определение сюръективности домена.
Пример: f:N→N,f(x)=3x является инъективным.
f:N→N,f(x)=x2 инъективно.
Пример: f:N→N,f(x)=x+2 является сюръективным выражением.
f:R→R,f(x)=x2 не является сюръективным, поскольку никакое целое число не имеет отрицательного квадрата.
Заключение
В этой статье мы делаем вывод, что Injective также известен как «Один-к-одному». Сюръективный означает, что для каждого «В» есть по крайней мере одно «А», которое ему соответствует, если не больше. У нас не будет двух или более «А», указывающих на одно и то же «В», потому что это инъективно. Сюръективность означает, что для каждого «В» есть по крайней мере одно соответствие «А». (может быть больше одного). Неформально инъекция имеет не более одного входа, отображаемого на каждый выход, сюръекция имеет полный возможный диапазон на выходе, а биекция имеет оба критерия истинны.
Урок 7: Инъективное, Сюръективное, Биективное
Прежде чем мы запаниковаем из-за «страшности» трех слов, которыми назван этот урок, давайте вспомним, что терминологии нечего бояться — все, что она означает, это то, что у нас есть что-то новое учить! Как вы увидите к концу этого урока, эти три слова на самом деле совсем не страшны. У математиков есть забавный способ приписывать очень причудливые слова не очень глубоким идеям, и это один из таких примеров. Поэтому давайте продолжим и просто узнаем, что означают эти слова.
На предыдущем уроке мы узнали о функциях между наборами, что дало нам механизм связи элементов одного набора с элементами другого набора (хотя этот «другой» набор может быть самим набором: например, если , то функция f из A в A такая, что является совершенно хорошей функцией, как и функция g из A в A такая, что Мы помним, что функция является невероятно общим объектом: все, что нужно, это два множества и отношение между ними такой, что в одном из двух наборов есть каждый его элемент связан с ровно одним элементом в другом наборе.
И все. Других требований к функциям не было. В частности, если (напомним, что это читается как «если f — функция из множества A в множество B»), то f может быть таким, что оно отправляет каждый элемент в A в один и тот же элемент в B. Также не было Нет никаких требований к тому, сколько элементов в B должно быть «вызвано» функцией. Функция — это просто правило, которое присваивает каждому элементу A ровно один элемент B, а любое другое свойство, которым обладает функция, — это просто бонус.
Однако универсальность функций имеет свою цену. Цена заключается в том, что очень трудно что-то доказать об общей функции просто потому, что ее общность означает, что у нас очень мало структуры для работы. Таким образом, мы хотим сосредоточиться на определенных видах функций. То есть мы хотим ограничиться рассмотрением функций, обладающих определенными свойствами, чтобы мы могли использовать эти новые свойства для доказательства. На самом деле это очень общий шаблон в математике: мы определяем какой-то очень общий объект (множество, функцию или что-то еще), а затем медленно начинаем «добавлять структуру» к нему, чтобы мы могли что-то доказать. Под «добавлением структуры» я просто подразумеваю, что мы наделяем объект определенными дополнительными свойствами, так что, хотя он и теряет часть своей общности, он приобретает определенную структуру, которая позволяет нам задавать более интересные вопросы о нем.
Итак, какой тип «специальных функций» мы хотим здесь рассмотреть? Давайте рассмотрим, что такое функция, и спросим, какими «наиболее очевидными» свойствами мы хотели бы обладать у некоторых функций. В оставшейся части этого урока пусть («пусть f будет функцией от множества A до множества B). Во-первых, вспомним, что f может отправить два разных элемента из A в один и тот же элемент из B. Например, если и , то функция, определяемая как , является совершенно хорошей функцией, несмотря на то, что и кошка, и собака отправляются к сыру. Предположим, однако, что f — функция, которая не не обладает этим свойством ни для каких элементов в A. А именно, предположим, что f не переводит никакие два различных элемента в A в один и тот же элемент B. Тогда мы назвали бы эту функцию инъективной . Давайте посмотрим пример.
Пусть A — набор мальчиков, B — набор девочек, и пусть f — функция «школьного танца». А именно, пусть f будет функцией, которая назначает мальчиков из A танцевать с девочками из B. Если бы f была просто какой-то старой функцией, то мог бы быть случай, когда все мальчики танцуют с одной и той же девочкой (конечно, неприятный опыт). ), или может быть так, что пять мальчиков танцуют с одной девочкой, а остальные мальчики танцуют с какой-то другой девочкой (все равно довольно неудобно). Но предположим, что каждому мальчику было назначено разных девушек, чтобы ни одна девушка не танцевала более чем с одним мальчиком. Тогда эта функция была бы инъективной.
В этом примере становится очевидным одно важное качество инъективных функций, которое важно для нас при строгом определении инъективной функции. Предположим, вы сказали мне, что функция, которая связывает мальчиков с девочками, является инъективной, и предположим, что вы также сказали мне, что «мальчик 1» танцевал с «девочкой 17» и что «мальчик 56» также танцевал с «девочкой 17». Тогда я бы немедленно знаю, что мальчик 1 и мальчик 56 на самом деле являются одним и тем же человеком (один и тот же элемент множества), потому что я знаю, что никакие два разных мальчика не танцуют с одной и той же девушкой (потому что вы сказали мне, что функция инъективна). Таким образом, инъективная функция — это такая функция, что если a — элемент в A, а b — элемент в A, и (f отправляет их к одному и тому же элементу в B), то a=b! Поэтому давайте сделаем это определение:
Определение 7. 1 Пусть будет функция из множества A в множество B. Тогда f равно инъективный если для любых элементов a и b в A следует, что . //
Говоря менее формально, это определение говорит нам, что функция определена как инъективная Если каждый раз, когда два элемента в A передаются одному и тому же элементу в B, они должны фактически быть одними и теми же элементами в A для Начать с!
Давайте теперь еще раз вспомним школьный танец. Даже если функция инъективна, не обязательно у каждой девушки есть мальчик, с которым можно танцевать. А именно, девочек может быть больше, чем мальчиков. В этом случае, даже если только одному мальчику будет поручено танцевать с любой данной девушкой, все равно останутся девочки. Ситуация, конечно, хуже, если нескольким мальчикам разрешается танцевать с одной и той же девушкой (т. е. если функция не инъективна). Но предположим, что — это достаточное количество мальчиков, чтобы у каждой девочки был партнер по танцам. Это все еще не обязательно означает, что у каждой девочки будет партнер по танцу, потому что мы могли бы, например, назначить всем мальчикам танцевать с одной и той же девочкой (оставив всех остальных без партнеров). Если, однако, мы распределили мальчиков таким образом, что каждая девочка имела партнера по танцу (возможно, более одного), то функция называется сюръективной .
Обратите внимание, что сюръективность ничего не говорит о сколько мальчиков танцует с определенной девочкой, а только то, что с каждой девочкой хотя бы один мальчик танцует с ней. Если бы было 10 мальчиков (обозначенных «мальчик 1», «мальчик 2» и т. д.) и 4 девочки (обозначенных аналогичным образом), то мы могли бы поручить мальчикам 1–7 танцевать с девочкой 1, а затем мальчику 8 танцевать. с девочкой 2, мальчиком 9 с девочкой 3 и мальчиком 10 с девочкой 4. Тогда у каждой девушки есть партнер, несмотря на то, что их у них очень разное количество. Теперь у нас достаточно, чтобы дать следующее определение:
Определение 7. 2 Пусть . Тогда f называется сюръективным , если для каждого элемента b в B существует некоторый элемент a в A такой, что . //
Проще говоря, это просто означает, что мы определяем функцию как сюръективную, если для каждого элемента в ее кодовом домене (помните «кодовой домен» из предыдущего урока?) мы можем найти какой-то элемент в его домене, который будет отправлен к этому. Может случиться так, что в ее области есть несколько различных элементов, которые мы могли бы найти, но пока мы всегда можем найти один, мы называем функцию сюръективной.
Мы заканчиваем этот урок определением, которое мы в конечном итоге изучим намного больше на следующем уроке. Учитывая то, что мы определили до сих пор, на самом деле это очень очевидное определение.
Определение 7.3 Пусть . Тогда f называется биективным , если оно одновременно инъективное и сюръективное. //
Обратите внимание, что это определение имеет смысл. Другими словами, мы видели, что у нас могут быть функции, которые являются инъективными и не сюръективными (если девочек больше, чем мальчиков), и у нас могут быть функции, которые являются сюръективными, но не инъективными (если мальчиков больше, чем девочек, то мы должны были отправить более одного мальчика хотя бы к одной из девочек). Таким образом, мы дополнительно ограничиваемся рассмотрением биективных функций. То есть класс биективных функций «меньше» класса инъективных функций, а также он меньше класса сюръективных. Более того, класс инъективных функций и класс сюръективных функций меньше, чем класс всех общих функций. Таким образом, мы потеряли некоторую общность, говоря, скажем, об инъективных функциях, но получили возможность описывать более подробную структуру внутри этих функций. Это окажется очень плодотворным в следующих уроках (по мере того, как мы продвигаемся к пониманию того, что существует более одного типа бесконечности).
Упражнения:
1) Определите два ваших любимых множества (числа, предметы домашнего обихода, дети и т.
Начальным оно называется потому, что очень часто в реальных задачах по исследованию различного рода процессов роль независимой переменной Х играет время T, а начальным значением Х0 является начальный момент времени T0 (обычно T0 = 0). Тогда начальное условие показывает, какое значение У0 имела искомая функция , описывающая исследуемый процесс, в начальный момент времени Х0. Ну, а сама функция , если нас не интересует предистория процесса, то есть времена Х < х0, ищется для Х > х0.
2)
Начальному условию У(0)=1 оно не удовлетворяет, поэтому решением данной задачи Коши не является.
В итоге для определения функции Получаем задачу Коши:
Тогда общее изменение численности населения за время найдется по формуле:
Но это, как известно, не так: с течением времени, в силу разных причин, ситуация и со смертностью, и с рождаемостью может существенно измениться. Поэтому полученную формулу при конкретном числовом значении оправданно применять лишь на протяжении достаточно ограниченного периода времени. В другой период времени тоже можно применять эту формулу, но уже при другом значении .
То есть объем инвестиций составит:
пример 3). Значит, у них полностью совпадают и решения:
04.2023
04.2023
Результат этого проектирования, временные диаг…
04.2023
..
оптический волновод , входные параметры, законы геометрической оптики , построение мод (волн) учитывая вышеперечисленные параметры,…
Задачи Коши отличаются от краевых задач тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, не указывается заранее. Тем не менее задачи Коши, как и краевые задачи, определяются наложением предельных условий для решения на (части) границы области определения.
$$
теорему Пеано), но оно не обязательно должно быть уникальным. Решение не обязательно должно существовать во всех точках области определения $f$.
9{( п — 1) } ,
$$
Стандартным устройством
Основным источником трудностей является тот факт, что пространство независимых переменных является многомерным, что приводит к проблемам (алгебраической) разрешимости. Например, рассмотрим задачу Коши для системы уравнений в полных дифференциалах,
9\альфа}
«=»
ж (х)
$$
е. когда условие (5) выполняется для всех $ x _ {0} \in S $.
{k}$
метрика) по этим функциям. Для случаев $ n = 1, 2 $
и $n = 3$,
явный вид решения задается формулами Даламбера, Пуассона и Кирхгофа соответственно:
9{2} } }
,
$$
3} $$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)
е. $$ \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ 0\lt x\lt\frac12 \end{cases} \Rightarrow 0\lt x\lt\frac12 $$ Решение совокупности – это объединение полученных решений систем: $$ 0\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1 $$ Ответ: \(x\in\left(0;\frac12\right)\cup (1;+\infty)\)
Все корни мнимые
причем все эти корни имеют один и тот
же модуль. .
Покажем, что мнимые: ,u—0.,v—0.=-,p—3.>0(т.к
дескрименант меньше 0). Таким образом,
равенство модулей и положительное
действительное число произведение,
возможно только для комплексных
сопряжённых 
.-2.+,2a—2.,x—2.x+,,a—2.-4.,x—2.=,,a—2.-4.,x—2.-b,x—2.-cx-d
x+,,,t—2.-4.-d.
2-6x+9
Затем используйте правило степени для производных, чтобы найти f’(x) = (1/2)*x -1/2 . Затем упростите до вида 1/2√ x. Мы также можем использовать цепное правило, чтобы найти производную функции композиции квадратного корня. 
д.:
Затем вы можете использовать правило степени для производных (и, если необходимо, цепное правило), чтобы найти производную.
Его график показан ниже.
Это график функции f'(x) = -0,25/x 5/4 .
Использование учебного пособия с пояснениями позволяет родителям сэкономить деньги. Ученикам не нужно тратить дополнительное время на дорогу к репетитору и обратно домой. В любой момент школьник может самостоятельно проверить себя, открыть подробные пояснения, чтобы разобраться в трудном материале. Теперь ему можно не переживать, если он пропустил занятия, был невнимательным на уроке при объяснении новой темы.
Ознакомьтесь с кратким вариантом ответа, который откроется на новой странице. Если вы хотите увидеть подробный алгоритм решения задачи с разными вариантами – зарегистрируйтесь на нашем сайте.
К каждой теме помимо теории есть практические упражнения. Для коллективного решения предусмотрены «задачи-исследования» и задания для работы в парах. В конце каждого параграфа, для закрепления изученного материала размещены контрольные вопросы. По уровню подготовки среди упражнений есть обязательные, а также повышенной сложности, которые выполняют на добровольной основе.
Умножение одночленов, одночлена на многочлен, многочлена на многочлен. Возведение одночлена в степень. Сложение и вычитание многочленов. Преобразование целого выражения в многочлен. Разложение многочлена на множители.
org/Book»>
org/Book»>
org/Book»>
org/Book»>
org/Book»>
org/Book»>
org/Book»>
В том случае, когда надо наверстывать упущенное и интенсивно не просто повторять, а заново проходить некоторые параграфы и темы курса, необходимо минимум два часа ответственных занятий ежедневно.
Такая экономия без потери качества крайне важна многим семьям.
Но так однозначно оценивать эту работу можно лишь на первый и довольно предвзятый взгляд. На самом деле – польза такого подхода очевидна:
/Tablitsy%20s%20formulami/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8%20%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%82.jpg)
Такой навык пригодится не только в школьные годы, но и впоследствии, в том числе — в деловой и профессиональной сфере.
Например, заболевшие, находящиеся на конкурсах, спортивных сборах и пр. Для них решебники станут альтернативой объяснения учителя, позволят проработать на практике материал пропущенных уроков.
С их помощью они освоили материал, на который не хватило времени на уроках – ведь количество последних, а также их продолжительность, значительно сократились.
Кроме того, научитесь решать, заполнив квадрат.
Выполняйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление над абсолютным значением действительных чисел.
Закончите все эти бесплатные рабочие листы, и вы будете на пути к тому, чтобы стать экспертом в решении алгебры.
Заполните рабочие листы по алгебре онлайн с помощью iPad или современного браузера Мы только что добавили еще одно измерение в наши бесплатные рабочие листы по алгебре. Теперь вы можете выполнять их без использования принтера. Все наши рабочие листы имеют две версии. Первый — это печатный рабочий лист по алгебре, оптимизированный для печати. Вторая версия представляет собой онлайн-рабочий лист по алгебре. Онлайн-версия позволяет вам использовать iPad или другие планшетные устройства для заполнения рабочих листов. Наша передовая технология использует функцию мультитач мобильных устройств. Пишите числа пальцами прямо на листах по алгебре. Онлайн-рабочие листы по алгебре также можно выполнять на настольных и портативных компьютерах при использовании современных браузеров, таких как Chrome, Safari и Firefox. Практика по алгебре 1, алгебре 2, элементарной алгебре, предварительной алгебре, средней алгебре и задачам по алгебре Какой студент не получил бы удовольствия от работы с полиномами, терминами, уравнениями и алгебраическими структурами? Я не знаю многих, кто думал бы, что алгебра может быть интересной, когда они только начинают.
Опытные студенты, изучающие алгебру, обнаружат, что решение задач — это интересно. Так как же дойти до того, что алгебра будет интересной? Тебе нужно потренироваться. К счастью, у нас есть множество рабочих листов по алгебре , на которых вы можете попрактиковаться. Рабочие листы охватывают различные уровни алгебры. Существуют рабочие листы по элементарной алгебре, предварительные рабочие листы по алгебре, рабочие листы по алгебре 1, рабочие листы по алгебре 2, рабочие листы по алгебре со словами и рабочие листы по промежуточной алгебре. У меня также есть алгебраический калькулятор, который вы можете использовать, когда будете решать задачи по алгебре. Вы ищете что-то более продвинутое? Вы можете попробовать онлайн-курс «Введение в линейные модели и матричную алгебру» Гарвардского университета. Ответы предоставляются Все рабочие листы по алгебре на этом веб-сайте имеют дополнительный PDF-файл с ответами. Это позволяет учащимся проверить свою работу.
Это также полезно для учителей, у которых мало времени, поскольку они могут упростить процесс выставления оценок. 
(1/5)-1
Или можно нажать кнопку Назад в меню браузера.
Кроме того, с помощью функции «Автоумма» можно быстро свести ряд значений, не вводя их в формулу вручную. Создав формулу, вы можете скопировать ее в смежные ячейки, не создав одну и ту же формулу раз за разом.
Она также работает и по горизонтали, если вы выберете ячейку справа или слева от суммируемого диапазона.
..) Плавающий тег под функцией — это руководство Intellisense. Если щелкнуть имя функции или СУММ, изменится синяя гиперссылка на раздел справки для этой функции. Если щелкнуть отдельные элементы функции, их представительные части в формуле будут выделены. В этом случае будет выделен только B2:B5, поскольку в этой формуле есть только одна ссылка на число. Тег Intellisense будет отображаться для любой функции.
Пример: =4+6+2
Пример: =8*3
Пример: =15%*20
Обратитесь к Свойству 1, упомянутому ниже, для получения дополнительных разъяснений по этому вопросу.
Цифровым корнем полного квадрата будет одна из четырех цифр 1, 4, 7, 9.только. Следовательно, если мы найдем любую другую цифру в качестве цифровой суммы, число точно не будет идеальным квадратом.
Затем вы разделите 10 на 2, что даст вам 5. Затем вы добавите следующую цифру (0) и получите 50. Затем вы разделите 50 на 20, что даст вам 2,5. Вы продолжаете этот процесс, пока не достигнете желаемого уровня точности. Конечно, всегда достаточно просто ввести числа в онлайн-калькулятор квадратного корня выше и нажать «Рассчитать».
Вас ждёт курс
развития мышления, онлайн-тренажер, обучающий думать и рассуждать.
Знакомимся
с высказываниями
Значит, рыжего кота
брать не будут.
Повышаем
познавательный интерес и уверенность в себе.
Группировка объектов
Разбираем, рассуждаем
Поэтому время прокачать мозг: проверьте свои способности. Вам под силу эти логические задачи?
Три первые из них ничем не наполнены, а три следующие – с водой. Как добиться чередования пустых чашек и чашек с водой? Касаться разрешается только одной чашки. При этом толкать чашку чашкой запрещается.
д.).
Султан приказал отправить смельчака в темницу, где вместе с ним беспрерывно будут рядом два надзирателя. Один стражник исключительно правдив в разговоре, а второй лжёт. Внутри темницы оказались два закрытых входа. Войдёшь в один – выберешь «неволю навсегда», а в другой – «освобождение». Султан предложил воину избрать один вход: если это окажется «освобождение», то пленник свободен.
Мёртвая вода из родников с первого по девятый доступна каждому, а десятый родник во власти Кощея в пещере, в которую он никого не впускает. По вкусу и цвету мёртвую воду не отличить от обыкновенной, однако глоток воды из родника означает смерть. Спасёт только вода из родника с номером выше. Поэтому того, кто изначально выпьет десятую воду, ничего не спасёт.
Вышло, что он запил яд Кощеевым десятым, что привело к нейтрализации яда.
Вождь посчитал, что исключительно правильным исходом будет подарить свободу страннику.
Они способствуют абстрактному мышлению и побуждают учащихся критически относиться к стоящим перед ними задачам. В качестве дополнительного бонуса учащиеся, страдающие от математической тревожности, могут обнадежить отсутствие сложных уравнений и с большей готовностью попытаются найти решение.
Используя переработанные крышки от бутылок, пометьте каждую цифрой от одного до девяти. Попросите учащихся расположить их в виде квадрата три на три так, чтобы сумма любых трех заглавных букв в строке (по горизонтали, вертикали и диагонали) равнялась 15.
(Подсказка: это требует некоторого «нестандартного» мышления.)
Числа могут быть последовательными, но могут появляться в любом порядке. Например, строка может быть заполнена 5, 7, 4, 6 и 8 . Эта головоломка больше подходит для учащихся старшего возраста, и ее можно использовать в качестве задания до или после урока, чтобы укрепить основные логические навыки.
Вместо этого используйте их, чтобы закрепить понятия, которые они уже изучили.
Рассмотрите возможность создания еженедельной таблицы лидеров в своем классе для учеников, которые решают больше всего головоломок, или проработайте несколько вместе с классом, прежде чем отправлять учеников самостоятельно.
Можно подождать, пока вы не найдете ответ на каждую проблему, прежде чем прокрутить вниз, чтобы увидеть ответы ниже.
Вы можете получить свой сегодня, нажав здесь.
3
14159..
Влияние ДМСО на каталитическую активность цитохрома P450 BM3 было ранее исследовано, и была определена важность Phe87 в его устойчивости к органическим сорастворителям…
Ориентация молекулы ДМСО указывает на процесс динамической координации, который конкурирует с молекулой воды в активном центре. Способность молекулы ДМСО координировать железо гема, вероятно, является основной причиной, по которой P450 BM3 инактивируется при повышенных концентрациях ДМСО. Данные позволили провести интересное сравнение со структурами дикого типа, о которых сообщалось ранее. Молекула ДМСО была обнаружена, когда белок дикого типа был помещен в 28% (об./об.) ДМСО, в котором молекула ДМСО координировала железо гема непосредственно через его атом S. Интересно, что молекулы ДМСО не наблюдали при 14% (об./об.) ДМСО для структуры дикого типа. Эти результаты свидетельствуют о том, что объемная фенильная боковая цепь Phe87 защищает гем от доступа молекулы ДМСО и объясняет более высокую толерантность фермента дикого типа к органическим сорастворителям по сравнению с его вариантом F87A.
11.
В самом начале d заполнен 2000000000. Чтобы обновлять на i-ой итерации массив, надо просто пройти по каждому ребру и попробовать улучшить расстояние до вершин, которые оно соединяет. Кратчайшие пути не содержат циклов, так как все циклы неотрицательны, и мы можем убрать цикл из путя, при этом длина пути не ухудшится (хочется также отметить, что именно так можно найти отрицательные циклы в графе: надо сделать ещё одну итерацию и посмотреть, не улучшилось ли расстояние до какой-нибудь вершины). Поэтому длина кратчайшего пути не больше n — 1, значит, после n-ой итерации d будет ответом на задачу.
2. Все веса неотрицательны.
2, то есть эта вариация алгоритма Дейкстры не всегда быстрее классической, а только при маленьких m.
Поэтому в куче могут быть несколько элементов с одинаковым номером вершины, но с разным значением d (но всего вершин в куче будет не более m, я гарантирую это). Когда мы берём минимальное значение в куче, надо проверить, является ли этот элемент фиктивным. Для этого достаточно сравнить значение d в куче и реальное его значение. А ещё для записи графа вместо двоичного массива используем массив списков.
second
d[i.first] = d[v] + i.second
q.add(pair(d[i.first], i.first))
вывести d
Задача поиска маршрута в науке может быть и чисто фундаментальной, и прикладной.
На первом шаге это одна из соседних вершин — та, которая соединена с исходной самым «маленьким» ребром.
Эти компьютерные приложения используют представления карт улиц в виде графиков с расчетным временем в пути в качестве весовых коэффициентов.
Мы больше никогда не будем смотреть на эту вершину.
В этот момент P будет обозначаться текущим. Вернемся к шагу 2.
Так как это расстояние короче рассчитанного ранее расстояния от Y до А через MR, заменяем.
Этот алгоритм тоже эффективен , что означает, что его можно реализовать за разумное время. Алгоритм Дейкстры требует около V2 вычислений, где V — количество вершин в графе[1]. Граф со 100 вершинами потребует около 10 000 вычислений. В то время как это было бы много, чтобы сделать вручную, это не так уж много для компьютера. Именно благодаря этой эффективности GPS-устройство вашего автомобиля может вычислить направление движения всего за несколько секунд.
Чтобы свести к минимуму затраты, посылка сначала будет отправлена в их центр обработки в Балтиморе, штат Мэриленд, а затем отправлена в рамках массовых поставок между их различными центрами обработки и в конечном итоге окажется в их центре обработки в Бейкерсфилде, Калифорния. Оттуда он будет доставлен на небольшом грузовике в Сан-Диего.
Например, Чикаго находится в 18 часах от Денвера, а Денвер — в 19 часах от конца, расстояние от Чикаго до конца составляет 18+19 = 37 (от Чикаго до Денвера до Бейкерсфилда). Атланта находится в 24 часах от Денвера, поэтому расстояние до конца равно 24+19 = 43 (от Атланты до Денвера до Бейкерсфилда).
Для Чикаго расстояние от Чикаго до Далласа равно 18, а от Далласа до конца — 25, поэтому расстояние от Чикаго до конца через Даллас будет 18 + 25 = 43. Поскольку это больше, чем отмеченное в настоящее время расстояние для Чикаго, мы не заменяем его. Для Атланты мы вычисляем 15+25 = 40. Так как это меньше, чем текущее отмеченное расстояние для Атланты, мы заменяем существующее расстояние.
Для Балтимора мы вычисляем 15+37 = 52 и отмечаем это расстояние. Для Атланты мы вычисляем 14+37 = 51. Поскольку это больше, чем существующее расстояние 40 для Атланты, мы не заменяем это расстояние.
Прибавив это к расстоянию, уже рассчитанному для Атланты, мы получим общее расстояние 14+40 = 54 часа от Балтимора до Бейкерсфилда через Атланту. Так как это больше рассчитываемого в настоящее время расстояния, мы не заменяем расстояние для Балтимора.
Кривая информирует ум, пробуждает воображение, убеждает».
Мы можем представить это с помощью таблицы:
В то время как в реальном сценарии существует несколько показателей, по которым определяется распределение поездки, например, , например, , рейтинг гонщика и водителя, трафик между разными маршрутами, время, в течение которого гонщик простаивает, и т. д. 
Давайте сначала посмотрим на каждую землю отдельно и попробуем найти закономерности (если они вообще существуют):
Эйлер объяснил, что наряду с количеством мостов имеет значение и количество участков земли с нечетным числом соединенных между собой мостов. Эйлер преобразовал эту задачу от земли и мостов к графам, где он представил землю как вершины, а мосты как ребра:
G = (V, E), где V представляет набор всех вершин, а E представляет набор всех ребер графа. 
Попробуем вычислить расстояние между вершинами A и D: 
Это отвечает на наш второй вопрос, где мы стремились вычислить максимальное расстояние между вершиной и всеми другими вершинами.
В нашем случае Диаметр графика равен: 
Е. Между каждой парой вершин не существует пути. 
Мы еще более подробно рассмотрим, как Леонард Эйлер подошел к своим рассуждениям и объяснил их.
В этом разделе мы узнаем, что такое бинарные деревья поиска, как они работают и как они делают визуализацию более интерпретируемой. Но прежде чем все это, найдите минутку, чтобы понять, что на самом деле представляют собой деревья в этом контексте.
Какое возможное решение для идентификации узлов графа? Как начать? Что должно быть отправной точкой? Как только мы узнаем начальную точку, как двигаться дальше? Я постараюсь ответить на все эти вопросы в этом разделе, объясняя концепции обхода графа.
е. к слою 1. Мы покрываем все узлы этого слоя, перемещаясь по горизонтали (B -> C). Затем переходим к следующему слою, т.е. Layer 2 и повторяем тот же шаг (движемся от D -> E -> F). Мы продолжаем этот шаг, пока все слои и вершины не будут покрыты.
Следовательно, он преодолевает проблему памяти BFS.
Загрузите набор данных, который мы будем использовать для тематического исследования, отсюда . Сначала мы импортируем обычные библиотеки и считываем набор данных, который предоставляется в формате .csv:
Есть два способа определить путь как кратчайший:
Взгляните на ребра и вершины графа, который мы создали:
е. минимальное расстояние от исходной вершины вычисляется и завершается. Изначально это множество пусто.
Следующим шагом является выбор вершины, которая не входит в sptSet и находится ближе всего к исходной вершине. В нашем случае это B со значением расстояния 2. Так что это будет добавлено в sptSet.
Мы также можем рассчитать кратчайший путь на основе эфирного времени, просто изменив гиперпараметр weight='AirTime' :
Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив
его и y‘ = u‘v + uv‘
в данное дифференциальное уравнение, получим
Первый:
Будет ли сложной схема Бернулли для линейных уравнений зависит от Вашего уровня подготовки. Разберите внимательно приведенные ответы и сделайте выводы, что и как Вам нужно углубленно изучить.
уравнения v’+p(x)*v=0 и за произвольную постоянную интегрирования берем ноль (С=0). Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
уравнения, хотя мало кто из Вас увидит эту подсказку 
Используйте алгоритм решения уравнения Бернулли ко всем подобным дифференциальным уравнениям.
Предположим, что жидкость находится под давлением 1000 Па , на высоте 3 метра и течет при 2 метра в секунду .
Расход показывает, сколько кубических метров (в случае объемного расхода) или сколько килограммов (в случае массового расхода) проходит через одну точку на линии тока в течение одного часа.
4}\ln x\end{align*}\]
Ученый-математик Колмогоров А.Н. говорил: «Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления», поэтому математика связана с будущей специальностью. В результате изучения темы научимся решать задачи прикладного характера для профессиональной деятельности.
В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?
Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.
en.edu.ru
Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.
Лицензия : CC BY: Атрибуция 
Следующий,
умножьте числа на трех нисходящих диагоналях и добавьте эти
продукты вместе. Умножьте числа на восходящих диагоналях, и
добавить эти продуктов вместе. Затем вычтите сумму из
произведения восходящих диагоналей из суммы произведений
диагоналей вниз (отнять второе число от первого
число):
Кроме того, функции можно использовать для наложения математических структур на множества.
Если для всех x и y в A функция называется инъективной.
Чтобы продемонстрировать, что данная функция сюръективна, мы должны установить, что Б Р; поэтому R = B будет истинным.
Сюръективный означает, что для каждого «В» есть по крайней мере одно «А», которое ему соответствует, если не больше. У нас не будет двух или более «А», указывающих на одно и то же «В», потому что это инъективно. Сюръективность означает, что для каждого «В» есть по крайней мере одно соответствие «А». (может быть больше одного). Неформально инъекция имеет не более одного входа, отображаемого на каждый выход, сюръекция имеет полный возможный диапазон на выходе, а биекция имеет оба критерия истинны.
В оставшейся части этого урока пусть («пусть f будет функцией от множества A до множества B). Во-первых, вспомним, что f может отправить два разных элемента из A в один и тот же элемент из B. Например, если и , то функция, определяемая как , является совершенно хорошей функцией, несмотря на то, что и кошка, и собака отправляются к сыру. Предположим, однако, что f — функция, которая не не обладает этим свойством ни для каких элементов в A. А именно, предположим, что f не переводит никакие два различных элемента в A в один и тот же элемент B. Тогда мы назвали бы эту функцию инъективной . Давайте посмотрим пример.
Но предположим, что каждому мальчику было назначено разных девушек, чтобы ни одна девушка не танцевала более чем с одним мальчиком. Тогда эта функция была бы инъективной.
1 Пусть будет функция из множества A в множество B. Тогда f равно инъективный если для любых элементов a и b в A следует, что . //
Это все еще не обязательно означает, что у каждой девочки будет партнер по танцу, потому что мы могли бы, например, назначить всем мальчикам танцевать с одной и той же девочкой (оставив всех остальных без партнеров). Если, однако, мы распределили мальчиков таким образом, что каждая девочка имела партнера по танцу (возможно, более одного), то функция называется сюръективной .
2 Пусть . Тогда f называется сюръективным , если для каждого элемента b в B существует некоторый элемент a в A такой, что . //
Другими словами, мы видели, что у нас могут быть функции, которые являются инъективными и не сюръективными (если девочек больше, чем мальчиков), и у нас могут быть функции, которые являются сюръективными, но не инъективными (если мальчиков больше, чем девочек, то мы должны были отправить более одного мальчика хотя бы к одной из девочек). Таким образом, мы дополнительно ограничиваемся рассмотрением биективных функций. То есть класс биективных функций «меньше» класса инъективных функций, а также он меньше класса сюръективных. Более того, класс инъективных функций и класс сюръективных функций меньше, чем класс всех общих функций. Таким образом, мы потеряли некоторую общность, говоря, скажем, об инъективных функциях, но получили возможность описывать более подробную структуру внутри этих функций. Это окажется очень плодотворным в следующих уроках (по мере того, как мы продвигаемся к пониманию того, что существует более одного типа бесконечности).