Рубрика: Разное

10 самых популярных сайтов с задачами по программированию

Перевод статьи «The 10 most popular coding challenge websites for 2020».

Одним из самых лучших способов улучшить свои навыки программирования является решение задач. Разбираясь в различных головоломках, вы развиваете свои навыки решения проблем, знакомитесь с темными закоулками избранного вами языка программирования, готовитесь к собеседованиям, изучаете новые алгоритмы и т. д.

Но где найти подборку хороших задач по программированию? Мы составили список самых популярных сайтов с задачами, добавив для каждого пункта описание ресурса и его особенностей.

1. TopCoder

TopCoder это одна из оригинальных онлайн-платформ по спортивному программированию. На этом сайте вы найдете список алгоритмических задач с прошедших соревнований. Вы можете попробовать решить их самостоятельно, используя редактор кода на самой платформе.

Несколько раз в месяц на TopCoder проходят турниры — Single Round Matches, где вы имеете возможность сразиться с другими участниками, решая задачи на скорость. За верные решения начисляются баллы; побеждает участник, набравший больше всего баллов.

Пользователи, возглавляющие турнирную таблицу на TopCoder, являются очень сильными программистами и регулярно принимают участие в состязаниях. Один из них, Петр Митричев, ведет собственный блог «Algorithms weekly by Petr Mitrichev», в котором пишет о соревнованиях по программированию, алгоритмах, математике и т. п.

2. Coderbyte

На Coderbyte содержится больше 200 задач по программированию. Решать их можно онлайн, пользуясь при этом одним из 10 языков программирования на выбор (см. пример). Задачи распределены по группам, от простых (например, найти самое длинное слово в строке) до сложных.

Также на этом сайте вы найдете коллекцию руководств по алгоритмам, вводные видео и курсы по подготовке к собеседованиям. В отличие от HackerRank и подобных ему сайтов, здесь можно смотреть решения других пользователей, а не только официальные решения от Coderbyte.

3. Project Euler

Project Euler предлагает большую коллекцию задач по информатике и математике. Задания обычно связаны с написанием маленькой программы для решения математических задач (например, для нахождения суммы всех чисел в последовательности).

На сайте нет редактора кода для решения задач онлайн, так что вам нужно будет воспользоваться собственным, а затем вставить свое решение в форму на сайте.

4. HackerRank

На HackerRank вы найдете задачи из разных областей знаний (алгоритмы, математика, SQL, функциональное программирование, ИИ и т. д.). Задачи можно решать онлайн (см. пример).

По каждой задаче ведется турнирная таблица и ветка обсуждений. Большинство задач сопровождаются пояснениями самой задачи и подхода к ее решению. Но посмотреть варианты решений других людей нельзя.

Пользователи HackerRank также могут решать задачи, предоставляемые разными компаниями, и отправлять в эти компании заявки на работу.

5. CodeChef

CodeChef это индийский сайт по спортивному программированию. Здесь вы найдете сотни задач, отсортированных по уровню навыков. Код можно писать в онлайн-редакторе.

CodeChef может похвастаться большим сообществом: программисты общаются на форумах, пишут руководства и принимают участие в соревнованиях.

6. Exercism.io

Сайт Exercism предлагает больше 3100 задач на 52 языках программирования. Вы выбираете язык, навыки работы с которым хотите улучшить, а затем решаете соответствующие задачи прямо на своей машине (Exercism имеет собственный интерфейс командной строки, который можно загрузить с GitHub).

Этот сайт имеет одно существенное отличие от остальных в списке: здесь вы после решения каждой очередной задачи работаете с наставником. Он просматривает ваши ответы онлайн и при необходимости помогает улучшить решение. После успешного решения задачи открывается доступ к следующей партии задач.

7. Codewars

Codewars предлагает большую коллекцию задач по программированию, представленных членами сообщества. Решать эти задачи можно онлайн в редакторе на сайте. Для решения вы выбираете один из нескольких предлагаемых языков. По каждой задаче у вас есть доступ как к обсуждению, так и к решениям других пользователей.

8. LeetCode

LeetCode это популярный сайт по спортивному программированию. Здесь вы найдете список из больше чем 190 задач, решать которые можно на 9 разных языках программирования. Эти задачи помогут вам подготовиться к техническим собеседованиям. Работать над ними можно онлайн.

На LeetCode вы не сможете видеть решения других участников, зато сможете отслеживать статистику собственных решений. Например, можно увидеть, насколько быстр ваш код по сравнению с кодом других пользователей.

Также на сайте есть раздел постановочных собеседований, предназначенный для подготовки к реальным интервью, и раздел со статьями для лучшего понимания отдельных проблем.

Кроме того, на LeetCode организовываются соревнования между участниками.

9. SPOJ

Sphere Online Judge (SPOJ) это еще один сайт с уклоном в соревнования. Здесь вы найдете больше 20 тысяч задач по программированию. Свое решение можно писать в онлайн-редакторе. SPOJ проводит собственные соревнования, а также предоставляет площадку для обсуждения задач. В отличие от многих других аналогичных сайтов, здесь нет никаких официальных решений и учебных материалов.

10. CodinGame

CodinGame несколько отличается от остальных сайтов в нашем списке. Здесь вы не просто решаете отдельные задачи в онлайн-редакторе. Здесь вы, собственно, принимаете участие в написании кода для игр, в которые можно играть на сайте. Список доступных в настоящее время игр можно посмотреть здесь, а пример отдельной игры — здесь. К игре прилагаются описание проблемы, test cases и редактор, где можно писать собственное решение на 20 языках программирования.

Несмотря на отличия этого сайта от более стандартных сайтов по спортивному программированию, он довольно популярен среди программистов, любящих решать задачи и принимать участие в соревнованиях.

10 сайтов с задачами, которые сделают из вас профи

10 популярных сайтов с задачами, которые обязательны для новичков и желающих больше практиковаться. Не упустите шанс ознакомиться!

Для подготовки к интервью, повышения качества кода и прогресса в карьере разработчика неоценимую помощь оказывает решение задач по программированию. В этой публикации десяток популярных вебсайтов с задачами для разработчиков всех уровней подготовки. Ресурсы расположены в порядке от простого к сложному. Приступим! 🙂

Проект Coderbyte содержит более 200 задач по программированию, которые вы можете решить в онлайн-редакторе при помощи одного из десяти ЯП. Доступ к части задач бесплатный, вот только к остальным он открывается после покупки подписки.

Прилагается более 800 000 решений, проранжированных по оценке пользователей. Кроме раздела с задачами имеются также пособия по написанию программных решений на различных языках. Приобретение подписки открывает доступ к туториалам по собеседованиям в крупных компаниях и задачи с собеседований. Также в свободном доступе находятся однонедельные вводные курсы по языкам программирования и веб-разработке.

Уровень сложности: для новичков и середнячков

При регистрации на Codewars нужно пройти простое задание, подтверждающее ваши навыки в одном из 20 языков программирования, для которых на сайте есть большая коллекция упражнений. Для каждого задания есть форма обсуждения самого задания и его решений. Работа с задачами обрамлена в игру: выполняя упражнения, вы получаете очки, накопление которых позволяет перейти к более высокому разряду.

Уровень сложности: для новичков и середнячков

Важен алгоритм решения задач программирования? Тогда вы по адресу.

CodeFights содержит задания для решения в онлайн-редакторе и форум для обсуждения. В качестве целей можно поставить изучение новых концепций программирования или подготовку к собеседованию. Программы можно писать более чем на 30 различных языках.

В работе над кодом вы можете посоревноваться с Company Bots – ботами, написанными инженерами таких компаний как Uber, Dropbox и Quora. Обучение, как и в случае с Codewars, построено в игровой форме с получением очков и прогресс-баром. Заработанные за выполнение заданий очки можно тратить на открытие новых заданий.

Уровень сложности: для новичков и середнячков

А вот CodinGame постулирует игровую начинку уже в названии! Но игра здесь подразумевает не игровую форму оценки результата, а то, что вы учитесь писать код в процессе создания онлайн-игры, например, космического шутера.

При решении задания вы видите блок, связанный с какой-то концепцией, который вы должны запрограммировать в этой игре. Если вы сделаете это правильно, игра оживет. Для написания кода можно использовать один из 20 языков. Круто, правда? 😉

Уровень сложности: для новичков и середнячков

TopCoder – это один из сайтов для онлайн-соревнований по программированию с задачами на алгоритмы. Соревнования проходят несколько раз в месяц в заранее оговоренное время. Кроме этого, дополнительно можно выбрать одну из трех ветвей продолжительных соревнований: UX/UI дизайн, разработка и Data Science. Победители соревнований получают денежные призы от нескольких сот до пары тысяч долларов.

Уровень сложности: для середнячков и продвинутых

HackerRank сосредоточен на вопросах информатики и содержит проблемы для таких областей, как алгоритмы, математика, SQL, функциональное программирование, искусственный интеллект и т. д.

Аналогично предыдущим ресурсам, здесь задачи по программированию можно решить и протестировать в онлайн-редакторе (пример). В структуру сайта также включены возможность обсуждений и рейтинг лидеров по каждой задаче. Большинство заданий содержат пояснения и наводящие вопросы.

Уровень сложности: для середнячков и продвинутых

На LeetCode собрана отличная коллекция алгоритмов программирования, связанных понятиями структур данных, таких как бинарные деревья, динамическая память, связанные списки и т. д.

Эти задачи по программированию немного более общие и продвинутые, чем те, что на приведенных выше ресурсах. Они важны для тех, кто готовится к собеседованию на должность разработчика программного обеспечения. На сайте есть специальный раздел Mock Interview, предназначенный для подготовки к собеседованиям. Ресурсом проводятся собственные конкурсы по программированию. Также есть раздел статей, которые помогут вам лучше разобраться в определенных проблемах в области алгоритмов.

Уровень сложности: для середнячков и продвинутых

CodeChef посвящен спортивному программированию и содержит сотни упражнений. Вы можете писать код в онлайн-редакторе и просматривать коллекцию упражнений, разделенных по категориям с указанием вашего уровня (пример). Здесь большое сообщество программистов, участвующих в обсуждении на форуме, написании учебных пособий и принимающих участие в соревнованиях по кодингу.

Уровень сложности: для середнячков и продвинутых

GeeksforGeeks содержит одну из лучших подборок статей, объяснений и примеров кода для алгоритмов и структур данных. Посмотрите, как один сложный вопрос разбивается на несколько более простых с поэтапным объяснением решений при помощи примеров кода на разных языках. Прежде чем посмотреть ответ к задаче, вы можете потренироваться в онлайн-редакторе. Если вы решили разобраться в вопросах алгоритмов, этот сайт – лучшее решение.

Уровень сложности: для середнячков и продвинутых

На российском ресурсе Codeforces, спонсируемом командой Телеграма, регулярно проводятся международные соревнования, в которых соперничают профи спортивного программирования. Если вы начинающий разработчик, эти задачи по программированию, скорее всего, будут для вас слишком сложными. Хотите убедиться? Просмотрите пару вариантов на сайте.

Да, решение задач по программированию такого уровня требует продвинутых знаний в математике и алгоритмах.

Уровень сложности: для продвинутых

Большинство приведенных ресурсов обеспечивают возможность выполнения заданий и тестирования результатов в онлайн-режиме. Многие задания носят игровую форму, что делает сложный процесс программирования более интересным и мотивирует к занятиям. На большинстве приведенных сервисов можно зарегистрироваться или упростить регистрацию с помощью аккаунтов в социальных сетях или на Github.

Источник

Лучшие онлайн-курсы по алгоритмам [2023]

Курсы по алгоритмам развивают вашу способность формулировать процессы для решения проблем и эффективно реализовывать эти процессы в программном обеспечении. Вы научитесь проектировать алгоритмы для поиска, сортировки и оптимизации и применять их для ответа на практические вопросы ….

Разработка программного обеспечения

Мобильная и веб -разработка

Компьютерная безопасность и сети

.0005 Дизайн и продукция

Получите степень

Самые популярные курсы по алгоритмам

Популярные темы

Структуры данных и алгоритмы

Автоматизация

Компьютерное программирование

Оптимизация

Начните свою карьеру

Другие курсы по алгоритмам

Самые популярные сертификаты по алгоритмам

Самые популярные курсы по алгоритмам

Ознакомьтесь с сертификатами MasterTrack®

Часто задаваемые вопросы об алгоритмах

• Алгоритм — это пошаговый процесс, используемый для решения проблемы или достижения желаемой цели. Это простая концепция; вы используете свои собственные алгоритмы для повседневных задач, таких как принятие решения о том, ехать ли на работу на машине или на метро, ​​или определение того, что вам нужно в продуктовом магазине. Программное обеспечение является примером гораздо более мощных алгоритмов, в которых вычислительные ресурсы используются для параллельного выполнения нескольких сложных алгоритмов для решения задач гораздо более высокого уровня.

  По мере того, как компьютеры становятся все более и более мощными, алгоритмы помогают им жить собственной жизнью — буквально! Методы машинного обучения основаны на алгоритмах, которые со временем обучаются и совершенствуются без помощи программиста. Эти методы можно использовать для обучения алгоритмов относительно простым задачам, таким как распознавание изображений или автоматизация и оптимизация бизнес-процессов. И в своей самой сложной форме эти алгоритмы лежат в основе создания возможностей глубокого обучения и искусственного интеллекта, которые, по мнению многих экспертов, изменят наш мир даже больше, чем появление Интернета!‎

• Научиться понимать и применять алгоритмические методы для решения задач — невероятно важный навык для решения сложных вычислительных задач, и изучение этой области требует более специализированных предварительных условий, чем некоторые курсы информатики, ориентированные на программирование.

  Учащиеся должны быть знакомы с написанием кода на распространенных языках программирования, таких как C, Javascript и Python. Однако также важно иметь хорошие навыки дискретной математики, такие как логика, множества, функции и графики. Также полезно начать с основ структур данных, которые представляют собой изучение того, как организовывать, управлять и хранить данные, чтобы обеспечить эффективный доступ — важнейшую основу любого эффективного алгоритма.‎

• Поскольку алгоритмы занимают центральное место во многих видах компьютерного программирования, профессионалы, обладающие навыками в этой области, могут работать на высокооплачиваемых должностях в самых разных компаниях. Например, опыт работы с алгоритмами важен для работы специалистом по данным — одной из самых востребованных профессий в сфере технологий.

  Другие задания по алгоритмам более специализированы. Технологические компании, работающие с искусственным интеллектом или другими передовыми приложениями, могут нанимать инженеров по алгоритмам, инженеров по машинному обучению, инженеров по программному обеспечению для автоматизации и инженеров по компьютерному зрению. Есть также узкоспециализированные вакансии в компаниях, работающих с приложениями Интернета вещей (IoT), например инженеры по компьютерному зрению, инженеры по алгоритмам медицинских устройств и инженеры по беспилотным автомобилям.‎

• В Интернете легко найти множество курсов компьютерного программирования и кодирования, но курсы по алгоритмам более специализированы и менее распространены, чем курсы по изучению популярных языков программирования, таких как Python или Javascript.

  Вводные курсы по структурам данных и алгоритмам — хорошее место для начала, часто после выполнения предварительных требований по дискретной математике и основам компьютерного программирования. Студенты более высокого уровня могут захотеть продолжить изучение более специализированных тем, таких как машинное обучение и обучение с подкреплением, нейронные сети и глубокое обучение, а также разработка искусственного интеллекта.

  В дополнение к курсам Coursera предлагает короткие проекты с пошаговыми инструкциями, чтобы вы могли попрактиковаться и отточить свои навыки. ‎

• Навыки и опыт, которые вы, возможно, захотите получить, прежде чем приступить к изучению алгоритмов, могут включать в себя фундаментальные знания компьютеров, информатики и как алгоритмы работают через входы и выходы. Алгоритмы, в некотором смысле, являются жизненной силой компьютерной обработки. Они образуют ряд инструкций, которые пользователь компьютера дает компьютеру для преобразования набора фактов или данных в полезную информацию для пользователя компьютера. Алгоритмы также используются в современных системах рекомендаций по потоковому вещанию. Базовое понимание того, как работают алгоритмы, от сортировки данных до отображения информации на экранах, является важным компонентом изучения этого подробного предмета.‎

• Люди, которые лучше всего подходят для работы, связанной с алгоритмами, это инженеры по информатике, специалисты по обработке и анализу данных, математики и статистики, обладающие навыками количественного решения задач, солидным опытом и страстью к математике. Эти специалисты могут быть выпускниками со степенью магистра или даже доктора компьютерных наук. Эти люди, лучше всего подходящие для работы, связанной с алгоритмами, также могут иметь большой опыт в области динамического программирования, анализа данных, структуры данных и языков программирования, таких как Python и Java.‎

• Возможно, вы поймете, подходят ли вам алгоритмы, если разбираетесь в основах компьютерных наук и в том, как они относятся к алгоритмической обработке. Эти основы будут включать понимание компьютерной архитектуры, структур данных, математики и логики. Информация, полученная в этих областях, может включать массивы, связанные списки, двоичные деревья, теорию множеств и линейные уравнения. финансовый трейдинг, искусственный интеллект и квантовые вычисления. Это может быть помимо других важных тем, таких как глубокое обучение, математические уравнения и статистика. Их знание может помочь вам понять, как алгоритмы взаимодействуют с компьютерами.‎

Этот FAQ был доступен только в информационных целях. Учащимся рекомендуется провести дополнительные исследования, чтобы убедиться, что курсы и другие полномочия соответствуют их личным, профессиональным и финансовым целям.

Искусства и гуманитарные науки

338 курсов

Бизнес

1095 курсов

Науки о данных

425 курсов

Информационные технологии

145 курсов

Здоровье

471 курс

Математика и логика

70 курсов

Личностный рост

137 курсов

Физические науки и инженерия

413 курсов

Общественные науки

401 курс

Изучение языка

150 курсов

Алгоритм обучения с онлайн-курсами, классами и уроками

Пройдите бесплатные онлайн-курсы по алгоритмам, чтобы улучшить свои навыки и повысить свою успеваемость в школе и на работе. Получите прочную основу в алгоритмах или освежите важные навыки решения проблем уже сегодня!

Что такое алгоритмы?

Алгоритмы — это набор инструкций по решению проблемы. Они появляются в математике, информатике и структурах данных. Это набор правил, которые управляют процессом и содержат пошаговые инструкции по выполнению этого процесса. Хотя математические алгоритмы существовали веками, сейчас алгоритмы являются центральными фигурами информатики. Алгоритмы теперь имитируют нейронные сети человеческого мозга в области искусственного интеллекта и глубокого обучения. Компьютерное программирование находится на грани решения некоторых из самых насущных проблем человечества, и алгоритмические знания дают вам представление об этих инновациях.

Алгоритмы обучения

Алгоритмы обучения дают вам широкий спектр навыков в области вычислительной техники, машинного обучения и искусственного интеллекта. Приобретение этих навыков дает вам знания в области компьютерных наук и позволяет разрабатывать программное и аппаратное обеспечение, способное удовлетворить потребности и потребности человечества. Эффективные алгоритмы являются основой технологических инноваций и наших постоянных исследований природы жизни и существования.

Курсы по алгоритмам и сертификаты

На edX.org есть множество курсов по алгоритмам. Курс ITT Bombay Algorithms знакомит вас с алгоритмами, включая алгоритмы сортировки и поиска, графовые алгоритмы и геометрические алгоритмы. Другие курсы включают алгоритмы, связанные с конкретными дисциплинами, включая такие вещи, как программирование на C, структуры данных, теорию графов и квантовые компьютеры. Если вы расширяете свои знания, сертификаты, такие как машинное обучение или глубокое обучение и искусственный интеллект, дают вам передовую основу для карьеры в этой прибыльной области. Материалы курса содержат обзоры алгоритмов сортировки, поиска в глубину, линейной регрессии и множества других компьютерных алгоритмов для построения моделей от микроскопических до массивных.

Откройте для себя обширную карьеру с помощью алгоритмов

Различные алгоритмы помогают обрабатывать нанотехнологии и исследовать вселенную в огромных масштабах.

Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

В данной статье рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов, а также формулы произведения синуса на косинус. Допустим, есть необходимость вычислить произведение синусов или косинусов углов α и β. Формулы произведения позволяют перейти от произведения к сумме или разности синусов и косинусов углов α+β и α-β.

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

1. Произведение синусов углов α и β равно полуразности косинуса угла α-β и косинуса угла α+β.
2. Произведение косинусов углов α и β равно полусумме косинуса угла α-β и косинуса угла α+β.
3. Произведение синуса угла α на косинус угла β равно полусумме синуса угла α-β и синуса угла α+β.

Для любых α и β справедливы формулы

• sin α·sin β=12cosα-β-cosα+β;
• cos α·cos β=12cosα-β+cosα+β;
• sin α·cos β=12sinα-β+sinα+β.

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

cosα+β=cos α·cos β-sin α·sin βcosα-β=cos α·cos β+sin α·sin β

Сложим эти равенства и получим:

cosα+β+cosα-β=cos α·cos β-sin α·sin β+cos α·cos β+sin α·sin βcosα+β+cosα-β=2·cos α·cos β

Отсюда

cos α·cos β=12cosα+β+cosα-β

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

-cos(α+β)=-cos α·cosβ+sin α·sinβ

Добавим к равенству формулу cosα-β=cos α·cos β+sin α·sinβ.

Получим:

-cos(α+β)+cosα-β=-cos α·cosβ+sin α·sinβ+cos α·cos β+sin α·sinβ-cos(α+β)+cosα-β=2·sin α·sinβsin α·sinβ=12(cosα-β-cos(α+β))

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

sinα+β=sin α·cos β+cos α·sin βsinα-β=sin α·cos β-cos α·sin βsinα+β+sinα-β=sin α·cos β+cos α·sin β+sin α·cos β-cos α·sin βsinα+β+sinα-β=2sin α·cos βsin α·cos β=12(sinα+β+sinα-β)

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач. 

Пусть α=60°, β=30°. Возьмем формулу произведения синусов и подставим в нее конкретные значения.

sin α·sin β=12(cosα-β-cosα+β)sin 60°·sin 30° =12(cos60°-30°-cos60°+30°)sin 60°·sin 30°=12(cos30°-cos90°)sin 60°·sin 30°=12(32-0)=34

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

sin60°·sin30°=32·12=34.

 Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Нужно sin 75° умножить на cos 15° и вычислить точное  значение произведения.

Мы не располагаем точными значениями синуса и косинуса данных углов, однако можем вычислить точное значение произведения sin 75°·cos 15° c помощью формулы произведения синуса на косинус.

sin 75°·cos 15°=12sin(75°-15°+sin(75°+15°))sin 75°·cos 15°=12sin60°+sin90°=1232+1=3+24

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Mathway | Популярные задачи

Мэтуэй | Популярные задачи

Тригонометрические функции.

(Архивный вопрос недели)

В прошлый раз мы рассмотрели некоторые детали, которые редко упоминаются при формулировании правил интерпретации алгебраических выражений. Я не уместился в обсуждении самого сложного случая: тригонометрических функций, которые при записи без круглых скобок, как это было традиционно, могут вызвать несколько вопросов. (Многое из того же верно и для логарифмов.)

Тригонометрические функции без скобок

Вот вопрос, из 2010 года:

 Порядок произведений, мощностей и параметров тригонометрических функций 
 Пытаюсь уточнить порядок операций применительно к тригонометрическим функциям.
Я хочу знать, каков правильный порядок операций для такого выражения, как sin2x. Когда мы знаем, что умножение подразумевается?
Когда в моем учебнике написано sin2x, я знаю, что это означает sin(2x). Но часто скобки отсутствуют. Правильно ли тогда предположить, что умножение всегда подразумевается в круглых скобках? Если это так, не означает ли это, что sinxcosy следует читать как sin(xcosy)? (Я тоже видел это в своем учебнике, но я знаю, что должен интерпретировать это как (sinx) (уютно). )
Я знаю, что всегда следует включать символы группировки, чтобы избежать двусмысленности; но когда их нет, как правильно интерпретировать эти выражения? 
 

Если триггерные функции были написаны с использованием обычных обозначений для функций, т.е. \(\sin(2x)\), проблем не будет. Но тригонометрические функции возникли раньше современной записи функций (или даже понятия функции), и старая запись была «унаследована», так что, хотя сегодня многие авторы рекомендуют всегда использовать круглые скобки, старая форма по-прежнему распространена. Как указал Джим, если, как в \(\sin 2x\), умножение имеет приоритет над функцией (как если бы оно было в круглых скобках), то \(\sin x \cos y\), по-видимому, подразумевает, что умножение произошло до применения функции синуса, что сделало его \(\sin(x \cos y)\). И я никогда не видел «официального» объяснения этому.

Никаких правил, только люди

Я ответил:

 Я обдумывал это несколько раз, и мой собственный вывод таков, что  правил не существует  . 
Здесь мы рассматриваем язык, который развился не по преднамеренному замыслу, а органично — с согласия его пользователей — точно так же, как развивается любой естественный язык. Лингвисты могут изучать язык, чтобы выяснить его правила, но по сути они реконструируют то, что существует без явных правил. Вы можете увидеть некоторые из этих разработок в порядке операций здесь:
  История порядка операций
  http://mathforum.org/library/drmath/view/52582.html 

Все, что лингвист может сделать, чтобы понять язык, — это изучить, как его используют его носители. Языки (за исключением нескольких «искусственных языков») не изобретаются с готовым сводом правил, а органически развиваются по мере того, как люди говорят на них, постоянно меняясь. Большая часть изучаемой нами английской грамматики, которая предположительно состоит из определенного набора правил, на самом деле была навязана английскому языку учеными, которые считали, что любой допустимый язык должен соответствовать категориям, известным из латыни, в результате чего она часто не соответствует как мы говорим на самом деле. То же самое относится и к PEMDAS: это набор правил, наложенных на наш «язык», предназначенных для представления того, как выполняется математика, но немного более жестких, чем реальность. А тригонометрия — это отдельный диалект! 92 x, где log x * log x и 90 937 log(log x) часто встречаются в анализе». Он говорит, что это сокращенное обозначение используется потому, что его достаточно, чтобы отличить часто используемые формы друг от друга: опыт говорит нам , что кто-то не имел бы в виду грех(грех(х)).

Это, конечно, не главный вопрос, который мы обсуждаем, но он иллюстрирует тот факт, что нотация тригонометрии идиосинкразична и приемлема в основном потому, что «мы знаем ее, когда видим», не нуждаясь в правилах.

Правило здравого смысла

 Я думаю, что  основное правило здравого смысла  лежит в основе расхлябанности в использовании других форм, таких как второй и третий примеры, которые вы упомянули:
  грех 2x означает грех (2x)
  sin x cos y означает sin(x)cos(y)
Они означают то, что они делают, просто потому, что мы знаем достаточно, чтобы НЕ ожидать, что
  sin 2x будет означать sin(2)*x
   
  sin x cos y будет означать sin(x*cos(y))
Возможно, есть также немного  типографского рассмотрения  : расстояние обычно предполагает, что 2x принадлежит как единое целое, как и sinx и cosy во втором примере.  

В современных учебниках (особенно по математическому анализу) могут быть сложные выражения, составленные только для того, чтобы проверить свои навыки, без ссылки на то, будут ли они когда-либо действительно использованы; в таком контексте здравый смысл может оказаться бесполезным! Тогда применяется другая часть здравого смысла: когда есть возможность неправильного толкования, используйте круглые скобки. И наоборот, если выражение не имеет круглых скобок, предполагается, что автор хотел, чтобы оно читалось наиболее естественным образом (что бы это ни было).

 Таким образом, можно проанализировать все употребления с лингвистической точки зрения и установить некоторые правила, например, «умножение предшествует тригонометрическим функциям, за исключением случаев, когда другая триггерная функция является множителем». Но что мы действительно делаем, читая эти выражения, так это руководствуемся здравым смыслом, основанным на математическом опыте.
Это вообще помогает? 

Другими словами, я не думал, что стоит пытаться придумать полный набор правил. 2-2)(8x)] Я понимаю, что лучше всего использовать скобки и квадратные скобки, чтобы развеять любые сомнения, но было бы неправильно писать cos(a) (b), когда вы имеете в виду (b)cos(a)? Когда круглые скобки не используются, например, с sin 2x, я знаю, что мы обычно принимаем это за sin(2x). Так что есть над чем подумать! Бев

Это очень похоже на вопрос, на который я ответил, но с большим примером. Если бы мы когда-нибудь написали \(\cos(a)(b)\), то восприняли бы это как функцию произведения, как мы сделали бы с \(\cos ab\)? Если нет, то почему?

На самом деле есть быстрый ответ на этот конкретный вопрос: когда круглые скобки используются с функцией, они всегда заключают в себе весь аргумент. Тот факт, что круглые скобки необязательны для триггерных функций, не имеет значения; как только вы вообще используете круглые скобки, вы теряете право думать о них как о содержащих только один фактор аргумента.

Доктор Том вместо этого ответил на более важный вопрос:

 Привет, Бев!
      
Хороший вопрос! Вы застали нас, математиков, со спущенными штанами. 
      
Я думаю, что в основном от лени мы даже пишем такие вещи
      
  "грех х"
      
Почти любая другая функция, кроме тригонометрической (и, возможно, логарифмической), требует, чтобы параметры были заключены в круглые скобки.
Как только вы признаете законность такой формы, как «sin 2x», вы открываете банку с червями. Даже что-то вроде этого...
      
  f (х) = грех х + соз х
 
... тогда это могло означать, да?
      
  f(x) = sin(x + cos(x)) 

Я думаю, все более или менее согласны с тем, что сложение обязательно выполняется после функции, так что \(\sin\alpha + \beta \ne \sin(\alpha + \бета)\). (С другой стороны, если известно, что \(\alpha\) и \(\beta\) являются углами, мы могли бы считать очевидным, что первая форма должна означать вторую, поскольку мы никогда не добавляем углы к отношениям.) Но такое правило обычно не указывается явно, и без таких правил возможно все.

 Это прозвучит ужасно, но я так часто видел это небрежное использование, что просто «знаю», что имелось в виду.  Мы, математики, просто делаем много «предполагаемой группировки». Например, ни один профессиональный математик никогда не напишет произведение таким образом:
      
  х2
Она всегда писала так:
      
  2x
      
Точно так же я бы никогда не написал...
      
  грех х 2
         
... или даже
      
  (грех х)2
      
Я бы переместил 2 вперед, чтобы сделать это ...
      
  2 грех х
         
... или это:
      
  2 грех(х)
      
Точно так же интерпретировать это...
      
  грех 2x
      
... поскольку «синус 2, умноженный на x» был бы очень необычным, поскольку во-первых, мы почти наверняка поместили бы «x» перед «sin 2»; и, во-вторых, если после «2» нет символа «градус», было бы невероятно маловероятно, что вы возьмете синус 2 радиана. 92\), потому что это просто не то, как мы пишем. Это способ устранить двусмысленность и добавить избыточность, чтобы мы могли распознавать ошибки. Аналогичное соглашение заключается в том, чтобы всегда писать радиальное в конце, чтобы убедиться, что винкулум не будет истолкован слишком далеко: \(2i\sqrt{3}\), а не \(2\sqrt{3}i\), что слишком похоже на \(2\sqrt{3i}\).
        

Тесты по теме «Линейные уравнения» онлайн

• Линейные уравнения. 7 класс

  10.11.2022 497 0

  Тест для проверки ваших знаний. Задания рассчитаны на учеников 7 класса. Каждый, кто изучил теорию, сможет пройти данный тест.

• 7_Решение систем уравнений

  20.04.2020 9436

  Данный тест предназначен для проверки знаний по алгебре учащихся 7-х классов,  которые изучили тему «Системы линейных уравнений с двумя переменными».     Тест состоит из 20 заданий разной степени трудности, в том числе, и заданий с множественным выбором ответа, заданий на соответствие, заданий на знание терминов и рассчитан на 90 минут выполнения.

• Уравнение и его корни.

  11.05.2022 80 0

  Тест предназначен для учащихся  6 класса средней школы  для проверки уровня знаний по  теме «Уравнение и его корни.» В нём содержатся задания  с одиночным или множественным выбором  ответа из числа предложенныхна и с вводом числа.Чтобы успешно справиться с тестом нужно знать правила решения уравнений и уметь использовать равносильные преобразования. Будьте внимательны!

• Решение линейных уравнений (со скобками)

  03.12.2020 2916 0

  В тест включены задания на решение линейных уравнений, в записи которых есть скобка. В тест случайным образом выбираются 5 уравнений из общей базы заданий. Сколько уравнений верно решите, такая и будет оценка. Время выполнения не ограничено.

• Линейное уравнение с двумя переменными и его график

  14.05.2020 3822

  Данный тест предназначен для повторения темы «Линейное уравнение с двумя переменными», которая изучается в курсе алгебры 7 класса.

• ЕГЭ 2023 — Задание- Решить рациональные уравнения и выражения

  09.11.2021 56 0

   ЕГЭ 2023 — Задание-  Рациональные уравнения и выражения

• Математика.

  7 класс. Уравнения

  18.01.2023 30 0

  Этот тест необходим для того, чтобы понять, как хорошо ты умеешь решать линейные уравнения. Начинай тест. У тебя все получится!!!

• Алгебра 7 класс. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Графический метод решения. Метод подстановки.

  10.04.2020 429 0

  7 класс. Алгебра. Срез знаний на тему: системы линейных уравнений с двумя переменными. Графический метод решения. Метод подстановки.

• Линейные уравнения

  30.03.2021 22 0

  тесты по подготовке к ГИА по теме «Уравнения и неравенства»

• Алгебра.

  7 класс. Линейные уравнения, уравнения с модулем, уравнения в виде пропорции.

  05.09.2022 36 0

  Решите линейные уравнения, используя правила открытия скобок, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, открытия модуля, основного свойства пропорции, умножения  и деления обыкновенных дробей, сложения отрицательных чисел и чисел с разными згнаками.

• Подготовка к ОГЭ.Тест 2

  03.01.2021 14 0

  Подготовка к ОГЭ (тест 2)   Тест для подготовки к ОГЭ по 3 разделам.  Для эфективного результата рекомендую подготовиться по обучающей системе Г.Г. Левитаса «Карточки для коррекции знаний по математике для 7 класса. Левитас Г.Г.» https://multiurok. ru/files/kartochki-dlia-korrektsii-znanii-po-matematike-d-1.html

• Целое уравнение и его корни. 9 класс

  23.11.2021 754 0

  Тест по теме «Целое уравнение и его корни», 9 класс. Квадратное уравнение, кубическое, биквадратное и т.д.

Решение уравнений с дробями онлайн online

Пошагово решать уравнения с дробями с помощью калькулятора онлайн, но есть дилемма у учеников 5, 6, 7, 8 классов школы, как вводить дробь в форму калькулятора. Анимированная картинка поможет

Уравнение с неизвестным:

⚟

Численное решение:

Искать численное решение на промежутке [, ]

Примеры уравнений с дробью

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^2

— возведение в квадрат

x^3

— возведение в куб

x^5

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7. 5, не 7,5

Постоянные

pi

— число Пи

e

— основание натурального логарифма

i

— комплексное число

oo

— символ бесконечности

Решатель уравнений с шагами

Калькулятор решения уравнений

Решатель математических уравнений — это онлайн-инструмент, предназначенный для решения уравнений относительно переменной. Он вычисляет значение переменной, которая присутствует в уравнении. Математический решатель может решать как линейные, так и квадратные уравнения.

 Этот пошаговый решатель уравнений также упрощает уравнения при их решении. Он показывает вам пошаговые расчеты для каждого решенного уравнения.

Что ж, кажется, с вас хватит возможностей этого калькулятора. Давайте узнаем, как решать линейные и квадратные уравнения без использования калькулятора решения уравнений.

Как решать линейные уравнения?

Знаете ли вы, что такое линейное уравнение и какова стандартная форма линейного уравнения?

Если нет, вот определение линейного уравнения.

Линейное уравнение – это алгебраическое уравнение, имеющее максимум первой степени, которое можно записать в виде:

ax + b = 0 или Ax + By = C

Это стандартная форма линейного уравнения. В этом уравнении

x и y являются переменными,

A и B — коэффициенты x и y,

C — константа .

Пример:

Решите уравнение: 5 x — 10 = 3 x – 6

Решение:

Шаг 1: Расставьте значения в данном уравнении, найдя одинаковые члены.

  5x — 10 = 3x – 6

Вышеприведенное уравнение можно записать в виде:

5x – 3x -10 + 6 = 0

Шаг 2: Добавьте или вычтите значения, которые можно добавить или вычитается.

2x – 4 = 0

Шаг 3: Добавить 4 по обе стороны уравнения.

2x – 4 + 4 = 0 + 4

2x = 4

Шаг 4: разделить на 2 с обеих сторон.

2x/2 = 4/2

x = 2

Как решать квадратные уравнения?

Теперь, когда вы знакомы с основами линейных уравнений, давайте познакомим вас с понятием квадратного уравнения.

Квадратное уравнение представляет собой алгебраическое уравнение с переменной второго порядка и может быть записано в виде:

Ax ² + Bx + C = 0

Где,

x неизвестная переменная,

9 0024 A и B — коэффициенты,

C — константа.

Формула квадратного уравнения

Квадратная формула для корней может быть выражена как:

Пример:

Решите данное уравнение: 2x² + 4x + 2 = 0

Решение:

Шаг 1: Определите термин d.

a = 2
b = 4
c = 2

Шаг 2: Поместите значения в квадратную формулу и решите ее для x .

x = -4 ± 4² — 4 x 2 x 22 x 2

x = -4 ± 16 — 164

x = -4 ± 04

x = -4/4

x = -1

1. Что такое решение Equations.mathsisfun.com

систем линейных уравнений — Криста Кинг Математика | Онлайн-помощь по математике

В линейной алгебре нам будет очень интересно решать системы линейных уравнений или линейные системы. Линейная система — это система уравнений, определенная для набора неизвестных переменных, где каждая из переменных является линейной (переменные первой степени или возведены в степень 1).

Learn mathКриста Кинг 1 января 2021 математика, выучить онлайн, онлайн курс, онлайн математика, линейная алгебра, линейные системы, решение линейных систем, системы уравнений, системы линейных уравнений, одновременные уравнения, решение систем с подстановкой, решение систем с исключением, решение систем с графическим изображением, графическое изображение с устранением замещения

Мы можем решить систему линейных уравнений методом исключения. В методе исключения мы исключаем одну из переменных из системы, чтобы найти значение другой переменной, а затем разворачиваемся и используем это значение, чтобы найти значение исключенной переменной.

Изучение математикиКриста Кинг 3 сентября 2020 г. математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, алгебра, алгебра 1, алгебра i, метод исключения, метод исключения, системы уравнений, системы линейных уравнений, линейная система, система два уравнения, пересечение прямых

Помните, что решением системы уравнений является набор чисел, который делает все уравнения верными. Если система с тремя переменными имеет решение, она будет иметь решение для каждой из трех переменных.

Learn mathКриста Кинг 14 мая 2019 математика, выучить онлайн, онлайн курс, онлайн математика, системы уравнений, системы трех уравнений, системы трех линейных уравнений, линейные уравнения, системы линейных уравнений, три линейных уравнения, решения систем , системы уравнений, алгебра 2, алгебра ii

Существует три способа решения систем линейных уравнений: замена, исключение и построение графика.

как выполняется понижение для тригонометрических функций

Понижение степени в тригонометрии

Формулы понижения степени позволяют выразить тригонометрическую функцию n-ной степени через синус и косинус первой степени кратного значению n угла.

Применяемые формулы, доказательства

Формулы понижения степени выводятся из формул двойных, тройных и т.д. углов, которые в свою очередь являются следствием формул сложения и вычитания аргументов (метод заключается в представлении данных тождеств в виде суммы двух равных углов).

Формула понижения степени синуса и косинуса

Общий вид формул понижения степени для синуса и косинуса отличается для четных и нечетных степеней. Для четных (n = 2, 4, 6, …) они выглядят следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

\(\sin^n\left(\alpha\right)=\frac{\mathrm C_\frac n2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{{\textstyle\frac n2}-1}{(-1)}^{{\textstyle\frac n2}-k}\cdot\mathrm C_k^n\cdot\cos\left((n-2k)\alpha\right)\)

\(\cos^n\left(\alpha\right)=\frac{\mathrm C_\frac n2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{{\textstyle\frac n2}-1}\mathrm C_k^n\cdot\cos\left((n-2k)\alpha\right)\)

Для нечетных степеней (n = 3, 5, 7, …) в общем виде формулы записываются так:

\(\sin^n\left(\alpha\right)=\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{\textstyle\frac{n-1}2}{(-1)}^{{\textstyle\frac{n-1}2}-k}\cdot\mathrm C_k^n\cdot\sin\left((n-2k)\alpha\right)\)

\(\cos^n\left(\alpha\right)=\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{\textstyle\frac{n-1}2}\mathrm C_k^n\cdot\cos\left((n-2k)\alpha\right)\)

На практике чаще всего используются формулы для второй степени, немного реже — для третьей и четвертой. 2\left(x\right)d2x=\int2\cdot\frac{1+\cos\left(2x\right)}2d2x=\int1+\cos\left(2x\right)d2x\)

Так как выражение под знаком интеграла является многочленом, проинтегрируем каждую его часть по очереди:

\(\int1+\cos\left(2x\right)d2x=\int1d2x+\int\cos\left(2x\right)d2x=x+\sin\left(2x\right)+\mathrm C\)

основные формулы, шпаргалка, таблица для ЕГЭ

Тригонометрические формулы необходимо знать, чтобы сдать ЕГЭ. Мы собрали основные формулы в одну таблицу, с помощью которой вам будет легко готовиться к экзамену

Игорь Геращенко Автор КП

Содержание

1. Основные тригонометрические формулы
2. Формулы сложения
3. Формулы двойного угла
4. Формулы тройного угла
5. Формулы понижения степени
6. Таблица с тригонометрическими формулами

История тригонометрии насчитывает более 2 000 лет. Уже в Древнем Египте, Вавилоне и Китае появились зачатки этой науки. Древнегреческие математики рассматривали ее как часть астрономии. В «Началах» Евклида речь идет уже не только о плоской тригонометрии, но и о сферической.

В последующие годы значительный вклад в науку о соотношениях между углами и сторонами внесли Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Исаак Ньютон, Леонард Эйлер, Николай Лобачевский и другие ученые. Если раньше тригонометрия использовалась, в основном, в астрономии, архитектуре и геодезии, то в настоящее время практически нет таких естественных и технических наук, где бы эта дисциплина не нашла своего применения.

Основные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы устанавливают соотношения между основными тригонометрическими функциями: синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. Связей между ними достаточно много, этим и объясняется многообразие тригонометрических формул.

Существуют формулы сложения, двойного угла, тройного угла, формулы понижения степени и целый ряд других.

Шпаргалка для ЕГЭ

Задания по тригонометрии всегда вызывают большие затруднения у учащихся, сдающих ЕГЭ. На ЕГЭ по математике выносятся следующие тригонометрические задания: базовый уровень (задание 7), профильный уровень (задания 4 и 12).

Мы собрали основные тригонометрические формулы, которые помогут при решении задач на ЕГЭ.

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают то, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов находят свое выражение через тригонометрические функции этих углов. Данные формулы являются базой для вывода формул двойного и тройного угла, а также понижения степени.

Скачать формулы сложения

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2α через тригонометрические функции угла. Данные формулы следуют из формул сложения. Формулы двойного угла используются преимущественно для преобразования тригонометрических выражений.

Скачать формулы двойного угла

Формулы тройного угла

По аналогии с формулами двойного угла мы можем получить формулы тройного угла. Для этого опять-таки используются формулы сложения, а также формулы двойного угла.

Скачать формулы тройного угла

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени дают возможность понизить степени тригонометрических функций до первой. Эти формулы помогают переходить от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов.

Скачать формулы понижения степени

Таблица с тригонометрическими формулами

Чтобы сделать процесс запоминания тригонометрических формул более простым и доступным, мы занесли основные тригонометрические формулы в одну таблицу. Если ее всегда держать перед глазами, постоянно ею пользоваться, то на ЕГЭ не возникнет проблем с выполнением заданий по тригонометрии.

Скачать таблицу с тригонометрическими формулами

тригонометрических идентификаторов снижения мощности | Brilliant Math & Science Wiki

Мэй Ли, Омкар Кулкарни, Пранджал Джайн, и

способствовал

Содержимое

• Личности
• Формулы половинного угла 92 \тета. \ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

  Используя формулы приведения степени, мы можем вывести следующие формулы половинного угла :

  Формулы половинного угла

  Для любого угла \(\theta\),

  \[ \begin{выравнивание} \cos\left(\frac{\theta}{2} \right) &= \pm \sqrt{ \frac{1 + \cos\theta}{2} }\\ \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &= \pm \sqrt{ \frac{1 — \cos\theta}{2} }\\ \tan \left( \frac{\theta}{2} \right) &= \pm \sqrt{ \frac{1 — \cos\theta}{1 + \cos\theta}}. \конец{выравнивание}\] 9{2}(2\тета)}{4}\\ &=\frac{1+2\cos(2\theta)+\frac{1+\cos(4\theta)}{2}}{4}\\ &=\frac{2+4\cos(2\theta)+1+\cos(4\theta)}{8}\\ &=\frac{1}{8}\big(\cos(4\theta)+4\cos(2\theta)+3\big).\ _\square \конец{выравнивание}\]

  Используйте формулы половинного угла для вычисления \(\cos \left(\frac{\pi}{12} \right) \) и \(\sin \left(\frac{\pi}{12} \right). \)

  ---

  В формулах \(\cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \pm \sqrt{ \frac{1 + \cos\theta}{2} }\) и \(\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \pm \sqrt{ \frac{1 — \cos\theta}{2} },\) мы заменяем \(\theta\) на \(\frac {\пи} {6}:\)

  \[\begin{выравнивание} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) &=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2} } \\ & =\pm\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2} \конец{выравнивание}\]

  \[\begin{выравнивание} \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) &=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2} } \\ &=\pm\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}. \конец{выравнивание}\]

  Поскольку \(\frac{\pi}{12}\) лежит в первом квадранте, мы присваиваем положительные значения \(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\) и \( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\).

  Отсюда \(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\) и \(\sin\left( \ frac {\ pi} {12} \ right) = \ frac {\ sqrt {2- \ sqrt {3}}} {2} \). \(_\квадрат\)

  Подтвердить личность

  \[\tan \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{1-\cos \theta}{\sin\theta},\quad \tan \left( \frac{\theta {2} \right) = \frac{\sin\theta}{1+\cos \theta}.\]

  ---

  У нас есть

  \[\begin{выравнивание} \tan \left( \frac{\theta}{2} \right) &= \pm \sqrt{ \frac{1 — \cos\theta}{1 + \cos\theta}}. \конец{выравнивание}\] 92} }\\ &=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}.\ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

  Процитировать как: Тригонометрические тождества понижения мощности. Brilliant.