Рубрика: Разное

Отзывы будут использованы только для улучшения сайта. Если вам нужна помощь, посетите страницу «Контакты и сервисный центр MassDEP». Пожалуйста, ограничьте ввод до 500 символов.

Пожалуйста, удалите любую контактную информацию или личные данные из вашего отзыва.

Если вам нужна помощь, посетите страницу контактов и сервисного центра MassDEP.

Пожалуйста, сообщите нам, как мы можем улучшить эту страницу.

Пожалуйста, удалите любую контактную информацию или личные данные из вашего отзыва.

Если вам нужна помощь, посетите страницу контактов и сервисного центра MassDEP.

С.Т. Завало. Элементарная алгебра. Изд-во «Просвещение», М., 1964 г. В основу этой книги положен курс лекций по элементарной алгебре, читавшийся мною на протяжении ряда лет в Черкасском государственном педагогическом институте. Первая глава книги — вступительная. В ней сжато изложены сведения о некоторых математических понятиях, с которыми читателю придется встретиться в последующих главах. В главах II—X изложен учебный материал по элементарной алгебре, предусмотренный программой специального курса элементарной математики для студентов-математиков педагогических институтов. Книга рассчитана на студентов-математиков педагогических институтов. Она может быть также пособием для учителей математики средней школы. Оглавление Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ § 2. Понятия кольца и поля § 3. Упорядоченные поля § 4. Понятие функции и аналитического выражения § 5. Элементарные функции и их классификация § 6. Метод математической индукции Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ § 1. Понятие уравнения. Решения уравнения § 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике § 3. Равносильность уравнений § 4. Преобразование уравнений при их решении Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным § 2. Корни квадратного трехчлена § 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел § 4. Двучленные уравнения § 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным § 6. Симметрические уравнения § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами § 8. Частные приемы решения уравнений высших степеней § 9. Дробно-рациональные уравнения Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ § 2. Перестановки § 3. Сочетания § 4. Размещения § 5. Перестановки с повторениями § 6. Сочетания с повторениями § 7. Размещения с повторениями Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 1. Бином Ньютона § 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства § 3. Треугольник Паскаля § 4. Полиномиальная теорема § 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма § 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов § 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных § 4. Тождественность двух многочленов § 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа § 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами Глава VII. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ § 1. Понятие системы уравнений § 2. Равносильность систем уравнений § 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений § 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами 1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой. 2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени. 3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде. 4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными. 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное. 7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения. 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения. § 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА § 1. Основные свойства неравенств § 2. Тождественные неравенства § 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений § 4. Решение неравенств § 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени § 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестными § 7. Применение неравенств для задания числовых и точечных множеств Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений § 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным § 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям § 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений § 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем ЛИТЕРАТУРА

Формулы сокращенного умножения

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.

Пусть а, b   R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b)² = a² — 2ab + b²

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a² — b² = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a³ — b³ = (a — b) (a² + ab + b²)

8. Разность чисел в четвертой степени

(a — b)⁴ = a⁴ — 4a³b + 6a²b² — 4ab³ + b⁴

9. Сумма чисел в четвертой степени

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

10. Разность чисел в пятой степени

(a — b)⁵ = a⁵ — 5a⁴b + 10a³b² — 10a²b³ + 5ab⁴ — b⁵

11. Сумма чисел в пятой степени

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

12. Квадрат трехчлена

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

13. Квадрат линейной формы

(a + b + c + … + u + v)² = a² + b² + c² + … + u² + v² + 2(ab + ac + … + au + av + bc + … + bu + bv + … + uv)

14. Куб трехчлена

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

Степени и степени

Обновлено 26 июня 2019 г. | Инфопожалуйста Персонал

в степени — это произведение , умножающее число само на себя.

Обычно степень представлена ​​ основанием, и показателем степени. Базовое число сообщает , какое число умножается. Показатель степени , небольшое число, написанное выше и справа от основного числа, говорит о сколько раз умножается основное число.

Например, «6 в 5-й степени» можно записать как «6 ⁵ ». Здесь базовое число равно 6, а показатель степени равен 5. Это означает, что 6 умножается само на себя 5 раз: 6 х 6 х 6 х 6 х 6

6 х 6 х 6 х 6 х 6 = 7 776 или 6 ⁵ = 7,776

Источники +

Наши общие источники

Видео с вопросами: Формулы множественных углов из формулы Эйлера

Стенограмма видео

Используйте формулу Эйлера, чтобы вывести формулу для cos 5 𝜃 и sin 5 𝜃 через sin 𝜃 и cos 𝜃.

Напомним, формула Эйлера говорит, что 𝑒 в степени 𝑖𝜃 равно cos 𝜃 плюс 𝑖 sin 𝜃. Итак, как мы применим это, чтобы вывести формулу для cos, равного пяти 𝜃, и sin, равного пяти 𝜃? Что ж, мы собираемся начать с возведения обеих частей этой формулы в пятую степень. Теперь мы можем сказать, что 𝑒 в 𝑖𝜃 все в пятой степени равно 𝑒 в пяти 𝑖𝜃. Но тогда, конечно, мы могли бы использовать формулу Эйлера, чтобы переписать это как cos пять 𝜃 плюс 𝑖 sin of Five 𝜃. Итак, у нас есть уравнение потому что пять 𝜃 плюс 𝑖 грех пяти 𝜃 равно косинусу 𝜃 плюс 𝑖 грех 𝜃 все в пятой степени. И теперь мы можем использовать биномиальную теорему, чтобы распределить эти скобки.

Это говорит о том, что 𝑎 плюс 𝑏 в 𝑛-й степени является суммой от 𝑘 равной нулю до 𝑛 из 𝑛 выберите 𝑘, умноженное на 𝑎 в степени 𝑛 минус 𝑘, умноженное на 𝑏 в 𝑘-й степени. Когда 𝑛 равно пяти, мы имеем 𝑎 плюс 𝑏 в пятой степени равно 𝑎 в пятой степени плюс пять выбрать один 𝑎 в четвертой степени 𝑏 плюс пять выбрать два раза 𝑎 в кубе умножить на 𝑏 в квадрате и так далее. На самом деле, пять выбирают один и пять выбирают четыре равно пяти, а пять выбирают два и пять выбирают три равны 10. Итак, у нас есть следующая формула, которая поможет нам распределить скобки cos 𝜃 плюс 𝑖 sin 𝜃 в пятой степени. Первый член — это просто cos 𝜃 в пятой степени, а второй — пять cos 𝜃 в четвертой степени, умноженные на 𝑖 sin 𝜃.

Но на самом деле, давайте переместим 𝑖 вперед и запишем это как пять 𝑖 cos 𝜃 в четвертой степени sin 𝜃. Тогда третий член равен 10 кос в кубе 𝜃 умножить на 𝑖 грех 𝜃 в квадрате, что можно записать как 10 кос в кубе 𝜃 умножить на 𝑖 в квадрате умножить на квадрат греха 𝜃. Но мы знаем, что 𝑖 в квадрате равен минус единице. Таким образом, мы можем переписать это далее как отрицательные 10 cos в кубе 𝜃 sin в квадрате 𝜃. Тогда наш четвертый член равен 10 кос в квадрате 𝜃 умножить на 𝑖 грех 𝜃 в кубе. И если мы считаем 𝑖 в кубе равным 𝑖 умножить на 𝑖 в квадрате, мы увидим, что все это выражение можно переписать как минус 10 𝑖 умножить на кос в квадрате 𝜃 умножить на грех в кубе 𝜃. Тогда у нас есть пять cos 𝜃 умноженных на 𝑖 sin 𝜃 в четвертой степени. А так как 𝑖 в четвертой степени равно 𝑖 в квадрате, это отрицательная единица в квадрате, то есть просто единица. И этот термин становится пятью cos 𝜃 sin 𝜃 в четвертой степени.

Наш последний термин равен 𝑖 sin 𝜃 в пятой степени. 𝑖 в пятой степени равно 𝑖 в четвертой степени, умноженное на 𝑖. Итак, мы имеем просто 𝑖 sin 𝜃 в пятой степени. Итак, наше уравнение теперь представляет собой кос пять 𝜃 плюс 𝑖 грех пять 𝜃 равно кос 𝜃 в пятой степени плюс пять 𝑖 cos 𝜃 в четвертой степени умножить на грех 𝜃 минус 10 кос в кубе 𝜃 грех в квадрате 𝜃 и так далее. И теперь мы готовы вывести формулу для пяти 𝜃. Мы делаем это, приравнивая или сравнивая действительные части с каждой стороны нашего уравнения. в левой части это просто кос пять 𝜃, тогда как в правой части у нас есть кос 𝜃 в пятой степени минус 10 куб куб 𝜃 квадрат греха 𝜃 плюс пять кос 𝜃 грех 𝜃 в четвертой степени.

Поскольку мы знаем, что действительные компоненты в каждой части нашего уравнения должны быть равны, мы создаем следующее уравнение. И мы могли бы оставить это так. Но мы могли бы также вспомнить, что квадрат греха 𝜃 плюс квадрат квадрата 𝜃 равен единице. А затем, написав, что грех в квадрате 𝜃 равен единице минус косинус в квадрате 𝜃, мы находим косинус пять 𝜃 равно косинусу 𝜃 в пятой степени минус 10 косинус в кубе 𝜃 умноженный на один минус косинус в квадрате 𝜃 плюс пять косинусов 𝜃 умноженный на один минус косинус в квадрате 𝜃 в квадрате .

Наконец, мы распределяем скобки. И мы находим, что правая часть этого уравнения становится 16 cos 𝜃 в пятой степени минус 20 cos в кубе 𝜃 плюс пять cos 𝜃. Итак, мы получили нашу формулу для пяти 𝜃. Фактически, мы повторяем этот процесс для пяти 𝜃. На этот раз, однако, мы собираемся сравнить воображаемые части. В левой части у нас есть грех пять 𝜃, тогда как в правой части у нас есть пять кос 𝜃 в четвертой степени грех 𝜃 минус 10 кос в квадрате 𝜃 грех в кубе 𝜃 плюс грех 𝜃 в пятой степени. Таким образом, наше уравнение для греха пять 𝜃 становится грехом пять 𝜃 равно пяти, потому что 𝜃 в четвертой степени, грех 𝜃 минус 10, потому что в квадрате 𝜃 грех в кубе 𝜃 плюс грех 𝜃 в пятой степени.

1.  1001 ВИКТОРИНА 
2. УЧИМСЯ ИГРАЯ (сайт) 
3. УЧИ.РУ (сайт) 
4. ТЕСТЫ(русский) 
5. БИБЛИОЗНАЙКА 
6. ВИДЕОРЕПЕТИТОР 
7. УРОКИ школьной программы 
8. ДОМАШНЯЯ ШКОЛА 
9. ИГРАЕМ САМИ 
10. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕСТЫ 
11. ОТЛИЧНИК 
12. РАСТУ.РУ 
13. САМОУЧКА 
14. ТРЕНАЖЁР (игры) 
15. ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ и УМНОЖЕНИЯ 
16. МУЗЕЙ русского слова
17. Интерактивная игра «В стране ребусов»
18. Интеллектуальный марафон (2 класс)
19. Интерактивная викторина «Космическая»
20. Презентация«Занимательная математика»
21. Викторина«Фразеологизмы. Доскажи словечко»;
22. Викторина «Знаешь ли ты фразеологизмы?»; 3-4 классы

ИНТЕРАКТИВНЫЕ ПЛАКАТЫ:

1. Пишем буквы правильно
2. Пишем цифры правильно
3. Живое — неживое
4. Зимующие — перелётные

МАТЕРИАЛ К УРОКАМ:

1. Простая наука
2. Наука для детей
3. ЛАБУКАП
4. СЕРВИС ДЛЯ СОЗДАНИЯ КНИЖНЫХ ОБЛОЖЕК
5. Золотое кольцо России (Иваново) 
6. Интеллектуальный марафон (2 класс)

ТЕСТЫ  

ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ:

1. Состав числа 10, 9, 8 / отработка вычислительных навыков в пределах 10/.   
2. Интерактивная игра-тренажёр «Решаем с Леопольдом.  /Закрепление приёмов вычитания чисел с переходом через десяток в пределах 20/
3. Игра-тренажёр»Орехи для белочки. /закрепление знания табличных случаев — 1 класс/
4. Игра-тренажёр «Собери бананы», 1 класс /»Сложение и вычитание чисел в пределах 20/
5. Интерактивная игра-тренажёр«Помоги Русалке» / таблица сложения чисел в пределах 20/.  
6. Интерактивная игра-тренажёр «Игра в футбол», /закрепление сложения чисел в пределах 20/. 
7. Дидактическая игра«Найди домик» /сложение и вычитание в пределах 100, без перехода через разряд/.  
8. Интерактивный тренажер «Накорми собаку». Математика,  /таблица сложения в пределах 20/.
9. УЧИМСЯ СЧИТАТЬ
10. Тренажер по математике «Новогодний сюрприз»,1 класс
11. Презентация-тренажёр по математике «Состав чисел 2-10»; 1 класс
12. Состав числа (1 класс)
13. Навык счёта
14. Интерактивный тест «Сложение и вычитание в пределах 100» /2 класс/
15. Итоговый тест (2 класс)
16. Интерактивный тренажёр «Сложение и вычитание в пределах 20»
17. Интерактивный тренажёр «Вычитание в пределах 100»
18. Интерактивный тренажёр«Сложение в пределах 100»
19. Дидактическая игра  «Ромашки для кошки»; 2 класс
20. Дидактическая игра «Давай поиграем»; 2 класс

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ:

1. Отличник
2. Игра Таблица умножения
3. Медовый марафон (игра)
4. Игра Таблица умножения 
5. Математический тетрис / для тренировки и закрепления таблицы умножения в начальной школе/
6. Таблица умножения v4. 0  /Программа для обучения и тестирования детей/
7. Интерактивный тренажёр / отработка табличных случаев деления/
8. Таблица умножения в мультиках
9. Повторяем таблицу /умножения/
10. УЧИМСЯ СЧИТАТЬ (отличный тренажёр)
11. БИ2О2Т (учись считать играючи)
12. Тренажёр навыка умножения
13. ИграемСами(таблица умножения)
14. Тест Знаешь таблицу умножения?
15. САМОУЧКА Таблица умножения 6-9
16. САМОУЧКА Открой таблицу умножения
17. Интерактивный тренажёр«Таблица умножения»
18. Презентация-тренажер «Таблица умножения»
19. Игра-тренажер «Нарядим елочку!»
20. Тренажёр «Таблица умножения»
21. Интерактивный тренажер «Играем в снежки»
22. Интерактивный тренажёр» В гости к Винни-Пуху. Табличное умножение и деление»; 3 кл.
23. Пазл«Снежная Королева. Табличное деление«; 2-4 классы
24. Тренажер-игра«Незнайкина мозаика. Табличное умножение»; 2-4 классы

ЗАДАЧИ:

1. Задачи

РУССКИЙ ЯЗЫК

1. САМОУЧКА. Русский языкI�span>
2. ОНЛАЙН — ТЕСТЫ по русскому языку;
3. ПИШИ ПРАВИЛЬНО!
4. Повторение изученного за 1 полугодие
5. Итоговый тест (2 класс)
6. Время глагола 
7. Игра-тренажёр по русскому языку «Цветы для Красной Шапочки».  /«Буква парного согласного на конце слов»/.  
8. Интерактивный тренажёр «Правописание парных согласных»
9. Игра-тренажёр «Помоги Бабе-Яге. / «Буква безударного гласного в корне слова»/  
10. Тренажёр «Рыбалка» / «Правописание безударных гласных в корне слова»/.
11.  Интерактивный тренажер «Безударные гласные. Маша и медведь»
12.  Интерактивный тест «Безударные гласные»; 2 класс
13.  Интерактивный тест «Фонематический анализ и синтез» /2-3 класс/
14. Игра-тренажёр «Алёша Попович ищет Любаву. Определение частей речи» /2-3 классы/
15. Интерактивный тренажёр «Части речи»
16. Интерактивный тренажёр «Части речи»
17. Тест «Части речи» / 2 класс/
18. Интерактивный тренажёр «Родственные слова»
19. Презентация-тренажёр «Родственные слова» ( 2-3 классы)
20. Интерактивный тренажёр«В мире родственных слов»
21. Презентация-тренажер «Род имён существительных»; 1-2 классы
22. Тренажер«Состав слова (приставка)»; 3 класс
23. Интерактивный кроссворд«Многозначные слова»

СЛОВАРЬ

1. Слова из словаря
2. Словарные слова «Растения»
3. Словарные слова «Животные»
4. Интерактивная игра «Словарные слова»
5. Викторина по русскому языку«Во саду ли, в огороде»
6. Презентация-пазл» Животные»;
7. «Иллюстрированный словарь» для 3 класса
8. «УРОЖАЙ.  Словарная работа»; 2-3 классы

МАТЕМАТИКА

1. Действия с именованными числами
2. Дроби
3. Определивремя по часам / умение определять и быстро рассчитывать время/.
4. Интерактивная презентация «Своя игра»  

ОКРУЖАЮЩИЙ МИР

1. Угадай детёныша 
2. Животные природных зоны
3. О молниях, змеях и прочих...
4. Игра»Слово» /При запуске презентации, выберите «Включить содержимое для этого сеанса/ — 4 класс.
5. Тренажер по окружающему миру «Мир вокруг нас» (1-2 класс)
6. Олимпиадные вопросы по окружающему миру
7. Интерактивный кроссворд «Вода» /3 класс/
8. Тест «Группы животных» /2 класс/
9. Интерактивная интеллектуальная игра по экологии«Юные экологи»
10. Интерактивный тестс автоматизированной проверкой ответа на тему «Космос»
11. Итоговый тест  (2 класс)
12. Презентация«Детский месяцеслов»; 1-2 класс
13. Тест«Водоемы»; 2 класс
14. Тест  /4 класс/

ЧТЕНИЕ

1. Интерактивная игра «Сказки А. С.Пушкина», 3 — 5 класс

ШЕСТИЛЕТКИ

1. Игра — презентация «Колобок. Найди 10 отличий». / найти 10 отличий в картинках, нажав на них. В конце ребенку предлагается прослушать сказку./
2. Игра — сказка «Курочка Ряба»  /Ребёнку предлагается найти 6 слов, изображенных в картинках, нажав на них. В конце игры предлагается прослушать сказку/.
3.  

Классные игры для обучения таблице умножения

Изучите приведенные ниже инструкции по забавным играм, которые подходят для классных комнат, небольших групп и отдельных учащихся.

  = Любимая игра multiplication.com!

---

 Онлайн-игры

Подходит для:	Физические лица
900 05 Продолжительность:	Варьируется
Сложность:	Легко
Уровень шума:	Шумно

• Ознакомьтесь с нашим огромным разнообразием онлайн-игр, отлично подходящих для самостоятельного обучения 90 051
• Недавно мы представили несколько многопользовательских игр с новыми вызовы!

Посетите нашу страницу с играми, чтобы начать.

---

Вокруг света

Подходит для:	Классы
Продолжительность:	Длинная
Сложность:	Легкая
900 05 Уровень шума:	Тихо

• выбрано.
• Первый игрок стоит позади ученика рядом с ним.
• Учитель держит карточку.
• Ученик, ответивший первым, переходит к следующему ученику.
• Если сидящий ученик первым говорит ответ, ученики меняются местами.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока хотя бы один ученик не сделает полный круг.

---

Buzz

Подходит для:	Небольшие группы
Продолжительность: 900 06	Гибкий
Уровень сложности:	Простой
Уровень шума:	Тихий

Эта игра используется для повторения определенного семейства фактов, и в нее можно играть в небольшой группе или со всем классом.

• Выберите число от 2 до 9. Первый учащийся говорит 1, следующий учащийся говорит 2 и так далее.
• Вместо того, чтобы произносить число, кратное выбранному числу, учащийся произносит «жужжание».
• Если игрок забывает произнести жужжание или произносит его в неподходящее время, он или она выбывает
• Продолжайте, пока группа не наберет последнее число, кратное 9.
• Например, если выбрано «2». Первый учащийся говорит «1», следующий учащийся говорит «жужжание», следующие учащиеся говорят «3», следующий учащийся говорит «жужжание» и так далее, пока не будет достигнуто число 18 (2 x 9).

Материалы не требуются.

---

Карточки у дверей

Подходит для:	Классы
9 0005 Продолжительность:	Короткая
Сложность:	Легко
Уровень шума:	Шумно

• Выберите карточки, соответствующие фактам студенты учатся.
• Когда учащиеся выстраиваются в очередь, чтобы войти или выйти из класса, поднимите флеш-карту, когда каждый учащийся проходит через дверь.
• Ответ на флеш-карту — «пропуск» в класс.
• Если учащийся не решает задачу, он или она должны отойти в сторону и сообразить ответ, прежде чем он или она войдет в класс.

Вы можете выбрать карточки в соответствии со способностями каждого учащегося. Это упражнение может занять немного времени в первые пару раз, когда вы попробуете его, но оно будет проходить быстрее, когда учащиеся запомнят факты.

---

Flip Up

Подходит для:	Пары
Длительность: 9 0006	Гибкий
Сложность:	Простой
Уровень шума:	Шумно

Учащиеся соревнуются, кто сможет правильно ответить на все задачи за наименьшее время.

• Два ученика сидят лицом друг к другу.
• Один учащийся держит карточки, чтобы задача была обращена к другому игроку.
• Другие ученики произносят ответ вслух, и ученик, держащий карточку, подтверждает ответ.
• Если учащийся отвечает правильно, флэш-карта сбрасывается.
• Если учащийся ошибся, карточка возвращается в колоду.
• Учащийся продолжает до тех пор, пока не даст все правильные ответы и не поменяется местами.

---

 Бинго умножения

Подходит для:	Классы
Продолжительность:	Варьируется
Сложность:	Легко
Уровень шума:	Шумно

• Распечатайте шаблон карты бинго и сделайте копию для каждого ученика.
• Каждый учащийся выбирает любое из 25 чисел внизу карточки бинго и записывает по одному в каждом квадрате.
• Удалите все нулевые флэш-карты, кроме одной.
• Произвольно возьмите флешку и прочитайте задачу вслух.
• Каждый учащийся с ответом на своей карточке бинго отмечает квадрат.
• Продолжайте, пока кто-нибудь не выиграет бинго.

---

Двойники

Подходит для:	Пары, небольшие группы
9 0005 Длительность:	Гибкая
Сложность:	Легкая
Уровень шума:	Шумно

Изучение фактов умножения с 2 в качестве множителя может быть веселым и легким с домино.

• Используйте двойные домино, чтобы продемонстрировать, что умножение на два равносильно сложению двойных чисел (например, 5 + 5 = 2 x 5, 6 + 6 = 2 x 6).
• Попросите своих учеников составить утверждения о фактах сложения и умножения для двойных домино.

Материалы: Домино

---

Slap Happy

9 0002

Подходит для:	Пары, небольшие группы
Продолжительность:	Гибкий
Сложность:	Легко
Уровень шума:	Шумный

• Каждый игрок берет по 7 карт. В свою очередь каждый игрок ищет совпадающую проблему и продукт.
• Если он или она совпали, он или она берет ложку, а все остальные игроки пытаются схватить оставшиеся ложки.
• Игрок раскрывает карты. Если игрок прав, игрок без ложки пишет М (первая буква в УМНОЖИТЬ).
• Если игрок ошибается, он пишет М. Карты помещаются в стопку сброса.
• Если во время хода у игрока нет спичек, он берёт карты из стопки.

Каждый раз, когда игрок произносит заклинание УМНОЖЕНИЕ, он выбывает из игры. Игра продолжается до тех пор, пока не останется один игрок.

Материалы: Ложки (на одну ложку меньше, чем общее количество игроков, например, пять ложек на шестерых игроков) Два набора карточек (PDF; первый набор с ответами, второй с проблемами) Совет учителя: Используйте Slap-o-Matic (из настольной игры HandsDown) вместо ложек.

---

 Тэг команды

Подходит для:	Небольшие группы, классы
Продолжительность:	Варьируется
Сложность:	Легко
Уровень шума:	Шумный

• Положите две одинаковые стопки флеш-карт на стол в передней части комнаты.
• Разделите учащихся на две группы.
• Попросите учеников выстроиться в две одиночные линии лицом к парте. Первый учащийся в каждой шеренге должен находиться примерно в 10 футах от парты.
• Когда игра начинается, первый человек в очереди бежит к столу, берет первую карту из своей стопки, показывает карту команде, объявляет ответ, кладет карту в стопку сброса и затем спешит отметить следующий человек в очереди.
• Если учащийся не знает ответа или дает неверный ответ, он кладет карточку в низ стопки и выбирает следующую карточку. Этот учащийся продолжает выбирать карточки до тех пор, пока не узнает ответ на одну из них или пока не будут выбраны пять карточек.
• Две команды играют одновременно, и первая команда, которая правильно ответит на все факты умножения в своей стопке, побеждает.

Материалы: Два набора карточек (PDF)

---

Футбол с таблицей умножения

Подходит для:	Небольшие группы, классы
Продолжительность:	Варьируется
Сложность:	Высокая
Уровень шума:	Тихий

• Создайте игровое поле с помощью проектора или меловой/белой доски.
• На стороне карточки с ответом напишите результаты футбольного матча (например, 25-ярдовый пас в аут, 3-ярдовый бег крайним защитником, неполный пас, потеря 5 ярдов из-за нащупывания).
• Создайте около 100 игр на флеш-картах. Большинство розыгрышей должны приносить хорошие результаты, но некоторые розыгрыши являются ошибками, чтобы добавить элемент неожиданности.
• Разделите учащихся на две команды. Каждый игрок по очереди отвечает на факт.
• Если он или она отвечает правильно, происходит розыгрыш карты. Если игрок пропускает факт умножения, противоположной команде дается шанс правильно ответить на этот факт.
• Если другая команда отвечает на факт правильно, команда восстанавливает нащупывание и начинает с первой попытки.
• Старт на 20-ярдовой линии в начале игры, в начале второго тайма и после тачдаунов. При 4-м дауне команда может выбрать 1-й даун, пант (40 ярдов) или попытку броска с игры (должен быть как минимум на 40-ярдовой линии).

Вы можете быть изобретательны со штрафами (например, штрафы могут быть наложены за невнимательность, когда не ваша очередь, чрезмерную болтовню или помощь кому-то другому).

---

 Война

Подходит для:	Пары
Длительность: 9 0006	Варьируется
Сложность:	Легко
Уровень шума:	Шумно

• Напишите на доске: Туз = 1, В = 0, Д = 11, К = 12.
• Разбейте учащихся на команды по 2 человека и попросите их перетасовать свои карточки.
• Попросите учеников разложить карты на две стопки и сложить стопкой лицевой стороной вниз перед каждым игроком.
• Оба ученика одновременно переворачивают свои верхние карты. Как можно быстрее они перемножают 2 карты вместе и выкрикивают ответ.
• Учащийся, который первым дает правильный ответ, кладет карты в свою выигрышную стопку. В случае ничьей учащиеся должны продолжать переворачивать свои карты до тех пор, пока кто-нибудь не выиграет стопку.

Когда весь исходный стек разыгран, игроки подсчитывают свои выигрыши. Побеждает игрок с наибольшей суммой.

Материалы: Одна колода игральных карт на каждую пару учащихся

---

I Mean Number

90 014

Подходит для:	Классы
Продолжительность:	Гибкая
Сложность:	Легкая
Уровень шума:	Шумно

• Создайте именную бирку для каждого учащегося и напишите факт умножения (например, 7 x 5) на именной бирке, а не его или ее имя.
• Каждый ученик в течение дня носит бирку с именем. Когда учащийся хочет поговорить с кем-то, он должен назвать его или ее ответом на свой факт умножения. (например, 35).

Материалы: Именные бирки

---

Как помочь ученикам с таблицей умножения?

В этой статье я расскажу о некоторых общих принципах, помогающих учащимся с таблицей умножения:

1. Зачем изучать таблицы?
2. Структурированное изучение таблиц
3. Пример: запоминание таблицы 3 в пять шагов
4. Нужны ли упражнения на время?
5. Игры на умножение
6. Музыка
7. А мнемонические подсказки?
8. Умножение мамонта по математике 1 книга




Зачем изучать таблицу умножения?

Я чувствую, что изучение таблицы умножения даже важнее , чем освоение фактов сложения и вычитания. Почему? Потому что хорошее знание таблиц облегчает изучение основных фактов деления , многозначного умножения, деления в длинное, математики большинства дробей и факторизации . Даже в алгебре вам все равно нужно будет уметь упрощать рациональные выражения и многочлены множителей, возможно, даже перемножать матрицы.

Изучайте и осваивайте таблицу умножения! — НОВЫЙ курс INTERACTIVE с видео и интерактивными упражнениями.

• Ваш ребенок сможет освоить столы раз и навсегда!
• Обучающие видео
• Структурированное сверло
• Интерактивные упражнения с оцениванием
• Проблемы со словами
• Шаблоны и задачи
• Соединения с концепциями
→ Проверьте это!

Или, можно сказать, так: если ваш ребенок не знает таблиц, ему будет очень трудно освоить все эти темы. Я не говорю, что дети не будут изучать эти темы концептуально — я имею в виду, что им будет трудно быстро решать задачи и упражнения, и вместо этого они могут «увязнуть» только в умножениях.

Вот почему я считаю, что каждый учитель/родитель должен приложить все усилия, чтобы их ученики выучили таблицу умножения. Потратьте на это 1-2 месяца. Это может окупиться!

Тем не менее, многие студенты в современном мире борются со столами. В этой статье подробно объясняется, как учить таблицу умножения в структурированной манере , а также даются другие полезные советы для практики.




Структурированное изучение таблиц

Этот метод направлен на запоминание определенной таблицы умножения с помощью так называемых КОНСТРУКЦИОННОЕ СВЕРЛО . Она существенно отличается от случайной детализации тем, что мы фактически используем структуру каждой таблицы в детализации. Вы должны начинать упражнения только после того, как ребенок поймет саму концепцию умножения.

Пожалуйста, посмотрите этот список бесплатных ВИДЕО (по одному для каждой таблицы), которые обучают таблицам от 2 до 12, используя это структурированное упражнение.

При использовании этого метода (или любого упражнения) обязательно объясните ученику, что цель состоит в том, чтобы запомнить факты — вспомнить их по памяти, а не получать ответы счетом или каким-либо другим методом. Так же, как ваш ребенок, вероятно, уже запомнил ваш адрес и телефон число, теперь она или он собирается запомнить некоторые математические факты. Вы должны ожидать, что ребенок ответит немедленно, когда вы тренируете. Если он или она не знает ответ наизусть (по памяти), то скажите ему или ей правильный ответ.

Короткие тренировки обычно лучше всего . Например, вы можете тренироваться пять или десять минут за раз, в зависимости от объем внимания ребенка.

Тем не менее, постарайтесь проводить по крайней мере два сеанса в течение дня в соответствии с вашим графиком. разрешает. Исследования того, как мозг обучается, показали, что новые воспоминания быстро забывается, и что новую информацию лучше всего сохранять, когда она просматривается в течение 4-6 часов 90 734 с момента первоначального изучения. (Кстати, это принцип применим ко чему-либо новому, чему человек учится.)

Работа с карандашом и бумагой, которую ученик выполняет в одиночку, на самом деле не работает хорошо для запоминания фактов, потому что ребенок может получить ответы, считая и не по памяти. Правильная дрель требует затрат времени от инструктор. Если можете, привлекайте старших братьев и сестер к выполнению задания по сверлению.

Вот пятишаговый метод запоминания, взятый из моей книги Math Mammoth Multiplication 1. Обычно только несколько шагов будут включены в любой сеанс, в зависимости от концентрации и способностей ребенка.




Пример: запоминание таблицы 3 за пять шагов

Вы можете просмотреть короткое видео, объясняющее основные пункты структурированного сверла здесь:

Имейте таблицу, которую нужно выучить, уже написанную на бумаге. Здесь мы будем использовать Таблица из трех в качестве примера.

1 х 3 = 3
2 х 3 = 6
3 х 3 = 9
4 х 3 = 12
5 х 3 = 15
6 х 3 = 18
7 х 3 = 21
8 х 3 = 24 90 395 9 × 3 = 27
10 × 3 = 30

11 × 3 = 33
12 × 3 = 36

1. Первое задание — запомнить список ответов (список пропусков). Пусть ваш ребенок изучит первую половину списка пропусков счета (3, 6, 9, 12, 15, 18), произнося цифры вслух, указывая на ответы один за другим пальцем или ручкой. Эта техника использует чувства зрения, слышать и осязать одновременно, чтобы зафиксировать информацию в мозгу. После он просмотрел список несколько раз, попросите его повторить его по памяти.

   Ожидайте, что ваш ребенок ответит, и не давайте ей ответы слишком легко, потому что, ТОЛЬКО приложив усилия, она запоминайте факты. Как и мышцам, разум нуждается в упражнениях, чтобы стать сильнее.

   Требуйте, чтобы она запомнила список пропусков как вперед, так и назад. Продолжайте практиковаться, пока она не сможет «отбарабанить» первый список из 3, 6, 9, 12, 15, 18. С некоторыми таблицами, такими как таблицы 2, 5 и 10, это помогает указать на закономерность в них. Шаблон в таблице из 9более тонкий, но все же полезный.

2. Тогда заняться последней половиной списка: 21, 24, 27, 30, 33, 36. Сделайте то же самое, что и с первой половиной списка.

3. Далее работа с весь список ответов (список пропусков). Практикуйте список, двигаясь вверх по и вниз по , пока не проходит гладко и легко. Эти шаги может хватить на один день. Но обязательно просмотрите позже в день.

4. Далее, случайным образом отрабатывайте отдельные задачи , оставляя весь список задач видимым для студента (конечно, без ответов). Закройте ответы. Можно устно спросить («Сколько будет 5 умножить на 3?»), указывая на задачу на графике. Я рекомендую читать вопрос вслух, одновременно указывая на проблему, потому что, опять же, использование нескольких органов чувств помогает зафиксировать информацию в тексте. ум лучше. Посмотрите видео, чтобы увидеть, как это делается.

   Цель на этом этапе – связать каждый ответ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, с определенным факт умножения (например, 7 × 3).

   Вы также можете смешивать факты из предыдущих таблиц, которые она уже знает эти новые задачи и тренирует их вместе с карточками.

5. Последним шагом будет сверление в обратном направлении вокруг . Теперь вы говорите ответ («21»), и студент должен произвести задача («3 × 7»). Держите таблицу видимой, скрывайте проблемы (но не ответы) и указывайте на ответы в произвольном порядке. Эта техника может работать и по-другому. вокруг, где студент говорит ответы, а вы создаете проблемы. Иногда давайте неправильные ответы, чтобы проверить их.

   В качестве расширения вы можете произнести ответы от несколько таблиц, которые вы изучили, и попросите студента дать соответствующие проблема. Иногда ответов несколько. Например, 36, 30, 24 и т. д. 20 находятся в нескольких разных таблицах умножения. Это особенно хорошо упражняйтесь, готовясь к понятиям деления и факторинга.

Запоминание, вероятно, не произойдет за одну ночь. В последующие дни вы можете смешайте шаги 1-5 (обычно вам не нужно слишком концентрироваться на шагах 1 и 2 после первой практики). Этот вид сверления требует немного времени и усилий от учителя, но может быть очень эффективный. Домашние школьники, очевидно, могут делать некоторые из них во время занятий. другие задачи, такие как путешествие в машине и так далее.

Пока вы делаете эту таблицу за таблицей, вы также можете попробовать научить процесс ребенку, чтобы он научился запоминать сам. Она может скрыть ответы и попытаться воспроизвести список в уме.

Посмотрите также мою серию бесплатных видеороликов по таблицам умножения, по одному видео для каждой таблицы, используя это структурированное упражнение.




Онлайн-практика

Вы можете попрактиковаться в таблице умножения онлайн прямо здесь, на сайте mathmammoth.com. Вы можете выбрать точные таблицы, которые вы хотели бы практиковать, время или время тренировки, а также количество вопросов.

Другой вариант — использовать инструмент Дэвида Чендлера из «Математики без границ» под названием «Изучай их вперед и назад». Это поможет вам попрактиковаться и освоить таблицу умножения, используя ТАКОЙ же порядок изучения таблиц, как и в книге Math Mammoth Multiplication 1.

Этот инструмент также тренирует таблицы как вперед, так и назад одновременно — это именно тот подход. Я взял в своих книгах и видео таблицы умножения. Практиковать их в обоих направлениях так здорово, потому что это позволяет учащимся осваивать «замаскированные» факты деления одновременно.

Что это значит? Например, учащиеся не только изучают ответы на вопросы 2 × 6, 3 × 6, 4 × 6, 5 × 6 и т. д., но и практикуются в решении задач с недостающими факторами: ___ × 6 = 12, ___ × 6 = 30, ___ × 6 = 72, ___ × 6 = 42 и т. д.




Другие полезные идеи

Изучайте и осваивайте таблицы умножения! — НОВЫЙ курс INTERACTIVE с видео и интерактивными упражнениями.

• Ваш ребенок сможет освоить столы раз и навсегда!
• Обучающие видео
• Структурированное сверло
• Интерактивные упражнения с оцениванием
• Проблемы со словами
• Шаблоны и задачи
• Соединения с концепциями
→ Проверьте это!
• Повесьте на стену 12 на 12 сетку (или 10 на 10) с написанными на ней шаблонами для пропуска счета. Напоминайте ребенку смотреть на нее несколько раз в день. Это может творить чудеса для визуалов!
• Рядом повесьте еще один плакат с пустым сетка, в которую ребенок заносит те факты, которые он усвоил. Посмотрите пример того, как я использую сетку 12×12 в конце урока для таблицы 3 (взято из моей книги Math Mammoth Multiplication 1).
• Повторите списки пропусков или факты умножения вслух перед сном. Это может превратить их в усвоил факты к следующему утру.
• Если вы хотите использовать карточки, обратите внимание на эти: Умножение наизусть из книги «Математика для любви». Они укрепляют концепцию умножения в то же время, практикуя беглость речи.



Нужны ли тренировки на время?

Мне кажется, что упражнения на время — лишь один из многих инструментов, когда дело доходит до изучения математики. факты. Некоторые дети будут процветать на них; другими словами, они будут учиться быстро, когда они используются. Возможно, им нравится соревноваться в гонках с часы. Существует ряд компьютерных игр на время, которые очень хорошо подходят для факты бурения. Вот некоторые онлайн:

• Онлайн-таблицы умножения Практика здесь, на MathMammoth.com — вы можете выбрать практику по времени или без, количество вопросов и таблицы, которые вы хотите попрактиковать.
• Игра «Сопоставление таблиц умножения со скрытыми картинками» — выберите, какие именно таблицы вы хотите попрактиковать.
• Игры Math Magician имеют простой 1-минутный обратный отсчет, и если вы ответите на 20 вопросы в это время, вы получите награду.


• Программное обеспечение Sheppard содержит несколько типов игр, предназначенных только для практики математических фактов, включая тренировки на время. Некоторые из игр не учитывают время, но дают вам больше очков, чем быстрее вы идете.

Вы также можете использовать обычные распечатанные рабочие листы по умножению для таблиц умножения

Тем не менее, для других учеников упражнения на время могут быть контрпродуктивными, и они могут закончиться слезами и разочарованием. Доказательство в пудинге: просто попробуйте и посмотрите, что из этого выйдет.




Игры на умножение

Игры очень полезны, когда вы переходите к этапу «случайного повторения» (после выполнения структурированных упражнений). Здесь я составил ДЛИННЫЙ список онлайн-игр и программного обеспечения для умножения.

Компьютерные упражнения могут быть очень полезными для детей, когда они начинают замечать, что действительно узнают факты и могут успешно выполнять упражнения. Они действительно могут прийти, чтобы насладиться процессом.

Заслуживает внимания и эта простая карточная игра (версия «Война товаров»). По сути, каждому игроку раздаются две карты лицом вверх, игроки умножают их, и человек с наибольшим произведением получает все карты в этом раунде.

Или попробуйте игру в кости под названием Damult Dice.




Музыка

Музыка (песни) может очень эффективно помочь детям выучить таблицу умножения. Она работает с мозгом способами, о которых мы еще не до конца осознаем, но несомненно, что музыка улучшает обучение и работу мозга.

Вы можете просто использовать знакомую мелодию («Гребите, гребите, гребите в лодке», «С днем ​​рождения», «Б-и-н-го» или любую другую мелодию, которую ребенок уже знает) и просто добавляйте цифры вместо слов. Некоторым детям больше нравится рэп, и эти мелодии тоже работают. Или, если вы хотите, чтобы песни были специально написаны для таблицы умножения, посмотрите мой обзор Гора умножения CD Хэпа Палмера.

Еще одна полезная идея состоит в том, чтобы использовать небольшие «танцевальные» упражнения (прыжки, вращение, касание пола, марширование и т. д.) вместе с музыкой для кинестетического ученика. Девочки могут воспринимать это как «танец», а мальчики — как «движение». Большинству детей понравится вставать со своих мест. Игра «ручной джайв» может быть средством обучения пропускному счету, например, 4, 8, 12, 16, 20…

Использование музыки и движения может быть особенно полезным для учащихся, которые боятся математики, потому что им это не кажется «математикой». Обходя свой «ментальный блок», они могут без труда выучить таблицы — они воспринимают это как забаву, а «математические триггеры», которые мозг использует для «блокировки» мозга и создания «реакции страха», никогда не стимулируются. Кроме того, младшие братья и сестры часто разучивают песни (и их следует поощрять к разучиванию) в одно и то же время.




Как насчет мнемоники для таблицы умножения?

Мнемонические устройства сами по себе неплохи. Мы используем их постоянно, в повседневных жизненных ситуациях. Может быть, у вас есть телефонный номер, который вы делите на двузначные числа, и помните, что в нем есть последовательные числа или двойные числа и т. д. Однажды я запомнил определенный четырехзначный пин-код, представив его как два двузначных числа, и вспомнив, что последний был на 9 меньше, чем первый… но через некоторое время я вспомнил его без этого.

Например, Times Tales — мнемоническая программа для таблицы умножения. С каждым «сложным» фактом таблицы умножения связывается глупая история и картинка. Например, если ребенок выучит 8 × 7 с помощью Times Tales, он запомнит дурацкую картинку с изображением «девушки восемь» и символа «семь» за рулем автомобиля, а также запомнит фразу «Сейчас 56». Это не слишком отличается от использования такой рифмы, как «5, 6, 7, 8, пятьдесят шесть семь раз по 8». Такая программа также может повысить уверенность в себе.

На некоторых детей эти глупые истории не действуют, потому что они плохо запоминают истории, и тогда это может вызвать разочарование. Кроме того, детям постарше могут больше не нравиться глупые истории. Все такие «помощи» хороши на своем месте, но вы должны убедиться, что мнемоническая «помощь» сама по себе не станет дополнительным бременем.

Имейте в виду, что мнемонические подсказки, конечно, являются только дополнительными (дополнительными) ресурсами и не заменяют изучение самой концепции умножения или изучение структур в таблицах.




Баланс

БАЛАНС, как и во всем. Если вы уже приложили значительные усилия, а ребенок не запоминает таблицы, пожалуйста, не делайте из таблицы умножения причину, по которой ваш ученик ненавидит математику. Вы можете отступить и повторить попытку позже. Некоторые дают своим ученикам «костыль» — выписанные таблицы — и в конце концов ребенок замечает, как медленно ему/ей приходится проверять ответы в таблице вместо того, чтобы знать их, и решает запомнить их.

Мария Миллер




См. также

Онлайн-практика с таблицами умножения
Простая и бесплатная онлайн-практика здесь, на MathMammoth.com — вы можете выбрать практику по времени или без по времени, количество вопросов и таблицы, которые вы хотите упражняться.

Структурированные обучающие видеоролики для таблицы умножения
Набор видеороликов, в которых используется метод структурированного повторения для таблицы умножения.

Игра «Сопоставление таблиц умножения со скрытыми картинками» — выберите, какие именно таблицы вы хотите попрактиковать. Эта игра прямо здесь, на MathMammoth.com!




Комментарии

Я просто хотел поблагодарить вас за этот учебный план! Мы перешли на домашнее обучение в этом году, 4-й класс. Моя дочь начала медленно, и я не был уверен, что это правильный продукт для нее. Потом я понял, что она недостаточно хорошо знает математические факты, чтобы двигаться дальше. Так что я просто вернулся к главам с фактами о математике в младших классах, и она поработает над ними. Ваши листы умножения потрясающие! Ваш способ преподавания настолько великолепен, что она действительно быстро схватывает их, и мы скоро сможем перейти к учебной программе 4-го класса. Вы действительно учите концепциям, а не только решению проблем. В отличие от многих домашних школьников, мне никогда не придется тратить больше денег на математическую программу за математической программой, пытаясь найти ту, которая работает. Спасибо!!
Мишель

Между прочим, я просто хочу, чтобы вы знали, какой находкой были ваши материалы. Как любитель математики, я был в восторге, когда наткнулся на учебный план, который преподавал математику именно так, как я «думаю». Ваши объяснения замечательны, а количество практики идеально. После пяти лет борьбы с математикой мой шестиклассник вырос как на дрожжах. Сейчас она действительно любит математику. Прежде чем получить математику, она провела три года, работая над таблицей умножения, используя карточки, упражнения, компьютерные игры, мнемонические устройства и программы с рифмованными историями в сочетании со своими учебниками. Все безрезультатно. После 5 месяцев использования ваших продуктов и методов она запомнила все свои факты умножения и перешла к делению в длинное число. Мой 5-летний ребенок слушает и действительно умеет считать двойки, тройки, четверки и пятерки без пропусков. Видимо ваши методы работают. БОЛЬШОЕ ВАМ СПАСИБО за всю вашу работу.

Многие благословения,

Кристин Суонсон

Просто хочу поблагодарить вас за Math Mammoth! Очень доступный. Я выбросил все остальное, и это все, что мы используем. Моя ненавидящая математику дочь, которая только что закончила третий класс, выполняет умножение из синей серии, чтобы подготовиться к четвертому классу в следующем году. Она делает это сама летом, потому что ей это нравится! Никогда не думал, что увижу это. Она действительно боролась с умножением, и она говорит, что это облегчает ей понимание. Мне нравится возможность использовать синюю серию, чтобы заполнить пробелы в том, что они не «получают» с первого раза. Это так настраивается для разных детей. Я тоже люблю формат pdf. Я могу собрать книгу в любом порядке. Мне нравится, когда нет учебника для учителя. С тремя детьми трудно тасовать 3 книги. Это намного лучше, потому что, когда у каждого ребенка есть вопросы, у них уже все есть с собой, когда они приносят их мне. Я был так взволнован, чтобы найти это. Желание Я нашел его пару лет назад! Спасибо за этот учебный план и спасибо за то, что сделали его доступным. Я купил все 6 уровней сразу. Я никогда не мог позволить себе сделать это с любой другой учебной программой. На этом борьба (по большей части) с моей дочерью закончилась. Спасибо, что сделали обучение моих детей математике доступным, легким и даже приятным!

Сара

Мария, я просто хотел отправить вам короткое сообщение, чтобы сказать сердечное спасибо за то, что вы предоставили мне инструменты, чтобы так хорошо обучать математике моих детей. Для меня это первые дни с материалами Math Mammoth, так как я только что заказал светло-голубые тексты 1A и 3A/B в Rainbow Resource (нашел их по рекомендации одного из их специалистов по вопросам и ответам).

До того, как остаться дома с детьми, я преподавал в 1-м и 2-м классах в государственных школах, в основном как учитель чтения/письма. Поскольку я хочу вернуться к преподаванию, когда мой младший подрастет, мои дети учатся в государственной школе, но я продолжаю их занятия, чтобы заполнить пробелы или обогатить их. Даже со всем моим «обучением» я был действительно озадачен тем, как лучше всего учить математике моих старших мальчиков. Учебная программа в их школе просто не кажется систематической или достаточно всеобъемлющей. Я думаю, что учителя делают все возможное с материалами, которые им дают.

Тем не менее, мой 3-классник столкнулся с трудностями в освоении его фактов умножения, и ваше сегодняшнее электронное письмо, наряду с видео, так поучительно! Я бы никогда не подумал учить таблицы таким образом. Большое спасибо! Я бы хотел, чтобы все учителя государственных школ имели доступ к таким замечательным материалам, которые вы предоставляете (хорошо, если у них есть подключение к Интернету, но вы знаете, что школьная система предлагает им так много всего другого). Я надеюсь, что вы получите много положительных отзывов от многих людей за ваши усилия, потому что я уверен, что ваши усилия приносят пользу многим. Спасибо, что поделились своими знаниями!!!

Дженнифер Новицки

Математический мамонтовый тур Запутались в различных вариантах? Совершите виртуальный электронный тур по Math Mammoth! Вы получите: Первоначальное электронное письмо для загрузки вашего ПОДАРКА из более чем 400 бесплатных рабочих листов и образцов страниц из моих книг. Шесть других электронных писем «TOURSTOP» , которые объясняют важные вещи и часто задаваемые вопросы, касающиеся учебного плана Math Mammoth. (Узнай отличия между всеми этими разноцветными сериями!) Таким образом, у вас будет время переварить информацию в течение одной-двух недель, а также возможность лично спросить меня об учебной программе. Ежемесячный сборник советов по обучению математике и обновлений Math Mammoth (отказаться от подписки в любое время) Мы уважаем конфиденциальность вашей электронной почты. Примечание : СНАЧАЛА вы получите электронное письмо с просьбой подтвердить свой адрес электронной почты. Если вы не можете найти это электронное письмо с подтверждением, проверьте папку СПАМ/НЕПЛАХ.

«Мини» курс обучения математике Это небольшой «виртуальный» двухнедельный курс, где вы будете получать электронные письма по важным темам преподавания математики, в том числе: — Как помочь учащемуся, отстающему — Проблемы со словами — Обучение таблице умножения — Почему дроби такие сложные — Значение ошибок — Стоит ли использовать временные тесты — И многое другое! Вы также получите: ПОДАРОК ​​ из более чем 400 бесплатных рабочих листов и образцов страниц из моих книг в самом начале. Формула квадратичная функция: Построение графика квадратичной функции — урок. Алгебра, 8 класс. alexxlab / 15.07.202318.05.2023 / Разное 404 — Страница не найдена Страницы Партнеры сайта _________________________________ 404: Запрошенная страница с адресом [http://primer. by/algebra/funkcii/kvadratichnaja-funkcija] не найдена. Если Вы уверены, что набрали ссылку корректно, напишите, пожалуйста, об этом на: меню пользователя Новости 30.11.16  17.03.15  25.03.14  29.08.13  05. 05.13  primer. by 2013-2016 Квадратичная функция График квадратичного уравнения рабочего листа функции, формула функции, угол, текст, треугольник png Квадратичная функция График квадратичного уравнения рабочего листа функции, формула функции, угол, текст, треугольник png теги угол, текст, треугольник, другие, график функции, учитель, параллель, парабола, квадратное уравнение, квадратичная функция, лист, алгебра, линия, диаграмма, уравнение, fx, f X 0, функция, формула функции, график, х 0, png, прозрачный, бесплатная загрузка Об этом PNG Размер изображения 1700x689px Размер файла 43. 6KB MIME тип Image/png Скачать PNG ( 43.6KB ) изменить размер PNG ширина(px) высота(px) Лицензия Некоммерческое использование, DMCA Contact Us Квадратичное уравнение Квадратичная формула Квадратичная функция Математика, формула, угол, текст, прямоугольник png 1500x673px 7.22KB Кривая параболы Квадратичная функция График функции Математика, Математика, угол, треугольник, график функции png 1024x620px 15.48KB Квадратичное уравнение Квадратичная формула Алгебра Квадратичная функция, формула функции, угол, текст, прямоугольник png 1280x395px 13.9KB org/ImageObject»> Квадратичное уравнение Квадратичная функция График функции Ноль функции, OneNote, синий, угол, текст png 2000x1714px 101.53KB График функции Родительская функция Квадратичная функция Экспоненциальная функция, Математика, угол, текст, прямоугольник png 2000x2000px 75.49KB Квадратичное уравнение Квадратичная функция Квадратичная формула Завершая квадрат, формула, угол, текст, прямоугольник png 2000x617px 30.38KB Квадратичная функция Квадратичное уравнение Парабола Алгебра, Математика, угол, текст, симметрия png 700x750px 58.63KB Математика геометрия формула евклидово уравнение, математические заметки, угол, текст, треугольник png 6354x6354px 911. 07KB Квадратичная функциональная линия, Квадратичное уравнение, Степень, Полиномиальная функция, График функции, График, Парабола, Коэффициент, угол, площадь, круг png 1630x1553px 75.08KB Квадратичное уравнение Квадратичная формула Квадратичная функция Ноль функции, Математика, угол, белый, текст png 1705x586px 10.08KB математические уравнения, математические формулы, математические обозначения, cdr, угол, текст png 1080x763px 356.8KB Формула Математика Евклидова, математическая формула, угол, текст, монохромный png 3500x3313px 875.77KB Математика Геометрия Формула Тригонометрия Куб, Математика, угол, треугольник, монохромный png 1920x1308px 921. 05KB математические уравнения, математическое уравнение евклидовой формулы, математический набросок материала, угол, текст, цифровой png 918x670px 147.15KB Абсолютное значение Квадратичная функция Максимумы и минимумы Экспоненциальная функция, Математика, угол, текст, треугольник png 1200x1326px 37.18KB Математические уравнения, Формула Математика Функция Евклида, Оси математических функций, синий, угол, текст png 800x800px 366.32KB Система уравнений Математика Квадратичное уравнение Решение уравнений, рукописная математическая формула, угол, текст, число png 1920x2010px 152.49KB org/ImageObject»> Квадратное уравнение Квадратный корень из 3-го корня Формула, математический вопрос, угол, текст, логотип png 1000x1000px 7.85KB Квадрантная декартова система координат График функции Квадратичная функция Математика, 12 бис, угол, текст, прямоугольник png 907x907px 30.58KB Квадратичная функция Формула квадратичного уравнения Parabola, Mc logo, оранжевый, другие, число png 1412x1071px 332.1KB Декартова система координат График функции Диаграмма бумаги Плоскость, др., угол, прямоугольник, треугольник png 800x800px 30.81KB Математика евклидова геометрия формула, математика, угол, текст, треугольник png 4050x4050px 420. 75KB иллюстрация в черно-серой рамке, Диаграммная бумага, текстура, угол, белый png 1501x1501px 14.69KB График функции Экспоненциальная функция Обратная функция Экспоненциальный рост, Математика, угол, текст, треугольник png 617x617px 9.15KB Система линейных уравнений Математика, Математика, синий, угол, текст png 597x599px 16.58KB Система линейных уравнений Система уравнений Решение уравнений, др., разное, угол, белый png 2266x1200px 31.69KB Математика, математика, евклидова формула Компьютерный файл, рукописная математическая формула, угол, текст, класс png 4520x3161px 338. 87KB Алгебра Математика Решение уравнений с переменными, угол, текст, логотип png 1050x1024px 68.67KB Квадратичное уравнение Квадратичная функция Математика Квадратичная формула, Математика, синий, угол, текст png 1500x1125px 39.77KB Квадратичное уравнение Квадратичная функция Квадратичная формула, формула, угол, текст, логотип png 2211x557px 27.73KB График функции Линия Парабола Вершина, линия, угол, текст, треугольник png 1024x1024px 37.52KB Линейная функция График функции Линейное уравнение, линейный график, угол, текст, треугольник png 700x446px 18. 01KB График функции Математическое производное уравнение, математическое уравнение, угол, белый, текст png 1600x625px 8.41KB Математическая формула Алгебра Евклидова, Математическая формула, угол, текст, монохромный png 2244x2244px 134.04KB Математика евклидова формула бумаги, математические различные формулы, угол, текст, монохромный png 4050x4050px 627.53KB Решение уравнений Математика Математическая запись Формула, администратор, текст, число, математик png 792x658px 240.21KB Сюжет Квадратичная функция Квадратичное уравнение параболы, круг, угол, текст, треугольник png 2000x1211px 57. 78KB красный х иллюстрация, красный х письмо компьютерные иконки, красный х, разное, угол, текст png 512x512px 10.3KB Квадратичная функция Квадратичное уравнение Квадратичная формула, Математика, угол, белый, текст png 1512x661px 8.6KB Теорема Пифагора Угол Числовая линия, Угол, угол, текст, прямоугольник png 2400x2384px 40.82KB гистограмма, гистограмма, график функции, шаблон альбома роста, разное, угол, текст png 1436x1111px 458.07KB Круг Коническое сечение Гипербола График функции Эллипс, круг, угол, текст, треугольник png 1572x1551px 140. 41KB Точка симметрии уравнения гиперболической функции, Математика, угол, текст, треугольник png 1333x1014px 18.66KB Parabola Normalparabel Математика Коническое сечение Функция, Математика, угол, текст, треугольник png 668x732px 21.69KB Квадратичное уравнение Квадратичная функция Квадратичная формула Ноль функции, топор, угол, белый, текст png 1600x565px 24.22KB Математика Число Точка Уравнение Геометрия, математическая формула, угол, текст, прямоугольник png 1546x646px 8.84KB Формула Математика Алгебраическое уравнение Число, управляющий, угол, текст, параллель png 1427x1096px 64. 32KB Квадратный корень n-й корень математика квадратное число ноль функции, математика, угол, текст, прямоугольник png 500x549px 9.46KB Гистограмма Компьютерные иконки График функции, другие, разное, угол, текст png 980x736px 14.39KB Квадратичная функция Математика Элемент финитарного отношения, Математика, угол, белый, текст png 1019x854px 74.57KB Квадратичная функция Общая форма квадратичной функции: ф ( Икс ) «=» а Икс 2 + б Икс + с . График квадратичной функции представляет собой парабола , тип 2 -мерная кривая. «Основная» парабола, у «=» Икс 2 , выглядит так: Функция коэффициента а в общем уравнении состоит в том, чтобы сделать параболу «шире» или «тоньше» или перевернуть ее вверх дном (если отрицательно): Если коэффициент Икс 2 положителен, парабола раскрывается; в противном случае он открывается вниз. Вершина вершина параболы – это точка в нижней части « U » форма (или вершина, если парабола направлена ​​вниз). Уравнение параболы также можно записать в «вершинной форме»: у «=» а ( Икс − час ) 2 + к В этом уравнении вершиной параболы является точка ( час , к ) . Вы можете увидеть, как это соотносится со стандартным уравнением, перемножив его: у «=» а ( Икс − час ) ( Икс − час ) + к у «=» а Икс 2 − 2 а час Икс + а час 2 + к Коэффициент Икс вот − 2 а час . Это означает, что в стандартной форме у «=» а Икс 2 + б Икс + с , выражение − б 2 а дает Икс -координата вершины. Пример: Найдите вершину параболы. у «=» 3 Икс 2 + 12 Икс − 12 Здесь, а «=» 3 и б «=» 12 . Итак Икс -координата вершины: − 12 2 ( 3 ) «=» − 2 Подставив в исходное уравнение, чтобы получить у -координата, получаем: у «=» 3 ( − 2 ) 2 + 12 ( − 2 ) − 12 «=» − 24 Итак, вершина параболы находится в точке ( − 2 , − 24 ) . Ось симметрии Ось симметрии параболы — это вертикальная линия, проходящая через вершину. Для параболы стандартной формы у «=» а Икс 2 + б Икс + с , ось симметрии имеет уравнение Икс «=» − б 2 а Обратите внимание, что − б 2 а также является Икс -координата вершины параболы. Пример: Найдите ось симметрии. у «=» 2 Икс 2 + Икс − 1 Здесь, а «=» 2 и б «=» 1 . Итак, осью симметрии является вертикальная линия Икс «=» − 1 4 Перехваты Вы можете найти у -перехват параболы простым вводом 0 для Икс . Если уравнение находится в стандартной форме, то вы можете просто взять с как у -перехват. Например, в приведенном выше примере: у «=» 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) − 1 «=» − 1 Итак у -перехват − 1 . Икс -перехваты немного сложнее. Вы можете использовать факторинг , или завершение квадрата , или квадратичная формула найти их (если они существуют!). Домен и диапазон Как и любая функция, домен квадратичной функции ф ( Икс ) это набор Икс -значения, для которых определена функция, и диапазон множество всех выходных значений (значений ф ). Квадратичные функции обычно имеют областью определения всю действительную прямую: любая Икс является законным входом. Диапазон ограничен теми точками, которые больше или равны у -координата вершины (или меньше или равна, в зависимости от того, открывается парабола вверх или вниз). Квадратичная функция — стандартная форма, формула, примеры Квадратичные функции используются в различных областях техники и науки для получения значений различных параметров. Графически они изображаются параболой. В зависимости от коэффициента высшей степени решается направление кривой. Слово «Квадрат» происходит от слова «Квадрат», что означает квадрат. Другими словами, квадратичная функция — это «полиномиальная функция степени 2». Существует множество сценариев, в которых используются квадратичные функции. Знаете ли вы, что при запуске ракеты ее траектория описывается квадратичной функцией? В этой статье мы исследуем мир квадратичных функций в математике. Вы узнаете о графиках квадратичных функций, формулах квадратичных функций и других интересных фактах по теме. Мы также будем решать примеры на основе концепции для лучшего понимания. 1. Что такое квадратичная функция? 2. Стандартная форма квадратичной функции 3. Формула квадратичных функций 4. Различные формы квадратичной функции 5. Область и диапазон квадратичной функции 6. График квадратичной функции 7. Максимумы и минимумы квадратичной функции 8. Часто задаваемые вопросы о квадратичной функции Что такое квадратичная функция? Квадратичная функция — это полиномиальная функция с одной или несколькими переменными, в которой старший показатель переменной равен двум. Поскольку высший член квадратичной функции имеет вторую степень, поэтому его также называют многочленом степени 2. Квадратичная функция имеет минимум одного члена второй степени. Это алгебраическая функция. Родительская квадратичная функция имеет вид f(x) = x 2 и соединяет точки, координаты которых имеют вид (число, число 2 ). К этой функции можно применить преобразования, на которых она обычно имеет вид f(x) = a (x — h) 2 + k, а далее ее можно преобразовать в вид f(x) = ax 2 + бх + в. Давайте подробно изучим каждый из них в следующих разделах. Стандартная форма квадратичной функции Стандартная форма квадратичной функции имеет вид f(x) = ax 2 + bx + c, где a, b и c — действительные числа с a ≠ 0. Примеры квадратичных функций Уравнение квадратичной функции имеет вид f(x) = ax 2 + bx + c, где a ≠ 0. Рассмотрим несколько примеров квадратичных функций: f(x) = 2x 2 + 4x — 5; Здесь а = 2, Ь = 4, с = -5 f(x) = 3x 2 — 9; Здесь а = 3, б = 0, с = -9 f(x) = x 2 — x; Здесь а = 1, Ь = -1, с = 0 Теперь рассмотрим f(x) = 4x-11; Здесь a = 0, поэтому f(x) НЕ является квадратичной функцией. Вершина квадратичной функции Вершина квадратичной функции (в форме буквы U) находится там, где функция имеет максимальное или минимальное значение. Ось симметрии квадратичной функции пересекает функцию (параболу) в вершине. Формула квадратичных функций Квадратичную функцию всегда можно разложить на множители, но процесс факторизации может быть затруднен, если нули выражения являются нецелыми действительными числами или недействительными числами. В таких случаях мы можем использовать квадратную формулу для определения нулей выражения. Общая форма квадратичной функции задается следующим образом: f(x) = ax 2 + bx + c, где a, b и c — действительные числа с a ≠ 0. Корни квадратичной функции f(x) можно рассчитать по формуле квадратичной функции: х = [-b ± √(b 2 — 4ac)] / 2a Различные формы квадратичной функции Квадратичная функция может иметь различные формы: стандартную форму, форму вершины и форму пересечения. Вот общие формы каждого из них: Стандартная форма: f(x) = ax 2 + bx + c, где a ≠ 0, Форма вершины: f(x) = a(x — h) 2 + k, где a ≠ 0, а (h, k) — вершина параболы, представляющая квадратичную функцию. Форма точки пересечения: f(x) = a(x — p)(x — q), где a ≠ 0, а (p, 0) и (q, 0) — точки пересечения по оси x параболы, представляющей квадратичную функцию. Парабола открывается вверх или вниз в зависимости от значения ‘a’ меняется: Если a > 0, то парабола открывается вверх. Если a < 0, то парабола направлена ​​вниз. Мы всегда можем преобразовать одну форму в другую. Мы можем легко преобразовать форму вершины или форму перехвата в стандартную форму, просто упростив алгебраические выражения. Давайте посмотрим, как преобразовать стандартную форму в форму каждой вершины и форму пересечения. Преобразование стандартной формы квадратичной функции в вершинную форму Квадратичная функция f(x) = ax 2 + bx + c может быть легко преобразована в вершинную форму f(x) = a (x — h) 2 + k, используя значения h = -b/2a и k = f(-b/2a). Вот пример. Пример: Преобразуйте квадратичную функцию f(x) = 2x 2 — 8x + 3 в вершинную форму. Шаг — 1: Сравнивая данную функцию с f(x) = ax 2 + bx + c, получаем a = 2, b = -8 и c = 3. Шаг — 2: Найдите ‘h’ по формуле: h = -b/2a = -(-8)/2(2) = 2. Шаг — 3: Найдите ‘k’ по формуле: k = f(-b/2a) = f(2) = 2(2) 2 — 8(2) + 3 = 8 — 16 + 3 = -5. Шаг — 4: Подставить значения в вершинную форму: f(x) = 2 (x — 2) 2 — 5. Преобразование стандартной формы квадратичной функции в форму точки пересечения Квадратичная функция f(x) = ax 2 + bx + c может быть легко преобразована в вершинную форму f(x) = a (x — p)(x — q), используя значения p и q (x-отрезки) путем решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Пример: Преобразуйте квадратичную функцию f(x) = x 2 — 5x + 6 в форму пересечения. Шаг — 1: Сравнивая данную функцию с f(x) = ax 2 + bx + c, получаем a = 1, Шаг — 2: Решить квадратное уравнение: x 2 — 5x + 6 = 0 Разложив на множители левую часть, получим . (х — 3) (х — 2) = 0 х = 3, х = 2 Шаг – 3: Подставьте значения в форму вычленения: f(x) = 1 (x – 3)(x – 2). Область и диапазон квадратичной функции Область определения квадратичной функции — это множество всех значений x, определяющих функцию, а диапазон квадратичной функции — это множество всех значений y, которые функция получает путем замены различных значений x. Область квадратичной функции Квадратичная функция — это полиномиальная функция, определенная для всех действительных значений x. Итак, область определения квадратичной функции — это множество действительных чисел, то есть R. В интервальной записи областью определения любой квадратичной функции является (-∞, ∞). Диапазон квадратичной функции Диапазон квадратичной функции зависит от открытой стороны и вершины графика. Итак, найдите самое нижнее и самое верхнее значения f(x) на графике функции, чтобы определить диапазон квадратичной функции. Область значений любой квадратичной функции с вершиной (h, k) и уравнением f(x) = a(x — h) 2 + k равно: y ≥ k (или) [k, ∞), когда a > 0 (поскольку парабола раскрывается, когда a > 0). y ≤ k (или) (-∞, k], когда a < 0 (поскольку парабола раскрывается вниз, когда a < 0). График квадратичной функции График квадратичной функции представляет собой параболу. т. е. открывается вверх или вниз в форме буквы U. Вот шаги для построения графика квадратичной функции. Шаг — 1: Найдите вершину. Шаг — 2: Вычислите таблицу квадратичных функций с двумя столбцами x и y с 5 строками (мы также можем взять больше строк) с вершиной в одной из точек и возьмите два случайных значения по обе стороны от нее. Шаг — 3: Найдите соответствующие значения y, подставив каждое значение x в заданную квадратичную функцию. Шаг — 4: Теперь у нас есть две точки по обе стороны от вершины, поэтому, нанеся их на координатную плоскость и соединив их кривой, мы можем получить идеальную форму. Кроме того, расширьте график с обеих сторон. Вот график квадратичной функции. Пример: Нарисуйте график квадратичной функции f(x) = 2x 2 — 8x + 3. Решение: Сравнивая это с f(x) = ax 2 90 174 + бх + в, получаем a = 2, b = -8 и c = 3. Шаг — 1: Найдем вершину. x-координата вершины = -b/2a = 8/4 = 2 y-координата вершины = f(-b/2a) = 2(2) 2 — 8(2) + 3 = 8 — 16 + 3 = -5. Следовательно, вершина = (2, -5). Шаг — 2: Создайте таблицу с вершиной, записанной в средней строке. х и         2 -5         Шаг — 3: Заполните первый столбец двумя случайными числами по обе стороны от 2. х и 0   1   2 -5 3   4   Шаг — 4: Найдите y, подставив каждое значение x в заданную квадратичную функцию. Например, когда x = 0, y = 2(0) 2 — 8(0) + 3 = 3. х и 0 3 1 -3 2 -5 3 -3 4 3 Шаг — 5: Просто нанесите указанные выше точки и соедините их плавной кривой. Примечание: Мы можем построить точки пересечения по осям x и y квадратичной функции, чтобы получить более аккуратную форму графика. График квадратичных функций также можно получить с помощью калькулятора квадратичных функций. Максимумы и минимумы квадратичной функции Максимумы или минимумы квадратичных функций находятся в его вершине. Его также можно найти с помощью дифференцирования. Чтобы лучше понять концепцию, давайте рассмотрим пример и решим его. Возьмем пример квадратичной функции f(x) = 3x 2 + 4x + 7. Дифференцируя функцию, ⇒f'(x) = 6x + 4 Приравнивание к нулю, ⇒6x + 4 = 0 ⇒ x = -2/3 Двойное дифференцирование функции, 9000 2 ⇒f»( x) = 6 > 0 Поскольку двойная производная функции больше нуля, у нас будут минимумы при x = -2/3 (по тесту второй производной), а парабола направлена ​​вверх. Аналогично, если двойная производная в стационарной точке меньше нуля, то функция будет иметь максимумы. Следовательно, используя дифференцирование, мы можем найти минимум или максимум квадратичной функции. ☛ Статьи по теме Калькулятор квадратных уравнений Калькулятор корней квадратного уравнения Важные замечания по квадратичной функции: Стандартная форма квадратичной функции: f(x) = ax 2 +bx+c, где a ≠ 0, График квадратичной функции имеет форму параболы. Квадратная формула используется для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 и определяется как x = [-b ± √(b 2 — 4ac)] / 2a. Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 равен b 2 -4ac. Это используется для определения характера нулей квадратичной функции.   Примеры квадратичной функции Пример 1: Определить вершину квадратичной функции f(x) = 2(x+3) 2 — 2, Решение: Имеем f(x) = 2(x+3) 2 — 2, что можно записать как f(x) = 2(x-(-3)) 2 + (-2 ) Сравнивая данную квадратичную функцию с вершинной формой квадратичной функции f(x) = a(x-h) 2 + k, где (h,k) вершина параболы, имеем h = — 3, k = -2 Следовательно, вершина f(x) равна (-3,-2) Ответ: Вершина = (-3,-2) Пример 2: Найдите нули квадратичной функции f(x) = x 2 + 3x — 4, используя формулу квадратичной функции. Решение: Квадратичная функция f(x) = x 2 + 3x — 4. Сравнивая f(x) с общей формой ax 2 + bx + c, получаем a = 1, b = 3, c = -4 Нули квадратичной функции получаются путем решения f(x) = 0. Для этого используем квадратичную формулу: x = [ -b ± √(b 2 — 4ac) ] / 2а х = [ -3 ± √{3 2 — 4(1)(-4)}] / 2(1) = [ -3 ± √(9 + 16) ] / 2 = [ -3 ± √25 ] / 2, х = [ — 3 + 5 ] / 2, [ -3 — 5 ] / 2 = 1, -4 Ответ: Корни f(x) = x 2 + 3x — 4 равны 1 и -4 Пример 3: Запишите квадратичную функцию f(x) = (x-12)(x+3) в общем виде ax 2 + bx + c. Решение: У нас есть квадратичная функция f(x) = (x-12)(x+3). Мы просто расширим (умножим биномы) его, чтобы записать в общем виде. f(x) = (x-12)(x+3) = x(x+3) — 12(x+3) = x 2 + 3x — 12x — 36 = x 2 — 9x — 36 Ответ: x 2 — 9x — 36 перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств. Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций. Забронировать бесплатный пробный урок Практические вопросы по квадратичной функции   перейти к слайдуперейти к слайду Часто задаваемые вопросы о квадратичной функции Что такое квадратичная функция в математике? Квадратичная функция — это полиномиальная функция с одной или несколькими переменными, в которой старший показатель переменной равен двум. Другими словами, квадратичная функция — это «полиномиальная функция степени 2». Почему название квадратичной функции? Слово «quad» означает «квадрат». Следовательно, полиномиальная функция степени 2 называется квадратичной функцией. Что такое квадратичное функциональное уравнение? Квадратичная функция является многочленом степени 2, поэтому уравнение квадратичной функции имеет вид f(x) = ax 2 + bx + c, где «a» — ненулевое число; a, b и c — действительные числа. Что такое вершина квадратичной функции? Вершина квадратичной функции — это точка, в которой парабола меняет направление и пересекает ось симметрии. Это точка, в которой парабола меняется с возрастающей на убывающую или с убывающей на возрастающую. В этой точке производная квадратичной функции равна 0, Что такое нули квадратичной функции? Нули квадратичной функции — это точки, в которых график функции пересекает ось x. В нулях функции координата y равна 0, а координата x представляет собой нули квадратичной полиномиальной функции. Нули квадратичной функции также называют корнями функции. Что такое таблица квадратичных функций? Таблица квадратичных функций — это таблица, в которой мы определяем значения координат y, соответствующие каждой координате x, и наоборот. Таблица состоит из координат графика квадратичных функций. Мы обычно записываем вершину квадратичной функции в квадратичной функции в одной из строк таблицы. Как рисовать квадратичный график? График квадратичной функции представляет собой параболу. Его можно нарисовать, нанеся координаты на график. Мы подставляем значения x и получаем соответствующие значения y, таким образом получая координаты графика. После нанесения координат на график, свободной рукой соединяем точки, чтобы получить график квадратичных функций. Нахождение вершины помогает в построении квадратичного графа. Как найти точку пересечения по оси x квадратичной функции? X-пересечение квадратичной функции можно найти, рассматривая квадратичную функцию f(x) = 0 и затем определяя значение x. Другими словами, точка пересечения с осью x есть не что иное, как нуль квадратного уравнения. Является ли парабола квадратичной функцией? Парабола — это график квадратичной функции. Квадратичная функция имеет вид f(x) = ax 2 + bx + c, где a не равно 0. Парабола — это U-образный или перевернутый U-образный график квадратичной функции. Как найти обратную квадратичную функцию? Обратную квадратичную функцию f(x) можно найти, заменив f(x) на y. Предел функции тригонометрической: Как решать пределы с тригонометрическими функциями, примеры alexxlab / 15.07.202330.04.2023 / Разное Примеры решения пределов тригонометрических функций с ответами Простое объяснение принципов решения пределов тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ. Алгоритм решения пределов тригонометрических функций Теорема Для тригонометрических функций существует много разных пределов, но как правило, все они вычисляются, опираясь на первый замечательный предел и его следствия. Первый замечательный предел выглядит следующим образом:     Следствия первого замечательного предела Главным следствием первого замечательного предела считают:     Также следствиями являются:             Нужна помощь в написании работы? Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно. Заказать работу Примеры решения пределов тригонометрических функций Пример 1 Задание Найти предел функции:     Решение Заменим значение х на число, к которому стремится функция:     Так как мы пришли на неопределённость вида 0/0, преобразуем синус так, чтобы он стал вида первого замечательного предела:     Мы знаем, что первый замечательный предел равен единице, следовательно     Таким образом найдём предел функции:     Пример 2 Задание Найти предел функции:     Решение При замене х на число, к которому он стремится, снова получаем неопределённость     Данную задачу можно решить, применив правило Лопиталя. Найдём производные числителя и знаменателя функции и решим задачу:     Пример 3 Задание Найти предел функции:     Решение При подстановке нуля получим неопределённость типа 0/0:     Воспользуемся свойством     Преобразуем функцию и упростим её:     Вынесем константу ½ за лимит и, пользуюсь свойством первого замечательного предела, найдём передел данной функции:     Пример 4 Задание Найти предел функции:     Решение Если заменить x на число, придём к неопределённости 0/0:     Для решения данного примера применим правило Лопиталя и заменим х на число в производных:     Пример 5 Задание Вычислить предел функции:     Решение Для решения данного примера воспользуемся свойством разности косинусов:     и получим     Вынесем минус за лимит, дабы не потерять и продолжим решение. Для решения задачи приведём функцию к виду первого замечательного предела. Для этого нужно разделить дробь на множители и добавить в знаменатель коэффициент, равный коэффициенту в числителе. А потом упростим выражение:     Снова вынесем константы за лимит и получим вид первого замечательного предела, с помощью которого приходим к искомому решению:     Пример 6 Задание Вычислить предел функции:     Решение При подстановке х снова получаем неопределённость     Значит будем искать передел путём приведения к виду первого замечательного предела. Представим тангенс в виде частного синуса х и косинуса х     Приведём к общему знаменателю и разделим выражение на множители следующим образом:     Мы видим первый замечательный предел, а значит, можем упростить до:     Далее снова приведём числитель к общему знаменателю:     Вновь разделим на множители и подставим значение х во второй косинус:     Таким образом нам остаётся разобраться с первым числителем. Поменяем местами 1 и косинус и вынесем минус за лимит. Далее воспользуемся формулой понижения степени и найдём решение:     Пример 7 Задание Вычислить предел функции:     Решение При простом вычислении получаем неопределённость     Следовательно, будем вычислять предел, опираясь на правило первого замечательного предела. Приведём тангенс к виду частного синуса и косинуса:     Разделим пример на множители. Приведём синусы к виду первого замечательного предела и получим ответ:     Пример 8 Задание Найти предел функции:     Решение При подставлении числа на место х приходим к неопределённости типа 0/0:     Преобразуем tg, приведем выражение к общему знаменателю cos x, вынесем общий множитель – sin x за скобку:         Используя следствие из первого замечательного предела, преобразим выражение и избавимся от тангенса. Затем вновь приведем функцию к следствию первого замечательного предела и найдем ответ:         Пример 9 Задание Найти предел функции:     Решение При подстановке числа видим неопределённость.     Следовательно, искать предел будем, опираясь на правило первого замечательного предела. Для этого заменим переменную, которая будет стремиться к нулю:         Подставим в функцию:     Опираясь на свойства тригонометрии, заменим тангенс.     Зная, что предел косинуса нуля = 1, преобразуем пример и приведём к виду первого замечательного предела. Найдём ответ.     Пример 10 Задание Вычислить предел функции:     Решение Здесь так же получим неопределённость:     Значит, введём новую переменную t:             Подставим получившиеся значения в пример и найдём предел:     Средняя оценка 2. 5 / 5. Количество оценок: 6 Поставьте вашу оценку Сожалеем, что вы поставили низкую оценку! Позвольте нам стать лучше! Расскажите, как нам стать лучше? 29876 Закажите помощь с работой Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке Полезно Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций Определение непрерывности функции  в точке  и передела функции на бесконечности  и на использовании свойств предела непрерывной функции способствует непосредственному вычислению пределов. Определение 1 Значение предела в точке непрерывности определено значением функции в этой точке. При опоре на свойства основные элементарные функции имеют предел в любой точке из области определения, вычисляется как значение соответствующей функции в этих точках. Пример 1 Произвести вычисление предела функции limx→5arctg35·x Решение Функция арктангенса отличается непрерывностью на всей своей области определения. Отсюда получим, что в точке x0=5 функция является непрерывной. Из определения имеем, что для нахождения предела является значением этой же функции. Тогда необходимо произвести подстановку. Получим, что limx→5arctg35·x=arctg35·5=arctg3=π3 Ответ: π3. Для вычисления односторонних пределов необходимо использовать значения точек границ предела. У акрксинуса и акрккосинуса  имеются такие значения x0=-1 или x0=1. При x→+∞ или x→-∞ вычисляются пределы функции, заданные на бесконечностях. Для упрощения выражений применяют свойства пределов: Определение 2 limx→x0(k·f(x))=k·limx→x0f(x), k является коэффициентом. limx→x0(f(x)·g(x))=limx→x0f(x)·limx→x0g(x), применяемое при получении неопределенности предела. limx→x0(f(g(x)))=flimx→x0gx,используемое для непрерывных функций, где знак функции и предельного перехода можно менять местами. Для того, чтобы научиться вычислять переделы, необходимо знать и разбираться в основных элементарных функциях. Ниже приведена таблица, в которой имеются переделы этих функций с приведенными разъяснениями и подробным решением. Для вычисления необходимо основываться на определении предела функции в точке и на бесконечности. Таблица пределов функции Для упрощения  и решения пределов используется данная таблица основных пределов. Функция корень n-ой степени y=xn, где n=2, 4, 6 … limx→∞xn=+∞n=+∞ Для любых x0 из опрелеления  limx→x0xn=x0n Функция корень n-ой степени y=xn, где n=3, 5, 7 …  limx→∞xn=+∞n=+∞limx→∞xn=-∞n=-∞ limx→x0xn=x0n Степенная функция y=xa , a>0 Для любого положительного числа a limx→∞xa=+∞a=+∞ Если a=2, 4, 6 …, то limx→∞xa=-∞a=+∞ Если a=1, 3, 5, …, то limx→∞xa=-∞a=-∞ Для любых x0, из области определния limx→x0xa=(x0)a Степенная функция y=xa, a<0 Для любого отрицательного числа a limx→∞xa=(+∞)a=+0limx→0+0=(0+0)a=+∞ Если a=-2, -4, -4, . .., то limx→∞xa=-∞a=+0limx→0-0xa=(0-0)a=+∞ Если a=-1, -3, -5, …, то limx→∞xa=-∞a=-0limx→0-0xa=(0-0)a=-∞ Для любых x0 из области определения limx→x0xa=(x0)a Показательная функия y=ax, 0<a<1 limx→∞ax=a-∞=+∞limx→∞ax=a+∞=+0 Для любых x0 из области опреления limx→x0ax=ax0 Показательная функия y=ax, a>1limx→∞ax=a-∞=+0limx→x0ax=a+∞=+∞ Для любых знвчений x0 из област опредения limx→x0ax=ax0 Логарифмическая функция y=loga(x), 0<a<1 limx→0+0logax=loga(0+0)=+∞limx→∞logax=loga(+∞)=-∞ Для любых x0 из области опрелеленияlimx→x0logax=logax0 Логарифмическая функция y=loga(x), a>1 limx→0+0logax=loga(0+0)=-∞limx→∞logax=loga(+∞)=+∞ Для любых x0 из области опрелеления limx→x0logax=logax0 Тригонометрические функции Синус limx→∞ sin x не существует Для любых x0 из области опрелеления limx→x0sin x=sin x0 Тангненсlimx→π2-0+π·ktg x=tgπ2-0+π·k=+∞limx→π2+0+π·ktg x=tgπ2+0+π·k=-∞ limx→∞tg x не существует Для любых x0 из области опрелеления limx→x0tg x=tg x0 Тригонометрические функции Косинус limx→∞cos x не существует  Для любых x0 из области опрелеления limx→x0cos x=cos x0 Котангенсlimx→-0+π·kctg x=ctg(-0+π·k)=-∞limx→+0+π·kctg x=ctg(+0+π·k)=+∞ limx→∞ctg x не существует Для любых x0 из области опрелеления limx→x0сtg x=сtg x0 Обратные тригонометрические функции Арксинус limx→-1+0arcsin x=-π2limx→1-0arcsin x=π2 Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arcsin x=arcsin x0 Арккосинус limx→-1+0arccos (x)=πlimx→1-0arccos (x)=0 Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arccis x=arccos x0 Обратные тригонометрические функции Арктангес limx→-∞ arctg (x)=-π2limx→+∞ arctg (x)=π2 Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arctg x=arctg x0 Арккотангенс limx→-∞arcctg (x)=πlimx→+∞arcctg (x)=0 Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arcctg x=arcctg x0 Пример 2 Произвести вычисление предела limx→1×3+3x-1×5+3. Решение Для решения необходимо подставить значение х=1. Получаем, что limx→1×3+3x-1×5+3=13+3·1-115+3=34=32 Ответ: limx→1×3+3x-1×5+3=32 Пример 3 Произвести вычисление предела функции limx→0(x2+2,5)1×2 Решение Для того, чтобы раскрыть предел, необходимо подставить значение х, к которому стремится предел функции. В данном случае нужно произвести подстановку х=0. Подставляем числовое значение и получаем: x2+2.5x=0=02+2.5=2.5 Предел записывается в виде limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×2. Далее необходимо заняться значением показателя. Он является степенной функцией 1×2=x-2. В таблице пределов, предоставленной выше, имеем, что limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞ и limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞, значит, имеем право записать как limx→01×2=limx→0x-2=+∞ Теперь вычислим предел. Получит вид limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×2=2.5+∞ По таблице пределов с показательными функциями, имеющими основание больше 1 получаем, что limx→0(x2+2. 5)1×2=limx→02.51×22.5+∞=+∞ Ответ: limx→0(x2+2.5)1×2=+∞ Когда задан более сложный предел, то при помощи таблицы не всегда получится получать целое или конкретное значение. Чаще получаются разные виды неопределенностей, для разрешения которых необходимо применять правила. Рассмотрим графическое разъяснение приведенной выше таблицы пределов основных элементарных функций. Предел константы   Из рисунка видно, что функция у=С имеет предел на бесконечности. Такой же предел при аргументе, который стремится к х0. Он равняется числу C. Предел функции корень n-ой степени Четные показатели корня применимы для limx→+∞xn=+∞n=+∞, а нечетные, равные больше, чем значение 1, – для limx→+∞xn=+∞n=+∞, limx→-∞xn=-∞n=-∞.  Область определения может принимать абсолютно любое значение х предела заданной функции корня n-ой степени, равного значению функции  в заданной точке. Предел степенной функции Необходимо разделить все степенные функции по группам, где имеются одинаковые значения пределов, исходя из показателя степени. Когда a является положительным числом, тогда limx→+∞xa=+∞a=+∞ и limx→-∞xa=-∞a=-∞. Когда x принимает любое значение, тогда предел степенной функции равняется значению функции в точке. Иначе это записывается как limx→∞xa=(∞)a=∞. Когда a является положительным четным числом, тогда получаем limx→+∞xa=(+∞)a=+∞ и limx→-∞xa=(-∞)a=+∞, причем x из данной области определения  является пределом степенной функции и равняется значением функции в этой точке. Предел имеет вид limx→∞xa=∞a=+∞. Когда a имеет другие значения, тогда limx→+∞xa=(+∞)a=+∞, а область определения x способствует определению предела функции в заданной точке. Когда a имеет значение отрицательных чисел, тогда получаем limx→+∞xa=+∞a=+0, limx→-∞xa=(-∞)a=-0, limx→0-0xa=(0-0)a=-∞,limx→0+0xa=0+0a=+∞, а значения x может быть любым из заданной области определения и равняется функции в заданной точке. Получаем, что limx→∞xa=∞a=0 иlimx→0xa=0a=∞. Когда a является отрицательным четным числом, тогда получаем limx→+∞xa=(+∞)a=+0, limx→-∞xa=-∞a=+0, limx→0-0(0-0)a=+∞, limx→0+0xa=(0+0)a=+∞, а любое значение x на области определения дает результат предела степенной функции равным значению функции в точке. Запишем как limx→∞xa=(∞)a=+0 и limx→0xa=(0)a=+∞. Когда значение a имеет другие действительные отрицательные числа, тогда получим limx→+∞xa=+∞a=+0 и limx→0+0xa=0+0a=+∞, когда x принимает любое значение из своей области определения, тогда предел степенной функции равняется значению функции в этой точке. Предел показательной функции Когда 0<a<1, имеем, что limx→-∞ax=a-∞=+∞, limx→+∞ax=(a)+∞=+∞, любое значение x из области определения дает пределу показательной функции значению функции в точке. Когда a>1, тогда limx→-∞ax=(a)-∞=+0, limx→+∞ax=(a)+∞=+∞, а любое значение x из области определения дает предел функции равный значению этой функции в точке. Предел логарифмической функции Когда имеем 0<a<1, тогда limx→0+0logax=loga(0+0)=+∞, limx→+∞logax=loga(+∞)=-∞ ,  для всех остальных значений x из заданной области определения предел показательной функции равняется значению заданной функции в точках. Когда a>1, получаем limx→0+0logax=loga(0+0)=-∞, limx→+∞logax=loga(+∞)=+∞,остальные значения x в заданной области определения дают решение предела показательной функции равному ее значению в точках. Предел тригонометрических функций Предел бесконечности не существует для таких функций как y=sin x, y=cos x. Любое значение x, входящее в область определения, равняется значению функции в точке.   Функция тангенса имеет предел вида limx→π2-0+π·ktg(x)=+∞, limx→π2+π·ktg(x)=∞ или limx→π2+π·ktg(x)=∞, тогда остальные значения x, принадлежащие области определения тангенса, равняется значению функции в этих точках. Для функции y=ctg x получаем limx→-0+π·kctg(x)=-∞, limx→+0+π·kctg(x)=+∞ или limx→π·kctg (x)=∞, тогда остальные значения x, принадлежащие области определения, дают предел котангенса, равный значению функции в этих точках. Предел обратных тригонометрических функций Функция арксинус имеет предел вида limx→-1+0arcsin(x)=-π2 и limx→1-0arcsin (x)=π2, остальные значения x из области определения равняются значению функции в заданной точке.   Функция арккосинус имеет предел вида limx→-1+0arccos(x)=π и limx→1-0arccos(x)=0, когда остальные значения x, принадлежащие области определения, имеют предел арккосинуса, равного значению функции в этой точке. Функция арктангенс имеет предел вида limx→-∞arctg(x)=-π2 и limx→+∞arctg(x)=π2, причем другие значения x, входящие в область определения, равняется значению функции  в имеющихся точках.   Функция котангенса имеет предел вида limx→-∞arcctg(x)=π и limx→+∞arctg(x)=0, где x принимает любое значение из своей заданной области определения, где получаем предел арккотангенса, равного значению функции в имеющихся точках. Все имеющееся значения пределов применяются в решении для нахождения предела любой из элементарных функций. Объяснение урока: Пределы тригонометрических функций В этом объяснителе мы узнаем, как вычислять пределы тригонометрических функций. Пределы — полезный инструмент, помогающий нам понять форму функции вокруг значения; это один из фундаментальных строительных блоков исчисления. Мы можем найти предел любой тригонометрической функции, используя прямую замену. Определение: оценка предела тригонометрических функций Если 𝑎 находится в области определения тригонометрической функции, то мы можем вычислить ее предел в 𝑎 прямой подстановкой. В частности, для любого 𝑎∈ℝ limsinsin→𝑥=𝑎, limcoscos→𝑥=𝑎. Для любого 𝑎 в области tan𝑥, limtantan→𝑥=𝑎. Эти результаты позволяют оценить предел многих тригонометрических выражений. Однако есть примеры, которые мы не можем оценить. Например, рассмотрим limsin→𝑥𝑥, где 𝑥 измеряется в радианах. Если мы попытаемся вычислить этот предел с помощью прямой подстановки, sin00=00, мы обнаружим неопределенную форму, а это означает, что нам нужно вычислить этот предел другим способом. Один из способов сделать это — нарисовать график 𝑦=𝑥𝑥sin. На схеме видно, что по мере того, как значения 𝑥 приближаются к 0 с любой стороны, выходы функции приближаются к 1. Следовательно, схема показывает, что limsin→𝑥𝑥=1. Мы также можем увидеть это, построив таблицу. 𝑥 −0,1 −0,01 −0,001 → 0 9 0031 0,001 0,01 0,1 sin𝑥𝑥 0,99833 0,99998 0,99999 → ← 0,99999 0,99998 0,99833 Один раз опять же, таблица предполагает, что по мере того, как значения 𝑥 приближаются к 0 с любой стороны, выходы функции приближаются к 1. Стоит отметив, что мы можем показать аналогичный результат, когда 𝑥 измеряется в градусах; однако при определении пределов мы почти всегда используем радианы. Итак, если не оговорено иное, будем считать, что предел любой тригонометрической функции включает в себя углы, измеряемые в радианах. Это дает нам следующий результат. Теорема: предел тригонометрического выражения Если 𝑥 измеряется в радианах, то limsin→𝑥𝑥=1. Мы можем использовать этот результат, чтобы показать еще более общий результат. Пусть 𝑎∈ℝ−{0}. Подставляем 𝜃=𝑎𝑥 в предельный результат limsin→𝜃𝜃=1. Обратите внимание, что при 𝜃→0 и 𝑎𝑥→0, и 𝑥→0. Это дает нам 1 = 𝜃𝜃 = 𝑎𝑥𝑎𝑥.limsinlimsin→→ . Вынесение множителя 1𝑎 за пределы этого предела и перестановка дает нам limsin→𝑎𝑥𝑥=𝑎. Стоит отметить, что этот результат справедлив и при 𝑎=0. Мы можем резюмировать это следующим образом. Теорема: предел тригонометрического выражения Если 𝑥 измеряется в радианах и 𝑎∈ℝ, то limsin→𝑎𝑥𝑥=𝑎. Давайте рассмотрим пример использования этого результата для вычисления предела тригонометрического выражения. Пример 1. Нахождение пределов с использованием тригонометрических функций Оценить лимсинсин→𝑥. Ответ Поскольку этот предел включает частное тригонометрических функций, мы можем попытаться вычислить этот предел прямой подстановкой sin0=00.  Это дает нам неопределенную форму, что означает, что мы не можем оценить этот предел прямой подстановкой. Вместо этого мы будем использовать тот факт, что если 𝑥 измеряется в радианах, а 𝑎 является вещественной константой, то limsin→𝑎𝑥𝑥=𝑎. Хотя в вопросе не говорится, что 𝑥 измеряется в радианах, при определении пределов мы почти всегда работаем в радианах, поэтому мы будем исходить из этого для вопроса. Мы можем переписать предел следующим образом: Предполагая, что оба предела существуют, мы можем записать это как произведение двух пределов:  . Возьмем обратное значение второго предела, используя правило степени для пределов, чтобы получить 𝑥𝑥 ×𝑥, если предел существует и не равен нулю. Затем мы можем оценить оба этих предела, используя наш предельный результат, limsin→𝑎𝑥𝑥=𝑎. В первом пределе 𝑎=1, а во втором 𝑎=12. Следовательно, limsinlimsin→→𝑥𝑥×𝑥=1×12=2. Есть еще два полезных предельных результата, связанных с тригонометрическими функциями, которые мы можем найти, исследуя их график или используя таблицу. Рассмотрим следующие наброски tan𝑥𝑥 и 1−𝑥𝑥cos, где 𝑥 измеряется в радианах. На первой диаграмме мы видим, что по мере того, как значения 𝑥 приближаются к 0, выходы приближаются к 1. Итак, набросок предполагает limtan→𝑥𝑥=1. Точно так же на второй диаграмме, когда значения 𝑥 приближаются к 0, мы видим, что выходы приближаются к 0. Таким образом, набросок предполагает, что limcos→1−𝑥𝑥=0. Это дает нам следующие результаты. Теорема: предел тригонометрического выражения Если 𝑥 измеряется в радианах, тогда . Как и в случае с предельным результатом, включающим синус, мы можем использовать подстановку, чтобы найти предельный результат, где аргумент является постоянным кратным. Если 𝑎∈ℝ, используя 𝜃=𝑎𝑥, мы имеем 1=𝜃𝜃=𝑎𝑥𝑎𝑥.limtanlimtan→→ Удаление постоянного множителя 1𝑎 и перестановка дает limtan→𝑎𝑥 𝑥=𝑎. Аналогично, если 𝑎∈ℝ, используя 𝜃=𝑎𝑥, мы имеем 0=1−𝜃𝜃=1−𝑎𝑥𝑎𝑥.limcoslimcos→→ Убираем постоянный множитель 1𝑎 и переставляем ing дает limcos→1− 𝑎𝑥𝑥=0. Мы можем подытожить это следующим образом. Теорема: предел тригонометрического выражения. →1−𝑎𝑥𝑥=0. Давайте рассмотрим пример того, как мы можем применить эти предельные результаты для вычисления предела тригонометрического выражения. Пример 2. Нахождение пределов с использованием тригонометрических функций Определить limcos→9−97𝑥3𝑥. Ответ Поскольку этот предел включает тригонометрическую функцию, мы можем попытаться вычислить этот предел путем прямой подстановки: 9−9(7×0)3(0)=00.cos Это дает нам неопределенную форму, что означает, что мы не можем вычислить этот предел прямой подстановкой. Вместо этого мы будем использовать тот факт, что если 𝑥 измеряется в радианах и 𝑎∈ℝ, то limcos→1−𝑎𝑥𝑥=0. Чтобы применить этот результат, мы упростим наш предел следующим образом: 1−7𝑥)𝑥=3×0=0. Следовательно, limcos→9−97𝑥3𝑥=0. В нашем следующем примере мы будем использовать предельный результат, включающий функции тангенса и синуса, для вычисления предела тригонометрической функции. Пример 3. Нахождение пределов с использованием тригонометрических функций Найти лимсинтан→7𝑥+33𝑥8𝑥. Ответ Поскольку это предел тригонометрического и алгебраического выражения, мы можем попытаться вычислить этот предел прямой подстановкой: sintan(7(0))+3(3(0))8(0) =00. Поскольку это неопределенная форма, мы не можем определить значение этого предела из прямой подстановки. Вместо этого мы перепишем этот предел в терминах пределов, которые мы можем оценить. А именно, для любой реальной постоянной 𝑎 и 𝑥, измеряемой в радианах, limtanandlimsin→→𝑎𝑥𝑥=𝑎𝑎𝑥𝑥=𝑎. Мы можем переписать предел в вопросе следующим образом: →→ →7𝑥+33𝑥8𝑥=7𝑥8𝑥+33𝑥8𝑥=7𝑥8𝑥+33𝑥8𝑥=187𝑥𝑥+383 𝑥𝑥=187𝑥𝑥+383𝑥𝑥. Мы можем оценить каждый из этих пределов отдельно. Во-первых, напомним, что если 𝑥 измеряется в радианах и константа 𝑎∈ℝ, то limsin→𝑎𝑥𝑥=𝑎. Используя этот результат, мы имеем limsin→7𝑥𝑥=7. Далее напомним, что если 𝑥 измеряется в радианах и 𝑎∈ℝ, то limtan→𝑎𝑥𝑥=𝑎. Следовательно, лимтан→3𝑥𝑥=3. Подстановка значений этих пределов в уравнение дает нам 3𝑥𝑥=18( 7)+38(3)=498+278=768=192. Следовательно, лимсинтан→7𝑥+33𝑥8𝑥=192. В нашем следующем примере мы объединим тригонометрическое тождество с предельными результатами тригонометрических функций для вычисления предела. Пример 4. Нахождение пределов с использованием тригонометрических функций Найти limsin→2−2𝑥4𝑥−2𝜋. Ответ Так как это предел тригонометрического и алгебраического выражения, мы можем попытаться вычислить этот предел прямой подстановкой: 2−24−2𝜋=00.sin является неопределенной формой, мы не можем определить значение этого предела из прямой подстановки. Вместо этого мы перепишем этот предел в терминах пределов, которые мы можем оценить. Перепишем предел следующим образом: 2 𝑥−. Чтобы оценить этот предел, мы будем использовать замену 𝜃=𝑥−𝜋2. Когда 𝑥 приближается к 𝜋2, 𝜃 приближается к 0. Это дает нам limsinlimsin→→1−𝑥2𝑥−=1−𝜃+2𝜃. Напомним, что sincos𝜃+𝜋2≡𝜃. Мы можем использовать это, чтобы переписать предел следующим образом: Наконец, напомним, что limcos→1−𝑎𝑥𝑥=0. Следовательно, 121−𝜃𝜃=12×0=0.limcos→ Следовательно, limsin→2−2𝑥4𝑥−2𝜋=0. В нашем последнем примере мы будем использовать эти предельные результаты для оценки предела обратного тригонометрического выражения. Пример 5. Нахождение пределов с использованием тригонометрических функций Найти limcotcsc→6𝑥4𝑥8𝑥. Ответ Поскольку это предел тригонометрического и алгебраического выражения, мы можем попытаться вычислить этот предел прямой подстановкой. Однако 0 не находится в области определения этой функции. Вместо этого мы перепишем предел, сначала используя взаимные тригонометрические тождества: 𝑥8𝑥4𝑥.tansin Затем мы можем переписать это с точки зрения предельных результатов. Если 𝑥 измеряется в радианах и 𝑎∈ℝ, limsinlimtan→→𝑎𝑥𝑥=𝑎,𝑎𝑥𝑥=𝑎. Таким образом, у нас есть →→6𝑥8𝑥4𝑥 =6𝑥8𝑥𝑥4𝑥=6𝑥4𝑥8𝑥𝑥=6𝑥4𝑥8𝑥𝑥=6𝑥4𝑥8𝑥 𝑥=64𝑥𝑥8𝑥𝑥. Применяя предельные результаты, заключаем, что → 6𝑥4𝑥8𝑥=3. Давайте закончим повторением некоторых важных моментов из этого объяснения. Ключевые моменты Мы можем вычислить предел любой тригонометрической функции в точке 𝑥=𝑎 прямой подстановкой, если a находится в ее области определения. Если 𝑥 измеряется в радианах, мы имеем следующие тригонометрические предельные результаты: 1−𝑥𝑥=0. Если 𝑥 измеряется в радианах и 𝑎∈ℝ, мы имеем следующие результаты тригонометрического предела: 𝑎𝑥𝑥=𝑎, лимузин→1 −𝑎𝑥𝑥=0. Мы можем использовать эти результаты для оценки предела тригонометрических функций. Тригонометрические пределы Проблемы и решения Математические сомнения Проблемы Ограничения Проблемы пределов, связанные с тригонометрическими функциями, появляются в исчислении. « Предыдущая 1 … 91 92 93 94 95 … 2 804 Следующая »