Лицеисты заняли I и II места в Школе практического программирования.
06.05.2023
Поэзии чарующие звуки…
В СУНЦ стартует регистрация на поэтический вечер, который пройдёт 15 мая в 15:30 в актовом зале.
05.05.2023
Заключительный этап. Успех!
Наши лицеисты достойно выступили на заключительном этапе Всероссийской олимпиады школьников.
04.05.2023
Успехи на международном форуме в Кыргызстане
Лицеисты привезли из солнечного Кыргызстана золотую и бронзовую медали международного форума «Мы — интеллектуалы XXI века!».
04.05.2023
Зарядись «Энергией будущего»!
Лицеисты СУНЦ с успехом выступили на всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ и проектов.
25.04.2023
Время зарабатывать!
Соцэки СУНЦ совершенствуют свои практические навыки.
Больше новостей
Видеогалерея:
Мужчины СУНЦ о 8 Марта (2023)
Концерт к 8 Марта (2023)
Поздравление с Днем защитника Отечества (2023)
Больше видео
О нас:
Специализированный учебно-научный центр (СУНЦ) — структурное подразделение ФГАОУ ВО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина», созданное в 1990 году как нетиповое структурное подразделение вуза, осуществляющее углубленное дифференцированное обучение по программам основного общего и среднего общего образования. Всего в России 10 СУНЦев. До мая 2011 года СУНЦ работал в составе Уральского государственного университета имени А. М. Горького (УрГУ).
В настоящее время СУНЦ имеет в своем составе 8 кафедр, укомплектованных профессорско-преподавательским составом УрФУ и учителями. Обучение производится по авторским программам, разработанным в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами; в составе СУНЦ — 8–11 классы различных профилей.
Иногородние обучающиеся проживают в уютном общежитии.
Прием производится в 8, 9, 10 и 11 классы. Работают подготовительные курсы.
Подробнее о правилах приема в СУНЦ можно узнать в отделе конкурсного отбора по телефону +7 343 367-82-22 и в разделе нашего сайта «Поступающим».
автобусами № 48, 52, 81 до остановки «Фирма Авангард»;
автобусами № 28, 58 до остановки «Данилы Зверева», далее 7 минут пешком по улице Данилы Зверева;
троллейбусом № 18 до остановки «Данилы Зверева», далее 14 минут пешком по улицам Сулимова, Данилы Зверева;
троллейбусами № 4 до остановки «Сулимова», № 19, 32 до остановки «Боровая», далее 15 минут пешком по улицам Боровая, Вилонова, Данилы Зверева.
P2O5-как называется это вещество. Оксид фосфора (V), свойства, получение, химические реакции
Оксиды фосфора
Оксиды азота
Цвет
Фаза
Характер оксида
P2O3 Оксид фосфора (III), фосфористый ангидрид
белый
твердый
кислотный
P2O5 Оксид фосфора(V), фосфорный ангидрид
белый
твердый
кислотный
Оксид фосфора (III)
Оксид фосфора (III) – это кислотный оксид. Белые кристаллы при обычных условиях. Пары состоят из молекул P4O6.
Получитьоксид фосфора (III) можно окислением фосфора при недостатке кислорода:
4P + 3O2 → 2P2O3
Химические свойства оксида фосфора (III):
Оксид фосфора (III) очень ядовит и неустойчив. Для P2O3 (P4O6) характерны два типа реакций.
1. Поскольку фосфор в оксиде фосфора (III) проявляет промежуточную степень окисления, то он принимает участие в окислительно-восстановительных процессах, повышая либо понижая степень окисления атома фосфора. Характерны для P2O3 реакции диспропорционирования.
Например, оксид фосфора (III) диспропорционирует в горячей воде:
2Р2О3 + 6Н2О (гор.) → РН3 + 3Н3РО4
2. При взаимодействии с окислителямиP2O3 проявляет свойства восстановителя.
Например, N2O окисляется кислородом:
Р2О3 + О2 → Р2О5
3. С другой стороны Р2О3 проявляет свойства кислотного оксида (ангидрид фосфористой кислоты), взаимодействуя с водой с образованием фосфористой кислоты:
Р2О3 + 3Н2О → 2Н3РО3
а со щелочами – с образованием солей (фосфитов):
Р2О3 + 4KOH → 2K2HРО3 + h3O
Оксид фосфора (V)
Оксид фосфора (V) – это кислотный оксид. В нормальных условиях образует белые кристаллы. В парах состоит из молекул P4О10. Очень гигроскопичен (используется как осушитель газов и жидкостей).
Способы получения. Оксид фосфора (V) получают сжиганием фосфора в избытке кислорода.
4P + 5O2 → 2P2O5
Химические свойства.
1. Оксид фосфора (V) – очень гигроскопичное вещество, которое используется для осушения газов. Обладая высоким сродством к воде, оксид фосфора (V) дегидратирует до ангидридов неорганические и органические кислоты.
Например, оксид фосфора (V) дегидратирует серную, азотную и уксусную кислоты:
P2O5 + h3SO4 → 2HPO3 + SO3
P2O5 + 2HNO3 → 2HPO3 + N2O5
Читать: Калия сульфат как удобрение: что это за вещество, формула, применение сернокислого калия на огороде
P2O5 + 2Ch4COOH → 2HPO3 + (Ch4CO)2O
2. Фосфорный ангидрид является типичным кислотным оксидом, взаимодействует с водой с образованием фосфорных кислот:
P2O5 + 3h3O → 2h4PO4
В зависимости от количества воды и от других условий образуются мета-фосфорная, орто-фосфорная или пиро-фосфорная кислота:
P2O5 + 2h3O → 2h5P2O7
P2O5 + h3O → HPO3
Видеоопыт взаимодействия оксида фосфора с водой можно посмотреть здесь.
3.Как кислотный оксид, оксид фосфора (V) взаимодействует с основными оксидами и основаниями.
Например, оксид фосфора (V) взаимодействует с гидроксидом натрия. При этом образуются средние или кислые соли:
P2O5 + 6NaOH → 2Na3PO4 + 3h3O
P2O5 + 2NaOH + h3O → 2Nah3PO4
P2O5 + 4NaOH → 2Na2HPO4 + h3O
Еще пример: оксид фосфора взаимодействует с оксидом бария (при сплавлении):
P2O5 + 3BaO → Ba3(PO4)2
Химические и физические свойства
Оксид фосфора – бесцветное аморфное или стекловидное вещество, существующеев трех кристаллических, двух аморфных и двух жидких формах. Токсичное вещество. Вызывает ожоги кожи и раздражение слизистой оболочки.
Пентаоксид фосфора очень гигроскопичен. Реагирует со спиртами эфирами, фенолами, кислотами и прочими веществами. В процессе реакции с органическими веществами происходит разрыв связей фосфора с кислородом, и образуются фосфорорганические соединения. Вступает в химические реакции с аммиаком (Nh4) и галогеноводородами с образованием фосфатов аммония и оксигалогенидов фосфора. С основными оксидами образует фосфаты.
Графическая (структурная) формула оксида фосфора 5
Структурная (графическая) формула оксида фосфора (V) является более наглядной. Она показывает то, как связаны атомы между собой внутри молекулы (рис. 2). Оксид фосфора (V) может димеризоваться (соответствует химической формуле P4O10) и существование его в такой форме наиболее предпочтительно.
Рис. 2. Графическая формула оксида фосфора (V).
Состав
Простой суперфосфат в своем составе имеет фосфор, который присутствует в виде свободной фосфорной кислоты и фосфата кальция. В небольших количествах содержится гипс, а также иные примеси (фосфаты алюминия и железа, соединения фтора, кремнезём).
Читать: Гидрогель или аквагрунт? Наполнитель для растений
Простой суперфосфат (химическая формула (СаН2РО4)2 х Н2О + 2СаSО4 х 2Н2О) — получают из фосфоритных веществ в результате применения H 2 SO 4 . oC»—> 2B2O3 + P4O10
Форма выпуска
Гранулированный продукт или сыпучий порошок, светло-серого цвета (возможны оттенки от белого до темно-серого окраса). Полностью растворяется в воде.
Применение
P4O10 применяют как осушитель газов и жидкостей. Также он является промежуточным продуктом в производстве ортофосфорной киcлоты h4PO4 термическим способом.
Широко используется в органическом синтезе в реакциях дегидратации и конденсации.
Поглощение пентаоксида фосфора растениями
Как указывалось выше, в природе основной источник фосфора – это соли ортофосфорнонй кислоты h4PO4. Однако после гидролиза пиро-, поли- и метафосфаты так же используются практически всеми культурами.
Гидролиз пирофосфата натрия:
Na4P2O7 + h3O + 2H+ → 2Nah3PO4 +2Na+
Гидролиз триполифосфата натрия:
Na5P3O10 + 2h3O + 2H+ → 3Nah3PO4 +2Na+
Гидролиз метафосфат иона (в кислой среде):
(PO3)66- + 3h3O → h3P3O103- + h3P2O72- + h3PO4-
Ортофосфорная кислота, будучи трехосновной отдиссоциирует три аниона h3PO—4, HPO42-, PO4 3- . В условиях слабокислой реакции среды, именно в них возделываются растения, наиболее распространен и доступен первый ион, в меньшей степени второй и практически недоступен третий. Однако люпин, гречиха, горчица, горох, донник, конопля и другие растения способны усваивать фосфор из трехзамещенных фосфатов.Некоторые растения приспособились усваивать фосфат-ион из фосфорорганических соединений (фитин, глицефосфаты и прочее). Корни данных растений выделяют особый фермент (фотофтазу), который и отщипляет анион фосфорной кислоты от органических соединений, а затем растения поглощают этот анион. К подобного рода растениям относятся горох, бобы, кукуруза. Причем фосфатазная активность возрастает в условиях фосфорного голода.
Читать: Устройство и принцип работы горшков с автополивом
Многие растения могут питаться фосфором из очень разбавленных растворов, вплоть до 0,01 мг /л P2O5 . Естественно, что удовлетворить потребность в фосфоре растения могут только при условии постоянного возобновления в нем концентрации хотя бы такого же низкого уровня.
Опытным путем установлено, что поглощаемый корнями фосфор прежде всего идет на синтез нуклеотидов, а для дальнейшего продвижения в наземную часть фосфаты вновь поступают в проводящие сосуды корня в виде минеральных соединений.
Модификации оксида фосфора:
Твердый оксид фосфора (V) склонен к полиморфизму. Существуют три формы-модификации оксида фосфора (V): H, O`, O и G формы-модификации.
гексагональная H-форма
орторомбическая O`-форма
орторомбическая O-форма
G-форма
Состояние вещества
Кристаллический вид
Кристаллический
Кристаллический вид
Стекловидный вид
Характер стабильности формы
Метастабильная форма
Стабильная форма
Метастабильная форма
Другие характеристики
a=0,744 нм, угол = 87°, пространственная группа R3C
a=1,63 нм, b=0,814 нм, c=0,526 нм, пространственная группа Fdd2
a=0,923 нм, b = 0,718 нм, c = 0,494 нм, пространственная группа Pnam
H-форма переходит в O-форму при 300-360 °C (процесс заканчивается при 378 °C).
Рерасчет содержения фосфора в удобрениях
В некоторых случаях требуется рассчитать процентное содержание фосфора в удобрении, если дано содержание по P2O5. Расчет производится по формуле:
y = x,% × 30,974 (молярная масса P) × 2 / 30,974 (молярная масса P) × 2 + 15,999 (молярная масса O) × 5
где:
х – содержание P2O5 в удобрении, %;
y – содержание P в удобрении, %
Или:
y = x, % × 0,43643
Например:
в удобрении содержится 40% оксида фосфора
для пересчета процентного содержания элемента фосфор в удобрении нужно умножить массовую долю оксида в удобрении на массовую долю элемента в оксиде (для P2O5 – 0,43643): 40 * 0,43643 = 17,4572 %
Реферат Система Rb3PO4-Ba3(PO4)2 исследована термоаналитическими методами, рентгенофазовым анализом, ИСП и ИК-Фурье. На основании полученных результатов предложена его фазовая диаграмма. Для этой системы с одним промежуточным соединением, BaRbPO4, мы обнаружили, что это соединение плавится конгруэнтно при 1700 °С, проявляет полиморфный переход при 1195 °С и является высокотемпературным нестабильным. Также промежуточное соединение подвергалось постепенному разложению до Ba3(PO4)2 (твердая фаза) и испарению (с переходом оксидов фосфора и рубидия в паровую фазу). Мы также обнаружили, что Rb3PO4 плавится конгруэнтно при 1450°C и демонстрирует полиморфный переход при 1040°C. Что касается Ba3(PO4)2, мы подтвердили, что он плавится конгруэнтно при 1605 °C и демонстрирует полиморфный переход при 1360 °C.
Ключевые слова Ортофосфаты рубидия и бария • BaRbPO4 • Фазовая диаграмма • Рентгенофазовый анализ
Введение
В настоящей статье представлены результаты исследований равновесий, возникающих в системе Rb3 PO4-Ba3(PO4)2. описано. Его фазовая диаграмма ранее не публиковалась. Однако в литературе имеются сведения об исходных ортофосфатах Rb3PO4, Ba3(PO4)2, а также о ортофосфате бария-рубидия BaRbPO4. Литературные сообщения в основном касаются методов
Э. Радомириска (&) • Т. Знамеровска • В. Шушкевич Кафедра неорганической химии, Инженерно-экономический факультет, Вроцлавский экономический университет, ул. Командорска 118/120, Вроцлав 53-345, Польша e-mail: [email protected]
получение, кристаллическая структура, полиморфизм и возможность применения. Эламмари, Элуади и Мюллер-Фогт отметили [1], что некоторые из смешанных ортофосфатов формулы AIBIIPO4 (где AI — одновалентный катион, а B11 — двухвалентный катион) проявляют сегнетоэлектрические свойства; можно отметить, что соединение BaRbPO4 принадлежит к этой группе.
Ортофосфат Rb3PO4 оказался диморфным. Низкотемпературная форма – орторомбическая (с.г. Pnma; параметры решетки: a = 1,17362(2), b = 0,81046(1), c = 0,615167(9) нм) [2]. Высокотемпературная форма кристаллизуется в кубической системе (s.g. Fm 3; a = 8,44 А) [3]. Данных о температуре плавления Rb3PO4 нами не обнаружено. Ортофосфат Ba3(PO4)2 плавится конгруэнтно при 1605 ± 2 °С [4] и >1620 °С [5]; он показывает полиморфный переход при 1360 ± 2 °C [4] и 1390 ± 15 °С [5]. Кристаллическая структура низкотемпературной формы Ba3(PO4)2 описана в [6] (s.g.R 3 m; a = 5,6038(7), c = 21,000(5) A). Согласно [7], дифрактограмма Ba3(PO4)2 соответствует ромбоэдрической трансляционной решетке (размеры элементарной ячейки: а = 7,696 ± 0,002 А, а = 42°35′ ± 2′). Ортофосфат BaRbPO4 имеет обратимый фазовый переход при 1060 °С [1]. Согласно [1, 8] это соединение кристаллизуется в орторомбической системе с пространственной группой Pnma (a = 7,812(2), b = 5,740(1), c = 10,056(2) A). Мы также не нашли данных о его температуре плавления.
Изучение фазовых равновесий, возникающих в различных системах, особенно в широком диапазоне температур, имеет большое значение в науке и технике. Такие новые данные могут дать возможность для идентификации неизвестных фаз с их физико-химическими свойствами и предложить различные способы получения. С одной стороны, они способствуют углублению знаний, а с другой — помогают искать новые, подходящие и недорогие материалы с
свойствами, необходимыми в различных технологиях. Таким образом, результаты исследования фазовых равновесий могут быть использованы для дальнейших специализированных или междисциплинарных исследований.
Экспериментальная
В настоящих исследованиях системы Rb3PO4-Ba3(PO4)2 использовались следующие коммерческие реактивы (все ч.д.а.): BaHPO4, BaCO3, Rb2CO3, (Nh5)2HPO4, Nh5h3PO4, Ba(NO3)2, моногидрат лимонной кислоты и этиленгликоль.
Соединения Ba3(PO4)2, BaRbPO4 и Rb3PO4 были получены в нашей лаборатории. Дифосфат бария Ba2P2O7 получали из BaHPO4 нагреванием при 900 °С в течение 1 часа. Ортофосфат бария Ba3(PO4)2 получали из стехиометрических количеств Ba2P2O7 и BaCO3. Тщательно перемешанные и протертые подложки спекали в платиновом тигле при 1300 °С в течение 6 ч. Ортофосфат рубидия Rb3PO4 получали из стехиометрической смеси сухого Rb2CO3 (высушенного при 250 °С) и (Nh5)2HPO4. После перемешивания и растирания нагревали при 200°С в течение 4 ч, затем при 500°С в течение 4 ч, после чего растирали и нагревали при 9°С.00 °С в течение 10 часов. После новой протирки его еще нагревали при 1000 °С в течение 20 ч.
Фазовые равновесия в системе Rb3PO4-Ba3(PO4)2 исследованы методами термоанализа, РФА, ИСП и ИК-Фурье. Образцы для исследования готовили из исходных веществ, смешанных в фиксированных количествах. Для обеспечения их однородности смеси встряхивали в бюксе и растирали в агатовой ступке, гранулировали, помещали в платиновые тигли и затем спекали. Условия изготовления образцов (температура и время спекания) были определены экспериментально. Полученные агломераты измельчали и тонко измельчали.
Термоаналитические исследования в твердой фазе проводились на дифференциальном термоанализаторе (калориметре) SETSYS™ (SETARAM) с весами. Прибор позволяет проводить одновременные измерения ТГА-ДТА или ТГА-ДСК в диапазоне температур 20-1300 °С. Навески от 1 до 20 мг помещали в платиновые тигли и нагревали со скоростью 10 °С мин- в атмосфере аргона. ДТА, ТГ, анализы в твердой фазе проводили также на воздухе, до 1400 °С, на дериватографе типа 3427 (МОМ, Венгрия) со скоростью нагрева 5 °С мин-, платиновые тигли, навеска 0,3-0,6 г. Температуру измеряли с помощью термопары Pt/PtRh20, откалиброванной по точкам плавления NaCl, K2SO4, Ca2P2O7 и температуре перехода K2SO4. Для определения температуры теплового эффекта учитывали параметр пика на кривой ДТА-нагрева. Высокотемпературный
Термические исследования (выше 1400 °С) проводились в атмосфере аргона в горизонтальной печи сопротивления с молибденовой обмоткой. Предварительно синтезированные образцы прессовали в таблетки массой 1-2 г и загружали в лодочки из сплава PtRh40. Температурную точку, при которой образец диффундировал и расплывался в поле наблюдения, чтобы окончательно исчезнуть, считывали с помощью оптического пирометра, откалиброванного по температурам плавления Na3PO4 и Ca3(PO4)2. Для образцов, которые были расплавлены в диапазоне температур, определенные точки были приблизительными. После плавления образцы охлаждали до комнатной температуры. Применялся также метод закалки во льду (как для агломератов, так и для расплавленных образцов); использовалась высокотемпературная вертикально-трубчатая печь (20-1750 °С; Naber-therm RHTV 120-300/18).
Фазовую чистоту товарных и самоприготовленных исходных фосфатов, а также фазовый состав как спеченных, так и расплавленных образцов исследуемой системы контролировали методом порошковой рентгенографии при комнатной температуре. Использовался дифрактометр SIEMENS D 5000 с CuKa-излучением и Ni-фильтром. Количественный анализ проводили на эмиссионном спектрометре с возбуждением аргоновой плазмой (ICP Model ARL 3410). Испарение ортофосфатов Rb3PO4 и BaRbPO4 изучали с помощью термического анализа (Netzsch 409C) в сочетании с масс-спектрометрией (Balzers Instruments ThermoStar). Спектры FT-IR измеряли в диапазоне 1400-400 см-1 (с KBr в качестве разбавителя; Perkin-Elmer System 2000 FT-IR).
Результаты и обсуждение
Нахождению фазовых равновесий, существующих в системе Rb3PO4-Ba3(PO4)2, предшествовало исследование термостабильности, полиморфизма и других свойств ортофосфатов Ba3(PO4)2, Rb3PO4 и BaRbPO4. Это было направлено на подтверждение или проверку или дополнение литературных данных. Хорошо известно, что характер фазовых равновесий, возникающих в бинарных системах, существенно зависит от свойств исходных компонентов.
Что касается Rb3PO4, мы обнаружили, что соединение плавится конгруэнтно при температуре около 1450 °C и демонстрирует две полиморфные модификации с точкой превращения при 1040 °C. Ортофосфат сильно гигроскопичен; для предварительно синтезированного образца Rb3PO4 кривые ТГ/ДТА-нагрева показали потерю воды в несколько стадий в диапазоне температур 100-430 °С. Также наблюдалась медленная постепенная потеря массы на кривых ТГ/ДТА-нагревания (как показано на рис. 1) при продолжении нагревания, начиная с температуры * 1150 °С. Отмеченные потери составили *5,5 мас.% в результате плавления образца Rb3PO4. Для объяснения дефицита был применен термический анализ в сочетании с
400 800 1200 °С
Рис. 1 Кривые ТГ и ДТА предварительно синтезированного Rb3PO4 в атмосфере воздуха
Масс-спектрометрический анализ. Предварительно синтезированный Rb3PO4 нагревали от 20 до 1400 °С со скоростью 10 °С мин-1. Масс-спектрометрический анализ газовой фазы выявил наличие ионов PO?, PO2?, P4O10?, RbO?, RbO2?, Rb2O2?. Были также сняты ИК-Фурье-спектры как для предварительно синтезированного Rb3PO4, так и для расплавленного образца. Оказалось, что их инфракрасные спектры совпадают (см. рис. 2). Эти результаты показали, что стехиометрический состав конденсированной фазы не изменился.
Согласно результатам работы [4] было подтверждено, что ортофосфат Ba3(PO4)2 плавится конгруэнтно при 1605 °С и находится в двух полиморфных модификациях;
Волновое число/см-1 Рис. 2 FT-IR спектры Rb3PO4; a расплавленный, b предварительно синтезированный
с температурой перехода 1360 °C. Наши термические исследования подтвердили стабильность соединения Ba3(PO4)2. Потери массы на кривых ТГ в интервале температур 20-1400 °С при ДТА-нагреве образцов ортофосфатов как предварительно синтезированных, так и расплавленных не отмечено. Не обнаружено различий в порошковых рентгенограммах Ba3(PO4)2 между предварительно синтезированными образцами и расплавленными путем медленной кристаллизации (со скоростью 3 °С мин-1). Было отмечено, что расплавленный Ba3(PO4)2 имеет тенденцию частично переходить в стеклообразную форму. Образец Ba3(PO4)2 появлялся в аморфной форме, который после плавления быстро кристаллизовался (* 15 °C мин-1). Это наблюдали с помощью микроскопии полированных шлифов в отраженном свете.
Ортофосфат BaRbPO4 получен стандартным методом твердофазной реакции по следующим схемам реакций.
Rb2CO3 — 2(Nh5)2HPO4 — 2BaCO3
! 2BaRbPO4 -2 3CO2 — 4Nh4 — 3h3O (1)
Условия проведения указанной реакции приведены в работе [1]. Однако оказалось, что для достижения фазовой чистоты BaRbPO4 необходим дополнительный обжиг при 900 °С в течение 10 ч.
Rb3PO4 — Ba3(PO4)2! 3BaRbPO4 (2)
В методе (2) исходные ортофосфаты тщательно перемешивали (встряхиванием в бюксе), растирали в агатовой ступке, прессовали в таблетки и нагревали при 1000 °С в течение 2,5 ч. Условия (т.е. температура и время) обеих реакций были найдены экспериментально.
Рентгенофазовый анализ агломератов, полученных по реакциям (1) и (2), показал фазово-чистую структуру BaRbPO4 в соответствии с [1, 8]. Мы обнаружили, что ортофосфат плавится конгруэнтно при температуре около 1700°С. Затем были исследованы его термическая стабильность и полиморфизм. При ДТА/ДСК-нагреве предварительно синтезированного BaRbPO4 наблюдалась незначительная, постепенно протекающая потеря массы (заметная на ТГ-кривой) с
* 1230 °С. На рис. 3 представлены кривые нагревания ТГ/ДТА предварительно синтезированного BaRbPO4. Также было отмечено, что образец BaRbPO4 в результате плавления потерял * 10 мас.% своей первоначальной массы. Фазовый состав подтвержден рентгенофазовым анализом. На дифрактограмме помимо дифракционных линий BaRbPO4 обнаружены рефлексы, типичные для Ba3(PO4)2. Это свидетельствовало о том, что ортофосфат BaRbPO4 высокотемпературно нестабилен и подвержен постепенному разложению и испарению. Чтобы проверить вывод:
• Проведено количественное определение содержания рубидия, бария и фосфора в образцах как предварительно синтезированного соединения, так и расплавленного. Количественный анализ
проводили на эмиссионном спектрометре с возбуждением аргоновой плазмой. Оказалось, что предварительно синтезированные и расплавленные образцы различались по содержанию рубидия, бария и фосфора. Содержание рубидия и фосфора в расплавленном образце уменьшилось на *5 и 0,6 мас.% соответственно, бария увеличилось на *4,7 мас.% (относительно стехиометрического состава соединения). • Проведен термический анализ в сочетании с масс-спектрометрией. Образец предварительно синтезированного BaRbPO4 нагревали от 20 до 1600 °С со скоростью 10 °С мин-1. Масс-спектрометрия газовой фазы показала наличие ионов: PO?, PO2?, P4O10?, RbO?, RbO2?, Rb2O2?.
С учетом всех результатов данного исследования разложение и испарение ортофосфата BaRbPO4 происходят по реакции:
Появление BaRbPO4 в двух модификациях подтверждено нашими термоаналитическими исследованиями. Однако разногласия касались температуры перехода. Дифференциальный термический анализ нагрева проводили как для предварительно синтезированного, так и для расплавленного BaRbPO4. Кривая ДТА/ДСК-нагрева агломерата в интервале температур 20-1350 °С выявила эндотермический эффект, которому соответствует температура 119соответствует 5 °С (см. рис. 3). Соответственно, расплавленный образец BaRbPO4 исследовали с помощью ДТА/ДСК-нагрева (учитывая, что стехиометрия расплавленного образца и BaRbPO4 различна). На этот раз
кривые ДТА/ДСК-нагрева также показали один эндотермический эффект, но при соответствующей температуре * 1090 °С (см. рис. 4). Как впоследствии было установлено, эффект присутствовал на кривых нагревания ДТА/ДСК для всех предварительно синтезированных образцов с составом от 65 до 99 мас.% Ba3(PO4)2. С учетом всех результатов настоящего исследования мы приписываем температурную точку 1195 °С полиморфному превращению BaRbPO4.
Исследованы неизвестные ранее фазовые равновесия в системе Rb3PO4-Ba3(PO4)2 во всем диапазоне составов до температуры 1800 °С. В качестве промежуточного соединения в системе появился BaRbPO4. Ввиду условий синтеза ортофосфата, термической нестабильности фосфатов Rb3PO4 и BaRbPO4 при высоких температурах, гигроскопичности Rb3PO4, а также для соблюдения требования равновесного состава были использованы следующие две серии образцов.
• Гетеромолярные смеси (Nh5)2HPO4, сухого Rb2CO3 и BaRbPO4 – для определения фазовых равновесий в диапазоне составов 0-60 мас.% Ba3(PO4)2. Эти смеси после смешивания и измельчения нагревали при 200°С в течение 4 ч, при 500°С в течение 4 ч, при 900°С в течение 10 ч и при 1000°С в течение 20 ч с промежуточными перетираниями для обеспечения полной реакции.
• Гетеромолярные смеси ортофосфатов BaRbPO4 и Ba3(PO4)2 – для определения фазовых равновесий в диапазоне составов 65-100 мас.% Ba3(PO4)2. Эти смеси были предварительно синтезированы твердофазной реакцией при нагревании при 9——-
Рис. 3 Кривые ТГ и ДТА предварительно синтезированного BaRbPO4, на воздухе Рис. 4 Кривые ТГ и ДТА расплавленного BaRbPO4, в воздухе атмосфера атмосфера
Фазовый состав агломератов определяли методом РФА при комнатная температура. Процедура испытаний показала, что все образцы исследуемой системы плавились при температуре выше 1400 °С. Соответственно, для построения кривых ликвидуса образцы после прессования в таблетки помещали в лодочки PtRh40 и нагревали в атмосфере аргона в горизонтальной печи. Температуру диффузии гранул считывали с помощью оптического пирометра. Таким образом, контур кривых ликвидуса и солидуса является приблизительным, как показано пунктирными линиями.
Кривая ликвидуса системы Rb3PO4-Ba3(PO4)2 при *30 мас.% имеет максимум при * 1560 °С (рис. 5, точка В фазовой диаграммы). Это указывало на возможность образования для такого состава другого промежуточного соединения, которое плавилось бы конгруэнтно. Образование соединения представлялось вероятным, поскольку либо молярное соотношение Rb3PO4:Ba3(PO4)2, равное 4:1, либо молярное соотношение Rb3PO4:BaRbPO4 = 1:1 (т.е. теоретическая формула соединения BaRb4(PO4)2) соответствует рассматриваемого процентного состава (30 мас.% Ba3(PO4)2 и 70 мас.% Rb3PO4). В литературе известны соединения типа m4mii(PO4)2 (где MI = Na, K; M11 = Mg, Ca) [9].
Рис. 5 Фазовая диаграмма системы Rb3PO4-Ba3(PO4)2
• Использовался модифицированный метод Печини; Стехиометрические количества Ba(NO3)2, Rb2CO3, Nh5h3PO4 растворяли в небольшой порции дистиллированной воды, затем добавляли лимонную кислоту и этиленгликоль в качестве комплексообразователя. Смесь сушили при 120°С в течение 24 ч, затем нагревали при 450°С в течение 24 ч, протирали, нагревали при 1150°С в течение 2 ч и гасили.
Фазовый состав продуктов реакции вышеперечисленных процессов был подтвержден порошковой рентгеновской дифракцией. На дифрактограммах обнаружены только рефлексы от фосфатов Rb3PO4 и BaRbPO4. Следовательно, максимум на кривой ликвидуса (при * 30 мас. % Ba3(PO4)2) может объяснять разделение жидкой фазы на два жидких раствора L1 и L2. Следовательно, область АВС (в интервале составов 17-36 мас.% Ba3(PO4)2) представляет собой смесь жидких растворов L1 ? Л2. Превращение при постоянной температуре * 1510 °С можно отнести к точке С согласно схеме реакции: L2C ? L1А? BaRb-PO4 (где L2C обозначает жидкость L2 с составом точки C, а L1A — жидкость L1 с составом точки A). В богатой Rb3PO4 части исследуемой системы возникает эвтектика при * 1,0 мас.% Ba3(PO4)2, которая плавится при
* 1440 °С. В системе Rb3PO4-Ba3(PO4)2 в диапазоне составов 63,14-100 мас. % Ba3(PO4)2; высокотемпературные непрерывные твердые растворы имеют максимальную температуру плавления при * 1720 °С.
Для нахождения фазовых равновесий для системы Rb3PO4-Ba3(PO4)2 ДТА/ДСК-нагрев предварительно синтезированных твердофазных образцов проводили в субсолидусной области. Термическая нестабильность фосфатов Rb3PO4 и BaRbPO4 затрудняла работу с расплавленными образцами из-за изменения исходного состава. Разработанная фазовая диаграмма системы Rb3PO4-Ba3(PO4)2 представлена на рис. 5.
Открытый доступ Эта статья распространяется в соответствии с условиями некоммерческой лицензии Creative Commons Attribution, которая разрешает любое некоммерческое использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии указания автора(ов) и источника.
Литература
1. Эламмари Л., Элоуади Б., Мюллер-Фогт Г. Исследование фазовых переходов в системе AIBIIPO4 с AI = Li, Rb и Bn = Mg, Ca, Sr, Ba, Zn, Cd, Pb. Фазовый переход. 1988;13:29-32.
2. Воронин В.И., Бергер И.Ф., Проскурнина Н.В., Шептяков Д.В., Гощицкий Б.Н., Бурмакин Е.И., Строев С.С., Шехтман Г.Ш. Кристаллическая структура низкотемпературных форм ортофосфатов цезия и рубидия. Инорг Матер. 2008;44(6):646-52.
3. Хуп Р., Сейферт Х.М. Zur Kenntnis wasserfreier Orthophosphate der höheren Alkalimetalle: K3PO4, Rb3PO4, Cs3PO4. Z Натурфорш. 1973; 28б: 507-8.
4. Макколи Р.А., Хаммел Ф.А. Фазовые соотношения в части системы BaO-P2O5. Trans Brit Ceram Soc. 1968;67:619-28.
5. Крейдлер Э.Р. Фазовые равновесия и активируемая оловом люминесценция в системе Ca3(PO4)2-Ba3(PO4)2. J Электрохим Soc. 1971 год; 118:923-9.
6. Сугияма К., Токонами М. Уточнение кристаллической структуры ортофосфатов стронция и бария. Минерал Дж. 1990;15:141-6.
7. Захариасен В.Х. Кристаллическая структура нормальных ортофосфатов бария и стронция. Акта Кристаллогр. 1948; 1: 263–265.
8. Эламмари Л., Элуади Б. Кристаллическая структура ортофосфата RbBaPO4. J Сплавы комп.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наука». М. 1977 г.
Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию.
Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам.
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9. Взаимное расположение двух линий § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30. 2+bx+c § 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x § 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95. Координаты точки § 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей § 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134. Точка пересечения трех плоскостей § 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат § 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190. Два уравнения с двумя неизвестными § 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216. Эквивалентные бесконечно малые величины § 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238. Производная сложной функции § 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259. Выражение высших производных через дифференциалы § 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279. Второе достаточное условие максимума и минимума § 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301. Интегрирование по частям § 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321. Дифференциал интеграла § 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342. Кривизна § 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364. О знаке кривизны § 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390. Интегрирование рядов § 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx § 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности § 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) § 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480. Изоклины § 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью § 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия
6. Оценка двойного интеграла снизу и сверху: если , то где s
Теорема
(О
среднем значении для двойного интеграла).
Если f(x;y) — непрерывна на замкнутой области D,
то существует —
некая «средняя» точка области:
Доказательство Если f(x;y) непрерывна на D,
то существуют наименьшее m и наибольшее М значения функции f(x;y),
т.е.
по
свойству 6 имеем:
то
есть число I/S находится между m и М.
Но
непрерывная функция f(x;y) принимает все промежуточные от m до М значения
существует
точка :
,и
теорема 2.2 доказана.
******************
3.
Замена переменных в двойном интеграле.
Теорема.
Пусть
двойной интеграл преобразуется от
прямоугольных декартовых координат
(x,y)
к криволинейным u и v,
связанными с прямоугольными соотношением
x=φ(u,v)
y=ψ(u,v)
где φ(u,v)
и ψ(u,v)
– функции устанавливающие взаимно
однозначное соответствие между областью D плоскости Oxy и областью G плоскости Ouv,
непрерывные вместе со своими частными
производными первого порядка в области G,
причем определитель преобразования
(определитель Якоби)
в
области G,
тогда имеет место следующее соотношение
—
формула замены переменных в двойном
интеграле.
4.Вычисление двойного интеграла в Декартовой системе координат.
1.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для правильной области
Теорема
Пусть
область D — правильная в отношении оси Ох (рис. 2.6.) Тогда в этом случае область D может быть задана одной системой
неравенств:
Если
существует двойной интеграл
(это
возможно, например, если f(x;y) непрерывна на D),
то его можно вычислить через повторный
кратный интеграл так: При
этом внутренний интеграл по у находится при постоянном х.
Данное
представление (2. 11) получается из
определения двойного интеграла при
специальном способе разбиения области D на n «мелких» частей (линиями, параллельными
либо Ох,
либо Оу — прямоугольной «шахматной» сеткой.
А затем выполняется суммирование
«объёмов» ΔVi сначала по оси Оу,
а затем по оси Ох).
2. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для неправильной области
Если
область D является неправильной в отношении обеих
осей, то ее разбивают на конечное число
правильных областей.
********************
5.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Пусть
на плоскости Оху одновременно введена и полярная система
координат Orφ (рис. 2.9):
Оp — полярная ось, которая совпадает с осью Ох; φ — полярный угол; r — полярный радиус точки М.
Тогда,
как известно:
Для
полярной системы координатная сетка
представляет собой пересечение
окружностей увеличивающихся радиусов r с лучами, выходящими из точки О под возрастающими углами φ к полярной оси (рис. 2.10).
Рассмотрим
элементарный участок полярной сетки
(рис. 2.11).
Тогда
его площадь ΔS можно найти как разность площадей S1 и S2 полярных секторов радиусов r+Δr и r с раствором угла Δφ:
При Δr 0, Δφ0 получаем ΔS≈ r·Δr·Δφ.
Таким
образом, при замене переменных по формуле
(2.12)
дифференциал площади в полярной системе
координат преобразуется так:
(Напомним,
что в декартовой системе координат Оху прямоугольная сетка дает dS=dx·dy.)
Замечание.
Формулу
(2.13) можно получить и по-другому, используя Якобиан
J — «коэффициент искажения» площади
при переходе к другой системе координат.
А именно
что
совпадает с (2.13).
Теорема
Если
область D — является правильной в полярной системе
координат Оrφ,
то двойной интеграл в этих координатах
вычисляется так:
2\справа. = \ гидроразрыв {4} {6} = \ гидроразрыв {2} {3}.
\конец{выравнивание*}
Как и должно быть, этот повторный интеграл дает тот же ответ.
Пример 2
Прямоугольные области просты, потому что пределы
($a \le x \le b$ и $c \le y \le d$) фиксированы, то есть диапазоны $x$ и $y$ не зависят друг от друга. Для регионов другой формы диапазон одной переменной будет зависеть от другой. Вот пример
где мы интегрируем по области, определяемой $0 \le x \le 2$ и $0
\ле у \ле х/2$. Тот факт, что диапазон $y$ зависит от $x$, означает, что эта область не является прямоугольником. На самом деле область представляет собой треугольник, изображенный ниже. 92$ как в примере 1, вычислить $\iint_\dlr f\,dA$
где $\dlr$ — указанный выше треугольник.
Решение : Треугольник немного сложнее прямоугольника, потому что пределы одной переменной будут зависеть от другой переменной. Для треугольника, заданного $0 \le x \le 2$
и $0 \le y \le x/2$, пределы $y$ зависят от $x$. Для данного
значение $x$, $y$ находится в диапазоне от 0 до $x/2$, как показано выше
вертикальная пунктирная линия от $(x,0)$ до $(x,x/2)$. 2\вправо. = \frac{32}{5 \cdot 24} = \frac{4}{15}.
\конец{выравнивание*}
Пример 2′
Теперь вычислите интеграл по тому же треугольнику $\dlr$, но сделайте $y$
— внешняя переменная интегрирования.
Решение : Теперь нам нужно указать постоянные пределы для $y$. Как
показано ниже, общий диапазон $y$ внутри треугольника находится между
от $0$ до $1$. Тогда для заданного значения $y$ $x$ принимает вид
значения между $2y$ и $2$ (как показано горизонтальной пунктирной линией
между $(2y,y)$ и $(2,y)$). Следовательно, мы можем описать треугольник как
$0 \le y \le 1$ и $2y \le x \le 2$.
Вас смущает, что пределы $x$ составляют $2y \le x \le 2$, а
чем $0 \le x \le 2$ (что было бы более близко к приведенному выше
Пример 2)? Если мы допустим $x$ в диапазоне от $0$ до $2y$, то треугольник
будет верхний левый треугольник на картинке выше. Мы хотим
вычислить интеграл по области $\dlr$, которая является нижним правым
треугольник, заштрихованный красным. В этом треугольнике $y \lt x/2$ (как использовано выше в
Пример 2), что означает, что для этого примера мы должны использовать $x > 2y$. 91\\
&= 2 \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{5} -(0-0)\right)\\
&= 2 \cdot \frac{2}{15} \goodbreak = \frac{4}{15}.
\конец{выравнивание*}
К счастью, это согласуется с ответом, полученным в примере 2.
Другие примеры
Чтобы перейти от примера 2 к примеру 2′, мы «изменили порядок
интеграция». Ты можешь видеть
более
примеры изменения порядка интегрирования в double
интегралы. Вы также можете увидеть больше примеров двойных интегралов из частных случаев интерпретации двойных интегралов как площади и двойных интегралов как объема.
Исчисление III. Двойные интегралы по общим областям
Онлайн-заметки Пола Главная
/
Исчисление III
/
Несколько интегралов
/ Двойные интегралы по общим областям
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Уведомление для мобильных устройств
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 15.3: Двойные интегралы по общим областям
В предыдущем разделе мы рассмотрели двойные интегралы по прямоугольным областям. Проблема в том, что большинство областей не прямоугольные, поэтому теперь нам нужно взглянуть на следующий двойной интеграл,
Есть два типа регионов, на которые нам нужно обратить внимание. Вот набросок обоих.
Мы будем часто использовать обозначение построителя набора для описания этих регионов. Вот определение региона в случае 1
.
\[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|a \le x \le b,\,\,{g_1}\left( x \right) \le y \le {g_2 }\влево( х \вправо)} \вправо\}\]
, а вот определение региона в случае 2.
\[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|{h_1}\left( y \right) \le x \le {h_2}\left( y \right),\,c \le y \le d} \right\}\]
Это обозначение на самом деле просто причудливый способ сказать, что мы собираемся использовать все точки \(\left( {x,y} \right)\), в которых обе координаты удовлетворяют двум заданным неравенствам. 9{{{h_{\,2}}\left( y \right)}}{{f\left( {x,y} \right)\,dx}}\,dy}}\]
Вот некоторые свойства двойного интеграла, которые мы должны рассмотреть, прежде чем приступать к некоторым примерам. Обратите внимание, что все три из этих свойств на самом деле являются просто расширениями свойств одиночных интегралов, которые были распространены на двойные интегралы.
Если область \(D\) можно разделить на две отдельные области \({D_1}\) и \({D_2}\), то интеграл можно записать в виде
\[\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} = \iint\limits_{{{D_1}}}{{f\left( {x,y } \right)\,dA}} + \iint\limits_{{{D_2}}}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]
92} — 40y\,dA}}\), \(D\) — треугольник с вершинами \(\left( {0,3} \right)\), \(\left( {1,1} \right )\) и \(\left( {5,3} \right)\). Показать решение
В этот раз мы получили еще меньше информации о регионе. Давайте начнем с наброска треугольника.
Поскольку у нас есть две точки на каждом ребре, легко получить уравнения для каждого ребра, поэтому мы оставляем вам проверку уравнений.
Есть два способа описать этот регион. Если мы используем функции \(x\), как показано на изображении, нам придется разбить область на две разные части, поскольку нижняя функция отличается в зависимости от значения \(x\). В этом случае регион будет задан как \(D = {D_1} \cup {D_2}\), где
\[\begin{align*}{D_1} & = \left\{ {\left( {x,y} \right)|0 \le x \le 1,\,\,\, — 2x + 3 \le y \le 3} \right\}\\ {D_2} & = \left\{ {\left( {x,y} \right)|1 \le x \le 5,\,\,\,\frac{ 1}{2}x + \frac{1}{2} \le y \le 3} \right\}\end{align*}\]
Обратите внимание, что \( \cup \) — это символ «объединения», который просто означает, что \(D\) — это область, которую мы получаем, объединяя две области. Если мы сделаем это, нам нужно будет сделать два отдельных интеграла, по одному для каждой из областей.
Чтобы избежать этого, мы могли бы изменить ситуацию и решить два уравнения для \(x\), чтобы получить
Запись области в этой форме означает выполнение одного интеграла вместо двух интегралов, которые нам пришлось бы делать в противном случае.
Любой способ должен дать один и тот же ответ, поэтому мы можем получить пример в примечаниях к разделению области, давайте сделаем оба интеграла.
Решение 1 95\\ & = — \frac{{935}}{3}\end{align*}\]
Было много работы. Обратите внимание, однако, что после того, как мы сделали первую замену, мы не умножили все. Два квадратичных члена можно легко интегрировать с помощью базовой замены Calc I, поэтому мы не удосужились их перемножить. Мы будем делать это при случае, чтобы сделать некоторые из этих интегралов немного проще.
Решение 2 Это решение потребует гораздо меньше работы, так как мы будем вычислять только один интеграл. 93\\ & = — \frac{{935}}{3}\end{align*}\]
Итак, цифры были немного беспорядочнее, но в остальном для того же результата требовалось гораздо меньше работы. Также обратите внимание, что мы снова не вырезали два термина в кубе, так как с ними легче работать, используя замену Calc I.
Как показала нам последняя часть предыдущего примера, мы можем интегрировать эти интегралы в любом порядке ( т.е. \(x\) с последующим \(y\) или \(y\) с последующим \(x\) ), хотя часто один заказ будет проще другого. На самом деле будут времена, когда будет невозможно выполнить интеграл даже в одном порядке, в то время как можно будет выполнить интеграл в другом порядке.
Также не забывайте о заменах в исчислении I. Студенты часто просто спешат и умножают все после выполнения интегральной оценки и в конечном итоге пропускают действительно простую замену исчисления I, которая позволяет избежать хлопот с умножением всего. Подстановки в исчислении I не всегда обнаруживаются, но когда они появляются, они почти всегда упрощают работу для остальной части задачи.
Давайте посмотрим на пару примеров таких интегралов.
Пример 2 Оцените следующие интегралы, сначала поменяв порядок интегрирования на обратный.
92}\) перед экспонентой, чтобы выполнить интегрирование \(y\). Мы будем надеяться, что если мы обратим порядок интегрирования, мы получим интеграл, который мы можем сделать.
Теперь, когда мы говорим, что собираемся изменить порядок интегрирования, это означает, что мы хотим сначала интегрировать по \(x\), а затем по \(y\). Обратите также внимание, что мы не можем просто поменять местами интегралы, сохранив исходные пределы, и покончить с этим. Это не решит нашу первоначальную проблему, и для интегрирования по \(x\) мы не можем иметь \(x\) в пределах интегралов. Даже если мы проигнорировали это, ответ не был бы постоянным, как это должно быть. 92}\) на нижней границе и \(y = 9\) на верхней границе, лежащей между \(x = 0\) и \(x = 3\). Вот набросок этого региона.
Поскольку мы хотим интегрировать по \(x\), сначала нам нужно определить пределы \(x\) (вероятно, в терминах \(y\)) и затем получить пределы по \(y\ ) х. Вот они для этого региона.
\[\begin{array}{c}0 \le x \le \sqrt y \\ 0 \le y \le 9\end{array}\]
94} + 1} \,dx}}\,dy}}\) Показать решение
Как и в случае с первым интегралом, мы не можем сделать этот интеграл, сначала проинтегрировав по \(x\), поэтому будем надеяться, что, изменив порядок интегрирования на обратный, мы получим то, что сможем проинтегрировать. Вот пределы для переменных, которые мы получаем из этого интеграла.
\[\begin{массив}{c}\sqrt[3]{y} \le x \le 2\\ 0 \le y \le 8\end{массив}\]
а вот набросок этого региона. 9{\frac{3}{2}}} — 1} \right)\end{align*}\]
Последняя тема этого раздела — две геометрические интерпретации двойного интеграла. Первая интерпретация является расширением идеи, которую мы использовали для развития идеи двойного интеграла в первом разделе этой главы. Мы сделали это, взглянув на объем тела, которое было ниже поверхности функции \(z = f\left({x,y} \right)\) и над прямоугольником \(R\) в \( ху\)-плоскость. Эту идею можно распространить на более общие регионы. 92}\).
Показать решение
Вот график поверхности, и мы попытались показать область в плоскости \(xy\) под поверхностью.
Вот набросок области в плоскости \(xy\) сам по себе.
Приравняв два ограничивающих уравнения, мы увидим, что они пересекаются в точках \(x = 2\) и \(x = — 2\). 2}\end{массив}\]
92 = \frac{{12800}}{3}\end{align*}\]
Пример 4. Найдите объем тела, заключенного в плоскости \(4x + 2y + z = 10\), \(y = 3x\), \(z = 0\), \(x = 0\).
Показать решение
Этот пример немного отличается от предыдущего. Здесь область \(D\) явно не указана, поэтому нам нужно ее найти. Во-первых, обратите внимание, что последние две плоскости на самом деле говорят нам, что мы не пройдем дальше плоскости \(xy\) и плоскости \(yz\), когда доберемся до них.
Первая плоскость, \(4x + 2y + z = 10\), является верхней частью объема, поэтому мы действительно ищем нижний объем,
\[г = 10 — 4х — 2у\]
и выше область \(D\) в плоскости \(xy\). Вторая плоскость \(y = 3x\) (да, это плоскость) дает одну из сторон объема, как показано ниже.
Область \(D\) будет областью в \(xy\)-плоскости ( т. е. \(z = 0\)), которая ограничена \(y = 3x\), \(x = 0\), и линия, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость. Мы можем определить, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость, подставив в нее \(z = 0\).
Когда изнашиваются заводские шины или просто хочется поставить другие колеса, то возникает вопрос: а какие размеры шин подойдут моей машине? Дело в том, что каждый автомобиль рассчитан под определенный диаметр колес и ширину протектора. Обычно, данная информация содержится на оборотной стороне крышки бензобака или в документах по эксплуатации. Если отклониться от этих типоразмеров больше чем на 2-3 процента, то расход бензина вырастет, спидометр начнет врать, а в случае большой разницы вождение может стать просто опасным.
Но как подобрать шины правильного размера, если на профиле написаны какие-то непонятные цифры? Не измерять же их линейкой, ей богу. Именно для этих целей и создан данный шинный калькулятор. Он позволяет определить разницу между шинами в сантиметрах, дюймах и процентах. В частности, с помощью шинного калькулятора вы можете рассчитать и сравнить диаметр шины, ширину протектора, высоту профиля и окружность. Дополнительно, калькулятор определяет потенциальные различия в показателях скорости на спидометре, изменения клиренса и разницу в количестве оборотов на один километр (или милю).
Калькулятор отображает визуальную разницу в диаметре, профиле, клиренсе и ширине шины. В правой части генерируется динамический рисунок колес, с пунктирной схемой и параметрами. В верхней части находится визуальное представление старой шины (оригинального типоразмера), а в нижней части отрисовывается ваша потенциальная новая шина. Рисунок отображается в двух проекциях: боковой и фронтальной. И ту и другую можно скачать на компьютер в формате png. Для этого нажмите на картинку правой кнопкой и выберите «Сохранить как…».
Как пользоваться онлайн калькулятором шин?
Пользоваться виртуальным шинным калькулятором очень просто. В левом верхнем углу приложения находятся выпадающие поля. В верхнем ряду вам необходимо выбрать типоразмер вашей оригинальной заводской шины (или просто тех шин, которые стоят на вашей машине в данный момент). Эти показатели вы можете просто посмотреть на профиле шины (боковой поверхности). Первое поле — это ширина шины в милиметрах. Второе поле — это отношение высоты профиля к ширине шины в процентах. Третье поле — это диаметр диска в дюймах.
Во втором ряду вам необходимо указать типоразмер новых шин, т.е. тех шины, которые вы собираетесь купить или уже купили. После этого нажмите на зеленую кнопку «Рассчитать». Шинный калькулятор моментально вычислит различия между шинами и отобразит их в таблице. А именно: диаметр, ширина, длина окружности и высота профиля шины, количество оборотов на километр и изменения клиренса. В первых двух колонках таблицы будут отбражаться параметры старых и новых шин, а в третьей колонке номинальная и процентная разница между ними. В самом низу таблицы будет отображаться наша рекомендация. Если разница в диаметрах превышает 3%, то мы крайне не рекомендуем ставить такие шины, поскольку это может быть опасно.
В самом низу, вы можете видеть два спидометра, которые показывают различия между отображаемой и реальной скоростью в случае смены шин. Вы можете вводить другие значения в левый спидометр с помощью стрелочек или прямо с клавиатуры. Изменения моментально будут отображаться на правом. По умолчанию, рассчитывается разница при скорости 60 километров в час.
Если вам требуется вычислить в дюймах, то просто нажмите на надпись «Дюймы» в переключателе, который находится под зеленой кнопкой.
Кредитный калькулятор
Срок
Дата получения
Ставка
Дата вступления в силу
Дата
Ставка
Тип платежей
Расширенные настройки
Переносить дату, если платеж приходится на выходной
Начислять проценты в соответствии переносами платежей
Последний платеж не может превышать аннуитет
Кредитные каникулы первые
Название комиссии
Сумма
%
%
Периодичность
Сумма
c
Дата
по
Платить в день выплаты очередного ежемесячного платежа
Пересчет графика платежей
Пересчет графика
Рассчитать оптимальный план погашения кредита по выделенному бюджету
Досрочное погашение кредита возможно только в день очередного платежа
Пересчет графика платежей
Пересчет графика
Ниже формируется бюджет, из которого будут оплачены все расходы, связанные с погашением кредита. Подробнее…
Простой калькулятор — Бесплатный онлайн калькулятор
Это наш самый простой калькулятор — большой, простой в использовании онлайн и бесплатный! Проверьте простой калькулятор! Этот простой онлайн-калькулятор отлично подойдет для молодых пользователей, которым не нужны дополнительные функции.
Наш простой калькулятор — идеальный инструмент для тех, кто хочет быстро и легко выполнять основные арифметические вычисления. Благодаря большому и удобному интерфейсу этот калькулятор прост и интуитивно понятен, что делает его идеальным для пользователей всех возрастов и уровней опыта.
Самое лучшее в нашем простом калькуляторе? Его можно использовать онлайн совершенно бесплатно, поэтому вы можете выполнять расчеты в любое время и в любом месте без необходимости в дополнительном программном или аппаратном обеспечении. Независимо от того, являетесь ли вы студентом, изучающим математику, или профессионалом в области, требующей базовых вычислений, наш Простой калькулятор — это ценный ресурс, который может помочь вам сделать вашу работу проще и эффективнее.
Этот калькулятор имеет только основные математические функции…
Нужны дополнительные функции?
Научный калькулятор
Наш научный калькулятор может выполнять сложные математические вычисления и функции.
Научный калькулятор
Математический калькулятор
Наш математический калькулятор имеет более продвинутые функции, такие как память и журналирование.
Математический калькулятор
Наш простой онлайн-калькулятор с его базовыми функциями идеально подходит для выполнения быстрых и простых расчетов без необходимости использования сложных функций или дополнительных функций. Он идеально подходит для пользователей, которые хотят выполнять основные арифметические операции без каких-либо сложностей и отвлекающих факторов. Кроме того, он доступен в Интернете и совершенно бесплатен в использовании, что делает его привлекательным вариантом для тех, кто не хочет вкладывать средства в дорогостоящее оборудование или программное обеспечение. В то время как более продвинутые калькуляторы могут предлагать дополнительные функции, наш простой онлайн-калькулятор — отличный выбор для тех, кто ищет быстрый и простой способ выполнения основных вычислений.
Вопрос:
Какой результат умножения 10 на 5 с помощью простого калькулятора выше?
Ответ:
Результат умножения 10 на 5 равен 50. А теперь попробуйте сделать это без использования калькулятора!
Легко конвертируйте единицы измерения, валюты и многое другое с помощью нашего обширного набора простых в использовании калькуляторов конвертации! Вот лишь некоторые из них, не забудьте проверить все остальные, которые мы можем предложить!
Наши инструменты для преобразования веса точны, просты в использовании и предлагают широкий выбор единиц измерения.
Преобразование веса
Получите точное и простое преобразование длины с помощью наших удобных и полных калькуляторов преобразования длины.
Преобразование длины
Наши калькуляторы преобразования температуры точны, просты в использовании и охватывают различные единицы измерения температуры.
Преобразование температуры
Рекомендуемые инструменты:
Это одни из самых популярных калькуляторов и инструментов на сайте!
Дартс Калькулятор
Наш Дартс Калькулятор помогает игрокам быстро и точно подсчитывать очки и кассы, делая игру более приятной и конкурентоспособной!
Калькулятор дартс
Калькулятор ИМТ
Наш калькулятор ИМТ быстро рассчитывает индекс массы тела, чтобы помочь пользователям понять свой вес и принять обоснованные решения о здоровье.
Калькулятор ИМТ
Онлайн-счеты
Онлайн-счеты — это виртуальная версия традиционного инструмента для подсчета, разработанная, чтобы помочь детям освоить и отработать основные математические навыки.
Online Abacus
Научный калькулятор
Наш научный калькулятор — это мощный инструмент, выполняющий сложные математические вычисления и функции.
Научный калькулятор
Научный калькулятор — Научный онлайн-калькулятор
Наш ВЕЛИКОЛЕПНЫЙ Научный Калькулятор — бесплатный, понятный и полноэкранный онлайн-калькулятор! Расширенные функции, такие как тригонометрия, логарифмы и многое другое — используйте онлайн бесплатно!
Наш научный онлайн-калькулятор является важным инструментом для студентов, ученых, инженеров и всех, кому необходимо выполнять сложные математические функции.
Обладая полным набором функций, включая тригонометрические, логарифмические и экспоненциальные функции, а также возможностью работы с комплексными числами, наш калькулятор справится даже с самыми сложными вычислениями.
Благодаря удобному интерфейсу и четкому дисплею наш калькулятор прост в использовании и понятен даже тем, кто не знаком с высшей математикой.
Наш научный онлайн-калькулятор доступен бесплатно и не требует дополнительного программного или аппаратного обеспечения. Попробуйте сегодня и посмотрите, как это может упростить ваши математические расчеты!
Чему равен синус 45 градусов?
Ответ:
Установите калькулятор в режим «градусы», так как мы работаем с градусами.
Введите «45» на калькуляторе. (Это 45 градусов)
Нажмите кнопку «sine» (sin), чтобы вычислить синус 45 градусов.
Ответ приблизительно равен 0,707.
Итак, ответ на вопрос: Синус 45 градусов примерно равен 0,707 .
Легко конвертируйте единицы измерения, валюты и многое другое с помощью нашего обширного набора простых в использовании калькуляторов конвертации! Вот лишь некоторые из них, не забудьте проверить все остальные, которые мы можем предложить!
Наши инструменты преобразования веса точны, просты в использовании и предлагают широкий выбор единиц измерения.
Преобразование веса
Получите точное и простое преобразование длины с помощью наших удобных и полных калькуляторов преобразования длины.
Являются ли эти функции инъективными, сюръективными, биективными? Вроде разобрался: 1 — нет инъекции или сюръекции (, не существует такого , чтобы ) 2 — не инъективна, сюръекция ( , область значений функции совпадает с множеством значений функции) 3 — инъективна, не сюръективна (, не существует такого , чтобы )
Является ли это решение правильным?
ewert
Re: Инъекция, сюръекция, биекция
07.02.2014, 23:02
Заслуженный участник
11/05/08 32160
Millerrussia в сообщении #823951 писал(а):
Является ли это решение правильным?
Оно б стало б правильным, коли б Вы удосужились формулы согласно правилам форума оформлять. А так — снесуть.
Millerrussia
Re: Инъекция, сюръекция, биекция
07.02.2014, 23:33
07/02/14 3
ewert в сообщении #823954 писал(а):
Millerrussia в сообщении #823951 писал(а):
Является ли это решение правильным?
Оно б стало б правильным, коли б Вы удосужились формулы согласно правилам форума оформлять. А так — снесуть.
Сейчас все по правилам?
provincialka
Re: Инъекция, сюръекция, биекция
07.02.2014, 23:38
Заслуженный участник
18/01/13 12041 Казань
Лучше так:
Millerrussia в сообщении #823951 писал(а):
1. ; 2.; 3..
Наведите курсор на формулу и посмотрите, как пишется. Что касается задачи: что считается областью определения и областью значений функции?
Millerrussia
Re: Инъекция, сюръекция, биекция
07.02.2014, 23:47
07/02/14 3
provincialka в сообщении #823967 писал(а):
Лучше так:
Millerrussia в сообщении #823951 писал(а):
1. ; 2.; 3..
Наведите курсор на формулу и посмотрите, как пишется. Что касается задачи: что считается областью определения и областью значений функции?
Каких-либо комментариев не дано, так что, наверно, все действительные числа.
ewert
Re: Инъекция, сюръекция, биекция
08.02.2014, 00:10
Заслуженный участник
11/05/08 32160
Millerrussia в сообщении #823965 писал(а):
Сейчас все по правилам?
Да.
— Сб фев 08, 2014 01:11:17 —
Millerrussia в сообщении #823973 писал(а):
, наверно, все действительные числа.
Не только наверно(е), но даже и подразумевается.
bot
Re: Инъекция, сюръекция, биекция
08.02.2014, 06:12
Заслуженный участник
21/12/05 5839 Новосибирск
Millerrussia в сообщении #823951 писал(а):
Есть три функции
Функций нет — не указано откуда и куда они действует. От этого многое зависит — ответ на любой из трёх вопросов может быть положительным или отрицательным.
Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
Найти:
1.
10.2 Функции и отображения
Понятие функции является одним из
основных в математике. В математическом
анализе под функцией чаще всего понимается
«числовая» функция, отображающая одно
числовое множество в другое. Здесь мы
будем рассматривать, прежде всего,
функцию, отображающую одно конечное
множество объектов в другое конечное
множество.
Определение. Пусть А и В конечные множества.
Функцией называется функциональное
соответствие.
Если функция
устанавливает соответствие между
множествами А и В, то говорят, что
функция имеет типАВ.
Обозначается : АВ.
Таким образом, функция – специальный
тип отношения из А в В.
Каждому элементу а из области
определения функция
ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается
(а) = b.
Элемент а – аргумент функции,
элемент b– значение функции на а.
ОтображениемА в В называется
всюду определённая функция : АВ.
Образом отображения АвВ называется множество (А)
всех значений (а),
которое оно принимает при всевозможных аА. Образ
является подмножеством множества В.
ОтображениемАнаВ называется всюду определённое и при
этом сюръективное функциональное
соответствие
: АВ.
К специальным отображениям часто
относятся понятия оператора и функционала.
Оператор – отображение одного
множества на другое, каждое из которых
наделено некоторой структурой.
Функционал – отображение произвольного
множества Х в множество комплексных
или действительных чисел.
Отображением типа АА часто называют преобразованием множества А.
Функции и g
равны, если:
Таким образом, функции могут быть строго
одинаковыми только тогда, когда их
области определения и значений совпадают
(A1=A,
и B1=B)
.
Если fA =A, то функция называется тотальной, а если –
частичной.
Таблица 1.
Соответствие
Обязательное
свойство
функцио-
нальное
всюду определённое
сюръек-
тивное
Функция
+
–
–
Отображение А в В
+
+
–
Отображение А на В
+
+
+
Функция называется функцией nаргументов или n—местной функцией. В этом случае принято считать,
что функция имеет n аргументов: ,
где .
Пусть дано соответствие
.
Тогда соответствие
называется обратным к G
(обозначается G -1),
если Н таково, что (b, a)H
тогда и только тогда, когда
(а, b)G.
Если соответствие, обратное к функции
: АВ,
является функциональным, то оно называется функцией, обратной
к (обозначается f-1).
Для функции : АВ обратная функция существует только
тогда, когда является
взаимно однозначным соответствием
между своими областями определения и
значений.
Пусть : АВ.
1, Функция называется инъективной, или инъекцией, если
из в А следует, что в В, т. е., если и .
Иными словами, инъекция переводит
различные элементы области А в
различные элементы области В. Её
часто называют взаимно однозначным отображением А в В.
По другому: функция : АВ называется инъективной, или инъекцией, если
каждый элемент bB имеет хотя бы один прообраз аА либо вообще не имеет прообраза. Можно
видеть, что условие для любого bB или |A||B|
определяет инъекцию.
Пример 1. Пусть A={1,
2, 3}; .
Функция : АВ инъективна, если .
2. Функция называется сюръективной,
или сюръекцией, если её образ совпадает
со всей областью В, т. е. для каждого bB существует хотя бы один элемент аА такой, что (а)=b.
Сюръекции часто обозначаются так и называется отображением Ана (все) В.
Т. е. .
Иначе: функция : АВ называется сюръективной или сюръекцией,
если любой элемент bB есть образ по крайней мере одного аА. Условие для любого bB или |x||y|
характеризует сюръекцию.
Пример 2. Пусть A={1,
2, 3,4};
.
Функция : АВ сюръективна, если .
Та же функция Ψ:{1, 2, 3}
с
условием
(1)= (3)=y1 ; (2)= (4)=y3 не является сюръективной.
2. Функция называется биективной, или биекцией, если она является
одновременно инъекцией и сюръекцией.
Иными словами, биективное отображение взаимно однозначно и является
отображением на (
).
Для биективной функции для любого bB или |x|=|y|.
Пример 3: Пусть A={1,
2, 3};
.
Функция : АВ биективна, если
Биективная функция определяет взаимно
однозначноесоответствие между
множествами А и В.
Схематически различные виды отношений
изображены на рис.8.
Р
ис.8.
Если между множествами А и В можно установитьвзаимно однозначное
соответствие, то А называется эквивалентным множеству В.
Установление взаимно однозначного
соответствия между множествами играет
важную роль. Так, определение числа
элементов конечного множества Х,
т. е. установление равенства |x|=n при некотором n,
фактически сводится к отыскиванию
некоторого взаимно однозначного
соответствия между множествами Х и N={1, 2, 3, …, n}.
Множества, равномощные N,
называются счётными.
Множества равномощны, если между их
элементами можно установить взаимно
однозначное соответствие, т. е.
эквивалентные множества являются
равномощными.
Пример 4. Биекцией между множеством
натуральных чисел N={0, 1,
2, …} и множеством целых чисел
Z{0, ±1, ±2, …} является
функция : NZ,
для которой
Таким образом, обратная функция существует
для биекции
П
ример
5. На рис.9 графически показаны функции
:
fi:[0,
1][0, 1], i{1,
2, 3, 4}.
Функция f1 сюръективна, но не инъективна;
Функция f2 инъективна, но не сюръективна;
Функция f3 биективна, а функция f4 не инъективна и не сюръективна
Пример 2. Рассмотрим три функции
fi::
RR, i=1, 2, 3:
1. функция f1(x)=
exинъективна, но не сюръективна;
2. функция f2(x)= xsinx сюръективна, но не инъективна;
3. функция f3(x)=
2x-1 биективна.
Пример 6. Среди функций из Z
в Z отображение биективно; отображение инъективно, но не сюръективно, а
отображение не инъективно и не сюръективно (почему?).
Биекция, инъекция и сюръекция | Brilliant Math & Science Wiki
Патрик Корн,
Анант Джаядев,
Кристофер Уильямс,
и
способствовал
Содержимое
Определение функции
инъективный
Сюръективный
Биективный
Функция \(f \colon X\to Y\) — это правило, по которому каждому элементу \( x\in X,\) соответствует элемент \( f(x) \in Y.\) Элемент \ (f(x)\) иногда называют образом \(x,\), а подмножество \(Y\), состоящее из образов элементов из \(X\), называют образом \(f. \) то есть
\[\text{image}(f) = \{ y \in Y : y = f(x) \text{ для некоторого } x \in X\}.\]
Пусть \(f \colon X \to Y\) — функция. Тогда \(f\) является инъективным , если различные элементы \(X\) отображаются в различные элементы \(Y.\)
То есть, если \(x_1\) и \(x_2\) находятся в \(X\) так, что \(x_1 \ne x_2\), то \(f(x_1) \ne f(x_2)\).
Это равносильно тому, что если \(f(x_1) = f(x_2)\), то \(x_1 = x_2\).
Синоним слова «инъективный» — «один к одному».
Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \( f(n) = 2n\), является инъективной: если \( 2x_1=2x_2,\) обе части делятся на \ ( 2 \) дает \(x_1=x_2.\)
Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \( f(n) = \big\lfloor \frac n2 \big\rfloor\), не является инъективной; например, \(f(2) = f(3) = 1\), но \( 2 \ne 3.\)
Функция \( f\colon \{ \text{Немецкие футболисты, одетые для финала ЧМ-2014}\} \to {\mathbb N} \), определяемая выражением \(f(A) = \text{номер футболки } А\) инъективен; никаким двум игрокам не разрешалось носить один и тот же номер.
Существование инъективной функции дает информацию об относительных размерах ее области определения и диапазона:
Если \( X \) и \( Y \) конечные множества и \( f\colon X\to Y \) инъективны, то \( |X| \le |Y|.\)
\[х\]
\[г\]
\[г\]
Ничего из вышеперечисленного
9{-1} (1). \)
Пусть \(f \colon X\to Y\) будет функцией. Тогда \(f\) является сюръективным , если каждый элемент \(Y\) является образом хотя бы одного элемента \(X.\). То есть \( \text{image}(f) = Y. \)
Символически,
\[\для всех y \in Y, \существует x \in X \text{ такое, что } f(x) = y.\]
Синоним слова «сюръективный» — «на».
Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \(f(n) = 2n\), не является сюръективной: не существует целого числа \(n\) такого, что \( f(n)=3,\), так как \( 2n=3\) не имеет решений в \( \mathbb Z. \) Таким образом, \( 3\) не находится в образе \( f.\)
Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \( f(n) = \big\lfloor \frac n2 \big\rfloor\), является сюръективной. Для любого целого числа \( m,\) обратите внимание, что \( f(2m) = \big\lfloor \frac{2m}2 \big\rfloor = m,\), поэтому \( m \) находится в образе \( f.\) Таким образом, образ \(f\) равен \(\mathbb Z.\)
Функция \(f \colon \{\text{сенаторов США}\} \to \{\text{штаты США}\}\), определяемая выражением \(f(A) = \text{состояние, которое} A \ text{представляет}\) сюръективен; в каждом штате есть хотя бы один сенатор.
Существование сюръективной функции дает информацию об относительных размерах ее области определения и диапазона:
Если \(X\) и \(Y\) конечные множества и \(f\colon X\to Y\) сюръективно, то \( |X| \ge |Y|.\)
Пусть \( E = \{1, 2, 3, 4\} \) и \(F = \{1, 2\}.\) Тогда каково число онто-функций из \( E \) в \( F?\)
Функция биективна для двух множеств, если каждому элементу одного множества соответствует только один элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствует только один элемент первого множества. Это означает, что все элементы спарены и спарены один раз.
Пусть \(f \colon X \to Y \) будет функцией. Тогда \(f\) биективно , если оно инъективно и сюръективно; то есть каждый элемент \( y \in Y\) является образом ровно одного элемента \( x \in X.\)
Функция \( f \ двоеточие {\ mathbb R} \to {\ mathbb R} \), определяемая выражением \( f (x) = 2x \), является биекцией.
Функция \( f \colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z} \), определяемая выражением \( f(n) = \begin{cases} n+1 &\text{if } n \text{, нечетное} \\ n-1&\text{если } n \text{ четное}\end{cases}\) является биекцией. 9\text{th} \text{ месяц}\) является биекцией.
Обратите внимание, что приведенные выше обсуждения подразумевают следующий факт (примеры см. Вики биективных функций):
Если \(X\) и \(Y\) конечные множества и \(f\двоеточие X\к Y\) взаимно однозначно, то \( |X| = |Y|.\)
Следующая альтернативная характеристика биекций часто полезна в доказательствах:
Предположим, что \( X \) непусто. Тогда \( f \colon X \to Y \) является биекцией тогда и только тогда, когда существует функция \( g\colon Y \to X \) такая, что \( g \circ f \) является тождеством на \( X \) и \( f\circ g\) является тождеством на \( Y;\), то есть \(g\big(f(x)\big)=x\) и \( f\big(g (y)\big)=y \) для всех \(x\in X, y \in Y.\). Когда это происходит, функция \( g \) называется 92.\) Почему бы и нет?\(\большой)\)
Процитировать как: Биекция, инъекция и сюръекция. Brilliant.org .
Извлекаются из
https://brilliant.org/wiki/bijection-injection-and-surjection/
Инъективный, Сюръективный и Биективный
«Инъективный, Сюръективный и Биективный» говорит нам о том, как ведет себя функция.
Функция — это способ сопоставления элементов набора «A» — набора «B»:
Давайте посмотрим на это более внимательно:
A Общая функция указывает от каждого члена «A» к члену «B».
Это никогда не имеет одного «А», указывающего на несколько «В», поэтому один ко многим не подходит в функции (так что-то вроде «f (x) = 7 или 9″ не допускается)
Но более одного «А» может указывать на один и тот же «В» ( «многие к одному» допустимо )
Инъективный означает, что у нас не будет двух или более «А», указывающих на одну и ту же «В».
Таким образом, «многие к одному» НЕ подходит для (что подходит для общей функции).
Так как это тоже функция один-ко-многим не подходит
Но у нас может быть «В» без соответствующего «А»
Инъективный также называется » Один-к-одному »
Surjective означает, что у каждого «B» есть по крайней мере одно , соответствующее «A» (возможно, более одного).
Не будет пропущена буква «В».
Bijective означает одновременно и Injective, и Surjective.
Думайте об этом как об «идеальном сочетании» между наборами: у каждого есть партнер, и никто не остается в стороне.
Таким образом, существует идеальное » однозначное соответствие » между членами наборов.
(но не путайте это с термином «один к одному», используемым для обозначения инъективного).
Биективные функции имеют обратную !
Если каждое «А» идет к уникальному «Б», и каждому «Б» соответствует «А», то мы можем двигаться вперед и назад, не сбиваясь с пути.
Дополнительные сведения см. в разделе Обратные функции.
На графике
Итак, давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, что происходит.
Когда A и B являются подмножествами действительных чисел, мы можем изобразить взаимосвязь.
Пусть у нас есть A по оси x и B по оси y, и посмотрите на наш первый пример:
Это не функция , потому что у нас есть A со многими Б . Это все равно, что сказать f(x) = 2 или 4
. Это не проходит «Тест вертикальной линии» и, следовательно, не является функцией. Но это все еще действительные отношения, так что не сердитесь на это.
Теперь общая функция может быть такой:
A Общая функция
МОЖЕТ (возможно) иметь B со многими A . Например, синус, косинус и т.д. Совершенно допустимые функции.
Но Инъективная функция » является более строгим и выглядит так:
«Инъективный» (один к одному)
На самом деле мы можем провести «Тест горизонтальной линии»:
Чтобы быть Инъективным , Горизонтальная линия никогда не должна пересекают кривую в 2 или более точках. тест вертикальной линии это функция
Если она также проходит тест горизонтальной линии , это инъективная функция
Формальные определения
Хорошо, ждите более подробной информации обо всем этом:
Инъективная
Функция f является инъективной тогда и только тогда, когда , х = у .
Пример: f ( x ) = x+5 из множества действительных чисел to является инъективной функцией.
Верно ли, что всякий раз, когда f(x) = f(y) , x = y ?
Представьте, что x=3, тогда:
f(x) = 8
Теперь я говорю, что f(y) = 8, каково значение y? Их может быть только 3, поэтому x=y
Пример: f ( x ) = x 2 из множества действительных чисел в не является инъективной функцией из-за такого рода вещей:
f ( 2 ) = 4 и
ф ( -2 ) = 4
Это противоречит определению f(x) = f(y) , x = y , потому что f(2) = f(-2), но 2 ≠ -2
Другими словами, есть два значения A , которые указывают на одно B .
НО если бы мы сделали его из набора натуральных
числа к, то это инъективно, потому что:
f ( 2 ) =
4
f(-2) отсутствует, потому что -2 не является натуральным
номер
Так что домен и кодовый домен каждого набора важны!
Surjective (также называется «на»)
A Function F (от Set A до B ) — IF IF IF IF IF IF IF IF 9013IER IF 9013IVE и 9013VE IF 9013IVE. y в B , существует хотя бы один x в A такой, что f x 3 ) = y , другими словами f сюръективно
если и только если f(A) = B .
Проще говоря: в каждом B есть A.
Пример: Функция f ( x ) = 2x чисел к множеству неотрицательных четных чисел является сюръективной функцией.
НО ф ( х ) = 2х из набора натуральных
числа не являются сюръективными , потому что, например, ни один член in не может быть сопоставлен с 3 с помощью этой функции.
Биективное
Функция f (от множества A до B ) является биективной , если для каждого 6 y 9013 0137 , ровно один x в A Такой, что F ( x ) = Y
Кто всегда протянет руку помощи в определении производной?
Что такое сложная функция и зачем тут матрешка?
Как никогда не ошибаться при решении задач с производными?
Теория теорией, а дифференцировать хочется всегда. Эта статья посвящена практике нахождения производных.
Производные основных функций
Должно быть, вы уже слышали о производной и даже пробовали взять её мозговым штурмом. При отрицательном ответе вам обязательно нужно прокатиться на американских горках в нашей статье «Производная». В ней рассмотрели основные понятия производной.
Главный вопрос этой статьи: как ее находить? Для этого существуют свои формулы и правила, которых необходимо придерживаться для правильного решения заданий.
Ниже приведена таблица с формулами для нахождения производных основных функций. Применяя эти формулы, можно найти производную почти любой функции. x\)
Правила дифференцирования
С полной уверенностью можем сказать, что вам встречались сложные функции. Даже намного сложнее, чем те, которые приведены в таблицах. Там и сумма, и произведение, и формула в формуле. Одним словом: ужас! Как брать производную, если перед функцией стоит коэффициент, или в функцию включено несколько разных выражений? На этот случай существуют правила дифференцирования.
Кто всегда протянет руку помощи в определении производной?
В сложных функциях невозможно пользоваться только формулами для нахождения производной.
Если функция — усложнена коэффициентом, — представлена в виде суммы, произведения или частного — или является сложной функцией, то для выбора правильной производной необходимо воспользоваться правилами дифференцирования. Они играют роль супергероев от мира производных. Рассмотрим их внимательнее. 2}\)
5. Производная сложной функции.
Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция.
Что такое сложная функция и зачем тут матрешка?
Давайте представим матрешку: в одну большую куклу складывается куколка поменьше, а в нее еще меньше и так далее. Точно так же и с функцией: “внутри” одной функции может лежать другая функция.
Например, у нас есть две функции: \(\sqrt{x}\) и cos(x). А теперь попробуем поместить корень в функцию с косинусом, и получим \(cos(\sqrt{x})\). Это и будет сложная функция.
Чтобы найти производную сложной функции, необходимо найти производную “внутренней” функции и умножить ее на производную “внешней” функции.
(f(g(x))’ = g'(x) * f'(g(x))
Найдем производную уже рассмотренной функции \(f(x) = cos(\sqrt{x})\).
В задании нам может быть дана только функция без ее графика.Что делать в таком случае, если нам нужно найти, например, отрезки возрастания, точки экстремума, наибольшее или наименьшее значение функции? Не во всех случаях получится построить график, да и это займет достаточно большое количество времени, которое и без того ограничено на экзамене.
В этом случае мы можем проанализировать поведение функции с помощью производной.
Любое исследование функции с помощью производной начинается именно с дифференцирования функции.
Теперь рассмотрим алгоритм нахождения точек минимума и максимума:
1 шаг.Нужно найти производную функции.
2 шаг. Найденную производную необходимо приравнять к 0 и решить полученное уравнение.
3 шаг. Расставить корни полученного уравнения на числовой прямой.
4 шаг. Определяем знаки производной на промежутках. Для этого необходимо подставить любое значение с выбранного промежутка в производную функции.
5 шаг. Определить, какие точки будут точками минимума (в них знак меняется с минуса на плюс), а какие — точками максимума (знак меняется с плюса на минус).
Найдем точки минимума и максимума в нашей функции. Поскольку производную мы уже взяли, можно сразу перейти ко второму шагу:
(x — 4)(3x + 18) = 0 x = 4, x = -6.
Полученные значения х расставляем на числовой прямой:
Теперь определим знаки на промежутках слева направо.
1. Возьмем точку -10 и подставим ее в производную функции: (-10 — 4)(3 * (-10) + 18) = (-14) * (-12) = 168. Производная на этом промежутке будет положительной.
2. Возьмем точку 0 и подставим ее в производную функции: (0 — 4)(3 * 0 + 18) = (-4) * 18 = -72. Производная на этом промежутке будет отрицательной.
3. Возьмем точку 5 и подставим ее в производную функции: (5 — 4)(3 * 5 + 18) = 33. Производная на этом промежутке будет положительной.
Расставим полученные знаки на прямой:
Остался последний пятый шаг. В точке -6 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. В точке 4 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
Важно! Если в задании встречается формулировка “Найдите точку минимума (максимума) функции”, то необходимо пользоваться именно этим алгоритмом.
Но это не все выводы, которые уже можно сделать о функции. Вспомним, что функция возрастает, когда производная положительна, а убывает, когда производная отрицательна. Поскольку мы уже определили знаки производной, то смело можем сделать вывод, что на промежутках до -6 и после 4 функция будет возрастать, а на промежутке от -6 до 4 — убывать.
Однако могут встретиться задания, в которых необходимо найти наибольшее или наименьшее значение функции на определенном интервале.
Для выполнения таких заданий существует следующий алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.
Шаг 1. Найти производную функции.
Шаг 2. Найти точки минимума и максимума функции.
Шаг 3. Определить, какие из точек минимума и максимума принадлежат заданному интервалу.
Шаг 4. Найти значение функции в отобранных в предыдущем шаге точках, а также в точках, которые являются границами заданного интервала. Для этого необходимо подставить точки в функцию (не в производную от функции).
Для примера найдем наибольшее значение функции f(x) = (x — 4)2(x + 11) + 4 на отрезке [-10; 0].
Первые два шага мы уже выполнили, когда рассматривали алгоритм нахождения точек минимума и максимума. Из них отрезку [-10; 0] принадлежит х = -6 — точка максимума.
Наибольшее из полученных значений — это 504. Это и будет ответ.
Как никогда не ошибаться при решении задач с производными?
Может возникнуть вопрос, почему важно проверять значение функции и на границах отрезка? В заданиях ЕГЭ очень часто встречаются случаи, когда нужно найти наибольшее значение, и в интервале лежит точка максимума, или когда нужно найти наименьшее значение функции и в интервале лежит точка минимума. Логично будет проверить только экстремумы, поскольку в них, скорее всего, достигается наибольшее или наименьшее значение.
Однако стоит вспомнить, что мы не видим график функции и не можем с точностью определить, что в экстремуме достигается нужное нам значение. С помощью экстремумов мы можем описать поведение функции: где она возрастает, а где убывает. Но можно столкнуться с графиком, на котором граничная точка будет лежать выше или ниже точки экстремума. Тогда наибольшее или наименьшее значение будет достигаться именно в ней. Пример на картинке (красными линиями обозначены границы отрезка).
Подведем итог. Как можно исследовать функцию с помощью производной? С помощью производной можно с точностью сказать, на каких участках функция будет возрастать и убывать, сколько точек максимума и минимума у нее есть, какое наибольшее или наименьшее значение принимает функция на заданном участке.
Фактчек
Для нахождения производной необходимо пользоваться специальными формулами для производной. С их помощью можно найти производную любой из основных функций.
Если функция усложнена коэффициентом, является сложной или представлена в виде суммы, произведения или частного, то необходимо пользоваться правилами дифференцирования. Они помогут правильно найти производную.
Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция.
С помощью производной можно исследовать функцию, а именно найти точки минимума и максимума, определить, на каких участках функция возрастает и убывает, найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.
Проверь себя
Задание 1. Чему будет равна производная f(x) = 3?
3;
1;
0;
Производную этой функции невозможно найти.
Задание 2. Чему будет равна производная f(x) = 5x2?
10x;
10x2;
5x2;
2x. {2}(x)}\)
Ответы: 1. — 3 2. — 1 3. — 2 4. — 2 5. — 1
Исследование функции с помощью производной: условия, график, примеры
Содержание:
Как применить производную к исследованию функции
Применение производной
Полная схема исследования функций
Условия
Экстремумы и монотонность
Выпуклость и точки перегиба
График
Примеры решения задач
Содержание
Как применить производную к исследованию функции
Применение производной
Полная схема исследования функций
Условия
Экстремумы и монотонность
Выпуклость и точки перегиба
График
Примеры решения задач
Как применить производную к исследованию функции
Производная функции — это скорость, с которой функция изменяется в зависимости от входной переменной. 2 — 9x + 10, то f»(x) = 6x — 6\). Приравнивание \(f»(x)\) к нулю дает x=1, что является точкой перегиба кривой.
Применение производной
Основные способы использования производной при изучении функций:
Нахождение наклона касательных линий позволяет нам изучить локальное поведение функции.
Нахождение критических точек: Критические точки функции — это точки, в которых производная равна нулю или не определена. Эти точки важны для определения местоположения экстремумов и точек перегиба функции.
Определение интервалов возрастания и убывания позволяет изучить глобальное поведение функции.
Определение вогнутости и точек перегиба определяет расположение точек перегиба и набросать форму графика функции.
Нахождение максимального и минимального значений, которые находятся в критических точках или в конечных точках области. Мы можем использовать производную, чтобы определить, является ли критическая точка локальным максимумом или минимумом.
Полная схема исследования функций
Область функции — это множество всех возможных входных значений (также называемых независимой переменной), для которых функция определена. Другими словами, это множество всех значений x, для которых функция дает допустимый результат. Область функции может быть задана явно или неявно, в зависимости от характера функции.
Например, рассмотрим функцию \(f(x) = 1/x\). Знаменатель функции не может быть нулевым, поэтому областью функции являются все действительные числа, кроме x = 0, то есть D = {x ∈ R | x ≠ 0}.
Другой пример — функция \(g(x) = √(x — 2)\). Радиканда (x — 2) должна быть неотрицательной, поэтому областью функции являются все действительные числа, большие или равные 2, т.е. D = {x ∈ R | x ≥ 2}.
Иногда область действия функции неявно определяется контекстом, в котором она используется. Например, в задаче о расстоянии, пройденном автомобилем за время, область функции неявно определяется как множество всех неотрицательных действительных чисел (поскольку время не может быть отрицательным). 3 и f(x) = sin(x)\) .
Периодическая: Функция \( f(x)\) обладает периодической симметрией, если она удовлетворяет свойству \(f(x + T) = f(x)\) для некоторой фиксированной постоянной T и всех x в ее области. Геометрически это означает, что график функции повторяется через каждые T единиц. Примерами периодических функций являются \(f(x) = sin(x) и f(x) = cos(x).\)
Пересечения — это точки, в которых график пересекает ось x или y. Они полезны при анализе поведения функции и поиске важных особенностей ее графика.
Х-пересечение — это точка, в которой график функции пересекает ось х, что означает, что значение функции в этой точке равно нулю. Чтобы найти х-пересечения функции, мы задаем функцию равной нулю и решаем для значений х. Эти значения представляют собой точки, в которых график пересекает ось х.
Y-пересечение — это точка, в которой график функции пересекает ось y, а значит, значение функции в этой точке — это y-координата точки. Чтобы найти y-пересечение функции, мы задаем x равным нулю и оцениваем функцию при этом значении. Полученное значение представляет собой точку пересечения графика с осью y.
Асимптоты — это линии, к которым приближается график функции, но никогда не касается их. Они могут быть вертикальными, горизонтальными или косыми (наклонными).
Вот некоторые распространенные типы асимптот:
Вертикальные возникают, когда функция приближается к вертикальной линии (x = a), но никогда не касается ее. Они могут возникать для рациональных функций, когда знаменатель равен нулю при x = a.
Горизонтальные возникают, когда функция приближается к горизонтальной линии (y = b) при приближении x к бесконечности или отрицательной бесконечности. Они могут возникать для рациональных функций, когда степень числителя меньше или равна степени знаменателя.
Косые (наклонные) возникают, когда функция приближается к наклонной прямой (y = mx + b) при приближении x к бесконечности или отрицательной бесконечности. Они могут возникать для рациональных функций, когда степень числителя на единицу больше степени знаменателя.
Условия
Экстремумы и монотонность
Экстремумы — это максимальные и минимальные значения, которых достигает функция в своей области. Они могут возникать либо в критических точках, либо в конечных точках области.
1. Проверка на первую производную предполагает нахождение критических точек функции, то есть точек, в которых производная равна нулю или не определена. Затем анализируем знак производной по обе стороны от каждой критической точки, чтобы определить, является ли она локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим.
Если в критической точке знак производной меняется с положительного на отрицательный, то это локальный максимум. Если знак меняется с отрицательного на положительный, то это локальный минимум. Если знак не меняется, то это ни максимум, ни минимум.
2. Проверка второй производной предполагает нахождение критических точек функции, а затем анализ вогнутости функции в каждой критической точке с помощью второй производной. Если вторая производная положительна, то критическая точка является локальным минимумом. Если вторая производная отрицательна, то критическая точка является локальным максимумом. Если вторая производная равна нулю, то тест не дает результатов, и нужно использовать другой метод, например, тест на первую производную.
Монотонность относится к поведению функции в отношении ее возрастания или убывания на интервале. Считается, что функция монотонно возрастает, если ее значения увеличиваются по мере увеличения независимой переменной (обычно обозначаемой x) на этом интервале. Аналогично, функция монотонно убывает на интервале, если ее значения уменьшаются с увеличением x на этом интервале. Функция, которая не является ни возрастающей, ни убывающей на интервале, называется немонотонной на этом интервале.
Монотонность функции можно определить, анализируя ее производную. Если производная функции положительна на интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале. Если производная равна нулю на интервале, то функция может иметь максимум или минимум в этой точке, но это не указывает на монотонность.
Важно отметить, что монотонность функции зависит от рассматриваемого интервала. Функция может быть монотонно возрастающей на одном интервале и монотонно убывающей на другом.
Выпуклость и точки перегиба
Выпуклость относится к форме графика функции. Считается, что функция выпуклая, если ее график выгнут или изогнут вверх, а функция вогнутая, если ее график выгнут внутрь или изогнут вниз. Термин «выпуклость» происходит от того, что график выпуклой функции похож на выпуклую линзу.
Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой изменяется вогнутость. Это точка, в которой график меняется с вогнутого вверх (раскрывается вверх) на вогнутый вниз (раскрывается вниз), или наоборот.
График
Построение графика
\(f(x) = x2\) имеет производную \(f(x) = 2x\). Она является функцией общего наклона. Она дает наклон любой линии, касательной к графику f. Например, если нам нужен наклон касательной линии в точке (-2,4), мы оцениваем производную по координате x этой точки и получаем f(-2) = -4. На рисунке слева показано несколько касательных линий, каждая из которых обозначена своим наклоном.
При каждом x график f имеет наклон 1, поэтому при каждом x высота графика \(f’\) также 1.
При каждом x график f имеет наклон -1/2, поэтому при каждом x высота графика \(f’ \) также -1/2.
Когда кривая \(y = f» (x)\) выше x — ось, вторая производная положительна, поэтому f вогнута вверх. Аналогично, когда кривая \(y = f» (x)\) ниже x — ось, вторая производная отрицательна, поэтому f вогнута вниз.
Примеры решения задач
Задача 1
Нахождение монотонности функции по графику ее производной.
График производной \(f’\)функции fпоказан на рисунке. На каких интервалах f возрастает или убывает?
Ответ: В этом вопросе нам дана кривая \(y = f’ (x)\) и попросили найти интервалы, на которых \(f (x)\) увеличивается. Обычно мы смотрим на график и ищем те части графика, где наклон положительный, чтобы увидеть, где функция возрастает, и где наклон отрицательный, чтобы увидеть, где функция убывает. Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно запомнить: наклон функции \(f (x)\) задается \(f’ (x)\).
Это означает, что мы также можем увидеть эту информацию на графике \(y = f’ (x)\). Производная \(f’ (x)\) будет положительным, когда кривая находится выше отметки x и будет отрицательным, когда кривая находится ниже оси x.
Когда x ∈] 1,5 [, что мы имеем \(f′(x) >0\),поэтому наклон \(f (x)\) положительный. Это означает, что для этих значений x наша функция f должна быть возрастающей.
Аналогично, когда x ∈] 0,1 [ или x ∈] 5,6 [, мы видим, что \(f′ (x) <0\)f′, поэтому наклон \(f (x)\) отрицательный для этих значений x, что означает, что f уменьшается на этих интервалах.
Таким образом, мы смогли показать, что f увеличивается на интервале ] 1,5 [ и уменьшается на интервалах ]0,1[ и ]5,6 [.
Стоит отметить, что \(f′ (1) = 0 и f′ (5)=0\) . Поскольку эти значения x являются конечными точками возрастающих или убывающих интервалов, мы технически можем включить эти значения в наш ответ.
На самом деле, в некоторой литературе конечные точки с нулевой производной всегда включаются в интервалы, где функция возрастает или убывает. Включать или не включать конечные точки с нулевой производной в интервалы возрастания или убывания — это личное предпочтение. Кроме того, поскольку наша функция не дифференцируема, когда \(x ≤0 и x ≥6\).
Мы можем просто предположить, что и для этих значений она не увеличивается и не уменьшается.
Задача 2
Нахождение x-координат точек перегиба функции по графику ее второй производной. Используйте заданный график функции f′′ для нахождения x-координат точек перегиба из f.
Ответ: Мы хотим найти точки перегиба функции \(f (x)\). Это точки, где \(f (x)\) непрерывна и изменяет вогнутость, либо с вогнутой вверх на вогнутую вниз, либо наоборот.
Мы знаем, что все точки перегиба возникают, когда \(f′′ (x) = 0\) или когда вторая производная не существует. Итак, из нашей диаграммы видно, что это может произойти только тогда, когда x = 1, x = 4 или x = 7.
Однако мы только показали, что наша кривая может иметь точки перегиба при этих значениях x.
Нам все еще нужно проверить, действительно ли это точки перегиба. Для этого нужно проверить, изменяет ли кривая вогнутость при этих значениях x.
Кривая вогнута вверх, если ее вторая производная положительна, и вогнута вниз, если ее вторая производная отрицательна. Нам дан график кривой \(y = f′′ (x)\), поэтому можем определить, когда она положительна или отрицательна, посмотрев, где кривая находится выше или ниже точки оси x.
Теперь видно, что когда x = 1, кривая y = f (x) изменится с вогнутой вниз на вогнутую вверх. Аналогично, когда x = 7, кривая y = f (x) изменится с вогнутой вверх на вогнутую вниз. Таким образом, обе эти точки являются точками перегиба для нашей кривой. Однако мы видим, что вогнутость не меняется с положительной на отрицательную или наоборот в точке x = 4, поэтому это не точка перегиба.
Таким образом, существует две точки перегиба для кривой y = f (x), один, когда x = 1 и другой, когда x =7.
Задача 3
Нахождение вогнутости функции по графику ее производной. График первой производной f’ функции f показан на рисунке. На каких интервалах f вогнута вверх или вогнута вниз?
Ответ: Мы хотим определить интервалы, в которых кривая y = f(x) является вогнутой вверх и вогнутой вниз; однако вместо графика этой функции нам дается график ее производной. Поэтому, чтобы ответить на этот вопрос, придется начать с того, чтобы вспомнить связь между производной функции и ее вогнутостью.
Во-первых, кривая вогнута вверх, если ее вторая производная положительна, и вогнута вниз, если ее вторая производная отрицательна.
Это означает, что нужно определить знак второй производной по графику первой производной. Для этого нужно помнить, что если мы продифференцируем первую производную, то получим вторую производную — \(f» (x)\) — это наклон кривой \(y = f’ (x)\).
Поэтому, когда наклон \(y = f’ (x)\) положительный, кривая \(y = f(x)\) вогнута вверх, и когда наклон \(y = f’ (x)\) отрицательнsq, кривая \(y = f(x)\) вогнута вниз.
Мы можем отметить интервалы, где наклон положительный и отрицательный, на предоставленном нам графике. Мы видим, что f вогнута вверх на ]0,1[, ]2,3[, и ]5,7[ и вогнуты вниз на ]1,2[, ]3,5[, и ] 7,9[/
Математическая сцена — Функции 2 — Урок 4
Математическая сцена — Функции 2 — Урок 4 — Исследование функций с помощью производных
2009 Расмус Эф и Джанн Сак
Урок 4
Исследование функций с помощью производных
Производная функции является мерой
градиент графика, поэтому мы можем сделать следующие выводы:
Функция возрастает, если производная
положительный
(+) и убывает, если производная отрицательна ().
Это означает, что когда производная меняет знак
от положительного к отрицательному или от отрицательного к положительному должен быть поворотный момент
или вершина на графе. Это так называемые максимальные и минимальные точки. Они есть
не обязательно наибольшие или наименьшие общие значения функции.
Глядя на таблицу знаков производной
показывает нам, где находятся эти стационарные точки.
Помните, непрерывная функция не может изменяться
между отрицательными и положительными значениями, не переходя через ноль, поэтому мы
ищите стационарные точки, выясняя, когда производная равна 0,
Пример
1
Найдите производную f(x) = x 2 ,
составьте таблицу знаков и используйте ее, чтобы нарисовать график функции f(x).
Если f(x) = x 2 тогда f(x) = 2x.
Стационарные точки возникают, когда
f(x) = 2x = 0 , то есть
когда x = 0. Ниже приведена таблица, показывающая знак f (x)
.
Y = х 2
Производная равна 0
когда х = 0
а градиент меняется с на +, так что это точка минимума.
Пример
2
Найдите производную f(x) = x 3 3x 2 + 4, составьте таблицу знаков производной и используйте
это, чтобы найти стационарные точки. Сравните свои результаты с графиком, показанным на
ваш графический калькулятор.
Если f(x) = x 3 3x 2 + 4, затем f(x)
= 3x 2 6x.
Найти производную
0.
3x 2 6х = 0
3x(x 2) = 0
Это уравнение имеет
решения
х = 0 и х = 2 и
в этих точках производная меняет знак. Находим знак f(x) = 3x 2 6x.
Мы могли бы составить таблицу без факторизации
во-первых, просто выбирая значения x между нулями и находя знак
производная.
ж(1)
= 3(1) 2 6(1) = 3
+ 6 = 9 (+)
ж(1)
= 31 2 61 = 3
()
ж(3)
= 33 2 63 = 9
(+)
Это дает более простую таблицу
выше, но показывает ту же информацию.
Из таблицы мы можем сделать вывод, что у нас есть
максимум, когда x = 0. Градиент равен 0, поэтому график горизонтальный, а градиент изменяется от +
(подъем) до (снижение). Производная также равна нулю, когда x = 2.
и градиент меняется с на +, так что здесь у нас есть минимум. Мы можем найти
максимальное и минимальное значения функции, помещая эти значения x в
Формула исходной функции.
ж(0)
= 0 3 30 2 + 4 = 4
Функция имеет максимум
стоимость в точке (0, 4) .
f(2) = 2 3 32 2 + 4 = 8 12 +
4 = 0
Функция имеет минимум
значение в точке (2,
0).
Графический калькулятор
показывает следующий график.
Иногда производная от
функция равна нулю без изменения знака производной по ходу
через нулевую точку. В таких случаях нет никакой стационарной точки, но то, что
называется точкой перегиба.
Пример
3
Рассмотрим функцию f(x) = x 3 .
Производная f(x) = 3x 2 и равен нулю, когда x = 0,
Ниже приведена таблица
знаки производной.
Точка (0, 0) — это точка
сгибания. График возрастает до x = 0, горизонтален по x = 0 и
затем продолжает увеличиваться после 0,
Расчеты с использованием
производная имеет множество практических применений, в частности, для нахождения максимальных и
минимальные значения. Следующие два примера демонстрируют это.
Пример
4
Мы хотим сделать картон
коробку из квадратного картона со стороной 1 м. Для этого сгибаем
углы, как показано на схеме. Сколько нам нужно вырезать из
углы в порядке
чтобы коробка имела вид
как можно больший объем?
Назовите это x , что означает длину
каждой стороны коробки будет в 2 раза короче карты, то есть в 1 2 раза. высота ящика тоже будет х, а объем V можно записать так:
V = высотадлинаширина
= х(1 2х)(1 2х)
= x(1 4x + 4x 2 )
= x 4x 2 + 4x 3
Различие этого и
нахождение, когда производная равна 0, дает нам:
V = 1 8x + 12x 2 = 0
Это квадратное уравнение
можно решить с помощью калькулятора или квадратной формулы.
Очевидно, что мы
не может быть х = , как если бы мы отрезали метр не было бы
коробка осталась. Таким образом, это должно дать минимальное значение объема. Максимальный объем
будет когда
х = .
V() = (1
2)(1 2) = м 3
Максимальный объем
коробка будет
м 3 когда мы режем
м с каждого угла.
Пример
5
Прямоугольник рисуется как
показано на схеме. Одна сторона образована линией y = 3 и одним углом,
P, лежит на графике f(x) = x 2 . Найдите координаты точки P, чтобы прямоугольник имел
максимально возможная площадь.
Стороны прямоугольника
х
и 3 года или 3 x 2 так как точка P лежит на графике f(x) = x 2 . Следовательно, площадь равна
A = длина в ширину
= x(3 x 2 )
= 3x 3
Различие этого и
поиск, где производная равна нулю, дает:
А = 3 3x 2 = 0
3 =
3x 2
х = 1
Прямоугольник находится в
положительный квадрант, поэтому мы не можем иметь x = 1. Максимальная площадь достигается, когда x = 1
поэтому мы можем подставить это значение в формулу площади.
А = 3x 3 = 3 1 = 2
Попрактикуйтесь в этих методах, затем попробуйте
Тест 4 по функциям 2. Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.
Калькулятор производных — MathCracker.
com
Инструкции: Используйте этот калькулятор производной, чтобы найти производную функции, которую вы предоставляете, показывая все этапы процесса.
Пожалуйста, введите функцию, для которой вы хотите вычислить производную, в поле ниже.
Калькулятор производных
93).
Обратите внимание, что его можно назвать калькулятором первой производной, так же как и калькулятором производной. Первая производная и
производные представляют одно и то же, а «первая» часть обычно опускается.
Предоставленная функция может быть полностью упрощена или нет, это не имеет значения, так как калькулятор сначала упростит функцию, если
необходимо перед вычислением его производной.
После того, как действительная функция была предоставлена, вам просто нужно нажать «Рассчитать», подождать несколько секунд,
и вам будут представлены все этапы расчета.
Дифференциация является основным инструментом, используемым в исчислении (наряду с интегрированием), и это важная операция, которая широко используется в более сложной математике. Некоторые очень распространенные
приложения включают расчет касательной, максимумы и минимумы и многое другое.
Как вычислить производную функции?
Процесс вычисления производной функции называется дифференцированием и заключается в определении мгновенной скорости изменения точки в точке
каждой точке области определения функции.
Какова мгновенная скорость изменения функции? Итак, начнем с определения скорости изменения: Рассмотрим функцию
\(f\), и предположим, что у нас есть две точки, \(x_0\) и \(x_1\). В точке \(x_0\) функция равна \(f(x_0)\), а в точке \(x_1\) функция принимает значение
\(f(x_1)\)
Тогда изменение f определяется как \(\Delta y = f(x_1) — f(x_0)\) (что также называется изменением y). Кроме того, изменение x определяется как
\(\Дельта х = х_1 — х_0)\). Проще говоря, \(\Delta x\) — это изменение x, тогда как \(\Delta y\) — это изменение значения функции из-за изменения x.
Графически:
Производная формула
Таким образом, если \(\Delta x\) представляет собой изменение x, а \(\Delta y\) представляет собой изменение значения функции из-за изменения в x, соответствующий скорость
изменить это:
Тогда какой будет мгновенная скорость изменения? Это соответствует анализу того, что произойдет, если \(\Delta x\) станет очень маленьким. Можно было бы ожидать, что \(\Delta y\)
тоже станет маленьким, но что произойдет со скоростью между \(\Delta y\) и \(\Delta x\)?
Итак, в этом контексте мгновенная скорость изменения определяется как
Итак, с точки зрения непрофессионала, мы устанавливаем \(x_0\) фиксированным и вычисляем скорость изменения для значений \(x_1\), которые все ближе и ближе к \(x_0\). Используя эту идею мгновенного
скорости изменения, мы можем дать следующую формулу для производной в точке \(x_0\).
Если указанный выше предел выходит за пределы, мы говорим, что функция f дифференцируема в точке \(x_0\). Также будем говорить, что функция дифференцируема на множестве A, если функция
дифференцируема в каждой точке множества.
Этапы использования формулы производной
Шаг 1: Четко определите функцию f, которую вы хотите дифференцировать
Шаг 2: Убедитесь, что вы максимально упростили f, иначе поиск требуемого предела может оказаться излишне сложным
Шаг 3: Решите, будете ли вы работать с общей точкой x0 или вы задаете конкретную числовую точку для x0
Шаг 4: На основе определения функции используйте формулу \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) — f(x_0)}{x_1 — х_0}\). Это,
подставьте значения x0 и x1 в f и посмотрите, как формула выглядит алгебраически
Шаг 5: Упростите как можно больше, ПРЕЖДЕ ЧЕМ использовать лимит
Шаг 6: Иногда проще установить x1 = x0 + h, а затем вычислить предел, когда h сходится к 0
Обратите внимание, что шаг 6 — это шаг 6, который некоторым нравится по умолчанию. Действительно, альтернативная производная формула, которая может показаться более простой для упрощения:
, это формула, которую вы можете найти в своем учебнике, вместо другой.
Правила производных
Казалось бы, вычисление производной по формуле — это чертовски много работы. И действительно, это мог бы быть трудоемкий процесс, если бы мы решили проработать каждый
процесс дифференцирования по формуле производной.
К счастью, есть ряд функций (а именно полиномы, тригонометрические функции)
для которых мы точно знаем, каковы их производные.
Кроме того,
у нас есть правила дифференцирования, которые позволяют нам найти производную функции, которая
является составной функцией и/или комбинацией элементарных функций
(для которых мы знаем их производную), в терминах элементарных производных.
Каковы шаги для вычисления производной?
Шаг 1: Определите функцию f, которую вы хотите выделить. Упростите, насколько это возможно, ПЕРЕД вычислением производной
Шаг 2: Определите, требуется ли вам использовать производную формулу или нет
Шаг 3: Если необходимо использовать производную формулу, используйте \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) — f(x_0)}{x_1 — x_0 } \), или ты
можно использовать \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h) — f(x_0)}{h} \), если кажется, что проще приблизиться к
Шаг 4: Если вам не требуется использовать формулу производной, вы можете использовать основные правила дифференцирования: Линейность,
Правило продукта, правило частного и
Цепное правило, которое поможет вам свести расчет производной к использованию основных известных производных
Часто функция, для которой вы пытаетесь найти производную, не является простой функцией, а является базовой комбинацией нескольких простых функций. Например,
функция
\[f(x) = x + \cos(x) + \sin(x)\]
сама по себе не является элементарной функцией, а является составной функцией трех элементарных функций, \(x\), \(\sin x\) и \(\cos x\).
Применение производных
Кто-то может подумать: «Ну, производные предполагают пределы, и это сверхтеоретически, поэтому у них не должно быть слишком много применений», но вы совершенно ошибаетесь.
Магия производных в том, что они, по сути, связаны со скоростью изменения функций, которые могут представлять различные типы процессов. 92\справа)\)
Таким образом, мы получаем следующий график для функции на интервале \([-5, 5]\):
Пример: Калькулятор производных
Найдите производную от \( f(x) = \displaystyle \ дробь{4}{х}\). Везде ли он четко определен? График это.
Решение. Функция, для которой требуется производная, имеет вид \(\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}\).
Дальнейшее упрощение не требуется, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению его производной: 92}\)
Графически:
Подробнее о производных и функциях
Этот калькулятор производных с шагами окажется для вас очень полезным, так как он проведет вычисление производной любой заданной функции, показывая все шаги
процесса, применяя соответствующие производные правила и сообщая вам, когда они применяются и почему.
Конвертировать PDF в DOC онлайн, бесплатно преобразовать .PDF в .DOC
Конвертер файлов / Документы / Конвертировать в PDF / DOC конвертер / PDF to DOC
Выберите файл для преобразования
Перетащите файлы сюда. Максимальный размер файла 100 МБ или зарегистрируйтесь
Вы можете перевести pdf документ в doc и во множество других форматов с помощью бесплатного онлайн конвертера.
Как сконвертировать doc в pdf?
Шаг 1
Загрузите pdf-файл
Выберите файл, который вы хотите конвертировать с компьютера, Google Диска, Dropbox или перетащите его на страницу.
Шаг 2
Выберите «в doc»
Выберите doc или любой другой формат, в который вы хотите конвертировать файл (более 200 поддерживаемых форматов)
Шаг 3
Скачайте ваш doc файл
Подождите пока ваш файл сконвертируется и нажмите скачать doc-файл
Бесплатное онлайн преобразование pdf в doc
Быстро и легко
Просто перетащите ваши файлы в формате pdf на страницу, чтобы конвертировать в doc или вы можете преобразовать его в более чем 250 различных форматов файлов без регистрации, указывая электронную почту или водяной знак.
Не беспокойтесь о безопасности
Мы удаляем загруженные файлы pdf мгновенно и преобразованные doc файлы через 24 часа. Все файлы передаются с использованием продвинутого шифрования SSL.
Все в облаке
Вам не нужно устанавливать какое-либо программное обеспечение. Все преобразования pdf в doc происходят в облаке и не используют какие-либо ресурсы вашего компьютера.
Portable Document Format
Microsoft Word Document
pdf конвертер
pdf в bmppdf в djvupdf в emfpdf в faxpdf в gifpdf в icopdf в jpegpdf в palmpdf в pcxpdf в pespdf в pgmpdf в pictpdf в pngpdf в ppmpdf в psdpdf в svgpdf в tgapdf в tiffpdf в htmlpdf в docpdf в docxpdf в xlspdf в xlsxpdf в pptxpdf в odtpdf в xmlpdf в wpspdf в dotpdf в rtfpdf в txtpdf в lrfpdf в fb2pdf в odspdf в csvpdf в odppdf в odgpdf в ppspdf в potpdf в dxfpdf в epspdf в wmfpdf в ppsxpdf в pptpdf в dotxpdf в pdbpdf в jpgpdf в epubpdf в mobipdf в azw3pdf в snbpdf в rarpdf в zippdf в 7zpdf в aipdf в mp3pdf в mp4pdf в xpspdf в oxpspdf в tifpdf в dstpdf в keypdf в numberspdf в ddspdf в azwpdf в dwgpdf в prcpdf в webppdf в pspdf в msgpdf в pltpdf в videopdf в midipdf в allpdf в isopdf в psppdf в figpdf в jntpdf в exppdf в calpdf в taxpdf в indpdf в epfpdf в cncpdf в vsdpdf в dwfpdf в latexpdf в jpepdf в rbpdf в rgbpdf в jpspdf в mappdf в jbg
Конвертировать в doc
bmp в docdjvu в docgif в docjpeg в docpng в docpsd в docsvg в doctiff в dochtml в docpdf в docdocx в docxls в docxlsx в docpptx в docodt в docott в docsxw в docstw в docdocm в docxml в docwps в docdot в dochwp в docrtf в doctxt в docwpd в docdotm в docpages в doclrf в docsdw в doccsv в docodp в docpps в doceps в docppsx в docppt в docdotx в docpdb в docjpg в docepub в docmobi в docrar в docmp3 в docmp4 в docxps в docoxps в docnumbers в docprc в docwebp в docpub в docheic в docps в docmsg в docone в docjnt в docasd в docmac в docsam в docabw в docpef в doc
PDF в DOCX – Конвертировать PDF в DOCX онлайн
ЗАГРУЗИТЬ
Перетащите файлы сюда.
Когда речь заходит о форматах документов, широко используются два: PDF и DOC. У обоих есть плюсы и минусы, и в определенных ситуациях, несомненно, один из них может быть лучше другого.
Что такое PDF?
PDF, или Portable Document Format, — это популярный формат файлов, поскольку он позволяет обмениваться документами независимо от программного обеспечения, аппаратного обеспечения или операционной системы конечного пользователя. Проще говоря, PDF не зависит от устройства и ОС. Именно поэтому PDF часто используется при отправке документа в электронном виде, поскольку он сохраняет исходное форматирование документа, включая ссылки, изображения, шрифты и стили. Это гарантирует, что документ будет отображаться так, как вы хотите, независимо от устройства, на котором он открыт.
Типичными случаями использования PDF являются электронные книги, брошюры, юридические документы, а также документы, которые вы хотите распечатать или отобразить, сохранив при этом определенный стиль и формат. Помимо перечисленных функций, PDF-файлы также имеют возможность защиты паролем, что очень важно в случаях, когда вы хотите добавить дополнительный уровень безопасности для предотвращения изменений в исходном документе. Кроме того, формат PDF намеренно сложен для редактирования, если вы не используете специализированное программное обеспечение.
Плюсы и минусы PDF
Плюсы:
PDF-файлы являются кроссплатформенными, то есть их можно просматривать на любом устройстве или операционной системе.
PDF-файлы могут быть защищены паролем для безопасности.
Благодаря вышеперечисленному, они могут быть хорошим вариантом для обмена документами, которые необходимо распечатать на бумаге.
Минусы:
PDF-документы могут быть сложны для редактирования.
Документы PDF, созданные в портретной ориентации и с форматом листа A4, могут быть сложны для просмотра на небольших экранах.
PDF-файлы не предназначены для совместной работы в режиме реального времени.
PDF-файлы обычно больше по размеру, чем формат DOC, поскольку им необходимо хранить много данных для правильного просмотра.
Что такое DOCX?
Файл DOCX — это файл документа Microsoft Word Open XML Format. Файлы DOCX используются в Microsoft Word 2007 и более поздних версиях. Они представляют собой формат файла документа на основе XML, который разработан для простоты чтения и записи, поэтому их можно легко открыть в Microsoft Word и других текстовых процессорах, таких как OpenOffice и LibreOffice. Более того, документы DOCX можно открывать и использовать в Google Docs и Office 365, что облегчает совместную работу в режиме реального времени с другими членами команды или клиентами.
Плюсы и минусы формата файлов DOCX
Плюсы:
Файлы DOCX можно легко редактировать.
Файлы DOCX меньше по размеру, чем PDF.
Файлы DOCX обеспечивают совместную работу в режиме реального времени.
Минусы:
Старые файлы DOC могут быть прочитаны только программой Microsoft Word или другим совместимым текстовым редактором.
Нет гарантии сохранения форматирования при обмене документами DOCX. Это особенно заметно при использовании шрифтов, которые не установлены на компьютерах других пользователей.
Когда следует использовать DOCX вместо PDF
Когда вам нужно легко редактировать документ.
Когда вам нужно сотрудничать с членами команды или клиентами над документом, особенно если это происходит в режиме реального времени.
Когда нужно сохранить копию документа, не занимающую много места, локально или в облаке.
Как конвертировать PDF в DOCX?
К счастью, конвертировать PDF в DOCX очень просто. Независимо от того, нужно ли вам конвертировать один документ или несколько, pdf2docx.com позволяет сделать это без труда. Просто нажмите кнопку “ЗАГРУЗИТЬ” и найдите PDF-файл(ы), который вы хотите конвертировать. Вы можете конвертировать до 20 файлов за один сеанс.
Google Translator PDF (большой до 1 ГБ) ⭐️ DocTranslator
Войдите с помощью Google
Используйте свою учетную запись Google для входа в DocTranslator
Больше не нужно запоминать пароли. Вход быстрый, простой
и безопасно.
Продолжить
Вы когда-нибудь были в ситуации, когда вам нужно было перевести один или несколько файлов PDF, но не было времени, денег или энергии, чтобы сделать это вручную?
Итак, у нас есть для вас решение.
Мы DocTranslator и предоставляем услуги перевода высокого качества по доступной цене.
С помощью нашего сервиса вы можете перевести любой файл PDF на другой язык всего за несколько минут и по доступной цене всего в 1 доллар за страницу! Мы принимаем большие файлы размером до 1 Гб и объемом до 5000 страниц.
Все наши переводы основаны на алгоритмах машинного обучения, что позволяет нам предоставлять быстрые результаты с высоким качеством.
Так чего же ты ждешь? Попробуйте DocTranslator сегодня!
Как перевести весь PDF-файл?
Не тратьте время и деньги на переводческие услуги, которые не оправдывают ваших ожиданий.
С DocTranslator вы получите мгновенные результаты и высококачественный перевод на основе искусственного интеллекта. Всего за 1 доллар за страницу!
Мы принимаем большие файлы размером до 1 Гб и объемом до 5000 страниц. Этого достаточно, чтобы автоматически перевести ваш годовой отчет со всеми его графиками, изображениями и текстами!
Лучшая часть? Вам даже не нужно выходить из окна браузера!
Как перевести файл PDF с помощью Google?
Хотите перевести свои PDF-файлы на понятный язык? Смотрите не дальше Гугл переводчик ! Вот как это сделать:
Шаг 1 : Перейдите на сайт Google Translate в браузере.
Шаг 2 : Нажмите кнопку «Документы» и выберите тип файла PDF.
Шаг 3 : Выберите PDF-файл, который хотите перевести, и нажмите «Открыть».
Шаг 4 : Выберите целевой язык, на который вы хотите перевести PDF-файл. Допустим, вы хотите это на испанском языке — выберите испанский язык в качестве языка.
Шаг 5 : Подождите, пока Google Translate сработает, и БУМ! Ваш PDF-файл теперь на испанском языке.
Шаг 6 : Хотите сохранить переведенный PDF-файл? Просто нажмите кнопку «Скачать», и все готово!
Зачем тратить часы на перевод PDF-файла, если можно позволить Google Translate сделать всю тяжелую работу? Итак, попробуйте сегодня и поразите всех своими языковыми навыками!
Требуется
шага
Создайте бесплатную учетную запись по адресу: Document Translator
Перейдите на вкладку «Переводы» и выполните 4 простых шага.
Шаг 1. Выберите файл
Шаг 2. Выберите исходный язык
Шаг 3. Выберите целевой язык
Шаг 4. Загрузите 9004 0
Начинается перевод, и статус меняется на «Обработка».
Подождите немного и появится страница загрузки.
Нажмите кнопку « Download » и сохраните переведенный файл.
Может ли Google перевести отсканированный файл PDF?
Нет, Google Translate не может напрямую перевести отсканированный PDF-файл. Отсканированные PDF-файлы по сути являются изображениями и не содержат редактируемого текста, поэтому их нельзя перевести с помощью Google Translate. Чтобы перевести отсканированный PDF-файл, вам необходимо использовать программное обеспечение для оптического распознавания символов (OCR), чтобы преобразовать отсканированное изображение в редактируемый текст. Получив редактируемый текст, вы можете скопировать и вставить его в Google Translate для перевода.
Но не волнуйтесь! Мы вас прикрыли. DocTranslator.com — это инструмент для перевода на основе искусственного интеллекта, который может переводить любой отсканированный PDF-файл с сохранением исходного макета и форматирования. Благодаря нашей передовой технологии OCR вы можете легко переводить отсканированные PDF-файлы на любой язык, не теряя при этом исходный внешний вид документа. Просто загрузите отсканированный PDF-файл на DocTranslator.com , выберите целевой язык и позвольте нашему ИИ сделать все остальное. Больше не нужно копировать и вставлять текст, не нужно больше беспокоиться о проблемах с форматированием — только переведенный PDF-файл, который выглядит и воспринимается так же, как оригинал. Попробуйте DocTranslator.com сегодня и испытайте всю мощь перевода с помощью искусственного интеллекта!
Переводчик документов
Хотите попробовать?
Зарегистрируйте бесплатную учетную запись и начните переводить свои документы уже сегодня!
Перевод файлов PDF на любой язык
Перевод файлов PDF на любой язык | Маленькийpdf
Начните бесплатную пробную версию
Получите доступ к функциям Pro и выполняйте свою работу быстрее.
«;
перерыв;
case «emailVerification»:
e. innerHTML = «
Подтвердите свой адрес электронной почты
Возможности Smallpdf ограничены без подтвержденного адреса электронной почты
«;
перерыв;
случай «ie11Offboard»:
e.innerHTML = »
Прекращение поддержки IE11
Мы прекратили поддержку Internet Explorer. Используйте другой браузер.
«;
перерыв;
случай «alipayNotSupported»:
e.innerHTML = »
Alipay больше не поддерживает
Обновите способ оплаты, чтобы продолжить использование Smallpdf Pro
«;
перерыв;
}
}
}
Главная
Преобразование и сжатие
Сжатие PDF
Конвертер PDF
Сканер PDF
Разделить и объединить
Разделить PDF
Объединить PDF
Просмотр и редактирование
Редактирование PDF
PDF Reader
Количество страниц
Удалить Страницы PDF
Повернуть PDF
Конвертировать из PDF
PDF в Word
PDF в Excel
PDF в PPT
PDF в JPG
Конвертировать к PDF
Word в PDF
Excel в PDF
PPT в PDF
JPG в PDF
Подпись и безопасность
eSign PDF
Разблокировка PDF
Защита PDF
Поиск документов
Преобразование и сжатие
Сжатие PDF
PDF Преобразователь
Сканер PDF
Разделить и объединить
Разделить PDF
Объединить PDF
90 157
Просмотр и редактирование
Редактирование PDF
Читатель PDF
Нумерация страниц
Удалить страницы PDF
Повернуть PDF
Преобразовать из PDF
9015 0
PDF в Word
PDF в Excel
PDF в PPT
PDF в JPG
Преобразование в PDF
Word в PDF
Excel в PDF
PPT в PDF
JPG в PDF
Sign & Security
eSign PDF
9015 0
Разблокировать PDF
Защитить PDF
Сжать
Преобразовать
Объединить
Редактировать
Подписать
Войти 9 0003
«;
перерыв;
}
}
}
Практические руководства
000Z»> 16 декабря 2021 г. by Hung Nguyen
Вы также можете прочитать эту статью на немецком, испанском, французском, индонезийском, итальянском и португальском языках.
Узнайте, как мгновенно перевести любой PDF-файл с любого языка на другой онлайн бесплатно.
У вас есть PDF-файл, который вы хотите перевести на свой местный язык? Будь то копия электронной книги, документ от иностранного клиента или тайный друг по переписке, узнайте, как перевести PDF-файлы на ваш родной язык.
Вы, наверное, знаете о Google Translate, но знаете ли вы, что он также принимает файлы? Выполните следующие действия, чтобы перевести PDF-файлы.
Google Translate PDF Files бесплатно
Получите доступ к инструменту «Перевести документ».
Выберите язык для перевода с и на. Если вы не уверены, вы можете установить язык ввода на «Определить язык».
Нажмите «Выбрать файл», а затем синюю кнопку «Перевести».
Пусть Google творит чудеса.
Появится всплывающее окно с переведенным PDF-файлом.
Переведите PDF с помощью Google.
Начало работы
Как сохранить это в формате PDF?
Google переводит PDF-файлы, но не предлагает возможность снова сохранить переведенную версию в формате PDF. К счастью, вы можете использовать функцию печати в PDF, которая работает в большинстве браузеров. Все, что вам нужно сделать, это:
Откройте окно печати в браузере, обычно в разделе «Файл».
Выберите «Сохранить как PDF».
Сохраните PDF-файл в выбранную папку на вашем компьютере.
Если вы хотите точно знать, как распечатать страницу результатов в формате PDF во всех популярных веб-браузерах, вы можете ознакомиться с нашим руководством «Как сохранить веб-страницу в формате PDF».
Что еще можно сделать с этим PDF-файлом?
Вот когда в игру вступает Smallpdf. У нас есть более 20 полезных инструментов для работы с PDF-файлами, все бесплатно, в том числе:
Конвертер — преобразуйте ваши переведенные PDF-файлы в другие форматы
Protect — зашифруйте свои PDF-файлы с помощью пароля
Редактировать — комментировать или добавлять изображения, формы и рисунки в переведенный файл
Удалить страницы — удалите лишние страницы, которые вам не нужны, из PDF-файлов
Сжать — уменьшить размер файлов PDF
eSign — электронная подпись ваших (переведенных) контрактов в формате PDF
Reader — чтобы сделать чтение PDF-файлов максимально удобным
Удивительно, насколько доступным и мощным стал Google переводчик, и насколько мир стал меньше, когда вы можете переводить PDF-файлы прямо с экрана вашего компьютера за доли секунды.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность
другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:
В нашем примере: – вероятность того, что из полной колоды будут
извлечены 2 червы подряд.
Аналогично: – вероятность того, что сначала будет извлечена
карта другой масти и затем черва.
Вероятность события получилась заметно больше вероятности события
, что, в
общем-то, было очевидно и безо всяких вычислений.
И, само собой, не нужно питать особых надежд, что из конверта с десятью лотерейными билетами (Задача 48) вы вытяните 3 выигрышных
билета подряд: (впрочем, это щедро).
Да, совершенно верно – теорема умножения вероятностей зависимых событий естественным образом распространяется и на бОльшее их
количество.
Закрепим материал несколькими типовыми задачами:
Задача 49
В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того,
что:
а) оба шара будут белыми;
б) оба шара будут чёрными;
в) сначала будет извлечён белый шар, а затем – чёрный.
Обратите внимание на уточнение «не возвращая их обратно». Этот факт говорит нам о том, что события зависимы. Действительно, а вдруг
извлечённые шары возвращают обратно? В случае возвратной выборки вероятности извлечения чёрного и белого шара меняться не будут, и в такой
задаче уже следует руководствоваться теоремой умножения вероятностей НЕзависимых событий.
Решение: всего в урне: 4 + 7 = 11 шаров, и мы приступаем к их извлечению:
а) Рассмотрим события – первый шар будет белым, – второй шар будет белым
и найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-й шар будет белым
и 2-й белым.
По классическому определению вероятности: . Предположим, что белый шар извлечён, тогда в урне
останется 10 шаров, среди которых 3 белых, поэтому: –
вероятность извлечения белого шара во 2-м испытании при условии, что до этого был извлечён белый шар.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий: –
вероятность того, что оба шара будут белыми.
б) Найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-й шар будет чёрным
и 2-й чёрным.
По классическому определению: – вероятность того, что в 1-м испытании будет
извлечён чёрный шар. Пусть чёрный шар извлечён, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 6 чёрных, следовательно: –
вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен чёрный шар.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий: –
вероятность того, что оба шара будут чёрными.
в) Найдём вероятность события (сначала будет извлечён белый шар
и затем чёрный)
После извлечения белого шара (с вероятностью ) в урне останется 10 шаров, среди которых 3
белых и 7 чёрных, таким образом: –
вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен белый шар.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий: –
искомая вероятность.
Ответ:
Данную задачу нетрудно проверить через теорему сложения вероятностей образующих полную группу. Для этого найдём вероятность 4-го недостающего события: – того,
что сначала будет извлечён чёрный шар и затем белый.
События образуют полную группу, поэтому сумма их
вероятностей должна равняться единице: , что и
требовалось проверить. …Какая, однако, полезная и рабочая теорема!
И я сразу предлагаю проверить, насколько хорошо вы усвоили изложенный материал:
Задача 50
Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд?
Задача 51
В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что
а) третий шар окажется белым, если до этого был извлечён черный и красный шар;
б) первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.
Решения и ответы в конце книги.
Надо сказать, что многие из рассматриваемых задач разрешимы и другим способом, но чтобы не возникло путаницы, пожалуй, вообще о нём
умолчу.
Наверное, все заметили, что зависимые события возникают в тех случаях, когда осуществляется некоторая цепочка действий. Однако
сама по себе последовательность действий ещё не гарантируют зависимость событий. Так, при последовательном подбрасывании
монеты результат любого броска никак не зависит от предыдущих исходов. Это, кстати, важный момент, развевающий одно
распространённое заблуждение, к которому мы вернёмся позже.
Ну а сейчас мы возвращаемы к нашим урнам. Если в задачах на теорему умножения вероятностей независимых событий хозяйничают стрелки, то здесь происходит самое настоящее нашествие урн с шарами
=)
Задача 52
Из урны, в которой находится 6 белых и 4 черных шара, извлекаются наудачу один за другим три шара. Найти вероятность того, что:
а) все три шара будут черными;
б) будет не меньше двух шаров черного цвета.
Решение:всего: 6 + 4 = 10 шаров в урне.
Событий в данной задаче будет многовато, и в этой связи целесообразнее использовать смешанный стиль оформления, обозначая прописными
латинскими буквами только основные события. Надеюсь, вы уже поняли, по какому принципу подсчитываются условные вероятности:
а) Рассмотрим событие: – все три шара будут черными.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
б) Этот пункт интереснее, рассмотрим событие: – будет не меньше двух шаров черного цвета.
Данное событие состоит в двух несовместных исходах: либо все шары будут чёрными
(событие )
либо 2 шара будут чёрным и 1 белым – обозначим последнее событие буквой .
Событие включается в себя три
несовместных исхода:
в 1-м испытании извлечён белый шар и во 2-м и в 3-м испытаниях – чёрные шары или
в 1-м испытании извлечён ЧШ и во 2-м – БШ и в 3-м – ЧШ или
в 1-м испытании извлечён ЧШ и во 2-м – ЧШ и в 3-м – БШ.
По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых
событий: –
вероятность того, что среди трёх последовательно извлеченных шаров будет 2 чёрных и 1 белый шар.
Примечание: на всякий случай озвучу примерный ход рассуждений при конструировании, например, последнего произведения : «в 1-м испытании с вероятностью извлекается ЧШ, после чего в урне останется 9 шаров,
среди которых 6 белых и 3 чёрных. И во 2-м испытании с вероятностью извлекается БШ, после чего в урне останется 8 шаров,
среди которых 5 белых и 3 чёрных. И в 3-м испытании с вероятностью будет снова извлечён ЧШ»
По той же теореме сложения вероятностей несовместных событий: –
вероятность того, что среди трёх последовательно извлеченных шаров будет не менее двух черных.
Ответ:
Вы просто не сможете от этого отказаться 🙂
Задача 53
Из 20 экзаменационных билетов 3 содержат простые вопросы. Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы
одному из них достанется билет с простыми вопросами
А почему бы и нет? Ситуация более чем реалистичная: представьте, начался экзамен, в аудиторию пригласили 5 человек. Проведите
самостоятельное исследование – какова вероятность того, что хоть кому-то из этих пяти добровольцев повезёт с билетом?
К задаче о сдаче экзамена мы вернёмся в конце параграфа, а пока рассмотрим ещё одну стандартную задачу о перекладывании шаров из урны
в урну:
Задача 54
В первой урне содержится 12 шаров, из них 7 белых, во второй – 6 шаров, из них 3 белых. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают
один шар, а затем из второй урны наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
Решение: по условию, из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар, и, очевидно, он может
быть как белым, так и не белым. В этой связи необходимо рассмотреть 2 несовместные гипотезы:
– из 1-й
урны во 2-ю будет переложен белый шар; – из 1-й
урны во 2-ю будет переложен не белый шар.
Обозначим через зависимое событие – после перекладывания шара
из 2-й урны будет извлечён белый шар.
Несовместные исходы удобно расписать по пунктам: 1) По классическому определению: – вероятность того, что из 1-й урны
во вторую будет переложен белый шар. Пусть гипотеза осуществилась, тогда во второй
урне стало 7 шаров, среди которых теперь 4 белых шара. Таким образом: –
вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда был переложен белый шар.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий: –
вероятность того, что во 2-ю урну будет переложен белый шар и после этого из 2-й урны будет извлечён белый шар.
2) По классическому определению: – вероятность того, что из 1-й урны во вторую будет
переложен не белый шар. Пусть гипотеза осуществилась, тогда во второй урне стало 7
шаров, среди которых по-прежнему 3 белых. Таким образом: – вероятность того, что из второй урны будет
извлечен белый шар при условии, что туда был переложен не белый шар.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий: –
вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю будет переложен не белый шар и после этого из 2-й урны будет извлечён белый
шар.
Подводим итог. По теореме сложения вероятностей несовместных событий: –
вероятность того, что из 2-й урны будет извлечён белый шар.
Ответ:
Более интересная вариация по теме для самостоятельного разбора:
Задача 55
В первой урне находится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара.
Найти вероятность того, что из второй урны будет извлечён белый шар.
Для решения задания нужно рассмотреть 3 несовместные гипотезы, привлечь на помощь комбинаторику
и воспользоваться типовой задачей на классическое определение вероятности.
Иногда встречаются задачи повышенной комбинационной сложности – с двумя последовательными перемещениями шаров из 1-й во 2-ю урну, из
2-й в 3-ю и финальным извлечением шара из последней урны.
И в заключение этого параграфа разберём прелюбопытнейшую задачу, которой я вас заманивал в самом начале книги =) Даже не разберём, а
проведём небольшое практическое исследование. Выкладки в общем виде будут громоздкие, поэтому рассмотрим конкретный пример:
Петя сдаёт экзамен по теории вероятностей, при этом 20 билетов он знает хорошо, а 10 плохо. Предположим, в первый день экзамен сдаёт
часть группы, например, 16 человек, включая нашего героя. В общем, ситуация до боли знакома: студенты один за другим заходят в аудиторию и
тянут билеты.
Очевидно, что последовательное извлечение билетов представляет собой цепь зависимых событий, и возникает насущный
вопрос: в каком случае Пете с бОльшей вероятностью достанется «хороший» билет – если он пойдёт «в первых рядах», или
зайдёт «посерединке», или если будет тянуть билет в числе последних? Когда лучше заходить?
Сначала рассмотрим «экспериментально чистую» ситуацию, в которой Петя сохраняет свои шансы постоянными – он не получает информацию о
том, какие вопросы уже достались однокурсникам, ничего не учит в коридоре, ожидая своей очереди, и т.д.
Рассмотрим событие: – Петя зайдёт в аудиторию самым первым и
вытянет «хороший» билет. По классическому определению вероятности: .
Как изменится вероятность извлечения удачного билета, если пропустить вперёд отличницу Настю? В этом случае возможны две несовместные
гипотезы:
–
Настя вытянет «хороший» (для Пети) билет; –
Настя вытянет «плохой» билет (т. е. увеличит шансы Пети).
Событие же (Петя зайдёт вторым и вытянет «хороший» билет)
становится зависимым.
1) Предположим, что Настя с вероятностью «увела» у Пети один удачный билет. Тогда на столе
останутся 29 билетов, среди которых 19 «хороших». По классическому определению вероятности: 2) Теперь предположим, что Настя с вероятностью «избавила» Петю от 1-го «плохого» билета. Тогда
на столе останутся 29 билетов, среди которых по-прежнему 20 «хороших». По классическому определению:
Используя теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий, вычислим вероятность того, что Петя вытянет
«хороший» билет, будучи вторым в очереди:
–
вероятность… осталось той же!
Хорошо, рассмотрим событие: – Петя пойдёт третьим, пропустив вперёд Настю и
Лену, и вытащит «хороший» билет.
Здесь гипотез будет больше: дамы могут «обокрасть» джентльмена на 2 удачных билета, либо наоборот – избавить его от 2 неудачных, либо
извлечь 1 «хороший» и 1 «плохой» билет. Если провести аналогичные рассуждения, воспользоваться теми же теоремами, то… получится такое же
значение вероятности !
И так далее.
Таким образом, чисто с математической точки зрения, без разницы, когда идти – первоначальные вероятности останутся
неименными. НО. Это только усреднённая теоретическая оценка, так, например, если Петя пойдёт последним, то это вовсе не
значит, что ему останутся на выбор 10 «хороших» и 5 «плохих» билетов в соответствии с его изначальными шансами. Данное соотношение может
варьироваться в лучшую или худшую сторону, однако всё же маловероятно, что среди билетов останется «одна халява», или наоборот – «сплошной
ужас». Хотя «уникальные» случаи не исключены – всё-таки тут не 3 миллиона лотерейных билетов с практически нулевой вероятностью крупного выигрыша. Поэтому «невероятное везение» или
«злой рок» – это слишком уж преувеличенные высказывания. Даже если Петя знает всего лишь три билета, то его шансы составляют 10%, что
заметно выше нуля.
Математика и «чистый эксперимент» – это хорошо, но какой стратегии и тактики выгоднее придерживаться в реальных
условиях? Безусловно, следует принять во внимание субъективные факторы, например, «скидку» преподавателя для «храбрецов» или его
усталость к концу экзамена. Зачастую эти факторы могут быть и решающими, но в заключительных рассуждениях мы всё же остановимся на
вероятностных аспектах:
Если Вы готовы к экзамену хорошо, то лучше идти «в первых рядах». Пока билетов полный комплект, постулат «маловозможные события не происходят» работает на Вас гораздо в бОльшей степени.
Согласитесь, что намного приятнее иметь соотношение «30 билетов, среди которых 2 плохих», чем «15 билетов, среди которых 2 плохих». А то,
что два неудачных билета на отдельно взятом экзамене(а не по средней теоретической оценке!) так и останутся на
столе – вполне и вполне возможно.
Теперь рассмотрим «ситуацию Пети» – когда студент готов достаточно хорошо, но с другой стороны, и «плавает» тоже неплохо. В этом случае
целесообразно пропустить вперёд 5-6 человек, и ожидать подходящего момента вне аудитории. Дальше по ситуации. Довольно скоро начнёт
поступать информация, какие билеты вытянули однокурсники (снова зависимые события!), и на «заигранные» вопросы
можно больше не тратить силы – учите и повторяйте другие билеты, повышая тем самым первоначальную вероятность своего успеха.
Если «первая партия» экзаменующихся «избавила» вас сразу от 3-4 трудных (лично для Вас) билетов, то выгоднее как можно быстрее попасть
на экзамен – именно сейчас шансы значительно возросли. Постарайтесь не упускать момент – всего несколько пропущенных вперёд человек, и
преимущество, скорее всего, растает. Если же наоборот, «плохих» билетов вытянули мало – ждите. Через несколько человек эта «аномалия»
опять же с большой вероятностью, если не исчезнет, то сгладится в лучшую сторону.
В «обычном» и самом распространённом случае выгода тоже есть, ибо расклад
«24 билета / 8 плохих» лучше соотношения «30 билетов / 10 плохих». Почему? Трудных билетов теперь не десять, а восемь! С удвоенной
энергией штудируем материал!
Если Вы готовы неважно или плохо, то само собой, лучше идти в «последних рядах» (хотя возможны и оригинальные решения, особенно,
если нечего терять). Существует небольшая, но всё же ненулевая вероятность, что на столе останутся относительно простые вопросы +
дополнительная зубрёжка + шпоры, которые отдадут отстрелявшиеся сокурсники =) И, да – в совсем критической ситуации есть ещё следующий
день, когда экзамен сдаёт вторая часть группы 😉
Какой можно сделать вывод? Субъективный оценочный принцип «кто идёт раньше, тот готов лучше» находит
внятное вероятностное обоснование!
Ни пуха Вам, ни пера, ни холлофайбера!
1. 7. Формула полной вероятности
1.6.5. Условная вероятность – что это такое?
| Оглавление |
Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате, а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Более трудные задачи на сложение и умножение вероятностей
В уроке «Действия над вероятностями»
мы познакомились со сложением и умножением вероятностей и простейшими примерами этих действий.
В контрольных работах и на экзамене попадаются и задачи поинтересней (посложнее), в которых
необходимо применять сразу и сложение и умножение вероятностей. На этой странице — решения таких
задач. Как это часто бывает с задачами на нахождение вероятностей, рассматривается урна, в которой находится
сколько-то шаров и из урны вынимается сколько-то шаров, а требуется найти вероятность того, что выбранный
шар — такого-то или иного цвета.
Пример 1. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны
вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара
будут белыми.
Решение. Обозначим через a количество белых шаров, а через b — количество чёрных шаров. По теореме умножения вероятностей
Подставляем в полученную формулу значения количества белых и чёрных шаров
и получаем:
Ответ: вероятность того, что оба шара будут белыми, равна 0,3.
Пример 2. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны
вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.
Решение. Событие может появиться в двух несовместных вариантах: бч и чб. По теремам сложения и умножения вероятностей
Подставляем в полученную формулу значения количества белых и чёрных шаров
и получаем:
Ответ: вероятность того, что шары будут разных цветов, равна 0,525.
Пример 3. В урне 9 белых, 7 чёрных и 6 красных шаров.
Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут
одноцветными.
Решение. Чтобы найти вероятность события A — по крайней мере
два шара будут одноцветными, — перейдём к противоположному —
все шары разных цветов:
Отсюда
Подставляем в полученную формулу значения количества шаров и получаем требуемую вероятность:
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика
Попадаются и задачи на умножение вероятностей для нескольких событий.
Поэтому следует привести формулы для вычисления вероятностей нескольких событий. Для
зависимых событий она имеет вид
,
Для независимых событий:
.
Пример 4. Имеется коробка с девятью новыми теннисными
мячами. Для игры берут три мяча. После игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные
от неигранных не отличают. Найти вероятность того, что после трёх игр в коробке не
останется неигранных мячей.
Решение. Событие A может произойти единственным способом:
первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты неигранные мячи. Первый раз это
обеспечено. Поэтому
.
Пример 5. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают
одновременно четыре карты. Рассматриваются события:
A — среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая;
B — среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная.
Найти вероятность события C = A + B.
Решение. Переходим к противоположному событию —
нет ни бубновой, ни червонной карты:
,
откуда получаем требуемую вероятность суммы событий:
.
Назад
Листать
Вперёд>>>
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика
К началу страницы
Основные понятия теории вероятностей, непосредственное вычисление вероятностей
вопрос 1 Если последовательность (белое, черное, красное) в числителе, у нас не должно быть: $\frac{3}{10}\frac{5}{9}\frac{2}{8}$ в конце результата то же самое, но, конечно, рассуждения для его получения разные. Какие рассуждения могут быть сделаны в решении?
А в знаменателе почему $\frac{5}{12}$. $P(X=1)$ указывает вероятность извлечения черного шара. Это не должно быть $\frac{5}{10}$
вероятность
$\endgroup$
10
$\begingroup$
Начните с вычисления вероятности извлечения черного шара. Вероятность того, что ни один из черных шаров не будет извлечен, равна $\frac{1}{2} \frac{4}{9} \frac{3}{8} = \frac{1}{12}$. Следовательно, вероятность того, что будет извлечен черный шар, равна $1 — \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.
Теперь вычислите вероятность появления последовательности (белое, черное, красное). Это просто: $\frac{1}{5} \frac{5}{9} \frac{3}{8} = \frac{1}{24}$.
Таким образом, искомая условная вероятность равна $\frac{\frac{1}{24}}{\frac{11}{12}} = \boxed{\frac{1}{22}}$.
Редактировать: предположим, что вместо «черный шар» нас интересует условие, что «вытягивается ровно один черный шар». Для этого учтите, что количество перестановок трех выбранных шаров (независимо от цвета и при условии, что они различимы) равно $(10) (9) (8) = 720$. Чтобы извлечь ровно один черный шар, мы должны выбрать его из $5$ вариантов и выбрать одну позицию из $3$ возможных. Затем для первой невыбранной позиции мы выбираем один из $5$ нечерных шаров, а для последней позиции мы выбираем один из оставшихся $4$ нечерных шаров. Количество способов $(5) (3) (5) (4) = 300$. Вероятность извлечения ровно один черный шар равен $\frac{300}{720} = \frac{5}{12}$. И желаемая условная вероятность будет $\frac{\frac{1}{24}}{\frac{5}{24}} = \boxed{\frac{1}{10}}$.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Суммарная Вселенная равна 10$ \х9\х8 =720$
Часть Вселенной исключена: мы знаем, что по крайней мере один шар черный. Таким образом, все комбинации, основанные только на красном+белом, исключаются: комбинации $5\times 4\times 3 =60$ исключаются.
Таким образом, Вселенная уменьшается до $720-60=660$
Количество комбинаций, совпадающих с последовательностью (белое, черное, красное), равно $2 \times 5 \times 3= 30$
Таким образом, вероятность равна $\frac { 30}{660}=\frac{1}{22}$
Условная вероятность означает, что вы разделите одну дробь на другую. Это слишком сложно. Легче разделить целое число (количество успехов) на другое целое число (размер ограниченной вселенной).
$\endgroup$
В урне A 7 белых и 3 черных шара, в урне B 4 белых и 6 черных шаров, в урне C 2 белых и 8 черных шаров. Одна из этих урн выбирается случайным образом с вероятностью 0,2, 0,6 и 0,2 соответственно. Из выбранной урны наугад извлекают два шара без замены. Оба шара оказались белыми. Найти вероятность того, что вынутые шары из урны C.
Вопрос
Обновлено: 26/04/2023
RS ТЕОРЕМА АГГАРВАЛА-БАЙЕСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ-Упражнение 30
18 видео
РЕКЛАМА
Текстовое решение
Ответ
Правильный ответ 140
Решение
Р(А)=0,2, Р(В)=0,6 и Р(С)=0,2. Пусть E — событие, когда извлекаются 2 белых шара. Тогда P(E/A)=.7C2.10C2,P(E/B)=.4C2.10C2,P(E/C)=.2C2.10C2 ∴ требуемая вероятность =P(C/E) =P(E/C).P(C)P(E/A).P(A)+P(E/B).P(B)+P(E/C).P(C).
Ответить
Пошаговое решение от экспертов, которое поможет вам в разрешении сомнений и получении отличных оценок на экзаменах.
Ab Padhai каро бина объявления ке
Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке!
Похожие видео
Урна A содержит 2 белых, 1 черный и 3 красных шара, урна B содержит 3
белых, 2 черных и 4 красных шара, а в урне C 4 белых, 3 черных и 2 красных
мячи. Наугад выбирают одну урну и из нее наугад вынимают 2 шара.
Если выбранные шары оказались красными и черными, какова вероятность того, что
оба шара из урны B?
Есть три урны, содержащие 2 белых и 3 черных шара, 3 белых и 2 черных шара и 4 белых и 1 черный шар соответственно. Существует равная вероятность того, что каждая урна будет выбрана. Из выбранной урны случайным образом извлекают шар, и он оказывается белым. Найти вероятность того, что вынутый шар был из второй урны.
32530615
Три урны содержат 2 белых и 3 черных шара, 3 белых и 2 черных шара, 4 белых и 1 черный шар соответственно. Из случайно выбранной урны извлекли один шар, и он оказался белым. Найти вероятность того, что он был извлечен из первой урны.
51237386
Три одинаковые урны содержат белые и черные шары. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй урне 3 белых и 2 черных шара, а в третьей урне 1 черный и 4 белых шара. Наугад выбирают урну и извлекают из нее шар. Если вынутый шар белый, какова вероятность того, что будет выбрана первая урна?
234812974
В урне A 2 белых и 4 черных шара, в урне B 5 белых и 7 черных шаров. Если случайным образом заменить по одному шару из A и B и извлечь шар из B, то вероятность того, что шар окажется белым, равна 9.0003
308714505
В одной урне 8 белых и 5 черных шаров, а в другой урне 5 белых и 6 черных шаров. Наугад выбирается одна урна и из нее вынимаются два шара. Найдите вероятность того, что шары белые.
320218559
Текст Решение
В урне 8 белых и 6 черных шаров. Два шара извлекаются из урны один за другим без возврата. Какова вероятность того, что оба вынутых шара белые?
425868197
Предположим, что есть 3 урны, содержащие 2 белых, 3 черных шара, 4 белых 1 черных и 3 белых, 2 черных шара соответственно. Существует равный шанс для выбора урны. Из случайно выбранной урны вынимают один шар, и он оказывается белым. Проблема. То, что он был взят из первой урны, равно
630437056
. В урне A 2 белых, 1 черный и 3 красных шара, в урне B 3
белых, 2 черных и 4 красных шара, а в урне C 4 белых, 3 черных и 2 красных
мячи. Наугад выбирают одну урну и из нее наугад вынимают 2 шара.
Если выбранные шары оказались красными и черными, какова вероятность того, что
оба шара из урны B?
642566704
В урне 2 белых и 2 черных шара. Наугад извлекается шар. Если он белый, он не возвращается в урну. В противном случае он заменяется другим шаром того же цвета. Процесс повторяется. Найти вероятность того, что третий извлеченный шар окажется черным.
643823834
В урне 2 белых и 2 черных шара. Наугад извлекается шар. Если он белый, то в урну его не возвращают. В противном случае он заменяется другим шаром того же цвета. Процесс повторяется. Найти вероятность того, что третий извлеченный шар окажется черным.
644961989
В урне 2 белых и 2 черных шара. Наугад извлекается шар. Если он белый, он не помещается в урну, в противном случае он заменяется вместе с другим шаром того же цвета. Процесс повторяется, найти вероятность того, что третий вытащенный шар будет черным.
646282299
Калаш I содержит 2 белых и 3 черных шара, Калаш II содержит 4 белых и 1 черный и Калаш III содержит 3 белых и 4 черных шара. Случайным образом выбирается урна и извлекается шар. Если вытащенный шар белый, то какова вероятность того, что его вытащат из урны I?
646611223
Три урны содержат 2 белых и 3 черных шара, 3 белых и 2 черных шара и 4 белых и 1 черный шар соответственно.
После изучения темы «Комплексные числа учащиеся должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь: •производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа; •переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; •пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; •в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.
3. Какие числовые множества Вам знакомы?
I. Подготовка к изучению нового материала Какие числовые множества Вам знакомы? N Z Q N Z Q R R Числовая система Натуральные числа, N Целые числа, Z Рациональные числа, Q Действительные числа, R Комплексные числа, C Допустимые алгебраические операции Сложение, умножение Сложение, вычитание, умножение Сложение, вычитание, умножение, деление Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел Все операции Частично допустимые алгебраические операции Вычитание, деление, извлечение корней Деление, извлечение корней Извлечение корней из неотрицательных чисел Извлечение корней из произвольных чисел Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: С1) Существует квадратный корень из , т. е. существует комплексное число, квадрат которого равен . С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел.
6. Мнимые числа
i = -1, i – мнимая единица i, 2i, -0,3i — чисто мнимые числа Арифметические операции над чисто мнимыми числами выполняются в соответствии с условием С3. 3i 13i 3 13 i 16i 3i 13i 3 13 i i 39i 2 39 i 7 i 2 i i 3 В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы: a b i; a bi ab i; ai bi ai bi a b i; ai bi abi a где a и b — действительные числа. 2
7. Комплексные числа
Определение 1. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. z a bi C a R, b R, i мнимая единица. a Re z , b Im z Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части: a bi c di a c, b d .
8. Классификация комплексных чисел
Комплексные числа a + bi Действительные числа b=o Рациональные числа Иррациональные числа Мнимые числа b≠o Мнимые числа с ненулевой действительной частью a ≠ 0, b ≠ 0. Чисто мнимые числа a = 0, b ≠ 0.
9. Арифметические операции над комплексными числами
(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i (а + bi) — (c + di) = (а — с) + (b — d)i (а + bi)·(с + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i a bi (a bi)( c di) ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c di (c di)( c di) c d c d
10. Сопряженные комплексные числа
Определение: Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается z : z x yi z x yi Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам. Числа a + bi и a — bi называются взаимно сопряженными комплексными числами.
11. Свойства сопряженных чисел
1. Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число действительное. z z ( a bi ) ( a bi ) 2a z z (a bi )( a bi ) a 2 (bi ) 2 a 2 b 2 2. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. z1 z2 z1 z2 3. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам. z1 z2 z1 z2 4. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам. z1z2 z1 z2
12. Свойства сопряженных чисел
5. Число, сопряженное п-ой степени комплексного числа z, равно п-ой степени числа, сопряженного к числу z, т. е. z n ( z)n , n N 6. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел, т.е. a bi a bi c di c di
13. Степени мнимой единицы
По определению первой степенью числа i является 1 само число i, а второй степенью – число -1: i1 = i, i2 = -1 . Более высокие степени числа i находятся следующим 1 образом: i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1; i5 = i4 ∙ i = i; i6 = i5 ∙ i = i2= — 1 и т.д. Очевидно, что при любом натуральном n i4n = 1; i4n +2 = — 1 i4n+1 = i; i4n+3 = — i.
14. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме.
• Определение. Число w называют квадратным корнем из 2 комплексного числа z, если его квадрат равен z: w z • Теорема. Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти два числа выражаются формулой: w a2 b2 a i signb 2 a 2 b 2 a , где 2 1, если b 0 signb 1, если b 0 0, если b 0 При b 0, a 0 имеем : w a , при b 0, a 0 имеем : w i a .
15. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Комплексному числу z на координатной плоскости соответствует точка М(a, b). Часто вместо точек на плоскости берут их радиусы-векторы OM Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное числоa 2 b2 , равное расстоянию от точки М до начала z a 2 b2 координат cos y М (a, b) b φ O a x a и sin b a2 b2 a2 b2 аргумент комплексно го числа ;
16. Тригонометрическая форма комплексного числа
z r cos i sin где φ – аргумент комплексного числа, r= a 2 b2 — модуль комплексного числа, cos a a2 b2 и sin b a2 b2
17. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме
Теорема Если 1. z1 0, z2 0 и z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , то: а) z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2 б) z1 r1 cos 1 2 i sin 1 2 z2 r2 Теорема 2 (формула Муавра). Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда z r cos i sin r n cosn i sin n . n n
18. Извлечение корня из комплексного числа.
• Теорема. Для любого натурального числа n и отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n-степени. Если z r cos i sin , то эти значения выражаются формулой 2 k 2 k wk r cos i sin , n n где k 0,1,…, (n 1) n
Комплексные числа и операции с ними
Содержание
Введение
Комплексная плоскость и мнимая единица
Модуль и фаза комплексного числа
Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа
Выводы
Список литературы
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов
Распространяется под лицензией LGPL v3
Страница проекта на SourceForge
Обнаружили ошибку?
Выделите ее мышью
и нажмите
Введение
Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция определена для , аналогично можно вспомнить,
что функция определена для , а функция определена для .
Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает,
что , или не имеют смысла.
Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том,
что не может быть представлено вещественным числом.
Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .
При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный.
В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке.
Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать
за пределами вещественных чисел.
Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1),
на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа. Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой.
Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения ,
или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве,
как на множестве вещественных чисел.
Комплексная плоскость и мнимая единица
Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью.
Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1.
Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число.
Например на рисунке 1 показано число .
Рисунок 1. Расширение множества вещественных чисел до множества комплексных числел
Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой,
однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.
Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и ,
которые пересекаются в начале координат. Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа.
Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси .
Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.
Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно.
При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью
и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью
и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .
Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число ,
называемое мнимой единицей.
Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел.
Оно обладает особым свойством: .
Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево,
но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .
Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква уже закреплена
за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .
Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .
Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .
Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.
Модуль и фаза комплексного числа
Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи.
Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1),
то можно вычислить длину этого вектора как
(1)
— неотрицательное вещественное число характеризующее длину вектора и называется модулем комплексного числа.
При этом сам вектор комплексного числа повернут относительно реальной оси на некоторый угол ,
называемый фазой. Фаза комплексного числа может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того в каком
направлении относительно оси отсчитывать угол.
Если угол поворота вектора на комплексной плоскости отсчитывать против часовой стрелки (как это показано на рисунке 1),
то фаза будет принимать положительные значения, а если по часовой — то отрицательные.
Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:
(2)
Тогда комплексное число можно представить в тригонометрической форме:
(3)
Связь угла поворота вектора комплексного числа с реальной и мнимой частью комплексного числа,
представленного в алгебраической форме:
(4)
тогда
(5)
где учитывает четверть комплексной плоскости в которой расположено число :
(6)
Необходимость поправки возникает из-за того, что функция
периодическая функция с периодом рад. В результате возвращает корректные значения только в интервале
.
Таким образом функция арктангенса не отличает четверть I от четверти III
(в обоих случаях отношение положительное),
а также не отличает четверть II от четверти IV (отношение отрицательное).
На рисунке 2 показаны значения параметра , в зависимости от того
в какой четверти комплексной плоскости расположено число.
Рисунок 2. Значение поправки фазы комплексного числа в зависимости
от расположения на комплексной плоскости.
На рисунке 2а исходное комплексное число расположено
в первой четверти комплексной плоскости и .
Тогда и значение фазы комплексного числа равно:
(7)
Рассмотрим случай, когда комплексное число расположено
во второй четверти комплексной плоскости (рисунок 2б), т.е. и .
В этом случае и угол
также будет отрицательным (красная пунктирная линия).
Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:
(8)
Пусть комплексное число расположено в третьей четверти комплексной плоскости (рисунок 2в),
т. е. и .
В этом случае и угол будет
положительным (красная пунктирная линия).
Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:
(9)
Если расположено в четвертой четверти комплексной плоскости (рисунок 2г),
т.е. и , то в этом случае и угол
будет отрицательным и равным фазе комплексного числа без поправок ( рад):
(10)
Функция которая позволяет получить фазу комплексного числа c учетом четверти комплексной плоскости в которой
расположено комплексное число называется функция арктангенс-2 и обозначается .
Функция арктангенс-2 присутствует во всех математических приложениях и может быть использована для расчета верного
угла поворота вектора комплексного числа.
Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
Мы уже рассмотрели алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексного числа.
Помимо алгебраической и тригонометрической формы существует также показательная форма комплексного числа:
(11)
связанная с тригонометрической формой формулой Эйлера:
(12)
Cоотношение (12) легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:
(13)
Представим ряд (13) в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:
(14)
Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях.
Из определения мнимой единицы можно сделать вывод, что , тогда ,
в свою очередь .
Таким образом, можно сделать вывод что .
Построим аналогичным образом соотношение для нечетных степеней: , тогда ,
в свою очередь и окончательно можно записать:
. Тогда (14) можно представить как:
(15)
В выражении (15) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции ,
а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции .
Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (12).
Необходимо отметить, что формула Эйлера является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного.
Так например при помощи формулы Эйлера можно связать математические константы и
с использованием мнимой единицы :
(16)
Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа
В данном параграфе мы кратко рассмотрим операции над комплексными числами.
Сумма двух комплексных чисел и представляет
собой комплексное число :
(17)
При сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются. На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных
чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3а).
Рисунок 3. Операции над комплексными числами
Разность двух комплексных чисел и
представляет собой комплексное число
(18)
При вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются.
На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание
векторов по правилу параллелограмма (рисунок 3б).
На первом шаге из вектора формируется вектор (обозначенный пунктирной линией на рисунке 3б),
после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.
Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить
два комплексных числа по правилу умножения многочленов:
(19)
Умножение комплексных проще выполнять если числа представлены в показательной форме:
(20)
При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются а фазы складываются. Операция произведения комплексных чисел показано на рисунке 3в.
Введем понятие комплексно-сопряженного числа. Число является
комплексно-сопряженным числу .
Комплексно-сопряженные числа отличаются знаком перед мнимой частью.
Графически комплексно-сопряженные числа показаны на рисунке 3г.
При этом можно заметить, что модули комплексно-сопряженных чисел равны
, а фазы имеют противоположные знаки.
Произведение комплексно-сопряженных чисел
(21)
представляет собой действительное число равное квадрату модуля этих чисел.
Из элементарных операций нам осталось рассмотреть лишь деление комплексных чисел.
Рассмотрим результат деления комплексных чисел в показательной форме:
(22)
Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей исходных чисел,
а фаза равна разности фаз исходных чисел.
При этом необходимо потребовать, чтобы был не равен нулю,
иначе у нас появится деление на ноль при расчете модуля частного.
Рассмотрим теперь деление комплексных чисел в алгебраической форме:
(23)
Домножим и числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:
(24)
Выводы
В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Введено понятие мнимой единицы.
Подробно рассмотрена комплексная плоскость и представление комплексных чисел в алгебраической,
тригонометрической и показательной формах.
Введены понятия модуля и фазы комплексного числа.
Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами.
Показано как выполнять операции сложения, вычитания в алгебраической форме,
введено понятие комплексно-сопряженных чисел,
а также операции умножения и деления в показательной и алгебраической формах.
Информация была полезна? Поделитесь с друзьями!
Список литературы
[1]
Пантелеев А.В., Якимова А.С.
Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2011.
[2]
Дубровин В.Т.
Теория функций комплексного переменного. Теория и практика
Казань: Казанский государственный университет, 2010.
[PDF]
Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:41:15)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14
Комплексные числа
Комплексный номер
Комплексное число представляет собой комбинацию Действительного числа и Воображаемого числа
Реальные числа — это такие числа, как:
1
12,38
−0,8625
3/4
√2
1998
Почти любое число, которое вы можете придумать, является действительным числом!
Мнимые числа, когда в квадрате дают отрицательный результат .
Обычно этого не происходит, потому что:
когда мы возводим в квадрат положительное число, мы получаем положительный результат, а
, когда мы возводим в квадрат отрицательное число, мы также получаем положительный результат (поскольку отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительный результат), например, −2 × −2 = +4
Но представьте, что такие числа существуют, потому что они нам нужны.
Поговорим еще о мнимых числах…
«Единичное» мнимое число (например, 1 для действительных чисел) равно i, которое является квадратным корнем из −1
Потому что, возведя i в квадрат, мы получим −1
i 2 = −1
Примеры мнимых чисел Номера:
3i
1.04i
−2,8i
3i/4
(√2)я
1998i
И мы держим здесь маленькую букву «i», чтобы напомнить себе, что нам нужно умножить на √−1
Комплексные числа
Когда мы объединяем действительное число и мнимое число, мы получаем комплексное число :
.
Примеры:
1 + я
39 + 3i
0,8 − 2,2i
−2 + πi
√2 + i/2
Может ли число быть комбинацией двух чисел?
Можем ли мы составить число из двух других чисел? Мы можем точно!
Мы постоянно делаем это с дробями. Дробь 3 / 8 — это число, состоящее из 3 и 8. Мы знаем, что это означает «3 из 8 равных частей».
Комплексное число — это всего лишь два числа, сложенные вместе (действительное и мнимое число).
Любая часть может быть равна нулю
Итак, у комплексного числа есть действительная и мнимая части.
Но любая часть может быть 0 , поэтому все действительные числа и мнимые числа также являются комплексными числами.
Комплексный номер
Реальная часть
Воображаемая часть
3 + 2i
3
2
5
5
0
Чисто настоящий
−6i
0
−6
Чисто воображаемый
Сложно?
Комплекс , а не означает сложный.
Это означает, что два типа чисел, действительные и мнимые, вместе образуют комплекс , точно так же, как комплекс зданий (здания, соединенные вместе).
Визуальное объяснение
Вы знаете, как идет числовая линия влево-вправо ?
Хорошо, пусть мнимые числа идут вверх-вниз :
И получаем Сложный Самолет
Комплексное число теперь может отображаться в виде точки:
Комплекс № 3+4 i
Добавление
Чтобы сложить два комплексных числа, складываем каждую часть отдельно:
(а+б я ) + (с+г я ) = (а+с) + (б+г) я
Пример: добавьте комплексные числа
3 + 2 i и 1 + 7 i
добавьте действительные числа и
добавить мнимые числа:
(3 + 2i) + (1 + 7i) = 3 + 1 + (2 + 7) i = 4 + 9i
Попробуем еще:
Пример: добавьте комплексные числа
3 + 5 i и 4 − 3 i
(3 + 5 i ) + (4 − 3 i ) = 3 + 4 + (5 − 3) i 90 + 3 2 0
На комплексной плоскости это:
Умножение
Чтобы умножить комплексные числа:
Каждая часть первого комплексного числа умножается на каждая часть второго комплексного числа
Просто используйте «FOIL», что означает » F первоначальных, O маточных, I внутренних, L астровых» (подробнее см. Биномиальное умножение):
Комплексное число — определение, формула, свойства, примеры
Комплексные числа помогают найти квадратный корень из отрицательных чисел. Концепция комплексных чисел была впервые упомянута в I веке греческим математиком Героем Александрийским, когда он пытался найти квадратный корень из отрицательного числа. Но он просто изменил отрицательное значение на положительное и просто взял числовой корень. Кроме того, реальная идентичность комплексного числа была определена в 16 веке итальянским математиком Джероламо Кардано в процессе нахождения отрицательных корней кубических и квадратичных полиномиальных выражений.
Комплексные числа находят применение во многих научных исследованиях, обработке сигналов, электромагнетизме, гидродинамике, квантовой механике и анализе вибрации. Здесь мы можем понять определение, терминологию, визуализацию комплексных чисел, свойства и операции с комплексными числами.
1.
Что такое комплексные числа?
2.
График комплексных чисел
3.
Свойства комплексных чисел
4.
Операции над комплексными числами
5.
Алгебраические тождества комплексных чисел
6.
Решенные примеры
7.
Практические вопросы
8.
Часто задаваемые вопросы о комплексных числах
Что такое комплексные числа?
Комплексное число – это сумма действительного числа и мнимого числа. Комплексное число имеет вид a + ib и обычно обозначается буквой z. Здесь и a, и b – действительные числа. Величина «а» называется действительной частью, которая обозначается Re(z), а «b» называется мнимой частью Im(z). Также ib называют мнимым числом.
Примерами комплексных чисел являются \(2+3i, -2-5i, \,\,\dfrac 1 2 + i\dfrac 3 2\) и т. д.
Степень i
Алфавит i называется йотой и полезен для представления мнимой части комплексного числа. Кроме того, йота (i) очень полезна для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. У нас есть значение i 2 = -1, и оно используется для нахождения значения √-4 = √i 2 4 = + 2i Значение i 2 = -1 является основным аспектом комплексного числа. Давайте попробуем понять больше о возрастающих силах i.
я = √-1
i 2 = -1
i 3 = i.i 2 = i(-1) = -i
i 4 = (i 2 ) 2 = (-1) 2 = 1
i 4n = 1
я 4n + 1 = я
i 4n + 2 = -1
i 4n + 3 = -i
График комплексных чисел
Комплексное число состоит из действительной и мнимой частей, которые можно рассматривать как упорядоченную пару (Re(z), Im(z)) и представлять в виде точек координат на евклидовой плоскости. Евклидова плоскость применительно к комплексным числам называется комплексной плоскостью или Плоскостью Аргана, названной в честь Жана-Роберта Аргана. Комплексное число z = a + ib представлено действительной частью — a относительно оси x и мнимой частью -ib относительно оси y. Давайте попробуем понять два важных термина, относящихся к представлению комплексных чисел на аргановой плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. 92}\)|. Кроме того, это можно понимать как полученное из теоремы Пифагора, где модуль представляет собой гипотенузу, действительную часть — это основание, а мнимую часть — высоту прямоугольного треугольника.
Аргумент комплексного числа
Угол, образованный линией, соединяющей геометрическое представление комплексного числа и начало координат с положительной осью X в направлении против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа. Аргумент комплексного числа является обратным отношением тангенса мнимой части к действительной части комплексного числа. {-1}\frac{b}{a}\). 9{-1}\frac{b}{a}\)).
Свойства комплексного номера
Следующие свойства комплексных чисел помогают лучше понять комплексные числа, а также выполнять различные арифметические операции над комплексными числами.
Сопряжение комплексного числа
Сопряжение комплексного числа образуется путем взятия той же действительной части комплексного числа и замены мнимой части комплексного числа на ее аддитивную обратную. Если сумма и произведение двух комплексных чисел являются действительными числами, то они называются сопряженными комплексными числами. Для комплексного числа z = a + ib его сопряженным является \(\bar z\) = a — ib.
Сумма комплексного числа и его сопряженного равна \(z + \bar z\) = (a + ib) + (a — ib) = 2a, а произведение этих комплексных чисел \(z.\bar z \) = (a + ib) × (a — ib) = a 2 + b 2 .
Обратная величина комплексного числа
Обратная величина комплексных чисел полезна в процессе деления одного комплексного числа на другое комплексное число. {-1}\).
Равенство комплексных чисел
Равенство комплексных чисел аналогично равенству действительных чисел. Два комплексных числа \(z_1 = a_1 + ib_1\) и \(z_2 = a_2 + ib_2 \) называются равными, если относительная часть обоих комплексных чисел равна \(a_1 = a_2\), и мнимая части обоих комплексных чисел равны \(b_1 = b_2 \). Кроме того, два комплексных числа в полярной форме равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину, а их аргумент (угол) отличается на целое кратное 2π.
Упорядочивание комплексных чисел
Упорядочивание комплексных чисел невозможно. Действительные числа и другие связанные системы счисления можно упорядочить, но нельзя упорядочить комплексные числа. Комплексные числа не имеют структуры упорядоченного поля, и нет упорядоченности комплексных чисел, совместимой со сложением и умножением. Также нетривиальная сумма квадратов в упорядоченном поле есть число \(\neq 0\), а в комплексном числе нетривиальная сумма квадратов равна i 2 + 1 2 = 0. Комплексные числа можно измерить и представить на двумерной арграндовой плоскости по их величине, которая является расстоянием от начала координат.
Формула Эйлера: В соответствии с формулой Эйлера для любого действительного значения θ мы имеем e iθ = Cosθ + iSinθ, и оно представляет комплексное число в координатной плоскости, где Cosθ – действительная часть, представленная относительно ось x, Sinθ – мнимая часть, представленная относительно оси y, θ – угол, образованный по отношению к оси x и воображаемой линии, соединяющей начало координат и комплексное число. Согласно формуле Эйлера и функциональному представлению x и y имеем e x + iy = e x (уютно + isiny) = e x уютно + т.е. x сине. Это разлагает экспоненциальную функцию на ее действительную и мнимую части.
Операции над комплексными числами
Различные операции сложения, вычитания, умножения, деления натуральных чисел можно выполнять и для комплексных чисел. Детали различных арифметических операций с комплексными числами заключаются в следующем.
Сложение комплексных чисел
Сложение комплексных чисел аналогично сложению натуральных чисел. Здесь в комплексных числах действительная часть добавляется к действительной части, а мнимая часть добавляется к мнимой части. Для двух комплексных чисел вида \(z_1 = a + id\) и \(z_2 = c + id\) сумма комплексных чисел \(z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d) \). Комплексные числа следуют всем следующим свойствам сложения.
Закон замыкания: Сумма двух комплексных чисел также является комплексным числом. Для двух комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) сумма \(z_1 + z_2\) также является комплексным числом.
Коммутативный закон: Для двух комплексных чисел \(z_1\), \(z_2\) имеем \(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\).
Ассоциативный закон: Для данных трех комплексных чисел \(z_1, z_2, z_3\) имеем \(z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2)+z_3 \). 2 = -1\). Для двух комплексных чисел \(z_1\) = a + ib, \(z_2\) = c + id произведение равно \(z_1.z_2\) = (ca — bd) + i(ad + bc).
Умножение комплексных чисел в полярной форме немного отличается от упомянутой выше формы умножения. Здесь абсолютные значения двух комплексных чисел перемножаются, а их аргументы складываются для получения произведения комплексных чисел. Для комплексных чисел \(z_1 = r_1(Cos\theta_1 + iSin\theta_1)\) и z 2 = \(z_2 = r_1(Cos\theta_2 + iSin\theta_2)\) произведение комплексные числа \(z_1.z_2 = r_1.r_2(Cos(\theta_1 + \theta_2) + iSin(\theta_1 + \theta_2))\). 92 + 2z_1z_2 +2z_2z_3 +2z_3z_1\)
Связанные темы:
Комплексное сопряжение
Калькулятор комплексных чисел
Тригонометрия
Координатная плоскость
Координатная геометрия
Комплексные числа Советы и подсказки:
Все действительные числа являются комплексными числами, но не все комплексные числа должны быть действительными числами.
Все мнимые числа являются комплексными числами, но все комплексные числа не обязательно должны быть мнимыми числами. 9{2}-4(1)(1)}}{2(1)} \\[0,2 см] &=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}\\[0,2 см] \text{Здесь } &\sqrt{-3} = \sqrt{-1} \times \sqrt{3} = i \sqrt{3}\\[0,2 см] x&= \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\\[0,2 см] \end{align} \]
Таким образом, корнями данного квадратного уравнения являются: \(\frac{-1}{2}+ i\frac{\sqrt{3}}{2};\,\,\ , \ frac{-1}{2}- i\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Пример 2: Выразите сумму, разность, произведение и частное следующих комплексных чисел в виде комплексного числа.
Сумма = -1 — i Разница = -3 + 3i Продукт = 5i Деление = -4/5 — 3i/5
перейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о комплексных числах
Что такое комплексные числа в математике?
Комплексное число представляет собой комбинацию действительных и мнимых значений. Обозначается z = a + ib, где a, b — действительные числа, а i — мнимое число. i = \(\sqrt{-1}\) и никакое действительное значение не удовлетворяет уравнению i 2 = -1, поэтому I называется мнимым числом.
Для чего используются комплексные числа?
Комплексное число используется для простого нахождения квадратного корня из отрицательного числа. Здесь мы используем значение i 2 = -1 для представления отрицательного знака числа, что помогает легко найти квадратный корень. Здесь мы имеем √-4 = √i 2 4 = + 2i. {-1}\frac{b}{a} \)).
Что такое действительные и комплексные числа?
Комплексные числа являются частью действительных чисел. Некоторые действительные числа с отрицательным знаком трудно вычислить, и мы представляем отрицательный знак с помощью йоты «i», и такое представление чисел вместе с «i» называется комплексным числом. Дополнительные комплексные числа полезны для нахождения квадратного корня из отрицательного числа, а также для нахождения отрицательных корней квадратного или полиномиального выражения.
Как делить комплексные числа? 92)}\).
Как строить графики комплексных чисел?
Комплексное число вида z = a + ib может быть представлено в плоскости арганда. Комплексное число z = a + ib может быть представлено в виде координат точки как (Re(z), Im(z)) = (a, ib). Здесь действительная часть представлена относительно оси x, а мнимая часть представлена относительно оси y.
Как преобразовать комплексные числа в полярную форму?
Комплексный номер можно легко преобразовать в полярную форму.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Вопрос 1 из 10
6 х 8
12
14
48
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 2 из 10
6 х 4
24
10
2
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 3 из 10
6 х 9
15
54
48
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 4 из 10
6 х 0
6
0
2
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 5 из 10
6 х 6
12
10
36
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 6 из 10
6 х 1
6
7
5
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 7 из 10
6 х 3
9
3
18
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 8 из 10
6 х 5
30
11
1
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 9 из 10
6 х 7
13
42
1
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 10 из 10
6 х 2
12
4
8
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Тест «Таблица умножения на 6» по математике рассчитан на учеников начальных классов. С его помощью можно легко систематизировать и закрепить материал по теме. Это удобный способ разнообразить изучение простейших примеров на деление. Если тест не удалось пройти с первого раза, нужно доучить материал и пройти его еще раз. Задания доступны в онлайн режиме, просматривать их можно с любого доступного устройства.
Рейтинг теста
4.8
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 869.
А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.
Карточки для проверки таблицы умножения | Тренажёр по математике (3 класс):
Данные карточки помогут учителю проверить таблицу умножения и деления.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Имя
3*8=
4*7=
3*5=
6*2=
5*6=
8*8=
2*3=
5*8=
7:1=
8*4=
18:2=
4*9=
9:3=
3*9=
24:4=
7*9=
28:4=
8*9=
40:5=
9*8=
36:4=
9*9=
27:9=
7*2=
30:5=
9*2=
16:8=
2*5=
36:9=
6*3=
54:9=
6*8=
70:10=
5*8=
42:7=
6*4=
64:8=
4*3=
36:4=
5*6=
Имя
_____________
2*7=
30:10=
9*3=
30:5=
9*5=
24:4=
4*5=
36:9=
5*3=
21:3=
2*6=
45:9=
2*6=
24:3=
7*5=
21:7=
3*4=
18:2=
6*6=
16:2=
8*5=
14:2=
7*7=
45:9=
8*5=
63:9=
9*7=
54:9=
3*9=
18:2=
1*8=
28:7=
6*5=
70:7=
4*8=
36:9=
8*9=
48:8=
9*7=
Имя
_____________
3*7=
50:10=
7*3=
35:5=
8*5=
24:6=
5*5=
36:6=
4*3=
24:3=
3*6=
36:9=
4*6=
27:3=
8*5=
28:7=
4*4=
20:2=
7*6=
18:2=
8*5=
16:2=
4*7=
54:9=
7*5=
72:9=
8*7=
81:9=
3*9=
14:2=
3*8=
56:7=
7*5=
80:8=
6*8=
63:9=
3*9=
56:8=
8*7=
Имя
_____________
4*7=
60:10=
8*3=
40:5=
7*5=
28:4=
4*5=
45:9=
5*3=
30:3=
4*6=
81:9=
2*6=
24:3=
7*5=
21:7=
5*4=
12:2=
6*6=
16:2=
7*5=
18:2=
6*7=
45:9=
8*5=
81:9=
4*7=
18:9=
4*9=
10:2=
1*9=
49:7=
9*5=
70:7=
3*8=
27:9=
3*9=
40:8=
4*7=
Имя
_____________
5*7=
40:10=
9*3=
45:5=
9*5=
36:4=
2*5=
36:9=
9*3=
27:3=
2*6=
54:9=
8*6=
15:3=
5*5=
35:7=
3*4=
8:2=
4*6=
14:2=
6*5=
14:2=
9*7=
36:9=
8*7=
63:9=
2*7=
72:9=
6*9=
12:2=
1*4=
35:7=
6*5=
80:8=
4*8=
9:9=
8*9=
32:8=
2*7=
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Карточки для проверки таблицы умножения и деления на 2 3 4
индивидуальные карточки для проверки табличного умножения и деления. ..
Карточки для проверки таблицы умножения и деления на 2,3,4,5,6,7,8,9.
Можно использовать как на уроках, так и при отработке таблицы умножения дома. Предложенные карточки помогут учителю проверить у учащихся знания таблицы умножения.Цель: проверка знания учащимися т…
Индивидуальные карточки для проверки таблицы умножения
Карточки для индивидуальной работы по математике…
Карточки для проверки таблицы умножения.
Эти карточки использую на уроках математики для проверки знания таблицы умножения….
Карточки для проверки таблицы умножения и деления
Таблица умножения и деления…
Карточки для проверки таблицы умножения
Данная табличка не имеет отношения к таблице Пифагора. В ней расположены числа в свободном порядке. Ученик решает данные ему примеры, находит значение произведения в табличке и закрашивает в соответст…
Карточки для проверки таблицы умножения. 2 класс
Карточки для проверки таблицы умножения. 2 класс…
Поделиться:
Math Tables of 6 — Изучите таблицу умножения для детей
Почему вашему ребенку нужно выучить таблицу 6?
Что такое таблица умножения на 6 в математике?
Таблица умножения 6
Таблица умножения на 6 для детей
Советы по изучению и запоминанию таблицы умножения 6 для детей
Простые вопросы, которые помогут детям повторить таблицу 6
Словесные задачи по таблице умножения на 6 для детей
Часто задаваемые вопросы
Все мы знаем, что таблица умножения является основой математики. Для маленьких детей изучение таблицы 6 по математике часто оказывается не очень удобной задачей. Большинство детей очень легко усваивают таблицы до пяти. Но борьба начинается, как только урок по таблице умножения 6 становится под вопросом. Большинству детей будет трудно решать задачи с большими числами в будущем. Если ученик не может вычислять большие числа в быстром темпе, то его изучение математики не продвинется далеко. Как родители или учителя, мы бы не хотели этого для наших детей. Заучивание таблицы умножения наизусть обеспечивает прочную арифметическую основу. Продолжайте читать статью, чтобы узнать о советах и хитростях, стоящих за ней.
Зачем вашему ребенку нужно учить таблицу 6?
Таблицы умножения составляют основу математических навыков.
Таблица умножения на 6 — это тот момент, когда таблица умножения становится сложнее для ученика. Поэтому важно выучить его наизусть.
Таблицы с 1 по 10 являются основами математики для юных учеников. Хорошее обучение по ним может помочь ученику расти в математике.
Таблицы помогают нам решать сложные задачи на умножение и деление. Понимание сложных таблиц, начиная с 6, поможет ученикам в дальнейшем.
Если ваш ребенок мечтает принять участие в конкурсных экзаменах, ему просто необходимо уметь быстро считать. Несколько столов, начиная с 6, помогут им в таких соревнованиях на время.
Что такое таблица умножения на 6 в математике?
Как и другие таблицы умножения, шестую таблицу можно правильно выучить, если начать ее рано. Вы можете объяснить юному ученику таблицу умножения на 6 с помощью схемы, приведенной ниже.
6 х 1 = 6
6
6 х 2 = 12
6+6 = 12
6 х 3 = 18
6+6+6 = 18
6 х 4 = 24
6+6+6+6 = 24
6 х 5 = 30
6+6+6+6+6 = 30
6 х 6 = 36
6+6+6+6+6+6 = 36
6 х 7 = 42
6+6+6+6+6+6+6 = 42
6 х 8 = 48
6+6+6+6+6+6+6+6 = 48
6 х 9 = 54
6+6+6+6+6+6+6+6+6 = 54
6 х 10 = 60
6+6+6+6+6+6+6+6+6+6 = 60
6 х 11 = 66
6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6 = 66
6 х 12 = 72
6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6 = 72
Таблица умножения 6
По мере того, как ребенок продвигается в учебе, ему необходимо выучить таблицу умножения от 6 до 20. Это поможет ему быстро выполнять вычисления.
6 х 1 = 6
6 х 11 = 66
6 х 2 = 12
6 х 12 = 72
6 х 3 = 18
6 х 13 = 78
6 х 4 = 24
6 х 14 = 84
6 х 5 = 30
6 х 15 = 90
6 х 6 = 36
6 х 16 = 96
6 х 7 = 42
6 х 17 = 102
6 х 8 = 48
6 х 18 = 108
6 х 9 = 54
6 х 19 = 114
6 х 10 = 60
6 х 20 = 120
Таблица умножения на 6 для детей
Сделайте распечатку таблицы или скопируйте ее на чистый лист бумаги и повесьте таблицу в месте, где ученик может ее часто видеть. Это поможет создать долговременный образ таблицы в их памяти, заставляя их быстрее выучить таблицу 6 от 6 х 1 до 6 х 12.
6 Табличная таблица до 10
Приведенная выше таблица предназначена для умножения 6 от 6 x 1 до 6 x 10, которую вы можете использовать для занятий с математикой вашего ребенка. Просто найдите способ, чтобы ваш ребенок неоднократно просматривал таблицу и был уверен в развитии своих математических навыков.
6 Таблица таблиц до 20
После того, как ваш ребенок выучил наизусть таблицу 6 от 6 x 1 до 6 x 10, пришло время подтолкнуть его дальше. Предложите им выучить таблицу умножения 6 от 6 х 11 до 6 х 20. Таблица, приведенная ниже, поможет им в этом.
Советы по изучению и запоминанию таблицы умножения на 6 для детей
Изучение таблицы умножения на 6 или любой другой таблицы умножения иногда может быть трудным. Всегда есть простой способ запомнить таблицы умножения на 6 или другие таблицы. Итак, вот трюк за столом и другие советы, которые помогут вашему ребенку учиться быстрее и лучше.
Найти ответы с помощью сложения: Поскольку умножение — это более короткий способ сложения числа несколько раз, мы можем учить наших детей сложению за таблицей 6.
Например,
1. Дважды прибавив 6, мы получим значение 6, умноженное на 2, как показано ниже.
6 x 2 = 6 + 6 = 12.
2. Прибавляя 6 семь раз, мы получаем значение 6, умноженное на 7, как показано ниже.
6 x 7 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42.
Использование таблицы умножения на 3: Большинству детей очень нравится таблица умножения 3. Число 6 в 2 раза больше числа 3. Вы можете использовать 3 таблицы, чтобы научить вашего ребенка таблице 6.
Например,
Если вопрос 6 х 5, то узнайте, сколько будет 3 х 5 и умножьте ответ на 2.
Так как 3 х 5 = 15.
Итак, 6 х 5 = 2 х 15 = 30.
2. Если вопрос 6 х 4, то узнайте, сколько будет 3 х 4 и умножьте ответ на 2.
Поскольку 3 x 4 = 12.
Итак, 6 x 4 = 2 x 12 = 24.
Использование таблицы умножения на 5: Таблица 5 очень проста почти для каждого ребенка. Вы можете использовать таблицу умножения на 5, чтобы научить таблицу умножения на 6 с помощью трюка. Любая цифра, умноженная на 5, а затем та же самая цифра, добавленная к результату, всегда дает таблицу умножения на 6.
Например,
1. Когда вопрос 6 х 2 =?
Так как 5 х 2 = 10, 10 + 2 = 12.
Итак, 6 х 2 = 12.
2. Когда вопрос 6 х 5 =?
Так как, 5 x 5 = 25, 25 + 5 = 30.
Итак, 6 x 5 = 30.
Идентификация основного шаблона: В таблице 6 есть шаблон. Произведение заканчивается на 6, 2, 8, 4, 0 подряд.
Например,
6 x 1 = 6 912 = 30 6 x 6 = 36 6 x 7 = 42 6 x 8 = 48 6 х 9 = 54 6 x 10 = 60
Добавление 6 к предыдущему ответу: Вы всегда можете добавить число к предыдущему ответу, чтобы получить полную таблицу.
Например,
6 х 1 = 6
6 х 2 = 6 + 6 = 12
6 х 3 = 12 + 6 = 18
6 х 4 = 18 + 6 = 24 и так далее.
Простые вопросы, которые помогут детям повторить таблицу 6
Задайте эти простые вопросы своим детям, чтобы они выучили таблицу 6.
Словесные задачи по таблице умножения на 6 для детей
Словесные задачи — отличный способ укрепить математические способности вашего ребенка. Это идеальный способ научить вашего ребенка выучить таблицу на 6. Вот некоторые задачи с использованием таблицы 6:
1. Каково произведение 6 и 8?
Решение: Произведение 6 и 8 означает
6 X 8 = 48
Таким образом, ответ равен 48.
2. Умножьте произведение 6 и 8 на 5.
Решение: Первый шаг — найти произведение 6 и 8
т.е. 6 x 8 = 48
На втором шаге умножить произведение на 6 и 8, то есть 48 с 5
48 X 5 = 240
Итак, ответ 240.
3. Чему равно произведение 6 и 11? 0 1.э. 6 x 11 = 66
Таким образом, ответ равен 66.
Часто задаваемые вопросы
1. Как была получена таблица 6?
Таблица 6 получается путем добавления 6 каждый раз. Вот как мы можем получить таблицу:
Вы можете научить своего ребенка 6-й таблице умножения и в другом формате. Вы можете написать таблицу для шести словами, как указано ниже.
6 раз 1 равно 6 6 раз 2 равно 12 6 раз 3 равно 18 6 умножить на 4 равно 24 6 умножить на 5 равно 30 и так далее.
Важно, чтобы у детей были таблицы с однозначными цифрами в подсказках, чтобы иметь прочную математическую подготовку, и это поможет детям в вычислениях и решении сложных задач.
Читайте также:
Изучите математическую таблицу 7 для детей 8 Таблица умножения с диаграммой для детей Таблица умножения 9 для детей, чтобы выучить
Как создать таблицу умножения для любого числа в Python
Goodness Chidinma Abarugo
Grokking the Behavioral Interview
Многим кандидатам отказывают или понижают их уровень на технических собеседованиях из-за плохой успеваемости на собеседованиях поведенческого или культурного соответствия. Пройдите собеседование с помощью этого бесплатного курса, где вы будете практиковаться, уверенно отвечая на поведенческие вопросы интервью.
Обзор
В Python мы можем создать таблицу умножения для любого числа, комбинируя input() и range() функции с оператором цикла.
Функция
input()
Функция input() используется для приема ввода от пользователя. Если требуемый тип данных явно не определен, любое значение, введенное пользователем в приглашении, сохраняется в памяти в виде строки.
Синтаксис
ввод (подсказка)
Параметр
приглашение : Строка, заключенная в одинарные или двойные кавычки. Его наличие делает наш код более интерактивным. Это необязательный параметр.
Функция
range()
Функция range() позволяет нам автоматически создавать серию чисел. Мы перебираем серию, выполняя некоторые строки кода, пока не придем к последнему числу в серии.
Синтаксис
диапазон(старт, стоп, шаг)
Параметры
начало : первое число в серии. Это необязательный параметр.
стоп : Последний номер в серии. Это обязательный параметр.
шаг : размер шага, на который мы хотим увеличить или уменьшить нашу серию. Это необязательный параметр.
Примечание. Если указан только один параметр, этот параметр классифицируется как параметр стоп , а параметры пуск и шаг принимаются как 0 и 1 соответственно.
Циклы
Циклы полезны, когда мы хотим выполнить строку или блок кода более одного раза, при условии выполнения условия или до тех пор, пока не будет достигнуто последнее значение в серии.
Мы будем использовать для и , пока зацикливаются в этой задаче. Существует небольшая разница между синтаксисом цикла для и в то время как . Цикл for работает в пределах диапазона, а цикл while работает только при выполнении одного или нескольких условий.
Синтаксис
# для цикла
для х последовательно:
Сделай что-нибудь
# пока цикл
пока выполняется условие:
Сделай что-нибудь
Создайте таблицу умножения
Мы создадим нашу таблицу умножения на основе приведенной ниже блок-схемы:
Создание таблицы умножения
Наша вышеприведенная блок-схема преобразуется в следующий алгоритм:
Запустите программу.
Получить целочисленное значение от пользователя.
Далее мы определим диапазон или условие. Диапазон будет использоваться в цикле для , а условие будет использоваться в цикле while .
Наконец, код проверит наш предмет или состояние. Код в цикле будет продолжать выполняться до тех пор, пока элементы не окажутся за пределами диапазона или не будут выполнены условия.
Код с использованием цикла
на
Мы будем использовать следующий код для создания таблицы умножения с использованием цикла на .
ourNum = int(input("Введите число, для которого вы хотите создать таблицу умножения, затем нажмите клавишу `enter`: "))
ourRange = range(1,6)
для x в ourRange:
result = ourNum * x
print(ourNum," * ",x," = ",result)
Таблица умножения с использованием цикла for
В строке 1 запрашиваем номер у пользователя. Для этого числа будет создана таблица умножения. Мы преобразуем число в целочисленный тип данных, заключая наши input() в int() .
В строке 2 мы определяем ourRange , который включает числа от 1 до 5.
Далее, в строке 3, мы запускаем наш цикл для и определяем x как переменную для хранения элементов, хранящихся в переменной ourRange .
В строке 4 мы используем переменную результата для хранения значения произведения заданного пользователем числа и текущего элемента в диапазоне.
В строке 5 мы отображаем заданное пользователем число, знак умножения, текущий элемент в ряду, знак равенства и значение, хранящееся в переменной результата на каждой итерации.
Вывод
Введите число, для которого вы хотите создать таблицу умножения, затем нажмите клавишу ввода:7
7 * 1 = 7
7 * 2 = 14
7 * 3 = 21
7 * 4 = 28
7 * 5 = 35
Примечание. Во время выполнения кода от пользователя требуется целое число. Поэтому мы введем 7 в качестве числа, для которого мы хотим создать таблицу умножения. В нашем выводе цикл завершается после умножения на 5 вместо 6 . Это связано с тем, что последний элемент в диапазоне не используется во время выполнения кода.
Код с использованием цикла
while
Мы будем использовать приведенный ниже код для создания таблицы умножения с использованием цикла while .
ourNum = int(input("Введите число, для которого вы хотите создать таблицу умножения, затем нажмите клавишу `enter`: "))
p = 1
пока p < 6:
result = ourNum * p
print(ourNum, " * ", p," = ",result)
p = p + 1
Таблица умножения используя цикл while
Объяснение
В отличие от цикла for , нашему циклу while для выполнения итерации требуется счетчик.
В строке 1 мы запрашиваем у пользователя целое число.
В строке 2 мы устанавливаем p в качестве переменной, которая содержит наш счетчик, и устанавливаем его начальное значение равным 9.0421 1 .
В строке 3 мы указываем, что блок кода в нашем цикле while будет выполняться только до тех пор, пока p меньше 6 .
В строке 4 мы получаем произведение введенного числа на текущее число в ряду.
Калькуляторы по теории вероятностей. Найти вероятность онлайн легко!
Кто сейчас не пользуется калькуляторами? Да только не обычными, а онлайн-версиями. Дошел прогресс и до теории вероятностей, и к вашим услугам несколько бесплатных калькуляторов, позволяющих решить стандартные задачи теории вероятностей. Выбирайте нужный из списка и переходите к решению.
Практические все калькуляторы снабжены подробной теорией, помогающей решить данный тип задач и примерами, которые помогут разобраться в теме. Помните, что калькулятор — прежде всего помощь в числовых расчетах, а понимание сути задачи и решения — важнее (и это вы тоже найдете у нас).
Найти вероятность онлайн? Без проблем!
Комбинаторика
Вычисление числа перестановок онлайн
Вычисление числа размещений онлайн
Вычисление числа сочетаний онлайн
Вычисление числа перестановок с повторениями онлайн
Вычисление числа размещений с повторениями онлайн
Вычисление числа сочетаний с повторениями онлайн
Подробнее о комбинаторных калькуляторах
Классическая вероятность
Гипергеометрическая вероятность. Общая формула, вывод (доказательство), и разбор с подробными примерами и калькуляторами следующих типов задач:
Задача про шары (в урне находится $k$ белых и $n$ черных шаров, вынимают $m$ шаров…)
Задача про детали (в ящике находится $k$ стандартных и $n$ бракованных деталей, вынимают $m$ деталей…)
Задача про лотерейные билеты (в лотерее участвуют $k$ выигрышных и $n$ безвыигрышных билета, куплено $m$ билетов…)
Схема независимых испытаний Бернулли
Формула Бернулли. Общая формула, разбор с подробными примерами и калькуляторами следующих типов задач:
Задача про партии в шахматы
Задача про выстрелы
Задача про мальчиков и девочек
Задача про лотерейные билеты
Задача о наивероятнейшем значении
Формула Пуассона
Сложение и умножение вероятностей
Задача про стрелков и выстрелы по мишени. Теория, примеры решенных и калькулятор типовой задачи для 2 и 3 стрелков.
Дискретная случайная величина
Как найти математическое ожидание случайной величины?
Как найти дисперсию случайной величины?
Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины, заданной рядом распределения. Основные формулы и автоматический расчет для ваших данных.
Закажите решение задач по теории вероятности
Узнать цену сегодня
Калькуляторы не подошли? Используй решебник!
Более 11000 задач с полными и подробными решениями по теории вероятностей и математической статистике.
Изучаем теорию вероятностей
Тервер для чайников — онлайн учебник
Скачать учебники по теории вероятности
Формулы и таблицы по теории вероятности
Решенные контрольные по теории вероятности
Как найти вероятность в задачах про подбрасывания монеты?
Как найти вероятность в задачах про подбрасывание игральных костей?
Расчет Вероятности — как найти вероятность
расчет вероятности помогает рассчитать вероятность для одного события, нескольких событий, двух событий, для серии событий, а также событий с условной вероятностью. Если вы хотите рассчитать вероятность a и b и для любого количества событий, то приведенный выше калькулятор вероятностей подойдет вам лучше всего!
Что ж, переходим к делу; просто прочтите этот пост, чтобы узнать, как рассчитать вероятность, различные уравнения вероятности, все формулы вероятности, статистический калькулятор вероятности и многое другое, что вам нужно знать о вероятности.
Итак, давайте начнем с наилучшего определения вероятности!
Что такое вероятность в статистике?
Под вероятностью понимается вероятность наступления события или нескольких событий. Вероятность – это то, что указывает на возможность достижения определенного результата и может быть рассчитано с помощью простой формулы вероятности.
Происхождение теории вероятностей начинается с изучения таких игр, как игра в кости, подбрасывание монет, карт и т. Д. Но в настоящее время вероятность имеет большое значение при принятии решений. Классическая теория показывает, что вероятность – это отношение благоприятного случая к общему количеству равновероятных случаев. Субъективный подход показывает, что вероятность события определяется человеком на основе имеющихся у него / нее свидетельств.
Исследование о вероятности:
Идея вероятности как полезной науки принадлежит известным французским математикам Блезу Паскалю и Пьеру де Ферма.
Согласно «Исчислению, том II» Тома М. Апостола, и Блез Паскаль, и Пьер де Ферма решали проблему с азартными играми в 1954 году. Они лучше всего работают при определении количества ходов, необходимых для получения 6 при броске двух кубиков. Да, дискуссии Паскаля и де Ферма заложили основу концепции теории вероятностей.
Какова формула вероятности?
Формула вероятности события следующая:
P (A) = количество благоприятных исходов / общее количество благоприятных исходов
Или формула вероятности:
P (A) = n (E) / n (S)
Где,
P (A) называется вероятностью события «A»
n (E) называется числом благоприятных исходов.
n (S) называется числом событий в выборке
Примечание. Здесь благоприятный исход указывается как интересующий результат.
Теперь давайте посмотрим на основные формулы вероятности!
Каковы основные формулы вероятности?
Проведите вниз!
Диапазон вероятности:
0 ≤ P (A) ≤ 1
Правило сложения:
P (A∪B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)
Правило дополнительных событий:
P (A ’) + P (A) = 1
Непересекающиеся события:
P (A∩B) = 0
Независимые мероприятия:
P (A∩B) = P (A) ⋅ P (B)
Условная возможность:
P (A | B) = P (A∩B) / P (B)
Формула Байеса:
Р (А | В) = Р (В | А) ⋅ Р (А) / Р (В)
Что ж, ближе к делу: вычисление обозначений вероятности становится простым с помощью статистических событий или калькулятора условной вероятности.
О калькуляторе вероятностей:
расчет вероятности – это продвинутый инструмент, который позволяет узнать вероятность одного события, нескольких событий, двух событий и для серии событий. Кроме того, этот калькулятор работает как калькулятор условной вероятности, так как помогает вычислить условную вероятность заданного входа. Короче говоря, определение вероятности становится простым с помощью этого калькулятора вероятностных событий. Помимо уравнения вероятности, вы можете легко найти вероятность с помощью этого калькулятора вероятностей.
как решать задачи на вероятность с помощью калькулятора:
Что ж, вы можете легко рассчитать условные или вероятностные события с помощью этого калькулятора вероятностных событий, поскольку он загружен с удобным интерфейсом, он на 100% бесплатен для вычисления вероятностей. Читать дальше!
Рассчитайте вероятность для одного события:
Вход:
Прежде всего, вам нужно выбрать опцию «Single Probability» из выпадающего меню калькулятора.
Затем вы должны ввести количество возможных результатов в специальное поле.
Теперь вам нужно ввести количество произошедших событий (n) A в назначенное поле.
Вывод:
После этого нажмите кнопку «Рассчитать», расчет вероятности одного события сгенерирует:
Вероятность наступления события P (A) как в десятичном, так и в процентах
Вероятность события, которое не произойдет, P (A ‘) как в десятичном, так и в процентном выражении
Рассчитайте вероятность нескольких событий:
Вход:
Прежде всего, вы должны выбрать опцию «Вероятность нескольких событий» из раскрывающегося меню этого калькулятора вероятности для нескольких событий.
Сразу после этого вы должны ввести количество событий (n) A в заданные поля
Затем вы должны ввести количество событий (n) B в специальное поле этого калькулятора.
Вывод:
После того, как вы ввели все вышеперечисленные параметры, нажмите кнопку «Рассчитать», и этот расчет вероятности нескольких событий сгенерирует:
Вероятность наступления события P (A) как в десятичном, так и в процентах
Вероятность события, которое не произойдет, P (A ‘) как в десятичном, так и в процентном выражении
Вероятность наступления события B P (B) как в десятичном, так и в процентном выражении
Вероятность того, что событие B не произойдет, P (B ‘) как в десятичном, так и в процентном выражении
Вероятность наступления обоих событий P (A ∩ B) как в десятичной, так и в процентной форме.
Вероятность наступления любого из событий P (A ∪ B) как в десятичной, так и в процентной форме.
Условная вероятность P (A | B) как в десятичной, так и в процентной форме
Рассчитайте вероятность двух событий:
Вход:
Во-первых, вы должны выбрать опцию «Вероятность двух событий» в раскрывающемся меню этого калькулятора вероятности двух событий.
Затем вам нужно выбрать формат ввода, хотите ли вы добавить значения в десятичном формате или в процентах.
Сразу после этого вы должны добавить значение вероятности P (A) в обозначенное поле.
Затем вы должны добавить значение вероятности P (B) в обозначенное поле.
Вывод:
После того, как вы добавите все значения в указанные поля, нажмите кнопку вычислить, калькулятор вероятности двух событий сгенерирует:
Вероятность того, что событие не произойдет P (A ‘)
Вероятность того, что событие B не произойдет P (B ‘)
Вероятность наступления обоих событий P (A ∩ B)
Вероятность наступления любого из событий P (A ∪ B)
Вероятность появления A или B, но не обоих P (AΔB)
Вероятность того, что ни A, ни B не встретятся P ((A∪B) ‘)
Вероятность появления B, но не A
Калькулятор покажет все указанные выше значения как в десятичном, так и в процентном формате.
Рассчитайте вероятность серии событий:
Вход:
Прежде всего, вы должны выбрать опцию «Вероятность серии событий» в соответствующем поле этого калькулятора вероятности серии событий.
Затем вы должны ввести значение вероятности и количество повторов для «События А» в предназначенное для этого поле.
Сразу после этого вы должны добавить значение вероятности и количество повторов для «События B» в данное поле.
Вывод:
После того, как вы ввели все значения в обозначенные поля, просто нажмите кнопку «Рассчитать», и эта вероятность мгновенно выдаст следующие результаты:
Вероятность появления А 2 раза
Вероятность того, что А не произойдет
Вероятность возникновения А
Вероятность появления B 4 раза
Вероятность того, что B не произойдет
Вероятность появления B
Вероятность того, что A встречается 2 раза, а B – 4 раза
Вероятность того, что не произойдет ни A, ни B
Вероятность появления как A, так и B
Вероятность появления A 2 раза, но не B
Вероятность появления B 4 раза, но не A
Вероятность появления A, но не B
Вероятность появления A, но не B
Вычислить условную вероятность P (A | B):
Вход:
Прежде всего, вы должны выбрать опцию «Условная вероятность P (A | B)» в специальном поле этого калькулятора условной вероятности.
Затем вы должны ввести значение вероятности a и b в обозначенное поле.
Затем вы должны ввести значение вероятности P (B) в предназначенное для этого поле.
Вывод:
После этого просто нажмите кнопку вычислить, калькулятор условной вероятности сгенерирует:
Условная вероятность P (A | B) как в десятичной, так и в процентной форме
К счастью, найти вероятность a и b становится легко с помощью этого калькулятора условной вероятности.
Каковы различные типы вероятностных событий:
Прочтите, чтобы узнать о различных типах вероятностных событий:
Простое событие:
Если событие E содержит только одну точку выборки из пространства выборки, оно называется простым событием или элементарным событием. Помните, что это событие, которое содержит только один результат.
Пример вероятности единичного события:
Предположим, вы бросаете кубик, вероятность выпадения 2 на кубике считается простым событием и задается как E = {2}.
Сложное событие:
Если в пространстве для выборки имеется более одной точки выборки, то это считается сложным событием. Это событие предполагает объединение двух или более событий вместе и определение вероятности такой комбинации событий.
Пример сложного события по вероятности:
Когда вы бросаете кубик, существует вероятность появления четного числа, которая называется составным событием, поскольку существует более одной возможности, есть три возможности, которые равны E = {2,4,6}.
Определенное событие:
Определенное событие называется событием, которое обязательно произойдет в любом данном эксперименте. Вероятность такого события равна 1.
Невозможное событие:
Когда событие не может произойти, это означает, что событие не может произойти, тогда это считается невозможным событием. Вероятность невозможного события обозначается как 0.
Пример невозможного события по вероятности:
Карта, которую вы вытащили из колоды, красного и черного цвета, считается невозможным.
Равно вероятные события:
Если результаты эксперимента равновероятны, то они считаются равновероятными событиями.
Пример равновероятных событий по вероятности:
Когда вы подбрасываете монету, вероятность выпадения орла и решки одинакова.
Бесплатные мероприятия:
Для события E ненаступление события называется дополнительным событием. Обычно говорят, что дополнительные события – это события, которые не могут произойти одновременно.
Пример вероятности дополнительных событий:
Когда бросается кубик, получение нечетного и четного лиц считается дополнительными событиями.
Взаимоисключающие события:
Два события называются взаимоисключающими вероятностными событиями, когда оба не могут произойти одновременно. Помните, что взаимоисключающие вероятностные события всегда имеют разный исход. Два простых события всегда считаются взаимоисключающими, тогда как два составных события могут быть, а могут и не быть!
Если A и B – два события, тогда;
(A ∩ B) = Ø
и,
Вероятность пересечения
P (A ∩ B) = 0
Вероятность союза
Р (А ∪ В) = Р (А) + Р (В)
Зависимые вероятностные события и независимые вероятностные события (примеры задач):
Опишем оба термина простыми словами:
Зависимые вероятностные события связаны друг с другом
Независимые вероятностные события не связаны между собой, значит, вероятность того, что одно произойдет, не влияет на другое.
Вероятность двух событий, происходящих вместе – зависимая вероятность:
Здесь уравнение вероятности, которое вы используете, немного отличается.
P (A и B) = P (A) • P (B | A)
Где;
P (B | A) просто обозначено как «вероятность B, если A произошло»)
Пример проблемы:
Если 85% сотрудников имеют медицинскую страховку, из 85% только 45% имели отчисления выше 1000 долларов. Итак, какой процент людей имел франшизу выше 1000 долларов?
Шаг 1:
Вам нужно преобразовать проценты двух событий в десятичные числа, давайте посмотрим на пример.
85% = 0,85.
45% = 0,45.
Шаг 2:
Теперь вам нужно умножить десятичные дроби из шага 1 вместе.
0,85 x 0,45 = 0,3825 или 38,35 процента.
Таким образом, вероятность того, что у физических лиц будет франшиза более 1000 долларов, составляет 38,35%.
Вот как рассчитать вероятность того, что два события произойдут вместе!
Вероятность двух событий, происходящих вместе – Независимая вероятность:
Все, что вам нужно, это использовать определенную формулу правила умножения. Вам следует умножить вероятность первого события на второе. Например, если вероятность события A 2/9 и события B равна 3/9, то вероятность того, что оба события происходят одновременно, равна (2/9) * (3/9) = 6/81 = 2/27.
Пример проблемы:
Шансы получить работу, на которую вы подали заявку, составляют 45%, а шансы получить квартиру, на которую вы подавали заявку, составляют 75%, тогда как насчет вероятности того, что вы получите и новую работу, и новую квартиру?
Шаг 1:
Вам следует преобразовать ваши проценты двух событий в десятичные числа, давайте взглянем на приведенный выше пример.
45% = 0,45.
75% = 0,75.
Шаг 2:
Теперь вам нужно умножить десятичные дроби из шага 2 вместе:
0,45 x 0,65 = 0,3375 или 33,75 процента.
Итак, вероятность получить работу и квартиру составляет 33,75%.
Вероятность A и B:
Вероятность A и B означает, что вы хотите знать вероятность двух событий, которые происходят одновременно. Существуют разные формулы, которые полностью зависят от того, есть ли у вас зависимые события или независимые события.
Формула для вероятности A и B (независимых событий): p (A и B) = p (A) * p (B)
Помните, что если вероятность одного события не влияет на другое, значит, у вас независимое событие. Итак, как уже упоминалось ранее, вам нужно умножить вероятность одного на вероятность другого.
Формула для вероятности A и B (зависимых событий): p (A и B) = p (A) * p (B | A)
Помимо этих уравнений вероятностей, вы можете просто добавить параметры в указанный выше калькулятор вероятностей, чтобы определить вероятность событий.
Как рассчитать вероятность (вручную, шаг за шагом)?
Помимо уравнений вероятности, вы можете просто добавить параметры в приведенный выше калькулятор вероятностей, чтобы определить вероятность событий. Но, если вы хотите рассчитать вероятность вручную, то прочтите!
Все, что вам нужно, чтобы рассчитать вероятность:
Прежде всего, вы должны определить одно событие с одним исходом.
Затем вы должны определить общее количество возможных результатов.
Затем вам нужно разделить количество событий на количество возможных результатов.
Давайте копать глубже!
Шаг № 1: Определите одно событие с одним результатом:
Первым шагом к вычислению вероятности является определение вероятности, которую вы хотите вычислить. Это может быть указано как событие, предположим, что вероятность дождливой погоды, или выпадение определенного числа на кубике. Событие должно иметь хотя бы один возможный исход. Например, если вы хотите найти вероятность выпадения тройки с кубиком при первом броске, вы должны выяснить, что есть возможный результат: означает, что вы либо бросаете тройку, либо не бросаете тройку.
Шаг № 2: Определите общее количество результатов:
Затем вы должны определить количество результатов, которые могут возникнуть в результате события, которое вы определили на первом шаге. Если мы говорим о примере броска кубика, то всего может произойти 6 исходов, поскольку на кубике 6 чисел. Итак, ясно, что для одного события – выпадения трех – может произойти 6 различных результатов.
Шаг № 3: Разделите количество событий на количество возможных результатов:
После того как вы определили вероятностное событие вместе с соответствующими результатами, вам нужно разделить общее количество событий на общее количество возможных исходов. Например, бросок кубика один раз и выпадение тройки можно считать вероятностью одного события. Таким образом, вы можете продолжать бросать кубик – следовательно, каждый бросок будет считаться одним событием.
Итак, из приведенного выше примера результат в дроби: 1/6.
Как рассчитать вероятность с несколькими случайными событиями?
Хотите мгновенно рассчитать вероятность нескольких событий, а затем просто расчет вероятности для нескольких событий. Несомненно, вычисление вероятности с несколькими случайными событиями очень похоже на вычисление вероятности с одним событием, однако есть лишь несколько дополнительных шагов, которые нужно придерживаться, чтобы достичь окончательного решения. Следующие ниже шаги показывают, как рассчитать вероятность нескольких событий:
Прежде всего, вы должны определить каждое событие, которое вы будете рассчитывать.
Затем вам нужно рассчитать вероятность каждого события.
Наконец, вам нужно умножить все вероятности вместе
Часто задаваемые вопросы (о вероятности):Как найти вероятности с процентами?
Если вы хотите рассчитать вероятность в процентах, вам следует решить задачу, как обычно, то есть вам нужно преобразовать свой ответ в процент.
Например;
Если количество желаемых результатов разделить на количество возможных событий, равное 0,25, тогда вам следует умножить ответ на 100, чтобы получить 25%. Если есть вероятность определенного исхода в процентной форме, тогда вам просто нужно разделить процент на 100, а теперь умножить его на количество событий, чтобы вычислить вероятность.
Как рассчитать вероятность на калькуляторе?
Все, что вам нужно для ввода значений в указанные выше поля, калькулятор вероятностей сделает все за вас в течение нескольких секунд.
Каковы 3 типа вероятности?
Три типа вероятности следующие:
Классический
Определение относительной частоты
Субъективная вероятность
Каковы 5 правил вероятности?
Основные правила вероятности:
Правило вероятности первое – (Для любого события A, 0 ≤ P (A) ≤ 1)
Правило вероятности два – (Сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1)
Правило вероятности третье – (Правило дополнения)
Вероятности, связанные с несколькими событиями:
Правило вероятности четвертое (правило сложения для непересекающихся событий)
Нахождение P (A и B) с помощью логики:
Правило вероятности пятое – (Общее правило сложения)
Как я могу определить вероятность при выборе случайных чисел?
Запомните все это на основе диапазона генератора случайных чисел. Например, если диапазон от 1 до 9, то вероятность получения определенного числа считается равной 1/9.
Если я брошу кубик 6 раз, какова вероятность?
Вероятность того, что он хотя бы раз выпадет на 6, составляет 66,5%.
Если я брошу обычный шестигранный кубик, какова вероятность получить 5?
Тогда ваш ответ будет 1/6, или примерно 17%.
Если один раз бросить шестигранный кубик, какова вероятность выпадения 1 или 2?
2/6, после подбрасывания кубика вероятность получить 1 равняется 1/6, а вероятность получения 2 также равна 1/6. Таким образом, 1/6 + 1/6 = 2/6 или 1/3 или 0,333.
Как рассчитать вероятность футбольных матчей?
На самом деле, ты не можешь. Единственное, от чего можно уйти, так это их умения. Помните, что игроки тоже люди, и у них может быть плохой день, а это значит, что они играют не так хорошо, как обычно!
Где мы используем вероятность в реальной жизни?
Вот примеры вероятности из реальной жизни:
Прогноз погоды
Среднее значение по крикету
Политика
Подбрасывание монеты или кубика
Страхование
Вы скорее всего погибнете в результате несчастного случая
Лотерейные билеты
Играя в карты
Вывод:
Помните, что вероятность – это то, что дает вам информацию о вероятности того, что что-то произойдет. Итак, просто воспользуйтесь приведенным выше калькулятором вероятностей, чтобы вычислить вероятность событий или в соответствии с условиями!
Other languages: Probability Calculator, olasılık hesaplama, kalkulator prawdopodobieństwa, kalkulator probabilitas, wahrscheinlichkeitsrechner, 確率 計算, 확률 계산기, pravděpodobnost kalkulačka, calculo de probabilidade, calcul de probabilité, calculo de probabilidad, calcolo probabilità, todennäköisyys laskuri, sandsynlighedsregning, sannsynlighetskalkulator.
Калькулятор вероятности, пошаговый расчет
Выберите вероятность для расчета и выберите соответствующие данные для пошаговых инструкций и решений
Возможности калькулятора вероятности:
Калькулятор зависимой вероятности
Независимый калькулятор вероятности
Условная вероятность калькулятор
Калькулятор теоремы Байеса
Как пользоваться калькулятором вероятностей?
Калькулятор вероятности выберет соответствующие формулы для расчета вашего ответа на основе типа вероятности и доступных данных. Какую вкладку выбрать?
Вы смотрите только на одно событие?
Да — используйте калькулятор отдельных событий . Введите количество наблюдаемых благоприятных событий, а также общее количество наблюдений
Нет — продолжить
Влияет ли исход одного события на исход другого?
Например, количество облаков на небе влияет на вероятность дождя.
Да — продолжить
Нет — используйте калькулятор независимых событий .
У вас есть одна условная вероятность, которую вы хотите преобразовать в другую условную вероятность (теорема Байеса)?
Да — использовать Калькулятор теоремы Байеса . Введите P(A), P(B) и P(B|A), чтобы получить P(A|B)
Нет — используйте калькулятор зависимых событий .
Общие
Вероятностная терминология
Событие – конкретный исход или набор исходов. Если бы мы бросили кубик, то и кубик с шестью, и кубик с четным числом (включая события 2, 4 и 6) были бы событиями.
Вероятность — число от 0 до 1, которое используется для описания вероятности возникновения определенного события. Для любого события E вероятность или правдоподобие этого события записывается как P(E). Независимо от того, как мы выбираем E, P(E) всегда находится в диапазоне от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1 Если P(E) = 0, то событие никогда не произойдет. Если P(E) = 1, то событие гарантированно произойдет. Обычно P(E) находится между этими двумя вариантами, поэтому событие может произойти маловероятно, иметь равные шансы произойти или может произойти.
Пространство выборки — набор всех возможных результатов эксперимента. Например, при броске игральной кости у нас есть 6 возможных результатов: числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 на верхней грани кости. Когда мы говорим о подбрасывании монеты, мы, очевидно, должны включать орел и решку в наше выборочное пространство. Однако мы также должны включить монету, приземлившуюся на бок, поскольку это отдельная возможность , и все варианты должны быть учтены в пространстве выборки. Поскольку мы перечисляем все результаты в выборке, мы знаем, что результатом должен быть ровно один результат. Отсюда мы можем вывести следующее правило: сумма вероятностей каждого исхода в пространстве выборок равна 1. Например, при бросании обычной кости возможными исходами являются числа от 1 до 6, поэтому P(1 )+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 1,
P(A∩B) (пересечение A и B)- Вероятность того, что оба произойдет событие А и событие В.
P(A∪B) (объединение A и B) — Вероятность того, что хотя бы одно из событий A и B произойдет.
n(E) — количество исходов в событии E. Например, если E — событие, представляющее собой четный бросок игральной кости, то n(E)=3 (2, 4 и 6)
Взаимоисключающие — два события A и B являются взаимоисключающими, если они никогда не могут произойти одновременно, т. е. P(A ∩ B) = 0,
Вероятностное правило
Как рассчитать вероятность события ? Один из способов сделать это — найти количество благоприятных исходов и разделить его на общее количество исходов следующим образом: P(E) = n(E) / n(S) Для нашего события E, где S — выборочное пространство Например, предположим, что мы бросили 2 игральные кости и хотели получить в сумме 4. Все события исходы в выборочном пространстве: [1,1],[1,2],…[1,6],…,[2,1],[2,2],..[2, 6],…[6,1],[6,2],…,[6,6]. 36 различных исходов (6 для первого кубика * 6 для второго кубика) , поэтому n(S) = 36 желательные исходы: [1,3],[2,2],[3,1]. 3 различных исхода, поэтому n(сумма 4) = 3 Итак, P(сумма 4) = n(сумма 4)/n(S) = 3 / 36 = 1 / 12 Однако этот подход иногда наивен, поскольку мы предполагаем, что все исходы имеют одинаковую вероятность. При проведении эксперимента мы не всегда можем предполагать, что результаты равновероятны. Например, мы могли бы бросить смещенную монету с вероятностью 80% выпадения орла и вероятностью 20% выпадения решки. В этом случае мы не можем рассматривать орел и решку как равновероятные исходы. Инстинктивно мы могли бы просто добавить P(A) и P(B). Однако, рисуя это, мы получили бы
AB + AB = AB
Это близко к ожидаемому результату, за исключением того, что здесь мы считаем P(A∩B) дважды, один раз как часть A и один раз как часть B. Следовательно, чтобы получить P(A ∪B) нам нужно вычесть пересечение A и B. Это приводит нас к формуле сложения. P(A∪B) = P(A) + P(B) — P(A∩B)
Зависимая или независимая вероятность
Являются ли эти события зависимыми или независимыми? Мы можем проверить, независимы ли два события, с помощью следующих уравнений: P(A∩B) = P(B) * P(A) P(A|B) = P(A) Если выполняется любое из этих уравнений, то мы знаем, что A и B независимы. Если мы не можем показать, что одна из этих формул верна, то мы должны предположить, что события зависимы при решении задачи.
Зависимые события
Правило умножения
Что такое правило умножения? Это правило гласит, что P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B) Его можно приблизительно прочитать как вероятность того, что произошло и A, и B, равна вероятности того, что произошло B и в этой вселенной тоже произошло А. Поскольку это именно то условие, при котором истинно A ∩ B, это верно для зависимого и независимого расчета вероятности.
Формула условной вероятности
Как работает формула условной вероятности? Допустим, у нас есть 2 события, A и B, и мы хотели вычислить вероятность A при заданном B, P(A|B). Мы могли бы начать с выделения A, потому что мы рассматриваем результаты внутри этого круга. Тем не менее, у нас есть дополнительная информация для ответа на вопрос — мы знаем, что B произошло. Это означает, что мы можем исключить все, что не входит в B, поскольку мы знаем, что рассматриваем исходы, в которых произошло B. Мы можем представить это на диаграмме Венна следующим образом:
AB
Из этого мы можем видеть, что вероятность A (оранжевого цвета) при заданном B (более светлом цвете) равна P(A∩B)/P(B)
Теорема Байеса
Формула условной вероятности: P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = P(A) * P(B|A) / P(B) из правила умножения , подгруппа в P(A∩B) = P(B) * P(B|A)
Независимые события
Рассмотрение независимых событий похоже на рассмотрение зависимых событий, за исключением того, что мы также знаем, что P(A|B) = P(A), Поскольку вероятность события A не зависит от события B. P( A∩B) = P(B) * P(A|B) (из правила умножения) P(A∩B) = P(B) * P(A), так как мы знаем, что P(A) = P (A|B)
Калькулятор нормального распределения
Калькулятор нормального распределения упрощает вычисление кумулятивного
вероятность при стандартной оценке
из стандартного нормального распределения
или необработанная оценка из любого другого нормального распределения; и наоборот. За помощью в использовании
калькулятор, прочтите часто задаваемые вопросы
или просмотрите примеры задач.
Чтобы узнать больше о нормальном распределении, посетите сайт Stat Trek.
учебник по нормальному распределению.
Введите значение в три из четырех текстовых полей.
Оставьте четвертое текстовое поле пустым.
Нажмите кнопку Вычислить , чтобы вычислить значение для четвертого текстового поля.
Стандартная оценка: z
Вероятность: P(Z≤z)
Среднее
Стандартное отклонение
Примечание : Таблица нормального распределения, приведенная в приложении
большинство статистических текстов основано на
стандартное нормальное распределение, имеющее
среднее значение 0 и стандартное отклонение 1. Для получения выходных данных
из стандартного нормального распределения с помощью этого калькулятора,
установите среднее значение равным 0, а стандартное отклонение равным 1. Для получения выходных данных
из любого другого нормального распределения, установите среднее значение равным чему-то, кроме 0, и/или установите стандартное отклонение равным чему-то
кроме 1,
Часто задаваемые вопросы
Калькулятор |
Пример задачи
Инструкции: Чтобы найти ответ на часто задаваемый
вопрос, просто нажмите на вопрос.
Почему нормальное распределение так важно?
Нормальное распределение важно, поскольку оно описывает
статистическое поведение многих реальных событий. Форма в норме
распределение полностью описывается средним значением и стандартным отклонением.
Таким образом, зная среднее значение и стандартное отклонение, вы можете использовать
свойства нормального распределения для быстрого вычисления кумулятивного
вероятность любого значения. Этот процесс проиллюстрирован на
Примеры задач ниже.
Что такое стандартное нормальное распределение?
Существует бесконечное количество нормальных распределений. Хотя
каждое нормальное распределение имеет колоколообразную кривую, некоторые нормальные распределения
иметь высокую и узкую кривую; в то время как другие имеют короткую кривую
и широкий.
Точная форма нормального распределения определяется его
среднее значение и его стандартное отклонение. Стандартное нормальное распределение — это
нормальное распределение, имеющее среднее значение, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.
Обычный
случайная величина стандартного нормального распределения называется стандартом оценка или z-оценка . Нормальная случайная величина X из любого нормального распределения можно преобразовать в z-оценку из
стандартное нормальное распределение по следующему уравнению:
z = ( X — μ) / σ
, где X — нормальная случайная величина, μ —
среднее значение, σ — стандартное отклонение.
Поскольку любую нормальную случайную величину можно «преобразовать» в z-значение,
стандартное нормальное распределение обеспечивает полезную систему отсчета.
На самом деле, это нормальное распределение, которое обычно приводится в приложении.
учебников по статистике.
Что такое нормальная случайная величина?
Нормальное распределение определяется следующим уравнением:
Нормальное уравнение . Значение случайной величины Y :
Y = { 1/[ σ * sqrt(2π) ] } * e -(x — μ) 2 /2σ 2
, где X — нормальная случайная величина, μ —
среднее значение, σ — стандартное отклонение, π — приблизительно 3,14159, а e — приблизительно 2,71828.
В этом уравнении
случайная величина X называется нормальной случайной величиной. Уникальный
кумулятивная вероятность может быть связана с каждой нормальной случайной величиной.
Учитывая нормальную случайную величину, стандартное отклонение нормального
распределение и среднее значение нормального распределения, мы можем вычислить
кумулятивная вероятность (т. е. вероятность того, что случайный выбор из
нормальное распределение будет меньше или равно нормальной случайной величине.)
Что такое z-показатель?
Z-оценка (также известная как стандартная оценка)
нормальная случайная величина
из
стандартное нормальное распределение.
Чтобы преобразовать обычную случайную величину (x) в эквивалентную
z-оценка (z), используйте следующую формулу:
z = ( x — μ) / σ
, где μ — среднее значение, а σ — стандартное отклонение.
Что такое вероятность?
Вероятность – это число, выражающее вероятность того, что конкретное
произойдет событие. Это число может принимать любое значение от 0 до 1. Вероятность
0 означает, что вероятность того, что событие произойдет, равна нулю; вероятность
1 означает, что событие обязательно произойдет.
Количественное определение чисел от 0 до 1
неопределенность, связанная с событием. Например, вероятность
подбрасывание монеты, в результате которого выпадет орел (а не решка), будет равно 0,50. Пятьдесят процентов
в то время при подбрасывании монеты выпадал орел; и пятьдесят процентов
время, это приведет к хвостам.
Что такое кумулятивная вероятность?
Кумулятивная вероятность представляет собой сумму вероятностей. В связи
при нормальном распределении кумулятивная вероятность относится к
вероятность того, что случайно выбранный результат будет меньше или равен
заданное значение, называемое нормальной случайной величиной.
Предположим, например, что у нас есть школа со 100
первоклассники. Если мы спросим о вероятности того, что случайно выбранный первый
грейдер весит ровно 70 фунтов, мы спрашиваем о простой вероятности — не
кумулятивная вероятность.
Но если мы спросим о вероятности того, что случайно выбранный
первоклассник на меньше или равен до 70 фунтов, мы действительно спрашиваем
о сумме вероятностей (т. е. вероятности того, что студент точно
70 фунтов плюс вероятность того, что он/она весит 69 фунтов плюс вероятность
что он/она весит 68 фунтов и т. д.). Таким образом, мы спрашиваем о совокупном
вероятность.
Что такое средний балл?
Средний балл — это средний балл. это сумма индивидуальных
баллы разделить на количество человек.
Что такое стандартное отклонение?
Стандартное отклонение — это числовое значение, используемое для указания того, как
широко оценки в наборе данных варьируются. Это мера среднего расстояния
индивидуальные наблюдения от среднего значения группы.
Пример задачи
Калькулятор |
Часто задаваемые вопросы
Компания Acme Light Bulb обнаружила, что средняя лампочка работает 1000 часов.
часов со стандартным отклонением 100 часов. Предположим, что срок службы лампы в норме
распределенный. Какова вероятность того, что случайно выбранная лампочка
выгорают за 1200 часов или меньше?
Решение:
Мы знаем следующее:
Средний балл 1000.
Стандартное отклонение равно 100.
Необработанная оценка, для которой мы хотим найти кумулятивную вероятность,
составляет 1200.
Поэтому мы подставляем эти числа в Обычный
Калькулятор распределения
и нажмите кнопку «Рассчитать».
Калькулятор сообщает, что кумулятивный
вероятность равна 0,97725. Таким образом, вероятность того, что Acme Light
Лампа перегорит в течение 1200 часов.
Билл утверждает, что может сделать больше 9 отжиманий.0% мальчиков в его школе.
В прошлом году средний мальчик сделал 50 отжиманий со стандартным отклонением 10.
отжимания. Предположим, что производительность отжиманий нормально распределена. Сколько отжиманий
что должен сделать Билл, чтобы победить 90% других мальчиков?
Решение:
Мы знаем следующее:
Средний балл 50.
Стандартное отклонение равно 10.
Кумулятивная вероятность равна 0,9.0, так как Билл должен превзойти 90%
мальчики. (Если бы он утверждал, что превосходит только 80% мальчиков, совокупный
вероятность будет 0,80.)
Поэтому мы подставляем эти числа в Обычный
Калькулятор распределения и нажмите кнопку «Рассчитать».
Калькулятор
сообщает, что исходный балл составляет 62,8.
Белые кристаллы при обычных условиях. Пары состоят из молекул P4O6.
В процессе реакции с органическими веществами происходит разрыв связей фосфора с кислородом, и образуются фосфорорганические соединения. Вступает в химические реакции с аммиаком (Nh4) и галогеноводородами с образованием фосфатов аммония и оксигалогенидов фосфора. С основными оксидами образует фосфаты.
oC»—> 2B2O3 + P4O10
В условиях слабокислой реакции среды, именно в них возделываются растения, наиболее распространен и доступен первый ион, в меньшей степени второй и практически недоступен третий. Однако люпин, гречиха, горчица, горох, донник, конопля и другие растения способны усваивать фосфор из трехзамещенных фосфатов.Некоторые растения приспособились усваивать фосфат-ион из фосфорорганических соединений (фитин, глицефосфаты и прочее). Корни данных растений выделяют особый фермент (фотофтазу), который и отщипляет анион фосфорной кислоты от органических соединений, а затем растения поглощают этот анион. К подобного рода растениям относятся горох, бобы, кукуруза. Причем фосфатазная активность возрастает в условиях фосфорного голода.
ru/o-poleznom/the-nutrient-content-of-p2o5-in-simple-superphosphate-phosphoric-fertilizers-analysis-of-properties.html
ru/o-poleznom/the-nutrient-content-of-p2o5-in-simple-superphosphate-phosphoric-fertilizers-analysis-of-properties.html
)
SpringerМатериалы
Кристаллическая структура Ba3[PO4]2
sd_1630436 (Springer-Verlag GmbH, Гейдельберг, © 2016)
Также промежуточное соединение подвергалось постепенному разложению до Ba3(PO4)2 (твердая фаза) и испарению (с переходом оксидов фосфора и рубидия в паровую фазу). Мы также обнаружили, что Rb3PO4 плавится конгруэнтно при 1450°C и демонстрирует полиморфный переход при 1040°C. Что касается Ba3(PO4)2, мы подтвердили, что он плавится конгруэнтно при 1605 °C и демонстрирует полиморфный переход при 1360 °C.
Командорска 118/120, Вроцлав 53-345, Польша e-mail: [email protected]
Согласно [7], дифрактограмма Ba3(PO4)2 соответствует ромбоэдрической трансляционной решетке (размеры элементарной ячейки: а = 7,696 ± 0,002 А, а = 42°35′ ± 2′). Ортофосфат BaRbPO4 имеет обратимый фазовый переход при 1060 °С [1]. Согласно [1, 8] это соединение кристаллизуется в орторомбической системе с пространственной группой Pnma (a = 7,812(2), b = 5,740(1), c = 10,056(2) A). Мы также не нашли данных о его температуре плавления.
Образцы для исследования готовили из исходных веществ, смешанных в фиксированных количествах. Для обеспечения их однородности смеси встряхивали в бюксе и растирали в агатовой ступке, гранулировали, помещали в платиновые тигли и затем спекали. Условия изготовления образцов (температура и время спекания) были определены экспериментально. Полученные агломераты измельчали и тонко измельчали.
Для определения температуры теплового эффекта учитывали параметр пика на кривой ДТА-нагрева. Высокотемпературный
Использовался дифрактометр SIEMENS D 5000 с CuKa-излучением и Ni-фильтром. Количественный анализ проводили на эмиссионном спектрометре с возбуждением аргоновой плазмой (ICP Model ARL 3410). Испарение ортофосфатов Rb3PO4 и BaRbPO4 изучали с помощью термического анализа (Netzsch 409C) в сочетании с масс-спектрометрией (Balzers Instruments ThermoStar). Спектры FT-IR измеряли в диапазоне 1400-400 см-1 (с KBr в качестве разбавителя; Perkin-Elmer System 2000 FT-IR).
Ортофосфат сильно гигроскопичен; для предварительно синтезированного образца Rb3PO4 кривые ТГ/ДТА-нагрева показали потерю воды в несколько стадий в диапазоне температур 100-430 °С. Также наблюдалась медленная постепенная потеря массы на кривых ТГ/ДТА-нагревания (как показано на рис. 1) при продолжении нагревания, начиная с температуры * 1150 °С. Отмеченные потери составили *5,5 мас.% в результате плавления образца Rb3PO4. Для объяснения дефицита был применен термический анализ в сочетании с
рис. 2). Эти результаты показали, что стехиометрический состав конденсированной фазы не изменился.
Это наблюдали с помощью микроскопии полированных шлифов в отраженном свете.
При ДТА/ДСК-нагреве предварительно синтезированного BaRbPO4 наблюдалась незначительная, постепенно протекающая потеря массы (заметная на ТГ-кривой) с
Содержание рубидия и фосфора в расплавленном образце уменьшилось на *5 и 0,6 мас.% соответственно, бария увеличилось на *4,7 мас.% (относительно стехиометрического состава соединения). • Проведен термический анализ в сочетании с масс-спектрометрией. Образец предварительно синтезированного BaRbPO4 нагревали от 20 до 1600 °С со скоростью 10 °С мин-1. Масс-спектрометрия газовой фазы показала наличие ионов: PO?, PO2?, P4O10?, RbO?, RbO2?, Rb2O2?.
рис. 3). Соответственно, расплавленный образец BaRbPO4 исследовали с помощью ДТА/ДСК-нагрева (учитывая, что стехиометрия расплавленного образца и BaRbPO4 различна). На этот раз
Температуру диффузии гранул считывали с помощью оптического пирометра. Таким образом, контур кривых ликвидуса и солидуса является приблизительным, как показано пунктирными линиями.
Смесь сушили при 120°С в течение 24 ч, затем нагревали при 450°С в течение 24 ч, протирали, нагревали при 1150°С в течение 2 ч и гасили.
% Ba3(PO4)2; высокотемпературные непрерывные твердые растворы имеют максимальную температуру плавления при * 1720 °С.
Воронин В.И., Бергер И.Ф., Проскурнина Н.В., Шептяков Д.В., Гощицкий Б.Н., Бурмакин Е.И., Строев С.С., Шехтман Г.Ш. Кристаллическая структура низкотемпературных форм ортофосфатов цезия и рубидия. Инорг Матер. 2008;44(6):646-52.
2+bx+c
Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x
Координаты точки
Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
Точка пересечения трех плоскостей
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат
Два уравнения с двумя неизвестными
Эквивалентные бесконечно малые величины
Производная сложной функции
Выражение высших производных через дифференциалы
Второе достаточное условие максимума и минимума
Интегрирование по частям
Дифференциал интеграла
Кривизна
О знаке кривизны
Интегрирование рядов
Ортогональность системы функций cos nx, sin nx
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Вычисление двойного интеграла (общий случай)
Изоклины
Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью
Замена переменных в двойном интеграле.
11) получается из
определения двойного интеграла при
специальном способе разбиения области D на n «мелких» частей (линиями, параллельными
либо Ох,
либо Оу — прямоугольной «шахматной» сеткой.
А затем выполняется суммирование
«объёмов» ΔVi сначала по оси Оу,
а затем по оси Ох). 
= \ гидроразрыв {4} {6} = \ гидроразрыв {2} {3}.
\конец{выравнивание*}
Как и должно быть, этот повторный интеграл дает тот же ответ.
2\вправо. = \frac{32}{5 \cdot 24} = \frac{4}{15}.
\конец{выравнивание*}
В этом треугольнике $y \lt x/2$ (как использовано выше в
Пример 2), что означает, что для этого примера мы должны использовать $x > 2y$. 91\\
&= 2 \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{5} -(0-0)\right)\\
&= 2 \cdot \frac{2}{15} \goodbreak = \frac{4}{15}.
\конец{выравнивание*}
К счастью, это согласуется с ответом, полученным в примере 2.
е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Вот определение региона в случае 1
5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = — \frac{1}{2}y + \frac{3}{2} \\ y & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = 2y — 1\end{align*}\]
Два квадратичных члена можно легко интегрировать с помощью базовой замены Calc I, поэтому мы не удосужились их перемножить. Мы будем делать это при случае, чтобы сделать некоторые из этих интегралов немного проще.
Это не решит нашу первоначальную проблему, и для интегрирования по \(x\) мы не можем иметь \(x\) в пределах интегралов. Даже если мы проигнорировали это, ответ не был бы постоянным, как это должно быть. 92}\) на нижней границе и \(y = 9\) на верхней границе, лежащей между \(x = 0\) и \(x = 3\). Вот набросок этого региона.
2}\end{массив}\]
92 = \frac{{12800}}{3}\end{align*}\]
е. \(z = 0\)), которая ограничена \(y = 3x\), \(x = 0\), и линия, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость. Мы можем определить, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость, подставив в нее \(z = 0\).
В правой части генерируется динамический рисунок колес, с пунктирной схемой и параметрами. В верхней части находится визуальное представление старой шины (оригинального типоразмера), а в нижней части отрисовывается ваша потенциальная новая шина. Рисунок отображается в двух проекциях: боковой и фронтальной. И ту и другую можно скачать на компьютер в формате png. Для этого нажмите на картинку правой кнопкой и выберите «Сохранить как…».
По умолчанию, рассчитывается разница при скорости 60 километров в час.
Подробнее…
LoanInstalmentType.Payment,’commission’ : instalmentType == ServerModels.LoanInstalmentType.Commission,’additional-repayment’ : instalmentType == ServerModels.LoanInstalmentType.AdditionalRepayment}»>
LoanInstalmentType.Payment,’commission’ : instalmentType == ServerModels.LoanInstalmentType.Commission,’additional-repayment’ : instalmentType == ServerModels.LoanInstalmentType.AdditionalRepayment}»>
LoanInstalmentType.Payment,’commission’ : instalmentType == ServerModels.LoanInstalmentType.Commission,’additional-repayment’ : instalmentType == ServerModels.LoanInstalmentType.AdditionalRepayment}»>
LoanInstalmentType.AdditionalRepayment}»>
LoanInstalmentType.Payment,’commission’ : instalmentType == ServerModels.LoanInstalmentType.Commission,’additional-repayment’ : instalmentType == ServerModels.LoanInstalmentType.AdditionalRepayment}»>
Попробуйте сегодня и посмотрите, как это может упростить ваши математические расчеты!
А так — снесуть.
А так — снесуть.
;
;
От этого многое зависит — ответ на любой из трёх вопросов может быть положительным или отрицательным.
10.2 Функции и отображения
В этом случае принято считать,
что функция имеет n аргументов: ,
где .
Её
часто называют взаимно однозначным отображением А в В.
Условие для любого bB или |x||y|
характеризует сюръекцию.
На рис.9 графически показаны функции
:
\) то есть
\) Таким образом, \( 3\) не находится в образе \( f.\)
Это означает, что все элементы спарены и спарены один раз.
Тогда \( f \colon X \to Y \) является биекцией тогда и только тогда, когда существует функция \( g\colon Y \to X \) такая, что \( g \circ f \) является тождеством на \( X \) и \( f\circ g\) является тождеством на \( Y;\), то есть \(g\big(f(x)\big)=x\) и \( f\big(g (y)\big)=y \) для всех \(x\in X, y \in Y.\). Когда это происходит, функция \( g \) называется 92.\) Почему бы и нет?\(\большой)\)
Но это все еще действительные отношения, так что не сердитесь на это.
y в B , существует хотя бы один x в A такой, что f x 3 ) = y , другими словами f сюръективно
если и только если f(A) = B .
2}\)
Что делать в таком случае, если нам нужно найти, например, отрезки возрастания, точки экстремума, наибольшее или наименьшее значение функции? Не во всех случаях получится построить график, да и это займет достаточно большое количество времени, которое и без того ограничено на экзамене. 
Нужно найти производную функции.
Производная на этом промежутке будет положительной. 
Поскольку мы уже определили знаки производной, то смело можем сделать вывод, что на промежутках до -6 и после 4 функция будет возрастать, а на промежутке от -6 до 4 — убывать. 
С их помощью можно найти производную любой из основных функций.
{2}(x)}\)
2 — 9x + 10, то f»(x) = 6x — 6\). Приравнивание \(f»(x)\) к нулю дает x=1, что является точкой перегиба кривой.
3 и f(x) = sin(x)\) .
Чтобы найти y-пересечение функции, мы задаем x равным нулю и оцениваем функцию при этом значении. Полученное значение представляет собой точку пересечения графика с осью y.
Они могут возникать для рациональных функций, когда степень числителя на единицу больше степени знаменателя.
Если вторая производная положительна, то критическая точка является локальным минимумом. Если вторая производная отрицательна, то критическая точка является локальным максимумом. Если вторая производная равна нулю, то тест не дает результатов, и нужно использовать другой метод, например, тест на первую производную.
Если производная отрицательна на интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале. Если производная равна нулю на интервале, то функция может иметь максимум или минимум в этой точке, но это не указывает на монотонность.
Она является функцией общего наклона. Она дает наклон любой линии, касательной к графику f. Например, если нам нужен наклон касательной линии в точке (-2,4), мы оцениваем производную по координате x этой точки и получаем f(-2) = -4. На рисунке слева показано несколько касательных линий, каждая из которых обозначена своим наклоном.
На каких интервалах f возрастает или убывает?
Аналогично, когда x = 7, кривая y = f (x) изменится с вогнутой вверх на вогнутую вниз. Таким образом, обе эти точки являются точками перегиба для нашей кривой. Однако мы видим, что вогнутость не меняется с положительной на отрицательную или наоборот в точке x = 4, поэтому это не точка перегиба.
высота ящика тоже будет х, а объем V можно записать так:
Найдите координаты точки P, чтобы прямоугольник имел
максимально возможная площадь.
com
Кроме того, изменение x определяется как
\(\Дельта х = х_1 — х_0)\). Проще говоря, \(\Delta x\) — это изменение x, тогда как \(\Delta y\) — это изменение значения функции из-за изменения x.
Используя эту идею мгновенного
скорости изменения, мы можем дать следующую формулу для производной в точке \(x_0\).
Это,
подставьте значения x0 и x1 в f и посмотрите, как формула выглядит алгебраически
Например,
функция
Помимо перечисленных функций, PDF-файлы также имеют возможность защиты паролем, что очень важно в случаях, когда вы хотите добавить дополнительный уровень безопасности для предотвращения изменений в исходном документе. Кроме того, формат PDF намеренно сложен для редактирования, если вы не используете специализированное программное обеспечение.
Вы можете конвертировать до 20 файлов за один сеанс.
Выберите целевой язык 
Благодаря нашей передовой технологии OCR вы можете легко переводить отсканированные PDF-файлы на любой язык, не теряя при этом исходный внешний вид документа. Просто загрузите отсканированный PDF-файл на DocTranslator.com , выберите целевой язык и позвольте нашему ИИ сделать все остальное. Больше не нужно копировать и вставлять текст, не нужно больше беспокоиться о проблемах с форматированием — только переведенный PDF-файл, который выглядит и воспринимается так же, как оригинал. Попробуйте DocTranslator.com сегодня и испытайте всю мощь перевода с помощью искусственного интеллекта!
innerHTML = «
000Z»> 16 декабря 2021 г. by Hung Nguyen
…Какая, однако, полезная и рабочая теорема!
Так, при последовательном подбрасывании
монеты результат любого броска никак не зависит от предыдущих исходов. Это, кстати, важный момент, развевающий одно
распространённое заблуждение, к которому мы вернёмся позже.
Надеюсь, вы уже поняли, по какому принципу подсчитываются условные вероятности:
Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы
одному из них достанется билет с простыми вопросами
В этой связи необходимо рассмотреть 2 несовместные гипотезы:
Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара.
Найти вероятность того, что из второй урны будет извлечён белый шар.
В общем, ситуация до боли знакома: студенты один за другим заходят в аудиторию и
тянут билеты.
е. увеличит шансы Пети).
Поэтому «невероятное везение» или
«злой рок» – это слишком уж преувеличенные высказывания. Даже если Петя знает всего лишь три билета, то его шансы составляют 10%, что
заметно выше нуля.
А то,
что два неудачных билета на отдельно взятом экзамене (а не по средней теоретической оценке!) так и останутся на
столе – вполне и вполне возможно.
Постарайтесь не упускать момент – всего несколько пропущенных вперёд человек, и
преимущество, скорее всего, растает. Если же наоборот, «плохих» билетов вытянули мало – ждите. Через несколько человек эта «аномалия»
опять же с большой вероятностью, если не исчезнет, то сгладится в лучшую сторону. 
7. Формула полной вероятности
Проблема
Какие рассуждения могут быть сделаны в решении?
Таким образом, все комбинации, основанные только на красном+белом, исключаются: комбинации $5\times 4\times 3 =60$ исключаются.
Из выбранной урны случайным образом извлекают шар, и он оказывается белым. Найти вероятность того, что вынутый шар был из второй урны.
Наугад выбирается одна урна и из нее вынимаются два шара. Найдите вероятность того, что шары белые.
Наугад извлекается шар. Если он белый, он не возвращается в урну. В противном случае он заменяется другим шаром того же цвета. Процесс повторяется. Найти вероятность того, что третий извлеченный шар окажется черным.
е.
Например функция определена для , аналогично можно вспомнить,
что функция определена для , а функция определена для .
Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой.
Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения ,
или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве,
как на множестве вещественных чисел.
Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа.
Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси .
Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.
Фаза комплексного числа может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того в каком
направлении относительно оси отсчитывать угол.
Если угол поворота вектора на комплексной плоскости отсчитывать против часовой стрелки (как это показано на рисунке 1),
то фаза будет принимать положительные значения, а если по часовой — то отрицательные.
В результате возвращает корректные значения только в интервале
.
Таким образом функция арктангенса не отличает четверть I от четверти III
(в обоих случаях отношение положительное),
а также не отличает четверть II от четверти IV (отношение отрицательное).
е. и .
В этом случае и угол будет
положительным (красная пунктирная линия).
Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:
На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных
чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3а).
Операция произведения комплексных чисел показано на рисунке 3в.
М: Высшая школа, 2011.
Дробь 3 / 8 — это число, состоящее из 3 и 8. Мы знаем, что это означает «3 из 8 равных частей».
Биномиальное умножение):
э. i − bd (потому что i 2 = −1)
Но это можно сделать.
И Re() для действительной части и Im() для мнимой части, например:
Концепция комплексных чисел была впервые упомянута в I веке греческим математиком Героем Александрийским, когда он пытался найти квадратный корень из отрицательного числа. Но он просто изменил отрицательное значение на положительное и просто взял числовой корень. Кроме того, реальная идентичность комплексного числа была определена в 16 веке итальянским математиком Джероламо Кардано в процессе нахождения отрицательных корней кубических и квадратичных полиномиальных выражений.
д.
Евклидова плоскость применительно к комплексным числам называется комплексной плоскостью или Плоскостью Аргана, названной в честь Жана-Роберта Аргана. Комплексное число z = a + ib представлено действительной частью — a относительно оси x и мнимой частью -ib относительно оси y. Давайте попробуем понять два важных термина, относящихся к представлению комплексных чисел на аргановой плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. 92}\)|. Кроме того, это можно понимать как полученное из теоремы Пифагора, где модуль представляет собой гипотенузу, действительную часть — это основание, а мнимую часть — высоту прямоугольного треугольника.
{-1}\frac{b}{a}\). 9{-1}\frac{b}{a}\)).
{-1}\).
Комплексные числа можно измерить и представить на двумерной арграндовой плоскости по их величине, которая является расстоянием от начала координат.
Детали различных арифметических операций с комплексными числами заключаются в следующем.
2 = -1\). Для двух комплексных чисел \(z_1\) = a + ib, \(z_2\) = c + id произведение равно \(z_1.z_2\) = (ca — bd) + i(ad + bc).
{-1}\frac{b}{a} \)).
..
2 класс…
Но борьба начинается, как только урок по таблице умножения 6 становится под вопросом. Большинству детей будет трудно решать задачи с большими числами в будущем. Если ученик не может вычислять большие числа в быстром темпе, то его изучение математики не продвинется далеко. Как родители или учителя, мы бы не хотели этого для наших детей. Заучивание таблицы умножения наизусть обеспечивает прочную арифметическую основу. Продолжайте читать статью, чтобы узнать о советах и хитростях, стоящих за ней.
Это поможет ему быстро выполнять вычисления.
Это поможет создать долговременный образ таблицы в их памяти, заставляя их быстрее выучить таблицу 6 от 6 х 1 до 6 х 12.
Теория, примеры решенных и калькулятор типовой задачи для 2 и 3 стрелков.
Если вы хотите рассчитать вероятность a и b и для любого количества событий, то приведенный выше калькулятор вероятностей подойдет вам лучше всего!
Субъективный подход показывает, что вероятность события определяется человеком на основе имеющихся у него / нее свидетельств.
Кроме того, этот калькулятор работает как калькулятор условной вероятности, так как помогает вычислить условную вероятность заданного входа. Короче говоря, определение вероятности становится простым с помощью этого калькулятора вероятностных событий. Помимо уравнения вероятности, вы можете легко найти вероятность с помощью этого калькулятора вероятностей.
Вам следует умножить вероятность первого события на второе. Например, если вероятность события A 2/9 и события B равна 3/9, то вероятность того, что оба события происходят одновременно, равна (2/9) * (3/9) = 6/81 = 2/27.
Существуют разные формулы, которые полностью зависят от того, есть ли у вас зависимые события или независимые события.
Итак, ясно, что для одного события – выпадения трех – может произойти 6 различных результатов.
Следующие ниже шаги показывают, как рассчитать вероятность нескольких событий:
Итак, просто воспользуйтесь приведенным выше калькулятором вероятностей, чтобы вычислить вероятность событий или в соответствии с условиями!
Поскольку мы перечисляем все результаты в выборке, 
Стандартное нормальное распределение — это
нормальное распределение, имеющее среднее значение, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.
Значение случайной величины Y :
В связи
при нормальном распределении кумулятивная вероятность относится к
вероятность того, что случайно выбранный результат будет меньше или равен
заданное значение, называемое нормальной случайной величиной.
