Сложение и вычитание отрицательных чисел, чисел с разными знаками, раскрытие дужок
Поскольку целые числа могут быть не только положительными, но и отрицательными, следует знать правила их сложения и вычитания.
Сложение целых чисел
Сложение отрицательных чисел
Для того чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед суммой знак минус. То есть суммой двух отрицательных чисел является число отрицательное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.
К примеру, найти сумму чисел -4 и -6
-4 + (-6) = — (4+6) = -10
Обратите внимание, первое слагаемое и сумму чисел пишут со знаком минус без скобок. Все остальные слагаемые записывают со скобками.
Как сложить положительные числа?
Нахождение суммы положительных чисел происходит согласно правилам сложения натуральных чисел. Подробнее читайте здесь.
Как сложить два противоположных числа?
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
-7 + 7 = 0
-150 + 150 = 0
30 + (-30) = 0
Как сложить числа с разными знаками?
Правило сложения чисел с разными знаками звучит так:
Чтобы добавить числа с разными знаками, нужно найти разность их модулей (от большего отнять меньший модуль) и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.
-6 + 4 = -2 (ведь 6 – 4 = 2, ставим знак минус перед результатом)
-15 + 25 = 10 (ведь 25 – 15 = 10, перед результатом знак плюс, который можно не ставить).
Переместительное и сочетательное свойства сложения целых чисел
Выполняя действие сложения целых чисел пользуются переместительным и сочетательным свойствами.
Напомним переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не изменится:
Свойства сложения целых чисел следует использовать для упрощения расчетов, особенно, когда выражение содержит несколько слагаемых, удобно группировать положительные числа и отрицательные.
В математике часто встречаются примеры сложения целых чисел с несколькими слагаемыми и скобками. Поэтому важно правильно раскрыть скобки и выполнить арифметические действия.
а + (b + с) – такое выражение можно записать без скобок:
Такую операцию называют раскрытием скобок.
Рассмотрим некоторые типичные примеры с раскрытием скобок:
а + (–b + с)
Следовательно, а + (–b + с) = а – b + с
Как раскрыть скобки? Основные правила:
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак <<+>>, нужно убрать скобки и знак <<+>>, который стоит перед скобками, и записать все находящиеся в скобках числа со своими знаками
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак <<–>>, необходимо убрать скобки и знак <<–>>, стоящий перед скобками, и записать все числа, стоящие в скобках с противоположными знаками.
Рассмотрим раскрытие скобок в следующем выражении: a – (b + c)
Откроем скобки в выражении:
a – (b — c) = a – (+b – c) = a – b + c
Вычитание чисел с разными знаками и отрицательных чисел. Алгебраическая сумма
Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками по своей сути похожие вычитанию положительных чисел. С помощью вычитания можно найти неизвестное слагаемое, вычтя от суммы известное слагаемое.
-13 + (-7) = -20, то -13 = -20 – (-7)
Чтобы из одного числа вычесть второе, нужно к уменьшаемому добавить число, противоположное вычитаемому.
То есть a – b = a + (–b), где a b – любые целые числа
Поскольку вычитание целых чисел можно заменить сложением, то каждое выражение, содержащее несколько сложений и вычитаний, можно представить в виде суммы с теми же абсолютными величинами. Их называют алгебраическими суммами.
Алгебраическая сумма — это выражение, которое можно изобразить в виде суммы положительных и отрицательных чисел
Пример. Решить -15 – 6
Нам нужно найти разность чисел –15 и 6. Данное выражение можно записать как сумму чисел: –15 и –6
-15 – 6 = -15 + (-6) = -21
Правильным будет и утверждение наоборот: сумму чисел можно записать как разность: -15 + (-6) = -15 – 6 = -21
Пример. Найти разниость чисел -15 і -6
-15 — (-6) = -15 +6 = -9
Отрезок на координатной прямой: как найти длину отрезка по координатам
Рассмотрим координатную прямую, на которой изображены точки с координатами О(0), А(3) и В(-3). Найдем длину отрезка ВА, то есть количество единичных отрезков. На рисунке ниже видно, что длина отрезка ВА составляет 6 единичных отрезков.
Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, нужно из координаты его правого конца отнять координату левого конца.
В нашем примере: 3 – (-3) = 3 + 3 = 6
что означает, таблица, примеры задач с ответами для 6 класса
Вычитание отрицательных чисел — что означает
Определение
Отрицательное число — это действительное число, которое меньше нуля, имеет при написании знак минус.
Отрицательное число является элементом множества, в которое входят отрицательные числа. Появление этого понятия в математике связано с расширением множества из натуральных чисел. С его помощью удалось причислить операцию по вычитанию к полноценным арифметическим действиям (таким, как сложение).
Если рассматривать операции с натуральными числами, то можно заметить, что допускается вычитание только меньшего числа из большего. При этом переместительный закон на вычитание не распространяется. К примеру, выражение 3 + 4 – 5 является допустимым, а выражение, в котором операнды переставлены, 3 – 5 + 4 недопустимо.
С помощью добавления к множеству натуральных чисел отрицательных чисел и нуля действие вычитания распространилось на любые пары из натуральных чисел. В результате образовалось множество целых чисел. Для рациональных, а также вещественных чисел аналогично получаются соответствующие отрицательные значения. В случае комплексных чисел понятие отрицательного числа не применимо.
Отрицательные числа отмечены на шкале красным цветом:
Источник: ru.wikipedia.org
Важно заметить, что для какого-либо натурального числа n существует единственное отрицательное число –n, с помощью которого n можно дополнить до нуля:
Абсолютная величина некого числа а представляет собой это число без знака. Обозначается таким образом: |a|. Например:
Действие вычитания некого числа а из другого числа b является равносильным операции сложения b с числом, которое противоположно числу а:
b — a = b + (-a)
На множество отрицательных чисел распространяются почти все алгебраические правила, как и на натуральные числа. Однако существуют некоторые особенности, связанные со свойствами отрицательных чисел:
Множество положительных чисел имеет ограничение снизу, а множество отрицательных чисел ограничено сверху.
Когда умножают числа, обладающие разными знаками, получается отрицательное произведение. Если знаки чисел, которые перемножают, одинаковые, то произведение будет положительно.
Если умножить обе части неравенства на отрицательное число, то такое неравенство поменяет знак на противоположный.
В том случае, когда деление выполняется с остатком, такой остаток является в любом случае неотрицательным.
Основные правила, таблица
Действия с отрицательными числами можно представить в виде таблицы:
Источник: en.ppt-online.org
Правило
Вычитание отрицательных чисел выполняется, согласно правилу: для того чтобы вычесть из числа а число b, имеющее знак минус, нужно сложить уменьшаемое a и число –b, которое противоположно вычитаемому b. Формула:
a — b = a + (-b)
Данное правило имеет доказательство. Предположим, что существуют некие самостоятельные числа а и b. Для того чтобы из первого числа вычесть второе, требуется определить число с, которое при сложении с числом b даст в сумме число а:
c + b = a
a − b = c
Доказательство сводится к определению справедливости для уравнения:
a + (− b)+ b = а
В процессе доказательства целесообразно обратиться к свойствам операций с действительными числами. Записанное равенство можно считать верным по действию сочетательного свойства сложения:
(a + (− b)) + b = a + ((− b) + b)
Исходя из того, что в сумме числа, обладающие противоположными знаками, дают нуль, получим:
a + ((− b) + b) = a + 0
Заметим, что при сложении числа с нулем такое число не изменится:
a + 0 = а
В результате доказано равенство:
a – b = a + (−b)
Таким образом, доказано правило вычитания чисел, которые имеют знак минус, то есть являются отрицательными. Данное правило распространяется на любые рациональные и целые числа а и b, так как эти числа характеризуются свойствами, применяемыми в ходе доказательства.
Вычитание отрицательного числа из отрицательного
Вычитание одного отрицательного числа из другого отрицательного числа сводится к нахождению суммы чисел с разными знаками. Известно, что вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного числа с таким же модулем, что и у отрицательного.
Предположим, что нужно найти разность двух отрицательных чисел: -5 и -2. Используя ранее записанное свойство, представим действие с отрицательными числами в виде сложения чисел с разными знаками:
-5 – (-2) = -5 + 2
Далее следует взять модули слагаемых, из большего из них вычесть меньший. К полученному результату нужно добавить знак слагаемого, которое обладает наибольшим модулем. В данном случае по модулю больше число -5. Таким образом:
-5 + 2 = -3
Вычитание положительного числа из отрицательного
Последовательность действий при вычитании из отрицательного числа положительного:
Определение моделей чисел.
Суммирование найденных модулей.
Добавление знака минуса к полученному результату сложения.
В качестве примера можно рассмотреть вычитание 4 из -3. В первую очередь следует определить модули чисел:
|-3| = 3
|4| = 4
Модули, которые получились в результате, следует суммировать:
3 + 4 = 7
К конечному результату нужно приписать знак минус:
-3 – 4 = -7
Вычитание отрицательного числа из положительного
Вычитание отрицательного числа из положительного предполагает сложение модулей этих чисел.
В качестве примера рассмотрим вычитание из 11 числа -3. Для этого необходимо сложить их модули и получить ответ:
11 — (-3) = 14
Из примера видно, что вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного числа, которое является обратным отрицательному.
Примеры задач для 6 класса
Задача 1
Найти разность чисел -17 и -14.
Решение
Согласно правилу вычитания отрицательных чисел, нужно найти сумму чисел с разными знаками:
-17 – (-14) = -17 + 14 = -3
Ответ: -3.
Задача 2
Требуется найти сумму чисел: -4 и -3.
Решение:
В процессе необходимо сложить модули этих чисел и к ответу приписать знак минуса:
-4 + (-3) = -7
Ответ: -7.
Задача 3
Нужно найти разность чисел: -5 и 2.
Решение
Уменьшаемое -5 следует оставить без изменений. Противоположным числом вычитаемому 2 является -2. Далее нужно найти сумму -5 и числа, которое противоположно 2, то есть -2. Таким образом, нужно найти:
-5 + (-2)
Согласно правилу сложения отрицательных чисел, получим:
-5 + (-2) = — (5 + 2) = -7
Ответ: -7.
Задача 4
Существуют числа -510 и 210. Требуется найти их разность.
Решение
Уменьшаемое -510 остается без изменений. К данному числу следует прибавить число, противоположное вычитаемому. Таким числом будет -210.
-510 – 210 = -510 + (-210)
Далее нужно суммировать отрицательные значения, руководствуясь правилом сложения отрицательных чисел:
-510 – 210 = -510 + (-210) = — (510 + 210) = -720
Ответ: -720.
Сложение и вычитание отрицательных чисел
Введение
Что такое отрицательные числа?
Как складывать и вычитать отрицательные числа
Лист сложения и вычитания отрицательных чисел
Распространенные заблуждения
Похожие уроки
Практика сложения и вычитания отрицательных чисел вопросы
Сложение и вычитание отрицательных чисел Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4
Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE
Узнать больше
Введение
Что такое отрицательные числа?
Как складывать и вычитать отрицательные числа
Лист сложения и вычитания отрицательных чисел
Распространенные заблуждения
Похожие уроки
Практика сложения и вычитания отрицательных чисел вопросы
Сложение и вычитание отрицательных чисел Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Здесь мы узнаем о сложении и вычитании отрицательных чисел включая то, что такое отрицательные числа и как их складывать и вычитать.
На рабочих листах также есть рабочие листы с отрицательными числами и экзаменационные вопросы, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные указания о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.
Что такое отрицательные числа?
Отрицательные числа — это любые числа меньше нуля, перед которыми стоит знак минус (-).
Числа больше нуля называются положительными числами . Если перед числом нет знака, то число положительное.
В числовой строке ниже числа, выделенные оранжевым цветом, представляют собой отрицательные значения, а числа синего цвета — положительные значения:
Точно так же, как вы можете складывать и вычитать положительные числа, вы можете делать то же самое с отрицательными числами.
При сложении и вычитании отрицательных чисел используйте числовую строку:
Если вы добавляете, переместитесь вправо от числовой строки.
При вычитании переместитесь влево от числовой строки .
При наличии двух знаков рядом друг с другом:
Если знаки одинаковые, замените их положительным знаком .
Если знаки разные, замените знаком минус.
Что нужно помнить при сложении и вычитании отрицательных чисел?
Как складывать и вычитать отрицательные числа
Чтобы складывать и вычитать отрицательные числа:
Если у вас есть два знака рядом друг с другом, замените их одним знаком. Если знаки совпадают, замените на положительный знак (+) . Если знаки разные, замените знаком минус (-) .
Обведите первое число в числовой строке.
Используйте числовую строку, чтобы складывать или вычитать числа. Если вы добавляете, переместитесь вправо от числа в шаге 2 (→) . При вычитании переместитесь влево от числа на шаге 2 ( ←) .
Напишите свой окончательный ответ.
Объясните, как складывать и вычитать отрицательные числа за 4 шага
Рабочий лист сложения и вычитания отрицательных чисел
Получите бесплатный рабочий лист сложения и вычитания отрицательных чисел, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО Икс
Рабочий лист сложения и вычитания отрицательных чисел
Получите бесплатный рабочий лист сложения и вычитания отрицательных чисел, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
Примеры сложения и вычитания отрицательных чисел
Пример 1: сложение положительного числа
\[ -4+7 \]
Если у вас есть два знака рядом друг с другом, замените их одним знаком. Если знаки одинаковые, заменить на положительный знак (+) . Если знаки разные, замените знаком минус (-) .
В этом случае у вас нет двух знаков рядом друг с другом.
2 Обведите первое число в числовой строке .
Первое число в вопросе (−4)
3 Используйте числовую строку, чтобы сложить или вычесть числа . При добавлении переместитесь вправо от числа на шаге 2 (→) . При вычитании переместитесь влево от числа на шаге 2 ( ←) .
В этом случае мы прибавляем 7, поэтому переместите 7 делений справа от (−4) в числовой строке:
4 Напишите свой окончательный ответ .
\[-4 + 7 = 3\]
Пример 2: добавление отрицательного числа
\[ -2+(-3 )\]
Если у вас есть два знака рядом друг с другом, измените их на единый знак. Если знаки одинаковые, замените знаком плюс (+) . Если знаки разные, замените знаком минус (-) .
В этом случае у вас есть плюс и минус рядом друг с другом.
Поскольку знаки разные, замените знаком минус (-):
\[-2 -3\]
Обведите первое число в числовой строке .
Первое число в вопросе (−2)
Используйте числовую строку для сложения или вычитания ваших чисел . При добавлении переместитесь вправо от числа на шаге 2 (→) . При вычитании переместитесь влево от числа на шаге 2 ( ←) .
В этом случае мы вычитаем 3, поэтому переместите 3 деления слева от -2 в числовой строке:
Напишите свой окончательный ответ .
\[-2 + (-3) = -5\]
Пример 3: вычитание положительного числа
\[ -5-2 \]
Если у вас есть два знака рядом друг с другом, измените их к одному знаку. Если знаки одинаковые, замените знаком плюс (+) . Если знаки разные, замените знаком минус (-) .
В этом случае у вас нет двух знаков рядом друг с другом.
Обведите первое число в числовой строке .
Первое число в вопросе (−5)
Используйте числовую строку для сложения или вычитания ваших чисел . При добавлении переместитесь вправо от числа на шаге 2 (→) . При вычитании переместитесь влево от числа на шаге 2 (←) .
В этом случае мы вычитаем 2, поэтому переместите 2 пробела слева от (−5) в числовой строке:
Напишите свой окончательный ответ .
\[-5 – 2 = -7\]
Пример 4: вычитание отрицательного числа
\[ -8-(-10) \]
Если у вас есть два знака рядом друг с другом, измените их к единому знаку. Если знаки одинаковые, заменить знаком плюс (+) Если знаки разные, заменить знаком минус (-)
В этом случае у вас есть минус и минус рядом друг с другом.
Поскольку знаки одинаковые, замените знаком плюс (+)
\[-8 + 10\]
Обведите первое число в числовой строке .
Первое число в вопросе (−8)
Используйте числовую строку для сложения или вычитания ваших чисел . При добавлении переместитесь вправо от числа на шаге 2 (→) . При вычитании переместитесь влево от числа на шаге 2 (←) .
В этом случае мы прибавляем 10, поэтому переместите 10 делений справа от (−8) в числовой строке:
Напишите свой окончательный ответ .
\[-8 – (-10) = 2\]
Пример 5: смешанные операции
\[ 7-8 – (-5) \]
Если у вас два знака рядом, измените их к одному знаку. Если знаки одинаковые, заменить на положительный знак (+) . Если знаки разные, замените знаком минус (-) .
В этом случае у вас есть минус и минус рядом друг с другом.
Поскольку знаки одинаковые, замените знаком плюс (+)
\[7 – 8 + 5\]
Обведите первое число в числовой строке .
Первое число в вопросе: (7)
Используйте числовую строку для сложения или вычитания чисел . При добавлении переместитесь вправо от числа на шаге 2 (→) . При вычитании переместитесь влево от числа на шаге 2 (←) .
В этом случае мы вычитаем положительную цифру 8, поэтому переместите 8 делений влево от 7 в числовой строке:
Теперь мы прибавляем 5, поэтому переместите 5 делений вправо от (−1) в числовой строке:
Напишите ваш окончательный ответ .
\[7 – 8 – (-5) = 4\]
Пример 6: сформулированный вопрос
У Алины на банковском счету было 12 фунтов стерлингов. Она купила пальто стоимостью 20 фунтов стерлингов. На сколько она перерасходовала?
Начнем с 12 в качестве первого числа уравнения. Поскольку она потратила 20, деньги списываются с ее банковского счета, поэтому вам придется их вычесть.
\[12 – 20 \]
Если у вас есть два знака рядом друг с другом, измените их на один знак. Если знаки одинаковые, заменить на положительный знак (+) . Если знаки разные, замените знаком минус (-) .
В этом случае у вас нет двух знаков рядом друг с другом.
Обведите первое число в числовой строке .
Первое число в вопросе (12)
Используйте числовую строку для сложения или вычитания ваших чисел . При добавлении переместитесь вправо от числа на шаге 2 (→) . При вычитании переместитесь влево от числа на шаге 2 ( ←) .
В этом случае мы вычитаем 20.
Поскольку шкала в числовой строке ниже равна 2, переместите 10 делений влево (20 ÷ 2 = 10) от 12 в числовой строке:
Напишите свой окончательный ответ .
\[12 – 20 = -8\]
Она перерасходовала 8 фунтов стерлингов.
Распространенные заблуждения
Большее отрицательное значение не означает большее число
Распространенной ошибкой является предположение, что чем больше отрицательное число, тем больше число. напр. −3 меньше 2
Сложение и вычитание отрицательных чисел — часть нашей серии уроков, посвященных пересмотру отрицательных чисел. Возможно, вам будет полезно начать с основного урока по отрицательным числам, чтобы получить краткое изложение того, чего ожидать, или использовать пошаговые руководства ниже для получения дополнительной информации по отдельным темам. Другие уроки в этой серии включают в себя: 9{\circ}\text{C}
Расчет, который нам нужно сделать, это -9+11
Сложение и вычитание отрицательных чисел Вопросы GCSE
В таблице показана температура в Уотфорде в разное время суток.
Время суток
Температура (℃)
2 часа ночи
-3
4 утра
0
6 утра
2
8:00
6
(a) Запишите самую низкую температуру.
(b) Найдите разницу между показаниями самой высокой и самой низкой температуры.
(3 балла)
Показать ответ
−3
(1)
Определение самой высокой и самой низкой температуры, 6 и -3
(1)
6−3=9
(1)
2. У Сары есть следующие 6 карт:
Она собирается выбрать 2 карты и вычесть их.
(a) Какое наибольшее число она может составить? (б) Теперь Сара решила складывать числа, а не вычитать их. Какое наименьшее число она может составить?
(4 балла)
Показать ответ
а) для определения 3 или -8 или 3- (-8)
(1)
правильное вычитание двух чисел или 11 видел
( 1)
b) для определения -7 или -8
(1)
правильное добавление двух чисел или -15 видно
(1)
3. Мистер и миссис У Смита было 156,78 фунтов стерлингов в их банковский счет. В конце месяца они должны были оплатить 4 счета. Они оплатили телефонный счет в размере 67,20 фунтов стерлингов, коммунальные услуги в размере 34,78 фунтов стерлингов, страховку автомобиля в размере 78,24 фунтов стерлингов и счет по кредитной карте в размере 144 фунтов стерлингов. Насколько перерасходовали Смиты?
Вычитание стоимости четырех купюр из остатка на банковском счете (156,78-324,22 фунта стерлингов)
(1 )
£ 167,44
(1)
Учебный контрольный список
Теперь вы научились:
Складывать и вычитать целые числа, как положительные, так и отрицательные 9011 3
Используйте отрицательные числа в контексте и вычисляйте интервалы между 0
Все еще зависает?
Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.
Узнайте больше о нашей программе обучения математике GCSE.
Мы используем необходимые и необязательные файлы cookie, чтобы улучшить работу нашего веб-сайта. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Политикой в отношении файлов cookie, чтобы узнать, как мы используем файлы cookie и как управлять или изменять ваши настройки файлов cookie. Принять
Как складывать отрицательные числа
Авторы: Марк Зегарелли и
Обновлено: 25 апреля 2016 г.
Базовая математика и предварительная алгебра для чайников
9 0028 Исследуйте книгу Купить на Amazon Когда вы понимаете, что отрицательные числа означают, что вы можете добавлять их так же, как положительные числа, к которым вы привыкли. Числовая линия может помочь понять это. Вы можете превратить любую проблему в череду взлетов и падений. Когда вы добавляете в числовую строку, начало с отрицательного числа не сильно отличается от начала с положительного числа.
Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию положительного числа, т. е. смещение вниз на (влево) по числовой строке. Это правило работает независимо от того, начинаете ли вы с положительного или отрицательного числа.
После того, как вы поймете, как складывать отрицательные числа в числовой строке, вы готовы работать без числовой строки. Это становится важным, когда числа становятся слишком большими, чтобы поместиться на числовой прямой. Вот несколько хитростей:
Добавление отрицательного числа плюс положительное число: Поменяйте местами два числа (и их знаки), превратив задачу в вычитание.
Добавление положительного числа к отрицательному: Отбросьте знак плюс, превратив задачу в вычитание.
Сложение двух отрицательных чисел: Отбросить оба знака минус и сложить числа, как если бы они оба были положительными; затем прикрепите к результату знак минус.
Примеры вопросов
Используйте числовую строку, чтобы добавить –3 + 5.
2. В числовой строке -3 + 5 означает, что начинается с -3, до 5, , что приводит к 2:
Используйте числовую строку, чтобы добавить 6 + -2.
4. В числовой строке 6 + -2 означает, что начинается с 6, вниз на 2, , что приводит к 4:
Используйте числовую строку, чтобы добавить –3 + –4.
–7. В числовой строке -3 + -4 означает, что начинается с -3, вниз на 4, , что приводит к -7:
Добавить –23 + 39.
16. Поменяйте местами два числа с прикрепленными знаками:
–23 + 39 = + 39 – 23
Теперь вы можете убрать знак плюс и использовать знак минус для вычитания:
39 – 23 = 16
Практические вопросы
Используйте числовой ряд для решения следующих задач на сложение:
a. –5 + 6
б. –1 + –7
в. 4 + –6
д. –3 + 9
эл. 2 + –1
ф. –4 + –4
Решите следующие задачи на сложение без использования числовой прямой:
a. –17 + 35
б. 29 + –38
в. –61 + –18
д. 70 + –63
эл. –112 + 84
ф. –215 + –322
Ниже приведены ответы на практические вопросы:
Проблемы сложения
а. –5 + 6 = 1. Начать с –5, подняться 6.
б. –1 + –7 = –8. Начните с -1, уменьшите 7.
в. 4 + –6 = –2. Начните с 4, уменьшите 6.
д. –3 + 9 = 6. Начать с –3, подняться 9.
эл. 2 + –1 = 1. Начать с 2, уменьшить 1.
ф. –4 + –4 = –8. Начните с -4, уменьшите 4.
Задачи на сложение без числовой строки
a. –17 + 35 = 18. Поменяйте местами числа (с их знаками), чтобы превратить задачу в вычитание:
–17 + 35 = 35 – 17 = 18
б. 29 + –38 = –9. Отбросьте знак плюс, чтобы превратить задачу в вычитание:
29 + –38 = 29 – 38 = –9
в. –61 + –18 = –79. Отбросьте знаки, добавьте числа и инвертируйте результат:
Плотность машинного масла — как измерить и что нужно знать?
Формула расчета плотности или удельного веса известна еще со школьной программы по физике. Определение плотности можно представить в виде массы какого-либо вещества, находящейся в единице объема. Поэтому измеряется плотность в килограммах на кубический метр (кг/м3). По этой формуле можно рассчитать плотность любого вещества: твердого, жидкого, газообразного. Нас же интересует плотность машинного масла, которая так же представлена во всех таблицах с измерением кг на кубометр.
Содержание статьи
1 Плотность, как важный параметр масла
2 Как измерить плотность масла?
3 Важные особенности
Плотность, как важный параметр масла
Плотность, как в моторном, так и в трансмиссионном машинном масле такой же важный параметр, как и вязкость. Чем плотнее структура масла, тем лучше оно образует защитную пленку на деталях. Чем выше его текучесть, тем пленка будет тоньше, но быстрее закроются все микротрещинки в механизмах силовых агрегатов и трансмиссии.
Идеальная формула текучести и плотности нефтепродуктов достигается исключительно с помощью присадок, так как в итоге надо чтобы масло быстро пролилось во все уголки двигателя и коробки передач, а затем надежно покрыло механизмы, защищая их от трения и износа (все те же противозадирные присадки).
Плотность масла не одинакова, она зависит напрямую от класса смазочных продуктов: минеральное, полусинтетическое, синтетическое и т.п. Помимо этого, на плотность влияют процессы получения продукта, новые технологии способны создать уникальную текучесть синтетических моторных и трансмиссионных масел в купе с надежным защитным покрытием. Минеральные и полусинтетические масла имеют более высокую плотность, так как относятся к природным или частично природным продуктам нефтепереработки. Соответственно качество нефти и ее состав напрямую влияет на конечный продукт, такой как машинное масло.
Не последнюю роль в плотности машинных масел так же играет степень очистки их базового продукта и присадочные пакеты, добавляемые при производстве смазочных материалов. Стандартная плотность машинного масла равна 910 кг/м3, что можно увидеть в любой таблице измерения плотностей большинства веществ.
Для машинных масел можно вывести формулу, чем чище масло, тем меньше оно содержит фракций, соответственно его плотность будет ниже и выкипать они будут при более низких температурах с небольшим временным интервалом. И наоборот, чем больше содержит машинное масло фракций, которые имеют высокую плотность, тем выше будут температуры закипания.
Зачем это нужно знать, — затем что бы прочитать на канистре при какой температуре машинное масло может дать вспышку, а так же какое из масел необходимо применить, что бы надежно защищало автомобиль при высоких температурах под нагрузкой.
Как измерить плотность масла?
Для измерения всех масел используют приборы, называемые ареометрами. Они представляют собой стеклянную запаянную трубку со шкалой делений, которая погружается в исследуемую жидкость.
В чем то ареометры похожи на спиртометры и термометры для воды, принцип измерения примерно тот же. В промышленности ареометры используют редко, возможно потому, что они сделаны из стекла и часто бьются, а возможно и потому что уже давно изобрели электронные плотномеры, которые точнее и быстрее предоставляют необходимые данные и достаточно безопасны в использовании.
В любом случае, чем бы не измерялась плотность машинного масла, она будет относительная. Измерение проводится при температуре 20 градусов по Цельсию. Температурный режим измерения других нефтепродуктов отличается от машинного масла, с эталонами можно ознакомится в таблице эталонных измерений. К примеру, масло для авиационной техники имеет плотность от 880 до 905 кг/м3, для дизельных двигателей от 890 до 920 кг/м3, а для моторов на бензине порог изменяется в рамках 910 — 930.
Важные особенности
Всем уже известно, что вязкость машинного масла — это основной параметр, определяющий его использование. Не смотря на то, что плотность не менее важна, классификации ее как таковой нет, в отличии обиходного SAE. Тем не менее практика и многочисленные тесты позволили увязать значение по SAE и плотность.
Пример! Определяем по марке машинного масла плотность и вязкость. Зимнее моторное масло 10W имеет плотность 857 кг/м3 или 0,857 кг/л при вязкости равной 32 сантистокса. Измерения проводились опытным путем при температуре в 40 градусов по Цельсию и занесены в табличные данные основных характеристик машинных масел. Естественно это не эталон и за счет присадок такое масло может иметь более жидкое состояние с меньшей плотностью. Смотрим далее, зимнее моторное масло 20W имеет уже совершенно другие показатели, вязкость его равна 68 сантистоксов, а плотность 865 кг/м3. Закономерность прослеживается, шаг вязкости увеличил плотность продукта. Летние машинные масла имеют еще большую плотность, чем зимние. Интервал таких марок, как 20 — 50, в соответствии даст плотность масла 861 — 875, при интервале вязкости от 46 до 220 снт.
Любые проводимые опыты и таблицы эталонов — это условность. Покупая машинное масло обязательно нужно внимательно читать этикетку, так как присадки и добавки в базовое масло способны кардинально изменить его параметры, не смотря на то, что буквы и классификация по SAE могут быть одинаковыми.
Поделиться с друзьями:
Таблица плотности масел
Представлена таблица значений плотности нефтяных и растительных масел при различных температурах. Рассмотрены следующие типы масел: машинное, турбинное, редукторное, индустриальное, моторное, растительное и другие. Значения плотности масел (или удельного веса) в таблице указаны для жидкого агрегатного состояния масла при соответствующей температуре (в интервале от -55 до 360°С).
Плотность масел в жидкой фазе обычно находится в диапазоне от 750 до 995 кг/м3 при комнатной температуре. Масло имеет плотность меньше воды и при попадании в воду образует пленку на ее поверхности. Плотность нефтяных масел в основном несколько ниже, чем растительных. Например, плотность моторного масла равна 917 кг/м3, машинного — от 890 кг/м3, а плотность подсолнечного масла составляет величину 926 кг/м3. Наиболее тяжелыми растительными маслами являются горчичное масло, масло какао и льняное масло. Удельный вес этих масел может достигать значения 940-970 кг/м3.
Плотность масел существенно зависит от температуры — при нагревании масла его удельный вес снижается. Например, плотность трансформаторного масла при температуре 20°С имеет величину 880 кг/м3, а при нагревании до температуры 120°С принимает значение 820 кг/м3. Плотность растительных масел также уменьшается при росте температуры — масло расширяется и становится менее плотным.
Следует отметить некоторые легкие нефтяные масла. К ним относятся: гидравлическое ВНИИ НП-403 (плотность 850 кг/м3), ИЛС-10, ИГП-18 и трансформаторное масло (880 кг/м3). Низким значением плотности (при нормальных условиях) среди растительных масел выделяются такие, как кукурузное, лавровое, оливковое и рапсовое масла.
Удельный вес масел часто указывают в не системных единицах измерения, а в размерности кг на литр (кг/л). Это удобно для восприятия и сравнения например, с водой, плотность которой при 4°С равна 1 кг/л. Однако, для тепловых расчетов плотность масел в формулы необходимо подставлять в размерности кг/м3. Перевести кг/л в кг/м3 не трудно. Например, плотность масла АМТ-300 при температуре 20°С равна 959 кг/м3 или 0,959 кг/л.
Таблица плотности масел
Масло
Температура, °С
Плотность, кг/м3
CLP 100
20
910
CLP 320
20
922
CLP 680
20
935
АМГ-10
20…40…60…80…100
836…822…808…794…780
АМТ-300
20…60…100…160…200…260…300…360
959…937…913…879…849…808…781…740
Арахисовое
15
911-926
Букового ореха
15
921
Вазелиновое
20
800
Велосит
15
897
Веретенное
20
903-912
Виноградное (из косточек)
-20…20…60…100…150
946…919…892…865…831
ВМ-4 (ГОСТ 7903-56)
-30…-10…0…20…40…60…80…100
933…921…916…904…892…880…868…856
Гидравлическое ВНИИ НП-403
20
850
Горчичное
15
911-960
И-46ПВ
25
872
И-220ПВ
25
892
И-100Р (С)
20
900
И-220Р (С)
20
915
И-460ПВ
25
897
ИГП-18
20
880
ИГП-38
20
890
ИГП-49
20
895
ИЛД-1000
20
930
ИЛС-10
20
880
ИЛС-220 (МО)
20
893
ИТС-320
20
901
ИТД-68
20
900
ИТД-220
20
920
ИТД-320
20
922
ИТД-680
20
935
Какао
15
963-973
Касторовое
20
960
Конопляное
15
927-933
КП-8С
20
873
КС-19П (А)
20
905
Кукурузное
-20…20…60…100…150
947…920…893…865…831
Кунжутное
-20…20…60…100…150
946…918…891…864…830
Кокосовое
15
925
Лавровое
15
879
Льняное
15
940
Маковое
15
924
Машинное
20
890-920
Миндальное
15
915-921
МК
10…40…60…80…100…120…150
911…888…872…856…841…825…802
Моторное Т
20
917
МС-20
-10…0…20…40…60…80…100…130…150
990…904…892…881…870…858…847…830…819
Нефтяное
20
890
Оливковое
15
914-919
Ореховое
15
916
Пальмовое
15
923
Парафиновое
20
870-880
Персиковое
15
917-924
Подсолнечное (рафинир. )
-20…20…60…100…150
947…926…898…871…836
Рапсовое
15
912-916
Свечного ореха
15
924-926
Смоляное
15
960
Соевое (рафинир.)
-20…20…60…100…150
947…919…892…864…829
Соляровое Р.69
20
896
ТКП
20
895
ТМ-1 (ВТУ М3-11-62)
-50…-20…0…20…40…60…80…100
934…915…903…889…877…864…852…838
ТП-22С
15
870-903
ТП-46Р
20
880
Трансформаторное
-20…0…20…40…60…80…100…120
905…893…880…868…856…844…832…820
Тунговое
15
938-948
Турбинное Л
20
896
Турбинное УТ
20
898
Тыквенное
15
922-924
Хлопковое
-20…20…60…100…150
949…921…894…867…833
ХФ-22 (ГОСТ 5546-66)
-55…-20…0…20…40…60…80…100
1050…1024…1010…995…980…966…951…936
Цилиндрическое
20
969
Кроме того, значения плотности множества веществ и материалов (металлов и сплавов, продуктов, стройматериалов, пластика, древесины) вы сможете найти в подробной таблице плотности.
Источники:
Гинзбург А.С. и др. Теплофизические характеристики пищевых продуктов. Справочник. Москва, 1980. — 288 с.
Чубик И.А., Маслов А.М. Справочник по теплофизическим характеристикам пищевых продуктов и полуфабрикатов.
Кутателадзе С. С., Боришанский В. М. Справочник по теплопередаче. Госэнергоиздат, 1958 — 417 с.
Физические величины. Справочник. А. П. Бабичев, Н. А. Бабушкина и др.; Под ред. И.С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с.
Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.
Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи.
Плотность моторного масла, SAE 15W-40 в 285 единицах и каталожный номер
Результаты поиска включают ссылки на различные страницы калькулятора, связанные с каждым найденным элементом. Используйте * в качестве подстановочного знака для частичного совпадения или заключите строку поиска в двойные кавычки («») для точного совпадения.
Поиск:
Точность: 01234
Моторное масло, SAE 15W-40 весит 0,8725 грамм на кубический сантиметр или 872,5 килограмм на кубический метр 0015 , т.е. плотность моторного масла SAE 15W-40 равна 872,5 кг/м³; при 30°C (86°F или 303,15K) при стандартном атмосферном давлении. В имперской или американской системе измерения плотность равна 54,4684 фунтов на кубический фут [фунт/фут³] или 0,50434 унций на кубический дюйм [унций/дюйм³].
Закладки : [ вес к объему | объем к весу | цена | плотность ]
Плотность Моторное масло, SAE 15W-40 в нескольких избранных единицах измерения плотности:
Плотность моторного масла, SAE 15W-40 г см3 = 0,87 г/см³
Плотность моторного масла, SAE 15W-40 7 г/мл = 0,87 г/см3
Плотность моторного масла, SAE 15W-40 G мм3 = 0,00087 г/мм 30
Плотность моторного масла, SAE 15W-40 кг M3 = 872,5 кг/мim -40 фунт·дюйм3 = 0,032 фунт/дюйм³
Плотность Моторное масло, SAE 15W-40 lb ft3 = 54,47 lb/ft³
См. плотность моторного масла, SAE 15W-40 в сотнях единиц измерения плотности, сгруппированных по весу.
Engine Oil, SAE 15W-40 density values, grouped by weight and shown as value of density, unit of density
grain per…
13.46
gr/cm³
13 464.73
г/дм³
381 278,77
г/фут³
220.65
gr/in³
13 464 732.7
gr/m³
0.01
gr/mm³
10 294 526.73
gr/yd³
13 464.73
gr /l
3 366.18
gr/metric c
201.97
gr/metric tbsp
67.32
gr/metric tsp
13.46
gr/ml
3 185.6
gr/US c
398. 15
gr/fl.oz
50 969.56
gr/US gal
6 371.19
gr/pt
12 742.39
gr/US qt
199.1
gr/US tbsp
66.37
gr/US tsp
gram per…
0.87
g/cm³
872.5
g/dm³
24 706.45
g/ft³
14.3
g/in³
872 500
g/m³
0
g/mm³
667 074.11
g/yd³
872.5
g/l
218.13
g/metric c
13.09
g/metric tbsp
4.36
g/metric tsp
0.87
g/ml
206.42
g/US c
25. 8
g/fl.oz
3 302.77
g/US gal
412.85
g/pt
825.69
g/US qt
12.9
g/tbsp
4.3
g/tsp
kilogram per..
0
kg/cm³
0.87
kg/dm³
24.71
kg/ft³
0.01
kg/in³
872.5
kg/m³
8.73 × 10 -7
kg/mm³
667.07
kg/yd³
0.87
kg/l
0.22
kg/metric c
0.01
kg/metric tbsp
0
kg/metric tsp
0
kg/ml
0.21
kg/US c
0. 03
kg/fl.oz
3.3
kg/US gal
0.41
kg/pt
0.83
kg/US qt
0.01
kg/tbsp
0
kg /чл
long ton per…
8.59 × 10 -7
long tn/cm³
0
long tn/dm³
0.02
long tn/ft³
1.41 × 10 -5
long tn/in³
0.86
long tn/m³
8.59 × 10 -10
long tn/mm³
0.66
длинная тн/ярд³
0
long tn/l
0
long tn/metric c
1.29 × 10 -5
long tn/metric tbsp
4.29 × 10 -6
LONG TN/METRIC TSP
8,59 × 10 -7
Лонг TN/ML
0
LON длинная тонна/жидкая унция
0
long tn/US gal
0
long tn/pt
0
long tn/US qt
1. 27 × 10 -5
long tn/US tbsp
4.23 × 10 -6
long tn/US tsp
microgram per…
872 500
µg/cm³
872 500 000
µg/ дм³
24 706 448 658,5
µg/ft³
14 297 713.34
µg/in³
872 500 000 000
µg/m³
872.5
µg/mm³
667 074 113 605
µg/yd³
872 500 000
µg/l
218 125 000
µg/metric c
13 087 500
µg/metric tbsp
4 362 500
мкг/метрическая чайная ложка
872 500
µg/ml
206 423 236.78
µg/US c
25 802 904.58
µg/fl. oz
3 302 771 778.05
µg/ US gal
412 846 472.69
µg/pt
825 692 945.39
µg/US qt
12 901 452.29
µg/tbsp
4 300 484.09
µg/ чайная ложка
milligram per…
872.5
mg/cm³
872 500
mg/dm³
24 706 448.66
mg/ft³
14 297.71
mg /in³
872 500 000
mg/m³
0.87
mg/mm³
667 074 113.61
mg/yd³
872 500
mg/l
218 125
mg/metric c
13 087.5
mg/metric tbsp
4 362.5
mg/metric tsp
872. 5
mg/ml
206 423.24
mg/US c
25 799.83
mg/fl.oz
3 302 771.79
mg/US gal
412 846.47
mg/pt
825 692.95
mg/US qt
12 901.45
mg/tbsp
4 300.48
mg/tsp
ounce per…
0.03
oz/cm³
30.78
oz/dm³
871.49
oz/ft³
0.5
oz/in³
30 776.53
oz/m³
3.08 × 10 -5
унций/мм³
23 530.35
oz/yd³
30.78
oz/l
7.69
oz/metric c
0.46
oz/metric tbsp
0. 15
oz/metric tsp
0.03
oz/ml
7.28
oz/US c
0.98
oz/fl.oz
116.5
oz/US gal
14.56
oz/pt
29.13
oz/US qt
0.46
oz/tbsp
0.15
oz/tsp
pennyweight per…
0.56
dwt/cm³
561.03
dwt/dm³
15 886.62
dwt/ft³
9.19
dwt/in³
561 030.53
dwt/m³
0
dwt/mm³
428 938.61
dwt/yd³
561.03
dwt/l
140.26
dwt/metric c
8.42
dwt/metric tbsp
2. 81
dwt/metric tsp
0.56
dwt/ml
132.73
dwt/US c
16.59
dwt/fl.oz
2 123.73
dwt/US gal
265.47
dwt/pt
530.93
dwt/US qt
8.3
dwt/US tbsp
2.77
dwt/US tsp
pound per…
0
lb/cm³
1.92
lb/dm³
54.47
lb/ фут³
0.03
lb/in³
1 923.53
lb/m³
1.92 × 10 -6
lb/mm³
1 470.65
lb/yd³
1.92
lb/l
0.48
lb/metric c
0. 03
lb/metric tbsp
0.01
lb/metric tsp
0
lb/ мл
0.46
lb/US c
0.06
lb/fl.oz
7.28
lb/US gal
0.91
lb/pt
1.82
lb/US qt
0.03
lb/tbsp
0.01
lb/tsp
short ton per…
9.62 × 10 -7
short tn /см³
0
short tn/dm³
0.03
short tn/ft³
1.58 × 10 -5
short tn/in³
0.96
short tn/m³
9.62 × 10 -10
short tn/mm³
0.74
short tn/yd³
0
short tn/l
0
short tn/metric c
1. 44 × 10 -5
short tn/metric tbsp
4.81 × 10 -6
short tn/metric tsp
9.62 × 10 -7
short tn/ ml
0
short tn/US c
3.05 × 10 -5
short tn/fl.oz
0
short tn/US gal
0
короткий тн/пт
0
short tn/US qt
1.42 × 10 -5
short tn/US tbsp
4.74 × 10 -6
short tn/US tsp
slug per…
5.98 × 10 -5
sl/cm³
0.06
sl/dm³
1.69
sl/ft³
0
sl/in³
59,79
sl/m³
5. 98 × 10 -8
sl/mm³
45.71
sl/yd³
0.06
sl/l
0.01
sl/metric c
0
sl/metric tbsp
0
sl/metric tsp
5.98 × 10 -5
sl/ml
0.01
sl/US c
0
sl/fl.oz
0.23
sl/US gal
0.03
sl/pt
0.06
sl/US qt
0
sl/ tbsp
0
sl/tsp
stone per…
0
st/cm³
0.14
st/dm³
3.89
st/ft³
0
st/in³
137.4
st/m³
1. 37 × 10 -7
st/mm³
105.05
st/yd³
0.14
st/l
0.03
st/metric c
0
st/metric tbsp
0
st/metric tsp
0
st/ml
0,03
st/US c
0
st/fl.oz
0.52
st/US gal
0.07
st/pt
0.13
st/US qt
0
st/US tbsp
0
st/US tsp
tonne per…
8.73 × 10 -7
t/cm³
0
т/дм³
0.02
t/ft³
1.43 × 10 -5
t/in³
0. 87
t/m³
8.73 × 10 -10
t/ ММружи
0,67
T/YD³
0
T/L
0
T/METRIC C
0
T/METRIC C
0
T/METRIC C
0
T/METRIC C
0
T/L.
4,36 × 10 -6
t/metric tsp
8.73 × 10 -7
t/ml
0
t/US c
2.58 × 10 -5
t/fl.oz
0
t/US gal
0
t/pt
0
t/US qt
1.29 × 10 -5
т/ст
4,3 × 10 -6
T/TSP
TROY OUNCE PER …
0,03
OZ T/CM³
28. 05
28.05
28.05
28.05
28.05
28.05
.
0.46
oz t/in³
28 051.53
oz t/m³
2.81 × 10 -5
oz t/mm³
21 446.93
oz t/ ярдов³
28,05
унция T/L
7,01
унция T/Metric C
0,42
ун.
oz t/ml
6.64
oz t/US c
0.83
oz t/fl.oz
106.19
oz t/US gal
13.27
oz т/пт
26.55
oz t/US qt
0.41
oz t/US tbsp
0.14
oz t/US tsp
troy pound per. ..
0
troy/cm³
2.34
troy/dm³
66.19
troy/ft³
0.04
troy/in³
2 337.63
troy/m³
2.34 × 10 -6
troy/mm³
1 787.24
troy/yd³
2.34
troy/l
0.58
troy/metric c
0.04
troy/ Метрический TBSP
0,01
TROY/METRIC TSP
0
TRORY/ML
0,55
/US C
0,55
/US C
0,55
/US C
0,55
/US C
055
/US C
0,55
/US C
0,55
.0070
8.85
troy/US gal
1.11
troy/pt
2. 21
troy/US qt
0.03
troy/US tbsp
0.01
troy/ US ч.л.
Моторное масло, SAE 15W-40 значения плотности в 285 единицах плотности, в виде матрицы
Плотность = вес ÷ объем
микрограмм (мкг)
миллиграмм
грамм (г)
килограмм (кг)
тонна (т)
унция (унция)
фунт (фунт)
объемная единица
гран (гр)
11915 гран (гр) 11915 (короткая TN)
Long Ton (Long TN)
Стоун (ST)
Troy Ounce (OZ T)
Troy Pound (Troy)
Cubieweeweem (DWT)
7071
. 0,87
<0,01
<0,01
<0.01
<0.01
<0.01
cubic millimeter
0.01
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
<0. 01
cubic centimeter
872 500
872.5
0.87
<0.01
<0.01
0.03
<0.01
cubic centimeter
13.46
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
0.03
<0.01
0.56
cubic decimeter
872 500 000
872 500
872.5
0.87
<0.01
30.78
1.92
cubic decimeter
13 464.73
0.06
<0.01
<0.01
0.14
28.05
2.34
561.03
cubic meter
872 500 000 000
872 500 000
872 500
872.5
0.87
30 776.53
1 923.53
cubic meter
13 464 732.7
59.79
0.96
0.86
137.4
28 051. 53
2 337.63
561 030.53
milliliter
872 500
872.5
0.87
<0.01
<0.01
0.03
<0.01
milliliter
13.46
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
0.03
<0.01
0.56
liter
872 500 000
872 500
872.5
0.87
<0.01
30.78
1.92
liter
13 464.73
0.06
<0.01
<0.01
0.14
28.05
2.34
561.03
metric teaspoon
4 362 500
4 362.5
4.36
<0.01
<0.01
0.15
0.01
metric teaspoon
67.32
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
0. 14
0.01
2.81
metric tablespoon
13 087 500
13 087.5
13.09
0.01
<0.01
0.46
0.03
metric tablespoon
201.97
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
0,42
0,04
8,42
Метрическая чашка
218 125 000
218 125
218,13
0,22
218,13
0,22
77917177
1791717917
17
900
7777
17977
171
218.0071 0.48
metric cup
3 366.18
0.01
<0.01
<0.01
0.03
7.01
0.58
140.26
cubic inch
14 297 713.34
14 297. 71
14.3
0.01
<0.01
0.5
0.03
cubic inch
220.65
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
0.46
0.04
9.19
cubic foot
24 706 448 658.5
24 706 448.66
24 706.45
24.71
0.02
871.49
54.47
cubic foot
381 278.77
1.69
0.03
0.02
3.89
794.33
66.19
15 886.62
cubic yard
667 074 113 605
667 074 113.61
667 074.11
667.07
0.67
23 530.35
1 470.65
cubic yard
10 294 526.73
45.71
0.74
0.66
105.05
21 446.93
1 787,24
428 938,61
US Teaspoon
4 300 484,09
4 300,48
4,3
<0,01172
4,3
. 0072
US teaspoon
66.37
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
0.14
0.01
2.77
US tablespoon
12 901 452.29
12 901.45
12.9
0.01
<0.01
0.46
0.03
US tablespoon
199.1
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
0.41
0.03
8.3
US fluid ounce
25 802 904.58
25 799.83
25.8
0.03
<0.01
0.98
0.06
US fluid ounce
398.15
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
0.83
0.07
16.59
US cup
206 423 236.78
206 423.24
206.42
0.21
<0.01
7.28
0. 46
US cup
3 185.6
0.01
<0.01
<0.01
0.03
6.64
0.55
132.73
US pint
412 846 472.69
412 846.47
412.85
0.41
<0.01
14.56
0.91
US pint
6 371.19
0.03
<0.01
<0.01
0.07
13.27
1.11
265.47
US quart
825 692 945.39
825 692.95
825.69
0.83
<0.01
29.13
1.82
US quart
12 742.39
0.06
<0.01
<0.01
0.13
26.55
2.21
530.93
US gallon
3 302 771 778.05
3 302 771.79
3 302.77
3.3
<0.01
116. 5
7.28
US gallon
50 969.56
0.23
<0.01
<0,01
0,52
106,19
8,85
2 123,73
1. Anton Paar GmbH; Антон Паар Штрассе 20; 8054 ГРАЗ. АВСТРИЯ. Последнее обращение: 29 августа 2020 г. (wiki.anton-paar.com).
Пищевые продукты, питательные вещества и калории
КОЛЬЦА АНАНАСОВ, UPC: 076958551970 весят 169 граммов на метрическую чашку или 5,6 унций на чашку для США и содержат 350 калорий на 100 граммов (≈3,53 унции). вес к объему | объем к весу | цена | плотность ]
21 пищевой продукт , содержащий сорбит . Список этих пищевых продуктов, начиная с самого высокого содержания сорбита и самого низкого содержания сорбита
Гравий, вещества и масла
Гравий, доломит весит 1 865 кг/м³ (116,42815 фунтов/фут³) с удельным весом 1,865 по отношению к чистой воде. Подсчитайте, сколько этого гравия требуется для достижения определенной глубины в цилиндрическом, четвертьцилиндрическом или прямоугольном аквариуме или пруду [вес к объему | объем к весу | цена ]
Копра, молотый жмых весит 513 кг/м³ (32,02554 фунта/фут³) [ вес к объему | объем к весу | цена | плотность ]
Преобразование объема в вес, веса в объем и стоимости для Хладагент R-507, жидкий (R507) с температурой в диапазоне от -51,12°C (-60,016°F) до 60°C (140°F)
Веса и измерения
Пикометр в час в квадрате (pm /h²) — это производная метрическая единица измерения ускорения SI (Международная система).
Объем — это основная характеристика любого трехмерного геометрического объекта.
long tn/yd² to st/pm², long tn/yd² to st/pm² конвертер единиц измерения или конвертация между всеми единицами измерения поверхностной плотности.
Калькуляторы
Расчет объема и площади поверхности четверти цилиндра
Плотность масла — О трибологии
Содержание
Что такое плотность масла?
Плотность масла является важным свойством не только смазочных материалов, но и всех жидкостей. Например, по мере увеличения плотности смазки жидкость становится гуще. Это приводит к увеличению времени, необходимого для осаждения частиц из суспензии. Но прежде чем идти дальше, нам нужно понять, что такое плотность?
Плотность, также известная как удельная масса, представляет собой массу на единицу объема. Математически плотность определяется как масса, деленная на объем.
Формула плотности: d = M / V , где d — плотность, M — масса, V — объем.
Плотность предлагает удобный способ получения массы тела из его объема или наоборот; масса равна объему, умноженному на плотность ( M = Vd ), а объем равен массе, деленной на плотность ( V = M / d ). Вес тела, который обычно представляет больший практический интерес, чем его масса, можно получить, умножив массу на ускорение свободного падения.
Измерение плотности смазочных материалов:
Плотность играет решающую роль в функционировании смазочных материалов и работе машин. Большинство систем предназначены для перекачивания жидкости определенной плотности, поэтому, когда плотность начинает меняться, эффективность насоса также начинает меняться.
Плотность большинства масел колеблется от 700 до 950 кг на кубический метр (кг/м3). В маслах обычно указывается при температуре +15°С или +20°С, в единицах кг/м3. Вода имеет плотность 1000 кг/м3. Это означает, что большинство масел будут всплывать на поверхность воды, поскольку они легче по объему. Если плотность объекта меньше плотности воды, то этот объект будет плавать. Вот почему, если у вас есть проблема с влажностью в вашей системе смазки, вода оседает на дно поддона и сливается в первую очередь всякий раз, когда вытягивается пробка или открывается клапан. Это не всегда так, поскольку некоторые базовые масла группы IV могут иметь более высокую плотность, чем вода, что приводит к тому, что масло тонет в воде.
Преобразование единиц плотности
Вот простой инструмент преобразования единиц плотности (и вязкости):
Зависимость плотности от температуры
Плотность зависит от температуры, хотя эта зависимость относительно мала по сравнению с вязкостью смазочного материала. Вот эмпирическая формула, которую можно использовать для расчета изменения плотности в зависимости от температуры (консистентная смазка в подшипниках качения):
(1)
где
для и для . Как видно, это эмпирическое соотношение применимо только к маслам, плотность которых находится в определенном диапазоне, однако этот диапазон охватывает наиболее часто используемые смазочные масла (860-980 )
Вот простой калькулятор, который использует это уравнение для расчета плотности при заданной температуре:
Отношение плотности к давлению
Когда смазочное масло сжимается, плотность масла увеличивается. Это увеличение начинает быть заметным при относительно высоких давлениях (> 0,1 ГПа), что, однако, довольно характерно для упругогидродинамических условий (ЭГД). В EHL наиболее широко используемая формула для описания изменения плотности нефти в зависимости от давления известна как уравнение плотности Доусона и Хиггинсона:
(2)
Вот простой калькулятор плотности на основе давления:
Стандарт определения плотности
ASTM D5002-19: Стандартный метод измерения плотности, относительной плотности и плотности в градусах API сырой нефти с помощью цифрового анализатора плотности. Этот метод испытаний охватывает определение плотности, относительной плотности и плотности в градусах API сырой нефти, с которой обычно можно обращаться как с жидкостью при температуре испытания от 15 °C до 35 °C с использованием либо ручного, либо автоматического оборудования для ввода проб. Этот метод испытаний применяется к сырой нефти с высоким давлением паров при условии принятия соответствующих мер предосторожности для предотвращения потери паров во время переноса пробы в анализатор плотности.
Этот метод испытаний был оценен в межлабораторных испытаниях с использованием сырой нефти в диапазоне от 0,75 г/мл до 0,95 г/мл. Более легкая сырая нефть может потребовать особого обращения для предотвращения потери паров.
ASTM D1298-12: Стандартный метод определения плотности, относительной плотности (удельного веса) или плотности в градусах API сырой нефти и жидких нефтепродуктов методом ареометра. Этот метод испытаний охватывает лабораторное определение с использованием стеклянного ареометра в сочетании с серией расчетов плотности, относительной плотности или плотности в градусах API сырой нефти, нефтепродуктов или смесей нефти и ненефтяных продуктов, обычно обрабатываемых как жидкости и имеющих Давление пара по Рейду 101,325 кПа (14,696 фунтов на квадратный дюйм) или меньше. Значения определены при существующих температурах и скорректированы на 15°C или 60°F с помощью серии расчетов и таблиц международных стандартов.
Калькулятор плотности масла:
Пересчет плотности масла для различных значений температуры и давления. Формулы взяты из российского ГОСТ Р 8.610-2004. «Государственная система обеспечения единства измерений плотности нефти. Таблицы для пересчета». Используемые формулы перечислены под калькулятором.
Примечание: https://planetcalc.com/2834/ Ссылка на калькулятор плотности масла. Есть возможность встроить калькулятор. Вы можете использовать этот калькулятор.
Плотность некоторых обычных жидкостей
Жидкость
Температура (t) – (градусы C)
Плотность (ρ) – (кг/м3)
Ацетальдегид
18
783
Уксусная кислота
25
1049
Ацетон
25
784,6
Ацетонитрил
20
783
Акролеин
20
840
Акролонитрил
25
801
Спирт этиловый (этанол)
25
785,1
Спирт метиловый (метанол)
25
786,5
Спирт пропиловый
25
800
Миндальное масло
25
910
Алилламин
20
758
Аммиак (водный)
25
823,5
Анилин
25
1019
Анизол
20
994
Масло из косточек абрикоса
25
910
Аргановое масло
20
912
Масла автомобильные
15
880 – 940
Мякоть авокадо
25
912
Пальмовое масло бабассу
25
914
Говяжий жир (наземные животные)
25
902
Пиво (варьируется)
10
1010
Бензальдегид
25
1040
Бензол
25
873,8
Бензил
15
1230
Масло черной смородины
20
923
Жир Борнео
100
855
Рассол
15
1230
Бром
25
3120
Бутанал
20
802
Молочный жир (наземные животные)
15
934
Масляная кислота
20
959
Бутан
25
599
2,3-бутандион
18
981
2-бутанон
25
800
н-бутилацетат
20
880
Спирт н-бутиловый (бутанол)
20
810
н-бутилхлорид
20
886
Масло верблюжьего
15
924
Рапсовое масло
20
915
Капроновая кислота
25
921
Карболовая кислота (фенол)
15
956
Сероуглерод
25
1261
Четыреххлористый углерод
25
1584
Карен
25
857
Масло ореха кешью
15
914
Касторовое масло
25
952
Масло из косточек вишни
25
918
Куриный жир
15
918
Китайский растительный жир
25
887
Хлорид
25
1560
Хлорбензол
20
1106
Хлороформ
20
1489
Хлороформ
25
1465
Лимонная кислота, 50% водный раствор
15
1220
Масло какао
25
974
Кокосовое масло
40
930
Жир печени трески
15
924
Кохуновое масло
25
914
Кукурузное масло
20
919
Масло семян кориандра
25
908
Хлопковое масло
20
920
Масло крамбе
25
906
Крезол
25
1024
Креозот
15
1067
Сырая нефть, 48o API
60°F (15,6°C)
790
Сырая нефть, 40° API
60°F (15,6°C)
825
Сырая нефть, 35,6° API
60°F (15,6°C)
847
Сырая нефть, 32,6° API
60°F (15,6°C)
862
Сырая нефть, Калифорния
60°F (15,6°C)
915
Нефть сырая мексиканская
60°F (15,6°C)
973
Сырая нефть, Техас
60°F (15,6°C)
873
Кумол
25
860
Циклогексан
20
779
Циклопентан
20
745
Декан
25
726,3
Дизельное топливо от 20 до 60
15
820 – 950
Диэтаноламин
20
1097
Диэтиловый эфир
20
714
о-Дихлорбензол
20
1306
Дихлорметан
20
1326
Диэтиловый эфир
20
714
Диэтиленгликоль
15
1120
Диэтиловый эфир диэтиленгликоля
20
906
Дихлорметан
20
1326
Диизопропиловый эфир
25
719
Диметилацетамид
20
942
N,N-диметилформамид
20
949
Диметилсульфат
20
1332
Диметилсульфид
20
848
Диметилсульфоксид
20
1100
Додекан
25
754,6
Этан
-89
570
Эфир
25
713,5
Этиламин
16
681
Этилацетат
20
901
Спирт этиловый (этанол, чистый спирт, зерновой спирт или спирт питьевой)
Теория графов применяется при решении задач из многих предметных областей: математика, биология, информатика
1736 год, г.Кёнигсберг. Через город
протекает река Прегеля. В городе — семь
мостов, расположенных так, как показано на рисунке выше. С давних времен жители
Кенигсберга бились над загадкой: можно ли пройти по всем мостам, пройдя по
каждому только один раз? Эту задачу решали и теоретически, на бумаге, и на
практике, на прогулках — проходя по этим самым мостам. Никому не удавалось
доказать, что это неосуществимо, но и совершить такую «загадочную» прогулку по
мостам никто не мог.
Разрешить проблему удалось знаменитому математику Леонарду Эйлеру. Причем, он
решил не только эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных
задач. При решении задачи о Кенигсбергских мостах Эйлер поступил следующим
образом: он «сжал» сушу в точки,
а мосты «вытянул» в линии. Такую фигуру, состоящую из точек и линий,
связывающих эти точки, называют ГРАФОМ.
Граф – это совокупность непустого множества вершин и связей между вершинами. Кружки
называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – ребрами.
Виды графов:
1. Ориентированный
граф (кратко орграф) — рёбрам
которого присвоено направление.
2. Неориентированный
граф — это граф, в котором нет направления линий.
3. Взвешенный граф –
дуги или ребра имеют вес (дополнительная информация).
Решение задач с помощью графов:
Задача 1.
Решение: Обозначим ученых вершинами графа и проведем от каждой вершины линии к четырем другим вершинам. Получаем 10 линий, которые и будут считаться рукопожатиями.
Задача 2.
На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня,
тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше
лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше
рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от
самого низкого к самому высокому.
Решение:
Вершины графа — это деревья, обозначенный первой буквой названия дерева. В данной задача два отношения:
“быть ниже” и “быть выше”. Рассмотрим отношение “быть
ниже” и проведем стрелки от более низкого дерева к более высокому. Если в задаче
сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине
и т.д. Получаем граф, на котором видно, что самое низкое дерево – клен, затем
идут яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.
Задача 3.
У Наташи есть 2 конверта: обычный и
авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами Наташа может выбрать
конверт и марку, чтобы отправить письмо?
Решение:
Ниже представлен разбор задач.
Теория графов в информатике: примеры
Графы в информатике являются способом определения отношений в совокупности элементов. Это основные объекты изучения теории графов.
Базовые определения
Из чего состоит граф в информатике? Он включает множество объектов, называемых вершинами или узлами, некоторые пары которых связаны т. н. ребрами. Например, граф на рисунке (а) состоит из четырех узлов, обозначенных А, В, С, и D, из которых B соединен с каждой из трех других вершин ребрами, а C и D также соединены. Два узла являются соседними, если они соединены ребром. На рисунке показан типичный способ того, как строить графы по информатике. Круги представляют вершины, а линии, соединяющие каждую их пару, являются ребрами.
Какой граф называется неориентированным в информатике? У него отношения между двумя концами ребра являются симметричными. Ребро просто соединяет их друг с другом. Во многих случаях, однако, необходимо выразить асимметричные отношения – например, то, что A указывает на B, но не наоборот. Этой цели служит определение графа в информатике, по-прежнему состоящего из набора узлов вместе с набором ориентированных ребер. Каждое ориентированное ребро представляет собой связь между вершинами, направление которой имеет значение. Направленные графы изображают так, как показано на рисунке (b), ребра их представлены стрелками. Когда требуется подчеркнуть, что граф ненаправленный, его называют неориентированным.
Модели сетей
Графы в информатике служат математической моделью сетевых структур. На следующем рисунке представлена структура интернета, тогда носившего название ARPANET, в декабре 1970 года, когда она имела лишь 13 точек. Узлы представляют собой вычислительные центры, а ребра соединяют две вершины с прямой связью между ними. Если не обращать внимания на наложенную карту США, остальная часть изображения является 13-узловым графом, подобным предыдущим. При этом действительное расположение вершин несущественно. Важно, какие узлы соединены друг с другом.
Применение графов в информатике позволяет представить, как вещи либо физически, либо логически связаны между собой в сетевой структуре. 13-узловой ARPANET является примером коммуникационной сети, в которой вершины-компьютеры или другие устройства могут передавать сообщения, а ребра представляют собой прямые линии связи, по которым информация может быть передана.
Примеры информационных моделей объектов
Услышав такие слова, как «моделирование», «модель», человек представляет себе образы из своего…
Маршруты
Хотя графы применяются во многих различных областях, они обладают общими чертами. Теория графов (информатика) включает, возможно, важнейшую из них – идею о том, что вещи часто перемещаются по ребрам, последовательно переходя от узла к узлу, будь то пассажир нескольких авиарейсов или информация, передаваемая от человека к человеку в социальной сети, либо пользователь компьютера, последовательно посещающий ряд веб-страниц, следуя по ссылкам.
Эта идея мотивирует определение маршрута как последовательности вершин, связанных между собой ребрами. Иногда возникает необходимость рассматривать маршрут, содержащий не только узлы, но и последовательность ребер, их соединяющих. Например, последовательность вершин MIT, BBN, RAND, UCLA является маршрутом в графе интернета ARPANET. Прохождение узлов и ребер может быть повторным. Например, SRI, STAN, UCLA, SRI, UTAH, MIT также является маршрутом. Путь, в котором ребра не повторяются, называется цепью. Если же не повторяются узлы, то он носит название простой цепи.
Графическая информация и текстовая информация. Графическая…
Графическая информация используется сегодня в множестве областей визуальной коммуникации, однако…
Циклы
Особенно важные виды графов в информатике – это циклы, которые представляют собой кольцевую структуру, такую как последовательность узлов LINC, CASE, CARN, HARV, BBN, MIT, LINC. Маршруты с, по крайней мере, тремя ребрами, у которых первый и последний узел одинаковы, а остальные различны, представляют собой циклические графы в информатике.
Примеры: цикл SRI, STAN, UCLA, SRI является самым коротким, а SRI, STAN, UCLA, RAND, BBN, UTAH, SRI значительно больше.
Фактически каждое ребро графа ARPANET принадлежит к циклу. Это было сделано намеренно: если какое-либо из них выйдет из строя, останется возможность перехода из одного узла в другой. Циклы в системах коммуникации и транспорта присутствуют для обеспечения избыточности – они предусматривают альтернативные маршруты по другому пути цикла. В социальной сети тоже часто заметны циклы. Когда вы обнаружите, например, что близкий школьный друг кузена вашей жены на самом деле работает с вашим братом, то это является циклом, который состоит из вас, вашей жены, ее двоюродного брата, его школьного друга, его сотрудника (т. е. вашего брата) и, наконец, снова вас.
Связный граф: определение (информатика)
Естественно задаться вопросом, можно ли из каждого узла попасть в любой другой узел. Граф связный, если между каждой парой вершин существует маршрут. Например, сеть ARPANET – связный граф. То же можно сказать и о большинстве коммуникационных и транспортных сетей, так как их цель состоит в том, чтобы направлять трафик от одного узла к другому.
С другой стороны, нет никаких априорных оснований ожидать того, что данные виды графов в информатике широко распространены. Например, в социальной сети несложно представить двух людей, не связанных между собой.
Компоненты
Если графы в информатике не связаны, то они естественным образом распадаются на набор связанных фрагментов, групп узлов, которые являются изолированными и не пересекающимися. Например, на рисунке изображены три таких части: первая – А и В, вторая – C, D и Е, и третья состоит из оставшихся вершин.
Компоненты связности графа представляют собой подмножество узлов, у которых:
каждая вершина подгруппы имеет маршрут к любой другой;
подмножество не является частью некоторого большего набора, в котором каждый узел имеет маршрут к любому другому.
Когда графы в информатике разделяются на их компоненты, то это является лишь начальным способом описания их структуры. В рамках данного компонента может быть богатая внутренняя структура, важная для интерпретации сети. Например, формальным методом определения важности узла является определение того, на сколько частей разделится граф, если узел будет убран.
Максимальная компонента
Существует метод качественной оценки компонентов связности. Например, есть всемирная социальная сеть со связями между двумя людьми, если они являются друзьями.
Связная ли она? Вероятно, нет. Связность – довольно хрупкое свойство, и поведение одного узла (или небольшого их набора) может свести ее на нет. Например, один человек без каких-либо живых друзей будет компонентом, состоящим из единственной вершины, и, следовательно, граф не будет связным. Или отдаленный тропический остров, состоящий из людей, которые не имеют никакого контакта с внешним миром, также будет небольшой компонентой сети, что подтверждает ее несвязность.
Глобальная сеть друзей
Но есть еще кое-что. Например, читатель популярной книги имеет друзей, выросших в других странах, и составляет с ними одну компоненту. Если принять во внимание родителей этих друзей и их друзей, то все эти люди также находятся в той же компоненте, хотя они никогда не слышали о читателе, говорят на другом языке и рядом с ним никогда не были. Таким образом, хотя глобальная сеть дружбы — не связная, читатель будет входить в компонент очень большого размера, проникающий во все части мира, включающий в себя людей из самых разных слоев и, фактически, содержащий значительную часть населения земного шара.
То же имеет место и в сетевых наборах данных – большие, сложные сети часто имеют максимальную компоненту, которая включает значительную часть всех узлов. Более того, когда сеть содержит максимальную компоненту, она почти всегда только одна. Чтобы понять, почему, следует вернуться к примеру с глобальной сетью дружбы и попробовать вообразить наличие двух максимальных компонент, каждая из которых включает миллионы людей. Потребуется наличие единственного ребра от кого-то из первой компоненты ко второй, чтобы две максимальные компоненты слились в одну. Так как ребро единственное, то в большинстве случаев невероятно, чтобы оно не образовалось, и, следовательно, две максимальные компоненты в реальных сетях никогда не наблюдаются.
В некоторых редких случаях, когда две максимальные компоненты сосуществовали в течение длительного время в реальной сети, их объединение было неожиданным, драматическим, и, в конечном итоге, имело катастрофические последствия.
Катастрофа слияния компонент
Например, после прибытия европейских исследователей в цивилизации Западного полушария примерно полтысячелетия назад произошел глобальный катаклизм. С точки зрения сети это выглядело так: пять тысяч лет глобальная социальная сеть, вероятно, состояла из двух гигантских компонент — одной в Северной и Южной Америке, а другой — в Евразии. По этой причине технологии развивалась независимо в двух компонентах, и, что еще хуже, так же развивались и болезни человека и т. д. Когда две компоненты, наконец, вошли в контакт, технологии и заболевания одной быстро и катастрофически переполнили вторую.
Американская средняя школа
Понятие максимальных компонент полезно для рассуждений о сетях и в гораздо меньших размерах. Интересный пример представляет собой граф, иллюстрирующий романтические отношения в американской средней школе за 18-месячный период. Тот факт, что он содержит максимальную компоненту, имеет важное значение, когда речь заходит о распространении заболеваний, передаваемых половым путем, что и являлось целью проведенного исследования. Ученики, возможно, имели лишь одного партнера за этот период времени, но, тем не менее, не осознавая этого, были частью максимальной компоненты и, следовательно, частью многих маршрутов потенциальной передачи. Эти структуры отражают отношения, которые, возможно, давно закончилась, но они связывают индивидуумов в цепях слишком долго, чтобы стать предметом пристального внимания и сплетен. Тем не менее, они реальны: как социальные факты это невидимые, но логически вытекающие макроструктуры, возникшие как продукт индивидуального посредничества.
Расстояние и поиск в ширину
В дополнение к сведениям о том, связаны ли два узла маршрутом, теория графов в информатике позволяет узнать и о его длине – в транспорте, связи или при распространении новостей и заболеваний, а также о том, проходит ли он через несколько вершин или множество.
Для этого следует определить длину маршрута, равную числу шагов, которые он содержит от начала до конца, т. е. число ребер в последовательности, которая его составляет. Например, маршрут MIT, BBN, RAND, UCLA имеет длину 3, а MIT, UTAH – 1. Используя длину пути, можно говорить о том, расположены ли два узла в графе близко друг к другу или далеко: расстояние между двумя вершинами определяется как длина самого короткого пути между ними. Например, расстояние между LINC и SRI равно 3, хотя, чтобы убедиться в этом, следует удостовериться в отсутствии длины, равной 1 или 2, между ними.
Алгоритм поиска в ширину
Для небольших графов расстояние между двумя узлами подсчитать легко. Но для сложных появляется необходимость в систематическом методе определения расстояний.
Самым естественным способом это сделать и, следовательно, наиболее эффективным, является следующий (на примере глобальной сети друзей):
Все друзья объявляются находящимися на расстоянии 1.
Все друзья друзей (не считая уже отмеченных) объявляются находящимися на расстоянии 2.
Все их друзья (опять же, не считая помеченных людей) объявляются удаленными на расстояние 3.
Продолжая таким образом, поиск проводят в последующих слоях, каждый из которых — на единицу дальше предыдущего. Каждый новый слой составляется из узлов, которые еще не участвовали в предыдущих, и которые входят в ребро с вершиной предыдущего слоя.
Эта техника называется поиском в ширину, так как она выполняет поиск по графу наружу от начального узла, в первую очередь охватывая ближайшие. В дополнение к предоставлению способа определения расстояния, она может служить полезной концептуальной основой для организации структуры графа, а также того, как построить граф по информатике, располагая вершины на основании их расстояния от фиксированной начальной точки.
Поиск в ширину может быть применен не только к сети друзей, но и к любому графу.
Мир тесен
Если вернуться к глобальной сети друзей, можно увидеть, что аргумент, объясняющий принадлежность к максимальной компоненте, на самом деле утверждает нечто большее: не только у читателя есть маршруты к друзьям, связывающие его со значительной долей населения земного шара, но эти маршруты на удивление коротки.
Эта идея получила название «феномена тесного мира»: мир кажется маленьким, если думать о том, какой короткий маршрут связывает любых двух людей.
Теория «шести рукопожатий» впервые экспериментально исследовалась Стенли Милгрэмом и его коллегами в 1960-е годы. Не имея какого-либо набора данных социальных сетей и с бюджетом в 680 долларов он решил проверить популярную идею. С этой целью он попросил 296 случайно отобранных инициаторов попробовать отослать письмо биржевому брокеру, который жил в пригороде Бостона. Инициаторам были даны некоторые личные данные о цели (включая адрес и профессию), и они должны были переслать письмо лицу, которого они знали по имени, с теми же инструкциями, чтобы оно достигло цели как можно быстрее. Каждое письмо прошло через руки ряда друзей и образовало цепочку, замыкавшуюся на биржевом брокере за пределами Бостона.
Среди 64 цепочек, достигших цели, средняя длина равнялась шести, что подтвердило число, названное два десятилетия ранее в названии пьесы Джона Гэра.
Несмотря на все недочеты этого исследования, эксперимент продемонстрировал один из важнейших аспектов нашего понимания социальных сетей. В последующие годы из него был сделан более широкий вывод: социальные сети, как правило, имеют очень короткие маршруты между произвольными парами людей. И даже если такие опосредованные связи с руководителями предприятий и политическими лидерами не окупаются на ежедневной основе, существование таких коротких маршрутов играет большую роль в скорости распространения информации, болезней и других видов заражения в обществе, а также в возможностях доступа, которые социальная сеть предоставляет людям с совершенно противоположными качествами.
графиков в информатике
график в информатике
Графики в информатике
Введение
Графики — это математические концепции, которые нашли множество применений.
в информатике. Графики бывают разных видов, многие из
которые нашли применение в компьютерных программах. Некоторые вкусы:
Простой график
Неориентированные или ориентированные графы
Циклические или ациклические графы
помеченные графики
Взвешенные графики
Бесконечные графы
… и многие другие, которых невозможно перечислить.
Большинство графиков определяются как небольшое изменение следующего
правила.
Граф состоит из двух наборов, называемых Вершинами и Ребрами.
Вершины взяты из некоторого базового типа, и набор может быть конечным или бесконечным.
Каждый элемент набора Edge представляет собой пару, состоящую из двух элементов
из набора вершин.
Графики часто изображают визуально, рисуя элементы
вершин, установленных в виде прямоугольников или кругов, и рисование элементов
край, установленный как линии или дуги между прямоугольниками или кругами. Есть дуга
между v1 и v2, если (v1,v2) является элементом множества ребер.
Смежность. Если (u,v) находится в наборе ребер, мы говорим, что u смежно с v (что мы иногда пишем как u ~ v ).
Например, график, нарисованный ниже:
Имеет следующие части.
Базовым набором для набора Verticies являются целые числа.
Набор вершин = {1,2,3,4,5,6}
Набор ребер = {(6,4),(4,5),(4,3),(3,2),(5,2),(2,1),(5,1)}
Виды графиков
Различные разновидности графов имеют следующие специализации
и подробности о том, как они обычно рисуются.
Неориентированные графы.
В неориентированном графе порядок вершин в парах набора ребер
не имеет значения. Таким образом, если мы рассмотрим выборку
выше, мы могли бы записать набор ребер как {(4,6),(4,5),(3,4),(3,2),(2,5)),(1,2)),( 1,5)}.
Неориентированные графы обычно рисуются с прямыми линиями между
вершины.
Отношение смежности симметрично в неориентированном графе, поэтому, если u ~ v , то также имеет место v ~ u .
Направленные графы.
В ориентированном графе порядок
вершин в парах в наборе ребер имеет значение. Таким образом
u смежно с v, только если пара (u,v) находится в наборе ребер.
Для ориентированных графов мы обычно используем стрелки для дуг между
вершины. Стрелка от u к v рисуется, только если (u,v) находится в наборе ребер.
Ориентированный граф ниже
Имеет следующие части.
Базовый набор для набора Verticies — заглавные буквы.
Набор вершин = {A,B,C,D,E}
Набор ребер = {(A,B),(B,C),(D,C),(B,D),(D,B),(E,D),(B,E)}
Обратите внимание, что и (B,D), и (D,B) находятся в наборе ребер, поэтому
дуга между B и D является стрелкой в обоих направлениях.
Графики с метками вершин.
В размеченном графе каждая вершина
помечен некоторыми данными в дополнение к данным, которые идентифицируют
вершина. В файле присутствуют только идентификационные данные.
пара в наборе Edge. Это относится к (ключевым, спутниковым) данным
различие для сортировки.
Здесь у нас есть следующие части.
Базовым набором ключей набора вершин являются целые числа.
Базовым набором для спутниковых данных является Цвет.
Набор вершин = {(2,Синий),(4,Синий),(5,Красный),(7,Зеленый),(6,Красный),(3,Желтый)}
Набор ребер = {(2,4),(4,5),(5,7),(7,6),(6,2),(4,3),(3,7)}
Циклические графики.
Циклический граф — это ориентированный граф
хотя бы с одним циклом. Цикл — это путь по направленным ребрам от вершины к самой себе.
Вершина, помеченная графом выше, как несколько циклов.
Один из них 2 » 4 » 5 » 7 » 6 » 2
Графики с маркировкой Edge.
Граф с меткой Edge представляет собой
граф, где ребра связаны с метками. Можно указать, что это
делая набор Edge набором троек. Таким образом, если (u,v,X) находится в
набор ребер, далее идет ребро от u до v с меткой X
Графы с метками ребер обычно рисуются с метками, нарисованными рядом с
дуги, определяющие ребра.
Здесь у нас есть следующие части.
Базовым набором для набора Vertices является Color.
Базовым набором для меток ребер являются наборы цветов.
Взвешенный граф является ребром
помеченный граф, над метками которого может работать
обычные арифметические операторы, включая сравнения, такие как
используя меньше чем и больше чем. В Haskell мы бы сказали, что
метки ребер — это класс Num. Обычно это целые числа
или плавает. Идея состоит в том, что некоторые ребра могут быть больше (или
менее) дорого, и эта стоимость представлена краем
этикетки или вес. На приведенном ниже графике, который представляет собой
неориентированный граф, веса рисуются рядом с
края и кажутся темно-фиолетовыми.
Здесь у нас есть следующие части.
Базовым набором для набора Vertices является Integer.
Базовым набором весов является Integer.
Набор вершин = {1,2,3,4,5}
Набор краев = {(1,4,5)
,(4,5,58)
,(3,5,34)
,(2,4,5)
,(2,5,4)
,(3,2,14)
,(1,2,2)}
Направленные ациклические графы.
A Dag — ориентированный граф
без циклов. Они постоянно появляются как частные случаи в приложениях CS.
Здесь у нас есть следующие части.
Базовым набором для набора Vertices является Integer.
Набор вершин = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Набор ребер = {(1,7)
,(2,6)
,(3,1),(3,5)
,(4,6)
,(5,4),(5,2)
,(6,8)
,(7,2),(7,8)}
Отключенные графики
Вершины графа не обязательно должны быть связаны с другими вершинами. Граф может иметь несвязанные компоненты и даже одиночные вершины.
без единого подключения.
Вершины (например, 5,7 и 8) только с стрелками внутри называются стоками.
Вершины только с стрелками наружу (например, 3 и 4) называются источниками.
Здесь у нас есть следующие части.
Базовым набором для набора Vertices является Integer.
Набор вершин = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Набор ребер = {(1,7)
,(3,1),(3,8)
,(4,6)
,(6,5)}
Представление графов на компьютере
Графики часто используются для представления физических объектов.
(сеть дорог, отношения между людьми и т.д.) внутри
компьютер. Используется множество механизмов. Хороший выбор
механизм зависит от операций, которые компьютерная программа должна выполнять на графе
для достижения своих потребностей . Возможные операции включают.
Вычислить список всех вершин
Вычислить список всех ребер.
Для каждой вершины u вычислить список ребер (u,v).
Это часто называют функцией смежности.
Если граф помечен (помечены либо вершины, либо ребра)
вычислить метку для каждой вершины (или ребра).
Не всем программам потребуются все эти операции, поэтому для некоторых
программы, эффективное представление, которое может вычислить только
необходимых операций (но не других), будет достаточно.
Преимущества представления графиков в виде функций
Просто и понятно
Легко адаптируется к различным типам графиков
Недостатки использования графиков в качестве функций
Не может быть расширен для размещения запросов о
набор вершин или набор ребер.
В зависимости от компилятора, компилирующего функции
может быть не очень эффективным. На самом деле время в худшем случае может быть пропорционально количеству вершин.
График должен быть известен статически во время компиляции.
Графы как массивы смежных вершин.
Один механизм, который может смягчить недостатки использования функций
в качестве способа представления графиков следует использовать вместо них массивы. Используя это
механизм требует, чтобы базовый домен Vertices был некоторым
тип, который можно использовать в качестве индекса в массиве.
В оставшейся части этой заметки мы будем предполагать, что вершины имеют тип Int ,
и что набор вершин представляет собой конечный диапазон типа Int .
Таким образом, граф можно представить следующим образом:
введите ArrGraph = Массив [Int]
Теперь мы можем быстро и эффективно ответить на ряд вопросов о графиках.
введите ArrGraph i = Массив [i]
вершины:: ArrGraph i -> IO[Int]
ребра:: ArrGraph i -> IO[(Int,i)]
дети:: ArrGraph i -> i -> IO[i]
вершины г =
делать { (ло, привет)
Преимущества представления графов в виде массивов
Недостатки представления графиков в виде массивов
Требует, чтобы доступ к графу был командой, а не вычислением.
Домен Vertices должен быть такого типа, который можно использовать в качестве индекса в массиве.
Алгоритмы на графиках
Алгоритмов на графах очень много. В этой заметке мы будем
посмотрите на некоторые из них. Они включают:
Поиск графиков
Обнаружение циклов на графиках
Алгоритмы кратчайшего пути
См. код для некоторых примеров.
Вернемся к ежедневной записи.
Вернуться на страницу класса.
Типы графиков с примерами
График представляет собой нелинейную структуру данных, состоящую из узлов и ребер . Узлы иногда также называют вершинами, а ребра — линиями или дугами, соединяющими любые два узла в графе. Более формально граф можно определить как граф, состоящий из конечного набора вершин (или узлов) и набора ребер, соединяющих пару узлов 9. 0008
Неориентированные графы : Граф, в котором ребра не имеют направления, т. е. ребра не имеют стрелок, указывающих направление обхода. Пример: граф социальной сети, где дружеские отношения не являются направленными.
Направленные графы : Граф, в котором ребра имеют направление, т. е. ребра имеют стрелки, указывающие направление обхода. Пример: граф веб-страницы, где ссылки между страницами являются направленными.
Взвешенные графики: Граф, в котором ребра имеют вес или стоимость, связанные с ними. Пример: граф дорожной сети, где веса могут представлять расстояние между двумя городами.
Невзвешенный граф s: Граф, в котором ребра не имеют весов или связанных с ними затрат. Пример: граф социальной сети, где ребра представляют собой дружеские отношения.
Полные графы: Граф, в котором каждая вершина соединена с каждой другой вершиной. Пример: график турнира, где каждый игрок играет против каждого другого игрока.
Двудольные графы: Граф, в котором вершины можно разделить на два непересекающихся множества так, что каждое ребро соединяет вершину одного множества с вершиной другого множества. Пример: граф кандидатов на работу, вершины которого можно разделить на кандидатов на работу и вакансии.
Деревья : Связный граф без циклов. Пример: Генеалогическое древо, в котором каждый человек связан со своими родителями.
Циклы : Граф с хотя бы одним циклом. Пример: граф совместного использования велосипедов, где циклы представляют маршруты, по которым ездят велосипеды.
Разреженные графы: Граф с относительно небольшим количеством ребер по сравнению с количеством вершин. Пример: граф химической реакции, где каждая вершина представляет собой химическое соединение, а каждое ребро представляет собой реакцию между двумя соединениями.
Плотный граф s: граф с большим количеством ребер по сравнению с количеством вершин. Пример: Граф социальной сети, где каждая вершина представляет человека, а каждое ребро представляет дружбу.
1. Конечные графы
Граф называется конечным, если он имеет конечное число вершин и конечное число ребер. Конечный граф — это граф с конечным числом вершин и ребер. Другими словами, и количество вершин, и количество ребер в конечном графе ограничено и может быть подсчитано. Конечные графы часто используются для моделирования реальных ситуаций, когда существует ограниченное количество объектов и отношений между
2. Бесконечный граф:
Граф называется бесконечным, если он имеет бесконечное количество вершин, а также бесконечное количество ребер.
3. Тривиальный граф:
Граф называется тривиальным, если конечный граф содержит только одну вершину и не содержит ребер. Тривиальный граф — это граф, имеющий только одну вершину и не имеющий ребер. Он также известен как одноэлементный граф или граф с одной вершиной. Тривиальный граф — это простейший тип графа, который часто используется в качестве отправной точки для построения более сложных графов. В теории графов тривиальные графы считаются вырожденным случаем и обычно подробно не изучаются
4. Простой граф:
Простой граф — это граф, который не содержит более одного ребра между парой вершин. Простой железнодорожный путь, соединяющий разные города, является примером простого графа.
5. Мультиграф:
Любой граф, содержащий несколько параллельных ребер, но не содержащий ни одной петли, называется мультиграфом. Например, Дорожная карта.
Параллельные кромки: Если две вершины соединены более чем одним ребром, то такие ребра называются параллельными ребрами, у которых много маршрутов, но один пункт назначения.
Петля: Ребро графа, которое начинается с вершины и заканчивается в той же вершине, называется петлей или самопетлей.
6. Нулевой граф:
Граф порядка n и нулевого размера — это граф, в котором есть только изолированные вершины без ребер, соединяющих любую пару вершин. Нулевой граф — это граф без ребер. Другими словами, это граф только с вершинами и без связей между ними. Нулевой граф также может называться графом без ребер, изолированным графом или дискретным графом 9.0008
7. Полный граф:
Простой граф с n вершинами называется полным графом, если степень каждой вершины равна n-1, то есть одна вершина соединена с n-1 ребрами или остальными вершин в графе. Полный граф также называется полным графом.
8. Псевдограф:
Граф G с петлей и несколькими кратными ребрами называется псевдографом. Псевдограф — это тип графа, который допускает существование петель (ребер, соединяющих вершину с самой собой) и множественных ребер (более одного ребра, соединяющих две вершины). Напротив, простой граф — это граф, который не допускает петель или множественных ребер.
9. Регулярный граф:
Простой граф называется регулярным, если все вершины графа G имеют одинаковую степень. Все полные графы регулярны, но наоборот невозможно. Регулярный граф — это тип неориентированного графа, в котором каждая вершина имеет одинаковое количество ребер или соседей. Другими словами, если граф правильный, то все вершины имеют одинаковую степень.
10. Двудольный граф:
Граф G = (V, E) называется двудольным, если его множество вершин V(G) можно разбить на два непустых непересекающихся подмножества. V1(G) и V2(G) таким образом, что каждое ребро e ребра E(G) имеет один конец в V1(G), а другой конец в V2(G). Разбиение V1 U V2 = V называется двудольным G. Здесь на рисунке: V1(G)={V5, V4, V3} и V2(G)={V1, V2}
11. Размеченный граф:
Если вершины и ребра графа помечены именем, датой или весом, то он называется размеченным графом. Его также называют взвешенным графиком.
12. Граф орграфов:
Граф G = (V, E) с отображением f таким, что каждое ребро отображается на некоторую упорядоченную пару вершин (Vi, Vj), называется орграфом. Его также называют Directed Graph . Упорядоченная пара (Vi, Vj) означает ребро между Vi и Vj со стрелкой, направленной из Vi в Vj. Здесь на рисунке: e1 = (V1, V2) e2 = (V2, V3) e4 = (V2, V4)
13. Подграф:
Граф G1 = (V1, E1) называется подграфом графа G(V, E), если V1(G) является подмножеством V(G) и E1( G) является подмножеством E(G) таким, что каждое ребро G1 имеет те же концевые вершины, что и в G.
вершин (Vi, Vj) графа G достижимы друг из друга. Или граф называется связным, если существует хотя бы один путь между каждой и каждой парой вершин в графе G, в противном случае он несвязен. Нулевой граф с n вершинами — это несвязный граф, состоящий из n компонент. Каждый компонент состоит из одной вершины и не содержит ребер. 15. Циклический граф:
Граф G, состоящий из n вершин и n> = 3, то есть V1, V2, V3- – – – Vn и ребер (V1, V2), (V2, V3) , (V3, V4)- – – – (Vn, V1) называются циклическими графами.
16. Типы подграфов:
Вершинный непересекающийся подграф: Любые два графа G1 = (V1, E1) и G2 = (V2, E2) называются вершинно непересекающимися графа г = (V, E), если пересечение V1(G1) V2(G2) = null. На рисунке нет общей вершины между G1 и G2.
Реберно непересекающийся подграф: Подграф называется реберно непересекающимся, если E1(G1) пересечение E2(G2) = null. На рисунке нет общего ребра между G1 и G2.
Примечание: Реберный непересекающийся подграф может иметь общие вершины, но вершинный непересекающийся граф не может иметь общего ребра, поэтому вершинный непересекающийся подграф всегда будет реберно непересекающимся подграфом.
17. Охватывающий подграф
Рассмотрим граф G(V,E), как показано ниже. Остовный подграф — это подграф, содержащий все вершины исходного графа G, то есть G'(V’,E’) является остовным, если V’=V и E’ является подмножеством E.
Таким образом, один из связующих подграфов может быть таким, как показано ниже G'(V’,E’). Он имеет все вершины исходного графа G и некоторые ребра графа G.
Это всего лишь один из многих остовных подграфов графа G. Мы можем различать другие остовные подграфы с помощью различных комбинаций ребер. Заметим, что если мы рассмотрим граф G'(V’,E’), где V’=V и E’=E, то граф G’ является остовным подграфом графа G(V,E).
Преимущества графиков:
Графики можно использовать для моделирования и анализа сложных систем и взаимосвязей.
Они полезны для визуализации и понимания данных.
Графовые алгоритмы широко используются в компьютерных науках и других областях, таких как анализ социальных сетей, логистика и транспорт.
Все онлайн калькуляторы | Математические виджеты для Вашего сайта | (NEW)Решение контрольных по математике онлайн
75
Запишем числа 18 и 75, как показано выше.
«,
«
18
75
 
Начнем рассматривать по очереди числа, образованные цифрами числа 18, пока не дойдем до числа, которое больше или равно 75. Сейчас выделено число 1, оно меньше 75, поэтому нужно продолжить движение вправо.
«,
«
18
75
 
Сейчас выделено число 18, оно меньше 75, поэтому нужно продолжить движение вправо.
«,
«
18,0
75
0,
Мы достигли числа 180, которое больше 75. Число 180 является неполным делимым. Поскольку в делимом мы при движении вправо перешли через запятую (было 18, а стало 18,0), то в частном пишем \»0,\»
«,
«
18,0
75
0,2
Определим, на какую цифру нужно умножить делитель 75, чтобы получить как можно большее число, меньшее или равное неполному делимому 180. Очевидно, что на 2, т.к. 75 · 2 = 150, что меньше 180, а 75 · 3 уже равно 225, что больше 180. Поэтому запишем в частное цифру 2.
«,
«
18,0
75
15 0
0,2
Теперь умножим 75 на 2 и запишем результат 150 под неполным делимым, как показано выше.
«,
«
18,0
75
15 0
0,2
3 0
Выполним вычитание в столбик. 180 — 150 = 30.
«,
«
18,0
75
15 0
0,2
3 00
Снесем из делимого следующую цифру 0.
«,
«
18,0
75
15 0
0,24
3 00
Определим, на какую цифру нужно умножить делитель 75, чтобы получить как можно большее число, меньшее или равное неполному делимому 300. Очевидно, что на 4, т.к. 75 · 4 = 300, что как раз равно неполному делимому. Поэтому запишем в частное цифру 4.
«,
«
18,0
75
15 0
0,24
3 00
3 00
Умножим 75 на 4 и запишем результат 300 под неполным делимым, как показано выше.
«,
«
18,0
75
15 0
0,24
3 00
3 00
0
Выполним вычитание в столбик. 300 — 300 = 0.
«]; var icon12=0;
function IncArrcon12(){
if (icon120){
icon12=icon12-1;
document.getElementById(«con12»).innerHTML=arrcon12[icon12];
document.getElementById(«num12»).innerHTML=icon12+1;
}
if (icon12==0){
document.getElementById(«to_begin»).style.backgroundImage=»url(. ./images/buttons-inactive.png)»;
document.getElementById(«prevois»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»;
}
document.getElementById(«to_end»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
document.getElementById(«next»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
}
function BeginArrcon12(){
icon12=0;
document.getElementById(«con12»).innerHTML=arrcon12[icon12];
document.getElementById(«num12»).innerHTML=icon12+1;
document.getElementById(«to_begin»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»;
document.getElementById(«prevois»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»;
document.getElementById(«to_end»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
document.getElementById(«next»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
}
function EndArrcon12(){
icon12=arrcon12. length-1;
document.getElementById(«con12»).innerHTML=arrcon12[icon12];
document.getElementById(«num12»).innerHTML=icon12+1;
document.getElementById(«to_end»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»;
document.getElementById(«next»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»;
document.getElementById(«to_begin»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
document.getElementById(«prevois»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
}
Шаг 1 из
18
75
Запишем числа 18 и 75, как показано выше.
В ряде случаев при переводе обыкновенных дробей в десятичные в результате получаются десятичные периодические дроби – бесконечные дроби, у которых постоянно повторяется одна или несколько цифр после запятой. Например,
1/3 = 0,333… — эта дробь записывается как 0,(3). Период (повторяющиеся цифры) этой дроби 3
5/33 = 0,1515… — дробь записывается как 0,(15). Период (повторяющиеся цифры) этой дроби 15
Как проверить, получится ли периодическая дробь при переводе в десятичную? Очень просто:
Если обыкновенная дробь сократима, сократить ее.
Разложить на множители знаменатель дроби. Если в разложении присутствуют множители, отличные от 2 и 5, то получится периодическая дробь. Если все множители разложения равны 2 и 5, то получится конечная дробь.
Онлайн калькулятор перевода
обыкновенных дробей в десятичные
Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, воспользуйтесь нашим калькулятором вверху страницы. Вы получите пошаговое, подробное объяснение процесса деления в столбик числителя на знаменатель.
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
РаботаИнженерныеКонвертеры
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
После того, как я сделал несколько калькуляторов для перевода между разными системами счисления — вот список от первой до последней версии, от самого простого к сложному: Перевод числа в другие системы счисления, Перевод из десятичной системы счисления, Перевод из одной системы счисления в другую — в комментариях стали периодически спрашивать — а что же, мол, дробные числа, как же их переводить? И когда спросили больше трех раз, я таки решил изучить этот вопрос.
Результатом стал калькулятор, который вы видите ниже, он умеет переводить и дробные числа в том числе. Как водится, для любознательных под калькулятором немного теории.
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
Исходное число
Исходное основание
Основание системы счисления исходного числа
Основание результата
Основание системы счисления переведенного числа
Точность вычисления
Знаков после запятой: 8
Переведенное число
Исходное число в десятичной системе счисления
Переведенное число в десятичной системе счисления
Погрешность перевода (в десятичном выражении)
Максимальная погрешность перевода (в десятичном выражении)
Теперь теория. Я, честно говоря, думал, что вопрос довольно сложный, но при ближайшем рассмотрении все оказалось проще простого. Надо было только держать в голове тот факт, что речь идет о позиционных системах счисления. В чем тут суть? Рассмотрим на примере десятичного числа 6.125. Это дробное число в десятичной системе счисления представляется так:
Все просто, не так ли? Та же самая простота сохраняется и при записи дробного числа в любой другой системе счисления. Возьмем, например, горячо любимую каждым программистом двоичную систему и число, например, 110.001. Эта запись есть не что иное как
Да-да, число для примера было выбрано не просто так. То есть, 110.001 в двоичной системе есть 6.125 в десятичной. Принцип, я думаю, ясен.
Есть только одно но — все-таки из-за того, что здесь участвую дроби с разными знаменателями, не всегда одно и тоже число можно одинаково точно выразить в разных системах счисления. Что я имею в виду?
Возьмем, например, число . Отлично смотрится в десятичной системе счисления. Но вот если попробовать получить запись этого числа в двоичной системе счисления — будут проблемы. Попробуем, пока не устанем
Продолжать можно еще довольно долго, но уже сейчас видно, что 0. 8 в десятичной системе это 0.11001100…(дальше очень много цифр) в двоичной. Если честно, то это периодическое число с перидом 1100, так что мы никогда не сможем выразить его точно в двоичной системе счисления. 110011001100… будет продолжаться до бесконечности.
Поэтому перевод дробного числа из одной системы счисления в другую чаще всего дает погрешность. Погрешность эта зависит от того, сколько разрядов мы используем для записи дробной части переведенного числа. Возьмем пример с числом 0.8 и используем для записи его двоичного представления шесть разрядов после запятой — 0.110011. Полученное число вовсе не 0.8, а 0.796875, разница при этом составляет 0.003125. Это и есть наша погрешность перевода десятичного числа 0.8 в двоичный вид при использовании шести разрядов после запятой.
Вес крайнего правого разряда (самого младшего разряда) называется разрешением (resolution) или точностью (precision), и определяет наименьшее неравное нулю число, которое может быть представлено данным числом разрядов. Для нашего примера это . При этом максимально возможная погрешность представления числа, как нетрудно сообразить, не превышает половины этого веса, или 0.0078125. Так что для 0.8 мы имеем еще и не самую плохую погрешность.
Вот, собственно, и все.
Ссылка скопирована в буфер обмена
Похожие калькуляторы
• Перевод из одной системы счисления в другую
• Перевод из десятичной системы счисления
• Калькулятор с поддержкой разных систем счисления
• Перевод числа в другие системы счисления
• Дополнение числа
• Раздел: Конвертеры ( 55 калькуляторов )
#информатика #системасчисления дробные числа Информатика Конвертеры перевод из системы счисления системы счисления
PLANETCALC, Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
Запишите десятичную дробь как долю цифр в
справа от десятичной точки (числитель) и степени 10 (знаменатель).
Найдите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.
Сократите дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД.
Пример № 1
Преобразование 0,32 в фракцию:
0,32 =
32100
Найдите наибольший общий дивизор (GCD) числителя и знаменита:
GCD (32,100) = 4
. деление числителя и знаменателя на НОД:
0.32 =
324
÷
1004
=
825
Example #2
Convert 2.56 to fraction:
2.56 = 2
56100
Find the greatest common divisor (gcd) of числитель и знаменатель:
НОД(56,100) = 4
Сократите дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД:
2
56100
= 5 0 6 03 900 90 2 + 900
32 ÷
1004
= 2
1425
Пример № 3
Преобразование 0,124 в фракцию:
0,124 =
1241000
Найти наиболее общий дивизор (GCD) из Numerator и DENMINIINTATO GCD (124,1000) = 4
Уменьшите фракцию, делит числитель и знаменатель с GCD:
0,124 =
1244
÷
10004
=
31250
=
31250
0016 Как преобразовать повторяющуюся десятичную десятичную фракцию
Пример № 1
Преобразовать 0,333333 . .. Фракцию:
x = 0,333333 …
10 x = 3,333333 …
10 x = 3,333333 …
10 77 x = 3,333333 … 9000 2
107. — x = 9 x = 3
x =
39
=
13
Пример № 2
Конверт 0,0565656 … Фракцию:
9001 x = = = = = = = = = = = = = .
100 х = 5.6565656…
100 x — x = 99 x = 5.6
990 x = 56
x =
56990
=
28495
Decimal to таблица преобразования дробей
Десятичная дробь
Фракция
0,00001
1/100000
0,0001
1/10000
0,001
1/1000
0,01
1/100
0,08333333
1/12
0,09090909
1/11
0,1
1/10
0,11111111
1/9
0,125
1/8
0,14285714
1/7
0,16666667
1/6
0,2
1/5
0,22222222
2/9
0,25
1/4
0,28571429
2/7
0,3
3/10
0,33333333
1/3
0,375
3/8
0,4
2/5
0,42857143
3/7
0,44444444
4/9
0,5
1/2
0,55555555
5/9
0,57142858
4/7
0,6
3/5
0,625
5/8
0,66666667
2/3
0,7
7/10
0,71428571
5/7
0,75
3/4
0,77777778
7/9
0,8
4/5
0,83333333
5/6
0,85714286
6/7
0,875
7/8
0,88888889
8/9
0,9
9/10
1,1
10/11
1,2
6/5
1,25
5/4
1,3
13/10
1,4
7/5
1,5
3/2
1,6
8/5
1,7
17/10
1,75
7/4
1,8
9/5
1,9
19/10
2,5
5/2
Преобразование дроби в десятичную ►
См.
также
Преобразование дроби в десятичную
Преобразование десятичных чисел в проценты
Проценты к фракционному покрытию
Как преобразовать десятичную дробь в
Калькулятор дробей
Калькулятор упрощающих дробей
Добавление калькулятора дробей
Калькулятор вычитания дробей
Калькулятор умножения дробей
Калькулятор деления дробей
Калькулятор НОД
Преобразование дробей
Самый простой калькулятор дробей для простых и смешанных дробей
С нашим калькулятором дробей вы можете легко складывать, вычитать, умножать или делить дроби и смешанные числа . Вы также можете конвертировать их в десятичные дроби или проценты с помощью нашего конвертера дробей.
Онлайн-калькулятор дробей (плюс смешанные дроби)
В этом калькуляторе есть все: это калькулятор сложения дробей, калькулятор деления дробей, калькулятор умножения дробей и калькулятор вычитания дробей. Кроме того, это калькулятор смешанных дробей, также называемый калькулятором смешанных чисел. Просто выберите предпочтительную операцию и правильный оператор, и вы сможете легко переключаться между сложением, вычитанием, умножением и делением дробей и смешанных чисел.
Калькулятор: преобразование дробей в десятичные числа и проценты
С помощью приведенного ниже приложения вы сможете конвертировать дроби в десятичные числа или проценты одним нажатием кнопки.
Однако лучшее, что вы можете сделать, это узнать, как работают сами дроби. Чтобы лучше понять расчеты, происходящие за кулисами, мы собрали несколько советов, которые вы можете найти здесь
Сложение дробей
Вычитание дробей
Деление дробей
Умножение дробей
Как преобразовать дроби в десятичные?
Знаете ли вы, что преобразовать дроби в эквивалентные им десятичные числа довольно просто? Понимание указанных преобразований можно найти в разбивке самих дробей. Строка в дроби разделяет эти два значения и может быть переписана как операция. Дроби в их простейших формах представляют собой деление числителя (или верхнего члена) на знаменатель (нижний член), поэтому использование калькулятора может быть лучшим и самым простым способом преобразования дробей в десятичные. Однако, как только вы перенастроите свой мозг, чтобы рассматривать линию как символ деления, преобразование дробей в десятичные числа и, в свою очередь, проценты станет проще простого.
Возьмем, к примеру, дробь 3/4. Если мы переосмыслим эту дробь и увидим, что мы делим числитель на знаменатель, мы можем прочитать ее как 3, деленное на 4. Отсюда мы можем сказать, что 3, деленное на 4, равно 0,75, что равно 75%.
Таблица дробей и их десятичных и процентных эквивалентов
Ниже приведена таблица часто используемых дробей и их разговорных, десятичных и процентных эквивалентов.
Написано
Fraction
Percent (Rounded)
Decimal Value
A Half
½
50 %
0. 50
One third
1/3
33.3 %
0.333
A quarter
¼
25 %
0.25
A fifth
1/5
20 %
0.20
One sixth
1/6
16.67 %
0.166
One seventh
1/7
14.29 %
0.1429
An eighth
1/8
12.5 %
0.125
One ninth
1/9
11.11 %
0.11
A tenth
1/10
10 %
0.10
One twentieth
1/20
5 %
0.05
One twenty-fifth
1/25
4 %
0.025
One fiftieth
1/50
2 %
0.02
One hundredth
1/100
1 %
0,01
Одна тысячная
1/1000
0,1 %
0,001
96 Что такое дроби?
Дроби — это еще один способ представления рациональных чисел , это числовых значений, которые могут быть частью целого количества . Оно всегда изображается следующим образом:
Например, в случае дроби ½ 1 — это числитель, а 2 — знаменатель, и при попытке преобразовать это значение в десятичное число или процент можно представить его как 1, деленное на 2. Дроби могут представлять не только части целого, но и в реальных сценариях, их можно использовать для описания различных контекстов жизни. С точки зрения времени, можно сказать, что это половина (1/2) третьего, то есть 3:30 утра/пополудни или четверть (¼) третьего или 4:15 утра/пополудни.
Честно говоря, использование дробей в повседневной жизни неизбежно, и вы, вероятно, делали это косвенно. Возьмем, к примеру, еду. Если вы на вечеринке и хотите разделить круглый торт на 4 равные части, каждая из этих частей будет ¼ (или четвертью) части торта (целого). После того, как вы нарежете торт, у вас будет ¼ + ¼ + ¼ + ¼ кусочка, и если вы соедините их вместе (не съеденными), вы получите 4/4 или весь торт.
Используя ту же логику, можно выполнять более сложные вычисления дробей. Допустим, в этот раз на вечеринке было 16 человек, и мы хотели разрезать торт на 16 равных частей. Каждый кусок будет иметь размер 1/16 (одна шестнадцатая), и если кто-то съест 3 кусочка, он съест 1/16 + 1/16 + 1/16 или 3/16 торта.
Все может стать немного сложнее, если вы начнете смешивать дроби с разными знаменателями и захотите складывать или вычитать их значения. Тем не менее, мы собрали несколько полезных советов и приемов, которым вы можете следовать, чтобы упростить указанные задачи.
Метод расчета: как складывать дроби
Если знаменатели совпадают, можно просто сложить числители, чтобы знаменатель не изменился при сложении двух дробей. Например,
\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}
Если знаменатели разные, нам нужно скорректировать складываемые дроби, чтобы можно было общий знаменатель, и мы можем следовать горизонтальному сложению числителей, как обсуждалось выше.
Примечание. 1/4 * 4/4 = 4/16, что означает, что 1/4 = 4/16, потому что было выполнено умножение на 1, и в соответствии со свойством мультипликативной идентичности, когда вы умножаете число на 1, продукт сам / оригинал число.
Вы все еще запутались? Вот ссылка на видео о том, как складывать дроби с разными знаменателями:
Метод вычисления: как вычитать дроби
Если знаменатели совпадают, можно просто вычесть числители прямо, а знаменатель сохранить соответствует 90 519, когда две дроби вычитаются друг из друга. Например,
\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}
Если знаменатели разные , нам нужно настроить вычитаемые дроби так, чтобы мог быть общий знаменатель, и мы могли следовать горизонтальному вычитанию числителей, как обсуждалось выше.
Примечание. 1/4 * 4/4 = 4/16, что означает, что 1/4 = 4/16, потому что было выполнено умножение на 1 (или 4/4) и согласно свойству мультипликативной идентичности, когда вы умножаете число на 1, продукт сам по себе/ исходный номер.
Вы все еще запутались? Вот ссылка на видео о том, как вычитать дроби с разными знаменателями:
Метод вычисления: умножение дробей
К счастью, умножать дроби намного проще, чем складывать или вычитать их! Неважно, совпадают знаменатели или нет, вам просто нужно умножить числители прямо и знаменатели прямо. Чтобы лучше понять это, давайте визуализируем это следующим образом:
\frac{2}{4}*\frac{1}{2}=\frac{2}{8}
Выше мы видим, что прямое умножение числителей дает нам 2 x 1 = 2, в результате в 2 наверху 2/8, и умножение знаменателей прямо поперек дает нам 4 x 2 = 8- вот почему в нижней половине результирующей дроби 2/8 есть 8.
Если вы все еще не знаете, как умножать дроби, посмотрите это видео:
Метод расчета: деление дробей
Делить дроби так же просто, как и умножать их, если знать правильный прием.
При делении дроби надо взять обратную вторую из двух дробей, и вместо их деления мы изменим операцию на умножение. Другими словами, вам просто нужно «перевернуть» числитель и знаменатель СЕКУНД двух дробей и написать символ умножения вместо символа деления между двумя дробями. Как только вы закончите применять этот трюк, вы можете просто умножать числители и знаменатели прямо.
Изобразим это, чтобы лучше представить сказанное выше.
Примечание: мы «переворачиваем» ВТОРУЮ из двух дробей, поэтому ¼ становится 4/1 и превращаем символ деления в умножение.
Если это все еще неясно, посмотрите это видео для большей практики:
Часто задаваемые вопросы
Как вы считаете дроби?
Преобразование дроби в ее десятичный эквивалент может быть таким же простым, как деление числителя на знаменатель. Следуйте этому калькулятору для лучшего понимания.
Как делить дроби?
Если вы хотите разделить дроби, вы можете просто умножить первую дробь на обратную вторую. Обратная величина образуется путем перестановки числителя и знаменателя дроби. Перейдите по этой ссылке, чтобы выполнить расчет.
Как преобразовать десятичные дроби в дроби?
Требуется всего несколько шагов, чтобы преобразовать конечное десятичное число (число точек), например 1,572, в дробь. Сначала возьмите соответствующее десятичное число и удалите десятичную дробь (или символ точки), что в нашем примере будет соответствовать превращению 1,572 в 1572. Затем напишите 1 в знаменателе дроби, а затем напишите столько нулей после 1 в знаменателе, так как есть знаки после запятой соответствующего числа. В нашем случае 1,572 имеет три десятичных разряда после «.», что означает, что наш знаменатель будет содержать значение: 1000 (три нуля для трех десятичных разрядов). Следовательно, эквивалент дроби 1,572 равен 1572/1000. Или, 1 . 5 7 2
Как соотносятся десятичные дроби и понятие времени?
Преобразование десятичных чисел в часы и минуты (и наоборот) в основном используется в промышленности и в реальных сценариях и используется для учета и записи времени.
Как найти периметр фигур, его обозначение, измерение
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
Обычно мы справляемся с разными жизненными ситуациями теми способами, к которым мы привыкли. На самом деле, подходящих вариантов может быть больше, как и формул в математике для решения одной задачи. В этой статье рассмотрим, как вычислить периметр фигуры разными способами.
Определение периметра
Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
Какой буквой обозначается периметр? Заглавной латинской P. Под обозначением P удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах по ходу решения.
В чем измеряется периметр? В тех же единицах измерения, что и длина — например, миллиметр, сантиметр, метр, фут, дюйм, локоть и др.
Если в условиях задачки длины сторон переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать периметр фигуры. Для правильного решения нужно перевести все данные в одну единицу измерения.
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Формулы нахождения периметра
Как мы только что узнали, периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. А значит, чтобы его найти, нам надо знать длины этих сторон. Давайте посмотрим, как найти периметр, на примерах нескольких фигур.
Равносторонний многоугольник
У равностороннего треугольника все стороны равны. А значит, периметр равностороннего треугольника можно найти как произведение длины стороны на их количество, т. е. на 3.
P = 3 ⋅ a, где a — длина стороны.
Периметр любого другого равностороннего многоугольника можно найти тем же способом: умножив длину его стороны на их количество. Например, у квадрата и ромба все стороны равны, а значит, их периметр можно найти по формуле P = 4 ⋅ a, где a — длина стороны.
А формула для любого равностороннего n-угольника будет такая: P = n ⋅ a, где a — длина стороны, n — количество сторон.
Прямоугольник и параллелограмм
У прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, а значит, найти их периметр легко, зная две соседние стороны.
P = 2 ⋅ (a + b), где a — одна сторона, b — соседняя сторона.
Окружность
У окружности нет периметра, потому что это не многоугольник. Но у нее есть длина, которую можно найти, зная радиус. Длина окружности — это произведение пи на два радиуса или произведение пи на диаметр.
L = d ⋅ π = 2 ⋅ r ⋅ π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.
Можно выучить все формулы, а можно, запомнив определение о сумме всех сторон, каждый раз проявлять смекалку и вычислять самостоятельно. Давайте потренируемся, как определять периметр фигур!
Решение задач
Площадь прямоугольника равна 80 см2, длина составляет 10 см. Чему равен периметр фигуры?
Как решаем:
Для использования формулы P = 2 × (a + b), нам нужно найти ширину;
Так как S = a × b, для поиска одной стороны необходимо разделить площадь на известную сторону: 80 : 10 = 8 см;
Далее подставляем известные данные в формулу: (10 + 8) × 2 = 36 см;
Ответ: 36 см.
Равнобедренный треугольник имеет периметр 40 см, длина его основания составляет 6 см. Какую длину будут иметь две другие стороны?
Как решаем:
Мы знаем, что периметр — это сумма длин всех сторон, а значит, если вычесть из данного периметра сторону основания — получим сумму двух оставшихся сторон: 40 − 6 = 34 см;
Известно, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны;
Далее делим получившуюся сумму на два: 34 : 2 = 17 см;
Ответ: две другие стороны равны по 17 см.
Радиус окружности равен периметру равностороннего пятиугольника со стороной 4 см. Найдите длину окружности.
Еще больше практических заданий —
на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Лидия Казанцева
Автор Skysmart
К предыдущей статье
983.2K
Как найти площадь треугольника
К следующей статье
250.1K
Как найти периметр прямоугольника
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Площадь и периметр треугольника: формула и как найти
Треугольник это геометрическая фигура (многоугольник), ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех отрезков.
Формула периметра треугольника
Периметр треугольника равняется сумме всех его сторон: P = a + b + c, где P это периметр и a, b, c – стороны треугольника.
Расчет периметра треугольника
Формула площади треугольника
1. Самая простая формула для расчета площади это произведение основания и высоты треугольника, поделенное на 2: S = (a · h)/2, где S это площадь, a – основание, h – высота.
Расчет:
Площадь =
2. Вторая формула для расчета площади треугольника: по радиусу вписанной окружности и периметру: S = (r · P)/2 = r · p, где r это радиус вписанной окружности, P – периметр треугольника, p – половина периметра треугольника (p = P/2)
Расчет:
Площадь =
3. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними: S = a · b · sin γ)/2 = (b · c · sin α)/2 = (a · c · sin β)/2, где a, b, c это стороны треугольника и α, β, γ – его внутренние углы.
Расчет:
угол =
Площадь =
4. Формула Герона или площадь треугольника по его трем сторонам: S = √p · (p — a)(p — b)(p — c), где a, b и c это стороны треугольника и p – половина периметра треугольника.
Расчет:
p = (a+b+c)/2 =
Площадь =
Что такое периметр треугольника?
Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон.
Как найти/вычислить периметр треугольника?
Для получения периметра треугольника нужно сложить все его стороны: P = a + b + c, где P это периметр и a, b, c – стороны треугольника.
Чему равен периметр треугольника?
Периметр треугольника равен сумме всех его сторон.
Как найти/посчитать площадь треугольника?
Для того, чтобы вычислить площадь треугольника, можно использовать одну из формул ее вычисления, используя доступные вводные данные.
произведение основания и высоты треугольника, поделенное на 2: S = (a · h)/2, где S это площдаь, a – основание, h – высота.
по радиусу вписанной окружности и периметру: S = (r · P)/2 = r · p, где r это радиус вписанной окружности, P – периметр треугольника, p – половина периметра треугольника (p = P/2)
по двум сторонам и углу между ними: S = a · b · sin γ)/2 = (b · c · sin α)/2 = (a · c · sin β)/2, где a, b, c это стороны треугольника и α, β, γ – его внутренние углы.
по трем сторонам: S = √p · (p — a)(p — b)(p — c), где a, b и c это стороны треугольника и p – половина периметра треугольника.
Данный сайт использует файлы куки для обеспечения наилучшей функциональности и эфективности работы. Продолжая пользоваться сайтом вы соглашаетесь с политикой использования куки. Согласен Подробнее
Периметр, площадь и объем
Горячая математика
1. периметр из
многоугольник (или любая другая замкнутая кривая, например круг) — это расстояние вокруг внешней стороны.
2. область из
простая, замкнутая, плоская кривая — это объем пространства внутри.
3. объем из
твердый
3
Д
форма — это количество пространства, вытесненного ею.
Некоторые формулы для общих
2
-мерные плоские фигуры и
3
-мерные тела приведены ниже. Ответов один, два,
или три измерения; периметр измеряется в линейные единицы , область измеряется в квадратные единицы , и объем измеряется в кубические единицы .
Стол
1
. Формулы периметра
Форма
Формула
Переменные
Квадрат
п
«=»
4
с
с
это длина стороны квадрата.
Прямоугольник
п
«=»
2
л
+
2
Вт
л
и
Вт
длины сторон прямоугольника (длина и ширина).
Треугольник
а
+
б
+
с
а
,
б
, и
с
являются длинами сторон.
Прямоугольный треугольник с ножками
а
и
б
(видеть
Теорема Пифагора
)
п
«=»
а
+
б
+
а
2
+
б
2
а
и
б
это длины двух катетов треугольника
Круг
п
«=»
С
«=»
2
π
р
«=»
π
д
р
это радиус и
д
это диаметр.
Таблица 2. Формулы площади
Форма
Формула
Переменные
Квадрат
А
«=»
с
2
с
это длина стороны квадрата.
Прямоугольник
А
«=»
л
Вт
л
и
Вт
длины сторон прямоугольника (длина и ширина).
Треугольник
А
«=»
1
2
б
час
б
и
час
это основание и высота
Треугольник
А
«=»
с
(
с
−
а
)
(
с
−
б
)
(
с
−
с
)
где
с
«=»
а
+
б
+
с
2
а
,
б
, и
с
это длины сторон и
с
это полупериметр
Параллелограмм
А
«=»
б
час
б
это длина основания и
час
это высота.
Трапеция
А
«=»
б
1
+
б
2
2
час
б
1
и
б
2
— длины параллельных сторон и
час
расстояние (высота) между параллелями.
Круг
А
«=»
π
р
2
р
это радиус.
Таблица 3. Формулы объема
Форма
Формула
Переменные
Куб
В
«=»
с
3
с
это длина стороны.
Правая прямоугольная призма
В
«=»
л
Вт
ЧАС
л
это длина,
Вт
это ширина и
ЧАС
это высота.
Призма или цилиндр
В
«=»
А
час
А
площадь основания,
час
это высота.
Пирамида или конус
В
«=»
1
3
А
час
А
площадь основания,
час
это высота.
Сфера
В
«=»
4
3
π
р
3
р
это радиус.
Периметр и площадь — формулы для всех фигур
Дата последнего обновления: 07 апреля 2023 г.0005
•
Просмотров сегодня: 4,07k
Для двумерной фигуры периметр относится к границе или пути вокруг фигуры. С другой стороны, площадь двумерной фигуры — это пространство, занимаемое на поверхности фигуры. Существуют различные типы фигур, но наиболее распространенными являются квадрат, прямоугольник, треугольник, круг и т. д. В этом содержании вы сможете узнать периметр и площадь основных фигур.
Начнем!
1. Прямоугольник
(Изображение будет загружено в ближайшее время)
Прямоугольник — это фигура, у которой противоположные стороны равны, а все углы прямые (90 градусов).
Периметр прямоугольника = \[2 ( a + b )\]
Площадь прямоугольника = \[ a \times b \]
2. Квадрат
(Изображение будет загружено в ближайшее время)
5
5 Квадрат – это фигура, у которой все четыре стороны равны, а все углы равны 90 градусов.
Периметр квадрата = \[ 4 \times a \] 9{2} \]
Примечание. Здесь значение числа пи равно \[\frac{22}{7} \] или 3,14. Вы можете использовать любой из них, если он не указан в вопросе.
4. Треугольник
(Изображение будет загружено в ближайшее время)
Треугольник – это фигура с тремя углами и тремя прямыми линиями. Треугольники можно разделить на три вида, например:
Равносторонний треугольник
Периметр равностороннего треугольника = 3 a 9{2} \]
Равнобедренный треугольник
Периметр равнобедренного треугольника = 2s + b
Площадь равнобедренного треугольника = \[\frac{1}{2} \times\] b \[\ times\] hb
Разносторонний треугольник
Периметр разностороннего треугольника = a + b + c
Площадь разностороннего треугольника = \[\frac{1}{2} \times b \times h \ ]
5.
Параллелограмм
(Изображение скоро будет загружено)
Эта фигура представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны.
Периметр параллелограмма = \[2 ( a + b ) \]
Площадь параллелограмма = \[b \times h\]
Это параллелограмм, стороны которого равны.
Площадь ромба = \[a \times h \]
Периметр ромба = \[4 \times a \]
7. Трапеция
Эта фигура представляет собой четырехугольник, который имеет как минимум 1 пару параллельных сторон .
Периметр трапеции = \[a_1 + a_2 + b_1 + b_2 \]
Площадь трапеции = \[(\frac{( a1 + a2 )}{2}) \times h \]
8. Regular N-Gon
(Изображение будет загружено в ближайшее время)
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого число сторон и углов одинаковы.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наука». М. 1977 г.
Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию.
Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам.
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9. Взаимное расположение двух линий § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30. 2+bx+c § 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x § 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95. Координаты точки § 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей § 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134. Точка пересечения трех плоскостей § 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат § 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190. Два уравнения с двумя неизвестными § 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216. Эквивалентные бесконечно малые величины § 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238. Производная сложной функции § 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259. Выражение высших производных через дифференциалы § 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279. Второе достаточное условие максимума и минимума § 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301. Интегрирование по частям § 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321. Дифференциал интеграла § 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342. Кривизна § 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364. О знаке кривизны § 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390. Интегрирование рядов § 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx § 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности § 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) § 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480. Изоклины § 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью § 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия
Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 1: Учебное пособие для втузов.— 13-е изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 432 с.
Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой.
Первый том включает разделы: введение в анализ, дифференциальное исчисление (функций одной и нескольких переменных), неопределенный и определенный интегралы.
Настоящее издание не отличается от предыдущего (1978 г.).
Для студентов высших технических учебных заведений.
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ § 1. Действительные числа. § 2. Абсолютная величина действительного числа § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. n при n целом и положительном § 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 22. Производные различных порядков § 23. x, sin x, cos x Упражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента § 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 7. О кратных корнях многочлена § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2. Геометрическое изображение функции двух переменных § 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов § 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6. Интегрирование по частям § 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9. Формула Чебышева § 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция § 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII
Исчисление II — Длина дуги с полярными координатами
Онлайн-заметки Пола Главная
/
Исчисление II
/
Параметрические уравнения и полярные координаты
/ Длина дуги с полярными координатами
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 9.9: Длина дуги с полярными координатами
Теперь нам нужно перейти к применению интегралов в исчислении II и к тому, как мы их вычисляем в полярных координатах. В этом разделе мы рассмотрим длину дуги кривой, заданной выражением
, где мы также предполагаем, что кривая трассируется ровно один раз. Как и в случае с касательными линиями в полярных координатах, мы сначала запишем кривую в терминах набора параметрических уравнений
В качестве отступления перед тем, как мы закончим эту главу. Полярное уравнение \(r = \theta\) является уравнением спирали. Вот краткий набросок \(r = \theta\) для \(0 \le \theta \le 4\pi \).
11.4: Площадь и длина дуги в полярных координатах
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
2583
Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
OpenStax
Цели обучения
Применить формулу площади региона в полярных координатах.
Определите длину дуги полярной кривой. 92}дх. \номер\]
В этом разделе мы изучаем аналогичные формулы для площади и длины дуги в полярной системе координат.
Площади областей, ограниченных полярными кривыми
Мы изучили формулы площади под кривой, заданной в прямоугольных координатах, и кривых, заданных параметрически. Теперь обратим внимание на вывод формулы площади области, ограниченной полярной кривой. Напомним, что в доказательстве основной теоремы исчисления использовалось понятие суммы Римана для аппроксимации площади под кривой с помощью прямоугольников. Для полярных кривых мы снова используем сумму Римана, но прямоугольники заменяем секторами окружности.
Рассмотрим кривую, заданную функцией \(r=f(θ),\), где \(α≤θ≤β.\) Наш первый шаг — разбить интервал \([α,β]\) на n подынтервалов одинаковой ширины. Ширина каждого подинтервала определяется формулой \(Δθ=(β−α)/n\), а i -я точка разбиения \(θ_i\) определяется формулой \(θ_i=α+iΔθ\ ). Каждая точка разбиения \(θ=θ_i\) определяет линию с наклоном \(\tan θ_i\), проходящую через полюс, как показано на следующем графике.
Рисунок \(\PageIndex{1}\): Разбиение типичной кривой в полярных координатах.
Отрезки соединяются дугами постоянного радиуса. Это определяет сектора, площади которых можно рассчитать с помощью геометрической формулы. Затем площадь каждого сектора используется для аппроксимации площади между последовательными сегментами линии. Затем мы суммируем площади секторов, чтобы аппроксимировать общую площадь. Этот подход дает приближение суммы Римана для общей площади. Формула площади сектора круга показана на следующем рисунке. 92 дθ. \label{areapolar}\end{align} \]
Пример \(\PageIndex{1}\): Нахождение площади полярной области
Найдите площадь одного лепестка розы, определяемой уравнением \(r =3\sin(2θ).\)
Когда \(θ=0\) имеем \(r=3\sin(2 (0))=0\). Следующее значение, для которого \(r=0\), равно \(θ=π/2\). Это можно увидеть, решив уравнение \(3\sin (2θ)=0\) для \(θ\). Следовательно, значения от \(θ=0\) до \(θ=π/2\) очерчивают первый лепесток розы. Чтобы найти площадь внутри этого лепестка, используйте уравнение \ref{areapolar} с \(f(θ)=3\sin (2θ), α=0,\) и \(β=π/2\): 9{π/2}_0 \\[4pt] &=\dfrac{9}{4}(\dfrac{π}{2}-\dfrac{\sin 2π}{4})-\dfrac{9}{4} }(0−\dfrac{\sin 4(0)}{4}) \\[4pt] &=\dfrac{9π}{8}\end{align*}\]
Упражнение \(\PageIndex{1 }\)
Найдите площадь внутри кардиоиды, определяемой уравнением \(r=1−\cos θ\).
Подсказка
Используйте уравнение \ref{areapolar}. Обязательно определите правильные пределы интегрирования перед оценкой.
Ответ
\(А=3π/2\)
Пример \(\PageIndex{1}\) включал поиск площади внутри одной кривой. Мы также можем использовать уравнение \ref{areapolar}, чтобы найти площадь между двумя полярными кривыми. Однако нам часто нужно найти точки пересечения кривых и определить, какая функция определяет внешнюю кривую или внутреннюю кривую между этими двумя точками.
Пример \(\PageIndex{2}\): нахождение площади между двумя полярными кривыми
Найдите площадь вне кардиоиды \(r=2+2\sin θ\) и внутри круга \(r=6\ sin θ\).
Решение
Сначала нарисуйте график, содержащий обе кривые, как показано на рисунке.
Рисунок \(\PageIndex{4}\): Область между кривыми \(r=2+2\sin θ\) и \(r=6\sin θ. \)
Для определения пределов интегрирования, сначала найдите точки пересечения, установив две функции равными друг другу и решив для \(θ\):
Это дает решения \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\), которые являются пределами интегрирования. Окружность \(r=3\sin θ\) — это красный график, который является внешней функцией, а кардиоида \(r=2+2\sin θ\) — это синий график, который является внутренней функцией. Чтобы вычислить площадь между кривыми, начните с площади внутри круга между \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\), затем вычтите площадь внутри кардиоиды между \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\):
Найдите площадь внутри круга \(r=4\cos θ\) и вне круга \(r=2\).
Подсказка
Используйте уравнение \ref{areapolar} и пользуйтесь преимуществами симметрии.
Ответить
\(A=\dfrac{4π}{3}+2\sqrt{3}\)
В примере \(\PageIndex{2}\) мы нашли площадь внутри круга и вне кардиоиды, сначала найдя их точки пересечения. Обратите внимание, что непосредственное решение уравнения для \(θ\) дало два решения: \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\). Однако на графике есть три точки пересечения. Третья точка пересечения является исходной точкой. Причина, по которой эта точка не появилась в качестве решения, заключается в том, что начало координат находится на обоих графиках, но для разных значений \(θ\). Например, для кардиоиды получаем
, поэтому значения для \(θ\), которые решают это уравнение, равны \(θ=\dfrac{3π}{2}+2nπ\), где \(n\) — любое целое число. Для окружности получаем
\[6\sin θ=0. \nonumber \]
Решения этого уравнения имеют вид \(θ=nπ\) для любого целого значения \(n\). Эти два набора решений не имеют общих точек. Независимо от этого кривые пересекаются в начале координат. Этот случай нужно всегда учитывать. 92}дт. \nonumber \]
В полярных координатах мы определяем кривую уравнением \(r=f(θ)\), где \(α≤θ≤β.\) Чтобы адаптировать формулу длины дуги для полярной кривой , мы используем уравнения
Пример \(\PageIndex{3}\): Нахождение длины дуги кардиоиды
Нахождение длины дуги кардиоиды \(r=2+2\cos θ\). 2dθ\). 92}dθ \номер\]
Эта страница под названием 11.4: Площадь и длина дуги в полярных координатах распространяется по лицензии CC BY-NC-SA 4.0, автором, ремиксом и/или куратором являются Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Херман (OpenStax) через источник контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Давайте разберемся, как складывать и вычитать обыкновенные дроби. Данный навык необходим для решения множества задач как и в школьном курсе, так и при сдаче ОГЭ или ЕГЭ по математике. Итак, перейдем к рассмотрению различных примеров.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Начнем с рассмотрения самого простого примера – сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В данном случае необходимо просто произвести действия с числителями – сложить их или вычесть.
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель не изменяется!
Главное не производить никакие операции сложения и вычитания в знаменателе, но некоторые школьники забывают об этом. Чтобы лучше понять это правило, прибегнем к принципу визуализации, или говоря простыми словами, рассмотрим жизненный пример:
У Вас есть половина яблока – это ½ от всего яблока. Вам дают еще одну половину, то есть еще ½. Очевидно, что теперь у Вас целое яблоко (не считая, что оно разрезано 🙂 ). Поэтому ½ + ½ = 1, а не что-то другое, как, например, 2/4. Или же у Вас забирают эту половину: ½ – ½ = 0. В случае вычитания с одинаковыми знаменателями получается вообще особый случай – при вычитании одинаковых знаменателей, мы получим 0, а на 0 делить нельзя, и данная дробь не будет иметь смысла.
Приведем напоследок пример:
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Что же делать, если знаменатели разные? Для этого нам необходимо вначале привести дроби к одному знаменателю, а затем действовать как я указал выше.
Приводить дробь к общему знаменателю можно двумя способами. Во всех способах используется одно правило – при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не изменяется.
Существует два способа. Первый – самый простой – так называемый “крест-накрест”. Он заключается в том, что первую дробь мы умножаем на знаменатель второй дроби (и числитель и знаменатель), а вторую дробь умножаем на знаменатель первой (аналогично и числитель и знаменатель). После этого действуем как в случае с одинаковыми знаменателями – теперь они действительно одинаковые!
Пример:
Предыдущий способ универсален, однако в большинстве случаев у дробей знаменателей можно найти наименьшее общее кратное – число, на которое делится и первый знаменатель и второй, причем самое маленькое. В данном методе нужно уметь видеть такие НОКи, потому что специальный поиск их достаточно ёмкий и уступает по скорости методу “крест-накрест”. Но в большинстве случаев НОКи довольно хороши видны, если набить глаз и достаточно тренироваться.
Пример:
Надеюсь, что теперь Вы в совершенстве владеете методами сложения и вычитания дробей!
Даниил Романович | Просмотров: 2.5k
Обыкновенные дроби.
Конспект — Kid-mama
Из этой статьи вы узнаете:
Что такое обыкновенные дроби.
Виды обыкновенных дробей
Преобразования дробей
Сравнение дробей
Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Понятие о НОД.
Как приводить дроби к одному знаменателю. НОК
Сложение и вычитание дробей.
Умножение и деление дробей. Взаимно обратные числа и дроби.
Что такое обыкновенные дроби. Виды дробей.
Дробь всегда означает какую то часть целого. Дело в том, что не всегда количество можно передать натуральными числами, то есть пересчитать: 1,2,3 и т.д. Как, например, обозначить половину арбуза или четверть часа? Вот для этого и появились дробные числа, или дроби.
Для начала нужно сказать, что вообще дробей бывает два вида: обыкновенные дроби и десятичные дроби. Обыкновенные дроби записываются так: Десятичные дроби записываются по другому:
Обыкновенные дроби состоят из двух частей: вверху — числитель, внизу — знаменатель. Числитель и знаменатель разделяет дробная черта. Итак, запомните:
Любая дробь — это часть целого. За целое обычно принимают 1 (единицу). Знаменатель дроби показывает, на сколько частей разделили целое (1), а числитель — сколько частей взяли. Если мы разрезали торт на 6 одинаковых частей ( в математике говорят долей ), то каждая часть торта будет равна 1/6. Если Вася съел 4 куска, то значит, он съел 4/6 .
С другой стороны, дробная черта — это не что иное, как знак деления. Поэтому дробь — это частное двух чисел — числителя и знаменателя. В тексте задач или в рецептах блюд дроби записываются обычно так: 2/3, 1/2 и т.д. Некоторые дроби получили собственное название, например, 1/2 — «половина», 1/3 — «треть», 1/4 — «четверть» А теперь разберемся, какие бывают виды обыкновенных дробей.
Виды обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби бывают трех видов: правильные, неправильные и смешанные:
Правильная дробь
Если числитель меньше, чем знаменатель, то такую дробь называют правильной, например: Правильная дробь всегда меньше 1.
Неправильная дробь
Если числитель больше, чем знаменатель или равен знаменателю, такая дробь называется неправильной, например:
Неправильная дробь больше единицы(если числитель больше знаменателя) или равна единице (если числитель равен знаменателю)
Смешанная дробь
Если дробь состоит из целого числа (целая часть) и правильной дроби (дробная часть), то такая дробь называется смешанной, например:
Смешанная дробь всегда больше единицы.
Преобразования дробей
В математике обыкновенные дроби часто приходится преобразовывать, то есть смешанную дробь превращать в неправильную и наоборот. Это необходимо для выполнения некоторых действий, например, умножения и деления.
Итак, любую смешанную дробь можно перевести в неправильную. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель дробной части. Полученную сумму берут числителем, а знаменатель оставляют тот же, например:
Любую неправильную дробь можно превратить в смешанную. Для этого делят числитель на знаменатель (с остатком). Полученное число будет целой частью, а остаток — числителем дробной части, например:
При этом говорят: «Мы выделили целую часть из неправильной дроби».
Необходимо запомнить еще одно правило: Любое целое число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1, например:
Поговорим о том, как сравнивать дроби.
Сравнение дробей
При сравнении дробей может быть несколько вариантов: Легко сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, гораздо сложнее — если знаменатели разные. А есть еще и сравнение смешанных дробей. Но не волнуйтесь, сейчас мы подробно рассмотрим каждый вариант и научимся сравнивать дроби.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями больше та дробь, у которой числитель больше, например:
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Из двух дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, например:
Сравнение смешанных и неправильных дробей с правильными дробями
Неправильная или смешанная дробь всегда больше правильной дроби, например:
Сравнение двух смешанных дробей
При сравнении двух смешанных дробей больше та дробь, у которой целая часть больше, например:
Если целые части у смешанных дробей одинаковые, больше та дробь, у которой дробная часть больше, например:
Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Сравнивать дроби с разными числителями и знаменателями без их преобразования нельзя. Сначала дроби нужно привести к одному знаменателю, а затем сравнить их числители. Больше та дробь, у которой числитель будет больше. А вот как приводить дроби к одинаковому знаменателю, мы рассмотрим в следующих двух разделах статьи статьи. Сначала мы рассмотрим основное свойство дроби и сокращение дробей, а затем непосредственно приведение дробей к одному знаменателю.
Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Понятие о НОД.
Запомните: складывать и вычитать, а также сравнивать можно только дроби, у которых одинаковые знаменатели. Если знаменатели разные, то сначала нужно привести дроби к одному знаменателю, то есть так преобразовать одну из дробей, чтобы ее знаменатель стал таким же, как у второй дроби.
У дробей есть одно важное свойство, называемое также основным свойством дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то величина дроби при этом не изменится:
Благодаря этому свойству мы можем сокращать дроби:
Сократить дробь — значит разделить и числитель, и знаменатель на одно и то же число(смотрите пример чуть выше). Когда мы сокращаем дробь, то можно расписать наши действия так:
Чаще же в тетради сокращают дробь так:
Но запомните: сокращать можно только множители. Если в числителе или знаменателе сумма или разность, сокращать слагаемые нельзя. Пример:
Нужно сначала преобразовать сумму в множитель:
Иногда, при работе с большими числами, для того, чтобы сократить дробь, удобно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя (НОД)
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел — это наибольшее натуральное число, на которое эти числа делятся без остатка.
Для того, чтобы найти НОД двух чисел (например, числителя и знаменателя дроби), нужно разложить оба числа на простые множители, отметить одинаковые множители в обоих разложениях, и перемножить эти множители. Полученное произведение и будет НОД. Например, нам нужно сократить дробь:
Найдем НОД чисел 96 и 36:
НОД нам показывает, что и в числителе, и в знаменателе есть множитель12, и мы легко сокращаем дробь.
Иногда, чтобы привести дроби к одному знаменателю, достаточно сократить одну из дробей. Но чаще бывает необходимо подбирать дополнительные множители для обеих дробей .Сейчас мы рассмотрим, как это делается. Итак:
Как приводить дроби к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК).
Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, мы подбираем для знаменателя такое число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель (то есть было бы кратным обоим знаменателям, выражаясь математическим языком). И желательно, чтобы число это было как можно меньшим, так удобнее считать. Таким образом, мы должны найти НОК обоих знаменателей.
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:
Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:
Разложить эти числа на простые множители
Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.
Например, найдем НОК чисел 28 и 21:
Однако вернемся к нашим дробям. После того, как мы подобрали или письменно вычислили НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:
Таким образом мы привели наши дроби к одному знаменателю — 15.
Сложение и вычитание дробей
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:
Сложение и вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью:
Пример 1:
Пример 2:
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:
Вычитание проводится аналогично: целая часть вычитается из целой, а дробная — из дробной части:
Если дробная часть вычитаемого больше, чем дробная часть уменьшаемого, «занимаем» единицу из целой части, превращая уменьшаемое в неправильную дробь, а дальше действуем как обычно:
Аналогично вычитаем из целого числа дробь:
Как сложить целое число и дробь
Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:
Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как при сложении дробей с одинаковыми знаменателями (сложить числители):
При вычитании действуем аналогично:
Если работаем со смешанными дробями, приводим к одинаковому знаменателю их дробные части и далее вычитаем как обычно: целую часть из целой, а дробную — из дробной части:
Умножение и деление дробей.
Умножать и делить обыкновенные дроби гораздо проще, чем складывать и вычитать, так как не нужно приводить их к одному знаменателю. Запомните простые правила умножения и деления дробей:
Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений
Например:
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель:
Например:
При умножении смешанных дробей нужно сначала записать эти дроби в виде неправильных дробей, а затем умножать как обычно: числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель:
Перед тем, как перемножать числа в числителе и знаменателе желательно сократить дробь, то есть избавиться от одинаковых множителей в числителе и знаменателе, как в нашем примере.
Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений:
Например:
Деление дроби на дробь
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю (обратную дробь).Что же это за обратная дробь?
Взаимно обратные числа и дроби.
Если мы перевернем дробь, то есть поменяем местами числитель и знаменатель, то получим обратную дробь. Произведение дроби и обратной ей дроби дает единицу. В математике такие числа называют взаимно обратными числами:
Например, числа — взаимно обратные, так как
Таким образом, вернемся к делению дроби на дробь:
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:
Например:
При делении смешанных дробей нужно так же, как и при умножении, сначала перевести их в неправильные дроби:
При умножении и делении дробей на целые натуральные числа, можно представлять эти числа так же в виде дробей со знаменателем 1.
И приделении целого числа на дробь представляем это число в виде дроби со знаменателем 1:
Сложение и вычитание смешанных дробей
Смешанная дробь представляет собой целое число и дробь вместе:
1 3 4
(одна и три четверти)
Чтобы их было проще складывать и вычитать, сначала преобразуйте их в неправильные дроби:
Неправильная дробь имеет верхнее число больше или равное нижнее число:
7 4
(семь четвертей или семь четвертей)
Видите ли вы, что 1 3 4 совпадает с 7 4 ?
Другими словами, «одна и три четверти» — это то же самое, что и «семь четвертей».
(Возможно, вы захотите прочитать, как конвертировать из или в смешанные дроби)
Добавление смешанных фракций
Для добавления смешанных фракций:
преобразовать их в неправильные дроби
затем добавьте их (используя сложение дробей)
, затем конвертируйте обратно в смешанные дроби
Например:
Пример: Что такое 2
3 4 + 3 1 2 ?
Преобразование в неправильные дроби:
2 3 4 «=» 11 4
3 1 2 «=» 7 2
Общий знаменатель 4:
11 4 остается как 11 4
7 2 становится 14 4 (путем умножения верхнего и нижнего на 2)
Теперь добавьте:
11 4 + 14 4 «=» 25 4
Преобразование обратно в смешанные дроби:
25 4 = 6 1 4
Когда вы получите больше опыта, вы сможете делать это быстрее, как в этом примере:
Пример: что такое 3
5 8 + 1 3 4
Преобразовать их в неправильные дроби:
3 5 8 «=» 29 8 1 3 4 «=» 7 4
Сделать тот же знаменатель: 7 4 становится 14 8 (умножив верх и низ на 2)
И добавить:
29 8 + 14 8 «=» 43 8 = 5 3 8
Вычитание смешанных дробей
Просто следуйте тому же методу, но вместо прибавления вычитайте:
Добавление дробей | Сложение дробей с разными знаменателями
Сложение дробей немного отличается от обычного сложения чисел, поскольку дробь имеет числитель и знаменатель, разделенные чертой. сложение дробей можно легко сделать, если знаменатели равны. В то время как одинаковые дроби имеют общие знаменатели, разные дроби преобразуются в одинаковые дроби, чтобы упростить сложение. Давайте узнаем больше о добавлении дробей и о том, как добавить две дроби в этой статье.
1.
Как складывать дроби?
2.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
3.
Сложение дробей с разными знаменателями
4.
Сложение дробей с целыми числами
5.
Добавление дробей с переменными
6.
Часто задаваемые вопросы о сложении дробей
Как складывать дроби?
Дроби являются частью целого. Прежде чем перейти к сложению дробей, давайте быстро повторим, что такое дроби. Дроби состоят из двух частей, числителя и знаменателя. Общее представление дроби — это a/b, где «a» — числитель, «b» — знаменатель, а «b» не может быть нулевым. Например, 2/3, 14/5, 6/7, 28/9.и 21/43. Как и с другими числами, мы можем выполнять арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Сложение дробей означает нахождение суммы двух или более дробей. Теперь давайте изучим основные шага сложения дробей с помощью следующего примера.
Пример: Сложить 1/4 + 2/4
Решение: Сложим эти дроби, выполнив следующие действия.
Шаг 1: Проверьте, совпадают ли знаменатели. (Здесь знаменатели совпадают, поэтому переходим к следующему шагу)
Шаг 2: Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем. Это означает, что (1 + 2)/4 = 3/4
Шаг 3: При необходимости упростите дробь до наименьшей формы. Здесь он не нужен. Итак, сумма данных дробей равна 1/4 + 2/4 = 3/4
.
В математике есть разные типы дробей. При добавлении дробей нам нужно проверить, похожи ли они на дроби или не похожи на дроби. Однородные дроби — это группа дробей с общим знаменателем, а разные дроби — это группа дробей с разными знаменателями. Изучая сложение дробей, мы можем столкнуться со следующими сценариями.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями: 3/4 + 1/4
Сложение дробей с разными знаменателями: 3/5 + 1/2
Сложение дробей с целыми числами: 1/2 + 2
Сложение дробей с переменными: 3/5 лет + 1/4 года
Теперь давайте более подробно узнаем о вышеупомянутых случаях.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями осуществляется путем записи суммы числителей над общим знаменателем. Давайте разберемся, как складывать дроби с одинаковым знаменателем на примере.
Пример: Сложите дроби 2/4 + 1/4
Решение: Мы видим, что знаменатели данных дробей совпадают. Эти дроби называются подобными дробям.
Сложение одинаковых дробей можно произвести, сложив числители данных дробей и сохранив общий знаменатель. В этом случае мы сохраняем знаменатель равным 4 и добавляем числители. Это можно выразить как 2/4 + 1/4 = (2 + 1)/4 = 3/4. Это дает сумму как 3/4.
Сложение дробей с разными знаменателями
Мы только что научились складывать дроби с одинаковыми знаменателями. Теперь давайте разберемся, как складывать дроби с разными или непохожими знаменателями. Когда знаменатели различны, дроби называются неодинаковыми. В таких дробях первым делом нужно преобразовать их в подобные дроби, чтобы знаменатели стали общими. Это делается путем нахождения наименьшего общего кратного (НОК) знаменателей. Давайте разберемся в этом с помощью следующего примера.
Пример: Сложите дроби 1/3 и 3/5.
Решение: Мы будем использовать следующие шаги, чтобы сложить эти дроби.
Шаг 1: Поскольку знаменатели в данных дробях разные, мы находим НОК 3 и 5, чтобы сделать их одинаковыми. НОК 3 и 5 = 15,
Шаг 2: Теперь умножьте 1/3 на 5/5, (1/3) × (5/5) = 5/15 и 3/5 на 3/3, (3/5) × (3 /3) = 9/15, что преобразует их в одинаковые дроби с одинаковыми знаменателями.
Шаг 3: Теперь знаменатели совпадают, поэтому мы просто складываем числители и записываем сумму над общим знаменателем. Новые дроби с общими знаменателями — 5/15 и 9/15. Итак, 5/15 + 9/15 = (5 + 9)/15 = 14/15.
Сложение дробей с целыми числами
Простой способ сложить целое число и правильную дробь состоит в том, чтобы объединить их и представить в виде смешанной дроби. Например, 5 + 1/2 можно объединить и выразить как 5½ = 11/2. Точно так же 3 + 1/7 = \(3\frac{1}{7} \) = 22/7. Однако есть и другой способ сложения дробей с целыми числами. Давайте поймем это с помощью следующего примера.
Пример: Сложить 3 + 4/5
Решение: Сложим эти числа, используя следующие шаги:
Шаг 1: запись 1 в качестве его знаменателя. Здесь 3 — это целое число, и его можно записать как 3/1
.
Шаг 2: Теперь к 4/5 можно добавить 3/1, то есть 3/1 + 4/5. Мы добавим их, сделав знаменатели одинаковыми, потому что они не похожи на дроби. Отсюда следует, что (3/1) + (4/5) = (3/1) × (5/5) + (4/5) × (1/1) = 15/5 + 4/5 = 19./ 5 = \ (3 \ гидроразрыва {4} {5} \)
Сложение дробей с переменными
Теперь, когда мы увидели сложение дробей с одинаковыми и непохожими дробями, мы можем расширить ту же концепцию для сложения дробей с переменными. Давайте разберемся в этом с помощью следующего примера.
Пример: Добавьте y/5 + 2y/5, где ‘y’ — переменная.
Решение: Складываем эти дроби, используя следующие шаги:
Шаг 1: Данные дроби y/5 + 2y/5 подобны дробям, поскольку у них один и тот же знаменатель, и мы видим, что ‘y’ является общим.
Шаг 2: Мы можем убрать общий множитель и переписать его как: y/5 + 2y/5 = (1/5 + 2/5)y = 3y/5
Шаг 3: Следовательно, сумма y/5 + 2y/5 = 3y/5
Теперь давайте научимся складывать разные дроби на следующем примере.
Пример: Добавить у/2 + у/3
Решение: Давайте сложим дроби, используя следующие шаги.
Шаг 1: Поскольку данные дроби y/2 + y/3 не похожи друг на друга, мы возьмем НОК знаменателей и преобразуем их в подобные дроби.
Шаг 4: Далее нам нужно взять общую переменную и переписать ее следующим образом: LCM (2, 3) = 6; y/2 = (y/2) × (3/3) = 3y/6 и y/3 = (y/3 × (2/2) = 2y/6
Шаг 5: Мы получили две дроби с общими знаменателями, (3y/6) + (2y/6) = (3y + 2y)/6 = 5y/6. Следовательно, сумма y/2 + y/3 = 5y/6
Следует отметить, что в некоторых случаях, когда у нас есть разные переменные, такие как «x» и «y», они рассматриваются как разные термины и не могут быть дополнительно упрощены, например, x/2 + y/3
Советы и рекомендации по сложению дробей
При работе со сложением дробей полезно помнить следующие моменты:
В отличие от дробей, мы не складываем числители и знаменатели напрямую. 1/5 + 2/3 ≠ 3/8
Чтобы сложить разные дроби, сначала преобразуйте данные дроби в одинаковые дроби, взяв НОК знаменателей.
Сложите числители и сохраните общий знаменатель, чтобы получить сумму дробей.
☛ Похожие темы
Вычитание дробей
Умножение дробей
Деление дробей
Подобные дроби и отличные дроби
Добавление калькулятора дробей
Сложение дробей Примеры
Пример 1: Сложите следующие дроби: 1/7 и 3/7
Решение:
Данные дроби подобны дробям. Для сложения одинаковых дробей складываем числители и сохраняем общий знаменатель. Это означает, что 1/7 + 3/7 = (1 + 3)/7 = 4/7
Пример 2: Добавьте следующие дроби: 2/5 и 2/3
Решение:
Данные дроби не похожи друг на друга. Для сложения дробей с разными знаменателями необходимо найти НОК знаменателей и преобразовать 2/5 и 2/3 в дроби с общим знаменателем. LCM 3 и 5 равно 15. 2/5 + 2/3 = (2/5 × 3/3) + (2/3 × 5/5)
= 6/15 + 10/15
= (6 + 10)/15
= 16/15
= \(1 \dfrac{1}{15}\)
Следовательно, сумма равна \(1 \dfrac{1}{15}\)
Пример 3: Как сложить целое число и дробь: 3 + 1/3?
Решение:
Этот вопрос основан на сложении дробей с целыми числами. Целое число 3 можно записать в виде дроби как 3/1. Теперь
3 + 1/3 = 3/1 + 1/3
= (3/1 × 3/3) + 1/3
= 9/3 + 1/3
= (9 + 1 )/3
= 10/3
= \(3 \frac{1}{3} \)
Следовательно, сумма равна \(3\frac{1}{3}\)
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами
Запишитесь на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по сложению дробей
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о сложении дробей
Как складывать дроби?
Процесс сложения дробей немного отличается от обычного сложения целых чисел. Первым шагом при сложении дробей является проверка, совпадают ли знаменатели данных дробей. Затем мы используем следующую процедуру, чтобы добавить их.
Если дроби имеют общие знаменатели, то мы можем легко сложить числители и сохранить тот же знаменатель, чтобы получить сумму. Например, 2/4 + 1/4 = (2 + 1)/4 = 3/4
Если знаменатели разные, мы делаем знаменатели равными, переводя их в эквивалентные дроби, находя НОК знаменателей. После этого можно делать прибавку. Например, 1/2 + 2/3 = (1/2 × 3/3) + (2/3 × 2/2) = 3/6 + 4/6 = (3 + 4)/6 = 7/6. = \(1 \dfrac{1}{6}\)
Каково правило сложения дробей?
Основное правило сложения дробей – знаменатели дробей должны быть одинаковыми. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем просто сложить числители, сохраняя тот же знаменатель. Однако, если знаменатели разные, нам нужно преобразовать их в одинаковые дроби с одинаковыми знаменателями. Это делается путем записи их эквивалентных дробей с использованием НОК знаменателей. Как только они преобразуются в одинаковые дроби, дроби можно легко складывать, потому что нам просто нужно работать с числителями, сохраняя при этом тот же знаменатель.
Как складывать дроби с целыми числами?
Чтобы сложить дробь с целым числом, мы сначала преобразуем целое число в дробь. Например, если нам нужно сложить 3 и 1/2, целое число 3 можно легко преобразовать в дробь, например 3/1, и прибавить к другой дроби. Давайте посмотрим, как это работает. (3/1) + (1/2) = (3/1) × (2/2) + (1/2) = 6/2 + 1/2 = 7/2 = 3½. Другой способ складывать дроби и целые числа — просто комбинировать и представлять их в виде смешанных дробей. Например, 6 + 1/2 можно объединить и записать как \(6 \dfrac{1}{2}\)
Как складывать дроби с разными знаменателями?
Дроби с разными знаменателями можно сложить, сделав знаменатели общими. Это делается путем умножения числителя и знаменателя каждой из дробей на подходящее число так, чтобы все дроби стали как дроби. Чтобы сложить дроби 3/5 + 4/3, нам нужно обе дроби умножить на число, при котором знаменатели равны. Для этого нам понадобится НОК знаменателей, который в данном случае равен 15. Числитель и знаменатель первой дроби 3/5 нужно умножить на 3, а числитель и знаменатель второй дроби 4/3 умножить на 5. Следовательно, мы имеем (3/5 × 3/3) + (4/3 × 5/5) = (9/15) + (20/15) = (9 + 20)/15 = 29/15 = \(1 \dfrac{14}{15}\)
Как сложить 3 дроби с разными знаменателями?
Сложение трех дробей аналогично сложению двух дробей с разными знаменателями. Прежде всего, нам нужны НОК всех трех знаменателей. Соответственно, знаменатели всех трех дробей становятся общими путем умножения числителя и знаменателя каждой из дробей на подходящее число, чтобы они были преобразованы в одинаковые дроби. Теперь, когда знаменатели являются общими, добавляются числители, чтобы получить сумму дроби. Давайте поймем это с помощью этой задачи на сложение: 2/3 + 4/5 + 1/6. НОК 3, 5 и 6 равен 30. Теперь мы умножим каждую дробь на подходящее число, чтобы их знаменатели были общими: (2/3 × 10/10) + (4/5 × 6/6) + ( 1/6 × 5/5) = (20/30) + (24/30) + (5/30) = (20 + 24 + 5)/30 = 49/30 = \(1 \dfrac{19}{30}\)
Что такое элемент идентичности для сложения дробей?
Идентификационным элементом для сложения является 0, что означает, что для любого действительного числа «а» а + 0 = а. Точно так же для сложения дробей элемент идентичности равен 0. Для дроби вида a/b имеем a/b + 0 = 0 + a/b = a/b. Использование элемента идентичности для сложения не меняет значения дроби.
Что такое вычитание и сложение дробей?
При вычитании и сложении дробей, во-первых, следует приравнять знаменатели дробей. Если знаменатели совпадают, мы можем легко складывать или вычитать дроби. Однако, если дроби имеют разные знаменатели, то процесс начинается с LCM (наименьшего общего кратного) знаменателей. Затем дроби умножаются на подходящее число, в результате чего все знаменатели становятся равными. Наконец, числители добавляются или вычитаются в соответствии с вопросом, а новый знаменатель остается прежним.
Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями?
Чтобы складывать дроби с одинаковыми знаменателями, мы можем просто сложить числители и оставить знаменатель прежним. Например, сложим 3/7 + 2/7. Так как дроби имеют одинаковые знаменатели, нам просто нужно сложить числители. Итак, это будет 3/7 + 2/7 = (3 + 2)/7 = 5/7
Как складывать неправильные дроби?
Для сложения неправильных дробей используем те же правила сложения дробей. Например, сложим 8/3 + 7/3. Так как дроби имеют одинаковые знаменатели, нам просто нужно сложить числители. Таким образом, это будет 8/3 + 7/3 = (8 + 7)/3 = 15/3 = 5·9.0008
Как шаг за шагом складывать смешанные дроби?
Сложение смешанных чисел осуществляется по тем же правилам сложения дробей. Единственный дополнительный шаг — преобразовать смешанные дроби в неправильные дроби. Давайте разберемся в этом на примере. Давайте добавим \(6 \dfrac{1}{2}\) + \(3 \dfrac{3}{4}\), используя следующие шаги.
Шаг 1: Чтобы сложить \(6 \dfrac{1}{2}\) + \(3 \dfrac{3}{4}\), преобразуем эти смешанные дроби в неправильные дроби. Это будет 13/2 + 15/4
Шаг 2: Теперь воспользуемся основными правилами сложения. Здесь знаменатели разные, поэтому мы преобразуем их в эквивалентные дроби, чтобы их знаменатели стали одинаковыми.
Этот конвертер изображений в PDF является бесплатным и позволяет использовать его неограниченное количество раз и конвертировать изображение в PDF.
Быстрая конвертация
Его обработка преобразования является мощной. Таким образом, для преобразования всех выбранных изображений требуется меньше времени.
Охрана
Мы гарантируем, что ваши изображения очень безопасны. Почему, потому что мы нигде не загружаем изображения на сервер.
Добавить несколько файлов
С помощью этого инструмента вы можете легко конвертировать несколько изображений одновременно. Вы можете конвертировать изображения в PDF и сохранять их.
Удобный для пользователя
Этот инструмент предназначен для всех пользователей, дополнительные знания не требуются. Таким образом, легко конвертировать изображение в PDF.
Мощный инструмент
Вы можете получить доступ к инструменту Image to PDF или использовать его онлайн в Интернете с помощью любого браузера из любой операционной системы.
Как конвертировать изображение в PDF онлайн?
Выберите изображение, которое вы хотите преобразовать в конвертере Image to PDF.
Теперь вы можете настроить качество изображения, настройки, связанные с предварительным просмотром страницы и т. Д.
Вы можете легко вращать изображения с помощью ротатора соответственно.
Кроме того, вы можете добавлять или удалять изображения из списка.
Наконец, загрузите преобразованный PDF из конвертера изображений в PDF.
На этой платформе вы можете легко конвертировать любые изображения в PDF-файлы онлайн. Преобразовать изображения в PDF онлайн за секунды очень быстро и просто. Просто выберите изображения, которые вы хотите преобразовать в файл PDF. После выбора всех изображений в этом инструменте вы увидите, что этот инструмент автоматически конвертирует все изображения в формат файла PDF, а затем отображает кнопку загрузки для каждого PDF-файла ниже. Вы также можете увидеть варианты загрузки zip-архива для одновременной загрузки zip-файлов. Кроме того, вы можете использовать функции этого инструмента, такие как вы можете изменить ориентацию, установить поля, повернуть изображение, а также настроить размер страницы. Наконец, используйте это преобразованное изображение в онлайн-инструмент PDF и конвертируйте любой тип изображения в файл PDF.
Выберите изображение на инструменте преобразования изображения в PDF.
Отрегулируйте размер страницы, поля, ориентацию, поворот изображения по своему усмотрению.
Теперь загрузите PDF-файл каждого изображения по одному. Или,
Скачать PDF со всеми изображениями.
Наконец, нажмите «Очистить все» и конвертируйте больше изображений в PDF, если хотите.
Конвертер изображений в PDF — онлайн и бесплатно
Конвертер изображений в PDF — онлайн и бесплатно
PhotoRetrica
Выберите редактор
App 1App 2App 3 На весь экран
Как конвертировать изображение в PDF
1
Выберите приложение
Вверху над окном редактора вы можете увидеть кнопки выбора приложения. Щелкните по одному из них, чтобы запустить приложение. Позже вы можете переключить это и попробовать другое приложение.
2
Следуйте шагам
Теперь вы можете использовать приложение внутри редактора для преобразования изображения в PDF. Следуйте инструкциям, которые вы увидите внутри приложения. Если вам не нравится это приложение, попробуйте другое.
3
Наслаждайтесь результатом
Теперь, когда у вас есть понравившееся изображение, не забудьте сохранить его на свой компьютер. Также добавьте наш сайт в закладки и на главный экран вашего устройства, чтобы не потерять ссылку.
Сравнить изображение с PDF
Изображение, цифровое изображение (англ. Image — изображение) — это один графический объект или картинка на экране монитора. Изображения создаются с помощью камер, сканеров, снимков экрана, а также программ для создания и редактирования изображений, таких как Paint и Photoshop. Любое изображение, хранящееся на компьютере, имеет свой графический формат. Каждый из графических форматов имеет свои свойства и предназначение. Сегодня существует огромное количество графических форматов. Одно и то же изображение в разных форматах может быть разного размера и качества. Все форматы разделены на три группы: несжатые, сжатие без потерь и сжатие с потерями. В файле также может храниться дополнительная информация. Например, все файлы, снятые цифровыми камерами, содержат данные EXIF (модель камеры, дата и параметры съемки, разрешение и т. Д.). Наиболее распространенный формат изображений JPEG (или JPG) является стандартом Объединенной группы экспертов по фотографии и часто используется для публикации фотографий и изображений текста в Интернете.
Файл PDF, разработанный Adobe Systems, представляет собой файл в формате Portable Document Format. PDF-файлы могут содержать не только изображения и текст, но также интерактивные кнопки, гиперссылки, встроенные шрифты, видео и многое другое. Возможно, вы много раз видели руководства по программам, электронные книги, листовки, заявления о приеме на работу, отсканированные документы, брошюры и всевозможные другие документы, доступные в формате PDF. Вы можете открывать PDF-файлы прямо в браузере, но редактировать их не так-то просто. Для этого требуются специальные приложения или программы. Полноценное редактирование в свободном режиме с помощью одной программы невозможно, поэтому придется обманывать, используя сразу несколько вариантов. Иногда текст можно представить в виде картинки, тогда его будет невозможно отредактировать без предварительного распознавания. Файлы PDF могут содержать различное содержимое помимо простого текста и графики, включая логическую структуру, интерактивные элементы, такие как аннотации и формы, поля, слои, мультимедиа (включая видеоконтент) и трехмерные объекты.
Больше конвертеров
PDF в Word
Конвертируйте PDF в Word быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер PDF в DOC / DOCX позволяет легко изменять формат ваших файлов.
Открыть приложение
WORD в JPG
Конвертируйте Word в JPG быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер изображений DOC / DOCX в JPEG позволяет легко изменять формат ваших файлов.
Открыть приложение
Изображение в PDF
Конвертируйте изображение в PDF быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер изображений в PDF позволяет легко изменять формат ваших файлов.
Открыть приложение
PDF в изображение
Преобразуйте PDF в изображение быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер PDF в изображения позволяет легко изменять формат ваших файлов.
Открыть приложение
JFIF в JPG
Конвертируйте JFIF в JPG быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер JFIF в JPG позволяет легко изменять формат ваших файлов.
Открыть приложение
CR2 в JPG
Преобразуйте CR2 в JPG быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер CR2 в JPG позволяет легко изменять формат ваших файлов.
Открыть приложение
JPG в JPEG
Конвертируйте JPG в JPEG быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер JPG в JPEG позволяет легко изменять формат ваших файлов.
Открыть приложение
Вам нравится PhotoRetrica? Помогите нам расти!
Мы стараемся создать максимально удобный и универсальный редактор для всего, что связано с фотографиями и изображениями. Мы нуждаемся в твоей помощи. Добавьте нас в закладки или на главный экран вашего устройства. Поделитесь ссылкой на наш сайт в своих социальных сетях. Спасибо!
↑
Бесплатный PDF-редактор | Лучший онлайн-редактор PDF от DocFly
Создавайте, редактируйте и конвертируйте до 3 файлов PDF в месяц БЕСПЛАТНО с помощью лучшего бесплатного редактора PDF!
Перетащите файл сюда
или
Нажмите, чтобы загрузить файл
Ваши файлы останутся конфиденциальными. Безопасная загрузка файлов по HTTPS.
Просмотр и редактирование PDF-файлов
Добавить, стереть или выделить текст
Добавить изображения и подписи
Объединение, разделение и поворот PDF-файлов
Создание и преобразование PDF-файлов
Преобразование Word, Excel, PowerPoint в PDF
Преобразование PDF в Word и изображения
Сохранение и защита PDF-файлов
Добавление, изменение или удаление паролей
Доступ к вашим PDF-файлам из любого места
Хотите знать, как редактировать файл PDF ? Наши онлайн-инструменты для редактирования PDF-файлов позволяют бесплатно создавать, конвертировать и редактировать PDF-документы в Интернете. Загрузите свои файлы на нашу платформу и сразу приступайте к редактированию PDF-файлов. Создавайте PDF-файлы одним щелчком мыши и мгновенно конвертируйте PDF-файлы в Word и графические форматы.
ПОСМОТРЕТЬ ВСЕ ИНСТРУМЕНТЫ DOCFLY
КАК ПРЕДСТАВЛЕНО В
Бесплатный онлайн-редактор PDF
Редактируйте PDF-файлы и просматривайте изменения в Интернете
Наши инструменты для редактирования PDF включают в себя: добавление текста, удаление текста, выделение и добавление изображений и подписей. DocFly также позволяет объединять, разделять, поворачивать или ставить водяные знаки в PDF-файлах.
Сохранение и защита PDF-файлов
Добавление, изменение или удаление паролей к вашим PDF-файлам. DocFly упрощает защиту паролем ваших PDF-файлов.
Доступ из любого места
DocFly полностью онлайн, нет программного обеспечения для загрузки. Доступ и редактирование PDF-файлов из любого современного браузера: Chrome, IE, Firefox или Safari.
Создание и преобразование PDF-файлов
Создание PDF-файлов с нуля ИЛИ создание PDF-файлов из изображений, Word, Excel, PowerPoint и других материалов! Кроме того, конвертируйте PDF в Word или PDF в форматы изображений.
Редактируйте PDF-файлы онлайн бесплатно
Экспортируйте до 3 бесплатных документов в месяц бесплатно без регистрации. Гибкие варианты оплаты: выберите месячную или годовую подписку.
Экономьте время и энергию
Простая и более дешевая альтернатива Adobe Acrobat. Больше не нужно тратить время на принтеры и сканеры для PDF-документов и форм. Просто редактируйте PDF-файлы и вперед.
НАЧНИТЕ БЕСПЛАТНО
Почему стоит выбрать DocFly?
Быстрое создание онлайн-документов
Ищете способ быстро создавать PDF-файлы? Вы попали в нужное место. С онлайн-создателем PDF от DocFly вы начнете создавать PDF-файлы, совместимые с Adobe, менее чем за 5 минут.
Простой в использовании онлайн-редактор PDF
Устали от неработающих PDF-редакторов? Наш онлайн-редактор PDF делает редактирование PDF-файлов таким же простым, как и редактирование документов Word. Теперь вы можете легко и бесплатно редактировать текст PDF онлайн. Объединяйте, разделяйте, удаляйте, изменяйте страницы PDF, как настоящий профессионал.
Точный конвертер PDF
Нужно точно преобразовать PDF в Word или PDF в JPG? Наш конвертер PDF позволяет конвертировать файлы, полностью сохраняя исходное форматирование документа!
Просмотр и редактирование PDF-файлов
Добавление, удаление или выделение текста
Добавить изображения и подписи
Объединение, разделение и поворот PDF-файлов
Создание и преобразование PDF-файлов
Преобразование Word, Excel, PowerPoint в PDF
Преобразование PDF в Word и изображения
Сохранение и защита PDF-файлов
Добавление, изменение или удаление паролей
Доступ к вашим PDF-файлам из любого места
Станьте профессионалом DocFly
Последние сообщения в блоге
5 способов редактирования PDF-файла
Когда люди обращаются ко мне за помощью в редактировании PDF-файлов, я всегда стараюсь уточнить, что они подразумевают под «редактированием». Для некоторых людей редактирование означает аннотирование или заполнение формы, и в этом случае большинство бесплатных PDF-решений могут легко удовлетворить их потребности. Для других ищут правки текста…
ПОДРОБНЕЕ
3 способа преобразования JPG в PDF могут защитить ваши изображения
Если вы делитесь файлом изображения, например JPG, с кем-то, кого вы не очень хорошо знаете, будьте осторожны! Человек, получивший файл, может изменить его (без вашего ведома) и даже объявить его своей собственной работой. PDF-файлы обеспечивают значительно лучшую безопасность, чем JPG или другие…
ПОДРОБНЕЕ
Как заполнить и подписать форму PDF онлайн
Когда вы получаете форму PDF для заполнения, вашим первым побуждением может быть распечатать файл, заполнить его вручную, а затем отсканировать документ. Вот как подавляющее большинство людей сегодня заполняют формы….
ПОДРОБНЕЕ
5 способов редактирования PDF-файла
Когда люди обращаются ко мне за помощью в редактировании PDF-файлов, я всегда стараюсь уточнить, что они подразумевают под «редактированием». Для некоторых людей редактирование означает аннотирование или заполнение формы, и в этом случае большинство бесплатных PDF-решений могут легко удовлетворить их потребности. Для других ищут правки текста…
ПОДРОБНЕЕ
3 способа преобразования JPG в PDF могут защитить ваши изображения
Если вы делитесь файлом изображения, например JPG, с кем-то, кого вы не очень хорошо знаете, будьте осторожны! Человек, получивший файл, может изменить его (без вашего ведома) и даже объявить его своей собственной работой. PDF-файлы обеспечивают значительно лучшую безопасность, чем JPG или другие…
ПОДРОБНЕЕ
Как заполнить и подписать форму PDF онлайн
Когда вы получаете форму PDF для заполнения, вашим первым побуждением может быть распечатать файл, заполнить его вручную, а затем отсканировать документ. Вот как подавляющее большинство людей сегодня заполняют формы….
ПОДРОБНЕЕ
Вставка фотографий в PDF. Ищите, редактируйте, заполняйте, подписывайте, отправляйте по факсу и сохраняйте PDF в Интернете.
Дом
Индекс функциональности
Добавить изображение: введите изображение в документ PDF
Добавить изображение в PDF
Формы заполнены
Формы подписаны
Формы отправлены
Начать бесплатно
Загрузите ваш документ в редактор PDF
Введите где угодно или подпишите вашу форму
Печать, электронная почта, факс, или экспорт
900 02 Попробуйте прямо сейчас! Редактировать pdf
Пользователи доверяют управлению документами на платформе pdfFiller
65,5 тыс. +
документов, добавляемых ежедневно
53%
документов, созданных из шаблонов
4M
9 0002 PDF редактируется в месяц
238K
документов, совместно используемых в месяц
Программное обеспечение PDF «все в одном»
Единая таблетка от всех проблем с PDF. Редактируйте, заполняйте, подписывайте и делитесь — на любом устройстве.
Начать бесплатную пробную версию
Инструкции и справка по добавлению изображений в PDF онлайн
Вам когда-нибудь приходилось прикреплять свою фотографию к форме PDF, которую вы должны были отправить через Интернет?
Раньше вам, вероятно, приходилось пользоваться услугами профессионального фотографа, чтобы получить качественный снимок определенного размера. Затем вы распечатываете бланк и приклеиваете на него фотографию. После заполнения формы вы либо сканируете ее, либо отправляете бумажную копию туда, куда нужно. Помимо необходимости в принтере и сканере, весь процесс отнимал слишком много времени и требовал некоторых затрат.
Теперь есть гораздо более простой способ вставки фотографий в документы PDF. Вы можете просто использовать pdfFiller!
Для начала загрузите документ в свою учетную запись, откройте его в редакторе и выберите значок Изображение на главной панели инструментов, чтобы открыть Мастер изображений.
Вы можете загрузить фотографию, которая у вас уже есть, или сделать новую с помощью веб-камеры.
Чтобы загрузить фотографию с компьютера, нажмите кнопку Загрузить.
Перед вставкой фотографии в документ ее можно обрезать, повернуть и отразить, изменить ее фон, а также настроить яркость и контрастность.
Чтобы вставить фотографию в документ, просто нажмите на нее в Мастере изображений. Переместите или измените размер для идеального соответствия с помощью мини-панели инструментов.
Вы также можете сделать снимок с помощью веб-камеры и добавить его в документ. Выберите размер фотографии справа от изображения с камеры, нажмите «Сделать», затем нажмите «Использовать», чтобы продолжить.
В следующем окне можно обрезать изображение, отрегулировать яркость и контрастность, отразить и повернуть его или улучшить каким-либо иным образом. После того, как вы закончите редактирование изображения, нажмите «Сохранить и использовать», чтобы сразу добавить его в документ, или выберите «Сохранить», чтобы использовать изображение позже. Вы можете легко удалить изображение, просто выберите его и щелкните значок корзины выше.
Чтобы узнать больше о том, как вставлять фотографии в PDF-файлы онлайн, посмотрите следующее видео:
Когда вы используете pdfFiller для вставки фотографии в PDF-документ, вы получаете изображение точных размеров и размещаете его именно там, где он должен быть прикреплен. И даже лучше, вы сэкономите себе много времени! Если вам нравится вставлять фотографии в документы PDF, вас может заинтересовать ряд других замечательных функций, которые может предложить pdfFiller. Некоторые из них включают рисование, добавление заметок, текстовых полей и заполняемых полей. Ознакомьтесь с этими руководствами, чтобы узнать о других замечательных вещах, которые pdfFiller может сделать для вас!
Связанные функции
(Возможно, вы уже поняли, что функция «добавить фотографию в PDF» зависит от того факта, что ваш PDF-файл является файлом изображения и, следовательно, должен быть обработан). Теперь в новом окне PDF вам нужно выбрать вкладку «Текст». Теперь нажмите «Отправить», и ваш PDF-файл будет загружен в Adobe. Нажмите и начните использовать его прямо сейчас.. Делитесь информацией на всех ваших устройствах и устройствах, где и когда вы хотите, мгновенно..
Что говорят о pdfFiller наши клиенты
Убедитесь сами, прочитав отзывы на самых популярных ресурсах:
Анонимный покупатель
04.06.2014
Wendell Dwayne O
02.11.2017
Получите мощный редактор PDF для своего Mac или ПК с Windows
Установите настольное приложение, чтобы быстро редактировать PDF-файлы, создавать заполняемые формы и безопасно хранить документы в облаке.
Редактируйте PDF-файлы и управляйте ими из любого места с помощью устройства iOS или Android
Установите наше мобильное приложение и редактируйте PDF-файлы с помощью удостоенного наград набора инструментов, где бы вы ни находились.
Получите редактор PDF в браузере Google Chrome
Установите расширение pdfFiller для Google Chrome, чтобы заполнять и редактировать PDF-файлы прямо из результатов поиска.
Загрузка из Интернет-магазина Chrome
pdfFiller получает высшие оценки в нескольких категориях на G2
Знаете ли вы?
Инструмент «Изображение» позволяет добавлять в файлы PDF соответствующие элементы, включая логотип, знак или другие типы визуальных объектов в формате изображения. Изображения необходимы для мультимедийных материалов, таких как PDF-файлы, независимо от того, находитесь ли вы на работе, в образовательном пространстве или используете PDF-файлы для личных нужд.
Часто задаваемые вопросы о pdfFiller
Ниже приведен список наиболее частых вопросов клиентов. Если вы не можете найти ответ на свой вопрос, не стесняйтесь обращаться к нам. Видео: добавление фотографий в документ с помощью pdfFiller Видео: добавление фотографий в документ с помощью pdfFiller Видео: добавление и настройка галочек, кружков и крестиков с помощью pdfFiller Видео: как добавлять и настраивать галочки, кружки и крестики с помощью pdfFiller Видео: как выделять содержимое в документе PDF онлайн с помощью pdfFiller Видео: как выделить содержимое в документе PDF онлайн с помощью pdfFiller Видео: как сделать полосу заполнения прозрачной в редакторе pdfFiller Видео: Как сделать полосу заполнения прозрачной в редакторе pdfFiller Как получить доступ к своим документам?
Ваши документы доступны в любое время из любого места с любого устройства, подключенного к Интернету. Вы можете использовать компьютер, смартфон, планшет и т. д. Просто войдите в систему и перейдите на страницу «Мои формы», чтобы заполнить, отредактировать, подписать, поделиться, распечатать и отправить по факсу или сделать что-нибудь еще с документами в вашей учетной записи.
Могу ли я ввести несколько строк, если у меня много текста?
Да. Просто используйте «Enter», чтобы создать разрыв строки. Вы также можете вставлять большие фрагменты текста и использовать Enter, чтобы изменить структуру строк.
Могу ли я вставить текст в документ?
Да. Просто щелкните правой кнопкой мыши форму и выберите «Вставить» в меню.
Как вводить данные в разнесенные ячейки?
Если вы вводите любое число, например дату, просто используйте кнопку «Пробел», чтобы расположить цифры в нужном месте.
Как настроить размер представления в редакторе?
Чтобы настроить видимый размер форм, начните с нажатия кнопки «Просмотр».
Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень
Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя — как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Понятие возведения в степень
Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.
Определение 1
Возвести число в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.
То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0,5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0,5)5.
Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.
Как возвести число в натуральную степень
Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Пример 1
Условие: возведите -2 в степень 4.
Решение
Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.
Возьмем пример посложнее.
Пример 2
Вычислите значение 3272
Как будем решать
Данную запись можно перевести или переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.
Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949
Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.
Пример 3
Выполните возведение в квадрат числа π.
Решение
Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.
Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.
Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:
a1=a
Это понятно из записи .
От основания степени это не зависит.
Пример 4
Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно 73.
Как возвести число в целую степень
Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.
В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.
Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.
Пример 5
Примеры:
50=1, (-2,56)0=1230=1
00- не определен.
У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.
Пример 6
Выполните возведение 2 в степень -3.
Решение
Используя определение выше, запишем: 2-3=123
Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 23=2·2·2=8.
Тогда ответ таков: 2-3=123=18
Пример 7
Возведите 1,43 в степень -2.
Решение
Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2
Вычисляем квадрат (квадратный показатель) в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:
В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).
Ответ: (1,43)-2=1000020449
Отдельный случай — возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.
Пример 8
Пример: 3−1=1/3
913-1=13964-1=164 .
Как возвести число в дробную степень
Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.
Определение 2
Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.
У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.
Проиллюстрируем на примере.
Пример 9
Вычислите 8-23.
Решение
Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23
Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8-23=1643=133643=133433=14
Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2
После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадратик: 2-2=122=14
Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.
Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.
Пример 10
Возведите 44,89 в степень 2,5.
Решение
Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.
А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107
Ответ: 13 501,25107.
Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.
Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную — значения не имеет: 0-43.
Как возвести число в иррациональную степень
Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.
Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:
Пример 11
Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367. …
Решение
Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,17≈2,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367…≈21,1743≈2,256833.
Возведение степени в степень
Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.
Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: (aᵑ)ᵐ = aᵑ*ᵐ.
Здесь а — это любое число, а n и m — натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.
Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.
Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень
Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя — как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Понятие возведения в степень
Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.
Определение 1
Возвести число в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.
То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0,5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0,5)5.
Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.
Как возвести число в натуральную степень
Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Пример 1
Условие: возведите -2 в степень 4.
Решение
Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.
Возьмем пример посложнее.
Пример 2
Вычислите значение 3272
Как будем решать
Данную запись можно перевести или переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.
Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949
Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.
Пример 3
Выполните возведение в квадрат числа π.
Решение
Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.
Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.
Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:
a1=a
Это понятно из записи .
От основания степени это не зависит.
Пример 4
Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно 73.
Как возвести число в целую степень
Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.
В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.
Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.
Пример 5
Примеры:
50=1, (-2,56)0=1230=1
00- не определен.
У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.
Пример 6
Выполните возведение 2 в степень -3.
Решение
Используя определение выше, запишем: 2-3=123
Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 23=2·2·2=8.
Тогда ответ таков: 2-3=123=18
Пример 7
Возведите 1,43 в степень -2.
Решение
Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2
Вычисляем квадрат (квадратный показатель) в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:
В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).
Ответ: (1,43)-2=1000020449
Отдельный случай — возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.
Пример 8
Пример: 3−1=1/3
913-1=13964-1=164 .
Как возвести число в дробную степень
Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.
Определение 2
Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.
У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.
Проиллюстрируем на примере.
Пример 9
Вычислите 8-23.
Решение
Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23
Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8-23=1643=133643=133433=14
Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2
После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадратик: 2-2=122=14
Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.
Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.
Пример 10
Возведите 44,89 в степень 2,5.
Решение
Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.
А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107
Ответ: 13 501,25107.
Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.
Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную — значения не имеет: 0-43.
Как возвести число в иррациональную степень
Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.
Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:
Пример 11
Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367….
Решение
Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,17≈2,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367. ..≈21,1743≈2,256833.
Возведение степени в степень
Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.
Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: (aᵑ)ᵐ = aᵑ*ᵐ.
Здесь а — это любое число, а n и m — натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.
Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.
Измерение углов
Измерение углов
Концепция угла
Понятие угла — одно из важнейших понятий геометрии. Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов.
Существуют две широко используемые единицы измерения углов. Более привычной единицей измерения являются градусы. Окружность разделена на 360 равных градусов, так что прямой угол равен 90°. Пока мы будем рассматривать только углы от 0° до 360°, но позже, в разделе о тригонометрических функциях, мы рассмотрим углы больше 360° и отрицательные углы.
Градусы могут быть далее разделены на минуты и секунды, но это деление уже не так универсально, как раньше. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусов и 30 минут, записав 7° 30′. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых 9.0004 секунды, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2° 5′ 30″. Деление градусов на минуты и угловые секунды аналогично делению часов на минуты и секунды времени.
Части градуса теперь обычно указываются в десятичном виде. Например, семь с половиной градусов теперь обычно записывают как 7,5°.
Когда для анализа нарисован один угол на плоскости xy , мы нарисуем его за стандартная позиция с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль оси x , а другая сторона над осью x .
Радиан
Другой распространенной единицей измерения углов являются радианы. Для этого измерения рассмотрим единичную окружность (окружность радиуса 1), центр которой является вершиной рассматриваемого угла. Тогда угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко конвертировать между измерением в градусах и измерением в радианах. Длина окружности всего круга 2 π , отсюда следует, что 360° равняется 2 π радиан. Следовательно,
1° равно π /180 радиан
и
1 радиан равен 180/ π градусов
Большинство калькуляторов можно настроить на использование углов, измеряемых в градусах или радианах. Убедитесь, что вы знаете, какой режим использует ваш калькулятор.
Краткая заметка об истории радианов
Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюиром и/или Джеймсом Томпсоном примерно в 1870 году, математики уже давно измеряют таким образом углы. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своих « элементах алгебры » прямо сказал, что углы измеряются длиной дуги, отсеченной в единичной окружности. Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу с комплексными числами, которая связывает функции знака и косинуса с показательной функцией.
e iθ = cos θ + i sin θ
где θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. мой Краткий курс комплексных чисел.
Радианы и длина дуги
Альтернативное определение радианов иногда дается как отношение. Вместо того, чтобы взять единичную окружность с центром в вершине угла θ , возьмем любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианной мерой угла является отношение длины стягиваемой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус окружности равен 2, то мера радиана равна 1,5.
Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина стягиваемой дуги пропорциональна радиусу окружности. В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше, с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, так как его можно использовать для связи длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r , умноженное на угол θ , где угол измеряется в радианах.
Например, дуга θ = 0,3 радиана в окружности радиусом r = 4 имеет длину 0,3 умножить на 4, то есть 1,2.
Радианы и площадь сектора
Сектором окружности называется та часть окружности, которая ограничена двумя радиусами и дугой окружности, соединяющей их концы. Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r окружности и угол θ между радиусами, если он измеряется в радианах. Поскольку площадь всего круга равна πr 2 , а сектор относится ко всему кругу как угол θ к 2 π , поэтому
Углы общие
Ниже приведена таблица общих углов как в градусах, так и в радианах. Обратите внимание, что измерение в радианах дается как π . Его, конечно, можно было бы представить десятичным числом, но радианное измерение часто появляется с коэффициентом 9.0004 № .
Уголок
градусов
радиан
90°
№ /2
60°
№ /3
45°
№ /4
30°
№ /6
Упражнения
Эдвин С. Кроули написал книгу «Тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии», Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914 г. Задачи этого краткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!) Он дал свои задачи с точностью до пяти знаков, поэтому учащимся пришлось поработать некоторое время, чтобы решить их, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синусов и косинусов, таблицей тангенсов, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan. Теперь мы можем использовать калькуляторы! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.
Кроули использовал не десятичную запись для долей градуса, а минуты и секунды.
Каждый набор упражнений включает, во-первых, формулировки упражнений, во-вторых, несколько советов по решению упражнений и, в-третьих, ответы на упражнения.
1. Выразите следующие углы в радианах. (а). 12 градусов 28 минут, то есть 12° 28′. (б). 36° 12′.
2. Сократите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд. (а). 0,47623. (б). 0,25412.
3. Учитывая угол a и радиус r, найти длину стягивающей дуги. (а). a = 0° 17′ 48″, r = 6,2935. (б). a = 121° 6′ 18″, r = 0,2163.
4. Зная длину дуги l и радиус r, найти угол, опирающийся на центр. (а). l = 0,16296, r = 12,587. (б). l = 1,3672, r = 1,2978.
5. Зная длину дуги l и угол a , на который она опирается в центре, найти радиус. (а). a = 0° 44′ 30″, l = 0,032592. (б). a = 60° 21′ 6″, l = 0,4572.
6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус равен 3200 футов.
7. Железнодорожная кривая образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус от центральной линии пути составляет 2100 футов. Если ширина колеи 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полдюйма.
9. Насколько изменится широта, если пройти на север одну милю, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?
10. Вычислите длину одной угловой минуты в футах по большому кругу Земли. Какова длина одной угловой секунды?
14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги 1,742 метра. На какой угол он сужается в центре?
23. Известный воздушный шар диаметром 50 футов вытягивается из глаза под углом 8 1/2 минут. Как далеко это?
Подсказки
1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28′ – это 12 + 28/60, что равно 12,467 °. Далее умножить на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.
2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите π и умножьте на 180. Таким образом, 0,47623, деленное на π и умноженное на 180, дает 27,286°. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умножить на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27° 17,16′. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 примерно равно 10, поэтому угол можно также записать как 27° 17′ 10″.
3. Чтобы найти длину дуги, сначала переведите угол в радианы. Для 3(a) 0°17’48» составляет 0,0051778 радиан. Затем умножьте на радиус, чтобы найти длину дуги.
4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Это можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.
5. Как упоминалось выше, радиан умножить на радиус = длине дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar = l, , но a необходимо сначала преобразовать из градусов в радианы. Таким образом, чтобы найти радиус r, сначала преобразуйте угол a в радианы, а затем разделите его на длину l дуги.
6. Длина дуги равна произведению радиуса на угол в радианах.
7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешней направляющей равен 2102,5, а радиус внутренней направляющей равен 209.7.5.
9. У вас есть окружность радиусом 3956 миль и дуга этой окружности длиной 1 миля. Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы узнать, каким Эратосфен считал радиус Земли еще в третьем веке до нашей эры.)
10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус равен 3956. Какова длина дуги?
14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус. Радианы легко перевести в градусы.
23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности, в центре которой вы находитесь. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко. ) Эта дуга имеет длину 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?
7. Угол a = 0,16776 радиан. Разница в длинах есть
2102.5 a – 1997.5 a , что составляет 5 a. Таким образом, ответ равен 0,84 фута, что с точностью до дюйма равно 10 дюймам.
23. Угол a равен 8,5′, что составляет 0,00247 радиана. Значит радиус равен r = л/год = 50/0,00247 = 20222′ = 3,83 мили, почти четыре мили.
О разрядах точности.
Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах. Это важно, особенно сейчас, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 датум равен 12°28′, что имеет точность около четырех знаков, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан с точностью только до четырех знаков. (Обратите внимание, что ведущие нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это может ввести в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.
Другой пример см. в задаче 3(а). Данные равны 0°17’48» и 6,2935 с точностью до 4 и 5 цифр соответственно. Поэтому ответ должен быть дан с точностью только до 4 цифр, поскольку ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не считая ведущих нулей) до 0,03259.
Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующим количеством цифр точности, вы все равно должны сохранить все цифры для промежуточных вычислений.
В результате образовалось множество целых чисел. Для рациональных, а также вещественных чисел аналогично получаются соответствующие отрицательные значения. В случае комплексных чисел понятие отрицательного числа не применимо.
Однако существуют некоторые особенности, связанные со свойствами отрицательных чисел:
Формула:
Данное правило распространяется на любые рациональные и целые числа а и b, так как эти числа характеризуются свойствами, применяемыми в ходе доказательства.
Поскольку она потратила 20, деньги списываются с ее банковского счета, поэтому вам придется их вычесть.
Мистер и миссис У Смита было 156,78 фунтов стерлингов в их банковский счет. В конце месяца они должны были оплатить 4 счета. Они оплатили телефонный счет в размере 67,20 фунтов стерлингов, коммунальные услуги в размере 34,78 фунтов стерлингов, страховку автомобиля в размере 78,24 фунтов стерлингов и счет по кредитной карте в размере 144 фунтов стерлингов. Насколько перерасходовали Смиты?
Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.
Вы можете превратить любую проблему в череду взлетов и падений. Когда вы добавляете в числовую строку, начало с отрицательного числа не сильно отличается от начала с положительного числа.
–5 + 6
Стандартная плотность машинного масла равна 910 кг/м3, что можно увидеть в любой таблице измерения плотностей большинства веществ.
В промышленности ареометры используют редко, возможно потому, что они сделаны из стекла и часто бьются, а возможно и потому что уже давно изобрели электронные плотномеры, которые точнее и быстрее предоставляют необходимые данные и достаточно безопасны в использовании.
Удельный вес этих масел может достигать значения 940-970 кг/м3.
Однако, для тепловых расчетов плотность масел в формулы необходимо подставлять в размерности кг/м3. Перевести кг/л в кг/м3 не трудно. Например, плотность масла АМТ-300 при температуре 20°С равна 959 кг/м3 или 0,959 кг/л.
)
плотность моторного масла, SAE 15W-40 в сотнях единиц измерения плотности, сгруппированных по весу.
15
8
03
27 × 10 -5 
oz
5
15
81
03
44 × 10 -5 
98 × 10 -8 
37 × 10 -7 
87
05
..
21
01
53
14
71
0072
46
5
Подсчитайте, сколько этого гравия требуется для достижения определенной глубины в цилиндрическом, четвертьцилиндрическом или прямоугольном аквариуме или пруду [вес к объему | объем к весу | цена ]
Например, по мере увеличения плотности смазки жидкость становится гуще. Это приводит к увеличению времени, необходимого для осаждения частиц из суспензии. Но прежде чем идти дальше, нам нужно понять, что такое плотность?
Большинство систем предназначены для перекачивания жидкости определенной плотности, поэтому, когда плотность начинает меняться, эффективность насоса также начинает меняться.
Вот эмпирическая формула, которую можно использовать для расчета изменения плотности в зависимости от температуры (консистентная смазка в подшипниках качения):
Этот метод испытаний охватывает определение плотности, относительной плотности и плотности в градусах API сырой нефти, с которой обычно можно обращаться как с жидкостью при температуре испытания от 15 °C до 35 °C с использованием либо ручного, либо автоматического оборудования для ввода проб. Этот метод испытаний применяется к сырой нефти с высоким давлением паров при условии принятия соответствующих мер предосторожности для предотвращения потери паров во время переноса пробы в анализатор плотности.
Значения определены при существующих температурах и скорректированы на 15°C или 60°F с помощью серии расчетов и таблиц международных стандартов.
Рябина выше
лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше
рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от
самого низкого к самому высокому.
Это основные объекты изучения теории графов.
Каждое ориентированное ребро представляет собой связь между вершинами, направление которой имеет значение. Направленные графы изображают так, как показано на рисунке (b), ребра их представлены стрелками. Когда требуется подчеркнуть, что граф ненаправленный, его называют неориентированным.
13-узловой ARPANET является примером коммуникационной сети, в которой вершины-компьютеры или другие устройства могут передавать сообщения, а ребра представляют собой прямые линии связи, по которым информация может быть передана.
Например, последовательность вершин MIT, BBN, RAND, UCLA является маршрутом в графе интернета ARPANET. Прохождение узлов и ребер может быть повторным. Например, SRI, STAN, UCLA, SRI, UTAH, MIT также является маршрутом. Путь, в котором ребра не повторяются, называется цепью. Если же не повторяются узлы, то он носит название простой цепи.
Например, формальным методом определения важности узла является определение того, на сколько частей разделится граф, если узел будет убран.
Таким образом, хотя глобальная сеть дружбы — не связная, читатель будет входить в компонент очень большого размера, проникающий во все части мира, включающий в себя людей из самых разных слоев и, фактически, содержащий значительную часть населения земного шара.
Интересный пример представляет собой граф, иллюстрирующий романтические отношения в американской средней школе за 18-месячный период. Тот факт, что он содержит максимальную компоненту, имеет важное значение, когда речь заходит о распространении заболеваний, передаваемых половым путем, что и являлось целью проведенного исследования. Ученики, возможно, имели лишь одного партнера за этот период времени, но, тем не менее, не осознавая этого, были частью максимальной компоненты и, следовательно, частью многих маршрутов потенциальной передачи. Эти структуры отражают отношения, которые, возможно, давно закончилась, но они связывают индивидуумов в цепях слишком долго, чтобы стать предметом пристального внимания и сплетен. Тем не менее, они реальны: как социальные факты это невидимые, но логически вытекающие макроструктуры, возникшие как продукт индивидуального посредничества.
Некоторые вкусы:
Это относится к (ключевым, спутниковым) данным
различие для сортировки.
На приведенном ниже графике, который представляет собой
неориентированный граф, веса рисуются рядом с
края и кажутся темно-фиолетовыми.
Граф может иметь несвязанные компоненты и даже одиночные вершины.
без единого подключения.
0008
Пример: график турнира, где каждый игрок играет против каждого другого игрока.
Тривиальный граф — это граф, имеющий только одну вершину и не имеющий ребер. Он также известен как одноэлементный граф или граф с одной вершиной. Тривиальный граф — это простейший тип графа, который часто используется в качестве отправной точки для построения более сложных графов. В теории графов тривиальные графы считаются вырожденным случаем и обычно подробно не изучаются
Напротив, простой граф — это граф, который не допускает петель или множественных ребер.
Его также называют взвешенным графиком.
15. Циклический граф: 
Охватывающий подграф 
Число 180 является неполным делимым.
./images/buttons-inactive.png)»;
document.getElementById(«prevois»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»;
}
document.getElementById(«to_end»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
document.getElementById(«next»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
}
function BeginArrcon12(){
icon12=0;
document.getElementById(«con12»).innerHTML=arrcon12[icon12];
document.getElementById(«num12»).innerHTML=icon12+1;
document.getElementById(«to_begin»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»;
document.getElementById(«prevois»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»;
document.getElementById(«to_end»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
document.getElementById(«next»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
}
function EndArrcon12(){
icon12=arrcon12.
length-1;
document.getElementById(«con12»).innerHTML=arrcon12[icon12];
document.getElementById(«num12»).innerHTML=icon12+1;
document.getElementById(«to_end»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»;
document.getElementById(«next»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»;
document.getElementById(«to_begin»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
document.getElementById(«prevois»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»;
}
Вы получите пошаговое, подробное объяснение процесса деления в столбик числителя на знаменатель.
Как водится, для любознательных под калькулятором немного теории.
8 в десятичной системе это 0.11001100…(дальше очень много цифр) в двоичной. Если честно, то это периодическое число с перидом 1100, так что мы никогда не сможем выразить его точно в двоичной системе счисления. 110011001100… будет продолжаться до бесконечности.
Для нашего примера это . При этом максимально возможная погрешность представления числа, как нетрудно сообразить, не превышает половины этого веса, или 0.0078125. Так что для 0.8 мы имеем еще и не самую плохую погрешность.
.. Фракцию:
также
Кроме того, это калькулятор смешанных дробей, также называемый калькулятором смешанных чисел. Просто выберите предпочтительную операцию и правильный оператор, и вы сможете легко переключаться между сложением, вычитанием, умножением и делением дробей и смешанных чисел.
Строка в дроби разделяет эти два значения и может быть переписана как операция. Дроби в их простейших формах представляют собой деление числителя (или верхнего члена) на знаменатель (нижний член), поэтому использование калькулятора может быть лучшим и самым простым способом преобразования дробей в десятичные. Однако, как только вы перенастроите свой мозг, чтобы рассматривать линию как символ деления, преобразование дробей в десятичные числа и, в свою очередь, проценты станет проще простого.
50
Оно всегда изображается следующим образом:
Перейдите по этой ссылке, чтобы выполнить расчет.
Например, у квадрата и ромба все стороны равны, а значит, их периметр можно найти по формуле P = 4 ⋅ a, где a — длина стороны.
Параллелограмм
2+bx+c
Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x
Координаты точки
Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
Точка пересечения трех плоскостей
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат
Два уравнения с двумя неизвестными
Эквивалентные бесконечно малые величины
Производная сложной функции
Выражение высших производных через дифференциалы
Второе достаточное условие максимума и минимума
Интегрирование по частям
Дифференциал интеграла
Кривизна
О знаке кривизны
Интегрирование рядов
Ортогональность системы функций cos nx, sin nx
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Вычисление двойного интеграла (общий случай)
Изоклины
Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью
1: Учебное пособие для втузов.— 13-е изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 432 с.
n при n целом и положительном
x, sin x, cos x
Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента
Геометрическое изображение функции двух переменных
Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
Интегрирование по частям
Формула Чебышева
е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
75in} y & = r\sin \theta \\ & = f\left( \theta \right)\cos \theta & \ hspace{0.75in} & = f\left(\theta\right)\sin\theta\end{align*}\]
Вот краткий набросок \(r = \theta\) для \(0 \le \theta \le 4\pi \).
Теперь обратим внимание на вывод формулы площади области, ограниченной полярной кривой. Напомним, что в доказательстве основной теоремы исчисления использовалось понятие суммы Римана для аппроксимации площади под кривой с помощью прямоугольников. Для полярных кривых мы снова используем сумму Римана, но прямоугольники заменяем секторами окружности.
Затем площадь каждого сектора используется для аппроксимации площади между последовательными сегментами линии. Затем мы суммируем площади секторов, чтобы аппроксимировать общую площадь. Этот подход дает приближение суммы Римана для общей площади. Формула площади сектора круга показана на следующем рисунке. 92 дθ. \label{areapolar}\end{align} \]
\) 
\nonumber \]
2dθ\). 92}dθ \номер\]
Он заключается в том, что первую дробь мы умножаем на знаменатель второй дроби (и числитель и знаменатель), а вторую дробь умножаем на знаменатель первой (аналогично и числитель и знаменатель). После этого действуем как в случае с одинаковыми знаменателями – теперь они действительно одинаковые!
Конспект — Kid-mama
Числитель и знаменатель разделяет дробная черта. Итак, запомните:
Для этого делят числитель на знаменатель (с остатком). Полученное число будет целой частью, а остаток — числителем дробной части, например:
Сначала дроби нужно привести к одному знаменателю, а затем сравнить их числители. Больше та дробь, у которой числитель будет больше. А вот как приводить дроби к одинаковому знаменателю, мы рассмотрим в следующих двух разделах статьи статьи. Сначала мы рассмотрим основное свойство дроби и сокращение дробей, а затем непосредственно приведение дробей к одному знаменателю.
Когда мы сокращаем дробь, то можно расписать наши действия так:
сложение дробей можно легко сделать, если знаменатели равны. В то время как одинаковые дроби имеют общие знаменатели, разные дроби преобразуются в одинаковые дроби, чтобы упростить сложение. Давайте узнаем больше о добавлении дробей и о том, как добавить две дроби в этой статье.
Дроби состоят из двух частей, числителя и знаменателя. Общее представление дроби — это a/b, где «a» — числитель, «b» — знаменатель, а «b» не может быть нулевым. Например, 2/3, 14/5, 6/7, 28/9.и 21/43. Как и с другими числами, мы можем выполнять арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Сложение дробей означает нахождение суммы двух или более дробей. Теперь давайте изучим основные шага сложения дробей с помощью следующего примера.
Итак, сумма данных дробей равна 1/4 + 2/4 = 3/4
Эти дроби называются подобными дробям.
НОК 3 и 5 = 15,
Здесь 3 — это целое число, и его можно записать как 3/1
1/5 + 2/3 ≠ 3/8
LCM 3 и 5 равно 15. 
Первым шагом при сложении дробей является проверка, совпадают ли знаменатели данных дробей. Затем мы используем следующую процедуру, чтобы добавить их.
Как только они преобразуются в одинаковые дроби, дроби можно легко складывать, потому что нам просто нужно работать с числителями, сохраняя при этом тот же знаменатель.
Для этого нам понадобится НОК знаменателей, который в данном случае равен 15. Числитель и знаменатель первой дроби 3/5 нужно умножить на 3, а числитель и знаменатель второй дроби 4/3 умножить на 5. Следовательно, мы имеем (3/5 × 3/3) + (4/3 × 5/5) = (9/15) + (20/15) = (9 + 20)/15 = 29/15 = \(1 \dfrac{14}{15}\)
Точно так же для сложения дробей элемент идентичности равен 0. Для дроби вида a/b имеем a/b + 0 = 0 + a/b = a/b. Использование элемента идентичности для сложения не меняет значения дроби.
Итак, это будет 3/7 + 2/7 = (3 + 2)/7 = 5/7
Преобразовать изображения в PDF онлайн за секунды очень быстро и просто. Просто выберите изображения, которые вы хотите преобразовать в файл PDF. После выбора всех изображений в этом инструменте вы увидите, что этот инструмент автоматически конвертирует все изображения в формат файла PDF, а затем отображает кнопку загрузки для каждого PDF-файла ниже. Вы также можете увидеть варианты загрузки zip-архива для одновременной загрузки zip-файлов. Кроме того, вы можете использовать функции этого инструмента, такие как вы можете изменить ориентацию, установить поля, повернуть изображение, а также настроить размер страницы. Наконец, используйте это преобразованное изображение в онлайн-инструмент PDF и конвертируйте любой тип изображения в файл PDF.
Или,
Если вам не нравится это приложение, попробуйте другое.
В файле также может храниться дополнительная информация. Например, все файлы, снятые цифровыми камерами, содержат данные EXIF (модель камеры, дата и параметры съемки, разрешение и т. Д.). Наиболее распространенный формат изображений JPEG (или JPG) является стандартом Объединенной группы экспертов по фотографии и часто используется для публикации фотографий и изображений текста в Интернете.
Иногда текст можно представить в виде картинки, тогда его будет невозможно отредактировать без предварительного распознавания. Файлы PDF могут содержать различное содержимое помимо простого текста и графики, включая логическую структуру, интерактивные элементы, такие как аннотации и формы, поля, слои, мультимедиа (включая видеоконтент) и трехмерные объекты.
Мы нуждаемся в твоей помощи. Добавьте нас в закладки или на главный экран вашего устройства. Поделитесь ссылкой на наш сайт в своих социальных сетях. Спасибо!
Загрузите свои файлы на нашу платформу и сразу приступайте к редактированию PDF-файлов. Создавайте PDF-файлы одним щелчком мыши и мгновенно конвертируйте PDF-файлы в Word и графические форматы.
Теперь вы можете легко и бесплатно редактировать текст PDF онлайн. Объединяйте, разделяйте, удаляйте, изменяйте страницы PDF, как настоящий профессионал.
Для некоторых людей редактирование означает аннотирование или заполнение формы, и в этом случае большинство бесплатных PDF-решений могут легко удовлетворить их потребности. Для других ищут правки текста…
Для некоторых людей редактирование означает аннотирование или заполнение формы, и в этом случае большинство бесплатных PDF-решений могут легко удовлетворить их потребности. Для других ищут правки текста…
+
Помимо необходимости в принтере и сканере, весь процесс отнимал слишком много времени и требовал некоторых затрат.
Выберите размер фотографии справа от изображения с камеры, нажмите «Сделать», затем нажмите «Использовать», чтобы продолжить.
Некоторые из них включают рисование, добавление заметок, текстовых полей и заполняемых полей. Ознакомьтесь с этими руководствами, чтобы узнать о других замечательных вещах, которые pdfFiller может сделать для вас!
Если вы не можете найти ответ на свой вопрос, не стесняйтесь обращаться к нам. Видео: добавление фотографий в документ с помощью pdfFiller Видео: добавление фотографий в документ с помощью pdfFiller Видео: добавление и настройка галочек, кружков и крестиков с помощью pdfFiller Видео: как добавлять и настраивать галочки, кружки и крестики с помощью pdfFiller Видео: как выделять содержимое в документе PDF онлайн с помощью pdfFiller Видео: как выделить содержимое в документе PDF онлайн с помощью pdfFiller Видео: как сделать полосу заполнения прозрачной в редакторе pdfFiller Видео: Как сделать полосу заполнения прозрачной в редакторе pdfFiller Как получить доступ к своим документам?
д. Просто войдите в систему и перейдите на страницу «Мои формы», чтобы заполнить, отредактировать, подписать, поделиться, распечатать и отправить по факсу или сделать что-нибудь еще с документами в вашей учетной записи.
Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.
Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.
Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2
Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную — значения не имеет: 0-43.
… 
Все определения будут проиллюстрированы примерами.
На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.
О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.
Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 23=2·2·2=8.
..≈21,1743≈2,256833.
Для этого измерения рассмотрим единичную окружность (окружность радиуса 1), центр которой является вершиной рассматриваемого угла. Тогда угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко конвертировать между измерением в градусах и измерением в радианах. Длина окружности всего круга 2 π , отсюда следует, что 360° равняется 2 π радиан. Следовательно,
Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу с комплексными числами, которая связывает функции знака и косинуса с показательной функцией.
В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше, с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, так как его можно использовать для связи длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r , умноженное на угол θ , где угол измеряется в радианах.
Обратите внимание, что измерение в радианах дается как π . Его, конечно, можно было бы представить десятичным числом, но радианное измерение часто появляется с коэффициентом 9.0004 № .
Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синусов и косинусов, таблицей тангенсов, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan. Теперь мы можем использовать калькуляторы! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.
Вычислите длину одной угловой минуты в футах по большому кругу Земли. Какова длина одной угловой секунды?
Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умножить на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27° 17,16′. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 примерно равно 10, поэтому угол можно также записать как 27° 17′ 10″.
) Эта дуга имеет длину 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?
