Рубрика: Разное

Как найти время, скорость и расстояние

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

411.5K

Каждый день мы смотрим на часы, спидометр, фитнес-браслет и анализируем расстояние, скорость и время. Рассмотрим математические формулы, чтобы решать задачи на поиск времени, скорости и расстояния из учебников и реальной жизни.

Расстояние

Мы постоянно ходим пешком и ездим на транспорте из одной точки в другую. Давайте узнаем, как можно посчитать это пройденное расстояние.

Расстояние — это длина от одного пункта до другого.

• Например: расстояние от дома до школы 3 км, от Москвы до Петербурга 705 км.

Расстояние обозначается латинской буквой s.

Единицы расстояния чаще всего выражаются в метрах (м), километрах (км).

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Скорость

Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.

Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.

Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.

Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.

Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.

Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.

Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.

Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.

Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.

Время

Время — самое дорогое, что у нас есть. Но кроме философии, у времени есть важная роль и в математике.

Время — это продолжительность каких-то действий, событий.

• Например: от метро до дома — 10 минут, от дома до дачи — 2 часа.

Время движения обозначается латинской буквой t.

Чаще всего вам будут встречаться такие единицы времени, как секунды, минуты и часы.

Эта формула пригодится, если нужно узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Взаимосвязь скорости, времени, расстояния

Скорость, время и расстояние связаны между собой очень крепко. Одно без другого даже сложно представить.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время: s = v × t.

Задачка 1. Мы вышли из дома и направились в гости в соседний двор. Мы дошли до соседнего двора за 15 минут. Фитнес-браслет показал, что наша скорость была 50 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Умножив 50 метров в минуту на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 50 м/мин

t = 15 мин

s = v × t = 50 × 15 = 750 (м)

Ответ: мы прошли 750 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость: v = s : t.

Задачка 2. Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние между двором и площадкой — 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд, второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Как рассуждаем:

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В этой задаче скорость школьников — это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения. Найдем скорость первого школьника: для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

100 : 25 = 4

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).

В нашей задаче расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

100 м : 25 с = 4 м/с

Так мы узнали, что скорость движения первого школьника 4 метра в секунду.

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

100 : 50 = 2

Значит, скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду.

Сейчас можно сравнить скорости движения каждого школьника и узнать, кто добежал быстрее.

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он добежал до спортивной площадки быстрее.

Ответ: первый школьник добежал быстрее.

Если известны скорость и расстояние, то можно найти время: t = s : v.

Задачка 3. От школы до стадиона 500 метров. Мы должны дойти до него пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту. За какое время мы дойдем до стадиона из школы?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое дойдем до стадиона:

s = 500 м

v = 100 м/мин

t = s : v = 500 : 100 = 5 (мин)

Ответ: от школы до стадиона мы дойдем за 5 минут.

Специально для уроков математики можно распечатать или нарисовать самостоятельно такую таблицу, чтобы быстрее запомнить и применять формулы скорости, времени, расстояния.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Сложение чисел с разными знаками

К следующей статье

314. 8K

Объем параллелепипеда

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Расстояние, скорость, время

В этом уроке мы рассмотрим три физические величины, а именно расстояние, скорость и время.

Расстояние

Расстояние мы уже изучали в уроке единицы измерения. Говоря простым языком, расстояние это длина от одного пункта до другого. (Пример: расстояние от дома до школы 2 километра).

Имея дело с большими расстояниями, в основном они будут измеряться в метрах и километрах. Расстояние обозначается латинской буквой S. Можно обозначить и другой буквой, но буква S общепринята.

Скорость

Скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Предположим, что двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние от двора до спортплощадки 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд. Второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал бóльшее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В данном случае скорость школьников это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения.  Давайте найдём скорость первого школьника. Для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

100 м : 25 с = 4

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч). 

У нас расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит скорость измеряется в метрах в секунду (м/с)

100м : 25с = 4 (м/с)

Итак, скорость движения первого школьника составляет 4 метра в секунду (м/с).

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

100 м : 50 c = 2 (м/с)

Значит скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду (м/с).

Скорость движения первого школьника — 4 (м/с)
Скорость движения второго школьника — 2 (м/с)

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит он добежал до спортплощадки быстрее. Скорость обозначается латинской буквой v.

Время

Иногда возникает ситуация, когда требуется узнать за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Например, от дома до спортивной секции 1000 метров. Мы должны доехать туда на велосипеде. Наша скорость будет 500 метров в минуту (500м/мин). За какое время мы доедем до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проезжать 500 метров, то сколько таких минут с пятью ста метрами будет в 1000 метрах?

Очевидно, что надо разделить 1000 метров на то расстояние, которое мы будем проезжать за одну минуту, то есть на 500 метров. Тогда мы получим время, за которое доедем до спортивной секции:

1000 : 500 = 2 (мин)

Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Скорость принято обозначать маленькой латинской буквой v, время движения – маленькой буквой t, пройденное расстояние – маленькой буквой s. Скорость, время и расстояние связаны между собой.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время:

s = v × t

Например, мы вышли из дома и направились в магазин. Мы дошли до магазина за 10 минут. Наша скорость была 50 метров в минуту. Зная свою скорость и время, мы можем найти расстояние.

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Очевидно, что умножив 50 метров на 10, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 50 (м/мин)

t = 10 минут

s = v × t = 50 × 10 = 500 (метров до магазина)

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость:

v = s : t

Например, расстояние от дома до школы 900 метров. Школьник дошел до этой школы за 10 минут. Какова была его скорость?

Скорость движения школьника это расстояние, которое он проходит за одну минуту. Если за 10 минут он преодолел 900 метров, то какое расстояние он преодолевал за одну минуту?

Чтобы ответить на этот, нужно разделить расстояние на время движения школьника:

s = 900 метров

t = 10 минут

v = s : t = 900 : 10 = 90 (м/мин)

Если известна скорость и расстояние, то можно найти время:

t = s : v

Например, от дома до спортивной секции 500 метров. Мы должны дойти до неё пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту (100 м/мин). За какое время мы дойдем до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое мы дойдем до спортивной секции:

s = 500 метров

v = 100 (м/мин)

t = s : v = 500 : 100 = 5 (минут до спортивной секции)

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Как далеко между

Этот инструмент можно использовать для определения расстояния между двумя точками. Введите названия двух мест и узнайте расстояние между ними. Отображаются прямое расстояние и расстояние вождения. Чтобы начать, введите названия мест ниже и нажмите кнопку «Показать».

Как использовать

Введите название двух мест в текстовые поля и нажмите кнопку Показать.

Рекомендуемый формат для использования: [Город, Страна], т.е. [Город(запятая)(пробел)Страна].

Когда результат возвращен, вы можете скопировать ссылку для использования в качестве постоянной ссылки обратно на результат или отправить другим.

Примечание : Для почтовых индексов используйте расстояние между почтовыми индексами. Для почтовых индексов Великобритании используйте инструмент расстояния для почтовых индексов Великобритании. Кроме того, чтобы найти расстояние между точками, которые не имеют имени, вы можете использовать инструмент Измерить расстояние.

Информация о расстоянии между

Этот инструмент можно использовать для определения расстояния между двумя точками.

Вывод двух расстояний:

• As the Crow Flies — Прямое расстояние между точками
• Расстояние наземным транспортом (По возможности) — Расчетное расстояние при путешествии автомобильным и морским транспортом.

Расстояния могут быть выведены в следующих единицах измерения:

• км (километры)
• мили

Выход осуществляется через измерение расстояния, а также карту, которая показывает, что две локации и путь между ними по прямой и маршрут наземным транспортом.

Вы можете использовать элементы управления на карте для:

• панорамирования карты
• Увеличить карту
• Переключение между картой и видом со спутника

Некоторые примеры расстояний

Некоторые расстояния между городами, которые можно найти с помощью системы. Нажмите на один из них, чтобы увидеть его, или введите свои собственные места выше в текстовые поля.

• Расстояние между Венецией, Италия и Ноттингемом, Англия
• Расстояние между Белфастом, Северная Ирландия и Кабо-Сан-Лукас, Мексика
• Расстояние между Портсмутом, Англия и Инвернессом, Шотландия
• Расстояние между Лос-Анджелесом, Калифорния, США и Дели, Индия
• Расстояние между Редингом, Беркшир и Филадельфией, Пенсильвания, США

Известные проблемы

• Красная линия не пересекает международную линию перемены дат
• Автоматический зум не работает, когда кратчайшее расстояние проходит через международную линию перемены дат
• Разрешить запрос точек на удаление из базы данных, чтобы информация была аккуратной

Если вы обнаружите что-либо, требующее решения, свяжитесь с Free Map Tools.

История версий

• 15 октября 2018 г.: Исправление ошибки, неправильное расстояние при пересечении маршрута с IDL
• 30 сентября 2018 г.: исправление ошибки, неправильное поведение при расчете 2-го, 3-го и т. д. маршрута
• 28 сентября 2018 г.: Исправлена ​​ошибка, при вычислении второго расстояния возникала ошибка
.
• 21 сентября 2018 г.: исправлена ​​проблема с форматом времени в пути
.
• 19 сентября 2018 г.: переход на карты листовок
• 14 ноября 2016 г.: продолжительность поездки теперь выводится, если применимо.
• 28 июня 2016 г.: вывод URL теперь содержит информацию о единицах измерения (км)
• 22 июня 2016 г.: настройка км / миль теперь будет сохранять и запоминать свое состояние между сеансами
.
• 28 мая 2015 г.: теперь использует Google Places.Autocomplete
• 15 марта 2015 г.: Новая возможность избегать автомагистралей/автомагистралей
• 27 января 2015 г.: добавлена ​​кнопка полноэкранного режима
• 8 января 2014 г. : устранена незначительная проблема. Когда направления проезда не найдены, в поле теперь написано N/A. Ранее он не обновлялся и иногда сохранял значение предыдущего поискового расстояния
.
• 7 января 2014 г.: Решена незначительная проблема, из-за которой маршрут проезда из старого измерения все еще отображался, когда был выполнен другой поиск
• 13 ноября 2013 г.: реализован API Google Maps V3
.
• 7 марта 2010: Добавлен новый вид транспорта… Пассажирский Самолет
• 2 декабря 2009 г.: Теперь предложенные города и страны отображаются намного быстрее. Также показывает самые популярные места вверху списка
• 20 января 2008 г. Улучшено автоматическое масштабирование для получения более точных результатов.
• 15 декабря 2007 г.: добавлена ​​опция сохранения данных
.
• 29 ноября 2007 г.: добавлена ​​опция измерения наземного транспорта
.
• 4 ноября 2007 г.: динамический URL для сохранения расстояния между X и Y
• 21 октября 2007 г. : Добавлен поиск GlocalSearch для автоматического поиска большего количества мест
• 18 июля 2007 г. Исправлены выпадающие списки, чтобы они попадали на все содержимое ниже
.
• 1 июля 2007 г.: Проделана работа, позволяющая пользователям добавлять новые местоположения, если они не находятся в системе
.
• 30 июня 2007 г.: Страница создана с базовой функциональностью

Соответствующие ссылки

Листовка — библиотека JavaScript для интерактивных карт

Измерение расстояния на карте

Инструмент измерения расстояния — это простой способ определения расстояния между двумя или более точками на карте.

Как пользоваться инструментом «Измерить расстояние»

Просто нажмите один раз на одну точку, затем нажмите еще раз на вторую точку. Расстояние должно отображаться. Вы можете щелкнуть более двух точек, чтобы построить непрерывный маршрут.

Используйте переключатель миль/км/морских миль/ярдов для измерения расстояний в км, милях или морских милях. Опция Autopan будет перемещать карту по мере того, как вы нажимаете на точки.

Текстовое поле «Поиск местоположения» позволяет быстро добраться до нужной области, не тратя время на масштабирование и панорамирование, чтобы найти ее. Например, если вы хотите найти город Рим в Италии, введите «Рим, Италия» и нажмите «Поиск». Затем карта отправится прямо в Рим. Обратите внимание на формат «[город][запятая][пробел][район]»

Маркеры-переключатели будут отображать или скрывать маркеры, если они мешают

Удалить последнюю удалит последнюю точку с карты максимально увеличить масштаб

Очистить карту — это кнопка сброса, которая удалит все точки и позволит вам снова начать измерение расстояния

Вы можете редактировать положение любых существующих точек, перетаскивая маркер (когда они отображаются) и маркер в новой позиции

Вы также можете отрегулировать высоту карты, чтобы сделать ее большой, средней или маленькой по размеру

Вы можете удалить точку, щелкнув узел

Будущие идеи и улучшения

• проблема продавца)
• Есть другие скорости, такие как оптоволоконный кабель (~ 0,6 c) и число Маха
• Возможность добавить заголовок к маркеру, который затем появляется при наведении указателя мыши и экспорте данных
• Добавить байдарку в список видов транспорта

История версий

• 20 апреля 2022 г. — Улучшено поведение при нажатии кнопки «Маленький/Средний/Большой»
• 21 февраля 2021 г. — выбранные единицы измерения расстояния сохраняются и вызываются при следующем посещении
.
• 6 июля 2020 г. — Новая опция для экспорта ссылки на маршрут. Найдено в разделе «Параметры экспорта»
.
• 2 июня 2019 г. — исправлена ​​ошибка с неработающим выходом счетчиков
• 29 мая 2019 г. – Внедрение листовок-карт
• 20 мая 2019 г. — исправлена ​​ошибка в браузере IE 9.0024
• 9 мая 2019 г. — исправлена ​​проблема, из-за которой расстояние не сбрасывалось до нуля при нажатии кнопки «Очистить карту»
• 14 сентября 2017 г. Расстояние теперь отображается на карте в полноэкранном режиме
• 4 августа 2017 г. — Обновлен селектор юнитов. Добавлены единицы футов
• 24 июля 2017 г. — Полноэкранный режим перемещен на карту. Теперь находится в правом верхнем углу
• 4 июля 2017 г. — Исправлена ​​проблема с экспортом CSV и XLSX
• 29 января 2017 г. — Возможность отображения диаграммы высот и экспорта файла CSV с данными высот вдоль маршрута 9.0024
• 25 ноября 2016 г. — экспорт KML для отображения контактов на каждом узле маршрута
• 23 ноября 2016 г. — Добавлена ​​опция загрузки KML, CSV и XLSX
.
• 19 июля 2016 г. — Исправлены ошибки, связанные с изменением вида транспорта и расчетного времени в пути при изменении единиц измерения
• 5 июля 2016 г. — Добавлены метры в качестве единицы измерения расстояния
• 25 июня 2016 г. — Единицы скорости движения меняются в зависимости от единиц расстояния
• 20 июня 2016 г. — исправлена ​​ошибка, из-за которой при измерении количества дней в два раза отображалось фактическое значение
• 24 марта 2016 г. — точки маршрута теперь можно добавлять в середине пути. Точки также можно удалить, щелкнув правой кнопкой мыши
.
• 25 января 2016 г. — Скорость теперь можно вводить вручную
• 28 декабря 2015 г. — добавлена ​​возможность переключения между минутами, часами и днями для оценки времени в пути
• 24 июня 2014 г.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

1 Решите уравнение. а) 2cosx =1 б) sinx/6 cosx/6= 1/4 в)2cos(-2x)= — √3 г)sin²x + 3sinx= 0 2 Решите неравенство а)2sinx1 б)2cosx — вопрос №1839907 — Учеба и наука

11. 02.16 Лучший ответ по мнению автора Ответ понравился автору вопроса

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его . .. 1,3,5,7,9,11,13,15 нужно взять 3 числа и только сложением получить 30.

Решено

На полке было 12 книг. Несколько книг взяли с полки. После этого осталось на 4 книги больше, чем взяли. Сколько книг взяли с полки?

как решить задачу 1,3,5,7,9,11,13,15 используя 3 числа чтоб ответ получился 30 одно и тоже число можно использовать несколько раз несколько раз

Схема района, где живут Маша и Саша, выполнена в масштабе 1:1000. Начертите маршруты, по которым они могут ходить в школу друг к другу в гости и из…

Стоимость автомобиля с гаражом составляет…

Пользуйтесь нашим приложением

5.3. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля

усвоения материала к разделу 3

3.3.1. EMBED Equation.3 . 3.3.2. EMBED Equation.3 . 3.3.3. EMBED Equation.3 . 3.3.4. EMBED Equation.3 . 3.3.5. EMBED Equation.3 . 3.3.6. EMBED Equation.3 . 3.3.7. EMBED Equation.3 . 3.3.8. EMBED Equation.3 . 3.3.9. EMBED Equation.3 . 3.3.10. EMBED Equation.3 . 3.3.11. EMBED Equation.3 . 3.3.12. EMBED Equation.3 . 3.3.13. 2. 3.3.14. EMBED Equation.3 . 3.3.15. EMBED Equation.3 . 3.3.16. EMBED Equation.3 . 3.3.17. EMBED Equation.3 . 3.3.18. EMBED Equation.3 . 3.3.19. EMBED Equation.3 . 3.3.20. 1. 3.3.21. EMBED Equation.3 . 3.3.22. EMBED Equation.3 . 3.3.23. EMBED Equation.3 . 3.3.24. 1. 3.3.25. EMBED Equation.3 . 3.3.26. EMBED Equation.3 . 3.3.27. 1. 3.3.28. EMBED Equation.3 . 3.3.29. EMBED Equation.3 . 3.3.30. расх. 3.3.31. EMBED Equation.3 . 3.3.32. EMBED Equation.3 . 3.3.33. 1. 3.3.34. 2. 3.3.35. EMBED Equation.3 . 3.3.36. EMBED Equation.3 . 3.3.37. EMBED Equation.3 . 3.3.38. EMBED Equation.3 . 3.3.39. EMBED Equation.3 . 3.3.40. EMBED Equation.3 . 3.3.41. EMBED Equation.3 . 3.3.42. EMBED Equation.3 . 3.3.43. EMBED Equation.3 . 3.3.44. EMBED Equation.3 . 3.3.45. EMBED Equation.3 . 3.3.46. EMBED Equation.3 . 3.3.47. EMBED Equation.3 . 3.3.48. EMBED Equation.3 . 3.3.49. EMBED Equation.3 . 3.3.50. EMBED Equation.3 . 3.3.51. EMBED Equation.3 . 3.3.52. EMBED Equation.3 . 3.3.53. 4. 3.3.54. EMBED Equation.3 . 3.3.55. EMBED Equation. 3 . 3.3.56. EMBED Equation.3 . 3.3.57. EMBED Equation.3 . 3.3.58. 0. 3.3.59. EMBED Equation.3 . 3.3.60. EMBED Equation.3 .

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2-х т. – Т. 2 – М.: Наука, 1985. – 560 с.

2. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – СПБ: Лань, 2001. – 727 с.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989. – 476 с.

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1977. – 370 с.

5. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2-х т. – Т. 2 – М.: Высшая школа, 1973. – 416 с.

Предметный указатель

Интегральная сумма — 5

Методы исчисления определенного интеграла:

замена переменной — 9

интегрирование по частям — 11

Несобственные интегралы:

с бесконечными пределами интегрирования — 28

от неограниченных функций — 32

Определенный интеграл — 5

Приложения определенного интеграла:

площадь плоской фигуры — 16

длина дуги — 20

объем тела вращения — 23

Свойства определенного интеграла – 7,8

Формула Ньютона-Лейбница — 9

190

Поиск материала «Сборник задач по высшей математике, Минорский В.

Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

Search results:

1. В.П.Минорский — Сборник задач по высшей математике

   Для чтения книг в нашей библиотеке вам потребуется программа Acrobat Reader Get Acrobat reader. В. П. Минорский. Сборник задач по высшей математике.

   fizmatlit.narod.ru

2. Сборник задач по высшей математике — Минорский В.П.

   Подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач. Сборник может быть использован при всех формах обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.

   11klasov.net

3. Купить эту книгу

4. Канцтовары

   Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради. Ранцы, рюкзаки, сумки. И многое другое.

   my-shop.ru

6. Сборник задач по высшей математике — Минорский…

   Автор: Минорский В.П. Выберите формат для скачивания: zip djv Онлайн Сборник задач по высшей математике. Купить бумажную книгу.

   klex.ru

7. Сборник задач по высшей математике (1961) В.П. Минорский

   В настоящем «Сборнике» подобраны и методически распределены задачи и примеры по аналитической геометрии и математическому анализу, охватывающие всю программу курса высшей математики для втузов.

   «Сборник» может быть использован как для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения курса высшей математики во втузах, так как почти все задачи имеют ответы, а некоторые и решения и, кроме того, ко многим задачам в тексте или в ответах даны указания к их решению.

   booktech.ru

8. Сборник задач по высшей математике [2006 + 1987 + 1961]…

   Подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач.

   В настоящем «Сборнике» подобраны и методически распределены задачи и примеры по аналитической геометрии и математическому анализу, охватывающие всю программу курса высшей математики для втузов.

   vk.com

9. Минорский Сборник задач в PDF формате. 2016 | Менеджмент)

   Минорский Сборник задач в PDF формате. Минорский Сборник задач по высшей математике.pdf.

   vk.com

10. Сборник задач по высшей математике — Минорский В.П.

    ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ В настоящем «Сборнике» подобраны и методически распредераспределены задачи и примеры по аналитической геометрии и математиматематическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач. В конце каждого параграфа «Сборника» приведены (после черчерты) задачи для повторения, составляющие около одной трети всего материала «Сборника».

    djvu.online

11. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике

    Скачать по прямой ссылке. Подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач. Сборник может быть использован при всех формах обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.

    www.psyoffice.ru

12. Минорский — Высшая математика: Математический… — СтудИзба

    PDF-файл Минорский — Высшая математика Математический анализ (36276): Книга — 1 семестрМинорский — Высшая математика: Математический анализ — PDF (36276) — СтудИзба2019-04-282019-04-28zzyxelСтудИзба.

    В конце каждого параграфа «Сборника» приведены (после черты! задачи для повторения, составляющие около одной трети всеп» материала «Сборника». Вта особенность поможет преподавателя» в подборе задач для работы в классе и для домашних заданий пли для повторений перед контрольными работами.

    studizba.com

13. Сборник задач по высшей математике — Минорский В.П.

    Подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач. Сборник может быть использован при всех формах обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.

    school-textbook.com

14. Книга Сборник задач по высшей математике (В.П. Минорский)…

    Читать онлайн книгу Сборник задач по высшей математике автора В.П. Минорский.

    reallib.org

15. Сборник задач по высшей математике | Минорский. ..

    В задачнике подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач.Сборник может быть использован при всех формах обучения. Скачать книгу бесплатно (djvu, 5.01 Mb). Читать «Сборник задач по высшей математике».

    libcats.org

16. Сборник задач по высшей математике. Минорский В.П.

    Educational resources of the Internet — Mathematics. Образовательные ресурсы Интернета — Математика. Главная страница (Содержание).

    3. Средняя школа — геометрия. 4. Решение задач 5. ОГЭ — математика 6. ЕГЭ — математика 7. ГДЗ по математике 8. Высшая школа.

    www.at.alleng.org

17. В. П. Минорский «Сборник задач по высшей математике»

    В учебном пособии рассмотрены задачи и примеры по математическому анализу и аналитической геометрии. В начале каждой темы представлены формулы и краткое пояснение теории, которые нужны для решения задач. В конце каждой темы приведены задачи для повторения и закрепления полученной информации. Учебное пособие может использоваться для самостоятельного изучения, поскольку к задачам даны указания по их решению.

    books.gdz-online.ws

18. Сборник задач по высшей математике — Минорский В.П.

    Подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач. Сборник может быть использован при всех формах обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.

    cdnpdf.com

19. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике

    В основе предлагаемого задачника лежит сборник задач по высшей математике, составленный в 1912 г. сотрудниками кафедры математики Института инженеров путей сообщения, во главе которой стоял Н. М. Гюнтер.

    М. — 2005, 104 с. Сборник задач предназначен для студентов первого и второго курсов всех специальностей дневного обучения, изучающих курс высшей математики и математического анализа.

    www.studmed.ru

20. Сборник задач по высшей математике | Минорский…

    В задачнике подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач.Сборник может быть использован при всех формах обучения.Для студентов высших технических учебных заведений. Скачать книгу бесплатно (djvu, 1.77 Mb). Читать «Сборник задач по высшей математике».

    libcats.org

21. Сборник задач по высшей математике | В. П. Минорский

    Основы высшей математики и статистики. Учебник для студентов медицинских вузов.

    2 курс :ряды и интегралы, векторный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, теория вероятностей, операционное исчисление. К. Н. Лунгу [и др.] ; под ред. С. Н. Федина. Категория: Физико-математические науки — Математика — Высшая математика — Задачник для высшей школы(rubbk).

    libcats.org

22. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике

    В основе предлагаемого задачника лежит сборник задач по высшей математике, составленный в 1912 г. сотрудниками кафедры математики Института инженеров путей сообщения, во главе которой стоял Н. М. Гюнтер.

    М. — 2005, 104 с. Сборник задач предназначен для студентов первого и второго курсов всех специальностей дневного обучения, изучающих курс высшей математики и математического анализа.

    www.studmed.ru

23. Сборник задач по высшей математике | Минорский…

    Категория: КНИГИ ХОББИ и РАЗВЛЕЧЕНИЯ. 139.85 Mb. Только что пользователи скачали эти книги: #1. Сборник задач по высшей математике.

    libcats.org

24. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике

    В основе предлагаемого задачника лежит сборник задач по высшей математике, составленный в 1912 г. сотрудниками кафедры математики Института инженеров путей сообщения, во главе которой стоял Н. М. Гюнтер.

    М. — 2005, 104 с. Сборник задач предназначен для студентов первого и второго курсов всех специальностей дневного обучения, изучающих курс высшей математики и математического анализа.

    www.studmed. ru

25. Минорский В.П. — Сборник задач по высшей математике

    Предмет: Биологический факультет, Высшая математика. Добавлен 18.9.2022 пользователем admin. Минорский В.П. — Сборник задач по высшей математике. Учебные материалы. Химический факультет.

    chembaby.ru

26. Читать Минорский Сборник задач по высшей математике онлайн

    На нашем сайте вы можете скачать учебный материал Минорский Сборник задач по высшей математике в любое время суток бесплатно. Учитесь на отлично и приятной вам учебы! Не забывайте оценить материал и поделится в социальных сетях.

    Другие книги в категории Сборник задач высшая математика: Пособие Линьков Высшая математика в примерах и задачах бесплатно онлайн. Пособие Ермакова Сборник задач по высшей математике для экономистов бесплатно онлайн.

    gdzcrab.com

27. Сборник задач по высшей математике… : Internet Archive

    Сборник задач по высшей математике.

    texts. Сборник задач по высшей математике. by. Василий Павлович Минорский. Publication date. 1977.

    archive.org

28. maket.dvi

    fizmatlit.narod.ru

29. Сборник задач по высшей математике. Минорский В.П.

    Минорский В.П. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 336с. Подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач. Сборник может быть использован при всех формах обучения.

    uchebniki.alleng.me

30. Минорский В. П. «Сборник задач по высшей математике» 2006г.

    Высшая математика [17]. Линейная алгебра [5]. Практикум по решению задач [6].

    Книга предназначена как для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения курса высшей математики. К задачам даны указания к решению и краткие пояснения из теории.

    method.ucoz.ua

31. Минорский читать Сборник задач по высшей математике онлайн

    5 Страниц: 336 Год: 2006 Минорский читать Сборник.

    В сборнике представлены задачи и упражнения по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого раздела указаны краткие теоретические пояснения, формулы и определения. В конце каждого раздела приведены задачи для повторения изученного материала.

    books. gdz-online.ws

32. Класс — Минорский Сборник задач по высшей математике онлайн

    На сайте Класс.Москва вы можете прочитать гдз, решебник, рабочую тетрадь и ответы Минорский Сборник задач по высшей математике онлайн:. Скачать все части и страницы бесплатно.

    xn--80atdza.xn--80adxhks

33. Минорский В.П. / Сборник задач по высшей математике…

    Все книги на данном сайте, являются собственностью уважаемых авторов и предназначены исключительно для ознакомительных целей.

    Автор: Минорский В.П. Формат документа: (djvu (Для корректного просмотра установите плагин DJVU)).

    Читать книгу Скачать книгу.

    www.newlibrary.ru

34. Плейлист МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей…

    Образцы решения примеров и задач для практических и домашних занятий.

    2410. Вычисление поверхностного интеграла по координатам. 1231 Прикладная задача на экстремум.

    rutube.ru

35. Сборник задач по высшей математике Минорского…

    Математика на Решебник.Ру / Сборник задач по высшей математике Минорского В. П.

    В конце каждого параграфа «Сборника» приведены (после черты) задачи для повторения, составляющие около одной трети всего материала «Сборника». Эта особенность поможет преподавателю в подборе задач для работы в классе и для домашних заданий или для повторений перед контрольными работами.

    math.reshebnik.ru

На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «Сборник задач по высшей математике, Минорский В. П., 2006»

Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс.XML.

Нашлось 7 тыс. ответов. Показаны первые 32 результата(ов).

Дата генерации страницы: вторник, 4 апреля 2023 г., 18:22:12 GMT

S&P Capital IQ Pro | S&P Global Market Intelligence

• Расширенная визуализация
• Поиск и обнаружение
• Частные компании и рынки
• Aftermarket Research и Doc Viewer
• Модели Excel и подключаемые модули Office
• Подробный скрининг
• Powerful Mapping
• Построитель диаграмм
• Рейтинги Списки охвата

Раскрывайте релевантную информацию быстрее.

Анализируйте транзакции с помощью визуализаций, просматривайте показатели расшифровки тональности в средстве просмотра документов и построителе диаграмм, чтобы анализировать звонки о доходах.

Используйте нашу панель мониторинга рынка в режиме реального времени, инструменты визуализации данных и возможности поиска, чтобы отделить несущественное от бесценного. Погрузитесь глубоко в данные компании и наслаждайтесь постоянными обновлениями их количества и качества.

Доступ к множеству графических возможностей, включая интеграцию 125 уникальных технических индикаторов, с новым виджетом ChartIQ. Кроме того, пользователи могут использовать ряд готовых функций, таких как инструменты рисования, настраиваемые цвета графиков, обновленную панель инструментов виджетов, увеличение масштаба и многое другое.

Быстрее находите информацию с помощью поиска и просмотра документов на основе ИИ

Ускорьте свое время до действия с помощью нашего интеллектуального поиска и средства просмотра документов на основе ИИ. Удобный доступ к необходимой информации и данным в больших объемах текста и таблиц. Мы поможем вам быстро найти новости, документы, исследования рынка акций, стенограммы, презентации для инвесторов и многое другое. Углубите свои исследования с помощью оценок тональности, поиска по ключевым фразам и экспорта в Excel.

Создайте 360-градусное представление о частных рынках

Демистифицируйте вселенную частных компаний с помощью доступа к более чем 50 миллионам профилей частных компаний, включая раунды финансирования, оценку до и после получения денег, частную собственность, финансы и более.

Погрузитесь глубже в наш контент по частному и венчурному капиталу и просмотрите сводные результаты сравнительного анализа и тенденции производительности от Preqin.

Просмотрите наши данные о тегах тем, чтобы найти компании и получить доступ к сводной информации о компаниях, сделках и новостях в нишевой отрасли, которые предоставляют больше подробностей о деятельности компании, чем типичная отраслевая классификация S&P Capital IQ/GICS®.

Усильте свои инвестиционные решения

Независимо от того, генерируются ли инвестиционные идеи, проводится финансовый анализ или проводится оценка рисков для компаний и секторов по всему миру, наша обширная коллекция исследований от более чем 1800 участников исследований может помочь вам получить необходимую информацию. .

Обнаружение и анализ инвестиционных исследований на платформе Capital IQ Pro теперь намного проще, так как отчеты об исследованиях теперь доступны в средстве просмотра документов. Этот инструмент позволяет пользователям:

• Мгновенный поиск ключевых слов и понятий в отчетах об исследованиях
• Делитесь выдержками с коллегами для улучшения совместной работы над проектом
• Добавление персонализированных аннотаций к документам
• Доступ к связанным компаниям, стенограммам и презентациям для инвесторов на одном экране

Набор инструментов и подключаемых модулей Microsoft Office, которые помогут вам ускорить рабочий процесс.

Беспрепятственно расширяйте возможности собственных моделей и оптимизируйте презентации с помощью нашей простой в использовании надстройки Excel и набора инструментов Office.

Получите доступ к библиотеке из сотен готовых к использованию моделей и шаблонов или сотрудничайте с нашими аналитиками службы поддержки, чтобы создать свои собственные. Интегрируйте данные из Excel в PowerPoint или Word с меньшим количеством ошибок и обновляйте формулы в Excel одним щелчком мыши.

Инструменты скрининга, чтобы найти вашу цель

Мгновенный поиск актуальных тем и стандартных отраслевых классификаций компаний, новостей, документов, исследований, стенограмм и презентаций для инвесторов с помощью нашего интеллектуального инструмента поиска. Используйте улучшенную навигацию для перехода к нужным данным с помощью настраиваемых формул и фильтров.

Просмотр операций материнской компании путем добавления дочерних компаний и портфельных компаний. Воспользуйтесь инструментом Investor Screening, чтобы найти потенциальных инвесторов для увеличения собственного капитала, или проведите расширенный перекрестный анализ активов.

Используйте инструмент «Найти покупателей», чтобы быстро найти и ранжировать потенциальных покупателей, включая новых участников отрасли. Наше интуитивно понятное решение позволяет вам настраивать оповещения по электронной почте на основе ваших критериев, либо получать уведомления о компаниях, которые проходят или исчезают с вашего экрана, либо получать полные результаты проверки в файле Excel.

Профессионально перемещайтесь по данным с помощью передовых инструментов визуализации.

Профессионально перемещайтесь по данным с помощью передовых инструментов визуализации. Созданный на основе отраслевых данных, инструмент «Карты» строит представление о рынке с высоты птичьего полета. Доступ к картам рынка для идентификации компаний и анализа активности сделок в нишевых отраслях

Выявляйте невидимые возможности и просматривайте примерный след потенциальных слияний при проведении анализа слияний и поглощений. Мгновенно создавайте готовую к презентации графику с четкими визуальными эффектами, включая данные на уровне активов и рыночную статистику.

Визуализируйте данные во времени с помощью Chart Builder

Видеть — не значит просто верить. Это понимание того, что делать дальше. Перемещайтесь по рынкам с помощью богатых инструментов визуализации, которые помогут вам определить то, что другие не могут. Получите доступ к гибкому, интуитивно понятному инструменту построения диаграмм для настраиваемого анализа эффективности компании и рынка с течением времени. Отображение внутридневной информации о ценах для наблюдения за изменениями цен на акции в течение дня. Настройте все, от внешнего вида ваших диаграмм до данных, которые вы используете.

Быстро извлекайте списки кредитов, за которыми вы следите и анализируете в RatingsDirect®

Никогда не упускайте ни одной детали из того, что происходит на кредитных рынках. Воспользуйтесь нашим набором предварительно созданных экранов, чтобы получить списки кредитов, которым вы должны следовать. Независимо от того, хотите ли вы понять, какие эмитенты являются Fallen Angels или Rising Stars за последние 12 месяцев в конкретном регионе, или получить список корпораций, которые объявили дефолт с начала года, наши готовые экраны помогут вам быстро получить это. информация. Сделайте еще один шаг вперед, создав собственные настраиваемые экраны кредитных рейтингов, которые необходимо отслеживать. Настройте оповещения, чтобы всегда быть в курсе изменений рейтинга и перспектив.

Лучшее программное обеспечение для управления опытом

Запросить демонстрацию

Имя *

Пожалуйста, введите ваше имя.

Фамилия *

Пожалуйста, введите вашу фамилию.

Компания *

Пожалуйста, введите название вашей компании.

Должность *

Пожалуйста, введите вашу должность.

Рабочий адрес электронной почты *

Пожалуйста, введите действующий рабочий адрес электронной почты. Ой! Это похоже на личный адрес электронной почты. Введите свой рабочий адрес электронной почты. Ой! Это похоже на личный адрес электронной почты.

Скалярное произведение векторов

Навигация по странице:

• Геометрическая интерпретация скалярного произведения векторов
• Алгебраическая интерпретация скалярного произведения векторов
• Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
  • для плоских задач
  • для пространственных задач
  • для n -мерных векторов
• Свойства скалярного произведения векторов
• Примеры задач на скалярное произведение векторов
  • плоские задачи
  • пространственные задачи
  • задачи в n -мерном пространстве

Онлайн калькулятор. Скалярное произведение векторов.

Онлайн упражнения на тему скалярное произведение двух векторов на плоскости.

Онлайн упражнения на тему скалярное произведение двух векторов в пространстве.

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; . .. ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; … ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + … + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

   a · a ≥ 0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

   a · a = 0   <=>   a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

   a · a = |a|²

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

   a · b = b · a

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

   a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

   (a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a — 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a — 3b) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =

= 5 |a|² + 12 a · b — 9 |b|² = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 2² = 45 +36 -36 = 45.

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов (a + 2i)·(b — 2j),если a = {1; 2} и b = {4; -8}.

Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j:

a = i + 2j
b = 4i — 8j

Тогда используя свойства ортов (i² = 1, j² = 1, i·j = 0)

(a + 2i)·(b — 2j) = (i + 2j + 2i)·(4i — 8j — 2j) = (3i + 2j)·(4i — 10j) = 12i² — 30i·j + 12j·i — 20j² = 12 — 0 + 0 — 20 = -8

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Пример 6. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.

Вектора Вектор: определение и основные понятия Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки Модуль вектора. Длина вектора Направляющие косинусы вектора Равенство векторов Ортогональность векторов Коллинеарность векторов Компланарность векторов Угол между векторами Проекция вектора Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Линейно зависимые и линейно независимые вектора Разложение вектора по базису

Онлайн калькуляторы с векторами

Онлайн упражнения с векторами на плоскости

Онлайн упражнения с векторами в пространстве

Скалярное произведение векторов, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

• Свойства скалярного произведения:
• Длина вектора
• Угол между векторами

Определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$$\bar{a} \bar{b}=\bar{a} \cdot \bar{b}=(\bar{a}, \bar{b})=|\bar{a}||\bar{b}| \cos (\bar{a}, \bar{b})$$

Пример

Задание. {2}$ и называется скалярный квадрат.

3  Если $\overline{a} \neq \overline{0}$, то

4  Если $\overline{a} \neq \overline{0}$ и $\overline{b} \neq \overline{0}$ и $(\overline{a}, \overline{b})=0$, то $\overline{a} \perp \overline{b}$. Верно и обратное утверждение.

5  $(\overline{a}+\overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{c})+(\overline{b}, \overline{c})$

6  $(\lambda \overline{a}, \overline{b})=\lambda(\overline{a}, \overline{b})$

7  $(\alpha \overline{a}+\beta \overline{b}, \gamma \overline{c}+\delta \overline{d})=\alpha \gamma(\overline{a}, \overline{c})+\alpha \delta(\overline{a}, \overline{d})+\beta \gamma(\overline{b}, \overline{c})+\beta \delta(\overline{b}, \overline{d})$

Если векторы $\overline{a}$ и $\overline{b}$ заданы своими координатами: $\overline{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)$, $\overline{b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)$ , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

1

$(\overline{a}, \overline{b})=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$

Определение

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат. {\circ}$$

Читать дальше: векторное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов

Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным.

		Раздел недели: Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.
Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Таблицы логарифмов и основные формулы. Десятичные и натуральные логарифмы. Степени, корни. / / Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным. Поделиться:    Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным. Если Вам известен десятичный логарифм какого-то числа Х (равный lg(X)), то натуральный логарифм этого числа (равный ln(X)) будет равен, согласно основным свойствам логарифмов : ln(X)=In10*lg(X)=(1/Ig(e))*lg(X)=(1/M)*lg(X), т.е. натуральный логарифм числа, равен десятичному логарифму этого числа умноженному на «число 1/М»=1/Ig(e). Для быстрых оценок приводим табличку: Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным (таблица умножения на «число 1/М» (у англосаксов это «число 1/A») = In 10 = 2,3025851). «> Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным (таблица умножения на «число 1/М» (у англосаксов это «число 1/A») = In 10 = 2,3025851). 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0,0000 23,026 46,052 69,078 92,103 115,129 138,155 161,181 184,207 207,233 1 2,3026 25,328 48,354 71,380 94,406 117,431 140,458 163,484 186,509 209,535 2 4,6052 27,631 50,657 73,683 96,709 119,734 142,760 165,786 188,812 211,838 3 6,9078 29,934 52,959 75,985 99,011 122,037 145,062 166,089 191,115 214,140 4 9,2103 32,236 55,262 78,288 101,314 124,340 147,365 170,391 193,417 216,443 5 11,513 34,539 57,565 80,590 103,616 126,642 149,668 172,694 195,720 218,746 6 13,816 36,841 59,867 82,893 105,919 128,945 151,971 174,997 198,022 221,048 7 16,118 39,144 62,170 85,196 108,221 131,247 154,273 177,299 200,325 223,351 8 18,421 41,447 64,472 87,498 110,524 133,550 156,576 179,602 202,627 225,653 9 20,723 43,749 66,775 89,801 112,827 135,853 158,878 181,904 204,930 227,956 Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Десятичные и натуральные логарифмы: определения, свойства и примеры

1. Десятичный логарифм и его свойства
2. Натуральный логарифм и его свойства
3. Примеры

п.1. Десятичный логарифм и его свойства

Логарифмы чисел по основанию 10 называют десятичными.
Для десятичных логарифмов принято специальное обозначение: \begin{gather*} \log_{10}x\overset{def}{=}\lg x \end{gather*}

Основание десятичных логарифмов \(10\gt 1\), поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Но у десятичных логарифмов есть также целых ряд дополнительных свойств, благодаря которым в докомпьютерную эпоху они широко использовались для трудоемких вычислений. Роль калькулятора тогда выполняли логарифмическая таблица и логарифмическая линейка.

Целая часть десятичного логарифма \([\lg x]\) называется характеристикой, а дробная часть \(\left\{\lg x\right\}\) – мантиссой. n\)
характеристика равна порядку числа \([\lg b]=n\), мантисса \(\left\{\lg b\right\}=\lg a\)

О стандартном виде числа, см. §41 справочника для 8 класса.

Например:

\(\lg 4,2\approx 0. 623\)

Если использовать унифицированную запись, как в представленной таблице, то мантисса всегда лежит в промежутке \(0\lt \lg a\lt 1\). У чисел, отличающихся только порядком, мантисса одинакова. Можно составить таблицы мантисс и пользоваться ими для умножения и деления, «разбавляя» их несложным сложением и вычитанием целых характеристик по необходимости.

Первые таблицы логарифмов были изданы в 1617 году оксфордским математиком Бригсом. Таблицы пересчитывались, дополнялись и переиздавались вплоть до 70-х гг. ХХ века, когда на столах стали появляться калькуляторы.
Таблицы Брадиса, которыми по традиции пользуются наши школьники с 1921 года, издаются до сих пор и постепенно перекочевывают в Интернет.

Непосредственная связь десятичных логарифмов с десятичной системой исчисления делает их удобным инструментом для оценки порядка числа и сравнения чисел.

В практике приближенных вычислений используется следующая оценочная таблица:

\(\lg 1\)

\(\lg 2\)

\(\lg 3\)

\(\lg 4\)

\(\lg 5\)

\(\lg 8\)

0

0,3

0,5

0,6

0,7

0,9

Относительная погрешность этих приближений (кроме \(\lg 3)\) \(\delta\sim 0,5\text{%}\)

Например:
Сравним \(\log_23\) и \(log_5⁡8\)
Сравнивая с помощью оценки, получаем: \begin{gather*} \log_23=\frac{\lg 3}{\lg 2}\approx\frac{0,5}{0,3}=\frac53,\ \ \log_58=\frac{\lg 8}{\lg 5}\approx\frac{0,9}{0,7}=\frac97\\ \frac{35}{21}\gt \frac{27}{21}\Rightarrow \frac53\gt \frac97\Rightarrow\log_23\gt\log_58 \end{gather*}

п.

3}{3}\)0,0953330,02%0,1826670,19%\(y=\ln(1+x)\)0,0953100,182322

Формула смены базы | Purplemath

Основные правилаExpandingCondensingTrick Q’s

Purplemath

Существует еще одно «правило» журнала, но это скорее формула, чем правило.

Возможно, вы заметили, что ваш калькулятор имеет ключи только для вычисления значений для обычного (то есть по основанию 10) журнала и естественного (то есть по основанию e ) журнала. Для других баз ключей нет. Некоторые учащиеся пытаются обойти это, «оценивая» что-то вроде «журнала 9».0011 3 (6)» следующими нажатиями клавиш:

[ LOG ]    [ 3 ]   [ ( ]    [ 6 ]  [ ) ]

Конечно, тогда получить неправильный ответ, потому что приведенное выше фактически (обычно) вычисляет значение «log ₁₀ (3) × 6». Это не то, что было задумано. Базовая формула

Чтобы оценить журнал нестандартной базы, вы должны использовать формулу изменения базы:

Формула изменения базы:

На практике это правило говорит о том, что вы можете оценить журнал нестандартной базы, преобразовав его в дробь формы «(логарифм стандартной базы аргумент), разделенный на (тот же стандартный журнал нестандартной базы)». Я поддерживаю это прямо, глядя на положение вещей. В исходном журнале аргумент находится «над» базой (поскольку база индексирована), поэтому я оставлю все так, когда разделю их:

Вот простой пример применения этой формулы:

Аргумент равен 6, а основание равно 3. Я подставлю их в формулу изменения базы, используя натуральный журнал в качестве журнала новой базы:

Тогда ответ, округленный до трех знаков после запятой, будет следующим:

log ₃ (6) = 1,631

---

Я получил бы такой же окончательный ответ, если бы использовал обычный журнал вместо натурального, хотя числитель и знаменатель промежуточной дроби отличались бы от того, что я показал выше:

Как видите, не имеет значения, какую стандартную базу вы используете, если вы используете одну и ту же базу как для числителя, так и для знаменателя.

---

Хотя я показал значения числителя и знаменателя в приведенных выше расчетах, на самом деле лучше всего выполнять расчеты полностью в вашем калькуляторе. Вам не нужно утруждать себя записью этого промежуточного шага.

На самом деле, чтобы свести к минимуму ошибки округления, лучше попытаться выполнить все шаги по делению и вычислению в калькуляторе за один раз. В приведенном выше вычислении вместо того, чтобы записывать первые восемь или около того знаков после запятой в значениях ln(6) и ln(3) и затем делить, вы просто сделали бы «ln(6) ÷ ln(3)» в своем калькулятор.

---

Вы можете получить несколько простых (но довольно бесполезных) упражнений на эту тему. Не завидуйте им; это простые пункты, пока вы держите формулу смены основания прямо в голове. Например:

Я не могу придумать какой-либо конкретной причины, по которой журнал с основанием 5 может быть полезен, поэтому я думаю, что единственная цель этих проблем — дать вам возможность попрактиковаться в использовании изменения основания. Отлично; Я включу:

---

С какой стати мне это делать (в «реальной жизни»), если я уже могу оценить натуральный логарифм в своем калькуляторе? я бы не стал; это упражнение предназначено только для практики (и простых моментов).

Я подключу и пыхтит к формуле изменения основания:

Поскольку получение фактического десятичного значения не является целью в упражнениях такого рода (преобразование с использованием изменения основания точку), просто оставьте ответ в виде логарифмической дроби.

---

Хотя приведенные выше упражнения были довольно бессмысленными, использование формулы изменения базы может быть очень удобно для поиска точек графика при построении графиков нестандартных бревен, особенно когда предполагается использование графического калькулятора.

Если бы я работал вручную, я бы использовал определение бревен, чтобы отметить, что:

• поскольку 2 ^-2 = ¼, то log ₂ (¼) = -2
• , так как 2 ^–1 = ½, тогда log ₂ (½) = –1
• , так как 2 ⁰ = 1, тогда log ₂ (1) = 0
• , так как 2 ¹ = 2, тогда log ₂ (2) = 1
• , так как 2 ² = 4, тогда log ₂ (4) = 2
• , так как 2 ³ = 8, тогда log ₂ (8) = 3
• , так как 2 ⁴ = 16, тогда log ₂ (16) = 4

А потом я рисовал свой график от руки.

(Почему я выбрал именно эти значения x ? Потому что любое меньшее значение было бы слишком маленьким для построения графика вручную, а любое большее привело бы к смехотворно широкому графику. Я выбрал значения, которые соответствовали моим потребностям.)

Но в данном случае я должен построить график с помощью своего графического калькулятора. Как я могу это сделать? (Или что, если я просто хочу использовать функцию «ТАБЛИЦА» моего графического калькулятора, чтобы найти несколько хороших аккуратных сюжетных точек?) У меня нет кнопки «логарифм с основанием два». Однако я могу ввести заданную функцию в свой калькулятор, используя формулу изменения базы, чтобы преобразовать исходную функцию в нечто, указанное в терминах базы, которую может понять мой калькулятор. Подбрасывая монету, я выбираю натуральное бревно:

(Я мог бы также использовать общий журнал. В этом случае функция была бы « y 1 = log( x )/log(2)».)

В моем графическом калькуляторе , после настройки окна просмотра на показ полезных частей плоскости, график будет выглядеть примерно так:

Кстати, можно проверить, что график содержит ожидаемые «аккуратные» точки (т. е. точки I рассчитал бы вручную, как показано выше), чтобы убедиться, что на картинке отображается правильный график:

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/logrules5.htm

Страница 1 Страница 2 Страница 3 Страница 4

Изменение базовой формулы | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Перепишите логарифмы с другим основанием, используя формулу замены основания.

Использование формулы замены основания для логарифмов

Большинство калькуляторов могут вычислять только обычные и натуральные логарифмы. Для вычисления логарифмов с основанием, отличным от 10 или [latex]e[/latex], мы используем формула замены основания переписать логарифм как частное логарифмов по любому другому основанию; при использовании калькулятора мы бы изменили их на обычные или натуральные журналы.

Чтобы получить формулу замены основания, мы используем свойство один к одному и правило степени для логарифмов .

Для любых положительных действительных чисел M , b и n , где [latex]n\ne 1 [/latex] и [latex]b\ne 1[/latex], мы показываем

[ латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} M \ text {=} \ frac {{\ mathrm {log}} _ {n} M} {{\ mathrm {log}} _ {n} b} [ /латекс] 9{y}\right)\hfill & ={\mathrm{log}}_{n}M\hfill & \text{Применить однозначное свойство}.\hfill \\ y{\mathrm{log}} _{n}b\hfill & ={\mathrm{log}}_{n}M \hfill & \text{Применить правило степени для логарифмов}.\hfill \\ y\hfill & =\frac{{\mathrm {log}}_{n}M}{{\mathrm{log}}_{n}b}\hfill & \text{Изолировать}y.\hfill \\ {\mathrm{log}}_{b}M \hfill & =\frac{{\mathrm{log}}_{n}M}{{\mathrm{log}}_{n}b}\hfill & \text{Замените}y.\hfill\end{ array}[/latex]

Например, чтобы вычислить [latex]{\mathrm{log}}_{5}36[/latex] с помощью калькулятора, мы должны сначала переписать выражение как частное обычных или натуральных журналов . Мы будем использовать общий журнал.

[латекс]\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{5}36\hfill & =\frac{\mathrm{log}\left(36\right)}{\mathrm{log }\left(5\right)}\hfill & \text{Применить изменение базовой формулы с использованием базы 10}\text{. }\hfill \\ \hfill & \приблизительно 2,2266\text{ }\hfill & \text{ Используйте калькулятор для расчета до 4 знаков после запятой}\text{.}\hfill \end{array}[/latex]

A Общее примечание: формула изменения основания

Формула изменения основания можно использовать для вычисления логарифма по любому основанию.

Для любых положительных действительных чисел M , b и n , где [латекс]n\ne 1 [/латекс] и [латекс]b\ne 1[/латекс],

[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} M \ text {=} \ frac {{\ mathrm {log}} _ {n} M} {{\ mathrm {log}} _ {n} b} [/latex ].

Из этого следует, что формула изменения основания может быть использована для перезаписи логарифма с любым основанием в качестве частного обычного или натурального логарифма.

[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} M = \ frac {\ mathrm {ln} M} {\ mathrm {ln} b} [/latex]

и

[latex]{\mathrm{log}}_{b}M=\frac{\mathrm{log}M}{\mathrm{log}b}[/latex]

Как: Дан логарифм form [latex]{\mathrm{log}}_{b}M[/latex], используйте формулу замены базы, чтобы переписать ее как частное логов с любым положительным основанием [latex]n[/latex], где [latex]n\ne 1[/latex]

1. Определите новую базу n , помня, что общий журнал, [latex]\mathrm{log}\left(x\right)[/latex], имеет основание 10, а натуральный логарифм [латекс]\mathrm{ln}\left(x\right)[/latex] имеет основание е .
2. Перепишите журнал как частное, используя формулу изменения основания:
   • Числитель частного будет логарифмом с основанием n  и аргументом M .
   • Знаменатель частного будет логарифмом с основанием n  и аргументом b .

Пример: преобразование логарифмических выражений в выражения, содержащие только натуральные логарифмы

Замените [латекс]{\mathrm{log}}_{5}3[/латекс] на частное натуральных логарифмов.

Показать решение

Попробуйте

Замените [латекс]{\mathrm{log}}_{0,5}8[/латекс] на частное натуральных логарифмов.

Показать решение

Вопросы и ответы

Можем ли мы заменить десятичные логарифмы на натуральные?

Да. Помните, что [латекс]\mathrm{log}9[/латекс] означает [латекс]{\текст{лог}}_{\текст{10}}\текст{9}[/латекс]. Итак, [латекс]\mathrm{log}9=\frac{\mathrm{ln}9}{\mathrm{ln}10}[/latex].

Уравнения, допускающие понижение порядка

Линейные неравенства, решение и примеры

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

133.7K

Тема линейных неравенств непростая, но без нее не получится решать сложные математические задачки. Давайте рассмотрим линейные неравенства и попробуем с ними подружиться.

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

• ax + b < 0,
• ax + b > 0,
• ax + b ≥ 0,
• ax + b ≤ 0,

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье. 

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Типы неравенств

1. Строгие — используют только больше (>) или меньше (<):

• a < b — это значит, что a меньше, чем b.
• a > b — это значит, что a больше, чем b.
• a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.

2. Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно):

• a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
• a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
• знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.

3. Другие типы:

• a ≠ b — означает, что a не равно b.
• a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
• a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
• знаки >> и << противоположны.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

1. Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.


2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.


3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.

4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d.

Если а < b и c < d, то а + c < b + d.

Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять из-за возможных исключений. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d.

Если а < b и c > d, то а – c < b – d.

Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

6. Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и 
   

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и 

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

7. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.

Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.

Следствие данного правила или квадратный пример: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

8. Если а > b, где а, b > 0, то 
   

Если а < b , то 

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Важно знать

Два неравенства можно назвать равносильными, если у них одинаковые решения.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Решение линейных неравенств

Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

• ax + b < 0,
• ax + b > 0,
• ax + b ≤ 0,
• ax + b ≥ 0,

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Для решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

Алгоритм решения ax + b < 0 при a ≠ 0

• перенесем число b в правую часть с противоположным знаком,
• получим равносильное: ax < −b;
• произведем деление обеих частей на число не равное нулю.

Когда a положительное, то знак неравенства остается без изменений, если a — отрицательное, знак меняется на противоположный.

Рассмотрим пример: 4x + 16 ≤ 0.

Как решаем: В данном случае a = 4 и b = 16, то есть коэффициент при x не равен нулю. Применим вышеописанный алгоритм.

• Перенесем слагаемое 16 в другую часть с измененным знаком: 4x ≤ −16.
• Произведем деление обеих частей на 4. Не меняем знак, так как 4 — положительное число: 4x : 4 ≤ −16 : 4 ⇒ x ≤ −4. 
• Неравенство x ≤ −4 является равносильным. То есть решением является любое действительное число, которое меньше или равно 4.

Ответ: x ≤ −4 или числовой промежуток (−∞, −4].

При решении ax + b < 0, когда а = 0, получается 0 * x + b < 0. На рассмотрение берется b < 0, после выясняется верное оно или нет.

Вернемся к определению решения неравенства. При любом значении x мы получаем числовое неравенство вида b < 0. При подстановке любого t вместо x, получаем 0 * t + b < 0 , где b < 0. Если оно верно, то для решения подойдет любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда данное уравнение не имеет решений, так как нет ни одного значения переменной, которое может привести к верному числовому равенству.

Числовое неравенство вида b < 0 (≤, > , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

• Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
• Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

Ответ: промежуток (− ∞ , + ∞).

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов заключается в следующем:

• вводим функцию y = ax + b;
• ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
• отмечаем полученные корни на координатной прямой;
• определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

Алгоритм решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

• найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

• начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
• определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

• если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если < или ≤ — над отрицательным промежутком.

Рассмотрим пример: −6x + 12 > 0.

Как решаем:

1. В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

   −6x = −12,

   x = 2.

   Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

2. Определим знаки на промежутках.

   Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

   Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным.

3. Штриховку сделаем над положительным промежутком.

   По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 2) или x < 2.

Ответ: (−∞, 2) или x < 2.

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

• во время решения ax + b < 0 определить промежуток, где график изображен ниже оси Ох;
• во время решения ax + b ≤ 0 определить промежуток, где график изображается ниже Ох или совпадает с осью;
• во время решения ax + b > 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
• во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

• Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
• Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
• Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
• Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x < −√3 : 5.

Линейные неравенства в 8 классе — это маленький кирпич, который будет заложен в целый фундамент знаний. Мы верим, что у все получится!

---

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

230. 6K

Отрицательная степень

К следующей статье

415.8K

Квадратичная функция. Построение параболы

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

§ Как решать линейные неравенства

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно «=» используют любой знак сравнения: «>», «

x − 6

Так как в неравенстве «x − 6

Важно!

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом «1».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Запомните!

При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на противоположный.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

x − 6 x x

Итак, мы получили ответ к неравенству «x

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного «x» и отметим на ней число «14».

Запомните!

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

• если неравенство строгое, то число отмечается как «пустая» точка. Это означает, что число не входит в область решения;

  ---

• если неравенство нестрогое, то число отмечается как «заполненная» точка. Это означает, что число входит в область решения.

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу «x

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство «x − 6

Возьмем, например число «12» из заштрихованной области и подставим его вместо «x» в исходное неравенство «x − 6

12 − 6          6

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Важно!

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ «x

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

2x − 16 > 0

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

2x − 16 > 0
2x > 16

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x» стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число «2».

Запомните!

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

• Если неравенство умножается (делится) на положительное число, то
  знак самого неравенства остаётся прежним.
• Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число, то
  знак самого неравенства меняется на противоположный.

Разделим «2x > 16» на «2». Так как «2» — положительное число, знак неравенства останется прежним.

          2x > 16     | (:2)
2x (:2) > 16 (:2)      
x > 8        
Ответ: x > 8

---

Рассмотрим другое неравенство.

9 − 3x ≥ 0

Используем правило переноса.

9 − 3x ≥ 0
−3x ≥ −9

Разделим неравенство на «−3». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

−3x ≥ −9
                   −3x ≥ −9      | :(−3)
−3x : (−3) ≤ −9 :(−3)
x ≤ 3
Ответ: x ≤ 3

Примеры решения линейных неравенств

• 4(x − 1) ≥ 5 + x
  4x − 4 ≥ 5 + x
  4x − x ≥ 5 + 4
         3x ≥ 9       | (:3)
  3x (:3) ≥ 9 (:3)
  x ≥ 3
  Ответ: x ≥ 3

  ---

• x + 2 x + 2 x − 3x −2x −2x −2x : (−2) > 0 : (−2)
  x > 0
  Ответ: x > 0

Решение линейных неравенств Как записать ответ неравенства

---

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Отправить

---

Решение словесных вопросов о неравенстве

(Сначала вы можете прочитать Введение в неравенства и решение неравенств).

Сэм и Алекс играют в одной футбольной команде.

В прошлую субботу Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, но вместе они забили меньше 9 голов.

Какое возможное количество голов забил Алекс?

Как их решить?

Хитрость заключается в том, чтобы разбить решение на две части:

Превратите английский в алгебру.

Затем используйте алгебру для решения.

Превращение английского языка в алгебру

Превратить английский в алгебру поможет:

• Сначала прочитайте все
• При необходимости сделайте набросок
• Назначить буквы для значений
• Найти или вычислить формулы

Мы также должны записать то, что на самом деле просят , чтобы мы знали, куда мы идем и когда мы прибыли!

 

Лучший способ изучить это на примере, поэтому давайте попробуем наш первый пример:

Сэм и Алекс играют в одной футбольной команде.

В прошлую субботу Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, но вместе они забили меньше 9 голов.

Какое возможное количество голов забил Алекс?

 

Назначить буквы:

• количество забитых Алексом голов: A
• количество забитых Сэмом голов: S

Мы знаем, что Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, поэтому: A = S + 3

И мы знаем, что вместе они забили меньше 9 голов: S + A < 9

Нас спрашивают сколько голов Алекс мог бы забить: A

 

Решите:

Начните с: S + A < 9

A = S + 3, поэтому: S + (S + 3) < 9

Упростить: 2S + 3 < 9

Вычесть 3 из обеих сторон: 2S < 9 − 4 9003 Упростите: 2S < 6

Разделите обе стороны на 2: S < 3

Сэм забил менее 3 голов, что означает, что Сэм мог забить 0, 1 или 2 гола.

Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, поэтому Алекс мог забить 3, 4 или 5 голов .

 

Проверить:

• Если S = ​​0, то A = 3 и S + A = 3, и 3 < 9 верно
• Когда S = 1, тогда A = 4 и S + A = 5, и 5 < 9 верно
• Когда S = 2, тогда A = 5 и S + A = 7, и 7 < 9 верно
• (Но когда S = 3, то A = 6 и S + A = 9, а 9 < 9 неверно)

Еще много примеров!

Пример: Из 8 щенков девочек больше, чем мальчиков.

Сколько может быть девочек-щенков?

Назначить Буквы:

• Количество девушек: г
• количество мальчиков: б

Мы знаем, что щенков 8, поэтому: g + b = 8, что можно преобразовать в

b = 8 − g

Мы также знаем, что девочек больше, чем мальчиков, поэтому:

g > b

Нас спрашивают о количестве девочек-щенков: г

Решите:

Начните с: g > b

b = 8 − g , поэтому: g > 8 − g

Добавьте g к обеим сторонам: g + g > 8

Упростите3: 20g3: 20g3: 8

Разделите обе стороны на 2: г > 4

Таким образом, может быть 5, 6, 7 или 8 девочек-щенков.

Может ли быть 8 девочек-щенков? Тогда не было бы мальчиков вообще, и вопрос не ясен на этот счет (иногда такие вопросы).

Проверка

• Если g = 8, то правильно b = 0 и g > b (но допустимо ли b = 0?)
• Когда g = 7, тогда b = 1 и g > b верно
• Когда g = 6, тогда b = 2 и g > b верно
• Когда g = 5, тогда b = 3 и g > b верно
• (Но если g = 4, то b = 4 и g > b неверно)

Быстрый пример:

Пример: Джо участвует в гонке, где он должен ездить на велосипеде и бежать.

Он проехал 25 км на велосипеде, а затем пробежал 20 км. Его средняя скорость бега составляет половину его средней скорости езды на велосипеде.

Джо завершает гонку менее чем за 2,5 часа, что мы можем сказать о его средней скорости?

Назначить буквы:

• Средняя скорость работы: с
• Таким образом, средняя скорость езды на велосипеде: 2 с

Формулы:

• Скорость = Расстояние Время
• Что можно изменить на: Время = Расстояние Скорость

Нас спрашивают его средние скорости: с и 2 с

 

Гонка делится на две части:

1.

Велоспорт

• Дистанция = 259 км
• Средняя скорость = 2 с км/ч
• Время = Расстояние Средняя скорость = 25 2 с часов

2. Бег

• Расстояние = 20 км
• Средняя скорость = с км/ч
• Время = Расстояние Средняя скорость = 20 с часов

Джо завершает гонку менее чем за 2½ часа

• Общее время < 2½
• 25 2 с + 20 с < 2½

Решите:

Начните с: 25 2s + 20 s < 2½

Умножьте все члены на 2s0033 25 + 40 < 5s

Упростить: 65 < 5s

Разделить обе части на 5: 13 < s

Поменять стороны местами: 900 39 s0 > 343 900 средняя скорость бега больше 13 км/ч, а его средняя скорость на велосипеде превышает 26 км/ч

В этом примере мы используем сразу два неравенства:

Пример: скорость

v м/с мяча, брошенного прямо вверх, равна v = 20 − 10t , где t — время в секундах.

В какие моменты времени скорость будет между 10 м/с и 15 м/с?

Буквы:

• скорость в м/с: v
• время в секундах: t

Формула:

• v = 20 − 10t

Нас спрашивают о времени t , когда v находится между 5 и 15 м/с:

10  <  v  <  15

10  <  20 − 10t  <  15

Решите:

Начните с: 10  <  20 − 10t  <  15

Вычтите 20 из каждого:

20  <  15 − 20

Упростить: −10  < −10t  <  −5

Разделить каждое на 10: −1  < −t  <  −0,5

Это аккуратнее чтобы сначала показать меньший номер
, так поменяй местами: 0,5  <  t  <  1

Таким образом, скорость составляет от 10 м/с до 15 м/с между 0,5 и 1 секундой после.

И достаточно сложный пример для завершения:

Пример: прямоугольная комната вмещает как минимум 7 столов, каждый из которых имеет площадь 1 квадратный метр.

Периметр комнаты 16 м.
Какой может быть ширина и длина комнаты?

Сделайте набросок: мы не знаем размеров столов, только их площадь, они могут подойти идеально или нет!

Назначить буквы:

• длина комнаты: L
• ширина комнаты: Ш

Формула для периметра 2(Ш + Д) , и мы знаем, что это 16 м

• 2(Ш + Д) = 16
• Ш + Д = 8
• Д = 8 — Ш

Мы также знаем, что площадь прямоугольника равна произведению ширины на длину: Площадь = Ш × Д

И площадь должна быть больше или равна 7:

• Ш × Д ≥ 7

Нас спрашивают о возможных значениях W и L

 

Решим:

Начнем с: W × L ≥ 7 3 W 0 8e =

× ( 8 — w) ≥ 7

Расширение: 8W — W ² ≥ 7

Принесите все термины в левую сторону: W ² — 8W + 7 ≤ 00034

Это квадратное. . Это можно решить многими способами, здесь мы решим это, заполнив квадрат:

Перенесите числовой член − 7 в правую часть неравенства: W ² − 8W ≤ −7

Заполните квадрат в левой части неравенства и сбалансируйте его, добавив такое же значение к в правая часть неравенства: W ² − 8W + 16 ≤ −7 + 16

Упростим: (W − 4) ² ≤ 9

Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства: −3 ≤ W − 4 ≤ ​​3

Да, у нас два неравенства, потому что 3 ² = 9 И (−3) ² = 9

Добавьте 4 к обеим частям каждого неравенства: 7 м (включительно) и длина 8−ширина .

 

Проверить:

• Допустим, W = 1, тогда L = 8−1 = 7 и A = 1 x 7 = 7 м ² (подходит ровно для 7 таблиц)
• Скажем, W = 0,9 (меньше 1), тогда L = 7,1 и A = 0,9 x 7,1 = 6,39 м ² (7 не подходит)
• Скажем, W = 1,1 (чуть выше 1), тогда L = 6,9 и A = 1,1 x 6,9 = 7,59 м ² (7 легко помещаются)
• Аналогично для ширины около 7 м

 

 

Краткое ознакомление с решением линейных неравенств

Квадратные неравенстваПолиномиальные неравенстваРациональные неравенства

Purplemath

Как решать линейные неравенства?

Решение линейных неравенств очень похоже на решение линейных уравнений в том смысле, что вы по-прежнему хотите изолировать переменную (то есть получить переменную саму по себе), и вы выполняете эту изоляцию путем сложения, вычитания, умножения и деления обеих частей неравенство теми же значениями.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.

com

Решение неравенств

Единственное отличие состоит в том, что при работе с неравенствами вы должны переворачивать (т. е. переворачивать) знак неравенства всякий раз, когда вы умножаете или делите обе части неравенства по отрицательному.

Далее приведены несколько простых примеров, которые помогут вам освежить в памяти методы и обозначения.

1) Решить x + 3 < 2

Единственная разница между линейным уравнением x  + 3 = 2, и это линейное неравенство заключается в том, что у меня есть знак «меньше» вместо знака «равно». Метод решения точно такой же: вычесть 3 с каждой стороны.

Итак, в записи неравенства решение равно x  < −1.

В интервальной записи решение записывается как (−∞, −1)

Графически (то есть на числовой прямой) решение изображается, как показано ниже:

Обратите внимание, что решение для «меньше чем , но не равно» неравенство изображается скобками (или открытой точкой) на конечной точке, что указывает на то, что конечная точка не включена в решение.

---

2) Решите 2 − x > 0

Единственная разница между линейным уравнением 2 −  x  = 0 и этим линейным неравенством заключается в том, что вместо знака «равно» используется знак «больше».

Чтобы избежать знака «минус» в переменной, я добавлю x к обеим частям неравенства.

Решение в виде неравенства «2 > x » совершенно верно, но мне удобнее иметь переменную в левой части; часто легче (мне, по крайней мере) представить, что означает решение с переменной слева. Вот почему я изменил неравенство выше, чтобы получить x  < 2. Не бойтесь переставлять элементы по своему вкусу.

В интервальных обозначениях решением являются все значения, меньшие (но не включая) 2, что записывается как (−∞, 2).

Графически решение:

---

3) Решите 4 x  + 6 ≥ 3 x  − 5

Единственная разница между линейным уравнением «4 x 9023 x + 53 = 3 6 «и это неравенство заключается в том, что вместо знака «равно» стоит знак «меньше или равно». Метод решения точно такой же.

Таким образом, решение в виде неравенства равно x  ≤ −11.

Решение в виде интервальной записи (−∞, −11]. Квадратная скобка используется здесь вместо круглой скобки, которая использовалась в предыдущих примерах, потому что это неравенство «или равно», означающее, что конечная точка (в данном случае -11) включается в решение.

Графически решение выглядит следующим образом:

---

4) Решите 2 x > 4

Метод решения здесь состоит в том, чтобы разделить обе части на положительное число два.

Таким образом, решение в виде неравенства равно x  > 2

Решение в виде интервала (2, +∞).

Графически решение выглядит следующим образом:

Поскольку я разделил обе части на положительное значение, я не перевернул символ неравенства.

---

5) Решить −2 > 4

Если бы меня попросили решить уравнение −2 = 4, я бы решил, разделив обе части на минус 2. Я решу это неравенство таким же образом. Однако, поскольку я буду делить обе части неравенства на минус, я должен не забыть перевернуть символ неравенства.

Таким образом, решение в виде неравенства равно x  < −2.

Решение с интервальной записью (−∞, −2).

Графически решение выглядит следующим образом:

---

Приведенное выше правило (5) часто кажется учащимся неразумным при первом знакомстве с ним. Но подумайте о неравенствах, используя числа вместо переменных. Вы знаете, что число четыре больше числа два:

4 > 2

Умножая обе части этого неравенства на −1, мы получаем −4 < −2, что, как показывает числовая прямая, верно:

Если бы мы не перевернули неравенство, то получили бы «−4 > −2», что явно *не* верно.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/ineqsolv.htm

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейных неравенств. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение.

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac{π}{2}\), \(-\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{2}\)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку \(\frac{π}{2}\). \(\frac{π}{2}\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки \(-\)\(\frac{π}{2}\). Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac{3π}{2}\). Для этого дробь \(\frac{3}{2}\) переведем в смешанный вид \(\frac{3}{2}\)\(=1\)\(\frac{1}{2}\), т. е. \(\frac{3π}{2}\)\(=π+\)\(\frac{π}{2}\). Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\)\(\frac{3π}{2}\).

Обозначаем числа \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\) и \(\frac{π}{6}\).
\(\frac{π}{4}\) – это половина от \(\frac{π}{2}\) (то есть, \(\frac{π}{4}\) \(=\)\(\frac{π}{2}\)\(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac{π}{4}\) – это половина четверти окружности.

                                   

\(\frac{π}{4}\) – это треть от \(π\) (иначе говоря,\(\frac{π}{3}\)\(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac{π}{3}\) – это треть от полукруга.

           

\(\frac{π}{6}\) – это половина \(\frac{π}{3}\) (ведь \(\frac{π}{6}\)\(=\)\(\frac{π}{3}\)\(:2\)) поэтому расстояние \(\frac{π}{6}\) – это половина от расстояния \(\frac{π}{3}\).

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac{π}{2}\),\(π\), \(\frac{3π}{2}\), \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

     

     

 

Обозначаем числа \(\frac{7π}{6}\), \(-\frac{4π}{3}\), \(\frac{7π}{4}\)

Обозначим на окружности точку \(\frac{7π}{6}\), для этого выполним следующие преобразования: \(\frac{7π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π + π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=π+\)\(\frac{π}{6}\). Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac{π}{6}\).

                                  

Отметим на окружности точку \(-\)\(\frac{4π}{3}\). Преобразовываем: \(-\)\(\frac{4π}{3}\)\(=-\)\(\frac{3π}{3}\)\(-\)\(\frac{π}{3}\)\(=-π-\)\(\frac{π}{3}\). Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac{π}{3}\).

                               

Нанесем точку \(\frac{7π}{4}\), для этого преобразуем \(\frac{7π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π-π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π}{4}\)\(-\)\(\frac{π}{4}\)\(=2π-\)\(\frac{π}{4}\). Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac{7π}{4}\), надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{4}\).

                     

Задание 2. Отметьте на числовой окружности точки \(-\)\(\frac{π}{6}\),\(-\)\(\frac{π}{4}\),\(-\)\(\frac{π}{3}\),\(\frac{5π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{6}\),\(\frac{11π}{6}\), \(\frac{2π}{3}\),\(-\)\(\frac{3π}{4}\).

Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac{7π}{2}\) ,\(\frac{16π}{3}\), \(-\frac{21π}{2}\), \(-\frac{29π}{6}\)

Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Еще один вывод:

Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).

Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Сейчас обозначим число \(\frac{7π}{2}\). Как обычно, преобразовываем: \(\frac{7π}{2}\)\(=\)\(\frac{6π}{2}\)\(+\)\(\frac{π}{2}\)\(=3π+\)\(\frac{π}{2}\)\(=2π+π+\)\(\frac{π}{2}\). Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac{7π}{2}\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{2}\) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим \(\frac{16π}{3}\). Вновь преобразования: \(\frac{16π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π + π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π}{3}\)\(+\)\(\frac{π}{3}\)\(=5π+\)\(\frac{π}{3}\)\(=4π+π+\)\(\frac{π}{3}\). Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{3}\) – и мы найдем место точки \(\frac{16π}{3}\).

Нанесем на окружность число \(-\)\(\frac{21π}{2}\).
\(-\)\(\frac{21π}{2}\)\(= -\)\(\frac{20π}{2}\)\(-\)\(\frac{π}{2}\)\(=-10π-\)\(\frac{π}{2}\). Значит, место \(-\)\(\frac{21π}{2}\) совпадает с местом числа \(-\)\(\frac{π}{2}\).

Обозначим \(-\)\(\frac{29π}{6}\).
\(-\)\(\frac{29π}{6}\)\(=-\)\(\frac{30π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-5π+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-4π-π+\)\(\frac{π}{6}\). Для обозначение \(-\)\(\frac{29π}{6}\), на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac{π}{6}\).

Задание 3. Отметьте на числовой окружности точки \(-8π\),\(-7π\), \(\frac{11π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{3}\),\(\frac{17π}{6}\),\(-\)\(\frac{20π}{3}\),\(-\)\(\frac{11π}{2}\).

Скачать статью

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность, то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

\((\)\(\frac{π}{2}\)\(;π)\)- вторая четверть		\((0;\)\(\frac{π}{2}\)\()\) — первая четверть
\((π;\)\(\frac{3π}{2}\)\()\) — третья четверть		\((\)\(\frac{3π}{2}\)\(;2π)\) — четвертая четверть

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций.

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Пример (ЕГЭ):

Найдите \(\sin⁡a\), если \(\cos⁡a=-0,6\) и \(π<a<\)\(\frac{3π}{2}\)		Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?  Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.
\(\sin^2⁡a+\cos^2⁡a=1\)		Подставим известное, и проведем вычисления. 2⁡a=0,64\)
\(\sin⁡a=0,8\)   или   \(\sin⁡a=-0,8\)		У нас два ответа, и оба нам подходят. Но у угла не может быть два синуса! Один лишний! А какой? Вот тут нам и поможет знание о четвертях: обратите внимание, что у нас в условии есть двойное неравенство  \(π<a<\) \(\frac{3π}{2}\), то есть угол \(a\) такой, что больше \(π\), но меньше \(\frac{3π}{2}\). Значит он лежит в третьей четверти. А в третьей четверти синус отрицателен. Поэтому верный ответ: \(-0,8\).

Ответ: \(\sin⁡a=-0,8\).

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от \(0\) до \(\frac{π}{2}\), но и углы от \(2π\) до \(\frac{5π}{2}\), и от \(4π\) до \(\frac{9π}{2}\), и от \(6π\) до \(\frac{13π}{2}\) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

\((-π;-\)\(\frac{3π}{2}\)\()\)- вторая четверть		\((-\)\(\frac{3π}{2}\)\(;-2π)\) — первая четверть
\((-\)\(\frac{π}{2}\)\(;-π)\) — третья четверть		\((0;-\)\(\frac{π}{2}\)\()\) — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Смотрите также:
Числовая окружность (шпаргалка)
Тригонометрическая таблица с кругом
Как обозначать точки на числовой окружности

геометрия — Координаты равноудаленных n точек на окружности в R?

спросил 6 лет, 6 месяцев назад

Изменено 9 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

Часть R Language Collective

мы можем использовать комплексные числа, чтобы достичь этого довольно просто, но вы должны использовать правильный синтаксис. вообще комплексные числа можно записать как ai + b (например, 3i + 2 ). Если есть только мнимая компонента, мы можем написать просто ai . Итак, воображаемый — это просто 1i .

 Nбаллов = 20
баллы = exp(2i * pi * (1:Npoints)/Npoints)
сюжет (точки)
 

Если по какой-либо причине вам необходимо перевести комплексную плоскость на декартову, вы можете извлечь действительную и мнимую составляющие, используя Re() и Im() .

 точек. Декартово = data.frame (x = Re (точки), y = Im (точки))
 

2

Вы тоже можете попробовать это (и избежать сложной арифметики), чтобы иметь точки на единичной окружности на реальной плоскости:

 n <- 50 # количество точек, которые вы хотите на единичной окружности
pts.circle <- t(sapply(1:n,function(r)c(cos(2*r*pi/n),sin(2*r*pi/n))))
график (pts.circle, col = 'красный', pch = 19, xlab = 'x', ylab = 'y')
 

 f <- функция(х){
  я <- sqrt(as.complex(-1))
  ехр(2*пи*я*х)
}
> f(0/4)
[1] 1+0i
> f(1/4)
[1] 0+1i
> f(2/4)
[1] -1+0i
> f(3/4)
[1] 0-1i
 

Сказав это, нельзя ли найти равноотстоящие точки на окружности, не прибегая к комплексным числам?

 eq_spacing <- function(n, r = 1){
  политочки <- seq(0, 2*pi, length. out=n+1)
  политочки <- политочки[-длина(многоточечные)]
  circx <- r * sin(многоточечный)
  circy <- r * cos(polypoints)
  data.frame(x=circx, y=circy)
}
eq_spacing (4)
               х у
 1 0,000000e+00 1,000000e+00
 2 1.000000e+00 6.123032e-17
 3 1.224606э-16 -1.000000э+00
 4 -1.000000e+00 -1.836910е-16
график (eq_spacing (20), asp = 1)
 

5

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

точек окружности (видео)

Большинство из нас научились рисовать окружность на уроках математики с помощью циркуля. Все, что нам нужно было знать, это место, где расположить центр круга, и меру радиуса, которую нужно установить на компасе. Затем мы удерживали циркуль в центре и вращали карандашную часть по кругу, чтобы нарисовать круг. Если бы мы нарисовали его на миллиметровой бумаге и внимательно посмотрели, мы, вероятно, смогли бы найти несколько определенных точек на нашем круге. 9{2}\)

 

Просто, правда? Но мы немного увлеклись. Вернемся к нашей проблеме. Если нам дан центр окружности и 1 другая точка, можем ли мы найти 3 другие точки на окружности?

Давайте решим реальную задачу, чтобы посмотреть, как это сделать.

Найдите не менее 3 других точек на окружности, у которых есть точка в точке \((2,6)\) и центр в точке \((-2,3)\).

Итак, наша точка будет в точке \((2,6)\). И наш центр находится в \((-2,3)\).

92\)

 

Возьмем квадратный корень с обеих сторон и получим \(r=5\).

Что теперь? Как мы можем использовать эту информацию, чтобы найти больше точек на нашем круге? Мы собираемся использовать другой вид компаса, чтобы сделать это! Давайте возьмем лист миллиметровой бумаги и нанесем на график то, что мы знаем на данный момент.

Поскольку мы знаем наш радиус, мы можем двигаться на север, юг, восток и запад от этой точки ровно на 5 единиц, чтобы найти больше точек! Перемещаться по точкам компаса на нашей миллиметровой бумаге легко, а поскольку радиус — это расстояние от центра круга до всех точек на круге, мы знаем, что окажемся на нашем круге, когда пройдем 5 единиц.

Посмотрите, сколько точек мы нашли! Пройдя на север пять единиц, мы нашли \((-2,8)\), пройдя на запад, мы нашли \((-7,3)\), пройдя на юг, мы нашли \((-2,-2)\), и пройдя восток мы нашли \((3,3)\)! 4 балла! На один больше, чем задача просила нас найти.

И это еще не все! Мы можем найти еще больше точек, если захотим, поскольку данная точка не является одной из наших 4 «компасных точек». Если мы посмотрим, насколько далеко от центра находится эта точка, мы сможем найти больше точек, которые находятся на таком же L-образном расстоянии. Здесь мы видим, что \((2,6)\) находится на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх от центра круга. Таким образом, я могу нарисовать L-формы из центра, которые перемещаются на 4 единицы влево или вправо, а затем на 3 единицы вверх и вниз, чтобы найти больше точек.

Мы нашли еще 3! На левой (или западной) стороне мы нашли \((-6,6)\) и \((-6,0)\), а ниже нашей заданной точки мы нашли \((2,0)\). Всего у нас теперь 8 точек на нашем круге, включая данную! И если мы готовы заняться более сложной математикой, мы можем найти любую из бесконечного числа точек на нашем круге. Раз уж мы в таком положении, давайте попробуем и это!

Сначала нам нужно установить наш домен, чтобы мы знали, какие \(x\)-значения мы можем выбрать. Крайнее левое значение \(x\) на нашем круге — это наша «западная» точка в точке -7. Наша самая правая точка — это наша «восточная» точка на +3. Итак, наш домен — это \(x\geq -7\) и \(x\leq 3\).

\(\text{Домен: } {{x\mid-7\leq x\leq 3}}\)

 

Таким образом, мы можем выбрать любое значение \(x\) от -7 до 3 чтобы найти соответствующие \(y\)-значения на окружности. Да, множественное число, потому что их будет 2.

Итак, давайте выберем \(x=-4\) из нашего домена. Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить это в наше уравнение для этого круга и найти \(y\).

Итак, мы используем значение \(x\) -4. И помните, наш центр находится в точке \((-2,3)\). Итак, теперь все, что мы собираемся сделать, это подставить это в наше уравнение для окружности. Так что помните, это: 9{2}=21\)

 

И мы возьмем квадратный корень из обеих частей. У нас остается:

\(y-3=+\sqrt{21}\)

 

И все, что нам нужно сделать, это добавить 3 к обеим сторонам. Итак, наши ответы:

\(y=+\sqrt{21}+3\)

 

Таким образом, наши два значения равны \(\sqrt{21}+3\) и \(-\sqrt{ 21}+3\). Если мы наносим эти точки на график, мы можем оценить их значение с помощью калькулятора, чтобы найти, что наши значения \(y\) приблизительно равны 7,58 и -1,58. Так что мы можем изобразить их тоже!

Теперь у нас на круге 10 очков! Можете ли вы найти еще? Поставьте это видео на паузу и попробуйте. Ответ для всех целых значений \(x\) появится вскоре после снятия паузы.

Вот другие точки на окружности с целыми \(x\)-значениями:

\((-5,-1)(-5,7)\)
 
\((-3,2\ sqrt{6}+3)(-3,-2\sqrt{6}+3)\)
 
\((-1,2\sqrt{6}+3)(-1,-2\sqrt{6 }+3)\)
 
\((0,\sqrt{21}+3)(0,-\sqrt{21}+3)\)
 
\((1,-1)(1,7) \)

 

Надеюсь, это видео о поиске точек на окружности было полезным. Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Длина окружности | Уравнения окружности

 

Вопрос № 1:

 
Какие из следующих наборов точек находятся на окружности с центром в \((3,6)\) и радиусом 13 единиц?

\((-8,-18)\) и \((2,6)\)

\((-3,5)\) и \((4,8)\)

\(( -2,-6)\) и \((8,18)\) 92=169\)
\(25+144=169\)
\(169=169\)

Поскольку упорядоченная пара \((8,18)\) дает истинное утверждение при подстановке ее в уравнение окружности, она удовлетворяет уравнению, поэтому она также является точкой окружности.

Скрыть ответ

Вопрос № 2:

 
Какие из следующих точек лежат на окружности с центром в \((-2,4)\) и содержат точку \((-2 ,0)\)?

\((0,4-2\sqrt{3})\) и \((0,4+2\sqrt{3})\) 92=16\)
\(4+4\cdot3=16\)
\(4+12=16\)
\(16=16\)

Так как упорядоченная пара \((0,4+2\ sqrt{3})\) дает истинное утверждение при подстановке его в уравнение окружности, оно удовлетворяет уравнению, поэтому также является точкой на окружности.

Скрыть ответ

Вопрос № 3:

 
Каковы крайняя левая и крайняя правая точки на окружности с центром в \((4,-1)\) и содержащей точку \((8 ,2)\)?

\((4,-6)\) и \((4,4)\) 92}\)
\(r=5\)

Пока \(r=\pm5\), мы используем только 5, так как радиус имеет неотрицательную длину.

На координатной плоскости мы можем использовать значение \(r\) для подсчета длины радиуса в 5 единиц по горизонтали слева и справа (или к западу и востоку) от центра круга, чтобы найти самый дальний крайний левый и правые точки соответственно.

Если считать длину радиуса в 5 единиц к западу от центра, получается самая левая точка \((-1,-1)\) на окружности. Отсчет длины радиуса в 5 единиц к востоку от центра дает самую правую точку \((9,-1)\).

При подсчете длины радиуса в 5 единиц от центра к западу и востоку всегда получаются крайняя левая и крайняя правая точки на окружности. Ниже приведены 2 дополнительные точки, которые нанесены на окружность. Хотя обе точки также находятся в 5 единицах от центра, обратите внимание, что ни крайняя левая, ни крайняя правая точки не совпадают.

Скрыть ответ

Вопрос №4:

 
Вы привязываете своего питомца веревкой к столбу, вбитому в землю. Когда веревка полностью вытянута, ваш питомец может ходить по кругу вокруг столба. Если веревка имеет длину 10 футов, а кол установлен в начале координатной плоскости, какие из следующих точек находятся на пути, по которому идет ваш питомец? 92=100\)
\(36+64=100\)
\(100=100\)

Поскольку упорядоченная пара \((6,8)\) дает истинное утверждение при подстановке ее в уравнение окружности, она удовлетворяет уравнению, поэтому она также является точкой окружности.

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

 
Концы спиц велосипедной шины крепятся к центру ступицы шины и ее ободу. Шина содержит 20 спиц. Если центр ступицы находится в начале координатной плоскости, а конец одной из ее спиц находится в точке \((6,-2)\) на координатной плоскости, в каком наборе точек могут быть концы двух из остальные 19спицы лежат?

\((-4,10)\) и \((2,20)\)

\((0,40)\) и \((40,0)\)

\(( -2,6)\) и \((5,\sqrt{15})\)

\((2,10)\) и \((4,-2\sqrt{10})\)

Показать Ответ

Ответ:

Поскольку центр ступицы велосипеда находится в начале координат плоскости, это точка с координатами \((0,0)\). Мы можем использовать начало координат и заданную точку на окружности, чтобы найти ее радиус.

Уравнение окружности в стандартной форме имеет вид \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), где \((h,k)\) - центр окружности, а \ (r\) — радиус окружности.

методы, примеры нахождения и определения

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Таблица тангенсов, полная таблица значений тангенсов для студентов

Содержание:

• Таблица тангенсов 0° — 180°
• Таблица тангенсов 180° — 360°

Тангенс — равен отношению синуса к косинусу (tg(x) = Sin(x)/Cos(x)), тоесть таблицу тангенсов можно получить просто поделив значения из таблицы синусов на значения из таблицы косинусов. Таблица тангенсов применяется не часто, но так как из всех таблиц тригонометрических функций значения таблицы тангенсов получить сложнее всего, то эти значения как минимум надо иметь по близости. Для лучшего понимания тригонометрии советуем изучить тригонометрические формулы. Пользуйтесь таблицей тангенсов на здоровье.

Таблица тангенсов 0° — 180°

tg(1°) 0.0175 tg(2°) 0.0349 tg(3°) 0.0524 tg(4°) 0.0699 tg(5°) 0. 0875 tg(6°) 0.1051 tg(7°) 0.1228 tg(8°) 0.1405 tg(9°) 0.1584 tg(10°) 0.1763 tg(11°) 0.1944 tg(12°) 0.2126 tg(13°) 0.2309 tg(14°) 0.2493 tg(15°) 0.2679 tg(16°) 0.2867 tg(17°) 0.3057 tg(18°) 0.3249 tg(19°) 0.3443 tg(20°) 0.364 tg(21°) 0.3839 tg(22°) 0.404 tg(23°) 0.4245 tg(24°) 0.4452 tg(25°) 0.4663 tg(26°) 0.4877 tg(27°) 0.5095 tg(28°) 0.5317 tg(29°) 0. 5543 tg(30°) 0.5774 tg(31°) 0.6009 tg(32°) 0.6249 tg(33°) 0.6494 tg(34°) 0.6745 tg(35°) 0.7002 tg(36°) 0.7265 tg(37°) 0.7536 tg(38°) 0.7813 tg(39°) 0.8098 tg(40°) 0.8391 tg(41°) 0.8693 tg(42°) 0.9004 tg(43°) 0.9325 tg(44°) 0.9657 tg(45°) 1 tg(46°) 1.0355 tg(47°) 1.0724 tg(48°) 1.1106 tg(49°) 1.1504 tg(50°) 1.1918 tg(51°) 1.2349 tg(52°) 1.2799 tg(53°) 1. 327 tg(54°) 1.3764 tg(55°) 1.4281 tg(56°) 1.4826 tg(57°) 1.5399 tg(58°) 1.6003 tg(59°) 1.6643 tg(60°) 1.7321

tg(61°) 1.804 tg(62°) 1.8807 tg(63°) 1.9626 tg(64°) 2.0503 tg(65°) 2.1445 tg(66°) 2.246 tg(67°) 2.3559 tg(68°) 2.4751 tg(69°) 2.6051 tg(70°) 2.7475 tg(71°) 2.9042 tg(72°) 3.0777 tg(73°) 3.2709 tg(74°) 3.4874 tg(75°) 3.7321 tg(76°) 4.0108 tg(77°) 4. 3315 tg(78°) 4.7046 tg(79°) 5.1446 tg(80°) 5.6713 tg(81°) 6.3138 tg(82°) 7.1154 tg(83°) 8.1443 tg(84°) 9.5144 tg(85°) 11.4301 tg(86°) 14.3007 tg(87°) 19.0811 tg(88°) 28.6363 tg(89°) 57.29 tg(90°) ∞ tg(91°) -57.29 tg(92°) -28.6363 tg(93°) -19.0811 tg(94°) -14.3007 tg(95°) -11.4301 tg(96°) -9.5144 tg(97°) -8.1443 tg(98°) -7.1154 tg(99°) -6.3138 tg(100°) -5.6713 tg(101°) -5. 1446 tg(102°) -4.7046 tg(103°) -4.3315 tg(104°) -4.0108 tg(105°) -3.7321 tg(106°) -3.4874 tg(107°) -3.2709 tg(108°) -3.0777 tg(109°) -2.9042 tg(110°) -2.7475 tg(111°) -2.6051 tg(112°) -2.4751 tg(113°) -2.3559 tg(114°) -2.246 tg(115°) -2.1445 tg(116°) -2.0503 tg(117°) -1.9626 tg(118°) -1.8807 tg(119°) -1.804 tg(120°) -1.7321

tg(121°) -1.6643 tg(122°) -1.6003 tg(123°) -1. 5399 tg(124°) -1.4826 tg(125°) -1.4281 tg(126°) -1.3764 tg(127°) -1.327 tg(128°) -1.2799 tg(129°) -1.2349 tg(130°) -1.1918 tg(131°) -1.1504 tg(132°) -1.1106 tg(133°) -1.0724 tg(134°) -1.0355 tg(135°) -1 tg(136°) -0.9657 tg(137°) -0.9325 tg(138°) -0.9004 tg(139°) -0.8693 tg(140°) -0.8391 tg(141°) -0.8098 tg(142°) -0.7813 tg(143°) -0.7536 tg(144°) -0.7265 tg(145°) -0.7002 tg(146°) -0. 6745 tg(147°) -0.6494 tg(148°) -0.6249 tg(149°) -0.6009 tg(150°) -0.5774 tg(151°) -0.5543 tg(152°) -0.5317 tg(153°) -0.5095 tg(154°) -0.4877 tg(155°) -0.4663 tg(156°) -0.4452 tg(157°) -0.4245 tg(158°) -0.404 tg(159°) -0.3839 tg(160°) -0.364 tg(161°) -0.3443 tg(162°) -0.3249 tg(163°) -0.3057 tg(164°) -0.2867 tg(165°) -0.2679 tg(166°) -0.2493 tg(167°) -0.2309 tg(168°) -0.2126 tg(169°) -0. 1944 tg(170°) -0.1763 tg(171°) -0.1584 tg(172°) -0.1405 tg(173°) -0.1228 tg(174°) -0.1051 tg(175°) -0.0875 tg(176°) -0.0699 tg(177°) -0.0524 tg(178°) -0.0349 tg(179°) -0.0175 tg(180°) -0

Таблица тангенсов 180° — 360°

tg(181°) 0.0175 tg(182°) 0.0349 tg(183°) 0.0524 tg(184°) 0.0699 tg(185°) 0.0875 tg(186°) 0.1051 tg(187°) 0.1228 tg(188°) 0.1405 tg(189°) 0.1584 tg(190°) 0. 1763 tg(191°) 0.1944 tg(192°) 0.2126 tg(193°) 0.2309 tg(194°) 0.2493 tg(195°) 0.2679 tg(196°) 0.2867 tg(197°) 0.3057 tg(198°) 0.3249 tg(199°) 0.3443 tg(200°) 0.364 tg(201°) 0.3839 tg(202°) 0.404 tg(203°) 0.4245 tg(204°) 0.4452 tg(205°) 0.4663 tg(206°) 0.4877 tg(207°) 0.5095 tg(208°) 0.5317 tg(209°) 0.5543 tg(210°) 0.5774 tg(211°) 0.6009 tg(212°) 0.6249 tg(213°) 0.6494 tg(214°) 0. 6745 tg(215°) 0.7002 tg(216°) 0.7265 tg(217°) 0.7536 tg(218°) 0.7813 tg(219°) 0.8098 tg(220°) 0.8391 tg(221°) 0.8693 tg(222°) 0.9004 tg(223°) 0.9325 tg(224°) 0.9657 tg(225°) 1 tg(226°) 1.0355 tg(227°) 1.0724 tg(228°) 1.1106 tg(229°) 1.1504 tg(230°) 1.1918 tg(231°) 1.2349 tg(232°) 1.2799 tg(233°) 1.327 tg(234°) 1.3764 tg(235°) 1.4281 tg(236°) 1.4826 tg(237°) 1.5399 tg(238°) 1. 6003 tg(239°) 1.6643 tg(240°) 1.7321

tg(241°) 1.804 tg(242°) 1.8807 tg(243°) 1.9626 tg(244°) 2.0503 tg(245°) 2.1445 tg(246°) 2.246 tg(247°) 2.3559 tg(248°) 2.4751 tg(249°) 2.6051 tg(250°) 2.7475 tg(251°) 2.9042 tg(252°) 3.0777 tg(253°) 3.2709 tg(254°) 3.4874 tg(255°) 3.7321 tg(256°) 4.0108 tg(257°) 4.3315 tg(258°) 4.7046 tg(259°) 5.1446 tg(260°) 5.6713 tg(261°) 6. 3138 tg(262°) 7.1154 tg(263°) 8.1443 tg(264°) 9.5144 tg(265°) 11.4301 tg(266°) 14.3007 tg(267°) 19.0811 tg(268°) 28.6363 tg(269°) 57.29 tg(270°) — ∞ tg(271°) -57.29 tg(272°) -28.6363 tg(273°) -19.0811 tg(274°) -14.3007 tg(275°) -11.4301 tg(276°) -9.5144 tg(277°) -8.1443 tg(278°) -7.1154 tg(279°) -6.3138 tg(280°) -5.6713 tg(281°) -5.1446 tg(282°) -4.7046 tg(283°) -4.3315 tg(284°) -4. 0108 tg(285°) -3.7321 tg(286°) -3.4874 tg(287°) -3.2709 tg(288°) -3.0777 tg(289°) -2.9042 tg(290°) -2.7475 tg(291°) -2.6051 tg(292°) -2.4751 tg(293°) -2.3559 tg(294°) -2.246 tg(295°) -2.1445 tg(296°) -2.0503 tg(297°) -1.9626 tg(298°) -1.8807 tg(299°) -1.804 tg(300°) -1.7321

tg(301°) -1.6643 tg(302°) -1.6003 tg(303°) -1.5399 tg(304°) -1.4826 tg(305°) -1.4281 tg(306°) -1. 3764 tg(307°) -1.327 tg(308°) -1.2799 tg(309°) -1.2349 tg(310°) -1.1918 tg(311°) -1.1504 tg(312°) -1.1106 tg(313°) -1.0724 tg(314°) -1.0355 tg(315°) -1 tg(316°) -0.9657 tg(317°) -0.9325 tg(318°) -0.9004 tg(319°) -0.8693 tg(320°) -0.8391 tg(321°) -0.8098 tg(322°) -0.7813 tg(323°) -0.7536 tg(324°) -0.7265 tg(325°) -0.7002 tg(326°) -0.6745 tg(327°) -0.6494 tg(328°) -0.6249 tg(329°) -0. 6009 tg(330°) -0.5774 tg(331°) -0.5543 tg(332°) -0.5317 tg(333°) -0.5095 tg(334°) -0.4877 tg(335°) -0.4663 tg(336°) -0.4452 tg(337°) -0.4245 tg(338°) -0.404 tg(339°) -0.3839 tg(340°) -0.364 tg(341°) -0.3443 tg(342°) -0.3249 tg(343°) -0.3057 tg(344°) -0.2867 tg(345°) -0.2679 tg(346°) -0.2493 tg(347°) -0.2309 tg(348°) -0.2126 tg(349°) -0.1944 tg(350°) -0.1763 tg(351°) -0.1584 tg(352°) -0. 1405 tg(353°) -0.1228 tg(354°) -0.1051 tg(355°) -0.0875 tg(356°) -0.0699 tg(357°) -0.0524 tg(358°) -0.0349 tg(359°) -0.0175 tg(360°) -0

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Тангенс и котангенс

Главная / i / t

Тангенс

Такие тригонометрические функции как тангенс и котангенс используется реже чем синус и косинус, но понимать, что они из себя представляют все же необходимо. Точное школьное определение гласит:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

Легче это будет понять на примере. Попробуем приблизительно вычислить тангенс 30-ти градусов. Для этого нам нужно начерить прямоугольный треугольник (т.е. такой треугольник, в котором один угол будет 90°), пусть прямым углом будет угол C. В нашем треугольнике АВС угол А=30°, сторона ВС=5,8 см (катет противолежащий углу А), а сторона АС=10 см (катет прилежащий углу А).

Тангенс угла А получится, если длину стороны, противолежащей углу А, разделить на длину стороны, прилежащей углу А. То есть, если 5,8 разделить на 10. После деления 5,8 на 10, получим 0.58, приблизительно это число и есть тангенс угла 30°. Таким образом tg 30° ≈ 0,58. Разумеется, так тангенс никто не считает, но подобныое объяснение очень наглядно. Точное значение tg 30° таким способом определить не удастся, потому что невозможно абсолютно точно измерить катеты или начертить идеально правильный прямоугольный треугольник. На самом деле точные значения тангенса углов 30°, 45°, 60° придется просто запомнить, а тангенсы других углов от 0° до 90° для решения школьных задачь просто никогда не понадобятся. Таблица с точными значениями тангенса и котангенса этих углов будет дана ниже.

Найдем tg 45° сначала через прямоугольный треугольник, а затем проверим полученный результат на калькуляторе. Начертим прямоугольный треугольник с углом 45°,измерим в нем катеты и разделим длину катета BC, противолежащего углу 45° на длину катета AC, прилежащего углу 45°, т.е. разделим 10 на 10 — получим 1, значит tg 45°=1.

Более точное (но все же обычно только приближенное) значение тангенса можно найти с помощью калькулятора. Посмотрим согласится ли с нами калькулятор.

В этот раз нам удалось абсолютно точно определить tg 45° и калькулятор также выдал абсолютно правильное значение tg 45°. Посмотрим удастся ли это нам и калькулятору в следующий раз.

Таким же способом определим tg 60° сначала с помощью прямоугольного треугольника.

Результаты наших вычислений и калькулятора близки, но не точны, на самом деле абсолютно точное значение tg 60° равно (квадратному корню из трех), это число невозможно написать абсолютно точно, потому что цифры после запятой в этом числе будут идти до бесконечности.

Можно только приближаться точному результату, добавляя цифры, но это все равно будет приближенное (хоть и очень похожее на истинное) значение tg 60°

Котангенс

Котангенс не меньше похож на тангенс, чем синус на косинус, между ними тоже наблюдается некая симетрия:

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему

Котангенс отличается от тангенса тем, что делить надо наоборот — прилежащую углу А сторону AC на противолежащую BC. Получается, что, например, котангенс 30° равен 17,3 деленому на 10, и таким образом котангенс 30° будет приблизительно равен 1,73.

Пример приближенного определения котангенса 45° изображен на следующем рисунке.

Должно быть совершенно очевидно, что tg 45° и сtg 45° оба равны единице, т.к. если противолежащий катет при делении на прилежащий равен единице, то и прилежащий катет при делении на противолежащий будет равен единице.

Котангенс на столько похож на тангенс, что его даже никогда нет на калькуляторе. Чтобы вычислить ctg 45° на калькуляторе надо единицу разделить на tg 45°.

Аналогичным способом приближенно вычисляем ctg 60°.

Все нужные точные значения тангенса и котангенса, которые надо знать, заключим в таблицу.

Этого достаточно, чтобы понять, что представляет из себя значение этих четырех тригонометрических функций для углов меньших 90°. В 10-11 классах понадобится умение быстро определять эти значения и для углов больше 90°, и для углов меньше нуля, да и измерять углы уже будут не в удобных градусах, а в радианах. Есть простой способ научиться этому, если, конечно, нет желания зубрить эту таблицу и еще очень многое другое.

Температура стеклования (Tg) пластмасс

1. Что такое температура стеклования (Tg)?
2. В каких единицах измеряется температура стеклования?
3. Полимеры какого типа подвергаются стеклованию?
4. Каковы примеры полимеров с высокой или низкой Tg?
5. В чем разница между Tg и Tm?
6. Почему важно определять Tg полимеров?
7. Какие факторы влияют на Tg?
8. Какими методами можно определить Tg?
9. Каковы значения стеклования некоторых пластиков?

Что такое температура стеклования (Tg)?

Температура стеклования (Tg) относится к аморфным полимерам. При этой температуре полимеры переходят из стеклообразного состояния в каучукоподобное. Tg является важной характеристикой поведения полимера. Он знаменует собой область резкого изменения физико-механических свойств.

• Ниже Tg : Из-за отсутствия подвижности полимеры твердые и хрупкие, как стекло.
• Выше Tg : Из-за некоторой подвижности полимеры мягкие и гибкие, как резина.

Кривая температуры стеклования, показывающая переход полимера

Каковы единицы измерения температуры стеклования?

Единицы температуры стеклования:

• Градусы Цельсия (°C)
• градуса по Фаренгейту (°F)
• Кельвин (К)

Величина зависит от подвижности полимерной цепи. Tg для большинства синтетических полимеров составляет от 170 до 500 К.

Полимеры какого типа подвергаются стеклованию?

Полимеры состоят из длинных цепочек молекул. Tg зависит от химической структуры полимера, определяемой его кристалличностью. Они могут быть аморфными, кристаллическими или полукристаллическими.

Аморфные полимеры

Аморфные полимеры имеют случайную молекулярную структуру. При Tg они приобретают свойства стеклообразного состояния, такие как хрупкость, жесткость и жесткость (при охлаждении). Они имеют более низкую Tg, чем полукристаллические полимеры. Это связано с тем, что их полимерные цепи физически запутаны и имеют промежутки между ними или на концах цепи. Это пространство известно как свободный объем, который помогает полимерным цепям двигаться при низких температурах. Чем выше свободный объем, тем ниже температура стеклования.

У них нет резкой температуры плавления. При повышении температуры аморфный материал размягчается. Эти материалы более чувствительны к разрушению под напряжением из-за присутствия углеводородов. Примерами аморфных полимеров являются ПК, ПММА, ПВХ, АБС и GPPS.

Кристаллические полимеры

Кристаллические полимеры имеют высокоупорядоченную молекулярную структуру. Они не размягчаются при повышении температуры, а имеют определенную и узкую точку плавления (Tm). Эта температура плавления обычно выше верхнего диапазона аморфных термопластов. Примеры кристаллических полимеров включают полиолефины, PEEK, PET, POM и т. д.

Полукристаллические полимеры

Полукристаллические полимеры имеют комбинацию случайной и упорядоченной структур. Эти упорядоченные структуры представляют собой кристаллы, которые ограничивают движение полимерных цепей, что приводит к более высокой Tg.

Примечание: Tg является свойством аморфных полимеров и аморфной части полукристаллического твердого вещества.

Каковы примеры полимеров с высокой или низкой Tg?

Полимеры с высокой Tg

Некоторые полимеры используются ниже их Tg (в стеклообразном состоянии), например:

• Полистирол
• Поли(метилметакрилат)

Эти полимеры твердые и хрупкие. Их Tg выше комнатной температуры. Узнайте больше о температуре хрупкого перехода »

Полимеры с низкой Tg

Некоторые полимеры используются выше их Tg (в каучукоподобном состоянии), например, каучуковые эластомеры, такие как:

• Полиизопрен
• Полиизобутилен

Они мягкие и гибкие по своей природе. Их Tg меньше, чем при комнатной температуре.

В чем разница между Tg и Tm?

На молекулярном уровне цепи в аморфных областях полимера получают достаточную тепловую энергию, чтобы начать скользить относительно друг друга с заметной скоростью. Температура, при которой происходит все движение цепи, называется точкой плавления. Это больше, чем Tg.

• Стеклование — это свойство аморфной области, а плавление — свойство кристаллической области.
• Ниже Tg существует неупорядоченное аморфное твердое тело, в котором цепное движение заморожено, а молекулы начинают колебаться выше Tg. Чем более неподвижна цепь, тем выше значение Tg.
• В то время как ниже Tm это упорядоченное кристаллическое твердое тело, которое становится неупорядоченным расплавом выше Tm.

Рабочая температура полимеров определяется температурами перехода.

График зависимости нагрева от температуры для кристаллического полимера (L) и аморфного полимера (R)
(Источник: PSLC)

Почему важно определять Tg полимеров?

Температура стеклования является важным свойством, используемым для изменения физических свойств полимеров.

• Повышение Tg улучшает характер обработки, растворимость и воспроизводимость при растворении твердых веществ.
• Изменения физических свойств, таких как твердость и эластичность.
• Изменения объема, относительное удлинение до разрыва и модуль Юнга твердых тел.
• Используется для контроля качества, исследований и разработок.

Какие факторы влияют на Tg?

Химическая структура

Молекулярная масса	В полимерах с прямой цепью увеличение молекулярной массы снижает концентрацию на концах цепи. Это приводит к уменьшению свободного объема в области концевой группы и увеличению Tg.
Молекулярная структура	Введение громоздкой негибкой боковой группы увеличивает Tg материала из-за снижения подвижности.
Химическая сшивка	Увеличение сшивания снижает подвижность полимера. Это приводит к уменьшению свободного объема и увеличению Tg.
Полярные группы	Присутствие полярных групп увеличивает межмолекулярные силы, межцепочечное притяжение и сцепление. Это приводит к уменьшению свободного объема, что приводит к увеличению Tg.

Добавление пластификаторов

Пластификаторы увеличивают свободный объем между полимерными цепями, раздвигая их. Полимерные цепи скользят относительно друг друга при более низких температурах, что приводит к снижению Tg.

Содержание воды или влаги

Увеличение содержания влаги приводит к образованию водородных связей между полимерными цепями. Эти связи увеличивают расстояние между цепными структурами. Это приводит к увеличению свободного объема и снижению Tg.

Влияние энтропии и энтальпии

Значение энтропии высокое для аморфного материала и низкое для кристаллического материала. Если энтропия высока, то Tg также высока.

Давление и свободный объем

Увеличение давления окружающей среды приводит к уменьшению свободного объема и, в конечном итоге, к повышению Tg.

Другие факторы, влияющие на Tg

Другие факторы оказывают значительное влияние на температуру стеклования полимеров. К ним относятся:

• Ответвления,
• Длина алкильной цепи,
• Связь взаимодействия,
• Гибкость полимерной цепи,
• Толщина пленки и т. д.

Какие существуют методы определения Tg?

ДСК, ДТА и ДМА на сегодняшний день являются наиболее распространенными методами, используемыми для измерения температуры стеклования.

Дифференциальная сканирующая калориметрия (ДСК)

Дифференциальная сканирующая калориметрия (ДСК) представляет собой термоаналитический метод с использованием дифференциального сканирующего калориметра. Он отслеживает разницу теплового потока между образцом и эталоном в зависимости от времени или температуры. Он также программирует изменение температуры образца в заданной атмосфере.

ДСК определяет термические свойства полимера. Это относится к аморфным участкам полимеров, которые являются стабильными. Эти материалы не подвергаются разложению или сублимации в области стеклования.

Измерение температуры стеклования различных полимеров с помощью ДСК
(Источник: Mettler-Toledo Analytical)

Стандарты испытаний, используемые для определения температуры стеклования смол с помощью ДСК, включают:

• ASTM E1356-08 (2014) — Стандартный метод испытаний для определения температуры стеклования с помощью дифференциальной сканирующей калориметрии
• ASTM D3418-15 – Стандартный метод определения температуры перехода, энтальпии плавления и кристаллизации полимеров методом дифференциальной сканирующей калориметрии
• ASTM D6604-00(2017) – Стандартная практика определения температуры стеклования углеводородных смол методом дифференциальной сканирующей калориметрии
• ISO 11357-1:2016 – Пластмассы. Дифференциальная сканирующая калориметрия (ДСК)
• Часть 1 : Общие принципы
• Часть 2 : Определение температуры стеклования и высоты ступеньки

Дифференциальный термический анализ (ДТА)

Дифференциальный термический анализ (ДТА) — популярный метод термического анализа. Он часто используется для измерения Tg материала. Этот метод тестирования аналогичен дифференциальной сканирующей калориметрии (ДСК). В методике используется инертный эталонный материал.

• Исследуемый материал в ДТА подвергается различным циклам нагрева и охлаждения (термическим).
• Определяет разницу температур между эталоном и образцом. Он поддерживает одинаковую температуру на протяжении всех циклов нагрева для эталона и образца. Это гарантирует, что среда тестирования является единообразной.

Принципы измерения DTA (Источник: Hitachi High-Tech Corporation)
, где на графике (a) показано изменение температуры печи, эталона и образца в зависимости от времени
График (b) показывает разницу температур (ΔT) в зависимости от времени, определенную с помощью дифференциальной термопары

Стандарты испытаний, используемые для определения температуры стеклования смол с помощью ДТА, включают:

• ASTM E794-06(2018) – Стандартный метод определения температуры плавления и кристаллизации с помощью термического анализа

Динамический механический анализ (DMA)

Динамический механический анализ (DMA) использует динамический механический анализатор для измерения жесткости материалов в зависимости от температуры, влажности, среды растворения или частоты.

Типовой график анализа методом прямого доступа к памяти

В этом методе к образцу прикладывается механическое напряжение, и результирующая деформация измеряется прибором. Эти параметры используются для оценки стеклования, степени кристалличности и жесткости образца.

Стандарты испытаний, используемые для определения температуры стеклования смол с помощью DMA, включают:

• ASTM E1640-13 – Стандартный метод испытаний для определения температуры стеклования с помощью динамического механического анализа

Несколько других методов определения Tg включают:

• Измерение удельной теплоемкости
• Термомеханический анализ
• Измерение теплового расширения
• Измерение микротеплообмена
• Изотермическая сжимаемость
• Определение теплоемкости

Вдохновитесь: узнайте, как объединять данные нескольких инструментов ДСК, ТГА, ДМА, ИК-Фурье для оптимального анализа материалов

Каковы значения температуры стеклования некоторых пластиков?

Нажмите, чтобы найти полимер, который вы ищете:
A-C     | Э-М     | ПА-ПК     | ПЭ-ПЛ     | ПМ-ПП     | PS-X

Название полимера	Минимальное значение (°C)	Максимальное значение (°C)
АБС-акрилонитрил-бутадиен-стирол	90,0	102. 0
Огнестойкий АБС-пластик	105,0	115,0
Высокотемпературный АБС-пластик	105.0	115,0
Ударопрочный АБС-пластик	95,0	110,0
Аморфный TPI, среднетемпературный, прозрачный	247,0	247,0
Аморфный TPI, среднетемпературный, прозрачный (одобрен для контакта с пищевыми продуктами)	247,0	247,0
Аморфный TPI, среднетемпературный, прозрачный (класс выпуска для пресс-форм)	247,0	247,0
Аморфный ТПИ, среднетемпературный, прозрачный (порошок)	247,0	247,0
CA — Ацетат целлюлозы	100,0	130,0
CAB — Бутират ацетата целлюлозы	80,0	120,0
Перламутровые пленки на основе диацетата целлюлозы	120,0	120,0
Глянцевая пленка на основе диацетата целлюлозы	120,0	120,0
Пленки Integuard на основе диацетата целлюлозы	113. 0	113.0
Матовая пленка из диацетата целлюлозы	120,0	120,0
Пленка из диацетата целлюлозы для окон (пищевая)	120,0	120,0
Металлизированная пленка диацетат целлюлозы-Clareflect	120,0	120,0
Пленки, окрашенные диацетатом целлюлозы	120,0	120,0
Огнезащитная пленка из диацетата целлюлозы	162,0	162,0
Высокоскользящая пленка из диацетата целлюлозы	120,0	120,0
Пленки из диацетата целлюлозы и полутона	120,0	120,0
CP — пропионат целлюлозы	80,0	120,0
COC — Циклический олефиновый сополимер	136,0	180,0
ХПВХ — хлорированный поливинилхлорид	100,0	110,0
EVOH — этиленвиниловый спирт	15,0	70,0
HDPE — полиэтилен высокой плотности	-110,0	-110,0
HIPS — ударопрочный полистирол	88. 0	92.0
Огнестойкий материал HIPS V0	90,0	90,0
LCP Армированный стекловолокном	120,0	120,0
LCP С минеральным наполнением	120,0	120,0
LDPE – полиэтилен низкой плотности	-110,0	-110,0
LLDPE — линейный полиэтилен низкой плотности	-110,0	-110,0
PA 11 — (Полиамид 11) 30% армированный стекловолокном	35,0	45,0
PA 11, токопроводящий	35,0	45,0
PA 11, гибкий	35,0	45,0
Полиамид 11, жесткий	35,0	45,0
PA 12 (полиамид 12), токопроводящий	35,0	45,0
PA 12, армированный волокном	35,0	45,0
PA 12, гибкий	35,0	45,0
PA 12, стеклонаполненный	35,0	45,0
Полиамид 12, жесткий	35,0	45,0
PA 46, 30 % стекловолокно	75,0	77,0
ПА 6 — Полиамид 6	60,0	60,0
ПА 66 — Полиамид 6-6	55,0	58. 0
PA 66, 30% стекловолокно	50,0	60,0
PA 66, 30% минеральный наполнитель	50,0	60,0
PA 66, ударопрочный, 15-30% стекловолокна	50,0	60,0
Полуароматический полиамид	115,0	170,0
ПАИ — полиамид-имид	275,0	275,0
PAI, 30% стекловолокно	275,0	275,0
PAI, низкое трение	275,0	275,0
ПАР — Полиарилат	190,0	190,0
ПБТ – полибутилентерефталат	55,0	65,0
ПК (поликарбонат) 20-40% стекловолокна	150,0	150,0
ПК (поликарбонат) 20-40% стекловолокно огнестойкое	150,0	150,0
Поликарбонат, высокотемпературный	160,0	200,0
ПКЛ — поликапролактон	-60,0	-60,0
ПЭ – полиэтилен 30% стекловолокна	-110,0	-110,0
PEEK — полиэфирэфиркетон	140,0	145,0
PEEK 30% Армированный углеродным волокном	140,0	143,0
PEEK 30% Армированный стекловолокном	143,0	143,0
ПЭИ, наполненный минералами	215. 0	215.0
ПЭИ, 30% армированный стекловолокном	215.0	215.0
ПЭИ, наполненный минералами	215.0	215.0
ПЭСУ — Полиэфирсульфон	210.0	230,0
PESU 10-30% стекловолокно	210.0	230,0
ПЭТ – полиэтилентерефталат	73,0	78.0
ПЭТ, 30% армированный стекловолокном	56.0	56.0
PETG – полиэтилентерефталатгликоль	79.0	80,0
ПФА — перфторалкокси	90,0	90,0
PGA — Полигликолиды	35,0	40,0
PHB-V (5% валерат) — поли(гидроксибутират-ковалерат)	3.0	5.0
ПИ — Полиимид	250,0	340,0
PLA, прядение из расплава волокна	55,0	65,0
PLA, термосвариваемый слой	52. 0	58.0
ПЛА, Литье под давлением	55,0	60,0
ПЛА, спанбонд	55,0	60,0
PLA, бутылки, формованные выдуванием	50,0	60,0
ПММА — полиметилметакрилат/акрил	90,0	110,0
ПММА (акрил) Высокотемпературный	100,0	168,0
ПММА (акрил), ударопрочный	90,0	110,0
ПМП — Полиметилпентен	20,0	30,0
PMP 30% армированный стекловолокном	20,0	30,0
Минеральный наполнитель PMP	20,0	30,0
ПОМ ​​- полиоксиметилен (ацеталь)	-60,0	-50,0
ПП — полипропилен 10-20% стекловолокна	-20,0	-10,0
ПП, 10-40% минерального наполнителя	-20,0	-10,0
ПП, наполнитель 10-40% талька	-20,0	-10,0
ПП, 30-40% армированный стекловолокном	-20,0	-10,0
ПП (полипропилен) сополимер	-20,0	-20,0
ПП (полипропилен) гомополимер	-10,0	-10,0
ПП, ударопрочный	-20,0	-20,0
СИЗ — полифениленовый эфир	100,0	210. 0
Средства индивидуальной защиты, 30% армированные стекловолокном	100,0	150,0
СИЗ, ударопрочные	130,0	150,0
СИЗ с минеральным наполнителем	100,0	150,0
ПФС — Полифениленсульфид	88.0	93,0
ППС, 20-30% армированный стекловолокном	88.0	93,0
ППС, 40% армированный стекловолокном	88.0	93,0
PPS, проводящий	88.0	93,0
ПФС, стекловолокно и минеральный наполнитель	88.0	93,0
PPSU — полифениленсульфон	220,0	220,0
PS (полистирол) 30% стекловолокно	90,0	120,0
PS (полистирол) Кристалл	90,0	90,0
PS, высокотемпературный	90,0	90,0
Блок питания — полисульфон	187,0	190,0
Блок питания, 30% армированный стекловолокном	187,0	190,0
Блок питания с минеральным наполнением	187,0	190,0
ПВХ (поливинилхлорид), 20% армированный стекловолокном	60,0	100,0
ПВХ, пластифицированный	-50,0	-5,0
ПВХ, пластифицированный с наполнителем	-50,0	-5,0
Жесткий ПВХ	60,0	100,0
ПВДХ – поливинилиденхлорид	-15,0	-15,0
ПВДФ – поливинилиденфторид	-42,0	-25,0
САН – Стирол-акрилонитрил	100,0	115,0
SAN, 20% армированный стекловолокном	100,0	115,0
SMA – стирол малеиновый ангидрид	110,0	115,0
SMA, 20% армированный стекловолокном	110,0	115,0
SMA, огнестойкий V0	110,0	115,0
SRP — Самоармирующийся полифенилен	150,0	168,0

Что такое температура стеклования?

Что означает температура стеклования (Tg)?

Температура стеклования ( Tg ) – это температура, при которой полимер превращается из пластичного материала в твердый, хрупкий материал. Это температура, при которой углеродные цепи начинают двигаться. На этом этапе аморфная область испытывает переход от жесткого состояния к гибкому состоянию с изменением температуры на границе твердого состояния на более вязкоупругое (резинообразное). При этой температуре свободный объем, или зазор между молекулярными цепями, увеличивается в 2,5 раза.

Вязкоупругие свойства полукристаллического полимера обеспечивают гибкость, как в случае с упаковочными материалами.

Температура стеклования — это свойство аморфной части полукристаллического материала. В точке, где температура окружающей среды ниже T _g , молекулы аморфных материалов остаются замороженными на месте и ведут себя как твердое стекло. Пластмассовые материалы имеют более низкую T _g , хотя пластмассы с жесткой молекулярной структурой показывают более высокую Т _г .

Каждый полимер с аморфной структурой имеет свою собственную уникальную температуру стеклования, которая является полезным фактором при определении того, подходит ли данный материал для гибких или жестких применений.

Рис. 1. График температуры стеклования, отображающий температуру и жесткость материала.

Corrosionpedia объясняет температуру стеклования (Tg)

Температура, при которой аморфный полимерный материал превращается в вязкую жидкость или резиноподобную форму при нагревании, называется температурой стеклования ( Тг ). Его также можно определить как температуру, при которой аморфный полимер приобретает характерные свойства стеклообразного состояния, такие как хрупкость, жесткость и жесткость при охлаждении. Эту температуру можно использовать для идентификации полимеров.

Также при ТГ изменяется подвижность основной остовной цепи. При более низких температурах молекулярное движение все еще существует, но основная цепь остывает на месте. Tg для данного пластика можно изменить путем введения пластификатора, как в случае с ПВХ.

Величина Tg сильно зависит от подвижности полимерной цепи и для большинства синтетических полимеров лежит в пределах от 170°К до 500°К (от -103°С до 227°С).

Чистые кристаллические полимеры не имеют температуры стеклования, поскольку температура стеклования применима только к аморфным полимерам. Чистые аморфные полимеры не имеют температуры плавления; они имеют только температуру стеклования. Однако многие полимеры состоят как из аморфных, так и из кристаллических структур. Это означает, что многие полимеры имеют как температуру стеклования, так и температуру плавления. Температура стеклования ниже температуры плавления.

Практическое применение температуры стеклования (T

g )

Различные температуры стеклования различных полимеров делают одни полимеры более подходящими для одних применений, чем другие. Например, резиновая шина для автомобиля мягкая и пластичная, потому что при нормальных рабочих температурах она намного выше температуры стеклования. Если бы его температура стеклования была выше его рабочей температуры, он не обладал бы гибкостью, необходимой для сцепления с дорожным покрытием.

Другие полимеры предназначены для работы при температуре ниже их температуры стеклования. Примером этого является жесткая пластиковая ручка на инструменте. Если бы пластиковая рукоятка имела температуру стеклования ниже рабочей температуры, она была бы слишком гибкой, чтобы ее можно было взять и эффективно использовать инструмент.

Факторы, влияющие на температуру стеклования

Внешние факторы, такие как влажность или уровень влажности, также могут влиять на T g . Поскольку влага имеет тенденцию медленно диффундировать через материал, она может действовать как пластификатор и вызывать достижение равновесного содержания влаги в материале в зависимости от относительной влажности при воздействии. Это приводит к снижению Т г . Материалы, используемые в офисных помещениях, в течение срока службы впитывают лишь умеренное количество влаги по сравнению с материалами, хранящимися на открытом воздухе во влажной среде. Из-за этого может быть уместна более низкая температура сушки (значительно ниже температуры отверждения) или контроль воздействия влаги.

Как проводится измерение температуры стеклования

Классический способ измерения температуры стеклования заключается в проведении серии механических испытаний в ожидаемом диапазоне температур. Несмотря на то, что существует несколько вариантов типа испытаний, стандартными являются испытания на прочность на изгиб или прочность на сдвиг. Результаты представлены в виде графика зависимости модуля изгиба или модуля сдвига от температуры. Т г указывается при значительном снижении прочности материала.

Наиболее стандартными термическими методами определения температуры перехода являются дифференциальная сканирующая калориметрия (ДСК), динамический механический анализ (ДМА) и термомеханический анализ (ТМА).

Практическое применение температуры стеклования

Эпоксидные покрытия широко используются для защиты трубопроводов в нефтяной и газовой промышленности. Важным соображением является выбор наилучшего состава эпоксидной смолы, который обеспечивает эффективность и устойчивую защиту от коррозии, особенно в условиях более высоких температур.