Рубрика: Разное

делители, простота, двоичный вид, куб, квадрат

 Случайное число

Целое положительное число 196 является трехзначным. Оно записывается 3 цифрами. Сумма цифр, из которых состоит число 196, равна 16, а их произведение равно 54. Число 196 является четным. Всего число 196 имеет 9 делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196, . Сумма делителей равна 399. Куб числа 196 равен 38416, а квадрат составляет 7529536. Квадратный корень рассматриваемого числа равен 14. Кубический корень равен 5,8087857335637. Число, которое является обратным к числу 196, выглядит как 0,00510204081632653.

«Как найти квадратный корень из 196?» | Нил Батталья

·

Вы определенно можете использовать калькулятор или Google.

Но если вы хотите сделать это вручную, вы можете без особых проблем.

Возможно, вы понимаете, что 196 — это правильный квадрат. Если да, но вы не уверены, что это такое, 196 определенно четное число. Так что можно делить на два.

Получается, что 196/2 — это 98, которые тоже можно разделить на два.

Таким образом, 2 х 2 х 49 = 196. Вы должны признать, что 49 является правильным квадратом.

И хорошо знать, что можно возвести в квадрат отрицательное число, и квадрат будет положительным.

Принято говорить, что квадратный корень означает единицу, но полезно знать о нескольких решениях.

Математика

Математическое образование

Автор Нил Батталья

85 подписчиков

Еще от Нила Баттальи

Нила Баттальи

Связь между мощностью и энергией (физика)

2 минуты чтения·15 января 2016 г.

Нил Батталья

«Если мне дадут функция косинуса, как мне написать эквивалентную функцию синуса без построения графика?»

1 мин чтения·2 апреля 2016 г.

Нил Батталья

«Каково точное значение sin−1(sin(4π7)) ?»

Чтение 2 мин. · 2 марта 2016 г.

Нил Батталья

Почему функция тангенса может быть больше 1, а функции синуса и косинуса — нет

Чтение 2 мин. · 17 февраля 2016 г.

Рекомендовано Medium

8 красивых математических цитат, которые заставят вас глубоко задуматься

Математика — это больше, чем просто числа и уравнения — это прекрасная форма искусства, которая привлекла внимание некоторых из величайших…

Nick Wignall

7 эмоциональных ошибок, которые совершают даже очень умные люди

#2: Попытка контролировать свои эмоции

Списки

Выбор персонала

332 истории·84 сохранения

Каспер Мюллер

в

Загадочные закономерности в треугольнике Паскаля

Скрытые сокровища комбинаторики

Ник Виньялл

4 секрета эмоционально стабильных людей

#2: Они готовы быть уязвимыми

Алеид ter Weel

in

10 вещей, которые можно сделать вечером вместо просмотра Netflix

Привычки без гаджетов для повышения производительности и счастья.

The PyCoach

в

Вы используете ChatGPT неправильно! Вот как опередить 99% пользователей ChatGPT

Освойте ChatGPT, изучив технологию быстрого доступа.

Посмотреть больше рекомендаций

Статус

Карьера

Текст в речь

Как найти квадратный корень из 196?

Арифметическое значение, которое используется для представления количества и используется в расчетах, определяется как Числа. Такие символы, как «4, 5, 6», обозначающие число, называются цифрами. Без чисел невозможен подсчет вещей, даты, времени, денег и т. д. Эти числа также используются для измерения и используются для маркировки. Свойства чисел делают их полезными при выполнении над ними арифметических операций. Эти числа могут быть записаны в числовой форме, а также в словах.

Например, 3 записывается словами как три, 35 записывается словами как тридцать пять и т. д. Учащиеся могут писать числа от 1 до 100 словами, чтобы узнать больше. Существуют различные типы чисел, которые мы можем выучить. Это целые и натуральные числа, нечетные и четные числа, рациональные и иррациональные числа и т.д. используя числа или символы математическим способом. Система записи для обозначения чисел с использованием цифр или символов логическим образом определяется как система счисления. Цифры от 0 до 9составить все числа. С помощью этих цифр любой может составить бесконечное число. Например, 156,3907, 3456, 1298, 784859 и т. д.

Квадратный корень

Значение числа квадратных корней, которое при умножении само на себя дает исходное число. Предположим, что a — это квадратный корень из b, тогда он представляется как a = √b, или мы можем выразить то же уравнение в виде a ² = b. Здесь «√» этот символ, который мы использовали для обозначения корня чисел, называется радикалом. Положительное число, когда его нужно умножить само на себя, представляет собой квадрат числа. Квадратный корень из квадрата любого положительного числа дает исходное число.

Например, квадрат 4 равен 16, 4 ² = 16, а квадратный корень из 16 √16 = 4. Поскольку 4 — это полный квадрат, у нас есть как отрицательное, так и положительное значение квадратного корня из 16. равно ±4, значит, 16 имеет два квадратных корня: один равен 4, а второй равен -4, потому что 4 x 4 = -4 x -4 = 16. Следовательно, из таких чисел легко найти квадратный корень, но для несовершенного квадрата , это действительно сложно.

Квадратный корень представлен как «√». Его называют радикальным символом. Чтобы представить число «а» в виде квадратного корня, с помощью этого символа можно написать так: «√a», где a — это число. Число здесь под подкоренным символом называется подкоренным. Например, квадратный корень из 4 также представлен как радикал из 4. Оба представляют одно и то же значение, и формула для нахождения квадратного корня: b = √a

Свойства квадратных корней

Он определяется как функция «один к одному», которая принимает положительное число в качестве входных данных и возвращает квадратный корень из заданного входного числа. Например, здесь, если x = 9, то функция возвращает выходное значение как 3.

f(x) = √x

• Если число является совершенным квадратным числом, то определенно существует совершенный квадратный корень .
• Если число заканчивается четным числом нулей (0), то у нас может быть квадратный корень.
• Два значения квадратного корня можно перемножить. Например, √3 можно умножить на √2, тогда получится √6.
• При умножении двух одинаковых квадратных корней результатом должно быть радикальное число. Он показывает, что результат не является квадратным корнем. Например, если √7 умножить на √7, получится 7.
• Квадратный корень из отрицательных чисел не определен. следовательно, идеальный квадрат не может быть отрицательным.
• Некоторые числа оканчиваются на 2, 3, 7 или 8 (в разряде единиц), тогда идеальный квадратный корень не существует.
• Некоторые числа заканчиваются на 1, 4, 5, 6 или 9 в разряде единиц, тогда число будет иметь квадратный корень.

Легко найти квадратный корень из числа, которое является полным квадратом.

Совершенные квадраты  

Совершенные квадраты — это положительные или отрицательные числа, которые можно записать как произведение числа на себя, или вы можете сказать, что совершенный квадрат — это число, равное степени 2 любого целое число. Число может быть выражено как произведение двух равных целых чисел. Например, 16 — это совершенный квадрат, потому что это произведение двух равных целых чисел, 4 × 4 = 16 или -4 × —4 = 16. Однако 24 не является идеальным квадратом, потому что его нельзя выразить как произведение два равных целых числа. (8 × 3 = 24).

Число, полученное путем возведения целого числа в квадрат, называется Совершенным квадратом.

Предположим, что N является полным квадратом целого числа y, это можно записать как N = произведение y и y = y ² . Таким образом, формула идеального квадрата может быть выражена как

N = Y ²

Давайте использовать формулу со значениями.

Если y = 5 и N = y2

Это означает, что N = 5 ² = 25 или (- 5) ² = 25

Здесь 5 — это положительный и отрицательный квадратный корень из 25, т. е. ±5 

, следовательно, из 25 два квадратных корня: 5 или -5

Как найти квадратный корень из 196?

С помощью квадратных корней легко определить, является ли число полным квадратом или нет. Если квадратный корень является целым числом, то данное число будет полным квадратом, а если значение квадратного корня не является целым числом, то данное число не является полным квадратом.

Решение:

Здесь квадратный корень из 196 равен 14, что можно записать как ±14,

Итак, 14 и -14 — два квадратных корня из 19, n — это полный квадрат 196.

И √196 = 14 или 14 ² = 14 × 14 = 196

То же √196 = 14 или (-14) ² = -14 × -14 = 19 6.

Похожие проблемы

Вопрос 1: Чему равны два квадратных корня из 4225?

Решение:

квадратный корень из 4225

Здесь 65 — квадратный корень из 4225

±65 — квадратный корень из 4225 два квадратных корня из 4225.

Задачи по математике в два действия

вернуться к оглавлению задач по темам»

Ничего сложного в математических задачах на два действия нет. При условии, конечно, что ваш ребенок щелкает, как орешки, задачки в одно действие.

Задачи в два и более действий называют составными.  То есть они состоят из более простых, эдакие задачи внутри задач. Посмотреть приемы решения составных задач можно ТУТ»

А сами задачи для тренировки смотрим ниже:

1. В трёх тетрадях 60 листов. В первой и второй тетрадях — по 24 листа. Сколько листов в третьей тетради?

2. Гусь весит 9 кг, а курица — на 7 кг меньше. Сколько весят гусь и курица вместе?

3. На школьной выставке 80 рисунков. 23 из них выполнены фломастерами, 40 карандашами, а остальные — красками. Сколько рисунков, выполненные красками, на школьной выставке?

4. В школьный буфет привезли два лотка с булочками. На одном лотке было 40 булочек, на другом — 35. За первую перемену продали 57 булочек. Сколько булочек осталось?

5. Вера собирала букет из осенних листьев. Дубовых листочков у нее было 12, осиновых — на 4 меньше, а кленовых столько, сколько дубовых и осиновых вместе. Сколько кленовых листочков в Верином букете?

6. К началу учебного года мама купила Наташе 19 новых книжек. Из них 7 было без картинок, а из тех, которые с картинками, половина — учебники.  Сколько учебников мама купила Наташе?

7. В субботу в музее побывало 26 учеников из 2 «А» класса, а в воскресенье — на 8 человек больше из 2 «Б» класса. Сколько всего учеников вторых классов побывало в музее за субботу и воскресенье?

8. В ларьке было 60 пирожков. До обеда продали 26 пирожков, а после обеда — 32 пирожка. Сколько пирожков не продали?

9. Оля решила нарисовать 72 букета. В понедельник она нарисовала 18 букетов, во вторник — 22 букета. Сколько букетов Оля не стала рисовать?

10. Около школы посадили 15 кустов сирени,  боярышника — на 5 кустов больше, чем сирени, а черемухи — столько, сколько сирени и боярышника вместе. Сколько кустов черёмухи посадили около школы?

11. В парке росло 75 дубов. После урагана оказалось, что 7 дубов погибли. Тогда посадили еще 12 дубов. Сколько дубов стало в парке?

12. В танцевальную студию ходят 23 ученика из второго класса, а из третьего — на 5 детей больше. Сколько всего учеников из второго и третьего класса ходят в танцевальную студию?

13. Из бидона зачерпнули утром 6 кружек кваса, в обед — еще 5 кружек. После этого в бидоне осталось 14 кружек кваса. Сколько кружек кваса было в бидоне с утра?

14. В первой четверти в начальной школе было 65 хорошистов, во второй — на 27 больше, чем в первой. А в третьей четверти — на 22 хорошиста меньше, чем во второй.  Сколько учеников закончили школу без троек в третьей четверти?

15. В цехе работает 90 человек. Из них 65 мужчин, а остальные — женщины. На сколько больше в цехе работает мужчин, чем женщин?

Задачи в 2 действия. Математика 2 класс Богданович. ГДЗ, решебник.

Категория: —>> Математика 2 класс Богданович  
Задание:  —>>   164 — 191  



наверх

Задание 164.

Мама порвала с одного куста 5 помидоров с другого 4. Детям она отдала 6 помидоров. Сколько помидоров осталось?

Решение:

• 5 + 4 = 9 всего собрала
• 9 — 6 = 3 осталось
• Ответ: 3 помидора осталось

Задание 165.

На тарелке было 6 жёлтых яблок и 4 красных. Съели 7 яблок. Сколько яблок осталось на тарелке?

Решение:

• 6 + 4 = 10
• 10 — 7 = 3
• Ответ: 3 яблока осталось на тарелке.

Задание 166.

Решение:



Задание 167.

К числу 5 прибавили 2, а потом ещё 6.На сколько увеличилось число 5?

Решение:

• 5 + 2 = 7
• 7 + 6 = 13
• 13 — 5 = 8
• Ответ:число 5 увеличелось на 8.

Задание 168.

Марина написала неизвестное число. Если к нему прибавить 8, то получится 10. Какое число написала Марина?

Решение:

• 10 — 8 = 2
• Ответ:Марина написала число 2.

Задание 169.

Найди разность 14 — а, если а = 8, а = 5.

Решение:

• Если а = 8, то 14 — а = 6
• Если а = 5, то 14 — а = 9

Задание 170.

Составь задачу по таблице. Реши её.

Решение:

Петя в магазине потратил на игрушки 8 гривен и у него осталось 9 гривен. Сколько денег было у Пети до покупки игрушек?

• 1) 8 + 9 = 17
• Ответ: 17 гривен.

Задание 171.

Решение:

Задание 172.

Сумма длин всех сторон многоугольника периметр многоугольника.

• 2 + 5 + 2 + 4 = 13 (см)
• Ответ: 13 см.
• Проверь, правильно ли найден периметр четырёхугольника. Найди самостоятельно периметр треугольника.

Решение:

• 1) Периметр четырехугольника найден верно.
• 2) P = 3 + 4 + 5 = 12
• Ответ: Периметр треугольника равен 12 см.

Задание 173.

Реши примеры.

Решение:

Задание 174.

На урок труда принесли 7 листов зелёной бумаги и 5 жёлтой. На изготовление коробки израсходовали 4 листа. Сколько листов бумаги осталось?

Решение

• 1) 7 + 5 = 12 (л. )
• 2) 12 — 4 = 8 (л.)
• Ответ: 8 листов.

Как решить задачу другим способом?

Решение:

• 1) 5 — 4 = 1
• 2) 7 + 1 = 8

Задание 175.

Реши примеры.

Решение:

Задание 176.

В ящике было 12 кг картофеля. На приготовление завтрака использовали 2 кг картофеля, а на приготовление обеда — 3 кг. Сколько килограммов картофеля осталось в ящике?

• 1) Сколько всего килограмм картофеля использовали на приготовление завтрака и обеда?
• 2) Сколько килограммов картофеля осталось в ящике?

Решение:

• 1) 2 + 3 = 5
• 2) 12 — 5 = 7
• Ответ: 7 кг.

Задание 177.

Реши примеры.

Решение:

Задание 178.

Решение:

Задание 179.

Составь задачу по рисунку и реши её устно.

Решение:

У мамы было 10 метров ткани. На пошивку платья она израсходовала 2 м. ткани, а на пошивку юбки 1 м. Сколько ткани осталось у мамы?

• 1) 2 + 1 = 3
• 2) 10 — 3 = 7
• Ответ: 7 метров.

Задание 180.

У Максима было 12 наклеек. В один конверт он положил 4 наклейки, а в другой 3. Сколько наклеек осталось положить в конверт?

• 1) Сколько всего наклеек Максим уже положил в конверт?
• 2) Сколько наклеек осталось положить в конверт?

Решение:

• 1) 4 + 3 = 7
• 2) 12 — 7 = 5
• Ответ: 5 наклеек.

Задание 181.

На прогулку вывели 7 девочек, а мальчиков на 3 меньше. Сколько мальчиков вышло на прогулку? Сколько всего детей вышло на прогулку?

Решение:

• 1) 7 — 3 = 4
• 2) 7 + 4 = 11
• Ответ: 4 мальчика вышло на прогулку, 11 детей всего вышло на прогулку.

Задание 182.

Рассмотри таблицу сложения и вычитания чисел. Объясни, как находить ответы при сложении и вычитании.

Найди по таблице сумму 7 + 9 и разность 15 — 6.

Решение:

Для того что бы выполнить сложение при помощи таблицы, нужно провести воображаемые линии от цифр, которые мы собираемся складывать(вниз от верхнего числа и вправо от цифры, которая расположена в крайней левой колонке). Результатом пересечения этих воображаемых линий будет сумма, выбранных нами цифр.
При вычитании, выбираем вычитаемое из нижнего ряда (выделено синим), уменьшаемое находим в той же колонке, что и вычитаемое. Разность в крайней левой колонке, в том же ряду что и уменьшаемое.

• 1) 7 + 9 = 16
• 2) 15 — 6 = 9

Задание 183.

Числа 13, 16, 18 разложи на два слагаемых так, чтобы одним из слагаемых было число 9. Образец. 14 = 9 + 5.

Решение:

• 1) 13 = 9 + 4
• 2) 16 = 9 + 7
• 3) 18 = 9 + 9

Задание 184.

Решение:

Задание 185.

Из каждой пары выражений выпиши выражение с меньшим значением:

Решение:

Задание 186.

Найди периметры треугольников.

Периметр какого треугольника больше и на сколько?

Задание 187.

У Толи было 8 тетрадей в клетку и 7 тетрадей в линейку. 5 тетрадей в линейку он отдал другу. Сколько тетрадей осталось у Толи? Реши задачу двумя способами.

Решение:

• 1 способ: 1) 8 + 7 = 15 (тетрадей) всего было у Толи; 2) 15 — 5 = 10 (тетрадей).
• 2 способ: 1) 7 — 5 = 2 (тетради) в линейку осталось у Толи; 2) 2 + 8 = 10 (тетрадей).
• Ответ: у Толи осталось 10 тетрадей.

Задание 188.

На аэродроме было 12 самолётов. Сначала взлетело 2 самолёта, а потом ещё 3. Сколько самолётов осталось на аэродроме?

Решение:

• 1) Способ: сначала вычисляем сколько всего взлетело самолетов, то что получилось, отнимает от количества самолетов, которое стояло сначала на аэродроме.
• 2) Способ: отнимаем количество самолетов, которое сначала взлетело, затем отнимаем самолеты, которые взлетели после них.

Задание 189.

Решение:

Задание 190.

В ящике было 12 кг лука. В первый день продали 4 кг лука, а во второй 5 кг. Сколько килограммов лука осталось в ящике?

• 1) 12 — 4 = 8 (кг) осталось лука после продажи в первый день;
• 2) 8 — 5 = 3 (кг) осталось лука после продажи во второй день.
• Ответ: осталось 3 кг лука.

Решение:

Сначала узнаем сколько лука осталось в первый день, затем от полученного результата отнимаем лук, проданный во второй день.

Второй способ:
• 1) 4 + 5 = 9 (кг) лука продали за 2 дня;
• 2) 12 — 9 = 3 (кг).

Задание 191.

Решение:

• 1) На странице было изображено 2 треугольника, а кругов на 8 больше. Сколько кругов было на странице?
  • 1) 2 + 8 = 10 (кругов).
  • Ответ: на странице было изображено 10 кругов.
• 2)
  • 14 — 10 + 4 = 4 + 4 = 8
  • 17 — 10 + 4 = 7 + 4 = 11
  • 19 — 10 + 3 = 9 + 3 = 12
  • 20 — 10 + 3 = 10 + 3 = 13



Задание:  —>>   164 — 191  

Карточки задач Boom с задачами One Two-Step Word

• Описание
• Отзывы (0)

⭐️ Этот ресурс включает в себя три варианта карточек с заданиями на 2-е решение одно- и двухшаговых словесных задач. Загрузка включает набор карточек с заданиями для печати, а также доступ к цифровым карточкам с заданиями в Google Slides и на платформе Boom Learning. Они идеально подходят для отработки одно- и двухшаговых словесных задач с числами до 100. В соответствии с 2.OA.1 каждая из 30 карточек предлагает числовой ответ или выбор ответа в одно- или двухшаговую словесную задачу.

⭐️ Эти цифровые карточки с заданиями Boom Cards™ совместимы с Google Classroom™ и платформой Boom Learning℠ для эффективного дистанционного обучения. Их также можно распечатать для личного и личного пользования. Карты можно заламинировать для длительного использования.

⭐️ Если вы не используете Common Core, этот пакет по-прежнему идеально подходит для отработки и закрепления одно- или двухэтапных текстовых задач. Он соответствует многим государственным стандартам, включая TEKS и VA SOL.

⭐️ Этот цифровой ресурс можно использовать в ТРИ форматах; печать, Google Slides и Boom Learning; делая его гибким и адаптируемым к потребностям вашего класса.

⭐️  Идеи использования:  Центры, Scavenger Hunt, Jenga, практика всего класса, билеты на выход и многое другое!

**Чтобы использовать Boom Cards, вам необходимо  быть подключенным к Интернету. Boom Cards можно играть в современных браузерах (Chrome, Safari, Firefox и Edge). Приложения доступны для Android, iPad, iPhone и Kindle Fires. В целях безопасности и конфиденциальности взрослые должны иметь учетную запись Boom Learning, чтобы использовать и назначать карты Boom. Вы сможете назначать карты Boom, которые вы покупаете, с помощью «Fast Pins» (игра обеспечивает мгновенную обратную связь для самооцениваемых карт Boom). Быстрая игра — это всегда свободная дорога для студентов, чтобы они могли взаимодействовать с колодами Boom Cards. Для дополнительных вариантов заданий вам понадобится премиум-аккаунт. Если вы новичок в Boom Learning, вам будет предложена бесплатная пробная версия нашего премиум-аккаунта.  Подробнее читайте здесь: http://bit. ly/BoomTrial.

*** Хотя Boom Cards включены в этот ресурс, версии Google Slides и Print можно использовать в учетной записи Google или в автономном режиме соответственно.

Особенности:

✏️  Boom Learning  – Этот цифровой интерактивный ресурс использует технологию Boom Card.

• Учащиеся выбирают свои ответы и  вопросы с самостоятельной оценкой  позволяют в режиме реального времени получать отзывы о правильности ответов.
• Учащиеся могут создавать учетные записи, и их ответы передаются учителю с помощью простой функции отчетности .
• Все слайды содержат  аудиозапись  , которая позволяет учащемуся прослушать отрывок, читаемый вслух. Идеально подходит для борющихся читателей или студентов, которые борются с навыками понимания.

✏️  Google Slides   – этот цифровой ресурс является интерактивным с использованием Google Slides.

• Назначьте эти карточки в цифровом виде через Google Classroom.
• Подвижные части для показа ответов идеально подходят для дистанционного обучения

✏️  Копия цифровой печати  – Печатные карты для личного и индивидуального использования.

• Включает полноцветную версию, которую можно распечатать и заламинировать для использования год за годом 9 лет.0004
• Предложения по использованию и ключ ответа 

Что включено:

• 30 печатных вариантов ответа на выбор и числового ответа на одно- или двухэтапные словесные задачи
• карточки задач стратегии
• Google Slides версия карточек с заданиями
• Boom Learning версия карточек с заданиями с аудиозаписями
• Ключ ответа
• Предлагаемые идеи использования

Авторские права и условия использования

Для получения информации об авторских правах и краткого описания того, как можно и нельзя использовать этот ресурс, ознакомьтесь со страницей Условий использования.

****************************************************** ***************************

Сопутствующие товары:

Стратегии сложения и вычитания – Google Slides & Boom Task Cards – Distance Обучение

Добавление четырех двузначных чисел – Google Slides & Boom Task Cards – Дистанционное обучение

Сложение и вычитание в пределах 1000 – Google Slides & Boom Task Cards – Дистанционное обучение

Сложение и вычитание 10 и 100 – Google Slides & Boom Task Cards – Дистанционное обучение Слайды и карточки с заданиями на штанге Дистанционное обучение

Собери и сэкономь!

Математический комплект для 2-го класса – с PDF для печати и дистанционным обучением Google Slides

Только зарегистрированные клиенты, которые приобрели этот продукт, могут оставить отзыв.

Карточки с заданиями для решения задач на сложение и вычитание

Попрактикуйтесь в решении одно- и двухшаговых задач на сложение и вычитание двузначных чисел с помощью этого набора из 16 карточек с задачами.

В этом математическом задании ваши ученики продолжат строить отношения между сложением и вычитанием, оттачивая при этом навыки решения задач со словами.

Мы также представили дополнительную задачу: учащиеся должны будут надеть свои логические операции, чтобы решить, использовать ли их вычитание или сложение для решения числовых предложений.

С помощью наших карточек с заданиями учащиеся продемонстрируют, что они могут использовать стратегии сложения и вычитания для решения одно- и двухэтапных текстовых задач, чтобы найти разницу или сумму в пределах 100. и карточки с заданиями. Учащиеся находят сумму или разницу и записывают свой ответ в соответствующем месте на листе для записей.

В комплект входит ключ для ответов, позволяющий учащимся самостоятельно проверять свои ответы.

Используйте эти карточки с заданиями с мини-досками, математическими тетрадями и смарт-досками для быстрой разминки на уроке математики.

Для учащихся, которым требуется дополнительная помощь в оттачивании этого навыка, используйте карточки с заданиями в своей группе по математике и ограничьте количество текстовых задач. Предоставьте учащимся математические манипуляторы в качестве визуального ориентира при подсчете или предложите им нарисовать картинки, чтобы помочь им решить.

Призовите тех, кто быстро заканчивает, которые уже понимают концепцию, объединиться с коллегой, разделить карточки и по очереди устно объяснить, как они пришли к своим ответам. Это действие позволяет учащимся замедлиться и обдумать логику, которую они использовали для решения проблемы.

Получите наши 10 лучших стратегий строительства лесов здесь!

Мы создали этот ресурс для вашего математического центра в качестве самостоятельной практики. Мы также предлагаем использовать его для закрепления уроков в малых группах и в полном классе следующими способами: 

Разделите свой класс на две командные линии и предоставьте двум ученикам в начале каждой линии доску. Покажите учащимся карточки с заданиями и попросите их решить сумму на доске. Ученик, ответивший правильно первым, получает карточку, и оба ученика становятся в конец очереди, передавая доски следующим участникам. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество карточек с заданиями в конце игры!

Разложите карточки по комнате в порядке номеров и дайте каждому учащемуся лист для записи. Назначьте учащимся или парам стартовую карточку. Дайте учащимся время просмотреть карточку и записать свой ответ в соответствующем месте на бумаге. Учащиеся будут переходить к следующей карточке по вашей реплике (например, скажите «УБЕГАТЬ»). Продолжайте в том же духе, пока ученики не вернутся в исходную точку.

Дайте каждому учащемуся мини-доску для сухого стирания и маркер для сухого стирания. Проецируйте по одной карточке с заданием и попросите каждого учащегося решить сумму на своей доске. Когда все запишут свой ответ, скажите: «Покажи мне». Учащиеся переворачивают свои доски, позволяя вам увидеть, кому нужна дополнительная поддержка. Студенты также могут работать вместе в парах или командах.

Печать на карточках для большей надежности и долговечности. Поместите все части в папку или большой конверт для быстрого доступа.

Чтобы карточки с заданиями не лежали в карманах или под столами, проделайте отверстие в углу каждой, чтобы поместить их на кольцо для переплета.

Совет по устойчивому развитию. Распечатайте несколько листов для записей на карточках и вложите их в конверты для сухостираемого материала. Учащиеся могут записывать свои ответы с помощью маркера, затем стирать и использовать повторно.

Используйте значок раскрывающегося списка на кнопке «Загрузить», чтобы выбрать версию этого ресурса в формате PDF или Google Slides. Лист для записи и ключ для ответов также включены в эту загрузку.

Как решить 10 разделить на 3? – Обзоры Вики

Ответ: 10 разделить на 3 как дробь 10/3.

Запишем в виде дроби 10 разделить на 3. Объяснение: 10 разделить на 3 можно записать как 10/3.

Отсюда, как вы пишете 1/10 в процентах? Объяснение:

1. 110 = х100.
2. 10х = 100.
3. х = 10.
4. 10%

Как записать 3.3 в виде дроби? 3.3 как дробь 3 3/10.

Кроме того, как вы решаете 15 разделить на 2? Используя калькулятор, если вы наберете 15, разделенное на 2, вы получите 7.5. Вы также можете выразить 15/2 в виде смешанной дроби: 7 1/2.

Как решить 15 разделить на 4? 15 разделить на 4 равно 3 ¾ или 3.75. Рассмотрим математику: 4 трижды превращается в 15 с остатком 3.

Как записать 50% дробью?

Что такое 0. 01 как дробь? Следовательно, в дробях 0.01 равно 1100 .

Что такое 0.1 в виде дроби? Ответ: 0.1 в виде дроби 1/10.

Что такое 3.333 в виде дроби?

Ответ и объяснение: в виде дроби 3.333 будет либо 33331000 3 333 1000, либо 313 3 1 3 .

Также Что такое 2.4 как дробь? Ответ: 2.4 как дробь 24/10 который может быть уменьшен до 12/5.

Как записать 4.6 как дробь?

Как получить 18 разделить на 3? Если мы разделим 18 на 3, мы получим 6.

Что такое 7.5 в виде дроби?

Ответ: 7.5 в виде дроби 15/2.

Как решить 24 разделить на 3?

Используя калькулятор, если вы введете 24, разделенные на 3, вы получите 8. Вы также можете выразить 24/3 в виде смешанной дроби: 8 0/3.

Как решить 20 разделить на 5? Двадцать разделить на 5 равно 4.

Как решить 8 разделить на 3? Объяснение: Мы можем записать 8, деленное на 3, как 8/3. Так как 8/3 — неправильная дробь, то при делении 8 на 3 получим 2 как частное и 2 в качестве остатка.

Как записать 90% дробью?

2 ответа. Итак, мы знаем, что процент сам по себе является дробью. Упростите это, и это станет 910 .

Что такое 75% в виде дроби? Ответ: 75% записывается как 3/4 как дробь в простейшем виде.

Как записать 71% дробью?

Чему равно 5 в виде дроби? 5 в виде дроби 5/1.

Что такое 0.38 в виде дроби?

Объяснение: 0.38 имеет два числа после запятой, поэтому вашей дроби нужны два нуля после единицы в знаменателе (100), а числа после запятой — ваш числитель (38). Таким образом, вы получаете 0.38 =38100 это отменяется, если вы разделите верх и низ на два.

Что такое 0.02 как дробь? Ответ: 0.02 можно представить в виде дроби. 1/50.

Сколько 10 разделить на 3 с использованием длинного деления?

Запутались в длинном делении? К концу этой статьи вы сможете делить 10 на 3, используя деление в длинную сторону, и сможете применить ту же технику к любой другой задаче на деление в длинную сторону! Давайте взглянем.

Хотите быстро научиться или показать учащимся, как решить деление 10 на 3 с помощью деления в большую сторону? Включи это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!

Итак, первое, что нам нужно сделать, это уточнить термины, чтобы вы знали, что представляет собой каждая часть деления:

• Первое число, 10, называется делимым.
• Второе число 3 называется делителем.

Здесь мы разберем каждый шаг процесса деления 10 на 3 и объясним каждый из них, чтобы вы точно поняли, что происходит.

10 разделить на 3 пошаговое руководство

Шаг 1

Первый шаг — поставить задачу деления с делителем слева и делимым справа, как показано ниже:

Шаг 2

Мы можем выяснить, что делитель (3) входит в первую цифру делимого (1), 0 раз. Теперь мы это знаем, мы можем поставить 0 вверху:

Шаг 3

Если мы умножим делитель на результат на предыдущем шаге (3 x 0 = 0), мы теперь можем добавить этот ответ под делимым:

Шаг 4

Далее из второй цифры делимого (1 — 0 = 1) вычтем результат предыдущего шага и запишем этот ответ ниже:

Шаг 5

Переместите вторую цифру делимого (0) вниз следующим образом:

Шаг 6

Делитель (3) входит в нижнее число (10) 3 раза, поэтому мы можем поставить 3 сверху:

Шаг 7

Если мы умножим делитель на результат предыдущего шага (3 x 3 = 9), то теперь мы можем добавить этот ответ под делимым:

Шаг 8

Далее вычтем результат предыдущего шага из третьей цифры делимого (10 — 9 = 1) и запишем этот ответ ниже:

Итак, чему равно 10 разделить на 3?

Если вы дочитали до этого урока, молодец! Больше не осталось цифр, чтобы двигаться вниз от делимого, а это значит, что мы решили задачу деления в длинную сторону.

Ваш ответ — это верхнее число, а любой остаток будет нижним числом. Таким образом, при делении 10 на 3 окончательное решение: 9.0003

3

Остаток 1

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы ни использовали это. Мы очень ценим вашу поддержку!

• Сколько 10 разделить на 3 с помощью Длинный дивизион?

• «Сколько 10 разделить на 3 с использованием длинного деления?». VisualFractions.com . По состоянию на 27 апреля 2023 г. http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-10-divided-by-3-using-long-division/.

• «Сколько 10 разделить на 3 с использованием длинного деления?». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-10-divided-by-3-using-long-division/. По состоянию на 27 апреля 2023 г.

• Сколько 10 разделить на 3 с использованием длинного деления?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-10-divided-by-3-using-long-division/.

Дополнительные расчеты для вас

Теперь вы изучили метод деления 10 на 3, вот несколько других способов, которыми вы можете выполнить расчет:

• С помощью калькулятора, если вы набрали 10 разделить на 3 , вы получите 3,3333.
• Вы также можете представить 10/3 в виде смешанной дроби: 3 1/3
• Если вы посмотрите на смешанную дробь 3 1/3, вы увидите, что числитель совпадает с остатком (1), знаменатель — это наш первоначальный делитель (3), а целое число — это наш окончательный ответ (3 ).

Калькулятор деления на длинное деление

Введите еще одну задачу на деление на длинное деление

Следующая задача на деление на длинное деление

Хотите еще больше деления на длинное деление, но не хотите вводить два числа в калькулятор выше? Не беспокойся. Вот следующая задача, которую вам нужно решить:

Сколько будет 10, разделенное на 4 в длинное деление?

Случайные задачи на длинное деление

Если вы добрались до этого конца страницы, значит, вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО любите задачи на длинное деление, а? Ниже приведена куча случайно сгенерированных вычислений для вашего долгого деления удовольствия:

Чему равно 296, разделенное на 646 в длинное деление?

Чему равно 99, разделенное на 535 с использованием длинного деления?

Сколько 382 разделить на 891 с помощью деления в большую сторону?

Чему равно 978, разделенное на 985 в длинное деление?

Чему равно 382, ​​разделенное на 951 с использованием длинного деления?

Чему равно 478, разделенное на 496 в длинное деление?

Чему равно 606, разделенное на 772 с использованием длинного деления?

Чему равно 778, разделенное на 831 в длинное деление?

Что такое 497 разделить на 890 с использованием длинного деления?

Чему равно 603, разделенное на 943 в длинное деление?

Чему равно 170, разделенное на 945 с использованием длинного деления?

Чему равно 793, разделенное на 835 с использованием длинного деления?

Чему равно 525, разделенное на 561 с использованием длинного деления?

Чему равно 983, разделенное на 998 в длинное деление?

Чему равно 326, разделенное на 848 с использованием длинного деления?

Чему равно 28, разделенное на 758 в длинном делении?

Сколько будет 393 разделить на 495 с использованием длинного деления?

Чему равно 229, разделенное на 865 в длинное деление?

Чему равно 261, разделенное на 654 в длинное деление?

Чему равно 169, разделенное на 489 в длинное деление?

Чему равно 707, разделенное на 790 в длинное деление?

Чему равно 786, разделенное на 977 в длинное деление?

Сколько будет 283, разделенное на 512 с использованием длинного деления?

Чему равно 663, разделенное на 905 с использованием длинного деления?

Что такое 811, разделенное на 960 с помощью деления в большую сторону?

Чему равно 96, разделенное на 208 с использованием длинного деления?

Сколько 21 разделить на 791 в длинное деление?

Чему равно 243, разделенное на 666 в длинное деление?

Чему равно 756, разделенное на 885 с использованием длинного деления?

Чему равно 552, разделенное на 679 с использованием длинного деления?

Чему равно 660, разделенное на 920 с использованием длинного деления?

Чему равно 907, разделенное на 983 в длинное деление?

Сколько 181 разделить на 550 в длинное деление?

Чему равно 367, разделенное на 802 с использованием длинного деления?

Чему равно 889, разделенное на 913 с помощью деления в большую сторону?

Чему равно 371, разделенное на 775 в длинное деление?

Чему равно 922, разделенное на 965 в длинное деление?

Чему равно 270, разделенное на 694 с использованием длинного деления?

Чему равно 445, разделенное на 750 с использованием длинного деления?

Чему равно 967, разделенное на 973 в длинное деление?

Чему равно 555, разделенное на 826 с использованием длинного деления?

Чему равно 634, разделенное на 682 с использованием длинного деления?

Что такое 926 разделить на 972 с использованием длинного деления?

Чему равно 439, разделенное на 653 с помощью деления в большую сторону?

Чему равно 436, разделенное на 902 с использованием длинного деления?

Чему равно 335, разделенное на 899 в длинное деление?

Чему равно 226, разделенное на 559 с использованием длинного деления?

Чему равно 559, разделенное на 898 в длинное деление?

Чему равно 732, разделенное на 954 с использованием длинного деления?

Чему равно 764, разделенное на 889 с использованием длинного деления?

Чему равно 756, разделенное на 803 с использованием длинного деления?

Чему равно 716, разделенное на 883 с использованием длинного деления?

Чему равно 959, разделенное на 966 в длинное деление?

Сколько 124 разделить на 403 в длинное деление?

Чему равно 110, разделенное на 748 с использованием длинного деления?

Чему равно 614, разделенное на 843 в длинное деление?

Чему равно 466, разделенное на 995 с использованием длинного деления?

Чему равно 360, разделенное на 476 с использованием длинного деления?

Чему равно 570, разделенное на 741 с использованием длинного деления?

Сколько будет 234 разделить на 599 с использованием длинного деления?

Чему равно 457, разделенное на 538 в длинном делении?

Чему равно 408, разделенное на 760 с использованием длинного деления?

Чему равно 610, разделенное на 899 в длинное деление?

Чему равно 437, разделенное на 899 в длинное деление?

Чему равно 259, разделенное на 646 в длинное деление?

Чему равно 222, разделенное на 639 в длинное деление?

Чему равно 956, разделенное на 969 с использованием длинного деления?

Чему равно 921, разделенное на 977 в длинное деление?

Чему равно 617, разделенное на 854 с использованием длинного деления?

Чему равно 253, разделенное на 334 в длинное деление?

Чему равно 149, разделенное на 561 в длинном делении?

Чему равно 576, разделенное на 744 с использованием длинного деления?

Чему равно 315, разделенное на 638 в длинное деление?

Чему равно 848, разделенное на 940 в длинное деление?

Чему равно 485, разделенное на 558 с использованием длинного деления?

Чему равно 782, разделенное на 794 в длинное деление?

Сколько будет 516 разделить на 957 с использованием длинного деления?

Чему равно 260, разделенное на 651 в длинном делении?

Чему равно 770, разделенное на 975 с использованием длинного деления?

Чему равно 540, разделенное на 616 с использованием длинного деления?

Чему равно 81, разделенное на 478 в длинное деление?

Чему равно 610, разделенное на 933 с использованием длинного деления?

Чему равно 127, разделенное на 253 в длинном делении?

Чему равно 775, разделенное на 985 с использованием длинного деления?

Чему равно 994, разделенное на 997 в длинное деление?

Чему равно 162, разделенное на 470 с использованием длинного деления?

Чему равно 644, разделенное на 824 с использованием длинного деления?

Чему равно 678, разделенное на 755 в длинное деление?

Чему равно 562, разделенное на 649 в длинное деление?

Чему равно 149, разделенное на 679 в длинное деление?

Чему равно 363, разделенное на 771 в длинном делении?

Чему равно 528, разделенное на 837 в длинное деление?

Чему равно 622, разделенное на 951 с использованием длинного деления?

Сколько 737 разделить на 857 в длинное деление?

Чему равно 146, разделенное на 992 в длинное деление?

Чему равно 301, разделенное на 754 с использованием длинного деления?

Чему равно 749, разделенное на 990 в длинное деление?

Чему равно 501, разделенное на 831 с использованием длинного деления?

Сколько 221 разделить на 244 в длинное деление?

Чему равно 127, разделенное на 509 в длинном делении?

Чему равно 243, разделенное на 535 в длинное деление?

Сколько 3 разделить на 10/3 (3 ÷ 10/3?)

Если у вас есть целое число 3 и вы хотите разделить его на дробь 10/3, то вы нашли идеальный артикль. В этом кратком уроке по математике мы покажем вам, как можно разделить любое целое число на дробь. Если вам нравится делить числа на дроби, читайте дальше, друг мой!

Хотите быстро научиться или показать учащимся, как делить целое число на дробь? Включи это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!

Теперь запомните дети, число над дробью называется числителем, а число под ним называется знаменателем. Мы будем использовать эти термины на протяжении всего руководства. Довольно простые вещи, но всегда приятно быстро подвести итоги.

Давайте поставим целое число и дробь рядом, чтобы мы могли визуализировать проблему, которую пытаемся решить:

3 ÷ 10 / 3

Уловка для вычисления числа 3, деленного на 10/3, похожа на метод, который мы используем для деления дроби на целое число.

Все, что нам нужно сделать здесь, это умножить целое число на числитель и сделать это число новым числителем . Тогда старый числитель становится новым знаменателем. Запишем это визуально:

3 x 3 / 10 «=» 9 / 10

Итак, ответ на вопрос «на сколько 3 разделить на 10/3?» есть:

9/ 10

Иногда после вычисления ответа мы можем упростить полученную дробь до меньших членов. В этом примере 9/10 уже находится в самой низкой возможной форме.

Если вы дочитали до этого места, значит, вам очень нравятся дроби и деление на них целых чисел. Надеюсь, вам было легко следовать этому простому руководству, и теперь вы можете идти дальше и делить больше целых чисел на столько дробей, сколько душе угодно.

Преобразовать 3, деленное на 10/3, в десятичное число

Последний небольшой расчет перед уходом. Обычно вы хотите выразить свой результат в виде десятичной дроби, и для этого все, что вам нужно сделать, это разделить числитель на знаменатель:

9 / 10 «=» 0.9

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали.

Онлайн объем трапеции: Расчет объема трапеции онлайн калькулятор

alexxlab / 14.07.202316.04.2023 / Разное

Онлайн калькулятор: Объем геометрических фигур

УчебаМатематикаГеометрия

Рассчитывает объем геометрических фигур (куб, призма, пирамида, усеченная пирамида, конус, цилиндр, сфера, эллипсоид, тороид).

Данная статья содержит калькуляторы для расчета объема различных геометрических фигур. Основной источник формул: Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables. Schaum’s Outline series in Mathematics. McGraw-Hill Book Co., 1968.

Объем куба

Размеры куба

Формула:

Объем куба

Сторона (H)

Длина ребра куба (H)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

 

Объем прямоугольной призмы

Размеры прямоугольной призмы

Формула:

Объем прямоугольной призмы

Ширина (W)

Высота (H)

Высота (H)

Длина (L)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

 

Объем пирамиды

Размеры пирамиды

Формула:

Объем пирамиды

Площадь основания (Sb)

Площадь основания

Высота (H)

Высота (H)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

 

Объем усеченной пирамиды

Размеры усеченной пирамиды

Формула:

Объем усеченной пирамиды

Площадь первого основания (Sb1)

Площадь второго основания (Sb2)

Высота (H)

Высота (H)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

 

Объем конуса

Размеры конуса

Формула:

Объем конуса

Радиус (R)

Высота (H)

Высота (H)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

 

Объем цилиндра

Размеры цилиндра

Formula:

Объем цилиндра

Высота (H)

Высота (H)

Радиус (R)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

 

Объем сферы

Размеры сферы

Формула:

Объем сферы

Радиус (R)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

 

Объем эллипсоида

Размеры эллипсоида

Формула:

Объем эллипсоида

Радиус 1 (R1)

Радиус 2 (R2)

Радиус (R3)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

 

Объем тороида

Размеры тороида

Формула:

Объем тора

Радиус 1 (R1)

Радиус 2 (R2)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

 

Ссылка скопирована в буфер обмена

Похожие калькуляторы

• • Куб
• • Конус
• • Тор
• • Объем сегмента цилиндра
• • Объем жидкости в прямоугольном баке под наклоном
• • Раздел: Геометрия ( 97 калькуляторов )

 #геометрия #объем Геометрия Инженерные конус куб Математика объем пирамида прямоугольная призма сфера тор тороид усеченная пирамида цилиндр эллипсоид

 PLANETCALC, Объем геометрических фигур

Anton2020-11-03 14:19:26

по 4 сторонам и тд

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади трапеции по разным исходным данным: через длины оснований и высоту, по всем сторонам, через диагонали и угол между ними.

• Расчет площади
  • 1. Через основания и высоту
  • 2. По 4 сторонам (формула Герона)
  • 3. Через диагонали и угол между ними

Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.

1. Через основания и высоту

Формула расчета

2. По 4 сторонам (формула Герона)

Формула расчета

p – полупериметр трапеции, считается так:

3. Через диагонали и угол между ними

Формулы расчета

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Калькулятор объема трапециевидной призмы

Создано Wei Bin Loo

Отредактировано Анна Щепанек, доктор философии и Стивен Вудинг

Последнее обновление: 09 февраля 2023 г.

Содержание:

• Что такое объем трехмерного объекта?
• Как найти объем трапециевидной призмы?
• Часто задаваемые вопросы

С помощью этого калькулятора объема трапециевидной призмы мы стремимся помочь вам рассчитать объем трапециевидной призмы . Вы можете проверить наш калькулятор трапеции и калькулятор площади трапеции, чтобы понять больше по этой теме.

Мы написали эту статью, чтобы помочь вам понять что такое объем трапециевидной призмы и как найти объем трапециевидной призмы . Мы также продемонстрируем несколько примеров, которые помогут вам понять формулу объема трапециевидной призмы.

Что такое объем трехмерного объекта?

Объем 3D-объекта – это объем пространства, занимаемый  3D-объектом. Чем больше объем, тем больше места занимает объект. Одним из способов измерения объема является измерение количества воды, которое вытесняет объект, когда его опускают в воду.

Пожалуйста, ознакомьтесь с нашим калькулятором объема, чтобы лучше понять эту тему.

Как найти объем трапециевидной призмы?

Трапециевидная призма

Чтобы понять формулу объема трапециевидной призмы, рассмотрим пример ниже:

• Длина короткого основания (b): 5 м
• Длина длинной базы (B): 5 м
• Длина (ℓ): 5 м
• Высота (в): 3 м

1. Определите длину короткой базы (b).

   Первым шагом является определение длины короткого основания b трапециевидной призмы. Для нашего примера b равно 5 м .

2. Определите длину длинной базы (B).

   Следующим шагом является определение длины длинного основания B трапециевидной призмы. Для нашего примера b равно 5 м .

3. Рассчитать длину (ℓ).

   Теперь вам нужно вычислить длину ℓ трапециевидной призмы. л этой трапециевидной призмы составляет 5 м .

4. Определить высоту (h).

   Кроме того, высота h трапециевидной призмы равна 3 м .

5. Вычислите объем трапециевидной призмы.

   Последним шагом является расчет объема трапециевидной призмы по формуле:

   ((б + В) / 2) × ч × л

   Таким образом, объем трапециевидной призмы равен ((5 м + 5 м)/2) × 5 м × 3 м = 75 м³ .

Часто задаваемые вопросы

Может ли громкость быть отрицательной?

Нет , объем не может быть отрицательным. Это потому, что нулевого и отрицательного объема просто не существует. Объект не может иметь нулевой или отрицательный объем.

Каков объем трапециевидной призмы со всеми сторонами 1 м?

Объем этой трапециевидной призмы будет 1 м³ . Вы можете рассчитать его по следующей формуле:

объем = ((длина короткого основания + длина длинного основания) / 2) × высота × длина .

Как рассчитать объем трапециевидной призмы?

Объем трапециевидной призмы можно рассчитать за пять шагов:

1. Определить длину короткой базы (b)

2. Определить длину длинной базы (B)

3. Рассчитать длину (ℓ)

4. Определить высоту (h)

5. Примените формулу объема трапециевидной призмы :

   ((б + В) / 2) × ч × л

Что такое боковая область для трехмерного объекта?

Боковая площадь трехмерного объекта представляет собой сумму площадей всех сторон трехмерного объекта, кроме основания и вершины .

Вэй Бин Лоо

Высота

Длина

Длинная база (B)

Короткая база (b)

Объем

Посмотреть 23 похожих калькулятора 3d геометрии

Объем трапециевидной призмы

LearnPracticeDownload

Объем трапециевидной призмы — это емкость призмы. Его также можно определить как пространство внутри трапециевидной призмы. Призма имеет конгруэнтные многоугольники на верхней и нижней гранях, а основания одинаковы. Боковые грани призмы представляют собой параллелограммы, которые называются боковыми гранями. Призму можно назвать по форме двух одинаковых граней на ее конце. Трапециевидная призма представляет собой трехмерное тело, имеющее два основания трапеции/трапеции внизу и вверху. Форма боковых граней/боковых граней трапециевидной призмы – параллелограмм.

Каков объем трапециевидной призмы?

Объем трапециевидной призмы – это пространство внутри нее. Трапециевидная призма представляет собой трехмерную фигуру с двумя трапециевидными основаниями и четырьмя гранями в виде параллелограмма. Призма представляет собой многогранник с равными многоугольниками на верхней и нижней гранях и имеет одинаковые основания. Трапециевидные призмы бывают двух видов: косые и прямые. У косой трапециевидной призмы боковые грани — параллелограммы, а у правильной трапециевидной призмы — прямоугольники. В общем случае трапециевидная призма означает правильную трапециевидную призму. Следовательно, боковые грани прямоугольники. Таким образом, у трапециевидной призмы всего 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Два основания имеют форму трапеции или трапеции, которые конгруэнтны друг другу. Он имеет

• 6 сторон
• 12 кромок
• 8 вершин
• 4 стороны: прямоугольник
• Трапеция/трапеция в качестве основания снизу и сверху

Объем трапециевидной призмы Формула

Объем трапециевидной призмы — вместимость призмы (или) объем трапециевидной призмы — пространство внутри нее. Измеряется в кубических единицах, таких как мм ³ , см ³ , ³ и т. д. Мы увидим формулы для расчета объема трапециевидной призмы. Объем призмы можно получить, умножив площадь ее основания на общую высоту призмы. т. е. объем призмы = площадь основания × высота призмы. Мы также будем использовать эту формулу для расчета объема трапециевидной призмы. Рассмотрим трапециевидную призму, две параллельные стороны основания которой равны \(b_1\) и \(b_2\), высота равна ‘h’, а длина призмы равна L. Мы знаем, что основание трапециевидная призма — это трапеция/трапеция. Таким образом,

Площадь основания (площадь трапеции) = \(\dfrac{1}{2}{(b_{1} + b_{2})× h }\)

Теперь, используя объем призмы формула (как указано выше),

Объем трапециевидной призмы = площадь основания × длина = \(\dfrac{1}{2}{(b_{1} + b_{2})×h}×L\)

Как рассчитать объем трапециевидной призмы?

Ниже приведены шаги для расчета объема трапециевидной призмы. Убедитесь, что все измерения выполнены в одних и тех же единицах. Обратитесь к следующему примеру.

• Шаг 1: Определите, что параллельные стороны основания (трапеции) равны \(b_1\) и \(b_2\), а перпендикулярное расстояние между ними равно \(h\), и найдите площадь трапеции, используя формула:
  Площадь трапеции = \(\dfrac{1}{2}{(b_{1} + b_{2})× h}\)
• Шаг 2: Определите его высоту/длину призмы (расстояние по вертикали между двумя основаниями).
• Шаг 3: Умножьте площадь основания, полученную на шаге 1, и высоту, полученную на шаге 2, чтобы найти объем.

Примеры объема трапециевидной призмы

1. Пример 1: Найдите объем трапециевидной призмы заданных размеров.

   Решение:

   На приведенном выше рисунке, Учитывая, что

   Основание 1 (\(b_1\)) = 6 дюймов, основание (\(b_2\)) = 20 дюймов

   Высота основания трапеции = 12 в

   Длина трапеции = 17 в

   Площадь трапеции/трапеции = \(\dfrac{1}{2}{(b_{1} + b_{2})× h}\)

   ⇒ A = \(\dfrac{1}{2}\) (6 + 20) × 12
   ⇒ А = 13 × 12
   ⇒ a = 156 в ²

   Как мы знаем, объем трапециевидной призмы = область × общая длина трапеции

   ⇒ 156 ^{× 17}

   ⇒ 2652 в ³

   . трапецеидальная призма равна 2652 в ³ .

2. Пример 2: Рассчитайте объем трапециевидной призмы, учитывая, что высота основания трапеции 5 см, а длины ее параллельных сторон 14 см и 10 см, длина призмы 6 см.

   Решение:

   На приведенном выше рисунке Учитывая, что

   Основание 1 (\(b_1\)) = 14 см, основание (\(b_2\)) = 10 см

   Высота основания трапеции (h ) = 5 см

   Общая длина трапеции = 6 см

   Площадь трапеции/трапеции = \(\dfrac{1}{2}{(b_{1} + b_{2})× h }\)

   ⇒ А = (1/2) (14 + 10 ) × 5
   ⇒ А = 12 × 5
   ⇒ A = 60 см ²

   Как мы знаем, объем трапециевидной призмы = площадь × длина трапеции

   объем = 60 ^{× 6 = 360 см 3}

   Ответ : Объем трапециевидной призмы равен 360 см ³ .

перейти к слайдуперейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Запись на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по объему трапециевидной призмы

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об объеме трапециевидной призмы

Имеет ли трапециевидная призма объем?

Призма представляет собой трехмерное твердое тело. Трехмерное твердое тело имеет внутри себя пространство. Объем объясняется как пространство внутри объекта. Таким образом, трапециевидная призма имеет объем, поскольку представляет собой трехмерную форму и измеряется в кубических единицах.

Что вы подразумеваете под объемом трапециевидной призмы?

Объем трапециевидной призмы — вместимость призмы. Формула объема трапециевидной призмы представляет собой площадь основания × высоту призмы в кубических единицах.

По какой формуле найти объем трапециевидной призмы?

Объем трапециевидной призмы равен произведению площади основания на высоту призмы в кубических единицах.

Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае — к тому что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если на одну чашу весов положить пакет, в котором 10 килограмм яблок, и на другую чашу так же положить пакет, в котором 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно что яблоки в пакетах лежат вразброс.

Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом,  между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:

5 + 2 = 2 + 5

7 = 7

Полагаем что вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

a + b = b + a

Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а, число 3 место b

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:

2 + 3 + 5

Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)

---

Переместительный закон умножения

Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

5 × 2 = 10

2 × 5 = 10

В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 × 2 = 2 × 5

10 = 10

Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:

a × b = b × a

Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:

x × y = y × x

---

Сочетательный закон умножения

Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

Рассмотрим следующее выражение:

2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

---

Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:

---

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

Рассмотрим следующее выражение:

(3 + 5) × 2

Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:

(3 + 5) = 8

В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:

8 × 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Или ещё короче:

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×

Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c × (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b

---

Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25

---

Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)

Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.

Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)

Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20

---

Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)

Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

3 × (7 + 8)

Решение:

3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 ×­ 8 = 21 + 24 = 45

Показать решение

Задание 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

5 × (6 + 8)

Решение:

5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70

Показать решение

Задание 3. Найдите значение выражения, используя порядок выполнения действий:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

Показать решение

Задание 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81

Показать решение

Задание 5. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)

Решение:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169

Показать решение

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

Законы математики — intmag24.

ru

Законы математики — это те правила, которые помогают правильно и быстро выполнять любые арифметические действия. Их использование  значительно упрощают даже самые сложные процессы вычислений. А их несоблюдение может привести к тому, что будет больше времени затрачиваться на вычисления, будут появляться ошибки и т.д.

В статье рассмотрим следующие законы:

• Переместительный закон сложения,
• Сочетательный закон сложения,
• Переместительный закон умножения,
• Сочетательный закон умножения,
• Распределительный закон умножения.

✅  Переместительный закон сложения
от перемены мест слагаемых сумма не изменяется.

Формула: a + b = b + a

Пример:  2+3=5  и  3+2=5   ⇒   2+3=3+2

Действительно,
➜ если мы в пакет положим сначала два яблока, а потом три — получим пять яблок;
➜ если мы в пакет положим сначала три яблока, а потом два — также получим пять яблок.

 

✅  Сочетательный закон сложения
если в примере есть несколько слагаемых, то можно сложить два из них между собой, а потом к результату прибавить оставшееся слагаемое.

Формула: (a + b) + c = a + (b + c)

Пример: (2+3)+5=10  и  2+(3+5)=10   ⇒   (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.  Таким образом, можно значительно ускорить выполнение вычислений и складывать сколько угодно большие выражения. 

Рассмотрим, как можно применять сочетательный закон на практике:
Так как проще складывать десятки, то при сложении чисел нужно в первую очередь группировать слагаемые, которые в сумме дадут десятки без единиц, то есть 10, 20, 30 и так далее.
Например: 13+28+15+17+2=(13+17)+(28+2)+15=30+30+15=60+15=75

 

✅  Переместительный закон умножения
от перемены мест множителей произведение не меняется.

То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение не изменится.

Формула: a × b = b × a

Пример: 5×2=10  и  2×5=10  ⇒   5×2 = 2×5

Действительно,
➜ если мы возьмем 2 пакет яблок по 5 штук — получим 10 яблок;
➜ если мы возьмем 5 паков яблок по 2 штуки — также получим 10 яблок.

 

✅  Сочетательный закон умножения
если выражение состоит из нескольких множителей, то их произведение не зависит от порядка действий.

Таким образом, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.

Формула: a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

Пример: 2×3×4=24  и  (2×3)×4=24  и  2×(3×4)=24   ⇒ 2×3×4 = (2×3)×4 = 2×(3×4)=24

Любой пример, в котором присутствует только умножение, можно вычислять в любом порядке.
В нашем примере:
➜ сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4;
➜ сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

 

✅  Распределительный закон умножения

• Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
• Чтобы сумму чисел умножить на число, нужно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

Формула: (a+b)×c = a×c + b×c

где: выражение в скобках (a + b) — это множимое;  переменная с — множитель.

Пример: (2+3)×4=5×4=20  и  4×(2+3)=4×5=20  и  2×4+3×4=8+12=20   
⇒ (2+3)×4  =  4×(2+3)  =  2×4+3×4

Из переместительного закона умножения:  от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится. Таким образом, если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c×(a+b). 

Чтобы применять законы математики, необходимо также знать темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.

Основные законы математики

В нашей жизни есть правила, которым мы должны подчиняться. Соблюдение правил гарантирует мирную и беззаботную жизнь. Когда вы не соблюдаете законы, это приводит к печальным последствиям.

В математике есть свои законы, которым тоже нужно следовать. Несоблюдение законов математики в лучшем случае приведет к снижению оценок, а в худшем к падению самолетов, зависанию компьютеров, сносу крыш из-за сильного ветра, плохой связи и тому подобным плохим вещам.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства знакомы нам со школы. Но не помешает вспомнить их еще раз, а еще лучше записать и выучить наизусть.

В этом уроке мы рассмотрим лишь небольшую часть законов математики. Их нам хватит для дальнейшего изучения математики.

Коммутативный закон сложения

Определение. Переместительный закон сложения гласит, что не имеет значения, в каком порядке вы складываете числа.

Действительно, прибавь пятерку к двойке и получишь семерку. И наоборот, к пятерке прибавляем двойку и снова получаем семерку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если в один мешок положить 10 кг яблок, а в другого мешка, мешков будет поровну, и неважно, что яблоки в мешках перемешаны случайным образом. Если взять мешок с весов и смешать в нем яблоки, как шарики в лотерейном мешке, мешок все равно будет весить 10 килограммов. Сумма не изменится от перестановки слагаемых. Слагаемые в данном случае — яблоки, а сумма — общий вес.

Таким образом, выражения 5+2 и 2+5 можно приравнять. Это будет означать, что их сумма равна:

5 + 2 = 2 + 5

7 = 7

Предположим, что вы усвоили один из предыдущих уроков, который назывался выражениями, поэтому запишем закон перестановки сложения с использованием переменных:

a + b = b + a

Этот коммутативный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмем любые два числа. Пусть a = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3. Эти значения войдут в основное выражение a + b = b + a и подставят там, где это необходимо. Номер 2 будет заменен на a, номер 3 будет заменен на b

---

Ассоциативный закон сложения

Определение. Ассоциативный закон сложения гласит, что изменение группировки складываемых чисел не меняет их результирующей суммы. Этот закон позволяет группировать слагаемые вместе для облегчения вычислений.

Рассмотрим сумму трех слагаемых:

2 + 3 + 5

Для вычисления этого выражения можно сначала сложить числа 2 и 3 и прибавить результат к числу 5. Для удобства сумма чисел 2 и 3 можно поставить в круглые скобки, указывая, что эта сумма будет рассчитана первой:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Или можно сложить числа 3 и 5, затем прибавить результат к числу 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Как видите, в обоих случаях вы получаете одинаковый результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем ассоциативный закон сложения по переменным:

(a + b) + c = a + (b + c)

---

Ассоциативный закон умножения

Определение. Ассоциативный закон умножения гласит, что независимо от того, как вы группируете числа, вы умножаете их вместе.

Рассмотрим следующее выражение:

2 × 3 × 4

Это выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно умножить числа 2 и 3, а результат умножить на 4:

Или можно сначала перемножить числа 3 и 4, а результат умножить на число 2

Таким образом, между выражениями (2×3)×4 и 2×(3×4) можно положить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

Запишем комбинаторный закон умножения с использованием переменных:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × в)

---

Пример 2 . Найдите значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке действий:

---

Распределительный закон умножения

Определение. Распределительный закон умножения гласит, что любое число, умноженное на сумму двух или более чисел, равно сумме этого числа, умноженного на каждое из чисел в отдельности.

Рассмотрим следующее выражение:

(3 + 5) × 2

Мы знаем, что сначала нужно выполнить действие в скобках. Делаем так:

(3 + 5) = 8

В основном выражении (3 + 5) × 2 замените выражение в скобках на полученную восьмерку:

8 × 2 = 16

Ответ равно 16. Тот же пример можно решить, используя распределительный закон умножения. Для этого умножьте каждое слагаемое в скобках на 2, затем сложите результаты:

Мы слишком подробно рассмотрели распределительный закон умножения. В школе этот пример записали бы очень кратко. Вам тоже нужно привыкнуть к этому типу обозначений. Выглядит так:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Или еще короче:

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительный закон умножения с использованием переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Его начало выглядит так: (a+b)×c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b) в целом, то оно будет множителем, а переменная c будет множителем, потому что они связаны знаком умножения ×

Из коммутативного закона умножения мы узнали, что если поменять местами первый множитель и второй, произведение не изменится.

Если поменять местами множитель (a + b) и множитель c, мы получим выражение c × (a + b). Затем мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Чтобы сделать это умножение, мы применяем распределительный закон умножения. В этом случае переменная c должна быть умножена на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b

---

Пример 2 . Найдите значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножьте число 5 на каждое слагаемое в скобках и сложите результаты:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25

---

Пример 3 . Вычислите 6 × (5 + 2)

Умножьте 6 на каждое слагаемое в скобках и сложите результаты:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если скобки являются не суммой, а разницей, необходимо сначала умножить множитель на каждое число, указанное в скобках. Затем из первого числа вычтите второе число. В принципе, ничего нового.

---

Пример 4 . Найдите значение выражения 5 × (6 — 2)

Умножьте 5 на каждое число в скобках. Затем из первого числа вычтите второе число:

5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20

---

Пример 5 . Вычислите 7 × (3 — 2)

Умножьте 7 на каждое число в скобках. Затем из первого числа вычтите второе число:

7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7

---

Упражнения

Задача 1. Найдите значение выражения с помощью распределительного закона умножения:

3 × (7 + 8)

Решение:

3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 × 8 = 21 + 24 = 45

Показать решение

Задание 2. Найдите значение выражения по дистрибутивному закону умножения:

5 × (6 + 8)

Решение:

5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70

Показать решение

Задача 3. Найдите значение выражения, используя порядок действий:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

Показать решение

Задача 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81

Показать решение

Задача 5. Найдите значение выражения с помощью распределительного закона умножения:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)

Решение:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169

Показать решение

---

Коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные законы

Вау! Какой набор слов! Но идеи простые.

h2zsWdHC_V8

Коммутативные законы

«Законы коммутации» говорят, что мы можем поменять местами числа и все равно получить тот же ответ…

… когда мы добавляем :

а + б  =  б + а

Пример:

 

… или когда мы умножаем :

а × б  =  б × а

Пример:

 

Проценты тоже!

Потому что a × b  =  b × a также верно, что:

а% от б  =  б% от

Пример: чему равно 8% от 50?

8% от 50 = 50% от 8
  = 4

 

Почему «коммутативный » . .. ?

Потому что номера могут перемещаться туда-сюда, как пассажир .

4591, 4599, 4615, 4639, 4647, 4592, 4600, 4616

 

КБфнкУГЭМВИ

Ассоциативные законы

«Ассоциативные законы» говорят, что не имеет значения, как мы группируем числа (т.е. какие мы вычисляем первыми)…

… когда мы добавляем :

(а + б) + в  =  а + (б + в)

… или когда мы умножаем :

(а × б) × в  =  а × (б × в)

Примеры:

Это:	(2 + 4) + 5  =  6 + 5  =  11
Имеет тот же ответ, что и этот:	2 + (4 + 5)  =  2 + 9  =  11

Это:	(3 × 4) × 5  =  12 × 5  =  60
Имеет тот же ответ, что и этот:	3 × (4 × 5)  =  3 × 20  =  60

Использование:

Иногда проще складывать или умножать в другом порядке:

Сколько будет 19+36+4?

19 + 36 + 4 = 19 + (36 + 4)
= 19 + 40 = 59

Или немного переставить:

Что такое 2 × 16 × 5?

2 × 16 × 5  =  (2 × 5) × 16  
=  10 × 16 = 160

 

4603, 4610, 4627, 4631, 4643, 4654, 4606, 4612

 

0v-G6OwcKmU

Распределительный закон

«Распределительный закон» — САМЫЙ ЛУЧШИЙ из всех, но требует особого внимания.

Вот что он позволяет нам делать:

3 партии (2+4) идентичен 3 партии 2 плюс 3 партии 4

Итак, 3× можно «распределить» по 2+4 , на 3×2 и 3×4

И пишем так:

a × (b + c)  =  a × b  +  a × c

Попробуйте посчитать сами:

• 3 × ( 2 + 4 )  =  3 × 6  =  18
• 3×2 + 3×4 = 6 + 12 = 18

В любом случае ответ один.

По-английски мы можем сказать:

Мы получим тот же ответ, если:

• умножим число на группу чисел, сложенных вместе или
• сделать каждый умножить отдельно, затем добавить их

 

Использование:

Иногда бывает проще разбить сложное умножение:

Пример: Что такое 6 × 204?

6 × 204 = 6 × 200 + 6 × 4
= 1200 + 24
= 1224

Или комбинировать:

Пример. Сколько будет 16 × 6 + 16 × 4?

16 × 6 + 16 × 4 = 16 × (6+4)
= 16 × 10  
=  160

Мы также можем использовать это в вычитании:

Пример: 26×3 — 24×3

26×3 — 24×3 = (26 — 24) × 3  
=  2 × 3    
=  6

Мы могли бы использовать его и для длинного списка дополнений:

Пример: 6×7 + 2×7 + 3×7 + 5×7 + 4×7

6 ×7 + 2 ×7 + 3 ×7 + 5 ×7 + 4 × 7
= (6+2+3+5+4) × 7
= 20 × 7
= 140

 

5656, 5657, 5658, 5659, 5660, 5661, 3172

Таковы Законы.

Степенные или показательные уравнения.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=aⁿ

1. a⁰ = 1 (a ≠ 0)

2. a¹ = a

3. aⁿ • a^m = a^{n + m}

4. (aⁿ)^m = a^nm

5. aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

6. a^-n= 1/aⁿ

7. aⁿ/a^m= a^{n — m}

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

6^x=36

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2^x*5=10
16^x — 4^x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2^х = 2³

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2^х = 2³
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

2^х+2 = 2⁴

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3^3х — 9^х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

3^3х = 9^х+8

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3² . Воспользуемся формулой степеней (aⁿ)^m = a^nm.

3^3х = (3²)^х+8

Получим 9^х+8 =(3²)^х+8 =3 ^2х+16

3^3х = 3 ^2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2^2х+4 — 10•4^х = 2⁴

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (aⁿ)^m = a^nm.

4^х = (2²)^х = 2^2х

И еще используем одну формулу aⁿ • a^m = a^{n + m}:

2^2х+4 = 2^2х•2⁴

Добавляем в уравнение:

2^2х•2⁴ — 10•2^2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2^2х ,вот и ответ — 2^2х мы можем вынести за скобки:

2^2х(2⁴ — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2⁴ — 10 = 16 — 10 = 6

6•2^2х = 24

Все уравнение делим на 6:

2^2х = 4

Представим 4=2²:

2^2х = 2² основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9^х – 12*3^х +27= 0

Преобразуем:
9^х = (3²)^х = 3^2х

Получаем уравнение:
3^2х — 12•3^х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

3^х = t

Тогда 3^2х = (3^х)² = t²

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t² — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t₁ = 9
t₂ = 3

Возвращаемся к переменной x.

Берем t₁:
t₁ = 9 = 3^х

Стало быть,

3^х = 9
3^х = 3²
х₁ = 2

Один корень нашли. 2Формула экспонентов

 – Что такое формула экспонентов? Примеры

Показатель степени числа означает, сколько раз любое число умножается само на себя. Существуют различные формулы показателей степени, используемые для решения уравнений. Показатели важны, потому что они помогают в представлении продуктов, где число повторяется само по себе много раз. Давайте узнаем о формулах экспонент с несколькими решенными примерами в конце.

Что такое формулы экспоненты?

Формулы экспоненты относятся к формулам, которые помогают вычислять экспоненты. Показатель степени числа представлен в виде: x ⁿ , что означает, что x умножается сам на себя n раз.   Здесь

• x называется «основой»
.
• n называется «показатель степени» или «степень»
• x ⁿ читается как «x в степени n» (или) «x в степени n»

Формулы степени

Формулы степени выражены как:

• a ⁰  = 1
• а ¹  = а
• a ^м  × a ⁿ  = a ^m+n
• a ^m  / a ⁿ  = a ^m−n
• а ^{− м} = 1/а ^м
• (a ^м ) ⁿ  = a ^mn
• (ab) ^м  = a ^м b ^м
• (a/b) ^м  = a ^м /b ^м

Давайте лучше разберемся в формулах экспонент на нескольких решенных примерах.

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Примеры с использованием экспонентных формул

Пример 1: В лесу на каждом дереве около 5 ⁷ листьев, а в лесу около 5 ³ деревьев. Используя формулу показателей, найдите общее количество листьев.

Решение: 

Найти: Общее количество листьев.

Количество деревьев в лесу = 5 ³

Количество листьев на каждом дереве = 5 ⁷ (дано)

Используя формулу показателей, ^x+y

Подстановка значений 0008  = 5 ¹⁰

Ответ: общее количество листьев 5 ¹⁰ .

Пример 2: Размеры шкафа: x ⁵ дюймов, y ³ дюймов и x ⁸ дюймов. Найдите его объем.

Решение: 

Найти: объем гардероба.

Размеры шкафа: длина (д) = x ⁵ дюймов, ширина (ш) = y ³ дюймов, высота (h) = x ⁸ дюймов (данные)

Использование формулы показателей ,

a ^x  x a ^y  = a ^x+y

Подстановка значений,

Volume = x ⁵ × 7 × x

Урок по теме «Уравнение и неравенства с модулем». 10-й класс

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков.

Цели урока:

Дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения.

Развивающая: развивать логическое мышление, память познавательный интерес, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

Воспитательная: развивать аккуратность и трудолюбие, продолжить формирование навыков контроля и самоконтроля.

Ход урока

1. Организационный этап (1 минута).

2. Постановка цели (3 минуты).

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения уравнений и неравенств с модулем, используя как традиционные методы, так и нестандартные подходы.

3. Проверка домашнего задания (10 минут).

Если учащиеся не готовы показать все способы, то решение показывается на экране интерактивной доски. (Приложение 1)

Учитель вызывает по желанию 7-х человек к доске, параллельно проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам. (Приложение 2) Выставляет оценку за д/з.

На дом вам было предложено решить уравнения

|x – 6| = x² – 5x + 9

|x² + 4x + 3| = x + 3

|x – 6| = |x² – 2x|

|x – 2| + |x – 1| = x – 8

и неравенства |x + 2| < 3 различными способами. Посмотрим ваше решение.

4. Выполнение упражнений (20 минут).

Многообразие приёмов решения задач с модулем подталкивает нас к выбору более рационального из них при решении конкретных уравнений или неравенств.

№ 1 (устно).

Учитель направляет на выбор рационального метода решения.

Учащиеся предлагают методы решения, один учащийся устно объясняет решение уравнения №1.

Решить уравнение |x² – 6x – 7| = 7 + 6x – x².

Решение (на основе аналитического определения модуля).

№2 Решить уравнение .

Учитель совместно с учащимися выбирает метод решения уравнения.

Следит за грамотным решением предложенного уравнения и одновременно проверяет индивидуальные решения уравнений у учащихся работающих на боковой доске по карточке, выставляет оценки за работу.

2 человека работают на боковой доске индивидуально (Приложение 3), остальные записывают в тетрадь решение уравнения №2.

Решение (применение геометрической интерпретации модуля).

На геометрическом языке: требуется найти точки с координатами х такие, что сумма расстояний от этих точек до точек с координатами -1 и 1 равна 2. Очевидно, что эти точки располагаются на отрезке [–1;1]

Ответ: [–1;1].

№3 Решите неравенство

Учитель направляет на выбор рационального метода решения.

Один ученик решает неравенство № 3. Остальные участвуют в выборе рационального метода решения неравенства. Записывают решение в тетрадь.

Решение (функционально графический метод).

Обе части неравенства определены на R. Левая часть неравенства принимает значения из отрезка [–1;1], а значения правой части составляют луч [1;∞]. Следовательно, исходное неравенство может иметь решение только, если выполняется система

Ответ: 0

№ 4 Найти все значения параметра b при которых уравнение ||x + 1| – 2| – 3 = b имеет ровно три различных корня.

Один ученик решает задание № 4 у доски. Три ученика работают по карточкам (Приложение 4), остальные записывают в тетрадь решение задания № 4.

Учитель следит за верностью рассуждений учащихся и одновременно проверяет решение заданий по карточкам, выставляет оценки за работу.

Решение (графический способ).

Рассмотрим функцию у = ||x + 1| – 2| – 3 и построим её график используя преобразования, содержащие модуль, а также параллельный перенос.

Графиком функции у = b является прямая параллельная оси х.

Очевидно, что исходное уравнение имеет ровно три различных корня при b=-1.

Ответ: b = -1.

№ 5 Решить неравенство

Один ученик решает у доски, остальные записывают решение неравенства №5 в тетради.

Учитель обсуждает совместно с учащимися метод решения неравенства, следит за грамотностью рассуждений учащихся и верной записью решения неравенства. Выставляет оценку за работу.

 Решение (метод интервалов).

Решим уравнение f(x)=0. Получим:

5. Домашнее задание (3 минуты).

(Заранее приготовлен слайд на интерактивной доске.)

1) Решить неравенство ||2x – 1| – 3| > 3.

2) Найти все значения параметра b при которых уравнение |x – 3| + |x + 1| = b имеет ровно два различных корня.

3) Решить уравнение cosx = |cosx|(x + 1.5)².

(Приложение №5)

Учитель поясняет домашнее задание, обращая внимание учащихся на то, что аналогичные задания были разобраны на уроке.

Первое неравенство можно решить методом интервалов, второе уравнение – графически, а третье-с помощью аналитического определения модуля, рассматривая три случая (подмодульное выражение больше нуля, равно нулю и меньше нуля ) отдельно.

6. Подведение итогов урока (3 минуты).

Решение уравнений и неравенств с модулем требует от учащихся глубоких теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания трудолюбия, сообразительности. Наверное, поэтому такие задания и включены в материалы ЕГЭ.

Сегодня на уроке все очень хорошо поработали, 15 человек получили оценки. Молодцы ребята!

Контрольные работы по спецкурсу для 10 класса «Уравнения и неравенства с модулем» | Элективный курс по математике (10 класс) на тему:

КИМы  по  спецкурсу  для  10   КЛАССА

Всего  контрольных  работ – 6.

Контрольные  работы  полностью  соответствуют  плану  спецкурсу.

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  № 1  по  теме  «Модуль  числа.  Уравнения,  содержащие  модуль» 

Контрольная  работа  №  1   состоят из  4   заданий  в  три  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  4 заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  3  заданий;

2) Цели

1.Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:

а)  упрощения  иррациональных  выражений,  б)  построения  графиков  функций;

 в) решения  уравнений.

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  №  1.  

 Вариант  1.

       1.Найти  значение  выражения:  

а)  ∙ ;    б)     ;                          

 в)  -.

       2.Упростите  выражение:  а)  ;  б)    ;   в)  .

      3.Построить  график  функции:  а)  у = ;  б)  у = 2.  в)  у = х2 — 4 +3.

       4. Решите  уравнение:  а) = 1;   б)   — =9;  в)  + = 6.

Вариант  2.

1. Найти  значение  выражения:  

а)  ∙ ;    б)     ;                          

 в)  -.

       2.Упростите  выражение:  а)  ;  б)    ;   в)  .

      3.Построить  график  функции:  а)  у = ;  б)  у = 2.  в)  у = х2 — 6 + 5.

       4. Решите  уравнение:  а) = 1;   б)   — =9;  в)  + = 6.

С/ р    Неравенства с модулем

1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»

1) . |2x + 3|

4). |x2 + 2x – 7|

7). |x3 — 2x -4|

2. Неравенства вида «Модуль больше функции»

1). |3x +1| > 5 — 4x ;   2). |x2 + 2x -3|> x ;   3). |2×2 — 9x +15|> 20 ;

4). |x2 — x -6 |>x +3;   5). |x2 -8x + 2|- x2 > 2x + 2 .

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  № 2  по  теме  «Неравенства,  содержащие  модуль».

Контрольная  работа  №  2   состоят из  4   заданий  в  два  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  3 заданий;

2) Цели

1.Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:

а)  упрощения  иррациональных  выражений,  б)  построения  графиков  функций;

 в) решения  уравнений.

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  №  2.  

 Вариант  1.

1.Решить  неравенства  по  определению: а) ;  б)   

 2.Решите  неравенство  ;

 3. При  каких  значениях   х  выражение | |x| -3x + 5|  больше  3.

 4. Найдите  целые  решения  неравенства  ,  решив  его  методом  интервалов.

Вариант  2.

1.Решить  неравенства: а) ;  б)  .

2. Решите  неравенство  ;

3. При  каких  значениях   х  выражение | |x| + 3x — 5|  меньше  3.

4. Найдите  целые  решения  неравенства:,  решив  его  методом  интервалов.

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  № 3  по  теме  «Решение  уравнений»

Контрольная  работа  №  3   состоят из  4   заданий  в  три  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  3  заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  3 заданий;

2) Цели

1.Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:  

а) решения  уравнений:  иррациональных,  показательных,  логарифмических,

     тригонометрических;

б) нахождения  частных  решений  тригонометрических  уравнений.

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  №  3.  

 Вариант  1

1.Решите  уравнения: а) ;  б) ;  в)  .

2.Найдите  наибольший  корень  уравнения:  а) ;  

   б) ;  в)  .

3.Найдите  корни  уравнения:  а) 2lg x = lg (6 – x)2;   б)  lоg4 (x2 -15х ) = 2;

  в) 2lоg2(-х)  = 1 + lоg2 (х + 4).

4.Решите  уравнений:  a)  2cos (x- ;   б)  sin2x — .

  б)  Найдите  сумму  корней  уравнения  (sin x + cos x)2 = 1 + sin x∙ cos x,  принадлежащие  

       отрезку  .

Вариант  2

1.Решите  уравнения: а) ;  б) ;

 в)  .

2.Найдите  наибольший  корень  уравнения:  а) ;  

   б) ;  в)  .

3.Найдите  корни  уравнения:  а) 2lg x = lg (4 – x)2;   б)  lоg3 (x2 — 6х ) = 3;

  в) 2lоg3(-х)  = 2 + lоg3 (х — 2).

4.Решите  уравнений:  a)  2 sin (x — ;   б) cos2 x — .

  б)  Найдите  сумму  корней  уравнения  sin4 x — cos 4х = sin2 x — 1,  принадлежащие  

       отрезку  .

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  №  4  по  теме   «Общие  методы  решения  уравнений».

Контрольная  работа  №  4   состоят из  4   заданий  в  три  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  3 заданий;

2) Цели

1.Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:  

а) решения  уравнений:  иррациональных,  показательных,  логарифмических,

     тригонометрических,  используя  общие  методы  решения  уравненийю

б) нахождения  частных  решений  тригонометрических  уравнений.

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  по  теме   «Общие  методы  решения  

Вариант  1

      1.Решите  уравнение:  а)  25∙;  б) х2 + х + 2 + ;

         в)  4.

2.Найдите  количество  корней  уравнения:  а)  ;

б)  41-х + 4х = 5,  в)  3⋅4х -5∙6х + 2⋅9х = 0.

      3.Решите  уравнения:  а)  lоg( х — 1 ) ∙ lоgх  = lоgх  

        б)  lоg х + lоgх  = 0;  в)  lоg(4 х ) — lоgх  — 2= 0.

      4. Решите  уравнение  а)  sin 3x – sin x = 0; в) 1+ cos 4x = cos  2x;

             и  найдите  его  корни  принадлежащие  промежутку  .

Вариант  2

      1.Решите  уравнение:  а) х2∙;  б) х2 — х +;

в) .

2.Найдите  количество  корней  уравнения:  а)  ;

б)  2х – 22-х = 3,  в)  3⋅25х — 8∙15х + 5⋅9х = 0.

      3.Решите  уравнения:  а)  lоgх = lоg ( х + 1 ) ∙ lоgх ;

        б)  lоgх — lоgх  = 0;  в)  lоg(2 х ) +3 lоgх  + 3= 0.

      4. Решите  уравнение  а)  cos 3x + cos x = 0;  в) 1- cos 4x = sin 2x;

           и  найдите  его  корни  принадлежащие  промежутку  .

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  №  5  по  теме   «Неравенства».

Контрольная  работа  №  5   состоят из  4   заданий  в  три  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  3 заданий;

2) Цели

1. Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:  

а) решения  уравнений:  иррациональных,  показательных,  логарифмических,

     тригонометрических,  используя  общие  методы  решения  уравненийю

б) нахождения  частных  решений  тригонометрических  уравнений.

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

   3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  по  теме   «Неравенства».

 Вариант  1

1.Решите  рациональное  неравенство:  а) 3х2 – 2х – 8 > 0;  б) ;

     в) .

2.Решите  показательное  уравнение:  а) 0,2;  б)  3х+1 ∙9х-0,5 ;

    в)  32х – 9х-1 + 27> 51.

3. решите  логарифмическое  уравнение :  а)  lоg(1 — 2х)

   б)  lоg0,5 (1 + 2х) > -1;  в)  lоg0,5 (х2 – 5х + 6) > -1.

4.  Решите  неравенство  методом  интервалов: а)  ;  б)  ;

     в) (х2 – 9) ∙ lоg0,5 х

     Вариант  2

    1. Решите  рациональное  неравенство:  а)  2х2 – 3х – 9 ;

     в)

 2.Решите  показательное  уравнение:  а) 0,5;  б)  2х-1 ∙4х+0,5 ;

    в)  22х – 4х-1 + 814.

3. Решите  логарифмическое  уравнение :  а)  lоg (1 -3х)

   б)  lоg0,5 (1 — 2х) > -2;  в)  lоg0,5 (х2 – 7х + 12) > -1.

4.  Решите  неравенство  методом  интервалов: а)  ;  б)  ;

     в) (х2 – 16) ∙ lоg0,2 х > 0.

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  №  6   по  теме   «Решение  заданий  к  ЕГЭ».

Контрольная  работа  №  6   состоят из  5   заданий  в  три  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  5  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  5  заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  5 заданий;

2) Цели

1.Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:  

а) решения  уравнений:  иррациональных,  показательных,  логарифмических,

     тригонометрических,  используя  общие  методы  решения  уравнений

 б) решения  неравенств:  рациональных,  показательных,  логарифмических,

      используя   методы  решения  неравенств.

в) нахождения  частных  решений   уравнений, неравенств

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  №  6  будет  составлен  на  основании  сборника для  подготовки  к  ЕГЭ  за 2019г.

A2H Module 10 Review — Rationals

Поиск среди миллионов викторин

ВИКТОРИНА

Математика

5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Вычисление объемов с помощью двойного интегралаС помощью двойного интеграла, если воспользоваться его геометрической трактовкой, можно вычислить объем цилиндроида; формула для вычисления объема цилиндроида имеет вид:

где функция  задает поверхность, ограничивающую цилиндроид сверху (Рис. 9)Более общая формула для вычисления объема тела с помощью двойного интеграла имеет вид:Она получается как разность объемов двух цилиндроидов (Рис. 10).Объемы других тел вычисляются двойным интегралом только в случаях, когда эти объемы представляются как сумма или разность объемов цилиндроидов.Напомним, что цилиндроидом называется геометрическое тело, которое в координатной системе XOYZ ограничено снизу областью , сверху – частью некоторой поверхности , сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Вычисление площади фигуры с помощью двойного интеграла. Двойной интеграл применяется для вычисления площади плоской фигуры. f(x;y)=1 с высотой H=1. Объем такого цилиндра равен S обл. D. В полярных координатах эта формула будет иметь вид: Двойной интеграл легко вычисляется, если область D является прямоугольником. В этом случае двойной интеграл будет вычисляться через двукратный интеграл (повторный). — двукратный интеграл, где интеграл f(x;y)dy — внутренний интеграл, а интеграл dx — внешний интеграл. Пределы интегрирования внешнего интеграла всегда должны быть числами. Пределы интегрирования внутреннего интеграла могут представлять либо числа, либо функцию. Подынтегральная функция f(x;y) может разделяться на 2 переменных x и y в том случае, если представляет собой произведение или частное x и y. Если же функция представляет собой сумму или разность двух переменных x и y, то ее полностью записывают во внутренний интеграл и разделить ее нельзя. 

6. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла.

Вычисление площади плоской фигурыПлощадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле . (105)Если область определена в прямоугольной системе координат неравенством  , то из (105) имеем . (106)Если область D определена в полярных координатах неравенством  ,  , то . (107)

Вычисление площади пространственных поверхностейЕсли гладкая однозначная поверхность задана уравнением z = f (x,y),то площадь этой поверхности выражается формулой , (108)где D есть проекция данной поверхности на плоскость хОу.Если поверхность задана уравнением x = f (y, z),то для вычисления площади имеем аналогичную формулу . (109)Однако здесь D есть проекция поверхности на плоскость yOz.Аналогично, если поверхность задана уравнением y = f (x, z), , (110)где D – проекция поверхности на плоскость xOz.

Пусть в плоскости Oxy есть материальная пластинка, то есть некоторая область D, п о которой распределена масса с плотностью μ(x, y). Тогда:масса пластинки

.статические моменты относительно координатных осей:

,  координаты (x_c, y_c) центра масс пластинки:

, 

момент инерции пластинки относительно оси O_y  относительно оси O_x  относительно начала координат 

Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл. (Лекция 2.1)

1. Лекция 2.1 9 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 9.1 Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл.

z
y
D
z = z ( x, y ) ³ 0
x
Цилиндрическим телом называется тело,
ограниченное замкнутой областью D плоскости Oxy,
поверхностью z=z(x,y), где z=z(x,y) непрерывна и
неотрицательна в области D и цилиндрической
поверхностью с образующей параллельной оси Oz и
направляющей – границей области D.

2. Разобьем область D на n произвольных частичных областей (k(1,…,n)).

Разобьем область D на n произвольных частичных
областей Ds k (k (1,…,n)).
Ds k
y
( xk , yk )
D
x
Выберем в каждой из частичных областей произвольную точку с
(
)
координатами xk , yk . Объем цилиндрического тела между
опорной плоскостью Oxy и поверхностью z=z(x,y) над частичной
областью Ds k равен DVk » z xk , yk Ds k
. Объем всего
цилиндрического тела равен
(
n
n
k =1
k =1
)
V = å DVk » å z ( xk , yk ) Dsk

Устремим наибольший диаметр частичных областей
max diam ( Dsk ) ® 0 , n ® ¥
Ds k
и рассмотрим предел интегральной суммы
к нулю, при этом
n
lim
max diam( Dsk
n®¥
z ( xk , yk ) Dsk
å
) ®0
k =1
Если этот предел существует, то очевидно, что
V=
n
lim
max diam( Dsk
n®¥
z ( xk , yk ) Dsk
å
) ®0
k =1

4. Определение.

Двойным интегралом от функции z=z(x,y) по области D
называется предел, к которому стремится интегральная
сумма при стремлении к нулю наибольшего диаметра
частичных областей
n
lim
max diam( Dsk
n ®¥
z ( xk , yk ) Dsk = òò z ( x, y ) d s
å
) ®0
k =1
D
z ( x, y ) ds
– подынтегральное выражение;
z(x,y) – подынтегральная функция;
ds — элемент (дифференциал) площади;
D – область интегрирования.
Таким образом, V = z ( x, y ) d s
òò
D

5. Теорема существования двойного интеграла.

Если z(x,y) непрерывна в замкнутой
ограниченной области D, то ее интегральная
сумма стремится к пределу при стремлении к
нулю наибольшего диаметра частичных
областей. Этот предел не зависит от способа
разбиения области на частичные области Ds k
и выбора в них точек ( xk , yk ) .

6. 9.2 Свойства двойных интегралов.

1)
D
òò ( z1 ( x, y ) ± … ± zn ( x, y ) ) d s = òò z1 ( x, y ) d s ± … ± òò zn ( x, y ) d s
2)
D
òò cz ( x, y ) d s = c òò z ( x, y ) d s
D
D
D
3) D = D1 U D2 , D1 I D2 = Æ .
Тогда
òò z ( x, y ) d s = òò z ( x, y ) d s + òò z ( x, y ) d s
D
D1
D2

7. Свойства двойных интегралов.

4) Если (x,y) D z1 ( x, y ) ³ z2 ( x, y )
то
òò z1 ( x, y ) d s ³ òò z2 ( x, y ) d s
D
D
D
5) Если m = zвнаим
, M = zвнаиб
mS £ òò z ( x, y ) d s £ MS
то
D
6)
z ( x, y ) d s = z ( x, h) S , ( x, h) D
òò
D
D
z ( x, h )
,
, где S = òò d s .
D
— среднее значение z в области D.

8. 9.3 Вычисление двойных интегралов.

Разобьем область D с помощью линий,
параллельных осям координат
с шагом dx и dy соответственно.
Тогда d s = dxdyи, следовательно,
y
ds
D
òò z ( x, y ) d s = òò z ( x, y ) dxdy.
D
D
При вычислении двойного интеграла будем использовать
b
формулу
V = ò S ( x ) dx,
(9.1)
a
где
— площадь поперечного
сечения тела плоскостью
S ( x)
x=const.
Предположим, что любая прямая, параллельная осям Ox или
Oy, пересекает границу области D не более чем в двух точках.
x
y
E
d
y = y2 ( x )
B
A
c
a
z = z ( x, y )
y
z
C
y = y1 ( x )
b
S ( x) =
D
x
a
y2 ( x )
b
x
ò z ( x, y ) dy
y1( x )
• Здесь при вычислении интеграла по dy считается,
чтоö x –
b æ y2 ( x )
постоянная.
z ( x, y ) dy ÷ dx =
V = z ( x, y ) dxdy = ç
• Согласно (9. 1)
y2 ( x )
b получим:
= ò dx
a
ò z ( x, y ) dy
y1( x )
òò
D
.
òç ò
a è y1( x )
÷
ø
(9.2)
• Изменив порядок интегрирования, аналогично
получим
d
x2 ( y )
c
x1( y )
òò z ( x, y ) dxdy = ò dy ò z ( x, y ) dx
D
.
(9.3)
• Правые части формул (9.2) и(9.3) называются
повторными (или двухкратными) интегралами.
• Процесс расстановки пределов интегрирования
называется приведением двойного интеграла к
повторному.

11. Примеры:

1)
y
d
D
c
x
a
b
b
d
d
b
a
c
c
a
òò z ( x, y ) dxdy = ò dx ò z ( x, y ) dy = ò dy ò z ( x, y ) dx
D
y
y=x
a
y=0
x=a
x
a
a
x
a
a
0
0
0
y
òò z ( x, y ) dxdy = ò dx ò z ( x, y ) dy = ò dy ò z ( x, y ) dx
D
y
1
y = x2
x+ y =2
y=0
x
2
1
1
x2
2
2- x
1
2- y
0
0
1
0
0
y
òò z ( x, y ) dxdy = ò dx ò z ( x, y ) dy + ò dx ò z ( x, y ) dy = ò dy ò z ( x, y ) dx
D
y
y = y2 ( x )
y = y1 ( x )
a
b
x
b
y2 ( x )
a
y1( x )
òò z ( x, y ) dxdy = ò dx ò z ( x, y ) dy
D
y
d
c
.
x = x1 ( y )
x = x2 ( y )
x
d
x2 ( y )
c
x1( y )
òò z ( x, y ) dxdy = ò dy ò z ( x, y ) dx
D
y
D1
D = D1 + D2 + D3
D2
D3
x
òò z ( x, y ) dxdy =
D
= òò z ( x, y ) dxdy +
D1
òò z ( x, y ) dxdy + òò z ( x, y ) dxdy
D2
D3

Двойные интегралы

и объем

Двойные интегралы и объем

Определение объема

Напомним, что площадь между двумя кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус нижняя кривая. Эту идею можно довести до трех размеры. Мы определили объем между двумя поверхностями как двойной интеграл верхней поверхности минус нижняя поверхность. Это можно написать формально с теоремой ниже.

Теорема Фубини Пусть f, г 1 , г 2 , ч 1 , и ч 2 быть определенная и непрерывная на области R. Тогда объем поверхности равен двойным интегралам:

 

Обратите внимание, что все типичные свойства двойного интеграла держать. Например, можно вытащить константы и получить двойной интеграл от сумма двух функций есть сумма двойных интегралов каждой функции.

---

Поиск тома

 

Пример

Установите интеграл, чтобы найти объем твердого тела, лежащего ниже конуса

и выше плоскости xy.

 

Раствор

Конус нарисован ниже

Мы видим, что область R представляет собой синий кружок в плоскости xy. Мы можем найти уравнение, установив z = 0,

Решение для y (переместив квадратный корень влево, возведя в квадрат обе стороны и т. д.) дает

«-» соответствует нижнему пределу, а «+» — верхнему пределу. Для внешних границ мы видим, что

-4 < х < 4

Все это вместе дает

Либо вручную или на машине мы можем получить результат

Объем = 64 стр/3

Обратите внимание, что это согласуется с формулой

Объем =  p r ² ч/3

 

Упражнение

Настройте двойной интеграл для этой задачи с помощью dxdy вместо dyx. Затем покажите, что два интеграла дают один и тот же результат.

 

Пример

Установите двойной интеграл, который дает объем твердого тела лежащий под сферой

х ² + у ² + z ²   =  6

и выше параболоид

г =  х ² + у ²  

 

Раствор

На картинке ниже указано, что регион — это диск, который лежит внутри этой окружности пересечения двух поверхностей. Подставляем

х ² + у ² + (х ² + у ² ) ² =  6

или

        x ² + у ² + (х ² + у ² ) ² — 6  = 0

Теперь разложите x ² + y ² в качестве переменной, чтобы получить

(х ² + у ² — 2)(х ² + у ² + 3) =  0

Второй множитель не имеет решения, а первый

        x ² + у ²   =  2

Решение для y дает

и

—  < х < 

Просто как мы сделали в одном исчислении переменных, объем между двумя поверхностями равен двойной интеграл верхней поверхности минус нижняя поверхность. У нас есть

Снова мы можем выполнить этот интеграл вручную или на машине и получить

Объем =  7,74

---

Среднее значение

Мы думаем о среднем как о сумме всех деленных на общий. Двойной интеграл действует как сумма, а сумма есть область. Это приводит нас к следующему определению.

Пусть f(x,y) — интегрируемая функция по области R с площадью А, затем Среднее значение из ф над R является

 

Пример

Вы продаете футболки и толстовки и определили, что функция прибыли от продажи x футболок и y толстовок определяется как

.

P(x,y) = 10000 +2100 x — 3x ² + 3(y — 400) ²  

Найдите среднюю прибыль, если вы продаете от 200 и 400 футболок и между 300 и 400 толстовки.

 

Раствор

Находим двойной интеграл

Далее разделить на общую площадь

А = (400–300)(400–200) = 20000

по получить

Средняя прибыль = 350000

или 3500 долларов.

 

---

Население

Предположим, что плотность популяции муравьев в точке (x,y) в метрах, где происхождение соответствует источнику воды, можно смоделировать к

30000
Р (х, у) =                         
1+ х ² + у ²

Установите интеграл, который оценивает общую популяцию муравьев в пределах 100 метров от источника воды. Затем используйте калькулятор, чтобы вычислить этот интеграл.

 

Раствор

Область представляет собой окружность радиусом 100

х ² + у ²   =  10000

Находим

Калькулятор дает нам популяцию около 868 000 муравьев.

 

---

Назад на главную страницу Math 117

Назад к математике Дом Департамента

электронная почта Вопросы и предложения

Численность, математика и статистика — Набор для академических навыков

Двойные и тройные интегралы

ContentsToggle Main Menu 1 Двойные интегралы 1.