Рубрика: Разное

Приветик! Помогите мне найти знаменатель геометрической прогрессии. Раздел II. № 6.40. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

1) Три различных числа а, b и с образуют геометрическую прогрессию, а числа а + b, b + с, а + с образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
 
 
2) Три положительных числа а, b и с образуют геометрическую прогрессию, а числа а — b, b + с, b — с образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
 

ответы

6.40(1) a; b; с – геометрическая прогрессия; следовательно
b = aq; с = аq²; а ≠ 0. а+b, b+с, a+c – арифметическая прогрессия,
следовательно 2(b+с) = a+b+a+c Далее: 2(аq + aq²) = 2а + aq + aq²;
2(9+q²) = 2+q+q²; 2q+2q2 = 2+q+q², q²+q-2 = 0, q₁ = -2; q₂ = 1;
q ≠ 1 (следует из определения геометрической прогрессии)
Ответ: q = -2.
 
 
6.40(2) а; b; с – геометрическая прогрессия; b = aq; с = aq²; а ≠ 0.
а-b, b+с, b-с — арифметическая прогрессия; 2(b+с) = а-b+b-с;
2(b+с) = а-с; 2(aq+aq²) = a-aq²; 2(q+q²) = 1-q²; 2q+2q²-1+q² = 0;
 

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

ЕГЭ

10 класс

11 класс

Химия

похожие вопросы 5

Раздел II. № 4.28. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. Помогите задать аналитически функцию.

Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке.
  (Подробнее…)

ГДЗАлгебра9 классКузнецова Л. В.

найдите слово синонимочное в даном тексте слову очень у Никиты были городового цвета брлви

ГДЗ

Решите Глава 3 §3 А02 ГДЗ Алгебра 9 класс Шестаков С.А.

Решите уравнение: (Подробнее…)

ГДЗАлгебра9 классШестаков С.А.

2. Найдите значение выражения: а) |5,7| + |-3,3|; б) |5,7-3,3|; в) |—6,48|: |—1,8|. Математика 6 класс А.П. Ершова. К 8. Вариант А 2

2.
Найдите значение выражения:
а)  |5,7| + |-3,3|; (Подробнее…)

ГДЗМатематикаЕршова А.П.6 класс

Помогите найти Глава 4 §1 D10 ГДЗ Алгебра 9 класс Шестаков С.А.

Найдите все пары (х; у) целых чисел х и у, для которых:
а)   7(х — 5)2 + 5(у — 7)2≤ 6;
б)   9(х — 11)2 + 11(у — 9)2≤ 10. (Подробнее…)

ГДЗАлгебра9 классШестаков С.А.

Геометрическая серия | Purplemath

IntroExamplesArith. и гео. Посл.Ариф. Серия

Purplemath

Вы можете вычислить сумму конечного числа членов геометрической прогрессии. И по причинам, которые вы изучите в математическом анализе, вы можете взять сумму бесконечной геометрической последовательности , но только в том особом случае, что обыкновенное отношение r находится между -1 и 1; то есть вы должны иметь | р  | < 1.

Для геометрической прогрессии с первым членом a ₁ = A и общее соотношение R , сумма первых N Указана как:

Содержание. Продолжение ниже

может иметь несколько иную форму формулы частичной суммы, приведенной выше. Например, «

В особом случае | р  | < 1, бесконечная сумма существует и имеет следующее значение:

Первые несколько членов равны −6, 12, −24:

a − 1 = 30 ( 1 = (3)(−2) = −6

a 2 = 3(−2) ² = (3)(4) = 12

a 3 = 3(−2) ³ = (3)(−8) = −24

Итак, это геометрический ряд со знаменателем r = −2. (Я также могу сказать, что это должен быть геометрический ряд из-за формы, заданной для каждого члена: по мере увеличения индекса каждый член будет умножаться на дополнительный коэффициент −2.)

Первый член последовательности равен . а = -6. Подключив формулу суммирования, я получаю:

Таким образом, значение суммирования:

2,097 150

• Оценка S

  ₁₀ для 250, 100, 40, 16,. …

Обозначение «S10» означает, что мне нужно найти сумму первых десяти членов. Первый член равен a = 250. Разделив пары членов, я получаю:

100 ÷ 250 = 2/5

40 ÷ 100 = 2/5

…и так далее, так что добавляемые члены образуют геометрическую последовательность со знаменателем

р = 2/5.

В отличие от формулы для n -й частичной суммы арифметического ряда, мне не нужно значение последнего члена при нахождении n -й частичной суммы геометрического ряда. Так что у меня есть все необходимое для продолжения. Когда я подставляю значения первого члена и обыкновенного отношения, формула суммирования дает мне:

Я не буду «упрощать» это, чтобы получить десятичную форму, потому что это почти наверняка будет считаться «неправильным». » отвечать. Вместо этого мой ответ:

Примечание. Если вы попытаетесь выполнить приведенные выше вычисления на своем калькуляторе, он вполне может вернуть десятичное приближение 416,62297… вместо дробного (и точного) ответа.

Как вы можете видеть на снимке экрана выше, ввод значений в дробной форме и использование команды «преобразовать в дробь» по-прежнему приводит к десятичному приближению к ответу. Но (правда!) десятичное приближение почти наверняка будет расценено как «неправильный» ответ. Потратьте время, чтобы найти дробную форму.

• Найти

  a _n , если S ₄ = 26/27 и r = 1/3.

Мне дали сумму первых четырех членов, S ₄ , и значение обыкновенного отношения r . Поскольку существует обыкновенное отношение, я знаю, что это должен быть геометрический ряд. Подключив к формуле суммы геометрического ряда, я получаю:

Умножая с обеих сторон на

27/40, чтобы найти первый член a = a ₁ , я получаю:

Тогда, подставляя в формулу n -го члена геометрической прогрессии, я получаю:

• Покажите с помощью геометрического ряда, что 0,3333… равно 1/3.

В этом есть хитрость. Сначала мне нужно разбить повторяющуюся десятичную дробь на отдельные термины; то есть «0,3333…» становится:

0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

Разделение десятичной формы таким образом выдвигает на первый план повторяющийся паттерн бесконечного (то есть никогда- окончание) десятичное явно: для каждого термина у меня есть десятичная точка, за которой следует постоянно растущее количество нулей, а затем заканчивается «3». Эту расширенно-десятичную форму можно записать в дробной форме, а затем преобразовать в форму геометрического ряда:

Это доказывает, что 0,333… является (или, по крайней мере, может быть выражено как) бесконечным геометрическим рядом с

a = 3/10 и r = 1/10. Поскольку | р  | < 1, я могу использовать формулу суммирования бесконечных геометрических рядов:

Для приведенного выше доказательства, используя формулу суммирования, чтобы показать, что «расширение» геометрического ряда 0,333… имеет значение одной трети — это «показ», что упражнение требовало (так что это довольно важно делать свою работу аккуратно и логично). И вы можете использовать этот метод для преобразования любого повторяющегося десятичного числа в его дробную форму.

Сначала я разобью это на составные части, чтобы найти закономерность:

1,363636.. = 1 + 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + . ..

Две повторяющиеся цифры, поэтому дроби немного отличаются. Но это по-прежнему геометрический ряд:

. Это показывает, что первоначальная десятичная дробь может быть выражена как начальная «1», добавленная к геометрическому ряду, имеющему

a = 9/25 и r = 1/100. Поскольку значение обыкновенного отношения достаточно мало, я могу применить формулу для бесконечного геометрического ряда. Тогда сумма оценивается как:

Таким образом, эквивалентная дробь в форме неправильной дроби и в форме смешанных чисел:

Кстати, этот метод также можно использовать для доказательства того, что 0,999… = 1.

URL: https

Страница 1 Страница 2 Страница 3 Страница 4

Математическая задача: GP 3 члена

Учитывая, что 49, X и 81 являются последовательными членами геометрической прогрессии, найдите:
A. Значение x
B. Среднее геометрическое

Правильный ответ:

Пошаговое объяснение:

/a1​

​=81/49

​=79​=172​ ≐ 1,2857  x=q⋅ a1​=1,2857⋅ 49=63

63⋅ 81

​=63

Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

. Спасибо!

Чтобы решить эту математическую задачу со словами, вам необходимо знать следующие знания:

• algebra
• geometric progression
• expression of a variable from the formula
• arithmetic
• square root

Grade of the word problem:

• high school

• Geometric progressiob
  Если сумма четырех последовательных членов геометрической прогрессии равна 80, а среднее арифметическое второго и четвертого членов равно 30, то найти члены. n + 93.
• Термины ГП
  Что такое 6-й термин ГП 9, 81, 729,. ..?
• Найдите k
  Найдите k так, чтобы слагаемые k-3, k+1 и 4k-2 образовывали геометрическую прогрессию. Покажите свое решение.
• Элементы
  Геометрическая последовательность из шести элементов имеет сумму всех шести элементов, равную 63; сумма четных элементов (с четным индексом) имеет значение 42. Найдите эти элементы.
• Сумма 1-6
  Найдите сумму геометрической прогрессии 3, 15, 75,… до шести членов.
• Шесть членов
  Найдите первые шесть членов последовательности a1 = -3, an = 2 * an-1
• В ОП 72+144
  В ОП сумма второго и пятого членов равна 72, а сумма третьего и шестого членов равна 144. Найдите знаменатель, найдите первый член и найдите сумму первых шести членов
• Параболическая последовательность
  Найдите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, общий член которой is a(n) = 3n²+5
• Последовательный 46761
  Длина блока состоит из трех последовательных элементов GP.

Для скачивания — Кафедра экономики АПК

2. Главная
3. Университет
4. Для скачивания
5. Кафедра экономики АПК

УМК. Внешнеэкономическая деятельность в АПК Менеджеры

Скачать

УМК. кономика, менеджмент и маркетинг в отрасли (часть 1-1-4 модуль- Экономика отрасли)Технология хранения и переработки животного сырья

Скачать

УМК. ЭКОНОМИКА ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ бухгалтеры

Скачать

УМК. Экономика природопользования МЕН

Скачать

ЭУМК Экономика организации (предприятия) АПК часть 2

Скачать

ЭУМК Экономика организации (предприятия) АПК часть 1

Скачать

Экономика организации (предприятия)

Скачать

Экономика менеджмент и маркетинг в отрасли (1ч. — 1-4 модули — экономика отрасли)

Скачать

УМК Внешнеэкономическая деятельность в АПК

Скачать

УМК Внешнеэкономическая деятельность

Скачать

Экономика организации (предприятия) АПК. Методические указания по выполнению курсовой работы

Размер файла:

1. 28 MB

Автор:

В.И. Высокоморный, М.В. Пестис, Л.И. Новик, Л.В. Дидюля, Н.С. Щербук

Дата:

19.01.2018 01:05

В методических указаниях приведены рекомендации по написанию курсовой работы по предмету «Экономика организации (предприятия) АПК», представлен перечень тем курсовых работ с их примерными планами. Методические указания предназначены для студентов специальности 1-74 01 01 «Экономика и организация производства в отраслях АПК» дневной и заочной форм обучения, а также высшей школы управления. Настоящие методические указания разработаны в соответствии с программой дисциплины «Экономика организации (предприятия) АПК» по экономическим специальностям и Положением «Об оформлении курсовой и дипломной работы/проекта в учреждении образования «Гродненский государственный аграрный университет» от 2017 г.

Скачать

Сборник тестов экономика отрасли для ИТФ

Размер файла:

304.50 kB

Дата:

04.05.2017 05:51

Сборник тестов по дисциплине «Экономика отрасли» для студентов инженерно-технологического факультета специальности 1-49 01 01 «Технология хранения и переработки пищевого растительного сырья»

Скачать

Электроннй учебник — УМК Экономика и организация АПК

Скачать

Электроннй учебник — Экономика природопользования

Скачать

Методичка ЭКОНОМИКА ОГАНИЗАЦИИ для практических занятий

Размер файла:

1. 39 MB

Дата:

26.03.2014 03:00

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению практических заданий для студентов экономических специальностей заочной формы обучения

Скачать

УМК Чернушевич ЭКОНОМИКА И ОРГАНИЗАЦИЯ

Размер файла:

709.50 kB

Дата:

26.03.2014 03:01

Учебно – методический комплекс (для самостоятельного изучения дисциплины студентами дневного отделения специальности: 1-74 02 01 с – «Агрономия»)

Скачать

УМК ЭКОНОМИКА ОРГАНИЗАЦИЙ

Размер файла:

283.99 kB

Дата:

26.03.2014 03:02

Учебно – методический комплекс (для самостоятельного изучения дисциплины студентами всех форм обучения) по специальности: 1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии» специализации 1-25 01 07 15 «Экономика и управление на предприятии АПК»

Скачать

Экономика сельского хозяйства

Размер файла:

821.00 kB

Дата:

26.03.2014 03:59

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ(для выполнения контрольных работ)для студентов агрономического факультета специальности 1-740201 – «Агрономия»

Скачать

Внешнеэкономическая деятельность

Размер файла:

1. 61 MB

Дата:

26.03.2014 03:00

Учебно – методический комплекс (для самостоятельного изучения дисциплины студентами дневного отделения) по специальности: 1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии»

Скачать

Университет

Sugarbeet Agronomy 101 — MSU Extension Water Quality

Линзи Карлсон и Джим Баудер

Сахарная свекла играет значительную роль в картине орошаемого земледелия Нижнего Река Йеллоустоун. Выращивание высокоурожайной свеклы хорошего качества является ежегодной целью многие ирригаторы Montana. В таком случае следующая информация и факты может оказаться ценным для свекловодов.

• Уровень влажности почвы должен поддерживаться выше 65% доступной влаги.
• Сахарная свекла развивается в активной корневой зоне шириной 3,3 фута, при этом 70 % воды поступает из верхние 2′ этой корневой зоны.
• Сахарная свекла наиболее чувствительна к недостатку влаги и засолению в начале роста стадии (всходы и всходы).
• В пиковый 30-дневный вегетационный период (21 июля-20 августа) максимальное потребление воды составляет 0,24 дюйма/день. Максимальное использование во время 10-дневного пика составит 0,28 дюйма в день.
• Темно-зеленый цвет листьев свеклы – явный признак стресса. В его точку, полив должен начинаться немедленно.
• Недостаточный полив вызовет стресс и снизит урожайность, а чрезмерный полив незадолго до сбора урожая снижает содержание сахара.
• Средняя урожайность сахарной свеклы составляет 19-22 т/акр. Максимальная урожайность может варьироваться от 26 до 30 тонн/акр.

Сахарной свекле требуется 22-28 дюймов воды в течение вегетационного периода. Учитывая, что сахарная свекла считаются культурой с умеренным сроком созревания, в среднем более 120 дней вегетации. роста это количество воды составляет в среднем 0,15-0,18 дюйма в день. В самые жаркие дни лета, когда корневая система почти полностью развита, урожай свеклы будет использовать до 0,28 дюйма воды в день. Это равносильно орошению стратегия, требующая воды примерно каждые 14 дней. Как мы получаем значение 14 дней? Предполагать почва может удерживать 2,5 дюйма доступной влаги на фут, а активная корневая зона составляет 3,3 дюйма. ноги. Это означает, что почва сразу после полива может обеспечить 8,25 дюйма воды (2,5 дюйма на фут). х 3,3′ корневой зоны). Но рекомендуемый уровень влажности почвы составляет 65% от нормы. доступной влаги, которая оставляет 2,9дюймов воды для растения. Если мы используем это значения и разделить на 0,28″/день, чистый результат для этой конкретной почвы составляет около 10 дней. Суть такова: для максимизации выхода и производства сахара требуется довольно частая орошение.

Исследования показали, что предыдущие культуры, которые вносят много растительных остатков в почва, такая как пшеница или сорго, приведет к более высокому уровню болезни в последующем. урожая сахарной свеклы по сравнению с свеклой, выращиваемой после таких культур, как люцерна или подсолнечник. Культуры, предпочитаемые в краткосрочном севообороте с сахарной свеклой, включают фасоль, донник, кукуруза, крупы, горох, картофель, и если вы склонны попробовать что-то другое, помидоры. Люцерна является подходящей культурой в долгосрочном севообороте с сахарной свеклой. другой фактор, который, по-видимому, играет значительную роль в отношении болезней сахарной свеклы. это возникновение деятельности, которая ранит корни. Это делает корни более уязвимыми. к атакам бактерий и грибков.

Адекватный рост верхушки и корней требует большого количества азота, но если запасающие корни чтобы иметь высокую концентрацию сахарозы, растения должны испытывать дефицит азота в течение 4–8 недель. до сбора урожая. Исследования показали, что если содержание нитратов в сахарной свекле превышает 1000 частей на миллион в течение 6 недель после сбора урожая, содержание сахара будет снижено. Слишком большое количество азота приводит к высокой урожайности корнеплодов, сопровождающейся низким содержанием сахарозы и высоким содержанием азота. концентрации примесей, особенно натрия и амино-н. Высокие концентрации примесей снижают процент экстрагируемой сахарозы. Слишком мало N приводит к высокий выход сахарозы и хорошее качество за счет выхода корней.

Уменьшение количества вносимого N не снижает выход сахарозы или валовой доход сахарной свеклы раннего урожая. Пониженная норма азота подходит для раннего контрактного сахара свекла. Норма азота выше рекомендуемой нормы не увеличивает выход сахарозы или валовой доходы от сахарной свеклы, собранной в конце сезона.

Таким образом, одной из лучших стратегий азотных удобрений сахарной свеклы является определение разумная цель по урожайности, управляйте своей водой, чтобы получить на 10% больше, чем эта цель, и управляйте азотными удобрениями, чтобы достичь цели по урожайности или немного меньше. Что Таким образом, у вас будет достаточно азота, чтобы снабжать урожай, но не так много, чтобы он перенес в конце сезона.

Расстояние между посадками сахарной свеклы довольно хорошо установлено традицией, предыдущим опытом, и существующее оборудование. Тем не менее, время от времени оглядываться по сторонам не помешает. В следующей таблице показаны результаты исследования, проведенного на экспериментальной станции Malheur. в Онтарио, штат Орегон. Свекла выращивалась с междурядьями 11 дюймов и 22 дюйма с различными растениями. интервалы внутри рядов. Результаты показали увеличение выхода, содержания сахара и экстракции. для свеклы, выращенной в 11-дюймовых рядах, по сравнению со свеклой, выращенной в 22-дюймовых рядах. Отсюда следует, что растет сахарной свеклы на более узких рядах может увеличить общее производство сахара. Помимо потенциально более высоких урожаев, узкорядная сахарная свекла образует навес над почву в начале сезона, что, возможно, делает их более конкурентоспособными с сорняками, чем сахарной свеклы в 22-дюймовых рядах.

Другие ресурсы
http://www. agric.gov.ab.ca/irrigate/sugarbeet.html

Эффективность производства свеклы и пути ее повышения в случае негативной конъюнктуры на товарном рынке

БИО Web of Conferences 27 , 00108 (2020)

Эффективность производства свеклы и пути ее повышения в случае негативной конъюнктуры на товарном рынке

Ильгизар Гайнутдинов ^{1 ,2 *} , Лилия Михайлова ¹ , Фаяз Авхадиев ¹ и Наиль Асадуллин ¹

¹ Казанский государственный аграрный университет, Казань 420015, Россия
² Татарский институт переподготовки кадров АПК, Казань 420064, Россия

^* Автор, ответственный за переписку: [email protected]

Реферат

Актуальность темы статьи связана с необходимостью развития рынков сельскохозяйственной продукции на региональном уровне в целях повышения экспортного потенциала сельскохозяйственной продукции. Цель статьи — выяснить причины снижения рыночной цены на продукты переработки сахарной свеклы, в частности на белый сахар, а также разработать рекомендации по оптимизации производства и реализации сахарной свеклы. Новизна исследования заключается в выявлении тенденций развития рынка сырья для производства сахара из сахарной свеклы на региональном уровне и обосновании необходимых первоочередных мер по повышению экономической эффективности в свекловодческой отрасли. В статье представлены результаты анализа уровня развития товарного рынка производителей сахара. Определены приоритетные направления увеличения объемов производства и повышения эффективности производства сахарной свеклы как основного сырья для производства белого сахара и сахара-песка; даны рекомендации по обеспечению устойчивого роста доходов от реализации корнеплодов сахарной свеклы. Практическая значимость результатов исследований заключается в возможности их использования при разработке программ развития региональных продовольственных рынков, организационно-экономических, технологических мероприятий по повышению эффективности свеклопроизводства в отдельных муниципальных районах для достижения высоких целевых показателей.

© The Authors, опубликовано EDP Sciences, 2020

Это статья с открытым доступом, распространяемая в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License 4.0, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии, что оригинал работа цитируется правильно.

1 Введение

Основные районы возделывания сахарной свеклы в Российской Федерации сосредоточены в Краснодарском крае, Воронежской, Липецкой, Тамбовской и Курской областях. В 2019 году, в этих районах было сосредоточено более 680 тыс. га сахарной свеклы. По данным Росстата, во всех категориях хозяйств площадь посевов сахарной свеклы составила 1 144,9 тыс. га, что превышает уровень 2018 года на 1,6 % (табл. 1). Посевная площадь сахарной свеклы в 2019 году по сравнению с уровнем 2011 года увеличилась на 48,2 % (на 372,4 тыс. га). Валовой сбор сахарной свеклы в России вырос значительно больше посевной площади, за счет роста корнеплодов прирост составил, соответственно, 39,4 и 23,7 % [1]. По мнению экспертов, с учетом этой тенденции, а также растущей производительности свеклосахарной отрасли обеспечить Россию сахаром можно будет с каждым годом все меньшими урожаями сахарной свеклы. По оценкам, для обеспечения внутренних потребностей в ближайшие годы достаточно возделывания сахарной свеклы на площади 1−1,05 млн га.

В 2019 году основным производителем белого сахара стал Центральный федеральный округ с долей около 55,4 %. По данным мониторинга Sugar.Ru, объемы производства сырья и продуктов его переработки с каждым годом увеличиваются. В 2019 годуВ России произведено 7 278 636,9 тонн свекловичного сахара, что на 16,0 % больше производства предыдущего года [2].

Как видно из рисунка 1, оптовые цены на белый сахар на внутреннем рынке России за 2 года снизились в 2 раза. По данным Росстата, мировые цены на сахар-сырец на рынке TheICE находятся на самом низком уровне за последние 12 лет. Цены по контракту на белый сахар также значительно снизились, текущая котировка составляла $320/т, а это значит, что российский сахар будет конкурентоспособен при доставке морем по цене около 17,4 руб/кг без учёта. НДС (19.25 руб./кг вкл. НДС) Большинство производителей сырья и готовой продукции еще не осознали тенденции развития сегмента и продолжают наращивать объемы, рассчитывая при этом на прежнюю рентабельность производства, но ожидать этого в ближайшее время не следует. Таким образом, перед производителями сахарной свеклы-сырца стоит задача повышения эффективности отрасли в условиях негативной динамики спроса и отпускных цен на готовую продукцию.

Таблица 1.

Посевная площадь, валовой сбор и сбор корнеплодов сахарной свеклы по категориям хозяйств в Российской Федерации и Республике Татарстан *

2 Материалы и методы

Теоретической и методологической основой исследования является использование научных принципов и понятий экономической теории. Теоретико-методологическую основу составили также работы отечественных экономистов-аграрников по изучаемой теме, материалы международных и всероссийских научно-практических конференций, посвященных развитию сельского хозяйства.

Общей методологической основой исследования является системный анализ. Разнообразие материала обусловило необходимость использования в рамках системного анализа различных подходов, методов и приемов научного изучения социально-экономических процессов: конструктивных, детерминированных, ретроспективных, динамических, статистических.

В ходе исследования использовались монографический, реферативно-логический, расчетно-конструктивный, экономический и статистический методы.

В качестве информационно-фактической базы исследования использованы официальные данные Федеральной службы государственной статистики Российской Федерации, Министерства сельского хозяйства Российской Федерации, Министерства сельского хозяйства и продовольствия Республики Татарстан, отчетность документы сельскохозяйственных организаций, материалы, содержащиеся в официальных интернет-источниках, заключения экспертов, данные, полученные в ходе авторского анализа и расчетов.

3 Результаты

Конъюнктура рынка и результаты внедрения научно-технических исследований [3–6] оказывают существенное влияние на эффективность отраслей растениеводства, производящих товарную продукцию. Перепроизводство сахара в стране уже привело к падению цен на сахар в 2019 г. К середине июля оптовые цены снизились до 26,6 руб./кг (Краснодар с НДС) против 32 руб./кг на начало октября 2018 г. когда был зафиксирован максимум сезона (2018/19). За период 2017–2020 гг. средние цены производителей на сахар свекловичный или тростниковый и сахарозу химически чистую в твердом состоянии без вкусоароматических и красящих добавок снизились на 35,9 %, с 28 999,8 руб./т до 18 572,0 руб./т. Наибольшее падение средних цен производителей произошло в 2020 году, тогда темп роста составил минус 29,3 %.

За последние 3 года рост производства светского сахара в России превысил 6 млн тонн. При объемах собственного потребления 5,5–5,8 млн т превышение производства над потреблением создает экспортный потенциал. Соответственно объем поставок на экспорт увеличился по сравнению с 2011 годом в 3–4 раза. Невозможность увеличить возможности экспорта сахара привела к усилению внутренней конкуренции между переработчиками сахарной свеклы и снижению эффективности свекловодческой отрасли [7].

Текущая себестоимость производства сахара в целом по стране находится в пределах 23–24 руб./кг, а комфортная для производителей цена составляет 32 руб./кг. Уровень 26 руб./кг ниже приемлемой рентабельности, при которой можно обеспечить производство и инвестировать в развитие растений.

Запланированное Минсельхозом РФ производство белого сахара около 7 млн ​​т возможно, но это не будет способствовать повышению цен. В конце 2019 года, в Краснодарском крае, основном производителе сахарной свеклы, они опустились до уровня 19 руб./кг.

Динамика роста объемов белого сахара, роста его запасов, в результате снижения отпускной цены на него, все это снижает эффективность производства сырья — корнеплодов сахарной свеклы. Выращивание сахарной свеклы в фермерских хозяйствах требует возрастающих затрат на семена, средства защиты растений, удобрения, эксплуатацию техники и ряд других материальных ценностей.

За 2011–2018 годы затраты на возделывание сахарной свеклы в большинстве свеклосеющих районов Республики Татарстан увеличились в среднем на 2,1–19,3 %. В то же время в ряде районов удалось производить сахарную свеклу при снижении затрат на единицу продукции [7, 8]. Например, в Апастовском районе себестоимость корнеплодов сахарной свеклы снизилась на 12,8 %, в Кайбитском и Нижнекамском районах на 35,5–35,1 %. В 2019 г. в 7 из 12 муниципальных районов себестоимость единицы продукции была ниже по сравнению с 2015 г. (табл. 2).

Наибольшая доля в затратах на возделывание сахарной свеклы приходится на удобрения (20 %), сельскохозяйственную продукцию (15,6–16,8 %), семена (11,7–12,6 %), нефтепродукты [9, 10].

Экономическое положение свекловодческих хозяйств зависит от уровня отпускных цен на рынке сырья и имеет негативную конъюнктуру (табл. 3). Так, в большинстве свекловодческих районов цены на корнеплоды снизились на 5,1–52,3 %.

Цена реализации одного центнера корнеплодов сахарной свеклы к 2019 годуво всех муниципальных районах имела тенденцию к снижению, начиная с 2016 г. Причина снижения цен может быть как рыночной, так и бытовой (качество корнеплодов, засоренность, содержание других примесей и т. д.).

Из таблиц 4–5 видно, что свекловодство в 9 муниципальных районах было прибыльным, а в трех муниципальных районах получили убыток. Прибыль в муниципальных районах начала снижаться также начиная с 2016 года. Только производители сахарной свеклы Кайбицкого района смогли увеличить свою прибыль за последние 5 лет на 67,6 %, а засуха, наблюдавшаяся в некоторых свекловодческих районах в 2018 году, привела к убыткам. В 2019 году, объем прибыли по отрасли в целом по республике по сравнению с 2015 годом уменьшился в 7 раз.

Основной причиной убыточности отдельных муниципальных районов является рост себестоимости продукции и снижение цен на корнеплоды, что, в свою очередь, связано с большими затратами на возделывание сахарной свеклы. Так, начиная с 2015 г., рентабельность производства и реализации сахарной свеклы снизилась с 55,0 до 7,1 %, т.е. на 48,4 процентных пункта. В Апастовском, Дрожжановском и Лениногорском районах производство сахарной свеклы в 2019 годубыло невыгодно.

Рассмотрим, какие факторы повлияли на объем выручки и прибыли от производства и реализации сахарной свеклы среди других видов товарной продукции растениеводства в Республике Татарстан (табл. 6–7).

Как видим, по сравнению с 2017 годом денежная выручка от реализации сахарной свеклы уменьшилась на 1138,8 млн руб., в основном за счет снижения объемов реализации. Суммарная прибыль также уменьшилась на 333,2 млн руб. В основном это произошло за счет увеличения себестоимости продукции, т.е. роста затрат на возделывание сахарной свеклы и за счет снижения объемов реализации. Воздействие роста цен на сахарную свеклу не оказало существенного влияния на денежные поступления и прибыль.

Таким образом, увеличение производства сахарной свеклы как основного сырья для производства белого сахара и сахара-песка привело к увеличению производства белого сахара и увеличению его запасов в стране. Объемы производства белого сахара более 7 млн ​​тонн в 2019/2020 году привели к превышению запасов почти на 1 млн тонн, что способствовало снижению цен на готовую продукцию с 28989,8 руб/т до 18572,0 руб/т.

Все это также привело к снижению цен на сырье – корнеплоды сахарной свеклы – до 52,3 %, а также к падению объемов прибыли и снижению рентабельности производства. В целях сохранения привлекательности отрасли для свекловодческих хозяйств необходимо оптимизировать общую посевную площадь возделывания сахарной свеклы на уровне 900-1000,0 тыс. га в России при средней урожайности 480 ц/га, достигнутой в 2019 г.

Правительству РФ и органам исполнительной власти субъектов РФ необходимо искать возможности экспорта белого сахара совместно с крупным производителей белого сахара в стране.

Повысить эффективность свекловодческого хозяйства можно только за счет снижения затрат на средства производства и поддержания уровня урожайности на уровне 450-500 ц/га, при высокой сахаристости корнеплодов.

Задача обеспечения эффективности промышленности актуальна и для многих стран Европы. В целях предотвращения убыточности и сохранения отрасли в этих странах практикуется квотирование объемов производства. Одни страны (Ирландия) в целом полностью сокращают посевные площади сахарной свеклы, а ряд других (Италия, Испания, Греция, Чехия и Дания) значительно сокращают посевные площади сахарной свеклы.

Для повышения эффективности производства сахарной свеклы необходимо:

• полная раскладка сахарной свеклы по лучшим предшественникам на почвах с нейтральной реакцией;

• обеспечивают возврат сахарной свеклы в севооборот только через 5 лет;

• предусматривают размещение посевов после озимых по чистым парам;

• обеспечивают внесение комплексных минеральных удобрений в сочетании с микроудобрениями и известкование почв;

• переход на ресурсосберегающие почвосберегающие технологии возделывания сахарной свеклы;

• обеспечивают высокоэффективные средства защиты растений;

• своевременно и качественно подготовить оборудование к чистке.

Таблица 2.

Стоимость реализации сахарной свеклы, руб./ц

Таблица 3.

Отпускная цена корнеплодов сахарной свеклы, руб./ц

Таблица 4.

Прибыль от реализации сахарной свеклы , тыс. руб.

Таблица 5.

Рентабельность производства и реализации сахарной свеклы, %

Таблица 6.

Влияние факторов на объем выручки по основным видам сельскохозяйственной продукции за 2018 г. в Республике Татарстан, млн руб. .

Таблица 7.

Влияние факторов на объем прибыли по основным видам сельскохозяйственной продукции за 2018 год в Республике Татарстан, млн руб.

4 Выводы

Подводя итог, можно сделать следующие выводы:

1. В настоящее время свеклосеющие регионы России полностью обеспечивают собственные потребности в сырье, в том числе Республика Татарстан;

2. Поддержание эффективности свекловодческой отрасли напрямую зависит от увеличения объемов экспорта готовой продукции — сахара белого и сахарного песка;

3. Одним из основных направлений снижения затрат при возделывании сахарной свеклы является развитие селекции и семеноводства сахарной свеклы и полное самообеспечение семенами новых сортов и гибридов отечественного производства;

4. Снижение затрат на переработку сахарной свеклы на сахарных заводах зависит от модернизации производственных мощностей и увеличения сроков переработки сырья при обеспечении сахаристости корнеплодов;

5. В целях обеспечения положительной конъюнктуры рынка сырья и готовой продукции необходимо увеличить объемы экспорта готовой продукции более чем на 1 млн тонн готовой продукции в целом по России.

Каталожные номера

• Росстат, Официальный источник, Источник: https://www.gks.ru/enterprise_economy [Google Scholar]
• Интернет-источник, получено с: http://sugar.ru/node/31346 [Google Scholar]
• Н.Ф. Кашапов, М.М. Нафиков, А.Р. Нигматзянов, IOP Conf. сер. Матер. науч. и англ., 012047 (2019) [Перекрестная ссылка] [Google Scholar]
• Л. Ситдикова, И. Гайнутдинов, Д. Файзрахманов, Ф. Мухаметгалиев, Бюлл. Казанского государственного аграрного фонда. ун-т, 10(3(37)), 46–51 (2015) [Перекрестная ссылка] [Google Scholar]
• Михайлова Л., Целищев О. Актуальные научно-технические средства и проблемы сельского хозяйства // Матер. III Национальной науч. и Практ. конф. (Кемерово, 30 декабря 2019 г.). Источник: http://ksai.ru/upload/files/sborniki. [Google Scholar]
• Л. Михайлова, А. Николаев, Актуальные научно-технические средства и проблемы сельского хозяйства: Матер. III Национальной науч. и Практ. конф. (Кемерово, 30 декабря 2019 г.) [Google Scholar]
• И. Гайнутдинов, М. Кондратьева, Вектор экономики, 5(5), 52–57 (2016) [Google Scholar]
• Ф.Н. Мухаметгалиев, Л.Ф. Ситдикова., Ф.Н. Авхадиев., В.Я. Петрова., БИО Сеть конф., 00082 (2020) [Перекрестная ссылка] [Google Scholar]
• Ф. Авхадиев, Бюлл. Казанского государственного аграрного фонда. ун-т, 6(1(19)), 5–7 (2011) [Google Scholar]
• Н. Асадуллин, М. Хисматуллин, Л. Асадуллин, Бюлл. Казанского государственного аграрного фонда. ун-т, 6(3(21)), 17–19(2011) [Google Scholar]

Все таблицы

Таблица 1.

Посевная площадь, валовой сбор и урожайность корнеплодов сахарной свеклы по категориям хозяйств в Российской Федерации и Республике Татарстан *

В тексте

Таблица 2.

Как сделать логарифм по основанию 2 на калькуляторе? – Обзоры Вики

Подано со сложностью: Easy, TI-83 Plus, TI-84 Plus, TI-89, TI-92 Plus. Например, чтобы вычислить основание логарифма 2 из 8, введите ln (8) / ln (2) в свой калькулятор и нажмите ENTER. В качестве ответа вы должны получить 3.

Отсюда, как вы набираете базу журналов? Откройте документ и поместите курсор в то место, где вы хотите вставить логарифм. Введите «журнал», а затем значок нижнего индекса, указанный в категории «Шрифт» на вкладке «Главная». Введите основу логарифм в нижнем индексе; например, «2». Нажмите значок нижнего индекса еще раз, чтобы вернуться к обычному шрифту.

Дополнительно Можете ли вы сделать базу данных на научном калькуляторе? Большинство научных калькуляторов поставляются только с кнопками log и ln. Нет кнопки для нахождения логарифмов с другими основаниями. Итак, если вы хотите найти значение 3, вы должны вычислить 3 2 .

Как вы вводите логи в калькулятор?

Что является основанием журнала 5?

Основание логарифма 5 от 5 равно 1 .

Как вы делаете журналы на научном калькуляторе?

Для этого используются самые простые научные калькуляторы,

1. введите номер,
2. затем нажмите кнопку реверса (inv) или Shift.
3. нажмите кнопку журнала (или ln). Его также можно обозначить как 10 ^x (или е ^x ) кнопку.

Как войти в научный калькулятор?

Как вы добавляете базы?

Как вы конвертируете базы? Шаг 1 − Разделить десятичное число будет преобразовано в значение новой базы. Шаг 2 — Получите остаток от шага 1 как крайнюю правую цифру (младшую значащую цифру) нового базового числа. Шаг 3 — Разделите частное от предыдущего деления на новое основание.

Как найти логарифмическую базу 2 из 10?

log102 =0.30103 (приблизительно) Джордж К. Логарифм 10 по основанию 2 — это такое число x, что 10x = 2. Вы можете вычислить логарифмы вручную, используя просто умножение (и деление на 10 — это просто сдвиг цифр) и тот факт, что log10 (x10) = 10⋅log10x, хотя это не очень практично …

Какова основа журнала 2 из 8?

«Логарифм 8 с основанием 2 равен 3” или “логарифмическое основание 2 из 8 равно 3”

Как вы входите в математику? Например, десятичный логарифм 100 равен 2, потому что десять в степени двойки равно 100:

1. log 100 = 2. потому что.
2. 10 ² = 100. Это пример десятичного логарифма. …
3. журнал ₂ 8 = 3. потому что.
4. 2 ³ = 8. Как правило, вы пишете журнал, за которым следует базовый номер в качестве нижнего индекса. …
5. бревно. …
6. журнал a = r. …
7. пер. …
8. лн а = р.

Как найти логарифмическое основание числа 10?

Расчет Log10

1. Формула: логарифмическая база 10 числа «х» — это степень, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить значение х. …
2. Шаг 1: Рассмотрим приведенный ниже пример: предположим, что нам требуется найти логарифмическую базу 10 для чисел 100, 1000, 100000. …
3. Шаг 2: Подстановка значений: log ₁₀ (100) = 10 ² = 100.

Как изменить базу логов на TI? Чтобы получить к нему доступ, нажмите [альфа], [окно] и выберите пятую опцию в меню, logBase(. Теперь вы сможете ввести основание журнала, который вы хотите вычислить. Например, если бы я вычислял логарифм по основанию 2 от 16, я бы набрал 2 в этом первом поле. Нажмите клавишу со стрелкой вправо, чтобы переключиться к следующему ящику.

Как войти в TI 34?

Как рассчитать логарифм и обратный логарифм числа с помощью TI-34 II Explorer Plus?

1. Нажмите клавишу [2nd], затем клавишу [LOG], чтобы войти в меню LOG.
2. С курсором под функцией «ЖУРНАЛ» нажмите [=].
3. Введите [1]. Нажмите [)], чтобы закрыть скобки.
4. Нажмите клавишу [=].

Каковы правила ведения журнала?

Правила применяются для любых логарифм logbx , за исключением того, что вам нужно заменить любое появление e на новую базу b. Натуральный логарифм определялся уравнениями (1) и (2).
…
Основные правила логарифмов.

Как вы решаете сложение базовых чисел?

Как добавить еще одну базу?

Вы можете добавить другую базу (без преобразования в базу 10), если помните, что вы «нести», когда у вас есть сумма, которая больше или равна вашей базе (вместо больше или равна 10), и то, что вы «несете», — это количество раз, которое вы можете вытащить из вашей суммы.

калькулятор логарифмов

Найдите значение журнала, введя базовое значение и значение журнала в калькуляторе базы журнала.

Table of Contents:

• Что такое журнал? 
• Правила журнала
• Использование журнала в повседневной жизни

Give Us Feedback

✎

✉

Этот логарифмический калькулятор может вычислить значение журнала для любой базы за считанные секунды.  С помощью этого калькулятора журнала пользователи могут найти длинные для любой базы, включая 10, e (ln) и 2. 

Что такое журнал? 

Концепция журнала во многом связана с экспонентами. По Kхань академии : 

«Логарифмы — это еще один способ думать об экспонентах».

Логарифм используется для нахождения числа, которое, если возвести его в степень к основанию журнала, вычислит определенное значение (значение журнала). 

log_bc =b^ca

Вы знали? Раковина наутилуса — прекрасный пример логарифмической спирали. Журналы можно отменить с помощью anitlog . Вы можете использовать калькулятор антилогарифма, чтобы найти антилогарифм заданного значения.

Правила журнала

Существуют определенные правила ведения журнала, упрощающие вычисления. 

Правило продукта

Если два умножаемых значения имеют одинаковую базу журнала, ответ будет равен сумме отдельного журнала.

log_b(CD) = log_b(C) + log_b(D)

Правило частного

Точно так же два значения в разделе с одинаковой базой журнала будут равны разнице отдельного журнала.  

log_b(C/D) = log_bC — log_bD

Правило власти

Если значение журнала увеличивается до некоторой степени, то эта мощность будет умножена на журнал значения.

log_b(x^y) = y * log_b(x)

Правило переключения базы журнала

Основание можно заменить на логарифм в уравнении, обратном логарифмическому уравнению.

log_b(x) =1 / log_x(b)

Изменение базового правила

Чтобы ввести новую базу в уравнение бревна, вносятся следующие изменения.

 log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Использование журнала в повседневной жизни

Вот несколько примеров использования логарифма в повседневной жизни:

• Звуковая энергия (вдецибелах)
• pH химикатов
• Науки об окружающей среде 

Как рассчитать натуральный логарифм в приложении калькулятора Windows 10?

спросил 4 года, 4 месяца назад

Изменено 7 месяцев назад

Просмотрено 14 тысяч раз

Как рассчитать logn (или ln) в официальном приложении Microsoft Windows 10 Calculator?

• windows
• windows-10
• калькулятор

1

Есть сочетание клавиш. В научном режиме N дает вам натуральный логарифм. Здесь много других ярлыков: Служба поддержки Microsoft.

Другой вариант — загрузить бесплатную программу Calculator Plus из магазина Microsoft. Он имеет специальные кнопки для широкого спектра вещей, включая ln :

Кстати, у него также есть опция «Классический вид», который выглядит как более ранние калькуляторы Windows.

Если размер окна небольшой, то, как и в карманных научных калькуляторах, дополнительные опции будут переведены в состояние, доступное с помощью клавиши Shift ⇧ , т. е. кнопки со стрелкой ↑ рядом с CE, над π

После того, как вы нажмите ↑ , функции будут инвертированы. База будет переключена с 10 на e . значит 10 ^x и log становятся e ^x и ln соответственно

Чем больше вы расширяете окно, тем больше в нем места и кнопок. будут доступны, и эти параметры будут доступны напрямую без смещения

Проще всего развернуть калькулятор (так как вы развернете любое окно). Как только вы это сделаете, в калькулятор добавятся некоторые дополнительные опции, в том числе функция ln .

1

Может позже добавили но работает

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Калькулятор журнала — примеры, онлайн-калькулятор журнала

Калькулятор журнала — это онлайн-инструмент, который помогает рассчитать значение журнала для заданного основания и аргумента. Его можно рассматривать как обратную функцию возведения в степень. Логарифмические функции помогают упростить расчеты.

Что такое калькулятор журналов?

Калькулятор журнала поможет вам рассчитать значение журнала данного выражения. Журналы — это еще один способ представления или записи экспоненциальных выражений. Логи широко используются для измерения интенсивности землетрясений, яркости звезд и т. д. Чтобы использовать калькулятор журнала введите значения в указанные поля ввода.

ПРИМЕЧАНИЕ: Введите значения, не превышающие трех цифр

Калькулятор логарифма

Как пользоваться калькулятором логарифма?

Чтобы найти значение журнала с помощью онлайн-калькулятора журнала, выполните следующие действия:

• Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору журнала Cuemath.
• Шаг 2: Введите положительные числа в данное поле ввода.
• Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти значение журнала.
• Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения

Как работает калькулятор журнала?

Можно сказать, что логарифм числа (скажем, а) — это показатель степени или степень, в которую необходимо возвести основание (скажем, b), чтобы получить само число.

В экспоненциальной форме это можно записать следующим образом

b ^x = a

Здесь b — основание. Возводится в показатель х. Значение этого выражения определяется a. Теперь, если мы преобразуем это уравнение, используя логарифмическую запись, мы получим

\(log_{b}a = x\)

a, b и x — положительные действительные числа. a известен как аргумент, а b является основанием.

Существуют различные категории логарифмических функций в зависимости от значения основания. Это:

Общие логарифмические функции: Когда логарифмические функции имеют основание 10, они известны как десятичные логарифмические функции. Обычно такие логи не имеют в базе 10.

10 ² = 100 \ ({\ RightRow} \) log 100 = 2

Если логарифм не имеет основания, мы можем предположить, что это 10.

Естественные логарифмические функции : такие типы логи имеют базу e. e — математическая константа, приблизительно равная 2,718. Натуральные бревна обычно представлены пер.

e ^x = m \({\Rightarrow }\) ln m = x

Хотите находить сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Решенные примеры на калькуляторе логов

Пример 1:

Найдите значение логарифма \(log_{2}4\) и проверьте его с помощью калькулятора логов.

Касательная плоскость к поверхности онлайн

Графиком функции 2-х переменных z = f(x,y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции D.
Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнением z = f(x,y), где f(x,y) – дифференцируемая функция, и пусть M₀(x₀,y₀,z₀) – фиксированная точка на поверхности σ, т.е. z₀ = f(x₀,y₀). Назначение. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Решение оформляется в формате Word. Если необходимо найти уравнение касательной к кривой (y = f(x)), то необходимо использовать данный сервис.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Функция задана в явном виде

z = f(x,y)

в точке M₀(;)

Функция задана в неявном виде f(x,y,z)

F(x,y,z) =

в точке M(;;)

Дополнительно находить уравнение нормали

Правила ввода функций:

Правила ввода функций:

1. Все переменные выражаются через x,y,z

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

z – z₀ = f’_x(x₀,y₀)(x – x₀) + f’_y(x₀,y₀)(y – y₀)

Вектор называется вектором нормали к поверхности σ в точке М₀. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности σ в точке М₀ называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M₀(x₀,y₀,z₀), где z₀ = f(x₀,y₀), имеют вид:

Пример №1. Поверхность задана уравнением x3+5y. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1). 3+5*y:
f'x(x,y) = (x3+5•y)'x = 3•x2
f’_x(x,y) = (x³+5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f'x(0;1) = 0
f'y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) или -5•y+z = 0

Пример №2. Поверхность задана неявным образом y²-1/2*x³-8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f'x(1;0;1) = -3/16
f'y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z - 1 = -3/16(x - 1) + 0(y - 0) или 3/16•x+z-19/16 = 0

Пример. Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x³. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x³:
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x³)’_x = – y/x² + y – 15x²;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x³)’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

z= y/x + xy – 5x³

z₀ = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1)³ = 1.
В точке М₀(–1, 2, 1) значения частных производных:
f_x’(М₀) = –1/(-1)² + 2 – 15(–1)² = –15; f_y’(М₀) = 1/(-1) – 1 = –2.
Пользуясь формулой (5) получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М₀:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y +4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М₀: .
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: .

Пример №1. Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀). 2:
f’_x(x,y) = (x²+3•x•y•+y²)’_x = 2•x+3•y³
f’_x(x,y) = (x²+3•x•y•+y²)’_y = 9•x•y²
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x² + y² в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Касательная плоскость и нормаль к поверхности: вывод уравнений, примеры

• Понятие касательной плоскости и нормали к поверхности
• Вывод уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности
• Примеры нахождения уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности

Определение. Касательной плоскостьью к поверхности z = f(x,y) в точке P0(x0,y0,f(x0,y0)) называется плоскость, содержащие все касательные к поверхности, проведённые в точке P0.

Определение. Нормалью к поверхности в точке P называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости, проведённой через точку P.

Чтобы найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, нужно выполнить следующее:

• найти частные производные функции, которой задана поверхность;
• найти значения найденных частных производных в точке P0;
• найденные значения частных производных и координаты точки P0 подставить в уравнения касательной плоскости и нормали в общем виде.

Прежде чем решать примеры, выведем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности: их вывод может быть включён в экзаменационные билеты.

Пусть дана поверхность z = f(x,y) и точка P0(x0,y0,f(x0,y0)) на этой поверхности.

Чтобы получить уравнение касательной плоскости, достаточно составить уравнение плоскости, на которой находятся две касательные прямые, проведённые через точку P0(x0,y0,f(x0,y0)). Одна из касательных прямых пусть будет параллельна плоскости xOz, другая — параллельна плоскости yOz (поэтому x — константа). Уравнения этих прямых будут следующими:

1)

2)

где z0 = f(x0,y0)

Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку P0(x0,y0,z0), будет следующим:

A1(x − x0) + B1(y − y0) + C1(z − z0) = 0

или

z − z0 = A(x − x0) + B(y − y0),

где

, .

В последнем уравнении A и B — произвольные константы. Эта плоскость перпендикулярна вектору нормали .

Принимая в уравнении плоскости y = y0, получим уравнение пучка прямых, проходящих через точку P0(x0,y0,z0) и лежащих в плоскости y = y0:

.

Чтобы касательная прямая принадлежала этому пучку прямых, должно быть .

Принимая в уравнении плоскости x = x0, получим уравнение пучка прямых, проходящих через точку P0(x0,y0,z0) и лежащих в плоскости x = x0:

.

Чтобы касательная прямая принадлежала этому пучку прямых, должно быть .

Подставляя полученные коэффициенты A и B в уравнение плоскости, получаем уравнение касательной плоскости:

Это и есть уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке P0(x0,y0,z0).

Так как вектор перпендикулярен касательной плоскости к поверхности, то он параллелен нормали и может служить вектором её направления. Таким образом, уравнение нормали к поверхности z = f(x,y) в точке P0(x0,y0,z0):

.

Рассмотрим также случай, когда уравнение поверхности дано в неявной форме:

.

Это уравнение определяет неявную функцию z = f(x,y), частные производные которой в точке P0(x0,y0,z0)

,

,

при условии, что , а . Подставляя эти производные в уравнение касательной плоскости, получаем

Перенеся все слагаемые в левую часть и умножив на , получаем уравнение касательной плоскости для случая, когда поверхность задана в неявном виде:

Соответствующие уравнения нормали к поверхности:

.

Пример 1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке .

Решение. Функция, которой задана поверхность:

.

Найдём частные производные этой функции:

Вычислим значения частных производных в точке :

Найденные значения частных производных и координаты точки подставим в уравнения касательнной плоскости и нормали к поверхности. Получаем уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 2. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке P0(x0,y0,z0), если y0 = 1, z0 = 0.

Решение. Эта задача уже посложнее, так как в ней не дано x0 и эту координату требуется найти. Для этого подставим y0 и z0 в уравнение поверхности:

Найдём частные производные функции, которой задана поверхность:

.

Вычислим значения частных производных в точке P0(x0,y0,z0):

Найденные значения частных производных и координаты точки подставим в уравнения касательнной плосоксти и нормали к поверхности. Получаем уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

.

Пример 3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

,

которая параллельна плоскости .

Решение. Сначала нужно найти точку поверхности, проведённая через которую касательная плоскость будет параллельна заданной плоскости. Если касательная плоскость и данная плоскость параллельны, то векторы нормалей будут коллинеарны.

Вектором нормали касательной плоскости будет , где . Вектором нормали данной плоскости является .

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть

Так как частные производные

,

то получим

или

.

Чтобы найти координаты точки M, к последним равенствам нужно присоединить уравнение поверхности. В результате получим систему уравнений, которую и решаем:

.

Таким образом,

,

следовательно,

Вот мы и нашли две точки и , проведённая через которые касательная плоскость параллельна данной плоскости.

Вычислим значения частных производных в точке :

Теперь уже можем составить уравнение касательной плоскости, проведённой через точку :

Вычислим значения частных производных в точке :

И, наконец, уравнение касательной плоскости, проведённой через точку :

К началу страницы

Пройти тест по теме Функции нескольких переменных

Поделиться с друзьями

Производные

• Что такое производная
• Найти производную: алгоритм и примеры решений
• Производные произведения и частного функций
• Производная суммы дробей со степенями и корнями
• Производные простых тригонометрических функций
• Производная сложной функции
• Производная логарифмической функции
• Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
• Дифференциал функции
• Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
• Правило Лопиталя

Функции нескольких переменных

• Функция двух и более переменных. Её область определения
• Поверхности второго порядка
• Частные производные
• Производная по направлению, градиент функции
• Экстремумы функции двух переменных
• Условные экстремумы и функция Лагранжа
• Вычисление двойных интегралов
• Вычисление тройных интегралов

Калькулятор касательной плоскости — Найти уравнение (шаг за шагом)

Онлайн-калькулятор касательной плоскости поможет вам эффективно определить касательную плоскость в заданной точке кривой. Более того, он может точно обрабатывать математические функции с 2 и 3 переменными и обеспечивает пошаговое решение. Возможность быстро вычислить касательную плоскость с помощью этого калькулятора, не выполняя все шаги дифференциального исчисления, значительно экономит время.

Кроме того, вы также получите теоретическую основу и найдете несколько решенных примеров в качестве бонуса.

Что такое касательная плоскость?

Как известно, производная \(\frac{dy}{dx}\) функции \(f(x)\) в определенной точке представляет собой касательную в этой точке. Вы можете рассчитать касательную к поверхности с помощью нашего Калькулятора касательной. Точно так же частная производная \(frac{∂y}{∂x}\) функции \(f(x)\) в конкретной точке представляет касательную плоскость в этой точке. В какой-то момент он будет содержать все касательные линии, которые касаются кривизны рассматриваемой функции в этой точке, как показано на рисунке ниже.

Условие касательной плоскости:

Функция, образующая поверхность, должна быть дифференцируемой в точке, чтобы эта плоскость могла там существовать.

Уравнение касательной плоскости:

Пусть S — поверхность, определяемая дифференцируемой функцией \(z = f(x,y) \), которая включает 2 переменные, и пусть \(P_o = (x_o, y_o)\) быть точкой в ​​области определения f. Тогда уравнение касательной плоскости к S в точке Po задается следующим образом: $$
Аналогично, общее уравнение касательной плоскости в точке \(P_o=(x_o, y_o, z_o)\) к поверхности S, определяемой математической функцией \(z = f(x,y,z)\), которая включает 3 переменных приведено ниже:
$$z = f(x_o, y_o, z_o) + f_x(x_o, y_o, z_o)(x − x_o) + f_y(x_o, y_o, z_o)(y − y_o) + f_z(x_o) , y_o, z_o)(z − z_o)$$

Как найти уравнение касательной плоскости?

Вам необходимо выполнить следующие шаги, чтобы найти уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной функцией. Этот калькулятор касательной плоскости также дает аналогичное решение за долю времени.

Проверка предварительных требований:

Убедитесь, что у вас есть математическая функция поверхности и координаты точки на этой поверхности, где вы хотите вычислить уравнение.

Решение частных дифференциалов:

Частичное дифференцирование математической функции рассматриваемой поверхности. Подробные расчеты можно увидеть из примеров, показанных в следующем разделе.

Вычисление частных дифференциалов в точке:

Рассчитайте значение частично дифференцированной функции в заданных точках для нахождения уравнения касательной плоскости, как показано в следующих примерах.

Решаемые примеры:

Следующие примеры наглядно иллюстрируют, как можно определить требуемое уравнение с помощью вышеупомянутых шагов.

Наш калькулятор касательной плоскости также следует той же процедуре, что и в этих примерах, и вы можете получить точно такой же результат за считанные секунды.

Пример-1: 92\) имеем:
$fx(x,y) = 2x$$
$$fy(x,y) = 2y$$
Итак, уравнение касательной плоскости в точке \((1, 2,5)\):
$$2(1)(x−1)+2(2)(y−2)−z+5 = 0$$
$$= 2x+4y−z−5=0 $$

Пример-2:

Найдите уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной функцией \(f(x,y)=sin(2x)cos(3y)\) в точке \( (π/3,π/4)\).

Решение:

Сначала вычислим \(fx(x,y)\) и \(fy(x,y)\), затем вычислим требуемое уравнение касательной плоскости, используя общее уравнение \ (z=f(x_o,y_o)+fx(x_o,y_o)(x-x_o)+fy(x_o,y_o)(y-y_o)\) с \(xo = \frac{π}{3}\) и \(yo = \frac{π}{4}\):
$$f_x(x,y) = 2cos(2x)cos(3y)$$
$$f_y(x,y) = −3sin(2x)sin(3y)$$
$$f(\frac{π {3}, \ frac {π} {4}) = sin (2 (\ frac {π} {3})) cos (3 (\ frac {π} {4})) = (\ frac {\ sqrt {3}}{2})(\frac{-\sqrt{2}}{2}) = \frac{-\sqrt{6}}{2}$$
$$f_x(\frac{π}{ 3},\frac{π}{4}) = 2cos(2(\frac{π}{3}))cos(3(\frac{π}{4})) = 2(\frac{-1} {2})( \frac{-√2}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$f_y(\frac{π}{3},\frac{π} {4}) = 2\sqrt{2} — 3sin(2(\frac{π}{3}))sin(3(\frac{π}{4})) = -3(3\sqrt{2} )(2\sqrt{2}) = −36\sqrt{4}$$

Теперь подставим эти значения в общее уравнение: 92$$
Тогда наша поверхность является поверхностью уровня \(w = 36\). Следовательно, нормаль к поверхности равна:
$$∇w = (2x, 4y, 6z)$$
В точке P имеем \(∇w|P = (2, 8, 18)\). Используя точечную нормальную форму, уравнение касательной плоскости имеет вид:
$$2(x − 1) + 8(y − 2) + 18(z − 3) = 0, \text { или эквивалентно} 2x + 8y + 18z = 72$$

Как пользоваться калькулятором касательной плоскости:

С помощью этого онлайн-калькулятора можно эффективно и быстро рассчитать уравнение касательной плоскости, выполнив следующие шаги:

Вы можете переключаться между расчетом с 2 переменными и расчетом с 3 переменными, нажимая соответствующие вкладки в верхней части полей ввода.

Ввод:

• Сначала введите нужную математическую функцию в поле ввода под названием «Введите функцию».
• Затем просто введите координаты в зависимости от количества переменных в функции.

Выходы:

Калькулятор определяет уравнение касательной плоскости, касающейся поверхности (образованной заданной математической функцией) в координатных точках. Он также предоставляет пошаговое решение, предполагающее дифференциацию всех соответствующих деталей.

Часто задаваемые вопросы:

Какая основная математическая основа используется для определения касательной плоскости?

Частичное дифференцирование в основном используется для определения уравнения, управляющего плоскостью. Этот калькулятор касательной плоскости основан на той же математической концепции и дает точные результаты за считанные секунды.

Касательная плоскость лежит в двумерном или трехмерном пространстве?

Касательные линии лежат в двумерном пространстве, но касательные плоскости представляют собой комбинацию всех касательных линий, касающихся поверхности в определенной точке, следовательно, они лежат в трехмерном пространстве.

В чем разница между касательным вектором и касательной плоскостью?

Касательный вектор — это отдельная линия, которая едва касается поверхности (определяемой математической функцией) в точке, тогда как касательная плоскость — это комбинация всех касательных векторов, касающихся поверхности в определенной точке.

Какая связь между касательной плоскостью и нормальной линией?

Касательная плоскость едва касается поверхности кривой и проходит параллельно ей, тогда как нормаль проходит через поверхность и перпендикулярно ей.

Вывод:

Выполнение всех этих расчетов вручную — очень утомительный процесс. Этот онлайн-калькулятор уравнения касательной плоскости является удобным ресурсом, который дает точные результаты в кратчайшие сроки, даже при работе с 3 переменными функциями. Математическая основа, используемая в бэкэнд-расчетах, точно такая же, как и в ручном процессе.

Ссылки:

Из Википедии – Касательные

Из образовательного блога Openstax – Касательные плоскости и линейные приближения

Из онлайн-ресурсов Libretexts — Касательная плоскость к поверхности

Касательные плоскости — Учебные пособия по исчислению

Касательные плоскости и линейная аппроксимация — Учебное пособие по исчислению HMC

Точно так же, как мы можем визуализировать прямую, касающуюся кривой в точке в двухмерном пространстве, в трехмерном пространстве мы можем изобразите плоскость , касающуюся поверхности в точке.

Рассмотрим поверхность, заданную выражением $z = f (x, y)$. Пусть $(x_0, y_0, z_0)$ — любая точка на этой поверхности. Если $f (x, y)$ равно дифференцируемая в точке $(x_0, y_0)$, то поверхность имеет касательную плоскость в точке $(x_0, y_0, z_0)$.

Уравнение касательной плоскости в точке $(x_0, y_0, z_0)$ задается как $$f_x (x_0, y_0)(x – x_0) + f_y (x_0, y_0)(y – y_0) – (z – z_0 ) = 0. $$

Примечания

• Напомним, что уравнение плоскости, содержащей точку $(x_0 , y_0 , z_0 )$ и нормаль к вектору ${\bf n} = (a, b, c)$, равно $$ a(x – x_0 ) + b(y – y_0 ) + c(z – z_0 ) = 0. $$ вывод уравнения для касательной плоскости просто включает в себя доказательство того, что касательная плоскость нормальна к вектору ${\bf n} = (f_x (x_0, y_0), f_y (x_0, y_0), -1)$.
  

• Для поверхностей $F (x, y, z) = 0$, которые нелегко решить относительно $z$, уравнение касательной плоскости в точке $(x_0 , y_0 , z_0 )$ имеет вид $$ F_x ( x_0 , y_0 , z_0 )(x – x_0 ) + F_y (x_0 , y_0 , z_0 )(y – y_0 ) + F_z (x_0 , y_0 , z_0 )(z – z_0 ) = 0 $$ при условии, что $\nabla F ( x_0, y_0, z_0) \neq 0$. Обратите внимание, что если мы положим $F (x, y, z) = f (x, y) – z$, мы получим уравнение, данное для касательной плоскости к $z = f (x, y)$ в точке $(x_0, у_0, z_0)$. 93(-2) + 2 = -14. \end{выравнивание*}

  Таким образом, касательная плоскость имеет вектор нормали $ {\bf n} = (48, -14, -1) $ в точке $(1, -2, 12)$ и уравнение касательной плоскости определяется выражением $$ 48(x – 1) – 14 (y – (-2)) – (z – 12) = 0.$$ упрощение, $$ 48x – 14y – z = 64. $$

  Линейная аппроксимация

  Касательная плоскость к поверхности в точке остается близкой к поверхности вблизи точки. Фактически, если $f (x, y)$ дифференцируема в точке $(x_0 , y_0 )$, то касательная плоскость к поверхности $z = f (x, y)$ при $(x_0, y_0)$ обеспечивает хорошее приближение к $f (x, y)$ вблизи $(x_0, y_0)$:

  $\qquad$ Решение $f_x (x_0, y_0)(x – x_0) + f_y (x_0, y_0)(y – y_0) – (z – z_0) = 0$ для $z$, $$ z = z_0 + f_x (x_0, y_0) (x – x_0) + f_y (x_0, y_0) (y – y_0). $$ $\qquad$ Так как $z_0 = f (x_0, y_0)$, мы имеем, что $$ z = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x – x_0) + f_y (x_0, y_0) (y – y_0). $$ $\qquad$ Вблизи $(x_0 , y_0 )$ поверхность близка к касательной плоскости. Таким образом, $$ f (x, y) \ приблизительно f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x – x_0) + f_y (x_0, y_0) (y – y_0). $$ Мы называем это линейная аппроксимация или локальная линеаризация $f (x, y)$ вблизи $(x_0 , y_0 )$.

  Примечания

  • Линейная аппроксимация на самом деле представляет собой просто полином Тейлора со многими переменными степени 1 для $f (x, y)$ около $(x_0, y_0)$. Это точно только около $(x_0, y_0)$. Лучшее приближение можно получить, используя полиномы Тейлора более высокого порядка.
  • Эти концепции можно распространить на функции более чем двух переменных: $$ f (x, y, z) \ приблизительно f (x_0, y_0, z_0)+f_x (x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+f_y (x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+f_z (x_0, y_0, z_0)(z-z_0) $$ где $f (x, y, z)$ дифференцируема в $(x_0, y_0, z_0)$. 92 + 2г$ вблизи $x = 1,\quad y = -2$ есть $$ f (x, y) \ приблизительно 48x – 14y – 64. $$ Это, конечно, точно при $x = 1, \quad y = -2$: $$ f (1, -2) = 12 = 48(1) – 14(-2) – 64. $$ При $x = 1,1$ и $y = -1,9$ согласно линейному приближению $$ f (1,1, -1,9) \ приблизительно 48(1,1) – 14(-1,9) – 64 = 15,4, $$ что действительно очень близко к точному значению $f (1,1, -1,9) = 15,41964$.

    ---

    Ключевые понятия

    • Касательная плоскость к поверхности

      Пусть $(x_0 , y_0 , z_0 )$ — любая точка на поверхности $z = f (x, y)$. Если $f (x, y)$ дифференцируема в $(x_0, y_0)$, то поверхность имеет касательную плоскость в точке $(x_0, y_0, z_0)$, определяемую выражением $$ f_x (x_0, y_0)(x – x_0) + f_y (x_0, y_0)(y – y_0) – (z – z_0) = 0. $$

    • Линейная аппроксимация поверхности

      Если $f (x, y)$ дифференцируема в $(x_0, y_0)$, то вблизи $(x_0, y_0)$ $$ f (x, y) \ приблизительно f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x – x_0) + f_y (x_0, y_0) (y – y_0).

Периметр прямокутника. Як знайти периметр прямокутника

Периметр прямокутника можна вважати однією з найважливіших характеристик цієї геометричної фігури. Він визначається як загальна відстань, пройдена навколо зовнішньої сторони прямокутника.

Периметр, в основному, дає нам довжину двовимірної фігури. У випадку квадрата, у якого всі сторони мають однакову довжину, периметр дорівнює чотирикратній довжині однієї з його сторін.

Тут ми дізнаємося про формулу периметра прямокутника і використаємо її для вирішення різних задач.

Навігація по сторінці.

1. Формула периметра прямокутника.
2. Периметр прямокутника – приклади з відповідями.
3. Блок-схема алгоритму знаходження периметра прямокутника.

Формула периметра прямокутника.

Периметр прямокутника визначається як сума довжин усіх його сторін. Тобто, для прямокутника  зображеного на рисунку нижче, матимемо: , де  – периметр прямокутника.

Проте, виходячи з того, що прямокутник має по дві пари рівних сторін, то при знаходженні периметра достатньо суму довжин двох його суміжних сторін (довжина плюс ширина) помножити на два. Тобто, знову-таки, повертаючись до прямокутника , матимемо: .

Зауваження: якщо позначити довжину та ширину прямокутника буквами  та  відповідно, то формула периметра перепишеться у більш звичній буквенній формі: .

Периметр прямокутника – приклади з відповідями.

У наступних прикладах для отримання відповіді використовується формула для периметра прямокутника. Незважаючи на те, що кожен приклад має рішення, рекомендується спробувати розв’язати вправи самостійно, перш ніж дивитися відповідь.

Приклад 1: знайти периметр прямокутника з основою  і висотою .

Отже, за умовою маємо, що довжина та ширина прямокутника дорівнює  і  відповідно. Використавши формулу  периметра із заданими значенням матимемо:

Таким чином, периметр прямокутника дорівнює .

Приклад 2: знайти периметр прямокутника з основою  і висотою .

Зазначимо, що у цьому випадку довжина і ширина прямокутника дорівнює  та . Тому, замінивши  та  у формулі периметра заданим значенням отримаємо:

Отже, периметр прямокутника дорівнює .

Приклад 3: периметр прямокутника дорівнює , а його основа . Яка довжина його висоти?

Зазначимо, що у цьому випадку ми повинні знайти ширину прямокутника, знаючи периметр та основу. Отже, використовуючи ту ж формулу, підставляємо задані значення та знаходимо висоту :

Звідси, довжина висоти прямокутника дорівнює .

Приклад 4: знайти основу прямокутника з висотою  і периметром .

Знову-таки, скориставшись формулою , підставляємо задані значення і знаходимо довжину прямокутника:

Отже, основа прямокутника дорівнює .

Приклад 5: бісектриса одного з кутів прямокутника  ділить його сторону навпіл. Знайти периметр прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює .

Отже, врахувавши те, що за умовою, , отримаємо: .

Скориставшись далі формулою обчислення периметра прямокутника, знайдемо розв’язок задачі:

Таким чином, периметр прямокутника  дорівнює .

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про прямокутник? Перегляньте ці сторінки:

1. Прямокутник і його властивості.
2. Діагональ прямокутника – формули та приклади
3. Площа прямокутника – формули та приклади.

Блок-схема алгоритму знаходження периметра прямокутника

Сочетания без повторений

Лекция №1 Основы комбинаторики

Основы комбинаторики

Комбинаторика – это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из конечного числа заданных объектов. Другими словами, это раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного конечного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке, при этом используются два основных правила комбинаторики – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы. Если объект А может быть выбран m способами, а объект B – n способами, причем выборы объектов взаимно исключают друг друга, то выбор «либо A, либо B» может быть осуществлен m + n способами.

Правило суммы можно распространить на выбор любого конечного числа объектов.

Пример 1. На полке в книжном шкафу стоят 25 книг, среди которых учебники: 5 книг по математике, 4 книги по физике, 6 книг по химии, остальные книги – художественная литература. Сколькими способами можно выбрать учебник с этой полки?

Решение: Взять любую из 5 книг по математике можно 5 способами, книгу по физике – 4 способами, книгу по химии – 6 способами. Выбор одной книги не влияет на выбор другой книги. Значит, по правилу суммы учебник с полки можно выбрать 5 + 4 + 6 = 15 способами.

Правило произведения. Если объект А может быть выбран m способами и после каждого из этих выборов объект B может быть выбран n способами, то выбор пары А, B может быть осуществлен m×n способами.

Правило произведения можно распространить на выбор любого конечного числа объектов, т.е. пусть необходимо один за другим выполнить какие-то к действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способом, после чего второе действие можно выполнить п₂ способами, после чего третье действие можно выполнить n₃ способами и т. д. до к-го действия, которое можно выполнить п_к способами, то все к действий вместе могут быть выполнены n₁× п₂× n₃×п_к способами.

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 5, если цифры в числе не повторяются?

Решение: На месте сотен поставим любую из трех цифр. Это можно сделать тремя способами. После каждого такого выбора на месте десятков можно поставить любую из двух оставшихся цифр (т.е. двумя способами), так как цифры в числе не повторяются. Наконец, на месте единиц можно поставить оставшуюся одну цифру (т.е. одним способом). Применяя правило произведения два раза получим: 3×2×1 = 6 способов, и соответственно, шесть трехзначных чисел.

Пример 3. Бросают две игральные кости разного цвета. Сколько существует результатов опыта? Каждая кость может упасть независимо от другой шестью способами.

Ответ: 6*6=36.

Пример 4. У велосипедистов есть суеверие: в нагрудном номере не должно быть цифры 8. Сколько человек участвовало в соревновании, если были розданы все трехзначные номера, не содержащие цифры 8. Ответ: . 9×9×9=729

Пример 5. В урне 4 красных, 3 белых и 6 синих шаров. Сколькими способами можно достать последовательно 3 шара так, чтобы первым был вынут красный шар, вторым − белый, третьим − синий? Ответ:4 ×3 ×6=72.

Графической иллюстрацией правила произведения является специальная схема, условно называемая «дерево». Для рассмотренного примера соответствующая схема будет выглядеть так:

2

4

5

5

4

245

254

Рассмотрим пример на применение этих двух правил.

Пример 6. Сколько различных «слов» (т.е. последовательностей букв), состоящих не менее чем из пяти различных букв, можно образовать из букв слова «рисунок»?

Решение: Слово «рисунок» состоит из семи различных букв. Применяя правило произведения соответствующее число раз, можно подсчитать, что существует: N1 = 7 × 6× 5× 4 × 3 = 2520 «слов» из пяти букв (выбираемых из букв слова «рисунок»), N2 = 7 × 6× 5× 4× 3× 2 = 5040 «слов» из шести букв, N3 = 7× 6 × 5× 4 × 3× 2× 1 = 5040 «слов» из семи букв. Тогда по правилу суммы, существует N = N1 + N2 + N3 = 2520 + 5040 + 5040 = 12 600 «слов», состоящих не менее чем из пяти букв слова «рисунок».

Существуют следующие комбинации: перестановки, размещения, сочетания.

Перестановки

А. Перестановки без повторений (n различных объектов).

Упорядоченные множества из n элементов называются перестановками из n элементов. Таким образом, перестановки из n элементов отличаются только порядком следования элементов.

Перестановками из n элементов называют различные упорядочения данного конечного множества, состоящего из n элементов.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n-различных элементов и отличающиеся только порядком расположения.

P_n = n! = 1 × 2× 3 ×…× n

Факториал – произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют «n-факториал».

Факториал нуля равен единице: 0!=1.

Пример 7. Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на одной полке?

Решение: Искомое число способов равно P₆ = 6! = 1 × 2× 3 ×4× 5 × 6 = 720. Действительно, первую книгу можно выбрать шестью способами, вторую — пятью способами и т.д., последнюю — одним способом. По правилу умножения общее число способов равно 6- 5-4• 3• 2-1 = 720.

Пример 8. Сколькими способами можно расположить на полке 10 различных книг? Ответ: 10! .

B. Перестановки c повторениями.

В том случае, если некоторые переставляемые объекты совпадают, то число перестановок будет меньше. Предположим, что имеется k различных типов объектов и известно, что имеется n₁ элементов 1-го типа, n₂ элементов 2-го типа, …, n_kэлементов k-го типа. При этом n₁+ n₂ +… + n_k =n. Перестановки такого типа будем называть n-перестановками с повторениями и обозначать P(n₁, n₂ ,…, n_k).

P(n₁, n₂ ,…, n_k)= n!/ (n₁! ×n₂! ×…×n_k!)

Перестановка п элементов, среди которых k₁элемент первого типа, k₂элементов второго типа, …, k_m элементов m-го типа (k₁ + k₂ + … + k_m = п), причем элементы разных типов различны, называется перестановкой с повторениями п элементов, среди которых k₁ элементов первого типа, k₂ элементов второго типа, …, k_m элементов m-го типа

Пример 9. Сколько различных последовательностей букв можно составить, переставляя буквы в слове «криминалистика».

Решение: Так как в слове «криминалистика» 14 букв, то п = 14. Элементов первого типа (буквы «к») 2 штуки (k1 = 2). Далее: k2 = 1 (буква «р»), k3 = 4 (буква «и»), k4 = 1 (буква «м»), k5 = 1 (буква «н»), k6 = 2 (буква «а»), k7 = 1 (буква «л»), k8 = 1 (буква «с»), k9 = 1 (буква «т»). Следовательно, количество всех слов: Р(2, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 1, 1) = 14! /(2!4!2!)=

Размещения

А. Размещения без повторений

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком следования.

Упорядоченные подмножества из n элементов по k элементов каждое, называются размещениями из n элементов по k элементов (или кратко: размещениями из n по k). Таким образом, размещения отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Пусть дано множество, состоящее из п элементов. Размещением из п элементов по к (к < п) элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее к различных элементов данного множества Все эти подмножества отличаются друг от друга или составом элементов, или порядком их распределения. Но число элементов во всех этих подмножествах равно к.

Размещениями из n по m называются всевозможные упорядоченные подмножества, содержащие m элементов из данных n. Обозначаются и вычисляются по формуле:

Пример 10. Сколько можно составить четырехзначных чисел, содержащих различные цифры из 5 цифр.

Решение: Четырехзначное число – это упорядоченная последовательность цифр, т. е. имеем дело с размещениями без повторений: А₅⁴=5!/(5-4)!=5!/1!=5432=120.

Пример 11. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами может быть составлено расписание на 1 день?

Решение:

Пример 12. Сколькими способами можно выбрать 3 из 10 различных шаров?

Ответ: А₁₀³=720.

B. Размещения с повторениями

Размещением с повторениями из m элементов по k элементов называется такое упорядоченное множество, которое содержит k элементов, причем один и тот же элемент может входить в это множество несколько раз (от нуля до k). Число всех размещений с повторениями из m по k равно m^k , т.е. Ā^k_m = m^k

Размещениями с повторениями из n элементов по k элементов называются упорядоченные множества, каждое из которых содержит k необязательно различных элементов из данного множества n элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить при помощи цифр 1, 2, 3?

Решение. Согласно предыдущему, искомое число равно Ā⁵₃ =3⁵=243

Пример 14. Кодовый замок имеет на диске 12 букв. Секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток можно сделать? Общее число комбинаций Ā⁵₁₂ =12⁵=248832. Число неудачных попыток 248832-1=248831.

Пример 15. В стену здания вмонтированы 8 гнезд для флажков. В каждое гнездо вставляется либо голубой, либо красный флажок. Сколько различных случаев распределения флажков на здание.

Решение: Так как порядок расположения элементов важен и не все элементы используются в данном соединении, то это размещение. А так как всего 8 гнезд, а флажков 2 вида (голубой и красный), то они будут повторяться, т.е. это размещение с повторением.

Сочетания

Определение. Подмножества из n элементов по k элементов каждое, отличающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями из n элементов по k элементов (или кратко: сочетания из n по k). Таким образом, сочетания отличаются только составом элементов. Число сочетаний из n по k обозначается: C^k_n.

Пусть дано множество, состоящее из п элементов. Сочетанием из п элементов по к (0 < к < п) элементов называется любое подмножество, которое содержит к различных элементов данного множества. Таким образом, различными подмножествами считаются только те, которые отличаются составом элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов, не считаются различными. Число всех возможных сочетаний из п элементов по к обозначается C^k_n. Так как число перестановок из к равно k!, то число размещений из п элементов по к — А^k_n будет в к! раз больше, чем число сочетаний из п

элементов по к — С^k_n , т.е. А^k_n =n! × C^k_n.

Отсюда: C^k_n= А^k_n /k!= n!/(n—k)! ×k!

Пусть имеются n различных элементов. k- сочетаниями без повторений из n элементов называют k-расстановки, составленные из этих элементов, и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Число k-сочетаний без повторений из n различных элементов обозначается С^k_n.

Сочетаниями из n по m называются всевозможные подмножества данных n элементов, состоящие из m элементов. Для подсчета их числа используются следующие обозначение и формула:

Сочетанием называют комбинации, составленные из n –различных элементов по m элементов, которые отличаются только составом элементов и не зависят от порядка следования.

Пример 16. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать C⁴₂₅ способами: C⁴₂₅ = 25!/(25-4)! ×4!=12650

Пример 17. Сколькими способами можно выбрать при игре в спортлото 6 из 49 номеров?

Ответ: C⁶₄₉=69919080

Пример 18. В кондитерской продавалось 4 вида пирожных: наполеоны, эклеры, песочные, слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Ответ: C⁴₇=

Сочетанием с повторениями из m элементов по k элементов (или короче: сочетанием с повторениями из m по k) называется множество, содержащее k элементов, причем каждый элемент принадлежит к одному из m типов. Число всех вышеупомянутых сочетаний с повторениями из m по k обозначается Ĉ^k_m (обратите внимание на отличие от обозначения числа сочетаний из n по k – черта сверху).Число сочетаний с повторениями из т по k равно:

Пусть имеется n различных типов предметов. Сколько k-расстановок можно составить, которые отличаются друг от друга составом, но не порядком входящих элементов? Такие k -расстановки называются k-сочетаниями с повторениями из n типов предметов. Число k -сочетаний с повторениями из n типов предметов обозначается Ĉ^k_m.

Сочетания из n элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом сочетании любое число раз, но не более m, называются сочетаниями с повторениями. Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 19. На почте продаются открытки 10 сортов. Сколько вариантов существует для покупки 12 открыток.

Решение: Порядок расположения элементов не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как открытки в наборе могут повторяться, то это сочетание с повторениями.

.

Таким образом, из 10 открыток можно выбрать набор из12 штук 293930 способами.

Пример 20.Число различных бросаний двух одинаковых кубиков равно

Пример 21. Напишем все сочетания с повторениями из трех элементов А, В, С по 3. Сколько их?

Вот они: ААА ВВВ ССС, АВВ ВСС, АСС ВВС, ААВ, ААС, АСВ. Их 10 штук, т.е.Ĉ³₃.=10.

Свойства сочетаний

1) С^k_n = С^n—k_n

2) С^k_n = С^k-1_n-1+ С^k_n-1

3) С⁰_n + С¹_n + С²_n + …+ Сⁿ_n = 2ⁿ

4) С^k_n * С^m—k_n—k= С^k_m+ С^m_n

Все сочетания легко вычисляются, если записать их в виде треугольной таблицы (треугольника Паскаля ):

1 С_о°

1 1 C₁⁰ С₁¹

1 2 1 С₂⁰ С₂¹ С₂²

1 3 3 1 С₃⁰С₃¹ С₃²С₃³

1 4 6 4 1 С₄⁰ С₄¹С₄²С₄³С₄⁴

1 5 10 10 5 1 С₅⁰С₅¹С₅²С₅³С₅⁴С₅⁵

На основании данной таблицы можно увидеть справедливость указанных выше свойств сочетаний.

При определении вида комбинации удобно пользоваться схемой:

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ

Задача 1. Максимально возможное количество матчей, которое можно организовать в высшей лиге футбольного дивизиона страны не должно превышать 160 в один круг. Сколько (максимально) команд можно включить в состав высшей лиги.

Решение. Обозначим возможное количество команд через n, тогда число сыгранных матчей равно C²_n . По условию C²_n ≤ 160. Пусть C²_n = 160, тогда:

n!/(n-2)!* 2!=160. Тогда n=18,4;-17,4.

Число команд должно быть натуральным числом, поэтому n = 18.

Ответ. 18 команд.

Задача 2. Имеется 4 сорта чая, 5 сортов конфет и 6 сортов печенья. Сколькими способами можно организовать чаепитие-дегустацию на трех человек, если каждый может выпить одну чашку чая определенного сорта с одной конфетой и одним печеньем?

Решение. Используя правило произведения, подсчитаем, что:

1) число способов распределить сорта чая для трех дегустаторов равно 4³;

2) число способов распределить по одной конфете определенного сорта для трех дегустаторов равно 5³;

3) число способов распределить по одному печенью определенного для трех дегустаторов равно 6³.

Применяя еще раз правило произведения, мы получим, что число способов организовать данное чаепитие-дегустацию равно 4³* 5³* 6³= 1 728 000.

Задача 3. В соревнованиях принимают участие 16 команд Сколькими способами могут распределиться три первых места, т е необходимо найти число всех подмножеств, состоящих из трех элементов, отличающихся составом (номерами команд) или порядком их размещения (подмножества № 1, № 2, № 3 и № 2, № 1, № 3 являются разными). Таким образом, имеем дело с размещением. Тогда искомое число равно A³₁₆=3360

Задача 4. В отделении 10 солдат. Необходимо составить наряд из 4-х человек. Сколько существует способов составления такого наряда?

Решение. Поскольку порядок, в котором мы выбираем участников наряда, не важен, то мы имеем дело с сочетаниями их 10 по 4. Итак, C⁴₁₀=210

Задача 5. Сколько существует четырехзначных чисел, состоящих из различных цифр?

Решение. Ноль не может быть первой цифрой, следовательно, есть 9 возможностей выбрать первую цифру. Далее может следовать любая упорядоченная тройка оставшихся цифр, а для этого есть A³₉ способов. Итого, получаем 9* A³₉=4536

Задача 6. Сколькими способами можно раскрасить диаграмму из 4 столбцов четырехцветной ручкой так, чтобы каждый столбец был окрашен в определенный цвет.

Решение: Порядок расположения элементов имеет значение и в диаграмме 4 столбца, а ручка тоже четырехцветная, т. е. все элементы присутствуют в соединении, следовательно, это соединение – перестановка. А так как окраска столбцов не повторяется (в условии сказано, что столбцы имеют разные цвета), то это перестановка без повторения. Итак, P_n= n! = 4! = 1234 = 24 Ответ: столбцы можно закрасить 24 способами.

Задача 7. Имеется 5 кружков: 3 белых и 2 черных. Сколько различных узоров можно получить, располагая кружки в ряд.

Решение: Порядок расположения элементов имеет значение и в узоре 5 кружков, т.е. все элементы присутствуют в соединении, следовательно, это соединение – перестановка. А так как окраска кружков повторяется (в условии сказано, что 3 белых и 2 черных), то это перестановка с повторением. Итак,

Ответ: узор можно составить 10 способами.

Задача 8. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить перевод с любого из 5 языков на любой из 5 языков.

Решение: Порядок имеет значение (так как русско-английский и англо-русский словари различны) и не все элементы присутствуют в соединении (а только 2 из 5), значит, это размещение. Так как языки различны, то это размещение без повторения. Итак, . Ответ: надо составить 20 словарей.

Задача 9. На железнодорожной станции имеется 5 светофоров. Сколько может быть дано различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния.

Решение: Порядок имеет значение и не все элементы присутствуют в соединении, значит, это размещение. Так как цвета повторяются, то это размещение с повторением. Итак, . Ответ: может быть дано 243 различных комбинаций цветов.

Задача 10. 12 человек играли в городки. Сколькими способами они могут разбиться на команды по 4 человека в каждой.

Решение: Порядок расположения игроков в команде не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как игроки не повторяются (все члены команды различные люди), то это сочетание без повторения. Итак, .

Ответ: игроки могут разбиться на команды по 4 человека в каждой 495 способами.

Задача 11. В цветочном магазине продаются цветы 6 видов. Сколько можно составить букетов из 10 цветов в каждом (букеты отличающиеся лишь расположением цветов считать одинаковыми).

Решение: Порядок расположения цветов в букете не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как цветы повторяются, то это сочетание с повторением. Итак, . Ответ: букеты можно составить 3003 способами.

Задача 12. В группе 25 студентов, из которых 5 отличников, 11 хорошистов и остальные троечники. Сколькими способами можно выбрать группу для выполнения лабораторной работы, состоящей из 3 хорошистов, 1 отличника и 1 троечника.

Решение: Сначала узнаем сколькими способами можно выбрать 3 хорошистов из 11 человек. Порядок расположения студентов не важен, значит, это сочетание. А так как люди в группе не повторяются, то это соединение – сочетание без повторения. Итак, одного хорошиста можно выбрать способами. Аналогично рассуждая, приходим к тому, что 1 отличника можно выбрать способами и одного троечника можно выбрать способами. Так как команда для выполнения лабораторной работы выбирается одновременно, т.е. 5 хорошистов, затем 1 отличник, затем 1 троечник, то, применив правило произведения, получим: способами. Ответ: группу для выполнения лабораторной работы можно составить 3300 способами.

Задача 13: Имеется 4 чашки, 5 блюдец, 6 ложек (все чашки, блюдца, ложки различны). Сколькими способами можно накрыть стол к чаю на 3 человека, если каждый получает 1 чашку, 1 блюдце и 1 ложку.

Решение: Выберем для 3 человек чашки из 4 имеющихся. Порядок расположения элементов имеет значение, и не все элементы входят в соединение, значит, это размещение. Но так чашки не повторяются, то это размещение без повторения. Итак, из 4 чашек 3 можно выбрать способами. Аналогично рассуждая, получим, что из 5 блюдец 3 можно выбрать способами, а из 6 ложек 3 можно выбрать способами. Так блюдце, чашка и ложка входят в набор одновременно, то стол можно накрыть способами. Ответ: стол можно накрыть 172800 способами.

Задача 14. Группу из 20 студентов можно разместить в аудитории по 2 человека за каждой партой. Порядок их размещения имеет значения.

Решение. Количество возможных вариантов размещений вычисляется по формуле:

Задача 15. Найти количество трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5.

Решение. Количество трехзначных чисел в данном примере определяется по формуле размещений (3) и равно:

Задача 16. Группу из 20 студентов следует рассадить в аудитории по 2 человека за каждой партой. Порядок их размещения не имеет значения. Определить количество возможных вариантов сочетаний.

Решение. Количество возможных вариантов сочетаний вычисляется по формуле 4):

Задача 17. Флаг государства может комбинироваться из трёх полос разного цвета. Определить число комбинаций из пяти разных цветов, которые можно получить, выбирая из них три полосы разного цвета.

Решение. Если учитывать порядок в комбинации, то число вариантов равно:

Если же порядок в комбинации не имеет значения, то количество разных вариантов равно:

Комбинаторика в Python / Хабр

Стандартная библиотека python, начиная с версии 2.2, предоставляет множество средств для генерирования комбинаторных объектов, но в интернете мне не удалось найти ни одной статьи, которая подробно рассказывала бы о работе с ними. Поэтому я решил исправить это упущение.

Начну с того, что расскажу о комбинаторике и ее основных формулах. Если же вы уже знакомы с этим разделом математики — можете пропустить эти абзацы.

Допустим, у нас есть строка, состоящая из n разных букв и мы хотим вычислить все способы переставить эти буквы местами так, чтобы получить новую строку. На первую позицию в строке мы можем выбрать одну из n букв, имеющихся у нас, на вторую позицию одну из n-1-ой буквы и так далее. В итоге получаем произведение n (n-1)… *1 = n! количество перестановок из n элементов без повторений.

Теперь представим, что количество букв в строке ограничено. У нас есть n доступных букв и мы хотим вычислить количество способов составить из них строку длины k, где k < n, каждую букву мы можем использовать лишь единожды. Тогда на первую позицию в строке мы можем поставить одну из n букв, на вторую позицию одну из n-1 буквы и на k-ую позицию одну из n-k+1 буквы. k количество размещений из n по k с повторениями.

До этого мы перебирали последовательности с учетом порядка элементов, а что если порядок для нас не имеет значения. Например, у нас есть есть n разных конфет и мы хотим выбрать k из них, чтобы подарить другу, при чем k < n. Сколько существует способов выбрать k конфет из n без учета порядка? Ответ прост, в начале найдем размещение из n по k без повторений, но тогда одинаковые наборы конфет, имеющие разный порядок их следования будут повторяться. Сколько существует способов переставить k конфет? Правильно, перестановка из k элементов без повторений. Итоговый ответ: размещения из n по k делим на перестановки из k без повторений. Формула: количество сочетаний из n по k.

Рассмотрим случай посложнее, у нас есть n коробок каждая из которых содержит множество конфет одного вкуса, но в разных коробках вкусы разные. Сколько существует способов составить подарок другу из k конфет, при чем один и тот же вкус может встречаться любое количество раз? Так как порядок для нас значения не имеет, давайте разложим подарочные сладости следующим образом: в начале будут лежать последовательно конфеты первого вкуса, затем второго и так далее, а между конфетами разных вкусов положим спички, если конфеты какого-то вкуса отсутствуют в нашем подарке — спички, которые должны были окаймлять этот вкус слева и справа будут стоять рядом. Того у нас получится последовательность, состоящая из k конфет и n-1 спички, ибо вкусов всего n, а спички разделяют их. Теперь заметим, что по расположению спичек, мы можем восстановить исходное множество. Тогда ответом будет количество способов разместить n-1 спичку в n+k-1 ячейку без учета порядка, что равно количеству сочетаний из n+k-1 по n-1, формула: количество сочетаний из n по k с повторениями.

Теперь рассмотрим несколько задач на комбинаторику, чтобы закрепить материал.

from itertools import *

for i in permutations('abc'):
    print(i, end=' ') # abc acb bac bca cab cba
print()
for i in permutations('abb'):
    print(i, end=' ') # abb abb bab bba bab bba 

for i in permutations('abc', 2):
    print(i, end=' ') # ab ac ba bc ca cb 

for i in product('abc', repeat=2):
    print(i, end=' ') # aa ab ac ba bb bc ca cb cc

for i in combinations('abcd', 2):
    print(i, end=' ') # ab ac ad bc bd cd 

for i in combinations_with_replacement('abcd', 2):
    print(i, end=' ') # aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd  

sin x cos x｜TikTok Search

TikTok

Главные значения: arcsin, arccos, arctg и arctg: расчет, свойства

Данный тип функций решают задачу вычисления и определения угловых значений по известному заданному значению тригонометрической функции.

 Например, синус какого угла будет иметь значение \[\frac{1}{2}\]

Напрашивается ответ,  что это угол 60° или \[\frac{\pi}{3}\] , однако вспоминая о периоде значений косинуса, делаем вывод:  углы, при которых косинус равен \[\frac{1}{2}\], существует достаточно много.

Данные тригонометрические функции являются обратными по значению. Они имеют множество характерных свойств:

Проведем доказательство перечисленных свойств на примере значения арксинуса. Значение угла данной функции равняется числу a. И данное значение находится на промежутке чисел от -1 до +1.

sin(arcsin a)=a

Все остальные функции доказываются аналогично, согласно их определения.

Определение значений обратных функций, будет иметь смысл при условии, что неизвестное число a будет делать в пределах от -1 до +1.

Противоположные значения для обратных значений функций арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Взаимосвязь функций противоположных чисел можно записать в следующем виде:

Перейдем к доказательству записанных выражений.

Доказательство арксинусов:

\[\text { Если }-1 \leq a \leq 1 \Rightarrow \arcsin (-a)=-\arcsin a .\]

Данная тригонометрическая функция имеет предел значений от \[-\frac{\pi}{2} \text { до } \frac{\pi}{2}\] и синус его равен -a.

Докажем, что — arcsin a находится в пределах \[-\frac{\pi}{2} до \frac{\pi}{2}\] и обоснуем, что sin (-arcsin a)=-a.

Для функции арксинус справедливо неравенство, следующего вида:\[-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin a \leq \frac{\pi}{2}\].

Для того чтобы получить эквивалентное неравенство, нужно обе части равенства умножить на значение-1. После вычислений получим:\[-\frac{\pi}{2} \leq-\arcsin \mathrm{a} \leq \frac{\pi}{2}\].

Докажем, что sin ( − arcsin   a ) = − a sin(-arcsin a)=-a.

Применим свойство противоположных углов и составим уравнение:

 sin ( − a r c sin   a ) = − sin ( a r c sin   a )=-sin arcsin a.

Арккосинус доказывается следующим образом:

Записываем выражение: \[\arccos (-a)=\pi-\arccos a \text { при } a \in(-1,1)\]

Для этой функции принимает равенство \[0 \leq \arccos a \leq \pi\] обе части равенства нужно перемножить на значение равное -1 и изменить знаки на противоположные. Выполнив вычисления получим равенство: \[\pi \geq \pi-\arccos a \geq \pi\].

Чтобы доказать оставшиеся две функции, применяются аналогичные свойства и правила.

Правило противоположных чисел позволяет упростить процесс решения и исключает все операции при вычислении с отрицательными числами.

Например:

Принцип сложения обратных тригонометрических функций

Для тригонометрических функций, прямых или обратных, характерны простые математические свойства, а именно: сложение данных.

Составим доказательство функций для арксинуса и арккосинуса. Формулы arcsin и arccos в виде суммы, можно представить как  \[\arcsin a=\frac{\pi}{2}-\arccos a\]. Затем применить определение, из которого следует, что арксинус — это число, которое относится пределу значений  от \[-\frac{\pi}{2} \text { до } \frac{\pi}{2}\] , синус равняется  a.

Обе части неравенства \[0 \leq \arccos a \leq \pi\] умножим на значение -1 и прибавим \[\frac{\pi}{2}\].

Выполнив все необходимые операции по вычислению заданного равенства, получим следующие выражения:

Для завершения доказательства запишем формулу: \[\sin \left(\frac{\pi}{2}-\arccos a\right)=\cos (\arccos a)=a\]

Сформулируем свойства рассматриваемых значений  функций относительно  синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Значение  arcsin (sin a) имеет смысл в том случае, если a относится к пределам \[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\] и выполняется условие \[-\frac{\pi}{2} \leq a \leq \frac{\pi}{2}\].

Аналогичные условия характерны и для других функций. 

Пример: \[\arcsin \left(\sin \frac{8 \pi}{3}\right)=\frac{8 \pi}{3}\], является неверной, потому что \[\frac{8 \pi}{3}\], не удовлетворяет условию. 

Главные значения: arcsin, arccos, arctg и arctg

Применяя таблицы определения значений прямых функций, мы имеем точные числовые значения для следующих углов \[0, \pm 30,45,60,90,120 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \pm 180\] градусов. Таблица является очень простой и понятной для применения при выполнении необходимых расчетов.

Продолжение таблицы 1

Вычисленные значения принято сводить в таблицу, показанную выше. Особенно рекомендуются, ее заучивать наизусть, для более хорошего восприятия.

Учитывая данные вышеприведенной таблицы, можно вычислить необходимые для нас значения функций. 

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Для более практичного применения сведем все данные арксинуса в таблицу. Их необходимо запомнить, а лучше всего выучить наизусть. Так ка к ним придется возвращаться на постоянной основе.

Далее определимся с основными значения арккосинуса. Для вспомнить функцию прямую по значению к данной.

Далее определяем нужные нам значения арккосинуса и сводим их в таблицу.

И напоследок остается вычислить значения арктангенса и арккотангенса.

Выведем значения основных прямых функций и получим следующие значения для каждого значения в градусах:

\[\operatorname{tg} 90^{\circ}, 270^{\circ}\] — данные угловые значения, не определяются, согласно основным законам геометрии и математики. {\circ}\]- для перечисленных угловых значений по законам математики и всех технических наук в целом, значения не определяются

Далее все данные запишем в виде табличной формы.

Первая таблица для арктангенса

Вторая таблица  для арккотангенса

Рассмотрим, также значения для нестандартных угловых значений и сведем их в таблицу.

В данной таблице приведены значения углов, которые считаются нестандартными. Также таблица необходима, чтобы облегчить жизнь, в первую очередь, школьной программе. 

Например:

Основные способы, которые помогут заполнить таблицу функций тригонометрии.

Необходимо изобразить простую таблицу, где будет несколько столбцов и строк, необходимых для заполнения данных. Следующая задача, состоит в том, что нужно пустые графы заполнить. Записываем в первом столбике значение математических функций, ранее нами изученных.

В начальной строке, должны отображаться самые часто используемые значения углов: от нуля до девяноста градусов и так далее.  

Оставшиеся ячейки нужно оставить незаполненными, для следующих действий. Чтобы понять тригонометрию, нужно изучать не только основные функции. Стоит уделить внимание и таким функциях как: косеканс (cosec) и секанс(sec).

На практике решений, обычно требуется точность в три-четыре знака, после запятой, но не более. Для расчета, с такой точностью, значение синуса, в формуле достаточно трех известных слагаемых, а иногда и двух.  Произвести простых четыре перемножения.  

Дважды разделить, умножить и отнять. 

Если производить действия инженерным калькулятором, становится понятно, что все вышеперечисленные действия, уже запрограммированы в его микросхеме.  

В таблице представлены следующие данные:

• число в квадратной и кубической степени;
• числа квадратных корней;
• логарифмические функции и значение;
• функции тригонометрии, представленный в градусах и радианах;
• обратные функции.

Мы показали, что представляет таблица, какие данные и значения отображает. {\prime}=4,102 .\]

Тригонометрические функции являются периодическими. Функции, которые, являются обратными к ним будут иметь многозначное значение.  Другим словами это множество угловых значений, для которых соответствующая функция является заданным числом.

Арксинус (y = arcsin x )  – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ).

Свойства функции	Функции y=arcsin х
E(f)	\[-1 \leq x \leq-1\]
D(f)	\[-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\]
наличие четности	Нечётная, т.к. arcsin(-x)= — arcsin x
характер графика направление	возрастание

Арккосинус ( y = arccos x )  – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y).

Свойства	Функции y=arccos х
E(f)	\[-1 \leq x \leq-1\]
D(f)	\[0 \leq y \leq \pi\]
Чётности	Данное свойство ей не характерно. Иными словами отсутствует.
Монотонность	Убывающая

Арктангенс ( y = arctg x )  – характеризуется, как обратное значение функции относительно тангенса.

Следовательно арккотангенс имеет такие свойства по отношению к тангенсу.

Свойства	y=arctg х	y=arcctg х
E(f)	R	R
D(f)	\[\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\]	\[(0 ; \pi)\]
Характер функции	Нечётная	Нечётная
Периоды	Возрастающая	Убывающая

Формулы arcsin arccos. Вывод формул обратных тригонометрических функций

Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk

Перепишем:

x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x) Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0. 25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.

Представлен способ вывода формул для обратных тригонометрических функций. Получены формулы для отрицательных аргументов, выражения, связывающие арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Указан способ вывода формул суммы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов.

Основные формулы

Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.

В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ ctg(arcctg x) = x (-∞

Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при

Если переменная x не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n — целое):
sin x = sin(- x-π) ; sin x = sin(π-x) ; sin x = sin(x+2 πn) ;
cos x = cos(-x) ; cos x = cos(2 π-x) ; cos x = cos(x+2 πn) ;
tg x = tg(x+πn) ; ctg x = ctg(x+πn)

Например, если известно, что то
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π — x )) = π — x .

Легко убедиться, что при π — x попадает в нужный интервал. Для этого умножим на -1 : и прибавим π : или Все правильно.

Обратные функции отрицательного аргумента

Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.

arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = — arcsin x

Поскольку то умножив на -1 , имеем: или
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.

Аналогично для остальных функций.
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π — arccos x

arctg(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = — arctg x

arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π — arcctg x

Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс

Выразим арксинус через арккосинус.

Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку

Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на -1 : и прибавим π/2 : или Все правильно.

Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.

Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот

Поступаем аналогичным способом.

Формулы суммы и разности

Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.

Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x , Y = arcsin y . Формула применима при
. Далее замечаем, что, поскольку arcsin(- x) = — arcsin x, arcsin(- y) = — arcsin y, то при разных знаках у x и y , X и Y также разного знака и поэтому неравенства выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: . То есть при формула справедлива.

Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0 , или X > 0 и Y > 0 . Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: . Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0 , до π , то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:
;
;
;
.
Поскольку и ; то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
;
.
Подставляем sin X = sin arcsin x = x :
;
;
;
.

Итак, полученная формула справедлива при или .

Теперь рассмотрим случай x > 0, y > 0 и x 2 + y 2 > 1 . Здесь аргумент синуса принимает значения: . Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса :

Итак,

при и.

Заменив x и y на — x и — y , имеем

при и.
Выполняем преобразования:

при и.
Или

при и.

Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:

при или ;

при и ;

при и .

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов. ) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс… То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Определение обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin x ) — это функция, обратная к синусу (x = sin y

Арккосинус (y = arccos x ) — это функция, обратная к косинусу (x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .

Арктангенс (y = arctg x ) — это функция, обратная к тангенсу (x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .

Арккотангенс (y = arcctg x ) — это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos — .
3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Y = 0 при x = 1.
5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

1. Интервал определения функции – бесконечность.
2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

19.1: Функции arcsin, arccos и arctan

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

49073

• Томас Тредлер и Холли Карли
• CUNY Городской технологический колледж Нью-Йорка через New York City College of Технологии в CUNY Academic Works

Обратные тригонометрические функции — это обратные функции функций \(y=\sin x\), \(y=\cos x\) и \(y=\tan x\), ограниченные соответствующими областями. В этом разделе мы даем точное определение этих функций.

Функция арктангенса

Начнем с обратной функции тангенса \(y=\tan(x)\). Напомним, что график \(y=\tan(x)\) выглядит следующим образом:

Он имеет вертикальные асимптоты в точках \(x=\pm\dfrac{\pi}{2}, \pm\dfrac{ 3\pi}{2}, \pm\dfrac{5\pi}{2}, \dots\). Обратите внимание, что \(y=\tan(x)\) не является взаимно однозначной функцией в смысле определения [DEF:1-to-1] на стр. . (Например, горизонтальная линия \(y=1\) пересекает график в точках \(x=\dfrac{\pi}{4}\), \(x=\dfrac{\pi}{4}\pm\ pi\), \(x=\dfrac{\pi}{4}\pm2\pi\) и т. д.) Однако, когда мы ограничиваем функцию областью \(D=(\dfrac{-\pi}{ 2},\dfrac{\pi}{2})\) ограниченная функция 9{-1}(x)\)

Далее мы определяем функцию обратного синуса. Для этого снова сначала вспомним график функции \(y=\sin(x)\) и заметим, что он тоже , а не взаимно-однозначный.

Однако при ограничении синуса областью \(\left[\dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) ограниченная функция равна один к одному. {-1}(x)} \номер\] 9{-1}(x)\)

Наконец, мы определяем арккосинус. Вспомните график \(y=\cos(x)\) и снова заметьте, что функция , а не взаимно однозначна.

В этом случае способ ограничить косинус однозначной функцией не так ясен, как в предыдущих случаях для синуса и тангенса. По соглашению косинус ограничен областью определения \([0,\pi]\). Это обеспечивает функцию, которая является взаимно однозначной, которая используется для определения арккосинуса.

Определение: арккосинус или арккосинус 9{-1}(17) \text{ is undefined} \nonumber \]

Другие входные значения можно получить с помощью калькулятора, нажав \(\boxed {\text{2nd}}\)\(\boxed {\ текст{cos}}\) ключи. Например, мы получаем следующие значения функции (здесь с использованием измерения в радианах).

---

Эта страница с заголовком 19.1: Функции arcsin, arccos и arctan используются совместно в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA 4.0. Ее авторами, ремикшированием и/или кураторами являются Томас Тредлер и Холли Карли (Нью-Йоркский городской колледж технологии в CUNY Academic Works) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Томас Тредлер и Холли Карли

   Лицензия

   СС BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. арктангенс
   2. арктангенс
   3. источник@https://academicworks. cuny.edu/ny_oers/1

Арксин, Арккос, Арктан — Тригонометрия

Все ресурсы по тригонометрии

6 Диагностические тесты 155 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Помощь по тригонометрии » Тригонометрические операции » Arcsin, Arccos, Arctan

Что такое  если и ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти, нам нужно использовать данную информацию в задаче. Даны противолежащая и прилежащая стороны. Затем мы можем, по определению, найти число и его меру в градусах, используя функцию.

Теперь найдем меру угла с помощью функции  .

Если вы рассчитали меру угла как  , значит, ваш калькулятор настроен на радианы, а его необходимо установить на градусы.

Сообщить об ошибке

Что такое треугольник выше  если и ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Нам нужно использовать тригонометрическую функцию, чтобы найти . Нам даны противоположная и смежная стороны, поэтому мы можем использовать функции  и  .

Сообщить об ошибке

Для треугольника выше, что такое  если  и ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Нам нужно использовать тригонометрическую функцию, чтобы найти . Нам даны противолежащая сторона и гипотенуза, поэтому мы можем использовать функции  и  .

Сообщить об ошибке

Что из следующего является эквивалентом степени обратной тригонометрической функции

?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Это обращение функции косинуса. Это означает, что если , то .

Следовательно,

 

Сообщить об ошибке

Приняв угол в градусах, определите значение .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Для оценки необходимо знать существующий домен и диапазон для этих обратных функций.

Арксинус:

Арккосинус:

Арктангенс:

9 0031

Оцените каждый термин. Окончательные ответы должны возвращать угол.

Сообщить об ошибке

Если 

,

, какие значения принимает?

Предположим, что   

Возможные ответы:

Реального решения нет.

Правильный ответ:

Объяснение:

Если , то мы можем применить обратный косинус к обеим сторонам:

Так как косинус и обратный косинус отменяют друг друга; затем мы можем применить обратные функции синуса и секущей, чтобы получить решение.

  и                                             и                                                                                   

 

 

Сообщить об ошибке

Рассчитать .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Функция арксеканс принимает тригонометрическое отношение на единичной окружности в качестве входных данных и возвращает угол в качестве выходного значения. Таким образом, данная функция может быть переписана как

и является мерой угла, которая при применении к функции косинуса дает . Обратите внимание, что функция арксеканса, выраженная в условии задачи, написана с большой буквы; следовательно, мы ищем «главную» угловую меру, или ту, которая лежит между  и . Так как , и поскольку  лежит между  и ,

.

 

Сообщить об ошибке

Рассчитать .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Домен в аргументе  для     –

 .

Число 570

Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители…

Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел…

Сейчас изучают числа:

19 114 и 95 75000 750000 1000000 и 1000000 242 25466601 27 и 95565 2012 123 200 1036 3458 170 66666666666 1817 2266 322 1401 1003 2110 777 109 6730

Пятьсот семьдесят

Описание числа 570

Натуральное четное число 570 является составным числом. Сумма и произведение цифр: 12, 0. Число имеет следующие делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 19, 30, 38, 57, 95, 114, 190, 285, 570. Сумма делителей: 1440. Обратное число к 570 – 0.0017543859649122807.

Перевод числа в другие системы счисления: двоичный вид: 1000111010, троичный вид: 210010, восьмеричный вид: 1072, шестнадцатеричный вид: 23A. В числе байт 570 содержится 570 байтов .

В виде кода азбуки Морзе: ….. —… ——

Число — не число Фибоначчи.

Синус числа: -0.9803, косинус числа: -0.1978, тангенс числа: 4.9569. Логарифм натуральный числа 570 равен 6.3456. Десятичный логарифм равен 2.7559. Квадратный корень: 23.8747, а кубический корень: 8.2913. Квадрат числа 570: 3.2490e+5.

Конвертация из числа секунд это 9 минут 30 секунд . Нумерологическое значение числа 570 – цифра 3.

• ← 569
• 571 →

Число 10830

Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители…

Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел…

Сейчас изучают числа:

570 19 114 и 95 75000 750000 1000000 и 1000000 242 25466601 27 и 95565 2012 123 200 1036 3458 170 66666666666 1817 2266 322 1401 1003 2110 777 109

Десять тысяч восемьсот тридцать

Описание числа 10830

Положительное вещественное число 10830 – составное. 12 — сумма всех цифр данного числа. Делители числа: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 19, 30, 38, 57, 95, 114, 190, 285, 361, 570, 722, 1083, 1805, 2166, 3610, 5415, 10830. Обратным числом является 0.00009233610341643582.

Представление числа в других системах счисления: двоичная система: 10101001001110, троичная система: 112212010, восьмеричная система: 25116, шестнадцатеричная система: 2A4E. 10 килобайтов 590 байтов представляет из себя число байт 10830.

Кодирование азбукой Морзе: .—- —— —.. …— ——

Число 10830 не является числом Фибоначчи.

Косинус: -0.5977, синус: -0.8017, тангенс: 1.3412. Натуральный логарифм: 9.2901. Десятичный логарифм равен 4.0346. Если извлечь квадратный корень, получится 104.0673, а если кубический корень — 22. 1246 Возведение в квадрат: 1.1729e+8.

Если представить это число как секунды, то это 3 часа 30 секунд . Нумерологическое значение числа 10830 – цифра 3.

• ← 10829
• 10831 →

Является ли 95 простым числом

Является ли 95 простым числом? Простое число делится только на 1 и на само себя, а это значит, что у него нет других делителей, кроме 1 и самого числа. Напротив, составные числа имеют более двух делителей. Чтобы определить, является ли 95 простым числом или составным, нам нужно разделить его на числа от 1 до 95. Чтобы узнать ответ на этот вопрос «является ли 95 простым числом» и получить подробное представление о «как и почему 95 простое или составное число?» Давайте узнаем больше.

• Является ли 95 простым числом? — Нет
• Является ли 95 составным числом? — Да
• Коэффициенты 95 — 1, 5, 19, 95
• Является ли число 95 правильным квадратом? — №
• Простые множители от 95 до 5, 19

Является ли 95 простым числом?

Нет, 95 не простое число. Число 95 делится на 1, 5, 19, 95. Чтобы число считалось простым, оно должно иметь ровно два делителя. Поскольку 95 имеет более двух делителей, то есть 1, 5, 19, 95, это не простое число.

Почему 95 не является простым числом?

Чтобы понять, является ли число 95 составным или простым, важно найти его делители.

Факторы числа 95: 1, 5, 19, 95

Поскольку число 95 имеет более двух делителей, мы можем сказать, что 95 не является простым числом.

☛ Калькулятор простых чисел

Является ли 95 составным числом?

Да, так как 95 имеет более двух делителей, т. е. 1, 5, 19, 95. Другими словами, 95 является составным числом, потому что 95 имеет более двух делителей.

Условия задачи:

Является ли 95 простым числом?	№
Является ли 95 составным числом?	Да
Является ли 95 четным числом?	№
Квадрат 95	9025
Является ли 95 нечетным числом?	Да
Кратность 95	95, 190, 285, 380, 475, 570, 665, 760, 855, 950
Является ли 95 идеальным кубом?	№
Кубический корень из 95	4,562896
Является ли число 95 идеальным квадратом?	№
Квадратный корень из 95	9. 746794

Интересные факты:

• Числа X и Y называются взаимно простыми, если они имеют только один общий делитель, равный 1.
• Пара простых чисел X и Y называется простыми числами-близнецами, если абсолютная разница между ними равна 2. Пример — (311, 313) являются простыми числами-близнецами.
• Полупростое число — это составное число, являющееся произведением ровно двух простых чисел. Пример — 115 — полупростое число, так как 115 можно записать как 5 × 23,9.0016

☛ Также проверьте:

• Является ли 4 простым числом? — №
• Является ли 36 простым числом? — №
• Является ли 83 простым числом? — Да
• Является ли 7 простым числом? — Да
• Является ли 99 простым числом? — №
• Является ли 251 простым числом? — Да
• Является ли 239 простым числом? — Да
• Является ли 156 простым числом? — №

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Наибольшее четырехзначное число, которое делится на 95, это .

………

• Курс
  • NCERT
    • Класс 12
    • Класс 11
    • Класс 10
    9001 3 Класс 9
    • Класс 8
    • Класс 7
    • Класс 6
  • IIT JEE

• Экзамен
  • JEE MAINS
  90 013 JEE ADVANCED
  • X BOARDS
  • XII BOARDS
  • NEET
    • Neet Предыдущий год (по годам)
    • Физика Предыдущий год
    • Химия Предыдущий год
    • Биология Предыдущий год
    • Нет Все образцы работ
    • Образцы работ Биология
    • Образцы работ Физика
    • Образцы работ Химия 900 16

• Скачать PDF-файлы
  • Класс 12
  • Класс 11
  • Класс 10
  • Класс 9
  • Класс 8
  • Класс 7
  • Класс 6

• Экзаменационный уголок

• Онлайн-класс

• Викторина

• Задать вопрос в Whatsapp

• Поиск Doubtnut

• Английский словарь

• Toppers Talk

• Блог

• О нас Us

• Карьера

• Скачать

• Получить приложение

Вопрос

Обновлено: 26/04/202 3

КУМАР ПРАКАШАН-РЕАЛЬНЫЕ ЦИФРЫ-ОБЪЕКТИВНЫЕ ВОПРОСЫ

20 видео

РЕКЛАМА

Текст Решение

Ответ

Правильный ответ 9975

Ab Padhai каро бина реклама ке

Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина киси ад ки рукаават ке!

---

Видео по теме

Определите произведение наибольшего числа четырехзначное и наибольшее трехзначное число.

1529851

01:26

Определить произведение: Наибольшее пятизначное число и наибольшее количество трехзначных чисел

1529857

01:35

Количество четырехзначных чисел, составленных из цифр {2,3,4,5,6}, которые делятся на 3, равно

308713614

9 0002 02:27

Количество четырехзначных чисел, состоящих из цифр {2,3,4,5,6}, которые делятся на 6, равно

308713615

05:52

четырехзначное и наибольшее трехзначное число.

642585609

03:11

Наибольшее четырехзначное число, которое делится без остатка на каждое из чисел 12, 18, 21 и 28.

643431047

0 3:28

Составить самую большую и самую маленькую четверку цифровое число с использованием любого четырехзначного числа с цифрой 5 всегда на тысячном разряде

644242856

01:59

Напишите: наибольшее четырехзначное число?

644459558

01:42

Найдите наибольшее четырехзначное число, которое точно делится на 48, 60 и 64.

646462976

02:32

Наибольшее четырехзначное число, которое точно делится на 72, равно

646640523

03:14

наибольшее четырехзначное число, которое точно делится на каждое из чисел 12, 18 , 21 и 28 это

646927389

01:52

Четырехзначное число, состоящее из цифр 0,1,2,3,4,5, вероятность того, что число делится на 5, равна

647853029

Текстовое решение

Какое наибольшее четырехзначное число точно делится на 49?

647949094

02:00

Запишите наибольшее четырехзначное число?

648027017

01:06

Запишите наибольшее четырехзначное число?

648032362

01:01

РЕКЛАМА

• КУМАР ПРАКАШАН-РЕАЛЬНЫЕ ЦИФРЫ-ОБЪЕКТИВНЫЕ ВОПРОСЫ

900 13

Если квадрат любого положительного целого числа a разделить на 6, то остаток…

04:54

• Согласно лемме Евклида о делении для натуральных чисел a и 5, если. .. …. ……

  02:36

• Любое положительное нечетное целое число a имеет вид …….. для некоторого целого числа m.

  03:43

• НОК наименьшего простого числа и наименьшего составного числа…

  02:13

• Для двух натуральных чисел a и b, если HCF (a, b) = 7 и LCM (a, b) = …

  00:52

• Разложение числа 98 на простые множители равно ….. ……

  00:33

• Из данного дерева факторов значения x и y равны …….. соответственно

  00:56

• ……… не является иррациональным числом. √6 √5 √4 √3

  01:39

• ……… рациональное число между sqrt(2) и sqrt(3) а. 4/5… 9(110)) no заканчивается после …

  03:24

• Для данных положительных целых чисел a и b существуют уникальные целые числа q и r …

  02:34

• Какова HCF 65 и 117?

  00:52

• Что такое LCM 36 и 100 ?

  02:16

• После скольких знаков после запятой 751 представляет собой десятичное расширение (75.

Счет, степени, корни — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

• Основные теоретические сведения
  • Некоторые рекомендации к проведению алгебраических вычислений, преобразований и упрощений
  • Формулы сокращенного умножения
  • Квадратный трехчлен и теорема Виета
  • Основные свойства степеней
  • Основные свойства математических корней
  • Основные свойства квадратного корня

Некоторые рекомендации к проведению алгебраических вычислений, преобразований и упрощений

К оглавлению…

При выполнении численных вычислений с большим количеством операций и дробей желательно выполнять следующие рекомендации:

• Переводите десятичные дроби в обыкновенные, т.е. такие у которых есть числитель и знаменатель.
• Не старайтесь посчитать сразу все выражение. Выполняйте вычисления по одному действию, пошагово. При этом учтите, что:
  • сначала выполняют операции в скобках;
  • затем считают произведения и/или деления;
  • потом суммируют или вычитают;
  • и в последнюю очередь, если это была многоэтажная дробь, делят уже полностью упрощенный числитель на тоже полностью упрощенный знаменатель;
  • причем выполняя в первую очередь операции в скобках также соблюдают ту же последовательность, сначала произведения или деления внутри скобок, потом суммирование или вычитание в скобках, а если внутри скобки есть другая скобка то действия в ней выполняются прежде всего.
• Не спешите умножать и делить «страшные числа». Скорее всего, в одном из следующих действий что-то сократится. Чтобы проще было сократить можно числа раскладывать на простые множители.
• При сложении и вычитании выделяйте в дробях целую часть (если это возможно). При умножении и делении, наоборот, приводите дробь к виду без целой части.

От корней в знаменателе принято избавляться. Для избавления от корня над всем знаменателем умножают числитель и знаменатель на выражение, равное знаменателю. Для избавления от корня над частью знаменателя умножают числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. В этом случае образуется разность квадратов (сопряжённым для (a — b) является выражение (a + b) и наоборот).

При преобразовании или упрощении алгебраических выражений последовательность действий такова:

• Разложить на множители все, что можно разложить на множители.
• Сократить все, что можно сократить.
• И только потом приводить к общему знаменателю. Ни в коем случае не пытайтесь сразу сломя голову приводить к общему знаменателю. Пример будет становиться чем дальше, тем страшнее.
• Снова разложить на множители и сократить.

Для того чтобы перевести десятичную периодическую дробь в обыкновенную (с числителем и знаменателем) необходимо:

• Из числа, стоящего до второго периода в исходной периодической дроби вычесть число, стоящее до первого периода в этой же дроби и записать полученную разность в числитель будущей обыкновенной дроби.
• В знаменателе же записать столько девяток, сколько цифр в периоде исходной дроби, и столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
• Не забыть про целую часть, если она есть.

При решении задач из данной темы также необходимо помнить много сведений из предыдущих тем. Приведём далее основные из них.

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

При выполнении различных алгебраических преобразований часто удобно пользоваться формулами сокращенного умножения. Зачастую эти формулы применяются не столько для того чтобы сократить процесс умножения, а наоборот скорее для того, чтобы по результату понять, что его можно представить как произведение некоторых множителей. Таким образом, данные формулы нужно уметь применять не только слева направо, но и справа налево. Перечислим основные формулы сокращенного умножения:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Квадратный трехчлен и теорема Виета

К оглавлению…

В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т. е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения согласно теореме Виета может быть вычислено по формуле:

Итак, еще раз о теореме Виета:

• Если D < 0 (дискриминант отрицателен), то уравнение корней не имеет и теорему Виета применять нельзя.
• Если D > 0 (дискриминант положителен), то уравнение имеет два корня и теорема Виета прекрасно работает.
• Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень, для которого бессмысленно вводить понятие суммы или произведения корней, поэтому теорему Виета тоже не применяем.

Основные свойства степеней

К оглавлению…

У математических степеней есть несколько важных свойств, перечислим их:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

Основные свойства математических корней

К оглавлению…

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение.  Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

Основные свойства квадратного корня

К оглавлению…

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

какие операции можно выполнять с разными основаниями, примеры

Содержание:

• Что такое степень — определение, какие существуют виды
• Свойства степени с натуральным показателем
• Степень с целым и дробным показателем
• Какие возможны действия со степенями, формулы
  • Основные действия со степенями
• Примеры задач с решением

Содержание

• Что такое степень — определение, какие существуют виды
• Свойства степени с натуральным показателем
• Степень с целым и дробным показателем
• Какие возможны действия со степенями, формулы
  • Основные действия со степенями
• Примеры задач с решением

Что такое степень — определение, какие существуют виды

Для \(а\;\in\;R,\;n\;\in\;N:\) 

а в степени n равняется а, перемноженному на себя n раз; а называют основанием степени, n — показателем. {-1}.\)

Ответ: n = -1.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

Экспоненты и формулы степеней — Законы экспонентов Формулы и решенные примеры

Если вы снова и снова задаетесь вопросом, что такое экспонента в математике, то знайте, что экспонента, также известная как степень, представляет собой математический способ выражения числа, умноженного на себя определенное определенное число раз. С математической точки зрения, когда мы записываем нецелое число а, на самом деле это ¹ , обозначаемое как а — в степени 1.0004 = а*а*а

а ⁴ = а*а*а*а

а ⁵ = а*а*а*а

:

:

а ^п = а* а*а*а*а*а*а. . . n раз.

Ниже приведена стандартная формула экспоненты и степени для решения задач на экспоненты.

(am)n = (an)m = a(mn)

Данная диаграмма разбивает части экспоненциального выражения, точно определяя, какое число является экспоненциальной степенью фактора.

Что такое сила в математике?

В математике мощность определяется как выражение, представляющее многократное умножение одного и того же заданного числа. Записывается как «возведение числа в степень любого другого числа».

Например, 7 × 7 × 7 × 7 = 2041, что также может быть записано как 7 ⁴ = 2041, что означает, что число «7» нужно умножить четыре раза само на себя, чтобы получить число «2041». . Другими словами, можно сказать, что число «4», возведенное в степень 4, или число «7», возведенное в степень 4 9.0003-я -я сила», что дает нам число «7». Здесь число «4» называется основанием, а «4» — степенью или показателем степени.

Что такое экспонента в математике?

Показатель степени в математике определяется как положительное или отрицательное число, которое описывает степень, в которую возводится основание числа. Другими словами, он указывает, сколько раз нужно использовать число в процессе умножения.

 Например, 6 ³ = 6 × 6 × 6 равно 216. Где базовое число равно «6», которое используется 3 раза при умножении. Следовательно, мы умножаем число «6» три раза само на себя, чтобы получить число «216». В геометрии куб и квадрат являются двумя наиболее часто используемыми показателями степени.

Табличное представление Уточняющие определения

Выражения	90 002 Выражение длинной руки	Основание	Экспонента/мощность	Значение
2 5	2×2×2×2×2	2	5	9 0002 32
5 3	5×5×5	5	90 002 3	125
3 5	3×3 ×3×3×3	3	5	243
7 4	7×7×7×7	7	4	2401

В задачах на чтение Математические выражения с экспоненциальными степенями, такие как74, часто произносятся как «семь в четвертой степени». Опять же, экспоненциальные выражения, такие как 74, часто читаются как «4-я степень 7».

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Законы экспоненты Формулы

Существуют различные законы экспоненты, которые вы должны практиковать и помнить, чтобы полностью понять экспоненциальные понятия. Следующий экспоненциальный закон подробно описан с примерами экспоненциальных степеней, радикалов и корней. 9n}\]

\[a\sqrt{c}+b\sqrt{c}\] = \[(a+b)\sqrt{c}\]

\[\sqrt{a}+\sqrt {b}\] ≠ \[\sqrt{(a+b)}\]

\[\frac{ax}{y}=\sqrt[y]{ax}\]

Свойства экспонент и радикалов

Экспонента и радикальные правила	Пример	Примечания 900 05
xᵐ=x⋅x⋅x⋅x…..(m раз)	2³=2⋅2⋅2=8	92=\frac{9}{4}\]	Если основание возведено в отрицательную степень, это означает, что нужно взять обратную величину и сделать показатель степени положительным.
\[a\sqrt{x}\times b\sqrt{y}=ab\sqrt{xy}\]	\[2\sqrt{3 }\раз 4\ sqrt{5}=8\sqrt{15}\]	Перемножая два подкоренных члена, вы можете умножить то, что находится снаружи (коэффициент), и то, что внутри (коренное число). Это можно сделать только в том случае, если корни (индексы) такие же, как квадратный корень или кубический корень. 92=16; x=\pm 4\]	Требуется включить в уравнение с четным показателем степени как положительное, так и отрицательное решение при извлечении четного корня. Поскольку и положительный корень, и отрицательный корень работают, когда возводятся в эту степень. Знак квадратного корня дает только положительные решения.

 

Решение экспоненциальных уравнений с использованием законов показательного уравнения, следующее правило поможет вам четко понять различные способы нахождения неизвестного значения в показательном уравнении.

92-x-2=0\]         ……….3

Применяем правила разложения, упрощаем и решим

Получаем

\[(x-2)(x+1)\]

\[x= +2,-1\].

Решенные примеры формул показателей и степеней

Пример 1:

If m ² +n ² +o ² = mn+no+om, упростить [y ^{m 900 04 /г п ] m-n × [y n /y o ] n-o × [y o /y m ] o-m}

Решение1:

Используя m ^a /n ^b = m ^a-b , получаем

→ (y ^m-n ) ^m-n ×(y ^n-o ) ^n-o ×(y ^o-m ) ^o-m

По формуле

(m-n) ² = m ² +n ² -2mn в экспоненте,

9000 2 → у(м²+n²−2мн)×у(м²+ o²−2no)×y(o²+m²−2om)

Математика

m ^a . m ^b =m ^a+b

→ y(m²+n²−2mn+n²+o²−2no+o²+m²−2om)

→ y2(m²+n²+o²−(mn+no+om))

→ y ^{[2(0 )]}

→ y ⁰ =1

 

04 =270

Решение 2:

Сначала вытащим общий термин, с которым мы получаем

→ 3 ^2y-1 (1+3 ² )

Видим, что здесь мы используем формулу для любого нецелого числа a ^m+n = a ^м . a ⁿ при выражении 3 ^2y+1 как произведения 3 ^2y-1 и 3 ² .

→ 3 ^2y-1 (10)=270

→ 3 ^2y-1 =27

→ 3 ^2y-1 =3 ^{3 9000 4}

→ 2y−1=3

→ y = 2.

Формула экспоненты — GeeksforGeeks

Экспонента является одной из важных основ математики. Экспоненты используются в различных формулах, таких как ряды, биномиальное разложение и многие другие. Различные формулы экспоненты используются в различных областях математики. Формулы экспоненты очень просты и полезны. Давайте узнаем о показателях и их формулах. Экспоненты — это степени любой переменной или константы.

Показатели 

Когда любое число или переменная (x) умножается n раз, результатом будет x ⁿ . Тогда n называется показателем степени x. x.x.x.x.x.x … n times = x ⁿ   , тогда x — основание, а n — показатель степени этого основания. Экспонента — это степень числа. Оно умножается само на себя. Экспонента определяет, сколько раз число умножается само на себя. Пример, 2.2.2 = 2 ³ , основание = 2, показатель степени = 3.

Экспоненты Формулы  

Формулы степени
Формула степени произведения n раз	x.x.x.x … n раз = x n
Правило умножения	x m . x n = x (m + n)
Правило деления	x m /x n = x 9 0003 (m – n)
Правило степени произведения	(xy) n = x n . y n
Правило степени дроби	(x/y) n = x n /y n
Правило мощности	[(x) m ] n = x mn
Нулевой показатель	(x) 0 = 1, если x ≠ 0
Одна экспонента	(x) 1 = x
Отрицательная экспонента	x -n = 1/x n 9006 9
Дробная экспонента	x m/n = n √(x) m

Примечание: Если основание уравнения одинаковое, мы можем приравнять показатели.

Примеры вопросов 

Вопрос 1. Решите следующее: 

• 2.2.2.2     
• 3 ² .3 ³  
• 90 619 (4,5) ²   
• (5) ⁰   
• 2 ^-2
• 2 ⁵ /2 ³  
• [(3) ¹ ] ²  9062 0
• 4 ^3/2  
• (4/3) ² 

Решение:

• 2.2.2.2 = 2 ⁴ = 16
• 3 ² ,3 ³ = 3 ^{(2 + 3)} = 3 ⁵ = 243
• (4,5) ² = 4 ² .5 ² = (16) = 1/2 ² = 1/ 4
• 2 ⁵ /2 ³ = 2 ^(5-3) = 2 ² = 4
• [(3) ¹ ] 900 03 2 = 3 ^{(1. 2)} = 3 ² = 9
• 4 ^3/2 = √(4) ³ = √64 = 8
• (4/3) ² = 4 ² /3 ² = 16/9

Вопрос 2: Упростить:

1. (2 ³ ÷ 2 ^{4 9000 4 ) -2 .2 3}      
2. 3 ^{(- 2)} ÷ 4 ²   
3. 3 ³ .4 ² /6 ⁴   
4. (3 ​​ ^-1 + 2 ^-2 + 4 ^-1 )

Решение:

9 0912

(2 ³ ÷ 2 ⁴ ) ^-2 . 2 ³ = (2 ³ /2 ⁴ ) ^-2 .2 ³ = [2 ^{(3 – 4)} ] ^-2 .2 ³ = [2 ^{— 1} ] ^-2 .2 ³ = 2 ^(-1).(-2) .2 ³ = 2 ² . 2 ³ = 2 900 03 5 = 32

3 ^(-2) ÷ 4 ² = 1/(3) ² (4) ² = 1/9,16 = 1/144

3 ³ .4 ² /6 ⁴ = 3 ³ .4 ² /(2.3) ⁴ = 3 ³ .2 ⁴ /2 ^{4 9 0004 .3 4 = 1/3}

( 3 ^-1 + 2 ^-2 + 4 ^-1 ) = (1/3 + 1/2 ² +1/4) = (1/3 + 1/4 + 1/4) = 5/6

Вопрос 3: Найдите значение x, если (4) ^{x + 12} = (4) ^{2x + 6} .(2) ⁶

Решение:  

(4) ^x+12 = (4) ^2x+6 .( 2 ² ) ³

(4) ^x+12 = (4) ^2x+6 .(4) ³

(4) 900 03 х+12 = (4) ^{2х +6+3}

(4) ^x+12 = (4) ^2x+9

Поскольку основания равны, степени приравниваются

x +12 = 2x + 9

2 х – х = 12 – 9

x = 3

Вопрос 4. Найдите значение {343 ^4/3 } ^1/4

Решение: 

{343 ^4/3 } ^1/4   = {(7 ³ ) ^4/3 } ^1/4  

= {7} ^{3.(4/3 ).(1/4)} = 7

Вопрос 5: Найдите значение x + y, если:

(81) ^y = 27/(3) ^x , 4 ^y = 256

Решение:  

(3 ⁴ ) ^y = (3 ³ )/(3) ^x

(3) ^{4 года} = (3) ^3-x

Так как основания равны, то степени приравниваются

4y = 3-x ⇢ Уравнение (1)

4 ^y = 256

4 9 0003 г = (4) ⁴

y = 4

Подставляя значение y в уравнение 1,

4,4 = 3-x

16 = 3-x

x = -13

Теперь нам нужно найти значение x + y

x + y = -13+4 = -9

Вопрос 6: Если ( -9) ^2x+7 = (-9) ^x . 81, затем найдите значение (х ² + 1)/(х ² – 12).

Решение:

(-9) ^2x+7 = (-9) ^x . 81

(-9) ^2x+7 = (-9) ^x . (-9) ²

(-9) ^{2x + 7} = (-9) ^{x + 2}

Поскольку основы равны, тогда мощности приравниваются

2x + 7 = x + 2

2x-x = 2-7 ​​

x = -5

Теперь нам нужно найти значение  (x ² + 1)/(x ² – 12) 

(x ² + 1)/(x ^{2 900 04 – 12 )  = [(-5) 2 + 1]/[(-5) 2 – 12]}

= [25 + 1]/[25 – 12]

= 26/13  

( х ² + 1)/(х ² – 12) = 2

Вопрос 7: Найдите мультипликативную обратную :- [(-13) ^-1 ] ² ÷ (91) ^-1 90 005

Решение:  

Пусть x = [(-13) ^-1 ] ² ÷ (91) ^-1  

x = (-13) ^-2 ÷ (91) ^-1

= (- 1/13 ² ) ÷ (1/91)

= (-1/13 ² ) × 91

x = -7/13

Мультипликативная обратная величина определяется как 1/x, т.