Школьная жизнь — Страница 46 — Таловская средняя школа

Определитель транспонированной матрицы равен определителю матрицы – Ответы на экзаменационные билеты

alexxlab / 14.01.202111.06.2019 / Школьная жизнь

Определение 9. Транспонированием A матрицы называется такое ее преобразование, при котором строки матрицы становятся ее столбцами с теми же самыми номерами.

Матрица транспонированная матрице A обозначается символом :

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т. е. .

Доказательство. ОПределителя матрицы А есть алгебраическая сумма N! произведений вида

(11)

Где в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы A, со знаком равным знаку подстановки

Так как сомножители произведения (11) также находятся по одному в каждом столбце и каждой строке матрицы , то каждое произведение определителя матрицы A входит в определитель матрицы . Отсюда. так как количество слагаемых в и в одинаково, следует, что и в состоят из одних и тех же слагаемых. Для того, чтобы показать, что знаки произведений равны, составим подстановку для произведения (11) в (учитываем, что строки матрицы А стали столбцами матрицы с теми же номерами). Она равна подтановке:

Подстановки иИмеют одинаковое число инверсий, четность и знак.

Таким образом и суммы одних и тех же произведений и поэтому . Свойство доказано.

Замечание 1. Из свойства 1 вытекает, что строки и столбцы матрицы Равноправны, т. е., если какое-нибудь свойство доказано для строк, то оно будет справедливо и для столбцов и обратно. Поэтому дальнейшие свойства формулируются и доказываются только для строк. В дальнейшем под строками и столбцами определителя понимаются строки и столбцы соответствующей матрицы.

Свойство 2. Если в матрице поменять местами две строки, то абсолютная величина определителя не меняется, а знак определителя меняется на противоположный.

Доказательство. Пусть даны исходный и преобразованный определитель:

. (12)

Определитель Получается из определителя D перестановкой I-й и J-й строк (точками обозначены все остальные строки, которые в D и Совпадают. Требуется доказать, что D= -.

ОПределитель D есть алгебраическая сумма N! произведений вида

, (13)

Где в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца определителя D, со знаком равным знаку подстановки

Так как сомножители произведения (13) также находятся по одному в каждом столбце и каждой строке определителя , то каждое произведение определителя D входит в определитель . Отсюда, так как количество слагаемых в D и одинаково, следует, что D и состоят из одних и тех же произведений, Для того, чтобы показать, что D= —, достаточно показать, что каждое произведение (13) определителях D и Имеет противоположные знаки. Знак произведения (13) в определителе равен знаку подстановки:

(учитываем, что элемент Лежит в определителе в J-й строке в-м столбце, элемент — в I-й строке и в -м столбце). У подстановок и Совпадают вторые строки, а первая строка подстановки Получена из первой строки подстановки транспозицией элементов I и J . Поэтому в силу теоремы 2 подстановки и Имеют противоположную четность и знак. Отсюда образом произведение (13) входит в определители D и с противоположным знаком. Таким образом определители D и суммы одних и тех же произведений, но с противоположными знаками и D= —. . Свойство доказано.

Свойство 3. Если в определителе есть две одинаковые строки, то определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть в определителе D I-я строка равна j-й строке. Переставим I-ю и J-ю строки местами и получим определитель (см.(13)). По свойству 2 D= —. Так как I-я и J-я строки равны, то D= . Из этих равенств находим, что D= 0. Свойство доказано.

Свойство 4. Если в определителе есть нулевая строка, то определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть в определителе I-я строка нулевая. По определению определителя он равен алгебраической сумме произведений вида:

В каждое произведение входит нулевой элемент I-й строки и поэтому оно равно нулю. Следовательно, и определитель равен нулю. Свойство доказано.

Свойство 5. Если все элементы какой-нибудь строки определителя представлены в виде двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны соответствующим первым слагаемым, во втором — вторым слагаемым.

Пусть все элементы I-й строки представлены в виде ; J=1,2,…,N. Тогда свойство перепишется в виде:

= .

Доказательство. По формуле (8) находим

= .

Свойство доказано.

Замечание 2. Индукцией по m легко доказать, что свойство 5 справедливо для случая, когда каждый элемент i-й строки сумма m слагаемых, .

Свойство 6. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя, т. е., если элементы какой-нибудь строки определителя умножить на число k, то и сам определитель умножится на число k.

Доказательство. По формуле (8) находим

Свойство доказано.

Свойство 7. Если в определителе есть две пропорциональны строки, то он равен нулю.

Доказательство. Пусть I-я и J-я строки определителя пропорциональны, т. е. . Вынося из J-й общий множитель K за знак определителя, получим определитель с двумя равными строками, который равен нулю. Поэтому и исходный определитель равен нулю. Свойство доказано.

Свойство 8. Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на число k, то определитель от этого не изменится.

Доказательство. Пусть к I-й строке определителя прибавили ее J-ю строку, умноженную на число K . Тогда по свойствам 5 и 7 получаем:

Свойство доказано.

Определение 10. Говорят, что I-я строка матрицы A есть линейная комбинация остальных строк определителя, если существуют такие числа , что каждый элемент I-й строки есть сумма попарных произведений этих чисел на соответствующие элементы остальных строк матрицы, т. е.

Свойство 9. Если какая-нибудь строка определителя есть линейная комбинация остальных строк определителя, то определитель равен нулю.

Доказательство. Если I-я строка определителя есть линейная комбинация остальных строк определителя, то по замечанию 2 определитель равен сумме n-1 определителей с пропорциональными строками, и по свойству 7 все такие определители равны нулю. Тогда и исходный определитель равен нулю. Свойство доказано.

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

Свойство 1. (Определитель транспонированной матрицы) — КиберПедия

При транспонированииопределитель матрицыне меняется.

Другими словами, определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Это означает, что строки и столбцы определителя равноправны.

▲ Заменив вопределителе (2.8) каждую строку столбцом с тем же номером, получим новый определитель

Сравнивая это равенство с равенством (2.8), заключаем, что определители равны, т.к. равны правые части указанных равенств. ▼

Свойство 2. (Антисимметричность (перестановка двух строк))

При перестановке двух строк (столбцов) определительменяет знак.

▲ В определителе (2.8) переставим, например, второй и третий столбцы.

Тогда

Алгебраическая сумма в скобке равна правой части формулы (2.8),

новый определитель отличается от исходного определителя

только знаком.

Другие случаи рассматриваются аналогично. ▼

Свойство 3

Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

▲ Определитель (2.8) обозначим через символ .

Пусть он содержит два одинаковых столбца.

Переставивэти столбцы, получим тот же определитель .

С другой стороны, по свойству 2 определитель изменит знак, т.е.

, откуда . ▼

Свойство 4

Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя состоят из нулей, то определитель равен нулю.

▲ В самом деле, в каждое произведение алгебраической суммы в правой части (2.8) входит один элемент строки (столбца), состоящей из нулей.

Поэтому все слагаемые, из которых состоит определитель, будут равны нулю. ▼

Свойство 5. (Вынесение общего множителя)

Множитель, общий для элементов некоторой строки (столбца), можно выносить за знак определителя.

▲ Пусть в определителе (2.8) элементы второго столбца имеют общий множитель .

Тогда

т.к.

Аналогично рассматриваются случаи, когда общий множитель имеют элементы 1-го или 3-го столбца, а также элементы любой строки. ▼

Следствие. Если квадратная матрица порядка и – вещественное число, то определитель матрицы есть ;

иначе говоря,

▲ В этом случае является сомножителем каждой из строк (столбцов) матрицы .

Если вынести из каждой строки (столбца) определителя, то остается . ▼

Свойство 6

Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца) равен нулю.

▲ Действительно, выделяя общий множительэлементов (коэффициент пропорциональности) одной из этих строк (столбцов) и вынося его за знакопределителя, получаем определительс двумя одинаковыми столбцами, равныйнулю. ▼

Свойство 7
Если все элементы строки ( столбца) определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей,у которых все строки (столбцы),
кроме строки ( столбца), те же, что и у данного определителя,
строка ( столбец) одного определителя состоит из первых слагаемых элементов строки ( столбца) данного определителя,
а строка ( столбец) другого определителя – из вторых слагаемых элементов строки ( столбца).
Доказать самостоятельно.
Свойство 8. (Прибавление кратной строки)
Определитель не изменится, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на один и тот же множитель.
▲ Пусть, например, к элементам 3-го столбцаопределителя (2.8) прибавлены соответствующие элементы 2-го столбца, умноженные на множитель .
Тогда
,
поскольку
. ▼
Замечание.
(Добавление строки к строке,умноженной на число.)
Как было показано, добавление строки, умноженной на число, к другой строке не влияет на величину определителя.
Заметим, однако, что добавление строки к другой строке, умноженной на число, не является тем же самым и приводит к иным результатам.

Например, добавляяк первой строке, умноженной на число , вторую строку, получим определитель
.
Это происходит в связи с тем, что получают путем умноженияпервой строки на и добавления к нейвторой строки.
Первый из этих двух шагов, как было показано, изменяет на , а второй не изменяет этой величины.
Отсюда .
Таким образом, в то время как строка, умноженная на число и добавленная к строке, не оказывает влияния наопределитель,
добавление строки к строке, умноженной на число, имеетсвоим последствием то, что определитель оказывается умноженным на этот множитель.

Эти же действия справедливы для столбца.
Применяя вышеуказанные свойстваопределителей, можно упростить задачу вычисленияопределителей.
Преобразования, не изменяющие величинуопределителя, называются элементарными.
cyberpedia.su
Транспонирование матрицы онлайн
Транспонирование матриц
Пусть имеется прямоугольная матрица А размером m x n. Если поменять строки этой матрицы на столбцы, то получится новая матрица размером n x m, которая называется транспонированной по отношению к А и обозначается А^T.
Операция транспонирования матрицы обозначается буквой T в правом верхнем углу над матрицей. Например:
Транспонированная матрица обладает рядом свойств:
Если исходная матрица A квадратная, то её определитель равен определителю транспонированной матрицы det A = det А^T

Если исходную матрицу A транспонировать дважды, получится сама исходная матрица: (А^T)^T = A

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц (А + B)^T = А^T + B^T

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке (А · B)^T = B^T · А^T

Транспонированное призведение матрицы и числа равно прозведению транспонированной матрицы и числа: (с · А)^T = с · (A)^T

Вы также можете
в качестве элементов матрицы вводить целые и дробные числа, а также выражения с переменной x (например, в ячейку матрицы можно ввести 2x, или sin(x), или даже ((x+2)^2)/lg(x)).
Полный список доступных функций можно найти в справке.
www.yotx.ru
Свойства определителей. Правило знаков » ProcMem.Ru Линейная Алгебра
Теорема. (Правило знаков.)
,                      (2)
где и суммирование происходит по всем членам определителя.
Доказательство. Для того, чтобы вычислить знак члена определителя нужно упорядочить сомножители так, чтобы индексы строк образовали начальную перестановку . Этого можно добиться транспозицией сомножителей. Допустим, что нам потребовалось для этого t транспозиций и мы получили член определителя в виде и, по определению, его знак равен .
С другой стороны, первоначальные перестановки строк и столбцов претерпели изменения:
, .
Так как этот переход произошел за t транспозиций, то четность перестановки строк не изменится, если t четное число и изменится на противоположное, если t нечетное число. Это можно отобразить формулой:
.
Аналогично и для перестановки столбцов
.
Отсюда следует, что
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Теорема. (Определитель транспонированной матрицы.)
Определитель квадратной матрицы не меняется при транспонировании, т.е.
.                                    (3)
Доказательство. Пусть
                            (4)
– произвольный член определителя матрицы А и
                 (5)
– его знак.
При транспонировании матрицы элемент переходит на место элемента , т.е. номер строки меняется местом с номером столбца, поэтому произведение (4) после транспонирования остается членом определителя транспонированной матрицы и он в алгебраической сумме для определителя матрицы принимает вид
и его знак, как это следует из формулы (5) остается прежним. Таким образом, при транспонировании матрицы А, каждый член определителя матрицы А переходит в член определителя матрицы , причем с тем же самым знаком, откуда и следует равенство (3).
Теорема доказана.
Замечание. Последняя теорема устанавливает равноправие строк и столбцов определителя, т.е. любое свойство определителя, которое верно для его строк остается верным и для его столбцов и наоборот.
Действительно, если какое-то свойство верно для строк любого определителя, то оно верно и для строк матрицы А и для строк матрицы , которые являются столбцами матрицы А, т.е это свойство верно и для столбцов любого определителя.
Еще записи по теме
procmem.ru
Свойства операции транспонирования матриц:
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
43Свойство линейности определителя. Свойства определителя, выражающие условия равенства его нулю. Операции над строками столбцами), не меняющие определителя.
1. Равноправие строк и столбцов. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца (строки). 3. Антисимметрия. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.Доказательство свойств 1 и 3 основано на правиле расстановки знаков членов определителя.4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.Действительно, при перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.
, откуда  или .5. Линейность. Если j—й столбец (i-я строка A) определителя det A является линейной комбинацией A λB + μC (A λB + μC) двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель оказывается линейной комбинацией det A  det A(λB + μC)  λdet A(B) + μdet A(C) определителей det A(B) и detA(C). Здесь det A(B) (det A(C)) – определитель, полученный из определителя det А заменой в нем j-го столбца A на столбец В (столбец С ).6. Общий множитель всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить на число λ, то сам определитель умножится на это число.7. Если какой-либо столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов (строк), то определитель равен нулю.Свойства 6 и 7 вытекают из пятого свойства.8. Определитель не изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию его столбцов (строк).Действительно, в силу линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с двумя одинаковыми столбцами (строками).9. Определитель суммы двух квадратных матриц одного и того же порядка n A и  В , i, j =  равен сумме всех различных определителей порядкаn, которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть – совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.Доказательство следует из свойства линейности определителя.10. Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей det (AВ)  det A×det B.
44Минор, дополнительный минор. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Дополнительный минор квадратнойматрицы порядка() —определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строк истолбцов.
Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.Рассмотрим квадратную матрицуA n-го порядка. Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом M_i j:
. Алгебраическое дополнение A_i_,_j элемента a_i_j определяется формулой .
Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:
Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.
studfiles.net
матрицы и определители Лекция 2
Свойства определителей
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е.
(7)
Доказательство.Доказательство проводится с помощью метода математической индукции. Приданное свойство очевидно, так какПредположим, что равенство (7) выполняется для матриц-го порядка и докажем, что оно выполняется для матрицn-го порядка.
Разложим определитель по первой колонне (см. лемму 1), а затем применим лемму 2 и предположение индукции:
Последнее равенство – это разложение определителя по первой строке (см. определение 2).
Из доказанного соотношения вытекает, что все свойства, касающиеся строк определителя, остаются справедливыми и для его колонн.
Числовая иллюстрация.Разложим оба следующих определителя по первой строке:
Если поменять местами две строки определителя, то определитель меняет знак на противоположный.
Доказательство.Доказательство проводится по индукции.
Рассмотрим сначала случай . Имеем:
Докажем теперь это свойство для , когда меняются местами первая и вторая строки. Определители будем раскладывать по первой колонне. Имеем:
–
Случаймы использовали здесь, заменивна.
Доказательство общего случая использует ту же самую идею и мы его опускаем.
Числовая иллюстрация.Вычислим определитель:
Поменяв местами первую и третью строки определителя, вычислим его:
3. Если две какие-либо строки определителя совпадают, то этот определитель равен нулю.
Доказательство.Пусть в квадратной матрицеAдве строки совпадают. Поменяем местами эти две строки и полученную матрицу обозначимB. Ясно, чтоA=B, то есть|A|=|B|. С другой стороны, по свойству 2 Таким образом,, то есть|A|=0.
Числовая иллюстрация.
4. Если какая либо одна строка определителя умножена на постоянный множитель , то этот множитель можно вынести за знак определителя, то есть:
Доказательство.Проведем доказательство для случаяi=1. По определению 2 имеем:
=
Для доказательства общего случая нужно поменять местами первую и i-ю строки определителя, воспользоваться доказанным выше и снова поменять местами первую иi-ю строки.
Числовая иллюстрация.
5. Справедливо равенство:
Доказательство.Сначала следует рассмотреть случайi=1, а затем общий случай свести к рассмотренному, руководствуясь рассуждениями, данными в конце доказательства свойства 4.
Числовая иллюстрация.
Так как в полученных определителях есть одинаковые строки, то согласно свойству 3 они равны нулю. Значит и исходный определитель равен нулю.
6. Если какая-то строка определителя представляет собой линейную комбинацию других строк этого определителя, то данный определитель равен нулю.
Доказательство.Применив к данному определителю свойства 5 и 4, придем к линейной комбинации определителей, содержащих одинаковые строки. По свойству 3 такие определители равны нулю, значит и исходный определитель равен нулю.
Числовая иллюстрация.
+
7. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки прибавить соответствующие элементы другой его строки, умноженные на константу.
Доказательство.Точно так же, как для свойства 6, доказательство следует из свойств 5, 4 и 3.
Числовая иллюстрация.
Пусть Прибавим к первой строке этого определителя вторую строку, умноженную на 2. Получим:
8. Определитель равен нулю, если все элементы какой-либо его строки равны нулю.
Доказательство.Это свойство очевидно и его доказательство предоставляется читателю.
Числовая иллюстрация.
9. Пусть AиB– две матрицыn-го порядка. Тогда определитель произведения этих матриц равен произведению их определителей, т.е.
Доказательство.Мы докажем это свойство только для случаяn=2. Если, а, то произведениеопределяется следующим образом:
,
то есть строки матрицы A умножаются скалярно на столбцы матрицыB. Имеем:
=
studfiles.net
Определитель (детерминант) матрицы. Свойства определителя — КиберПедия
Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа из которых составляется матрица называются элементами матрицы. Матрица состоящая из одной строки – строчная, из одного столбца – столбцовая матрица, если столб=строк= квадратная матрица, все элементы 0 – нулевая матрица. Диагональная матрица – квадратная матрица у которой отличной от 0 только элементы главной диагонали. Единичная матрица – матрица у кот.каждый элемента главной диагонали = 1. Симметричная М это квадратная М для которой а_ij=a_ij, симметрично вокруг главной диагонали. Трапециидная М. Треугольная М – частный случайтрапециидной М (квадратная матрица у которой по одну сторону от главной диагонали элементы равны 0). Единичная Е – все элементы = 1
Для того чтобы умножить М А на число с, нужно все элементы М умножить на число с. Св-ва с=1 сА=А, с=0 сА=0, с(кА)=(ск)А
Складывать можно М одинаковых размеров. Св-ва А+В=В+А; с(А+В)=сА+сВ …
Определитель (детерминант) матрицы. Свойства определителя
Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем. Св-ва:
1. При замене строк столбцами величина определителя не меняется.
2. Если поменять 2 строки или 2 столбца определитель поменяет знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми рядами равен 0
4. Величина определителя увеличивается в К раз если элементы какого либо его ряда увеличены в К раз
5. Величина определителя =0, если элементы какого либо его ряда =0
6. Определитель, у которого элементы двух строк или столбцов пропорциональны = 0
7. Определитель, у которого элементы какого либо ряда представлены суммой двух слагаемых, = сумме двух определителей.
8. Определитель = сумме произведений элементов какого либо ряда на их алгебраическое дополнение.
9. Величина определителя не изменится, если к элементам какого либо ряда + соотв элементы другого ряда умноженных на число К
Миноры и алгебраические дополнения
Минором М_ija_ij называется определитель, который получается путем вычеркивания строки с номером i и столбца с номером j
Алгебраическим дополнение A_ij для элемента a_ij называетсяего Минор взятый со знаком (-1)ⁱ⁺^j(на нечетных местах меняется знак на -)
Теорема замещения
Сумма произведений произвольных n чисел (с1,с2,с3,сn) на алгебраические дополнения какого либо ряда М порядка n, = определителю матрицы, которая получается из данных, заменой элементов указанного ряда на числа c1,c2,c3

Теорема аннулирования
Сумма произведения элементов одного из рядов определителя на алгебраическое дополнения элементов другого, параллельного ему ряда = 0
Некоторые методы вычисления определителей
Приведение определителя к треугольному виду. Состоит в таком его преобразовании, когда все элементы, лежащие по одну сторону главной диагонали, становятся нулями. Полученный определитель равен произведению элементов главной диагонали
По правилу треугольника
По правилу Саррюса
Умножения матриц. Свойства умножения
. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. Св-ва АВ ВА, с(АВ)=(сА)В=А(сВ), …
Транспонирование матриц
М полученная из данных путем замены каждой ее строки столбцом того же номера, называю транспонированной. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы
Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение
В матричном виде линейные уравнения записываются как AX=B, где А, коэффициенты при х, х =есть неизвестные, в = их значения. Решаются с помощью обратной матрицы
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
(Матрица)

Векторное уравнение прямой

R=ts+r₀
Параметрическое и каноническое уравнение прямой
Параметрическое
r₀(x₀,y₀,z₀)
s(m,n,p)
r(x,y,z)
Каноническое (исключаем параметр t)
= =
Cosα=m/׀s׀

Угол между прямыми
cosφ=

Уравнение прямой в отрезках

+ + =1
Расстояние от точки до прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
D=
y=kx+b

Цилиндрические поверхности
Поверхность образованная движением образующей (L), которая перемещается в пространстве, сохраняя при это направление и каждый раз пересекая направляющую (K) называется цилиндрической поверхностью или цилиндр

Название цилиндра определяется названием образующей: Эллиптическая (по эллипсу, уравнение эллипса), Круговая…

Эллипсоиды

=1
Гиперболоид

= 1
Параболоид
x²+y²=2px

Конические поверхности
Поверхность, образуемая движением линии АВ , перемещающуюся в пространстве так, что она постоянно проходит через вершину и пересекает направляющую

Функция. Основные понятия. Способы ее задания
Функция- соответствие f, которое каждому элементу x сопоставляет только один у
Множество Х называется областью определения
Множество У называется областью значения
Если элементами х и у являются действительные числа то функция называется числовой
Три способа задания функции: графический, аналитический, табличный
Конечный предел функции

Предел равен конкретному числу

Бесконечный предел функции

Предел равен бесконечности

Односторонние пределы

Число В называется пределом функции слева при х→а, если для любой а последовательности аргументов функции х, значение которых остаются меньше а, последовательность значений этой функции сходится к В
Число В называется пределом функции справа при х→а, если для любой а последовательности аргументов функции х, значение которых остаются меньше а, последовательность значений этой функции сходится к В

Теорема сравнения

Если в окрестности одна функция меньше другой и они имеют предел, то f(x)<g(x) → <
Если функция в окрестности ограничена слева и справа функциями имеющими равные пределы, то существует предел у внутренней функции и он равен двум другим

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремиться к нулю

Второй замечательный предел
Второй замечательный предел имеет вид:
или в другой записи
Производная сложной функции
7) сложная функция равна y=f(u), где u=φ(x) → y_x`=y_u` u_x`

Теорема Коши
Если функции f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемsна интервале (a,b) ,причем φ`(x)≠0 для x∈(a;b) , то найдется хотя бы одна точка c∈(a;b) такая, что выполняется неравенство:

Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа из которых составляется матрица называются элементами матрицы. Матрица состоящая из одной строки – строчная, из одного столбца – столбцовая матрица, если столб=строк= квадратная матрица, все элементы 0 – нулевая матрица. Диагональная матрица – квадратная матрица у которой отличной от 0 только элементы главной диагонали. Единичная матрица – матрица у кот.каждый элемента главной диагонали = 1. Симметричная М это квадратная М для которой а_ij=a_ij, симметрично вокруг главной диагонали. Трапециидная М. Треугольная М – частный случайтрапециидной М (квадратная матрица у которой по одну сторону от главной диагонали элементы равны 0). Единичная Е – все элементы = 1
Для того чтобы умножить М А на число с, нужно все элементы М умножить на число с. Св-ва с=1 сА=А, с=0 сА=0, с(кА)=(ск)А
Складывать можно М одинаковых размеров. Св-ва А+В=В+А; с(А+В)=сА+сВ …
Определитель (детерминант) матрицы. Свойства определителя
Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем. Св-ва:
1. При замене строк столбцами величина определителя не меняется.
2. Если поменять 2 строки или 2 столбца определитель поменяет знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми рядами равен 0
4. Величина определителя увеличивается в К раз если элементы какого либо его ряда увеличены в К раз
5. Величина определителя =0, если элементы какого либо его ряда =0
6. Определитель, у которого элементы двух строк или столбцов пропорциональны = 0
7. Определитель, у которого элементы какого либо ряда представлены суммой двух слагаемых, = сумме двух определителей.
8. Определитель = сумме произведений элементов какого либо ряда на их алгебраическое дополнение.
9. Величина определителя не изменится, если к элементам какого либо ряда + соотв элементы другого ряда умноженных на число К
cyberpedia.su

Цифра c римская – Большая таблица Римских цифр от 1 до 1000

alexxlab / 13.01.202122.06.2019 / Школьная жизнь

Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?

Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.

Цифры

Число	Римское обозначение
1	I
5	V
10	X
50	L
100	C
500	D
1000	M

Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.

Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Примеры

Число	Римское обозначение
0	отсутствует
4	IV (иногда IIII)
8	VIII
9	IX
31	XXXI
46	XLVI
99	IC
666	DCLXVI
1668	MDCLXVIII
1989	MCMLXXXIX
3999	MMMCMXCIX
2009	MMIX

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV»^[1], главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».

Применение

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.

Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
Маркировка циферблатов часов «под старину».
Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.

В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.

Расширение

Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы^[кто?]расширенные римские цифры.

Юникод

Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms),^[2] в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ. Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных^[2] форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ), поздней формы записи 6 (ↅ, похожей на греческую стигму: Ϛ), ранней формы записи числа 50 (ↆ, похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥^[3]), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ.

Римские цифры в Юникод
Код	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Значение^[4]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	50	100	500	1 000
U+2160	Ⅰ 2160	Ⅱ 2161	Ⅲ 2162	Ⅳ 2163	Ⅴ 2164	Ⅵ 2165	Ⅶ 2166	Ⅷ 2167	Ⅸ 2168	Ⅹ 2169	Ⅺ 216A	Ⅻ 216B	Ⅼ 216C	Ⅽ 216D	Ⅾ 216E	Ⅿ 216F
U+2170	ⅰ 2170	ⅱ 2171	ⅲ 2172	ⅳ 2173	ⅴ 2174	ⅵ 2175	ⅶ 2176	ⅷ 2177	ⅸ 2178	ⅹ 2179	ⅺ 217A	ⅻ 217B	ⅼ 217C	ⅽ 217D	ⅾ 217E	ⅿ 217F
Значение	1 000		5 000		10 000		–	–	6		50		50 000		100 000
U+2160! U+2180	ↀ 2180		ↁ 2181		ↂ 2182		Ↄ	ↄ	ↄ		ↄ		ↄ		ↄ

Символы в диапазоне U+2160—217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и шрифта, содержащего соответствующие этим символам глифы.

Примечания

↑ http://www.alltime.ru/catalog/watch/swiss/tissot/Man/5106/detail.php?ID=78433&back=list
↑ ¹ ² Unicode Number Forms
↑ Perry, David J. Proposal to Add Additional Ancient Roman Characters to UCS.
↑ Для первых двух строк

Wikimedia Foundation. 2010.

dik.academic.ru

Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?

Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.

Цифры

Число	Римское обозначение
1	I
5	V
10	X
50	L
100	C
500	D
1000	M

Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.

Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Примеры

Число	Римское обозначение
0	отсутствует
4	IV (иногда IIII)
8	VIII
9	IX
31	XXXI
46	XLVI
99	IC
666	DCLXVI
1668	MDCLXVIII
1989	MCMLXXXIX
3999	MMMCMXCIX
2009	MMIX

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

Применение

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.

Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
Маркировка циферблатов часов «под старину».
Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.

Расширение

Юникод

Римские цифры в Юникод
Код	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Значение^[4]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	50	100	500	1 000
U+2160	Ⅰ 2160	Ⅱ 2161	Ⅲ 2162	Ⅳ 2163	Ⅴ 2164	Ⅵ 2165	Ⅶ 2166	Ⅷ 2167	Ⅸ 2168	Ⅹ 2169	Ⅺ 216A	Ⅻ 216B	Ⅼ 216C	Ⅽ 216D	Ⅾ 216E	Ⅿ 216F
U+2170	ⅰ 2170	ⅱ 2171	ⅲ 2172	ⅳ 2173	ⅴ 2174	ⅵ 2175	ⅶ 2176	ⅷ 2177	ⅸ 2178	ⅹ 2179	ⅺ 217A	ⅻ 217B	ⅼ 217C	ⅽ 217D	ⅾ 217E	ⅿ 217F
Значение	1 000		5 000		10 000		–	–	6		50		50 000		100 000
U+2160! U+2180	ↀ 2180		ↁ 2181		ↂ 2182		Ↄ	ↄ	ↄ		ↄ		ↄ		ↄ

Примечания

↑ http://www.alltime.ru/catalog/watch/swiss/tissot/Man/5106/detail.php?ID=78433&back=list
↑ ¹ ² Unicode Number Forms
↑ Perry, David J. Proposal to Add Additional Ancient Roman Characters to UCS.
↑ Для первых двух строк

Wikimedia Foundation. 2010.

dis.academic.ru

Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?

Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.

Цифры

Число	Римское обозначение
1	I
5	V
10	X
50	L
100	C
500	D
1000	M

Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.

Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Примеры

Число	Римское обозначение
0	отсутствует
4	IV (иногда IIII)
8	VIII
9	IX
31	XXXI
46	XLVI
99	IC
666	DCLXVI
1668	MDCLXVIII
1989	MCMLXXXIX
3999	MMMCMXCIX
2009	MMIX

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

Применение

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.

Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
Маркировка циферблатов часов «под старину».
Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.

Расширение

Юникод

Римские цифры в Юникод
Код	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Значение^[4]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	50	100	500	1 000
U+2160	Ⅰ 2160	Ⅱ 2161	Ⅲ 2162	Ⅳ 2163	Ⅴ 2164	Ⅵ 2165	Ⅶ 2166	Ⅷ 2167	Ⅸ 2168	Ⅹ 2169	Ⅺ 216A	Ⅻ 216B	Ⅼ 216C	Ⅽ 216D	Ⅾ 216E	Ⅿ 216F
U+2170	ⅰ 2170	ⅱ 2171	ⅲ 2172	ⅳ 2173	ⅴ 2174	ⅵ 2175	ⅶ 2176	ⅷ 2177	ⅸ 2178	ⅹ 2179	ⅺ 217A	ⅻ 217B	ⅼ 217C	ⅽ 217D	ⅾ 217E	ⅿ 217F
Значение	1 000		5 000		10 000		–	–	6		50		50 000		100 000
U+2160! U+2180	ↀ 2180		ↁ 2181		ↂ 2182		Ↄ	ↄ	ↄ		ↄ		ↄ		ↄ

Примечания

↑ http://www.alltime.ru/catalog/watch/swiss/tissot/Man/5106/detail.php?ID=78433&back=list
↑ ¹ ² Unicode Number Forms
↑ Perry, David J. Proposal to Add Additional Ancient Roman Characters to UCS.
↑ Для первых двух строк

Wikimedia Foundation. 2010.

dvc.academic.ru

Римские цифры — Википедия

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская
Тамильская
Бирманская Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая Греческая
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)
Ри́мские ци́фры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.
Римские цифры появились за 500 лет до нашей эры у этрусков, которые могли заимствовать часть цифр у прото-кельтов (см. Символы культуры полей погребальных урн)
Число Обозначение
1 I
2 II
3 III
4 IV, до XIX века — IIII
5 V
6 VI
7 VII
8 VIII (иногда — IIX)
9 IX (иногда — VIIII)
10 X
20 XX
30 XXX
40 XL
50 L
60 LX
70 LXX
80 LXXX
90 XC
100 C
200 CC
300 CCC
400 CD
500 D; IƆ
600 DC; IƆC
700 DCC; IƆCC
800 DCCC; IƆCCC
900 CM; CCIƆ
1 000 M; ↀ; CIƆ
2 000 MM; CIƆCIƆ
3 000 MMM; CIƆCIƆCIƆ
3 999 MMMCMXCIX
4 000 MV; ↀↁ; CIƆIƆƆ
5 000 V; ↁ; IƆƆ
6 000 VM; ↁↀ; IƆƆCIƆ
7 000 VMM; ↁↀↀ; IƆƆCIƆCIƆ
8 000 VMMM; ↁↀↀↀ; IƆƆCIƆCIƆCIƆ
9 000 MX; ↀↂ; CIƆCCIƆƆ
10 000 X; ↂ; CCIƆƆ
20 000 XX; ↂↂ; CCIƆƆCCIƆƆ
30 000 XXX; ↂↂↂ; CCIƆƆCCIƆƆCCIƆƆ
40 000 XL; ↂↇ; CCIƆƆIƆƆƆ
50 000 L; ↇ; IƆƆƆ
60 000 LX; ↇↂ; IƆƆƆCCIƆƆ
70 000 LXX; ↇↂↂ; IƆƆƆCCIƆƆCCIƆƆ
80 000 LXXX; ↇↂↂↂ; IƆƆƆCCIƆƆCCIƆƆCCIƆƆ
90 000 XC; ↂↈ; CCIƆƆCCCIƆƆƆ
100 000 C; ↈ; CCCIƆƆƆ
200 000 CC; ↈↈ; CCCIƆƆƆCCCIƆƆƆ
300 000 CCC; ↈↈↈ; CCCIƆƆƆCCCIƆƆƆCCCIƆƆƆ
400 000 CD; CCCIƆƆƆIƆƆƆƆ
500 000 D; IƆƆƆƆ
600 000 DC; IƆƆƆƆCCCIƆƆƆ
700 000 DCC; IƆƆƆƆCCCIƆƆƆCCCIƆƆƆ
800 000 DCCC; IƆƆƆƆCCCIƆƆƆCCCIƆƆƆCCCIƆƆƆ
900 000 CM; CI; CCCIƆƆƆCCCCIƆƆƆƆ
1 000 000 M; I; CCCCIƆƆƆƆ
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
При этом некоторые из цифр (I, X, C, M) могут повторяться, но не более трёх раз подряд; таким образом, с их помощью можно записать любое целое число не более 3999 (MMMCMXCIX). В ранние периоды существовали знаки для обозначения бо́льших цифр — 5000, 10 000, 50 000 и 100 000^{[источник не указан 3054 дня]} (тогда максимальное число по упомянутому правилу равно 399 999). При записи чисел в римской системе счисления меньшая цифра может стоять справа от большей; в этом случае она прибавляется к ней. Например, число 283 по-римски записывается как CCLXXXIII, то есть 100+100+50+30+3=283. Здесь цифра, изображающая сотню, повторена два раза, а цифры, изображающие соответственно десяток и единицу, повторены по три раза.
Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемь десятков LXXX, восемь единиц VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.
Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: V = 5000.
Часы марки Tissot с традиционным написанием «IIII»
Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV», главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII». Существует и версия, ч
www.wikiznanie.ru
Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?
Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.
Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.
Цифры
Число Римское
обозначение
1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.
Соответственно M, D, C, L, X, V, I
Примеры
Число Римское обозначение
0 отсутствует
4 IV (иногда IIII)
8 VIII
9 IX
31 XXXI
46 XLVI
99 IC
666 DCLXVI
1668 MDCLXVIII
1989 MCMLXXXIX
3999 MMMCMXCIX
2009 MMIX
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.
Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.
Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:
999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML
Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV»^[1], главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».
Применение
В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.
Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
Маркировка циферблатов часов «под старину».
Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.
В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.
Расширение
Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы^[кто?]расширенные римские цифры.
Юникод
Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms),^[2] в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ. Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных^[2] форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ), поздней формы записи 6 (ↅ, похожей на греческую стигму: Ϛ), ранней формы записи числа 50 (ↆ, похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥^[3]), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ.
Римские цифры в Юникод
Код 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Значение^[4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 100 500 1 000
U+2160 Ⅰ
2160 Ⅱ
2161 Ⅲ
2162 Ⅳ
2163 Ⅴ
2164 Ⅵ
2165 Ⅶ
2166 Ⅷ
2167 Ⅸ
2168 Ⅹ
2169 Ⅺ
216A Ⅻ
216B Ⅼ
216C Ⅽ
216D Ⅾ
216E Ⅿ
216F
U+2170 ⅰ
2170 ⅱ
2171 ⅲ
2172 ⅳ
2173 ⅴ
2174 ⅵ
2175 ⅶ
2176 ⅷ
2177 ⅸ
2178 ⅹ
2179 ⅺ
217A ⅻ
217B ⅼ
217C ⅽ
217D ⅾ
217E ⅿ
217F
Значение 1 000 5 000 10 000 – – 6 50 50 000 100 000
U+2160! U+2180 ↀ
2180 ↁ
2181 ↂ
2182 Ↄ ↄ ↄ ↄ ↄ ↄ
Символы в диапазоне U+2160—217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и шрифта, содержащего соответствующие этим символам глифы.
Примечания
↑ http://www.alltime.ru/catalog/watch/swiss/tissot/Man/5106/detail.php?ID=78433&back=list
↑ ¹ ² Unicode Number Forms
↑ Perry, David J. Proposal to Add Additional Ancient Roman Characters to UCS.
↑ Для первых двух строк
Wikimedia Foundation. 2010.
xzsad.academic.ru
Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?
Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.
Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.
Цифры
Число Римское
обозначение
1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.
Соответственно M, D, C, L, X, V, I
Примеры
Число Римское обозначение
0 отсутствует
4 IV (иногда IIII)
8 VIII
9 IX
31 XXXI
46 XLVI
99 IC
666 DCLXVI
1668 MDCLXVIII
1989 MCMLXXXIX
3999 MMMCMXCIX
2009 MMIX
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.
Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.
Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:
999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML
Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV»^[1], главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».
Применение
В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.
Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
Маркировка циферблатов часов «под старину».
Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.
В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.
Расширение
Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы^[кто?]расширенные римские цифры.
Юникод
Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms),^[2] в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ. Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных^[2] форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ), поздней формы записи 6 (ↅ, похожей на греческую стигму: Ϛ), ранней формы записи числа 50 (ↆ, похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥^[3]), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ.
Римские цифры в Юникод
Код 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Значение^[4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 100 500 1 000
U+2160 Ⅰ
2160 Ⅱ
2161 Ⅲ
2162 Ⅳ
2163 Ⅴ
2164 Ⅵ
2165 Ⅶ
2166 Ⅷ
2167 Ⅸ
2168 Ⅹ
2169 Ⅺ
216A Ⅻ
216B Ⅼ
216C Ⅽ
216D Ⅾ
216E Ⅿ
216F
U+2170 ⅰ
2170 ⅱ
2171 ⅲ
2172 ⅳ
2173 ⅴ
2174 ⅵ
2175 ⅶ
2176 ⅷ
2177 ⅸ
2178 ⅹ
2179 ⅺ
217A ⅻ
217B ⅼ
217C ⅽ
217D ⅾ
217E ⅿ
217F
Значение 1 000 5 000 10 000 – – 6 50 50 000 100 000
U+2160! U+2180 ↀ
2180 ↁ
2181 ↂ
2182 Ↄ ↄ ↄ ↄ ↄ ↄ
Символы в диапазоне U+2160—217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и шрифта, содержащего соответствующие этим символам глифы.
Примечания
↑ http://www.alltime.ru/catalog/watch/swiss/tissot/Man/5106/detail.php?ID=78433&back=list
↑ ¹ ² Unicode Number Forms
↑ Perry, David J. Proposal to Add Additional Ancient Roman Characters to UCS.
↑ Для первых двух строк
Wikimedia Foundation. 2010.
3dic.academic.ru
Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?
Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.
Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.
Цифры
Число Римское
обозначение
1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.
Соответственно M, D, C, L, X, V, I
Примеры
Число Римское обозначение
0 отсутствует
4 IV (иногда IIII)
8 VIII
9 IX
31 XXXI
46 XLVI
99 IC
666 DCLXVI
1668 MDCLXVIII
1989 MCMLXXXIX
3999 MMMCMXCIX
2009 MMIX
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.
Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.
Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:
999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML
Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV»^[1], главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».
Применение
В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.
Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
Маркировка циферблатов часов «под старину».
Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.
В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.
Расширение
Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы^[кто?]расширенные римские цифры.
Юникод
Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms),^[2] в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ. Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных^[2] форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ), поздней формы записи 6 (ↅ, похожей на греческую стигму: Ϛ), ранней формы записи числа 50 (ↆ, похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥^[3]), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ.
Римские цифры в Юникод
Код 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Значение^[4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 100 500 1 000
U+2160 Ⅰ
2160 Ⅱ
2161 Ⅲ
2162 Ⅳ
2163 Ⅴ
2164 Ⅵ
2165 Ⅶ
2166 Ⅷ
2167 Ⅸ
2168 Ⅹ
2169 Ⅺ
216A Ⅻ
216B Ⅼ
216C Ⅽ
216D Ⅾ
216E Ⅿ
216F
U+2170 ⅰ
2170 ⅱ
2171 ⅲ
2172 ⅳ
2173 ⅴ
2174 ⅵ
2175 ⅶ
2176 ⅷ
2177 ⅸ
2178 ⅹ
2179 ⅺ
217A ⅻ
217B ⅼ
217C ⅽ
217D ⅾ
217E ⅿ
217F
Значение 1 000 5 000 10 000 – – 6 50 50 000 100 000
U+2160! U+2180 ↀ
2180 ↁ
2181 ↂ
2182 Ↄ ↄ ↄ ↄ ↄ ↄ
Символы в диапазоне U+2160—217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и шрифта, содержащего соответствующие этим символам глифы.
Примечания
↑ http://www.alltime.ru/catalog/watch/swiss/tissot/Man/5106/detail.php?ID=78433&back=list
↑ ¹ ² Unicode Number Forms
↑ Perry, David J. Proposal to Add Additional Ancient Roman Characters to UCS.
↑ Для первых двух строк
Wikimedia Foundation. 2010.
veter.academic.ru

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая	Греческая Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская	Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Cos sin формула – формулы cos, sin, tg, ctg

alexxlab / 13.01.202117.06.2019 / Школьная жизнь

Формулы тригонометрии Википедия

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1.1	sin2⁡α+cos2⁡α=1{\displaystyle \operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1}	∀α{\displaystyle \forall \alpha }
1.2	tg2⁡α+1=1cos2⁡α=sec2⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }	α≠π2+πn,n∈Z{\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} }
1.3	ctg2⁡α+1=1sin2⁡α=cosec2⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha }	α≠πn,n∈Z{\displaystyle \alpha \neq \pi n,n\in \mathbb {Z} }
1.4	tg⁡α⋅ctg⁡α=1{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1}

ru-wiki.ru

Основные тригонометрические формулы

В самом начале этой статьи мы с Вами рассмотрели понятие тригонометрических функций. Основное назначение их назначение – это изучение основ тригонометрии и исследование периодических процессов. И тригонометрический круг мы не зря рисовали, потому что в большинстве случаев тригонометрические функции определяются, как отношение сторон треугольника или его определенных отрезков в единичной окружности. Так же я упоминал о неоспоримо огромном значении тригонометрии в современной жизни. Но наука не стоит на месте, в результате мы можем значительно расширить область применения тригонометрии и перенести ее положения на вещественные, а иногда и на комплексные числа.

Формулы тригонометрии бывают нескольких видов. Рассмотрим их по порядку.

Соотношения тригонометрических функций одного и того же угла

Здесь мы подошли к рассмотрению такого понятия как основные тригонометрические тождества.

Тригонометрическое тождество — это равенство, которое состоит из тригонометрических соотношений и которое выполняется для всех значений величин углов, которые входят в него.

Рассмотрим наиболее важные тригонометрические тождества и их доказательства:

Первое тождество вытекает из самого определения тангенс.

Возьмем прямоугольный треугольник, в котором имеется острый угол х при вершине А.

Для доказательства тождеств необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:

(ВС) ² + (АС) ² = (АВ) ²

Теперь разделим на (АВ) ² обе части равенства и припомнив определения sin и cos угла, мы получаем второе тождество:

(ВС) ²/(AB) ² + (AC) ²/(AB) ² = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin² x + cos² x = 1

Для доказательства третьего и четвертого тождеств воспользуемся предыдущим доказательством.

Для этого обе части второго тождества разделим на cos² x:

sin² x/ cos² x + cos² x/ cos² x = 1/ cos² x

sin² x/ cos² x + 1 = 1/ cos² x

Исходя из первого тождества tg x = sin х /cos x получаем третье:

1 + tg² x = 1/cos² x

Теперь разделим второе тождество на sin² x:

sin² x/ sin² x + cos² x/ sin² x = 1/ sin² x

1+ cos² x/ sin² x = 1/ sin² x

cos² x/ sin² x есть не что иное, как 1/tg² x, поэтому получаем четвертое тождество:

1 + 1/tg² x = 1/sin² x

Пришла пора вспомнить теорему о сумме внутренних углов треугольника, которая гласит, что сумма углов треугольника = 180⁰. Получается, что при вершине В треугольника находится угол, величина которого 180⁰ – 90⁰ – х = 90⁰ – х.

Опять вспомним определения для sin и cos и получаем пятое и шестое тождества:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90⁰– x ) = (BC)/(AB)

cos(90⁰– x ) = sin x

Теперь выполним следующее:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90⁰– x ) = (AC)/(AB)

sin(90⁰– x ) = cos x

Как видите – здесь все элементарно.

Существуют и другие тождества, которые используются при решении математических тождеств, я приведу их просто в виде справочной информации, потому как все они проистекают из вышерассмотренных.

Выражения тригонометрических функций друг через друга
(выбор знака перед корнем определяется тем, в какой из четвертей круга расположен угол ?)

Далее следуют формулы сложения и вычитания углов:

Формулы двойных, тройных и половинных углов.
Замечу, что все они проистекают из предыдущих формул.

sin 2х =2sin х*cos х

cos 2х =cos²х -sin²х =1-2sin²х =2cos²х -1

tg 2x = 2tgx/(1 — tg² x)

сtg 2x = (сtg² x — 1) /2сtg x

sin3х =3sin х — 4sin³х

cos3х =4cos³х — 3cos х

tg 3x = (3tgx – tg³ x) /(1 — 3tg² x)

сtg 3x = (сtg³x – 3сtg x) /(3сtg² x — 1)

Формулы преобразования тригонометрических выражений:

Когда-то, будучи школьником, я с удовольствием применял эти формулы для решения различного рода задач, как то упростить выражение или решить уравнение. Главное разглядеть — куда и какую формулу необходимо применить, и тогда многоярусная конструкция превращается в обычное числовое выражение. Очень полезная штука для развития логического мышления!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Формулы тригонометрии Вики
Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).
Основные тригонометрические формулы[ | код]
Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на cos2⁡α{\displaystyle \cos ^{2}\alpha } и sin2⁡α{\displaystyle \sin ^{2}\alpha } соответственно.
Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.
Замечание[ | код]
Есть и другие тригонометрические функции.
Формулы сложения и вычитания аргументов[ | код]
№ Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1 sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
2.2 cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
2.3 tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡αtg⁡β{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}}
2.4 ctg⁡(α±β)=ctg⁡αctg⁡β∓1ctg⁡β±ctg⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}
Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2). А формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).
Вывод формул для sin⁡(α+β), cos⁡(α+β){\displaystyle \sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )}
Формулы двойного угла и половинного угла[ | код]
Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу α:
Примечания
для формулы tg⁡2α{\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha }:
α≠π4+π2n,n∈Z,{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}n,n\in \mathbb {Z} ,}
α≠π2+πn,n∈Z,{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} ,}
для формулы ctg⁡2α{\displaystyle \operatorname {ctg} 2\alpha }: α≠π2+πn,n∈Z.{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} .}
Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла:
№ Формулы половинного угла
3.5 sin⁡α2=±1−cos⁡α2{\displaystyle \sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}}
3.6 cos⁡α2=±1+cos⁡α2{\displaystyle \cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}}
3.7 tg⁡α2=±1−cos⁡α1+cos⁡α=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}
Формулы тройного угла[ | код]
Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу 2α:
№ Формулы тройного угла
4.1 sin⁡3α=3sin⁡α−4sin3⁡α{\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha }
4.2 cos⁡3α=4cos3⁡α−3cos⁡α{\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }
4.3 tg⁡3α=3tg⁡α−tg3⁡α1−3tg2⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}
4.4 ctg⁡3α=3ctg⁡α−ctg3⁡α1−3ctg2⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}}
Примечания
для формулы tg⁡3α{\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha }: α≠π6+π3n,n∈Z{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi }{3}}n,n\in \mathbb {Z} }
для формулы ctg⁡3α{\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha }: α≠π3n+πn,n∈Z{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{3}}n+\pi n,n\in \mathbb {Z} };
Формулы понижения степени[ | код]
Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):
№ Произведение
5.9 sin2⁡αcos2⁡α=1−cos⁡4α8{\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}}
5.10 sin3⁡αcos3⁡α=3sin⁡2α−sin⁡6α32{\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}}
5.11 sin4⁡αcos4⁡α=3−4cos⁡4α+cos⁡8α128{\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}}
5.12 sin5⁡αcos5⁡α=10sin⁡2α−5sin⁡6α+sin⁡10α512{\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}}
Формулы преобразования произведения функций[ | код]
№ Формулы преобразования произведений функций
6.1 sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}
6.2 sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α−β)+sin⁡(α+β)2{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}
6.3 cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)2{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}
Вывод формул преобразования произведений функций
Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2). Например, из формулы (2.1) следует:
sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β={\displaystyle \sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =}
=2sin⁡αcos⁡β{\displaystyle =2\sin \alpha \cos \beta }.
То есть:
sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)2{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}} — формула (6.2).
Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.
Формулы преобразования суммы функций[ | код]
Вывод формул преобразования суммы функций
Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при :α +β +γ =360∘{\displaystyle \alpha \ +\beta \ +\gamma \ =360^{\circ }} :
sin⁡α+sin⁡β+sin⁡γ=4sin⁡α2 sin⁡β2 sin⁡γ2{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\ \sin {\frac {\beta }{2}}\ \sin {\frac {\gamma }{2}}} (7.6)
Решение простых тригонометрических уравнений[ | код]
sin⁡x=a.{\displaystyle \sin x=a.}
Если |a|>1{\displaystyle |a|>1} — вещественных решений нет.
Если |a|⩽1{\displaystyle |a|\leqslant 1} — решением является число вида x=(−1)narcsin⁡a+πn; n∈Z.{\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}
cos⁡x=a.{\displaystyle \cos x=a.}
Если |a|>1{\displaystyle |a|>1} — вещественных решений нет.
Если |a|⩽1{\displaystyle |a|\leqslant 1} — решением является число вида x=±arccos⁡a+2πn; n∈Z.{\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}
tgx=a.{\displaystyle \operatorname {tg} \,x=a.}
Решением является число вида x=arctga+πn; n∈Z.{\displaystyle x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}
ctgx=a.{\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=a.}
Решением является число вида x=arcctga+πn; n∈Z.{\displaystyle x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}
Универсальная тригонометрическая подстановка[ | код]
Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при α≠π+2πn{\displaystyle \alpha \neq \pi +2\pi n}).
sin⁡α=2tgα21+tg2⁡α2{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}} cos⁡α=1−tg2⁡α21+tg2⁡α2{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}
tgα=2tgα21−tg2⁡α2{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}} ctgα=1−tg2⁡α22tgα2{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}}
sec⁡α=1+tg2⁡α21−tg2⁡α2{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}} cosecα=1+tg2⁡α22tgα2{\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}}
Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)[ | код]
Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,
asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+φ){\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi )}
где a,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }, a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} не равны нулю одновременно, φ{\displaystyle \varphi } — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:
{sin⁡φ=ba2+b2,cos⁡φ=aa2+b2.{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sin \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\\\cos \varphi ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{matrix}}\right.}
Примечание. Из вышеприведённой системы следует, что tgφ=ba{\displaystyle \mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {b}{a}}}, однако нельзя всегда считать, что φ=arctgba{\displaystyle \varphi \,=\,\mathrm {arctg} \,{\tfrac {b}{a}}}. Нужно учитывать знаки a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} для определения, к какой четверти принадлежит угол φ{\displaystyle \varphi }.
Полезные тождества[ | код]
В приведённых ниже формулах числа k{\displaystyle k} и n{\displaystyle n} целые.
sin⁡(π4+x)=cos⁡(π4−x).{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-x\right).}
sin⁡(π4−x)=cos⁡(π4+x).{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+x\right).}
1±sin⁡x=2sin2⁡(π4±x2).{\displaystyle 1\pm \sin x=2\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {x}{2}}\right).}
1+cos⁡x=2cos2⁡(x2).{\displaystyle 1+\cos x=2\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).}
1−cos⁡x=2sin2⁡(x2).{\displaystyle 1-\cos x=2\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).}
sin2⁡x=11+ctg2⁡x.{\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {ctg} ^{2}x}}.}
cos2⁡x=11+tg2⁡x.{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}x}}.}
sin2⁡x−sin2⁡y=sin⁡(x−y)⋅sin⁡(x+y).{\displaystyle \sin ^{2}x-\sin ^{2}y=\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}
cos2⁡x−cos2⁡y=−sin⁡(x−y)⋅sin⁡(x+y).{\displaystyle \cos ^{2}x-\cos ^{2}y=-\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}
cos2⁡x−sin2⁡y=cos⁡(x−y)⋅cos⁡(x+y).{\displaystyle \cos ^{2}x-\sin ^{2}y=\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).}
sin⁡2x+sin⁡2y=2cos⁡(x−y)⋅sin⁡(x+y).{\displaystyle \sin 2x+\sin 2y=2\cos(x-y)\cdot \sin(x+y).}
sin⁡2x−sin⁡2y=2sin⁡(x−y)⋅cos⁡(x+y).{\displaystyle \sin 2x-\sin 2y=2\sin(x-y)\cdot \cos(x+y).}
cos⁡2x+cos⁡2y=2cos⁡(x−y)⋅cos⁡(x+y).{\displaystyle \cos 2x+\cos 2y=2\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).}
cos⁡2x−cos⁡2y=−2sin⁡(x−y)⋅sin⁡(x+y).{\displaystyle \cos 2x-\cos 2y=-2\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}
sin⁡2x+cos⁡2y=2sin⁡(π4+x−y)⋅sin⁡(π4+x+y).{\displaystyle \sin 2x+\cos 2y=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x+y\right).}
sin⁡2x−cos⁡2y=−2sin⁡(π4−x−y)⋅sin⁡(π4−x+y).{\displaystyle \sin 2x-\cos 2y=-2\sin \left({\frac {\pi }{4}}-x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x+y\right).}
sin3⁡x+cos3⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x).{\displaystyle \sin ^{3}x+\cos ^{3}x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x).}
sin4⁡x+cos4⁡x=1−2sin2⁡xcos2⁡x=1−12sin2⁡(2x)=34+14cos⁡(4x).{\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=1-2\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}(2x)={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}\cos(4x).}
sin6⁡x+cos6⁡x=1−3sin2⁡xcos2⁡x=1−3sin2⁡x+3sin4⁡x=1−34sin2⁡(2x)=58+38cos⁡(4x).{\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x=1-3\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-3\sin ^{2}x+3\sin ^{4}x=1-{\frac {3}{4}}\sin ^{2}(2x)={\frac {5}{8}}+{\frac {3}{8}}\cos(4x).}
1±tg⁡x=2sin⁡(π4±x)cos⁡x.{\displaystyle 1\pm \operatorname {tg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\cos x}}.}
1±ctg⁡x=2sin⁡(π4±x)sin⁡x.{\displaystyle 1\pm \operatorname {ctg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\sin x}}.}
tg⁡x=sin⁡2xcos⁡2x+1=1−cos⁡2xsin⁡2x.{\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin 2x}{\cos 2x+1}}={\frac {1-\cos 2x}{\sin 2x}}.}
ctg2⁡x−tg2⁡x=4cos⁡2xsin2⁡2x.{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}x-\operatorname {tg} ^{2}x={\frac {4\cos 2x}{\sin ^{2}2x}}.}
sin⁡3x=4sin⁡x⋅sin⁡(π3+x)⋅sin⁡(π3−x).{\displaystyle \sin 3x=4\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).}
ru.wikibedia.ru

№	Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1	sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
2.2	cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
2.3	tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡αtg⁡β{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}}
2.4	ctg⁡(α±β)=ctg⁡αctg⁡β∓1ctg⁡β±ctg⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}

№	Формулы половинного угла
3.5	sin⁡α2=±1−cos⁡α2{\displaystyle \sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}}
3.6	cos⁡α2=±1+cos⁡α2{\displaystyle \cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}}
3.7	tg⁡α2=±1−cos⁡α1+cos⁡α=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}

№	Формулы тройного угла
4.1	sin⁡3α=3sin⁡α−4sin3⁡α{\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha }
4.2	cos⁡3α=4cos3⁡α−3cos⁡α{\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }
4.3	tg⁡3α=3tg⁡α−tg3⁡α1−3tg2⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}
4.4	ctg⁡3α=3ctg⁡α−ctg3⁡α1−3ctg2⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}}

№	Произведение
5.9	sin2⁡αcos2⁡α=1−cos⁡4α8{\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}}
5.10	sin3⁡αcos3⁡α=3sin⁡2α−sin⁡6α32{\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}}
5.11	sin4⁡αcos4⁡α=3−4cos⁡4α+cos⁡8α128{\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}}
5.12	sin5⁡αcos5⁡α=10sin⁡2α−5sin⁡6α+sin⁡10α512{\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}}

№	Формулы преобразования произведений функций
6.1	sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}
6.2	sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α−β)+sin⁡(α+β)2{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}
6.3	cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)2{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}

Периметр треугольника правило – Периметр треугольника | Формулы и расчеты онлайн

alexxlab / 13.01.202111.06.2019 / Школьная жизнь

Как найти периметр треугольника

Предварительные сведения

Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.

В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

Определение 4

Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.

Определение 5

Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.

Определение 6

Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.

Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.

Как найти периметр разностороннего треугольника?

Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+β+γ$

Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.

Пример 1

Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.

Решение.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=34+12+11=57$ см

Ответ: $57$ см.

Пример 2

Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.

Решение.

Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда

$α^2=6^2+8^2$

$α^2=100$

$α=10$ По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим

$P=10+8+6=24$ см

Ответ: $24$ см.

Как найти периметр равнобедренного треугольника?

Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+β=2α+β$

Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.

Пример 3

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.

Решение.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=2\cdot 12+11=35$ см

Ответ: $35$ см.

Пример 4

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.

Решение.

Рассмотрим рисунок по условию задачи:

Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.

По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда

$α^2=6^2+8^2$

$α^2=100$

$α=10$

По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим

$P=2\cdot 10+12=32$ см

Ответ: $32$ см.

Как найти периметр равностороннего треугольника?

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+α=3α$

Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.

Пример 5

Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.

Решение.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=3\cdot 12=36$ см

Ответ: $36$ см.

spravochnick.ru

Как найти периметр треугольника?

Как найти периметр треугольника? Таким вопросом задавался каждый из нас, учась в школе. Попробуем вспомнить все, что мы знаем об этой удивительной фигуре, а также ответить на заданный вопрос.

Ответ на вопрос о том, как найти периметр треугольника, обычно является довольно-таки простым – требуется всего-лишь выполнить процедуру сложения длин всех его сторон. Однако есть ещё несколько простых методов искомой величины.

Советы

В том случае, если радиус (r) окружности, которая вписана в треугольник, и его площадь (S) известны, то ответить на вопрос о том, как найти периметр треугольника, довольно просто. Для этого вам необходимо воспользоваться обычной формулой:

P = 2S/r

Если известны два угла, допустим, α и β, которые прилегают к стороне, и сама длина стороны, то периметр можно найти с помощью весьма и весьма популярной формулы, которая имеет вид:

sinβ∙а/(sin(180° – β – α)) + sinα∙а/(sin(180° – β – α)) + а

Если вы знаете длины смежных сторон и угол β, находящийся между ними, то для того, чтобы найти периметр, требуется воспользоваться теоремой косинусов. Периметр вычисляется по формуле:

P = b + a + √(b2 + a2 – 2∙b∙а∙cosβ),

где b2 и а2 являются квадратами длин смежных сторон. Подкоренное выражение – это длина третьей стороны, которая неизвестна, выраженная посредством теоремы косинусов.

Если вы не знаете, как найти периметр равнобедренного треугольника, то здесь, на самом деле, нет ничего сложного. Вычислите его по формуле:

P = b + 2a,

где b – основание треугольника, а – его боковые стороны.

Для нахождения периметра правильного треугольника следует воспользоваться простейшей формулой:

Р = 3а,

где а — длина стороны.

Как найти периметр треугольника, если известны только радиусы окружностей, которые описаны около него или вписаны в него? Если треугольник является равносторонним, то тогда следует применить формулу:

P = 3R√3 = 6r√3,

где R и r являются радиусами описанной и вписанной окружности соответственно.

Если треугольник является равнобедренным, то для него применима формула:

P=2R (sinβ + 2sinα),

где α – это угол, который лежит у основания, а β – угол, который противолежит основанию.

Зачастую для решения математических задач требуется глубочайший анализ и специфическое умение находить и выводить требуемые формулы, а это, как многим известно, довольно непростая работа. Хотя некоторые задачи можно решить всего лишь с помощью одной-единственной формулы.

Давайте рассмотрим формулы, которые являются базовыми для ответа на вопрос о том, как найти периметр треугольника, по отношению к самым разнообразным типам треугольников.

Безусловно, главное правило для нахождения периметра треугольника – это данное утверждение: для нахождения периметра треугольника требуется сложить длины всех его сторон по соответствующей формуле:

Р = b + a + c,

где b, a и с – это длины сторон треугольника, а Р – периметр треугольника.

Есть несколько частных случаев данной формулы. Допустим, ваша задача формулируется следующим образом: «как найти периметр прямоугольного треугольника?» В таком случае вам следует воспользоваться следующей формулой:

P = b + a + √(b2 + a2)

В этой формуле b и а являются непосредственными длинами катетов прямоугольного треугольника. Несложно догадаться, что вместо стороны с (гипотенузы) используется выражение, полученное по теореме великого ученного древности — Пифагора.

Если требуется решить задачу, где треугольники являются подобными, то логично было бы воспользоваться данным утверждением: отношение периметров соответствует коэффициенту подобия. Допустим, у вас есть два подобных треугольника – ΔABC и ΔA1B1C1. Тогда для нахождения коэффициента подобия необходимо разделить периметр ΔABC на периметр ΔA1B1C1.

В заключение можно отметить, что периметр треугольника можно найти при помощи самых различных методик, в зависимости от тех исходных данных, которые у вас имеются. Необходимо добавить, что существуют некоторые частные случаи для прямоугольных треугольников.

fb.ru

Как находить периметр треугольника

В статье на примерах покажем, как находить периметр треугольника. Рассмотрим все основные случая, как найти периметры треугольников, даже когда не все значения сторон известны.

Треугольником называется простая геометрическая фигура состоящая из трех прямых линий пересекающих друг друга. В которой точки пересечения прямых, называются вершинами, а прямые линии соединяющие их, называются сторонами.
Периметром треугольника называется сумма длин сторон треугольника. От того сколько мы имеем изначальных данных, для вычисления периметра треугольника, зависит каким из вариантов мы воспользуемся, для его вычисления.
Первый вариант
Если мы знаем длины сторон n, y и z треугольника, то периметр мы можем определить с помощью следующей формулы: в которой P — это периметр, n, y, z- стороны треугольника

периметр прямоугольника формула

P = n + y + z

Рассмотрим на примере:
Дан треугольник ksv стороны которого k = 10см, s = 10 см, v =8см. найти его периметр.
Пользуясь формулой получаем 10 + 10 + 8 = 28.
Ответ: Р = 28см.

Для равностороннего треугольника находим периметр так — длина одной стороны умноженная на три. формула выглядит следующим образом :
Р = 3n
Рассмотрим на примере:
Дан треугольник ksv стороны которого k = 10см, s = 10 см, v =10см. найти его периметр.
Пользуясь формулой получаем 10 * 3 = 30
Ответ: Р = 30см.

Для равнобедренного треугольника находим периметр так — к длине одной боковой стороны умноженной на два, прибавляем сторону основания
Равнобедренным треугольником называется простейший многоугольник у которого две боковые стороны равны, а третья сторона называется основанием.

P = 2n + z

Рассмотрим на примере:
Дан треугольник ksv стороны которого k = 10см, s = 10 см, v =7см. найти его периметр.
Пользуясь формулой получаем 2 * 10 + 7 = 27.
Ответ: Р = 27см.
Второй вариант
Когда нам не известна длина одной стороны, но мы знаем величины длины двух других сторон и угла между ними, а периметр треугольника возможно найти только после того как мы узнаем длину третьей стороны. В этом случае неизвестная сторона будет равна корню квадратному из выражения в2 + с2 — 2 ∙ в ∙ с ∙ cosβ

P = n + y + √ ( n2 + y2 — 2 ∙ n ∙ y ∙ cos α )
n, y — длины сторон
α — размер угла между известными нам сторонами

Третий вариант
Когда нам не известны стороны n и y, но мы знаем длину стороны z и величины прилегающих к ней. Периметр треугольника в этом случае мы сможем найти только тогда когда узнаем длины двух неизвестных нам сторон, определим их с помощью теоремы синусов, с помощью формулы

P = z + sinα ∙ z / (sin ( 180°-α — β )) + sinβ ∙ z / (sin ( 180°-α — β ))
z — длина известной нам стороны
α, β — размеры известных нам углов

Четвертый вариант
Так же можно найти периметр треугольника по радиусу вписанному в его окружность и площади треугольника. Определяем периметр по формуле

P = 2S / r
S — площадь треугольника
r — радиус вписанной в него окружности

Мы с вами разобрали четыре разных варианта, как можно найти периметр треугольника.
Находить периметр треугольника в принципе не сложно. Если у вас появились какие то вопросы по статье, дополнения, то обязательно пишите их в комментариях.

Кстати, на referatplus.ru вы можете скачать рефераты по математике бесплатно.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Как найти периметр треугольника | Сделай все сам
Периметр фигуры – сумма длин всех ее сторон. Соответственно, дабы обнаружить периметр треугольника , нужно знать, чему равна длина всякой из его сторон. Для поиска сторон применяются свойства треугольника и основные теоремы геометрии.
Инструкция
1. Если все три стороны треугольника теснее даны в условии задачи, легко сложите их. Тогда периметр будет равен: P = a + b + c.
2. Пускай даны две стороны a, b и угол между ними ?. Тогда третью сторону дозволено обнаружить по теореме косинусов: c? = a? + b? – 2 • a • b • cos(?). Помните, что длина стороны может быть только позитивной.
3. Частный случай теоремы косинусов – теорема Пифагора, которая применима для прямоугольных треугольников. Угол ? в данном случае равен 90°. Косинус прямого угла обращается в единицу. Тогда c? = a? + b?.
4. Если в условии дана только одна из сторон, но при этом вестимы углы треугольника, две другие стороны дозволено обнаружить по теореме синусов. Кстати, углы могут быть заданы не все, следственно благотворно помнить, что сумма всех углов треугольника равна 180°.
5. Выходит, пускай дана сторона a, угол ? между a и b, ? между a и c. 3-й угол ? между сторонами b и c легко обнаружить из теоремы о сумме углов треугольника: ? = 180° – ? – ?. По теореме синусов, a / sin(?) = b / sin(?) = c / sin(?) = 2 • R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника. Дабы обнаружить сторону b, дозволено выразить ее из этого равенства через углы и сторону a: b = a • sin(?) / sin(?). Подобно выражается и сторона c: c = a • sin(?) / sin(?). Если, скажем, дан радиус описанной окружности, но не дана длина ни одной из сторон, задачу также допустимо решить.
6. Если в задаче дана площадь фигуры, нужно записать формулу для площади треугольника через стороны. Выбор формулы зависит от того, что еще знаменито. Если, помимо площади, заданы две стороны, поможет использование формулы Герона. Площадь дозволено выразить также через две стороны и синус угла между ними: S = 1/2 • a • b • sin(?), где ? – угол между сторонами a и b.
7. В некоторых задачах может быть задана площадь и радиус окружности, вписанной в треугольник. В таком случае выручит формула r = S / p, где r – радиус вписанной окружности, S – площадь, p – полупериметр треугольника. Полупериметр из этой формулы выразить легко: p = S / r. Осталось обнаружить периметр: P = 2 • p.
Треугольник – это многоугольник, имеющий три стороны и три угла. Как же вычислить его периметр?
Инструкция
1. Периметр треугольника – это сумма длин всех его 3 сторон.Обозначим стороны треугольника а, b, c. Периметр в математических формулах обозначается латинской буквой Р. Значит, исходя из правила, Р = а + b + cДопустим, наши стороны треугольника имеют такие длины: а = 3 см, b = 4 см, с = 5 смЧтобы обнаружить периметр данного треугольника – необходимо сложить длины всех его сторон.Т.е. Р = 3 + 4 + 5Р = 12 смНе трудная задача, чай правда?
Видео по теме
Видео по теме
jprosto.ru
Периметр треугольника: понятие, характеристика, способы определения
Треугольник являет собой одну из фундаментальных геометрических фигур, представляющих собой три пересекающихся отрезка прямых. Эта фигура была известна еще ученым Древнего Египта, Древней Греции и Древнего Китая, которые и вывели большинство формул и закономерностей, используемых учеными, инженерами и конструкторами до сих пор.
К основным составным частям треугольника относятся:
• Вершины — точки пересечения отрезков.
• Стороны — пересекающиеся отрезки прямых.
Исходя из этих составных частей, формулируют такие понятия, как периметр треугольника, его площадь, вписанная и описанная окружность. Еще со школы известно, что периметр треугольника представляет собой числовое выражение суммы всех трех его сторон. В то же время формул для нахождения данной величины известно великое множество, в зависимости от тех исходных данных, которые есть у исследователя в том или ином случае.
1. Самый простой способ нахождения периметра треугольника используется в том случае, когда известны числовые значения всех трех его сторон (x,y,z), как следствие:
P= x+y+z
2. Периметр равностороннего треугольника можно найти, если вспомнить, что у данной фигуры все стороны, впрочем, как и все углы, равны. Зная длину этой стороны, периметр равностороннего треугольника можно определить по формуле:
P= 3x
3. У равнобедренного треугольника, в отличие от равностороннего, только две боковые стороны имеют одно и то же числовое значение, поэтому в этом случае в общем виде периметр будет находиться следующим образом:
P= 2x+y
4. Следующие способы необходимы в тех случаях, когда известны числовые значения не всех сторон. Например, если в исследовании есть данные о двух сторонах, а также известен угол между ними, то периметр треугольника может быть найден с помощью определения третьей стороны и известного угла. В этом случае эта третья сторона будет найдена по формуле:
z= 2x+2y-2xycosβ
Исходя из этого, периметр треугольника будет равен:
P= x+y+2x+(2y-2xycos β)
5. В том случае, когда изначально дана длина не более чем одной стороны треугольника и известны числовые величины двух углов прилегающих к ней, то периметр треугольника можно вычислить, опираясь на теорему синусов:
P = x+sinβ х/(sin(180°-β )) + sinγ x/(sin(180°-γ ))
6. Бывают случаи, когда для нахождения периметра треугольника используются известные параметры вписанной в него окружности. Данная формула также известна большинству еще со школьной скамьи:
P= 2S/r (S — площадь окружности, тогда как r — ее радиус).
Из всего вышеприведенного видно, что величина периметра треугольника может быть найдена множеством способов, исходя из тех данных, которыми владеет исследователь. Кроме того, есть еще несколько частных случаев нахождения данной величины. Так, периметр является одной из важнейших величин и характеристик прямоугольного треугольника.
Как известно, таким треугольником называют фигуру, две стороны которой образуют прямой угол. Периметр прямоугольного треугольника находится через числовое выражение суммы обоих катетов и гипотенузы. В том случае, если исследователю известны данные только о двух сторонах, оставшуюся можно вычислить с помощью знаменитой теоремы Пифагора: z= (x2 + y2), если известны оба катета, или x= (z2 – y2), если известна гипотенуза и катет.
В том случае, если известна длина гипотенузы и один из прилежащих у ней углов, то две другие стороны находятся по формулам: х= z sinβ , y= z cosβ. В этом случае периметр прямоугольного треугольника будет равен:
P= z(cosβ + sinβ +1)
Также частным случаем является вычисление периметра правильного (или равностороннего) треугольника, то есть такой фигуры, у которой все стороны и все углы равны. Вычисление периметра такого треугольника по известной стороне никакой проблемы не составляет, однако, зачастую исследователю известны какие-то другие данные. Так, если известен радиус вписанной окружности, периметр правильного треугольника находится по формуле:
P= 6√3r
А если дана величина радиуса описанной окружности, периметр правильного треугольника будет найден следующим образом:
P= 3√3R
Формулы нужно запомнить, чтобы успешно применть на практике.
fb.ru
Ответы@Mail.Ru: Чему равен периметр треугольника?
Сумме длин всех сторон.
Суме длин его стороны
оО P = а + b + с, где a, b, с — длины соответствующих сторон треугольника
периемтр — это сумма длин всех сторон фигуры. В даном случае суме трех сторон
touch.otvet.mail.ru
Ответы@Mail.Ru: как найти периметр треугольника
<a href=»/» rel=»nofollow» title=»15655734:##:6697-smotret-onlajn-teoriya-bolshogo-vzryva-2009.html» target=»_blank» >[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>
P=a+b+c Как найти периметр треугольника: Всем известно, что периметр найти проще простого – надо всего лишь сложить все три стороны треугольника. Однако существует несколько других способов, с помощью которых можно найти сумму длин сторон треугольника. <img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/foxxy12/_answers/i-1126.jpg» > 1 шаг При известных радиусе вписанной в треугольник окружности и его площади найти периметр по формуле P=2S/r. <img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/foxxy12/_answers/i-1127.jpg» > 2 шаг Если ты знаешь два угла, например, α и β, прилежащих к стороне, и длину этой стороны, то для нахождения периметра используй формулу а+sinα∙а/(sin(180°-α-β)) + sinβ∙а/(sin(180°-α-β)).<img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/foxxy12/_answers/i-1128.jpg» > 3 шаг Если в условии указаны смежные стороны и угол β между ними, при нахождении периметра учитывай теорему косинусов. Тогда P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), где a^2 и b^2 – квадраты длин смежных сторон. Выражение под корнем – длина третьей неизвестной стороны, выраженная через теорему косинусов. <img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/foxxy12/_answers/i-1129.jpg» > 4шаг Для равнобедренного треугольника формула периметра принимает вид P=2a+b, где а – боковые стороны, а b – его основание. 5 шаг Периметр правильного треугольника рассчитай по формуле P=3a. 6 шаг Найди периметр с помощью радиусов вписанных в треугольник или описанных около него окружностей. Так, для равностороннего треугольника помни и используй формулу P=6r√3=3R√3, где r – радиус вписанной окружности, а R – радиус описанной окружности. 7 шаг Для равнобедренного треугольника примени формулу P=2R(2sinα+sinβ), в которой α – угол при основании, а β – угол, противолежащий основанию.
Треугольник — это одна из базовых фигур, образованная тремя пресекающимися отрезками прямых. Точки пересечения называются вершинами, а сами отрезки сторонами треугольника. Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Находить площадь треугольника учат еще в школе и впоследствии эти знания используются многими людьми включая студентов, математиков и инженеров. В зависимости от исходный данных площадь треугольника может быть надена различными способами. Рассмотрим их все по порядку. 1 способ Если известны длины всех сторон треугольника a, b и с, то в данном случае периметр определяется как сумма длин всех сторон:
P- периметр P= a- 1 сторона b- 2 сторона и c- 3 сторона, значит: P=a+b+c Пример- P=13+5+6=24 см (дм, м, км, мм.)
а я нашла ахахахаха легко!!
Сложить 3 стороны. А+Б+С
Периметр треугольника находится формулой P=a+b+c
Сумма всех сторон треугольника и есть периметр. вот и всё !!!
Р=а+b+с Нужно все стороны сложить
периметр-это сумма всех сторон
Периметр треугольника это сумма сторон. Базовая формула P = a + b + c Или можно посчитать с помощью калькулятора — <a rel=»nofollow» href=»http://www.center-pss.ru/math/perimetrtreugolnika.htm» target=»_blank»>http://www.center-pss.ru/math/perimetrtreugolnika.htm</a>
touch.otvet.mail.ru

Производственные возможности кривая производственных возможностей – —

alexxlab / 12.01.202122.06.2019 / Школьная жизнь

4.8. Кривая производственных возможностей. Производственная функция

Выбор вариантов направлений, способов распределения ограниченных ресурсов занимает одно из центральных мест в экономике. Выбор осуществляют все: потребители, предприниматели и государство (правительство). Выбор происходит с точки зрения рационального поведения людей – достижения максимальных результатов при имеющихся ограниченных ресурсах.

Проблему выбора демонстрирует кривая производственных возможностей. Производственные возможности – это возможности предприятия или общества по производству экономических благ при полном и эффективном использовании всех имеющихся ресурсов (производственного потенциала) – К, L, Z и предпринимательских способностей с учетом данного уровня техники и технологии. Кривая производственных возможностей характеризует возможный выпуск продукции. Она выражает отношение между набором факторов производства и максимальным объемом продукции. Продемонстрируем это на примере (табл. 4.1; рис. 4.6).

Таблица 4.1
Варианты	Продовольственные товары, млн шт.	Непродовольственные товары, млн шт.
А	15	0
В	14	1
С	12	2
Д	9	3
Е	5	4
F	0	5

В обществе производятся продовольственные и непродовольственные товары. Если общество использует все ресурсы для производства только продовольственных товаров, то это означает, что непродовольственные товары имеются в достаточном количестве. Следовательно, продовольственные товары производятся в количестве 15 млн. шт., непродовольственные – 0 шт. Если же производятся только непродовольственные товары – 5 млн. шт., то продовольственных товаров будет производиться 0 шт.

Рис. 4.6

При одновременном производстве этих благ возможны следующие сочетания на графике (15:0; 14:1; 12:2 и т.д.). Всякое увеличение производства непродовольственных товаров сокращает производство продовольственных товаров, и наоборот.

Каждая точка А, В, С, D, Е, F (эффективные точки) на кривой производственных возможностей есть максимальный объем производства двух продуктов при наиболее эффективном использовании всех имеющихся ресурсов и соответствующей технологии. Все точки показывают занятость трудовых ресурсов (нет безработицы) и максимальное их использование. Если же точка О находится за пределами кривой, то это значит, она недоступна из-за ограниченности ресурсов и не позволяет производить данный объем продукции. Если хотим ее достичь, то следует увеличивать (купить) дополнительные ресурсы и изменить технологию производства. Точка Н (неэффективная точка) означает, что не до конца используются возможности ресурсов, вследствие этого наблюдаются неполная занятость (безработица) и неполная загрузка производственных мощностей – недоиспользование ресурсов в целом.

Таким образом, реальная экономическая деятельность находится внутри площади, ограниченной кривой производственных возможностей. Переход с более низкого на более высокий уровень кривой производственных возможностей происходит в результате технических открытий, научных прорывов, увеличения капитальных вложений, разработки новых месторождений полезных ископаемых и т.д.

Следовательно, при условии ограниченности ресурсов увеличение производства одного товара достигается ценой снижения производства другого. На этом факте основывается понятие альтернативные издержки выбора, которые определяются количеством другого товара, от производства которого нужно отказаться, чтобы получить дополнительную единицу данного товара.

Затраты, связанные с производством товаров, именуются издержками. Издержки, обусловленные отказом от производства одного товара в пользу другого, называют вмененными (или дополнительными).

Принцип эффективного распределения ресурсов получил название в экономической теории «Парето-эффективности» по имени итальянского экономиста В. Парето: «Ресурсы используются полностью и увеличение выпуска какого-либо блага возможно при сокращении выпуска других».

В нашем примере количество продовольственных товаров, от которого следует отказаться, чтобы получить какое-то количество непродовольственных продуктов, – это вмененные издержки производства данного продукта, или количество одного блага, выраженное в другом благе, которым пришлось пожертвовать, есть альтернативные (вмененные) издержки, о чем будет сказано в главе «Теория издержек».

Издержки альтернативного выбора выступают в виде суммы полученной продукции и неполученных выгод по сравнению с производством другой продукции.

Между количеством произведенного продукта и количеством использованных на его получение факторов (ресурсов) производства имеется непосредственная функциональная зависимость, что выражается в производственной функции.

Производственная функция отражает технологическую зависимость между затратами ресурсов и выпуском продукции. Она может быть представлена следующим образом:

Q = f (K, L),

где Q – объем продукции; f (K, L) – факторы производства.

Производственная функция была разработана в 1890 г. английским математиком А. Берри. Она описывает множество технически эффективных способов производства (технологий). Каждая технология характеризуется определенной комбинацией ресурсов, необходимых для получения единицы продукции.

Производственная функция графически изображается в виде изокванты. Изокванта – это кривая линия равного продукта, отражает различные варианты сочетания факторов (ресурсов) производства для выпуска одинакового (равного) объема продукта. Например, для производства одной машины используются следующие варианты сочетаний капитала (К) и труда (L) (табл. 4.2, рис. 4.7):

Таблица 4.2
Варианты	Количество К, шт.	Количество L,шт.
A	15	3
B	9	4
C	6	5
D	4	9
E	3	15
F	2	25

Рис. 4.7

Полученная кривая Q0 – есть геометрическое место точек (А, В, С, D, Е, F), каждая из которых представляет одинаковый объем выпуска продукции (1 машина). При этом количество взаимодействующих факторов различное. Набор изоквант на графике (Q0,Q1, Q2 …) есть карта изоквант, каждая из которых показывает максимальный выпуск продукции при использовании определенных сочетаний факторов производства с учетом фактора времени. Равновесие производителя обеспечивается тогда, когда он достигает максимума производства при имеющихся ресурсах. Здесь возможна замена одного фактора другим. Общий принцип замены: более дорогой фактор производства заменяется более дешевым в целях минимизации затрат и максимизации прибыли. Об уровне затрат ресурсов, о финансовых возможностях фирмы для покупки и использования факторов производства (К, L) дает информацию изокоста. Изокоста – прямая линия, касающаяся изокванты. Она является прямой равных издержек (рис. 4.8).

Рис. 4.8

В точке Е, где изокванта касается с изокостой, самые низкие издержки. Из трех изокост АВ, А1В1, А2В2 достичь объема продукции Q можно при затратах А2В2 с использованием К2 и L2 или К1 иL1. Однако А2В2 больше минимальных издержек. Поэтому этот же объем Q можно достичь более дешевым способом при затратах В,А за счет использования ресурсов К и L. В точке касания Е самые минимальные издержки и максимальный объем продукции (КЕ = LЕ). Любое другое сочетание факторов обходится фирме дороже.

Издержки минимизируются в том случае, когда последующий рубль, затраченный на каждый ресурс, дает одинаковую отдачу – одинаковый предельный продукт, что обеспечивает равновесие производителя и выражается в законе наименьших издержек (правило).

Производство принято рассматривать в краткосрочном и долгосрочном периодах времени, в течение которых реализуется производственная функция.

Краткосрочным периодом считается такой промежуток времени, в течение которого предприятие (фирма) не может изменить свои производственные мощности. В этом периоде некоторые факторы (земля, оборудование) остаются фиксированными. Объем производства может быть изменен за счет привлечения дополнительных переменных факторов (труд, сырье). В одних отраслях краткосрочный период может длиться несколько лет, а в других – несколько месяцев.

Долгосрочный период – это период, достаточный для того, чтобы изменить количество всех занятых ресурсов, включая производственные мощности. Все факторы производства выступают в длительном периоде как переменные, т.е. они могут изменить свои размеры. Производственную функцию можно рассматривать как функцию краткосрочного, так и функцию долгосрочного периода. Выпуск продукции можно рассматривать при изменениях факторов производства во времени, т.е. как набор изоквант (рис. 4.7).

Различие между краткосрочным и долгосрочным периодами достаточно нечетко и характеризует два вида управления: оперативного каждодневного и долгосрочного стратегического.

Производственная функция в краткосрочном периоде имеет следующий вид: Q=f(L), а долгосрочного периода: Q=f(L₁К).

Американские экономисты – Кобба, Дуглас и Солоу – в 20-х гг. ХХ столетия на основе статистических исследований производства зерна за 100 лет определили вклад таких факторов производства, как труд и капитал, в общий прирост выпуска продукции. Они обнаружили, что увеличение затрат труда на один процент обеспечивает 3/4 прироста выпущенной продукции, а увеличение затрат капитала на один процент дает возможность получить 1/4 прироста выпущенной продукции. Формула такой зависимости названа производственной функцией Кобба-Дугласа Q=АК^αL^β, где Q масса продукции; А – линейный коэффициент; α, β – коэффициенты эластичности объема производства по капиталу и труду. Они показывают вклад каждого из факторов в объеме выпускаемой продукции.

Указанные индексы (3/4 и 1/4) назвали агрегатами, а зависимость между выпуском продукции и факторами производства вошла в жизнь под названием агрегатной функции производства Дугласа и Солоу. Отсюда были сделаны рецепты экономического развития: «вложения в человеческий капитал» – труд – дают больший эффект, чем вложения в средства производства.

studfiles.net

13. Проблема выбора в экономике. Кривая производственных возможностей и ее свойства.

Экономический выбор – это необходимость принятия решения о том, какие товары и услуги следует производить, а от каких необходимо отказаться по причине безграничности человеческих потребностей и редкости ресурсов.

Кривая производственных возможностей (кривая трансформации) – это графическая иллюстрация альтернативного развития экономики полной занятости; кривая, содержащая все возможные варианты производства при полной загрузке производственных мощностей.Она показывает максимально возможный выпуск продукции при полном использовании ресурсов и технологий.

Допустим в об-ве производится только 2 вида товаров- продовольственные товары и инвестиционные товары; технология пр-ва и кол-во используемых ресурсов неизменны, а пр-во ведется эффективно. Тогда граница производственных возможностей будет иметь вид кривой АБ.

Полностью используя ресурсы, об-во может произвести либо А единиц ПТ, либо Б единиц ИТ, либо может находится в любой др точке на кривой производственных возможностей(АБ). На этой границе об-во будет (в каждой точке) производить максимально возможное при данных ресурсах кол-во продукции. В реальности же, оно выбирает какой-то один вариант (одну точку на кривой АБ), что зависит от множества факторов-экономических,исторических, политических. Если об-во захочет одновременно производить больше и ИТ и ПТ, (т. М вне кривой произоводственных возможностей), то имеющихся ресурсов будет явно недостаточно, т.е. пр-во вне границы производственных возможностей невозможно.Однако увеличение выпуска обоих видов товаров (прорыв проблемы выбора) возможно при эк росте-увеличение эк потенциала страны. Его рост мб обусловлен увеличением производст. ресурсов, например, за счет открытия новых месторождений полезных ископаемых, освоения новых земель и т.д., либо за счет различных нововведений, т.е. НТП. Тогда кривая произв. Возможностей сдвинется вправо. Любая точка внутри кривой производ. возможностей (точка Е) указывает на неполную занятость ресурсов, на их неэффективное использование. В то же время это говорит о наличии резервов в об-ве, что помогает в экстремальной ситуации резко увеличить объем выпуска одного товара, не сокращая пр-ва другого. Эк-ка страны чаще всего недоиспользует свой эк потенциал. Это связано как с безработицей, так и с др. причинами- неэффективным управлением, стр-ыми изменениями, с банкротством предприятий и др.

Модель кривой производственных возможностей позволяет проиллюстрировать четыре важных положения:

1. Ограниченность ресурсов – об этом свидетельствует существование области недостижимых значений, т.е. если об-во захочет одновременно производить больше и инвестиционных товаров, и продовольственных товаров, то имеющихся ресурсов будет явно недостаточно (точка М).

2. Необходимость выбора – общество вынуждено определять, какое сочетание товаров Х и У в наилучшей

степени удовлетворяет его интересы.

3. Наличие альтернативных издержек – об этом свидетельствует убывающий характер кривой, поскольку для производства дополнительной единицы одного товара надо отказаться от выпуска какой-либо величины другого товара.

4. Возрастание альтернативных издержек – выпуклый характер кривой производственных возможностей.

Таким образом, кривая производственных возможностей — особая модель, иллюстрирующая альтернативные возможности использования ограниченных ресурсов.

Кол-во товара, от которого следует отказаться, чтобы получить доп. кол-во др товара, называется вмененными(экономическими) издержками этого товара.

Увеличение альтернативных издержек по мере выпуска каждой дополнительной единицы продукции(пр-во доп единиц одного товара влечет за собой жертвование все возрастающим кол-вом др товара) является сутью закона возрастающих вмененных(альтернативных) издержек. С ним тесно связан закон убывающей отдачи, который означает, что прирост выпуска продукции становится все меньшим по мере добавления новых единиц экономического ресурса в сочетании с неизменным количеством прочих экономических ресурсов.

studfiles.net

Производственные возможности общества. Кривая производственных возможностей

Любая экономическая система стоит перед дилеммой: с одной стороны, потребности общества безграничны, полностью неутолимы; с другой стороны, ресурсы общества, необходимые для производства благ, ограничены или редки. Проблема ограниченности ресурсов — фундаментальная экономическая проблема.

Одни и те же ресурсы используются различным образом. Например, общество (государство) может по-разному распорядиться принадлежащей ему землей (сельскохозяйственное назначение, промышленное строительство, военный полигон и пр.), финансами, рабочей силой. В условиях производства по-разному можно использовать, например, древесину: изготовить из нее краску, бумагу, огородить ремонтируемый цех. Та же древесина может быть применена различным образом и в домашнем хозяйстве: как элемент отделки жилья (паркет), мебель или просто как дрова.

Ограниченность ресурсов предполагает ограниченные возможности их использования, а значит, актуальной становится поблема эффективности такого использования. Эффективность означает, что ресурсы экономики используются так, чтобы максимально удовлетворить потребности людей. Производственная эффективность – один из важнейших аспектов всей экономической эффективности. Эффективным считается такое производство, при котором выпускается наибольший объем продукта с помощью имеющихся факторов производства.

Производственные возможности общества — это возможности общества по производству экономических благ при полном и эффективном использовании всех имеющихся ресурсов при данном уровне развития технологии. Поскольку ресурсы ограничены, то общество вынуждено делать технологический выбор, решая, какие из потребностей следует удовлетворять, а какие — нет.

Таким образом, ограниченность ресурсов определяет альтернативность их использования, обусловливает необходимость альтернативного выбора из числа исключающих друг друга возможностей наиболее оптимального варианта с точки зрения целей общества. Альтернативный выбор между направлениями использования ресурсов может быть отражен в виде кривой производственных возможностей.

Рисунок 1 — Кривая производственных
возможностей (для двух бдаг)

Кривая производственных возможностей показывает максимально возможный объем одновременного производства двух благ при полном использовании ограниченных производственных ресурсов, когда при данном уровне производства и имеющейся технологии нет ресурсов для наращивания объема продукции.

Экономика эффективна, когда все точки возможных комбинаций производства двух благ находятся на границе производственных возможностей (т. А, В, С, D, Е). Экономическая система неэффективна, когда различные комбинации производства двух благ находятся левее границы производственных возможностей (точка F).

В этом случае ресурсы общества заняты не полностью (безработица, неполная загрузка производственных мощностей, отсталая технология). Точка F представляет такую комбинацию благ X и Y, которая существенно меньше, чем могло бы производиться при полном и эффективном использовании имеющихся ресурсов. Общество должно сделать все необходимое, чтобы переместиться на границу производственных возможностей.

Для общества, обладающего определенным запасом ресурсов и знаний и обеспечивающего полный объем производства, точка G на сегодняшний день недостижима.

Итак, любая экономическая система в каждый момент времени обладает ограниченными возможностями и не может переместиться за пределы границы производственных возможностей.

Другие статьи по данной теме:

www.ekonomika-st.ru
2) Производственные возможности общества. Кривая производственных возможностей
1)Особенности экономической теории: 1. Экономическая теория, как и все прочие науки, наука эмпирическая – она базируется на фактах, т. е. на наблюдаемых и поддающихся проверке, изменениях известных данных или определённых явлений. Как общественная наука экономическая теория изучает поведение экономических субъектов, занимающихся производством, реализацией и потреблением товаров и услуг. 2. Наука, изменяющаяся и развивающаяся вместе с экономической действительностью. Факты, т. е. реальное поведение экономических субъектов в процессах производства, реализации и потребления товаров и услуг, со временем изменяются. Поэтому необходимо постоянно сверять существующие принципы и теории с изменяющейся экономической действительностью. Новые проблемы ставят необходимость разрабатывать новые разделы экономической теории. 3. Экономическая теория, как и любая наука, имеет свою терминологию, т. е. совокупность слов и словосочетаний для определения конкретных понятий. Термины каждой науки необходимо знать в соответствии с учебными пособиями и специализированными словарями, а не на бытовом подсознательном уровне, формирующемся от общения с не-специалистами и средствами массовой информации. 4. Наука неточная. Во-первых, так как состоит из экономических принципов (законов), являющихся теоретическими обобщениями относительно реального поведения экономических субъектов, отличающегося значительным разнообразием. То есть экономические принципы предстают в виде средних или наиболее вероятных величин и тенденций. Во-вторых, как и другие ученые, экономисты используют в построении своих обобщений допущение “при прочих равных условиях”. То есть, они допускают, что все другие переменные, за исключением тех, которые они в данный момент рассматривают, остаются неизменными. Такой метод упрощает процесс анализа путем вычленения исследуемой связи. Как итог можно сказать, что экономические принципы есть неточные обобщения относительно неточных моделей. В результате экономические принципы, приложимые к практике, менее строги и менее точны, чем принципы лабораторных наук.
Ограниченность благ означает, что для любого человека и общества в целом большинство товаров и услуг ограничено, т. е. недостаточно для удовлетворения всех потребностей. Ограниченность ресурсов означает, что производственные возможности общества ограничены, т. е. общество вынуждено производить ограниченное количество благ. Наращивая производство одного блага, общество вынуждено сокращать производство другого. С помощью простейшей модели рассмотрим производственные возможности общества. Если абсолютно все ресурсы направлены на производство блага X, то общество получит максимальное его количество. При этом благо Y вообще производиться не будет (вариант А). Возможна другая альтернатива, когда все ресурсы общества направляются на производство товара Y. В этом случае благо Y производится в максимальном количестве, а благо X не выпускается (вариант В). Однако обществу необходимы одновременно оба товара, для чего необходимо снизить производство каждого из этих благ ниже максимального. При этом имеет место множество альтернативных вариантов производственных комбинаций ресурсов и соответствующей структуры производства (например, варианты С, D, Е). Данную ситуацию можно изобразить графически. По горизонтали отложим количество блага X, по вертикали — блага Y. В результате получим кривую производственных возможностей. Каждая точка этой кривой представляет определенную комбинацию благ двух видов. Например, точка С представляет комбинацию Хс шт. товара X и Yc шт. товара Y.

Кривая производственных возможностей показывает’ максимально возможный объем одновременного производства двух благ при заданных ресурсах и технологиях, которыми располагает данное общество.
Экономика эффективна, когда все точки возможных комбинаций производства двух благ находятся на границе производственных возможностей (т. А, В, С, D, Е). Экономическая система неэффективна, когда различные комбинации производства двух благ находятся левее границы производственных возможностей (точка F). В этом случае ресурсы общества заняты не полностью (безработица, неполная загрузка производственных мощностей, отсталая технология). Точка F представляет такую комбинацию благ X и Y, которая существенно меньше, чем могло бы производиться при полном и эффективном использовании имеющихся ресурсов. Общество должно сделать все необходимое, чтобы переместиться на границу производственных возможностей. Для общества, обладающего определенным запасом ресурсов и знаний и обеспечивающего полный объем производства, точка G на сегодняшний день недостижима. Любая экономическая система в каждый момент времени обладает ограниченными возможностями и не может переместиться за пределы Поскольку существует множество вариантов использования ресурсов, а количество этих ресурсов ограниченно, то неизбежно возникает конкуренция.Конкуренция — экономическое соперничество товаропроизводителей, направленное на получение в свое распоряжение наибольшего количества ресурсов. Рационирование — система распределения, устанавливающая максимальное количество блага или ресурса, которое может приобрести экономическая единица. Рационирование — это способ распределения какого-либо блага или ресурса, предложение которого ниже спроса. Дискриминация — ограничение или лишение доступа к каким-либо благам определенных категорий граждан по признаку расовой, национальной принадлежности, социального происхождения, политических взглядов и др. Примером может являться дискриминация на рынке труда.
studfiles.net
Кривая производственных возможностей. Структура экономики
Процессу производства предшествует распределение ограниченных ресурсов между различными видами производства, с тем, чтобы максимально удовлетворять потребности. Тем самым формируются пропорции, структура экономики — соотношение её элементов.
Проблема выбора определенного набора производимых благ в условиях ограниченности ресурсов (экономического выбора) иллюстрируется при помощи графической модели, которую называют кривой производственных возможностей. Кривая производственных возможностей — это множество точек, каждая из которых соответствует возможной комбинации одновременного производства двух альтернативных благ при полном и наилучшем использовании всех ресурсов.
На рис. 1-3 выделено несколько таких точек, лежащих на кривой: А, В, С и D. Любая точка, расположенная ниже кривой (например, G), обозначает производство такой комбинации двух благ, при которой ресурсы используются неэффективно. Иначе говоря, если мы будем производить набор благ, обозначенный точкой А (или В, С, D), то все ресурсы будут использованы без остатка; если мы будем производить набор благ, обозначенный точкой G, то ресурсы будут использоваться не полностью (имеет место безработица, производственные мощности недогружены и т. д.). Точка, расположенная выше кривой производственных возможностей (например, точка F), обозначает такую комбинацию производимых благ, которая при данном ресурсном потенциале в принципе недостижима.

Рис. 1-3. Кривая производственных
возможностей
Обладая в каждый данный момент ограниченными ресурсами, общество не может выйти за пределы границ производственных возможностей.
Кривая производ-ственных возможностей не является застывшей, она меняется с увеличением (или уменьшением) ресурсов. Когда наблюдается экономический рост — расширение и совершенствование производства, кривая сдвигается вверх и вправо; когда же экономика переживает кризис (как, например, в России 90-х годов), то кривая сдвигаетсявниз и влево.
Примером выбора структуры экономики является альтернативность гражданского и военного производства, или модель “пушки вместо масла”. Можно производить только пушки и лишить общество масла (“пушки вместо масла”). Можно все ресурсы общества использовать для производства масла (“перековать мечи на орала”). Практически общество выбирает третий вариант: за счет сокращения производства масла часть ресурсов направляет на производство пушек.
Кривая производственных возможностей является также иллюстрацией закона возрастания альтернативных издержек. Под альтернативными издержками понимают упущенную выгоду, т. е. “цену” одного товара (блага), выраженную в альтернативном количестве другого товара (блага), от которого отказываются, делая выбор. Например, если мы увеличиваем производство пушек с 1 до 2 тыс. штук, то при данном ресурсном потенциале необходимо уменьшить производство масла с 9 до 8 млн. т. (движение от точки В к точке С). Следовательно, альтернативные издержки (альтернативная цена) этой тысячи пушек — 1 млн. т. масла. Однако величина альтернативных издержек не постоянна. Если ради производства 2-й тысячи пушек мы должны отказаться от 1 млн. т. масла, то ради производства 3-й тысячи — уже от 2 млн. т (движение от точки С к точке D). Согласно закону возрастания альтернативных издержек, при увеличении производства одного товара неизбежно происходит увеличение его “цены”, выраженной в другом, альтернативном товаре.
Таким образом, распределение ресурсов для удовлетворения потребностей людей, которые в каждый данный момент опережают возможности производства, приводит к формированию определенной структуры экономики.
Структура экономики, эффективность и благосостояние находятся в тесной взаимосвязи. Прогрессивные структурные изменения в экономике происходят под влиянием роста эффективности производства и благосостояния населения. Так, в высокоразвитых странах опережающими темпами по сравнению с промышленностью, сельским хозяйством, строительством развивается сфера услуг, около половины занятого населения уже трудится в этой сфере. Совершенствование структуры экономики, в свою очередь, способствует росту эффективности (например появление отраслей, предприятий, производящих новую технику, новые материалы) и повышению благосостояния (расширение ассортимента, изменение структуры, рост качества потребительских товаров и услуг).
Обобщая сказанное, можно сделать следующий вывод:
Основные экономические проблемы общества: что производить? как производить? для кого производить? — можно переформулировать следующим образом:
1. Какой должна быть оптимальная структура экономики?
2. Как добиться эффективности?
3. Как обеспечить благосостояние населения?
В дальнейших темах мы будем возвращаться к этим проблемам, но уже с учетом специфики особых форм хозяйства.
Основные понятия
Предмет экономической
теории
Микроэкономика
Макроэкономика
Экономическая категория
Экономический закон
Основные экономические
проблемы
Потребности
Благосостояние
Ресурсы
Труд
Земля
Капитал
Информация
Средства производства
Средства труда
Предметы труда
Экономическая
эффективность
Социальный эффект
Структура экономики
Кривая производственных
возможностей
Экономический рост
Закон возрастания
альтернативных издержек
Вопросы, упражнения и задачи
1. Проанализируйте развитие предмета экономической науки: какие явления входили в круг внимания экономистов и какие выходили из него? Чем объясняется на ваш взгляд эта эволюция эконмической теории?
2. “Идеи экономистов … — и когда они правы, и когда ошибаются, — имеют гораздо большее значение, чем принято думать. В действительности только они и правят миром. Люди практики, которые считают себя совершенно не подверженными интеллектуальным влияниям, обычно являются рабами какого-либо экономиста прошлого. Безумцы, стоящие у власти, которые слышат голос с неба, извлекают свои сумасбродные идеи из творений какого-нибудь академического писаки, сочинявшего несколько лет назад. ”(Кейнс Дж. М. Общая теория занятости, процента и денег. — М. : Прогресс, 1978. — С. 458.) О какой функции экономической науки здесь идет речь? Согласны ли Вы с мнением Дж. М. Кейнса?
3. Укажите основной элемент в структуре трудовой мотивации Константина Левина, одного из главных героев романа Л.Толстого «Анна Каренина».
«Надо только упорно идти к своей цели, и я добьюсь своего, — думал Левин, — а работать и трудиться есть из-за чего. Это дело не мое личное, а тут вопрос об общем благе. Все хозяйство, главное — положение всего народа, совершенно должно измениться. Вместо бедности — общее богатство, довольство; вместо вражды — согласие и связь интересов. Одним словом, революция, бескровная, но величайшая революция, сначала в маленьком кругу нашего уезда, потом губернии, России, всего мира. Потому что мысль справедливая не может не быть плодотворна. Да, это цель, из-за которой стоит работать».
1) средство к жизни; 2) интересная творческая работа;
стремление сделать карьеру; 4) стать богатым;
5) быть хозяином, собственником;
6) принести пользу своему народу, человечеству.
4. Предположим, что Вы сопоставляете благосостояние Вашей семьи с семьёй N. Какими показателями Вы воспользуетесь?
5. Составьте схему применяемых ресурсов в отрасли, связанной с Вашей работой (будущей специальностью). Изменилась ли соподчиненность ресурсов в процессе эволюции производства?
6. На основе данных таблицы сделайте вывод о соотношении производства средств производства (группа «А») и предметов потребления (группа «Б») в промышленности СССР. Какие причины обусловили сложившуюся тенденцию? Укажите экономические и социальные последствия, которые она вызывает сегодня в России?
Годы
Вся продукция промышленности, %
в том числе, %
Группа «А»
Группа «Б»
1928
100
39,5
60,5
1940
100
61,0
39,0
1960
100
72,5
27,5
1985
100
74,8
25,2
1989
100
74,0
26,0
7. Изобразите при помощи кривых производственных возможностей: а) влияние на экономику “холодной войны” между СССР и США в 1950-1980 гг.; б) результаты экономического развития России в 90-е годы XX в.
8. Объясните взаимосвязь между структурой экономики, ее эффективностью и благосостоянием населения.
Библиографический список литературы
1. Долан Д., Линдсей Д. Рынок: микроэкономическая модель.СПб: Автокомп, 1992. — Гл. 1. — С. 6-29.
2. Макконнелл К., Брю С. Экономикс: принципы, проблемы и политика. — М.: Республика, 1992. — Т. 1. — Гл. 1, 2. — С. 18-47.
3. Фишер С., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика. — М.: Дело ЛТД, 1993. — Гл. 1. — С. 1-9.
4. Самуэльсон П. Экономика: — М.: ИПО “АЛГОН”, 1994. — Т. 1. — Гл. 1, 2. — С. 5-31.
5. Хаусман Д. Экономическая методология в двух словах. // МЭиМО, 1994. — № 2. — С. 105-113., № 3. — С. 105-113.
6. Нуреев Р. М. Предмет политической экономии и основные черты ее метода. — М.: Изд-во МГУ, 1986. — С. 15-46.
studfiles.net
8. Производственные возможности экономики. Кривая производственных возможностей
Ограниченность ресурсов ставит предел возможностям производства. Использование ресурсов для создания одного продукта означает отказ от производства другого. Это заставляет делать выбор: какие продукты производить, какие потребности удовлетворять в первую очередь. Суть проблемы выбора в условиях ограниченности ресурсов можно понять, использовав кривую производственных возможностей (КПВ). Кривая производственных возможностей — график, показывающий все множество вариантов использования имеющихся ресурсов для производства альтернативных видов экономических товаров. (Альтернативный — допускающий одну из двух или нескольких возможностей.) Анализ кривой производственных возможностей позволяет сформулировать ряд важнейших экономических положений.
1. Закон замещения, который гласит, что при полном использовании ресурсов и неизменной технологии увеличение производства одного продукта приводит к сокращению другого. Мы видим, что с увеличением производства масла выпуск пушек сокращается, и наоборот.
2. Если экономика находится в точке N, это значит, что имеющиеся ресурсы используются не полностью: есть возможность увеличить производство и пушек, и масла. Точка N свидетельствует о неэффективном использовании ресурсов.
3. Точка М при данных ресурсах и имеющейся технологии для общества недостижима. Но это совсем не означают, что производственные возможности не могут увеличиться. Существует два способа расширения производственных возможностей: увеличение количества используемых ресурсов (экстенсивный путь) и совершенствование технологии, позволяющее при данных ресурсах производить больше благ (интенсивный путь).
4. Любое производство является эффективным, если оно обеспечивает полное использование ресурсов. Любая точка, лежащая на кривой производственных возможностей, является эффективной. Производство продукта считается эффективным, если его увеличение приводит к сокращению производства другого продукта.
5. Поскольку увеличение производства одного продукта ведет к со-кращению производства другого, то стоимость (издержки производства) одного продукта может быть выражена в количестве продукта, от которого приходится отказаться в связи с производством первого. Так, увеличение производства масла с нуля до 2 млн. тонн «обошлось» в 3 тыс. пушек, от производства которых пришлось отказаться. Можно сказать, что 2 млн. тонн масла стоят 3 тыс., пушек. В экономике такая стоимость или такие издержки производства называются вмененными или альтернативными. Альтернативные (вмененные) издержки производства данного товара — это количество другого товара, от производства которого приходится от-казаться, чтобы произвести дополнительную единицу данного товара.
Крива́я произво́дственных возмо́жностей — это кривая, которая показывает различные комбинации максимальных объёмов производства нескольких (как правило, двух) товаров или услуг, которые могут быть созданы в условиях при полной занятости и использовании всех имеющихся в экономике ресурсов.
В данном случае точки А, Б, В, Г, Д — точки, принадлежащие КПВ. Точка E внутри графика КПВ означает неполное или нерациональное использование имеющихся ресурсов. Точка Ж (выше кривой) недостижима при данном количестве ресурсов и имеющейся технологии. Попасть в эту точку можно, если увеличить количество используемых ресурсов или улучшить технологию производства (например, сменить ручной труд на машинный). При движении по кривой возможен только один, лучший вариант движения, который дает максимальный результат при минимальных затратах. Кривая производственных возможностей показывает совокупность всех точек или решений, в пределах которых следует выбирать оптимальный вариант. Все остальные точки представляют собой упущенные возможности или альтернативные затраты.
studfiles.net
Производственные возможности общества. Кривая производственных возможностей
Любая экономическая система стоит перед дилеммой: с одной стороны, потребности общества безграничны, полностью неутолимы; с другой стороны, ресурсы общества, необходимые для производства благ, ограничены или редки. Проблема ограниченности ресурсов — фундаментальная экономическая проблема.
Ограниченность благ означает, что для любого человека и общества в целом большинство товаров и услуг ограничено, т. е. недостаточно для удовлетворения всех потребностей. Ограниченность ресурсов означает, что производственные возможности общества ограничены, т. е. общество вынуждено производить ограниченное количество благ. Наращивая производство одного блага, общество вынуждено сокращать производство другого. Выбирая один вариант производства, приходится жертвовать другими вариантами. Общество стоит перед выбором какие блага производить, а от каких следует отказаться. Эта проблема стояла перед всеми экономическими системами в прошлом, стоит сегодня и будет стоять завтра.
С помощью простейшей модели рассмотрим производственные возможности общества. Рассмотрим гипотетическую экономику, в которой производится два блага — X и Y. Допустим также, что количество ресурсов и технология производства постоянны. Предположим, что данная экономическая система эффективна, т. е. работает в условиях полной занятости ресурсов и полного объема производства.
Если абсолютно все ресурсы направлены на производство блага X, то общество получит максимальное его количество. При этом благо Y вообще производиться не будет (вариант А). Возможна другая альтернатива, когда все ресурсы общества направляются на производство товара Y. В этом случае благо Y производится в максимальном количестве, а благо X не выпускается (вариант В). Однако обществу необходимы одновременно оба товара, для чего необходимо снизить производство каждого из этих благ ниже максимального. При этом имеет место множество альтернативных вариантов производственных комбинаций ресурсов и соответствующей структуры производства (например, варианты С, D, Е). Данную ситуацию можно изобразить графически. По горизонтали отложим количество блага X, по вертикали — блага Y. В результате получим кривую производственных возможностей. Каждая точка этой кривой представляет определенную комбинацию благ двух видов. Например, точка С представляет комбинацию Хс шт. товара X и Yc шт. товара Y.
Кривая производственных возможностей показывает’ максимально возможный объем одновременного производства двух благ при заданных ресурсах и технологиях, которыми располагает данное общество.
Экономика эффективна, когда все точки возможных комбинаций производства двух благ находятся на границе производственных возможностей (т. А, В, С, D, Е). Экономическая система неэффективна, когда различные комбинации производства двух благ находятся левее границы производственных возможностей (точка F). В этом случае ресурсы общества заняты не полностью (безработица, неполная загрузка производственных мощностей, отсталая технология). Точка F представляет такую комбинацию благ X и Y, которая существенно меньше, чем могло бы производиться при полном и эффективном использовании имеющихся ресурсов. Общество должно сделать все необходимое, чтобы переместиться на границу производственных возможностей. Для общества, обладающего определенным запасом ресурсов и знаний и обеспечивающего полный объем производства, точка G на сегодняшний день недостижима. Любая экономическая система в каждый момент времени обладает ограниченными возможностями и не может переместиться за пределы границы производственных возможностей.
Проблема выбора является основной проблемой, связанной с ограниченностью ресурсов. Однако ограниченность ресурсов приводит к возникновению еще нескольких. Такими проблемами являются конкуренция, рационирование и дискриминация. Поскольку существует множество вариантов использования ресурсов, а количество этих ресурсов ограниченно, то неизбежно возникает конкуренция. Конкуренция — экономическое соперничество товаропроизводителей, направленное на получение в свое распоряжение наибольшего количества ресурсов. Рационирование — система распределения, устанавливающая максимальное количество блага или ресурса, которое может приобрести экономическая единица. Рационирование — это способ распределения какого-либо блага или ресурса, предложение которого ниже спроса. В условиях свободного рынка такая ситуация не возникает. В свое время рационирование широко практиковалось в нашей стране, испытавшей с 1917 г. разнообразные виды дефицита и следовавшего за ним рационирования. Как исключительная мера рационирование имеет место и в экономике развитых стран. Например, в США во время Второй мировой войны оно было достаточно эффективно. Дискриминация — ограничение или лишение доступа к каким-либо благам определенных категорий граждан по признаку расовой, национальной принадлежности, социального происхождения, политических взглядов и др. Примером может являться дискриминация на рынке труда.
modern-econ.ru

Менеджмент тесты с ответами – Тесты по менеджменту с ответами

alexxlab / 12.01.202117.06.2019 / Школьная жизнь

Тест с ответами по менеджменту

1.Что понимается под менеджментом?
а) управление человеческим коллективом в процессе общественного производства
б) целенаправленный, осознанный процесс регулирования процессов производства для достижения целей организации
в) управление производственно-хозяйственными системами: предприятиями, фирмами, компаниями и т.д.
г) деятельность по подготовке, выработке и реализации управленческих решений+

2. Менеджер это:
а) профессия, которую может освоить человек, независимо от его психофизических характеристик
б) человек, прошедший специальную подготовку и добивающийся результата посредством труда других людей
в) профессионал-организатор, обладающий определенной суммой знаний в сфере управления производством, технологии и экономики
г) субъект управления, должностное лицо в организации, обладающий знаниями и навыками управления, наделенный полномочиями и ответственностью+

3.Основные факторы развития менеджмента:
а) разделение и кооперация труда, технико-технологический уровень производства
б) особенности и особый уровень производства, уровень развития науки и технологий
в) доминирующий способ общественного производства
г) уровень развития информационно-технического обеспечения производства и оснащенности управленческого труда+

4.Объект и субъект менеджмента это:
а) технические ресурсы
б) люди+
в) финансовые ресурсы
г) технологии

5. Планирование это:
а) Вид деятельности;
б) Отделённый вид управленческой деятельности, который определяет перспективу и будущее состояние организации;+
в) Перспективу развития;
г) Состояние организации;
д) Интеграцию видов деятельности.

6. Как осуществляется организационное планирование?
а) Только на высшем уровне управления;
б) На высшем и среднем уровнях управления;
в) На среднем уровне управления;
г) На всех уровнях управления;+
д) Определение потребностей подчиненных.

7. Главная задача менеджера:
а) максимизация прибыли
б) организация труда персонала
в) получение максимальной отдачи от имеющихся ресурсов+
г) налаживание системы внутрифирменных коммуникаций

8. Менеджмент и управление – это:
а) одно и то же
б) разные, но связанные между собой процессы
в) взаимосвязанные процессы, в которых менеджмент является особой областью управления+
г) взаимосвязанные процессы, в которых управление является особой областью менеджмента

9. Какую функцию менеджмента нужно использовать, чтобы распределить работников по рабочим местам?
а) планирование
б) контроль
в) организация+
г) мотивация

10. В какой стране появился менеджмент?
а) Аргентине
б) Бразилии
в) Польше
г) США+

11. Какими элементами характеризуется система?
а) входом+
б) процессом
в) ценой
г) выходом

12. Что такое внутренняя среда организации?
а) люди+
б) информационные связи+
в) конкуренты
г) законы+

13. Управленческие функции были впервые выделены в этой школе менеджмента:
а) школа научного управления
б) школа человеческих отношений и школа поведенческих наук
в) административная или классическая школа управления+
г) школа науки управления или математическая школа управления

14. Какая из данных теорий менеджмента опиралась в основном на использование личного опыта менеджеров?
а) теория организационной культуры
б) количественная теория менеджмента
в) ситуационная теория менеджмента+
г) теория массового обслуживания

15. Необходимость адаптации к внешней среде – основной принцип чего?
а) теории естественного отбора+
б) теории зависимости от ресурсов
в) теории жизнеспособности структуры
г) теории конкуренции

16. Предмет труда объекта управления:
а) информация
б) готовая продукция+
в) функция управления
г) управленческое решение

17. Что такое инновационный менеджмент?
а) самостоятельная наука
б) совокупность методов управления персоналом
в) совокупность методов и форм управления инновационной деятельностью+
г) фундаментальное исследование

18. Каким образом могут быть связаны между собой функциональные звенья в организационной структуре управления?
а) вертикальными связями
б) горизонтальными связями+
в) функциональными связями
г) всеми перечисленными связями

19. Традиционно выделяющиеся методы в менеджменте:
а) административные и бюрократические+
б) бюрократические и социально-психологические
в) социально-психологические и демократические
г) экономические и административные

20. Психологические факторы, которые влияют на работника организации?
а) непроизводственные
б) внутренние
в) производственные
г) внешние+

liketest.ru

Тест: Бесплатные ответы на тест по менеджменту

Тема: Бесплатные ответы на тест по менеджменту
Раздел: Бесплатные рефераты по менеджменту
Тип: Тест | Размер: 16.99K | Скачано: 224 | Добавлен 28.02.08 в 21:27 | Рейтинг: +136 | Еще Тесты

Тесты по менеджменту

1. Что выступает в качестве объединяющего фактора производства?
а) капитал
б) предпринимательские способности
в) земля
г) труд
д) информация

2. Что является источником власти и управления?
а) знания
б) техника
в) собственность
г) люди

3. Какие виды деятельности принято различать в современном менеджменте?
а) деятельность по управлению техническими средствами
б) управленческая деятельность по координации действий людей, управления факторами производства
в) управленческая деятельность по организации действий на рынке товаров и услуг
г) деятельность по строительству

4. Какие из ниже перечисленных функций управления относятся к общим?
а) мотивация
б) информирование
в) контроль
г) принятие решений
д) прогнозирование

5. Предметом рассмотрения теории управления являются?
а) организационно-управленческие отношения
б) организационно-экономические отношения
в) технологическая документация

6. Понятие категории управления включает:
а) принципы
б) техника управления
в) функции
г) методы управления
д) цели управления

7. Что определяет статику системы управления?
а) функции
б) структура
в) технология процесса управления
г) цели

8. Какие из нижеуказанных видов деятельности не относятся к общим функциям управления, выполняемым руководителем?
а) обмен информацией
б) планирование
в) анализ внешней среды
г) нормирование
д) организация

9. Что является предметом управленческого труда?
а) материальные ресурсы
б) информация
в) технология производства

10. Система управления – это:
а) совокупность действий, определяющих направление управленческой деятельности
б) совокупность взаимосвязанных элементов в пространстве
в) субъект управления организацией, имеющей иерархическое строение

11. Организация в менеджменте – это:
а) процесс взаимодействия людей для реализации определенных целей
б) интегрированной целое
в) собрание независимых специалистов
г) объединение экспертов

12. Система характеризуется следующими элементами:
а) входом
б) процессом
в) ценой
г) выходом

13. Внутренняя среда организации – это:
а) люди
б) информационные связи
в) конкуренты
г) законы

14. Основной задачей организации является:
а) совершенствование структуры управления
б) увеличение прибыли
в) внедрение инноваций
г) производство продукции и услуг

15. Что характеризует систему управления?
а) помещение
б) прямые связи
в) обратные связи
г) субъект управления
д) объект управления
е) длительность работы

16. Что такое миссия организации?
а) предназначение фирмы
б) микрокультура фирмы
в) структура управления фирмой

17. Цели в системе управления подразделяются на:
а) качественные
б) количественные
в) комплексные

18. Качественные цели определяются с помощью:
а) метода моделирования
б) метода экспертных оценок
в) метода стоимостного анализа

19. Главная задача формирования целей организации:
а) построение совершенной структуры управления
б) построение функциональных подразделений
в) четкое распределение обязанностей исполнителей и руководителей в подразделениях

20. Что представляет собой понятие «функция управления»?
а) одна из характеристик процесса управления
б) подразделение в системе управления
в) документация в системе управления

21. Планирование – это:
а) управленческая функция
б) сфера деятельности
в) объект управления

22. Регулирование – это:
а) стадия процесса управления
б) управленческая функция
в) норма управляемости

23. Учет – это:
а) сфера деятельности
б) цикл принятия решений
в) управленческая функция

24. Общие функции присущи:
а) крупным корпорациям
б) дочерним компаниям
в) малым предприятиям

25. Специфические функции присущи:
а) производственным предприятиям
б) промышленным предприятиям
в) банкам

26. Мотивация относится к управлению:
а) оборудованием
б) трудовыми ресурсами
в) продуктом

27. Мотивация – это:
а) общая функция
б) специфическая функция
в) социально-психологическая функция

28. Как можно использовать стратегическое планирование для совершенствования управления?
а) повысить оплату труда служащих
б) установить более современные цели и информировать о них служащих
в) усовершенствовать коммуникации

29. Стратегическое планирование – это:
а) процесс выбора целей
б) процесс выбора структуры
в) процесс выбора решений

30. Показатели достижения целей:
а) уровень прибыли
б) общий объем продаж
в) зарубежные инвестиции

31. Стратегические планы разрабатываются:
а) индивидуально
б) в пределах отдельного подразделения
в) общефирменными усилиями

32. Современные организации, как правило:
а) многоцелевые
б) одноцелевые
в) бесцелевые

33. На процесс планирования влияют:
а) внешняя среда
б) внутренняя среда
в) культура фирмы

34. Основой существования организации является:
а) мотивация сотрудников
б) миссия
в) корпоративная культура

35. Корректировка целей производится:
а) до выявления степени достижения целей
б) после выявления достижения целей
в) в процессе выявления достижения целей

36. Реализация целей предусматривает:
а) закрепление целей за каждым исполнителем
б) установление графика выполнения работ
в) контроль выполнения целей

37. Основные требования, предъявляемые к целям:
а) конкретность
б) измеримость
в) достижимость

38. Организация в менеджменте представляет:
а) конкретную форму объединения
б) объединение функций
в) объединение решений

39. Структура управления – это:
а) количество уровней и подразделений
б) количество сотрудников
в) количество управленческих процедур

40. При создании структуры управления учитывают:
а) численность управленческого аппарата
б) норму управляемости
в) прямые и обратные связи
г) должностные инструкции

41. Преобладание горизонтальных связей характерно для:
а) матричной структуры
б) линейной структуры
в) функциональной структуры

42. Квалификационные требования к руководителям в матричной структуре:
а) высокие
б) менее высокие
в) низкие

43. Ориентация на продукт в линейной структуре:
а) сильная
б) слабая
в) никакая

44. Специализация в матричной структуре:
а) высокая
б) низкая

45. Что называется организационными полномочиями?
а) возможность самостоятельно принимать решения
б) право давать указания и приказы подчиненными
в) возможность переложить на других свои обязанности
г) право распоряжаться ресурсами организации

46. Наличие полномочий обязательного согласования означает право:
а) давать советы руководителю
б) отклонять принятые решения
в) корректировать принятые решения
г) добиваться внесения изменений в проекты решений

47. Какому типу полномочий соответствует право отклонять решения линейного руководителя?
а) линейные
б) обязательного согласования
в) параллельные
г) аппаратные

48. Какими причинами вызваны проблемы в процессах делегирования организационных полномочий?
а) психологическими
б) экономическими
в) организационными
г) юридическими
д) верно А и Г
е) верно А, Б, В
ж) всеми перечисленными причинами

49. Принцип единоначатия означает, что:
а) все работники организации подчиняются только ее руководителю
б) работник должен иметь только одного непосредственного руководителя и только от него получать распоряжения
в) менеджер высшего ранга на должен давать распоряжений работникам, минуя их непосредственного начальника
г) верно Б и В
д) в организации должно быть как можно меньше руководителей

50. Что понимается в менеджменте под организационными коммуникациями?
а) технические средства передачи информации
б) процесс передачи информации
в) средства связи, используемые работниками организации
г) процессы обмена информацией между людьми
д) информационные потоки между подразделениями организации

51. Какие из перечисленных утверждений соответствуют истине?
а) необходимость принимать решения возникает в ситуации выбора
б) принятие решений вызывается необходимостью
в) принятие решений связано с изменением целей управления

52. Какие из перечисленных условий соответствуют вероятностным решениям?
а) условия определенности
б) условия неопределенности
в) условия риска
г) условия риска и неопределенности
д) ни одно из перечисленных условий

53. В практике менеджмента большинство решений являются:
а) детерминированными
б) вероятностными
в) формализованными
г) корректируемыми
д) однокритериальными
е) стратегическими
ж) документированными

54. Что понимается под технологией принятия решений?
а) состав и последовательность операций по разработке и выполнению решений
б) методы разработки альтернатив и обоснования решений
в) верно А и Б
г) экспертные методы разработки решений

55. Что означает понятие «чистый риск»?
а) все издержки, связанные с решением, минус вероятностная прибыль
б) вероятность получения убытка или нулевого результата
в) количественная оценка вероятности получения запланированной прибыли, очищенная от случайных колебаний
г) правильных ответов нет

56. Какие из перечисленных видов рынка не относятся к группе инвестиционных?
а) инновационный риск
б) инфляционный риск
в) производственный риск
г) риск ликвидности
д) кредитный риск
е) системный риск
ж) политический риск

57. Является ли формирование в организации специальных резервных или страховых фондов способом снижения уровня риска?
а) да, является
б) является, если размер фонда соответствует величине возможных потерь
в) не является
г) вопрос поставлен не корректно

58. Как называется графическое изображение зависимости вероятности потерь от их величины
а) кривая риска
б) зона риска
в) область риска
г) кривая потерь

59. Интеграция управления – это:
а) координация деятельности
б) реформирование организации
в) объединение усилий всех подразделений организации
г) синтез технологических процессов

60. Внутрифирменная интеграция включает:
а) экономическую интеграцию
б) культурную интеграцию
в) вертикальную интеграцию
г) горизонтальную интеграцию
д) информационную интеграцию

61. Основными инструментами (механизмами) интеграции выступают:
а) инвестиционная деятельность
б) контроль
в) стимулирование
г) деятельность руководства

62. Этика – это:
а) моральные требования с стилю руководителя
б) норма поведения
в) адаптирование к практическим нуждам управления
г) нравственные принципы и нормы поведения к облику личности

63. Какой стиль управления является наиболее эффективным?
а) автократический
б) демократический
в) индивидуальный
г) самоустранение
д) в зависимости от ситуации

64. О каком типе руководителя говорят: «Он подобен устаревшей системе отопления, выделяет энергию, не заботясь об окружающем климате?»
а) руководитель либерал
б) руководитель демократ
в) руководитель автократ
г) руководитель бюрократ
д) руководитель, сочетающий демократический и либеральный стили
е) руководитель, сочетающий автократический (авторитарный) стиль и либеральный

65. Из перечисленных типов выделите три наиболее важных типа руководителя:
а) «Соломон»
б) имитатор
в) трудоголик
г) рационалист
д) новатор
е) профессионал
ж) стратег
з) лидер
и) «рачительный хозяин»

66. Определите вид полномочий: полного, ограниченного, нулевого делегирования, делегирования наоборот.
а) полное делегирование
б) ограниченное делегирование
в) нулевое делегирование
г) делегирование наоборот

67. Шахтеры в очередной раз провели забастовку, добиваясь повышения заработной платы. Какой вариант заработной платы усилит социальную напряженность?
а) до уровня прожиточного минимума
б) до уровня средней заработной платы
в) не может быть поднята

68. Эффективность управления – это:
а) уровень затрат
б) увеличение выпуска товаров
в) сокращение времени
г) сопоставлении затрат и результатов

69. Качественные показатели эффективности включают:
а) повышение квалификации менеджеров
б) уровень организации культуры
в) сокращение трудоемкости управления
г) сокращение численности

70. К чему относится понятие «Эффективность управления»?
а) к объекту управления
б) к субъекту управления
в) к технологии производства
Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).
Чтобы скачать бесплатно Тесты на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.
Важно! Все представленные Тесты для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.
Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.
Если Тест, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, сообщите об этом нам.
Добавить отзыв могут только зарегистрированные пользователи.
studrb.ru
Тест с ответами на тему предмет менеджмента
1. Менеджмент — это:
а) Деятельность по управлению организацией в условиях рынка.
+б) Управление, направленное на прибыльность.
в) Особая область научных знаний и профессиональной специализации управленцев, составляющих административный штат организации.
г) все ответы верны
2. Предприниматель по-вашему тоже, что и:
а) Менеджер.
б) Начальник отдела в организации.
в) Продавец в магазине.
+г) Человек, который берет на себя риск по организации собственного дела, внедрению идеи или продукта.
3. Предприниматель — это человек,
а) принимает решение и стремится во что бы его выполнить, полагаясь на классические методы управления;
+б) принимает решения и стремится достичь цели, проявляя гибкость, рискуя, отказываясь от нежизнеспособных идей;
в) ищет новые возможности в бизнесе, но не желает рисковать собственным капиталом;
г) предпочитает децентрализации в управлении, не использует неформальные связи
4. Определить, что такое объект управления?
+а) человек или группа людей, которыми управляют;
б) аппарат управления;
в) люди, которые занимаются управлением;
г) люди, которые выполняют определенные задачи.
5. Методы, направленные на детализацию планов, регулирование производственного процесса и хозяйственной деятельности, обеспечения четких действий аппарата управления и слаженной работы всех подразделений предприятия, — это:
а) организационные методы управления;
+б) оперативно-распорядительные методы управления;
в) экономические методы управления.
г) стратегические методы управления.
6. Принципы менеджмента определяют:
а) способы деятельности членов организации;
б) правила взаимодействия между членами организации;
в) нормы управленческой деятельности;
г) отношения, в соответствии с которыми должна создаваться, функционировать и развиваться система управления;
д) правильно все вышесказанное;
+е) правильно только а) и б).
7. Функции менеджмента это:
а) То же, что и процесс управления;
+б) Относительно обособленные направления управленческой деятельности, с помощью которых осуществляется управляющее воздействие для достижения целей организации.
в) Процесс создания структуры предприятия.
г) Нет правильного ответа.
8. Какие понятия из следующих не соответствуют определению организации как системы?
а) синегризм;
б) симбиоз;
в) взаимосвязь между отдельными элементами, каждый из которых выполняет определенную функцию;
г) гомеостатичность;
+д) зависимость от внешней среды;
е) динамическое равновесие.
9. К элементам среды непрямого действия в менеджменте относятся:
а) поставщики, потребители, конкуренты, законы и государственные органы;
б) трудовые ресурсы;
+в) международные события, состояние экономики, НТП, политические факторы;
г) все выше перечисленное.
10. К признакам организации относятся:
а) Систематизация, упорядочения, построение организационной структуры управления.
+б) Цели, обособленность, внутриорганизационные центр, организационная культура, внутренняя среда, внешняя среда.
в) Гибкость, планомерность, научность, специализация, последовательность, целеустремленность.
г) Все вышеперечисленное.
11.Принципами менеджмента являются:
+а) научность в сочетании с элементами искусства, функциональная специализация в сочетании с универсальностью, оптимальное сочетание централизованного регулирования и самоуправления, целеустремленность, последовательность, непрерывность.
б) Организация, планирование, мотивация, контроль, координация.
в) Администрирование, организованность, экономичность, специальность.
г) Все вышеперечисленное.
12. Жизнь организации подчиняется определенным законам, к которым относятся:
а) законы специализации, интеграции, оптимального сочетания, централизации и децентрализации управления, демократизации, экономии времени.
+б) законы дополнения, сохранения пропорциональности, самосохранения, информированности, необходимого разнообразия, онтогенеза, синергии.
в) экономические.
г) все вышеперечисленные.
13 Ситуационный подход к управлению основывается на предположении, что пригодность и эффективность различных методов управления определяется:
а) системой отношений, которая сложилась в коллективе;
+б) ситуацией, в которой оказалась организация;
в) совершенством владения менеджером приемами и методами управления.
г) уровнем риска при принятии решений.
14. Термин «управление» означает:
а) последовательность действий менеджера;
+б) осознанную, целенаправленную деятельность человека, с помощью которой он упорядочивает и подчиняет элементы внешней среды общества, живой и неживой природы, техники;
в) систему научных знаний, составляющих теоретическую базу практики управления;
г) использование объективных законов экономического развития.
15. Цели управления классифицируются по следующим признакам:
а) экономическом, социальном, отраслевом.
+б) По содержанию, уровням управления, времени, масштаба.
в) в отношении уровней управления.
г) Все перечисленное
16. Цель управления это:
а) Конечный пункт всего процесса управления.
+б) Конкретный, конечное состояние или желаемый результат объекта управления.
в) Оптимизация деятельности объекта управления по достижению миссии организации.
г) Тоже, что стратегия управления.
17. Управленческие задачи с помощью экономико-математических методов и моделей решает:
а) школа научного управления;
б) административная школа управления;
+в) школа науки управления;
г) школа системного управления;
д) школа эмпирического управления.
18. Системный подход к управлению основывается на представлении об организации как:
а) закрытую систему, ориентированную на длительное существование благодаря безупречной работе каждого из ее элементов;
б) открытую систему, которая является совокупностью взаимосвязанных элементов, ориентированных на достижение целей в условиях меняющейся внешней среды;
+в) систему взаимосвязанных элементов, каждый из которых выполняет одну присущую только ему функцию, которая обеспечивает существование организации в долгосрочной перспективе.
19. Важным вкладом «школы научного управления» в практику управления было:
+а) Систематическое использование средств стимулирования труда с целью заинтересованности персонала в повышении его производительности труда.
б) Создание универсальных принципов управления.
в) Перенос центра внимания в управлении по выполнению задач на отношения между людьми.
г) Применение в управлении математики, статистики и тому подобное.
20. Организация — это группа людей, деятельность которых сознательно или спонтанно координируется для достижения:
а) прибыли;
+б) общей цели;
в) конкурентных преимуществ;
г) рыночных позиций.

testdoc.ru
Тест по менеджменту с ответами

1. Какими чертами характера должен обладать такой архетип управляющего как «администратор»?
(А) Быть общительным и уметь вдохновлять людей на максимальную самоотдачу
(В) Иметь аналитический склад ума
+(С) Быть предельно объективным и полагаться на факты и логику
(D) методичность в работе, прогнозирование будущего
Какой вид планирования используется в производственных системах с непрерывными технологическими процессами?
2. Какие основные факторы участвуют в модели мотивации Виктора Врума?
(А) Потребность в уважении к себе, самоутверждение и в принадлежности к социальной группе
(В) Сложность и напряженность работы и уровень вознаграждения
+(С) Ожидание возможности результата, ожидание возможного вознаграждения от этого результата и ожидание ценности вознаграждения
(D) гигиенические факторы, факторы, связанные с характером и существом работы
3. Реальное влияние при управлении по целям имеют руководители
(А) Среднего уровням
(В) Низшего уровня
(С) Высшего, среднего и низшего уровня
4. Укажите, что характерно для японской компании «Сони» в отношениях между руководителями и подчиненными?
(А) По возможности желательно, чтобы человек всю свою жизнь остался на одном рабочем месте, где он приобретает определенный опыт, что соответственно повышает эффективность работы
+(В) Отсутствие дифференцированного отношения к людям
(С) Для успешной работы в компании важно, какое учебное заведение закончил сотрудник и с какими отметками
(D) при всех положительных качествах свободы дискуссии в большой компании она нарушает режим работы
5. Как следует отнестись к накоплению информации о проблеме?
(А) Чем больше информация, тем лучше
+(В) Избыток информации также вреден, как и ее недостаток
(С) Получение максимума информации о проблеме – обязанность руководителя
(D) избыточный объем информации – залог успеха
6. Какая из человеческих потребностей является главной по теории мотивации Макклелланда?
7. Основные функции управления
(А) Планирование, контроль
+(В) Планирование, организация, мотивация, контроль
(С) Организация, мотивация
(D) организация, мотивация, контроль
8. В качестве примера многозвенной технологии (классификация Томпсона) может являться:
+(А) Сборочная линия массового производства
(В) Банковское дело
9. Пределом использования автоматизации является
(А) Ограниченность наших знаний
(В) Квалификационный уровень обслуживающего персонала
+(С) Невозможность исключения непредвиденных ситуаций
10. Чем характеризуется компромисс при принятии решения?
(А) Установление некоего среднего в результате спора двух сотрудников
+(В) Уменьшением выгоды в одной области с целью уменьшения нежелательных последствий в другом
(С) Принятием решения аудитивно, учитывающего мнения всех заинтересованных сторон
11. Что такое «Социотехническая система» организации с высокой технологией производства?
(А) Всеобщая компьютеризация производства
(В) Развитие социальной сферы
(С) Профессиональный рост работников
+(D) интегрирование персонала и технологии, делегирование ответственности за конечный результат
12. Целью планирования деятельности организации является
(А) Обоснование затрат
(В) Обоснование сроков
+(С) Определение целей, сил и средств
(D) обоснование численности работников
13. Основное отличие открытой системы от закрытой заключается в
(А) Отсутствии упорядоченного взаимодействия между отдельными подсистемами
(В) Наличии взаимодействия отдельных подсистем с внешним миром
(С) Замкнутости элементов системы самих на себя
+(D) наличии взаимодействия с внешней средой
14. Что относится к категории «внутреннего вознаграждения»?
15. Основным правилом при определении уровня зарплаты является:
(А) Определенный законом минимальный уровень
(В) Определенная штатным расписанием ставка
(С) Уровень оплаты в фирмах конкурентах
+(D) абсолютно точное и объектное определение характера вложенного труда и исследующая всесторонняя и беспристрастная его оценка
16. Основным в управлении по целям является выработка целей
+(А) Сверху вниз по цепи инстанций
(С) Снизу вверх и сверху вниз
17. Определите основные характеристики внешней среды для организации
+(А) Все перечисленное
(В) Взаимосвязанность факторов, сложность
(С) Сложность и подвижность
(D) взаимосвязанность и неопределенность
18. Для чего осуществляется делегирование своих полномочий другим руководителям?
+(А) Для оптимального решения комплексной задачи
(В) Для сохранения «группового» стиля работы
(С) Для проверки квалификации рабочих
19. Какой из перечисленных ниже методов распределения обязанностей в организации принят по функциональному признаку?
(А) Созданы филиалы предприятия в пяти городах
+(В) Созданы отделы по производству, маркетингу, кадрам, финансовым вопросам
(С) Созданы цеха на предприятии по производству печенья, шоколадных конфет, карамели
(D) созданы отделы на предприятии, равные по численности
20. Технология непрерывного производства обычно применяется при производстве такой продукции как
(А) Выпуск легковых автомобилей
(В) Производство военной авиатехники
(С) Строительство судов уровня
+(D) переработка нефти, выплавка чугуна
21. К какому типу построения управления относится следующая ситуация: «Строительство трубопровода включает в себя ряд технологических операций: подготовительные работы, земляные работы (устройство траншей), сварочные работы (сварка труб в нитку), изоляция и укладка трубопровода в траншею и др.? Руководство производством каждого вида работ возложено на начальника специального строительного управления. Информация о каждом процессе поступает управляющему строительным трестом, а от него начальнику управления»?
(А) Матричная система управления
(В) Функциональная система управления
+(С) Линейная система управления
22. Какая обратная связь имеет большее значение с точки зрения повышения эффективности коммуникации?
23. Из чего состоит экономический механизм менеджмента?
+(А) Все перечисленное
(В) Внутрифирменное управление, управление производством
(С) Управление персоналом, управление производством
(D) внутрифирменное управление, управление персоналом
24. Планирование действий — это
(А) Создание следующего звена меду постановкой цели и программой ее реализации
(В) Уточнение ролей
(С) Выявление обстоятельств, которые необходимо учитывать для достижения цели
(D) оценка затрат времени для каждой операции
25. Из перечисленных менеджеров: 1. Генеральный директор и члены правления. 2. Руководители самостоятельных органов. 3. Руководители цехов. К высшему звену управления относятся:
26. Поведение, ориентированное на контроль – это
+(А) Действия подчиненных направленные на то, что хочет увидеть руководство при проверке их деятельности
(В) Ориентирование на заниженные цели
(С) Использование того, что контролеры не знают досконально деятельность подчиненных им сотрудников
(D) ориентирование на завышенные цели
27. Что означает «принять решение»?
(А) Перебрать все возможные альтернативы
(В) Перебрать несколько альтернатив, дающих наиболее эффективные возможности решения проблемы
(С) Отдать распоряжение о выборе возможной альтернативы
+(D) отдать распоряжение к реализации конкретного плана
28. Какой из подходов не относится к известным школам в управлении?
(А) Научное управление
(В) Административное управление
+(С) Новая экономическая политика
29. Линейная организация управления позволяет сформулировать управленческую структуру, которая является:
+(С) Стабильной и прочной
30. Почему именно США стали родиной современного управления?
(А) Отсутствие проблем с происхождением, национальностью
(В) Поддержка идеи образования для всех, огромный рынок рабочей силы
(С) Образование монополий
31. Ключевым фактором в любой модели управления являются:
(В) Средства производства
32. На что в первую очередь должна опираться система контроля качества на современном предприятии?
(А) На четко определенные нормы и допущения для конкретных процессов
(В) На оценку качества продукции рабочими в ходе производственного процесса
(С) На жесткий аппарат контроля на выходе продукции
(D) на проверку готовой продукции
33. Целью классической школы управления было создание
(А) Методов нормирования труда
+(В) Универсального принципа управления
(С) Условий трудовой деятельности работников
(D) методов стимулирования производительности труда
34. В чем основное отличие предварительного, текущего и заключительного контроля?
+(В) Во времени осуществления
35. Внешняя среда прямого воздействия на организацию – это:
(А) Акционеры, конкуренты, поставщики
(В) Потребители, торговые предприятия, местные органы
+(С) Все перечисленное
(D) правительственные органы, местные органы
36. Процесс делегирования полномочий включает в себя передачу полномочий от старшего руководителя нижестоящим руководителям на выполнение специальных заданий. Какая ситуация свойственна этому процессу?
(А) Передаются полномочия и ответственность нижестоящему руководителю
(В) Передается ответственность нижестоящему руководителю
+(С) Передаются полномочия нижестоящему руководителю, а всю ответственность продолжает нести старший руководитель
(D) назначается новый, равный по рангу руководитель и ему передается вся ответственность
37. Что должно содержаться в документе «Распределение обязанностей»?
(А) Название должности и отдела, в котором имеется эта должность
(В) Все перечисленное
(С) Описание выполняемых функций, обязанностей и прав
(D) взаимоотношения с руководством, коллегами и подчиненными
38. «Отцом научного управления» часто называют:
(А) А. Файоля – он опубликовал книгу «Общее и промышленное управление», где сформулированы принципы управления, в том числе разделение труда и единство командования
(В) Фрэнка и Лилиан Гильбертов – они выделили семнадцать основных микродвижений рабочих, назвав их терблигами; а также они разработали метод анализа микродвижений, в основу которого была положена кинограмма движений рабочего
+(С) Ф. Тейлора – он пытался обосновать дневную норму рабочего методами хронометража и изучения его трудовых движений
(D) Г. Ганта – он создал график, который позволял планировать, распределять и проверять работу. Этот график явился предшественником системы сетевого планирования ПЕРТ, в которой сейчас используют ЭВМ. Он же знаменит своей системой материального стимулирования за выполненное задание
39. Почему методы прямого принуждения и страха наказания постепенно вытесняются методами социального принуждения?
(А) Стало невыгодно держать большой штат сотрудников
(В) Трудно подготовить менеджера, способного эффективно их использовать
(С) Рабочее движение добилось определенной защищенности рабочих от прямого принуждения
+(D) механизм принуждения перестал обеспечивать развитие производства
40. Каково оптимальное число подчиненных?
(А) Чем больше подчиненных, тем легче работать
41. От какого фактора не зависит тип производственной системы?
(В) От стратегии маркетинга
(С) От вида продукции
+(D) от региональных программ обеспечения занятости
42. Самый трудный и дорогостоящий элемент контроля – это
(А) Выбор стандартов
(В) Выбор подходящей единицы измерения
(С) Выбор критериев
43. Какой из неформальных методов прогнозирования позволяет получать наиболее ценную информацию?
(А) Наглядная информация
+(В) Промышленный шпионаж
(С) Письменная информация
(D) информация в глобальных сетях
44. Технология мелкосерийного или единичного производства обычно применяется в таких компаниях как
(А) Группа людей, объединенная общей целью
(В) Группа людей, владеющая средствами производства
(С) Группа людей, деятельность которых координируется
+(D) группа людей, деятельность которых сознательно координируется для достижения общей цели
46. Является ли управление производительным трудом?
(А) Да, т. к. управление создает новую стоимость
(В) Нет, это всего лишь надзор и контроль
(С) Нет, это всего лишь результат противоречия между наемным трудом и собственником средств производства
+(D) да, поскольку этот вид деятельности неизбежен при высоком уровне специализации производства и призван обеспечить целостность трудового механизма
47. Система контроля в организации обычно состоит из
+(А) Предварительного, текущего и заключительного
(В) Текущего и заключительного
(С) Предварительного и заключительного
48. Цели, которые могут быть использованы в качестве стандартов для контроля отличает следующее:
(А) Высокий моральный уровень
+(В) Временные рамки, конкретный критерий
(С) Использование косвенных проявлений
49. Менеджмент в основном занимается системами
(С) Закрытыми и подсистемами закрытого типа
(D) закрытыми и подсистемами открытого типа
50. Какому типу отношений соответствует взаимоотношения мастера и начальника цеха?
(А) Функциональные отношения
(В) Материальные отношения
+(С) Линейные отношения
(D) отношения управленческого аппарата
51. Какой вид планирования используется в производственных системах с непрерывными технологическими процессами?
(А) Пооперационная функциональная схема
(В) Фиксированная позиционная схема
+(С) Линейная поточная схема
(D) пооперационная и позиционная схемы
52. Из перечисленных пунктов: 1. Выработка четких, кратких целей. 2. выработка целей снизу вверх. 3. реалистичный план, пути его реализации, контроль и оценка результатов и контроль. 4. корректировка принятых планов, оценка результатов и контроль. К основным стадиям управления:
53. Ступени мотивации по Маслоу — это
(А) Потребность развития и признания
+(В) Потребность развития и признания, социальная потребность и потребность в защищенности, основные потребности
(С) Социальная потребность и потребность в защищенности
54. Какая функция не свойственна процессному подходу к управлению по Файолю?
(А) Планирование работ
(В) Организация работ
+(С) Независимость суждений менеджеров по отдельным направлениям (программам)
55. На какие составляющие традиционно делятся задачи организации?
(А) Работа с людьми
(В) Работа с людьми и информацией
(С) Работа с предметами и людьми
+(D) работа с людьми, работа с людьми и информацией и работа с предметами и с людьми
56. Какая последовательность приоритетов позволит фирме добиться успеха:
+(А) Люди – продукция – прибыль
(В) Прибыль – люди – продукция
(С) Продукция – прибыль – люди
57. Что является первоочередной необходимостью успешной работы сотрудника на новом месте?
(А) Соответствие специализации
(В) Справедливое вознаграждение
+(С) Социальная адаптация
58. Сущность ситуационного подхода состоит:
(А) Знание методов профессионального управления доказавших свою эффективность; умение предвидеть последствия применяемых методик и концепций
(В) Правильное интерпретирование ситуации, определение наиважнейших факторов
+(С) Все перечисленное
(D) применение способов действии. вызывающих наименьший отрицательный эффект в данной ситуации, с обеспечением максимальной эффективности
59. Любое предприятие независимо от его правовой формы обязано иметь
(С) Средства, оборудование
(А) Последовательность действий, которые следует предпринять в конкретной ситуации, имеющей тенденцию к повторению
+(В) Гарантия выполнения конкретных действий конкретными способами в специфической единичной ситуации
(С) Конкретно сформулированный опыт прошлого
61. Какими основными чертами должен обладать такой архетип управляющего как «лидер»?
(А) Способность определить место сбоя и принять корректирующие меры
(В) Умение решать личностные конфликты, которые возникают при волевых решениях
(С) Быть общительным
+(D) умение общаться с людьми, способность распознавать потенциал каждого человека и заинтересовывать его в полном использовании этого потенциала
62. Чаще прибегают к ротации в
63. Какова важнейшая функция управления?
(А) Получение максимальной прибыли
(В) Создавать условия для дальнейшего успешного функционирования предприятия
(С) Минимизация налоговых платежей
(D) завоевывание новых рынков сбыта
64. Из перечисленных пунктов: 1. анализ обследования уровня заработной платы. 2. условия на рынке труда. 3. производительность и прибыльность организации. Структура заработной платы определяется с помощью
65. Какой смысл вкладывается в слово «риск» при принятии решений?
(А) Степень значимости проблемы для общей деятельности фирмы
(В) Степень влияния неправильно решенной проблемы на служебное положение руководителя
+(С) Уровень определенности, с которой можно прогнозировать результат
(D) уровень превышения своих полномочий
66. Для того, чтобы быть эффективным контроль должен быть
(В) Постоянно действующим
67. Предварительным контролем финансовых ресурсов организации является
(В) Заключение аудиторской организации
(D) финансовый отчет за прошедший период времени
68. Почему методы прямого принуждения и страха наказания вытесняются методами социального принуждения?
+(А) Механизм принуждения перестал обеспечивать развитие производства
(В) Стало невыгодно содержать большой штат сотрудников
(С) Трудно подготовить менеджера способного эффективно их использовать
(D) рабочее движение добилось определенной защищенности рабочих от прямого принуждения
69. Какая способность менеджера, по Мак-Грегору, приводит к успеху?
+(В) Прогнозирование человеческого поведения
(D) прогнозирование спроса на продукцию
70. В чем заключаются особенности кибернетизации относительно автоматизации?
+(А) Включение в алгоритм этапа использования интеллекта, т. е. способность решать неформализованные задачи и находить выход в непредвиденных ситуациях
(В) Придание машине способности мыслить
(С) Использование электронно-вычислительной техники в сочетании с этапами «мозгового штурма» и экспертных оценок
(D) качественно новый уровень техники и технологии
71. Что называется «социотехническими системами»?
+(А) Люди, участвующие в процессе производства
(С) Станки с программным управлением
(D) компьютерные системы, заменяющие определенное число работников
72. Определите основные этапы построения организации?
(А) Определение характера выполняемой работы
(В) Распределение работы между отдельными позициями менеджмента
(С) Классификация позиций менеджмента, построение на этой основе логических групп управления
+(D) определение характера выполняемой работы. Распределение работы между отдельными позициями менеджмента. Классификация позиций менеджмента, построение на этой основе логических групп управления
73. Из перечисленных пунктов: 1. предоставляет руководству информацию, необходимую для планирования в будущем; 2. сравнение фактически полученных и требуемых результатов; 3. способствует мотивации персонала. К функциям заключительного контроля относится:
74. Какие существуют аспекты человеческой переменной в ситуационном подходе к управлению?
+(А) Все перечисленное
(В) поведение отдельных людей, поведение людей в группах
(С) Характер поведения руководителя, функционирование менеджера в роли лидера
(D) влияние менеджера на поведение отдельных людей и групп
(А) Долгосрочная стратегия
+(В) Краткосрочная стратегия
(С) Среднесрочный план, результаты проявляются через 3-4 года
(D) среднесрочный план, результаты проявляются через 1-2 года
76. Основными компонентами модели коммуникации являются:
(А) Объект, субъект, взаимодействие
+(В) Источник, сообщение, канал, получатель
(С) Объект, субъект, влияние, обратная связь
(D) внешняя среда, внутренняя среда, взаимодействие
77. Какова причина, по которой требуется проверка результата принятого решения?
+(А) Если решение хорошее, вы будете знать, что делать в аналогичной ситуации, если плохое – будете знать, что не следует делать
(В) По точности реализации решения возможна оценка квалификации подчиненных
(С) Проверка надежности административной структуры
(D) проверка надежности экспертной структуры
78. Классическая (административная) школа в управлении ставила своей целью
(А) Рассмотрение администратора как профессии
(В) Согласование работы финансового аппарата на предприятии с производством и маркетингом
(С) Создание нового стиля управления
+(D) создание универсальных принципов управления
79. Целью контроля является
(А) Проверка выполнения плана
(В) Сбор статистических сведений
(С) Усиление зависимости подчиненных
+(D) обеспечение руководства информацией для корректировки плана
80. Какое условие препятствует возникновению формальной организации людей (по Бернарду)?
(А) Способность общаться
(В) Достижение общей цели
+(С) Стремление к свободе действий
81. В чем заключается принцип единства управления?
(А) У любого служащего (работника) может только один руководитель
+(В) Полную и абсолютную ответственность за деятельность всего предприятия должен нести один человек
(С) Число лиц, находящихся в эффективном управлении лимитировано
(D) ответственность за работу коллектива несет группа руководителей
82. В каких случаях обращаются к качественным методам прогнозирования?
(А) Отсутствие возможности получить информацию другими методами
+(В) Нехватка информации, получаемой количественными методами прогнозирования
(С) Сроки, отведенные на решение проблемы, очень ограничены
(D) при отсутствии достаточных средств на проведение прогнозов
83. Отличительной чертой формальной организации является
(А) Отсутствие единства в действиях ее членов
(В) Жесткое давление на ее членов
(С) Наличие должностных инструкций и предписаний
+(D) сознательная координация действий двух или более лиц
84. Пример влияния через разумную веру – это отношение
(А) Рабочего с мастером
(В) Крестьянина и помещика
+(С) Пациента с лечащим врачом
85. Процедура – это
+(А) Последовательность действий, которые следует предпринимать в конкретной ситуации, имеющей тенденцию к повторению
(В) Последовательность конкретных действий, которые следует выполнять в единичной специфической ситуации
(С) Использование опыта прошлого
(D) гарантированное выполнение конкретных действий
86. Конечной целью менеджмента является
(А) Развитие технико-экономической базы фирмы
+(В) Обеспечение прибыльность фирмы
(С) Рациональная организация производства
(D) повышение квалификации и творческой активности работника
87. Каким образом влияние через страх можно использовать в отношении квалифицированных работников?
(А) Запугивания снижением зарплаты
(В) Угрозой увольнения
(С) Угрозой понижения в должности
+(D) запугивая возможность ущемления самолюбия
88. Наиболее частым источником конфликтов при изменении правил и процедур работы является
(А) Ущемление чьих-либо интересов
+(В) Способ, каким руководство сообщает о новых правилах
(С) Нежелание людей изменять сложившийся характер работы
(D) неясность цели, которую преследуют эти изменения
89. Для каких целей в процессе принятия решений используется «мозговая атака»?
(А) Интенсификация мыслительного процесса
(В) Анализ нестандартных решений
+(С) Выявление альтернатив
(D) вовлечение всех участников в процесс принятия решений
90. Какого человека следует выбирать в качестве нового сотрудника в большинстве случаев?
(А) Человека, который симпатичен руководителю своими личностными качествами
(В) Человека, имеющего наилучшую квалификацию для выполнения фактической работы на занимаемой должности
(С) Кандидата, который представляется наиболее подходящим для продвижения по службе
(D) кандидата, который имеет большие потенциальные возможности
91. Чем опасно чрезмерное число подчиненных?
+(А) Потерей управляемости коллектива
(В) Разрастанием бюрократического аппарата
(С) Дублирование усилий
92. Развитию принципов научного управления в США способствовало
(А) Трудолюбие свободных граждан
(В) Поддержка Англии
+(С) Формирование крупных отраслей промышленности и предприятий
93. Какая из перечисленных коммуникационных ролей выполняет функцию передачи сообщений в организации?
94. В чем, по мнению Берхорда, причина возникновения неформальной организации?
(А) Стремление людей к хаосу
(В) Нежелание коллектива работать
(С) Слабость формальной организации
+(D) необходимость защиты от формальной организации
95. Принцип теории «Зет» являющийся приоритетом для повышения производительности труда —
(А) Отказ от увольнений
(В) Ротация кадров
(С) Нацеленность на обеспечение благосостояния всех сотрудников
+(D) участие и руководства и работников в принятии решений, касающихся их работы
96. Высшим достижением школы научного управления является разработка
(А) Методов мотивации труда
(В) Методов математического моделирования
+(С) Анализа рабочих операций
(D) способов психологической совместимости работников
97. Определите принципы, лежащие в основы менеджмента?
(А) Единоначалие, мотивация, лидерство, обратная связь
(В) Научность, ответственность, правильный подбор и расстановка кадров
(С) Экономичность, обратная связь, единоначалие, мотивация
98. Какой вид власти будет наиболее приемлем в исследовательской группе из высококвалифицированных специалистов?
99. При формировании структур управления необходимо принимать во внимание следующее
(А) Сколько может потребоваться уровней управления, насколько формальным должно быть взаимодействие
(В) Степень централизации, все ли вопросы должно решать высшее руководство
(С) Сложность организационной структуры
+(D) количество уровней управления. Степень формальности их взаимодействия. Степень централизма. Сложность организационной структуры
100. Факторы, влияющие на индивидуальное поведение и успешность деятельности – это:
+(А) Все перечисленное
(В) Умственные и физические способности, ценности и взгляды
(D) ценности и притязания, потребности
101. Из каких составляющих складывается менеджмент?
(А) Стратегическое управление, контроль
(В) Оперативное управление
(С) Контроль, оперативное управление
102. Практика управления возникла
(А) В XX веке, в ходе индустриализации промышленности
(В) Вместе с созданием Ф. Тейлором школы управления
+(С) Вместе с объединением людей в организованные группы, например, племена
(D) вместе с возникновением системного подхода
103. Что такое «побуждение»?
(А) Условия, в которых человек вынужден осуществлять конкретную деятельность
+(В) Ощущение недостатка в чем-либо, имеющее определенную направленность и сконцентрированное на достижение цели (желание сделать что-либо)
(С) Принуждение кого-либо к определенной деятельности
(D) создание заинтересованности кого-либо к конкретной деятельности
104. К классификации по типу взаимодействия организации с человеком относится:
(А) Традиционная организация
105. К классификации по типу взаимодействия организации с внешней средой относится:
106. К классификации по типу взаимодействия подразделений в организации относится:
107. Какой тип отношений не характерен для корпоративной культуры в организации?
(А) Монополия и стандартизация в деятельности
(В) Доминирование иерархических властных структур
+(С) Сочетание конкуренции и кооперации в деятельности работников
(D) принцип большинства или старшинства в принятии решений
108. Какие черты не характерны для механистического типа организации?
(А) Узкая специализация в работе
+(В) Амбициозная ответственность
(С) Четкие права и ответственность
109. Теория бюрократии Макса Вебера обосновывает эффективность распределения полномочий в организации по типу:
110. Менеджмент – это наука, изучающая
(А) Рыночные отношения
+(В) Управление интеллектуальными, финансовыми, сырьевыми и материальными ресурсами
(С) Способы финансирования системы здравоохранения
111. К организационным документам не относятся
(А) Штаты учреждений
(В) Порядок и правила деятельности
(С) Уставы учреждений
+(D) объявления о начале распродаж
112. К функциям стратегического уровня управления не относятся:
(А) Проектирование организации
+(С) Учет запасов сырья
113. К функциям оперативного уровня управления не относится:
+(С) Проектирование структуры организации
114. Партисипативность – это
(А) Распределение прибыли в связи с ростом производительности
(В) Проектирование и перепроектирование работ
+(С) Вовлечение работников в анализ проблем и их решения
(D) метод имитации выработки управленческих решений по заданным правилам
115. Организационная структура – это
(А) Искусство управлять интеллектуальными, финансовыми, сырьевым, материальными ресурсами
(В) Вид человеческой деятельности, направленной на удовлетворение потребностей посредством обмена
+(С) Система управления, определяющая состав, взаимодействие и подчиненность ее элементов
(D) метод имитации выработки управленческих решений по заданным правилам в различных производственных ситуациях
116. Одной из основных функций менеджмента является
(А) Наблюдение за ходом производства
(В) Методическое обеспечение принятия решений
(D) издание приказов и распоряжений
117. Какая из перечисленных теорий мотивации не относится к содержательным теориям:
(А) Теория Абрахама Маслоу
+(В) Модель Портера Лоулера
(С) Теория Фредерика Герцберга
118. Процесс побуждения себя и других к деятельности по достижению личных целей или целей организации это:
119. Выполнение работы по принуждению или через экономические стимулы это:
(А) Мотивация по статусу
+(В) Внешняя мотивация
(С) Мотивация по результату
120. «Приступая к выполнению той или иной работы, человек с определенной степенью вероятности ожидает, что затраченные им усилия принесут необходимый результат, который также с той или иной степенью вероятности должен быть замечен руководителем и соответствующим образом вознагражден». Данное положение отвечает:
+(А) Теории ожиданий Врума
(В) Теории Портера Лоуллера
(С) Теории приобретенных потребностей Макклеланда
(D) теории справедливости Адамса
Источник:http://sdalna10.com/24094146

img59.ru
Контрольный тест с ответами по основам менеджмента оранизации
1. Какая функция менеджмента приведена ниже: «Это — процесс сравнения результатов?»
— Планирование
+ Контроль
— Организация
— Мотивация
2. Что является обўектом контроля в менеджменте:
— Результаты работы, методы работы
— Методы труда, непосредственно сотрудники
— Результаты работы, сотрудники как личность
+ Организация, сотрудники
3. Какой вид контроля охарактеризован ниже: «Реализуется через правила, процедуры, поведение. Этот вид контроля используют относительно ресурсов «?
— Итоговый
— Производственный
+ Предыдущий
— Текущий
4. Какой вид контроля охарактеризован ниже: «Осуществляется через систему обратной связи, имеет характер управленческой необходимости, имеет цель, использует внешние ресурсы»?
— предварительный
+ обратной
— итоговый
— текущий
5. С чего начинается работа по принятию управленческих решений?
— Подготовка решения
— Сбор информации
+ Оценка ситуации
— Разработка вариантов решений
6. понимается под управленческим решением?
+ Оценка ситуаций и выбор альтернативы
— Выбор методов дальнейшей работы
— Организация коммуникационного процесса
— Выбор целей и методов их достижения
7. Какой вид контроля характеризуется следующими чертами: «Он необходим для учета возможных будущих ситуаций, а также для обеспечения мотивации»?
+ Итоговый
— Обратная
— Текущий
— предварительный
8. О вид коммуникаций идет речь: «Они возникают между конкретными лицами»?
— организационные
— структурные
+ Межличностные
— межгрупповые
9. Конфликты бывают:
— Доброжелательные
— Делегированные
+ Внутриличностные
— Финансовые
10. О каком виде коммуникаций идет речь ?: «Они определяются характером деятельности, построением, возможностями организации»
— Межличностные
— межгрупповые
+ Организационные
— структурные

11. О какой управленческую категорию идет речь: «Это — способность влиять на отдельные лица и группы работников с целью сосредоточения их усилий на достижение определенных целей»?
— Влияние
— Власть
+ Лидерство
— Авторитет
12. О какой управленческую категорию идет речь: «Это — любой ка поведение одного индивида, которое вносит изменения в поведение, отношения, ощущения другого индивида»?
— Власть
+ Влияние
— Лидерство
— Руководство
13. О какой управленческую категорию идет речь: «Это — возможность влиять на поведение людей, необходимые для эффективной организации»?
— Лидерство
+ Власти
— Влияние
— Авторитет
14. О какой тип власти идет речь: «Базируется на традициях, которые способны удовлетворить потребность исполнителя в защищенности и принадлежности»?
— Эталонная власть
+ Законная власть
— Власть основана на принуждении
— Экспертная власть
15. О какой форме власти идет речь: «Власть, основанная на желании подчиненного быть таким, как его руководитель»?
— Власть основанная на вознаграждении
+ Эталонная власть
— Законная власть
— Экспертная власть
16. В основе любого типа власти лежит воздействие через «умную» веру? Подчиненный сознательно и логично принимает на веру ценность знаний руководителя.
— Власть основана на принуждении
— Законная власть
+ Экспертная власть
— Эталонная власть
17. Какие стили руководства существуют?
— Семейное, авторитарное, демократическое
— Демократическое, анархическое, публичное
+ Либеральное, авторитарное, демократическое
— Невмешательство, либеральное, демократическое
18. Какие последствия обусловливают функциональные конфликты:
+ Повышение эффективности деятельности организации
— Ослабление сотрудничества между работниками
— Увеличение враждебности между субўектамы конфликта
— Улучшение морального климата в коллективе
19. Какие виды конфликтов различают?
— Аналогичные, физические, внутриличностные, межгрупповые
— Между группой и личностью, межгрупповые, самобытные, биологические
+ Межличностные, межгрупповые, внутриличностные, между группой и личностью
— Коллективные, самобытные, межличностные, внутриличностные
20. Как называются последствия конфликтов, если не оказалось возможным найти эффективный путь решения конфликта?
— Дисфункциональные
+ Нейтральные
— функциональные
— Посторонние
21. Какая группа методов решения конфликтов относится к структурным?
+ Разъяснение требований к работе, установление общих организационных комплексных целей, система вознаграждений, координационные и интеграционные механизмы
— Система вознаграждений, компромисс, принуждение, разъяснения требований к работе
— Сглаживание, установление общих организационных комплексных целей, уход, координационные и интеграционные механизмы
— Система вознаграждений, координационные и интеграционные механизмы, принуждение, разъяснения требований к работе
23. Последствия конфликтных ситуаций, которые приводят к ухудшению ситуации
— функциональные
— Нейтральные
+ Дисфункциональные
— Авторитарные
testdoc.ru
Тест с ответами по дисциплине менеджмент организации для студентов
1. В практике менеджмента при подборе персонала организации применяют следующие группы методов…
1 +Прогностические
2 Графические
3 +Практические
4 Математические
2. К основным этапам карьеры в управлении персоналом организации не относится…
1 Этап зрелости
2 Адаптационный
3 +Подготовительный
4 Стабилизационный
3. С точки зрения теории менеджмента главная цель системы управления персоналом заключается в …
1 Осуществлении взаимосвязи между системой управления персоналом и требованиями производства
2 Оптимизации соотношения численности работников и производственной системы
3 Анализе трудовых процессов и качества жизни
4 +Обеспечение организации кадрами, их эффективное использование, профессиональное и социальное развитие
4. Согласно теории менеджмента к функциям подсистемы управления наймом и учетом персонала относят следующие …
1 +Организация оценки, отбора и приема
2 Обеспечение безопасных условий труда
3 +Организация найма
4 Разработка штатного расписания
5. В теории менеджмента сигналами кризиса средних лет у руководителя служат сужение сферы жизненных интересов, пассивность, консерватизм и …
1 Способность к расширению и углублению своих знаний
2 +Обращение к прошлому, а не к будущему
3 Работа над новыми и перспективными задачами
4 Способность видеть в подчиненных партнеров по сотрудничеству
6. Согласно теории менеджмента кадровая политика организации предполагает разработку политики по следующим направлениям управления персоналом …
1 Инновационная деятельность
2 Научно-техническая деятельность
3 +Подбор и расстановка
4 +Адаптация, обучение и оценка
7. К функциям кадровой службы относятся …
1 Разработка планов-заданий для рабочих
2 Разработка проектов инновационного развития организации
3 +Разработка норм внутреннего распорядка
4 +Организация и контроль за условиями труда
8. В PEST-анализе внешней среды рассматриваются …
1 Культурные факторы
2 +Политические факторы
3 Демографические факторы
4 +Экономические факторы
9. К элементам, составляющим среду косвенного воздействия на предприятии, относятся…
1 +Международные события
2 Конкуренты
3 Поставщики
4 +Природно-климатические условия
10. С точки зрения практики менеджмента в матричной организационной структуре нарушается управленческий принцип…
1 Корпоративного духа
2 +Единоначалия
3 Дисциплины
4 Подчинения частных интересов общим
11. К основным характеристикам функций управления в менеджменте относится…
1 +Однородность содержания работ в рамках одной функции
2 Обособленность функций друг от друга
3 Значительный объем работ в рамках одной функции
4 Непредсказуемость результата выполнения работ при реализации функции
12. Система контроля в организации должна содержать…
1 Постоянно действующий контроль
2 +Предварительный контроль
3 +Заключительный контроль
4 +Текущий контроль
13. Согласно теории менеджмента бизнес-план как документ начинается со следующих разделов…
1 Финансовый план
2 Оценка рисков
3 +Меморандум о конфиденциальности
4 +Резюме
14. К примерам, в полной мере соответствующим понятию «инструментальный» лидер, относятся следующие …
1 +Сотрудник, который координирует общие усилия по достижению цели в узких вопросах функционирования предприятия
2 +Сотрудник, который берет на себя инициативу в специфических видах деятельности
3 Наиболее авторитетный сотрудник в коллективе
4 Директор предприятия
15. С точки зрения теории и практики менеджмента конфликт в организации должен рассматриваться как…
1 +Явление, которое может, как разрушить организацию, так и способствовать ее развитию
2 Свидетельство неблагополучия организации
3 Позитивное явление
4 Нежелательное явление
16. Все категории работников: постоянные, сезонные, временные, оформленные не менее чем на пять дней, которые официально работают в организации, в данный момент, характеризуются…
1 Штатным расписанием
2 Явочной численностью
3 Нормативной численностью
4 +Списочной численностью
17. Если работник перемещается в другую функциональную область деятельности без перехода на более высокую ступень в организационной иерархии, его карьера является…
1 Параллельной
2 +Горизонтальной
3 Специализированной
4 Вертикальной
18. Теории мотивации в менеджменте подразделяются на две категории…
1 Системные и процессуальные
2 +Содержательные и процессуальные
3 Организационные и процессуальные
4 Сущностные и формальные
19. В практике менеджмента в организации принимают следующие из приведенных ниже экономических решений…
1 +Снижение себестоимости продукции
2 Утверждение штатного расписания
3 +Повышение уровня рентабельности продукции
4 Принятие коллективного договора
20. К методам повышения технологической эффективности управленческих решений относят…
1 +Модернизацию оборудования компании
2 +Автоматизацию производства
3 Расширение социального пакета компании
4 Сокращение затрат предприятия
21. Согласно теории менеджмента двусторонний коммуникативный процесс состоит из последовательных этапов: рождение идеи; кодирование; передача; получение, а затем…
1 Принятие
2 Использование
3 +Декодирование
4 Обратная связь
22. Согласно теории менеджмента в управленческой сетке (решетке) Блейка-Моутона пять лидерских стилей рассматривают в координатах двух факторов, ориентированных на…
1 Делегирование полномочий
2 Разделение труда
3 +Человеческие отношения, людей
4 +Производственный результат (дело)
23. Согласно теории менеджмента индивидуальные решения обладают следующими особенностями…
1 Значительное время принятия
2 +Небольшие затраты времени
3 +Высокая ответственность лиц, принимающих решения
4 Комплексный анализ проблемы
24. В теории менеджмента управленческие решения по степени эффективности на…
1 +Неэффективные
2 Имеющие детерминированный результат
3 Имеющие вероятностный результат
4 +Рациональные и оптимальные
25. Используемые в практике менеджмента эвристические методы соответствуют утверждениям…
1 +Основаны на интуиции и опыте
2 Применяют для решения структурированных задач
3 Основаны на моделировании и статистике
4 +Применяют для решения слабо структурированных задач
26. Согласно теории менеджмента отрицательными сторонами коллективного принятия управленческих решений являются…
1 Многовариантность решения
2 +Нахождение компромиссного решения
3 +Факт подчинения меньшинства мнению большинства
4 Полярность мнений, блокировка инициативы
27. Используемый в практике менеджмента метод «дерева решений» соответствует следующим утверждениям______
1 +Предполагает построение графа возможных состояний и оценку
2 Предполагает ретроспективный анализ деятельности
3 +Относится к графоаналитическим методам
4 Относится к эвристическим методам
28. ________ основа кадрового менеджмента предусматривает профессиональный кадровый маркетинг в вузах и университетах; количественное и качественное планирование должностей; структурирование и планирование расходов на персонал; повышение квалификации кадров.
1 Производственная
2 Организационная
3 +Социально-экономическая
4 Правовая
29. В практике менеджмента средних и малых организаций при построении системы управления персоналом (УП) отмечают следующие особенности ______
1 Формализованная многоуровневая система УП
2 Осуществление всех функций УП на основе аутсорсинга
3 +Компактная структура УП или отсутствие выделенного подразделения
4 +Осуществление большинства функций УП непосредственным руководителем
30. Согласно теории менеджмента при оценке эффективности управления персоналом (УП) выделяют следующие группы показателей______
1 +Уровень удовлетворенности и текучести персонала
2 Затраты на совершенствование технологии
3 +Затраты на программы УП в расчете на 1 работника
4 Фондоотдача
31. В теории менеджмента не выделяют такого вида карьеры как _____
1 Специализированная
2 Внутриорганизационная
3 +Единичная
4 Горизонтальная
liketest.ru
Тесты по менеджменту с ответами
Тесты по менеджменту с ответами
1. Процессуальные теории мотивации:
— ожидания
— справедливости
— теория подкрепления мотива
2. Процессуальные теории мотивации . . .
а) основываются на том, что существуют внутренние побуждения (потребности), которые заставляют человека действовать;
б) анализируют, как человек распределяет усилия для достижения различных целей и как выбирает вид поведения;
в) верно то и другое («а» + «б»).
3. Существующие способы восстановления справедливости:
— уменьшение своего вклада
— увеличение своего вклада
— увеличение отдачи
— уменьшение отдачи
— прекращение взаимоотношения
4. Теория ожидания (Виктора Врума) базируется на следующих основных факторах:
— участие
— валентность
— ожидание
— властвование
— достижение
— инструментальность
5. К содержательным теориям мотивации относятся
— теория потребностей Маслоу;
— теория существования , связи и роста Альдерфера;
— теория приобретенных потребностей Мак Клелланда;
— теория двух факторов Герцберга.
6. Предпосылки теории иерархии потребностей
— люди постоянно ощущают какие-либо потребности
— неудовлетворенные потребности развивают у человека комплекс неполноценности
— группы потребностей находятся в иерархическом расположении друг к другу
— чем выше продвигается человек вверх по пирамиде. Тем меньше у него потребностей
— потребности находящиеся ближе к основанию пирамиды требуют первостепенного удовлетворения
— если одна потребность удовлетворена. То на ее место выходит другая неудовлетворенная
7. Работник, приемлющий существующие в организации нормы и правила поведения и не разделяющий ее цели:
— бунтарь
— приспособленец
— и т.п.
8. К дестабилизирующим факторам при применении стратегии лидерства затрат относят:
— технологические нововведения
— изменение предпочтений потребителей
— уменьшение чувствительности к ценам
— копирование конкурентами методов работы
8. При анализе сильных и слабых сторон фирмы учитываются
— квалификация и компетентность кадров
— позиция на рынке
— наличие инновационных разработок
— изменение уровней доходов потребителей
— финансовые ресурсы предприятия
— репутация предприятия
— активность конкурентов
— возможности и угрозы
9. Внутриорганизационные процессы включают:
— структуру, технологию, кадры
— коммуникацию, координацию
— цели людей
— принятие управленческих решений
10. Главная цель организационной культуры
— поддержание самоидентичности и своеобразия организации
— контроль над персоналом
— формирование благоприятного психологического климата
— воспитание персонала
— создание благоприятного имиджа
11. Развернутая формулировка миссии организации включает (несколько вариантов ответа)
а) главное направление деятельности организации (т.е. какие общественные потребности организация удовлетворяет)
б) указывает на социальную ответственность организации перед обществом
в) указывает на социальную ответственность организации перед работниками и акционерами
12. Стратегии конкурентной борьбы в соответствии с матрицей портера:
— дифференцирование
— лидерство в области затрат
— концентрация на сегменте
13. Конфликт это:
— явление, которое может как разрушить организацию, так и способствовать ее развитию
— сознательное поведение одной из сторон, которое вызывает расстройство интересов с другой стороны
— предельное обострение противоречий
14. Методы создания конструктивного конфликта
— согласование, визирование
— альтернативное проектирование
— приглашение внешних инспекторов (оппонирование)
— принятие решений на основе консенсуса
15. Тип руководителя, который может быть полезен в творческом коллективе с высокой степенью делегирования полномочий:
— середняк
— автократ
— либерал
— холерик
— демократ
— получатель зарплаты
16. Теория справедливости включает следующие аксиомы:
а) справедливость понятие относительное
б) люди оценивают свои взаимоотношения путем сравнения того, что они вкладывают с тем, что они получают
в) не эквивалентность вклада и отдачи свидетельствует о низкой трудовой активности работника
г) люди, неудовлетворенными своими взаимоотношениями из-за низкой отдачи стремятся восстановить справедливость
д) не эквивалентность вклада и отдачи приводит к возникновению беспокойства и внутренних переживаний
17. Анализ внешней среды организации включает
— микро, макро анализ (возможностей и угроз)
— ускорение роста рынка
— увеличение покупательской способности спроса
— выход на новые рынки и сегменты рынка
— расширение производства
— увеличение ассортимента производимой продукции
— благоприятная политика правительства
— спокойное поведение конкурентов
— замедление роста рынка
— изменение потребностей и вкусов покупателей
— рост продаж замещающего продукта
— появление новых конкурентов
— сокращение платежеспособного спроса населения
— рост цен у поставщиков
— неблагоприятная политика правительства
18. Миссия организации – это
— основная общая цель организации
— неключевая задача организации
19. Различают категории ценностей в организации:
— экономические
— религиозные
— политические
— эстетические
— социальные
— теоретические
20. Цели, разрабатываемые по основным видам и направлениям деятельности производственно хозяйственного подразделения называют:
— общие
— производственные
— плановые
— специфические
— перспективные
21. Необходимые рыночные условия эффективного применения стратегии диверсификации
— большая доля предприятия на рынке
— весь рынок
— неповторимость продукта с точки зрения покупателя
22. Работник разделяет цели и ценности организации на не приемлет существующие в ней нормы поведения
— администратор
— получатель зарплаты
— и т.д
— оригинал
23. Либеральный тип руководителя это:
— руководитель, которому свойственно минимальное вмешательство в работу коллектива. Руководитель является посредником, помогает сотрудникам наладить контакт, снабжает подчиненных материалами и информацией
24. После составления возможностей и угроз СВОТ анализа следует оценить:
— перспективы применения стратегий
— конкурентные преимущества
— руководство должно оценить свои внутренние силы, которые позволяют воспользоваться предстоящим возможностям и предотвратить угрозы, выделение сильных и слабых сторон
25. Какие стратегии иллюстрирует матрица Продукт-рынок Анзоффа?
— Концентрированного роста (обработка рынка, развитие рынка, развитие продукта)
— диверсификация
26. Для какого стиля разрешения конфликта характерно стремление кооперироваться с другими, но без внесения в данную кооперацию своего сильного интереса
а) разрешение конфликта силой
б) уход от конфликта
в) компромисс
г) решение конфликта через сотрудничество
д) войти в положение с другой стороны
27. 5 сил поттера
— поставщики
— конкуренты
— потребители
— конкуренция внутри отрасли
— товарозаменители
28. К целям организации предъявляются следующие требования
— должны быть совместимы между собой
— должны быть известны исполнителям
— должны быть достижимы (реальны)
— должны быть конкретны
— должны быть измеримы
— достижимы
— измеримы
— конкретны
— согласованы
— известны
— ориентированы во времени
29. В состав факторов микросреды входят:
— трудовые ресурсы, правительственные институты
— деловые партнеры, посредники, конкуренты
— профсоюзы, акционеры, общественные организации
30. В основе организационной культуры находятся:
— национальные традиции
— разделяемые большинством членов организации убеждения и ценности
31. Процесс стратегического планирования включает:
— миссия
— цель
— среда
— стратегия
— контроль
32. К стратегиям диверсификации относят:
— Стратегию Централизованной (горизонтальной) диверсификации
— Стратегию Вертикальной диверсификации
— Стратегию Конгломерантной (лотеральной) диверсификации
— Горизонтальная диверсификация по традиционным потребностям
— Горизонтальная диверсификация по технологиям
— Вертикальная технологическая цепочка
— Конгломерантная (лотеральная) поточная линия.
33. Анализ среды включает:
— анализ микро окружения
— анализ макро окружения
— анализ внутренней среды организации
34. Стратегии, предполагающие, что расширение фирмы осуществляется за счет добавления новых структур или усилия контроля над ними
— интегрированного роста
— неопределенного роста
— определенного роста
35. Основополагающие цели стратегического управления
— управление персоналом компании;
— разработка стратегических целей организации;
— анализ и оценка ее ресурсов и возможностей;
— подсчет заработной платы сотрудников;
— анализ и оценка тенденций в сфере маркетинговой деятельности;
— оценка и анализ альтернативных путей развития предприятия;
— разработка стратегии на перспективное развитие компании;
— проведение ревизии основных средств предприятия;
— разработка детализированных программ, оперативных планов и бюджетов;
— анализ и оценка деятельности компании на базе ряда критериев, учитывая планы и цели организации.
ecstudent.ru

Конвертировать из docx в doc – Convert DOCX (WORD) to DOC (WORD) (Online & Free) — Convertio

alexxlab / 12.01.202111.06.2019 / Школьная жизнь

Конвертировать DOCX в DOC онлайн, бесплатно преобразовать .docx в .doc

Расширение файла	.doc
Категория файла	documents
Описание	DOC – специальное расширение, соответствующее документам, созданным в текстовом редакторе Microsoft World, до версии 2007 года. В этом формате хранятся сведения о форматировании текстового документа – абзацы, списки, отступы, выравнивания и многое другое. Файлы DOC могут включать в себя не только текстовую информацию, но и многочисленные изображения, графики, сценарии, диаграммы. DOC представляет собой расширение в формате двоичного файла, который начинается с информационного блока, выступающего ключевым элементом всей совокупности файлов данных. Такие двоичные файлы включают в себя довольно большой объем информации о форматировании текстового документа. Традиционно расширение получило широкое распространение для создания документов текстового формата в большом диапазоне ОС. Файлы в этом формате открываются любыми, в том числе современными версиями редактора Word или его аналогами из бесплатных пакетов вроде Open Office, Libre Office или утилитами наподобие Corel WordPerfect.
Технические детали	Первые версии файлового формата DOC приоритетно ориентировались на содержание форматированного текста, но со временем к нему добавилось большое количество встроенных объектов, среди которых встречаются как диаграммы и графики, так и различные медиа-файлы (звуки, видео). Файлы с расширением DOC способны содержать данные о слиянии, благодаря чему шаблон обработки слов может применяться вместе с таблицей либо базой данных.
Программы	Microsoft Word OpenOffice.org Writer IBM Lotus Symphony Apple Pages AbiWord
Основная программа	Microsoft Word
Разработчик	Microsoft
MIME type	application/msword application/kswps

onlineconvertfree.com

Конвертировать DOC в DOCX онлайн, бесплатно преобразовать .doc в .docx

Расширение файла	.doc
Категория файла	documents
Описание	DOC – специальное расширение, соответствующее документам, созданным в текстовом редакторе Microsoft World, до версии 2007 года. В этом формате хранятся сведения о форматировании текстового документа – абзацы, списки, отступы, выравнивания и многое другое. Файлы DOC могут включать в себя не только текстовую информацию, но и многочисленные изображения, графики, сценарии, диаграммы. DOC представляет собой расширение в формате двоичного файла, который начинается с информационного блока, выступающего ключевым элементом всей совокупности файлов данных. Такие двоичные файлы включают в себя довольно большой объем информации о форматировании текстового документа. Традиционно расширение получило широкое распространение для создания документов текстового формата в большом диапазоне ОС. Файлы в этом формате открываются любыми, в том числе современными версиями редактора Word или его аналогами из бесплатных пакетов вроде Open Office, Libre Office или утилитами наподобие Corel WordPerfect.
Технические детали	Первые версии файлового формата DOC приоритетно ориентировались на содержание форматированного текста, но со временем к нему добавилось большое количество встроенных объектов, среди которых встречаются как диаграммы и графики, так и различные медиа-файлы (звуки, видео). Файлы с расширением DOC способны содержать данные о слиянии, благодаря чему шаблон обработки слов может применяться вместе с таблицей либо базой данных.
Программы	Microsoft Word OpenOffice.org Writer IBM Lotus Symphony Apple Pages AbiWord
Основная программа	Microsoft Word
Разработчик	Microsoft
MIME type	application/msword application/kswps

onlineconvertfree.com

Как конвертировать DOCX в DOC

Предназначение текстовых файлов формата DOCX и DOC практически идентично, но, тем не менее, далеко не все программы, которые умеют работать с DOC, открывают более современный формат – DOCX. Давайте разберемся, как произвести преобразование файлов из одного вордовского формата в другой.

Способы конвертирования

Несмотря на то, что оба формата являются разработкой компании Microsoft, с DOCX умеет работать только Ворд, начиная с версии Word 2007, не говоря уже о приложениях других разработчиков. Поэтому вопрос конвертирования DOCX в DOC стоит довольно остро. Все пути решения данной проблемы можно разбить на три группы:

Использование онлайн-конвертеров;
Применение программ для конвертирования;
Использование текстовых процессоров, поддерживающих оба эти формата.

Две последние группы способов мы и обсудим в данной статье.

Способ 1: Document Converter

Начнем с разбора действий по переформатированию с использованием универсального текстового конвертера AVS Документ Конвертер.

Инсталлировать Document Converter

Запустив Документ Конвертер, в группе «Выходной формат» нажимайте по «В DOC». Кликайте «Добавить файлы» в центре интерфейса приложения.
Есть вариант сделать щелчок по надписи с таким же наименованием рядом с пиктограммой в форме знака «+» на панели.
Также можете задействовать Ctrl+O или перейти по «Файл» и «Добавить файлы…».

Открывается окошко добавления исходника. Перейдите туда, где помещен DOCX, и обозначьте этот текстовый объект. Жмите «Открыть».
Также добавить исходник для обработки юзер может, перетащив из «Проводника» в Document Converter.

Содержимое объекта отобразится через интерфейс программы. Чтобы указать, в какую именно папку будут отправлены преобразованные данные, нажимайте «Обзор…».

Открывается оболочка выбора каталогов, отметьте ту папку, где будет базироваться трансформированный документ DOC, после чего нажмите «OK».

Теперь, когда в области «Выходная папка» появился адрес хранения преобразованного документа, можете запускать процесс конвертирования, нажав «Старт!».

Выполняется преобразование. Его прогресс отображается в процентном отношении.

После окончания процедуры появляется диалоговое окошко, где отображается информация об успешном выполнении задачи. Также появляется предложение переместиться в каталог размещения полученного объекта. Нажимайте «Откр. папку».

Запустится «Проводник» там, где помещен объект ДОК. Юзер может выполнять над ним любые стандартные действия.

Главным недостатком этого метода является то, что Документ Конвертер – это не бесплатный инструмент.

Способ 2: Convert Docx to Doc

Конвертер Convert Docx to Doc специализируется исключительно на переформатировании документов в обсуждаемом в этой статье направлении.

Скачать Convert Docx to Doc

Запустите приложение. В появившемся окошке, если вы используете пробную версию программы, то просто жмите «Try». Если же вы приобрели платную версию, то введите код в поле «License Code» и нажимайте «Register».

В открывшейся оболочке программы нажимайте «Add Word».
Также можете использовать другой метод перехода к добавлению исходника. В меню жмите «File», а затем «Add Word File».

Запускается окошко «Select Word File». Перейдите в область нахождения объекта, обозначьте и нажимайте «Открыть». Можете выбрать сразу несколько объектов.

После этого наименование выбранного объекта отобразится в основном окне Convert Docx to Doc в блоке «Word File Name». Обязательно проследите, чтобы напротив наименования документа была поставлена галочка. В случае отсутствия установите её. Для выбора, куда будет отправлен конвертированный документ, нажимайте «Browse…».

Открывается «Обзор папок». Перейдите в область нахождения каталога, куда будет отправлен документ ДОК, отметьте его и кликайте «OK».

После отображения выбранного адреса в поле «Output Folder» можете переходить к запуску процесса конвертирования. Указывать направление преобразования в изучаемом приложении не нужно, так как оно поддерживает только одно направление. Итак, для запуска процедуры конвертирования нажимайте «Convert».

После выполнения процедуры конвертирования появится окошко с сообщением «Conversion Complete!». Это означает то, что задача успешно выполнена. Остается нажать только на кнопку «OK». Отыскать новый объект DOC можно там, куда ссылается ранее прописанный пользователем адрес в поле «Output Folder».

Несмотря на то, что этот метод, как и предыдущий, предполагает использование платной программы, но, тем не менее, Convert Docx to Doc можно использовать бесплатно на протяжении тестового периода.

Способ 3: LibreOffice

Как уже было сказано выше, выполнять преобразование в указанном направлении могут не только конвертеры, но и текстовые процессоры, в частности Writer, входящий в пакет LibreOffice.

Запустите LibreOffice. Нажмите «Открыть файл» или задействуйте Ctrl+O.
Кроме того, можете воспользоваться меню, переместившись по «Файл» и «Открыть».

Активируется оболочка выбора. Там требуется переместиться в ту файловую область винчестера, где располагается документ DOCX. Отметив элемент, кликайте «Открыть».
Кроме того, если вы не хотите запускать окно выбора документа, то можно выполнить перетягивание DOCX из окна «Проводника» в стартовую оболочку LibreOffice.

Каким бы образом вы не действовали (путем перетягивания или открытия окна), запустится приложение Writer, в котором отобразится содержимое выбранного документа DOCX. Теперь нам нужно будет преобразовать его в формат DOC.

Жмите по позиции меню «Файл» и далее выбирайте «Сохранить как…». Вы также можете задействовать Ctrl+Shift+S.

Активируется окошко сохранения. Перейдите туда, где собираетесь разместить преобразованный документ. В поле «Тип файла» выберите значение «Microsoft Word 97-2003». В области «Имя файла» при необходимости можно сменить наименование документа, но делать это не обязательно. Нажимайте «Сохранить».

Отобразится окошко, где говорится о том, что выбранный формат может не поддерживать некоторые стандарты текущего документа. Это действительно так. Некоторые технологии доступные в «родном» формате Либре Офис Райтер, формат DOC не поддерживает. Но в подавляющем большинстве случаев на содержимом преобразовываемого объекта это мало отражается. К тому же, исходник все равно останется в прежнем формате. Так что смело жмите «Использовать формат Microsoft Word 97 – 2003».

После этого содержимое преобразовано в ДОК. Сам объект помещен там, куда ссылается адрес, заданный пользователем ранее.

В отличие от ранее описанных способов, данный вариант переформатирования DOCX в DOC бесплатный, но, к сожалению, с его помощью выполнить групповое конвертирование не получится, так как придется преобразовывать каждый элемент отдельно.

Способ 4: OpenOffice

Следующим текстовым процессором, который умеет преобразовывать DOCX в DOC, является приложение, тоже именующееся Writer, но входящее в OpenOffice.

Запустите начальную оболочку Оупен Офис. Нажмите по надписи «Открыть…» или задействуйте Ctrl+O.
Можете задействовать меню, нажав «Файл» и «Открыть».

Запускается окно выбора. Перейдите к целевому DOCX, отметьте и жмите «Открыть».
Как и при использовании предыдущей программы, тут также выполнимо перетягивание объектов в оболочку приложения из файлового диспетчера.

Указанные выше действия приводят к открытию содержимого документа ДОК в оболочке Оупен Офис Райтер.

Теперь переходим к процедуре преобразования. Жмите «Файл» и переходите по «Сохранить как…». Можно задействовать Ctrl+Shift+S.

Открывается оболочка сохранения файла. Переместитесь в место, где желаете хранить DOC. В поле «Тип файла» обязательно выберите позицию «Microsoft Word 97/2000/XP». При необходимости можно сменить название документа в области «Имя файла». Теперь жмите «Сохранить».

Появляется предупреждение о возможной несовместимости некоторых элементов форматирования с выбранным форматом, аналогичное тому, которое мы видели при работе с LibreOffice. Жмите «Использовать текущий формат».

Файл преобразуется в DOC и будет храниться в директории, которую указал юзер в окошке сохранения.

Способ 5: Word

Естественно, что преобразовывать DOCX в DOC умеет и текстовый процессор, для которого оба эти формата являются «родными» – Microsoft Word. Но стандартным способом он может это делать, только начиная с версии Word 2007, а для более ранних версий нужно применять специальный патч, о котором мы поговорим в конце описания данного способа преобразования.

Установить Word

Запустите Майкрософт Ворд. Для открытия DOCX жмите по вкладке «Файл».

После перехода нажимайте «Открыть» в левой области оболочки программы.

Активируется окошко открытия. Необходимо перейти в место расположения целевого DOCX и после того, как он будет отмечен, нажать «Открыть».

Содержимое DOCX откроется в Ворде.

Чтобы преобразовать открытый объект в DOC, опять перемещаемся в раздел «Файл».

На этот раз, перейдя в названный раздел, нажимайте в левом меню по пункту «Сохранить как».

Будет активирована оболочка «Сохранение документа». Перейдите в ту область файловой системы, где вы хотите хранить конвертированный материал после завершения процедуры. В области «Тип файла» выберите позицию «Документ Word 97 – 2003». Наименование объекта в области «Имя файла» пользователь может изменять исключительно по своему желанию. После выполнения указанных манипуляций для реализации процесса сохранения объекта нажимайте кнопку «Сохранить».

Документ сохранится в формате DOC и расположится там, где вы указали до этого в окошке сохранения. При этом, его содержимое будет отображено через интерфейс Ворд в режиме ограниченной функциональности, так как формат DOC считается компанией Microsoft устаревшим.
Теперь, как и обещали, поговорим о том, что делать пользователям, использующим Word 2003 или более ранних версий, которые не поддерживают работу с DOCX. Чтобы решить вопрос совместимости, достаточно скачать и установить специальный патч в виде пакета совместимости на официальном веб-ресурсе компании Microsoft. Более подробно об этом вы можете узнать из отдельной статьи.
Подробнее: Как открыть DOCX в MS Word 2003
Проделав описанные в статье манипуляции, вы сможете запускать DOCX в Word 2003 и более ранних версиях стандартным способом. Чтобы преобразовать предварительно запущенный DOCX в DOC, достаточно будет провести ту процедуру, которую мы описывали выше для Word 2007 и более новых версий. То есть, перейдя по пункту меню «Сохранить как…», нужно будет открыть оболочку сохранения документа и, выбрав в данном окне тип файла «Документ Word», нажать на кнопку «Сохранить».

Как видим, если пользователь не желает использовать онлайн-сервисы для конвертирования DOCX в DOC, а совершать данную процедуру на компьютере, не применяя интернет, то можно воспользоваться либо программами-конвертерами, либо текстовыми редакторами, работающими с обоими типами объектов. Безусловно, для одиночного преобразования, если у вас есть под рукой Microsoft Word, лучше использовать именно эту программу, для которой оба формата являются «родными». Но программа Ворд является платной, поэтому те пользователи, которые не желают её приобретать, могут воспользоваться бесплатными аналогами, в частности входящими в офисные пакеты LibreOffice и OpenOffice. Они мало в чем уступают в данном аспекте Ворду.

Но, если нужно произвести массовое конвертирование файлов, то использование текстовых процессоров покажется очень неудобным, так как они позволяют преобразовать только один объект за раз. В этом случае рациональным будет применение специальных программ-конвертеров, поддерживающих указанное направление преобразования и позволяющих обрабатывать одновременно большое количество объектов. Но, к сожалению, конвертеры, которые работают по данному направлению конвертирования, практически все без исключения платные, хотя некоторые из них и можно использовать бесплатно ограниченный пробный период.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
ДА НЕТ
lumpics.ru
Конвертировать docx в doc онлайн – обзор конверторов для Word
Появление новых форматов документов частенько ставит в затруднение офисных работников старой закалки. Большинство клерков привыкают работать на старых версиях программного обеспечения для создания и редактирования документов, в этом случае я имею в виду Microsoft Word 2003. Данная версия Word поддерживает формат документа только с разрешением doc и никак иначе.
Но на сегодняшний день большинство современных и крупных организаций перешли на более современные версии текстовых процессоров Microsoft Word, начиная с 2007, которые поддерживают новый формат документов – docx. И из-за этого часто возникает проблема открытия электронных документов на старых версиях программного обеспечения. И что теперь покупать новый пакет MS Word? Ответ: Нет! Есть простой выход из данной проблемы – конвертировать docx в doc.
И вот слова, которые взбодрят вас:
Надоело получать эти противные документы Microsoft Word с таким неприятным расширением docx? Если у вас нет Office 2007 — 2013, это может стать реальной проблемой, поскольку формат не имеет обратной совместимости. К счастью, существую бесплатные онлайн сервисы, которые позволяют конвертировать эти файлы с расширением docx.
Есть множество онлайн конвертеров для преобразования документов из одного формата в другой. И я бы хотел упомянуть некоторые из них, а дальше вам решать каким из них воспользоваться.
DOCX в DOC конвертер Convert Online
Convert DOCX to DOC Online Free – простой и бесплатный конвертер документов, который специализирован только для документов Word. С помощью этого сервиса можно конвертировать docx в doc онлайн, несколькими кликами компьютерной мышки.
Загружаем страницу сервиса и проделываем 2 шага:
Загружаем документ с расширением docx, нажав на кнопку Browse;

В специальное поле вводим свою электронную почту (на которую пройдёт письмо с вложением конвертированного документа в формате doc) и нажимаем на кнопку Send.

Если же у вас нет желания вводить свою электронную почту, то можно воспользоваться временной почтой или следующими сервисами.
Standard Converter — бесплатная конвертация из DOCX в DOC и XLSX в XLS
STANDARD CONVERTER (Конвертер Стандард) – бесплатный конвертор онлайн, который может конвертировать не только документы Word, но текстовые файлы, PDF, документы Open Office и Libre Office, а также страницы HTML в другие форматы. Но нас интересует больше «docx в doc». Открываем страницу сервиса Конвертер Стандард. Загружаем документ (нажать на кнопку Обзор) и нажимаем на кнопку Convert. Через 5 секунд начинает загружаться документ (уже в формате doc) на компьютер. Остается подтвердить сохранение.
Помимо этого, онлайн конвертор Standard Converter поддерживает:
MS Office 2003/2007/2010/2013 (DOC, DOCX, XLS, XLSX, PPT, PPTX) в PDF.

MS Office 2007/2010/2013 (DOCX, XLSX, PPTX) в МС Офис 2003 (DOC, XLS, PPT).

Open Office/Libre Office (ODT, ODS, ODP) в PDF.

Open Office/Libre Office (ODT, ODS, ODP) в МС Офис 2003 (DOC, XLS, PPT).

Текст (TXT) в PDF.

Интернет страницы (HTM, HTML) в PDF.

PDF в МС Офис 2003 (DOC).

Мощный онлайн конвертер — Online Convert
Online Convert — это онлайн сервис, являющийся одним из самых мощных онлайн конвертеров, которому по плечу практически любые преобразования файлов (на этой странице можно почитать о нем подробнее). Документы, изображения, видео, аудио и прочие файлы могут быть конвертированы из одного формата в другой быстро и бесплатно, самое главное, чтобы у вас был высокоскоростной интернет. И конвертировать документ docx в doc формат тоже для него не проблема.
Выбираем и загружаем документ, который хотим преобразовать в doc, также можно указать на него ссылку (вставив URL документа в специальное поле). Далее нажимаем на кнопку Преобразовать файл. Загружаем файл себе на компьютер. На данной странице можно конвертировать файлы по следующим направлениям: DOCX в DOC, TXT в DOC, HTML в DOC, ODT в DOC, RTF в DOC, WPD в DOC. Дерзайте!!!
Go4Convert – конвертер документов онлайн
Go4Convert – тоже один из бесплатных конверторов документов онлайн, с помощью которого можно преобразовать документы из одного формата в другие, такие как PDF, DOC, DOCX, RTF, TXT, EPUB, FB2, DJVU в PDF (я писал об этом конверторе документов, рекомендую почитать перед его использованием). Тут мы фильтруем и получаем формат DOC. Для этого загружаем документ в сервис Go4Convert (нажать на кнопку Выбрать файл) и после чего нажимаем на кнопку Запуск.
Если вам нужно преобразовать документ в другие форматы, то воспользуйтесь меню, которое находится справа.
Бесплатный онлайн конвертор документов — Convertonlinefree.com
Convertonlinefree.com — бесплатный онлайн конвертор документов, с помощью которого можно перевести docx в doc. Загружаем файл, выбираем Word Document (DOC) и нажимаем на кнопку Конвертировать.
Преобразованный документ немедленно загружается на компьютер. Таким же методом можно конвертировать файлы MS Excel — XLSX в XLS и презентации MS PowerPoint — PPTX в PPT, а для этого нужно перейти на нужную вкладку.
Так что если возникли проблемы с электронными документами Word, то не беда, ведь есть онлайн сервисы или правильнее конверторы онлайн, где можно получить документ нужного формата и спокойной продолжать свою работу в старой версии текстовых редакторов, без волнений и истерик.

Интересное на сайте:

Добавить комментарий
lifevinet.ru
Конвертер DOC файлов онлайн, бесплатное преобразование документов в DOC
Расширение файла .doc
Категория файла documents
Описание DOC – специальное расширение, соответствующее документам, созданным в текстовом редакторе Microsoft World, до версии 2007 года. В этом формате хранятся сведения о форматировании текстового документа – абзацы, списки, отступы, выравнивания и многое другое. Файлы DOC могут включать в себя не только текстовую информацию, но и многочисленные изображения, графики, сценарии, диаграммы. DOC представляет собой расширение в формате двоичного файла, который начинается с информационного блока, выступающего ключевым элементом всей совокупности файлов данных. Такие двоичные файлы включают в себя довольно большой объем информации о форматировании текстового документа. Традиционно расширение получило широкое распространение для создания документов текстового формата в большом диапазоне ОС. Файлы в этом формате открываются любыми, в том числе современными версиями редактора Word или его аналогами из бесплатных пакетов вроде Open Office, Libre Office или утилитами наподобие Corel WordPerfect.
Технические детали Первые версии файлового формата DOC приоритетно ориентировались на содержание форматированного текста, но со временем к нему добавилось большое количество встроенных объектов, среди которых встречаются как диаграммы и графики, так и различные медиа-файлы (звуки, видео). Файлы с расширением DOC способны содержать данные о слиянии, благодаря чему шаблон обработки слов может применяться вместе с таблицей либо базой данных.
Программы
Microsoft Word
OpenOffice.org Writer
IBM Lotus Symphony
Apple Pages
AbiWord
Основная программа Microsoft Word
Разработчик Microsoft
MIME type
application/msword
application/kswps
onlineconvertfree.com
Как конвертировать docx в doc
Естественно, продукты программного обеспечения не стоят на месте, они постоянно дорабатываются и совершенствуются. С появлением более удобных информативных комплексов старые версии отходят на задний план. Однако сейчас складывается такая ситуация, когда в организациях и фирмах далеко не сразу спешат устанавливать новые программы и системы, ввиду чего иногда появляется необходимость конвертировать файл в формате docx в предыдущую версию.
Каждому пользователю, которому придётся справляться с этой несложной задачей, предстоит выбрать более оптимальный для него вариант — способ, которым будет происходить преобразование форматов. Конвертировать docx в doc можно несколькими различными методами.
Ситуация, которая предшествует замене расширения, происходит после попытки открыть документ docx в Microsoft Office, который предшествует версии 2007 года. До сих пор не все активные пользователи текстовых редакторов знают, что в новой версии Ворда есть возможность просматривать, сохранять и редактировать файлы двух расширений. Следует учесть одно условие — во время сохранения файла, который позже придётся открывать, например, в версии Microsoft Office 2003, необходимо заблаговременно выбрать doc, в противном случае во время закрытия созданного документа он сохранится с расширением docx. Несмотря на то, что многие пользователи сталкиваются с этим существенным, на первый взгляд, недоразумением, создатели программного продукта не спешат избавиться от проблемы. Скорее всего, в этом есть своя экономическая выгода, которая подтолкнёт организации быстрее перейти на новую версию продукта, а не пытаться постоянно конвертировать docx в doc.
Способы возможного преобразования
Тем, кто столкнулся с необходимостью преобразовать docx в doc, поможет любой из нижеописанных методов. Важно только пошагово сделать все указанные действия.
Сайты-конверторы
При наличии постоянного доступа к Интернету можно воспользоваться специализированными сайтами-конверторами. Важно отметить, что среди многообразия представленных платформ для конвертации встречаются как бесплатные, так и платные сайты. Чтобы из docx сделать doc, можно прибегнуть, например, к помощи сайта doc.investintech.com, работающего в постоянном онлайн-режиме. Сайт поможет легко и быстро изменить расширение. После перехода на соответствующую страницу пользователь должен найти кликабельную кнопку «Browse», после нажатия на которую следует выбрать тот документ, который нуждается в дальнейшей конвертации. В течение нескольких секунд происходит загрузка на сайт, при этом автоматически меняется формат. Чтобы получить обратно свой изменённый файл, нужно его скачать посредством активной кнопки Download.
Иными словами, сайты-конвертёры работают всего в два клика, чем существенно экономят время на дополнительное открытие/закрытие документов и их загрузку в кэш. Конвертация состоит из загрузки файла docx и скачивания изменённого файла doc.
Программные комплексы Microsoft Office 2003 и 2007
Если на компьютере пользователя установлены программные продукты компании Microsoft, выпущенные в 2003 и 2007 годах соответственно, то изменить формат будет достаточно просто. После открытия файла в версии 2007, в одном из пунктов ниспадающего меню («Сохранить как») следует указать на желание пользователя сохранить документ doc, в результате сохранённый с другим форматом файл можно будет открывать и редактировать в Office версий 1997–2003 годов.
Иные программы
Следует отметить, что преобразовать docx в doc можно даже без специализированного программного продукта, например, в том случае, если принципиально лишь наличие текста, присутствующего в документе, то можно посредством такого текстового редактора, как Wordpad, открыть файл, скопировать его содержание и в дальнейшем сохранить его в формате doc.
Предложение от создателя ПП
Чтобы документ в формате docx сделать с расширением doc, необязательно прибегать к помощи сторонних сайтов-конверторов. Официальный сайт-создатель помогает конвертировать форматы посредством специального пакета, предназначенного для совместимости двух разных версий текстового редактора. Пользователю нужно зайти на сайт microsoft.com и скачать нужный пакет (microsoft.com/ru-ru/download/details.aspx?id=3).
После загрузки и последующей установки дополнения можно запустить программу Word 2003, в открывшемся диалоговом окне указать местоположение документа с расширением docx и открыть его. Преобразование займёт меньше минуты, а перед пользователем откроется нужный текст. Важно отметить, что дополнение от производителя позволяет открывать и сохранять документы в том формате, который необходим пользователю.
Заключение
Из всего вышесказанного следует отметить, что преобразовать один формат документа в другой не так уж и сложно, надо лишь несколько минут свободного времени и минимальные навыки работы с компьютером.
nastroyvse.ru
DOCX в DOC | Zamzar
Расширение файла .docx
Категория Document File
Описание DOCX был введен с программой Microsoft Word 2007, он основан на Open XML и использует сжатие ZIP для уменьшения размера файла. Выгода от наличия открытого XML в том, что файл может быть прочитан приложениями, платформами и интернет-платформами. Однако, чтобы открыть его с помощью любого Microsoft Word, которая предшествовала 2007, потребуется преобразовать DOCX в нормальном формат DOC.
Действия DOCX в DOC — Конвертировать файл сейчас
View other document file formats
Технические детали DOCX улучшает управление файлами, данными и восстановлением данных. DOCX расширяет возможности двоичных файлов более ранних версий. Любое приложение, поддерживающее XML, может получить доступ и работать с данными в новом формате. Программе не обязательно быть продуктом Microsoft, это может быть любая программа. Пользователи также могут использовать стандартные преобразования для извлечения или перепрофилирования данных. Кроме того, значительно снижаются проблемы безопасности, так как информация хранится в XML, который является, в сущности, обычным текстом. Таким образом, данные могут без помех проходить через корпоративные брандмауэры.
Ассоциированные программы Microsoft Word 2007
Microsoft Word 2008 (MAC)
OxygenOffice Professional (Linux)
Word 2010
Разработано Microsoft
Тип MIME application/vnd.openxmlformats-officedocument.wordprocessingml.document
Полезные ссылки Более подробная информация о DOCX-файлах
Альтернативные способы открытия DOCX-файлов
Convert DOCX file
www.zamzar.com

Умножение символ – × — Знак умножения (U+00D7)

alexxlab / 11.01.202122.06.2019 / Школьная жизнь

Как поставить знак умножения в Ворде

Многофункциональность текстового редактора Ворд позволяет не только создавать сложные документы, выполнять обработку объектов и применять различные параметры к тексту, но и вставлять различные символы и математические знаки. К примеру, если необходимо вставить знак умножения в Ворде или любой другой, можно прибегнуть к очень простой функции «Символ». Существует еще несколько легких способов, которые подробнее рассмотрим ниже.

Знак умножения в виде «точки»

Символ умножения, как и многие символы в Ворде, находится в огромной таблице спецсимволов. Чтобы открыть таблицу нужно рассмотреть первый метод.

Метод 1

Чтобы поставить знак умножения в текст или формулу, нужно выполнить следующие действия:

Поставить курсор мыши на место, где, следовательно, нужно умножить число на число;
Перейти в главном меню во вкладку «Вставка» и выбрать «Символ» указать на «Другие символы»;
Во всплывающем диалоговом окне «Символ» в разделе «Набор» выбрать «Математические операторы»;
Найти из предложенных объектов знак умножения в виде «точки», нажать по нему и кликнуть «Вставить»;

Метод 2

Если необходимо быстро вставить символ умножения точкой, тогда воспользуйтесь данным методом. Для этого нужно выполнить нижеприведенные шаги:

Поставить курсор там, где будет располагаться знак умножения;
Набрать число «2219», соответственно без кавычек;
Нажать сочетание кнопок «Alt+X», где «Х» — английская буква;

Знак крестик при умножении в Ворде

Когда в Ворде набирается формула или уравнение, то использовать символ крестик при умножении будет наиболее корректным. Есть два способа вставки знака «х».

Способ 1

Использовать обычную русскую букву «х». Только немного уменьшив букву, можно достигнуть нужного результата. Как это сделать рассмотрим ниже:

Поставьте курсор между цифрами или в любом другом нужном месте;
Смените метод ввода букв на русскую клавиатуру посредством клавиш «Shift+Alt»;
Кликните по букве «Х».
Теперь выделите только букву и перейдите во вкладку «Главная»;
В области «Шрифт» нажмите по кнопке «Уменьшить размер» несколько раз, в зависимости насколько маленьким нужен знак;

Способ 2

К каждому символу или иероглифу в общей таблице спецсимволов прикреплён код. С помощью данного кода можно легко вставить знак крестика. Для этого нужно:

Включить кнопку на клавиатуре под названием «NUM LOCK»;
Сменить раскладку клавиатуры на английскую, комбинация для переключения «Shift+Alt»;
Поставить курсор в нужное место;
Удерживая кнопку «Alt» набрать на цифровой клавиатуре число «0215»;
Отпустить кнопку «Alt».

kakvworde.ru

Знак умножения — это… Что такое Знак умножения?

•

Знак умножения (×) — математический знак операции умножения.

Знак умножения изображают как крестик (×), точку (∙) или звёздочку (*) .

Самый старый из используемых символов — крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» (1631, Лондон).

Немецкий математик Лейбниц отрицательно относился к крестику из-за его схожести с буквой (X) и предпочитал точку (∙). Этот символ он использовал в письме 1698 года.

Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения. Вместе с символом для деления (÷) она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.

В таксономии знак умножения используется в качестве знака гибридного происхождения.

Кодировка

Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак	Unicode		HTML			LaTeX
Знак	позиция	название	16-рично	10-рично	названно	LaTeX
*	U+002A	Asterisk	*	*	—	*
·	U+00B7	Middle dot	·	·	·	—
×	U+00D7	Multiplication sign	×	×	×	\times
⋅	U+22C5	Dot operator	⋅	⋅	—	\cdot
∙	U+2219	Bullet operator	∙	∙	—	\bullet
∗	U+2217	Asterisk operator	∗	∗	&lowast;	\ast
⁢	U+2062	Invisible times	⁢	⁢	—

См. также

Литература

Florian Cajori: A History of Mathematical Notations. Dover Publications 1993

dic.academic.ru

Как в Ворде поставить знак умножения

Когда нужно поставить знак умножения в MS Word, большинство пользователей выбирают не самое правильное решение. Кто-то ставит “*”, а кто-то поступает еще более радикально, ставя обычную букву “x”. Оба варианта в корне неправильны, хоть и могут “прокатить” в некоторых ситуациях. Если же вы печатаете в Ворде примеры, уравнения, математические формулы, обязательно нужно ставить правильный знак умножения.

Урок: Как в Word вставить формулу и уравнение

Наверное, многие еще со школы помнят, что в различной литературе можно столкнуться с различными обозначениями знака умножения. Это может быть точка, а может быть так называемая буква “x”, с разницей лишь в том, что оба эти символа должны находиться посреди строки и уж точно быть меньше основного регистра. В этой статье мы расскажем о том, как поставить в Ворде знак умножить, каждое из его обозначений.

Урок: Как в Word поставить знак степени

Добавление знака умножения в виде точки

Вы, наверное, знаете о том, что в Ворде имеется довольно большой набор неклавиатурных знаков и символов, которые во многих случаях могут оказаться очень полезными. Мы уже писали об особенностях работы с этим разделом программы, и знак умножения в виде точки мы тоже будем искать там.

Урок: Добавление символов и специальных знаков в Word

Вставка знака через меню “Символ”

1. Кликните в том месте документа, где нужно поставить знак умножения в виде точки, и перейдите во вкладку “Вставка”.

Примечание: Между цифрой (числом) и знаком умножения должен стоять пробел, также пробел должен стоять и после знака, перед следующий цифрой (числом). Как вариант, можно сразу написать те числа, которые нужно перемножить, и сразу поставить между ними два пробела. Знак умножения будем добавлять непосредственно между этими пробелами.

2. Откройте диалоговое окно “Символ”. Для этого в группе “Символы” нажмите кнопку “Символ”, а затем выберите пункт “Другие символы”.

3. В выпадающем меню “Набор” выберите пункт “Математические операторы”.

Урок: Как в Ворде поставить знак суммы

4. В изменившемся списке символов найдите знак умножения в виде точки, кликните по нему и нажмите “Вставить”. Закройте окно.

5. Знак умножения в виде точки будет добавлен в указанном вами месте.

Вставка знака с помощью кода

У каждого знака, представленного в окне “Символ”, есть свой код. Собственно, именно в этом диалоговом окне и можно подсмотреть, какой код имеет знак умножения в виде точки. Там же вы сможете увидеть комбинацию клавиш, которая поможет преобразовать введенный код в знак.

Урок: Горячие клавиши в Word

1. Установите указатель курсора в том месте, где должен находиться знак умножения в виде точки.

2. Введите код “2219” без кавычек. Делать это нужно на цифровом блоке клавиатуры (расположен справа), предварительно убедившись в том, что режим NumLock активен.

3. Нажмите “ALT+X”.

4. Введенные вами цифры будут заменены на знак умножения в виде точки.

Добавление знака умножения в виде буквы “x”

Ситуация с добавлением знака умножения, представленного в виде некоего крестика или, что более близко, уменьшенной буквы “x”, несколько сложнее. В окне “Символ” в наборе “Математические операторы”, как и в других наборах, вы его не найдете. И все же, добавить этот знак можно с помощью специального кода и еще одной клавиши.

Урок: Как в Ворде поставить знак диаметра

1. Установите курсор в том месте, где должен находиться знак умножения в виде крестика. Переключитесь в английскую раскладку.

2. Зажмите клавишу “ALT” и введите на цифровом блоке клавиатуры (справа) код “0215” без кавычек.

Примечание: Пока вы держите клавишу “ALT” и вводите цифры, они не отображаются в строке — так и должно быть.

3. Отпустите клавишу “ALT”, на этом месте появится знак умножения в виде буквы “x”, расположенный посреди строчки, как мы с вами привыкли это видеть в книгах.

Вот, собственно, и все, из этой небольшой статьи вы узнали, как в Word поставить знак умножения, будь то точка или диагональный крестик (буква “x”). Осваивайте новые возможности Ворд и используйте в полной мере потенциал этой программы.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
ДА НЕТ
lumpics.ru
Знак умножения — Википедия
Символы со сходным начертанием: • · ·
×
⋅
Знак умножения (×) — математический знак операции умножения.
Знак умножения изображают как крестик (×), точку (⋅) или звёздочку (∗) .
Самый старый из используемых символов — крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» (1631, Лондон).
Немецкий математик Лейбниц отрицательно относился к крестику из-за его схожести с буквой X и предпочитал точку (⋅). Этот символ он использовал в письме 1698 года.
Зачастую неверно, вместо знака умножения (×), применяют букву X.
Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения. Вместе с символом для деления (÷) она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.
В таксономии знак умножения используется в качестве знака гибридного происхождения.
Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак Unicode HTML L^AT_EX
Код Название Шестнадцатеричное Десятичное Мнемоника
* U+002A ASTERISK * * — *
· U+00B7 MIDDLE DOT · · · —
× U+00D7 MULTIPLICATION SIGN × × × \times
⋅ U+22C5 DOT OPERATOR ⋅ ⋅ — \cdot
∙ U+2219 BULLET OPERATOR ∙ ∙ — \bullet
∗ U+2217 ASTERISK OPERATOR ∗ ∗ &lowast; \ast
⁢ U+2062 INVISIBLE TIMES¹ ⁢ ⁢ —
¹ используется, чтобы сомножители не разбивались на разные строки, переносились вместе.
Florian Cajori: A History of Mathematical Notations. Dover Publications 1993
Примеры вывода графемы × в различных шрифтах
Примечание: Из-за технических ограничений некоторые браузеры не смогут корректно показать все символы, представленные в данном шаблоне. Такие символы будут показаны в шрифте, установленном у вас по умолчанию, они могут отображаться в виде квадратиков, вопросительных знаков, других бессмысленных знаков — всё зависит от вашего веб-браузера, операционной системы и набора установленных шрифтов.
Примеры вывода графемы ⋅ в различных шрифтах
Примечание: Из-за технических ограничений некоторые браузеры не смогут корректно показать все символы, представленные в данном шаблоне. Такие символы будут показаны в шрифте, установленном у вас по умолчанию, они могут отображаться в виде квадратиков, вопросительных знаков, других бессмысленных знаков — всё зависит от вашего веб-браузера, операционной системы и набора установленных шрифтов.
www.wiki-wiki.ru
Знак умножения — Википедия. Что такое Знак умножения
Материал из Википедии — свободной энциклопедии Символы со сходным начертанием: • · · · . · ˑ
×
⋅
Знак умножения (×) — математический знак операции умножения.
Знак умножения изображают как крестик (×), точку (⋅) или звёздочку (∗).
Самый старый из используемых символов — крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» (1631, Лондон).
Немецкий математик Лейбниц отрицательно относился к крестику из-за его схожести с буквой и предпочитал точку (⋅). Этот символ он использовал в письме 1698 года.
Зачастую неверно вместо знака умножения (×) применяют букву .
Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения. Вместе с символом для деления (÷) она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.
В таксономии знак умножения используется в качестве знака гибридного происхождения.
Кодировка
Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак Unicode HTML LAΤΕΧ
Код Название Шестнадцатеричное Десятичное Мнемоника
* U+002A asterisk * * — *
· U+00B7 middle dot · · · —
× U+00D7 multiplication sign × × × \times
⋅ U+22C5 dot operator ⋅ ⋅ — \cdot
∙ U+2219 bullet operator ∙ ∙ — \bullet
∗ U+2217 asterisk operator ∗ ∗ &lowast; \ast
⁢ U+2062 invisible times¹ ⁢ ⁢ —
¹ используется, чтобы сомножители не разбивались на разные строки, переносились вместе.
См. также
Литература
Florian Cajori: A History of Mathematical Notations. Dover Publications 1993
wiki.sc
Как в «Ворде» поставить знак умножения точкой или крестиком
Большинство пользователей персонального компьютера, которые не очень хорошо владеют программой Word, ставят вместо подлинного знака умножения символ *, а то и вовсе букву х. Конечно же, это абсолютно неправильно. В данной статье дана информация о том, как в «Ворде» поставить знак умножения точкой или крестиком. Именно эти символы являются верными с математической точки зрения.
Как поставить знак умножения точкой в «Ворде»
Первым делом стоит рассмотреть знак умножения в виде точки, ведь в странах СНГ он наиболее распространенный. Тем более в программе «Ворд» есть сразу два способа, как это можно сделать.
Первый — с помощью таблицы символов. Самый распространенный способ вставки знака подразумевает использование специальной таблицы с символами, которая есть абсолютно в каждой версии программы «Ворд». Вот, что вам нужно сделать:
Откройте программу и перейдите в ней во вкладку «Вставка».
На панели инструментов отыщите группу, названную «Символы».
Нажмите по кнопке «Символ», чтобы открыть дополнительное меню.
В нем кликните по «Другие символы».
Появится та самая таблица символов. Среди всех представленных вам необходимо отыскать знак умножения точкой. Чтобы облегчить поиск, из выпадающего списка «Набор» выберите «Математические операторы».
Выделите знак и нажмите кнопку «Вставить».
После этого выбранный знак вставится в то место текста, где был установлен курсор, поэтому поставьте его заранее в нужное.
Это был первый способ того, как в «Ворде» поставить знак умножения, но не последний, поэтому стоит рассмотреть непосредственно второй.
Способ второй: с помощью горячих клавиш. Второй же метод подразумевает уже использование специального кода знака и комбинации клавиш. Сразу стоит сказать, что выучив все переменные, в будущем вы сможете ставить знак умножения всего в несколько секунд, не открывая таблицу и не отыскивая там нужный символ.
Установите курсор в ту часть текста, где предпочитаете поставить знак умножения.
Введите код знака. У умножения точкой он следующий: «2219» (без кавычек).
Нажмите сочетание горячих клавиш Alt+X.
Как можно заметить, после этого цифры заменились знаком умножения. Это очень удобно применять на практике.
Как в «Ворде» поставить знак умножения крестиком
Но что, если необходимо установить знак умножения крестиком? На самом деле все еще проще. Далее в данной статье представлена инструкция, которая так же подразумевает использование специального кода, который называется альт-кодом. Но прежде стоит выяснить, какой код носит символ умножения крестиком. Он следующий: «0215» (без кавычек). Зная его, вам необходимо сделать следующее:
Установите курсор в нужную часть текста.
Зажмите клавишу Alt, которая находится в левой части клавиатуры.
На циферблате введите поочередно все цифры кода.
Отпустите клавишу Alt.
После этого появится нужный вам символ. Вот таким несложным методом можно в «Ворде» поставить знак умножения крестиком.
Заключение
Теперь вы знаете, как в документе «Ворд» поставить знак умножения в виде крестика или точки. Как можно заметить, использование кодов существенно ускоряет этот несложный процесс.
fb.ru
знак умножения — это… Что такое знак умножения?

знак ударения
знак умножения точка
Смотреть что такое «знак умножения» в других словарях:
Знак умножения — × • Знак умножения (×) математический знак операции умножения. Знак умножения изображают как крестик (×), точку … Википедия
Знак деления — ÷ Знак деления Пунктуация апостроф (’ ) … Википедия
Знак процента — % Знак процента Пунктуация апостроф (’ … Википедия
Знак радикала — √ Знак корня (знак радикала) в математике условное обозначение для корней, по умолчанию квадратных. В общем случае (для корней n й степени) показатель степени ставится над «птичкой»: знак используется для кубических корней, для корней 4 й степени … Википедия
% (знак) — % % знак, чаще всего обозначающий проценты. Происхождение обозначения … Википедия
Знак гибридного происхождения — Содержание 1 Общие правила 2 Список обозначений 2.1 auct. 2.2 auct. pl. 2.3 candidatus … Википедия
Знак градуса — У этого термина существуют и другие значения, см. Градус. ° Знак градуса Пунктуация апостроф … Википедия
Знак равенства — … Википедия
Знак плюс-минус — У этого термина существуют и другие значения, см. Плюс минус (значения). ± ∓ Знак плюс минус (±) математический символ, который ставится перед некоторым выражением и означает, что значение этого выражения может быть как положительным, так и … Википедия
Знак тильда — Тильда (исп. tilde, от лат. titulus надпись) название нескольких типографских знаков в виде волнистой черты. Содержание 1 Диакритический знак 1.1 Надстрочный … Википедия
Знак интеграла — Не следует путать с ʃ. ∫ Знак интеграла используется для обозначения интеграла в математике. Впервые он был использован немецким математиком и основателем дифференциального и интегрального исчислений Лейбницем в конце XVII века. Символ (∫)… … Википедия
Книги
На просторах Родины, Виктор Балдоржиев, На русском языке любить и жалеть тождественные по смыслу слова. Когда большинство занято самим собой, то каждый закрыт для любви к ближнему. Умножение таких сердец предвестник того, что… Издатель: Литрес, Производитель: Литрес, Подробнее Купить за 406 грн (только Украина)
На просторах Родины, Виктор Балдоржиев, На русском языке любить и жалеть – тождественные по смыслу слова. Когда большинство занято самим собой, то каждый закрыт для любви к ближнему. Умножение таких сердец – предвестник того, что… Серия: — Издатель: Литрес, Подробнее Купить за 314 руб
На просторах Родины, Виктор Балдоржиев, На русском языке любить и жалеть – тождественные по смыслу слова. Когда большинство занято самим собой, то каждый закрыт для любви к ближнему. Умножение таких сердец – предвестник того, что… Издатель: ЛитРес: Самиздат, Подробнее Купить за 54.99 руб электронная книга

dic.academic.ru

Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак	Unicode	HTML	`L^AT_EX`
Код	Название	Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника
*	U+002A	ASTERISK	`*`	`*`	—	*
·	U+00B7	MIDDLE DOT	`·`	`·`	`·`	—
×	U+00D7	MULTIPLICATION SIGN	`×`	`×`	`×`	`\times`
⋅	U+22C5	DOT OPERATOR	`⋅`	`⋅`	—	`\cdot`
∙	U+2219	BULLET OPERATOR	`∙`	`∙`	—	`\bullet`
∗	U+2217	ASTERISK OPERATOR	`∗`	`∗`	`&lowast;`	`\ast`
⁢	U+2062	INVISIBLE TIMES¹	`⁢`	`⁢`	—

Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак	Unicode	HTML	LAΤΕΧ
Код	Название	Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника
*	U+002A	asterisk	`*`	`*`	—	*
·	U+00B7	middle dot	`·`	`·`	`·`	—
×	U+00D7	multiplication sign	`×`	`×`	`×`	`\times`
⋅	U+22C5	dot operator	`⋅`	`⋅`	—	`\cdot`
∙	U+2219	bullet operator	`∙`	`∙`	—	`\bullet`
∗	U+2217	asterisk operator	`∗`	`∗`	`&lowast;`	`\ast`
⁢	U+2062	invisible times¹	`⁢`	`⁢`	—

Точечные оценки – —

alexxlab / 11.01.202116.06.2019 / Школьная жизнь

Точечные оценки

Замечание. Термин «точечная» связан с тем, что в качестве заменителя неизвестного параметра предлагается конкретное число. Это «хорошо», поскольку позволяет поставить конкретное значение в формулу распределения и тем самым полностью его восстановить, и «плохо», поскольку мы не знаем, насколько хорошо наше приближение. Соответствующие формулы являются асимптотическими и является ли наше (точное) n (точно) достаточным для такого вывода неочевидно. Более того (как будет показано далее) существует непреодолимый «зазор» между оценкой и истинным значением параметра (информационное неравенство) о-

Итак, оценка — это функция от нашей выборки. Но функций от выборки можно придумать великое множество. Очевидно, что эта функция должна еще «хорошо приближать» оцениваемый параметр. Поэтому оценка должна удовлетворять нескольким условиям:

Определения.

Оценка (Х₁… ,Х_n ) называется состоятельной оценкой параметра θ, если

(Х₁… ,Х_n )→ θ по вероятности при n→∞

Кроме того, желательно, чтобы, пользуясь величиной вместоθ, мы по крайней мере не делали систематической ошибки в сторону завышения или занижения, т. е. чтобы выполнялось условие

Оценка (Х₁… ,Х_n )называется несмещенной, если

Е ((Х₁… ,Х_n )) = θ

Наконец, желательно, чтобы выбранная несмещенная оценка обладала по сравнению с другими «хорошими» оценками наименьшей дисперсией, т. е.

D[] = min .

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

Замечание. На практике не всегда удается удовлетворить всем этим требованиям. Например, может оказаться, что, даже если эффективная оценка существует, формулы для ее вычисления оказываются слишком сложными, и приходится удовлетворяться другой оценкой, дисперсия которой несколько больше. Иногда применяются — в интересах простоты расчетов — незначительно смещенные оценки (см., например, описание выборочной дисперсии). Таким образом, выбор оценки всегда предваряется рассмотрением соответствия ее указанным требованиям и ее эффективности.

Замечание. Несмещенность и состоятельность – это лишь два из требований, предъявляемых к оценкам. Также существенными является (не рассматриваемая здесь) инвариантность относительно сдвига, и др.

Определение. Выборочное среднее =. Выборочное среднее является средним значением (математическим ожиданием) для эмпирической функции распределения.

Пример. Выборочное среднее является несмещенной состоятельной оценкой для математического ожидания.

Определение. Выборочная дисперсия . Выборочная дисперсия характеризует среднеквадратичное отклонение выборочных величин от выборочного среднего.

Замечание. В определении выборочной дисперсии должен бы использоваться множитель (смещенная оценка) , а не, но тогда не соблюдается условие несмещенности. Выборочную дисперсию с множителемназывают еще исправленнойвыборочной дисперсией.

Пример. Выборочная дисперсия является несмещенной состоятельной оценкой для дисперсии

Замечание. Так же как и для дисперсии (см. свойства дисперсии) для выборочной дисперсии для удобства вычислений нередко пользуются таким равенством :

Пример. Дана выборка 92, 94, 103, 105, 106. Найти оценки для математического ожидания и (несмещенную) дисперсии.

Выборочное среднее:

Определение. Выборочный (начальный) момент порядка k

. Выборочный момент является моментом порядка k для эмпирической функции распределения.

Пример. Выборочный момент порядка k является несмещенной состоятельной оценкой начального момента k-го порядка.

Замечание. Аналогично случаю начальных моментов случайной величины Х, выборочное среднее (выборочное математическое ожидание) является выборочным начальным моментом 1 порядка

Определение. Выборочный (центральный) момент порядка k

Пример. Выборочный центральный момент k-го порядка является состоятельной оценкой центрального момента k-го порядка.

Замечание. Аналогично случаю центральных моментов случайной величины Х, выборочная дисперсия является выборочным центральным моментом 2

порядка

Определение. Случайной выборкой объема n, отвечающей паре случайных величин (X,Y) называется набор n независимых, одинаково распределенных пар случайных величин (X₁ , Y₁ ), (X₂ , Y₂ ), … (X_n , Y_n ), каждая из которых имеет такое же совместное распределение как и пара величин (X,Y)

Определение. Выборочная ковариация

Определение. Выборочный коэффициент корреляции

Пример. Выборочная ковариация является несмещенной состоятельной оценкой ковариации

Пример. Выборочный коэффициент корреляции является состоятельной оценкой коэффициента корреляции

Вернемся к рассмотрению эффективной оценки . Из группы оценок, удовлетворяющих несмещенности, состоятельности и пр., выбирают наиболее эффективную, то есть оценку с наименьшей дисперсией

Рассмотренные выше оценки являются наиболее эффективными (в своих классах).

Замечание. Иногда вместо термина „эффективная оценка» говорят „несмещенная оценка с минимальной дисперсией», „оптимальная оценка».

Итак, дисперсия оценки – часто используемая мера качества оценки. Чем она меньше, тем оценка лучше. Однако, при определенных условиях существует нижняя граница для величины этой дисперсии, которую уже нельзя улучшить. То есть, даже самая лучшая оценка будет иметь дисперсию не меньшую некоторой величины. Соответствующее утверждение носит название Неравенства Рао-Крамера.

D (Х₁… ,Х_n ) 1 / nI(), где — количество информации по Фишеру (информация Фишера) – частная производная логарифма плотности (в случае непрерывной модели, или вероятности – дискретной) по параметру, а(Х₁… ,Х_n ) — несмещенная оценка неизвестного параметра θ.

Определение. Оценка (Х₁… ,Х_n ) называется асимптотически нормальной с дисперсией Δ², если

(– ) сходится при n →∞ по распределению к стандартному нормальному закону (нормальное распределение при нулевом математическом ожидании и дисперсии, равной 1)

studfiles.net

Точечные оценки параметров случайной величины

Точечными оценкамипараметров называют такие оценки, которые выражаются каким-то одним числом (точкой).

Таким числом могут быть, например, параметры инормального распределения или параметрзакона Пуассона. Не все переменные могут быть оценками.

Качество оценки определяют, проверяя, обладает ли она свойствами несмещенности, самостоятельности и эффективности.

1. Несмещенность. Оценка не должна содержать систематической ошибки. Это означает, что математическое ожидание оценки некоторого параметра, взятое по всем возможным выборкам, должно быть равно действительному значению параметра.

Если действительное значение оцениваемого параметра обозначить , а его оценку, то требование несмещенности запишется в виде.

2. Состоятельность. Оценка должна приближаться к по мере увеличения объема выборки. Но ввиду того, что оценкаявляется случайной величиной, об этом приближении можно говорить только в вероятностном смысле.

Для состоятельности оценки , получаемой при выборке объема, должно выполняться условие сходимости по вероятности к, т.е..

Свойство состоятельности обязательно для любого правила оценивания (несостоятельные оценки не используются!).

3. Эффективность. Несмещенная оценка параметраназывается эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок, то есть оценкаэффективна, если ее дисперсия минимальна.

Отметим, что на практике не всегда удается удовлетворить всем перечисленным выше требованиям, и поэтому приходится довольствоваться оценками, не обладающими сразу всеми тремя свойствами.

Рассмотрим несмещенные точечные оценки параметров распределения. Запишем в виде таблицы полученные в результате изучения выборки значения признака в неубывающем порядке . Такая последовательность называется вариационным рядом, а сами значения вариантами. Если среди вариантов есть одинаковые, то вариационный ряд записывают в виде таблицы.

Варианты,			…
Частоты,			…

При этом сумма частот равна объёму выборки, т.е.

. (1.1)

Величины называются относительными частотами или частостями. Из (1.1) следует

Часто вариационный ряд, записанный в виде такой таблицы, называют статистическим рядом распределения.

Если во второй строке статистического ряда распределения вместо частот записать частости, то полученная таблица будет иметь большое сходство с рядом распределения дискретной случайной величины.

Тогда для указанной выборки можно построить полигон распределения и выборочную (эмпирическую) функцию распределения аналогично тому, как это делалось для дискретной случайной величины .

Если значения признака изменяются непрерывно в некотором промежутке, то строят интервальный ряд, имеющий вид:

Интервалы			…
Частоты			…

Графическим представлением интервального ряда является гистограмма, пример которой изображен на рис. 1.1.

Поскольку точные значения параметров распределения признака в генеральной совокупности и в большинстве случаев определить не представляется возможным, то эти параметры следует оценить, используя соответствующие параметры выборки.

Выборочная средняя представляет собой среднее значение признака в выборке и определяется по формуле

Рис. 1.1. Пример гистограммы интервального ряда для 6 интервалов

Если используется интервальный ряд, то за варианты принимаются, как правило, середины интервалов.

Выборочная дисперсия определяется по формуле

или по упрощенной формуле

где определяется по формуле

Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из . В качестве точечной оценки параметров генеральной совокупности может приниматься соответствующий параметр выборки. Можно доказать следующее.

1. является несмещенной точечной оценкой , т.е.

2. Оценка для генеральной дисперсии является состоятельной, нонесмещенной. Поэтому вводят величину

которая называется исправленной статистической выборочной дисперсией. Эта величина является несмещенной оценкой генеральной дисперсии , т.е.

Величина называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением и является несмещенной точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения , т.е.

Для решения статистических задач используются специальные распределения случайных величин, сконструированных на основе нормального распределения. Рассмотрим частные случаи этого вида распределения.

Распределение «хи квадрат»

Важным частным случаем нормального распределения является так называемое распределение . Это распределение является двухпараметрическим и описывает случайные величины, распределенные на полуинтервале .

Пусть имеется независимых случайных величин , распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная величина

распределена по закону Пирсона или – «хи квадрат», с характеристиками , .

Распределением с степенями свободы называется распределение суммы квадратов независимых случайных величин, каждая из которых подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице.

Очевидно, что может принимать лишь неотрицательные значения. График плотности распределения случайной величины представляет собой кривую, изображенную на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Кривая плотности распределения

Для того чтобы определить вероятность попадания случайной величины в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются таблицей распределения(прил. 2).

Обычно такая таблица позволяет по заданной вероятности и по числу степеней свободы определить так называемый квантиль – критическое значение , еслии связаны соотношением:

Эта формула означает: вероятность того, что случайная величина примет значение большее, чем табличное значение, равна. Из таблицы (прил. 2) очевидно, что случайная величинас 10 степенями свободы с вероятностьюпри-нимает значение, равное 3,94.

Распределение Стьюдента (или t-распределение)

Другим важным случаем нормального распределения является однопараметрическое распределение Стьюдента (рис. 1.3). Ему подчиняется случайная величина, распределенная на всей числовой оси. Пусть – независимые стандартные нормальные случайные величины . Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Если число степеней свободы , то

, .

Рис. 1.3. Стандартное нормальное распределение (1) и распределение Стьюдента (2)

При распределение Стьюдента стремится к нормальному с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Уже при распределение Стьюдента можно приближенно заменить на стандартное нормальное.

Распределение Фишера

Пусть

независимые случайные величины, где и. Тогда случайная величина

распределена по закону Фишера со степенями свободы с математическим ожиданием (если)

и , если.

При заданных числах и, вероятностипо прил. 6 определяется значениетакое, что

Обычно таблицы составляются для значений , равных 0,05 или 0,01, а иногда для обоих этих значений. В таблицах значений закона Фишера иногда вместо обозначенийииспользуютсяисоответственно. Пример плотности распределения случайной величины приведён на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Плотность распределения случайной величины прии

studfiles.net

Точечные оценки параметров распределения.

Пусть неизвестен параметр распределения, любая функцияна выборкеназываетсяточечной оценкой . Оценки тоже являются случайными величинами.

Требования к оценкам.

Несмещенность
Состоятельность
Эффективность (по сравнению с другими оценками) – если дисперсия оценки меньше дисперсий других оценок.

Можно показать, что несмещенная оценка состоятельна, если ее выборочная дисперсия стремится к нулю при .

Оценки ищут различными методами: методом моментов, методом максимального правдоподобия, методом наименьших квадратов и др.

Оценка среднего значения ГС (математического ожидания) – выборочное среднее. .

Оценка несмещенная,т.к..

Оценка состоятельная, т.к. по закону больших чисел.

Оценки дисперсии ГС:

Выборочная дисперсия

Это – смещенная, состоятельная оценка.

2. Несмещенная, состоятельная оценка дисперсии

Можно показать, что .

Пример. Вычислим оценки для приведенного выше ряда распределения

x_k	0	1	3	5
n_k	5	2	1	2
	1/2	1/5	1/10	1/5

Интервальные оценки.

Доверительный интервал– это интервал, такой, что,

где —доверительная вероятность.

Общее правило построения доверительного интервала для любого параметра основано на центральной предельной теореме, по которой при больших n (n>50) оценкаимеет нормальное распределение с, если— несмещенная оценка, а функция распределения случайной величинысходится по вероятности прик функции стандартного нормального распределения.

Квантиль (уровня ) случайной величиныXс функцией распределенияF(x) – это такое значение случайной величиныX, что.

стандартного нормального распределения. По симметрии плотности нормального распределения . Так как.

Так как распределение случайной величины стремится к стандартному нормальному распределению, то. Отсюда получаемдоверительный интервал

Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения. Доверительный интервал для математического ожидания.

Если ГС имеет нормальное распределение, то и любая выборка распределена нормально. Известно, что сумма нормальных случайных величин тоже распределена нормально. Поэтому оценка математического ожидания – выборочное среднее – нормально распределенная случайная величина с — известно.

Поэтому, если известно, то, идоверительный интервал дляматематического ожиданиястроится так:

с доверительной вероятностью. Квантили проще всего искать по таблицам квантилей нормального распределения.

Если неизвестно,то нормированная случайная величина(вместоподставлена его оценкаs) уже не распределена нормально.Она имеет распределение Стъюдента с n-1 степенями свободы. Есть таблицы квантилей распределения Стъюдента. По доверительной вероятности определяют, по таблице квантилей определяют квантильуровня. Затем по той же схеме строятдоверительный интервал для математического ожидания .

Если n> 20, то квантиль можно искать по таблицам квантилей нормального распределения.

studfiles.net

Точечные оценки параметров случайной величины

Точечными оценкамипараметров называют такие оценки, которые выражаются каким-то одним числом (точкой).

Варианты,			…
Частоты,			…

При этом сумма частот равна объёму выборки, т.е.

. (1.1)

Величины называются относительными частотами или частостями. Из (1.1) следует

Часто вариационный ряд, записанный в виде такой таблицы, называют статистическим рядом распределения.

Интервалы			…
Частоты			…

Графическим представлением интервального ряда является гистограмма, пример которой изображен на рис. 1.1.

Выборочная средняя представляет собой среднее значение признака в выборке и определяется по формуле

Рис. 1.1. Пример гистограммы интервального ряда для 6 интервалов

Если используется интервальный ряд, то за варианты принимаются, как правило, середины интервалов.

Выборочная дисперсия определяется по формуле

или по упрощенной формуле

где определяется по формуле

1. является несмещенной точечной оценкой , т.е.

2. Оценка для генеральной дисперсии является состоятельной, нонесмещенной. Поэтому вводят величину

Распределение «хи квадрат»

распределена по закону Пирсона или – «хи квадрат», с характеристиками , .

Рис. 1.2. Кривая плотности распределения

Распределение Стьюдента (или t-распределение)

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Если число степеней свободы , то

, .

Рис. 1.3. Стандартное нормальное распределение (1) и распределение Стьюдента (2)

Распределение Фишера

Пусть

независимые случайные величины, где и. Тогда случайная величина

распределена по закону Фишера со степенями свободы с математическим ожиданием (если)

и , если.

При заданных числах и, вероятностипо прил. 6 определяется значениетакое, что

Рис. 1.4. Плотность распределения случайной величины прии

studfiles.net

Точечные оценки математического ожидания и дисперсии

Пусть случайная выборка порождена наблюдаемой случайной величиной ξ, математическое ожиданиеи дисперсиякоторой неизвестны. В качестве оценок для этих характеристик было предложено использовать выборочное среднее

и выборочную дисперсию

. (3.14)

Рассмотрим некоторые свойства оценок математического ожидания и дисперсии.

1. Вычислим математическое ожидание выборочного среднего:

. (3.15)

Следовательно, выборочное среднее является несмещенной оценкой для .

2. Напомним, что результаты наблюдений – независимые случайные величины, каждая из которых имеет такой же закон распределения, как и величина, а значит,,,. Будем предполагать, что дисперсияконечна. Тогда, согласно теореме Чебышева о законе больших чисел, для любогоε> 0 имеет место равенство,

которое можно записать так: . (3.16)

Сравнивая (3.16) с определением свойства состоятельности (3.11), видим, что оценка является состоятельной оценкой математического ожидания.

3. Найдем дисперсию выборочного среднего:

. (3.17)

Таким образом, дисперсия оценки математического ожидания уменьшается обратно пропорционально объему выборки.

Можно доказать, что если случайная величина ξраспределена нормально, то выборочное среднееявляется эффективной оценкой математического ожидания, то есть дисперсияпринимает наименьшее значение по сравнению с любой другой оценкой математического ожидания. Для других законов распределенияξэто может быть и не так.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии, так как. (3.18)

Действительно, используя свойства математического ожидания и формулу (3.17), найдем

Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, оценку (3.14) нужно исправить, то есть домножить на . Тогда получим несмещенную выборочную дисперсию

. (3.19)

Отметим, что формулы (3.14) и (3.19) отличаются лишь знаменателем, и при больших значениях выборочная и несмещенная дисперсии отличаются мало. Однако при малом объеме выборкиследует пользоваться соотношением (3.19).

Для оценки среднего квадратического отклонения случайной величины используют так называемое “исправленное” среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из несмещенной дисперсии: .

3.4. Интервальные оценки

В статистике имеются два подхода к оцениванию неизвестных параметров распределений: точечный и интервальный. В соответствии с точечным оцениванием, которое рассмотрено в предыдущем разделе, указывается лишь точка, около которой находится оцениваемый параметр. Желательно, однако, знать, как далеко может отстоять в действительности этот параметр от возможных реализаций оценок в разных сериях наблюдений.

Ответ на этот вопрос – тоже приближенный – дает другой способ оценивания параметров – интервальный. В соответствии с этим способом оценивания находят интервал, который с вероятностью, близкой к единице, накрывает неизвестное числовое значение параметра.

studfiles.net

Точечные оценки числовых характеристик

Статистической оценкой параметраQ распределения называется приближенное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке). Статистические оценки делятся на точечные и интервальные.

Точечной называется оценка, определяемая одним числом. Точечная оценка параметраQ случайной величины X в общем случае равна , гдеx_i – значения выборки. Очевидно, что оценка – это случайная величина и значениябудут изменяться от выборки к выборке случайным образом. К оценкам предъявляется ряд требований.

1. Оценка называетсясостоятельной, если при увеличении объема выборки n она сходится по вероятности к значению параметра Q:

Состоятельность – это минимальное требование к оценкам.

2. Состоятельная оценка называетсянесмещенной, если ее математическое ожидание точно равно параметру Q для любого объема выборки:

3. Состоятельная несмещенная оценка являетсяэффективной, если ее дисперсия минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра:

Состоятельная, несмещенная и эффективная точечная оценка математического ожидания вычисляется как среднее арифметическое значений выборки , называемое выборочным средним:

(10.5)

Состоятельная несмещенная точечная оценка дисперсии равна

(10.6)

Состоятельная несмещенная точечная оценка среднеквадратического отклонения равна

(10.7)

Интервальные оценки числовых характеристик

Доверительным называется интервал

в который с заданной вероятностью (надежностью) g попадает истинное значения параметра Q, где — несмещенная точечная оценка параметраQ. Вероятность g выбирается близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом объеме выборки n () закон распределения несмещенных точечных оценокиможно считать нормальным прилюбом законе распределения случайной величины и доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии могут быть определены по следующим формулам.

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

(10.8)

где — значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(z_) = .

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид

. (10.9)

Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется всякое непротиворечивое множество утверждений относительно свойств распределения случайной величины. Простейшей гипотезой является двухальтернативная:. В этом случае альтернативуH₀ называют нулевой гипотезой, а H₁— конкурирующей гипотезой.

Критерием называется случайная величина , гдеx_i – значения выборки, которая позволяет принять или отклонить нулевую гипотезу _.Ошибка первого рода состоит в том, что будет отклонена гипотеза _, если она верна («пропуск цели»). Вероятность совершить ошибку первого рода обозначается  и называется уровнем значимости. Наиболее часто на практике принимают, что  = 0,05 или  = 0,01.

Критериями согласия называются критерии, используемые для проверки гипотез о предполагаемом законе распределения.

Гипотеза о законе распределения выдвигается следующим образом.

1. Построить по вариационному ряду график эмпирической функции распределения и гистограммы по интервальным статистическим рядам (равноинтервальному и равновероятностному).

2. По виду графиков выдвинуть двухальтернативную гипотезу о предполагаемом (гипотетическом) законе распределения:

–величина X распределена по такому-то закону:

–величина X не распределена по такому-то закону:

где – плотность и функция распределения гипотетического закона распределения.

График эмпирической функции распределения должен быть похож на график функции распределения гипотетического закона, а гистограммы на график плотности гипотетического распределения . Ниже приведены графики и аналитические выражения плотности и функции распределения для часто встречающихся на практике законов.

Равномерное распределение имеет непрерывная случайная величина Х, если ее плотность вероятности в некотором интервале а; b] постоянна:

(10.10)

где а, b – параметры распределения (b > a).

Графики плотности и функции равномерного распределения при a = 1 и b = 3 показаны на рис. 10.1:

Рис. 10.1

Экспоненциальное распределение имеет непрерывная случайная величина T, принимающая только положительные значения, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

(10.11)

где  – параметр распределения ( >0).

Графики плотности и функции экспоненциального распределения при  =1 показаны на рис. 10.2:

Рис. 10.2

Нормальное распределение (распределение Гаусса) имеет непрерывная случайная величина Х, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

,, (10.12)

где m, σ – параметры распределения ( σ >0),

—функция Лапласа.

Графики плотности и функции нормального распределения при m =0, σ =1 показаны на рис. 10.3:

Рис. 10.3

3. Вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии и, используя метод моментов, определить оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения, где– число неизвестных параметров гипотетического закона распределения.

Оценки неизвестных параметров а, b равномерного распределения можно определить по формулам

(10.13)

или

(10.14)

где – первое и последнее значение вариационного ряда соответственно.

Оценку неизвестного параметра  экспоненциального распределения можно определить по формуле

(10.15)

Оценки неизвестных параметров нормального распределения можно определить по формулам:

(10.16)

4. Проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения при помощи критерия согласия.

Критерий согласия Пирсона () – один из наиболее часто применяемых критериев. Алгоритм проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения следующий.

1. По интервальному статистическому ряду (равноинтервальному или равновероятностному) вычислить значение критерия по формуле:

, (10.17)

где – объем выборки;

M – число интервалов интервального статистического ряда;

–частота попадания в j-й интервал;

–количество чисел в выборке, попадающих в j-й интервал;

p_j– теоретическая вероятность попадания случайной величины в j— й интервал при условии, что гипотеза верна:

. (10.18)

где ,– плотность и функция распределения гипотетического закона распределения.

При расчете p₁ и p_M в качестве крайних границ первого и последнего интервалов A₁,B_M следует использовать теоретические границы гипотетического закона распределения.

Если проверяется гипотеза о равномерном законе распределения, то ,, а гипотетическая функция распределения будет иметь следующий вид (см. (10.10) и (10.14)):

(10.19)

и теоретические вероятности попадания в интервалы будет вычисляться по формуле

(10.20)

Если проверяется гипотеза об экспоненциальном законе распределения, то ,, и гипотетическая функция распределения будет иметь вид (см. (10.11) и (10.15)):

(10.21)

а теоретические вероятности попадания в интервалы будет вычисляться по формуле:

(10.22)

Если проверяется гипотеза о нормальном законе распределения, то ,, и гипотетическая функция распределения будет иметь вид (см. (10.12) и (10.16)):

(10.23)

а теоретические вероятности попадания в интервалы будет вычисляться по формулам:

(10.24)

При правильном вычислении вероятностей должно выполняется контрольное соотношение.

Величина распределена по закону, который называется распределением. Данное распределение не зависит от закона распределения величиныX, а зависит от параметра k, который называется числом степеней свободы.

2. Из таблицы распределениявыбирается критическое значение, гдеa — заданный уровень значимости (a = 0,05 или a = 0,01), а k — число степеней свободы, которое определяется по формуле:

(10.25)

где M – число слагаемых в формуле (10.17), т.е. число интервалов интервального статистического ряда,

s — число неизвестных параметров гипотетического закона распределения, значения (для равномерного закона , экспоненциального , нормального ).

3. Если значение , вычисленное по выборочным данным на шаге 1, больше, чем критическое значение, т.е. , то гипотезаотклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

Критерий согласия Колмогорова. Алгоритм проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения следующий.

1. На основании эмпирической функции распределения вычислить значение критерия Колмогорова

(10.26)

где – объем выборки;

–максимальный модуль отклонения эмпирической функции распределения от гипотетической функции распределения , определенный по всем n значения x_i исходной выборки.

Значение Z с достаточной точностью может быть определено по графикам функций и , которые стоят в одной системе координат на масштабно-координатной бумаге («миллиметровке»). Для построения графика достаточно рассчитать значения функции в 10…20 равноотстоящих точках, которые затем соединить плавной кривой.

Величина λ распределена по закону Колмогорова, который не зависит от закона распределения величины X.

2. Из таблицы распределения Колмогорова выбрать критическое значение ,, гдеa — заданный уровень значимости (a = 0,05 или a = 0,01).

3. Если значение l, вычисленное на шаге 1, больше, чем критическое значение, т.е. l> l_g , то гипотеза отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

studfiles.net

Точечные оценки параметров распределения.

Требования к оценкам.

Несмещенность
Состоятельность
Эффективность (по сравнению с другими оценками) – если дисперсия оценки меньше дисперсий других оценок.

Можно показать, что несмещенная оценка состоятельна, если ее выборочная дисперсия стремится к нулю при .

Оценка среднего значения ГС (математического ожидания) – выборочное среднее. .

Оценка несмещенная,т.к..

Оценка состоятельная, т.к. по закону больших чисел.

Оценки дисперсии ГС:

Выборочная дисперсия

Это – смещенная, состоятельная оценка.

2. Несмещенная, состоятельная оценка дисперсии

Можно показать, что .

Пример. Вычислим оценки для приведенного выше ряда распределения

x_k	0	1	3	5
n_k	5	2	1	2
	1/2	1/5	1/10	1/5

Интервальные оценки.

Доверительный интервал– это интервал, такой, что,

где —доверительная вероятность.

стандартного нормального распределения. По симметрии плотности нормального распределения . Так как.

Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения. Доверительный интервал для математического ожидания.

Поэтому, если известно, то, идоверительный интервал дляматематического ожиданиястроится так:

Если неизвестно,то нормированная случайная величина(вместоподставлена его оценкаs) уже не распределена нормально.Она имеет распределение Стъюдента с n-1 степенями свободы. Есть таблицы квантилей распределения Стъюдента. По доверительной вероятности определяют, по таблице квантилей определяют квантильуровня. Затем по той же схеме строятдоверительный интервал для математического ожидания .

Если n> 20, то квантиль можно искать по таблицам квантилей нормального распределения.

studfiles.net

Степень на степень деление – Как делить степени | Алгебра

alexxlab / 11.01.202111.06.2019 / Школьная жизнь

Как делить степени | Алгебра

Как делить степени? При каких условиях деление степеней возможно?
В алгебре найти частное степеней можно в двух случаях:
1) если степени имеют одинаковые основания;
2) если степени имеют одинаковые показатели.
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя (или коротко: при делении степеней показатели вычитают):

или

или

(последнюю формулу удобно использовать, если показатель степени в знаменателе больше показателя степени в числителе).
При делении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

Рассмотрим, как делить степени, на конкретных примерах.

Единицу в показателе степени не пишут, но при делении степеней ее следует учесть:

При делении степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями получаем единицу:

Вынесение общего показателя при делении степеней позволяет упростить вычисления:

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.
Если нужно число разделить на степень либо степень разделить на число, сначала следует выполнить возведение в степень, а затем — деление:

www.algebraclass.ru
Как делить степени | Сделай все сам
Математические действия со степенями дозволено исполнять только в том случае, когда основания показателей степени идентичны, и когда между ними стоят знаки умножения либо деления. Основание показателя степени – это число, которое возводится в степень.
Инструкция
1. Если числа со степенями делятся друг на друга (см рисунок 1), то у основания (в данном примере – это число 3) возникает новая степень, которая образуется из вычитания показателей степени. Причем, это действие проводится впрямую: из первого показателя вычитается 2-й. Пример 1. Введем обозначение: (а)в, где в скобках – а – основание, за скобками – в – показатель степени. (6)5 : (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36.Если в результате получается число в негативной степени, то такое число преобразуется в обычную дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе основание с полученным при разности показателем степени, только в позитивном виде (со знаком плюс). Пример 2. (2) 4 : (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ?. Деление степеней может быть записано в ином виде, через знак дроби, а не как указано в этом шаге через знак «:». От этого тезис решения не меняется, все производится верно также, только запись будет вестись со знаком горизонтальной (либо косой) дроби, взамен двоеточия.Пример 3. (2) 4 /(2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ?.
2. При умножении идентичных оснований, имеющих степени, производится сложение степеней. Пример 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 =(5)5 = 3125.Если показатели степеней имеют различные знаки, то их сложение проводится согласно математическим законам.Пример 5. (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ?.
3. Если основания показателей степени различаются, то скорое каждого их дозволено привести к одному и тому же виду, путем математического реформирования. Пример 6. Пускай нужно обнаружить значение выражения: (4)2 : (2)3. Зная, что число четыре дозволено представить как два в квадрате, решается данный пример так:(4)2 : (2)3 = (2*2)2 : (2)3. Дальше при возведении в степень числа. Теснее имеющего степень, показатели степеней умножаются друг на друга: ((2)2)2 : (2)3 = (2)4 : (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2.
Слог – минимальная фонетическая единица. В нем соединяются различные по степени звучности звуки. Особенно громкие исполняют слогообразующую функцию. В состав единицы должен входить гласный звук. Без гласных звуков не может быть слога. В устной речи звуки группируются в слоги по дальнейшим правилам.
Инструкция
1. Не смешивайте деление слова на слоги и перенос слова, это различные категории. Слоги — принадлежность устной речи, а перенос — это письменная речь, грамматика. Сравните: идея — в звучании три слога, и-де-я. А переносить слово невозможно. Посмотрите: цветастый – 2 слога, а перенести дозволено по-различному: пе–стрый, пес-трый.
2. Деля слова на слоги, рассматривайте закон восходящей звучности: предисловие неначального (не первого в слове) слога строится от слабо звучащего. Если в слове есть сочетание согласных между гласными, то слоговая граница должна пройти так, дабы дальнейший слог начинался с менее громкого согласного. Скажем, произнесите слово «каска» [ка – ска].
3. Деление на слоги изготавливаете по фонетическому звучанию, а не по тому, как вы пишете. Если слог является открытым, то есть заканчивается гласным звуком, то деление на слог будет проходить позже гласного. Скажем: собака – со-ба-ка. копна – ко-пна. Граница слога будет проходить на стыке сонорного согласного и громкого. Скажем, парта [пар-та].
4. Слогораздел пройдет позже Й, если за ним будет стоять всякий согласный. Майка [май-ка].
5. Запомните: удвоенные согласные (между гласными) переходят в дальнейший слог. Скажем, ка-сса, дро-жжи, га-мма. НО, при переносе слов с двойными согласными, одну букву оставляйте на строке, а иную переносите: ван-на, длин-ный, искус-ство.
6. Закон восходящей звучности не соблюдается в последних слогах слова: [цвиэ-то’к], [л’иэ-жы’т], [го’-лъс] и т.д.
7. Почаще каждого, при переносе слова применяется деление на слоги, но есть масса исключений из этого правила. Не оставляйте на строке исключительную букву. Ъ, Ь, Й – эти буквы не отделяйте от предыдущих. Скажем: объ-езд, фоль-гой, зай-ка. Не отрывайте от приставки финальную согласную букву, если корень слова тоже начинается с согласной. Положительный перенос: раз-лив, под-писать. Не забирайте у корня стоящую первой согласную букву. Положительно переносить: при-крепить.
Разделять дробь на дробь несложно – необходимо каждого лишь умножить первую дробь на “опрокинутую” вторую. Впрочем, тут имеются свои нюансы, рассматривать которые все-таки надобно.
Инструкция
1. При делении обычных дробей, нужно умножить первую дробь (делимое) на опрокинутую вторую дробь (делитель). Такая дробь , где числитель и знаменатель поменялись местами называют обратной (к начальной).При делении дробей нужно проконтролировать, дабы вторая дробь и знаменатели обеих дробей не равнялась нулю (либо не принимали нулевых значений при определенных значениях параметров/переменных/неизвестных). Порой, из-за массивного вида дроби, это крайне неочевидно. Все значения переменных (параметров), обращающих в нуль делитель (вторую дробь ) либо знаменатели дробей нужно указать в результате.Пример 1: поделить 1/2 на 2/31/2 : 2/3 = 1/2 * 3/2 = (1 * 3) / (2 * 2) = 3/4, илиПример 2: поделить а/с на х/са/с : х/с = а/с * с/х = (а*с)/(с*х) = а/х, где с ? 0, х ? 0.
2. Дабы поделить смешанные дроби, надобно привести их к обычному виду. Дальше действуем как в п. 1.Для реформирования смешанной дроби к обычному виду необходимо ее целую часть умножить на знаменатель, а после этого прибавить это произведение к числителю.Пример 3: преобразовать смешанную дробь 2 2/3 в обычную:2 2/3=(2 + 2*3)/3=8/3Пример 4: поделить дробь 3 4/5 на 3/10:3 4/5 : 3/10 = (3*5+4)/5 :3/10 = 19/5 : 3/10 = 19/5 * 10/3 = (19*10)/(5*3)=38/3=12 2/3
3. При делении дробей различных типов (смешанных, десятичных, обычных), все дроби заранее приводятся к обычному виду. Дальше – согласно п. 1. Десятичная дробь переводится в обычную дюже примитивно: в числитель записывается десятичная дробь без запятой, а в знаменатель – порядок дроби (десять для десятых, сто для сотых и т.д.).Пример 5: привести десятичную дробь 3,457 к обычному виду:потому что в дроби присутствуют «тысячные» (457 тысячных), то и знаменатель полученной дроби будет равняться 1000:3,457=3457/1000Пример 6: поделить десятичную дробь 1,5 на смешанную 1 1/2:1,5 : 1 1/2 = 15/10 : 3/2 = 15/10 * 2/3 = (15*2)/(10*3) = 30/30 = 1.
4. При делении 2-х десятичных дробей обе дроби заранее умножаются на 10 в такой степени, дабы делитель стал целым числом. Позже чего производится деление десятичной дроби «нацело».Пример 7: 2,48/12,4=24,8/124=0,2.При необходимости (исходя из условий задачи) дозволено подобрать такое значение множителя, дабы целыми стали как делитель, так и делимое. Тогда задача деления десятичных дробей сведется к делению целых чисел.Пример 8: 2,48/12,4=248/1240=0,2
Видео по теме
Полезный совет
Помните, если данное основание кажется непохожим на второе основание, нужно искать математический выход. Примитивно так различные числа не даются. Разве, что в учебнике наборщиком сделана опечатка.
jprosto.ru
как умножить или разделить степени с разными показателями и основаниями? пожалуйста, очень срочно нужно!
Приводят все основания к одному и действуют по правилам. Если к одному основанию свести нельзя, то считают каждую степень по отдельности.
Если основания одинаковы, то при умножении основание остается прежним, показатели складываются (при делении вычитаются) . Степень с разными основаниями нельзя умножать или делить, пока эти основания не приравнять друг к другу. Показатели тут роли не играют.
<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/222734490_f86420b81e20f3cb351d6808990639dc_800.jpg» alt=»» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/222734490_f86420b81e20f3cb351d6808990639dc_120x120.jpg» data-big=»1″>
представь 14^2 как 2^2*7^2 и тогда все получится
touch.otvet.mail.ru
Правило деление степеней — Aiki-group.ru
Правило деления степеней
Правило деления степеней. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Примеры:
Слайд 11 из презентации «Деление и умножение степеней» к урокам алгебры на тему «Степень»
Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке алгебры, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Деление и умножение степеней.ppt» можно в zip-архиве размером 1313 КБ.
«Деление и умножение степеней» — a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Найдем произведение a2 и a3. 100. 2+3. 5 раз. 64 = 144 = 1 0000 =. Умножение и деление степеней. 3 раза. a2 a3 =.
«Степени двойки» — 1024+. Правила перевода из одной системы счисления в другую. Гусельникова Е.В. Школа №130. Содержание. Таблица степеней двойки. Переведём число 1998 из десятичной в двоичную систему. Кислых В.Н. 11Э Зинько К.О. 11Э. Преподаватель: Выполнили: Рассмотрим схему преобразования на примере.
«Степень с отрицательным показателем» — Степень с отрицательным показателем. 5 12?3 (27?3 ). -2. -1. Вычислите: -3.
«Степень с рациональным показателем» — по теме: «Степень с рациональным показателем». Цели урока: I. Организационная часть. Проверка домашнего задания 1.Математический диктант 2. Взаимопроверка III.Самостоятельная работа IV. Обобщающий урок. Ход урока. Подготовка к контрольной работе V. Подведение итогов урока VI. II.
«Степень с целым показателем» — Представьте выражение в виде степени. X-12. Расположите в порядке убывания. Представьте выражение x-12 в виде произведения двух степеней с основанием x, если один множитель известен. Вычислите. Упростите.
«Свойства степени» — Обобщение знаний и умений по применению свойств степени с натуральным показателем. Вычислительная пауза. Свойства степени с натуральным показателем. Проверь себя! Применение знаний для решения различных по сложности задач. Тест. Физминутка. Развитие настойчивости, мыслительной активности и творческой деятельности.
900igr.net
Правило деление степеней
1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):
(abc…) n = a n b n c n …
Пример 1. (7•2•10) 2 = 7 2 •2 2 •10 2 = 49•4•100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2 ) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3
Практически более важно обратное преобразование:
a n b n c n … = (abc…) n
т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.
Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2 ) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2 )] 2 =(a 3 +b 3 ) 2
2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:
Пример 5. Пример 6.
Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..
3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
Пример 9.2 2 •2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .
4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого
Пример 11. 12 5 :12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3 :(x-y) 2 =x-y.
5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:
Пример 13. (2 3 ) 2 =2 6 =64. Пример 14.
maths.yfa1.ru
Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней
Сложение и вычитание степеней
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.
Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .
Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .
Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.
Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.
Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .
Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.
Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.
Или:
2a 4 — (-6a 4 ) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6
Умножение степеней
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .
Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.
Так, a n .a m = a m+n .
Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;
И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1
Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.
1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2 : то есть
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.
Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2 )⋅(a 2 + y 2 ) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4 )⋅(a 4 + y 4 ) = a 8 — y 8 .
Деление степеней
Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.
Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .
Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac$. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..
Так, y 3 :y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac= y$.
И a n+1 :a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.
Или:
y 2m : y m = y m
8a n+m : 4a m = 2a n
12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac : \frac = \frac.\frac= \frac= \frac$.
h 2 :h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac= h^3$
Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.
Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями
1. Уменьшите показатели степеней в $\frac$ Ответ: $\frac$.
2. Уменьшите показатели степеней в $\frac$. Ответ: $\frac$ или 2x.
3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .
4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .
5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.
6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).
7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .
8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.
www.math20.com
Алгебра – 7 класс. Умножение и деление степеней
Урок на тему: «Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями. Примеры»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Умножение и деление степеней
Цель урока: научится производить действия со степенями числа.
Для начала вспомним понятие «степень числа». Выражение вида $\underbrace_$ можно представить, как $a^n$.
Справедливо также обратное: $a^n= \underbrace_$.
Это равенство называется «запись степени в виде произведения». Оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.
Запомните:
a – основание степени.
n – показатель степени.
Если n = 1, значит, число а взяли один раз и соответственно: $a^n= 1$.
Если n= 0, то $a^0= 1$.
Почему так происходит, мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.
Правила умножения
a) Если умножаются степени с одинаковым основанием.
Чтобы $a^n * a^m$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace_ * \underbrace_$.
На рисунке видно, что число а взяли n+m раз, тогда $a^n * a^m = a^$.
Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу при возведении числа в большую степень.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
б) Если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем.
Чтобы $a^n * b^n$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace_ * \underbrace_$.
Если поменять местами множители и посчитать получившиеся пары, получим: $\underbrace_$.
Значит, $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Правила деления
a) Основание степени одинаковое, показатели разные.
Рассмотрим деление степени с большим показателем на деление степени с меньшим показателем.
Запишем степени в виде дроби:
Для удобства деление запишем в виде простой дроби.

Теперь сократим дробь.

Получается: $\underbrace_= a^$.
Значит, $\frac=a^$.
Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m, тогда $a^0= a^=\frac =1$.
б) Основания степени разные, показатели одинаковые.
Допустим, необходимо $\frac$. Запишем степени чисел в виде дроби:
Для удобства представим.

Используя свойство дробей, разобьем большую дробь на произведение маленьких, получим.
$\underbrace* \frac * \ldots * \frac >_$.
Соответственно: $\frac=( \frac)^n$.
mathematics-tests.com
Степени и корни
Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,
нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.
Операции со степенями.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :
a m · a n = a m + n .
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):
( a / b ) n = a n / b n .
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .
П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы . 2 0 = 1, ( – 5 ) 0 = 1, ( – 3 / 5 ) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.
где a ≠ 0 , не существует .
В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0
— любое число.
В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.
Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то
0 0 — любое число.
Р е ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:
1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению
2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,
что x – любое число; но принимая во внимание, что в
нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;
www.bymath.net
Это интересно:
Правила безопасности с утюгом Правила техники безопасности при работе утюгом Правила техники безопасности при работе утюгом. 1.Перед включением утюга в электросеть нужно проверить изоляцию шнура и положение утюга на подставке. 2.Включение и […]
Проблемы водного налога Проблемы водного налога Состояние, анализ и проблемы совершенствования водного налога При заборе воды сверх установленных квартальных (годовых) лимитов водопользования налоговые ставки в части такого превышения […]
Этапы исполнения приказа как составить приказ о переходе с 223фз на 44 фз Сергей Антонов 30 Ответ написан год назад Профессор 455 Ответ написан год назад Например: приказ об отмене применения положения о закупках. Оценка ответа: 0 Добавить […]
Правило на умножение и деление положительных и отрицательных чисел Деление отрицательных чисел Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению. Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « […]
Разрешением 960h Разрешения D1, 960Н, 720Р, 960Р, 1080Р Системы видеонаблюдения получают все большее распространение по всему миру. Оборудование постоянно совершенствуется, и данная сфера постоянно развивается. Как и в любой […]
Виды собственности по конституций Конституционное право Российской Федерации. Баглай М.В. 6-е изд., изм. и доп. — М.: Норма, 200 7 . — 7 84 с. Настоящий учебник, представляющий собой шестое, измененное и дополненное, издание, написан известным […]
aiki-group.ru
Деление многочлена на многочлен столбиком
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ
Деление многочлена на многочлен столбиком
Для решения уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) — многочлен степени n>2, часто применяют метод понижения степени. Он основывается на таком факте: если число x=b является корнем многочлена P(x), то есть P(b)=0, то многочлен P(x) делится без остатка на двучлен x-b.
После того, как мы разделим многочлен P(x) степени n на двучлен x-b, то мы получим многочлен степени n-1, то есть на единицу меньшей исходного. И дальше процедуру можно повторить.
Если старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, то корни многочлена P(x) мы ищем среди делителей свободного члена.
Решим уравнение
Свободный член многочлена в левой части уравнения равен 10.
Делители числа 10: 1; 2; 5; 10.
Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена. Для этого последовательно подставим эти значения вместо х в многочлен.
является корнями многочлена , и он делится на двучлены и без остатка.
Разделим многочлен на двучлен x-2 столбиком:

Таким образом, корни исходного уравнения:
х=2; х=1; х=-5.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Правила возведения в степень
a— основание степени, действительное число ( aϵ R )
n — показатель степени, натуральное число ( n ϵ N )

Произведение степеней с одинаковым основанием:

Деление степеней с одинаковым основанием:
если n > m

если n = m

если n < m

Возведение степени в степень:

Произведение в степени:

Деление в степени:
Подробности
Автор: Administrator
Опубликовано: 24 августа 2012
Обновлено: 24 мая 2017
www-formula.ru
Деление степеней с одинаковыми основаниями
Пусть надо a⁹ ÷ a³; здесь, согласно смыслу деления, дано произведение = a⁹ и дан один множитель = a³. Надо найти другой множитель. Напишем данное произведение (a⁹) подробнее
a · a · a · a · a · a · a · a · a
и отделим, например, подчеркивая, данный множитель, т. е. a³ или a · a · a. Тогда мы увидим, каков другой множитель, а именно осталось неподчеркнутым
a · a · a · a · a · a,
что = a⁶. Итак,
a⁹ ÷ a³ = a⁶.
Пусть надо b⁴⁷ ÷ b¹⁸. Данное произведение есть b⁴⁷ или такое произведение, где b повторяется множителем 47 раз; отделим один данный множитель, b¹⁸, или произведение, где b повторяется 18 раз множителем. Тогда мы сообразим, что искомым множителем является произведение, где b повторяется 29 раз множителем, т. е. b²⁹. Итак, b⁴⁷ ÷ b¹⁸ = b²⁹.
Также
x¹⁵ ÷ x⁵ = x¹⁰
(a + b)⁷ ÷ (a + b) = (a + b)⁶
3²³ ÷ 3²⁰ = 3³ = 27 и т. д.
Вообще
a^m ÷ aⁿ = a^m-n (если m > n)
или словами: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без изменения, а показатель делителя вычитается из показателя делимого (если показатель делимого больше показателя делителя).
Пусть теперь надо
20a⁵b⁴c²d ÷ 5a³b³c².
Здесь дано произведение (20a⁵b⁴c²d) и один множитель 5a³b³c²; надо найти другой множитель. У произведения коэффициент (+20), он получился от умножения коэффициента данного множителя (+5) на коэффициент искомого множителя. Чтобы найти этот коэффициент, надо (+20) ÷ (+5), получим +4. В данном произведении a взято множителем 5 раз, в данном множителе a входит множителем 3 раза. Поэтому в искомом множителе a должно входить множителем 2 раза, т. е. в искомом множителе должно быть a². В данном произведении b берется множителем 4 раза, а в данном множителе – 3 раза; следовательно, в искомом множителе b должно входить множителем лишь 1 раз. В данном произведении имеем c² (c берется множителем 2 раза) и в данном множителе имеем c². Поэтому в искомом множителе c не должно вовсе входить. В данном произведении имеется множитель d, а в данном множителе d вовсе нет; поэтому d должно иметься в искомом множителе. Итак,
20a⁵b⁴c²d ÷ 5a³b³c² = 4a²bd.
Еще примеры:

В предыдущем встречались деления, вроде c² ÷ c²; a ÷ a; b³ ÷ b³; и т. д. Здесь уместно заметить, что частное от деления какого-либо числа на самое себя всегда равно 1.
maths-public.ru

« Предыдущая 1 … 44 45 46 47 48 … 343 Следующая »

Свойство 1. (Определитель транспонированной матрицы) — КиберПедия

Транспонирование матрицы онлайн

Транспонирование матриц

Вы также можете

Свойства определителей. Правило знаков » ProcMem.Ru Линейная Алгебра

Еще записи по теме

Свойства операции транспонирования матриц:

44Минор, дополнительный минор. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)

матрицы и определители Лекция 2

Определитель (детерминант) матрицы. Свойства определителя — КиберПедия

Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?

Цифры

Примеры

Применение

Расширение

Юникод

Примечания

Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?

Цифры

Примеры

Применение

Расширение

Юникод

Примечания

Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?

Цифры

Примеры

Применение

Расширение

Юникод

Примечания

Римские цифры — Википедия

Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?

Цифры

Примеры

Применение

Расширение

Юникод

Примечания

Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?

Цифры

Примеры

Применение

Расширение

Юникод

Примечания

Римская цифра — это… Что такое Римская цифра?

Цифры

Примеры

Применение

Расширение

Юникод

Примечания

Формулы тригонометрии Википедия

Основные тригонометрические формулы

Соотношения тригонометрических функций одного и того же угла

Выражения тригонометрических функций друг через друга

Далее следуют формулы сложения и вычитания углов:

Формулы двойных, тройных и половинных углов.

Формулы преобразования тригонометрических выражений:

Формулы тригонометрии Вики

Основные тригонометрические формулы[ | код]

Замечание[ | код]

Формулы сложения и вычитания аргументов[ | код]

Формулы двойного угла и половинного угла[ | код]

Формулы тройного угла[ | код]

Формулы понижения степени[ | код]

Формулы преобразования произведения функций[ | код]

Формулы преобразования суммы функций[ | код]

Решение простых тригонометрических уравнений[ | код]

Универсальная тригонометрическая подстановка[ | код]

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)[ | код]

Полезные тождества[ | код]

Как найти периметр треугольника

Предварительные сведения

Как найти периметр разностороннего треугольника?

Как найти периметр равнобедренного треугольника?

Как найти периметр равностороннего треугольника?

Как найти периметр треугольника?

Как находить периметр треугольника