Рубрика: Школьная жизнь

(О разложении вектора по базису). Любой вектор некоторого пространства можно разложить по его базису, причем такое разложение единственно.

Таким образом, чтобы разложить некоторый вектор по базису , необходимо найти такие коэффициенты , при которых линейная комбинация базисных векторов равна вектору :

ru.solverbook.com

Базис системы векторов. Аффинные координаты

Определение 3. Векторное пространство называется n-мерным, если в нём существует в точности n линейно независимых векторов.

Базисом  n-мерного пространства называется любая система из n независимых векторов этого пространства.

Пример 1.  Доказать, что векторы

образуют базис в четырёхмерном пространстве.

Решение. Система векторов образует базис, если: 1) количество векторов равно размерности пространства; 2) эти векторы линейно независимы. Первое требование выполнено, остаётся доказать, что эти векторы линейно независимы. Попытаемся составить из них линейную нулевую комбинацию:

Подставим в это равенство вместо данных векторов их выражения в координатах и преобразуем левую часть:

или

Но вектор является нулевым, когда все его проекции равны нулю, т.е.

Таким образом, из данных векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, у которой хотя бы один коэффициент был отличен от нуля. Поэтому векторы

линейно независимы и, следовательно, образуют базис в четырёхмерном пространстве.

Аналогичным образом определяется разложение вектора по базису на плоскости: базис образуется двумя векторами, а координат разложенного по базису вектора также две.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами — координатами этих векторов.

Пример 2 Разложить вектор

по базису где

Решение. Рассматриваемые векторы принадлежат двумерному пространству: базис в этом пространстве должен состоять из двух векторов. В примере 7 установлено, что векторы

и

линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Запишем разложение вектора по этому базису:

Чтобы найти значения и , подставим в это разложение выражения векторов , и через координаты:

Выполнив преобразования в правой части равенства, получим

или

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат, т.е.

откуда

Следовательно, разложение вектора по базису , имеет вид

Замечание. В каждом векторном пространстве существует бесконечное множество различных базисов и в различных базисах один и тот же вектор имеет различные разложения (подобно тому, как точка имеет различные координаты в различных системах коорднат).

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , , и некоторой точки O, называемой началом координат.

Аффинными координатами любой точки M называются координаты вектора (относительно базиса , , .)

Поделиться с друзьями

Начало темы «Векторы»

Продолжение темы «Векторы»

function-x.ru

Разложение вектора по базису

Вектор вида , где () – некоторые числа, называется линейной комбинацией данных векторов . – коэффициенты линейной комбинации. Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Справедливы следующие теоремы

Т е о р е м а 1. Пусть даны два неколлинеарных вектора и. Любой компланарный с ними векторраскладывается по ним и такое разложение единственно. Т. е.,=+, гдеиединственные для этого векторавполне определенные числа.

Т е о р е м а 2. Пусть даны три некомпланарных вектора ,и. Любой векторраскладывается по ним и такое разложение единственно. Т. е.,=++.

Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Базис позволяет однозначно сопоставить вектору упорядоченную тройку чисел ,,— коэффициентов разложения этого вектора по векторам базиса. С другой стороны, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи базиса сопоставляется единственный вектор. Если,,— базис и=++, то числа,,называютсякоординатами вектора в данном базисе, при этом пишут. Аналогично дается определение базиса на плоскости, когда вектор имеет две координаты.

Действия над векторами, заданными своими координатами:

1.При умножении вектора на число все его координаты умножаются

на это число. Т.е., (++)=++и{,,}.

2. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. Т. е., если в выбранном базисе ,, то.

Аффинные координаты

Аффинные координаты в пространстве определяются (рис. 4) заданием базиса ,,и точкиО – начала координат (affinis – смежный, соседний).

Рис. 4

Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат: первая – ось абсцисс; вторая – ось ординат; третья – ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат – координатные плоскости.

Пусть в пространстве задана точка М. —радиус-вектор точки М. Тогда разложение по векторам базиса =++.Аффинными координатами точки М называются координаты — радиус-вектора

в рассматриваемой системе координат, пишут , где— абсцисса,— ордината,— аппликата точкиМ. В заданной аффинной системе координат координаты фиксированной точки определяются однозначно. С другой стороны, если задана система координат, то в ней каждой упорядоченной тройке чисел ставится в соответствие единственная точка. Аффинная система координат на плоскости определяет такое же соответствие между точками и упорядоченными парами чисел.

З а д а ч а. Пусть в заданной аффинной системеи. Требуется найти координаты вектора.

Рис. 5

Р е ш е н и е . Из чертежа (рис. 5) видно , тогда

++++=

=.

Таким образом, , то есть, координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Проекция вектора на ось

Ориентированной осью называется прямая, на которой закреплена точка — начало отсчета, выбрана единица длины и направление отсчета.

Рис. 6

Проекцией вектора на осьназывается величина, численно равная длине отрезкамежду основаниями перпендикуляров, опущенных из точекА и В на l. Эта длина берется со знаком плюс, если направление от ксовпадает с направлением осиl и минус в противном случае (рис. 6). Аналогично определяется проекция одного вектора на другой.

Углом между осью и вектором называется угол, на который нужно повернуть ось до совмещения с вектором кратчайшим образом (так чтобы их стрелки совпали). Из такого определения следует, что .

Свойства проекции вектора на ось.

1. Проекция равна нулю тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен оси (говорят, вектор ортогонален оси).

2. При параллельном переносе вектора его проекция не меняется.

3. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на

косинус угла между вектором и осью.

.

Рис. 7 Рис. 8

В этой формуле знак проекции регулируется знаком косинуса:

— если острый угол (рис. 7), тои;

— если тупой угол (рис. 8), тои.

4. Скалярный множитель можно выносить за знак проекции

.

5. Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых

.

studfiles.net

Разложение вектора по базису » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.2. Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть  – произвольный вектор,  – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

                   ,                       (1)

то говорят, что вектор  представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов  является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора  по базису . Коэффициенты линейной комбинации  называются в этом случае координатами вектора  относительно базиса .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

   Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и – базис . Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектора  и  коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число , что  и тем самым мы получили разложение вектора  по базису  векторного пространства .

   Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора  по базису  векторного пространства :

 и , где . Тогда  и используя закон дистрибутивности, получаем:

                      .

Так как , то из последнего равенства следует, что , ч.т.д.

2) Пусть теперь Р произвольная плоскость и  – базис . Пусть  произвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведем прямую , на которой лежит вектор , прямую , на которой лежит вектор . Через конец вектора  проведем прямую параллельную вектору  и  прямую параллельную вектору . Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма , и , ,  – базис ,  – базис .

   Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа , что

  и . Отсюда получаем:

 и возможность разложения по базису доказана.

                                         рис.3.

   Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора  по базису  векторного пространства :  и . Получаем равенство

, откуда следует . Если , то , а т.к. , то  и коэффициенты разложения равны: , . Пусть теперь . Тогда , где . По теореме о коллинеарности двух векторов отсюда следует, что . Получили противоречие условию теоремы. Следовательно,  и , ч.т.д.

3) Пусть – базис  и пусть  произвольный вектор. Проведем следующие построения.

Отложим все три базисных вектора  и вектор  от одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы , плоскость  и плоскость ; далее через конец вектора  проведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:

                             рис.4.

По правилу сложения векторов получаем равенство:

                        .                                    (1)

По построению . Отсюда, по теореме о коллинеарности двух векторов, следует, что существует число , такое что . Аналогично,  и , где . Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:

                                             (2)

 и возможность разложения по базису доказана.

   Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора  по базису :

 и . Тогда

       .       (3)

   Заметим, что по условию векторы   некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.

Возможны два случая:  или .

а) Пусть , тогда из равенства (3) следует:

           .                        (4)

Из равенства (4) следует, что вектор  раскладывается по базису , т.е. вектор  лежит в плоскости векторов  и, следовательно, векторы  компланарные, что противоречит условию.

б) Остается случай , т.е. .  Тогда из равенства (3) получаем  или

             .                           (5)

Так как – базис пространства векторов лежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из равенства (5) следует, что  и , ч.т.д.

Теорема доказана.

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

33. Единственность разложения векторов по базису. Координаты. Действия над векторами в координатной форме.

Пусть произвольные векторы являются базисом n-мерного векторного пространства. Если к ним добавить некоторый n-мерный вектор x, то полученная система векторов будет линейно зависимой. Из свойств линейной зависимости мы знаем, что хотя бы один вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные. Иными словами, хотя бы один из векторов линейно зависимой системы раскладывается по остальным векторам.

Так мы подошли к очень важной теореме.

Теорема.

Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Доказательство.

Пусть — базис n-мерного векторного пространства. Добавим к этим векторам n-мерный вектор x. Тогда полученная система векторов будет линейно зависимой и вектор x может быть линейно выражен через векторы : , где — некоторые числа. Так мы получили разложение вектора x по базису. Осталось доказать, что это разложение единственно.

Предположим, что существует еще одно разложение , где — некоторые числа. Отнимем от левой и правой частей последнего равенства соответственно левую и правую части равенства :

Так как система базисных векторов линейно независима, то поопределению линейной независимости системы векторов полученное равенство возможно только тогда, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому, , что доказывает единственность разложения вектора по базису.

Определение.

Коэффициенты называются координатами вектора x в базисе .

После знакомства с теоремой о разложении вектора по базису, мы начинаем понимать суть выражения «нам задан n-мерный вектор ». Это выражение означает, что мы рассматриваем вектор x n-мерного векторного пространства, координаты которого заданы в некотором базисе. При этом мы понимаем, что этот же вектор x в другом базисе n-мерного векторного пространства будет иметь координаты, отличные от .

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть в некотором базисе n-мерного векторного пространства нам задана система из nлинейно независимых векторов   и вектор . Тогда векторы также являются базисом этого векторного пространства.

Пусть нам требуется найти координаты вектора x в базисе . Обозначим эти координаты как .

Вектор x в базисе имеет представление . Запишем это равенство в координатной форме:   Это равенство равносильно системе из n линейных алгебраических уравнений с nнеизвестными переменными :   Основная матрица этой системы имеет вид   Обозначим ее буквой А. Строки матрицы А представляют собой векторы линейно независимой системы векторов , поэтому ранг этой матрицы равен n, следовательно, ее определитель отличен от нуля. Этот факт указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено любым методом, например, методом Крамера или матричным методом.

Так будут найдены искомые координаты вектора x в базисе .

Разберем теорию на примерах.

Пример.

В некотором базисе трехмерного векторного пространства заданы векторы   Убедитесь, что система векторов также является базисом этого пространства и найдите координаты вектора x в этом базисе.

Решение.

Чтобы система векторов была базисом трехмерного векторного пространства нужно, чтобы она была линейно независима. Выясним это, определив ранг матрицы A, строками которой являются векторы . Ранг найдем методом Гаусса   следовательно, Rank(A) = 3, что показывает линейную независимость системы векторов.

Итак, векторы являются базисом. Пусть в этом базисе вектор x имеет координаты . Тогда, как мы показали выше, связь координат этого вектора задается системой уравнений   Подставив в нее известные из условия значения, получим    Решим ее методом Крамера:   Таким образом, вектор x в базисе имеет координаты .

Ответ:

.

Пример.

В некотором базисе четырехмерного векторного пространства задана линейно независимая система векторов   Известно, что . Найдите координаты вектора x в базисе .

Решение.

Так как система векторов линейно независима по условию, то она является базисом четырехмерного пространства. Тогда равенство означает, что вектор x в базисе имеет координаты . Обозначим координаты вектора x в базисе как .

Система уравнений, задающая связь координат вектора x в базисах и имеет вид   Подставляем в нее известные значения и находим искомые координаты :  

Ответ:

.

studfiles.net

12.3. Разложение вектора по базису Представление вектора в произвольном базисе

Пусть система векторов

является базисом, а вектор — их линейной комбинацией. Име­ет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.

Доказательство. Предположим, что вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов (12.9) двумя способами:

где наборы чисел α_i и β_i, среди которых обязательно есть не­нулевые значения, не совпадают. Вычитая одно равенство из другого, имеем

Мы получили, что линейная комбинация векторов системы (12.9), в которой не все коэффициенты равны нулю (в силу несовпадения α_i и β_i), равна нулю, т.е. данная система оказа­лась линейно зависимой, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.

Стало быть, в произвольном базисе пространства Rⁿ

любой вектор этого пространства обязательно представим в виде разложения по базисным векторам:

причем это разложение является единственным для данного базиса. Коэффициенты разложения

называются координатами вектора в базисе (12.10), и, как следует из сказанного, этот набор единственный для любого вектора из Rⁿ в данном базисе.

Задача нахождения коэффициентов разложения в случае произвольного базиса (12.10) является, вообще говоря, непро­стой. Нужно приравнять соответствующие координаты линей­ной комбинации векторов слева и координаты вектора в (12.11). Пусть базисные векторы и вектор заданы в следующей координатной форме:

Выполнение процедуры, описанной выше, приводит к системе п линейных уравнений относительно п неизвестных координат разложения вектора в базисе (12.10):

Такие системы уравнений и методы их решения представляют отдельные разделы линейной алгебры; они будут рассмотрены в следующих главах.

Разложение вектора в ортогональном базисе

Рассмотрим базис пространства Rⁿ, в котором каждый век­тор ортогонален остальным векторам базиса:

Ортогональные базисы хорошо известны и широко использу­ются на плоскости и в пространстве (рис. 12.2). Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются по весьма простой про­цедуре, не требующей трудоемких вычислений.

Действительно, пусть требуется найти разложение произ­вольного вектора в ортогональном базисе (12.13). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор ₁. В силу свойств 2 и 3 скалярного произ­ведения векторов имеем

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (12.13) все скалярные произведения векторов базиса, за исклю­чением первого, равны нулю, т.е. коэффициент α₁ определяется по формуле

Умножая поочередно равенство (12.14) на другие базисные век­торы, мы получаем простую формулу для вычисления коэффи­циентов разложения вектора :

Нетрудно видеть, что соотношения (12.15) имеют смысл, по­скольку |_i| ≠ 0.

Отметим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы в (12.13) имеют единичную длину (|_i| = 1), или нормированы по своей длине. В таком случае базис назы­вают ортонормированным и координаты разложения (12.15) имеют наиболее простой вид:

studfiles.net

Разложение вектора по базисным векторам. — КиберПедия

Пусть заданапрямоуг. с-ма координат. Введем в рассмотрение единичные векторы, коорд. осей . -базисные вектора с-мы координат или орты. -произвольный вектор пр-ва. Отложим из начала координат вектор . По св-вам координат . Пусть числу на оси Ох соотв-ет точка , на . Тогда , ,

— ф-ла разложения по базисным векторам.

Пр. (1;2;3)

(1;0;0)+2(0;1;0)+3(0;0;1)=

Скалярное произведение векторов.

О.Скалярное произведение двух векторов и – число, равное произведению их модулей на угла между ними.

Св-ва:

ü

ü

ü тогда и только тогда, когда

ü угла между векторами вычисляется по ф-ле:

ü

ü

Т. Если векторы имеют координаты ; , тогда

Док-во:

Разложим исходные вертора по базисным векторам:а=a1*i+a2*j+a3*k;b=b1*i+b2*j+b3*k,перемножим

a*b=(a1*i+a2*j+a3*k)*( b1*i+b2*j+b3*k)={i*i=1,i*j=j*i=0,j*k=0,j*j=1,k*k=1}=

следствие:

1)cosf= /корень(а1^2+a2^2+a3^2)*(b1^2+b2^2+b3^2)

2)верторы ортогональны тогда и только тогда,когда =0

Правые и левые с-мы координат.

Три некомпланарных вектора в указанном порядке наз-ют тройкой векторов.

Пусть отложены из одной точки, будем смотреть из конца вектора на плоскость, содержащую и . Если кратчайший поворот от к осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов наз-тсяправой тройкой, если по часовой-то левой.

Векторное произведение векторов.

О. Векторным произведением на наз-тся , к-рый удовлетворяет след.условиям:

1.

2. каждому из векторов и

3.тройка векторов ,является правой

Св-ва:

ü

ü и -коллинеарны только тогда, когда =0

ü площадь параллелограмма, построенного на векторах и = модулю векторного произведения

ü

ü

ü

Т. Пусть , , тогда

Разложим и по базисным векторам

=

Пр.

тогда Смешанное произведение

О. Пусть даны 3 вектора . Умножим векторно, а полученный р-т скалярно на . В р-те получим число , называемое смешанным произведением векторов .

Смешанное произведение 3-х некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если тройка правая и со знаком «-» — если левая.

Док-во:

Рассмотрим паралнлогрампостроенный на этих векторах.

16)Функции нескольких переменных.

Рассм. арифметическое -мерное пр-во ú

Пусть подмнож-во множ-ва . –нек-рое множ-во элементов , если каждому элементу ставится в соотв-е единственный элемент , то говорят, что на множ-ве задана ф-я

О. Пусть имеется переменных величин и каждому значению из некоторогомнож-ва соотв-ет одно, вполне определенное значение переменной . Тогда говорят, что задана ф-я нескольких переменных .

Ф-ла задает объем цилиндра, как ф-ю двух переменных . переменные величины называют независимыми переменными или аргументами. –зависимая переменная. Символ обозначает з-н соотв-я, множ-во – область определения.

Рассм. нек-рые примеры ф-и нескольких переменных. Ф-я 1) , -называется линейной; 2) —квадратичная ф-я.

Предел.

Множ-во точек , координаты к-рых удовлетворяют нер-ву <dназ-сяd -окрестностью точки .

О. Пусть нек-рая ф-я определена в нек-рой окрестности точки кроме самой точки . Число А наз-тся пределом ф-и при , или . Если для любого существует , такое что для всех и из -окрестности точки вып-тсянер-во <e.

, <e

Предел ф-и двух переменных обладает св-вами, аналогичнымисв-вам предела ф-и одной переменной. О.Ф-я наз-тсянепрерывной в точке если:

1.она определена в

2.имеет конечный предел при ,

3.этот предел = значению ф-и, т.е. .

cyberpedia.su

Возьмем на касательной произвольную точку  с координатами :

И рассмотрим прямоугольный треугольник :

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции  в точке .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти  и .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания  

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции  в точке .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции   в точке .

а) Найдем значение функции в точке .

.

б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции 

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим: 

Ответ: .

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции  параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси  равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции  в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции .

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

3. Написать уравнения касательных к графику функции ,параллельных  прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То естьмы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым,значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция  и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции  равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

Приравняем производную к числу -1.

 или 

 или 

б) Найдем уравнение касательной к графику функции  в точке .

Найдем значение функции в точке .

 (по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции  в точке .

Найдем значение функции в точке .

 (по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

Ответ: 

u4ilki.ucoz.ru

Для этого необходимо найти значение так называемого дискриминанта, которое вычисляется по формуле D = b^2 − 4ac. Все необходимые коэффициенты необходимо взять из первоначального равенства: таким образом, для рассматриваемого случая дискриминант будет рассчитываться как D = (-8)^2 — 4*2*6 = 16.

Значение дискриминанта может быть положительным, отрицательным или нулевым. При положительном значении дискриминанта квадратное уравнение будет иметь два корня, как в данном примере. При нулевом значении этого показателя уравнение будет иметь один корень, а при отрицательном значении можно сделать вывод, что уравнение не имеет корней, то есть таких значений x, при которых равенство обращается в верное.

Для нашего примера следует использовать ранее найденное значение дискриминанта. Таким образом, первое значение x = (8 + 4) / 2*2 = 3, второе значение x = (8 — 4) / 2*4 = 1. Для проверки следует подставить найденные значения в первоначальное уравнение, убедившись, что в обоих случаях оно представляет собой верное равенство.

www.kakprosto.ru

Квадратные уравнения, формулы и примеры

Определение и формула квадратного уравнения

Изучению квадратных уравнений были посвящены труды ученых древности, тому свидетельством являются найденные древние вавилонские глиняные таблички (1800-1600 г.г. до н.э.). На них представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Древнеиндийский математик Баудхаяма в 8 веке до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме и , а также привел их решения.

Вавилонские математики примерно с 4 века до н.э. и китайские математики примерно со 2 века до н.э. использовали метод дополнения (выделения полного) квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид ( г. до н.э.- г. до н.э.) придумал более общий геометрический метод решения таких уравнений.

В зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение может иметь различное количество корней как действительных, так и комплексных.

Примеры решения квадратных уравнений

Случай 1. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня, которые находятся по формулам:

Случай 2. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два совпадающих действительных корня (или корень кратности два), который вычисляется по формуле:

Случай 3. Если дискриминант , то уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:

где называется мнимой единицей, удовлетворяющей соотношению .

ru.solverbook.com

б).

.

— окружность,,

.

Задача 2. а) Найти точки пересечения прямойи окружности.

Решение. Чтобы найти точки пересечения двух линий, нужно решить систему их уравненийи. Для этого подставимв уравнение окружности:, осталось найти;.

Ответ:,.

б) Показать, что прямая и окружностьне пересекаются.

Решение. Для этого достаточно показать, что система уравненийирешений не имеет. Подставимв уравнение окружности:, дискриминант уравнения. Решений у системы нетточек пересечения у линий нет.

Задача 3. Окружность касается осей координат и проходит через точку. Составить уравнение этой окружности.

Решение.Так как окружность касается осей координат, тов уравнении, т.е.

и (почему?). Таким образом, каноническое уравнение окружности. Чтобы найти, подставим в это уравнение координаты точки, через которую проходит окружность:

,,.

Ответ: ;.

Задача 4. Вычислить кратчайшее расстояние от точкидо окружности.

Решение.– кратчайшее расстояние от точкидо окружности. Очевидно,.– центр окружности,- ее радиус. Приведем уравнение окружности к каноническому видуили,. Вычислим длину отрезка.

Ответ:.

Задача 5. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок прямой, заключенный между осями координат.

Решение.Преобразуем уравнение прямойк виду «уравнение прямой в отрезках на осях»:, откуда видно, что-и точки пересечения прямой с

осями координат, — диаметр окружности по условию задачи. Следовательно, центр

окружности — точка– середина, т.е. координаты центра окружности,

ведь ,, а радиус окружности

2

.

Ответ:.

Задача 6.Окружность задана уравнением. Составить уравнение ее диаметра, перпендикулярного хорде.

Решение. Диаметрпроходит через центр окружности.

П

2

или , откуда. По условию задачи диаметр

перпендикулярен данной прямой , значит, по условию перпендикулярности

двух прямых , получим, т.к. угловой коэффициент данной

прямой . Итак, прямая:, или, или.

Ответ:.

Задача 7. Написать каноническое уравнение эллипса, у которого расстояние от одного из фокусов до концов большой оси равно 5 и 1.

Решение.Общий вид канонического уравнения эллипса :, где– большая полуось эллипса, а- малая полуось эллипса. Найдем их. По

условию задачи ,, следовательно,или

,,– фокусное расстояние эллипса,

откуда – полуфокусное расстояние. Зависимость

между параметрами ,,у эллипса:

. Таким образом, каноническое

уравнение эллипса: .

Ответ:.

Задача 8. Найти полуоси, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет эллипса. Построить его.

Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому видуили, откуда;, т.к. для эллипса, то. Таким образом:;;;;;. Эксцентриситет эллипса.

Ответ: .

Задача 9.Привести уравнение кривой к каноническому виду:. Построить эту кривую, найти ее эксцентриситет.

Решение. Выделим в уравнении кривой полные квадраты по

и:или. Из уравнения

видно, что центр симметрии эллипса (данной кривой) находится в точке;

— малая и– большая полуоси эллипса,;.

Ответ:.

Задача 10.Дана гипербола. Найти координаты ее вершин, фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы.

Решение.Каноническое уравнение гиперболы, следовательно, для данной гиперболы,. Зависимость между параметрами гиперболы:

,. Значит,;;

;;;;; асимптоты:

или. (Ответ)

Задача 11. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить ее:.

Р

4

следует, что центр симметрии кривой ,- действительная,

4

полуфокусное расстояние гиперболы .

Задача 12. Привести уравнение кривойк каноническому виду, построить кривую.

Решение. Преобразуем данное уравнение. Выделив пополный квадрат:

или- это каноническое уравнение параболы

5

симметрии параллельна оси .

Задача 13.Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал дугу параболы и упал на расстоянии 16 м от начального положения. Определить параметр параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12 м.

Решение. Выберем систему таким образом, чтобы можно было задать параболу

5

системе координат координаты точек ,, т.к.,.

Подставим координаты одной из них в уравнение параболы: ,

отсюда .

Ответ: .

Задача 14. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы, параметр которого равен. Определить высоту струи, если известно, что она падает в бассейн на расстоянии 2 м от места выхода.

Решение. Решая эту задачу, можно воспользоваться рисунком предыдущей задачи и уравнением параболы. По условию задачи известно, чтом,, следовательно,,,. Подставим в уравнение параболы данный параметр и координаты точки, через которую проходит парабола, например:, откуда. Это ордината точеки, а также и высота параболы, следовательно,.

Ответ:

studfiles.net

Определить вид кривой 2-го порядка онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Приведём примеры кривых второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:

Кривая

Ислледование на определение вида кривой будет выглядеть примерно так:

Имеется два способа: Прямой метод и метод инвариантов:

Дано ур-ние кривой 2-порядка: $$5 x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Вычислим определитель $$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$ или, подставляем $$\Delta = \left|\begin{matrix}5 & 2\\2 & 8\end{matrix}\right|$$ $$\Delta = 36$$ Т.к. $$\Delta$$ не равен 0, то находим центр канонической системы координат. Для решаем систему уравнений $$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$ $$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$ подставляем коэффициенты $$5 x_{0} + 2 y_{0} + 4 = 0$$ $$2 x_{0} + 8 y_{0} + 7 = 0$$ тогда $$x_{0} = — \frac{1}{2}$$ $$y_{0} = — \frac{3}{4}$$ Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O’x’y’ $$a’_{33} + a_{11} x’^{2} + 2 a_{12} x’ y’ + a_{22} y’^{2} = 0$$ где $$a’_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$ или $$a’_{33} = 4 x_{0} + 7 y_{0} + 5$$ $$a’_{33} = — \frac{9}{4}$$ тогда ур-ние превратится в $$5 x’^{2} + 4 x’ y’ + 8 y’^{2} — \frac{9}{4} = 0$$ Делаем поворот системы полученной координат на угол φ $$x’ = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} — \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$ $$y’ = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$ φ — определяется из формулы $$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{a_{11} — a_{22}}{2 a_{12}}$$ подставляем коэффициенты $$\cot{\left (2 \phi \right )} = — \frac{3}{4}$$ тогда $$\phi = — \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$ $$\sin{\left (2 \phi \right )} = — \frac{4}{5}$$ $$\cos{\left (2 \phi \right )} = \frac{3}{5}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \sqrt{\frac{1}{2} \cos{\left (2 \phi \right )} + \frac{1}{2}}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = \sqrt{- \cos^{2}{\left (\phi \right )} + 1}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = — \frac{\sqrt{5}}{5}$$ подставляем коэффициенты $$x’ = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}$$ $$y’ = — \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y$$ тогда ур-ние превратится из $$5 x’^{2} + 4 x’ y’ + 8 y’^{2} — \frac{9}{4} = 0$$ в $$8 \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right)^{2} + 4 \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right) \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right) + 5 \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right)^{2} — \frac{9}{4} = 0$$ упрощаем $$4 \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} — \frac{9}{4} = 0$$ Данное уравнение является эллипсом $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1$$ — приведено к каноническому виду.
Центр канонической системы координат в точке O:

(-1/2, -3/4)

Базис канонической системы координат $$\vec e_1 = \left ( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \quad — \frac{\sqrt{5}}{5}\right )$$ $$\vec e_2 = \left ( \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right )$$

Метод инвариантов

Дано ур-ние линии 2-порядка: $$5 x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$

     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} — \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} — \lambda\end{matrix}\right|$$

     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

подставляем коэффициенты $$I_{1} = 13$$

     |5  2|
I2 = |    |
     |2  8|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}5 & 2 & 4\\2 & 8 & 7\\4 & 7 & 5\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 5 & 2\\2 & — \lambda + 8\end{matrix}\right|$$

     |5  4|   |8  7|
K2 = |    | + |    |
     |4  5|   |7  5|

$$I_{1} = 13$$ $$I_{2} = 36$$ $$I_{3} = -81$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} — 13 \lambda + 36$$ $$K_{2} = 0$$ Т.к. $$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$ то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : эллипс.
Составляем характеристическое уравнение для нашей линии: $$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$ или $$\lambda^{2} — 13 \lambda + 36 = 0$$ $$\lambda_{1} = 9$$ $$\lambda_{2} = 4$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$ или $$9 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} — \frac{9}{4} = 0$$ $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} = 1$$ — приведено к каноническому виду.

www.kontrolnaya-rabota.ru

Кривые и поверхности второго порядка

3. Построение графиков

Подтвердим результаты проведённого исследования данного уравнения кривой (3.1) второго порядка, построив соответствующие графики кривых при разных a.

При a = 3 уравнение (3.1) принимает вид:

2x² + 4xy + 3y² + 8x – 6y +5 = 0

Графиком данного уравнения является парабола:

При a = 6 уравнение (3.1) принимает вид:

x² + 4xy + 3y² + 8y² – 6y +5 = 0

Графиком данного уравнения является гипербола:

При a = 0 уравнение (3.1) принимает вид

5x² + 4xy + 3y² + 8y² – 6y +5 = 0

Графиком данного уравнения является эллипс. Изобразим в данной системе также график канонического уравнения эллипса (3.6):

4. Вывод

Исследовав данное общее уравнение кривой второго порядка, мы установили, что при значении параметра a = 0 уравнение задаёт эллипс . Привели уравнение к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота. При параллельном переносе коэффициенты при первых степенях стали равны нулю, при повороте координатных осей коэффициенты при смешанном произведении стали равны нулю. Построили графики для всех фигур, которое может задавать данное уравнение, построили график эллипса в общей и канонической системе координат.

1. Определение типа поверхности

Для данного уравнения поверхности второго порядка:

4x² — z² + 12xz + 6y — 8z + 5 = 0 (4.1)

Определить тип поверхности с помощью инвариантов.

Определим характер расположения центра: Данная поверхность не имеет центра , так как выполняется условие I ₃ = 0, I ₄ ¹ 0. При этом инвариант I ₄ = 360 > 0, следовательно, графиком уравнения (4.1) является гиперболический параболоид .

2. Приведение к каноническому виду

Совершим параллельный перенос начала координат в некоторую точку O ‘( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) . При этом координаты x , y , z произвольной точки пространства в системе координат Oxyz и координаты x ‘, y ‘, z ‘ этой же точки в новой системе координат в системе координат O ‘ x ‘ y ‘ z ‘ связаны соотношением:

Подставляя уравнения (4.2) в уравнение (4.1) получим уравнение поверхности S в новой системе координат O ‘ x ‘ y ‘ z ‘ :

4(x’+x₀ )² — (z’+z₀ )² + 12(x’+x₀ )(z’+z₀ ) + 6y’ — 8(z’+z₀ ) + 5 = 0

4x’² + 8x’x₀ + 4x₀² — z’² — 2z’z₀ — z₀² + 12x’z’ + 12z’z₀ + 12x₀ z’ + 12x₀ z₀ + 6y’ — 8z’ — 8z₀ + 5 = 0

4x’² — z’² + 12x’z’ + 6y’ + (12x₀ — 2z₀ — 8)z’ + (8x₀ + 12z₀ )x’ + (4x₀² — z₀² + 12x₀ z₀ — 8z₀ +5)=0 (4.3)

Для того, чтобы новое начало координат O'(x₀ , y₀ , z₀ ) было центром поверхности (4.1) необходимо и достаточно, чтобы в уравнении (4.3) отсутствовал член с x’ и z’ в первой степени:

Решая данную систему, находим x₀ =

4x’² — z’² + 12x’z’ + 6y’ + (

4x’² — z’² + 12x’z’ + 6y’ +

Поскольку коэффициент при x’z’ не равен нулю, то продолжим дальнейшее преобразование, совершив поворот осей координат на угол a. Координаты произвольной точки поверхности будут связаны следующими соотношениями:

Подставив выражения из (4.5) в уравнение (4.4), получим следующее:

4(Xcosa — Zsina)² – (Xsina + Zcosa)² + 12(Xcosa — Zsina)(Xsina + Zcosa) + 6Y +

4X² cos² a — 8XZcosasina + 4Z2sin² a — X2sin² a — 2XZsin² a — 2XZcosasina -Z² cos² a + 12X² cosasina + 12XZcos² a — 12XZsin² a — 12Z² sinacosa + 6Y +

(4cos² a-sin² a+12cosasina)X² +(4sin² a-cos² a-12sinacosa)+(-8cosasina-2cosasina+12cos² a-12sin² a)XZ+6Y+

Найдём угол a такой, что коэффициент при XZ будет равен нулю:

-8cosasina-2cosasina+12cos² a-12sin² a=0

6tg² a+5tga-6=0

D = 25+144 = 169 = 13²

Откуда следует, что tga =

(

— это каноническое уравнение поверхности (4.1). Оно имеет сдвиг по оси O’Y на (-

3. Исследование формы поверхности методом сечений

Проведём исследование графика уравнения (4.7) методом сечения плоскостями.

Рассмотрим линии

Следовательно, уравнения проекций линий

Рассмотрим три случая:

Если h +

Уравнение (4.8) задаёт гиперболы с центрами в точках (0, h ,0).

Полуоси гипербол:

a =

h = 1 a=

h=2 a=

h=3 a=

Изобразим данные гиперболы на рисунке:

Если h +

mirznanii.com

Расчет кривой второго порядка на плоскости по точкам

Полученная формула

Коэффициенты через пробел

Калькулятор предназначен для расчета и создания уравнения кривых второго порядка на декартовой плоскости по нескольким точкам, от двух до пяти.

Не является секретом то, что уравнение кривой второго порядка может быть представлена формулой

Мы будем использовать чуть измененную формулу, разделив все коэффициенты на a6

отсюда видно, что кривую второго порядка  можно однозначно определить по пяти точкам.

Кривая второго порядка при различных коэффициентах может превращатся в следующие «типы»:

— Эллипс

— Окружность

— Парабола

— Гипербола

— пара пересекающихся прямых

— пара паралельных несовпадающих прямых

— пары совпадающих прямых

— линии, вырождающиеся в точку

— «нулевые линии», то есть «линии», вовсе не имеющие точек

Если Вам интересны формулы при которых получаются все эти типы, то пожалуйста

  — окружность

 — «нулевая» окружность

 — эллипс

  —  точка

  —  равносторонняя гипербола

  — пара пересекающихся прямых

 — формула параболы

 — пара параллельных прямых

 — нулевая линия

 — пара совпадающих прямых

Этот сервис позволяет Вам по заданным точкам определить, какую же кривую второго порядка провести через эти точки. Кроме этого, Вы увидите все основные параметры полученной кривой второго порядка. 

От Вас лишь понадобится предоставить боту от двух до пяти декартовых координат, что бы бот мог решить эту задачу.

Инварианты и сводная таблица

Любая кривая второго порядка  характеризуется  тремя инвариантами, имеющими вид

И одним семиинвариантом

если Вам интересно, откуда они появились, то рекомендуем  прочитать книгу «Аналитическая геометрия — Делоне»

Характеристическое уравнение кривой второго порядка:

Таким образом сводная таблица имеет вид

Анализируя написанные онлайн калькуляторы по этой теме, нашел интересную «особенность». Попробовав рассчитать по трем точкам  кривую второго порядка, зная что эти точки принадлежат окружности, я с завидным постоянством получал ответ, что графиком(формой)полученного уравнения кривой является эллипс.

Нет формально, конечно стоит признать что окружность является частным примером эллипса, но ведь можно пойти дальше и признать что и эллипс и гипербола и парабола, являются лишь частным примером кривой второго порядка общего вида,  и в ответах таких калькуляторов выдавать ответ  пользователю «вы получили уравнение второго порядка» и всё…  не соврали же…

Такое сверхлегкое трактование и смешение определений геометрических фигур, никак не способствует пониманию  и сути решаемых задач. Это как в анекдоте «А теперь нарисуем квадрат со сторонами 3 на 4»(с)  И не поймешь то ли рисовать квадрат, то ли прямоугольник….

Синтаксис 

Jabber:  kp2 <строка>

Строкой является список чисел  разделенное пробелами. 

А каждое «число» представляет собой абсциссу  и ординату точки  разделенные двоеточием.

Координат или их «замен» должно быть ровно шесть

То есть если мы знаем пять координат то 6 элементом у нас будет единица.

В вкладке Пример Вы сможете увидеть решения некоторые.

Если в строке  есть числа не имеющие : то это означает  что это неизменяемый соответствующий коэффициент кривой второго порядка.

Например если в строке стоит ноль на первой позиции строки   то это означает что A1=0

Бот вычисляет численные параметры кривой. Если же Вам надо нарисовать кривую второго порядка на плоскости, просьба использовать программу GeoGebra и материал Построить график функции c помощью GeoGebra

Примеры

Пример:

Начнем сразу с проверочного примера

Вообще, убедимся правильно ли считает бот?

Итак, есть у нас функция x*x+3x-11=y

определим значения при x=1,2,3,4,5

значения получились такие y=-7,-1,7,17,29

и зададим эти точки в качестве исходных

пишем kp2 1:-7 2:-1 3:7 4:17 5:29

в результате получаем следующее:

На первый взгляд получилось далеко не то, что должно получится.

Но если мы уберем нулевые коэффициенты, и разделим все на  0.09091 то результат будет такой 

{tex}-x^2-3*x+y+11=0{tex}

то есть

Что и требовалось доказать  в качестве правильности расчетов  нашего бота.

Теперь пусть у нас есть всего лишь три точки

С координатами x=1,2,3 и y=-7,-1,7

Логично, что это тоже самое уравнение параболы  что мы разбирали в первом примере. НО! при трех точках такое решение не единственное.

Давайте попробуем задать боту  всего три координаты и скажем ему какого вида уравнение мы хотим получить.

Например:

Это частное уравнение кривой второго порядка в котором коэффициенты а1 и а5 равны нулю

Скажем об этом боту

kp2 0 1:-7 2:-1 3:7 0 1

где 0- показывает какие коэффициенты нам НЕ надо  учитывать, а 1 — это постоянный коэффициент, то есть его находить нет необходимости. Он известен.

Видим что не учитываем 1 и 5 коэффициент.

получим

Кривая второго порядка a1*x*x+a2*y*y+a3*x*y+a4*x+a5*y+a6 = 0

Коэффициент a2 при y*y равен -0.00621100

Коэффициент a3 при x*y равен 0.03312600

Коэффициент a4 при x равен -0.46376800

Коэффициент a6 равен 1

То есть есть еще одна кривая которая проходит через заданные три точки

это

Кто желает может проверить. Но уверяю что все правильно.

• Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам >>

abakbot.ru

Глава V кривые второго порядка Парабола

Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки,называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы принятo записывать в следующем виде:

y² = 2px , p>0 (1)

Свойства параболы непосредственно следуют из

свойств уравнения:

1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна.

2.Парабола проходит через начало координат.

3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс.

4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине.

Точка F(;0) называетсяфокусом параболы, прямая —директрисой.

Величина р называется фокальным параметром или просто параметром параболы.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а (а>0), большая, чем расстояние между фокусами.

Для составления уравнениэллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокусы F₁ и F₂, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F₁F₂.

Обозначим F₁F₂ = 2с. Тогда F₁(-с,0), F₂(c,0). Пусть М(х,у)— произвольная точка эллипса. Тогда MF₁+ MF₂= 2а, а>с.

Так как , и уравнение принимает вид:

. (2)

Пусть координаты точки М₁(х₁,у₁)удовлетворяют уравнению (2).

Обозначим r₁ = F₁M₁, r₂ = F₂M₂ — фокальные радиусы точек М1 М₂. Тогда , , значит, r₁+r₂=2a.

Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса.

1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А₁(-а,0), А₂(а,0), В₁(0,b), В₂(0,-b), называемых вершинами эллипса.

3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х=а, у =b.

4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.

По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А₁А₂ и его длина 2а называются большой осью эллипса, а отрезок B₁B₂ и его длина 2b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА₁ с длиной а и отрезок ОВ₁ с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F₁F₂=2с называется фокусным расстоянием, начало координат— центр эллипса.

Если а=b, то получаем каноническое уравнение окружности

Уравнения х = acost, у = bsint —

Параметрические уравнения эллипса.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число

Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса

совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.

.

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:

r₁=а+εх, r₂=а—εх

studfiles.net

8.5. Исследование кривых второго порядка

Исследование кривых второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка можно представить уравнением

Чтобы определить тип кривой, нужно вычислить дискриминант старших членов

и дискриминант уравнения

Если то кривая центральная, еслито кривая нецентральная.

В зависимости от значений общее уравнение кривой определяет следующий геометрический образ,

Таблица 1

Преобразование центральной кривой.

1. Найдем координаты центра кривой, для чего составим и решим систему

Решение системы будет точка – центр кривой.

Необходимо выполнить параллельный перенос начала координат системы в центр кривой – точкуПосле преобразования параллельного переноса общее уравнениекривой второго порядка не будет содержать членов с первыми степенями переменных иа группа старших членов останется неизменной.

Уравнение примет вид

2. Найдем угол поворота системы по формуле

Вычислим

Знак выбирается в соответствии с тем, в какой четверти выбран угол

Если при этом вычисление окажется затруднительным, то следует, знаянайтииз таблиц.

Подставить значение в формулы поворота осей координат

Формулы поворота подставим в уравнение

При этом преобразовании в уравнении кривой коэффициент при произведении обратится в нуль, свободный членостанется неизменным.

Уравнение примет вид

Это уравнение, которое приводится к каноническому.

Преобразование нецентральной кривой

Преобразование кривой параболического типа следует начать с поворота системы координат на угол который находится по формуле

Вычислим по формулам

Подставим значения в формулы поворота осей координат

Формулы поворота подставим в заданное уравнение. При этом преобразовании в уравнении кривой коэффициенты при иили приобратятся в нуль, а свободный член остается неизменным.

Уравнение кривой примет вид

или

В полученном уравнении выделим квадрат двучлена, т.е. приведем к виду

или

т.е.

Выполнить преобразование параллельного переноса начала координат в вершину параболы, обозначив

где точка вершина параболы, начало координат системы

Уравнение кривой при этом примет вид

— это каноническое уравнение параболы.

Преобразование нецентральной кривой

Если то уравнение кривой можно представить в виде

Решив это квадратное уравнение относительно двучлена получим пару параллельных прямых

где корни квадратного уравнения относительно двучлена

Рассмотрим пример. Преобразовать к каноническому виду и построить кривую

Вычислим дискриминант старших членов

Вычислим дискриминант уравнения

Вывод: следовательно, кривая центральная-эллипс.

Выполним преобразование параллельного переноса начала координат в центр кривой, координаты которого найдем из системы

Центр кривой – точка

Уравнение примет вид

данное уравнение не содержит членов с первыми степенями группа старших членов остается неизменной.

Выполним преобразование поворота осей координат, на угол которой найдем по формуле

Формулы поворота осей координат примут вид

Подставим их в уравнение кривой, получим

каноническое уравнение эллипса, где

Найдем точки пересечения кривой с осью для чего решим систему

Точки пересечения

Выполним построение

Рис. 20

Контрольные вопросы

1. Записать каноническое уравнение окружности и ее основные характеристики.

2. Записать каноническое уравнение эллипса и перечислить его характеристики.

3. Записать каноническое уравнение гиперболы и назвать ее характеристики.

4. Записать каноническое уравнение параболы.

5. Знать схему исследования кривых второго порядка.

Лекция №9. Плоскость

9.1. Плоскость и ее уравнения.

9.2. Общее уравнение плоскости и его частные виды.

9.3. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

9.4. Нормальное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.

studfiles.net

III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ЗАВИСИМОСТЬ КРИВЫХ ОТ КОЭФФИЦИЕНТОВ

1

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Конечно же, каждый из нас слышал о таких понятиях как график функции, система координат, гипербола и т.п. Всё это является составляющими темы «Функции», с которой знакомимся мы в школе ещё в среднем звене.

Функция — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества. Этот закон определяется уравнением , и на основе него строится график в плоской системе координат, задаваемой двумя осями X и Y. Двигаясь от 6 до 10 класса, мы усложняли уравнения и графики, вводили новые понятия, но никогда не выходили за рамки основного определения функции и принципа построения графиков. То есть нами не рассматривалась возможность построения, например, такой кривой как трехлепестковая полярная роза. Единственным, наверное, примером кривой (не функции) была окружность, которая встречалась нам как тригонометрии, так и при решении задания №18 с параметром в ЕГЭ. В 10-м классе на уроке информатики в рамках работы в табличном процессоре я столкнулся с построением графиков функций, и чтобы расширить область преподаваемого нам материала, заглянул за рамки заданных ограничений. В этом и заключается одна из целей, поставленных в данной работе — расширить знания по теме графики, попрактиковаться в области их построения. Таким образом, объектом моего исследования стали кривые II порядка — графики, в уравнениях которых нет такой строгой зависимости Y от X, как в функциях. Другим предметом моего исследования являются системы координат прямоугольная и полярная, а именно связь между декартовыми и полярными координатами.

Вот главная цель работы: построить графики кривых II порядка в полярной системе координат, а также выяснить, как различаются их графики в зависимости от варьирования коэффициентов и параметров функций. Для достижения целей работы было поставлено несколько задач:

• пополнить знания о стандартных (невырожденных) кривых II порядка: эллипс, параболу, гиперболу;

• рассмотреть нестандартные кривые II порядка;

• познакомиться с полярной системой координат и сопоставить с декартовой, уже изучавшейся в школе.

Процесс решения каждой из задач был разбит на 2 этапа:

• изучение и разбор теоретического материала, знакомство с новыми понятиями;

• применение полученных знаний на практике, построение графиков.

Историческая справка: впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур. Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а при достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая , уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид , где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю (иначе — прямая, т.е. алгебраическая кривая первого порядка). Кривые второго порядка делятся на вырожденные и невырожденные. Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка). Если же кривая невырожденная, то для неё найдётся такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих трёх видов:

Эллипс, гипербола, парабола

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через . Фокусы эллипса обозначают буквами и , расстояние между ними — через . По определению эллипса .

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусам, одинаково и равно

Параболой называется множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, равны. С гиперболой мы часто сталкиваемся в повседневной жизни. По параболистической траектории летит брошенный вверх камень, отскакивает мяч от пола, движутся планеты вокруг Солнца.

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. Знания обычного человека в большинстве случаев ограничиваются одной-двумя системами координат. На самом же деле их существует великое множество: прямоугольная, полярная, аффинная, сферическая, цилиндрическая и т.д. На одном из уроков алгебры мы затрагивали кое-какие из них, а в этом исследовании я решил сопоставить две: прямоугольную (ёще называющуюся декартовой) и полярную (как хорошо знакомую и в корне отличающуюся).

Прямоугольная, или Декартова, система координат — прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям. Названа по имени Р Декарта. Это наиболее простая и поэтому часто используемая система координат как на плоскости, так и в пространстве.

Историческая справка: Декарт впервые ввел координатную систему в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Она существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.

Данная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Эти оси пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей. Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY. Четыре угла — четверти (I, II, III, IV) — образованные осями координат OX и OY, называются координатными углами.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату :

(по теореме Пифагора).

Просмотрев этот раздел, неосведомлённый человек может подумать, что часть нестандартных кривых второго порядка можно спокойно отнести к стандартным, другая же часть не имеет с ними ничего общего. Некоторые из них действительно представляют собой красивые витиеватые узоры, но некоторые выглядят как-то слишком просто, без изысков. Конечно, такое мнение имеет место существовать. Но ведь дело в степени и области применения кривых: одни встречаются постоянно, другие — только в узких специализированных целях — и в сложности уравнения. Хотелось бы в этом разделе рассмотреть наиболее интересные кривые: спираль Архимеда, улитка Паскаля, Розы Гранди. В разделе «Кривые II порядка в полярной системе координат» я перевел графики в другую полярную систему координат и построил их с помощью табличного процессора.

Кривые второго порядка в полярной системе координат

Эта часть является самой главной в моей работе, так как в ней описывается построение графиков в полярной системе координат в табличном процессоре MSExcel 2007. Выполняя построения мы старались акцентировать внимание на красоте математики, на том насколько все гениальное просто, ведь математика это предметная область, в которой все для жизни.

Полярная роза (Розы Гранди)

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах: ,

для произвольной постоянной (включая 0). Если — целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечётных, либо с лепестками для чётных . Если — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном мы будем иметь — лепестковую розу. Таким образом, уравнение будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Улитка Паскаля

Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнение в полярных координатах:

Здесь — диаметр исходной окружности, а — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора.

Спираль Архимеда

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

Изменения параметра приводят к повороту спирали, а параметра — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для >0, а другую для

Просмотров работы: 505

school-science.ru