Автор: alexxlab

Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Решить {$ main.types[data.type] $}

Введите уравнение* x +=

Введите уравнение* x² +* x +=

Введите уравнения* x +* y +=

* x +* y +=

Введите уравнения* x +* y +* z =

* x +* y +* z =

* x +* y +* z =

{$ error $}!

Результаты расчёта

A-1	{$ result.IA[0][0]|number $}	{$ result.IA[0][1]|number $}	{$ result.IA[0][2]|number $}	*	{$ result.B[0][0]|number $}	=	{$ result.x|number $}
	{$ result.IA[1][0]|number $}	{$ result.IA[1][1]|number $}	{$ result.IA[1][2]|number $}		{$ result.B[1][0]|number $}		{$ result.y|number $}
	{$ result.IA[2][0]|number $}	{$ result.IA[2][1]|number $}	{$ result.IA[2][2]|number $}		{$ result. B[2][0]|number $}		{$ result.z|number $}

• x = {$ result.x|number $}
• y = {$ result.y|number $}
• z = {$ result.z|number $}

Результаты расчёта

• x1 = {$ main.FormatResult(result.x1) $}
• x2 = {$ main.FormatResult(result.x2) $}
• x3 = {$ main.FormatResult(result.x3) $}
• x4 = {$ main.FormatResult(result.x4) $}

Значение дискриминанта: b² − 4 * a * c = {$ result.d|number $}

Система линейных уравнений — это объединение нескольких линейных равенств, каждое из которых содержит по 2 неизвестных. Решением системы уравнений называется процесс поиска таких значений неизвестных, при которых выражение превращается в верное числовое равенство.

Линейные уравнения

Линейное уравнение с двумя переменными — это выражение вида:

ax + by + c = 0,

где x и y — неизвестные корни.

Это общий вид равенства, позволяющий идентифицировать его как линейное, так как очевидно, что неизвестные икс и игрек стоят в первой степени. Если переменные имеют отличную от единицы степень или сами являются показателями степеней, то такие равенства считаются нелинейными. Система двух линейных уравнений — это классический математический объект, с которым мы впервые встречаемся в шестом классе школы.

Система линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений или СЛАУ — это совокупность n-ного количества равенств, содержащих k-ое количество неизвестных. В школьной алгебре существует негласное правило, что количество уравнений равно количеству неизвестных, то есть СЛАУ с двумя переменными всегда состоят из двух равенств. Высшая математика может преподносить и другие варианты, однако в школьных примерах это правило действует неукоснительно, и наш калькулятор построен по этому принципу: 2 уравнения и 2 переменных. Выглядит это следующим образом:

• ax + by + c = 0
• dx + fy + g = 0

Под буквами a, b, c, d, f, g скрываются коэффициенты уравнения. Именно их следует вбивать в ячейки калькулятора для решения СЛАУ при помощи нашей программы. Важно учесть, что школьные уравнения обычно представляются в виде:

ax + by = с,

поэтому для корректного ввода данных требуется перенести свободный коэффициент в левую часть равенства с заменой знака на противоположный. Итак, у нас есть СЛАУ с двумя неизвестными. Пусть это будет:

• 3x − y = 14
• 5x + y = 10

Требуется найти такие значения икса и игрека, при которых уравнения превратятся в числовые тождества. При решении системы равенств возможны три варианта развития событий:

• СЛАУ совместна, определена и имеет всего 1 решение;
• система несовместна и решений нет;
• СЛАУ совместна, но неопределена, поэтому существует бесконечное множество решений.

Существует 3 простых способа поиска корней СЛАУ.

Метод подстановки

Это всем известный школьный метод, согласно которому мы выражаем одну переменную через другую, после чего заменяем вторую переменную в другом уравнении и получаем банальное линейное равенство. Посмотрим на второе уравнение нашей СЛАУ:

5x + y = 10

Мы можем спокойно перенести иксы вправо с заменой знака и выразить игрек через икс:

y = 10 − 5x

Теперь подставим это значение игрека в наше первое уравнение и решим его:

• 3x − (10 − 5x) = 14
• 3x + 5x = 14 + 10
• 8x = 24
• x = 3

Теперь вернемся ко второму уравнению и подставим числовое значение икса.

• 5x + y = 10;
• 5 × 3 + y = 10;
• y = 10 − 15;
• y = −5.

Таким образом, x = 3, y = −5 — это корни системы уравнений.

Метод сложения

Данный способ предлагает умножить обе части выражений на такие коэффициенты, чтобы при сложении двух уравнений произошло взаимное уничтожение одной из переменных. После чего метод повторяет алгоритм школьного способа подстановки. Посмотрим на нашу систему:

• 3x − y = 14
• 5x + y = 10

Очевидно, что игреки имеют разные знаки, поэтому при сложении двух уравнений они взаимно уничтожатся, а в результате получим:

• 8x = 24
• x = 3

Далее алгоритм полностью повторяет школьный метод. Нам повезло, что в условии игреки изначально имели коэффициент 1 с противоположными знаками. Рассмотрим пример, когда это не так. Для этого обратим внимание на иксы и попробуем от них избавиться.

• 3x — y = 14
• 5x + y = 10

Для ликвидации иксов нам потребуется найти наименьшее общее кратное коэффициентов при иксах — НОК (3,5) = 15. Следовательно, нам потребуется умножить первое уравнение на 5, а второе на минус 3. Тогда в каждом равенстве мы получим коэффициент при иксе равный 15, но с разными знаками.

• 15x − 5y = 70,
• −15x − 3y = −30.

Теперь сложим эти уравнения и решим полученное равенство:

• −8y = 40;
• y = −5.

Как видим, результат идентичен полученным корням при расчете школьным методом.

Графический метод

Суть данного способа заключается в построении графиков функции уравнений на декартовой плоскости. Так как уравнения линейны, то график их функций − это всегда прямая линия. Точка пересечения прямых и будет решением СЛАУ. Если система несовместна и не имеет корней, то прямые уравнений будут параллельны, а если СЛАУ обладает бесконечным множеством решений, то графики будут совпадать и сливаться в одну прямую.

Использование СЛАУ

Системы линейных уравнений находят широкое применение во многих науках. Такие объекты встречаются в физике, экономике, электротехнике, метрологии, компьютерных играх или криптографии — везде, где используется математический аппарат. И если говорить о математике, то системы линейных уравнений используются для определения кривой регрессии в методе наименьших квадратов, в расчете собственных векторов матриц, сингулярном разложении или методе главных компонент.

Калькулятор решения СЛАУ

Наша программа решает системы линейных уравнений графическим способом. Калькулятор отрисовывает прямые, заданные линейными функциями и отыскивает их точку пересечения. Координаты этой точки вида (x; y) и есть корни системы уравнений. Для решений СЛАУ вам потребуется только ввести коэффициенты равенств в соответствующие ячейки.

Заключение

Системы линейных уравнений — наборы равенств, которые широко используются во всех областях науки. Для развязывания СЛАУ используйте наш калькулятор, который наглядно представит графическое решение системы уравнений.

Решение систем линейных уравнений способом сложения калькулятор. Решение систем уравнений способом сложения

Методом сложения, уравнения системы почленно складывают, при этом 1-но либо оба (несколько) уравнений можно умножить на любое число. В результате приходят к равнозначной СЛУ , где в одном из уравнений есть лишь одна переменная.

Для решения системы способом почленного сложения (вычитания) следуйте следующим шагам:

1. Выбираем переменную, у которой будут делаться одинаковые коэффициенты.

2. Теперь нужно сложить либо вычесть уравнения и получим уравнение с одной переменной.

Решение системы — это точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1.

Дана система:

Проанализировав эту систему можно заметить, что коэффициенты при переменной равны по модулю и разные по знаку (-1 и 1). В таком случае уравнения легко сложить почленно:

Действия, которые обведены красным цветом, выполняем в уме.

Результатом почленного сложения стало исчезновение переменной y . Именно в этом и В этом, собственно, и заключается смысл метода — избавиться от 1-ой из переменных.

-4 — y + 5 = 0 → y = 1,

В виде системы решение выглядит где-то так:

Ответ: x = -4 , y = 1.

Пример 2.

Дана система:

В этом примере можете пользоваться «школьным» методом, но в нем есть немаленький минус — когда вы будете выражать любую переменную из любого уравнения, то получите решение в обыкновенных дробях . А решение дробей занимает достаточно времени и вероятность допущения ошибок увеличивается.

Поэтому лучше пользоваться почленным сложением (вычитанием) уравнений. Проанализируем коэффициенты у соответствующих переменных:

Нужно подобрать число, которое можно поделить и на 3 и на 4 , при этом нужно, что бы это число было минимально возможным. Это наименьшее общее кратное . Если вам тяжело подобрать подходящее число, то можете перемножить коэффициенты: .

Следующий шаг:

1-е уравнение умножаем на ,

3-е уравнение умножаем на ,

Очень часто ученики затрудняются с выбором способа решения систем уравнений.

В данной статье мы рассмотрим один из способов решения систем – способ подстановки.

Если находят общее решение двух уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему. В системе уравнений каждое неизвестное обозначает одно и то же число во всех уравнениях. Чтобы показать, что данные уравнения образуют систему, их обычно записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например

Замечаем, что при х = 15 , а у = 5 оба уравнения системы верны. Эта пара чисел и есть решение системы уравнений. Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы.

Система может иметь одно решение (как в нашем примере), бесконечно много решений и не иметь решений.

Как же решать системы способом подстановки? Если коэффициенты при каком – нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине (если же не равны, то уравниваем), то, складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Затем решаем это уравнение. Определяем одно неизвестное. Подставляем полученное значение неизвестного в одно из уравнений системы (в первое или во второе). Находим другое неизвестное. Давайте рассмотрим на примерах применение этого способа.

Пример 1. Решите систему уравнений

Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Давайте попробуем почленно сложить уравнения системы.

Полученное значение х=4, подставляем в какое–нибудь уравнение системы (например в первое) и находим значение у:

2 *4 +у = 11, у = 11 – 8, у = 3.

Наша система имеет решение х = 4, у = 3. Или же ответ можно записать в круглых скобках, как координаты точки, на первом месте х, на втором у.

Ответ: (4; 3)

Пример 2 . Решить систему уравнений

Уравняем коэффициенты при переменной х, для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (-2), получим

Будьте внимательны при сложении уравнений

Тогда у = — 2. Подставим в первое уравнение вместо у число (-2), получим

4х + 3(-2) = — 4. Решаем это уравнение 4х = — 4 + 6, 4х = 2, х = ½.

Ответ: (1/2; — 2)

Пример 3. Решите систему уравнений

Умножим первое уравнение на (-2)

Решаем систему

получаем 0 = — 13.

Система решений не имеет, так ка 0 не равен (-13).

Ответ: решений нет.

Пример 4. Решите систему уравнений

Замечаем, что все коэффициенты второго уравнения делятся на 3,

давайте разделим второе уравнение на три и мы получаем систему, которая состоит из двух одинаковых уравнений.

Эта система имеет бесконечно много решений, так как первое и второе уравнения одинаковы (мы получили всего одно уравнение с двумя переменными). Как же представить решение этой системы? Давайте выразим переменную у из уравнения х + у = 5. Получим у = 5 – х.

Тогда ответ запишется так: (х; 5-х), х – любое число.

Мы рассмотрели решение систем уравнений способом сложения. Если остались вопросы или что – то непонятно запишитесь на урок и мы с вами устраним все проблемы.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

ОГБОУ «Центр образования для детей с особыми образовательными потребностями г. Смоленска»

Центр дистанционного образования

Урок алгебры в 7 классе

Тема урока: Метод алгебраического сложения.

1. 1. Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний.

Цель урока: контроль уровня усвоения знаний и умений решения систем уравнений способом подстановки; формирование умений и навыков решения систем уравнений способом сложения.

Задачи урока:

Предметные: научиться выполнять решения систем уравнений с двумя переменными методом сложения.

Метапредметные: Познавательные УУД : анализировать (выделять главное), определять понятия, обобщать, делать выводы. Регулятивные УУД : определять цель, проблему в учебной деятельности. Коммуникативные УУД : излагать своё мнение, аргументируя его. Личностные УУД: ф ормировать положительную мотивацию к обучению, создавать позитивное эмоциональное отношение обучающегося к уроку и предмету.

Форма работы: индивидуальная

Этапы урока:

1) Организационный этап.

организовать работу обучающейся по теме через создание установки на целостность мышления и понимание данной темы.

2. Опрос обучающейся по заданному на дом материалу, актуализация знаний.

Цель: проверить знания обучающейся, полученные в ходе выполнения домашней работы, выявить ошибки, сделать работу над ошибками. Повторить материал прошлого урока.

3. Изучение нового материала.

1). формировать умение решать системы линейных уравнений способом сложения;

2). развивать и совершенствовать имеющиеся знания в новых ситуациях;

3). воспитывать навыки контроля и самоконтроля, развивать самостоятельность.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Цель: сохранение зрения, снятие усталости с глазво время работы на уроке.

5. Закрепление изученного материала

Цель: проверить знания, умения и навыки, полученные на уроке

6. Итог урока, информация о домашнем задании, рефлексия.

Ход урока (работа в электронном документе Google):

1. Сегодня урок я хотела начать с философской загадки Вальтера.

Что самое быстрое, но и самое медленное, самое большое, но и самое маленькое, самое продолжительное и короткое, самое дорогое, но и дешево ценимое нами?

Время

Вспомним основные понятия по теме:

Перед нами система двух уравнений.

Вспомним, как мы решали системы уравнений на прошлом уроке.

Методом подстановки

Еще раз обрати внимание на решенную систему и скажи, почему мы не можем решить каждое уравнение системы не прибегая к методу подстановки?

Потому что это — уравнения системы с двумя переменными. Мы умеем решать уравнение только с одной переменной.

Только получив уравнение с одной переменной нам удалось решить систему уравнений.

3. Мы приступаем к решению следующей системы:

Выберем уравнение, в котором удобно одну переменную выразить через другую.

Такого уравнения нет.

Т.е. в данной ситуации нам не подходит изученный ранее метод. Какой выход из данной ситуации?

Найти новый метод.

Попытаемся сформулировать цель урока.

Научиться решать системы новым методом.

Что нам необходимо сделать, чтобы научиться решать системы новым методом?

знать правила (алгоритм) решения системы уравнения, выполнить практические задания

Приступим к выведению нового метода.

Обрати внимание на вывод, который мы сделали после решения первой системы. Решить систему удалось только после того, как мы получили линейное уравнение с одной переменной.

Посмотри на систему уравнений и подумай, как из двух данных уравнений получить одно уравнение с одной переменной.

Сложить уравнения.

Что значит сложить уравнения?

По отдельности составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять.

Попробуем. Работаем вместе со мной.

13x+14x+17y-17y=43+11

Получили линейное уравнение с одной переменной.

Решили систему уравнений?

Решение системы — пара чисел.

Как найти у?

Найденное значение х подставить в уравнение системы.

Имеет значение, в какое уравнение подставим значение х?

Значит найденное значение х можно подставить в…

любое уравнение системы.

Мы познакомились с новым методом — методом алгебраического сложения.

Решая систему, мы проговорили алгоритм решения системы данным методом.

Алгоритм мы рассмотрели. Теперь применим его к решению задач.

Умение решать системы уравнений может пригодится в практике.

Рассмотрим задачу:

В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?

Зная, что всего кур и овец 19, составим первое уравнение: х + у =19

4х — число ног у овец

2у — число ног у кур

Зная, что всего 46 ног, составим второе уравнение: 4х + 2у =46

Составим систему уравнений:

Решим систему уравнений, применяя алгоритм решения методом сложения.

Проблема! Коэффициенты перед х и у — не равные и не противоположные! Что же делать?

Рассмотрим ещё один пример!

Добавим в наш алгоритм ещё один шаг и поставим его на первое место: Если коэффициенты перед переменными- не одинаковые и не противоположные, то надо уравнять модули при какой-нибудь переменной! А далее уже будем действовать по алгоритму.

4. Электронная физкультминутка для глаз: http://zhakulina20090612. blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Дорешаем задачу методом алгебраического сложения, закрепив новый материал и узнаем, сколько же кур и овец было в хозяйстве.

Дополнительные задания:

6.

Рефлексия.

Я за свою работу на уроке ставлю оценку — …

6. Использованные ресурсы-интернет:

сервисы Google для образования

Учитель математики Соколова Н. Н.

Метод алгебраического сложения

Решить систему уравнений с двумя неизвестными можно различными способами — графическим методом или методом замены переменной.

В этом уроке познакомимся с ещё одним способом решения систем, который Вам наверняка понравится — это способ алгебраического сложения.

А откуда вообще взялась идея — что-то складывать в системах? При решении систем главной проблемой является наличие двух переменных, ведь решать уравнения с двумя переменными мы не умеем. Значит, надо каким-либо законным способом исключить одну из них. И такими законными способами являются математические правила и свойства.

Одно из таких свойств звучит так: сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, если при одной из переменных будут противоположные коэффициенты, то их сумма будет равна нулю и нам удастся исключить эту переменную из уравнения. Понятно, что складывать только слагаемые с нужной нам переменной мы не имеем право. Складывать надо уравнения целиком, т.е. по отдельности складывают подобные слагаемые в левой части, затем в правой. В результате мы получим новое уравнение, содержащее только одну переменную. Давайте рассмотрим сказанное на конкретных примерах.

Мы видим, что в первом уравнении есть переменная у, а во втором противоположное число -у. Значит, это уравнение можно решить методом сложения.

Одно из уравнений оставляют в том виде, каком оно есть. Любое, какое Вам больше нравится.

А вот второе уравнение будет получено сложением этих двух уравнений почленно. Т.е. 3х сложим с 2х, у сложим с -у, 8 сложим с 7.

Получим систему уравнений

Второе уравнение этой системы представляет собой простое уравнение с одной переменной. Из него находим х = 3. Подставив найденное значение в первое уравнение, находим у = -1.

Ответ: (3; — 1).

Образец оформления:

Решить методом алгебраического сложения систему уравнений

В данной системе нет переменных с противоположными коэффициентами. Но мы знаем, что обе части уравнения можно умножать на одно и то же число. Давайте умножим первое уравнение системы на 2.

Тогда первое уравнение примет вид:

Теперь видим, что при переменной х есть противоположные коэффициенты. Значит, поступим так же, как и в первом примере: одно из уравнений оставим в неизменном виде. Например, 2у + 2х = 10. А второе получим сложением.

Теперь у нас система уравнений:

Легко находим из второго уравнения у = 1, а затем из первого уравнения х = 4.

Образец оформления:

Давайте подведём итоги:

Мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом алгебраического сложения. Таким образом, нам теперь известны три основных метода решения таких систем: графический, метод замены переменной и метод сложения. Практически любую систему можно решить с помощью этих способов. В более сложных случаях применяют комбинацию этих приёмов.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011.
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А. Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010.

Этим видео я начинаю цикл уроков, посвящённых системам уравнений. Сегодня мы поговорим о решении систем линейных уравнений методом сложения — это один из самых простых способов, но одновременно и один из самых эффективных.

Способ сложения состоит из трёх простых шагов:

1. Посмотреть на систему и выбрать переменную, у которой в каждом уравнении стоят одинаковые (либо противоположные) коэффициенты;
2. Выполнить алгебраическое вычитание (для противоположных чисел — сложение) уравнений друг из друга, после чего привести подобные слагаемые;
3. Решить новое уравнение, получившееся после второго шага.

Если всё сделать правильно, то на выходе мы получим одно-единственное уравнение с одной переменной — решить его не составит труда. Затем останется лишь подставить найденный корень в исходную система и получить окончательный ответ.

Однако на практике всё не так просто. Причин тому несколько:

• Решение уравнений способом сложения подразумевает, что во всех строчках должны присутствовать переменные с одинаковыми/противоположными коэффициентами. А что делать, если это требование не выполняется?
• Далеко не всегда после сложения/вычитания уравнений указанным способом мы получим красивую конструкцию, которая легко решается. Возможно ли как-то упростить выкладки и ускорить вычисления?

Чтобы получить ответ на эти вопросы, а заодно разобраться с несколькими дополнительными тонкостями, на которых «заваливаются» многие ученики, смотрите мой видеоурок:

Этим уроком мы начинаем цикл лекций, посвященный системам уравнений. А начнем мы из самых простых из них, а именно из те, которые содержат два уравнения и две переменных. Каждое из них будет являться линейным.

Системы — это материал 7-го класса, но этот урок также будет полезен старшеклассникам, которые хотят освежить свои знания в этой теме.

Вообще, существует два метода решения подобных систем:

1. Метод сложения;
2. Метод выражения одной переменной через другую.

Сегодня мы займемся именно первым методом — будем применять способ вычитания и сложения. Но для этого нужно понимать следующий факт: как только у вас есть два или более уравнений, вы вправе взять любые два из них и сложить друг с другом. Складываются они почленно, т.е. «иксы» складываются с «иксами» и приводятся подобные, «игреки» с «игреками» — вновь приводятся подобные, а то, что стоит справа от знака равенства, также складывается друг с другом, и там тоже приводятся подобные.

Результатами подобных махинаций будет новое уравнение, которое, если и имеет корни, то они обязательно будут находиться среди корней исходного уравнения. Поэтому наша задача — сделать вычитание или сложение таким образом, чтобы или $x$, или $y$ исчез.

Как этого добиться и каким инструментом для этого пользоваться — об этом мы сейчас и поговорим.

Решение легких задач с применением способа сложения

Итак, учимся применять метод сложения на примере двух простейших выражений.

Задача № 1

\[\left\{ \begin{align}& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end{align} \right. \]

Заметим, что у $y$ коэффициент в первом уравнении $-4$, а во втором — $+4$. Они взаимно противоположны, поэтому логично предположить, что если мы их сложим, то в полученной сумме «игреки» взаимно уничтожатся. Складываем и получаем:

Решаем простейшую конструкцию:

Прекрасно, мы нашли «икс». Что теперь с ним делать? Мы вправе подставить его в любое из уравнений. Подставим в первое:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Ответ: $\left(2;-3 \right)$.

Задача № 2

\[\left\{ \begin{align}& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end{align} \right.\]

Здесь полностью аналогичная ситуация, только уже с «иксами». Сложим их:

Мы получили простейшее линейное уравнение, давайте решим его:

Теперь давайте найдем $x$:

Ответ: $\left(-3;3 \right)$.

Важные моменты

Итак, только что мы решили две простейших системы линейных уравнений методом сложения. Еще раз ключевые моменты:

1. Если есть противоположные коэффициенты при одной из переменных, то необходимо сложить все переменные в уравнении. В этом случае одна из них уничтожится.
2. Найденную переменную подставляем в любое из уравнений системы, чтобы найти вторую.
3. Окончательную запись ответа можно представить по-разному. Например, так — $x=…,y=…$, или в виде координаты точек — $\left(…;… \right)$. Второй вариант предпочтительней. Главное помнить, что первой координатой идет $x$, а второй — $y$.
4. Правило записывать ответ в виде координат точки применимо не всегда. Например, его нельзя использовать, когда в роли переменных выступают не $x$ и $y$, а, к примеру, $a$ и $b$.

В следующих задачах мы рассмотрим прием вычитания, когда коэффициенты не противоположны.

Решение легких задач с применением метода вычитания

Задача № 1

\[\left\{ \begin{align}& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end{align} \right.\]

Заметим, что противоположных коэффициентов здесь нет, однако есть одинаковые. Поэтому вычитаем из первого уравнения второе:

Теперь подставляем значение $x$ в любое из уравнений системы. Давайте в первое:

Ответ: $\left(2;5 \right)$.

Задача № 2

\[\left\{ \begin{align}& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end{align} \right.\]

Мы снова видим одинаковый коэффициент $5$ при $x$ в первом и во втором уравнении. Поэтому логично предположить, что нужно из первого уравнения вычесть второе:

Одну переменную мы вычислили. Теперь давайте найдем вторую, например, подставив значение $y$ во вторую конструкцию:

Ответ: $\left(-3;-2 \right)$.

Нюансы решения

Итак, что мы видим? По существу, схема ничем не отличается от решения предыдущих систем. Отличие только в том, что мы уравнения не складываем, а вычитаем. Мы проводим алгебраическое вычитание.

Другими словами, как только вы видите систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, первое, на что вам необходимо посмотреть — это на коэффициенты. Если они где-либо одинаковые, уравнения вычитаются, а если они противоположные — применяется метод сложения. Всегда это делается для того, чтобы одна из них исчезла, и в итогом уравнении, которая осталась после вычитания, осталась бы только одна переменная.

Разумеется, это еще не все. Сейчас мы рассмотрим системы, в которых уравнения вообще несогласованны. Т.е. нет в них таких переменных, которые были бы либо одинаковые, либо противоположные. В этом случае для решения таких систем применяется дополнительный прием, а именно домножение каждого из уравнений на специальный коэффициент. Как найти его и как решать вообще такие системы, сейчас мы об этом и поговорим.

Решение задач методом домножения на коэффициент

Пример № 1

\[\left\{ \begin{align}& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end{align} \right.\]

Мы видим, что ни при $x$, ни при $y$ коэффициенты не только не взаимно противоположны, но и вообще никак не соотносятся с другим уравнением. Эти коэффициенты никак не исчезнут, даже если мы сложим или вычтем уравнения друг из друга. Поэтому необходимо применить домножение. Давайте попытаемся избавиться от переменной $y$. Для этого мы домножим первое уравнение на коэффициент при $y$ из второго уравнения, а второе уравнение — при $y$ из первого уравнения, при этом не трогая знак. Умножаем и получаем новую систему:

\[\left\{ \begin{align}& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end{align} \right.\]

Смотрим на нее: при $y$ противоположные коэффициенты. В такой ситуации необходимо применять метод сложения. Сложим:

Теперь необходимо найти $y$. Для этого подставим $x$ в первое выражение:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Ответ: $\left(4;-2 \right)$.

Пример № 2

\[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end{align} \right.\]

Вновь коэффициенты ни при одной из переменных не согласованы. Домножим на коэффициенты при $y$:

\[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end{align} \right.\]

Наша новая система равносильна предыдущей, однако коэффициенты при $y$ являются взаимно противоположными, и поэтому здесь легко применить метод сложения:

Теперь найдем $y$, подставив $x$ в первое уравнение:

Ответ: $\left(-2;1 \right)$.

Нюансы решения

Ключевое правило здесь следующее: всегда умножаем лишь на положительные числа — это избавит вас от глупых и обидных ошибок, связанных с изменением знаков. А вообще, схема решения довольно проста:

1. Смотрим на систему и анализируем каждое уравнение.
2. Если мы видим, что ни при $y$, ни при $x$ коэффициенты не согласованы, т.е. они не являются ни равными, ни противоположными, то делаем следующее: выбираем переменную, от которой нужно избавиться, а затем смотрим на коэффициенты при этих уравнениях. Если первое уравнение домножим на коэффициент из второго, а второе, соответственное, домножим на коэффициент из первого, то в итоге мы получим систему, которая полностью равносильна предыдущей, и коэффициенты при $y$ будут согласованы. Все наши действия или преобразования направлены лишь на то, чтобы получить одну переменную в одном уравнении.
3. Находим одну переменную.
4. Подставляем найденную переменную в одно из двух уравнений системы и находим вторую.
5. Записываем ответ в виде координаты точек, если у нас переменные $x$ и $y$.

Но даже в таком нехитром алгоритме есть свои тонкости, например, коэффициенты при $x$ или $y$ могут быть дробями и прочими «некрасивыми» числами. Эти случаи мы сейчас рассмотрим отдельно, потому что в них можно действовать несколько иначе, чем по стандартному алгоритму.

Решение задач с дробными числами

Пример № 1

\[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end{align} \right.\]

Для начала заметим, что во втором уравнении присутствуют дроби. Но заметим, что можно разделить $4$ на $0,8$. Получим $5$. Давайте второе уравнение домножим на $5$:

\[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end{align} \right.\]

Вычитаем уравнения друг из друга:

$n$ мы нашли, теперь посчитаем $m$:

Ответ: $n=-4;m=5$

Пример № 2

\[\left\{ \begin{align}& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end{align} \right. \]

Здесь, как и в предыдущей системе, присутствуют дробные коэффициенты, однако ни при одной из переменных коэффициенты в целое число раз друг в друга не укладываются. Поэтому используем стандартный алгоритм. Избавится от $p$:

\[\left\{ \begin{align}& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end{align} \right.\]

Применяем метод вычитания:

Давайте найдем $p$, подставив $k$ во вторую конструкцию:

Ответ: $p=-4;k=-2$.

Нюансы решения

Вот и вся оптимизация. В первом уравнении мы не стали домножать вообще ни на что, а второе уравнение домножили на $5$. В итоге мы получили согласованное и даже одинаковое уравнение при первой переменной. Во второй системе мы действовали по стандартному алгоритму.

Но как найти числа, на которые необходимо домножать уравнения? Ведь если домножать на дробные числа, мы получим новые дроби. Поэтому дроби необходимо домножить на число, которое бы дало новое целое число, а уже после этого домножать переменные на коэффициенты, следуя стандартному алгоритму.

В заключение хотел бы обратить ваше внимание на формат записи ответа. Как я уже и говорил, поскольку здесь у нас тут не $x$ и $y$, а другие значения, мы пользуемся нестандартной записью вида:

Решение сложных систем уравнений

В качестве заключительного аккорда к сегодняшнему видеоуроку давайте рассмотрим пару действительно сложных систем. Их сложность будет состоять в том, что в них и слева, и справа будут стоять переменные. Поэтому для их решения нам придется применять предварительную обработку.

Система № 1

\[\left\{ \begin{align}& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right)-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end{align} \right.\]

Каждое уравнение несет в себе определенную сложность. Поэтому с каждым выражением давайте поступим как с обычной линейной конструкцией.

Итого мы получим окончательную систему, которая равносильна исходной:

\[\left\{ \begin{align}& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end{align} \right.\]

Посмотрим на коэффициенты при $y$: $3$ укладывается в $6$ два раза, поэтому домножим первое уравнение на $2$:

\[\left\{ \begin{align}& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end{align} \right. \]

Коэффициенты при $y$ теперь равны, поэтому вычитаем из первого уравнения второе: $$

Теперь найдем $y$:

Ответ: $\left(0;-\frac{1}{3} \right)$

Система № 2

\[\left\{ \begin{align}& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end{align} \right.\]

Преобразуем первое выражение:

Разбираемся со вторым:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Итого, наша первоначальная система примет такой вид:

\[\left\{ \begin{align}& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]

Посмотрев на коэффициенты при $a$, мы видим, что первое уравнение нужно домножить на $2$:

\[\left\{ \begin{align}& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]

Вычитаем из первой конструкции вторую:

Теперь найдем $a$:

Ответ: $\left(a=\frac{1}{2};b=0 \right)$.

Вот и все. Надеюсь, этот видеоурок поможет вам разобраться в этой нелегкой теме, а именно в решении систем простых линейных уравнений. Дальше еще будет много уроков, посвященных этой теме: мы разберем более сложные примеры, где переменных будет больше, а сами уравнения уже будут нелинейными. До новых встреч!

Калькулятор системы уравнений

Существует множество различных способов решения системы линейных уравнений. Кратко опишем несколько наиболее распространенных способов.

1. Подстановка

Первый метод, которому обучают студентов, и наиболее универсальный метод , работает путем выбора одного из уравнений, выбора одной из переменных в нем и превращения этой переменной в предмет этого уравнение . Затем мы используем это преобразованное уравнение и заменяем его каждый раз, когда эта переменная появляется в других уравнениях. Таким образом, эти другие уравнения теперь имеют на одну переменную меньше , что облегчает их решение.

Например, если у нас есть уравнение 2x + 3y = 6 и мы хотим получить из него x , то мы начинаем с , избавляясь от всего, что не содержит x слева- ручная сторона . Для этого нам нужно вычесть 3y с обеих сторон (потому что это выражение у нас слева). Это означает, что слева будет 2x + 3y - 3y , что равно просто 9.0019 2x , а справа будет 6-3y . Другими словами, мы преобразовали наше уравнение в 2x = 6 - 3y .

Так как мы хотим получить х , а не 2х , нам еще нужно избавиться от 2 . Для этого делим обе части на 2. Таким образом, слева получается (2x) / 2 , что равно x , а справа (6 - 3y) / 2 , что равно 3-1,5 года . В итоге мы получили x = 3 - 1,5y , и мы можем использовать эту новую формулу для замены 3 - 1,5y дюймов на каждые x в других уравнениях.

2. Исключение переменных

Решение систем уравнений методом исключения означает, что мы пытаемся уменьшить количество переменных в некоторых уравнениях, чтобы облегчить их решение . Для этого мы начнем с преобразования двух уравнений, чтобы они выглядели похожими. Чтобы быть точным, мы хотим сделать коэффициент (число рядом с переменной) одного из уравнений переменными противоположность коэффициента той же переменной в другом уравнении . Затем мы складываем два уравнения, чтобы получить новое, в котором нет этой переменной, и поэтому его легче вычислить.

Например, если у нас есть система уравнений,

2x + 3y = 6 и

4x - y = 3 ,

, то мы можем попытаться сделать коэффициент х в первое уравнение должно быть противоположным коэффициенту во втором уравнении. В нашем случае это означает, что мы хотим преобразовать 2 в противоположность 4 , что равно -4 . Для этого нам нужно умножить обе части первого уравнения на -2 , так как 2 × (-2) = -4 . Это изменяет первое уравнение на

2x × (-2) + 3y × (-2) = 6 × (-2) ,

, что равно:

-4x - 6y = -12 .

Теперь мы можем добавить это уравнение ко второму ( 4x - y = 3 ), добавив левую часть к левой и правую к правой. Это дает

4x - y + (-4x - 6y) = 3 + (-12) ,

что равно:

-7y = -9 .

Мы получили новое уравнение всего с одной переменной, а это значит, что мы можем легко решить y . Затем мы можем подставить это число в любое из исходных уравнений, чтобы получить x .

3. Метод исключения Гаусса

Это метод, используемый нашим калькулятором системы уравнений. Названный в честь немецкого математика Иоганна Гаусса, он является алгоритмическим расширением метода исключения, представленного выше. В случае всего двух уравнений это точно то же самое. Однако решение систем уравнений путем регулярного исключения становится все сложнее и сложнее с увеличением количества уравнений и переменных. Вот здесь и приходит на помощь метод исключения Гаусса.

Допустим, у нас есть четыре уравнения с четырьмя переменными . Чтобы найти решение нашей системы, мы хотим попытаться получить значения наших переменных одно за другим, последовательно исключая все остальные. Для этого возьмем первое уравнение и первую из переменных . Мы используем его коэффициент, чтобы исключить все вхождения этой конкретной переменной в другие три уравнения , точно так же, как мы делали это при обычном исключении. Таким образом, у нас осталось первое уравнение таким же, как и было, и три уравнения, теперь каждое с только три переменные .

Теперь мы смотрим на первое уравнение, ставим ему «большой палец вверх» и оставляем его как есть до самого конца . Повторяем процесс для остальных трех уравнений. Другими словами, мы берем вторую переменную и ее коэффициент из второго уравнения , чтобы исключить все вхождения этой переменной в последние два уравнения. Это оставляет нам первое уравнение с четырьмя переменными, второе с тремя и последние два с 9 переменными.0003 только две переменные .

Затем мы объявляем второе уравнение красивым и красивым и оставляем его таким. Мы переходим к двум оставшимся уравнениям и берем третью переменную и ее коэффициент в третьем уравнении, чтобы исключить эту переменную из четвертого равенства.

В итоге получаем систему из четырех уравнений, в которой первое имеет четыре переменных, второе — три, третье — две, а последнее — только одну . Это означает, что мы можем легко получить значение четвертой переменной из четвертого уравнения (поскольку в нем нет других переменных). Затем мы подставляем это значение в третье уравнение и получаем значение третьей переменной (поскольку у нее больше нет других переменных) и так далее.

4. Графическое представление

Пожалуй, наименее используемый метод, но тем не менее метод. Он берет каждое уравнение в нашей системе и переводит их в функцию . Точки на графике такой функции соответствуют координатам, удовлетворяющим этому уравнению. Поэтому, если мы хотим решить систему линейных уравнений, то достаточно найти всех точек пересечения прямой на графике , т. е. координаты, удовлетворяющие всем уравнениям.

Однако это может быть непросто. Если у нас есть только два уравнения и две переменные, то функции представляют собой линии на двумерной плоскости. Поэтому нам просто нужно найти точку, где эти две линии пересекают .

Для трех переменных функции теперь находятся в трехмерном пространстве, а уже не линии, а плоскости . Это означает, что нам нужно было бы нарисовать три плоскости (что само по себе сложно), а затем найти, где эти плоскости пересекаются. И, если вы думаете, что это сложно, попробуйте представить четыре переменные и четыре измерения . Если это приходит к вам естественным образом, пожалуйста, свяжитесь с нами, и мы направим вас в ближайший нобелевский проект или к неврологу для тщательной проверки головы.

🙋 Описывая их с помощью формы наклон-пересечение , можно легко найти пересечение между двумя линиями. Подробнее об этом читайте в нашем калькуляторе формы пересечения наклона.

5. Правило Крамера

Достаточно простой и очень простой способ решения системы линейных уравнений. Однако это так требуют хорошего понимания матриц и их определителей . В качестве ободрения отметим, что он не нуждается ни в какой подстановке, ни в игре с уравнениями, это просто старая добрая базовая арифметика . Например, для системы из трех уравнений с тремя переменными мы подставляем коэффициенты из этих уравнений, чтобы сформировать четыре матрицы размером три на три, и вычисляем их определители (что такое определитель?). Мы заканчиваем делением соответствующих значений, которые мы только что получили, чтобы получить окончательное решение.

Решение систем линейных уравнений методом исключения и замены

Система линейных уравнений представляет собой набор из двух или более линейных уравнений.

Мы можем решить систему уравнений алгебраически (путем исключения или замены) или

, построив график

.

Решить систему уравнений алгебраически — все равно, что разгадать загадку. Каждое линейное уравнение дает подсказку, необходимую для решения загадочных значений каждой переменной.

Точно так же, как ответ на загадку должен согласовываться с каждой подсказкой, значения каждой переменной в системе уравнений должны согласовываться с каждым уравнением в системе.

Это означает, что как только мы найдем значения, которые делают каждое уравнение в системе одновременно верным, мы получим наше решение.

Рассмотрим следующую систему уравнений:

x+yx+3y​=6=16​

Наша загадка: если

и

, чему равны

и

?

Мы можем решить систему уравнений методом исключения-замены:

Исключить x и найти y:

x+y=6−(x+3y=16)

−2y

=−10

y

=

5

Подставьте y и найдите x, используя одно из уравнений системы:

x+y=6x+5=6x=1​ 9 0005

Тайна раскрыта!

Обычно мы видим системы линейных уравнений с одним решением, но они также могут не иметь решений или иметь бесконечное число решений в зависимости от того, если и как пересекаются линии уравнений.

Решение тригонометрических неравенств: sin x > a, sin x a, cos x a, tg x a, ctg x

		Раздел недели: Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.
Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Решение тригонометрических неравенств: sin x > a, sin x< a, sin x ≥ a, sin x ≤ a; cos x > a, cos x< a, cos x ≥ a, cos x ≤ a; tg x > a, tg x< a, tg x ≥ a, tg x≤a;  ctg x > a, ctg x< a, ctg x ≥ a, ctg x≤a Поделиться:    Решение тригонометрических неравенств: sin x > a, sin x< a, sin x ≥ a, sin x ≤ a; cos x > a, cos x< a, cos x ≥ a, cos x ≤ a; Решение тригонометрических неравенств: tg x > a, tg x< a, tg x ≥ a, tg x ≤ a;  ctg x > a, ctg x< a, ctg x ≥ a, ctg x ≤ a; Угол а тут везде — в радианах. Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1.

Главная » 10 класс. Алгебра. » 10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1

На этом и последующих занятиях мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим три тригонометрических неравенства вида sint . Вот они:

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

Решим первое неравенство

Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).

Вот как будет выглядеть координатная плоскость.

Эти точки мы взяли из таблицы значений синуса.  Также используем свойство нечетности функции y=sinx (sin (-x)=-sinx), периодичность синуса (наименьший период Т=2π) и известное равенство: sin (π-x)=sinx. Проводим синусоиду

. Проводим прямую.

Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

Решим второе неравенство

Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1 клетку вниз.

Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

Записываем промежуток значений введенной переменной t. Возвращаемся к первоначальному значению аргумента (2х).  Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х. Записываем ответ в виде числового промежутка.

Аналогично решаем и третье неравенство

В выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции синуса, запишем в виде двойного неравенства значения t. Затем вместо t подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать х из полученного двойного неравенства.

Ответ запишем в виде числового промежутка.

Смотрите видео: 10.2.1. Решение тригонометрических неравенств вида: sinx

И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!

Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint (-1≤а≤1) справедлива формула:

— π — arcsin a + 2πn

Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!

Вывод: УЧИТЕ ФОРМУЛЫ, ДРУЗЬЯ!

2x$, общее решение $x=2n\pi\pm\arccos(1-\sqrt{3})$ включает решения обоих уравнений $\displaystyle 2\cos\frac{x}{2}=-\cos x$ и $\displaystyle 2\cos\frac{x}{2}=\cos x$.

---

Примечание 2:

Для неравенства, поскольку $\displaystyle 2\cos\frac{x}{2}+\cos x$ имеет период $4\pi$, мы можем рассматривать те $x\in[0 только ,4\pi]$.

(a) Когда $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$, $\cos\frac{x}{2}>0$ и $-\cos x\le0$. Неравенство не имеет решения.

(b) При $x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$, $\cos\frac{x}{2}\ge0$ и $-\cos x\ge0$. Итак, $2\cos\frac{x}{2}\le-\cos x$ можно записать как 92x-2\cosx-2&\ge0\\ \cos x&\le 1-\sqrt{3}\\ 3\pi\le x &\le 4\pi-\arccos(1-\sqrt{3}) \end{align}

(h) Когда $x\in[\frac{7\pi}{2},4\pi]$, $\cos\frac{x}{2}>0$ и $- \cos х\le0$. Неравенство не имеет решения.

Объединяя результаты во всех случаях, $\displaystyle \arccos(1-\sqrt{3})\le x\le 4\pi-\arccos(1-\sqrt{3})$.

Общее решение: $\displaystyle x\in\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\left[4n\pi+\arccos(1-\sqrt{3}),4(n+1)\pi -\arccos(1-\sqrt{3})\right]$.

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ | Тригонометрический

Пример: зубной гигиенист

Найденные 7 бесплатных книг (S)

Решение тригонометрического неравенства

WWW. Mathematicsmagazine.com 9003 WWW.Mathematicsmagazine.com 9003 WWW.Mathematicsmagazine.com 9003 WWW.MATHEMATICSMAGAZINE.com 9003 . Нги Х. Нгуен ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тригонометрическое неравенство — это неравенство в стандартной форме: R(x) > …

  Решение, Неравенства, Тригонометрические, Решение тригонометрических неравенств

Учебные услуги — кампус Mission del Paso

www.epcc.edu

Сохранено C: формулы тригонометрии {веб-страница} microsoftword и PDF веб-сайт: www.mathgraphs.com Примечание: sin и cos являются дополнительными углами, так же как tan и cot и sec и cos, а сумма дополнительных углов составляет 90 градусов.

  Услуги, Учебные пособия, Учебные услуги, Тригонометрия

Тригонометрические функции — Математические ресурсы

www.mathcentre.ac.uk

Тригонометрические функции mc-TY-trig-2009-1 Синус, косинус и тангенс угла определяются в терминах тригонометрии , но они также могут быть выражены в виде функций.

  Функции, тригонометрические, тригонометрические функции

Тригонометрические уравнения — Математические ресурсы

www.mathcentre.ac.uk

1. Введение В этом модуле рассматривается решение тригонометрических уравнений . Для решения этих уравнений мы будем широко использовать графики функций синуса, косинуса и тангенса.

 Уравнения, тригонометрические, тригонометрические уравнения

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА Взаимные тождества Мощность …

www.sosmath.com

c 2012 Math Medics LLC. Все права защищены. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА Взаимные тождества SINU = 1 CSCU COSU = 1 SECU TANU = 1 COTU COTU = 1 TANU CSCU = 1 SINU

Взаимные, тригонометрические, идентификаторы, тригонометрические идентичности Относительные идентификации

TRIG Cheat Sheet — LAMAR Unialive

.

Проверочный тест по теме «Углы», 5 класс

Тест «Углы». 5 класс.Вариант 1.	Тест «Углы». 5 класс.Вариант 2.
№1.Представлены градусные величины углов. Выберите тупой угол. А) 930. Б)380. В) 900. Г) 6°.	№1 . Представлены градусные величины углов. Выберите острый угол. А) 90°. Б) 6°. В) 91°. Г) 158°
№2 . Представлены градусные величины углов. Выберите острый угол. А) 90°. Б) 6°. В) 91°. Г) 158°	№2. Даны градусные меры четырёх углов. Какой из углов тупой? А) 90°. Б) 106°. В) 9°. Г) 58°
№3. Представлены градусные величины углов. Выберите прямой угол. А) 180°. Б) 90°. В) 1°. Г) 45°.	№3. Укажите величину прямого угла. А) 180°. Б) 45°. В) 1°. Г) 90°.
№4. Вычисли неизвестный угол по готовому рисунку.	№4. Вычисли неизвестный угол по готовому рисунку.
№5. Угол, равный половине развернутого угла, называется: А) острый. Б) тупой. В) прямой. Г) Полуразвёрнутый.	№5. Угол, равный половине развернутого угла, называется: А) острый. Б) тупой. В) прямой. Г) Полуразвёрнутый.
№6. Угол, стороны которого образуют прямую, называется: А) развернутый. Б) линейный. В) прямой. Г) нулевой.	№6. Угол, стороны которого образуют прямую, называется: А) нулевой. Б) линейный. В) прямой. Г) развернутый.
№7. Угол, который меньше прямого угла, называется: А) развернутый. Б) тупой. В) острый. Г) маленький.	№7. Угол, который меньше прямого угла, называется: А) развернутый. Б) тупой. В) острый. Г) маленький.
№8. Угол, который меньше развернутого угла, но больше прямого угла, называется: А) большой. Б) острый. В) тупой. Г) странный.	№8. Угол, который меньше развернутого угла, но больше прямого угла, называется: А) большой. Б) острый. В) тупой. Г) странный.
№9. Чему равна градусная мера угла, равного четверти развернутого угла: А) 1400. Б) 450. В) 900. Г) 600	№9. Чему равна градусная мера угла, равного трети развернутого угла: А) 1400. Б) 450. В) 900. Г) 600.
№10. Чему равна градусная мера угла, равного половине прямого угла: А) 400. Б) 350. В) 300. Г) 450	№10. Чему равна градусная мера угла, равного половине развёрнутого угла: А) 400. Б) 900. В) 300. Г) 350
11.Биссектриса разделила угол АВС на два угла, каждый из которых содержит 68°. Какова величина угла АВС ?А) 34°. Б) 86°. В) 126°. Г) 136°.	11.Биссектриса разделила угол АВС на два угла, каждый из которых содержит 74°. Какова величина угла АВС ?А) 34°. Б) 86°. В) 148°. Г) 36°.
№12 Определите вид угла, если его градусная мера равна 89°. А) прямой. Б) развёрнутый. В) острый. Г) тупой.	№12. Определите вид угла, если его градусная мера равна 99°. А) прямой. Б) развёрнутый. В) острый. Г) тупой.
№ 13. Одна десятая угла составляет 5°. Какова величина этого угла? А) 50°. Б) 10°. В) 1°. Г)20°. 36°	№13. Одна десятая угла составляет 13°. Какова величина этого угла? А) 130°. Б) 10°. В) 1°. Г)20°. 36°
№14. Из вершины угла, величина которого равна 156°, проведён луч так, что он разделил угол пополам. Какова величина каждого из образовавшихся углов? А) 63°. Б) 78°. В) 82°. Г).86°	№14. Из вершины угла, величина которого равна 138°, проведён луч так, что он разделил угол пополам. Какова величина каждого из образовавшихся углов? А) 69°. Б) 78°. В) 82°. Г).86°
№15.Найдите градусную меру угла между стрелками часов, если они показывают 15 ч. А) 90°. Б) 180°. В) 120°. Г) 150°	№15.Найдите градусную меру угла между стрелками часов, если они показывают 18 ч. А) 90°. Б) 180°. В) 120°. Г) 150°
№16. OA и OB — дополнительные лучи. Определи величину угла α, если β=158°.	№16. OA и OB — дополнительные лучи. Определи величину угла α, если β=149°.
№17. Луч OA является биссектрисой угла COM, ∠COM = 54° . Вычислите градусную меру угла BOA.	№17. Луч BK является биссектрисой угла CBD, ∠ABK = 146° . Вычислите градусную меру угла CBD.

Ответы.

Решение задания 17. 1 вариант.

Луч OA является биссектрисой угла COM, ∠COM = 54° . Вычислите градусную меру угла BOA.
Решение. ∠MOA = ∠COM : 2 = 54° : 2 = 27°
∠BOM = ∠BOC − ∠COM = 180° − 54° = 126°. ∠BOA = ∠MOA − ∠BOM = 27° + 126° = 150.

Решение задания 17. 2 вариант.

Луч BK является биссектрисой угла CBD, ∠ABK = 146° . Вычислите градусную меру угла CBD.
Решение. ∠KBC = ∠ABC − ∠ABK = 180° − 146° = 34°
∠CBD = 2 * ∠KBC = 2 * 34° = 68°.

1. Один из острых углов ромба равен 56 градусов. Чему равен другой острый угол ромба? А) 34 ГРАДУСОВ Б)56 ГРАДУСОВ 2. Полупериметр прямоугольника равен 42 см. Меньшая сторона его равна 12 см. Чему равна большая сторона прямоугольника ? А)21 см. Б) 30 см. 3.Расстояния от точки пересечения диагоналей ромба до его вершины равны 8 см. и 6 см. Какова длина каждой диагонали ? А)16 см . и 12 см . Б) 8 см. и 6 см. 4. Острый угол ромба равен 66 градусов .Чему равен тупой угол ромба ? А)132 ГРАДУСОВ Б) 124 градусов 5.Одна сторона прямоугольника равна 6,2 см.

а другая сторона больше ее на 2,6 см. Чему равен периметр прямоугольника ? А)8,8 см. Б) 30 см. 6. Сумма двух тупых углов ромба равна 260 градусов . Чему равен острый угол ромба ? А)80 градусов Б)50 градусов 7.Половина меньшей диагонали ромба равна 8 см. а сумма длина большей диагонали ? А) 16 см. Б) 12 см. 8. Меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 17,5 см. Угол AODравен 120 градусов. Определите длину диагонали прямоугольника . А) 35 см. Б) 17,5 см. 9.В прямоугольника ABCD биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BK= 7 см. и KC=9 см. Найдите периметр прямоугольника А) 32 см. Б) 46 см.

Последние вопросы

• Химия

  3 минуты назад

  Контрольная работа номер 3 по химии 8 класс 2 вариант

• Русский язык

  3 минуты назад

  Однажды я видела такой случай

• Физика

  3 минуты назад

  Сопротивления участка цепи, изображенного на рисунке, равно

• Русский язык

  3 минуты назад

  Упражнение 1 Выпишите номера предложений с обособленными обстоятельствами, выраженными деепричастными оборотами. (Знаки препинания не расставлены.) 1) Оторвавшийся от ветки листок медленно кружил в воздухе. 2) Оторвавшись от ветки листок упал на землю. 3) Распластавшись в воздухе ястреб парил над степью. 4) Распластавшийся в воздухе ястреб камнем упал вниз. 5) Ночь подобралась незаметно окутавши землю вуалью. 6) Сумрак окутавший землю скрыл разрушения. 7) Тяжело дыша отец подошёл к дивану и прилег. 8) Отец тяжело дышавший подошел к дивану и прилет. Упражнение 2 Расставьте знаки препинания, объясните их постановку, подчеркните обособленные обстоятельства. 1) Наш учитель обладая даром рассказчика объяснял материал так, что мы слушали затаив дыхание. 2) Играя Городничего актер каждый раз выходил на сцену насупив брови для большей выразительности. 3) Разинув рот гуляли ребята по городу рассматривая местные достопримечательности. 4) Не взвесив всех возможных трудностей я сломя голову пустился в рискованное предприятие.​

• Биология

  3 минуты назад

  Задание №1. Укажите строку, в которой записаны названия мужской и женской половой клетки: А) гаметы, оплодотворение Б) половые гормоны, семенные канальцы В) сперматозоиды, яйцеклетки (1)​

• Математика

  3 минуты назад

  Bonpoc Nº6 Какой из вариантов ответов лучше соответствует фигурам внутри окружности​

• Физика

  3 минуты назад

  Модель ракеты массой 2 кг была запущена с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Ускорение свободного падения g =10 м/с².а) Определите кинетическую энергию модели ракеты в начальный момент времени.Кинетическая энергия = _____________________________ Дж b) Рассчитайте время подъёма модели ракеты до её максимальной высоты.Время = ________________________________ с с) Определите потенциальную энергию ракеты в точке её максимального подъёма. Потенциальнаяэнергия = ___________________________ Дж d) Рассчитайте максимальную высоту подъёма модели ракеты.Высота = ________________________________ м е) Найдите потенциальную энергию модели ракеты на высоте 20 метров Потенциальнаяэнергия = __________________________ кДж f) Нарисуйте график зависимости скорости модели ракеты от времени​

• Русский язык

  3 минуты назад

  Срочно помогите!!! 50 б даюЭссе (60-100 слов)6 сравните изображение Снегурочки в пьесе А.Островского и на картине В. Васнецова «Снегурочка»​

• Физика

  3 минуты назад

  Какова подъемная сила воздушного шара объемом 100 м3, внутри которого горячий воздух? Плотность гор. воздуха — 0.7 кг/м3, воздуха снаружи — 1.29 кг/м3

• Математика

  8 минут назад

  1; 4; 11; 29; 76; 199; 521; ? Учитывая закономерность определите следующее число. 1.12412.13643.15634.1762​

• Химия

  8 минут назад

  5. В реакции между 5 г карбоната кальция (СаСО3) и 8 г соляной кислоты (НС) было использовано 6 г СаСО3. Определите, какой из реагентов будет являться недостаточным, и сколько г этого реагента останется после завершения реакции. Срочно пж

• Математика

  8 минут назад

  2×2=?помогите пожалуйста ​

• Русский язык

  8 минут назад

  В чем значение Великого Щелкового пути ? напишите три аргументаа Людииим пожалуйста срочноооо найдите ответттт

• Қазақ тiлi

  8 минут назад

  синоним к слову ұғымдардан, тұрғызады​

• Русский язык

  8 минут назад

  ФОНЕТИЧЕСКИЙ РАЗБОР СЛОВА «ВЕЧЕР,ВИШИНКА. СРОЧНО ПОМОГИТЕ Пожалуйста МОЖЕТЕ НА БУМАЖКУ НАПИСАТЬ‼️‼️​

Все предметы

Выберите язык и регион

English

United States

Polski

Polska

Português

Brasil

English

India

Türkçe

Türkiye

English

Philippines

Español

España

Bahasa Indonesia

Indonesia

Русский

Россия

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

Сколько стоит тупой угол ｜ Tiktok Search

Tiktok

Загрузка

Askcaasi

Zeina

Использование правила SINE для определения неизвестного угла Triangle #FYP #FORYOU #STUDY 444444444444444444444444444 #teachingmath #mathtutor #learnontiktok #learnfromme #study #exam #questtips4 0090examions

4

#questions0002 63 лайка, видео в TikTok от Zeina (@askcaasi): «Использование правила синусов для определения неизвестного угла треугольника Правило синусов: неизвестный ракурс Ненаписанный Браслет — DJ BAI.

4518 просмотров|

Ненаписанный браслет — DJ BAI

mathlove.rre

Мисс Розетта

Виды углов #геометрия #математика #learnontiktok #fyp #foryou #viral #short

13.4K лайков, 55 комментариев. Видео TikTok от г-жи Розетт (@mathlove.rre): «Виды углов #геометрия #математика #learnontiktok #fyp #foryou #viral #short». Виды ракурсов 🤯😲 ZOOM DUCKTWERK — Duckhead Dj Kasur.

103,6 тыс. просмотров|

ZOOM DUCKTWERK — Duckhead Dj Kasur

the_spooky_doodler

🌈🦋 Silly Bob Cosplayer

#Inverted ⚠️FAKE GUN⚠️ Первоапрельская шутка0003 #MyDolceMoment #bobvelseb #bobvelsebspookymonth #spookymonth #spookymonthsrpelo #spookymonthbob #spookymonth💀🎃 #spookymonthcosplay #bobvelsebcosplay #angles #90degree #90degrees #rightangle #obtuseangle #тупой #bootycheeks #obtuserubbergoose #obtuserubbergoosegreenmooseguavajuice #GiantSnakeBirthDayCake #Aprilfools #Aprilfoolsday #апрель 1 -й #AprilFirst #Bobvelsen #BobvelsEnsImp

9000 590. Видео TikTok от 🌈🦋 Silly Bob Cosplayer (@the_spooky_doodler): «#Inverted ⚠️FAKE GUN⚠️ Первоапрель, лол, ты правда думал #MyDolceMoment #bobvelseb #bobvelsebspookymonth #spookymonth #spookymonthsrpelo #spookymonthbob #spookymonth💀🎃 #spookymonthscosplay #bobvelseb 90° #90° #прямоугольник #тупойугол #тупой #bootycheeks #obtuserubbergoose #obtuserubbergoosegreenmooseguavajuice #giantsnakebirthdaycake #aprilfools #aprilfoolsday #april1st #aprilfirst #bobvelsen #bobvelsensimp». От 90 до 180, угол | ТУПОЙ | этот угол довольно толстый, у него большой | … Изучайте углы вместе с Бобом! Что я наделал — 🌈🦋 Глупый Боб Косплеер.

3079 просмотров|

Что я сделал — 🌈🦋 Глупый Боб Косплеер

hardyharleyhar

Чарли

😨😨😭😭💀💀 #FYP #FYP シ #OBTUSE

35 лайков, видео Tiktok от Charley (@hardyharleyhar): «😨😨😭😭💀💀 #fyp #fyp シ #obtuse» . In Ha Mood — ледяная специя.

2340 просмотров|

In Ha Mood — Ice Spice

unknown_65279

unknown_65279

#CapCut

33 лайка, видео в TikTok от unknown_65279 (@#CapCutCut_unknown): «65279unknown». оригинальный звук — unknown_65279.

3553 просмотра|

original sound — unknown_65279

whoiskenny._

lexi’s husband

#greenscreen #MisterThomasGeometry

71 Likes, TikTok video from lexi’s husband (@whoiskenny._): «#greenscreen #MisterThomasGeometry». я не мог понять, сколько пиццы съесть, поэтому я использовал углы, чтобы помочь мне | тупой угол означает от 3 до 4 срезов в зависимости от размера | острый угол означает один или два среза в зависимости от размера | … оригинальный звук — Бекка означает.

978 просмотров|

оригинальный звук — Бекка означает

учитель_лин2

Учитель Лин

#ad Для учащихся 7 класса: Четверть 3: Неделя 1 «Основные геометрические понятия и отношения» Урок 3: Классификация углов. #Math #LoveMath #Angles #MathTeacher #Geometry #FYP #FYP シ

415 Likes, видео Tiktok от учителя Lyn (@@ # ##Ad для класса 7 студенты: Четверть 3: Неделя 1 «Основные геометрические понятия и отношения» Урок 3: Классификация углов.#math #lovemath #angles #mathteacher #geometry #fyp #fypシ». Основные геометрические понятия и отношения Урок 3: Классификация углов Часть II оригинальный звук — Робилин Лапиз — Учитель Лин.

17 тыс. просмотров|

Оригинальный звук — Robilyn Lapiz — Учитель Lyn

D31inquent

Funny Meme Man

#meme #pizza #pizzatower #peppyne #Angle 9000 40005 9000 2,2K. Видео в TikTok от смешного меммена (@d31inquent): «#meme #pizza #pizzatower #peppino #angle». оригинальный звук — смешной мем человечек.

38,5 тыс. просмотров|

оригинальный звук — смешной мем человечек

waynethemathstutor

WayneTheMathsTutor

#Waynethemathstutor #learnontiktok #learnwithtiktok #maths #gcse #obtuse #anglesmatter

TikTok video from WayneTheMathsTutor (@waynethemathstutor): «#Waynethemathstutor # Learnontiktok #learnwithtiktok #математика #gcse #тупой #anglesmatter». Как нарисовать ТУПОЙ УГОЛЧто такое ТУПОЙ угол? 🤔 оригинальный звук — WayneTheMathsTutor.

106 просмотров|

Оригинальный звук — Waynethemathstutor

Actmathprep

г -н Капрони

Это, очевидно, является крупным сделками #ASVAB #ASVABPREP #МИЛИТАР 60460460460460464. Г-н Капрони (@actmathprep): «Очевидно, что это большое дело #asvab #asvabprep #военные #математика #знанияматематики». АСВАБ Военный вступительный экзамен | Тупые углыASVAB математический Знание #39оригинальный звук — Мистер Капрони.

13,7 тыс. просмотров|

оригинальный звук — Mr. Caproni

Определение, Методы построения, Решаемые примеры.

Тупой угол – это угол, который больше 90°, но меньше 180°. Тупые углы встречаются в различных объектах реального мира, включая многоугольники, сферы и конусы. Одним из преимуществ тупых углов является то, что с их помощью можно создавать различные формы. Например, тупые углы используются в качестве многоугольников для создания интересных рисунков.

В этой теме мы узнаем о тупом угле, характеристике тупого угла и способах построения тупого угла с помощью транспортира и циркуля.

Мы можем узнать больше о тупых углах в этой статье по математике.

Что такое тупой угол?

Тупые углы — это большие углы. Они классифицируются как более 90°, но менее 180°. Таким образом, они больше, чем острый и прямой углы, но меньше, чем прямой угол.

Имеет размеры от 9от 0 до 180 градусов или от π/2 до π радиан.

Тупые углы встречаются в треугольниках и шестиугольниках.

Кроме того, тупые углы также называют тупыми углами.

На данном рисунке это тупой угол, так как его размер больше 90 градусов, как показано:

Тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из внутренних углов больше 90°. Когда угол тупоугольного треугольника больше 90°, сумма двух других углов меньше 90°.

Согласно свойству суммы углов, сумма всех углов (A, B и C) в треугольнике равна 180°. Поскольку А = 110°, то В + С = 70°.

На данном рисунке, поскольку угол A больше 90°, треугольник BAC тупоугольный.

Кроме того, сумма углов B и C меньше 90°. Отсюда можно сделать вывод, что если один из углов треугольника тупой, то два других угла всегда будут острыми.

Как пользоваться транспортиром для измерения углов

Чтобы измерить угол транспортиром, выполните следующие действия.

1. Совместите вершину угла с центром транспортира.
2. Выравнивает по одной стороне угла с 0 градусов на транспортире.
3. Прочтите транспортир и найдите, где другая сторона угла пересекает числовую шкалу.

Большинство транспортиров имеют две шкалы. Важно использовать одинаковую шкалу чисел для обеих сторон угла.

Мы можем внимательно рассмотреть изображение транспортира ниже и записать маркировку. Следовательно, мера ∠AOB равна 60°.

Построение тупого угла с помощью транспортира

Ниже приведены шаги для построения тупого угла в 120 градусов с помощью транспортира и линейки.

• Проведите прямую линию (т.е. плечо угла).
• Отметьте точку на одном конце рычага. Эта точка обозначает вершину угла.
• Поместите центр транспортира в точку вершины и базовую линию транспортира вдоль плеча угла.
• Найдите нужный угол на шкале и отметьте маленькую точку на краю транспортира.

На рисунке показано 120 градусов.

• Теперь уберите транспортир и соедините маленькую точку с вершиной с помощью линейки, чтобы сформировать второе плечо угла.

Построение тупого угла с помощью компаса

Ниже приведены шаги для построения тупого угла в 120 градусов с помощью циркуля и линейки . Шаг 1 : Сначала начертите линию «l» и отметьте точку « О’ на этом.

Шаг 2 : Считая «О» центром, начертите дугу любого радиуса, чтобы пересечь линию l в точке А.

Шаг 3: Взяв тот же радиус и считая «А» центром, нарисуйте еще одну дугу, чтобы разрезать предыдущую дугу в точке «В».

Шаг 4: С точкой «В» в качестве центра нарисуйте еще одну дугу того же радиуса, чтобы разрезать первую дугу в точке «С».

Шаг 5: Присоединяйтесь к OC.

Следовательно, требуемый угол ∠AOC равен 120°.

Диаграмму можно увидеть на изображении ниже.

Острый и тупой углы

Острый угол	Тупой угол
Острый угол – это угол, который меньше 90 градусов.	Тупой угол — это угол, который больше 90 градусов.
В остроугольном треугольнике все три внутренних угла треугольника острые, то есть меньше 90 градусов.	В тупоугольном треугольнике значение одного угла треугольника больше 90 градусов.
В каждом треугольнике есть как минимум два острых угла, будь то прямоугольный треугольник или треугольник с тупым углом.	Треугольник может содержать максимум один тупой угол.

Характеристики тупого угла

Ниже приведены характеристики тупого угла.

• Эти углы измеряют угол между 90° и 180°.
• Тупой угол больше, чем прямой угол, равный 90°, и острый угол, который меньше 90°, но меньше, чем прямой угол, равный 180°. Другими словами, если мы склонны упорядочивать углы от наименьшего к наибольшему измерению, это будет острый<прямой<тупой<прямой.
• Тупой угол больше четверти окружности, но меньше половины окружности.
• Внутри тупого треугольника всегда есть тупой угол.

Тупые углы в реальной жизни

Ниже приведены примеры использования тупых углов в реальной жизни.

1. Мы можем посмотреть на стрелки этих часов. Угол, образуемый стрелками часов, тупой и составляет от 90° до 180°. На приведенном ниже рисунке часы показывают время 8:00.

2. Кто-то съел больше четверти этой пиццы, но меньше половины. Недостающая часть пиццы — тупой угол.

Узнайте о значении Sec 0

Резюме

Мы читаем о тупом угле в этой статье. Тупой угол можно построить с помощью транспортира и циркуля. Тупые углы имеют отличия от острых углов. Тупой угол имеет различные характеристики и используется в реальной жизни.

Если вы хотите хорошо сдать экзамен по математике, то вы попали по адресу. {2}= 9{2} \) меньше с2.

Следовательно, данные меры образуют тупоугольный треугольник. Следовательно, стороны, равные 3 единицам, 5 единицам и 8 единицам, образуют тупоугольный треугольник.

Ех-3. Если угол отражения данных лучей равен 250°, то какова будет мера тупого угла?

А1. Учитывая, что мера угла рефлекса = 250°

Чтобы найти тупой внутренний угол, используйте соотношение:

\(угол рефлекса + тупой угол = 360° \) …. (1)

Пусть тупой угол равен «p».

Теперь подставим значение угла рефлекса в (2)

\(250 \град + p = 360\град \)

\(p = 360 \град – 250 \град \)

\(p = 110\град \)

Следовательно, градус тупого угла будет равен 110°.

Ех-4. Пусть в треугольнике ABC два известных угла равны 40 и 30 градусов. Треугольник тупоугольный? Почему или почему нет?

A4.треугольники имеют внутренний угол, равный 180 градусам. Следовательно, зная эти две меры угла, можно определить меру третьего угла. То есть угол будет равен \(180−(40+30)=180−70=110\). Так как \( 90<110<180 \), этот угол тупой.

Следовательно, треугольник ABC тупоугольный.

Часто задаваемые вопросы о тупых углах:

В.1. Каково правило для тупых углов?

Ответ 1 Тупоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из внутренних углов больше 90° градусов. В тупоугольном треугольнике, если один угол больше 90°, то сумма двух оставшихся углов меньше 90°.

Q.2 Каковы свойства тупого?

Ответ 2 Ниже приведены свойства тупого угла. Самая длинная сторона треугольника — это сторона, противоположная тупому углу.
В треугольнике не может быть более одного тупого угла.
Сумма двух других углов в тупоугольном треугольнике всегда меньше 90°

Q.3 Какой градус является тупым?

Ответ 3 Тупой угол больше 90 градусов.

Q.

Что называется хордой окружности в математике и геометрии: определение, основные свойства

Главная » Наука

Тригонометрические формулы. Таблица углов. Формулы приведения

Факт 1.
\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти:

Факт 2.
\(\bullet\) Знаки синуса, косинуса:

Так как \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) и \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), то тангенс и котангенс положительны в \(I\) и \(III\) четвертях и отрицательны во \(II\) и \(IV\) четвертях.  

Факт 3.
Формулы приведения.
\(\bullet\) Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\). \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\).
Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится. Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол \(\alpha\) находится в \(I\) четверти.   \(\bullet\) Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm\alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin\left(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\right)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\). \[\cos\left(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\right)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\).
Знак определяется таким же образом, как и в случае \(1\).

Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае — меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).
Алгоритм применения формул приведения для тангенса и котангенса полностью аналогичен.  

Пример 1. Найти \(\cos \dfrac{13\pi}{3}\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{12\pi+\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\cos \dfrac{13\pi}{3}=\cos \left(4\pi+\dfrac{\pi}3\right)=\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac12\)

Пример 2. Найти \(\sin \dfrac{17\pi}{6}\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{17\pi}{6}=\dfrac{18\pi-\pi}{6}=3\pi-\dfrac{\pi}6\), следовательно, \(\sin \dfrac{17\pi}{6}=\sin \left(3\pi-\dfrac{\pi}6\right)=\sin\dfrac{\pi}6=\dfrac12\)

Пример 3. Найти \(\mathrm{tg}\,\dfrac{15\pi}4\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{15\pi}4=\dfrac{16\pi-\pi}4=4\pi-\dfrac{\pi}4\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\dfrac{15\pi}4=\mathrm{tg}\left(4\pi-\dfrac{\pi}4\right)= -\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}4=-1\)

Пример 4. Найти \(\mathrm{ctg}\,\dfrac{19\pi}3\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{19\pi}3=\dfrac{18\pi+\pi}3=6\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\mathrm{ctg}\,\dfrac{19\pi}3=\mathrm{ctg}\left(6\pi+\dfrac{\pi}3\right)= \mathrm{ctg}\,\dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}3\)

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов.

Класс 9 Дата Предмет алгебра Подпись проверяющего — Урок № 56

Тема урока: Глава 3. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов.

Цели урока:

Тип урока: сообщение новых знаний

Форма проведения урока: беседа

Методы обучения:

По источнику получения знаний: словесные, наглядные, практические.

По способу организации познавательной деятельности: объяснительно-иллюстративные, репродуктивные.

Методы воспитания: Организация деятельности, формирование мировоззрения, стимулирование деятельности, осуществление контроля, взаимоконтроля, самоконтроля.

Формы обучения: коллективные, индивидуальные, групповые

Основные понятия темы:

Задание на дом: №368, 372

Оборудование, ресурсы, наглядные пособия: учебник, раздаточный материал

Учитель: Шуринова Е.К.

Ход урока

Рефлексия учителя о проведенном уроке:

Интерполяция синусов и косинусов

В предыдущем посте показано, как можно использовать линейную интерполяцию для заполнения пробелов в таблице логарифмов. Вы можете сделать то же самое для таблицы синусов и косинусов, но есть способ получше. Как и прежде, мы предполагаем, что вы работаете вручную, используя только карандаш, бумагу и справочник таблиц.

Линейная интерполяция

Предположим, вы хотите найти синус 12,3456° и у вас есть таблица синусов для углов с шагом 0,1°. В Таблице 4.10 A&S мы находим

sin 12,3° = 0,21303 03862 74977
sin 12,4° = 0,21473 53271  67063

Если бы мы использовали линейную интерполяцию, мы бы оценили

sin 12,5° 12,6 дюйма + 0,3456°3 = sin 12,5° 3456°3. 4° – sin 12,3° ) = 0,21380 78393 21768

с точностью до шести знаков после запятой.

Лучший подход

Другим подходом может быть использование тождества

sin(θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ

вместо линейной интерполяции, установив θ = 12,3° и φ = 0,0456°. Мы можем найти синус и косинус θ в нашей таблице, но как нам найти синус и косинус φ?

Косинус вычислить легко: установите его равным 1. Для небольшого угла x (в радианах) косинус x приблизительно равен 1 с погрешностью менее x ²/2. В радианах

φ = 0,0456 π/180 = 0,00079 58701 38909

, поэтому ошибка усечения при аппроксимации cos φ с 1 составляет около 3×10 ^-7 .

Вычислить синус φ несложно, но для этого нужно преобразовать φ в радианы. Вы, вероятно, могли бы найти коэффициент преобразования в своем справочнике, например. в Таблице 1.1 A&S.

0,0456° = 0,0456 × 0,01745 32925 19943

Когда φ выражено в радианах, sin φ = φ с погрешностью менее φ³/6 (см. здесь).

Соединяя части вместе, мы получаем

sin(θ + φ) = sin 12,3° × 1 + cos 12,3° × φ

, что, используя приведенные выше числа, дает нам 0,2138078524

76, что примерно на 6×10 ^-8 .

Больше точности

Если мы хотим еще больше точности, нам нужно найти самое слабое звено в наших расчетах. Ошибка аппроксимации sin φ как φ порядка φ³, а ошибка аппроксимации cos φ как 1 порядка φ², поэтому последний является самым большим источником ошибки.

Если мы аппроксимируем cos φ как 1 – φ²/2, ошибка будет порядка φ ⁴ , а самым слабым звеном будет синусоидальная аппроксимация с ошибкой порядка φ³, которая все еще довольно мала. Общая ошибка при вычислении sin 12,3456° будет меньше 10 ^-10 , если мы используем это приближение более высокого порядка для косинуса φ.

Сравните и сопоставьте

Вернемся к аппроксимации косинуса малого угла на 1 и сравним два приведенных выше подхода аппроксимации.

Линейная интерполяция:

sin 12,3456° = sin 12,3° + 0,456(sin 12,4° – sin 12,3°)

Формула сложения:

sin 12,3456° = sin 12,3° + 0,01801 (π2/s 0,01801) )

Вторые члены в двух подходах равны

0,0456(sin 12,4° – sin 12,3°)/0,1

и

0,0456 (π/180) (cos 12,3°).

Эти два числа похожи, потому что

(sin 12,4° – sin 12,3°)/0,1 ≈ (π/180) (cos 12,3°).

Член слева представляет собой разностный коэффициент для синуса при 12,3° с шагом ч = 0,1, а член справа представляет собой производную синуса при 12,3°.

Подожди, а производная от синуса не просто косинус? Это когда вы работаете в радианах , поэтому в исчислении почти всегда используются радианы, но когда вы работаете в градусах, производная синуса равна π/180, умноженной на косинус.

Это показывает, что если вы аппроксимируете косинусы малых углов как 1, формула суммы сводится к одночленной аппроксимации Тейлора.

Таблица интегралов синуса и косинуса для аргументов от 10 до 100

Эта система будет проходить техническое обслуживание 27 апреля с 8:00 до 12:00 по центральному поясному времени.

Один из 8 отчетов в ряд: На этом сайте доступна серия статей по прикладной математике (Вашингтон, округ Колумбия).

Показаны 1-4 из 204 страницы в этом отчете.

PDF-версия также доступна для скачивания.

Описание

Отчет, содержащий таблицы и интегралы синуса и косинуса для различных волн.

Физическое описание

xv, 187 стр. : диаг. ; 27 см.

Информация о создании

Соединенные Штаты. Национальное бюро стандартов. Вычислительная лаборатория. 1954.

Контекст

Этот отчет входит в состав сборника под названием: Архив технических отчетов и библиотека изображений и предоставлено отделом государственных документов библиотек ЕНТ к Электронная библиотека ЕНТ, цифровой репозиторий, размещенный на Библиотеки ЕНТ. Его просмотрели 27135 раз, из них 643 — за последний месяц. Более подробную информацию об этом отчете можно посмотреть ниже.

Поиск
Открытый доступ

ВОЗ

Люди и организации, связанные либо с созданием этого отчета, либо с его содержанием.

Автор

• Соединенные Штаты. Национальное бюро стандартов. Вычислительная лаборатория.

Издатель

• Соединенные Штаты. Государственная типография.

  Место публикации: Вашингтон, округ Колумбия

Аудитории

Мы определили это отчет как первоисточник в наших коллекциях. Исследователи, преподаватели и студенты могут найти этот отчет полезным в своей работе.

Предоставлено

Библиотеки ЕНТ Отдел государственных документов

Являясь одновременно федеральной и государственной депозитарной библиотекой, отдел государственных документов библиотек ЕНТ хранит миллионы единиц хранения в различных форматах. Департамент является членом Программы партнерства по контенту FDLP и Аффилированного архива Национального архива.

О | Просмотрите этого партнера

Свяжитесь с нами

Исправления и проблемы Вопросы

Что

Описательная информация, помогающая идентифицировать этот отчет. Перейдите по ссылкам ниже, чтобы найти похожие элементы в электронной библиотеке.

Титулы

• Основное название: Таблица синусоидальных и косинусных интегралов для аргументов от 10 до 100
• Название серии: Серия прикладной математики (Вашингтон, округ Колумбия)
• Добавлен заголовок: Соединенные Штаты. Национальное бюро стандартов. Серия «Прикладная математика», 32
• Название серии: Отчеты Национального бюро стандартов
• Добавлен заголовок: Серия «Прикладная математика», бюллетень 32

Описание

Отчет, содержащий таблицы и интегралы синуса и косинуса для различных волн.

Физическое описание

xv, 187 стр. : диаг. ; 27 см.

Предметы

Тематические рубрики Библиотеки Конгресса

• Тригонометрические функции.
• Тригонометрия — Таблицы.

Язык

• Английский

Тип вещи

• Отчет

Идентификатор

Уникальные идентификационные номера для этого отчета в электронной библиотеке или других системах.

• ОСЛК : 852744
• Архивный ресурсный ключ : ковчег:/67531/metadc40300

Коллекции

Этот отчет является частью следующего сборника связанных материалов.

Архив технических отчетов и библиотека изображений

Эта подборка материалов из Архива технических отчетов и библиотеки изображений (TRAIL) включает труднодоступные отчеты, опубликованные различными государственными учреждениями. Технические публикации содержат отчеты, изображения и технические описания исследований, выполненных для правительственных учреждений США. Темы варьируются от добычи полезных ископаемых, опреснения и радиации до более широких исследований в области физики, биологии и химии. Некоторые отчеты включают карты, раскладки, чертежи и другие материалы большого размера.

О | Просмотрите эту коллекцию

Какие обязанности у меня есть при использовании этого отчета?

Цифровые файлы

• 204 файлы изображений доступны в нескольких размерах
• 1 файл (. pdf)
• API метаданных: описательные и загружаемые метаданные, доступные в других форматах

Когда

Даты и периоды времени, связанные с этим отчетом.

Дата создания

• 1954 г.

Добавлено в цифровую библиотеку ЕНТ

• 2 сентября 2011 г., 22:21

Описание Последнее обновление

• 3 апреля 2019 г. , 12:58

Статистика использования

Когда последний раз использовался этот отчет?

Вчера: 0

Последние 30 дней: 643

Всего использовано: 27 135

Дополнительная статистика

Взаимодействие с этим отчетом

Вот несколько советов, что делать дальше.

Поиск внутри

Поиск

Начать чтение

PDF-версия также доступна для скачивания.

• Все форматы

Цитаты, права, повторное использование

• Ссылаясь на этот отчет
• Обязанности использования
• Лицензирование и разрешения
• Связывание и встраивание
• Копии и репродукции

Международная структура взаимодействия изображений

Мы поддерживаем IIIF Презентация API

Распечатать/поделиться

Полезные ссылки в машиночитаемом формате.

Архивный ресурсный ключ (ARK)

• ERC Запись: /арк:/67531/metadc40300/?
• Заявление о стойкости: /ark:/67531/metadc40300/??

Международная структура совместимости изображений (IIIF)

• IIIF Манифест: /арк:/67531/metadc40300/манифест/

Форматы метаданных

• UNTL Формат: /ark:/67531/metadc40300/metadata. untl.xml
• DC РДФ: /ark:/67531/metadc40300/metadata.dc.rdf
• DC XML: /ark:/67531/metadc40300/metadata.dc.xml
• OAI_DC : /oai/?verb=GetRecord&metadataPrefix=oai_dc&identifier=info:ark/67531/metadc40300
• МЕТС : /ark:/67531/metadc40300/metadata. mets.xml
• Документ OpenSearch: /ark:/67531/metadc40300/opensearch.xml

Изображений

• Миниатюра: /ark:/67531/metadc40300/миниатюра/
• Маленькое изображение: /ковчег:/67531/metadc40300/маленький/

URL-адреса

• В текст: /ark:/67531/metadc40300/urls.