I.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
Глава I Элементы линейной алгебры >
I.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
(схема 17)
Матрица, имеющая отличный от нуля определитель,
называется невырожденной; имеющая равный
нулю определитель – вырожденной.
Матрица A-1называется
обратной для заданной квадратной матрицы , если при умножении матрицы на обратную ей как
справа, так и слева, получается
единичная матрица, то есть
A-1∙A=A∙A-1=E. (1. 7)
Заметим, что в данном случае произведение матриц A и A-1 коммутативно.
Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования
обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля
определителя заданной матрицы
Если главная матрица системы оказалась при проверке
вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод
применить нельзя.
Для невырожденной матрицы можно найти обратную
ей матрицу A-1по
следующему алгоритму.
1.
Транспонируем матрицу A в матрицуAT.
2. Вычисляем
алгебраические дополнения элементов матрицы AT и записываем их в матрицу .
3. Составим
обратную матрицу A-1по
формуле:
. (1. 8)
4. Сделаем проверку правильности найденной матрицы А-1 согласно формуле
(1.7). Заметим, что данная проверка
может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.
Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может
быть представлена в виде матричного уравнения: A∙X=B, где A – главная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных
членов. Умножим это уравнение слева на обратную матрицу A-1,
получим: A-1∙A∙X=A-1∙B. Так как по определению обратной матрицы A-1∙A=E, то уравнение принимает вид
E∙X=A-1∙B или X=A-1∙B . (1. 9)
Таким образом, чтобы решить систему линейных
алгебраических уравненийнужно
столбец свободных членов умножить слева
на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать
проверку полученного решения.
Пример 1.6. Решить систему
методом обратной матрицы
Решение. Вычислим главный определитель системы
.
Следовательно, матрица невырожденная и
обратная к ней матрица существует.
Найдём алгебраические дополнения всех элементов
главной матрицы :
Запишем
алгебраические дополнения в матрицу
. Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения
системы. Отсюда x=2, y=0, z=1
Вопросы для самопроверки
Найти решение системы линейных уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом
Для решения системы линейных алгебраических уравнений ее записывают в матричной форме
где -матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; — столбец неизвестных; — столбец свободных членов. После того, если для матрицы существует обратная матрица ( ) то система линейных уравнений имеет единственное решение и он находится за формулой
Поскольку перемножить матрицу на вектор столбец не складывает особенных трудностей, то большая проблема при вычислениях — найти обратную матрицу
В нахождении решения за приведенной формулой и заключается суть матричного метода.
Рассмотрим несколько примеров из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. «Высшая математика»
————————————
Задача.
Решить систему линейных алгебраических уравнений.
1) (1. 183)
2) (4. 182)
Решение.
1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме
Найдем обратную матрицу. Напомним, что
где — определитель матрицы , а — транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов определителя матрицы.
Вычислим определитель матрицы
Матрица алгебраических дополнений состоит из элементов , которые вычисляются через миноры по правилу
Миноры — это определители на порядок меньшие от определителя , которые образуются вычеркиванием в нем -й строки и — го столбца. На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.
С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений
На етом решения примера завешено. Как видите никаких сложных вычислений в етом задании мы не делали.
2) Запишем систему линейных уравнений четвертого порядка в матричной форме
Поскольку все коэффициенты ненулевые то вычислять ее будет трудно. Выполним над системой линейных уравнений элементарные превращения чтобы превратить в нуль некоторые из коэффициентов.
От второй строки отнимем первую и последнюю строки
От третьей строки отнимем сумму первой и четвертой строки начальной системы
От четвертой строки отнимем первый
Из последней строки уже можем сказать что но будем придерживаться правил чтобы научиться решать большие системы уравнений.
Поскольку матрица стала разреженной то вычисление определителя и матрицы алгебраических дополнений упростятся. Найдем определитель матрицы, разложив его за четвертой строкой
Найдем матрицу алгебраических дополнений, раскладывая искомые детерминанты за строками и столбцами которые содержат больше всего нулей. Для самопроверки выпишу Вам вычисление только первой строки. Остальные попробуйте вычислить самостоятельно
После нахождения всех значений получим следующую матрицу дополнений
Поскольку определитель равен единице то обратная матрица с транспонированной матрицей дополнений совпадают
Подставим в матричную запись и найдем решение
При вычислениях систем линейных алгебраических уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом придется находить большое количество алгебраических дополнений , которые собой являют определители второго и третьего порядка соответственно. Именно ошибки при их вычислении чаще всего становятся причиной неверного решения. Для избежания таких ситуаций нужно хорошо знать правила нахождения определителей второго, третьего порядка, а также правила чередования знаков возле миноров.
Изучайте их и получайте лишь верные решения !
———————————————-
Посмотреть материалы:
Матричный метод решения системы линейных уравнений
Метод Гаусса
Метод Крамера
Решение методом Крамера СЛАУ 3-4-го порядка
Решение методом Гаусса СЛАУ 3-5-ого порядка
Решение системы с помощью обратной задачи
Результаты обучения
Решить систему 2×2 с помощью обратной задачи.
Решите систему 3×3, используя обратную.
Решите систему с помощью калькулятора.
Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: [latex]X[/latex] — это матрица, представляющая переменные системы, и [latex]B[/latex] — это матрица, представляющая константы. Использование матричное умножение , мы можем определить систему уравнений с тем же количеством уравнений в качестве переменных, что и [latex]AX=B[/latex]
Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы , пусть [latex ]A[/latex] — матрица коэффициентов , пусть [latex]X[/latex] — переменная матрица, а [latex]B[/latex] — постоянная матрица. Таким образом, мы хотим решить систему [latex]AX=B[/latex]. Например, посмотрите на следующую систему уравнений.
Единственная разница между решением линейного уравнения и системы уравнений , записанной в матричной форме, заключается в том, что найти обратную матрицу сложнее, а умножение матриц — более длительный процесс. Однако цель та же — изолировать переменную.
Мы подробно изучим эту идею, но лучше начать с системы [латекс]2\х 2[/латекс], а затем перейти к системе [латекс]3\х3[/латекс]. 9{-1}\right)B\end{array}[/latex]
Вопросы и ответы
Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что система не имеет решения?
Нет, если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместной и не иметь решений или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.
Пример: Решение системы 2 × 2 с помощью обратной матрицы
Решите данную систему уравнений с помощью обратной матрицы. 9{-1}[/latex] находился слева от [latex]A[/latex] с левой стороны и слева от [latex]B[/latex] с правой стороны. Поскольку умножение матриц не является коммутативным, порядок имеет значение.
Пример. Решение системы 3 × 3 с помощью обратной матрицы
Решите следующую систему, используя обратную матрицу.
Как сделать: Решите систему уравнений с обратной матрицей с помощью калькулятора [латекс]\влево[B\вправо][/латекс].
Введите умножение в калькулятор, вызывая каждую переменную матрицы по мере необходимости.
Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.
Пример: использование калькулятора для решения системы уравнений с обратными матрицами
Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора
У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Метод обратной матрицы
Метод обратной матрицы
ОБРАТНЫЙ МАТРИЧНЫЙ МЕТОД для решения системы уравнений
См. аналогичное обсуждение в нашем тексте, Рольф, на страницах 165-167 ; следующее продолжает предыдущее обсуждение.
Начнем с системы уравнений (справа), быть решенным. Количество переменных должно быть равно количество уравнений, здесь оба равны 3:
х
—
г
+
3з
=
2
2x
+
г
+
2з
=
2
-2x
—
2 года
+
по
=
3
На тестах проф. М c Фарланда вас бы спросили
для решения вышеуказанной проблемы
«методом обратной матрицы» в три отдельных шага, как показано ниже :
[1]
Запишите данную систему (выше) в виде одной матрицы
уравнение :
Переменные с заглавными буквами представляют матрицы
(не цифры), которые находятся прямо над ними. Следовательно
приведенное выше уравнение является матричным уравнением.
Обратите внимание, как элементы матрицы соответствуют
числа в исходной системе 3 уравнения
[2]
Решите матричное уравнение, полученное в
шаг [1] выше; т. е. найти X.
В МАТРИЧНОМ ОБРАТНОМ МЕТОДЕ
(в отличие от Гаусса/Джордана),
мы решаем для матричной переменной X по формуле
левое умножение обеих сторон вышеуказанной матрицы
уравнение (AX=B) на A -1 .
Обычно A -1 рассчитывается как
отдельное упражнение ; в противном случае мы должны здесь остановиться, чтобы вычислить A -1 .
Левую часть (вверху) легко вычислить потому что единичная матрица
я
Появляется 3 .
Диаграмма Эйлера-Венна — наглядное средство для работы со множествами. На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения множеств. Количество пересечений (областей) n определяется по формуле:
n=2N,
где N — количество множеств.
Таким образом, если в задаче используется два множества, то n=22=4, если три множества, то n=23=8, если четыре множества, то n=24=16. Поэтому диаграммы Эйлера-Венна используются в основном для двух или трех множеств.
Множества изображаются в виде кругов (если используется 2-3 множества) и эллипсов (если используется 4 множества), помещенных в прямоугольник (универсум).
Универсальное множество (универсум) U (в контексте задачи) — множество, содержащее все элементы рассматриваемой задачи: элементы всех множеств задачи и элементы, не входящие в них.
Пустое множество Ø (в контексте задачи) — множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемой задачи.
На диаграмме строят пересекающиеся множества, заключают их в универсум. Выделяют области, количество которых равно количеству пересечений.
Диаграммы Эйлера-Венна также используются для визуального представления логических операций.
Разберем примеры построения диаграмм Эйлера-Венна для двух и трех множеств.
Пример 1
Пусть есть следующие множества чисел:
А={1,2,3,4}
В={3,4,5,6}
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6}
Диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств А и В:
Определим области, и числа которые им принадлежат:
А
B
Обозначение области
Числа
0
0
0)
0
0
1
1)
5,6
1
0
2)
1,2
1
1
3)
3,4
Пример 2
Пусть есть следующие множества чисел:
А={1,2,3,4}
В={3,4,5,6}
С={1,3,6,7}
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6,7}
Диаграммы Эйлера-Венна для трех множеств А, В, С:
Определим области, и числа которые им принадлежат:
Диаграммы Эйлера-Венна для четырех множеств А, В, С, D:
Определим области, и числа которые им принадлежат:
А
B
C
D
Обозначение области
Числа
0
0
0
0
0)
15
0
0
0
1
1)
14
0
0
1
0
2)
12
0
0
1
1
3)
11
0
1
0
0
4)
13
0
1
0
1
5)
9
0
1
1
0
6)
8
0
1
1
1
7)
10
1
0
0
0
8)
1
1
0
0
1
9)
6
1
0
1
0
10)
2
1
0
1
1
11)
0
1
1
0
0
12)
5
1
1
0
1
13)
4
1
1
1
0
14)
7
1
1
1
1
15)
3
Если Вы хотите порешать типовые задач на множества, то перейдите к статье: «Как решать задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна». Там подробно разобрано 5 задач.
Перейти к разбору задач на множества из ЕГЭ по информатике:
В12-2012
В9-2011
В10-2010
В10-2009
как выглядит, как изобразить множества, примеры решения задач
Содержание:
Диаграмма Эйлера-Венна — что из себя представляет, где используется
Принципы построения, как изобразить множества
Дополнение множества
Объединение множеств
Пересечение множеств
Разность множеств
Симметричная разность множеств
Использование диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств
Решение задачи поиска информации в Интернет с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Как логические операции связаны с теорией множеств
Примеры задач с решением
Содержание
Диаграмма Эйлера-Венна — что из себя представляет, где используется
Принципы построения, как изобразить множества
Дополнение множества
Объединение множеств
Пересечение множеств
Разность множеств
Симметричная разность множеств
Использование диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств
Решение задачи поиска информации в Интернет с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Как логические операции связаны с теорией множеств
Примеры задач с решением
Диаграмма Эйлера-Венна — что из себя представляет, где используется
Определение
Диаграмма Эйлера-Венна представляет собой геометрическую схему, предназначенную для представления моделей множеств и схем их взаимосвязей.
Благодаря данной диаграмме, приводят наглядное объяснение разных фактов о множествах. При таком методе универсальное множество представляют в виде прямоугольника, а для изображения подмножества используют круги. Широкое применение диаграммы Эйлера-Венна нашли в таких дисциплинах, как математика, логика, менеджмент, финансы и другие прикладные направления.
Примечание
Способы отражения отношений между множествами ранее отличались. Джон Венн применял в качестве обозначения множеств замкнутые фигуры, а Эйлер – круги.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Диаграммы Эйлера-Венна представляют собой важный частный случай кругов, которые изображал Эйлер. На диаграммах представлены все 2n комбинаций n свойств, что является конечной булевой алгеброй. Если n = 3, на диаграмме, как правило, изображают три круга с центрами, которые расположены в углах равностороннего треугольника, и совпадающими радиусами, ориентировочно равными длине сторон этого многоугольника.
Принципы построения, как изобразить множества
Определение
Построить диаграмму Эйлера-Венна – значит, составить большой прямоугольник, представляющий универсальное множество U, и разместить внутри него замкнутые фигуры в качестве обозначения множеств.
В том случае, когда требуется строить на диаграмме не более трех множеств, целесообразно использовать круги. Для изображения свыше четырех множеств применяют эллипсы. Пересечение фигур соответствует максимально общему случаю, согласно условиям задачи, и изображается должным образом на диаграмме.
Если предположить, что диаграмма содержит круг, обозначающий множество А, его центральная часть будет отражать истинность выражения А, а область вне круга – обозначать ложь. Те области, которые соответствуют истинным значениям, заштриховывают, что является отражением логической операции на диаграмме.
Согласно алгебре логики, конъюнкция множеств А и В соответствует истине в том случае, когда истинны оба эти множества. При этом на диаграмме отмечают участок пересечения множеств.
Применяя диаграммы Эйлера-Венна, доказывают любые алгебраические законы с помощью их графического изображения. Алгоритм построения:
изображение диаграммы с заштрихованными множествами, которые представлены в левой части выражения;
чертеж другой диаграммы с заштрихованными множествами, расположенными в правой части уравнения;
сравнение заштрихованных областей на диаграммах: если это одна и та же область, то можно говорить об истинности тождества.
Данные диаграммы являются эффективным методом визуализации операций с множествами. Отдельные множества изображают в виде кругов, а универсальное множество представляют прямоугольником.
Использование диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств
В качестве доказательства логического равенства подходит способ построения диаграмм Эйлера-Венна. Для примера можно представить доказательства следующего выражения: ¬(АvВ) = ¬А&¬В. Равенство демонстрирует запись закона де Моргана. В первую очередь следует наглядно изобразить левую часть уравнения. Для этого необходимо последовательно заштриховать серым цветом все круги, то есть применить дизъюнкцию. Отобразить инверсию можно с помощью закрашивания черным цветом области вне этих кругов.
Источник: urok.1sept.ru
Источник: urok.1sept.ru
Далее следует визуально представить правую часть выражения. Последовательность действий в этом случае такова: необходимо заштриховать область, в которой отображается инверсия (¬А), с использованием серого цвета и аналогично закрасить область ¬В; отобразить конъюнкцию в виде пересечения этих серых областей. Результат такого наложения будет окрашен черным цветом.
На рисунке видно, что области, в которых отображены левая и правая части уравнения, равны друг другу. Таким образом, закономерность доказана.
Решение задачи поиска информации в Интернет с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Изучая тему поиска информации в глобальной сети Интернет, нельзя обойтись без примеров поисковых запросов, в которых использованы логические связки. Как правило, их смысл аналогичен союзам «и», «или» из русского языка. Принцип действия можно понять, если изобразить логические связи с помощью графической схемы или диаграммы Эйлера-Венна.
Источник: urok.1sept.ru
Как логические операции связаны с теорией множеств
Используя диаграммы Эйлера-Венна, принято наглядно демонстрировать связь логических действий и теории множеств. Операции логики можно задать с помощью таблиц истинности. В этом случае следует руководствоваться общим принципом.
На диаграмме в виде области круга под названием А отображают истинность определения А, то есть теоретически круг А обозначает все элементы, которые включены в данное множество. Таким образом, область за пределами круга А будет обозначать ложь соответствующего утверждения.
Понимание, какая область диаграммы отражает логическую операцию, возникает после того, как будут заштрихованы только те области, в которых значения логической операции на наборах А и В соответствуют истине. К примеру, импликация истинна при (00, 01 и 11).
Необходимо заштриховать сначала область за пределами пары пересекающихся кругов в соответствии со значениями А=0, В=0. Затем закрасить область в круге В, которая относится к значениям А=0, В=1, и область, соответствующую и кругу А, и кругу В, то есть участок пересечения, отображающий значения А=1, В=1. Эти три области в комплексе являются графическим представлением логической импликации.
Примеры задач с решением
Диаграммы Эйлера-Венна могут содержать три и более круга. Преимуществом данного графического способа представления выражений является его высокая эффективность и наглядность. К примеру, можно изобразить диаграмму пересечений букв из русского, латинского и греческого алфавита:
Источник: avatars.mds.yandex.net
Понять суть методики удобно на практике. Можно решить несколько задач с применением диаграмм Эйлера-Венна.
Задача 1
По условию есть таблица поисковых запросов. В ней представлены страницы по некоторому сегменту. Требуется определить, сколько страниц в тысячах будет отображаться по запросу «Эсминец». Следует отметить, что запросы выполнялись практически в одно время, поэтому набор страниц с искомыми словами не менялся в процессе выполнения запросов.
Источник: urok.1sept.ru
Решение
Допустим, что:
Ф – является числом страниц (в тысячах) в соответствии с запросом «Фрегат»;
Э – является числом страниц (в тысячах) в соответствии с запросом «Эсминец»;
Х – представляет собой число страниц (в тысячах) по запросу, в котором присутствует «Фрегат» и отсутствует «Эсминец»;
У – определяет число страниц (в тысячах) по запросу, в котором указано слово «Эсминец» и отсутствует слово «Фрегат».
Диаграмма для каждого поискового запроса будет иметь следующий вид:
Источник: urok.1sept.ru
Исходя из информации по диаграммам, получим:
Х+900+У = Ф+У = 2100+У = 3400
Таким образом:
У = 3400-2100 = 1300
Э = 900+У = 900+1300= 2200
Ответ: по запросу «Эсминец» будет найдено 2200 страниц
Задача 2
Класс состоит из 36 учеников. Дети ходят на занятия в рамках математического, физического, химического кружка. Факультатив по математике посещают 18 учащихся, по физике – 14, по химии – 10. Также известно, что 2 ученика ходят на все три кружка, 8 – на математику и физику, 5 – на математику и химию, 3 – на физику и химию. Необходимо определить количество учеников, которые не посещают ни одного кружка.
Решение
Решить данную задачу можно с помощью удобного и наглядного метода в виде кругов Эйлера. Наибольшим кругом следует обозначить множество всех учащихся класса. Внутри этой окружности необходимо изобразить пересекающиеся множества в виде учащихся на факультативе по математике (М), физике (Ф), химии (Х).
Допустим, что:
МФХ – является множеством учеников, каждый из которых ходит на занятия во все три кружка;
МФ¬Х – определяет множество учащихся, которые посещают факультативы по математике и физике, но не ходят на занятия по химии.
¬М¬ФХ – представляет собой множество людей, каждый из которых посещает химический факультатив, но отказался от дополнительных занятий по физике и математике.
По аналогичному принципу можно ввести множества: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.
Согласно условиям задачи, пара учеников записаны во все три кружка. Поэтому в область МФХ требуется вписать число 2. Исходя из того, что 8 учащихся посещают факультативы по математике и физике, а из них двое школьников ходят во все кружки, то в области МФ¬Х следует отметить 6 человек (8-2). Аналогичным способом можно определить число учеников в остальных множествах:
Источник: urok.1sept.ru
Далее требуется определить сумму учеников по всем областям:
7+6+3+2+4+1+5=28
Таким образом, всего 28 учащихся посещают факультативные занятия.
Поэтому:
36 – 28 = 8
Ответ: 8 учеников из класса не посещают ни одного кружка.
Задача 3
Когда закончились зимние каникулы, преподаватель поинтересовался у учеников, кто из них посещал театр, кино или цирк. Всего в классе 36 человек. По полученной информации, два ребенка не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. Кино посетили 25 школьников, театр – 11, цирк – 17. И в кино, и в театр сходили 6 человек, и в кино, и в цирк – 10, и в театр, и в цирк – 4. Необходимо посчитать, какое количество учащихся из класса посетили и кино, и театр, и цирк.
Решение
Предположим, что х представляет собой число учеников, которые посетили и кино, и театр, и цирк. В таком случае, можно изобразить диаграмму и определить число школьников для каждой области:
Источник: urok.1sept.ru
Ответ: 1 ученик побывал и в кино, и в театре, и в цирке.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 2.75 (Голосов: 4)
Постройте диаграммы Эйлера и Венна — plot.euler • eulerr
Ссылка
Статьи
Список изменений
Источник: R/plot.euler.R
plot. euler.Rd
Диаграммы графика соответствуют euler() и venn() grid() 90:Grid() 190:Grid() с использованием 90:Grid() .
Этот
функция устанавливает все необходимые параметры графика и вычисляет
геометрия схемы. plot.eulergram() , тем временем,
делает фактическое построение диаграммы. См. раздел Подробная информация о .
чтобы узнать об индивидуальных настройках для каждого аргумента.
# S3 метод Эйлера
сюжет(
Икс,
заполняет = ИСТИНА,
края = ИСТИНА,
легенда = ЛОЖЬ,
метки = идентичные (легенда, ЛОЖЬ),
количества = ЛОЖЬ,
полоски = NULL,
основной = NULL,
п = 200л,
настроить_метки = ИСТИНА,
...
)
# Метод S3 для venn
сюжет(
Икс,
заполняет = ИСТИНА,
края = ИСТИНА,
легенда = ЛОЖЬ,
метки = идентичные (легенда, ЛОЖЬ),
количества = ИСТИНА,
полоски = NULL,
основной = NULL,
п = 200л,
настроить_метки = ИСТИНА,
...
)
Аргументы
x
объект класса 'euler' , сгенерированный из euler()
заполняет
логический, векторный или список графических параметров заливки
на диаграмме. Предполагается, что векторы являются цветами для заливки.
См. grid::grid.path() .
ребра
логический, векторный или список графических параметров для ребер
на диаграмме. Предполагается, что векторы являются цветами ребер.
См. grid::grid.polyline() .
легенда
логический скаляр или список. Если список,
элемент со стороны можно использовать для установки расположения легенды. Видеть grid::grid.legend() .
этикетки
логический, векторный или список. Предполагается, что векторы
текст для этикеток. См. grid::grid.text() .
количество
логический, векторный или список. Предполагается, что векторы
текст для меток количеств, которые
по умолчанию исходные значения на входе до эйлер() . Кроме того
к аргументам, которые применяются к grid::grid.text() , аргумент типа может
также использовать, что должно быть комбинацией "счетов" и "процент" . Первый элемент будет напечатан первым, а второй
после этого будет напечатано внутри квадратных скобок. По умолчанию тип = "подсчитывает" .
полоски
список, игнорируемый, если не указан аргумент 'by' использовался в euler()
основной
титул на участок в виде
символ, выражение, список или что-то, что может быть
разумно преобразовано в метку через grDevices::as.graphicsAnnot() . А
список длины один может быть предоставлен, и в этом случае его единственный элемент
используется в качестве метки. Если предоставляется список большей длины, элемент
named 'label' должен быть предоставлен (и будет использоваться для фактического текста).
п
количество вершин для края и заливки
настроить_метки
логический. Если TRUE , будет выполнена корректировка, чтобы избежать
перекрытие или выход за пределы маркировки, количества и
проценты.
...
параметры для обновления заполняет и края и тем самым ярлык
чтобы установить эти параметры grid::grid.text() .
Значение
Предоставляет объект класса 'eulergram' , который является
описание схемы, которую необходимо нарисовать. plot.eulergram() делает фактическое
рисунок схемы.
Детали
Единственная разница между plot.euler() и plot.venn() заключается в том, что количество устанавливается на TRUE по умолчанию в последнем и FALSE в
бывший.
Большинство аргументов этой функции принимают логические, векторные или
список, где
логические значения включают или выключают атрибут,
Векторы
являются ярлыками для часто используемых опций (см.
параметры) и
Списки
обеспечивают детальное управление, включая графическое
параметры, как описано в grid::gpar() и управление
аргументы, специфичные для каждого аргумента.
Различные значения grid::gpar() , доступные для каждого аргумента
находятся:
заливки
края
этикетки
количество
полосы
легенда
основная
цвет 909202
0 9 0
x
x
x
x
x
заполнение
x
альфа
x
x
x
x
2 18
х
х
lty
x
lwd
x
0
0
0
lex
x
размер шрифта
x
x
x
x
x
cex
x
x
x 2 902 0202
х
fontfamily
x
x
x
x
x
lineheight
x 09
0 9
x
x
x
x
шрифт
По умолчанию для этих значений, а также других параметров графиков можно
быть установлен глобально с помощью eulerr_options() .
Если диаграмма подобрана с использованием матрицы data.frame или методы
и используя аргумент на , область графика будет разделена на панели для
каждое сочетание одного-двух факторов.
Для пользователей, которые хотят построить свою диаграмму с помощью другого пакета,
все необходимые параметры можно собрать, если результат этого
функция присваивается переменной (а не выводится на экран).
fit <- euler(c("A" = 10, "B" = 5, "A&B" = 3 ))
# Настройка цветов, удаление границ, повышение альфа-канала, белые цветные метки
сюжет (подходит,
fills = list(fill = c("красный", "steelblue4"), альфа = 0,5),
метки = список (столбец = "белый", шрифт = 4))
# Добавляем количество на график
график (подгонка, количества = ИСТИНА)
# Добавьте пользовательскую легенду и сохраните количество
график (подгонка, количества = ИСТИНА, легенда = список (метки = c («foo», «bar»)))
# Нарисуйте без заливки и вместо этого различайте наборы с типами границ
график (подходит, заливки = "прозрачный", lty = 1: 2)
# Сохраняем параметры графика для построения другим методом
диаграмма_описание <- сюжет (подходит)
# Графики с использованием аргумента 'by'
сюжет (эйлер (фрукты [ 1: 4], по = список (пол)), легенда = ИСТИНА)
VennDiagram: пакет для создания диаграмм Венна и Эйлера с широкими возможностями настройки в R | BMC Биоинформатика
Программное обеспечение
Открытый доступ
Опубликовано:
Ханбо Чен 1 и
Пол Бутрос 1
Биоинформатика BMC том 12 , номер статьи: 35 (2011)
Процитировать эту статью
109 тыс. обращений
1346 цитирований
16 Альтметрический
Сведения о показателях
Abstract
Background
Визуализация ортогональных (непересекающихся) или перекрывающихся наборов данных является обычной задачей в биоинформатике. Существует несколько инструментов для автоматизации создания широко настраиваемых диаграмм Венна и Эйлера с высоким разрешением в статистической среде R. Чтобы заполнить этот пробел, мы представляем VennDiagram , пакет R, который позволяет автоматически генерировать настраиваемые диаграммы Венна с высоким разрешением, содержащие до четырех наборов, и диаграммы Эйлера, содержащие до трех наборов.
Результаты
Пакет VennDiagram предлагает пользователю возможность настраивать практически все аспекты сгенерированных диаграмм, включая размеры шрифта, стили и расположение меток, а также общий поворот диаграммы. Мы внедрили масштабированные диаграммы Венна и Эйлера, которые повышают графическую точность и визуальную привлекательность. Диаграммы создаются в виде файлов TIFF высокого разрешения, что упрощает процесс создания показателей качества публикации и облегчает интеграцию с установленными конвейерами анализа.
Выводы
Пакет VennDiagram позволяет создавать высококачественные диаграммы Венна и Эйлера в статистической среде R.
История вопроса
Визуализация сложных наборов данных становится все более важной частью биологии. Многие эксперименты включают интеграцию нескольких наборов данных для понимания взаимодополняющих аспектов биологии. Эти перекрывающиеся результаты можно визуализировать несколькими способами, включая текстовые таблицы (например, двусторонние таблицы), сетевые диаграммы [1, 2] и, в некоторых случаях, тепловые карты [3, 4]. Диаграммы Венна находят все более широкое применение из-за их привычности, простоты интерпретации и графической простоты. Для целей данной публикации диаграммы Венна можно определить как диаграммы, использующие простые геометрические формы, такие как круги и эллипсы, для отображения всех 2 n -1 возможные области, созданные взаимодействием n множеств. Использование простых геометрических фигур снижает сложность и размер фигур по сравнению с занимающими много места таблицами или сетевыми макетами.
Однако, несмотря на эту популярность, в настоящее время существует несколько пакетов для создания диаграмм Венна в широко используемой статистической среде R. Эти пакеты ограничены в своих возможностях генерировать диаграммы Венна с высоким разрешением и качеством публикации, поскольку они допускают небольшую настройку цветов, типов линий, размещения меток и шрифта меток. Многочисленные особые случаи обрабатываются неправильно, и выходные данные обычно не имеют формат файлов TIFF с высоким разрешением и качеством публикации. Существуют другие локальные или веб-программы, не основанные на R, способные генерировать диаграммы Венна, такие как Venny [5], BioVenn [6], ConSet [7] и VennMaster [8]. Все они страдают некоторыми из недостатков, перечисленных выше. Кроме того, интеграция в стандартные статистические/вычислительные конвейеры на основе R, такие как широко используемые библиотеки BioConductor статистической среды R [9].] является жизнеспособным, но технически не тривиальным.
Кроме того, если некоторые пересекающиеся или непересекающиеся области на диаграмме Венна не существуют, более желательным может быть другой класс диаграмм, называемый диаграммами Эйлера. Диаграммы Эйлера эквивалентны диаграммам Венна, когда существуют все пересекающиеся и непересекающиеся области. Однако области, содержащие нулевые элементы, показаны на диаграммах Венна (по определению), тогда как диаграммы Эйлера показывают только ненулевые области. Во многих случаях диаграммы Эйлера дополнительно уменьшают сложность фигур, повышают графическую точность и улучшают общую читаемость по сравнению с диаграммами Венна. К сожалению, почти все существующие пакеты не могут генерировать диаграммы Эйлера с качеством публикации в R, хотя VennEuler создает диаграммы Эйлера.
Для решения этих проблем мы представляем VennDiagram , пакет R для создания настраиваемых диаграмм Венна с высоким разрешением, содержащих до четырех наборов, и диаграмм Эйлера, состоящих из двух или трех наборов, в статистической среде R.
Реализация
Пакет VennDiagram был разработан и предназначен для статистической среды R. Среда R имеет открытый исходный код и доступна в Интернете по Стандартной общественной лицензии GNU (GPLv2). R был выбран из-за его природы с открытым исходным кодом, универсальных функций и общих предпочтений в сообществе биоинформатики. Использование R должно облегчить интеграцию с существующими конвейерами анализа данных. Весь код был разработан и протестирован с использованием версии 2.12.1 (32-разрядная и 64-разрядная версии) R. Пакет VennDiagram доступен в виде дополнительных файлов 1 (файл .tar.gz для Linux) и 2 (файл .zip для Windows).
VennDiagram использует пакет сетки для графики. Пакет сетки является базовым (стандартным) пакетом, доступным во всех установках, и предлагает большую маневренность, чем графика R по умолчанию, с точки зрения графических параметров и наличия изменяемых объектов сетки. VennDiagram использует эти функции для динамического растягивания/сжатия диаграмм в соответствии с размерами выходного файла и предлагает большое количество графических опций.
Результаты
Почти все графические опции в 9Пакет 0450 VennDiagram был параметризован и стал настраиваемым. Значения по умолчанию были выбраны для создания разумных диаграмм, поэтому в простых случаях не требуется высокий уровень настройки. На рис. 1 показано разнообразие доступных параметризаций. Существуют четыре основные группы графических параметров: форма-заливка, форма-линия, метки и заголовки. Форма-заливка относится к цветам внутри каждого круга или эллипса. Можно использовать все цвета, доступные в среде R, а альфа-смешивание можно настроить для каждой фигуры. Линии фигуры — это линии, окружающие каждый круг или эллипс. Они могут полностью отсутствовать (рис. 1C), быть сплошными (рис. 1A и 1B) или иметь любой другой доступный тип R-линий (рис. 1D). Их цвет можно менять, и каждая фигура может иметь отдельный набор параметров. Метки относятся как к заголовкам, описывающим каждый круг или эллипс, так и к числам внутри них. Опять же, их можно настроить с точки зрения цвета, типа шрифта и размера шрифта с любым доступным параметром R. Положения меток заголовков также можно настроить. Заголовки, которые включают основной заголовок и подзаголовок, как показано на рисунке 1D, также можно настраивать так же, как и метки.
Рисунок 1
Четыре типа диаграмм Венна, нарисованные пакетом VennDiagram . A) Диаграмма Венна с одним набором, показывающая элементарные настраиваемые функции, такие как размер шрифта метки, шрифт метки и заливка формы. B) Диаграмма Венна с двумя наборами, показывающая более продвинутые функции, такие как масштабирование, индивидуальные характеристики заполнения формы и размещение отдельных подписей. C) Диаграмма Венна с тремя наборами, показывающая другой тип контурной линии («прозрачный») и «текстовый» вариант размещения метки заголовка, где метки заголовков прикреплены к меткам областей. D) Диаграмма Венна с четырьмя наборами, показывающая комбинацию всех предыдущих функций плюс возможность настройки заголовков. Код для создания всех показанных здесь диаграмм включен в дополнительный файл 3.
Полноразмерное изображение
Помимо этих конкретных графических элементов, VennDiagram также предлагает множество общих параметров, таких как масштабирование, поворот или инверсия диаграмм. Масштабирование диаграмм реализовано с целью отображения диаграмм Венна, где графические размеры частичных областей (областей, ограниченных со всех сторон кривыми и не поддающихся дальнейшему подразделению) фактически соответствуют числовым значениям количества элементов внутри каждой области. Масштабирование диаграмм Венна с двумя наборами и выбранного количества диаграмм Венна с тремя наборами возможно - ниже мы обсудим проблемы, связанные с тем, чтобы сделать это возможным для всех случаев с тремя наборами. Использование масштабирования иногда может привести к тому, что перекрывающиеся области будут слишком малы для числовых меток. На рис. 2, строка 1, столбец 1 показана программно сгенерированная соединительная линия, которая позволяет специально обрабатывать этот случай. Реализовано автоматическое распознавание большого количества диаграмм Эйлера, но этот режим можно отключить с помощью параметра вызова функции, чтобы вместо этого строить стандартные диаграммы Венна. На рис. 2, строка 1, столбцы 2 и 3 показаны два примера двухмножественных диаграмм Эйлера. В строках 2 и 3 показано подмножество реализованных диаграмм Эйлера с тремя наборами, а в строке 3 показаны диаграммы масштабируемого разнообразия. Отметим, что рисунок 2 представлен в черно-белом цвете, чтобы подчеркнуть композиционные различия между диаграммами, но графические параметры и настройки, использованные на рисунке 1, полностью доступны. В то время как VennDiagram по умолчанию записывает графику в файлы TIFF с высоким разрешением, если для параметра имени файла установлено значение NULL, необработанный объект сетки может быть возвращен и использован в любом графическом режиме, доступном в R. Код для создания всех рисунков приведен в дополнительном файле 3. а пример всех доступных параметризаций показан в дополнительном файле 4.
Рисунок 2
Избранные частные случаи диаграммы Венна и диаграммы Эйлера, нарисованные пакетом VennDiagram . Строка 1, столбец 1: автоматически рисуемые настраиваемые линии, которые оптимизируют отображение частичных областей, когда отдельные частичные области становятся слишком маленькими на диаграммах Венна, состоящих из двух наборов. Строка 1, столбец 2: диаграмма Эйлера с двумя наборами, показывающая полное включение одного из наборов. Строка 1, столбец 3: диаграмма Эйлера с двумя множествами, показывающая два различных множества. Строка 2, столбец 1: диаграмма Эйлера с тремя множествами, где одно множество не имеет дискретных элементов. Строка 2, столбец 2: диаграмма Эйлера с тремя множествами, в которой одно множество не имеет дискретных элементов, полностью включено в одно из двух других множеств. Строка 2, столбец 3: диаграмма Эйлера с тремя множествами, где два множества не имеют дискретных элементов и включены в большее третье множество. Строка 3, столбец 1: диаграмма Эйлера с тремя наборами, показывающая полное включение двух наборов, отличных от третьего набора. Строка 3, столбец 2: диаграмма Эйлера с тремя наборами, где один набор полностью включен в другой набор, который сам полностью включен в третий набор. Строка 3, столбец 2: диаграмма Эйлера с тремя множествами, показывающая три различных множества. Код для создания всех показанных здесь диаграмм включен в дополнительный файл 3.
Изображение полного размера
Обсуждение
В ходе разработки пакета VennDiagram было обнаружено, что невозможно нарисовать точные, масштабированные диаграммы Венна с тремя наборами, используя круги. Эта загадка иллюстрируется следующим сценарием. В системе двух окружностей A и B расстояния между центрами окружностей d AB можно определить, если площади (A A и A B соответственно) и площадь пересечения (A A ∩ A B ) известны. Это возможно, потому что в системе с двумя кругами единственному A A ∩ A B соответствует уникальное значение для d AB . Следовательно, система из трех окружностей A, B и C, d AB , d BC , d AC может быть вычислена до тех пор, пока A A , A B , A C , A A ∩ A B , A A ∩ A C , A B ∩ A C все известны. Однако д AB , d BC , d AC составляют уникальный треугольник, подразумевая, что диаграмму Венна можно нарисовать, даже не зная общего пересечения A A ∩ A B ∩ A C . Другими словами, размер перекрытия между всеми тремя кругами не меняет представление масштабированных диаграмм Венна — площадь не меняется, даже если одна система имеет нулевое полное пересечение (т.е. A A ∩ A B ∩ A С = 0)! Эта головоломка возникает из-за (произвольного) выбора кругов для представления размера набора, что уменьшает степень свободы на одну. Уникальные решения можно определить, используя эллипсы или многоугольники для рисования диаграмм Венна, но полученные диаграммы потеряют мгновенную узнаваемость и привычность, связанные с круговыми диаграммами Венна, что лишает возможности удобного отображения информации. Некруговые диаграммы также потребуют итерационных алгоритмов для вычисления положения и размеров фигур, что значительно увеличивает вычислительную нагрузку, как обсуждалось другими [10]. Следовательно, масштабирование трехмножественных диаграмм Венна отключено в Пакет VennDiagram . Точно так же диаграммы Венна, содержащие более четырех наборов [11, 12], не были реализованы в пакете VennDiagram , поскольку они стали слишком сложными для интуитивной визуализации.
Общее предостережение при использовании диаграмм Эйлера состоит в том, что, хотя они уменьшают графическую сложность некоторых диаграмм Венна, их нетрадиционные формы в некоторых случаях также могут быть менее узнаваемыми. Когда присутствуют пустые области, пользователю необходимо выбирать между знакомыми диаграммами Венна и повышенной точностью диаграмм Эйлера. На рис. 3 показана ситуация, когда в зависимости от предпочтений пользователя может подойти либо диаграмма Венна, либо диаграмма Эйлера.
Рисунок 3
Наглядное сравнение диаграммы Эйлера и диаграммы Венна для одних и тех же гипотетических наборов . А) Диаграмма Эйлера показывает только ненулевые площади и поэтому может быть более точной графически. Б) На диаграмме Венна несуществующая область показана как область с нулевым содержимым. Хотя это не является графически точным, оно сохраняет узнаваемость диаграммы Венна.
Изображение полного размера
Пакет VennDiagram обрабатывает все двухмножественные диаграммы Эйлера и большинство всех мыслимых трехмножественных диаграмм Эйлера. Диаграммы Эйлера с тремя наборами, которые нельзя нарисовать с помощью кругов или эллипсов, не поддерживаются. Например, диаграмму Эйлера для случая, когда два непересекающихся набора составляют третий набор, нельзя нарисовать с помощью кругов и эллипсов, хотя ее можно нарисовать с помощью многоугольников. Этот тип рисунка не имеет готового аналитического макета и требует итеративной подгонки; диаграммы Эйлера, требующие многоугольников, недоступны, но для этих нескольких неподдерживаемых случаев доступны стандартные диаграммы Венна.
По сравнению с другими программами, способными создавать диаграммы Венна (таблица 1), преимущества пакета VennDiagram включают:
Рисование диаграмм Эйлера с использованием кругов и/или эллипсов с двумя или тремя наборами
Расширенные возможности настройки для создания более элегантных диаграмм
Доступность в широко используемой статистической среде R
Создание файлов TIFF с высоким разрешением, которые являются стандартными в публикациях
Таблица 1 Сравнение возможностей различных программ, способных генерировать диаграммы Венна.
Полноразмерная таблица
Выводы
Пакет VennDiagram повышает простоту использования и степень настраиваемости при создании диаграмм Венна в контексте биоинформатики. В то время как другие инструменты предлагают большую часть функций, представленных здесь, реализация всех функций вместе в широко используемой статистической среде R будет способствовать использованию автоматически сгенерированных диаграмм Венна в вычислительных конвейерах.
Наличие и требования
Сам пакет VennDiagram доступен как дополнительные файлы 1 и 2 и будет отправлен в CRAN — глобальный репозиторий пакетов R. VennDiagram требует R (>2.12.1) и пакет сетки для R. : Сетевой анализ, визуализация и построение графиков Торонто. Биоинформатика 2009, 25(24):3327–3329. 10.1093/биоинформатика/btp595
Статья
ПабМед Центральный
КАС
пабмед
Google Scholar
Мерико Д. , Гфеллер Д., Бадер Г.Д.: Как визуально интерпретировать биологические данные с помощью сетей. Nat Biotechnol 2009, 27(10):921–924. 10.1038/нбт.1567
Артикул
ПабМед Центральный
КАС
пабмед
Google Scholar
Boutros PC, Okey AB: Неконтролируемое распознавание образов: введение в причины и причины кластеризации данных микрочипов. Бриф Биоинформ 2005, 6(4):331–343. 10.1093/bib/6.4.331
Оливерос Дж.: Венни. Интерактивный инструмент для сравнения списков с диаграммами Венна. для сравнения и визуализации биологических списков с использованием диаграмм Венна, пропорциональных площади. BMC Genomics 2008, 9: 488. 10.1186/1471-2164-9-488
Статья
ПабМед Центральный
пабмед
Google Scholar
Ким Б., Ли Б., Сео Дж.: Визуализация соответствия множества с помощью матриц перестановок и веерных диаграмм. Interact Comput 2007, 19(5):630–643. 10.1016/j.intcom.2007.05.004
Статья
ПабМед Центральный
пабмед
Google Scholar
Кестлер Х.А., Мюллер А., Краус Дж.М., Буххольц М., Гресс Т.М., Лю Х., Кейн Д.В., Зееберг Б.Р., Вайнштейн Дж.Н.: VennMaster: диаграммы Эйлера, пропорциональные площади, для функционального анализа GO микрочипов. БМС Биоинфо 2008, 9: 67. 10.1186/1471-2105-9-67
Артикул
Google Scholar
">
Джентльмен Р.С., Кэри В.Дж., Бейтс Д.М., Болстад Б., Деттлинг М., Дудойт С., Эллис Б., Готье Л., Гэ Ю., Джентри Дж. и др.: Биокондуктор: открытая разработка программного обеспечения для вычислительной биологии и биоинформатики. Геном Биол 2004, 5(10):R80. 10.1186/gb-2004-5-10-r80
Артикул
ПабМед Центральный
пабмед
Google Scholar
Чоу С., Роджерс П. Построение диаграмм Венна и Эйлера, пропорциональных площади, с тремя окружностями. В диаграммах Эйлера 2005: 2005. Париж, Франция; 2005.
Google Scholar
Эдвардс А. Диаграммы Венна из семи наборов с вращательной и полярной симметрией. Комбинаторика, вероятность и вычисления 1998, 7 (2): 149–152. 10.1017/S0963548397003143
Артикул
Google Scholar
Schwenk A: Диаграмма Венна для пяти комплектов. Математический журнал 1984, 57 (5): 297–298. 10.2307/2689606
Артикул
Google Scholar
Ссылки на скачивание
Благодарности
Авторы благодарят всех сотрудников лаборатории Boutros за поддержку, и особенно доктора Кеннета Чу и Дэрила Ваггота за помощь в создании Windows-совместимой версии этого пакета. Это исследование было проведено при поддержке Института исследования рака Онтарио к ПХД за счет финансирования, предоставленного правительством Онтарио. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта номер MOP579.03 от Канадских институтов исследований в области здравоохранения (ПХБ и доктору Аллану Б. Оки).
Информация об авторе
Авторы и организации
Платформа информатики и биокомпьютеров, Институт исследований рака Онтарио, Центр MaRS, Южная башня, 101 College Street, Suite 800, Toronto, Ontario, M5G 0A3, Canada
Hanbo Chen Paul C Boutros
Авторы
Hanbo Chen
Посмотреть публикации автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Академия
Paul C Boutros
Посмотреть публикации автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Автор, ответственный за корреспонденцию
Пол Си Бутрос.
Дополнительная информация
Вклад авторов
HC и PCB задумали проект. HC написал программное обеспечение, которое HC и PCB протестировали и отладили. ХК написал первый черновик рукописи, которую все авторы отредактировали и одобрили.
Дополнительный электронный материал
Дополнительный файл 1: Пакет
VennDiagram R в виде linux-совместимого файла .tar.gz (GZ 20 КБ)
Дополнительный файл 2: Пакет
VennDiagram R в формате a 9042 -совместимый файл .zip (ZIP 64 КБ)
12859_2010_5075_MOESM3_ESM.R
Дополнительный файл 3: Код для создания всех диаграмм Венна на рисунках 1 и 2. (R 4 КБ)
Дополнительный файл 4: Иллюстрация параметров доступно в
Информация: Включите поддержку JavaScript, чтобы обеспечить нормальную работу сайта.
Выберите файл JPG для преобразования
Изменить качество или размер (опция)
Нажмите «Начать» для преобразования файла JPG в TGA
Скачайте файл TGA
Вы можете преобразовать файлы в обратную сторону из TGA в JPG:
Конвертер TGA в JPG
JPG в TGA — конвертируйте JPG в TGA бесплатно онлайн
Конвертируйте JPG в TGA онлайн и бесплатно
Шаг 1. Выберите файлы для конвертации
Перетаскивание файлов Макс. размер файла 50MB (хотите больше?)
Как мои файлы защищены?
Шаг 2. Конвертируйте ваши файлы в
Конвертируйте в
Или выберите другой формат
Шаг 3.
Начните конвертировать
(и примите наши Условия)
Электронная почта, когда закончите?
Вы пытаетесь загрузить файл, размер которого превышает наш свободный лимит в 50 МБ.
Вам нужно будет создать платную учетную запись Zamzar, чтобы иметь возможность скачать преобразованный файл. Хотите продолжить загрузку файла для конвертации?
* Ссылки должны иметь префикс http или https , например. http://48ers.com/magnacarta.pdf
Частные лица и компании доверяют Zamzar с 2006 года. Мы обеспечиваем безопасность ваших файлов и данных и предлагаем выбор и контроль над удалением файлов.
Свободно конвертированные файлы надежно хранятся не более 24 часов
Файлы платных пользователей хранятся до тех пор, пока они не решат их удалить
Все пользователи могут удалять файлы до истечения срока их действия
4,5 из 5 на основании 270 отзывов
Trustpilot
Нам доверяют сотрудники этих брендов
Сотрудники некоторых из самых известных мировых брендов полагаются на Zamzar для безопасного и эффективного преобразования своих файлов, гарантируя, что у них есть форматы, необходимые для работы. Сотрудники этих организаций, от глобальных корпораций и медиа-компаний до уважаемых учебных заведений и газетных изданий, доверяют Zamzar предоставление точных и надежных услуг по конвертации, в которых они нуждаются.
Ваши файлы в надежных руках
От вашего личного рабочего стола до ваших бизнес-файлов, мы обеспечим вас
Мы предлагаем ряд инструментов, которые помогут вам конвертировать ваши файлы наиболее удобным для вас способом. Помимо нашей онлайн-службы преобразования файлов, мы также предлагаем настольное приложение для преобразования файлов прямо с вашего рабочего стола и API для автоматического преобразования файлов для разработчиков. Какой инструмент вы используете, зависит от вас!
Хотите конвертировать файлы прямо с рабочего стола?
Получить приложение
Полностью интегрирован в ваш рабочий стол
Преобразование более 150 различных форматов файлов
Конвертируйте документы, видео, аудио файлы в один клик
Нужна функциональность преобразования в вашем приложении?
Изучите API
Один простой API для преобразования файлов
100 форматов на ваш выбор
Документы, видео, аудио, изображения и многое другое. ..
Инструменты, соответствующие вашим потребностям в преобразовании и сжатии файлов
В Zamzar вы найдете все необходимые инструменты для преобразования и сжатия в одном месте. С поддержкой более 1100 типов преобразования файлов, независимо от того, нужно ли вам конвертировать видео, аудио, документы или изображения, вы легко найдете то, что вам нужно, и вскоре ваши файлы будут в форматах и размерах, которые вам подходят.
Формат изображения JPG
Конвертер JPG
JPG, или JPEG, является одним из наиболее широко используемых форматов цифровых изображений. JPG — это универсальный формат, который можно открыть почти во всех программах просмотра или редактирования изображений, в веб-браузерах и некоторых других приложениях, и они поддерживаются большинством устройств. JPG — это 2D-пиксельные «растровые» изображения, которые лучше подходят для фотографий или сканов, а не для цифровых иллюстраций, которые часто лучше подходят для «векторных» изображений. Многие камеры, смартфоны и базовые программы для работы с фотографиями или рисованием автоматически сохраняют изображения в формате JPG. Однако обычно вы можете настроить параметры для сохранения в других форматах, если это необходимо.
JPEG расшифровывается как Joint Photographic Experts Group, название комитета, который стандартизировал формат. JPG — это формат с потерями, что означает, что он сжат для экономии места на диске и упрощения обмена. Это сжатие может повлиять на качество, но эта потеря качества не заметна для большинства пользователей.
Связанные инструменты
Преобразователи изображений
Конвертер JPG
Сжимайте JPG-файлы
Формат изображения TGA
Конвертер ТГА
Файл TGA имеет полное имя графического файла TARGA и является файлом растрового изображения. Он был разработан компанией Avid Technology. Первоначально он был разработан в 1984, и он намного сложнее, чем другие форматы файлов растровых изображений, поскольку в нем есть ряд составных частей. Первоначально, когда он был впервые разработан, он состоял из заголовка и еще одного раздела, известного как данные цветовой карты. Со временем добавлялось все больше и больше разделов, так что сегодняшний файл TGA может поддерживать 8-16-24 и 32 бита на пиксель при максимальном 24-битном RGB. Популярность файлов TGA сохранялась на протяжении многих лет, они используются до сих пор и пережили возрождение с тех пор, как 3D-видеоигры стали настолько популярными.
Связанные инструменты
Преобразователи изображений
Конвертер ТГА
Как преобразовать JPG в файл TGA?
1. Выберите файл JPG, который вы хотите преобразовать.
2. Выберите TGA в качестве формата, в который вы хотите преобразовать файл JPG.
3. Нажмите «Преобразовать», чтобы преобразовать файл JPG.
Конвертировать из JPG
Используя Zamzar, можно конвертировать файлы JPG во множество других форматов:
JPG в BMP
JPG в DOC
JPG в DOCX
JPG в GIF
JPG в ICO
JPG в PCX
JPG в PDF
JPG в PNG
JPG в PS
JPG в TGA
JPG в МИНИАТЮР
JPG в TIFF
JPG в WBMP
JPG в WEBP
Конвертировать в JPG
Используя Zamzar, можно конвертировать множество других форматов в файлы JPG:
3FR в JPG
ИИ в JPG
ARW в JPG
BMP в JPG
CDR в JPG
CR2 в JPG
CRW в JPG
DJVU в JPG
DNG в JPG
DOC в JPG
DOCX в JPG
DWG в JPG
DXF в JPG
EMF в JPG
EML в JPG
EPS в JPG
ERF в JPG
GIF в JPG
HEIC в JPG
КЛЮЧ к JPG
KEY. ZIP в JPG
MDI в JPG
MEF в JPG
MPP в JPG
MRW в JPG
MSG в JPG
NEF в JPG
ODG в JPG
ORF в JPG
PCX в JPG
PDF в JPG
PEF в JPG
PNG в JPG
PPM в JPG
PPS в JPG
PPSX в JPG
PPT в JPG
PPTX в JPG
PS в JPG
PSD в JPG
PUB в JPG
RAF в JPG
RAW в JPG
SR2 в JPG
SVG в JPG
TGA в JPG
TIFF в JPG
VSD в JPG
VSDX в JPG
WBMP в JPG
WEBP в JPG
WMF в JPG
X3F в JPG
XCF в JPG
XLS в JPG
XLSX в JPG
XPS в JPG
Преобразование изображений в формат TGA онлайн
Преобразование изображений в формат TGA онлайн
Преобразование изображений в формат TGA онлайн бесплатно с помощью современного браузера, такого как Chrome, Opera или Firefox.
Работает на aspose.com и aspose.cloud
*Загружая файлы или используя наш сервис, вы соглашаетесь с нашими Условиями обслуживания и Политикой конфиденциальности DIB TIFF TIF GIF PNG APNG TGA EMF EMZ WMF WMZ WEBP SVG SVGZ DICOM DCM DJVU DNG ODG OTG EPS CDR CMX BASE64
Поделиться на Facebook
Поделиться на Twitter
Поделиться на LinkedIn
Посмотреть другие приложения
Попробуйте наш Cloud API
Посмотреть исходный код
Оставить отзыв
Добавить это приложение в закладки
Нажмите Ctrl + D, чтобы добавить эту страницу в избранное или Esc, чтобы отменить действие
Преобразование Aspose.Imaging
Преобразование в TGA онлайн бесплатно. Мощный бесплатный онлайн-конвертер изображений в TGA очень прост. Не требуется установка настольного программного обеспечения. Все конвертации вы можете сделать онлайн с любой платформы: Windows, Linux, macOS и Android. Мы не требуем регистрации. Этот инструмент абсолютно бесплатный. Что касается специальных возможностей, вы можете использовать наши онлайн-инструменты для преобразования изображений в TGA для работы с файлами различных форматов и размеров в любой операционной системе. Независимо от того, используете ли вы MacBook, компьютер с Windows или даже портативное мобильное устройство, для вашего удобства конвертер изображений в TGA всегда доступен онлайн.
Conversion — это бесплатное приложение на базе Aspose.Imaging , профессионального .NET/Java API, предлагающего расширенные функции обработки изображений локально и готового для использования на стороне клиента и сервера.
Нужно облачное решение? Aspose.Imaging Cloud предоставляет SDK для популярных языков программирования, таких как C#, Python, PHP, Java, Android, Node.js, Ruby, которые созданы на основе Cloud REST API и постоянно развиваются.
Как конвертировать файлы с помощью Aspose.
Imaging Conversion
Щелкните внутри области перетаскивания файлов, чтобы загрузить файлы, или перетащите файлы.
Для операции можно загрузить не более 10 файлов.
Ваши файлы будут загружены и преобразованы в формат TGA
Ссылка для скачивания файлов TGA будет доступна сразу после конвертации
Вы также можете отправить ссылку на файл TGA на свой адрес электронной почты.
Обратите внимание, что файл будет удален с наших серверов через 24 часа, а ссылки для скачивания перестанут работать по истечении этого периода времени.
Часто задаваемые вопросы
❓ Как преобразовать изображение?
Во-первых, вам нужно добавить файл изображения для преобразования: перетащите файл изображения или щелкните внутри белой области, чтобы выбрать файл. Затем нажмите кнопку «Конвертировать». Когда преобразование изображения завершено, вы можете загрузить полученный файл TGA.
❓ Как преобразовать многостраничное изображение?
Все просто — выполните те же действия, что и для преобразования одностраничного изображения.
🛡️ Безопасно ли конвертировать изображения с помощью бесплатного приложения Aspose.Imaging Conversion?
Да, ссылка для скачивания файлов результатов будет доступна сразу после завершения операции преобразования. Мы удаляем загруженные файлы через 24 часа, и ссылки для скачивания перестают работать по истечении этого периода времени. Никто не имеет доступа к вашим файлам. Преобразование изображений абсолютно безопасно.
Когда пользователь загружает свои данные из стороннего сервиса, они обрабатываются так же, как указано выше.
Единственное исключение из приведенных выше политик возможно, когда пользователь решает поделиться своими данными через форум с просьбой о бесплатной поддержке, в этом случае только наши разработчики имеют доступ к ним для анализа и решения проблемы.
💻 Могу ли я конвертировать изображения в Linux, Mac OS или Android?
Да, вы можете использовать бесплатное изображение Aspose.
Чтобы посчитать чему равна высота равнобедренного треугольника просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить высоту равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)
длину двух равных сторон (a) и угол α
длину двух равных сторон (a) и угол β
длину основания (b) и угол α
длину основания (b) и угол β
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Если известны длина стороны а и основания b
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон
a =
, а длина основания
b =?
Ответ: h =
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и длина основания b?
Формула
h = √a2 — (b/2)2
Пример
Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:
h = √102 — (5/2)2 = √100 — 6. 25 ≈ 9.68 см
Если известны длина стороны а и угол α
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон
a =
, а угол
α =?
Ответ: h =
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?
Формула
h = a⋅sin α
Пример
Если сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:
h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см
Если известны длина стороны а и угол β
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон
a =
, а угол
β =?
Ответ: h =
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?
Формула
h = a⋅cosβ/2
Пример
Если сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:
h = 5⋅cos30/2 ≈ 4. 83 см
Если известны длина стороны b и угол α
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания
b =
, а угол
α =?
Ответ: h =
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол α?
Формула
h = b/2⋅tg α
Пример
Если сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:
h = 20/2⋅tg 35 = 10⋅0.7 = 7 см
Если известны длина стороны b и угол β
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания
b =
, а угол
β =?
Ответ: h =
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол β?
Формула
h = b/2⋅ctgβ/2
Пример
Если сторона b = 15 см, а ∠β = 40°, то:
h = 15/2⋅ctg40/2 = 7. 5⋅2.7474 ≈ 20.6 см
См. также
Высота треугольника — справочник для студентов и школьников
Определение и формула высоты треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Высота треугольника, взятого из заданной вершины, называется перпендикуляром, отброшенным от этой вершины к противоположной стороне или ее продолжению.
Свойства высоты треугольника
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
В равнобедренном треугольнике высота, опускаемая до основания, является медианной и биссектрисой.
В правильном треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.
В остром треугольнике высоты зажимаются внутри треугольника; в тупой — вне треугольника; в прямоугольном — в верхней части правого угла.
В правом треугольнике ноги — это высоты.
В прямоугольном треугольнике высота, занимаемая вершиной правого угла, разбивает ее на два треугольника, аналогичные оригинальному.
В остром треугольнике его две высоты отсекают от него аналогичные треугольники. {2}
\)
Высота \(\
\mathrm{BK}
\)найти формулу
\(\
B K=\frac{2 S}{A C}=\frac{2 \cdot 12}{10}=2,4 \mathrm{cm}
\)
Ответ:
\(\
\mathrm{BK}=2.4
\)см.
Физика
166
Реклама и PR
31
Педагогика
80
Психология
72
Социология
7
Астрономия
9
Биология
30
Культурология
86
Экология
8
Право и юриспруденция
36
Политология
13
Экономика
49
Финансы
9
История
16
Философия
8
Информатика
20
Право
35
Информационные технологии
6
Экономическая теория
7
Менеджент
719
Математика
338
Химия
20
Микро- и макроэкономика
1
Медицина
5
Государственное и муниципальное управление
2
География
542
Информационная безопасность
2
Аудит
11
Безопасность жизнедеятельности
3
Архитектура и строительство
1
Банковское дело
1
Рынок ценных бумаг
6
Менеджмент организации
2
Маркетинг
238
Кредит
3
Инвестиции
2
Журналистика
1
Конфликтология
15
Этика
9
Формулы дифференцирования Окружность, описанная около треугольника Окружность, вписанная в треугольник Равнобедренный треугольник Равносторонний (правильный) треугольник
Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Имя
Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое
Принимаю Политику
конфиденциальности
Подпишись на рассылку,
чтобы не пропустить информацию об акциях
Вычисление высоты прямоугольного треугольника
Все математические ресурсы GMAT
22 диагностических теста
693 практических теста
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
Помощь по математике GMAT »
Проблемные вопросы »
Геометрия »
Треугольники »
Прямоугольные треугольники »
Вычисление высоты прямоугольного треугольника
Примечание: Рисунок НЕ выполнен в масштабе
См. рисунок выше.
Рассчитать
Возможные ответы:
Недостаточно информации для расчета .
Правильный ответ:
Объяснение:
Гипотенуза большого прямоугольного треугольника равна
Площадь большого прямоугольного треугольника равна половине произведения его основания и высоты. Основанием может быть любая сторона треугольника; высота будет длиной высоты, которая представляет собой перпендикулярный отрезок от противоположной вершины к этому основанию.
Следовательно, площадь треугольника можно рассчитать как половину произведения катетов:
Или половину произведения гипотенузы на длину пунктирной линии.
Для расчета приравняем эти выражения друг к другу:
Сообщить об ошибке треугольник?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Используя формулу площади прямоугольного треугольника, мы можем подставить данные значения и найти высоту треугольника:
Сообщить об ошибке
5
прямоугольный треугольник с . Какова длина его высоты?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Высота AE делит треугольник ABC на два треугольника AEC и AEB с теми же пропорциями, что и исходный треугольник ABC, это свойство справедливо для любого прямоугольного треугольника.
Другими словами, .
Следовательно, мы можем рассчитать длину AE:
.
Сообщить об ошибке
Треугольник – это прямоугольный треугольник со сторонами . Какой размер высоты?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Как мы уже видели, высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника со сторонами одинаковой пропорции.
Следовательно, мы можем установить следующее равенство: или .
Подставив числа, мы получим, или .
Сообщить об ошибке
это прямоугольный равнобедренный треугольник с высотой . , какова длина высоты?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Так как здесь ABC равнобедренный прямоугольный треугольник, его высота равна половине размера гипотенузы.
Нам просто нужно применить теорему Пифагора, чтобы получить длину BC, и разделить эту длину на два.
, так .
Таким образом и окончательный ответ .
Сообщить об ошибке
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы по математике GMAT
22 диагностических теста
693 практических теста
Вопрос дня
Карточки
Учиться по понятиям
Высота равностороннего треугольника: формула, метод, примеры, факты
Какова высота равностороннего треугольника?
Высота — это термин, который мы используем для описания высоты объекта при измерении по вертикали. Высота равностороннего треугольника определяется как длина равностороннего треугольника, измеренная от его вершины до основания .
Высота равностороннего треугольника: определение
Все три стороны равностороннего треугольника равны по длине . В этом треугольнике можно провести прямую линию от одной из вершин к противоположной стороне треугольника, и эта линия делит равносторонний треугольник на две части равной площади, которая называется высотой равностороннего треугольника. посмотрите на прикрепленное изображение, где линия AO является высотой равностороннего треугольника ABC.
Родственные игры
Каковы важные характеристики высоты равностороннего треугольника?
В приведенном выше равностороннем треугольнике ABC мы определили, что AO является высотой треугольника.
Образуются прямоугольные треугольники $\angle AOB$ и $\angle AOC$. Площади двух прямоугольных треугольников AOB и AOC, образованных AO, равны.
Интересно, что эта прямая AO делит $\angle BAC$ на две равные части, так что $\angle BAC = \frac{\angle BAO}{2} + \frac{\angle CAO}{2}$ И поэтому эта прямая АО называется также биссектрисой угла $\угла ВАС$ вместе с высотой равностороннего треугольника. 9{\circ}$ с основанием BC. Значит, это серединный перпендикуляр к отрезку ВС.
Связанные рабочие листы
Формула высоты равностороннего треугольника
Формула высоты равностороннего треугольника (h) задается как
$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
Здесь , а представляет собой сторону равностороннего треугольника.
Формула высоты равностороннего треугольника Доказательство
Чтобы вычислить высоту равностороннего треугольника, мы применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AOC, приведенную ниже. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов прилежащего и перпендикулярного. Следовательно, в треугольнике AOC мы можем написать 9{2}$
$h = \sqrt{\frac{3}{4}a}$
$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
Следовательно, высота формула равностороннего треугольника, h, равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$, умноженной на сторону равностороннего треугольника, a.
Как найти высоту равностороннего треугольника, зная сторону?
Если дана сторона равностороннего треугольника, то мы можем просто использовать формулу, чтобы найти высоту.
$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ …где «a» — сторона
Как найти высоту равностороннего треугольника, зная периметр треугольника?
Периметр объекта определяется как мера длины формы. Следовательно, для равностороннего треугольника периметр может быть задан как сумма всех его трех сторон, что может быть задано как , мы можем определить сторону равностороннего треугольника, используя формулу
9{2}$
Таким образом, если мы знаем значение площади равностороннего треугольника, то с помощью приведенного выше уравнения мы можем определить значение a, которое можно использовать для оценки высоты равностороннего треугольника по формуле
$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
Заключение
В этой статье мы узнали, что высота равностороннего треугольника определяется как расстояние от вершины треугольника до противоположной стороны этой вершины, и это можно рассчитать математически, используя производные формулы в статье. Все высоты равностороннего треугольника равны, так как стороны равностороннего треугольника равны.
Решенные примеры на высоте равностороннего треугольника
1. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 5 единицам.
Решение:
Дана сторона равностороннего треугольника $= a = 5$ единиц
Нам нужно найти высоту равностороннего треугольника.
Используйте формулу для вычисления высоты равностороннего треугольника.
Теперь мы можем использовать это значение для вычисления высоты равностороннего треугольника.
$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4\; единицы = 2\sqrt{3}\; единиц$ Таким образом, высота равностороннего треугольника равна $2\sqrt{3}\;$ единиц.
Практические задачи на высоту равностороннего треугольника
1
Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна $4\sqrt{3}$ единицам.
5 шт.
12 единиц
6 единиц
9 единиц
Правильный ответ: 6 единиц Мы будем использовать формулу $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ для оценки высоты равностороннего треугольника треугольник. $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4\sqrt{3} = 6\; единиц$
2
Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 8 единицам.
{2}$, $a = \frac{\sqrt{4 \times Area}}{\sqrt{3}} \приблизительно 10,74$, а затем используя формулу для высоты $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10,74 \около 9,3\; единиц $, рассчитайте высоту.
4
Найдите высоту равностороннего треугольника, если его периметр равен 27 единицам.
Часто задаваемые вопросы о высоте равностороннего треугольника
По какой формуле находится площадь равностороннего треугольника?
Высота равностороннего треугольника определяется по формуле{2}$
Длины высот, проведенных из всех трех вершин равностороннего треугольника, равны или нет?
Для равностороннего треугольника высоты из всех трех вершин равны, так как высота зависит от стороны равностороннего треугольника, которая одинакова для всех трех сторон равностороннего треугольника.
Как найти точку середины отрезка по координатам. Как найти середину отрезка с помощью циркуля
В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение 1
Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .
Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .
Определение 2
Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .
Определение 3
Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B
Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B: необходимо определить координату x C .
Поскольку точка C является серединой отрезка А В, верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.
| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C
Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)
Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).
Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и B (x B):
Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.
Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .
Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y).
Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2
Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:
Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A (x A , y A) и B (x B , y B) определяются как :
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .
A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.
Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:
x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2
Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.
Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C – середина отрезка A B .
Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т. е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Следовательно, точка C имеет координаты:
x A + x B 2 , y A + y B 2
По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:
C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)
Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка
Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.
Пример 1
Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (- 7 , 3) и В (2 , 4) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В.
Решение
Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .
x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Ответ : координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .
Пример 2
Исходные данные: известны координаты треугольника А В С: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , — 8) . Необходимо найти длину медианы А М.
Решение
По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3
Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:
A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58
Ответ: 58
Пример 3
Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , — 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.
Решение
Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · (- 4) — 0 = — 8
Ответ: координаты точки А (7 , 3 , — 8) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
После кропотливого труда я вдруг заметил, что размеры веб страниц достаточно велики, и если так пойдёт дальше, то можно тихо мирно озвереть =) Поэтому предлагаю вашему вниманию небольшое эссе, посвященное очень распространённой геометрической задаче – о делении отрезка в данном отношении , и, как частный случай, о делении отрезка пополам .
Данная задача по тем или иным причинам не вписалась в другие уроки, но зато сейчас есть прекрасная возможность рассмотреть её подробно и неторопливо. Приятная новость состоит в том, что мы немного отдохнём от векторов и сконцентрируем внимание на точках и отрезках.
Формулы деления отрезка в данном отношении Понятие деления отрезка в данном отношении
Нередко обещанного вовсе ждать не приходится, сразу рассмотрим пару точек и, очевидное невероятное – отрезок :
Рассматриваемая задача справедлива, как для отрезков плоскости, так и для отрезков пространства. То есть, демонстрационный отрезок можно как угодно разместить на плоскости или в пространстве. Для удобства объяснений я нарисовал его горизонтально.
Что будем делать с данным отрезком? На этот раз пилить. Кто-то пилит бюджет, кто-то пилит супруга, кто-то пилит дрова, а мы начнём пилить отрезок на две части. Отрезок делится на две части с помощью некоторой точки , которая, понятно, расположена прямо на нём:
В данном примере точка делит отрезок ТАКИМ образом, что отрезок в два раза короче отрезка . ЕЩЁ можно сказать, что точка делит отрезок в отношении («один к двум»), считая от вершины .
На сухом математическом языке этот факт записывают следующим образом: , или чаще в виде привычной пропорции: . Отношение отрезков принято стандартно обозначать греческой буквой «лямбда», в данном случае: .
Пропорцию несложно составить и в другом порядке: – сия запись означает, что отрезок в два раза длиннее отрезка , но какого-то принципиального значения для решения задач это не имеет. Можно так, а можно так.
Разумеется, отрезок легко разделить в каком-нибудь другом отношении, и в качестве закрепления понятия второй пример:
Здесь справедливо соотношение: . Если составить пропорцию наоборот, тогда получаем: .
После того, как мы разобрались, что значит разделить отрезок в данном отношении, перейдём к рассмотрению практических задач.
Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:
Откуда взялись данные формулы? В курсе аналитической геометрии эти формулы строго выводятся с помощью векторов (куда ж без них? =)). Кроме того, они справедливы не только для декартовой системы координат, но и для произвольной аффинной системы координат (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Такая вот универсальная задача.
Пример 1
Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении , если известны точки
Решение : В данной задаче . По формулам деления отрезка в данном отношении, найдём точку :
Ответ :
Обратите внимание на технику вычислений: сначала нужно отдельно вычислить числитель и отдельно знаменатель. В результате часто (но далеко не всегда) получается трёх- или четырёхэтажная дробь. После этого избавляемся от многоэтажности дроби и проводим окончательные упрощения.
В задаче не требуется строить чертежа, но его всегда полезно выполнить на черновике:
Действительно, соотношение выполняется, то есть отрезок в три раза короче отрезка . Если пропорция не очевидна, то отрезки всегда можно тупо измерить обычной линейкой.
Равноценен второй способ решения : в нём отсчёт начинается с точки и справедливым является отношение: (человеческими словами, отрезок в три раза длиннее отрезка ). По формулам деления отрезка в данном отношении:
Ответ :
Заметьте, что в формулах необходимо переместить координаты точки на первое место, поскольку маленький триллер начинался именно с неё.
Также видно, что второй способ рациональнее ввиду более простых вычислений. Но всё-таки данную задачу чаще решают в «традиционном» порядке. Например, если по условию дан отрезок , то предполагается, что вы составите пропорцию , если дан отрезок , то «негласно» подразумевается пропорция .
А 2-ой способ я привёл по той причине, что частенько условие задачи пытаются намеренно подзапутать. Именно поэтому очень важно выполнять черновой чертёж чтобы, во-первых, правильно проанализировать условие, а, во-вторых, в целях проверки. Обидно допускать ошибки в такой простой задаче.
Пример 2
Даны точки . Найти:
а) точку , делящую отрезок в отношении ; б) точку , делящую отрезок в отношении .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда встречаются задачи, где неизвестен один из концов отрезка:
Пример 3
Точка принадлежит отрезку . Известно, что отрезок в два раза длиннее отрезка . Найти точку , если .
Решение : Из условия следует, что точка делит отрезок в отношении , считая от вершины , то есть, справедлива пропорция: . По формулам деления отрезка в данном отношении:
Сейчас нам неизвестны координаты точки : , но это не является особой проблемой, так как их легко выразить из вышеприведённых формул. В общем виде выражать ничего не стОит, гораздо проще подставить конкретные числа и аккуратно разобраться с вычислениями:
Ответ :
Для проверки можно взять концы отрезка и, пользуясь формулами в прямом порядке, убедиться, что при соотношении действительно получится точка . И, конечно же, конечно же, не лишним будет чертёж. А чтобы окончательно убедить вас в пользе клетчатой тетради, простого карандаша да линейки, предлагаю хитрую задачу для самостоятельного решения:
Пример 4
Точка . Отрезок в полтора раза короче отрезка . Найти точку , если известны координат точек .
Решение в конце урока. Оно, кстати, не единственное, если пойдёте отличным от образца путём, то это не будет ошибкой, главное, чтобы совпали ответы.
Для пространственных отрезков всё будет точно так же, только добавится ещё одна координата.
Если известны две точки пространства , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами: .
Пример 5
Даны точки . Найти координаты точки , принадлежащей отрезку , если известно, что .
Решение : Из условия следует отношение: . Данный пример взят из реальной контрольной работы, и его автор позволил себе небольшую шалость (вдруг кто споткнётся) – пропорцию в условии рациональнее было записать так: .
По формулам координат середины отрезка:
Ответ :
Трёхмерные чертежи в целях проверки выполнять значительно сложнее. Однако всегда можно сделать схематический рисунок, чтобы разобраться хотя бы в условии – какие отрезки необходимо соотносить.
Что касается дробей в ответе, не удивляйтесь, обычное дело. Много раз говорил, но повторюсь: в высшей математике принято орудовать обыкновенными правильными и неправильными дробями. Ответ в виде пойдёт, но вариант с неправильными дробями более стандартен.
Разминочная задача для самостоятельного решения:
Пример 6
Даны точки . Найти координаты точки , если известно, что она делит отрезок в отношении .
Решение и ответ в конце урока. Если трудно сориентироваться в пропорциях, выполните схематический чертёж.
В самостоятельных и контрольных работах рассмотренные примеры встречаются как сами по себе, так и составной частью более крупных задач. В этом смысле типична задача нахождения центра тяжести треугольника.
Разновидность задания, где неизвестен один из концов отрезка, разбирать не вижу особого смысла, так как всё будет похоже на плоский случай, разве что вычислений чуть больше. Лучше вспомним годы школьные:
Формулы координат середины отрезка
Даже неподготовленные читатели могут помнить, как разделить отрезок пополам. Задача деления отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении. Двуручная пила работает самым демократичным образом, и каждому соседу за партой достаётся по одинаковой палке:
В этот торжественный час стучат барабаны, приветствуя знаменательную пропорцию . И общие формулы чудесным образом преображаются в нечто знакомое и простое:
Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить:
В общих формулах такой роскошный номер, как понимаете, не проходит. Да и здесь в нём нет особой надобности, так, приятная мелочь.
Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы отрезка , то координаты его середины выражаются формулами:
Пример 7
Параллелограмм задан координатами своих вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.
Решение : Желающие могут выполнить чертёж. Граффити особенно рекомендую тем, кто капитально забыл школьный курс геометрии.
По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам, поэтому задачу можно решить двумя способами.
Способ первый : Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :
Как найти середину отрезка с помощью циркуля?Элементарная задачка о нахождении середины отрезка при помощи циркуля была сформулирована еще в античности. Часто ее приписывают древнегреческим мудрецам, однако, скорее всего, она присутствовала и в других культурах, в которых была развита математика и геометрия (например, в древнеегипетской). В древности эта задача имела и вполне практическое применение, ведь знание того, как найти середину отрезка при помощи простейших измерительных приборов, было полезно, например, в землемерстве, землеустройстве и строительстве. Сегодня, при наличии сложной измерительной техники, такое задание скорее представляет упражнение для развития интеллектуальных способностей и пространственной фантазии школьников.
Как же на самом деле решается данная задача? Берем циркуль и открываем его таким образом, чтобы радиус предполагаемой окружности был очевидно больше половины заданного отрезка. Теперь, ставим основание (иглу) циркуля в одну из точек, ограничивающих отрезок, и рисуем окружность выбранного радиуса. В принципе, решая задачу о том, как построить середину отрезка, достаточно нарисовать и полукруг, располагающийся «внутри» отрезка. Затем устанавливаем иглу циркуля в другой конец отрезка и повторяем процедуру очерчивания полукруга.Проделав описанную процедуру, видим, что наши окружности пересекаются в двух точках. Берем линейку и соединяем эти две точки прямой линией. Получаем линию перпендикулярную исходному отрезку. Именно точка пересечения этой линии и отрезка и является серединой последнего.
Конечно, здесь важно понять саму сущность данной задачи. Почему центр отрезка получится именно там, где пересекутся линии? Знание смысла данной задачи может, например пригодиться, при поиска ответа на вопрос о том, как найти середину треугольника, а также при решении других, более сложных геометрических задач.Итак, если соединить крайние точки исходного отрезка с точками пересечения наших окружностей, то получим четырехугольник. Но какой четырехугольник? Все его стороны являются радиусами наших окружностей, а значит равными по длине (ведь мы использовали одинаковый радиус). Любой четырехугольник с равными сторонами представляет собой ромб, диагонали которого всегда пересекаются под прямым углом и, что более важно для нашей задачи, делят друг друга пополам. Именно в этом и состоит логика подобного решения задачи о построении середины отрезка при помощи циркуля.
Если же вопрос формулируется иначе, а именно о том, как найти координаты середины отрезка, то для его решения необходимо знать координаты его конечных точек. Координаты же середины будут равны полусуммам координат точек окончания отрезка. Конечно, здесь уже используется декартова система координат, в связи с чем данные задачи имеют разную сущность, хотя и решают одну проблему.
В любом случае, решение разных формулировок геометрических задач очень
полезно для развития интеллекта и образного мышления ребенка. Поэтому не
стоит пренебрегать этими инструментами личностного развития.
Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.
Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:
Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.
· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.
Решение . Поскольку точка K — середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:
Ответ : K = (0,5; 0; 1)
· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .
Решение . Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L — это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:
Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)
Простейшие задачи аналитической геометрии. Действия с векторами в координатах
Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.
Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.
Найти длину отрезка по координатам точек формула. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения
В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение 1
Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .
Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .
Определение 2
Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .
Определение 3
Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B
Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B: необходимо определить координату x C .
Поскольку точка C является серединой отрезка А В, верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.
| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C
Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)
Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).
Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и B (x B):
Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.
Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .
Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y).
Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2
Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:
Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A (x A , y A) и B (x B , y B) определяются как :
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .
A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.
Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:
x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2
Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.
Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C – середина отрезка A B .
Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т. е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Следовательно, точка C имеет координаты:
x A + x B 2 , y A + y B 2
По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:
C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)
Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка
Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.
Пример 1
Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (- 7 , 3) и В (2 , 4) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В.
Решение
Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .
x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Ответ : координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .
Пример 2
Исходные данные: известны координаты треугольника А В С: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , — 8) . Необходимо найти длину медианы А М.
Решение
По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3
Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:
A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58
Ответ: 58
Пример 3
Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , — 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.
Решение
Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · (- 4) — 0 = — 8
Ответ: координаты точки А (7 , 3 , — 8) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Определить длину отрезка возможно разными способами. Для того чтобы узнать, как найти длину отрезка, достаточно иметь в наличии линейку или знать специальные формулы для расчета.
Длина отрезка с помощью линейки
Для этого прикладываем к построенному на плоскости отрезку линейку с миллиметровыми делениями, причем начальную точку необходимо совместить с нулем шкалы линейки. Затем следует отметить на данной шкале расположение конечной точки данного отрезка. Полученное количество целых делений шкалы и будет являться длиной отрезка, выраженной в см. и мм.
Метод координат на плоскости
Если известны координаты отрезка (х1;у1) и (х2;у2), то следует рассчитать его длину следующим образом. Из координат на плоскости второй точки следует вычесть координаты первой точки. В итоге должно получиться два числа. Каждое из таких чисел необходимо возвести в квадрат, а потом найти сумму этих квадратов. Из полученного числа следует извлечь квадратный корень, который будет являться расстоянием между точками. Поскольку данные точки являются концами отрезка, то данное значение и будет его длиной.
Рассмотрим пример, как найти длину отрезка по координатам. Есть координаты двух точек (-1;2) и (4;7). При нахождении разности координат точек получаем следующие значения: х = 5, у =5. Полученные числа и будут являться координатами отрезка. Затем каждое число возводим в квадрат и находим сумму результатов, она равна 50. Из этого числа извлекаем квадратный корень. Результат таков: 5 корней из 2. Это длина отрезка.
Метод координат в пространстве
Для этого необходимо рассмотреть, как найти длину вектора. Именно он и будет являться отрезком в евклидовом пространстве. Находится он почти таким же образом, как длина отрезка на плоскости. Построение вектора происходит в разных плоскостях
. Как найти длину вектора?
Найдите координаты вектора, для этого из координат его конечной точки нужно вычесть координаты его начальной точки.
После этого нужно возвести каждую координату вектора в квадрат.
Затем складываем квадраты координат.
Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов координат.
Рассмотрим алгоритм вычисления на примере. Необходимо найти координаты вектора АВ. Точки А и В имеют следующие координаты: А (1;6;3) и В (3;-1;7). Начало вектора лежит в точке А, конец расположен в точке В. Таким образом, чтобы найти его координаты, необходимо вычесть координаты точки А из координат точки В: (3 — 1; -1 — 6;7 — 3) = (2;-7;4).
Теперь возводим каждую координату в квадрат и складываем их: 4+49+16=69. И наконец, извлекает квадратный корень из данного числа. Его трудно извлечь, поэтому результат записываем таким образом: длина вектора равна корню из 69.
Если же вам не важно самому высчитывать длину отрезков и векторов, а нужен просто результат, то вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором, например, этим .
Теперь, изучив данные способы и рассмотрев представленные примеры, вы без проблем сможете найти длину отрезка в любой задаче.
Если вы хорошо заточенным карандашом прикоснетесь к тетрадному листу, то останется след, который дает представление о точке. (рис. 3
).
Отметим на листе бумаги две точки A
и B.
Эти точки можно соединить различными линиями (рис. 4
). А как соединить точки A
и B
самой короткой линией? Это можно сделать с помощь линейки (рис. 5
). Полученную линию называют отрезком .
Точка и отрезок − примеры геометрических фигур .
Точки A
и B
называют концами отрезка .
Существует единственный отрезок, концами которого являются точки A
и B.
Поэтому отрезок обозначают, записывая точки, которые являются его концами. Например, отрезок на рисунке 5
обозначают одним из двух способов: AB
или BA.
Читают: «отрезок AB»
или «отрезок BA».
На рисунке 6
изображены три отрезка. Длина отрезка AB
равна 1
см. Он помещается в отрезке MN
ровно три раза, а в отрезке EF −
ровно 4
раза. Будем говорить, что длина отрезка MN
равна 3
см, а длина отрезка EF −
4
см.
Также принято говорить: «отрезок MN
равен 3
см», «отрезок EF
равен 4
см». Пишут: MN =
3
см, EF =
4
см.
Длины отрезков MN
и EF
мы измерили единичным отрезком , длина которого равна 1
см. Для измерения отрезков можно выбрать и другие единицы длины , например: 1
мм, 1
дм, 1
км. На рисунке 7
длина отрезка равна 17
мм. Он измерен единичным отрезком, длина которого равна 1
мм, с помощью линейки с делениями. Также с помощью линейки можно построить (начертить) отрезок заданной длины (см. рис. 7
).
Вообще, измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается .
Длина отрезка обладает следующим свойством.
Если на отрезке AB
отметить точку C,
то длина отрезка AB
равна сумме длин отрезков AC
и CB (рис. 8
).
Пишут: AB = AC + CB.
На рисунке 9
изображены два отрезка AB
и CD.
Эти отрезки при наложении совпадут.
Два отрезка называют равными, если они совпадут при наложении.
Следовательно отрезки AB
и CD
равны. Пишут: AB = CD.
Равные отрезки имеют равные длины.
Из двух неравных отрезков бОльшим будем считать тот, у уоторого длина больше. Например, на рисунке 6
отрезок EF
больше отрезка MN.
Длину отрезка AB
называют расстоянием между точками A
и B.
Если несколько отрезков расположить так, как показано на рисунке 10,
то получится геометрическая фигура, которую называют ломаная . Заметим, что все отрезки на рисунке 11
ломаную не образуют. Считают, что отрезки, образуют ломаную, если конец первого отрезка совпадает с концом второго, а другой конец второго отрезка − с концом третьего и т. д.
Точки A, B, C, D, E − вершины ломаной ABCDE,
точки A
и E − концы ломаной , а отрезки AB, BC, CD, DE −
ее звенья (см. рис. 10
).
Длиной ломаной называют сумму длин всех ее звеньев.
На рисунке 12
изображены две ломаные, концы которых совпадают. Такие ломаные называют замкнутыми .
Пример 1 . Отрезок BC
на 3
см меньше отрезка AB,
длина которого равна 8
см (рис. 13
). Найдите длину отрезка AC.
Решение. Имеем: BC =
8
− 3
= 5
(см).
Воспользовавшись свойством длины отрезка, можно записать AC = AB + BC. Отсюда AC =
8
+ 5
= 13
(см).
Ответ: 13
см.
Пример 2 . Известно, что MK =
24
см, NP =
32
см, MP =
50
см (рис. 14
). Найдите длину отрезка NK.
Решение. Имеем: MN = MP − NP.
Отсюда MN =
50
− 32
= 18
(см).
Имеем: NK = MK − MN.
Отсюда NK =
24
− 18
= 6
(см).
Ответ: 6
см.
Отрезком называют часть прямой линии, состоящей из всех точек этой линии, которые расположены между данными двумя точками — их называют концами отрезка.
Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.
Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.
Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1 , а на ось Х длина проекции равна x2-x1 . Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 — y1)² + (x2 — x1)² . В данном случае |AB| является длиной отрезка.
Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5) . Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 — 1)² + (5 — 3)² = 1 + 4 = 5 . А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2 .
Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.
Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.
Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Рассчитаем длину отрезка А , для этого найдем квадратный корень:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1 , то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс
Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Подобные треугольники
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С:
Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус угла, который равен , обозначается символом , читается: «синус альфа».
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.Косинус угла, который равен , обозначается символом , читается: «косинус альфа».
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Тангенс угла, который равен , обозначается символом , читается: «тангенс альфа».
На рисунке
(1)
(2)
(3)
Из формул (1) и (2) получаем:
Сравнивая с формулой (3), находим:
(4)
Получили, что тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Дано: АВС, А1В1С1, С = С1 = 900, А = А1.
Доказать: sin A = sin A1, cos A = cos A1, tg A = tg A1.
Доказательство:
АВС А1В1С1 по первому признаку подобия треугольников (т.к. С = С1 = 900, А = А1). Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, поэтому мы можем записать:
Из этих равенств следует, что т.е. sin A = sin A1. Аналогично , т.е. cos A = cos A1, и , т.е. tg A = tg A1, что и требовалось доказать.
Мы получили, что синус, косинус и тангенс острого угла зависиттолько от величины этого угла.
Докажем основное тригонометрическое тождество:
Из формул (1) и (2) получаем
По теореме Пифагора , поэтому .
Советуем посмотреть:
Пропорциональные отрезки
Определение подобных треугольников
Отношение площадей подобных треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Средняя линия треугольника
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Практические приложения подобия треугольников
О подобии произвольных фигур
Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60
25.10.2016
Категория: Образование и наука Подкатегория: Математика
Популярность
Тригонометрия является разделом математики, изучающим тригонометрические функции, а также их использование на практике. К таким функциям относятся синус, косинус, тангенс и котангенс.
Синус – это тригонометрическая функция, отношение величины противолежащего катета к величине гипотенузы.
Синус в тригонометрии.
Как уже сказано выше, синус имеет непосредственное отношение к тригонометрии и тригонометрическим функциям. Его функция определяется тем, чтобы
помогать высчитать угол, при условии известности величин сторон треугольника;
помогать высчитать величины стороны треугольника, при условии известности угла.
Необходимо помнить, что величина синуса будет всегда одинакова для любых размеров треугольника, поскольку синус – это не измерение, а соотношение.
Следовательно, для того чтобы не высчитывать эту постоянную величину при каждом решении той или иной задачи, были созданы специальные тригонометрические таблицы. В них величины синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов уже просчитаны и закреплены. Обычно эти таблицы приводятся на форзаце учебников по алгебре и геометрии. Также их можно найти в Интернете.
Синус в геометрии.
Геометрия требует наглядности, поэтому, чтобы понять на практике, что такое синус угла, нужно нарисовать треугольник с прямым углом.
Допустим, что стороны, образующие прямой угол, названы а, в, противоположный им угол – х.
Обычно в заданиях указана длина сторон. Допустим, а=3, в=4. В таком случае соотношение сторон будет выглядеть как ¾. При этом если удлинить стороны треугольника, прилегающие к острому углу х, то увеличатся и стороны а и в, и гипотенуза – третья сторона прямоугольного треугольника, лежащая не под прямым углом к основанию. Теперь стороны треугольника можно назвать иначе, допустим: m, n, k.
При этом видоизменении сработал закон тригонометрии: длины сторон треугольника изменились, а их отношение – нет.
Тот факт, что при изменении длины сторон треугольника во сколько угодно раз и при сохранении величины угла х, соотношение между его сторонами всё равно останется неизменным, заметили ещё древние ученые. В нашем случае длина сторон могла измениться так: а/в = ¾, при удлинении стороны а до 6 см, а в – до 8 см получаем: m/n = 6/8 = 3/4.
Соотношения сторон в прямоугольном треугольнике в связи с этим получили названия:
синус угла х – это отношение противолежащего катета к гипотенузе: sinx = а/с;
косинус угла х – это отношение прилежащего катета к гипотенузе: сosx = в/с;
тангенс угла х – это отношение противолежащего катета к прилежащему: tgx = а/в;
котангенс угла х – это отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgx = в/а.
Похожие статьи
Что такое синус, косинус и тангенс?
Знаете ли вы, что сказали друг другу два угла, живущие внутри одного и того же прямоугольного треугольника? Первый ракурс звучит так: «Эй, Тельма (или это Тета?), я не хочу отклоняться от темы, но какой у тебя синус?» На что второй угол отвечает: «Фил (или это Фи?), я не знаю, почему ты вообще спрашиваешь, мой синус, очевидно, совпадает с твоим косинусом!»
Ладно, возможно, это не самая лучшая шутка в мире, но как только вы понимаете синусы и косинусы, это довольно забавно. Конечно, это означает, что если вы не не знаешь разницы между синусом и косинусом, ты в настоящее время остаешься в метафорическом холоде.
Очевидно, мы не можем этого допустить — и не позволим! Потому что сегодня мы узнаем все о синусе, косинусе и тангенсе.
Резюме: тригонометрия и треугольники
Когда мы говорили об открытом в новом окне мире тригонометрии, мы узнали, что та часть математики, которая называется тригонометрия, имеет дело с треугольниками. И, в частности, это та часть математики, которая занимается выяснением отношений между тремя сторонами и тремя углами, составляющими каждый треугольник.
Особый интерес для нас представляет особый тип треугольников, известный как прямоугольные треугольники. У каждого прямоугольного треугольника есть один угол в 90 градусов (например, угол квадрата или прямоугольника) и два угла, каждый из которых находится в диапазоне от большего, чем 0 градусов, до меньшего, чем 90 градусов (при этом, как мы поговорим в будущем, сумма всех трех углов равна 180 градусов).
Для нашего обсуждения синуса, косинуса и тангенса (которые, не волнуйтесь, не так сложны, как кажутся), важно, чтобы у нас был способ обозначать стороны прямоугольных треугольников.
Как мы узнали в последний раз opens in a new window, самая длинная сторона треугольника называется его «гипотенуза». Сторона, противоположная углу, на который мы смотрим, известна как «противоположная» сторона (логически). А сторона, примыкающая к углу, на который мы смотрим (та, которая не является гипотенузой), известна как «прилегающая» сторона.
Синус, косинус и тангенс
Теперь, когда все эти предварительные сведения счастливо плещутся в нашем растущем бассейне математических знаний, мы, наконец, готовы разобраться со значением синуса, косинуса и тангенса. Вот ключевая идея:
Отношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.
Отношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.
Другими словами, значение, которое вы получаете, когда делите длины любых двух сторон прямоугольного треугольника — скажем, длину стороны, противолежащей одному из его углов, деленную на его гипотенузу, — полностью высечено в камне, как только углы высечены в камне.
Почему? Что ж, если углы фиксированы, увеличение или уменьшение треугольника не влияет на относительную длину его сторон. Но изменение углов треугольника, даже незначительное, имеет значение! Если вам нужно какое-то убеждение, попробуйте нарисовать несколько треугольников самостоятельно, и вы убедитесь, что это действительно так.
Тот факт, что у треугольника три стороны, означает, что существуют также три возможных отношения длин сторон треугольника. И, как вы уже могли догадаться, эти три отношения есть не что иное, как знаменитые тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса.
Что такое SOH-CAH-TOA?
Синус одного из углов прямоугольного треугольника (часто сокращенно «sin») — это отношение длины стороны треугольника, противоположной углу, к длине гипотенузы треугольника. Косинус (часто сокращенно «cos») — это отношение длины стороны, примыкающей к углу, к длине гипотенузы. А тангенс (часто сокращенно «тан») — это отношение длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей.
Поскольку это слишком сложно для запоминания, добрые люди на протяжении веков придумали удобную мнемонику, которая поможет вам (и бесчисленным поколениям детей в школе) разобраться. Все, что вам нужно помнить, это SOH-CAH-TOA. Другими словами:
SOH → sin = «противоположное» / «гипотенуза»
.
CAH → cos = «прилегающий» / «гипотенуза»
TOA → tan = «противоположный» / «соседний»
Тригонометрия в реальном мире
Вам может быть интересно, как тригонометрия применима в реальной жизни. Как вы будете использовать синус, косинус и тангенс вне классной комнаты и почему это актуально?
Есть несколько карьерных путей, которые приводят к постоянному использованию этих уравнений. Например, предположим, что вы звукорежиссер, работающий над созданием нового альбома популярного исполнителя. Вы знаете, что звук распространяется волнами, и инженеры могут манипулировать этими волнами (измеряемыми и применяя тригонометрию) для создания различных звуков, генерируемых компьютером.
Что делать, если вы архитектор, открывающий в новом окне, и вам нужно знать высоту существующего здания в районе, который вам назначен? Вы можете использовать расстояние от здания и угол возвышения, чтобы определить высоту. Вы даже можете использовать триггер, чтобы определить, под каким углом солнце будет светить в здание или комнату.
Строители также используют синус, косинус и тангенс таким же образом. Им необходимо измерить размеры участков, углы крыши, высоту стен и ширину пола и многое другое.
Криминалисты используют тригонометрию для определения углов траектории пули, причины аварии или направления упавшего предмета.
А как насчет места преступления? Следователи могут использовать тригонометрию для определения углов траектории пули, причины аварии или направления упавшего предмета.
использует синус, косинус и тангенс. Его физики и астронавты часто используют роботизированные руки для выполнения заданий в космосе и используют тригонометрию, чтобы определить, куда и как двигать руку для выполнения своей задачи.
Думаете об изучении морской биологии? В этой карьере синус, косинус и тангенс иногда используются для определения размеров крупных морских существ на расстоянии, а также для расчета уровней освещенности на определенных глубинах, чтобы увидеть, как они влияют на фотосинтез.
Есть десятки профессий, которые используют тригонометрию в своих повседневных задачах. Таким образом, вы можете перестать говорить что-то вроде: «Я никогда не буду использовать тригонометрию в настоящий мир ».
Что дальше?
Хотя все эти разговоры об углах и сторонах прямоугольных треугольников и их соответствии друг другу посредством красоты и великолепия тригонометрии действительно прекрасны, они могут заставить вас немного задуматься о том, «Почему?» «Что?» и когда?» всего этого. Под этим я подразумеваю:
Почему именно это полезно в реальном мире?
Для чего нужны кнопки sin, cos и tan на моем калькуляторе? (И как они работают?)
Когда мне действительно может понадобиться вычислить синус или косинус?
Очевидно, это очень важные (и очень разумные) вопросы. И это также очень важные вопросы, на которые нужно ответить. Именно за эту задачу мы и начнем браться в следующий раз.
Синус
Синус, записываемый как sin(θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.
Определения синусов
Обычно тригонометрические функции обсуждаются двумя способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводится определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.
Определение прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы.
Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:
Смежный: сторона, следующая за θ, которая не является гипотенузой
Напротив: сторона, противоположная θ.
Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
Пример:
Найдите sin(θ) для прямоугольного треугольника ниже.
Мы также можем использовать функцию синуса при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.
Пример:
Пандус для инвалидных колясок должен иметь угол наклона 10° и высоту 3 фута. Какова длина пандуса?
Определение единичной окружности
Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности. Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций прямоугольным треугольником допускает углы от 0° до 9°.0° (0 и в радианах). Определение единичного круга позволяет нам расширить область применения тригонометрических функций на все действительные числа. См. рисунок ниже.
Имея точку (x, y) на окружности единичного круга, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза — это радиус единичной окружности, или 1. θ — это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованного вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки. Конечная сторона угла является гипотенузой прямоугольного треугольника и является радиусом единичной окружности. Поэтому его длина всегда равна 1. Таким образом, мы можем использовать определение синуса прямоугольного треугольника, чтобы определить, что
означает, что значение y любой точки на окружности единичного круга равно sin(θ).
В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острого угла прямоугольного треугольника, если он находится в области определения sin(θ). Область определения синуса равна (-∞,∞), а ее диапазон равен [-1,1].
значения синуса
Существует множество методов, которые можно использовать для определения значения синуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с использованием ряда Тейлора для синуса. В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение синуса вручную, и будет предоставлена таблица, калькулятор или какой-либо другой справочник.
Калькулятор синуса
Ниже приведен калькулятор для нахождения значения синуса угла или угла по значению синуса. Если вы ищете калькулятор sin -1 , обратитесь к странице arcsin.
грех
деградировать
=
Обычно используемые углы
Хотя мы можем найти значение синуса для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов как в радианах, так и в градусах, а также координаты соответствующих им точек на единичной окружности.
Рисунок выше служит ориентиром для быстрого определения синусов (значение y) и косинусов (значение x) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, синус имеет значение 0 при 0° и значение 1 при 90°. Косинус следует противоположной схеме; это потому, что синус и косинус являются кофункциями (описаны позже). Другими часто используемыми углами являются 30° (), 45° (), 60° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, так как они очень часто используются.
Один из методов, который может помочь в запоминании этих значений, состоит в том, чтобы выразить все значения sin(θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0° и продвигаясь через 90°, sin(0°) = 0 = . Последующие значения sin(30°), sin(45°), sin(60°) и sin(90°) следуют шаблону, так что, используя значение sin(0°) в качестве эталона, найти значения синуса для последующих углов, мы просто увеличиваем число под знаком радикала в числителе на 1, как показано ниже.
Значения синуса от 0° до -90° следуют той же схеме, за исключением того, что значения являются отрицательными, а не положительными, поскольку синус отрицателен в квадранте IV. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений, и мы можем определить значения sin(θ) на основе положения θ в единичной окружности, принимая во внимание знак синуса: синус положительный в квадрантах I и II и отрицательный в квадрантах III и IV. Аналогичный метод запоминания можно использовать и для косинуса. При необходимости обратитесь к странице косинуса.
Зная значения косинуса и синуса для углов в первом квадранте, мы можем определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах координатной плоскости с помощью опорных углов.
Опорные углы
Опорный угол — это острый угол (<90°), который может использоваться для представления угла любой величины. Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол в диапазоне от 0° до 90°. Это всегда наименьший угол (относительно оси абсцисс), который можно составить из конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ'.
Поскольку θ’ является опорным углом θ, значения sin(θ) и sin(θ’) совпадают. Например, 30° — это базовый угол 210°, и если мы обратимся к единичному кругу, то увидим, что значения синусов обоих имеют величину 1/2, хотя и имеют разные знаки. Поскольку у всех углов есть опорный угол, нам действительно нужно знать только значения sin(θ) (а также значения других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения одинаковой величины, и мы просто нужно обратить внимание на их знаки в зависимости от квадранта, в котором лежит конечная сторона угла. Ниже приведена таблица, показывающая знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.
Синус
Косинус
Тангенс
Квадрант I
+
+
61
Квадрант II
+
—
—
Квадрант III
—
—
+
Квадрант IV
—
+
—
5 900. гонометрические функции в любом из других квадрантов применяя соответствующий знак к их значению для эталонного угла. Следующие шаги могут быть использованы для нахождения исходного угла заданного угла θ:
Вычтите 360° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть в пределах от 0° до 360° или от 0 до 2π). Если результирующий угол находится в диапазоне от 0° до 90°, это опорный угол.
Определить, в каком квадранте лежит конечная сторона угла (начальная сторона угла проходит по положительной оси x)
В зависимости от того, в каком квадранте находится конечная сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол. В квадранте I θ’=θ.
Квадрант II
Квадрант III
Квадрант IV
θ’= 180° — θ
θ’= θ — 180°
θ’= 360° — θ
Пример:
Найдите sin(120°).
θ уже находится в диапазоне от 0° до 360°
120° лежит в квадранте II
180° — 120° = 60°, поэтому опорный угол равен 60°
sin(60°)=. 120° находится в квадранте II, а синус положителен в квадранте II, поэтому:
Пример:
Найдите sin(690°).
690° — 360° = 330°
330° лежит в квадранте IV
360° — 330° = 30°, поэтому опорный угол равен 30°
sin(30°)=. 330° находится в квадранте IV, где синус отрицательный, поэтому:
Свойства функции синуса
Ниже приведены некоторые свойства функции синуса, которые могут быть полезны при работе с тригонометрическими функциями.
Синус — это кофункция косинуса
Кофункция — это функция, в которой f(A) = g(B), учитывая, что A и B — дополнительные углы. В контексте косинуса и синуса:
sin(θ) = cos(90° — θ)
cos(θ) = sin(90° — θ)
Пример:
sin(60 °) = cos(90° — 60°) = cos(30°)
Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos(30°) и sin(60°) и увидеть, что :
Синус — нечетная функция
Нечетная функция — это функция, в которой -f(x)=f(-x). Он имеет симметрию относительно начала координат. Таким образом,
-sin(θ) = sin(-θ)
Пример:
-sin(60°) = sin(-60°)
-sin(60°) = sin(300°)
Ссылаясь на единичный круг, мы можем видеть, что sin(60°)=, поэтому -sin(60°)=, и sin(-60°) эквивалентно sin(-60° + 360°) = sin(300°), что равно . Это только один пример, но это свойство верно для всех углов.
Синус — периодическая функция
Периодическая функция — это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что
f(x+p) = f(x)
для всех x в области значений f, p — наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.
Тригонометрические функции обычно используются для моделирования периодических явлений из-за их периодичности; независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся в исходную точку. Если мы посмотрим на синусоидальную функцию, мы обнаружим, что она повторяется каждые 2π, поэтому 2π — это период синусоидальной функции. Мы можем записать это как:
sin(θ+2π) = sin(θ)
Для учета нескольких полных оборотов это также можно записать как
sin(θ+2πn) = sin(θ)
, где n равно целое число.
На рисунке ниже показан пример такой периодичности.
Синим цветом мы видим, что . . Если мы добавим 2π к , мы получим угол, показанный красным цветом, . Как видно из рисунка, несмотря на разную степень поворота в обоих углах, их конечные стороны совершенно одинаковы, а это означает, что . Мы могли бы добавить еще 2π и все равно увидели бы, что имеет то же синусоидальное значение, что и . Такова природа периодических функций. называются котерминальными углами; это углы с одинаковыми начальными и конечными сторонами, но с разными поворотами.
Примеры:
1.
2.
График функции синуса
График синуса является периодическим, что означает, что он повторяется бесконечно и имеет область значений -∞
Повторение этой части y=sin(x) бесконечно слева и справа приведет к полному графику синуса. Ниже приведен график, показывающий четыре периода синусоидальной функции в интервале [-4π,4π].
На этом графике видно, что y=sin(x) демонстрирует симметрию относительно начала координат; если график отражается относительно начала координат, он создает зеркальное отражение. Это подтверждает, что синус является нечетной функцией, поскольку -sin(x)=sin(-x).
Общее уравнение синуса
Общая форма функции синуса:
y = A·sin(B(x – C)) + D
, где A, B, C и D — константы. Чтобы построить график синусоидального уравнения в общем виде, нам нужно сначала понять, как каждая из констант влияет на исходный график y=sin(x), как показано выше. Чтобы применить что-либо, написанное ниже, уравнение должно иметь форму, указанную выше; будьте осторожны со знаками.
A — амплитуда функции; высота от центра графика до максимума или минимума. В y=sin(x) центром является ось x, а амплитуда равна 1, или A=1, поэтому самая высокая и самая низкая точки, которых достигает график, равны 1 и -1, диапазон sin(x ).
По сравнению с y=sin(x), показанной ниже фиолетовым, функция y=2 sin(x) (красная) имеет амплитуду, вдвое превышающую амплитуду исходного графика синуса.
B — используется для определения периода функции; период функции — это расстояние от пика до пика (или любой точки на графике до следующей точки соответствия) и может быть найден как . В y=sin(x) период равен 2π. Мы можем убедиться в этом, посмотрев на график синусоиды. Ссылаясь на рисунок выше, мы можем видеть, что форма синусоидального графика между [-2π, 0] эквивалентна форме из [0, 2π], что означает, что он повторяется в течение интервала 2π; т. е. имеет период 2π.
По сравнению с y=sin(x), показанным ниже фиолетовым цветом и имеющим период 2π, y=sin(2x) (красный) имеет период
. Это означает, что график повторяется через каждые π, а не через каждые 2π.
C — фазовый сдвиг функции; фазовый сдвиг определяет, как функция сдвигается по горизонтали. Если C отрицательно, функция сдвигается влево.
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности
МОТОЦИКЛ BSE Z3 (1)
Стильный, яркий, легкий. Новинка 2020 г – BSE Z3 с мощным мотором Zongshen ZS 172 FMM объёмом 250сс, электростартером, настраиваемыми энергоемкими подвесками, яркой LED фарой готов на любые приключения!
Прогрессия задней подвески, короткоходная ручка газа, спортивный руль, усиленная цепь, багажник и усиленные обода сделают ваше передвижение по самой трудной местности максимально легким!
Благодаря ЖК приборной панели вы всегда будете знать о всех главных параметрах.
Присоединяйся к миру бездорожья вместе с BSE!
ПРЕИМУЩЕСТВА
1. Двигатель ZongShen 172-FMM
2. Рама повышенной жёсткости с литыми усилителями
3. Алюминиевыми ободами с усиленными спицами,
4. Алюминиевый маятник
5. Спортивный алюминиевый руль
6. Информативная приборная панель
7. Усиленная цепь 520
8. Рычаги прогрессии задней подвески
9. Удобная настройка передней подвески
10. Головной LED свет и щиток под стартовый номер
11. Буксатор на переднем и заднем колесах
12. Короткоходная ручка газа 1/4
13. Багажник
14. Колеса на выбор 21/18 или 19/16
174990
ДВИГАТЕЛЬ:
Объем двигателя
250 куб. см.
Модель двигателя
Zongshen ZS 172 FMM
Число цилиндров
1
Число тактов
4
Охлаждение
Воздушное
Электростартер
Да
Кикстартер
Да
Диаметр и ход поршня
66.8 x 64 мм
Степень сжатия
6. 5:1
Максимальная мощность / При оборотах в минуту
21 л.с. / 8500
Максимальный момент / При оборотах в минуту
17 Нм / 6500
Трансмиссия
5 передач
Тип зажигания
CDI
Сцепление
Многодисковое, в масляной ванне
Карбюратор
Nibbi PE-28
ШАССИ:
Рама
Высокопрочная стальная, усиленная линками
Задняя подвеска
Полностью настраиваемая, моноамортизатор
Передняя подвеска
Перевернутого типа, полностью настраиваемая
Тормозная система
Гидравлическая
Диаметр переднего тормозного диска
240 мм
Диаметр заднего тормозного диска
240 мм
Объем бензобака
6,5 л
Сухая масса
103 кг
Габариты (ДхШхВ)
1930х790х1010 мм
Высота по седлу
880 мм
Колесная база
1340 мм
Клиренс
330 мм
Передняя/задняя звезды
15/41T
Цепь
520 / 112зв
Колеса
Покрышки
21 или 19/18 или 16
Задать вопрос по товару
Ф. И.О :
Обязательное поле!
Телефон: *
Обязательное поле!
e-mail:
Неверный Ввод
Сообщение:
Обязательное поле!
Мэтуэй | Популярные задачи
1
Найти производную — d/dx
бревно натуральное х
2
Оценить интеграл
интеграл натурального логарифма x относительно x
3
Найти производную — d/dx
92)
21
Оценить интеграл
интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22
Найти производную — d/dx
грех(2x)
23
Найти производную — d/dx
9(3x) по отношению к x
41
Оценить интеграл
интеграл от cos(2x) относительно x
42
Найти производную — d/dx
1/(корень квадратный из х)
43
Оценка интеграла 9бесконечность
45
Найти производную — d/dx
х/2
46
Найти производную — d/dx
-cos(x)
47
Найти производную — d/dx
грех(3x)
92+1
68
Оценить интеграл
интеграл от sin(x) по x
69
Найти производную — d/dx
угловой синус(х)
70
Оценить предел
ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85
Найти производную — d/dx
лог х
86
Найти производную — d/dx
арктан(х)
87
Найти производную — d/dx
бревно натуральное 5х93-1=0 Tiger Algebra Solver
Пошаговое решение:
Шаг 1 :
Попытка факторизовать как разность кубов:
1. 1 Факторинг: z 3 -1
Теория: Разница двух совершенные кубы, a 3 — b 3 можно разложить на (a-b) • (a 2 +ab +b 2 )
90 912 Доказательство : (a-b)•(a 2 +ab+ b 2 ) = a 3 +a 2 b+ab 2 -ba 2 -b 2 a-b 3 = a 3 +(a 2 b -ба 2 )+(аб 2 -б 2 a)-b 3 = a 3 +0+0-b 3 = a 3 -b 9 0913 3
Проверка : 1 является кубом 1 Проверка : z 3 является кубом z 1
Факторизация: (z — 1) • (z 2 + z + 1)
Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена 914 его коэффициент равен 1 .
Средний член равен +z , его коэффициент равен 1 . Последний член, «константа», равен +1
Шаг 1. Умножьте коэффициент первого члена на константу среднего члена, который равен 1 .
-1
+
-1
=
— 2
1
+
1
=
2 900 05
Наблюдение : Невозможно найти два таких фактора !! Заключение: Трехчлен нельзя разложить на множители
Уравнение в конце шага 1 :
(z - 1) • (z 2 + z + 1) = 0
Шаг 2 :
Теория – корни произведения:
2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.
Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.
Теперь мы будем решать каждый термин = 0 отдельно
Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении
Любое решение термина = 0 также решает произведение = 0.
Решение уравнения с одной переменной:
2.2 Решите : z-1 = 0
Добавьте 1 к обеим частям уравнения : z = 1
Парабола, Нахождение вершины :
2.3 Найти вершину y = z 2 +z+ 1
Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной . Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).
Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.
Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
Для любой параболы, Az 2 +Bz+C, z -координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата z равна -0,5000
. Подставляя в формулу параболы -0,5000 для z, мы можем вычислить координату y: y = 1,0 * -0,50 * -0,50 + 1,0 * -0,50 + 1,0 или у = 0,750
Парабола, графическая вершина и точки пересечения X:
Корневой график для : y = z 2 +z+1 Ось симметрии (штриховая) {z}={-0,50} Вершина в {z, y} = {-0,50, 0,75} Функция не имеет действительных корней
Решить квадратное уравнение, заполнив квадрат
2.4 Решение z 2 +z+1 = 0, заполнив квадрат .
Вычтите 1 из обеих частей уравнения: z 2 +z = -1
Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент z, равный 1, разделите на два, получив 1/2, и, наконец, возведите в квадрат это дает 1/4
Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения: В правой части мы имеем: -1 + 1/4 или, (-1/1)+(1/4) Общий знаменатель двух дробей равен 4 Сложение (-4/4)+(1/4) дает -3/4 Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы окончательно получаем : z 2 +z+(1/4) = -3/4
Добавление 1/4 завершает левую часть в полный квадрат: z 2 +z+ (1/4) = (z+(1/2)) • (z+(1/2)) = (z+(1/2)) 2 Вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг друга. С z 2 +z+(1/4) = -3/4 и z 2 +z+(1/4) = (z+(1/2)) 2 , то по закону транзитивности (z+(1/2)) 2 = -3/4
Мы будем называть это уравнение уравнением #2.4.1
Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из (z+(1/2)) 2 равен (z+(1/2)) 2/2 = (z+(1/2)) 1 = z+(1/2)
Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению. #2.4.1 получаем: z+(1/2) = √ -3/4
Вычтем 1/2 с обеих сторон, чтобы получить: z = -1/2 + √ -3/4 В математике, i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет i 2 =-1. И i , и -i являются квадратными корнями из -1
Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное, z 2 + z + 1 = 0 имеет два решения: z = -1/ 2 + √ 3/4 • i или z = -1/2 — √ 3/4 • i
Обратите внимание, что √ 3/4 можно записать как √ 3 / √ 4 что равно √ 3 /2
Sol ve Квадратное уравнение с использованием квадратичной формулы
Рады приветствовать Вас на нашем сервисе число прописью!
На нашем сайте Вы можете сгенерировать или найти в базе правильное написание чисел прописью а также можно конвертировать написания денег прописью.
Денежную сумму прописью можно конвертировать на различных языках (русский, английский, украинский, немецкий, испанский, французский, португальский, итальянский) с возможностью включения в сумму ставок НДС разных стран, также поддерживается четыре валюты: рубль, доллар, евро, гривна.
У нас на данный момент доступно конвертирование чисел и сумм от 1 до 1 000 000, а также есть база данных написания чисел прописью.
База чисел прописью
Для того чтобы воспользоваться базой чисел прописью на нашем сайте необходимо выбрать диапазоны в которые входит Ваше число из списка ниже:
0-9999
10000-19999
20000-29999
30000-39999
40000-49999
50000-59999
60000-69999
70000-79999
80000-89999
90000-99999
100000-109999
110000-119999
120000-129999
130000-139999
140000-149999
150000-159999
160000-169999
170000-179999
180000-189999
190000-199999
200000-209999
210000-219999
220000-229999
230000-239999
240000-249999
250000-259999
260000-269999
270000-279999
280000-289999
290000-299999
300000-309999
310000-319999
320000-329999
330000-339999
340000-349999
350000-359999
360000-369999
370000-379999
380000-389999
390000-399999
400000-409999
410000-419999
420000-429999
430000-439999
440000-449999
450000-459999
460000-469999
470000-479999
480000-489999
490000-499999
500000-509999
510000-519999
520000-529999
530000-539999
540000-549999
550000-559999
560000-569999
570000-579999
580000-589999
590000-599999
600000-609999
610000-619999
620000-629999
630000-639999
640000-649999
650000-659999
660000-669999
670000-679999
680000-689999
690000-699999
700000-709999
710000-719999
720000-729999
730000-739999
740000-749999
750000-759999
760000-769999
770000-779999
780000-789999
790000-799999
800000-809999
810000-819999
820000-829999
830000-839999
840000-849999
850000-859999
860000-869999
870000-879999
880000-889999
890000-899999
900000-909999
910000-919999
920000-929999
930000-939999
940000-949999
950000-959999
960000-969999
970000-979999
980000-989999
990000-999999
Преобразование чисел в слова — Служба поддержки Майкрософт
Excel для Microsoft 365 Excel 2019 Excel 2016 Excel 2013 Excel 2010 Еще. ..Меньше
В Excel нет функции по умолчанию, которая отображает числа в качестве английских слов на листах, но вы можете добавить эту возможность, вклеив следующий код функции SpellNumber в модуль VBA (Visual Basic для приложений). Эта функция позволяет преобразовать суммы в рублях и центах в слова с помощью формулы, поэтому 22,50 будет читаться как Twenty-Two рублях и fifty Cents. Это может быть очень полезно, если вы используете Excel в качестве шаблона для печати проверок.
Если вы хотите преобразовать числовое значение в текстовый формат, не отображая их как слова, используйте вместо этого функцию ТЕКСТ.
Примечание: Корпорация Майкрософт предоставляет примеры программирования только для иллюстрации без каких-либо гарантий, как выраженных, так и подразумеваемых. При этом подразумеваемые гарантии пригодности для определенной цели включают, но не ограничив эту возможность. В этой статье предполагается, что вы знакомы с языком программирования VBA и средствами, которые используются для создания и отлагки процедур. Инженеры службы поддержки Майкрософт могут объяснить функциональные возможности конкретной процедуры. Однако они не будут изменять эти примеры, чтобы обеспечить дополнительные функции или создавать процедуры в порядке, отвечая вашим требованиям.
Создание функции SpellNumber для преобразования чисел в слова
Используйте клавиши ALT+F11, чтобы открыть редактор Visual Basic (VBE).
Примечание: Вы также можете открывать редактор Visual Basic, добавив вкладку «Разработчик» на ленту.
На вкладке Insert (Вставка) нажмите кнопку Module (Модуль).
org/ListItem»>
Скопируйте приведенный ниже код.
Примечание: Этот код автоматизирует преобразование чисел в текст на всем компьютере.
Option Explicit
'Main Function
Function SpellNumber(ByVal MyNumber)
Dim Dollars, Cents, Temp
Dim DecimalPlace, Count
ReDim Place(9) As String
Place(2) = " Thousand "
Place(3) = " Million "
Place(4) = " Billion "
Place(5) = " Trillion "
' String representation of amount.
MyNumber = Trim(Str(MyNumber))
' Position of decimal place 0 if none.
DecimalPlace = InStr(MyNumber, ".")
' Convert cents and set MyNumber to dollar amount.
If DecimalPlace > 0 Then
Cents = GetTens(Left(Mid(MyNumber, DecimalPlace + 1) & _ "00", 2))
MyNumber = Trim(Left(MyNumber, DecimalPlace - 1))
End If
Count = 1
Do While MyNumber <> ""
Temp = GetHundreds(Right(MyNumber, 3))
If Temp <> "" Then Dollars = Temp & Place(Count) & Dollars
If Len(MyNumber) > 3 Then
MyNumber = Left(MyNumber, Len(MyNumber) - 3)
Else
MyNumber = ""
End If
Count = Count + 1
Loop
Select Case Dollars
Case ""
Dollars = "No Dollars"
Case "One"
Dollars = "One Dollar"
Case Else
Dollars = Dollars & " Dollars"
End Select
Select Case Cents
Case ""
Cents = " and No Cents"
Case "One"
Cents = " and One Cent"
Case Else
Cents = " and " & Cents & " Cents"
End Select
SpellNumber = Dollars & Cents
End Function
' Converts a number from 100-999 into text
Function GetHundreds(ByVal MyNumber)
Dim Result As String
If Val(MyNumber) = 0 Then Exit Function
MyNumber = Right("000" & MyNumber, 3)
' Convert the hundreds place.
If Mid(MyNumber, 1, 1) <> "0" Then
Result = GetDigit(Mid(MyNumber, 1, 1)) & " Hundred "
End If
' Convert the tens and ones place.
If Mid(MyNumber, 2, 1) <> "0" Then
Result = Result & GetTens(Mid(MyNumber, 2))
Else
Result = Result & GetDigit(Mid(MyNumber, 3))
End If
GetHundreds = Result
End Function
' Converts a number from 10 to 99 into text.
Function GetTens(TensText)
Dim Result As String
Result = "" ' Null out the temporary function value.
If Val(Left(TensText, 1)) = 1 Then ' If value between 10-19...
Select Case Val(TensText)
Case 10: Result = "Ten"
Case 11: Result = "Eleven"
Case 12: Result = "Twelve"
Case 13: Result = "Thirteen"
Case 14: Result = "Fourteen"
Case 15: Result = "Fifteen"
Case 16: Result = "Sixteen"
Case 17: Result = "Seventeen"
Case 18: Result = "Eighteen"
Case 19: Result = "Nineteen"
Case Else
End Select
Else ' If value between 20-99. ..
Select Case Val(Left(TensText, 1))
Case 2: Result = "Twenty "
Case 3: Result = "Thirty "
Case 4: Result = "Forty "
Case 5: Result = "Fifty "
Case 6: Result = "Sixty "
Case 7: Result = "Seventy "
Case 8: Result = "Eighty "
Case 9: Result = "Ninety "
Case Else
End Select
Result = Result & GetDigit _
(Right(TensText, 1)) ' Retrieve ones place.
End If
GetTens = Result
End Function
' Converts a number from 1 to 9 into text.
Function GetDigit(Digit)
Select Case Val(Digit)
Case 1: GetDigit = "One"
Case 2: GetDigit = "Two"
Case 3: GetDigit = "Three"
Case 4: GetDigit = "Four"
Case 5: GetDigit = "Five"
Case 6: GetDigit = "Six"
Case 7: GetDigit = "Seven"
Case 8: GetDigit = "Eight"
Case 9: GetDigit = "Nine"
Case Else: GetDigit = ""
End Select
End Function
org/ListItem»>
Вставьте строки кода в поле Module1 (Code) (Модуль 1 — код).
Нажмите ALT+Q, чтобы вернуться в Excel. Функция SpellNumber готова к использованию.
Примечание: Эта функция работает только для текущей книги. Чтобы использовать эту функцию в другой книге, необходимо повторить действия по копированию и вкопии кода в нее.
К началу страницы
Использование функции SpellNumber в отдельных ячейках
Введите формулу =SpellNumber(A1)в ячейку, в которой нужно отобразить записанное число, где A1 — это ячейка с числом, преобразуемом в ячейку. Вы также можете ввести значение вручную, например =SpellNumber(22,50).
Нажмите ввод, чтобы подтвердить формулу.
К началу страницы
Сохранение книги с функцией SpellNumber
В Excel не удается сохранить книгу с функциями макроса в стандартном формате книги без макроса (XLSX). Если нажать кнопку «>сохранить». Откроется диалоговое окно проекта VB. щелкните Нет.
Вы можете сохранить файл как книгу Excel Macro-Enabled (XLSM), чтобы сохранить его в текущем формате.
На вкладке Файл выберите команду Сохранить как.
В меню «Тип сохранения» выберите пункт «Macro-Enabled Excel».
Нажмите кнопку Сохранить.
К началу страницы
Числа в слова — Easy Unit Converter
Введите значение, которое вы хотите преобразовать в слова.
Введите номер:
На номер
Слова Валюта Проверить написание
Выберите Буквы Регистр:
строчные буквы ПРОПИСНЫЕ ЗАГЛАВНЫЕ ЗАГЛАВНЫЕ ЗАГЛАВНЫЕ ЗАГЛАВНЫЕ РЕГИСТРЫ
Преобразователь чисел
Преобразователь десятичного кода в двоичный
Преобразователь шестнадцатеричного кода в двоичный
ASCII в двоичный текст
ASCII в восьмеричное
Восьмеричная в ASCII
Преобразователь десятичного числа в восьмеричное
Преобразователь шестнадцатеричного кода в восьмеричный
Двоичный код в текст ASCII
Восьмеричный преобразователь в десятичный
Преобразователь шестнадцатеричного формата в десятичный
Конвертер десятичной дроби в дробную
Преобразователь десятичного числа в шестнадцатеричный
Базовый преобразователь
Конвертер десятичных чисел в проценты
Преобразователь текста Hex в ASCII
Конвертер ASCII в Hex
Двоичный преобразователь
Преобразователь двоичного кода в десятичный
Калькулятор римских цифр
Перевод градусов в минуты, секунды
Преобразователь двоичного кода в восьмеричный
Конвертер чисел в слова
Конвертер слов в числа
Преобразователь двоичного кода в шестнадцатеричный
Преобразователь даты в римские цифры
Шестнадцатеричный, десятичный, восьмеричный, двоичный преобразователь
Преобразователь дроби в десятичную дробь
Конвертер дробей в проценты
ASCII, шестнадцатеричный, двоичный, десятичный, преобразователь Base64
Конвертер префиксов
ASCII в десятичный
Десятичное число в ASCII
Конвертер PPM
Конвертер PPM
Конвертер PPM в PPT
9Конвертер 0015 PPM в проценты
Конвертер PPM в PPB
Конвертер PPB в PPM
Конвертер PPT в PPM
Конвертер чисел в слова:
Это бесплатный онлайн конвертер чисел в слова. Он преобразует число в слова валюты США, такие как сто, тысяча, миллион, десять миллионов, сто миллионов, один миллиард и другие.
Как преобразовать числа в слова?
Чтобы преобразовать числа в слова, вам необходимо выполнить следующие шаги. 1. Открыть конвертер чисел в слова 2. Введите число, которое вы хотите преобразовать в слова. 3. Нажмите «преобразовать в слова».
В таблице представлены американские и британские названия нескольких больших чисел.
Имя
Количество нулей
Группы из (3) нулей
Десять
1
(10)
Сотня
2
(100)
Тысяча
3
1 (1000)
Десять тысяч
4
(10 000)
Сотни тысяч
5
(100 000)
Миллион
6
2 (1 000 000)
Миллиард
9
3 (1 000 000 000)
Триллион
12
4 (1 000 000 000 000)
Квадриллион
15
5
Квинтиллион
18
6
Секстиллион
21
7
Септиллион
24
8
Октиллион
27
9
Нониллион
30
10
Дециллион
33
11
Ундециллион
36
12
Дуодециллион
39
13
Тредециллион
42
14
Кватттуор-дециллион
45
15
Квиндециллион
48
16
Сексдециллион
51
17
септен-дециллион
54
18
Октодециллион
57
19
Новемдециллион
60
20
Вигинтиллион
63
21
Центиллион
303
101
число в таблицу слов
Номер
Словами
0
ноль
1
один
2
два
3
три
4
0087
четыре
5
пять
6
шесть
7
семь
8
восемь
9
девять
8 900 десять
11
одиннадцать
12
двенадцать
13
тринадцать
14
четыре
0075
15
пятнадцать
16
шестнадцать
17
семнадцать
18
восемнадцать
19
девятнадцать
20
9077
двадцать 9008 86 21
двадцать один
22
двадцать два
23
двадцать три
24-9080 24
25
двадцать пять
26
двадцать шесть
27
двадцать семь
28
двадцать восемь
7-9075
28 ине
30
тридцать
31
тридцать один
32
тридцать два
Номер
Словами
33
тридцать три
34
тридцать четыре
35
27
тридцать пять 9008 086 36
тридцать шесть
37
тридцать семь
38
тридцать восемь
39
тридцать девять
40
6 сорок7 41
сорок один
42
сорок два
43
сорок три
44
сорок четыре
45
сорок пять 9006 4
2 087
сорок шесть
47
сорок семь
48
сорок восемь
49
сорок девять
7
80082
51
пятьдесят один
52
пятьдесят два
53
пятьдесят три
54
пятьдесят четыре
05 906-8087 905 2
56
пятьдесят шесть
57
пятьдесят семь
58
пятьдесят восемь
59
0 пятьдесят девять 75
60
шестьдесят
61
шестьдесят один
62
шестьдесят два
63
шестьдесят три
64
шестьдесят четыре
777 65
шестьдесят пять
66
шестьдесят шесть
Номер
Словами
67
шестьдесят семь
68
шестьдесят восемь
69
89 9089 шестьдесят девять
70
семьдесят
71
семьдесят один
72
семьдесят два
73
семьдесят три
74
семьдесят четыре
75
семьдесят пять
76
80089 семьдесят четыре
77
семьдесят семь
78
семьдесят восемь
79
семьдесят девять
80
восемьдесят
81
200860 восемьдесят восемь 75
82
восемьдесят два
83
восемьдесят три
84
восемьдесят четыре
85
707 9086 восемьдесят пять
86
восемьдесят шесть
87
восемьдесят семь
88
восемьдесят восемь
89
восемьдесят девять
90
527
девяносто
086 91
девяносто один
92
девяносто два
93
девяносто три
94
девяносто четыре
9
9 87
девяносто пять
96
девяносто шесть
97
девяносто семь
98
девяносто восемь
99
девяносто девять
2 0087
сто
Что такое Число слов? — Определения, факты и примеры
Что такое числовые слова?
Числовые слова представляют собой алфавитную форму чисел. Как следует из названия, это числа, написанные словами. Словоформа пишет цифру/число так, как вы бы сказали это словами.
«Числовые слова» или «имена чисел» — это просто имена, присвоенные числам, чтобы мы могли однозначно идентифицировать каждое число. Когда мы говорим о «математике», что первое приходит вам на ум? Числа! Знаете ли вы, что числа также имеют имена, называемые числовыми именами? Да, как и все в мире, числа имеют имена. Сообщите нам определение имени числа и правила их написания.
Родственные игры
Числовые слова: определение
Числовое слово или имя числа — это способ выражения чисел в их словесной форме. Мы можем выражать числа, используя их числовую форму имени. Написание чисел в английском языке — это то, на чем мы должны сосредоточиться при написании чисел в словесной форме.
Например, мы можем записать 1 как «один». Итак, имя числа для 1 — «один».
Точно так же мы можем выразить число 2 как «два» в словесной форме.
Число 3 как слово «три» и так далее.
Например:
С помощью числовых слов от одного до десяти мы можем составить числовые слова более высокого значения.
Важно выучить каждое числовое слово от до двадцати , чтобы выучить другие числовые слова. Кроме того, числовые слова от одиннадцати до двадцати сильно отличаются от других числовых слов.
После изучения числовых слов до двадцати важно выучить числовые слова, такие как тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят до сотни.
Зная эти числовые слова, легко составить числовые слова для чисел более высокого значения.
Например:
Приведенные выше два числовых слова состоят из изучения основных числовых слов от одного до десяти и числовых слов для значений десятков, таких как шестьдесят, семьдесят и восемьдесят.
По мере того, как числа увеличиваются в цене и становятся больше с тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью и более цифрами, имена начинают меняться.
Связанные рабочие листы
Правила записи чисел в словесной форме
Записывая числа в форме числовых слов, мы должны следовать определенным правилам. Эти правила следующие:
Правило 1
Всегда учитывайте разрядность при написании чисел в словесной форме.
Например, цифра 2 в разряде единиц читается как 2. Та же цифра в разряде десятков имеет значение «двадцать». Итак, 22 можно записать как «двадцать два».
Правило 2
Чтобы записать числа от 1 до 20, обратитесь к таблице названий чисел.
Чтобы выразить числа больше 20 словами, вы должны следовать определенному образцу. В соответствии с этим шаблоном числа, кратные от 10 до 90, записываются как тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят и девяносто.
Правило 3
Для записи кратных 100 в словесной форме можно написать цифру в словесной форме и добавить после нее слово сто.
Например, вы можете выразить 200 как двести в словесной форме, 600 как шестьсот и так далее.
Вы можете следовать тому же правилу при написании слов, кратных 1000. Единственная разница в том, что вы должны добавить слово тысяча вместо сотни. Например, вы можете написать 3000 как три тысячи в словесной форме.
Правило 4
Чтобы записать двузначное или трехзначное число в словесной форме, вы должны записать его в развернутом виде. Убедитесь, что вы принимаете позицию 0 во внимание.
Например, вы можете написать 107 (расширенное до $100 + 0 + 7$) как сто семь.
Словоформа числа 125 (расширенное до $100 + 20 + 5$) равно ста двадцати пяти.
Числовые слова или названия чисел от 1 до 100
Вот таблица, содержащая числа от 1 до 100 и соответствующие им словоформы:
Числовые слова для более высоких значений
Становится легко преобразовывать числа в числовые слова и числовые слова в числа, если мы знаем числовые слова.
Например:
Запишите данные числа прописью.
Запишите данные числа цифрами.
Названия номеров в соответствии с Международной системой нумерации
В международной системе номера организованы в периоды и группы. Периоды подразделяются на единицы, тысячи, миллионы и т. д. Каждый период сгруппирован по трем разрядным значениям. При написании чисел в этой системе мы вставляем запятую или разделитель после каждых трех цифр справа.
Местные обозначения в международной системе следующие:
Единицы
Десятки
Сотни
Тысячи
Десять тысяч
Сотни тысяч
миллионов
Десять миллионов
Сто миллионов
Миллиарды
Десять миллиардов
Сто миллиардов
триллионов и так далее
Пример: Предположим, вам нужно написать словоформу числа 6 342 715 в международной системе.
6 342 715 равно Шесть миллионов триста сорок две тысячи семьсот пятнадцать .
Таблица стоимости места для международной системы
Вот таблица стоимости места для международной системы:
Из этой таблицы стоимости мы понимаем:
1 миллион долларов = 1000 тысяч долларов
1 миллиард долларов = 1000 миллионов долларов
Советы и рекомендации по изучению чисел Имена
Вот несколько советов, которые помогут вам выучить и записать числа в их словесных формах:
Запишите числа от 1 до 20 и их написание.
Запишите числа от 10 до 90 и их написание.
Например, 10: Десять, 20: Двадцать, 30: Тридцать и так далее.
Запишите числа, кратные 100, и их написание.
Например, 100: триста, 200: двести и так далее.
Для двузначных чисел, превышающих 20, разверните их и запишите словами в развернутой форме. Например, вы можете расширить 32 до 30 долларов + 2 доллара и написать «тридцать два».
Используйте ту же технику для больших чисел.
Например, вы можете расширить 471 как «400 долларов + 70 + 1 доллар» и написать «четыреста семьдесят один» или «четыреста семьдесят один».
Числа Имена согласно порядковой системе
Порядковое числительное выражает ранг или положение чего-либо. Вот почему они также известны как рейтинговые или позиционные номера.
Порядковый номер записывается как 1 st , 2 nd , 3 rd , 4 th и так далее.
Вот таблица первых 50 порядковых чисел и их названий:
Забавные факты
При написании порядковых числительных в словесной форме мы используем суффикс -th для чисел 11, 12 и 13; но для всех остальных чисел, оканчивающихся на 1, 2 или 3, мы используем суффиксы -st, -nd и -rd соответственно. Например, мы выражаем 51 как пятьдесят первое, 52 как пятьдесят второе и 53 как пятьдесят третье.
Словоформа числа 40 — сорок, а не сорок.
При написании чисел от 21 до 99 мы используем дефис $(-)$ между ними.
Чтобы написать числовые слова, мы можем написать словоформу чисел, когда мы их произносим.
Заключение
Названия чисел предлагают простой способ идентифицировать и запоминать числа. Они могут помочь нам понять, как функционирует система счисления. Умение читать и записывать числа словами может помочь нам определить, как числа соотносятся друг с другом.
Решенные примеры
Напишите число 7575 прописью.
Решение :
Мы можем расширить 7575 до $7000 + 500 + 70 + 5 $.
7575 в словесной форме означает «семь тысяч пятьсот семьдесят пять».
Что следует за данным числом: двадцать девять?
Решение :
Двадцать девять $= 29$
Число после 29 равно $29 + 1 = 30$
30 в словесной форме равно Тридцать.
Итак, тридцать идет после двадцати девяти.
Подсчитайте смайлики на данном изображении и напишите число словами.
Решение :
5 $ + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 $
На данном изображении пятнадцать или 15 смайликов.
Экспресс 2022 прописью, а также в порядковой системе.
Решение :
2022$ = 2000 + 0 + 20 + 2$
Проще говоря, мы запишем это как «две тысячи двадцать два».
Также 2022 записывается как «две тысячи двадцать второго» в порядковой системе.
Напишите словоформу числа 404.
Решение:
404 доллара = 400 + 0 + 4 доллара
404 равно четыреста четыре.
Практические задачи
1
Выберите правильную форму слова для 57
Пятьдесят семь
Пять и семь
Семьдесят пять
Ни один из вышеперечисленных правильных ответов не равно
0066 Расширяем 57 до $50 + 7$. Таким образом, оно будет записано как «пятьдесят семь».
Теорема о площади треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |
Тема 31.
Терема о площади треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.
Теорема
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС
АВ=c, ВС=a, СА=b
S — площадь треугольника.
Докажем, что S=12absinC
Введем систему координат с началом в точке C так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Cx, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S=12ah, где h — высота треугольника. Но h равна ординате точки А, то есть h = b sin C. Следовательно, S=12absinC
Теорема
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС
АВ = c, ВС = a, СА = b
Докажем, что
asinA=bsinB=csinC
По теореме о площади треугольника
S=12absinC,S=12bcsinA, S=12acsinB
Из первых двух равенств получим
12absinC = 12bcsinA, откуда
asinA=csinC
Аналогично, asinA=bsinB
Итак, asinA=bsinB=csinC
Заметим, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника АВС со сторонами АВ = с, ВС = а, СА = bимеют место равенства
asinA=bsinB=csinC=2R
где R — радиус описанной окружности.
Теорема
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС
АВ = c, ВС = a, СА = b
Докажем, например, что
a2 = b2 + c2 — 2bc cos A
Введем систему координат с началом в точке A так, как показано на рисунке. Тогда точка В имеет координаты (c;0), а точка С имеет координаты b cos A; b sin A. По формуле расстояния между двумя точками, получим:
BC2=a2=bcosA-c2+b2sin2A
a2=b2cos2A+b2sin2A-2bccosA+c2
a2=b2cos2A+sin2A-2bccosA+c2
a2=b2+c2-2bccosA
Найти площадь ∆ABC, если BC = 3 см, AB=182 см, ∠B = 45°.
По теореме о площади треугольника
S=12BC∙AB∙sinB
S=12∙3∙182∙sin45°
S=12∙3∙182∙22
S = 27 см2
Ответ: 27 см2
Теорема синусов. Теорема косинусов
При решении прямоугольных треугольников используются только основные тригонометрические функции. Для решения же косоугольных треугольников потребуется знание зависимостей между сторонами и тригонометрическими функциями углов косоугольных треугольников, известные как теоремы синусов, косинусов и тангенсов. К выводу этих теорем мы и переходим.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: a, b и c — стороны треугольника; А, В и С — противолежащие им углы; S — площадь; 2р — периметр; R — радиус описанного круга; r — радиус вписанного круга; hа, lа и mа — высота, биссектриса и медиана, соответствующие стороне а.
Теорема синусов
Теорема. Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:
Доказательство. Опишем круг около данного треугольника ABC. Пусть R — радиус этого круга. Возьмём одну из вершин треугольника, например А; через одну из других вершин, например через В, проведём диаметр ВА описанного круга. Вспомогательный треугольник АВС прямоугольный, так как вписанный угол АСВ опирается на диаметр. Из вспомогательного треугольника найдём:
а = 2Rsin A.
Если угол А острый, то А = А, так как вписанные углы A и A опираются на одну и ту же дугу. Если угол А тупой, то угол А острый, измеряющийся половиной дуги ВАС:
Следствие. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру круга, описанного около треугольника.
Теорема косинусов
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
а2 =b2 + с2 — 2bccosА
b2 =c2 + a2 — 2cacosB
c2 =a2 + b2 — 2abcosC
Доказательство. Докажем первое равенство.
Случай 1. Угол A острый.
Пусть ВН — высота, опущенная из вершины В ; из геометрии известно, что а2 = b2 + с2—2b · АН. (1) Из прямоугольного треугольника АВН найдём АН = с cos А; подставив в формулу (1), получим доказываемое равенство.
Случай 2. Угол A тупой. В этом случае а2 = b2 + с2 +2b · АН. (2)
Из треугольника АВН найдём: АН = с cos∠BAH = с cos(\(\pi\) — A) = — с cosA.
Подставив в формулу (2), получим доказываемое равенство.
Случай 3. Угол А прямой.
В этом случае (по теореме Пифагора):
а2 = b2 + с2= b2 + с2 — 2bccosА
(так как cos А = 0).
Итак, во всех случаях
а2 = b2 + с2 — 2bccosА
Как работают синус, косинус и тангенс?
МАТЕМАТИКА — Геометрия
Задумывались ли вы когда-нибудь.
..
Что такое тригонометрия?
Что такое синус, косинус и тангенс?
Как найти синус, косинус и тангенс?
Теги:
Просмотреть все теги
Математика,
Геометрия,
Тригонометрия,
Функция,
Синус,
Косинус,
Тангенс,
Треугольник,
Прямоугольный треугольник,
Формула,
Угол,
Гипотенуза
Сегодняшнее чудо дня было вдохновлено Саем. Sai Wonders , “ Как работают синус, косинус и тангенс? «Спасибо, что ДУМАЕТЕ вместе с нами, Сай!
Многие из наших чудесных друзей уже знают о теореме Пифагора. Возможно, они читали о треугольнике Паскаля. Они могут даже знать другие типы треугольников. Сегодня нас интересует еще одна тема, связанная с треугольниками. О чем мы говорим? Синус, косинус и тангенс, конечно!
Что такое синус, косинус и тангенс? Это три основные функции в тригонометрии. Возможно, вы уже слышали о них на уроках математики. Тригонометрия связана с геометрией и другими разделами математики. Это может помочь нам лучше понять связи между сторонами и углами прямоугольников.
Синус, косинус и тангенс важны для изучения прямоугольных треугольников. Вы когда-нибудь видели такой треугольник? Если да, то вы знаете, что один из трех его углов всегда равен 90° (прямой угол). Два других угла могут иметь любые измерения, если сумма всех трех углов составляет 180°.
Как математики находят синус, косинус и тангенс? Начнем с одного из непрямых углов прямоугольного треугольника. Обычно они обозначают этот угол как тета (Θ). Затем они обозначают три стороны треугольника.
Сторона треугольника, расположенная непосредственно напротив прямого угла, называется гипотенузой. Это самая длинная сторона треугольника. Сторона напротив теты называется «противоположной». Это довольно легко запомнить — это на противоположной стороне от тета-угла! Наконец, сторона, которая касается теты, но не является гипотенузой, называется «прилегающей».
Правильное обозначение сторон очень важно при нахождении синуса, косинуса и тангенса. Это потому, что у каждого есть формула, которая делит длину одной стороны на длину другой. Вот формулы для нахождения каждой из этих функций:
Синус Θ = Противоположный ÷ Гипотенуза
Косинус Θ = Прилегающий ÷ Гипотенуза
Тангенс Θ = Op место ÷ соседние
На первый взгляд, эти формулы могут показаться трудными для запоминания. Тем не менее, запоминание полезной мнемоники может помочь. При нахождении синуса, косинуса и тангенса просто помните SOHCATOA (sō-kŭ-tō-ŭ). В этом примере S, C и T обозначают синус, косинус и тангенс. O, A и H обозначают противоположность, смежность и гипотенузу.
Запомнив SOHCATOA, вы сможете правильно писать формулы для синуса, косинуса и тангенса. Затем просто введите правильные числа, и все готово! Чтобы найти эти функции, нужно запомнить формулы и использовать правильные измерения сторон. Многие люди считают полезным пометить треугольник перед тем, как начать.
Можете ли вы найти синус, косинус и тангенс угла? Мы уверены, что вы можете! Однако поначалу новые математические темы могут быть трудными. С практикой и помощью учителя или друга мы знаем, что скоро вы многое узнаете о тригонометрии!
Common Core, Научные стандарты следующего поколения и Национальный совет по социальным исследованиям. »> Стандарты: CCSS.MATH.HSF.TF.A.2, CCRA.R.1, CCRA.R.2, CCRA.R.4, CCRA.R.10, CCRA.L.1, CCRA.L.2, CCRA .L.3, CCRA.L.6, CCRA.W.2, CCRA.W.4, CCRA.W.9, CCRA.W.10, CCRA.SL.1, CCRA.SL.2
Интересно, что дальше?
Сегодняшнее чудо дня обычно выходит только ночью.
Попробуйте
Готовы продолжать учиться? Проверьте действия ниже с помощью друга или члена семьи!
Узнайте больше о синусе, косинусе и тангенсе, а также посмотрите полезные диаграммы на веб-сайте Math Is Fun. Помогло ли это вам глубже понять эти функции? Обобщите то, что вы узнали сегодня, для друга или члена семьи.
Теперь, когда у вас есть мнемоника, которая поможет вам запомнить формулы синуса, косинуса и тангенса, сделайте плакат, который поможет другим запомнить. Используйте мнемонику SOHCAHTOA и включите любые изображения или диаграммы, которые, по вашему мнению, помогут вашим друзьям или членам семьи научиться находить эти функции. Не забудьте также указать правильные формулы!
Чувствуете себя лукавым? Узнайте больше о геометрических фигурах и проявите творческий подход, создавая свои собственные! Вы можете попробовать сделать некоторые фигуры самостоятельно или следовать этому видео, чтобы научиться создавать трехмерные фигуры, используя только бумагу и ножницы. Убедитесь, что взрослый помогает вам, и получайте удовольствие, создавая свои фигуры.
Подпишитесь на Wonderopolis и получайте
Wonder of the Day® по электронной почте или SMS
Присоединяйтесь к Buzz
Не пропустите наши специальные предложения, подарки и рекламные акции. Узнай первым!
Поделитесь со всем миром
Расскажите всем о Вандополисе и его чудесах.
Поделиться Wonderopolis
Wonderopolis Widget
Хотите делиться информацией о Wonderopolis® каждый день? Хотите добавить немного чуда на свой сайт? Помогите распространить чудо семейного обучения вместе.
Добавить виджет
Ты понял!
Продолжить
Не совсем!
Попробуйте еще раз
коэффициентов синуса, косинуса и тангенса. – Бизнес/Техническая математика
5. Тригонометрия
Ожидается, что к концу этого раздела вы сможете
Находить недостающую сторону прямоугольного треугольника, используя отношения синуса, косинуса или тангенса
Найдите недостающий угол прямоугольного треугольника, используя отношения синуса, косинуса или тангенса
Решение приложений с помощью тригонометрии прямого угла
Теперь, когда мы знаем основы алгебры и геометрии, связанные с прямоугольным треугольником, мы можем приступить к изучению тригонометрии. Многие реальные жизненные задачи можно представить и решить с помощью прямоугольной тригонометрии.
Мы знаем, что любой прямоугольный треугольник имеет три стороны и прямой угол. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Два других угла прямоугольного треугольника — острые углы (с мерой меньше 90 градусов). Один из этих углов мы называем опорным углом, и мы используем θ (тета) для его представления.
Гипотенуза всегда является наибольшей стороной прямоугольного треугольника. Две другие стороны называются противоположной стороной и смежной стороной. Названия этих сторон зависят от того, какой из двух острых углов используется в качестве опорного угла.
Рисунок 1.
В прямоугольном треугольнике каждая сторона помечена строчной буквой, соответствующей прописной букве противоположной вершины.
Назовите стороны треугольника и найдите гипотенузу, противоположную и прилежащую.
Решение
Мы пометили стороны строчными буквами, чтобы они совпадали с прописными буквами противоположной вершины.
с — гипотенуза
а противоположна
b — смежна
Назовите стороны треугольника и найдите гипотенузу, противолежащую и прилежащую.
Показать ответ
y — гипотенуза
z противоположно
х рядом
Тригонометрические отношения — это отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого прямоугольного треугольника мы можем определить три основных тригонометрических соотношения: синус, косинус и тангенс.
Давайте обратимся к рисунку 1 и определим три основных тригонометрических отношения как:
синус θ =
косинус θ =
тангенс θ =
Где θ — мера опорного угла, измеренная в градусах.
Очень часто мы используем сокращения для синуса, косинуса и тангенса.
sin θ =
, потому что θ =
тангенс θ =
Некоторые помнят определение тригонометрических соотношений как SOH CAH TOA.
Давайте воспользуемся примером из примера 1, чтобы найти три соотношения.
Для данного треугольника найти отношение синуса, косинуса и тангенса.
Решение
sin θ =
cos θ =
tan θ =
Для данного треугольника найти отношение синуса косинуса и тангенса.
Показать ответ
sin θ =
потому что θ =
тангенс θ =
В примере 2 опорные углы могут быть или . Используя определение тригонометрических отношений, мы можем написать sinE = , cosE = и tanE = .
При расчетах мы обычно округляем отношения до четырех знаков после запятой, а в конце наш окончательный ответ — до одного знака после запятой, если не указано иное.
Для данного треугольника найти отношения синуса, косинуса и тангенса. При необходимости округлить до четырех знаков после запятой.
Решение
У нас есть два возможных опорных угла: R и S.
Используя определения, тригонометрические соотношения для угла R составляют:
sin R= = 0,8
, потому что R= = 0,6
тангенс R= = 1,3333…
Используя определения, тригонометрические соотношения для угла S:
sin S = = 0,6
cos S = = 0,8
тангенс S = = 0,75
Для данного треугольника найти отношения синуса, косинуса и тангенса. При необходимости округлить до четырех знаков после запятой.
Показать ответ
sin F = = 0,8
cos F = =0,6
тангенс F = = 1,3333…
sin D = = 0,6
cos D = = 0,8
тангенс D = = 0,75
Теперь воспользуемся научным калькулятором, чтобы найти тригонометрические отношения. Сможете ли вы найти кнопки sin, cos и tan на своем калькуляторе? Чтобы найти тригонометрические соотношения, убедитесь, что ваш калькулятор находится в режиме градусов.
С помощью калькулятора найдите тригонометрические соотношения. При необходимости округлить до 4 знаков после запятой.
a) sin 30°
b) cos 45°
c) tan 60°
Решение
Убедитесь, что ваш калькулятор находится в режиме Градусов.
а) С помощью калькулятора найдите, что sin 30° = 0,5
б) С помощью калькулятора найдите, что cos 45° = 0,7071 Округлив до 4 знаков после запятой.
c) С помощью калькулятора найдите тангенс 60° = 1,7321. Округлите до 4 знаков после запятой.
Найдите тригонометрические соотношения. При необходимости округлить до 4 знаков после запятой.
a) sin 60°
b) cos 30°
c) tan 45°
Показать ответ
a) sin 60° = 0,8660
б) cos 30° = 0,8660
в) тангенс 45° = 1
В этом разделе вы будете использовать тригонометрические отношения для решения задач прямоугольного треугольника. Мы адаптируем нашу стратегию решения задач для приложений тригонометрии. Кроме того, поскольку в этих задачах будет фигурировать прямоугольный треугольник, будет полезно нарисовать его (если рисунок не предоставлен) и пометить его заданной информацией. Мы включим это в первый шаг стратегии решения задач для тригонометрических приложений. .
Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте данные части.
Определите , что мы ищем.
Метка того, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
Найдите требуемое тригонометрическое отношение.
Решите отношение, используя хорошие методы алгебры.
Проверьте ответ, подставив его обратно в соотношение на шаге 4 и убедившись, что он имеет смысл в контексте задачи.
Ответьте на вопрос полным предложением.
В следующих нескольких примерах, зная меру одного острого угла и длину одной стороны прямоугольного треугольника, мы решим прямоугольный треугольник относительно недостающих сторон.
Найти недостающие стороны. Округлите окончательный ответ до двух знаков после запятой
Решение
1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части. 904:00
Дается чертеж. Угол Y — это наш опорный угол, y — противоположная сторона, z — смежная сторона, а x = 14 — гипотенуза.
2. Определите , что мы ищем.
а) противоположная сторона
б) смежная сторона
3. Пометьте то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
5. Решите отношение, используя хорошие методы алгебры.
0,8480 =
р = 4,7170
Округление долей до 4 знаков после запятой
6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
0,8480
0,8480 = 0,8480
7. Ответьте на вопрос полным предложением.
Гипотенуза равна 4,7.
Округлите мой окончательный ответ до одного знака после запятой.
Найдите гипотенузу. Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.
Показать ответ
p = 22,7
Иногда у нас есть прямоугольный треугольник с данными только сторонами. Как найти недостающие углы? Чтобы найти недостающие углы, мы используем обратные тригонометрические отношения. Обратные кнопки sin -1 , cos -1 и tan -1 находятся на вашем научном калькуляторе.
Найдите углы. Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.
a) sin A = 0,5
b) cos B = 0,9735
c) tan C = 2,89358
Решение
Воспользуйтесь калькулятором и нажмите 2-ю FUN CTION, а затем нажмите SIN, COS или TAN. ключ
a) A = sin -1 0,5
= 30°
b) B = cos -1 0,9735
= 13,2° ed до одного знака после запятой
c) C = tan -1 2,89358
= 70,9° Округлено до одного десятичного знака
Найдите углы. Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.
a) sin X = 1
b) cos Y = 0,375
c) tan Z = 1,676767
Показать ответ
a) = 90°
б) = 68°
в) = 59,2°
В приведенном ниже примере у нас есть прямоугольный треугольник с двумя заданными сторонами. У нас отсутствуют острые углы. Давайте посмотрим, каковы шаги, чтобы найти недостающие углы.
Найдите пропавший . Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.
Решение
1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части.
Дается чертеж. Угол T — это наш исходный угол, t = 7 — противоположная сторона, s — смежная сторона, а r = 11 — гипотенуза
.
2. Определите , что мы ищем.
угол T
3. Пометьте то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления. 904:00
5. Решите отношение , используя хорошие методы алгебры.
тангенс А = 1,8
А = тангенс -1 1,8
= 60,9°
6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
тангенс 60,9° 1,8
1,8 = 1,8
7. Ответьте на вопрос полным предложением.
Недостающий угол A равен 60,9°.
Найдите недостающий угол C. Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.
Показать ответ
29.1°
Из предыдущего раздела мы знаем, что любой треугольник имеет три стороны и три внутренних угла. В прямоугольном треугольнике, когда известны все шесть частей треугольника, мы говорим, что прямоугольный треугольник решен.
Решите прямоугольный треугольник. Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.
Решение
Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, величину угла B можно легко вычислить.
= 180° − 90° − 42°
= 48°
1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи поняты. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте данные части.
Дается чертеж. Угол A — это исходный угол, a = 8 — противолежащая сторона, b — прилежащая сторона, а c — гипотенуза.
2. Определите , что мы ищем.
а) соседняя сторона
б) гипотенуза 904:00
3. Пометьте то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
5. Решите отношение , используя хорошие методы алгебры.
sin D = 0,4444
Д = sin -1 0,4444
= 26,3850°
16 + f 2 = 81
ф 2 = 81 – 16
ф 2 = 65
f = квадратный корень из 65
f = 8,06
6. Проверка ответ в задаче и убедившись, что это имеет смысл.
sin 26,3850°
0,4444 = 0,4444
4 2 + 8,06 2 9 2
81 = 81
7. Ответьте на вопрос полным предложением.
Недостающий угол D равен 26,39°.
Прилежащая сторона равна 8,06 Округлено до двух знаков после запятой
Недостающий угол F = 180° – 90° – 26,39° = 63,64°
Решили прямоугольный треугольник
= 26,39°
= 90°
= 63,61°
d = 4
e = 9
f = 8,06
Решите прямоугольный треугольник. Округлить до одного десятичного знака.
= 29,3°
= 90°
= 60,7°
Показать ответ
d = 29,4
е = 18,4
f = 60,6
В предыдущих примерах мы смогли найти недостающие стороны и недостающие углы прямоугольного треугольника. Теперь давайте воспользуемся тригонометрическими отношениями для решения задач из реальной жизни.
Многие применения тригонометрических соотношений связаны с пониманием угла подъема или угла наклона.
Угол возвышения — это угол между горизонтальной линией (землей) и линией визирования наблюдателя.
Угол наклона — это угол между горизонтальной линией (параллельной земле) и линией обзора наблюдателя.
Джеймс стоит в 31 метре от базы Harbour Center в Ванкувере. Он смотрит на вершину здания под углом 78°. Какова высота Harbour Centre?
Решение
1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части.
Угол X — это исходный угол, x — противоположная сторона, y = 31 м — прилежащая сторона, а z — гипотенуза.
2. Определите , что мы ищем.
Противоположная сторона
3. Этикетка то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
5. Решите отношение , используя хорошие методы алгебры.
4,7046 =
х = 145,8426
6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
4,7046
4,7046 = 4,7046
904:00
7. Ответьте на вопрос полным предложением.
Центр гавани составляет 145,8426 метра или округляется до 146 метров.
Марта стоит в 23 метрах от основания самого высокого многоквартирного дома в Принс-Джордже и смотрит на крышу здания под углом 62°. Насколько высокое здание?
Показать ответ
43,3 метра
Томас стоит на вершине здания высотой 45 метров и смотрит на свою подругу, стоящую на земле в 22 метрах от основания здания. Что такое угол депрессии?
Решение
1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части.
Угол Y – это исходный угол, y = 45 м – противолежащая сторона, z = 22 м – прилежащая сторона, а x – гипотенуза
2. Определите , что мы ищем.
угол Y
3. Этикетка то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
5. Решите отношение , используя хорошие методы алгебры.
тангенс Y = 2,0455
Y = желто-коричневый – №2.0455
= 63,9470°
6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл. 904:00
загар 63,9470° 2,0455
2,0455 = 2,0455
7. Ответьте на вопрос полным предложением.
Угол наклона составляет 63,9470° или 64° с округлением до одного десятичного знака.
Хемант стоит на вершине скалы на высоте 250 футов над землей и смотрит на своего друга, стоящего на земле в 40 футах от основания скалы. Что такое угол депрессии?
Показать ответ
80,9°
Три основных тригонометрических отношения: (Где θ — мера опорного угла, измеренная в градусах.)
синус θ =
косинус θ =
тангенс θ =
Стратегия решения проблем для приложений тригонометрии
Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части.
Определите , что мы ищем.
Метка того, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
Найдите требуемое тригонометрическое отношение.
Решите отношение, используя хорошие методы алгебры.
Проверьте ответ, подставив его обратно в отношение, найденное на шаге 5, и убедившись, что оно имеет смысл в контексте задачи.
Ответьте на вопрос полным предложением.
Обозначьте стороны треугольника.
1
2.
Если исходный угол в вопросе 1 равен B, найдите смежный угол ?
Если исходный угол в вопросе 2 равен Z, найти противоположный угол?
Обозначьте стороны треугольника и найдите гипотенузу, противолежащую и прилежащую.
5.
6.
Используйте свой калькулятор, чтобы найти данные отношения. При необходимости округлить до четырех знаков после запятой:
.
Для заданных треугольников найдите синус, косинус и тангенс θ.
11.
12.
13.
14.
Для данных треугольников найдите недостающую сторону. Округлите его до одного десятичного знака.
15. Найдите гипотенузу.
16. Найдите b, если a = 6.
17. Найдите противоположное.
18. Найдите соседнее.
Найдите недостающие стороны данных треугольников. Округлите его до одного десятичного знака.
19.
20.
Решите треугольники. Округлить до одного десятичного знака.
21.
22.
23.
24.
Ким стоит в 75 метрах от низа дерева и смотрит на верхушку дерева под углом 48°. Насколько высокое дерево?
Дерево отбрасывает тень длиной 6 метров, когда угол подъема к солнцу составляет 52°. Насколько высокое дерево?
Лестница высотой 15 футов прислонена к дому и образует с землей угол 45°. На каком расстоянии основание лестницы от дома?
Роксана запускает воздушного змея и выпустила веревку длиной 100 футов. Угол возвышения с землей 38°. Как высоко ее воздушный змей над землей?
Марта запускает воздушного змея и выпустила 28 метров веревки. Если воздушный змей находится на высоте 10 метров над землей, каков угол возвышения?
Самолет взлетает с земли под углом 25°. Если самолет пролетел 200 км, на какой высоте он находится над землей?
Автор: 
7)
8)
9)
После того, если для матрицы существует обратная матрица ( ) то система линейных уравнений имеет единственное решение и он находится за формулой
На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.
Для избежания таких ситуаций нужно хорошо знать правила нахождения определителей второго, третьего порядка, а также правила чередования знаков возле миноров.
Использование матричное умножение , мы можем определить систему уравнений с тем же количеством уравнений в качестве переменных, что и [latex]AX=B[/latex]
Однако цель та же — изолировать переменную.
аналогичное обсуждение в нашем тексте, Рольф, на страницах 165-167 ; 
Следовательно
приведенное выше уравнение является матричным уравнением.
Обратите внимание, как элементы матрицы соответствуют
числа в исходной системе 3 уравнения
Там подробно разобрано 5 задач.
При этом на диаграмме отмечают участок пересечения множеств.
mds.yandex.net
Принцип действия можно понять, если изобразить логические связи с помощью графической схемы или диаграммы Эйлера-Венна.
Требуется определить, сколько страниц в тысячах будет отображаться по запросу «Эсминец». Следует отметить, что запросы выполнялись практически в одно время, поэтому набор страниц с искомыми словами не менялся в процессе выполнения запросов.
Дети ходят на занятия в рамках математического, физического, химического кружка. Факультатив по математике посещают 18 учащихся, по физике – 14, по химии – 10. Также известно, что 2 ученика ходят на все три кружка, 8 – на математику и физику, 5 – на математику и химию, 3 – на физику и химию. Необходимо определить количество учеников, которые не посещают ни одного кружка.
Кино посетили 25 школьников, театр – 11, цирк – 17. И в кино, и в театр сходили 6 человек, и в кино, и в цирк – 10, и в театр, и в цирк – 4. Необходимо посчитать, какое количество учащихся из класса посетили и кино, и театр, и цирк.
euler.Rd 
Предполагается, что векторы являются цветами для заливки.
См. 
Первый элемент будет напечатан первым, а второй
после этого будет напечатано внутри квадратных скобок. По умолчанию 
Существует несколько инструментов для автоматизации создания широко настраиваемых диаграмм Венна и Эйлера с высоким разрешением в статистической среде R. Чтобы заполнить этот пробел, мы представляем VennDiagram , пакет R, который позволяет автоматически генерировать настраиваемые диаграммы Венна с высоким разрешением, содержащие до четырех наборов, и диаграммы Эйлера, содержащие до трех наборов.
Эти пакеты ограничены в своих возможностях генерировать диаграммы Венна с высоким разрешением и качеством публикации, поскольку они допускают небольшую настройку цветов, типов линий, размещения меток и шрифта меток. Многочисленные особые случаи обрабатываются неправильно, и выходные данные обычно не имеют формат файлов TIFF с высоким разрешением и качеством публикации. Существуют другие локальные или веб-программы, не основанные на R, способные генерировать диаграммы Венна, такие как Venny [5], BioVenn [6], ConSet [7] и VennMaster [8]. Все они страдают некоторыми из недостатков, перечисленных выше. Кроме того, интеграция в стандартные статистические/вычислительные конвейеры на основе R, такие как широко используемые библиотеки BioConductor статистической среды R [9].] является жизнеспособным, но технически не тривиальным.
Диаграммы Эйлера эквивалентны диаграммам Венна, когда существуют все пересекающиеся и непересекающиеся области. Однако области, содержащие нулевые элементы, показаны на диаграммах Венна (по определению), тогда как диаграммы Эйлера показывают только ненулевые области. Во многих случаях диаграммы Эйлера дополнительно уменьшают сложность фигур, повышают графическую точность и улучшают общую читаемость по сравнению с диаграммами Венна. К сожалению, почти все существующие пакеты не могут генерировать диаграммы Эйлера с качеством публикации в R, хотя VennEuler создает диаграммы Эйлера.
R был выбран из-за его природы с открытым исходным кодом, универсальных функций и общих предпочтений в сообществе биоинформатики. Использование R должно облегчить интеграцию с существующими конвейерами анализа данных. Весь код был разработан и протестирован с использованием версии 2.12.1 (32-разрядная и 64-разрядная версии) R. Пакет VennDiagram доступен в виде дополнительных файлов 1 (файл .tar.gz для Linux) и 2 (файл .zip для Windows).
Масштабирование диаграмм реализовано с целью отображения диаграмм Венна, где графические размеры частичных областей (областей, ограниченных со всех сторон кривыми и не поддающихся дальнейшему подразделению) фактически соответствуют числовым значениям количества элементов внутри каждой области. Масштабирование диаграмм Венна с двумя наборами и выбранного количества диаграмм Венна с тремя наборами возможно - ниже мы обсудим проблемы, связанные с тем, чтобы сделать это возможным для всех случаев с тремя наборами. Использование масштабирования иногда может привести к тому, что перекрывающиеся области будут слишком малы для числовых меток. На рис. 2, строка 1, столбец 1 показана программно сгенерированная соединительная линия, которая позволяет специально обрабатывать этот случай. Реализовано автоматическое распознавание большого количества диаграмм Эйлера, но этот режим можно отключить с помощью параметра вызова функции, чтобы вместо этого строить стандартные диаграммы Венна. На рис. 2, строка 1, столбцы 2 и 3 показаны два примера двухмножественных диаграмм Эйлера.
В строках 2 и 3 показано подмножество реализованных диаграмм Эйлера с тремя наборами, а в строке 3 показаны диаграммы масштабируемого разнообразия. Отметим, что рисунок 2 представлен в черно-белом цвете, чтобы подчеркнуть композиционные различия между диаграммами, но графические параметры и настройки, использованные на рисунке 1, полностью доступны. В то время как VennDiagram по умолчанию записывает графику в файлы TIFF с высоким разрешением, если для параметра имени файла установлено значение NULL, необработанный объект сетки может быть возвращен и использован в любом графическом режиме, доступном в R. Код для создания всех рисунков приведен в дополнительном файле 3. а пример всех доступных параметризаций показан в дополнительном файле 4.
Строка 1, столбец 2: диаграмма Эйлера с двумя наборами, показывающая полное включение одного из наборов. Строка 1, столбец 3: диаграмма Эйлера с двумя множествами, показывающая два различных множества. Строка 2, столбец 1: диаграмма Эйлера с тремя множествами, где одно множество не имеет дискретных элементов. Строка 2, столбец 2: диаграмма Эйлера с тремя множествами, в которой одно множество не имеет дискретных элементов, полностью включено в одно из двух других множеств. Строка 2, столбец 3: диаграмма Эйлера с тремя множествами, где два множества не имеют дискретных элементов и включены в большее третье множество. Строка 3, столбец 1: диаграмма Эйлера с тремя наборами, показывающая полное включение двух наборов, отличных от третьего набора. Строка 3, столбец 2: диаграмма Эйлера с тремя наборами, где один набор полностью включен в другой набор, который сам полностью включен в третий набор. Строка 3, столбец 2: диаграмма Эйлера с тремя множествами, показывающая три различных множества. Код для создания всех показанных здесь диаграмм включен в дополнительный файл 3.
Однако д AB , d BC , d AC составляют уникальный треугольник, подразумевая, что диаграмму Венна можно нарисовать, даже не зная общего пересечения A A ∩ A B ∩ A C . Другими словами, размер перекрытия между всеми тремя кругами не меняет представление масштабированных диаграмм Венна — площадь не меняется, даже если одна система имеет нулевое полное пересечение (т.е. A A ∩ A B ∩ A С = 0)! Эта головоломка возникает из-за (произвольного) выбора кругов для представления размера набора, что уменьшает степень свободы на одну. Уникальные решения можно определить, используя эллипсы или многоугольники для рисования диаграмм Венна, но полученные диаграммы потеряют мгновенную узнаваемость и привычность, связанные с круговыми диаграммами Венна, что лишает возможности удобного отображения информации. Некруговые диаграммы также потребуют итерационных алгоритмов для вычисления положения и размеров фигур, что значительно увеличивает вычислительную нагрузку, как обсуждалось другими [10].
Следовательно, масштабирование трехмножественных диаграмм Венна отключено в Пакет VennDiagram . Точно так же диаграммы Венна, содержащие более четырех наборов [11, 12], не были реализованы в пакете VennDiagram , поскольку они стали слишком сложными для интуитивной визуализации.
Б) На диаграмме Венна несуществующая область показана как область с нулевым содержимым. Хотя это не является графически точным, оно сохраняет узнаваемость диаграммы Венна.
, Гфеллер Д., Бадер Г.Д.: Как визуально интерпретировать биологические данные с помощью сетей. Nat Biotechnol 2009, 27(10):921–924. 10.1038/нбт.1567
">
">
Математический журнал 1984, 57 (5): 297–298. 10.2307/2689606
Обычно порог определяется автоматически, но его можно настроить и вручную. Допускаются значения от 0 до 255.»/>
«/>
без измененийГрадации серогоМонохромноеИнвертировать цветаРетроСепия
«/>
Начните конвертировать
Сотрудники этих организаций, от глобальных корпораций и медиа-компаний до уважаемых учебных заведений и газетных изданий, доверяют Zamzar предоставление точных и надежных услуг по конвертации, в которых они нуждаются.
..
Многие камеры, смартфоны и базовые программы для работы с фотографиями или рисованием автоматически сохраняют изображения в формате JPG. Однако обычно вы можете настроить параметры для сохранения в других форматах, если это необходимо.
Он был разработан компанией Avid Technology. Первоначально он был разработан в 1984, и он намного сложнее, чем другие форматы файлов растровых изображений, поскольку в нем есть ряд составных частей. Первоначально, когда он был впервые разработан, он состоял из заголовка и еще одного раздела, известного как данные цветовой карты. Со временем добавлялось все больше и больше разделов, так что сегодняшний файл TGA может поддерживать 8-16-24 и 32 бита на пиксель при максимальном 24-битном RGB. Популярность файлов TGA сохранялась на протяжении многих лет, они используются до сих пор и пережили возрождение с тех пор, как 3D-видеоигры стали настолько популярными.
Выберите файл JPG, который вы хотите преобразовать.
ZIP в JPG
MDI в JPG
MEF в JPG
MPP в JPG
MRW в JPG
MSG в JPG
NEF в JPG
ODG в JPG
ORF в JPG
PCX в JPG
PDF в JPG
PEF в JPG
PNG в JPG
PPM в JPG
PPS в JPG
PPSX в JPG
PPT в JPG
PPTX в JPG
PS в JPG
PSD в JPG
PUB в JPG
RAF в JPG
RAW в JPG
SR2 в JPG
SVG в JPG
TGA в JPG
TIFF в JPG
VSD в JPG
VSDX в JPG
WBMP в JPG
WEBP в JPG
WMF в JPG
X3F в JPG
XCF в JPG
XLS в JPG
XLSX в JPG
XPS в JPG
Этот инструмент абсолютно бесплатный. 
Imaging Conversion
83 см
5⋅2.7474 ≈ 20.6 см
{2}
\)
рисунок выше.
Какова длина его высоты?
Высота равностороннего треугольника определяется как длина равностороннего треугольника, измеренная от его вершины до основания .
Все высоты равностороннего треугольника равны, так как стороны равностороннего треугольника равны.
{2}$, 
Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и B (x B):
И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы: 
е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
Рассмотрим характерные примеры.
Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , — 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.
ЕЩЁ можно сказать, что точка делит отрезок в отношении («один к двум»), считая от вершины .
Кроме того, они справедливы не только для декартовой системы координат, но и для произвольной аффинной системы координат (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Такая вот универсальная задача.
Найти:
И, конечно же, конечно же, не лишним будет чертёж. А чтобы окончательно убедить вас в пользе клетчатой тетради, простого карандаша да линейки, предлагаю хитрую задачу для самостоятельного решения:
Если даны концы отрезка , то координаты его середины выражаются формулами:
Сегодня, при наличии сложной измерительной техники, такое задание скорее представляет упражнение для развития интеллектуальных способностей и пространственной фантазии школьников.
Почему центр отрезка получится именно там, где пересекутся линии? Знание смысла данной задачи может, например пригодиться, при поиска ответа на вопрос о том, как найти середину треугольника, а также при решении других, более сложных геометрических задач.Итак, если соединить крайние точки исходного отрезка с точками пересечения наших окружностей, то получим четырехугольник. Но какой четырехугольник? Все его стороны являются радиусами наших окружностей, а значит равными по длине (ведь мы использовали одинаковый радиус). Любой четырехугольник с равными сторонами представляет собой ромб, диагонали которого всегда пересекаются под прямым углом и, что более важно для нашей задачи, делят друг друга пополам. Именно в этом и состоит логика подобного решения задачи о построении середины отрезка при помощи циркуля.
Конечно, здесь уже используется декартова система координат, в связи с чем данные задачи имеют разную сущность, хотя и решают одну проблему.
Точка K — середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.
Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.
Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .
И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы: 
е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
Рассмотрим характерные примеры.
Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , — 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.
Есть координаты двух точек (-1;2) и (4;7). При нахождении разности координат точек получаем следующие значения: х = 5, у =5. Полученные числа и будут являться координатами отрезка. Затем каждое число возводим в квадрат и находим сумму результатов, она равна 50. Из этого числа извлекаем квадратный корень. Результат таков: 5 корней из 2. Это длина отрезка.
(рис. 3
).
Для измерения отрезков можно выбрать и другие единицы длины , например: 1
мм, 1
дм, 1
км. На рисунке 7
длина отрезка равна 17
мм. Он измерен единичным отрезком, длина которого равна 1
мм, с помощью линейки с делениями. Также с помощью линейки можно построить (начертить) отрезок заданной длины (см. рис. 7
).
Отсюда AC =
8
+ 5
= 13
(см).
После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.
Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.
Что это такое?
Теперь стороны треугольника можно назвать иначе, допустим: m, n, k.
И, в частности, это та часть математики, которая занимается выяснением отношений между тремя сторонами и тремя углами, составляющими каждый треугольник.
А сторона, примыкающая к углу, на который мы смотрим (та, которая не является гипотенузой), известна как «прилегающая» сторона.
Конечная сторона угла является гипотенузой прямоугольного треугольника и является радиусом единичной окружности. Поэтому его длина всегда равна 1. Таким образом, мы можем использовать определение синуса прямоугольного треугольника, чтобы определить, что
Другими часто используемыми углами являются 30° (), 45° (), 60° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, так как они очень часто используются.
Аналогичный метод запоминания можно использовать и для косинуса. При необходимости обратитесь к странице косинуса.
Все другие соответствующие углы будут иметь значения одинаковой величины, и мы просто нужно обратить внимание на их знаки в зависимости от квадранта, в котором лежит конечная сторона угла. Ниже приведена таблица, показывающая знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.
Если результирующий угол находится в диапазоне от 0° до 90°, это опорный угол.
Это только один пример, но это свойство верно для всех углов.
Ниже приведен график, показывающий четыре периода синусоидальной функции в интервале [-4π,4π].
14159..
Алюминиевый маятник
5:1
И.О :
Обязательное поле!
1 Факторинг: z 3 -1 
Вершина параболы может предоставить нам такую информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
С 
..Меньше
Инженеры службы поддержки Майкрософт могут объяснить функциональные возможности конкретной процедуры. Однако они не будут изменять эти примеры, чтобы обеспечить дополнительные функции или создавать процедуры в порядке, отвечая вашим требованиям.
org/ListItem»>
If Mid(MyNumber, 1, 1) <> "0" Then
Result = GetDigit(Mid(MyNumber, 1, 1)) & " Hundred "
End If
' Convert the tens and ones place.
If Mid(MyNumber, 2, 1) <> "0" Then
Result = Result & GetTens(Mid(MyNumber, 2))
Else
Result = Result & GetDigit(Mid(MyNumber, 3))
End If
GetHundreds = Result
End Function
' Converts a number from 10 to 99 into text.
Function GetTens(TensText)
Dim Result As String
Result = "" ' Null out the temporary function value.
If Val(Left(TensText, 1)) = 1 Then ' If value between 10-19...
Select Case Val(TensText)
Case 10: Result = "Ten"
Case 11: Result = "Eleven"
Case 12: Result = "Twelve"
Case 13: Result = "Thirteen"
Case 14: Result = "Fourteen"
Case 15: Result = "Fifteen"
Case 16: Result = "Sixteen"
Case 17: Result = "Seventeen"
Case 18: Result = "Eighteen"
Case 19: Result = "Nineteen"
Case Else
End Select
Else ' If value between 20-99.
..
Select Case Val(Left(TensText, 1))
Case 2: Result = "Twenty "
Case 3: Result = "Thirty "
Case 4: Result = "Forty "
Case 5: Result = "Fifty "
Case 6: Result = "Sixty "
Case 7: Result = "Seventy "
Case 8: Result = "Eighty "
Case 9: Result = "Ninety "
Case Else
End Select
Result = Result & GetDigit _
(Right(TensText, 1)) ' Retrieve ones place.
End If
GetTens = Result
End Function
' Converts a number from 1 to 9 into text.
Function GetDigit(Digit)
Select Case Val(Digit)
Case 1: GetDigit = "One"
Case 2: GetDigit = "Two"
Case 3: GetDigit = "Three"
Case 4: GetDigit = "Four"
Case 5: GetDigit = "Five"
Case 6: GetDigit = "Six"
Case 7: GetDigit = "Seven"
Case 8: GetDigit = "Eight"
Case 9: GetDigit = "Nine"
Case Else: GetDigit = ""
End Select
End Function
org/ListItem»>
Вы также можете ввести значение вручную, например =SpellNumber(22,50).
Он преобразует число в слова валюты США, такие как сто, тысяча, миллион, десять миллионов, сто миллионов, один миллиард и другие.
Как следует из названия, это числа, написанные словами. Словоформа пишет цифру/число так, как вы бы сказали это словами.
(1)
Докажем первое равенство.
..
Sai Wonders , “ Как работают синус, косинус и тангенс? «Спасибо, что ДУМАЕТЕ вместе с нами, Сай!
Тем не менее, запоминание полезной мнемоники может помочь. При нахождении синуса, косинуса и тангенса просто помните SOHCATOA (sō-kŭ-tō-ŭ). В этом примере S, C и T обозначают синус, косинус и тангенс. O, A и H обозначают противоположность, смежность и гипотенузу.
»> Стандарты: CCSS.MATH.HSF.TF.A.2, CCRA.R.1, CCRA.R.2, CCRA.R.4, CCRA.R.10, CCRA.L.1, CCRA.L.2, CCRA .L.3, CCRA.L.6, CCRA.W.2, CCRA.W.4, CCRA.W.9, CCRA.W.10, CCRA.SL.1, CCRA.SL.2
Не забудьте также указать правильные формулы!
Узнай первым!
Многие реальные жизненные задачи можно представить и решить с помощью прямоугольной тригонометрии.
При необходимости округлить до четырех знаков после запятой.
Округлите до 4 знаков после запятой.
Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части. 904:00
Ответьте на вопрос полным предложением.
Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.
Найдите искомое тригонометрическое соотношение.
Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части. 904:00
Проверка ответ в задаче и убедившись, что это имеет смысл.
Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части.
Ответьте на вопрос полным предложением.
При необходимости округлить до четырех знаков после запятой:
3