alexxlab — Страница 3163 — Таловская средняя школа

Онлайн решение исследование функции: Исследовать функцию, построить график | Онлайн калькулятор

alexxlab / 27.09.197029.07.2021 / Разное

Исследование функции онлайн. Решение задач на построение графика и полное исследование функции он-лайн

Исследование функции производится по четкой схеме и требует от студента твердых знаний основных математических понятий таких, как область определения и значений, непрерывность функции, асимптота, точки экстремума, четность, периодичность и т.п. Студент должен свободно дифференцировать функции и решать уравнения, которые порой бывают очень замысловатыми.

То есть данное задание проверяет существенный пласт знаний, любой пробел в которых станет препятствием к получению правильного решения. Особенно часто сложности возникают с построением графиков функций. Эта ошибка сразу бросается в глаза преподавателю и может очень сильно подпортить вашу оценку, даже если все остальное было сделано правильно. Здесь вы можете найти задачи на исследование функции онлайн: изучить примеры, скачать решения, заказать задания.

Исследовать функцию и построить график: примеры и решения онлайн

Мы приготовили для вас множество готовых исследований функций, как платных в решебнике, так и бесплатных в разделе Примеры исследований функций. На основе этих решенных заданий вы сможете детально ознакомиться с методикой выполнения подобных задач, по аналогии выполнить свое исследование.

Мы предлагаем готовые примеры полного исследования и построения графика функции самых распространенных типов: многочленов, дробно-рациональных, иррациональных, экспоненциальных, логарифмических, тригонометрических функций. К каждой решенной задаче прилагается готовый график с выделенными ключевыми точками, асимптотами, максимумами и минимумами, решение ведется по алгоритму исследования функции.

Решенные примеры, в любом случае, станут для вас хорошим подспорьем, так как охватывают самые популярные типы функций. Мы предлагаем вам сотни уже решенных задач, но, как известно, математических функций на свете — бесконечное количество, а преподаватели — большие мастаки выдумывать для бедных студентов все новые и новые заковыристые задания. Так что, дорогие студенты, квалифицированная помощь вам не помешает.

Решение задач на исследование функции на заказ

На этот случай наши партнеры предложат вам другую услугу — полное исследование функции онлайн на заказ. Задание будет выполнено для вас с соблюдением всех требований к алгоритму решения подобных задач, что очень порадует вашего преподавателя.

Мы сделаем для вас полное исследование функции: найдем область определения и область значений, исследуем на непрерывность и разрывность, установим четность, проверим вашу функцию на периодичность, найдем точки пересечения с осями координат. Ну и, конечно же, дальше с помощью дифференциального исчисления: разыщем асимптоты, вычислим экстремумы, точки перегиба, построим сам график.

Представьте себе: вы получите готовое, гарантированно правильно решенное задание за скромную сумму! Может быть, вам осталось решить только один, самый сложный пример, с которым вы сами никак не справитесь? Не затягивайте, закажите его или скачайте и сдавайте зачет на отлично!

Еще про задачи исследования функции:

Исследовать функцию и построить график

Краткая теория

Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает ее график. Поэтому построение графика является заключительным этапом исследования функции, в котором используются все результаты ее исследования.

Схема исследования функции с последующим построением графика такова:

Исследование области определения функции.
Исследование функции на четность и нечетность.
Нахождение точек пересечения графика с осями координат
Исследование функции на точки разрыва. Нахождение вертикальных асимптот. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
Исследование функции на экстремум и интервалы монотонности функции.
Исследование функции на интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Нахождение точек перегиба графика функции.
Построение графика функции.

Полученные данные следует использовать для построения графика функции. Если исследуемая функция является четной или нечетной, то ее достаточно исследовать при неотрицательных значениях аргумента из множества ее задания и принять во внимание, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если, например, функция имеет период , то следует построить график на отрезке , а затем продолжить его периодически на всю числовую ось.

Кроме того, если полученных данных окажется недостаточно, то следует, воспользовавшись уравнением , найти дополнительные точки графика, в которых его изменение менее ясно.

Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно придерживаться приведенной схемы, иногда порядок исследования полезно выбрать, исходя из конкретных особенностей данной функции.

Примеры решения задач

Задача 1

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение

1) Область определения функции:

2) Исследуем функцию на четность-нечетность:

Функция является четной

3) Находим точки пересечения с осями координат:

График функции пересекает ось в точках и . Ось график функции не пересекает.

4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

В точке существует разрыв 2-го рода.

Прямая –вертикальная асимптота.

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

–горизонтальная асимптота

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Первая производная на области определения в нуль не обращается

-функция возрастает

-функция убывает

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

Вторая производная функции не равна нулю на всей области определения

–график функции вогнутый

– график функции вогнутый

7) График функции имеет вид:

Задача 2

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение

1) Область определения функции:

2) Исследуем функцию на четность-нечетность:

Функция является нечетной

3) График функции оси координат не пересекает

4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:

В точке существует разрыв 2-го рода.

Прямая –вертикальная асимптота.

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

–наклонная асимптота

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение:

-функция возрастает

-функция убывает

-функция возрастает

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

Вторая производная функции не равна нулю на всей области определения

–график функции выпуклый

– график функции вогнутый

7) График функции имеет вид:

Задача 3

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

1) Область определения функции:

2) Исследуем функцию на четность-нечетность:

Функция не обладает свойствами четности — нечетности

3) Находим точки пересечения с осями координат:

График пересекает ось в точке (-0618, 0) и (1.618, 0)

4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:

Точка является точкой разрыва функции 2-го рода, а прямая -вертикальной асимптотой графика функции.

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

Прямая –горизонтальная асимптота

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение:

Полученное уравнение действительных корней не имеет

– функция убывает

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

– график функции выпуклый

– график функции вогнутый

– график функции выпуклый

– график функции вогнутый

7) График функции имеет вид:

На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.

Исследование функции онлайн, функции третьей , четвертой степени

Исследуем функции онлайн, заданной формулой: Область определения: Данная функция определена для: Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком. Полученное решение отметим на рисунке. Ответ: . Для исследовании функции онлайн найдем первую производную: Воспользуемся формулой производной частного. Воспользуемся свойством степеней, Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Раскрываем скобки. Выносим общий множитель. Воспользуемся свойством степеней. Вторая производная: Для исследования функции оналай найдём вторую производную. Вторая производная это производная от первой производной. Воспользуемся формулой производной частного. Воспользуемся свойством степеней. Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Выносим общий множитель. Воспользуемся свойством степеней. Точек пересечения с осью х нет Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Левая часть уравнения принимает только положительные значения. Ответ: нет решений. Точки пересечения с осью y: Пусть Вертикальные асимптоты: Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Горизонтальные асимптоты: нет. Наклонные асимптоты: Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой. Раскрываем скобки. Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю. Критические точки: Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Решаем уравнение методом разложения на множители. Разложим одночлены в сумму нескольких. Изменяем порядок действий. Производим группировку. Выносим общий множитель. Выносим общий множитель. Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай . Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Итак,ответ этого случая: нет решений. Случай . Находим дискриминант. Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Ответ этого случая: Ответ: Возможные точки перегиба: нет Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Следующее уравнение равносильно предыдущему. Находим дискриминант. Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней. Ответ: нет решений. Точки разрыва: Симметрия относительно оси ординат: нет Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x). Выносим знак минус из произведения. Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой. Раскрываем скобки. Изменяем порядок действий. Приводим подобные члены. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Разложим числитель дроби на множители. Симметрия относительно начала координат: нет Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x) Выносим знак минус из произведения. Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой. Изменяем порядок действий. Приводим подобные члены. Выносим знак минус из произведения. Разложим числитель дроби на множители. Тестовые интервалы: Относительные экстремумы: Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум . Данные таблицы нанесем на координатную плоскость. Используя результаты исследования функции, построим ее график. Множество значений функции следующее:

Урок 48. функции. свойства функций и их графики. исследование функций — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

функция, аргумент функции, значение функции
график функции, преобразование графика функции
свойства функции, исследование свойств функции

Глоссарий по теме урока

Определение

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у — зависимая переменная, значение функции

Определение

Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение

Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).

Определение

Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;

для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).

Определение

Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.

Определение

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁<х_2, выполняется неравенство у₁<у₂.

Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких что, х₁<х_2, выполняется неравенство у₁>у₂.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.

https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции на примере функции

1) Область определения функции

Знаменатель дроби не равен нулю:

Получили область определения

D(y)=

Множество значений функции

Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).

Получили

Четность / нечетность функции

D(y)= — симметрична относительно нуля

следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ

Нули функции

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ

Промежутки знакопостоянства

у>0 при

у<0 при

Монотонность

Найдем производную

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.

Определим знаки производной в полученных промежутках.

точки -1, 1 – выколоты, 0 — закрашена

Производная положительна, а значит, функция возрастает при .

Производная отрицательна, а значит, функция убывает при

Экстремум

х=0 – стационарная точка.

В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.

Значение функции в точке максимума

Дополнительные точки

у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4

Отразим найденные свойства графически, построим график функции

2. Решение задачи на оптимизацию

Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.

В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:

1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:

вводят независимую переменную х
выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
выражают у через х и другие известные величины
устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х

2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.

3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.

Рассмотрим план решения на примере задачи.

Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение:

1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.

Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x² у.е.

Тогда на 2 объект направлено (24 — x) рабочих – суточная заработная плата (24 — x)² (у.е.)

Всем рабочим нужно заплатить 4x²+(24 — x)² = 5x²-48x+576 (у.е.)

Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.

2 этап.

Рассмотрим функцию f(x)=5x²-48x+576.

Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x₀ = 4,8 .

3 этап. Перевод на язык задачи

Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.

24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.

Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.

Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.

Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Исследуйте функции на четность.

Функции

у=0

у=sin(x+5π/2)

у=lg(x+10)

Решение:

у=0

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, — симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.

Данная функция одновременно четна и нечетна.

у=sin(x+5π/2)

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x

у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная

у=lg(x+10)

логарифмируемое выражение должно быть положительным

x+10>0; x>-10

D(y): x>-10

Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, — функция общего вида.

Найдем область определения D(f)

Проверим второе условие

Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.

Зайдем с другого конца, выразим -f(x):

домножим на сопряженное

Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.

Ответ:

Функции	Четность / нечетность
у=0	и четная, и нечетная
у=sin(x+5π/2)	четная
у=lg(x+10)	общего вида
	нечетная

Решение:

Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.

Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.

В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.

Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7

Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим:

Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.

Выполним построения выделенных функций.

Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.

Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.

Ответ:

Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53

Примеры. Исследовать на максимум и минимум функции:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Решение. 1) Согласно правилу исследования функции на экстремум:
I. Находим производную: и критические точки. Полагая , получим . Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точки и являются критическими.
Других критических точек нет, так как производная существует всюду.
II. Исследуем критические точки, определяя знак слева и справа от каждой этой точки (по правилу IIа). Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в виде следующей таблицы:
В первой строке помещены все критические точки в порядке расположения их на числовой оси; между ними вставлены промежуточные точки, расположенные слева и справа от критических точек. Во второй строке помещены знаки производной в указанных промежуточных точках, т. е. знаки и .
В третьей строке — заключение о поведении функции. Исследуемая функция имеет одну точку экстремума — точку максимума , где . До этой точки в интервале функция неизменно возрастает, а после нее в интервале она неизменно убывает (рис. 45).
2) I. Ищем критические точки. Производная обращается в нуль при и не существует (разрывна) при . Однако критическими точками являются только точки и : они лежат внутри области определения функции , которая представляет отрезок [ — 1; 1], и в них эта функция непрерывна. Точки и не являются критическими, так как они лежат не внутри области определения функции , а на ее границах.
II. Исследуем критические точки по знаку производной в соседних с ними точках. Составим следующую таблицу:
Согласно этой таблице функция и имеет две точки экстремума: точку минимума , где и точку максимума ,где (рис. 46).
3) I. Находим производную

и критические точки: при ; не существует (равна ) при . Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому обе найденные точки являются критическими.
II. Исследуем критические точки по знаку производной в соседних с ними точках. Составим таблицу:
Из таблицы следует, что функция имеет две точки экстремума: точку максимума , где , и точку минимума , где (рис. 47).
4) I. Найдем критические точки. Производная равна нулю в точках . Эти точки являются критическими, так как функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Производная существует всюду. Поэтому других критических точек функция не имеет.
II. Исследуем критические точки по знаку второй производной в самих этих точках (по правилу II б): , следовательно, критическая точка есть точка максимума, где , поэтому критическая точка есть точка минимума, где (рис. 48).
5) I. Ищем производную и критические точки: обращается в нуль в точке . В этой точке функция непрерывна, но она не лежит внутри области определения функции , которая представляет интервал .
Поэтому точка не является критической; не обращается в нуль в других точках и существует во всей области определения функции. Поэтому функция , как не имеющая ни одной критической точки, не имеет экстремума. Во всей своей области определения она неизменно (монотонно) возрастает, ибо во всей этой области (рис. 49).
Если не учесть, что точка не лежит внутри области определения функции , то, применяя правило IIб, , приходим к ошибочному заключению, что в этой точке функция имеет минимум.
6) I. Находим критические точки: при .
Все точки являются критическими, так как функция определена и непрерывна на всей числовой оси; существует всюду, поэтому других критических точек нет.
II. Исследуем критические точки по знаку второй производной в самих этих точках: . При четном , , точки являются точками минимума, где ; при нечетном , , точки являются точками максимума, где (рис. 50). Здесь оказалось, что у функции максимумы и минимумы строго чередуются. То же будет и у любой непрерывной функции, имеющей несколько экстремумов.

Исследовать функцию на непрерывность онлайн с подробным решением. Точки разрыва функции и их виды

Идет бычок, качается, вздыхает на ходу:
– Ох, доска кончается, сейчас я упаду!

На данном уроке мы разберём понятие непрерывности функции, классификацию точек разрыва и распространённую практическую задачу исследования функции на непрерывность . Из самого названия темы многие интуитивно догадываются, о чём пойдёт речь, и думают, что материал довольно простой. Это правда. Но именно несложные задачи чаще всего наказывают за пренебрежение и поверхностный подход к их решению. Поэтому рекомендую очень внимательно изучить статью и уловить все тонкости и технические приёмы.

Что нужно знать и уметь? Не очень-то и много. Для качественного усвоения урока необходимо понимать, что такое предел функции . Читателям с низким уровнем подготовки достаточно осмыслить статью Пределы функций. Примеры решений и посмотреть геометрический смысл предела в методичке Графики и свойства элементарных функций . Также желательно ознакомиться с геометрическими преобразованиями графиков , поскольку практика в большинстве случаев предполагает построение чертежа. Перспективы оптимистичны для всех, и даже полный чайник сумеет самостоятельно справиться с задачей в ближайший час-другой!

Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация

Понятие непрерывности функции

Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на всей числовой прямой:

Или, говоря лаконичнее, наша функция непрерывна на (множестве действительных чисел).

Каков «обывательский» критерий непрерывности? Очевидно, что график непрерывной функции можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

При этом следует чётко отличать два простых понятия: область определения функции и непрерывность функции . В общем случае это не одно и то же . Например:

Данная функция определена на всей числовой прямой, то есть для каждого значения «икс» существует своё значение «игрека» . В частности, если , то . Заметьте, что другая точка выколота, ведь по определению функции, значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Таким образом, область определения нашей функции: .

Однако эта функция не является непрерывной на ! Совершенно очевидно, что в точке она терпит разрыв . Термин тоже вполне вразумителен и нагляден, действительно, карандаш здесь по любому придётся оторвать от бумаги. Немного позже мы рассмотрим классификацию точек разрыва.

Непрерывность функции в точке и на интервале

В той или иной математической задаче речь может идти о непрерывности функции в точке, непрерывности функции на интервале, полуинтервале или непрерывности функции на отрезке. То есть, не существует «просто непрерывности» – функция может быть непрерывной ГДЕ-ТО. И основополагающим «кирпичиком» всего остального является непрерывность функции в точке .

Теория математического анализа даёт определение непрерывности функции в точке с помощью «дельта» и «эпсилон» окрестностей, но на практике в ходу другое определение, которому мы и уделим самое пристальное внимание.

Сначала вспомним односторонние пределы , ворвавшиеся в нашу жизнь на первом уроке о графиках функций . Рассмотрим будничную ситуацию:

Если приближаться по оси к точке слева (красная стрелка), то соответствующие значения «игреков» будут идти по оси к точке (малиновая стрелка). Математически данный факт фиксируется с помощью левостороннего предела :

Обратите внимание на запись (читается «икс стремится к ка слева»). «Добавка» «минус ноль» символизирует , по сути это и обозначает, что мы подходим к числу с левой стороны.

Аналогично, если приближаться к точке «ка» справа (синяя стрелка), то «игреки» придут к тому же значению , но уже по зелёной стрелке, и правосторонний предел оформится следующим образом:

«Добавка» символизирует , и запись читается так: «икс стремится к ка справа».

Если односторонние пределы конечны и равны (как в нашем случае): , то будем говорить, что существует ОБЩИЙ предел . Всё просто, общий предел – это наш «обычный» предел функции , равный конечному числу.

Заметьте, что если функция не определена при (выколите чёрную точку на ветке графика), то перечисленные выкладки остаются справедливыми. Как уже неоднократно отмечалось, в частности, в статье о бесконечно малых функциях , выражения означают, что «икс» бесконечно близко приближается к точке , при этом НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ , определена ли сама функция в данной точке или нет. Хороший пример встретится в следующем параграфе, когда анализу подвергнется функция .

Определение : функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: .

Определение детализируется в следующих условиях:

1) Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение .

2) Должен существовать общий предел функции . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов: .

3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке: .

Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке .

Непрерывность функции на интервале формулируется остроумно и очень просто: функция непрерывна на интервале , если она непрерывна в каждой точке данного интервала.

В частности, многие функции непрерывны на бесконечном интервале , то есть на множестве действительных чисел . Это линейная функция, многочлены, экспонента, синус, косинус и др. И вообще, любая элементарная функция непрерывна на своей области определения , так, например, логарифмическая функция непрерывна на интервале . Надеюсь, к данному моменту вы достаточно хорошо представляете, как выглядят графики основных функций. Более подробную информацию об их непрерывности можно почерпнуть у доброго человека по фамилии Фихтенгольц.

С непрерывностью функции на отрезке и полуинтервалах тоже всё несложно, но об этом уместнее рассказать на уроке о нахождении минимального и максимального значений функции на отрезке , а пока голову забивать не будем.

Классификация точек разрыва
Увлекательная жизнь функций богата всякими особенными точками, и точки разрыва лишь одна из страничек их биографии.
Примечание : на всякий случай остановлюсь на элементарном моменте: точка разрыва – это всегда отдельно взятая точка – не бывает «несколько точек разрыва подряд», то есть, нет такого понятия, как «интервал разрывов».
Данные точки в свою очередь подразделяются на две большие группы: разрывы первого рода и разрывы второго рода . У каждого типа разрыва есть свои характерные особенности, которые мы рассмотрим прямо сейчас:
Точка разрыва первого рода
Если в точке нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечны , то она называется точкой разрыва первого рода .
Начнём с самого оптимистичного случая. По первоначальной задумке урока я хотел рассказать теорию «в общем виде», но чтобы продемонстрировать реальность материала, остановился на варианте с конкретными действующими лицами.
Уныло, как фото молодожёнов на фоне Вечного огня, но нижеследующий кадр общепринят. Изобразим на чертеже график функции :

Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки . И в самом деле, знаменатель же не может быть равен нулю. Однако в соответствии со смыслом предела – мы можем бесконечно близко приближаться к «нулю» и слева и справа, то есть, односторонние пределы существуют и, очевидно, совпадают:
(Условие №2 непрерывности выполнено).
Но функция не определена в точке , следовательно, нарушено Условие №1 непрерывности, и функция терпит разрыв в данной точке.
Разрыв такого вида (с существующим общим пределом ) называют устранимым разрывом . Почему устранимым? Потому что функцию можно доопределить в точке разрыва:
Странно выглядит? Возможно. Но такая запись функции ничему не противоречит! Теперь разрыв устранён и все счастливы:

Выполним формальную проверку:
2) – общий предел существует;
3)
Таким образом, все три условия выполнены, и функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
Впрочем, ненавистники матана могут доопределить функцию нехорошим способом, например :

Любопытно, что здесь выполнены первые два условия непрерывности:
1) – функция определена в данной точке;
2) – общий предел существует.
Но третий рубеж не пройден: , то есть предел функции в точке не равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, в точке функция терпит разрыв.
Второй, более грустный случай носит название разрыва первого рода со скачком . А грусть навевают односторонние пределы, которые конечны и различны . Пример изображён на втором чертеже урока. Такой разрыв возникает, как правило, в кусочно-заданных функциях , о которых уже упоминалось в статье о преобразованиях графиков .
Рассмотрим кусочную функцию и выполним её чертёж. Как построить график? Очень просто. На полуинтервале чертим фрагмент параболы (зеленый цвет), на интервале – отрезок прямой (красный цвет) и на полуинтервале – прямую (синий цвет).
При этом в силу неравенства значение определено для квадратичной функции (зелёная точка), и в силу неравенства , значение определено для линейной функции (синяя точка):

В самом-самом тяжёлом случае следует прибегнуть к поточечному построению каждого куска графика (см. первый урок о графиках функций ).
Сейчас нас будет интересовать только точка . Исследуем её на непрерывность:
2) Вычислим односторонние пределы.
Слева у нас красный отрезок прямой, поэтому левосторонний предел:
Справа – синяя прямая, и правосторонний предел:
В результате получены конечные числа , причем они не равны . Поскольку односторонние пределы конечны и различны : , то наша функция терпит разрыв первого рода со скачком .
Логично, что разрыв не устраним – функцию действительно не доопределить и «не склеить», как в предыдущем примере.
Точки разрыва второго рода
Обычно к данной категории хитро относят все остальные случаи разрыва. Всё перечислять не буду, поскольку на практике в 99%-ти процентах задач вам встретится бесконечный разрыв – когда левосторонний или правосторонний, а чаще, оба предела бесконечны.
И, конечно же, самая напрашивающаяся картинка – гипербола в точке ноль. Здесь оба односторонних предела бесконечны: , следовательно, функция терпит разрыв второго рода в точке .
Я стараюсь наполнять свои статьи максимально разнообразным содержанием, поэтому давайте посмотрим на график функции , который ещё не встречался:

по стандартной схеме:
1) Функция не определена в данной точке, поскольку знаменатель обращается в ноль.
Конечно, можно сразу сделать вывод о том, что функция терпит разрыв в точке , но хорошо бы классифицировать характер разрыва, что часто требуется по условию. Для этого:

Напоминаю, что под записью понимается бесконечно малое отрицательное число , а под записью – бесконечно малое положительное число .
Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке . Ось ординат является вертикальной асимптотой для графика.
Не редка ситуация, когда оба односторонних предела существуют, но бесконечен только один из них, например:

Это график функции .
Исследуем на непрерывность точку :
1) Функция не определена в данной точке.
2) Вычислим односторонние пределы:
О методике вычисления таких односторонних пределов поговорим в двух последних примерах лекции, хотя многие читатели всё уже увидели и догадались.
Левосторонний предел конечен и равен нулю (в саму точку мы «не заходим»), но правосторонний предел бесконечен и оранжевая ветка графика бесконечно близко приближается к своей вертикальной асимптоте , заданной уравнением (чёрный пунктир).
Таким образом, функция терпит разрыв второго рода в точке .
Как и для разрыва 1-го рода, в самой точке разрыва функция может быть определена. Например, для кусочной функции смело ставим чёрную жирную точку в начале координат. Справа же – ветка гиперболы, и правосторонний предел бесконечен. Думаю, почти все представили, как выглядит этот график.
То, чего все с нетерпением ждали:
Как исследовать функцию на непрерывность?
Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:
Пример 1
Исследовать функцию
Решение :
1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.
2) Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и равны.
Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.
Как выглядит график данной функции?
Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:
Выполним чертёж:
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.
Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.
Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.
Разделаемся с любимыми модулями:
Пример 2
Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение : почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков . Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» – некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:
Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:
Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения : перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.
Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа – кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :

Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию (не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.
Исследуем функцию на непрерывность аналитически:
1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.
2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Ещё раз заметьте, что при нахождении пределов не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.
Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования;-)) и завершить задание:
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно – из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).
Пример 3
Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.
Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.
Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:
Пример 4
Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции .
Решение : очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):

Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:
I) Исследуем на непрерывность точку
1)

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .
Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) – функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
– односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.
3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Пример 5
Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .
Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.
Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой – обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами – будет несколько интересных и важных фишек:
Пример 6
Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.
Решение : и снова сразу выполним чертёж на черновике:
Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .
Из чертежа всё понятно – функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4 подобных примеров:
I) Исследуем на непрерывность точку
1) – функция определена в данной точке.
2) Вычислим односторонние пределы:
, значит, общий предел существует.
На всякий пожарный напомню тривиальный факт: предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).
3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) – функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
И здесь – предел единицы равен самой единице.
– общий предел существует.
3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.
Ответ : функция непрерывна в точках .
Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).
Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:
Пример 7
Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.
Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет;-)
Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:
Пример 8
Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.
Решение : нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование.
Определение точки разрыва функции
Конечная точка x 0 называется точкой разрыва функции f(x) , если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , но не является непрерывной в этой точке.
То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x 0 ) функции в точке x 0 . См. «Определение непрерывности функции в точке ».
Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода , если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.
Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.
Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва , если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .
Таким образом, точка устранимого разрыва — это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.
Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода , если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.
Исследование функций на непрерывность
При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.
Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции:
, а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям ».
Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций »
Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции »
Примеры
Пример 1
Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.
Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
, . Тогда
.
Рассмотрим функцию . Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной — степенной функцией с показателем степени 1 . Она определена и непрерывна для всех значений переменной . Поэтому функция определена и непрерывна для всех , кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех , кроме точки .
Рассмотрим функцию . Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной , кроме точки .
Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.
График функции y = 4 1/(x+2) .
Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.
Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями , для предела слева имеем:
при ,
,
,
.
Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.
Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.
Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.
В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.
Пример 2
Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.
График заданной функции.
Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1 . Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
В входят еще две функции: и . Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
, .
Поэтому они также непрерывны для всех .
Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.
Рассмотрим точку . Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки . Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.
Найдем правый предел в точке . Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .
Поскольку, в точке , предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной — это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.
Теперь рассмотрим точку . Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.
Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.
Пример 3
Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.
Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех . Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех , за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение :
;
;
; .
Тогда
.
Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.
Тогда заданная функция примет вид:
(П1) .
Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются точками разрыва функции.
Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2) .
Такую операцию мы можем проделать, если . Таким образом,
при .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при , а в этой точке не определена.
Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела »). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .
Рассмотрим точку . Знаменатель дроби в функции , при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.
Рассмотрим точку . Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций , имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.
Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Подборка онлайн калькуляторов для полного исследования функции и построение графика.
Найти Область определения функции
Вычислить Четность функции
Вычисление точек пересечения графика с осью (нули функции)
Найти экстремумы функции
Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
Построить график функции
Данный калькулятор предназначен для нахождения точек разрыва функции онлайн.
Точки разрыва функции – это точки, в которых функция имеет разрыв, при этом функция в этих точках не является непрерывной.
Существует определенная классификация точек разрыва функции. Точки разрыва функции делятся на точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.
Точки разрыва первого рода при x=a имеют место быть, если существуют левосторонний и правосторонний пределы: lim(x→a-0)⁡f(x) и lim(x→a+0)⁡f(x). Эти пределы должны быть конечны. Если хотя бы один из односторонних пределов равен нулю или бесконечности, то в таком случае функция имеет точки разрыва второго рода.
Для того чтобы найти точки разрыва функции онлайн, необходимо указать функцию и значение аргумента.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Исследовать функцию, построить график
План исследования функций и построения графика .
Ответ означает следующее: even — функция четная, odd — функция нечетная, neither even nor odd — функция ни четная ни нечетная.
3. Точки пересечения графика функции с осями координат;
4. Непрерывность функции, точки разрыва;
5. Асимптоты графика функции;
6. Интервалы монотоности и критические точки;
7 . Интервалы выпуклости и точки перегиба;
8. Посторение графика на основании проведённого исследования.
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
Решения типовых задач — Математический анализ
Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва.
Пример 1 .
Функция не определена в точках, уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.
Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках.
Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
Пример 2 Функция определена на всей числовой прямой, но при этом она не является непрерывной, так как, т.е. правый и левый пределы в нуле не равны между собой и не равны значению функции в нуле, нарушены 2 и 3 условия непрерывности. Так как правый и левый пределы в нуле существуют и конечны, то это разрыв I рода.
Пример 3 Функция неопределена в нуле, следовательно, – точка разрыва.
Так как и, то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.
Пример 4
Функция является элементарной, поэтому она непрерывна в области её определения. В область определения не входят точки, следовательно, они являются точками разрыва данной функции.
Определим тип точек разрыва.
Так как, то точка является точкой
разрыва второго рода функции.
Односторонние пределы функции в точке равны, но функция при не определена, следовательно, является устранимой точкой разрыва первого рода.
Так как заданная функция является четной функцией, то, очевидно, что
И является точкой разрыва второго рода функции.
Для построения эскиза графика функции исследуем поведение функции при
и. Так как функция четная, то
Построим эскиз графика функции.
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики.
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением.
Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x)
Важно : a должно быть меньше b , иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом — если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
С применением синуса и косинуса
Гиберболические синус и косинус
Гиберболические тангенс и котангенс
Гиберболические арксинус и арккосинус
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода
Наш калькулятор позволяет исследовать график функции.3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание
Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Непрерывность и построение графиков кусочно-заданных функций – сложная тема. Учиться строить графики лучше непосредственно на практическом занятии. Здесь в основном показано исследование на непрерывность.
Известно, что элементарная функция (см. с. 16) непрерывна во всех точках, в которых определена. Поэтому нарушение непрерывности у элементарных функций возможно только в точках двух типов:
а) в точках, где функция «переопределяется»;
б) в точках, где функция не существует.
Соответственно только такие точки и проверяются при исследовании на непрерывность, что показано в примерах.
Для неэлементарных функций исследование сложнее. Например, функция (целая часть числа) определена на всей числовой оси, но терпит разрыв при каждом целомx . Подобные вопросы выходят за рамки пособия.
Перед изучением материала следует повторить по лекции или учебнику, какими (какого рода) бывают точки разрыва.
Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность
Функция задана кусочно , если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.
Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.
Пример 1. Покажем, что функция
непрерывна.
Функция
элементарна и потому непрерывна в тех точках, в которых определена. Но, очевидно, она определена во всех точках. Следовательно, во всех точках она и непрерывна, в том числе при
, как требует условие.
То же справедливо для функции
, и при
она непрерывна.
В таких случаях непрерывность может нарушаться только там, где функция переопределяется. В нашем примере это точка
. Проверим её, для чего найдём пределы слева и справа:
Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:
а) определена ли функция в самой точке
;
б) если да, то совпадает ли
со значениями пределов слева и справа.
По условию, если
, то
. Поэтому
.
Видим, что (все равны числу 2). Это означает, что в точке
функция непрерывна . Итак, функция непрерывна на всей оси, включая точку
.
Замечания к решению
а) При вычислениях не играло роли, подставляем мы в конкретную формулу число
или
. Обычно это важно, когда получается деление на бесконечно малую величину, поскольку влияет на знак бесконечности. Здесь же
и
отвечают только завыбор функции;
б) как правило, обозначения
и
равноправны, то же касается обозначений
и
(и справедливо для любой точки, а не только для
). Дальше для краткости применяются обозначения вида
;
в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фактически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим . В примере таковым оказалось 2-е неравенство.
Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию
.
По тем же причинам, что в примере 1, непрерывность может нарушаться только в точке
. Проверим:
Пределы слева и справа равны, но в самой точке
функция не определена (неравенства строгие). Это означает, что
– точкаустранимого разрыва .
«Устранимый разрыв» означает, что достаточно или сделать любое из неравенств нестрогим, или придумать для отдельной точки
функцию, значение которой при
равно –5, или просто указать, что
, чтобы вся функция
стала непрерывной.
Ответ: точка
– точка устранимого разрыва.
Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.
Пример 3. Проверим, непрерывна ли функция
В точке
Пределы слева и справа различны:
. Независимо от того, определена ли функция при
(да) и если да, то чему равна (равна 2), точка
–точка неустранимого разрыва 1-го рода .
В точке
происходитконечный скачок (от 1 к 2).
Ответ: точка
Замечание 2. Вместо
и
обычно пишут
и
соответственно.
Возможен вопрос: чем отличаются функции
и
,
а также их графики? Правильный ответ:
а) 2-я функция не определена в точке
;
б) на графике 1-й функции точка
«закрашена», на графике 2-й – нет («выколотая точка»).
Точка
, где обрывается график
, не закрашена на обоих графиках.
Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.
Пример 4. Непрерывна ли функция
?
Так же, как в примерах 1 – 3, каждая из функций
,
инепрерывна на всей числовой оси, в том числе – на участке, на котором задана. Разрыв возможен только в точке
или (и) в точке
, где функция переопределяется.
Задача распадается на 2 подзадачи: исследовать на непрерывность функции
и
,
причём точка
не представляет интереса для функции
, а точка
– для функции
.
1-й шаг. Проверяем точку
и функцию
(индекс не пишем):
Пределы совпадают. По условию,
(если пределы слева и справа равны, то фактически функция непрерывна, когда одно и из неравенств нестрогое). Итак, в точке
функция непрерывна.
2-й шаг. Проверяем точку
и функцию
:
Поскольку
, точка
– точка разрыва 1-го рода, и значение
(и то, есть ли оно вообще) уже не играет роли.
Ответ: функция непрерывна во всех точках, кроме точки
, где имеет место неустранимый разрыв 1-го рода – скачок от 6 к 4.
Пример 5. Найти точки разрыва функции
.
Действуем по той же схеме, что в примере 4.
1-й шаг. Проверяем точку
:
а)
, поскольку слева от
функция постоянна и равна 0;
б) (
– чётная функция).
Пределы совпадают, но при
функция по условию не определена, и получается, что
– точка устранимого разрыва.
2-й шаг. Проверяем точку
:
а)
;
б)
– значение функции не зависит от переменной.
Пределы различны: , точка
– точка неустранимого разрыва 1-го рода.
Ответ:
– точка устранимого разрыва,
– точка неустранимого разрыва 1-го рода, в остальных точках функция непрерывна.
Пример 6. Непрерывна ли функция
?
Функция
определена при
, поэтому условие
превращается в условие
.
С другой стороны, функция
определена при
, т.е. при
. Значит, условие
превращается в условие
.
Получается, что должно выполняться условие
, и область определения всей функции – отрезок
.
Сами по себе функции
и
элементарны и потому непрерывны во всех точках, в которых определены – в частности, и при
.
Остаётся проверить, что происходит в точке
:
а)
;
Поскольку
, смотрим, определена ли функция в точке
. Да, 1-е неравенство – нестрогое относительно
, и этого достаточно.
Ответ: функция определена на отрезке
и непрерывна на нём.
Более сложные случаи, когда одна из составляющих функций неэлементарна или не определена в какой-либо точке своего отрезка, выходят за рамки пособия.
НФ1. Постройте графики функций. Обратите внимание, определена ли функция в той точке, в которой переопределяется, и если да – каково значение функции (слово «если » в определении функции для краткости пропущено):
1) а)
б)
в)
г)
2) а)
б)
в)
г)
3) а)
б)
в)
г)
4) а)
б)
в)
г)
Пример 7. Пусть
. Тогда на участке
строим горизонтальную прямую
, а на участке
строим горизонтальную прямую
. При этом точка с координатами
«выколота», а точка
«закрашена». В точке
получается разрыв 1-го рода («скачок»), и
.
НФ2. Исследуйтена непрерывность функции, по-разному определённые на 3-х интервалах. Постройте графики:
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
3) а)
б)
в)
г)
д)
е)
Пример 8. Пусть
. На участке
строим прямую
, для чего находим
и
. Соединяем точки
и
отрезком. Сами точки не включаем, поскольку при
и
функция по условию не определена.
На участке
и
обводим осьOX (на ней
), однако точки
и
«выколоты». В точке
получаем устранимый разрыв, а в точке
– разрыв 1-го рода («скачок»).
НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
НФ4. Убедитесь в непрерывности функций и постройте их графики:
1) а)
б)
в)
2 а)
б)
в)
3) а)
б)
в)
НФ5. Постройте графики функций. Обратите внимание на непрерывность:
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
3) а)
б)
в)
г)
д)
е)
4) а)
б)
в)
г)
д)
е)
5) а)
б)
в)
г)
д)
е)
НФ6. Постройте графики разрывных функций. Обратите внимание на значение функции в той точке, где функция переопределяется (и существует ли оно):
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
3) а)
б)
в)
г)
д)
е)
4) а)
б)
в)
г)
д)
е)
5) а)
б)
в)
г)
д)
е)
НФ7. То же задание, что и в НФ6:
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
3) а)
б)
в)
г)
д)
е)
4) а)
б)
в)
г)
д)
е)
Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x ) называется непре-
рывной в точке x 0 , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x 0 ;
2) существует предел lim f (x ) ;
→ x 0
3) этот предел равен значению функции в точке x 0 , т.е. limf (x )= f (x 0 ) .
x→ x0
Последнее условие равносильно условию lim
y = 0 , гдеx = x − x 0 – при-
x→ 0
ращение аргумента, y = f (x 0 +
x )− f (x 0 ) – приращение функции, соответст-
вующее приращению аргумента
x , т.е. функция
f (x ) непрерывна в точкеx 0
тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Односторонняя непрерывность. Функцияy = f (x ) называется непрерыв-
ной слева в точкеx 0 , если она определена на некотором полуинтервале(a ;x 0 ]
и lim f (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 − 0
Функция y = f (x ) называется непрерывнойсправа в точкеx 0 , если она оп-
ределена на некотором полуинтервале [ x 0 ;a ) и limf (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 + 0
Функция y = f (x )
непрерывна в точке x 0
тогда и только тогда, когда она
непрерывна
lim f (x )= limf (x )= limf (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 + 0
x→ x0 − 0
x→ x0
Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x ) называется
непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точкеx этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функцияy = f (x ) называетсяне-
прерывной на отрезке [ a; b] , если она
1) непрерывна в каждой точке интервала (a ;b ) ;
2) непрерывна справа в точке a ;
3) непрерывна слева в точке b .
Точки разрыва функции. Точкаx 0 , принадлежащая области определения функцииy = f (x ) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется
точкой разрыва данной функции , еслиf (x ) не является непрерывной в этой точке.
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода:
1) Если существуют конечные пределы lim f (x )= f (x 0 − 0) и
x→ x0 − 0
f (x )= f (x 0 + 0) , причем не все три числаf (x 0 − 0) ,f (x 0 + 0) ,
f (x 0 ) равны
x→ x0 + 0
между собой, то x 0
называется точкой разрыва I рода.
В частности, если левый и правый пределы функции в точке x 0
равны меж-
собой, но
не равны значению функции в этой точке:
f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , то x 0 называется точкой устранимого разрыва.
В этом случае, положив f (x 0 )= A , можно видоизменить функцию в точкеx 0
так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерывности ). Разностьf (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) называетсяскачком функции в точке x 0 .
Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.
2) Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода . В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределовf (x 0 − 0) иf (x 0 + 0) .
Свойства функций, непрерывных в точке.
f (x)
и g (x ) непрерывны в точкеx 0 , то функции
f (x )± g (x ) ,
f (x )g (x ) и
f (x)
(где g (x )≠ 0) также непрерывны в точкеx .
g(x)
2) Если функция u (x ) непрерывна в точкеx 0 , а функцияf (u ) непрерывна
в точке u 0 = u (x 0 ) , то сложная функцияf (u (x )) непрерывна в точкеx 0 .
3) Все основные элементарные функции (c , x a ,a x , loga x , sinx , cosx , tgx , ctgx , secx , cosecx , arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx ) непрерывны в каж-
дой точке своих областей определения.
Из свойств 1)–3) следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f(x) определе-
на и непрерывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда для любого числаC , заключенного
между числами f (a ) иf (b ) , (f (a )
2) (теорема Больцано – Коши
рывна на отрезке [ a ;b ] и принимает на его концах значения различных знаков.
Тогда найдется хотя бы одна точка x 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= 0 .
3) (1-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.
4) (2-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке
[ a ;b ] . Тогда эта функция достигает на отрезке[ a ;b ]
наибольшего
наименьшего
значений, т.е.
существуют
x1 , x2 [ a; b] ,
для любой
точки x [ a ;b ]
справедливы
неравенства
f (x 1 )≤ f (x )≤ f (x 2 ) .
Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функцияy = 3x 2 + 2x − 5 непрерывна в произвольной точкеx 0 числовой оси.
Решение: 1 способ: Пусть x 0 – произвольная точка числовой оси. Вы-
числим сначала предел функции f (x ) приx → x 0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:
lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2
− 5.
x→ x0
x→ x0
x→ x0
x→ x0
Затем вычисляем значение функции в точке x :f (x )= 3x 2
− 5 .
Сравнивая полученные результаты, видим,
lim f (x )= f (x 0 ) , что согласно
x→ x0
определению и означает непрерывность рассматриваемой функции в точке x 0 .
2 способ: Пусть
x – приращение аргумента в точкеx 0 . Найдем соот-
ветствующее
приращение
y = f(x0 + x) − f(x0 ) =
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5)
6 x x+ (x) 2
2x = (6x + 2)x + (x )2 .
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргу-
стремится
y = lim (6x + 2)
x + (x )2 = (6x + 2) lim
x + (limx )2 = 0 .
x→ 0
x→ 0
x→ 0
x→ 0
Таким образом, lim y = 0 , что и означает по определению непрерывность
x→ 0
функции для любого x 0 R .
Пример 5.18. Найти точки разрыва функцииf (x ) и определить их род. В
случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
1) f (x ) = 1− x 2 приx
5x приx ≥ 3
2) f (x )= x 2 + 4 x + 3 ;
x + 1
f (x) =
x4 (x− 2)
f (x )= arctg
(x − 5)
Решение: 1) Областью определения данной функции является вся число-
вая ось (−∞ ;+∞ ) . На интервалах(−∞ ;3) ,(3;+∞ ) функция непрерывна. Разрыв возможен лишь в точкеx = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:
f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;
x →3 −0
f (3+ 0)= lim 5x = 15.
x →3 +0
Мы видим, что левый и правый пределы конечны, поэтому x = 3
разрыва I
f (x ) . Скачок функции в
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 .
f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , поэтому в точке
x = 3
f (x ) непрерывна справа.
2) Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = − 1, в которой она не определена. Преобразуем выражение дляf (x ) , разложив числитель
дроби на множители:
f (x) =
4 x +3
(x + 1)(x + 3)
X + 3 приx ≠ − 1.
x + 1
x + 1
Найдем односторонние пределы функции в точке x = − 1:
f (x )= lim
f (x )= lim(x + 3)= 2 .
x →−1 −0
x →−1 +0
x →−1
Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = − 1 – точка устранимо-
прямую y = x + 3 с «выколотой» точкойM (− 1;2) . Чтобы функция стала непре-
рывной, следует положить f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .
Таким образом, доопределив f (x ) по непрерывности в точкеx = − 1, мы получили функциюf * (x )= x + 3 с областью определения(−∞ ;+∞ ) .
3) Данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек
x = 0 ,x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Рассмотрим точку x = 0:
Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает толь-
ко отрицательные значения, то f (− 0)= lim
= −∞ = f (+0)
Т.е. точка
(x − 2)
x →−0
x = 0 является точкой разрыва II рода функции
f (x ) .
Рассмотрим теперь точку x = 2:
Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-
ваемой точки и положительные – справа, поэтому
f (2− 0)=
= −∞,
x4 (x− 2)
x →2 −0
f (2+ 0)= lim
= +∞ . Как и в предыдущем случае, в точкеx = 2
(x − 2)
x →2 +0
ция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода.
x = 5 .
f (5− 0)= lim arctg
π ,f (5+ 0)= lim arctg
x = 5
(x − 5)
(x − 5)
x →5 −0
x →5 +0
ка разрыва
f (5+ 0)− f (5− 0)=
π − (−
π )= π (см. рис. 5.2).
Задачи для самостоятельного решения
5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функцииf (x ) в
каждой точке x 0 R :
а) f(x) = c= const;
б) f (x )= x ;
в) f (x )= x 3 ;
г) f (x )= 5x 2 − 4x + 1;
д) f (x )= sinx .
5.175. Доказать, что функция
f (x) = x 2
1 приx ≥ 0,
является непрерывной на
1 при x
всей числовой оси. Построить график этой функции.
5.176. Доказать, что функция
f (x) = x 2
1 приx ≥ 0,
не является непрерывной
0 при x
в точке x = 0 , но непрерывна справа в этой точке. Построить график функцииf (x ) .
рывной в точке x =
Но непрерывна слева в этой точке. Построить график
функции f (x ) .
5.178. Построить графики функций
а) y =
x + 1
б) y= x+
x + 1
x + 1
x + 1
Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены, и какие не выполнены?
5.179. Указать точку разрыва функции
sin x
При x ≠ 0
при x = 0
Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены, и какие не выполнены?
Общая схема исследования функции и построения графиков (Лекция №11)
Найти ОДЗ и точки разрыва функции.

Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.

Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.

На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной.
Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x).
В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат.
Примеры. Исследовать функции и построить их графики.
. 1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.
Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.

Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).
2. . Критические точки: x₁ = 1; x₂= –1.

3.
4. а) Вертикальных асимптот нет
б) . Асимптота – y = 0.

.
D(y)=(–∞; +∞). Точек разрыва нет.
Пересечение с осью Ox: .

.
а) Вертикальных асимптот нет
б).

Наклонных асимптот нет.

.
D(y)=(0; +∞). Функция непрерывна на области определения.

Пересечение с осью :

а) .
Вертикальная асимптота x = 0.

б).

Наклонная асимптота y = 0.

.
D(y)=( –∞;0)È(0;1)È(1;+∞).
Функция имеет две точки разрыва x= 0 и x= 1.

Точек пересечения с осями координат нет.

при любых действительных значениях x. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.

а)

Вертикальные асимптоты x = 0, x = 1.

б)

Наклонная асимптота y = x + 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются:
– гиперболический синус.
– гиперболический косинус.
С помощью этих функций можно определить еще две функции.
– гиперболический тангенс.
– гиперболический котангенс.
Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x, т.е. их область определения (–∞; +∞). Функция же cthx определена всюду за исключением точки x = 0.
Между гиперболическими функциями существуют следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между тригонометрическими функциями.
Найдем: .
Т.е. .
.
Итак, .
Следовательно, .
Найдем производные гиперболических функций
.
Аналогично можно показать .
.
Т.е. и .
Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций
shx и chx нужно вспомнить графики функций y = e^x и y = e^—^x

Проведем исследования функции y = th x.
D(f) = (–∞; +∞), точек разрыва нет.

Точка пересечения с осями координат .

, функция возрастает на (–∞; +∞).

Вертикальной асимптоты нет.

.

y = cth x
D. Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет

убывает на .

При x → +∞

Dynamic Consent: потенциальное решение некоторых проблем современных биомедицинских исследований | BMC Medical Ethics
1.
Европейский научный фонд. Взгляд в будущее ESF: персонализированная медицина для гражданина Европы. http://archives.esf.org/fileadmin/Public_documents/Publications/Personalised_Medicine.pdf. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
2.
Андерсон Н., Брэгг С., Хартцлер А., Эдвардс К. Инициативы, ориентированные на участников: инструменты для облегчения участия в исследованиях.Appl Transl Genom. 2012; 1: 25–9.
Артикул Google Scholar
3.
Флетчер Б., Георге А., Мур Д., Уилсон С., Дэмери С. Улучшение набора врачей в рандомизированных контролируемых исследованиях: систематический обзор. BMJ Open. 2012; 2 (1): e000496.
Артикул Google Scholar
4.
Джонссон Л., Хельгессон Г., Рафнар Т., Халлдорсдоттир И., Чиа К.С., Эрикссон С. и др.Гипотетическая и фактическая готовность участвовать в исследованиях биобанка. Eur J Hum Genet. 2010. 18 (11): 1261–4.
Артикул Google Scholar
5.
Мацуи К., Кита Ю., Уэшима Х. Информированное согласие, участие в популяционном когортном исследовании, включающем генетический анализ, и отказ от него. J Med Ethics. 2005. 31 (7): 385–92.
Артикул Google Scholar
6.
Росс С., Грант А, Советник С., Гиллеспи В., Рассел И., Прескотт Р.Препятствия для участия в рандомизированных контролируемых испытаниях: систематический обзор. J Clin Epidemiol. 1999. 52 (12): 1143–56.
Артикул Google Scholar
7.
Ньюингтон Л., Меткалф А. Факторы, влияющие на набор персонала для исследования: качественное изучение опыта и восприятия исследовательских групп. BMC Med Res Methodol. 2014; 14: 10.
Артикул Google Scholar
8.
Боден-Альбала Б., Карман Х., Саутвик Л., Парик Н.С., Робертс Э., Вадди С. и др. Изучение барьеров и методов набора и удержания в клинических испытаниях по инсульту. Гладить. 2015; 46 (8): 2232–7.
Артикул Google Scholar
9.
Perry J, Wohlke S, Hessling AC, Schicktanz S. Почему нужно принимать участие в индивидуальных исследованиях рака? Генетическое заблуждение пациентов, генетическая ответственность и непонимание стратификации — эмпирически-этическое исследование.Eur J Cancer Care (Engl) 2016.
10.
Д’Абрамо Ф., Шильдманн Дж., Фоллманн Дж. Восприятие и взгляды участников исследования на согласие на исследование биобанка: обзор эмпирических данных и этический анализ. BMC Med Ethics. 2015; 16:60.
Артикул Google Scholar
11.
Budin-Ljosne I, Bentzen HB, Solbakk JH, Myklebost O. Секвенирование генома в исследованиях требует нового подхода к согласию. Tidsskr Nor Laegeforen.2015; 135 (22): 2031–2.
Артикул Google Scholar
12.
Khaleel SL. В кн .: Clinical Leader. Набор и удержание пациентов с редкими заболеваниями. http://www.clinicalleader.com/doc/rare-disease-patient-recruitment-and-retention-0001. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
13.
Penckofer S, Byrn M, Mumby P, Ferrans CE. Улучшение набора, удержания и участия субъектов в исследованиях с помощью теории межличностных отношений Пеплау.Nurs Sci Q.2011; 24 (2): 146–51.
Артикул Google Scholar
14.
Бронштейн М.Г., Каккис Э.Д. Пациенты как ключевые партнеры в разработке лекарств от редких заболеваний. Nat Rev Drug Discov. 2016; 15 (11): 731–2.
Артикул Google Scholar
15.
Николсон Л.М., Швириан П.М., Кляйн Э.Г., Скайбо Т., Мюррей-Джонсон Л., Энели И. и др. Стратегии набора и удержания в лонгитюдных клинических исследованиях с группами населения с низким доходом.Клинические испытания Contemp. 2011. 32 (3): 353–62.
Артикул Google Scholar
16.
Пульезе Л., Вудриф М., Кроули О., Лам В., Сон Дж., Брэдли С. Осуществимость модели «принеси свое собственное устройство» в клинических исследованиях: результаты рандомизированного контролируемого пилотного исследования мобильного взаимодействия с пациентами Орудие труда. Cureus. 2016; 8 (3): e535.
Google Scholar
17.
Ханссон М.Г., Диллнер Дж., Бартрам С.Р., Карлсон Дж. А., Хельгессон Г.Следует ли разрешить донорам дать широкое согласие на будущие исследования биобанка? Ланцет Онкол. 2006; 7 (3): 266–9.
Артикул Google Scholar
18.
Хофманн Б. Расширение согласия — и ослабление этики? J Med Ethics. 2009. 35 (2): 125–9.
Артикул Google Scholar
19.
Грейди С., Экштейн Л., Беркман Б., Брок Д., Кук-Диган Р., Фуллертон С.М. и др. Широкое согласие на исследования биологических образцов: выводы семинара.Am J Bioeth. 2015; 15 (9): 34–42.
Артикул Google Scholar
20.
Плуг Т., Холм С. Выход за рамки ложной дихотомии широкого или конкретного согласия: мета-перспектива выбора участников в исследованиях с использованием человеческих тканей. Am J Bioeth. 2015; 15 (9): 44–6.
Артикул Google Scholar
21.
Колфилд Т., Апшур Р. Э., Даар А. Банки данных ДНК и согласие: предлагаемый вариант политики, включающий модель авторизации.BMC Med Ethics. 2003; 4: E1.
Артикул Google Scholar
22.
Lind A-S. В кн .: Уппсальский университет. Новый закон для исследователей Биобанка http://www.crb.uu.se/biobank-perspectives/item/?tarContentId=496836. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
23.
Lind A-S. LifeGene — закрытое дело? В: Информация и право в переходный период: свобода слова, Интернет, конфиденциальность и демократия в 21 веке. Под редакцией Lind AS RJ, Österdahl I.Стокгольм: Liber; 2015. с. 339–50.
24.
Кэй Дж., Уитли Э.А., Лунд Д., Моррисон М., Тир Х., Мелхэм К. Динамическое согласие: интерфейс пациента для исследовательских сетей двадцать первого века. Eur J Hum Genet. 2015; 23 (2): 141–6.
Артикул Google Scholar
25.
Уилбанкс Дж., Друг Ш. Во-первых, дизайн для обмена данными. Nat Biotechnol. 2016; 34 (4): 377–9.
Google Scholar
26.
Диксон В.Г., Спенсер К., Уильямс Х., Сандерс К., Лунд Д., Уитли Е.А. и др. Динамическая модель согласия пациента на совместное использование данных медицинской карты. BMJ. 2014; 348: g1294.
Артикул Google Scholar
27.
Javaid MK, Forestier-Zhang L, Watts L, Turner A, Ponte C, Teare H, et al. Платформа исследований RUDY — новый подход к исследованиям редких заболеваний опорно-двигательного аппарата, ориентированным на пациентов. Orphanet J Rare Dis. 2016; 11 (1): 150.
Артикул Google Scholar
28.
Паттаро С., Гогеле М., Маскальцони Д., Мелотти Р., Швинбахер С., Де Гранди А. и др. Исследование Cooperative Health Research в Южном Тироле (CHRIS): обоснование, цели и предварительные результаты. J Transl Med. 2015; 13 (1): 348.
Артикул Google Scholar
29.
Тир Х.Дж., Моррисон М., Уитли Э.А., Кей Дж. На пути к «Вовлечению 2.0»: выводы из исследования динамического согласия участников биобанка. Цифровое здоровье. 2015; 0 (0): 1–13.
30.
Тиль Д.Б., Платт Дж., Платт Т., Кинг С.Б., Фишер Н., Шелтон Р. и др. Тестирование онлайн-портала динамического согласия для исследования биобанков большого населения. Геномика общественного здравоохранения. 2015; 18 (1): 26–39.
Артикул Google Scholar
31.
Бутин Н.Т., Матье К., Хоффнагл А.Г., Аллен Н.Л., Кастро В.М., Мораш М. и др. Внедрение электронного согласия в биобанке: возможность для исследований в области точной медицины.J Pers Med. 2016; 6 (2): 17.
32.
Коатуп В., Тир Х. Дж., Минари Дж., Йошизава Дж., Кэй Дж., Такахаши М. П. и др. Использование цифровых технологий для проведения медицинских исследований: взгляды пациентов с миотонической дистрофией в Японии. BMC Med Ethics. 2016; 17 (1): 51.
Артикул Google Scholar
33.
Спенсер К., Сандерс К., Уитли Э.А., Лунд Д., Кэй Дж., Диксон В.Г. Перспективы пациентов в отношении обмена анонимными личными данными о здоровье с использованием цифровой системы для динамического согласия и обратной связи с исследованиями: качественное исследование.J Med Internet Res. 2016; 18 (4): e66.
Артикул Google Scholar
34.
Кэй Дж., Каррен Л., Андерсон Н., Эдвардс К., Фуллертон С.М., Канеллопулу Н. и др. От пациентов к партнерам: инициативы в области биомедицинских исследований, ориентированные на участников. Nat Rev Genet. 2012. 13 (5): 371–6.
Артикул Google Scholar
35.
Каньяда Дж. А., Тупасела А., Снелл К. За пределами и в рамках общественного участия: расширенный подход к участию в биобанкинге.New Genet Soc. 2015; 34 (4): 355–76.
Артикул Google Scholar
36.
Д’Абрамо Ф. Исследование биобанка, информированное согласие и общество. К новому альянсу? J Epidemiol Community Health. 2015; 69 (11): 1125–8.
Артикул Google Scholar
37.
Уильямс Х., Спенсер К., Сандерс С., Лунд Д., Уитли Э.А., Кей Дж и др. Динамическое согласие: возможное решение для повышения уверенности пациентов и доверия к тому, как электронные карты пациентов используются в медицинских исследованиях.ИМИР Мед Информ. 2015; 3 (1): e3.
Артикул Google Scholar
38.
Эло С., Кынгас Х. Процесс качественного контент-анализа. J Adv Nurs. 2008. 62 (1): 107–15.
Артикул Google Scholar
39.
Исследование Руди. https://research.ndorms.ox.ac.uk/rudy/. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
40.
Исследование CHRIS (Совместные исследования в области здравоохранения в Южном Тироле).В: Исследование EURAC. http://www.eurac.edu/en/research/health/biomed/projects/Pages/default.aspx. Accssed 25 ноября 2016 г.
41.
Гарвардский персональный геномный проект. http://www.personalgenomes.org/. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
42.
Ball MP, Bobe JR, Chou MF, Clegg T, Estep PW, Lunshof JE, et al. Гарвардский персональный геномный проект: уроки открытого общественного исследования. Genome Med. 2014; 6 (2): 10.
Артикул Google Scholar
43.
Мелхам К., Морая Л.Б., Митчелл С., Моррисон М., Тир Х., Кэй Дж. Эволюция абстиненции: переговоры об исследовательских отношениях в биобанкинге. Политика Life Sci Soc. 2014; 10 (1): 16.
Артикул Google Scholar
44.
Платформа для ответственного взаимодействия со всеми (PEER). В: Генетический альянс. http://www.geneticalliance.org/programs/biotrust/peer. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
45.
Genetic Alliance. http: // www.geneticalliance.org/. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
46.
Private Access, Inc. https://www.privateaccess.info/. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
47.
Хага С.Б., О’Дэниел Дж. Общественные взгляды на практику совместного использования данных в исследованиях геномики. Геномика общественного здравоохранения. 2011. 14 (6): 319–24.
Артикул Google Scholar
48.
Нильстун Т., Хермерен Г. Образцы человеческих тканей и этика — отношение широкой общественности Швеции к исследованиям биобанков.Философия медицинского обслуживания. 2006. 9 (1): 81–6.
Артикул Google Scholar
49.
Кричли К., Николь Д., Отловски М. Влияние мер коммерциализации и обмена генетическими данными на общественное доверие и намерение участвовать в исследованиях биобанков. Геномика общественного здравоохранения. 2015; 18 (3): 160–72.
Артикул Google Scholar
50.
Маскальцони Д. Проекты ELSI по психиатрии в народонаселении.В: Неделя европейских биобанков: 13–16 сентября 2016 г .; Вена, Австрия. 2016.
51.
Ludman EJ, Fullerton SM, Spangler L, Trinidad SB, Fujii MM, et al. Рад, что вы спросили: мнения участников о повторном согласии на отправку данных dbGap. J Empir Res Hum Res Этика. 2010. 5 (3): 9–16.
Артикул Google Scholar
52.
Бурштейн М.Д., Робинсон Дж.О., Хильзенбек С.Г., Макгуайр А.Л., Лау К.С. Обмен педиатрическими данными в геномных исследованиях: отношение и предпочтения родителей.Педиатрия. 2014; 133 (4): 690–7.
Артикул Google Scholar
53.
Trinidad SB, Fullerton SM, Bares JM, Jarvik GP, Larson EB, Burke W. Геномные исследования и широкий обмен данными: мнения потенциальных участников. Genet Med. 2010. 12 (8): 486–95.
Артикул Google Scholar
54.
Budin-Ljosne I, Soye KJ, Tasse AM, Knoppers BM, Harris JR. Вербовка на основе генотипа: стратегия, время которой пришло? BMC Med Genomics.2013; 6 (1): 19.
Артикул Google Scholar
55.
23andMe. https://www.23andme.com/. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
56.
Biankin AV, Piantadosi S, Hollingsworth SJ. Ориентированные на пациента исследования для терапевтического развития в точной онкологии. Природа. 2015; 526 (7573): 361–70.
Артикул Google Scholar
57.
Винн Б. Неопределенность и экологическое обучение.Glob Environ Chang. 1992. 2 (2): 111–27.
Артикул Google Scholar
58.
Голубь Е.С., Джоли Ю., Кнопперс БМ. Власть народу: модель управления биобанками через вики. Genome Biol. 2012; 13 (5): 158.
Артикул Google Scholar
59.
Steinsbekk KS, Kare MB, Solberg B. Широкое согласие против динамического согласия в исследованиях биобанка: является ли пассивное участие этической проблемой? Eur J Hum Genet 2013.
60.
Фернандес-Алеман Дж. Л., Сеньор И. К., Лозоя П. А., Товаль А. Безопасность и конфиденциальность в электронных медицинских картах: систематический обзор литературы. Дж Биомед Информ. 2013. 46 (3): 541–62.
Артикул Google Scholar
61.
Бейкер ДБ, Кэй Дж., Терри С.Ф. Управление через конфиденциальность, справедливость и уважение к людям. EGEMS (Мойка DC). 2016; 4 (2): 1207.
Google Scholar
62.
Beskow LM, Dombeck CB, Thompson CP, Watson-Ormond JK, Weinfurt KP. Информированное согласие на использование биобанков: основанные на консенсусе рекомендации для адекватного понимания. Genet Med. 2015; 17 (3): 226–33.
Артикул Google Scholar
63.
Sonne SC, Andrews JO, Gentilin SM, Oppenheimer S, Obeid J, Brady K, et al. Разработка и пилотное тестирование процесса информированного согласия с помощью видео. Клинические испытания Contemp. 2013. 36 (1): 25–31.
Артикул Google Scholar
64.
Секвенирование генома: что думают пациенты? Хартия пациента. В: Genetic Alliance UK. 2016. https://www.geneticalliance.org.uk/media/2493/my-cancer-my-dna-patient-charter-edits-sept2016.pdf, дата обращения 25 ноября 2016 г.
65.
Trinidad SB, Фуллертон С. М., Барес Дж. М., Ярвик Г. П., Ларсон Э. Б., Берк В. Информированное согласие в исследованиях в масштабе генома: что думают предполагаемые участники? AJOB Prim Res. 2012; 3 (3): 3–11.
Артикул Google Scholar
66.
Tabor HK, Stock J, Brazg T., McMillin MJ, Dent KM, Yu JH и др. Информированное согласие на секвенирование всего генома: качественный анализ ожиданий участников и восприятия рисков, преимуществ и вреда. Am J Med Genet A. 2012; 158A (6): 1310–9.
Артикул Google Scholar
67.
Президентская комиссия по изучению биоэтических вопросов: конфиденциальность и прогресс в секвенировании всего генома. 2012. http://bioethics.gov/sites/default/files/PrivacyProgress508_1.pdf. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
68.
Когортная программа инициативы Precision Medicine Initiative. В: Национальные институты здоровья. https://www.nih.gov/precision-medicine-initiative-cohort-program. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
69.
Когортная программа Инициативы по прецизионной медицине — Создание исследовательского фонда для медицины 21 века — Отчет рабочей группы Инициативы по прецизионной медицине (PMI) Консультативному комитету при директоре NIH. https://www.nih.gov/precision-medicine-initiative-cohort-program/pmi-working-group.По состоянию на 25 ноября 2016 г.
70.
Faglig Prioriterte områder i 2016: Interessekonflikter, samtykke og vitenskapelig integritet. В: De nasjonale forskningsetiske komiteene. https://www.etikkom.no/hvem-er-vi-og-hva-gjor-vi/komiteenes-arbeid/faglig-prioritert-omrade-i-2016-interessekonflikter/. На норвежском. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
71.
Nishimura A, Carey J, Erwin PJ, Tilburt JC, Murad MH, McCormick JB. Улучшение понимания процесса получения информированного согласия в ходе исследования: систематический обзор 54 вмешательств, протестированных в рандомизированных контрольных исследованиях.BMC Med Ethics. 2013; 14:28.
Артикул Google Scholar
72.
Шабани М., Борри П. Проблемы обмена персональными геномными данными через Интернет. Политика Life Sci Soc. 2015; 11: 3.
Артикул Google Scholar
73.
Джонссон Л., Эрикссон С. Автономия — это право, а не подвиг: как теоретические заблуждения запутали дискуссию о динамическом согласии на исследования биобанка.Bioethics 2016.
74.
Mascalzoni D, Hicks A, Pramstaller P, Wjst M. Информированное согласие в эпоху геномики. PLoS Med. 2008; 5 (9): e192.
Артикул Google Scholar
75.
McCormack P, Kole A, Gainotti S, Mascalzoni D, Molster C, Lochmuller H, et al. «Ты должен хотя бы спросить». Ожидания, надежды и опасения пациентов с редкими заболеваниями в отношении крупномасштабных данных и обмена биоматериалами для исследований в области геномики. Eur J Hum Genet.2016; 24 (10): 1403–8.
76.
Lunshof JE, Chadwick R, Vorhaus DB, Church GM. От генетической конфиденциальности до открытого согласия. Nat Rev Genet. 2008. 9 (5): 406–11.
Артикул Google Scholar
77.
Освободите данные. http://www.free-the-data.org/. По состоянию на 25 ноября 2016 г.
12 лучших инструментов для исследователей в 2021 году
Прошли те времена, когда приходилось ходить в библиотеку, изучать многочисленные книги, делать заметки на бумаге и проводить исследования.Благодаря технологиям нам больше не нужно выполнять эту утомительную рутину для проведения исследований. Однако исследование по-прежнему представляет собой кропотливый и кропотливый процесс.
Вот почему мы решили раскрыть некоторые из лучших программных инструментов для исследователей, которые помогут вам с легкостью проводить и поддерживать ваши исследования. Читайте дальше…
Список 12 лучших инструментов для исследователей для получения лучших результатов:
Сегодняшние исследования динамичны. Мы часто используем Интернет для просмотра веб-сайтов, просмотра видео, изучения аналитики и проведения наших исследований, исследуя различные типы цифрового контента, что делает технологии одним из основных участников успеха наших исследований.Хотя Интернет облегчил нам доступ к мирской информации одним нажатием кнопки (или мыши!), Он создал целый ряд новых проблем.
Сортировка, казалось бы, бесконечного количества веб-сайтов, проверка содержимого и подбор только лучших материалов может занять много времени и усилий. Вот почему мы представили вам 12 основных исследовательских инструментов, которые каждый исследователь должен использовать при работе в Интернете.
1. Bit.ai
Онлайн-исследования — это просмотр множества веб-сайтов, статей, блогов, изображений, видео, инфографики и многого другого, чтобы найти то, что вы ищете.Для наших динамических, интерактивных и мультимедийных исследований нам нужен инструмент, который объединяет все аспекты современного исследования под одной крышей. Простые текстовые редакторы прошлого просто не справятся! Здесь на помощь приходит Bit.
Bit позволяет исследователям и командам сотрудничать, обмениваться, отслеживать и управлять всеми знаниями и исследованиями в одном месте. Это идеальный инструмент исследования, чтобы делиться многомерными исследованиями с коллегами, а не просто скучным текстом и слайдами. Добавляйте статьи, PDF-файлы, видео, официальные документы, электронные книги, образцы аудио — в общем, все, что вы можете придумать — и легко делитесь ими со своими коллегами!
Другие примечательные особенности Bit включают:
Простой в использовании, минималистичный редактор, поддерживающий Markdown.
Совместное редактирование в реальном времени и общение с коллегами.
Добавьте в свой битовый документ цифровой контент любого типа (изображения, видео и т. Д.).
Библиотека содержимого для сохранения всех медиафайлов для быстрого доступа.
Интеллектуальный поиск, который позволяет любому быстро находить любые файлы, изображения, документы, ссылки и т. Д.
В целом Bit — незаменимый инструмент для письма для исследователей и авторов!
Основные характеристики Bit:
Рабочие пространства для удобного хранения различного исследовательского контента
Библиотека контента для хранения медиаресурсов
Сотрудничество в реальном времени с коллегами-исследователями
Стоимость:
Бесплатно с ограниченной функциональностью
Платные планы начинаются с Pro (8 долларов в месяц), Business (15 долларов в месяц), Enterprise (свяжитесь с отделом продаж)
Подробнее: Научная статья: что это и как писать? (Шаги и формат)
2.elink.io
Исследование часто включает просмотр сотен ссылок и статей и их объединение в одно безопасное место для использования в будущем или их публикации для вашей аудитории. Вот почему многие исследователи используют инструменты закладок и курирования, такие как elink, чтобы быстро сохранять свои ссылки под одной крышей и делиться ими со своими коллегами. elink позволяет исследователям легко сохранять контент со всего Интернета. Они могут сохранять ссылки на статьи, видео, облачные файлы, сообщения в социальных сетях и многое другое!
Исследователи могут сохранять контент в свою библиотеку ссылок или добавлять их непосредственно в коллекции материалов и делиться своими исследованиями со своими коллегами.Чтобы упростить процесс создания закладок, у elink также есть хромированное расширение. Просто щелкните расширение или щелкните правой кнопкой мыши любую веб-страницу, чтобы сохранить содержимое прямо на панели управления elink. Исследователи могут редактировать заголовок и описание, чтобы добавить свой голос или заметки. Они даже могут объединять ссылки и делиться своей коллекцией ссылок с другими в виде информационного бюллетеня или встраивать коллекцию в ваш блог / веб-сайт!
Основные характеристики elink:
Быстрое сохранение ссылок с помощью расширения chrome
Создание и публикация ссылок на исследования в виде информационного бюллетеня или встраивания его на свой веб-сайт
Простой пользовательский интерфейс
Цена:
Бесплатно с ограниченной функциональностью
Платные планы начинаются с Pro ежемесячно (15 долларов в месяц), Pro 1 год (12 долларов в месяц), Pro 2 года (10 долларов в месяц).
3. GanttPRO
Независимо от того, какое исследование вы проводите, вам необходимо организовать, спланировать и сосредоточиться на всех своих действиях. Без надежного инструмента планирования исследователи могут отставать от графика и терять прогресс. Инструмент управления проектами и задачами GanttPRO позволяет отдельным исследователям и группам любого размера легко планировать свои задачи на визуально привлекательной временной шкале диаграммы Ганта, отслеживать их прогресс и все сроки.
GanttPRO позволяет исследователям создавать неограниченное количество задач, групп задач и подзадач на одной временной шкале.Кроме того, это идеальный инструмент планирования для назначения задач вашим коллегам-исследователям или создания виртуальных ресурсов, кем бы они ни были. Программное обеспечение — хороший выбор для совместной работы, учета рабочего времени, а также для обмена и экспорта ваших расписаний.
Ключевые особенности GanttPRO:
Десятки готовых шаблонов.
Сотрудничество в реальном времени с коллегами-исследователями.
Элегантный пользовательский интерфейс с короткой кривой обучения.
Стоимость:
Бесплатная 14-дневная пробная версия со всеми доступными функциями.
Платные планы начинаются с групповых (4,5 доллара США за пользователя в месяц), индивидуальных (15 долларов США в месяц), корпоративных (контактные данные).
4. Грамматика
Исследовательская работа часто включает часы корректуры и проверки орфографии, чтобы сделать ваше исследование профессиональным. Говоря грамматически, инструмент для улучшения письма сэкономит вам массу времени и усилий при выполнении этой ужасной задачи! Помимо базовой проверки орфографии и исправлений, Grammarly включает в себя средство проверки грамматики, средство проверки пунктуации, средство улучшения словарного запаса и даже средство проверки плагиата!
Этот замечательный инструмент сканирует ваше исследование на предмет более чем 250 типов грамматических ошибок в шести различных жанрах письма и оставляет вас безошибочным письмом.С подробными объяснениями всех ваших ошибок и еженедельными отчетами о проделанной работе. Grammarly — незаменимый инструмент для исследователей. Он доступен как расширение для браузера, настольное приложение, веб-приложение и надстройка Microsoft. Многие альтернативы Grammarly также доступны на рынке, которые одинаково хороши.
Основные характеристики Grammarly:
Работает с большинством онлайн-инструментов, таких как Word, Slack и т.д.
Платные планы начинаются с: Премиум ($ 11.66 / месяц), Business (12,50 $ / месяц)
Подробнее: 10 лучших приложений для письма, которые сделают вас лучшим писателем!
5. Typeset.io
Typeset.io утверждает, что является более умной альтернативой Word и Latex, которую должны использовать все исследователи. Начните исследование с простого в использовании интерфейса или импортируйте существующие файлы Word. Благодаря более чем 100 000 проверенных форматов журналов на выбор, Typeform упрощает процесс исследования! Быстро скопируйте-вставьте или загрузите свою статью на Typeset и следуйте любому стилю цитирования, который вам нужен.
Typeset также имеет встроенную программу проверки грамматики и плагиата, чтобы гарантировать, что ваше письмо безошибочно. После завершения загрузки и цитирования нажмите автоформат, чтобы сгенерировать отчет за секунды. Вы также можете загрузить свое исследование в формате PDF, Docx, LaTeX или даже в виде Zip-файла. Благодаря встроенным функциям совместной работы вы можете приглашать на платформу своих коллег-исследователей и работать вместе.
Основные характеристики набора:
Более 100 000+ форматов журналов на выбор
Инструмент для проверки плагиата и грамматики
Услуги редактирования для повышения шансов публикации
Стоимость:
бесплатно с ограниченной функциональностью
Платные планы начинаются с: исследователя (8 долларов в месяц), группы (6 долларов в месяц), журналов / издателей (связаться с отделом продаж)
6.Scrivener
Scrivener — еще один отличный инструмент для написания исследований и организации заметок. Scrivener используется исследователями, сценаристами, романистами, публицистами, студентами, журналистами, учеными, юристами, переводчиками и т. Д. И предназначен для написания длительных проектов. При регистрации вам быстро предоставляется его редактор с боковой панелью, чтобы все было на месте. Вы также можете разбить свой контент на управляемые разделы любого размера и позволить Scrivener объединить их вместе.
Для писателей и рассказчиков есть пробковая доска, на которой можно визуализировать сюжетную линию и перемещать карты по своему усмотрению. В планировщике хранится синопсис того, что вы уже написали, а также данные о количестве слов и метаданные. Пользователи могут размещать свои исследовательские статьи и другие файлы в папках и подпапках.
Основные характеристики Scrivener:
Настольные и мобильные приложения
Создатель схемы
Простая организация
Цена:
Бесплатно с ограниченной функциональностью
Платные планы начинаются от 40 долларов США.84 / единовременная плата
7. Google Scholar
Далее идет замечательный исследовательский инструмент от Google под названием Google Scholar. Google Scholar предоставляет быстрый способ поиска научной литературы из одного места. Ищите статьи, тезисы, книги, рефераты и заключения судов в профессиональных сообществах, онлайн-репозиториях, университетах, академических издательствах и других веб-сайтах.
Исследователи также могут легко изучить связанные работы, цитаты, авторов и публикации.Создайте общедоступный профиль автора и узнайте, кто цитирует вашу недавнюю публикацию. Google Scholar также позволяет своим пользователям быть в курсе последних событий в любой области исследований.
Основные возможности Google Scholar:
Создание общедоступной страницы автора
Ищите информацию в базе данных Google
Простота использования
Цена:
8. Сноска
3332
Endnote хочет, чтобы вы занимались более умными исследованиями, упростив утомительную работу по форматированию библиографий, поиску полного текста и поиску ссылок.Endnote носит совместный характер, поскольку позволяет вам делиться выбранными группами ссылок, управлять доступом группы, а также отслеживать активность и изменения с единой панели инструментов. Благодаря более продуманному анализу Endnote автоматически находит влияние ваших ссылок и находит наиболее подходящий журнал для ваших статей.
Платформа также позволяет пользователям автоматически создавать, форматировать и обновлять библиографии. Быстро экспортируйте свои ссылки и полнотекстовые PDF-файлы в EndNote и сразу же приступайте к работе. С помощью набора шаблонов и подключаемых модулей EndNote исследователи могут улучшить свой опыт работы с Endnote и получить максимальную отдачу от платформы.
Основные характеристики сноски:
Фильтры импорта для предыдущих исследований
Отслеживайте активность ваших товарищей по команде в общей библиотеке
Автоматическое обновление ссылок и ссылок
Стоимость:
Бесплатно с ограниченной функциональностью
Платные планы начинаются с 249 долларов США
9. Evernote
Evernote — это приложение для создания заметок, которое может быть очень полезным при проведении исследований.Приложение поможет вам хранить все ваши личные идеи, списки дел4, заметки и ссылки на исследования в одном месте. Создайте отдельные теги и папки для различных типов информации, которую вы сохраняете, и держите ее в порядке. Evernote автоматически синхронизируется на всех ваших устройствах, включая настольный компьютер, смартфон и планшет, поэтому вы можете переключаться между устройствами без потери данных.
Его расширение для браузера Chrome под названием Evernote web clipper — отличное дополнение для сохранения статей или другого контента в Интернете во время исследования.Просто щелкните расширение браузера, чтобы сохранить всю страницу или выделить ее в блокноте Evernote вместе с любыми заметками об этой странице.
Основные характеристики Evernote:
Храните заметки, статьи и другой контент в одном месте
Расширение Chrome для вырезания контента
Установка напоминаний
Цена:
Бесплатно с ограниченной функциональностью
Платные планы начинаются с Plus (34,99 доллара США в год или 3 доллара США.99 в месяц), Premium (69,99 долларов США в год или 7,99 долларов США в месяц) и Evernote Business (свяжитесь с отделом продаж)
10. Mendeley
Mendeley — это программное обеспечение для управления ссылками, которое позволяет исследователям создавать ссылки, цитаты, и библиографии в нескольких стилях журналов с помощью всего нескольких щелчков мышью. Получите быстрый доступ к своей библиотеке откуда угодно — откуда угодно. Windows, Mac, Linux и т. Д. И добавляйте документы прямо из браузера несколькими щелчками мыши или импортируйте любые документы со своего рабочего стола в свою библиотеку.
Благодаря своей исследовательской сети, исследователи соединяются и объединяются в сеть с более чем 6 миллионами пользователей. Пользователи могут создавать группы, чтобы проводить обсуждения, находить исследования и следить за избранной библиографией. Есть также более 250 000+ вакансий в области науки, технологий и здравоохранения для продвижения вашей карьеры и предоставления информации от более чем 5000 организаций для финансирования ваших следующих исследований!
Основные возможности Mendeley:
Аннотируйте и систематизируйте документы
Находите и создавайте группы с коллегами-исследователями
Информация о грантах от более чем 5000 организаций
Стоимость:
Бесплатно с ограниченной функциональностью
планы начинаются от 55 долларов в год за 5 ГБ до 165 долларов в год при неограниченном хранилище
11.ContentMine
ContentMine предлагает различные службы интеллектуального анализа текста, чтобы помочь исследователям находить, загружать, анализировать и извлекать знания из научных статей. ContentMine создает собственный открытый исходный код, чтобы помочь исследователям находить статьи и не тратить на это время в Интернете. Они также могут конвертировать академические статьи, PDF-файлы в HTML или почти в любой формат.
ContentMine также может извлекать данные из таблиц и графиков, сокращая время, необходимое для проведения метаанализа.Платформа также предлагает консультации, а также обучающие семинары для обучения людей тому, что они делают и как.
Ключевые особенности ContentMine:
Извлечение данных из таблиц и графиков
Быстро извлекайте текст из сотен статей
Семинары и тренинги
Цены:
3
12. ResearchGate
Последний инструмент в нашем списке замечательных инструментов для исследователей — это платформа под названием ResearchGate.ResearchGate предоставляет вам доступ к более чем 135 миллионам страниц публикаций, позволяя вам быть в курсе того, что происходит в вашей области. Благодаря встроенному сообществу исследователи могут делиться своими исследованиями, сотрудничать с коллегами и открывать новые статьи и библиографии.
ResearchGate также обеспечивает глубокую аналитику тех, кто читал вашу работу, и отслеживает ваши ссылки. ResearchGate — это исследовательское сообщество, к которому нужно присоединиться с более чем 17 миллионами пользователей!
Ключевые особенности ResearchGate:
Делитесь и находите исследователей
Аналитика, чтобы узнать, кто читает вашу работу
Отслеживание цитирования
Ценообразование:
Заключительные слова
наш список удивительных веб-сайтов, приложений и программного обеспечения, которые можно использовать при проведении исследования.Исследования — это тяжелая работа — от поиска и управления контентом до организации и публикации — исследование требует много времени и усилий.
Тем не менее, с нашим потрясающим списком инструментов, исследователи наверняка потратят большую часть своего времени и усилий и выполнят работу более эффективно. Пропустили ли мы какой-нибудь замечательный инструмент для исследователей? Дайте нам знать, написав нам в Твиттере @bit_docs.
Дополнительные чтения:
AWS Lambda — Serverless Compute
Обработка данных
AWS Lambda можно использовать для выполнения кода в ответ на триггеры, такие как изменения данных, сдвиги в состоянии системы или действия пользователей.Lambda может напрямую запускаться сервисами AWS, такими как S3, DynamoDB, Kinesis, SNS и CloudWatch, может подключаться к существующим файловым системам EFS или может быть организован в рабочие процессы с помощью AWS Step Functions. Это позволяет создавать различные системы бессерверной обработки данных в реальном времени.
Обработка файлов в реальном времени
Amazon S3 можно использовать для запуска AWS Lambda для обработки данных сразу после загрузки. Вы также можете напрямую подключиться к существующей файловой системе Amazon EFS, что обеспечивает массовый параллельный общий доступ для крупномасштабной обработки файлов.Например, вы можете использовать Lambda для эскизов изображений, перекодирования видео, индексных файлов, обработки журналов, проверки содержимого, а также агрегирования и фильтрации данных в режиме реального времени.
The Seattle Times использует AWS Lambda для изменения размера изображений для просмотра на различных устройствах, таких как настольные компьютеры, планшеты и смартфоны. Прочитать пример использования »
Обработка потоков в реальном времени
AWS Lambda и Amazon Kinesis можно использовать для обработки потоковых данных в реальном времени для отслеживания активности приложений, обработки заказов транзакций, анализа потока кликов, очистки данных, генерации метрик, фильтрации журналов, индексации, анализа социальных сетей, а также телеметрии данных устройств IoT и замер.
Localytics обрабатывает миллиарды точек данных в режиме реального времени и использует Lambda для обработки исторических и текущих данных, хранящихся в S3 или передаваемых из Kinesis. Прочитать пример использования »
Машинное обучение
AWS Lambda можно использовать для предварительной обработки данных перед их передачей в модель машинного обучения.Имея Lambda-доступ к EFS, вы также можете использовать свою модель для прогнозирования в масштабе без необходимости выделять или управлять какой-либо инфраструктурой.
«В Aible мы сосредоточены на предоставлении самых мощных технологий искусственного интеллекта с минимально возможными эксплуатационными расходами. Поэтому мы используем AWS Lambda и Serverless для обучения машинному обучению и прогнозирования. С помощью бессерверного режима мы можем выполнять широкий спектр рабочих нагрузок машинного обучения с меньшими затратами. эффективно, используя при этом большие вычислительные ресурсы, необходимые для быстрой итерации и масштабирования, чтобы создать ИИ для оптимального воздействия на бизнес.»
Род Баттерс, технический директор — Aible
Бэкэнд
Вы можете создавать бессерверные серверные ВМ с помощью AWS Lambda для обработки веб-запросов, мобильных приложений, Интернета вещей (IoT) и сторонних API-запросов. Воспользуйтесь преимуществами согласованных средств управления производительностью Lambda, таких как несколько конфигураций памяти и Provisioned Concurrency, для создания чувствительных к задержкам приложений в любом масштабе.
Веб-приложения
Объединив AWS Lambda с другими сервисами AWS, разработчики могут создавать мощные веб-приложения, которые автоматически масштабируются вверх и вниз и запускаются в конфигурации с высокой доступностью в нескольких центрах обработки данных — с нулевыми административными усилиями, необходимыми для масштабируемости, резервного копирования или нескольких центров обработки данных избыточность.
Серверные модули Интернета вещей
Вы можете создавать бессерверные серверные ВМ с помощью AWS Lambda для обработки веб-запросов, мобильных приложений, Интернета вещей (IoT) и сторонних API-запросов.
Мобильные серверные части
AWS Lambda упрощает создание насыщенных, персонализированных приложений. Вы можете создавать серверные части с помощью AWS Lambda и Amazon API Gateway для аутентификации и обработки запросов API. Используйте AWS Amplify, чтобы легко интегрировать серверную часть с интерфейсами iOS, Android, Web и React Native.
Bustle использует бессерверный бэкэнд для своего приложения и веб-сайтов Bustle iOS, используя AWS Lambda и Amazon API Gateway.Бессерверные архитектуры позволяют Bustle никогда не заниматься управлением инфраструктурой, поэтому каждый инженер может сосредоточиться на создании новых функций и внедрении инноваций. Прочитать пример использования »
AlphaFold: решение грандиозной проблемы биологии 50-летней давности
Мы также увидели признаки того, что прогнозирование структуры белка может быть полезным в будущих усилиях по реагированию на пандемию, как один из многих инструментов, разработанных научным сообществом.Ранее в этом году мы предсказали несколько белковых структур вируса SARS-CoV-2, включая ORF3a, структура которого ранее была неизвестна. В CASP14 мы предсказали структуру другого белка коронавируса, ORF8. Впечатляюще быстрая работа экспериментаторов подтвердила структуры как ORF3a, так и ORF8. Несмотря на их сложный характер и наличие очень небольшого количества связанных последовательностей, мы достигли высокой степени точности обоих наших прогнозов по сравнению с их экспериментально определенными структурами.
Мы не только ускоряем понимание известных болезней, но и рады возможности этих методов исследовать сотни миллионов белков, для которых у нас в настоящее время нет моделей, — обширную территорию с неизвестной биологией. Поскольку ДНК определяет аминокислотные последовательности, которые составляют структуры белков, революция в геномике сделала возможным считывание последовательностей белков из естественного мира в массовом масштабе — с 180 миллионами последовательностей белков и подсчетом в базе данных Universal Protein (UniProt).Напротив, учитывая экспериментальную работу, необходимую для перехода от последовательности к структуре, только около 170 000 белковых структур находятся в банке данных о белках (PDB). Среди неопределенных белков могут быть некоторые с новыми интересными функциями, и — так же, как телескоп помогает нам заглянуть глубже в неизвестную вселенную — такие методы, как AlphaFold, могут помочь нам найти их.
Открывая новые возможности
AlphaFold — одно из наших самых значительных достижений на сегодняшний день, но, как и во всех научных исследованиях, есть еще много вопросов, на которые нужно ответить.Не всякая структура, которую мы прогнозируем, будет идеальной. Еще многое предстоит узнать, в том числе о том, как несколько белков образуют комплексы, как они взаимодействуют с ДНК, РНК или небольшими молекулами, и как мы можем определить точное местоположение всех боковых цепей аминокислот. В сотрудничестве с другими можно многое узнать о том, как лучше всего использовать эти научные открытия при разработке новых лекарств, о способах управления окружающей средой и многом другом.
Для всех нас, работающих над вычислительными методами и методами машинного обучения в науке, такие системы, как AlphaFold, демонстрируют потрясающий потенциал ИИ как инструмента для фундаментальных открытий.Так же, как 50 лет назад Анфинсен поставил задачу, выходящую далеко за пределы возможностей науки в то время, многие аспекты нашей Вселенной остаются неизвестными. Объявленный сегодня прогресс вселяет в нас уверенность в том, что ИИ станет одним из самых полезных инструментов человечества в расширении границ научных знаний, и мы с нетерпением ждем впереди многих лет упорной работы и открытий!
Пока мы не опубликуем статью об этой работе, пожалуйста, цитируйте:
Высокоточное прогнозирование структуры белка с использованием глубокого обучения
Джон Джампер, Ричард Эванс, Александр Прицель, Тим Грин, Майкл Фигурнов, Кэтрин Туньясувунакул, Олаф Роннебергер, Расс Бейтс, Огюстин Жидек, Алекс Бриджленд, Клеменс Мейер, Саймон А.А. Коль, Анна Потапенко, Эндрю Дж. Баллард, Эндрю Ромера, Бернардино -Паредес, Станислав Николов, Ришуб Джейн, Йонас Адлер, Тревор Бэк, Стиг Петерсен, Дэвид Рейман, Мартин Штайнеггер, Михалина Пачольска, Дэвид Сильвер, Ориол Виньялс, Эндрю У. Старший, Корай Кавукчуоглу, Пушмит Кохли, Демис Хассабис.
в Четырнадцатой критической оценке методов прогнозирования структуры белка (тезисы), 30 ноября — 4 декабря 2020 г. Получено отсюда.
Мы находимся в самом начале изучения того, как лучше всего дать возможность другим группам использовать наши предсказания структуры, наряду с подготовкой рецензируемой статьи для публикации. Хотя наша команда не сможет ответить на все запросы, если AlphaFold может иметь отношение к вашей работе, отправьте несколько строк об этом на alphafold @ deepmind.com. Мы свяжемся с вами, если появятся возможности для дальнейшего изучения.
Защита и безопасность конечных точек Apex One ™
Защита и безопасность конечных точек Apex One ™ | Trend Micro
Новое определение безопасности конечных точек
Автоматизированная, интуитивно понятная комплексная защита
Автоматизированный
Защита Trend Micro Apex One ™ обеспечивает расширенное автоматическое обнаружение угроз и реагирование на постоянно растущий спектр угроз, включая бесфайловые программы и программы-вымогатели.Наше сочетание современных методов, предназначенных для разных поколений, обеспечивает тщательно настроенную защиту конечных точек, которая максимизирует производительность и эффективность.
проницательный
Получите полезную информацию, расширенные возможности расследования и централизованный контроль с помощью расширенного набора инструментов EDR, сильной интеграции SIEM и открытого набора API. У вас есть возможность проводить коррелированные расширенные исследования угроз, выходящие за рамки конечной точки, и дополнять ваши группы безопасности управляемой службой обнаружения и реагирования.
МФУ
В постоянно меняющемся технологическом ландшафте вам нужна безопасность, выходящая за рамки традиционного антивируса. Apex One предлагает обнаружение угроз, реагирование и расследование в рамках одного агента. Избавьтесь от множества поставщиков и консолей и получите гибкость развертывания с помощью вариантов развертывания как SaaS, так и локального развертывания.
Системные требования Apex One
Минимальные рекомендуемые требования к агенту
Операционные системы агентов
Windows 7 (6.1)
Windows 8.1 (6.2 / 6.3)
Windows 10 (10.0)
Windows Server 2008 R2 (6.1)
Windows Server 2012 (6.2)
Windows Server 2012 R2 (6.3)
Windows Server 2016 (10)
Windows Server 2019
macOS® High Sierra 10.13
macOS Sierra 10.12
OS X® Эль-Капитан 10.11
OS X Yosemite 10.10 или новее
OS X Mavericks 10.9 или новее
OS X Mountain Lion 10.8.3 или новее
OS X Lion 10.7.5 или новее (только 64-разрядная версия)
Agent Platform Процессор
: Intel Pentium с тактовой частотой 300 МГц или аналогичный (Windows 7, 8.1, 10 семей) и процессор Intel® Core ™ для Mac
минимум 1,0 ГГц (рекомендуется 2,0 ГГц) Intel Pentium или аналогичный (Windows Embedded POSReady7)
Минимум 1,4 ГГц (рекомендуется 2,0 ГГц) Intel Pentium или эквивалентный (Windows 2008 R2, семейство Windows 2016, семейство Windows 2019)
Память:
Не менее 512 МБ (2.Рекомендуется 0 ГБ) и не менее 100 МБ исключительно для Apex One (Windows 2008 R2, семейство 2012)
Минимум 1,0 ГБ (рекомендуется 2,0 ГБ) и не менее 100 МБ исключительно для Apex One (Windows 7 (x86), 8.1 (x86), Windows Embedded POSReady 7, семейство 10 (x64))
Минимум 2,0 ГБ (рекомендуется 4,0 ГБ) и не менее 100 МБ исключительно для Apex One (семейство Windows 7 (x64), 8.1 (x64), 10 (x64))
Минимум 512 МБ для Apex One на Mac
Дисковое пространство: 1.Минимум 5 ГБ (рекомендуется 3 ГБ для всех продуктов) для Windows, минимум 300 МБ для Mac
Расширенные методы обнаружения
Apex One использует сочетание методов защиты от угроз разных поколений, чтобы обеспечить широчайшую защиту от всех типов угроз, предоставляя вам:
Машинное обучение перед выполнением и во время выполнения
Более точное обнаружение сложных вредоносных программ, таких как бесфайловые угрозы, живущие вне земли и вымогатели
Методы шумоподавления, такие как перепись и создание безопасных списков, на всех уровнях обнаружения для значительного уменьшения количества ложных срабатываний
Эффективная защита от сценариев, инъекций, атак программ-вымогателей, памяти и браузера за счет инновационного анализа поведения
Максимальная защита от уязвимостей
Больше, чем просто сканирование, Apex One Vulnerability Protection использует систему предотвращения вторжений (HIPS) на основе хоста для виртуального исправления известных и неизвестных уязвимостей до того, как исправление станет доступным или развернутым:
Устранение рисков путем защиты уязвимостей с помощью инновационных возможностей виртуального исправления и исследований мирового уровня
Расширение защиты на критически важные платформы и физические или виртуальные устройства
Сокращение времени простоя при восстановлении и исправлении ошибок
Выявление уязвимостей на основе CVE, MS-ID и степени серьезности
Обнаружение большего количества уязвимостей, чем любой другой поставщик, благодаря нашему ведущему в отрасли исследованию уязвимостей
Интегрированное обнаружение и реагирование
Используйте передовые методы обнаружения, которые позволяют обнаруживать угрозы и реагировать на них до того, как они скомпрометируют данные.С Trend Micro Vision One ™ вы получаете полнофункциональные возможности XDR, которые расширяют возможности обнаружения и реагирования и расширяют их на несколько уровней безопасности для широкой видимости и реагирования на угрозы, влияющие на всю организацию.
Испытайте XDR с Trend Micro Vision One с автоматическим бесплатным доступом для 10% лицензированных пользователей *. Защитите тех, кто подвергается наибольшему риску, и улучшите обнаружение и реагирование для вашей организации.
* Бесплатные лицензии XDR не включают интегрированные ответные действия
Поиск индикаторов атаки (IoA) и определение намерений злоумышленника в режиме реального времени
Проверка пользовательских временных шкал (телеметрия) для индикаторов компрометации (IoC) для определения воздействия целевых атак
Используйте интерактивную диаграмму анализа первопричин для детализации обнаружения и реагирования путем изоляции или завершения процессов и обновления точек защиты
Есть возможность выйти за рамки единого векторного подхода путем корреляции событий по электронной почте, конечным точкам, серверам, облачным рабочим нагрузкам и сетям.
Эффективная защита ваших конфиденциальных данных Защитите ваши конфиденциальные данные как в сети, так и за ее пределами, чтобы обеспечить максимальную видимость и контроль.Шифрование конечных точек, * встроенный DLP и управление устройствами:
Охватывает самый широкий спектр устройств, приложений и типов файлов
Помощь в соблюдении большинства нормативных требований, включая GDPR
Защита данных с помощью шифрования всего диска, папки, файла и съемного носителя
Установка детальных политик для контроля устройств и управления данными
Управление ключами шифрования Microsoft ^® BitLocker ^® и Apple ^® FileVault ^®
* Шифрование конечной точки доступно как отдельный агент.
Улучшенный контроль приложений против вредоносного программного обеспечения. Предотвращение запуска неизвестных и нежелательных приложений на корпоративных конечных точках. Приложение Trend Micro Apex One ™ Application Control позволяет:
Блокировать запуск вредоносных программ с помощью настраиваемых политик блокировки, списков надежных отправителей и запретов
Создавайте динамические политики, используя возможности категоризации приложений и аналитики репутации Trend Micro для сокращения накладных расходов на управление
Корреляция данных из миллионов событий приложений для выявления угроз и поддержки актуальной базы данных проверенных приложений
Централизованный обзор и контроль
Обеспечьте согласованное управление безопасностью, видимость и отчетность на нескольких уровнях взаимосвязанной безопасности с помощью централизованной консоли.
Расширение контроля и прозрачности для локальных, облачных и гибридных моделей
Повышение защиты, снижение сложности и устранение избыточности
Обеспечьте доступ к аналитическим данным об угрозах с помощью Trend Micro ™ Smart Protection Network ™
TrendConnect позволяет пользователям оставаться в курсе событий в реальном времени с помощью предупреждений о продуктах и информации об угрозах. С помощью приложения TrendConnect клиенты смогут:
Мгновенно просматривайте статус развертывания, чтобы не запускать устаревшие версии Trend Micro Apex One
Согласование развертываний с лучшими практиками Trend Micro Apex One для обеспечения оптимальной защиты конечных точек
Будьте на шаг впереди с уведомлениями в режиме реального времени о новых уязвимостях / угрозах и уведомлениями о новых важных и критических исправлениях
Как это работает
Ряд возможностей многоуровневого обнаружения, наряду с расследованием и реагированием, защищает конечную точку на всех этапах
В очередной раз признан лидером в Магическом квадранте Gartner 2021 года для платформ защиты конечных точек
Признан лидером в конкурсе The Forrester Wave ™: ПО для обеспечения безопасности конечных точек как услуга, 2 квартал 2021 г.
Захвачено Trend Micro 10.5% рынка безопасности конечных точек 2020 года, самая высокая доля.
Названа лидером в области Forrester Wave ^™: Enterprise Detection and Response, Q1 2020
Apex One доступен вместе с XDR в простых упаковках.
Apex One с XDR
Одноагентное облачное управляемое решение с лучшими возможностями защиты конечных точек и XDR.
XDR для пользователей
Добавляет Microsoft ^® Office 365 ^® и Google G Suite ™ для защиты электронной почты и обмена файлами в облаке, а также объединяет возможности обнаружения конечных точек и электронной почты и реагирования для борьбы с методом атаки номер один — фишингом.
«С момента развертывания Trend Micro мы зафиксировали миллионы атак, остановили 117 000 угроз за один день и не зарегистрировали ни одного заражения за 18 месяцев.Trend Micro всегда работает, даже когда я сплю ». более
Ян Келлер
Начальник службы безопасности, SBV Services
Начало работы с Trend Micro Apex One Endpoint Security
Полная защита пользователя
Для дополнительной функциональности, надстроек:
Обнаружение и отклик конечной точки (EDR): включите расширенные возможности обнаружения и отклика (XDR) с помощью Trend Micro Vision One.Увеличьте ценность XDR с помощью коррелированных обнаружений, интегрированных исследований и ответных мер в различных решениях Trend Micro.
Управляемое обнаружение и ответ (MDR): Trend Micro ™ Managed XDR предоставляет экспертные услуги по обнаружению, расследованию и поиску угроз для конечных точек, а также электронной почты, серверов, облачных рабочих нагрузок и / или сети.
Cloud Sandbox: предложение «песочница как услуга» анализирует многоступенчатые загрузки, URL-адреса, C&C и многое другое в «безопасном режиме реального времени».
sXpIBdPeKzI9PC2p0SWMpUSM2NSxWzPyXTMLlbXmYa0R20xk
Искусственный интеллект и будущее людей
Система распознавания транспортных средств и людей для использования правоохранительными органами продемонстрирована на прошлогодней конференции GPU Technology Conference в Вашингтоне, округ Колумбия.C., в котором рассказывается о новых применениях искусственного интеллекта и глубокого обучения. (Saul Loeb / AFP / Getty Images)
Цифровая жизнь расширяет человеческие возможности и разрушает вековую человеческую деятельность. Системы, основанные на коде, распространились на более чем половину жителей планеты благодаря внешней информации и возможности подключения, предлагая ранее невообразимые возможности и беспрецедентные угрозы. По мере того как новый искусственный интеллект (ИИ), управляемый алгоритмами, продолжает распространяться, будут ли люди жить лучше, чем сегодня?
Около 979 пионеров технологий, новаторов, разработчиков, руководителей бизнеса и политики, исследователей и активистов ответили на этот вопрос в ходе опроса экспертов, проведенного летом 2018 года.
Эксперты предсказали, что сетевой искусственный интеллект повысит эффективность человека, но также поставит под угрозу его автономию, возможности и возможности. Они говорили о широких возможностях; что компьютеры могут соответствовать или даже превосходить человеческий интеллект и возможности в таких задачах, как принятие сложных решений, рассуждение и обучение, сложная аналитика и распознавание образов, острота зрения, распознавание речи и языковой перевод. Они заявили, что «умные» системы в сообществах, в транспортных средствах, в зданиях и коммунальных службах, на фермах и в бизнес-процессах сэкономят время, деньги и жизни и предоставят людям возможность наслаждаться более индивидуализированным будущим.
Многие из них сосредоточили свои оптимистические замечания на здравоохранении и множестве возможных применений ИИ для диагностики и лечения пациентов или помощи пожилым людям жить более полной и здоровой жизнью. Они также с энтузиазмом восприняли роль ИИ в содействии широким программам общественного здравоохранения, основанным на огромных объемах данных, которые могут быть собраны в ближайшие годы обо всем, от личных геномов до питания. Кроме того, ряд этих экспертов предсказывали, что ИИ будет способствовать долгожданным изменениям в формальных и неформальных системах образования.
Тем не менее, большинство экспертов, независимо от того, оптимистичны они или нет, выражали озабоченность по поводу долгосрочного воздействия этих новых инструментов на основные элементы человеческого бытия. Всех респондентов в этом ненаучном опросе попросили подробно рассказать, почему, по их мнению, ИИ улучшит положение людей или нет. Многие разделяли глубокие переживания и предлагали пути решения. Основные озвученные ими темы об угрозах и средствах защиты изложены в прилагаемой таблице.
ИИ и будущее человека: эксперты выражают озабоченность и предлагают решения
ПРОБЛЕМЫ Человеческое агентство:
Люди теряют контроль над своей жизнью
Принятие решений по ключевым аспектам цифровой жизни автоматически передается инструментам «черного ящика», основанным на коде.Людям не хватает информации и они не изучают контекст того, как работают инструменты. Они жертвуют независимостью, конфиденциальностью и властью перед выбором; они не контролируют эти процессы. Этот эффект будет усиливаться по мере того, как автоматизированные системы станут более распространенными и сложными.
Злоупотребление данными:
Использование данных и наблюдение в сложных системах предназначены для получения прибыли или для реализации власти
Большинство инструментов искусственного интеллекта находятся и будут находиться в руках компаний, стремящихся к прибыли, или правительств, стремящихся к власти.Ценности и этика часто не закреплены в цифровых системах, которые принимают решения за них. Эти системы объединены в глобальную сеть, и их нелегко регулировать или ограничивать.
Потеря работы:
Захват рабочих мест искусственным интеллектом приведет к увеличению разрыва в экономике, что приведет к социальным потрясениям
Эффективность и другие экономические преимущества машинного интеллекта на основе кода будут и дальше нарушать все аспекты человеческой работы. В то время как некоторые ожидают появления новых рабочих мест, другие обеспокоены массовой потерей рабочих мест, увеличением экономического разрыва и социальными потрясениями, включая популистские восстания.
Блокировка зависимости:
Снижение когнитивных, социальных навыков и навыков выживания у людей
Многие считают ИИ расширением человеческих возможностей, но некоторые предсказывают обратное: растущая зависимость людей от сетей, управляемых машинами, подорвет их способность думать самостоятельно, действовать независимо от автоматизированных систем и эффективно взаимодействовать с другими.
Mayhem:
Автономное оружие, киберпреступность и информация о вооружении
Некоторые предсказывают дальнейшую эрозию традиционных социально-политических структур и возможность больших человеческих жертв из-за ускоренного роста автономных военных приложений и использования информации, лжи и пропаганды в качестве оружия для опасной дестабилизации человеческих групп.Некоторые также опасаются проникновения киберпреступников в экономические системы.
ПРЕДЛАГАЕМЫЕ РЕШЕНИЯ Глобальное благо — номер 1:
Улучшение человеческого сотрудничества через границы и
групп заинтересованных сторон
Цифровое сотрудничество в интересах человечества является высшим приоритетом. Необходимо найти способы, позволяющие людям во всем мире прийти к общему пониманию и соглашению — объединить усилия, чтобы способствовать внедрению широко распространенных подходов, направленных на решение серьезных проблем и поддержание контроля над сложными человеческими и цифровыми сетями.
Система, основанная на ценностях:
Разработка политики, гарантирующей, что ИИ будет направлен на «человечность» и общее благо Примите «лунный менталитет» для создания инклюзивных, децентрализованных интеллектуальных цифровых сетей, «пропитанных эмпатией», которые помогают людям активно обеспечивать соответствие технологий социальным и этическим обязанностям. Потребуется какой-то новый уровень процесса регулирования и сертификации.
Расставьте приоритеты для людей:
Измените экономические и политические системы, чтобы лучше помочь людям «гоняться с роботами» Реорганизовать экономические и политические системы с целью расширения способностей и возможностей людей, чтобы усилить взаимодействие между людьми и ИИ и упрочить тенденции, которые могут поставить под угрозу человеческую значимость перед лицом запрограммированного интеллекта.
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР PEW И УНИВЕРСИТЕТ ЭЛОН В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИНТЕРНЕТ-ЦЕНТРА
В частности, участникам было предложено рассмотреть следующее:
«Пожалуйста, подумайте, что впереди до 2030 года. Аналитики ожидают, что люди станут еще более зависимыми от сетевого искусственного интеллекта (ИИ) в сложных цифровых системах. Некоторые говорят, что мы продолжим исторический путь улучшения нашей жизни с в основном положительными результатами, поскольку мы широко внедряем эти сетевые инструменты.Некоторые говорят, что наша растущая зависимость от этого ИИ и связанных с ним систем, вероятно, приведет к повсеместным трудностям.
Наш вопрос: как вы думаете, наиболее вероятно, что к 2030 году развитие ИИ и связанных с ним технологических систем расширит человеческий потенциал и расширит его возможности? То есть будет ли большинству людей в большинстве случаев лучше, чем сегодня? Или наиболее вероятно, что развитие ИИ и связанных с ним технологических систем уменьшит человеческую автономию и свободу действий до такой степени, что большинству людей не будет лучше, чем сегодня? »
В целом, несмотря на опасения по поводу недостатков, 63% респондентов в этом опросе заявили, что они надеются, что большинству людей будет в основном лучше в 2030 году, а 37% заявили, что людям будет лучше , а не .
Ряд мыслителей, участвовавших в этом опросе, заявили, что растущая зависимость людей от технологических систем будет успешной только в том случае, если пристальное внимание будет уделяться тому, как эти инструменты, платформы и сети проектируются, распространяются и обновляются. Некоторые из мощных, всеобъемлющих ответов включали ответы:
Соня Катяль , содиректор Берклиского центра права и технологий и член первого совета консультантов Министерства торговли США по цифровой экономике, предсказала: «В 2030 году самый большой набор вопросов будет касаться того, как восприятие ИИ и их применение повлияет на развитие гражданских прав в будущем.Вопросы о конфиденциальности, свободе слова, праве на собрания и технологическом построении личности снова возникнут в этом новом контексте ИИ, поставив под сомнение наши глубочайшие убеждения о равенстве и возможностях для всех. Кто выиграет, а кто окажется в невыгодном положении в этом новом мире, зависит от того, насколько широко мы анализируем эти вопросы сегодня, на будущее ».
Нам необходимо активно работать, чтобы технология соответствовала нашим ценностям. Эрик Бриньольфссон
Эрик Бриньолфссон , директор Инициативы Массачусетского технологического института по цифровой экономике и автор книги «Машины, платформы, толпа: использование нашего цифрового будущего», сказал: «ИИ и связанные с ним технологии уже достигли сверхчеловеческой производительности во многих областях, и есть Нет сомнений в том, что к 2030 году их возможности, вероятно, значительно улучшатся.… Я думаю, что более вероятно, что мы воспользуемся этой силой, чтобы сделать мир лучше. Например, мы можем практически искоренить глобальную бедность, значительно снизить заболеваемость и обеспечить лучшее образование почти всем на планете. Тем не менее, AI и ML [машинное обучение] также могут использоваться для все большей концентрации богатства и власти, оставляя позади многих людей, и для создания еще более ужасающего оружия. Ни один из результатов не является неизбежным, поэтому правильный вопрос — не «Что произойдет?», А «Что мы выберем делать?». Нам нужно активно работать, чтобы обеспечить соответствие технологий нашим ценностям.Это можно и нужно делать на всех уровнях, от правительства до бизнеса, до академических кругов и до индивидуального выбора ».
Брайан Джонсон , основатель и генеральный директор Kernel, ведущего разработчика передовых нейронных интерфейсов, и OS Fund, венчурной компании, сказал: «Я твердо верю, что ответ зависит от того, сможем ли мы сместить наши экономические системы в сторону приоритета радикальных человеческих ресурсов. улучшение и остановка тенденции к тому, что человечество неуместно перед лицом ИИ. Я не имею в виду только работу; Я имею в виду истинную экзистенциальную неуместность, которая является конечным результатом отсутствия приоритета человеческого благополучия и познания.”
Марина Горбис , исполнительный директор Института будущего, сказала: «Без значительных изменений в нашей политической экономике и режимах управления данными [ИИ], вероятно, приведет к еще большему экономическому неравенству, большему слежению и большему количеству программ и нечеловеческих факторов. центрические взаимодействия. Каждый раз, когда мы программируем нашу среду, мы в конечном итоге программируем себя и свои взаимодействия. Люди должны стать более стандартизированными, устраняя интуицию и двусмысленность нашего взаимодействия.И в этой неоднозначности и сложности и заключается суть человека ».
Джудит Донат , автор книги «Социальная машина, дизайн для жизни в Интернете» и преподаватель Центра Интернета и общества Беркмана Кляйна Гарвардского университета, прокомментировала: «К 2030 году большинство социальных ситуаций будет облегчаться с помощью ботов — на первый взгляд разумных программы, которые взаимодействуют с нами по-человечески. Дома родители будут привлекать опытных ботов, чтобы помогать детям с домашними заданиями и стимулировать разговоры за ужином.На работе боты будут проводить встречи. Доверенное лицо бота будет считаться важным для психологического благополучия, и мы все чаще будем обращаться к таким товарищам за советом, начиная от того, что надеть, на кого выйти замуж. Мы, люди, глубоко заботимся о том, как нас видят другие, а те, чье одобрение мы ищем, будут все более искусственными. К тому времени разница между людьми и ботами значительно исчезнет. Через экран и проекцию голос, внешний вид и поведение ботов будут неотличимы от человеческих, и даже физические роботы, хотя и явно нечеловеческие, будут настолько убедительно искренними, что наше впечатление о них как о мыслящих, чувствующих существах на одном уровне. с нами или выше нас, будут непоколебимы.В дополнение к двусмысленности, наше собственное общение будет сильно расширено: программы будут составлять многие из наших сообщений, а наш внешний вид в сети / дополненной реальности будет [создаваться] с помощью вычислений. (Грубая человеческая речь и поведение без посторонней помощи будут казаться смущающе неуклюжими, медленными и бесхитростными.) Благодаря доступу к огромным массивам данных о каждом из нас, боты намного превзойдут людей в своей способности привлекать и убеждать нас. Способные искусно имитировать эмоции, они никогда не будут подавлены чувствами: если они что-то выпалит в гневе, это произойдет потому, что такое поведение было рассчитано как наиболее эффективный способ достижения тех целей, которые они «наметили».’Но каковы эти цели? Компаньоны с искусственным интеллектом будут создавать впечатление, что социальные цели, аналогичные нашим собственным, мотивируют их — чтобы к ним относились с уважением, будь то любимый друг, уважаемый начальник и т. Д. Но их реальное сотрудничество будет с людьми и учреждениями, которые их контролируют. . Как и их сегодняшние предки, они будут продавцами товаров, которые используют их для стимулирования потребления, и политиками, которые уполномочивают их влиять на общественное мнение ».
Эндрю Маклафлин , исполнительный директор Центра инновационного мышления Йельского университета, ранее занимавший должность заместителя главного технологического директора США при президенте Бараке Обаме и ведущий специалист по глобальной государственной политике Google, написал: «2030 год не за горами.Я считаю, что такие инновации, как Интернет и сетевой ИИ, приносят огромные краткосрочные выгоды, наряду с долгосрочными недостатками, которые могут занять десятилетия, прежде чем их можно будет распознать. ИИ будет способствовать широкому спектру оптимизаций эффективности, но также позволит скрыть дискриминацию и произвольное наказание людей в таких областях, как страхование, поиск работы и оценка эффективности ».
Майкл М. Робертс , первый президент и главный исполнительный директор Интернет-корпорации по присвоению имен и номеров (ICANN) и член Зала славы Интернета, написал: «Диапазон возможностей интеллектуальных агентов по увеличению человеческого интеллекта по-прежнему практически неограничен.Основная проблема заключается в том, что чем удобнее агент, тем больше ему нужно знать о вас — предпочтения, время, возможности и т. Д. — что создает компромисс: дополнительная помощь требует большего вмешательства. Это не черно-белый вопрос — оттенки серого и связанные с ним лекарства будут спорить бесконечно. На сегодняшний день установлено, что удобство преобладает над конфиденциальностью. Я подозреваю, что так будет и дальше ».
Дана Бойд , главный исследователь Microsoft, основатель и президент Исследовательского института данных и общества, сказал: «ИИ — это инструмент, который люди будут использовать для самых разных целей, в том числе в погоне за властью.Произойдут злоупотребления властью, связанные с использованием ИИ, точно так же, как будут достигнуты успехи в науке и гуманитарных усилиях, которые также будут связаны с ИИ. К сожалению, есть определенные линии тренда, которые могут создать массивную нестабильность. Возьмем, к примеру, изменение климата и миграцию климата. Это еще больше дестабилизирует Европу и США, и я ожидаю, что в панике мы увидим, что ИИ будет использоваться во вредных целях в свете других геополитических кризисов ».
Эми Уэбб , основатель Future Today Institute и профессор стратегического предвидения в Нью-Йоркском университете, прокомментировала: «Структуры социальной защиты, существующие в настоящее время в США.S. и многие другие страны по всему миру не были предназначены для нашего перехода на ИИ. Переход через ИИ продлится следующие 50 лет или больше. По мере того, как мы продвигаемся дальше в эту третью эру вычислений и по мере того, как каждая отдельная отрасль все больше внедряется в системы искусственного интеллекта, нам потребуются новые квалифицированные специалисты, обладающие гибридной квалификацией, которые смогут выполнять работу, которой никогда раньше не было. Нам понадобятся фермеры, умеющие работать с большими наборами данных. Онкологи прошли обучение на роботов. Биологи получили образование инженеров-электриков.Нам не нужно будет готовить персонал только один раз, если внести несколько изменений в учебную программу. По мере развития ИИ нам потребуется отзывчивая рабочая сила, способная адаптироваться к новым процессам, системам и инструментам каждые несколько лет. Потребность в этих областях возникнет быстрее, чем признают наши отделы труда, школы и университеты. Легко оглянуться на историю через призму настоящего и не заметить социальные волнения, вызванные повсеместной технологической безработицей. Нам нужно обратиться к трудной истине, которую немногие готовы высказать вслух: искусственный интеллект в конечном итоге приведет к тому, что большое количество людей навсегда останутся без работы.Так же, как предыдущие поколения стали свидетелями радикальных изменений во время и после промышленной революции, быстрый темп развития технологий, вероятно, будет означать, что бэби-бумеры и старейшие представители поколения X — особенно те, чьи рабочие места могут быть воспроизведены роботами — не будут возможность переквалифицироваться на другую работу без значительных затрат времени и сил ».
Барри Чудаков , основатель и руководитель Sertain Research, прокомментировал: «К 2030 году сотрудничество человека и машины / искусственного интеллекта станет необходимым инструментом для управления и противодействия эффектам нескольких одновременных ускорений: широкий технологический прогресс, глобализация, изменение климата и сопутствующие глобальные миграции.В прошлом человеческие общества управляли изменениями благодаря интуиции и интуиции, но, как сказал Эрик Теллер, генеральный директор Google X, «наши социальные структуры не успевают за темпами изменений». справиться с растущим списком «злых проблем» к 2030 году, ИИ — или, используя фразу Джой Ито, «расширенный интеллект» — будет ценить и переоценивать практически все области человеческого поведения и взаимодействия. Искусственный интеллект и прогрессивные технологии изменят наши рамки и временные рамки реагирования (что, в свою очередь, изменит наше чувство времени).Там, где раньше социальное взаимодействие происходило в разных местах — работе, школе, церкви, семье — социальные взаимодействия все чаще будут происходить в непрерывном, одновременном времени. Если нам повезет, мы будем следовать 23 принципам искусственного интеллекта Азиломара, изложенным в Институте будущего жизни, и будем работать над «не беспристрастным разведывательным, а полезным разведыванием». Подобно ядерному сдерживанию, проистекающему из взаимно гарантированного уничтожения, ИИ и связанные технологические системы представляют собой сила для морального возрождения.Мы должны принять это моральное возрождение, иначе мы столкнемся с моральными загадками, которые могут привести к гибели людей. … Моя самая большая надежда на сотрудничество человека, машины и искусственного интеллекта представляет собой моральное и этическое возрождение — мы перенимаем менталитет луны и сцепляем руки, чтобы подготовиться к приближающимся ускорениям. Я больше всего боюсь, что мы примем логику наших новых технологий — мгновенный отклик, изоляция за экранами, бесконечное сравнение самооценки, фальшивая самопрезентация — не думая и не реагируя умно.”
Джон К. Хэвенс , исполнительный директор Глобальной инициативы IEEE по этике автономных и интеллектуальных систем и Совета по расширенному интеллекту, написал: «Теперь, в 2018 году, большинство людей во всем мире не могут получить доступ к своим данным. , поэтому любые дискуссии о «улучшении человеческого ИИ» игнорируют критический контекст того, кто на самом деле контролирует информацию и личность людей. Вскоре будет чрезвычайно сложно идентифицировать какие-либо автономные или интеллектуальные системы, алгоритмы которых не взаимодействуют с человеческими данными в той или иной форме.”
На карту поставлено не что иное, как то, в каком обществе мы хотим жить и как мы воспринимаем нашу человечность. Батья Фридман
Батья Фридман , профессор взаимодействия человека и компьютера в информационной школе Вашингтонского университета, написала: «Наши научные и технологические возможности намного превосходят и будут намного превосходить наши моральные — это наша способность мудро и гуманно использовать знания. и инструменты, которые мы разрабатываем. … Автоматизированная война — когда автономное оружие убивает людей без участия человека — может привести к отсутствию ответственности за отнятие жизни у врага или даже к осознанию того, что у врага отняли жизнь.На карту поставлено не что иное, как то, в каком обществе мы хотим жить и как мы воспринимаем нашу человечность ».
Грег Шеннон , главный научный сотрудник отдела CERT Университета Карнеги-Меллона, сказал: «Лучше / хуже будет 4: 1 с долгосрочным соотношением 2: 1. ИИ хорошо справится с повторяющейся работой, когда «близко» будет достаточно, а людям эта работа не нравится. … Жизнь определенно станет лучше, поскольку искусственный интеллект продлевает время жизни, от приложений для здоровья, которые разумно «подталкивают» нас к здоровью, до предупреждений о надвигающихся сердечных приступах / инсультах, до автоматизированного медицинского обслуживания для малообеспеченных (удаленных) и тех, кто нуждается в расширенном уходе (пожилые уход).Что касается свободы, здесь есть очевидные риски. ИИ влияет на агентство, создавая сущности со значительными интеллектуальными способностями для мониторинга, принуждения и даже наказания людей. Те, кто знает, как его использовать, будут иметь огромную потенциальную власть над теми, кто не может / не может. Будущее счастье действительно неясно. Некоторые уступят свое агентство ИИ в играх, на работе и в сообществе, как сегодня агентство по краже опиоидного кризиса. С другой стороны, многие будут освобождены от рутинных, непривлекательных задач / заданий. Если элементы общественного счастья являются частью целевых функций ИИ, то ИИ может стать катализатором взрыва счастья.”
Костас Александридис , автор книги «Изучение сложной динамики в многоагентных интеллектуальных системах», предсказал: «Многие из наших повседневных решений будут автоматизированы с минимальным вмешательством конечного пользователя. Автономия и / или независимость будут принесены в жертву и заменены удобством. Новые поколения граждан будут все больше и больше зависеть от сетевых структур и процессов ИИ. Есть проблемы, которые необходимо решать с точки зрения критического мышления и неоднородности.Сетевая взаимозависимость, скорее всего, повысит нашу уязвимость к кибератакам. Также существует реальная вероятность того, что будет существовать более резкое разделение между цифровыми «имущими» и «неимущими», а также между технологически зависимыми цифровыми инфраструктурами. Наконец, возникает вопрос о новых «командных высотах» владения и контроля над инфраструктурой цифровой сети ».
Оскар Ганди , заслуженный профессор коммуникации в Университете Пенсильвании, ответил: «Мы уже сталкиваемся с необоснованным предположением, когда нас просят представить сотрудничество человека и машины.Взаимодействие немного отличается, но все же испорчено предоставлением формы идентичности — возможно, даже личности — машинам, которые мы будем использовать, чтобы преодолевать всевозможные возможности и проблемы. Проблемы, с которыми мы столкнемся в будущем, очень похожи на проблемы, с которыми мы сталкиваемся в настоящее время, когда полагаемся на « других » (включая технологические системы, устройства и сети) в приобретении вещей, которые мы ценим, и избегаем этих других вещей (которые мы могли бы или могли бы не знать).
Джеймс Скофилд О’Рурк , профессор менеджмента в Университете Нотр-Дам, сказал: «На протяжении всей истории человечества технология была в основном нейтральным понятием.Вопрос о его ценности всегда зависел от его применения. С какой целью будет использоваться ИИ и другие технологические достижения? Все, от пороха до двигателей внутреннего сгорания и ядерного деления, применялось как полезными, так и разрушительными способами. Если предположить, что мы можем сдерживать или контролировать ИИ (а не наоборот), ответ на вопрос, станет ли нам лучше, полностью зависит от нас (или нашего потомства). «Дорогой Брут, вина не в наших звездах, а в нас самих, в том, что мы подчиняемся.’”
Саймон Биггс , профессор междисциплинарных искусств в Эдинбургском университете, сказал: «ИИ будет расширять возможности человека. Проблема не в ИИ, а в людях. Как вид, мы агрессивны, склонны к соперничеству и ленивы. Мы также эмпатичны, общаемся и (иногда) жертвуем собой. У нас есть много других атрибутов. Все это будет усилено. Учитывая исторический прецедент, можно предположить, что будут усилены наши худшие качества.Я ожидаю, что в 2030 году ИИ будет регулярно использоваться для ведения войн и убийства людей, гораздо более эффективно, чем мы можем убивать в настоящее время. Как общества, мы будем в меньшей степени затронуты этим, чем мы в настоящее время, поскольку мы не будем сражаться и убивать себя. Наша способность изменять свое поведение с учетом эмпатии и связанных с этим этических рамок будет уменьшена из-за диссоциации между нашей свободой действий и актом убийства. Мы не можем ожидать, что наши системы искусственного интеллекта будут этичными от нашего имени — они не будут такими, поскольку они будут разработаны, чтобы убивать эффективно, а не продуманно.Другая моя главная забота — наблюдение и контроль. Появление Китайской системы социального кредитования (SCS) является индикатором того, что она может произойти. Мы будем существовать в SCS, поскольку ИИ конструирует гибридные экземпляры нас самих, которые могут напоминать, а могут и не походить на нас. Но наши права и возможности как физических лиц будут определяться SCS. Это воплощение оруэлловского кошмара ».
Марк Сурман , исполнительный директор Mozilla Foundation, ответил: «ИИ продолжит концентрировать власть и богатство в руках нескольких крупных монополий, основанных на U.С. и Китай. Большинству людей — и в некоторых частях мира — будет хуже ».
Уильям Уриккио , медиа-исследователь и профессор сравнительных медиа-исследований в Массачусетском технологическом институте, прокомментировал: «ИИ и связанные с ним приложения сталкиваются с тремя проблемами: развитие со скоростью закона Мура, развитие в руках технологической и экономической элиты и развитие без выгоды информированной или заинтересованной общественности. Публика сводится к коллективу потребителей, ожидающих появления следующей технологии. Чье понятие «прогресс» будет преобладать? У нас есть достаточно доказательств того, что ИИ используется для увеличения прибыли, независимо от последствий для давно удерживаемых ценностей; усилить государственный контроль и даже получить «социальный кредит» граждан без участия самих граждан.Как и предшествующие технологии, ИИ агностик. Его развертывание находится в руках общества. Но в отсутствие общественности, грамотной в области ИИ, решение о том, как лучше всего развернуть ИИ, будет зависеть от особых интересов. Будет ли это означать справедливое развертывание, устранение социальной несправедливости и ИИ на государственной службе? Поскольку ответ на этот вопрос скорее социальный, чем технологический, я настроен пессимистично. Исправление? Нам необходимо развивать общественность, грамотную в области искусственного интеллекта, что означает сосредоточенное внимание в образовательном секторе и в публичных СМИ.Нам необходимо обеспечить разнообразие в развитии технологий искусственного интеллекта. И до тех пор, пока общественность, ее избранные представители и их правовые и нормативные режимы не смогут освоить эти стремительные разработки, нам необходимо проявлять осторожность и надзор за развитием ИИ ».
Остальная часть этого отчета разделена на три раздела, которые основаны на обнадеживающих и критических наблюдениях сотен дополнительных респондентов: 1) озабоченность по поводу эволюции человеческого ИИ, 2) предлагаемые решения по устранению воздействия ИИ, и 3) ожидания относительно того, что будет с жизнью.

6 класс сокращение дробей тесты: Тест по теме Сокращение дробей (6 класс) онлайн

alexxlab / 27.09.197015.09.2022 / Разное

Тест по математике по теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей» (6 класс)

Главная / Старшие классы / Алгебра

Скачать

16.54 КБ, 689507.docx Автор: Баринова Елена Валерьевна, 31 Мар 2015

Тест представлен в 2-х вариантах по 8 заданий в каждом. В конце теста представлены ключи.

Автор: Баринова Елена Валерьевна

Похожие материалы

Тип	Название материала	Автор	Опубликован
документ	Тест по математике по теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей» (6 класс)	Баринова Елена Валерьевна	31 Мар 2015
разное	Интерактивный тест по теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей». Алгебра 8 класс	Ковалева Инга Михайловна	1 Апр 2015
презентация	Презентация по математике 6 класс «Основное свойство дроби»	Ручкина Анна Ивановна	15 Окт 2015
документ	Конспект урока по математике для 5 класса по теме «Основное свойство дроби».	Лубова Ольга Витальевна	15 Окт 2015
разное	презентация урока математики 5 класс по теме «Основное свойство дроби» по учебнику Зубаревой	Воронова Татьяна Васильевна	20 Фев 2016
документ	Технологическая карта урока по теме «Основное свойство дроби 5 класс»	Глушич Ирина Анатольевна	5 Сен 2015
документ	Тест по теме «Сокращение обыкновенных дробей»	Проскурина Галина Владимировна	19 Фев 2016
документ	Основное свойство дроби. Сокращение дробей	Танцура Ольга Ивановна	31 Мар 2015
документ	Тема: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АУКЦИОН (Основное свойство дроби. Сокращение дробей.)	Zaharova_SA	10 Апр 2015
документ	Основное свойство дроби. Сокращение дробей.	Лучко Вера Васильевна	15 Окт 2015
презентация	8 класс Алгебра Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Урок 1 и 2	Каримова Сания Рахимовна	19 Янв 2016
разное	Тренинг по математике для 6 класса по теме «Сокращение дробей» в 4-х вариантах	Макарова Татьяна Павловна	21 Мар 2015
презентация	Презентация к уроку по теме: «Основное свойство дроби»	Рутковская Ольга Михайловна	21 Мар 2015
документ	Конеспект урока математики по теме «Основное свойство дроби»	Путренок Наталья Николаевна	5 Сен 2015
презентация	Презентация к уроку о теме «Основное свойство дроби», 6 класс	Лактионова Марина Петровна	15 Окт 2015
презентация	Презентация к урок по теме: «Сокращение дробей», 6 класс	Лактионова Марина Петровна	15 Окт 2015
презентация, документ	Разработка урока по математике в 6 классе по теме «Умножение дробей» и «Нахождение дроби от числа».	Сидоренко Наталья Петровна	15 Дек 2015
документ	Конспект урока по теме «Сокращение алгебраических дробей»	Завьялова Александра Николаевна	14 Ноя 2015
разное	Разработка урока математики в 6 классе по теме «Сокращение дробей»	Дьякова Гозиля Махматовна	21 Мар 2015
презентация, документ	Конспект урока математики в 6 классе по теме «Основное свойство пропорции»	Полазникова Наталья Николаевна	20 Ноя 2015
документ	план-конспект урока в 6 классе по теме: «Основное свойство пропорции»	Башкирцева Ольга Сергеевна	14 Ноя 2015
разное	Интерактивный тест по теме «Умножение и деление рациональных дробей. Возведение дроби в степень». Алгебра 8 класс	Ковалева Инга Михайловна	1 Апр 2015
презентация, документ	Урок по теме «Алгебраическая дробь, сокращение дробей», 7 класс	Родионова Надежда Владимировна	1 Апр 2015
	Карточки экспресс-диагностики по теме «Сокращение дробей» 6 класс	Александрова Евгения Викторовна	10 Янв 2018
документ	Конспект урока по теме «Сокращение алгебраических дробей» выполнила учитель математики МБОУ «СОШ №24» Молчанова Ирина Павловна	Молчанова Ирина Павловна	23 Апр 2015
презентация	Презентация к уроку по теме «Сокращение алгебраических дробей»	Завьялова Александра Николаевна	14 Ноя 2015
документ	Тест по математике по теме «Умножение десятичных дробей», 5 класс	Григорьева Елена Федоровна	5 Сен 2015
документ	Урок математики для 6 класса «Основное свойство дроби»	Авдеева Ирина Васильевна	21 Мар 2015
документ	Урок математики для 6 класса «Основное свойство дроби»	Авдеева Ирина Васильевна	21 Мар 2015
документ	План-конспект урока по теме: «Пропорция. Основное свойство пропорции». Урок на основе технологии модерации	Малетина Ирина Алексеевна	1 Апр 2015
документ	Технологическая карта урока по математике в 1 классе по теме «Переместительное свойство сложения» УМК «Школа 21 века»	Безделина Елена Анатольевна	6 Дек 2015
презентация	Презентация «Алгебраические дроби, сокращение дробей». (Алгебра, 7 класс.)	Клюева Татьяна Николаевна	19 Ноя 2015
документ	тест по математике 6класса по теме: «Обыкновенные дроби. »	Гончаренко Любовь Викторовна	1 Апр 2015
документ	Тест по математике для 4 класса по теме » Дроби»	Мирошник Елена Андреевна	18 Окт 2015
документ	План — конспект урока математики «Основное свойство дроби»	Суровцова Надежда Ивановна	21 Мар 2015
презентация	Презентация «Основное свойство дроби»	Бех Оксана Николаевна	14 Янв 2016
разное	Презентация по математике 5 класс по теме «Доли и дроби»	Хазиахметова Гузалия Сабирахметовна	6 Июн 2015
документ	Урок по математике 6 класс «Обыкновенные дроби»	Овчарова Людмила Васильевна	1 Апр 2015
разное	Урок по математике в 6 классе по теме «Умножение дробей»	Зубенко Надежда Александровна	1 Апр 2015
разное	тест по математике «Обыкновенные дроби»	Душина Людмила Александровна	1 Апр 2015

Поиск материала «Тестовые материалы для оценки качества обучения, Математика, 6 класс, Гусева И.

Л., 2012» для чтения, скачивания и покупки
Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.
Search results:
Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки…
Тестовые материалы для оценки качества обучения — Гусева И.Л. и др. Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования.
11klasov.net
Скачать бесплатно Математика. 6 класс. Тестовые материалы…
Тестовые материалы для оценки качества обучения — Гусева И. Л. и др. cкачать в PDF. Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования. Ученик получит возможность провести самоконтроль знаний, родители — контроль уровня обученности ребёнка по предмету.
fizikadlyvas.net

Купить эту книгу

Канцтовары
Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради. Ранцы, рюкзаки, сумки. И многое другое.
my-shop.ru
Московский центр качества образования
Г96 Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика. 6 класс: [учебное пособие] / И.Л. Гусева,С. А. Пушкин,Н. В. Рыбакова; [под общ. ред. А. О. Татура]; Московский центр ка чества образования.
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством ис пользования на учебных занятиях элементов тестирования.
testuser7.narod.ru
Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки…
Тестовые материалы для оценки качества обучения. Гусева И.Л. и др.
Содержание Введение 4 Тематические тесты 6 Тест № 1. Делимость натуральных чисел 6 Тест № 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 10 Тест № 3. Сравнение, сложение и вычитание дробей 12 Тест № 4. Умножение обыкновенных дробей 14 Тест № 5. Нахождение дроби от числа 16 Тест № 6. Деление обыкновенных дробей 18 Тест № 7. Нахождение числа по его дроби 20 Тест № 8. Дробные выражения 22 Тест № 9. Отношения 24 Тест № 10.
at.alleng.org
Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки…
Тестовые материалы для оценки качества обучения. Гусева И.Л. и др.
Содержание Введение 4 Тематические тесты 6 Тест № 1. Делимость натуральных чисел 6 Тест № 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 10 Тест № 3. Сравнение, сложение и вычитание дробей 12 Тест № 4. Умножение обыкновенных дробей 14 Тест № 5. Нахождение дроби от числа 16 Тест № 6. Деление обыкновенных дробей 18 Тест № 7. Нахождение числа по его дроби 20 Тест № 8. Дробные выражения 22 Тест № 9. Отношения 24 Тест № 10.
alleng.net
Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки…
Тестовые материалы для оценки качества обучения. Гусева И.Л. и др.
Содержание Введение 4 Тематические тесты 6 Тест № 1. Делимость натуральных чисел 6 Тест № 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 10 Тест № 3. Сравнение, сложение и вычитание дробей 12 Тест № 4. Умножение обыкновенных дробей 14 Тест № 5. Нахождение дроби от числа 16 Тест № 6. Деление обыкновенных дробей 18 Тест № 7. Нахождение числа по его дроби 20 Тест № 8. Дробные выражения 22 Тест № 9. Отношения 24 Тест № 10.
alleng.alleng.me
Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки…
Тестовые материалы для оценки качества обучения. Гусева И.Л. и др.
Содержание Введение 4 Тематические тесты 6 Тест № 1. Делимость натуральных чисел 6 Тест № 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 10 Тест № 3. Сравнение, сложение и вычитание дробей 12 Тест № 4. Умножение обыкновенных дробей 14 Тест № 5. Нахождение дроби от числа 16 Тест № 6. Деление обыкновенных дробей 18 Тест № 7. Нахождение числа по его дроби 20 Тест № 8. Дробные выражения 22 Тест № 9. Отношения 24 Тест № 10.
test.alleng.net
Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки…
Тестовые материалы для оценки качества обучения. Гусева И.Л. и др.
Содержание Введение 4 Тематические тесты 6 Тест № 1. Делимость натуральных чисел 6 Тест № 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 10 Тест № 3. Сравнение, сложение и вычитание дробей 12 Тест № 4. Умножение обыкновенных дробей 14 Тест № 5. Нахождение дроби от числа 16 Тест № 6. Деление обыкновенных дробей 18 Тест № 7. Нахождение числа по его дроби 20 Тест № 8. Дробные выражения 22 Тест № 9. Отношения 24 Тест № 10.
uchebniki.alleng.me
Тестовые материалы для оценки качества обучения.
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе.
Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Просмотр содержимого документа «Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика 6 класс И.Л. Гусева».
demo.multiurok.ru
Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки…
Тестовые материалы для оценки качества обучения — Гусева И.Л. и др.
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования.
psschool.ru
Математика: 6 класс. Тестовые материалы для оценки. ..
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе.…сти самоконтроль знаний, родители — контроль уровня обученности ребёнка по предмету.
Тестовые материалы для оценки качества обучения. Скачать книгу (fb2, 96 страниц, 483 Kb).
fb2lib.ru
Тестовые материалы для оценки качества обучения.
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации..
Просмотр содержимого документа «Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика 6 класс И.Л. Гусева».
multiurok.ru
Гусева И.Л. и др. Математика. 6 класс. Тестовые материалы…
Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки качества обучения.
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования.
www.psyoffice.ru
Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В. Тестовые материалы…
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов
Кодификатор элементов обязательного минимума содержания по математике для 5-6 классов основной школы. Спецификация итогового теста. Требования к уровню подготовки выпускников (для учащихся 5-6-го классов). Рекомендации по использованию материалов…
www. studmed.ru
И.Л. Гусева. Тестовые материалы для оценки качества…
Математика 6 класс Авторы: И.Л. Гусева, С.А. Пушкин, Н.В. Рыбакова Издательство: Интеллект-Центр Год выпуска: 2012 ISBN: 978-5-09-89790-862-2 Кол-во страниц: 96 Размер архива: 9.68 МБ Формат: pdf Аннотация: Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в
Для того, чтобы запустить учебник, его нужно изъять из архива (Мы архивируем файлы для того, чтобы уменьшить его размер, тем самым ускорить время скачивания файла). Изъять его из архива можно с помощью программы WinRAR (нажмите, чтобы скачать).
www.helpteaching.ucoz.ru
Тестовые материалы для оценки качества обучения.
Автор: Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В.Название: Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика 6 классИздательство: М.: Интеллект-Центр Год: 2012Страниц: 98Язык: Русский Формат: pdfРазмер: 10 Мб Сборник предназначен для
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования.
litgu.ru
Тестовые материалы для оценки качества обучения.
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе.
Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Просмотр содержимого документа «Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика 6 класс И.Л. Гусева».
demo.multiurok.ru
Математика: 6 класс. Тестовые материалы для оценки…
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе.…сти самоконтроль знаний, родители — контроль уровня
Гусева Л.И.: Математика: 6 класс.
Жанр: Экзаменационные материалы Издательство: Интеллект-Центр, 2015.
www.fb2club.ru
Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В. Тестовые материалы…
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов
Кодификатор элементов обязательного минимума содержания по математике для 5-6 классов основной школы. Спецификация итогового теста. Требования к уровню подготовки выпускников (для учащихся 5-6-го классов). Рекомендации по использованию материалов…
www.studmed.ru
Тестовые материалы для оценки качества обучения.
Математика, Тесты, 6 класс, Тестовые материалы для оценки качества обучения.
Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Просмотр содержимого документа «Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика 6 класс И.Л. Гусева».
multiurok.ru
Тестовые материалы для оценки качества обучения.
Математика, Тесты, 6 класс, Тестовые материалы для оценки качества обучения.
Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Просмотр содержимого документа «Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика 6 класс И.Л. Гусева».
multiurok. ru
Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки…
Тестовые материалы для оценки качества обучения — Гусева И.Л. и др. Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования.
cdnpdf.com
1-11klasses Математика. 6 класс. Тестовые материалы для…
6 класс. Тестовые материалы для оценки качества обучения — Гусева И.Л. и др. cкачать в PDF. Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования. Ученик получит возможность провести самоконтроль знаний, родители — контроль уровня обученности ребёнка по предмету.
1-11klasses.ru
Скачать Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В. Тестовые…
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на…
Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В. Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика. 6 класс. Файл формата pdf.
eruditor.io
Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки…
Тестовые материалы для оценки качества обучения — Гусева И.Л. и др.
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования.
school-textbook.com
Скачать книгу автора Гусева Л.И. «Математика: 6 класс.»
Книга Математика: 6 класс. Тестовые материалы для оценки качества обучения автора Гусева Л.И.. Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе.
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования.
www.knidky.ru
Математика. 5 класс. Тестовые материалы для оценки. ..
Тестовые материалы для оценки качества обучения — Гусева И.Л. Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 5 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования.
11klasov.net
Тестовые материалы для оценки качества обучения… | ГДЗ
Здесь представлены ответы к тестовым материалам для оценки качества обучения математика 6 класс Гусева, Пушкин, Рыбакова. Вы можете смотреть и читать гдз онлайн (без скачивания) с компьютера и мобильных устройств. Выберите номер теста.
spishi.me
Скачать бесплатно Математика. 5 класс. Тестовые материалы. ..
Тестовые материалы для оценки качества обучения — Гусева И.Л. cкачать в PDF. Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 5 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования.
fizikadlyvas.net
Ответы к тестовым материалам для оценки качества обучения…
На нашем учебном портале вы найдете решебник к тестовым материалам для оценки качества обучения по математике для 6 класса Гусева, Пушкин, Рыбакова от Путина. С его помощью справляться со школьными проверочными и самостоятельными работами станет гораздо проще.
1001gdz.me
Алгебра. 8 класс. Тестовые материалы для оценки качества. ..
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по алгебре в 8 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях
Ученик получит возможность провести самоконтроль знаний, родители — контроль уровня обученности ребенка по предмету. Администрацией школ сборник может быть использован для определения уровня усвоения учебного материала учащимися и корректировки процесса обучения в…
11klasov.net
Книга: «Математика. 6 класс. Тестовые материалы для оценки…»
Тестовые материалы для оценки качества обучения Гусева И.Л.,Пушкин С.А.,Рыбакова Н.В. Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе.
Сборник предназначен для оценки качества обучения учащихся по математике в 6 классе. Он будет также полезен при подготовке к итоговой аттестации. Сборник поможет учителю повысить эффективность проведения уроков посредством использования на учебных занятиях элементов тестирования.
www.labirint.ru

На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «Тестовые материалы для оценки качества обучения, Математика, 6 класс, Гусева И.Л., 2012»
Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс.XML.
Нашлось 28 млн ответов. Показаны первые 32 результата(ов).
Дата генерации страницы: понедельник, 22 августа 2022 г., 11:33:53 GMT
Сокращение алгебраических дробей (7-й класс)
Цели:
систематизировать знания учащихся,

совершенствовать навыки сокращения алгебраических дробей,

развивать творческую самостоятельность учащихся, формировать интерес к предмету.

План урока:
Организационный момент.

Обобщение и закрепление ранее изученного материала.

Итог урока.

Домашнее задание.

Оснащение урока:
Раздаточный материал.

Карточки для игр “Лото” и “Математическое домино”.

Мультимедийная приставка.

Ход урока
I. Организационный момент.
(Урок начинается со стихотворения, которое зачитывает ученик у доски).

Сегодня в дроби я попал
Загрустил, затосковал.
Ох, и сложное же положение
Научиться выполнять деление.
Мысли путаются все
В моей умной голове.
Как же дроби сократить?
Что на что мне разделить?
Есть числитель, знаменатель
Разлагать умею я
Помогите мне, друзья.

(Учитель прикрепляет портрет грустного человека)

Учитель:
— О какой помощи вас просит Антон? (Научить сокращать дроби)
— А что значит сократить дробь?
— В виде чего должны быть представлены числитель и знаменатель дроби?
— Какие способы разложения на множители вы знаете? (В ходе беседы с учащимися на доске появляется схема)
— Расскажите алгоритм сокращения дробей.

II. Обобщение и закрепление ранее изученного материала.
Учитель:
Итак, тема нашего урока “Сокращение алгебраических дробей” (записывают в тетрадях).

Цель: закрепить навыки сокращения дробей.

1. Устная работа.
Учитель:

Так как единственный путь, ведущий к знанию – это деятельность. Предлагаю выполнить следующие задания:
У доски:
1. № 690(а) из домашнего задания.
2. Решить уравнение х (х – 1) – (х – 5)² = 2.
3. Собрать “домино” (приложение 1).
4. На местах несколько человек выполняют на листочках тест.

Тест “Сокращение дробей”
Сократить дробь:
1. А. Б. В.
2. A. Б. В.
3. А. Б. – В.
4. А. – 1 Б. В.
5. А. Б. В.
С остальными учащимися проводится фронтальная работа:
(Презентация, слайд № 2, 3, 4, 5)
1. При каком значении переменной дробь не имеет смысла , ?
2. Можно ли сократить дробь ?
3. При каком значении n верно равенство ? Что выражает это равенство?
4. Сократите дробь:, , , .
Проверка отвечающих у доски.

Учитель:
— Одним из основных умений при сокращении дробей является разложение многочлена на множители. Проверим, готовы ли мы к сокращению дробей.
(Учащимся выдаются листочки с заданиями. Необходимо найти для многочлена, который записан в левом столбце, его разложение в правом столбце. Выполняют задание по вариантам.)
1 вариант
1. 49 + 14у + у²;     А) (7 – у)(7 + у)
2. 2у² – 20у + 50;     Б) (у – 5)(у² + 5у + 25)
3. х³– х²у;     В) 2(у – 5)²
4. 49 – у²;     Г) (7 + у)²
5. у³ – 125;     Д) (у – 3)³
6. у³ – 9у² + 27у – 27;     Е) х²(х – у)
2 вариант
1. 25 – х²;     А) (х + 5)²
2. 3х² – 30х + 75;     Б) (х – 2)³
3. 125 – х³;     В) 3(х – 5)²
4. х² + 10х + 25;     Г) (5 – х)(5 + х)
5. х³ – 6х² + 12х – 8;     Д) х³(х – у)
6. х⁴ – х³у;     Е) (5 – х)(25 + 5х + х²)
Дополнительное задание для тех учащихся, кто работает быстро:
Составьте из двух многочленов левого или правого столбца дробь так, чтобы можно было выполнить сокращение дроби и сократите дробь. (Проверка-презентация, слайд № 6, 7)
Ответ: Г, В, Е, А, Б, Д.
(Предлагаю учащимся оценить себя: “5” — нет ошибок; “4” — 1 ошибка; “3” — 2 ошибки).

Учитель:
(Вопросы на закрепление материала)
1) Чему равен квадрат суммы двух выражений?
2) Чему равна разность кубов двух выражений?

2. Парная работа.
Учитель:

“Изучать материал не размышляя, все равно, что есть не переваривая”.
Поразмышляем в парах:
Ученикам предлагается карточка лото на выбор. На красной карточке задание более сложное, на синей – более простое.

Этими карточками — ответами учащиеся накрывают соответствующую дробь на карточке синего или красного цвета. Среди этих ответов есть лишние.
Работают в тетрадях, помогая друг другу.
Задание: для красной карточки, — какой одночлен надо поставить вместо многоточия, чтобы дробь можно было сократить и выполните сокращение; для синей карточки – сократить дробь. (Проверка-презентация, слайд № 8, 9)
Вопросы во время проверки:
Как в первом примере числитель записать в виде произведения?

Почему в знаменателе записали (2х – у)(2х + у), а не (4х – у)(4х + у)?

Что означает запись (х – 2)²?

Какая “ловушка” подстерегала в 4 примере? (почему появился знак минус)?

3. Найди ошибку.
Учитель:
Каждому человеку свойственно ошибаться. Не ошибается только тот, кто ничего не делает.

“Давайте понимать друг друга с полуслова,
Чтоб ошибившись раз, не ошибиться снова”.

Проверьте равенства:
(Презентация, слайд № 10, 11)
1)
2) =
3)
4)
5)
6)

Учитель:
Возьмем минутку отдыха.
Решите анаграммы и исключите лишнее слово:
БОДЬР, ОФСИЗМ, ЛЕНОМГОЧН. (Определение слова “софизм”)

4. Самостоятельная работа.
Учитель: “Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед”.
Выполним самостоятельную работу.
(Презентация, слайд № 12, 13, 14, 15, 16)
1 вариант
Задания группы А:
1.
2.
3.
4.
5.
Задания группы В:
6.
7. Зная, что 5а – 10в = 18 найдите значение выражения
2 вариант
Задания группы А:
1.
2.
3.
4.
5.
Задания группы В:
6.
7. Зная, что 3х – 9у = 1, найдите значение выражения .

III. Итог урока.
Учащиеся за выполненные задания группы А самостоятельной работы, обменявшись тетрадями выставляют друг другу оценки. (Сколько плюсов, такая и оценка). Задания группы В оцениваются учителем после урока.

Учитель:
Итак, мы на уроке закрепили навыки сокращения алгебраических дробей. Сформулируйте алгоритм сокращения алгебраических дробей.

IV. Домашнее задание.
Учитель:

Но если будешь дроби знать
Точно смысл их понимать,
Станет легкой даже трудная задача.

(Учитель переворачивает портрет грустного человека).
(Учащимся раздаю маленькие портреты этого человека, где на обратной стороне записаны дроби для д/з)
Ребята! В домашнем задании вам необходимо исключить лишнюю дробь: , , , . Найти значение любой из оставшихся дробей при значении х, которое вы получите, выполнив задание 706 (в) при х = 1, у = 1379. Полученное значение дроби укажет номер следующего задания.
Успехов вам в дальнейшем изучении дробей!
Математика: Тесты на уроках

Выражаем благодарность веб-сервису uCoz за поддержку сайта

«Образование — величайшее из земных благ,
если оно наивысшего качества.
В противном случае оно совершенно бесполезно»

наш фамильный сайт

Математика: приложения
материалы к уроку

Главная
Тесты
Таблицы
Ребусы
Плакаты
Кроссворды*
На уроке
Настройки
Слайд-шоу
Нестандартные уроки
Отзывы

gif»>

[email protected]

Тесты на уроках

Предлагаем серию интерактивных тестовых программ.
Мини-тесты, тесты-минутки, тесты-ФГОС,

тренажеры и т.д.

Тест-минутка

Предлагаем серию программ, под названием «тест-минутка». В начале, середине или в конце урока — тест, буквально на минутку. Ученик называет термин, нажимает кнопку и получает ответ. Программа пользуется успехом в младшем звене и не только…

Числовые и буквенные выражения

Сложение, вычитание (компоненты)

Умножение, деление (компоненты)

Куб числа или квадрат числа?

Сколько? (натуральные числа)

Найди объем каждой фигуры

Свойства сложения

Найди площадь каждой фигуры

Сумма, разность (устно)

Уменьшаемое, вычитаемое, разность

Заполни таблицу (делимое, делитель, частное)

Заполни таблицу (квадраты чисел)

Заполни таблицу (квадраты чисел) — 2

Заполни таблицу (кубы чисел)

Первое, второе слагаемое, сумма

Заполни таблицу (множители, произведение)

Умножение, деление (устно)

Решите уравнение

Действия по цепочке

Решите уравнение (цифры)

   Мини-тест

Тест содержит три-четыре текстовых блока, в которые вводятся проверяемые утверждения. Если ввести свои высказывания, истинные или ложные, то у вас будет готовый мини-тест.

Мини-тест «Натуральные числа»

Мини-тест «Отрезок»

Мини-тест «Плоскость»

Мини-тест «Шкала»

Мини-тест «Больше»

Мини-тест «Сложение»

Мини-тест «Дроби»

Мини-тест «Угол»

ФГОС: интерактивные тесты

Тесты к учебнику Н. Я. Виленкина и др. Каждый тематический блок содержит 8-12 заданий в каждом из 2 вариантов.
В качестве заданий использованы материалы официальных сборников. Выводится объем выполненной работы (в %), и итоговая оценка.

5 класс:
Натуральные числа

Сложение, вычитание натуральных чисел

Числовые и буквенные выражения. Уравнения.

Умножение и деление натуральных чисел

Законы арифметических действий

Среднее арифметическое

Делители и кратные

Степень числа. Квадрат и куб числа

6 класс:

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Наибольший общий делитель. НОК

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение дробей. Сложение и вычитание

Сложение и вычитание смешанных чисел

Умножение дробей

Нахождение дроби от числа

Тематические тренажеры

Представлена возможность выбора заданий, вывода результатов (в %), просмотра ответов для проверки, запуск калькулятора, использование таблиц.

Натуральные числа

Сложение, вычитание натуральных чисел

Числовые и буквенные выражения. Уравнения.

Умножение и деление натуральных чисел

Законы арифметических действий

Среднее арифметическое

Делители и кратные

Степень числа. Квадрат и куб числа

Тренажеры для детей

Таблица умножения

Считаем до 5 или до 10

Считаем до 10 (+ или -)

gif»>

А также …

Программа для резки рисунка на равные по размерам части

подробнее . ..

Кроссворд с настройками на уроке !!!

подробнее …

математика математика

© 2018 сайт «Компьютер на уроке»   Сенин В. Г., Сенина Г.Н., МБОУ «СОШ № 4», г. Корсаков

Урок-презентация «Сокращение дробей» презентация, доклад, проект
Слайд 1Текст слайда:
Урок математики.
6 класс.
Слайд 2Текст слайда:
Тема урока.
Сокращение дробей.
Слайд 3Текст слайда:
Отработка правил.
Устные тесты.
Упражнения по теме.
Математический диктант.
Повторение. Задача на дроби.
Задача на НОК.
Итог урока.
План урока.
Слайд 4Текст слайда:
Что называют сокращением дроби?
Повторите правило.
Слайд 5Текст слайда:
Что называют сокращением дроби?
Повторите правило.
Слайд 6Текст слайда:
Какую дробь называют несократимой?
Повторите правило.
Слайд 7Текст слайда:
Выбери правильный вариант ответа.
Тест.
Слайд 8Текст слайда:
Выбери правильный вариант ответа.
Тест.
Слайд 9Текст слайда:
Выбери правильный вариант ответа.
Тест.
Слайд 10Текст слайда:
Выбери правильный вариант ответа.
Тест.
Слайд 11Текст слайда:
Выбери лишнее число в ряду.
Тест.
Слайд 12Текст слайда:
Выбери лишнее число в ряду.
Тест.
Слайд 13Текст слайда:
Выбери лишнее число в ряду.
Тест.
Слайд 14Текст слайда:
Выбери лишнее число в ряду.
Тест.
Слайд 15Текст слайда:
Выбери лишнее число в ряду.
Тест.
Слайд 16Текст слайда:
Выбери лишнее число в ряду.
Тест.
Слайд 17Текст слайда:
Выбери лишнее число в ряду.
Тест.
Слайд 18Текст слайда:
Расшифруйте название растения, которое растет не только в пустынях, но и на подоконниках в школе.
Самостоятельно в тетради. № 1.
Слайд 19Текст слайда:
Числа ; и изображены на координатном луче. Какая точка какое из чисел изображает?
O B A X
№ 2.
Р е ш е н и е.
Слайд 20Текст слайда:
№ 3.
Слайд 21Текст слайда:
На 0 нельзя сократить ни одну дробь.
На 0 сокращаются все дроби.
Если дробь сокращается на 2 и на 5, то она сокращается и на 10.
Если дробь сокращается на 2 и на 5, то она сокращается и на 7.
Верно ли утверждение:
Если числитель и знаменатель дроби имеют НОД равный 1, то эта дробь несократимая.
Тест.
Слайд 22Текст слайда:
Какую часть развернутого угла составляет угол в 40°?
Математический диктант.
Слайд 23Текст слайда:
Какую часть развернутого угла составляет угол в 40°?
Математический диктант.
Слайд 24Текст слайда:
Ответы.
Слайд 25Текст слайда:
Повторение.
Самостоятельно по вариантам.
Вобла при вялении теряет
своей массы.
Сколько получится вяленой воблы из 1 т свежей воблы?
I вариант
II вариант
Бригада засеяла 840 га
земли, выполнив
нормы. Сколько га земли надо было засеять по норме?
Ответ:
Ответ:
Слайд 26Текст слайда:
I вариант
II вариант
получится
520 кг вяленой рыбы.
норма составляет 490 га.
Решение.
Ответ:
Ответ:
Слайд 27Текст слайда:
Саша ходит на теннисный корт один раз в 3 дня, Вася — один раз в 4 дня, а Ваня — в 5 дней. Они встретились на корте в этот понедельник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся снова?
Число, показывающее через сколько дней они
встретятся вновь является НОК ( 3,4,5 ).
Повторение. Задача по теме НОК.
Решение.
1) НОК ( 3,4,5 ) = 60, значит они встретятся через 60 дней.
Слайд 28Текст слайда:
Приведите пример несократимой дроби, у которой числитель и знаменатель составные числа.
Итог урока.
Что называют сокращением дробей?
На какое наибольшее число можно сократить дробь?
Какая дробь называется несократимой?
Приведите пример несократимой дроби.
Скачать презентацию
ГДЗ по Алгебре 8 класс: Макарычев. Подробный решебник учебника.
Готовые домашние задания для 8 класса по алгебре Макарычева
Пособие с пояснениями от Ответкина – это не просто краткие материалы для списывания, но надежный помощник восьмиклассника. С его помощью школьник сможет разобраться с трудными темами, понять алгоритм выполнения той или иной задачи, проверить правильность собственных ответов. Ученику не придется краснеть от вопроса учителя: «Каким образом ты получил эти цифры?». Он сможет показать подробное решение примера, объяснить, почему использовал тот или иной метод, опираясь на материалы решебника.
Наш сайт пользуется спросом не только у школьников, но и у их родителей. Многие из них уже забыли учебную программу по алгебре за 8 класс, но хотят проверять правильность домашнего задания своего ребенка.
В чем преимущества ГДЗ от Ответкина?
Проверенные и актуальные данные. Мы подобрали решебники только к свежим актуальным учебникам, по которым обучаются в большинстве школ РФ. На нашем сайте школьникам не нужно тратить лишнее время на поиск необходимого задания – нумерация каждого ответа соответствует номерам в книге. В отличие от других ГДЗ все материалы Ответкина перепроверены на наличие опечаток, поэтому ученики могут не сомневаться в правильности решений.
Подробные комментарии. Нашему учебному пособию нет аналогов – здесь учащийся найдет все необходимое для усвоения темы и правильного выполнения домашнего задания. Кроме короткого ответа для быстрой записи в тетрадь есть подробные комментарии, по которым можно понять принцип решения примера. Впоследствии школьник сам сможет выполнять аналогичные задачи.
Экономия средств. Наш образовательный портал предоставляет ГДЗ на бесплатной основе, что поможет сэкономить деньги и время на репетиторах.
Только конкретная информация. Подсказки и подробные комментарии от Ответкина адаптированы к каждому упражнению. То есть, в ответе нет ничего лишнего, что могло бы отвлечь от темы и занять дополнительное время.
Удобство пользования сайтом. Мы учли, что учащиеся любят просматривать готовые домашние задания со смартфона, поэтому специально подобрали удачный шрифт, расположили текст вертикально. Чтобы быстро найти решение, сидя на уроке в школе – достаточно ввести номер примера в поисковую строку и открыть ответ.
Главная задача Ответкина – приучить школьников к самостоятельности, дать им возможность понять предмет, поднять свою успеваемость на бесплатной основе.
Уникальные подробные решения с пояснениями Ответкина
Школьную программу по алгебре за 8 класс нельзя назвать легкой. Знакомство с иррациональными числами, преобразованием дробей, статистикой, способами решения квадратных и дробных рациональных уравнений – часто заводят восьмиклассников в тупик. Стоит ученику пропустить несколько уроков, быть невнимательным при изучении новой темы и он уже не сможет без чьей-либо помощи нагнать материал.
Перед родителями встает проблема: где искать репетиторов, как выбрать хорошего преподавателя, который точно поможет ребенку? Требуется время, чтобы далеко ездить к учителю и деньги на оплату дополнительных занятий. Но Ответкин предлагает лучшую альтернативу дорогим курсам и репетиторам. С помощью нашего сайта школьники смогут быстро исправить свои оценки, самостоятельно разобраться в сложных темах.
Почему родители предпочитают Ответкина вместо репетиторов?
Простое и быстрое решение проблемы. Отпадают сложности с поиском учителя, который действительно знает свой предмет и умеет объяснять материал в доступной форме. Не нужно тратить время на дорогу туда и обратно, расходовать деньги.
Родительский контроль. Репетитор встречается с учеником максимум 2-3 раза в неделю. Но родители, получив доступ к готовым домашним заданиям, могут сами контролировать своего ребенка, проверять его тетрадь каждый день.
Развитие самостоятельности. При правильном использовании решебника школьник приучает себя к самостоятельности: проверяет правильность выполнения домашнего задания, проводит работу над ошибками, разбирается с непонятными моментами.
Круглосуточный доступк ГДЗ. С окончанием занятий на помощь учителя рассчитывать не приходится, но наш сайт выручает учащихся в любое время суток. Чтобы узнать правильное решение даже не обязательно находиться за компьютером, зайти на Ответкин можно с любого смартфона.
Наши решебники с алгоритмом выполнения заданий не имеют аналогов. В сравнении с ними даже видео ответы оставляют желать лучшего. Как правило, спикер монотонно говорит около 10 минут, по сути, пересказывая краткое решение. Но он не объясняет важные нюансы в упражнении, не погружается в теорию, которая помогла бы лучше усвоить новую тему.
Как пользоваться сайтом и открыть ответ с комментарием?
Устройство нашего сайта простое и понятное. Им с легкостью могут пользоваться как школьники, так и их родители. Для быстрой навигации по порталу краткие ответы записаны на белом фоне, а подробные на цветном. Если пользователь хочет увидеть алгоритм решения задачи — он открывает комментарии, которые выделены цветом.
Незарегистрированным пользователям доступны только короткие ответы для записи в тетрадь. Подробный алгоритм выполнения задачи и комментарии откроются после авторизации.
Зарегистрироваться на Ответкине можно двумя способами:
Способ 1 – через социальные сети. Нажмите рядом с кнопкой «Войти» значок гугл аккаунта, Вконтакте или любой другой. Подтвердите вход, согласитесь с правилами пользования сайтом. Автоматически у вас создается аккаунт, в который вы сможете заходить через социальную сеть.
Способ 2 – с использованием почтового ящика. Введите в поле «E-mail» точный адрес вашей почты. Ожидайте ссылки, нажав на которую вы активизируете свой аккаунт и сможете беспрепятственно пользоваться сайтом.
После регистрации вы получите доступ в ваш личный кабинет. Здесь вы сможете поменять пароль и, при желании, подписаться на рассылку с сайта. В личном кабинете каждому пользователю предоставлена бесплатная подписка. Это значит, что на бесплатной основе вы сможете открыть 3 ответа в сутки с подробными комментариями и пояснениями. Каждое из открывшихся решений можно просматривать много раз, оно будет храниться в истории личного кабинета в течение 24 часов. Там же будет указано, сколько еще времени доступно данное задание.
Если есть необходимость в просмотре большего количества ответов в день – нужно приобрети ежемесячную платную подписку. Стоимость ее символическая, все тарифы можно увидеть внутри личного кабинета. При оформлении платной подписки в вашем профиле также исчезнет реклама.
Решебник алгебры восьмого класса к учебнику Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворова
Учебное пособие с подробными ответами и комментариями за 8 класс составлено на основе учебника Макарычева 2013 года. Он соответствует ФГОС, является частью трехлетнего курса алгебры в общеобразовательных школах Российской Федерации. Все номера готовых домашних заданий совпадают с нумерацией учебника.
Содержание алгебры восьмого класса включает 43 темы, 13 параграфов и 5 глав. Система упражнений в каждом пункте построена на пошаговом усложнении трудности задач — от самых простых примеров к более сложным. В качестве основных и дополнительных заданий есть нестандартные, они размещены в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше». Учебник содержит немало номеров, где школьники должны перейти от описания реальной ситуации к уравнению. Это дает им начальный опыт в использовании способов наглядного представления данных.
Решебник от Ответкина по алгебре 8 класса помогает с изучением следующих тем и математических определений:
Рациональные дроби и действия над ними: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Сложение и вычитание дробей с разными и одинаковыми знаменателями. Сокращение дробей.
Квадратные корни и их свойства. Нахождение примерных значений квадратного корня. Преобразование выражений, содержащих квадратный корень. Вынесение множителя за и под знак квадратного корня. Нахождение квадратного корня из дроби, степени, произведения. Преобразование двойных радикалов.
Квадратные уравнения и решение задач с их помощью. Теорема Виета. Дробные рациональные уравнения и задачи с ними. Уравнения с параметром.
Числовые неравенства, их свойства, сумма и разность числовых неравенств. Числовые промежутки. Погрешность. Точность приближения. Доказательства неравенств.
Степень и ее свойства. Степени с целым показателем и с целым отрицательным показателем. Стандартный вид числа.
Начальное представление о статистике. Сбор статистических данных и их группировка. Наглядность статистической информации. Среднее квадратичное отклонение. Дисперсия.
Мы надеемся, что с помощью Ответкина восьмиклассники смогут решить свои проблемы с успеваемостью по алгебре, понять и даже полюбить этот непростой предмет. Надежный советчик в виде нашего сайта поможет разобраться в пропущенных темах, дойти до 9 класса без пробелов в математических знаниях.
Популярные решебники
ГДЗ по Алгебре 8 класс: Макарычев Ю.Н.
Издатель: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2013-2022г.
ГДЗ по Алгебре 8 класс: Мордкович А.Г.
Издатель: А.Г. Мордкович — Мнемозина, 2010-2013г.
ГДЗ по Алгебре 8 класс: Мерзляк А.Г.
Издатель: А.Г. Мерзляк — Вентана-Граф, 2013-2022г.
Упрощение дробей — Примеры | Как упростить дроби?
Упрощение дроби означает приведение дроби к простейшей форме. Дробь имеет простейшую форму, если ее числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1. Важным шагом, который мы делаем, решая задачи с дробями, является приведение их к простейшей форме. Хотя мы упростим их, значение дроби останется неизменным. Это означает, что упрощенная дробь и фактическая дробь образуют пару эквивалентных дробей. В этой статье мы познакомимся с несколькими простыми способами упрощения дробей.
1. Как упростить дроби?
2. Упрощение дробей с переменными
3. Упрощение дробей с показателями
4. Упрощение смешанных дробей
5. Упрощение неправильных дробей
6. Часто задаваемые вопросы об упрощении дробей
Как упростить дроби?
Упрощение дроби означает приведение дроби к наименьшей форме. Дробь находится в простейшей форме, если ее числитель и знаменатель взаимно просты или не имеют общих делителей, кроме 1. Простейшая форма дроби эквивалентна данной дроби. Например, дробь 3/4 имеет простейшую форму, потому что 3 и 4 не имеют общего делителя, кроме 1. Попробуем шаг за шагом упростить дробь 8/24.
Упрощение дробей шаг за шагом
Ниже приведен пошаговый процесс, который поможет вам понять процесс упрощения дроби. Рассмотрим дробь 8/24 и выполните шаги, указанные ниже, чтобы понять, как упростить дробь 8/24.
Шаг 1: Запишите множители числителя и знаменателя.
Множители 8 и 24 равны
Множители 8: 1, 2, 4 и 8
Факторы 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24
Шаг 2: Определите общие делители числителя и знаменателя. Общие делители чисел 8 и 24 равны 1, 2, 4 и 8.
Шаг 3: Разделите числитель и знаменатель на общие делители, пока у них не будет общего делителя, кроме 1. Полученная таким образом дробь является простейшей форма. Начнем делить на 2, тогда 8/24 = (8/2)/(24/2) = 4/12. Мы будем продолжать делить на 2, пока не сможем двигаться дальше. Итак, мы имеем (4/2)/(12/2) = 2/6 = (2/2)/(6/2) = 1/3.

Таким образом, 1/3 является простейшей формой дроби 8/24.
Теперь давайте также обсудим простой способ упростить дроби. Мы можем максимально упростить сложную дробь, следуя процессу упрощения дроби. Чтобы найти упрощенную форму дроби, рассмотрим простой способ упростить дробь. Вот у нас три шестых пиццы.
Зачем говорить три шестых, если на самом деле ты имеешь в виду половину?

Упрощение дроби означает максимальное упрощение дроби. Быстрый способ найти простейшую форму дроби — это вычислить наибольший общий множитель. Следуйте инструкциям ниже, чтобы узнать кратчайший путь.
Шаг 1: Напишите множители числителя и знаменателя.
Шаг 2: Определите наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
Шаг 3: Разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (HCF). Полученная дробь имеет простейшую форму.
Вернемся к той же проблеме упрощения дроби 8/24. Наибольший общий делитель 8 и 24 равен 8. Разделив числитель 8 и знаменатель 24 на 8, мы сразу получим простейшую форму дроби, то есть 1/3. Итак, кратчайший способ разложить дробь на простейшие формы — это разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
Упрощение дробей с переменными
Также можно упростить дробь, содержащую переменные в числителе и знаменателе. Используйте развернутую форму каждого члена в числителе и знаменателе, чтобы облегчить вам упрощение дроби с переменными.
Давайте просто представим дробь (x ² y)/(xy).
Выразите числитель и знаменатель в виде произведения переменных.
(x ² y)/(xy) = (x × x × y)/(x × y)
Отменить общие переменные.
(x ² y)/(xy) = (x × x × y)/(x × y) = x
Надеемся, вам было легко упрощать дроби с переменными.
Упрощение дробей с показателями
Вы можете упростить дробь, содержащую показатели степени в числителе и знаменателе. Используйте развернутую форму показателей степени в числителе и знаменателе, чтобы облегчить вам упрощение дроби с показателями степени. Чтобы число было легко читаемым, мы иногда используем показатели степени. Предположим, у нас есть дробь 3 ⁵/3 ² . Мы представим числитель и знаменатель в виде произведения чисел, а затем сократим обычные числа.
3 ⁵ /3 ² = (3 × 3 × 3 × 3 × 3)/(3 × 3) = 3 × 3 × 3 = 27
Итак, вы, наконец, научились упрощать дроби с помощью экспоненты.
Упрощение смешанных дробей
Смешанная фракция представляет собой смесь целой и правильной фракции. Чтобы упростить смешанную дробь, нужно упростить только дробную часть. Для этого запишите числитель и знаменатель в разложенном виде и сократите общие множители. Результатом будут новый числитель и новый знаменатель смешанной дроби.
Например: Упростите смешанную дробь $3\dfrac{4}{10}$.
Чтобы упростить смешанную дробь $3\dfrac{4}{10}$, упростите только дробную часть. Запишите числитель и знаменатель дробной части в разложенном виде и сократите общие множители.
4/10 = (2 × 2)/(2 × 5) = 2/5
Следовательно, смешанная дробь $3\dfrac{4}{10}$ может быть упрощена как $3\dfrac {2}{5}$.
Упрощение неправильных дробей
Неправильными дробями считаются те, у которых числитель больше или равен знаменателю. Чтобы упростить неправильные дроби, нам нужно преобразовать их в смешанные дроби, а для этого нам нужно разделить числитель на знаменатель. Затем мы записываем его в форме смешанного числа, помещая частное как целое число, остаток как числитель, а делитель как знаменатель. Давайте рассмотрим следующий пример, чтобы лучше понять это.
Например, чтобы упростить неправильную дробь 11/4, нам нужно разделить 11 на 4 и получить значения частного и остатка после выполнения деления. Когда мы делим 11/4, мы получаем 2 как частное и 3 как остаток. Следовательно, упрощенная форма неправильной дроби 11/4 — это $2\dfrac{3}{4}$.
Статьи по теме
Ознакомьтесь с интересными статьями, посвященными упрощению дробей.
Сокращение дробей
Калькулятор простых дробей
Рабочие листы по сокращению дробей
Часто задаваемые вопросы об упрощении дробей
Что означает упрощение дробей?
Упрощение дробей означает сокращение дроби в ее низшей форме. Это помогает нам легко выполнять вычисления с использованием дробей. Например, проще сложить 1/2 и 1/2, чем 2/4 + 4/8.
Каково правило упрощения дробей?
Правило упрощения дробей состоит в том, чтобы исключить общие множители в числителе и знаменателе данной дроби. Другими словами, мы должны убедиться, что числитель и знаменатель должны быть взаимно простыми числами.
Каковы этапы упрощения дробей?
Выполните указанные ниже действия, чтобы привести дробь к простейшей форме:
Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
Разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель.
Фракция, полученная таким образом, имеет простейшую форму.
Как упростить большие дроби?
Большие дроби можно упростить, разделив числитель и знаменатель на общие простые множители, чтобы привести их к простейшему виду.
Как учить упрощать дроби?
Упрощающие дроби обычно используются в 5 или 6 классе. Чтобы научить упрощающим дробям, следуйте приведенным ниже пунктам:
Позвольте учащимся выполнять практические задания, включая модели прямоугольных и круглых дробей, чтобы понять, что 2/4 равно 1/2.
Используйте реальные примеры упрощения дробей.
Используйте рабочие листы для упрощения дробей.
Как объяснить упрощение дробей?
Говорят, что дробь имеет простейшую форму, если нет общего делителя числителя и знаменателя, отличного от 1. Например, 11/23 является упрощенной дробью, так как 11 и 23 не имеют общих делителей.
Как преобразовать неправильную дробь в упрощенную форму?
Разделите числитель на знаменатель, чтобы получить частное и остаток. Тогда смешанная или упрощенная дробь может быть записана как $\text{Частное}\dfrac{\text{Остаток}}{\text{Делитель}}$.
Как дроби приводятся к упрощенной форме?
Чтобы привести дробь к простейшей форме, разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий множитель.
Как проще всего упростить дроби?
Один из самых быстрых способов привести дробь к простейшему виду — это разделить числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель.
Пошаговое руководство — Психометрический успех
Обновлено 18 мая 2022 г.
Что такое дроби?
Дроби — это числовые величины, представляющие значения меньше единицы. Также известные как дробные числа, они обычно используются для измерения частей целого, например:
Половина (1/2)
Одна пятая (1/5)
Две трети (2/3)
Дроби
Дроби состоят из двух чисел, одно над и одно под разделительной чертой.
Нижнее число известно как знаменатель и относится к отдельным частям целого.
Когда мы говорим о знаменателе, мы используем порядковые числительные, то есть числа, определяющие положение, например «третье» или «четвертое».
Верхнее число дроби называется числитель и указывает на то, со сколькими частями целого мы имеем дело.
Самый простой способ определить дробь — представить себе круг, разделенный поровну на шесть частей.
Сам пирог представляет собой единое целое, а отдельные кусочки являются его частями. Поскольку у нас есть шесть равных частей одного целого, наш знаменатель здесь равен 6.
Если мы возьмем один кусок пирога, у нас будет одна шестая (1/6). Два среза эквивалентны двум шестым (2/6) и так далее.
Само по себе это довольно просто понять. Однако существуют разные типы дробей и разные методы для выполнения каждого типа дробного уравнения.
Ключевые факты о дробях
Чтобы понять, как вычислять дроби, важно разобраться с основами. Во-первых, давайте рассмотрим три разных типа дробей:
Определения и примеры дробей
Правильная дробь – Правильная дробь – это дробь, в которой числитель меньше знаменателя. 1/2, 10/15 и 85/100 — все это примеры правильных дробей. Общее значение правильной дроби всегда меньше единицы.
Неправильная дробь – В неправильной дроби значение числителя больше значения знаменателя. 6/3, 25/18 и 50/20 — все это примеры неправильных дробей. Общее значение неправильной дроби всегда больше единицы.
Смешанные дроби – Смешанная дробь представлена целым числом, за которым следует дробное число, например 2⅔, 6⅘ или 25⅝. Смешанные дроби также известны как смешанные числа.
Ключевые термины
Теперь, когда мы знаем, какие бывают дроби, давайте посмотрим на некоторые другие ключевые термины и фразы:
Эквивалентные дроби — это дроби, которые кажутся разными, но имеют одинаковое значение. Например, 2/3 равно 4/6.
Упрощенные дроби – это дроби, приведенные к наименьшей форме. По сути, низший эквивалент высшей дроби. Итак, в приведенном выше примере 2/3 — это упрощенная версия 4/6.
Обратные числа — Здесь дробь переворачивается путем размещения знаменателя над числителем. Например, обратное 2/3 равно 3/2. Обратные числа используются при делении и умножении дробей (5 ÷ 1/5 равно 5 х 5/1 или 5 х 5).
Дроби также могут быть представлены в виде десятичных знаков и процентов . Мы рассмотрим, как преобразовать дроби в приведенных ниже примерах уравнений.
10 простых дробей и способы их решения
Ниже приведены десять примеров дробных уравнений и рекомендации по их решению. Если вы работаете с дробями на экзамене, обязательно покажите свой метод.
1. Как преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь
Как уже говорилось, смешанная дробь состоит из целого числа, за которым следует дробное число. В этом примере мы будем использовать смешанную дробь семи и четырех пятых, записанную численно как 7⅘.
При запросе на преобразование смешанной дроби в неправильную:
Сначала умножьте целое число на знаменатель дробной части.
Возьмите полученное число и добавьте его к числителю дроби.
Возьмите эту последнюю цифру в качестве нового числителя и поместите ее над первоначальным знаменателем. Это дает вам неправильную дробь.
Пример:
Пример вопроса
Преобразуйте 7⅘ в неправильную дробь.
2. Как преобразовать дробь в десятичную
Поскольку оба используются для определения значений меньше единицы, десятичная дробь — это просто другой способ представления дроби.
Метод, используемый для преобразования дроби в десятичную, представляет собой простое деление: вы просто делите числитель на знаменатель.
Пример:
Пример вопроса
Преобразование 3/10 в десятичную дробь.
Практика числового мышления
3. Как преобразовать дробь в проценты
Существует три простых способа преобразования дроби в проценты. Мы рассмотрим их все здесь, используя одну и ту же дробь 7/20.
Метод первый:
Разделите числитель на знаменатель, затем умножьте полученное число на 100, чтобы получить процентное преобразование:
7 ÷ 20 = 0,35
Умножить числитель на 100, затем разделить полученное число на знаменатель:
7 x 100 = 700
700 ÷ 20 = 35%
Метод третий: 3 десятичная точка вашего ответа на два знака вправо:
7 ÷ 20 = 0,35
Перемещение десятичной точки дает преобразование 35%.
При преобразовании дроби в процент всегда не забывайте включать в свой ответ знак %.
4. Как складывать дроби
Процесс сложения дробей прост, если знаменатели совпадают.
В качестве базового примера возьмем 1/6 + 3/6. В этом случае у вас равные знаменатели, поэтому просто сложите числители обеих дробей, придерживаясь нижней цифры 6:9.0003
1 + 3 = 4
Итак, 1/6 + 3/6 = 4/6
При сложении дробей, в которых меньшие числа не совпадают, вам сначала нужно найти наименьший общий знаменатель . Это наименьшее число, которое полностью делится на оба существующих знаменателя.
Пример:
Пример вопроса
1/4 + 2/3
5. Как вычитать дроби
Как и в случае сложения, вычитание дробей легко, когда знаменатели одинаковы. Нужно просто вычесть второй числитель из первого, сохранив нижнее число тем же.
Пример:
Пример вопроса
4/7 – 3/7.
Теперь давайте посмотрим на вычитание дробей с различными знаменателями .
Пример:
Пример вопроса
4/5 – 2/3
6. Как делить дроби
Чтобы разделить одну дробь на другую, сначала нужно превратить делимую дробь в обратную, переключив знаменатель и числитель.
Пример:
Пример вопроса
Возьмем пример 1/2 ÷ 1/5, последняя дробь как обратная часть равна 5/1.
Теперь умножьте первую дробь на обратную:
1/2 x 5/1
Для этого умножьте числители и знаменатели:
1 x 5 = 5 (числители)
2 x 1 = 2 (знаменатели)
Итак, 1/2 x 5/1 = 5/2
7. Как умножать дроби
Процесс вычисления дробей путем умножения друг на друга прост:
Умножьте ваши числители
Умножьте ваши знаменатели
Напишите новый числитель над новым знаменателем
Пример:
Пример вопроса
Используя пример уравнения 1/2 x 1/6:
1 x 1 = 1 (числители)
2 x 6 = 12 (знаменатели)
Как сделать Упростить дробь
Упростить дробь означает привести ее к самой простой форме. По сути, найти наименьшую возможную эквивалентную дробь.
Сначала найдите наибольший общий делитель . Это наибольшее целое число, на которое делятся и числитель, и знаменатель.
Для этого запишите все множители для обеих частей вашей дроби, как показано ниже на примере 32/48:
Пример вопроса
Множители 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Коэффициенты 48: 1, 2, 3, 4, 8, 12, 16, 24, 48
Наибольший общий множитель здесь: 16
Теперь разделите числитель и знаменатель на это число, чтобы найти упрощенную дробь:
32 ÷ 16 = 2 (числители)
48 ÷ 16 = 3 (знаменатели)
При составлении любой формы дробного уравнения всегда упрощайте свой ответ. до минимально возможной формы.
9. Как вычислять дроби величин
Когда вам представят количество и попросят вычислить дробную часть, просто разделите данное количество на знаменатель дроби, а затем умножьте это число на числитель.
Пример:
Пример вопроса
У вас есть 55 конфет, вы хотите отдать соседу две пятых, чтобы он забрал их домой. Сколько конфет она возьмет?
Разделите полученную сумму на знаменатель дроби: 55 ÷ 5 = 11
Умножьте эту цифру на числитель: 11 x 2 = 22
другой, либо умножить, либо разделить обе части одной дроби на одно и то же целое число.
Если ваши ответы также являются целыми числами, то дробь сохраняет свое значение и эквивалентна.
Пример:
Пример вопроса
Чтобы определить, равно ли 12/15 4/5, разделите 12 и 15 на целое число:
12 ÷ 2 = 6
15 ÷ 2 = 7,3 900
Поскольку у вас нет целой цифры в качестве ответа, перейдите к следующему основному числу:
12 ÷ 3 = 4
15 ÷ 3 = 5
Вы также можете сделать это в обратном порядке, умножив обе части нижняя дробь:
4 x 3 = 12
5 x 3 = 15
По сути, если одна дробь является упрощенной версией другой, то они эквивалентны.
Практика числового мышления
Резюме
Дроби — это числовые величины, которые помогают нам измерять равные части целого.
Они бывают в виде правильных, неправильных и смешанных дробей и могут быть легко преобразованы в десятичные точки и проценты.
Методы, используемые в дробных уравнениях, различаются в зависимости от решаемой задачи, и каждый из них необходимо практиковать с осторожностью, убедившись, что вы полностью понимаете вопрос, и показывая, как вы работаете.
Хотя поначалу они могут показаться пугающими, время, потраченное на понимание основных правил, должно помочь вам научиться с легкостью вычислять дроби.
Как упростить дробь
Как упростить дробь — SAT Math
—>
Войти
Биографии репетитора
Подготовка к тесту
СРЕДНЯЯ ШКОЛА
ACT Репетиторство
SAT Репетиторство
Репетиторство PSAT
ASPIRE Репетиторство
ШСАТ Репетиторство
Репетиторство STAAR
ВЫСШАЯ ШКОЛА
Репетиторство MCAT
Репетиторство GRE
Репетиторство по LSAT
Репетиторство по GMAT
К-8
Репетиторство AIMS
Репетиторство по HSPT
Репетиторство ISEE
Репетиторство по ISAT
Репетиторство по SSAT
Репетиторство STAAR
Поиск 50+ тестов

Академическое обучение
репетиторство по математике
алгебра
Исчисление
Элементарная математика
Геометрия
Предварительное исчисление
Статистика
Тригонометрия
репетиторство по естественным наукам
Анатомия
Биология
Химия
Физика
Физиология
иностранные языки
французский
немецкий
Латинский
Китайский мандарин
Испанский
начальное обучение
Чтение
Акустика
Элементарная математика
прочее
Бухгалтерия
Информатика
Экономика
Английский
Финансы
История
Письмо
Лето
Поиск по 350+ темам

О
Обзор видео
Процесс выбора наставника
Онлайн-репетиторство
Мобильное обучение
Мгновенное обучение
Как мы работаем
Наша гарантия
Влияние репетиторства
Обзоры и отзывы
Освещение в СМИ
О преподавателях университета
Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:
(888) 888-0446
Все математические ресурсы SAT
16 диагностических тестов 660 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
Справка по математике SAT » Арифметика » Фракции » Упрощение дробей » Как упростить фракцию
упростить x/2 — x/5
Возможные ответы:
3x/7
2x/7
5x/3
3x/100003
7x/100003
55555555/100003
7x/100003
55555555. Правильный ответ:
3x/10
Объяснение:
Упрощение этого выражения аналогично 1/2 – 1/5. Знаменатели взаимно просты (не имеют общих множителей), поэтому наименьший общий знаменатель (НОД) равен 2 * 5 = 10. Таким образом, задача принимает вид 1/2 – 1/5 = 5/10 – 2/10 = 3/10.
Сообщить об ошибке
Если является целым числом, какое из следующих значений является возможным значением ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
, что является целым числом (числом без дробной или десятичной части). Все остальные варианты сводятся к нецелым числам.
Сообщить об ошибке
Упрощение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала упростим . Наибольший общий делитель чисел 4 и 12 равен 4. 4 разделить на 4 равно 1, а 12 разделить на 4 равно 3. Поэтому .
Чтобы получить простые дроби с показателями степени, вычтите показатель степени в числителе из показателя степени в знаменателе. У нас остается или

Сообщить об ошибке
Какое из следующих чисел не равно 32/24?
Возможные ответы:
4/3
224. Объяснение:
24/32 = 1,33
16/12 = 1,33
224/168 = 1,33
4/3 = 1,33
96/72 = 1,33
160/96 = 1.67
. Доклад. Ошибка
Найти корень
Возможные ответы:
Невозможно определить
Правильный ответ:
Объяснение:
Корень находится там, где . Поэтому подставляем 0 вместо .
Это означает, что корень находится по адресу .
Сообщить об ошибке
Упростите дробь:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Правильный подход к решению этой задачи состоит в том, чтобы сначала записать множители для числителя и знаменателя:
Наибольший общий множитель равен 5. Следовательно, вы можете разделить числитель и знаменатель на 5, чтобы получить упрощенную дробь.
Таким образом, числитель становится
, а знаменатель становится .
Следовательно, окончательный ответ .
Сообщить об ошибке
Упрощение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Найдите общие делители числителя и знаменателя. Оба они имеют общие делители 2, 4 и 8. Для простоты вычтите 8 из обоих членов и упростите.
Сообщить об ошибке
Просто следующая дробь:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Помните, что деление дроби на дробь равносильно умножению дроби в числителе на обратную дробь в знаменателе.
Другими словами,
Упрощение последней дроби дает нам правильный ответ .

Сообщить об ошибке
Решить для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти , упростите дробь. Для этого вспомним, что деление на дробь равносильно умножению на обратную ей. Поэтому перепишем уравнение следующим образом.
Теперь упростим первую дробь, вычислив четыре в квадрате.
Отсюда разложите знаменатель второй дроби.
Затем разложите 16.
Отсюда сократите одинаковые члены как в числителе, так и в знаменателе. В данном конкретном случае это включает (x-2) и 2.
Теперь распределите восемь.
Затем умножьте обе части на знаменатель.
(8x+16) сокращается и остается следующее уравнение.
Теперь, чтобы решить для , выполните противоположные операции, чтобы переместить все числовые значения в одну часть уравнения, оставив сами по себе в другой части уравнения.
Сообщить об ошибке
Какая из следующих дробей не эквивалентна ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Упростим:
Мы можем получить другие формы одной и той же дроби, умножив знаменатель и числитель на одно и то же число:
Теперь давайте посмотрим на:
, но .
Таким образом, это правильный ответ, так как он не эквивалентен .
Сообщить об ошибке
Уведомление об авторских правах
Посмотреть репетиторов по математике SAT
Chase
Сертифицированный репетитор
Университет Вестерн Говернорс, бакалавр наук, математика.
View SAT Репетиторы по математике
Зейн
Сертифицированный репетитор
Университет Невада-Рино, бакалавр наук, машиностроение. Вандербильт, магистр биомедицинской инженерии.
View SAT Репетиторы по математике
Билл
Сертифицированный репетитор
Эмпайр-стейт-колледж SUNY, бакалавриат, общие науки, театр.
Все математические ресурсы SAT
16 диагностических тестов 660 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
Рабочие листы
Fractions
Добро пожаловать на страницу рабочих листов Math-Drills.com, где чашка наполовину полна! Это одна из наших самых популярных страниц, скорее всего, потому, что изучение дробей невероятно важно в жизни человека, и это математическая тема, к которой многие подходят с трепетом из-за плохой репутации на протяжении многих лет. Дроби действительно не так сложно освоить, особенно с поддержкой нашего широкого выбора рабочих листов.
Эта страница содержит рабочие листы по дробям для понимания дробей, включая моделирование, сравнение, упорядочивание, упрощение и преобразование дробей и операции с дробями. Начнем с очевидного: моделирование дробей. Будет отличной идеей, если учащиеся действительно смогут понять, что такое дробь, поэтому, пожалуйста, уделите некоторое время аспекту моделирования. Связывание моделирования с реальной жизнью также очень помогает, поскольку гораздо легче соотнести половинку печенья, чем половинку квадрата. Спросите большинство студентов, что получится, если вы добавите половину печенья и еще одну половину печенья, и они, вероятно, дадут вам знать, что получается одна вкусная закуска.
Другие рабочие листы с дробями на этой странице предназначены для того, чтобы помочь учащимся понять концепцию дробей. От сравнения и упорядочивания до упрощения и преобразования… к тому времени, когда учащиеся усвоят материал на этой странице, операции с дробями будут прогулкой в парке.
Самые популярные рабочие листы по дробям на этой неделе
Умножение и деление дробей ( 1709 просмотров на этой неделе )Сложение и вычитание дробей — без смешанных дробей ( 1232 просмотров на этой неделе )Сложение и вычитание смешанных дробей ( 1122 просмотра на этой неделе )Приведение дробей к наименьшему члену ( 872 просмотров на этой неделе )Умножение и деление смешанных дробей ( 819 просмотров на этой неделе )
Дроби общего назначения Печатные формы
6
Дробные круги
Манипуляции с кругами дробей в основном используются для сравнения дробей, но их можно использовать и для множества других целей, например, для представления и идентификации дробей, сложения и вычитания дробей, а также в качестве счетчиков вероятности. Возможны различные варианты в зависимости от вашей цели. Дробные круги бывают маленьких и больших версий, с маркировкой и без маркировки и в трех разных цветовых схемах: черно-белая, цветная и светло-серая. Цветовая схема соответствует полосам фракций и использует цвета, которые должны хорошо контрастировать друг с другом. Обратите внимание, что среди населения наблюдается значительная распространенность дальтонизма, поэтому не полагайтесь на то, что все учащиеся способны различать цвета.
Предлагаемое упражнение для сравнения дробей: Скопируйте черно-белую версию на диапроекционный слайд, а другую копию на лист бумаги. В качестве альтернативы вы можете использовать два листа бумаги и поднести их к свету для этого упражнения. Используйте карандаш, чтобы изобразить первую дробь на бумажной копии. Используйте непостоянную перо над головой, чтобы изобразить вторую дробь. Положите слайд на бумагу и сравните два круга. Вы должны легко определить, что больше, а что меньше и равны ли две дроби. Повторно используйте оба листа, стерев карандаш и смыв маркер.
Добавление дробей с дробными кругами потребует двух копий на бумаге. Вырежьте дробные круги и сегменты одной копии и оставьте другую копию нетронутой. Например, чтобы сложить 1/3 + 1/2, поместите сегмент 1/3 и сегмент 1/2 в круг и подержите его над различными дробями на неповрежденной копии, чтобы увидеть, чему соответствует 1/2 + 1/3. к. 5/6 или 10/12 должны работать.
Маленькие Дробные круги Черно-белые с этикетками Маленькие Дробные круги в Цвет с этикетками Маленькие Дробные круги Светло-серый с этикетками Маленькие Дробные круги Черно-белые Без маркировки Маленькие Дробные круги цвета Без маркировки Маленькие Дробные круги Светло-серый Без маркировки Большие Дробные круги Черно-белые с этикетками Большие дробные круги цвета с этикетками Большие Дробные круги Светло-серый с этикетками Большие Дробные круги Черно-белые Без маркировки Большие Дробные круги цвета Без маркировки Большой Дробные круги Светло-серый Без маркировки
Дробные полоски
Полоски дробей часто используются для сравнения дробей. Студенты могут довольно легко увидеть отношения и эквивалентность между дробями с разными знаменателями. Студентам может быть весьма полезно иметь две копии: одну копию разрезать на полоски, а другую оставить нетронутой. Затем они могут использовать вырезанные полоски на неповрежденной странице для индивидуального сравнения дробей. Например, они могут использовать полосу половин, чтобы увидеть, какие другие дроби эквивалентны половине. Это также можно сделать с помощью линейки, например линейки, не вырезая полоски. Пары или группы полосок также можно сравнивать друг с другом, если они вырезаны. Сложение и вычитание (и т. д.) также возможны; например, добавить одну четверть и одну треть можно, сдвинув полосу третей так, чтобы она начиналась в конце одной четверти, а затем найдя полосу, которая соответствует концу отметки одной трети (7/12 должно сделай это).
Учителя могут подумать о том, чтобы скопировать полоски дробей на ацетатные пленки для диапроекции для всего класса или групповых занятий. Версии из ацетата также полезны в качестве практического манипулятора для студентов в сочетании с неразрезанной страницей.
«Умные» полоски фракций включают полоски в более удобном порядке, исключают 7-ю и 11-ю полоски, поскольку они не имеют эквивалентов, и включают 15-ю и 16-ю. Цвета соответствуют классическим версиям, поэтому два комплекта можно комбинировать.
Полоски Classic Fraction Strips Black and White с этикетками Полоски Classic Fraction Strips цвета с этикетками Полоски Classic Fraction Strips серого цвета с этикетками Полоски Classic Fraction Strips Black and White Без маркировки Полоски Classic Fraction Strips цвета Без маркировки Полоски Classic Fraction Strips серого цвета Без маркировки Смарт Дробные полоски Черно-белые С этикетками Smart Дробные полоски цвета с этикетками Смарт Дробные полоски Серого цвета С этикетками
Рабочие листы для моделирования дробей
Помимо использования приведенных ниже рабочих листов, вы также можете попробовать другие интересные способы моделирования дробей. Здоровые закуски могут стать отличными моделями для фракций. Можно ли разрезать огурец на три части? Помидор на четвертинки? Сможете ли вы сделать две трети винограда красными, а одну треть зелеными?
Моделирование дробей с группами фигур
Дроби могут представлять части группы или части целого. В этих рабочих листах дроби моделируются как части группы.
Раскрашивание групп фигур для представления дробей Определение дробей из цветных групп фигур (только упрощенные дроби до восьмых) Определение дробей из цветных групп фигур (только половинки) Определение дробей из цветных групп фигур (половинок и третей) Определение дробей из цветных групп фигур (половинки, трети и четверти) Определение дробей из цветных групп фигур (до пятых) Определение дробей из цветных групп фигур (до шестых) Определение дробей из цветных групп фигур (до восьмых) Определение дробей из цветных групп фигур (СТАРАЯ версия; печать слишком светлая)
Моделирование дробями с прямоугольниками
Моделирование половинок Моделирование третей Моделирование половин и третей Моделирование четвертых (цветная версия) Моделирование кварт (серая версия) Раскрашивание четвертых моделей Моделирование квинты Раскраски пятых моделей Моделирование шестых Раскраски шестых моделей
Лепка дроби с кругами
Моделирование половин, третей и четвертей Раскрашивание половинок, третей и четвертей Моделирование половин, третей, четвертей и пятых частей Раскрашивание половинок, третей, четвертей и пятых частей Моделирование от половины до шестой Раскрашивание половинок в шестые Моделирование половин до восьмых Раскрашивание от половины до восьмой Моделирование от половины до двенадцатой Раскрашивание половинок до двенадцатых
Таблицы соотношений и пропорций
Соотношения изображения
Осенние деревья Части к части Соотношения изображения ( Сгруппировано ) Осенние деревья Части к частям и Части к целому Соотношения изображения ( Сгруппировано )
Эквивалентные дроби
Рабочие листы моделей эквивалентных фракций включают только «фракции выпечки» в версиях A. Чтобы увидеть более сложные и разнообразные фракции, выберите версии от B до J после загрузки версии A.
Эквивалентные дроби с пробелами
Раньше: найти пропущенное число Равнозначны ли эти дроби? (Множитель от 2 до 5) Равнозначны ли эти дроби? (Множитель от 5 до 15) Эквивалентные дроби Модели Эквивалентные дроби Модели с упрощенной дробью Первая Эквивалентные дроби Модели с упрощенной дробью Секунды
Эквивалентные коэффициенты
Эквивалентные соотношения с пробелами только справа Эквивалентные соотношения с пробелами в любом месте Эквивалентные соотношения с x
Рабочие листы для сравнения и упорядочивания дробей
Сравнение простых дробей
Существует множество различных стратегий, кроме пристального взгляда на страницу, которые помогут в сравнении дробей. Попробуйте начать с чего-то визуального, что будет изображать рассматриваемые дроби. Мы настоятельно рекомендуем наши полосы фракций (прокрутите немного вверх). Использование линейки, такой как линейка, книга или складывание, поможет учащимся легко увидеть, какая дробь больше или равны. Мы также должны упомянуть, что вещи, которые сравниваются, должны быть одинаковыми. Каждая полоска дроби, например, имеет одинаковый размер, тогда как если вы возьмете треть арбуза и половину виноградины, арбуз, вероятно, выиграет.
Сравнение дробей с шестыми Сравнение дробей с девятыми (без 7-х) Сравнение дробей с девятыми Сравнение дробей с 12-ми (без 7-х или 11-х) Сравнение дробей с двенадцатыми
Сравнение простых и неправильных дробей
Другая стратегия, используемая при сравнении дробей, состоит в том, чтобы использовать числовую прямую и использовать контрольные точки, такие как 0, 1, 1/2, чтобы выяснить, куда идет каждая дробь, а затем посмотреть, какая из них больше. На самом деле учащиеся делают это все время, поскольку они часто могут сравнивать дроби, признавая, что одна меньше половины, а другая больше половины. Они также могут увидеть, что одна дробь намного ближе к целому, чем другая дробь, даже если обе они могут быть больше половины.
Сравнение дробей с шестыми Сравнение дробей с девятыми (без 7-х) Сравнение дробей с девятыми Сравнение дробей с 12-ми (без 7-х или 11-х) Сравнение дробей с двенадцатыми
Сравнение простых, неправильных и смешанных дробей
Другой способ сравнения дробей состоит в преобразовании каждой дроби в десятичную и сравнении десятичных дробей. Десятичные преобразования можно запомнить (особенно для обыкновенных дробей), рассчитать с помощью деления в большую сторону или с помощью калькулятора или справочной таблицы. Мы предлагаем последнее, поскольку использование справочной таблицы часто приводит к мысленному воспоминанию.
Сравнение дробей с шестыми Сравнение дробей с девятыми (без 7-х) Сравнение дробей с девятыми Сравнение дробей с 12-ми (без 7-х или 11-х) Сравнение дробей с двенадцатыми
Заказ дробей в числовой строке
Многие из тех же стратегий, которые работают для сравнения дробей, также работают и для упорядочивания дробей. Использование манипулятивных средств, таких как полоски дробей, использование числовых линий или поиск десятичных эквивалентов, заставит вашего ученика расставлять дроби в правильном порядке в кратчайшие сроки. Возможно, мы уже говорили об этом раньше, но обязательно подчеркните, что при сравнении или упорядочении дробей учащиеся понимают, что целое должно быть одинаковым. Сравнивая половину населения Канады с одной третью населения Соединенных Штатов, этого недостаточно. Попробуйте использовать некоторые визуальные эффекты, чтобы усилить эту важную концепцию. Несмотря на то, что мы включили числовые линии ниже, не стесняйтесь использовать свои собственные стратегии.
Упорядочивание дробей с простыми знаменателями до 10 в числовой строке Упорядочивание дробей с простыми знаменателями от до 24 в числовой строке Упорядочивание дробей с простым знаменателем от до 60 в числовой строке Упорядочивание дробей с простыми знаменателями до 100 в числовой строке Упорядочивание дробей с простым знаменателем до 10 + отрицательные числа в числовой строке Упорядочивание дробей с простыми знаменателями до 24 + отрицательные числа на числовой строке Упорядочивание дробей с простыми знаменателями до 60 + отрицательные числа в числовой строке Упорядочивание дробей с простым знаменателем до 100 + отрицательные числа в числовой строке Упорядочивание дробей с всеми знаменателями до 10 в числовой строке Упорядочивание дробей с всеми знаменателями до 24 в числовой строке Упорядочивание дробей с всеми знаменателями до 60 в числовой строке Порядок дробей с Все знаменатели до 100 в числовой строке Упорядочивание дробей с Все знаменатели до 10 + отрицательные числа в числовой строке Упорядочивание дробей с Все знаменатели до 24 + отрицательные числа в числовой строке Упорядочивание дробей с Все знаменатели до 60 + отрицательные числа в числовой строке Упорядочивание дробей с Все знаменатели до 100 + отрицательные числа в числовой строке
Заказ фракций
Рабочие листы с упорядочиванием дробей в этом разделе не содержат числовой строки, чтобы учащиеся могли использовать различные стратегии сортировки.
Упорядочивание положительных дробей с подобными знаменателями Упорядочивание положительных дробей с помощью подобных числителей Упорядочивание положительных дробей с подобными числителями или знаменателями Заказ положительных дробей только с правильными дробями Порядок положительных дробей с неправильными дробями Заказ положительных фракций со смешанными фракциями Порядок положительных дробей с неправильными и смешанными дробями Упорядочивание положительных и отрицательных дробей с подобными знаменателями Упорядочивание положительных и отрицательных дробей с подобными числителями Упорядочивание положительных и отрицательных дробей с подобными числителями или знаменателями Заказ позитива и Отрицательный Дроби Только правильные дроби Заказ положительных и отрицательных дробей с неправильными дробями Заказ положительных и отрицательных фракций смешанных фракций Заказ положительных и отрицательных дробей с неправильными и смешанными дробями
Рабочие листы по упрощению и преобразованию дробей
Округление дроби
Округление дробей помогает учащимся немного лучше понять дроби и может применяться для оценки ответов на вопросы о дробях. Например, если бы кто-то должен был оценить 1 4/7 × 6, он, вероятно, мог бы сказать, что ответ был около 9, поскольку 1 4/7 составляет около 1 1/2, а 1 1/2 × 6 равно 9.
Округление дробей до ближайшего целого с вспомогательными линиями Округление смешанных чисел до ближайших целых с Вспомогательные линии Округление дробей до ближайшей половины с вспомогательными линиями Округление смешанных чисел до ближайшей половины с вспомогательными линиями Округление дробей до ближайшего целого Округление смешанных чисел до ближайшего целого Округление дробей до ближайшей половины Округление Смешанные числа до Ближайшая половина
Упрощение дробей
Умение упрощать дроби значительно облегчит жизнь учащегося в дальнейшем при изучении операций с дробями. Это также помогает им узнать, что разные дроби могут быть эквивалентны. Один из способов продемонстрировать это — разделить две равные дроби. Например, 3/2 и 6/4 при делении дают частное 1,5. Практикуя упрощение дробей, учащиеся, как мы надеемся, распознают неупрощенные дроби, когда они начнут складывать, вычитать, умножать и делить дроби.
Упростить дроби (проще) Упростить дроби (сложнее) Упростить неправильные дроби (проще) Упростить неправильные дроби (сложнее)
Преобразование между неправильными и смешанными дробями
Преобразование смешанных дробей в неправильные дроби Преобразование неправильных дробей в смешанные дроби Преобразование (в обе стороны) смешанных и неправильных дробей
Преобразование между дробями, десятичными знаками, процентами и отношениями
Преобразование дробей в конечные десятичные дроби Преобразование дробей в завершающие и повторяющиеся десятичные дроби Преобразование конечных десятичных дробей в дроби Преобразование завершающих и повторяющихся десятичных дробей в дроби Преобразование дробей в сотые Преобразование дробей в десятичные дроби, проценты и доли в пропорции Part ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование дробей в десятичные дроби, проценты и части в целых соотношений ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и доли в пропорции Part ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и части в целые отношения ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и части в Соотношения части ( Прекращение Только десятичные дроби) Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и доли в целые отношения ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование отношений частей в дроби, десятичные числа и проценты ( Преобразование только десятичных знаков ) Преобразование отношений части к целому в дроби, десятичные дроби и проценты ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование различных Дроби, десятичные дроби, проценты и части к Часть Соотношения ( Прекращение Только десятичные дроби) Преобразование различных дробей , десятичных дробей, процентов и частей в целых отношений ( Завершение только десятичных дробей ) Преобразование дробей в десятичные дроби, проценты и доли в пропорции Part Преобразование дробей в десятичные дроби, проценты и части в целые отношения Преобразование десятичных знаков 9Отношение 0056 к дробям, процентам и частям к части Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и части в целые отношения Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и доли Часть Отношения Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и части в целые отношения Преобразование отношений частей в дроби, десятичные дроби и проценты Преобразование отношений части к целому для дробей, десятичных знаков и процентов Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и частей в части отношения Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и частей в целых соотношений Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и частей в части отношения с 7-ми и 11-ми Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и частей в целых соотношений с 7 и 11
Операции с дробями Рабочие листы
Умножение дробей
Умножение дробей обычно менее запутанно с практической точки зрения, чем любая другая операция, и может быть менее запутанным с концептуальной точки зрения при правильном подходе. Алгоритм умножения состоит в том, чтобы просто умножить числители, а затем умножить знаменатели. Волшебное слово в понимании умножения дробей — «из». Например, что такое две трети ОТ шести? Что такое треть половины? Когда вы используете слово «из», становится намного легче визуализировать умножение дробей. Пример: разрежьте буханку хлеба пополам, а затем разрежьте половину на три части. Одна треть половины буханки хлеба такая же, как 1/3 x 1/2, и имеет приятный вкус с маслом.
Умножение 2 правильных дробей (без упрощения) Умножение 2 правильных дробей (все упрощение) Умножение правильных и неправильных дробей (без упрощения) Умножение правильных и неправильных дробей (все упрощение) Умножение дробей на целые числа Умножение дробей и Смешанные дроби Умножение 2 Смешанные дроби Умножение 3 правильных дроби Умножение 3 Правильные и неправильные дроби Умножение правильных и неправильных дробей и целых чисел (3 фактора) Умножение дробей и смешанных дробей (3 фактора) Умножение 3 Смешанные дроби
Деление дробей
Теоретически деление дробей, вероятно, является самой сложной из всех операций, но мы собираемся вам помочь. Алгоритм деления дробей аналогичен умножению дробей, но вы находите обратную вторую дробь или выполняете перекрестное умножение. Это даст вам правильный ответ, что чрезвычайно важно, особенно если вы строите мост. Мы рассказали вам, как осмыслить умножение дробей, но как это работает с делением? Легкий! Вам просто нужно выучить волшебную фразу: «Сколько ____ в ______? Например, в вопросе 6 ÷ 1/2 вы бы спросили: «Сколько половинок в 6?» Это становится немного больше. трудно, когда оба числа являются дробями, но понять это не так уж и сложно. 1/2 ÷ 1/4 — довольно простой пример, особенно если вы думаете с точки зрения монет США или Канады. там в полдоллара?
Деление правильных дробей (без упрощения) Деление правильных и неправильных дробей (без упрощения) Деление 2 Дроби Деление 2 Дроби (некоторые целые числа) Деление 2 Дроби (некоторые смешанные) Разделение 2 Смешанные фракции Деление 3 Дроби Деление 3 Дроби (некоторые целые числа) Деление 3 Дроби (некоторые смешанные) Разделение 3 Смешанные фракции
Добавление Дробей
Для сложения дробей требуется раздражающий общий знаменатель. Облегчите задачу своим ученикам, сначала научив их понятиям эквивалентных дробей и наименьших общих кратных. Как только учащиеся познакомятся с этими двумя понятиями, идея поиска дробей с общими знаменателями для сложения станет намного проще. Уделение времени моделированию дробей также поможет учащимся понять сложение дробей. Связывание дробей со знакомыми примерами, безусловно, поможет. Например, если вы добавите 1/2 банана и 1/2 банана, вы получите целый банан. Что произойдет, если вы добавите 1/2 банана и 3/4 другого банана?
Сложение дробей со знаменателями , подобными (суммы простых дробей) Сложение дробей со знаменателями , подобными (суммы смешанных дробей) Сложение дробей с подобными знаменателями (неправильные дроби включены в вопросы) Складывание правильных дробей с помощью Легко найти общие знаменатели Сложение правильных дробей с помощью Легко найти общие знаменатели (результаты смешанных дробей) Сложение правильных и неправильных дробей с числом Легко найти общие знаменатели (результаты смешанных дробей) Сложение правильных дробей с в отличие от знаменателей Сложение правильных дробей с в отличие от знаменателей (результаты смешанных дробей) Сложение правильных и неправильных дробей с в отличие от знаменателей (результаты смешанных дробей) Сложение правильных дробей По вертикали с Знаменатели от 2 до 9
Добавление смешанных фракций Рабочие листы
Обычная стратегия, используемая при сложении смешанных дробей, состоит в том, чтобы преобразовать смешанные дроби в неправильные дроби, завершить сложение, а затем переключиться обратно. Другая стратегия, требующая немного меньше умственных способностей, — рассматривать целые числа и дроби отдельно. Сначала добавьте целые числа. Сложите дроби вторыми. Если полученная дробь неправильная, то ее нужно преобразовать в смешанное число. Часть целого числа может быть добавлена к исходной части целого числа.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями (без упрощения и без переименования) Сложение дробей с одинаковыми знаменателями (упрощение; без переименования) Сложение дробей с одинаковыми знаменателями (переименование, без упрощения) Сложение дробей с одинаковыми знаменателями (упрощение и переименование) Добавление смешанных фракций легко Сложные смешанные дроби Добавление крайних смешанных фракций Добавление смешанных фракций Super Extreme
Вычитание Фракции
Между сложением и вычитанием дробей нет большой разницы. Оба требуют общего знаменателя, который требует некоторых предварительных знаний. Разница лишь в том, что второй и последующие числители вычитаются из первого. Существует опасность того, что вы можете получить отрицательное число при вычитании дробей, поэтому учащимся может потребоваться узнать, что это означает в этом случае. Когда речь идет о каком-либо понятии в дробях, всегда полезно связать его со знакомой или простой для понимания ситуацией. Например, 7/8 — 3/4 = 1/8 можно было бы придать смысл в контексте расы. Первый бегун прошел 7/8 круга, а второй бегун прошел 3/4 круга. Насколько далеко впереди был первый бегун? (1/8 трека).
Вычитание правильных дробей с одинаковыми знаменателями Вычитание Im/правильных дробей с подобными знаменателями Вычитание Im/правильных дробей с подобными знаменателями (результаты смешанных дробей) Вычитание правильных дробей с помощью Легко найти общие знаменатели Вычитание Im/правильных дробей с помощью Легко найти общие знаменатели Вычитание Im/правильных дробей с помощью Легко найти общие знаменатели (Результаты смешанных фракций) Вычитание правильных дробей с в отличие от знаменателей Вычитание Im/правильных дробей с в отличие от знаменателей Вычитание Im/правильных дробей с в отличие от знаменателей (результаты смешанных дробей)
Вычитание смешанных дробей Рабочие листы
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (без упрощения и без переименования) Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (упрощение; без переименования) Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (переименование, без упрощения) Вычитание смешанных дробей легко Сложное вычитание смешанных дробей
Рабочие листы для различных операций с дробями
Смешивание знаков операций с рабочими листами с дробями заставляет учащихся уделять больше внимания тому, что они делают, и позволяет хорошо проверить свои навыки в более чем одной операции.
Сложение и вычитание дробей
Сложение/вычитание дробей с похожими терминами Сложение/вычитание смешанных дробей с похожими терминами Сложение/вычитание дробей Сложение/вычитание смешанных дробей Сложение/вычитание трех дробей/смешанных дробей
Умножение и деление дробей
Умножение/деление дробей Умножение/деление дробей (три фактора) Умножение/деление смешанных дробей Умножение/деление смешанных дробей (3 фактора)
Смешанные операции с дробями
Все операции с двумя дробями включая некоторые неправильные дроби Все операции с Две дроби Включая Некоторые отрицательные и Некоторые неправильные дроби Дроби Все операции с тремя дробями включая некоторые неправильные дроби Все операции с Три дроби Включая Некоторые отрицательные и Некоторые неправильные дроби
Операции с
Отрицательными дробями
Хотя некоторые из этих рабочих листов представляют собой отдельные операции, было бы полезно иметь все их в одном месте. Есть некоторые особенности при выполнении операций с отрицательными дробями. Обычно очень полезно заменить любые смешанные числа неправильной дробью, прежде чем продолжить. Важно обращать внимание на знаки и знать правила умножения положительных и отрицательных чисел (++ = +, +- = -, -+ = — и — = +).
Добавление отрицательных дробей к шестым Добавление отрицательных дробей к двенадцатым Добавление Отрицательных Смешанных Дробей до шестых Добавление Отрицательных Смешанных Дробей до двенадцатых Вычитание Отрицательных дробей до шестых Вычитание Отрицательных дробей до двенадцатых Вычитание Отрицательный Смешанный Дроби до шестых Вычитание Отрицательный Смешанный Дроби до двенадцатых Умножение Отрицательных дробей на шестые Умножение Отрицательных дробей на двенадцатые Умножение Отрицательное Смешанное Дроби до шестых Умножение Отрицательное Смешанное Дроби 9от 0055 до двенадцатых Деление Отрицательные дроби до шестых Деление Отрицательные дроби до двенадцатых Деление Отрицательное Смешанное Дроби до шестых Деление Отрицательное Смешанное Дроби до двенадцатых
Порядок действий с дробями Рабочие листы
Порядок операций с дробями

Рабочие листы с порядком операций в этом разделе фактически находятся на странице «Порядок операций», но они включены сюда для вашего удобства.
2-этапный Порядок операций с положительными дробями 3 шага Порядок операций с положительными дробями 4-шаговый Порядок операций с положительными дробями 5-шаговый Порядок операций с положительными дробями 6-шаговый Порядок операций с положительными дробями 2-этапный Порядок операций с положительными дробями (без экспоненты) 3 шага Порядок операций с положительными дробями (без экспоненты) 4 шага Порядок операций с положительными дробями (без экспоненты) 5-этапный Порядок операций с положительными дробями (без экспоненты) 6-этапный Порядок операций с положительными дробями (без экспоненты) 2-этапный Порядок операций с положительными и отрицательными дробями 3 шага Порядок операций с положительными и отрицательными дробями 4 шага Порядок операций с положительными и отрицательными дробями 5-этапный Порядок операций с положительными и отрицательными дробями 6-шаговый Порядок операций с положительными и отрицательными дробями
Порядок действий с
десятичными дробями и дробями смешанный
Дроби и десятичные дроби Смешанный порядок операций Дроби и десятичные дроби, смешанные с отрицательным порядок операций
Математика в средней школе (6, 7, 8, 9 классы)
Представлены вопросы и задачи по математике для 6, 7, 8 и 9 классов, чтобы проверить глубокое понимание математических концепций и вычислительных процедур учащихся. Ответы на вопросы есть предоставлены и расположены в конце каждой страницы.
Поддержите поддержку этого веб-сайта, отправив подарок через Paypal и используя мой адрес электронной почты    [email protected]
Фракции Вопросы и задачи с решениями
6 класс
Практический тест по математике для 6 класса с подробными решениями и пояснениями.
Вопросы и задачи по алгебре с подробными решениями и пояснениями.
Преобразовать ярды, футы и дюймы
Примеры и вопросы по терминам в алгебраических выражениях с подробными решениями и пояснениями.
Прямоугольные системы координат
Нахождение делителей и кратных целых чисел; примеры и вопросы с подробными решениями и пояснениями.
Факторизация простых чисел; примеры и вопросы с подробными решениями и пояснениями.
Вычисление площадей квадратов, прямоугольников, треугольников, параллелограмма и трапеции, решения и пояснения к вопросам о том, как вычислять площади основных фигур.
Расчет площадей составных фигур, вопросы с подробными решениями и пояснениями для расчета площадей составных фигур.
Алгебраические выражения, подробные решения и пояснения к вопросам по алгебраическим выражениям.
Упрощение алгебраических выражений Использование похожих терминов, вопросы с подробными пояснениями о том, как упростить алгебраические выражения.
Использование Распределительного Свойства в Алгебре; вопросы для расширения и разложения алгебраических выражений с подробными решениями и пояснениями.
Уравнения с одной переменной, вопросы, включая текстовые задачи, с подробными решениями и пояснениями к алгебраическим выражениям.
Математика для 6 класса с подробными решениями и полными пояснениями.
Дроби и смешанные числа — 6 класс. Также включены подробные решения и полные объяснения.
дробей по математике, объясните дроби на нескольких примерах с подробными решениями.
Калькулятор дробей, который поможет вам развить навыки сокращения, сложения и умножения дробей.
интерактивный учебник по эквивалентным дробям Изучайте эквивалентные дроби в интерактивном режиме с помощью апплета.
Проценты — 6 класс Вопросы и задачи. Также включены подробные решения и полные объяснения.
Интерактивный учебник по процентам Интерактивный учебник по процентам с использованием апплета.
Преобразование процентов, дробей и десятичных дробей Учебник о том, как преобразовывать проценты, дроби и десятичные дроби. Представлены вопросы с подробными решениями, а также упражнения с ответами.
Преобразование единиц и калькуляторы
Преобразование единиц измерения
7 класс
Практический тест по математике для 7 класса с подробными решениями и пояснениями.
Видео о решении линейных неравенств Вопросы и задачи по алгебре с подробными решениями и пояснениями.
Преобразовать ярды, футы и дюймы
Отношения в математике
Функции в математике
Функции, представленные уравнениями
Прямоугольная система координат на плоскости
Правила делимости Примеры и вопросы.
Правило делимости для 7 примеров и вопросов.
Введение в многочлены
Умножение и упрощение одночленов
Графические функции
Что такое экспоненты в математике?; примеры и вопросы с подробными решениями включены.
Что такое радикалы в математике?; примеры и вопросы с подробными решениями включены.
простых и составных чисел; примеры и вопросы с подробными решениями включены.
Факторизация простых чисел; примеры и вопросы с подробными решениями включены.
Калькулятор общих факторов. Онлайн-калькулятор, который вычисляет общие множители и GCF двух или более положительных целых чисел.
Наибольший общий делитель (GCF); примеры и вопросы с подробными решениями включены.
Наименьший общий множитель (LCM) ; примеры и вопросы с подробными решениями включены.
Как сокращать дроби ; примеры и вопросы с подробными решениями включены.
Как перекрестное умножение используется для решения уравнений?; примеры и вопросы с подробными решениями включены.
Как решить проблемы со скоростью?; Включены вопросы 7 класса с подробными решениями.
Найти соотношение в математике; Включены вопросы 7 класса с подробными решениями.
Найти курс по математике; Включены вопросы 7 класса с подробными решениями.
Решение математических пропорций; Включены вопросы 7 класса с подробными решениями.
7 класс Математические задачи с ответами. Также включены решения и пояснения.
Дроби и смешанные числа — Математические вопросы и задачи с ответами для 7 класса. Также включены решения и пояснения.
Вопросы по математике для 7 класса по теории множеств с ответами. Кроме того, решения и пояснения включены.
Как термины по алгебре — вопросы и задачи по математике для 7 класса с ответами
Многочлены на сложение и вычитание — вопросы и задачи по математике для 7 класса с ответами
Преобразование единиц и калькуляторы
Преобразование единиц измерения
8 класс
Практический тест по математике для 8 класса с подробными решениями и пояснениями.
Видео о решении линейных неравенств
Прямоугольная система координат на плоскости
Отношения в математике
Функции в математике
Функции, представленные уравнениями
Формулы расстояния и средней точки с примерами, вопросами и решениями и Калькулятор расстояния и средней точки
Введение в многочлены
Примеры правил делимости и вопросы.
Правило делимости для 7 примеров и вопросов. .
Применение линейных уравнений — задачи с ответами для 8 класса с решениями и пояснениями
Фракции Вопросы и задачи с решениями
вопросов для 8 класса на упрощение выражений с отрицательными показателями с решениями и пояснениями Онлайн-калькуляторы и решатели тригонометрии
задач на квадратные уравнения для 8 класса с решениями и пояснениями
вопросов по алгебре с ответами и решениями для 8 класса
Умножение и упрощение одночленов
Математические задачи с ответами для 8 класса Также включены решения и пояснения.
8 класс Геометрические задачи и вопросы с ответами. Также включены решения и пояснения.
8 класс Задачи и вопросы по треугольникам с ответами. Также включены решения и пояснения.
8 класс Вопросы с ответами об углах в треугольниках. Также включены решения с пояснениями.
Задачи и вопросы по кружкам для 8 класса с ответами. Также включены решения и пояснения.
Упрощение калькулятора квадратного корня
Что такое радикалы в математике?; примеры и вопросы с подробными решениями включены.
Геометрические задачи
Преобразование единиц и калькуляторы
Преобразование единиц измерения

9 класс
Прямоугольная система координат на плоскости
Видео о решении линейных неравенств
Отношения в математике
Функции в математике
Функции, представленные уравнениями
Формулы расстояния и средней точки с примерами, вопросами и решениями и Калькулятор расстояния и средней точки
Введение в многочлены
Примеры правил делимости и вопросы.
Правило делимости для 7 примеров и вопросов.
Exponents Вопросы с ответами для 9 класса; также включены решения и подробные пояснения.
Что такое радикалы в математике?; примеры и вопросы с подробными решениями включены.
Примеры мономов на сложение/вычитание и умножение/деление и вопросы с решениями для 9 класса
Многочлены сложения и вычитания — 9 класс, примеры и вопросы с подробными решениями
Решить уравнения — 9 класс, примеры и вопросы с подробными решениями
Фракции Вопросы и задачи с решениями
Умножение многочленов — 9 класс и решения для умножения многочленов.
Словесные задачи по математике с ответами — 9 класс; также включены решения и подробные пояснения.
вопросов по алгебре с ответами для 9 класса. Также включены решения и подробные пояснения.
Геометрические задачи и вопросы с ответами для 9 класса. Также включены решения и подробные пояснения.
Задачи на соотношение слов с ответами — 9 класс. Также включены решения и подробные пояснения.
Умножение и упрощение одночленов
Геометрические задачи

Онлайн-калькуляторы для практики и понимания концепций
Калькулятор решения линейных уравнений Калькулятор перевода единиц

Калькулятор теста на делимость. Онлайн-калькулятор, который проверяет целые числа на наглядность на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и 13.
Калькулятор наименьшего общего кратного (lcm). Вычислите наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел.
Калькулятор наибольшего общего множителя (gcf). Вычислите наибольший общий делитель двух натуральных чисел.
Калькулятор простых факторов. Разложите положительное целое число на простые множители.
Упрощение калькулятора квадратного корня
Калькулятор сложения дробей. Добавьте 2 или 3 дроби и уменьшите окончательный ответ. Калькулятор дробей
, который поможет вам развить навыки сокращения, сложения и умножения дробей.
Калькулятор дробей умножения. Умножьте 2 дроби и сократите ответ.
Калькулятор дробей деления. Разделите 2 дроби и сократите ответ.
Калькулятор уменьшения дробей. Перепишите дроби в сокращенной форме.
Преобразование единиц и калькуляторы
Преобразование единиц измерения
Дополнительные материалы по математике для начальной школы (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и задачами с ответами
Дополнительные материалы по математике для старших классов (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Учебники по математике
Нахождение эквивалентных дробей и простейшая форма
Добавить в Избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отмена
Управление моим избранным

Этот урок предназначен для учащихся с третьего по пятый классы, которые имеют представление о эквивалентных дробях с использованием моделей, понимают факты умножения и деления, а также умножения и деления дробей. Учащиеся будут использовать умножение и деление, чтобы показать эквивалентные дроби.
Повторить словарный запас и узнать, что учащиеся знают об эквивалентных дробях. Покажите модели эквивалентных дробей и объясните, что хотя числители и знаменатели у дробей разные, дроби представляют одну и ту же сумму, а значит, они эквивалентны.
Используйте модели, чтобы показать дроби 1/2 и 2/4, или нарисуйте их для учащихся. Предложите учащимся указать, что они знают о дробях. Покажите им, что на рисунке 2/4 фигур в два раза больше, чем на рисунке 1/2, но они представляют одинаковое количество.
Проверьте, что числа, умноженные на единицу, равны одному и тому же числу. Попросите учащихся привести несколько примеров единицы в виде дроби, например: 3/3, 4/4, 2/2. Запишите 1/2 x 2/2 = 2/4 и покажите, что числитель и знаменатель удвоены, чтобы получилась новая дробь. Объясните, что это еще один способ нахождения эквивалентных дробей.
Умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы найти эквивалентную дробь. Или разделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Важно записывать дроби как «сложенные», а не бок о бок. Это поможет учащимся при умножении и делении.
3/12 x 4/4 = 12/48
3/12 (знак деления) 3/3 = 1/4
Все эти дроби эквивалентны, потому что они обозначают одно и то же количество: 1/ 4
После нескольких примеров предложите учащимся подумать над правилом для этого принципа. Они должны быть в состоянии сказать вам, что если вы умножите или разделите и числитель, и знаменатель на одно и то же число, новая дробь будет эквивалентна исходной дроби. Это не сработает только в том случае, если ученики умножат на ноль.
Объясните, что иногда дроби нужно переименовывать, чтобы с ними было легче работать. Подчеркните, что дроби по-прежнему будут равны одной и той же сумме или будут эквивалентны, но числитель и знаменатель будут отличаться от исходной дроби.
Чтобы упростить дроби, найдите общий множитель, который будет делиться на числитель и знаменатель поровну. Например, покажите учащимся такую дробь: 12/18
Найдите множители числителя и знаменателя. Делители числа 12 равны 2, 3, 4 и 6. Делители числа 18 равны 2, 3, 6 и 9.. Общие делители равны 2, 3 и 6.
Чтобы упростить дробь, разделите ее на 6, так как 6 является наибольшим общим делителем. Покажите учащимся, как делить дробь: 12/18 (знак деления) 6/6 = 2/3
Объясните, что дробь имеет простейшую форму, если 1 является единственным общим делителем числителя и знаменателя. Предложите учащимся определить, является ли эта дробь простейшей формой.
2/3 — простейшая форма 12/18.
Чтобы сократить дробь до наименьшего члена, объясните, что учащиеся могут делить на любой общий делитель и продолжать до тех пор, пока он не станет наименьшим, или они могут делить на наибольший общий делитель. Например, учащиеся могут разделить дробь 12/18 на 2/2, а затем разделить на 3/3, чтобы показать дробь в простейшей форме. Или учащиеся могут разделить 12/18 на 6/6 и показать дробь 2/3 за один шаг.
Обсудите значение слова эквивалент и что делает дроби эквивалентными. Предложите учащимся написать в своих дневниках, как они могут найти эквивалентные дроби. Предложите им ответить на вопрос: как узнать, что у вас есть дробь в простейшей форме?
Предложите учащимся попрактиковаться в нахождении эквивалентных дробей путем умножения числителей и знаменателей и деления числителей и знаменателей на наибольшие общие множители. Дайте учащимся несколько дробей и попросите их найти эквивалентные дроби путем умножения. Некоторые примеры могут быть 2/3, 1/4 или 3/5.

Holidays
Mathematics Education Month

TYPE:
Lesson Plans

Featured 5th Grade Resources
SELF-CARE
The Ultimate Self- Журнал «Забота, внимательность и благодарность» для учителей
Лучший печатный журнал для учителей «Внимательность, забота о себе и благодарность» Выделите все самое важное время для самос…
ЗАНЯТИЯ
Месяц латиноамериканского наследия География Охота за мусором
Этот месяц латиноамериканского наследия для учащихся начальной и средней школы идеально подходит для того, чтобы помочь вашим учащимся осво.
Оставить комментарий on 6 класс сокращение дробей тесты: Тест по теме Сокращение дробей (6 класс) онлайн/
Рациональные действительные натуральные: Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа
alexxlab / 26.09.197029.07.2021 / Разное
Урок 15. действительные числа — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №15. Действительные числа.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) множество иррациональных чисел;
2) множество рациональных чисел;
3) правила выполнения действий с бесконечными десятичными дробями;
4)определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Глоссарий по теме
Рациональные числа – это такие числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби , где m — целое число, n — натуральное число , обозначаются буквой Q.
Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.
Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.
Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).
Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Все числа, которые мы изучаем в школе, называются действительными числами. Они образуют множество действительных чисел, которые принято обозначать латинской буквой R.
В свою очередь все действительные числа можно разделить на 2 группы: рациональные числа и иррациональные числа.
Рациональные числа – это такие числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби , где m —целое число, n — натуральное число , обозначаются буквой Q.
Пример: -3; -0,5; .
Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.
Пример: π=3,141592…; 0, 113456… .
Рациональные числа, в свою очередь, можно разделить на 2 вида – это целые числа и дробные числа.
Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.
Целые же числа можно разделить еще на несколько групп: отрицательные целые числа, нуль и положительные (натуральные) целые числа.
На числовой оси (Ох) между целыми числами будут находиться дробные иррациональные числа. Все вместе они будут представлять собой множество действительных чисел, R.
Обратите внимание, что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).
Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.
Числа 4; 4,2; 4,28 и т.д. являются последовательными приближениями значений суммы
.
Пусть это последовательные приближения действительного числа у с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т.д. Тогда погрешность приближения как угодно близко приближается к нулю.
при или
Читается «модуль разности у и стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности» или «предел модуля разности у и при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю»
Т.е. если при или
Модуль действительного числа у обозначается как |у| и определяется так же, как и модуль рационально числа:
.
А теперь давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего (Рисунок 1).
Рисунок 1
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,
n=15, ;
n=20, ;
n=21, .
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников. (рисунок 2)
Рисунок 2
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Определение:
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
Используя данное определение можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: (Рисунок 3)
Рисунок 3
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых.
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна
Если n неограниченно возрастает, то
или . Поэтому , т.е. .
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности
Например, для прогрессии , где ,
имеем
Так как то
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле
Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля
Пример 1:
Воспользуемся калькулятором:
Найдем значение данного выражения с точностью до единиц.
Округлим полученные результаты до десятых:
Тогда получаем:
Найдем значение данного выражения с точностью до десятых.
Округлим полученные результаты до сотых:
3
Тогда получаем:
Найдем значение данного выражения с точностью до сотых.
Округлим полученные результаты до тысячных:
32
Тогда получаем:
и т.д.
Пример 2.
Давайте выясним, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой:
а) ; б)
Решение:
. Найдем q.
;;
Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б)
Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Множества чисел (натуральные, целые, рациональные, действительные). Комплексные числа, их свойства и действия над ними. Множество натуральных чисел
N = {1, 2, 3, ……} – множество натуральных чисел.
Обозначим буквой N₀ множество, состоящее из всех натуральных чисел и нуля. Так как через N мы обозначили множество всех натуральных чисел, то можно записать: N₀=N0, NN₀.
Рассмотрим уравнение х+а=b, a,bN₀.
Если аb, то существует единственное число c=baN₀, являющееся решением этого уравнения. Если же a>b, то во множестве N₀ уравнение не имеет решений. Чтобы для любых a,bN₀ существовало решение уравнения, надо расширить множество N₀. Такое расширение осуществляется добавлением к каждому числу а нового элемента, обозначаемого  а, так чтобы в сумме с а получался нуль:
( а)+а=0, а+( а)=0.
Этот новый элемент называется отрицательным числом, противоположным натуральному числу а (или обратным для a по сложению). Наоборот, положительное число а называется противоположным отрицательному числу -а.
Условимся числа изображать точками на прямой. Нулю соответствует фиксированная точка, называемая начальной или началом. Справа от начала с одинаковыми интервалами между двумя соседними числами, равными единице масштаба, располагаются натуральные числа, а слева от начала — отрицательные числа.
Множество целых чисел
Множество, состоящее из всех натуральных чисел, нуля и всех отрицательных чисел, называется множеством целых чисел и обозначается буквой Z (от немецкого слова «die Zahl» — число). Имеем: NN₀ Z.
Так как на числовой оси меньшее число располагается левее большего, то всякое отрицательное число меньше любого положительного числа и нуля. Запись m<0 означает, что m — отрицательное число.
Во множестве Z уравнение x+a=b всегда имеет единственное решение: х=b а.
Так как знак минус означает симметрию относительно начала, то
 ( а)=а, а b=а+( b), а (b с)=а b+с.
При умножении справедливы следующие правила знаков:
( а) b=а ( b)=(  а )b, ( а) ( b)=а b.
Правила арифметических действий над отрицательными числами легко выводятся из общих законов арифметических операций: переместительности (коммутативности) и сочетательности (ассоциативности) сложения и умножения, а также распределительности (дистрибутивности) умножения относительно сложения:
а+b=b+а, аb=bа, а+(b+с)=(а+b)+с, а(bс)=(аb)с, а(b+с)=аb+ас.
Отрицательные числа впервые появились в Древнем Китае. Уже в VI-XI веках они систематически употреблялись в Индии при решении задач. Однако, в европейской науке отрицательные числа получили окончательное признание лишь в XVII веке во времена Рене Декарта (1596-1650), давшего геометрическое истолкование чисел как направленных отрезков.
Рациональные числа
Рассмотрим уравнение ах=b, где а,b — целые числа, причем а 0. Если b делится на а без остатка, т.е. b=am, mZ, то во множестве целых чисел исходное уравнение имеет единственное решение х=m. В противном случае это уравнение не имеет решений во множестве Z. Чтобы уравнение имело решение при любых целых а и b при а 0, надо расширить множество Z, добавляя новые элементы , a,bZ, а 0.
Число называется рациональным числом или дробью с числителем b и знаменателем а. Если в рассматриваемое уравнение вместо х подставить , то получится тождество. Два рациональных числа считаются равными, если .
Введение положительных рациональных чисел (дробей) явилось исторически первым расширением понятия натурального числа. Оно было вызвано тем, что не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз. Дробные числа были уже известны в Древнем Египте и Вавилоне. Китайцы и индусы в начале новой эры уже производили над дробями все арифметические действия. Сначала пользовались единичными дробями, т. е. дробями с числителем единица. Дробь определялась как сумма m одинаковых единичных дробей со знаменателем n. Лишь с развитием арифметики как науки о числе стали представлять дроби как отношение двух целых чисел, т.е. . Отсюда и возникло название «рациональное число» от латинского «ratio» — отношение.
Положительная дробь называется правильной, если 0<m<n, т.е. если числитель меньше знаменателя, и неправильной, если m≥n>0. Применяя алгоритм деления, всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби:
, 0r<n.
Сумму символически записывают в виде и называют смешанной дробью с целой частью q. Дробь со знаменателем единица отождествляется с целым числом, равным числителю, т.е. . Если НОД(m,n)=1, то дробь называется несократимой.
Дробь называется десятичной, если ее знаменатель n является натуральной степенью числа 10. Для десятичной дроби употребляется особый вид записи. Например, вместо , пишут: 0,0213. Дробь же, записанную в виде , где m и n — целые числа, n0, называют обыкновенной.
Десятичные дроби ввел в начале XVв. самаркандский математик аль-Каши, умерший около 1436 г., а в Европе они стали распространяться после выхода книги Симона Стевина (1548-1620) «Десятая» в 1585 г. В этой книге десятичные дроби стали составной частью унификации всей системы мер на десятичной основе.
Десятичные дроби, имеющие после запятой конечное число ненулевых цифр, называются конечными. Для их превращения в обыкновенные или смешанные дроби достаточно записать соответствующий знаменатель 10n, взяв числителем число из цифр после запятой и сохранив целую часть числа, если она есть. Например, число 2,023=2.
Десятичная дробь, имеющая сколь угодно много ненулевых цифр после запятой, называется бесконечной. Бесконечные десятичные дроби разбиваются на два класса — периодические, когда, начиная с некоторого момента, одна и та же группа цифр неограниченно повторяется, а других цифр, кроме этой группы, нет, и непериодические, если не существует такой бесконечно повторяющейся группы цифр после запятой. Повторяющуюся группу цифр в периодической десятичной дроби заключают в круглые скобки. Например, вместо 0,2353535… пишут 0,2(35).
Применяя алгоритм деления числителя на знаменатель, можно представить всякую обыкновенную дробь либо в виде конечной десятичной дроби (если простыми множителями знаменателя являются только двойки или пятерки), либо в виде бесконечной периодической (в остальных случаях). Например, .
Для того, чтобы периодическую десятичную дробь превратить в обыкновенную (или смешанную, если дробь больше единицы), надо в знаменателе дробной части записать слева направо столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр до периода, а в числителе — разность между натуральным числом из цифр после запятой до второго периода и натуральным числом из цифр после запятой до первого периода.
Для доказательства этого утверждения умножим дробную часть х десятичной периодической дроби сначала на 10^k, где k — число цифр после запятой до второго периода, затем — на 10^h, где h — число цифр до первого периода. Вычитая из первого результата второй, получают справа натуральное число, равное числителю искомой обыкновенной дроби, а слева — указанный в теореме знаменатель, умноженный на данную дробную часть х. Целая же часть числа остается неизменной.
Рассмотрим, например, периодическую десятичную дробь 3,2(15). Здесь дробная часть х=0,2(15), k=3, h=1.
Имеем: 10³х  10х = 215  2. Следовательно, , а значит, .
Множество всех рациональных чисел обозначается буквой Q от латинского слова «quotient» — «частное».
Имеем: NN₀ Z Q.
Арифметические операции — сложение и умножение рациональных чисел удовлетворяют тем же законам ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, что и натуральных и целых чисел.
Заметим, что на числовой оси рациональные числа располагаются «всюду плотно», т.е. между любыми точками числовой прямой существует точка, изображающая рациональное число.
Рассмотрим на числовой прямой точку, являющуюся концом отрезка, равного диагонали квадрата, который построен на единичном отрезке этой прямой. Эту точку нельзя задать никаким рациональным числом. Действительно, предположим противное, т.е. что ей соответствует несократимая дробь , где m, n — ненулевые целые числа.
По теореме Пифагора получаем 1²+1²=2=, и далее m²=2n². Следовательно, m², а значит и m — числа четные, т.е. m=2k, kZ. Получаем: (2k)²=2n² Отсюда 2k²=n². Значит, n — тоже число четное, т.е. дробь оказалась сократимой. Пришли к противоречию.
Так как квадрат этого нового числа равен двум, то оно обозначается символом .
Рассмотрим множество всех рациональных чисел, добавив к ним новые элементы, соответствующие тем точкам числовой оси, которые не изображают никакие рациональные числа. Каждый такой элемент называется иррациональным числом (от лат. «irrational» — безрассудный, не определяемый отношением).
Множество всех рациональных и иррациональных чисел образует новое множество, называемое множеством действительных чисел. Оно обозначается буквой R ( от фр. «r ee l» — действительный, реальный).
Всякому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. Наоборот, всякой точке на числовой прямой соответствует единственное действительное число.
Имеем: NN₀ Z Q R.
Пусть х — произвольное действительное число. Откладывая от начала координат единичный отрезок в положительном (при х≥0) или отрицательном (при х<0) направлении, убеждаемся, что существует единственное целое число n такое, что
Если x=n, то процесс закончен. Если же х>n, то, разбивая единичный отрезок на 10 частей и откладывая от точки n в положительном направлении десятые доли, получим:
n,n₁ x< n,(n₁+1).
Продолжая, в случае неравенства, процесс откладывания сотых, тысячных и т.д. частей, убеждаемся, что всякое действительное число либо совпадает с конечной десятичной дробью, либо выражается бесконечной десятичной дробью, лежащей с любой степенью точности между двумя конечными десятичными дробями. При этом конечная и бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, а бесконечная непериодическая десятичная дробь — иррациональным числом.
Операции сложения и умножения иррациональных чисел осуществляются путем предельного перехода результатов соответствующих операций над конечными десятичными дробями, являющимися приближениями исходных чисел. Например, для нахождения суммы составляют монотонно возрастающую ограниченную сверху последовательность десятичных дробей:
1,4+1,7=3,1;
1,41 + 1,73=3,14;
1,414+1,732=3,146;
1,4142+1,7320=3,1462;
1,41421+1,73205=3,14626;
1,414213+1,732050=3,146263,
1,4142135+1,7320508=3,1462643; и т.д. В пределе эта последовательность и дает число .
Арифметические операции над действительными числами удовлетворяют тем же законам ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности, что и над рациональными числами.
Знак минус перед действительным числом означает переход к противоположному числу, изображаемому симметричной относительно начала числовой прямой точкой. Следовательно,
-(-х)=х для любого xR.
Модулем действительного числа х называется число, равное х, если x ≥0, и равное -х, если х<0. Обозначается |х|. Например, |5|=5, |-7|=7, |0|=0. Геометрически модуль х есть расстояние от точки х до начала числовой прямой. Очевидно, |x|>0, |х+y|  |х|+|y|.
Кроме того, (-х)у=х(-у)=-ху, (-х)(-у)=ху .
Научная теория действительных чисел исчерпывающе была разработана немецкими математиками Вейерштрассом(1815-1897) и Дедекиндом(1831-1916).
Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа
Содержание
Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах
Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое принято обозначать буквой Q .
Каждое из рациональных чисел можно представить в виде
,
где m – целое число, а n – натуральное число.
При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.
Числа
и т.п. являются примерами иррациональных чисел.
Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.
При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.
Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.
Множество вещественных чисел обозначают буквой R .
Иррациональность числа
Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида
,
удовлетворяющая равенству
и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.
Используя данное равенство, получаем:
Отсюда вытекает, что число m² является четным числом, а, значит, и число m является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число m является нечетным числом, то найдется такое целое число k , которое удовлетворяет соотношению
m = 2k + 1 .
Следовательно,
m² = (2k + 1)² =
= 4k² + 4k +1 ,
т.е. m является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число m является четным числом. Значит, найдется такое целое число k , которое удовлетворяет соотношению
m = 2k .
Поэтому,
Отсюда вытекает, что число n² является четным, а, значит, и число n является четным числом.
Итак, число m является четным, и число n является четным, значит, число 2 является общим делителем числителя и знаменателя дроби
.
Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению
не существует. Следовательно, число является иррациональным числом, что и требовалось доказать.
Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком
Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число
Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической десятичной дробью.
Последовательностью десятичных приближений числа с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.
Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на 1 , то получится десятичное приближение числа с избытком.
Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.
Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:
и т.д.
Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.
Разница между действительным числом и рациональным числом — Разница Между
Разница Между 2021
Ключевая разница: Вещественное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это могут быть любые рациональные и иррациональные числа. Рациональное число — это число, ко
Содержание:
Ключевая разница: Вещественное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это могут быть любые рациональные и иррациональные числа. Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, но с ненулевым знаменателем. Рациональные числа являются подмножеством действительных чисел.
Вещественные числа состоят из всех рациональных, а также иррациональных чисел. Система действительных чисел может быть далее разделена на множество подмножеств, таких как натуральные числа, целые числа и целые числа.
Натуральные числа (1, 2, 3,….)
Целые числа (0, 1, 2, 3, 4, 5,…)
Целые числа (… .., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… ..)
Действительное число относится к любому числу, которое можно найти в числовой строке. Числовая линия может быть выражена как фактическая геометрическая линия, где точка выбрана в качестве начала координат. Точки, попадающие в правую сторону от начала координат, считаются положительными числами, а числа, лежащие в левой части от начала координат, считаются отрицательными. Следовательно, они состоят из целых (0, 1, 3, 9, 26), рациональных (6/9, 78,98) и иррациональных чисел (квадратный корень из 3, пи). Бесконечность не попадает в разряд вещественных чисел. Квадратный корень из -1 также не является действительным числом, и поэтому его называют мнимым числом.

Рациональное число — это число, которое определяется отношением, определенным как (p / q), где p обозначает некоторое целое число, а q обозначает некоторое ненулевое натуральное число. Эти числа образуют подмножество действительных чисел. С другой стороны, действительные числа, которые не могут быть выражены как отношение двух целых чисел, называются иррациональными числами. Рациональные числа являются результатом теоретического расчета или определения.
Сравнение между действительным числом и рациональным числом:
Настоящий номер
Рациональное число
Определение
Вещественное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это может быть любое из рациональных и иррациональных чисел.
Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, но с ненулевым знаменателем.

Номерная строка
Может быть нанесен на номерной линии.
Может быть нанесен на номерной линии
Включает в себя
Это включает (но не ограничивается) положительные и отрицательные числа, целые и рациональные числа, квадратные корни, кубические корни, π (pi) и т. Д.
8, а 8 можно выразить в виде (8/1)
3/4, как это в виде дроби
0/3, как это в виде дроби
Квадратный корень из 16, как это было бы 4, и это можно выразить как (4/1)
.7777777, все повторяющиеся десятичные дроби рациональны.
.12, как это можно выразить как 12/10
Важные моменты для запоминания
Объединение множеств рациональных чисел и иррациональных чисел.
Действительные числа включают ноль.
Набор рациональных чисел включает в себя все десятичные дроби, которые имеют либо конечное число десятичных знаков, либо повторяются в том же порядке цифр. Например, 0,1111111… = 1/9 и .245245245…. = 245/999.
Набор натуральных чисел является подмножеством набора целых чисел, который содержится в наборе целых чисел, который находится внутри набора рациональных чисел.
Вещественное , или действительное число возникло из необходимости измерений геометрической и физической величин мира. Кроме того, для проведения операций извлечения корня, вычисления логарифма, решения алгебраических уравнений и т.д.
Натуральные числа образовались с развитием счета, а рациональные с потребностью управлять частями целого, то вещественные числа (действительные) используются для измерений непрерывных величин. Т.о., расширение запаса чисел, которые рассматриваются, привело к множеству вещественных чисел, которое кроме рациональных чисел состоит из других элементов, называемых иррациональные числа .
Если a 0 0, то α; если a 0 >b 0 то α>β . Когда a 0 =b 0 переходим к сравнению следующего разряда. И т.д. Когда α≠β , значит после конечного количества шагов встретится первый разряд n , такой что a n ≠b n . Если a n n , то α; если a n >b n то α>β .
Но при этом нудно обратить внимание на то, что число a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда это периодическая десятичная дробь, у которой в периоде стоит 9, то её нужно заменить на эквивалентную запись, с нулем в периоде.
Арифметические операции с бесконечными десятичными дробями это непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например , суммой вещественных чисел α и β является вещественное число α+β , которое удовлетворяет таким условиям:
Счёт разрядов идёт справа налево. То есть, первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда, вторая цифра справа — цифрой второго разряда и т. д. Например, в первом классе числа 148 951 784 296, цифра 6 является цифрой первого разряда, 9 — цифра второго разряда, 2 — цифра третьего разряда:
Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иначе ещё называют разрядными единицами :
единицы называют единицами 1-го разряда (или простыми единицами )
десятки называют единицами 2-го разряда
сотни называют единицами 3-го разряда и т. д.
Все единицы, кроме простых единиц, называются составными единицами . Так, десяток, сотня, тысяча и т. д. — составные единицы. Каждые 10 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего (более высокого) разряда. Например, сотня содержит 10 десятков, десяток — 10 простых единиц.
Любая составная единица по сравнению с другой единицей, меньшей её называется единицей высшего разряда , а по сравнению с единицей, большей её, называется единицей низшего разряда . Например, сотня является единицей высшего разряда относительно десятка и единицей низшего разряда относительно тысячи.
В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит в числе есть две простые сотни. Следующая влево цифра — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60. Всего, таким образом, в данном числе содержится 62 сотни.
Цифра 0 в каком-нибудь разряде означает отсутствие единиц в данном разряде. Например, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:
Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.
Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.
Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.
Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.
Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:
Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .
Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ — принадлежит и ∉ — не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.
И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и &nsup;. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.
Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .
Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .
Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .
В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).
Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .
Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.
Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .
На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.
Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:
Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:
Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:
Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.
И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :
И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):
Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.
Что такое число? ЧИСЛО — одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счётом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, Натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов. 1
История. На раскопках стойбища древних людей нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад, какой – то древний охотник нанёс пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Также в Сибири и в других местах были найдены, сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.Кельты — древний народ, живший в Европе 2500 лет тому назад, являющиеся предками французов и англичан, считали двадцатками (две руки и две ноги давали двадцать пальцев). Следы этого сохранились во французском языке, где слово «восемьдесят» звучит как «четыре раза двадцать». Двадцатками считали и другие народы – предки датчан и голландцев, осетин и грузин. 2
Чётные и нечётные числа. Чётное число целое число, которое делится без остатка на 2: …, 2, 4, 6, 8, … Нечётное число целое число, которое не делится без остатка на 2: …, 1, 3, 5, 7, 9, … Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Чётные числа Пифагор считал женскими, а нечётные – мужскими: 2+3=5 5- это символ семьи, брака. Чётные и нечётные числа = женские и мужские числа. 4
Простые и составные. Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … Составные числа- это числа имеющие 3 и больше делителей. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. 5
Совершенные и несовершенные числа. Совершенные числа, целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = и 28 = являются совершенными. До сих пор (1976) неизвестно ни одного нечётного Сов. ч. и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования о Сов. ч. были начаты пифагорейцами, приписывавшими особый мистический смысл числам и их сочетаниям. Несовершенными Пифагор называл числа, сумма правильных делителей, которых меньше его самого. 6
Магические числа. Секреты чисел привлекают людей, заставляют вникать, разбираться, сравнивать свои выводы с реальным соотношением дел. К цифрам в древнем мире относились очень трепетно. Люди, познавшие их, считались великими, их приравнивали к божествам. Самый простой пример – это отсутствие во многих странах самолётов с бортовым номером 13, этажей и номеров в гостиницах с номером «13». 8
Магический ряд 2 – число равновесия и контраста, и поддерживающие устойчивость, смешивающие позитивные и негативные качества. 6 – Символ надёжности. Это идеальное число, которое делится как на чётное число(2), так и на нечётное(3), таким образом, объединяя элементы каждого. 8 – Число материального успеха. Оно означает надёжность, доведённую до совершенства, поскольку представлено двойным квадратом. Разделённое пополам, оно имеет равные части (4 и 4). Если его ещё разделить, то части будут тоже равными (2, 2, 2, 2), показывая четырёхкратное равновесие. 9 – Число всеобщего успеха, самое большое из всех цифр. Как трёхкратное числу 3, девятка превращает неустойчивость в стремление. 10
Методические указания для выполнения практического занятия «Действительные числа», по дисциплине: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия, созданы в помощь студентам, для успешной работы на занятие и подготовки к данному практическому занятию.
Приступая к выполнению практического задания, студенты должны внимательно прочитать цели занятия, ознакомиться с общими сведения и примерами выполнения заданий, с критериями оценивания работы, ответить на контрольные вопросы для закрепления теоретического материала.
Наличие положительной оценки по практическому занятию необходимо для получения допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие, студенты должны найти время для его выполнения или пересдачи.
Если в процессе подготовки к практическому занятию или при решении задач у студентов возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.
№
A
B
1вариант
2вариант
1вариант
2вариант
1
2
б)   Какое   множество   обозначают   буквой   N?   в)   Какое   самое маленькое натуральное число? г) Какое самое большое натуральное число? д) Сумма двух натуральных чисел – натуральное число? е) Разность двух натуральных чисел – тоже натуральное число?
2) Читайте.    3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой          обозначают    множество            всех     целых чисел? б)         Какое множество обозначают буквой Z? в) Разность двух целых чисел – целое число? г) Частное двух целых чисел – тоже целое число?
2) Читайте.     3) Пишите.   4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех рациональных чисел? б) Какое множество           обозначают   буквой   Q?   в)   Какие   числа   называют рациональными? г) Почему числа -1⅔; 6,723; 5 – рациональные?
3) Рациональные числа – это бесконечные периодические десятичные дроби. 4) Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. 5) Действительные числа – это бесконечные десятичные дроби. 6) Квадратный корень из рационального числа всегда иррациональное число.
Важным свойством, применимым к действительным, рациональным и иррациональным числам, является свойство плотности . Он говорит, что между любыми двумя действительными (или рациональными, или иррациональными) числами всегда есть другое действительное (или рациональное, или иррациональное) число. Например, между 0,4588 и 0,4589 существует число 0,45887, а также бесконечно много других. Итак, вот все возможные действительные числа:
Рациональные числа: Любое число, которое может быть записано как отношение (или дробь) двух целых чисел, является рациональным числом. Студенты часто спрашивают, являются ли дроби рациональными числами? Ответ — да, но дроби составляют большую категорию, в которую также входят целые числа, завершающие десятичные дроби, повторяющиеся десятичные дроби и дроби.
повторяющаяся десятичная дробь всегда можно записать в виде дроби, используя алгебраические методы, которые выходят за рамки данной статьи.Однако важно понимать, что любой десятичный разделитель с одной или несколькими цифрами, который повторяется бесконечно, например \ (2.111 \) … (который может быть записан как \ (2. \ overline {1} \)) или \ ( 0.890890890 \) … (или \ (0. \ overline {890} \)), является рациональным числом. Распространенный вопрос: «Повторяются ли десятичные дроби рациональными числами?» Ответ положительный!
Целые числа: Счетные числа (1, 2, 3, …), их противоположности (–1, –2, –3, …) и 0 являются целыми числами. Распространенная ошибка учащихся 6–8 классов — считать, что целые числа относятся к отрицательным числам.Точно так же многие студенты задаются вопросом, являются ли десятичные дроби целыми числами? Это верно только тогда, когда десятичная дробь заканчивается на «.000 …», как в 3.000 …, что равно 3. (Технически это также верно, когда десятичная дробь заканчивается на «.999 …», поскольку 0,999 … = 1. Это встречается нечасто, но цифра 3 на самом деле может быть записана как 2,999 ….)
В некотором смысле комплексные числа обозначают «конец» чисел, хотя математики всегда придумывают новые способы описания и представления чисел. Числа также можно абстрагировать различными способами, включая математические объекты, такие как матрицы и множества. Поощряйте своих учеников быть математиками! Как бы они описали число, которое не входит в число представленных здесь типов чисел? Почему ученый или математик может пытаться это сделать?
Ищете программу по математике, которая повысит уверенность учащихся в математике и поможет учащимся использовать рациональные и иррациональные числа? Изучите HMH Into Math , наше основное математическое решение для классов K – 8.
Действительные числа включают рациональные числа, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел , и иррациональные числа, которые не могут. (В приведенном выше списке все числа, кроме пи и квадратного корня из 2, являются рациональными.)
Считается, что первое действительное число, которое было идентифицировано как иррациональное, было открыто пифагорейцами в шестом веке B . С . До этого открытия люди считали, что каждое число может быть выражено как отношение двух натуральных чисел ( отрицательное число еще не было обнаружено). Пифагорейцы, однако, смогли показать, что гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника нельзя точно измерить какой бы то ни было шкалой, какой бы точной она ни измеряла катет.
Пифагорейцы смогли показать, что независимо от того, насколько точно каждая единица была разделена (единообразно), точка P попадет где-то внутри одного из этих подразделений. Даже если бы существовал миллион, миллиард, миллиард и один или любое другое количество однородных подразделений, точка P была бы пропущена каждым из них. Он попадет внутрь подразделения, а не в конец.Точка P представляет собой действительное число, потому что это определенная точка на числовой прямой, но она не представляет собой рациональное число a / b.
Точка P — не единственная иррациональная точка. Квадратный корень из любого простого числа иррационален. То же самое с кубическим корнем или любым другим корнем. Фактически, используя бесконечные десятичные дроби для представления действительных чисел, математик Кантор смог показать, что количество действительных чисел неисчислимо. Бесконечный набор чисел «счетный», если есть способ перечислить их, позволяющий достичь любого конкретного из них, прочитав достаточно далеко вниз по списку.Набор натуральных чисел — это , счетное , потому что обычный процесс подсчета, если он будет продолжаться достаточно долго, приведет к единице к любому конкретному числу в наборе. В случае с иррациональными числами, однако, их так много, что любое мыслимое их перечисление не учитывает по крайней мере одно из них.
У вещественных чисел есть много знакомых подмножеств, которые можно исчислить. К ним относятся натуральные числа, целые числа, рациональные числа и алгебраические числа (алгебраические числа — это те, которые могут быть корнями полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами ).Действительные числа также включают числа, которые «не соответствуют ни одному из вышеперечисленных». Это трансцендентное число , и их неисчислить. Пи — это один.
За исключением редких случаев, таких как √2 ÷ √8, вычисления могут выполняться только с рациональными числами. Когда кто-то хочет использовать иррациональное число , такое как π, √3 или e, в вычислении, необходимо заменить его рациональным приближением , таким как 22/7, 1,73205 или 2,718. Результат никогда не бывает точным. Тем не менее, всегда можно подойти к точному ответу в виде действительных чисел настолько близко, насколько это необходимо.Если Рисунок 1. Иллюстрация Hans & Cassidy. Предоставлено Gale Group.
Набор действительных чисел (обозначаемый \ (\ Re \)) плохо назван. Действительные числа не более или менее реальны — в нематематическом смысле, в котором они существуют — чем любой другой набор чисел, как и набор рациональных чисел (\ (\ mathbb {Q} \)), набор целых чисел (\ (\ mathbb {Z} \)) или набор натуральных чисел (\ (\ mathbb {N} \)).{th} \) века числа были досконально изучены, по крайней мере, так считалось. В конце концов, это были просто числа. Объедините их. Мы называем это добавлением. Если вы добавляете их несколько раз, мы называем это умножением. Аналогично понимались вычитание и деление.
Было (и остается) полезно визуализировать эти вещи более конкретно. Если мы возьмем палку длины \ (2 \) и другую длину \ (3 \) и положим их встык, мы получим длину \ (5 \). Это дополнение. Если мы положим их встык, но под прямым углом, то наши две палки будут иметь длину и ширину прямоугольника с площадью \ (6 \).Это умножение.
Конечно, у измерения длины целыми числами есть ограничения, но их нетрудно исправить. Если у нас есть длина (палка) длиной \ (1 \), а другая — длиной \ (2 \), то мы можем найти другую, длина которой по сравнению с \ (1 \) такая же (имеет ту же пропорцию, что и) поскольку \ (1 \) соответствует \ (2 \). Это число, конечно же, \ (1/2 \).
Обратите внимание, как представление дробей отражает операцию сравнения \ (1 \) с \ (2 \).Это сравнение обычно называется отношением \ (1 \) к \ (2 \), поэтому числа такого типа называются рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначается \ (\ mathbb {Q} \) для частных. В начальной школе они представлялись вам как дроби. Как только дроби будут поняты, эта визуализация с использованием отрезков (палочек) естественным образом приводит к их представлению в виде линии с рациональными числами.
Кажется, это работает как визуализация, потому что точки на линии и рациональные числа имеют определенные свойства. Главный из них состоит в том, что между любыми двумя точками на рациональной прямой есть еще одна точка, так же как между любыми двумя рациональными числами есть другое рациональное число.
Это все очень чисто и удовлетворительно, пока мы не рассмотрим его поближе.Тогда это становится довольно загадочным. Снова рассмотрим рациональные числа \ (a / b \) и \ (c / d \). Если мы будем думать об этом как о длинах, мы можем спросить: « Есть ли третья длина, скажем \ (α \), такая, что мы можем разделить \ (a / b \) на \ (M \) частей, каждая из которых имеет длину \ (α \), а также разделить \ (c / d \) на \ (N \) частей, каждая длиной \ (α \)? «Несколько минут размышлений должны убедить вас, что это то же самое, что и проблема поиска общего знаменателя, поэтому \ (α = \ frac {1} {bd} \) будет работать хорошо. (Подтвердите это сами.)
Вам может быть интересно, из-за чего мы всю эту суету.Очевидно, это всегда так. Фактически, предыдущий абзац дает набросок очень хорошего маленького доказательства этого. Вот теорема и ее доказательство, представленные формально.
Отсюда возникает следующий очень глубокий и важный вопрос: существуют ли длины, которые нельзя выразить как отношение двух целых длин? Ответ, конечно, положительный.В противном случае мы бы не задавали вопрос. Обратите внимание, что для таких чисел наше доказательство теоремы \ (\ PageIndex {1} \) неверно (почему бы и нет?).
Один из наиболее известных примеров такого числа — длина окружности с диаметром \ (1 \). Это число обычно обозначается \ (π \). Но круги — чрезвычайно сложные объекты — они кажутся простыми только потому, что так знакомы. Вы можете ожидать, что число \ (π \), возникающее из круга, также будет очень сложным, и это правда.На самом деле \ (π \) — исключительно странное число по ряду причин. Давайте начнем с того, о чем будет немного проще подумать.
Это число не может быть выражено как отношение двух целых чисел.То есть это иррационально. Это было известно с древних времен, но до сих пор вызывает недоумение при первом обнаружении. Это кажется настолько нелогичным, что интеллект восстает. « Это не может быть правдой, », — говорится в нем. « Это просто безумие! ”
Что произойдет, если мы предположим, что квадратный корень из двух может быть выражен как отношение целых чисел? Мы покажем, что это безвозвратно приводит к выводу, который явно неверен.2 \) тоже четное, поэтому \ (b \) тоже должно быть четным. Но это невозможно. Мы только что пришли к выводу, что \ (a \) и \ (b \) оба четные, и этот вывод следует непосредственно из нашего первоначального предположения, что не более одного из них может быть четным.
Тот факт, что \ (\ sqrt {2} \) не является рациональным, симпатичен и интересен, но если, как пифагорейцы Древней Греции, у вас нет твердого религиозного убеждения, что все числа рациональны, это не кажется очень важным. .{\ sqrt {2}} \)? Имеет ли это вообще какое-то значение.
Чем больше вы думаете об этом, тем более загадочным становится существование иррациональных чисел. Предположим, например, мы пересматриваем построение отрезка длины \ (\ sqrt {2} \). Понятно, что строительство идет, и такой отрезок мы действительно можем построить. Это существует.
Но подождите! Мы используем прямую с рациональными числами для нашей оси \ (x \). Это означает, что единственные точки на оси \ (x \) — это те, которые соответствуют рациональным числам (дробям). Но мы знаем, что \ (\ sqrt {2} \) не рационально! Вывод: точки \ ((\ sqrt {2}, 0) \) нет. Его просто не существует.
Но это еще хуже. Несложно показать, что \ (\ sqrt {3} \), \ (\ sqrt {5} \) и т. Д. Тоже иррациональны. То же самое и \ (π \) и \ (e \), хотя их не так просто показать. Кажется, что в рациональной линии есть куча дырок.Бесконечно много. И все же верна следующая теорема.
Это настолько интуитивно понятная концепция, что ее легко принять без доказательств. До изобретения математического анализа и даже в течение некоторого времени после этого это просто предполагалось. Однако по мере того, как основные проблемы, связанные с концепциями исчисления, были поняты и решены, мы в конечном итоге привели к более глубокому пониманию сложности системы действительных чисел.Свойство Архимеда больше не воспринимается как недоказанная аксиома, а, скорее, теперь понимается как следствие других аксиом. Мы покажем это позже, а пока мы примем это как очевидную истину, как это сделал Архимед.
С изобретением математики математики семнадцатого века начали использовать объекты, которые не удовлетворяли свойству Архимеда (фактически, Архимед тоже). Как мы увидим в следующей главе, когда Лейбниц писал первую статью о своей версии исчисления, он следовал этой практике, явно изложив правила манипулирования бесконечно малыми величинами (бесконечно малыми).Это были реальные числа, которые не равны нулю и все же меньше любого действительного числа. Он использовал следующие обозначения: \ (dx \) (бесконечно малое смещение в направлении \ (x \)) и \ (dy \) (бесконечно малое смещение в направлении \ (y \)). Эти символы должны быть вам знакомы. Это те же символы \ (dy \) и \ (dx \), используемые для образования производного символа \ (\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \), который вы узнали в математике.
Математики семнадцатого и восемнадцатого веков добились удивительного научного и математического прогресса, эксплуатируя эти бесконечно малые величины, хотя они изначально вызывали подозрения.{-1000} \), что очень странно.
Когда на первый план вышли фундаментальные проблемы, infinityimals несколько потеряли популярность. Вы, вероятно, не слишком часто использовали их в расчетах. В большинстве случаев вы, вероятно, использовали простое обозначение \ (f ‘(x) \), введенное Лагранжем в восемнадцатом веке. Вот некоторые из тем в этой книге: почему дифференциалы вышли из моды, чем они были заменены и как со временем эволюционировали современные обозначения, которые вы изучили в математике.
В заключение, помимо Архимедовой собственности, в двадцатом веке логик Авраам Робинсон пересмотрел идею бесконечных малых величин.{th} \) века существование бесконечно малых чисел было, мягко говоря, шатким. Однако это не помешало математикам успешно использовать эти бесконечно малые количества.
Случай 2: \ (α — β ≤ 1 \). В этом случае по свойству Архимеда существует натуральное число, скажем \ (n \), такое, что \ (n (α — β) = nα — nβ> 1 \). Теперь между \ (nα \) и \ (nβ \) будет целое число. Теперь вы сможете найти рациональное число между \ (α \) и \ (β \).
С практической точки зрения существование иррациональных чисел не очень важно.В свете теоремы \ (\ PageIndex {2} \) любое иррациональное число можно сколь угодно точно аппроксимировать рациональным числом. Поэтому, если мы проектируем мост и требуется \ (\ sqrt {2} \), мы просто используем вместо него \ (1.414 \). Введенная ошибка меньше \ (0,001 = 1/1000 \), поэтому, вероятно, это не имеет значения.
Ньютон явно основал свою версию исчисления на предположении, что мы можем думать о переменных величинах как о порождаемых непрерывным движением. Если в нашей системе счисления есть дыры, такое непрерывное движение невозможно, потому что у нас нет возможности перепрыгнуть через промежутки. Итак, Ньютон просто постулировал, что дыр нет. Он заполнил отверстие, где должно быть \ (\ sqrt {2} \). Он просто сказал: да, там есть номер под названием \ (\ sqrt {2} \), и он проделал то же самое со всеми остальными отверстиями.{th} \) века свойства действительной системы счисления (\ (\ mathbb {R} \)) как расширения системы рациональных чисел (\ (\ mathbb {Q} \)) были хорошо изучены. Вот обе системы, изображенные в виде линий:
Впечатляет, не правда ли? Причина, по которой они похожи друг на друга, за исключением меток \ (\ mathbb {R} \) и \ (\ mathbb {R} \), конечно, заключается в том, что наша способность рисовать эскизы изучаемых объектов совершенно не работает, когда мы попробуйте набросать \ (\ mathbb {R} \) в отличие от \ (\ mathbb {Q} \).Все отверстия в \ (\ mathbb {R} \) действительно есть, но не отверстия упакованы вместе так плотно, что мы не можем разделить их на чертеже. Эта неспособность рисовать изучаемые объекты будет частым источником разочарования.
Конечно, это не помешает нам рисовать зарисовки. Когда мы это делаем, наше воображение спасет нас, потому что можно представить \ (\ mathbb {Q} \) отличным от \ (\ mathbb {R} \). Но откажитесь от мысли, что эскиз — это точное изображение чего-либо.В лучшем случае наши наброски будут лишь подспорьем для воображения.
Итак, на этом этапе мы просто предположим существование действительных чисел. Мы также будем предполагать, что они обладают всеми привычными нам свойствами. Это вполне приемлемо, если мы делаем наши предположения явными. Однако нам нужно знать, что до сих пор существование и свойства действительных чисел — это предположение, которое не было логически выведено. Каждый раз, когда мы делаем предположение, мы должны быть готовы либо полностью отказаться от него, если мы обнаружим, что оно приводит к бессмысленным результатам, либо пересмотреть предположение в свете этих результатов, чтобы увидеть, сможем ли мы найти другое предположение, которое включает в себя Во-первых, и объясняет (по-видимому) бессмысленные результаты.
Что такое действительные числа? Когда вы впервые учитесь математике с числами, вы никогда не задумываетесь о том, какие «типы» чисел вы используете. Вы просто складываете 2 плюс 2 или вычитаете 10 из 20, а затем начинаете умножать (-3) раз (-5) (см. Здесь «Умножение целых чисел») и другие, более сложные функции. Вы даже не подозреваете, что все числа, с которыми вы играете, на самом деле принадлежат определенному набору чисел.И этот набор чисел называется действительными числами. Позже (намного позже) вы, возможно, начнете изучать другие наборы чисел, такие как мнимые числа … но это совсем другой урок, который мы отложим для другого дня.
Итак, что такое реальное число? Проще говоря, вещественное число — это любое число, которое можно выразить в десятичной форме . Это числа, которые вы используете каждый день в домашнем задании по математике, а также в лабораториях, офисах и на производстве.Как я уже сказал, вы даже не подозреваете, что все время использовали вещественные числа.
Если мы думаем о нашем наборе действительных чисел как о числах, которые могут быть выражены в виде десятичной дроби, мы можем аналогичным образом думать о них как о представленных в числовой строке. Таким образом, легко увидеть, что действительные числа включают в себя все числа в числовой строке, независимо от того, положительные они, отрицательные или нулевые.
Одна категория — это числа Rational , которые представляют собой любые числа, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел, знаменатель которых не равен нулю (например, 5 (5/1), 2/3 (0,6666…) или 0,87934 что на самом деле 87934/100000…). Целые числа, представленные галочками, — это Целые числа . А сами целые числа состоят из натуральных чисел , которые являются вашими обычными «счетными числами» (0, 1 яблоко, 2 яблока, 3 яблока) и их отрицательными числами.
Конечно, если есть рациональные числа, у нас также должно быть иррациональное число . Иррациональные числа не могут быть выражены как отношение двух целых чисел, поэтому их десятичная форма может быть бесконечной без повторения. Квадратные корни иногда бывают иррациональными (например, квадратный корень из 2), как и числа пи и е (если вы еще этого не сделали, вы узнаете об этих специальных числах позже).
Итак, вкратце, что такое действительное число? Это набор чисел, которые можно разбить на несколько категорий.Рациональные числа — это все числа, которые могут быть представлены в виде простой дроби или повторяющейся десятичной дроби. Иррациональные числа — это все числа, десятичные дроби которых продолжаются бесконечно, не повторяясь. Вместе рациональные и иррациональные числа полностью заполняют нашу числовую строку и образуют набор действительных чисел.
Надеюсь, это имеет смысл и отвечает на вопрос, который так много студентов приходят сюда в поисках: «Что такое действительные числа?» Кроме того, я надеюсь, что это даст вам более глубокое понимание чисел, с которыми вы всегда знали, как работать в любом случае! 🙂
В математике вы встретите много ссылок на числа.Числа можно разделить на группы, и поначалу это может показаться несколько запутанным, но если вы будете работать с числами на протяжении всего обучения математике, они скоро станут для вас второй натурой. Вы услышите, как вам бросают различные термины, и вскоре вы сами будете использовать эти термины очень хорошо. Вы также скоро обнаружите, что некоторые числа будут принадлежать более чем одной группе. Например, простое число — это также целое и целое число. Вот разбивка того, как мы классифицируем числа:
Натуральные числа — это то, что вы используете, когда считаете объекты один к одному.Вы можете считать гроши, кнопки или куки. Когда вы начинаете использовать 1,2,3,4 и так далее, вы используете счетные числа или, чтобы дать им надлежащее название, вы используете натуральные числа.
Целые числа легко запомнить. Это не дроби и не десятичные дроби, это просто целые числа. Единственное, что отличает их от натуральных чисел, — это то, что мы включаем ноль, когда говорим о целых числах. Однако некоторые математики также включают ноль в натуральные числа, и я не собираюсь спорить с этим.Я приму оба варианта, если будет представлен разумный аргумент. Целые числа — 1, 2, 3, 4 и так далее.
Рациональные числа состоят из целых чисел, дробей и десятичных знаков. Теперь вы можете видеть, что числа могут принадлежать более чем к одной классификационной группе.Рациональные числа также могут иметь повторяющиеся десятичные дроби, которые вы увидите, записанные так: 0,54444444 … что просто означает, что оно повторяется вечно, иногда вы увидите линию, проведенную над десятичным знаком, что означает, что оно повторяется бесконечно, вместо того, чтобы иметь .. .., над последним числом будет нарисована линия.
Иррациональные числа не включают целые числа ИЛИ дроби. Однако иррациональные числа могут иметь десятичное значение, которое продолжается бесконечно БЕЗ шаблона, в отличие от приведенного выше примера.Примером хорошо известного иррационального числа является пи, которое, как мы все знаем, равно 3,14, но если мы посмотрим на него глубже, на самом деле это 3,14159265358979323846264338327950288419 … и это примерно 5 триллионов цифр!
Вот еще одна категория, в которую подойдут другие классификации чисел. Действительные числа включают натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа. Действительные числа также включают дробные и десятичные числа.
Таким образом, это базовый обзор системы классификации чисел, поскольку вы переходите к продвинутой математике, вы столкнетесь с комплексными числами. Я оставлю это на том, что комплексные числа бывают действительными и мнимыми.
Ключевое отличие: Действительное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это могут быть любые рациональные и иррациональные числа. Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, но с ненулевым знаменателем.Рациональные числа — это подмножество действительных чисел.
Действительные числа состоят как из рациональных, так и из иррациональных чисел. Систему действительных чисел можно разделить на множество подмножеств, таких как натуральные числа, целые числа и целые числа.
Натуральные числа (1, 2, 3,….)
Целые числа (0, 1, 2, 3, 4, 5,…)
Целые числа (… .., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… ..)
Действительное число относится к любому числу, которое можно найти в числовой строке. Числовая линия может быть выражена как фактическая геометрическая линия, в которой точка выбрана в качестве начала координат.Точки, которые попадают в правую часть начала координат, считаются положительными числами, тогда как числа, лежащие в левой части начала координат, считаются отрицательными. Следовательно, они состоят из целых (0, 1, 3, 9, 26), рациональных (6/9, 78,98) и иррациональных чисел (квадратный корень из 3, пи). Бесконечность не относится к разряду действительных чисел. Квадратный корень из -1 также не является действительным числом, поэтому его называют мнимым числом.
Рациональное число — это число, которое определяется соотношением, определяемым как (p / q), где p обозначает некоторое целое число, а q обозначает ненулевое натуральное число.Эти числа образуют подмножество действительных чисел. С другой стороны, действительные числа, которые нельзя выразить как отношение двух целых чисел, называются иррациональными числами. Рациональные числа являются результатом теоретических расчетов или определений.
Сравнение действительного числа и рационального числа:
Реальный номер
Рациональное число
Определение
Действительное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке.Это может быть любое из рациональных и иррациональных чисел.
Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, но с ненулевым знаменателем.
Номерная строка
Может быть нанесен на числовую прямую.
Может быть нанесен на числовую линию
Включает
Это включает (но не ограничивается) положительные и отрицательные, целые и рациональные числа, квадратные корни, кубические корни, π (pi) и т. Д.
8, так как 8 может быть выражено в виде (8/1)
3/4, так как в дробной форме
0/3, как дробная форма
Квадратный корень из 16, как это было бы 4, и это можно выразить как (4/1)
.7777777, все повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными.
.12, как это можно выразить как 12/10
Важные моменты, которые следует запомнить
Объединение множеств рациональных чисел и иррациональных чисел.
Действительные числа включают ноль.
Набор чисел Rational включает все десятичные дроби, которые имеют либо конечное количество десятичных разрядов, либо повторяются в одном и том же шаблоне цифр. Например, 0,1111111… = 1/9 и .245245245…. = 245/999.
Набор натуральных чисел — это подмножество набора целых чисел, которое содержится в наборе целых чисел, который находится внутри набора рациональных чисел.
Классификация чисел Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Иррациональные числа Действительные числа.
Презентация на тему: «Классификация чисел Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Иррациональные числа Действительные числа» — стенограмма презентации:
ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>
1 Классификация чисел Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Иррациональные числа Действительные числа
2 Натуральные числа состоят из любого положительного числа, не имеющего дробных частей.В этот набор не входит ноль. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… Дроби Смешанные числа Отрицательные числа
3 Целые числа состоят из любого положительного числа, не имеющего дробных частей. В этот набор входит ноль. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… Дроби Смешанные числа Отрицательные числа
4 Целые числа — это целые числа, положительные и отрицательные.В этот набор также входит ноль. …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,… Дроби Смешанные числа Отрицательные числа
5 Рациональные числа включают в себя все целые числа, а также завершающие и повторяющиеся десятичные дроби, дроби и смешанные числа. …, -3, -2,75, -2, -1, 0, ½, .7, 1, 2, 3, 3,5… Дроби Смешанные числа Отрицательные числа
6 Рациональные числа включают как целые, так и целые числа.Целые числа Целые числа Рациональные натуральные числа
7 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 2) -4 3) 2,75 4) .3 5) 25 6) -2½
8 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 рациональный 2) -4 3) 2.75 4) .3 5) 25 6) -2½
9 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 рациональный 2) -4целый, рациональный 3) 2,75 4) .3 5) 25 6) -2½
10 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 рациональный 2) -4целый, рациональный 3) 2.75рациональный 4) .3 5) 25 6) -2½
11 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 рациональный 2) -4целый, рациональный 3) 2,75 рациональный 4) .3 рациональный 5) 25 6) -2½
12 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен.1) .7 рациональный 2) -4целый, рациональный 3) 2,75 рациональный 4) .3 рациональный 5) 25 целых, целых, рациональных 6) -2½
13 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 рациональный 2) -4целый, рациональный 3) 2,75 рациональный 4) .3 рациональный 5) 25 целых, целых, рациональных 6) -2½ рациональных
14 Что не является рациональным числом
15 Эти цифры иррациональны.Это неповторяющиеся десятичные дроби. = 3,141592653… = 1,414213562… = 2,23606797… Примечание. Это квадратные корни из неполных квадратов.
16 Набор рациональных чисел и иррациональных чисел составляют набор действительных чисел. Целые числа Рациональные Целые Иррациональные Действительные числа Натуральные числа
17 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным.1) 2) 3) -6 4) 5) 2,4545454545… 6) 7,25 7) 8)
18 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным. 1) рациональное 2) 3) -6 4) 5) 2,4545454545… 6) 7,25 7) 8)
19 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным. 1) рациональное 2) иррациональное 3) -6 4) 5) 2,4545454545… 6) 7,25 7) 8)
20 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным.1) рациональное 2) иррациональное 3) -6 рациональное 4) 5) 2,4545454545… 6) 7,25 7) 8)
21 год Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным. 1) рациональное 2) иррациональное 3) -6 рациональное 4) рациональное 5) 2,4545454545… 6) 7,25 7) 8)
22 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным. 1) рациональное 2) иррациональное 3) -6 рациональное 4) рациональное 5) 2.4545454545… рациональное 6) 7,25 7) 8)
23 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным. 1) рациональное 2) иррациональное 3) -6 рациональное 4) рациональное 5) 2,4545454545… рациональное 6) 7,25 рациональное 7) 8)
24 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным.

(1)

Пусть в каждой точке пластины задана ее поверхностная плотность γ = γ (x, y) ≥ 0. Будем считать, что функция γ = γ (x, y) непрерывна в области D. Тогда масса m этой пластины равна двойному интегралу от функции плотности γ (x, y) по области D:

(2)

Статическим моментом M_x относительно оси Ox материальной точки P(x;y), лежащей в плоскости Oxy и имеющей массу m, называется произведение массы точки на ее ординату, т.е. M_x= my. Аналогично определяется статический момент M_y относительно оси Oy: M_y = mx. Статические моменты плоской пластины с поверхностной плотностью γ = γ (x, y) вычисляются по формулам:

(3)

(4)

(5)

где m – масса системы, а M_x и M_y – статические моменты системы. Масса плоской пластины m определяется формулой (1), статические моменты плоской пластины можно вычислить по формулам (3) и (4). Тогда, согласно формулам (5), получаем выражение для координат центра масс плоской пластины:

(6)

Типовой расчет содержит две задачи. В каждой задаче задана плоская пластина D, ограниченная линиями, указанными в условии задачи. Г(x,y) – поверхностная плотность пластины D. Для этой пластины найти: 1. S – площадь; 2. m – массу; 3. M_y , M_x – статические моменты относительно осей Оy и Ох соответственно; 4. , – координаты центра масс.

При решении каждой задачи необходимо: 1. Выполнить чертеж заданной области. Выбрать систему координат, в которой будут вычисляться двойные интегралы. 2. Записать область в виде системы неравенств в выбранной системе координат. 3. Вычислить площадь S и массу m пластины по формулам (1) и (2). 4. Вычислить статические моменты M_y , M_x по формулам (3) и (4). 5. Вычислить координаты центра масс , по формулам (6). Нанести центр масс на чертеж. При этом возникает визуальный (качественный) контроль полученных результатов. Численные ответы должны быть получены с тремя значащими цифрами.

Задача 1. Пластина D ограничена линиями: y = 4 – x²; х = 0; y = 0 (x ≥ 0; y ≥ 0) Поверхностная плотность γ₀ = 3. Решение. Область, заданная в задаче, ограничена параболой y = 4 – x², осями координат и лежит в первой четверти (рис. 1). Задачу будем решать в декартовой системе координат. Эта область может быть описана системой неравенств:

Задача 2. Пластина D ограничена линиями: х² + у² = 4; х = 0, у = х ( х ≥ 0, у ≥ 0). Поверхностная плотность γ(x,y) = у. Решение. Пластина ограничена окружностью и прямыми, проходящими через начало координат (рис. 2). Поэтому для решения задачи удобно использовать полярную систему координат. Полярный угол φ меняется от π/4 до π/2. Луч, проведенный из полюса через пластину, «входит» в неё при ρ = 0 и «выходит» на окружность, уравнение которой: х² + у² = 4 <=> ρ = 2.

Следовательно, заданную область можно записать системой неравенств: Площадь пластины найдем по формуле (1): Массу пластины найдем по формуле (2), подставив γ(x,y) = у = ρ sinφ: Для вычисления статических моментов пластины используем формулы (3) и (4): Координаты центра масс получим по формулам (6): Ответ: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M_x = 2,57; M_y = 1; = 0,53; = 1,36.

Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей» площади которых обозначим через а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через (см. рис. 214).

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается

Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом равенство (53. 2) можно записать в виде

Геометрический и физический смысл двойного интеграла
Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей , площади которых равны A Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием через , получим
Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой Объем этого цилиндра приближенно равен объему цилиндрического столбика, т. е. Тогда получаем:
Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей» ,. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок неограниченно увеличивается а каждая площадка стягивается в точку за объем V цилиндрического тела, т. е.
или, согласно равенству (53.2),
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
Масса плоской пластинки
Требуется найти массу m плоской пластинки D. зная, что ее поверхностная плотность есть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей площади которых обозначим через . В каждой области возьмем произвольную точку и вычислим плотность в ней:
Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке мало отличается от значения Считая приближенно плотность в каждой точке области постоянной, равной , можно найти ее массу Так как масса m всей пластинки D равна Для ее вычисления имеем приближенное равенство
Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии
или, согласно равенству (53.2),
Итак, двойной интеграл от функции численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию считать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.
Основные свойства двойного интеграла
Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.
3.Если область D разбить линией на две области такие, что а пересечение состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то
4.Если в области D имеет место неравенство то и Если в области D функции f(x;y) и удовлетворяют неравенству то и
6.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой — соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.
7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка, что Величину
называют средним значением функции f(x; у) в области D.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл где функция непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что
где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.
Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривыми, причем функции непрерывны и таковы, что для всех (см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси
В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями
(см. рис. 219).
Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла
Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:
С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области D. Следовательно,
Это равенство обычно записывается в виде
Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом называется внутренним интегралом.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.
Если же область D ограничена прямыми кривыми
для всех т. е. область D — правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = const, аналогично получим:
Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.
Замечания:
Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда
Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
Если область D не является правильной ни «по x», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.
Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
Пример:
Вычислить где область D ограничена линиями у
Решение:
На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53. 8):
Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области: . Получаем:
Ответ, разумеется, один и тот же.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.
Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как
Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель
а функция f(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:
Функциональный определитель (53. 10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.
Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами
В качестве инь возьмем полярные координаты Они связаны с декартовыми координатами формулами (см. п. 9.1).
Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как
Формула замены переменных (53.11) принимает вид:
где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если
область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучами и кривыми где т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде
Внутренний интеграл берется при постоянном
Замечания:
Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид область D есть круг, кольцо или часть таковых.
На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по (исследуя закон изменения точки при ее отождествлении с точкой (х; у) области D).
Пример:
Вычислить где область D — круг
Решение: Применив формулу (53. 12), перейдем к полярным координатам:
Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) Заметим: область D —круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:
Приложения двойного интеграла
Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.
Объем тела
Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле
где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.
Площадь плоской фигуры
Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:
или, в полярных координатах,
Масса плоской фигуры
Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью находится по формуле
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам
а координаты центра масс фигуры по формулам
Моменты инерции плоской фигуры
Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:
Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле
Замечание:
Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).
Пример:
Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему
находим уравнение линии их пересечения:
Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг ) и ограниченных сверху соответственно поверхностями Используя формулу (53.4), имеем
Переходя к полярным координатам, находим:
Пример:
Найти массу, статические моменты и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.
Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, — коэффициент пропорциональности.
Находим статические моменты пластинки:
Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы
Двойной интеграл
Смотрите также:
Предмет высшая математика
Решение заданий и задач по предметам:
Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат
Механические приложения двойного интеграла / Двойной интеграл / 3dstroyproekt.
ru
Будем считать, что $\mathbf { \textit { D } } $ — неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке $P$ равной $\mu (P)$. В механике $\mu (P)$ определяется так. Точка $P$ окружается малой областью $\mathbf { \textit { S } } $, находится масса $\mathbf { \textit { m } } (\mathbf { \textit { S } } )$ и площадь этой области { площадь тоже будем обозначать буквой $\mathbf { \textit { S } } $ } и $\mu (P)=\mathop { \lim } \limits_ { diam(S)\to 0 } \frac { m(S) } { S } $.
Для нахождения массы по заданной плотности мы решим обратную задачу. Разобьём $\mathbf { \textit { D } } $ на малые подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $,$\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } _ { n } $, в каждой из подобластей $\mathbf { \textit { D } } _ { i } $ выберем произвольную точку $\mathbf { \textit { P } } _ { i } $, и, считая что в пределах $\mathbf { \textit { D } } _ { i } $ плотность постоянна и равна $\mu (P_i )$, получим, что масса $\mathbf { \textit { D } } _ { i } $ приближённо есть $\mu (P_i )\cdot s(D_i )$, а масса всей пластины $\sum\limits_ { i=1 } ^n { \mu (P_i )\cdot s(D_i ) } $. 2)\cdot \mu (P)ds } =I_x +I_y $ { относительно начала координат } .
Пластина расположена в области (R) и ее плотность в точке ( { \left( { x,y }\right) } ) равна ( { \rho \left( { x,y }\right) } ).
Масса пластины
(m = \large\iint\limits_R\normalsize { \rho \left( { x,y }\right)dA } )
Статические моменты пластины
Момент пластины относительно оси (Ox) определяется формулой
( { M_x } = \large\iint\limits_R\normalsize { y\rho \left( { x,y }\right)dA } )
Аналогично, момент пластины относительно оси (Oy) выражается в виде
( { M_y } = \large\iint\limits_R\normalsize { x\rho \left( { x,y }\right)dA } )
Координаты центра масс пластины
(\bar x = \large\frac { { { M_y } } } { m } \normalsize = \large\frac { 1 } { m } \normalsize \large\iint\limits_R\normalsize { x\rho \left( { x,y }\right)dA } = \large\frac { { \iint\limits_R { x\rho \left( { x,y }\right)dA } } } { { \iint\limits_R { \rho \left( { x,y }\right)dA } } } \normalsize,\;)
(\bar y = \large\frac { { { M_x } } } { m } \normalsize = \large\frac { 1 } { m } \normalsize \large\iint\limits_R\normalsize { y\rho \left( { x,y }\right)dA } = \large\frac { { \iint\limits_R { y\rho \left( { x,y }\right)dA } } } { { \iint\limits_R { \rho \left( { x,y }\right)dA } } } \normalsize ). 1 } = { 2\pi \left( { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } }\right) } = { \frac { { 3\pi } } { 2 } \;\left( { \text { Кл } }\right). } $
Далее:
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Определение двойного интеграла
Класс Te . Теорема о замкнутости Te
Замена переменных в тройном интеграле
Поверхностный интеграл второго рода и его свойства
Класс M. Теорема о замкнутости класса M
Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл
Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана
Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Формула Гаусса — Остроградского
Линейный интеграл и циркуляция векторного поля
Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.
Гармонические поля
Огравление $\Rightarrow $
23 сентября 2016, 09:42    проектирование км, кмд, кж Двойной интеграл 0    13049 0
Физические приложения двойного интеграла.

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:
Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации
Техника нижней прямой подачи мяча.
Франко-прусская война (причины и последствия)
Организация работы процедурного кабинета
Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний
Коммуникативные барьеры и пути их преодоления
Обработка изделий медицинского назначения многократного применения
Образцы текста публицистического стиля
Четыре типа изменения баланса
Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации
Практические работы по географии для 6 класса
Организация работы процедурного кабинета
Изменения в неживой природе осенью
Уборка процедурного кабинета
Сольфеджио. Все правила по сольфеджио
Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒
Пусть D – плоская пластина, лежащая в плоскости Оху с поверхностной плотностью ρ(х,у). Тогда:
1. массу m пластинки находят по формуле
(10)
2. статические моменты и пластинки относительно координатных осей находят по формулам
(11)
3.кординаты центра тяжести и пластинки – по формулам
(12)
4. Моменты инерции , и пластинки соответственно относительно координатных осей Ох и Оу и начала координат находят по формулам
(13)
(14)
Для однородных пластинок поверхностная плотность . В некоторых задачах для простоты полагают .
Пример 1. Найти массу круглой пластины D с поверхностной плотностью ρ(х,у)=3-х—у.
Решение: Массу пластины вычисляем по формуле (10):
Поскольку пластина является круглой, вначале в двойном интеграле переходим к полярным координатам, а затем при вычислении внутреннего интеграла учитываем тот факт, что интеграл по периоду от тригонометрических функций равен нулю.
Пример 2. Найти статический момент однородного прямоугольника со сторонами а и b относительно стороны а, считая, что прямоугольник лежит в плоскости Оху.
Решение: Поместим начало координат в одну из вершин прямоугольника так, чтобы ось Ох совпадала со стороной а, а ось Оу – со стороной b. Статический
момент прямоугольника относительно стороны а будет равен статическому моменту относительно оси Ох. По первой из формул (11) получаем:

Пример 3. Найти координаты центра тяжести однородной пластины плотности , ограниченной параболой и прямой х+у=2.
Решение: Чертеж области приведен на рис.27. Найдем абсциссы точек пересечения графиков. Из системы получаем и . Тогда масса пластины вычисляется по формуле:
Рис.27.
Вычислим статические моменты пластины относительно координатных осей

Теперь вычисляем по формулам (12) координаты центра тяжести пластины:

Пример 4. Вычислить моменты инерции однородного треугольника со сторонами х+у=1, х+2у=2 , у=0, относительно координатных осей.
Решение: Треугольник приведен на рис 28. Моменты инерции относительно осей вычисляем по формулам (13):
Рис.28
Пример 5. Найти момент инерции однородной области, ограниченной лемнискатой относительно начала координат.
Решение: Полярный момент инерции вычисляем по формуле (14), при этом в двойном интеграле перейдем к полярным координатам. В результате уравнение лемнискаты в полярных координатах принимает вид , а координата (рис. 29). Тогда получаем:

Рис.29.

1.7. Задачи для самостоятельного решения:

Вычислить двойной интеграл:

1. , где D – прямоугольник .
2. , где D — ограниченна параболой и прямой у=х.
3. , D ограничена линиями , х=0, 2у=3х.

Двойной интеграл представить в виде повторного двумя способами:
4. D – треугольник с вершинами А(-1,-1), В(1,3), С(2,-4).
5. D – параллелограмм с вершинами А(-3,1), В(2,1), С(6,4), D(1,4).
6. D ограничена линиями , .
7. D ограничена линиями .
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
8. 9.
10. 11.
12. 13.
14. 15.

Выбирая подходящие замены переменных, вычислить двойные интегралы:

16. , где D ограничена линиями , у=х+1, у=х-3.
17. , где D – параллелограмм со сторонами у=х, у=х+3, у=-2х+1, у=-2х+5.
18. , D ограничена кривыми , ху=p, ху=q (0<a<b, 0<p<q).

В двойном интеграле перейти к полярным координатам r и φ (х=rcosφ, y=rsinφ) и расставить пределы интегрирования:

19. D – круг .
20. D – область, ограниченная окружностями и прямыми у=х и у=2х.
21. D –область, ограниченная прямыми у=х, у=-х и у=1.
22. D – общая часть кругов и .
Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам:

23. .
24. , D ограничена лемнискатой .
25. , где D – круг .
26. , где D – четверть круга .

Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:

27. , у=х. 28. , .
29., ху=4, х+у-5=0. 30. , х+у=а
31. , у=х, у=0. 32. , у=-1, у=-х.
33. . 34. .

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

35. . 36. .
37. .
38.
39. Найти площадь части плоскости , лежащей в первом октанте.
40. Найти площадь части поверхности параболоида , отсекаемой цилиндром и плоскостью х=3а.
41. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми , если ее плотность равна ρ(х,у)=х+2у.
42. Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой .
43. Найти координаты центра тяжести однородной пластики, ограниченной параболой и прямой у=2 (а>0).
44. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной окружностью и двумя радиусами у=0 и у=хtgα .
45. Найти статический момент однородного полукруга радиуса R, лежащего в плоскости Оху, относительно диаметра.
46. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной пластины, ограниченной кардиоидой и полярной осью.
47. Найти статические моменты однородной пластины, ограниченной кривой y=sinx и прямой ОА, проходящей через начало координат и точку ( ,относительно осей Ох и Оу.
48. Найти моменты инерции прямоугольника ОАСВ со сторонами ОА=а и ОВ=b относительно вершины О и сторон ОА и ОВ, если его плотность равна расстоянию до стороны ОВ, считая, что прямоугольник лежит в плоскости Оуz.
49. Найти моменты инерции однородной пластины, ограниченной эллипсом , относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат.
50. Найти полярный момент инерции однородной фигуры, ограниченной кардиоидой .
Глава 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Читайте также:

Психологические особенности спортивного соревнования
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации
Занятость населения и рынок труда
Социальный статус семьи и её типология

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; просмотров: 4406; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 176.9.44.166 (0.014 с.)

VI.3. Некоторые приложения двойного интеграла
(схема 42)

1. Вычисление объема тела
Пусть функция f(x;y) ≥ 0. Рассмотрим тело, ограниченное     поверхностью z = f(x;y), плоскостью z=0 и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 0z, а направляющей служит граница области D. Как было показано выше, согласно формуле (6.3) объем данного тела равен
                                                                         (6. 18)
Пример 6.9. Вычислить объём тела, ограниченного параболоидом z= x²+y²+1, плоскостью x+y –3=0 и координатными плоскостями.
Решение. Основанием тела служит треугольник ОАВ. Область D в данном случае определяется неравенствами:
. Заметим, что тело, заданное по условию, аналогично телу, изображенному на рисунке 6.6 (пример 6.5). Следовательно, используя формулу (6.18), получим:

2. Вычисление площади плоской фигуры
Если положить в формуле (6.18) f(x,y)=1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой h=1. Объем такого цилиндра,
как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:
    (6. 19)
или, в полярных координатах,
       (6.20)
Пример 6.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y=2x+1 и параболой y=x²+1.
Решение. Решая совместно систему
, находим точки пересечения этих линий: A(0;1) и B(2;5).
Применяя формулу (6.19), будем иметь:
Пример 6.11. Вычислить площадь фигуры ограниченной лемнискатой
(рис. 6.9).
Решение. Переходим к полярной системе координат, полагая x=r cosφ и y=r sinφ; тогда получаем
. В силу симметрии кривой относительно координатных осей можно вычислить сначала ту часть, которая расположена первой четверти. В этом случае угол φ будет изменяться от 0 до, а радиус r от 0 до . По формуле (6.20) получим:


3. Вычисление массы плоской фигуры (пластины)
Масса плоской пластинки D с переменной плотностью γ=γ(x,y) находится по формуле
.   (6.21)

4. Определение статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры
Статические моменты фигуры D относительно осей 0x и 0y могут быть вычислены по формулам
   ;                   (6. 22)
а координаты центра масс фигуры – по формулам
    .                               (6.23)
Статические моменты широко используются в сопротивлении материалов и других технических науках.

5. Определение моментов инерции плоской фигуры
Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т.е. . Моменты инерции плоской фигуры относительно 0x и 0y могут быть вычислены по формулам:
        (6.24)
Момент инерции фигуры относительно начала координат – по формуле
.                                                                                (6. 25)
Пример 6.12. Найти массу, статические моменты и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом  и координатными осями. Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.
Решение. По формуле (6.21) находим массу пластины. По условию, γ=γ(x,y)=k∙xy, где k – коэффициент пропорциональности.Тогда
.
Находим статические моменты пластинки по формулам (6.22):
Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы (6.23):

  6. Поверхностный интеграл I рода
Обобщением двойного интеграла является поверхностный интеграл. Пусть в трехмерном пространстве Оxyz в точках некоторой поверхности площади S определена непрерывная функция u = f (x;y;z). Разобьем поверхность на конечное число n частей S_i, площади которых равны ∆S_i, а диаметры – d_i, . Выберем в каждой части S_i произвольную точку M_i(x_i;y_i;z_i) и составим сумму произведений вида
.       (6.26)
Она называется интегральной суммой для функции f(x;y;z) по поверхности S. Если при интегральная сумма (6.26) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения поверхности S, ни от выбора точек M_i(x_i;y_i;z_i), то он называется поверхностным интегралом I рода от функции f(x;y;z) по поверхности S и обозначается . Следовательно,
. (6.27)
Теорема 6.3 (о существовании поверхностного интеграла). Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x;y;z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует
Формула   (6.28)
выражает интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции S на плоскость x0y. Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида  y=y(x;z) или x=x(y;z), то аналогично получим:
и   (6. 29)
,   (6.30)
где D₁ и D₂ – проекции поверхности S на координатные плоскости xОz и   yОz соответственно.
Пример 6.13. Вычислить , где S – часть цилиндрической поверхности , отсеченной плоскостями z = 0 и z = 3.
Решение. Из уравнения заданной цилиндрической поверхности выразим  и учтём, что при x = 0 в плоскости xОy: . Так как частные производные равны , то согласно формуле (6.30), имеем
Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла I рода.

6.1. Площадь поверхности
Если поверхность S задана уравнением z = f(x;y), a ее проекция на плоскость x0y есть область D, в которой z = f(x;y), z_x(x;y) и z_y(x;y) – непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле:
    . (6.31)
Пример 6.14. Вычислить площадь части плоскости x+y+z=4, вырезаемой цилиндром x²+y² =4 (рис. 6.10).
Решение. Применим формулу (6.31). Область интегрирования D есть круг радиуса r=2. Находим частные производные и  заданной функции z=4 – x – y:
. Тогда .
Чтобы вычислить этот интеграл, введём полярные координаты. Область D определяется: . Следовательно,

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы γ=γ(x;y;z). Все эти величины определяются одним и тем же способом:
– данную область разбивают на конечное число мелких частей;
– делают для каждой такой части предположения, упрощающие задачу;
– находят приближенное значение искомой величины;
– переходят к пределу при неограниченном измельчении разбиения области.
Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

6.2. Масса поверхности
Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть γ=γ(x;y;z). Для нахождения массы поверхности:
1.     Разбиваем поверхность S на n частей S_i, , площадь которых обозначим ∆S_i.
2.     Выберем произвольную точку M_i(x_i;y_i;z_i) в каждой области S_i. Предполагаем, что в переделах области S_i плотность постоянна и равна её
значению в точке M_i.
3.     Масса m_i области S_iмало отличается от массы γ(x_i;y_i;z_i)∙∆S_i   однородной области с постоянной полностью γ= γ(x_i;y_i;z_i).
4.     Суммируя m_i по всей области, получаем:.
5.     За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей S_i, то есть
.   (6.32)

6.3. Моменты и центр тяжести поверхности. Статические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим формулам:
Пример 6. 15. Вычислить координаты центра тяжести однородной поверхности параболоида z=x²+y², ограниченной плоскостью z=1.
Решение. Вершина заданного параболоида совпадает с началом координат. Так как поверхность однородная (постоянная плотность массы), то, основываясь на ее симметрии, можно сделать вывод, что центр тяжести расположен на оси 0z. Тогда x_c=0, y_c=0 и по формуле (6.36) аппликата. Пересечем параболоид поверхностью z=1, спроектируем линию пересечения на плоскость x0y – получим окружность x²+y²=1 в качестве области D. Вычислим элемент поверхности параболоида z=x²+y² по формуле (6.31), учитывая, что:
.
Аналогично, переходя к полярным координатам на плоскости x0y, получим:
.
Таким образом,, то есть центр тяжести заданного параболоида, ограниченного плоскостью z=1, находится в точке (0;0;1) и совпадает с точкой пересечения поверхности с плоскостью
Вопросы для самопроверки
Лекции кратные интегралы, двойной интеграл
  Скачать с Depositfiles

Лекции 5-6
Тема2. Кратные интегралы.
Двойной интеграл.
Контрольные вопросы.
1. Двойной интеграл, его геометрический и физический смысл
2. Свойства двойного интеграла.
3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
4. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Замечание. Ниже будем считать все рассматриваемые кривые кусочно-гладкими. Диаметром замкнутой ограниченной области будем называть наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области
Пусть функция z = f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости. Разобьём область D произвольным образом на nэлементарных замкнутых областей ₁, … ,_n, имеющих площади ₁, …, _n и диаметры d₁, …, d_nсоответственно. Обозначим d наибольший из диаметров областей ₁, … ,_n . В каждой области _k выберем произвольную точку P_k(x_k ,y_k) и составим интегральную сумму функции f(x,y)
S =  (1)
Определение. Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел интегральной суммы
, (2)
если он существует.
Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области D и выбора точек P_k (k=1, …, n). Однако, предел , если он существует, не зависит от способа разбиения области D и выбора точек P_k .
Достаточное условие существования двойного интеграла. Двойной интеграл (1) существует, если функция f(x,y) непрерывна в D за исключением конечного числа кусочно-гладких кривых и ограничена в D. В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые двойные интегралы существуют.
Геометрический смысл двойного интеграла.
Если f(x,y) ≥0 в области D, то двойной интеграл (1) равен объему «цилиндрического” тела, изображенного на рисунке:
V = (3)
Цилиндрическое тело ограничено снизу областью D, сверху  частью поверхности z=f(x,y), с боков  вертикальными отрезками прямых, соединяющих границы этой поверхности и области D.
Физический смысл двойного интеграла. Масса плоской пластины.
Пусть задана плоская пластина D с известной функцией плотности γ(х,у), тогда разбивая пластину D на части D_i и выбирая произвольные точки , получим для массы пластины , или, сравнивая с формулой (2):

(4)
4. Некоторые свойства двойного интеграла.
Линейность. Если С – числовая константа, то
,
Аддитивность. Если область D «разбита” на области D₁ и D₂, то
.
3) Площадь ограниченной области D равна
(5)
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Рисунок 1
D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, φ₁(x) ≤ y≤ φ₂(x)} (6)

Область D заключена в полосе между прямыми x = a, y = b, снизу и сверху ограничена соответственно кривыми y = φ₁(x) и y = φ₂(x) .
Двойной интеграл (1) по области D (4) вычисляется переходом к повторному интегралу:
(7)
Этот повторный интеграл вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется внутренний интеграл
по переменной y, при этом x считается постоянной. В результате получится функция от переменной x, а затем вычисляется «внешний” интеграл от этой функции по переменной x.
Замечание. Процесс перехода к повторному интегралу по формуле (7) часто называют расстановкой пределов интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов интегрирования нужно помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не должен превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть константами, а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внешнего интеграла.
Пусть теперь область D имеет вид
D = { (x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ₁(y) ≤ x ≤ ψ₂(y) } . (8)
Тогда
. (9)
Предположим, что область D можно представить в виде (6) и (8) одновременно. Тогда имеет место равенство
(10)
Переход од одного повторного интеграла к другому в равенстве (10) называется изменением порядка интегрирования в двойном интеграле.

Примеры.
1) Изменить порядок интегрирования в интеграле
Решение. По виду повторного интеграла находим область
D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y≤ 2} .
Изобразим область D. По рисунку видим, что эта область расположена в горизонтальной полосе между прямыми y=0, y=2 и между линиями x =0и x = y  2. Это значит, что
D = {(x, y): 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x≤ y/2} .
Тогда по формуле (10) получаем
2)Вычислить интеграл  где D  область из примера 1.
Решение. Расставим пределы интегрирования в интеграле подобно примеру 1:
Вычислим внутренний интеграл по переменной y, считая x константой:
Теперь вычислим внешний интеграл по x:
Замена переменных в двойном интеграле.
Иногда для упрощения вычислений делают замену переменных:
,  (11)
Если функции (11) непрерывно дифференцируемы и определитель (Якобиан) отличен от нуля в рассматриваемой области:
(12)
то:  (13)
15.6: Расчет центров масс и моментов инерции
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
2614
Гилберт Стрэнг и Эдвин «Джед» Герман
ОпенСтакс
Цели обучения
Использование двойных интегралов для определения центра масс двумерного объекта.
Используйте двойные интегралы, чтобы найти момент инерции двумерного объекта.
Используйте тройные интегралы для определения центра масс трехмерного объекта.
Мы уже обсудили несколько применений кратных интегралов, таких как нахождение площадей, объемов и среднего значения функции в ограниченной области. В этом разделе мы разрабатываем вычислительные методы для нахождения центра масс и моментов инерции нескольких типов физических объектов, используя двойные интегралы для пластины (плоской пластины) и тройные интегралы для трехмерного объекта с переменной плотностью. Плотность обычно считается постоянным числом, когда пластинка или объект однородны; то есть объект имеет однородную плотность.
Центр масс в двух измерениях
Центр масс также известен как центр тяжести, если объект находится в однородном гравитационном поле. Если объект имеет однородную плотность, центр масс является геометрическим центром объекта, который называется центроидом. На рисунке $\PageIndex{1}$ показана точка $P$ как центр масс пластинки. Пластинка идеально сбалансирована относительно своего центра масс.
Рисунок $\PageIndex{1}$: Пластинка идеально сбалансирована на шпинделе, если центр масс пластинки находится на шпинделе.
Чтобы найти координаты центра масс $P(\bar{x},\bar{y})$ пластинки, нужно найти момент $M_x$ пластинки относительно $ x$-ось и момент $M_y$ относительно $y$-оси. Нам также нужно найти массу $m$ пластинки. Тогда
\[\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} \nonumber \]
и
\[\bar{y} = \dfrac{M_x}{m}. \nonumber \]
Обратитесь к разделу «Моменты и центры масс» за определениями и методами одинарного интегрирования для нахождения центра масс одномерного объекта (например, тонкого стержня). Мы собираемся использовать аналогичную идею здесь, за исключением того, что объект представляет собой двумерную пластинку, и мы используем двойной интеграл.
Если мы допускаем постоянную функцию плотности, то $\bar{x} = \dfrac{M_y}{m}$ и $\bar{y} = \dfrac{M_x}{m}$ дают центроид пластинки.
Предположим, что пластинка занимает область $R$ в $xy$-плоскости, и пусть $\rho (x,y)$ — ее плотность (в единицах массы на единицу площади) в любой точка $(х,у)$. Следовательно,
\[\rho(x,y) = \lim_{\Delta A \rightarrow 0} \dfrac{\Delta m}{\Delta A} \nonumber \]
, где $\Delta m$ и $\Delta A$ — масса и площадь маленького прямоугольника, содержащего точку $(x,y)$, и предел берется, когда размеры прямоугольника идут к $0$ (см. следующий рисунок). 9{x=3} = \dfrac{27}{8}. \nonumber \]
Расчет прост и дает ответ $m = \dfrac{27}{8} \, кг$.
Упражнение $\PageIndex{1}$
Рассмотрим ту же область $R$, что и в предыдущем примере, и используем функцию плотности $\rho (x,y) = \sqrt{xy}\ ). Найдите общую массу.
Ответить
\(\dfrac{9\pi}{8} \, кг$
Теперь, когда мы установили выражение для массы, у нас есть инструменты, необходимые для вычисления моментов и центров масс. Момент $M_z$ относительно оси $x$ для $R$ является пределом сумм моментов областей $R_{ij}$ относительно оси $x$ . Отсюда 92 y \, dy \, dx = \dfrac{81}{20}, \nonumber \]
Расчет довольно прост.
Упражнение $\PageIndex{2}$
Рассмотрим ту же пластинку $R$, что и выше, и используем функцию плотности $\rho (x,y) = \sqrt{xy}$. Найдите моменты $M_x$ и $M_y$.
Ответить
$M_x = \dfrac{81\pi}{64}$ и $M_y = \dfrac{81\pi}{64}$
Наконец, мы готовы переформулировать выражения для центра масс в виде интегралов. Обозначим x -координата центра масс через $\bar{x}$ и y -координата через $\bar{y}$. В частности,
\[\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y)\, dA} \nonumber \]
и
\[\bar{y} = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y)\,dA} \nonumber \]
Пример $\PageIndex{3}$: центр масс
Снова рассмотрим ту же треугольную область $R$ с вершинами $(0,0 ), \, (0,3), \, (3,0)$ и с функцией плотности $\rho (x,y) = xy$. Найдите центр масс.
Решение
Используя разработанные нами формулы, имеем
\[\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x\rho (x,y) \,dA }{\iint_R \rho (x,y)\,dA} = \dfrac{81/20}{27/8} = \dfrac{6}{5}, \nonumber \]
\[\bar{y } = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y)\,dA} = \dfrac{81/20} {27/8} = \dfrac{6}{5}. \nonumber \]
Следовательно, центром масс является точка $\left(\dfrac{6}{5},\dfrac{6}{5}\right).$
Анализ
Если мы выберем плотность $\rho(x,y)$ вместо того, чтобы она была равномерной по всей области (т. е. постоянной), такой как значение 1 (подойдет любая константа), то мы можем вычислить центроид,
\[x_c = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x \, dA}{\iint_R \,dA} = \dfrac{9/2}{9/2} = 1 , \nonumber \]
\[y_c = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y \, dA}{\iint_R \,dA} = \dfrac{9/2}{9/2} = 1. \nonumber \]
Обратите внимание, что центр масс $\left(\dfrac{6}{5},\dfrac{6}{5}\right)$ не совпадает с центром тяжести $(1,1)$ треугольной области. Это связано с переменной плотностью $R$. Если плотность постоянна, то мы просто используем $\rho(x,y) = c$ (константа). Это значение исключается из формул, поэтому при постоянной плотности центр масс совпадает с центром тяжести пластинки.
Упражнение $\PageIndex{3}$
Снова используйте ту же область $R$, что и выше, и функцию плотности $\rho (x,y) = \sqrt{xy}$. Найдите центр масс.
Ответить
$\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{81\pi/64}{9\pi/8} = \dfrac{9}{8}$ и $\bar {y} = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{81\pi}{9\pi/8} = \dfrac{0}{8}$.
Еще раз, основываясь на комментариях в конце примера $\PageIndex{3}$, у нас есть выражения для центроида области на плоскости:
\[x_c = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x \, dA}{\iint_R \,dA} \, \text{and} \, y_c = \dfrac{M_x}{m } = \dfrac{\iint_R y \, dA}{\iint_R \,dA}. \nonumber \]
Мы должны использовать эти формулы и проверить центр тяжести треугольной области R, упомянутой в последних трех примерах. 2\) в интервале $0 \leq x \leq 2$ (см. следующий рисунок). 92} х(х + у) \,dy \, dx = \dfrac{176}{15}. \nonumber \]
Наконец, оцените центр масс,
\[\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x \rho (x,y) \,dA} {\iint_R \rho (x,y)\,dA} = \dfrac{176/15}{36/5} = \dfrac{44}{27}, \nonumber \]
\[\bar{y} = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y \rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y)\,dA} = \dfrac{80/7}{ 36/5} = \dfrac{100}{63}. \nonumber \]
Следовательно, центр масс равен $(\bar{x},\bar{y}) = \left(\dfrac{44}{27}, \dfrac{100}{63} \right )$. 92 + 1)\справа). \nonumber \]
Упражнение $\PageIndex{5}$
Вычислить центр тяжести области между кривыми $y = x$ и $y = \sqrt{x}$ с равномерной плотностью интервал $0 \leq x \leq 1$.
Ответить
$x_c = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{1/15}{1/6} = \dfrac{2}{5}$ и $ y_c = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{1/12}{1/6} = \dfrac{1}{2}$
Моменты инерции
Для ясного понимания того, как вычислять моменты инерции с помощью двойных интегралов, нам нужно вернуться к общему определению в разделе $6. *) \Delta A$. Момент инерции связан с вращением массы; в частности, он измеряет тенденцию массы сопротивляться изменению вращательного движения вокруг оси. 92\), где $r$ — расстояние частицы от оси, также известное как радиус вращения .
Следовательно, радиусы вращения относительно оси $x$, оси $y$ и начала координат равны
\[R_x = \sqrt{\dfrac{I_x}{m}}, \, R_y = \sqrt{\dfrac{I_y}{m}}, \, и \, R_0 = \sqrt{\dfrac{I_0}{m}}, \nonumber \]
соответственно. В каждом случае радиус вращения говорит нам, как далеко (перпендикулярное расстояние) от оси вращения может быть сосредоточена вся масса объекта. Моменты объекта полезны для получения информации о балансе и крутящем моменте объекта относительно оси, но радиусы вращения используются для описания распределения массы вокруг его центральной оси. Есть много приложений в технике и физике. Иногда необходимо найти радиус вращения, как в следующем примере.
Пример $\PageIndex{7}$: нахождение радиуса вращения треугольной пластинки
Рассмотрим ту же треугольную пластинку $R$ с вершинами $(0,0), \, (2,2 )$ и $(2,0)$ и с плотностью $\rho(x,y) = xy$, как в предыдущих примерах. Найдите радиусы вращения относительно оси $x$, оси $y$ и начала координат.
Решение
Если мы вычислим массу этой области, то найдем, что $m = 2$. Мы нашли моменты инерции этой пластинки в примере $\PageIndex{4}$. Из этих данных радиусы вращения относительно оси $x$, оси $y$ и начала координат равны соответственно
\[\begin{align} R_x = \sqrt{\dfrac{I_x}{m}} = \sqrt{\dfrac{8/3}{2}} = \sqrt{\dfrac{8}}{6} } = \dfrac{2\sqrt{3}}{3},\\R_y = \sqrt{\dfrac{I_y}{m}} = \sqrt{\dfrac{16/3}{2}} = \sqrt {\ dfrac {8} {3}} = \ dfrac {2 \ sqrt {6}} {3}, \\ R_0 = \ sqrt {\ dfrac {I_0} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {8} {2}} = \sqrt{4} = 2.\end{align} \nonumber \]
Упражнение $\PageIndex{7}$
Используйте тот же регион $R$ из примера $\ PageIndex{7}$ и функцию плотности $\rho (x,y) = \sqrt{xy}$. Найдите радиусы вращения относительно оси $x$, оси $y$ и начала координат. 92з\). Найдите центр масс.
Подсказка
Убедитесь, что $M_{xy} = \dfrac{27}{35}, \, M_{xz} = \dfrac{243}{140},$ и $M_{yz} = \dfrac{81} {35}$. Затем используйте $m$ из предыдущего контрольного вопроса.
Ответить
$\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{8}, \dfrac{1}{2}\right)$
Завершим этот раздел примером нахождения моментов инерции $I_x, \, I_y$ и $I_z$. 92 yz\) (см. рисунок $\PageIndex{7}$). Найти моменты инерции тетраэдра $Q$ относительно плоскостей $yz$, $xz$ и $xy$-плоскостей.
Решение
Опять же, мы можем почти сразу написать пределы интегрирования и, следовательно, мы можем быстро перейти к оценке моментов инерции. Используя приведенную выше формулу, моменты инерции тетраэдра $Q$ относительно плоскости $yz$, плоскости $xz$ и плоскости $xy$ равны
92з\). Найдите моменты инерции относительно трех координатных плоскостей.
Ответить
Моменты инерции тетраэдра $Q$ относительно плоскости $yz$, плоскости $xz$ и плоскости $xy$ равны $99/35, \, 36/7$ и $243/35$ соответственно.
Ключевые понятия
Нахождение массы, центра масс, моментов и моментов инерции в двойных интегралах:
Для пластины $R$ с функцией плотности $\rho (x,y)$ в любой точке $(x,y)$ плоскости масса равна \[m = \iint_R \rho (x,y) \,dA. \номер\] 92) \rho(x,y) \,dA. \номер\]
Нахождение массы, центра масс, моментов и моментов инерции в тройных интегралах:
Для твердого тела $Q$ с функцией плотности $\rho(x,y,z)$ при любая точка $(x,y,z)$ в пространстве имеет массу \[m = \iiint_Q \rho (x,y,z) \,dV. \номер\]
Моменты относительно плоскости $xy$, плоскости $xz$ и плоскости $yz$ равны \[M_{xy} = \iiint_Q z\rho (x,y,z )\,dV, \, M_{xz} = \iiint_Q y\rho (x,y,z)\,dV, \, M_{yz} = \iiint_Q x\rho (x,y,z)\,dV \номер\] 9*) \,\Delta A = \iint_R x\rho(x,y)\,dA \nonumber \]
Центр масс пластинки \[\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x ,y) \,dA} \, и \, \bar{y} = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho ( x,y) \,dA} \номер\]
Глоссарий
радиус вращения
расстояние от центра масс объекта до его оси вращения
Эта страница под названием 15. 6: Вычисление центров масс и моментов инерции распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Странгом и Эдвином «Джедом» Германом (OpenStax) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
CC BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Программа OER или Publisher
ОпенСтакс
Показать страницу TOC
нет
Теги
автор @ Эдвин «Джед» Герман
автор@Гилберт Странг
центр тяжести
центр масс
Моменты инерции
радиус вращения
источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1
Математика III. Поверхностные интегралы
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Уведомление для мобильных устройств
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 6-3: Поверхностные интегралы
Пришло время подумать об интегрировании функций по некоторой поверхности $S$ в трехмерном пространстве. Давайте начнем с наброска поверхности $S$, так как обозначения могут немного запутаться, когда мы в них попадем. Вот набросок некоторой поверхности $S$.
Область $S$ будет лежать выше (в данном случае) некоторой области $D$, лежащей в плоскости $xy$. Здесь мы использовали прямоугольник, но это, конечно, не обязательно. Также обратите внимание, что мы могли бы так же легко посмотреть на поверхность $S$, которая находилась перед некоторой областью $D$ в yz -плоскость или $xz$-плоскость. Не зацикливайтесь на $xy$-плоскости настолько, чтобы вы не могли решать задачи с областями в двух других плоскостях.
Теперь то, как мы оцениваем поверхностный интеграл, будет зависеть от того, как нам дана поверхность. По сути, здесь есть два отдельных метода, хотя, как мы увидим, на самом деле они одинаковы.
Сначала рассмотрим поверхностный интеграл, в котором поверхность $S$ задается формулой $z = g\left( {x,y} \right)$. В этом случае поверхностный интеграл равен 92} + 1} \,dA}}\]
Здесь нужно быть осторожным, так как оба они выглядят как стандартные двойные интегралы. Фактически интеграл справа является стандартным двойным интегралом. Однако интеграл слева является поверхностным интегралом. Отличить их друг от друга можно, посмотрев на дифференциалы. Поверхностный интеграл будет иметь $dS$, а стандартный двойной интеграл будет иметь $dA$.
Чтобы вычислить поверхностный интеграл, мы заменим уравнение поверхности на $z$ в подынтегральном выражении, а затем добавим часто запутанный квадратный корень. После этого интеграл становится стандартным двойным интегралом, и к этому моменту мы уже должны иметь дело с этим.
Также обратите внимание, что существуют аналогичные формулы для поверхностей, заданных $y = g\left( {x,z} \right)$ (где $D$ в $xz$-плоскости) и $x = g\left( {y,z} \right)$ (с $D$ в $yz$-плоскости). Мы увидим одну из этих формул в примерах, а другую предоставим вам для записи.
Второй метод оценки поверхностного интеграла предназначен для тех поверхностей, которые заданы параметризацией,
\[\vec r\left( {u,v} \right) = x\left( {u,v} \right)\vec i + y\left( {u,v} \right)\vec j + z \left( {u,v} \right)\vec k\]
В этих случаях поверхностный интеграл равен
\[\iint\limits_{S}{{f\left( {x,y,z} \right)\,dS}} = \iint\limits_{D}{{f\left( {\vec r\left ( {u,v} \right)} \right)\left\| {{{\vec r}_u} \times {{\vec r}_v}} \right\|\,dA}}\]
где $D$ — диапазон параметров, очерчивающих поверхность $S$.
Прежде чем приступить к работе с некоторыми примерами, заметим, что, поскольку мы можем параметризовать поверхность, заданную $z = g\left( {x,y} \right)$, как
92} + 1} \]
для таких поверхностей. Возможно, вы захотите проверить это на практике вычисления этих перекрестных произведений.
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Вычислите $ \displaystyle \iint\limits_{S}{{6xy\,dS}}$, где $S$ — часть плоскости $x + y + z = 1$, которая лежит в октант 1 ^st и находится перед плоскостью $yz$.
Показать решение
Итак, поскольку мы ищем часть плоскости, лежащую перед плоскостью $yz$, нам потребуется записать уравнение поверхности в виде $x = g\left( {y,z} \справа)$. Это достаточно легко сделать.
\[х = 1 — у — г\]
Далее нам нужно определить, что такое $D$. Вот эскиз поверхности $S$.
Вот набросок области $D$.
Обратите внимание, что оси обозначены иначе, чем мы привыкли видеть на эскизе $D$. Это должно было сохранить соответствие эскиза эскизу поверхности. Мы пришли к уравнению гипотенузы, приравняв $x$ к нулю в уравнении плоскости и найдя $z$. 2}} \,dA}}\] 91 = \ frac {{\ sqrt 3}} {4} \ end {align *} \]
Пример 2. Вычислите $ \displaystyle \iint\limits_{S}{{z\,dS}}$, где $S$ — верхняя половина сферы радиуса 2.
Показать решение
Мы дали параметризацию сферы в предыдущем разделе. Вот параметризация для этой сферы.
\ [\ vec r \ left ( {\ theta , \ varphi } \ right) = 2 \ sin \ varphi \ cos \ theta \, \ vec i + 2 \ sin \ varphi \ sin \ theta \, \ vec j + 2 \cos\varphi\,\veck\]
Поскольку мы работаем над верхней половиной сферы, вот ограничения на параметры.
\[0 \le \theta \le 2\pi \hspace{0.5in}0 \le \varphi \le \frac{\pi} {2}\]
Далее нам нужно определить ${\vec r_\theta} \times {\vec r_\varphi}$. Вот два отдельных вектора.
\[\ begin{align*}{{\vec r}_\theta}\left({\theta,\varphi}\right) & = — 2\sin \varphi\sin\theta\,\vec i + 2 \sin \varphi\cos\theta\,\vec j\\{{\vec r}_\varphi}\left({\theta,\varphi}\right) & = 2\cos\varphi\cos\theta\ ,\vec i + 2\cos \varphi \sin \theta \,\vec j — 2\sin \varphi \,\vec k\end{align*}\] 92}\varphi } \\ & = 4\влево| {\ sin \ varphi } \ right | \\ & = 4 \ sin \ varphi \ end {align *} \]
Мы можем отбросить столбцы абсолютного значения в синусе, потому что синус положителен в диапазоне $\varphi $, с которым мы работаем. Тогда поверхностный интеграл равен
. \[\iint\limits_{S}{{z\,dS}} = \iint\limits_{D}{{2\cos \varphi \left( {4\sin \varphi } \right)\,dA}} \]
Не забывайте, что нам нужно подключить $x$, $y$ и/или $z$ и в них, хотя в этом случае нам просто нужно было подключить $z $. Вот оценка для двойного интеграла. 92} = 3\), лежащий между $z = 0$ и $z = 6$.
Показать решение
В предыдущем разделе мы настроили цилиндр. Вот параметризация этого цилиндра.
\[\vec r\left( {z,\theta} \right) = \sqrt 3 \cos \theta \,\vec i + \sqrt 3 \sin \theta \,\vec j + z\,\vec k \]
Диапазоны параметров,
\[0 \le z \le 6\hspace{0.25in}0 \le \theta \le 2\pi \]
Теперь нам нужно ${\vec r_z} \times {\vec r_\theta}$. Вот два вектора.
\[\begin{align*}{{\vec r}_z}\left( {z,\theta} \right) & = \,\vec k\\ {{\vec r}_\theta}\left( {z,\theta} \right) & = — \sqrt 3 \sin \theta \,\vec i + \sqrt 3 \cos \theta \,\vec j\end{align*}\]
Вот перекрестное произведение.
\[\begin{align*}{{\vec r}_z} \times {{\vec r}_\theta} & = \left| {\ begin {массив} {* {20} {c}} {\ vec i} & {\ vec j} & {\ vec k} \\ 0 & 0 & 1 \\ { — \ sqrt 3 \ sin \ theta} & {\ sqrt 3 \cos \theta }&0\end{массив}} \right|\\ & = — \sqrt 3 \cos \theta \,\vec i — \sqrt 3 \sin \theta \,\vec j\end{ выровнять*}\] 92} \le 3\) в плоскости $xy$ и вершиной которого является плоскость $z = 4 — y$.
Показать решение
Здесь много информации, которую нам нужно отслеживать. Во-первых, мы используем практически ту же поверхность (однако подынтегральная функция другая), что и в предыдущем примере. Однако, в отличие от предыдущего примера, на этот раз мы размещаем на поверхности верх и низ. Начнем с эскиза поверхности.
Здесь нужно быть осторожным. В этом наброске есть нечто большее, чем сама фактическая поверхность. Пусть ${S_1}$ будет частью цилиндра, идущей от $xy$-плоскости к плоскости. Другими словами, верхняя часть цилиндра будет находиться под углом. Назовем часть плоскости, лежащую внутри ( т.е. крышка на цилиндр) ${S_2}$. Наконец, дно цилиндра (здесь не показано) представляет собой диск радиуса $\sqrt 3$ в плоскости $xy$ и обозначается ${S_3}$.
Чтобы выполнить этот интеграл, нам нужно отметить, что, как и в случае стандартного двойного интеграла, если поверхность разбита на части, мы также можем разделить поверхностный интеграл. Итак, для нашего примера у нас будет
. \[\iint\limits_{S}{{y + z\,dS}} = \iint\limits_{{{S_1}}}{{y + z\,dS}} + \iint\limits_{{{S_2 }}}{{y + z\,dS}} + \iint\limits_{{{S_3}}}{{y + z\,dS}}\]
Здесь нам нужно выполнить три интеграла. Тем не менее, мы сделали большую часть работы для первого в предыдущем примере, так что давайте начнем с него.
${S_1}$ : Цилиндр
Параметризация цилиндра и $\left\| {{{\vec r}_z} \times {{\vec r}_\theta }} \право\|$ есть,
\[\vec r\left( {z,\theta} \right) = \sqrt 3 \cos \theta \,\vec i + \sqrt 3 \sin \theta \,\vec j + z\,\vec k \hspace{0,5 дюйма}\влево\| {{{\vec r}_z} \times {{\vec r}_\theta}} \right\| = \ кв. 3 \]
Отличие этой задачи от предыдущей в ограничениях на параметры. Они здесь.
\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le z \le 4 — y = 4 — \sqrt 3 \sin \theta \end{array}\]
Верхним пределом для $z$ является плоскость, так что мы можем просто подключить его. Однако, поскольку мы находимся на цилиндре, мы знаем, что такое $y$ из параметризации, поэтому нам также понадобится чтобы подключить это. 9{2\pi }\\ & = \frac{{29\sqrt 3 \,\pi }}{2}\end{align*}\]
${S_2}$ : Плоскость на вершине цилиндра
В этом случае нам не нужно выполнять какую-либо параметризацию, поскольку она настроена на использование формулы, которую мы дали в начале этого раздела. . Помните, что плоскость задается $z = 4 — y$. Также обратите внимание, что для этой поверхности $D$ — это диск радиуса $\sqrt 3 $ с центром в начале координат.
Вот интеграл для плоскости. 92} + 1} \,dA}}\\ & = \sqrt 2 \iint\limits_{D}{{4\,dA}}\end{align*}\]
Не забывайте, что нам нужно подключиться к $z$! Теперь в этот момент мы можем действовать одним из двух способов. Либо мы можем перейти к интегралу, либо мы можем вспомнить, что $\iint\limits_{D}{{dA}}$ есть не что иное, как площадь $D$, и мы знаем, что $D$ круг радиуса $\sqrt 3 $ и поэтому нет смысла делать интеграл.
Вот оставшаяся часть работы по этой задаче. 92}} \right)\\ & = 12\sqrt 2 \,\pi \end{align*}\]
${S_3}$ : Дно цилиндра
Опять же, это настроено на использование исходной формулы, которую мы дали в этом разделе, как только мы понимаем, что уравнение для дна задается $g\ left( {x,y} \right) = 0$ и $D$ — это диск радиуса $\sqrt 3 $ с центром в начале координат. Кроме того, не забудьте подключиться к $z$.
Вот произведение для этого интеграла.
\[\begin{align*}\iint\limits_{{{S_3}}}{{y + z\,dS}} & = \iint\limits_{D}{{\left( {y + 0} \right )\sqrt {{{\left( 0 \right)}^2} + {{\left( 0 \right)}^2} + {{1}}} \,dA}}\\ & = \iint\ limit_{D}{{y\,dA}}\\ & = \int_{0}^{{2\pi}}{{\int_{0}^{{\sqrt 3}}{{{r^2 }\sin\theta\,dr}}\,d\theta}}\\ & = \int_{0}^{{2\pi}}{{\left. {2\pi}\\ & = 0\end{align*}\]
Теперь мы можем получить значение интеграла, которое нам нужно.
\[\begin{align*}\iint\limits_{S}{{y + z\,dS}} & = \iint\limits_{{{S_1}}}{{y + z\,dS}} + \ iint\limits_{{{S_2}}}{{y + z\,dS}} + \iint\limits_{{{S_3}}}{{y + z\,dS}}\\ & = \frac{{ 29\sqrt 3 \,\pi }}{2} + 12\sqrt 2 \,\pi + 0\\ & = \frac{\pi }{2}\left( {29\sqrt 3 + 24\sqrt 2 } \right)\end{align*}\]
Двойные интегралы как объем — Math Insight
9б f(x)dx$ при положительных $f(x)$ можно интерпретировать как площадь под кривая $f(x)$ на интервале $[a,b]$.
Интеграл – это площадь между кривой $f(x)$ и осью $x$.
Таким же образом двойной интеграл $\iint_\dlr f(x,y)\,dA$ положительный $f(x,y)$ можно интерпретировать как объем под поверхностью $z=f(x,y)$ над областью $\dlr$. Представьте, что синий предмет ниже — поверхность $z=f(x,y)$, плавающая над плоскостью $xy$. двойной интеграл $\iint_\dlr f(x,y)\,dA$ можно интерпретировать как объем между поверхностью $z=f(x,y)$ и плоскостью $xy$, т.е. «цилиндр» над областью $\dlr$.
Это также видно из суммы Римана, аппроксимирующей интеграл \начать{выравнивать*} \sum_{i,j} f(x_{ij}, y_{ij}) \Delta x \Delta y \конец{выравнивание*} Каждый член суммы Римана — это объем тонкой коробки с основанием $\Delta x \times \Delta y$ и высоту $f(x_{ij},y_{ij})$.
Следовательно, полная сумма Римана аппроксимирует объем под поверхностью по объему связки этих тонких ящиков. В пределе как $\Delta x, \Delta y \to 0$, получим полный объем под поверхностью над область $\dlr$, т. е. $\iint_\dlr f(x,y)\, dA$. 92 года $. Объем вычисляется по области $D$, определяемой $0 \le x \le 2$ и $0 \le y \le 1$. Следовательно, реальный объем равен двойному интегралу $\iint_D f\,dA$. Объем ящиков равен $$\sum_{i,j} f(x_{i},y_{j})\Delta x \Delta y$$, где $x_i$ — середина $i$-го интервала вдоль по оси $x$, а $y_j$ — середина $j$-го интервала по оси $y$. {\pi/2 } =\фракция{3\пи}{2}. \конец{выравнивание*}
IX. Интегральные отношения пограничного слоя — промежуточная механика жидкости
Исторически развитие интегральной формы уравнений пограничного слоя, представленное здесь, обеспечило мощный инструмент для оценки поверхностных вязких сил для более сложных течений с градиентами давления. В решении Блазиуса, представленном в последней главе, профиль скорости определяется непосредственно из модифицированной формы уравнения Навье-Стокса. Из этого решения можно найти локальную производную скорости на поверхности и, следовательно, напряжение сдвига на поверхности как функцию положения вдоль поверхности. Затем, используя определение поверхностного напряжения, можно найти полную силу вдоль поверхности. Интегральный метод во многом использует противоположный подход. Основные управляющие уравнения интегрируются поперек потока с использованием напряжения сдвига стенки в качестве неизвестного граничного условия, которое в конечном итоге необходимо решить. Локальный градиент давления, который может изменяться в направлении скорости набегающего потока, считается параметром, известным в каждой точке вдоль потока. Это можно сделать, поскольку предполагается, что градиент давления в набегающем потоке идентичен градиенту давления в пограничном слое. Это часть предположений о пограничном слое и справедливо как для ламинарных, так и для турбулентных течений. При получении интегральной формы уравнений пограничного слоя попутно вводятся несколько параметров масштабирования, которые часто используются для характеристики течения в пограничном слое и помогают интерпретировать условия течения. Эти параметры можно использовать для масштабирования потоков и прогнозирования распределения поверхностных сил.
Толщина пограничного слоя
Толщина пограничного слоя, как мы видели, определяется как [латекс] {\ дельта} [/ латекс] и представляет собой толщину пограничного слоя, измеренную от поверхности до места, где скорость достигает значения скорости набегающего потока, [латекс]{U}[/латекс]. Однако, поскольку скорость в пограничном слое асимптотически приближается к [латекс] {U} [/латекс], часто бывает трудно получить точную меру [латекс] {\ дельта} [/латекс]. Чтобы обойти эту проблему, толщину пограничного слоя можно принять равной, когда скорость достигает, скажем, 1% от [латекс]{U}[/латекс]. Как обсуждалось в предыдущей главе, при благоприятном градиенте давления, когда давление уменьшается вдоль направления потока, пограничный слой будет тоньше по сравнению с нулевым градиентом давления. Дополнительная сила давления в направлении потока увеличивает локальную скорость в любом заданном положении, и пограничный слой достигает значения набегающего потока при более низком значении координаты поперечного потока. Это затем уменьшает толщину пограничного слоя. Противоположное верно для неблагоприятного градиента давления. Следовательно, на толщину пограничного слоя напрямую влияет градиент давления, и, таким образом, на поверхностное напряжение оказывает аналогичное влияние. Более тонкий пограничный слой, вызванный благоприятным градиентом давления при той же скорости набегающего потока, будет иметь больший градиент поверхностной скорости и более высокое локальное поверхностное напряжение сдвига.
В целом мы отмечаем, что толщина пограничного слоя зависит от координаты ниже по потоку, [латекс]x_{1}[/латекс], и [латекс]{\дельта}[/латекс] увеличивается в [латекс]х{ }_{1}[/latex] направление. Альтернативным способом выражения этого является число Рейнольдса, поскольку число Рейнольдса зависит от [латекс]x_{1} \left ( Re_{x_1}=\frac{\rho Ux_1}{v } \right )[/latex] :
[латекс]\дельта =f(Re_{x1})[/латекс]
Толщина смещения, [латекс]{\дельта}_{1}[/латекс]
Толщина смещения, [латекс]{\дельта}_{1}[/латекс], и толщина импульса, [латекс]{\дельта}_{2}[/латекс], часто используются в качестве меры толщины пограничного слоя, но фактически не являются толщиной пограничного слоя; эти два параметра являются важными параметрами при анализе сил трения на поверхности. Толщина смещения, как правило, зависит от положения [латекс]x{}_{1}[/латекс] вдоль направления потока, как и [латекс]{\дельта}[/латекс]. Обычно [латекс]{\дельта}_{1}[/латекс] увеличивается с увеличением [латекс]х_1[/латекс] и меньше, чем [латекс]{\дельта}[/латекс]. Эскиз, иллюстрирующий определение толщины смещения, приведен на рис. 9.{\ delta} _0 {\ rho u_1dx_2 \ S} [/латекс]
(9.1)
, где [latex]u{}_{1}[/latex] — компонент [latex]x{}_{1}[/latex] скорости, а S — промежуток или расстояние до страницы. Распределение [latex]u{}_{1}[/latex] следует двум граничным условиям: [latex]u{}_{1} = 0[/latex] на поверхности и [latex]u{}_ {1} = U[/латекс] на краю пограничного слоя, [латекс]{\дельта}[/латекс].
Рис. 9.1 Иллюстрация определения толщины вытеснения на основе общего массового расхода в пограничном слое; обратите внимание, что массовый расход изменяется вдоль потока в направлении [латекс]x{}_{1}[/латекс], следовательно, [латекс]{\дельта}_{1}[/латекс] является функцией [латекс] x{}_{1}[/латекс].

Поверхность, создаваемая трением поверхности о поток, приводит к уменьшению скорости в любом заданном положении [latex]x{}_{2}[/latex] вдоль поверхности. Это уменьшение по всему пограничному слою приводит к уменьшению скорости потока в пограничном слое с увеличением [латекса]x{}_{1}[/латекс]. Поэтому количество массового расхода, теряемого в пограничном слое из-за поверхностного трения, можно рассматривать как локальный дефицит массового расхода. Этот дефицит можно рассчитать, сравнив фактическое распределение скорости с идеальной скоростью без трения, которая будет равна [латекс]{U}[/латекс] по всему пограничному слою. Тогда локальный дефицит массового расхода в любом месте [латекс]x{}_{2}[/латекс] равен [латекс]d{\dot{m}}_{дефицит}=\rho \left(U-u\right)dy \ S[/latex], а общий дефицит массового расхода получается путем интегрирования его поперек потока как: 9{\ delta} _0 {\ rho \ влево (U-u_1 \ вправо) dy \ S} [/ латекс]
(9.2)

Дефицит массового расхода можно приравнять к потере массового расхода, заданной как произведение плотности, [латекс]{U}[/латекс] и ([латекс]{\дельта}_{1}[/латекс]S), где [латекс]{\дельта}_{1}[/латекс] — неизвестная «толщина». Таким образом, установка интегрального члена в уравнении. (9.2) к этому произведению [латекс]\влево ( \rho U\delta_1 S \right )[/латекс] и решение для [латекс]{\дельта}_{1}[/латекс] дает:
[латекс] {\ дельта} _1 = \ int ^ {\ дельта} _ {\ 0} {\ влево (1- \ гидроразрыва {u_1} {U} \ вправо) dy} [/латекс]
(9. 3)
, который предполагает, что плотность постоянна. уравнение (9.3) является определением толщины вытеснения и может быть интерпретировано следующим образом. Если общий массовый расход, теряемый в пограничном слое из-за трения, разделить на [латекс]\rho US[/латекс], результатом будет длина, которая представляет собой расстояние по нормали к поверхности, через которое теряется весь массовый расход. прошел бы, если бы он двигался со скоростью [латекс]U[/латекс] (скорость, которую он имел бы, если бы не было трения). Другой способ взглянуть на это расстояние состоит в том, что оно представляет вертикальное расстояние, на которое поверхность должна быть перемещена вверх (в направлении [латекс]x{}_{2}[/латекс]), чтобы уловить весь потерянный массовый расход, если бы скорость была равномерной при [латексе]{U}[/латексе] или без трения. Любая из этих интерпретаций указывает на то, что по мере того, как [латекс] {\ дельта} _ {1} [/ латекс] увеличивается вдоль потока, увеличивается дефицит общего массового потока. Поскольку поверхностное трение замедляет все больше и больше жидкости, создавая большую толщину пограничного слоя в направлении х, то [латекс] {\ дельта} _ {1} [/латекс] должен увеличиваться в нижнем течении [латекс] х {} _ {1 }[/latex] направление. В любом заданном положении на поверхности, чем больше локальное поверхностное напряжение сдвига, тем больше значение [латекс] {\ дельта} _ {1} [/латекс]. Следовательно, благоприятный градиент давления, который увеличивает локальное напряжение сдвига по сравнению с нулевым градиентом давления, приводит к большему относительному значению толщины вытеснения.
Толщина импульса, [латекс]{\дельта}_{2}[/латекс]
Толщина импульса, [latex]{\delta}_{2}[/latex], имеет отчасти ту же интерпретацию, что и [latex]{\delta}_{1}[/latex], но она связана с потери импульса из-за сил трения, а не потери массового расхода. В этом случае мы разрабатываем меру потери скорости импульса или дефицита импульса, вызванного трением. Отмечая, что скорость потери импульса при пересечении данной вертикальной плоскости через пограничный слой определяется выражением: 9{\ delta} _0 {\ rho u \ слева (U-u_1 \ справа) dx_2 \ S} [/ латекс]
(9. 4)
где [латекс]\rho udx_2\ S[/латекс] — массовый расход в пределах элементарной площади [латекс]dx_2 S[/латекс] w и выражение [латекс]\left(U-u_1\right)[/ латекс] — потеря импульса на массовый расход. Произведение этих двух членов, интегрированных по всему пограничному слою [латекс] {\ дельта} [/латекс], представляет собой скорость потери импульса в любом заданном положении [латекс] х {} _ {1} [/латекс] вдоль поверхности. Аналогично тому, что было сделано для дефицита массового расхода, здесь мы представляем, что скорость импульса, потерянная из-за трения, равна массовому расходу через площадь, равную [латекс]\left ( \delta_2S \right )[/latex] со скоростью [латекс]{U}[/латекс] или 9{\ delta} _0 {\ frac {u} {U} \ left (1- \ frac {u_1} {U _ {\ infty}} \ right) dx_2} [/latex]
(9,5)
Мы можем интерпретировать это как расстояние [latex]{\delta}_{2}[/latex], на которое поверхность должна быть перемещена в направлении [latex]x{}_{2}[/latex] в направлении потока. если скорость равномерно равна [латекс]{U}[/латекс], чтобы уменьшить скорость импульса, эквивалентную фактической скорости потери импульса. Мы также можем интерпретировать это несколько иначе следующим образом.
Плоская поверхность показана на рис. 9.2 указывающее напряжение сдвига на поверхности, [латекс]{\тау}_{с}[/латекс], действующее на жидкость. На рисунке показан контрольный объем с элементарной длиной вдоль поверхности [latex]x{}_{1}[/latex] и простирающейся вверх до края пограничного слоя. Сумма всех сил, действующих на жидкость в контрольном объеме, состоит из [латекс]{\тау}_{с}[/латекс], так как градиент давления вдоль потока равен нулю, и мы предполагаем, что отсутствует сила трения силы на верхней кромке пограничного слоя по определению протяженности пограничного слоя. Уравнение импульса для этого контрольного объема становится суммой сил, равной изменению скорости импульса на выходе по сравнению со скоростью на входе: 92 \ frac {d {\ delta} _2} {dx_1} [/ латекс]
(9.7)
Обратите внимание, что это уравнение справедливо для любого конкретного распределения скоростей, которое может существовать в пограничном слое. Кроме того, это указывает на то, что скорость изменения импульсной толщины уменьшается вдоль направления потока, поскольку поверхностное напряжение уменьшается вдоль направления потока. Если можно определить [латекс]\frac{d{\delta}_2}{dx_1}[/latex], можно найти поверхностное напряжение стенки, [latex]{\tau}_s[/latex].
Общие интегральные уравнения пограничного слоя 92u_1}{\partial x_2}[/latex]
(9.8)
Обратите внимание, что [латекс]\nu =\frac{\mu }{\rho }[/латекс], и является кинематической вязкостью. Поскольку член градиента давления может быть определен из набегающего потока, который считается невязким, можно использовать уравнение Эйлера, где мы игнорируем гравитационные эффекты, такие как:
[латекс]-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_1}=U\frac{dU}{dx_1}[/latex]
(9,9)
Обратите внимание, что термины объемной силы можно включить, заменив P на [latex]P’=P+\rho gh[/latex].
Уравнение (9.8) интегрируется по пограничному слою в направлении [латекс]x{}_{2}[/латекс] для заданного значения [латекс]х{}_{1}[/латекс]. Граничными условиями для этого являются условия прилипания при [латекс]х{}_{2}[/латекс] = 0 и u = U при [латекс]х{}_{2} = \delta[/латекс ]. Прежде чем завершить эту операцию, рассмотрим второй член в левой части уравнения. (9.8). Сначала используем непрерывность для двумерного потока:
[латекс]\frac{\partial u_2}{\partial x_2}=-\frac{\partial u_1}{\partial x_1}[/latex] 92 {\ delta } _2 \ right) + {\ delta } _1U \ frac {dU} {dx_1} = \ frac {{\ tau} _s} {\ rho} [/latex]
(9.21)
В итоге мы получаем дифференциальное уравнение относительно переменных [latex]{\delta}_{1}[/latex] и [latex]{\delta}_{2}[/latex], обе из которых являются функциями [латекс]х{}_{1}[/латекс]. Напомним, что U ([латекс]x{}_{1}[/латекс]) определяется градиентом давления с помощью уравнения. (9.9), уравнение Эйлера. Когда U = постоянное, как при обтекании плоской пластины, это уравнение можно упростить до: 92}=c_f[/латекс]
(9.22)
, где правая часть — коэффициент поверхностного трения.
Задача определения локального распределения поверхностного напряжения теперь сводится к уравнению. (9.21) для обтекания поверхностей с градиентом давления или (9.22) для плоской пластины без градиента давления. Далее мы рассмотрим методы решения этой проблемы.
Метод решения
Существует несколько методов решения уравнения. (9.21). Мы представляем типичный метод, основанный на предположении о профиле скорости в безразмерной форме поперек потока в любой заданной позиции, [латекс]x{}_{1}[/латекс]. Ключ к этому подходу основан на том факте, что решение Блазиуса нашло решение подобия и свернуло профиль скорости на одну кривую при использовании правильного масштабирования скорости и координаты поперечного течения, последнее также включало координату по потоку, чтобы помочь правильно масштабировать. Здесь мы предполагаем безразмерный профиль скорости и используем его для определения интегралов в определениях [латекс]\дельта_2[/латекс] и [латекс]\дельта_1[/латекс].
Правильное масштабирование координат поперечного потока принимается за толщину пограничного слоя, где [латекс]{\дельта}[/латекс] является функцией [латекс]х{}_{1}[/латекс], тогда это масштабирование сочетает в себе зависимость между потоками и потоками. Мы определяем эту новую безразмерную переменную как:
[латекс]\eta =\frac{x_2}{\delta }[/латекс]
(9.23)
, отметив, что эта переменная [латекс]{\эта}[/латекс] не совпадает с используемой в определении Блазиуса. Далее мы предполагаем, что безразмерная скорость, [latex]f=\frac{u_1}{U}[/latex], является некоторой функцией [latex]{\eta}[/latex] или:
[латекс]f=f(\eta)[/латекс]
(9.24)
Можно сказать, что необходимо точно определить эту функцию, поскольку поверхностное напряжение, [латекс]{\тау}_{с}[/латекс], зависит от производной скорости на поверхности. Это, безусловно, относится к подходу Блазиуса. Однако, исследуя уравнения. (9.21) и (9.22) видно, что поверхностное напряжение является функцией интеграла распределения скоростей, выраженного через переменные [латекс]{\дельта}_{1}[/латекс] и [латекс]{ \дельта}_{2}[/латекс]. На основании этого заключаем, что для получения решения необходимо получить хорошие значения интегралов, выраженных в этих уравнениях, а не поверхностной производной скорости.
При таком подходе можно предположить распределение скоростей, используя предполагаемую безразмерную форму в уравнении. (9.24) требуя, чтобы он удовлетворял граничным условиям. Это распределение можно использовать после приведения интегралов в (9.21) к безразмерному виду. Мы будем использовать пример обтекания плоской пластины, описываемый уравнением (9.22). Это упрощает детали, но тот же подход используется для течений с градиентами давления, но требует дальнейшего ввода известного градиента давления. 93+ \text{члены более высокого порядка}[/latex]
(9.26)
В этом многочлене есть четыре параметра, [latex]a,b,c \text { и } d[/latex], которые необходимо определить на основе граничных условий для распределения скоростей. Обратите внимание, что чем выше порядок полинома, тем больше условий требуется для оценки этих коэффициентов. Граничные условия, записанные в терминах переменных, [латекс] f, {\ дельта} [/ латекс]:
[латекс]f(0)\ =\ 0[/латекс] (граничное условие отсутствия проскальзывания на поверхности) 92}=0[/латекс] (нет силы вязкости на поверхности)
Последнее условие является следствием того, что все члены уравнения Навье-Стокса обращаются в нуль на поверхности, если градиент давления равен нулю, и [латекс]u_1=u_2=0[/латекс], а затем преобразует вязкий член в безразмерные переменные. Эти четыре условия теперь можно использовать для определения четырех коэффициентов в уравнении. (9.26). Результат:
[латекс]а=0,\\b=3/2,\\с=0,\\d=-1/2[/латекс]
Вставка их в уравнение. (91_0 {\ гидроразрыва {u_1} {U} \ влево (1- \ гидроразрыва {u_1} {U} \ вправо) d \ эта} [/ латекс]
(9.29)
Здесь мы изменили интеграцию с [latex]dx_2[/latex] на [latex]d{\eta}[/latex], где [latex]dx_2=\delta d\eta[/latex] и должны изменить пределы интеграла соответственно. Обратите внимание, что когда у нас есть выражение для [latex]f=\frac{u_1}{U}[/latex] из нашего многочлена, уравнение (9. 26), то обе [латекс]\фрак{{\дельта}_1}{\дельта}[/латекс] и [латекс]\фрак{{\дельта}_2}{\дельта}[/латекс] являются просто константами . Теперь важно то, что мы можем переписать уравнение. (9.25) как:
[латекс]c_f=2\frac{d\delta_2}{dx_1}=2\frac{d}{dx_1}\left ( \left ( \frac{\delta_2}{\delta} \right )\delta \right )=2\влево ( \frac{\delta_2}{\delta} \right )\frac{d\delta}{dx_1}[/latex]
(9.30)
Итак, мы заменили необходимость знать [латекс]{\дельта}_2 = f(x_1)[/латекс] на необходимость знать [латекс]{\дельта} = f(x_1)[/латекс]. Мы находим последнее отношение, используя нашу функцию [latex]f(\eta)[/latex] как:
[латекс] {\ тау} _s = \ му \ гидроразрыва {\ парциальное u_1} {\ парциальное х_2} = \ му \ гидроразрыва {\ парциальное u_1} {\ парциальное \ эта} \ гидроразрыва {\ парциальное \ эта} {\ частичное x_2} = \ frac {\ mu U} {\ delta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ eta} = \ frac {\ mu U} {\ delta} f ‘(0) [/latex] 92}ф'(0)[/латекс]
(9.31)
Это последнее соотношение представляет собой дифференциальное уравнение для [латекс]{\дельта} = {f(x_1)}[/латекс], поскольку [латекс]\фракция{{\дельта}_2}{\дельта}[/латекс] и [ latex]f'(0)[/latex] — обе константы, известные из уравнения (9. {1/2}}[/latex] 9{1/2}}[/латекс]
(9.33)
Для нашего профиля скорости уравнение. (9.27) имеем:
[латекс]\frac{\delta_1}{\delta}=\frac{3}{8}, \frac{\delta_2}{8}=\frac{117}{840}[/latex] и [латекс ]f(0)=\frac{3}{2}[/latex].
В результате получается [латекс]C=4,64[/латекс] и:
[латекс]C_f=\frac{0.6464}{Re_{x_1}\frac{1}{2}}[/latex]
(9.34)
Общая процедура решения теперь становится довольно простой: (i) примите функциональную форму для [latex]f({\delta})[/latex], (ii) сопоставьте требуемые граничные условия, чтобы найти коэффициенты в уравнении, ( iii) вычислить константу [latex]\frac{{\delta}_2}{\delta}[/latex], (iv) вычислить константу [latex]f'(0)[/latex], (v) окончательно вычислить [latex]c{}_{f}[/latex], определяющий локальное значение коэффициента трения кожи. 9{1/2}}[/латекс]
(9.36)
Результаты при сравнении с экспериментальными данными для соответствующих условий числа Рейнольдса становятся очень близкими к этим предсказанным значениям. Следовательно, эта процедура является довольно простым, но удивительно точным средством прогнозирования сил сопротивления трения на плоских поверхностях. Когда в игру вступают градиенты давления, например, на поверхностях с некоторой степенью кривизны, получение хорошего профиля скорости становится более сложной задачей, поскольку в этом случае на поверхности результирующие силы вязкости не равны нулю, а уравновешиваются градиентом давления. Профили скорости должны отражать это условие, и существует ряд доступных процедур для решения этой проблемы. Заинтересованному читателю предлагается ознакомиться с некоторыми примерами в книге Ф. В. Уайта «Поток вязкой жидкости».
Двойные интегралы в полярных координатах · Исчисление
Двойные интегралы в полярных координатах · Исчисление
Распознавание формата двойного интеграла по полярной прямоугольной области.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах с помощью повторного интеграла.
Распознать формат двойного интеграла по общей полярной области.
Используйте двойные интегралы в полярных координатах для вычисления площадей и объемов.
Двойные интегралы иногда гораздо проще вычислить, если мы заменим прямоугольные координаты на полярные. Однако, прежде чем мы опишем, как сделать это изменение, нам нужно установить понятие двойного интеграла в полярной прямоугольной области.
Полярные прямоугольные области интегрирования
Когда мы определили двойной интеграл для непрерывной функции в прямоугольных координатах, скажем, g
по региону R
в ху
-самолет — мы разделили R
на подпрямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Эти стороны имеют константу x
— значения и/или константа y
-значения. В полярных координатах фигура, с которой мы работаем, представляет собой полярный прямоугольник , стороны которого имеют константу r
— значения и/или константа θ
-значения. Это означает, что мы можем описать полярный прямоугольник, как в [link](a), с R={(r,θ)\|a≤r≤b,α≤θ≤β}.
В этом разделе мы рассматриваем возможность интегрирования по полярным прямоугольникам. Рассмотрим функцию f(r,θ)
над полярным прямоугольником R.
Делим отрезок [a,b]
в м
подинтервалов [ri−1,ri]
длины Δr=(b−a)/м
и разделим интервал [α,β] на
в п
подинтервалов [θi−1,θi]
ширины Δθ=(β−α)/n.
Это означает, что круги r=ri
и лучи θ=θi
для 1≤i≤m
и 1≤j≤n
разделить полярный прямоугольник R
на меньшие полярные подпрямоугольники Rij
([ссылка](б)).
Как и прежде, нам нужно найти площадь ΔA
полярного подпрямоугольника Rij
и «полярный» объем тонкого ящика над Rij.
Напомним, что в окружности радиусом r
длина с
дуги, опирающейся на центральный угол θ
радиан равно s=rθ.
Обратите внимание, что полярный прямоугольник Rij
очень похож на трапецию с параллельными сторонами ri−1Δθ
и riΔθ
и шириной Δr.
Отсюда площадь полярного подпрямоугольника Rij
это
ΔA=12Δr(ri−1Δθ+r1Δθ).
Упрощение и придание rij*=12(ri−1+ri),
имеем ΔA=rij*ΔrΔθ.
Следовательно, полярный объем тонкого ящика над Rij
([ссылка]) это
f(rij*,θij*)ΔA=f(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.
Используя ту же идею для всех подпрямоугольников и суммируя объемы прямоугольных ящиков, мы получаем двойную сумму Римана как
∑i=1m∑j=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.
Как мы видели ранее, мы получаем лучшее приближение к полярному объему твердого тела над областью R
когда мы позволим м
и №
становятся больше. Следовательно, мы определяем полярный объем как предел двойной суммы Римана,
V=limm,n→∞∑i=1m∑j=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.
Это становится выражением для двойного интеграла.
Определение
Двойной интеграл функции f(r,θ)
над полярной прямоугольной областью R
в плоскости rθ
определяется как )ΔA=limm,n→∞∑i=1m∑j=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.
Опять же, как и в случае с двойными интегралами по прямоугольным областям, двойной интеграл по полярной прямоугольной области может быть выражен как повторный интеграл в полярных координатах. Следовательно,
∬Rf(r,θ)dA=∬Rf(r,θ)rdrdθ=∫θ=αθ=β∫r=ar=bf(r,θ)rdrdθ.
Обратите внимание, что выражение для dA
заменен на rdrdθ
при работе в полярных координатах. Другой способ взглянуть на двойной полярный интеграл — изменить двойной интеграл в прямоугольных координатах подстановкой. Когда функция f
дается через х
и у,
с использованием x=rcosθ, y=rsinθ и dA=rdrdθ
меняет его на
∬Rf(x,y)dA=∬Rf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.
Обратите внимание, что все свойства, перечисленные в разделе Двойные интегралы по прямоугольным областям для двойного интеграла в прямоугольных координатах, справедливы и для двойного интеграла в полярных координатах, так что мы можем использовать их без колебаний.
Создание эскиза полярной прямоугольной области
Создание эскиза полярной прямоугольной области R={(r,θ)\|1≤r≤3,0≤θ≤π}.
Как видно из [ссылка], r=1
и r=3
— это окружности радиусом 1 и 3
, а 0≤θ≤π
покрывает всю верхнюю половину плоскости. Следовательно, область R
выглядит как полукруглая полоса.
Теперь, когда мы нарисовали полярную прямоугольную область, давайте продемонстрируем, как вычислить двойной интеграл по этой области, используя полярные координаты.
Вычисление двойного интеграла по полярной прямоугольной области
Вычисление интеграла ∬R3xdA
по области R={(r,θ)\|1≤r≤2,0≤θ≤π}.
Сначала нарисуем фигуру, похожую на [ссылка], но с внешним радиусом 2.
Из рисунка видно, что у нас есть правильные пределы интегрирования.=∫θ=0θ=πcosθ[r3\|r=1r=2]dθПроинтегрируем сначала по tor.=∫θ=0θ=π7cosθdθ=7sinθ\|θ=0θ=π=0.
Нарисуйте область R={(r,θ)\|1≤r≤2,−π2≤θ≤π2},
и вычислите ∬RxdA.
143
Подсказка
Следуйте инструкциям в [ссылка].
Вычисление двойного интеграла путем преобразования прямоугольных координат
Вычисление интеграла ∬R(1−x2−y2)dA
, где R
— единичная окружность на плоскости xy
.
Область R
представляет собой единичную окружность, поэтому мы можем описать ее как R={(r,θ)\|0≤r≤1,0≤θ≤2π}.
Используя преобразование x=rcosθ,y=rsinθ,
и dA=rdrdθ,
имеем
∬R(1−x2−y2)dA=∫02π∫01(1−r2)rdrdθ=∫02π∫01(r−r3)drdθ=∫02π[r22 −r44]01dθ=∫02π14dθ=π2.
Вычисление двойного интеграла путем преобразования прямоугольных координат
Вычисление интеграла ∬R(x+y)dA
, где R={(x,y)\|1≤x2+y2≤4,x≤0}.
Мы видим, что R
представляет собой кольцевую область, которая может быть преобразована в полярные координаты и описана как R={(r,θ)\|1≤r≤2,π2≤θ≤3π2}
(см. следующий график).
Отсюда, используя преобразование x=rcosθ,y=rsinθ,
и dA=rdrdθ,
, имеем
∬R(x+y)dA=∫θ=π/2θ=3π/2∫ r=1r=2(rcosθ+rsinθ)rdrdθ=(∫r=1r=2r2dr)(∫π/23π/2(cosθ+sinθ)dθ)=[r33]12[sinθ−cosθ]\|π/23π/ 2=-143.
Вычислите интеграл ∬R(4−x2−y2)dA
, где R
— окружность радиусом 2
на плоскости xy
.
8π
Подсказка
Выполните действия, описанные в предыдущем примере.
Общие полярные регионы интеграции
Чтобы вычислить двойной интеграл непрерывной функции с помощью повторных интегралов по общим полярным областям, мы рассмотрим два типа областей, аналогичных типам I и II, как обсуждалось для прямоугольных координат в Двойные интегралы по общим областям. Чаще всего полярные уравнения записывают как r=f(θ)
.
, чем θ=f(r),
поэтому мы описываем общую полярную область как R={(r,θ)\|α≤θ≤β,h2(θ)≤r≤h3(θ)}
(см. следующий рисунок).
Двойные интегралы по основным полярным областям
Если f(r,θ)
непрерывна в общей полярной области D
, как описано выше, то
∬Df(r,θ)rdrdθ=∫θ=αθ=β ∫r=h2(θ)r=h3(θ)f(r,θ)rdrdθ
Вычисление двойного интеграла по общей полярной области
Вычисление интеграла ∬Dr2sinθrdrdθ
где D
— область, ограниченная полярной осью и верхней половиной кардиоиды r=1+cosθ.
Мы можем описать регион D
как {(r, θ)\|0≤θ≤π,0≤r≤1+cosθ}
, как показано на следующем рисунке.
Отсюда имеем
∬Dr2sinθrdrdθ=∫θ=0θ=π∫r=0r=1+cosθ(r2sinθ)rdrdθ=14∫θ=0θ=π[r4]r=0r=1+cosθsinθ 14∫θ=0θ=π(1+cosθ)4sinθdθ=−14[(1+cosθ)55]0π=85.
Вычислить интеграл
∬Dr2sin22θrdrdθwhereD={(r,θ)\|0≤θ≤π,0≤r≤2cos2θ}.
π/8
Подсказка
Нарисуйте график области и выполните действия, описанные в предыдущем примере.
Полярные районы и объемы
Как в прямоугольных координатах, если твердое S
ограничен поверхностью z=f(r,θ),
, а также поверхностями r=a,r=b,θ=α,
и θ=β,
мы можем найти объем V
из S
двойной интеграцией, как
V=∬Rf(r,θ)rdrdθ=∫θ=αθ=β∫r=ar=bf(r,θ)rdrdθ.
Если основание твердого тела можно описать как D={(r,θ)\|α≤θ≤β,h2(θ)≤r≤h3(θ)},
, то двойной интеграл объема становится равным
.
V=∬Df(r,θ)rdrdθ=∫θ=αθ=β∫r=h2(θ)r=h3(θ)f(r,θ)rdrdθ.
Проиллюстрируем эту мысль несколькими примерами.
Нахождение объема с помощью двойного интеграла
Найдите объем твердого тела, лежащего под параболоидом z=1−x2−y2
и над единичной окружностью на плоскости xy
(см. следующий рисунок).
Методом двойного интегрирования видим, что объем есть повторный интеграл вида ∬R(1−x2−y2)dA
, где R={(r,θ)\|0≤r ≤1,0≤θ≤2π}.
Это интегрирование было показано ранее в [ссылка], поэтому объем равен π2
кубических единиц.
Нахождение объема с помощью двойного интегрирования
Нахождение объема тела, лежащего под параболоидом z=4−x2−y2
и над диском (x−1)2+y2=1
на xy
-самолет. См. параболоид в [ссылка], пересекающий цилиндр (x−1)2+y2=1
над плоскостью xy
.
Сначала замените диск (x−1)2+y2=1
в полярные координаты. Расширяя квадратный член, мы имеем x2−2x+1+y2=1.
Затем упростите, чтобы получить x2+y2=2x,
, что в полярных координатах становится r2=2rcosθ
, а затем либо r=0
, либо r=2cosθ.
Аналогично уравнение параболоида меняется на z=4−r2.
Следовательно, мы можем описать круг (x−1)2+y2=1
на плоскости xy
как область
D={(r,θ)\|0≤θ≤π,0≤ r≤2cosθ}.
Отсюда объем твердого тела, ограниченного сверху параболоидом z=4−x2−y2
и ниже на r=2cosθ
равно
V=∬Df(r,θ)rdrdθ=∫θ=0θ=π∫r=0r=2cosθ(4−r2)rdrdθ=∫θ=0θ=π[ 4r22−r44\|02cosθ]dθ=∫0π[8cos2θ−4cos2θ]dθ=[52θ+52sinθcosθ−sinθcos3θ]0π=52π.
Обратите внимание, что в следующем примере интегрирование с полярными координатами не всегда просто. Сложность интеграции зависит от функции, а также от региона, по которому нам нужно выполнить интеграцию. Если область имеет более естественное выражение в полярных координатах или если f
имеет более простую первообразную в полярных координатах, тогда уместно изменение полярных координат; в противном случае используйте прямоугольные координаты.
. Нахождение объема с помощью двойного интеграла. =2
в плоскости xy
([ссылка]).
Сначала исследуем область, по которой нам нужно установить двойной интеграл и сопутствующий ему параболоид.
Область D
есть {(x,y)\|0≤x≤1,x≤y≤2−x}.
Преобразование строк y=x,x=0,
и x+y=2
в плоскости xy
к функциям r
и θ,
имеем θ=π/4,
θ=π/2,
и r=2 /(cosθ+sinθ),
соответственно. Нарисовав область на плоскости xy
, мы видим, что она имеет вид D={(r,θ)\|π/4≤θ≤π/2,0≤r≤2/(cosθ+sinθ)}.
Теперь преобразование уравнения поверхности дает z=x2+y2=r2.
Следовательно, объем твердого тела определяется двойным интегралом
V=∬Df(r,θ)rdrdθ=∫θ=π/4θ=π/2∫r=0r=2/(cosθ+sinθ) r2rdrdθ=∫π/4π/2[r44]02/(cosθ+sinθ)dθ=14∫π/4π/2(2cosθ+sinθ)4dθ=164∫π/4π/2(1cosθ+sinθ)4dθ=4∫ π/4π/2(1cosθ+sinθ)4dθ.
Как видите, этот интеграл очень сложен. Таким образом, мы можем вместо этого вычислить этот двойной интеграл в прямоугольных координатах как
V=∫01∫x2−x(x2+y2)dydx.
Оценка дает
V=∫01∫x2−x(x2+y2)dydx=∫01[x2y+y33]\|x2−xdx=∫0183−4x+4×2−8x33dx=[8×3−2×2+4×33− 2×43]\|01=43.
Чтобы ответить на вопрос, как находятся формулы объемов различных стандартных тел, таких как сфера, конус или цилиндр, мы хотим продемонстрировать пример и найти объем произвольного конуса.
Нахождение объема с помощью двойного интеграла
Используйте полярные координаты, чтобы найти объем внутри конуса z=2−x2+y2
и над плоскостью xy.
Область D
для интегрирования является основанием конуса, который выглядит как окружность на плоскости xy
(см. следующий рисунок).
Найдем уравнение окружности, установив z=0:
0=2−x2+y22=x2+y2x2+y2=4.
Это означает, что радиус окружности равен 2,
поэтому для интегрирования мы имеем 0≤θ≤2π
и 0≤r≤2.
Подставив x=rcosθ
и y=rsinθ
в уравнение z=2−x2+y2
, мы получим z=2−r.
Следовательно, объем конуса равен
∫θ=0θ=2π∫r=0r=2(2−r)rdrdθ=2π43=8π3
кубических единиц.
Анализ
Заметим, что если бы нам нужно было найти объем произвольного конуса с радиусом a
единиц и высотой h
единиц, то уравнение конуса было бы z=h−hax2+y2.
Мы все еще можем использовать [ссылка] и установить интеграл как ∫θ=0θ=2π∫r=0r=a(h−har)rdrdθ.
Вычисляя интеграл, получаем 13πa2h.
Используйте полярные координаты, чтобы найти повторный интеграл для нахождения объема твердого тела, заключенного в параболоиды z=x2+y2
и z=16−x2−y2.
V=∫02π∫022(16−2r2)rdrdθ=64π
кубических единиц
Подсказка
Наброски графиков могут помочь.
Как и в случае с прямоугольными координатами, мы также можем использовать полярные координаты для нахождения площадей определенных регионов с помощью двойного интеграла. Как и прежде, нам нужно понять область, площадь которой мы хотим вычислить. Набросок графика и определение области может помочь понять пределы интегрирования. В общем случае формула площади при двойном интегрировании будет иметь вид 9.0042
AreaA=∫αβ∫h2(θ)h3(θ)1rdrdθ.
Нахождение площади с помощью двойного интеграла в полярных координатах
Оценить площадь, ограниченную кривой r=cos4θ.
Набросав график функции r=cos4θ
, мы увидим, что это полярная роза с восемью лепестками (см. следующий рисунок).
Используя симметрию , мы видим, что нам нужно найти площадь одного лепестка, а затем умножить ее на 8.
Обратите внимание, что значения θ
, для которых график проходит через начало координат, являются нулями функции cos4θ,
и являются нечетными кратными π/8.
Таким образом, один из лепестков соответствует значениям θ
в интервале [−π/8,π/8].
Следовательно, площадь, ограниченная кривой r=cos4θ
, равна
A=8∫θ=−π/8θ=π/8∫r=0r=cos4θ1rdrdθ=8∫−π/8π/8[12r2\ |0cos4θ]dθ=8∫−π/8π/812cos24θdθ=8[14θ+116sin4θcos4θ\|−π/8π/8]=8[π16]=π2.
Поиск площади между двумя полярными кривыми
Найдите площадь окружности r=3cosθ
и кардиоиды r=1+cosθ.
В первую очередь нарисуйте графы региона ([ссылка]).
Из симметрии графа видно, что нам нужно найти точки пересечения. Уравнивание двух уравнений дает
3cosθ=1+cosθ.
Одна из точек пересечения θ=π/3.
Область над полярной осью состоит из двух частей, одна часть определяется кардиоидой от θ=0
до θ=π/3
, а другая часть определена окружностью от θ=π/3
до θ=π/2.
По симметрии общая площадь в два раза больше площади над полярной осью. Таким образом, мы имеем
A=2[∫θ=0θ=π/3∫r=0r=1+cosθ1rdrdθ+∫θ=π/3θ=π/2∫r=0r=3cosθ1rdrdθ].
Оценивая каждую часть отдельно, получаем, что площадь равна
A=2(14π+9163+38π−9163)=2(58π)=54πквадратных единиц.
Найдите площадь, заключенную внутри кардиоиды r=3−3sinθ
и вне кардиоиды r=1+sinθ.
A=2∫−π/2π/6∫1+sinθ3−3sinθrdrdθ=8π+93
Подсказка
Нарисуйте график и найдите точки пересечения.
Вычисление неправильного двойного интеграла в полярных координатах
Вычисление интеграла ∬R2e−10(x2+y2)dxdy.
Это неправильный интеграл, потому что мы интегрируем по неограниченной области R2.
В полярных координатах всю плоскость R2
можно рассматривать как 0≤θ≤2π,
0≤r≤∞.
Используя замену переменных прямоугольных координат на полярные координаты, мы имеем
∬R2e−10(x2+y2)dxdy=∫θ=0θ=2π∫r=0r=∞e−10r2rdrdθ=∫θ=0θ=2π(lima→∞∫r=0r=ae−10r2rdr)dθ= (∫θ=0θ=2πdθ)(лима→∞∫r=0r=ae−10r2rdr)=2π(лима→∞∫r=0r=ae−10r2rdr)=2πlima→∞(−120)(e−10r2\| 0a)=2π(−120)лима→∞(e−10a2−1)=π10.
Вычислите интеграл ∬R2e−4(x2+y2)dxdy.
π4
Подсказка
Преобразование в полярную систему координат.
Ключевые понятия
Чтобы применить двойной интеграл к ситуации с круговой симметрией, часто удобно использовать двойной интеграл в полярных координатах. Мы можем применить эти двойные интегралы к полярной прямоугольной области или общей полярной области, используя повторный интеграл, аналогичный тем, которые используются с прямоугольными двойными интегралами.
Район dA
в полярных координатах становится
rdrdθ.
Использование х=rcosθ,y=rsinθ,
и
dA=rdrdθ
для преобразования интеграла в прямоугольных координатах в интеграл в полярных координатах.
Использование r2=x2+y2
и
θ=tan-1(yx)
для преобразования интеграла в полярных координатах в интеграл в прямоугольных координатах, если это необходимо.
Чтобы найти объем в полярных координатах, ограниченный сверху поверхностью z=f(r,θ)
по региону на
xy
— плоскость, используйте двойной интеграл в полярных координатах.
Ключевые уравнения
В следующих упражнениях выразите область D
в полярных координатах.
D
— это область диска радиусом 2
с центром в начале координат, которая находится в первом квадранте.
D
— это область между окружностями радиусом 4
и радиусом 5
с центром в начале координат, который находится во втором квадранте.
D={(r,θ)\|4≤r≤5,π2≤θ≤π}
D
— область, ограниченная осью y
и x=1−y2.
D
— область, ограниченная осью x
и y=2−x2.
D={(r,θ)\|0≤r≤2,0≤θ≤π}
Д={(х,у)\|х2+у2≤4х}
D={(x,y)\|x2+y2≤4y}
D={(r,θ)\|0≤r≤4sinθ,0≤θ≤π}
В следующих упражнениях график полярной прямоугольной области D
дано. Экспресс Д
в полярных координатах.
![Половина кольца D нарисована в первом и втором квадрантах с внутренним радиусом 3 и внешним радиусом 5.](/calculus-book/resources/CNX_Calc_Figure_15_03_201.jpg)
![Сектор кольца D нарисован между тета = пи/4 и тета = пи/2 с внутренним радиусом 3 и внешним радиусом 5. ](/calculus-book/resources/CNX_Calc_Figure_15_03_202.jpg)
D={ (r,θ)\|3≤r≤5,π4≤θ≤π2}
![Половина кольца D нарисована между тета = пи/4 и тета = 5 пи/4 с внутренним радиусом 3 и внешним радиусом 5.](/calculus-book/resources/CNX_Calc_Figure_15_03_203.jpg)
![ Нарисован сектор кольца D между тета = 3 пи/4 и тета = 5 пи/4 с внутренним радиусом 3 и внешним радиусом 5.](/calculus-book/resources/CNX_Calc_Figure_15_03_204.jpg)
D ={(r,θ)\|3≤r≤5,3π4≤θ≤5π4}
На следующем графике область D
расположена ниже y=x
и ограничена x=1,x=5,
и y=0.
На следующем графике область D
ограничена y=x
и y=x2.
D={(r,θ)\|0≤r≤tanθsecθ,0≤θ≤π4}
В следующих упражнениях вычислите двойной интеграл ∬Rf(x,y)dA
над полярной прямоугольной областью D.
f(x,y)=x2+y2,D={(r,θ)\|3≤r≤5,0≤θ≤2π}
f(x,y)=x+y,D={(r,θ)\|3≤r≤5,0≤θ≤2π}
0
f(x,y)=x2+xy,D={(r,θ)\|1≤r≤2,π≤θ≤2π}
f(x,y)=x4+y4,D={(r,θ)\|1≤r≤2,3π2≤θ≤2π}
63π16
f(x,y)=x2+y23,
, где D={(r,θ)\|0≤r≤1,π2≤θ≤π}.
f(x,y)=x4+2x2y2+y4,
, где D={(r,θ)\|3≤r≤4,π3≤θ≤2π3}.
3367π18
f(x,y)=sin(arctanyx),
, где D={(r,θ)\|1≤r≤2,π6≤θ≤π3}
f(x,y)=arctan(yx),
где D={(r,θ)\|2≤r≤3,π4≤θ≤π3}
35π2576
∬Dex2+y2[1+2arctan(yx)]dA,D={(r,θ)\|1≤r≤2,π6≤θ≤π3}
∬D(ex2+y2+x4+2x2y2+y4)arctan(yx)dA,D={(r,θ)\|1≤r≤2,π4≤θ≤π3}
7576π2(21−e+ д4)
В следующих упражнениях интегралы были преобразованы в полярные координаты. Убедитесь, что тождества верны, и выберите самый простой способ вычисления интегралов в прямоугольных или полярных координатах.
∫12∫0x(x2+y2)dydx=∫0π4∫secθ2secθr3drdθ
∫23∫0xxx2+y2dydx=∫0π/4∫0tanθsecθrcosθdrdθ
54ln(3+22)
∫01∫x2x1x2+y2dydx=∫0π/4∫0tanθsecθdrdθ
∫01∫x2xyx2+y2dydx=∫0π/4∫0tanθsecθrsinθdrdθ
16(2−2)
В следующих упражнениях преобразуйте интегралы в полярные координаты и оцените их.
∫03∫09−y2(x2+y2)dxdy
∫02∫−4−y24−y2(x2+y2)2dxdy
∫0π∫02r5drdθ=32π3
∫01∫01−x2(x+y)dydx
∫04∫−16−x216−x2sin(x2+y2)dydx
∫−π/2π/2∫04rsin(r2)drdθ=πsin28
Вычислить интеграл ∬DrdA
, где D
— область, ограниченная полярной осью и верхней половиной кардиоиды r=1+cosθ.
Найти площадь области D
, ограниченной полярной осью и верхней половиной кардиоиды r=1+cosθ.
3π4
Вычислить интеграл ∬DrdA,
где D
— область, ограниченная частью четырехлепестковой розы r=sin2θ
расположен в первом квадранте (см. следующий рисунок).
Найдите общую площадь области, ограниченной четырехлепестковой розой r=sin2θ
(см. рисунок в предыдущем упражнении).
№2
Найдите площадь области D,
, которая является областью, ограниченной y=4−x2,
x=3,x=2,
и y=0.
Найдите площадь области D,
которая является областью внутри диска x2+y2≤4
и правее строки x=1.
13(4π−33)
Определить среднее значение функции f(x,y)=x2+y2
по области D
, ограниченной полярной кривой r=cos2θ,
, где −π4≤θ≤π4
(см. график).
Определить среднее значение функции f(x,y)=x2+y2
по области D
, ограниченной полярной кривой r=3sin2θ,
, где 0≤θ≤π2
(см. следующий график ).
163π
Найти объем тела, расположенного в первом октанте и ограниченного параболоидом z=1−4×2−4y2
и плоскостями x=0,y=0,
и z=0.
Найдите объем твердого тела, ограниченного параболоидом z=2−9×2−9y2
и плоскостью z=1.
№18
Найти объем твердого тела S1
ограничен цилиндром
x2+y2=1
и плоскости
г=0
и
г=1.
Найдите объем твердого тела S2
снаружи двойного конуса
z2=x2+y2,
внутри цилиндра
x2+y2=1,
и выше плоскости
г=0.
Найдите объем твердого тела внутри конуса z2=x2+y2
и ниже плоскости
z=1
путем вычитания объемов твердых тел
S1
и
С2.
Найти объем твердого тела S1
внутри единичной сферы
x2+y2+z2=1
и над плоскостью
г=0.
Найдите объем твердого тела S2
внутри двойного конуса
(z−1)2=x2+y2
и над плоскостью
г=0.
Найдите объем твердого тела вне двойного конуса (z−1)2=x2+y2
и внутри сферы
х2+у2+z2=1.
а. 2π3;
б. π2;
г. №6
В следующих двух упражнениях рассмотрим сферическое кольцо, представляющее собой сферу с цилиндрическим отверстием, прорезанным так, что ось цилиндра проходит через центр сферы (см. следующий рисунок).
Если сфера имеет радиус 4
, а цилиндр имеет радиус 2,
, найдите объем сферического кольца.
Цилиндрическое отверстие диаметром 6
см просверлено в сфере радиусом 5
см так, что ось цилиндра проходит через центр сферы. Найдите объем получившегося сферического кольца.
256π3см3
Найдите объем тела, лежащего под двойным конусом z2=4×2+4y2,
внутри цилиндра x2+y2=x,
и над плоскостью z=0.
Найдите объем тела, лежащего под параболоидом z=x2+y2,
внутри цилиндра x2+y2=x,
и над плоскостью z=0.
3π32
Найдите объем тела, лежащего под плоскостью x+y+z=10
и над диском x2+y2=4x.
Найдите объем тела, лежащего под плоскостью 2x+y+2z=8
и над единичным кругом x2+y2=1.
4π
Радиальная функция f
— это функция, значение которой в каждой точке зависит только от расстояния между этой точкой и началом системы координат; то есть f(x,y)=g(r),
, где r=x2+y2.
Покажите, что если f
– непрерывная радиальная функция, то ∬Df(x,y)dA=(θ2−θ1)[G(R2)−G(R1)],
, где G′(r)= rg(r)
и (x,y)∈D={(r,θ)\|R1≤r≤R2,0≤θ≤2π},
с 0≤R1
и 0≤θ1 <θ2≤2π.
Используйте информацию из предыдущего упражнения для вычисления интеграла ∬D(x2+y2)3dA,
, где D
— единичный круг.
№4
Пусть f(x,y)=F′(r)r
— непрерывная радиальная функция, определенная на кольцевой области D={(r,θ)\|R1≤r≤R2,0≤θ≤2π},
, где r=x2+y2,
0
и F
— дифференцируемая функция. Покажите, что ∬Df(x,y)dA=2π[F(R2)−F(R1)].
Примените предыдущее упражнение для вычисления интеграла ∬Dex2+y2x2+y2dxdy,
, где D
— кольцевая область между окружностями радиусов 1
и 2
, расположенными в третьем квадранте.
12πe(e−1)
Пусть f
— непрерывная функция, которая может быть выражена в полярных координатах как функция θ 9только 0042
; то есть f(x,y)=h(θ),
, где (x,y)∈D={(r,θ)\|R1≤r≤R2,θ1≤θ≤θ2},
с 0≤R1
и 0≤θ1<θ2≤2π.
Покажите, что ∬Df(x,y)dA=12(R22−R12)[H(θ2)−H(θ1)],
, где H
— первопроизводная h.
Примените предыдущее упражнение для вычисления интеграла ∬Dy2x2dA,
, где D={(r,θ)\|1≤r≤2,π6≤θ≤π3}.
3−π4
Пусть f
— непрерывная функция, которая может быть выражена в полярных координатах как функция θ 9только 0042
; то есть f(x,y)=g(r)h(θ),
, где (x,y)∈D={(r,θ)\|R1≤r≤R2,θ1≤θ≤θ2}
с 0≤R1
и 0≤θ1<θ2≤2π.
Покажите, что ∬Df(x,y)dA=[G(R2)−G(R1)][H(θ2)−H(θ1)],
, где G
и H
являются первообразными g
и ч,
соответственно.
Вычислить ∬Darctan(yx)x2+y2dA,
, где D={(r,θ)\|2≤r≤3,π4≤θ≤π3}.
133π3864
Сферическая шапка — это область сферы, расположенная выше или ниже заданной плоскости.
Покажите, что объем сферической крышки на рисунке ниже равен 16πh(3a2+h3).
Сферический сегмент – это твердое тело, определяемое пересечением сферы двумя параллельными плоскостями. Если расстояние между плоскостями h,
показывают, что объем сферического сегмента на рисунке ниже равен
16πh(3a2+3b2+h3).
В статистике — совместная плотность двух независимых нормально распределенных событий со средним значением μ=0
, а стандартное распределение σ
определяется как p(x,y)=12πσ2e−x2+y22σ2.
Рассмотрим (X,Y),
декартовы координаты шара в положении покоя после того, как он был выпущен из положения на оси z по направлению к плоскости xy
. Предположим, что координаты мяча независимо распределены нормально со средним значением μ=0
и стандартным отклонением σ
(в футах). Вероятность того, что шарик остановится не более чем на
фут от начала координат определяется как P[X2+Y2≤a2]=∬Dp(x,y)dydx,
, где D
— это диск радиусом a с центром в начале координат. Покажите, что P[X2+Y2≤a2]=1−e−a2/2σ2.
Двойной несобственный интеграл ∫−∞∞∫−∞∞e(−x2+y2/2)dydx
может быть определен как предельное значение двойных интегралов ∬Dae(−x2+y2/2)dA
по диски Da
радиусов a с центром в начале координат, поскольку a неограниченно увеличивается; то есть ∫−∞∞∫−∞∞e(−x2+y2/2)dydx=lima→∞∬Dae(−x2+y2/2)dA.
Используйте полярные координаты, чтобы показать, что ∫−∞∞∫−∞∞e(−x2+y2/2)dydx=2π.
Покажи, что ∫−∞∞e−x2/2dx=2π,
, используя соотношение
∫−∞∞∫−∞∞e(−x2+y2/2)dydx=(∫−∞∞e−x2/2dx)(∫−∞∞e−y2/2dy).
Глоссарий
полярный прямоугольник
область, заключенная в круги г=а
и
r=b
и углы
θ=α
и
θ=β;
описывается как
R={(r,θ)\|a≤r≤b,α≤θ≤β}

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Вы также можете бесплатно загрузить его с http://cnx.org/contents/[email protected]
Атрибуция:
По вопросам, касающимся этой лицензии, обращайтесь по адресу [email protected].
Если вы используете данный учебник в качестве библиографической ссылки, то цитировать его следует следующим образом: Колледж OpenStax, исчисление. OpenStax CNX. http://cnx.org/contents/[email protected].
Если вы распространяете этот учебник в печатном формате, вы должны указать на каждой физической странице следующее указание авторства: «Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]».
Если вы распространяете часть этого учебника, вы должны сохранять при каждом просмотре страницы в цифровом формате (включая, помимо прочего, EPUB, PDF и HTML) и на каждой физической печатной странице следующее указание авторства: «Скачать бесплатно на http://cnx. org/contents/[email protected].»
Двойные интегралы – определение, формула и примеры
Двойной интеграл позволяет нам расширить наше понимание площадей под кривой от двумерной системы координат до объемов под поверхностями в трехмерной системе координат. Двойные интегралы позволяют нам вычислять плотности масс и оценивать функции плотности вероятности — всего лишь две из многих функций двойных интегралов!
Двойной интеграл позволяет вычислить объем под пространством, ограниченным областью , $\boldsymbol{R}$. Мы можем вычислять двойные интегралы, вычисляя интегралы по одной переменной и оставляя остальные переменные постоянными.
В этой статье рассматриваются все ключевые понятия, необходимые для понимания того, что представляют собой двойные интегралы. К концу обсуждения мы хотим, чтобы вы чувствовали себя уверенно при решении задач, связанных с двойными интегралами. 9{a} f(x, y) \phantom{x}dxdy\end{aligned}
Двойной интеграл также является важным примером повторных интегралов. Одна только ее общая форма подчеркивает это — мы интегрируем функцию двойной переменной по отношению к одной переменной, а затем к следующей. Мы подробнее рассмотрим процесс вычисления двойных интегралов позже, а сейчас нам нужно понять, что представляют собой двойные интегралы и как мы установили их правила.
С помощью двойных интегралов мы теперь можем вычислить площадь поверхности кривых, подобных показанной выше, и спроецированных на разные плоскости. Мы начнем наше понимание двойных интегралов с обзора того, что мы знаем об определенных интегралах. Напомним, что с помощью фундаментальной теоремы исчисления мы можем определить определенные интегралы, как показано ниже. 9{b} f(x) \phantom{x}dx &= \lim_{n \rightarrow \infty}[f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + …+ f(x_n)\Delta x ]\\\Delta x &= \dfrac{b – a}{n}\end{aligned}
Как мы узнали ранее, $\Delta x$ представляет ширину прямоугольников, а $\{x_1, x_2, x_3, …, x_n\}$ — конечные точки, образованные подынтервалами в интервале $[a, b]$. Как это относится к двойным интегралам?
Интерпретация двойных интегралов с использованием суммы Римана
Предположим, что у нас есть область $R$, ограниченная интервалами $[a, b] \times [c, d]$ через интервалы вдоль оси $x$ и $y$ соответственно. Это означает, что мы можем разделить длину и ширину на меньшие подинтервалы и прямоугольники, как показано на изображении выше. Прямоугольник содержит $mn$ прямоугольников, где каждый меньший прямоугольник имеет площадь $\Delta x \Delta y$, где $\Delta x = \dfrac{b – a}{m}$ и $\Delta y = \dfrac{ в – г}{п}$. Мы можем определить двойные интегралы в терминах суммы площадей прямоугольников, образованных графиком, подобно тому, как мы ранее давали определение определенным интегралам.
\begin{aligned}\int \int_R f(x, y)\phantom{x}dA &= \lim_{m, n \rightarrow \infty} [f(x_1, y_1)\Delta A + f(x_1,y_2)\Delta A + … + f(x_m,y_n)\Delta A]\end{aligned}
Теперь давайте расширим это понимание, интерпретируя $f(x_i, y_j)$ как высота прямоугольной призмы с площадью основания $A$. {b}   f(x, y) \phantom{x}dx\right ]\phantom{x}dy\end{выровнено}
Повторные интегралы — это интегралы функций многих переменных, в которых мы сначала вычисляем определенные интегралы функции по одной переменной, а затем интегрируем по следующей переменной. Давайте вернемся к нашему выражению для двойного интеграла, вернувшись к нашей функции $f$, определяемой двумя переменными и интегрируемой в пределах прямоугольной области, $R = [a, b] \times [c, d]$ . Это означает, что мы можем интегрировать $f(x, y)$ по $x$ от $x = a$ до $x = b$ и рассматривать $y$ как константу. 9{d} f(x, y) \phantom{x}dy \right] \phantom{x}dx \end{aligned}
Таким образом, мы показали, как двойные интегралы можно интерпретировать как повторные интегралы. Мы будем использовать эту интерпретацию для решения двойных интегралов в разделе, показанном ниже.
Интерпретация двойных интегралов как площади общих областей
Бывают случаи, когда область поверхности, над которой мы работаем, не образует прямоугольника. Давайте теперь рассмотрим два примера областей, которые не имеют прямоугольной формы.
Это означает, что теперь мы можем работать с поверхностями с нерегулярными областями, и два графика, показанные выше, являются прекрасными примерами. На первом графике показана область, образованная двумя кривыми относительно $x$, а на втором графике показана область, образованная кривыми относительно $y$.
\begin{align}R &= \{(x, y)| a \leq x \leq b,g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}\\\\R &= \{(x, y)| h_1(y) \leq x \leq h_2(y), c \leq y \leq d\}\end{aligned}
Это обозначения построителя набора, которые описывают две области – первое уравнение описывает область крайний левый граф, а второе обозначение построителя набора представляет правый граф. Мы можем вычислить двойной интеграл, ограниченный областями, показанными ниже. 9{h_2(y)} f(x, y) dx\phantom{x} dy\end{aligned}
Мы показали, как работают двойные интегралы для более общих областей. Теперь давайте перейдем к применению того, что мы уже узнали, для вычисления двойных интегралов.
Как решать двойные интегралы?
Мы можем решать задачи, связанные с двойными интегралами, применяя соответствующие интерпретации двойных интегралов. Самый быстрый способ вычислить двойные интегралы — использовать тот факт, что они являются повторными интегралами.
Определить пределы интегрирования функции по двум переменным (обычно $x$ и $y$).
Вычислите внутренний интеграл, работая с одной переменной и считая другую константой.
Теперь вычислите внешний интеграл, используя полученное выражение.
Существуют также некоторые свойства двойных интегралов, которые могут помочь вам в вычислении двойных интегралов. Давайте сначала рассмотрим некоторые из этих свойств!
Свойства двойных интегралов
Учитывая, что функции $f(x, y)$ и $g(x, y)$ можно проинтегрировать по областям $R$ и $S$, они удовлетворяют следующим уравнениям:
$\int \int_{R} [f(x, y) \pm g(x, y)]\phantom{x}dA = \int \int_{R} f(x, y) \phantom{x}dA \pm \int \int_{R} g(x, y) \phantom{x}dA$
$\int \int_{R} f(x, y) \phantom{x} dA = k \int \int_ {R} f(x, y) \phantom{x}dA$, где $k$ является константой
Когда $f(x, y) \leq g(x, y)$ в пределах области, $R$, неравенство $\int \int_{R} f(x, y) \phantom{x}dA \leq \int \int_{R} g(x, y) \phantom{x}dA $.
Если $f(x, y) \geq 0$ внутри $R$ и области $R$ и $S$ не перекрывают друг друга, то можно написать $\int \int_{R \cup S} f (x, y)\phantom{x} dA$, как показано ниже.
\begin{align} \int \int_{R \cup S} f(x, y)\phantom{x} dA = \int \int_{R} f(x, y) \phantom{x} dA + \int \int_{S} f(x, y) \phantom{x}dA\end{aligned}
Теперь, когда вы знаете различные свойства двойных интегралов, пришло время показать вам пример решения двойных интегралов. интегралы.
9{2} 2(1 – xy) \phantom{x}dxdy$ равно $-18$. Освоиться? Не волнуйтесь, мы подготовили для вас больше примеров! Прочтите статью, а затем проверьте свои знания с помощью наших примеров задач, показанных ниже.
Пример 1
Определите объем $V$, найденный прямо под плоскостью, $z = 4x + 2y$ над прямоугольной областью, $R = [0, 2]\times [0, 4 ]$.
Решение
Давайте сначала определим пределы двойного интеграла: мы хотим вычислить двойной интеграл от $z = 4x + 2y$ относительно $x$ от $x = 0$ до $x = 2$ .

С момента выхода на экраны первых кинолент и до последних громких премьер, совсем недавно появившихся в прокате, многие авторитетные издания и интернет-порталы пытаются определить самые лучшие фильмы. Мы же, зрители, в свою очередь, всегда не прочь ознакомиться с теми картинами, которые были отмечены большинством зрителей и кинокритиков. Кинопортал ivi предоставляет вам такую возможность: на сайте вы без труда сможете смотреть лучшие кинофильмы онлайн и совершенно бесплатно.

В нашей коллекции представлены известные киноленты всех жанров от отечественных и зарубежных режиссеров. Здесь вы найдете настоящие образцы кинематографического искусства: «Побег из Шоушенка» Фрэнка Дарабонта, «Бойцовский клуб» Дэвида Финчера, «Форрест Гамп» Роберта Земекиса, «Леон» Люка Бессона, «Начало» Кристофера Нолана, «Город Бога» Фернанду Мейреллиша и прочие. Будьте уверены: нет необходимости спешить в кинотеатры или покупать любимые киноленты на дорогостоящих DVD, заходите на наш портал и смотрите хорошее кино онлайн бесплатно.

Каждый пользователь сможет найти кинофильмы, которые обязательно придутся по душе. Так, любителей остросюжетных картин, насыщенных кровопролитными драками, перестрелками и погонями, ждут самые лучшие фильмы-боевики. Это и «Перл Харбор», и «Железный человек», и «Книга Илая», и «Темный рыцарь», а также другое хорошее кино. Тем, кто любит вдоволь посмеяться, предлагаем смотреть самые лучшие фильмы комедийного жанра. Причудливый Мистер Бин, четверо старшеклассников из «Американского пирога» и непревзойденный Джим Кэрри, снявшийся в главной роли киноленты «Всегда говори «да» поднимут настроение и обеспечат вам заряд положительных эмоций на весь день. Не останутся без внимания и ценители романтического и чувственного кино. Такие лучшие бесплатные фильмы онлайн, как «3 метра над уровнем неба», «Не уходи», «Горбатая гора», «Все о моей матери», не оставят вас равнодушными. И даже если вы отдаете предпочтение отечественному кинематографу, не проблема! Смотреть хорошие кинофильмы онлайн бесплатно от ведущих российских режиссеров и сценаристов вы также можете на нашем портале.

До сих пор не определились, как скрасить свой досуг? Собирайте своих друзей и членов семьи, заходите на ivi и смотрите лучшие фильмы бесплатно. Мы уверены, что море впечатлений, эмоций и переживаний во время просмотра вам обеспечено.

Вы обожаете смотреть комедии онлайн с участием Эдди Мерфи, Джима Керри или Адама Сэндлера? Вы твердо уверены, что лучшим кино можно назвать только то, которое вызывает смех и улыбки? В таком случае мы рады приветствовать вас на нашем портале! Любая кинокомедия из нашего списка – это отличный способ поднять настроение. Однако что долго говорить – лучше начинайте смотреть фильмы комедии прямо сейчас, и вы убедитесь, что это действительно так.

Если уж вы начали комедии смотреть бесплатно, остановиться вы уж точно не сможете. Тем более что у нас найдется что-то интересненькое и для всех ценителей юмора и веселья. По душе ли вам советская классика, или вам больше нравятся фильмы онлайн комедии бесподобного Вуди Аллена – в любом случае в нашей киноколлекции вы сможете подыскать себе картину на свой вкус.

Многим, кто любит комедии смотреть онлайн, может ошибочно казаться, что этот жанр – один из самых простых в кинематографе. На самом деле, смешить людей – это действительно тяжело. Но для талантливых режиссеров нет невозможного. И чтобы убедиться в этом, просмотрите наши комедии бесплатно онлайн.

Смотреть кинокомедии онлайн – значит неустанно удивляться разнообразию тем и сюжетов. Так, например, фильм может представлять собой игру с переодеванием, пародию, политическую сатиру, юмористический рассказ об отношениях между мужчинами и женщинами и т.д.

Смотреть комедии онлайн бесплатно любят школьники и их родители, молодое и старшее поколения, парикмахеры и бизнесмены – словом, все, кому не чужд юмор. Вот почему комедийные элементы зачастую присутствуют в триллерах, мелодрамах, ужасах и т.д. Хватит уже вбивать в поисковик запросы «комедия смотреть бесплатно» или «комедия смотреть онлайн бесплатно»! Ведь на нашем портале есть все, чтобы избавиться от депрессии, развеять плохое настроение и зарядиться позитивом по полной программе!

В отдел экономики, управления имуществом, архитектуры и градостроительства АКМР (уполномоченный орган)

______________________________

(от кого)

Полное наименование организации в соответствии с учредительными документами / Ф.И.О. индивидуального предпринимателя _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________
Адрес предприятия, его местонахождение:
юридический:	фактический:
город _____________________________ улица_____________________________ № дома ___________, № к. __________	город ______________________________ улица______________________________ № дома __________, № к. ____________
Сведения о руководителе:
Ф.И.О. (полностью) __________________________________________________________________________ тел.: _________________ , моб.тел.: ________________ эл. адрес:________________
Краткая информация по новогоднему оформлению прилегающей территории, витрин, торговых залов:

Дата
Концерн ВКО «Алмаз – Антей» представил новинку на смотре перспективной техники для МЧС — Концерн ВКО «Алмаз
30.12.2020
С новейшим образцом высокотехнологичной продукции гражданского назначения Брянского автомобильного завода (входит в Концерн ВКО «Алмаз – Антей») — стартовым аэродромным пожарно-спасательным автомобилем (СПСА) — ознакомился Председатель Правительства Российской Федерации Михаил Мишустин. Свою новинку БАЗ представил в Национальном центре управления в кризисных ситуациях МЧС России, где в преддверии Дня спасателя была организована демонстрация современных образцов пожарно-спасательной техники и оборудования.
Брянский автомобильный завод специализируется на выпуске специальных колёсных шасси и тягачей высокой проходимости, в 2020 году выпустил перспективный образец аэродромного пожарно-спасательного автомобиля для МЧС, который обладает повышенными динамическими характеристиками и высокоэффективной системой пожаротушения, а также отвечает требованиям международной организации гражданской авиации ICAO.
Пожарный автомобиль создан на шасси БАЗ-8080 (колесная формула 6х6.1) и предназначен для быстрого прибытия на место происшествия, обеспечения маршрутов эвакуации, тушения пожаров и проведения первоочередных аварийно-спасательных работ на воздушных судах и наземных объектах аэропорта (вывоз боевого расчета, пожарно-технического вооружения, огнетушащих веществ). Трансмиссия СПСА обеспечивает работу насосной установки (с подачей водопенных компонентов) от одного тягового двигателя прямо на ходу при различных скоростях движения.
Автомобиль имеет уникальную конструкцию. Мощный силовой агрегат позволяет разгонять машину полной массой до 85 км/ч за 40 секунд. Независимая подвеска и широкопрофильные шины позволяют двигаться как по неподготовленной местности, так и по территории аэродрома. Все агрегаты, системы и оборудование автомобиля расположены с учётом минимальной высоты центра тяжести машины, что позволяет быстро прибыть к месту вызова (со скоростью до 115 км/ч). Тяговый двигатель мощностью 700 л.с. (515 кВт) находится сзади, кабина боевого расчёта на 4 человека впереди, а модуль пожаротушения – в середине автомобиля.
Брянский автомобильный завод (в составе Концерна воздушно-космической обороны «Алмаз – Антей» с 2015 года) – ведущее российское предприятие, производящее специальные колесные шасси и тягачи (СКШТ) высокой проходимости грузоподъёмностью от 14 до 40 т для военной и гражданской техники.
Помимо серийного выпуска СКШТ высокой проходимости сегодня БАЗ обеспечивает сервисное обслуживание продукции, поставку запасных частей, оказывает помощь в обучении обслуживающего персонала в собственном учебном центре, открытом в 2018 г., осуществляет ввод техники в эксплуатацию.
Традиционные преимущества СКШТ «БАЗ» – возможность эксплуатации в различных климатических условиях страны и сверхвысокая проходимость за счет разрезных мостов, независимой торсионной подвески, а также колесных редукторов несоосного типа, обеспечивающих большой дорожный просвет, проходимость и отсутствие «бульдозерного эффекта».
Концерн ВКО «Алмаз – Антей» – одно из крупнейших интегрированных объединений российского оборонно-промышленного комплекса, на котором трудятся около 130 тысяч человек. Продукция Концерна поставляется более чем в 50 стран мира.
Фото предоставлено пресс-службой МЧС России.

Волгоградских умельцев приглашают принять участие во Всероссийском смотре-конкурсе «Молодые дарования»!
В целях поддержки творчества молодых мастеров народных художественных промыслов России, их сохранения как объектов национального наследия, более 20 лет Ассоциация «Народные художественные промыслы России» реализует программу «Молодые дарования» в области народного искусства.
За годы реализации в программе приняли участие более 8000 молодых художников и мастеров. Многие таланты, участвовавшие в первых выставках-конкурсах программы, стали лауреатами премии им.И.Е.Репина, а некоторые из них – Ззслуженными художниками России.
В этом году Ассоциация проводит традиционный Всероссийский смотр-конкурс на соискание премий и стипендий «Молодые дарования – 2021» в области декоративно-прикладного и народного искусства по номинациям:

«В мире народных промыслов»,

«Путешествие в сказку»,

«Звери и птицы в народном искусстве»,

«Вековые традиции охотничьей культуры»,

«Петровская эпоха. К 350-летию со Дня рождения Петра I».

В настоящее время Ассоциацией формируется выставочный фонд.
На смотр-конкурс принимаются высокохудожественные произведения традиционных центров народного искусства от организаций народных художественных промыслов и специализированных учебных заведений. Произведения должны быть выполнены молодыми авторами за последние пять лет, но не представлены ранее на другие конкурсы. По окончании смотра-конкурса изделия возвращаются авторам.
Для победителей и призеров смотра-конкурса учреждены премии, стипендии и дипломы лауреатов. Участникам Всероссийского смотра-конкурса вручаются свидетельства.
Прием конкурсных работ будет проводиться до 15 сентября 2021 года. Работы принимаются по адресу: г. Москва, ул. Кржижановского, 21/33.
Контактные телефоны организаторов смотра-конкурса: (499) 125-67-92, Гуляева Татьяна Алексеевна, Янткова Татьяна Михайловна.
Подробная информация о проведении смотра-конкурса, условиях и сроках его проведения размещена на сайте https://nkhp.ru/exhibitions/.
Стартует областной смотр-конкурс на лучшую организацию по созданию безопасных условий труда
Министерство труда и социальной защиты Калужской области объявляет о приёме заявок для участия в областном смотре-конкурсе на лучшую организацию по созданию безопасных условий труда (далее — конкурс). Его цель — активизация работы по улучшению условий и охраны труда в организациях региона, профилактика производственного травматизма и профессиональных заболеваний.
К участию в конкурсе допускаются организации, которые осуществляют деятельность на территории Калужской области не менее трех лет, не находятся
в состоянии реорганизации или ликвидации, в процессе банкротства и их деятельность не приостановлена в соответствии с законодательством, не имеют неисполненной обязанности по уплате налогов, сборов, страховых взносов, пеней, штрафов, процентов, не имеют несчастных случаев на производстве с тяжелыми последствиями для здоровья работников или несчастных случаев со смертельным исходом в 2020 году.
Победители конкурса определяются в четырех номинациях:
первая номинация — лучшая организация по созданию безопасных условий труда среди организаций внебюджетной сферы с численностью работников 500 и более человек;
вторая номинация — лучшая организация по созданию безопасных условий труда среди организаций внебюджетной сферы с численностью работников менее 500 человек;
третья номинация — лучшая организация по созданию безопасных условий труда среди организаций бюджетной сферы с численностью работников 100 и более человек;
четвертая номинация — лучшая организация по созданию безопасных условий труда среди организаций бюджетной сферы с численностью работников менее 100 человек.
В каждой номинации присуждаются три призовых места. Победителям вручаются дипломы.
Для участия в конкурсе необходимо до 01 октября 2021 года направить
в адрес организационного комитета конкурса (248016, г. Калуга, ул. Пролетарская, 111, каб. 416) заявку на участие в конкурсе установленного образца и показатели состояния условий и охраны труда в организации согласно приказу министерства труда и социальной защиты Калужской области от 16.09.2019 № 2133-П «О проведении областного смотра-конкурса на лучшую организацию по созданию безопасных условий труда».
Дополнительную информацию о конкурсе можно получить по телефонам:
(4842) 719 – 448, 719 – 449 или на интернет-портале органов исполнительной власти Калужской области (подпортал «Министерство труда и социальной защиты Калужской области по адресу: http://admoblkaluga.ru/sub/minsocial/trudizan/ohrana/smotr-konk.php).
Пресс-служба правительства Калужской области.
Перспективы развития библиотек обсудили на смотре в Кировском районе
Заведующие библиотеками представили свое видение 18 апреля.
Защита авторских проектов заведующих библиотеками Центральной библиотечной системы Кировского района состоялась в библиотеке им. Макаренко. Организаторы обсудили планы по увеличению роли библиотек в социально-экономической и духовной жизни района. Участники представили идеи развития своих подразделений по направлениям имидж, пространство, структура, представительство в сети Интернет, проектная деятельность, реклама и связи с общественностью, а также личное профессиональное развитие.
Особое внимание библиотеки планируют уделять организации библиотечного пространства так, чтобы читателю было комфортно, возникало желание возвращаться туда снова. Важным пунктом стало обсуждение деятельности, направленной на привлечение средств в учреждение. Идеи предназначались для самой разной целевой аудитории. Среди озвученных были кукольный театр для малышей, передача о пользе чтения на школьном радио, мобильное интеллект-турне для молодежи, реклама библиотеки с помощью использования неоновых надписей.
Одобрение комиссии вызвали такие ранее популярные, а сейчас незаслуженно забытые формы работы, как Неделя библиотеки в районе, Дни культуры разных стран, субботние концерты в библиотеке, сеансы выходного дня, некогда называемые кинолекториями.
Не обошлось и без замечаний комиссии, в основном касающихся отсутствия постановки четких задач в проектах и личном плане профессионального развития. В связи с этим члены комиссии дали соответствующие рекомендации и внесли предложения по улучшению некоторых идей. Например, привлечь к оформлению рекламы художников по граффити. Лейтмотивом слушания стала рекомендация библиотекам активнее сотрудничать с другими организациями района.
В комиссии присутствовали представители библиотечного сообщества города и власти. Среди них главный специалист управления культуры мэрии города Новосибирска Михаил Костин, начальник отдела по делам молодежи, культуры и спорта администрации Кировского района Татьяна Близень, а также директора и сотрудники библиотек города.
По окончании смотра авторских проектов участники пришли к выводу, что данное мероприятие окажет положительное влияние на работу библиотек, превратив их в культурные центры Кировского района, и каждый его житель будет знать, что по соседству есть библиотека!
Новость подготовлена по материалам ЦРБ им. Макаренко
Скачать
Изменено 21.04.2017 11:56:08 Просмотров:
Определение See по Merriam-Webster
\ ˈSē \ пила\ ˈSȯ \; видимый\ ˈSēn \; видя \ ˈSē- iŋ \
переходный глагол
1а : воспринимать глазом
б : воспринимать или обнаруживать как будто на вид
2а : знать о : распознавать видит только наши недостатки б : представить как возможность : предположить не мог видеть в нем мошенника c : , чтобы сформировать мысленную картину : визуализировать все еще могу видеть ее такой, какой она была много лет назад d : , чтобы понять значение или важность : понять
б : — установка или время За последние пятьдесят лет были отмечены как — радикальная революция в науке… — Барри Коммонер
c : иметь опыт : пройти см. службу в армии
c : присутствовать в качестве зрителя смотреть пьесу
5а : , чтобы убедиться Смотрите, что порядок соблюдается.
б : позаботиться о : позаботиться о было достаточно денег, чтобы довести нас до конца
6а : , чтобы найти приемлемый или привлекательный не могу понять, что он видит в ней
c : предпочитать иметь Сначала я увижу его повешением.Я увижу тебя мертвым, прежде чем приму твои условия.
б (1) : , чтобы составить компанию, особенно при ухаживании или свиданиях. встречались год
(2) : , чтобы дать интервью : получить Президент увидит вас сейчас.9 : для удовлетворения (ставки) в покере или для равенства ставки (игрока) : колл
непереходный глагол
1а : для обнаружения объектов визуально
б : иметь силу зрения
c : воспринимать объекты как на вид
2а : посмотреть
б : уделить или обратить внимание
3а : чтобы понять что-то мысленно
б : для подтверждения или рассмотрения чего-либо, на что указывают Смотри, я же говорил, пойдет дождь.
4 : для расследования или расследования
посмотреть после
: для обслуживания : по уходу за
сходиться во взглядах : иметь общую точку зрения : согласен вижу красный видеть свет
: для открытия или осознания обычно скрытой правды
увидеть дневной свет
: , чтобы стать общедоступным или доступным (как через публикацию) рукописи, которые никогда не увидят дневной свет
видеть вещи смотреть сквозь
: , чтобы понять истинную природу распилил схему
см, чтобы
: для обслуживания : по уходу за
1а : место епископа, власти или органа власти
б : соборный город
2 : власть или юрисдикция епископа
\ ˈSē \
Томас Джефферсон Джексон 1866–1962 Американский астроном и математик
«
See» продлено на третий сезон от Apple; Дата премьеры и трейлер второго сезона — крайний срок
В преддверии премьеры 2 сезона Apple TV + заказала третий сезон постапокалиптического драматического сериала « See » с Джейсоном Момоа в главной роли.О продлении было объявлено в четверг вечером во время выступления Момоа на шоу The Tonight Show с участием Джимми Фэллона.
Эден Эпштейн
Apple также выпустила тизер-трейлер второго сезона, в котором Дэйв Баутиста представляет нового актера в роли Эдо Восса, брата персонажа Момоа Бабы Восса. Он также дает представление о других завсегдатаях новых сериалов во втором сезоне, о большинстве из которых не было объявлено. Среди них Иден Эпштейн ( Sweetbitter ), Том Мисон ( Watchmen ), Хун Ли ( Warrior ), Оливия Ченг ( Warrior ), Дэвид Хьюлетт ( The Shape of Water ) и Тамара Туни ( Рейс ).
Apple назначила пятницу, 27 августа, на премьеру второго сезона сериала « Острые козырьки», создателя Стивена Найта и режиссера Фрэнсиса Лоуренса. После дебюта еженедельно будет выходить новый эпизод.
Связанная история
Трейлер Apple Preview: Первые проблески «Вторжения», «Мистер. Корман, 2 сезон утреннего шоу, See, More
Apple TV + уже второй раз подряд обновляет See перед дебютом предыдущего сезона.Хотя это было объявлено сегодня, пикап произошел некоторое время назад, а съемки 3-го сезона в настоящее время проходят в Торонто, Канада. (Я слышал, Apple решила снимать сезоны 2 и 3 подряд.)
Написано Knight, См. Действие происходит в далеком будущем, и человечество потеряло зрение. Во втором сезоне Баба Восс пытается воссоединить свою разлученную семью и уйти от войны и политики, которые его окружают, но чем больше он удаляется, тем глубже его затягивает, и появление его брата-заклятого врага (Баутиста ) угрожает его семье еще больше.
Вернувшийся состав: Альфри Вудард в роли Пэрис, Гера Хилмар в роли Магры, Сильвия Хукс в роли королевы Кейн и Кристиан Кармаго в роли Тамакти Джун.
Сезон 2 исполнительными продюсерами являются Найт, Лоуренс, Питер Чернин, Дженно Топпинг, Джим Роу и Джонатан Троппер, который также выступает в роли шоураннера. Продюсеры сериала — Chernin Entertainment и Endeavour Content.
Эпштейна представляют Brillstein Entertainment Partners и Jackoway Tyerman Wertheimer.
Чрезвычайно необходимый FAQ для «См.» Странное шоу Джейсона Момоа Apple TV +
Никто не просил See , за исключением, по-видимому, одного сбитого с толку и, возможно, озорного руководителя Apple TV +, который должен был создать список потокового контента для большого толчка Apple, чтобы бросить вызов гегемонии Netflix.Кроме этого человека, ни единой души на планете Земля, какой бы странной она ни была, она мечтала наконец ответить на извечный вопрос о том, насколько достоверно Джейсон Момоа мог изобразить слепого человека — и не просто слепого, а того, кто пинает ногами. тонна осла и живет в мрачном квази-неолитическом будущем, в котором человечество потеряло зрение на века. Контрапунктом, конечно же, является то, что, если так называемый Золотой век телевидения чему-то нас научил, так это тому, что люди будут смотреть (или выпивать, что вроде как смотрят, но печальнее) буквально любую чертову вещь, если она выглядит так был снят на профессиональные камеры, и в нем изображены люди, бьющиеся друг о друга мечами или вещами, которые хотя бы похожи на мечи.Надежда здесь, очевидно, состоит в том, чтобы убедить людей (лохов), что See может заполнить пустоту, которую Game of Thrones оставила позади, вплоть до роли Джейсона Момоа, который играет персонажа, которого можно довольно точно описать как «Кхал Дрого, но менее проблемный, и теперь он знает английский, но не волнуйтесь, он по-прежнему немного ворчит, поет и шипит». Поскольку я забочусь о вас, я не хочу, чтобы вы смотрели See , но я не хочу, чтобы вы также игнорировали опасность, которая представляет собой See , .Все сбивает с толку — сюжет, суть, почему это вообще произошло, кто несет ответственность, как мы должны отомстить и т. Д. — поэтому я решил предвидеть все ваши вопросы и отвечать на них соответственно. Всегда пожалуйста.
Хорошо, а что такое Смотрите?
See — это совершенно новое постапокалиптическое телешоу, созданное Стивеном Найтом ( Острые козырьки, ), и режиссером Фрэнсиса Лоуренса (по крайней мере, один или два из фильмов Голодные игры ).В главной роли Джейсона Момоа, дружелюбного соседа вашей мечты.
Какая высота в лифте?
ИНТ. ОФИСНОЕ ЗДАНИЕ.
Двое мужчин одновременно входят в лифт. Они вежливо улыбаются друг другу, но ничего не говорят на семи-восьми этажах. Один из мужчин — СТИВЕН НАЙТ, другой — ПРЕЗИДЕНТ APPLE TV +.
СТИВЕН НАЙТ: Привет. Сегодня ты выглядишь здоровым. Сыт.
ПРЕЗИДЕНТ APPLE TV +: Прошу прощения?
KNIGHT: Купите ли вы мой набор в будущем, но это тоже в некотором роде прошлое, потому что у людей снова есть мечи и вигвамы, и никто не может их видеть? Буквально никто , , кроме двух малышей.И Джейсон Момоа их милый, но жестокий отчим, и его зовут Баба Восс?
ПРЕЗИДЕНТ APPLE TV + падает на колени со слезами на глазах и протягивает СТИВЕНУ НАЙТА сумку с большим знаком доллара на ней.
ПРЕДСЕДАТЕЛЬ: Вот 150 миллионов долларов. Отправляйтесь туда и сделайте лучшее шоу о мире, в котором никто не может видеть, и Джейсон Момоа — их отчим, и его зовут Баба Восс. Баба Восс. Баба Восс. Баба Восс.
— Сцена —
Что за презентация без лифта?
See происходит через несколько столетий после того, как таинственный вирус уничтожил почти все человечество, оставив лишь около 2 миллионов человек, и все они ослепли.Отсутствие зрения становится генетической чертой, а слепота становится названием игры. И да, конечно, общество приспосабливается, хотя массовая слепота, похоже, отправила человечество в своего рода темную эпоху охотников-собирателей, когда люди либо отдыхают в Королевстве Паян (плотина Кинзуа в Пенсильвании) под присмотром возбужденных, параноик, злой и явно подавленный лидер по имени Королева Кейн (Сильвия Хукс) … или они рискуют не быть рядом с ужасным тираном с флюидами Красной Сони и просто живут своей жизнью в лесу.Но самое главное, и вы не должны забывать об этом: все слепы.
Значит, никто не видит в См. ?
Ну, ладно, извините, да: могут видеть человека, особенно часто упоминаемого, но редко присутствующего Джерламарела. Его биологические дети и приемные близнецы Бабы Фосса Ханива и Кофун — новорожденные в эпизоде 1, младенцы в эпизоде 2, 12 лет в середине эпизода 2 и около 17 лет в эпизоде 3 — может видеть.Они могут хелла см. Но, конечно, это угасшее до сих пор чувство нехорошо.
Почему бы и нет?
Во-первых, люди делали нормально, не видя. Некоторые люди теперь действительно хорошо чувствуют запах. (Их называют Scentiers, можете догадаться, почему?) Некоторые люди могут слышать очень хорошо. Джейсон Момоа, очевидно, имеет элементарные знания джиу-джитсу. А общество хоть и немного примитивно, но функционирует. Люди строят хижины. Никто случайно не попадет в огонь. Они разработали систему письма.Никто никогда ни с кем не сталкивался. Но самая большая причина, по которой вы не хотите прослыть глупцом с проклятием зрения , — это Искатели ведьм.
Эй, искатели ведьм? Они не звучат холодно.
Нет, Искатели ведьм не холодны. Они своего рода средневековые косплееры Mad Max , которые десятилетиями катаются по кругу в поисках людей, которых можно сжечь. Или колоть. Или быть крайне снисходительным и грубым. Их возглавляет Тамакти Джун, который с точки зрения садистов-фанатиков кажется довольно крутым.Нет, шучу; они пытаются намекнуть, что у Тамакти Джуна есть пафос, но он и остальные искатели ведьм — просто кожаные куртки в джагоффах. Они лишние.
Являются ли эти искатели ведьм главными антагонистами? Я просто одержим антагонистами, так что это нормальный вопрос.
Да, это нормальный вопрос, но нет — главный антагонист, вероятно, королева Кейн, которая живет в плотине (правда), любит плакать, пока развлекается ( на самом деле на самом деле), и имеет нерешенные проблемы с Джерламарелем, волшебный человек, который может видеть и владеет книгами.Но также, возможно, настоящие злодеи — это различные львы и медведи, о которых мы все время слышим. Видимо, они везде. Их вспоминают в любом другом разговоре. Все живут в постоянном страхе перед львами и медведями, что, я думаю, имеет смысл, потому что есть смысл жить в постоянном страхе перед львами и медведями. Вы просто думаете, что они будут реже упоминать об этом. Однако слепые люди будущего, похоже, ничего не знают о тиграх. Представьте, что вы ничего не знаете о тиграх.Представьте себе эту пустоту.
Как смотреть Посмотреть?
Вы подписываетесь на Apple TV + и видите миниатюру Джейсона Момоа, похожего на Хала Дрого:
Потом щелкаешь по нему и смотришь.
Стоит ли смотреть Посмотреть?
Не знаю. Это зависит от того, какой вы человек. Я имею в виду, как вы терпите боль? Считаете ли вы безэмоциональную игру «крутой» или «отстой»? Вы приходите домой с работы и говорите своему супругу: «Привет, дорогая, да, я обещаю, что мы сможем поговорить о наших финансах позже, но прямо сейчас я хочу посмотреть что-то мрачное, неинтересное, медленное и запутанное в повествовании. ты?» Думаю, если это твое дело, то да, полностью.
Итак См. это не следующий Игра престолов ?
Это даже не следующий Vikings Season 5.
Я абсолютно обожаю роман Слепота португальского писателя Хосе Сарамаго, в котором есть похожие темы о том, что все слепы и тому подобное. Как вы думаете, мне понравится этот сериал?
№
Но как Джейсон Момоа поживает?
Он в порядке! Эта роль довольно прочно находится в его сладком пятне, которым является «приятный крутой парень, который ворчит на выдуманном языке и накапливает приличное количество трупов».Он играет нашего главного героя, Бабу Восса, воина и вождя племени Алкенни. Хороший парень, чувак из темного прошлого. Вы никогда не получите желаемого объяснения, почему его зовут Баба Восс — глупое имя, которое можно услышать примерно 1000 раз в первых трех эпизодах. Еще он очень любит свою жену. Он чуткий семьянин (который время от времени убивает, ну, девятерых чуваков).
Круто, как сильно он жену любит?
Чувак, он очень любит свою жену (Геру Хилмар).Баба Восс, типичный задиристый воин-мужчина, встречает эту загадочную женщину, которая уже беременна через какого-то другого неудачника, который ее бросил (Джерламарель), и тем не менее с любовью воспитывает своих детей как своих собственных, как будто это совсем не проблема, что, конечно, не для нас с вами, но нельзя ожидать такого прогрессивного отношения со стороны члена общества, которое, кажется, в основном озабочено искоренением ведьм и говном о львах и медведях. И она любит его, несмотря на то, что не видит, какая у него вкусная закуска.В этом типи много любви, но, что еще важнее, взаимного уважения. Спасибо, что задали вопрос о том, как сильно он любит свою жену.
Можете ли вы честно заявить, что это престижное телевидение?
Да, потому что каждая серия стоила около 15 миллионов долларов, и никто не стал бы тратить такие деньги на телевидение un-prestige . Во-вторых, что более важно, в этом сериале присутствует инцест низкого уровня, и, как мы все знаем, помимо задумчивых мужчин-антигероев, главное, что отличает престижное телевидение от нормального телевидения, — это количество инцеста. Game of Thrones , Twin Peaks , Boardwalk Empire , Rome , Dexter , The Borgias , и да, даже John From Cincinnati , странное серфер-шоу, которое все ненавидели, которое сразу же последовало В последнем эпизоде сериала « Клан Сопрано» много лет назад у всех был инцест.
Ух, круто, кто занимается инцестом в Смотри ?
Это спойлер, но раз уж вы спросили: это неуклюжая и почти сладко-агрессивная, обоюдно обиженная тетя на племяннике французского языка.Актриса, которая участвует в упомянутом низкоуровневом инцесте, изображается Мэрили Токингтон , , которая официально слепа. К его чести, шоу наняло «консультанта по слепоте» и некоторых слабовидящих актеров. Однако большинство актеров притворяются.
Какой обмен диалогами лучше?
Мне нравится, когда один парень подходит к Тамакти Джун и говорит: «Тамакти Джун?» а затем Тамакти Джун резко останавливается на мгновение и говорит: «Да, это я… Тамакти Джун.Или когда Баба Восс невинно говорит: «Что такое… Америка, ?»
Но мне больше всего нравится строчка от одного из немногих персонажей, которые действительно могут видеть. Ханиве (Неста Купер) дается кладезь книг из прошлого, все на английском языке, и она учится читать, и в этой случайной стопке книг она узнает все о генетике, солнце (эти наркотики называют это божественным пламенем), основной экспорт Питтсбурга и, что наиболее важно, то, что раньше было лучшее оружие; оружие, которое могло бы, и она очень серьезно относится к этой фразе, «убить сотню индеек за час.На это Джейсон Момоа смеется и говорит, что не очень любит есть индейку, потому что от этого ему хочется спать! Затем он уходит в лес.
Насколько вы были зол, когда «Perfect Day» Лу Рида начали играть в середине первой серии?
Не то чтобы злой. Не впечатлен, но не настолько зол. Люди, живущие в сумасшедшем постапокалиптическом клане Клан пещерного медведя — массовое будущее, заслуживают и приятных, пусть и переигранных мелодий.
Я слышал кое-что о «Тени» — не могли бы вы это объяснить?
№У меня нет объяснения этой тревожной и жуткой сцене из Эпизода 2.
Честно говоря, я потрясен.
Но были ли выдающиеся выступления?
Честно говоря, Алфри Вудард очень хорош. Она играет Пэрис, духовного лидера / акушерки / приятеля. Она идет на это так, как не делают многие другие актеры. Если вы по контракту обязаны декламировать невероятно глупые строки, вы также можете добавить немного энергии или воодушевления. Вы также можете иметь в виду .
Какая была ваша любимая сцена?
Битва за большую каменную стену в первом эпизоде довольно крутая. Кроме того, любая сцена, где кто-то кричит «Баба Восс!» хорошо, потому что это забавное имя, и мне нравится слышать, как его произносят. Но мне очень понравилась сцена, в которой кто-то бросает сообщение в бутылке в реку, и кому-то требуется 12 лет, чтобы его найти. Он многому научил меня терпению и достоинству, а также тому, что у меня никогда не хватает смелости бросать бутылки в реки и ожидать, что произойдут хорошие вещи.
Будешь продолжать смотреть?
Да. Я никогда не уступлю войне, которую веду в моем сердце. Я смотрел шесть сезонов сериала One Tree Hill , потому что был влюблен в девушку, которая выглядела как София Буш, поэтому я думаю, что смогу провести следующие два сезона сериала См. , сериал о слепом и любящем Джейсоне Момоа. его милая жена.
Всего два?
Всего два.
Алекс Сикиг живет в Балтиморе, пьет MD 20/20 и пишет о таких вещах, как Игра престолов , Миллениум и жизнь Дуга Фанни.
ресторанов Иллинойса могут увидеть ограничения на COVID-19 на следующей неделе
Вскоре от посетителей ресторанов в Иллинойсе снова могут потребовать ношение маскировочных покрытий. По мере того как распространенность COVID-19 в штате растет, следуя тенденции, наблюдаемой в других частях страны, Департамент общественного здравоохранения Иллинойса требует, чтобы жители «районов со значительным и высоким уровнем передачи» — в первую очередь общественных закрытых помещений — возобновили ношение маскировочных покрытий для лица.
Правительственного мандата нет, хотя есть опасения, что он может быть представлен в начале следующей недели.Объявление министерства здравоохранения совпадает с рекомендациями, опубликованными ранее во вторник Центрами по контролю и профилактике заболеваний. CDC также подчеркнул, что учителя и ученики школ K-12 должны маскироваться, даже если они полностью вакцинированы.
Новости от IDPH во второй половине дня не стали неожиданностью для генерального директора и президента Ассоциации ресторанов Иллинойса Сэма Тоя. Он признал, что Чикаго скоро превысит 200 ежедневных случаев COVID-19. В интервью New York Times мэр Лори Лайтфут сказала, что она подумала бы о возвращении мандата на использование масок, если бы количество случаев COVID-19 постоянно достигало этого числа.Дельта-вариант, который является более передаточным, увеличивает показатели среди не вакцинированных. Однако эксперты в области здравоохранения также говорят, что полностью вакцинированные люди могут распространять болезнь, поэтому мэры и губернаторы по всей стране рассматривают возможность возврата требований к маскам.
На пресс-конференции во вторник комиссар Департамента общественного здравоохранения Чикаго доктор Эллисон Гради заявила, что ожидает, что город преодолеет отметку в 200 «в течение следующих нескольких дней.”
В начале июля в Windy City Smokeout за пределами United Center на Ближнем Вест-Сайде в толпе было мало масок. Барри Бречайзен / Eater Chicago
Рестораны и бары были заняты после того, как город и штат отменили ограничения на COVID-19 в начале июня. Toia не ожидает, что Лайтфут введет ограничения раньше, чем в начале следующей недели. «У нас есть постоянная связь с городом и штатом», — говорит Тойя, добавляя: «Я уверен, что мы сможем держать ситуацию под контролем.”
Ассоциация следила за тем, что происходило в других областях. Тоя поддерживает контакты со своими коллегами в Техасе и Луизиане, двух штатах, в которых произошли крупные вспышки. В Лос-Анджелесе и Сан-Франциско владельцы баров объединились, чтобы запретить непривитым посетителям опекать свои заведения. Это обязательно вызовет критику, утверждающую, что политика смягчения последствий носит политический характер. Именно это произошло в Джорджии, где конгрессмен и теоретик заговора Марджори Тейлор Грин обратилась в Твиттер, чтобы раскритиковать позицию ресторана в Атланте «без вакса, без обслуживания».
Похоже на то, что он делал это в прошлом году во время пика вспышки болезни, до того, как ученые разработали вакцины, Тойя повторил, что общественная безопасность и здоровье клиентов и работников ресторанов остаются приоритетом №1 ассоциации.
В Уэст-Тауне, Green Grocer Chicago уже вернула свою политику обязательных масок для покупателей. Владельцы магазинов были обеспокоены дельта-вариантом и в середине июля повесили таблички с просьбой к покупателям маскироваться.
Рестораны ждут Lightfoot и Gov.Дж. Б. Притцкеру: принять меры до изменения политики. По словам Тойя, если дельта-вариант приведет к ужесточению требований, федеральному правительству потребуется пополнить Фонд восстановления ресторанов. Ресторанные лоббисты подталкивают лагерь Байдена к действиям. Тоя говорит, что только две трети соискателей получили средства: «Это были примерно 15 месяцев», — говорит Тойя.
Вторя городским властям, Тоя говорит, что вакцинация — это решение. Около 51 процента жителей Чикаго полностью вакцинированы, и Тоя хочет, чтобы это число увеличилось.
«Если вам не сделали прививку, пожалуйста, сделайте прививку», — говорит он.
И другие новости…
— Grubhub из Чикаго работал с городом, чтобы предоставить подарочные карты в качестве стимула для вакцинации жителей. Однако на своей пресс-конференции во вторник комиссар по здравоохранению Чикаго доктор Эллисон Арвади заявила, что они обменяли Grubhub на подарочные карты Visa на 25 долларов. Арвади сказал, что у некоторых жителей нет телефонов или доступа в Интернет к сервисам Grubhub, и что карты Visa были более полезными.Программа, которая раздает людям подарочные карты в качестве средства поощрения вакцинации, начинается в понедельник, и жители Чикаго могут зарегистрироваться на городском веб-сайте или по телефону (312) 746-4835.
— Шеф-повар из Майами Николь Вотано привезет в Чикаго свое виртуальное современное итальянское заведение, Alla Vodka Shop, рекламируя меню из блюд с «розовым соусом», таких как водка пенне алла, буррата с жареным красным перцем и мини канноли. Вотано представит свой бренд на фестивале Little Italy Fest с четверга, 12 августа, по воскресенье, 15 августа, на Тейлор-стрит.Посетители фестиваля могут попробовать ограниченную по времени водку Sundae Alla Votano с тремя фрикадельками в розовом соусе, взбитой рикоттой и чесночным хлебом.
Подпишитесь на Новостная рассылка Пожиратель Чикаго
Подпишитесь на нашу рассылку новостей.
Я думаю, вы никогда не увидите округ Флориды, столь враждебный по отношению к дереву
Сплошная вырубка в округе Санта-Роза. Кредит: Спасите нашу Soundside
Эй, ты помнишь ностальгию?
Это стремление к более простым и счастливым временам может стать мощной силой в американской жизни, влияя на успех всего, от «Как мы были» до «Сделаем Америку снова великой.”
Ностальгия может вызывать такие сильные чувства, что парень, придумавший этот термин в 1688 году, швейцарский врач Йоханнес Хофер, счел это разновидностью психического заболевания, например паранойи. Один врач подумал, что правильное лечение — это «боль и ужас».
Дело в том, что те «более простые» времена были не совсем счастливыми для всех, и я говорю не только об отсутствии водопровода и эффективных дезодорантов. Я подумал об этом, когда прочитал на прошлой неделе в «Пенсакола Ньюс Джорнэл» статью о неоднозначном голосовании в округе Санта-Роза округа Панхандл.
Окружные комиссары голосовали за убийство деревьев — их было много.
Шаг, который звучит в точности как что-то из Флориды 1960-х годов, члены комиссии проголосовали против рекомендации запретить широко распространенную практику сплошных рубок со стороны застройщиков.
Я был так тронут этим — это даже не был четверг с возвратом назад! — что я написал об этом стихотворение. Он начинается со слов: «Думаю, я никогда не увижу / Комиссию, столь враждебную дереву».
Прочитав эту историю, я почувствовал себя так, как будто я просто запрыгнул в горячую ванну с машиной времени и перенесся в те дни, когда разработчики могли делать все, что захотят, независимо от последствий для всех остальных.Еще в шестидесятые годы с качающимися топорами они могли рубить все на своем пути, безнаказанно осушать заболоченные земли и даже сваливать грязь в залив, чтобы создать землю там, где ее еще не было.
И они никогда не беспокоились об обеспечении новых дорог, канализационных сетей и другой инфраструктуры, необходимой для обеспечения нового роста. Нет, сэр, этот счет достался налогоплательщикам. Между тем, разработчики могли просто продать дома-печенья и перейти к следующей крупной зарплате — э-э, я имею в виду проект.
Затем, начиная с 1970-х годов, все эти надоедливые экологические нормы начали мешать, черт возьми! Требование разрешений до того, как застройщики смогут задушить заболоченное место или сбросить насыпь в залив. Защита деревьев от безудержного уничтожения. Даже защита исчезающих видов. Какая атака на Свободу с большой буквы!
Можно подумать, добрые люди округа Санта-Роса будут благодарны своим уполномоченным за их преданность возвращению их в старые добрые разрушительные дни. В конце концов, как мы могли бы смеяться без всей этой безудержной сплошной вырубки над иронией под названием «Nature’s Cove» и «Airways Oaks»? И мы все могли бы в наши дни посмеяться, не так ли?
Рене Мойерс и ее собака Трискит исследуют поваленное дерево в бухте Природы в округе Санта-Роза.Предоставлено: Save Our Soundside
. Но почему-то местные жители развлекаются так же, как королева Виктория в шерстяном платье в 95-градусный день. Около 100 расстроенных людей пришли на встречу по вопросу о сплошных рубках, и они часами сидели без дела, ожидая своего шанса высказать свое мнение по этому поводу.
Оказывается, они хотят, чтобы строители прекратили вырубать все видимые участки зелени — не потому, что они обязательно любят деревья или даже тень, а потому, что сплошные рубки причиняли им массу того, что вы могли бы назвать «болью и ужасом».”
Когда застройщики снесут все деревья бульдозером, — объяснил агент по недвижимости Дара Хартиган, которая живет в городке Мидуэй, — «затем они принесут красную глину, чтобы застроить территорию».
Но всякий раз, когда идет дождь, глина не позволяет ливневой воде пропитаться, как это делали раньше болота и леса. Она объяснила, что и новые дома и подъездные пути не построены на глине.
«И вдруг, — сказала она мне, — соседние дома затоплены».
«Они просто смеялись над нами»
Я тоже иногда испытываю приступ ностальгии.
Когда я вспоминаю свое детство в Panhandle, некоторые из моих самых теплых воспоминаний связаны с моментами, когда я навещал свою бабушку и часами бродил по сосновому лесу за ее фермерским домом в округе Санта-Роза. Она достала яйца из курятника, научила меня чувствовать запах дождя еще до того, как он пошел, и назвала стрекоз «ястребами-скитерами». Иногда по ночам мы слышали пение козодоев на деревьях.
В то время место, где она жила, мне казалось, находится в глуши, в окружении лесов, болот и других ферм.В наши дни границы для «никуда» намного меньше, благодаря тысячам новых жителей — в основном отставным военнослужащим — чьи дома в стиле ранчо вытеснили растения.
Сохранение деревьев в неприкосновенности при новых разработках не просто радует поклонников Джойс Килмер. Согласно отчету Ассоциации округов Флориды за 2019 год, деревья «помогают в управлении поймами, борются с эффектом городского острова тепла и обеспечивают жизненно важную среду обитания для местных и мигрирующих птиц».
Мне лично нравится тот факт, что они впитывают много CO2, производимого людьми, а затем превращают его в кислород, который нам нужен, чтобы мы могли продолжать жить.
Другие округа Флориды, как и Санта-Роза, столкнулись с безудержным ростом, при этом от разработчиков требуют оставить нетронутыми часть местной растительности. Они даже зашли так далеко, что потребовали от разработчиков платить ударные взносы, чтобы покрыть стоимость новых объектов, таких как пожарные депо и школы. Кодекс развития округа Санта-Роса 1991 года не требовал ни того, ни другого.
Были и другие пробелы в правилах застройки, что Хартиган обнаружила шесть лет назад, когда услышала «звуки насилия» с соседней улицы.Она пошла на разведку и увидела бульдозеры, ревущие вокруг и сваливающие большие деревья, как гигантский шар для боулинга, бегающий среди сотен кеглей Брауншвейга.
«Я решила, что это нарушение закона о деревьях», — сказала она. Но когда она рассказала о том, что видела, властям округа, она сказала, что они сказали ей: «Маленькая леди, дерево должно быть 5 футов шириной, чтобы быть защищенным».
Когда она сказала, что никогда не видела в округе Санта-Роса дерево шириной 5 футов, ответ был: «Совершенно верно».
Позже она увидела участок земли, который планировалось вырубить, на котором, как она знала, было много диких животных — среди прочего, гнездо орла и норы черепахи суслика.С помощью друга она все задокументировала и отправила в округ.
«Они просто смеялись над нами», — сказала она.
Она сформировала группу под названием Save Our Soundside (потому что она живет на стороне полуострова на берегу пролива Санта-Роза), и в эту группу вошли члены со всего округа, сказала она. Они выступают за то, чтобы их округ перестал пресмыкаться перед разработчиками.
В этом году наконец-то есть шанс что-то изменить. По крайней мере, так казалось до прошлой недели.
Прежде, чем все деревья исчезли
Шесть месяцев назад геолог по имени Сэм Маллинз из Милтона записался в совет по зонированию округа Санта-Роза. Он был назначен комиссаром по имени Джеймс Калкинс. Маллинз думал, что, войдя в совет директоров, он может помочь положить конец старому грубому подходу к росту в его родном округе.
Вскоре он узнал, что, хотя окружные комиссары назначили совет по зонированию, они часто игнорировали его рекомендации.
Застройщики будут присутствовать на собрании совета директоров, чтобы добиться изменения в зонировании, чтобы разместить намного больше домов на участке собственности, сказал он, и совет по зонированию единогласно рекомендовал бы не голосовать. Но тогда комиссары проигнорируют совет по зонированию и предоставят разработчикам карт-бланш, сказал мне Маллинз.
Заливка красной глиной, округ Санта-Роза. Предоставлено: Save Our Soundside
Тем не менее, члены совета по зонированию серьезно отнеслись к своей ответственности, когда они рассмотрели возможные изменения в кодексе землеустройства.Из-за всех жалоб на наводнения совет по зонированию единогласно проголосовал — 10 человек за молнию — за рекомендацию прекратить сплошную вырубку деревьев.
Они сказали уполномоченным, что новый код должен требовать от разработчиков, чтобы 25% свойств их подразделений оставались естественными. Они также рекомендовали уполномоченным потребовать, чтобы застройщики держали буфер в 50 футов из деревьев и другой растительности между краем линии собственности и краем заболоченных земель.
Комиссары отклонили эти рекомендации — хотя они действительно приняли 25-футовый буфер водно-болотных угодий и уменьшили размер «деревьев наследия» с 5 футов до 4 футов в северной части округа и 2 фута в южной части.
Но на тот момент Маллинсу было достаточно. Он встал и сказал комиссарам, что все готово.
«Я не собираюсь входить в совет по зонированию, в котором есть комиссары, которые постоянно идут против рекомендаций», — сказал он под громкие аплодисменты. «Итак, я ухожу в отставку».
Он также раскритиковал членов комиссии за то, что они отложили этот вопрос в конце своей повестки дня, заставив общественность ждать до полуночи, чтобы высказать свое мнение (встреча длилась девять часов). И он предупредил их о последствиях постоянного «да» застройщикам, потому что «вы все проходите через эти штуки и позволяете зайти домам, тогда у нас возникают проблемы с инфраструктурой, канализацией и дорогами, потому что вы все это допускаете.”
Комиссары заявили, что они просто отстаивают великий американский принцип прав собственности — хотя, очевидно, только права собственности людей, вырубающих деревья, а не тех, кто жалуется на затопление их улиц и домов.
Когда я разговаривал с Маллинзом, он сказал, что их мотив был не столько в принципах, сколько в пополнении своей предвыборной казны.
«Они будут это отрицать, но одними из самых крупных спонсоров их кампаний являются те же самые разработчики, поэтому они всегда заканчивают тем, что выполняют свои приказы», - сказал он.
Между тем, по его словам, застройщики не хотят отказываться от сплошных рубок, «потому что это облегчает им задачу, когда они прокладывают дома, дороги и канализацию, если им не нужно обходить деревья. ”
Мне было жаль Маллинза, но, возможно, ему следовало ожидать, что члены комиссии сделают что-то подобное после того, что произошло во время апрельского семинара по кодексу землеустройства. Должностные лица графства установили доску идей, а один комиссар — Калкинс, назначивший Маллинза, — разместил карточку с надписью: «БОЛЬШЕ ЦЕРКВЕЙ, БОЛЬШЕ МАГАЗИНОВ ОРУЖИЯ, СОХРАНЯЙТЕ САНТА-РОЗА ВЕЛИКОЙ!»
Разумеется, это не та перемена, которую хотели разгневанные домовладельцы.И, честно говоря, «больше оружейных магазинов» может быть не лучшим сигналом для людей, которые недовольны своими избранными должностными лицами по поводу повторных наводнений. Мы увидим, что наконец войдет в новый кодекс застройки земли, когда члены комиссии проголосуют за него 19 августа.
Я попытался позвонить Калкинсу и председателю комиссии Дэйву Пиеху, чтобы поговорить с ними об этом, но не смог связаться ни с одним из них. Я подозреваю, что они не ответили, потому что были слишком заняты запуском своей машины времени в джакузи, чтобы вернуться к старым добрым временам, когда человек мог срубить 100 или 200 деревьев сразу, и никто не подумал об этом дважды.
Но когда я просматривал фотографии обнаженных ландшафтов, поваленных деревьев и толстого слоя красной глины, из которой ливневые воды хлестали по соседству, у меня возникла мысль. Мне пришло в голову, что люди, которых затопляет сток, вероятно, тоже изрядно ностальгируют, но они скучают по старым добрым временам, когда все деревья не исчезли.
Отслеживание вакцины против COVID-19 в США: узнавайте о прогрессе своего штата
{ «covid-Vacine-txt-covid-Vacine-text»: «вакцины COVID-19», «covid-Vacine-txt-demographics-age_under18»: «Моложе 18 лет», «covid-Vacine-txt-demographics-age_18_24»: «Возраст от 18 до 24 лет», «covid-Vacine-txt-demographics-age_25_39»: «Возраст от 25 до 39 лет», «covid-Vacine-txt-demographics-age_40_49»: «Возраст от 40 до 49», «covid-Vacine-txt-demographics-age_50_64»: «Возраст от 50 до 64 лет», «covid-Vacine-txt-demographics-age_65_74»: «Возраст от 65 до 74 лет», «covid-Vacine-txt-demographics-age_75plus»: «Возраст 75 лет и старше», «covid-Vacine-txt-demographics_one-duplic_under18»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте до 18 лет, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19, составляет», «covid-Vacine-txt-demographics_one-доза_18_24»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 18 до 24 лет, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19, составляет», «covid-vacine-txt-demographics_one-доза_25_39»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 25 до 39 лет, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19, составляет», «covid-vacine-txt-demographics_one-доза_40_49»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 40 до 49 лет, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19, составляет», «covid-vacine-txt-demographics_one-доза_50_64»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 50 до 64 лет, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19, составляет», «covid-Vacine-txt-demographics_one-доза_65_74»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 65 до 74 лет, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19, составляет», «covid-vacine-txt-demographics_one-доза_75plus»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте 75 лет и старше, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19, составляет», «covid-Vacine-txt-demographics_fully-vacinated_under18»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте до 18 лет, которые полностью вакцинированы, составляет», «covid-vacine-txt-demographics_fully-vacinated_18_24»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 18 до 24 лет, которые полностью вакцинированы, составляет», «covid-Vacine-txt-demographics_fully-vacinated_25_39»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 25 до 39 лет, которые полностью вакцинированы, составляет», «covid-Vacine-txt-demographics_fully-vacinated_40_49»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 40 до 49 лет, которые полностью вакцинированы, составляет», «covid-Vacine-txt-demographics_fully-vacinated_50_64»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 50 до 64 лет, которые полностью вакцинированы, составляет», «covid-Vacine-txt-demographics_fully-vacinated_65_74»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 65 до 74 лет, которые полностью вакцинированы, составляет», «covid-Vacine-txt-demographics_fully-vacinated_75plus»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте 75 лет и старше, которые полностью вакцинированы, составляет», «covid-map-txt-data-not-available»: «Данные недоступны», «covid-Vacine-txt-demographic-state-dislaimer»: «Процент населения штата», «covid-map-txt-map-hot-spot-subtitle»: «На этой карте показано скользящее среднее ежедневных обращений за последнюю неделю.Это лучший признак горячих точек. Наши эксперты отслеживают это среднее за 7 дней, а не новые случаи, тем более что местные департаменты здравоохранения переключили свое внимание на отчетность о вакцинах и больше не сообщают о количестве случаев каждые 24 часа », «covid-Vacine-txt-paragraph-state-breakdown»: «На этой диаграмме показан процент населения каждого штата, получившего вакцинацию, с разбивкой по возрастным группам.», «covid-Vacine-txt-title-state-breakdown»: «Государственные вакцины против COVID-19 по возрасту», «covid-Vacine-txt-hidden-text-table-state-full-vacinated»: «Процент людей, полностью вакцинированных вакциной COVID-19 в», «covid-Vacine-txt-hidden-text-table-state-one-доза»: «Процент людей, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19 в», «covid-Vacine-txt-show-less-btn»: «Показать меньше состояний», «covid-Vacine-txt-show-all-btn»: «Показать все штаты», «covid-Vacine-txt-demographic-dislaimer»: «Процент населения США», «covid-Vacine-txt-title-header-полностью вакцинирован»: «U.Вакцины против S. COVID-19 по возрасту, полностью вакцинированные », «covid-Vacine-txt-title-header-one-доза»: «Вакцины США против COVID-19 по возрасту, по крайней мере, с одной дозой», «covid-Vacine-txt-title-percent_least_one_dose_0_17»: «Моложе 18 лет», «covid-Vacine-txt-title-percent_least_one_dose_18_64»: «Возраст от 18 до 64 лет», «covid-Vacine-txt-title-percent_least_one_dose_65plus»: «Возраст 65 лет и старше», «covid-Vacine-txt-title-percent_fully_vaccinated_0_17»: «Моложе 18 лет», «covid-Vacine-txt-title-percent_fully_vaccinated_18_64»: «Возраст от 18 до 64 лет», «covid-Vacine-txt-title-percent_fully_vaccinated_65plus»: «Возраст 65 лет и старше», «covid-Vacine-txt-percent_least_one_dose_0_17»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте до 18 лет, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19, составляет», «covid-Vacine-txt-percent_least_one_dose_18_64»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 18 до 64 лет, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19, составляет», «covid-Vacine-txt-percent_least_one_dose_65plus»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте 65 лет и старше, получивших хотя бы 1 дозу вакцины COVID-19, составляет», «covid-Vacine-txt-percent_fully_vaccinated_0_17»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте до 18 лет, которые полностью вакцинированы, составляет», «covid-Vacine-txt-percent_fully_vaccinated_18_64»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте от 18 до 64 лет, которые полностью вакцинированы, составляет», «covid-Vacine-txt-percent_fully_vaccinated_65plus»: «Процент людей в Соединенных Штатах в возрасте 65 лет и старше, которые полностью вакцинированы, составляет», «covid-Vacine-txt-age»: «Возраст», «covid-Vacine-txt-age-breakdown-title»: «U.Вакцины против COVID-19 по возрасту », «covid-Vacine-txt-age-breakdown-description»: «Эта диаграмма показывает процент населения США, получившего вакцинацию, с разбивкой по возрасту.», «covid-map-txt-county-table-btn-date»: «для», «covid-map-txt-text-for-table»: «Показано», «covid-map-txt-text-separator-table»: «в», «covid-map-txt-text-of-table»: «of», «covid-map-txt-text-end-table»: «результаты.», «covid-map-txt-modal-state-link»: «Просмотреть данные округа для», «covid-map-txt-control-zoomout-Vacine»: «Уменьшить масштаб карты вакцинации», «covid-map-txt-control-zoomin-Vacine»: «Увеличить масштаб карты вакцинации», «covid-map-txt-control-center-vacine»: «Перецентрировать карту вакцинации», «covid-Vacine-txt-visually-hidden-app-description»: «Карта вакцины и данные о тенденциях», «covid-Vacine-txt-map-table-four-column-title»: «Население», «covid-Vacine-txt-map-table-third-column-title»: «Полностью вакцинирован», «covid-Vacine-txt-map-table-second-column-title»: «По крайней мере, 1 доза», «covid-Vacine-txt-map-table-first-column-title»: «Местоположение», «covid-Vacine-txt-btn-table-trend-intro»: «Как быстро U.S. население получает вакцины? Посмотрите, как процент населения США, получившего хотя бы одну дозу вакцины COVID-19, изменился за последние 60 дней, а также процент людей, которые полностью вакцинированы. «, «covid-Vacine-txt-btn-table-trend-header»: «Вакцины США против COVID-19 с течением времени», «covid-Vacine-txt-btn-table-map-header»: «Вакцины COVID-19 по штатам», «covid-Vacine-txt-btn-table-trend-btn-expand»: «Просматривать вакцины против COVID-19 в США с течением времени в виде таблицы», «covid-Vacine-txt-btn-table-map-btn-expand»: «Просмотреть вакцины против COVID-19 по штатам в виде таблицы», «covid-Vacine-txt-state-pop»: «Население штата», «covid-вакцина-txt-вакцинация-цель»: «Цель вакцинации», «covid-Vacine-txt-full-vacinated»: «Полностью вакцинирован», «covid-Vacine-txt-one-доза»: «Минимум 1 доза», «covid-Vacine-txt-trend-scale-legend»: «Процент U.С. население », «covid-Vacine-txt-map-scale-legend»: «Процент вакцинированного населения штата», «covid-Vacine-txt-map-title»: «Вакцины COVID-19 по штатам», «covid-Vacine-txt-intro-text»: «Следите за внедрением вакцины в США и сравнивайте прогресс в разных штатах. Эксперты клиники Мэйо рекомендуют получить вакцину от COVID-19, как только она станет вам доступна», «covid-Vacine-txt-main-title»: «Отслеживание вакцины против COVID-19 в США: узнавайте о прогрессе вашего штата», «covid-map-txt-dropdown-state-label»: «Просмотреть штат или округ», «covid-map-txt-close-dropdown-mobile»: «Закрыть, выбрать место», «covid-map-txt-dropdown-inner-title»: «Выберите место», «covid-map-txt-app-loading»: «Данные загружаются», «covid-map-txt-app-ready»: «Все данные загружены», «covid-map-txt-trend-disclaimer»: «Эти данные могут быть изменены.», «covid-map-txt-control-center-new»: «Перецентрировать новую карту дел», «covid-map-txt-control-zoomin-new»: «Увеличить масштаб на новой карте случаев», «covid-map-txt-control-zoomout-new»: «Уменьшить масштаб на новой карте случаев», «covid-map-txt-btn-play-map-animation-new»: «Воспроизвести новую анимацию карты случаев», «covid-map-txt-btn-pause-map-animation-new»: «Приостановить анимацию новой карты случаев», «covid-map-txt-slider-current-direction-new»: «Последние 60 дней», «covid-map-txt-slider-label-new»: «Выберите дату для новых данных по делам», «covid-map-txt-slider-прогноз-направление-новый»: «Прогноз», «covid-map-txt-control-center-hot»: «Перецентрировать карту горячих точек», «covid-map-txt-control-zoomin-hot»: «Увеличить масштаб карты горячих точек», «covid-map-txt-control-zoomout-hot»: «Уменьшить масштаб карты горячих точек», «covid-map-txt-btn-play-map-animation-hot»: «Воспроизвести анимацию карты горячих точек», «covid-map-txt-btn-pause-map-animation-hot»: «Приостановить анимацию карты горячих точек», «covid-map-txt-slider-current-direction-hot»: «Последние 60 дней», «covid-map-txt-slider-label-hot»: «Выберите дату для данных горячих точек», «covid-map-txt-slider-прогноз-направление-горячий»: «Прогноз», «covid-map-txt-control-center-total»: «Повторно центрировать карту общих случаев», «covid-map-txt-control-zoomin-total»: «Увеличить масштаб общей карты случаев», «covid-map-txt-control-zoomout-total»: «Уменьшить масштаб общей карты случаев», «covid-map-txt-btn-play-map-animation-total»: «Воспроизвести анимацию карты всех случаев», «covid-map-txt-btn-pause-map-animation-total»: «Приостановить анимацию общей карты случаев», «covid-map-txt-slider-current-direction-total»: «Последние 60 дней», «covid-map-txt-slider-label-total»: «Выберите дату для получения данных обо всех случаях», «covid-map-txt-slider-protocol-direction-total»: «Прогноз», «covid-map-txt-loading-data-прогноз»: «Добавление 14-дневного прогноза», «covid-map-txt-btn-play-map-animation»: «Воспроизвести анимацию карты», «covid-map-txt-btn-pause-map-animation»: «Приостановить анимацию карты», «covid-map-txt-table-hot»: «Данные тенденций на карте горячих точек», «covid-map-txt-table-new»: «Данные карты новых дел», «covid-map-txt-table-total»: «Данные карты всех случаев», «covid-map-txt-table-Trends»: «Данные о тенденциях», «covid-map-txt-table-trend-average»: «Положительный тест (среднее за 7 дней)», «covid-map-txt-table-Trends-fatality»: «Уровень смертности», «covid-trend-txt-table-hot»: «Данные о тенденциях в горячих точках», «covid-map-txt-tab-btn-map-view»: «Просмотр карты», «covid-map-txt-tab-btn-trend-view»: «Просмотр тренда», «covid-map-txt-tab-btn-map-trend-view-visually-hidden-hot-points-map»: «Просмотр карты — горячие точки», «covid-map-txt-tab-btn-map-trend-view-визуально-скрытые-горячие точки-тенденции»: «Просмотр тенденций — горячие точки», «covid-map-txt-tab-btn-map-trend-view-visually-hidden-total-cases-map»: «Просмотр карты — общее количество обращений», «covid-map-txt-tab-btn-map-trend-view-visually-hidden-total-cases-Trends»: «Просмотр тенденций — общее количество обращений», «covid-map-txt-table-hot-pred-subtitle»: «Прогноз на будущее для», «covid-map-txt-table-hot-прогноз-предупреждение»: «Для этой даты в будущем существует интервал неопределенности.Нижняя и верхняя границы прогнозируемых значений указаны в скобках. «, «covid-map-txt-table-hot-statistics-warning-under-slider»: «Для всех прогнозируемых дат существует интервал неопределенности. Для получения дополнительных сведений изучите карту и представление тенденций.», «covid-map-txt-table-hot-прогноз-src»: «Посмотрите, как мы прогнозируем горячие точки.», «covid-map-txt-map-hot-points-title»: «Горячие точки в», «covid-map-txt-map-new-cases-title»: «Новые случаи для», «covid-map-txt-map-new-cases-subtitle»: «На этой карте показано количество новых случаев COVID-19, зарегистрированных за последние 24 часа.Часто наблюдаются задержки или всплески зарегистрированных случаев, так как местные департаменты здравоохранения сосредоточены на отчетности о вакцинах «, «covid-map-txt-map-tot-cases-title»: «Всего обращений за», «covid-map-txt-map-tot-cases-subtitle»: «На этой карте показано совокупное количество случаев COVID-19 с момента начала пандемии. Это включает вероятные случаи и случаи, подтвержденные тестированием.», «covid-map-txt-d7vs»: «Среднее количество обращений за день», «covid-map-txt-pr_md_d7vs»: «Средние ежедневные случаи», «covid-map-txt-d7ps»: «Среднее ежедневное число случаев на 100 000 человек», «covid-map-txt-pr_md_d7ps»: «Среднее ежедневное число случаев на 100 000 человек», «covid-map-txt-pr_lw_d7ps»: «Нижняя граница», «covid-map-txt-pr_up_d7ps»: «Верхняя граница», «covid-map-txt-d7ps-average»: «Среднее количество случаев в день», «covid-map-txt-d7ps-b2»: «На 100 000 человек», «covid-map-txt-d7ps-tooltip»: «Щелкните для получения подробной информации о прогнозе», «covid-map-txt-pr_md_d7ps-b2»: «На 100 000 человек», «covid-map-txt-d7ps-sub»: «Среднее ежедневное число случаев на 100 000 человек», «covid-map-txt-switch-btn»: «Показать 14-дневный прогноз», «covid-map-txt-key-median»: «Средний прогноз», «covid-map-txt-key-прогноз»: «Верхняя и нижняя границы предполагаемого прогноза», «covid-map-txt-switch-hot-spot-visually-hidden-map»: «для карты горячих точек», «covid-map-txt-switch-hot-spot-visually-hidden-trend»: «для тенденции горячих точек», «covid-map-txt-switch-tot -ases-visually-hidden-map»: «для общей карты случаев», «covid-map-txt-switch-tot-cases-visually-hidden-trend»: «для общего тренда случаев», «covid-map-txt-d7ps-view-map-data-table»: «Просмотр данных карты горячих точек в виде таблицы», «covid-map-txt-dpps-view-map-data-table»: «Просмотреть данные карты новых наблюдений в виде таблицы», «covid-map-txt-npps-view-map-data-table»: «Просмотреть данные карты всех случаев в виде таблицы», «covid-map-txt-d7ps-view-trend-data-table»: «Просмотр данных трендов горячих точек в виде таблицы», «covid-map-txt-npps-view-trend-data-table»: «Просмотреть данные о тенденциях общих случаев в виде таблицы», «covid-map-txt-table-total-Trends»: «Общие данные о тенденциях в делах», «covid-map-txt-average-tab»: «Средний положительный результат теста», «covid-map-txt-fatality-tab»: «Уровень смертности», «covid-map-txt-sharing-facebook»: «Поделиться этой страницей в Facebook», «covid-map-txt-sharing-twitter»: «Поделиться этой страницей в Twitter», «covid-map-txt-sharing-linkedin»: «Поделиться этой страницей в LinkedIn», «covid-map-txt-sharing-email»: «Отправить эту страницу по электронной почте», «covid-map-txt-hidden-header»: «Данные карты и трендов», «covid-map-txt-select-state»: «Изменить местоположение», «covid-map-txt-loading-data»: «Загрузка данных… «, «covid-map-txt-today»: «Сегодня», «covid-map-txt-data-sources»: «Источники данных», «covid-map-txt-glossary-of-terms»: «Глоссарий терминов», «covid-map-txt-view-data-table-map»: «Просмотреть карту в виде таблицы», «covid-map-txt-view-data-table-Trends»: «Просмотреть тенденции в виде таблицы», «covid-map-txt-view-data-table-Trends-average»: «Просмотреть средний показатель положительных результатов теста в виде таблицы», «covid-map-txt-view-data-table-Trends-fatality»: «Просмотреть коэффициент смертности в виде таблицы», «covid-map-txt-Trends-for»: «Другие тенденции для», «covid-map-txt-dncs»: «Новые обращения в день», «covid-map-txt-nccs»: «Всего обращений», «covid-map-txt-t7rs»: «Положительный тест», «covid-map-txt-ttrs»: «Количество тестов», «covid-map-txt-t7rs-graphic-label»: «Средний положительный результат теста», «covid-map-txt-ttrs-graphic-label»: «Количество тестов», «covid-map-txt-dtrs»: «Уровень смертности», «covid-map-txt-trds»: «Всего восстановлено», «covid-map-txt-dncs-sub»: «Новые случаи на 100 000 человек», «covid-map-txt-incomplete-data»: «Неполные данные», «covid-map-txt-incomplete-data-one»: «Неполно», «covid-map-txt-incomplete-data-two»: «данные», «covid-map-txt-incomplete-data-label»: «Неполные данные», «covid-map-txt-trend-chart-subtitle»: «Посмотрите, как со временем менялись средний процент положительных результатов теста и совокупный коэффициент летальности.Процент положительных результатов показан как среднее значение за семь дней. «, «covid-map-txt-прогноз-недоступен»: «Прогноз недоступен», «covid-map-txt-predic-unavailable-modal-body»: «В настоящее время мы не можем точно спрогнозировать случаи заболевания для этого местоположения.», «covid-map-txt-dpps»: «Новые обращения в день», «covid-map-txt-pr_md_dpps»: «Новые обращения за день», «covid-map-txt-npps»: «Общее количество случаев на 100 000 человек», «covid-map-txt-pr_md_npps»: «Общее количество случаев на 100 000 человек», «covid-map-txt-dpps-b2»: «На 100 000 человек», «covid-map-txt-pr_md_dpps-b2»: «На 100 000 человек», «covid-map-txt-npps-b2»: «На 100 000 человек», «covid-map-txt-pr_md_npps-b2»: «На 100 000 человек», «covid-map-txt-dpps-sub»: «Новые случаи на 100 000 человек», «covid-map-txt-npps-sub»: «Общее количество случаев на 100 000 человек», «covid-map-txt-dpps-desc»: «Новые случаи — это количество случаев COVID-19, зарегистрированных за предыдущие 24 часа.», «covid-map-txt-npps-desc»: «Общее количество случаев — это совокупное количество случаев COVID-19, включая вероятные случаи и случаи, подтвержденные тестированием.», «covid-map-txt-dncs-desc»: «Новые случаи в день — это количество случаев COVID-19, зарегистрированных за предыдущие 24 часа.», «covid-map-txt-nccs-desc»: «Общее количество случаев — это совокупное количество случаев COVID-19, включая вероятные случаи и случаи, подтвержденные тестированием.», «covid-map-txt-tprs-desc»: «Показатель положительных результатов тестирования — это процент положительных тестов на коронавирус из общего числа тестов на коронавирус, выполненных на сегодняшний день.», «covid-map-txt-ttrs-desc»: «В настоящее время вычисляется путем добавления положительных и отрицательных значений, чтобы обойти задержку в сообщении между положительными и общими тестами, а также потому, что некоторые штаты не сообщают итоги.», «covid-map-txt-dtrs-desc»: «Уровень смертности — это доля умерших среди тех, у кого положительный результат теста на COVID-19.», «covid-map-txt-trds-desc»: «Лица, вылечившиеся от COVID-19. Определения зависят от штата / территории.», «covid-map-txt-table-lang-search»: «Поиск», «covid-map-txt-table-header-name»: «Местоположение», «covid-map-txt-table-header-date»: «Дата», «covid-map-txt-table-lang-searchPlaceholder»: «», «covid-map-txt-table-lang-emptyTable»: «В таблице нет результатов», «covid-map-txt-table-lang-info»: «Показаны результаты с _START_ по _END_ из _TOTAL_», «covid-map-txt-table-lang-infoEmpty»: «Показано с 0 по 0 результатов», «covid-map-txt-table-lang-infoFiltered»: «(отфильтровано из _MAX_ общих записей)», «covid-map-txt-table-lang-zeroRecords»: «Соответствующих результатов не найдено», «covid-map-txt-county-modal-title»: «Данные COVID-19 для», «covid-map-txt-county-modal-subtitle»: «Для», «covid-map-txt-county-modal-no-data»: «Нет данных для этого местоположения.», «covid-map-txt-error-load-map-data»: «При загрузке данных карты произошла ошибка. Повторите попытку.», «covid-map-txt-error-load-trend-data»: «При загрузке данных тенденций произошла ошибка. Повторите попытку.», «covid-map-txt-the-us-name»: «Соединенные Штаты», «covid-map-txt-us-name»: «США», «covid-map-txt-state-AL»: «Алабама», «covid-map-txt-state-AK»: «Аляска», «covid-map-txt-state-AS»: «Американское Самоа», «covid-map-txt-state-AZ»: «Аризона», «covid-map-txt-state-AR»: «Арканзас», «covid-map-txt-state-CA»: «Калифорния», «covid-map-txt-state-CO»: «Колорадо», «covid-map-txt-state-CT»: «Коннектикут», «covid-map-txt-state-DE»: «Делавэр», «covid-map-txt-state-FL»: «Флорида», «covid-map-txt-state-GA»: «Грузия», «covid-map-txt-state-GU»: «Гуам», «covid-map-txt-state-HI»: «Гавайи», «covid-map-txt-state-ID»: «Айдахо», «covid-map-txt-state-IL»: «Иллинойс», «covid-map-txt-state-IN»: «Индиана», «covid-map-txt-state-IA»: «Айова», «covid-map-txt-state-KS»: «Канзас», «covid-map-txt-state-KY»: «Кентукки», «covid-map-txt-state-LA»: «Луизиана», «covid-map-txt-state-ME»: «Мэн», «covid-map-txt-state-MD»: «Мэриленд», «covid-map-txt-state-MA»: «Массачусетс», «covid-map-txt-state-MI»: «Мичиган», «covid-map-txt-state-MN»: «Миннесота», «covid-map-txt-state-MS»: «Миссисипи», «covid-map-txt-state-MO»: «Миссури», «covid-map-txt-state-MT»: «Монтана», «covid-map-txt-state-NE»: «Небраска», «covid-map-txt-state-NV»: «Невада», «covid-map-txt-state-NH»: «Нью-Гэмпшир», «covid-map-txt-state-NJ»: «Нью-Джерси», «covid-map-txt-state-NM»: «Нью-Мексико», «covid-map-txt-state-NY»: «Нью-Йорк», «covid-map-txt-state-NC»: «Северная Каролина», «covid-map-txt-state-ND»: «Северная Дакота», «covid-map-txt-state-MP»: «Северные Марианские острова», «covid-map-txt-state-OH»: «Огайо», «covid-map-txt-state-OK»: «Оклахома», «covid-map-txt-state-OR»: «Орегон», «covid-map-txt-state-PA»: «Пенсильвания», «covid-map-txt-state-PR»: «Пуэрто-Рико», «covid-map-txt-state-RI»: «Род-Айленд», «covid-map-txt-state-SC»: «Южная Каролина», «covid-map-txt-state-SD»: «Южная Дакота», «covid-map-txt-state-TN»: «Теннесси», «covid-map-txt-state-TX»: «Техас», «covid-map-txt-state-VI»: «U.Южные Виргинские острова «, «covid-map-txt-state-UT»: «Юта», «covid-map-txt-state-VT»: «Вермонт», «covid-map-txt-state-VA»: «Вирджиния», «covid-map-txt-state-WA»: «Вашингтон», «covid-map-txt-state-DC»: «Вашингтон, округ Колумбия», «covid-map-txt-state-WV»: «Западная Вирджиния», «covid-map-txt-state-WI»: «Висконсин», «covid-map-txt-state-WY»: «Вайоминг» }
Словарь терминов
Минимум 1 доза. Это процент людей в выбранной популяции (по штатам или США), которые получили хотя бы одну дозу любой вакцины против COVID-19.
Полностью вакцинирован. Это процент людей в выбранной популяции (по штатам или США), которые полностью вакцинированы. Сюда входят люди, которые получили одну дозу вакцины Janssen / Johnson & Johnson или две дозы вакцины Pfizer-BioNTech или вакцины Moderna.
Словарь терминов
Среднее количество случаев за день — это среднее количество новых случаев за день за последние семь дней. Это семидневное скользящее среднее рассчитывается для сглаживания колебаний в ежедневных отчетах о количестве случаев.
Средний показатель положительных результатов тестирования — это процент положительных результатов тестов на коронавирус за последние семь дней от общего числа тестов, зарегистрированных за этот период времени.
Летальность — это доля умерших среди тех, у кого положительный результат теста на COVID-19.
Всего случаев — это совокупное количество случаев в любой данной области, включая вероятные случаи и случаи, подтвержденные тестированием.
Интервал неопределенности представляет собой возможный диапазон оценок с вероятностью 90%.В наших обзорах прогнозируемых горячих точек интервал неопределенности показан в скобках, от нижней границы оценочного прогноза до верхней границы оценочного прогноза.
Неполные данные
Последние данные, представленные в этом месте, не соответствуют стандартам данных клиники Мэйо. Это обозначение имеет ряд причин, в том числе:
Нет данных
Сообщается необычно мало данных
Необычно большое количество данных из-за отставания в отчетности за предыдущий день
Данные обновляются каждый день.Нередко можно увидеть задержки или пробелы в необработанных данных.
Как мы прогнозируем данные о горячих точках
Специалисты клиники Майо прогнозируют будущие случаи COVID-19, используя байесовскую статистическую модель, названную в честь английского математика Томаса Байеса. Эта модель автоматически обновляет прогнозы с течением времени по мере появления новых данных.
Mayo Clinic использует байесовскую модель «восприимчивый, инфицированный, выздоровевший» (SIR). Параметры нашей модели обновляются с ежедневным подсчетом случаев каждый день, а затем используются 500 симуляций для получения медианного прогноза и 95% интервала неопределенности для будущих случаев.Уровень заражения, используемый в этой модели прогнозирования, может варьироваться в зависимости от места и времени из-за влияния изменений в общественном поведении и различных штаммов SARS-CoV-2.
Yahoo Search — Интернет-поиск
Associated Press
Контейнеровоз, заблокировавший Суэцкий канал, достигает Роттердама
Огромный контейнеровоз, блокировавший Суэцкий канал почти неделю назад в этом году, наконец, прибыл в порт Роттердама в Нидерландах в четверг, чтобы начать разгрузку свой груз.Когда рассвет над разросшимся портом, Ever Given вошел в контейнерный терминал Amazonehaven на несколько месяцев позже, чем планировалось изначально. Судно под флагом Панамы направлялось в Роттердам, когда 23 марта оно врезалось в песчаный берег однополосного участка канала примерно в 6 км к северу от южного входа, недалеко от города Суэц.
Связано с этой историей
Associated Press
Спортсмен Юношеских Олимпийских игр погиб в результате несчастного случая на тренировке на Кубе
Метатель молота
Юношеских Олимпийских игр Алегна Осорио скончалась от травм головы, полученных в результате несчастного случая на тренировке, сообщил в четверг кубинский национальный спортивный институт.19-летний Осорио был ранен молотком на легкоатлетическом стадионе на Кубе в апреле. «Мы разделяем эту невыносимую боль с ее семьей», — сказал Освальдо Венто, президент национального спортивного института Кубы.
запросов, связанных с этой историей
Reuters
Олимпийские игры-Велоспорт-От Пекхэма до Токио, развевающийся флаг Уайта для помешанной на BMX семье
Когда Кай Уайт прижал переднее колесо к стартовым воротам перед спуском по рампе в городском парке Ариаке в Токио в четверг стал знаковым моментом для династии гонщиков BMX из южного Лондона.21-летний парень — младший из трех братьев, вышедших из знаменитого клуба BMX Peckham, соучредителем которого является их отец Найджел, и который широко уважается в обществе за то, что помогает удерживать молодежь от преступности. Основанный в 2004 году на полуразрушенной дороге, зажатой между многоквартирными домами в районе, охваченном преступными группировками, клуб Peckham стал магнитом для детей, ищущих способ держаться подальше от неспокойных улиц.
Поисковые запросы, связанные с этой историей
Reuters
COLUMN-U.S. уголь получает поддержку из-за повышения цен на газ: Kemp
Рост цен на газ обнадеживает U.Этим летом производители электроэнергии немного увеличат выработку угольных агрегатов, предоставив временную отсрочку для осажденного угледобывающего сектора. Добыча угля в США, которая уже давно снижалась, резко упала во время первой волны коронавирусных инфекций и карантина, но с середины прошлого года имеет тенденцию к росту по мере восстановления экономики. Производство примерно на 18% ниже среднего показателя за пять лет до пандемии, но это улучшение по сравнению с 40% дефицитом в конце мая прошлого года, согласно оценкам, подготовленным США.S. Управление энергетической информации (EIA).
запросов, связанных с этой историей
Reuters
КОЛОНКА — По мере роста напряженности, смогут ли Китай и США преуспеть даже в разговоре ?: Питер Аппс
На этой неделе второй по значимости дипломат Америки встретился со своим китайским коллегой, чтобы заверить Пекин в том, что США сделали Не стремясь к конфронтации, военно-морские силы Народно-освободительной армии готовили одну из самых реалистичных тренировок по высадке на берег в новейшей истории. По данным South China Morning Post, в первой половине 2021 года Китай провел 20 военно-морских учений, направленных на захват островов, по сравнению с 13 учениями за весь 2020 год.Иностранные аналитики расходятся во мнениях относительно того, действительно ли такие учения предвещают конфликт, потенциально из-за Тайваня.
запросов, связанных с этой историей
Associated Press
Прибыль Nokia существенно выросла благодаря новой операционной модели, 5G
Производитель беспроводных сетей и поставщик технологий 5G Nokia в четверг сообщила о значительном улучшении прибыли во втором квартале, сославшись на помощь своей новой операционной модели и стремительный рост продажа оборудования 5G. Генеральный директор Пекка Лундмарк, который год назад занял руководящую должность в Nokia и радикально изменил бизнес-стратегию, сказал, что результаты второго квартала показали, что компания находится на правильном пути.«Мы уже видим преимущества нашей новой операционной модели, которая помогла нам добиться столь высоких финансовых показателей», — сказал Лундмарк.

Рабочее пространство
Основные сведения о рабочем пространстве
Открытие и просмотр файлов PDF
Открытие документов PDF
Навигация по страницам документа PDF
Просмотр установок PDF
Настройка режимов просмотра PDF
Включение предварительного просмотра эскизов файлов PDF
Отображать PDF в браузере
Работа с учетными записями облачного хранилища в Интернете
Доступ к файлам из Box
Доступ к файлам из Dropbox
Доступ к файлам из OneDrive
Доступ к файлам из SharePoint
Доступ к файлам из Google Диска
Acrobat и macOS
Уведомления Acrobat
Сетки, направляющие и измерения в PDF
Использование азиатского текста, кириллицы и текста слева направо в документах PDF
Создание документов PDF
Обзор процедуры создания документов PDF
Создание файлов PDF в Acrobat
Создание документов PDF с помощью PDFMaker
Использование принтера Adobe PDF
Преобразование веб-страниц в PDF
Создание файлов PDF с помощью Acrobat Distiller
Настройки преобразования Adobe PDF
Шрифты PDF
Редактирование документов PDF
Редактирование текста в документах PDF
Редактирование изображений и объектов в документе PDF
Поворот, перемещение, удаление и изменение нумерации страниц PDF
Редактирование отсканированных документов PDF
Улучшение фотографий документов, снятых на камеру мобильного устройства
Оптимизация документов PDF
Свойства документов PDF и метаданные
Ссылки и вложенные файлы в PDF
Слои документов PDF
Миниатюры страниц и закладки в документах PDF
Мастер операций (Acrobat Pro)
Файлы PDF, преобразованные в веб-страницы
Настройка документов PDF для использования в презентации
Статьи PDF
Геопространственные файлы PDF
Применение операций и сценариев к файлам PDF
Изменение шрифта по умолчанию для добавления текста
Удаление страниц из документов PDF
Формы
Основные положения для работы с формами PDF
Создание форм с нуля в Acrobat
Создание и рассылка форм PDF
Заполнение форм PDF
Свойства полей форм PDF
Заполнение и подписание форм PDF
Настройка кнопок для выполнения действий в формах PDF
Публикация интерактивных веб-форм PDF
Основные положения для работы с полями форм PDF
Поля форм PDF для штрих-кода
Сбор данных формы PDF и управление ими
Инспектор форм
Помощь с формами PDF
Отправка форм PDF получателям с использованием эл. почты или внутреннего сервера
Объединение файлов
Объединение или слияние файлов в один файл PDF
Поворот, перемещение, удаление и перенумерация страниц PDF
Добавление верхних и нижних колонтитулов, а также нумерации Бейтса в документы PDF
Обрезка страниц PDF
Добавление водяных знаков в документы PDF
Добавление фона в документы PDF
Работа с файлами, входящими в портфолио PDF
Публикация портфолио PDF и предоставление совместного доступа
Обзор портфолио PDF
Создание и настройка портфолио PDF
Общий доступ, редактирование и комментирование
Предоставление общего доступа к документам PDF и их отслеживание онлайн
Пометка текста при редактировании
Подготовка к редактированию документа PDF
Запуск процесса редактирования файлов PDF
Размещение совместных рецензий на сайтах SharePoint или Office 365
Участие в редактировании документа PDF
Добавление комментариев в документы PDF
Добавление штампа в файл PDF
Процессы утверждения
Управление комментариями | просмотр, добавление ответа, печать
Импорт и экспорт комментариев
Отслеживание редактирования PDF и управление им
Сохранение и экспорт документов PDF
Сохранение PDF
Преобразование файлов PDF в формат Word
Преобразование документа PDF в файл JPG
Преобразование и экспорт документов PDF в файлы других форматов
Параметры форматирования файлов для экспорта в PDF
Повторное использование содержимого PDF
Защита
Повышенный уровень защиты документов PDF
Защита документов PDF с помощью паролей
Управление цифровыми удостоверениями
Защита документов PDF с помощью сертификатов
Открытие защищенных документов PDF
Удаление конфиденциальных данных из документов PDF
Установка политик безопасности файлов PDF
Выбор метода защиты для документов PDF
Предупреждения безопасности при открытии документов PDF
Защита файлов PDF с Adobe Experience Manager
Функция защищенного просмотра PDF-документов
Обзор функций защиты в программе Acrobat и файлах PDF
Язык JavaScript в файлах PDF, представляющий угрозу безопасности
Вложения как угроза безопасности
Разрешить или заблокировать ссылки в PDF-файлах
Электронные подписи
Подписание документов PDF
Съемка подписи на мобильное устройство и использование ее в любых приложениях
Отправка документов на электронные подписи
О подписях сертификатов
Подписи на основе сертификата
Подтверждение цифровых подписей
Доверенный список, утвержденный Adobe
Управление доверенными лицами
Расширенный доступ, теги и перекомпоновка
Создание и проверка средств расширенного доступа к документам PDF
Возможности расширенного доступа в файлах PDF
Инструмент «Порядок чтения» в PDF
Чтение документов PDF при помощи возможностей расширенного доступа и перекомпоновки
Редактирование структуры документа на панелях «Содержимое» и «Теги»
Создание документов PDF с расширенным доступом
3D-модели и мультимедиа
Добавление аудио, видео и интерактивных объектов в файлы PDF
Добавление 3D-моделей в файлы PDF (Acrobat Pro)
Отображение 3D-моделей в файлах PDF
Взаимодействие с 3D-моделями
Измерение 3D-объектов в файлах PDF
Настройка 3D-видов в файлах PDF
Включение 3D-содержимого в документе PDF
Добавление мультимедийного контента в документы PDF
Добавление комментариев для 3D-макетов в файлах PDF
Воспроизведение видео-, аудио- и мультимедийных форматов в файлах PDF
Добавление комментариев в видеоролики
Инструменты для допечатной подготовки (Acrobat Pro)
Обзор инструментов для допечатной подготовки
Типографские метки и тонкие линии
Просмотр цветоделения
Обработка прозрачности
Преобразование цветов и управление красками
Цветовой треппинг
Предпечатная проверка (Acrobat Pro)
Файлы, совместимые с PDF/X-, PDF/A- и PDF/E
Профили предпечатной проверки
Расширенная предпечатная проверка
Отчеты предпечатной проверки
Просмотр результатов предпечатной проверки, объектов и ресурсов
Методы вывода в PDF
Исправление проблемных областей с помощью инструмента «Предпечатная проверка»
Автоматизация процедуры анализа документов с помощью дроплетов или операций предпечатной проверки
Анализ документов с помощью инструмента «Предпечатная проверка»
Дополнительная проверка с помощью инструмента «Предпечатная проверка»
Библиотеки предпечатной проверки
Предпечатные переменные

Конечно, вы не должны тратить много времени на применение метода проб и ошибок и не беспокоиться о том, как инструмент может точно преобразовать PDF-файл. Итак, здесь мы рассмотрим, как конвертировать PDF в JPG менее 50 КБ/100 КБ/200 КБ. Итак, помимо преобразования PDF в JPG, вы также узнаете, как сжать файл до меньшего размера.

Если вам нужно преобразовать PDF в JPG размером менее 500 КБ, 200 КБ, 100 КБ или даже 50 КБ, вы можете использовать Wondershare PDFelement — Редактор PDF-файлов . Он имеет набор инструментов для сжатия, преобразования PDF, а также для создания, редактирования, защиты, комментирования PDF и других типов документов. PDFelement имеет простой интерфейс и интуитивно понятную компоновку на основе формата Mac и Windows. Это делает его лучшим инструментом для преобразования PDF в JPG в меньший размер всего за несколько минут.

Откройте меню «Инструмент» в опции «Оптимизировать PDF». Используйте переключатель, чтобы выбрать качество сжатия. Чем выше сжатие, тем ниже будет качество продукции. Следовательно, вам нужно иметь это в виду. Когда вы закончите, нажмите «Применить». Убедитесь, что размер меньше 200 КБ, 100 КБ или любого другого размера, который вам нужен.

Wondershare PDFelement — Редактор PDF-файлов — это редактор с обширными функциями для создания, редактирования, преобразования, защиты и управления PDF-файлами и различными форматами документов. Он предлагает расширенные формы управления и инструменты OCR для обработки любого типа документооборота.

Если вы не хотите загружать какой-либо инструмент на свое устройство, вы можете использовать онлайн-инструмент. Одним из лучших инструментов, которые вы можете использовать для этой цели, является конвертер pdf2go. При использовании этого инструмента вы получите следующие преимущества. Благодаря этому вам не нужно заморачиваться с загрузкой программного обеспечения. Следовательно, он не требует ни времени, ни пространства. Кроме того, отсутствие загрузки означает наличие вредоносного ПО.

Конвертировать с помощью этого программного обеспечения безопасно, поскольку оно обеспечивает 100% безопасность. Ваш документ не будет передан третьим лицам. Инструменты преобразования специализируются на преобразовании PDF в JPG. Однако, если вы хотите, вы можете преобразовать их в какой-либо другой формат изображения. Независимо от того, где вы находитесь, вы можете использовать этот инструмент для преобразования файла PDF в JPG, поскольку он доступен Онлайн.

Когда вы используете этот инструмент, вы сможете выбирать файлы с Google Диска или Dropbox. Вы также можете ввести URL-адрес для преобразования в файл JPG. Это простой в использовании инструмент, который может преобразовать файл всего за несколько секунд.

Portable Document Format или PDF используются для представления различных типов документов в удобном для просмотра и чтения виде. Он больше похож на универсальный формат, который не зависит от аппаратного обеспечения, программного обеспечения, приложения или операционной системы. Итак, это плоский документ с фиксированным макетом.

JPG — это метод сжатия цифровых изображений. Он называется «сжатием с потерями». Он используется для сжатия изображений, созданных цифровой фотографией. Сжатие может быть разной степени. При сжатии необходимо учитывать два параметра: качество изображения и размер файла.

PDF — это файл документа, а JPG — файл графического изображения. Основное различие между ними заключается в формате. Оба формата могут быть преобразованы друг в друга для различных целей. Файл PDF может сохранять первоначальный макет документа, но позволяет редактировать различные части документа. Но JPG сжимает разные компоненты документа или изображения в один файл, который нельзя разделить.

Преобразование файлов PDF в JPG может показаться хлопотным, особенно если вам нужно уменьшить размер файла. Однако с помощью такого инструмента, как PDFelement, вы можете преобразовать файл размером менее 50 КБ/100 КБ/200 КБ с помощью функции сжатия перед преобразованием в формат JPG. Итак, скачайте его и конвертируйте столько файлов, сколько хотите.

iLovePDF в JPG вариант — отличный способ конвертировать файлы PDF в форматы изображений. Но зачем нам вообще это нужно? Зачем конвертировать PDF в JPG или другой формат изображения? Основная причина в том, что редакторы изображений не работают с файлами PDF. Итак, если ваши изображения хранятся в формате PDF, их нельзя редактировать в таком приложении, как Photoshop. Кроме того, даже если в вашем редакторе изображений есть утилита преобразования PDF в изображения, это вряд ли будет очень хорошо. С другой стороны, использование инструмента преобразования PDF, специально разработанного для этой цели, означает, что вы получите лучшее качество преобразования. В этой статье мы покажем вам не только, как конвертировать PDF в JPG в iLovePDF, но и отличную альтернативу под названием PDFelement, которая предлагает широкий спектр других функций PDF.

Онлайн-конвертер PDF в JPG в iLovePDF, вероятно, самый простой способ сделать это. Вы просто загружаете свои файлы, устанавливаете некоторые параметры преобразования, нажимаете опцию «Конвертировать» и загружаете преобразованные файлы в формате JPG. Вот процесс более подробно:

2. Есть три варианта импорта файлов. Первый — использовать кнопку для загрузки с вашего ПК. Вы также можете перетащить их прямо в область главной страницы. Третий вариант — открыть их из облачного хранилища, такого как Google Диск.
3. Затем выберите вариант преобразования, который будет использоваться. Первый — просто преобразовать всю страницу в изображение JPG; второй — извлечение изображений, при котором каждое изображение из файла извлекается и преобразуется в отдельный файл JPG.

Преимущества: Этот метод преобразования PDF в JPG дает нам несколько преимуществ. Во-первых, вам не нужно ничего скачивать и устанавливать на свой компьютер. Это также быстрый и удобный способ конвертации. Но самым большим преимуществом является то, что точность преобразования очень высока, что отлично, когда вы работаете с изображениями высокого разрешения.

Недостатки: С другой стороны, у использования утилиты iLovePDF есть несколько недостатков. Один из них заключается в том, что процесс зависит от скорости вашего интернета, поэтому, если у вас медленное соединение, это может занять много времени. Кроме того, если ваше соединение нестабильно, выгрузка или загрузка могут быть прерваны, и вам придется начать все заново. Третий недостаток заключается в том, что он использует много данных для этапов загрузки и выгрузки. Если у вас ограниченный тариф, это не очень удобно. Однако самым большим недостатком является то, что это небезопасный метод. Если вы имеете дело с личными или конфиденциальными файлами, есть вероятность, что они могут быть взломаны во время загрузки или скачивания. Это не вина файла iLovePDF, потому что он достаточно безопасен; ошибка может быть в вашем собственном интернет-соединении, которое не всегда безопасно. Это особенно верно, если вы используете общедоступный Wi-Fi.

Если вы хотите, чтобы ваши файлы оставались конфиденциальными, лучше загрузить приложение iLovePDF на свой компьютер, прежде чем преобразовывать PDF в JPG или выполнять какие-либо другие задачи с PDF. В качестве альтернативы вы можете рассмотреть возможность использования одного из самых быстрорастущих редакторов PDF. — Wondershare PDFelement — Редактор PDF-файлов — который многие называют «доступной альтернативой Adobe Acrobat DC», что является большим комплиментом, учитывая тот факт, что продукт Adobe является наиболее часто используемым редактором PDF в мире.

Следующим шагом является выбор выходной папки. Откроется страница проводника (Сохранить как), где вы можете выбрать целевую папку для преобразованного файла изображения. Когда вы нажмете кнопку «Сохранить» в окне «Сохранить как», процесс преобразования начнется автоматически.

Это очень простой способ безопасного преобразования вашего PDF в JPG и не требует каких-либо передовых знаний о преобразовании файлов. Фактически, это один из аспектов PDFelement, который делает его настолько популярным среди всех, от отдельных пользователей до крупных корпораций, которые используют его для своих PDF-документов и других рабочих процессов.

Расширенные параметры редактирования дают вам полный контроль над любым существующим компонентом файла PDF, включая изображения, текст, фон, нумерацию страниц и другое содержимое. Даже статический контент, такой как верхние и нижние колонтитулы, можно добавлять, удалять или изменять. Функция редактирования удобна для пользователя, а само программное обеспечение интуитивно понятно, поэтому практически не требуется обучения, когда вы начинаете использовать его в первый раз.
Инструменты аннотации и разметки также всеобъемлющи и просты в использовании. Вы можете добавить любой тип элемента обзора или комментария, включая текстовые поля, выноски, фигуры, форматирование текста, стрелки, рисование от руки и т.д., чтобы пометить свои PDF-файлы и упростить совместную работу с другими. Атрибуты аннотации, такие как толщина линии, размер шрифта, цвет, заливка фона могут быть изменены с помощью набора инструментов, предоставленного для этой цели.
Преобразование и создание PDF-файлов выполняется очень точно и быстро. Существует более 300 опций для создания PDF-файлов из других типов файлов, а также широкие возможности для преобразования PDF-файлов в документы MS Office, файлы изображений, HTML, форматы электронных книг и многое другое. Он также предлагает функции массового преобразования, при которых вы можете конвертировать десятки файлов за раз.
Оптимизация PDF и безопасность стали проще. Управляйте файлами и страницами любым удобным вам способом, переупорядочивая, добавляя или удаляя страницы, объединяя и разделяя файлы PDF, уменьшая размер файла с помощью сжатия и используя многие другие функции. Что касается безопасности, ваши файлы могут быть зашифрованы с помощью высококачественных алгоритмов шифрования и защищены паролями. Вы также можете редактировать контент и добавлять водяные знаки, чтобы защитить себя от нарушений авторских прав. Цифровые подписи могут быть добавлены, и они имеют юридическую силу и имеют обязательную силу, что отлично подходит для контрактов и подобных документов.
Легко заполняйте формы и управляйте ими, создавая новые формы с нуля или даже конвертируя из форматов, отличных от PDF, таких как Word и Excel. Вы можете извлекать данные из полей формы, а также распознавать поля формы. Кроме того, функция OCR поможет вам преобразовать неинтерактивный контент в редактируемые PDF-файлы.

PDFelement предоставляет все эти функции в ваше распоряжение в приятном и удобном пользовательском интерфейсе. Простой дизайн и понятное меню означают, что вам не нужны часы обучения, чтобы начать пользоваться программой. Таким образом, это один из лучших вариантов, независимо от того, конвертируете ли вы PDF в JPG или выполняете ряд других задач.

Удобный интерфейс этого конвертер пдф в джипег позволяет пользователям быстро конвертировать из пдф в джипег файлы без каких-либо проблем. Вы не почувствуете никакой двусмысленности при использовании этой онлайн-утилиты.

Если вы ищете онлайн-инструмент, который поможет вам перевести из пдф в джипег файлы, не влияя на качество изображений, вам больше не нужно искать. Этот онлайн конвертер из пдф в джипег позволяет мгновенно конвертировать пдф в джипег файлы, не влияя на форматирование.

конвертировать пдф в JPG — непростая задача. Но с помощью этого конвертер PDF в JPG вы сможете конвертировать PDF в JPG онлайн на любом устройстве. Вы также можете загрузить преобразованные файлы одним щелчком мыши. Утилита эффективно работает на всех устройствах и операционных системах, включая Android, Mac, Windows, IOS и Linux.

При загрузке любого документа в Интернет каждый беспокоится о конфиденциальности своих файлов. Но вы можете конвертировать пдф в джипег бесплатно, используя наш конвертер со 100% безопасностью файлов. Конфиденциальность загружаемых пользователями документов является нашим главным приоритетом. Ваши загруженные PDF-файлы не будут переданы третьим лицам ни за какие деньги. Более того, загружено файлы будут удалены автоматически, как только завершится конвертация. Мы не восстанавливаем ваши конфиденциальные файлы ни по какой возможной причине. Таким образом, вам больше не нужно беспокоиться о безопасности ваших данных.

Файлы PDF часто содержат большое количество текста, изображений, картинок и диаграмм, что увеличивает их размер. Хранение этих файлов большого размера на ваших устройствах потребует огромного объема дискового пространства. Если вы хотите избавиться от проблем с местом на вашем устройстве, вы можете конвертировать файлы из пдф в джипег или JPG.

Вы когда-нибудь делились файлами PDF и JPG по электронной почте или с помощью других средств передачи данных? Какой формат файла занимает меньше времени для передачи? Файлы JPG передаются быстрее, чем файлы PDF. Таким образом, вы можете легко отправлять данные с одного устройства на другое в формате перевести PDF в JPG.

Загружать изображения на различные платформы социальных сетей относительно проще, чем в PDF. Большинство платформ социальных сетей позволяют загружать файлы JPG/JPEG, но не файлы PDF. Вы можете конвертировать ваши файлы из пдф в джпег, чтобы избежать подобных проблем.

Конвертер из пдф в джипег, доступный на Duplichecker. com, является лучшей онлайн-утилитой, помогающей пользователям конвертация пдф в джипег файлов легко и быстро. Этот онлайн-конвертер предлагает удивительные функции, которые делают его более эффективным, чем другие онлайн-конвертеры PDF. Одна из лучших особенностей этой онлайн-утилиты заключается в том, что она абсолютно бесплатна и позволяет пользователям выполнять неограниченное количество операций перевод из пдф в джипег без ограничений.

Наша команда прилагает все усилия, чтобы предоставить пользователям лучший набор бесплатные инструменты, который позволит им эффективно выполнять свои образовательные или онлайн-задачи. Наша цель — предоставить пользователям эффективные и бесплатные инструменты с теми же функциями, которые они обычно получают от онлайн-инструментов премиум-класса. Помимо бесплатного конвертер PDF в JPG, мы также предлагаем конвертер JPG в PDF, который позволяет конвертировать файлы JPG обратно в формат PDF.

При работе на компьютере многие пользователи сталкиваются с различными текстовыми и графическими форматами, поэтому им, например, необходимо конвертировать PDF в JPG. Это значит, что файл текстового формата потребовалось преобразовать в файл формата изображения.

PDF (Portable Document Format) — универсальный переносной формат для хранения текстовых документов. Помимо собственно текста в документ могут быть встроены изображения, а также другие мультимедийные объекты. Формат имеет расширение файла «*. pdf».

Формат PDF одинаково отображается на различных типах устройств, работающих в разных операционных системах. Для открытия данного формата используются специализированные приложения, также вы можете просматривать содержимое файла PDF в браузере.

JPG или JPEG — один из самых популярных растровых графических форматов, служащий для хранения изображений: фотографий, картинок, снимков экрана и т. д. Формат JPEG (JPG) открывают при помощи графических редакторов или просмотрщиков файлов данного типа. У этого формата имеется несколько расширений файлов, среди них самые распространенные — «*. jpg» и «*.jpeg».

PDF и JPEG — разные виды форматов, поэтому для перевода исходного файла в другой тип потребуется выполнить некоторые действия. Чтобы решить эту задачу, нам понадобиться программа для конвертирования PDF в JPG, или вы можете поступить по-другому — преобразовать файл PDF в JPG онлайн.

В этой статье мы рассмотрим несколько способов конвертирования PDF в JPEG с помощью программного обеспечения на компьютере или используем инструменты в интернете. В первом случае нам понадобиться конвертер PDF в JPG на ПК, а при втором варианте вам не нужно будет использовать ресурсы своего компьютера.

В инструкциях из этого руководства разбирается способ сохранения в JPEG страниц документа PDF в виде изображений, а не извлечение отдельных изображений, находящихся внутри этого файла. Чтобы извлечь изображение из PDF без сопутствующего текста необходимо использовать другие методы, с которыми вы можете ознакомиться по ссылке ниже.

PDFCreator — виртуальный принтер, предназначенный для создания PDF из файлов других форматов. В процессе печати из различных приложений, программа PDFCreator поддерживает сохранение на компьютере файлов в PDF и в некоторых графических форматах.

В составе операционной системы Windows 10 имеется встроенный виртуальный принтер «Microsoft Print to PDF», но он не подходит для наших целей из-за того, что он не сохраняет файлы в графических форматах. Поэтому нам понадобиться другой виртуальный принтер, например, PDFCreator.

Пользователям Windows 7 полезно иметь на своем компьютере виртуальный принтер, с помощью которого вы сможете сохранять файлы в формате PDF, используя функцию печати из любых программ. Подобного инструмента нет в составе данной ОС, поэтому пользователю нужно самостоятельно установить одно из подобных приложений.

Во время инсталляции отклоните установку на ПК другого постороннего программного обеспечения. Вместе с PDFCreator на компьютер будет установлено приложение PDF Architect от этого разработчика. Бесплатная версия PDF Architect скорее всего вам не понадобится, поэтому это приложение можно сразу удалить.

В окне «Экспортировать изображение», в поле «Тип файла:» выберите «JPEG — файл», если необходимо поменяйте «Разрешение», в опции «Экспортируемые страницы» укажите диапазоны страниц документа, которые потребовалось сохранить в виде картинок («Все, «Текущая», «Номера»), выберите директорию на компьютере для сохранения.

ABBYY FineReader — программа для оптического распознавания символов, использующая технологию OCR, позволяющая переводить изображения в редактируемые форматы электронных документов. Это приложение решает различные задачи с файлами PDF.

Некоторым пользователям может понадобиться преобразовать файл в формате PDF в изображения, сохраненные в формате JPG. Для решения этой задачи воспользуйтесь помощью программ, установленных на компьютере, или услугами онлайн сервисов в интернете. Программное обеспечение выполнит работу по конвертированию между разными форматами файлов, а пользователю нужно лишь сохранить результат обработки на компьютере.

Объединить PDF в JPG — Совместить PDFs в JPG онлайн!
Конвертируй PDF в один JPG бесплатно онлайн с любого устройства Mac, Linux, Android.
Powered by aspose.com and aspose.cloud
Выбрать файл
Перетащите или выберите файлы*
Введите Url
* Загружая свои файлы или используя нашу службу, вы соглашаетесь с Условиями использования и Политикой конфиденциальности
Сохранить как JPGPDFDOCDOCXXLSXPPTPPTXTEXHTMLPNGTIFF
Ваши файлы были успешно обработаны
СКАЧАТЬ
Отправить результат в:
ПРОСМОТРЕТЬ ДОКУМЕНТ
ПРОСМОТРЕТЬ ДОКУМЕНТ
Отправить результат в:
1000 символов максимум
Обратная связь
Или оставьте, пожалуйста, отзыв в наших социальных сетях 👍
Facebook
Instagram
Reddit
Попробуйте другие наши приложения для слияния:
PDF DOC Word PPT PowerPoint MOBI JPG PNG BMP TIFF CGM Excel HTML RAR ZIP TAR 7zip BZ2 GZ DJVU GIF WEBP IMAGES PHOTO
Объединение Конвертер Генератор хэшей Изображение в PDF PDF в изображение Разделение Разблокировка Просмотр Редактор Сжатие Метаданные Поиск Поворот Сравнение Обрезка Изменить размер Удалить страницы PDF Удалить комментарий Подпись Customized signature PDF Извлечение таблиц Водяной знак Заполнитель формы OCR Организовать PDF
Объедините PDF в JPG файлы в нужном порядке. Современный бесплатный инструмент для слияния PDF в JPG создан для быстрого объединения нескольких файлов в один PDF в JPG документ. Это PDF в JPG объединение приложение отвечает на запрос, чтобы облегчить отправку, совместное использование, печать и просмотр документов. Вы не должны тратить свое время, выполняя эти операции вручную на настольном программном обеспечении. Наша цель состоит в том, чтобы предоставить вам наиболее эффективные решения для оптимизации рабочего процесса вашего офиса с помощью онлайн-приложений.
Объединить несколько PDF в JPG изображений в один документ на высокой скорости
Благодаря надежному слиянию документов PDF в JPG вы можете легко объединить несколько PDF в JPG с высокой скоростью и сохранить результат в различных форматах, включая PDF, DOCX, HTML, MD, EPUB, PNG и JPG. PDF в JPG инструмент слияния работает для всех платформ: Windows, Linux, MacOS и Android. Установка программного обеспечения для настольных ПК не требуется. Это мощный, современный, быстрый, гибкий, простой в использовании и совершенно бесплатный.
Как объединить PDF в JPG файлы
1
Откройте в веб браузере PDF приложение и перейдите к инструменту слияния.
2
Щелкните внутри области размещения файлов, чтобы загрузить PDF файлы, или перетащите файлы PDF.
3
Нажмите кнопку «ОБЪЕДИНИТЬ», чтобы начать объединение файлов.
4
Мгновенная загрузка, просмотр или отправка объединенного файла по электронной почте.
5
Обратите внимание, что Ваш файл будет удален с наших серверов через 24 часа, а ссылки для скачивания перестанут работать после этого периода времени.
<noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/print-driver.com/wp-content/uploads/2013/09/howto-LoadSettings_TextDocumentToPDF.gif' /></noscript> 5em black}</style><a href=https://www.youtube.com/embed/1zytpAa1Pug?autoplay=1><img src=’data:image/png;base64,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’ alt=’Объединить PDF в JPG’ />►</a>» allow=»accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture» allowfullscreen=»» title=»Объединить PDF в JPG»>
ЧаВо
org/Question»>
1
❓ Как я могу объединить PDF с JPG?
Во-первых, вам нужно добавить файл для слияния: перетащите файл PDF или щелкните внутри белой области, чтобы выбрать файл. Затем нажмите кнопку «Объединить». Когда объединение PDF в JPG завершено, вы можете загрузить файл JPG.
2
⏱️ Сколько времени занимает слияние PDF с JPG?
Это приложение слияния работает быстро. Вы можете объединить PDF в JPG за несколько секунд.
3
🛡️ Безопасно ли объединять PDF в JPG, используя бесплатное объединение ?
Конечно! Ссылка для скачивания файлов JPG будет доступна сразу после слияния. Мы удаляем загруженные файлы через 24 часа, и ссылки для скачивания перестают работать после этого периода времени. Никто не имеет доступа к вашим файлам. Слияние файлов (включая PDF и JPG) абсолютно безопасно.
4
💻 Могу ли я объединить PDF с JPG в Mac OS, Android или Linux?
Да, Вы можете использовать бесплатное приложение Объединение в любой операционной системе, которая имеет веб-браузер. Наше слияние PDF с JPG работает в режиме онлайн и не требует установки программного обеспечения.
5
🌐 Какой браузер я должен использовать для объединения PDF с JPG?
Вы можете использовать любой современный браузер для слияния PDF с JPG, например, Google Chrome, Firefox, Opera, Safari.
Быстрый и простой способ объединить документы
Загрузите свои документы и нажмите кнопку «ОБЪЕДИНИТЬ». Он объединит ваши файлы документов в один и предоставит вам ссылку для скачивания объединенного документа. Выходной формат будет выходным форматом вашего первого документа..
Объединение из любого места
Он работает со всех платформ, включая Windows, Mac, Android и iOS. Все файлы обрабатываются на наших серверах. Вам не требуется установка плагинов или программного обеспечения.
Качество Объединения
При подержке Aspose.PDF . Все файлы обрабатываются с использованием Aspose APIs, которое используются многими компаниями из списка Fortune 100 в 114 странах мира.
Другие поддерживаемые объединения
Вы также можете объединить другие форматы файлов. Пожалуйста, смотрите список ниже.
PDF в PDF
PDF в DOC
PDF в Word
PDF в Excel
PDF в PPT
PDF в PowerPoint
PDF в HTML
PDF в JPG
PDF в PNG
PDF в TIFF

Не найдено
Не найдено
«; ломать; case «limitationLimited»: e. innerHTML = »
Ежедневное бесплатное использование достигнуто. Переходите на Pro или подождите 00:00:00, чтобы работать над другим файлом. Go Pro Now
«; ломать; случай «переподписаться»: е.innerHTML = «»; ломать; кейс «бесплатная пробная версия»: e.innerHTML = «
Начните бесплатную пробную версию
Получите доступ к функциям Pro и выполняйте свою работу быстрее.
«; ломать; case «emailVerification»: e.innerHTML = »
Подтвердите свой адрес электронной почты
Возможности Smallpdf ограничены без подтвержденного адреса электронной почты
«; ломать; случай «ie11Offboard»: e. innerHTML = »
Прекращение поддержки IE11
Мы прекратили поддержку Internet Explorer. Пожалуйста, используйте другой браузер.
«; ломать; случай «alipayNotSupported»: e.innerHTML = »
Alipay больше не поддерживает
Обновите способ оплаты, чтобы продолжить использовать Smallpdf Pro
«; ломать; } } }
Главная
Преобразование и сжатие
Сжатие PDF
Конвертер PDF
Сканер PDF
Split & Merge
Split PDF
Merge PDF
View & Edit
Edit PDF
PDF Reader
Number Pages
Удалить страницы PDF
Повернуть PDF
Преобразовать из PDF
PDF в Word
0002 PDF TO Excel
PDF до PPT
PDF в JPG
.
JPG до PDF
Sign & Security
ESIGN PDF
Откройте PDF
PRETIO0040
DocumentsSearch
Convert & Compress
Compress PDF
PDF Converter
PDF Scanner
Split & Merge
Split PDF
Merge PDF
Просмотр и редактирование
Редактирование PDF
PDF Reader
Количество страниц
Удалить PDF -стр.
Convert to PDF
Word to PDF
Excel to PDF
PPT to PDF
JPG to PDF
Sign & Security
eSign PDF
Unlock PDF
Protect PDF
Compress
Convert
Merge
Edit
Sign
Цены
«; ломать; } } }
Страница не найдена.
Convert & Compress
Compress PDF
PDF Converter
PDF Scanner
Split & Merge
Split PDF
Merge PDF
View & Edit
Edit PDF
PDF Reader
Number Pages
Delete PDF Pages
Вращение PDF
Преобразование из PDF
PDF в Word
PDF до Excel
PDF до PDF
9003 9003. PDF
Word to PDF
Excel to PDF
PPT до PDF
JPG для PDF
.0003
eSign PDF
Разблокировать PDF
Защитить PDF
Мы делаем PDF проще.
©
2022
Smallpdf AG
—
Сделано с
для пользователей Интернета.
Уведомление о конфиденциальности
Положения и условия
Выходные данные
Как конвертировать PDF в JPG на Mac
Как конвертировать PDF в JPG и зачем вам это? Большинство людей считают PDF-файлы документами, а JPG — изображениями. Две разные вещи. Действительно, PDF и JPG — это разные форматы файлов, которые не часто используются взаимозаменяемо. Однако это не исключает возможности, что вам может понадобиться изменить PDF на JPG.
PDF-файлы лучше всего подходят для юридических соглашений, форм и некоторых других типов документов, которые люди используют, когда не хотят, чтобы другая сторона что-либо менял в документе. Предложения работы, страховка и все такое прочее. Конечно, существует множество редакторов PDF, которые позволяют вносить изменения в PDF, но это не так просто, как в Word.
Файлы JPG обычно представляют собой изображения. Хотя существует несколько типов файлов для изображений, JPG используется повсеместно и принимается. Фактически, большинство веб-сайтов и сервисов требуют, чтобы ваши изображения были в формате JPG перед их использованием.
Вот почему может показаться, что эти два типа файлов совершенно разные, и вам даже не стоит думать об их совместном использовании. Или, может быть, ваше желание преобразовать PDF в JPG кажется вам странным. Уверяем вас, что нет! Многие люди хотят знать, как конвертировать PDF в JPG. В этой статье мы покажем вам, как конвертировать PDF в JPG, как редактировать PDF-файлы Mac, а также покажем вам несколько приложений для конвертации PDF в JPG, которые нам очень нравятся.
Самый простой способ превратить PDF в файлы JPG — прямо здесь!
Преобразование PDF в изображение с помощью предварительного просмотра
Прежде чем преобразовать этот PDF-файл в файл JPG, рекомендуется просмотреть и отредактировать его на компьютере Mac. Самый прямой способ — через Preview, бесплатное приложение для Mac, которое поставляется в комплекте с macOS. Это приложение, которое может открывать различные типы файлов, но чаще всего оно используется для открытия и легкого редактирования PDF-файлов.
Предварительный просмотр также хорош для объединения нескольких PDF-файлов в один файл. Это удобно, когда вам нужно преобразовать файлы PDF в файлы JPG Mac.
Чтобы отредактировать PDF-файл на Mac с помощью Preview, просто откройте приложение Preview, которое встроено в ваш Mac. Сначала вы увидите экран выбора, где вы выбираете файл, который хотите открыть. Это выложено так же, как ваше приложение Finder, показывая ваш рабочий стол и папки с документами. Это очень просто и понятно, как все приложение Preview воспринимается пользователями.
Вы можете пометить документы, подписать их, изменить их ориентацию и многое другое — все это в Preview для Mac. Вы также можете превратить PDF в файл JPG в режиме предварительного просмотра, но есть существенные недостатки.
Вы почти не можете контролировать конечный результат, поэтому качество изображения может не соответствовать вашим ожиданиям. Скорее всего, если вам интересно, как преобразовать pdf в jpg на Mac, вас беспокоит качество изображения. Для большинства просто изменить тип файла будет недостаточно. Это особенно верно для PDF-файлов с большим количеством текста; Вы же не хотите, чтобы конечный результат был размытым и нечитаемым!
Когда вы конвертируете множество PDF-файлов в один JPG, слепая уверенность в том, что предварительный просмотр обеспечит наилучшее разрешение, — это не то, что вам нужно. Пользователям, вероятно, потребуется увеличить масштаб, чтобы просмотреть мелкий шрифт или детали, а предварительный просмотр может не отображать эти точные детали. Это когда отдельное приложение наиболее полезно — и вы найдете его более полезным, чем вы думаете, чаще, чем вы думаете.
Преобразование PDF в JPG на Mac
Выше мы рассказали вам, как преобразовать PDF в JPG с помощью приложения Preview на вашем Mac. Как и большинство основных приложений Mac, оно решает проблему, но часто не так хорошо. Технически вы конвертируете тип файла, но у вас нет никакого контроля над конечными результатами. Это просто недостаточно хорошо.
Лучше использовать Permute. Приложение утверждает, что оно «может преобразовать что угодно во что угодно (почти)», и это не так. Permute — это конвертер видео, аудио конвертер, конвертер видео в аудио, конвертер изображений, приложение для редактирования видео и многое другое. Он действительно может превратить (почти) что угодно в (почти) что угодно!
Но мы хотим сосредоточиться на аспекте преобразования изображений в Permute. Его минималистичный интерфейс позволяет легко добавлять файлы и просматривать предварительный просмотр того, что вы добавляете, после загрузки файла. Больше не нужно запоминать имена файлов и выбирать их из списка, что может привести к гораздо большему количеству ошибок, чем мы готовы признать.
Permute позволяет даже сшивать PDF-файлы вместе, как и Preview, но Permute делает еще один шаг вперед благодаря своим параметрам предварительного просмотра. Вы увидите, что файлы заказов будут сшиты вместе, гарантируя, что вы каждый раз будете получать желаемые результаты. Вы также можете изменить порядок файлов, если хотите, что отлично подходит для объединения нескольких документов в один файл для просмотра.
Если вы не хотите объединять PDF-файлы в один большой JPG-файл, Permute позволяет выполнять пакетное преобразование, что означает, что вы можете превращать PDF-файлы в отдельные JPG-файлы, не заморачиваясь каждый раз.
И если вам интересно, как сохранить PDF в формате JPEG, Permute действительно лучший способ сделать это; вы можете сохранить любой PDF-файл как файл JPG или JPEG и выбрать, где на вашем компьютере сохранить файл. Когда вы пытаетесь преобразовать несколько файлов для нескольких клиентов или уникальных вариантов использования, Permute поможет вам сэкономить время.
Вот как использовать Permute для преобразования PDF-файлов в JPG, шаг за шагом:
Открыть Permute. Если это ваш первый раз, обязательно выберите, куда Permute будет сохранять файлы на вашем компьютере, а также другие настройки.
Перетащите PDF-файл, который вы хотите преобразовать в Permute.
После загрузки PDF выберите «JPEG» в меню преобразования.
Нажмите кнопку «Пуск» в левом нижнем углу окна.
После преобразования файла вы можете щелкнуть небольшой значок «подзорная труба» в правом нижнем углу значка предварительного просмотра в Permute. Это показывает, где находится файл в Finder вашего Mac, где вы можете управлять его местоположением, если это необходимо. Это еще один способ сэкономить время, особенно если вы потеряли файлы или просто решили изменить их местоположение после их преобразования.
Преобразование PDF в JPG с помощью Automator
Automator — это встроенное приложение macOS, которое можно использовать для преобразования PDF в JPG. Вот как:
В Finder выберите «Переход» > «Приложения» > «Automator». Вы также можете использовать Spotlight (F4), чтобы открыть его.
Нажмите «Новый документ»
Выберите «Приложение» и нажмите кнопку «Выбрать»
В списке «Библиотека» (левая боковая панель) выберите файлы PDF и дважды щелкните «Визуализация страниц PDF как изображений»
Еще раз вернитесь в список «Библиотека», выберите «Файлы и папки». , а затем дважды щелкните параметр «Переместить элементы Finder». Ваши файлы JPG будут храниться здесь. Можно использовать рабочий стол или любую другую папку по вашему выбору
Наш рабочий процесс готов. Давайте сохраним это на вашем рабочем столе как приложение. Чтобы вам было проще идентифицировать это в будущем, вы можете сохранить в формате PDF-to-JPG или аналогичном формате. Выберите «Файл» > «Сохранить» в строке меню Automator. Затем выберите Сохранить. После этого вы можете закрыть приложение Automator
Ваше приложение PDF в JPG теперь на рабочем столе
На этом этапе вы можете перетащить на него PDF-файл, и он автоматически создаст и сохранит файлы JPG на вашем рабочем столе. Вот и все!
Сохранить JPG как PDF на Mac
Когда вам нужно знать, как преобразовать JPG в PDF на Mac, рабочий процесс будет очень похож на преобразование PDF в JPG.
Это можно сделать в Preview. Все, что вам нужно сделать, это открыть предварительный просмотр, выбрать файл JPG на вашем Mac, открыть «Файл» и выбрать «экспорт в PDF». Вот и все; очень просто, но и не так хорошо, как вы можете сделать!
Prizmo — это приложение, позволяющее редактировать и конвертировать файлы JPG на вашем Mac. Как простой инструмент редактирования, это один из лучших инструментов. Он позволяет легко повторно кадрировать и изменять размер изображений, настраивать цвет и насыщенность, применять фильтры и выполнять пакетную обработку изображений.
Хотя у Prizmo есть множество замечательных функций для всех, мы сосредоточимся на его способности конвертировать файлы JPG в PDF. Приложение позволяет легко создавать PDF-файлы из файлов любого формата JPG или JPEG. Просто выполните следующие действия, чтобы изменить JPG на PDF:
Open Prizmo.
Выберите «новый» в меню.
Выберите «Открыть файл», чтобы найти файл, который вы хотите преобразовать.
Выберите значок «Поделиться» в правом верхнем углу экрана.
Выберите «PDF» в качестве типа файла, в котором вы хотите сохранить JPG.
Назовите новый файл и выберите, куда вы хотите его сохранить, затем нажмите «Сохранить». вы можете конвертировать тонны JPG в PDF за считанные секунды! Еще одна огромная функция, позволяющая сэкономить время, которая нам очень нравится.
Приложение Preview на вашем Mac достаточно простое, чтобы выполнять поверхностные задачи; это все, для чего это было предназначено. Если все, что вам нужно сделать, это просмотреть PDF-файл, который кто-то вам прислал, тогда Preview подойдет. Если мы критичны, просмотр файлов может быть единственным «реальным» использованием для предварительного просмотра. Опытные пользователи определенно захотят большего от своего Mac, особенно если они используют его для редактирования или преобразования PDF-файлов и нуждаются в детальном контроле разрешения и качества изображения. Большинство тех, кто действительно нуждается в выполнении задач, на которые способен Preview, по-прежнему ищут помощи в приложениях.
Для нас Permute и Prizmo являются двумя лучшими программами для преобразования и редактирования мультимедиа. Каждый из них имеет исчерпывающий список функций. Для преобразования, редактирования и сохранения файлов PDF и JPG нет лучших вариантов.
И то, и другое предоставляется бесплатно с семидневной пробной версией Setapp, лучшего пакета для повышения производительности, который вы можете получить для Mac. Setapp предоставляет вам доступ к десяткам приложений с различными вариантами использования.
После окончания пробного периода Setapp стоит всего 9,99 долларов в месяц. Есть множество приложений, которые требуют большего — и это только для одного приложения!
Мы думаем, вам понравятся Permute и Prizmo, а также простота Setapp. Вместо того, чтобы искать и клевать в Интернете приложения, которые помогут вам делать что-то, в кураторском списке Setapp почти наверняка есть одно (или несколько!) которые вам действительно понравятся. Попробуйте сегодня!
Как преобразовать файлы PDF в файлы JPG
Перейти к основному содержанию
TechRadar поддерживается своей аудиторией. Когда вы покупаете по ссылкам на нашем сайте, мы можем получать партнерскую комиссию. Вот почему вы можете доверять нам.
Существует несколько простых способов преобразования файлов PDF в файлы JPG. Вот некоторые из лучших и самых надежных способов выполнить работу
Изображение предоставлено: UniPDF
(Изображение: © PDF to Word Converter/Shutterstock)
Если попытка понять, как преобразовать файлы PDF в файлы JPG, до сих пор казалась разочаровывающей, вы определенно не одиноки — это, как правило, одна из тех вещей, от которых большинству из нас хочется рвать на себе волосы! Хорошая новость заключается в том, что, обладая небольшими знаниями (с которыми мы здесь, чтобы помочь вам), вы сможете с легкостью конвертировать свои файлы в кратчайшие сроки.
Несмотря на то, что существует ряд приложений и веб-сайтов, которые утверждают, что могут преобразовывать файлы PDF в файлы JPG, последнее, что вы хотите делать, — это тратить много своего драгоценного времени, пытаясь найти точное, надежное и самое главное без вирусов. Вот почему, как и в нашем руководстве по лучшим бесплатным редакторам PDF, мы собрали способы, которыми вы можете конвертировать свои файлы, не устанавливая неизвестные приложения на свой компьютер.
На самом деле, если вы являетесь поклонником лучших MacBook и Mac и в настоящее время используете один из них дома или в офисе, используемая вами операционная система уже предоставляет вам средство просмотра PDF и изображений, которое может справиться с этой задачей. . Это отличная новость для вас, поскольку это означает, что вам не нужно беспокоиться о поиске внешнего источника.
Если у вас один из лучших ноутбуков с Windows или вы используете Windows 10 или Windows 11 через ПК, вам нужно выполнить несколько дополнительных шагов, но не волнуйтесь, все очень просто и понятно. Есть несколько достойных приложений, которые вы можете получить в магазине Microsoft, которые защитят вас от любых ненадлежащих действий приложений, и мы объясним их ниже.
Независимо от того, какую операционную систему вы используете, мы предоставим вам эти простые шаги для преобразования файлов PDF в файлы JPG в кратчайшие сроки. Давайте погрузимся!
(открывается в новой вкладке)
Лучший фоторедактор в целом: Adobe Photoshop (открывается в новой вкладке)
(открывается в новой вкладке) Если вы серьезно относитесь к редактированию фотографий или думаете превратить хобби в работу, вы не сможете превзойти стандартное программное обеспечение Adobe Photoshop. Это, конечно, не бесплатно, как фоторедакторы ниже, но с подпиской Adobe Creative Cloud это удивительно выгодно.
Как преобразовать файлы PDF в файлы JPG в macOS
Благодаря предварительной версии macOS вам не нужно загружать другое приложение для преобразования файлов PDF в файлы JPG. С помощью приложения Preview вы можете конвертировать файлы в несколько различных форматов, включая PNG, TIFF и, конечно же, JPG.
Если предварительный просмотр кажется вам слишком хорошим, чтобы быть правдой, вы также можете использовать Adobe Acrobat DC, который позволяет конвертировать PDF-файлы практически в любой формат.
Изображение 1 из 3
(Изображение предоставлено Мишель Рэй Уй)
Изображение 1 из 3
(Изображение предоставлено Мишель Рэй Уй)
Изображение 1 из 3
(Изображение предоставлено Мишель Рэй Уй)
Изображение 1 из 3
Метод 1: использование предварительного просмотра Viewer, но предлагает и другие возможности — от редактирования разметки до экспорта предварительно просматриваемого файла в другие форматы изображений. Вот как вы можете конвертировать файлы PDF в файлы JPG с помощью этого удивительно изящного приложения. Просто имейте в виду, что если в вашем PDF-файле несколько страниц, вам придется конвертировать по одной странице за раз.
Шаг 1: Откройте файл PDF в режиме предварительного просмотра.
Шаг 2: Выберите страницу, которую вы хотите преобразовать в JPG, и выберите Файл > Экспорт…
Шаг 3: Откроется диалоговое окно. В разделе Формат выберите JPEG. Установите Качество и Разрешение.
Вы также можете выбрать папку, в которой хотите сохранить файл, а также задать имя файла.
Шаг 4: Нажмите «Сохранить».
Изображение 1 из 5
(Изображение предоставлено Мишель Рэй Уй)
Изображение 1 из 5
(Изображение предоставлено Мишель Рэй Уй)
Изображение 1 из 5
(Изображение предоставлено Мишель Рэй Уй)
Изображение 1 из 5
(Изображение предоставлено Мишель Рэй Уй)
Изображение 1 из 5
(Изображение предоставлено Michelle Rae Uy)
Изображение 1 из 5
Способ 2: использование Acrobat DC
это, так как он позволяет конвертировать целые документы, а не страницу за раз.
Шаг 1: Откройте файл PDF в Acrobat DC. С правой стороны находится панель инструментов, выберите «Экспорт PDF».
Откроется окно Экспорт PDF.
Шаг 2: Выберите Изображение > JPEG.
При необходимости щелкните значок «Настройки» рядом с JPEG, чтобы изменить файл, цвет и параметры преобразования, затем нажмите «ОК».
Шаг 3: Не устанавливайте флажок «Экспорт всех изображений», затем нажмите «Экспорт».
Должно открыться диалоговое окно «Сохранить как».
Шаг 4: Выберите папку, введите имя файла и нажмите «Сохранить».
Как конвертировать PDF в JPG в Windows 10
В Windows 10 существует несколько способов конвертировать PDF-файлы в JPG-файлы, поскольку существует множество веб-сайтов и приложений, которые позволяют делать это бесплатно. Но чтобы свести к минимуму вероятность вредоносных программ, мы хотим использовать приложения от надежных разработчиков.
В этом руководстве мы рассмотрим преобразование PDF в JPG с помощью Acrobat PDF, а также с помощью популярного приложения PDF в JPEG, которое вы можете загрузить из магазина Microsoft Store, чтобы убедиться, что оно безопасно.
Метод 1: Использование Acrobat PDF
Преобразование PDF в JPG с помощью Adobe Acrobat DC лучше, так как оно не только позволяет конвертировать целые документы, а не страницы за раз, но также отличается чистым и простым удобный интерфейс.
Шаг 1: Откройте файл PDF в Acrobat DC. С правой стороны находится панель инструментов; выберите Экспорт PDF.
Откроется окно Экспорт PDF.
Шаг 2: Выберите Изображение > JPEG.
При необходимости щелкните значок «Настройки» рядом с JPEG, чтобы изменить файл, цвет и параметры преобразования, затем нажмите «ОК».
Шаг 3: Не устанавливайте флажок «Экспорт всех изображений», затем нажмите «Экспорт».
Должно открыться диалоговое окно «Сохранить как».
Шаг 4: Выберите папку, введите имя файла и нажмите «Сохранить».
Изображение 1 из 3
(Изображение предоставлено Мишель Рэй Уй)
Изображение 1 из 3
(Изображение предоставлено Мишель Рэй Уй)
Изображение 1 из 3
(Изображение предоставлено Michelle Rae Uy)
Изображение 1 из 3
Способ 2: PDF в JPEG
Перед загрузкой приложения PDF в JPEG, которое бесплатно доступно в Microsoft Store, имейте в виду, что его пользователь интерфейс на самом деле не самый привлекательный. Однако прелесть этого приложения в том, что оно очень простое, поэтому вам будет легко разобраться без инструкций.
Шаг 1: Откройте конвертер PDF в JPEG, затем щелкните значок «Выбрать файл».
Шаг 2: Должно открыться диалоговое окно. Там выберите файл PDF, который вы хотите преобразовать.
Шаг 3: Когда файл открыт, нажмите «Преобразовать» в верхней части окна над документом.
Когда приложение завершит работу, оно должно отобразить сообщение «Преобразование завершено». Он также сохранит преобразованный файл JPG в той же папке, что и исходный файл PDF.
Изображения предоставлены Мишель Рэй Юй
Мишель Рэй Уи — редактор руководств по покупке в TechRadar. Она из Лос-Анджелеса пишет о технологиях, путешествиях и образе жизни, освещая широкий круг тем, от компьютеров до последних зеленых поездок на работу и лучших пешеходных маршрутов. Она амбиверт, которому нравится общаться с природой и путешествовать месяцами так же, как смотреть фильмы и играть в симуляторы дома. Это также означает, что у нее есть гораздо больше возможностей для изучения с точки зрения понимания того, как технологии могут улучшить различные аспекты нашей жизни.
TechRadar является частью Future US Inc, международной медиагруппы и ведущего цифрового издателя. Посетите наш корпоративный сайт (откроется в новой вкладке).
© Future US, Inc. Полный 7-й этаж, 130 West 42nd Street, Нью-Йорк, Нью-Йорк 10036.
How Convert PDF to JPG Offline丨PDF Reader Pro
Если вы хотите конвертировать файлы PDF в файлы JPG, что вы будете делать? Большинство из нас сразу же отправятся в нашу любимую поисковую систему, а затем будут искать онлайн-сервис, который позволяет нам бесплатно конвертировать PDF-файлы.

Однако вы можете не знать о некоторых фатальных проблемах при преобразовании файлов PDF в файлы JPG онлайн. Одной из наиболее очевидных проблем является безопасность документов, например, утечка информации при преобразовании файлов PDF в файлы JPG. Есть и еще одна проблема: когда ваша сеть нестабильна, процесс конвертации будет замедляться. Особенно, если ваша сеть не работает, вы не можете наконец получить файлы JPF, в которые хотите преобразовать.

Подводя итог, можно сказать, что преобразование PDF-файлов в файлы JPG в автономном режиме будет для вас лучшим выбором, поэтому сегодня я порекомендую вам пять способов конвертировать PDF-файлы в файлы JPG в автономном режиме в Windows 10.

Способ 1: создание снимка экрана с помощью PDF Reader Pro
Самый распространенный способ преобразования файлов PDF в файлы JPG — создание снимка экрана. Но этот метод подходит только для людей, которым нужно срочно преобразовать PDF-файлы в изображения, и вы можете не требовать высокого качества изображения и просто показывать другим краткое содержание.

PDF Reader Pro для Windows — мощное программное обеспечение для работы с файлами PDF. Он имеет комплексный и совершенный автономный сервис для обработки файлов PDF. И вы можете сделать снимок экрана в автономном режиме с помощью PDF Reader Pro.

Во-первых, вам нужно нажать на значок инструмента выбора контента на панели инструментов. Затем вы можете выбрать контент, который хотите сделать скриншотом, и нажать на галочку. В последнее время вы можете скопировать его в другую программу через Ctrl+V.

Метод 2: Извлечение изображений с помощью PDF Reader Pro
Извлечение изображений из файлов PDF в файлы JPEG — это новейшая функция PDF Reader Pro для Windows V2.2.0! Это действительно полезно для многих профессий, таких как дизайнеры, архитекторы, блоггеры и т. д. Вы можете щелкнуть здесь, чтобы узнать больше об этом.

Эта функция позволяет сохранять изображения из файла PDF на локальный компьютер в исходном формате, чтобы можно было извлечь изображения, встроенные в файлы PDF, в файлы JPEG. Если вам нужно только извлечь изображения из PDF-файлов для работы, попробуйте прямо сейчас!

Как извлечь изображения из файлов PDF в PDF Reader Pro для Windows? Просто! Вы просто щелкаете правой кнопкой мыши по нужному изображению и выбираете копирование или извлечение изображения. Вы получите изображение с высоким разрешением всего за несколько секунд.

Метод 3: Преобразование PDF в изображение с помощью PDF Reader Pro
Преобразование файлов PDF в файлы JPG отличается от извлечения изображений из файлов PDF. Например, если вы хотите отобразить все содержимое PDF-файлов, включая изображения и текст, вам может понравиться конвертировать PDF-файлы в изображения. Таким образом, вы получите файл JPG, который содержит все элементы файлов PDF, такие как высококачественные изображения и тексты.

PDF Reader Pro — лучший конвертер PDF в автономном режиме. Вы можете конвертировать файлы PDF в файлы JPG, сохраняя при этом шрифты и макеты. Как конвертировать PDF-файлы в JPG в PDF Reader Pro для Windows?
Шаг 1. Вам нужно нажать на иконку конвертера на панели инструментов.
Шаг 2. Вы должны выбрать целевые форматы: В изображение (.jpg/.png / .jpeg) и установить диапазон страниц.
Шаг 3. Затем вы можете нажать кнопку «Преобразовать» и выбрать выходную папку, чтобы начать преобразование PDF.
Шаг 4. Вы также можете нажать кнопку «Пакетная обработка», чтобы добавить больше файлов для одновременного преобразования.

Метод 4: Преобразование PDF в изображение с помощью Adobe Acrobat DC
Adobe Acrobat DC — один из самых популярных конвертеров PDF. Он позволяет сохранять любые ваши PDF-файлы, даже те, которые содержат несколько страниц, в широко распространенный формат JPG. Если вы загружаете это программное обеспечение, вы можете выполнить следующие шаги:
Шаг 1. Во-первых, вы должны найти PDF-файл на своем компьютере, щелкнуть правой кнопкой мыши PDF-файл и выбрать вариант «Открыть», а затем Adobe Acrobat Reader DC.
Шаг 2. Нажмите Инструменты > Экспорт PDF > Открыть на верхней панели инструментов. И вы можете выбрать изображение и параметр «JPEG», а также выбрать качество для выходного файла.
Шаг 3. Указав параметры преобразования, нажмите «Экспорт в JPEG», чтобы начать преобразование PDF-файла в JPG.
Шаг 4. В последнее время вы можете указать местонахождение преобразованных файлов.

Это хороший конвертер PDF, но многие из нас отказываются от этого метода для преобразования PDF в JPG из-за цены. Это может быть немного дорого для нас, чтобы получить его.

Метод 5: Преобразование PDF в изображение с помощью Adobe Photoshop
Большинство дизайнеров и архитекторов часто обрабатывают изображения с помощью Adobe Photoshop. К счастью, Photoshop поддерживает несколько форматов файлов, включая PDF и JPG. Вам просто нужно загрузить исходный файл в программу, а затем экспортировать файл в выбранный формат изображения. Поэтому, если вы скачали Photoshop, вы можете им пользоваться. Как преобразовать PDF-файлы в JPG с помощью Photoshop?
Шаг 1. Вы можете щелкнуть правой кнопкой мыши файл PDF в проводнике, нажать «Открыть с помощью» и выбрать «Adobe Photoshop».
Шаг 2. Затем вам нужно нажать «Файл» и выбрать «Сохранить как».
Шаг 3. На следующем экране выберите «JPEG» в раскрывающемся меню «Формат», отметьте любые другие параметры по своему усмотрению, выберите папку для сохранения файла и нажмите «Сохранить» внизу.
Шаг 4. После преобразования файла откройте выходную папку и дважды щелкните только что созданный файл JPG.

Вывод:
Очевидно, что конвертировать PDF-файлы в JPG с помощью Photoshop довольно проблематично. PDF Reader Pro для Windows станет для вас лучшим выбором благодаря своим полным и разнообразным функциям. Это может помочь вам конвертировать PDF-файлы быстрее сразу, и его цена дешевле для большинства из нас.
Если у вас есть другие способы, вы можете отправить электронное письмо по адресу [email protected]. чтобы поделиться с нами своей историей. Загрузите PDF Reader Pro бесплатно прямо сейчас и испытайте его!
‎Конвертер PDF в JPG (JPEG) в App Store
Описание
Легко конвертируйте файлы PDF в фотографии с помощью этого быстрого и простого в использовании приложения. Вы даже можете конвертировать свои файлы из онлайн-сервисов, которые вы используете, не выходя из приложения.
PDF в JPG является лидером, когда речь идет о качестве и надежности приложений для преобразования файлов. Это приложение позволит вам преобразовать любой файл PDF в наиболее распространенный формат изображения JPG. Помимо выбора файлов для преобразования с вашего устройства, PDF в JPG имеет встроенные службы импорта, такие как Gmail, Google Drive, Dropbox и другие.
Вот некоторые из наиболее примечательных функций, которые предлагает PDF в JPG:
• Нет ограничений на размер файла или количество преобразований
• Простой пользовательский интерфейс и простое в использовании приложение
• Преобразование выполняется быстро и дает высококачественный результат
• Просматривайте и делитесь zip-архивами из PDF в JPG
• Вы можете конвертировать свои PDF-файлы из Gmail, Google Диска, Dropbox, Box и OneDrive
Это приложение также предлагает возможность просматривать и делиться недавно преобразованным файлом, не открывая его. в любом другом приложении. Вы также можете отправить свои новые файлы по электронной почте из приложения. Безопасность файлов должна быть наименьшей из ваших забот, поскольку все файлы, преобразованные на наших серверах, удаляются в течение следующих 24 часов.
30 июля 2020 г.
Версия 5.3
• Исправления ошибок и улучшения
• Подготовка к большому обновлению (скоро!)
Рейтинги и обзоры
784 оценок
Ок, жду увидеть…
Если это действительно сработает, я заплачу, что эта задача является абсурдно обычным запросом от Adobe или многих других встроенных функций iOS. Все, что я хочу сделать, это иметь возможность добавлять в свое портфолио на Behance, лежа на диване, но все они должны быть изображениями. Если получится обновлю по глупости 60-90 минут, чтобы доказать, что оно на самом деле работает, когда ни одно другое приложение не делает то, что оно говорит … йоу, если бы я был разработчиком приложения, давал бы людям одно в день, а затем запрашивал бы обновление. Восприятие потребителей — это единственный способ убедить людей купить.
Дико раздражает!!! Избегать!
Так что я был рад найти приложение, которое может конвертировать PDF-файлы в JPEG. Окончательно! Затем я пошел конвертировать файл с телефона. Хм. Нет опции для «На моем телефоне». Но подождите, мелким шрифтом написано: «Нажмите здесь, чтобы добавить с телефона». Так я и сделал. Какая? Все, что вы получаете, — это еще один экран, говорящий, что вам нужно использовать функции «Поделиться» или «Открыть в» вне приложения. Но это не работает. Итак, я, наконец, перемещаю PDF-файл в вариант, который я видел в этом приложении, в свою учетную запись iCloud. Наконец-то я могу конвертировать файл. Но тогда… WTFrick??… Я могу либо заплатить 10 долларов, чтобы преобразовать его за секунды, либо подождать 60-9.0 минут бесплатно!! Это безумно. И плохой клиентский опыт. И чтобы дать вам пощечину еще раз, последний вариант, который у вас есть, если вы действительно хотите подождать 60 минут, — это кнопка ОТМЕНА. Это означает, что вы ничего не получите за все ваше разочарование. Уволить команду дизайнеров пользовательского интерфейса!! Ужасно.
Оплачен премиум-апгрейд — приложение не работает.
Это приложение не работает так, как рекламируется. Я заплатил за обновление приложения за 15 долларов. В программе вы загружаете свои документы на свой сервер. Вы должны оставаться в очереди ожидания приложения, чтобы получить ваши конвертированные файлы обратно. Когда ваши файлы не возвращаются вовремя, вас просят заплатить за премиум-версию, которая дает вам возможность пропустить очередь. После оплаты премиум версии я узнал, что программа не работает.
Я не верю, что 5 отзывов здесь являются законными клиентами. Не может быть.
Разработчик, Cometdocs.com Inc., не предоставил Apple подробностей о своей политике конфиденциальности и обработке данных. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.
Сведения не предоставлены
Разработчик должен будет предоставить сведения о конфиденциальности при отправке следующего обновления приложения.
Информация
Продавец
Cometdocs.com Inc.
Размер
35,9 МБ
Категория
Производительность
Возрастной рейтинг
4+
Авторское право
© Cometdocs. com Inc.
Цена
Бесплатно
Сайт разработчика
Тех. поддержка
Политика конфиденциальности
Еще от этого разработчика
Вам также может понравиться
PDF в JPG онлайн конвертер
PDF в JPG онлайн конвертер — Конвертируйте PDF в JPG БЕСПЛАТНО
Извлечение изображений или сохранение каждой страницы из PDF в JPG
Разработано aspose.com и aspose.cloud
Выбрать файл
Перетащите или загрузите свои файлы*
Введите адрес
*Загружая свои файлы или используя наш сервис, вы соглашаетесь с нашими Условиями обслуживания и Политикой конфиденциальности
Преобразование в один выходной файл
Сохранить как JPGXMLZIPDOCXPNGPPTXDOCTEXTIFFTXTHTMLXLSXSVGCSVEPUBPDFA1AMHTMLXPSWEBPMHTLATEX7ZBMPGZMOBIEMFPDFA1BTARPSPDFA2ABZ2PDFA3ABASE64MP4AVIMOVWEBMFLVWVMMKVMPGMPEG
Ваши файлы успешно обработаны
СКАЧАТЬ
Отправить результат по адресу:
ПОСМОТРЕТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ
ПОСМОТРЕТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ
Отправить результат по адресу:
Максимум 1000 символов
Отправить отзыв
Или оставьте отзыв в наших социальных сетях 👍
Фейсбук
Инстаграм
Реддит
Попробуйте другие преобразования:
PDF ДОКТОР Слово XLS Excel EPUB МОБИ Латекс Постскриптум прибыль на акцию XPS ОКПС MHTML МГТ ПКЛ Уценка Текст SVG СТО XML БМП PNG ТИФФ JPG ЭДС DICOM PSD CDR DJVU ВЕБП ZIP РАР 7zip ТАР ГЗ БЗ2 РРТ Силовая установка Base64 MP4 МОВ MP3 WAV КАРТИНКИ ФОТО гифка
Слияние Преобразование Генератор хэшей Изображение в PDF PDF в изображение Сплиттер Разблокировать Зритель редактор Компресс Метаданные Поиск Повернуть Сравнение Обрезать Изменить размер Удалить страницы Удалить комментарий Подпись Индивидуальная подпись PDF Таблица-извлечение Водяной знак Заполнитель формы OCR Упорядочить PDF
Бесплатно конвертируйте файлы PDF в JPG онлайн. Мощный бесплатный онлайн-конвертер документов PDF в JPG очень прост. Не требуется установка программного обеспечения для настольных компьютеров, такого как Microsoft Word, OpenOffice или Adobe Acrobat. Все конвертации вы можете сделать онлайн с любой платформы: Windows, Linux, macOS и Android. Мы не требуем регистрации. Этот инструмент абсолютно бесплатный.
Что касается специальных возможностей, вы можете использовать наши онлайн-инструменты преобразования PDF в JPG для работы с файлами различных форматов и размеров в любой операционной системе. Независимо от того, используете ли вы MacBook, компьютер с Windows или даже портативное мобильное устройство, для вашего удобства конвертер PDF в JPG всегда доступен онлайн.
Книги о том, как конвертировать PDF в JPG
Конвертировать PDF в JPG
Конвертировать PDF в Word
Как конвертировать PDF в JPG
1
Откройте бесплатный веб-сайт PDF и выберите приложение Convert.
2
Щелкните внутри области перетаскивания файлов, чтобы загрузить PDF-файлы, или перетащите PDF-файлы.
3
Вы можете загрузить максимум 10 файлов для операции.
4
Нажмите кнопку Преобразовать. Ваши файлы PDF будут загружены и преобразованы в формат результата.
5
Ссылка для скачивания файлов результатов будет доступна сразу после конвертации.
6
Вы также можете отправить ссылку на PDF-файл на свой адрес электронной почты.
7
Обратите внимание, что файл будет удален с наших серверов через 24 часа, а ссылки для скачивания перестанут работать по истечении этого периода времени.
<noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/lawyers-age.ru/wp-content/uploads/1/1/8/11838b964259f4cf9b1c42fe3513d191.jpeg' /></noscript> 5em;text-align:center;font:48px/1.5 sans-serif;color:white;text-shadow:0 0 0.5em black}</style><a href=https://www.youtube.com/embed/Hcw7ZPUxIP8?autoplay=1><img src=’data:image/png;base64,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’ alt=’Convert PDF to JPG’ />►</a>» allow=»accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture» allowfullscreen=»» title=»Convert PDF to JPG»>
Часто задаваемые вопросы
org/Question»>
1
❓ Как преобразовать PDF в JPG?
Во-первых, вам нужно добавить файл для преобразования: перетащите файл PDF или щелкните внутри белой области, чтобы выбрать файл. Затем нажмите кнопку «Конвертировать». Когда преобразование PDF в JPG завершено, вы можете загрузить файл JPG.
2
⏱️ Сколько времени занимает конвертация PDF в JPG?
Этот преобразователь работает быстро. Вы можете преобразовать PDF в JPG за несколько секунд.
3
🛡️ Безопасно ли конвертировать PDF в JPG с помощью бесплатного конвертера?
Конечно! Ссылка для скачивания файлов JPG будет доступна сразу после конвертации. Мы удаляем загруженные файлы через 24 часа, и ссылки для скачивания перестают работать по истечении этого периода времени. Никто не имеет доступа к вашим файлам. Преобразование файлов (в том числе PDF в JPG) абсолютно безопасно.
4
💻 Могу ли я конвертировать PDF в JPG на Linux, Mac OS или Android?
Да, вы можете использовать бесплатное приложение Converter в любой операционной системе с веб-браузером. Наш конвертер PDF в JPG работает онлайн и не требует установки программного обеспечения.
5
🌐 Какой браузер мне использовать для преобразования PDF в JPG?
Для преобразования PDF в JPG можно использовать любой современный браузер, например, Google Chrome, Firefox, Opera, Safari.
Быстрое и простое преобразование
Загрузите документ, выберите формат сохранения и нажмите кнопку «Конвертировать». Вы получите ссылку для скачивания, как только файл будет конвертирован.
Преобразование откуда угодно
Работает на всех платформах, включая Windows, Mac, Android и iOS. Все файлы обрабатываются на наших серверах. Для вас не требуется установка плагинов или программного обеспечения.
Качество преобразования
Powered by Aspose.PDF . Все файлы обрабатываются с помощью API-интерфейсов Aspose, которые используются многими компаниями из списка Fortune 100 в 114 странах.
Другие поддерживаемые преобразования
Вы также можете конвертировать PDF во многие другие форматы файлов. Пожалуйста, ознакомьтесь с полным списком ниже.
PDF в DOC
PDF в Word
PDF в Excel
PDF в CSV
PDF в PowerPoint
PDF в XML
PDF в PostScript
PDF до XPS
PDF до EPUB
PDF TO MOBI
PDF TO LATEX
PDF до HTML
PDF до MHTML
PDF до MHT
PDF до BMP
PDF до MHT
PDF до BMP
.

▶▷▶ л.а.кузнецов решебник к сборнику задач по высшей математике
Интерфейс Русский/Английский
Тип лицензия Free
Кол-во просмотров 257
Кол-во загрузок 132 раз
Обновление: 04-11-2018
лакузнецов решебник к сборнику задач по высшей математике — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Решебник к сборнику заданий по высшей математике ЛА math-helpernet/reshebniki-po-matematike/ Cached Решебник к сборнику заданий по высшей математике ЛА Кузнецова Пределы 19012015 Решебники для студентов , Решебники по математике Решения к «Сборнику заданий по высшей математике» Кузнецова Л allengorg/d/math/math548htm Cached Решения к » Сборнику заданий по высшей математике » Кузнецова Л А (все задачи, все варианты) Решение задач по высшей математике из задачника Кузнецова Лакузнецов Решебник К Сборнику Задач По Высшей Математике — Image Results More Лакузнецов Решебник К Сборнику Задач По Высшей Математике images Задачи из сборника Кузнецова Л А kvadromircom/kuznecovhtml Cached к сборнику заданий КУЗНЕЦОВА Л А Здесь размещаются совершенно бесплатные решения из Сборника заданий по высшей математике Кузнецова Л А Решебник к сборнику заданий по высшей математике ЛА math-helpernet/reshebniki-po-matematike/ Cached Решебник к сборнику заданий по высшей математике ЛА Кузнецова Дифференциальные уравнения Решебник к сборнику заданий по высшей математике ЛА math-helperru/reshebniki-po-matematike/ Cached Решебник к сборнику заданий по высшей математике ЛА Кузнецова Аналитическая геометрия Варианты 21-31 Решебник сборник заданий по высшей математике л а кузнецов n-31ru/matematike/reshebnik-sbornik-zadaniy-po-visshey Cached Решебник по математике 1 класс Решебник к сборнику задач по математическому анализу Бермана в лучшем качестве — решения к названному сборнику , скан книжки-решебника, Решебник к сборнику заданий по высшей математике ЛА edu-libcom/matematika-2/dlya-studentov/ Cached Решебник к сборнику задач по аналитической геометрии ДВ Клетеника ОНЛАЙН Математика в школе Методический журнал №6 – 1979 сборник задач по высшей математике кузнецов гдз — PDF docplayerru/40962227-Sbornik-zadach-po-vysshey Cached решебник по математике л а кузнецов Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова ЛА (все задачи, все варианты) Решебник заданий по высшей математике — Кузнецов ЛА nasholcom ГДЗ по Математике Решебник заданий по высшей математике — Кузнецов ЛА Решебник , в котором собрали примеры Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые wwwreshebnikru/tasks Cached Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 19,200 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™
Автоматизация сис упр технол проц Выполним все виды работ по прикладным дисциплинам (информатика
металлургии
дипломных работ по техническим дисциплинам: сопромату
самостоятельные работы
технической
в котором собрали примеры Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые wwwreshebnikru/tasks Cached Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
в котором собрали примеры Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые wwwreshebnikru/tasks Cached Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
Решебник к сборнику заданий по высшей математике ЛА edu-libcom/matematika-2/dlya-studentov/ Cached Решебник к сборнику задач по аналитической геометрии ДВ Клетеника ОНЛАЙН Математика в школе Методический журнал №6 – 1979 сборник задач по высшей математике кузнецов гдз — PDF docplayerru/40962227-Sbornik-zadach-po-vysshey Cached решебник по математике л а кузнецов Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова ЛА (все задачи
Сборник заданий по высшей математике кузнецов гдз :: micrereke
08.11.2016 11:15

Решить все примеры без исключения, при всем при этом получить хорошую отметку по предмету. Высшая школа. Некоторые задачи из всехразделов сборника. ЕГЭ экзамен. Здесь размещаются совершенно бесплатные решения из Сборника заданий по высшей математике Кузнецова Л. А. Все решения задач и типовых расчётов из сборника задач Кузнецова правильные. Некоторые задачи из всехразделов сборника. Решебник ГДЗ для Математика, 6 класс Е. П. Кузнецова, Г. Л. Решебник заданий по высшей математике Кузнецов Л. А ГДЗ по.
ГДЗ по математике. Аналитическая геометрия. Кузнецов Л. А. Сборник заданий для курсовых работ по высшей математике типовые расчеты. Тип технофайла:шпаргалки Формат:Размер: 462 Описание: Шпаргалки к экзамену по высшей математике, 37 вопросов. Кузнецов решебник Ряды Кузнецов Л. А. Скачать решения из сборника задач Кузнецова Л. А.по теме Ряды, Решённый. Решебник Кузнецова к изданию 2005 года. Готовые домашние задания. Сборник заданий по высшей математике, Типовые расчеты, Кузнецов Л. А., 1983. СкачатьЕще скачать. Пособие ГДЗнаилучший способ.
Л. А. Сборник заданий по высшей математике типовые расчеты — СПб.: Лань, 2005 в электронном виде. ОГЭ, ДПА по математике. Кузнецов. Раздел. Дифференциальные уравнения. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике типовые расчеты. Методы решения. ГДЗ, решебники по математике. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике типовые расчеты.— М: Высшая школа, 1983. Решенные примеры. Сборник типовых расчетов Кузнецов Л. А. Задачник Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике типовые расчеты.
Алгебре 9. Если вы приобрели пособие ГДЗ, то это не означает, что вы обязаны абсолютно. Решебник и ГДЗ по математике 3 класс Аргинской, Ивановской, Кормишиной. Решебник заданий по высшей математике Кузнецов Л. А. Подборка решений заданий ИДЗ из самого распространённого сборника по высшей математике Кузнецова ИДЗ собраны из примеров разных вариантов. Здесь представлены решения, составленные лично мной задачи из этого сборника. Задачник Кузнецова Л. А. По высшей математике Здесь представлен задачник Кузнецова.

Вместе с Сборник заданий по высшей математике кузнецов гдз часто ищут

кузнецов решебник дифференциальные уравнения.
кузнецов решебник ряды.
кузнецов решебник интегралы.
квадромир кузнецов.
решебник по высшей математике онлайн.
анастасией зиновьевой.
плюс пи.
кузнецов сборник задач по высшей математике 2005 решебник

Читайте также:

Тест по обществознанию 10 класс духовная культура онлайн

Гдз решебник для 4 классов по русскому языку

Русский язык 4 класс изложения рамзаева

Решебник Кузнецов 1983 Год Вариант 11 Ряды — 20 Декабря 2013
Сборник заданий по высшей математике Кузнецова Л.А содержит раздел,. Решённые задачи по теме: Пределы все варианты для всех заданий.. Решебник, в котором собраны примеры решения задач из 11 разделов задачника. Задачник Кузнецова (издание 1983 года).. Ряды. Кратные интегралы. 206290122542 1 Приводится целый ряд документов, связанных с деятельностью…. Результаты голосования: за избрание Шибанова – 46 чел., против – 11, воздержалось 14…… П. Филонов. 1983–1941 гг.».. Сокращенный вариант опубликован: Коршевер И. От города солнца к городу зеро // Наука в Сибири. 2001. 5587949651 . задачи 11-го варианта по дифференцированию из Кузнецова Л. А., 1983 г. . Ряды. Задача 1. Кратн. интегралы. Задача 1. Векторн. анализ. Задача 1. 16891618509
решебник кузнецов 1983 год вариант 11 ряды
Скачать: — reshebnik-kuznetsov-1983-god-variant-11-rjady.zip
24 мар 2010. Кузнецов решебник Ряды Кузнецов Л. А. Скачать решения из сборника задач Кузнецова Л. А.по теме Ряды, Решённый. varr11rady.pdf [2,35 Mb] ( cкачиваний: 5815)…. это ПО СБОРНИКУ КУЗНЕЦОВА 1983 ГОДА? 6656071898 Преемник: Василий Васильевич Кузнецов (и. о.). (1982—1984), Председатель Президиума Верховного Совета СССР (1983—1984),. ещё до войны, в 1940—1941 годах, по другим — в 1946—1951 годах.. С августа по декабрь 1930 года Юрий Андропов работал сначала….. Нарисовали три варианта. 7543899289622 Решебник — Спб.: Лань, 2005 Образцы решения задач из разделов: Аналитическая геометрия (решены 1.27, 2.15,. Решение задач по высшей математике из задачника Кузнецова (полный вариант) DOC. Задачник Кузнецова (издание 1983 года).. Ряды. Кратные интегралы.. 11 ноября 2009, 20:45 #. 62840368098 13 ноя 2013. Решебник кузнецова л.а. вариант 3. Решебник.Ру / Кузнецов Л.А. Ряды. Задача 3:.. Тэги: Тэги: 3, решебник, кузнецова, вариант, ла. Операционка Все версии Windows Язык Русский Скачали 11 раз(а). Сборник заданий по высшей математике Л.А. КУЗНЕЦОВ, издания 1983 и 2005. 147209219712290 11 ноя 2013. Решебник кузнецов линейная алгебра 15 вариант. Решение задачи 1 из раздела Линейная алгебра, Кузнецов Л. А., 1983 год.. задач по Кузнецову на тему Ряды 1,2,3,5,6,8,10,11,12,13,14,15,16,18,20,21,22 ,23. 6598459039786
мерзляк полонский якир 5 класс решебник скачать
гдз по сборнику заданий по алгебре 9 класса кузнецова
Решебник по дифференциальным уравнениям кузнецов
Скачать решебник по дифференциальным уравнениям кузнецов doc
В данном разделе опубликованы бесплатные решения для учебника Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Cборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повышенной математической программой. Для студентов высших технических учебных заведений. ; ; Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения Условие задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение. Скачано. с. Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения Условие задачи. Найти общий интеграл диффере циаль ого уравнения.
Решебник к сборнику задач по высшей математике Кузнецова Л.А. задачник и годов. Бесплатные примеры решений по всем разделам, включая УМФ. [Купить решения онлайн] Посмотреть бесплатное решение задачи 12 вариант 4.
V. Дифференциальные уравнения. [Купить решения онлайн] Посмотреть бесплатное решение задачи 4 вариант 3. VI. Академическая и специальная литература. Математика. Решения по Кузнецову. Решебник, в котором собрали примеры решения задач из 10 разделов (Пределы, Дифференцирование, Графики, Интегралы, Дифференциальные уравнения, Ряды, Кратные интегралы, Векторный анализ, Аналитическая геометрия, Линейная алгебра) задачника Кузнецова Л.
А. А также задачи 1, 2, 3 (все варианты) дифференцирования Представлен задачник Кузнецова Л. А. (Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) — СПб.: Лань, ) Замечание: В качестве приме Решение задач по Кузнецову (полный вариант). Контрольная работа. формат pdf. Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку.
т.е. гипербола. Задача 9. Найти линию, проходящую через точку, если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью делится на точке пересечения с осью абсцисс в отношении (считая от оси).2. Смена y(x) на x в уравнении. Заказать решение задачи по дифференциальным уравнениям. Заказать решение задачи из сборника Филиппова «Сборник задач по дифференциальным уравнениям».
Прочие разделы. Заказать решение задачи из сборника Кузнецова. Заказать решение задачи по ТФКП. Решенные задачи сборника Л.А. Кузнецова «Сборник заданий по высшей математике». §1. Пределы: Задача 1 (варианты 9, 21) Задача 2 (все варианты) Задача 3 (варианты 4, 28) Задача 4 (варианты 1, 8) Задача 5 (варианты 13, 20) Задача 6 (варианты 2, 19) Задача 7 (варианты 7, 28) Задача 8 (варианты 4, 8) Задача 9 (варианты 5, 15) Задача 10 (варианты 6, 16) Задача 11 (варианты 13, 29) Задача 12 (варианты 1, 4) Задача
txt, doc, txt, txt
Похожее:
Метод проектів на уроках історії презентація
Ковбаса домашня копчена ціна
Разговор о здоровом и правильном питании безруких гдз
Догляд за руками презентація
Максим рильський біографія українська література
Трудове 4 клас нова програма скачать
Типовой расчет кузнецов решебник дифференциальные уравнения
Типовой расчет кузнецов решебник дифференциальные уравнения — xooxequua.sbp-brims.org
Типовой расчет кузнецов решебник дифференциальные уравнения

Типовой расчет Кузнецова по теме Дифференциальные уравнения Автор: SheV Категория: Решебники / Кузнецов Л. А. / Дифференциальные уравнения 1 вариант дифференциальных уравнений из Кузнецова Л. А. Решены. Решебник по физике Чертова. Теперь все контрольные и все варианты Решение задач по математике Решение задач по математике из сборника Арутюнова. 1 Mб 25 Типовой расчет Кузнецов. Дифференциальные уравнения №22.doc Дифференциальные уравнения №22.doc 01.05.2014 116.74 Кб 7 Типовой расчет Кузнецов. Решения: Дифференциальные уравнения. решебник.ру — контрольные работы и типовые расчеты высшая математика кузнецов чудесенко. v. Дифференциальные уравнения Решебник Кузнецова Л. А. Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. решебник.ру — контрольные работы и типовые расчеты высшая математика Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Сайт МАНЯ.РУ представляет собой интернет-магазин готовых решений (решебник). В данном магазине представлены решения примеров и задач из задачников Кузнецова Л.А. 1983 и 2005 годов издания (издание 2005 года полностью совпадает с изданиями 1994 и 2006 гг). В этой категории задачи из задачника Кузнецова Л.А., раздел «Дифференциальные уравнения. Типовые расчёты Кузнецова Л. А. V. Дифференциальные уравнения. Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения. Решение задач типового расчета позволяет успешно подготовиться к выполнению контрольных работ и к сдаче экзамена (зачета). Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). Задача № 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Решебник, в котором собрали примеры решения задач из 10 разделов ( Пределы. V. Дифференциальные уравнения. Варианты 1-10. Пособие «Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)» содержит. Типовой Расчет Кузнецов Решебник Ряды. Бесплатный ОнЛайн Решебник Кузнецова. Решебник Кузнецова к изданию 2005 года. Приведены типовые расчёты из раздела Аналитическая геометрия. Решенные задачи по Л. А. Кузнецову, Дифференциальные уравнения задачи. Решение задач по высшей математике из задачника Кузнецова. Некоторые задачи из всех 10-ти разделов сборника Дифференциальные уравнения. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). Дифференциальные уравнения опытом работы проекта Решебник.Ру и многократной проверкой практически всех решений преподавателями Вы здесь: Решебник задачника Кузнецова: курсовики, типовые расчеты, решения.

Links to Important Stuff

Links

© Untitled. All rights reserved.

▶▷▶ решебник к высшая математика в задачах и упражнениях
▶▷▶ решебник к высшая математика в задачах и упражнениях
Интерфейс Русский/Английский
Тип лицензия Free
Кол-во просмотров 257
Кол-во загрузок 132 раз
Обновление: 25-11-2018
решебник к высшая математика в задачах и упражнениях — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Высшая математика в упражнениях и задачах В 2 ч Данко ПЕ allengorg/d/math/math248htm Cached Высшая математика в упражнениях и задачах В 2 ч Данко ПЕ, Попов АГ, Кожевников ТЯ Высшая Математика В Упражнениях И Задачах Решебник downloadprogram123weeblycom/blog/visshaya-matematika-v Cached Книга Данко, Поповой и Кожевниковой » Высшая математика в упражнениях и задачах » в двух частях является очень неплохим пособием, с помощью высшая математика данко попов в задачах и упражнениях онлайн кампусятарф/blog/102505html Cached Высшая математика в упражнениях и задачах [Том 1] ( Высшая школа, 1986, Высшая математика в упражнениях и задачах Часть 2 Данко П, Попов А, Кожевникова Т Решебник К Высшая Математика В Задачах И Упражнениях — Image Results More Решебник К Высшая Математика В Задачах И Упражнениях images Решебник По Высшей Математике Данко Попов Кожевникова Онлайн nexuspromo935weeblycom/blog/reshebnik-po-visshej Cached Данко попов высшая математика в упражнениях и задачах онлайн — файлы для любых целей, без Высшая математика в упражнениях и задачах , Данко, Попов, Кожевникова Решебники задач по высшей математике онлайн wwwmatburoru/st_subjectphp?p=resh_vm Cached Руководства к решению задач по ВМ Ниже вы найдете ссылки на популярные, понятные, подробные руководства по решению задач и сборники задач, снабженные решенными примерами по высшей математике Высшая математика в задачах и упражнениях mirznaniicom/a/314900/vysshaya-matematika-v-zadachakh-i Cached Высшая математика в заданиях и упражнениях Предисловие Преподавание математики в высших учебных заведениях направлено на достижение следующих целей: 18 ч назад Данко попов кожевникова высшая математика в docplayerru/44034382-18-ch-nazad-danko-popov Cached Каждый решебник ГДЗ написан с сохранением структуры и нумерации Скачать Данко ПЕ, Попов АГ, Кожевников ТЯ — Высшая математика в в упражнениях и задачах Скачать решебник к Данко ПЕ Гдз вышая математика в упражнениях и задачах — mesedelu’s diary wattcratbekhatenablogcom/entry/2017/05/26/201612 Cached данко пе высшая математика в упражнениях и задачах часть 2 данко попов кожевникова 2 часть решебник данко высшая математика в упражнениях и задачах часть 2 онлайн Math2ru — Решебники math2ru/materials/books/reshhtml Cached Книга Данко, Поповой и Кожевниковой » Высшая математика в упражнениях и задачах » в двух частях является очень неплохим пособием, с помощью которого можно научиться решать стандартные задачи курса высшей математики Решебник По Высшей Математике Данко Онлайн — premiumadvisors premiumadvisorsweeblycom/blog/reshebnik-po-visshej Cached Книга Данко, Поповой и Кожевниковой ‘ Высшая математика в упражнениях и задачах ‘ в двух частях является очень неплохим пособием, с помощью которого можно научиться решать Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 5,820 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™
используя свойства определителей и теорему о разложении по элементам строки или столбца 46 В задаче 3 решить систему линейных уравнений с помощью Читать ещё Сборник задач и упражнений по высшей математике : в 2 ч Ч 1 / АВ Конюх
и по возможности
автором которого является Скрыть 7 Решение задач по высшей математике | Решатель Reshatelorg › Решение задач › Решатель Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Высшая математика ( в студенческой среде «вышка») – это обязательный курс обучения в средних специальных Курс высшей математики включает много теории и много задач
так как изучение каждого раздела идет последовательно и предусматривает выделение достаточного Читать ещё Высшая математика ( в студенческой среде «вышка») – это обязательный курс обучения в средних специальных (технических) и высших учебных заведениях
1990—495 с» Пособие адресовано учащимся
1986
smarter
Поповой и Кожевниковой » Высшая математика в упражнениях и задачах » в двух частях является очень неплохим пособием
Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Знатоки Коллекции Музыка Переводчик Диск Почта Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 Решебники задач по высшей математике онлайн MatBuroru › st_subjectphp?p=resh_vm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Высшая математика : решебники , руководства к решению задач Не справляетесь с задачами ? Данко П, Попов А, Кожевникова Т « Высшая математика в упражнениях и задачах », том 1, 1986 Читать ещё Высшая математика : решебники , руководства к решению задач Не справляетесь с задачами ? Нужно больше примеров и объяснений по какой-то теме высшей математики (от действия с векторами до решения систем дифференциальных уравнений в матричном виде)? Вам помогут так называемые решебники по высшей математике Чаще всего, это именно подробные руководства, содержащие и краткую теорию, и множество разобранных задач по математике самой разной сложности, изучив которые вы наверняка сможете сделать и свои задания Данко П, Попов А, Кожевникова Т « Высшая математика в упражнениях и задачах », том 1, 1986 Скачать (115 Мб, pdf) Скрыть Чат с компанией Время ответа ≈ 1 мин 2 Высшая математика в упражнениях и задачах allengorg › d/math/math248htm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Высшая математика в упражнениях и задачах В 2 ч Данко ПЕ, Попов АГ, Кожевников ТЯ В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения Типовые задачи даются с подробными решениями Читать ещё Высшая математика в упражнениях и задачах В 2 ч Данко ПЕ, Попов АГ, Кожевников ТЯ Учебное пособие для студентов втузов В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения Типовые задачи даются с подробными решениями Имеется большое количество задач для самостоятельной работы Часть 1 Формат: pdf ( 2003, 6-е изд, 304с) Скрыть 3 Решебники по высшей математике (руководства по) eekdiaryru › Дневники Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте » Решебники » по высшей математике Данко П Е, Попов А Г, Кожевникова Т Я Высшая математика в упражнениях и задачах Черненко В Д Высшая математика в примерах и задачах : Учебное пособие для вузов Читать ещё » Решебники » по высшей математике Данко П Е, Попов А Г, Кожевникова Т Я Высшая математика в упражнениях и задачах Изд 5-е, испр Черненко В Д Высшая математика в примерах и задачах : Учебное пособие для вузов В 3 т — СПб: Политехника, 2003 Скрыть 4 Math2ru — Решебники math2ru › materials/books/reshhtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Высшая математика » Учебные материалы, книги и статьи » Книги по высшей математике » Решебники Книга Данко, Поповой и Кожевниковой » Высшая математика в упражнениях и задачах » в двух частях является очень неплохим Читать ещё Высшая математика » Учебные материалы, книги и статьи » Книги по высшей математике » Решебники Решебники Здесь представлены наиболее популярные книги, ориентированные на приобретение практических навыков по решению задач высшей математики Обычно такие книги называют решебниками Книга Данко, Поповой и Кожевниковой » Высшая математика в упражнениях и задачах » в двух частях является очень неплохим пособием, с помощью которого можно научиться решать стандартные задачи курса высшей математики Каждый параграф предваряется краткой теорией, где разъясняются основные формулы и даются теор Скрыть 5 Решебники по высшей математике edu-libcom › Математика для студентов › Решебники по высшей математике Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 19092017 Математика , Математика для студентов, аспирантов и научных работников, Математический анализ и дифференциальные уравнения, Решебники по высшей математике Математический анализ в примерах и задачах , ч 2 Ряды, функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы Читать ещё 19092017 Математика , Математика для студентов, аспирантов и научных работников, Математический анализ и дифференциальные уравнения, Решебники по высшей математике Математический анализ в примерах и задачах , ч 2 Ряды, функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы Ляшко И И, Боярчук А К, Гай Я Г, Головач Г П Издательское объединение «Вища школа», 1977, 672 с Пособие состоит из четырех глав В начале каждого параграфа помещен соответствующий теоретический материал, а затем подробно рассмотрены примеры и контрпримеры В нем содержится свыше 1140 решенных примеров Скрыть 6 Задачи из сборника Кузнецова Л А kvadromircom › kuznecovhtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Здесь размещаются совершенно бесплатные решения из Сборника заданий по высшей математике Кузнецова Л А Вы можете найти другое применение своим деньгам вместо того, чтобы оплачивать задачи и типовые из сборника Кузнецова Читать ещё Здесь размещаются совершенно бесплатные решения из Сборника заданий по высшей математике Кузнецова Л А Все решения задач и типовых расчётов из сборника задач Кузнецова правильные Пожалуйста, сообщите нам, если решение Вас не устроило Нет необходимости отдавать деньги за решение задач , когда есть бесплатные и правильные решения Вы можете найти другое применение своим деньгам вместо того, чтобы оплачивать задачи и типовые из сборника Кузнецова Обращаем внимание на отличия нового сборника Кузнецова от старого Вот так выглядит сборник заданий по высшей математике , автором которого является Скрыть 7 Решение задач по высшей математике | Решатель Reshatelorg › Решение задач › Решатель Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Высшая математика ( в студенческой среде «вышка») – это обязательный курс обучения в средних специальных Курс высшей математики включает много теории и много задач , но не стоит этого бояться, так как изучение каждого раздела идет последовательно и предусматривает выделение достаточного Читать ещё Высшая математика ( в студенческой среде «вышка») – это обязательный курс обучения в средних специальных (технических) и высших учебных заведениях, который включает высшую алгебру и математический анализ Правда, на некоторых факультетах (например, физико-математический факультет) такой предмет может быть заменен на предметы, изучающие отдельные разделы высшей математики Курс высшей математики включает много теории и много задач , но не стоит этого бояться, так как изучение каждого раздела идет последовательно и предусматривает выделение достаточного количества времени на усвоение азов и закрепление первоначальных практических навыков Скрыть 8 Решебник к сборнику задач по математике для math-helpernet › reshebniki…reshebnik-k…tehnikumov… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Высшая математика Решения самостоятельных работ по математике из сборника задач по математике для ссузов Богомолова НВ — Рукопись — 2015 Настоящее пособие содержит решения задач и упражнений из сборника «Богомолов Н В Практические занятия по математике : Учебное пособие для Читать ещё Высшая математика Практикум по математическому анализу Практикум по аналитической геометрии Решения самостоятельных работ по математике из сборника задач по математике для ссузов Богомолова НВ — Рукопись — 2015 Настоящее пособие содержит решения задач и упражнений из сборника «Богомолов Н В Практические занятия по математике : Учебное пособие для техникумов — М: Высш шк, 1990—495 с» Пособие адресовано учащимся, которые смогут проконтролировать правильность решения домашнего задания по математике и проанализировать ошибки Страницы решебника представлены в виде слайдов Кликните на нужный слайд, чтобы прочитать содержание страницы Скрыть 9 Решебник к Высшая математика в задачах и упражнениях — смотрите картинки ЯндексКартинки › решебник к высшая математика в задачах и Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 10 Сборник задач и упражнений bseuby › hm/uchm/Sbornik/sb_vm1(2014)pdf Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сборник задач и упражнений по высшей математике : в 2 ч Ч 1 / АВ Конюх, ВВ Косьянчук, СВ Майоровская, ОН В задаче 2 вычислить определитель, используя свойства определителей и теорему о разложении по элементам строки или столбца 46 В задаче 3 решить систему линейных уравнений с помощью Читать ещё Сборник задач и упражнений по высшей математике : в 2 ч Ч 1 / АВ Конюх, ВВ Косьянчук, СВ Майоровская, ОН Поддубная, ЕИ Шилкина, – Минск : БГЭУ, 2014 – 299 с ISBN ISBN В задаче 2 вычислить определитель, используя свойства определителей и теорему о разложении по элементам строки или столбца 46 В задаче 3 решить систему линейных уравнений с помощью формул Кра-мера В задаче 4 найти матрицу, обратную данной и результат проверить умно-жением В задаче 5 исследовать данную систему на совместность и, в случае сов-местности, решить ее В задаче 6 решить данное матричное уравнение В задаче 7 найти ранг матрицы А в зависимости от значения параметра α Скрыть pdf Посмотреть Сохранить на ЯндексДиск Высшая математика в задачах и упражнениях MirZnaniicom › a…vysshaya-matematika…uprazhneniyakh Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Высшая математика в заданиях и упражнениях Предисловие Преподавание математики в высших 3 Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления данко высшая математика упражнениях задачах решебник Курс лекций по высшей математике Производные Часть 1 Хованский Читать ещё Высшая математика в заданиях и упражнениях Предисловие Преподавание математики в высших учебных заведениях направлено на достижение следующих целей 3 Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями 4 Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности, в общем виде с выводом формулы данко высшая математика упражнениях задачах решебник Курс лекций по высшей математике Производные Часть 1 Хованский о высшей математике Скрыть Высшая математика в упражнениях и задачах В 2 частях Книги на OZONru Акции, скидки Условия доставки Бестселлеры ozonru › Высшая-математика-в Не подходит по запросу Спам или мошенничество Мешает видеть результаты Информация о сайте реклама Большой выбор книг на OZONru Литература на любой вкус Выбирайте! Магазин на Маркете Нижний Новгород 18+ 1 2 3 4 5 дальше Браузер Ускоряет загрузку файлов при медленном соединении 0+ Установить
Решебник по дифференциальным уравнениям кузнецов
Скачать решебник по дифференциальным уравнениям кузнецов fb2
А.Ф.Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям стр. Ижевск: «РХД», Уравнения математической физики. V. Дифференциальные уравнения Решебник Кузнецова Л. А. Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Задача 4. Найти решение задачи Коши.
Задача 5. Решить задачу Коши. Задача 6. Найти решение задачи Коши. Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Задача Найти общее решение дифференциального уравнения. Задача Найти решение задачи Коши. Задача Найти общее решение дифференциального уравнения. Задача V. Дифференциальные уравнения. Варианты Пособие «Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)» содержит индивидуальные задания (по 31 варианту в каждой задаче) для студентов по курсу высшей математики и предназначено для обеспечения самостоятельной работы по освоению курса.
Каждое задание содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетную часть. Полное решение задач по Кузнецову на тему дифференциальные уравнения.
Теоретические вопросы 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Скачать книгу Решебник по высшей математике, к задачнику по высшей математике дифференциальные уравнения, Кузнецов Л.А.
— triocenter.ru, быстрое и бесплатное скачивание. Скачать zip Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу. Обыкновенные Дифференциальные Уравнения. Автор: М.Л.Краснов.. Аннотация: В предлагаемом сборнике задач особое внимание уделено тем вопросам, которые недостаточно подробно освещены в имеющихся пособиях и которые, как показывает опыт, слабо усваиваются студентами.
Скачать в pdf (36,6 МБ): М.Л.Краснов. / Задачи и решения. Обыкновенные Дифференциальные Уравнения. М.Л. Краснов. / Интегральные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями.
Дифференциальные уравнения. Методы решения. Решенные примеры. Всего более готовых примеров и контрольных! Весь раздел «Дифференциальные уравнения» можно скачать здесь ( KB). Купить книгу Кузнецов Л.А.
Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) в интернет-магазине «Озон». Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку.
Задача 9. Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что в любой ее точке касательный вектор с концом на оси имеет проекцию на ось, обратно пропорциональную абсциссе точки. Коэффициент пропорциональности равен. Задача Найти общее решение дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения. Задача Найти общее решение дифференциального уравнения.
Задача Найти общее решение дифференциального уравнения. Задача Найти решение задачи Коши. * Использованы материалы сайта Решебник.Ру. V. Дифференциальные уравнения Решебник Кузнецова Л. А. Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Также Вы можете заказать решение любых задач по физике и математике из любых сборников и методичек на нашем сайте.
triocenter.ru Дифференциальные уравнения. Здесь размещаются совершенно бесплатные решения из Сборника заданий по высшей математике Кузнецова Л. А.. Все решения задач и. Вот так выглядит сборник заданий по высшей математике, автором которого является Кузнецов Л.А. triocenter.ru Решебник к сборнику заданий по высшей математике V. Дифференциальные уравнения.
PDF, fb2, rtf, EPUB
Похожее:
О.с.найден українська народна лялька скачать
Міні проекти з природознавства 5 клас тварини минулого
Робочий час презентація
Фізика зно 2014 бали
Історія села гаврилівки
(PDF) Решения уравнения Захарова-Кузнецова с нелинейностью высокого порядка методами отображения и анзаца
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 261
Таким образом, скорость солитона равна
vb = −B1AB1−20 (B2
1 + B2
2) (54)
или
v = −8bB1 (B2
1 + B2
2), (55)
, что приводит к
A = 12b (B2
1 + B2
2)
a. (56)
Тогда топологическое односолитонное решение (53) равно
q (x, y, t) = Atanh (B1x + B2y − vt), (57)
, где свободные параметры A, B1 и B2 входят в (56)
, а скорость солитона определяется формулами (54) или (55).
6. ВЫВОДЫ
В этой статье метод отображения, модифицированный метод отображения
, а также расширенный метод отображения
, были использованы для выполнения интегрирования уравнения Захарова-Кузнецова
. Решениями были
кноидальных волн, ударных волн или топологических и не
топологических солитонов. Также было установлено, что
кноидальных волн в предельных случаях сводятся к отличным от
топологическим уединенным волнам
и периодическим решениям de-
в зависимости от предельного значения параметра эллиптической функции
.
В будущем эти результаты будут использованы для
получения решений при наличии членов возмущения
и при наличии зависящих от времени коэффициентов дисперсии
и нелинейности. Кроме того, будут учтены стохастические составляющие возмущения
.
Результаты такого исследования будут сообщены в другом месте —
где.
ПОДТВЕРЖДЕНИЕ
Исследовательская работа второго автора (AB) была
при полной поддержке NSF-CREST Grant No.HRD-
0630388, и эта поддержка искренне и искренне признательна
.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович М. и Стегун И. Справочник по математическим функциям
(Довер, Нью-Йорк, 1991).
2. А. Бисвас и Э. Зеррад. «Односолитонное решение
уравнения Захарова – Кузнецова с двускоренным законом нелинейности
», Коммунал. Нелинейные науки. Numer-
ical Simulation. 14 (9-10), 3574 (2009).
3. А. Бисвас и Э.Зеррад, “Уединенное волновое решение
уравнения Захарова – Кузнецова в плазме со степенной нелинейностью
”, Нелинейный анализ, сер. B:
Real World Appl. 11 (4), 3272 (2010).
4. К. С. Гарднер, Дж. М. Грин, М. Д. Крускал и
Р. М. Миура, «Метод решения уравнения Кортевега —
де Фриза», Phys. Rev. Lett. 19, 1095 (1967).
5. Р. Хирота, «Точное решение уравнения Кортевега-де Фриза
для многократного столкновения солитонов», Phys.
Rev. Lett. 27, 1192 (1971).
6. А. Хатер, М. М. Хассан, Э. В. Кришнан и
Ю. З. Пенг, «Применение эллиптических функций к ионным плазменным акустическим волнам
», Europ. Phys. J. D. 50, 177
(2008).
7. Э. В. Кришнан и Я. З. Пенг, «Квадратные решения липтических функций Якобиана El-
для уравнения (2 + 1) −DKorte-
weg − de Vries», Adv. Теор. Прил. Математика. 1,
9 (2006).
8. П. Дж. Олвер, Применение групп Ли к различным уравнениям (Springer, N.Ю., 1986).
9. Матвеев В.Б., Салле М.А., Трансформация Дарбу
и солитоны (Springer, Berlin, 1991).
10. Ю. Пэн, «Точные решения периодических волн для нового уравнения амплитуды гамильтониана
», J. Phys. Soc. Jpn.
72, 1356 (2003).
11. Ю. Пэн, «Новые точные решения нового гамильтониана
амплитудного уравнения», J. Phys. Soc. Jpn. 72, 1889
(2003).
12. Ю. Пэн, «Новые точные решения нового гамильтониана
Амплитудное уравнение II», J.Phys. Soc. Jpn. 73,1156
(2004).
13. Ю. З. Пенг и Э. В. Кришнан, «Точные решения бегущей волны
для одного класса нелинейных уравнений с частными производными», Int. J. Pure Appl. Математика. Sci. 3,
11 (2006).
14. А-М. Вазваз, «Явные решения бегущей волны для
вариантов уравнений K (n, n) и ZK (n, n)
с компактными и некомпактными структурами», Прил.
Math. Comput. 173 (1), 213 (2006).
15. Дж. Вайс, М. Табор и Г. Карневале, «Свойство Пенлеве
для уравнений с частными производными», J. Математика.
Phys. 24, 522 (1983).
ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ Vol. 18 № 4 2010
Построение решений уравнения Захарова – Кузнецова с дробно-степенными нелинейными членами | Успехи в разностных уравнениях
Теперь рассмотрим второй случай \ (\ gamma = \ frac {3} {2} \). {- 1} v- \ gamma} + \ sqrt {\ beta — \ gamma}} \ biggr \ vert}, \ quad \ gamma <\ beta.{2} (w- \ alpha _ {1}) (w- \ alpha _ {2}) (w- \ alpha _ {3}), $$
(49)
, где α , \ (\ alpha _ {1} \), \ (\ alpha _ {2} \), \ (\ alpha _ {3} \) — действительные числа, а \ (\ alpha _ { 1}> \ alpha _ {2}> \ alpha _ {3} \). У нас есть
$$ \ begin {выровнено} \ pm (\ xi — \ xi _ {0}) = & \ int \ frac {\ mathrm {d} w} {\ sqrt {(w- \ alpha _ {1}) (w- \ alpha _ {2}) (w- \ alpha _ {3})}} \\ & {} — \ frac {2 (\ alpha -s_ {0})} {(\ alpha — \ alpha _ {2}) \ sqrt {\ alpha _ {2} — \ alpha _ {3}}} \ biggl \ {\ operatorname {F} (\ varphi, k) — \ frac {\ alpha _ {1} — \ alpha _ {2}} {\ alpha _ {1} — \ alpha} \ varPi \ biggl (\ varphi, \ frac {\ alpha _ {1} — \ alpha _ {2}} {\ alpha _ {1} — \ альфа}, k \ biggr) \ biggr \}, \ end {align} $$
(50)
где
$$ \ begin {align} & \ operatorname {F} (\ varphi, k) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ sqrt {1- k ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}, \ end {align} $$
(51)
$$ \ begin {align} & \ varPi (\ varphi, h, k) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {(1 + h \ sin ^ {2} \ varphi) \ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}.{3} (w- \ beta) (w- \ gamma), $$
(58)
, где α , β и γ — действительные числа. Решение представлено
$$ \ begin {align} \ pm (\ xi — \ xi _ {0}) = & \ int \ frac {\ mathrm {d} w} {\ sqrt {(w- \ alpha) (w- \ бета) (w- \ gamma)}} \\ & {} + \ frac {(\ alpha — \ beta) (\ alpha -s_ {0})} {2 \ sqrt {\ alpha — \ gamma}} \ operatorname {E} \ biggl (\ arcsin \ sqrt {\ frac {\ alpha — \ gamma} {w- \ gamma}}, \ sqrt {\ frac {\ beta — \ gamma} {\ alpha — \ gamma}} \ biggr ) — \ sqrt {\ frac {w- \ beta} {(w- \ gamma) (w- \ alpha)}}.\ end {align} $$
(59)
В остальных случаях мы можем дать соответствующие решения аналогично. Мы их опускаем для простоты.
Семья 3.10 . В следующих трех случаях: \ (D_ {5}> 0 \), \ (D_ {4}> 0 \), \ (D_ {3}> 0 \), \ (D_ {2}> 0 \) или \ (D_ {5} <0 \) или \ (D_ {5}> 0 \ wedge (D_ {4} \ leq 0 \ vee D_ {3} \ leq 0 \ vee D_ {2} \ leq 0) \) , где ∧ означает «и», ∨ означает «или», соответственно мы имеем
$$ \ begin {align} & F (w) = (w- \ alpha _ {1}) (w- \ alpha _ {2 }) (w- \ alpha _ {3}) (w- \ alpha _ {4}) (w- \ alpha _ {5}), \ end {align} $$
(60)
$$ \ begin {align} & F (w) = (w- \ alpha _ {1}) (w- \ alpha _ {2}) (w- \ alpha _ {3}) \ bigl ((wl) ^ {2} + s ^ {2} \ bigr), \ end {align} $$
(61)
или
$$ F (w) = (w- \ alpha) \ bigl ((w-l_ {1}) ^ {2} + s_ {1} ^ {2} \ bigr)) \ bigl ((w-l_ {2}) ^ {2} + s_ {2} ^ {2} \ bigr).$$
(62)
Тогда соответствующие решения могут быть выражены гиперэллиптическими функциями или гиперэллиптическими интегралами. Мы их опускаем для краткости.
Подготовка к экзамену по математике (профильный уровень): задания, решения и пояснения. Бесплатные решения задач по высшей математике IDA из сборника задач Рябушко
Скоро сказка сказывается, но не успевает
К сожалению, новые методические материалы появляются на сайте не с такой скоростью, с которой хотелось бы многим посетителям.Это неудивительно, ведь на создание качественного урока уходит довольно много времени. Но что делать? Вот вам тема или отдельная задача, которую вы не нашли на моем ресурсе …. И это надо сегодня разобраться!
Следовательно, по мере развития проекта необходимо создать банк готовых решений По разным разделам высшей математики. И эта страница должна понравиться вам именно потому, что банк отлично бесплатный ! Прямо сейчас у вас есть возможность бесплатно скачать файловые архивы по разным тематикам башни.
Источник вакансии?
Все задачи выполняю лично для меня, что гарантирует качественное решение.
Типичный архив содержит, как правило, 200-300 задач с готовыми решениями, и я постарался собрать самые разные материалы, включая редко встречающиеся задачи и примеры повышенной сложности. Сальванка состоит из тестовых работ, индивидуальных заданий, выполняемых мною единовременно на заказ. Вдобавок обрадуем школьников-очков — в архивах есть типовые выкладки из Колонны Кузнецова, ИДА Сборника Рябушко, а также теория вероятностей из Колонны чудес.По причинам, которые указаны в обзоре Полезные математические сайты , я их распространяю совершенно бесплатно. Да, конечно, расчет не очень большой, но некоторым студентам крупно везет!
Только, товарищи, не будем жаловаться и обижаться. Да, качество высокое, все примеры и задания проверены учителями, но в решениях могут быть опечатки, некорректные вещи и даже ошибки. Задачи представлены «как есть». Нет смысла Сообщать мне о найденных косяках, потому что, во-первых, их исправить технически сложно, а во-вторых, просто некогда (стоит одна перепаковка и пересчет архива). Исключение составляют PDF-файлов, которые находятся непосредственно на сервере, напишите мне, если вы обнаружите в них серьезный недосмотр.
Возможно, у кого-то возникнет недоразумение, а то и возникнет ошибка. Но практически все посетители сайта имеют ненулевой уровень математической подготовки, поэтому примерные решения принесут гораздо больше пользы, чем вреда; В идеале, если вы хорошо разбираетесь в той или иной теме и хотите найти дополнительные примеры.
Каждый сборник задач сопровождается краткими комментариями к содержимому архива.Более того, банк время от времени пополняется новыми материалами.
Короче идите к нам на свет!
Готовые задачи с решениями по теме
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
В архиве порядка трехсот задач по линейной алгебре и аналитической геометрии, в том числе несколько вычислений Кузнецова и несколько ИД Рябушко. Обслуживаются практически все стандартные задачи алгебры: решение систем уравнений, вычисление определителей, системы исследования единиц, задачи на определение матрицы оценок, матричные уравнения, задачи на собственные значения / собственные векторы.Аналитическая геометрия представлена как задачами на плоскости, так и в трехмерном пространстве.
Примеры пределов решения
В архиве есть пара сотен лимитов разбиения, включая лимиты секвенций. Рассмотрены примеры решения пределов с замечательными эквивалентностями. В сборнике 3 ячейки Кузнца и 3 варианта ИДА Рябушко. Сказать, каких вариантов я не буду — приятная игра в лотерею и развлечение! Если вы прочитали существующие уроки по теме, то вы не поймете, что многое из ограничений выбора не составит особого труда

Дифференциация функций одной переменной
В архиве представлены в основном типовые выкладки из Сборника Кузнецова (10 вариантов), есть 3 варианта от Рябушко.Примеры позволят значительно улучшить технику их дифференцирования, так как производные из коллекции Кузнецова достаточно тяжелы. Причем некоторые производные нужно искать в несколько этапов! Помимо производных, существуют типовые задачи: нахождение производных произвольного, «энонного» порядка, примеры по формуле Лагранжа; Задачи по построению касательной и нормали, а также некоторые задачи по поиску производной производной для определения производной.
Исследования функций
Пожалуй, самый трудоемкий и кропотливый выбор.Решебник содержит 69 полностью изученных функций одной переменной, в том числе функции-полиномы, дробно-рациональные функции, функции с экспонентами, логарифмы и другие, редкие образцы. Вполне вероятно, что вы найдете свой пример или очень похожую функцию. Контейнер действует как тема приложения и тема графики и предназначена для самотестирования / тренировки.
Готовые решения неопределенных интегралов
В основном неопределенные интегралы, но их немного, и они есть.Сборник включает более двухсот интегралов, в том числе очень сложные. Рассмотрены самые разные примеры, которые не подошли к моим урокам! В архиве 6 типовых расчетов Кузнецова и 2 ИД Рябушко. Расчеты Кузнецова содержат задачи по нахождению объема тел, длины дуги и площади поверхности, причем не только в декартовой, но и в полярной системе координат, а также для параметрически заданных функций.
Задачи для числовых и функциональных рядов
Еще один увесистый кирпич.Конечно, в наличии примеры изучения числовых рядов на предмет сходимости, и есть ряды творческие, требующие опыта и нестандартного подхода. Моя гордость — не было такого ряда, который я бы не смог взломать. Рассмотрены задачи нахождения суммы ряда, различные задачи для приближенных вычислений с использованием ряда. Функциональные ряды представлены с общей задачей найти область конвергенции (опять же с творческими случаями). Есть популярная задача разложить приватное решение Ду в ряд.Есть десяток примеров решений ряда Фурье.
И даже раскрытие неопределенностей в пределах разложением по строкам. В архиве 13 типографий Кузнецова и пара вариантов Рябушко. Приятного аппетита!
Готовые решения дифференциальных уравнений
Good Sophhelen Diffures. В задачах применялись различные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка, в том числе те, которые я не рассматривал на уроках. Есть диффузы повышенной сложности — второго порядка и выше, примеры, использующие метод вариации произвольных констант.Прилагаются дифференциальные уравнения. В архиве 8 типовых расчетов Кузнецова и 2 варианта Рябушко. Кроме того, я экономлю коллекцию экзаменационных билетов, в них, помимо дифференциальных уравнений, есть задания для строк и кратных интегралов.
Примеры решений кратных и криволинейных интегралов
Двойной интеграл, изменение порядка обхода байпаса, расчет площади с двойным интегралом. Тройной интеграл, расчет объема тела с тройным интегралом.Примеры решений не только в декартовой, но и в полярной, цилиндрической системах координат. Основные приложения множественных интегралов: определение центра тяжести плоской пластины, центра масс тела и другие задачи. Криволинейные интегралы на кривой, по контуру. Кампания по поиску работы силы по контуру и по формуле Грина.
Вы верите, что это сложно ?!
Примеры решения задач по теории поля
Помимо прочего, в сборник вошли наиболее популярные задачи с решениями следующих типов: нахождение производной по направлению и градиенту, расчет потока векторного поля через часть плоскости, расчет потока векторного поля через замкнутой поверхности по формуле Остроградского-Гаусса рассчитать циркуляцию векторного поля по контуру.В архиве есть несколько расчетов из Колонны Кузнецова.
Примеры решения задач по комбинаторике и теории вероятностей
В следующих PDF-файлах вы можете ознакомиться с дополнительными задачами к урокам комбинаторики и теории вероятностей . При этом у меня не было цели собрать сотни примеров, наоборот — я пытался отфильтровать явные дубликаты. Кроме того, большинство файлов задач упорядочены в порядке возрастания сложности:
Цели экономического содержания
Многие знают, как сложно «раскачиваться» после долгих зимних каникул, и однажды после каникул я нашел отличный способ вернуться в рабочий ритм — создать сборники готовых заданий с ярко выраженным экономическим содержанием, которые законсервированы. в моей коллекции и которые никому не приносят пользы.Это некоторые задачи экономико-математического моделирования, это задачи финансовой математики (проценты, рента и т.д.) И, наконец, это задачи, относящиеся к экономике. Так что давайте пересадим хмурую январскую погоду следующими полезными материалами:
Задачи по финансовой математике
На самом деле, это на самом деле сказано слишком громко — в следующем файле вы найдете насущные и практически полезные задачи по процентам и расчету выплат по вкладам / займам.
Я уперся несколькими найденными решениями и сделал их максимально понятными! Причем по ходу дела и то само качнулось =)
И, конечно же, калькулятор к задачам! Да хотя бы для того, чтобы мгновенно найти интересующий с любого номера:
Задача межотраслевого баланса (модель Леонтьева)
Одна из самых известных экономико-математических моделей, описывающих многие секторы экономики, часть продуктов которой расходуется совместно в результате производства, а другая часть является конечным продуктом.Возникли трудности с матрицами прямых / полных затрат, кропотливо найти матрицу возврата и матрицу умножения с дробными числами? Следующая программа мгновенно проведет вычисления, которые просто выполняются на обычном микрокалькуляторе:
Эта программа создана в MS Excel и доступна для активных пользователей библиотеки. . Или для умеренных очков.
Демо-версия Можете посмотреть. Расчеты проводились для наиболее распространенного учебного случая — трех отраслей; Более того, решение можно распечатать и сдать!
И что особенно приятно, перед вами пример практического использования алгебры Матрицы..
Типовые цели экономических показателей
Следующий скромный PDF, конечно, не охватывает всего многообразия экономических показателей, но я разобрал и систематизировал, пожалуй, все разновидности самой популярной задачи индексов цен / физических продаж / торговли + аналогичная задача на Индексы затрат и общие затраты . Даже ребенок разберется:
… а если еще берет эту программу , я ни разу не допущу ошибок!
Цели экономической статистики
Как и в предыдущем файле, здесь вся высшая математика ограничивается простейшими арифметическими действиями =)… и было бы смешно, если бы это было так грустно (экономика — не моя профильная тема, но, тем не менее, вашему покорному слуге пришлось добыть несколько десятков заданий по социально-экономической и производственной статистике, которые были «неминуемы» для тестовая работа по математической статистике . В этом плане суперскоп не гарантирую, хотя, с другой стороны, хаутинга тоже нет:
И напоследок на радость ученикам-очкам открываются еще две раздачи:
Типовые расчеты по теории вероятностей из сборника Wonderland бесплатно!
Решены первые 22 задачи, где чуть больше, где меньше.Первый вариант для демонстрации находится прямо на сайте: другие варианты (2, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 20, 21, 24, 11, 12, 12, 20, 21, 24, 25) из-за их небольшого веса я перешел из файла во вновь созданную библиотеку Site. Также архив может быть полезен тем, что в сборниках замечательных сложных задач по теории вероятностей, и, возможно, вы найдете то, что искали.
id из задания Рябушко — бесплатно !!
Солидное приложение ко всем архивам + задачи, которые еще не предлагались на этой странице, в частности, примеры с функциями нескольких переменных .Закрыты, конечно, не все 4 тома, но по некоторым разделам будет выброшена добрая половина вариантов, а то и больше! Выполненные индивидуальные задания можно использовать как «по прямому назначению», так и в качестве дополнительной самоподготовки / обучения. Долгожданный решебник Задача Рябушко Провела отдельную страничку.
И ряд работ различных вузов страны:
4) пробы МЭИ (МЭИ).
На данный момент пока все, смотрю время от времени — еще что-нибудь придумываю!
Среднее образование
Линия Укк Г.К. Моравина. Алгебра и начало математического анализа (10-11) (угл.)
Линия Мерзляк. Алгебра и стартовый анализ (10-11) (у)
Математика
Разбираем задачи и решаем примеры с преподавателем
Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).
Минимальный порог — 27 баллов.
Экзаменационная работа состоит из двух частей, различающихся по содержанию, сложности и количеству заданий.
Отличительной чертой каждой части работы является форма задач:
часть 1 содержит 8 задач (задачи 1-8) с кратким ответом в виде целой или конечной десятичной дроби;
часть 2 содержит 4 задачи (задачи 9-12) с кратким ответом в виде целой или конечной десятичной дроби и 7 задач (задачи 13-19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий) .
Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:
«Для получения аттестата школы выпускник должен сдать два обязательных экзамена в виде экзамена, один из какая математика.В соответствии с концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике делится на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня. «
Задание № 1. — проверяет у участников экзамена навыки применения навыков, полученных в ходе 5 — 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональные числа, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.
Пример 1. В квартире, где живет Петр, установлен расход потребления холодной воды (счетчик). 1 мая счетчик показал расход 172 кубометра. м воды, а на первое июня — 177 кубометров. Какую сумму должен заплатить Питер за холодную воду на май, если цена 1 куб. C холодной водой 34 рубля 17 копеек? Дайте ответ в рублях.
Решение:
1) Находим количество воды, потраченной за месяц:
177 — 172 = 5 (м.куб.)
2) Найдем сколько денег заплатят за израсходованную воду:
34.17,5 = 170,85 (руб)
Ответ: 170,85.
Задание №2. — Это одно из самых простых заданий ЕГЭ. С ним успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении понятием функции. Тип задания №2 по кодификатору запроса — это задание на использование полученных знаний и навыков в практической деятельности и повседневной жизни. Задача № 2 состоит из описания с использованием функций различных фактических зависимостей между значениями и интерпретации их графиков.Задача № 2 проверяет возможность извлечения информации, представленной в таблицах в диаграммах, диаграммах. Выпускникам необходимо уметь определять значение функции по значению аргумента при различных методах настройки функции и описывать поведение и свойства функции в соответствии с ее графиками. Также необходимо уметь находить наибольшее или наименьшее значение в расписании и строить графики изученных функций. Допустимые ошибки случайны при чтении условий задания, чтении таблицы.
# Advertising_insert #
Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одного продвижения горнодобывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрел 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько бизнесменов потеряли в результате этих операций?

Решение:
2) 1000 · 3/4 = 750 (долей) — это 3/4 всех приобретаемых долей.
6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) — предприниматель получил после продажи 1000 акций.
7) 340000 — 325000 = 15000 (руб) — Утерянный бизнесмен в результате всех операций.
В этом разделе мы готовимся к экзамену по математике как базовому, профильному уровню — у нас готовятся задания, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Воспользовавшись нашим ресурсом, вы поймете минимум в решении задач и сможете успешно сдать экзамен по математике в 2019 году.Начиная!
Экзамен по математике является обязательным для любого ученика 11 класса, поэтому информация, представленная в этом разделе, актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два типа — базовый и профильный. В этом разделе я анализирую каждый тип задач с подробным объяснением двух вариантов. Задачи еге строго тематические, поэтому по каждому номеру можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую для решения такого типа задач.Ниже вы найдете ссылки на задачи, нажав на которые вы сможете изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно обновляются и обновляются.
Структура базового уровня ЕГЭ по математике
Экзамен по математике базового уровня состоит из одной части из них 20 задач с кратким ответом. Все задания направлены на проверку развития базовых навыков и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.
Ответ на каждую из задач 1-20: целое число , конечная десятичная дробь или последовательность чисел .
Задание с коротким ответом считается выполненным, если правильный ответ записан в форме ответа №1 в форме, предусмотренной инструкцией по выполнению задания.
Page non Trouvée — Transports Funéraires Letellier
Condition générales de vente
1.По запросу
L’entreprise TRANSPORTS FUNERAIRES LETELLIER, микропредприятие dont le siège social est à LE DRENNEC (29860) 6 rue de Bel Air, immatriculée au registre du commerce et des Sociétés de BREST sous le numéroréréréréréréréréré, 512 615 ci-après «L’entreprise»).
L’entreprise предлагает услуги аренды:
Transports avant mise en bière,
Transports après mise en bière,
Transports d’urne funéraire.
2. Преамбула
Les présentes Conditions générales de vente (ci-après les «CGV»), составляющих уникальное цокольное отношение между коммерческими сторонами. Используйте все условия для работы с L’entreprise, чтобы предоставить клиентам услуги, используя шрифт, требуемый для прямой или поддерживающей бумаги. Elles s’appliquent à tous les Services fournis par L’entreprise pour tous les clients d’une même catégorie, quelles que soit les clauses pouvant figurer sur un document du client, notamment ses conditions générales d’achat.Elles sont messages systématiquement au client. Toute implique l’acceptation des CGV.
3. Определения
Дизайн клиента оформлен в соответствии с требованиями, предъявляемыми непосредственно к письму;
Commande désigne à toute commande passée par le Client en vue de bénéficier des services de L’entreprise;
Condition Générales de Vente ou CGV désignent le présent document;
Consommateur désigne l’acheteur personne Physique qui agit hors de son activité Professionalnelle;
Professionnel désigne l’acheteur personne morale или физическое состояние, которое должно быть возбуждено в соответствии с профессиональными кадрами;
Services désigne toutes les prestations de service offers par L’entreprise;
et L’entreprise désigne L’entreprise TRANSPORTS FUNERAIRES LETELLIER, плюс обширный désignée à l’article I des présentes.
4. Командует
Les Commandes sont passées par le Client, если вы обращаетесь к нему напрямую или без посредников.
Les ventes de Services sont réalisées après établissement d’un devis à destination du Client, принятие de ce devis par le Client и явное принятие Commande par L’entreprise.
5. Prestation de service et prix
Les tarifs sont ceux en vigueur au jour de la passation de la Commande, tels qu’établis sur le devis fourni au Client or selon le barème indiqué au Client.Les tarifs sont présentés hors tax (HT), TVA неприменимо, ст. 293 B du CGI.
Si le coût des Services ne peut être déterminé, a priori, avec certitude, un devis détaillé sera remis au client avec la méthode de Calcul du prix lui permettant de le verrifier.
Chaque Commande, une facture est établie par L’entreprise à destination du Client.
6. Délais et modalités de paiement
Сопровождающий 10% от общей стоимости услуг Commandés est exigé lors de la passation de la commande.
Le solde du prix est comptant au jour de la fourniture des prestations.
Le paiement peut être réalisé, номер:
.
Virement (le libellé du virement devra faire упоминание du numéro de facture)
En cas de défaut de paiement total or partiel des prestations à la date meeting sur la facture, l’acheteur devra verser à L’entreprise une pénalité de retard. все соммы, и включают в себя комплексные, неоплачиваемые в связи с выплатой даты получения права на выплату компенсации в размере 40 евро при условии выплаты компенсации.
Выплата компенсации, не подлежащей выплате в качестве компенсации Клиенту, входящей в систему управления активами в четырех зданиях командиров и некоторых взносов в качестве Клиента в Агентство по управлению правами на услуги.
7. Реализация станций
La prestation de Service commandée sera assurée par: L’entreprise
L’entreprise s’engage à respecter au mieux les délais annoncés lors de la passation de la Commande. Надежный, elle ne peut en aucun cas être tenue, ответственный за замедление реализационной деятельности по случаю престанции и raison de fautes qui ne lui sont вменяемым.
En outre, laponsabilité de L’entreprise ne peut être engagée для мотивов delai de réalisation en périodes de forte demande.
L’entreprise ne peut pas voir saresabilité engagée pour des delais provoqués pour des motifs de force majeure, c’est à dire en raison de la Survenance d’un évènement imprévisible, unrésisible и независимый от волонтерства де L’entreprise.
8. Заявление
Pour toutes les commandes réalisées, le Client имеет право на объявление 15 дней в соответствии с планом обслуживания.
Pour exercer ce droit de réclamation, le Client doit faire parvenir à L’entreprise, à l’adresse 6, rue de Bel Air (29860) LE DRENNEC une déclaration dans laquelle il exprime sesresresres et reclamations, assorties des justificatifs. Une reclamation ne due to pas les conditions décrites ci-dessus ne pourra être acceptée. L’entreprise remboursera et rectifiera le Service dans les plus brefs délais et à ses frais, dans les limites du possible.
9. Droit de rétractation du Consommateur
Le Consommateur распоряжается правом на отказ от 14 журналов в соответствии с требованиями командования, без подачи упомянутых продуктов в статье L.221-28 du Code de la consompting tel que воспроизводить ci-dessous:
«Право на устранение недостатков в упражнениях для мужчин»:
1 ° De fourniture de services pleinement exécutés avant la fin du délai de rétractation et dont l’exécution a commencé après согласно предварительным exprès du consommateur et renoncement exprès à son droit de retractation;
2 ° De fourniture de biens or services dont le prix depend de per le marché financier échappant au contrôle du Professionalnel, and susceptibles de se produire pendant le délai de rétractation;
3 ° De fourniture de biens confectionnés selon les spécifications du consommateur ou nettement personalisés;
4 ° De fourniture de biens unceptibles de se détériorer ou de se perrimer rapidement;
5 ° De fourniture de biens qui ont été descellés par le consommateur après la livraison et qui ne peuvent être renvoyés pour des raisons d’hygiène ou de protection de la santé;
6 ° De fourniture de biens qui, après voir été livrés et de par leur nature, sont mélangés de manière неразделимые статьи;
7 ° De fourniture de boissons alcoolisées dont la livraison est différée au-delà de trente jours et dont la valeur meeting à la result du contrat depend de флуктуации на марше и контроле над профессией;
8 ° De travaux d’entretien ou de réparation à réaliser en urgence au domicile du consommateur and expressément sollicités par lui, dans la limit de pèces de rechange et travaux strictement nécessaires pour l’urgress;
9 ° Управление регистрацией аудио или видео или логики, информативной информации, находящейся на месте, не имеющей отношения к совместному пребыванию в жизни;
«10 ° De fourniture d’un journal», «d’un périodique ou d’un magazine», «sauf pour les contrats d’abonnement à ces»;
11 ° Conclus lors d’une enchère publique;
12 ° De prestations de services d’hébergement, autres que d’hébergement résidentiel, de services de transport de biens, de locations de voitures, de restoring ou d’activités de loisirs, qui doivent être fournis à une date orà une période déterminée ;
13 ° De fourniture d’un contenu numérique non fourni sur un support matériel do not l’exécution a commencé après accord préalable exprès du consommateur et renoncement exprès à son droit de rétractation.»
Pour exercer ce droit de rétractation, le Consommateur envoie une déclaration à l’adresse: [email protected].
Моя память о тоталите французских верований для сохранения услуг в 14 журналах, получивших приз за одобрение L’entreprise de sa declaration de rétractation.
Le remboursement sera fait par virement.
Cependant, si la prestation de services est déjà entamée à la date de la priz de connaissance de la retractation par L’entreprise, la valeur correant à la prestation de service déjà effectuée sera déduite du remboursement.Ce dernier sera opéré par virement.
10. Легальные гарантии
Les Services fournis à des Consommateurs sont garantis compliance aux dispositions légales du Code de la consomitation et du Code civil telles que воспроизводит ci-dessous:
Статья L.217-4 Кодекса согласования: «Le vendeur livre un bien conforme au contrat et repond des défauts de compité existant lors de la delivrance. Ответная реакция на соответствие требованиям для монтажа, инструкции по монтажу или установке в соответствии с требованиями, предъявляемыми к ответственности.”
Статья L.217-5 Кодекса согласования: «Le bien est conforme au contrat:
1 ° S’il est propre à l’usageolatedlement serveu d’un bien semblable et, le cas échéant: s’il соответствует à la description donnée par le vendeur et possible les qualités que celui-ci a présentées à l’acheteur су-форма д’эчантильон или модель; s’il présente les qualités qu’un acheteur peut légitimement visitre eu égard aux déclarations publiques faites par le vendeur, par le producteur or par son representent, notamment dans la publicité ou l’étiquetage;
2 ° Ou s’il présente les caractéristiques définies d’un commun accord par les party ou est propre à tout usage special recherché par l’acheteur, porté à la connaissance du vendeur et que ce dernier a accepté »
Статья 1641 Гражданского кодекса: «Le vendeur est tenu de la garantie à raison des défauts cachés de la selected vendue qui la rendent impropre à l’usage auquel on la destine, ou qui diminuent tellement cet usage que l’acheteur ne l ‘ aurait pas acquise, ou n’en aurait donné qu’un moindre prix, s’il les avait connus.»
Les Services vendus aux Professionnels bénéficient également de la garantie prévue по статье 1641 Гражданского кодекса.
La garantie est limitée au remplacement ou au remboursement des Services, non conformes ouffects d’un vice. Elle est exclue en cas de mauvaise utilization or d’utilisation anormale du Service ainsi que dans le cas o le Service ne respecterait pas la législation du pays dans lequel il est livré. Le Client devra informer L’entreprise de l’existence des vices dans un délai de deux ans.L’entreprise fera rectifier les Services jugés défectueux dans la mesure du possible. Ответственность за L’entreprise остается неизменной, это гарантия, которая ограничивается ежемесячным платежом HT за клиента для всей мебели для услуг. Le remplacement des Services n’a pas pour effet de продление срока гарантии.
11. Traitement des données staffles
L’achat par le Client peut entraîner le traitement de ses données à caractère персонала. Если клиент откажется от предоставленных услуг, он потребует предоставления дополнительных услуг L’entreprise.Обязанности персонала для персонала имеют право на уважение Генерального Регламента по Защите Донн 2016/679 от 27 апреля 2016 г.
Par ailleurs, соответствие à la loi Informatique et Libertés du 6 января 1978 г., право распоряжаться клиентом, на момент, d’un droit d’interrogation, d’accès, de rectification, de Modification et d’opposition à l’ensemble de ses données staffles en écrivant, par courrier et en justifiant de son identity, à l’adresse suivante: 6, rue de Bel Air, 29860 LE DRENNEC.Ces données staffles sont nécessaires au traitement de sa Commande et à l’établissement de ses factures le cas échéant, ainsi qu’à l’amélioration des servicesposés sur L’entreprise.
12. Partage des données collectées
L’entreprise n’a pas recours à des sociétés tierces pour la réalisation de ses prestations.
Les données staffles des customers ne seront pas transmises à des tiers.
Cependant, les information des Clients pourront être transmises à des tiers sans leur accord express express préalable afin d’atteindre les buts suivants:
respecter la loi
protéger toute personne contre des dommages corporels graves, voire la mort
lutter contre la fraude ou les atteintes portées à L’entreprise ou à ses utilisateurs
protéger les droits de propriété de L’entreprise.
13. Protection des données
L’entreprise assure un niveau de sécurité Applicable et пропорционально aux risques encourus ainsi qu’à leur probabilité, соответствует Регламенту Général sur la Protection des Données 2016/679 от 27 апреля 2016 г. Toutefois, ces mesures ne constituent généran et n’engagent pas L’entreprise à une Обязательства по результатам, касающимся безопасности.
14. Файлы cookie
Pour permettre à ses Utilisateurs de bénéficier d’une navigation optimale sur le Site and d’un meilleur fonctionnement des différentes interface and applications, L’entreprise is prceptibled’implanter un cookie sur l’Utilisateur de l’Utilisateur.Эти файлы cookie позволяют хранить информацию о родственниках в навигации по сайту, ainsi qu’aux éventuelles données saisies par les Utilisateurs (notamment recherches, login, email, mot de pas). L’Utilisateur поддерживает выражение L’entreprise à déposer sur le disque dur de l’utilisateur un fichier dit «cookie». L’Utilisateur избавляется от возможности блокировки, модификатора на время сохранения и удаления файлов cookie через интерфейс пользователя. Если система деактивации файлов cookie использует навигатор определенных сервисов пользователя или функции сайта, то эта функция не действует и действует в качестве учредителя и подчиняется члену, который подлежит возмещению.
15. Модификации
Фигурка по каталогам, проспектам и тарифам L’entreprise sont donnés à titre indicatif et sont révisables à tout moment. L’entreprise est en droit d’y apporter toutes changes qui lui paraîtront utiles. Lorsqu’il pas une Commande, le Client est soumis aux stipulations énoncées par les CGV en vigueur lors de la passation de la commande.
16. Propriété intellectuelle
La marque, le logo et la charte graphique sont des marques déposées dont la propriété revient эксклюзивно для L’entreprise.Распространение, использование, репрезентация, воспроизведение, qu’elle soit partielle ou intégrale sans l’autorisation expresse de ladite L’entreprise exposera le contrevenant à des poursuites civiles et pénales.
17. Пункт атрибутивной компетенции
Право собственности на французское право. Tout litige pouvant Survenir Entre L’entreprise et un Client lors de l’exécution des CGV fera l’objet d’une tentative de résolution à l’amiable. A défaut, les litiges seront portés à la connaissance des tribunaux compétents de droit commun.
18. Приемка клиента
Клиент принимает экспресс-платежи CGV. Il déclare en avoidir connaissance et renonce à se prevaloir de tout autre document, notamment ses propres conditions générales d’achat.
19.

Как вы думаете, что больше занимает места– 1 кг ваты или 1 кг гвоздей? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать величину, которая называется объём. В данной задаче ответ очевиден, так как мы можем представить предметы визуально. Но не всегда ответ может быть таким простым. Чаще всего нужно произвести определённые вычисления.

В древности в разных частях планеты люди по-разному измеряли объём. Например, в Древней Греции использовали глиняные мерные сосуды для зерна или жидкостей. Причём это были амфоры разного размера. Поэтому значение единицы объёма менялось от 2 до 26 литров.

На Руси основной мерой жидкостей считалось ведро, в котором 10 кружек или 12 литров. Также для подсчётов объём ведра делили пополам, то есть на два полуведра, которые, в свою очередь, тоже можно было поделить пополам. Для торговли с иностранцами использовали меру объёма, называемую бочка, которая равнялась 40 вёдрам.

Мальчик купил аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, который имеет площадь дна, равную 1400 см³, и высоту 6 дм. Какой объём воды он налил в аквариум, если уровень жидкости не доходил до края 5 см? Выразите ответ в кубических сантиметрах.

Объем геометрической фигуры

— количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Навигация по странице: Формулы объема куба Формулы объема призмы Формулы объема параллелепипеда Формулы объема прямоугольного параллелепипеда Формулы объема пирамиды Формулы объема правильного тетраэдра Формулы объема цилиндра Формулы объема конуса Формулы объема шара

Онлайн калькуляторы для вычисления объемов

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

V = a³

где V — объем куба,
a — длина грани куба.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема куба

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

V = S_o h

где V — объем призмы,
S_o — площадь основания призмы,
h — высота призмы.

Онлайн калькулятор для расчета объема призмы

Формулы площади геометрических фигур для определения площади основания призмы

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

V = S_o · h

где V — объем параллелепипеда,
S_o — площадь основания,
h — длина высоты.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

V = a · b · h

где V — объем прямоугольного параллелепипеда,
a — длина,
b — ширина,
h — высота.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема прямоугольного параллелепипеда

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды:

V =	1	S_o · h
	3

где V — объем пирамиды,
S_o — площадь основания пирамиды,
h — длина высоты пирамиды.

Онлайн калькулятор для расчета объема пирамиды

Формулы площади геометрических фигур для определения площади основания пирамиды

Объем правильного тетраэдра

Формула объема правильного тетраэдра:

V =	a³√2
	12

где V — объем правильного тетраэдра,
a — длина ребра правильного тетраэдра.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема правильного тетраэдра

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра:

V = π R² h
V = S_o h

где V — объем цилиндра,
S_o — площадь основания цилиндра,
R — радиус цилиндра,
h — высота цилиндра,
π = 3. 141592.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема цилиндра

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса:

V =	1	π R² h
	3

V =	1	S_o h
	3

где V — объем конуса,
S_o — площадь основания конуса,
R — радиус основания конуса,
h — высота конуса,
π = 3.141592.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема конуса

Объем шара

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.

Формула объема шара:

V =	4	π R³
	3

где V — объем шара,
R — радиус шара,
π = 3. 141592.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема шара

Формулы по геометрии Квадрат. Формулы и свойства квадрата Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника Параллелограмм. Формулы и свойства параллелограмма Ромб. Формулы и свойства ромба Трапеция. Формулы и свойства трапеции — Равнобедренная трапеция. Формулы и свойства равнобедренной трапеции — Прямоугольная трапеция. Формулы и свойства прямоугольной трапеции Формулы площади геометрических фигур Формулы периметра геометрических фигур Формулы объема геометрических фигур Формулы площади поверхности геометрических фигур

Все таблицы и формулы

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Каждое из рассматриваемых нами тел имеет объём, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объёмов. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Такой куб называют единичным (смотри рисунок ниже).

Ребро куба	Название объема куба	Запись объема
1 мм	кубический миллиметр	1 мм³
1 см	кубический сантиметр	1 см³
1 дм	кубический дециметр	1 дм³
1 м	кубический метр	1 м³
1 км	кубический километр	1 км³

Измерить объем фигуры — значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: длины, ширины и высоты.

Если — длина прямоугольного параллелепипеда, — его ширина, то их произведение равно площади основания рассматриваемого параллелепипеда, т.к. основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник, т.е. (смотри рисунок ниже).

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба

V =

где

— объем куба,

— длина грани куба.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема куба.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы

V =

S_o h

где

— объем призмы,

S_o

— площадь основания призмы,

— высота призмы.

онлайн калькулятор для расчета объема призмы.
формулы площади геометрических фигур для определения площади основания призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда

V =

S_o · h

где

— объем параллелепипеда,

S_o

— площадь основания,

— длина высоты.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

V =

a · b · h

где

— объем прямоугольного параллелепипеда,

— длина,

— ширина,

— высота.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема прямоугольного параллелепипеда.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды

V =	1	S_o · h
	3

где

— объем пирамиды,

S_o

— площадь основания пирамиды,

— длина высоты пирамиды.

онлайн калькулятор для расчета объема пирамиды,
формулы площади геометрических фигур для определения площади основания пирамиды.

Объем правильного тетраэдра

Формула объема правильного тетраэдра

V =	a ³√2
	12

где

— объем правильного тетраэдра,

— длина ребра правильного тетраэдра.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема правильного тетраэдра.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра

V =
π R
²
h
V =
S_o h

где

— объем цилиндра,

S_o

— площадь основания цилиндра,

— радиус цилиндра,

— высота цилиндра,

π = 3.141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета Объем цилиндра.

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса

V =

π R

V = 1
S_o h
3

где

— объем конуса,

S_o

— площадь основания конуса,

— радиус основания конуса,

— высота конуса,

π = 3. 141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема конуса.

Объем шара

Объем шара равен четырем третим от его радиуса в кубе помноженого на число пи.

Формула объема шара

V =	4	π R ³
	3

где

— объем шара,

— радиус шара,

π = 3.141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема шара.

Площадь куба

Площадь поверхности куба равна квадрату длины его грани умноженному на шесть.

Формула площади куба

S = 6

где

— площадь куба,

— длина грани куба.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета площади куба.

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

S = 2(

a · b

a · h

b · h

)

где

— площадь прямоугольного параллелепипеда,

— длина,

— ширина,

— высота.

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета площади прямоугольного параллелепипеда.

Площадь цилиндра

Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра

S = 2

π R h

Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.

Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра

S = 2

π R h

+ 2

π R

² = 2

π R

(

)

где

— площадь,

— радиус цилиндра,

— высота цилиндра,

π = 3.141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета площади цилиндра.

Площадь конуса

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению его радиуса и образующей умноженному на число

Формула площади боковой поверхности конуса:

S =

π R l

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания конуса и площади боковой поверхности.

Формула площади полной поверхности конуса:

S =

π R

² +

π R l

π R

(

)

где

— площадь,

— радиус основания конуса,

— образующая конуса,

π = 3.141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета площади конуса.

Площадь шара

Формулы площади шара

где

— площадь шара,

— радиус шара,

— диаметр шара,

π = 3. 141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета площади шара.

Объём куба

Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.
Объём куба равен кубу длины его грани.
V=a3 ,
где V — объем куба,
a — длина грани куба.
Объём призмы

Призма — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
Если в основании:
треугольник, то находите площадь треугольника,

квадрат, то — квадрата,

произвольная фигура, то найдите площадь произвольной фигуры.

V=Sо·h ,
где V — объем призмы,
S_о — площадь основания призмы,
h — высота призмы — расстояние между её основаниями. Для прямой призмы, у которой все рёбра перпендикулярны основаниям — это любое из рёбер.
Объём параллелепипеда

Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания параллелепипеда на высоту.
V=Sо·h ,
где V — объём параллелепипеда,
S_о — площадь основания параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда — расстояние между его основаниями.
Объём прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
V=a·b·h ,
где V — объём прямоугольного параллелепипеда,
a — длина,
b — ширина,
h — высота.
Объём пирамиды
Пирамида — это многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а все грани представляют собой треугольники с общей вершиной, являющейся вершиной пирамиды.

Объём пирамиды с произвольным основанием
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
V=13·S·h ,
где V — объём пирамиды,
S — площадь основания пирамиды,
h — высота пирамиды.

Объём усечённой пирамиды
Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части.
Объём усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h на сумму площадей верхнего основания S1, нижнего основания усеченной пирамиды S2 и средней пропорциональной между ними.
V=13·h·S1+S1·S2+S2 ,
где V — объём усеченной пирамиды,
S1 — площадь верхнего основания усеченной пирамиды,
S2 — площадь нижнего основания усеченной пирамиды,
h — высота усеченной пирамиды.

Объём правильной пирамиды
Правильная пирамида — пирамида, в основани, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.
V=n·a2·h22·tg180°n ,
где V — объём пирамиды,
a — сторона основания пирамиды,
n — количество сторон многоугольника в основании,
h — высота правильной пирамиды.

Объём правильной треугольной пирамиды
Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани — равные равнобедренные треугольники.
V=h·a24·3 ,
где V — объём правильной треугольной пирамиды,
a — сторона основания пирамиды,
h — высота правильной треугольной пирамиды.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды
Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани — равные равнобедренные треугольники.
Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен одной трети произведения высоты пирамиды на куб стороны основания пирамиды.
V=h·a23 ,
где V — объём правильной четырёхугольной пирамиды,
a — сторона основания пирамиды,
h — высота правильной четырёхугольной пирамиды.

Объём тетраэдра
Тетраэдр — пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.
Объем тетраэдра равен двенадцатой части произведения куба длины грани тетраэдра на квадратный корень из двух.
V=212·a3 ,
где V — объём тетраэдра,
a — любая из граней тетраэдра.
Объём цилиндра

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
V=π·R2·h=S·h ,
где V — объём цилиндра,
S — площадь основания цилиндра,
R — радиус цилиндра,
π — число пи ≈ 3,14159265.
Объём конуса

Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.
Объем конуса равен трети от произведения площади его основания на высоту.
V=13·π·R2·h=13·S·h ,
где V — объём конуса,
S — площадь основания конуса,
R — радиус основания конуса,
π — число пи ≈ 3,14159265.
Объём шара

Шар — совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
Объём шара равен четырём третьим от произведения числа пи на радиус шара в кубе.
V=43·π·R3 ,
где V — объём шара,
R — радиус шара,
π — число пи ≈ 3,14159265.
Коротко о важном

Таблицы

Формулы

Формулы по геометрии

Теория по математике

Формула объема куба
Главная
Справочник
Геометрия
Формулы объема
Формула объема куба
Объем куба
Формула для расчета объема куба
Калькулятор объёма куба
Куб или правильный гексаэдр — это правильный многогранник, у которого все грани это квадраты. 3 $$
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
Формула объема конуса
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту
Формулы объема Расчёт Объем Тригонометрия Формулы Геометрия Фигуры
Формула объема цилиндра
Объем цилиндра равен произведению квадрата радиуса основания, высоты цилиндра и числа пи (3.1415)
Формулы объема Расчёт Объем Тригонометрия Формулы Геометрия Фигуры
Формула объема шара
Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.
Формулы объема Расчёт Объем Тригонометрия Формулы Геометрия Фигуры
Формула объема пирамиды
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту
Формулы объема Расчёт Объем Тригонометрия Формулы Геометрия Фигуры
Формула объёма параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту
Формулы объема Расчёт Объем Тригонометрия Формулы Геометрия Фигуры
Что такое Ом
1 ом представляет собой электрическое сопротивление между двумя точками проводника, когда постоянная разность потенциалов 1 вольт, приложенная к этим точкам, создаёт в проводнике ток 1 ампер, а в проводнике не действует какая-либо электродвижущая сила.
Электротехника Формулы Физика Теория Электричество
Формула объема цилиндра
Объем цилиндра равен произведению квадрата радиуса основания, высоты цилиндра и числа пи (3.1415)
Формулы объема Расчёт Объем Тригонометрия Формулы Геометрия Фигуры
Треугольник Паскаля
Числа Калькулятор Расчёт Математика Формулы
Таблица мер измерения
Таблицы
Сколько километров в миле?
Морскую милю приравняли к 1862 метрам, сухопутная американская миля равна 1.609344 километра.
Размеры и расстояния Длина Формулы
Что такое дюйм? Чему равен 1 дюйм?
Дюйм — это длина, которая соответствует 2,54 сантиметра (приблизительно 25 миллиметров)
Размеры и расстояния Длина Формулы
Операции над числами
Числа Формулы Алгебра Числа
Сколько ягод в 1 литре?
Я́года — маленький сочный или мясистый плод, обычно кустарниковых или травянистых растений, который при употреблении в пищу не требуется откусывать или разрезать.
Площади и объемы Площадь Математика Формулы Геометрия
Параллелепипед – формулы, свойства, определение, примеры
Параллелепипед – это трехмерная фигура, образованная шестью параллелограммами. Слово «параллелепипед» происходит от греческого слова parallelepdon , что означает «тело, имеющее параллельные тела». Можно сказать, что параллелепипед относится к параллелограмму так же, как куб относится к квадрату. Параллелепипед имеет 6 граней в форме параллелограмма, 8 вершин и 12 ребер. Давайте разберемся со свойствами и различными формулами, связанными с площадью поверхности и объемом параллелепипеда, в следующих разделах.
1. Что такое параллелепипед?
2. Свойства параллелепипеда
3. Площадь поверхности параллелепипеда
4. Объем параллелепипеда
5. Решенные примеры
6. Практические вопросы
7. Часто задаваемые вопросы о параллелепипеде
Что такое параллелепипед?
Параллелепипед представляет собой трехмерную фигуру с шестью гранями, каждая из которых имеет форму параллелограмма. У него 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Куб, прямоугольный параллелепипед и ромбовидный — все это частные случаи параллелепипеда. Куб – это параллелепипед, все стороны которого имеют форму квадрата. Точно так же кубоид и ромбоид являются параллелепипедами с прямоугольной и ромбовидной гранями соответственно. На приведенном ниже рисунке мы можем наблюдать параллелепипед с длинами сторон «a», «b» и «c», а «h» — высотой параллелепипеда.
Свойства параллелепипеда
Существуют определенные свойства параллелепипеда, которые помогают нам отличить его от других трехмерных фигур. Эти свойства перечислены ниже:
Параллелепипед представляет собой трехмерную твердую форму.
Имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
Все грани параллелепипеда имеют форму параллелограмма.
Параллелепипед имеет 2 диагонали на каждой грани, называемые диагоналями граней. Всего у него 12 диагоналей граней.
Диагонали, соединяющие вершины, не лежащие на одной грани, называются телом или пространственной диагональю параллелепипеда.
Параллелепипедом называется призма с основанием в форме параллелограмма.
Каждая грань параллелепипеда является зеркальным отражением противоположной грани.
Площадь поверхности параллелепипеда
Площадь поверхности параллелепипеда определяется как общая площадь, занимаемая всеми поверхностями параллелепипеда. Площадь поверхности параллелепипеда выражается в квадратных единицах, например 9.0087 2 , см ² , м ² , фут ² , ярд ² и т. д. Площадь поверхности параллелепипеда может быть двух типов:
Площадь боковой поверхности 9006
Общая площадь поверхности
Площадь боковой поверхности параллелепипеда
Площадь боковой поверхности параллелепипеда определяется как площадь боковых или боковых граней параллелепипеда. Чтобы вычислить LSA параллелепипеда, нам нужно найти сумму площадей, занимаемых 4 боковыми гранями.
Общая площадь поверхности параллелепипеда
Общая площадь поверхности параллелепипеда определяется как площадь всех граней параллелепипеда. Чтобы вычислить TSA параллелепипеда, нам нужно найти сумму площадей, покрытых 6 гранями.
Площадь поверхности параллелепипеда Формула
Формула для расчета площади боковой поверхности и общей площади поверхности параллелепипеда:
LSA параллелепипеда = P × H
TSA параллелепипеда = LSA + 2 × B = (P × H) + (2 × B)
где,
B = Базовая площадь
H = Высота параллелепипеда
P = Периметр основания
Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда определяется как пространство, занимаемое фигурой в трехмерной плоскости. Объем параллелепипеда выражается в кубических единицах, например, ³, см ³, м ³, фут ³, ярд ³ и т. д.
Объем параллелепипеда Формула
Объем параллелепипеда можно рассчитать, используя площадь основания и высоту. Формула для расчета объема параллелепипеда дается как,
В = В × Н
где
B = Базовая площадь
H = Высота параллелепипеда

Решенные примеры на параллелепипеде
Пример 1: Если базовая грань параллелепипеда имеет противоположные стороны размером 6 дюймов и 10 дюймов, а его высота равна 7 дюймам, найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Решение:
Используя формулу площади боковой поверхности параллелепипеда,
LSA = периметр основания × высота 90 115 ⇒ ЛСА = 2(6 + 10) × 7
= 224 в ³
Ответ: Площадь боковой стороны данного параллелепипеда = 224 в ^3.
Пример 2: Подарок упакован в прямоугольную коробку размером 10, 7 и 8 дюймов и должен быть обернут подарочной бумагой. Сколько подарочной бумаги требуется для упаковки подарочной коробки?
Решение:
Размеры данной подарочной коробки,
длина, l = 10 в
ширина, w = 7 в
высота, h = 8 in
Чтобы найти необходимое количество подарочной бумаги, нам нужно найти общую площадь поверхности коробки. Поскольку форму коробки можно сравнить с прямоугольным параллелепипедом,
ВПС = 2 (дв + вх + вл)
= 2 (10 × 7 + 7 × 8 + 8 × 10)
= 2 (70 + 56 + 80)
= 412 в ² .
Ответ: Площадь необходимой подарочной бумаги = 412 в ² .
перейти к слайдуперейти к слайду
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Забронировать бесплатный пробный урок
Практические вопросы по параллелепипеду

перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о параллелепипеде
Что такое параллелепипед?
Параллелепипед представляет собой трехмерную фигуру с 6 гранями в форме параллелограмма, 12 ребрами и 8 вершинами. Параллелепипед часто называют призмой с основанием в виде параллелограмма. Куб, прямоугольный параллелепипед и ромб — все это частные случаи параллелепипеда с гранями в форме квадрата, прямоугольника и ромба соответственно.
Каков объем параллелепипеда?
Объем параллелепипеда – это емкость, форма или общее пространство, занимаемое в трехмерной плоскости. Объем параллелепипеда в кубических единицах, например, ³, см ³, фут ³, ³ и т. д.
Какова общая площадь поверхности параллелепипеда?
Полная площадь поверхности параллелепипеда – это площадь, покрытая всеми гранями параллелепипеда. Выражается в квадратных единицах, например, в ², м ², см ², фут ² и т. д.
Что такое площадь боковой поверхности параллелепипеда?
Площадь боковой поверхности параллелепипеда – это площадь или область, покрываемая всеми боковыми или боковыми гранями параллелепипеда. Он выражается в квадратных единицах с использованием таких единиц, как квадратные дюймы, квадратные метры, квадратные футы и т. д.
Что такое формулы параллелепипеда?
Формулы, связанные с параллелепипедом, даны как,
LSA параллелепипеда = P × H
TSA параллелепипеда = (P × H) + (2 × B)
Объем параллелепипеда = B × H
где B — площадь основания, H — высота параллелепипеда, P — периметр основания.
Что такое прямоугольный параллелепипед?
Прямоугольный параллелепипед — тип параллелепипеда, все шесть граней которого имеют прямоугольную форму, а длины параллельных ребер равны.
Какой формы параллелепипед?
Параллелепипед — это трехмерная фигура, все стороны которой имеют форму параллелограмма. Противоположные грани параллелепипеда являются зеркальным отражением друг друга.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Рабочие листы по фигурам
Определители и объемы
Цели
Понимать связь между определителем матрицы и объемом параллелепипеда.
Научитесь использовать определители для вычисления объемов параллелограммов и треугольников.
Научитесь использовать определители для вычисления объема некоторых изогнутых фигур, таких как эллипсы.
Картинки: параллелепипед, изображение криволинейной формы при линейном преобразовании.
Теорема: определителя и объема.
Словарное слово: параллелепипед .
В этом разделе мы даем геометрическую интерпретацию определителей в терминах томов. Это прольет свет на причину трех из четырех определяющих свойств определителя. Это также важный компонент формулы замены переменных в многомерном исчислении.
Определитель вычисляет объем геометрического объекта следующего типа.
Определение
параллелепипеда , определяемого n векторами v1,v2,…,vn в Rn, есть подмножество
P=Ca1x1+a2x2+···+anxnEE0≤a1,a2,…,an≤1D.
Другими словами, параллелепипед — это множество всех линейных комбинаций n векторов с коэффициентами в [0,1]. Мы можем нарисовать параллелепипеды, используя закон параллелограмма для сложения векторов.
Пример (единичный куб)
Параллелепипед, заданный стандартными координатными векторами e1,e2,…,en, является единичным n-мерным кубом.
e2e1e1e2e3
Пример (параллелограммы)
При n=2 параллелепипед — это просто параллелограмм в R2. Обратите внимание, что ребра идут параллельными парами.
Пример
При n=3 параллелепипед является разновидностью косого куба. Обратите внимание, что грани идут параллельными парами.
v1v2v3P
Когда параллелепипед имеет нулевой объем? Это может произойти только в том случае, если параллелепипед плоский, т. е. сжат в более низкое измерение.
Pv1v2v1v2v3P
Это означает, что {v1,v2,…,vn} линейно зависима от , а , что согласно следствию из раздела 4.1 означает, что матрица со строками v1,v2,…,vn имеет нулевой определитель. Подводя итог:
Ключевое наблюдение, приведенное выше, — это только начало истории: объем параллелепипеда равен всегда определителя.
Теорема (Определители и объемы)
Пусть v1,v2,…,vn — векторы в Rn, P — параллелепипед, определяемый этими векторами, A — матрица со строками v1,v2,…,vn. Тогда абсолютное значение определителя A равно объему P:
|det(A)|=vol(P).
Доказательство
Поскольку четыре определяющих свойства характеризуют определитель, они также характеризуют абсолютное значение определителя. В явном виде |det| функция на квадратных матрицах, которая удовлетворяет следующим свойствам:
Выполнение замены строки в A не меняет |det(A)|.
Масштабирование строки A с помощью скаляра c умножает |det(A)| через |с|.
Перестановка двух строк матрицы не меняет |det(A)|.
Определитель единичной матрицы In равен 1.
Абсолютное значение определителя — это только такая функция: действительно, по этому рецепту из раздела 4.1, если вы выполните некоторое количество операций со строками над A, чтобы получить матрицу B в форме эшелона строк, тогда
|det(A)|=EEEE(произведение диагональных записей B)(произведение использованных коэффициентов масштабирования)EEEE.
Для квадратной матрицы A мы злоупотребляем обозначениями и пусть vol(A) обозначает объем параллелепипеда, определяемый строками A. Тогда мы можем рассматривать vol как функцию от набора квадратных матриц к действительным числам. Мы покажем, что vol также удовлетворяет четырем указанным выше свойствам.
Для простоты рассмотрим замену строки вида Rn=Rn+cRi. Объем параллелепипеда — это объем его основания, умноженный на его высоту: здесь «основание» — это параллелепипед, определяемый v1,v2,…,vn−1, а «высота» — это перпендикулярное расстояние vn от база. basev2v1heightbaseheightv1v2v3 Смещение vn на число, кратное vi, перемещает vn в направлении, параллельном основанию. Это не меняет ни основания, ни высоты! Таким образом, vol(A) не меняется при замене строк. basev2v1height—-→basev2v2-.5v1v1heightbaseheightv1v2v3—-→baseheightv1v2v3+.5v1v3
Для простоты рассмотрим шкалу строк вида Rn=cRn. Это увеличивает длину vn в множителе |c|, что также увеличивает перпендикулярное расстояние vn от основания в множитель |c|. Таким образом, vol(A) масштабируется как |c|.basev2v1height—-→base34v2v134heightbaseheightv1v2v3—-→base43heightv1v243v3
Перестановка двух строк A просто переупорядочивает векторы v1,v2,…,vn и, следовательно, не влияет на параллелепипед, определяемый этими векторами. Таким образом, vol(A) не меняется при перестановке строк. v2v1—-→v1v2v1v3v2—-→v1v2v3
Строки единичной матрицы In представляют собой стандартные векторы координат e1,e2,…,en. Ассоциированный параллелепипед — это единичный куб, объем которого равен 1. Таким образом, vol(In)=1.
Поскольку |det| — единственная функция, удовлетворяющая этим свойствам, у нас есть
объем(P)=объем(A)=|det(A)|.
Это завершает доказательство.
Поскольку det(A)=det(AT) по свойству транспонирования, абсолютное значение det(A) также равно объему параллелепипеда, определяемому столбцы также.
Пример (длина)
Матрица A 1×1 — это просто число AaB. В этом случае параллелепипед P, определяемый одной своей строкой, представляет собой как раз отрезок [0,a] (или [a,0], если a<0). «Объем» области в R1=R — это просто ее длина, поэтому в данном случае ясно, что vol(P)=|a|.
объем(P)=|а|0а
Пример (площадь)
Когда A является матрицей 2×2, ее строки определяют параллелограмм в R2. «Объем» области в R2 — это ее площадь, поэтому мы получаем формулу площади параллелограмма: это определитель матрицы, строки которой — векторы, образующие две смежные стороны параллелограмма.
HabIHcdIarea=EEEEdetHabcdIEEE=|ad-bc|
Возможно, удивительно, что можно вычислить площадь параллелограмма без тригонометрии. Доказать эту формулу вручную — забавная задача по геометрии. [Подсказка: сначала подумайте о случае, когда первая строка A лежит на оси x.]
Пример
Пример
Пример (Площадь треугольника)
Вам может быть интересно: если абсолютное значение определителя является объемом, то каков геометрический смысл определителя без абсолютного значения? Следующее замечание объясняет, что мы можем думать об определителе как о подписанный том . Если вы прошли курс интегрального исчисления, вы, вероятно, вычисляли отрицательные площади под кривыми; идея здесь похожа.
Пусть A — матрица размера n×n со столбцами v1,v2,…,vn, и пусть T:Rn→Rn — ассоциированное матричное преобразование T(x)=Ax. Тогда T(e1)=v1 и T(e2)=v2, так что T переводит единичный куб C в параллелепипед P, определяемый v1,v2,…,vn:
Ce2e1TF||v1v2||Gv2v1P
Поскольку единичный куб имеет объем 1, а его образ имеет объем |det(A)|, преобразование T масштабирует объем куба с коэффициентом |det(A)|. Перефразируя:
Если A — матрица размера n × n с соответствующим матричным преобразованием T: Rn→Rn, и если C — единичный куб в Rn, то объём T(C) равен |det(A)|.
Обозначение T(S) означает образ области S при преобразовании T. В обозначении построителя множеств это подмножество
T(S)=CT(x)|xinSD.
Фактически, T масштабирует объем любой области в Rn с тем же коэффициентом, даже для изогнутых областей.
Теорема
Пусть A — матрица размера n × n, и пусть T:Rn→Rn — ассоциированное матричное преобразование T(x)=Ax. Если S — любая область в Rn, то
vol(T(S))=|det(A)|·vol(S).
Доказательство
Пусть C — единичный куб, пусть v1,v2,…,vn — столбцы A, и пусть P — параллелепипед, определяемый этими векторами, поэтому T(C)=P и vol(P)=|det (А)|. При A>0 обозначим через AC куб со сторонами A, т. е. параллелепипед, определяемый векторами Ae1,Ae2,…,Aen, и аналогично определим AP. По второму определяющему свойству T переводит AC в AP. Объем AC равен An (мы масштабировали каждый из n стандартных векторов с коэффициентом A), а объем AP равен An|det(A)| (по той же причине), поэтому мы показали, что T масштабирует объем AC на |det(A)|.
Ae2Ae1ACvol(AC)=AnTF||v1v2||GAv2Av1APvol(AP)=An|det(A)|
По первому определяющему свойству образ перевода AC является переводом AP:
Т(х+АС)=Т(х)+АТ(С)=Т(х)+АР.
Поскольку перевод не изменяет объемы, это доказывает, что T масштабирует объем перевода AC на |det(A)|.
На этом этапе нам нужно использовать методы многомерного исчисления, поэтому мы даем только представление об остальной части доказательства. Любую область S можно аппроксимировать набором очень маленьких кубов вида x+AC. Затем образ T(S) аппроксимируется образом этого набора кубов, который представляет собой набор очень маленьких параллелепипедов вида T(x)+AP.
x+ACSTT(x)+APT(S)
Объем S точно аппроксимируется суммой объемов кубов; на самом деле, когда A стремится к нулю, предел этой суммы в точности равен объему (S). Точно так же объем T(S) равен сумме объемов параллелепипедов, взятых в пределе при A→0. Ключевым моментом является то, что объем каждого куба масштабируется на |det(A)|. Следовательно, сумма объемов параллелепипедов равна |det(A)| умноженная на сумму объемов кубов. Это доказывает, что vol(T(S))=|det(A)|vol(S).
Пример
Пример (Площадь эллипса)
Комментарии, исправления или предложения? (Требуется бесплатная учетная запись GitHub)
Изучите определения, формулы площади и объема здесь!
Объемная фигура с гранями в виде параллелограмма называется параллелепипедом. Оно происходит от греческой фразы «параллелепидон», означающей «объект, имеющий параллельную плоскость». По определению, это трехмерная фигура или призма с основанием в виде параллелограмма, образованным шестью сторонами параллелограмма. Трехмерные фигуры — это твердые формы или объекты, имеющие три измерения. Они измеряются по трем параметрам: длина, ширина и высота. В этой статье мы узнаем о конкретной трехмерной форме, называемой параллелепипедом, ее свойствах, формулах для общей площади, площади поверхности и объема, а также об уравнении прямоугольного параллелепипеда с решенными примерами.
Параллелепипед Определение
В геометрии параллелепипед — это трехмерная фигура, образованная шестью параллелограммами. Его еще называют ромбовидным. По аналогии с 2D Shapes, он соотносится с параллелограммом так же, как куб соотносится с квадратом. Его можно определить как многогранник с шестью гранями, также называемый шестигранником, каждая грань которого представляет собой параллелограмм. Прямоугольный кубоид с шестью прямоугольными гранями, куб с шестью квадратными гранями и ромбоэдр с шестью ромбовидными гранями — все это частные случаи параллелепипеда.
О площади треугольника читайте здесь.
Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда — это количество пространства, которое содержит параллелепипед. Чтобы понять это, рассмотрим параллелепипед, наполненный водой. Объем воды, который помещается в параллелепипеде, является объемом параллелепипеда.
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Из геометрического определения перекрестного произведения мы знаем, что его величина, ∥a×b∥, представляет собой площадь основания параллелограмма и что направление вектора a×b перпендикулярно основанию. Для описания параллелепипеда нам нужны три его смежные стороны и мера углов между ними, или три смежных вектора.
Формула объема параллелепипеда
Формула объема параллелепипеда, образованного векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ с той же начальной точкой задается их скалярным тройным произведением:
$V=∣(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}∣$.
V – Объем параллелепипеда, образованного тремя векторами; $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$
Первый шаг вычисления объема параллелепипеда включает в себя нахождение векторного произведения или векторного произведения $(\vec{a}\times\vec{b})$. Вектор произведения перпендикулярен как $\vec{a}$, так и $\vec{b}$. Обратите внимание, что величина результирующего вектора $\lvert\vec{a}\times\vec{b}\rvert$ равна площади параллелограмма, описываемого этими двумя векторами.
Последующее скалярное произведение между $(\vec{a}\times\vec{b})$ и $\vec{c}$ обозначает проекцию $\vec{a}\times\vec {b}$ на $\vec{c}$. Другими словами, он перемещает базовый параллелограмм вдоль $\vec{c}$, аналогично умножению базовой площади на высоту.
Формулу можно упростить и свести к одному определителю:
$\begin{matrix}
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}
&=
\left|
\begin{array}{cc}
a_2 & a_3\\
b_2 & b_3
\end{массив}
\right|
c_1
–
\левый|
\begin{array}{cc}
a_1 & a_3\\
b_1 & b_3
\end{array}
\right|
c_2
+
\левый|
\begin{array}{cc}
a_1 & a_2\\
b_1 & b_2
\end{array}
\right|
c_3
\\
&=
\влево|
\begin{array}{ccc}
c_1 & c_2 & c_3\\
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3
\end{массив}
\right|.
\end{matrix}$
Это дает нам объем параллелепипеда, когда векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ известны.
Узнайте о Rhombus здесь.
Объем параллелепипеда с использованием вершин
Если мы знаем вершины параллелепипеда, мы можем найти его векторы, используя простую формулу расстояния. Если $A < x_1, y_1, z_ 1 >, B < x_2, y_2, z_ 2 >$, $C < x_3, y_3, z_ 3 >$ и $D < x_4, y_4, z_ 4 > $ тогда мы можем найти векторы AB =a, AC=b и AD=c, имеющие одну и ту же начальную точку, и использовать их в качестве наших базисных векторов, образующих параллелепипед. AB будет задан как $ a = $, Аналогично мы можем найти AC и AD.
Получив векторы a, b и c, выполните следующие простые шаги: Найдите векторное произведение между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, чтобы получить $\ vec{a}\times\vec{b}$.
Вычислите скалярное произведение между векторами $\vec{a}\times\vec{b}$ и $\vec{c}$, чтобы получить скалярное значение $(\vec{a}\ раз\vec{b})\cdot\vec{c}$.
Определите объем параллелепипеда как абсолютное значение этого скаляра, заданного как $∣(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}∣$.
Объем параллелепипеда с использованием сторон и углов 92({\gamma}))}\)
Где,
$\alpha$ — угол между сторонами b и c;
$\beta$ – Угол между сторонами а и с; и
$\gamma$ – угол между сторонами a и b.
Площадь параллелепипеда
Площадь параллелепипеда равна сумме площадей всех его поверхностей. Это называется полной площадью поверхности параллелепипеда. Когда дело доходит до площади 3D-объектов, есть две важные площади поверхности:
Общая площадь поверхности параллелепипеда
Площадь боковой поверхности параллелепипеда
Давайте посмотрим, как мы можем их рассчитать.
О площади четырехугольника читайте здесь.
Площадь боковой поверхности параллелепипеда
Площадь боковой поверхности параллелепипеда определяется как сумма площадей его граней без учета основания и вершины. Площадь боковой поверхности (LSA) параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту параллелепипеда. Таким образом, формула площади боковой поверхности параллелепипеда имеет вид:
$LSA= 2(a+b){\times}c$
Общая площадь поверхности параллелепипеда
Общая площадь поверхности параллелепипеда определяется как общая площадь, покрытая всеми гранями формы . Общая площадь поверхности параллелепипеда определяется формулой
$TSA=2(ab+bc+ac)$
В векторной форме это можно записать как
$A = 2{\times} (∣\vec{a}{\times}\vec{b}∣ + ∣\vec{b}{\times}\vec{c}∣ + ∣\vec{a}{\times}\vec{c} ∣)$
Где,
$∣\vec{a}{\times}\vec{b}|: Величина \; из \; \; перекрестное произведение \; между \; \vec{a}$ и $\vec{ a}$
$∣\vec{b}{\times}\vec{c}|: Величина \; из \; \; перекрестное произведение \; между \; \vec{b}$ и $\vec{c}$
$∣\vec{c}{\times}\vec{a}|: Величина \; of \; \; перекрестное произведение \; между \; \vec{ c}$ и $\vec{b}$
Узнайте больше о линиях здесь.
Площадь параллелепипеда с использованием сторон и углов
Существует альтернативный способ расчета площади параллелепипеда с использованием длин его сторон $a$, $b$ и углов. Он находится по формуле
$A = 2\times(a{\cdot}b{\cdot}sin(\gamma) + b{\cdot}c{\cdot}sin(\alpha) + a{\cdot}c{\ cdot}sin(\beta))$, где:
$\alpha$ – угол между b и c;
$\beta$ – Угол между а и с; и
$\gamma$ – Угол между a и b.
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед представляет собой многогранник с шестью гранями, также известный как шестигранник. Это трехмерная структура в виде параллелепипеда, все шесть граней которой имеют прямоугольную форму, а длины параллельных ребер равны. Это частный случай параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед аналогичен двумерному прямоугольнику.
Узнайте о прямоугольниках здесь.
Формула прямоугольного параллелепипеда
Формула прямоугольного параллелепипеда включает в себя формулы площади его поверхности, объема и диагоналей. Давайте посмотрим, как мы можем это вычислить.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
На фигуре прямоугольного параллелепипеда шесть прямоугольников. Мы должны вычислить площадь шести прямоугольников, чтобы определить площадь его поверхности (граней). Формула площади поверхности:
Площадь поверхности $= 2(l{\times}h) + 2(l{\times}w) + 2(h{\times}w)$
$S = 2[(l{\ times}h) + (l{\times}w) + (h{\times}w)]$
, где
$l$, $w$, $h$ — длина, ширина, высота прямоугольного параллелепипеда соответственно.
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
Произведение периметра основания и высоты называется площадью боковой поверхности. Каждая грань прямоугольного параллелепипеда представляет собой прямоугольник, поэтому периметр основания равен периметру прямоугольника. Ниже приведена формула для LSA (площадь боковой поверхности):
LSA = периметр основания × высота
Поскольку периметр основания равен 2 (длина + ширина)
= 2 (длина + ширина) × высота
$LSA = 2lh + 2wh$
где
$l$, $w$, $h$ — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Площадь основания, умноженная на высоту, дает объем прямоугольного параллелепипеда. Основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник, как и каждая его грань, а его площадь равна произведению его длины на ширину. Формула объема следующая: 92}\)
Решенные примеры на параллелепипеде
Теперь давайте посмотрим несколько решенных примеров на параллелепипеде.
Решено Пример 1: Найдите площадь поверхности данного параллелепипеда, если его длина 13 см, ширина 12 см, высота 10 см.
Решение:
Мы знаем, что
Общая площадь поверхности (TSA) = 2(ab + bc + ac), здесь a = 13 см, b = 12 см, c = 10 см
= 2( 13 × 12 + 12 × 10 + 10 × 13 )
= 812 кв.см
Решено Пример 2: Рассмотрим параллелепипед ABCDEFGH с длинами ребер a = 7, b = 5 и c = 3. Если ∠DAE=45°, ∠BAD=63° и ∠BAE=50°, то что площадь поверхности параллелепипеда?
Решение:
Здесь
$\alpha=∠BAD=63°$ – угол между b и c;
$\beta=∠DAE=45°$ – Угол между а и с; и
$\gamma=∠BAE=50°$ – угол между a и b.
Площадь поверхности будет равна, будет равна
$A = 2\times(a{\cdot}b{\cdot}sin(\gamma) + b{\cdot}c{\cdot}sin(\alpha) + a{\cdot}c{\ cdot} sin (\ beta)) $
\ (A = 2 \ times (7 {\ cdot} 5 {\ cdot} sin (50) + 5 {\ cdot} 3 {\ cdot} sin (63) + 7 {\ cdot} 3 {\ cdot} sin (45)) \)
\ (A = 2 \ times (35 {\ cdot} sin (50) + 15 {\ cdot} sin (63) + 21 {\ cdot}sin(45))\)
$A = 110,05$ кв. ед.
Решено Пример 3: Найти объем параллелепипеда с векторами a = (1, 1, 2), b = ( 2, 1, 3) и с = (3, 1, 2).
Решение:
Объем параллелепипеда определяется определителем матрицы:
$ V=
{\begin{bmatrix}
c_1 & c_2 & c_3\\
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3
\end{bmatrix}}
$
Подставляя значения получаем
$ V=
{\begin{bmatrix}
3 & 1 & 2\\
1 & 1 & 2\\
2 & 1 & 3
\end{bmatrix}}
$
Нахождение определителя получаем,
$V = |3(1\times3 – 2\times1) – 1(1\times3 – 2\times2) + 2(1\times1 – 1\times2)|$
$V = |3 \times1 – 1\times(-1) + 2\times(-1)|$
$V = 2 $ кубических единиц.
Надеюсь, эта статья о параллелепипеде была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!
Часто задаваемые вопросы о параллелепипеде
В.1 Как найти вершины параллелепипеда?
Ответ 1 Вершины параллелепипеда можно найти, используя длины ребер. Постройте параллелепипед по осям X, Y и Z и измерьте длины ребер, чтобы получить координаты вершин.
Q.2 В чем разница между кубоидом и прямоугольным параллелепипедом?
Ответ 2 Если мы ограничим определение прямоугольных граней, как это иногда делается, то прямоугольный параллелепипед и прямоугольный параллелепипед будут одним и тем же.
В.3 Как найти высоту параллелепипеда?
Ответ 3 Вы можете найти высоту параллелепипеда, если знаете его боковую или полную площадь. Просто используйте формулу площади поверхности и решите высоту.
Q.4 Как рассчитать площадь параллелепипеда?
Ответ 4 Формула площади боковой поверхности параллелепипеда: $LSA= 2(a+b){\times}c$. Общая площадь поверхности параллелепипеда определяется по формуле $TSA=ab+bc+ac$
Q.5 Что является примером прямоугольного параллелепипеда?
Ответ 5 Пенал, обувная коробка, кирпичи, книги, матрацы — все это примеры прямоугольного параллелепипеда.
Скачать публикацию в формате PDF
Дополнительные сведения на testbook.com
Прямая и обратная пропорция: обучение с определением, формулой, примерами, символами, графиками и примерами решения Умножение здесь!
Антисимметричные отношения: вывод, график и примеры решения
Бета-функция: изучение формул, свойств, приложений с использованием примеров
Бензольные реакции: изучайте различные реакции, такие как сульфонация, нитрация и алкилирование
Том параллелепипененный калькулятор
, созданный Кришной Нелатуром
. Проседанный Стивеном Вудинг
Last Advated: MAR 11, 2022 2
. оглавления:
Объем параллелепипеда формула
Как рассчитать объем параллелепипеда?
Как вычислить объем параллелепипеда по сторонам?
Как рассчитать площадь поверхности параллелепипеда?
Как использовать этот калькулятор объема параллелепипеда – И калькулятор площади параллелепипеда
Часто задаваемые вопросы
Этот калькулятор объема параллелепипеда поможет вам вычислить объем параллелепипеда из его трех векторов , 90 167 вершин , или 90 166 длин ребер 90 167 . Кроме того, он также рассчитает площадь параллелепипеда. Вы задаетесь вопросом, как найти объем параллелепипеда , образованного тремя векторами ? Хотите узнать формулу для объема параллелепипеда с четырьмя вершинами ? Читайте дальше, чтобы узнать ответы на все эти и другие вопросы.
Объем параллелепипеда формула
Параллелепипед – это многогранник , у которого шесть граней являются параллелограммами . Для описания параллелепипеда нам понадобится его трех смежных сторон и их углов , или трех соседних векторов .
Три соначальных вектора в пространстве описывают параллелепипед.
Формула для объема параллелепипеда определяется следующим образом: \vec{c}\, \rvertV=∣(a
×b
)⋅c
∣
где:
VVV – Объем 6 параллелепипедов, образованных тремя
6 параллелепипедами0167 ; и
a⃗\vec{a}a, b⃗\vec{b}b и c⃗\vec{c}c – Три вектора , описывающие три смежных (и уникальных) сторон параллелепипеда .
Используемое векторное умножение называется скалярным тройным произведением (или просто тройным произведением). Он включает в себя перекрестное произведение векторов a⃗\vec{a}a и b⃗\vec{b}b, в результате чего получается вектор a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}a×b перпендикулярно как на a⃗\vec{a}a, так и на b⃗\vec{b}b. Обратите внимание, что 90 166 величина 90 167 результирующего вектора, ∣a⃗×b⃗∣\lvert\vec{a} \times \vec{b}\rvert∣a×b∣, равна 90 166 площади параллелограмма 90 167, описанного формулой эти два вектора.
Последующее скалярное произведение между a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}a×b и c⃗\vec{c}c обозначает проекцию a⃗×b⃗\vec{a}\ раз\vec{b}a×b на c⃗\vec{c}c. Другими словами, он перемещает базовый параллелограмм вдоль c⃗\vec{c}c, аналогично умножению базовая область с высотой .
Формулу можно упростить и свести к одному определителю:
V=∣(a⃗×b⃗)⋅c⃗∣=∣ijka1a2a3b1b2b3∣⋅(c1i+c2j+c3k)⟹V=∣c1c2c3a1a2a3b1b2scriptbsize\begin\beginb2scriptb2 {выровнять*} V &= \lvert (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\, \rvert\\\\ &= \begin{vmatrix} \bm{i} и \bm{j} и \bm{k}\\ а_1 и а_2 и а_3\\ б_1 и б_2 и б_3 \end{vmatrix}\cdot (c_1\bm{i} + c_2\bm{j} + c_3\bm{k})\\\\ \подразумевает V & = \begin{vmatrix} c_1 и c_2 и c_3\\ а_1 и а_2 и а_3\\ б_1 и б_2 и б_3 \end{vmatrix} \end{align*}V⟹V=∣(a
×b
)⋅c
∣=∣
∣ia1b1ja2b2ka3b3∣
∣⋅(c1i+c2j+c3 k)=∣
∣c1a1b1c2a2b2c3a3b3∣
∣
где:
a1a_1a1, a2a_2a23, a3 – Компоненты a⃗\vec{\bm{a}}a;
b1b_1b1, b2b_2b2, b3b_3b3 – Компоненты из b⃗\vec{\bm{b}}b;
c1c_1c1, c2c_2c2, c3c_3c3 – Компоненты из c⃗\vec{\bm{c}}c; и
i\bm{i}i, j\bm{j}j, k\bm{k}k – Единичные векторы вдоль координатных осей .
Теперь, когда вы знаете, как найти объем параллелепипеда с векторами, давайте узнаем, что делать, если единственными заданными значениями являются вершин параллелепипеда .
Зная вершины смежных сторон, мы можем определить векторы.
Вы можете найти любой вектор между двумя точками, если знаете координаты этих точек. Как только вы определите векторы, вы можете рассчитать объем параллелепипеда, используя приведенную выше формулу.
Как рассчитать объем параллелепипеда?
To calculate the volume of a parallelepiped formed by the vectors a , b , and c , follow these simple steps:
Find the cross -произведение между векторами a и b для получения a × b .
Вычислите скалярное произведение между векторами a × b и c , чтобы получить скалярное значение (a × 7 6,6 91,3 c 91,3 c 9167).
Определите объем параллелепипеда как абсолютное значение этого скаляра, заданного как ∣(a × b) ∙ c∣ .
Например, рассмотрим параллелепипед, образованный векторами a⃗=i+2j+3k\vec{\bm{a}} = \bm{i} + 2\bm{j} + 3\bm{k}a =i+2j+3k, b⃗=5i−4j+7k\vec{\bm{b}} = 5\bm{i} - 4\bm{j} + 7\bm{k}b=5i-4j+ 7k и c⃗=−5i+j+12k\vec{\bm{c}} = -5\bm{i} + \bm{j} + 12\bm{k}c=-5i+j+12k. Тогда объем параллелепипеда, описываемого этими векторами, будет равен
V=∣(a⃗×b⃗)⋅c⃗ ∣=∣−51121235−47∣V=290\begin{align*} V &= \lvert (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\, \rvert\\\\ &= \begin{vmatrix} -5 и 1 и 12\\ 1 и 2 и 3\\ 5 и -4 и 7 \end{vmatrix}\\\\ V & = 290 \end{align*}VV=∣(a
×b
)⋅c
∣=∣
∣−51512−41237∣
∣=290 9003 вычислить объем параллелепипеда из его сторон?
Чтобы вычислить объем параллелепипед из его сторон (или длин ребер ), используйте формулу V = a∙b∙c∙√(1 + 2∙cos(α)∙cos(β)∙cos(γ) - cos² (α) - cos²(β) - cos²(γ)) , где:
V – Объем параллелепипеда;
a , b и c – Три смежные стороны параллелепипеда;
α – Уголок между сторонами b и c ;
β – Уголок между сторонами a и c ; и
γ – Уголок между сторонами a и b .
Параллелепипед с длинами ребер и углами.
Например, рассмотрим параллелепипед ABCDEFGH с длинами ребер a=5a = 5a=5, b=4b = 4b=4 и c=7c = 7c=7. Если ∠DAE=45°\угол \text{DAE} = 45\градус∠DAE=45°, ∠BAD=63°\угол \text{BAD} = 63\градус∠BAD=63° и ∠BAE=50 °\угол \text{ВАЕ} = 50\градус∠ВАЕ=50°, тогда объем параллелепипеда будет В = 5·4·7 √(1 + 2·cos(45)·cos(50)·cos(63) - cos²(45) - cos²(50) - cos²(63) = 75,83 .
Как do I calculate the surface area of a parallelepiped?
To calculate the surface area of a parallelepiped formed by the vectors a , b , and c , use the formula A = 2 × (∣a × b∣ + ∣b × c∣ + ∣a × c∣) , где:
∣a × b∣ – Величина перекрестного произведения между a и b ;
∣b × c∣ – Величина перекрестного произведения между b и c ; и
∣a × c∣ – Величина перекрестного произведения между a и с .
В качестве альтернативы можно найти площадь поверхности из длин ребер a , b и c , используя формулу A = 2 × (a∙b∙sin(γ) + b∙c ∙sin(α) + a∙c∙sin(β)) , где:
α – Угол между b и c ;
β – Угол между a и c ; и
γ – Угол между a и b .
Обратите внимание, что величина векторного произведения между двумя векторами a⃗\vec{a}a и b⃗\vec{b}b, заданная как ∣a⃗×b⃗∣\lvert \vec{a} \ раз \vec{b} \rvert∣a×b∣ равно площади параллелограмма , натянутого на эти векторы. Следовательно, складывая 90 166 величин 90 167 перекрестных произведений 90 166 трех векторов 90 167, описывающих 90 166 параллелепипедов и умножив его на два, получим площадь поверхности .
Например, рассмотрим параллелепипед ABCDEFGH с длинами ребер a=5a = 5a=5, b=4b = 4b=4 и c=7c = 7c=7. Если ∠DAE=45°\угол \text{DAE} = 45\градус∠DAE=45°, ∠BAD=63°\угол \text{BAD} = 63\градус∠BAD=63° и ∠BAE=50 °\угол \text{BAE} = 50\градус∠BAE=50°, тогда площадь поверхности будет равна
A= 2×(absin⁡(α)+bcsin⁡(β)+acsin⁡(γ) )= 2×(5⋅4sin⁡(63°)+4⋅7sin⁡(45°)+5⋅7sin⁡(50°))= 132,6\scriptsize \begin{align*} A =&\ 2 \times (ab\sin(α) + bc\sin(β) + ac\sin(γ))\\ =&\ 2 \times (5\cdot 4 \sin(63\степень) + 4\cdot7\sin(45\степень) \\ &+ 5\cdot 7 \sin(50 \степень))\\ =&\ 132,6 \end{align*}A=== 2×(absin(α)+bcsin(β)+acsin(γ)) 2×(5⋅4sin(63°)+4⋅7sin(45°)+5⋅ 7sin(50°)) 132,6
Как использовать этот объем калькулятора параллелепипеда – И калькулятор площади параллелепипеда
Этот объем калькулятора параллелепипеда является простым инструментом и легким в использовании. Он имеет три различных режима расчета, чтобы найти объем параллелепипеда с 3 векторами, 4 вершинами или с использованием длин ребер и углов:
Чтобы вычислить объем параллелепипеда по 3 векторам:
Выберите опцию векторы aaa, bbb и ccc в поле Расчет с использованием поля .
Введите значения компонентов каждого вектора.
Этот объем калькулятора параллелепипеда будет отображать расчетный объем и площадь поверхности параллелепипеда в соответствующих полях в разделе Результаты .
Чтобы вычислить объем параллелепипеда с 4 вершинами:
Выберите опцию vertices p, q, r и s в поле Расчет с использованием поля .
Введите координаты каждой вершины в соответствующее поле.
Калькулятор отобразит вычисленные объем и площадь поверхности параллелепипеда в соответствующих полях раздела Результаты .
Чтобы вычислить объем параллелепипеда, используя длины ребер:
Выберите опцию Длины и углы ребер в поле Расчет с использованием поля .
Введите длины и углы ребер в соответствующие поля.
Калькулятор отобразит вычисленные объем и площадь поверхности параллелепипеда в соответствующих полях раздела Результаты .
⚠️ Если ваш ввод равен , не принимается ни в одном из режимов расчета, это связано с тем, что вы ввели значения в другом режиме расчета, что делает невозможным обработку значений в текущем. Чтобы решить эту проблему, нажмите Перезагрузите кнопку в левом нижнем углу и снова введите значения, выбрав нужный режим расчета.
Часто задаваемые вопросы
Как определить, являются ли три вектора компланарными или коллинеарными?
If the volume of a parallelepiped described by the vectors a , b , and c is equal to zero , then the vectors are coplanar . Другими словами, векторы a , b и c лежат в одной плоскости, если
If the surface area of a parallelepiped formed by the vectors a , b , and c is equal to zero , then the vectors are collinear . Другими словами, векторы a , b и c коллинеарны, если 2 × (∣a × b∣ + ∣b × c∣ = 0 .
Сколько параллельных граней в параллелепипеде?
В параллелепипеде три пар параллельных граней. Попробуйте быстро произнести это предложение: Три пары параллельных параллелограммов в параллелепипеде!
Кришна Нелатуру
Рассчитайте с использованием . ..
Компоненты вектора 𝗮 (A₁𝗶 + A₂𝗷 + A₃𝗸)
Компоненты вектора 𝗯 (B₁𝗶 + B₂𝗷 + B₃𝗸)
Компоненты вектора 𝗰 (C₁𝗶 + C₃𝗸)
Результаты
Объем параллелепипеда
Площадь поверхности параллелепипеда
Посмотреть 38 похожих калькуляторов координатной геометрии 📈
Средняя скорость изменения Билинейная интерполяцияКатенарная кривая… Еще 35
Формулы объема для геометрических фигур.
Volume
— количество места, которое занимает объект; измеряется в кубических единицах.
Формулы объема геометрических фигур: Объем куба Объем призмы Объем параллелепипеда Объем прямоугольной призмы Объем пирамиды Объем тетраэдра Объем правильного кругового цилиндра Объем прямого кругового конуса Объем сферы
Онлайн-калькуляторы. Объемы геометрических фигур
Объем куба Объем куба равен кубу длины его ребра. Формула объема Куба: V = a ³ где V - объем куба, а - длина ребра. См. также онлайн-калькулятор для расчета объема куба Объем призмы Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы. Формула объема призмы: V = A _b h где V - объем призмы, А _б - площадь основания призмы, h - высота призмы. Онлайн-калькулятор для вычисления объема призмы Формулы площади для вычисления площади основания призмы Объем параллелепипеда Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда. Формула объема параллелепипеда: V = A _b · h где V - объем параллелепипеда, А _б - площадь основания параллелепипеда, h - высота параллелепипеда. См. также онлайн-калькулятор для расчета объема параллелепипеда Объем прямоугольной призмы Объем прямоугольной призмы равен произведению ее длины, ширины и высоты. Формула объема прямоугольной призмы: V = a · b · h где V - объем прямоугольной призмы, а - длина, б - ширина, ч - высота. См. также онлайн-калькулятор для расчета объема прямоугольной призмы Объем пирамиды Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту. Объемная формула пирамиды: V = 1 A _B · H 3 3 VOMID AR -VOMAM от A -VOLID OT VOMAMED OT VOMAM OF AR -VOMAM OF AR -VOMAM OF AR -VOMAM OF AR -VOMAM. А _б - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды. Онлайн-калькулятор для вычисления объема пирамиды Формулы площади для вычисления площади основания пирамиды Объем правильного круглого цилиндра Объем правильного круглого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Формула объема прямого кругового цилиндра: V = π R ² h V = A _b h 900 объема цилиндра, А _б - площадь основания, R - радиус основания, ч - высота, π = 3,141592. См. также онлайн-калькулятор для расчета объема цилиндра Объем прямого круглого конуса Объем прямого круглого конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту. Объемная формула правого кругового конуса: 0051 V = 1 π R ² H 3 3 3 3 3 V = 1 A _B H 3 , где V - Объем CONE, , где V - объем CONE, CONE,. А _б - площадь основания, R - радиус основания, ч - высота, π = 3,141592. См. также онлайн-калькулятор для расчета объема конуса Объем шара (тела) Объем шара равен четырем третям куба радиуса, умноженному на число пи. Объемная формула сферы (твердое вещество): V = 4 π R ³ 3 0 3 0 3 319 30 30. R - радиус сферы, π = 3,141592. См. также онлайн-калькулятор для расчета объема шара Формулы геометрии Площадь. Формулы и свойства квадрата Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника Параллелограмм. Формулы и свойства параллелограмма Ромб. Формулы и свойства ромба Круг, диск, сегмент, сектор. Формулы и свойства Эллипс. Формулы и свойства эллипса Цилиндр. Формулы и свойства цилиндра Конус. Формулы, характеристики и свойства конуса Область. Формулы площади Периметр. Формулы периметра Объем. Формулы объема Формулы площади поверхности Все таблицы и формулы Формула N-мерного объема - Джастин Скайчак 01 июля 2019 г. пространство, занимаемое одномерным объектом, например, длина отрезка. • 2-мерный объем относится к пространству, занимаемому 2-мерным объектом, например площади квадрата. • Трехмерный объем — это то, что мы обычно подразумеваем под словом «объем» — объем пространства, занимаемый трехмерным объектом, например объемом куба. Продолжая эту схему, мы можем сделать вывод, что четырехмерный объем относится к пространству, занимаемому четырехмерным объектом. Однако привести пример сложнее, поскольку сложно визуализировать фигуры в 4-х и более измерениях. Объем, окруженный N-мерными векторами Однако все становится проще, если представить N-мерный объем заключенным в N-мерные векторы. Длину единичного отрезка можно интерпретировать как пространство, ограниченное одномерным единичным вектором $\left< 1 \right>$. Площадь единичного квадрата можно интерпретировать как пространство, ограниченное двумя двумерными векторами $\left< 1,0 \right>$ и $\left< 0,1 \right>$. Объем единичного куба можно интерпретировать как пространство, ограниченное тремя трехмерными единичными векторами: $\left< 1,0,0 \right>$, $\left< 0,1,0 \ справа>$ и $\left< 0,0,1 \right>$. Продолжая эту схему, объем единичного 4-мерного куба можно интерпретировать как пространство, ограниченное четырьмя 4-мерными единичными векторами: $\left< 1,0,0,0 \right>$, $ \left< 0,1,0,0 \right>$, $\left< 0,0,1,0 \right>$ и $\left< 0,0,0,1 \right>$. Это сложнее нарисовать, но это дает нам общее представление об объеме в N измерениях. Объем единичного N-мерного куба можно интерпретировать как пространство, ограниченное N N-мерными единичными векторами: $\begin{align*} \begin{matrix} \left< 1, 0, 0, \cdots , 0,0 \right> \\ \left< 0,1, 0, \cdots, 0,0 \right> \\ \vdots \\ \left<0,0, 0, \cdots, 1, 0 \right > \\ \left<0,0, 0, \cdots, 0,1 \right> \end{matrix} \end{align*}$ Объем параллелограмма Для данного объекта, стороны которого являются перпендикулярными единичными векторами, легко увидеть, что объем объекта равен 1, поскольку расстояние до объекта в каждом перпендикулярном измерении равно 1. Но это сложно, когда векторы не перпендикулярны. Например, как вычислить площадь параллелограмма, заключенного между векторами $\left< 4,1 \right>$ и $\left< 2,3 \right>$? Помните, что площадь параллелограмма, заключенного между двумя трехмерными векторами, равна величине их перекрестного произведения. Хотя векторы $\left< 4,1 \right>$ и $\left< 2,3 \right>$ двумерны, их можно интерпретировать как трехмерные векторы $\left< 4,1 ,0 \right>$ и $\left< 2,3,0 \right>$ в плоскости $x_1 x_2$. Взяв величину векторного произведения, мы находим, что площадь параллелограмма равна $10$. $\begin{align*} \left| \влево< 4,1,0 \вправо> \times \влево< 2,3,0 \вправо> \вправо| = \ влево | \влево< 0,0,10 \вправо> \вправо| = 10 \end{align*}$ Объем параллелепипеда Мы также можем использовать перекрестное произведение в качестве отправной точки для нахождения объема параллелепипеда, заключенного в трех трехмерных векторах $x$, $y$ и $z$. Векторное произведение двух векторов, скажем, $y \times z$, дает вектор, величина которого равна площади грани параллелепипеда и который указывает в направлении, перпендикулярном грани. Тогда высота параллелепипеда равна длине оставшегося вектора $x$ в направлении $y \times z$. Таким образом, объем можно получить с помощью скалярного произведения: $\begin{align*} x \cdot (y \times z) \end{align*}$ Этот результат известен как тройное произведение . При этом тройное произведение может оказаться отрицательным, в зависимости от порядка векторов в перекрестном произведении. Итак, чтобы вычислить объем, мы должны взять абсолютное значение конечного результата. Простой пример для единичного куба показан ниже. $\begin{align*} &\left| \left< 1,0,0 \right> \cdot \left( \left< 0,0,1 \right> \times \left< 0,1,0 \right> \right) \right| \\ &= \влево| \left< 1,0,0 \right> \cdot \left< −1,0,0 \right> \right| \\ &= \влево| −1 \справа| \\ &= 1 \end{align*}$ Теперь, когда мы знаем общие методы вычисления объема, заключенного в 2-мерные и 3-мерные векторы, как мы можем распространить их на 4-мерные векторы? Если мы перепишем формулу трехмерного объема в терминах формулы двумерного объема, перед нами выскочит шаблон. Для начала запишем двумерную формулу объема для двух векторов $x_1 = \left< x_{11}, x_{12} \right>$ и $x_2 = \left< x_{21}, x_{ 22} \справа>$. $\begin{align*} V \begin{pmatrix} \left< x_{11}, x_{12} \right> \\ \left< x_{21}, x_{22} \right> \end{ pmatrix} &= \left| \left< x_{11}, x_{12}, 0 \right> \times \left< x_{21}, x_{22}, 0 \right> \right| \\ &= \влево| \left< 0,0,x_{11}x_{22} − x_{12}x_{21} \right> \right| \\ &= \влево| х_{11}х_{22} - х_{12}х_{21} \право| \end{выравнивание*}$ Однако для того, чтобы прояснить паттерн, мы опустим знак абсолютного значения, тем самым разрешив «знаковый» объем. $\begin{align*} V \begin{pmatrix} \left< x_{11}, x_{12} \right> \\ \left< x_{21}, x_{22} \right> \end{ pmatrix} = x_{11}x_{22} − x_{12}x_{21} \end{align*}$ В двух измерениях объем вычерчивается из первого вектора $x_1=\left< x_ {11}, x_{12} \right>$ ко второму вектору $x_2 = \left< x_{21}, x_{22} \right>$, а знак объема просто говорит нам, происходит ли трассировка против часовой стрелки (положительный) или по часовой стрелке (отрицательный). Интуитивно это соглашение соответствует тому, которое используется для отслеживания положительных или отрицательных углов в единичной окружности. Теперь запишем трехмерную формулу объема для трех векторов $x_1 = \left< x_{11}, x_{12}, x_{13} \right>$, $x_2 = \left< x_{21 }, x_{22}, x_{23} \right>$ и $x_3 = \left< x_{31}, x_{32}, x_{33} \right>$, снова опуская знак абсолютного значения и тем самым разрешая «подписанный» том. (Значение «подписанного» объема в трех измерениях будет рассмотрено позже.) $\begin{align*} V \begin{pmatrix} \left< x_{11}, x_{12}, x_{13} \ right> \\ \left< x_{21}, x_{22}, x_{23} \right> \\ \left< x_{31}, x_{32}, x_{33} \right> \end{pmatrix } &= \left< x_{11}, x_{12}, x_{13} \right> \cdot \left( \left< x_{21}, x_{22}, x_{23} \right> \times \left< x_{31}, x_{32}, x_{33} \right> \right) \\ &= \left< x_{11}, x_{12}, x_{13} \right> \cdot \ влево( \left< x_{22}x_{33}-x_{23}x_{32}, x_{23}x_{31} -x_{21}x_{33}, x_{21}x_{32} - x_{22}x_{31} \right> \right) \\ &= \left< x_{11}, x_{12}, x_{13} \right> \cdot \left< V \begin{pmatrix} \ left< x_{22}, x_{23} \right> \\ \left< x_{32}, x_{33} \right> \end{pmatrix}, V \begin{pmatrix} \left< x_{23} , x_{21} \right> \\ \left< x_{33}, x_{31} \right> \end{pmatrix}, V \begin{pmatrix} \left< x_{21}, x_{22} \ right> \\ \left< x_{31}, x_{32} \right> \end{pmatrix} \right> \end{align*}$ 9\text{th}$ в начало вектора. Таким образом, формулу трехмерного объема можно упростить до $\begin{align*} V \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} &= x_1 \cdot \left< V_1 \ begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, V_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, V_3 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \right>. \end{align*}$ Используя эту форму, мы можем угадать формулу N-мерного объема: $\begin{align*} V \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \ vdots \\ x_N \end{pmatrix} &= x_1 \cdot \left< V_1 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, V_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, \ldots, V_N \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix} \right> \end{align*}$ Проверки работоспособности Проверим эту формулу на простом примере: 4-мерный единичный куб, окруженный векторами $x_1 = \left< 1,0,0,0 \right>$, $x_2 = \left< 0,1,0,0 \right>$, $x_3 = \left< 0,0,1,0 \right>$ и $x_4 = \left< 0,0,0,1 \right> $. $\begin{align*} V \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} &= x_1 \cdot \left< V_1 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, V_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, V_3 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, V_4 \begin{pmatrix } x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \right> \\ &= \left< 1,0,0,0 \right> \cdot \left< V_1 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, V_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, V_3 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, V_4 \begin{pmatrix } x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \right> \\ &= V_1 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \\ &= V_1 \begin{pmatrix} \left < 0,1,0,0 \right> \\ \left< 0,0,1,0 \right> \\ \left<0,0,0,1 \right> \end{pmatrix} \\ &= V \begin{pmatrix} \left< 1,0,0 \right> \\ \left< 0,1,0 \right> \\ \left< 0,0,1 \right> \end{pmatrix} \\ &= \left< 1,0,0 \right> \cdot \left( \left< 0,1,0 \right> \times \left< 0,0,1 \right> \right) \\ &= \ влево< 1,0,0 \вправо> \cdot \влево t< 1,0,0 \right> \\ &= 1 \end{align*}$ Теперь мы подошли к моменту, когда уже трудно «увидеть», что происходит. Но математика показывает нам закономерность, эта закономерность соответствует нашей интуиции в простом случае, и, учитывая, что трехмерный объем представляет собой сумму кратных двумерных объемов, кажется правдоподобным, что N-мерный объем может быть суммой кратных (N-1)-мерных объемов. Более того, формула объема соответствует нашей интуиции, когда мы масштабируем вектор. Интуитивно, изменение масштаба вектора должно привести к изменению масштаба объема: например, если мы удвоим длину одной из сторон параллелограмма, площадь должна удвоиться. Аналогично, если удвоить длину одной из сторон параллелепипеда, то объем должен удвоиться. В более общем случае, если мы масштабируем отдельный вектор с коэффициентом $r$, то объем также должен быть масштабирован с коэффициентом $r$. Действительно, это относится к нашей формуле. $\begin{align*} V \begin{pmatrix} rx_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix} &= rx_1 \cdot \left< V_1 \begin{pmatrix} x_2 \ \ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, V_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, \ldots, V_N \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix} \right> \\ &= r \left( x_1 \cdot \left< V_1 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{ pmatrix}, V_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, \ldots, V_N \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix } \right> \right) \\ &= r V \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix} \end{align*}$ Конечно, мы только показали, что изменение масштаба первого вектора приводит к изменению масштаба объема. Однако мы можем использовать этот факт, чтобы показать, что изменение масштаба второго вектора также приводит к изменению масштаба объема. $\begin{align*} V \begin{pmatrix} x_1 \\ rx_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix} &= x_1 \cdot \left< V_1 \begin{pmatrix} rx_2 \ \ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, V_2 \begin{pmatrix} rx_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, \ldots, V_N \begin{pmatrix} rx_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix} \right> \\ &= x_1 \cdot \left< r V_1 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, r V_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, \ldots, r V_N \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix} \right> \\ &= x_1 \cdot r \left< V_1 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, V_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \ vdots \\ x_N \end{pmatrix}, \ldots, V_N \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix} \right> \\ &= r \left( x_1 \cdot \ left< V_1 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, V_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}, \ldots , V_N \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix} \right> \right) \\ &= r V \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix} \end{align*}$ Мы могли бы продолжить, используя аналогичные аргументы, чтобы показать, что изменение масштаба 3-го, 4-го, так далее и N-го вектора имеет тот же эффект, что и изменение масштаба объема. Заключительные замечания К сожалению, эта формула объема неинтуитивна и громоздка для вычислений объема в многомерном пространстве. Вскоре, однако, мы представим более интуитивную концепцию, называемую сдвигом , которая приведет нас к более простому и интуитивно понятному процессу вычисления многомерных объемов. Формула объема, представленная в этой главе, по-прежнему заслуживает внимания, поскольку, хотя сдвиг дает нам процесс вычисления объема, он не дает нам формулы для вычисления объема. Упражнения Вычислить N-мерный беззнаковый объем $|V(x_1,x_2, \ldots,x_n)|$, заключенный в векторы $x_1,x_2, \ldots, x_n$. (Вы можете просмотреть решение, нажав на задачу.) $\begin{align*} 1) \hspace{.5cm} x_1 &= \left< 1,0 \right> \\ x_2 &= \left< 0 ,2 \right> \end{align*}$ Решение: $\begin{align*} 2 \end{align*}$ $\begin{align*} 2) \hspace{.5cm} x_1 &= \left< 1,1 \right> \ \ x_2 &= \left< 1,2 \right> \end{align*}$ Решение: $\begin{align*} 1 \end{align*}$ $\begin{align*} 3 ) \hspace{. 5cm} x_1 &= \left< 3,4 \right> \\ x_2 &= \left< −1,2 \right> \end{align*}$ Решение: $\begin {align*} 10 \end{align*}$ $\begin{align*} 4) \hspace{.5cm} x_1 &= \left< 7,−3 \right> \\ x_2 &= \left< 2 ,−6 \right> \end{align*}$ Решение: $\begin{align*} 36 \end{align*}$ $\begin{align*} 5) \hspace{.5cm} x_1 &= \left< 1,2,3 \right > \\ x_2 &= \left< 3,2,1 \right> \\ x_3 &= \left< 1,3,2 \right> \end{align*}$ Решение: $\begin{ align*} 12 \end{align*}$ $\begin{align*} 6) \hspace{.5cm} x_1 &= \left< 2,0,−1 \right> \\ x_2 &= \left< 3,4,2 \right> \\ x_3 &= \left< 0,−1,2 \right> \end{align*}$ Решение: $\begin{align*} 23 \end{align*}$ $\begin{align*} 7) \hspace{.5cm} x_1 &= \left< 1,5,7 \right> \\ x_2 &= \left< 3,2,1 \right> \\ x_3 &= \left< 0,1,2 \right> \end{align*}$ Решение: $\begin{align*} 6 \end{align*}$ $\begin{align*} 8) \hspace{.5cm} x_1 &= \left< 4,0,−5 \right> \\ x_2 &= \left< −9, 1 , 7 \right> \\ x_3 &= \left< 2,−5,4 \right> \end{align*}$ Решение: $\begin{align*} 59\end{align*}$ $\begin{align*} 9) \hspace{.

Пример №1	2	4	6	8	10	12	14	16
Пример №2	10	9	8	7	6	5	4	3
Пример №3	3	3	4	4	5	5	6	6
Пример №4	1	7	2	7	3	7	4	7

№1	3	4	5	6	7	8
№2	5	10	15	20	25	30
№3	8	7	6	5	4	3
№4	9	9	7	7	5	5
№5	3	6	9	12	15	18
№6	8	2	6	2	4	2
№7	5	9	12	13	16	17
№8	27	27	23	23	19	19
№9	8	9	12	13	16	17
№10	1	2	4	8	16	32
№11	22	19	17	14	12	9
№12	4	5	7	10	14	19
№13	12	14	13	15	14	16
№14	24	23	21	20	18	17
№15	16	8	4	2	1	1/2
№16	18	14	17	13	16	12
№17	12	13	11	14	10	15
№18	2	5	10	17	26	37
№19	21	18	16	15	12	10
№20	3	6	8	16	18	36

№1	24	21	19	18	15	13	–	–	7
№2	1	4	9	16	–	–	49	64	81	100
№3	16	17	15	18	14	19	–	–
№4	1	3	6	8	16	18	–	–	76	78
№5	7	16	9	5	21	16	9	–	4
№6	2	4	8	10	20	22	–	–	92	94
№7	24	22	19	15	–	–

№1.	9	10	№11.	7	4
№2.	35	40	№12.	25	32
№3.	2	1	№13.	15	17
№4.	3	3	№14.	15	14
№5.	21	24	№15.	1/4	1/8
№6.	2	2	№16.	15	11
№7.	29	33	№17.	9	16
№8.	15	15	№18.	50	65
№9.	20	21	№19.	9	6
№10.	64	128	№20.	38	76

№1.	12	9	№5.	13
№2.	25	36	№6.	44	46
№3.	13	20	№7.	10	4
№4.	36	38

Если испытуемый затрудняется при решении подобных задач, это может обозначать, что он плохо анализирует цифровой материал, не видит в нем скрытых закономерностей, поэтому не может ими воспользоваться, следовательно его логическое мышление в математике развито слабо.

3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7; …

9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; …

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 3 ; 2 ; …

3 ; 5 ; 7 ; 9 ; …

10 ; 8 ; 6 ; 4 ; …

3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 5 ; 4 ; …

1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; …

16 ; 13 ; 10 ; 7 ; 4 ; …

1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; …

2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; …

18 ; 14 ; 10 ; 6 ; …

3 ; 4 ; 7 ; 11 ; 18 ; …

2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; …

3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 17 ; …

22 ; 20 ; 17 ; 13 ; 8 ; …

16 ; 15 ; 12 ; 7 ; 12 ; 15 ; …

3 ; 4 ; 7 ; 12 ; 19 ; …

22 ; 20 ; 16 ; 10 ; …

6 ; 11 ; 14 ; 15 ; 14 ; 11 ; …

2 ; 4 ; 8 ; 14 ; 22 ; …

20 ; 19 ; 16 ; 11 ; …

10 ; 12 ; 22 ; 34 ; 56 ; …

1 ; 6 ; 10 ; 13 ; 15 ; …

20 ; 15 ; 11 ; 8 ; …

2 ; 6 ; 18 ; 54 ; …

5 ; 13 ; 19 ; 23 ; …

22 ; 14 ; 8 ; 4 ; …

2 ; 2 ; 4 ; 12 ; 48 ; …

2 ; 9 ; 14 ; 17 ; …

22 ; 15 ; 10 ; 7 ; …

3 ; 15 ; 60 ; 180 ; 360 ; …

8 ; 24 ; 12 ; 36 ; 18 ; …

2 ; 3 ; 4 ; 3 ; 4 ; 5 ; …

3 ; 3 ; 4 ; 7 ; 7 ; 8 ; …

25 ; 27 ; 18 ; 20 ; 11 ; 13 ; …

14 ; 9 ; 20 ; 12 ; 29 ; 15 ; …

2 ; 5 ; 9 ; 3 ; 6 ; 10 ; …

2 ; 3 ; 4 ; 9 ; 6 ; 27 ; …

3 ; 5 ; 7 ; 4 ; 6 ; 8 ; …

7 ; 10 ; 15 ; 23 ; 36 ; 57 ; …

Что это за «ужас» числовые тесты SHL / Talent Q / Ontarget, и как их успешно проходить? Данная статья поможет вам получить навыки, знания и готовые стратегии для того, чтобы продемонстрировать свои самые сильные стороны, проходя числовые тесты.

Чтобы увеличить ваши шансы в получении новой работы необходимо получить преимущество, гарантии того, что результаты числового теста будут высокими. Вы должны использовать данное руководство наряду с практикой решения тестов на нашем сайте, чтобы получить результат на самом высоком уровне.

Как правило, намного больше люди боятся проходить числовые тесты, чем другие виды, например, вербальные. Боятся по разным причинам – предыдущие плохие результаты тестирований, сложности на экзаменах по математике в школе или в институте, страх перед неизвестностью. Страх – главное препятствие к хорошим результатам. Страх приводит к тревожности, тревога — к стрессу, стресс — к отсутствию производительности и в конечном итоге — к неудаче. Поэтому первое, что нужно сделать для успешного прохождения числового теста – перестать его бояться. Лучший способ избавиться от страха, беспокойства и стресса – понять принципы построения числовых тестов. После того, как вы узнаете, как они работают, какие навыки вам нужно приобрести для их прохождения, поймете, что тесты все похожи и однотипны – вы сможете быть уверенными в своих силах.

Числовые тесты SHL / Talent Q / Ontarget – это не то же самое, что тесты по математике. Конечно, здесь есть цифры и расчеты, но числовые тесты не пытаются измерить вашу способность к математическим вычислениям таким же образом, как школьный экзамен. Это хорошая новость для тех, кто с содроганием вспоминает непостижимые вопросы на экзаменах, требующие глубоких познаний в алгебре, тригонометрии или теории вероятности. Числовые тесты не требуют от вас письменных ответов, они не требуют знаний формул или теории. Числовые тесты предназначены для измерения вашей способности правильно интерпретировать числовую информацию, использовать ее для решения проблем и принятия решений. Современные тесты основываются на данных из реальной жизни, с которыми вы постоянно сталкиваетесь.

Очень часто люди с учеными степенями в математике и других точных науках показывают плохие результаты на подобных тестированиях. Это объясняется тем, что такие люди обладают хорошей памятью, грандиозным опытом и знаниями в решении узконаправленных специфических сложных задач, а числовые тесты требуют другого — прежде всего умения переключаться, быстро и эффективно анализировать задания, умения оценивать и решать различные проблемы.

Наиболее вероятно, что вам будет разрешено использовать калькулятор для выполнения данных вычислений. Если вы будете проходить тестирование на территории работодателя, то, скорее всего, для чистоты эксперимента вам не дадут использовать ваш личный калькулятор, а выдадут офисный. Но все же захватить на тестирование ваш личный калькулятор будет не лишним, так как у вас есть право поинтересоваться — можно ли пользоваться при тестировании своим, т.к. вы привыкли к размеру и расположению клавиш на них. Если вам разрешат, то это сэкономит вам немного времени при решении задач. Рекомендуем к прочтению нашу статью Как использовать калькулятор.

Достаточно часто работодатель назначает тестирование удаленно, т.е. отвечать на вопросы теста вы можете дома в удобное для вас время. У вас может возникнуть соблазн подключить к этому мероприятию третьих лиц, друзей, знакомых, профессоров и т.д., которые, по вашему мнению, лучше справятся с этим испытанием, чем вы. Но здесь вы определенно рискуете, т.к. работодатель наиболее вероятно будет в дальнейшем применять к вам так называемый верификационный тест, чтобы оценить правдивость результатов. Верификационный тест – этот тот же тест, но с гораздо меньшим числом вопросов, который вы сдаете непосредственно под наблюдением. Если результаты данного теста серьезно разойдутся с результатами онлайн тестирования, то о дальнейших этапах собеседования можно забыть. Помните – вам нужно показать не самый лучший, а достойный результат. Если говорить языком цифр, то вы должны показать результат от 71% правильных ответов и выше. Не нужно стремиться к 100%. Такой показатель, конечно, хорош, но может вызвать у работодателя подозрения – действительно ли вы проходили тестирование самостоятельно. А это значит, что назначение верификационного теста будет неизбежно. Также некоторые работодатели могут воспринять этот результат так – у вас очень высокий интеллект, и скорее всего предлагаемая работа через год покажется вам рутинной, вам захочется роста, и вы уйдете от них.

Если вы будете практиковаться в прохождении тестов на нашем сайте, прочтете и учтете все наши рекомендации, перед тестированием у работодателя хорошо выспитесь и отдохнете – вы сделаете все от вас зависящее, чтобы получить желаемую работу.

Немногим меньше сорока лет компания SHL занимается управлением эффективностью персонала, и за этот срок она стала безусловным лидером отрасли. SHL тесты, личностный опросник, постоянно совершенствуются, меняются, но остаются лучшими и наиболее востребованными.

Профессор Питер Сэвилл совместно с Роджером Холдсуортом основали компанию в 1977 году, и уже через год были опубликованы тесты способностей, используемые до нынешнего времени, а через несколько лет беспрестанных исследований появился профессиональный личностный опросник. Холдсуорт, кстати, позже стал сооснователем еще одной известной компании – Talent Q, конкурирующей в последнее время с SHL, и довольно успешно.

С 1991 года SHL начала развивать международную деятельность, а сейчас офисы компании находятся в полусотне стран Азии, Европы, Южной Африки, Северной и Южной Америки. В 2001 г. началось пробное тестирование через интернет, а через два года SHL-тесты онлайн сдали три миллиона человек. В 2011–13 годах произошло слияние корпорации с PreVisor и CEB.

Сейчас в мире проводится ежечасно почти три тысячи ассессментов, а за год 25 миллионов человек в том или ином формате проходят тестирование SHL. Самые продуктивные компании списка Forbes, половина топ-500 списка Fortune, две трети компаний FTSE – клиенты SHL. Базы данных компании содержат информацию о ста миллионах претендентов, пробовавших свои силы в 38 секторах экономики, по тридцати бизнес-функциям и на пяти должностных уровнях.

Большинство компаний используют пару числовые-вербальные тесты, но бывают числовые вместе с логическими или другие составы блоков тестов. Кандидаты могут узнать заранее, какие конкретно тесты использует их компания-работодатель, а можно заранее выучить все три раздела, для общего развития.

Числовой тест SHL – решение математических задач невысокого уровня сложности. Не будет производных, интегралов, систем уравнений и т. п., а будут дроби, проценты, максимум – уравнение с одним неизвестным. Однако надо знать, что информация для решения подается непривычно для нас, особенно для людей среднего возраста. Дается график или таблица с некоторыми значениями, ниже приведены вопросы и варианты ответов. Ответы очень похожи между собой, идут с небольшим шагом, то есть догадаться невозможно, надо считать и давать правильный ответ.

Вербальный тест SHL более сложен даже для подготовленных соискателей, а если с ним столкнуться впервые, провал практически гарантирован. Вкратце вербальная задача – это небольшой текст о каком-либо явлении, событии и т. д. Ниже идет 2-3 утверждения, связанные с текстом, которые следует отметить как «истинные», «ложные», «мало информации». Смысл задания в том, чтобы претендент смог быстро прочесть текст, понять логические связи и дать ответ. Сложность в том, что ответ «нет информации» часто похож на «ложь» или «правду» и научиться чувствовать разницу можно только после многих тренировок.

Примеры SHL теста вербального – описание ситуации с вымиранием дельфинов, в смерти которых виноваты выбросы крупных предприятий на побережье. В утверждении сказано, что «предприятия своими выбросами уничтожили несколько морских видов животных». Вроде похоже на то, что дано в задании, но верный ответ – «мало информации», так как в исходных условиях идет речь исключительно о дельфинах, а про урон, нанесенный другим обитателям морских глубин, ничего из текста не известно.

Логические тесты Shl знакомы всем, кто пробовал определить свой уровень IQ, там много подобных заданий. Идет ряд однотипных геометрических объектов, обладающих одним общим признаком. Очередная фигура пропущена, ниже есть несколько вариантов для продолжения ряда. Простейший пример – ряд простых многогранников: треугольник, четырехугольник и т. д. Ответ – очередная фигура, например шестиугольник. Такие простые задачи дает только тренировочный тест SHL, на реальном тестировании будет намного сложнее. Часто встречаются многогранники, вписанные в другие многогранники, то есть найти зависимость бывает трудно, особенно за краткое время.

В 1992 открылся офис в Москве, в 2006-м – в Санкт-Петербурге. Компания обслуживает большинство крупнейших российских корпораций, многие филиалы иностранных компаний. Среди них Сбербанк, ВТБ, Внешэкономбанк, «Роснефть», «Лукойл», «ТНК», «Газпромнефть», Avon, Nestle, Amway, Pepsico и десятки других транснациональных корпораций сектора FMCG.

Небольшие российские компании тоже все чаще берут на вооружение тесты, так как они позволяют быстро отсеять слабо подготовленных соискателей, а также выявить максимальный уровень знаний отдельных конкурсантов. Есть и другие создатели тестов, но задачи, предложенные самой авторитетной компанией, больше всего популярны.

Для решения задач дается немного времени, на один пример – не более минуты, а может быть, и 30–40 секунд. Если проводится тестирование в офисе, то пользоваться можно только карандашами и листочками бумаги. Уже несколько лет, как большинство компаний дают возможность сдать SHL тест удаленно, хоть дома, хоть в интернет-кафе. Кандидату предоставляется ссылка на онлайн-страницу и срок, до которого надо пройти тест. Работодатель получает удобный отчет о результатах пройденного теста. Так намного удобнее, нет очередей, а претендентам, в принципе, немного легче благодаря возможности создать тишину и спокойную атмосферу. Рассчитывать на какие-либо подсказки, поиск в интернете нет смысла, так как время весьма ограничено, и если раз отвлечься, то «догнать» таймер и успешно SHL тест пройти не получится.

Также хороший способ подготовки – специализированные подборки тестов, создаваемые авторитетными онлайн-ресурсами. Несколько сайтов специализируются на помощи молодежи, выпускникам, всем людям, пытающимся устроиться в топовые корпорации, а сама помощь заключается в создании сборников тестов.

Остерегайтесь услуги – прохождение тестов онлайн за вас, вы окажетесь в очень неудобной ситуации при ретесте в присутствии работодателя, кроме этого попадете в «черный список» тестирующей компании.{\infty}a_{n}$$ расходится, если: Выберите несколько вариантов ответов Тесты на анализ числовой информации Предстоит пройти числовой тест при приеме на работу? На данной странице вы найдете всю необходимую информацию и сможете решить практические задания. Примеры числовых тестов максимально приближены к тем, что используют работодатели, а именно SHL, Kenexa, Talent Q и Ontarget. Наша платформа тестирования даст вам хорошее понимание того, с чем придется столкнуться, если работодатель просит пройти числовые тесты онлайн. Практика и ряд правильных советов – все, что нужно для того, чтобы успешно решать числовые тесты. Числовой тест при приеме на работу Получая тысячи откликов на вакансии, для работодателя обычная практика использовать тесты для оценки кандидатов. После отбора резюме, чаще всего при приеме назначают числовой тест онлайн. Если тест успешно пройден, то кандидата приглашают на собеседование. Зачастую работодатель попросит пройти тест повторно в офисе, чтобы удостоверится в том, что высокий результат, набранный в онлайн тесте, принадлежит именно вам. Поэтому просить друзей пройти тест за вас не лучшая идея. Лучший способ подготовится решить числовые тесты с ответами, представленные ниже. Помимо прохождения теста онлайн, внимательно изучите советы, прочитайте ответы на часто задаваемые вопросы и ознакомьтесь с полезной информацией на данной странице. Важным обстоятельством является то, что в отличие от математических тестов, числовые тесты на работу не требуют знания особых формул и долгих вычислений. Основные их характеристики следующие: — Дается несколько вариантов ответов на выбор — Не требуется специализированных знаний — Ограниченное время решения — Соответствуют предполагаемой должности — Содержат всю необходимую информация для решения Числовые тесты онлайн бесплатно Числовой тест SHL содержит 20 вопросов. У вас будет 20 минут, чтобы правильно ответить на максимально возможное количество вопросов. Для решения теста рекомендуется иметь под рукой калькулятор и черновик. Если вы не знаете ответ на вопрос, оставьте его и переходите к следующему. У вас будет возможность вернуться к вопросу при наличии оставшегося времени. В каждом вопросе четыре возможных варианта ответов, из которых только один правильный. Числовой тест SHL Числовые тесты бесплатно, выберете нужный вариант и нажмите на кнопку старт на следующей странице. Числовые тесты Talent Q Тест Talent Q содержит 10 вопросов. На решение одного вопроса отводится ровно 60 секунд. Старайтесь ответить на все вопросы. У вас не будет возможности вернуться и изменить ответ. В каждом вопросе десять возможных вариантов ответов, из которых только один правильный. Примеры числового теста Talent Q Пройти тесты Talent Q можно бесплатно. Для этого выберете вариант и нажмите на кнопку старт на следующей странице. Ответы будут доступны бесплатно после завершения теста. Пример вопроса из числового теста На графике представлены объемы продаж в квартальной динамике. Средний темп продаж накопителей HDD Q-to-Q в 2018 году в сравнении с 2017? Шаг 1: Средний темп продаж HDD в 2017 году = (14% + 17% + 21% + 12%) / 4 = 16%. Шаг 2: Средний темп продаж HDD в 2018 году = (21% + 9% + 8% — 7%) / 4 = 7,75%. Шаг 3: Разница между средними темпами продаж Q-to-Q = 7,75% — 16% ≈ -8%. Правильный ответ: Ниже на 8%. Как успешно пройти числовые тесты? 1. Внимательно прочитайте или выслушайте инструкцию. Как правило, в начале числовых тестов при устройстве на работу следует инструкция и несколько примеров вопросов. Уделите достаточно времени, чтобы внимательно изучить их, это поможет в понимании предстоящего теста. 2. Игнорируйте чужие результаты. Не позволяйте себе думать о там, как быстро или медленно данные вопросы решали другие люди. Постарайтесь сконцентрироваться на том, что вы делаете. 3. Вопросы могут быть с подвохами. Иногда вопросы к числовым тестам составляются таким образом, чтобы увести вас в ложную сторону. Остерегайтесь таких вопросов, они сделаны специально, чтобы проверить вашу внимательность. Какие знания по математике необходимы для того, чтобы пройти числовой тест онлайн? Уровень знаний для решения числового теста сопоставим с уровнем, требуемым для решения базовой части ЕГЭ по математике. Ключевым моментом является поиск необходимой информации для решения в таблицах, графиках и диаграммах, в условиях ограниченного времени. Ниже приведен список наиболее часто используемых математических операций: — Сложение — Вычитание — Умножение — Деление — Пропорция — Проценты — Коэффициенты Если какое-либо из данных действий вызывает у вас затруднение, обратите внимание на этот тип вопросов. Постарайтесь проработать его как можно лучше, чтобы при решении подобных вопросов у вас не больше не возникало проблем. Старайтесь решать тест не только быстро, но и точно. Большинство тестов не содержит системы анализа случайных ответов, но в некоторых она присутствуют. Если вы будете быстро ставить ответы наугад, то это может отразится в результатах теста, и работодатель поймет, что вы его не решали. Числовые тесты для выпускников ВУЗов и профессиональных специалистов являются наиболее сложными. Для их решения по-прежнему требуется знание семи математических операций, описанных выше, однако, для анализа и интерпретации дается более сложная информация, и для решения схожего вопроса нужно выполнить больше действий. Числовой тест онлайн, вопросы Q: Разрешено ли пользоваться калькулятором? Числовые тесты на работу для выпускников или менеджеров среднего звена можно проходить с использованием калькулятора. Но лучше уточнить у работодателя, разрешено ли использовать калькулятор, чтобы во время подготовки понимать нужно ли тренировать навыки счета в уме. Если вам предстоит пройти числовой тест в центре работодателя, то всем выдадут одинаковые калькуляторы для стандартизации, однако, взять с собой свой будет хорошей идеей, на случай если им разрешат пользоваться. Использование своего калькулятора позволит вам сэкономить несколько секунд на расчетах. Если тест проходит онлайн, то вы можете свободно пользоваться собственным калькулятором. Q: Будет ли снижен мой рейтинг при попытке угадать ответы? Кандидаты часто задают этот вопрос, чтобы понять, имеет ли смысл угадывать несколько последних ответов, когда заканчивается время тестирования. Ключевым моментом является то, что система вряд ли определит, что ответы были даны наугад, однако ваш процент точности существенно снизится. В некоторых тестах есть программное обеспечение, которое сможет определить, случайно выбранные ответы. Даже если оценщик не получит этих данных, вы все равно рискуете получить низкую оценку, которая в целом плохо отразится на вашей работе. Работодатель вряд ли сообщит, используют ли они подобные системы, и просто скажет: «Постарайтесь ответить правильно на столько вопросов сколько сможете». В результатах теста будет видно, на сколько заданных вопросов вы ответили правильно. Некоторые компании заинтересованы в точных и последовательных ответах, другие в количестве решенных заданий. Постарайтесь понять кого именно ищет работодатель. Q: Можно ли попросить друзей помочь мне пройти онлайн тест, работодатель ведь не узнает? В процессе приема на работу кандидаты сдают тест онлайн, затем отдел кадров попросит пройти проверочный тест в офисе работодателя. Повторный тест представляет собой выборочный набор вопросов из основного теста, который позволяет определить, что онлайн тестирование было выполнено тем же кандидатом. Поэтому просить друзей помочь вам решить тест может оказаться плохой идеей, поскольку это будет выявлено в результате проверочного тестирования. Числовые тесты для отбора персонала на работу Если работодатель просит вас пройти числовой тест при приеме, то постарайтесь уточнить кокой компанией разработан тест. Вы можете перейти на сайт этой компании, чтобы получить дополнительную информацию и, возможно, примеры тестовых вопросов. Сотрудники отдела кадров как правило идут на встречу. Если вы проходите числовой тест, то скорее всего он выпущен одной из следующих компаний: Числовой тест SHL. Одним из наиболее часто используемых является тест SHL, вы скорее всего с ним столкнетесь во время поиска работы. На его прохождение отводится от 17 до 25 минут в зависимости от уровня сложности. Для хорошего результата нужно уметь анализировать информацию быстро и точно. Попробуйте пройти числовой тест SHL онлайн. Тест числовых способностей Kenexa. Kenexa является дочерней компанией IBM, одним из крупнейших разработчиков тестов способностей. Их числовые тесты схожи с тестами SHL. Если вы будете практиковаться в подготовке к тесту числовых способностей Kenexa, вы также подготовитесь к тесту SHL, и наоборот. Для решения 24 вопросов кандидату обычно отводится 20 минут. Динамические числовые тесты Talent Q. Главное отличие тестов Talent Q состоит в их адаптивности. Вопросы динамически изменяются в зависимости от ответов. Уровень сложности теста растет, если испытуемый дает правильные ответы, и снижается, если он допускает ошибки. Это позволяет произвести оценку навыков быстрее обычного теста. Время решение каждого вопроса ограничивается от 60 до 90 секунд, а количество вариантов ответов существенно больше чем в тестах SHL, что затрудняет процесс принятия решения. Проверьте свои навыки в числовом тесте Talent Q. Тест числовой информации Ontarget. Тест состоит из двух частей, в первой проверяются умения производить точные расчеты, во-второй навыки оценки числовой информации. Обычно на тест из 20 вопросов отводится 20 минут. Подготовка к числовому тесту Важным элементом подготовки является практика, она помогает привыкнуть к неожиданным вопросам и таймеру. Кроме того, постарайтесь получить как можно больше информации о тесте, в том числе от работодателя. Возможно он предоставит учебные материалы. На DigitalTests можно найти много полезной информации о тестах, а также пройти числовые тесты в режиме онлайн в удобное для вас время. Это будет хорошей практикой. Помните, что для подготовки вы можете использовать не только бесплатные числовые, но и вербальные тесты. Если вы прошли все тесты, прочитали советы и ознакомились с полезной информацией, вам остается хорошенько выспаться, чтобы быть в тонусе. И напоследок, удачи вам – мы в вас верим. Усилия по тестированию не основаны на каких-либо определенных временных рамках. Усилия продолжаются до тех пор, пока не будет установлен какой-то заранее определенный график, независимо от завершения тестирования. Это в основном связано с тем, что условно оценка усилий по тестированию является частью оценки разработки . Только в случае методов оценки, которые используют WBS, таких как широкополосная Delphi, трехточечная оценка, PERT и WBS, вы можете получить значения для оценок операций тестирования. Если вы получили оценки в виде функциональных баллов (FP), то в соответствии с Caper Jones, Количество тестовых случаев = (количество функциональных точек) × 1,2 Как только у вас будет количество тестовых примеров, вы можете взять данные о производительности из базы данных организации и получить необходимые усилия для тестирования. Процент метода развития усилий Требуемые усилия по тестированию прямо пропорциональны или в процентах от усилий по разработке. Усилия по разработке могут быть оценены с использованием строк кода (LOC) или функциональных точек (FP). Затем процент усилий для тестирования получается из базы данных организации. Полученный таким образом процент используется для получения оценки усилий для тестирования. Оценка проектов тестирования Несколько организаций в настоящее время предоставляют независимые услуги по проверке и валидации для своих клиентов, и это будет означать, что деятельность по проекту будет полностью проверочной деятельностью. Оценка проектов тестирования требует опыта в различных проектах для жизненного цикла тестирования программного обеспечения. Когда вы оцениваете тестовый проект, подумайте: Командные навыки Базовые знания Сложность приложения Исторические данные Циклы ошибок для проекта Наличие ресурсов Вариации производительности Системная среда и время простоя Методы оценки тестирования Следующие методы оценки тестирования доказали свою точность и широко используются: Методика оценки тестирования программного обеспечения PERT Метод UCP WBS Широкополосная техника Delphi Анализ функциональных точек / точек тестирования Процентное распределение Методика оценки тестирования на основе опыта Методика оценки тестирования программного обеспечения PERT Методика оценки тестирования программного обеспечения PERT основана на статистических методах, в которых каждая задача тестирования разбивается на подзадачи, а затем выполняется три типа оценки для каждой подзадачи. Формула, используемая этой техникой, — Оценка теста = (O + (4 × M) + E) / 6 Куда, O = Оптимистическая оценка (наилучший сценарий, в котором ничего не происходит неправильно и все условия являются оптимальными) M = наиболее вероятная оценка (наиболее вероятная продолжительность и могут быть некоторые проблемы, но большинство вещей пойдет правильно). L = пессимистическая оценка (в худшем случае, когда все идет не так). Стандартное отклонение для техники рассчитывается как — Стандартное отклонение (SD) = (E — O) / 6 Метод точки использования Метод UCP основан на сценариях использования, в которых мы рассчитываем нескорректированные весовые коэффициенты акторов и нескорректированные весовые коэффициенты сценариев использования для определения оценки тестирования программного обеспечения. Вариант использования — это документ, в котором указаны различные пользователи, системы или другие заинтересованные стороны, взаимодействующие с соответствующим приложением. Их называют «Актерами». Взаимодействия достигают определенных целей, защищая интересы всех заинтересованных сторон посредством различного поведения или потока, называемых сценариями. Шаг 1 — Посчитай нет. актеров. Актеры включают в себя положительные, отрицательные и исключительные. Шаг 2 — Рассчитайте нескорректированный вес актера как Нескорректированный вес актера = всего нет. актеров Шаг 3 — Подсчитайте количество вариантов использования. Шаг 4 — Рассчитайте нескорректированные веса вариантов использования как Нескорректированные веса вариантов использования = общее число случаев использования Шаг 5 — Рассчитайте нескорректированные точки варианта использования как Нескорректированные баллы варианта использования = (Нескорректированный вес актера + Нескорректированные веса прецедента) Шаг 6 — Определить технический / экологический фактор (TEF). Если недоступно, примите это как 0.50. Шаг 7 — Рассчитайте скорректированный вариант использования как Скорректированная точка варианта использования = нескорректированные точки варианта использования × Шаг 8 — Рассчитайте общее усилие как Общее усилие = скорректированный вариант использования × 2 Структура разбивки работ Шаг 1 — Создайте WBS, разбив тестовый проект на маленькие кусочки. Шаг 2 — Разделите модули на подмодули. Шаг 3 Разделите подмодули на функциональные возможности. Шаг 4 — Разделите функциональности на подфункции. Шаг 5 — Просмотрите все требования к тестированию, чтобы убедиться, что они добавлены в WBS. Шаг 6 — Определите количество задач, которые ваша команда должна выполнить. Шаг 7 — Оцените усилия для каждой задачи. Шаг 8 — Оцените продолжительность каждого задания. Широкополосная техника Delphi В широкополосном методе Delphi WBS распределяется по команде, состоящей из 3-7 членов, для переоценки задач. Окончательная оценка является результатом обобщенных оценок, основанных на консенсусе команды. Этот метод больше говорит об опыте, чем о какой-либо статистической формуле. Барри Бём популяризировал этот метод, чтобы сделать упор на групповой итерации для достижения консенсуса, когда команда визуализировала различные аспекты проблем при оценке усилий по тестированию. Анализ функциональных точек / точек тестирования FP указывают на функциональность программного приложения с точки зрения пользователя и используются в качестве метода для оценки размера программного проекта. При тестировании оценка основывается на документе спецификации требований или на ранее созданном прототипе приложения. Для расчета FP для проекта требуются некоторые основные компоненты. Они — Функциональные точки нескорректированных данных — i) внутренние файлы, ii) внешние интерфейсы Функциональные точки нескорректированной транзакции — i) пользовательские входы, ii) пользовательские выходы и iii) пользовательские запросы Основная формула Каперса Джонса — Количество тестовых случаев = (количество функциональных точек) × 1,2 Всего фактических усилий (TAE) — (Количество тестовых случаев) × (Процент усилий по разработке / 100) Функциональные точки нескорректированных данных — i) внутренние файлы, ii) внешние интерфейсы Функциональные точки нескорректированной транзакции — i) пользовательские входы, ii) пользовательские выходы и iii) пользовательские запросы Основная формула Каперса Джонса — Количество тестовых случаев = (количество функциональных точек) × 1,2 Всего фактических усилий (TAE) — (Количество тестовых случаев) × (Процент усилий по разработке / 100) Процентное распределение В этой технике всем этапам жизненного цикла разработки программного обеспечения (SDLC) присваивается усилие в%. Это может быть основано на прошлых данных из аналогичных проектов. Например — фаза % усилий Управление проектом 7% Требования 9% дизайн 16% кодирование 26% Тестирование (все этапы тестирования) 27% Документация 9% Установка и обучение 6% Затем,% усилий для тестирования (все фазы тестирования) далее распределяется на все фазы тестирования — Все этапы тестирования % усилий Тестирование компонентов 16 Независимое тестирование 84 Всего 100 Независимое тестирование % усилий Интеграционное тестирование 24 Тестирование системы 52 Приемочное тестирование 24 Всего 100 Тестирование системы % усилий Функциональное тестирование системы 65 Нефункциональное тестирование системы 35 Всего 100 Планирование тестирования и дизайн архитектуры 50% Фаза обзора 50% Методика оценки тестирования на основе опыта Эта методика основана на аналогиях и экспертах. Метод предполагает, что вы уже тестировали аналогичные приложения в предыдущих проектах и собирали показатели из этих проектов. Вы также собрали показатели из предыдущих тестов. Получите информацию от экспертов в данной области, которые хорошо знают приложение (а также тестирование), используют собранные вами показатели и получают результаты тестирования. Числовые тесты — это задания, основанные на необходимости расчетов — от базовых математических и арифметических до сложных задач в десятки действий. Разнообразие числовых тестов объясняется необходимостью оценки соискателей для разных сфер бизнеса, должностей и ролей внутри разных компаний. Числовые тесты всегда используются работодателями, так как они дают наиболее объективную оценку способности кандидата к анализу цифровой информации и способности делать выводы на ее основе. Что представляет собой математический (числовой) тест? Эти тесты могут быть разными. Для представителей математических профессий (инженеров, экономистов, бухгалтеров, IT) это будет более серьезное испытание. Но и при приеме на работу представителей других профессий подобные задания тоже могут использоваться. Они позволяют выявить уровень внимательности, сосредоточенности, умение быстро производить вычисления, работать с графиками или таблицами. Для определения числовых способностей часто используют знаменитый тест Айзенка (IQ), так как большая доля представленных в нем вопросов — числовые задачи. Как готовиться к числовым тестам? При подготовке мы рекомендуем уделить основное внимание числовым тестам от следующих разработчиков: SHL, Talent Q, IBM Kenexa, Saville, HT Line. Более 95% крупнейших работодателей России и мира используют именно эти математические тесты. Читайте больше о числовых тестах в нашей большой статье Числовые тесты при приеме на работу, что это, примеры с ответами, советы как решать Вы получаете: Более 600 практических заданий, созданных по образцу тестов от компаний SHL, Talent Q, IBM Kenexa, Saville, HT Line, ЭКОПСИ (PIF) Задания, подобранные с учетом требований основных работодателей и организаторов конкурсов Подробная аналитика успешности прохождения Стратегии решений заданий основных типов Персональные рекомендации Доступ на 6 или 12 месяцев к базе тестов Пройти примеры тестов Начать подготовку Числовые тесты или математические тесты призваны оценить способность тестируемого к пониманию числовой информации и навыки работы с простейшими математическими операциями. Также как и вербальные тесты, числовые тесты весьма востребованы при первоначальной оценке кандидатов. Исходными данными для числового теста являются текстовые или табличные данные, диаграммы, графики. Решение числового теста предполагает вычисление процентов, пропрорций, долей. Вопросы числового теста обычно включают избыточный объем информации с целью затруднить выбор правильного решения путем подбора ответа. Время для прохождения числового теста также ограничивается, что позволяет приблизить условия онлайн тестирования к реальной жизни. Пример числового теста онлайн с ответами помогает понять общий принцип построения числовых тестов. Числовые тесты Talent Q или SHL стали одними из общепризнанных стандартов числового тестирования и пользуются заслуженной популярностью. Сервис eGrow облегчает и стандартизирует работу с числовыми тестами онлайн Числовые тесты онлайн пользуются заслуженной популярностью, особенно для тестирования кандидатов. Мы также рекомендуем перед прохождением основного числового теста дать кандидату ознакомительный числовой тест с ответами, для того, чтобы показать основные принципы решения задач числового теста. Вы можете самостоятельно подготовить числовой тест онлайн или воспользоваться готовыми числовыми тестами из базы сервиса eGrow. Преимуществом самостоятельной подготовки числового теста является то факт, что только вы представляете требующийся уровень математической подготовки сотрудника для конкретной должности. При подборе кандидата не ставится задача всесторонне определить уровни подготовки кандидата. Это отличает задачу тестирования кандидата от тех целей, которые ставят перед собой широко распространенные системы тестирования. Сотруднику кадровой службы на этапе первоначального тестирования необходимо быть уверенным не в абстрактном уровне математической грамотности кандидата, а в том, что кандидат может понять и решить типовые математические задачи, с которыми он столкнется во время работы на своей должности. Вам предстоит решать числовые тесты (математические, цифровые) при приеме на работу или на конкурсе Лидеры России? Возможно, у вас все отлично с вычислениями и вы легко решаете в уме даже сложные задачи. Но лично я начинаю потеть, и голова сразу пустеет при упоминании тестов на математику. К сожалению, этих тестов не избежать — практически 100% компаний при оценке соискателей требуют прохождения тестов на умение делать расчеты. Поэтому, если вы давно не решали числовые тесты, и вы такой же как я, то, скорее всего, вас тоже страшит перспектива проходить такое тестирование. Но беспокоиться не о чем. В общем, математические тесты при приеме на работу разработаны таким образом, что каждому человеку предоставляется справедливая возможность получить высокий балл. Числовые тесты при приеме на работу (или для конкурса Лидеры России) не содержат задач, для решения которых требуется быть профессором высшей математики. Некоторое предварительное знакомство может быть необходимо, чтобы правильно понимать суть задач, но, большей частью, числовые тесты просты и требуют только внимательности и минимального умения соотносить числовые данные. Просто постарайтесь предварительно ознакомиться с примерами числовых тестов с ответами и настройтесь на спокойную внимательную работу по их решению, и все будет в порядке. Числовые тесты при приеме на работу — что это и какие они бывают? Числовые тесты применяются работодателями как неотъемлемая часть тестов на интеллект, чтобы оценивать ваши способности работать с цифрами. Обычно это означает — быстро находить нужную информацию среди массива других данных в графиках или таблицах и делать на ее основе 3-4 расчета. Мы писали ранее, что также числовые тесты широко применяются не только работодателями, но и в большинстве кейс-чемпионатах и конкурсах. В конкурсе «Лидеры России» числовые тесты (вместе с вербальными и логическими тестами) включены и первый этап отборочных тестов на оценку интеллектуальных способностей участников. Вопросы числовых тестов могут быть адаптированы для оценки вашей способности работать в таких областях, как интерпретация графических данных, расчет процентов, коэффициентов и долей, конвертация валют, финансовый анализ, числовые последовательности и многое другое. Стандартные типы числовых тестов включают в себя следующее: Графики, таблицы и диаграммы Конвертация единиц или валюты Процентное соотношение Коэффициенты и доли Числовые ряды Вы должны быть готовы встретить все эти типы числовых тестов на вашем тестировании. Обычно реальные тесты работодателей являются комбинацией всех этих типов выше. Несколько частных типов таких тестов мы описали в наших отдельных статьях: Числовые тесты на проценты Числовые тесты на расчет прибыли и убытка Например, числовой тест может представлять собой таблицу с большим количеством данных, показывающих данные по курсам обмена валюты за несколько лет, и вопрос, в котором требуется найти процентное изменение стоимости доллара США к австралийскому доллару и возможную прибыль от такого обмена в определенный год. Хотя решение требует всего 3-4 простых вычислений, такой числовой тест может быть сложным, потому что у вас будет только 45-60 секунд, чтобы найти необходимые данные в таблице и найти правильный ответ среди 5-6 вариантов, все из которых очень похожи. Если вы никогда раньше не видели и не решали такие тесты, и если вы не профессионал, работающий с числами весь день, то очень вероятно, что у вас будут проблемы. Но 4-5 дней практики помогут вам наработать навык быстрого анализа данных и умение делать расчеты быстро и точно. Практика может вывести вас на совершенно другой уровень. Ниже вы найдете несколько примеров реальных числовых тестов, а всего в базе HRLider на 2020 год больше 600 тренировочных числовых тестов всех возможных типов. Для успешного решения числовых тестов на собеседовании вы должны разбираться в основной арифметике и уметь быстро производить базовые операции сложения, вычитания, умножения и деления. Также надо уметь быстро определять десятичные числа, доли, отношения и проценты, вычислять периметры и области, решать простейшие уравнения и уметь интерпретировать данные, например, проводить анализ графиков, таблиц и диаграмм. Числовые тесты почти всегда содержат графики, диаграммы и таблицы, которые перегружены информацией — вам надо уметь внимательно выбирать только нужные данные. Вы также должны уметь решать логические задачи с численными рассуждениями. Обычно такие числовые тесты представляют из себя числовые последовательности (числовые ряды). Вы должны уметь понять и высчитать, какое число продолжает последовательность. Шаблон может быть любым: например, все числа в последовательности являются квадратными корнями, или все простые числа, или все кратные 10 и т. д. Предварительное ознакомление со всеми возможными шаблонами решений числовых тестов может дать вам огромное преимущество перед другими соискателями на вакансию. Рассмотрим пример простой логической задачи — числовые ряды Какое число будет следующим в этой последовательности: 5 25 625 X? Если вы проанализируете данный числовой ряд, вы увидите, что правило последовательности состоит в том, что число справа всегда является результатом предыдущего числа, помноженного на себя. Это 5×5 = 25 и 25×25 = 625. По логической последовательности, следующее число должно быть результатом 625×625, что составляет 390625 Как можно гарантировать, что вы получите хороший результат на числовых тестах? Мы рекомендуем следующее: Повторите и запомните таблицу умножения и деления. Помните, что числовые тесты при приеме на работу — это тесты с жестким лимитом времени. Поэтому, если вы сможете быстро в уме производить операции умножения и деления, вы сэкономите значительное время. Калькулятором пользоваться обычно можно. Но однозначные числа вы должны уметь быстро считать в уме. Четко следите за временем. Обычно на решение 1 задачи числового теста дается 60-90 секунд. Для неподготовленного человека это очень мало, но после подготовки это вполне реально — решать числовые тесты за минуту и менее. Не задерживайтесь слишком долго на вопросе, который вам полностью непонятен и у вас нет идей его решения. Отметьте номер этого теста и вернитесь к нему позже, если у вас останется время. Обычно все вопросы равны в том смысле, что вы получаете одинаковый балл за каждый из них. Поэтому сначала решите более простые задания. Единственным исключением из этого правила будет, если правила теста подразумевают вычитание количества неверных ответов из количества верных. Повторите основные математические правила. Вы должны знать основные формулы и концепции и быстро ориентироваться в них. Это особенно целесообразно, когда прошло длительное время с тех пор, как вы учились в школе и вы не занимались никакими математическими расчетами. Если вы занимаетесь поиском работы в середине карьеры и вам 30-50 лет, числовые тесты могут «подложить вам свинью». Потому что последний раз, когда вы слышали о дробях и пропорциях, было 10-20 лет назад! Просто пересмотрите все основные правила по математике за среднюю школу — этого будет достаточно. Большая часть знаний у вас, вероятно, сохранилась. Но вам просто нужно обновить эти знания, чтобы уметь ими быстро пользоваться. Если вы устраиваетесь на работу в банк или иную компанию финансового сектора, то вам, скорее всего, потребуется знание основных финансовых терминов и методов их расчета. Числовые тесты с финансовыми формулами более сложны и вы должны понимать, как рассчитать, например, коэффициент рентабельности инвестиций, ROI, показатели маржинальности и другие подобные показатели. Узнайте, что вы можете принести на само тестирование. Вам разрешен калькулятор? Карандаш и бумага для записей? Выясните, что вам разрешено использовать во время сдачи числового теста. Будет глупо вручную вычислять все, что калькулятор мог бы рассчитать быстрее и точнее. Большинство работодателей и HR агентств разрешают пользоваться калькуляторами во время прохождения числовых тестов, потому что они понимают, что этот инструмент помогает только в вычислениях, но не в анализе задач. Стоит ли заранее практиковаться в решении числовых тестов? Да! Три раза да!!!!! Приносим извинения за столько восклицательных знаков, но они здесь уместны. Предварительная подготовка в решении числовых тестов просто необходима для 99% всех соискателей. Впрочем, может быть, вы недавно проработали несколько лет финансовым аналитиком или доцентом математических наук и имели дело с расчетами и графиками каждый день. Тогда, видимо, вы входите в оставшийся 1% соискателей, для кого практика, наверное, уже будет лишней. Если же нет, то подготовиться однозначно стоит. Только предварительная практика математических (числовых, цифровых) и других (вербальных, логических, психологических, на лидерство) тестов при приеме на работу может дать вам преимущество перед остальными соискателями. И это преимущество бесспорно стоит потраченного на него времени и денег. Большинство числовых тестов следуют одному правилу — цифры и подача информации разные, но сам тип вопросов остается тем же самым. Поэтому отработайте основные типы математических (числовых) тестов крупнейших компаний-разработчиков, применяемых в России и мире — SHL, Kenexa и Talent Q. Подробнее о них читайте в статье Особенности тестов SHL, Talent Q, Saville, KENEXA Примеры числовых тестов Ниже вы найдете 3 примера числовых тестов разных видов. Первые 2 из них — от компании SHL. В примерах на нашем сайте вы также можете пройти много числовых тестов бесплатно. Пример числового теста 1: Постарайтесь сначала решить этот числовой тест самостоятельно и только потом смотреть решение и ответ. Решение вы найдете в конце статьи. Пример числового теста 2: Пример числового теста 3: Это числовой тест от разработчика Talent Q. Постарайтесь сначала решить этот числовой тест самостоятельно и только потом смотреть решение и ответ. Решение вы найдете в конце статьи. Мы также рекомендуем вам узнать больше о тестах компании SHL — основном разработчике числовых тестов при приеме на работу: Психометрические SHL тесты Второй после SHL по популярностью компанией-разработчиком тестов является Talent Q: Тесты Talent Q: особенности, виды, примеры, прохождение Поймите, как тестовые вопросы могут выглядеть, как они обычно оформлены и какие подводные камни в них могут для вас приготовить разработчики. После такого ознакомления и практики вы сможете быстро узнавать тип вопроса, четко понимать задачу и быстро и безошибочно ее решать. Поэтому, как говорил великий Ленин относительно математических тестов: «Учиться, учиться и еще раз учиться». Посмотрите примеры числовых тестов бесплатно, оцените свой уровень знаний и начните полноценную подготовку. Внимание! Числовые тесты обычно это не единственные тесты, которые вам предстоит пройти при устройстве на работу или при прохождении конкурса Лидеры России. К ним обычно прибавляются вербальные тесты, тесты на логическое мышление и психологические (поведенческие) тесты. Читайте больше о вербальных, логических и психологических тестах при приеме на работу в наших специальных статьях: Все о вербальных тестах Логические тесты при приеме на работу — что это такое Как пройти психологический тест при устройстве на работу Мы призываем вас начать подготовку прямо сейчас, ведь лучше потратить 3-4 дня на решение примерных тестов сейчас, чем провалиться на реальном тестировании и жалеть об упущенном шансе потом. Начать подготовку Пройти примеры тестов Ответы и решение примеров тестов: Числовой тест Пример 1: Числовой тест Пример 2: Числовой тест Пример 3: Начать подготовку Тесты способностей Elements ^TM Elements^TM — онлайн система тестов способностей нового поколения. Благодаря технологии динамической оценки (Dynamic Assessment Technology или DAT), Elements удобно использовать во всех отделах и на всех уровнях организации. Теперь Вам не нужно долго определять, какой именно тест выбрать для оценки сотрудников на каждом организационном уровне – наш адаптирующийся под уровень способностей тест подойдет всем Психометрическое тестирование уровня способностей на сегодняшний день является самым эффективным методом оценки и прогнозирования потенциала человека. Elements^TM — это уникальная онлайн система тестирования способностей, которая всего за 10-15 минут позволяет измерить вербальные, числовые и логические способности индивида. Это вполовину меньше того времени, которое нужно для оценки с использование обычных тестов способностей Содержание вопросов соответствует современным реалиям бизнес-среды, все тесты снабжены четкими инструкциями и онлайн подсказками. Быстрое принятие решений Система оценки персонала Talent Q — частью которой являются тесты способностей Elements^TM – значительно упрощает поиск персонала. Кандидатов можно оценивать и сравнивать с идеальным профилем позиции, используя заложенную в систему функцию подбора профиля позиции Интеллектуальный подход к подбору персонала с использованием тестов Elements позволяет: Быстро выявлять кандидатов, которые идеально подходят на должность Наладить объективный и системный отбор персонала Оперативно идентифицировать соискателей, которые не соответствуют требованиям вакансии. Сконцентрируйте внимание на тех, кто отвечает критериям отбора Описание тестов Elements ^TM Вербальный Оцениваемый параметр: позволяет определить, насколько сотрудник может в условиях ограниченного времени качественно анализировать информацию, представленную в виде текста, и делать верные выводы на основе анализа Оценивает способность к интерпретации информации, представленной в виде текста, и получению правильных выводов на её основе Целевые должности: профессиональные роли, требующие понимания бизнес-информации и работы с текстами, например, юристы, маркетологи, сотрудники отдела по работе с персоналом, ассистенты руководителей/отделов, PR Максимальное время прохождения: 15 минут (ограничено) Количество заданий: 15 Числовой Оцениваемый параметр: позволяет определить, насколько кандидат может в условиях ограниченного времени качественно анализировать числовые данные, информацию, представленную в виде таблиц, производить расчеты и делать верные выводы Целевые должности: профессиональные роли, требующие успешной работы с данными, например, сотрудники бухгалтерии и финансово-экономического отдела, аналитики, маркетологи, сотрудники отдела продаж, специалисты в области планирования Максимальное время прохождения: 12 минут (ограничено) Количество заданий: 12 Логический Оцениваемый параметр: позволяет оценить способность анализировать информацию, представленную в виде кодов, абстрактных символов и знаков, верно определять логические последовательности и делать верные выводы на её основе. Оценивает способность к анализу абстрактной информации и её использованию, например, при продолжении последовательностей или завершении фигур. Является независимым от культурных влияний и уровня образования тестом интеллектуальных способностей Целевые должности: профессиональные роли, требующие решения сложных задач, например, специалисты IT, инженерно-технические работника, специалисты научно-исследовательских институтов Максимальное время прохождения: 12 минут (ограничено) Количество заданий: 12 Подсчет результатов тестирования Elements^TM Итоговый сырой балл определяется комбинацией количества правильных и неправильных ответов, наряду с уровнем сложности вопросов. Чем больше правильных ответов, тем выше уровень сложности следующих вопросов и тем выше, соответственно, вероятность набрать высокий общий балл Полученный балл используется для определения принадлежности кандидата к процентилю в сравнении с предварительно заданной нормативной группой. То есть, результаты приобретают смысл только в сравнении с соответствующей выборкой людей, составляющих нормативную группу, например, «Составная группа»), группа «Руководители высшего звена», «Выпускники и студенты», «Менеджеры начального и среднего звена», «Специалисты и эксперты» Тесты Elements оценивают насколько успешно респондент может выполнять задания в случае, если он прилагает максимум усилий для лучшего выполнения, и таким образом эти тесты являются тестами достижений, и их результатом является оценка максимально возможного, а не типичного уровня развития способностей Адаптивный принцип в основе тестов Elements ^TM Система оценки Elements^TM основана как на Классической теории тестов, так и на Теории тестовых заданий, что позволяет технически исполнить все три суб-теста Elements (вербальный, числовой и логический) в адаптивном режиме В адаптивных тестах вопросы, предлагаемые кандидату, зависят от успешности его ответов на предыдущие вопросы, что обеспечивается наличием достаточного банка вопросов (300 или больше) различного уровня сложности Elements^TM быстро адаптируется и приспосабливается в соответствии с возможностями кандидата. По сравнению с другими системами оценки интеллекта, Elements позволяет значительно экономить время, обеспечивая при этом высокую психометрическую точность Все кандидаты начинают проходить тестирование Elements^TM с вопроса средней сложности. Далее, если ответ кандидата на вопрос оказывается верным, ему предлагается более сложный вопрос, в противном случае — предлагается более легкий вопрос. Так продолжается до тех пор, пока не будет набрано заданное количество вопросов В традиционных тестах в отличии от адаптивных все участники получают фиксированный набор вопросов, как правило, в порядке возрастающей сложности. Адаптивные тесты в свою очередь представляют ряд сравнительных преимуществ: Продолжительность теста: так как респонденты быстро получают вопросы соответствующего их способностям уровня, тестирование занимает значительно меньше времени (примерно в два раза быстрее) по сравнению с традиционными тестами, причем это происходит без ущерба для научной строгости результатов Закрытость: каждый респондент получает набор вопросов, которые подобраны индивидуально под его уровень способностей, что уменьшает шансы того, что вопросы и правильные ответы к ним будут опубликованы Рандомизация: вопросы предъявляются в случайном порядке, что уменьшает шансы того, что два респондента получат один и тот же тест Единая тестовая система: широкий спектр вопросов может быть включен в единую тестовую систему, что убирает необходимость использования батареи тестов разного уровня сложности для разных должностей. Это также означает, что тесты являются справедливыми и свободными от влияния таких факторов, как уровень образования и опыт работы кандидата Если кандидат проходил тестирование Elements^TM удаленно, можно перепроверить результаты, предложив ему заполнить под вашим наблюдением более короткий проверочный вариант теста – верификационный тест Уникальным свойством верификационного теста является то, что он также адаптивен и начинается с того уровня сложности, который показал кандидат по итогам первого тестирования. Если результаты по двум тестам отличаются, отчет укажет на несоответствие результатов. Так вы можете быть уверены, что кандидат ответил на вопросы теста самостоятельно Сертификационный семинар для HR «профессиональное тестирование» Британское психологическое общество (BPS) Паспорт теста Elements Как решить числовую серию в тестах на числовые способности Вопросы числовой серии в оценках числового мышления состоят из группы чисел, которые разделяют логическое правило, основанное на элементарной арифметике. Числа в серии описываются как «термины», и они представлены в последовательности с пробелами — кандидат должен найти пропущенные термины, чтобы ответить на вопрос. Поскольку они являются частью числовых тестов, ответы обычно представлены в формате множественного выбора. В последовательности обычно имеется от четырех до семи видимых чисел, и чтобы найти недостающие элементы, кандидат должен найти конкретное логическое правило или шаблон, связывающий ряды, и применить его к пропущенным числам. Вопросы числовой серии основаны на довольно простых математических правилах. Они трудны, потому что шаблон может быть менее очевидным, чем он основан на сложной арифметике. Различные формы вопросов числового ряда Существует несколько типов вопросов числовой серии, и типы основаны на том, какая логика соединяет числа в последовательности. Арифметическая последовательность Связь между членами арифметической числовой серии основана на сложении, вычитании или комбинации обеих операций. Самая простая версия этого — 1, 2, 3, 4, 5 __, где следующим числом будет шесть, потому что правило состоит в том, чтобы прибавить единицу к последней цифре. Геометрическая последовательность Подобно арифметическим последовательностям геометрические последовательности содержат числа, которые имеют общее правило, основанное на умножении или делении. Смешанная последовательность Смешанная последовательность описывает отношения между терминами как основанные на более чем одном правиле.Это может усложнить поиск правильного ответа, поскольку функции могут не принадлежать к одному семейству — например, сочетание арифметических и геометрических последовательностей. Переменная последовательность Переменная последовательность — это единый числовой ряд, состоящий из двух независимых подпоследовательностей. Это может усложнить поиск правила или шаблона, поскольку числа не обязательно связаны с терминами с обеих сторон в самом ряду. Последовательность Фибоначчи Последовательность Фибоначчи связывает термины друг с другом, складывая два предыдущих числа вместе.Обычная последовательность Фибоначчи — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и так далее, но нет никаких гарантий, что последовательность начнется с одного или даже будет восходящей серией. Существует также несколько других типов последовательности, включая простые числа, точный квадрат и идеальный куб. Пять примеров вопросов серии номеров Пример арифметической последовательности: 1, 5, 9, 13, 17, _ Какой следующий номер в этой серии? 15 23 21 20 Правило для этого шаблона — прибавить 4 к предыдущему числу, поэтому в этом случае ответ будет c) 21. Пример геометрической последовательности: Найдите недостающее число в серии. 120, 60, 30, __, 7,5, 3,25 20 5 18 15 Эта последовательность решается так же, как и выше, даже если пропущенный номер находится посередине. Связь между каждым числом — это деление на два предыдущего числа, и важно понимать, что члены ряда не обязательно должны быть целыми числами.В этом вопросе отсутствует член d) 15. Пример смешанной последовательности: Какой следующий номер в этой последовательности? 2, 5, 11, 23, 47, __ 95 101 94 97 В этом шаблоне сочетаются геометрические и арифметические последовательности, и правило состоит в том, что каждое число — это предыдущее число, умноженное на два с последующим добавлением единицы. Сложность здесь состоит в том, чтобы подобрать правильную комбинацию необходимых математических функций.В этом примере следующим членом в ряду будет 95, поэтому ответ будет а). Пример чередующейся последовательности: Найдите следующие два члена в серии. 7, 18, 14, 16, 28, 14, __, __ 57, 12 56, 12 58, 10 56, 10 Переменная последовательность требует, чтобы кандидат произвел два отдельных вычисления, поскольку каждое число не связано с числами непосредственно перед или после. Первое число и все остальные числа связаны умножением 2 с предыдущим, а второе число и все остальные основаны на простом вычитании единицы.Это означает, что следующие два числа в ряду: b) 56, 12. Пример последовательности Фибоначчи: Найдите недостающий термин. 4, 4, 8, 12, __, 32, 52 22 24 20 18 Распознавание последовательности Фибоначчи упрощает поиск правила; в этом случае легко убедиться, что слагаемые являются суммой двух предыдущих чисел. Опять же, даже если недостающее число находится в середине ряда, методология поиска ответа остается той же.Предыдущие два члена для пропущенного числа — 8 и 12, что дает ответ c) 20. Советы по решению вопросов о числовых сериях 1) Практика Работа с числовыми последовательностями становится легче, если вы попрактиковались; распознать общие типы последовательностей легче, если вы знакомы с тем, на что они обычно смотрят. Вы можете найти практику числовой последовательности в нашем руководстве по тестам на числовое мышление. 2) Запомните основную математику Математические навыки, необходимые для установления связи между терминами, несложны.Освежить базовые знания арифметики — это все, что нужно, чтобы вы уверенно отвечали на вопросы числовых рядов. 3) Может быть несколько способов решения Между терминами в шаблоне может быть более одного логического отношения. Это может упростить решение серии и дать вам другой способ найти ответ. 4) Проверить разницу между терминами Если вы изо всех сил пытаетесь найти взаимосвязь между терминами в последовательности, просмотр разницы между каждым числом может дать вам ключ к разгадке. 5) Можно прикинуть Время играет важную роль, когда вы проходите оценку с использованием числовых аргументов, поэтому, если вы не сразу знаете ответ, можно сделать обоснованное предположение. В большинстве случаев у вас не будет калькулятора, поэтому, если термины больше, оценка может быть быстрее. Контрольные вопросы последовательности чисел серии На главную> Числовые тесты> Числовые серии> Числовые серии Вопросы Внимательно посмотрите на образец, а затем выберите, какая пара чисел будет следующей. 42 40 38 35 33 31 28 Ответ и объяснение: Ответ: Вариант C Пояснение: Это чередующаяся серия вычитаний, в которой 2 вычитается дважды, затем вычитается один раз 3, затем дважды вычитается 2 и так далее. 6 10 14 18 22 26 30 Ответ и объяснение: Ответ: Вариант E Пояснение: Эта простая серия сложений добавляет 4 к каждому числу, чтобы получить следующее. 8 12 9 13 10 14 11 Ответ и объяснение: Ответ: Вариант Б Пояснение: Это чередующийся ряд сложения и вычитания, в котором добавление 4 чередуется с вычитанием 3. 36 31 29 24 22 17 15 Ответ и объяснение: Ответ: Вариант E Пояснение: Это чередующийся ряд вычитания, при котором вычитается 5, затем 2, затем 5 и так далее. 3 5 35 10 12 35 17 Ответ и объяснение: Ответ: Вариант C Пояснение: Это чередующийся ряд сложения со случайным числом 35, интерполированным как каждое третье число. Схема сложения состоит в том, чтобы прибавить 2, прибавить 5, прибавить 2 и так далее. Число 35 появляется после каждого шага «прибавить 2». Страница 1 | Стр. 2 | Стр. 3 | Стр. 4 | Стр. 5 | Стр. 6 | Стр. 7 | Стр. 8 | Стр. 9 | Стр. 10 | Стр. 11 | Стр. 12 | Стр. 13 | Стр. 14 | Page 15 Дополнительные обучающие и развлекательные тесты ниже. Вопросы или комментарии? Пожалуйста, обсудите ниже. Тесты на способности к числовому мышлению — все, что вам нужно знать 2021 Что такое тест на способности к числовому мышлению? Числовые тесты на способности (также известные как числовые тесты) позволяют оценить, насколько хорошо человек работает с числами. Это может включать интерпретацию графиков и таблиц или использование математики и алгебры для решения вычислений. Числовые тесты на рассуждение — это особый тип числового теста, который оценивает вашу способность логически и рационально использовать числа. Числовые тесты способностей часто используются работодателями как часть процесса приема на работу и часто являются частью более широкой психометрической оценки, которая может включать вербальное мышление или тесты пространственных способностей . Почему работодатели используют эти тесты? Числовые тесты на умение пользуются популярностью среди работодателей, потому что многие рабочие места требуют от вас работы с числами хотя бы часть времени. Если вы подаете заявление о приеме на работу, которая предполагает повседневную работу с цифрами, работодатель будет рассматривать ваши численные способности как ценный показатель вашей эффективности на работе. В некоторых сферах карьеры особенно важны числовые способности; в архитектуре или бухгалтерском учете, например, отключение хотя бы одного вычисления может быть чрезвычайно дорогостоящим и даже опасным. Ключевыми отраслями промышленности, требующими численного тестирования в рамках своих прикладных процессов, являются: Бухгалтерия Машиностроение Архитектура Банковское дело Военные Продажа Маркетинг Чего ожидать от теста на числовые способности Тесты на определение способностей могут проводиться на бумаге или в Интернете. Вопросы почти всегда представлены в формате с несколькими вариантами ответов и могут усложняться по мере прохождения теста. Обычно использование калькуляторов не разрешено, хотя они могут быть разрешены для некоторых типов вопросов. Убедитесь, что вы прочитали инструкции, которые вам дали, чтобы узнать, нужно ли вам брать калькулятор на тест. Продолжительность любого числового теста на способности, который вас попросят пройти, будет зависеть от нескольких факторов, включая количество других тестов, которые вы будете проходить в день.Однако большинство тестов длятся около от 30 до 40 минут и содержат около от 30 до 40 вопросов . Это будет означать, что вы будете работать быстро, имея только одну минуту, чтобы ответить на каждый вопрос. Числовые тесты способностей от разных поставщиков различаются как по количеству, так и по сложности вопросов, которые они содержат, и на рынке существует несколько сотен таких тестов. Однако вопросы, используемые в этих тестах, можно разделить на четыре основных типа: Числовые вычисления — Вы будете проверены по своей базовой арифметике (сложение, вычитание, умножение, деление, проценты, степени, дроби и т. Д.). Числовая оценка — Вам нужно будет быстро оценить ответ на простые арифметические задачи. Численное обоснование — Вам представлены некоторые данные и вопросы, но не указаны методы, необходимые для ответа на вопросы. Интерпретация данных — В этих тестах обычно используются линейные графики, диаграммы рассеяния, круговые диаграммы и таблицы, которые необходимо понимать и которыми нужно управлять, чтобы отвечать на вопросы. Для определенных заданий вы также можете встретить вопросов проверки данных , которые требуют от вас выявления ошибок в данных. Практический тест числового мышления Численные тесты — это либо тесты скорости , , либо тесты мощности : Численные вычисления и числовые оценки обычно представляют собой вопроса о скорости . Это означает, что тестируемый находится под давлением очень жестких временных ограничений. Чтобы получить высокие баллы по этим вопросам, вам необходимо уметь делать быстрые и точные вычисления без использования калькулятора.Обычно от вас не ждут, что вы завершите тест, но вас будут оценивать по количеству полученных вами правильных ответов. Численное обоснование и интерпретация данных обычно известны как тесты мощности . Здесь от вас, вероятно, не ожидается, что вы получите все правильные ответы, даже если у вас неограниченное время. Обычно вам дается достаточно времени, чтобы ответить на вопросы. Числовые типы вопросов Численные вычисления Эти вопросы проверяют вашу способность использовать основные принципы арифметики.Например: Дополнение Вычитание Умножение Дивизион Они также могут использовать математические термины и методы, такие как: Десятичные В процентах Передаточное число Корни Фракции Мощность Экспоненты Эти вопросы не предназначены для проверки ваших способностей к рассуждению. Чтобы получить высокие баллы по этим вопросам, вам просто нужно будет быстро и точно произвести расчеты. Эти вопросы непосредственно применимы ко многим административным и канцелярским должностям, но также могут появляться в качестве компонента выпускных и управленческих тестов. Скорость, с которой вы можете ответить на эти вопросы, является критически важным критерием, поскольку большинство людей могут получить очень высокий балл, если у них неограниченное время для ответа. Таким образом, вы можете ожидать 25–35 вопросов за 20–30 минут . Примеры вопросов: 1.139 + 235 =? A) 372 B) 374 C) 376 D) 437 2. 139 — 235 =? A) –69 B) 96 C) 98 D) –96 3. 5 х 16 =? A) 80 B) 86 C) 88 D) 78 Ответы: 1. B 2. D 3. A Подробнее о том, как вычислять дроби и соотношения, см. В наших специальных статьях. Скачать практические тесты численных вычислений Численные оценки Эти вопросы проверяют вашу способность быстро оценивать ответы на довольно простые числовые вопросы. Чтобы получить высокие баллы по этим вопросам, вам нужно будет быстро дать ответ на вопрос. Вы должны избегать ловушки точного ответа, которая отнимет слишком много времени и помешает вам ответить на достаточное количество вопросов, чтобы получить хорошую оценку. Числовая оценка является ключевой во многих ремесленных и технических работах, где важна способность быстро и точно оценить количество материалов. Тем не менее, способность делать быстрые оценки — полезный навык, даже если вы сдаете экзамен для выпускников или на профессиональном уровне, поскольку это позволит вам примерно проверить свои ответы на вопросы интерпретации данных. Скорость, с которой вы можете ответить на эти вопросы, является критически важным критерием, поскольку большинство людей могут получить очень высокий балл, если у них неограниченное время для ответа. Таким образом, вы можете ожидать 25–35 вопросов за 10 минут или около того . Несмотря на то, что вопросы числовой оценки кажутся простыми, может потребоваться некоторое время, чтобы найти оптимальный компромисс между скоростью и точностью. Прежде чем вы попытаетесь ответить на каждый вопрос, посмотрите на диапазон доступных ответов и спросите себя, насколько точной должна быть ваша оценка. Например, достаточно ли порядка величины или нужно вычислить ответ до ближайшего целого числа? Примеры вопросов: 1. 347 + 198 =? A) 650 B) 550 C) 580 D) 590 E) 600 2. 3,509 + 3,492 =? A) 7,000 B) 7,200 C) 7,100 D) 7,250 E) 6,950 3. 989 + 413 + 498 =? A) 2,600 B) 900 C) 1,100 D) 1,900 E) 3,200 Ответы: 1.B 2. A 3. D Скачать практические тесты численной оценки Числовое мышление Тесты на числовое мышление оценивают вашу способность логически и рационально использовать числа. Вам нужно будет интерпретировать предоставленную информацию, а затем применить соответствующую логику, чтобы ответить на вопросы. Другими словами, вам нужно решить, как получить ответ, а не какие вычисления применить. Эти вопросы требуют только базового уровня образования и, следовательно, измеряют способность к числовому мышлению, а не успеваемость. Вопросы измеряют ваше понимание числовых рядов, числовых преобразований, взаимосвязей между числами и вашу способность выполнять числовые вычисления. Они также включают текстовые вопросы, в которых математическая задача формулируется словами, и ваша задача — применить необходимую логику, чтобы найти ответ. Иногда вопросы предназначены для того, чтобы приблизиться к типу рассуждений, необходимых на рабочем месте. Обычно вам разрешается использовать калькулятор для таких вопросов, и неплохо было бы вложиться в калькулятор, который может обрабатывать дроби и проценты. Следует ожидать около от 15 до 20 вопросов за от 20 до 30 минут . Пример вопроса: 1. Анна и Джон едут в свой новый дом в 400 милях. Анна ведет семейную машину со средней скоростью 60 миль в час. Джон ведет машину-эвакуатор со средней скоростью 50 миль в час. Во время поездки Анна останавливается в общей сложности на 1 час 20 минут, Джон останавливается на половину этого времени. Какая разница в минутах между их временем прибытия? A) 60 B) 55 C) 40 D) 90 E) 80 Ответ: C Практика численного мышления Скачать Практические тесты численного мышления Числовые последовательности Эти вопросы-рассуждения требуют, чтобы вы нашли недостающее число в последовательности чисел. Это отсутствующее число может быть в начале или в середине, но обычно оно находится в конце. Чтобы эффективно решить эти вопросы числовой последовательности, вы должны сначала проверить взаимосвязь между самими числами, ища простую арифметическую взаимосвязь. Затем посмотрите на интервалы между числами и посмотрите, есть ли там связь. Если нет, и в частности, если видно более четырех чисел, то могут быть перемежены две числовые последовательности. Иногда в этих последовательностях можно встретить умножение, деление или степени, но разработчики тестов стараются избегать их, поскольку эти операции вскоре приводят к большим числам, которые трудно вычислить без калькулятора. Примеры вопросов: 1. Найдите следующее число в серии: 4, 8, 16, 32, — A) 48 B) 64 C) 40 D) 46 2. Найдите недостающее число в серии: 54, 49, -, 39, 34 A) 47 B) 44 C) 45 D) 46 Вопросы о числовой последовательности могут быть довольно простыми, как в приведенных выше примерах.Однако вы часто будете встречать более сложные вопросы, в которых интервалы между числами являются ключом к последовательности: 3. Найдите следующее число в серии: 3, 6, 11, 18, — A) 30 B) 22 C) 27 D) 29 Эти числовые последовательности обычно состоят из четырех видимых чисел плюс одно отсутствующее число. Это связано с тем, что разработчику тестов необходимо создать последовательность, в которую может поместиться только одно число. Необходимость избегать какой-либо двусмысленности означает, что если числовая последовательность основана на более сложном шаблоне, должно быть больше видимых чисел. Например: 4. Найдите недостающее число в серии: 4, 3, 5, 9, 12, 17, — A) 32 B) 30 C) 24 D) 26 5. Найдите недостающие числа в серии: 1, -, 4, 7, 7, 8, 10, 9, — A) 6 B) 3 C) 11 D) 13 Ответы: 1. B — числа каждый раз удваиваются 2. B — числа уменьшаются на 5 каждый раз 3.C — Интервал, начинающийся с 3, увеличивается каждый раз на 2 4. D — Каждое число представляет собой сумму предыдущего и третьего разряда слева 5. A, D — Их два простые чередующиеся последовательности 1, 4, 7, 10, 13 и 6, 7, 8, 9 Буква алфавита в виде чисел Другой тип вопросов последовательности, который появляется в тестах на рассуждение, включает замену букв алфавита на числа. Например, A = 1, B = 2 и т. Д. Может показаться странным рассматривать их как вопросы числового мышления, но на самом деле они работают точно так же, как только вы снова замените их числами. Поскольку арифметические операции с буквами выполнять нельзя, в этих вопросах меньше места для двусмысленности. Это означает, что чередующиеся последовательности могут использоваться с меньшим количеством видимых букв, чем в вопросах, в которых используются числа. В этих вопросах с алфавитной последовательностью подразумевается, что последовательность возвращается назад и начинается снова.Важно понимать это, поскольку обычно об этом не говорится явно — от вас просто ожидается, что вы это узнаете. Если вы видите более одного из этих вопросов в тесте, почти наверняка стоит потратить время на то, чтобы написать буквы алфавита с их порядковыми номерами под ними. Затем вы можете рассматривать эти вопросы так же, как вопросы о числовой последовательности. Это может сэкономить много времени и избежать простых ошибок. Пример вопроса: 1.Найдите следующую букву в серии: B, E, H, K, — i) L ii) M iii) N iv) O Ответ: iii — Две буквы пропущены между каждой, поэтому N идет следующей. Интерпретация данных Большинство управленческих и надзорных работ требуют от вас интерпретации данных, представленных в диаграммах, таблицах и графиках, для принятия повседневных решений. Если вы подаете заявление о приеме на работу, которая включает анализ или принятие решений на основе числовых данных, вы можете рассчитывать на то, что вам придется отвечать на вопросы интерпретации данных. Эти тесты обычно используют: Круговая диаграмма Графики Точечные диаграммы Таблицы данных В вопросах интерпретации данных часто используются очень конкретные иллюстрации; например, вопрос может содержать финансовые данные или использовать жаргон информационных технологий. Однако для ответа на вопрос не требуется понимания этих областей. Более сложные вопросы могут отображать данные в одном формате (например, таблица), а часть этих данных — в другом формате (например, круговая диаграмма). Чтобы ответить на вопросы, вы должны иметь возможность логически связать эти два элемента. Проблемы интерпретации данных обычно требуют двух основных шагов: Во-первых, вы должны прочитать диаграмму или график, чтобы получить определенную информацию. Затем вы должны применить или изменить информацию, чтобы получить ответ. Эти типы вопросов обычно используются при отборе выпускников и руководителей, и обычно можно ожидать от 20 до 25 вопросов за от 20 до 30 минут . Примеры вопросов: 1. В каком месяце объем продаж был максимальным? A) январь B) февраль C) март 2. Сколько стоит сервер типа ZXC53 за единицу? A) 12 B) 13 C) 14 3. Сколько устройств ZXC43 можно будет продать в апреле? A) 56 B) 58 C) 60 4. Стоимость единицы какого сервера изменилась в марте? A) ZXC43 B) ZXC53 C) ZXC63 Ответы: 1.C 2. B 3. A 4. C Скачать тесты интерпретации практических данных Проверка данных Тесты проверки данных представляют собой ряд таблиц с информацией, которые необходимо сравнивать друг с другом. Вам будет предложено отметить любые различия. Этот тип теста используется для определения того, насколько быстро и точно вы можете обнаруживать ошибки в данных. Эти данные могут быть бессмысленными (например, номера счетов) или довольно значимыми (например, имена и адреса). В обоих случаях важно тщательно проверять каждый символ, а не читать данные в обычном режиме. Также следует иметь в виду, что в одном фрагменте данных может быть более одной ошибки. Этот тест используется для отбора кандидатов на канцелярские должности и работу по вводу данных, особенно там, где важна точность; например, бухгалтерский учет и банковское дело. Эти тесты обычно содержат от до 40 вопросов и занимают у от 20 до 30 минут . Важно, хотя и трудно, поддерживать концентрацию на протяжении всего теста. Пример вопроса: 1. Сравните правый столбец данных с столбцом слева и отметьте любые различия красным маркером. Практический тест на численное мышление Скачать практические тесты для проверки данных Как сдать вопросы о числовых способностях — Основные советы Многие люди, которые какое-то время не посещали систему образования или не используют математику изо дня в день, могут испугаться числовых тестов на пригодность. Важно помнить, что вам не нужно изучать математику на высоком уровне, чтобы добиться успеха. Это в первую очередь тесты на основную арифметику и способность к рассуждению, а необходимые математические вычисления неизменно просты. Во всех случаях вам нужно подготовиться, практикуя в уме арифметику, пока вы не станете одновременно быстрым и уверенным. Даже несмотря на то, что вам нужно будет выполнять меньше арифметических операций в тестах на рассуждение, нет смысла решать, как прийти к ответу, если вы сделаете простую ошибку при его вычислении. На ваш результат в простых тестах скорости очень сильно повлияет ваша способность быстро и точно складывать, вычитать, умножать и делить. Если вы очень плохо разбираетесь в арифметике, попробуйте заново выучить таблицу умножения до 12 и попрактиковаться в умножении и делении. Вам также может потребоваться вернуться к работе с процентами, соотношениями, пропорциями, дробями и десятичными знаками. Вот наши главные советы: Строгие временные ограничения на числовые тесты способностей могут сделать их очень сложными.Убедитесь, что вы тренируетесь работать быстро и точно, и всегда рассчитывайте время с помощью секундомера. Попробуйте и попрактикуйтесь в таких вещах, как таблица умножения, чтобы мгновенно давать ответы. Это поможет вам успокоиться и снизит давление, которое вы испытываете при прохождении настоящего теста. Вопросы числового мышления обычно не имеют однозначного ответа. Практикуйтесь, быстро определяя, какие из ваших основных арифметических навыков необходимы для каждого вопроса. Постарайтесь проработать множество практических вопросов.Убедитесь, что вы заранее спросили работодателя, какие вопросы содержит тест. Это числовые рассуждения или вопросы интерпретации данных, численных расчетов или численной оценки? Знание ответа на этот вопрос поможет вам отточить подготовку к правильному типу вопросов. Сводка Числовые тесты способностей часто рассматриваются как один из самых сложных тестов, которые вам нужно будет пройти в процессе приема на работу. Однако это ключевой навык, который будет важен для большинства работодателей. Однако при тщательной подготовке вы произведете впечатление. Если вы хотите попробовать больше вопросов практического теста, мы рекомендуем практические численные тесты JobTestPrep. Как решить числовую серию: примеры вопросов и советов Вопросы о числовой последовательности проверяют вашу способность распознавать шаблоны и манипулировать числами с помощью различных математических функций. Придется ли вам заполнить недостающие числа или переставить термины в соответствии с правилом, эти числовые тесты серии будут держать вас в напряжении. Вопросы числовой серии обычно появляются в большом количестве тестов на числовое мышление. Ниже вы найдете краткое описание различных видов числовых серий, с которыми вы можете столкнуться, а также несколько примеров каждой числовой серии. Попробуйте свои силы в ответах на некоторые из приведенных ниже вопросов и посмотрите наше полезное обучающее видео, чтобы немедленно начать подготовку к экзамену по психометрии. Что такое числовая серия? Числовой ряд — это список номеров, расположение которых определяется по определенному правилу.Это правило может быть таким простым, как сложение или умножение на один коэффициент, или может включать в себя сложную серию шагов. В некоторых сериях даже требуются два отдельных правила, которые используются попеременно. Как решать вопросы серии? Ваша задача — определить правило ряда, анализируя данные вам числа. Иногда ответ будет очевиден, но в большинстве случаев это не так. Если ваш единственный метод решения проблем — это проб и ошибок, вы потратите много времени на догадки. К счастью, вопросы серии следуют предсказуемой схеме. Если вы знакомы с пятью наиболее распространенными шаблонами для числовых рядов, то быстро сможете исключить возможные варианты, пока не придете к правильному ответу. Простое арифметическое число серии В арифметической числовой серии каждое число либо увеличивается, либо уменьшается каждый раз на одну и ту же величину. Эти серии относительно легко заметить. Вы всегда должны проверять, увеличивается или уменьшается ряд на постоянный коэффициент, прежде чем переходить к другим возможностям. Вот два примера арифметических числовых рядов. 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39… 21, 15, 9, 3, -3, -9, -15, -21… Динамическая арифметика серии В динамической арифметической серии вы все равно будете либо складывать, либо вычитать, но коэффициент будет каждый раз меняться. Например, вы можете добавить единицу к первому числу, чтобы получить второе число, а затем два ко второму числу, чтобы перейти к третьему числу. В качестве альтернативы вы можете добавить одно число к нечетным числам в серии и другое число к четным числам в серии.Обратитесь к примерам ниже, чтобы увидеть, как динамические арифметические ряды работают на практике. 1,2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56… 3, 9, 8, 7, 13, 5, 18, 3, 23, 1, 28, -1… Геометрическая серия Геометрический ряд, в отличие от арифметического, имеет дело с умножением и делением. 2, 6, 18, 54, 162… 100, 50, 25, 12,5, 6,25… Комплексная серия В сложных сериях используется правило двух шагов.Например, сложный ряд может использовать как арифметические, так и геометрические принципы. Если числа кажутся разнесенными через случайные интервалы, но непрерывно увеличиваются, возможно, у вас сложный ряд. 1, 5, 13, 29, 61… Здесь правило 2x + 3. Вы должны удвоить каждое число, а затем добавить три, чтобы найти следующее число. Расширенная серия Серия Advanced креативна и несколько непредсказуема. Они могут использовать экспоненты или другие математические функции.Они также могут быть динамичными. Возьмем, к примеру, последовательность Фибоначчи. В последовательности Фибоначчи каждое число является суммой двух предыдущих. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 К сожалению, в продвинутых сериях нет правил. Если вы сдаете психометрический экзамен, эта серия статей может вас сбить с толку. Если вы знаете, что ряд не является ни арифметическим, ни геометрическим рядом, тогда вам, возможно, придется начать мыслить нестандартно. Как подготовиться к тесту числовой серии? Если вы выпускник или соискатель, готовящийся к аттестации перед приемом на работу, вам нужно убедиться, что вы знаете все стандартные серии.Вам не придется тратить много времени на определение арифметических или геометрических рядов, независимо от того, простые они или динамические. Таким образом, у вас будет время составить сложный числовой ряд. Когда вы переходите к расширенному числовому ряду, здесь нет установленных правил. (Совет: если вы исключили все другие возможности, проверьте, как каждый термин соотносится с двумя предшествующими ему.) Последние мысли о рассуждениях Серии: Если вас все еще беспокоит отборочный тест, посмотрите полезный видеоурок.Когда вы закончите, перейдите на вкладку с вопросами в Интернете и ознакомьтесь с примерами числовых серий, которые мы создали специально для вас. Полезное видео: Бесплатные образцы вопросов: Найдите недостающий номер в следующей серии. 3, 4, 0, 8, Х, 16, -6, 32 Завершите серию ниже 4, 2, -4, -22, -76… Ответы: -3 -238: (3X-10) 100 бесплатных вопросов и советов 2021 Все представленные продукты и услуги выбраны WikiJob независимо.Когда вы совершаете покупку по ссылкам на этой странице, мы можем получать комиссию. Числовые тесты мышления используются работодателями для измерения вашей способности выполнять задачи, связанные с числами, и являются одним из основных разделов любого психометрического оценочного теста. Вопросы варьируются от простых арифметических операций, таких как сложение и вычитание, до более сложных вопросов, где вам нужно интерпретировать числовую информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм и графиков. Тесты на числовые способности популярны среди работодателей, потому что многие рабочие места требуют от вас работы с числами хотя бы часть времени. Если вы подаете заявление о приеме на работу, которая предполагает повседневную работу с цифрами, работодатель будет рассматривать ваши числовые способности как ценный показатель вашей эффективности на работе. В тестах численного мышления вы обычно будете иметь дело с графиками , таблицами, числовыми последовательностями и текстом . Они будут содержать необработанные данные, необходимые для ответа на письменный вопрос, но вам часто придется выполнить несколько операций с этими данными, чтобы получить ответ.Они также могут включать вопросы, в которых математическая проблема сформулирована словами, и ваша задача — применить необходимую логику, чтобы найти решение. На экзаменах для выпускников и руководителей часто ожидается, что вы ответите на вопроса об интерпретации данных . Они имеют форму диаграмм и графиков, которые вам необходимо понять, а затем интерпретировать. Другими словами, вам нужно решить, как получить ответ, а не какие вычисления применить. Мини-тест числовых способностей Чтобы помочь вам понять, что включает в себя тест на числовые навыки, вот практический тест, с которого вы начнете: Пройдите еще один тест Чего ожидать от теста на числовые способности В психометрических тестах регулярно встречаются числовые вопросы двух типов: Вопросы о скорости — При неограниченном времени большинство людей, проходящих эти тесты, могут успешно ответить на все вопросы.Однако время, отведенное на выполнение теста, настолько короткое, что даже от самого способного человека не ожидается его завершения. Это означает, что результат зависит от количества правильных ответов, сделанных за относительно короткое время. Power test — содержит вопросы разной сложности; ни от кого не ожидается, что он получит правильные ответы на все вопросы, даже с неограниченным временем. На практике для испытаний мощности устанавливается определенное, но достаточное время. Некоторые более редкие формы числовых тестов не имеют ограничений по времени и / или не имеют отрицательной оценки (неправильные ответы вычитаются из вашей общей оценки, а не просто 0). В зависимости от провайдера, тесты числового мышления можно сдать дома или в центре оценки; иногда и то, и другое — многие организации используют метод борьбы с мошенничеством, который требует от кандидатов лично пройти еще один тест в центре оценки. Если домашний счет и очный счет сильно различаются, то начинают звонить тревожные звонки. Продолжительность любого теста на числовые способности, который вас попросят пройти, будет зависеть от нескольких факторов, включая количество других тестов, которые вы будете проходить в день.Однако большинство тестов длятся от 30 до 40 минут и содержат от 30 до 40 вопросов. Вопросы, используемые в тестах на числовые навыки, можно разделить на четыре основных типа: Числовые вычисления — Эти вопросы включают основные принципы арифметики, включая сложение, вычитание, умножение, деление, проценты, отношения, дроби и десятичные дроби. Чтобы получить высокие баллы по этим вопросам, вам необходимо быстро и точно рассчитать без использования калькулятора. Числовая оценка — Числовая оценка важна для многих технических работ, когда вам нужно быстро и точно оценить количество материалов и т. Д. Эти вопросы требуют от вас быстрой оценки ответов на простые числовые вопросы. Вы не должны пытаться вычислить ответы; это займет слишком много времени и помешает вам ответить на достаточно вопросов, чтобы получить хорошую оценку. Числовое мышление — Эти вопросы проверяют вашу способность к рассуждению, а не способность выполнять вычисления.Другими словами, вам нужно решить, как получить ответ, а не просто сказать, какие вычисления применить. Они всегда включают некоторые вопросы числовой серии, где вам нужно выяснить, какое число или числа отсутствуют в этой серии. Они также включают текстовые вопросы, в которых математическая задача формулируется словами, и ваша задача — применить необходимую логику, чтобы найти ответ. Интерпретация данных — Большинство управленческих и надзорных работ требуют от вас интерпретации данных, представленных в диаграммах, таблицах и графиках, для принятия повседневных решений.В этих тестах обычно используются круговые диаграммы, линейные графики, диаграммы рассеяния и таблицы данных, которые необходимо интерпретировать, чтобы ответить на вопросы. Более сложные вопросы могут отображать данные в одном формате (например, в таблице), а часть этих данных — в другом формате (например, в виде круговой диаграммы). Чтобы ответить на вопросы, вы должны иметь возможность логически связать эти два элемента. Эта статья была разработана для того, чтобы вам было легче практиковать те области, в которых вы чувствуете себя наиболее слабыми, что дает вам наибольшую пользу в кратчайшие сроки.Таким образом, каждый тест содержит больше вопросов каждого типа, чем вы получили бы в реальном тесте. Это также гарантирует, что вы получите максимальное внимание к как можно большему разнообразию стилей и типов вопросов. Важно помнить, что настоящий тест будет содержать вопросы разных типов. Почему работодатели используют эти тесты? Психометрические тесты имеют долгую историю исследований. Сильная корреляция между результатами этих тестов и производительностью на рабочем месте привела к тому, что компании во всем мире инвестируют в них как в важную часть процесса найма. Многим работодателям необходимо знать, что у вас есть прочный фундамент из базовых математических навыков . Эти навыки (расчет процентов, соотношений, дробей, прибыли, выручки и т. Д.) Имеют решающее значение практически в любой сфере бизнеса. Работодатели используют тесты на числовые способности прежде всего по следующим причинам: Их проверенный послужной список по показателям производительности на рабочем месте Использование математических навыков, необходимых для работы, на которую вы претендуете. То, что эти тесты в целом вполне честные Они основаны ни на чем, кроме ваших грубых способностей и практики По этим и другим причинам многие работодатели даже говорят, что они ценят эти тесты на пригодность больше, чем университетские степени. Рекрутеры компании знают, что их новые сотрудники не обязательно обладают хорошими отраслевыми или специальными знаниями. Вот что приходит с опытом. Ключевым моментом для них является отбор кандидатов, у которых есть основы, позволяющие им адаптироваться к окружающей среде и приобретать необходимые им навыки и знания. Компании в первую очередь заинтересованы в вашем понимании основ. Они также следят за тем, как быстро вы сможете работать под давлением. Такой вид арифметики должен быть таким, чтобы вы могли делать это быстро и точно, когда это необходимо. Что затрудняет тесты на числовые способности? Тесты на числовые способности часто являются самым сложным типом проверки способностей для многих кандидатов. Это происходит по нескольким ключевым причинам, которые мы опишем здесь: Срок действия В среднем у вас обычно есть от 45 секунд до 2 минут, чтобы ответить на каждый вопрос. В нижней части шкалы это действительно сложно. Есть много тестов, в которых дойти до конца — само по себе подвиг. Обладать способностями и уверенностью в том, чтобы иметь возможность интерпретировать данные, решать, что нужно сделать, а затем быстро выполнять эти операции, является сложной задачей, поэтому практика очень важна.Мы рекомендуем пакеты числовой практики от JobTestPrep . Подготовка к тестам на числовые возможности с помощью JobTestPrep Несколько операций На многие вопросы нет однозначного ответа. Например, вам не нужно просто умножить два числа, чтобы найти решение. Это навык, о котором часто забывают, который приходит только на практике. Вы можете отлично разбираться в сложении, умножении, процентах и т. Д., Но вы все равно останетесь позади, если не сможете быстро и точно определить, какие операции вам нужно выполнить и в каком порядке. Математика Иногда математические навыки сами по себе могут оказаться трудными, особенно если математика не самая сильная ваша область. Если учесть две предыдущие трудности — ограничение по времени и понимание того, как ответить на вопрос, — давление ситуации может очень легко помешать хорошей работе. Различные поставщики тестов численного мышления Не все численные тесты одинаковы. Хотя все они стремятся проверить одинаковый набор навыков, у каждого создателя тестов будут свои идеи о том, как лучше всего это сделать. В рамках подготовки, если вы узнаете, какого поставщика услуг тестирования использует компания, к которой вы обращаетесь, вы сможете еще больше сфокусировать свою практику. Основные провайдеры: Двумя основными поставщиками тестов являются SHL и Pearson , одни из старейших компаний в отрасли. Их тесты, как правило, устанавливают отраслевой стандарт, и многие поставщики тестов следуют их примеру и вносят лишь относительно незначительные изменения в формат. Если вы сомневаетесь, вы не ошибетесь, практикуя их тесты. С учетом сказанного, некоторые провайдеры действительно встряхивают. Например, Talent Q имеет инновационный тест, который адаптируется к вашим требованиям. Ваши правильные и неправильные ответы помогают проинформировать тест о вашем уровне навыков и соответственно корректировать вопросы. Это позволяет сделать тест гибким и коротким. cut-e также выделяется из упаковки. С очень короткими тестами, продолжительностью от 5 до 12 минут, его вопросы сосредоточены на более абстрактных математических элементах, а не на графиках и диаграммах.Это может сбить с толку кандидатов, которые привыкли работать с более практичными вопросами. Выбор поставщика зависит от конкретной роли и отдела. Конечно, вы всегда должны помнить, что компании могут в любой момент сменить поставщика. Всегда следите за тем, чтобы вы развили необходимые навыки, которые применимы к любому тесту на числовое мышление. Проверяются именно те навыки, а не конкретные знания о конкретном тесте. Большинство работодателей также будет стремиться к тому, чтобы думать на ногах и адаптироваться к изменениям. Вопросы о численных вычислениях Численные вычисления вопросов включают математические термины и методы, а также основные принципы арифметики, например: Этот тип теста можно отнести к категории теста скорости и используется для определения вашей базовой математической грамотности. Вам не разрешат пользоваться калькулятором. Если вы очень плохо разбираетесь в арифметике, попробуйте заново выучить таблицу умножения до 12 и попрактиковаться в умножении, делении и вычислении процентов.Практика может улучшить ваши результаты по всем типам тестов, поэтому попробуйте как можно больше примеров. Эти вопросы непосредственно применимы ко многим административным и канцелярским должностям, но также могут появляться в качестве компонента выпускных и управленческих тестов. Скорость, с которой вы можете ответить на эти вопросы, является критическим критерием, так как большинство людей могут получить очень высокий балл, если у них будет неограниченное время для ответа. Таким образом, вы можете рассчитывать на 25–35 вопросов за 20–30 минут. Простая арифметика Вы можете значительно улучшить свои результаты, тренируясь в мысленной арифметике, пока вы не станете одновременно быстрым и уверенным. Ваш результат в простых тестах на скорость будет во многом зависеть от вашей способности быстро и точно складывать, вычитать, умножать и делить. В типичном тесте, состоящем из 60 смешанных вопросов, вам может потребоваться выполнить более 200 отдельных операций умножения и деления. Важно знать свои таблицы умножения (до десятикратной таблицы умножения) и иметь возможность мгновенно ответить на любую операцию. Ключевое слово здесь — «мгновенный». Большинство людей могут дать мгновенные ответы примерно на 80% этих операций и потратить несколько секунд на то, чтобы подумать об остальном. Эти дополнительные несколько секунд складываются в течение теста, когда ответ на один вопрос может включать три или четыре таких простых действия. Если вы побрите несколько секунд здесь и там, у вас будет время ответить на четыре или пять дополнительных вопросов в типичном тесте — и это будет иметь большое значение для вашего окончательного результата. У вас вряд ли возникнут какие-либо проблемы с таблицами умножения на 1, 2, 5 и 10, поэтому вы, вероятно, можете их игнорировать. Возьмите лист бумаги формата A4 и перечислите числа 3, 4, 6, 7, 8, 9 в столбце в левой части страницы и вдоль верхнего поля, как показано: Работайте слева направо и сверху. вниз по сетке, вписывая каждый ответ. Если вы остановитесь хотя бы на секунду, чтобы обдумать ответ, поставьте прочерк и продолжайте. Не переставай думать.Либо напишите ответ сразу, либо поставьте прочерк. Вы должны выполнить это упражнение менее чем за 40 секунд. В результате обычно получается лист с несколькими черточками, правильный ответ на который приходит не сразу. Вам нужно будет потратить немного времени на освежение памяти для этих операций — делайте это в течение нескольких дней, тратя пару минут за раз, пока они не станут мгновенными. Когда вы будете полностью довольны, попробуйте снова сетку — вы сможете правильно заполнить ее менее чем за 40 секунд. Правила выполнения основных арифметических операций с целыми числами (целыми числами) должны быть вам знакомы, хотя вы можете обнаружить, что некоторые вещи вы забыли. Например: Умножение или деление двух целых чисел с разными знаками дает отрицательный результат; например, 5 x –3 = –15 Умножение или деление двух отрицательных целых чисел дает положительный результат; например, –3 x –3 = 9 Есть несколько советов и приемов, которые помогут вам с умственной арифметикой, которые стоит потратить время на их практику.Все они немного повлияют на вашу общую скорость; если вы сможете освоить несколько из них, и все они просты, то совокупный эффект позволит вам ответить на еще несколько вопросов в отведенное время. Как вы уже знаете, эти несколько дополнительных оценок могут существенно повлиять на то, как вас будут воспринимать как кандидата на работу. Вычитание Рассмотрим сумму: a — b . Есть три подхода к этому виду расчета: 1.Прямой расчет Когда все цифры «b» меньше, чем цифры «a», расчет может производиться цифра за цифрой. Например: Оцените 862 — 41, просто вычтя 1 из 2 в разряде единиц и 4 из 6 в разряде десятков. Это равно 821. 2. Косвенный расчет Если описанная выше ситуация не применима, проблему иногда можно изменить: Если только одна цифра в «b» больше, чем соответствующая цифра в «a», уменьшите неправильную цифру в «b» до тех пор, пока она не станет равной соответствующей цифре в «a». Затем вычтите, что величина «b» была уменьшена на «a». Например: Чтобы вычислить 872–92, превратите задачу в 872–72 = 800. Затем вычтите 20 из 800 = 780. Если несколько цифр в «b» больше, чем соответствующая цифра в «a», может быть легче найти, сколько нужно добавить к «b», чтобы получить «a». Например: Чтобы вычислить 8192–732, мы можем прибавить 8 к 732 (в результате получится 740), затем прибавить 60 (чтобы получить 800), затем 200 (для 1000). Затем прибавьте 192, чтобы получить 1192, и, наконец, прибавьте 7000, чтобы получить 8192. Наш окончательный ответ — 7460. 3. Прогнозируемый метод заимствования Этот метод можно использовать для вычитания чисел слева направо, и после небольшой практики он может значительно ускорить мысленное вычитание. Одно место обрабатывается слева направо. Пример: 4,075 — 1,844 Тысяч: 4 — 1 = 3, посмотрите направо, 075 <844, нужно одолжить. 3 — 1 = 2, скажем, «Две тысячи» Сотни: 0-8 = отрицательные числа здесь не допускаются 10–8 = 2 75> 44, поэтому брать в долг, скажем, «двести» не нужно Десятки: 7–4 = 3 5> 4, поэтому не нужно брать в долг, скажем, «тридцать» Единицы: 5–4 = 1, скажем, «Один» Это дает 2231 в качестве ответа. Умножение Расчет продуктов: a x b 1.Умножение на 2 В этом случае продукт можно рассчитать по цифрам. Это не совсем так, потому что остаток возможен. Если есть остаток, он всегда равен 1, что значительно упрощает ситуацию. Все-таки произведение надо рассчитывать справа налево: 2 x 167 — это 4 с остатком, затем 2 (то есть 3) с другим остатком, затем 2 (то есть 3). Таким образом, получаем 334. 2. Умножение на 5 Чтобы умножить число на 5, умножьте это число на 10, а затем разделите на 2.Следующий алгоритм позволяет быстро получить такой результат: Сначала добавьте ноль справа от нужного числа Затем, начиная с крайней левой цифры, разделите на 2 и добавьте каждый результат в соответствующем порядке, чтобы получить новое число Дробь в ответах округляется до ближайшего целого числа . Например, если вы намеревались умножить 176 на 5, вы сначала должны добавить ноль к 176, чтобы получить 1760. Затем разделите 1 на 2, чтобы получить 0,5, округленное в меньшую сторону до 0 Разделите 7 на 2, чтобы получить 3,5 с округлением в меньшую сторону до 3 Разделите 6 на 2, чтобы получить 3 0 разделить на 2 просто 0 В результате получается номер 0330 . Последний шаг включает прибавление 5 к числу, которое следует за любой отдельной цифрой в этом новом числе, которое было нечетным до деления на два; это лучше понять на примере: В исходном номере 176 на первом месте стоит 1, что является нечетным.Поэтому мы добавляем 5 к цифре после первого разряда в нашем вновь построенном числе (0330), что составляет 3: . 3 + 5 = 8 Цифра на втором месте 176, 7 тоже нечетная. Следовательно, число-место после соответствующей цифры в построенном числе (0830) также увеличивается на 5. 3 + 5 = 8 Число на третьем месте 176, 6 четное, поэтому окончательное число 0 в нашем ответе не изменилось. Последний ответ — 0880. Крайний левый ноль можно опустить, оставив 880. Итак, 176 x 5 = 880 3. Умножение на 9 Поскольку 9 = 10 — 1, для умножения на 9 умножьте число на 10, а затем вычтите исходное число из этого результата. Например, 9 x 27 = 270 — 27 = 243 4. Умножение двух двузначных чисел от 11 до 19 Чтобы легко перемножить двузначные числа от 11 до 19, вы можете использовать этот простой метод сетки: Рассмотрим расчет 1a x 1b xx = a + b yy = a x b Это можно представить как: Так, например, расчет 17 x 16 можно представить как: Добавление столбцов в сетку дает ответ 272, например: 5.Умножение любых двузначных чисел вместе Чтобы легко перемножить любые двузначные числа вместе, простой алгоритм выглядит следующим образом: ab x cd 100 x (a x c) + 10 x (b x c) + 10 x (a x d) + b x d Например, 23 x 47 можно уменьшить до: 800 (что составляет 2 x 4 x 100) 120 (что составляет 3 x 4 x 10) 140 (что составляет 7 x 2 x 10) 21 (что составляет 7 x 3) Сумма дает 1081. Вам нужно будет несколько раз попрактиковаться в этих методах, чтобы стать профессионалом, но они могут значительно сэкономить время, отвечая на вопросы о числовых вычислениях и оценках. Фракции Дробь — это число в форме a / b, где «a» и «b» — целые числа. Буква «a» называется числителем дроби, а буква «b» — знаменателем. Например, 3/5 — это дробь, числителем которой является «3», а знаменателем — «5». Это можно представить как 3, разделенные на 5. Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же целое число, полученная дробь будет эквивалентной. Если числитель и знаменатель дроби умножить на 5, получится 15/25. Следовательно, 3/5 = 15/25 1. Сложение, вычитание и сравнение дробей Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, вы просто складываете числители и оставляете знаменатель неизменным. 3/5 + 1/5 = 4/5 Если знаменатели не совпадают, вам необходимо сделать их такими же, прежде чем выполнять сложение. Для этого нужно получить наименьший общий знаменатель . В математике наименьший общий знаменатель (сокращенно LCD) — это наименьшее общее кратное знаменателей набора дробей.То есть это наименьшее (ненулевое) число, кратное знаменателям. Например, ЖК-дисплей 1/2 и 1/4 равен 4, потому что наименьшее общее кратное 2 и 4 равно 4. Помните, знаменатель говорит о том, на что делится числитель. Любое число, разделенное на 4, будет меньше, чем если бы оно было разделено на 2. Следовательно, 4 является наименьшим общим знаменателем. Аналогично, ЖК-дисплей 1/2 и 1/3 равен 6, потому что наименьшее (ненулевое) число, кратное 2 и 3, равно 6. Использование ЖК-дисплея (или любого кратного ему числа) в качестве знаменателя позволяет складывать, вычитать или сравнивать дроби. Например: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4 1/2 — 1/3 = 3/6 — 2/6 = 1/6 1/3 <2/5 с 15.05 <15.06 2. Вычитание дробей Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения — найдите общий знаменатель и замените каждую дробь на эквивалентную дробь с выбранным общим знаменателем. Полученная дробь будет иметь этот знаменатель, а ее числитель будет результатом вычитания числителей исходных дробей. Например: 2/3 — 1/2 = 4/6 — 3/6 = 1/6 3. Умножение дробей Чтобы умножить две дроби, умножьте два числителя и умножьте два знаменателя (знаменатели не обязательно должны быть одинаковыми). Например: 3/4 x 1/2 = 3/8 4. Умножение дробей на целые числа Если у вас есть четверть торта, и вы умножите сумму на три, то в итоге вы получите три четверти.Мы можем записать это численно следующим образом: 3 x 1/4 = 3/4 В качестве другого примера предположим, что пять человек работают по три часа из семи часов в день (т. Е. Три седьмых рабочего дня). В общей сложности они проработают 15 часов (5 х 3 часа каждый) или 15 седьмых дней в день. Так как семь седьмых дня — это целый день, 14 седьмых — это два дня. Тогда в общей сложности они проработают два дня и одну седьмую дня. Численно: 5 x 3/7 = 15/7 = 2 1/7 5.Умножение дробей на дроби Снова рассмотрим пример торта; если у вас есть четверть торта, и вы умножаете количество на треть, вы получаете двенадцатую часть торта. Другими словами, треть четверти (или треть четверти) равна двенадцатой. Это потому, что каждая четверть делится на три части, а четыре четверти умноженные на три составляют 12 частей (или двенадцатых). Мы можем записать это численно следующим образом: 1/3 x 1/4 = 1/12 Когда дроби умножаются на дроби, просто умножьте два числителя (верхние числа) и умножьте два знаменателя (нижние числа). Например: 6. Разделение на дроби Чтобы разделить одну дробь на другую, инвертируйте дробь, на которую вы делите, и действуйте, как при умножении. Например: 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 x 2/1 = 6/4 = 1½ 7. Смешанные числа и неправильные дроби В приведенном выше примере выражение, такое как 1½, называется смешанным числом . Это означает 1 плюс 1/2. Например, у вас может быть два целых торта и три четверти другого торта.Целая и дробная части числа пишутся рядом друг с другом: 2 + 3/4 = 2¾ Когда вас просят произвести вычисления со смешанными числами, вам может быть проще преобразовать смешанное число в неправильную дробь. Неправильная дробь можно рассматривать как еще один способ записать смешанное число; В приведенном выше примере «2¾» представьте, что два целых торта разделены на четыре части. Каждый торт составляет 4/4 от общей суммы, поэтому 4/4 + 4/4 + 3/4 = 11/4 — это еще один способ написать 2¾. Смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь за три шага: Умножить целую часть на знаменатель дробной части Добавьте числитель дробной части к этому произведению Полученная сумма является числителем новой (неправильной) дроби, а новый знаменатель такой же, как и у смешанного числа Аналогичным образом неправильную дробь можно преобразовать в смешанное число: Разделим числитель на знаменатель Частное (без остатка) становится целой частью, а остаток становится числителем дробной части Новый знаменатель такой же, как и у исходной неправильной дроби Например, если вас попросят решить следующее: 7–2 Преобразовать 7 в неправильную дробь: 57/8 Преобразовать 2 ¾ в неправильную дробь: 11/4 Определите ЖК-дисплей: который равен 8 Преобразовать: 11/4 в 22/8 Вычислить: 57/8 — 22/8 = 35/8 Преобразовать: 35/8 в 4⅜ Следовательно, 7⅛ — 2¾ = 4⅜ Десятичные Все числа можно выразить в десятичной форме с помощью основания 10.Используется десятичная точка, и значение разряда для каждой цифры соответствует степени 10, в зависимости от ее положения относительно десятичной точки. Например, число 62.437 состоит из 5 цифр, где: ‘6’ — это цифра десятков; значение позиции для «6» — 10 «2» — это цифра «единиц»; значение позиции для «2» — 1 , «4» — это десятая цифра; значение разряда для «4» — 1/10 «3» — это «сотые» цифры; значение разряда для «3» — 1/100 «7» — это «тысячные» цифры; значение позиции для «7» составляет 1/1000 Следовательно, 82.537 — это краткое написание 60 + 2 + 0,4 + 0,03 + 0,007 Эта система счисления имеет значение для основных операций. Для сложения и вычитания вы всегда должны помнить о выравнивании десятичных знаков: Например: 126,5 + 68,231 = 194,731 может быть записано с выровненными десятичными точками как: Для умножения десятичных знаков нет необходимости выравнивать десятичные точки. Чтобы определить правильную позицию десятичной точки, вы просто добавляете количество цифр справа от десятичных знаков умножаемых десятичных знаков. Например: 15,381 x 0,14 = 2,15334 В этом примере у первого числа три десятичных знака, у второго числа два десятичных знака, и, следовательно, ответ должен состоять из пяти десятичных знаков. Чтобы разделить десятичную дробь на другую, например 62,744 ÷ 1,24, сначала переместите десятичную точку в делителе вправо, пока делитель не станет целым числом, затем переместите десятичную точку в делимом на такое же количество разрядов. Это дает 6274.4 ÷ 124 Эта процедура определяет правильную позицию десятичной точки в частном (как показано). После этого разделение может продолжаться как обычно. Преобразование десятичных знаков и дробей Преобразование заданной десятичной дроби в эквивалентную дробь выполняется просто. Поскольку каждое разрядное значение представляет собой степень десяти, каждое десятичное число можно легко преобразовать в целое число, разделенное на степень десяти. Например: 84,1 = 841/10 9,17 = 917/100 0.612 = 612/1000 Последний пример можно свести к наименьшим членам, разделив числитель и знаменатель на 4, что является их наибольшим общим множителем. Наибольший общий делитель двух ненулевых целых чисел — это наибольшее положительное целое число, которое делит оба числа без остатка. Итак, 612/4 = 153 и 1000/4 = 250 Следовательно, 0,612 = 153/250 Любую дробь можно преобразовать в эквивалентную десятичную дробь. Поскольку дробь a / b означает «a», деленное на «b», мы можем разделить числитель дроби на ее знаменатель, чтобы преобразовать дробь в десятичную дробь. В процентах Процент — это способ выражения чисел как дробей от 100, который часто обозначается знаком процента (%). Например, 45,1% (читается как «сорок пять целых одна десятая процента») равно 0,451. Проценты используются, чтобы выразить, насколько велико одно количество по отношению к другому количеству. Тогда первое количество обычно является частью или изменением второго количества. Например, увеличение на 0,15 доллара по сравнению с ценой в 2,50 доллара — это увеличение на долю 0.15 / 2,50 = 0,06. Таким образом, в процентах это увеличение на 6%. 1. Проценты могут быть относительными Из-за непоследовательного использования из контекста не всегда ясно, каков процент относительно. Когда говорят о «10% -ном росте» или «10% -ном падении» количества, обычное толкование состоит в том, что это связано с начальным значением этого количества. Например, 10% -ное увеличение товара, изначально оцененного в 200 долларов, составляет 20 долларов, что дает новую цену в 220 долларов.Для многих любое другое использование неверно. Однако в случае процентных ставок обычно используется иное процентное изменение: Предположим, что начальная процентная ставка задана в виде процента, например, 10%. Допустим, процентная ставка вырастет до 15%. Это можно охарактеризовать как увеличение на 50%, измеряя увеличение относительно начального значения процентной ставки. Однако на практике многие говорят: «Процентная ставка выросла на 5%». Чтобы избежать этой путаницы, иногда используется единица «процентные пункты», когда речь идет о разнице в процентах.Итак, в предыдущем примере «Процентная ставка увеличилась на 5 процентных пунктов» было бы недвусмысленным выражением того, что ставка теперь составляет 15%. С изменениями процентное значение может иметь любое положительное значение. Например, 100% -ный рост является синонимом удвоения; прирост 100%, начиная с 200 единиц, составляет 200 единиц, увеличивая общее количество до 400. 2. Проценты и аннулирование Распространенная ошибка при использовании процентов — представить, что процентное увеличение отменяется, когда за ним следует такое же процентное уменьшение. Увеличение на 50% от 100 равно 100 + 50 или 150 Снижение на 50% со 150 составляет 150 — 75, или 75 Результат меньше 100, с которой мы начали. Это явление связано с изменением начального значения после первого расчета. В этом примере первое начальное значение — 100, а второе — 150. В общем, чистый эффект равен: (1 + x) (1 — x) = 1 — x2, то есть чистое уменьшение, пропорциональное квадрату процентного изменения. В качестве конкретного примера биржевые маклеры пришли к пониманию того, что даже если акция упала на 99%, она, тем не менее, может упасть еще на 99%. Кроме того, если акция растет на большой процент, трейдер все равно теряет всю стоимость акции, если акция впоследствии упадет на 100%, что означает, что она имеет нулевую стоимость. Практический тест по численным вычислениям Пройдите еще один тест Вопросы по численной оценке Числовая оценка вопроса проверяют вашу способность быстро оценивать ответы на довольно простые числовые вопросы.Чтобы получить высокие баллы по этим вопросам, вам нужно будет быстро дать ответ. Вы должны избегать ловушки точного ответа, которая отнимет слишком много времени и помешает вам ответить на достаточное количество вопросов, чтобы получить хорошую оценку. Числовая оценка жизненно важна во многих ремесленных и технических работах, где важна способность быстро и точно оценить количество материала. Тем не менее, способность делать быстрые оценки — полезный навык, которым нужно обладать, даже если вы сдаете выпускной или профессиональный тест, поскольку это позволит вам примерно проверить свои ответы на вопросы интерпретации данных. Скорость, с которой вы можете ответить на эти вопросы, является критическим критерием, так как большинство людей могут получить очень высокий балл, если у них будет неограниченное время для ответа. Таким образом, вы можете ожидать от 25 до 35 вопросов примерно за 10 минут. Несмотря на то, что вопросы числовой оценки кажутся простыми, может потребоваться некоторое время, чтобы найти оптимальный компромисс между скоростью и точностью. Пример вопроса: 29 + 41 + 38 + 31 =? A) 130 B) 120 C) 160 D) 110 E) 140 Чтобы оценить ответ на этот вопрос, быстро округлите каждое число в большую или меньшую сторону, чтобы облегчить их сложение. 30 + 40 + 40 + 30 = 140 Следовательно, правильный ответ: E Прежде чем вы попытаетесь ответить на каждый вопрос, посмотрите на диапазон доступных ответов и спросите себя, насколько точной должна быть ваша оценка. Например, достаточно ли порядка величины или нужно вычислить ответ до ближайшего целого числа? Если у вас нет опыта в арифметике, попробуйте заново выучить таблицы умножения до 12 и потренироваться в грубых и готовых вычислениях умножения, деления и процентов. Практика может улучшить ваши результаты тестов по всем типам тестов на способности, но численная оценка — это одна из областей, где она может иметь значение, поэтому попробуйте как можно больше примеров. Практический тест по числовому оцениванию Пройдите еще один тест Вопросы по числовому мышлению Тесты на числовое мышление требуют, чтобы вы интерпретировали некоторую заданную информацию, а затем применили соответствующую логику для ответа на вопросы. Другими словами, вам нужно решить, как получить ответ, а не какие вычисления применить. Иногда вопросы предназначены для того, чтобы приблизиться к типу рассуждений, необходимых на рабочем месте. Самым популярным типом вопросов числового мышления являются вопросы числового ряда. Вопросы с числовым обоснованием очень часто используются при отборе выпускников и руководителей. Обычно вы можете ожидать от 15 до 20 вопросов за 20-30 минут. Численное обоснование становится все более популярным способом оценки кандидатов в процессе отбора вакансий.Многие люди, которые какое-то время не учились в системе образования или не используют математику изо дня в день, испытывают страх перед такими тестами. Важно помнить, что вам не нужно изучать математику на высоком уровне, чтобы хорошо сдать эти тесты. В первую очередь это тесты на способность рассуждать, а необходимые математические вычисления неизменно просты. Сказав это, вам, возможно, придется разобраться с процентами, соотношениями, пропорциями, дробями и десятичными знаками. Обычно вам разрешается использовать калькулятор для таких вопросов, и инвестировать в калькулятор, который может обрабатывать дроби и проценты, является хорошей идеей. Вам также следует попробовать проработать несколько практических работ по числовым вычислениям, чтобы вернуться к размаху этих типов вычислений. Что такое числовые последовательности Эти вопросы требуют, чтобы вы нашли недостающее число в последовательности чисел. Этот недостающий номер может быть в начале или в середине, но обычно он находится в конце. Например: 1. Найдите следующее число в серии 4, 8, 16, 32… A) 48 B) 64 C) 40 D) 46 2. Найдите недостающий номер в серии 54, 49,…, 39, 34 A) 47 B) 44 C) 45 D) 46 Эти числовые последовательности могут быть довольно простыми, как в приведенных выше примерах.Однако вы часто будете видеть более сложные вопросы, в которых интервалы между числами являются ключом к последовательности. 3. Найдите следующее число в серии 3, 6, 11, 18… A) 30 B) 22 C) 27 D) 29 4. Найдите следующее число в серии 48, 46, 42, 38… A) 32 B) 30 C) 33 D) 34 Эти простые числовые последовательности обычно состоят из четырех видимых чисел плюс одно отсутствующее число.Это связано с тем, что разработчику тестов необходимо создать последовательность, в которую может поместиться только одно число. Необходимость избегать какой-либо двусмысленности означает, что если числовая последовательность основана на более сложном шаблоне, тогда должно быть больше видимых чисел. Например: 5. Найдите недостающий номер в серии 4, 3, 5, 9, 12, 17,… A) 32 B) 30 C) 24 D) 26 6.Найдите недостающие числа в серии 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14,…,… A) 19 B) 17 C) 15 D) 16 Ответы: 1. B — Числа каждый раз удваиваются 2. B — Числа уменьшаются на 5 каждый раз 3. C — Интервал, начинающийся с 3, увеличивается каждый раз на 2 4. B — Интервал, начинающийся с 2, увеличивается на 2 и вычитается каждый раз 5.D — Каждое число является суммой предыдущего и цифры 3 слева 6. C, A — Есть две простые чередующиеся последовательности 5, 7, 10, 14, 19 и 6, 8, 11, 15 Чтобы эффективно решить эти вопросы числовой последовательности, вы должны сначала проверить взаимосвязь между самими числами, ища простую арифметическую взаимосвязь. Затем посмотрите на интервалы между числами и посмотрите, есть ли там связь. Если нет, и в частности, если видно более четырех чисел, то могут быть перемежены две числовые последовательности. Иногда в этих последовательностях можно встретить умножение, деление или степени, но разработчики тестов стараются избегать их, поскольку эти операции вскоре приводят к большим числам, которые трудно вычислить без калькулятора. Буквы алфавита как числа Другой тип вопросов последовательности, который появляется в этих тестах, включает замену букв алфавита на числа. Например: A = 1, B = 2 и т. Д. Может показаться странным рассматривать их как вопросы числового мышления, но они работают точно так же, как только вы снова замените их числами. 1. Найдите следующую букву в серии B, E, H, K,… i) L ii) M iii) N iv) O 2. Найдите следующую букву в серии A, Z, B, Y,… i) C ii) X iii) D iv) Y Ответы: 1.iii — Две буквы отсутствуют между каждой, поэтому N — следующая 2. i — Есть две чередующиеся последовательности A, B, C и Z, Y, поэтому C будет следующим Поскольку арифметические операции с буквами выполнять нельзя, в этих вопросах меньше места для двусмысленности. Это означает, что чередующиеся последовательности могут использоваться с меньшим количеством видимых букв, чем в вопросах, в которых используются числа. В этих вопросах «алфавитной последовательности» подразумевается, что последовательность «зацикливается» и начинается снова.Важно понимать это, поскольку обычно об этом не говорится явно — от вас просто ожидается, что вы это узнаете. Если вы видите более одного из этих вопросов в тесте, почти наверняка стоит потратить время на то, чтобы написать буквы алфавита с их порядковыми номерами под ними. Затем вы можете рассматривать эти вопросы так же, как вопросы о числовой последовательности. Это может сэкономить много времени и избежать простых ошибок. Практический тест численного мышления Пройдите еще один тест Вопросы по интерпретации данных Способность интерпретировать данные, представленные в таблицах, графиках и диаграммах, является общим требованием для многих управленческих и профессиональных должностей.Если вы подаете заявку на работу, которая включает анализ или принятие решений на основе числовых данных, вы можете рассчитывать на то, что вам придется ответить на вопросы интерпретации данных. Проблемы интерпретации данных обычно требуют двух основных шагов: Во-первых, вы должны прочитать диаграмму или график, чтобы получить определенную информацию. Затем вы должны применить или изменить информацию, чтобы получить ответ В этих вопросах часто используются очень конкретные иллюстрации; например, в вопросе могут быть представлены финансовые данные.Однако понимание финансов не потребуется, чтобы ответить на этот вопрос. Обычно вы можете рассчитывать на 20-25 вопросов за 20-30 минут. Кандидаты, которые какое-то время не посещали систему образования или которым не нужно ежедневно интерпретировать графики, круговые диаграммы, диаграммы разброса и таблицы данных, могут испытывать страх перед вопросами такого типа. Важно помнить, что вам не нужно изучать математику на высоком уровне, чтобы добиться успеха.Эти вопросы в первую очередь являются тестами на интерпретацию, а необходимые математические вычисления неизменно просты. Обычно вам разрешено использовать калькулятор в тестах интерпретации данных. Практический тест интерпретации данных Пройдите еще один тест Численное мышление: советы и методы Большинство тестов присваивают одну оценку каждому правильному ответу — дифференциальной оценки нет. Это означает, что вы получите одну оценку за вычисление процента или дроби, и вы получите одну оценку за понимание некоторых данных, представленных в графическом виде, и за ответ на вопрос о них. Следовательно, имеет смысл сконцентрироваться на улучшении своей умственной арифметики и убедиться, что вы знакомы с процентами, дробями, отношениями и т. Д., Поскольку они могут дать вам легкие оценки. Кроме того, не зацикливайтесь на вопросах, которые кажутся вам сложными — если вы можете, заполните все те, на которые вы можете легко ответить, а затем вернитесь и заполните пробелы. Практика перед тестом Самый первый шаг — изучить свой тест. Прочтите все, что можно, о численных тестах в целом и посмотрите, сможете ли вы точно узнать, какие тесты использует компания, к которой вы подаете заявку. Также посетите форумы или спросите совета у друзей, которые прошли тест. Это поможет вам сосредоточить свою практику и сделать ее намного более эффективной, а также привыкнуть к формату, с которым вам придется столкнуться. Когда вы думаете, что хорошо понимаете, с чем сталкиваетесь, следующим шагом будет просто практика, практика и практика. Просмотрите образцы вопросов и полные пробные тесты, такие как пакеты числовых тестов от JobTestPrep . Practive with JobTestPrep По крайней мере, для некоторых из ваших практик вам следует отвечать на вопросы в соответствии с условиями теста .В частности, вам нужно привыкнуть к тому, чтобы рассчитывать время самостоятельно и придерживаться строгих временных рамок. Если у вас есть 30 минут, чтобы ответить на 30 вопросов, вам нужно убедиться, что вы в среднем не тратите больше минуты на каждый вопрос. Это можно сделать с помощью секундомера. Каждый раз, когда он достигает минуты (или любого другого среднего времени), сбрасывайте его и двигайтесь дальше. Вернитесь к тем, которые вы не закончили, если у вас будет время в конце. Это поможет вам не волноваться из-за давления самого теста. Когда вы привыкнете к формату и вопросам, настоящий тест — это просто вопрос сохранения спокойствия и выполнения его. Всегда полезно широко искать ресурсы, которые помогут вам подготовиться к оценке численного обоснования. Вот некоторые из наших предложений по дополнительным ресурсам, на которые стоит обратить внимание: Приложения — Мы создали приложение для психометрических тестов, доступное как для Apple, так и для Android. Он содержит вопросы, имитирующие вопросы, опубликованные, в частности, SHL, Kenexa, CAPP и Cubiks.Он имеет встроенный таймер, и после этого вы можете проверить решения, чтобы научиться и развиваться. Практические онлайн-тесты — Помимо наших собственных тестов на пригодность, WikiJob рекомендует пакеты числовых тестов , доступные в JobTestPrep . JobTestPrep предлагает широкий спектр профессионально разработанных пакетов практических навыков численного мышления, вопросов, тестов и ресурсов. Вопросы структурированы в профессиональном формате, как и настоящие.Практические численные тесты также предлагаются другими провайдерами, такими как Psychometric Success. Непосредственно перед испытанием Во-первых, убедитесь, что вы выспались, много воды и что-нибудь поесть. Не забудьте взять с собой следующее: Калькулятор (если разрешен) Секундомер Макулатура и карандаш Немного воды Если вы проводите тест дома, найдите тихую уединенную комнату, в которой вы можете посидеть.Убедитесь, что вас не побеспокоят, и убедитесь, что у вас стабильный интернет. Сделайте глубокий вдох, успокойтесь и начните тест. Эффективные стратегии при прохождении теста Если вы хорошо потренировались и подготовились, то, надеюсь, сдача настоящего теста покажется вам знакомой. Просто с чуть большим давлением. Делайте то, что вы подготовили. Подсчитайте среднее время, которое у вас есть на каждый вопрос, и используйте секундомер, чтобы успевать вовремя. Вот несколько вещей, которые следует помнить при прохождении теста: Используйте практические вопросы в полной мере. — Часто в начале теста вам будет предложено несколько вопросов-примеров, чтобы вы познакомились с форматом и сориентировались.Как ставятся вопросы? На что похожи данные? Какие расчеты нужно сделать? Запишите все, что, по вашему мнению, может помочь вам в дальнейшем. Это также будет ваш последний шанс задать какие-либо вопросы до начала теста. Внимательно прочтите вопросы — Не позволяйте ограничению времени мешать вам внимательно читать. Это особенно важно, потому что недопонимание часто является причиной того, что вы забываете выполнить конкретный шаг в вычислении или не отвечаете на вопрос.Прочтите каждый вопрос дважды и убедитесь, что вы внимательно прочитали предоставленную информацию. Не делайте предположений — Помните, что все, что вам нужно для ответа на вопрос, находится на странице и нигде больше. Если вам случится вспомнить цифру или факт из вашего исследования в другом месте, который кажется, что он может иметь отношение, игнорируйте их. Также используйте эти знания, чтобы ободрить себя. Если ответ найти невозможно, вы точно знаете, что это возможно, основываясь только на том, что написано на странице. Используйте процесс исключения — Если вы действительно застряли, посмотрите на некоторые из предложенных вам ответов с несколькими вариантами ответов и работайте в обратном направлении. Посмотрите, есть ли какие-либо ответы, которые определенно выглядят так, как будто они не могут быть ответом, и сначала устраните их. Focus — Ключевой навык, который нужно проверить при численной оценке, — это ваша способность сканировать данные и оттачивать то, что важно. Вот почему вы должны внимательно прочитать вопрос, чтобы знать, что вам нужно выяснить.Затем внимательно прочтите контекст. Какие данные содержит таблица? Что показывает график? Выясните, какие данные вы можете игнорировать, и заботьтесь только о той информации, которая поможет вам ответить на вопрос. Делайте заметки — Держите под рукой свою макулатуру и используйте ее. Жонглировать большим количеством данных и информации в голове может быстро стать непосильной задачей. Избавьте себя от хлопот и запишите факты, которые, по вашему мнению, важны, когда будете работать над вопросом. Всегда проверяйте единицы измерения, валюты и базы. — Очень распространенная ошибка в числовых тестах — спутать единицы измерения, валюты и т. Д. Иногда вам нужно будет конвертировать между валютами. Использование двух цифр, как если бы они были одной и той же валютой, приведет вас к неправильному ответу. То же самое и с графиками, таблицами и диаграммами. Всегда проверяйте оси, что они представляют и есть ли какие-либо сокращения (например, запись «10» на графике, когда ось объясняет, что это означает «10 миллионов»).Это кажется очевидным, но об этом легко забыть. Игнорировать других тестируемых — Если вы проходите тест лично в центре оценивания, скорее всего, вы не останетесь один в комнате. Не позволяйте этому добраться до вас. Другие кандидаты могут вздыхать, ерзать, шуршать бумагой или оглядываться. Это не имеет значения — вы пришли только на свой тест. Некогда отвлекаться, поэтому держите голову опущенной и сосредоточьтесь на собственном числовом тесте. Часто задаваемые вопросы 1. Что лучше: закончить тест или сосредоточиться на точности? В общем, лучше ориентироваться на точность. Даже если вы проходите тест на скорость, точность не менее важна. Для большинства тестов работодатель получит оценку точности, а также ваш исходный балл. Их больше заинтересует кандидат, который потратил немного больше времени, но был намного точнее, чем кандидат, который прошел, но был небрежным. 2. Когда мне следует узнать, как прошел тест? Какие отзывы вы получаете и когда сильно различаются от компании к компании.Некоторые не дают вам обратной связи, некоторые — только в случае успеха, некоторые предлагают резюме всем кандидатам. В зависимости от типа предлагаемой обратной связи это может произойти сразу после завершения теста (автоматическая система обратной связи) или в любое время от нескольких дней до нескольких недель после завершения теста. Если вы не уверены, получите ли вы обратную связь или когда ее следует получить, просто спросите отдел кадров компании. 3. Могу ли я использовать калькулятор? При прохождении теста скорости, такого как численная оценка или численное вычисление, вам не разрешается использовать калькулятор.Эти тесты требуют, чтобы вы быстро ответили на простые вопросы по математике и проверили свои умственные арифметические операции. Обычно вам разрешается использовать калькулятор для числовых расчетов и вопросов интерпретации данных. Для большинства тестов, проводимых лично в центре оценки, есть калькуляторы, но на всякий случай всегда берите с собой свои. Всегда лучше использовать знакомый калькулятор. Тип используемого вами калькулятора может помочь или помешать вам в достаточной степени, чтобы повлиять на ваши результаты.В частности, используемый вами калькулятор должен: Используйте большую клавиатуру, так как это минимизирует ошибки ввода Имеют функции процента и памяти Не переусердствуйте с несколькими функциями, назначенными каждой клавише Отображение нескольких последних цифр и любых связанных операторов (+, -, x, ÷ и т. Д.). Это означает, что вы можете сразу проверить введенные данные, если считаете, что, возможно, допустили ошибку ввода. Будь вам знаком. То есть вам следовало использовать его на нескольких практических работах перед настоящим тестом . 4.Могу ли я использовать свой мобильный телефон во время теста? Скорее всего, вам не разрешат пройти тест лично, но это все равно не поможет. Тесты разработаны таким образом, что все, что вам нужно, это ваш калькулятор и ваши собственные числовые навыки. Нет времени искать ответы в Google или на форумах. 5. Я подумываю, чтобы кто-нибудь еще сдал за меня тест Плохая идея. Если вы попросите кого-нибудь пройти тест за вас, это может помочь вам пройти онлайн-тесты без надзора и перейти к следующему этапу процесса (при условии, конечно, что этот человек на самом деле лучше справляется с тестом, чем вы), но работодатели не согласны с этим. это не глупо, и в конечном итоге их не обмануть. Очень часто на этапе оценивания вас просят пройти еще один набор тестов на способности лично и под наблюдением. Результат этого теста будет сравнен с вашим исходным онлайн-тестом и проанализирован. Если вы обманули, то, скорее всего, на этом этапе вас обнаружат. И это лишь один из многих методов борьбы с мошенничеством, которые есть у работодателей. Многие из них не разглашаются, потому что, если бы они были, мошенники могли бы искать способы их обойти. Не рискуйте.Практика — гораздо более эффективная и полезная стратегия. Последние мысли Тесты на числовые способности обычно не требуют математических навыков, кроме сложения, вычитания, умножения, деления, соотношений и процентов. Компании в первую очередь заинтересованы в вашем понимании основ. Они спрашивают: «Уверен ли этот человек в работе с числами в целом?». Однако ожидается, что вы будете выполнять такие арифметические операции быстро и точно.Вы будете испытывать давление как из-за жестких временных рамок, так и из-за важности теста. Хотя эти навыки просты, они должны быть второй натурой. Практикуйте их, пока они не станут такими. Пройдите тест числового мышления Практические тесты числовых последовательностей | Assessment-Training.com Работодатели предпочитают использовать психометрическое тестирование в процессе приема на работу, чтобы лучше оценить кандидатов и их пригодность для работы, на которую они претендуют.Психометрическое тестирование может помочь оценить будущую производительность кандидата, а также улучшить удержание сотрудников за счет принятия успешных решений о найме. Наиболее распространенный способ для работодателей использовать тесты способностей, такие как числовые последовательности, — это онлайн. Традиционно тесты способностей проводились в форме ручки и бумаги, но благодаря таким преимуществам, как экономия драгоценного времени и денег, онлайн-тестирование используется все чаще. Тестирование способностей обычно является последующим действием после того, как работодатель принял ваше резюме или первоначальную форму заявления о приеме на работу. Если вы пройдете онлайн-тест, в некоторых случаях вас пригласят в центр аттестации, что обычно делают более крупные работодатели. Термин «центр оценки» используется в связи с тем, что работодатели проводят такую расширенную оценку в одном центре, будь то офис самих работодателей или стороннее учреждение. Центр аттестации часто (но не всегда) — это день, который составляет заключительный этап процесса подачи заявки. В центре оценки вас попросят пройти повторный тест в центре оценки, чтобы проверить ваши предыдущие результаты теста, поэтому не заставляйте друзей или семью помогать вам во время онлайн-теста! Подготовка к экзаменационному центру или онлайн-тесту способностей может вызывать стресс из-за того, что вы не знаете, чего ожидать.Лучший способ познакомиться — это пройти практические тесты способностей, которые имитируют тесты, используемые работодателями и рекрутерами. Assessment-Training.com подготовил тысячи кандидатов для их оценок и тестов на пригодность, предлагая реалистичные модели тестирования с полностью проработанными решениями. Практикуя тесты числовой последовательности, вы можете улучшить свои результаты во время реального теста, ознакомившись с форматом и временными ограничениями. Важные характеристики числовых серий: Тесты числовой последовательности обычно являются множественным выбором (в каждом случае верен только один вариант). Тесты на числовую последовательность проводятся в условиях экзамена и строго по времени. Приведенное время для каждого теста различается для каждого тестового издателя; некоторые тесты дают относительно большие временные рамки, в то время как другие короче. Тестируемым обычно разрешается использовать грубый лист бумаги. Для эффективного решения числовых последовательностей вы должны сначала проверить взаимосвязь между заданными числами и посмотреть, сможете ли вы найти какое-нибудь простое арифметическое соотношение.Также посмотрите на интервалы между числами и посмотрите, есть ли какая-либо связь. Если вы не можете найти четкую взаимосвязь между самими числами, возможно, есть две чередующиеся числовые последовательности. В этом тесте вы найдете отношения между числами, которые устанавливаются посредством умножения, деления, сложения и / или вычитания. В тестах номерной последовательности используется несколько различных шаблонов. Вы должны определить, какой шаблон применим, и выбрать правильный ответ.Примеры шаблонов номерной последовательности: Простое сложение или вычитание: каждое число в последовательности получается добавлением (или вычитанием) числа к предыдущему числу. Простое умножение: каждое число в последовательности получается путем умножения предыдущего числа на целое число или дробь. Простые числа: простое число — это натуральное число, которое больше 1 и не имеет положительных делителей, кроме 1 и самого числа, например 11, 13, 17, 19 и т. Д. Арифметические последовательности: В арифметической последовательности разница между одним членом и следующим постоянна. Другими словами, просто добавляйте каждый раз одно и то же значение бесконечно. Например, это может быть 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37. В этой последовательности разница между каждым числом равна 6. Каждый раз добавленная стоимость называется «общей разницей». Геометрические последовательности: геометрическая последовательность создается путем умножения на одно и то же значение каждый раз. Например, это может быть 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.Шаблон продолжается умножением на 2 каждый раз. Это число называется «обычным соотношением». Квадратные числа: это квадрат целых чисел, например 1 (= 1×1), 4 (= 2×2), 9 (= 3×3) и 16 (= 4×4). Рациональные числовые последовательности: Это числа, которые можно записать в виде дроби или частного, где числитель и знаменатель состоят из целых чисел. Числа Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и т. Д. Последовательность Фибоначчи находится путем сложения двух чисел перед ней вместе.2 находится путем сложения двух чисел перед ним (1 + 1), 21 — путем сложения 8 и 13 и т. Д. Использование двух или более основных арифметических функций: В некоторых сериях используется более одной операции (умножение, деление, сложение и / или вычитание). Например — 7, 9, 18, 20, 40 (здесь можно сложить 2, умножить на 2, прибавить 2, умножить на 2 и т. Д.). Как пройти тесты на числовое рассуждение Узнайте о различных типах тестов на числовое рассуждение и о том, как их практиковать, чтобы увеличить свои шансы на успех Численное рассуждение предназначено для проверки математических навыков кандидатов и имеет тенденцию фокусироваться на нескольких конкретных областях .Тесты обычно предназначены для тех, кто претендует на должности в сфере продаж, профессиональных, управленческих и контролирующих должностей или должности, требующие от работников принятия решений и выводов на основе числовых данных. Таблицы и графики вопросов Бесчисленные типы таблиц и графиков отображают числовые данные. Численные рассуждения содержат смесь тем таблиц — например, балансы, демографические данные населения и результаты телемаркетинговых опросов — поскольку цель состоит в том, чтобы увидеть, насколько быстро вы можете анализировать меняющиеся наборы данных. Вот один пример вопроса с числовыми рассуждениями в виде таблицы и графика: Таблицы имеют множество форм и проверяют ваши арифметические навыки и способность быстро вычислять отношения или проценты. Кандидаты, проходящие тесты для фирм, специализирующихся на финансовых услугах, скорее всего, столкнутся с несколькими наборами данных (соединение таблицы с графиком — популярная тема), вопросы, требующие способности вычислять общие финансовые коэффициенты (например, темпы роста, размер прибыли и рентабельность собственного капитала) или вопросы, требующие более глубокого анализа.Получите больше советов по решению вопросов, связанных с графиками и таблицами. Числовые тесты, не относящиеся к калькулятору Некоторые тесты численного мышления не позволяют использовать калькуляторы. Эти тесты часто содержат несколько вопросов, и вам дается всего несколько секунд, чтобы ответить на каждый из них. Тесты без использования калькулятора обычно содержат смесь словесных задач, арифметических вычислений в уме и других вычислений. JobTestPrep предлагает бесплатные и платные индивидуализированные пакеты упражнений по числовому мышлению, которые помогут вам обрести уверенность, повысить скорость и точность и убедиться, что вы реализуете свой потенциал. Пример: владелец магазина купил лопаты за 5 500 фунтов стерлингов. Лопаты были проданы за 7300 фунтов стерлингов, с прибылью в 50 фунтов стерлингов с каждой лопаты. Сколько лопат было задействовано? A. 18 B. 36 C. 55 D. 73 E. 90 F. Ничего из этого. Задачи со словами Задачи со словами требуют от вас быстрого арифметического вычисления в уме, чтобы ответить на вопрос, поэтому вы должны уметь быстро выполнять вычитание и деление. Практика этого типа вопросов поможет вам улучшить вашу скорость, когда вы занимаетесь реальным делом. Компания мобильной связи предлагает страховку на случай кражи и случайного повреждения водой. Согласно их полису, страховка выплачивает 60% и 50% соответственно и с франшизой 30 фунтов стерлингов. Это означает, что клиент платит первые 30 фунтов стерлингов, после чего страховка выплачивает 60% в случае кражи и 50% в случае случайного повреждения водой. Сколько заплатит клиент, если украдут ее мобильный телефон стоимостью 1080 фунтов стерлингов? A. 420 B. 450 C. 464 D. 660 фунтов E. 678 фунтов стерлингов Числовой ряд Эти тесты представляют собой числовые последовательности, которые следуют логическому правилу, основанному на элементарной арифметике.Дана начальная последовательность, из которой должно быть выведено правило. Затем вас просят угадать следующее число, которое подчиняется правилу. Успех в числовых рядах можно улучшить, изучив типы шаблонов, которые могут появиться в онлайн-тесте, и стратегии для их быстрого решения. Тесты числовой серии бывают разных форм, например… Заполните последовательность: 27, 24, 21, 18, X Правило: разница между каждым предметом составляет (-3). В данном случае недостающее число — 15. Завершите последовательность: 4, 6, 2, 8, 3, X Правило: В этой серии сами различия создают серию: +2, ÷ 3, x4, -5.


	Y=6 *sin(x)	Y= 1-2 sin х	Y= — sin (3х+ )
1. Область определения
2. Область значения
3. Четность
4. Периодичность
5. Промежутки знакопостоянства


6. Промежутки монотонности
Функция возрастает
Функция убывает
7. Экстремумы функции
Минимум
Максимум

На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.

Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент — это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.

4 Длина окружности выражается формулой C=2 R, где R – радиус окружности. 3, Окружность, радиус которой равен 1, называется … Точки М,Р,К,N – назовем узловыми. Отметим точки А,В,С. Длину единичной окружности удобно измерять в радианах. Если R=1, то С=2 рад! Наименование радиан обычно опускают. y х К Р С В А Длина дуги половины окружности равна рад. М N рад – четверть длины окружности рад – три четверти длины окружности О 1 единичной Радианная мера угла uk-badge uk-margin-small-right»> 5 Градусная мера Радианная мера0 Итак, величину угла поворота точки, а также величину дуги единичной окружности, можно задавать: I четверть II четверть III четверть IV четверть О в градусной мере в радианной мере Радианная мера угла 0 2 I четверть II четверть III четверть IV четверть О 2

6 «Размотаем» окружность как нить на координатный луч с началом в точке 0 Установим соответствие между множеством действительных чисел на числовой прямой и точками единичной окружности. Такое «разматывание» можно продолжать бесконечно. 3,14 0 Построение графика х y=sin x

13 Преобразование графиков Функция Преобразование 1 y= f (x) + mПараллельный перенос вдоль оси OY на m единиц 2 y= f (x – n)Параллельный перенос вдоль оси OX на n единиц 3 y=А f (x) Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в А раз 4 y= f (k x)Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз 5 y= – f (x) Симметричное отражение относительно оси OX 6 y= f (– x) Симметричное отражение относительно оси OY y = f (x)

20 Построим график функции y= 3 sin(2x+ /3)–2 Этапы построения: 1. y= sin x – синусоида 3. y= sin(2x+ /3) – перенос на /3 единиц влево 4. y= 3 sin(2x+ /3) – растяжение в 3 раза вдоль оси Oy 2. y= sin 2x – сжатие в 2 раза вдоль оси Ох 5. y= 3 sin(2x+ /3)–2 – перенос на 2 единицы вниз

26 Преобразование графиков Функция Преобразование 1 y=sin(kx)Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз 2 y=sin(x–m)Параллельный перенос вдоль оси OX на m единиц 3 y=А sin x Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в А раз 4 y=sin x+nПараллельный перенос вдоль оси OY на n единиц 5 y= – sin x Симметричное отражение относительно оси OX 6 y= sin (–x) Симметричное отражение относительно оси OY y = Asin(kx–n)+m 28 1.Функция y=sin x существует при всех действительных значениях x, причем, график ее является сплошной линией (без разрывов), т.е. функция непрерывна. 2.Функция y=sin x нечетная, ее график симметричен относительно начала координат 3.Наибольшие и наименьшие значения. Все возможные значения функции sinx ограничены неравенством -1 sinx 1, причем 4. Нули функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс): sinx=0, если x= n. (n Z) Некоторые свойства функции y=sinx sin x= – 1, если sin x=1, если

3) Это нечетная функция.

4) Это непрерывная функция.

— с осью абсцисс: (πn; 0),
— с осью ординат: (0; 0).

6) На отрезке [-π/2; π/2] функция возрастает, на отрезке [π/2; 3π/2] – убывает.

7) На промежутках функция принимает положительные значения.
На промежутках [-π + 2πn; 2πn] функция принимает отрицательные значения.

8) Промежутки возрастания функции: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn].
Промежутки убывания функции: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].

9) Точки минимума функции: -π/2 + 2πn.
Точки максимума функции: π/2 + 2πn

наибольшее значение 1.

На оси x отмерим длину π. При этом для удобства 3,14 представим в виде 3 – то есть без дроби. Тогда на листе в клетку π составит 6 клеток (трижды по 2 клетки). А каждая клетка получит свое закономерное имя (от первой до шестой): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Это значения x .


			√3 — 2		√3 — 2

Далее составим график. Получится полуволна, наивысшая точка которой (π/2; 1). Это график функции y = sin x на отрезке . Добавим к построенному графику симметричную полуволну (симметричную относительно начала координат, то есть на отрезке -π). Гребень этой полуволны – под осью x с координатами (-1; -1). В результате получится волна. Это график функции y = sin x на отрезке [-π; π].

1) Область определения функции – множество действительных чисел.

2) Область значений функции – отрезок [–1; 1]

3) Это четная функция.

4) Это непрерывная функция.

5) Координаты точек пересечения графика:
— с осью абсцисс: (π/2 + πn; 0),
— с осью ординат: (0;1).

6) На отрезке функция убывает, на отрезке [π; 2π] – возрастает.

7) На промежутках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] функция принимает положительные значения.
На промежутках [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] функция принимает отрицательные значения.

8) Промежутки возрастания: [-π + 2πn; 2πn].
Промежутки убывания: ;

9) Точки минимума функции: π + 2πn.
Точки максимума функции: 2πn.

10) Функция ограничена сверху и снизу. Наименьшее значение функции –1,
наибольшее значение 1.

11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π)

Возьмем предыдущую функцию y = cos x . Как вы уже знаете, ее графиком является синусоида. Если мы умножим косинус этой функции на определенное число m, то волна растянется от оси x (либо сожмется, в зависимости от величины m). Эта новая волна и будет графиком функции y = mf(x), где m – любое действительное число.

26 Преобразование графиков Функция Преобразование 1 y=sin(kx)Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз 2 y=sin(x–m)Параллельный перенос вдоль оси OX на m единиц 3 y=А sin x Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в А раз 4 y=sin x+nПараллельный перенос вдоль оси OY на n единиц 5 y= – sin x Симметричное отражение относительно оси OX 6 y= sin (–x) Симметричное отражение относительно оси OY y = Asin(kx–n)+m 28 1. Функция y=sin x существует при всех действительных значениях x, причем, график ее является сплошной линией (без разрывов), т.е. функция непрерывна. 2.Функция y=sin x нечетная, ее график симметричен относительно начала координат 3.Наибольшие и наименьшие значения. Все возможные значения функции sinx ограничены неравенством -1 sinx 1, причем 4. Нули функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс): sinx=0, если x= n. (n Z) Некоторые свойства функции y=sinx sin x= – 1, если sin x=1, если

Синус (sin α ) — это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|. Косинус (cos α ) — это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

График функции косинус, y = cos x Свойства синуса и косинуса Периодичность Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π . Четность Функция синус — нечетная. Функция косинус — четная. Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n — целое). y = sin x y = cos x Область определения и непрерывность — ∞ — ∞ Область значений -1 ≤ y ≤ 1 -1 ≤ y ≤ 1 Возрастание Убывание Максимумы, y = 1 Минимумы, y = -1 Нули, y = 0 Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1 Основные формулы Сумма квадратов синуса и косинуса Формулы синуса и косинуса от суммы и разности ; ; Формулы произведения синусов и косинусов Формулы суммы и разности Выражение синуса через косинус ; ; ; . Выражение косинуса через синус ; ; ; . Выражение через тангенс ; . При , имеем: ; . При : ; . Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. Выражения через комплексные переменные ; Формула Эйлера Выражения через гиперболические функции ; ; Производные ; . Вывод формул > > > Производные n-го порядка: { -∞ Секанс, косеканс Обратные функции Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно. Арксинус, arcsin Арккосинус, arccos Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009. См. также: ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ Функция синус — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная . Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R . Функция периодическая sin(x+2π· k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R . sin x = 0 при x = π·k , k ∈ Z . sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z . sin x (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z . Функция косинус Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная . Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R . Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π : cos(x+2π· k ) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R . cos x = 0 при cos x > 0 для всех cos x для всех Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: Функция тангенс Множество значений функции — вся числовая прямая, т. е. тангенс — функция неограниченная . Функция нечетная: tg(−x)=−tg x График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. tg(x+π· k ) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения. Функция котангенс Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная . Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. ctg(x+π· k )=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения. Функция арксинус Область определения функции — отрезок [-1; 1] Множество значений функции — отрезок -π /2 arcsin x π /2, т.е. арксинус — функция ограниченная . Функция нечетная: arcsin(−x)=−arcsin x для всех х ∈ R . График функции симметричен относительно начала координат. На всей области определения. Функция арккосинус Область определения функции — отрезок [-1; 1] Множество значений функции — отрезок 0 arccos x π , т.е. арккосинус — функция ограниченная . Функция является возрастающей на всей области определения. Функция арктангенс Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арктангенс — функция ограниченная . Функция нечетная: arctg(−x)=−arctg x для всех х ∈ R . График функции симметричен относительно начала координат. Функция является возрастающей на всей области определения. Функция арккотангенс Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арккотангенс — функция ограниченная . Функция не является ни четной, ни нечетной. График функции несимметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси Оy. Функция является убывающей на всей области определения. , Конкурс «Презентация к уроку» Презентация к уроку Назад Вперёд Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию. Железо ржавеет, не находя себе применения, стоячая вода гниет или на холоде замерзает, а ум человека, не находя себе применения, чахнет. Леонардо да Винчи Используемые технологии: проблемного обучения, критического мышления, коммуникативного общения. Цели: Развитие познавательного интереса к обучению. Изучение свойств функции у = sin x. Формирование практических навыков построения графика функции у = sin x на основе изученного теоретического материала. Задачи: 1. Использовать имеющийся потенциал знаний о свойствах функции у = sin x в конкретных ситуациях. 2. Применять осознанное установление связей между аналитической и геометрической моделями функции у = sin x. Развивать инициативу, определенную готовность и интерес к поиску решения; умение принимать решения, не останавливаться на достигнутом, отстаивать свою точку зрения. Воспитывать у учащихся познавательную активность, чувство ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, взаимоподдержки, уверенности в себе; культуру общения. Ход урока 1 этап. Актуализация опорных знаний, мотивация изучения нового материала «Вход в урок». На доске написаны 3 утверждения: Тригонометрическое уравнение sin t = a всегда имеет решения. График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу. График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну. Учащиеся обсуждают в парах: верны ли утверждения? (1 минута). Затем результаты первоначального обсуждения (да, нет) вносятся в таблицу в столбец «До». Учитель ставит цели и задачи урока. 2. Актуализация знаний (фронтально на модели тригонометрического круга ). Мы уже познакомились с функцией s = sin t. 1) Какие значения может принимать переменная t. Какова область определения этой функции? 2) В каком промежутке заключены значения выражения sin t. Найти наибольшее и наименьшее значения функции s = sin t. 3) Решите уравнение sin t = 0. 4) Что происходит с ординатой точки при ее движении по первой четверти? (ордината увеличивается). Что происходит с ординатой точки при ее движении по второй четверти? (ордината постепенно уменьшается). Как это связано с монотонностью функции? (функция s = sin t возрастает на отрезке и убывает на отрезке ). 5) Запишем функцию s = sin t в привычном для нас виде у = sin x (строить будем в привычной системе координат хОу) и составим таблицу значений этой функции. х 0 у 0 1 0 2 этап. Восприятие, осмысление, первичное закрепление, непроизвольное запоминание 4 этап. Первичная систематизация знаний и способов деятельности, их перенос и применение в новых ситуациях 6. № 10.18 (б,в) 5 этап. Итоговый контроль, коррекция, оценка и самооценка 7. Возвращаемся к утверждениям (начало урока), обсуждаем, используя свойства тригонометрической функции у = sin x, и заполняем в таблице столбец «После». 8. Д/з: п.10, №№ 10.7(а), 10.8(б), 10.11(б), 10.16(а) График функции y sin x 2. График функции y=sin x «Йошкар-Олинский техникум сервисных технологий» Построение и исследование графика тригонометрической функции y=sinx в табличном процессоре MS Excel /методическая разработка/ Йошкар – Ола Тема . Построение и исследование графика тригонометрической функции y = sinx в табличном процессоре MS Excel Тип урока – интегрированный (получение новых знаний) Цели: Дидактическая цель — исследовать поведение графиков тригонометрической функции y = sinx в зависимости от коэффициентов с помощью компьютера Обучающие: 1. Выяснить изменение графика тригонометрической функции y = sin x в зависимости от коэффициентов 2. Показать внедрение компьютерных технологий в обучение математике, интеграцию двух предметов: алгебры и информатики. 3. Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках математики 4. Закрепить навыки исследования функций и построения их графиков Развивающие: 1. Развивать познавательный интерес учащихся к учебным дисциплинам и умение применять свои знания в практических ситуациях 2. Развивать умения анализировать, сравнивать, выделять главное 3. Способствовать повышению общего уровня развития студентов Воспитывающие : 1. Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие 2. Воспитывать культуру диалога Формы работы на уроке – комбинированная Дидактическое оснащение и оборудование: 1. Компьютеры 2. Мультимедийный проектор 4. Раздаточный материал 5. Слайды презентации Ход урока I . Организация начала урока · Приветствие студентов и гостей · Настрой на урок II . Целеполагание и актуализация темы Для исследования функции и построения ее графика требуется много времени, приходится выполнять много громоздких вычислений, это не удобно, на помощь приходят компьютерные технологии. Сегодня мы научимся строить графики тригонометрических функций в среде табличного процессора MS Excel 2007. Тема нашего занятия «Построение и исследование графика тригонометрической функцииy = sinx в табличном процессоре» Из курса алгебры нам известна схема исследования функции и построения ее графика. Давайте вспомним как это сделать. Слайд 2 Схема исследования функции 1. Область определения функции (D(f)) 2. Область значения функции Е(f) 3. Определение четности 4. Периодичность 5. Нули функции (y=0) 6. Промежутки знакопостоянства (у>0, y 7. Промежутки монотонности 8. Экстремумы функции III . Первичное усвоение нового учебного материала Откройте программу MS Excel 2007. Построим график функции y=sinx Построение графиков в табличном процессоре MS Excel 2007 График данной функции будем строить на отрезке x Є [-2π; 2π] Значения аргумента будем брать с шагом, чтобы график получился более точным. Т. к. редактор работает с числами, переведем радианы в числа, зная что П ≈ 3,14 . (таблица перевода в раздаточном материале). 1. Находим значение функции в точке х=-2П. Для остальных значение аргумента соответствующие значения функции редактор вычисляет автоматически. 2. Теперь у нас имеется таблица со значениями аргумента и функции. С помощью этих данных мы должны построить график этой функции с помощью мастера диаграмм. 3. Для построения графика надо выделить нужный диапазон данных, строки со значениями аргумента и функции 4..jpg»> Выводы записываем в тетрадь (Слайд 5) Вывод. График функции вида у=sinx+k получается из графика функции у=sinx с помощью параллельного переноса вдоль оси ОУ на k единиц Если k >0, то график смещается вверх на k единиц Если k Построение и исследование функции вида у= k *sinx, k — const Задание 2. На рабочем Листе2 в одной системе координат постройте графики функций y = sinx y =2* sinx , y = * sinx , на интервале (-2π; 2π) и проследите как изменяется вид графика. (Чтобы заново не задавать значение аргумента давайте скопируем имеющиеся значения. Теперь вам надо задать формулу, и по полученной таблице построить график.) Сравниваем полученные графики. Разбираем вместе с обучающимися поведение графика тригонометрической функции в зависимости от коэффициентов. (Слайд 6) https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif»>x , на интервале (-2π; 2π) и проследите как изменяется вид графика. Сравниваем полученные графики. Разбираем вместе с обучающимися поведение графика тригонометрической функции в зависимости от коэффициентов. (Слайд 8) https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg»> Выводы записываем в тетрадь (Слайд 11) Вывод. График функции вида у= sin(x+k) получается из графика функции у=sinx с помощью параллельного переноса вдоль оси ОХ на k единиц Если k >1, то график смещается вправо вдоль оси ОХ Если 0 IV . Первичное закрепление полученных знаний Дифференцированные карточки с заданием на построение и исследование функции при помощи графика Y=6 *sin(x) Y= 1-2 sin х Y= — sin (3х+ ) 1. Область определения 2. Область значения 3. Четность 4. Периодичность 5. Промежутки знакопостоянства 6. Промежутки монотонности Функция возрастает Функция убывает 7. Экстремумы функции Минимум Максимум V . Организация домашнего задания Построить график функции y=-2*sinх+1 , исследовать и проверить правильность построения в среде электронной таблицы Microsoft Excel. (Слайд 12) VI . Рефлексия Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число. Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда у 0 = sin x 0 . Преобразуем это соотношение следующим образом: Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х. Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс. График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х. Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π / x / 2 = 4π . Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple : Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс. График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х. На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс. График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х. И, наконец, анимация, выполненная программой Maple: Упражнения 1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций. а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3 б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3 в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3 2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ). 3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10. 4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 . 5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1. 6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5. Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке . Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради. На оси Oy отмечаем единицу. Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки. На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка. При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x. Составим таблицу значений синуса на промежутке : Полученные точки отметим на координатной плоскости: Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π: Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево. Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой. Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1» Что будем изучать: Свойства функции Y=sin(X). График функции. Как строить график и его масштаб. Примеры. Свойства синуса. Y=sin(X) Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы помните их? Давайте познакомимся поближе с функцией Y=sin(X) Запишем некоторые свойства этой функции: 1) Область определения – множество действительных чисел. 2) Функция нечетная. Давайте вспомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной если выполняется равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул привидения: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнилось, значит Y=sin(X) – нечетная функция. 3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π]. Когда мы движемся по первой четверти (против часовой стрелки), ордината увеличивается, а при движении по второй четверти она уменьшается. 4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что -1 ≤ sin(X) ≤ 1 5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = — π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = π/2+ πk). Давайте, воспользовавшись свойствами 1-5, построим график функции Y=sin(X). Будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке . Особое внимание стоит обратить на масштаб. На оси ординат удобнее принять единичный отрезок равный 2 клеточкам, а на оси абсцисс — единичный отрезок (две клеточки) принять равным π/3 (смотрите рисунок). Построение графика функции синус х, y=sin(x) Посчитаем значения функции на нашем отрезке: Построим график по нашим точкам, с учетом третьего свойства. Таблица преобразований для формул привидения Воспользуемся вторым свойством, которое говорит, что наша функция нечетная, а это значит, что ее можно отразить симметрично относительно начало координат: Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin(x). Это значит, что на отрезке [- π; π] график выглядит так же, как на отрезке [π; 3π] или или [-3π; — π] и так далее. Нам остается аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке на всю ось абсцисс. График функции Y=sin(X) называют — синусоидой. Напишем еще несколько свойств согласно построенному графику: 6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – целое число и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – целое число. 7) Функция Y=sin(X) – непрерывная функция. Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность. 8) Область значений: отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика функции. 9) Функция Y=sin(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения, через некоторые промежутки. Примеры задач с синусом 1. Решить уравнение sin(x)= x-π Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см. рисунок). Наши графики пересекаются в одной точке А(π;0), это и есть ответ: x = π 2. Построить график функции y=sin(π/6+x)-1 Решение: Искомый график получится путем переноса графика функции y=sin(x) на π/6 единиц влево и 1 единицу вниз. Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4]. На графике функции видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно. Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение. Задачи на синус для самостоятельного решения Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π Построить график функции y=sin(π/3+x)-2 Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1 Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6] Функция y= sin x, её свойства и график . МБОУ «СОШ №2 г.Щигры Курской области» Петрищева Л.Д. Пояснительная записка: Изучение математики направлено на достижение, в первую очередь, целей интеллектуального развития школьников, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем. В структуре изучаемой дисциплины «Математика» выделяется следующий раздел: «Тригонометрические функции». Содержание раздела «Тригонометрические функции » включает тему урока «Функция y= sin x, её свойства и график» . В результате изучения данной темы обучающийся должен Знать: виды графиков тригонометрической функции y= sin x,ее свойства; определение тригонометрических функций числового углового аргумента; Уметь: •вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; • определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках; • строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций; • использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин; Раздел «Тригонометрические функции». Тема урока : Функция y= sin x, её свойства и график . Тип урока :урок первоначальное формирование умений и навыков. Цели урока: 1. Образовательная -ввести понятие функции y= sin x , свойства графика; -ввести схему построения функции y= sin x; -закрепить понятия с помощью выполнения заданий. 2. Развивающая -формировать понимание взаимосвязи между предметами Математика и черчение; -развивать пространственное воображение. 3. Воспитывающая -воспитывать внимание, аккуратность, бережное отношение к техническим средствам -способствовать осознанию ценности коллективной мыслительной деятельности -формировать представление о математике, как о части общечеловеческой культуры . Задачи: 1. Использовать имеющийся потенциал знаний о свойствах функции у = sin x в конкретных ситуациях. 2. Применять осознанное установление связей между аналитической и геометрической моделями функции у = sin x. Ход урока 1 этап. Актуализация опорных знаний, мотивация изучения нового материала «Вход в урок». Преподаватель: Здравствуйте ребята На доске написаны 3 утверждения: Тригонометрическое уравнение sin t = a всегда имеет решения. График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу. График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну. Верны ли утверждения? (1 минута). Затем результаты первоначального обсуждения (да, нет) вносятся в таблицу в столбец «До». Утверждение До После 1 2 3 Преподаватель ставит цели и задачи урока. 2. Актуализация знаний (фронтально на модели тригонометрического круга). Самостоятельная работа (индивидуальные карточки задания) Выполните следующие задания: 1 ) Выделите цветом ось синусов 2) Подпишите значения выделенных точек 3) Опустите перпендикуляры из точек на ось синусов Ответ: 2 этап. Восприятие, осмысление, первичное закрепление, непроизвольное запоминание Изучение нового материала . Построение графика функции у = sin x и запись свойств функции в тетради. 1) D(y) = 2) E (y) = 3) функция ограничена и сверху, и снизу 4) у_наиб = 1, у_наим = -1 5) непрерывная функция 6) нечетная функция 7) возрастает на ; убывает на Самостоятельная работа Заполните таблицу значений и постройте график функции y=sin x Ответ: х 0 у 0 1 0 3 этап. Первичное обобщение, произвольное запоминание, применение знаний и способов деятельности в типичных ситуациях 4. Постройте график функции (самостоятельно с проверкой) а) у = sin x + 2 б) у = sin x — 1 в) у = sin г) у = sin 5. Решите графически уравнение sin x = . 4 этап. Первичная систематизация знаний и способов деятельности, их перенос и применение в новых ситуациях 5 этап. Оценка и самооценка 7. Возвращаемся к утверждениям (начало урока), обсуждаем, используя свойства тригонометрической функции у = sin x. Самостоятельная работа: 1.Постройте в одной координатной плоскости графики функций: y₁ = sinx; у₂ = sinx + 2; у₃ = sinx — 2. Ответ: 2.Найдите область значений функции: 3.Найдите значения других трёх основных тригонометрических функций, если: 4. Найдите числовое значение выражения: Ответы: № 2 Преподаватель подводит итоги урока , анализирует уровень усвоения теоретического материала, задает задание на дом: Список используемых материалов 1. А.Г.Мордкович и др., Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений (профильный уровень)– 7-е изд.стер. – М. : Мнемозина, 2010. 2. А.Г.Мордкович и др., Алгебра и начала анализа: задачник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений (профильный уровень)– 7-е изд. стер.– М. : Мнемозина, 2010.Учебник «Ал», Л.С. Атанасян и др., Москва ,Просвещение 2005 Справочник по математике А.А Рывкин и др, Москва, Высшая школа 2009 Математика. Справочные материалы В.А.Гусев, А.Г.Мордкович Москва, Просвещение 2009 www.ziimag.narod.ru — персональный сайт автора Мордковича А. Г. «Практика развивающего обучения». www.math.ru -Интернет — поддержка учителей математики. Вопрос: Постройте график y=sinx+sin п/3-x y = sin модуль x Просвет График данной функции выглядит следующим образом: Natasha1456 Всего 1 ответ. 3x Полезно сделать замену t=sin x и построить график на плоскости (t,y). На отрезке (0, pi/2) синус монотонно возрастает, и можно примерно состроить искомый график. Гость3 Всего 1 ответ. Постройте график y=sinx+sin п/3-x заранее благодарюмарина дмитрук6 На будущее: используйте адвансед графер. Даже для дипломов со сложными специальностями годится. Я использовал на факультете электроприводов и автоматики. Хорошая программа, и много разных функций модно изобразить. Там, кстати, роль запятой играет точка, а переменные ставятся в скобках при задании функции. Можно еще с табличными массивами графики задавать, и прочее, и прочее… drwelder4 Всего 7 ответов. Решите тригонометрические уравнения и обязательно нужны к ним чертежи!!! Прошу!!! Срочно!!! Люди добрые!! В пятницу сдавать!! Кирилл Renault2 Решение тригонометрических уровнений такое: sint(sint-1)=0 sint=0⇒t=πn,n∈z sint=1⇒t=π/2+2πk, k∈z 4cos^2t-1=0 4cos^2t=1 cos^2t=1/4 1)cost=1/2 t=+-П/3 +2П*n, n принадлежит Z 2)cost=-1/2 t=+-2П/3+2П*n, n принадлежит Z 2cos^2t-5cost+2=0 cost=а, tа1>=1 2a^2-5a+2=0 D=25-16=9, a=5+-3/4, a1=2 (не удовл. 2-5m+1=0 D=25-24=1 m1,2=5t/12= m1=1/2, m2=1/3 cost=1/2 t=+-П/3+2Пn cost=1/3 t=+-arccos1/3+2Пк sin(3*П/4-x)<√3/2 Sinx<√3/2 -3*П/4 sinx<П/√3 Ирина Г.1 Всего 1 ответ. Начал смотреть Наруто. Стоит ли одновременно смотреть фильмы и аниме? Если да то в каком порядке? Александр Парыгин21 Порядок просмотра сериалов, фильмов и спин-оффов следующий: 1. Наруто [ТВ-1] – ТВ (220 эп.), первый сериал, адаптация манги, 2002-2007 2. Наруто OVA-1 – OVA (1 эп.), дополнение к сериалу, 2003 (смотреть после 19 серии ТВ-1). 3. Наруто OVA-2 – OVA (1 эп.), дополнение к сериалу, 2003 (смотреть после 52 серии ТВ-1). 4. Наруто (фильм первый) – п/ф, дополнение к сериалу, 2004 (смотреть после 101 серии ТВ-1). 5. Наруто: Спортивный фестиваль Конохи – к/ф, приложение к первому фильму, 2004 (смотреть после первого фильма). 6. Наруто (фильм второй) – п/ф, дополнение к сериалу, 2005 (смотреть после 141 серии ТВ-1). 7. Наруто OVA-3 – OVA (1 эп.), дополнение к сериалу, 2005 (смотреть после 143 серии ТВ-1). 8. Наруто (фильм третий) – п/ф, дополнение к сериалу, 2006 (смотреть после 147 серии ТВ-1). 9. Наруто [ТВ-2] – ТВ (500 эп.), второй сериал, адаптация манги, 2007 – 2017) 10. Наруто (фильм четвёртый) – п/ф, дополнение, 2007 (смотреть после 32 серии ТВ-2). 11. Наруто (фильм пятый) – п/ф, дополнение, 2008 (смотреть после 71 серии ТВ-2). 12 Наруто (фильм шестой) – п/ф, дополнение, 2009 (смотреть после 120 серии ТВ-2). 13 Naruto: The Cross Roads – к/ф, дополнение, 2009 (смотреть после 143 серии ТВ-2). 14. Наруто (фильм седьмой) – п/ф, дополнение, 2010 (смотреть после 175 серии ТВ-2). 15. Gekijouban Naruto Soyokazeden: Naruto to Mashin to Mitsu no Onegai Dattebayo!! – к/ф, дополнение к фильму, 2010 (смотреть после седьмого фильма). 16. Naruto x UT – музыкальное видео, дополнение, 2011 (6-минутный муз.клип, смотреть по желанию) 17. Наруто (фильм восьмой) – п/ф, дополнение, 2011 (смотреть после 260 серии ТВ-2). 18. Honoo no Chuunin Shiken! Naruto vs Konohamaru!! – к/ф, дополнение к фильму, 2011 (смотреть после восьмого фильма). 19. Наруто (фильм девятый) – п/ф, дополнение, 2012 (смотреть после 311 серии ТВ-2). 20. Naruto SD: Rock Lee no Seishun Full-Power Ninden – ТВ (51 эп.), ответвление сюжета, 2012-2013 (спинофф чиби-сериал, смотреть по желанию). 21. The Last: Naruto the Movie – п/ф, дополнение, 2014 (смотреть после 480 серии ТВ-2). 22. Boruto: Naruto the Movie – п/ф (1 эп. + 10-минутный спэшл Naruto ga Hokage ni Natta Hi), адаптация новой манги [новая эпоха], 2015 (смотреть желательно после того, как дочитаешь последнюю главу манги). 23. Boruto: Naruto Next Generations (>51 эп. ), 2017-2018 (смотреть можно после 500 эп. Наруто [ТВ-2] и фильма Boruto: Naruto the Movie). UPD: Последняя актуализация списка производилась 19.10.2017. Блог: vk.com/animeshorts Твиттер: twitter.com/romor_on Роман Корзинкин55 Всего 4 ответа. Графики тригонометрических функций Функция у sin x Графики тригонометрических функций Функция у = sin x, ее свойства Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения Для любознательных… тригонометрические функции Графиком функции у = sin x является синусоида Свойства функции: 1. D(y) =R 2. Периодическая (Т=2 p) 3. Нечетная (sin(-x)=-sin x) 4. Нули функции: у=0, sin x=0 при х = pn, nÎZ тригонометрические функции y=sin x 2 Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: y = sin x У>0 при х Î (0+2 pn; p+2 pn), nÎZ У Свойства функции у=sin x 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида: [-p/2+2 pn; p/2+2 pn], nÎZ тригонометрические функции y = sin x 4 Свойства функции у=sin x Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида: [p/2+2 pn; 3 p/2+2 pn], nÎZ тригонометрические функции y=sin x 5 Свойства функции у =sin x 7. Точки экстремума: Хмах= p/2 +2 pn, nÎZ Хмin= -p/2 +2 pn, nÎZ тригонометрические функции y=sin x 6 Свойства функции у =sin x 8. Область значений: Е(у) = [-1; 1] y = sin x тригонометрические функции 7 Преобразование графиков тригонометрических функций График функции у = f (x+в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат тригонометрические функции 8 Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график Функции у =sin(x+p/4) тригонометрические функции вспомнить правила 9 Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график функции: y=sin (x — p/6) y =sin (x+ p/4) тригонометрические функции 10 Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график функции: y = sin x + p y =sin (x — p/6) тригонометрические функции 11 Преобразование графиков тригонометрических функций y= sin x +p Постройте график функции: y=sin (x + p/2) тригонометрические функции вспомнить правила 12 Графиком функции у = cos x является косинусоида sin(x+p/2)=cos x Перечислите свойства функции у = cos x тригонометрические функции 13 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у =k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=sin 4 x y=sin 2 x Y=sin 0. 5 x вспомнить правила тригонометрические функции 15 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = cos 2 x y = cos 0. 5 x тригонометрические функции вспомнить правила 17 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Графики функций у = -f (kx) и у=-k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = — sin (kx) косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx) тригонометрические функции 18 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = -sin 3 x y = sin 3 x тригонометрические функции вспомнить правила 19 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=2 cosx y=-2 cosx вспомнить правила тригонометрические функции 20 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в/k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз ( при 0 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y= cos(2 x+p/3) y= cos(2(x+p/6)) y=cos(x+p/6) Y= cos(2 x+p/3) тригонометрические функции y=cos 2 x Y= cos(2 x+p/3) вспомнить правила 22 Для любознательных… Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций: y = 1 / cos x или y=sec x (читается секонс) тригонометрические функции y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс 23 Мэтуэй | Популярные задачи 92) 9(3x) по отношению к x 92+1 1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х 2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x 3 Найти производную — d/dx 21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x 22 Найти производную — d/dx грех(2x) 23 Найти производную — d/dx 41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x 42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х) 43 Оценка интеграла 9бесконечность 45 Найти производную — d/dx х/2 46 Найти производную — d/dx -cos(x) 47 Найти производную — d/dx грех(3x) 68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x 69 Найти производную — d/dx угловой синус(х) 70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х 85 Найти производную — d/dx лог х 86 Найти производную — d/dx арктан(х) 87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92 Мэтуэй | Популярные задачи 92 1 Найти точное значение грех(30) 2 Найти точное значение грех(45) 3 Найти точное значение грех(30 градусов) 4 Найти точное значение грех(60 градусов) 5 Найти точное значение загар (30 градусов) 6 Найти точное значение угловой синус (-1) 7 Найти точное значение грех(пи/6) 8 Найти точное значение cos(pi/4) 9 Найти точное значение грех(45 градусов) 10 Найти точное значение грех(пи/3) 11 Найти точное значение арктан(-1) 12 Найти точное значение cos(45 градусов) 13 Найти точное значение cos(30 градусов) 14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60) 15 Найти точное значение csc(45 градусов) 16 Найти точное значение загар (60 градусов) 17 Найти точное значение сек(30 градусов) 18 Найти точное значение cos(60 градусов) 19 Найти точное значение соз(150) 20 Найти точное значение грех(60) 21 Найти точное значение cos(pi/2) 22 Найти точное значение загар (45 градусов) 23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3) 24 Найти точное значение csc(60 градусов) 25 Найти точное значение сек(45 градусов) 26 Найти точное значение csc(30 градусов) 27 Найти точное значение грех(0) 28 Найти точное значение грех(120) 29 Найти точное значение соз(90) 30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3 31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30) 35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6 36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов) 37 Найти точное значение арккос(-1) 38 Найти точное значение арктан(0) 39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов) 40 Преобразование градусов в радианы 30 41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3 42 Найти точное значение sin((5pi)/3) 43 Найти точное значение sin((3pi)/4) 44 Найти точное значение тан(пи/2) 45 Найти точное значение грех(300) 46 Найти точное значение соз(30) 47 Найти точное значение соз(60) 48 Найти точное значение соз(0) 49 Найти точное значение соз(135) 50 Найти точное значение cos((5pi)/3) 51 Найти точное значение cos(210) 52 Найти точное значение сек(60 градусов) 53 Найти точное значение грех(300 градусов) 54 Преобразование градусов в радианы 135 55 Преобразование градусов в радианы 150 56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6 57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3 58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов 59 Преобразование градусов в радианы 60 60 Найти точное значение грех(135 градусов) 61 Найти точное значение грех(150) 62 Найти точное значение грех(240 градусов) 63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов) 64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4 65 Найти точное значение грех(225) 66 Найти точное значение грех(240) 67 Найти точное значение cos(150 градусов) 68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45) 69 Оценить грех(30 градусов) 70 Найти точное значение сек(0) 71 Найти точное значение cos((5pi)/6) 72 Найти точное значение КСК(30) 73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2) 74 Найти точное значение загар((5pi)/3) 75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0) 76 Оценить грех(60 градусов) 77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3) 78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4 79 Найти точное значение sin((7pi)/4) 80 Найти точное значение угловой синус(-1/2) 81 Найти точное значение sin((4pi)/3) 82 Найти точное значение КСК(45) 83 Упростить арктан(квадратный корень из 3) 84 Найти точное значение грех(135) 85 Найти точное значение грех(105) 86 Найти точное значение грех(150 градусов) 87 Найти точное значение sin((2pi)/3) 88 Найти точное значение загар((2pi)/3) 89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4 90 Найти точное значение грех(пи/2) 91 Найти точное значение сек(45) 92 Найти точное значение cos((5pi)/4) 93 Найти точное значение cos((7pi)/6) 94 Найти точное значение угловой синус(0) 95 Найти точное значение грех(120 градусов) 96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6) 97 Найти точное значение соз(270) 98 Найти точное значение sin((7pi)/6) 99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) 100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов Математическая сцена — Правила тригонометрии Math Scene — Правила тригонометрии — Урок 3 2008 Расмус Эф и Джанн Сак Триггерные правила Урок 3 Уравнения типа a sin x + b cos x = c На диаграмме показан график функции f(x) = грех х + 2 потому что х. Удивительно похоже на обычную синусоиду который был переведен в одну сторону и с амплитудой, превышающей что основной волны. Мы уже видели, что влияет на амплитуду и как можно увеличить амплитуду от значения 1 путем умножения на a константа больше 1. (см. триггерные функции, урок 3). Мы также видели, что график основного функцию можно перевести по горизонтали, добавив константу к углу. С это разум, мы должны быть в состоянии переписать наше уравнение в форме m sin (x + v), такой, что г. м грех (х + v) = грех х + 2 потому что х Теперь посмотрите на график g(x) = sin x − 2 потому что х. Очевидно, это та же самая кривая, за исключением тот факт, что перевод теперь в направлении, противоположном предыдущему, сдвинута вправо на ту же длину, на которую была сдвинута предыдущая кривая Слева. В этом случае мы должны быть в состоянии составить эквивалентное уравнение. м грех (х — v) = грех х — 2 потому что х г. Теперь перепишем эти выражения, используя формула сложения: грех (x + v) = sin x cos v + cos x sin v грех (x — v) = sin x cos v — cos x sin v Умножая на m получаем: м sin (x + v) = m sin x cos v + m cos x sin v м грех (x — v) = m sin x cos v — m cos x sin v Сравните результат с исходным уравнением. м sin (x + v) = 1 sin x + 2 cos x = m cos v sin x + m sin v cos x м грех (х — v) = 1 грех х — 2 потому что х = m cos v sin x − m sin v cos x Мы видим, что в обоих случаях должно быть правда: м потому что v = 1 м sin v = 2 Если мы разделим нижнее уравнение на верхнее, мы получить следующее: г. загар v = ² / ₁ Что дает угол v = tan ⁻¹ (2) ≈ 63,4°. Если мы нарисуем прямоугольный треугольник с более короткие стороны1 и 2, те же значения, что и в уравнении, то мы можем вычислить длину гипотенузы и увидеть, что: cos v = ¹ / и sin v = ² /. Использование уравнений м потому что v = 1 m sin v = 2, Дает нам это: ^м1 / = 1 м = Другими словами, мы можем переписать уравнение как: Мы видим, что амплитуда волны в функции f (x) = sin x + 2, потому что x и g (x) = sin x — 2, потому что x есть . Обобщение и использование a и b для констант получаем следующее правило: Угол v можно найти с помощью: тангенс v = ^б / _а где а > 0, b > 0 и 0° < v°< 90° Пример 1 Найдите амплитуду функция f(x) = 3 sin x + 4 cos x. Начнем с перезаписи функция. Амплитуда равна 5. Пример 2 График функции f(x) = 3 sin x + 4 cos x — преобразованная синусоида. Рассчитать по на сколько градусов и в каком направлении была переведена волна. f(x) = 3 sin x + 4 cos x = 5 sin (x + v) v = tan ⁻¹ ( ⁴ / ₃ ) ≈ 53,1° Волна переведена на 53,1° влево г. (f(x) ≈ 5 sin (x + 53,1°). Пример 3 Учитывая функцию f(x) = 5 sin x + 12 cos x + 3. Найдите амплитуду, максимальную высоту и перевод волны. Перепишите f(x). загар ⁻¹ (12/5) ≈ 67,4° f(x) = 13 sin (x + 67,4°) + 3 Амплитуда равна 13 , поэтому максимальная высота 13 + 3 = 16. Посмотрите на график. г. Пример 4 Решите уравнение 3 sin x + 4 cos x = 5 на интервал 0° x < 360°. 3 грех х + 4, потому что х = 5 = 5 sin (x + 53,1°) sin (x + 53,1°) = ⁵ / ₅ = 1 x + 53,1° = sin ⁻¹ 1 = 90 + k360° x = −53,1 + 90 + k360° х = 36,9° Это дает одно решение 36,9° в первом квадранте. Интересно посмотреть на график. Мы видим другого решения на искомом интервале нет. Пример 5 Найдите все решения уравнение грех х — 3 потому что х знак равно 1 . Мы видим, что tan v = 3 и v = тангенс ⁻¹ (3) = / ₃ (60°). Итак, грех (x − / ₃ ) = (x − / ₃ ) = грех ⁻¹ () = / ₆ + к2 / ₆ = 30 х = / ₃ + / ₆ + к2 знак равно / ₂ + к2 Или второй вариант (х – / ₃ ) = — / ₆ + к2 х = / ₃ + — / ₆ + к2 х = 7 / ₆ + k2 7 / ₆ = 210 Попробуйте выполнить тест 1 по правилам тригонометрии. Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу. Глава 11, ГРАФИК ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Видео Решения, Алгебра 2 и Тригонометрия Раздел 1 График функции синуса Выберите Раздел 11.1: График функции синуса 11.2: График функции косинуса 11.3: Амплитуда, период и фазовый сдвиг 11.4: Запись уравнения синуса или график косинуса 21.5: График функции тангенса 11.6: Графики обратных функций 11.7: Графики обратных тригонометрических функций 11.8: Набросок тригонометрических графиков г. 00:34 Проблема 1 Является ли график $y=\sin x$ симметричным относительно отражения в начале координат? Обосновать ответ. Эрик С. Преподаватель нумерейд 01:18 Проблема 2 Является ли график $y=\sin x$ симметричным относительно переноса $T_{-2 \pi, 0} ?$ Обоснуйте свой ответ. Марта Р. Преподаватель нумерейд 02:13 Проблема 3 Нарисуйте график $y=\sin x$ в интервале $0 \leq x \leq 4 \pi$ a. В интервале $0 \leq x \leq 4 \pi,$ при каких значениях $x$ график $y=\sin x$ возрастает? б. В интервале $0 \leq x \leq 4 \pi$ , при каких значениях $x$ график $y=\sin x$ убывает? г. Сколько циклов графика $y=\sin x$ находится в интервале $0 \leq x \leq 4 \pi ?$ Эрик С. Преподаватель нумерадов 00:40 Проблема 4 Каково максимальное значение $y$ на графике $y=\sin x ?$ Марта Р. Преподаватель Numerade 00:24 Проблема 5 Каково минимальное значение $y$ на графике $y=\sin x ?$ Erik S. Numerade Educator г. 01:01 Проблема 6 Каков период функции синуса? Марта Р. Преподаватель нумерейд 00:22 Задача 7 Является ли синусоидальная функция взаимно однозначной? Обосновать ответ. Эрик С. Преподаватель нумерейд 03:10 Задача 8 а. Точка $P$ — точка на единичной окружности. $y$-координата точки $P$ равна $\sin \frac{\pi}{3} .$ Чему равна $x$-координата точки $P ?$ b. Точка $A$ — это точка на графике $y=\sin x .$ $y$-координата точки $A$ равна $\sin \frac{\pi}{3} .$ Что такое $x$- координата $A ?$ Марта Р. Преподаватель нумерейд Задача 9 Функция $\mathrm{f}$ нечетна тогда и только тогда, когда $\mathrm{f}(x)=-\mathrm{f}(-x)$ для всех $x$ в области определения функции. Обратите внимание, что функция нечетна, если она симметрична относительно начала координат. Другими словами, функция есть собственный образ при размышлении о происхождении. а. Нарисуйте единичную окружность и любой угол первого квадранта $R O P$ в стандартном положении с точкой $P$ на единичной окружности. Пусть $\mathrm{m} \angle R O P=\theta .$ b. На том же наборе осей нарисуйте в стандартном положении угол с мерой $-\theta .$ Какая связь между $\theta$ и $-\theta ?$ Между $\sin \theta$ и $\sin (- \тета) ?$ c. Повторите шаги a и b для углов второго, третьего и четвертого квадрантов. Соответствует ли $\sin \theta=\sin$ $(-\theta)$ для углов второго, третьего и четвертого квадрантов? Обосновать ответ. 9{\circ}$ . а. Если $\theta$ представляет угол, который лестница образует с землей в радианах, то каков разумный набор значений для $\theta ?$ Объясните. б. Выразите через $\theta,$ высоту $h$ точки, в которой лестница будет упираться в здание. г. Постройте график функции из части b, используя набор значений $\theta$ из части a в качестве области определения функции. д. Какова самая высокая точка, до которой может подниматься лестница? Карсон М. 9{7}}{7 !}$ . Для каких значений $x$ $Y_{3}$ кажется хорошим приближением для $Y_{1} ?$ c. Используйте $Y_{2}$ и $Y_{3}$, чтобы найти приближения к значениям синусоидальной функции ниже. Какая функция дает лучшее приближение? Это то, что вы ожидали? Объяснять. (1) $\sin \frac{\pi}{6}$ $\qquad$ (2) $\sin \frac{\pi}{4}$ $\qquad$ $(3) \sin \pi$ Заходите скорее! Тригонометрия: тригонометрические функции Амплитуда: Максимальное значение ординаты (y) на графике называется его «амплитудой». Период: «Период» тригонометрической функции — это наименьшее +ve положительное число, которое при добавлении к исходной окружной мере угла дает то же самое значение функции. Для синусоидальной функции вида: y = a sin bx Амплитуда = | а | Период = ` (2\pi)/ b ` Пример 1 Найдите амплитуду и период функции y = `2 sin( x /3)` y = 2 sin `(x/3)` = 2 sin `(1/3x)` Амплитуда = | а | = 2 Период = `(2\pi)/b` = `(2\pi)/(( 1 )/3)` = 6`\pi` Из графика функции косинуса показано выше, Для y = cos x : Амплитуда = 1 Период = 2`\pi` Домен: -`\infty` Диапазон: -1 `\ leq` y `\leq` +1 На рисунке справа показан график зависимости y = cos x за один полный период. Для функции косинуса вида: y = a cos bx Амплитуда = | а | Период = `(2\pi)/b` Пример 2: Найдите амплитуду и период функции y = `( 1 )/2` cos 3x Решение: Для данного функция y = `( 1 )/2` cos 3x Амплитуда = | а | = `( 1 )/2` Период = `(2\pi)/b` = `(2pi)/3` График `y= tan x = (sin x)/cos x` был показан выше. Из определения функции видно, что значение касательной функции не определено для всех значений x, для которых `cos x=0` (деление на ноль не определено). Следовательно, область определения касательной функции исключает нечетные целые числа, кратные ` (\pi)/2 ` . Для всех этих значений x можно наблюдать вертикальные асимптоты. Примечание: Как видно из графика, тангенс функции имеет период пи (`\pi`). Это tan (`\pi`+ `\theta`)=`tan (\theta)` Из графика, показанного выше, Для y = tan x : Amplitude = none; для функции тангенса нет максимального значения. Период = `\pi` (функция касательной завершает один цикл между ` (-\pi)/2 и (\pi)/2) ` Домен: -`\infty` < x < +` \infty` , x`\neq((2n+1)\pi)/2` , n `\epsilon` Z Диапазон: -`\infty` На рисунке справа показан график зависимости y = tan x за один полный период. Для функции тангенса вида: y = a tan bx Period = ` \pi/b ` Пример 3: tan 3x Решение: Для заданной функции y = `( 1 )/2` tan 3x Period = `\pi/3` Пунктирные линии показывают вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = `\pi/6 \pm (n \pi)/3`, где n — целое число. График y=cosec x = `( 1)/sin x ` был показан выше. Из определения функции видно, что значение cosec функция не определена для всех значений x, для которых `sin x=0` (деление на ноль не определено). Поэтому область определения функции cosec исключает целые кратные `\pi`. Вертикальные асимптоты существуют для всех этих значений x. Из графика, показанного выше, Для y = cosec x : Амплитуда = нет; для функции cosec не существует максимального значения. Период = `2\pi` Домен: -`\infty` < x < +`\infty` , x`\ne n\pi` , n `\epsilon` Z Диапазон: y `\le` -1 или y `\ge` 1 На рисунке справа показан график зависимости y = cosec x за один полный период. Для функции COSEC формы: Y = COSEC BX ПЕРИОД = `(2 \ PI)/B Для данной функции y = cosec 2x Period = `(2\pi)/2` = `\pi` n\pi)/2`, где n — целое число. График y=sec x = `( 1)/cos x` показан красным выше. Из определения функции видно, что значение y=sec x не определено для всех значений x, для которых `cos x=0` (деление на ноль не определено). Следовательно, область определения sec⁡x исключает нечетный интеграл кратно `(\pi)/2 ` . Вертикальные асимптоты существуют для всех этих значений x. Из графика, показанного выше, Для y = sec x : Амплитуда = нет; для функции sec нет максимального значения. Период = 2`\pi` Домен: -`\infty` < x <+`\infty` , x`\ne` (2n+1) `\pi` )/2 , n `\epsilon` Z Диапазон: y `\le` -1 или y `\ge` 1 На рисунке справа показан график зависимости y = sec x за один полный период. Для секущей функции формы: Y = Sec BX Период = `(2 \ PI)/B` Пример 5: График y = sec 3x 55559 = секундо : Для заданной функции y = sec 3x Period = ` (2\pi)/3 ` \pm (n\pi)/3`, где n — целое число. График y=cot x = `( cos x )/sin x ` был показан выше. Из определения функции мы видим, что значение (y=cot x) функция не определена для всех значений x, для которых `sin x=0` (деление на ноль не определено). Поэтому область касательной функция исключает целые числа, кратные `\pi` . Для всех этих значений x можно наблюдать вертикальные асимптоты. Примечание: Функция раскладушки имеет период `пи` (`\pi`). Это кроватка (`\pi`+ `\theta`) = кроватка (`\theta`), что также видно из графика. Для y = кроватка x : Амплитуда = нет; для функции детской кроватки не существует максимального значения. Период = `\pi` (Функция касательной завершает один цикл между `(-\pi )/2 и (\pi)/2)` Домен: -`\infty` < x <+` \infty` , x`\ne`n`\pi` , n `\epsilon` Z Диапазон: -`\infty` < y <+`\infty` На рисунке справа показан график зависимости y = cot x за один полный период. Для функции котангенса вида: y = a cot bx Период = `\pi/b` Пример 6: ` Graph ` Решение: Для данной функции y = cot` ( x )/2` Период = `(\pi)/(( 1)/2)` = `2\pi` Тригонометрические функции Тригонометрические функции Произвольные углы и единичная окружность До сих пор мы использовали единичный круг для определения тригонометрических функций для острых углов. В следующем разделе, где мы рассмотрим косые треугольники, нам понадобятся не только острые углы. Некоторые косые треугольники тупые, и нам нужно знать синус и косинус тупых углов. Пока мы это делаем, мы также должны определить триггерные функции для углов, превышающих 180°, и для отрицательных углов. Во-первых, нам нужно понять, что такое такие углы. Древнегреческие геометры рассматривали только углы между 0° и 180°, и они не считали ни прямой угол 180°, ни вырожденный угол 0° углами. Полезно не только считать эти частные случаи углами, но также включать углы от 180° до 360°, иногда называемые «рефлекторными углами». С применением тригонометрии к предметам исчисления и дифференциальных уравнений также стали приняты углы за пределами 360 ° и отрицательные углы. Рассмотрим единичный круг. Обозначим его центр (0,0) как O, , а точку (1,0) на нем как A. В качестве движущейся точки B движется по единичной окружности, начиная с A и двигаясь по против часовой стрелки, угол AOB как угол 0° и увеличивается. Когда B пройдет весь круг и вернется к A, , тогда угол AOB будет равен 360°. Конечно, это тот же угол, что и угол 0°, поэтому мы можем идентифицировать эти два угла. Как B продолжает второй раз по кругу, мы получаем углы от 360° до 720°. Это те же ракурсы, которые мы видели в первый раз, но у нас для них разные названия. Например, прямой угол называется либо 90°, либо 450°. Каждый раз по кругу мы получаем другое название угла. Таким образом, 90°, 450°, 810° и 1170° обозначают один и тот же угол. Если B начинается в той же точке A и движется по часовой стрелке, то мы получим отрицательные углы, а точнее имена в отрицательных градусах для тех же самых углов. Например, если вы пройдете четверть круга по часовой стрелке, угол г. AOB обозначен как –90°. Конечно, это то же самое, что угол 270°. Таким образом, любой угол имеет бесконечное множество названий, но все они отличаются друг от друга на кратное 360°. Синусы и косинусы произвольных углов Теперь, когда мы задали произвольные углы, мы можем определить их синусы и косинусы. Пусть угол расположен так, что его вершина находится в центре единичной окружности O = (0,0), а первая сторона угла расположена вдоль x -ось. Пусть вторая сторона угла пересекает единичную окружность в точке B. Тогда угол равен углу AOB , где A равно (1,0). Мы используем координаты B для определения косинуса угла и синуса угла. В частности, координата x точки B является косинусом угла, а координата y точки B является синусом угла. Это определение расширяет определения синуса и косинуса, данные ранее для острых углов. Свойства синусов и косинусов, вытекающие из этого определения Есть несколько свойств, которые мы можем легко вывести из этого определения. Некоторые из них обобщают тождества, которые мы уже видели для острых углов.
Синус и косинус являются периодическими функциями периода 360°, то есть периода 2 π . Это потому, что синусы и косинусы определяются в терминах углов, и вы можете добавить числа, кратные 360°, или 2 π , и это не изменит угол. Таким образом, для любого угла θ , sin ( θ + 360°) = sin θ, и
cos ( θ + 360°) = cos θ.
Многие из современных приложений тригонометрии вытекают из использования тригонометрического исчисления, особенно те приложения, которые имеют дело непосредственно с тригонометрическими функциями. Таким образом, мы должны использовать радианную меру, когда думаем о триггере с точки зрения триггерных функций. В радианах последняя пара уравнений читается как
Синус и косинус дополняют друг друга: cos θ = sin ( π /2 – θ )
sin θ = cos ( π / 2 – θ )
Мы видели это раньше, но теперь у нас есть это для любого угла θ. Это правда, потому что, когда вы отражаете плоскость через диагональную линию y = x, угол обменивается на его дополнение.
Тождество Пифагора для синусов и косинусов следует непосредственно из определения. Поскольку точка B лежит на единичной окружности, ее координаты x и y удовлетворяют уравнению x ² + y ² =1. Но координаты косинус и синус, так что делаем вывод sin ² θ + cos ² θ = 1,
Теперь мы готовы рассмотреть синус и косинус как функции.
Синус — нечетная функция, а косинус — четная функция. Возможно, вы не встречали этих прилагательных «нечетный» и «четный» применительно к функциям, но знать их важно. Функция f называется нечетной функцией , если для любого числа x, f (– x ) = – f ( x ). Функция f называется функцией даже , если для любого числа x, f (– x ) = f ( x ). Большинство функций не являются ни нечетными, ни четными функциями, но некоторые из наиболее важных функций являются либо теми, либо другими. Любой полином только с нечетными степенями является нечетной функцией, например, f ( x ) = x ⁵ + 8 x ³ – 2 x. (Обратите внимание, что все степени числа x — нечетные числа.) Точно так же любой многочлен только с членами четной степени является четной функцией. Например, f ( x ) = x ⁴ – 3 x ² – 5. (Константа 5 равна 5 x 0 ^{Синус — нечетная функция, а косинус — четная
sin (– θ ) = –sin θ, и cos (– θ ) = cos θ. Эти факты следуют из симметрии единичного круга относительно оси x . Угол — х — это тот же угол, что и х , за исключением того, что он находится по другую сторону оси х . Переворот точки ( x,y ) на другую сторону оси x превращает ее в ( x,–y ), поэтому координата y инвертируется, то есть синус инвертируется , но x -координата остается прежней, то есть косинус не меняется.}
Очевидным свойством синусов и косинусов является то, что их значения лежат в диапазоне от –1 до 1. Каждая точка на единичной окружности находится на расстоянии 1 единицы от начала координат, поэтому координаты любой точки также находятся в пределах 1 от 0.
Графики функций синуса и косинуса
Возьмем t в качестве переменного угла. Вы можете думать о t и как об угле, и как о времени. Хороший способ для человека понять функцию — посмотреть на ее график. Начнем с графика sin т. Возьмите горизонтальную ось за ось t (а не ось x , как обычно), возьмите вертикальную ось за ось y и постройте уравнение y = sin t . Выглядит так.
Во-первых, обратите внимание, что это периодический период 2 π . Геометрически это означает, что если вы возьмете кривую и сдвинете ее 2 π влево или вправо, то кривая вернется сама на себя. Во-вторых, обратите внимание, что график находится в пределах одной единицы т -ось. Мало что еще очевидно, за исключением того, где оно увеличивается и уменьшается. Например, sin t растет от 0 до π /2, поскольку координата y точки B увеличивается с увеличением угла AOB от 0 до π /2.
Далее давайте посмотрим на график косинуса. Снова возьмем горизонтальную ось за ось t , но теперь возьмем вертикальную ось за ось x и нарисуем уравнение 9.1813 x = cos 91 813 т.
Обратите внимание, что он выглядит точно так же, как график sin t , за исключением того, что он сдвинут влево на π /2. Это из-за тождества cos t = sin ( π /2 + t ). Хотя мы раньше не встречались с этим тождеством, оно легко следует из тех, что мы видели: π /2 + t ).
Графики функций тангенса и котангенса
График функции тангенса имеет вертикальную асимптоту при x = π /2. Это происходит потому, что тангенс стремится к бесконечности, когда t приближается к π /2. (На самом деле, оно приближается к минус бесконечности, поскольку t приближается к π /2 справа, как вы можете видеть на графике.

« Предыдущая 1 … 3 161 3 162 3 163 3 164 3 165 … 3 230 Следующая »

cos x = 0 при
cos x > 0 для всех
cos x для всех
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: