Автор: alexxlab

Число 9

Число 54

Число 1

Число 3

Новости за 7 дней.

Компания TP-Link®, ведущий мировой поставщик сетевых решений, представляет на российском рынке Archer C64 – новый двухдиапазонный гигабитный Wi-Fi роутер класса AC1200 c поддержкой MU-MIMO. TP-Link Archer C64 – это новинка в линейке гигабитных двухдиапазонных Wi-Fi роутеров TP-Link, которая подде….

Axis Communications выпустила высокоскоростную PTZ-камеру AXIS Q6315-LE с 31-кратным оптическим зумом, превосходной светочувствительностью и улучшенными функциями безопасности. ИК-подсветка и функция ночной съемки позволяет ей снимать при любых условиях освещения, а лазерная технология обеспечивает….

Изгибы переплетений веточек аканта, их мягкие перистые завитки образуют округлые ромбы. За счет равности сторон фигуры дизайн не трансформирует геометрию пространства, но привносит в него спокойный гармонический ритм. Форма скругленного ромба повторена в геометрическом мотиве второго плана. Это до….

Контроллер MY HEAT PRO предназначен для управления системами отопления и горячего водоснабжения, инженерным оборудованием, системой полива и освещения. Контроллер MY HEAT PRO имеет массу уникальных возможностей: управление каскадом до 6-ти котлов; управление бойлером косвенного нагрева; упр….

Паркет из американского ореха может быть разным – живописно-ярким или сдержанно-выразительным, но это всегда эффектный акцент интерьера. Трендовые дымчатые тонировки французской и английской елки Coswick Зимний закат и Туманный рассвет смягчают контрастные переходы цвета, сохраняя при этом «вкусн….

В рамках ежегодного обновления коллекций предлагаем вашему вниманию новинки в коллекции бытового линолеума на улучшенной дублированной основе – GLADIATOR. В этом году коллекция GLADIATOR обновлена тремя новыми расцветками FORMOSA 1,2,3. Эффект треснувшей, выгоревшей на солнце древесины привносит с….

Декоративная антисептическая пропитка на водной основе обеспечивает долговременную защиту и тонирование древесины в различные цвета внутри помещений. Инновационный состав позволяет за один приём обезопасить поверхность от биопоражений и древоточцев, и придать ей декоративные свойства. Передовое со….

Масло для террас PREMIUM NEOMID предназначено для долговременной защиты деревянных поверхностей, эксплуатируемых на открытом воздухе, от атмосферных осадков, биопоражений (грибка, плесени), УФ-излучения. Масло глубоко проникает и заполняет поры древесины, тем самым увеличивает ее срок службы. Нату….

Предлагаем электромонтажникам готовое решение – шаблоны для подрозетников EKF Expert. В комплекте 5 рамок (от 1 до 5 отверстий) диаметром 68 или 72 мм. Шаблоны используются, чтобы высверлить отверстия для подрозетников в стенах из бетона, кирпича, гипсокартона, плитки, дерева и других материалов….

Крупные группы из пионов и небольших садовых цветов расположены вертикальными рядами. Однако эта линейность не считывается из-за свободной формы букета, в котором отсутствует сфокусированный центр, а обрамляющие веточки плавно соединяют элементы. Этот эффект размеренного перетекания и единства соз….

Тяжелые гроздья сирени, усеянные множеством миниатюрных цветов, украшают тонкие ветки и составляют цветовой и композиционный акцент дизайна. Листья лишь дополняют движение линий, внося в них легкую асимметрию и пластичность живой формы. Образ кирпичной, монолитной стены передан со всеми нюансами….

Эффектная композиция из хризантем, пышных ирисов и крупных лилий, перемежающихся с небольшими садовыми цветами и сочной зеленью. Богатый рельеф, живые цвета и искусная детализация. Дизайн не только насыщен различными элементами, но и пронизан динамикой. Все цветы расположены восходящими диагона….

Гладкие упругие завитки сплетаются в фестончатые медальоны. Центр каждого украшен веточкой-цветком, составленным из растительных элементов. Вершина увенчана маленькой короной, вытягивающей вектор движения узора по вертикали. Второй план полностью повторяет основной рисунок в уменьшенном масштаб….

Крупные цветы чередуются с небольшим изменением угла поворота и наклона чашечки. Их распределение по восходящей диагонали усиливает яркость узора, дополняет экспрессию эффектного образа. Цветы первого плана переданы в мельчайших деталях рельефа и тонких нюансах тоновых переходов. Второй план выпо….

Светодиодные рамки ЭРА — стильное и функциональное решение вопроса освещения офисов, общественных пространств, муниципальных объектов — школ, университетов, поликлиник. Эффектно смотрятся на потолке, быстро и просто монтируются, обеспечивают отличное качество света. Мы расширили ассортимент LED-ра….

Новые умные сенсорные выключатели способны изменить взгляд на привычные вещи в доме. Они созданы для ценителей повышенного комфорта в управлении освещением. Wi-Fi модуль позволяет включать и выключать освещение со смартфона или планшета дистанционно при помощи бесплатного мобильного приложения Mini….

Клуб обновляет дизайн и корпоративный имидж с помощью премиум-коллекций керамической плитки и аксессуаров для ванных комнат производства испанской международной группы. Королевский навигационный клуб Валенсии начинает новый этап в своей деятельности, наделяя интерьер функциональным, доступным и на….

Компания из группы PORCELANOSA Grupo включила в свой ассортимент натуральных камней новую модель серых и кремовых оттенков с отделкой, усиливающей яркость интерьеров. Природная красота и цветовые контрасты Африки воспроизводятся в мраморе Nairobi от L ac, дизайн которого отличается потрясающей изы….

Компактная, яркая модель VITEK VT-8190 станет незаменимым помощником для поддержания чистоты и порядка в доме. Убраться в доме не просто чисто, а идеально поможет паровая швабра VT-8190 с максимальной мощностью 1500 Вт. Паровая швабра, конструктивный принцип работы которой способствует не только….

Приготовить в любое время года мясо, рыбу или овощи с румяной корочкой в домашних условиях поможет электрический гриль-пресс VT-2631 с максимальной мощностью 1800 Вт. Корпус гриля выполнен из высококачественного термостойкого пластика черного цвета. Благодаря высокопрочному антипригарному покрыт….

НОД и НОК

Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

12 : 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9  : 3 = 3

Значит НОД (12 и 9) = 3

Второй способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18

Сначала разложим оба числа на простые множители:

Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

2 × 3 = 6

Значит НОД (24 и 18) = 6

Третий способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.

В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:

Получили два разложения:  и 

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

28 : 4 = 7

16 : 4 = 4

 НОД (28 и 16) = 4

Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Раскладываем на множители число 40

Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

100 : 20 = 5

40 : 20 = 2

 НОД (100 и 40) = 20.

Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Раскладываем на множители число 128

Получили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

72 : 8 = 9

128 : 8 = 16

 НОД (72 и 128) = 8

Нахождение НОД для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например, найдём НОД для чисел 18,  24  и  36

Разложим на множители число 18

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Получили три разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

18 : 6 = 3

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

 НОД (18, 24 и 36) = 6

Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.

Разложим на множители число 12

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Разложим на множители число 42

Получили четыре разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

12 : 6 = 2

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

42 : 6 = 7

 НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6

Наименьшее общее кратное

Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.

Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.

Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Второй способ нахождения НОК

Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.

Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.

Разложим на множители число 9

Разложим на множители число 12

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.

Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12

Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180

Разложим на множители число 50

Разложим на множители число 180

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:

900 : 50 = 18

900 : 180 = 5

НОК (50 и 180) = 900

Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33

Разложим на множители число 8

Разложим на множители число 15

Разложим на множители число 33

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:

1320 : 8 = 165

1320 : 15 = 88

1320 : 33 = 40

НОК (8, 15 и 33) = 1320

Третий способ нахождения НОК

Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.

Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.

К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:

Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.

Итак, перемножим числа 24 и 12

Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12

Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24

НОК (24 и 12) = 24

Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48

Найдем НОД чисел 36 и 48

Перемножим числа 36 и 48

Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48

Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144

НОК (36 и 48) = 144

Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144

Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите НОД чисел 12 и 16

Решение:

Задание 2. Найдите НОК чисел 12 и 16

Решение:

Задание 3. Найдите НОД чисел 40 и 32

Решение:

Задание 4. Найдите НОК чисел 40 и 32

Решение:

Задание 5. Найдите НОД чисел 54 и 86

Решение:

Задание 6. Найдите НОК чисел 54 и 86

Решение:

Задание 7. Найдите НОД чисел 98 и 35

Решение:

Задание 8. Найдите НОК чисел 98 и 35

Решение:

Задание 9. Найдите НОД чисел 112 и 82

Решение:

Задание 10. Найдите НОК чисел 112 и 82

Решение:

Задание 11. Найдите НОД чисел 24, 48, 64

Решение:

Задание 12. Найдите НОК чисел 24, 48, 64

Решение:

Задание 13. Найдите НОД чисел 18, 48, 96

Решение:

Задание 14. Найдите НОК чисел 18, 48, 96

Решение:

Задание 15. Найдите НОД чисел 28, 24, 76

Решение:

Задание 16. Найдите НОК чисел 28, 24, 76

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Урок обобщающего повторения по теме : «Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное» | Методическая разработка по математике (6 класс) по теме:

Путь к успеху
комбинированный урок по теме: «Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное (НОД и НОК)»

Учителя математики :  Кондратьевой М.Н.

Тип урока:  комбинированный .

Цели: формировать умение находить НОД и НОК чисел разными способами; находить значение выражений, содержащих степени; повторить и закрепить  признаки делимости; простые и составные числа .

Образовательные цели: обобщение знаний в систему: отработка навыков нахождения НОД и НОК чисел разными способами и выбор наиболее удобного способа; применение полученных знаний для решения задач; умение пользоваться полученными знаниями в повседневной жизни.

Развивающие цели: развивать познавательный интерес к предмету; наблюдательность, внимание; формировать потребность приобретения знаний, развивать грамотную устную речь учащихся.

Воспитательные цели: воспитывать у учащихся взаимоуважение,  стремление хорошо учиться,  посредством урока воспитывать отношение друг к другу, прививать , самостоятельность

Задачи:  1)  обобщить и систематизировать знания учащихся по теме: «НОД  и  НОК чисел.»;

2) коррекция мыслительных процессов на основе  выполненных упражнений;

3)   развивать  внимание, память, речь, интерес к математике.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска, раздаточный материал.

Ход  урока .

1. Организационный  момент .  

Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня к нам на урок пришли гости., но я прошу вас работать так же как и всегда на наших уроках: активно и быстро.

Давайте вспомним, чем мы занимались на предыдущих  уроках?

(Мы  находили  НОД  и НОК  чисел  разными  способами  и  решали  задачи )

Постановка задачи: Сегодняшний урок я назвала «Путь к успеху!» Нам предстоит преодолеть шесть ступенек на пути к успеху. Чтобы преодолеть каждую ступеньку нам нужно выполнить задания, которые нам помогут как можно лучше усвоить тему НОД И НОК. Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема: «НОД и НОК чисел».

2.  Устная  работа .

Первая ступень –устная работа.

1. Назовите из данных чисел те, которые являются простыми

25, 13, 27, 45, 29, 1, 14, 17,5, 19, 81,7

2. Найти НОД и НОК чисел:

• 5 и 9
• 6 и 12
• 3 и 8
• 7 и 21
• 11 и 1
• 24 и 18

3.  Актуализация знаний (повторение)

А теперь перейдем к выполнению упражнений.  

( задание записано на доске )  

№ 1.  Найдите НОД и НОК чисел 8 и 12 методом перебора.

Решение: выпишем  делители  меньшего  числа. Почему меньшего?

Д (8) = ⎨ 1, 2, 4, 8 ⎬  проверим  являются  ли  эти  числа  делителями  числа  12 ;  проверяем  с  наибольших делителей .

12  не  делится  на  8 ;           12 делиться   на  4

НОД ( 8 ; 12 ) = 4

Выпишем  кратные  большего  числа.  Почему  большего ?

К (12) = ⎨12 , 24 , 36 , 48 , 60 , …⎬  Проверим  являются  ли  эти  числа  кратными  8.  Начнем  с  наименьшего  кратного .

12 не делиться  на  8  ;         24  делиться  на  8

НОК(8;12) = 24

Чему  равно  произведение  НОД  и  НОК  этих  чисел ?   4 · 24 = 96

А  чему  равно  произведение  чисел  a  и  b  ?    8 · 12 = 96

Какой сделаем  вывод :  НОД(a ; b)·НОК(a ; b) = a · b .

№ 2.  Найдите  НОД  и  НОК  чисел  252  и  264  методом  разложения  на  простые  множители .

Решение :

252   2             264   2                   Признак  делимости  на 2 .

126   2             132   2                   Признак  делимости  на  3.

 63   3                66   2

 21   3                33   3

   7   7                11   11

   1                       1

252 = 2²·3²·7              264= 2³·3·11

НОД(252 ; 264) = 2²·3 = 12  С  какими  показателями мы берем степени ?  с  наименьшими .

НОК(252;264) = 2³·3²·7·11= 5544  С  какими  показателями мы берем степени ?  с  наибольшими .

Выполнение  упражнений  с  самопроверкой  по  эталону .

Задание:  Найдите  НОД  и  НОК чисел наиболее  удобным  способом :  

а)   18  и  45  ;   б)  8 и  27  ;  в)   12  и  72 . 

На  задание  дается  5  мин.

  Каким способом удобнее решать каждое упражнение?

Разбор  по  слайду .

а)  Удобнее  решать  методом  разложения  на  простые  множители

18 = 2·3·3        ;   45 = 5·3·3

НОД(18;45)=3·3=9   ;                  НОК(18;45) = 2·3·3·5 = 90

б)  есть  ли  общие  делители  у чисел  8  и  27 ? 

Чему  равен НОД этих  чисел? (  НОД(8;27) = 1)

Чему  равен  НОК этих  чисел? ( НОК(8;27) = 8*27=216.)

в)  Что  вы  можете  сказать  о  числах  12 и 60 ? ( 60 делиться  на 12 )   Какое  правило  мы  знаем?  (  если  одно  число  делится  на  другое , то  НОД = наименьшему  числу , а  НОК — наибольшему ) НОД(12;60) = 12    ;    НОК(12;60) = 60

6.  НОД и НОК     РЯДОМ С НАМИ. Решение  задач .

Хочу спросить у вас, ребята, кто из вас занимается спортом ? Кто любит уроки физкультуры? Как вы думаете помогут ли спортсмену на соревнованиях знания о НОК и НОД?(Ответы учащихся и обсуждение)

Давайте решим задачу и увидим,  важна ли для спортсмена математика.

Задача № 1

Толя и Коля друзья. Толя любит математику, а Коля физкультуру, поэтому задачи решает быстрее Толя, а бегает быстрее Коля.  Мальчики участвуют в забеге на 5 км. Через каждые 600 м от старта стоит наблюдатель, а через каждые 800 м от старта можно попить воды. Коля останавливался два раза, чтобы попить воды, а затем задать вопрос наблюдателю. Толя тоже останавливался пил воду и задавал вопрос. Однако к старту первым пришел Толя.  

Как такое могло произойти, если Коля бегает чуть быстрее Толи?

Решение:

Толя заметил, что выгоднее остановиться в том месте, где стоит наблюдатель и можно попить воды. Т.е нашел НОК(600,800)=2400.

Толя остановился один раз, а Коля два раза. Таким образом  Толе удалось обогнать Колю на соревнованиях.

7.  Физкультминутка

 Два!  Нам с места нужно встать!

Три! Пять!  Руки вверх поднять!

Семь! Одиннадцать! Переносим вес на пятки!

Тринадцать! Семнадцать! Соединить лопатки!

Вместе говорим: «УРА»!

Число девятнадцать назвать нам пора!

Тело расслабилось, все мы здоровы

И математикой заняться готовы!

8. Страница истории

В 1742 году математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

Первое утверждение называется тернарной проблемой Гольдбаха, второе — бинарной проблемой Гольдбаха (или проблемой Эйлера). Данная проблема не была решена на протяжении почти 200 лет.  Пока 1937 год наш с вами земляк Иван Матвеевич Виноградов доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых.  И показал, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел.

По следам доказательства…

Задание :

1 вариант. Представить нечётное число 21 в виде суммы трёх простых чисел. (21= 3+7+11)

2 вариант.  Представить чётное  число  34 в виде суммы двух простых чисел. (34=3+31)

9. Экология

2017 год указом президента объявлен годом экологии. А как вы думаете для чего это слелано?

И у нас в Псковской области обитают животные, которые нуждаются в защите. Такие редкие животные или животные на грани вымирания заносятся в Красную  книгу.

     Расшифруйте  название  птицы, которая обитает В Псковской области.

Для  этого  найдите  наименьшее  общее  кратное  каждой  пары  чисел , затем  впишите  букву , соответствующую  этому  числу , в  таблицу .

1)   НОК(3,12) =       12      О                         5)    НОК(9;15) =      45       Е  

2)   НОК(4;5;8)= ___40     П                   6)    НОК(8;12)=        24    К                    7)    НОК(9;6) =       18      Р     

4)   НОК(16;12)=      48     Ш                         7)    НОК(10;20)=     20  Н    

 Перелётная болотная птица семейства Бекасовых. Самый крупный из наших куликов: размах крыльев — до одного метра, масса тела — до 1,2 килограмма. С длинным и сильно загнутым книзу клювом. Распространён в умеренных и части северных широтах Евразии; зимует в Африке, Южной Азии, на Филиппинах. Из-за неумеренного отстрела на путях пролёта, беспокойства в гнездовой период и осушения болот численность местами сильно сократилась. Популяция средней части Европейской России, к которой относятся особи из Псковской области, занесена в Красную книгу Российской Федерации, изданную в 2001 году. В Псковской области для сохранения вида создан заповедник «Полистовский».

10.  Проверочная  работа.

А  теперь  давайте  проверим  ваши  знания  с  помощью  самостоятельной  работы. Возьмите  на  столе  карточку  и  все  записи  делаем  в  ней. 

Вариант 1.                                                               Вариант 2 .

Найдите  НОД  и  НОК  чисел  наиболее  удобным  способом .

а)   12  и 18 ;                                                        а)   10  и  15  ;

б)   13  и  39  ;                                                      б)   19  и  57 ;

в)    11 и  15  ;                                                       в)   7   и  12 .

 Решение :

 Вариант1.

а)   12 =2·2·3  ;   18=2·3·3 ;    НОД=6    НОК=36

б)   т.к.  3 9 делится на 13   НОД = 13   НОК=39

в)   11 и 15  взаимно простые   НОД=1 , НОК = 11 ·15 = 165

Вариант 2.

а)   10 = 2·5  ;  15 = 3·5            НОД =5   ,  НОК =30

б)   т.к. 57 делится на 19        НОД=19 , НОК=57

в)   7 и 12 взаимно простые   НОД = 1 , НОК=7·12=84

11.  Подведение итогов урока.

Мы с вами, ребята,  успешно преодолели все шесть ступеней.  И каждый, кто сегодня был активным на уроке и с удовольствием выполнял задания может назвать себя  ЛИДЕРОМ.   А знаете ли вы , что наш лицей уже второй год подряд  становится победителем муниципального смотра-конкурса общеобразовательных учреждений «Лидер Великолукского образования».  И я надеюсь, что вы будете стараться и проявлять усердие в учебе, ведь вы учитесь в таком замечательном месте.

Сегодня  мы  повторили  правила  по теме «Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное»  и  готовы  написать  контрольную  работу. Уверена, вы  с  ней  справитесь  хорошо .

За  урок  получили  оценки :

12.  Домашнее  задание .

Подготовиться к контрольной работе.

Творческое задание: привести примеры из жизни, где могут применяться знания по теме «Делимость чисел», в чем они нам помогают. Можно оформить в виде рисунков, чертежей, подобрать текстовые задачи.

13.  Рефлексия. Найди свое место на лесенке успеха.

Продолжите предложение:

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я закрепил…

Сегодня на уроке я поставил себе оценку …

Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…

Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…

Раздаточный материал

ЗАДАНИЕ

Расшифруйте  название  птицы, которая обитает В Псковской области.  Для  этого  найдите  наименьшее  общее  кратное  каждой  пары  чисел , затем  впишите  букву , соответствующую  этому  числу , в  таблицу .

     1)   НОК(3,12) =          О

2. НОК(4;5;8)=           П
3. НОК(9;6) =              Р

4. НОК(16;12)=          Ш
5. НОК(9;15) =           Е 
6.  НОК(8;12)=           К
7. НОК(10;20)=          Н                

Второй анализ INT-0089

Исследователи из онкологического центра Фокса Чейза, онкологической группы B, Юго-западной онкологической группы и Восточной совместной онкологической группы еще раз взглянули на спонсируемое NCI исследование INT-0089 — адъювант. исследование химиотерапии у пациентов со стадией III и со стадией II высокого риска, получавших схемы на основе 5-ФУ, рандомизированные по четырем группам лечения.

Повторный анализ показал, что среди пациентов с отрицательными узлами у тех, кому больше всего повлияла хирургическая резекция, было удалено более 20 узлов.Это привело к абсолютному увеличению выживаемости на 14% через 5 лет и на 20% через 8 лет.

У пациентов с положительным лимфоузлом количество удаленных узлов также влияет на общую выживаемость. Улучшение выживаемости на 23% через 5 лет и на 34% через 8 лет у пациентов N1 достигается при удалении более 40 узлов. Абсолютное улучшение через 5 лет и 8 лет для этих пациентов составляет 20% и 28% соответственно, если удалено более 35 узлов.

Рак толстой кишки характеризуется несколькими хорошо известными прогностическими факторами — глубиной проникновения (стадия Т), степенью и типом опухоли, наличием сосудистой и лимфатической инвазии и поражением лимфатических узлов.

«Из этих факторов, вероятно, наиболее значимым является узловое участие», — сказал Томас Левойер, доктор медицины, ведущий автор исследования Fox Chase. По его словам, выживаемость уменьшается пропорционально количеству задействованных узлов.

Исследование 1979 года, проведенное Enker et al., Показало улучшение выживаемости пациентов с раком прямой и толстой кишки III стадии, которое было связано с увеличением количества удаленных узлов.

Доктор Левуайе и его коллеги использовали это исследование 21-летней давности в качестве основы для своей гипотезы.«Мы были заинтересованы в оценке предпосылки о том, что удаление большего количества лимфатических узлов приведет к увеличению выживаемости», — сказал доктор Левуайер.

Затем доктор Левуайе и его коллеги обратили свое внимание на переоценку INT-0089. «Поскольку INT-0089 было крупнейшим проспективным испытанием рака толстой кишки с аналогичными результатами в группах лечения, мы думали, что это хороший инструмент для оценки выживаемости в том, что касается удаления узлов», — сказал он.

Данные всех 3557 пациентов в исследовании были доступны для обзора, и 3411 из них соответствовали всем критериям для текущего анализа.Средний срок наблюдения составил 79 месяцев.

«Многовариантный анализ проводился отдельно для групп с положительными и отрицательными узлами, чтобы установить эффект удаления лимфатических узлов», — сказал д-р Левойер.

Если посмотреть на демографические данные, положительные узлы были обнаружены у 1515 мужчин и 1248 женщин; отрицательные узлы у 334 мужчин и 314 женщин. Средний возраст для группы с положительными лимфоузлами составлял 63,9 года, а для группы с отрицательным результатом — 62,3 года.

Среднее количество удаленных отрицательных узлов составило 13 (n = 648; диапазон от 1 до 59).Среднее количество удаленных положительных узлов составило 12 (n = 1857; диапазон от 1 до 80).

Большинство положительных узлов были стадией T3, 11% — T1 и T2, а отрицательные узлы были равномерно разделены между T3 и T4. Большинство из них были обнаружены либо в правой части толстой кишки, либо в сигмовидной кишке. Однако было обнаружено 89 синхронных очагов опухоли.

Конечными точками анализа были общая выживаемость со смертью как событием и специфическая для рака выживаемость со смертью от рака толстой кишки как событием.Исследуемые ковариаты включали пол, стадию T, количество положительных лимфатических узлов, общее количество удаленных лимфатических узлов, дифференциацию и тип опухоли, а также режимы адъювантной химиотерапии.

Возраст и количество удаленных лимфатических узлов были единственными значимыми переменными, влияющими на общую выживаемость у пациентов с отрицательными узлами (см. Таблицу). Для выживаемости при раке прогнозируемым было только количество удаленных лимфатических узлов.

Пациенты с отрицательными узлами, у которых было удалено от 1 до 10 узлов, имели среднюю 5-летнюю выживаемость 73%.Если было удалено более 20 узлов, средняя 5-летняя выживаемость улучшилась до 87% ( P <0,0001).

Опять же, для пациентов с положительным лимфоузлом единственной значимой ковариатой, влияющей на общую выживаемость и выживаемость, специфичную для рака, было количество удаленных лимфатических узлов (таблица). У пациентов, у которых было удалено от 1 до 10 лимфатических узлов, средняя 5-летняя выживаемость составила 67%. После удаления более 40 узлов выживаемость подскочила до 90%.

«Когда вы анализируете две группы на основе количества положительных узлов в образце, у тех, у кого от 1 до 10 удаленных узлов, было 1.75 положительных узлов против 2,03 у тех, у которых удалено более 40 узлов », — сказал доктор Левуайер.

Количество удаленных лимфатических узлов, по-видимому, влияет на выживаемость при раке толстой кишки, заключил он. «Этот фактор следует учитывать при проведении будущих адъювантных испытаний и анализе данных», — сказал он.

Количество лимфатических узлов и выживаемость после резекции рака толстой и прямой кишки

Gastrointest Cancer Res. Март-апрель 2009 г .; 3 (2 доп. 1): S33 – S35.

С.Л. Вонг, доктор медицины, магистр медицины: Отделение хирургии, Мичиганский университет, Анн-Арбор, Мичиган

Abstract

Может быть важно, чтобы достаточное количество лимфатических узлов было удалено и исследовано во время резекции на рак толстой и прямой кишки.Более обширная резекция узла была связана с более низкой частотой рецидивов рака; позволяет более точно определить стадию рака и, таким образом, более целесообразно использовать адъювантную химиотерапию для пациентов с положительными лимфоузлами; и был связан с улучшением выживаемости после резекции рака прямой и толстой кишки. На количество исследуемых лимфатических узлов влияет множество факторов, включая степень хирургической резекции, возраст пациента, расположение опухоли и методы патологии. Минимум 12 узлов был одобрен как общепринятый стандарт для выполнения колэктомии при раке толстой кишки в больницах.Однако использование количества лимфатических узлов, исследованных на уровне больницы, не может существенно повлиять на стадию, использование адъювантной химиотерапии или выживаемость пациента. При раке прямой кишки усиление акцента на адекватных периферических радиальных краях и использование предоперационной лучевой терапии для опухолей среднего и высокого риска может затруднить оценку взаимосвязи между количеством исследованных лимфатических узлов и исходами для пациентов; Данные свидетельствуют о том, что количество лимфатических узлов (общее и число положительных) в ректальном образце значительно ниже после проведения предоперационной лучевой терапии.Хотя остается мало разногласий по поводу прогностической важности увеличения количества лимфатических узлов для отдельных пациентов, неясно, является ли количество лимфоузлов полезным показателем качества больницы.

Качество хирургической резекции играет решающую роль в исходах пациентов с раком прямой и толстой кишки. Патологическая стадия, включая гистологическую степень, лимфатическую инвазию, сосудистую инвазию, молекулярные маркеры и наличие поражения лимфатических узлов, обеспечивает важную прогностическую информацию.Помимо описания степени поражения лимфатических узлов, может быть важно исследовать достаточное общее количество лимфатических узлов. Адекватная хирургическая резекция важна для борьбы с местным раком. Получение большего количества лимфатических узлов может принести пользу пациентам, поскольку это позволяет более точно определить стадию рака и надлежащее использование адъювантной химиотерапии для пациентов с положительным лимфоузлом (стадия III).

В результате возник большой интерес к подсчету лимфатических узлов и выживаемости пациентов с раком толстой и прямой кишки.В этой статье будет рассмотрена связь между количеством лимфатических узлов и долгосрочным выживанием; проверьте, существует ли минимальное, подходящее или оптимальное количество лимфатических узлов, которые следует удалить после резекции по поводу рака толстой или прямой кишки; и изучить значение подсчета лимфатических узлов как показателя качества лечения рака.

ПОДСЧЕТЫ ЛИМФАТИЧЕСКИХ УЗЛОВ И ВЫЖИВАНИЕ

За прошедшие годы несколько исследований с использованием ретроспективных данных когорт и данных административных требований продемонстрировали улучшение выживаемости среди пациентов с раком толстой кишки, у которых после резекции было исследовано большее количество узлов.Несколько обсервационных исследований обнаружили связь между оценкой «адекватного» количества лимфатических узлов и улучшением выживаемости. ^{1 , 2} Во многих исследованиях преимущество было замечено в группах узловой стадии, отмечая улучшение выживаемости с увеличением количества удаленных лимфатических узлов среди тех, у кого рак толстой кишки с отрицательными и положительными узлами. ^{3 , 4} Поскольку повышенная выживаемость наблюдалась у пациентов с известным поражением лимфатических узлов, было предложено терапевтическое преимущество для извлечения более высоких лимфатических узлов.

В недавнем систематическом обзоре изучалось, связано ли количество лимфатических узлов, извлеченных после резекции толстой кишки, с выживаемостью. ⁵ Шестнадцать из 17 исследований, включающих в общей сложности 61 371 пациента, показали положительную связь между количеством исследованных лимфатических узлов и выживаемостью у пациентов с раком толстой кишки II и III стадии. Данные убедительны, и существует общее согласие относительно прогностических последствий этой переменной для долгосрочной выживаемости отдельных пациентов с раком толстой кишки.

Однако связь между количеством лимфатических узлов и выживаемостью при раке прямой кишки не так однородна. Анализ 1664 пациентов из национального межгруппового исследования адъювантной терапии рака прямой кишки обнаружил связь между большим количеством исследованных узлов и выживаемостью только у пациентов с отрицательными узлами. ⁶ Хотя такие результаты могут поддерживать роль адекватного извлечения узлов для определения стадии, причинно-следственная связь между степенью резекции, количеством исследованных узлов и выживаемостью не может быть установлена, потому что эта связь не наблюдалась у пациентов с положительными узлами.

КОЛИЧЕСТВО ИССЛЕДОВАННЫХ ЛИМФАТИЧЕСКИХ УЗЛОВ

Международный союз по борьбе с раком, Американский объединенный комитет по раку и консенсусная комиссия Национального института рака рекомендовали оценку не менее 12 узлов для обеспечения адекватного отбора проб. ^{7 — 9} Коллегия американских патологов в течение многих лет рекомендовала патологическое обследование по крайней мере 12 узлов, чтобы точно предсказать их отрицательный характер. ¹⁰ Если после тщательного макроскопического исследования обнаруживается менее 12 узлов, существуют рекомендации по использованию дополнительных методов улучшения зрения.

Тем не менее, популяционные данные показывают, что только 37% пациентов с раком толстой кишки имеют адекватную оценку лимфатических узлов (т. Е. Обследовано не менее 12 узлов). ¹¹ Фактически, озабоченность по поводу широко распространенного недооценки пациентов привела к разработке рекомендаций по рассмотрению возможности адъювантной химиотерапии у пациентов с раком толстой кишки с небольшим количеством исследованных узлов. ¹²

В недавнем систематическом обзоре количества лимфатических узлов сообщалось о широком диапазоне пороговых значений количества узлов, необходимых для соответствующего улучшения выживаемости. ⁵ Результаты варьировались от 6 узлов ¹³ до 40 узлов. ¹⁴ Минимум из 12 узлов был одобрен многими группами, потому что было предложение «убывающей отдачи» за пределами исследования 12-17 узлов. ⁵ Однако неясно, улучшает ли более высокая скорость извлечения лимфатических узлов стадирование рака толстой кишки, и причинный механизм между количеством лимфатических узлов и выживаемостью остается неясным.

На количество исследованных лимфатических узлов влияет множество факторов, включая степень хирургической резекции, возраст пациента, расположение опухоли и методы патологии.Также необходимо учитывать факторы пациента; пожилой возраст и ожирение связаны с уменьшением восстановления лимфатических узлов. ^{11 , 15} Расположение опухоли может иметь значение, поскольку правосторонние опухоли обычно связаны с большим количеством исследованных лимфатических узлов. ⁵ Количество пораженных лимфатических узлов может также отражать улучшенный иммунный ответ пациента; как таковая взаимосвязь между количеством узлов и выживаемостью может быть искажена реакцией опухоль-хозяин, поскольку более сильный иммунологический ответ приводит к повышению выживаемости. ¹⁶

Также необходимо учитывать факторы, зависящие от хирурга. Конечно, объем резекции определяет хирург в операционной. Принятые онкологические принципы хирургической резекции включают резекцию пораженного сегмента толстой кишки и проксимальную перевязку питающей сосудистой ножки с блокированной лимфаденэктомией связанных дренирующих лимфатических узлов. Если опухоль обнаружена между двумя дренирующими сосудами, важно учесть расположение обоих этих сосудов.Патологическая оценка после хирургической резекции имеет решающее значение для определения последующего лечения, поскольку адъювантная химиотерапия показана пациентам с метастазами в лимфатические узлы. Кроме того, лапароскопическая резекция толстой кишки должна соответствовать тем же стандартам, что и открытая процедура. ¹⁷

Резекция рака прямой кишки по анатомическим причинам требует адекватного периферийного края. Выполнение полного мезоректального иссечения (TME) гарантирует, что жир, сосуды и лимфатические сосуды, содержащиеся в висцеральной тазовой фасции, удаляются вместе с раком прямой кишки.Поражение опухоли периферического края является наиболее важным фактором в прогнозировании местного рецидива и независимо увеличивает риск смерти от болезни. ¹⁸ Также следует учитывать различия в объеме патологического обследования. Исследования показали, что различия в количестве исследованных лимфатических узлов могут быть связаны с помощниками патологов, которые обрабатывают образцы ¹⁹ , или с практикой самих патологов. ²⁰

Рак прямой кишки, особенно в контексте неоадъювантной терапии, заслуживает особого внимания при обсуждении частоты обследования лимфатических узлов. Предоперационная лучевая терапия, по-видимому, уменьшает количество исследуемых узлов. ²¹ Неизвестно, уменьшает ли предоперационная химиолучевая терапия больше лимфатических узлов, чем только облучение. Из-за все более широкого использования предоперационной лучевой терапии у пациентов с раком прямой кишки среднего и высокого риска прогностическое значение количества лимфатических узлов при раке прямой кишки менее очевидно.

Хотя этапирование зависит от количества положительных узлов, большее количество проверенных узлов не обязательно означает наличие большего количества задействованных узлов. Чтобы помочь решить проблему низкого количества лимфатических узлов, было предложено использовать «соотношение лимфатических узлов», чтобы помочь стратифицировать риск у пациентов со стадией III. Исследования показывают, что более низкое отношение количества положительных узлов к общему количеству исследованных узлов (рассчитанное как пропорция) связано как с безрецидивной выживаемостью, так и с общей выживаемостью при раке толстой кишки. ²²

ЛИМФАТИЧЕСКИЙ УЗЕЛ СЧИТАЕТСЯ ПОКАЗАТЕЛЕМ КАЧЕСТВА

Недавно Национальный форум качества совместно с основными заинтересованными сторонами в области лечения рака, такими как Американское общество клинической онкологии (ASCO), Комиссия Американского колледжа хирургов Рак (CoC) и Национальная комплексная онкологическая сеть (NCCN) одобрили минимальное количество лимфатических узлов 12 в качестве меры качества для улучшения результатов для пациентов с раком толстой кишки. ²³ Хотя существует общепринятая связь между большим количеством извлеченных лимфатических узлов и улучшением долгосрочной выживаемости отдельных пациентов, механизм, лежащий в основе этой связи, полностью неизвестен.Показатель качества предназначен для применения на уровне больницы, что кажется уместным с учетом множества переменных, которые могут повлиять на результат. Однако неясно, приведет ли этот показатель в конечном итоге к увеличению выживаемости у пациентов с раком толстой кишки.

На основании недавнего анализа на уровне больниц, кажется, что большинство больниц не соответствуют минимальному количеству 12 узлов. ^{24 , 25} Количество лимфатических узлов, которые больницы исследуют в образцах после резекции рака толстой кишки, не оказывает значительного влияния на стадию, использование адъювантной химиотерапии или выживаемость пациентов. ²⁵ Вполне вероятно, что неизмеримые факторы, связанные с пациентом или больницей, искажают взаимосвязь. Хотя существует консенсус в отношении того, что качество лечения рака можно улучшить, неясно, является ли соблюдение минимального количества лимфатических узлов правильной мерой качества для использования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В то время как минимум из 12 узлов обычно считается необходимым для точного определения стадии, доказательства, подтверждающие эту меру в качестве индикатора качества онкологической помощи, отсутствуют на уровне больниц.Многочисленные исследования и достаточное количество данных подтверждают, что извлечение большего количества лимфатических узлов связано с улучшением выживаемости отдельных пациентов, но причинно-следственная связь, лежащая в основе этой связи, неизвестна. При удалении рака важно придерживаться строгих онкологических принципов, включая перевязку сосудов высокого уровня и полную резекцию единым блоком мезоколон, лимфаденэктомию и периферические края (при раке прямой кишки). Кроме того, патологоанатомам важно проводить тщательное исследование резецированных препаратов.

Сноски

Раскрытие информации о потенциальном конфликте интересов

Доктор Вонг не указал на потенциальный конфликт интересов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Характеристики отношения узлов цикла и его применение в классификации сетей

Основные моменты

•

Предлагается новая концепция отношения узлов цикла (CNR) для определения сложных сетей, которые имеют тенденцию к цикл или дерево.

•

Приведите аналитические решения и результаты моделирования CNR в сетях Эрдеша – Реньи (ER), которые представляют собой критическую точку перехода.

•

CNO — одна из наиболее заметных характеристик в классификации сетей.

Abstract

Циклы, которые можно найти во многих различных типах сетей, делают проблемы более трудноразрешимыми, особенно при работе с динамическими процессами в сетях. Напротив, древовидные сети, в которых нет цикла, являются упрощениями и обычно допускают аналитичность. Однако не хватает количества, чтобы сказать соотношение циклов, которое определяет степень близости сети к древовидной сети.Поэтому мы вводим термин «отношение узлов цикла» (CNR) для описания отношения количества узлов, принадлежащих циклам, к общему количеству узлов, и обеспечиваем алгоритм для вычисления CNR. CNR изучается как в сетевых моделях, так и в реальных сетях. CNR остается неизменным в сетях Эрдеша-Реньи (ER) разного размера с одинаковой средней степенью и увеличивается со средней степенью, что дает критический поворотный момент. Приведены приблизительные аналитические решения CNR в сетях ER, которые хорошо соответствуют моделированию.Кроме того, анализируется разница между CNR и соотношением двух ядер (TCR). Критическое явление исследуется путем анализа гигантского компонента сетей. Мы сравниваем CNR в сетевых моделях и реальных сетях и обнаруживаем, что последнее обычно меньше. Комбинирование метода грубого зерна позволяет выделить CNR-структуру сетей с высокой средней степенью. CNR также применяется к четырем различным типам транспортных сетей и грибковых сетей, которые порождают различные зоны воздействия.Интересно видеть, что CNR очень полезен для сетевого распознавания машинного обучения.

Ключевые слова

Соотношение узлов цикла

Классификация сети

Компонент Giant

Поиск в глубину

Рекомендуемые статьиЦитирующие статьи (0)

© 2021 Elsevier B.V. Все права защищены.

Рекомендуемые статьи

Ссылки на статьи

Рак молочной железы в лимфатических узлах

Если рак груди распространяется, он обычно сначала поражает близлежащие лимфатические узлы под мышкой.Иногда он также может распространяться на лимфатические узлы около ключицы или грудины. Информация о том, распространился ли рак на ваши лимфатические узлы, помогает врачам найти лучший способ лечения вашего рака.

Если вам поставили диагноз «рак груди», важно выяснить, насколько далеко он распространился. Чтобы определить, распространился ли рак за пределы груди, один или несколько лимфатических узлов под мышкой (подмышечные лимфатические узлы) удаляются и проверяются в лаборатории. Это важная часть постановки.Если лимфатические узлы содержат раковые клетки, высока вероятность того, что раковые клетки также распространились на другие части тела. В этом случае могут быть выполнены дополнительные визуализационные тесты.

Удаление лимфатических узлов может выполняться по-разному, в зависимости от того, увеличены ли какие-либо лимфатические узлы, насколько велика опухоль груди и других факторов.

Биопсия увеличенного лимфатического узла

Если какой-либо из лимфатических узлов под рукой или вокруг ключицы опух, их можно проверить на рак непосредственно с помощью игольной биопсии, либо тонкоигольной аспирации (FNA), либо стержневой биопсии иглы.Реже увеличенный узел удаляют хирургическим путем. Если рак обнаружен в лимфатическом узле, необходимо удалить больше узлов во время диссекции подмышечных лимфатических узлов (описано ниже).

Виды операций на лимфатических узлах

Даже если соседние лимфатические узлы не увеличены, их все равно нужно проверять на рак. Это можно сделать двумя разными способами. Биопсия сторожевого лимфатического узла (SLNB — наиболее распространенный и наименее инвазивный способ, но в некоторых случаях может потребоваться более обширная диссекция подмышечных лимфатических узлов (ALND).

Операция на лимфатическом узле часто проводится как часть основной операции по удалению рака груди, но в некоторых случаях может проводиться как отдельная операция.

Биопсия сторожевого лимфатического узла

При биопсии сигнальных лимфатических узлов (SLNB) хирург находит и удаляет первый лимфатический узел (узлы), на который может распространиться опухоль (так называемые сигнальные узлы). Для этого хирург вводит радиоактивное вещество и / или синий краситель в опухоль, область вокруг нее или область вокруг соска.Лимфатические сосуды будут переносить эти вещества по тому же пути, по которому, вероятно, пойдет рак. Первый лимфатический узел (узлы), к которому перемещается краситель или радиоактивное вещество, будет сигнальным узлом (узлами).

После того, как вещество было введено, сигнальные узлы можно найти либо с помощью специальной машины для обнаружения радиоактивности в узлах, либо путем поиска узлов, которые стали синими. Чтобы перепроверить, часто используются оба метода. Хирург надрезает кожу над областью и удаляет узел (ы), содержащий краситель или радиоактивные элементы.

Несколько удаленных лимфатических узлов затем тщательно проверяются патологом на наличие раковых клеток. Иногда это делается во время операции. Поскольку есть вероятность, что другие лимфатические узлы в той же области также будут иметь рак, если рак обнаружен в сторожевых лимфатических узлах, хирург может продолжить полную подмышечную диссекцию (ALND), чтобы удалить больше лимфатических узлов, пока вы все еще на операционном столе. Если раковые клетки не обнаружены в узле (ах) во время операции или если они не проверены патологом во время операции, они будут исследованы более внимательно в течение следующих нескольких дней.

Если позже рак обнаружен в сторожевом узле (ах), хирург может порекомендовать полную АЛНД позже, чтобы проверить другие узлы на наличие рака. Однако исследования показали, что в некоторых случаях можно безопасно оставить остальные лимфатические узлы. Это основано на определенных факторах, таких как размер опухоли груди, какой тип операции используется для удаления опухоли и какое лечение планируется после операции.

На основании исследований, которые рассматривали это, пропуская ALND Возможен вариант для:

• Женщины с опухолями 5 см (2 дюйма) или меньше, у которых меньше 3 положительных сигнальных лимфатических узлов и которым проводится операция по сохранению груди с последующим облучением.
• Женщины, перенесшие мастэктомию и перенесшие лучевую терапию.

Если в сигнальном узле (ах) нет рака, очень маловероятно, что рак распространился на другие лимфатические узлы, поэтому дальнейшая операция на лимфатическом узле не требуется.

SLNB часто рассматривается для женщин с раком груди на ранней стадии и обычно не подходит для женщин с воспалительным раком груди или местнораспространенным раком груди.

Хотя SLNB стал обычной процедурой, она требует большого мастерства.Это должен делать только хирург, имеющий опыт работы с этой техникой. Если вам предлагают этот тип биопсии, спросите своего хирурга, регулярно ли он делает их.

Диссекция подмышечных лимфатических узлов (ALND)

В этой процедуре от 10 до 40 (хотя обычно менее 20) лимфатических узлов удаляются из области под мышкой (подмышечная впадина) и проверяются на предмет распространения рака. ALND обычно выполняется одновременно с мастэктомией или операцией по сохранению груди (BCS), но ее можно провести во время второй операции.Может понадобиться ALND:

• Если предыдущая БСЛУ показала наличие раковых клеток в 3 или более подмышечных лимфатических узлах
• Если опухшие лимфатические узлы подмышек или ключицы можно прощупать до операции или увидеть при визуализации, а биопсия с помощью FNA или стержневой иглы выявила рак
• Если рак стал достаточно большим, чтобы выйти за пределы лимфатического узла (ов)
• Если SLNB положителен на раковые клетки после химиотерапии для уменьшения опухоли перед операцией

После операции на лимфатическом узле возможны боль, отек, кровотечение, образование тромбов и инфекция.

Возможный долгосрочный эффект операции на лимфатических узлах — опухоль в руке или груди, называемая лимфедемой . Поскольку любой избыток жидкости в руках обычно возвращается в кровоток через лимфатическую систему, удаление лимфатических узлов иногда блокирует дренаж из руки, вызывая накопление этой жидкости.

Сонографическая оценка шейной лимфаденопатии; Сравнение метастатических и реактивных лимфатических узлов у пациентов с плоскоклеточным раком головы и шеи с использованием методов серой шкалы и допплера | Иранский радиологический журнал

Мастер еще не обнаружен и не выбран, для выбора требуется один или несколько узлов, которые уже участвовали в качестве основных узлов в кластере, но этот узел не был основным, когда он в последний раз присоединялся к кластеру, были обнаружены — Elasticsearch

Привет, команда,

У меня был эластичный кластер с node1 (Master) и node2 с 7.8.0 Elastic и Kibana отлично работают на серверах Centos.

Мне пришлось отформатировать node1, отформатировать его и установить новые Elastic и Kibaka и использовать ту же конфигурацию, но на этот раз я хотел сделать node2 главным, поэтому я установил node.master как true в node2 и false в node1

Когда я это сделаю, я получаю сообщение об ошибке ниже, пожалуйста, помогите.

  [2020-07-08T12: 45: 11,526] [ИНФОРМАЦИЯ] [o.e.t.TransportService] [node2] publish_address {10.255.215.204:9300}, bound_addresses {127.0.0.1: 9300}, {[:: 1]: 9300}, {10.255.215.204:9300}
[2020-07-08T12: 45: 12,428] [INFO] [o.e.b.BootstrapChecks] [node2] привязан или публикуется на адрес без обратной связи, принудительно проверяя загрузку
[2020-07-08T12: 45: 22,444] [WARN] [oeccClusterFormationFailureHelper] [node2] мастер еще не обнаружен или не выбран, для выбора требуется один или несколько узлов, которые уже участвовали в качестве узлов, имеющих право на мастер в кластере, но этот узел не был допущен к мастеру при последнем присоединении к кластеру, обнаружили [{node2} {4f2ZBN_ORVGXhxVlztm1-g} {diqlUpN8SS2C0JxES0a6Lw} {10.255.215.204} {10.255.215.204:9300} {dilmrt} {ml.machine_memory = 134792798208, xpack.installed = true, transform.node = true, ml.max_open_jobs = 20}], что не является кворумом; обнаружение будет продолжено с использованием [10.255.215.203:9300] от поставщиков хостов и [{node2} {4f2ZBN_ORVGXhxVlztm1-g} {diqlUpN8SS2C0JxES0a6Lw} {10.255.215.204} {10.255.215.204:9300} {dilachine_meory} {DILACHINE_XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX] .installed = true, transform.node = true, ml.max_open_jobs = 20}] из последнего известного состояния кластера; термин 18 узла, последняя принятая версия 62231 в термине 18
[2020-07-08T12: 45: 32,447] [ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ] [о.eccClusterFormationFailureHelper] [node2] мастер еще не обнаружен или не выбран, для выбора требуется один или несколько узлов, которые уже участвовали в качестве узлов, имеющих право на ведущие, в кластере, но этот узел не был подходящим для мастера при последнем присоединении к кластеру, обнаружил [{node2} {4f2ZBN_ORVGXhxVlztm1-g} {diqlUpN8SS2C0JxES0a6Lw} {10.255.215.204} {10.255.215.204:9300} {dilmrt} {ml.machine_memory = 13479279820bs, true, true, ml.machine_memory = 13479279820bsnode, true, ml.penstode.xpack.info, ml.machine_memory = 13479279820bsnode, = true, 20}], который не является кворумом; открытие будет продолжать использовать [10.255.215.203: 9300] от провайдеров хостов и [{node2} {4f2ZBN_ORVGXhxVlztm1-g} {diqlUpN8SS2C0JxES0a6Lw} {10.255.215.204} {10.255.215.204:9300} {dilmrt}, {ml20847_memory}, xml_machine_memory} transform.node = true, ml.max_open_jobs = 20}] из последнего известного состояния кластера; термин 18 узла, последняя принятая версия 62231 в термине 18
[2020-07-08T12: 45: 42,449] [WARN] [oeccClusterFormationFailureHelper] [node2] мастер еще не обнаружен или не выбран, для выбора требуется один или несколько узлов, которые уже участвовали в качестве основных узлов в кластере, но этот узел не был допущен к мастеру при последнем присоединении к кластеру, обнаружили [{node2} {4f2ZBN_ORVGXhxVlztm1-g} {diqlUpN8SS2C0JxES0a6Lw} {10.255.215.204} {10.255.215.204:9300} {dilmrt} {ml.machine_memory = 134792798208, xpack.installed = true, transform.node = true, ml.max_open_jobs = 20}], что не является кворумом; обнаружение будет продолжено с использованием [10.255.215.203:9300] от поставщиков хостов и [{node2} {4f2ZBN_ORVGXhxVlztm1-g} {diqlUpN8SS2C0JxES0a6Lw} {10.255.215.204} {10.255.215.204:9300} {dilachine_meory} {DILACHINE_XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX] .installed = true, transform.node = true, ml.max_open_jobs = 20}] из последнего известного состояния кластера; термин 18 узла, последняя принятая версия 62231 в термине 18
  

Спасибо,
Навин Велумани.

Destiny 2: Руководство Warmind — Все местоположения узлов данных

Hellas Basin, новое игровое пространство на Марсе в дополнении Destiny 2 ‘s Warmind , полно секретов, на которые игроки могут охотиться. Один из этих секретов заключается в сборе до 45 узлов данных, скрытых на карте. Собрав 35 таких узлов, вы получите Destiny 2 первый экзотический меч , Worldline Zero . Для завершения вашей коллекции с 45 узлами вы можете потребовать G-335 Anseris Overdrive sparrow.

Узлы выглядят как маленькие голограммы, спроецированные из еще меньшего треугольника. Они довольно яркие и варьируются от очень хорошо скрытых до скрытых на простом месте. Вам нужно будет снимать эти узлы данных, чтобы собрать их, но то, как вы их снимаете, зависит от цвета.

Есть пять различных переменных:

• Белый : Стреляйте в эти узлы кинетическим оружием (наиболее распространенный тип узлов).
• Оранжевый : Стреляйте в эти узлы из солнечного оружия.
• Purple : Стреляйте в эти узлы из оружия Бездны.
• Синий : стреляйте в эти узлы из дугового оружия.
• Красный / электрический : Три узла можно уничтожить только с помощью новой реликвии Валькирии. Они могут появляться во время публичных мероприятий протокола эскалации, которые вы можете активировать, взаимодействуя с алмазными столбами на земле. Если вы не можете найти реликвию, вы можете очистить зеленое светящееся отверстие с помощью ключа от оружейной. Эти ключи выпадают случайным образом из врагов и действий.

Мы рекомендуем взять с собой Hard Light, экзотическую автоматическую винтовку, или Borealis, экзотическую снайперскую винтовку, если она у вас есть. Их способность переключать элементы на лету очень помогает в этом процессе сбора. Если у вас нет ни одного из них, попробуйте иметь снайперскую винтовку с каждым типом элементаля на тот случай, если вам придется использовать длинную винтовку. Обратите внимание, что на момент выпуска Warmind Borealis все еще оставался эксклюзивным оружием PlayStation и не был доступен на ПК с Windows или Xbox.

После того, как вы выстрелите в узлы, вы получите жетон Марса. Иногда вам будут давать фрагменты воспоминаний, которые не используются ни для чего, о чем мы знаем. Вы можете смело их выбросить, согласно их описанию. Они действительно предоставляют дополнительную информацию, если вы этого хотите.

Прежде чем смотреть это руководство, отправляйтесь в Ледяной дрейф и бегите обратно через пещеру Приличный Олимп, пока не дойдете до обрыва, на который вы впервые приземлились в начале расширения. Здесь вы начнете свой путь к сбору данных.

Данные 1

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Идите вперед от места начала кампании и повернитесь, чтобы посмотреть на скалу.Направляйтесь к вершине утеса и найдите место, где выступает гора. Между выступом и горой находится узел данных.

Данные 2

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Пройдите в пещеру и направьтесь к Ледниковому дрейфу.Как только вы доберетесь до развилки на дороге, поверните и посмотрите в расщелину. На той стороне, откуда вы только что пришли, будет узел данных, расположенный на склоне утеса.

Данные 3

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Продолжайте двигаться через пещеру к Ледниковому Дрейфу.В конце концов, вы встретите боевой спутник, застрявший на склоне утеса. Переместитесь через край обрыва и загляните под нависающий боевой спутник, чтобы найти узел данных.

Данные 4

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Оказавшись в ледниковом дрейфе, загляните в расщелину справа от вас, у основания моста.В ближайшем к вам уголке будет узел данных.

Данные 5

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Продолжайте движение по краю утеса.В конце концов вы наткнетесь на боковую дорожку, огибающую склон горы слева от вас. Обернитесь и посмотрите в яму позади вас. Узел данных находится в небольшой трещине в стене.

Данные 6

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Этот узел данных находится справа от моста, на вершине мертвого дерева.Возьмите джавелин Валькирии во время протокола эскалации, подпрыгните и бросьте копье в узел данных.

Данные 7

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Прыгайте на мост и лицом к Распутину (вы можете видеть его вдалеке, прямо над гребнем). Поднимитесь на вершину одной из сторожевых башен. На углу обрыва, рядом с небольшим складом, находится узел данных.

Данные 8

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Слева от узла данных 8, в верхней части хранилища, находится узел данных. Он находится в углу между зданием и обрывом. Справа от забора.

Данные 9

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Пройдите в небольшой склад на левой стороне Ледникового дрейфа. Повернитесь налево и посмотрите на одну из маленьких коробок на полке. Узел данных должен быть только выступающим из вершины.

Данные 10

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Для этого вам понадобится снайпер. Встаньте на той же сторожевой башне, что и для восьмого узла данных, но на этот раз лицом к объекту Clovis Bray, прямо над дорогой к Braytech Futurescape. С большим прицелом посмотрите в высокий дверной проем. Справа от двери находится узел данных.

Данные 11

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Под мостом, на левой стороне Ледникового Дрейфа, находится узел данных Валькирии. Возьмите валькирию во время протокола эскалации и бросьте ее в узел данных.

Данные 12

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Вернитесь к пещере Спуска на Олимп, поверните направо, чтобы найти ледяную скалу. Между гребнями возвышается каменный столб, немного отделенный от самой стены. Узел данных находится между стеной и колонной.

Данные 13

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Справа от Ледникового дрейфа прыгните на последнюю сторожевую башню и цельтесь в дверь гаража. Вверху справа находится узел данных.

Данные 14

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Внутри гаража от узла данных 13 прыгайте на такелаж слева. Возьмите винтовку и цельтесь в другую сторону гаража. Над вентиляционной шахтой находится информационный узел.

Данные 15

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Проберитесь в затерянный сектор ледникового дрейфа. Как только комната откроется, поверните направо, чтобы увидеть обломки корабля Пробудившихся. Слева от двигателя находится узел данных.

Данные 16

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Пройдите в Затерянный сектор немного дальше и уничтожьте Заговорщиков. Повернитесь и посмотрите в яму. Слева в небольшой трещине находится узел данных.

Данные 17

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Пройдите под заводом Clovis Bray в туннель.Поверните налево и посмотрите на большой вентилятор на стене. За вентилятором в углу находится узел данных.

Данные 18

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Продолжайте движение по туннелю, пока не выйдете на другую сторону.Прыгайте на левую сторону проклятия и идите по белой трубе. Посмотрите вправо. На небольшом объекте, торчащем из проклятия, будет узел данных.

Данные 19

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Завершите движение к Braytech Futurescape.Прыгайте вправо в небольшую область, где появляется Кабал. Доберитесь до самого верха здания и посмотрите на проклятие. Возьмите снайперскую винтовку и направьте прицел в сторону цилиндров. Над ними сидит узел данных.

Данные 20

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Повернитесь, начиная с данных 19, и следуйте вдоль платформы.Спуститесь по лестнице и поверните направо. Обернитесь, чтобы увидеть немного льда и большую коробку, соединенную с трубой. Перепрыгивайте через коробку и за нее, чтобы найти узел данных.

Данные 21

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Отправляйтесь в Braytech Futurescape, поверните направо и посмотрите на верхнюю часть здания.Используйте винтовку разведчика или снайперскую винтовку, чтобы выстрелить в узел на самом верху здания.

Данные 22

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision
• Bungie, Vicarious Visions / Activision

Подойдите к двери Braytech Futurescape и вместо входа поверните налево.Вы окажетесь в переулке. Посмотрите в левое здание на кондиционер. Сверху есть узел данных.

Данные 23

В том же переулке, что и данные 22, найдите небольшую панель управления рядом с символом 01. Подойдите к нему и взаимодействуйте. Развернитесь и бегите к другим зданиям. Найдите гиганта 02 и поверните направо. Пройдите в дверной проем и посмотрите налево. Теперь дверь будет приоткрыта. Загляните в трещину, чтобы найти узел данных.

Данные 24

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Отправляйтесь в Braytech Futurescape, пройдите к двери здания и поверните направо. Пройдите в общественное место для проведения мероприятий и снова поверните направо. Посмотрите на гигантский контейнер с водой рядом со стеной. Сверху находится узел данных. Используйте Валькирию из протокола эскалации, чтобы сломать его.

Данные 25

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Продолжение движения в публичное место для проведения мероприятий из данных 24. Пройдите на другую сторону стакана Аны Брей. Посмотрите в сторону Марса и поверните налево. В стену вставлены две большие трубы. Узел данных находится на левой трубе.

Данные 26

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Внутри помещения Кловиса Брея, позади Аны, наверху нескольких ящиков находится узел данных.

Данные 27

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Двигаясь к Распутину, вы встретите большую модель ИИ Warmind. Прямо перед ним будет узел данных.

Данные 28

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon

Выйдите на оснастку мимо модели и поверните направо.Слева от лестницы присядьте и посмотрите под оснастку, чтобы найти узел данных.

Данные 29

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Продолжайте движение в сторону Распутина. Встретив какой-нибудь Улей в маленькой комнате, вы встретите узел, сидящий на открытом воздухе в маленькой коробке.

Данные 30

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Когда вы войдете в небольшое техническое сооружение, прыгните вперед с висящего боевого спутника.Войдите в открытое отверстие и сделайте два шага налево. На небольшой коробке за стеклом находится узел данных.

Данные 31

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Поднимитесь на Распутина, пока не дойдете до балкона с локацией Валькирия.Пройдите полностью направо и прыгните сбоку на трубу. Присядьте между трубой и оснасткой и посмотрите вверх. Вы найдете узел данных.

Данные 32

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

Вернитесь на балкон и пройдите в дверной проем. Прежде чем подниматься по лестнице, подойдите к маленькой стеклянной двери. Поверните налево, и в углу будет узел данных. (Можно случайно получить этот узел данных во время владения Валькирией во время сюжетной миссии. Если вы не видите узел, значит, он у вас уже есть.)

Данные 33

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Убейте всех врагов в районе Распутина, чтобы открыть дверь наверху ступенек.Взаимодействуйте с дверью и пройдите через нее. На аллее Распутина поверните налево в оранжевую пустоту. Вы увидите еще один проход, соединенный со стеной. Слева находится узел данных.

Данные 34

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon

Направляйтесь к подходу к Динамо.Следите за горизонтом и ищите башню связи. Используйте снайперскую или ракетную установку, чтобы прицелиться и атаковать узел данных.

Данные 35

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon

Узел данных уже был собран на изображении выше.Если вы еще не собрали его, вы должны найти его там, где находится сетка на скриншоте.

От узла данных 34 развернитесь и пройдите в ледниковую пещеру. Пройдите первую секцию, пока не попадете в зону Alton Dynamo. Развернитесь и выстрелите в узел, сидящий на шельфе.

Данные 36

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Войдите в Alton Dynamo и посмотрите на большой синий свет.На самом краю стены есть информационный узел, по которому вы можете стрелять.

Данные 37

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Пройдите через Alton Dynamo, пока не доберетесь до серверной.Идите вперед, пока не дойдете до центра комнаты, и идите направо, пока не дойдете до сервера у изолированной стены. Встаньте между стеной и сервером и найдите узел данных.

Данные 38

Вид сетки

Пройдите в комнату охлаждения Alton Dynamo и поищите пушистые трубы рядом с изоляцией. Прямо под отверстием для пара находится отверстие, которое можно открыть.Подпрыгните, пролезьте через вентиляционные отверстия и поверните налево, чтобы добраться до консоли.

Активируйте консоль, пройдите через вентиляционное отверстие и поверните направо. Бегите вперед через двери, пока не дойдете до маленькой командной комнаты. Справа будет дверь, которая медленно открывается и закрывается. Узел данных находится в трещине.

Данные 39

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Пройдите через вентиляционную комнату, посмотрите на стеклянный потолок.Вы увидите узел данных. Поднимитесь на двигатель вправо и выстрелите между стеклом и потолком, чтобы попасть в узел.

Данные 40

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

В самом дальнем конце Альтон Динамо ищите темную ледяную стену.Прицельтесь из снайперской винтовки и обнаружите, что она стоит на стене справа от такелажа вдалеке.

Данные 41

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

Пройдите в замороженную комнату с оснасткой в ​​Alton Dynamo.Пройдите через комнату, убирая Кабал на ходу. Перед тем, как выйти из комнаты, развернитесь и посмотрите в потолок, снимите узел данных на дальней трубе.

Данные 42

Вид сетки

• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie и Vicarious Visions / Activision через Polygon

В командной комнате из узла данных 38 развернитесь и выстрелите в узел данных, сидящий на цилиндре.

Данные 43

Вид сетки

• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon
• Bungie, Vicarious Visions / Activision через Polygon

В последней комнате Alton Dynamo, возле реактора, пройдите в дальний конец комнаты.Посмотрите на трубы в верхнем левом углу. Среди них спрятан узел.

Данные 44

Вид сетки

Вернитесь в Braytech Futurescape и пройдите в Затерянный сектор. Спуститесь по ступенькам и следуйте по дорожке, пока не дойдете до небольшого компьютера. Активируйте его и бегите, чтобы закончить Затерянный сектор.Убедитесь, что вы не убили всех врагов в этой комнате. Двигайтесь вправо от комнаты и посмотрите через приоткрытую дверь, чтобы выстрелить в узел данных.

Данные 45

Вид сетки

Вернитесь к компьютеру, который активировал узел данных 44. Посмотрите налево и выстрелите в дверь, чтобы попасть в узел данных.

Чтобы получить экзотический меч Worldline Zero, развернитесь от компьютера, используемого в данных 44 и 45.Идите вперед и посмотрите налево, чтобы найти небольшой сейф. Пока у вас есть 35 узлов, вы можете открыть этот сейф и забрать меч.

Вид сетки

После того, как вы соберете все 45 узлов, вернитесь на спуск на Олимп, пройдя через третий узел данных и военный спутник.

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

Решение неравенств примеры. Решите неравенство 2х больше.

• Альфашкола
• Статьи
• Примеры решения неравенств

Как решать неравенства?

Пример 1. Решите  \(-x+3>\:2x+1\) 

\(-x+3>\:2x+1\)

\(-3x>-2\)

\(x<\frac{2}{3}\) \(—>\) \(\frac{2}{3}=0,67\)

Ответ:\((-∞;\frac{2}{3})\) .  

Пример 2. Решите \(-3<\:5-2x<\:9\)

Решение:

\(-3<\:5-2x<\:9\)

\(-8<\:-2x<\:4\)

\(-4<\:-x<\:2\)

Знаки меняются при умножении на \(-1\)

\(4>\:x>\:-2\)

\(-2<\:x<\:4\)

Ответ: \((2;4)\).

Пример 3. Решите \(\frac{\left(x+3\right)}{\left(x-5\right)}>\:0\)

Решение:

\(​\frac{\left(x+3\right)}{\left(x-5\right)}>\:0\)

\(x<-3\)   и \(\:x>5\)

Ответ: \(\:\left(-\infty \:,\:-3\right)\cup \left(5,\:\infty \:\right)\).

Пример 4. Решите    \(5\left(6+3x\right)+7\ge \:127\)

Решение:

\(5\left(6+3x\right)+7\ge \:127\)

\(5\left(6+3x\right)\ge \:120\)

\(\frac{5\left(6+3x\right)}{5}\ge \frac{120}{5}\)

\(6+3x\ge \:24\)

\(3x\ge \:18\)

\(x\ge \:6\)

Ответ: \([6,\:\infty \:)\)

Пример 5. Решите \(-17<\:3+10x\le \:33\) 

Решение:

\(-17<\:3+10x\le \:33\)

\(-20<\:10x\le \:30\)

\(-2<\:x\le \:3\)

Ответ: \(\:(-2,\:3]\).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Юрий Алексеевич Алексеенко

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Кубанский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике для 5-11 классов. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ВПР и олимпиадам. Средний балл подготовки к ЕГЭ у моих учеников выше 70 баллов и нет тех, кто не сдал. Жду на занятиях.

Марине Альбертовна Симонян

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Ереванский госпединститут русского и иностранных языков им. В.Я.Брюсова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор русского языка и литературы 1-11 классов. Давно влюблена в русский язык! Считаю, что языки призваны развивать интеллект, а языковое мышление — первая ступень в развитии логического мышления. Имея богатый опыт преподавательской и репетиторской деятельности, смогу передать свои знания и помогу в решении учебных задач.

Ольга Яновна Савинова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Гродненский государственный университет имени Янки Купалы

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по русскому языку 5-8 классы, и английский язык 3-4 классы. Отлично владею предметом. Умею находить подход к детям, прекрасно с ними лажу благодаря знанию и пониманию основ детской психологии. Умею легко и доступно объяснить даже самые сложные темы, проводя лёгкие и понятные каждому ассоциации.

Похожие статьи

• Параллельные и перпендикулярные прямые
• Значение синуса, косинуса и тангенса 30°, 45° и 60°
• Площадь произвольного четырехугольника
• Признак делимости на 17
• НИУ ВШЭ: Маркетинг и рыночная аналитика
• ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на исследование функций (вариант 5)
• Интересные факты о математике и ученых-математиках
• Если мамы нет дома: готовим простые и вкусные перекусы

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Уравнения и неравенства с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

или

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

1.

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число . больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим :

Значит, . является корнем исходного уравнения.

Ответ:

3.

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Решим уравнение:

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Решим уравнение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

Решим уравнение:

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Линейные неравенства, примеры, решения

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения.  Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a·x+b>0, когда вместо > используется любой знак неравенства <, ≤, ≥, а и b являются действительными числами, где a≠0.

Неравенства a·x<c или a·x>c, с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0, тогда строгое неравенство вида 0·x>c и 0·x<c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a·x≤c, a·x≥c. Такое уравнение считается линейным.

Их различия заключаются в:

• форме записи a·x+b>0 в первом, и a·x>c – во втором;
• допустимости равенства нулю коэффициента a, a≠0 — в первом, и a=0 — во втором.

Считается, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0·x+5>0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем  случай а=0 не подойдет.

Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x  считаются неравенства вида a·x+b<0, a·x+b>0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Исходя из правила, имеем, что 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, -23·x-2<0 являются примерами линейных неравенств.   А неравенства такого плана, как 5·x>7, −0,5·y≤−1,2 называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x<p (≤, >, ≥), p являющееся некоторым числом, при a≠0, а вида a<p (≤, >, ≥) при а=0.

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида a·x+b<0 (≤, >, ≥), необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Алгоритм решение линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0

• число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a·x<−b (≤, >, ≥);
• будет производиться деление обеих частей неравенства  на число не равное 0. Причем , когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Решить неравенство вида 3·x+12≤0.

Решение

Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3·x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3·x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4.

Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3·x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3·x+12≤0;  3·x≤−12;  x≤−4.

Ответ: x≤−4 или (−∞, −4].

Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7·z>0.

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется -2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число -2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7), и дальше z<0.

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

−2,7·z>0; z<0.

Ответ: z<0 или (−∞, 0).

Решить неравенство -5·x-1522≤0.

Решение

По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x, которое равняется -5, с коэффициентом b, которому соответствует дробь -1522. Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести -1522 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на -5, изменить знак неравенства:

-5·x≤1522;-5·x:-5≥1522:-5x≥-322

При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 1522:-5=-1522:5, после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число -1522:5=-1522·15=-15·122·5=-322.

Ответ: x≥-322 и [-322+∞).

Рассмотрим случай, когда а=0. Линейное выражение вида a·x+b<0 является неравенством 0·x+b<0, где на рассмотрение берется неравенство вида b<0, после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b<0, потому что при подстановке любого t вместо переменной x, тогда получаем 0·t+b<0, где b<0. В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b<0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥):

Числовое неравенство вида b<0 (≤, >, ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

Решить неравенство 0·x+7>0.

Решение

Данное линейное неравенство 0·x+7>0 может принимать любое значение x. Тогда получим неравенство вида 7>0. Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

Ответ: промежуток (−∞, +∞).

Найти решение неравенства 0·x−12,7≥0.

Решение

При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид −12,7≥0. Оно является неверным. То есть 0·x−12,7≥0 не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение линейных неравенств , где оба коэффициента равняется нулю.

Определить не имеющее решение неравенство из 0·x+0>0 и 0·x+0≥0.

Решение

При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0>0 и 0≥0. Первое является неверным. Значит, 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

Ответ: неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет решения.

Методом интервалов

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0. Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Метод интервалов – это:

• введение функции y=a·x+b;
• поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
• определение знаков для понятия их на промежутках.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 с помощью метода интервалов:

• нахождение нулей функции y=a·x+b, чтобы решить уравнение вида a·x+b=0. Если a≠0, тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х0;
• построение координатной прямой с изображением точки с координатой х0, при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
• определение знаков функции y=a·x+b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
• решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Решить неравенство −3·x+12>0.

Решение

Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения −3·x+12=0. Получаем, что −3·x=−12, x=4. Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4. Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (−∞, 4), необходимо произвести вычисление функции y=−3·x+12 при х=3. Отсюда получим, что −3·3+12=3>0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак из промежутка (4, +∞), тогда  подставляем значение х=5. Имеем, что −3·5+12=−3<0. Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Мы выполняем решение неравенства со знаком >, причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (−∞, 4) или x<4.

Ответ: (−∞, 4) или  x<4.

Графическим способом

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть  на примере 4 линейных неравенства: 0,5·x−1<0, 0,5·x−1≤0, 0,5·x−1>0 и 0,5·x−1≥0. Их решениями будут значения x<2, x≤2, x>2 и x≥2. Для этого изобразим график линейной функции y=0,5·x−1, приведенный ниже.

Видно, что

• решением неравенства 0,5·x−1<0 считается промежуток, где график функции y=0,5·x−1 располагается ниже Ох;
• решением 0,5·x−1≤0 считается промежуток, где функция y=0,5·x−1 ниже Ох или совпадает;
• решением 0,5·x−1>0 считается промежуток, гре функция располагается выше Ох;
• решением 0,5·x−1≥0 считается промежуток, где график выше Ох или совпадает.

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y=a·x+b, а правая – y=0, причем совпадает с Ох.

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Построение графика функции y=a·x+b производится:

• во время решения неравенства a·x+b<0 определяется промежуток, где график изображен ниже Ох;
• во время решения неравенства a·x+b≤0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси Ох или совпадает;
• во время решения неравенства a·x+b>0 производится определение промежутка, где график изображается выше Ох;
• во время решения неравенства a·x+b≥0 производится определение промежутка, где график находится выше Ох или совпадает.

Решить неравенство -5·x-3>0 при помощи графика.

Решение

Необходимо построить график линейной функции -5·x-3>0. Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения  координат точки его пересечения с Ох-5·x-3>0 получим значение -35. Изобразим графически.

Решение неравенства со знаком >, тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше Ох. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Необходимый промежуток является частью Ох красного цвета. Значит, открытый числовой луч -∞, -35 будет решением неравенства.  Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки -35 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с Ох.

Ответ: -∞, -35 или x<-35.

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y=0·x+b, то есть y=b. Тогда прямая будет параллельна Ох или совпадающей при b=0. Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Определить из неравенств 0·x+7<=0, 0·x+0≥0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представление y=0·x+7 является y=7, тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной Ох и находящейся выше Ох. Значит, 0·x+7<=0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

График функции y=0·x+0, считается y=0, то есть прямая совпадает с Ох. Значит, неравенство 0·x+0≥0 имеет множество решений.

Ответ: второе неравенство имеет решение при любом значении x.

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, x-35-2·x+1>27·x.

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки  и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5−2·x>0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид −2·x+5>0, а для приведения второго получаем, что 7·(x−1)+3≤4·x−2+x. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7·x−7+3≤4·x−2+x 7·x−4≤5·x−2 7·x−4−5·x+2≤0 2·x−2≤0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства  такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

• раскрыть скобки;
• слева собрать переменные, а справа числа;
• привести подобные слагаемые;
• разделить обе части на коэффициент при x.

Решить неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5·x+15+x≤6·x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6·x+15≤6·x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0.   Отсюда имеет неравенство вида 32≤0 из полученного при вычислении 0·x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 52·x−1≥1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2·x−1≥0. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида. 

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Неравенства: их свойства и решение

• Основные свойства неравенств
• Действия с неравенствами
• Неравенства, содержащие переменную
• Решение линейных и квадратных неравенств

1. Если a>b, то b<a.

2. Если a>b и b>c, то a>c (свойство транзитивности).

3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, то есть если a>b, то a+c>b+c.

4. Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство, то есть если a+b>c, то a−c>−b.

5. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Например, если a>b, то 5a>5b.

6. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Например, если a>b, то a⋅(−1)<b⋅(−1), то есть −a<−b.

7. Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичные правила можно применить и к делению. Например, если a>b, то и .

1. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Например,

или

2. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого производится вычитание. Например,

3. Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать. Например, если a>b>0 и c>d>0, то ac>bd.

4. Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень. Например, если a>b, то , где a>0, b>0, k∈N.

Верно и обратное утверждение: если , a>0, b>0, k∈N, то a>b.

1. Решение неравенств основано на их свойствах.

2. Если к обеим частям неравенства f1(x)>f2(x) прибавить (или вычесть) одну и ту же функцию φ(x), область определения которой принадлежит области определения данного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному. (Область определения неравенства — пересечение множеств, на которых определена каждая из функций f1 и f2, входящих в неравенство.)

3. Любое слагаемое, определённое для всех значений переменной, можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

4. Если обе части неравенства f1(x)>f2(x) умножить (или разделить) на одну и ту же функцию φ(x), определённую для всех значений переменной x из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при φ(x)>0, получится неравенство, равносильное данному, а при φ(x)<0 равносильным данному является неравенство протиположного смысла.

1. Линейным неравенством называется неравенство вида ax+b>0 (или ax+b<0). Если a>0, то неравенство ax+b>0 равносильно неравенству . Если a<0, то неравенство ax+b>0 равносильно неравенству .

2. Квадратным неравенством называется неравенство вида ax²+bx+c>0 (или ax²+bx+c<0), где a≠0.

3. Решить неравенство, содержащее переменную, — значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями неравенства.

4. Два неравенства называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.

Пусть требуется решить неравенство ax²+bx+c>0. В зависимости от знака дискриминанта D=b²−4ac могут представиться три случая.

1) Если D<0, то график квадратного трёхчлена f(x)=ax²+bx+c не пересекает ось Ox и лежит выше этой оси при a>0 и ниже её при a<0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым.

2) Если D>0, то график квадратного трёхчлена пересекает ось Ox в точках x1 и x2 (x1<x2), являющихся корнями уравнения ax²+bx+c=0. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка (−∞;x1), (x1;x2) и (x2;+∞). При этом знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком коэффициента a во всех точках промежутков (−∞;x1) и (x2;+∞) и противоположен знаку коэффициента a во всех точках промежутка (x1;x2).

3) Если D=0, то график квадратного трёхчлена касается оси Ox в точке x1, являющейся единственным корнем уравнения ax²+bx+c=0. Точка x1 разбивает числовую прямую на два промежутка (−∞;x1) и (x1;+∞). Знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком коэффициента a при всех x≠x1.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия со степенями и корнями

Решение квадратных уравнений

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Неравенства, решение линейных неравенств, принцип решения неравенств

Неравенство это выражение с , ≤, или ≥. Например, 3x — 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно. Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений. Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами.

Линейные неравенства

Принципы решения неравенств
Для любых вещественных чисел a, b, и c:
Принцип прибавления неравенств: Если a Принцип умножения для неравенств: Если a 0 верно, тогда ac Если a bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами.

Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x — 5 b) 13 — 7x ≥ 10x — 4
Решение

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и, или, тогда формируется двойное неравенство. Двойное неравенство, как
-3 и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым, потому что в нём использовано и. Запись -3 Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3 Решение У нас есть

Пример 3 Решите 2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1. Постройте график множества решений.
Решение У нас есть

2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1.	Прибавляем 5
2x ≤ -2 или 2x > 6	Делим на 2
x ≤ -1 или x > 3.

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y₁ = 2x — 5, y₂ = -7, и y₃ = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y₁ ≤ y₂или y₁ > y₃.

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x| |x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x| |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2| b) |5 — 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2|

Использование неравенств

Пример 5 Планы выплат. За выполнение малярных работ, Эрику может быть выплачена заработная плата одним из двух способов:
План A: \$250 плюс \$10 в час;
План B: $20 в час.
Предположим, что работа занимает n часов. Для каких значений n план B лучше для Эрика?

Решение

1. Понимание задачи. Предположим, что работа отнимет 20 часов. Тогда n = 20, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,20, или \$250 + \$200, или \$450. Его заработок согласно плану B составит \$20,20, или \$400. Это показывает, что план A лучше для Эрика, если он будет работать 20 часов. Подобным образом, если он будет работать 30 часов, тогда n = 30, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,30, или \$250 + \$300, или \$550. При плане B, он заработает \$20,30, или \$600, поэтому план B лучше в этом смысле. Чтобы определить все значения n, для которых план B является лучшим для Эрика, составим и решим неравенство.

2. Составление неравенства. Запишем это в виде неравенства.
Доход от плана B больше, чем доход от плана A.

20n > 250 + 10n

3. Решим неравенство:

Конференция по неравенству и принятию решений: перспективные направления исследований

Конференция проекта Тобина 2016 года по неравенству и принятию решений собрала представителей социальных наук для обсуждения новых и текущих исследований и создания сообщества ученых, приверженных пониманию того, как неравенство влияет на принятие индивидуальных решений . В дополнение к текущим исследованиям Тобина по этой теме, работа, представленная на конференции, определила несколько важных направлений исследований, которые, несмотря на огромный потенциал, помогающий понять, как неравенство влияет на нашу экономику, демократию и общество, остаются недостаточно изученными.

Принятие финансовых решений

Влияет ли положение человека в распределении доходов на его выбор в отношении займов или инвестиций? Влияет ли уровень неравенства в сообществе человека на его финансовые приоритеты? Меняется ли готовность брать на себя финансовые риски по мере увеличения или уменьшения неравенства?

Принятие финансовых решений включает в себя широкий спектр поведенческих и когнитивных процессов, в том числе многие из них связаны с отношением к риску. Несколько исследований показали, что положение в распределении может влиять на принятие финансового риска: участники одного исследования с большей вероятностью покупали лотерейные билеты, когда их убеждали, что их доходы относительно невелики. Точно так же люди, помещенные в две нижние позиции распределения в лабораторных условиях, демонстрировали «отвращение к последнему месту» и значительно чаще, чем другие, участвовали в рискованной лотерее. Если положение в распределении может повлиять на финансовые решения, могут ли также повлиять изменения в форме распределения?

Шах, Муллайнатан и Шафир обнаружили , что бедняки могут с большей вероятностью брать чрезмерные займы, даже когда сталкиваются с высокими процентными ставками, отчасти потому, что нехватка средств заставляет людей заниматься неотложными потребностями, игнорируя менее срочные, но, возможно, более важные проблемы. Могут ли определенные типы неравенства аналогичным образом влиять на то, как люди распределяют внимание, оказывая, в свою очередь, аналогичное или родственное влияние на принятие финансовых решений?

Поведение и принятие решений на вершине

Большая часть роста неравенства доходов за последние несколько десятилетий произошла в верхних слоях распределения. Лидеры по доходам добились значительного роста реальных доходов и получили львиную долю прибыли. Точно так же «почти весь» значительный рост имущественного неравенства за последние три десятилетия можно объяснить «ростом доли богатства, принадлежащего 0,1% самых богатых семей». Поскольку районы, школы, рабочие места и другие компоненты социальной и профессиональной жизни все больше разделяются по классам, американцы, находящиеся в средней и нижней частях распределения доходов, могут не знать о значительных сдвигах, происходящих в самой верхней части распределения. Если влияние неравенства частично зависит от выраженности различий в доходах и богатстве, возможно, что те, кто находится на вершине экономической лестницы или находится рядом с ней, кто, скорее всего, осознает характер и масштабы этих сдвигов, могут быть затронуты больше всего. .

Данные опроса показывают , что те, кто находится в верхней части распределения доходов, демонстрируют иные предпочтения в отношении социальной и экономической политики, чем представители средней и нижней частей распределения. Изменяются ли предпочтения «просто богатых» (близких, но ниже самой вершины) по мере увеличения дистанции между ними и «действительно богатыми»? Вершина распределения доходов в основном состоит из членов идентифицируемого набора профессиональных групп: руководителей корпораций, юристов, предпринимателей, а также профессионалов в области финансов, медицины, развлечений и недвижимости. Влияет ли растущее неравенство в элите на политические предпочтения или ценностную ориентацию этих высокооплачиваемых профессионалов? Оказывают ли предпочтения этих лиц непропорциональное влияние на результаты политики?

Принятие политических решений

Почему спрос на перераспределение не увеличился с ростом неравенства? Теория рационального избирателя предполагает , что по мере роста неравенства увеличивается число избирателей, которые могут извлечь выгоду из политики перераспределения; следовательно, политическое давление с целью перераспределения средств от самых богатых к остальным должно также возрасти. Тем не менее данные опроса показывают, что поддержка перераспределения в США осталась неизменной по мере роста неравенства. Помимо изучения связи между неравенством и перераспределением, социологи тщательно изучили возможные связи между неравенством и другими политическими переменными высокого уровня, такими как средняя явка избирателей и общие взносы в предвыборную кампанию. Однако сравнительно мало внимания уделялось изучению того, как изменения в неравенстве могут повлиять на принятие политических решений на индивидуальном уровне. На самом деле поведенческая наука предлагает множество инструментов, которые, кажется, хорошо подходят для этого исследования. Изучение влияния неравенства на политические предпочтения людей могло бы помочь пролить свет на механизмы, с помощью которых неравенство влияет на демократию в более широком смысле.

Социальное познание

Экономическое неравенство может влиять на наше восприятие друг друга и самих себя, возможно, особенно в групповом контексте. Действительно ли люди в крайне неравных обществах менее склонны доверять друг другу или участвовать в гражданских институтах? Завышают ли люди свою самооценку, чтобы справиться с конкуренцией за статус, сопровождающей высокий уровень неравенства? Связаны ли уровни гражданского участия или социальной сплоченности со степенью неравенства в обществе?

Хотя многочисленные исследования свидетельствуют о влиянии неравенства на социальное познание, существующая литература в основном сосредоточена на межнациональных корреляциях. Одна исследовательская группа обнаружила, например, что уровень неравенства доходов в обществе сильно коррелирует с тем, насколько его жители считают себя лучше, чем средний человек. Межстрановые исследования также показали, что высокий уровень неравенства на национальном уровне коррелирует с более низким уровнем доверия и большей распространенностью амбивалентных стереотипов, которые, как считается, рационализируют и узаконивают предрассудки и дискриминацию, приписывая положительные черты стигматизированным группам. * Мы считаем, что Многообещающий способ продвинуть это направление исследований — изучить, можно ли выявить причинно-следственные связи между экономическим неравенством и основными социальными когнитивными процессами, такими как самосовершенствование и межличностное восприятие, на индивидуальном уровне, возможно, в лабораторных условиях.

*Модель содержания стереотипов утверждает, что амбивалентные стереотипы «описывают как группы, находящиеся в выигрышном, так и неблагоприятном положении, как обладающие отличительными, но уравновешенными сильными и слабыми сторонами», что поощряет представление о том, что «каждый класс получает свою долю», и служит для узаконивания дискриминации и рационализации статуса quo (Дюранте и др., 2013). См. также Kawachi et al. (1997).

Восприятие неравенства

Поскольку точные измерения доходов и богатства других людей редко доступны нам, люди часто оценивают свое относительное экономическое положение на основе очень несовершенных сигналов. Американцы, независимо от идеологии или уровня дохода, сильно недооценивают степень неравенства в национальном распределении доходов и богатства. Если люди не могут правильно воспринимать неравенство, что делает неравенство заметным и формирует основу их восприятия своего положения на социально-экономической лестнице? Мы очень мало знаем о факторах, определяющих, отражают ли представления о неравенстве реальность; отличаются ли эти динамики в зависимости от политических, социально-экономических, географических или возрастных групп; и как эти закономерности могут повлиять на наше понимание того, как (и в каких контекстах) неравенство влияет на принятие индивидуальных решений.

Новая работа по этим вопросам может быть основана на исследованиях, в которых изучалось, как люди воспринимают сложные явления на уровне сообщества. магазины или видимый ремонт дома) или исследовать информационные каналы, которые помогают формировать суждения о неравенстве (например, сообщения СМИ о разрыве в доходах). Улучшение понимания того, как люди оценивают и воспринимают неравенство в своей повседневной жизни, может открыть новые возможности в изучении неравенства и принятии решений.

†Например, чтобы лучше понять, как социальные беспорядки воспринимаются в сообществах, ученые определили и изучили физические и социальные сигналы, сигнализирующие о социальных беспорядках (например, вандализм, мусор и употребление алкоголя в общественных местах). См. Хантер (1978); Перкинс и Тейлор (1996); Сэмпсон и Рауденбуш (2004).

Неравенство доходов, социальная мобильность и решение бросить учебу в средней школе

Abstract

Новое исследование Мелиссы Кирни и Филиппа Левина показывает, что больший разрыв в доходах между теми, кто находится в нижней и средней части распределения доходов, ведет к низким доходам мальчиков бросают среднюю школу чаще, чем их сверстники в районах с более высоким уровнем неравенства, что позволяет предположить, что существует важная связь между неравенством доходов и снижением темпов восходящей мобильности.

ПРЕСС-РЕЛИЗ

Мальчики из малообеспеченных семей из районов с высоким уровнем неравенства бросают школу чаще, чем мальчики из районов с низким уровнем неравенства. ” может внести свой вклад, если те, кто находится в самом низу, не верят, что у них есть возможность достичь статуса среднего класса

Больший разрыв в доходах между теми, кто находится в самом низу и в середине распределения доходов, приводит к тому, что мальчики с низким доходом чаще бросают среднюю школу чем их коллеги в областях с более низким уровнем неравенства, предполагая, что существует важная связь между неравенством доходов и снижением темпов восходящей мобильности, согласно новому документу, представленному сегодня на группе Brookings Panel on Activity. Этот вывод имеет значение для социальной политики, подразумевая необходимость вмешательств, направленных на укрепление представлений подростков с низким доходом о том, чего они могли бы достичь в жизни.

В статье «Неравенство доходов, социальная мобильность и решение бросить учебу в средней школе» старший научный сотрудник Брукингского института и профессор экономики Мэрилендского университета Мелисса С. Кирни и профессор экономики Уэллсли Филип Б. Левин предлагают канал через какое неравенство доходов может привести к меньшей восходящей мобильности — часто предполагается, что это так, но еще не полностью доказано. Традиционное мнение экономистов состоит в том, что неравенство доходов стимулирует людей инвестировать больше , чтобы достичь положения с более высоким доходом в обществе, но Кирни и Левин отмечают, что если молодежь с низким доходом считает жизнь среднего класса недосягаемой, они могут решить инвестировать минус в собственное экономическое будущее.

См. интерактивную карту неравенства по штатам, а также другие результаты »

Связанные

Авторы сосредотачиваются на неравенстве доходов в нижней половине распределения доходов, измеряемом разрывом в доходах между 10-м и 50-м процентилями распределения доходов, а не разрывом в доходах между верхней и нижней частью распределения доходов, который был больше внимания уделяется массовой культуре. Они показывают, что это неравенство «нижнего хвоста» более актуально для жизни бедной молодежи, потому что середина — более реалистичная цель. Кроме того, их исследование может разрешить загадку: социальная мобильность не снижается, несмотря на рост неравенства доходов. Но, как отмечают Кирни и Левин, неравенство доходов в США растет, потому что верхушка распределения отдаляется от середины, а не потому, что нижняя часть отстает от середины.

Авторы специально рассматривают показатели отсева из средней школы через географическую призму, отмечая связь между сильно различающимися показателями окончания средней школы и неравенством доходов по стране. Четверть или более тех, кто поступает в среднюю школу в штатах с более высоким уровнем неравенства, таких как Луизиана, Миссисипи, Джорджия и округ Колумбия, не заканчивают учебу в течение четырехлетнего периода, по сравнению с примерно 10 процентами в Вермонте, Висконсине, Северной Америке. Дакота и Небраска — штаты с более низким уровнем неравенства. Далее их эконометрический анализ показывает, что у молодежи с низким доходом, в частности у мальчиков, вероятность бросить среднюю школу к 20 годам на 4,1 процентных пункта выше, если они живут в районах с высоким уровнем неравенства по сравнению с теми, кто живет в районах с низким уровнем неравенства. расположение неравенства.

Кирни и Левин рассматривают ряд возможных объяснений этой связи, включая различия в уровне образования, уровне бедности, демографическом составе и других факторах. В конечном счете, данные свидетельствуют о том, что в районах с большим разрывом в доходах есть что-то особенное, из-за чего мальчики с низким доходом в этих районах бросают школу чаще, чем мальчики с низким доходом в других местах. Исследование авторов предполагает, что подростки принимают образовательные решения, основываясь на своей предполагаемой отдаче от вложений в свое образовательное развитие: большее расстояние, чтобы подняться, чтобы попасть в середину распределения доходов, может привести к ощущению, что экономический успех маловероятен — что они называют «экономическое отчаяние».

Книги по теме

«Неравенство в доходах может негативно повлиять на предполагаемую отдачу от инвестиций в образование с точки зрения экономически неблагополучного подростка», — пишут они. «Восприятие порождает восприятие».

Изучая причины, по которым сами учащиеся бросают учебу, они обнаруживают, что учащиеся с низким доходом из более неравных мест с большей вероятностью откажутся от своей учебы. Удивительно, но данные опроса показывают, что успеваемость не оказывает такого большого влияния на учащихся с низким доходом в штатах с высоким уровнем неравенства: 51 процент бросивших школу в штатах с наименьшим неравенством сообщили, что они бросили учебу из-за плохой успеваемости, по сравнению только с 21 процентом. процент учащихся, бросивших учебу в самых неравных штатах.

Находка предполагает, что экономическое отчаяние может играть важную роль: если учащийся видит меньшую пользу от продолжения учебы в школе, он или она предпочтет бросить учебу при более низком пороге академических трудностей. Они также отмечают, что, хотя надбавка к заработной плате за окончание средней школы должна снизить уровень отсева, неравенство доходов домохозяйств имеет компенсирующий негативный эффект.

Выбор между продолжением учебы или прекращением учебы может отражать фактические или предполагаемые отличия от преимуществ окончания учебы. Например, авторы отмечают свое предыдущее исследование, показывающее, что молодые люди из семей с низким доходом, которые растут в штатах с высоким уровнем неравенства, имеют пожизненный доход, который более чем на 30 процентов ниже, чем у таких же детей в штатах с более низким неравенством. Они также освещают другие исследования, показывающие, что подавляющее большинство из 9учащиеся 1-го класса стремятся поступить в колледж, но к 11-му классу учащиеся с низким СЭП значительно реже ожидают, что они поступят в колледж, даже среди учащихся с высокими результатами тестов.

«Существуют важные политические последствия того, какие типы программ необходимы для улучшения экономической траектории детей из семей с низким уровнем СЭС», — пишут они. «Успешные меры будут сосредоточены на том, чтобы дать молодежи с низким доходом основания полагать, что у нее есть возможность добиться успеха. Такие вмешательства могут быть сосредоточены на расширении возможностей, которые повысят реальную отдачу от учебы в школе, но они также могут быть направлены на улучшение восприятия, давая учащимся с низким доходом основания полагать, что они могут быть «поступающими в колледж». Например, вмешательства могут принимать форму программ наставничества, которые связывают молодежь с успешными взрослыми наставниками, а также школьных и общественных программ, направленных на формирование высоких ожиданий и обеспечение путей к окончанию школы. Они также могут принимать форму программ воспитания детей младшего возраста, которые работают с родителями, чтобы создать более благоприятную домашнюю среду для повышения самооценки и поощрения позитивного поведения».

Прочитайте полную статью Кирни и Левина здесь »

Получайте ежедневные обновления от Brookings

Таблица умножения на 7

Автор: Bill4iam

КАК ХОРОШО УМЕТЬ СЧИТАТЬ… ПРИЁМЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ

КАК ХОРОШО УМЕТЬ СЧИТАТЬ… ПРИЁМЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ

Найти число сочетаний элементов множества. Онлайн калькулятор

Введите количество элементов множества

Введите количество объектов в сочетании

Как найти количество сочетании

Количество сочетаний в комбинаторике вычисляется по формуле

Cⁿ_m =

n!

(n — m)! ⋅ m!

, где

n – количество элементов множества,
m – количество объектов в сочетании.

Для сочетания не имеет значения порядок расположения элементов в сочетании.

---

Например, имеется множество, состоящее из трех цветов {фиолетовый, красный, синий} сколько вариантов сочетаний, если количество цветов в каждом сочетании m= 2?

Решение:

C²₃ =

3!

(3 — 2)! ⋅ 2!

= 3 варианта

Вариант 1: фиолетовый, красный
Вариант 2: фиолетовый, синий
Вариант 3: красный, синий

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N2 | Двоичная система счисления

N3 | Троичная система счисления

N4 | Четырехичная система счисления

N5 | Пятеричная система счисления

N6 | Шестеричная система счисления

N7 | Семеричная система счисления

N8 | Восьмеричная система счисления

N9 | Девятеричная система счисления

N11 | Одиннадцатиричная система счисления

N12 | Двенадцатеричная система счисления

N13 | Тринадцатеричная система счисления

N14 | Четырнадцатеричная система счисления

N15 | Пятнадцатеричная система счисления

N16 | Шестнадцатеричная система счисления

N17 | Семнадцатеричная система счисления

N18 | Восемнадцатеричная система счисления

N19 | Девятнадцатеричная система счисления

N20 | Двадцатеричная система счисления

N21 | Двадцатиодноричная система счисления

N22 | Двадцатидвухричная система счисления

N23 | Двадцатитрехричная система счисления

N24 | Двадцатичетырехричная система счисления

N25 | Двадцатипятеричная система счисления

N26 | Двадцатишестеричная система счисления

N27 | Двадцатисемеричная система счисления

N28 | Двадцативосьмеричная система счисления

N29 | Двадцатидевятиричная система счисления

N30 | Тридцатиричная система счисления

N31 | Тридцатиодноричная система счисления

N32 | Тридцатидвухричная система счисления

N33 | Тридцатитрехричная система счисления

N34 | Тридцатичетырехричная система счисления

N35 | Тридцатипятиричная система счисления

N36 | Тридцатишестиричная система счисления

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Совместимость продуктов — Combinefood.ru

Совместимость продуктов питания

Таблица совместимости продуктов питания, где все продукты условно разделены на группы, различные сочетания оцениваются по пятибалльной системе.

5 — Отличное сочетание продуктов
4 — приемлемым, но не идеальным
3 — условно-допустимые
2 — плохие сочетания,
1 — наиболее вредные для здоровья

		Сладкие фрукты	Полук. фрукты	Дыня, персик, черника	Кислые фрукты	Совместимые овощи	Тыква, кабачки, баклажаны	Цветная капуста	Зеленый горошек	Поми-доры	Квашеная капуста	Крупы, хлеб, мака-роны	Карто-фель	Мясо, рыба, яйца	Молоко	Творог жирный	Сыр	Просто-кваша, кефир	Сухие зерно-бобовые	Орехи	Грибы	Зелень	Сало	Сливо-чное масло	Сливки, сметана	Расти-тельное масло	Сахар, варенье	Мед	Специи
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
Сладкие фрукты	1	*	5	3	3	3	2	2	1	3	3	1	1	1	2	4	3	4	1	2	1	4	2	3	4	3	3	4	5
Полукислые фрукты	2	5	*	4	5	3	3	2	2	3	3	1	2	1	3	5	4	5	1	3	1	4	2	3	4	4	3	4	5
Дыня, персик, черешня	3	3	4	*	3	2	2	2	1	3	2	1	1	1	1	3	2	3	1	2	1	3	2	2	3	3	2	3	5
Кислые фрукты	4	3	5	3	*	3	2	2	2	3	3	1	1	1	3	5	4	5	1	3	1	4	3	4	5	5	3	4	5
Совместимые овощи	5	3	3	2	3	*	5	5	5	5	5	5	5	5	2	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	3	5	5
Тыква, кабачки, баклажаны	6	2	3	2	2	5	*	5	5	4	5	5	5	4	2	4	4	3	4	4	5	5	5	5	5	5	2	3	5
Цветная капуста	7	2	2	2	2	5	5	*	5	5	5	4	4	3	1	2	4	2	4	3	4	5	4	4	5	5	2	3	5
Зеленый горошек	8	1	2	1	2	5	5	5	*	5	5	3	4	3	1	2	4	2	4	3	4	5	4	4	5	5	1	2	5
Помидоры	9	3	3	3	3	5	4	5	5	*	5	2	3	3	3	5	5	5	3	3	3	5	5	5	5	5	3	4	5
Квашеная капуста	10	3	3	2	3	5	5	5	5	5	*	4	5	5	1	3	5	3	3	4	5	5	5	4	4	5	3	3	5
Крупы, хлеб, макароны	11	1	1	1	1	5	5	4	3	2	4	*	3	1	1	1	2	1	3	2	4	5	5	5	4	5	1	3	5
Картофель	12	1	2	1	1	5	5	4	4	3	5	3	*	2	2	2	3	2	2	2	5	5	5	5	4	5	1	2	5
Мясо, рыба, яйца	13	1	1	1	1	5	4	3	3	3	5	1	2	*	1	1	2	1	1	1	3	5	5	4	3	3	1	1	5
Молоко	14	2	3	1	3	2	2	1	1	3	1	1	2	1	*	5	3	4	1	1	1	3	2	4	4	3	2	3	5
Творог жирный	15	4	5	3	5	5	4	2	2	5	3	1	2	1	5	*	5	5	2	2	2	5	2	4	5	2	2	3	5
Сыр	16	3	4	2	4	5	4	4	4	5	5	2	3	2	3	5	*	5	2	2	3	5	3	5	5	4	2	2	5
Простокваша, кефир	17	4	5	3	5	5	3	2	2	5	3	1	2	1	4	5	5	*	1	1	2	5	2	3	5	3	2	3	5
Сухие зернобобовые	18	1	1	1	1	5	4	4	4	3	3	3	2	1	1	2	2	1	*	2	2	5	4	4	4	5	1	2	5
Орехи	19	2	3	2	3	5	4	3	3	3	4	2	2	1	1	2	2	1	2	*	2	5	3	3	3	5	1	2	5
Грибы	20	1	1	1	1	5	5	4	4	3	5	4	5	3	1	2	3	2	2	2	*	5	5	4	5	5	1	2	5
Зелень	21	4	4	3	4	5	5	5	5	5	5	5	5	5	3	5	5	5	5	5	5	*	5	5	5	5	5	5	5
Сало	22	2	2	2	3	5	5	4	4	5	5	5	5	5	2	2	3	2	4	3	5	5	*	3	3	4	2	3	5
Сливочное масло	23	3	3	2	4	5	5	4	4	5	4	5	5	4	4	4	5	3	4	3	4	5	3	*	4	3	2	4	5
Сливки, сметана	24	4	4	3	5	5	5	5	5	5	4	4	4	3	4	5	5	5	4	3	5	5	3	4	*	3	3	3	5
Растительное масло	25	3	4	3	5	5	5	5	5	5	5	5	5	3	3	2	4	3	5	5	5	5	4	3	3	*	2	4	5
Сахар, варенье	26	3	3	2	3	3	2	2	1	3	3	1	1	1	2	2	2	2	1	1	1	5	2	2	3	2	*	4	5
Мед	27	4	4	3	4	5	3	3	2	4	3	3	2	1	3	3	2	3	2	2	2	5	3	4	3	4	4	*	5
Специи	28	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	*

Калькулятор cочетаний — количество возможных комбинаций

Онлайн-калькулятор сочетаний позволяет вам найти количество возможных комбинаций, которые могут быть получены из элементов выборки из большого набора данных. Кроме того, этот комбинаторика калькулятор показывает каждую комбинацию набора данных. По сути, комбинация – это количество способов получить r элементов из n объектов набора данных, где замены не разрешены. Прочтите статью полностью, чтобы точно узнать о ее формуле, ручном расчете, о том, как найти комбинацию с помощью этого калькулятора комбинаций и многом другом.

Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн-калькулятор перестановок, который поможет вам найти количество возможных подмножеств, включая подмножество одного и того же элемента в разном порядке.

Читать дальше!

Что такое формула комбинирования?

Формула для определения количества возможных комбинаций выглядит следующим образом:

nCr = n! / р! (н-р)!

Где,

n – общее количество в наборе данных

r – это номер, который вы выбираете из этого набора данных & nCr – количество комбинаций

Наш калькулятор NCR использует эту формулу для точных и быстрых вычислений всех элементов набора данных.

Формула сочетания с повторением:

Если нас не волнует повторение, то формула NCR выглядит так:

nCr = (г + п-1)! / р! (п-1)!

Здесь на рисунке показаны четыре типа выбора:

Образ

Восклицательный знак (!) Используется для факториала числа. Чтобы найти факториал числа, вы также можете попробовать наш онлайн-калькулятор факториала, который поможет вам вычислить факториал для заданных n чисел.

Как рассчитать комбинации (шаг за шагом):

Расчет комбинаций становится очень простым с этим комбинаторным калькулятором и пониманием следующего ручного примера:

Проведите по!

Пример:

Директор выбирает 4 учеников из класса, всего 30 учеников, для соревнований по легкой атлетике. Он хочет определить, сколько комбинаций из 4 учеников можно создать из 30 учеников?

Решение:

Комбинированное уравнение:

nCr = n! / р! (н-р)!

Вот,

Общее количество студентов (n) = 30

Выбранные ученики (r) = 4

Так,

30C4 = 30! / 4! (30-4)!

30C4 = 30! / 4! (26)!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27 * 26! / 4! (26)!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4 * 3 * 2 * 1

30C4 = 657720/24

30C4 = 27405 Возможные команды

Вы можете попробовать этот онлайн-калькулятор сочетаний, чтобы проверить все примеры комбинаций для пояснения.

Комбинации и перестановки:

В английском языке мы используем словосочетание, не задумываясь о важности порядка слов или нет. Просто мой обед состоит из бургера, сэндвича с Рубеном и яблочного пирога. Нас не волнует их порядок, они также могут быть в «сэндвиче с Рубеном, яблочном пироге и бургере», но это та же еда. Также,

Замок сейфа – 584. Теперь, если нас не заботит порядок, то он не работает. Например, 845 не подойдет, а 458 не подойдет. Надо точно ввести 5-8-4. Итак, мы пришли к выводу, что:

Когда порядок не имеет значения, это комбинация, а когда порядок имеет значение, это перестановка. Проще говоря, перестановка – это упорядоченная комбинация.

Как использовать онлайн-калькулятор сочетаний:

Онлайн-калькулятор комбинаций чисел требует различных значений для точного расчета, это шаги, которые вы должны выполнить, чтобы получить мгновенные результаты.

Входы:

• Прежде всего, выберите имя элементов набора данных из раскрывающегося списка этого инструмента.
• Затем введите общее количество элементов в предназначенное для этого поле.
• Затем введите, сколько элементов вы хотите выбрать из общего числа элементов.
• Затем вам нужно выбрать, что вы хотите создать, из раскрывающегося меню. Это может быть как комбинация, так и комбинация с повторением.
• Затем вставьте значения элементов в указанное поле.
• Наконец, нажмите кнопку “Рассчитать”.

Выходы:

Как только вы закончите, калькулятор формулы комбинации покажет:

• Комбинация
• Сочетание с повторением
• Пошаговый расчет

Заметка:

Не беспокойтесь, хотите ли вы получить расчет с комбинацией или повторением, все, что вам нужно, чтобы выбрать соответствующую опцию, калькулятор комбинации покажет вам результат в соответствии с заданными значениями.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Что означает 10 выбирают 3?

Это означает выбор 3 элементов из 10 общих элементов без как посчитать количество комбинаций. Он генератор комбинаций 120 возможных комбинаций.

Для чего используется комбинация?

Он определяет возможные расположения в коллекции из n элементов. Помогает выбирать предметы в любом порядке. Это условие непонятно при перестановке числа.

Конечное примечание:

К счастью, вы узнали, что комбинации используются для определения возможных расположений в коллекции n элементов. Когда дело доходит до вычисления большого числа, воспользуйтесь бесплатным онлайн-калькулятор сочетаний, который поможет вам найти комбинацию данных элементов.

Other Languages: Combination Calculator, Kombinasyon Hesaplama, Kalkulator Kombinacji, Kalkulator Kombinasi, Kombinatorik Rechner, 組み合わせ 計算, 조합 계산기, Kombinace Kalkulačka, Calculadora De Combinações, Calcul Combinaison, Calculadora De Combinaciones, Calcolo Combinatorio, Yhdistelmää Laskin, Kombinations Beregner, Kombinatorikk Kalkulator.

Матрица судьбы с расшифровкой. Калькулятор Матрицы Судьбы. Совместимость по Матрице судьбы.

Предназначение. • Автоматический расчет Матрицы судьбы с подробной расшифровкой! : Матрица судьбы

Рассчитать матрицу онлайн

Рассчитать совместимость

Рассчитать детскую матрицу

Без знаний о совокупности талантов и данных, дарованных нам при рождении жизнь похожа на заблудившийся в открытом море корабль. Метод Матрица судьбы по дате рождения, словно маяк, который указывает путь нуждающемуся страннику, помогает найти предназначение в жизни и узнать свою Судьбу . А совместимость по Матрице судьбы поможет найти идеального партнера и избежать трудностей в отношениях.

Главное о методе Матрица Судьбы

Наша команда, разработала уникальный сервис – автоматический расчет метода Матрица Судьбы и подробной расшифровкой по каждой дате. Такого ты не встретишь нигде. Мы сделали это, чтобы каждый смог рассчитать и расшифровать свою матрицу. Также мы подготовили пошаговое руководство по составлению матрицы самостоятельно. А наш умный калькулятор Матрицы Судьбы наглядно покажет, какие энергии в описании. Так как при нажатии на определённый раздел в диаграмме подсвечиваются только энергии этого раздела.

Это – наше предназначение, распространить эту ценнейшую информацию и помочь людям найти ответы на свои вопросы и найти главное предназначение человека в мире.

Метод называют по-разному: “Матрица судьбы”, “Метод 22 Арканов”, “Диагностика Предназначения”.
Это система самопознания, основанная на астрологии, нумерологии, таро и других методиках развития личности. С его помощью по дате рождения, можно найти решения проблем, мучающих людей годами, узнать предназначение в обществе и главное – Высшее Предназначение человека!

А совместимость по Матрице Судьбы поможет понять своего партнера и улучшить ваши отношения. А если его ещё нет, сделать правильный выбор.

Мы постарались донести до тебя методику карт судьбы максимально просто, вложили множество знаний, трудов и конечно свой опыт. От тебя требуется лишь позволить нам поделиться с тобой нашими знаниями и применять их для своего наилучшего будущего.

И мы точно знаем, что каждый человек уникален. Узнай именно свой путь с методикой «Матрица судьбы». А совместимость по Матрице судьбы поможет найти своего партнера и избежать трудностей с взаимопониманием.

Узнать свой путь

Блог

Смотреть все статьи

Матрица необходима тебе, если ты:

Не чувствуешь
уверенности в себе

Считаешь, что достоин
лучшей жизни

Ощущаешь, что сбился с пути
и ищешь жизненный ориентир

Ищешь свое
предназначение

Забыл, как
радоваться жизни

Хочешь раскрыть свой потенциал
и открыть в себе таланты

Знаешь, какой жизнью хочешь жить, но не знаешь, как этого достигнуть

Хочешь начать новую
успешную карьеру

Получаемые возможности

Зная расшифровку своей Матрицы Судьбы ты сможешь применять эти методы в жизни и менять ее к лучшему, день за днём. Совместимость по Матрице судьбы поможет выстроить гармоничные и счастливые отношения.

А наш умный калькулятор Матрицы Судьбы покажет все энергии в соответсвии с разделом,

• Финансовое благополучие

  Достигнешь улучшения финансовой стороны жизни.

• Улучшение здоровья

  Поймешь причины проблем со здоровьем и как их решить .

• Гармония в отношениях

  Гармонизируешь отношения со второй половинкой или узнаешь образ подходящего партнера, если пока еще его нет, наладишь отношения с родными.

• Новые таланты

  Раскроешь свои таланты, поможешь раскрыть потенциал своим детям и правильно их направишь.

• Понимание окружающих

  Поймешь почему окружающие ведут себя именно так.

• Предназначение

  Найдешь свое предназначение, добавишь в жизнь красок и наполнишь смыслом каждый день.

• Помощь близким

  Получишь рабочий инструмент помощи другим людям в поисках ответов на их вопросы.

• Самореализация

  Появится возможность самореализации и работать удаленно.

Узнай своё предназначение

и помогай другим

Инвестируй время в изучение метода Матрица Судьбы  и зарабатывай. Средняя стоимость одной консультации от 1500 ₽ до 7000 ₽. Быть консультантом по поиску предназначения – востребованная и прибыльная профессия. Множество людей озадачены поиском себя и у тебя есть шанс им помочь. Это возможность сделать свою жизнь успешнее и жить более качественно, занимаясь, любимым делом и помогая другим людям. Наш умный калькулятор Матрицы судьбы, расшифровка всех разделов и совместимость по Матрице судьбы помогут в твоем новом успешном занятии.

Ты сможешь зарабатывать из любой точки мира более 70000 ₽ в месяц, для этого понадобится лишь интернет. Стоимость обучения окупается буквально за несколько консультаций.

Получить методику

Практика и рекомендации по

разбору матриц

Для того, чтобы тебе было легче начать развиваться в новой профессии, мы составили рекомендации по привлечению клиентов и ведению консультаций.

Мы предлагаем:

Руководство, обучающее основным расчетам и расшифровке матрицы судьбы

Описание 22 энергий, лежащих в
основе метода

Сертификат консультанта
по методу Матрица Судьбы

Наша личная разработка, аналогов которой нет в мире – функция автоматический расчет матрицы и расшифровка с подробным описанием всех ее составляющих и умный калькулятор матрицы судьбы:

• Личные качества
• Деньги
• Отношения
• Предназначение
• Сексуальность
• Программы
• Рекомендации по здоровью
• Описание прошлой жизни и уроки в этой
• Прогноз на год
• Отношения с родителями и детьми
• Руководство по жизни
• Расчёт совместимости

Посмотреть как работает

расчет матрицы

Так же ты получишь:

Круглосуточный доступ к материалам из
любого уголка планеты

Можно начать изучение
прямо сейчас

Секретный чат консультантов,
где есть ответы на все вопросы

• Мы гарантируем точность расчётов, так как они автоматизированы. Исключён человеческий фактор.
• Все необходимые файлы у тебя будут всегда под рукой — это удобно как для консультантов, так и для тех, кто изучает метод для себя.

Подбор цветов и генерация цветовых схем

Монохроматическая модель. Эта цветовая схема основана на одном оттенке цвета, и использует вариации, сделанные только лишь изменением насыщенности и яркости.

Результат комфортен для глаз, даже при использовании агрессивных цветов. Вместе с тем, труднее найти диакритические знаки и основные факты.

Также монохроматические вариации сделаны для каждого цвета в других схемах.

Комплементарная (контрастная) модель. Основной цвет дополнен его комплементом (цвета на противоположной стороне цветового круга). Создается один холодный и один теплый цвет — вы должны рассмотреть, какой из них будет доминирующим, и должен ли дизайн выглядеть холодным, или теплым.

Не следует злоупотреблять контрастными цветами в дизайне, используйте их только как цветовой акцент.

Модель цветовой триады (мягкий контраст). Основной цвет дополнен двумя цветами, помещенными тождественно по обе стороны его комплемента. В отличие от «острого» контраста, эта цветовая схема зачастую является более комфортной для глаз, она мягче, и в ней больше пространства для балансировки теплых/холодных цветов.

Триада образована тремя цветами, равномерно распределяя цветовой круг (120°). Цветовые схемы триады имеют много возможностей по сочетанию цветов, регулировке контраста, акцентов и баланса теплых/холодных цветов.

Модель цветовой тетрады (двойной контраст). Эта цветовая схема образована парой цветов и их контрастов. Она основана на Тетраде — четверке цветов, равномерно распределенных по цветовому кругу (90°). Тетрада — очень агрессивная цветовая схема, требующая хорошего планирования и деликатный подход к отношениям этих цветов.

Меньшая дистанция между цветами вызывает в результате меньше напряжения. Тем не менее, тетрада всегда является более «нервной» и «вызывающей», чем другие цветовые схемы. Работая с ней, вы должны заботиться о связях между одним цветом и его смежным дополнительным цветом (комплементом). В случае тетрады (угол 90°), необходимо хорошее чувство цвета и очень деликатный подход к сочетанию цветов.

Модель аналогичных цветов. Эта цветовая схема образована основным цветом и его смежными цветами — два цвета, расположенные тождественно по обе стороны. Это всегда смотрится элегантно и четко, цветовая гамма в результате этого выглядит с меньшей напряженностью и равномерной колориметрией. Если выбран цвет на тепло-холодной границе, цвет с противоположной «температурой» может быть использован для акцентирования двух других цветов.

Вы можете задать дистанцию смежных (вторичных) цветов, угол не должен превышать 60°.

Модель акцентированной аналогии. Это аналогичная модель с добавлением дополнительного (контрастного) цвета. Модель должна рассматриваться как дополнение — она добавляет напряженности к цветовой палитре, и слишком агрессивна в случае злоупотребления. Вместе с тем, она может быть использована в некоторых деталях, а так же в качестве цветового акцента — порой получается очень эффективная и элегантная цветовая гамма.

Оттенок. На этой вкладке отображается цветовой круг. Кликните по ней для регулировки оттенков основных, дополнительных, и вторичных цветов.

Регулировка цветовой схемы. На этой вкладке можно регулировать яркость/насыщенность цвета и контраст цветовой схемы, или просто выбрать из предопределенных настроек.

Информация о цветовой схеме. Кликните по этой вкладке для отображения значений цветов фактической цветовой схемы, а так же для экспорта их в различные форматы данных.

Оттенок основного цвета. Чтобы изменить значения, перетащите ползунок по цветовому кругу. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

Оттенок дополнительного цвета. Чтобы изменить значения, перетащите ползунок по цветовому кругу. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

Оттенок вторичного цвета. Чтобы изменить угол/дистанцию, перетащите ползунок дальше или ближе от основного цвета. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

Оттенок вторичного цвета. Чтобы изменить угол/дистанцию, перетащите ползунок дальше или ближе от основного цвета. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

Значение оттенка основного цвета. Кликните для ввода числового значения.

Угол/дистанция оттенка вторичных цветов. Кликните для ввода числового значения. Имеет смысл только в цветовых схемах, использующих вторичные цвета.

Значение RGB основного цвета. Кликните для ввода числового значения.

Будьте осторожны: из-за ошибки округления во время преобразования, значение RGB, используемое в цветовой схеме, может немного отличаться от введенного значения.

Значения RGB основного цвета.

Пресеты цветовых схем. Кликните и выберите предопределенные комбинации яркости, насыщенности и контрастности цветовой схемы.

Яркость и Насыщенность. Перетаскивайте ползунок по квадрату для регулировки яркости (вверх = светлее, вниз = темнее) и насыщенности (вправо = насыщенное, влево = разбавленное).

Контрастность цветовой схемы. Перетаскивайте ползунок по квадрату для регулировки контрастности вариантов цвета в схеме (вверх/вниз для темного варианта, влево/вправо для светлого варианта).

Контрастность цветовой схемы. Панель для регулировки яркости и насыщенности сразу всех вариантов схемы.

Коррекция Вариантов. Панель для регулировки яркости и насыщенности по отдельности для каждого цвета.

Список вариантов цвета. Выберите вариант цвета, а затем отрегулируйте его насыщенность и яркость при помощи ползунка на левом квадрате.

Схема палитры. Представлены четыре основных цвета, для легкого составления впечатления о схеме.

URL адрес цветовой схемы. Для каждой схемы существует уникальный ID. Вы можете сохранить эту ссылку в закладки, и вернуться к редактированию своей цветовой схемы в любой момент времени.

Предварительный просмотр цветовой палитры. Посмотрите, как выбранные цвета и их варианты сочетаются между собой.

Предварительный просмотр цветовой палитры. Посмотрите, как выбранные цвета и их варианты сочетаются между собой.

Пример веб-страницы (светлая/позитив). Кликните чтобы посмотреть пример веб-страницы, созданной при помощи текущей цветовой схемы. Это только пример, цвета палитры могут использоваться в сотнях разных вариаций.

Пример веб-страницы (темная/негатив). Кликните чтобы посмотреть пример веб-страницы, созданной при помощи текущей цветовой схемы. Это только пример, цвета палитры могут использоваться в сотнях разных вариаций.

Показать пример текста. Отметьте галочку, чтобы отобразить белый, черный и серый текст в окне предварительного просмотра цветовой схемы.

Формула количества сочетаний без повторений

Skip to content

Содержание:

• 1 Определение числа сочетаний
• 2 Найти сочетания из n по k
• 3 Видеоролик о сочетаниях
• 4 Полезные ссылки
• 5 Решебник по ТВ

Число всех сочетаний без повторений по m из n элементов обозначается .

Буква C от французского «combinaison» («сочетание»).

Теорема. .

Доказательство. Каждое размещение без повторений (x₁,…,x_m) по m из n можно построить в 2 шага: вначале строится сочетание без повторений <x₁,…,x_m> по m из n, а затем – перестановка (x₁,…,x_m) из m элементов множества <x₁,…,x_m>. По правилу произведения

Из теоремы и формул для числа размещений без повторений следуют еще 2 формулы для числа сочетаний без повторений:

.

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8921 — | 7230 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Определение числа сочетаний

Пусть имеется $n$ различных объектов. Чтобы найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$, будем выбирать комбинации из $m$ объектов все возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений). k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

Видеоролик о сочетаниях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

Решебник по ТВ

Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:

Основные формулы комбинаторики

Задачи, в которых речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Область математики, в которой рассматриваются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

Комбинаторика – область математики, в которой рассматриваются задачи о тех или иных комбинациях объектов.

Правило суммы

Пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A₁, A₂,…A_n, содержащих m₁, m₂,…, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно

Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек, во второй – 30, в третьей – 20. Сколькими способами из них можно выбрать одного студента?

Решение. Из первой группы одного человека можно выбрать 25 способами, из второй – 30, из третьей – 20. Чтобы найти ответ, нужно сложить все эти способы:

Ответ: выбрать одного студента из трех групп можно 75 способами.

Правило произведения

Пусть имеется . n множеств A₁, A₂,…A_n,содержащих m₁, m_2,,…, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества

Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек, во второй – 30, в третьей – 20. Сколькими способами из каждой из них можно выбрать по одному студенту?

Решение. Из первой группы одного человека можно выбрать 25 способами, из второй – 30, из третьей – 20. Если выбираем один элемент из нескольких множеств, то применяем правило суммы.

Если выбираем по одному элементу из нескольких множеств, то применяем правило произведения.

Факториаломчислаn называется последовательное произведение натуральных чисел от единицы до самого числа n:

Перестановки без повторений

Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n. Перестановки — частный случай размещений.

Пример. Сколькими способами можно расставить в шеренгу студентов группы из 25 человек?

Решение. Число способов есть число перестановок из 25 элементов, то есть:

Ответ: расставить в шеренгу студентов группы из 25 человек можно 1,55ּ10 25 способами.

Размещения без повторений

Различные упорядоченные подмножества по m элементов данного множества, содержащего n элементов, называются размещениями из n по m. Их число равно:

В частности: .

Пример. Из группы, состоящей из 25 человек, надо выбрать шахматную команду из четырех человек на I, II, III и IV доски. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как из 25 человек выбираются 4 и порядок важен, то число способов есть число размещений из 25 по 4, то есть:

.

Ответ: выбрать из 25 человек шахматную команду из четырех человек на I, II, III и IV доски можно 303600 способами.

Сочетания без повторений.

Различные неупорядоченные подмножества по m элементов из данного множества, содержащего n элементов, называются сочетаниями из n по m. Их число равно:

В частности, .

Пример. Сколькими способами из группы в 25 человек можно выбрать баскетбольную команду из пяти человек?

Решение. Так как из 25 человек выбираются 5 и порядок не важен, то число способов есть число сочетаний из 25 по 5, то есть:

Ответ: из группы в 25 человек можно выбрать баскетбольную команду 53130 способами.

Рубрики

• Без рубрики
• Дримкаст аксессуары
• Дримкаст игры
• Дримкаст прохождения
• Дримкаст эмуляторы
• История
• Компьютеры
• Помощь
• Приставки

Adblock
detector

Калькулятор перестановок и комбинаций

Перестановки , n P r =

6! (6 — 2)!

=

30

Комбинации , N C R =

6! 2! × (6 — 2)!

=

15

Калькулятор связанных вероятностей | Калькулятор размера выборки

Перестановки и комбинации являются частью раздела математики, называемого комбинаторикой, который включает изучение конечных дискретных структур. Перестановки — это определенный выбор элементов в наборе, где важен порядок расположения элементов, тогда как комбинации включают выбор элементов без учета порядка. Например, типичный кодовый замок технически должен называться замком перестановки по математическим стандартам, поскольку важен порядок вводимых чисел; 1-2-9не то же самое, что 2-9-1, тогда как для комбинации любого порядка этих трех чисел будет достаточно. Существуют различные типы перестановок и комбинаций, но приведенный выше калькулятор рассматривает только случай без замены, также называемый без повторения. Это означает, что для приведенного выше примера с кодовым замком этот калькулятор не вычисляет случай, когда кодовый замок может иметь повторяющиеся значения, например, 3-3-3.

Перестановки

Предоставленный калькулятор вычисляет одну из наиболее типичных концепций перестановок, где расположение фиксированного числа элементов r , берутся из заданного набора n . По сути, это можно назвать R-перспективами N или частичных перестановок , обозначаемым как _N P _R , ^N P _R , P _{(N, R)} , R , P _{(N, R)} R , P _{(N, R)} R , P _{(N, R)} R , P ^{. , или P(n,r) среди прочих. В случае перестановок без замены рассматриваются все возможные способы перечисления элементов в наборе в определенном порядке, но количество вариантов выбора уменьшается каждый раз при выборе элемента, а не в таком случае, как «комбинированный» замок. , где значение может встречаться несколько раз, например 3-3-3. Например, при попытке определить количество способов, которыми капитан команды и вратарь футбольной команды могут быть выбраны из команды, состоящей из 11 членов, капитан команды и вратарь не могут быть одним и тем же лицом, и после выбора они должны быть удалены из набора. Буквы A от до K будет представлять 11 различных членов команды:}

A B C D E F G H I J K  11 участников; A выбран капитаном

B C D E F G H I J K   10 членов; B выбран в качестве вратаря

Как видно, первый выбор был для A капитаном из 11 первоначальных членов, но поскольку A не может быть капитаном команды, а также вратарем, A был снят со сета перед вторым выбором вратаря B можно изготовить. Общие возможности, если бы была указана позиция каждого отдельного члена команды, были бы 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × … × 2 × 1, или 11 факториалов, записанных как 11 !. Однако, поскольку в этом случае важны только выбор капитана команды и вратаря, релевантными являются только первые два выбора, 11 × 10 = 110. Таким образом, уравнение для расчета перестановок удаляет остальные элементы, 9 × 8 × 7 × … × 2 × 1 или 9 !. Таким образом, обобщенное уравнение для перестановки можно записать так:

n P r =

нет! (н — р)!

Или в данном случае специально:

11 P 2 =

11! (11 — 2)!

=

= 11 × 10 = 110

Опять же, предоставленный калькулятор не вычисляет перестановки с заменой, но для любопытства ниже приведено уравнение: в том, что они по существу являются перестановками, в которых удалены все избыточности (как будет описано ниже), поскольку порядок в комбинации не важен. Комбинации, как и перестановки, обозначаются по-разному, в том числе _N C _R , ^N C _R , C _{(N, R)} , или C (N, R) или чаще всего, как просто

. Как и в случае с перестановками, предоставленный калькулятор рассматривает только случай комбинаций без замены, а случай комбинаций с заменой обсуждаться не будет. Снова используя пример футбольной команды, найдите количество способов выбрать 2 нападающих из команды из 11 человек. В отличие от случая, приведенного в примере с перестановкой, где сначала был выбран капитан, а затем вратарь, порядок, в котором нападающие выбраны не имеет значения, так как они оба будут нападающими. Снова обращаясь к футбольной команде как буквы 9От 0006 A до K , не имеет значения, будут ли A и затем B или B и затем A выбраны страйкерами в этих соответствующих порядках, важно лишь то, что они выбраны. Возможное количество договоренностей для всех n человек равно n! , как описано в разделе перестановок. Чтобы определить количество комбинаций, необходимо удалить избыточности из общего количества перестановок (110 из предыдущего примера в разделе перестановок) путем деления избыточности, которая в данном случае равна 2!. Опять же, это потому, что порядок больше не имеет значения, поэтому уравнение перестановки нужно сократить на количество способов, которыми можно выбрать игроков, A , затем B или B , затем A , 2 или 2!. Это дает обобщенное уравнение для комбинации, как и для перестановки, деленное на количество избыточностей, и обычно известное как биномиальный коэффициент:

n C r =

нет! р! × (п — г)!

Или в данном случае специально:

11 С 2 =

11! 2! × (11 — 2)!

=

11! 2! × 9!

= 55

Логично, что вариантов для комбинации меньше, чем для перестановки, поскольку избыточность убирается. Опять же для любопытных, уравнение для комбинаций с заменой приведено ниже:

n C r =

(г+н-1)! р! × (n — 1)!

Комбинированный калькулятор (nCr) | Генератор комбинаций

Создано Богной Шик и Домиником Черниа, кандидатом наук

Рассмотрено Стивеном Вудингом и Джеком Боуотером

Последнее обновление: 06 апреля 2022 г.

Содержание:

• Что такое комбинация? — определение комбинации
• Как рассчитать комбинации? — формула комбинации
• Перестановка и комбинация
• Перестановка и комбинация с повторением. Генератор комбинаций
• Вероятность комбинации и линейная комбинация
• Часто задаваемые вопросы

Этот калькулятор комбинаций (калькулятор n select k) представляет собой инструмент, который поможет вам не только определить количество комбинаций в наборе (часто обозначается как nCr), но и показывает вам каждую возможную комбинацию (перестановку) вашего набора длиной до 20 элементов. Однако будьте осторожны! Нахождение таких длинных терминов для нашего генератора комбинаций может занять даже пару секунд. Если вам интересно, сколько различных комбинаций можно составить из определенного количества элементов и размера выборки, попробуйте наш калькулятор комбинаций прямо сейчас!

Если вы все еще не знаете, что такое комбинация, все это будет объяснено в следующей статье. Здесь вы найдете определение комбинации вместе с формулой комбинации (с повторениями и без них). Мы покажем вам, как рассчитывать комбинации и что такое линейная комбинация и вероятность комбинации. Наконец, мы поговорим об отношении между перестановкой и комбинацией. Вкратце, перестановка учитывает порядок членов и комбинация не . Вы можете найти больше информации ниже!

Задумывались ли вы, каковы ваши шансы выиграть главный приз в лотерее? Какова вероятность выиграть второй приз? Чтобы ответить на оба и похожие вопросы, нужно использовать комбинации. У нас есть специальный инструмент, предназначенный для такого рода проблем. Наш лотерейный калькулятор не только оценивает вероятность комбинации для выигрыша в любой лотерейной игре, но также предоставляет формулу лотереи. Попытайся! Вы узнаете, насколько велики (или малы) эти числа на самом деле. Вас также может заинтересовать удобный способ записи очень длинных чисел, который называется научной нотацией. Например, 145 000 000 000 можно записать как 1,45 × 10 11 и 0,000000643 как 6,43 × 10 -7 . Разве это не проще? Для получения дополнительной информации ознакомьтесь с правилами научной записи.

Что такое комбинация? — определение комбинации

В определении комбинации говорится, что это число способов , которыми можно выбрать r элементов из набора, содержащего n различных объектов (поэтому такие задачи часто называют «n выбрать r» проблемы). Порядок, в котором вы выбираете элементы, не важен, в отличие от перестановки (вы можете найти подробное объяснение этой проблемы в разделе перестановки и комбинации).

Поиск каждой комбинации набора объектов является чисто математической задачей. Вас, вероятно, уже научили, скажем, как находить наибольший общий делитель (НОД) или как находить наименьшее общее кратное (НОК). Ну, а сочетание — это совсем другая история. Посмотрим, насколько это может быть сложно.

Представьте мешок, наполненный двенадцатью шарами, каждый из которых имеет свой цвет. Вы выбираете пять шаров наугад. Сколько различных наборов шаров вы можете получить? Или, другими словами, сколько различных комбинаций вы можете получить?

Как считать комбинации? — комбинированная формула

Математики предлагают точное решение многих различных задач, например, как рассчитать площадь в квадратных футах или как рассчитать объем. Есть ли аналогичный подход к оценке количества комбинаций в приведенном выше примере с шарами?

К счастью, вам не нужно записывать все возможные наборы! Как тогда считать комбинации? Вы можете использовать следующую формулу комбинаций, которая позволит вам быстро определить количество комбинаций:

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!) ,

где:

• C(n,r) — количество комбинаций;
• n – общее количество элементов в наборе; и
• r — количество элементов, которое вы выбираете из этого набора.

Восклицательный знак ! представляет собой факториал. Ознакомьтесь с нашим калькулятором факториала для получения дополнительной информации по этой теме. Выражение в правой части также известно как биномиальный коэффициент. Мы также используем его в нашем другом статистическом калькуляторе, называемом калькулятором биномиального распределения. Если вы посетите этот сайт, вы обнаружите некоторое сходство в вычислениях — например, в этом биномиальном калькуляторе используется наш калькулятор nCr.

Применим это уравнение к нашей задаче с разноцветными шарами. Нам нужно определить, сколько существует различных комбинаций:

C(12,5) = 12!/(5! * (12-5)!) = 12!/(5! * 7!) = 792 .

Вы можете проверить результат с помощью нашего калькулятора nCr. Также перечислит все возможные комбинации ! Однако имейте в виду, что 792 различных комбинации — это уже довольно много для показа. Чтобы избежать ситуации, когда сгенерировано слишком много комбинаций, мы ограничили этот генератор комбинаций определенным максимальным количеством комбинаций (по умолчанию 2000). Вы можете изменить его в расширенный режим в любое время.

Вы могли заметить, что согласно формуле комбинаций количество комбинаций для выбора только одного элемента равно просто n . С другой стороны, если вам нужно выбрать все элементы, есть только один способ сделать это. Давайте проверим это свойство комбинации на нашем примере. У вас есть общее количество объектов, равное n = 12 . Каждая буква, отображаемая в калькуляторе nCr, представляет собой шар определенного цвета, например, A — красный, B — желтый, C — зеленый и так далее. Если вы выберете только один элемент r = 1 сразу из этого набора, количество комбинаций будет 12 — потому что есть 12 разных шаров. Однако, если вы выберете r = 12 элементов, будет только 1 возможных комбинаций, включающих каждый шар. Попробуйте сами с помощью калькулятора n Choose r!

К этому моменту вы, вероятно, уже знаете все, что должны знать о комбинациях и формулах комбинаций. Если вам все еще недостаточно, в следующих разделах мы напишем больше о различиях между перестановкой и комбинацией (часто ошибочно считали одно и то же ), вероятность комбинации и линейную комбинацию.

Перестановка и комбинация

Представьте, что у вас есть тот же мешок, наполненный разноцветными шариками, что и в примере из предыдущего раздела. Опять же, вы выбираете пять шаров наугад, но на этот раз порядок важен — имеет значение, выберете ли вы красный шар первым или третьим. Возьмем более простой пример: вы выбираете три шара с именами R (красный), B (синий), G (зеленый). Существует шесть перестановок этого набора (порядок букв определяет порядок выбранных шаров): RBG, RGB, BRG, BGR, GRB, GBR, а определение комбинации говорит, что существует только одна комбинация! Это ключевое отличие.

По определению перестановка — это акт перестановки всех элементов набора в некоторой последовательности или порядке. Однако в литературе мы часто обобщаем это понятие и отказываемся от требования использования всех элементов данного набора. Вот что делает перестановку и комбинацию такими похожими. Этот смысл перестановки определяет количество способов, которыми вы можете выбрать и расположить n элементов из набора, содержащего n различных объектов. это называется r-перестановки n (иногда называемые вариациями). Формула перестановки выглядит следующим образом:

P(n,r) = n!/(n-r)! .

Разве это уравнение не похоже на формулу комбинации? Фактически, если вы знаете количество комбинаций, вы можете легко подсчитать количество перестановок:

P(n,r) = C(n,r) * r! .

Если вы включите расширенный режим этого калькулятора комбинаций, вы сможете найти количество перестановок.

Вы можете задаться вопросом , когда следует использовать перестановку вместо комбинации . Ну, это зависит от того, нужно ли вам учитывать порядок или нет. Например, предположим, что у вас есть колода из девяти карт с цифрами от 1 до 9. Вы берете три случайные карты и выстраиваете их на столе, образуя трехзначное число, например, 425 или 837. Сколько различных чисел ты можешь создать?

Р(9,3) = 9!/(9-3)! = 9!/6! = 504

Проверьте результат с помощью нашего калькулятора nCr! И сколько разных комбинаций?

C(9,3) = 9!/(3! * (9-3)!) = 9!/(3! * 6!) = 84

Количество комбинаций всегда меньше числа перестановок. На этот раз оно в шесть раз меньше (если умножить 84 на 3! = 6 , получится 504). Это связано с тем, что каждые три выбранные вами карты можно переставить шестью различными способами, как и в предыдущем примере с тремя цветными шарами.

Комбинация и перестановка необходимы во многих областях обучения. Вы можете найти их в физике, статистике, финансах и, конечно же, в математике. У нас также есть другие удобные инструменты, которые можно использовать в этих областях. Попробуйте этот калькулятор журнала, который быстро вычисляет логарифм с любым основанием, которое вы хотите, и калькулятор значащих цифр, который говорит вам, что такое значащие цифры, и объясняет правила значащих цифр. Это фундаментальное знание для каждого человека с научной душой.

Перестановка и комбинация с повторением. Генератор комбинаций

Чтобы завершить наши рассуждения о перестановках и комбинациях, мы должны ввести аналогичную выборку, но на этот раз с разрешенными повторениями . Это означает, что каждый раз, когда вы выбираете элемент из набора n различных объектов, вы возвращаете его обратно в этот набор. В примере с разноцветными шарами вы берете из мешка один шар, запоминаете, какой вы вытащили, и кладете его обратно в мешочек. Аналогично, во втором примере с картами вы выбираете одну карту, записываете номер на этой карте и кладете ее обратно в колоду. Таким образом, у вас может быть, например, два красных шара в вашей комбинации или 228 в качестве перестановки.

Вы, наверное, догадываетесь, что обе формулы сильно усложнятся. Тем не менее, это не так сложно, как рассчитать содержание алкоголя в вашем домашнем пиве (что, кстати, вы можете сделать с помощью нашего калькулятора ABV). На самом деле, в случае перестановки уравнение становится еще более простым. Формула для комбинации с повторением выглядит следующим образом:

C'(n,r) = (r+n-1)!/(r! * (n-1)!) ,

и для перестановки с повторением :

P'(n,r) = n р .

На картинке ниже мы представляем сводку различий между четырьмя типами выбора объекта: комбинация, комбинация с повторением, перестановка и перестановка с повторением . Это пример, в котором у вас есть четыре шара разных цветов, и вы выбираете три из них. В случае выборов с повторением вы можете выбрать один из шаров несколько раз. Если вы хотите попробовать перестановки, будьте осторожны, там будут тысячи разных наборов! Однако вы все равно можете смело подсчитать, сколько их там (перестановок в расширенный режим ).

Вероятность комбинации и линейная комбинация

Начнем с вероятности комбинации, которая необходима во многих статистических задачах (у нас есть калькулятор вероятностей, который все это решает). Пример, изображенный выше, должен легко объяснить это — вы выбираете три из четырех разноцветных шаров из мешка. Допустим, вы хотите узнать шансы (вероятность) того, что среди них будет красный шар. Есть четыре различных комбинации, и красный шар находится в трех из них. Тогда вероятность комбинации равна:

Pr = 3/4 = 75% .

Если вы вытащите из мешка три случайных шара, в 75% случаев вы вытащите красный шар. Чтобы выразить вероятность, мы обычно используем знак процента. В другом нашем калькуляторе вы можете научиться находить проценты, если вам это нужно.

Теперь предположим, что вы выбрали один мяч, записали, какого цвета вы получили, и положили его обратно в мешок. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один красный шар? Это проблема «комбинации с повторением». На картинке выше видно, что всего имеется двадцать комбинаций, и красный шар находится в десяти из них, поэтому:

Pr = 10/20 = 50% .

Это для тебя сюрприз? Ну не должно быть. Когда вы возвращаете первый шар, например, синий, вы можете взять его как второй и третий мяч. Таким образом, шансы на получение красного шара снижаются . Вы можете сделать аналогичные соображения с перестановкой. Попробуйте решить задачу с мешком разноцветных шаров: какова вероятность того, что ваш первый выбранный шар красный?

Допустим, вы нам не доверяете и хотите проверить сами. Вы вытягиваете три шара из четырех и проверяете, есть красный шар или нет (как в первом примере этого раздела). Вы повторяете этот процесс еще три раза, и вы получаете красный шар только в одном из четырех случаев — 25% случаев. Вы ожидали 75% согласно теории. что случилось? Вот как работает вероятность! Существует закон больших чисел , который описывает результат выполнения одного и того же эксперимента большое количество раз. Если вы повторите рисунок, например, сто раз, вы будете намного ближе к 75% .

Более того, закон больших чисел почти всегда приводит к стандартному нормальному распределению, которое может описывать, например, интеллект или рост людей, с так называемым p-значение . В калькуляторе p-значения мы объясняем, как найти p-значение с помощью таблицы z-показателей. Это может показаться очень сложным, но это не так сложно!

Вы когда-нибудь слышали о линейной комбинации? На самом деле, несмотря на то, что в нем есть слово и комбинация , оно не имеет много общего с тем, что мы узнали до сих пор. Тем не менее, мы попытаемся объяснить это кратко. Линейная комбинация — это результат умножения набора членов и 90 351 каждого члена на константу и сложения результатов 9. 0352 . Он часто используется в волновой физике для предсказания уравнения дифракционной решетки или даже в квантовой физике из-за уравнения де Бройля. Здесь вы можете увидеть некоторые распространенные примеры линейной комбинации:

1. Векторы . Каждый вектор в 3D можно разложить на три единичных вектора e₁ = (1,0,0) , e₂ = (0,1,0) и e₃ = (0,0,1) . Например, v = (2,5,3) = 2e₁ + 5e₂ + 3e₃ , и это линейная комбинация.
2. Функции . Допустим, у вас есть две функции f(x) = eˣ и g(x) = e⁻ˣ . Из этих двух функций вы можете создать линейные комбинации, которые описывают гиперболический синус sinh(x) = f(x)/2 - g(x)/2 или косинус cosh(x) = f(x)/2 + g (х)/2 . Вы можете сделать то же самое с нормальным синусом и косинусом, но вам нужно использовать мнимое число i . Подробнее об этом мы пишем в последнем разделе калькулятора квадратного корня.
3. Многочлены . Например, у вас есть три многочлена p₁(x) = 1 , p₂(x) = 3x + 3 , p₃(x) = x² - x + 1 , и вы хотите выразить функцию q (x) = 2x² + x + 3 как линейная комбинация этих многочленов. Это не всегда возможно, но в данном случае q(x) = -2p₁(x) + p₂(x) + 2p₃(x) .

Часто задаваемые вопросы

В чем разница между перестановкой и комбинацией?

Фундаментальное различие между комбинациями и перестановками в математике заключается в том, заботимся ли мы о порядок элементов :

• При перестановке порядок имеет значение, поэтому мы располагаем элементы в последовательном порядке.
• В комбинациях порядок не имеет значения, поэтому мы выбираем группу предметов из большей коллекции.

Как рассчитать перестановки из комбинаций?

Если у вас уже есть комбинация и вы хотите превратить ее в перестановку, вам необходимо наложить порядок на набор предметов, т. е. выбрать один из возможных порядков для вашего набора. Следовательно, число перестановок r шт. выбранных из n шт. равно количеству комбинаций r шт. выбранных из n шт. умноженному на количество заказов этих r шт. .

Как рассчитать комбинации из перестановок?

Если у вас уже есть перестановка и вы хотите превратить ее в комбинацию, вам нужно удалить порядок , т. е. рассматривать все возможные перестановки как один и тот же объект. Следовательно, количество комбинаций r предметов, выбранных из n предметов равно количеству перестановок r предметов, выбранных из n предметов , деленному на количество заказов этих r предметов, т.е. на r! .

Сколькими способами можно составить слово из 7 букв?

Если слово состоит из семи различных букв, у вас есть 7! = 5040 способов их расположения (простых перестановок семи элементов). Однако, если некоторые буквы встречаются более одного раза, количество аранжировок уменьшается! Например:

• Если слово «WITNESS», то буква «S» встречается дважды, поэтому мы делим на 7! на 2! = 2 и результат 2520 .
• Если слово «КТО-ТО», то буквы «О» и «Е» встречаются дважды, поэтому мы делим на 7! на 2! * 2! = 4 и результат 1260 .
• Если слово «НЕИЗВЕСТНО», мы имеем «N» трижды, поэтому делим на 7! на 3! = 6 и результат 840 .

Bogna Szyk и Dominik Czernia, кандидат PhD

Набор объектов

Общее количество объектов n

Размер выборки R

Число выборов

Комбинации

С комбинациями

. похожие калькуляторы риска и вероятности 🎲

Точность Теорема Байеса Парадокс дня рождения… Еще 19

Калькулятор комбинаций (калькулятор nCr)

Используйте этот калькулятор nCr, чтобы легко рассчитать количество комбинаций с учетом набора объектов (типов) и количества, которое вам нужно нарисовать из набора. N выберите онлайн-калькулятор K , чтобы рассчитать, сколько комбинаций с N числами возможно.

    Быстрая навигация:

1. Что такое комбинация?
2. Как считать комбинации?

• Формула комбинации без повторения
• Формула для возможных комбинаций с повторением

Комбинация с повторением

N выбрать K задач с решениями

N выбрать K таблица

Комбинации и перестановки

    Что такое комбинация?

Комбинация — это способ выбрать часть коллекции или набор вещей, в которых порядок не имеет значения и именно в этих случаях вам может помочь наш калькулятор комбинаций. Например, если вы хотите новый ноутбук, новый смартфон и новый костюм, но можете позволить себе только два из них, на выбор есть три возможных комбинации: ноутбук + смартфон, смартфон + костюм и ноутбук + костюм. Порядок, в котором вы их комбинируете, не имеет значения, так как вы все равно купите два выбранных вами предмета. Комбинации часто возникают, когда вам нужно оценить количество возможных связей или группировок между вещами или людьми.

Расчет комбинаций полезен в азартных играх , таких как лотерея, покер, бинго и других видах азартных игр или играх, в которых вам необходимо знать свой шанс на успех или неудачу (шансы), который обычно выражается как отношение между количество комбинаций в игре, которые приведут к вашему выигрышу, деленное на количество возможных комбинаций, которые приведут к вашему проигрышу.

Например, шансы выиграть джекпот лотереи Powerball США составляют примерно 1 к 29.2 миллиона (1/292 201 338), где 292 201 338 — общее количество возможных комбинаций. Порядок розыгрышей в большинстве лотерей не имеет значения. Если мы рассмотрим пример с покером дальше: покерная рука может быть описана как комбинация из 5 карт из колоды из 52 карт. Все 5 карт в руке различны, и порядок карт в руке не имеет значения, поэтому это комбинаторная проблема. С помощью нашего калькулятора комбинаций вы можете подсчитать, что таких комбинаций возможно 2 598 960, следовательно, шанс выпадения той или иной руки равен 1/2,59. 8960.

Вот более наглядный пример того, как работают комбинации. Допустим, вам нужно выбрать два из трех видов деятельности (задача «3 выбрать 2»): езда на велосипеде, бейсбол и теннис, возможные комбинации будут выглядеть следующим образом:

Вычисления комбинаций играют роль в статистике, решении проблем и принятии решений. алгоритмы и другие.

    Как считать комбинации?

Существуют две формулы для расчета количества возможных комбинаций в сценарии «n выбирают k», также известном как «n выбирают r», в зависимости от того, разрешено ли повторение выбранных элементов или нет. В обоих уравнениях «!» обозначает факториальную операцию: умножение последовательности целых чисел от 1 до этого числа. Например, факториал 4 равен 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24,

Комбинированная формула без повторения

для вычисления количества возможных комбинаций R Не повторные элементы из набора из N Типы из элементов

929. Следовательно, уравнение выражает количество способов выбора r уникальных неупорядоченных результатов из n возможных объектов и часто упоминается как формула nCr.

    Формула для возможных комбинаций с повторением

Если элементы могут повторяться в комбинации, соответствующее уравнение:

Результатом является количество всех возможных способов выбора r неуникальных элементов из множества n элемента. В некоторых вариантах приведенных выше формул r заменяется на k без изменения их результата или интерпретации.

    Комбинации с повторением

В некоторых случаях желательно повторение одного и того же элемента в комбинациях. Например, если вы пытаетесь придумать способы расстановки команд из набора из 20 человек, повторение невозможно, так как все уникальны, однако если вы пытаетесь выбрать 2 фрукта из набора из 3-х видов фруктов, и вы можете выберите более одного из каждого типа, тогда это проблема с повторением. Формула ее решения приведена выше, но вообще удобнее просто поставить галочку «с повторением» в нашем калькуляторе комбинаций и позволить нам сделать всю работу за вас.

    N задач на выбор K с решениями

Часто встречающиеся задачи комбинаторики включают выбор k элементов из набора n , или так называемые задачи «n на выбор k», также известные как «n на выбор r». «. Здесь мы рассмотрим несколько и рассмотрим их решения. Все это можно проверить с помощью нашего калькулятора формулы ncr выше.

Сколько комбинаций с N числами?

В простейшем варианте этих задач N равно K (или R), в котором часто подразумевается, что повторение разрешено, иначе ответ всегда один. Если повторение разрешено, то ответ можно получить, решив уравнение (2·н — 1)! / (н! · (н — 1)!) . Например, если задача состоит в том, чтобы найти, сколько комбинаций возможно с 4 числами, вычислите (2 · 4 — 1)! = 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 / (24 · 6) = 5040 / 144 = 35.

3 выбрать 2

Что если попросить определить, сколько уникальных комбинаций двух чисел возможны, если один выбирает из трех? Ответ, используя формулу ncr без повторения выше, просто: 3! / (2! · (3 — 2)!) = 3! / (2! · 1!) = 3 · 2 · 1 / (2 · 1 · 1) = 6 / 2 = 3. При 3 выберите 2 есть только 3 возможных комбинации.

4 выбрать 2

Что делать, если мы выбираем 2 из 4 предметов, повторение запрещено? Используя ту же формулу и заменив N и R, получим ответ 4! / (2! · (4 — 2)!) = 24 / (2! · 2!) = 24 / 4 = 6 способов выбрать два уникальных элемента из четырех.

4 выберите 3

Чтобы рассчитать, сколько комбинаций из трех из четырех элементов можно выбрать без повторения элемента, используйте формулу ncr и замените, чтобы получить 4! / (3! · (4 — 3)!) = 24 / (3! · 1!) = 24 / 6 = 4. Обратите внимание, что это меньше, чем если бы вы выбирали два из четырех, как в предыдущем примере.

    N таблица выбора K

Ниже приведена таблица с решениями часто встречающихся комбинированных задач, известных как n выбрать k или n выбрать r, в зависимости от используемых обозначений. Решения даны как с повторением, так и без него.

n выбор таблицы k

Комбинация	Комбинация без повторения	Комбинация с повторением
2 выбрать 1	2	2
2 выбрать 2	1	3
3 выбрать 1	3	3
3 выбрать 2	3	6
3 выбрать 3	1	10
4 на выбор 1	4	4
4 на выбор 2	6	10
4 выбрать 3	4	20
4 выбрать 4	1	35
5 выбрать 1	5	5
5 выбрать 2	10	15
5 выбрать 3	10	35
5 выбрать 4	5	70
5 выбрать 5	1	126
6 выбрать 1	6	6
6 выбрать 2	15	21
6 выбрать 3	20	56
6 выбрать 4	15	126
6 выбрать 5	6	252
6 выбрать 6	1	462
7 выбрать 1	7	7
7 выбрать 2	21	28
7 выбрать 3	35	84
7 выбрать 4	35	210
7 выбрать 5	21	462
7 выбрать 6	7	924
7 выбрать 7	1	1 716
8 выбрать 4	70	330
10 выбрать 4	210	715

Для других решений просто используйте приведенный выше калькулятор nCr.

Изучив таблицу, можно сделать вывод о трех общих правилах:

• Правило № 1: Для комбинаций без повторений наибольшее количество возможностей существует, когда r = n / 2 (k = n/2, если использовать это обозначение). Например, при выборе из шести элементов наибольшее количество возможных комбинаций получается при r = 6 / 2 = 3 (k = 3 при использовании k вместо r).
• Правило № 2: при повторении количество возможных комбинаций тем больше, чем ближе r к n (или k к n в этом обозначении).
• Правило №3: без повторения, если n = r (или n = k), возможен только один розыгрыш .

    Комбинации и перестановки

Разница между комбинациями и перестановками заключается в том, что при подсчете комбинаций нас не волнует порядок вещей, которые мы комбинируем с перестановками, порядок имеет значение. Перестановки для упорядоченных списков, а комбинации для неупорядоченных групп . Например, если вы думаете о количестве комбинаций, открывающих сейф или портфель, то на самом деле это перестановки, поскольку изменение порядка цифр или букв приведет к недействительному коду. Если, однако, вы думаете о том, сколько способов комбинировать ваши платья с туфлями или галстуки с костюмами, то порядок не имеет значения, поскольку конечный результат выбора сначала галстука, а потом костюма такой же, как выбирая сначала костюм, а потом галстук.

Много раз в обиходе люди неправильно называют перестановки «комбинациями». Например, комбинация замков на самом деле является перестановкой. В другом примере — если вы хотите оценить, сколько вычислительных часов вам нужно для грубой силы хешированного пароля, вы рассчитываете количество перестановок, а не количество комбинаций.

Калькулятор перестановок и комбинаций

• вход в систему
• регистрация
• Домашняя страница
• Математика
• Finance
• Engineering

Рассчитайте

Отчет об этом

Рассчитайте

Передача (NPR) и комбинация (NCR) Calculator 222. r\leq n` и вычисляет перестановки или комбинации ряда объектов `r`, взятых из заданного множества `n`. Это математический онлайн-инструмент, который определяет количество комбинаций и перестановок, которые получаются, когда мы выбираем «r» объектов из набора «n» объектов. Необходимо выполнить следующие шаги:

1. Введите в поле общее количество объектов и объем выборки. Эти значения должны быть положительными целыми числами; Второй должен быть меньше первого.
2. Нажмите кнопку » GENERATE WORK «, чтобы выполнить расчет;
3. Калькулятор nPr и nCr покажет количество перестановок или комбинаций в наборе объектов.

Ввод: Два положительных целых числа как общее количество объектов и размер выборки;
Вывод: Положительное целое число как перестановка или перестановка `n` объектов, взятых `r` одновременно.

Какова формула перестановки?

Количество различных перестановок n объектов, взятых r за раз, определяется по формуле $$P(n,r)=n\times (n — 1)\times\ldots\times(n — (r — 1))=\frac{n!}{(n-r)!}$$

Какова формула объединения?

Количество различных сочетаний n объектов, взятых r за один раз, определяется по формуле $$C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{r!\times (n-r)!}$$

Область математики, изучающая различные возможности расположения предметов называется комбинаторикой. Например, если мы купим три разные книги в разном порядке, сколько элементов будет в соответствующем выборочном пространстве? Обозначая их $1, 2,$ и $3,$, пространство выборки равно $$\Омега =\{123 132 213 231 312 321\}$$ Что такое перестановка?
Перестановка или, короче, nPr — это количество способов, которыми мы можем выбрать `r (r\leq n)` разных объектов из набора, содержащего `n` разных объектов, где важен порядок элементов. В нашем примере имеется $6$ возможных перестановок $3$ различных объектов. Символ $P(n, r)$ обозначает количество перестановок `n` объектов, взятых одновременно. Символ $P(n, r)$ обозначает количество перестановок `n` объектов, взятых `r` за раз.

Что такое комбинация?
Комбинация или короче nCr это количество способов, которыми мы можем выбрать r объектов из набора, содержащего n различных объектов, так что (в отличие от перестановок) порядок выбора не имеет значения. Символ $C(n, r)$ обозначает количество комбинаций `n` объектов, взятых `r` за раз. {th} $. Следовательно, существует $P(n,r)$ способов выбрать `r` объектов.

Комбинация: Количество различных комбинаций «n» объектов, взятых «r» за раз, определяется отношением пошаговый расчет для нахождения количества способов, которыми мы можем выбрать $8$ различных объектов из набора, содержащего $10$ различных объектов, где важен порядок элементов. Для любых других значений общего количества объектов и размера выборки просто укажите два положительных целых числа и нажмите кнопку СОЗДАТЬ РАБОТУ. Учащиеся начальной школы могут использовать этот калькулятор перестановок и комбинаций для создания работы, проверки результатов комбинаторики, вероятностных и статистических задач или эффективного выполнения домашних заданий.

Краткая справочная таблица nPr и nCk

Пользователи могут обратиться к приведенной ниже таблице для быстрой справки, чтобы проверить, каковы все перестановки и комбинации для n различных объектов, взятых r одновременно. Для проверки расчета используйте приведенный выше калькулятор nPr и nCk.

перестановки

95

Объекты	NPR
2 P 10009	.0008 2	2
3 P 1	3
3 P 2	6
3 P 3	6
4 P 1	4
4 P 2	12
4 P 3	24
4 P 4	24
5 P 1	5
5 P 2	20
5 P 3	60
5 P 4	120
5 P 5	120
6 P 1	6
6 P 2	30
6 P 3	120
6 P 4	360
6 P 5	720
6 P 6	720

Combinations

0.0005 6

n-CHOOSE-k	nCk
2 choose 1	2
2 choose 2	1
3 choose 1	3
3 choose 2	3
3 choose 3	1
4 Выберите 1	4
4 Выберите 2	6
4 Выберите 3	4
4. Выберите 4	4
4. Выберите 4	4
4. Выберите 4	4
4.0005 5 Выберите 1	5
5 Выберите 2	10
5 Выберите 3	10
5 Выберите 4	5
0	5 Выбрать 4	5
0	5. Выберите 4	5
0	5	5
0	5	5
0	.	6 Выберите 1	6
6 Выберите 2	15
6 Выберите 3	20
6 Выберите 4	15
6. Выберите 4	15
6 выберите 6	1

Пример решения nPr и nCr комбинаций C(n,r) расчет по приведенным выше формулам.

Пример Задача 1
Найдите количество различных перестановок nPr и комбинаций nCr коробки, содержащей 6 шаров разного цвета, взятых по 3 за раз?

Решение
Данные приведены
n = 6
r = 3

Пошаговый расчет
формула для нахождения перестановки nPr = n!/!
н! = 6! = 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1
н! = 720

(н — г)! = 3! = 3 х 2 х 1
(n — r)! = 6

р! = 3! = 3 х 2 х 1
р! = 6

подставьте значения
= 720/6
nPr = 120

формулу, чтобы найти комбинацию nCr = n!/(r!(n-r)!)
замените приведенные выше значения
= 720/(6 x 6)
nCr = 20

Пример задачи 2
Как решить 5 выбрать 2?
Решение:
Даны данные
n = 5 и r = 2
nCr = n!/(r!(n-r)!) = 5!/(2! x 3!)
= (4 x 5)/(1 x 2) = 10
Следовательно, 5 выбирают 2 равно 10.

Пример задачи 3
Сколько четырехзначных чисел можно составить из четырех цифр?
Из 4 однозначных чисел можно получить 24 различных номера.
4 x 3 x 2 x 1 = 24

Реальные задачи с использованием nPr и nCk

Использование перестановок и комбинаций в математике и информатике огромно. Особенно часто они упоминаются в теории графов, вероятностях, геометрии и т. д. Дискретная математика — одна из важнейших областей компьютерных наук. Существует так много приложений к теории графов, например, Facebook использует множество концепций теории графов. nPr и nCk часто используются для решения простых вероятностных и геометрических задач. Например, сколько прямых определяется $15$ точками, из которых $4$ лежат на одной прямой? Перестановки и комбинации также полезны в банковском сейфе, дверных замках и паролях.

Практические задачи по перестановкам и комбинациям

Практическая задача 1 : Совет директоров некоторой компании состоит из $10$ участников. Сколькими способами они могут выбрать председателя, заместителя председателя и секретаря, если одно лицо не может занимать более одной должности?

Практическое задание 2 : В одной из школ в бюллетене для голосования за гандбольную команду указано 15$ имен. Шесть будут отобраны для формирования команды. Сколько различных команд по 6 человек можно сформировать?

Калькулятор перестановок и комбинаций, формулы, примеры расчетов (работа с шагами), задачи из реальной жизни и практические задачи будут очень полезны учащимся начальных классов (K-12 образование) для понимания основной концепции комбинаторики. Это понятие может иметь значение во многих областях науки и реальной жизни.

• Калькулятор факториала положительного числа (n!)
• Калькулятор вероятности
• Калькулятор размера выборки
• Калькулятор среднего, медианы и моды
• Стандартный калькулятор отклонения
• Стандартный калькулятор отклонений. (ME) Калькулятор

Калькулятор комбинаций (калькулятор nCr)

Формула комбинаций

Следующая формула для комбинаций позволяет получить комбинации из r объект из набора n объектов.

С (п, г) = п! / (r! × (n — r)!)

В этом уравнении

C (n, r)  представляет количество комбинаций,

r относится к количеству элементов чтобы выбрать из этого набора,

n представляет общее количество элементов в наборе, а

! восклицательный знак относится к факториалу.

Калькулятор возможностей также действует как калькулятор формулы комбинации, поскольку позволяет вычислять комбинации без использования формулы. Он генерирует комбинации данного набора данных напрямую.

Калькулятор комбинаций — это онлайн-инструмент, который используется для расчета количества комбинаций r объектов с использованием набора объектов n. Он берет размер выборки r и общее количество объектов r и вычисляет комбинацию ряда объектов.

В этом посте мы объясним, что такое комбинация, как использовать наш калькулятор комбинаций, формулу nCr и как найти комбинацию.

Как пользоваться калькулятором комбинаций?

Калькулятор Ncr имеет простой, но интерактивный интерфейс. Его способность рассчитывать комбинации великолепна, поэтому он позволяет вам рассчитывать комбинации за несколько секунд. Более того, он генерирует все возможные комбинации r из заданного набора н.

Чтобы получить комбинации с использованием вашего набора объектов, выполните следующие действия:

• Введите номер объекта n в данное поле ввода.
• Введите количество объектов r в данное поле ввода.
• Нажмите кнопку Вычислить , чтобы получить комбинации.
• Вы можете в любое время сбросить настройки калькулятора, нажав кнопку Сброс .

Вам будет очень легко получить комбинации, используя выберите калькулятор выше. Все, что вам нужно сделать, это ввести свои значения, и этот генератор комбинаций чисел сразу же покажет вам комбинации объектов.

Калькулятор комбинаций поможет решить математические задачи в школе или колледже. Если вы работаете над какой-либо другой математической темой, вы можете ознакомиться с нашим разнообразием калькуляторов, которые помогут вам решить математические задачи. Вы можете использовать наш калькулятор экспоненциальной записи, калькулятор HCF или найти любой калькулятор, который вам нужен здесь.

Что такое комбинация?

Определение комбинации согласно Википедии:

« В математике комбинация — это выбор элементов из коллекции, порядок выбора которых не имеет значения. »

Например, даны три фрукта, скажем, банан, яблоко и апельсин. Из этого набора можно извлечь три комбинации из двух: яблоко и банан; яблоко и апельсин; или банан и апельсин.

Давайте разберемся с этим более техническим способом.

Комбинация представляет общее количество способов, которыми объект r может быть выбран из набора различных объектов n.

Как рассчитать комбинацию?

При расчете комбинаций вручную используется формула nCr. Приведенное выше уравнение комбинации можно использовать для расчета комбинации из заданных значений. Здесь мы собираемся ответить на большой вопрос: «Как рассчитать комбинацию».

Чтобы найти комбинацию, выполните следующие действия:

• Определите и запишите значения.
• Запишите формулу комбинации.
• Подставьте значения в формулу.
• Рассчитайте комбинацию

Пример 1 :

Подсчитайте общее количество комбинаций ящика, содержащего 5 разных книг, если мы вытащим 2 из них сразу.

Раствор :

Шаг 1 : Определите и запишите значения.

n = 5 , r = 2

Шаг 2 : Запишите формулу сочетания.

С (п, г) = п! / (r! × (n — r)!)

Шаг 3 : Подставляем значения в формулу.

С (п, г) = 5! / (2! × (5 — 2)!)

Шаг 4 : Вычислить комбинацию нКр.

С (п, г) = 5! / (2! × (5 — 2)!)

C (n, r) = 120 / (2 × 3!)

C (n, r) = 120 / (2 × 6)

C (n, r) = 10

Итак, из 5 книг, если вынуть две из них, есть возможность получить 10 различных комбинаций в виде пары.

Пример из реальной жизни:

В колледже 7  имен участвуют в опросе на вступление в футбольную команду. 3 игрока будут назначены в команду. Подсчитайте количество комбинаций 3 игроков, которые могут присоединиться к команде?

Решение :

Шаг 1 : Определите и запишите значения.

n = 7 , r = 3

Шаг 2 : Запишите формулу сочетания.

С (п, г) = п! / (г! × (п — г)!)

Шаг 3 : Подставьте значения в формулу.

С (п, г) = 7! / (3! × (7 — 3)!)

Шаг 4 : Вычислите комбинацию нCr.

C (n, r) = 5040 / (6 × 4!)

C (n, r) = 5040 / (6 × 24)

C (n, 4 r) = 5040 / (6 × 24) / 144

C (n, r) = 35

Итак, для 7 игроков, когда мы выбираем три из них, есть возможность 35 разных комбинаций выйти вступить в команду.

Разница между комбинацией и перестановкой?

Разница между перестановкой и комбинацией связана с порядком появления или последовательностью объектов. Комбинация фокусируется на выборе объектов независимо от выбранного порядка. Для сравнения, перестановка зависит от последовательности появления объектов в дополнение к их порядку.

Возьмем, к примеру, буквы A и B . Мы можем сделать две двухбуквенные перестановки с помощью этих букв: AB, и BA. AB и BA считаются разными перестановками, поскольку порядок перестановок имеет значение. Поскольку порядок для комбинации не важен, AB и BA составляют только одну комбинацию.

Комбинации Таблица nCr

Ниже представлена ​​таблица комбинаций, описывающая сценарий n-выбор k. Он включает в себя различные сценарии, но вы можете использовать наши n выберите калькулятор , чтобы получить результат для любого из них.

1 2 511111112111111126669
.
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666669
9

Одна из популярных направлений в мире татуировок – дата рождения, написанная римскими цифрами. Надпись бросается в глаза и человеку не знакомому с основами написания римских чисел, будет не очень понятна. Таким образом дата шифруется и становиться доступна для восприятия только тем, кто знаком с элементарными числовыми выражениями латинского языка.

Итак, все по порядку:

Дата рождения составляется в 3 этапа.

• 1 этап – день рождения.
• 2 этап – месяц рождения.
• 3 этап – год рождения.

Все этапы строго следуют друг за другом и разделяются между собой точками. В качестве примера возьмем дату рожденного 28 августа 1999 года .

В обычном формате эта дата будет выглядеть так: 28. 08.1999 . Месяц август сменился на свой порядковый номер периода года, а именно на 08. Можно так же записать как 28.8.1999 , разницы никакой. Римскими цифрами дата поменяет свой вид на: XXVIII. VIII. MCMXCIX .

1 этап. Выбор дня.

Максимальное количество дней в месяце — 31. Поэтому проще выбрать из таблицы свой день, чем заниматься вычислениями правильного написания числа:

n-CHOOSE-r	nCr
2 choose 1	2
2 choose 2	1
3 выбрать 1	3
3 choose 2	3
3 choose 3	1
4 choose 1	4
4 выбрать 2	6
4 выбрать 3 912	4 0004	4 choose 4	1
5 choose 1	5
5 choose 2	10
5 Выберите 3	10
5 Выберите 4	5
5
5 choose 5	1
6 choose 1	6
6 choose 2	15
6 выбрать 3	20
6 выбрать 4 6	15	018
6 Выберите 5	6
6 Выберите 6	1	1	1115	1 . Если у вас есть общее количество предметов, и вы хотите получить из него общее количество комбинаций, вы можете сделать это следующим образом. Количество предметов: 4 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Значит, будет 24 комбинации из 4 позиций. Используйте наш комбинаторный калькулятор выше, чтобы получить комбинации для любого набора данных. Сколько существует комбинаций трех цветов? Будет шесть комбинаций 3 цвета. Посмотрим как? 3 × 2 × 1 = 6 Если у нас есть три цвета красный, желтый, и зеленый, все шесть комбинаций будут: 2 Комбинация0352 First Second Third 1 Red Yellow Green 2 Красный Зеленый Желтый 3 Yellow Red Green 4 Yellow Green Red 5 Зеленый Красный Желтый 6 Грин Желтый КРАСНЫЙ 8 HOW MOST MORST SORKINTIONS OF MORST SICS 1234 40026 8. Комбинация в 1,2,3,4 будет: 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Всего будет 24 комбинации в 1,2,3,4. Эти 24 комбинации: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321 Permutation Calculator / Калькулятор комбинаций Калькуляторы > Калькулятор перестановок / Калькулятор комбинаций Посмотрите видео или прокрутите вниз, чтобы найти калькулятор. Как пользоваться калькулятором перестановок и комбинаций Посмотрите это видео на YouTube. Видео не видно? Кликните сюда. Путь Мати n = г = Имеет ли значение порядок? ДаНет Могут ли элементы повторяться? ДаНет Когда порядок элементов имеет значение, это называется Permutation . Когда порядок элементов не имеет значения, это называется Комбинация . Поскольку нам , а не разрешено повторять элементы, мы используем следующую формулу: Количество возможных перестановок       = Количество возможных перестановок   =     н! (н-р)!   =     ! (-)!   = Количество возможных комбинаций   =     (н + р — 1)! р!(н – 1)!   =     (+-1)! !( – 1)!   = Количество возможных комбинаций   =     н! р!(н – р)!   =     ! !(-)!   = Визуальный путь Одной из форм задачи перестановки, с которой обычно сталкиваются учащиеся, является задача «комитета». Например: Если есть 5 человек, Джим, Джейн, Боб, Сьюзан и Ральф, и только трое из них могут быть членами нового комитета PTA, сколько различных комбинаций возможно? В этом примере есть 5 человек на выбор (так что n равно 5 ), и нам нужно выбрать 3 из них (так r равно 3 ). Порядок не имеет значения : если Джим входит в комитет, он входит в комитет независимо от того, выбран он первым или последним. Повторение запрещено потому что Сьюзен не может быть в комитете дважды (даже если она действительно хочет быть!) Таким образом, если мы воспользуемся «математическим» способом, описанным выше, мы знаем формулу: Количество возможных комбинаций   =     н! р!(н – р)! И мы вводим число 5 для n и 3 для r, и так мы знаем, что есть 10 возможных комбинаций. Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении 2 прямых: Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Сколько пар alexxlab / 05.09.197028.07.2021 / Разное Урок-презентация по геометрии для 7 класса «Разнообразные углы» математика Углы 7 класс УМК 7-9 кл, Атанасян Учитель: Чудинова Алена Сергеевна  Девиз нашего урока «Думаем, мыслим, работаем и помогаем друг другу». Цель урока: ознакомить учащихся с понятиями смежных углов, вертикальных углов, односторонних углов, накрест лежащих углов; рассмотреть их свойства Изобразите любую фигуру состоящую из следующих геометрических фигур Углы: смежные вертикальные Накрест лежащие односторонние смежные Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.   ∠1 и ∠2 — смежные углы Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых? При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов: ∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4, ∠1 и ∠3,  ∠2 и ∠4 Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180º. Задача: Угол 1 равен 38 градусов, сколько градусов равен смежный с ним угол? Вертикальные углы Вертикальные углы — это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. ∠1 и ∠2  — вертикальные углы     Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.                                       ∠AOC =∠BOD                                      ∠AOD =∠BOC   Односторонние углы Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются). При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.                                        ∠1 и∠2 ∠3 и∠4 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c. Свойства внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми и секущей Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.                                        Если a ∥ b, то ∠1 +∠2 =180º (как внутренние односторонние при  a ∥ b и секущей c).   Накрест лежащие углы накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга). Свойства накрест лежащих углов: Накрест лежащие углы равны. Задача: Назвать все углы с рисунка Урок геометрии в 7 классе. «Смежные и вертикальные углы» Урок геометрии в 7 классе Смежные и вертикальные углы Цель урока: ввести понятие «смежных» и «вертикальных» углов; рассмотреть их свойства; научить учащихся строить такие углы, находить на рисунках вертикальные и смежные углы; сформировать умения и навыки применять полученные знания свойств углов при решении задач; воспитывать аккуратность при выполнении рисунков в тетрадях и на доске, трудолюбие; развивать мышление, память, самостоятельность в учебной деятельности. Тип урока: усвоение новых знаний Ход урока: Организационный момент. Мотивация учебной деятельности. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос по технологии «Микрофон» Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи? Какая фигура называется углом? Как обозначается угол? Какой угол называется развернутым? Какой луч называется биссектрисой угла? Что такое градусная мера угла? Какой угол называется острым? прямым? тупым? Луч AD проходит между сторонами угла CAK. Найдите градусную меру угла CAK, если , . Сообщение темы и цели урока. Изучение нового материала. Задание классу (один учащийся работает возле доски) Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая Рис. 1 рис. 2 рис. 3 Сколько углов изображено на каждом из этих рисунков? На каждом рисунке по три угла, два из которых имеют общую сторону. — понятие смежных углов Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой, называются смежными. Какое свойство измерения углов можно применить к ним? На 1 и 3 рисунках угол АОС равен сумме углов АОВ и ВОС. Можно ли назвать градусную меру каких-то из изображенных углов? На рис.1 угол АОС равен 1800. Проанализируйте, то что вы видите на рис.1 и сделайте вывод. Два угла имеют общую сторону, а две другие стороны образуют развернутый угол, т.е. их сумма 1800. Строим смежные углы, аналогично рис.1 и записываем свойство: AOB + BОС = 1800. Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна 1800. Задание классу: Учитель на доске строит произвольный острый угол . Сколько углов, смежных с данным можно построить? Даны два смежных угла и , = 300. Найдите . Если один из смежных углов тупой (прямой, острый), то каким будет второй угол? — понятие вертикальных углов Постройте в тетрадях две пересекающиеся в точке О прямые АВ и СМ. Сколько получилось неразвернутых углов? Пусть один из тупых углов равен 1300. Найдите остальные три угла и сделайте вывод. При пересечении двух прямых, сколько неразвернутых углов образуется? Назовите их ( Назовите углы , которые не являются смежными ( . Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Задание классу: Какой предмет домашней обстановки дает вам представление о вертикальных углах? (Ножницы) Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых? (Две) Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны. ( т.к. — смежные и их сумма равна 1800) (т.к. — смежные и их сумма равна 1800) — вертикальные углы Закрепление новых знаний и умений учащихся. Могут ли два смежных угла быть равными: 1) 360 и1540; 2) 590 и 1210; 3) 930 и 770? Ответ обоснуйте. Верно ли утверждение, что для каждого угла можно построить только один: 1) вертикальный угол; 2) смежный угол? Найдите величину каждого из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если: Сумма двух из них равна 980; Разность двух из них равна 580; Все углы равны между собой; Сумма трех из них равна 2860. Итоги урока Домашнее задание № 61(а,б,г), 66(а) Смежные и вертикальные углы. Определения и свойства. Смежные и вертикальные углы. Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня. Смежные углы. Изобразим прямую , отметим на ней точку . Получили развёрнутый угол . Проведём произвольный луч с началом в точке . Луч разделил развёрнутый угол на два угла: и . Эти два угла и являются смежными. Определение. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми. На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны). Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством: ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна . Дано: и – смежные Доказать: Доказательство. По определению смежных углов, луч является общей стороной углов и , значит, он проходит между сторонами угла . По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство: Опять-таки, по определению смежных углов, лучи и – дополнительные, значит, образуют развёрнутый угол . А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную . Значит, ч.т.д. Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства. Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны. Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол. Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, — тупой; угол, смежный с тупым углом, — острый. Вертикальные углы. Смежные углы | Треугольники Что такое смежные углы? Какие у них свойства? Определение. Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.   ∠1 и ∠2 — смежные углы   Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых? При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов: ∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4, ∠1 и ∠3,  ∠2 и ∠4 Но, так как ∠1 =∠4,  ∠2=∠3 (как вертикальные), то достаточно рассмотреть только одну из этих пар. Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180º. Задачи. 1) Даны два смежных угла. Один на 42 градуса больше другого. Найти эти углы. Дано: ∠AOC и ∠BOC — смежные, ∠AOC на 42º  больше, чем ∠BOC Найти: ∠AOC и ∠BOC. Решение: Пусть ∠BOC=хº, тогда ∠AOC= х+42º. Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠BOC+∠AOC=180º. Имеем уравнение: х+х+42=180 2х=180-42 2x=138 x=69 Значит, ∠BOC= 69º, ∠AOC=69+42=111º. Ответ: 69º и 111º. 2) Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 4:5. Дано: ∠1 и ∠2 — смежные, ∠1 : ∠2= 4:5 Найти:∠1 и ∠2 Решение: Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠2 =4kº , ∠1=5kº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠1 +∠2=180º. Имеем уравнение: 4k+5k=180 9k=180 k=20 Значит, смежные углы равны 4∙20=80º и 5∙20=100º. Ответ: 80º и 100º. 3) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 5 раз больше другого. Найти эти углы. Дано: AB и CD — прямые, O — точка их пересечения, ∠AOD  в 5 раз больше, чем ∠BOD Найти: ∠AOD, ∠BOD Решение: При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны между собой, то углы∠AOD и ∠BOD —  смежные. Пусть ∠BOD=xº, тогда ∠AOD=5xº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠AOD +∠BOD=180º. Имеем уравнение: x+5x=180 6x=180 x=30 Значит, ∠BOD=30º, ∠AOD=5∙30=150º. Ответ: 30º и 150º. Могут ли смежные углы быть равными? Да. Если смежные углы равны между собой, то, так как сумма смежных углов равна 180º, каждый из них равен половине суммы, то есть 90º. Вывод: угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Могут ли два смежных угла быть тупыми? Острыми? Нет. Так как градусная мера тупого угла больше 90º, то сумма двух тупых углов больше 180º. А сумма смежных углов равна 180º. Градусная мера острого угла меньше 90º. Значит, сумма двух острых углов меньше 180º. Таким образом, в паре смежных углов один — тупой, другой — острый (или оба прямые). Урок геометрии Смежные и вертикальные углы «Смежные и вертикальные углы» Урок геометрии в 7 классе Цели и задачи урока: — ввести понятия смежных и вертикальных углов; — рассмотреть их свойства; — развивать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать; — воспитывать потребность в доказательных рассуждениях; — воспитывать аккуратность при выполнении рисунков, — ответственное отношение к учебному труду. Оборудование: компьютер, проектор, экран Мультимедийная презентация «Смежные и вертикальные углы». ХОД УРОКА I. Актуализация знаний. Сегодня мы повторим виды уг­лов, их свойства и добавим к знаниям об углах ещё два вида. Чтобы не забыть старых «знакомых», выполним устно задания Назвать вид каждого угла и указать градусную меру. 2) Дано: АОD = 8DОВ. Найти: DОВ 3) а) АОЕ=300 ЕОС=20° AOC=? б) АОС=70° АОЕ=50° ЕОС=? II. Изучение нового материала. Введение понятия «Смежные углы». 1. Практическая работа. Построим прямую АD и отметим точку С, лежащую между точками А и D. Проведём луч СВ. Получились два угла: АСВ и ВСD. Такие углы принято называть смежными. Попробуем сформулировать определение смежных углов, но сначала ответим на вопросы: а) назовите стороны каждого из углов; б) как связаны между собой стороны смежных углов?; в) выделить особенности смежных углов (одна сторона общая, две другие являются продолжениями одна другой). Обратить внимание на слово «смежные» — находящиеся рядом («межа»). Далее прочитать определение смежных углов в учебнике, подчеркнув те условия, которые должны удовлетворять смежные углы. 2. Усвоение понятия смежных углов. Найдите пары смежных углов и объясните, почему они смежные. 3. Сформулировать свойство смежных углов. (Предложить это сделать самим учащимся). 4. Закрепление понятия и свойства смежных углов. Решить из учебника задачу № 80_________________________ 5. Введение понятия вертикальных углов. Практическая работа: 1) проведите луч ОС, являющийся продолжением луча ОА и луч ОD, являющийся продолжением луча ОВ; 2) запишите в тетради: углы АОВ и СОD называются вертикальными. Вопрос: Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых? Попробуем сформулировать определение вертикальных углов, ответив на вопросы: 1) назвать стороны каждого вертикального угла; 2) как связаны стороны вертикальных углов между собой? 3) выделить особенности вертикальных углов (1-я сторона 1-го угла является продолжением стороны второго, 2-я сторона 1-го угла является продолжением стороны второго). Далее прочитать определение вертикальных углов в учебнике, подчеркнув те условия, которые должны удовлетворять вертикальные углы. 6. Усвоение понятия вертикальных углов. Указать пары вертикальных углов на рисунке и объяснить, почему они вертикальные. 7. Обоснование того факта, что вертикальные углы равны, вначале можно провести на конкретном примере: Задача. Прямые АВ и СD пересекаются в точке О так, что угол АОD равен 350. Найдите углы АОС и ВОС, Задачу решить по готовому чертежу. Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны? III. Тест. 1. Являются ли смежными углы а) DОС и DОЕ; б) DОС и СОВ; в) DОЕ и АОВ? 2. Являются ли вертикальными углы: а) DОЕ и СОА; б) DОА и АОВ; в) АОВ и DОЕ? 1У. Домашнее задание. _п.6, № 81,82___________________________________ У.Итог урока. 1) что нового вы узнали сегодня на уроке? 2) что было самое трудное на уроке? 3) что помогло с этой трудностью справиться? Урок 10. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 «НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ» Урок 10 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 «Начальные геометрические сведения» Цели: проверить знания, умение решать задачи и навыки учащихся по теме «Измерение отрезков. Измерение углов. Смежные и вертикальные углы». Ход урока I. Организация учащихся на выполнение работы. II. Выполнение работы по двум (трём) вариантам. Вариант I 1. Три точки В, С и D  лежат на одной прямой.  Известно,  что ВD = = 17 см, DС = 25 см. Какой может быть длина отрезка ВС? 2. Сумма вертикальных углов МОЕ и DОС, образованных при пересечении прямых МС и DЕ, равна 204°. Найдите угол МОD. 3. С помощью транспортира начертите угол, равный 78°, и проведите биссектрису смежного с ним угла. Вариант II 1. Три  точки  М,  N и K лежат на одной прямой.  Известно, что MN = = 15 см, NK = 18 см. Каким может быть расстояние МК? 2. Сумма вертикальных углов АОВ и СОD, образованных при пересечении прямых АD и ВС, равна 108°. Найдите угол ВОD. 3. С помощью транспортира начертите угол, равный 132°, и проведите биссектрису одного из смежных с ним углов. Вариант III (для более подготовленных учащихся) 1. Лежат ли точки M, N и P на одной прямой, если MP = 12 см, MN = = 5 см, PN = 8 см? 2. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 37°. 3. На рисунке АВСD, луч ОЕ – биссектриса угла АОD. Найдите угол СОЕ. III. Итоги урока. Домашнее задание: повторить § 1–6 и подготовиться к устному опросу, который будет проводиться во внеурочное время. Примерные варианты карточек для устного опроса учащихся.     Вариант I 1. Какая точка называется серединой отрезка? 2. Отметьте точку С на прямой АВ так, чтобы точка В оказалась серединой отрезка АС. 3. Отрезок длиной 18 см разделен точкой на два неравных отрезка. Чему равно расстояние между серединами этих отрезков? Вариант II 1. Какой луч называется биссектрисой угла? 2. Начертите угол ВАС, а затем с помощью транспортира и линейки проведите луч АD так, чтобы луч АВ оказался биссектрисой угла САD. Всегда ли это выполнимо? 3. Чему равна градусная мера угла, образованного биссектрисами двух смежных углов? Вариант III 1. Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов? Могут ли быть смежными прямой и острый углы? 2. Начертите угол, смежный с данным углом. Сколько таких углов можно начертить? 3. Градусные меры двух смежных углов относятся как 3 : 7. Найдите эти углы. Вариант IV 1. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых? 2. Начертите три прямые АВ, СD и МK, пересекающиеся в точке О. Назовите пары получившихся вертикальных углов. 3. При пересечении двух прямых образовались четыре неразвернутых угла. Найдите эти углы, если сумма трех углов равна 290°. Вариант V 1. какие прямые называются перпендикулярными? Каким свойством обладают две прямые, перпендикулярные к третьей? 2. Начертите прямую а и отметьте точку М, не лежащую на ней. С помощью чертежного угольника проведите через точку М прямую, перпендикулярную к прямой а. 3. Начертите тупой угол АВС и отметьте точку D вне его. С помощью чертежного угольника через точку D проведите прямые, перпендикулярные к прямым АВ и ВС.         I. Анализ контрольной работы. 1. Сообщение итогов контрольной работы. 2. Ошибки, допущенные учащимися в ходе работы. 3. Решение на доске задач, вызвавших затруднения у учащихся     Тест Смежные и вертикальные углы 7 класс с ответами Тесты по геометрии 7 класс. Тема: «Смежные и вертикальные углы» Правильный вариант ответа отмечен знаком + 1. На каком рисунке изображены смежные углы: — б + в — а — г 2. Углы ∠1= ∠4, ∠2=50°. Найдите величину угла ∠3 + 130° — 50° — 180° — 40° 3. Точка O является точкой пересечения трёх прямых. Чему равна сумма углов 1, 2 и 3 равна: — 90° — 360° + 180° — 45° 4. Углы AOB и BOC – смежные. Угол AOB больше угла BOC в 4 раза. Чему равен угол BOC равен: + 36° — 72° — 18° — 90° 5. Один из смежных углов – тупой. Тогда другой угол: — тупой — прямой + острый — развёрнутый 6. Углы MNK и KNL — смежные. Угол MNK равен 127°. Найдите угол KNL. + 53° — 90° — 180° — 60° 7. Углы AOB и COD — вертикальные. Угол AOB равен 138°. Найдите угол COD. — 42° — 90° — 180° + 138° 8. На каком рисунке изображены вертикальные углы? — в + а — г — б 9. Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, больший угол равен 110°. Тогда остальные углы равны: — 110° — 180° + 70° — 55° тест 10. Перпендикуляр к прямой a изображён на рисунке: — б + а — в — г 11. Прямые FG и TP пересекаются в точке H. Угол FHT равен 39°. Какова градусная мера других углов? — 78°,52°,52° — 39°,51°,51° + 39°,141°,141° 12. Чему равна сумма смежных углов? — 90° + 180° — 45° — 360° 13. Каким свойством обладают вертикальные углы? — они не равны + они равны — они острые — их сумма равна 180° 14. Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых: + 2 — 4 — 6 — 8 15. Найдите сумму углов 1, 2 и 3: — 160° — 70° + 340° — 90° Вертикальные углы — объяснения и примеры В этой статье мы узнаем , что такое вертикальные углы и , как их вычислить . Прежде чем мы начнем, давайте сначала познакомимся со следующими понятиями о линиях. Что такое пересекающиеся и параллельные прямые? Пересекающиеся линии — это прямые линии, которые пересекаются или пересекаются в определенной точке. На рисунке ниже показаны пересекающиеся линии. Линия PQ и линия ST пересекаются в точке Q. Следовательно, эти две линии пересекаются. Параллельные линии — это прямые, которые не пересекаются ни в одной точке на плоскости. Прямые AB и CD — параллельные прямые, потому что они не пересекаются ни в одной точке. Что такое вертикальные углы? Вертикальные углы — это парные углы, образующиеся при пересечении двух прямых. Вертикальные углы иногда называют вертикально противоположными углами, потому что эти углы противоположны друг другу. Реальные настройки, в которых используются вертикальные углы, включают: знак железнодорожного переезда, буква « X », открытые ножницы и т. д. Египтяне рисовали две пересекающиеся линии и всегда измеряли вертикальные углы, чтобы убедиться, что они равны. Вертикальные углы всегда равны . В целом можно сказать, что при пересечении двух прямых образуются 2 пары вертикальных углов. См. Схему ниже. На диаграмме выше: ∠a и ∠b — вертикальные противоположные углы.Эти два угла также равны, т.е. ∠a = ∠ ∠c и ∠d составляют еще одну пару вертикальных углов, и они тоже равны. Мы также можем сказать, что два вертикальных угла имеют общую вершину (общую конечную точку двух или более линий или лучей). Доказательство теоремы о вертикальном угле Мы можем доказать это на диаграмме выше. Мы знаем, что угол b и угол d являются дополнительными углами, т.е. Мы также знаем, что угол a и угол d являются дополнительными углами i.е. Мы можем переставить приведенные выше уравнения: Сравнивая два уравнения, мы имеем: Следовательно, доказано. Вертикальные углы — это дополнительные углы, когда линии пересекаются перпендикулярно. Например, , ∠W и ∠ Y — это вертикальные углы, которые также являются дополнительными углами. Аналогично, ∠X и ∠Z — вертикальные углы, которые являются дополнительными. Как найти вертикальные углы? Не существует специальной формулы для вычисления вертикальных углов, но вы можете определить неизвестные углы, соотнося разные углы, как показано в примерах ниже. Пример 1 Рассчитайте неизвестные углы на следующем рисунке. Решение ∠ 47 0 и ∠ b — вертикальные углы. Следовательно, ∠ b также равно 47 0 (вертикальные углы равны или равны). ∠47 0 и ∠ a — дополнительные углы. Следовательно, ∠a = 180 0 — 47 0 ⇒∠a = 133 0 ∠ a и ∠ c — вертикальные углы.Следовательно, c = 133 0 Пример 2 Определите значение θ на диаграмме, показанной ниже. Решение На диаграмме выше ∠ (θ + 20) 0 и ∠ x — вертикальные углы. Следовательно, ∠ (θ + 20) 0 = ∠ x Но 110 0 + x = 180 0 (дополнительные углы) x = (180 — 110) 0 = 70 0 Подставим x = 70 0 в уравнение; ⇒ (θ + 20) 0 = ∠ 70 0 ⇒ θ = 70 0 — 20 0 = 50 0 Следовательно, значение θ составляет 50 градусов. Пример 3 Рассчитайте значение угла y на рисунке, показанном ниже. Решение 140 0 + z = 180 0 z = 180 0 -140 0 z = 40 0 Но (x + y) + z = 180 0 (x + y) + 40 0 = 180 0 x + y = 140 0 90 0 + y = 140 0 y = 50 0 Пример 4 Если 100 0 и (3x + 7) ° — вертикальные углы, найдите значение x. Решение Вертикальные углы равны, следовательно; (3x + 7) 0 = 100 0 3x = 100-7 3x = 93 x = 31 0 Следовательно, значение x равно 31 градусу. Применение вертикальных углов (h4) Вертикальные углы имеют множество применений, которые мы видим или испытываем в повседневной жизни. Американские горки устанавливаются под определенным углом для правильной работы.Эти углы настолько важны, что если бы они сместились на градус выше или ниже, возникла бы вероятность аварии. Максимальный вертикальный угол, установленный для американских горок ( Mumbo Jumbo , Flamingo Land’s ), составляет 112 градусов. На авиашоу мы видим два следа пара, которые пересекаются друг с другом и образуют вертикальные углы. Знаки железнодорожных переездов (X), размещенные на дорогах для обеспечения безопасности транспортных средств. Воздушный змей, где две деревянные палки пересекаются и удерживают воздушный змей. Дартс имеет 10 пар вертикальных углов, где «яблочко» является виртуальной вершиной. Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок Пересекающиеся линии — объяснения и примеры Теперь, когда вы изучаете геометрию или классы предварительного вычисления, вы несколько раз столкнетесь с концепцией пересекающихся линий . Вот почему нам нужно понимать концепции, связанные с пересекающимися линиями. А пока давайте быстро перейдем к определению пересекающихся линий: Пересекающиеся линии — это линии, которые пересекаются в одной точке. Удивительно, как простое определение может помочь нам узнать важные свойства углов и систем линейных уравнений. Эта статья поможет нам понять определение, свойства и применение пересекающихся линий. Определение пересекающихся линий Пересекающиеся линии — это две или более линий, которые копланарны друг другу и встречаются в общей точке. Три пары линий, показанные выше, являются примерами пересекающихся линий. Посмотрите, как каждая пара пересекается в точке $ \ boldsymbol {O} $? Мы называем это точкой пересечения . Сегменты линии также могут пересекаться и иметь точку пересечения. Имейте в виду, что три или более линий могут иметь более одной точки пересечения. Линии $ \ overline {WX} $, $ \ overline {YZ} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются друг с другом, и, как можно видеть, эти линии имеют три точки пересечения. Линии $ \ overline {WX} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {O} $. Прямые $ \ overline {YZ} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {N} $. Прямые $ \ overline {WX} $ и $ \ overline {YZ} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {M} $. Углы, образованные этими пересекающимися линиями (и линейными сегментами), обладают интересными свойствами, которые мы скоро узнаем в следующих нескольких разделах. Какие реальные примеры пересекающихся линий? Один из способов проверить наше понимание определения пересекающихся линий — это подумать о реальных примерах, представляющих пересекающиеся линии.Вы можете придумать что-нибудь? Вот три, которые помогут вам перечислить больше примеров: Наши ножницы — отличные примеры объектов, которые пересекаются друг с другом и имеют общую точку. Перекрестки также представляют собой пересекающиеся линии, поскольку они встречаются в точках пересечения. Линии этажей также пересекаются друг с другом и имеют общие точки пересечения. Как использовать пересекающиеся линии в координатной геометрии? Хотите узнать, что означает пересечение двух линий или кривых в координатной геометрии? Ниже приведены лишь некоторые из свойств, которые мы узнаем о пересекающихся линиях в системе координат xy. Когда два графика двух функций пересекаются друг с другом, точка пересечения представляет собой решение, когда обе функции приравниваются друг к другу. Это также означает, что при пересечении двух линий или графиков их уравнение будет иметь решение. Линии, которые пересекаются с осями $ x $ и $ y $, содержат точки пересечения и представляют собой точки пересечения $ x $ и $ y $ соответственно. Мы узнаем больше обо всех этих основных концепциях, когда углубимся в функции и решим функции с помощью графиков. А пока давайте рассмотрим общие свойства углов в точке пересечения. В следующих разделах мы также узнаем, как применять их при решении словесных задач, связанных с углами и пересекающимися линиями. Свойства углов, образованных пересекающимися линиями Когда две или более прямых пересекаются, они образуют разные углы в точке пересечения. Линии $ \ overline {AB} $ и $ \ overline {CD} $, например, пересекаются в точке $ \ boldsymbol {O} $.Они также образуют четыре угла в точке пересечения: $ \ angle COA $, $ \ angle COB $, $ \ angle BOD $ и $ \ angle AOD $. Вы также заметили две пары вертикальных углов? Если вам нужно напомнить, что такое вертикальные углы, вы можете прочитать эту статью о вертикальных углах, которую мы написали ранее. Для случая двух пересекающихся линий, показанных выше, у нас есть следующие вертикальные углы: $ \ angle COA $ и $ \ angle BOD $ $ \ angle COB $ и $ \ angle AOD $ Свойства вертикальных и линейных углов по-прежнему применяются к углам, образованным двумя пересекающимися линиями. Что происходит с углами, когда третья линия пересекает две пересекающиеся линии посередине? Применяются те же свойства, и согласно постулату сложения углов угол, пересекаемый третьей пересекающейся линией, создаст два угла, которые в сумме составят величину пересеченного угла. Это означает, что сумма $ \ boldsymbol {\ angle SOW} $ и $ \ boldsymbol {\ angle WOU} $ равна $ \ boldsymbol {\ angle SOU} $. Аналогично $ \ boldsymbol {\ angle VOX + \ angle XOT = \ angle VOT} $. Хотите проверить эти концепции? Вы можете попробовать построить четыре пересекающиеся линии и проверить, как ведут себя углы. Теперь, когда мы узнали об определениях и свойствах пересекающихся линий, пришло время поработать над некоторыми вопросами, чтобы проверить свои знания. Пример 1 Заполните следующие инструкции: иногда , никогда и всегда . Параллельные линии могут ____________ быть пересекающимися. Перпендикулярные линии могут быть ____________ пересекающимися линиями. Стрелки часов могут ____________ представлять две пересекающиеся линии. Пересекающиеся линии ______________ будут иметь более одной точки пересечения. Решение При работе с подобными вопросами всегда полезно вернуться к определению используемых терминов. Параллельные линии — это линии, которые никогда не пересекутся, поэтому никогда не пересекутся. Перпендикулярные линии, с другой стороны, вместе образуют 90 °, поэтому они всегда будут . Стрелки часов пересекаются в общей точке. всегда представляет две пересекающиеся линии. Для трех или более пересекающихся линий они могут иногда иметь две или более пересекающихся точек. Пример 2 Какое из следующих утверждений неверно? Три пересекающиеся линии могут иметь общую точку пересечения. Две пересекающиеся линии образуют две пары вертикальных углов. Две пересекающиеся линии образуют четыре пары вертикальных углов. Три пересекающиеся линии никогда не могут иметь четыре общие точки пересечения. Решение Давайте продолжим и рассмотрим каждое из приведенных утверждений. Три пересекающиеся линии могут пересекаться только в одной общей точке, поэтому утверждение верно. Когда две линии пересекаются, они образуют четыре угла.Каждая пара углов напротив друг друга — это вертикальные углы, так что это утверждение верно. Две пересекающиеся линии образуют только четыре угла и две пары вертикальных углов. Это утверждение неверно. Максимальное количество точек пересечения между тремя пересекающимися линиями — три, поэтому невозможно иметь четыре общие точки. Следовательно, четвертое утверждение верно. Пример 3 Постройте линию, которая будет пересекать линию $ \ overline {AB} $.Обозначьте линию и точку пересечения, затем назовите четыре угла, образованные двумя пересекающимися линиями. Решение Постройте вторую линию, которая пересекает линию $ \ overline {AB} $. Ниже приведены три пары пересекающихся линий, которые помогут вам создать собственную пару пересекающихся линий. В трех примерах мы назвали линию пересечения $ \ overline {CD} $ и точку пересечения Point $ O $. Ваше решение может отличаться от приведенного выше, но не беспокойтесь, все они хороши, если две линии пересекаются. Четыре угла, образованные для пересекающихся прямых, — это $ \ angle AOC $, $ \ angle AOD $, $ \ angle COB $ и $ \ angle BOD $. Если вы пометите строки по-другому, вы получите другой ответ, нежели тот, который мы показали. Как узнать, правильный ли ваш ответ? Проверьте, есть ли в названиях всех углов одинаковая буква посередине. Пример 4 Невозможно создать четыре пересекающиеся линии , которые имеют только одну точку пересечения. Докажите неверное утверждение, построив контрпример. Решение Постройте четыре пересекающиеся линии, где все пересекаются в одной общей точке. Приведенный выше пример является одним из возможных контрпримеров для утверждения. Не стесняйтесь создавать свои собственные, чтобы показать, что утверждение не соответствует действительности. Используйте изображение, показанное ниже, чтобы ответить на вопросы 5–7 . Пример 5 Назовите две пары пересекающихся линий и соответствующие им точки пересечения. Решение Вот несколько пар линий, которые вы можете обнаружить на изображении, и мы включили их точки пересечения. Прямые $ \ overline {RS} $ и $ \ overline {TU} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {A} $. Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {VW} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {D} $. Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {TU} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {B} $. Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {RS} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {E} $. Прямые $ \ overline {VW} $ и $ \ overline {RS} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {C} $. Удалось ли вам найти две пары из списка, который у нас есть? Попытайтесь найти оставшиеся три, чтобы помочь вам освоить эту концепцию! Пример 6 Назовите три отрезка прямой, которые имеют общую точку пересечения. Решение Помните, что отрезки линии также могут пересекаться. Вот два примера трех линейных сегментов, имеющих общую точку пересечения. Отрезки прямых $ \ overline {AC} $, $ \ overline {DC} $ и $ \ overline {EC} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {C} $. Отрезки прямых $ \ overline {BD} $, $ \ overline {CD} $ и $ \ overline {ED} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {D} $. {\ circ} $, каким будет значение $ \ angle RAT $? Решение Помните, что два вертикальных угла, образованные парой пересекающихся линий, встретятся в их общей точке пересечения.{\ circ} $, каков угол $ \ angle BOA $? Решение Постройте две пересекающиеся прямые с точкой пересечения $ \ boldsymbol {O} $. Вы можете увидеть четыре угла, образованные в точке пересечения. Это следующие углы: $ \ angle AOC $, $ \ angle BOD $, $ \ angle AOB $ и $ \ angle COD $. Обратите внимание на две пары вертикальных углов — каждая пара обращена друг напротив друга. Это означает, что две пары вертикальных углов: $ \ angle AOC $ и $ \ angle BOD $ $ \ angle AOB $ и $ \ angle COD $ Поскольку $ \ angle AOC $ и $ \ angle BOD $ — вертикальные углы, их угловые меры равны.{\ circ} $. При работе с пересекающимися линиями и связанными с ними проблемами со словами всегда возвращайтесь к его основному определению и свойствам. Попробуйте выполнить еще несколько практических задач ниже, чтобы еще больше закрепить свои знания о пересекающихся линиях. Практические вопросы Определите, верны ли следующие утверждения. Если утверждение неверно, замените подчеркнутое слово, чтобы утверждение было правильным. Пересекающиеся линии никогда не могут иметь общую точку . Две пересекающиеся линии могут иногда две точки пересечения. Пересекающиеся линии — это некопланарных прямых, которые пересекаются в одной точке. Две пересекающиеся линии могут образовывать две пары вертикальных углов. Постройте линию, которая будет пересекать линию $ \ overline {XY} $. Обозначьте линию и точку пересечения, затем назовите четыре угла, образованные двумя пересекающимися линиями. Докажите, что утверждение неверно, построив контрпример. {\ circ} $, каким будет значение \ angle UCR $? 6.{\ circ} $, какова угловая мера $ \ angle MOP $? Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок Вертикальные углы — теорема, доказательство, вертикально противоположные углы Часто задаваемые вопросы о вертикальных углах Что такое вертикальные углы в геометрии? Вертикальные углы образуются при пересечении двух линий. Из 4 образованных углов противоположные друг другу углы являются вертикальными.Их также называют «вертикально противоположными углами». Эти углы всегда равны. ☛Также прочитайте Конгруэнтны ли вертикальные углы? Когда две прямые линии пересекаются друг с другом, образуются вертикальные углы. Вертикальные углы всегда совпадают и равны. Вертикальные углы совпадают, поскольку две пары несмежных углов, образованных пересечением двух линий, накладываются друг на друга. ☛Проверьте и прочтите Вертикальные углы являются дополнительными? Когда сумма любых двух углов составляет 180 °, мы называем их дополнительными углами.Если есть случай, когда вертикальные углы равны прямым углам или равны 90 °, то каждый вертикальный угол равен 90 °. Следовательно, сумма этих двух углов будет равна 180 °. Так что в таких случаях можно сказать, что вертикальные углы являются дополнительными. Следует отметить, что это особый случай, в котором вертикальные углы являются дополнительными. В противном случае, во всех остальных случаях, когда значение каждого из вертикальных углов меньше или больше 90 градусов, они не являются дополнительными. ☛Проверьте разницу между следующим: Что такое теорема о вертикальном угле? Теорема о вертикальном угле утверждает, что углы, образованные двумя пересекающимися линиями, которые называются вертикальными углами, совпадают.Вертикальные углы имеют одинаковые размеры. Например, если ∠a, ∠b, ∠c, ∠d — это 4 угла, образованные двумя пересекающимися линиями, а ∠a вертикально противоположен ∠b, а ∠c вертикально противоположен ∠d, то ∠a конгруэнтно ∠ b и ∠c конгруэнтно ∠d. Могут ли вертикальные углы быть прямыми? Да, вертикальные углы могут быть прямыми. Когда два противоположных вертикальных угла составляют 90 ° каждый, тогда говорят, что вертикальные углы являются прямыми углами. Это можно наблюдать по линиям оси x и оси y декартовой диаграммы. ☛Отъезд Как измерить значение вертикального угла? Решая такие случаи, сначала нужно внимательно соблюдать заданные параметры. Если задан угол рядом с вертикальным углом, то значение вертикальных углов легко определить путем вычитания данного значения из 180 градусов в Поскольку в геометрии доказано, что вертикальный угол и прилегающий к нему угол являются дополнительными (180 °). друг другу. Как определить, является ли угол смежным или вертикальным? Вертикальные углы — это углы, образующиеся при пересечении двух прямых.Противоположные углы, образованные этими линиями, называются вертикально противоположными углами. В то время как смежные углы — это два угла, которые имеют одно общее плечо и вершину. Могут ли вертикальные углы быть смежными? Вертикальные углы противоположны друг другу, тогда как смежные углы находятся рядом друг с другом. Таким образом, вертикальные углы никогда не могут примыкать друг к другу. Всегда ли совпадают вертикальные углы? Да, вертикальные углы всегда совпадают. Пересечение двух прямых составляет 4 угла.При этом образуются две пары вертикальных углов. Они равны по меру и конгруэнтны. вертикальных углов | Определение, теорема и примеры (видео) В этом уроке используются два слова, которые часто неправильно понимают: вертикальный и дополнительный . Слово «вертикальный» обычно означает «вверх и вниз», но с вертикальными углами оно означает «относящийся к вершине» или углу. Дополнительный в математике означает «прибавление к 90 °», но это также прилагательное, обычно используемое для обозначения «объединение таким образом, чтобы что-то усилить», например, два человека с дополнительными навыками — например, один готовит, а другой печет. Держите в уме математическое значение этих двух слов, и вы четко определите вертикальные углы и дополнительные углы. Содержание Определение вертикальных углов Теорема о вертикальных углах Пример дополнительных углов Что такое вертикальные углы? Определение вертикальных углов Когда две прямые пересекаются в геометрии, они образуют четыре угла. Углы прицела — углы, противоположные друг другу.Любые две пересекающиеся линии образуют две пары вертикальных углов, например: При беглом взгляде на рисунок возникает несколько назойливых вопросов: Вертикальные углы совпадают? Смежны ли вертикальные углы? Вертикальные углы являются дополнительными? Вертикальные углы дополняют друг друга? Давайте займемся этим по очереди. Возьмите два прямых предмета, например бамбуковые шпажки или карандаши. Перебросьте их так, чтобы они пересеклись и образовали две пары углов.Теперь посмотрите на углы, которые они образуют. Если вы изучите любую пару противоположных углов в предметах, которые вы выбросили, вы увидите, что они имеют общую точку в своих вершинах, своих углах. Это делает их вертикальными углами. Вы также заметите, что, большие или маленькие, они кажутся зеркальными отражениями друг друга. Они есть; они имеют одинаковый угол, отраженный поперек вершины. Теорема о вертикальных углах Вертикальные углы Теорема утверждает, что вертикальные углы, углы, которые расположены друг напротив друга и образованы двумя пересекающимися прямыми линиями, совпадают.Вертикальные углы всегда совпадают, поэтому, когда кто-то задает следующий вопрос, вы уже знаете ответ. Конгруэнтны ли вертикальные углы? Да, согласно теореме о вертикальном угле, независимо от того, как вы бросаете шпажки или карандаши, чтобы они пересекались, или как пересекаются две пересекающиеся линии, вертикальные углы будут всегда совпадать или равны друг другу. Это закреплено в математике в теореме о вертикальных углах. Смежны ли вертикальные углы? Вертикальные углы по определению не могут быть рядом с (рядом друг с другом).Другая пара вертикальных углов прерывается, поскольку противоположных углов являются вертикальными. Смежные углы берут один угол из одной пары вертикальных углов и другой угол из другой пары вертикальных углов. Вертикальные углы являются дополнительными? Дополнительные углы добавляют к 180 °, и только одна конфигурация пересекающихся линий дает дополнительные вертикальные углы; когда пересекающиеся линии перпендикулярны. Это становится очевидным, когда вы понимаете противоположные, совпадающие вертикальные углы, называя их обязательным решением этого простого алгебраического уравнения: 2a = 180 ° а = 90 ° У вас есть шанс 1 к 90 случайным образом получить дополнительные вертикальные углы в результате случайного выброса двух отрезков прямой так, чтобы они пересекались. В то время как вертикальные углы не всегда являются дополнительными, смежные углы всегда являются дополнительными . Возьмите любые два смежных угла из четырех углов, образованных двумя пересекающимися линиями. Эти два смежных угла всегда будут составлять 180 °. Мы можем убедиться в этом, если начнем с верхнего левого угла и обойдем цифру по часовой стрелке: EMI является дополнением к IMU и ∠EMP IMU является дополнением к PMU и EMI ∠UMP является дополнением к IMU и EMP ∠EMP является дополнением к EMI и ∠UMP Вертикальные углы дополняют друг друга? Если вертикальные углы не всегда являются дополнительными, составляют ли они по крайней мере дополнительных углов , то есть в сумме с 90 °? Опять же, мы можем использовать алгебру для подтверждения того, что очевидно на рисунках для вертикальных углов a: 2a = 90 ° а = 45 ° Только когда вертикальные углы a составляют 45 °, они могут быть дополнительными. Острые вертикальные углы могут быть дополнительными; у вас есть шанс 1 из 45. Пример дополнительных углов Дополнительные углы добавляют к 90 °. Дополнительные углы не обязательно соединять с общей вершиной, точкой или линией. Они могут быть смежными или вертикальными на пересекающихся линиях. Они могут быть в двух разных многоугольниках, если сумма их углов равна точно 90 °. Дополнительные углы — это острые углы. В большинстве случаев вы можете найти только один дополнительный угол, если вы знаете меру его дополнительного угла.Если вам говорят, что треугольник имеет ∠T, дополнительный к P в неправильном пятиугольнике, вы ничего не можете знать о двух углах, кроме того, что оба они острые. Если, однако, мы скажем, что inP в пятиугольнике составляет 57 °, тогда мы сразу узнаем отсутствующее ∠T, угол составляет 33 °: 90 ° — 57 ° = 33 ° Что такое вертикальные углы? Пара вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых. Вертикальные углы противоположны друг другу и имеют общую вершину.Давайте рассмотрим, что еще мы узнали о вертикальных углах: Могут ли вертикальные углы совпадать? Могут ли вертикальные углы быть дополнительными? Когда вертикальные углы будут дополнять друг друга? Для № 1, мы надеемся, вы сказали, что вертикальные углы всегда совпадают! Для № 2, вы сказали, что вертикальные углы являются дополнительными, только когда линии перпендикулярны? Для № 3 вы писали, что вертикальные углы будут дополнять друг друга, только если каждый из них составляет 45 °? Можно так много узнать об углах и соотношениях углов. Следующий урок: Теорема о средней точке пересекающихся линий и углов | Справка по геометрии Две пересекающиеся линии образуют 4 угла. Мы называем два угла, которые находятся рядом друг с другом и образуют прямую линию, «линейной парой» или «дополнительными углами», и их сумма составляет 180 °. Почему? Возьмем отрезок прямой (AB) и начнем вращать его вокруг одной из конечных точек: Угол, образованный между исходным отрезком (AB0) и последующими положениями (AB1, AB2…), продолжает расти.Когда мы завершаем полный круг, угол составляет 360 °, потому что, как мы сказали выше, это то, что измеряет полный круг. Итак, когда мы поворачиваем достаточно, чтобы образовать полукруг (до точки B3), размер будет 180 °. Мы знаем, что когда мы вращаемся достаточно, чтобы образовать полукруг, из-за симметрии у нас будет прямая линия — мы могли бы повернуть линию в любом направлении, и точка на полпути была бы такой же. Мы описываем углы, используя следующие обозначения: ∠1 или ∠α, а их размер в градусах — как m∠1 или m∠α.Мы также обычно описываем углы, используя 3 точки, которые их определяют, например: ∠ABC, где B — вершина, а BA и BC — два луча, исходящие из точки B наружу: Постулат сложения углов сложение углов постулат утверждает, что если точка P лежит внутри угла B, то m∠ABP + m∠PBC = m∠ABC Другими словами, мера большего угла является суммой измерений двух внутренних углы, составляющие больший. Когда две линии пересекаются и образуют 4 угла на пересечении, два угла, которые находятся напротив друг друга, называются «противоположными углами» или «вертикальными углами», и эти вертикальные углы являются «конгруэнтными», то есть имеют одинаковую форму и размер. .Мы говорим, что два угла конгруэнтны, если у них одинаковая мера угла в градусах. Они равны друг другу. Мы отмечаем конгруэнтность с помощью этого символа: ≅. С определениями и аксиомами, представленными до сих пор, мы можем теперь начать вывод нашей первой теоремы, используя наше первое формальное доказательство, доказывая, что противоположные углы двух пересекающихся прямых совпадают. — Теперь, когда мы объяснили основную концепцию пересечения линий и углов в геометрии, давайте прокрутим вниз, чтобы поработать над конкретными геометрическими проблемами, относящимися к этой теме. Строительные блоки — углы и пересекающиеся линии Смежные средства «следующий за.» Но мы используем это слово совершенно определенным образом, когда говорим о соседних углы. Изучите эти две фигуры. Учитывается только пара справа чтобы быть смежными, углы c и d . Смежные углы должны иметь общий общая сторона и общая вершина, и они не должны перекрывать друг друга. Вертикальные углы представляют собой пары углов, образованных двумя пересекающимися прямыми.Вертикальные углы не смежных углов — они противоположны друг другу. На этой диаграмме углы a и c — вертикальные углы, а углы b и d — вертикальные углы. Вертикальные углы совпадают. Эти две строки параллельны и разрезаются на поперечную, что является всего лишь названием, данным линия, пересекающая две или более линий в разных точках.Восемь углов появляются в четырех соответствующих парах, имеющих одинаковую меру, поэтому, следовательно, конгруэнтны. Эти четыре соответствующих пары: углы a и e углы c и g углы b и f углы d и h Углы, которые лежат во внутренней области или в области между двумя линиями, которые разрезаются поперечные, называются внутренними углами.Уголки c, d, e и f внутренние углы. Углы a, b, g, и h лежат снаружи. площади, и их называют «внешними углами». ср назовем углы на противоположных сторонах от поперечных альтернативных углов. Углы c и f и d и e — это альтернативные внутренние углы. Уголки a и h , и b и g , имеют альтернативный внешний вид. углы.Обратите внимание, что эти альтернативные пары также совпадают. При поперечном отрезает две непараллельные линии, как показано здесь, все равно образует восемь углы — четыре соответствующие пары. Однако соответствующие пары не совпадают, как это происходит с параллельными линиями. назад наверх открытых учебников | Сиявула Математика Наука Читать онлайн Учебники Английский Класс 7A Марка 7Б 7 класс (A и B вместе) Африкаанс Граад 7А Граад 7Б Граад 7 (A en B saam) Пособия для учителя Читать онлайн Учебники Английский Марка 8A Марка 8Б Оценка 8 (вместе A и B) Африкаанс Граад 8А Граад 8Б Граад 8 (A en B saam) Пособия для учителя Читать онлайн Учебники Английский Марка 9А Марка 9Б 9 класс (A и B вместе) Африкаанс Граад 9А Граад 9Б Граад 9 (A en B saam) Пособия для учителя Читать онлайн Учебники Английский Класс 4A Класс 4Б Класс 4 (вместе A и B) Африкаанс Граад 4А Граад 4Б Граад 4 (A en B saam) Пособия для учителя Читать онлайн Учебники Английский Марка 5A Марка 5Б Оценка 5 (вместе A и B) Африкаанс Граад 5А Граад 5Б Граад 5 (A en B saam) Пособия для учителя Читать онлайн Учебники Английский Класс 6A класс 6Б 6 класс (A и B вместе) Африкаанс Граад 6А Граад 6Б Граад 6 (A en B saam) Пособия для учителя Наша книга лицензионная Эти книги не просто бесплатные, они также имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (брендированные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено: CC-BY-ND (фирменные версии) Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.Вы можете делать ксерокопии, распечатывать и распространять их сколь угодно часто. Вы можете скачать их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственным ограничением является то, что вы не можете адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, спонсорские логотипы и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Непортированный. Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников. CC-BY (безымянные версии) Эти небрендовые версии одного и того же контента доступны для вас, чтобы вы могли делиться ими, адаптировать, трансформировать, изменять или дополнять их любым способом, с единственным требованием — дать соответствующую оценку Siyavula. Калькулятор диофантовых уравнений: Линейные диофантовы уравнения онлайн alexxlab / 05.09.197015.09.2022 / Разное Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений Египетские дроби. Часть вторая Египетские (аликвотные) дроби По сегменту определить радиус окружности Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами Деление треугольника на равные площади параллельными Определение основных параметров целого числа Свойства обратных тригонометрических функций Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ Аутотрофные и миксотрофные организмы Рассечение круга прямыми на равные площади Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений. Представить дробь, как сумму её множителей Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений Расчет основных параметров четырехполюсника Цепочка остатков от деления в кольце целого числа Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн Уравнение пятой степени. Частное решение. Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными Онлайн разложение дробно рациональной функции Корни характеристического уравнения Имя пользователя при работе с Excel Распределение частот появления букв русского алфавита в текстах   Коэффициенты первого диофантового уравнения Коэффициенты второго диофантового уравнения Система двух диофантовых уравнений Матрица общего решения Результат в виде строки Проверка для первого уравнения Проверка для второго уравнения Рассматривается оригинальный алгоритм решения двух произвольных однородных линейных уравнений в целых числах. Автоматический расчет матрицы решений. Пусть Нам надо решить систему из двух диофантовых уравнений \(\begin{alignedat}{2}2&a-11&b+13&c=1\\62&a+22&b-73&c=-31\end{alignedat}\)  Несомненно можно решать эту систему так как делают все. — Умножив первое уравнение на 31  и вычтя из второго мы получим классическое диофантовое уравнение с двумя переменными. — Решив которое можно найти  все целочисленные значения системы  Схема рабочая, несмотря на множество ручных вычислений Мне такой подход не нравится и  для  решения мы будем использовать другой метод. Он красив и понятен даже для школьников, знающих про вектора и матрицы. Частично использован алгоритм, описанный вот  в этой статье ( стр 36,37) Он доработан, приведен к матричным операциям и обобщен на любые значения. Алгоритм и его работу мы будем изучать  на примере. Решаем следующую систему диофантовых уравнений \(\begin{alignedat}{2}49&a+22&b-26&c=12\\70&a-31&b+9&c=9\end{alignedat}\) Мы этот пример взяли по причине, что в интернете его решали и для него вывели общее решение. Так что есть с чем сравнивать. 1. Находим общее решения первого уравнения из заданной системы. Например пусть будет такое. Но мы можем воспользоваться  и онлайн калькулятором общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения  ответ которого будет равноценен. \(\begin{pmatrix}8&14&20\\-19&-30&-44\\-1&1&0\end{pmatrix}\) \(\begin{alignedat}{3}a=8&m+14&p+20\\b=-19&m-30&p-44\\c=-&m+&p+0\end{alignedat}\) Как проверим что это верное равенство? Да просто умножим вектор коэффициентов первого уравнения на полученную матрицу \(\begin{pmatrix}49&22&-26\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}8&14&20\\-19&-30&-44\\-1&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&12\end{pmatrix}\) Как видим ответ совпадает со свободным членом первого уравнения. 2. Теперь, раз мы нашли общее решение первого уравнения, давайте его подставим во второе. То есть в уравнение \(70a-31b+9c=9\)подставим наши значения \(\begin{cases}a=8m+14p+20\\b=-19m-30p-44\\c=-m+p+0\end{cases}\) Можно руками подставлять и сокращать подобное, но в матричном исчислении  мы лишь умножаем вектор {70,-31,9} на нашу матрицу. \(\begin{pmatrix}70&-31&9\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}8&14&20\\-19&-30&-44\\-1&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1140&1919&2764\end{pmatrix}\) То есть мы получили уравнение \(1140m+1919p+2764=0\) Но, обратите внимание, что во втором уравнении свободный член равен не нулю, а девяти. То есть мы  переписываем \(1140m+1919p+2764=9\) Переносим свободные члены в правую часть и получаем классическое диофантовое уравнение, которое можем решать легко. \(1140m+1919p=-2755\) Общее решение такое \(\begin{cases}m=6+(1919)k\\p=-5-(1140)k\end{cases}\) 3. А теперь делаем обратное преобразование. То есть  вот в эту систему \(\begin{cases}a=8m+14p+20\\b=-19m-30p-44\\c=-m+p+0\end{cases}\) мы вместо неизвестных подставляем найденные m и p. В матричном исчислении это решается так: Убираем из матрицы \(\begin{pmatrix}8&14&20\\-19&-30&-44\\-1&1&0\end{pmatrix}\) последний столбец. Это свободные члены и они нам пока мешаются. получили \(\begin{pmatrix}8&14\\-19&-30\\-1&1\end{pmatrix}\) Умножаем эту матрицу на  матрицу созданную из этих уравнений \(\begin{cases}m=6+(1919)k\\p=-5-(1140)k\end{cases}\) \(\begin{pmatrix}1919&6\\-1140&-5\end{pmatrix}\) получаем \(\begin{pmatrix}8&14\\-19&-30\\-1&1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1919&6\\-1140&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-608&-22\\-2261&36\\-3059&-11\end{pmatrix}\) Последняя колонка это свободные члены,  прибавим к ней ту колонку которую убирали в начале этого пункта то есть  к вектору {-22 36 -11} прибавляем {20 -44 0}  Получаем систему \(\begin{pmatrix}-608&-2\\-2261&-8\\-3059&-11\end{pmatrix}\) А следовательно общее решение системы двух диофантовых уравнений приобретает вид \(\begin{cases}a=-608k-2\\b=-2261k-8\\c=-3059k-11\end{cases}\) Проверим, правильно ли посчитали Для первого уравнения  \(\begin{pmatrix}49&22&-26\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-608&-2\\-2261&-8\\-3059&-11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&12\end{pmatrix}\) Для второго \(\begin{pmatrix}70&-31&9\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-608&-2\\-2261&-8\\-3059&-11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&9\end{pmatrix}\) Как видим значения свободных членов совпадают с значениями в правой части уравнений, а следовательно мы получили  общее решение. Но радоваться рано, несмотря на то, что мы получили общее решение, мы получаем не все возможные значения. Почему? Да потому что вектор {-608 -2261 -3059} имеет НОД =19 и фактически наше общее решение имеет вид \(\begin{cases}a=-32(19k)-2\\b=-119(19k)-8\\c=-161(19k)-11\end{cases}\) Так как числа в скобках должны быть целыми, то обозначим их t  и наше, уже точно окончательное общее решение системы двух диофантовых уравнений имеет вид \(\begin{cases}a=-32t-2\\b=-119t-8\\c=-161t-11\end{cases}\) Еще несколько примеров, и небольшие ремарки к алгоритму. \(\begin{cases}2a-11b+13c=1\\62a+22b-73c=-31\end{cases}\) ответ \(a=517k+748\\b=952k+1378\\c=726k+1051\)  еще пример \(\begin{cases}-a+7b+c-53d+13e=-100\\2a+4b-16c-37d-32e=0\end{cases}\) ответ \(a=-116p-85m+139q-117\\b=-14p+5m+0q+1\\c=-18p-14m+20q-1\\d=0p+2m-2q+2\\e=0p+0m+q-9\) Как видите можно решать неограниченные по числу переменных диофантовые уравнения. Теперь что калькулятор не может.  Очень сильно не любит уравнения с нулевыми коэффициентами. Особенно первое. Например, вот такую систему калькулятор не решит. \((3)*x_{1}+(0)*x_{2}+(-7)*x_{3}+(6)*x_{4}+(0)*x_{5}=17\\(4)*x_{1}+(3)*x_{2}+(0)*x_{3}+(6)*x_{4}+(-5)*x_{5}=19\) Прибавим к первому уравнению, второе. Таким образом в первом уравнении исчезают все нулевые коэффициенты и калькулятор сможет решить эту систему. Ну как не решит? Решит, если прибегнем к уловке, и постараемся убрать все нулевые коэффициенты \((7)*x_{1}+(3)*x_{2}+(-7)*x_{3}+(12)*x_{4}+(-5)*x_{5}=36\\(4)*x_{1}+(3)*x_{2}+(0)*x_{3}+(6)*x_{4}+(-5)*x_{5}=19\)  Проверка показывает что общее решение корректно.  Удачи  в расчетах!!     Решение уравнений методом Ньютона онлайн >> Поиск по сайту Русский и английский алфавит в одну строку Часовая и минутная стрелка онлайн. Угол между ними. Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн Перемешать буквы в тексте онлайн Массовая доля химического вещества онлайн Декoдировать текст \u0xxx онлайн Частотный анализ текста онлайн Поворот точек на произвольный угол онлайн Площадь многоугольника по координатам онлайн Остаток числа в степени по модулю Расчет процентов онлайн Обратный и дополнительный код числа онлайн Как перевести градусы в минуты и секунды Поиск объекта по географическим координатам Расчет пропорций и соотношений Время восхода и захода Солнца и Луны для местности DameWare Mini Control. Настройка. Растворимость металлов в различных жидкостях Калькулятор географических координат Теория графов. Матрица смежности онлайн Географические координаты любых городов мира Расчет значения функции Эйлера Перевод числа в код Грея и обратно Онлайн определение эквивалентного сопротивления Произвольный треугольник по заданным параметрам НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF) Площадь пересечения окружностей на плоскости Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней Непрерывные, цепные дроби онлайн Построить ненаправленный граф по матрице Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление Месторождения золота и его спутники Расчет понижающего конденсатора Сообщество животных. Кто как называется? Система комплексных линейных уравнений Из показательной в алгебраическую. Подробно Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн Проекция точки на плоскость онлайн Определение формулы касательной к окружности Расчет параметров конденсатора онлайн Онлайн расчеты Подписаться письмом Общий делитель и кратное (НОД и НОК): онлайн калькулятор Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и НОД чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей. Основные понятия Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12. Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК. Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность. Нахождение НОД Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых: последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них; разложение чисел на неделимые множители; алгоритм Евклида; бинарный алгоритм. Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах. Нахождение НОК Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением: НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y). Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей. Взаимно простые числа Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми. Калькулятор общего делителя и кратного При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре. Примеры из реальной жизни Общий знаменатель дробей Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей: 1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18. Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как: 360/8 = 45 360/9 = 40 360/12 = 30 360/15 = 24 360/18 = 20. После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем: 45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360. Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120. Решение линейных диофантовых уравнений Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней. Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах. Заключение НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел. предмет, задачи, изучение, понятие, определения Описание степенных функций: виды, свойства, графики Формулы сокращенного умножения Логарифмы — назначение и свойства, алгоритм решения задач с примерами Серединный перпендикуляр — определение, свойства и формулы Медиана — определение, свойства, как найти Формулы площадей всех фигур Ззамечательные точки треугольника — свойства, применение и примеры решения Квадратные скобки в математике — значение, основные символы и примеры Четные и нечетные числа — определение, признаки и свойства Скалярное произведение векторов — свойства, формулы и примеры вычислений Сумма кубов — формула, правило и примеры решения Икосаэдр — понятие, свойства и структура двадцатигранника Вячеслав Малых Анастасия Ирлык Умник Умников Описание эксперта Дмитрий Савельев Тесты рубрики Тест на тему Знаки больше и меньше в математике 5 вопросов Тест на тему Задачи на движение для 4 класса 5 вопросов Тест на тему Что такое угол 5 вопросов Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов Тест на тему Вычитание дробей — правила и примеры с решениями 5 вопросов Тест на тему Модуль числа — свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов Тест на тему Натуральные числа в математике — определение, свойства, примеры 10 вопросов Тест на тему Основные тригонометрические тождества 5 вопросов Последние результаты тестов С результатом 8 из 10 С результатом 8 из 10 С результатом 6 из 10 Предметы Анатомия Английский язык Астрономия Биографии Биология Бухгалтерия География Делопроизводство Естествознание Информатика История Кадровое дело Карьера Культурология Литература Маркетинг Математика Материаловедение Менеджмент ОБЖ Обществознание Окружающий мир Педсовет Подготовка к ЕГЭ Политология Помощь студенту Правоведение Психология Родителям Русский язык Социология Товароведение Физика Физкультура Философия Финансы и кредит Химия Черчение Экология Экономика Настоящая школа — Решение квадратных уравнений онлайн 2022 x2 + x + = 0     Установить калькулятор на свой сайт                                                                                   калькулятор квадратных уравнений онлайн, калькулятор квадратных уравнений по теореме виета, калькулятор квадратных уравнений с дробями, калькулятор квадратных уравнений с корнями, калькулятор квадратных уравнений на питоне, калькулятор квадратных уравнений с комплексными числами, решение квадратных уравнений алгоритм, решение квадратных уравнений а+b+c=0, решение квадратных уравнений алгебра 8 класс, решение квадратных уравнений без дискриминанта, решение квадратных уравнений без c, решение квадратных уравнений с большими коэффициентами, решение квадратных уравнений с буквами, калькулятор биквадратных уравнений, калькулятор квадратных уравнений виета, решение квадратных уравнений в excel, решение квадратных уравнений в комплексных числах, решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена, решение квадратных уравнений виета, решение квадратных уравнений в питоне, решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел, решение квадратных уравнений в паскале, в квадрате калькулятор, решение квадратных уравнений калькулятор, онлайн калькулятор квадратных уравнений, решение квадратных уравнений графически, решение квадратных уравнений графическим способом онлайн, решение квадратных уравнений геометрическим способом, решение квадратных уравнений методом группировки, графический калькулятор квадратных уравнений на python и tkinter, гугл калькулятор квадратных уравнений, решение квадратных уравнений дискриминант, решение квадратных уравнений дискриминант равен 0, решение квадратных уравнений дискриминант онлайн, калькулятор квадратных дробных уравнений, решение квадратных дробных уравнений, решение квадратных диофантовых уравнений онлайн, решение квадратных уравнений с двумя неизвестными, онлайн калькулятор для квадратных уравнений, калькулятор квадратных уравнений с дискриминантом, решение квадратных уравнений если b четное, решение квадратных уравнений если дискриминант равен нулю, калькулятор уравнений квадратных, решение квадратных уравнений в маткаде, решение квадратных уравнений в комплексных числах онлайн, решение квадратных уравнений в целых числах, решение квадратных уравнений задания, решение квадратных уравнений заменой, решение квадратных уравнений задачи, решение квадратных уравнений методом замены переменной, решение квадратных уравнений содержащих знак модуля, решение квадратных уравнений и неравенств, решение квадратных уравнений методом интервалов, решение квадратных уравнений полных и неполных, калькулятор линейных и квадратных уравнений, решение квадратных уравнений комплексных чисел, решение квадратных уравнений контрольная работа, решение квадратных уравнений конспект урока, решение квадратных уравнений как, решение квадратных уравнений контрольная, решение квадратных уравнений с комплексными числами, скачать калькулятор квадратных уравнений, калькулятор неполных квадратных уравнений, решение систем квадратных уравнений калькулятор, решение квадратных логарифмических уравнений, решение квадратных логарифмических уравнений онлайн, решение квадратных уравнений онлайн, онлайн калькулятор уравнений квадратных, решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата, решение квадратных уравнений методом разложения на множители, решение квадратных уравнений методом коэффициентов, решение квадратных уравнений методом переброски, решение квадратных уравнений маткад, решение квадратных уравнений методом подстановки, калькулятор квадратных уравнений с минусом, решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел, решение квадратных уравнений не через дискриминант, решение квадратных уравнений на паскале, решение квадратных уравнений на с++, решение квадратных уравнений неполных, решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел онлайн, задания на решение квадратных уравнений, задачи на решение квадратных уравнений, примеры на решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений онлайн с комплексными корнями, решение квадратных уравнений онлайн с минусом, решение квадратных уравнений онлайн по теореме виета, решение квадратных уравнений онлайн через дискриминант, решение квадратных уравнений объяснение, решение квадратных уравнений огэ, решение квадратных уравнений онлайн тест, решение квадратных уравнений по теореме виета, решение квадратных уравнений примеры, решение квадратных уравнений питон, решение квадратных уравнений презентация, решение квадратных уравнений паскаль, решение квадратных уравнений по коэффициентам, решение квадратных уравнений по фото, п-25 решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений разложение на множители, решение квадратных уравнений разными способами, решение квадратных уравнений решить, калькулятор квадратных уравнений с решением, решение квадратных уравнений самостоятельная работа, решение квадратных уравнений онлайн калькулятор, калькулятор квадратных уравнений с подробным решением, решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, решение квадратных уравнений с модулем, с 25 решение квадратных уравнений, с-26 решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений теорема виета, решение квадратных уравнений тест, решение квадратных уравнений теорема виета онлайн, решение квадратных уравнений теория, решение квадратных уравнений тренажер, решение квадратных уравнений теоремы, решение квадратных тригонометрических уравнений, решение квадратных тригонометрических уравнений онлайн, решение квадратных уравнений. урок 4 установи соответствие, решение квадратных уравнений. урок 5 установи соответствие, решение квадратных уравнений. урок 6 установи соответствие, решение квадратных уравнений. урок 6, решение квадратных уравнений. урок 7, решение квадратных уравнений. урок 4, решение квадратных уравнений. урок 3, решение квадратных уравнений урок, решение квадратных уравнений формулы, решение квадратных уравнений формула дискриминанта, решение квадратных уравнений по формуле 8 класс презентация, решение квадратных уравнений по формуле виета, решение квадратных уравнений по формуле корней, решение квадратных уравнений вывод формулы, формулы квадратных уравнений 8 класс, формула квадратных уравнений, c-25 решение квадратных уравнений, c-26 решение квадратных уравнений, калькулятор квадратных уравнений через дискриминант, решение квадратных уравнений через дискриминант, решение квадратных уравнений через дискриминант онлайн, решение квадратных уравнений через теорему виета, решение квадратных уравнений через коэффициент, решение квадратных уравнений через k, решение квадратных уравнений через дискриминант примеры, решение квадратных уравнений через комплексные числа, решение квадратных уравнений эксель, решение квадратных уравнений 10 класс, решение квадратных уравнений вариант 1, 1 квадратный метр калькулятор, решение квадратных уравнений с 2 переменными, решение квадратных уравнений с-25, решение квадратных уравнений 3 степени, калькулятор уравнений 3 класс, калькулятор уравнений 3 степени, решение квадратных уравнений 4 степени, решение квадратных уравнений. урок 4 установите соответствие, калькулятор уравнений 4 класс, калькулятор уравнений 4 степени, 5 квадратных уравнений с решением, 5 квадратных уравнений, калькулятор уравнений 5 класс, 5 квадратных метров сколько см, решение квадратных уравнений 6 класс, решение квадратных уравнений. урок 6 из равенства, уравнение 6 класс калькулятор, 6 квадратных корней из 3, решение квадратных уравнений 7 класс, формулы квадратных уравнений 7 класс, калькулятор уравнений 7 класс, решение квадратных уравнений 8 класс, решение квадратных уравнений 8 класс презентация, решение квадратных уравнений 8 класс самостоятельная работа, решение квадратных уравнений 8 класс примеры, решение квадратных уравнений 8 класс видеоурок, решение неполных квадратных уравнений 8 класс, графическое решение квадратных уравнений 8 класс, тренажер решение квадратных уравнений 8 класс, 8 класс решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений 9 класс, квадратные уравнения примеры, квадратные уравнения онлайн, квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения формулы, квадратные уравнения самостоятельная работа, квадратные уравнения примеры с ответами, квадратные уравнения через дискриминант, квадратные уравнения задания, квадратные уравнения алгебра 8 класс, квадратные уравнения алгоритм, квадратные уравнения а+b+c=0, квадратные уравнения алгебра, квадратные уравнения аналитические и аналитические методы решения, квадратные уравнения на английском, неполные квадратные уравнения алгоритм, решение квадратного уравнения ассемблер, а-8 квадратные уравнения, а что такое квадратные уравнения, а-8 к-5 квадратные уравнения, квадратные уравнения без с, квадратные уравнения без корней, квадратные уравнения бывают, квадратные уравнения без б, квадратные уравнения без дискриминанта, квадратные уравнения без корней примеры, квадратные уравнения с большими коэффициентами, дискриминант квадратного уравнения больше нуля, биквадратные уравнения, биквадратные уравнения 8 класс, биквадратные уравнения примеры, биквадратные уравнения задания, биквадратные уравнения самостоятельная работа, биквадратные уравнения калькулятор, биквадратные уравнения тренажер, биквадратные уравнения огэ, квадратные уравнения вариант 2, квадратные уравнения вариант 1, квадратные уравнения в каком классе, квадратные уравнения виды, квадратные уравнения видеоурок, квадратные уравнения виета, квадратные уравнения в древнем вавилоне, квадратные уравнения в трудах диофанта, в каком классе квадратные уравнения, квадратные уравнения в жизни, в каком классе учат квадратные уравнения, квадратные уравнения в комплексных числах, квадратные уравнения график, квадратные уравнения где дискриминант равен 0, квадратные уравнения гдз, квадратные уравнения графическое решение, коэффициенты квадратного уравнения график, готовые квадратные уравнения, гдз квадратные уравнения, где применяются квадратные уравнения, уравнения квадратные примеры, задачи квадратные уравнения, квадратные уравнения дискриминант, квадратные уравнения дискриминант примеры, квадратные уравнения для решения, квадратные уравнения дроби, квадратные уравнения дискриминант онлайн, квадратные уравнения для чайников, квадратные уравнения для 8 класса, квадратные уравнения доклад, дробные квадратные уравнения, дробные квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения егэ, квадратные уравнения если дискриминант равен 0, квадратного уравнения если дискриминант равен нулю, квадратные уравнения и его корни, квадратные уравнения и его корни 8 класс, как решать квадратные уравнения если нет с, как решать квадратные уравнения если дискриминант отрицательный, квадратные уравнения с параметром егэ, квадратные уравнения excel, тема квадратные уравнения, квадратные уравнения с параметром, квадратные уравнения в реальной жизни, квадратные уравнения в повседневной жизни, квадратные уравнения в нашей жизни, квадратные уравнения задачи, квадратные уравнения задания с ответами, квадратные уравнения задания 8 класс, квадратные уравнения задачи повышенной сложности, квадратные уравнения задачи 8 класс, квадратные уравнения зачем нужны, задания квадратные уравнения, задачи квадратные уравнения 8 класс, задачи на квадратные уравнения с ответами, квадратные уравнения и неравенства, квадратные уравнения история, квадратные уравнения и их решения, квадратные уравнения и способы их решения, квадратные уравнения исследовательская работа, квадратные уравнения и графики, квадратные уравнения и его корни видеоурок, линейные и квадратные уравнения, комплексные числа и квадратные уравнения, квадратные уравнения урок, квадратные уравнения теория, квадратные уравнения решить, квадратные уравнения решать, уравнения квадратные онлайн, уравнения квадратные, квадратные уравнения как решать, квадратные уравнения калькулятор, квадратные уравнения контрольная работа, квадратные уравнения какой класс, квадратные уравнения карточки, квадратные уравнения комплексные числа, квадратные уравнения конспект, квадратные уравнения какие бывают, к-5 квадратные уравнения, квадратные уравнения легкие, квадратные логарифмические уравнения, квадратные линейные уравнения, квадратные уравнения в лазарусе, любые квадратные уравнения, легкие квадратные уравнения, квадратные уравнения с логарифмами, квадратные уравнения метод переброски, квадратные уравнения мерзляк, квадратные уравнения метод выделения полного квадрата, квадратные уравнения метод интервалов, квадратные уравнения метод, квадратные уравнения метод хорд, квадратные матричные уравнения, квадратные уравнения с модулем, м квадратные в метры, м квадратные в метры кубические, м квадратные в га, м квадратные в гектары, м квадратные в км квадратные, квадратные уравнения неполные, квадратные уравнения неполные примеры, квадратные уравнения неравенства, квадратные уравнения не имеющие корней, квадратные уравнения на питоне, квадратные уравнения на теорему виета, квадратные уравнения нахождение корней, не приведенные квадратные уравнения, сложные квадратные уравнения примеры, сложные квадратные уравнения, на квадратные ногти, квадратные уравнения огэ, квадратные уравнения основные понятия, квадратные уравнения онлайн тест, квадратные уравнения общего вида, квадратные уравнения объяснение, квадратные уравнения ответы, квадратные уравнения открытый урок, все о квадратных уравнениях, квадратные уравнения примеры с решением, квадратные уравнения примеры 8 класс, квадратные уравнения по теореме виета, квадратные уравнения презентация, квадратные уравнения примеры огэ, квадратные уравнения полные и неполные, примеры квадратные уравнения 8 класс, полные квадратные уравнения тренажер, полные квадратные уравнения примеры, полные квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения решение, квадратные уравнения решение неполных квадратных уравнений, квадратные уравнения решу огэ, квадратные уравнения решение через дискриминант, квадратные уравнения раскрытие скобок, квадратные уравнения рэш, р квадрат, квадратные уравнения реферат, квадратные уравнения с ответами, квадратные уравнения самостоятельная работа с ответами, квадратные уравнения с решением, квадратные уравнения с комплексными числами, квадратные уравнения с дискриминантом, задачи с квадратными уравнениями, примеры с квадратными уравнениями, квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, квадратные уравнения теорема виета, квадратные уравнения тренажер, квадратные уравнения тест, квадратные уравнения теорема виета примеры, квадратные уравнения теорема виета вариант 1 ответы, квадратные уравнения теорема виета самостоятельная работа, квадратные уравнения тест 8 класс, тест квадратные уравнения, таблица квадратных уравнений, тренажер квадратные уравнения с ответами, квадратные уравнения упражнения, квадратные уравнения урок 8 класс, квадратные уравнения урок презентация, когда у квадратного уравнения бесконечно много корней, квадратные уравнения формулы сокращенного умножения, квадратные уравнения формула дискриминанта, квадратные уравнения формула виета, квадратные уравнения формулы корней, квадратные уравнения фипи, квадратные уравнения фото, квадратного уравнения формула решение, формулы квадратные уравнения, формулы квадратных уравнений 8 класс, квадратные уравнения в химии, дискриминант квадратного уравнения х2+5х-6=0 равен, квадратные уравнения в трудах аль хорезми, х квадратного уравнения, x квадратного уравнения, квадратные уравнения с целыми корнями, квадратные уравнения через дискриминант примеры, квадратные уравнения через теорему виета, квадратные уравнения через k, квадратные уравнения через виета, квадратные уравнения что это, квадратные уравнения частные случаи, квадратные уравнения что такое, сложные квадратные уравнения с решением, квадратные уравнения со скобками, квадратные уравнения список, квадратные уравнения с одним корнем, квадратные уравнения с дробями, онлайн квадратные уравнения, квадратные уравнения в excel, квадратные уравнения в питоне, квадратные уравнения это, неполные квадратные уравнения это, квадратные уравнения в эксель, приведенные квадратные уравнения это, квадратные уравнения в экономике, полные квадратные уравнения это, не приведенные квадратные уравнения это, квадратные уравнения дискриминант это, ютуб квадратные уравнения, урок квадратные уравнения, урок квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения якласс, квадратные уравнения является, неполные квадратные уравнения якласс, дискриминант квадратного уравнения якласс, коэффициенты квадратного уравнения якласс, корни квадратного уравнения якласс, графиком квадратного уравнения является парабола, якласс квадратные уравнения, квадратные уравнения d=0, квадратные уравнения дискриминант равен 0, квадратные уравнения с дискриминантом 0, квадратные уравнения дискриминант равен 0 примеры, квадратные уравнения x2-9=0, квадратные уравнения a+b+c=0, 0 в квадрате равен 1, 0 в квадрате, 0 в квадрате это, квадратные уравнения 11 класс, квадратные уравнения 10 класс, квадратные уравнения 1 вариант, квадратные уравнения 1 корень, квадратные уравнения примеры 10 класс, тренажер квадратные уравнения вариант 1 ответы, 1. 3.2 квадратные уравнения, 1.3.2 квадратные уравнения ответы, квадратные уравнения с 2 переменными, тренажер квадратные уравнения вариант 2, 2 квадратных уравнений, 2 формула квадратного уравнения, контрольная работа 2 квадратные уравнения, решите неполные квадратные уравнения 3×2-12=0, тренажер квадратные уравнения вариант 3, 3 квадратных уравнений, тест 3 квадратные уравнения вариант 1, глава 3 квадратные уравнения, 3 формулы квадратного уравнения, зачет номер 3 квадратные уравнения, контрольная работа 3 квадратные уравнения, квадратные уравнения 40 вариантов, квадратные уравнения с 4 степенью, дискриминант квадратного уравнения 4х2–5х+2=0 равен, тренажер квадратные уравнения вариант 4, тема 4 квадратные уравнения с-34, тест 4 квадратные уравнения вариант 1, тема 4 квадратные уравнения с-35, глава 4 квадратные уравнения, тема 4 квадратные уравнения с-33, тема 4 квадратные уравнения с-37, тема 4 квадратные уравнения с-39, контрольная работа 4 квадратные уравнения, квадратные уравнения 5 класс, корни квадратного уравнения 5x^2+20=0, квадратные уравнения контрольная работа 5, 5 квадратных уравнений, к-5 квадратные уравнения 8 класс, кр 5 квадратные уравнения ответы, к-5 квадратные уравнения вариант а2, контрольная работа 5 квадратные уравнения, квадратные уравнения 6 класс, контрольная работа номер 6 квадратные уравнения, квадратные уравнения 7 класс, квадратные уравнения 7 класс примеры, формула квадратного уравнения 7 класс, решение квадратного уравнения 7 класс, как решать квадратные уравнения 7 класс, алгебра 7 класс квадратные уравнения, квадратные уравнения 8 класс задания с ответами, квадратные уравнения 8 класс примеры, квадратные уравнения 8 класс самостоятельная работа, квадратные уравнения 8 класс примеры с ответами, квадратные уравнения 8 класс презентация, квадратные уравнения 8 класс контрольная работа, квадратные уравнения 8 класс как решать, 8 класс квадратные уравнения, 8 класс алгебра квадратные уравнения, квадратные уравнения 8 класс задания, квадратные уравнения 9 класс, квадратные уравнения 9 класс примеры, квадратные уравнения 9 класс огэ, квадратные уравнения 9 класс задания, неполные квадратные уравнения 9 класс, квадратные уравнения с параметром 9 класс, как решать квадратные уравнения 9 класс, Ошибка этого доказательства заключается в том, что уравнение (б) отвечает лишь за само себя, а не за всю систему. Для всей системы надо решить общее уравнение Или же если вернуться к обозначению этого уравнения в величинах Х, У, Z и т.д. Но, алгоритм, был найден именно благодаря представленному “решению”. Лично я могу вернуться к решению этого уравнения в осенне-зимний период. Уравнение Пелля. (1) Рассмотрим 3 варианта: — I Х — чётное число, У — нечётное число, n — нечётное число; — II Х — нечётное число, У — нечётное число, n — чётное число; — III Х — нечётное число, У — чётное число, n – любое, и чётное, и нечётное число. И всегда Х > У Вариант I. Составим функциональное уравнение. , где, конечно же, 1 > 2 Возьмём к = — 2,тогда После преобразований (2) где ; . Окончательно, после подстановки будет , где n = 3, 15 . . . . . Проверим при n = 3 а) , б) , Подставим (а) в уравнение (1) Для случая Х = 2, У = 1, n = 3 будет Подставим (б) в уравнение (1) Для Проверка даёт Для Проверка даёт Составим последующее функциональное уравнение. После упрощения где , После подстановки Следующее функциональное уравнение примет вид После упрощения где , После подстановки Получилась система бесконечных решений: (3) ………………………….. Вариант II. Функциональное уравнение примет вид. После преобразований будет , где n чётные числа n = 8, 24 …… Само же выражение идентично формуле (2). Система бесконечных решений примет вид системы (3). Тогда система решений (3) будет общей для вариантов I и II при n – чётных и нечётных числах. Вариант III. Также напишем функциональное уравнение. Опускаю все вычисления, — напишу окончательный результат: ………………………….. Мне не приходилось встречать классического решения этого уравнения, — для меня это чистый экспромт. Специалисты могут сравнить. Вообще же, этим методом решается любое уравнение вида: , а уравнение Пелля лишь как частный случай, при t = 2 и N = 1. Уравнение . (1) (У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В) Рассмотрим 4 варианта: — I У — нечётное число, Х — нечётное число, К — чётное число; — II У — нечётное число, Х — чётное число, К — нечётное число; — III У — чётное число, Х — чётное число, К — чётное число; — IV У — чётное число, Х — нечётное число, К — нечётное число. Решение этого уравнения принципиально ни чем не отличается от решения уравнения Пелля, — в обоих уравнениях наличие двух переменных. Вариант I. Во всех четырёх вариантах У>Х, и следовательно 1>2 Тогда будет (2) Получилась система уравнений (1) и (2). Хотя и без решения системы часть решений уже можно определить. Рассмотрим частный случай уравнения (2) при m=1. ,при m≥1. Т.к. K чётное число, тогда K=8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 …. Получится возрастающий ряд K. Этому ряду K соответствует ряд разностей: У—Х=2, 4, 6, 8, 10, 12 …. при положительных значениях радикала и У—Х=-4, -6, -8, -10, -12 …. при отрицательных значениях радикала. Рассмотрим четыре примера, взяв соответственно: 1) У—Х=2 K=8 2) У—Х=4 K=24 3) У—Х=6 K=48 4) У—Х=8 K=80 1) У=Х+2, подставим в уравнение (1) при K=8 Х1=1 Х2=2 Х3=-2 У1=3 У2=4 У3=0 K=8 K=8 K=8 2) У=Х+4 Х=1 У=5 K=24 3) У=Х+6 Х=1 У=7 K=48 4) У=Х+8 Х1=1 Х2=4 Х3=-4 У1=9 У2=12 У3=4 K=80 K=80 K=80 Вариант II. (3) Подставляем в (3), получаем , m≥1. При m=1 K примет значения –7, 1, 17, 41, 73, 113 ….; Как и в предыдущем варианте получится возрастающий ряд K, и ему соответствует ряд разностей: У—Х=-1, 1, 3, 5, 7, 9….; У—Х=-3, -5, -7, -9…. Вариант III. После подстановки 1, 2, окончательно получим , m≥1. При m=1 K примет значения –4, 8, 28, 56 …. Этому ряду K соответствует ряд разностей: У—Х=0, 2, 4, 6…. ; У—Х=-4, -6, -8, -10…. Вариант IV. , m≥1. При m=1 K примет значения 3, 15, 35, 63, 99 …. Этому ряду K соответствует ряд разностей: У—Х=1, 3, 5, 7, 9 ….; У—Х=-3, -5, -7, -9, -11…. Уравнения У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В и прочие уравнения эллиптических кривых познавательного интереса для данного алгоритма не представляют. Повторяясь, скажу, важно лишь количество неизвестных. Поэтому распишу лишь первое из них. — I У — чётное число, Х — нечётное число; — II У — чётное число, Х — чётное число, всегда У > Х, и как следствие 1>2. Вариант I. Т.к. Тогда После подстановки Вариант II. Сразу пишу ответ И после всех преобразований и подстановок Работа при исследовании уравнений данным алгоритмом достаточно монотонная. Исследование уравнения проведено, кстати, не до конца. Не рассмотрена ситуация У < Х. Иррациональные корни уравнения . Известно, что данное уравнение имеет иррациональные корни. Но для решения, предположим, что уравнение увидели впервые. И тогда начало решения будет традиционным для данного алгоритма. Рассмотрим 2 варианта: — I Х — чётное число, У — нечётное число; — II Х — нечётное число, У — чётное число. Всегда Х > У Вариант I. Функциональное уравнение общего вида будет: , где , (1) Преобразования изображу подробно (2) В уравнении (1) , Тогда , Значения и подставим в формулу (2) Исходное уравнение запишем в виде Тогда До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы (3) Вариант II. , где , (4) Преобразования без комментариев. (5) В уравнении (4) Тогда , Значения и подставим в формулу (5) И сразу пишу систему решений (6) Итого: иррациональными решениями уравнения являются две системы уравнений (3) и (6). Отрицательные значения радикалов не рассматриваю. Что наибольший общий делитель чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Онлайн калькулятор Главная > Идеи > Что наибольший общий делитель чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Онлайн калькулятор Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей. Основные понятия Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12. Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК. Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность. Нахождение НОД Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых: последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них; разложение чисел на неделимые множители; алгоритм Евклида; бинарный алгоритм. Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах. Нахождение НОК Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением: НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y). Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей. Взаимно простые числа Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми. Калькулятор общего делителя и кратного При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре. Примеры из реальной жизни Общий знаменатель дробей Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей: 1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18. Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как: 360/8 = 45 360/9 = 40 360/12 = 30 360/15 = 24 360/18 = 20. После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем: 45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360. Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120. Решение линейных диофантовых уравнений Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней. Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах. Заключение НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел. Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел. Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35. Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35. Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми . Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел. Разложим на множители числа 48 и 36, получим: 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3. Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки). Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел. Чтобы найти наибольший общий делитель 2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произ ведение оставшихся множителей. Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел. Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180. Наименьшее общее кратное (НОК) Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5. Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители). Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60. Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел. Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей. Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел. Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа. Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э. Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число. Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа. Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше, в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число. Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа. Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа. Например : Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12; Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36. Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным . Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел — 12. Общий делитель двух данных чисел a и b — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b . Общий делитель нескольких чисел (НОД) — это число, служащее делителем для каждого из них. Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так: Пример : НОД (12; 36) = 12. Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д». Пример: НОД (7; 9) = 1 Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми чи слами . Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1. Их НОД равен 1. Наибольший общий делитель (НОД), свойства. Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример : для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6. Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД(m , n ). Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m , n ). Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД. Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций: и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m и n : Это соотношение называется соотношением Безу , а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу . Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД (a 1 , a 2 , … , a n ). Вычисление наибольшего общего делителя (НОД). Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм . Кроме того, значение НОД (m ,n ) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители: где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m ,n ) и НОК (m ,n ) выражаются формулами: Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму: — это и есть искомый НОД. Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель , можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители . Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа — результат перемножения и есть наибольший общий делитель. Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя: 1. Разложить делители чисел на простые множители: Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64. 2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах: 28 = 2 . 2 . 7 64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ: НОД (28; 64) = 2 . 2 = 4 Ответ: НОД (28; 64) = 4 Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку». Первый способ записи НОД: Найти НОД 48 и 36. НОД (48; 36) = 2 . 2 . 3 = 12 Второй способ записи НОД: Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15. Д (10) = {1, 2, 5, 10} Д (15) = {1, 3, 5, 15} Д (10, 15) = {1, 5} Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел. Обозначают НОД(a, b). Рассмотрим нахождения НОД на примере двух натуральных чисел 18 и 60: 1 Разложим числа на простые множители: 18 = 2 × 3 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 2 Вычеркнуть из разложения первого числа все множители которые не входят в разложения второго числа, получим 2 × 3 × 3 . 3 Перемножаем оставшиеся простые множители после вычеркивания и получаем наибольший общий делитель чисел: НОД(18 , 60 )=2 × 3 = 6 . 4 Заметим что не важно из первого или второго числа вычеркиваем множители, результат будет одинаков: 18 = 2 × 3 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 324 , 111 и 432 Разложим числа на простые множители: 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 111 = 3 × 37 432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 Вычеркнуть из первого числа, множители которых нету во втором и третьем числе, получим: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3 В результате НОД(324 , 111 , 432 )=3 Нахождение НОД с помощью алгоритма Евклида Второй способ нахождения наибольшего общего делителя с помощью алгоритма Евклида . Алгоритм Евклида является наиболее эффективным способом нахождения НОД , используя его нужно постоянно находить остаток от деления чисел и применять рекуррентную формулу . Рекуррентная формула для НОД, НОД(a, b)=НОД(b, a mod b) , где a mod b — остаток от деления a на b. Алгоритм Евклида Пример Найти наибольший общий делитель чисел 7920 и 594 Найдем НОД(7920 , 594 ) с помощью алгоритма Евклида, вычислять остаток от деления будем с помощью калькулятора. НОД(7920 , 594 ) НОД(594 , 7920 mod 594 ) = НОД(594 , 198 ) НОД(198 , 594 mod 198 ) = НОД(198 , 0 ) НОД(198 , 0 ) = 198 7920 mod 594 = 7920 — 13 × 594 = 198 594 mod 198 = 594 — 3 × 198 = 0 В результате получаем НОД(7920 , 594 ) = 198 Наименьшее общее кратное Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК). Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка. Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 … Кратные 9: 18, 27, 36, 45 … Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество. Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело . Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел. Как найти НОК НОК можно найти и записать двумя способами. Первый способ нахождения НОК Данный способ обычно применяется для небольших чисел. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел. Кратное числа « a » обозначаем большой буквой «К». Пример. Найти НОК 6 и 8 . Второй способ нахождения НОК Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел. Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное. Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа. НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2 Полученное произведение записать в ответ. Ответ: НОК (24, 60) = 120 Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24) . 24 = 2 · 2 · 2 · 3 Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16 . НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48 Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48 Особые случаи нахождения НОК Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу. Например, НОК (60, 15) = 60 Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления. Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым. Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя. Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные. Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 . Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа. число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ; число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 . Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа. Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным. Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 . Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ». Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка. Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так : Пример: НОД (12; 36) = 12 . Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д». Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами . Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 . Как найти наибольший общий делитель Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно: разложить делители чисел на простые множители; Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 . Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах. 28 = 2 · 2 · 7 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ; НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4 Ответ: НОД (28; 64) = 4 Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку». Первый способ записи НОД Найти НОД 48 и 36 . НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12 Второй способ записи НОД Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15 . На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления. Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК. Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД. Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел. Навигация по странице. Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 . В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле. Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 . Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 . Чему равно НОК(68, 34) ? Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 . Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b: если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a . Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители. Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел . Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители). Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 . Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Разложим числа 441 и 700 на простые множители: Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 . Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 . НОК(441, 700)= 44 100 . Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b . Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) . Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 . Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 . Нахождение НОК трех и большего количества чисел Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел. Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) . Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел. Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 . Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 . Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 . Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 . Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 . НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 . Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее . Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители. Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 . Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 . Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 . Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 . НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 . Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел Иногда встречаются задания, в которых требуется найти наименьшее общее кратное чисел, среди которых одно, несколько или все числа являются отрицательными. В этих случаях все отрицательные числа нужно заменить противоположными им числами, после чего находить НОК положительных чисел. В этом и состоит способ нахождения НОК отрицательных чисел. Например, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888) . Мы можем так поступать, потому что множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a (a и −a – противоположные числа). Действительно, пусть b – какое-то кратное числа a , тогда b делится на a , и понятие делимости утверждает существование такого целого числа q , что b=a·q . Но будет справедливо и равенство b=(−a)·(−q) , которое в силу того же понятия делимости означает, что b делится на −a , то есть, b есть кратное числа −a . Справедливо и обратное утверждение: если b – какое-то кратное числа −a , то b является кратным и числа a . Найдите наименьшее общее кратное отрицательных чисел −145 и −45 . Заменим отрицательные числа −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45 . Имеем НОК(−145, −45)=НОК(145, 45) . Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким образом, наименьшее общее кратное отрицательных целых чисел −145 и −45 равно 1 305 . www.cleverstudents.ru Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК . НОД — это наибольший общий делитель. НОК — это наименьшее общее кратное. Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике. Наибольший общий делитель Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b a и b делятся без остатка. Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b число 9. Теперь попробуем прочитать это определение: Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти. Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл. Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Мы с вами рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам. Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9 . Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение. 12: 1 = 12 (12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12) 12: 2 = 6 (12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12) 12: 3 = 4 (12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12) 12: 4 = 3 (12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12) 12: 5 = 2 (2 в остатке) (12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12) 12: 6 = 2 (12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12) 12: 7 = 1 (5 в остатке) (12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12) 12: 8 = 1 (4 в остатке) (12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12) 12: 9 = 1 (3 в остатке) (12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12) 12: 10 = 1 (2 в остатке) (12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12) 12: 11 = 1 (1 в остатке) (12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12) 12: 12 = 1 (12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12) Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9 9: 1 = 9 (9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9) 9: 2 = 4 (1 в остатке) (9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9) 9: 3 = 3 (9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9) 9: 4 = 2 (1 в остатке) (9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9) 9: 5 = 1 (4 в остатке) (9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9) 9: 6 = 1 (3 в остатке) (9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9) 9: 7 = 1 (2 в остатке) (9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9) 9: 8 = 1 (1 в остатке) (9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9) 9: 9 = 1 (9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9) Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем: Выписав делители, можно сразу определить, какой является наибольшим и общим. Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3 И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка: Значит НОД (12 и 9) = 3 Второй способ нахождения НОД Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них. Пример 1 . Найти НОД чисел 24 и 18 Сначала разложим оба числа на простые множители: Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть. Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки: Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем. Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18. Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки: Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить: Значит НОД (24 и 18) = 6 Третий способ нахождения НОД Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД. Например, найдём НОД для чисел 28 и 16 этим способом. В первую очередь, раскладываем эти числа на простые множители: Получили два разложения: и Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семерка. Её и вычеркнем из первого разложения: Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД: Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка: Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40 Раскладываем на множители число 100 Раскладываем на множители число 40 Получили два разложения: Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения Перемножим оставшиеся числа: Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка: НОД (100 и 40) = 20. Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128 Раскладываем на множители число 72 Раскладываем на множители число 128 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения: Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка: НОД (72 и 128) = 8 Нахождение НОД для нескольких чисел Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36 Разложим на множители число 18 Разложим на множители число 24 Разложим на множители число 36 Получили три разложения: Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все три числа: Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем: Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка: НОД (18, 24 и 36) = 6 Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42 Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел. Разложим на множители число 12 Разложим на множители число 42 Получили четыре разложения: Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа: Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем: Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка: НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6 Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа. Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким. Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — a и b a и число b . Определение содержит две переменные a и b . Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение: Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12 . Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12 . Из определения понятно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти. Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ. В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом: Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12. 3 = 35$ — нелинейное диофантово уравнение. Не существует универсального метода решения нелинейных диофантовых уравнений, однако существует ряд «методов», которые могут помочь нам в решении некоторых специальных типов нелинейных диофантовых уравнений. На примерах мы покажем некоторые из этих методов. На самом деле можно сказать, что мы собираемся использовать несколько простых приемов, которые помогут нам в решении таких уравнений. Пример 1 . Решите следующее уравнение в наборе целых чисел: $$xy + 5 y = 11.$$ Решение . Разберем левую часть уравнения на множители: $$y(x + 5) = 11.$$ Следовательно, произведение целых выражений $y$ и $x+5$ равно $11 $, а это возможно только в следующих случаях: а) $$y = 1, x+5= 11$$ б) $$y = 11, x+5 = 1$$ в) $$y = -1, x+5 = -11$$ г) $$y = -11, x+5 =- 1$$   Это означает, что решениями данного уравнения являются упорядоченные пары чисел $(x, y)$: $$(6, 1), (-4, 11), (-16, -1), (-6, -11).$$ Пример 2 . Решите следующее уравнение в наборе целых чисел: $$xy + x – 6y – 9 = 0.$$ Решение . Действуя как в предыдущем примере, перепишем уравнение следующим образом: ) – 6 = 0$$ $$(y +1) (x -3) = 6$$ Так как $x, y \in \mathbb{Z}$, то $x-3, y+ 1 \in \mathbb{Z}$. Поэтому различаем следующие случаи: 1. ) $$x – 3 = 6, y + 1 = 1$$ 2.) $$x -3 = 3, y +1 = 2$$ 3.)  $$x-3 = 2, y+1 = 3$$ 4.) $$x-3 = 1, y+1 = 6$$ 5.) $$x-3 = 6, y+1 = -1$ $ 6.) $$x-3 = -3, y+1 = -2$$ 7.) $$x-3 = -2, y+1 = -3 $$ 8.) $$x -3 = -1, y +1 = -6$$ Решениями являются упорядоченные пары $(x, y)$: $( 9, 0), (6, 1), (5, 2 ), (4, 5), (-3, -2), (0, -3), (1, -4), (3, -7)$. Пример 3 . Решите следующее уравнение в наборе целых чисел: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{14}.$$ Решение . В этом случае мы собираемся выразить одну из неизвестных $x$ или $y$; пусть это будет $y$. Умножив уравнение на $14xy$, мы получим: $$14y + 14 x = xy$$ $$14 x = y( x -14)$$ $$y = \frac{14x}{ x-14}$$ Если мы разделим числитель на знаменатель, мы получим частное $14$ и остаток $196$. Следовательно: $y = 14 + \frac{196}{x-14}.$$ Поскольку $y$ должно быть целым числом, $\frac{196}{x-14}$ также должно быть целым числом, и это будет для: $x = 15 , х = 16, х = 18, х = 21, х = 28, х = 63, х = 112, х = 210, х = 13, х = 12, х = 10, х = 7, х = -14, x = -35, x = -84, x = -182$, и для этих значений получаем по порядку: $y = 210, y = 112, y = 63, y= 42, y = 28, y= 18, у = 16, у = 15, у = -182, у = -84, у = -35, у = -14, у = 7, у = 10, у = 12, у = 13$. Полученные упорядоченные пары $(x, y)$ являются решениями данного уравнения. 92$$ $$\Longleftrightarrow  3y = y – 4 \bigvee 3y = 4 – y.$$   Отсюда следует $y = -2$ или $ y = 1$. Следовательно, в данном случае решениями данного уравнения являются: $$(x, y) = (-4, -2) , (-4, 1).$$   5.1: Линейные диофантовые уравнения — Математика LibreTexts Последнее обновление Сохранить как PDF Идентификатор страницы 7314 Pamini Thangarajah Mount Royal University Мысли вслух Мэри пошла в парк и увидела машины с \(2\) и \(4\) колесами. Она пересчитала колеса. Когда она пришла домой, она сказала маме, что у машин, которые она видела, всего \(28\) колес. Ее мама спросила, у скольких автомобилей \(2\) колеса и у скольких автомобилей \(4\) колеса. Что ответила Мэри? Диофантово уравнение Диофантово уравнение — это полиномиальное уравнение с двумя или более целыми неизвестными. Линейное диофантово уравнение (ЛДУ) — это уравнение с двумя или более целыми неизвестными, каждое из которых имеет не более чем 1 степень. Линейное диофантово уравнение с двумя переменными принимает вид \(ax+by=c ,\) где \(x, y \in \mathbb{Z}\) и a, b, c — целые константы. х и у неизвестные переменные. А Однородный Линейное диофантово уравнение (HLDE) равно \(ax+by=0, x, y \in \mathbb{Z}\). Обратите внимание, что \(x=0\) и \(y=0\) — это решение, называемое тривиальным решением этого уравнения. Пример \(\PageIndex{1}\): Пример однородного линейного диофантова уравнения: \(5x-3y=0, x, y \in \mathbb{Z}\). В этом случае \(x= 3\), \(y=5\) является решением как есть \(x=6\), \(y=10\). Следовательно, \(x=3k \) и \( y=5k, k \in \mathbb{Z}\) представляют все решения. Проверка: \(5(3k)-3(5k)=15k-15k = 0.\) **** ПРИМЕЧАНИЕ**** В однородном линейном диофантовом уравнении в тот момент, когда уравнение представляет собой сложение, одна из переменных должна быть отрицательной. В случае \(5x+3y=0, x, y \in \mathbb{Z}\), \(x= -3k\) и \(y= 5k, k \in\mathbb{Z}\ ) являются решениями. ТЕОРЕМА: Однородное линейное диофантово уравнение Пусть \(ax+by=0, x, y \in \mathbb{Z}\) — линейное однородное диофантово уравнение. Если \(\gcd(a, b)=d\), то полное семейство решений приведенного выше уравнения равно \(x=\displaystyle \frac{b}{d} k,\) и \(y=-\displaystyle \frac{a}{d} k, k \in\mathbb{Z}\). Пример \(\PageIndex{2}\): Решите однородное линейное диофантово уравнение \(6x+9y=0, x, y \in \mathbb{Z}\). Решение: Обратите внимание, что НОД 6 и 9 равен 3. Следовательно, решения равны \(x= \frac{9k}{3}=3k\) и \(y= \frac{-6k {3}=-2k\) с \(k \in\mathbb{Z}\). Используйте следующие шаги, чтобы решить неоднородное линейное диофантово уравнение. Решить линейное диофантово уравнение: \(ax+by=c, x, y \in\mathbb{Z}\). Используйте следующие шаги, чтобы решить неоднородное линейное диофантово уравнение. Шаг 1: Определите НОД a и b. Предположим, \(\gcd(a, b)=d\). Шаг 2: Убедитесь, что НОД чисел a и b делится на c. ПРИМЕЧАНИЕ. Если ДА, перейдите к шагу 3. Если НЕТ, ОСТАНОВИТЕСЬ, поскольку решений нет. Шаг 3: Найдите конкретное решение \(ax+by=c\), сначала найдя \(x_0,y_0\) такое, что \(ax+by=d\). Предположим, что \(x=\frac{c}{d}x_0\) и \(y=\frac{c}{d}y_0\). Шаг 4 : Используйте замену переменных: пусть \( u=x-\frac{c}{d}x_0\) и \(v=y-\frac{c}{d}y_0\), тогда мы увидим, что \(au+bv=0\) (важно проверить результат). Шаг 5 : Решите \(au+bv=0\). То есть: \(u=-\frac{b}{d}m\) и \(v=\frac{a}{d}m, m \in\mathbb{Z}\). Шаг 6: Замените \(u\) и \(v\). Таким образом, общие решения таковы: \(x-\frac{c}{d}x_0=-\frac{b}{d}m\) и \(y-\frac{c}{d}y_0=\frac{a {d}m, m \in\mathbb{Z}\). Пример \(\PageIndex{3}\): Задача 9 «Крепкий орешек» с кувшином0003 Решить линейное диофантово уравнение: \(5x+3y=4, x, y \in\mathbb{Z}\). Решение: Шаг 1: Определите НОД чисел 5 и 3 (a и b). Поскольку \(5(2)+3(-3)=1\), \(\gcd(5, 3)=1.\) Шаг 2: Поскольку \(1\mid 4\), мы перейдите к шагу 3. Шаг 3: Найдите частное решение \(5x+3y=4,x,y \in\mathbb{Z}\). Так как \(5(5)+3(-7)=4, x=5\) и \(y=-7\) является частным решением. Шаг 4: Пусть \(u=x-5\) и \(v=y+7.\) Примечание. Целое число, противоположное шагу 4, поэтому, если оно положительное на шаге 4, оно будет отрицательным на шаге 5, и наоборот. Тогда \(5u+3v= 5(x-5)+3(y+7)\) \(= 5x-25+3y+21\) \(=5x+3y-4\) \( = 4-4\) (поскольку уравнение имеет вид \(5x+3y=4\)) \(=0.\) Шаг 5: Решить 5u+3v=0 Общие решения: \(u= -3m\) и \(v=5m, m \in\mathbb{Z}\). Шаг 6: \(x-5=-3m\) и \(y+7=5m, m \in\mathbb{Z}\). Следовательно, общие решения равны \(x=-3m+5, y=5m-7, m \in\mathbb{Z}\). Пример \(\PageIndex{4}\): Решить линейное диофантово уравнение: \(2x+4y=21, x,y \in\mathbb{Z}\). Решение: Поскольку \(\gcd(2, 4)=2\) и \(2\) не делит \(21\), \(2x+4y=21\) не имеет решения . Пример \(\PageIndex{5}\): Решить линейное диофантово уравнение \( 20x+16y=500, x,y \in \mathbb{Z_+}\). Решение Оба \(x, y ≥ 0,500 = 20(x) + 16(y).\) Шаг 1: \(gcd(20, 16) = 4. \) Так как \(4 | 500\), мы ожидаем решения. Шаг 2: Решение: \(4125=20(1)(125)+16(-1)(125). \) \(500= 20(125)+16(-125)\ ) Следовательно, \(x = 125\) и \( y = -125\) является решением задачи \( 500 = 20x + 16y.\) Шаг 3: Пусть u = x — 125 и v = y + 125. Предположим, что 20u + 16v = 20x — (20)(125) + 16y +(16)(125) = 20x +16y -[(20)(125) -(16)(125 )] =20x + 16y -500. Таким образом, 20u + 16v = 0, Шаг 4: В общем случае решение ax + by = 0 есть x=bdk и y=-adk, kZ \ {0}, d=gcd(a, б). Напомним, НОД(20, 16) = 4, Таким образом, u = 16k/4 = 4k и v = -20k/4 = -5k, k ∈ ℤ. Шаг 5: Замените u и v. Рассмотрим 4k = x — 125 и -5k = y + 125. Следовательно, x = 4k + 125 и y = -5k — 125. Шаг 6 : И x, и y ≥ 0. x ≤ 25 и y ≤ 31, так как сумма равна 500. 4k + 125 ≥ 0, k ≥ -125/4, ∴ k ≥ -31,25. 4k + 125 ≤ 25, 4k ≤ -100, ∴k ≤ -25. Таким образом, возможны следующие решения: Пусть k = -25, тогда x = 25, y = 0. Пусть k = -26, тогда x = 21, y = 5. Пусть k = -27, тогда x = 17, y = 10. Пусть k = -28, тогда x = 13, y = 15. Пусть k = -29, тогда x = 9, y = 20. Пусть k = -30, тогда x = 5 , y = 25. Пусть k = -31, тогда x = 1, y = 30. Таким образом, варианты \((x,y\), удовлетворяющие данному уравнению, таковы: { (25,0) , (21,5), (17,10), (13, 15), (9, 20), (5, 25), (1,30)} В сборниках головоломок можно найти следующую задачу. Пример \(\PageIndex{6}\): Когда миссис Браун обналичила свой чек, рассеянный кассир дал ей столько центов, сколько у нее должно быть долларов, и столько долларов, сколько у нее должно быть центов. Столь же рассеянная миссис Браун ушла с наличными, не заметив несоответствия. Только после того, как она потратила 5 центов, она заметила, что теперь у нее вдвое больше денег, чем должна. Какова была сумма ее чека? Решение Пусть x — количество долларов, которое миссис Браун должна была получить, а y — количество центов, которые она должна была получить. Тогда 2(100x + y) = 100y + x — 5 Обратите внимание на двойную первоначальную сумму, не тратя ни цента. 200х + 2у = 100у + х — 5 199х — 98у = -5. 5 = — 199x + 98y   Шаг 1: gcd(199,98) = 1. Так как 1 | 5, мы можем продолжить. Шаг 2: Решение 51=-199(-33)(5) + (98)(-67)(5) 5 = -199(-165) + 98(-335). Следовательно, x = -165 и y = -335 являются решением 5 = 98y — 199x. Шаг 3: Пусть u = x + 165 и v = y + 335. Учтем, что -199u + 98v = -199(x + 165) + 98(y + 335) = -199x + 98y — [(199)(165) + (98)(335)] Таким образом -199u + 98v = -199x + 98y — 5 = 0. Шаг 4: В общем случае решение ax + by = 0 есть x=bdk и y=-adk, kZ \ {0}, d=gcd(a,b). Напомним, gcd(199, 98) = 1. Таким образом, u = 98k и v = 199k, k ∈ ℤ. Шаг 5: Замените u и v. x + 165 = 98k и y + 335 = 199k, k ∈ ℤ. Следовательно, x = -165 + 98k и y = -335 + 199k. Шаг 6: Оба x и y ≥ 0 и оба x, y < 100 -165 + 98k ≥ 0, поэтому k ≥ 1,68 + 98k < 100, 98k < 265, ∴ k < 2,70 -335 + 199k < 100, 199k < 435, ∴ k < 2,18 Так как 1,68 ≤ k < 2,18 и k ∈ ℤ, k = 2, Таким образом, x = 98(2) — 165 = 31 и y = -335 + 199(2) = 63. Таким образом, чек был на 31,63 доллара. Для проверки кассир дал миссис Браун 63,31 доллара, затем она потратила 5 центов, оставив ей 63,26 доллара, что в два раза превышает сумму чека \((2)(\31,63 доллара)=\63,26 доллара\).✔ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Криптография Создание различных комбинаций различных элементов. Эта страница под названием 5.1: Линейные диофантовые уравнения распространяется по лицензии CC BY-NC-SA, автором, ремиксом и/или куратором которой является Памини Тангараджа. Наверх Была ли эта статья полезной? Тип изделия Раздел или страница Автор Памини Тангараджа Лицензия CC BY-NC-SA Показать страницу Содержание да Теги расчет: да Диофантовы уравнения юпитер: питон Линейное диофантово уравнение Диофантовы уравнения Диофантовы уравнения Хорватский Андрей Дуйелла: Аспирантура     (2006/2007) Описание курса В этом курсе будут рассмотрены некоторые основные методы решения диофантовы уравнения. Мы подробно опишем результаты и алгоритмы, связанные с классические диофантовы уравнения, такие как уравнения Пеллиана и тернарные квадратичные формы. В этих уравнениях общий будут проиллюстрированы принципы решения диофантовых уравнений: приложения результатов диофантовых приближений, алгебраич. теория чисел и p -адический анализ. Изучим современные инструменты из диофантовых приближений (линейные формы в логарифмах алгебраических чисел, гипергеометрические метод рациональных приближений целых алгебраических чисел), который позволяют получить оценки сверху на размер решений различные типы диофантовых уравнений. Самые популярные методы для уменьшения этих верхних границ (метод Бейкера-Дэвенпорта на основе цепной дроби, редукция с использованием LLL-алгоритма) будет быть описаны. Проиллюстрируем на примерах, как описанное методы приводят к полному решению различных диофантовых задач. Эти задачи будут включать уравнения Туэ, целые точки на эллиптические кривые, системы уравнений Пеллиана и уравнения с рекурсивные последовательности. Предполагается, что учащиеся знакомы с основными понятия и результаты из теории чисел, на уровне, описанном в курс бакалавриата Введение в теорию чисел. Каталожные номера Н. П. Смарт: Алгоритмическое разрешение Диофанта Уравнения , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1998. С. Алака, К. С. Уильямс: Введение в алгебраическую теорию чисел , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2004. В. С. Энглин: Королева математики. Введение в теорию чисел , Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 1995. Г. Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения , Springer Verlag, Берлин, 2007 г. Г. Коэн: Теория чисел. Том II: Аналитические и современные инструменты , Springer Verlag, Берлин, 2007 г. И. Гаал: Диофантовы уравнения и базисы степенных интегралов , Биркхаузер, Бостон, 2002 г. WJ LeVeque: Темы по теории чисел. Тома I и II , Дувр, Нью-Йорк, 2002 г. Л. Дж. Морделл: Диофантовы уравнения , Academic Press, Лондон, 1969 год. Т. Наджелл: Введение в теорию чисел , Челси, Нью-Йорк, 1981 год. И. Нивен, Х. С. Цукерман, Х. Л. Монтгомери: Введение в теорию чисел , Уайли, Нью-Йорк, 1991. А. Петё: Algebraische Algorithmen , Vieweg, Braunschweig, 1999. В. М. Шмидт: Диофантово приближение и диофантово Уравнения , Springer-Verlag, Берлин, 1996. Т. Х. Шори, Р. Тайдеман: Экспоненциальная диофантовая Уравнения , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1986 год. Дж. Х. Сильверман, Дж. Тейт: рациональных точек на эллиптике Кривые , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1992. В. Г. Сприндзук: Классические диофантовы уравнения , Springer, Берлин, 1993. J. Steuding: Диофантовый анализ , Chapman & Hall/CRC, Бока-Ратон, 2005 год. Б.М.М. де Вегер: Алгоритмы для диофантовых уравнений , Centrum voor Wiskunde en Informatica, Амстердам, 1989 год. У. Занье: Некоторые приложения диофантова аппроксимации к диофантовым уравнениям , Forum Editrice, Удине, 2003 г. Конспект лекций (в формате pdf ; на хорватском языке) Темы семинара Домашнее задание: ex1 ex2 отл3 отл4 ex5 ex6 Некоторые (полезные) ссылки Семинар по теории чисел и алгебре (Загребский университет) Введение в число Теория — Бакалавриат (Андрей Дуйелла) Криптография — Бакалавриат (Андрей Дуйелла) Эллиптические кривые и их приложения в криптографии — Студенческий семинар (2002/2003) Программные пакеты, представляющие интерес для теории чисел Домашняя страница PARI/GP Калькулятор MAGMA Решатель уравнения Пелла (Майкл Цукер) Решатель квадратного диофантова уравнения (Дарио Альперн) Вт уравнения (Клеменс Хойбергер) Diophantine m -страница кортежей (Andrej Dujella) Страница десятой проблемы Гильберта (Максим Всемирнов, Юрий Матиясевич) Сеть по теории чисел Группы и семинары по теории чисел Рекомендуемая литература для аспирантов по теории чисел Анри Коэн: Явные методы решения диофантовых уравнений, Зимняя школа в Аризоне, 11-15 марта 2006 г. Учебная конференция «Разрешимость диофантовых уравнений», Лейден, 7-11 мая 2007 г. Андрей Дуйелла домашняя страница Решение линейных диофантовых уравнений | Изучение теории чисел Уравнения, подобные приведенным в следующем списке, всегда имеют решения в действительных числах. Когда мы фокусируемся только на целочисленных решениях, они называются линейными диофантовыми уравнениями. В этом посте мы обсудим, как работать с линейными диофантовыми уравнениями с двумя неизвестными. В частности, мы показываем, имея такое уравнение, как определить, есть ли у него решения, и, если они есть, как описать полное множество решений. Как указано выше, нас интересуют только целочисленные решения уравнения . Таким образом, под решением мы подразумеваем пару целых чисел, удовлетворяющих уравнению. Решение линейных диофантовых уравнений — это тема, которая является продолжением обсуждения алгоритма Евклида и расширенного алгоритма Евклида в этом предыдущем посте. Вот ход мысли. Чтобы решить линейное диофантово уравнение , где , и целые числа, первым шагом является нахождение наибольшего общего делителя и , используя алгоритм Евклида. Мы используем обозначение для обозначения наибольшего общего делителя. Как только мы узнаем , мы узнаем, имеет ли уравнение решения. Если у него есть решения, тот же алгоритм, который выводит НОД, сгенерирует конкретное решение уравнения (это расширенный алгоритм Евклида). По частному решению можно полностью описать множество решений уравнения . В следующем разделе мы обсудим этот мыслительный процесс более подробно. ___________________________________________________________________________________________________________________ Как находить решения Мы демонстрируем метод, используя линейное диофантово уравнение , первое в приведенном выше списке, доказывая по ходу все необходимые леммы и теоремы. Мы работаем над теоремой 3 ниже, которая дает способ описать полное множество решений любого линейного диофантова уравнения (если оно имеет одно решение). Пусть . Уравнение всегда имеет решение. На самом деле это утверждение называется расширенным алгоритмом Евклида. Решение можно получить, работая в обратном направлении от алгоритма Евклида (когда мы используем его для получения НОД). Например, . Мы можем проследить шаги в поиске НОД, чтобы увидеть, что . Таким образом, пара и является решением уравнения . Основываясь на этом развитии, мы можем видеть, что всегда есть решение, если оно кратно . Например, уравнение имеет решения, поскольку мы имеем следующее: . Таким образом, пара и является решением уравнения , которое является первым линейным диофантовым уравнением, перечисленным в начале поста. Подытожим это обсуждение в следующей лемме. Лемма 1 Пусть . Линейное диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда . Обозначение означает, что делится на . Доказательство леммы 1 Приведенное выше обсуждение по существу показывает направление . Расширенный алгоритм Евклида показывает, что имеет решение и . Если для некоторого целого числа , то указывает, что пара и является решением . Направление следует из наблюдения, которое всегда делит левую часть . Таким образом, должно делить и правую часть, если уравнение не имеет решения. Оказывается, если мы можем найти одно решение линейного диофантова уравнения, мы можем найти бесконечно много решений. Лемма 2 Если пара и является решением , то так же является следующая пара чисел и где любое целое число. Лемму 2 можно доказать, подставив новые решения в уравнение . Мы также можем заметить, что если мы увеличим на значение , мы увеличим левую часть уравнения на . С другой стороны, если мы уменьшим на величину , мы уменьшим левую часть уравнения на . Чистый эффект заключается в том, что левая часть уравнения остается неизменной. Используя лемму 2, следующее описывает бесконечно много решений уравнения . и для всех целых Но приведенный выше набор решений не является полным. Например, пара чисел и также является решением уравнения , но не приведена выше. Следующая теорема даст полный набор решений. Теорема 3 Пусть . Если пара и является решением , то полный набор решений уравнения состоит из всех целых пар таких, что где любое целое число. Доказательство теоремы 3 Предположим, что пара и является решением . Два момента, которые нужно показать. Во-первых, любая пара чисел в приведенной выше форме является решением. Другой заключается в том, что любое решение имеет вышеуказанную форму. Чтобы увидеть первый, обратите внимание, что Чтобы увидеть вторую точку, предположим, что пара чисел и является решением уравнения . У нас есть следующее. Перестановка и деление на , мы имеем следующее. Обратите внимание, что две дроби в последнем уравнении являются целыми числами, поскольку является наибольшим общим делителем и . Более того . Обратите внимание, что после сокращения всех общих простых множителей двух чисел получившиеся два числа должны быть взаимно простыми. На основании приведенного выше уравнения (1) число делится на . Потому что число не может делиться. Значит, число должно делиться. Итак, для некоторого целого числа мы имеем: Подключитесь к (1), у нас есть . Это приводит к следующему. Уравнения (2) и (3) показывают, что решение и имеет вид, указанный в теореме. На основании теоремы 3 полный набор решений уравнения выглядит следующим образом: где любое целое число. ________________________________________________________________________________________________________________________________ Резюме Линейное диофантово уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда где . Если линейное диофантово уравнение разрешимо, его решение состоит из двух шагов. Шаг 1 Сначала находим частное решение. Мы можем найти его методом проб и ошибок, если числа не слишком велики. В противном случае мы можем применить расширенный алгоритм Евклида. Обратите внимание, что если мы используем алгоритм Евклида для нахождения , мы можем просто работать в обратном направлении в алгоритме Евклида, чтобы найти решение уравнения , которое в терминах приводит к решению уравнения . Step 2 Theorem 3 provides a way to desribe the complete solution set of the linear Diophantine equation based on the particular solution that is found in Step 1. ___________________________________________________________________________________________________________________ More Examples Чтобы решить, нам нужно найти НОД числа и (знак минус можно опустить). Используем алгоритм Евклида. НОД равен , который делит . Итак, уравнение имеет решения. Нам нужно найти конкретное решение. Сначала мы работаем в обратном направлении от приведенных выше разделов, чтобы найти решение . Затем мы умножаем это решение на . Работая в обратном порядке, получаем: Итак, пара чисел и является решением . Таким образом, пара чисел и является решением . Таким образом, следующее полностью описывает множество решений . ________________________________ Чтобы решить , обратите внимание , что НОД числа и равно , на которое не делится . Таким образом, уравнение не имеет решений. ________________________________ Чтобы решить , сначала найдите НОД числа и . Применяем алгоритм Евклида. Таким образом, НОД равен 1. Значит, уравнение имеет решения. Чтобы получить одно конкретное решение, мы работаем в обратном направлении от вышеуказанных делений и получаем: Таким образом, и является конкретным решением для . Полный набор решений описывается: для любого целого числа . _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Это. Алгоритм Евклида (или алгоритм Евклида) является одним из наиболее часто используемых и наиболее распространенных математических алгоритмов, и, несмотря на тяжелые приложения, его удивительно легко понять и реализовать. В простейшей форме НОД двух чисел a, b — это наибольшее целое число k, которое делится на a и b без остатка. Мы будем обозначать его как gcd(a, b), что является стандартным представлением. Когда одно из чисел в паре равно 0, по определению НОД является вторым числом. Когда оба числа равны 0, наибольший общий делитель не определен, но предполагается, что он равен 0. Тривиальный алгоритм нахождения общего общего делителя двух чисел будет состоять в цикле от 1 до min(a, b) и проверьте для каждого числа, делится ли оно на a и b. Диапазон gcd(a, b) равен [1, min(a, b)] , потому что число не может делиться на другое число, меньшее его. По той же причине мы зацикливаемся от 1 до min(a, b) . Псевдокод для приведенной выше идеи: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Пусть a, b будут числами, НОД которых мы вычисляем Предположим, а <= б Если а == 0 Возврат б Эндиф НОД = 1 для каждого я (1 <= я <= а) Если а делится на i и b делится на i НОД = я Эндиф Endfor Вернуть НОД Другой способ найти gcd — запустить цикл от i = a до i = 1 и вернуть gcd при первом появлении «i», так что оно делит и a, и b. В обоих случаях временная сложность в худшем случае для этого алгоритма остается O(n) . Алгоритм Евклида, с другой стороны, дает нам способ вычислить наибольший общий делитель двух чисел в O(log(min(a,b))) . В этой статье будет представлен алгоритм Евклида для поиска НОД и его применения в соревновательном программировании. НЕКОТОРЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ С НОД Вы можете заметить, что НОД двух чисел не меняется, если большее число заменить разностью между двумя числами. Делая это неоднократно, в конце концов один из элементов станет 0, а НОД станет вторым элементом (который не равен нулю). С каждым запуском одно из чисел уменьшается, что гарантирует, что алгоритм в конечном итоге завершится. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРАВИЛЬНОСТИ Пусть a равно p k и b равно q k, где k является НОД чисел a и b, и без ограничения общности предположим, что a <= b, т. е. p <= q. Теперь разность b-a = (q-p)*k, где q - p >= 0 Видно, что НОД a и b-a также равен k. Повторив этот процесс дальше, в конце концов мы получим 0, а другое число равно k. Псевдокод вышеуказанной идеи: 1 2 3 4 5 6 7 8 НОД(а, б) если а > б swap(a, b) // сохраняем меньшую из пары Эндиф Если а == 0 Возврат b//назальный регистр Эндиф Вернуть gcd(b - а, а) Математически это можно представить как 1 2 gcd(a, b) = b, когда a = 0 gcd(b - a, a) иначе. .. Уравнение 1 ДОПОЛНЕНИЕ К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ Тот же алгоритм можно немного улучшить, заменив большее число на b%a вместо b-a. b%a означает b по модулю a или остаток от деления b на a. Доказательство этого изменения находится в уравнении 1. Пусть НОД чисел a и b равно k. Следовательно, k|a и k|b, где p|q означает, что p делит q. Теперь по определению b%a = b - ⌊b/a⌋*a И b, и ⌊b/a⌋*a делятся на k; следовательно, b - ⌊b/a⌋*a также делится на k, что делает b%a | к. После этого момента мы можем повторить то, что мы сделали в уравнении 1, заменив каждое вычитание модулем. Тот же пример с 14 и 26 14 26 заменить 26 на 26%14 14 12 заменить 14 на 14%12 2 12 заменить 12 на 12%2 2 0 Как только одно из чисел получается 0, выход, gcd - второе число. Вот некоторый псевдокод для вышеуказанного алгоритма: 1 2 3 4 5 НОД(а, б) Если а == 0 Возврат б Эндиф Возвращает gcd(b % a, a) и повторный код 1 2 3 4 5 6 7 НОД(а, б) а > 0 темп = б б = а а = темп% а EndWhile Возврат б 99, но с помощью алгоритма Евклида мы можем вычислить наибольший общий делитель не более чем за тридцать шагов. РАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА Расширенный алгоритм Евклида утверждает, что для любых двух положительных целых чисел a и b всегда найдутся m и n такие, что НОД чисел a и b можно представить как a * m + b * n. Следовательно, a * m + b * n = gcd(a, b) для некоторых целых m и n они могут быть отрицательными или нулевыми. В то время как алгоритм Евклида находит НОД двух чисел, расширенный алгоритм также позволяет нам представить это НОД в терминах этих двух чисел. Важность этого результата видна в следующей теме, линейных диофантовых уравнениях. В этой оригинальной теореме Евклида операции заканчиваются, когда одно из чисел равно 0, а другое — g. Для этих параметров легко найти коэффициенты m и n, которые равны 0*0 + g*1 = g … Уравнение 2 Где 0 — это m, а 1 — это n, вместо 0, m можно принять целым числом, так как уравнения остаются верными; интересно видеть, что при изменении значений здесь мы получаем разные конечные значения m и n. Например, если a = 3 и b = 5, то 3*(2) + 5*(-1) = 1 , а также 3*(-3) + 5*(2) = 1 . Итак, изменение значений m и n в базовом случае дает нам разные m и n для исходного уравнения. Поменяв местами шаги теоремы Евклида, мы можем найти коэффициенты m и n. Все, что нам нужно сделать, это выяснить, как значение m, n изменяется от (b%a, a) до (a, b). Предположим, мы знаем некоторые x0 и y0 такие, что 1 2 3 4 ах0 + (б % а) у0 = г ax0 + (b - ⌊b / a⌋ * a) y0 = g a(x0 - ⌊b / a⌋y0) + by0 = g ам + бн = г Следовательно, m = x0 - ⌊b/a⌋y0 n = y0 Псевдокод приведенного выше результата выглядит так: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 gcd(a, b, n, m) // Уравнение будет выглядеть как a*m + b*n = g Если а == 0 м = 0, п = 1 Возврат б КонецЕсли хх, уу g = gcd(b % a, a, xx, yy) х = уу - ⌊b / а⌋ * хх; у = хх; Возврат г ЛИНЕЙНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ У нас есть три целых числа, a, b и c, такие, что a * x + b * y = c , нам требуется найти решение этого линейного уравнения. Линейные уравнения с двумя переменными известны как линейные диофантовые уравнения, и в решении этих задач помогает расширенный алгоритм Евклида. Давайте еще раз посмотрим на уравнение расширенного алгоритма Евклида, обозначим g как gcd(a, b), а x_g, y_g — целые числа, для которых: ax_g + by_g = g верно *(c/g) + byg*(c/g) = c также верно Следовательно, требуемый x равен x_g*(c/g) и y = y_g*(c/g) . Если c делится на gcd(a, b) , то линейное уравнение имеет одно или несколько решений; в противном случае это не так. Легко заключить, что линейная комбинация любого целого числа должна делиться на это число. Таким образом, одно из решений приведенного выше линейного диофантова уравнения: функция, которую мы вычислили ранее: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Find_one_solution (int a, int b, int c, int & m, int & n) g = gcd(a, b, m, n) Если с % г != 0 вернуть false // если c не делится на g, решения не существует КонецЕсли м = м * с / г п = п * с / г Если а < 0 м = -м КонецЕсли Если б < 0 п = -п КонецЕсли Вернуть истину ЗАКЛЮЧЕНИЕ Слава! Вы завершили его. Теперь вы можете решить любую задачу, использующую алгоритм Евклида или касающуюся поиска решений линейных уравнений. В соревновательном программировании большую часть времени проблемы не связаны с простой задачей вычисления НОД двух чисел. Все-таки часто это подзадача к решению какой-нибудь ДП или жадной, а точнее какой-нибудь математической задачи. Диофантовы уравнения редко приносят пользу, когда возникают такие проблемы, как «Сколькими способами можно и объединяются с <условия> и их сумма составляет . " Всегда важно держать под рукой математическую теорему и алгоритмы, когда вы хотите повысить рейтинг. Нажмите, чтобы показать предпочтения! Нажмите, чтобы показать предпочтения! по шагам - www.TiNspireApps.com Решайте любые задачи по теории чисел — шаг за шагом — с помощью приложения Number Theory Made Easy на сайте www.TiNspireApps.com Посмотрите это видео, чтобы увидеть, как он может решать все задачи теории чисел: Решать простые числа, алгоритм Евклида, теоремы Коллатца, Безу, Ферма, Эйлера, Уилсона, закон взаимности, китайский остаток и т. д. Выполнять модульную арифметику в все уровни, найти НОД, НОК, сигма-нотацию, доказательство по индукции, решить диофантовые уравнения и любые другие уравнения, решить систему уравнений 2 × 2 и 3 × 3, решить арифметические и геометрические последовательности, комплексные числа, квадратные уравнения, заполнить квадрат , многочлены, выполнение полиномиального и синтетического деления, рациональная теорема о нуле, решение задач комбинаторики, включающих перестановки и комбинации. Теория игр, дилемма заключенных. Все проблемы можно решить ШАГ ЗА ШАГОМ Here is a listing of the app functionality: . Sin 2 arcsin 2: Mathway | Популярные задачи alexxlab / 04.09.197028.07.2021 / Разное 2   Theorems & Conjectures    Goldbach Conjecture    Collatz Conjecture    Twin Prime Conjecture    Dirichlet's Box Principle    Euclid : бесконечно много простых чисел.    Теорема о простых числах    Теорема Эйлера    Fermat's Little Theorem    Fermat's Last Theorem    Wilson's Theorem    Chinese Remainder Theorem    Law of Quadratic Reciprocity    Bezout Theorem    Primes    Найти простую факторизацию    Список простых чисел между A и B    Count Primes between A and B    Find Prime greater/less than A    Prime Checker    Coprime Checker    Euler's Phi(n)-function    Find GCD & LCM Euclidean Algorithm находит GCD Расширенные Euclidean Algorithm Bezout Theorem Bezout Theorem Bezout Theorem Bezout Theorem BEZOUT Theorem (BEZOUT Theorem . 2+bx+c=0 mod m        Legendre Symbol        Law of Quadratic Reciprocity          Integers      Factor      Expand/Distribute      Найти НОД и НОД      Список делителей числа N      Sigma Σ-Notation      Divisibility Rules      Proof By Induction (Sums)      Proof By Induction (Products)                  Diophantine Equations        Count Integers given Range given N        Подсчет целых чисел, кратных N и/или M        Целочисленные решения 1 уравнения. с 2 переменными        Целочисленные решения 1 уравнения. with 3 Variables        Try: Non-Integer Solutions to 1 Equation                  Algebra      Solve any Equation or Inequality      Solve 2×2 system – Шаг за шагом      Решить систему 3×3 – Шаг за шагом      Упростить и оценить      Powers      Find Common Denominator      Find Proper Fractions      Solve Proportion (Ratio) Problems      Absolute and Percent Change                  Logic           Читать таблицы истинности           Читать законы высказываний           Read Conditional           Read BiConditional           Read Set Theory: 10 Facts           Read Set Theory: 9 Laws                  Polynomials & Sequences        All -in-one-Polynomial Explorer        Найти степень        Найти корни        Polynomial Division & Remainder        Synthetic Division        Explicit Sequence & Partial Sum        Recursive Sequence & Partial Sum        Sequence Formula Finder        Geometric Sequence & Series        Арифметическая последовательность                      Quadratic Equations & Complex Numbers           Do the Quadratic Equation           Complete the Square           Complete the Square to find Zeros           Complete the Square to find Vertex           One Complex Номер : All-in-one-Explorer          Два комплексных номера : All-in-one-Explorer Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач. Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью. Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье. для α∈-1, 1  sin(arccis α)=α,   cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞)  tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле. Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса для -π2≤α≤π2  arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<α<π2 arctg (tg α)=α,для 0<α<π arcctg (ctg α)=α Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя. Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел В этом блоке мы сформулируем важное утверждение: Определение 1 Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа. для α∈-1, 1  arccis (-α)=-arcsin α,   arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞)  arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще. Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс Они выглядят следующим образом: для α∈-1, 1  arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞)  arctg α+arcctg α=π2 Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом. Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе. -1≤α≤1,sin (arcsin α)=α -1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2 -∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2 -∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2 -1≤α≤1,cos (arcsin α)=1-α2 -1≤α≤1,cos (arccos α)=α -∞≤α≤+∞,cos (arctg α)=11+α2 -∞≤α≤+∞, cos (arcctg α)=11+α2 -1<α<1,tg (arcsin α) =α1-α2 α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α -∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α α≠0 ,tg (arcctg α)=1α α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α -1<α<1,ctg (arccos α)=α1-α2 α≠0,ctg (arctg α)=1α -∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах. Пример 1 Вычислите косинус арктангенса из 5. Решение У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2 Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26 Пример 2 Вычислить синус арккосинуса 12. Решение Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2 Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32 Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32 Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это. Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать задание Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций — косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим: sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить: sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<α<π2sinα=11+ctg2α, 0<α<π У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии. Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог — формула синуса арккосинуса. Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса. Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса. Все наши расчеты можно сформулировать более емко: sinα=1-cos2α, 0≤α≤π Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2 sinα=tgα1+tgα, -π2<α<π2, Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2 sinα=11+ctg2α, 0<α<π Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2 Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса. Их мы выведем по имеющемуся шаблону: Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2 Из cosα=11+tg2α, -π2<α<π2 следует, что Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<α<πcos(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2 следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2 Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<α<π2. Получаем tg(arcsin α)=sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2 при условии, что -1<α<1. Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1). Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0. Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств: ctgα=1tgα Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель. Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры. Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу: arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1arcsinα=arcctg1-α2α, 0<α≤1arcctg1-α2α-π, -1≤α≤0 А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции: arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<α≤1π+arctg1-α2α, -1<α<0arccosα=arcctgα1-α2, -1<α<1 Формула выражения арктангенса: arctgα=arcsinα1+α2, -∞<α<+∞arctgα=arccos11+α2, α≥0-arccos11+α2, α<0arctgα=arcctg1α, α≠0 Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции: arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<α<+∞arcctgα=arctg1α, α≠0 Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул. Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и постараемся вывести доказательство. Мы знаем, что arctgα1-α2 — это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим: sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 – это и есть арксинус числа a. Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<a<1 Прочие формулы доказываются по аналогии. В завершение разберем один пример применения формул на практике. Пример 3 Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3. Решение Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0 Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<α<π В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12 Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2  sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12 Прочие формулы с обратными функциями Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны. Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом: sin2α2=1-cosα2 Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит: sinα2=1-cosα2 Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так: sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2 Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус: arccosα2=arcsin1-α2 Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове. В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Решение уравнений sinx=a. Понятие арксинуса числа 1. Решение уравнений sinx=a. Понятие арксинуса числа. Преподаватель математики СПб СВУ МО РФ Лошак В.С. Уравнение sin x=a sin x a; a 1. y 1 a 0 1 x x 2 k ; x 2 k ; k Z. arcsin a 3. АРКСИНУС ЧИСЛА Определение. Арксинусом числа a 1;1 называется такое число ; синус которого равен а , 2 2 sin arcsin a a, arcsin a , 2 2 1 a 1 4. АРКСИНУС ЧИСЛА • Например 2 arcsin ; 2 4 arcsin 0 0; 3 arcsin ; 3 2 т.к. т.к. т.к. 2 ; sin . 2 4 2 4 2 2 0 2 ; sin 0 0. 3 ; sin . 2 3 2 3 2 5. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ y 1 а arcsin a 0 1 x -а arcsin a arcsin a arcsin a 6. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Например 2 2 1 1 2 arcsin 3 arcsin 2 arcsin 2 2 2 2 3 13 3 2 4 6 4 3 12 1 3 2. 2 arcsin 1 5 arcsin 0 arcsin 2 2 1. 3 arcsin 1 3 arcsin 2 5 0 2 2 2 1 7 2 3 6 6 7. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ cos 1 sin 2 arcsin a arcsin a ; 2 2 cos arcsin a 1 sin arcsin a 1 a 2 2 8. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ sin(arcsina) = a • Например 3 3 sin arcsin 2 2 6 6 3. 4. sin arcsin 7 7 1 3 5. cos arcsin cos 2 2 6 2 2 2 4 6. cos arcsin 1 1 25 5 5 21 25 21 5 cos(arcsin a) = 1 а2 АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ sin arcsin a a, arcsin a ; , a 1;1 2 2 arcsin a arcsin a cos arcsin a 1 a 2 arcsin sin , ; 2 2 10. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Например 7. tg 5 arcsin 2 tg tg tg 1 4 4 4 2 1 1 cos arcsin 1 1 3 9 8. ctg arcsin 1 1 3 sin arcsin 3 3 5 8 3 2 2 9 11. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Например 9. 10. arcsin sin 5 5 arcsin sin , ; 2 2 3 arcsin sin 2 arcsin sin 5 5 2 2 arcsin sin 5 5 12. Уравнение sinx=a sin x a, a 1 y1 arcsin a arcsin a a 0 x arcsin a 2 k x arcsin a 2 k , k Z 1 x x 1 arcsin a n, n Z n sin x 0 x k , k Z sin x 1 x 2 2 k , k Z sin x 1 x 2 2 k , k Z 13. Уравнение sinx=a x 1 arcsin a n, n Z n Пусть n-чётное число, n=2k, тогда x 1 arcsin a 2 k arcsin a 2 k , k Z 2k Пусть n-нечётное число, n=2k+1, тогда x 1 2 k 1 Итак arcsin a 2k 1 arcsin a 2 k , k Z x arcsin a 2 k x arcsin a 2 k , k Z 14. Уравнение sinx=a • Пример 1. 1 2 x arcsin 2 2 k 2 x arcsin 1 2 k 2 x 12 k , k Z. x 5 k 12 1 sin 2 x 2 2 x 6 2 k ; ; 2 x 2 k 6 2 x 2 k 6 2 x 5 2 k ; 6 или 1 2 x 1 n arcsin n; 2 2 x 1 n x 1 n 6 12 n n 2 ; , n Z. 15. Уравнение sinx=a Пример 2. 1 sin x 4 2 1 x 4 arcsin 2 2 k ; 1 x arcsin 2 k 4 2 x 4 4 2 k ; x 2 k 4 4 1 x arcsin 2 k 4 2 ; x arcsin 1 2 k 4 2 x 2 k 3 x 2 k , k Z . 2 16. Уравнение sinx=a • Пример 2. 1 sin x 4 2 или 1 x 1 arcsin n; 4 2 1 n x 1 arcsin n; 2 4 n x 1 n 1 4 4 n, n Z . x 2 k 3 x 2 k , k Z . 2 17. Уравнение sinx=a • Пример 3. 3sin x 1 2 sin x 1 0 3sin x 1 0; 2 sin x 1 0; 1 sin x ; 3 1 sin x ; 2 1 x 1 arcsin n, n Z . 3 n 1 x arcsin 2 2 k ; x arcsin 1 2 k 2 x 2 k 6 , k Z. x 7 2 k 6 18. Уравнение sinx=a • Пример 4. sin x 2 cos x sin 3x 0 sin x sin 3x 2 cos x 0 2 sin 2 x cos x 2 cos x 0 cos x 2 sin 2 x 2 0 cos x 0 2 sin 2 x 2 0 19. Уравнение sinx=a • Пример 4. cos x 0 sin x 2 cos x sin 3x 0 2 sin 2 x 2 0 2 2 sin 2 x 2 x 2 k , k Z . 2 x 4 2 n ; 2 x 2 n 4 x n 8 , n Z. x 5 n 8 тригонометрии — Как можно вычислить $ \ sin (2 * \ arcsin (3/5)) $ вручную? тригонометрия — Как можно вычислить $ \ sin (2 * \ arcsin (3/5)) $ вручную? — Обмен стеками математики Сеть обмена стеков Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру. Посетить Stack Exchange 0 +0 Авторизоваться Зарегистрироваться Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту. Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу Кто угодно может задать вопрос Кто угодно может ответить Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх Спросил 4 года, 6 месяцев назад Просмотрено 1к раз $ \ begingroup $ Хотя достаточно просто зайти на Wolfram Alpha и увидеть, что ответ — 24/25, я хотел бы узнать, как доказать это вручную, если это возможно.К сожалению, arcsin (3/5) — трансцендентное число, и кажется, что оно состоит из бесконечных цифр. Есть ли способ оценить sin (2 * arcsin (3/5)) как 24/25, не переходя к компьютерным функциям? S.C.B. 22.5k33 золотых знака3333 серебряных знака5858 бронзовых знаков Создан 23 янв. ГаленГален 73444 серебряных знака1919 бронзовых знаков $ \ endgroup $ 4 $ \ begingroup $ Давайте использовать прямоугольный треугольник.2 \ theta = \ frac {16} {25}. $ Обратите внимание, что это не делает $ \ cos \ theta = — \ frac {4} {5} $ благодаря определению arcsin. 2} $$ $$ \ color {красный} {\ sin (2 \ arcsin \ dfrac35)} = 2 \ dfrac35 \ sqrt {\ dfrac {16} {25}} = \ color {blue} {\ dfrac {24} {25}} $ Создан 23 янв. Носрати 29.2 (x)} $. Создан 23 янв. Пользователь8128 14.1k11 золотых знаков1010 серебряных знаков2727 бронзовых знаков $ \ endgroup $ $ \ begingroup $ для любых $ \ theta $, которые у нас есть $$ \ грех 2 \ тета = 2 \ грех \ тета \ соз \ тета $$ если $$ \ theta = \ arcsin \ frac35 $$ тогда тривиально $$ \ sin \ theta = \ frac35 $$ с использованием $$ \ соз ^ 2 \ тета + \ грех ^ 2 \ тета = 1 $$ вы можете вычислить $ \ cos \ theta $, чтобы закончить? (как вы интерпретируете тот факт, что существует два возможных значения $ \ cos \ theta $?) Создан 23 янв. Дэвид ХолденДэвид Холден 17.2,112 золотых знаков1515 серебряных знаков3030 бронзовых знаков $ \ endgroup $ Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript Ваша конфиденциальность Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Принимать все файлы cookie Настроить параметры Упростите обратные тригонометрические функции Бесплатная практика для тестов SAT, ACT и Compass Maths Как упростить выражения, включая обратные тригонометрические функции, по математике в 12 классе.Также включены вопросы с подробными решениями. Вопрос 1 Упростите выражения: a) sin (arcsin (x)) и arcsin (sin (x)) b) cos (arccos (x)) и arccos (cos (x)) c) загар (арктан (x)) и арктан (загар (x)) Решение a) sin и arcsin противоположны друг другу, и поэтому свойства обратных функций могут использоваться для записи sin (arcsin (x)) = x, для -1 ≤ x ≤ 1 arcsin (sin (x)) = x, для x ∈ [-π / 2, π / 2] ПРИМЕЧАНИЕ: Если x в arcsin (sin (x)) не находится в интервале [-π / 2, π / 2], найдите θ в интервале [-π / 2, π / 2] так, чтобы sin (x) = sin (θ), а затем упростим arcsin (sin (x)) = θ b) cos и arccos являются обратными друг другу, поэтому свойства обратных функций могут использоваться для записи cos (arccos (x)) = x, для -1 ≤ x ≤ 1 arccos (cos (x)) = x, для x ∈ [0, π] ПРИМЕЧАНИЕ: Если x в arccos (cos (x)) не находится в интервале [0/2, π], найдите θ в интервале [0, π] так, чтобы cos (x) = cos (θ), а затем упростите arccos (cos (x)) = θ c) tan и arctan противоположны друг другу, и поэтому свойства обратных функций могут использоваться для записи загар (arctan (x)) = x arctan (tan (x)) = x для x ∈ (-π / 2, π / 2) ПРИМЕЧАНИЕ: Если x в arctan (tan (x)) не находится в интервале (-π / 2, π / 2), найдите θ в интервале (-π / 2, π / 2) так, чтобы tan (x) = tan (θ), а затем упростить arctan (tan (x)) = θ Вопрос 2 Выразите следующее в виде алгебраических выражений: sin (arccos (x)) и tan (arccos (x)) Решение Пусть A = arccos (x).Следовательно cos (A) = cos (arccos (x)) = x Используйте прямоугольный треугольник с углом A таким образом, что cos (A) = x (или x / 1), найдите вторую ногу и вычислите sin (A) и tan (A) . sin (arccos (x)) = sin (A) = √ (1 — x 2 ) / 1 = √ (1 — x 2 ) для x ∈ [-1, 1] tan (arccos (x)) = tan (A) = √ (1 — x 2 ) / x для x ∈ [-1, 0) ∪ (0, 1] Вопрос 3 Выразите следующее в виде алгебраических выражений: cos (arcsin (x)) и tan (arcsin (x)) Решение Пусть A = arcsin (x).Следовательно sin (A) = sin (arcsin (x)) = x Используйте прямоугольный треугольник с углом A таким образом, что sin (A) = x (или x / 1), найдите вторую ногу и вычислите cos (A) и tan (A) . cos (arcsin (x)) = cos (A) = √ (1 — x 2 ) / 1 = √ (1 — x 2 ) для x ∈ [-1, 1] tan (arcsin (x)) = tan (A) = x / √ (1 — x 2 ) для x ∈ (-1, 1) Вопрос 4 Выразите следующее в виде алгебраических выражений: sin (arctan (x)) и cos (arctan (x)) Решение Пусть A = arctan (x).Следовательно загар (A) = загар (arctan (x)) = x Используйте прямоугольный треугольник с углом A таким образом, что tan (A) = x (или x / 1), найдите гипотенузу и вычислите sin (A) и cos (A) . sin (arctan (x)) = sin (A) = x / √ (1 + x 2 ) cos (arctan (x)) = cos (A) = 1 / √ (1 + x 2 ) Вопрос 5 Упростите следующие выражения: а) arccos (0), arcsin (-1), arctan (-1) b) sin (arcsin (-1/2)), arccos (cos (π / 2)), arccos (cos (-π / 2)) c) cos (arcsin (-1/2)), arcsin (sin (π / 3)), arcsin (tan (3π / 4)) d) arccos (tan (7π / 4)), arcsin (sin (13π / 3)), arctan (tan (-17π / 4)), arcsin (sin (9π / 5)) Решение a) Используйте определение. arccos (0) = π / 2, потому что cos (π / 2) = 0 и π / 2 находится в пределах диапазона arccos, который равен [0, π] arcsin (-1) = -π / 2, потому что sin (-π / 2) = -1 и -π / 2 находится в пределах диапазона arcsin, который равен [-π / 2, π / 2] arctan (-1) = -π / 4, потому что tan (-π / 4) = -1 и -π / 4 находится в пределах диапазона arctan, который равен (-π / 2, π / 2) б) Упростите внутренние функции, а затем внешние функции, используя определения. sin (arcsin (-1/2)) = sin (-π / 6) = -1/2 arccos (cos (π / 2)) = arccos (0) = π / 2 arccos (cos (-π / 2)) = arccos (0) = π / 2 c) Упростите внутренние функции, а затем внешние функции, используя определения. cos (arcsin (-1/2)) = cos (-π / 6) = √3 / 2 arcsin (sin (π / 3)) = arcsin (√3 / 2) = π / 3 arcsin (tan (3π / 4)) = arcsin (-1) = -π / 2 d) Упростите внутренние функции, а затем внешние функции, используя определения. arccos (tan (7π / 4)) = arccos (-1) = π arcsin (sin (13π / 3)) = arcsin (sin (4π + π / 3)) = arcsin (sin (π / 3)) = π / 3 arctan (tan (- 17π / 4)) = arctan (tan (- 4π-π / 4)) = arctan (tan (- π / 4)) = — π / 4 arcsin (sin (9π / 5)) = arcsin (sin (2π — π / 5)) = arcsin (sin (- π / 5)) = — π / 5 Вопрос 6 Пусть A = arcsin (2/3) и B = arccos (-1/2).Найдите точное значение sin (A + B). Решение Используйте отступ sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B), чтобы расширить данное выражение. sin (A + B) = sin (arcsin (2/3)) cos (arccos (-1/2)) + cos (arcsin (2/3)) sin (arccos (-1/2)) Используйте указанные выше отступы, чтобы упростить каждый термин в приведенном выше выражении. sin (arcsin (2/3)) = 2/3 (мы использовали sin (arcsin (x)) = x)) cos (arccos (-1/2)) = -1/2 (мы использовали cos (arccos (x)) = x)) cos (arcsin (2/3)) = √ (1 — (2/3) 2 ) = √5 / 3 (мы использовали cos (arcsin (x)) = √ (1 — x 2 )) sin (arccos (-1/2)) = √ (1 — (- 1/2) 2 ) = √3 / 2 (мы использовали sin (arccos (x)) = √ (1 — x 2 )) Подставим и посчитаем. sin (A + B) = (2/3) (- 1/2) + (√5 / 3) (√3 / 2) = -1/3 + √ (15) / 6 Вопрос 7 Запишите Y = sin (2 arcsin (x)) как алгебраическое выражение. Решение Пусть A = arcsin (x). Следовательно, Y можно записать как Y = sin (2 А) Используйте тождество sin (2 A) = 2 sin (A) cos (A), чтобы переписать Y следующим образом: Y = 2 sin (A) cos (A) = 2 sin (arcsin (x)) cos (arcsin (x)) Используйте тождества sin (arcsin (x)) = x и cos (arcsin (x)) = √ (1-x 2 ), чтобы переписать Y следующим образом: Y = 2 x √ (1 — x 2 ) Вопрос 8 Найдите точное значение Y = sin (2 arctan (3/4)). Решение Пусть A = arctan (3/4). Следовательно, Y можно записать как Y = sin (2 A) = 2 sin (A) cos (A) sin (A) = sin (arctan (3/4)) = (3/4) / √ (1 + (3/4) 2 ) = 3/5 cos (A) = cos (arctan (3/4)) = 1 / √ (1 + (3/4) 2 ) = 4/5 Y = 2 (3/5) (4/5) = 24/25 Дополнительные ссылки и ссылки Обратные тригонометрические функции Решение вопросов по обратным тригонометрическим функциям Математика для старших классов (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами Математика в средней школе (6, 7, 8, 9 классы ) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами Производные обратных тригонометрических функций Введение в обратные тригонометрические функции В предыдущем разделе мы изучили производные шести основных тригонометрических функций: \ [{\ color {blue} {\ sin x, \;}} \ kern0pt \ color {red} {\ cos x, \;} \ kern0pt \ color {darkgreen} {\ tan x, \;} \ kern0pt \ color {magenta} {\ cot x, \;} \ kern0pt \ color {шоколад} {\ sec x, \;} \ kern0pt \ color {maroon} {\ csc x.\;} \] В этом разделе мы рассмотрим производные обратных тригонометрических функций, которые соответственно обозначаются как . \ [{\ color {синий} {\ arcsin x, \;}} \ kern0pt \ color {red} {\ arccos x, \;} \ kern0pt \ color {darkgreen} {\ arctan x, \;} \ kern0pt \ color {magenta} {\ text {arccot} x, \;} \ kern0pt \ color {шоколад} {\ text {arcsec} x, \;} \ kern0pt \ color {maroon} {\ text {arccsc} x. \ ;} \] Обратные функции существуют, когда на область определения исходных функций накладываются соответствующие ограничения. Например, домен для \ (\ arcsin x \) составляет от \ (- 1 \) до \ (1. \) Диапазон или выход для \ (\ arcsin x \) — все углы от \ (- \ большие {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize \) в \ (\ large {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize \) радианы. Области других тригонометрических функций ограничены соответствующим образом, так что они становятся взаимно однозначными функциями, и их обратные функции могут быть определены. Производные обратных тригонометрических функций Производные от обратных тригонометрических функций могут быть получены с помощью теоремы об обратной функции. 2} \] Пример 4 \ [y = {\ frac {1} {a}} \ arctan {\ frac {x} {a}} \] Пример 5 \ [{y = \ arctan \ frac {{x + 1}} {{x — 1}} \; \;} \ kern-0.4}}}.} \] Тригонометрические функции — Справочное руководство Sage 9.3: Функции Bases: sage.symbolic.function.GinacFunction Модифицированная функция арктангенса. Возвращает арктангенс (в радианах) для \ (y / x \), где в отличие от arctan (y / x) , знаки как x , так и y являются считается. В частности, эта функция измеряет угол луча, проходящего через начало координат и \ ((x, y) \), с положительным \ (x \) — ось нулевой отметки, а с выходным углом \ (\ theta \) находится между \ (- \ pi <\ theta <= \ pi \). Следовательно, arctan2 (y, x) = arctan (y / x) только для \ (x> 0 \). Один может рассмотреть обычный arctan для измерения углов линий через начало координат, а модифицированная функция измеряет лучи через начало координат. Обратите внимание, что координата \ (y \) по соглашению является первым вводом. ПРИМЕРЫ: Обратите внимание на разницу между двумя функциями: шалфей: arctan2 (1, -1) 3/4 * пи шалфей: арктан (1 / -1) -1 / 4 * пи Это соответствует Python и Maxima: шалфей: максима.atan2 (1, -1) (3 *% пи) / 4 шалфей: math.atan2 (1, -1) 2,3561944345 Другие примеры: шалфей: arctan2 (1,0) 1/2 * пи шалфей: arctan2 (2,3) арктан (2/3) шалфей: arctan2 (-1, -1) -3 / 4 * пи Можно, конечно, и приблизить: шалфей: arctan2 (-1 / 2,1) .n (100) -0,463647600611621425623146 шалфей: arctan2 (2,3) .n (100) 0,58800260354756755124561108063 Мы можем отложить оценку с помощью параметра удержания : sage: arctan2 (-1 / 2,1, удерживать = True) арктан2 (-1/2, 1) Для повторной оценки в настоящее время мы должны использовать Maxima через шалфей.symbolic.expression.Expression.simplify () : sage: arctan2 (-1 / 2,1, удерживать = True) .simplify () -арктан (1/2) Функция также работает с массивами numpy в качестве входных данных: sage: import numpy шалфей: a = numpy.linspace (1, 3, 3) шалфей: b = numpy.linspace (3, 6, 3) шалфей: atan2 (а, б) массив ([0.32175055, 0.41822433, 0.46364761]) шалфей: atan2 (1, а) массив ([0,78539816, 0,46364761, 0,32175055]) шалфей: atan2 (а, 1) массив ([0.78539816, 1.10714872, 1.247]) РЕШЕНО: Упростите выражение.\ sin (2 \ arccos x) Стенограмма видео хорошо, мы собираемся найти знак, в два раза превышающий художественный знак X. Прежде всего, запомните свою идентичность с двойным углом. Знак двойного и угла равняется двойному синусу угла, умноженному на береговую линию угла. Хорошо, наша береговая линия X означает угол. Чей сын со знаком X, так что я буду называть это данными. Итак, мы находим знак двух данных. Теперь об угле. Чья береговая линия X? Как бы это выглядело? Есть две возможности.Одна из возможностей состоит в том, что угол находится в первом квадранте. Другая возможность состоит в том, что угол находится во втором квадранте. Это терминальная сторона во втором квадранте, поэтому давайте рассмотрим оба случая. Если угол находится в квадранте, первый на его береговой линии равен X, то мы могли бы поставить X на соседний, а один на высокий горшок. Новости, потому что X над одним — это X, и если угол находится в квадранте, который нужно ослабить, сделайте то же самое с X на соседнем. В новостях о хип-хопе у нас все еще есть X, а не один — это X. Теперь давайте найдем обратную связь, потому что она нам понадобится, чтобы найти знак.Так что пока это называется наоборот. Почему? И на другой стороне тоже будет почему. Итак, теперь мы можем использовать теорему Пифагора и понять, почему квадрат плюс X равен одному квадрату. Итак, почему квадрат равен одному минус X в квадрате? Так почему же квадратный корень из единицы минус X возводится в квадрат? Хорошо, теперь мы можем работать с этой формулой, чтобы найти знак, равный удвоенному углу, который нам нужен, удвоенному синусу угла, умноженному на береговую линию угла. Каков синус угла напротив новостей о высоких доходах? Это будет квадратный корень, один минус X в квадрате над единицей.И какова береговая линия угла, примыкающего к высокопрофессиональным новостям. Так что это будет X больше одного. Итак, теперь мы можем упростить это, и у нас есть двукратный x, умноженный на квадратный корень из одного минус X в квадрате, а затем просто имейте в виду, что обратный знак co или ARC co знак, как мы называем его здесь, функция определена только для X находится между нулем и круговой диаграммой, поэтому мы можем отметить это. X находится в интервале от нуля до пи ТРИГОНОМЕТРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ Щелкните здесь, чтобы найти основные формулы. Тригонометрический круг и углы Выберите ось x и ось y (ортонормированная) и пусть O будет началом координат. Окружность радиуса один с центром в точке O называется «тригонометрический круг» или «единичный круг». Поворот против часовой стрелки — положительная ориентация в тригонометрии. Углы отсчитываются от оси x. Единицы измерения угла — градус и радиан. Прямой угол — это угол, размер которого составляет точно 90 градусов или пи / 2 радиана. В этой теории мы используем в основном радианы. Каждое действительное число t соответствует ровно одному углу и ровно одной точке P на единичной окружности. Мы называем эту точку «точкой изображения» t. Примеры: пи / 6 соответствует углу t и точке P на окружности. -pi / 2 соответствует углу u и точке Q на окружности. Тригонометрические числа действительного числа t Действительное число t соответствует ровно одной точке P на единичной окружности. Координата X точки P называется косинусом t. Мы пишем cos (t). Координата Y точки P называется синусом t. Мы пишем sin (t). Число sin (t) / cos (t) называется тангенсом t. Мы пишем tan (t). Число cos (t) / sin (t) называется котангенсом t. Пишем cot (t). Число 1 / cos (t) называется секансом t. Пишем sec (t) Число 1 / sin (t) называется косекансом t. Мы пишем csc (t) или cosec (t) Линия с уравнением sin (t).x — cos (t). y = 0 содержит начало координат и точку P (cos (t), sin (t)). Итак, эта строка — OP. На этой прямой берем точку пересечения S (1,?) С прямой x = 1. Это легко увидеть? = загар (т). Итак, tan (t) — координата y точки S. Аналогичным образом находим, что cotan (t) — координата x точки пересечения S ‘ линии OP с линией y = 1. Основные формулы С t радиан соответствует ровно одна точка P (cos (t), sin (t)) на единичной окружности.Квадрат расстояния [OP] = 1. Расчет | OP | 2 , используя координаты P, находим для каждого t: cos 2 (t) + sin 2 (t) = 1 грех 2 (т) 1 + загар 2 (t) = 1 + ---------- cos 2 (т) cos 2 (t) + sin 2 (t) знак равно cos 2 (т) 1 = ----------- = сек 2 (t) cos 2 (т) Таким же образом: 1 + котан 2 (t) = 1 / sin 2 (t) = csc 2 (t) cos 2 (t) + sin 2 (t) = 1 1 + tan 2 (t) = sec 2 (t) 1 + детская кроватка 2 (t) = csc 2 (t) Примеры использования: sin 2 (t) = 1 - cos 2 (t) cos 2 (4t) = 1 - sin 2 (4t) 1 + tan 2 (t / 2) = sec 2 (t / 2) csc 2 (t 2 ) - детская кроватка 2 (t 2 ) = 1 Упражнение: Если cos (t) = 0.5, то sin 2 (t) = ... Если cos (t) = 0,1, то tan 2 (t) = ... Если cot (t) = 0,2, то sin 2 (t) = ... Связанные значения Разница между двумя значениями кратна 2.pi Если разница между t и t ‘является целым числом, кратным 2.pi, соответствующие точки на единичной окружности совпадают. Так Если t - t '= 2.k.pi (k - целое число) потом sin (t) = sin (t ') cos (t) = cos (t') tan (t) = tan (t ') cot (t) = cot (t') дополнительные значения t и t ‘- дополнительные значения t + t’ = pi. С помощью единичного круга видим, что соответствующие точки изображения симметричны относительно ось ординат. Следовательно, мы имеем: sin (t) = sin (pi - t) cos (t) = -cos (pi - t) tan (t) = -tan (pi - t) cot (t) = -cot (pi - t) Примеры использования: грех (т + пи / 2) = грех (пи / 2 - т) tan (2t + 0,2) = - tan (pi -0,2 - 2t) - загар (пи-т) = загар (т) грех (пи-т) + соз (3пи-т) - грех (т + 4пи) + соз (т) = sin (t) + cos (pi-t) - sin (t) + cos (t) = sin (t) - cos (t) - sin (t) + cos (t) = 0 дополнительные значения t и t ‘являются дополнительными значениями t + t’ = pi / 2. Соответствующие точки изображения на единичной окружности симметричны относительно прямой y = x. Следовательно, мы имеем: sin (t) = cos (pi / 2 - t) cos (t) = sin (pi / 2 - t) tan (t) = cot (pi / 2 - t) cot (t) = tan (pi / 2 - т) Примеры использования: загар (пи / 4 + 3t) = детская кроватка (пи / 4 -3t) cos (3pi / 2 -t) = sin (t - pi) = sin (-t + 2pi) = sin (-t) кроватка (3x - pi / 2) = загар (-3x + pi) = - загар (3x) - cos (pi / 2 - 2x) + sin (-2x - pi) - cos (3pi - 2x) = - sin (2x) + sin (pi - 2x) - cos (pi - 2x) = - грех (2х) + грех (2х) + соз (2х) = cos (2x) Противоположные значения t и t ‘являются противоположными значениями t + t’ = 0. Теперь соответствующие точки изображения симметричны относительно оси x. Следовательно, мы имеем: sin (t) = -sin (-t) cos (t) = cos (-t) tan (t) = -tan (-t) cot (t) = -cot (-t) Примеры использования: cos (-pi / 2 + x) = cos (pi / 2 - x) = sin (x) sin (6x - pi) = - sin (pi - 6x) = - sin (6x) детская кроватка (-x + 4pi) = детская кроватка (-x) = - детская кроватка (x) Антидополнительные значения t и t ‘являются антидополнительными значениями (t-t’ = pi или t’-t = pi) Соответствующие точки изображения симметричны относительно начала координат O.Следовательно, мы имеем: sin (t) = -sin (t + pi) cos (t) = -cos (t + pi) tan (t) = tan (t + pi) cot (t) = cot (t + pi) Примеры использования: загар (5a + 3pi) = загар (5a + pi) = загар (5a) детская кроватка (t / 2 + pi / 2) = детская кроватка (t / 2 - pi / 2) = - детская кроватка (pi / 2 - t / 2) = - загар (t / 2) грех (х + 3 пи) + грех (х) = -син (х) + грех (х) = 0 Прямоугольный треугольник Обозначим прямой угол треугольника ABC A.Расстояния | AB |, | BC | и | CA | обычно обозначаются буквами c, a и b. Выберите подходящим образом точку B как центр тригонометрического круга. (см. рисунок). Теперь sin (B), cos (B) и 1 прямо пропорциональны b, c и a. sin (B) cos (B) 1 ------ = ------ = --- б в а => sin (B) = b / a cos (B) = c / a tan (B) = b / c и поскольку углы B и C являются дополнительными углами cos (C) = b / a sin (C) = c / a tan (C) = c / b В каждом прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A имеем sin (B) = b / a cos (B) = c / a tan (B) = b / c cos (C) = b / a sin (C) = c / a tan (C) = c / b Прочие объекты в прямоугольном треугольнике Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.a 2 = b 2 + c 2 Высота до гипотенузы прямоугольного треугольника является средней пропорциональной между сегментами, на которые он делит гипотенузу. h 2 = x.y Каждый катет прямоугольного треугольника является средним, пропорциональным гипотенузе. и его ортогональная проекция на гипотенузу. c 2 = a.x и b 2 = a.y Приложения: Касательные в точках A и B окружности с центром O и радиусом r, пересекаются в точке P.Хорда AB и прямая OP пересекаются в точке S. Пусть a = | OP | и k = | AB |. Выразите k как функцию от r и a. В прямоугольном треугольнике АОП: катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональна гипотенузе и ее ортогональной проекции на гипотенузу. | OA | 2 = | OP | | ОС |. => | ОС | = r 2 / а В прямоугольном треугольнике OAS: квадрат гипотенузы равен к сумме квадратов двух других сторон. | OA | 2 = | ОС | 2 + | AS | 2 => r 2 = | OS | 2 + к. 2 /4 => r 2 = r 4 / a 2 + k 2 /4 => .... 2р ___________ => k = ---- \ / a 2 - r 2 а Разделите данный отрезок BC построением точки D. Две части BD и DC должны иметь подходящую длину x и y такую, чтобы произведение x.y равно заданному значению m 2 . x + y = | BC | en m 2 = x.y м — среднее значение, пропорциональное между x и y Мы знаем, что высота до гипотенузы BC прямоугольного треугольника ABC равна средний пропорциональный между сегментами, на которые он делит гипотенузу. Ищем прямоугольный треугольник ABC с основанием гипотенуза BC. и с m в качестве высоты. Вершина A прямоугольного треугольника расположена на окружности с диаметром BC. Этапы строительства: Нарисуйте полукруг диаметром BC. Проведите параллель BC на расстоянии m от BC. Эта параллель дает нам точку А. Нарисуйте высоту AD от A до BC. Площадь треугольника Площадь треугольника a.h / 2. Но в треугольнике BAH sin (B) = h / c. Следовательно, площадь треугольника равна a.c.sin (B) / 2. Аналогично, площадь треугольника = b.c.sin (A) / 2 = a.b.sin (C) / 2 Площадь треугольника ABC = (1/2) a.c.sin (B) = (1/2) b.c.sin (A) = (1/2) a.b.sin (C) Вы также можете использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника. Пусть s = половина окружности треугольника = (a + b + c) / 2. Площадь треугольника ABC = ______________________________ V s (s - a) (s - b) (s - c) Упражнение: Треугольник имеет стороны 5, 4 и 7. Точно начертите треугольник. Рассчитайте площадь треугольника по формуле Герона и проверьте результат. измеряя высоту треугольника и вычисляя площадь с этой высотой. Теперь измерьте угол треугольника и вычислите площадь в третий раз. И наоборот, вы можете вычислить углы треугольника, если знаете площадь треугольника. Правило синуса Площадь треугольника ABC = a.c.sin (B) / 2 = b.c.sin (A) / 2 = a.b.sin (C) / 2 => а.c.sin (B) = b.c.sin (A) = a.b.sin (C) разделив на a.b.c, получим а б в ------ = ------ = ------ грех (A) грех (B) грех (C) Эта формула называется правилом синусов в треугольнике ABC. Пусть R будет радиусом круга с центром O, проходящим через точки A, B и C. Пусть B ‘- вторая точка пересечения BO с окружностью. Угол B ‘ в треугольнике BB’C равно A или дополняет его. В прямоугольном треугольнике BB’C мы видим, что a = 2R sin (B ‘) = 2R sin (A). Таким образом, все дроби правила синуса равны 2R. В любом треугольнике ABC имеем а б в ------ = ------ = ------ = 2R грех (A) грех (B) грех (C) Упражнение: Треугольник имеет стороны с длиной a = 5, b = 4 и c = 7. Точно начертите треугольник. Вычислите площадь треугольника по формуле Герона. Теперь вычислите угол A по формуле площади (1/2).b.c.sin (А). Теперь используйте угол A, чтобы найти радиус R описанной окружности. Проверьте результат на своем эскизе. Однородное выражение в a, b и c Примечание: Отношение называется однородным в a, b и c тогда и только тогда, когда это отношение остается в силе. когда мы заменяем a, b и c на кратные r.a, r.b и r.c (r не 0). Если выражение между сторонами треугольника однородна по a, b и c, мы получаем эквивалентное выражение, заменяя a, b и c грехом (A), грехом (B) и грехом (C). Пример: В треугольнике. b.sin (A-C) = 3.c.cos (A + C) sin (B) .sin (A-C) = 3. sin (C) .cos (A + C) Правило косинусов В любом треугольнике ABC имеем a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos (A) b 2 = c 2 + a 2 - 2 c a cos (B) c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos (C) Доказательство: Докажем, что a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c cos (A) Если угол A прямой, то доказательство очевидно. Теперь предположим, что угол A — острый угол. a 2 = h 2 + p 2 (*) b 2 = h 2 + q 2 = h 2 + (c - p) 2 так, h 2 = b 2 - (c - p) 2 (**) Из (*) и (**) a 2 = b 2 - (c - p) 2 + p 2 = b 2 - (c 2 - 2 p c + p 2 ) + p 2 = b 2 - c 2 + 2 p c = b 2 + c 2 + 2 p c - 2 c 2 = b 2 + c 2 + 2 c (p - c) = b 2 + c 2 - 2 c (c - p) = b 2 + c 2 - 2 c q = b 2 + c 2 - 2 c b cos (A) Теперь предположим, что угол A — тупой угол. Доказательство проводится так же, как указано выше. Нарисуйте новую картинку и поработайте над ней как с упражнением. Это правило косинуса также можно доказать с помощью скалярного произведения векторов. См. Правило косинуса доказательства пи / 3 Пусть V — точка изображения, соответствующая углу pi / 3 на единичной окружности, и пусть E — точка пересечения этой окружности с положительной осью X. Треугольник OVE равносторонний. Следовательно, cos (pi / 3) = 1/2. sin 2 (pi / 3) = sqrt (1 - cos 2 (pi / 3)) = sqrt (3) / 2 Итак, sin (pi / 3) = sqrt (3) / 2 и cos (pi / 3) = 1/2.загар (пи / 3) = sqrt (3) пи / 4 Пусть V будет точкой изображения, соответствующей углу pi / 4 на единичной окружности. Отсюда очевидно, что cos (pi / 4) = sin (pi / 4) и tan (pi / 4) = 1. cos 2 (pi / 4) + sin 2 (pi / 4) = 1 => 2cos 2 (pi / 4) = 1 => cos (pi / 4) = sqrt (1/2) Итак, cos (pi / 4) = sin (pi / 4) = sqrt (1/2) загар (пи / 4) = 1 пи / 6 Из свойств дополнительных углов мы имеем: cos (pi / 6) = sqrt (3) / 2 и sin (pi / 6) = 1/2. tan (pi / 6) = 1 / sqrt (3). Корпус SSS Дано: Три стороны. Подставьте все стороны в Правило де косинуса, чтобы вычислить углы. Пример: a = 4 b = 5 c = 7 Правило косинуса дает 58 = 70 cos (А) 40 = 56 cos (В) -8 = 40 cos (Кл) А = 34,05 В = 44,41 С = 101,53 Тест: A + B + C = … Корпус ASA или AAS Дано: два угла и сторона. Вычислите третий угол, а затем стороны с помощью правила синуса. Пример: a = 4 A = 34 B = 45 Третий угол равен C = 101 по правилу синуса. 4 греха (45) б = -------------- = 5.06 грех (34) 4 греха (101) с = ------------- = 7,02 грех (34) Тест: нарисуйте набросок треугольника Корпус SAS Дано: две стороны и включенный угол. Используйте правило косинуса. Пример: b = 5 c = 7 A = 34,05 Из правила косинуса а 2 = 25 + 49-70 cos (34,05) => а = 4 Две другие формулы правила косинуса дают 40 = 56 cos (В) -8 = 40 cos (Кл) В = 44,41 С = 101,53 Тест: A + B + C = … Корпус SSA Дано: две стороны и не включенный угол. Нарисуйте эскиз. Есть три случая. 1) нет решений 2) одно решение 3) два решения A = 60 b = 5 a = 1 По эскизу видим, что решений нет. A = 60 b = 5 a = 7 Из наброска мы видим, что есть одно решение. Мы используем правило синуса. 7 5 в --------- = -------- = --------- грех (60) грех (B) грех (C) Итак, sin (B) = 0,6186, и это дает нам два дополнительных решения для B. Но из нашего эскиза мы знаем, какое значение выбрать. В = 38,21. Тогда C = 180 — 38,21 — 60 = 81,79 и c = 8 А = 60 б = 5 а = 4,5 Из эскиза мы видим, что есть два решения для B. Мы используем правило синуса. 4,5 5 в --------- = -------- = --------- грех (60) грех (B) грех (C) Итак, sin (B) = 0,96225, и это дает нам два дополнительных решения для B. B = 74,2 из 105,8 Сначала выберите B = 74,2 и сначала вычислите C, а затем c с помощью правила синуса. Затем выберите B = 105,8 и сначала вычислите C, а затем c с помощью правила синуса. Проверьте результаты по вашему эскизу. Синусоидальная функция Функция определяется: грех: R -> R: x -> грех (х) называется синусоидальной функцией. Изображения ограничены [-1,1] с периодом 2.pi. Мы видим, что диапазон функции равен [-1,1]. Функция косинуса Функция определяется: cos: R -> R: x -> cos (x) называется косинус-функцией. Изображения ограничены [-1,1] с периодом 2.pi. Диапазон функции [-1,1]. Функция тангенса Функция определяется: загар: R -> R: x -> загар (x) называется касательной функцией. Теперь период равен пи, а изображения не определены в x = (pi / 2) + k.pi Диапазон или изображение — R . Функция котангенса Функция определяется: детская кроватка: R -> R: x -> детская кроватка (x) называется функцией котангенса. Период равен пи, а изображения не определены в x = k.pi Диапазон или изображение — R . Связанные функции и период Мы можем подвергнуть предыдущие функции всевозможным преобразованиям. Получаем родственные функции. (см. Влияние преобразования на график функции) Пример 1 y = sin (4x) График этой функции возникает из графика sin (x), когда мы сжимаем график sin (x) в направлении оси y с коэффициентом 4. Отсюда следует, что период sin (4x) равен пи / 2. Функция y = sin (ax) имеет период 2. pi / a, если a> 0. Аналогичные правила применяются к другим тригонометрическим функциям. Таким образом, период tan (x / 3) равен 3.pi. Пример 2 y = sin (x + 5) График этой функции получается путем перемещения графика sin (x) на пять единиц влево. Срок не меняется. Пример 3 y = tan (x) +5 График этой функции получается перемещением графика tan (x) на пять единиц вверх.Срок не меняется. Пример 4 Начнем с y = tan (x). Мы сжимаем график в направлении оси Y с коэффициентом 3. Новая функция у = загар (3x). Сдвигаем график на две единицы вправо. Новая функция y = tan (3 (x-2)). Наконец, мы перемещаем последний график на две единицы вниз. Получаем y = tan (3x -6) -2. Период равен пи / 3. Обобщение: Период A sin (a x + b) равен 2 pi / | a | Период A cos (a x + b) равен 2 pi / | a | Период A tan (a x + b) равен pi / | a | Период A кроватки (a x + b) равен pi / | a | Период A / sin (a x + b) равен 2 pi / | a | Период A / cos (a x + b) равен 2 pi / | a | Период A / tan (a x + b) равен pi / | a | Период A / cot (a x + b) равен pi / | a | Период суммы двух функций Если f (x) - функция с периодом = a g (x) - функция с периодом = b Затем f (x) + g (x) - функция с периодом = c Существуют строго положительные и взаимно простые целые числа m и n такие, что c = m.a = n.b Примеры sin (2x) имеет период pi, а период cos (3x) — 2pi / 3. Теперь c = 2. (pi) = 3. (2pi / 3). Итак, 2 пи — это период sin (2x) + cos (3x) sin (pi x) имеет 2 как период, а tan (2 pi x / 7) имеет 7/2 как период. Теперь c = 7. (2) = 4. (7/2). Итак, 14 — это период sin (pi x) + tan (2 pi x / 7) sin (sqrt (2) x) имеет период pi.sqrt (2), а период cos (2x) — период pi. Не существует строго положительных целых чисел m и n таких, что м. (Пи.sqrt (2)) = п. (пи). Итак, sin (sqrt (2) x) + cos (2x) НЕ имеет периода! sin (x) имеет период 2pi, а период cos (pi x) — 2. Не существует строго положительных целых чисел m и n таких, что m. (2pi) = n. (2). Итак, sin (x) + cos (pi x) НЕ имеет периода! Функция arcsin Мы ограничиваем область определения синус-функции до [-pi / 2, pi / 2]. Теперь это ограничение обратимо, потому что каждое значение изображения в [-1,1] соответствует ровно одному исходное значение в [-pi / 2, pi / 2]. Функция, обратная этой ограниченной синусоидальной функции, называется арксинусной функцией. Мы пишем arcsin (x) или asin (x). График y = arcsin (x) является зеркальным отображением ограниченного синусоидального графа относительно линии y = x. Домен [-1,1], диапазон [-pi / 2, pi / 2]. Функция arccos Мы ограничиваем область определения функции косинуса до [0, pi]. Теперь это ограничение обратимо, потому что каждое значение изображения в [-1,1] соответствует ровно одному исходное значение в [0, пи]. Функция, обратная этой ограниченной функции косинуса, называется функцией арккосинуса. Мы пишем arccos (x) или acos (x). График y = arccos (x) является зеркальным отображением графа с ограниченным косинусом относительно прямой y = x. Домен [-1,1], диапазон [0, пи]. Функция arctan Мы ограничиваем область определения касательной функции до [-pi / 2, pi / 2]. Функция, обратная этой ограниченной касательной функции, называется функцией арктангенса.Мы пишем arctan (x) или atan (x). График y = arctan (x) является зеркальным отображением ограниченного касательного графа относительно прямой y = x. Домен — R , диапазон — [-pi / 2, pi / 2]. Функция arccot ​​ Мы ограничиваем область определения функции котангенса до [0, pi]. Функция, обратная этой ограниченной функции котангенса, называется функцией арккотангенса. Мы пишем arccot ​​(x) или acot (x). График y = arccot ​​(x) является зеркальным отображением ограниченного графа котангенса относительно линии y = x. Домен — R , диапазон — [0, пи]. Без периода Обратные тригонометрические функции не имеют периода! Преобразования Как и в случае с тригонометрическими функциями, мы можем создавать связанные функции с помощью простых преобразований. Пример: y = 2.arcsin (x-1) получается путем перемещения графика arcsin (x) на одну единицу вправо, а затем путем перемещения умножение всех изображений на два. Домен [0,2], диапазон [-pi, pi]. cos (u — v) Мы доказываем эту формулу, используя концепцию скалярного произведения двух векторов.(См. Теорию о векторов) С u соответствует одна точка P (cos (u), sin (u)) на единичной окружности С v соответствует одна точка Q (cos (v), sin (v)) на единичной окружности Угол, соответствующая дуге QP на окружности, имеет значение u — v. Скалярное произведение P . Q = 1.1.cos (u-v). Но по координатам у нас тоже P . Q = cos (u) .cos (v) + sin (u) .sin (v). Следовательно, cos (u-v) = cos (u) .cos (v) + sin (u) .sin (v) Пример: cos (pi / 3-2x) = cos (pi / 3) cos (2x) + sin (pi / 3) sin (2x) = 0.5 cos (2x) + 0,5 sqrt (3) sin (2x) cos (u + v) cos (u + v) = cos (u — (-v)) = cos (u) .cos (-v) + sin (u) .sin (-v) cos (u + v) = cos (u) .cos (v) -sin (u) .sin (v) Пример: cos (x + x / 2) + cos (x - x / 2) = cos (x) cos (x / 2) + sin (x) sin (x / 2) + cos (x) cos (x / 2) - грех (х) грех (х / 2) = 2 cos (x) cos (x / 2) грех (u — v) sin (u — v) = cos (pi / 2- (uv)) = cos ((pi / 2-u) + v) = cos (pi / 2 — u) .cos (v) -sin (pi / 2 — у).грех (v) sin (u — v) = sin (u) .cos (v) -cos (u) .sin (v) Пример: sin (x - pi / 4) = sin (x) cos (pi / 4) - cos (x) sin (pi / 4) = (sin (x) -cos (x)) / sqrt (2) грех (u + v) sin (u + v) = cos (pi / 2- (u + v)) = cos ((pi / 2-u) -v) = cos (pi / 2 — u) .cos (v) + sin ( pi / 2 — u) .sin (v) sin (u + v) = sin (u) .cos (v) + cos (u) .sin (v) коричневый (u + v) грех (и + v) грех (и).cos (v) + cos (u) .sin (v) загар (u + v) = ------------ = --------------------------- cos (u + v) cos (u) .cos (v) -sin (u) .sin (v) Разделив доминатор и знаменатель на cos (u) .cos (v), получим загар (u) + загар (v) загар (u + v) = ----------------- 1 - загар (и) .тан (в) Пример: загар (и) + загар (пи / 4) загар (и) + 1 1 + загар (и) загар (и + пи / 4) = -------------------- = -------------- = ----- -------- 1 - загар (и).загар (пи / 4) 1 - загар (и) 1 - загар (и) загар (u — v) Таким же образом у нас есть загар (у) - загар (в) загар (u-v) = ----------------- 1 + загар (и) .тан (в) грех (2u) sin (2u) = sin (u + u) = sin (u) .cos (u) + cos (u) .sin (u) = 2sin (u) .cos (u) Примеры грех (х) = 2 грех (х / 2) .cos (х / 2) sin (4x) = 2 sin (2x). cos (2x) = 4 sin (x) cos (x) cos (2x) 12 sin (8x) cos (8x) = 6 sin (16x) cos (2u) cos (2u) = cos (u + u) = cos (u).cos (u) -sin (u) .sin (u) = cos 2 (u) — sin 2 (u) cos (2u) = cos 2 (u) — sin 2 (u) желто-коричневый (2u) загар (и) + загар (и) 2 загар (и) загар (2u) = ------------------ = --------------- 1 - загар (и). Тан (и) 1- загар (и) загар (и) 2 загар (u) загар (2u) = ----------- 1- коричневый 2 (u) Пример: 1 детская кроватка (2x) = -------- загар (2x) 1 - желто-коричневый 2 (x) знак равно 2 загар (х) 1 + cos (2u) = 1 + cos 2 (u) -sin 2 (u) = 2 cos 2 (u) 1 - cos (2u) = 1-cos 2 (u) + sin 2 (u) = 2 sin 2 (u) 1 + cos (2u) = 2 cos 2 (u) 1 - cos (2u) = 2 sin 2 (u) Приложения: Из формул Карно следует, что: Период cos (2u) = период cos 2 (u) = период sin 2 (u) Разложите выражение на множители 1 + 2 cos (x) + cos (2x) 1 + 2 cos (x) + cos (2x) = 2 cos (x) + (1 + cos (2x)) = 2 cos (x) + 2 cos 2 (x) = 2 cos (x) (1 + cos (x)) = 2 cos (x) 2 cos 2 (x / 2) = 4 cos (x) cos 2 (x / 2) Поскольку 2 пи — период (1 + 2 cos (x) + cos (2x)), отсюда следует, что период cos (x) cos 2 (x / 2) равен 2pi. Найдите период загара 2 (4x) Период tan 2 (4x) равен периоду 1 + tan 2 (4x). Период 1 + tan 2 (4x) равен периоду 1 / cos 2 (4x). Период 1 / cos 2 (4x) равен периоду cos 2 (4x). Период cos 2 (4x) равен периоду 0,5 (1 + cos (8x)). Период 0,5 (1 + cos (8x)) равен периоду cos (8x). И этот период равен пи / 4. В треугольнике ABC стороны a, b, c таковы, что 3a = 7c en 3b = 8c. Найдите tan 2 (A / 2) без вычисления A или A / 2. Решение: О трех сторонах мы знаем: а б в --- = --- = --- 7 8 3 Поскольку одинаковые треугольники имеют одинаковые углы, мы можем использовать a = 7, b = 8 и c = 3 как стороны треугольника. Из правила косинуса мы можем написать б 2 + в 2 - а 2 cos (А) = ------------------ = 1/2 2 б в Теперь воспользуемся формулами Карно 1 - cos (A) 2 sin 2 (A / 2) ---------- = -------------- = загар 2 (A / 2) = 1/3 1 + cos (A) 2 cos 2 (A / 2) Найдите точное значение cos (pi / 12) Мы знаем: 1 + cos (2u) = 2 cos 2 (u) Теперь возьмем 2u = pi / 6 радиан, тогда u = pi / 12 радиан. Теперь точное значение cos (pi / 6) равно sqrt (3) / 2. Мы можем использовать формулу Карно для вычисления cos (pi / 12). cos 2 (pi / 12) = (1 + cos (pi / 6)) / 2 = (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = (2 + sqrt (3)) / 4 Итак, cos (pi / 12) = (1/2). sqrt (2 + sqrt (3)) Из формул Карно имеем cos (2u) = 2 cos 2 (u) -1 2 = ------------ - 1 1 + загар 2 (н) 1 - желто-коричневый 2 (u) знак равно 1 + загар 2 (н) Мы знаем: 2 загар (u) загар (2u) = ------------- 1 - желто-коричневый 2 (u) Следовательно, 2 загар (u) грех (2u) = ----------- 1 + загар 2 (н) Пусть t = tan (u), тогда 1 - т 2 cos (2u) = --------- 1 + т 2 или 1 - желто-коричневый 2 (u) cos (2u) = ------------- 1 + загар 2 (н) 2т грех (2u) = -------- 1 + т 2 или 2 загар (u) грех (2u) = ----------- 1 + загар 2 (н) 2т загар (2u) = ------- 1 - т 2 или 2 загар (u) загар (2u) = ------------- 1 - желто-коричневый 2 (u) Эти три формулы называются t-формулами или формулами полуугла. Применение: Уравнение прямой d: y = 3 x + 4. u = угол между осью x и этой линией. Мы знаем, что tan (u) = 3. Линия d ‘является отражением линии y = 3 в d. Угол от оси x к линии d ‘равен 2u. Наклон линии d ‘желтовато-коричневый (2u). 2т 2 загар (и) 2. 3 загар (2u) = ------- = ------------ = ---------- = - 0,75 1 - t 2 1 - желто-коричневый 2 (u) 1-9 Мы знаем это соз (u + v) = cos (u).cos (v) -sin (u) .sin (v) cos (u - v) = cos (u). cos (v) + sin (u) .sin (v) sin (u + v) = sin (u) .cos (v) + cos (u) .sin (v) sin (u - v) = sin (u) .cos (v) -cos (u) .sin (v) и отсюда мы имеем cos (u + v) + cos (u - v) = 2. cos (u) .cos (v) cos (u + v) - cos (u - v) = -2.sin (u) .sin (v) sin (u + v) + sin (u - v) = 2. sin (u) .cos (v) sin (u + v) - sin (u - v) = 2. cos (u) .sin (v) Пусть x = u + v и y = u — v , тогда u = (1/2) (x + y) и v = (1/2) (x — y) Теперь у нас есть cos (x) + cos (y) = 2 cos ((1/2) (x + y)) cos ((1/2) (x - y)) cos (x) - cos (y) = -2 sin ((1/2) (x + y)) sin ((1/2) (x - y)) sin (x) + sin (y) = 2 sin ((1/2) (x + y)) cos ((1/2) (x - y)) sin (x) - sin (y) = 2 cos ((1/2) (x + y)) sin ((1/2) (x - y)) Формулы Симпсона х + у х - у cos (x) + cos (y) = 2 cos ------ cos ------- 2 2 х + у х - у cos (x) - cos (y) = -2 грех ------ грех ------- 2 2 х + у х - у грех (х) + грех (у) = 2 грех ------ соз ------- 2 2 х + у х - у грех (х) - грех (у) = 2 соз ------ грех ------- 2 2 Пример: формулы можно использовать для факторизации тригонометрических выражений. cos (2x) - cos (2y) ----------------- cos (2x) + cos (2y) -2 грех (х + у) грех (х-у) знак равно 2 cos (x + y) cos (x-y) = - загар (x + y) загар (x-y) = загар (у + х) загар (у-х) Многие из предыдущих формул можно использовать для разложения тригонометрических форм. Этот факторинг может быть осуществлен разными способами. На некоторых примерах мы покажем различные методы факторизации. sin (2a). (1 + tan 2 (a)) = 2 sin (a) cos (a). (1 / cos 2 (а)) = 2 sin (а) / cos (а) = 2 загар (а) 2 грех (2а) + грех (4а) = 2 греха (2а) + 2 греха (2а).cos (2a) = 2 sin (2a). (1 + cos (2a)) = 4 sin (a) cos (a) .2 cos 2 (a) = 8 sin (а) cos 3 (а) 1 - желто-коричневый 4 (а) = (1 - загар 2 (а)). (1 + загар 2 (а)) грех 2 (а) 1 = (1 - -------) -------- cos 2 (а) cos 2 (а) cos (2a) знак равно cos 4 (а) cos 2 (a) - sin 2 (a) - 2 cos (a) + 1 = cos 2 (a) - 2 cos (a) + cos 2 (a) = 2 cos 2 (а) - 2 cos (а) = 2 cos (a) (cos (a) - 1) = -2 cos (a) (1 - cos (a)) = -2 cos (a) 2 sin 2 (a / 2) = -4 cos (a) sin 2 (a / 2) грех (2а) (1 + 2 соз (2а)) + 2 грех (3а) = sin (2a) + 2 sin (2a) cos (2a) + 2 sin (3a) = грех (2а) + грех (4а) + 2 греха (3а) = 2 sin (3a) cos (a) + 2 sin (3a) = 2 sin (3a) (1+ cos (a)) = 4 sin (3a) cos 2 (a / 2) cos 2 (a) -2 cos (a) + cos (2a) + sin 2 (a) = 1 + cos (2a) - 2 cos (a) = 2 cos 2 (а) - 2 cos (а) = 2 cos (a) (cos (a) - 1) = -2 cos (a) (1 - cos (a)) = -2 cos (a) 2 sin 2 (a / 2) = -4 cos (a) sin 2 (a / 2) (1 - cos (4a)) 2 ----------------- (1 - cos 2 (4a)) (1 - cos (4a)) 2 знак равно (1 - cos (4a)) (1 + cos (4a)) (1 - cos (4a)) знак равно (1 + cos (4a)) 2 грех 2 (2а) знак равно 2 cos 2 (2a) = загар 2 (2a) cos 4 (а) - sin 4 (а) = (cos 2 (a) - sin 2 (a)) (cos 2 (a) + sin 2 (a)) = (cos 2 (a) - sin 2 (a)) = cos (2a) грех (а) + грех (б) + грех (в) - грех (а + б + в) = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) + 2 cos ((a + b + 2c) / 2) sin ((-a-b) / 2) = 2 sin ((a + b) / 2) (cos ((a-b) / 2) - cos ((a + b + 2c) / 2) = -4 sin ((a + b) / 2) sin ((a + c) / 2) sin ((-b-c) / 2)) = 4 sin ((a + b) / 2) sin ((a + c) / 2) sin ((b + c) / 2)) sin 2 (a) - sin 2 (b) - sin 2 (a + b) = sin 2 (a) - sin 2 (b) - (sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)) 2 = sin 2 (a) - sin 2 (b) - sin 2 (a) cos 2 (b) - cos 2 (a) sin 2 (b) - 2 sin (a) sin (b) cos (a) cos (b) = sin 2 (a) (1- cos 2 (b)) - sin 2 (b) (1 + cos 2 (a)) - 2 sin (a) sin (b) cos ( а) cos (б) = sin 2 (a) sin 2 (b) - sin 2 (b) (1 + cos 2 (a)) - 2 sin (a) sin (b) cos (a) cos ( б) = sin 2 (b) (sin 2 (a) -1 - cos 2 (a)) - 2 sin (a) sin (b) cos (a) cos (b) = -2 sin 2 (b) cos 2 (a) - 2 sin (a) sin (b) cos (a) cos (b) = -2 sin (b) cos (a) (sin (b) cos (a) sin (a) cos (b)) = -2 cos (a) sin (b) sin (a + b) sin (2b + 2c) (cos (2b) + cos (2c)) - sin (2b) - sin (2c) = sin (2b + 2c) 2 cos (b + c) cos (b-c) - 2 sin (b + c) cos (b-c) = 4 sin (b + c) cos (b + c) cos (b + c) cos (b-c) - 2 sin (b + c) cos (b-c) = 2 sin (b + c) cos (b-c) (2 cos 2 (b + c) - 1) = 2 sin (b + c) cos (b-c) (2 cos 2 (b + c) - cos 2 (b + c) - sin 2 (b + c)) = 2 sin (b + c) cos (b-c) (cos 2 (b + c) - sin 2 (b + c)) = 2 sin (b + c) cos (b-c) cos (2b + 2c) Мы знаем это соз (u + v) = cos (u).cos (v) -sin (u) .sin (v) cos (u - v) = cos (u). cos (v) + sin (u) .sin (v) sin (u + v) = sin (u) .cos (v) + cos (u) .sin (v) sin (u - v) = sin (u) .cos (v) -cos (u) .sin (v) Таким образом cos (u + v) + cos (u - v) = 2. cos (u) .cos (v) cos (u + v) - cos (u - v) = -2.sin (u) .sin (v) sin (u + v) + sin (u - v) = 2. sin (u) .cos (v) sin (u + v) - sin (u - v) = 2. cos (u) .sin (v) или 2. cos (u) .cos (v) = cos (u + v) + cos (u - v). -2.sin (u) .sin (v) = cos (u + v) - cos (u - v) 2. sin (u) .cos (v) = sin (u + v) + sin (u - v) 2. cos (u) .sin (v) = sin (u + v) - sin (u - v) Период cos (u).cos (v) равен периоду cos (u + v) + cos (u — v) Период sin (u) .sin (v) равен периоду cos (u + v) — cos (u — v) Период sin (u) .cos (v) равен периоду sin (u + v) + sin (u — v) Период cos (u) .sin (v) равен периоду sin (u + v) — sin (u — v) Примеры: Период cos (2x) .sin (x + 3) равен периоду sin (3x + 3) — sin (x-3) , а этот период равен 2 пи. Период cos (4x) .cos (x / 2) равен периоду cos (9x / 2) + cos (7x / 2) , а этот период равен 4pi. Общая функция синуса имеет y = a sin (b (x-c)) + d как уравнение, с a, b, c неотрицательными, а a и b отличными от нуля. Мы можем преобразовать многие уравнения тригонометрических функций к виду общая синусоидальная функция с использованием предыдущих формул. Приведем несколько примеров таких преобразований. у = -3 грех (х) у = 3 грех (х - пи) у = грех (-2x) у = - грех (2х) у = грех (2х - пи) у = грех 2 (х - пи / 2) у = -4 грех (-3x) у = 4 грех (3х) у = 2 соз (3х) у = 2 грех (пи / 2 - 3х) y = -2 sin (3x -pi / 2) y = 2 sin (3x - 3pi / 2) у = 2 грех 3 (х - пи / 2) y = -2 cos (3x-1) у = -2 грех (пи / 2 -3x + 1) y = 2 sin (3x - пи / 2 -1) у = 2 грех 3 (х - (пи / 6 + 1/3)) y = cos (3x + 4) - cos (3x-4) у = -2 грех (3х) грех (4) y = (-2sin (4)) sin (3x) у = грех (4х-3).cos (4x-3) у = (1/2) грех (8x-6) у = (1/2) грех (8 (х- (3/4)) Все функции с уравнением вида y = a sin (u) + b cos (u) можно преобразовать в общую синусоидальную функцию. Это преобразование несколько сложнее чем в предыдущих примерах. a.sin (u) + b.cos (u) можно представить в виде A.sin (u-u o ). Тогда преобразование к общей синусоидальной функции несложно. a.sin (u) + b.cos (u) = a (sin (u) + (b / a) cos (u)) Возьмем u o так, чтобы tan (u o ) = - b / a = a (sin (u) - tan (u o ) cos (u)) = (a / cos (u o )).(sin (u) .cos (u o ) - sin (u o ) .cos (u)) Пусть A = (a / cos (u o )) = А. грех (u - u o ) Пример 3 sin (x) - 2 cos (x) = 3 (sin (x) - (2/3) cos (x)) Пусть tan (u o ) = 2/3; возьмем u o = 0,588 = 3 (sin (x) - tan (u o ) cos (x)) = (3 / cos (u o )) (sin (x) cos (u o ) - cos (x) sin (u o )) = 3,6055 sin (x - 0,588) Основные уравнения cos (u) = cos (v) С помощью единичного круга легко увидеть, что cos (u) = cos (v) (и = v + k.2pi) или (u = -v + k.2pi) грех (и) = грех (в) С помощью единичного круга легко увидеть, что грех (и) = грех (v) (u = v + 2.k.pi) или (u = pi - v + 2.k.pi) загар (u) = загар (v) С помощью единичного круга легко увидеть, что загар (и) = загар (v) (u = v + k.pi) при условии существования tan (u) и tan (v) детская кроватка (u) = детская кроватка (v) С помощью единичного круга легко увидеть, что детская кроватка (u) = детская кроватка (v) (и = v + k.pi) при условии, что кроватка (u) и кроватка (v) существуют Приведение к основным уравнениям Пример 1 cos (2x) = cos (pi-3x) 2x = (pi-3x) + 2.k.pi или 2x = - (pi-3x) + 2.k'.pi 5x = pi + 2.k.pi или -x = -pi + 2.k'.pi x = pi / 5 + 2.k.pi / 5 или x = pi - 2.k'.pi Пример 2 загар (x-pi / 2) = загар (2x) (x-pi / 2) = 2x + k.pi -x = пи / 2 + k.pi x = -pi / 2 - k.pi (для этих значений существуют tan (x-pi / 2) и tan (2x))) Пример 3 соз (х) = -1/3 cos (x) = cos (1.91) x = 1.91 + 2.k.pi или x = -1.91 - 2.k.pi Пример 4 грех (2х) = соз (х-пи / 3) cos (pi / 2 - 2x) = cos (x-pi / 3) pi / 2 - 2x = x - pi / 3 + 2.k.pi или pi / 2 - 2x = - x + pi / 3 + 2.k'.pi -3x = - pi / 2 - pi / 3 + 2.k.pi или -x = -pi / 2 + pi / 3 + 2.k'.pi x = pi / 6 + pi / 9 + 2.k.pi / 3 или x = pi / 2 - pi / 3 - 2.k'.pi x = 5pi / 18 + 2.k.pi / 3 или x = pi / 6 - 2.k'.pi Пример 5 3 грех (2х) = соз (2х) 3 загар (2x) = 1 загар (2x) = 1/3 загар (2x) = загар (0,32) 2x = 0,32 + k пи х = 0,16 + к пи / 2 Пример 6 загар (2x).детская кроватка (x + pi / 2) = 1 загар (2x) = загар (х + пи / 2) 2x = x + pi / 2 + k.pi x = pi / 2 + k.pi (при условии, что tan (2x) и cot (x + pi / 2) существуют) Но кроватки (x + pi / 2) не существует для x = pi / 2 + k.pi !!!!! Итак, загар (2x). cot (x + pi / 2) = 1 не имеет решений ! Выражение «при условии…» не является лишним! Использование дополнительного неизвестного Пример 1 2sin 2 (2x) + sin (2x) -1 = 0 (пусть t = sin (2x)) 2т 2 + т - 1 = 0 т = 0.5 или t = -1 sin (2x) = 0,5 или sin (2x) = -1 sin (2x) = sin (pi / 6) или sin (2x) = sin (-pi / 2) 2x = pi / 6 + 2.k.pi или 2x = pi - pi / 6 + 2.k.pi или 2x = -pi / 2 + 2.k.pi или 2x = pi + pi / 2 + 2.k.pi x = pi / 12 + k.pi или x = 5pi / 12 + k.pi или x = -pi / 4 + k.pi или x = 3pi / 4 + k.pi Иногда удобно рассматривать эти решения на единичном круге. Пример 2 cos 10x + 7 = 8 cos 5x cos 10x - 8 cos 5x + 7 = 0 1 + cos 10x - 8 cos 5x + 6 = 0 2 cos 2 5x - 8 cos 5x + 6 = 0 cos 2 5x - 4 cos 5x + 3 = 0 Пусть t = cos 5x т 2 - 4 т + 3 = 0 t = 3 или t = 1 cos 5x = 1 cos 5x = cos 0 5x = 2kpi x = 2kpi / 5 Примеры Таким же образом следующие уравнения могут быть решены с использованием дополнительных неизвестных. загар 2 (3x) + загар (3x) = 0 грех 2 (х) (грех (х) +1) -0,25 (грех (х) +1) = 0 cos (2x) + sin 2 (x) = 0,5 загар (2x)-детская кроватка (2x) = 1 Проверьте свои результаты, построив графики. Использование факторинга Пример 1 3.sin (2x) -2.sin (x) = 0 6sin (x) cos (x) -2.sin (x) = 0 2. sin (x). (3cos () - 1) = 0 sin (x) = 0 или cos (x) = 1/3 x = k.pi или x = 1,23 + 2 k.pi или x = -1,23 + 2 k'.pi Примеры Таким же образом можно решить следующие уравнения, используя факторинг. загар (x) загар (4x) + загар 2 (x) = 0 грех (7x) -sin (x) = грех (3x) соз (4х) + соз (2х) + соз (х) = 0 грех (5x) + грех (3x) = cos (2x) -cos (6x) Проверьте свои результаты, построив графики. Уравнение a.sin (u) + b.cos (u) = c Первый метод Сначала мы покажем, что a.sin (u) + b.cos (u) может быть преобразован в форму A.sin (u-u o ) или в форму A.cos (u-u o ). a.sin (u) + b.cos (u) = a (sin (u) + (b / a) cos (u)) Возьмем u o так, чтобы tan (u o ) = - b / a = a (sin (u) - tan (u o ) cos (u)) = (a / cos (u o )).(sin (u) .cos (u o ) - sin (u o ) .cos (u)) Пусть A = (a / cos (u o )) = А. грех (u - u o ) = А. cos (pi / 2 - u + u o ) = А. cos (u - u o ') Пример 3 sin (x) - 2 cos (x) = 3 (sin (x) - (2/3) cos (x)) Пусть tan (u o ) = 2/3; возьмем u o = 0,588 = 3 (sin (x) - tan (u o ) cos (x)) = (3 / cos (u o )) (sin (x) cos (u o ) - cos (x) sin (u o )) = 3.6055 грех (х - 0,588) или = 3,6055 cos (x - 2,1598) Постройте график 3 sin (x) — 2 cos (x) и график 3,6055 sin (x — 0,588) С помощью этого метода мы можем решить уравнение a.sin (u) + b.cos (u) = c Пример 3. грех (2x) + 4. cos (2x) = 2 грех (2x) + 4/3. cos (2x) = 2/3 Пусть tan (t) = 4/3 грех (2x) + загар (t). cos (2x) = 2/3 sin (2x) cos (t) + cos (2x) sin (t) = 2 / 3. cos (t) sin (2x + t) = 2 / 3. cos (t) поскольку 2 / 3.cos (t) = 0,4 грех (2x + 0.927) = грех (0,39) 2x + 0,927 = 0,39 + 2k.pi или 2x + 0,927 = pi - 0,39 + 2k'.pi .... Второй метод Используя t-формулы Пример 3 sin (2x) + 4 cos (2x) = 2 Пусть tan (x) = t 2 т 1 - т 2 3 ------- + 4 -------- = 2 1 + т 2 1 + т 2 6 т + 4-4 т 2 = 2 + 2 т 2 6 т 2 - 6 т - 2 = 0 3 т 2 - 3 т -1 = 0 т = 1.26 или t = -0,26 tan (x) = 1,26 или tan (x) = -0,26 x = 0,9 + k pi или x = -0,26 + k pi Однородные уравнения Уравнение однородно по a и b тогда и только тогда, когда мы получаем эквивалентное уравнение при замене a и b на ra и rb (r не 0). Пример: a 3 x 2 +5 a.b 2 x +3 a 2 .b = 0 — уравнение относительно x, однородное по a en b. Теперь мы имеем в виду уравнения, однородные по sin (u) и cos (u). Процедура Приведите уравнение к виду F = 0. Если возможно, используйте факторинг влево и решите простые части. Разделите оставшееся уравнение на подходящую степень cos (u) так, чтобы tan (u) появлялся везде. Пусть t = tan (u), и решим алгебраическое уравнение. Вернуться к загар (u) Пример 2.cos 3 (x) + 2.sin 2 (x) cos (x) = 5.sin (x) cos 2 (x) соз (х).(2.cos 2 (x) + 2.sin 2 (x) - 5.sin (x) cos (x)) = 0 Простая часть cos (x) = 0 дает нам x = pi / 2 + k.pi Во второй части разделим обе части на cos 2 (x). Тогда у нас есть 2. tan 2 (x) - 5. tan (x) +2 = 0 Пусть t = tan (x) 2. т 2 - 5 т + 2 = 0 t = 0,5 или t = 2 tan (x) = 0,5 или tan (x) = 2 x = 0,464 + k.pi или x = 1,107 + k.pi Другие уравнения Некоторые уравнения могут быть решены соответствующим образом, комбинируя различные обсуждаемые методы.Кроме того, некоторые тригонометрические формулы часто используются для преобразования уравнения в подходящая форма. Более того, опыт и понимание играют важную роль при решении сложные уравнения. Приведем неочевидный пример. 1 / sin (x) + 1 / cos (x) = sqrt (3) 1 / sin (x) + 1 / cos (x) = sqrt (3) грех (х) + соз (х) ------------------- = sqrt (3) грех (х) соз (х) sin (x) + cos (x) = sqrt (3) sin (x) cos (x) (1) -------------------------------------------------- ------ Если возвести обе части уравнения (1) в квадрат, получится только произведение sin (x) cos (x).Затем мы можем найти значение sin (x) cos (x), и с его помощью мы упростим уравнение (1). Из (1) следует (sin (x) + cos (x)) 2 = 3 (sin (x) cos (x)) 2 1 + 2 sin (x) cos (x) = 3 (sin (x) cos (x )) 2 Пусть y = sin (x) cos (x) 3 года 2 -2 года -1 = 0 у = 1 или -1/3 sin (x) cos (x) = 1 или sin (x) cos (x) = -1/3 Если sin (x) cos (x) = 1, то sin (2x) = 2, а это невозможно. Заключение: Из (1) следует, что грех (х) соз (х) = -1/3 (2) -------------------------------------------------- -------- Теперь воспользуемся этим результатом.Приведем (2) в (1) грех (х) + соз (х) = - sqrt (3) / 3 (3) Если (1) истинно, то (2) истинно и, следовательно, (3) истинно. Теперь мы покажем, что верно обратное. Начнем с (3). грех (х) + соз (х) = - sqrt (3) / 3 => (sin (x) + cos (x) 2 = 1/3 => 1 + 2 sin (x) cos (x) = 1/3 => sin (x) cos (x) = -1/3 и это (2) Итак, если (3) истинно, то (2) истинно и, следовательно, (1) истинно. Вывод: (1) и (3) - эквивалентные уравнения.Решим (3) сейчас. -------------------------------------------------- ----------- грех (х) + соз (х) = - sqrt (3) / 3 cos (pi / 2 -x) + cos (x) = - sqrt (3) / 3 2 cos (pi / 4) cos (pi / 4-x) = - sqrt (3) / 3 sqrt (2) cos (pi / 4-x) = - sqrt (3) / 3 cos (пи / 4-х) = -1 / sqrt (6) Пусть a = arccos (-1 / sqrt (6)) соз (пи / 4-х) = соз (а) pi / 4 - x = a + 2 k pi или pi / 4 - x = -a + 2 k pi x = pi / 4 - a + 2 k pi или x = pi / 4 + a + 2 k pi Решениями данного уравнения являются значения pi / 4 - a + 2 k pi en pi / 4 + a + 2 k pi с a = arccos (-1 / sqrt (6)) Второй метод Многие уравнения можно решить по-разному.Мы покажем альтернативный способ решения уравнение 1 / sin (x) + 1 / cos (x) = sqrt (3) Период функции в левой части равен 2 пи. Если у нас есть решения уравнения в [0, 2pi], то мы знаем все решения. Сначала мы вычисляем решения в [0, 2pi]. Поскольку правая часть уравнения положительна, решения возможны только тогда, когда левая часть также положительна. Построив график функции 1 / sin (x) + 1 / cos (x), мы видим, что изображение положительное. в интервалах (0, пи / 2); (3pi / 4, pi) и (3pi / 2, 7pi / 4). Решения могут возникать только в этих интервалах. Если ограничить значения x этими интервалами, то обе части уравнения положительные, и мы можем написать 1 / sin (x) + 1 / cos (x) = sqrt (3) (1 / sin (x) + 1 / cos (x)) 2 = 3 грех (х) + соз (х) (------------------) 2 = 3 грех (х) соз (х) 1 + 2 sin (x) cos (x) = 3 sin 2 (x) cos 2 (x) Пусть y = sin (x) cos (x) 3 года 2 -2 года - 1 = 0 y = 1 или y = -1/3 Случай y = 1 грех (х) соз (х) = 1 2 грех (х) соз (х) = 2 грех (2x) = 2 В этом случае решений нет. Случай y = -1/3 2 sin (x) cos (x) = -2/3 грех (2x) = -2/3 пусть b = arcsin (-2/3); б = -0.7297 грех (2x) = грех (б) 2x = b + 2 k pi или 2x = (pi-b) + 2kpi x = b / 2 + k pi или x = pi / 2 - b / 2 + k pi Теперь мы возьмем только значения x, расположенные в интервалах (0, пи / 2); (3pi / 4, pi) en (3pi / 2, 7pi / 4). Есть 2 решения: х = b / 2 + пи = 2,7767 и х = пи / 2 - b / 2 + пи = 3pi / 2 - b / 2 = 5,077 Все решения уравнения 1 / sin (x) + 1 / cos (x) = sqrt (3) являются b / 2 + pi + 2 k pi en 3pi / 2 - b / 2 + 2 k pi Условные обозначения k — целое число. знак равно ‘> =’ означает больше или равно Примеры грех (x / 2)> 1/2 Нарисуем решения для (x / 2) на единичной окружности. Теперь мы видим, что: грех (х / 2)> 1/2 пи / 6 + 2 к пи пи / 3 +4 к пи Для каждого k у нас есть открытый интервал с решениями. Множество решений V представляет собой объединение всех этих открытых интервалов. V = { U (pi / 3 +4 k pi, 5 pi / 3 + 4 k pi) | k дюйм Z } k коричневый (2x) Нарисуем решения для (2x) на единичной окружности. Теперь мы видим, что: загар (2x) -pi / 2 + k pi -pi / 4 + k pi / 2 Для каждого k у нас есть открытый интервал с решениями. Множество решений V представляет собой объединение всех этих открытых интервалов. V = { U (-pi / 4 + k pi / 2, 0,16 + k pi / 2) | k дюйм Z } k коричневый (2x + pi / 5) Это вариант предыдущего примера. Цифра такая же, как и предыдущая, но теперь дает решения для (2x + pi / 5). Теперь у нас есть: tan (2x + pi / 5) -pi / 2 + k pi -pi / 2 -pi / 5 + k pi -7 pi / 20 + k pi / 2 Набор решений V: V = { U (-7 пи / 20 + k пи / 2, 0,16 - пи / 10 + k пи / 2) | k дюйм Z } k 2 sin 2 (x) — 3 sin (x) + 1 = Пусть t = sin (x). 2 t 2 - 3 t + 1 2 (t - 1) (t - 1/2) 1/2 = 1/2 = pi / 6 + 2 k pi = Набор решений V = { U [пи / 6 + 2 k пи; 5pi / 6 + 2 k pi] | k дюйм Z } k Другой метод решения 2 sin 2 (x) — 3 sin (x) + 1 = Можно также напрямую разложить левую часть на множители и исследовать знак в интервале периода. 2 грех 2 (х) - 3 грех (х) + 1 2 (грех (х) - 1) (грех (х) - 1/2) Возьмем простой период-интервал [0,2pi). Исследуем знак каждого фактора. x 0 пи / 6 пи / 2 5 пи / 6 пи 2 пи -------------------------------------------------- ------------- sin (x) -1 - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - - -------------------------------------------------- ------------- sin (x) -1/2 - - 0 + + + + + + 0 - - - - - - - - - - -------------------------------------------------- ------------- продукт + + 0 - - - 0 - - 0 + + + + + + + + + + -------------------------------------------------- ------------- Решения в интервале периодов: пи / 6 = Набор решений: V = { U [пи / 6 + 2 k пи; 5pi / 6 + 2 k pi] | k дюйм Z } k сек (x) Сначала исследуем неравенство в интервале периода [0,2pi). Значения 0; пи / 2; Пи ; 3pi / 2 не являются решениями. Исследуем другие ценности x в каждом квадранте. Первый квадрант cosec (x) 1 / sin (x) 0 cos (x) Набор решений (пи / 4, пи / 2). Второй квадрант Теперь у нас есть cos (x) 0. Решений нет. Третий квадрант cosec (x) 1 / sin (x) 0 cos (x) Набор решений равен (пи, 5 пи / 4) Четвертый квадрант Теперь у нас есть cos (x)> 0 и sin (x) Набор решений (3 пи / 2, 2 пи) Множество решений данного неравенства представляет собой объединение всех интервалов (пи / 4 + 2 к пи, пи / 2 + 2 к пи) (пи + 2 к пи, 5 пи / 4 + 2 к пи) (3pi / 2 + 2 пи, 2 пи + 2 пи) с k в Z Сначала преобразовать, затем решить. детская кроватка (x) + 1 -------------> 0 грех (х) детская кроватка (x) + 1 -------------> 0 и sin (x) не 0 грех (х) соз (х) + грех (х) -------------------> 0 и sin (x) не 0 грех 2 (х) cos (x) + sin (x)> 0 и sin (x) не 0 sin (x) + sin (pi / 2 -x)> 0 и sin (x) не 0 с формулами Симпсона 2 sin (pi / 4) cos (x - pi / 4)> 0 cos (x - pi / 4)> 0 и sin (x) не 0 Используя единичный круг, мы видим, что -pi / 2 + 2k пи -pi / 4 + 2k пи Множество решений V представляет собой объединение открытых интервалов V = { U (-pi / 4 + 2k pi, 3pi / 4 + 2k pi) | k дюйм Z } \ {k pi | k дюйм Z } k Все уравнения решаются одним и тем же методом.Заменим уравнение последовательно необходимым условием . Это означает, что найденные нами значения не являются необходимыми решениями. После этого мы должны сравнить эти значения с исходным уравнением. Ложные или паразитные значения необходимо удалить. Пример 1 arcsin (2x) = pi / 4 + arcsin (x) / arcsin (2x) = а | arcsin (x) = b (1) \ а = пи / 4 + Ь / sin (а) = 2x => | грех (б) = х \ а = пи / 4 + Ь => / sin (pi / 4 + b) = 2x \ грех (Ь) = х формулы сумм => / cos (b) + sin (b) = 2x.sqrt (2) \ грех (Ь) = х => / cos (b) = 2x.sqrt (2) - x \ грех (Ь) = х => (2x.sqrt (2) - x) 2 + x 2 = 1 => .... => x = +0,4798 или x = -0,4798 Мы проверяем эти значения по исходному уравнению. Единственное решение — 0,4798. Другое значение x ложно или паразитно. Пример 2 arctan (x + 1) = 3. arctan (x-1) / arctan (x + 1) = а | arctan (x-1) = b \ а = 3 б => / загар (а) = х + 1 | загар (б) = х - 1 \ а = 3 б => / загар (3b) = х + 1 \ tan (b) = х - 1 3 загар (б) - загар 3 (б) но загар (3b) = -------------------- 1 - 3.загар 2 (б) 3 (х-1) - (х-1) 3 => х + 1 = -------------------- 1-3 (х-1) 2 => (x + 1) (1-3 (x-1) 2 ) = 3 (x-1) - (x-1) 3 => ... => x = 0 или x = sqrt (2) или x = -sqrt (2) Мы проверяем эти значения по исходному уравнению. Единственное решение — sqrt (2). Другие значения x являются ложными или паразитными. Пример 3 арктангенс (х) + арктангенс (2х) = пи / 4 / arctan (x) = а | arctan (2x) = b \ а + Ь = пи / 4 => / x = загар (а) | 2x = загар (б) \ а + Ь = пи / 4 => / x = загар (а) \ 2x = загар (пи / 4-а) 1 - загар (а) но tan (pi / 4-a) = ---------------- поскольку tan (pi / 4) = 1 1 + загар (а) 1 - х => 2x = ---------- 1 + х =>... => x = (-3 + sqrt (17)) / 4 или x = (-3-sqrt (17)) / 4 Мы проверяем эти значения по исходному уравнению. Единственное решение — (-3 + sqrt (17)) / 4. Другое значение x ложно или паразитно. Пример 4 arctan ((x + 1) / (x + 2)) - arctan ((x-1) / (x-2)) = arccos (3 / sqrt (13)) / arctan ((x + 1) / (x + 2)) = a | arctan ((x-1) / (x-2)) = b | arccos (3 / sqrt (13)) = c \ а - Ь = с / загар (а) = (х + 1) / (х + 2) => | загар (б) = (х-1) / (х-2) | cos (c) = 3 / sqrt (13) \ а - Ь = с загар (а) - загар (б) но tan (a-b) = ------------------ и после вычисления находим 1 + загар (а) загар (б) -2 х / tan (c) = ---------------- => | 2 х 2 - 5 | \ cos (c) = 3 / sqrt (13) Из последнего уравнения следует 1 + tan 2 (c) = 1 / cos 2 (c) = 13/9 => tan 2 (c) = 4/9 Сейчас два случая Первый случай: -2 х / tan (c) = ---------------- => | 2 х 2 - 5 | \ tan (c) = 2/3 =>.... => x = 1 или x = -5/2 Второй случай: -2 х / tan (c) = ---------------- => | 2 х 2 - 5 | \ tan (c) = - 2/3 => .... => x = -1 или x = 5/2 Мы проверяем эти значения по исходному уравнению. Единственные решения — 1 и -5/2. Другие значения x являются ложными или паразитными. В следующих примерах «меньше или равно» записывается как «= Пример 1 ________ | 2 \ | 1 - п Покажи эту кроватку (arcsin (p)) = ----------- п пусть b = arcsin (p), тогда sin (b) = p с b в [-pi / 2, pi / 2].Итак, cos (b) = sqrt (1 - p 2 ) и ________ | 2 \ | 1 - п детская кроватка (arcsin (p)) = детская кроватка (b) = --------- п Пример 2 Докажите, что следующее уравнение не имеет решений при x> 0. cos (arctan (x)) + x sin (arctan (x)) = x Пусть u = arctan (x); Поскольку x> 0 - это u в (0, pi / 2) и tan (u) = x 1 + загар 2 (u) = 1 + x 2 1 / cos 2 (u) = 1 + x 2 cos (u) = 1 / sqrt (1 + x 2 ) - - - - - - - - - - - - - - - - грех (и) = загар (и).cos (u) sin (u) = x / sqrt (1 + x 2 ) - - - - - - - - - - - - - - - - cos (arctan (x)) + x sin (arctan (x)) = x cos (u) + x sin (u) = x 1 / sqrt (1 + x 2 ) + x 2 / sqrt (1 + x 2 ) = x 1 + х 2 = х. sqrt (1 + x 2 ) (1 + x 2 ) 2 = x 2 . (1 + х 2 ) 1 + х 2 = х 2 и это уравнение не имеет решений. Пример 3 Найдите область arccos (arcsin (x)) x принадлежит области arccos (arcsin (x)) - 1 = грех (-1) = Вывод: домен arccos (arcsin (x)) равен [-sin (1), sin (1)] Пример 4 Найдите домен arcsin (arccos (x)) x принадлежит области arcsin (arccos (x)) - 1 = 0 = cos (0)> = x> = cos (1) Вывод: домен arcsin (arccos (x)) равен [cos (1), 1] Пример 5 f (x) = arccos (а.arcsin (x)) с a> 0 Найдите такие значения a, чтобы область D функции f (x) была как можно больше. Вычислите значение a так, чтобы домен D = [-0,5; 0,5] x принадлежит области arccos (a. arcsin (x)) - 1 = -1 / а = пи / 2 Теперь (*) эквивалентно -pi / 2 = грех (1 / а) = 1/2 а = 6 / пи Примечание: вы можете проиллюстрировать и изучить многие из предыдущих шагов. с функцией плоттера. Пример 6 Докажите, что для всех натуральных чисел n справедливо следующее выражение. 1 arctan -------------- = arctan (1 / n) - arctan (1 / (n + 1)) n 2 + n + 1 Прежде всего отметим, что 1 1 1 0 2 + п + 1 п + 1 п и поэтому 1 1 1 0 2 + п + 1 п + 1 п Это означает, что выражения 1 arctan ------------- и arctan (1 / n) - arctan (1 / (n + 1)) n 2 + n + 1 находятся в (0, pi / 4] для всех n.Следовательно, выражение 1 arctan -------------- = arctan (1 / n) - arctan (1 / (n + 1)) n 2 + n + 1 эквивалентно 1 ------------- = загар (arctan (1 / n) - arctan (1 / (n + 1))) n 2 + n + 1 Упрощаем правую сторону загар (arctan (1 / n) - arctan (1 / (n + 1))) tan (arctan (1 / n)) - загар (arctan (1 / (n + 1))) знак равно 1 + загар (arctan (1 / n)). загар (arctan (1 / (n + 1))) 1 / п - 1 / (п + 1) знак равно 1 + (1 / n) (1 / (n + 1)) 1 знак равно n 2 + n + 1 Примечание: вы можете проиллюстрировать и изучить многие из предыдущих шагов с помощью плоттера функций.Щелкните здесь, чтобы найти основные формулы. Темы и проблемы Домашняя страница MATH-изобилие — урок Указатель MATH-учебника Условия копирования Все предложения, замечания и отчеты об ошибках отправляйте на [email protected] Тема письма должна содержать фламандское слово wiskunde. потому что другие письма фильтруются в корзину Калькулятор — arcsin (2) — Solumaths Описание: Функция arcsin позволяет вычислять арксинус числа.Функция арксинуса является обратной функцией функции синуса. arcsin онлайн Описание: арксинус функция является обратной функцией синусоидальная функция, это позволяет вычислить арксинус числа онлайн . Число, к которому вы хотите применить функцию арксинуса, должно принадлежать диапазону [-1,1]. Расчет арксинуса Чтобы вычислить арксинус числа, просто введите число и примените функция arcsin .2) `. Функция arcsin позволяет вычислять арксинус числа. Функция арксинуса является обратной функцией функции синуса. 2)` Первоначальный арксинус: Калькулятор первообразных позволяет вычислить первообразную функции арксинуса.2) ` Предельный арксинус: Калькулятор пределов позволяет вычислять пределы функции арксинуса. Предел для arcsin (x) — limit_calculator (`» arcsin «(x)`) Арксинус обратной функции: Функция , обратная арксинусу , является синусоидальной функцией, отмеченной как sin. Графическая арксинус: Графический калькулятор может строить функцию арксинуса в интервале ее определения. Свойство функции arcsine: Функция арксинуса — нечетная функция. Перевести на римские цифры онлайн: Римские цифры: онлайн конвертер alexxlab / 04.09.197015.09.2022 / Разное Онлайн калькулятор — римские цифры 0 AC +/- ÷ 7 8 9 × 4 5 6 — 1 2 3 + 0 00 , = Для перевода в римские цифры, введите арабские цифры от 1 до 3 999 Для перевода в арабские цифры, введите римские цифры от I до MMMCMXCIX Исходное число Римская система счисления Для обозначения римских чисел используется 7 букв латинского алфавита I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Для того, чтобы записать число от 1 до 3999 в римской системе счисления достаточно семи приведенных выше цифр. Следует отметить, что цифры V, L, D — не могут повторяться, а цифры I, X, C, M — могут повторяться не более трех раз. Числа 1, 2, 3 образуются путем сложения единиц I, II, III. Для образования чисел, для записи которых нет соответствующей буквы латинского алфавита используют сложение, если большая цифра стоит перед меньшей или вычитание, если меньшая цифра стоит перед большей, в данном случае меньшая цифра не может повторяться. Таблица римских цифр от 1 до 3 999 Вам могут также быть полезны следующие сервисы Калькуляторы систем счисления Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел Системы счисления теория N2 | Двоичная система счисления N3 | Троичная система счисления N4 | Четырехичная система счисления N5 | Пятеричная система счисления N6 | Шестеричная система счисления N7 | Семеричная система счисления N8 | Восьмеричная система счисления N9 | Девятеричная система счисления N11 | Одиннадцатиричная система счисления N12 | Двенадцатеричная система счисления N13 | Тринадцатеричная система счисления N14 | Четырнадцатеричная система счисления N15 | Пятнадцатеричная система счисления N16 | Шестнадцатеричная система счисления N17 | Семнадцатеричная система счисления N18 | Восемнадцатеричная система счисления N19 | Девятнадцатеричная система счисления N20 | Двадцатеричная система счисления N21 | Двадцатиодноричная система счисления N22 | Двадцатидвухричная система счисления N23 | Двадцатитрехричная система счисления N24 | Двадцатичетырехричная система счисления N25 | Двадцатипятеричная система счисления N26 | Двадцатишестеричная система счисления N27 | Двадцатисемеричная система счисления N28 | Двадцативосьмеричная система счисления N29 | Двадцатидевятиричная система счисления N30 | Тридцатиричная система счисления N31 | Тридцатиодноричная система счисления N32 | Тридцатидвухричная система счисления N33 | Тридцатитрехричная система счисления N34 | Тридцатичетырехричная система счисления N35 | Тридцатипятиричная система счисления N36 | Тридцатишестиричная система счисления Дроби Калькулятор интервальных повторений Учим дроби наглядно Калькулятор сокращения дробей Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей Калькулятор возведения дроби в степень Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную Калькулятор сравнения дробей Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю Калькуляторы (тригонометрия) Калькулятор синуса угла Калькулятор косинуса угла Калькулятор тангенса угла Калькулятор котангенса угла Калькулятор секанса угла Калькулятор косеканса угла Калькулятор арксинуса угла Калькулятор арккосинуса угла Калькулятор арктангенса угла Калькулятор арккотангенса угла Калькулятор арксеканса угла Калькулятор арккосеканса угла Калькулятор нахождения наименьшего угла Калькулятор определения вида угла Калькулятор смежных углов Калькуляторы (Теория чисел) Калькулятор выражений Калькулятор со скобками Калькулятор разложения числа на простые множители Калькулятор НОД и НОК Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых Калькулятор деления числа в данном отношении Калькулятор процентов Калькулятор перевода числа с Е в десятичное Калькулятор экспоненциальной записи чисел Калькулятор нахождения факториала числа Калькулятор нахождения логарифма числа Калькулятор квадратных уравнений Калькулятор остатка от деления Калькулятор корней с решением Калькулятор нахождения периода десятичной дроби Калькулятор больших чисел Калькулятор округления числа Калькулятор свойств корней и степеней Калькулятор комплексных чисел Калькулятор среднего арифметического Калькулятор арифметической прогрессии Калькулятор геометрической прогрессии Калькулятор модуля числа Калькулятор абсолютной погрешности приближения Калькулятор абсолютной погрешности Калькулятор относительной погрешности Калькуляторы площади геометрических фигур Площадь квадрата Площадь прямоугольника КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ Калькуляторы (Комбинаторика) Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия Калькулятор сложения и вычитания матриц Калькулятор умножения матриц Калькулятор транспонирование матрицы Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы Калькулятор нахождения обратной матрицы Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора Калькулятор сложения и вычитания векторов Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты Калькулятор векторного произведения векторов через координаты Калькулятор смешанного произведения векторов Калькулятор умножения вектора на число Калькулятор нахождения угла между векторами Калькулятор проверки коллинеарности векторов Калькулятор проверки компланарности векторов Генератор Pdf с примерами Тренажёры решения примеров Тренажёр таблицы умножения Тренажер счета для дошкольников Тренажер счета на внимательность для дошкольников Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ. Тренажер решения примеров с разными действиями Тренажёры решения столбиком Тренажёр сложения столбиком Тренажёр вычитания столбиком Тренажёр умножения столбиком Тренажёр деления столбиком с остатком Калькуляторы решения столбиком Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком Калькулятор деления столбиком с остатком Конвертеры величин Конвертер единиц длины Конвертер единиц скорости Конвертер единиц ускорения Цифры в текст Калькуляторы (физика) Механика Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения Калькулятор вычисления времени движения Калькулятор времени Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения. Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния. Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы. Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения Оптика Калькулятор отражения и преломления света Электричество и магнетизм Калькулятор Закона Ома Калькулятор Закона Кулона Калькулятор напряженности E электрического поля Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы Конденсаторы Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькуляторы по астрономии Вес тела на других планетах Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках Генераторы Генератор примеров по математике Генератор случайных чисел Генератор паролей Римские цифры перевод и таблица Так исторически сложилось, что способов записи цифр существует несколько. Из наиболее популярных можно отметить арабскую запись, которая и сейчас используется практически во всем мире, и римскую запись. Чаще всего римские цифры используют для записи веков. Римская запись чисел с использованием римских цифр является непозиционной системой счисления. На этой странице вы можете осуществить перевод римских цифр в арабские (русские) и наоборот арабское число в римское с помощью онлайн калькуляторов. Римские цифры набираются на клавиатуре большими латинскими буквами — I, V, X, L, C, D, M. Римские цифры в арабские Введите римское число: Допустимые символы — I, V, X, L, C, D, M. Некорректный символ. Введите I, V, X, L, C, D или M. всего расчетов — 5785 Арабские цифры в римские Введите арабское десятичное число: Допустимые символы — 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9, 0. Некорректный символ. Введите 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9 или 0. всего расчетов — 5785 Соответствие римских и арабскиц цифр Римская цифра Число I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Таблица римские цифры от 1 до 20 Наиболее востребованными являются римские цифры от 1 до 20. Для вашего удобства сделали таблицу перевода. Арабское число Число римскими цифрами 1 I 2 II 3 III 4 IV 5 V 6 VI 7 VII 8 VIII 9 IX 10 X 11 XI 12 XII 13 XIII 14 XIV 15 XV 16 XVI 17 XVII 18 XVIII 19 XIX 20 XX Века римскими цифрами Чаще всего римские цифры используют для записи дат, а конкретнее дней, месяцев или веков. В таблице указаны значения римских цифр от 1 до 31, чтобы можно было быстро переводить арабскую запись числа в римскую. Таблица веков римскими цифрами Век Век римскими цифрами 1 I 2 II 3 III 4 IV 5 V 6 VI 7 VII 8 VIII 9 IX 10 X 11 XI 12 XII 13 XIII 14 XIV 15 XV 16 XVI 17 XVII 18 XVIII 19 XIX 20 XX 21 XXI 22 XXII 23 XXIII 24 XXIV 25 XXV 26 XXVI 27 XXVII 28 XXVIII 29 XXIX 30 XXX 31 XXXI Римские цифры до 100 Огромная таблица римских цифр от 1 до 100. Число Число римскими цифрами Число Число римскими цифрами Число Число римскими цифрами Число Число римскими цифрами Число Число римскими цифрами 1 I 21 XXI 41 XLI 61 LXI 81 LXXXI 2 II 22 XXII 42 XLII 62 LXII 82 LXXXII 3 III 23 XXIII 43 XLIII 63 LXIII 83 LXXXIII 4 IV 24 XXIV 44 XLIV 64 LXIV 84 LXXXIV 5 V 25 XXV 45 XLV 65 LXV 85 LXXXV 6 VI 26 XXVI 46 XLVI 66 LXVI 86 LXXXVI 7 VII 27 XXVII 47 XLVII 67 LXVII 87 LXXXVII 8 VIII 28 XXVIII 48 XLVIII 68 LXVIII 88 LXXXVIII 9 IX 29 XXIX 49 XLIX 69 LXIX 89 LXXXIX 10 X 30 XXX 50 L 70 LXX 90 XC 11 XI 31 XXXI 51 LI 71 LXXI 91 XCI 12 XII 32 XXXII 52 LII 72 LXXII 92 XCII 13 XIII 33 XXXIII 53 LIII 73 LXXIII 93 XCIII 14 XIV 34 XXXIV 54 LIV 74 LXXIV 94 XCIV 15 XV 35 XXXV 55 LV 75 LXXV 95 XCV 16 XVI 36 XXXVI 56 LVI 76 LXXVI 96 XCVI 17 XVII 37 XXXVII 57 LVII 77 LXXVII 97 XCVII 18 XVIII 38 XXXVIII 58 LVIII 78 LXXVIII 98 XCVIII 19 XIX 39 XXXIX 59 LIX 79 LXXIX 99 XCIX 20 XX 40 XL 60 LX 80 LXXX 100 C Римские цифры на клавиатуре Довольно часто возникает проблема при наборе римских цифр. Например, для того, чтобы вводить римские цифры в Ворде (Word) их набирают на клавиатуре с помощью латинских букв как показано на рисунке. Соответственно: римская цифра 1 записывается как I, римская цифра 2 записывается как II, римская цифра 3 записывается как III, римская цифра 4 записывается как IV, римская цифра 5 записывается как V, римская цифра 6 записывается как VI, римская цифра 7 записывается как VII, римская цифра 8 записывается как VIII, римская цифра 9 записывается как IX, римская цифра 10 записывается как X. Перевод числа в римскую цифру в Excel Мало кто знает, но в Excel есть встроенная функция для перевода арабских чисел в римские цифры. Для того, чтобы сделать перевод введите в ячейке «=РИМСКОЕ(21)» (без кавычек) и нажмите Enter. Excel поместит в ячейку римское число — XXI. Ваша оценка [Оценок: 57 Средняя: 3. 2] Римские цифры перевод и таблица Автор admin средний рейтинг 3.2/5 — 57 рейтинги пользователей перевод арабских цифр в римские, перевод в римскую систему счисления, ноль римскими цифрами. Римские цифры в десятичной системе счисления. Римские цифры перевод на русский таблица. Как перевести цифры в римские Римскими называют цифры древнеримской нотации (системы счисления). По историческим сведениям, они использовались еще за полтысячелетия до нашей эры древними этрусками — создателями довольно развитой культуры, предшествующей римской. Содержание статьи Римские цифры до 20 с переводом Запись чисел римскими цифрами: правила записи Римская нумерация чисел Перевод в римскую систему счисления Перевод из римской системы счисления в десятичную Римские цифры перевод на русский таблица Ноль римскими цифрами Перевод в римскую систему счисления в онлайн Калькулятор римских чисел Наряду с более распространенными арабскими римские цифры применяют и сейчас: в оглавлениях научных трудов и книг, при нумерации столетий, указании валентности химических веществ, обозначении групп крови и в ряде других случаев. О правилах и нюансах простого и безошибочного перевода привычных для нас цифр в римские расскажем в статье. Римские цифры до 20 с переводом Запись чисел римскими цифрами: правила записи Римская нумерация чисел Сейчас для записи римских цифр применяют семь основных латинских символов. Их комбинации позволяют обозначить любое из чисел в промежутке от 1 до 3999. Символы римской системы счисления: I (по-латински — unum) = 1; V (guingue) = 5; X (decem) = 10; L (guinguaginta) = 50; C (centum) = 100; D (guingenti) = 500; M (mille) = 1000. Перевод в римскую систему счисления Для безошибочного перевода десятичного числа в римскую нотацию достаточно разбить его на разряды. Определим, какое количество единиц, а также десятков, сотен и тысяч содержит число. После этого останется лишь записать их последовательно латинскими символами. Вначале укажем тысячи, затем — сотни, десятки, единицы. Так, в числе 25 содержатся пять единиц и два десятка; в 53 — три единицы, пять десятков, в 102 — две единицы и одна сотня. Запишем их символами последовательно: 25 = XXV; 53 = LIII; 102 = CII. Важно знать: один и тот же латинский символ в римской цифре не может повторяться более трех раз. Чтобы избежать повторов и сократить количество знаков, символы I, X, C при обозначении 9, 90, 900 ставят перед X, C M соответственно, а при обозначении 4, 40 и 400 — перед V, L и D. На первый взгляд, правило кажется сложным, однако такой вариант записи используют только для шести чисел, которые легко запомнить: IV — для 4; XL — для 40; CD — для 400; IX — для 9; XC — для 90; CM — для 900. Несколько примеров: Переведем в римскую нотацию число 96. Оно содержит шесть единиц и девять десятков. Если бы мы перечислили разряды, не используя приведенное выше правило, запись получилась бы длинной и сложной к прочтению: XXXXXXXXXIIIIII. Согласно правилу: 90 = 100 — 10 = XC, 6 = VI. Следовательно, число 96, переведенное в римскую систему, будет выглядеть как XCVI. Запишем римскими цифрами 253. Число содержит три единицы (III), пять десятков (L), две сотни (CC). В римской нотации 253 будет выглядеть как CCLIII. Следуя тем же принципам, мы сможем легко записать в римской нотации любое десятичное число: 49 = 9 + 40 = XLIX; 198 = 8 (VIII) + 90 (XC) + 100 (C) = CXCVIII; 2145 = 5 (V) + 40 (XL) + 100 (C) + 2000 (MM) = MMCXLV; 3818 = 8 (VIII) + 10 (X) + 800 (DCCC) + 3000 (MMM) = MMMDCCCXVIII. Как переводить в римскую систему числа, большие, чем 3999? Над всеми символами, означающими тысячи, проводят одинарную черту, над обозначающими миллионы — двойную. Перевод из римской системы счисления в десятичную Иногда требуются противоположные действия — перевод из римской системы в десятичную, чтобы правильно прочесть или записать то или иное число арабскими цифрами. Для этого важно понимать принципы записи всех римских цифр. Правила перевода цифр из римской нотации в десятичную: Принцип сложения. Если большие цифры находятся перед меньшими, их последовательно складывают. То есть, чтобы понять значение римского числа XXI, достаточно сложить 10 + 10 + 1 и получить результат — 21. Принцип вычитания. Если меньшая цифра предшествует большей, ее вычитают из большей. Вычитаются исключительно римские цифры, означающие либо единицу, либо степень десяти. Уменьшается при этом только цифра, которая записана рядом с вычитающейся. Так, для «расшифровки» числа LXXIX вначале вычтем меньшую цифру I (1), расположенную справа от X (10), и лишь затем сложим все цифры 50 + 10 + 10 + 9, чтобы получить результат — 79. Примеры: Переведем в десятичную систему римское число DLV. Латинский символ D соответствует десятичному числу 500; L = 50; V = 5. Складываем 500 + 50 + 5, получаем 555. Прочтем римское число MIM. M = 1000; I = 1. M + (M — I) = 1000 + (1000 — 1) = 1999. Прочтем число посложнее — MMMCDLXVII. Латинский символ M соответствует 1000; C означает 100; D = 500; L = 50; X = 10; V = 5; I = 1. M + M + M + (D — C) + L + X + V + I + I = 1000 + 1000 + 1000 + (500- 100) + 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 3467. Римские цифры перевод на русский таблица Ноль римскими цифрами В современной римской системе счисления отсутствует ноль. Это единственное число, которое невозможно написать римскими цифрами. Хотя во времена Древнего Рима для нуля существовало обозначение N (от слова nihil — «ничто»). Перевод в римскую систему счисления в онлайн Чтобы обойтись без сложных вычислений при переводе десятичных чисел в римскую систему счисления и наоборот, можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Найти удобный сервис в сети можно в считанные секунды, набрав поисковой строке браузера фразу «калькулятор римских чисел» или подобную. Калькулятор римских чисел Пользоваться калькулятором перевода в римскую систему счисления просто: Введем в окошко «Римское число» цифру, которую нужно перевести. К примеру, римскую цифру MMDCCLVIII. Нажмем клавишу «Перевести». Получим результат в графе «Десятичное число» — 2758. Таким же образом можно выполнить обратное действие — перевести арабское число в римскую нотацию. Конвертер церковнославянских, греческих, еврейских и римских чисел 5 ступеней веры Церковнославянские цифрыГреческие цифрыЕврейские цифрыРимские цифры Араб­ское число × Число на кирил­лице Знак перед тыся­чами ВЫКЛ. Цифры в цер­ков­но­сла­вян­ских (а также в гре­че­ских, еврей­ских и латин­ских) книгах обо­зна­ча­ются бук­вами. Цер­ков­но­сла­вян­ская буква-цифра имеет над собой титло про­стое и после себя точку. В дву­знач­ных и мно­го­знач­ных числах титло ста­вится на второй букве от конца.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 Еди­ницы а҃. в҃. г҃. д҃. є҃. ѕ҃. з҃. и҃. ѳ҃. Десятки і҃. к҃. л҃. м҃. н҃. ѯ҃. ѻ҃. п҃. ч҃. Сотни р҃. с҃. т҃. у҃. ф҃. х҃. ѱ҃. ѿ҃. ц҃. Тысячи запи­сы­ва­ются теми же бук­вами, как и еди­ницы, десятки и сотни, но с добав­ле­нием перед буквой сим­вола ҂. Числа состав­ля­ются также как и в совре­мен­ной араб­ской нота­ции: сна­чала пишутся тысячи, затем сотни, затем десятки и еди­ницы, за исклю­че­нием чисел окан­чи­ва­ю­щихся на 11…19, где послед­ние два знака пере­став­ля­ются согласно сла­вян­скому про­чте­нию (напри­мер, один-на-дцать, то есть сперва «один», а потом «дцать» = 10). г҃. — 3 д҃і. — 14 тм҃є. — 345 ҂иѿп҃и. — 8888 ҂р҂к҂гун҃ѕ. — 123456 Если в мно­го­знач­ной цифре число сотен, десят­ков или единиц нуле­вое, то на их место ни какой знак вроде нуля не под­став­ля­ется, а число ста­но­вится короче. ҂вѳ҃і. — 2019 ҂в҃к. — 2020 ҂в҃. — 2000 Боль­шие числа (десятки и сотни тысяч, мил­ли­оны и мил­ли­арды) в разных источ­ни­ках могут  выра­жаться не через знак ҂, а спе­ци­аль­ным обра­зом обве­ден­ной буквой, исполь­зо­вав­шейся для обо­зна­че­ния единиц. Впро­чем, для боль­ших чисел эти обо­зна­че­ния были довольно неста­бильны. 10 000 — ҂і҃, (тма) 100 000 — ҂р҃,  (легео́н, несве́дь) 1 000 000 — ҂҂а,   (лео́др) 10 000 000 —  (вран) 100 000 000 —  (коло́да) 1000 000 000 —  (тма тем) Цер­ков­но­сла­вян­ская система чисел явля­ется абсо­лют­ной каль­кой гре­че­ской системы счис­ле­ния. Гре­че­ская (ионий­ская, ново­гре­че­ская) система счис­ле­ния — алфа­вит­ная запись чисел, в кото­рой в каче­стве сим­во­лов для счёта, упо­треб­ляют буквы клас­си­че­ского гре­че­ского алфа­вита и неко­то­рые буквы доклас­си­че­ской эпохи, такие как ϝ (дигамма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи). γʹ — 3 ιδʹ — 14 τμεʹ — 345 ͵ηωπηʹ — 8888 ͵ρ͵κ͵γυνϛʹ — 123456 Еврей­ская система счис­ле­ния в каче­стве цифр исполь­зует 22 буквы еврей­ского алфа­вита. Алфа­вит­ные обо­зна­че­ния чисел были заим­ство­ваны евре­ями у древ­них греков. Еврей­ские числа запи­сы­ва­ются справа налево; перед послед­ней (левой) буквой ста­вится двой­ная кавычка — гер­шаим (״). Если буква всего одна, то после неё ста­вится оди­ноч­ная кавычка — гереш (׳). Для обо­зна­че­ния 1–9 тысяч исполь­зу­ются первые девять букв, после кото­рых ста­вится апо­строф. Исклю­че­ния состав­ляют числа окан­чи­ва­ю­щи­еся на 15 и 16, кото­рые пред­став­ля­ются как 9+6 и 9+7 соот­вет­ственно (ибо «Не поми­най Имени Божия всуе»). ג׳ — 3 י״ד — 14 שמ״ה — 345 ח’תתפ״ח — 8888 В отли­чие от первых трех — в рим­ской системе счис­ле­ния для пред­став­ле­ния любого числа исполь­зу­ются только 7 букв латин­ского алфа­вита I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) и M (1000). В после­ду­ю­щем к ним были добав­лены ещё 4 сим­вола (от 5 000 до 100 000). Для пра­виль­ной записи боль­ших чисел рим­скими циф­рами необ­хо­димо сна­чала запи­сать число тысяч, затем сотен, затем десят­ков и, нако­нец, единиц. Числа запи­сы­ва­ются при помощи повто­ре­ния этих цифр. При этом, если боль­шая цифра стоит перед мень­шей, то они добав­ля­ются, если же мень­шая – перед боль­шей, то мень­шая вычи­та­ется из боль­шей. III — 3 XIV — 14 CCCXLV — 345 ↁMMMDCCCLXXXVIII — 8888 ↈↂↂMMMCDLVI — 123456 42 тыс. 4 Римские цифры в число — ZedWeb Этот онлайн-конвертер поможет вам легко преобразовать римские цифры в число. Введите или вставьте римские цифры, и нажмите на кнопку «Преобразовать», после чего, на экране появится значение в виде числа. Использование онлайн-конвертера римских цифр от ZedWeb Наш конвертер римских цифр в число очень прост в использовании. Если вы введёте римскую цифру, он преобразует её в число, и покажет вам визуальный результат. Разложив римские цифры на части, легче увидеть, как цифры, составляющие римскую цифру, складываются и вычитаются, чтобы создать более обычное число, с которым мы имеем дело ежедневно. Неправильные римские цифры отвергаются, но конвертер попытается преобразовать их в «наилучшее предположение». Например, римская цифра IIII — это неправильное представление числа 4 (правильная римская цифра — IV), но наш конвертер примет этот ввод, исправит его, и покажет вам соответствующий результат. Всё это конечно увлекательно, но если даже после игры с нашим конвертером вы всё ещё задаете себе такой вопрос: «Что это такое — римские цифры, и зачем мне нужно их знать?», тогда стоит разобраться, откуда взялись римские цифры, и почему они до сих пор являются частью повседневной жизни. Что такое римские цифры? Римская система счисления зародилась в Древнем Риме, и оставалась обычным способом записи чисел по всей Европе, вплоть до позднего Средневековья, благодаря огромному влиянию греко-римской культуры на европейскую цивилизацию. В римской системе цифры представлены комбинациями букв латинского алфавита, в частности: I, V, X, L, C, D, M. Каждая из них соответствует целому положительному числу, как вы можете увидеть в таблице преобразования ниже. Римские цифры используются и сегодня, хотя их замена на более удобные арабские цифры началась ещё в 14 веке. Римская система не является позиционной, но порядок цифр имеет значение. Числа с большим числовым значением обычно пишутся слева от чисел с меньшим числовым значением. Однако если число с меньшим числовым значением записано слева от числа с большим числовым значением, его необходимо вычесть. Это так называемая «субтрактивная нотация». Так, IV дает 4, поскольку мы вычитаем I из V = 5 — 1 = 4. Аналогично, XC равно 90: X (10) находится слева от C (100), поэтому мы вычитаем 10 из 100, чтобы получить 90. Обратите внимание, что мы не пишем 40 как XXXX, так как это занимает больше места, чем XL. Наш конвертер римских цифр в число обрабатывает всё это для вашего удобства. Римские цифры можно увидеть на циферблатах часов, в качестве номеров глав в книгах, газетах и т.д., в продолжениях фильмов. Они также часто используются при написании имён римских пап или монархов, например, Елизаветы II, а также суффиксов поколений, когда одно и то же имя часто передаётся из поколения в поколение. Их также можно увидеть на табличках с годами строительства на торцах зданий и краеугольных камнях. В связи с тем, что они все ещё достаточно широко используются, необходимость преобразования римских цифр в числа — всё ещё довольно распространено. Конвертация римских цифр в число Чтобы перевести римскую цифру в число, необходимо просуммировать все римские цифры слева направо. Сначала запишите текущую цифру, а затем сравните её с цифрой справа. Если она меньше её, то нужно вычесть из текущей суммы (или прибавить её отрицательное значение). Если больше, то просто выполните сложение. Например, если число равно MXIV, действуем следующим образом. Начинаем с суммы, равной нулю. Затем читаем M, которое, как мы знаем из приведённой ниже таблицы преобразования, равно 1000. Следующее число — X, которое равно 10. 10 < 1000, поэтому мы просто прибавляем 1000 к нашей сумме, чтобы получить 1000. Далее мы читаем X и сравниваем его с I справа от него. Поскольку I равно 1, мы просто прибавляем 10 к сумме, получая 1010. Затем мы читаем I и сравниваем его с V справа от него. 1 меньше 5, поэтому мы вычитаем 1. Теперь наша сумма равна 1009. Наконец, читаем V и, поскольку это последнее число, просто прибавляем его к сумме, получая результат: 1014. Очевидно, что для больших римских цифр вышеописанная процедура является ручной, и занимает много времени, поэтому вместо этого, мы рекомендуем использовать наш конвертер римских цифр в число. Таблица преобразования римских цифр Римская цифра Число I 1 II 2 III 3 IV 4 V 5 VI 6 VII 7 VIII 8 IX 9 X 10 XI 11 XII 12 XX 20 XL 40 L 50 XC 90 C 100 D 500 M 1000 Как составить дату рождения из римских цифр. Перевод римские, индийские, арабские цифры (числа) Конвертирование римских чисел онлайн В античные времена римляне были очень активны в торговле и коммерции, и как только она обрели письменность они стали нуждаться в обозначении чисел. Система, которую они изобрели для обозначения цифр и чисел, активно использовалась на протяжении многих веков, и даже сейчас она находит свое применение во многих специальных случаях написания чисел. Римские числа традиционно обозначают порядок правителей или людей имеющие одинаковое имя (например, Екатерина II , Николай II , Людовик XIV ). Они так же иногда используются для обозначения дат в издательском деле или на зданиях, для указания года постройки, или на надгробных камнях, когда есть желание создать впечатление, ощущение классической почести, дани уважения. Римские числа и цифры (вся целая система) так е живет в нашем языке, который до сих пор использует корни Латинских заимствованных слов для отображения тех или иных численных идей или значений. Несколько примеров: duo — двойной, quadricep — четырёхглавая мышца, decade — группа из десяти, десяток или десятилетие, milliliter — миллилитр, одна тысячная литра и т.п. Одно большое различие между римскими и арабскими числами (те которые мы используем повседневно сейчас) это то, что Римская система исчислений не имеет символа нуля, и второе, что положение цифры в записи может означать не сложение, но иногда и вычитание. Простой принцип расчета Римские числа математически конвертируются в арабские числа путём простого назначения каждой цифре Римского числа соответствующего целочисленного значения в арабской системе с автоматическим суммированием: M=1000 | D=500 | C=100 | L=50 | X=10 | V=5 | I=1. Ниже приводятся детальное описание всех основных римских цифр: I Самый простой способ записать маленькие числа это нарисовать «зазубрины» — цифра один: I. Две палочки II означают два, III — три. Однако, для большего числа количество становиться очень большим и абсолютно не читаемым…. 20-ый век 1901 = MCMI 1902 = MCMII 1903 = MCMIII 1904 = MCMIV 1905 = MCMV 1906 = MCMVI 1907 = MCMVII 1908 = MCMVIII 1909 = MCMIX 1910 = MCMX 1911 = MCMXI 1912 = MCMXII 1913 = MCMXIII 1914 = MCMXIV 1915 = MCMXV 1916 = MCMXVI 1917 = MCMXVII 1918 = MCMXVIII 1919 = MCMXIX 1920 = MCMXX 1921 = MCMXXI 1922 = MCMXXII 1923 = MCMXXIII 1924 = MCMXXIV 1925 = MCMXXV 1926 = MCMXXVI 1927 = MCMXXVII 1928 = MCMXXVIII 1929 = MCMXXIX 1930 = MCMXXX 1931 = MCMXXXI 1932 = MCMXXXII 1933 = MCMXXXIII 1934 = MCMXXXIV 1935 = MCMXXXV 1936 = MCMXXXVI 1937 = MCMXXXVII 1938 = MCMXXXVIII 1939 = MCMXXXIX 1940 = MCMXL 1941 = MCMXLI 1942 = MCMXLII 1943 = MCMXLIII 1944 = MCMXLIV 1945 = MCMXLV 1946 = MCMXLVI 1947 = MCMXLVII 1948 = MCMXLVIII 1949 = MCMXLIX 1950 = MCML 1951 = MCMLI 1952 = MCMLII 1953 = MCMLIII 1954 = MCMLIV 1955 = MCMLV 1956 = MCMLVI 1957 = MCMLVII 1958 = MCMLVIII 1959 = MCMLIX 1960 = MCMLX 1961 = MCMLXI 1962 = MCMLXII 1963 = MCMLXIII 1964 = MCMLXIV 1965 = MCMLXV 1966 = MCMLXVI 1967 = MCMLXVII 1968 = MCMLXVIII 1969 = MCMLXIX 1970 = MCMLXX 1971 = MCMLXXI 1972 = MCMLXXII 1973 = MCMLXXIII 1974 = MCMLXXIV 1975 = MCMLXXV 1976 = MCMLXXVI 1977 = MCMLXXVII 1978 = MCMLXXVIII 1979 = MCMLXXIX 1980 = MCMLXXX 1981 = MCMLXXXI 1982 = MCMLXXXII 1983 = MCMLXXXIII 1984 = MCMLXXXIV 1985 = MCMLXXXV 1986 = MCMLXXXVI 1987 = MCMLXXXVII 1988 = MCMLXXXVIII 1989 = MCMLXXXIX 1990 = MCMXC 1991 = MCMXCI 1992 = MCMXCII 1993 = MCMXCIII 1994 = MCMXCIV 1995 = MCMXCV 1996 = MCMXCVI 1997 = MCMXCVII 1998 = MCMXCVIII 1999 = MCMXCIX 2000 = MM 21-ый век 2001 = MMI 2002 = MMII 2003 = MMIII 2004 = MMIV 2005 = MMV 2006 = MMVI 2007 = MMVII 2008 = MMVIII 2009 = MMIX 2010 = MMX 2011 = MMXI 2012 = MMXII 2013 = MMXIII 2014 = MMXIV 2015 = MMXV 2016 = MMXVI 2017 = MMXVII 2018 = MMXVIII 2019 = MMXIX 2020 = MMXX V Таким образом, появилась число 5 — V. Расположение перед ним единички: IV — или расположение любого другого меньшего числа, чем последующий (в нашем случае символ пять) — означает вычитание. Таким образом, IV означает 4. После V можно указать меньшие цифры, тогда это будет означать складывание — VI означает 6, VII означает 7, VIII равно 8. X X означает 10. Но что насчет 9? Аналогичное используется правило как с пятёркой. IX означает вычитание I из X, и это равно 9. Числа первого десятка, второго десятка и третьего формируются таким же образом, только с X-ами означающие количество десятков в числе. Таким образом, мы получаем, что XXXI — 31, а XXIV это 24. L Значение L равно 50. Основываясь на том, что вы уже прочитали выше, вы уже можете догадаться, как будет записано число 40. Если вы думаете, что это будет XL, то вы правы = 10 отнимается от 50-и. И другие числа 60, 70, и 80 будут выглядеть как LX, LXX и LXXX. C Цифра C пошла от слова centum , латинского слова означающее 100. centurion означает 100 людей. Мы по-прежнему используем такие слова, как «century » (столетие) и «cent » (цент). Как и с L, вычитание десятка означает понижение основной последующей цифры: 90 будет записано, как 100 минус 10 = XC. Несколько подряд цифр C будет означать соответствующее количество сотен: CCCLXIX равно 369. D D указывает на значение равное 500. По аналогии, CD означает 400. CDXLVIII равное 448. M M это 1000. Это цифра очень часто попадается, так как римские числа в основном используются для записи года. MMX — 2010 год. V Более большие числа в Римском исчислении записываются при помощи горизонтальной линии расположенной над цифрами, что будет означать умножение данных цифр на тысячу. Отсюда выходит, что V с горизонтальной линией над этой цифрой будет означать 5000. Конвертирование римских чисел онлайн Вводите все буквы в римской записи числа, как они указаны на вашем экспонате: Для корректной работы Dates Calculator Online, вам необходимо включить поддержку JavaScript в своем обозревателе (IE, Firefox, Opera)! Для обозначения цифр в латинском языке приняты комбинации следующих семи знаков: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000). Для запоминания буквенных обозначений цифр в порядке убывания придумано мнемоническое правило: Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх (соответственно M, D, C, L, X, V, I). Если знак, обозначающий меньшее число, стоит справа от знака, обозначающего большее число, то меньшее число следует прибавлять к большему, если слева, то вычитать, а именно: VI — 6, т.е. 5 + 1 IV — 4, т.е. 5 — 1 XI — 11, т.е. 10 + 1 IX — 9, т.е. 10 — 1 LX — 60, т.е. 50 + 10 XL — 40, т.е. 50 — 10 СХ — 110, т.е. 100 + 10 ХС — 90, т.е. 100-10 MDCCCXII — 1812, т.е. 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1. Возможно различное обозначение одного и того же числа. Например, число 80 можно обозначить как LXXX (50 + 10 + 10 + 10) и как ХХС (100 — 20). Для записи чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц. I (1) — unus (унус) II (2) — duo (дуо) III (3) — tres (трэс) IV (4) — quattuor (кваттуор) V (5) — quinque (квинквэ) VI (6) — sex (сэкс) VII (7) — septera (сэптэм) VIII (8) — octo (окто) IX (9) — novem (новэм) X (10) — decern (дэцем) XI (11) — undecim (ундецим) XII (12) — duodecim (дуодэцим) ХШ (13) — tredecim (трэдэцим) XIV (14) — quattuordecim (кваттуордэцим) XV (15) — quindecim (квиндэцим) XVI (16) — sedecim (сэдэцим) XVII (17) — septendecim (сэптэндэцим) XVIII (18) — duodeviginti (дуодэвигинти) XIX (19) — undeviginti (ундэвигинти) XX (20) — viginti (вигинти) XXI (21) — unus et viginti или viginti unus XXII (22) — duo et viginti или viginti duo и т. д. XXVIII (28) — duodetriginta (дуодэтригинта) XXIX (29) — undetriginta (ундэтригинта) XXX (30) : triginta (тригинта) XL (40) — quadraginta (квадрагинта) L (5O) — quinquaginta (квинквагинта) LX (60) — sexaginta (сэксагинта) LXX (70) — septuaginta (сзлтуагинта) LXXX180) — octoginta (октогинта) КС (90) — nonaginta (нонагинта) C (100) centum (центум) CC (200) — ducenti (дуценти) CCC (300) — trecenti (трэценти) CD (400) — quadrigenti (квадригэнти) D (500) — quingenti (квингэнти) DC (600) — sescenti(сэсценти) или sexonti (сэксцонти) DCC (700) — septigenti (сэптигэнти) DCCC (800) — octingenti (октингэнти) CV (DCCC) (900) — nongenti (нонгэнти) M (1000) — mille (милле) ММ (2000) — duo milia (дуо милиа) V (5000) — quinque milla (квинквэ милиа) X (10 000) — decem milia (дэцем милиа) XX (20000) — viginti milia (вигинти милиа) C (100000) — centum milia (центум милиа) XI (1000000) — decies centena milia (дэциэс центэна милиа). Если вдруг любознательный человек спросит, почему для обозначения цифр 50, 100, 500 и 1000 были выбраны латинские буквы V, L, С, D, М, то сразу скажем, что это вовсе не латинские буквы, а совсем иные знаки. Дело в том, что основой для латинского алфавита послужил алфавит западногреческий. Именно к нему восходят три знака L, С и М. Здесь они обозначали придыхательные звуки, которых не было в латинском языке. Когда оформлялся латинский алфавит, именно они оказались лишними. Их и приспособили для обозначения чисел в латинской графике. Позднее они по написанию совпали с латинскими буквами. Так, знак С (100) стал похож на первую букву латинского слова centum (сто), а М (1000) — на первую букву слова mille (тысяча). Что же касается знака D (500), то он представлял собой половину знака Ф (1000), а потом уж стал похож на латинскую букву. Знак V (5) являлся всего навсего верхней половиной знака X (10).	21-й XXI 20-й XX 19-й XIX 18-й XVIII 17-й XVII 16-й XVI 15-й XV 14-й XIV 13-й XIII 12-й XII 11-й XI 10-й X 9-й IX 8-й VIII 7-й VII 6-й VI 5-й V 4-й IV 3-й III 2-й II 1-й I Римские цифры, придуманные более 2500 лет тому назад, использовались европейцами на протяжении двух тысячелетий, затем были вытеснены арабскими цифрами. Это произошло потому, что римские цифры записать достаточно сложно, да и любые арифметические действия в римской системе выполнять гораздо сложнее, чем в арабской системе исчисления. Не смотря на то, что сегодня римская система не часто используется, это вовсе не значит, что она стала неактуальна. В большинстве случаев века римскими цифрами обозначают, а вот годы или точные даты принято писать арабскими цифрами. Римскими цифры также используются при написании порядковых номеров монархов, энциклопедических томов, валентности различных химических элементов. На циферблатах ручных часов также часто используются цифры римской системы исчисления. Римские цифры представляют собой определенные знаки, с помощью которых записывают десятичные разряды и их половины. Используют для этого всего семь заглавных букв латинского алфавита. Числу 1 соответствует римская цифра I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. При обозначении натуральных чисел эти цифры повторяются. Так 2 можно написать, используя два раза I, то есть 2 – II, 3 — три буквы I, то есть 3 – III. Если меньшая цифра стоит перед большей, то используется принцип вычитания (меньшая цифра вычитается из большей). Так, цифра 4 изображается как IV (то есть 5-1). В случае, когда большая цифра стоит впереди меньшей, их складывают, например 6 записывается в римской системе, как VI (то есть 5+1). Если Вы привыкли записывать числа арабскими цифрами, то могут возникнуть некоторые затруднения в том случае, когда нужно записать века римскими цифрами, какое-либо число или дату. Перевести любое число из арабской системы в римскую систему исчисления и наоборот можно очень легко и очень быстро, воспользовавшись удобным конвертером на нашем сайте. На клавиатуре компьютера достаточно перейти на английский язык, чтобы без труда записать любое число римскими цифрами. По всей видимости, древние римляне отдавали предпочтение прямым линиям, поэтому все их цифры прямые и строгие. Однако, римские цифры представляют собой ни что иное, как упрощенное изображение пальцев человеческой руки. Цифры с одного до четырех напоминают вытянутые пальцы, цифру пять можно сравнить с раскрытой ладонью, где большой палец оттопырен. А цифра десять напоминает две скрещенные руки. В европейских странах при счете принято разгибать пальцы, а вот в России, наоборот, загибать.

1 – I	11 – XI	21 – XXI	31 — XXXI
2 – II	12 – XII	22 – XXII
3 – III	13 – XIII	23 – XXIII
4 – IV	14 – XIV	24 – XXIV
5 – V	15 – XV	25 – XXV
6 – VI	16 – XVI	26 – XXVI
7 – VII	17 – XVII	27 – XXVII
8 – VIII	18 – XVIII	28 – XXVIII
9 – IX	19 – XIX	29 – XXIX
10 – X	20 – XX	30 – XXX

2 этап.

Выбор месяца.

В году 12 месяцев и все они имеют свой порядковый номер.

3 этап. Выбор года.

Самый сложный этап, так как имеет множество вариантов написания.

1 вариант – сокращенный. Число состоит из двух последних цифр года рождения. Например, число 99 или римскими XCIX , будет обозначать 1999 год, а 18 – сокращение от 2018 года (XVIII ). Единственный год не поддающийся сокращению – 2000 год, его римская версия всегда будет MM , как в сокращенном, так и в полном варианте.

1 – I	21 – XXI	41 – XLI	61 – LXI	81 – LXXXI
2 – II	22 – XXII	42 – XLII	62 – LXII	82 – LXXXII
3 – III	23 – XXIII	42 – XLIII	63 – LXIII	83 – LXXXIII
4 – IV	24 – XXIV	44 – XLIV	64 – LXIV	84 – LXXXIV
5 – V	25 – XXV	45 – XLV	65 – LXV	85 – LXXXV
6 – VI	26 – XXVI	46 – XLVI	66 – LXVI	86 – LXXXVI
7 – VII	27 – XXVII	47 – XLVII	67 – LXVII	87 – LXXXVII
8 – VII	28 – XXVIII	48 – XLVIII	68 – LXVIII	88 – LXXXVIII
9 – IX	29 – XXIX	49 – XLIX	69 – LXIX	89 – LXXXIX
10 – X	30 – XXX	50 – L	70 — LXX	90 – XC
11 – XI	31 – XXXI	51 – LI	71 – LXXI	91 – XCI
12 – XII	32 – XXXII	52 – LII	72 – LXXII	92 – XCII
13 – XIII	33 – XXXIII	53 – LIII	73 – LXXIII	93 – XCIII
14 – XIV	34 – XXXIV	54 – LIV	74 – LXXIV	94 – XCIV
15 – XV	35 – XXXV	55 – LV	75 – LXXV	95 – XCV
16 – XVI	36 – XXXVI	56 – LVI	76 – LXXVI	96 – XCVI
17 – XVII	37 – XXXVII	57 – LVII	77 – LXXVII	97 – XCVII
18 – XVIII	38 – XXXVIII	58 – LVIII	78 – LXXVII	98 – XCVIII
19 – XIX	39 – XXXIX	59 – LIX	79 – LXXIX	99 — XCIX
20 – XX	40 – XL	60 – LX	80 – LXXX

Конвертер римских цифр

Конвертер римских цифр

Главная›Конвертация›Преобразование чисел›Конвертер римских цифр

Введите римскую цифру или число и нажмите кнопку Преобразовать :

Римское число

Десятичное число

Расчет

Римские цифры ►

Преобразователь даты в римские цифры ►

Таблица преобразования римских цифр

Число	Римская цифра	Расчет
0	не определено
1	я	1
2	II	1+1
3	III	1+1+1
4	IV	5-1
5	В	5
6	ВИ	5+1
7	VII	5+1+1
8	VIII	5+1+1+1
9	IX	10-1
10	х	10
11	XI	10+1
12	XII	10+1+1
13	XIII	10+1+1+1
14	XIV	10-1+5
15	XV	10+5
16	XVI	10+5+1
17	XVII	10+5+1+1
18	XVIII	10+5+1+1+1
19	XIX	10-1+10
20	ХХ	10+10
21	ХХI	10+10+1
22	XXII	10+10+1+1
23	XXIII	10+10+1+1+1
24	XXIV	10+10-1+5
25	ХХV	10+10+5
26	ХХVI	10+10+5+1
27	ХХVII	10+10+5+1+1
28	ХХVIII	10+10+5+1+1+1
29	XXIX	10+10-1+10
30	ХХХ	10+10+10
31	XXXI	10+10+10+1
32	XXXII	10+10+10+1+1
33	XXXIII	10+10+10+1+1+1
34	XXXIV	10+10+10-1+5
35	ХХХV	10+10+10+5
36	XXXVI	10+10+10+5+1
37	ХХXVII	10+10+10+5+1+1
38	XXXVIII	10+10+10+5+1+1+1
39	XXXIX	10+10+10-1+10
40	XL	-10+50
41	XLI	-10+50+1
42	XLII	-10+50+1+1
43	XLIII	-10+50+1+1+1
44	XLIV	-10+50-1+5
45	XLV	-10+50+5
46	XLVI	-10+50+5+1
47	XLVII	-10+50+5+1+1
48	XLVIII	-10+50+5+1+1+1
49	XLIX	-10+50-1+10
50	л	50
51	ЛИ	50+1
52	ЛИИ	50+1+1
53	ЛИИ	50+1+1+1
54	ЛИВ	50-1+5
55	ЛВ	50+5
56	LVI	50+5+1
57	LVII	50+5+1+1
58	ЛВIII	50+5+1+1+1
59	ЛИКС	50-1+10
60	ЛХ	50+10
61	LXI	50+10+1
62	LXII	50+10+1+1
63	LXIII	50+10+1+1+1
64	LXIV	50+10-1+5
65	LXV	50+10+5
66	LXVI	50+10+5+1
67	LXVII	50+10+5+1+1
68	LXVIII	50+10+5+1+1+1
69	LXIX	50+10-1+10
70	ЛХХ	50+10+10
71	LXXI	50+10+10+1
72	LXXII	50+10+10+1+1
73	LXXXIII	50+10+10+1+1+1
74	LXXIV	50+10+10-1+5
75	LXXV	50+10+10+5
76	LXXVI	50+10+10+5+1
77	LXXVII	50+10+10+5+1+1
78	LXXVIII	50+10+10+5+1+1+1
79	LXXXIX	50+10+10-1+10
80	LXXX	50+10+10+10
81	LXXXI	50+10+10+10+1
82	LXXXII	50+10+10+10+1+1
83	LXXXIII	50+10+10+10+1+1+1
84	LXXXIV	50+10+10+10-1+5
85	LXXXV	50+10+10+10+5
86	LXXXVI	50+10+10+10+5+1
87	LXXXVII	50+10+10+10+5+1+1
88	LXXXVIII	50+10+10+10+5+1+1+1
89	LXXXIX	50+10+10+10-1+10
90	ХС	100-10
91	XCI	100-10+1
92	XCII	100-10+1+1
93	XCIII	100-10+1+1+1
94	XCIV	100-10-1+5
95	XCV	100-10+5
96	XCVI	100-10+5+1
97	XCVII	100-10+5+1+1
98	XCVIII	100-10+5+1+1+1
99	XCIX	100-10-1+10
100	С	100
200	СС	100+100
300	ССС	100+100+100
400	CD	500-100
500	Д	500
600	DC	500+100
700	ДКК	500+100+100
800	ДККК	500+100+100+100
900	см	1000-100
1000	М	1000
5000	В
10000	х
50000	л
100000	С
500000	Д
1000000	М

 

Конвертер даты в римские цифры ►

 

---

См.

также

• Как преобразовать число в римские цифры
• Как преобразовать римские цифры в число
• Таблица римских цифр
• Преобразователь даты в римские цифры
• Римские цифры 1-100 схема
• Римские цифры 1-20 схема
• Римские цифры 1-10 диаграмма
• XXXIX римская цифра
• Преобразование номера
• X римская цифра
• XLIX римская цифра
• XCIX римская цифра
• 10 римскими цифрами
• 50 римскими цифрами
• 100 римскими цифрами

Напишите, как улучшить эту страницу

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЕЛ

• ASCII, шестнадцатеричный, двоичный, десятичный преобразователь
• Преобразователь текста ASCII в двоичный код
• Преобразователь текста ASCII в шестнадцатеричный
• Базовый преобразователь
• Двоичный преобразователь
• Преобразователь двоичного кода в текст ASCII
• Преобразователь двоичного кода в десятичный
• Преобразователь двоичного кода в шестнадцатеричный
• Преобразователь даты в римские цифры
• Преобразователь десятичной дроби в дробную
• Преобразователь десятичных чисел в проценты
• Преобразователь десятичной системы в двоичную
• Преобразователь десятичного числа в восьмеричное
• Преобразователь десятичного числа в шестнадцатеричный
• Перевод градусов в градусы, минуты, секунды
• Перевод градусов,мин,сек в градусы
• Перевод градусов в радианы
• Преобразователь дроби в десятичную дробь
• Преобразователь дроби в проценты
• Шестнадцатеричный/десятичный/восьмеричный/двоичный преобразователь
• Преобразователь текста Hex в ASCII
• Преобразователь шестнадцатеричного кода в двоичный
• Преобразователь шестнадцатеричного кода в десятичный
• Преобразователь восьмеричных чисел в десятичные
• Преобразователь процентов в десятичные числа
• Преобразователь процентов в дроби
• Конвертер процентов в ppm
конвертер
• ppm в проценты
Конвертер
• ppm в ppb
Конвертер
• ppm в ppt
Конвертер
• ppb в ppm
Конвертер
• ppt в ppm
Преобразователь
• частей на миллион
• Перевод радиан в градусы
• Преобразователь римских цифр
• Конвертер научных обозначений

RAPID TABLES

• Рекомендовать сайт
• Отправить отзыв
• О

Конвертер римских цифр — Перевод римских цифр

Содержание:

• Генератор римских цифр

Полезен ли этот инструмент?

 Да Нет Возможно  

Как мы можем его улучшить? Минимальное количество символов 10

---

Наш конвертер римских цифр позволяет вводить римские цифры или числа в виде обычной десятичной формы и изменять их напрямую. Конвертер римских цифр Prepostseo — лучший инструмент для онлайн-конвертации римских цифр.

Вы не найдете переводчика римских цифр по сравнению с нашим калькулятором римских цифр. Он позволяет пользователям вводить римские цифры, а при нажатии кнопки «Преобразовать» он преобразует римские цифры и дает идеальный ответ. Точно так же, если вы хотите преобразовать в римские цифры любое десятичное число, вы можете ввести десятичное число в этом конкретном разделе. Роман на английский сделает волшебство. Он преобразует римские цифры в числа и числа в римские цифры. Мало того, он также производит перевод с римского на английский.

Какой символ используется для римских цифр?

1 в римском языке IS I

5 в римском языке v

10 в римском — x

50 в римском IS L

100 100. Roman Is C

100 100. на латинице это D

1000 на латинице это M

Вы увидите образец. Римские числа имеют значения, соответствующие единицам значений разрядов один и пять, поэтому имеется два римских символа, соответствующих числу разрядов (I и V, каждый на 1 и 5), два на десять разрядов (X и L для 10 и 50) и две для сотен (C и D для 100 и 500).

Как и другие списки случайной информации, вы можете использовать мнемонику, чтобы попытаться запомнить символы и значения. Если вы запомните предложение « I V alue X ylophones L ike C ows D ig M ilk», первая буква каждого символа латинского алфавита соответствует значению каждого символа. числа в порядке

(I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000)

---

Используйте конвертер римских цифр

Вы можете увидеть, как конвертер римских цифр полезен при преобразовании римских цифр в десятичные числа. Точно так же генератор римских цифр прост в использовании, а его интерфейс очень удобен для перевода римских цифр.

Работает двумя способами. Если вы введете римские числа, они будут преобразованы в десятичные числа или римские в целые числа. С другой стороны, если вы введете десятичные числа, они будут преобразованы в римские цифры.

Недопустимые римские цифры будут отклонены. Например, римская цифра «IIII» не является допустимым представлением числа четыре (правильной римской цифрой является «IV»). Когда вы введете «IIII», конвертер покажет результат «INVALID».

Таким же образом десятичные числа, введенные в конвертер, будут преобразованы непосредственно в соответствующие римские цифры. В отличие от римских цифр, ввести недопустимые числа в десятичной системе достаточно сложно, но конвертер поддерживает только значения до 3999. Таким образом, значение, которое вы введете выше, будет уменьшено до одной тысячи, пока оно не упадет ниже этого числа.

Преобразование чисел в римские цифры интересно, но если даже поиграв с этим конвертером, вы всегда могли спросить себя: « Зачем нам нужно знать римские цифры? »

Мы должны понять, откуда взялись римские цифры и почему они до сих пор являются частью повседневной жизни.

---

Где сегодня используются римские цифры? в Риме! Вы часто увидите римские цифры там, где кто-то пытается сделать что-то, что кажется более формальным. Нередко римские цифры появляются на датах авторского права, заголовках глав или разделов в документах или для важных событий, таких как Олимпийские игры или Суперкубок

Вы увидите римские даты, написанные в разных местах. Как правило, преобразовать сегодняшнюю десятичную версию даты в римскую дату непросто. Тем не менее, наш конвертер дат римских цифр может сделать эту задачу за вас в один миг!

Если человек носит то же имя, что и его предки, римская цифра будет использоваться в качестве суффикса, чтобы отличить человека от его родителей, чтобы имя могло передаваться из поколения в поколение. Таким образом, вы увидите людей, у которых есть «III» или «IV» в конце их имени, чтобы показать, кто они. Давайте посмотрим на пример этого. Георг IV был королем Соединенного Королевства Великобритании и Ирландии и королем Ганновера после смерти своего отца, короля Георга III. Его звали Георг IV, потому что его отца и предка тоже звали Георгом.

Римская система счисления до сих пор часто используется в научных целях, включая идентификацию периодов в периодической таблице элементов и определение количества ионов окисления.

Также очень часто можно увидеть латинские цифры в аналоговых квадрантах, особенно в больших часах в старых зданиях. Это может быть прекрасной возможностью выучить римские цифры и узнать время!

Итак, как вы собираетесь использовать римские цифры с помощью нашего конвертера римских цифр?

---

Roman numerals chart

 

0031 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 313131 3131 +10+5 -10. 10+5.1031. +1+1. 10+5+1. +1. 10+10+5+1+1+18.

Number	Roman Numeral	Calculation
0	not defined
1	I	1
2	II	1+1
3	III	1+1+1
4	IV	5-19
4	IV	5-19
5	V	5
6	VI	5+1
7	VII	5+1+1
8	VIII	5 +1+1+1
9	IX	10-1
10	X	10
11	XI	10+1
12	XII	10+1+1
13	XIII	10+1+1+1
14	XIV	10-1+5
15	XV	10+5
16	XVI	10+5+1
17	XVII	10+5+1+1
18	XVIII	10+5+ 1+1+1
19	XIX	10-1+10
20	XX	10+10
21	XXI	10+10+1
22	XXII	10+10+1 +1
23	XXIII	10+10+1+1+1
24	XXIV	10+10-1+5
25	XXV	10+ 10+5
26	ХХVI	10+10+5+1
27	XXVII	10+10+5+1+1
28	XXVIII	10+10+5+1+1	.
29	XXIX	10+10-1+10
30	XXX	10+10+10
31	XXXI	10+10+10+1
32	XXXII	10+10+10+1+1
33	XXXIII	10+10+10+1+1+1
34	XXXIV	10+10-1+5
35	x 5
35	31303131313130 ​​3031	35	31313130303031313131313131 3031			100031	35	3
35	3
36	XXXVI	10+10+10+5+1
37	XXXVII	10+10+10+5+1+1
38	XXXVIII	10+10+10+5+1+1+1
39	XXXIX	10+10+10-1+10
40	XL	-10+50
41	XLI	-10+50+1
42	XLII	-10+50+1+1
43	XLIII	-10+50+1+1+1
44	XLIV	-10+50-1+5
45	XLV	-10+50+5
46	XLVI	-10+50+5+1
47	XLVII	-10+50+5+5+1
48	XLVII
48	XLVII
49	XLIX	-10+50-1+10
50	L	50
51	LI	50+1
52	ЛИИ	50+1+1
53	LIII	50+1+1+1
54	LIV	50-1+5
55	LV	50+5
56	LVI	50+5+1
57	LVII	50+5+1+1
58	LVIII	50+5+1+1+1
59	LIX	50-1+10
60	LX	50+10
61	LXI	50+10+1
62	LXII	50+10+1+1
63	LXIII	50 +10+1+1+1
64	LXIV	50+10-1+5
65	LXV	50+10+5
66	LXVI	50+10+5+1
67	LXVII	50+10+5+1+1
68	LXVIII	50+10+5+1+1+1
69	LXIX	50+10-1 +10
70	LXX	50+10+10
71	LXXI	50+10+10+1
72	LXXII	50+10+10+ 1+1
73	LXXIII	50+10+10+1+1+1
74	LXXIV	50+10+10-1+5
75	LXXV	50+10+5
7630	313030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030313130303031.
77	LXXVII	50+10+10+5+1+1
78	LXXVIII	50+10+10+5+1+1+1
79	LXXIX	50+10+10-1+5
80	LXXX	50+10+10+10
81	LXXXI	50+10+10+1
82	LXXII
	LXXII
83	LXXXIII	50+10+10+10+1+1+1
84	LXXXIV	50+10+10+10-1+5
85	LXXXV	50+10+10+10+5
86	LXXXVI	50+10+10+10+5+1
87	LXXXVII	50+10+10+5+1+1
88	LXXXVIIII	88	LXXXVIIIIII
89	LXXXIX	50+10+10+10-1+10
9031		100-10		100-10
	100-10
	100-10
	XCI	100-10+1
92	XCII	100-10+1+1
93	XCIII	100-10+1+1+1
94	XCIV	100-10-1+5
95	XCV	100-10+ 5
96	XCVI	100-10+5+1
97	XCVII	100-10+5+1+1
98	XCVIII	100-10 +5+1+1+1
99	XCIX	100-10-1+10
100	C	100
200	CC	100+100
300	CCC	100+100+100
400	CD	500-100
500	D	500
600	DC	500+100
700	DCC	500+100+100
800	DCCC	500+100+100+100
900	CM	1000-100
1000	M	1000
5000	V
10000	X
50000	L
100000	C
500000	D
1000000	M

Римский промежуток

Поиск

Введите число ниже, чтобы преобразовать его в римские цифры. Наш инструмент позволяет легко преобразовывать числа в римские.

Введите арабские цифры

Римские цифры

Что такое римские цифры?

Римские цифры (I, V, X, L, C, D, M) образуют систему счисления, которая использовалась в Древнем Риме, где буквы представляют числа. Они оставались в использовании до позднего средневековья в Европе. Это контрастирует с арабскими цифрами, которые являются современной системой счисления, используемой во всем мире (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Наш инструмент выше позволяет вам конвертировать арабские цифры в римские цифры.

Римские цифры и их арабские аналоги можно найти в таблице ниже:

Roman Numeral	Arabic Number
I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000
I̅	1000
V̅
V̅
V̅
V̅
V̅
V̅
V̅
В. 0021	X̅	10,000
L̅	50,000
C̅	100,000
D̅	500,000
M̅	1,000,000

The traditional Roman numeral system was only используется для чисел до 3999, которые представлены как MMMCMXCIX. Теоретически вы можете добавить больше «М» в начало, что добавит 1000 для каждого «М», но более простой способ — добавить римские цифры с надчеркиваниями. Надпись над римской цифрой означает, что вы умножаете ее на 1000, поэтому V̅ равно 5*1000 = 5000.

Когда используются римские цифры?

В наши дни римские цифры обычно не используются, но есть несколько сценариев, в которых вы можете с ними столкнуться. Вы можете использовать наш генератор римских чисел для этих различных вариантов использования. Обычно римские цифры используются на приглашениях, циферблатах и ​​в названии ежегодного Суперкубка. Они также использовались в королевских титулах, чтобы обозначить, какой король или королева были кем.

• Роялти: Исторически римские цифры использовались в королевских именах. Например, Елизавета II или королева Елизавета Вторая. Это касается и пап.
• Приглашения на свадьбу: Иногда люди делают свадебные приглашения более изысканными, записывая числа и время римскими цифрами.
• Главы книг:  Иногда главы книг обозначаются римскими цифрами.
• На часах: Вы можете купить специализированные часы, которые показывают часы дня римскими цифрами.
• Классическая музыка: В некоторых произведениях классической музыки номера частей указаны римскими цифрами.
• Суперкубки: Ежегодный номер Супербоула всегда обозначается римскими цифрами. Например, Super Bowl LIV состоится в 2020 году и станет 54-м Суперкубком.
• Годы кино: Кинопроизводители обычно указывают год своего фильма в титрах римскими цифрами, чтобы людям было труднее узнать, когда фильм вышел, чтобы старые фильмы не были так узнаваемы только по кредиты.

Таблицы с римскими цифрами

Numbers 1-100 to Roman Numerals

0028

Arabic	Roman Numeral
1	I
2	II
3	III
4	IV
5	V
6	VI
7	VII
8	VIII
9	IX
10	X
11	XI
12	XII
13	XIII
14	XIV
15	XV
16	XVI
17	XVII
18	XVIII
19	XIX
20	XX
21	XXI
22	XXII
23	XXIII
24	XXIV
25	XXV
26	XXVI
27	XXVII
28	XXVIII
29	XXIX
30	XXX
31	XXXI
32	XXXII
33	XXXIII
34	XXXIV
35	XXXV
36	XXXVI
37	XXXVII
38	XXXVIII
39	XXXIX
40	XL
41	XLI
42	XLII
43	XLIII
44	XLIV
45	XLV
46	XLVI
47	XLVII
48	XLVIII
49	XLIX
50	L
51	LI
52	LII
53	LIII
54	LIV
55	LV
56	LVI
57	LVII
58	LVIII
59	LIX
60	LX
61	LXI
62	LXII
63	LXIII
64	LXIV
65	LXV
66	LXVI
67	LXVII
68	LXVIII
69	LXIX
70	LXX
71	LXXI
72	LXXII
73	LXXIII
74	LXXIV
75	LXXV
76	LXXVI
77	LXXVII
78	LXXVIII
79	LXXIX
80	LXXX
81	LXXXI
82	LXXXII
83	LXXXIII
84	LXXXIV
85	LXXXV
86	LXXXVI
87	LXXXVII
88	LXXXVIII
89	LXXXIX
90	XC
91	XCI
92	XCI
92	XCI
92	XCI
92	XCI
92	XCI
92	XCI
92	XCI
92	XCI
93	XCIII
94	XCIV
95	XCV
96	XCVI
97	XCVII
98	XCVIII
99	XCIX
100	C

лет до римских цифр

Год

9113 . 0021 19861130 2016 20171130 2016 2017 Год 031 1000 M 1100 MC 1200 MCC 1300 MCCC 1400 MCD 1500 MD 1600 MDC 1700 MDCC 1800 MDCC 1900 MCM 1900 MCM 1900 1900 1900 1900 1900 1950 MCML 1951 MCMLI 1952 MCMLII 1953 MCMLIII 1954 MCMLIV 1955 MCMLV 1956 MCMLVI 1957 MCMLVII 1958 MCMLVIII 1959 MCMLIX 1959 30303030303030303030303030303030303030303030303030303030 30303030303030303030303030303030303030303030303030303030 303030303030303030031 1960 MCMLX 1961 MCMLXI 1962 MCMLXII 1963 MCMLXIII 1964 MCMLXIV 1965 MCMLXV 1966 MCMLXVI 1967 MCMLXVII 1968 MCMLXVIII 19 19369 MCMLXIX 1970 MCMLXX 1971 MCMLXXI 1972 MCMLXXII 1973 MCMLXXIII 1974 MCMLXXIV 1975 MCMLXXV 1976 MCMLXXVI 1977 MCMLXXVII 1978 MCMLXXVII 1978 . 0031 1979 MCMLXXIX 1980 MCMLXXX 1981 MCMLXXXI 1982 MCMLXXXII 1983 MCMLXXXIII 1984 MCMLXXXIV 0021 1988 MCMLXXXVIII 1989 MCMLXXXIX 1990 MCMXC 1991 MCMXCI 1992 MCMXCII 1993 MCMXCIII 1994 MCMXCIV 1995 MCMXCV 1996 MCMXCVI 1997 MCMXCVII 1998 MCMXCVIII 1999 MCMXCIX 2000 MM 2001 MMI 2002 MMII 2003 MMIII 2004 MMIV 2005 MMV 2006 MMVI 2007 MMVI 2007 MMVI 20070031 MMVII 2008 MMVIII 2009 MMIX 2010 MMX 2011 MMXI 2012 MMXII 2013 MMXIII 2014 MMXIV 2015 MMXV 2016 MMXVI MMXVI 031 MMXVII 2018 MMXVIII 2019 MMXIX 2020 MMXX 2021 MMXXI 2022 MMXXII 2023 MMXXIII 2024 MMXXIV 2025 MMXXV 2026 MMXXVI 2027 MMXXVII 2028 MMXXVIII 2029 MMXXIX 2030 MMXXX 2031 MMXXXI 2032 MMXXXII 2033 MMXXXIII 2034 MMXXXIV 2035 MMXXXV 2036 ММ. М.0031 2037 MMXXXVII 2038 MMXXXVIII 2039 MMXXXIX 2040 MMXL 2041 MMXLI 2042 MMXLII 2043 MMXLIII 2044 MMXLIV 2045 MMXLV 2046 MMXLV 2046 MMXLV MMXLV MMXLV0031 MMXLVI 2047 MMXLVII 2048 MMXLVIII 2049 MMXLIX 2050 MML Excel’s Roman Numeral Formula Did you know that В Excel (и Google Sheets) есть встроенная формула для преобразования чисел в римские цифры? Просто используйте формальное «=ROMAN(CELL)», и число будет автоматически преобразовано! Языки: английский, испанский, немецкий Раскрытие информации Как партнер Amazon, CapitalizeMyTitle. com зарабатывает на соответствующих покупках. * Мы также можем получать комиссионные, когда вы устанавливаете Grammarly по нашим ссылкам. Последние сообщения Копировать Пожалуйста, убедитесь, что Javascript включен для целей доступность веб-сайта Конвертер римских цифр В вашем веб-браузере должен быть включен JavaScript для работы калькулятора дробей. Спасти! Вы можете ввести здесь римскую цифру, и этот преобразователь даст вам соответствующую арабскую цифру… Конечно, вы можете сделать и наоборот… Просто введите сюда число, и вы получите обратно римскую цифру. Лучше всего то, что на этой диаграмме показано, как эта римская цифра состоит из отдельных римских цифр! Римские цифры еще никогда не были такими простыми для понимания! Введите число… Римская цифра Число Поделитесь этим преобразованием: Используйте этот URL, чтобы поделиться этим преобразованием римских цифр Предыдущий Больше онлайн-калькуляторов! Далее Добро пожаловать в конвертер римских цифр Этот конвертер римских цифр позволяет вам вводить либо римские цифры, либо числа в обычной арабской форме, и он мгновенно преобразует их в другие. Он также показывает полный анализ каждой римской цифры, разложение по разрядному значению и показывает, как она соотносится с версией числа с основанием 10. Что такое римские цифры? Римская система счисления — это система счисления, которая, вероятно, была разработана как более формальная версия системы счетных меток, которую мы используем до сих пор. Если вы когда-нибудь считали что-то с помощью такой системы… … тогда римские цифры, вероятно, станут более понятными. Либо так, либо вы будете особенно благодарны за конвертер римских цифр на этой странице! Эта система нумерации первоначально использовалась в Древнем Риме купцами, мореплавателями, пастухами и другими людьми для отслеживания товаров и услуг в торговле. Его использование сегодня продолжается в различных неожиданных местах, и способность расшифровывать римские цифры продолжает оставаться одним из навыков, составляющих всестороннее образование. Символы, используемые для римских цифр, вероятно, произошли от того же вида меток или решеток, которые мы используем сегодня для простых упражнений по счету. Какие символы используются для римских цифр? 1 римскими цифрами равно I 5 римскими цифрами равно V 10 римскими цифрами равно X 50 римскими цифрами равно L 100 римскими цифрами C 500 римскими цифрами это D 1000 римскими цифрами это М Вы заметите закономерность… Римские цифры имеют значения, которые соответствуют разрядным единицам единиц и пятерок, поэтому есть два символа римских цифр в том, что соответствует нашим разрядным числам (I и V, для 1 и 5). соответственно), два для разряда десятков (X и L для 10 и 50) и два для разряда сотен (C и D для 100 и 500). Как и любой другой список случайной информации, вы можете использовать мнемонику, чтобы попытаться запомнить символы и значения. Если вы запомните предложение «Я ценю ксилофоны, как коровы, которые копают молоко», первая буква каждого слова будет соответствовать значению каждой римской цифры по порядку (I=1, V=5, X=10, L=50, С=100, Д=500, М=1000). Как читать римские цифры Запомните основные символы римских цифр и их значения. (I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000) Начать чтение символов слева направо, добавляя к сумме значение текущего символа, кроме… Если значение текущего символа меньше значения следующего, вычесть значение текущего символа из значения следующего символа и добавить результат к сумме. Третий шаг — это то, что иногда делает чтение римских цифр запутанным. Посмотрите на этот пример, показывающий, как римская цифра 4 (IV) разбивается конвертером римских цифр… Конвертер показывает, как число 4 (IV) выражается римскими цифрами как 5 минус 1, хотя порядок сначала кажется нелогичным. Значение «I», предшествующее «V», — это то, что запускает это последнее правило, когда вы читаете символы слева направо, если вы встречаете символ с большим значением, которое вам нужно вычесть. Ищите эти шаблоны, где вы видите значения мест, основанные на 4 (IV = 4, XL = 40 и CD = 400) или 9 (IX = 9, XC = 90 и CM = 900). Вот еще один пример визуального представления числа 44…9 в конвертере римских цифр.0003 Использование конвертера римских цифр Вы видите, насколько полезным может быть конвертер римских цифр, и он также очень прост в использовании. Если вы введете римскую цифру, она преобразует ее в арабскую цифру и покажет вам визуальное представление. Разложив римские цифры на части, легче увидеть, как цифры, составляющие римские цифры, складываются и вычитаются, чтобы получить более привычное число, с которым мы имеем дело ежедневно. Недопустимые римские цифры отклоняются, но преобразователь попытается преобразовать их в «наилучшее предположение» и предоставит как римские, так и арабские цифры. Например, римская цифра «IIII» является недопустимым представлением числа четыре (правильной римской цифрой является «IV»), но преобразователь примет этот ввод и исправит его, а также покажет вам соответствующую визуализацию. Вы заметите, что поле римских цифр ненадолго мигнет красным, когда это произойдет. Аналогичным образом ввод арабского числа мгновенно преобразует его в соответствующее римское число. В отличие от римских цифр, ввести недопустимое число в арабской системе немного сложнее, но конвертер поддерживает только значения до 3999, поэтому любое значение, которое вы введете выше этого, будет уменьшено на одну тысячу, пока не упадет ниже этого числа. Это все увлекательно, но если даже поиграв с этим конвертером, вы все равно спросите себя: «Зачем нам знать римские цифры?» Стоит понять, откуда взялись римские цифры и почему они до сих пор являются частью повседневной жизни. Где сегодня используются римские цифры? Сегодня вы можете встретить римские цифры в самых разных местах, не только в Риме! Вы часто будете видеть римские цифры там, где кто-то пытается сделать что-то более формальным или официальным. Нередко римские цифры появляются в датах авторских прав, названиях глав или разделов в документах или для крупных событий, таких как Олимпийские игры или Суперкубок. Если у кого-то такое же имя, как у его предка, римские цифры будут использоваться в качестве суффикса, чтобы отличить этого человека от его родителей, что позволит передавать имя из поколения в поколение. Таким образом, вы увидите людей, у которых есть «III» или «IV» в конце их имени, чтобы указать, кто они. У меня был друг, которого звали «Георг IV», и мы дразнили его, что его родители просто не могут придумать уникальное имя. Римские цифры до сих пор часто используются в научных целях, в том числе для обозначения периодов в периодической таблице элементов и для определения степени окисления ионов. Также очень часто можно увидеть римские цифры на циферблатах аналоговых часов, особенно на больших часах в старых зданиях. Это может быть прекрасной возможностью для изучения римских цифр и определения времени! В последнее время появилась тенденция использовать даты для татуировок с римскими цифрами. Я надеюсь, что вы хорошо подумаете, прежде чем браться за что-то подобное, и если вы продолжите, будьте вполне уверены в том преобразовании римских цифр, которое вы сделали. Независимо от того, где вы найдете римские цифры, вы всегда можете использовать этот преобразователь римских цифр, чтобы выяснить, какое число они означают. Но это не повод учиться читать римские цифры самостоятельно. Римские цифры, Common Core и другие стандарты Хотя в официальных стандартах Common Core ничего не говорится о римских цифрах, эта тема широко преподается в государственных школах, потому что римские цифры по-прежнему используются во многих повседневных приложениях. Из-за этого альтернативные стандарты обучения, такие как Core Knowledge, продолжают включать римские цифры в учебную программу учащихся, как правило, в качестве математической темы, впервые представленной в 3-м классе и освоенной в 4-м классе. Римские цифры 1-20 (I-XX) Вот краткая таблица римских цифр от 1 до 20. Если вам нужно преобразовать более крупные значения, попробуйте конвертер римских цифр, подобный тому, что находится вверху этой страницы! . 0030 3 Римская цифра Преобразование Арабский номер I 1 1 II 1 + 1 2 III 1 + 1 III 1 + 1 III 1 + 1 III 1 + 1 III 1 + 1 III IV (-1) + 5 4 V 5 5 VI 5 + 1 6 VII 5 + 1 + 1 7 VIII 5 + 1 + 1 + 1 8 IX (-1) + 10 9 X 10 10 XI 10 + 1 11 XII 10 + 1 + 1 12 XIII 10 + 1 + 1 13 XIV 10 + (-1) + 5 14 XV 10 + 5 15 XVI 10 + 5 + 1 16 XVII 10 + 5 + 1 + 1 17 XVIII 10 + 5 + 1 + 1 + 1 18 XIX 10 + (-1) + 10 19 XX 10 + 20

---

---

9003 = Arabic Number Roman Numeral I = 1 Roman Numeral V = 5 Roman Numeral X = 10 Roman Numeral L = 50 Roman Numeral C = 100 Roman Numeral D = 500 Roman Numeral M = 1000

Нужна дополнительная помощь в переводе римских цифр?

Этот конвертер является отличным началом для того, чтобы увидеть, как переводить римские цифры, но иногда вам просто нужна простая таблица римских цифр для перевода между римскими и арабскими цифрами. Некоторые из диаграмм содержат краткие советы по преобразованию римских цифр, и вы найдете варианты диаграмм для небольших чисел, лет и даже чисел Суперкубка.

Обновления преобразователя

Дата	Описание
12.02.2017	Конвертер римских чисел переполнял правое поле при преобразовании некоторых значений, содержащих большее количество римских цифр, но мало вычитаний (например, xxxvii).
02.10.2017	Небольшие исправления в таблице преобразования римских цифр.
13.02.2022	Исправлена ​​загрузка производительности и сглажена анимация римских цифр.

Преобразование арабских цифр в римские

Эта страница поможет вам преобразовать повседневные числа в римские цифры. Введите в поле, и число будет преобразовано автоматически.

Число для преобразования

1999 = MCMXCIX

Щелкните здесь для обратного расчета

Символы римских цифр

Узнайте больше о римских цифрах

Таблица преобразования римских цифр

3 Арабский	3	Роман
1	я
2	II
3	III
4	IV
5	В
6	VI
7	VII
8	VIII
9	IX
10	х
11	XI
12	XII
13	XIII
14	XIV
15	XV
16	XVI
17	XVII
18	XVIII
19	XIX
20	ХХ
21	XXI
22	XXII
23	XXIII
24	XXIV
25	XXV
26	ХХVI
27	XXVII
28	XXVIII
29	XXIX
30	ХХХ
31	XXXI
32	XXXII
33	XXXIII
34	XXXIV
35	XXXV
36	XXXVI
37	ХХXVII
38	XXXVIII
39	XXXIX
40	XL
41	XLI
42	XLII
43	XLIII
44	XLIV
45	XLV
46	XLVI
47	XLVII
48	XLVIII
49	XLIX
50	л
51	ЛИ
52	ЛИИ
53	ЛIII
54	ЛИВ
55	ЛВ
56	LVI
57	LVII
58	ЛВIII
59	LIX
60	ЛХ
61	LXI
62	LXII
63	LXIII
64	LXIV
65	LXV
66	LXVI
67	LXVII
68	LXVIII
69	LXIX
70	LXX
71	LXXI
72	LXXII
73	LXXIII
74	LXXIV
75	LXXV
76	LXXVI
77	LXXVII
78	LXXVIII
79	LXXIX
80	LXXX
81	LXXXI
82	LXXXII
83	LXXXIII
84	LXXXIV
85	LXXXV
86	LXXXVI
87	LXXXVII
88	LXXXVIII
89	LXXXIX
90	ХС
91	XCI
92	XCII
93	XCIII
94	XCIV
95	XCV
96	XCVI
97	XCVII
98	XCVIII
99	XCIX
100	С
101	КИ
102	КИИ
103	CIII

Арабский	Роман
104	CIV
105	резюме
106	ХВИ
107	CVII
108	CVIII
109	CIX
110	СХ
111	CXI
112	CXII
113	CXIII
114	CXIV
115	CXV
116	CXVI
117	СXVII
118	CXVIII
119	CXIX
120	СХХ
121	CXXI ​​
122	CXXII
123	CXXIII
124	CXXIV
125	CXXV
126	CXXVI
127	CXXVII
128	CXXVIII
129	CXXIX
130	СХХХ
131	CXXXI
132	CXXXII
133	CXXXIII
134	CXXXIV
135	CXXXV
136	CXXXVI
137	CXXXVII
138	CXXXVIII
139	CXXXIX
140	CXL
141	CXLI
142	CXLII
143	CXLIII
144	CXLIV
145	CXLV
146	CXLVI
147	CXLVII
148	CXLVIII
149	CXLIX
150	Класс
151	Командная строка
152	КЛИИ
153	КЛIII
154	КЛИВ
155	CLV
156	КЛВИ
157	CLVII
158	CLVIII
159	КЛИКС
160	CLX
161	CLXI
162	CLXII
163	CLXIII
164	CLXIV
165	CLXV
166	CLXVI
167	CLXVII
168	Класс XVIII
169	CLXIX
170	CLXX
171	CLXXI
172	CLXXII
173	CLXXIII
174	КЛXXIV
175	CLXXV
176	CLXXVI
177	CLXXVII
178	CLXXVIII
179	CLXXIX
180	CLXXX
181	CLXXXI
182	CLXXXII
183	CLXXXIII
184	CLXXXIV
185	CLXXXV
186	CLXXXVI
187	CLXXXVII
188	CLXXXVIII
189	CLXXXIX
190	СХС
191	ЦХКИ
192	CXCII
193	CXCIII
194	CXCIV
195	CXCV
196	CXCVI
197	CXCVII
198	CXCVIII
199	CXCIX
200	СС
210	CCX
220	CCXX
230	CCXXX
240	CCXL
250	БКЛ
260	CCLX

Арабский	Роман
270	CCLXX
280	CCLXXX
290	CCXC
300	ССС
310	СССХ
320	СССХХ
330	CCCXXX
340	CCCXL
350	CCCL
360	CCCLX
370	CCCLXX
380	CCCLXXX
390	СССХС
400	CD
410	CDX
420	CDXX
430	CDXXX
440	CDXL
450	CDL
460	CDLX
470	CDLXX
480	CDLXXX
490	CDXC
500	Д
600	ДЦ
700	ДКК
800	DCCC
900	СМ
1000	М
1100	МС
1200	ЦУП
1300	ГЦКК
1400	МКД
1500	МД
1600	МДЦ
1700	МДКЦ
1800	MDCCC
1900	МКМ
1901	МСМИ
1902	МСМII
1903	МКМIII
1904	MCIV
1905	МЦМВ
1906	МЦМВИ
1907	MCMVII
1908	MCMVIII
1909	МКМИКС
1910	MCMX
1911	МЦМСИ
1912	MCMXII
1913	MCMXIII
1914	MCMXIV
1915	MCMXV
1916	MCMXVI
1917	MCMXVII
1918	MCMXVIII
1919	MCMXIX
1920	MCMXX
1921	MCMXXI
1922	MCMXXII
1923	MCMXXIII
1924	MCMXXIV
1925	MCMXXV
1926	MCMXXVI
1927	MCMXXVII
1928	MCMXXVIII
1929	MCMXXIX
1930	МСМХХХ
1931	МКМXXXI
1932	MCMXXXII
1933	MCMXXXIII
1934	MCMXXXIV
1935	MCMXXXV
1936	MCMXXXVI
1937	MCMXXXVII
1938	MCMXXXVIII
1939	MCMXXXIX
1940	MCMXL
1941	MCMXLI
1942	MCMXLII
1943	MCMXLIII
1944	MCMXLIV
1945	MCMXLV
1946	MCMXLVI
1947	MCMXLVII
1948	MCMXLVIII
1949	MCMXLIX
1950	МЦМЛ
1951	МЦМЛИ
1952	MCMLII
1953	MCMLIII
1954	МЦМЛИВ
1955	МЦМЛВ
1956	МЦМЛВИ
1957	МЦМLVII
1958	MCMLVIII
1959	МКМЛИКС
1960	MCMLX
1961	MCMLXI
1962	MCMLXII
1963	MCMLXIII
1964	MCMLXIV
1965	MCMLXV

Арабский	Роман
1966	MCMLXVI
1967	MCMLXVII
1968	MCMLXVIII
1969	MCMLXIX
1970	MCMLXX
1971	MCMLXXI
1972	MCMLXXII
1973	MCMLXXIII
1974	MCMLXXIV
1975	MCMLXXV
1976	MCMLXXVI
1977	MCMLXXVII
1978	MCMLXXVIII
1979	MCMLXXIX
1980	MCMLXXX
1981	MCMLXXXI
1982	MCMLXXXII
1983	MCMLXXXIII
1984	MCMLXXXIV
1985	MCMLXXXV
1986	MCMLXXXVI
1987	MCMLXXXVII
1988	MCMLXXXVIII
1989	MCMLXXXIX
1990	MCMXC
1991	MCMXCI
1992	MCMXCII
1993	MCMXCIII
1994	MCMXCIV
1995	MCMXCV
1996	MCMXCVI
1997	MCMXCVII
1998	MCMXCVIII
1999	MCMXCIX
2000	мм
2001	ММИ
2002	MMII
2003	ММIII
2004	ММИВ
2005	ММВ
2006	ММВИ
2007	ММВII
2008	ММВIII
2009	MMIX
2010	ММХ
2011	MMXI
2012	MMXII
2013	ММХIII
2014	MMXIV
2015	ММХВ
2016	MMXVI
2017	ММXVII
2018	ММXVIII
2019	MMXIX
2020	ММХХ
2021	MMXXI
2022	MMXXII
2023	MMXXIII
2024	MMXXIV
2025	MMXXV
2026	ММХXVI
2027	MMXXVII
2028	ММХXVIII
2029	ММХХIX
2030	ММХХХ
2031	ММXXXI
2032	ММXXXII
2033	ММXXXIII
2034	ММXXXIV
2035	ММХХХV
2036	ММXXXVI
2037	MMXXXVII
2038	MMXXXVIII
2039	ММXXXIX
2040	MMXL
2041	MMXLI
2042	MMXLII
2043	MMXLIII
2044	MMXLIV
2045	MMXLV
2046	MMXLVI
2047	MMXLVII
2048	MMXLVIII
2049	MMXLIX
2050	ММЛ
2100	ММС
2200	ММСЦ
2300	ММССС
2400	MMCD
2500	ММД
2600	ММДС
2700	ММДКК
2800	MMDCCC
2900	ММСМ
3000	МММ
5000	В
10 000	Х
50 000	л
100 000	С
500 000	Д
1 000 000	М

Конвертер римских цифр и алфавита

Преобразование римских цифр в алфавит :

Преобразование алфавита в римские цифры :

Калькулятор дробей

Использование конвертера римских цифр и алфавита

Калькулятор преобразует целое положительное число меньше 5000 между римскими цифрами и алфавитом. Максимальное число, которое вы можете ввести, — 4999 или MMMMCMXCIX в формате римских цифр.

О римских цифрах

Римские цифры основаны на семи символах

• I = 1
• В = 5
• Х = 10
• Д = 50
• С = 100
• Д = 500
• М = 1000

Существует несколько правил написания римских цифр.

• Повторение цифры до трех раз означает добавление числа. Например, XXX представляет X + X + X = 30. Могут повторяться только I, X, C и M; V, L и D не могут повторяться.
• Написание цифр, уменьшающихся слева направо, представляет собой сложение цифр. Например, LX представляет 50 + 10 = 60, а XVI представляет 10 + 5 + 1 = 16,9.0969
• TЗапись меньшей цифры слева от большей цифры представляет собой вычитание. Например, IV представляет 5 — 1 = 4, а IX представляет 10 — 1 = 9. но единственными парами цифр, которые используют это правило вычитания, являются:
  • IV = 5 — 1
  • IX = 10 — 1
  • XL = 50 — 10
  • ХС = 100 — 10
  • КД = 500 — 100
  • см = 1000 — 10

Вот пример правил повторения и вычитания:
Преобразуем римские цифры в числа алфавита.
MMCMXCIX
= М + М + (М — С) + (С — Х) + (Х — I)
= 1000 + 1000 + (1000 — 100) + (100 — 10) + (10 — 1)
= 2999

Наиболее часто используемые римские цифры от единицы до тысячи

Римские цифры		Арабские Цифры
верхний регистр	нижний регистр
я	и	1
II	II	2
III	III	3
IV	iv	4
В	против	5
VI	ви	6
VII	vii	7
VIII	viii	8
IX	икс	9
Х	х	10
XI	и	11
XII	xii	12
XIII	хiii	13
XIV	хiv	14
XV	хв	15
XVI	xvi	16
XVII	xvii	17
XVIII	xviii	18
XIX	xix	19
ХХ	хх	20
XXI	ХХI	21
XXII	ХХII	22
XXIII	ХХIII	23
ХХХ	ххх	30
XL	xl	40
Л	л	50
LX	лк	60
LXX	люкс	70
LXXX	лххх	80
ХС	кс	90
С	с	100
СС	куб. Множества равны когда: Страница не найдена — ПриМат alexxlab / 03.09.197028.07.2021 / Разное Страница не найдена — ПриМат © 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Множества — Теория — Равенство множеств        Определение. Неупорядоченные множества равны, если они содержат одинаковый набор элементов.      Обозначается A=B. Если множества не равны, это обозначается .      Определение. Число элементов в конечном множестве М обозначается .      Для множеств A и B с бесконечным или большим числом элементов проверка совпадения наборов всех элементов может быть практически затруднительной. Более эффективной оказывается логическая проверка двухстороннего включения. А именно, А=В тогда и только тогда, когда из следует и из следует .      Пример. Пусть заданы множества A = {1,2,3,4,5}; B — множество натуральных чисел от 1 до 5; D = {4,1,5,2,3}. Эти множества содержат один набор элементов, поэтому A=B=C=D.      При задании множеств могут присутствовать неточности, которые необходимо устранять. Рассмотрим примеры.      Пример. Пусть заданы множества: A={Иванов, Петров, Сидоров}; B={Иванов, Петров, Сидоров}.      В этом случае A=B, если речь идет об одних и тех же людях. В противном случае . Такие определения необходимо уточнять, чтобы можно было безошибочно определить элементы множества.      Пример. Рассмотрим множество A остатков, получаемых при последовательном делении натуральных чисел {3,4,5,6,…} на 3. A={0,1,2,0,1,2,0,1,2,0,…}. Это множество содержит всего три элемента: 0, 1, 2. Поэтому его можно записать в виде A={0,1,2}. Аналогично множество D={a,b,b,b,a} можно записать как D={a,b}.      Пример. Пусть задано множество , тогда .      Пример. Пусть B — множество всех видов шахматных фигур, а С — множество всех шахматных фигур, участвующих в одной игре. Тогда (пешка, ладья, слон, конь, ферзь, король), а (16 белых и 16 черных). — 2. . Практическая работа № 2. Равенство множеств.  Подмножество. Надмножество Вопросы к работе   1. Какие множества называют равными?   2. Когда два конечных множества будут равными?   3. Когда множество А называется подмножеством множества В? Как множество В в этом случае называется по отношению к множеству А?   4. Какие подмножества множества А называются тривиальными?   5. Что такое “длина множества”?   6. Сколько подмножеств можно создать для множества длины n? Образцы решения заданий Пример 1. Пусть А – множество двузначных натуральных чисел, В – множество четных двузначных чисел. Верно ли, что В есть подмножество множества А?  Ответ: Каждое четное двузначное число содержится в множестве А. Следовательно, В  А. Пример 2. Пусть А = {1; 2; 3}, В = {x | x  N , х < 4}. Верно ли, что  А = В. Ответ. Множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Каждый элемент из А входит в В. Следовательно,  А  В. Но натуральных чисел, меньших 4, кроме чисел 1,2,3, нет. Следовательно, каждый элемент из В входит в А. Значит, В  А. По определению, А = В. Пример. 3. Дано множество А четных натуральных чисел и множество В натуральных чисел, кратных 4. В каком отношении включения находятся множества А и В? Ответ проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна.  Решение. Каждое натуральное число, кратное 4, является четным числом. Значит, B  А. Но не каждое четное число обязано делится на 4. Например, 6 не делится 4, т.е. А  В. Имеем диаграмму:                                            1. Найдите все подмножества множества А = {1; 2;  3; 4}. 2. Установите, в каком отношении включения находятся множества А и В. Ответ проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна: а)  А – множество натуральных четных чисел,      В – множество натуральных чисел, кратных 7; б)  А – множество натуральных четных чисел,      В – множество натуральных нечетных чисел. 3. Дано множество А = {72; 56; 513; 117; 324}. Составьте подмножества множества А, состоящие из чисел, которые: а) делятся на 4; б) делятся на 9; в) делятся на 5; г) делятся на 10. 4. Установите, в каком отношении включения находятся множества решений неравенств от одного неизвестного x: а) х  <  12  и  х  < 10; б) х  <  12  и   x  > 15;  в) x  <  12  и  x  > 10;          г)  x  < 12 и  –3x  >  – 36. 5. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна отношение включения между множествами А и В, если: а) А – множество натуральных четных чисел,     В – множество натуральных чисел, кратных 3; б) А – множество квадратов,     В – множество прямоугольников; в) А – множество квадратов,     В – множество прямоугольных треугольников; г) А – множество квадратов,     В – множество прямоугольников с равными сторонами. 6. Приведите примеры множеств X,Y,Z,  чтобы отношение включения между ними были такими, как на диаграммах  а), б), с).                                                              Индивидуальноее задание Даны пары множеств А и В. Укажите отношение включения между ними. 1)  А – множество городов северного полушария, В – множество городов, находящихся в Азии; 2)  А – множество городов Российской Федерации, В – Москва, Новосибирск, Владивосток, Мурманск, Грозный, Сочи, Барнаул.       3)  А – множество городов Франции,      В – множество городов Европы; 4)  А – множество рек Татарстана,      В – множество рек Поволжья; 5)  А – множество озер Смоленщины,      В – множество водоемов Смоленской области; 6)  А – множество административных центров Мордовии,       В – множество городов Поволжья.  7)   А – множество рек Сибири,        В – множество рек СНГ; 8)   А – множество озер Канады,        В – множество озер Северного полушария; 9)   А – множество городов Африки,       В – множество населенных пунктов Южного полушария; 10)  А – множество городов Японии,        В – множество городов Северного полушария; Среди следующих пар множеств найдите пары равных множеств: X = {3; 5; 7; 9}, Y – множество нечетных натуральных чисел, больших 2, но меньших 10; X = {4; 6; 8}, Y – множество четных натуральных чисел, больших 1, но меньших 9; 3)  X –  множество плоских четырехугольников, Y – множество плоских фигур, ограниченных замкнутой ломаной из  четырех отрезков; 4)  X –   множество двузначных чисел, кратных 9, Y – множество двузначных чисел, сумма цифр которых равна 9; 5)  X – множество сумм двух нечетных натуральных чисел, Y – множество четных натуральных чисел; 6)   X –  множество точек плоскости, равноудаленных от точек М и К, Y – множество точек прямой, проходящей через середину отрезка МК  перпендикулярно этому отрезку; 7) X – множество точек, лежащих на окружности с центром C и радиусом  5, Y – множество точек, расстояние которых от точки  C равно 5; 8) X – множество точек, лежащих внутри круга, ограниченных   окружностью с центром C и радиуса 5, Y – множество точек, расстояние которых от точки C меньше, чем 5; 9)   X – множество точек, лежащих вне круга, ограниченного окружностью с центром C и радиуса 5, Y – множество точек, расстояние которых от точки C больше, чем 5; 10)  X – множество натуральных чисел, кратных 10, Y – множество натуральных чисел, кратных 2 и 5 одновременно. Задания для самоконтроля 1. Верно ли, что а) {1; 2}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2}; б) {1; 2}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2}; в) {1; 3}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2}; г) {1; 3}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2}? 2. Равны ли следующие множества: а) A = {2; 4; 6}, B = {6; 4; 2}; б) A = {1; 2; 3}, B = {I; II; III}; в) A = {{1; 2}, {2; 3}}, B = {2; 3; 1}; г) A = {, , , }, B = {12, 22, 32, 42}, где A  N, B  N. 3. Существуют ли такое множество, которое имеет 80 подмножеств? 4. Изобразите диаграмму Эйлера-Венна взаимодействия множеств N, Z, Q, R. 5. В чем ошибочность следующих формулировок: а) Если элементы множества А принадлежат другому множеству В, то множество А включается в множество В; б)  Если два множества содержат одни и те же элементы, то они равны. Как исправить эти формулировки? Математика. Множества. Равные множества. Подмножества. Объединение множеств. Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись aR означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а является элементом множества R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут aR . Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества Аявляется элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А . Сравнение множеств. Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент В: Говорят, что множество А содержится в множестве В или множество Аявляется подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: ØА и А  А В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если  , то A называется собственным подмножеством В. Заметим, что , По определению  , Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга Операции над множествами Пересечение. Объединение. Свойства. 1.Операция объединения множеств коммутативна 2.Операция объединения множеств транзитивна 3. Пустое множество X является нейтральным элементом операции объединения множеств Примеры: 1. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда  2. А={2,4,6,8,10}, В = {3,6,9,12}. Найдём объединение и пересечение этих множеств:  {2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}. 3. Множество детей является подмножеством всего населения 4. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел. 5. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество положительных чисел. 6.Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел. Диаграммы Венна (Venn diagrams) — общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки и математики: теория множеств, собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства; разновидностями диаграмм Венна служат: диаграммы Эйлера, Диаграмма Венна четырёх множеств. Собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства. Обычная диаграмма Венна имеет три множества. Сам Венн пытался найти изящный способ с симметричными фигурами, представляющий на диаграмме большее число множеств, но он смог это сделать только для четырех множеств (см. рисунок справа), используя эллипсы.   Диаграммы Эйлера Диаграммы Эйлера аналогичны диаграммам Венна.Диаграммы Эйлера можно использовать, для того, чтобы оценивать правдоподобность теоретико-множественных тождеств. Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно? Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 — 17 = 13 человек.   Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек. ПМ-ПУ :: Атаева Надежда Николаевна :: Фрактальные множества Атаева Надежда Оглавление Комплексные числа Во множестве натуральных чисел всегда выполнимы только сложение и умножение. Вычитание уже может приводить к числам отрицательным, а деление — к дробным. Во множестве рациональных чисел всегда выполнимы все четыре действия арифметики, но действие извлечения корня не всегда возможно. Во множестве вещественных (действительных) чисел извлечение корня возможно за исключением извлечения корней четной степени из отрицательных чисел. Во множестве комплексных (мнимых) чисел всегда выполнимы все четыре действия арифметики (с сохранением всех аксиом), а также извлечение корня любой степени из любого комплексного числа. В результате выполнения этих действий над комплексными числами снова получаем комплексные числа. Кроме того, целый ряд задач, которые во множестве вещественных чисел оказывались неразрешимыми, получили простое и естественное объяснение во множестве чисел комплексных. Например, во множестве алгебраическое уравнение n-ой степени всегда имеет в точности n корней (с учетом их кратности), в то время как во множестве чисел вещественных оно может иметь и меньшее число корней (и даже не иметь их вовсе). Во множестве комплексных чисел существует логарифм от отрицательных чисел, функции синус и косинус могут принимать любые значения (в том числе и большие единицы), и т.д. Комплексное число представляется в виде суммы , где  и  — вещественные числа. При этом называется вещественной частью, а  — мнимой частью комплексного числа: (сокращение от real и imaginary). Число (такое обозначение придумал Эйлер в XVIII веке) называется мнимой единицей, для него вводится правило умножения Два комплексных числа называются равными, если равны их вещественные и мнимые части: Комплексное число вида считается равным вещественному числу . Таким образом, множество комплексных чисел включает в себя множество вещественных. Для геометрической интерпретации комплексного числа, напомним, что всякое вещественное число графически можно изобразить либо отрезком, отложенным на данной прямой, либо точкой на этой прямой, если начала всех отрезков помещать в начало координат. Теперь если рассмотреть плоскость XOY с прямоугольной системой координат и договориться вещественные числа откладывать по оси OX, а числа вида — по оси OY, то каждой точке плоскости будет однозначно соответствовать комплексное число . В этой терминологии плоскость XOY называется комплексной плоскостью, прямая OX — ее вещественной осью, а OY — ее мнимой осью. Можно также считать комплексное число вектором, с началом в начале координат и с концом — в точке . Вспомним, что тот же вектор можно задать не только прямоугольными координатами и , но и полярными координатами: длиной вектора и углом, который вектор образует с положительным направлением оси OX: Следовательно, имеем и соответствующее комплексное число можно представить в, так называемой, тригонометрической форме: Здесь называется модулем комплексного числа, а  — его аргументом: . Алгебраические действия над комплексными числами Сложение комплексных чисел выполняется по правилу: Вычитание комплексных чисел. Сложение допускает обратную операцию: для любых двух комплексных чисел и  всегда можно найти такое число , что . Таким образом, Видим, что обе операции совершенно аналогичны действиям с векторами. Однако на следующей операции аналогия заканчивается. Умножение комплексных чисел. Приняв во внимание, что , и группируя действительные и мнимые части, находим Тот же результат можно представить и в тригонометрической форме: если то (при умножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываютсяаргументы). Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению: если и , то частное от деления z1 на z2 есть число, удовлетворяющее равенству : Возведение в степень комплексного числа, т.е. вычисление также может быть выполнено двумя способами. С одной стороны, можно раз воспользоваться формулой умножения (формулой бинома Ньютона) Здесь означает биномиальный коэффициент: . С другой стороны, вспомнив правило умножения чисел в тригонометрической форме, можно получить формулу Муавра: Извлечение корня из комплексного числа или вычисление числа такого, что  может быть произведено с использованием формулы Муавра Здесь параметр может пробегать любые целые значения, но реально последняя формула содержит только различных значений для ; они соответствуют . На комплексной плоскости все эти значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и они делят эту окружность на  равных дуг. Графики функций комплексного переменного График вещественной функции можно изобразить в двумерном (2D) пространстве, на плоскости XOY. Это многим знакомо и привычно: График же комплексной функции можно было бы построить в четырехмерном (4D) пространстве (две координаты нужны для изображения , и две — для ). К сожалению, подавляющее большинство людей сталкивается с серьезными проблемами при воображении четырехмерного пространства… Поэтому, одно из ухищрений, обычно применяемое, заключается в следующем: график строится в трехмерном (3D) пространстве. Ось OX отвечает за , ось OY — за , ось OZ — за . Для изображения используется цвет получаемой 3D-точки. Цвет берется из заранее сформированной цветовой шкалы (градиента). Вот несколько примеров для : Для наглядности под получившейся изображено множество значений (). Примеры функций вынесены на отдельную страницу. Множества Жюлиа и Мандельброта Обозначим через плоскость комплексных чисел, а через — риманову сферу . Рассмотрим процесс , где  и . Выбрав произвольное число , возведем его в квадрат и прибавим константу для того, чтобы получить ; затем повторим вычисления для того, чтобы получить , , и т.д. Давайте начнем с простейшего из возможных значений константы , а именно . Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат числа: . В зависимости от значения имеются три возможности: Если , то числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нулю. Если , то числа получаются все большими и большими, стремясь к бесконечности. Если , то точки продолжают оставаться на расстоянии 1 от нуля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в нуле. Ситуация ясна: плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность. Сюрпризы начинаются, когда мы выберем ненулевое значение параметра , например, Здесь для последовательности имеются также три вышеперечисленные возможности, но внутренняя точка, к которой стремится последовательность, уже не является нулем, а граница уже не является гладкой, она сильно изломана. Именно это Б. Мандельброт назвал фрактальной структурой такой границы. Одной из характерных особенностей такой границы является ее самоподобие. Если взять любую часть границы, то можно обнаружить, что она встречается в разных местах границы и имеет разные размеры. Границы такого рода в математике называют множествами Жюлиа. Различные значения параметра могут порождать разнообразные множества Жюлиа, причем малейшее изменение этого параметра нередко приводит к существенным метаморфозам. Некоторые множества Жюлиа связны, другие представляют собой канторовы множества. Существует правило, определяющее вид множества Жюлиа. Оно зависит от параметра и связано с изображением множества Мандельброта. Множество всех точек , для которых итерации остаются ограниченными при , называется множеством Мандельброта. Интересно, что все значения , при которых множества Жюлиа связны, принадлежат множеству Мандельброта, поэтому последнее может быть определено и как множество всех значений параметра , при которых множество Жюлиа связно. Алгоритм построения множества Жюлиа Шаг 0: Выбрать параметр Выбрать число M, которое считается бесконечно большим. Положить , где  — разрешающая способность экрана. Для всех пар , где  и  выполнить следующую процедуру: Шаг 1: Положить Шаг 2 (итерация): Вычислить по , используя формулы Увеличить счетчик k на 1. Шаг 3 (оценка): Вычислить . Если , то выбрать цвет k и идти дальше на Шаг 4. Если , то выбрать цвет 0 (черный) и идти на Шаг 4. Если , вернуться на Шаг 2. Шаг 4: Приписать цвет k точке экрана и перейти к следующей точке, начиная с Шаг 1. Алгоритм построения множества Мандельброта Шаг 0: Выбрать Выбрать число M, которое считается бесконечно большим. Например, M=100. Положить . Для всех пар , где  и  выполнить следующую процедуру: Шаг 1: Положить Шаг 2 (итерация): Вычислить , используя формулы Увеличить счетчик k на 1. Шаг 3 (оценка): Вычислить . Если , то выбрать цвет k и идти дальше на Шаг 4. Если , то выбрать цвет 0 (черный) и идти на Шаг 4. Если , вернуться на Шаг 2. Шаг 4: Приписать цвет k точке экрана и перейти к следующей точке, начиная с Шаг 1. Визуализация фрактальных множеств: примеры Дмитрия Абрамова Литература Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск: НИЦ , 2000, 320 с. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 162 с. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных систем. М.: Мир, 1993, 176 с. Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Москва, 1959, 376 с. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: РХД, 2001, 526 с. Множество и его элементы. подмножество. пустое множество. Понятие множества – одно из основных понятий математики. Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как единое целое. Например, можно говорить о множестве натуральных чисел, о множестве букв на данной странице, о множестве корней данного уравнения и т. п. Понятие множества принимается как исходное, первичное, т. е. несводимое к другим понятиям. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Обычно множества обозначаются большими печатными буквами английского алфавита, например, множество А; а его элементы маленькими прописными буквами, например, элемент а. Запись означает, что элемент а принадлежит множеству А. Запись — наоборот, Что элемент а множеству А не принадлежит. Знак называют знаком принадлежности. Определение 1. Два множества А и В называются равными и пишут А=В, если множества А и В содержат одни и те же элементы. Например: {2, 4, 6} = {4, 2, 6} – равные множества. Определение 2. Множество называется непустым, если содержит хотя бы один элемент. Определение 3. Множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. В этом случае пишут , знак называют знаком включения. Например: {2, 4,} {4, 2, 6} Рассмотрим свойства отношения включения. рефлексивно, т.е любое множество является подмножеством самому себе. транзитивно, т. е. для любых множеств А, В и С, если множество А является подмножеством множества В и множество В является подмножеством множества С, то из этого следует, что множество А является подмножеством множества С. антисимметрично, т. е. для любых множеств А и В следует, что, если множество А является подмножеством множества В и в то же время множество В является подмножеством множества А, то множества А и В равны. Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустыммножеством. Пустое множество обозначают Пустое множество является подмножеством любого множества. Определение 5. Множество всех подмножеств множества A называется множеством-степенью и обозначается P(A). В дальнейшем будем пользоваться следующим утверждением: Утверждение 1. Число всех подмножеств конечного множества равно 2n. Пример. Выделим все подмножества множества А ={2, 4, 6}. Р(А)={2, 4, 6}, {2, 4}, {4, 6}, {2, 6}, {2}, {4 }, {6}, — всего 23=8. Операции над множествами Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат одному из множеств А или В. Для обозначения объединения множеств используют знак . Пример. , , Пересечением множеств А и В называются такое множество, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Для обозначения пересечения множеств используют знак . Пример. , , Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого являются элементами множества А, не принадлежащие множеству В. Для обозначения разности множеств используют знак /. Пример. , , Перечислим основные свойства операций над множествами: 1) идемпотентность объединения 2) идемпотентность пересечения 3) коммутативность объединения 4) коммутативность пересечения 5) ассоциативность объединения 6) ассоциативность пересечения 7) дистрибутивность объединения относительно пересечения 8) дистрибутивность пересечения относительно объединения Универсальное множество. Дополнение множества. Во многих приложениях теории множеств рассматриваются только такие множества, которые содержатся в некотором фиксированном множестве. Например, в геометрии мы имеем дело с множеством точек данного пространства, в арифметике – с множеством целых чисел. Такое фиксированное множество называют универсальным.Для его обозначения используют букву U. Определение 6. Множество U/А называется дополнением множества А и обозначается (или ). Дополнение U/ множества обозначается Справедливы следующие формулы: = — закон инволюции. Теорема. Если множество А является подмножеством множества В, то дополнение множества А будет являться подмножеством дополнения множества В. Доказательство. Пусть множество А является подмножеством множества В, , необходимо доказать, что для каждого элемента х из универсального множества U выполняется следующее условие: если элемент х принадлежит множеству , то он принадлежит и множеству . . Действительно, если х принадлежит множеству , то он не принадлежит множеству В, а т. к. множество А является подмножеством множества В, то элемент х не принадлежит и множеству А, а это означает его принадлежность множеству . Теорема. Имеют место следующие тождества — Законы де Моргана для множеств Приведем краткое доказательство первого утверждения. Второе утверждение докажите самостоятельно. Диаграммы Эйлера-Венна. Для графического изображения множеств и их свойств используются так называемые диаграммы Эйлера-Венна. Объединение множеств Пересечение множеств Разность множеств Подмножество Универсальное множество Дополнение Понятие множества. Элементы множества. Пустое множество. Принадлежность элементов. Простая и сложная математика – аналитический портал ПОЛИТ.РУ   Партнер проекта 3 октября в рамках проекта «Публичные лекции Полит.ру» состоялось выступление Леона Арменовича Тахтаджяна – доктора физико-математических наук, профессора математического факультета университета Стони Брук штата Нью-Йорк, США, ведущего научного сотрудника Международного математического института имени Л. Эйлера в Санкт-Петербурге. Его лекция называлась «Математика как форма существования». В своем рассказе Леон Тахтаджян продемонстрировал как многие понятия, знакомые нам по каждодневной жизни и кажущиеся простыми и понятными: число, форма, размер — при более внимательном анализе демонстрируют нам неожиданную сложность. Объем краткого вступительного очерка не позволяет нам описать целиком даже отдельный раздел лекции. Поэтому мы, учитывая, что лекция всё-таки была рассчитана на восприятие более или менее подготовленных слушателей, решили немного облегчить задачу тех, кто знаком с математикой мало. Для этого на уровне ликбеза мы рассмотрим лишь одну математическую проблему, упомянутую лектором — континуум-гипотезу в теории множеств. Читатели, получившие математическое образование, могут смело переходить сразу к видеозаписи лекции Леона Арменовича. Рассуждать о сравнении множеств удобно на примере театра. Представим себе, что в ProScience Театр приходят зрители и рассаживаются в креслах. Глядя на это глазами математика, можно сказать, что устанавливается соответствие между множеством зрителей и множеством кресел. Что же мы видим? Ни один человек не сидит сразу на двух креслах (математик скажет, что такое соответствие двух множеств функционально). Нет ни одного кресла, где ютились бы сразу двое (математик назовет такое соответствие инъективным). Пустых кресел не осталось (такое соответствие зовется сюръективным). И все пришедшие люди смогли сесть (значит, соответствие является всюду определенным). Если соответствие функционально, инъективно, сюръективно и всюдуопределено, его называют взаимно-однозначным соответствием. Установив взаимно-однозначное соответствие между множеством пришедших зрителей и множеством кресел, мы узнали, что в этих множествах одинаковое число элементов. Математики в таких случаях также говорят, что мощности этих множеств равны или что данные множества эквивалентны. Пока что эти рассуждения кажутся очевидными. Посмотрим, что будет дальше. Представьте, что ProScience Театр стал настольно популярен, что для него построили новое здание, где в зрительном зале бесконечное число кресел. На выступление известного ученого пришло бесконечное число зрителей. Первый зритель сел в кресло номер один, второй – в кресло номер два, n-й – в кресло номер n и так далее. Вновь установилось взаимно-однозначное соответствие. На следующий день в театре состоялось другое выступление, в котором лектор-физик положил перед началом спектакля на кресло номер один маленькую модель Большого адронного коллайдера. Пришел первый зритель, увидел, что кресло занято, и сел в кресло номер два. Второй – в кресло номер три, третий – в кресло номер четыре, n-й – в кресло номер n+1 и так далее. Администрация театра удивлена: свободных кресел было на одно меньше, в всем зрителям хватило место. Но однажды случилась накладка. На одно и то же время в ProScience Театр по ошибке назначили два выступления. И на каждое купило билеты бесконечное число зрителей. Пришли зрители, заняли все кресла. И тут приходит еще столько же зрителей. Куда их сажать? Администрация театра, уже знакомая с неожиданными свойствами бесконечного зрительного зала нашла выход. Обратившись к первой бесконечной группе зрителей, директор театра попросил их сесть через одного на кресла с четными номерами. Первое кресло пустует, первый зритель сел во второе кресло, третье кресло осталось пустым, второй зритель – в третье кресло, третий – в пятое, n-й – в кресло номер 2n. Все расселись. Тогда директор предложил занять места бесконечному числу зрителей, пришедших позднее. Они уселись на нечетных креслах: первом, третьем, пятом… И всем хватило мест! Выходит, в бесконечном зрительном зале мест в два раза больше, чем мы думали? Мы смогли установить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел (зрителями) и множеством четных или нечетных чисел (креслами). Каким бы парадоксальным это не казалось, эти множества эквивалентны. Более того, множеству натуральных чисел эквивалентно любое его бесконечное подмножество: все числа, делящиеся на 43; все числа, заканчивающиеся на 0, простые числа, числа Фибоначчи и так далее. Ведь любое из этих множеств мы можем представить в виде последовательности элементов и перенумеровать эти элементы натуральными числами. Аристотель когда-то писал, что целое больше части. Как мы видим, в случае с бесконечными множествами это не так. Может быть, множество целых (положительных и отрицательных) чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных? Нет, оказывается, что и эта пара множеств эквивалентна. Взаимно-однозначное соответствие устанавливается просто: 0 — 1, 1 — 2, -1 — 3, 2 — 4, -2 — 5, 3 — 6, -3 — 7 и так далее. Тогда, может быть, все бесконечные множества эквивалентны друг другу? Ответ на этот вопрос нашел немецкий математик Георг Кантор. Именно он создал теорию множеств, им введен термин «взаимно-однозначное соответствие». Ему удалось и доказать, что мощность множества действительных чисел больше, чем мощность натуральных. Доказательство это известно под названием канторовский диагональный процесс. Рассмотрим действительные числа, расположенные на числовой оси между нулем и единицей. Предположим, что их множество эквивалентно множеству натуральных чисел, то есть все их можно перенумеровать: а1, а2, а3, а4…, аn, … Любое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если эта дробь конечна, то с какого-то момента все последующие знаки в нем будут нулями. Запишем наши числа в виде десятичных дробей: а1 = 0,00132277… а2 = 0,90367515… а3 = 0,21597404… а4 = 0,09708352… и так далее. Обратите внимание на подчеркнутые цифры. Они стоят по диагонали: первая цифра после запятой у а1, вторая — у а2 и так далее. С их помощью составим новую бесконечную десятичную дробь. Причем поступим так: если у числа аn на n-ом месте стоит ноль, в новой дроби на n-ом месте поставим единицу, во всех остальных случаях на n-ом месте ставим ноль. В итоге наша дробь будет выглядеть так: 0,1101… Получившаяся дробь не будет совпадать ни с одной из имеющихся среди а1,…, аn,… С а1 у нее будет отличаться первый знак после запятой, с а2 — второй и так далее. Мы считали, что записали в последовательности все числа между 0 и 1, однако новой дроби среди них не оказалось. Значит, мы пришли к противоречию, следовательно, утверждение, что множество чисел на отрезке от 0 до 1 эквивалентно множеству натуральных чисел неверно. Понятно, что множество действительных числе также не эквивалентно натуральным. Затем Кантор доказал другую теорему: о том, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, стали называть счетными множествами. Мощность множества действительных числе называется континуум. Как мы видим, в сторону увеличения мощность множеств может расти бесконечно: для каждого множества есть более мощное множество всех его подмножеств. Счетные же множества — самые «маленькие» из бесконечных множеств. Тут мы и подошли к проблеме, которой заинтересовался и Георг Кантор: существуют ли множества, мощность которых больше, чем у счетных, но меньше, чем у множества действительных чисел. Это проблема получила название континуум-гипотезы. Доказать, что «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, Георг Кантор так и не смог. Лишь в 1940 году Курт Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в системе аксиом теории множеств, а в 1963 году американский математик Пол Коэн доказал, что и континуум-гипотеза также недоказуема в этой системе аксиом. Можно принять ее или ее отрицание как еще одну аксиому, что порождает два разных варианта теории множеств. Равные и эквивалентные наборы — определение, объяснение, примеры и часто задаваемые вопросы Чтобы понять значение «Равный набор», равный набор определяется как два набора, имеющие одинаковые элементы. Два набора A и B могут быть равны только при условии, что каждый элемент набора A также является элементом набора B. Кроме того, если два набора оказываются подмножествами друг друга, то они указываются как равные наборы. (Изображение будет добавлено в ближайшее время) Равные множества Равные множества могут быть представлены как: P = Q P ⊂ Q и Q ⊂ P ⟺ P равно Q Следует отметить, что если описанное выше условие не выполняется, то набор считается неравным. Неравные множества представлены как P ≠ Q Определить эквивалентные множества Эквивалентные множества, означающие в математике, содержат два определения. Эквивалентных множеств Определение 1 — Предположим, что два набора A и B имеют одинаковую мощность, тогда существует целевая функция от множества A до B. Эквивалентных множеств Определение 2 — Предположим, что указаны два набора A и B. быть эквивалентными, только если они имеют одинаковую мощность, то есть n (A) = n (B). Таким образом, чтобы оставаться или быть эквивалентными, множества должны иметь одинаковую мощность. Это условие означает, что между элементами, принадлежащими обоим множествам, должно быть однозначное соответствие. В этом контексте условие «один к одному» подразумевает, что для каждого элемента в множестве A существует элемент в множестве B, пока и множество A, и множество B не будут исчерпаны. Таким образом, в целом можно констатировать, что два набора остаются эквивалентными друг другу, если только количество элементов в обоих наборах остается равным.Наборы не обязательно должны содержать одни и те же элементы, иначе они останутся подмножеством друг друга. (Изображение будет добавлено в ближайшее время) Эквивалентные наборы Примеры равных и эквивалентных множеств Пример равных множеств Давайте разберемся, равные множества на примере, Если M = {1, 3, 9, 5, — 7} и N = {5, −7, 3, 1, 9,}, то можно сказать, что M = N. Следует отметить, что независимо от того, сколько раз элемент повторяется в конкретном наборе, элемент засчитывается только один раз.Также следует отметить, что порядок элементов в конкретном наборе не имеет значения. Следовательно, в терминах кардинального числа равные множества могут быть заявлены так: Если P = Q, то n (P) = n (Q) и для любого x ∈ P, x ∈ Q тоже. Пример эквивалентного множества Если S = ​​{x: x, где x указано как положительное целое число} и T = {d: d, где x считается натуральным числом}, то S определяется как эквивалент T. Таким образом, можно сказать, что эквивалентный набор — это просто набор с равным числом элементов.Однако в наборах не обязательно должны быть одни и те же элементы, но они должны содержать одинаковое количество элементов. Давайте разберемся с эквивалентными наборами на примерах Если A = {1, −7,200011000,55} и B = {1,2,3,4}, то A эквивалентно B. Если Набор G: {Свитер, Рукавицы, Шарф, Куртка} и Набор H: {Яблоки, Бананы, Персики, Виноград}, можно отметить, что Набор G и Набор H содержат элементы слов в разных категориях и имеют одинаковое количество элементов. я.е. четыре. Важные моменты, которые следует помнить об эквивалентных наборах Все нулевые наборы считаются эквивалентными друг другу. Не все бесконечные множества остаются эквивалентными друг другу. Например, эквивалентный набор всех действительных чисел и эквивалентный набор целых чисел. Если P и Q указаны как два набора, так что P равно Q, то есть (P = Q). Этот пример означает, что два равных набора всегда будут оставаться эквивалентными, но обратное эквивалентному набору может оставаться верным, а может и не оставаться. Равный набор может быть эквивалентным набором, но не обязательно, чтобы эквивалентный набор был равным набором. Основы набора Основы набора Набор Основы набора Предметы для изучения равенство наборов подмножество, собственное подмножество пустой набор универсальный набор силовой агрегат Содержание Определение (равенство наборов): Два набора — равно тогда и только тогда, когда у них одинаковые элементы. Формально для любых наборов A и B , A = B тогда и только тогда, когда х [ x А х B ]. Таким образом, например, { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1 } , то есть порядок элементов не имеет значения, и { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1, 1 } , то есть дублирование не не имеет значения для наборов. Определение (подмножество): Набор A является подмножество набора B тогда и только тогда, когда все в A также в B . Формально для любых наборов A и B , A — это подмножество из B и обозначается А B , если и только если х [ x А х B ]. Если А Б , г. и А Б , г. тогда A называется собственное подмножество из B и обозначается А В . Например { 1, 2 } { 3, 2, 1 }. Также { 1, 2 } { 3, 2, 1 }. Определение (мощность): Если набор S имеет n отдельные элементы для некоторого натурального числа n , n — это мощность (размер) из S и S является конечным множеством .Мощность S обозначается | S | . Например, количество элементов набора { 3, 1, 2 } равно 3 . Определение (пустой набор): Набор, не имеющий элементов, называется пустой набор. Более формально, пустой набор , обозначенный , г. — это набор, удовлетворяющий следующему: х х , где означает «не входит» или «не является членом». Обратите внимание, что и {} — разные наборы. {} в нем есть один элемент. Так {} не пусто. Но в нем ничего нет. Определение (универсальный набор): Набор, в котором есть все элементы вселенная дискурса называется универсальный набор. Более формально универсальный набор , обозначаемый U , — это набор, удовлетворяющий следующему: х х U. Три отношения подмножества, включающие пустой набор и универсальный набор, перечислены ниже. как теоремы без доказательства.Их доказательства найдены в другом месте. Обратите внимание на , что набор A в следующих четырех теоремах произвольный. Таким образом, A может быть пустым набором или универсальным набором. Теорема 1: Для произвольного набора A А У . Теорема 2: Для произвольного набора A А . Теорема 3: Для произвольного набора A А А . Определение (набор мощности): Набор всех подмножеств набора A называется набором мощности из A и обозначается 2 A или ( А ). Например, для A = { 1, 2 } , ( A ) знак равно , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}. Для B = {{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2}, }, ( B ) знак равно , {{ 1, 2 }}, {{{ 1 }, 2}}, {}, {{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2}}, {{ 1, 2 }, }, {{{ 1 }, 2}, }, {{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2}, }}. Также () знак равно и ({}) знак равно {}}. Теорема 4: Для произвольного набора A , количество подмножеств A равно 2 | A | . Проверьте свое понимание основных концепций набора Далее — Математические рассуждения Вернуться к расписанию Вернуться к содержанию Equal Sets — Учебный материал для IIT JEE Значение наборов Набор различных объектов, имеющих какое-то общее свойство, называется набором .Это может быть что угодно, например числа, алфавиты изображений и т. Д. В наборе мы должны перечислить все объекты группы, а затем заключить их в фигурные скобки «{}» . Что такое элементы набора? Различные объекты набора называются элементами набора. Элементы и члены — это одно и то же. Обычно мы обозначаем набор заглавными буквами. Мы должны перечислить все объекты и разделить их запятой, а затем заключить их в фигурные скобки. Пример 1 На картинке выше 3, 6 и 91 — это элементы набора, поэтому мы должны записать их в скобках. Здесь три точки означают, что нет. элементов не ограничены. Пример 2 Здесь формы являются элементами набора, и набор обозначен заглавной буквой «B». А количество элементов набора B здесь 4. Представим его как n (B) = 4. Определение равных множеств Два заданных набора называются Равными наборами, если их количество элементов и состав элементов в точности совпадают. Это может быть что угодно, например числа, изображения, буквы и т. Д. Порядок элементов и их повторение здесь не имеют никакого значения. Пример 1 Вот два набора фигур. Это равные наборы, потому что количество элементов одинаково и есть одинаковые элементы. Пример 2 A = {5, 6, 7, 8} B = {6, 8, 5, 7} C = {5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8} Здесь все три набора, набор A, набор B и набор C равны, так как их элементы одинаковы по несущественности порядка и повторения. Равные множества по математике Два набора X и Y называются равными наборами, если все элементы X присутствуют в Y, и все элементы Y присутствуют в X.Или вы можете сказать, что если оба набора являются подмножеством друг друга, то они равны. X⊂Y и Y⊂X ⇔X = Y X — это подмножество Y, а Y — подмножество X, это означает, что X равен Y. Пример Здесь все элементы A и B одинаковы, или мы можем сказать, что A — это подмножество B, а B — подмножество A, Итак, A = B Но если это условие не выполняется, то наборы называются неравными. Как в примере выше, C⊂A, но A⊄C ⇔ A ≠ C То есть, все элементы C присутствуют в A, но все элементы A отсутствуют в C, это означает, что A не равно C или A, а C — неравные множества. Итак, , если все элементы двух данных наборов не одинаковы, они называются Неравными наборами . Количество равных множеств Мощность набора равна n (A) = x, где x представляет количество элементов набора A. Как на картинке выше, мощность этого набора A равна 6, и набора B также 6. п (А) = п (В) = 6 Итак, согласно количеству элементов или в количественном выражении, два набора называются равными наборами, если, n (A) = n (B) и x ∈ A , x ∈ B также , Затем, А = В Обозначение равных множеств Для представления равных множеств мы используем символ «=» i.е. равенство. И для неравных наборов мы используем символ «≠» , т.е. не равно. Как в примере выше, A = B, т.е. набор A равен набору B Но, A ≠ C, т.е. набор A не равен набору C. Какое определение эквивалентных множеств в математике? Два набора называются эквивалентными наборами , если количество элементов одинаково. Элементы не обязательно должны быть одинаковыми, просто количество элементов должно быть одинаковым. Здесь все четыре набора являются эквивалентными наборами, поскольку количество элементов одинаково во всех четырех наборах треугольника, смайлика, звезды и сердца. Здесь n (T) = n (Sm) = n (St) = -n (H ) = 6. Итак, наборы считаются эквивалентными, если их кадинальность такая же. Поскольку все пустые множества имеют нулевую мощность, все пустые множества являются эквивалентными множествами. Другое определение эквивалентных множеств состоит в том, что два множества эквивалентны, если существует взаимно однозначное соответствие внутри двух множеств.Биекция — это взаимно однозначное соответствие между двумя наборами. Это означает, что для каждого элемента в наборе X должен быть элемент в наборе Y, пока элементы не пройдут. Пример Биекция — это взаимно-однозначное соответствие между наборами Здесь, на картинке выше, X и Z — эквивалентные множества, поскольку элементы не совпадают, но количество элементов одинаково. Для каждого элемента в множестве X также есть элемент в множестве Z.Но множества X и Y не эквивалентны, потому что для каждого элемента в Y нет элемента в X. В X есть 3 элемента и 4 элемента в Y. Итак, два набора эквивалентны, если в них есть взаимное соответствие . Обозначение комплектов эквивалентов Для представления эквивалентных множеств мы используем эквивалентный знак или «~» или «≡» Как в приведенном выше примере X ~ Z, т.е. Set X эквивалентен Set Z. В чем разница между равными и эквивалентными наборами? Разница между равными и эквивалентными наборами следующая: No. Очки Равные наборы Наборы эквивалентов 1 Определение Два набора равны, если все элементы обоих наборов одинаковы. Два набора эквивалентны, если количество элементов в обоих наборах одинаково. 2 Количество элементов То же в обоих наборах То же в обоих наборах 3 Мощность То же для обоих комплектов То же для обоих комплектов 5 Элементы Элементы должны быть одинаковыми Элементы не должны совпадать 6 Символ = ~ или ≡ 7 Отношение Равные наборы также могут быть эквивалентными. Эквивалентные наборы не могут быть равны. 8 Пример A = {2,4,6,8} B = {4,8,2,6} А = В X = {2, 4, 6, 8} Y = {1,3,5,7} X ~ Y Связь между равными и эквивалентными наборами Два набора равны, если они точно такие же i.е. их элементы и количество элементов одинаковы, без какого-либо отношения к порядку и повторению элементов. И два набора эквивалентны, если их количество элементов одинаково. Элементы могут быть одинаковыми или разными, просто количество должно быть одинаковым. Равные наборы также эквивалентны Здесь, на картинке выше, оба набора равны, потому что все элементы одинаковы, а количество элементов также одинаково, поэтому они также эквивалентны. Значит, все равные множества также эквивалентны. Эквивалентные наборы могут не совпадать с наборами Здесь X и Y — эквивалентные множества, поскольку их количество элементов одинаково, то есть 4, но это не равные множества, потому что элементы не совпадают. Итак, все эквивалентные множества не равны. Как определить наборы как равные или эквивалентные? Как мы знаем, все наборы, которые имеют один и тот же элемент и одинаковое количество элементов, называются равными наборами, а наборы, имеющие одинаковое количество элементов, являются эквивалентными наборами.Таким образом, легко идентифицировать наборы как равные или эквивалентные наборы. Давайте попробуем несколько примеров, чтобы определить равные и эквивалентные множества. S.Np. Пример Аналог или эквивалент Почему? 1 A = {5,10,15,20} Обе одинаковые и эквивалентные Оба набора содержат одинаковые элементы, и порядок элементов не имеет значения. B = {10,5,20,15} 2 C = {5, 10, 15, 20} Аналогично, но не равно В обоих наборах одинаковое количество элементов, но они разные. D = {@, $, &, #} 3 E = {1,2,3,4,5} Обе одинаковые и эквивалентные Оба набора содержат одинаковые элементы, и повторение элементов не имеет значения. F = {1,1,2,2,3,3,4,4,5,5} 4 G = {1,2,3,4} Не равно и не эквивалентно Оба набора имеют разное количество элементов, и элементы также не совсем одинаковы. H = {1,2,3,4,5} 5 I = {A, B, C, D} Аналогично, но не равно Количество элементов в обоих наборах одинаковое. J = вс, пн, вт, ср} 6 Аналогично, но не равно Количество элементов в обоих наборах одинаковое. Это показывает, что все равные множества также эквивалентны, но все эквивалентные множества не равны. В чем разница между объединенными и непересекающимися наборами? Комплекты шарниров Два набора называются соединенными, если в них есть хотя бы один общий элемент. Условно, A∩B ≠ ∅ т.е. пересечение B не является пустым множеством. Пример A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8} A∩B = {2,4} ≠ ∅ Здесь A и B — это наборы шарниров, потому что в A и B есть два общих элемента. Разъединенные наборы Два множества называются непересекающимися, если в них нет общего элемента. Условно, A∩B = ∅ i.е. Пересечение B — пустое множество. Пример A = {1, 2, 3, 4} B = {5, 6, 7, 8} A∩B = ∅ Здесь A и B — непересекающиеся множества, потому что в них нет общего элемента. Графическое представление совместных и непересекающихся множеств Совместное и непересекающееся множества можно представить диаграммой Венна. Это простой способ понять концепцию совместных и непересекающихся множеств. Если два набора представлены двумя взаимоисключающими окружностями и не пересекаются друг с другом, то эти наборы называются непересекающимися наборами. Как видно из названия, наборы не соединяются друг с другом. Если два набора представлены двумя пересекающимися друг с другом окружностями, то это совместные множества. Это показывает, что внутри них есть некий общий элемент, который показан пересечением двух кругов. Здесь набор A и набор B являются непересекающимися наборами, поскольку в них нет общего элемента.Они исключают друг друга. A = {1, 2, 3} B = {5, 7, 9} Если два множества не пересекаются, их пересечение пусто. A∩B = ∅ Наборы C и D являются наборами шарниров, поскольку они имеют один общий элемент. C = {3, 5, 7} D = {7, 9, 11} C∩D = {7} Дополнительная информация Равные наборы пар наборов Covid-19 привел мир к феноменальному переходу. За электронным обучением будущее уже сегодня. Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!! Если между двумя наборами существует какая-то связь, такие наборы называются парами наборов. Пары множеств — это равные множества, эквивалентные множества, непересекающиеся множества и перекрывающиеся множества. Равные наборы Два набора считаются равными, если они содержат одинаковые элементы. Примеры: 1) A = {1, 2, 3} и B = {1, 2, 3} Поскольку два набора содержат одинаковые элементы, набор A и набор B являются равными наборами Он обозначается как A = B Эквивалентные наборы Два набора эквивалентны тогда и только тогда, когда между ними существует взаимно однозначное соответствие Примеры Поскольку набор A и набор B являются эквивалентными наборами . Обозначается как A ↔ B 2) A = {x | x ∈ N, x ∠ 5} и B = {x | x — буквенное слово DEAR} Решение: A = {x | x ∈ N, x ∠ 5} A = {1, 2, 3, 4} B = {D, E, A, R} N (A) = n (B) ∴ A ↔ B Непересекающиеся множества Два набора не пересекаются, если у них нет общих элементов. Примеры: 1) A = {1, 2, 3} и B {4, 5, 6} Набор A и набор B не пересекаются, поскольку в них нет общего элемента. 2) A {x | x ∈ N} и B {x | x ∠ o, x ∈ Z} Решение: A = {x | x ∈N} A = {1, 2, 3, 4…} B = {x | x ∠o, X ∈ Z} B = {-1, -2, -3…} Поскольку нет общего элемента в наборе A и наборе B, поэтому они не пересекаются Перекрывающиеся наборы Если два набора A и B имеют некоторые общие элементы, тогда они называются перекрывающимися наборами Примеры: 1) A = {2, 3, 4} и B = {3, 4, 5} В наборе A и установите B там являются двумя общими элементами 3 и 4 Набор A и набор B являются перекрывающимися наборами Теория множеств • Наборы • Представление набора • Кардинальное число • Типы наборов • Пары наборов • Подмножество • Дополнение набора • Объединение множеств • Пересечение множеств • Операции над множествами • Закон Де Моргана • Диаграммы Венна • Диаграммы Венна для множеств • Диаграммы Венна для различных сидений uations • Проблемы на пересечении двух множеств • Проблемы на пересечении трех множеств Домашняя страница Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми. Не позволяйте этому влиять на ваше обучение. теория элементарных множеств — Какие из этих множеств равны? Ваше сообщение отредактировано. В новой редакции ясно, что вы не делаете запутанных и абстрактных, а продвинутых обозначений теории множеств чисел, тогда как раньше казалось очевидным, что это так. ТАК новый ответ: «Я знаю, что ∅ — это подмножество всех пустых множеств. Таким образом, не будут ли все они равны друг другу?» Нет, иметь что-то как элемент — это не то же самое, что быть подмножеством.Надеюсь, это станет ясно из объяснения. (Если нет, вы можете использовать аналогию «набор похож на мешок» и «пустой мешок внутри мешка отличается от пустого мешка») а) $ \ emptyset $ — пустое множество. Это набор без каких-либо элементов. Ничего особенного. б) {$ \ emptyset $} — это набор, состоящий из одного элемента. Единственный элемент — это пустой набор. Можно ставить наборы как элементы наборов. Но наборы — это элементы набора. Они не подмножества. Подмножество — это набор с одними и теми же элементами.Набор внутри набора может иметь совершенно разные элементы. Во всяком случае, это из , первый набор как элемент. c) {0} — это набор с единственным элементом 0 в нем. Ноль — это число. Это не набор. Итак, для $ a \ ne b $, $ b \ ne c $ и $ c \ ne a $. г) {} — еще один способ записи пустого множества. Знаки «{» и «}» представляют собой символы, обозначающие, «что внутри является элементами набора». Итак, {} говорит: «Это список, в котором ничего нет.Это пустой набор. Итак, {{}} — это набор, состоящий из одного элемента. Этот элемент — пустой набор. Итак, у нас есть = $ \ emptyset $ = {}. b = d = {$ \ emptyset $} = {{}}. И c = {0}. e) {}, как я сказал в d), {} — это пустое множество. Так a = e = пустой набор = набор вообще без элементов = $ \ emptyset $ = {} b = d = набор с пустым набором в качестве единственного элемента = {{}} = {$ \ emptyset $} c = набор с номером ноль в качестве единственного элемента = {0}. ==== старый ответ, если вы делаете более продвинутый класс. Оставлено для справки. ===== a) Если вы не делаете теоретическое определение числа множеством, 0 вообще не является множеством. Это просто число. Если вы выполняете теоретическое определение числа, все, — это набор. Я собираюсь предположить, что вы делаете теоретическое определение числа до конца этого ответа. 0 — это пустой набор — набор без элементов.Существует только один пустой набор, поэтому утверждение «0 — это подмножество всех пустых наборов» вводит в заблуждение. 0 — это пустой набор — единственный пустой набор. б) {0}. Это набор с элементом в нем. Элемент в нем равен 0. Это не пустой набор, потому что в нем есть элемент. Мы можем переписать пустой набор как, $ \ emptyset $, {} или 0. Таким образом, этот набор может быть записан как {0}, {{}}, {$ \ emptyset $} или 1. Как в определении множества для числа, число 1 определяется как набор, содержащий только один член — пустой набор. c) означает то же самое, что и b в письменной форме. Один из них должен был быть {$ \ emptyset $}? Ну да ладно. Как я объяснил в б) {{}}, {0}, {$ \ emptyset $} и 1 — это одно и то же: набор с ровно одним элементом; элемент — это пустой набор. d) то же самое e) {} — это набор без элементов, то есть пустой набор. Итак, a = e и b = c = d. Быть элементом — не то же самое, что быть его подмножеством. ==== Хорошо, если вы , а не , выполняете определение чисел в теории множеств, тогда 0 — это число.Это вообще не набор. В остальном все то же самое: а) не набор b = c = d = набор, содержащий пустой набор. e = пустое множество. Теория элементарных множеств — равен ли пустой набор другому пустому набору? Чтобы показать, что два набора эквивалентны, вы должны показать, что $ A \ substeq B $ и $ B \ substeq A $. Отсюда следует, что $ A = B $. Если $ A = \ varnothing $ и $ B = \ varnothing $, попробуйте доказательство поиска элементов, чтобы показать, что $ A = B $. ($ \ to $): Если $ x \ in A $, то $ x \ in B $.Таким образом, $ A \ substeq B $. $ \ qquad $ [ Вакуумно верно ] ($ \ leftarrow $): Если $ x \ in B $, то $ x \ in A $. Таким образом, $ B \ substeq A $. $ \ Qquad $ [ Вакуумно верно ] Таким образом, благодаря взаимному включению подмножеств, мы получаем, что $ A = B $. Однако этот вывод довольно неубедительный, поскольку он является примером так называемой пустой истины . Импликация $ p \ to q $ ложна только тогда, когда $ p $ истинно, а $ q $ ложно. Таким образом, предположение, что что-то находится в пустом наборе, приведет к всевозможным странным выводам. Приложение: Некоторая путаница, кажется, коренится в том, что значит быть подмножеством, а не элементом. Таким образом, я собираюсь перечислить несколько утверждений, цель которых — выяснить, является ли утверждение истинным или ложным (надеюсь, это может помочь OP и некоторым другим пользователям). Ответы будут предоставлены на каждой претензии. Претензии: (a) $ 0 \ in \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ Ложь ] (b) $ \ varnothing \ in \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ] (c) $ \ {0 \} \ subset \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ Ложь ] (d) $ \ varnothing \ subset \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (e) $ \ {0 \} \ in \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ] (f) $ \ {0 \} \ subset \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ] (g) $ \ {\ varnothing \} \ substeq \ {\ varnothing \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (h) $ \ varnothing \ in \ {\ varnothing \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (i) $ \ varnothing \ in \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (j) $ \ {\ varnothing \} \ in \ {\ varnothing \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ] (k) $ \ {\ varnothing \} \ in \ {\ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (l) $ \ {\ varnothing \} \ subset \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (м) $ \ {\ {\ varnothing \} \} \ subset \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (n) $ \ {\ {\ varnothing \} \} \ subset \ {\ {\ varnothing \}, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ False ] Примечание: Ниже $ x $ означает просто букву , а не набор (который часто обозначается прописной буквой, как это было сделано в первоначальном объяснении).Для (t) , если $ x $ действительно обозначает набор, тогда $ x = \ varnothing $ сделает (t) истинным, а не ложным. (o) $ x \ in \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (p) $ \ {x \} \ substeq \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (q) $ \ {x \} \ in \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ] (r) $ \ {x \} \ in \ {\ {x \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (s) $ \ varnothing \ substeq \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ True ] (t) $ \ varnothing \ in \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ] (u) $ \ varnothing \ in \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ False ] (v) $ \ varnothing \ substeq \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ True ] Доказательство равенства двух комплектов Достаточно распространенная проблема, с которой мы столкнемся в этом курсе, — это доказать, что два множества $ S $ и $ T $ на самом деле равны.Конечно, если и $ S $, и $ T $ имеют точное описание, эта проблема будет тривиальной. Однако обычно описания $ S $ и $ T $ будут разными, и, следовательно, если мы утверждаем, что $ S = T $, то нам нужно представить доказательство этого утверждения. Ниже мы поговорим об одном очень распространенном приеме доказательства равенства множеств. Этот трюк основан на том простом факте, что $ S = T $ тогда и только тогда, когда $ S \ substeq T $ и $ T \ substeq S $: Уловка 1 Сначала докажите $ S \ substeq T $.Затем докажите $ T \ substeq S $. Мы применим этот трюк к следующему упражнению: Упражнение 1 Вы — журналист-расследователь, изучающий две компании. Две компании занимают нишу, занимающуюся производством плитки с цельными размерами. WeLoveEvenSides утверждает, что является единственной компанией на земле, которая имеет все возможные прямоугольные плитки, по крайней мере, по длине или ширине. WeLoveEvenArea утверждает, что является единственной компанией на земле, которая имеет все возможные прямоугольные плитки, площадь которых делится на два. Ваши предварительные расследования привели вас к мысли, что эти две компании действительно одно и то же. Теперь представьте аргумент о нокауте, доказав, что набор прямоугольных плиток, производимых WeLoveEvenSides , в точности совпадает с набором прямоугольных плиток, производимых WeLoveEvenArea (что, по утверждениям компаний, показывает, что они одинаковы). В качестве дополнения: Упражнение 2 Объясните, почему вы не можете нанести сокрушительный удар в упражнении 1, если размеры плиток могут быть действительными числами. Наконечник Всякий раз, когда вы видите такую ​​многословную постановку задачи, как в упражнении 1, полезно абстрагироваться от математической задачи. Я утверждаю, что вышеприведенное то же самое, что и следующая проблема (это упражнение, чтобы убедить себя, что мое утверждение действительно верно): Упражнение 3 Пусть $ R $ — множество всех прямоугольников с целой длиной и шириной. Пусть $ R_1 \ substeq R $ будет набором прямоугольников четной длины или ширины. Пусть $ R_2 $ — множество всех прямоугольников с четной целой площадью. Докажите, что $ R_1 = R_2 $. Теперь воспользуемся нашим приемом для решения упражнения 3. Доказательство идеи (пример 3) Сначала мы докажем, что $ R_1 \ substeq R_2 $. Затем мы будем утверждать, что $ R_2 \ substeq R_1 $. Для этого воспользуемся тем фактом, что прямоугольник длиной $ \ ell $ и шириной $ b $ имеет площадь $ \ ell \ cdot b $. Детали доказательства Сначала докажем $ R_1 \ substeq R_2 $. Рассмотрим произвольный $ r \ in R_1 $ длины $ \ ell $ и ширины $ b $.Поскольку $ r \ in R_1 $ либо $ \ ell $, либо $ b $ четно. Поскольку умножение четного числа на другое целое число приводит к другому четному числу, мы заключаем, что $ \ ell \ cdot b $ четно. Отсюда по определению следует $ r \ in R_2 $. Поскольку выбор $ r $ был произвольным, имеем $ R_1 \ substeq R_2 $. Теперь докажем, что $ R_2 \ substeq R_1 $. Рассмотрим произвольный $ r \ in R_2 $ с площадью $ a $. Это означает, что $ a $ четное. Теперь пусть $ \ ell $ и $ b $ обозначают длину и ширину $ r $.Обратите внимание, что это означает, что $ \ ell \ cdot b $ четно. Мы утверждаем, что либо $ \ ell $, либо $ b $ четно. (Мы вскоре докажем это утверждение.) Обратите внимание, что по определению отсюда следует, что $ r \ in R_1 $. Поскольку выбор $ r $ был произвольным, мы имеем $ R_2 \ substeq R_1 $, что и требовалось. Наконец, докажем утверждение. Допустим, для противодействия, что и $ \ ell $, и $ b $ нечетные. Поскольку произведение двух целых чисел дает нечетное целое число, должно быть так, что $ a = \ ell \ cdot b $ нечетное.Противоречие (поскольку $ a $ четно) доказывает утверждение. Уловка 1 ‘(для конечных множеств) Теперь мы представляем вариант трюка 1, который работает для конечных множеств. 1 Это основано на учете следующего свойства: Упражнение 4 (Уловка 1 ‘) Пусть $ S $ и $ T $ — конечные множества. Тогда $ S = T $ тогда и только тогда, когда $ S \ substeq T $ и $ | S | \ ge | T | $. В этой заметке мы не будем подробно останавливаться на приеме 1 ‘(поскольку мы не будем использовать его в CSE 331), но вот упражнение, в котором вы можете применить прием 1’: 2 Упражнение 5 Пусть $ S = \ {(0,0), (1,1) \} $ и $ T = \ {(a, b) | a \ oplus b = 0 \ text {and} a, b \ in \ {0,1 \} \} $. Уравнение окружности в полярной системе координат: Уравнение окружности в полярных координатах — Студопедия alexxlab / 03.09.197015.09.2022 / Разное Уравнение линии в полярных координатах. Простейшие примеры  По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса  от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от  до  (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от  до ). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции , соответствует единственное значение полярного радиуса. Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «прорисовывает» линию. «Дежурным» примером полярной кривой является Архимедова спираль . На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до : Далее, пересекая полярную ось в точке , спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне . В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен , то отрицательные углы  у функции  рассматривать нельзя. ! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях. Сначала простейшие уравнения и простейшие линии: Уравнение вида задаёт луч, исходящий из полюса. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия? Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс. Уравнение вида  определяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса .  Например, . Для наглядности найдём уравнение этой линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную ранее формулу , проведём замену: Возведём обе части в квадрат:  – уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить. А теперь оценИте удобство – с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения . Рассмотрим более содержательные задачи на построение: Задача 116 Построить линию Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство . Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот, я советую более быстрый графический метод решения: – Посмотрим на график функции  (см. Приложение Тригонометрия). Что означает неравенство ? Оно означает, что нас устраивает тот кусок графика, который не ниже оси абсцисс , а именно, его часть на отрезке  . И, соответственно, интервал  не подходит. Таким образом, область определения нашей функции: ,  то есть график  расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости). В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла. Для бОльшей ясности к отрицательным значениям угла я буду «прикручивать» один оборот (левая колонка), и в силу чётности косинуса  соответствующие положительные значения можно заново не считать (справа): Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной ранее технологии: В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы , но я расскажу вам о более хитром приёме. Обе части уравнения  искусственно домножаем на «эр»:  и используем более компактные формулы перехода: Выделяя полный квадрат, приводим уравнение к понятному виду:  – уравнение окружности с центром в точке , радиуса 2. Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉 Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка ? Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции  нас ждёт бесконечный «бег» по построенной окружности. Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида  задаёт окружность диаметра  с центром в точке . Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси  и обязательно проходят через полюс. Если же ,  то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему). Похожая задача для самостоятельного решения: Задача 117 Построить линию  и найти её уравнение в декартовой системе координат. Систематизируем порядок решения задачи: Находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду (Приложение Тригонометрия), чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен. На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений? На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией. И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат. Примерный образец решения в конце книги. Общий алгоритм и технику построения  в полярных координатах мы детализируем и существенно ускорим совсем скоро, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией: 4. 5. Полярная роза 4.3. Взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат | Оглавление |  Автор: Aлeксaндр Eмeлин Полярные координаты — определение и вычисление с примерами решения Содержание: Полярные координаты Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямоугольной системы, исключительно употреблявшейся нами до сих пор, является полярная система координат, к рассмотрению которой мы и переходим. Возьмем на плоскости точку О, которую назовем полюсом. Проведем из полюса О направленную полупрямую Ох, называемую полярной осью (рис. 41). Пусть М — произвольная точка плоскости. Соединим точку М с полюсом О отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = р называется полярным радиусом точки М, а угол Точка М с полярными координатами риф записывается следующим образом: М (р, ф), причем на первом месте ставится полярный радиус р, а на втором — полярный угол ф. Что касается значений, принимаемых полярными координатами, то достаточно, очевидно, рассматривать значения р от 0 до и значения ф от 0 до , при этом, как мы условились, угол ф отсчитывается от полярной оси против хода часовой стрелки. Однако в некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие , а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по направлению движения часовой стрелки. Связь между прямоугольными и полярными координатами Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно. Предположим, что полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось является положительной полуосью Ох (рис. 42). Тогда для произвольной точки М имеем Считая угол ф острым, из прямоугольного треугольника АОМ находим Полученные формулы справедливы для любого угла ф. Так выражаются прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Далее, из этого же прямоугольного треугольника АОМ получаем Так выражаются полярные координаты точки через ее прямоугольные координаты. Заметим, что при определении полярного угла ф по tg ф нужно учитывать знаки координат х и у. Ранее мы видели, что линии могут быть заданы с помощью уравнений, связывающих их текущие прямоугольные координаты. Покажем теперь на простейшем примере, что линии могут определяться и уравнениями относительно полярных координат. Пример: Рассмотрим кривую , где а — некоторое положительное число. Эта кривая называется спиралью Архимеда. Для ее построения составляем таблицу соответственных значений ф и р: По этой таблице наносим точки и соединяем их линией, уточняя, если в этом есть необходимость, положение промежуточных точек (рис. 43). Параметрические уравнения линии Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат х и у в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра). Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты х и у движущейся точки М (х, у) рассматриваются как функции времени (уравнения движения). Пример: Выведем параметрические уравнения окружности. Пусть М — произвольная точка окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 44). В определяемом ею прямоугольном треугольнике АОМ обозначим угол хОМ через t. Тогда, очевидно, будут иметь место равенства Это и есть параметрические уравнения окружности. Чтобы получить обычное уравнение окружности, нужно исключить параметр t. Для этого возводим уравнения (1) в квадрат и складываем их: Пример: Выведем параметрические уравнения эллипса. Эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса а, где коэффициент сжатия k = b/a. Пусть М (х, у) — точка эллипса, N (X, У) — соответствующая точка окружности (рис. 45), где За параметр t примем угол, образованный радиусом ON окружности с положительным направлением оси Ох: . Используя формулы (2), имеем Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b есть Исключив из уравнений (3) параметр получим каноническое уравнение эллипса Имея параметрические уравнения линии, можно по точкам построить ее. Пример: Построить кривую Решение: Составляем таблицу значений: Нанося точки с соответствующими координатами (х, у) на плоскость Оху и соединяя их линией, получим искомую кривую (рис. 46). Эта кривая— парабола. В самом деле, исключив параметр t из уравнений (4), получим т. е. каноническое уравнение параболы. Параметрические уравнения циклоиды Определение: Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 47). Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую за ось Ох, предполагая, что радиус катящейся окружности равен айв начальном положении движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса МС окружности относительно вертикального радиуса КС, где К — точка касания окружности с осью Ох (рис. 47). Так как качение окружности происходит без скольжения, то, очевидно, имеем Отсюда на основании рис. 47 для координат текущей точки М циклоиды получаем следующие выражения: Таким образом, параметрические уравнения циклоиды есть ——- Полярная система координат Определение 1. Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат Оху . Пусть М(х, у) – точка на плоскости, M ≠ 0. Полярными координатами точки М называются числа r − длина ее радиус-вектора (полярный радиус) и ϕ − угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох (полярный угол), . Точка О при этом называется полюсом, а полуось Ох – полярной осью. Замечание. Зависимость между прямоугольными (х, у) и полярными ( , ) r ϕ координатами точки М задается в виде:     (1) Рис. 1. Полярные координаты точки. Полярный полюс О и полярную ось можно выбрать на плоскости и не вводя прямоугольную систему координат: Пример 1. Построим на плоскости линию, заданную уравнением: − лемниската. Решение. Вычислим значения r при различных значениях ϕ : Проводим лучи из начала координат под углами ϕ к оси Ох и на них откладываем отрезки длины r , получим : Рис.3. Лемниската  Заказать решение задач по высшей математике Пример 2. а) Построим кривую  − кардиоида. Рассуждая, как в примере 1 получим: Замечание. Если в определении 1 отбросить требование 0 ≤  ϕ 0, то формулы (1) будут задавать непрерывное отображение точек плоскости (O, r, ϕ) на точки плоскости (x, O, y). При этом, если r > 0, то векторы сонаправлены, если r Тогда, с учетом (1), кривую r= r(ϕ) можно рассматривать как заданную параметрически в виде: ϕ — параметр. В этом случае на кривой получаются два дополнительных лепестка, когда  соответствующие случаю r  (см.пример 9 § 30). На кривой каждый из лепестков проходится дважды и задается параметрически формулами: (см.пример 10 § 30). Пусть r = r(ϕ) – кривая в полярной системе координат, r (ϕ) – непрерывна при . Рассмотрим на плоскости ( x, O, y) криволинейный сектор Найдем его площадь. Заметим, что сектору Ф соответствует обычная криволинейная трапеция на плоскости (O, r, ϕ) Разобьем фигуру Ф на n частичных фигур лучами На плоскости (O, r, ϕ) получаем обычное разбиение трапеции: Рассмотрим, например, нижние суммы Дарбу: Каждое слагаемое в нижней сумме равно площади  обычного кругового сектора радиуса   таким образом,  (2) для нижних сумм и (3)    для верхних сумм Дарбу, где  Суммы (2) и (3) – суммы Дарбу для функции  (см.формулы (5) § 24), поэтому (4) Пример 3. Найти площадь ограниченную лемнискатой  (см.пример 1). Решение. По формуле (4): площадь одного лепестка. Поэтому  Пример 4. Найти площадь фигуры ограниченной линиями: и  (вне круга). Решение. Найдем точки пересечения кривых:     По формуле (4): Пример 3. r=2cosϕ. Вычислим  − окружность радиуса 1 с центром в точке (1; 0). При изменении ϕ от 0 до 2 π окружность проходится дважды и оба раза против часовой стрелки, поэтому (см. § 30) найденное значение интеграла задает удвоенную площадь круга. Полярная система координат Содержание статьи 1. Образование полярной системы координат 2. Связь между прямоугольными и полярными координатами 3. Некоторые важнейшие кривые Образование полярной системы координат На плоскости, кроме декартовой прямоугольной системы координат, используют также полярную систему координат. {2} $. Уравнение той же окружности в полярной системе координат: $\rho =R$. Полярная система координат вводится следующим образом. На плоскости вибираем некоторую точку $O$, которая называется полюсом. Из этой точки проводим луч $Ox$, который называется полярной осью. Выбираем линейный масштаб для измерения длин отрезков. Для измерения углов выбираем или градусную, или радианную меру. Положение точки $M$ на плоскости определяют два числа: число $\rho $ — расстояние точки $M$ от полюса (полярный радиус $OM$), а также число $\phi $ — угол, образованный полярным радиусом с полярной осью (полярный угол). Положительным направлением отсчета угла $\phi $ считается направление против часовой стрелки. Числа $\rho $ и $\phi $ называются полярными координатами точки $M\left(\rho ,\; \phi \right)$. При этом полярный радиус $\rho \ge 0$, а полярный угол $0\le \phi Связь между прямоугольными и полярными координатами Между полярными и декартовыми прямоугольными координатами точки $M$ можно установить связь. {3} }{a-x} } $. При построении графика строфоиды поступаем аналогично. Для построения графиков кардиоиды и лемнискаты такой прием не подходит, так как разрешить их уравнения в декартовой прямоугольной системе координат относительно $y$ невозможно. Поэтому рекомендуется использовать уравнения этих кривых в полярных координатах по следующей схеме: задать значение угла $\phi $ в градусах (так удобнее), перевести это значение в радианы, в соответствии с уравнением кривой вычислить значение $\rho $, вычислить декартовы координаты $x$ и $y$ по формулам $x=\rho \cdot \cos \phi $ и $y=\rho \cdot \sin \phi $. Теперь можно строить график обычным образом. Сообщество экспертов Автор24 Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25.11.2021 Проект «Исследование полярной системы координат»  Министерство образования и науки Российской Федерации Муниципальное автономное образовательное учреждение «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А. М. Кузьмина». ПРОЕКТ  на тему: «Исследование полярной системы координат».                                   Выполнила:                                                                                                        Учащаяся 11 класса «Б»                                                                 Бросалина Татьяна Витальевна                                                    Подпись ____________                                                        Научный руководитель:                                                                  Ондрикова Елена Вячеславовна,                                               учитель математики                                                    Оценка ______________                                                    Дата ________________                                                    Подпись _____________ Тамбов, 2016 СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………………………………………. ……. 3 Полярная система координат………………………………………….……..4 Связь между полярными и декартовыми координатами………………….. 6 Уравнения кривых в полярных координатах………………………………..8      4.1 Окружность………………………………………………………………..8      4.2 Спираль Архимеда………………………………………………………..9      4.3 Логарифмическая спираль ………………………………………………10      4.4 Гиперболическая спираль………………………………………………..12      4.5 Семейство роз Гранди …………………………………………………..13         4.6 Улитка Паскаля и кардиоида………………………………………………15 5.        Вывод …………………………………………………………………………20   Список используемой литературы………………………………………….21 ВВЕДЕНИЕ Любая точка на плоскости может быть задана координатами и легко определяется в пространстве с помощью различных систем координат. Не во всех случаях рационально и удобно использовать привычную нам прямоугольную декартовую систему координат. Существуют и другие способы определения точки на плоскости или в пространстве. Выбор этих способов зависит от разнообразных факторов, например, от желаемой наглядности полученного результата. Наиболее часто используются полярные, цилиндрические и сферические координаты. Именно полярная система координат и является объектом исследования данной работы. Такая система координат хорошо и естественно отображает природные формы, и может познакомить учащихся с красивейшими результатами математической науки. Различные кривые, построенные в такой системе координат, имеют сходства с растениями и животными окружающего мира, и вследствие этого обладают эстетической привлекательностью. Таким образом, предметом исследования выбраны уравнения кривых, заданные в полярной системе координат. Данная тема является актуальной на сегодняшний день, т.к. не каждая школьная программа включает в себя изучение полярной системы координат, несмотря на то, что не все графики удобно строить в декартовой системе. Правильный выбор системы координат может значительно упростить решение той или иной задачи. Целью данной исследовательской работы является изучение полярной системы координат, ознакомление с важнейшими математическими кривыми, а также приобретение навыка решения простейших задач в полярной системе координат. Задачи, требующие выполнения в ходе исследовательской работы: изучить основную теорию о полярной системе координат сравнить полярную систему координат с декартовой рассмотреть важнейшие математические кривые и их применение в жизни научиться решать простейшие задачи в полярной системе координат ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Полярная система координат — двухмерная система координат, каждая точка в которой однозначно определяется на плоскости двумя числами —  полярным радиусом и полярным углом. Чтобы определить полярную систему координат на плоскости следует отметить произвольную точку O, которая называется полюсом, и луч OX, называемый полярной осью. Также следует задать масштабный отрезок, с помощью которого и будет измеряться расстояние от какой-либо точки на плоскости до полюса. Как правило, задается единичный вектор , длина которого и является масштабным отрезком. Направление данного вектора задает положительное направление полярной оси. Рис.1 Положение любой точки M определяется в полярной системе координат полярным радиусом — расстоянием r от точки M, до полюса, т.е. r = ||, и полярным углом — углом φ между вектором  и полярной осью. Полярные радиус и угол составляют полярные координаты точки M, что записывается в виде M(r,φ). Полярный радиус можно определить для любой точки области, при этом он, так как расстояние не может быть отрицательным, всегда будет больше либо равен нулю (r ≥0). Полярный угол можно определить для любой точки плоскости, кроме самого полюса О, при этом он, как правило, изменяется в пределах –π Полярный угол отсчитывается от полярной оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, если значение угла положительное, а в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке, если значение угла отрицательное. Измеряется в радианах.   Таким образом, точка с координатами (5, 30°) на графике – это точка, принадлежащая лучу, который лежит под углом 30° к полярной оси, на расстоянии пяти единичных отрезков. Точка с координатами (5, -330) будет расположена на том же месте. В этом заключается одна из главнейших особенностей полярной системы координат – одна и та же очка может быть представлена бесконечным количеством разных способов. Принято считать, что термин «полярные координаты» ввел итальянский математик, Грегорио Фонтана. В английский же язык термин перешел в 1816 году, когда Джордж Пикок перевел трактат «Дифференциальное и интегральное исчисление», написанный Сильвестром Лакруа. Французский математик Алекси Клеро впервые применил полярные координаты для трехмерного пространства, а Леонард Эйлер был первым ученым, разработавшим систему таких координат. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОЛЯРНЫМИ И ДЕКАРТОВЫМИ КООРДИНАТАМИ В школе ученики обычно строят графики функций в декартовой системе координат. Однако точно такие же построения можно совершать и в полярной системе, что особенно удобно, когда переменная φ не только изображается, но и фактически является углом. Полярную систему координат Oxφ можно связать с более привычной декартовой системой O следующим способом. Для перехода из одной системы координат в другую начало декартовой системы O должно совпадать с полюсом полярной системы, а ось абсцисс с полярной осью, сохранив направление вектора. Следом, перпендикулярно оси абсцисс, достраивается ось ординат так, чтобы, проходя через точку O, она образовывала декартовую систему координат, как показано на рисунке.                                 Рис.2                                      Рис.3 И, наоборот, из декартовой системы координат можно легко перейти в полярную. Для этого следует принять положительную ось абсцисс за полярную ось. Теперь рассмотрим связь полярных и декартовых координат точки. Из рисунка 3 можно увидеть, что вектор  является диагональю в прямоугольнике, со сторонами x и y, которые являются декартовыми координатами точки M. Из этого следует, что искомое расстояние r можно найти с помощью теоремы Пифагора по формуле . Кроме того, из рисунка видно, что   Таким образом, можно найти декартовые координаты, если известны полярные. В противоположном случае действуют следующие формулы:   При определении главного значения полярного угла следует помнить: если r = 0, то  может принимать любые значения и является произвольным действительным числом; если r ≠0, то  ограничивают интервалом в 2, обычно выбирают интервал (-π;π] или (0;2π]. Для определения главного значения полярного угла используют следующие формулы: Углы в полярной системе координат могу измеряться как в градусах, так и в радианах. Выбор единиц измерения зависит, как правило, от области применения. В то время как в математике и почти во всех областях физики наиболее часто используют радианы, в навигации предпочтение отдается именно градусам. УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ В полярной системе координат, благодаря ее радиальной природе, многие кривые могут быть описаны гораздо более просто и менее громоздко, нежели в декартовой системе. Рассмотрим самые распространенные из них. ОКРУЖНОСТЬ Уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом a имеет вид r(φ)=a Очевидно, что графиком этой функции является совокупность точек, расположенных на равном расстоянии от полюса при любом угле, т.е. окружность. Для того, чтобы ее построить, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса. φ 0 π 2π r а а а а  а а а а а На графике ниже можно увидеть построение окружности r(φ)=а. Окружность, центром которой не является полюс, можно построить по точкам, или уравнением +=, центр окружности в таком случае находится в точке (;.               СПИРАЛЬ АРХИМЕДА Чтобы представить спираль Архимеда, отметим точку на секундной стрелке часов и будем перемещать ее вдоль этой стрелки, независимо от движения самой стрелки. Тогда точка опишет кривую, которая носит название «спираль Архимеда». Данная кривая задается уравнением r=aφ, где a – коэффициент пропорциональности. Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую спираль, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса. φ 0 π 2π r 0 π 2π Отметим на лучах φ=0, φ=, и т. д. соответствующие значения r. Можно заметить, что при увеличении φ будет возрастать и r, что можно увидеть на графике ниже. Открытие данной кривой приписывается Коннону Самосскому, но впервые описал все ее свойства именно Архимед. Главное из этих свойств заключается в том, что расстояние между двумя витками в данной спирали всегда остается постоянной величиной. Благодаря этому свойству, с помощью спирали Архимеда можно легко разделить любой угол на равные части. В технической области спираль Архимеда применяется в кулачковых механизмах, преобразующих вращательное движение шайбы и поступательное движения стержня.  Также форму спирали Архимеда играет и звуковая дорожка на пластинке. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ Логарифмическую спираль описывает точка, отмеченная на секундной стрелке, которая движется по этой стрелке не с постоянной скоростью, как в спирали Архимеда, а с возрастающей пропорционально расстоянию от центра часов. Данная кривая задается уравнением r=a, где k – это коэффициент, который отвечает за расстояние между витками. Пусть k=1. Для того, чтобы построить такую спираль, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса. φ 0 π 2π r а 4,78а 22,88а 110,56а 523,65а Логарифмическая спираль имеет несколько интересных свойств: Расстояния между последовательными витками составляют геометрическую прогрессию. Образующиеся в результате отсекания кривой радиусами секторы подобны друг другу. Последовательность длин радиусов, которые составляют одинаковые углы друг с другом, так же образуют геометрическую прогрессию Не изменяет своей природы при таких преобразованиях, как ее сжатие или растяжение относительно полюса, или при ее повороте на определенный угол. В математике логарифмическая спираль впервые упоминается Декартом в 1638 году. Он описал ее, как линию, отношение длины дуги которой к соответствующему радиусу остается константой. На свойстве логарифмической спирали пересекать все свои радиус-векторы под одним углом основаны ее применения в технике. Например, вращающиеся ножи нередко имеют схожую форму, вследствие чего угол резания по всей поверхности ножа остается постоянным, что делает его менее изнашиваемым.   ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ Гиперболическая спираль задается уравнением r=, которое является обратным для  уравнения спирали Архимеда. Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую спираль, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса. φ π 2π r 0,31 0,15 Особенностью гиперболической спирали является тот факт, что при φ, r, то есть полюс является асимптотической точкой данной кривой. Более того, из треугольника MNO видно, что отрезок MN= r. Таким образом, при φ, MN, то есть прямая, проходящая параллельно  полярой оси и удаленная от нее на расстояние a, является асимптотой данной спирали.   СЕМЕЙСТВО РОЗ ГРАНДИ Роза – это плоская кривая, которая формой напоминает изображение цветка. Она задается формулой r = a, где a – постоянная, определяющая размер лепестков, а  – постоянная, определяющая количество лепестков данной розы. При  вся кривая расположена внутри окружности радиусом a, а график состоит из одинаковых по форме и размеру лепестков. Причем, если  четное, то количество лепестков будет 2, а если нечетное, то просто При  кривая расположена вне окружности и образована точкой, движущейся по внешней стороне окружности. На данном рисунке можно увидеть, как изменяется роза в зависимости от . Рассмотрим графики четырех- и трехлепестковых роз. Трехлепестковая кривая задается уравнением r=a. Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую кривую, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса. Так как все лепестки розы одинаковы, то можно найти значения радиуса лишь для одного лепестка и отобразить полученный график. Найдем область определения функции. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3φ≥0, решая которое находим область допустимых углов: φ[0; ][][] φ 0 3φ 0 0 0,7 1 0,7 0 Четырехлепестковая кривая задается уравнением r=a. Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую кривую, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса. Так как все лепестки розы одинаковы, то можно найти значения радиуса лишь для одного лепестка и отобразить полученный график. φ 0 2φ 0 0 0,5 0,86 1 0,86 0,5 0 Семейство роз Гранди было открыто в XVIII в. итальянским геометром Гвидо Гранди. Эти кривые нашли широко применяются в технике. Напимер, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки, которая называется центром колебаний, то траектория этой точки будет описываться именно розой Гранди. УЛИТКА ПАСКАЛЯ Улитка Паскаля  задается уравнением r=2R, где R – радиус данной окружности. Построим кривую при a=2R. В таком случае уравнение принимает вид r=1). График такой функции является частным случаем улитки Паскаля и называется кардиоидой. Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую кривую, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса. φ 0 1 0,86 0,7 0 -0,5 -0,7 -0,86 -1 1) 2 1,86 1,7 1 0,5 0,3 0,14 0 Стоит отметить, что если в уравнении r=2R, , то радиус будет находиться по формуле r=2R, которая является уравнением окружности с радиусом r. ЗАДАЧИ Задача 1. Найти полярные координаты точки М (1; ) , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось — с положительным направлением оси абсцисс. Решение: Из теории известно, что . Кроме того, из рисунка видно, что  , следовательно =. На основании этих равенств находим  = ; =. Очевидно, что точка М лежит в IV четверти и, следовательно,  =. Итак, М (2;). Ответ: (2;). Задача 2. Найти прямоугольные координаты точки А (; ). если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс. Решение: Из теории известно, что  , следовательно: х==2; y==2. Таким образом, А (2;2). Ответ: (2;2). Задача 3. Определить расстояние между точками  (3; ) и  (4; ). Решение: Рассмотрим треугольник O. По теореме косинусов: =  =) = =5. Ответ: 5 Задача 4.1. Точка М равномерно перемещается по лучу, вращающемуся равномерно около полюса. Составить уравнение линии, описанной точкой М, если в начальный момент вращающийся луч совпадает с полярной осью, а точка М – с полюсом; при повороте же луча на угол  = 1 радиан, точка М удалилась от полюса на расстояние а. Решение: Поскольку в начальный момент величины r и  равны нулю, а затем обе возрастают пропорционально времени,  легко заметить, что они связаны прямой пропорциональной зависимостью: =const. Но r = а при  = 1, следовательно, =, т.е. r =. Кривая r = называется спиралью Архимеда. Построение данной кривой рассматривалось в этой исследовательской работе ранее. Задача 4.2. Окружность диаметра а катится без скольжения по внешней стороне другой окружности такого же диаметра. Составить в полярных координатах уравнение линии, описанной некоторой фиксированной точкой катящейся окружности. Решение: На рисунке  – это первоначальное положение центра катящейся окружности, A — первоначальное положение точки, описывающей искомую линию. Причем точка А диаметрально противоположна точке В, где в начальный момент соприкасаются окружности,  -центр неподвижной окружности, — центр катящейся окружности в новом положении,  — новое положение точки , описывающей искомую линию. После перемещения  окружности  в положение  точка  займет положение . Точка  займет положение . Так как качение происходит без скольжения, то     =    ,  =. На чертеже показано положение полюса О и пол󠆻ярной оси Ох. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки М (r; ) искомой линии. Можно заметить, что  = O, в силу чего четырехугольник O является равнобедренной трапецией с меньшим основанием  = а, ; и перпендикуляры, опущенные из точек  и  на прямую О. Итак, r  =++=  + a+ =a(1+).  Таким образом, уравнение искомой линии в полярных координатах имеет вид r = a(1+). Эта кривая называется кардиоидой. Построение данной кривой рассматривалось в этой исследовательской работе ранее. Задача 5. Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r2 = a2cos 2φ Решение: В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ1 =  и φ2 = , выразится следующим  интегралом: S =d. В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади: S =  d =  = . Следовательно, вся площадь равна S = a2. Ответ: a2   ВЫВОД Таким образом, цели, поставленные в данной работе, достигнуты. Основная теория о полярной системе координат изучена. В ходе данной исследовательской работы были рассмотрены важнейшие математические кривые и их применение в жизни, а также были приобретены навыки решения простейших задач, связанных с полярной системой координат, что значительно упрощает решение некоторых задач. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ В.К. Егерев, Б.А. Радунский, Д.А.Тальский. «Методики построения графиков функций» А.А. Гусак. «Пособие к решению задач по высшей математике» Д.В. Клетеник. «Сборник задач по аналитической геометрии» П.Е. Данко, А.Г. попов, Т.Я. Кожевникова «Высшая математика в упражнениях и задачах». Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Замена переменной в двойном интеграле. Полярная система координат. Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 15Следующая ⇒ Замена переменной в интеграле   состоит в переходе от переменных xиyк новым переменным   u  иv, связанных соотношениями x= X (u, v), y = Y (u,v), (u,v)  D.                                  (3.4) При выполнении условий, что отображение (3.4) взаимно однозначно, а функции в соотношении (3.4) непрерывно-дифференцируемы, то якобиан отображения – определитель, составленный из первых частных производных: тогда имеет место формула:                                    (3. 5) Обычно замена переменных производится с целью упрощения области интегрирования. Соотношения (3.4) называют переходом от прямоугольных декартовых координат к криволинейным. Примером криволинейных координат являются полярные координаты, связанные с прямоугольными формулами:  ,  , ,                                            (3. 6) ; В полярных координатах полюс совпадает с началом координат, полярная ось – с положительным направлением оси Ох, угол φ (положительный) отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Якобиан преобразования равен: Если D =  , то                                (3.7) Пример: построить область интегрирования и перейти к полярной системе координат Порядок интегрирования соответствует формуле (3.1):  ;       верхняя граница Возводя в квадрат правую и левую части и дополняя до полного квадрата разности, получили уравнение окружности     с центром ( т.к. в верхнем пределе перед корнем нет знака, то приписывается знак плюс. Т.е. верхняя граница области D – верхняя часть окружности Нижняя граница: Переносим  в левую часть и возводим правую и левую часть в квадрат Получили уравнение окружности   с центром   радиуса Рис. 3.8 Область интегрирования D — область между двумя выше указанными окружностями. Точка пересечения A ( ). Вся область D находится в первом квадранте, следовательно , но область ограничена двумя разными окружностями. Проведем луч из начала координат в точку А. Тогда область разделится на две части. , следовательно, . Тогда в полярной системе координат область интегрирования и сам двойной интеграл разбиваются на две части: 0≤φ≤π/6 и π/6≤φ≤π/2. Окружность   в полярной системе примет вид Окружность   в полярной системе примет вид      Студентам рекомендуется запомнить следующее правило. Если центр окружности сдвинут по оси Ох вправо, ровно на радиус окружности R, то в полярной системе координат уравнение такой окружности  , если влево на радиус, то . Если центр окружности сдвинут на радиус по оси Оy вверх – уравнение окружности в полярной системе , если же центр окружности сдвинут ровно на радиус вниз, то . Это правило легко выводится из соотношений (3.6). Окончательно в полярной системе координат двойной интеграл примет вид: I=   Пример: начертить область на которую, распространяется двойной интеграл, изменить порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат.   Рис. 3.9 Уравнение нижней окружности:   Уравнение верхней окружности: x ²+ y ²=2. В декартовой системе координат заданный интеграл примет вид:  порядок интегрирования изменен, где   (нижний предел интегрирования во внутреннем интеграле). Используя вышеприведенное правило в полярной системе координат при π≤φ≤7π/6 двойной интеграл примет вид:                                — двойной интеграл в полярной системе координат.   Геометрические и физические приложения двойного интеграла. Пусть G – материальная пластинка (квадрируемая фигура) на плоскости с плотностью    1. Площадь пластины 2. Масса пластины m= 3. Статические моменты пластинки относительно осей Ox и Oy 4. Координаты центра тяжести пластинки 5. Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy , 6. Момент инерции пластинки относительно начала координат   Пример: вычислить площадь пластины ограниченной линиями: y=x; y=0; y ²-4 y + x ²=0; y ²-8 y + x ²=0 Запишем уравнения линий, ограничивающих область интегрирования: y ² — 4 y + x ² =0                                                           y                                                                                                                Окружность с центром,                                    Окружность с центром, сдвинутым по у на 4 единицы сдвинутым по у на 2 единицы                                             Рис. 3.10 Уравнения окружностей, в соответствии с вышеизложенным правило примут вид: ρ=4∙ sinφи ρ=8∙sinφ.                                                                                                        Пример: вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением Проведем замену переменных: x=ρcosφ, y= ρsinφ. Тогда заданная кривая в полярной системе координат примет вид: где Рис.3.11 Тогда  С учетом того, что cos2  имеет период Т=π, и ρ≥0 параметр С учетом симметрии фигуры (рис. 3.11), вычислим площадь четвертой части и результат умножим на четыре. Вычислим площадь по формуле Площадь всей фигуры, ограниченной данной линией, S=2 . Пример: найти массу пластинка G, если она задана ограничивающими её кривыми (рис. 3.12):  x = 0, y = 0,  , — поверхностная плотность.   Рис. 3.12   Пластинка расположена в прямоугольной системе координат таким образом, что центры окружностей совпадают с началом координат.   . Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам при этом область G преобразуется в прямоугольную область в полярной системе координат: 2≤ρ≤3, -π/2 ≤φ≤0, поверхностная плотность:             Масса плоской пластины вычисляется по формуле:   Пример: найти статические моменты относительно координатных осей Ох и Oy однородной фигуры, ограниченной кривыми y²=ax, y=x (рис. 3.13) Т.к. фигура однородная, примем поверхностную плотность μ=const=1. Рис.3.13   Статический момент относительно оси Ох Статический момент относительно оси Оу Тройные интегралы Задача о массе пространственного тела переменной плотности f(x,y,z) приводит к понятию тройного интеграла. Под областью “V”,на которую распространен тройной интеграл, понимается ограниченная замкнутая пространственная область, ограниченная снизу и сверху поверхностями , а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ. Переменные x и y изменяются в плоской области , которая является проекцией на плоскость xoy пространственной области “V”. Функция f(x,y,z), стоящая под интегралом должна быть непрерывной и ограниченной в области “V”.   Свойства тройного интеграла аналогичны свойствами двойного интеграла. Предыдущая123456789101112131415Следующая Читайте также:  Алгоритмические операторы Matlab Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды Исследования учёных: почему помогают молитвы? Почему терпят неудачу многие предприниматели?  Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; просмотров: 105; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 176.9.44.166 (0.016 с.) Фигуры в криволинейных координатах Фигуры в криволинейных координатах Криволинейные координаты Примеры для статьи — polar.zip Кроме привычной нам прямоугольной декартовой системы координат, в математике используются и другие способы задания положения точки в пространстве или на плоскости. Чаще всего применяются полярные, цилиндрические и сферические координаты. Все эти системы родственны. В них присутствует центральная точка или полюс, от которого расходятся концентрические окружности (полярная система координат), цилиндры (цилиндрическая система) или сферы (сферические координаты). Положение точки определяется при помощи луча, выходящего из полюса и пересекающего в заданном месте соответствующую окружность, цилиндр или сферу. В такие координаты очень естественно укладываются многие природные формы. Перечисленные криволинейные системы координат идеально приспособлены для отображения форм, построенных вокруг единой центральной точки. Такая организация характерна для многих биологических объектов. Их формы порой самым удивительным образом напоминают фигуры, образуемые в криволинейных координатах достаточно простыми и лаконичными математическими выражениями. Это сходство указывает на то, что тела живых организмов, биологические структуры, образуются по принципам, сходным с принципами построения «полярных» объектов. Живой организм «начинается» из одной исходной точки, и затем развивается и растет во все стороны по определенному математическому закону. По крайней мере такое предположение совсем не противоречит наблюдаемому в природе обилию «математических», «полярных» форм. Природа как бы сама использует полярные координаты, что особенно бросается в глаза на примере растений, примитивных многоклеточных животных и насекомых. Вероятно поэтому фигуры, построенные в полярных координатах, обладают неповторимой эстетической привлекательностью. Они плотно ассоциируются с формами цветов, бабочек, словом, всем тем, что так много удовольствия доставляет нашему взору в живой природе. Полярная система координат В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом theta, образуемым полярным радиусом с полярной осью. Если в декартовой системе координат предельно простое выражение y=kx определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в форме R=k*theta, уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах образуются как след конца бегающего по кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. В цилиндрической системе к полярному радиусу и углу добавляется еще одна координата — z, которую можно интерпретировать как высоту точки над плоскостью, в которой вращается полярный радиус. Для того, чтобы перейти от полярных координат к декартовой системе, используют формулы: X=R* Cos (theta) Y=R* Sin(theta) Соответственно, для перехода от декартовой системы к полярной применяют формулу: R=Sqr(X*X+Y*Y) и угол вычисляется как Atn(Y/X) (если X не равен 0) Фигуры в полярных координатах Формулы кривых, записанных в полярной системе координат, вычисляются гораздо проще, чем в декартовой. Например, уравнение окружности с радиусом 0.9 вокруг точки отчета выглядит очень просто R=0.9, что подразумевает следующие вычисления: R*Cos(theta) R*Sin(theta) где угол theta изменяется от 0 до 2π радиан и определяет декартовы координаты X и Y окружности в полярной системе Для объяснения вышесказанного приведем небольшой листинг программы, рисующей окружность: Dim x As Single, y As Single Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single twoPi = Atn(1) * 8 Scale (-2, 2)-(2, -2) For I = 0 To twoPi Step 0.05 R = 0.9 x = R * Cos(I) y = R * Sin(I) PSet (x, y) Next I Полярные координаты позволяют рисовать намного более сложные и красивые фигуры. Например, можно нарисовать четырехлистный клевер. Его формула выглядит как R = Cos (2*theta), где угол theta меняется от 0 до 2π радиан (от 0 до 360 градусов) Листинг для клевера Dim x As Single, y As Single Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single twoPi = Atn(1) * 8 Scale (-2, 2)-(2, -2) For I = 0 To twoPi Step 0. 01 R = Cos(2 * I) x = R * Cos(I) y = R * Sin(I) PSet (x, y) Next I Для трехлистного цветка используйте формулу R = Cos (3*theta) На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен. Дельтоида Астроида Кардиоида Лимакона (Улитка Паскаля) Спираль Архимеда Логарифмическая спираль Кохлеоида Строфоида Freeth’s Nephroid Овалы Кассини Лемниската Бернулли Окружность Итак, формула R=a определяет обычную окружность, а коэффициент a влияет на ее радиус «Пируэты» окружности Возьмем теперь одну окружность и поместим ее внутрь другой. Все кривые, которые будет вычерчивать точка на окружности, катящейся внутри другой окружности, будут относиться к семейству гипоциклоид (от греч. гипо — под, внизу и киклоидес — кругообразный). 3 рисует астроиду, где коэффициент a влияет на вытянутость фигуры. Эпициклоиды Рассмотрим другой случай. Будем вращать окружность не внутри другой (опорной) окружности, а по ее внешней стороне. Теперь, все получаемые кривые будут относиться к семейству эпициклоиды (греч.эпи — на, над). К таким фигурам относятся кардиодида и улитка Паскаля Реклама Уравнение окружности — Формула, Примеры Уравнение окружности обеспечивает алгебраический способ описания окружности с учетом центра и длины радиуса окружности. Уравнение окружности отличается от формул, которые используются для вычисления площади или длины окружности. Это уравнение используется во многих задачах окружностей в координатной геометрии. Чтобы изобразить окружность на декартовой плоскости, нам потребуется уравнение окружности. На листе бумаги можно нарисовать окружность, если известны ее центр и длина радиуса. Точно так же на декартовой плоскости мы можем нарисовать окружность, если знаем координаты центра и его радиус. Круг может быть представлен во многих формах: Общая форма Типовая форма Параметрическая форма Полярная форма В этой статье давайте узнаем об уравнении окружности, его различных формах с графиками и решенными примерами. 1. Что такое уравнение окружности? 2. Различные формы уравнения окружности 3. Уравнение окружности Формула 4. Вывод уравнения окружности 5. График уравнения окружности 6. Как найти уравнение окружности? 7. Преобразование общей формы в стандартную форму 8. Преобразование стандартной формы в общую форму 9. Часто задаваемые вопросы по уравнению окружности Что такое уравнение окружности? Уравнение окружности представляет положение окружности на декартовой плоскости. Зная координаты центра окружности и длину ее радиуса, мы можем написать уравнение окружности. Уравнение окружности представляет собой все точки, лежащие на окружности окружности. 92\). Различные формы уравнения окружности Уравнение окружности представляет положение окружности на декартовой плоскости. На листе бумаги можно нарисовать окружность, зная ее центр и длину радиуса. Используя уравнение окружности, как только мы найдем координаты центра окружности и ее радиус, мы сможем нарисовать окружность на декартовой плоскости. Существуют различные формы представления уравнения окружности, Общая форма Типовая форма Параметрическая форма Полярная форма Давайте рассмотрим здесь две распространенные формы уравнения окружности — общий вид и стандартную форму уравнения окружности, а также полярную и параметрическую формы в деталях. Общее уравнение окружности Общая форма уравнения окружности: x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0. Эта общая форма используется для определения координат центра окружности и радиуса, где g, f, c — константы. В отличие от стандартной формы, которую легче понять, общая форма уравнения окружности затрудняет поиск каких-либо значимых свойств любой данной окружности. Итак, мы будем использовать формулу заполнения квадрата, чтобы сделать быстрое преобразование из общей формы в стандартную форму. 92\) Рассмотрим этот пример уравнения окружности (x — 4) 2 + (y — 2) 2 = 36 — это окружность с центром в точке (4,2) и радиусом 6. Параметрическое уравнение окружности Мы знаем, что уравнение окружности в общем виде имеет вид x 2 + y 2 + 2hx + 2ky + C = 0. Берем общую точку на границе окружности, сказать (х, у). Линия, соединяющая эту общую точку и центр окружности (-h, -k), образует угол \(\theta\). Параметрическое уравнение окружности можно записать в виде x 2 + y 2 + 2hx + 2ky + C = 0, где x = -h + rcosθ и y = -k + rsinθ. Полярное уравнение окружности Полярная форма уравнения окружности почти аналогична параметрической форме уравнения окружности. Обычно мы пишем полярную форму уравнения окружности для окружности с центром в начале координат. Возьмем точку P(rcosθ, rsinθ) на границе круга, где r — расстояние точки от начала координат. Мы знаем, что уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом «p» равно x 2 + у 2 = р 2 . Подставьте значения x = rcosθ и y = rsinθ в уравнение окружности. (rcosθ) 2 + (rsinθ) 2 = p 2 r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = p 2 r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = p 2 г 2 (1) = р 2 г = р где р — радиус окружности. Пример: Найти уравнение окружности в полярной форме при условии, что уравнение окружности в стандартной форме: уравнение окружности в полярной форме, замените значения \(x\) и \(y\) на: x = rcosθ у = rsinθ х = rcosθ у = rsinθ х 2 + у 2 = 9 (rcosθ) 2 + (rsinθ) 2 = 9 r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = 9 r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = 9 г 2 (1) = 9 г = 3 Уравнение окружности Формула Формула уравнения окружности используется для расчета уравнения окружности. 2\). Для этого нам нужно всего лишь изменить константу 9, чтобы она соответствовала r 2 как (x -3) 2 + (y — 2) 2 = 3 2 . Здесь мы должны отметить, что одной из распространенных ошибок является рассмотрение \(x_{1}\) как -3, а \(y_{1}\) как -2. В уравнении окружности, если знак перед \(x_{1}\) и \(y_{1}\) отрицателен, то \(x_{1}\) и \(y_{1}\) равны положительные значения и наоборот. Здесь \(x_{1}\) = 3, \(y_{1}\) = 2 и r = 3 Таким образом, окружность, представленная уравнением (x -3) 2 + (y — 2) 2 = 3 2 , имеет центр в точке (3, 2) и радиус 3. На приведенном ниже изображении показан график, полученный из этого уравнения окружности. Как найти уравнение окружности? Существует множество различных способов представления уравнения окружности в зависимости от положения окружности на декартовой плоскости. Мы изучили формы представления уравнения окружности при заданных координатах центра окружности. Существуют определенные особые случаи, основанные на положении окружности в координатной плоскости. Давайте узнаем о методе нахождения уравнения окружности для общего и этих частных случаев. 92} = г\). Шаг 3: Выразите ответ в требуемой форме уравнения окружности. Уравнение окружности с центром в начале координат В простейшем случае центр окружности находится в начале координат (0, 0), радиус которого равен r. (x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\). Если центр находится в начале координат, то \(x_1\)= 0 и \(y_1\)= 0. Ответ: Уравнение окружности, если ее центр находится в начале координат, равно x 2 + y 2 = г 2 . Уравнение окружности с центром на оси x Рассмотрим случай, когда центр окружности находится на оси x: (a, 0) — центр окружности с радиусом r. (x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\) Уравнение касания окружности с осью x Рассмотрим случай, когда длина окружности касается оси x в некоторой точке: (a, r) ​​— центр окружности с радиусом r. Если окружность касается оси x, то координата y центра окружности равна радиусу r. (x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\) Уравнение касания окружности с осью y Рассмотрим случай, когда длина окружности касается оси y в некоторой точке: (r, b) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается оси y, то координата x центра окружности равна радиусу r. (x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\) Уравнение окружности, касающейся обеих осей Рассмотрим случай, когда окружность касается обеих осей в некоторой точке: (r, r) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается и оси x, и оси y, то обе координаты центра окружности становятся равными радиусу (r, r). (x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92 = 16\ г = 4 \) Преобразование общей формы в стандартную форму Это стандартное уравнение окружности с радиусом r и центром в (a,b): (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 и рассмотрим общую форму как : x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0. Вот шаги, которые нужно выполнить, чтобы преобразовать общую форму в стандартную: Шаг 1: Объединить подобные члены и взять константу на другая сторона как х 2 + 2gx + y 2 + 2fy = — c -> (1) Шаг 2: Использование тождества с совершенным квадратом (x + g) 2 = x 2 + 2gx + g 2 найти значения выражения x 2 + 2gx и y 2 + 2fy как: (x + g) 2 = x 2 + 2gx + g 2 + 907 x 2 90 2gx = (x + g) 2 — g 2 -> (2) (y + f) 2 = y 2 + 2fy + f 2 ⇒ y 2 + 2fy = (y + f) 2 — f 2 -> (3) Подставляя (2) и (3) в (1), получаем уравнение в виде: (x+g) 2 — g 2 + (y+f) 2 — f 2 = — c (x+g) 2 + (y+f) 2 = g 2 + f 2 — c Сравнивая это уравнение со стандартной формой: (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 получаем, Центр = (-g,-f) и радиус = \(\sqrt{g^2+f^2 — c}\) 9{2} — 9}\) = \(\sqrt{9 + 16 — 9}\) = \(\sqrt{16}\) = 4. Итак, радиус r = 4, Преобразование стандартной формы в общую форму Мы можем использовать алгебраическую формулу тождества (a — b) 2 = a 2 + b 2 — 2ab, чтобы преобразовать стандартную форму уравнения окружности в общую форму. Давайте посмотрим, как сделать это преобразование. Для этого расширьте стандартную форму уравнения окружности, как показано ниже, используя алгебраические тождества для квадратов: 92 + 2gx + 2fy + с = 0\), где g, f, с — константы. Статьи по теме Уравнение окружности Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными уравнению окружности Уравнение окружности Калькулятор Длина окружности Все формулы круга Отношение длины окружности к диаметру Важные примечания к уравнению окружности Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении уравнения окружности 92 + axy + C = 0\), то это не уравнение окружности. В уравнении окружности нет члена \(xy\). В полярной форме уравнение окружности всегда представляется в виде \(r\) и \(\theta\). Радиус — это расстояние от центра до любой точки на границе круга. Следовательно, значение радиуса окружности всегда положительно.   Примеры уравнений окружности Пример 1: Найдите уравнение окружности в стандартной форме для окружности с центром (2,-3) и радиусом 3. Решение: Уравнение окружности в стандартной форме запишется как: (x — x \(_1\)) 2 + (у — у\(_1\)) 2 = г 2 . Здесь (x\(_1\), y\(_1\)) = (2, -3) — центр окружности и радиус r = 3. Представим эти значения в стандартной форме уравнения окружности : (х — 2) 2 + (у — (-3)) 2 = (3) 2 (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 9 — искомая стандартная форма уравнения данной окружности. Пример 2: Запишите уравнение окружности в стандартной форме для окружности с центром (-1, 2) и радиусом, равным 7. Решение: Уравнение окружности в стандартной форме записывается как: (х — х\(_1\)) 2 + (у — у\(_1\)) 2 = г 2 . Здесь (x\(_1\), y\(_1\)) = (-1, 2) — центр окружности и радиус r = 7. Представим эти значения в стандартной форме уравнения окружности: (х — (-1)) 2 + (у — 2) 2 = 7 2 (x + 1) 2 + (y — 2) 2 = 49 — искомая стандартная форма уравнения данной окружности. Пример 3: Найти уравнение окружности в полярной форме при условии, что уравнение окружности в стандартной форме: x 2 + y 2 = 16. Решение: Чтобы найти уравнение окружности в полярной форме, подставьте значения x и y на: x = rcosθ y = rsinθ x 2 + y 2 = 16 (rcosθ) 2 + (rsinθ) 2 = 16 r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = 16 r 2 (1) = 4 перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами. Записаться на бесплатный пробный урок Практические вопросы по уравнению окружности   перейти к слайдуперейти к слайду Часто задаваемые вопросы по уравнению окружности Что такое уравнение окружности в геометрии? 92\). Каково уравнение окружности, когда центр находится в начале координат? В простейшем случае центр окружности находится в начале координат (0, 0), радиус которого равен r. (x, y) — произвольная точка на окружности. Уравнение окружности, когда центр находится в начале координат: x 2 + y 2 = r 2 . Что такое общее уравнение окружности? Общая форма уравнения окружности: x 2 + y 92 + 2hx + 2ky + C = 0\), где \(x = -h +rcos \theta\) и \(y = -k +rsin \theta\) Что такое C в общем уравнении окружности? Общая форма уравнения окружности: x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0. 2 = 2\). Что такое полярное уравнение окружности? Полярное уравнение окружности с центром в начале координат: r = p, где p – радиус окружности. Предварительное вычисление алгебры — Полярное уравнение окружности спросил 10 лет, 3 месяца назад Изменено 7 лет, 2 месяца назад Просмотрено 44к раз 92 \sin\theta = 0$$ Теперь я застрял, я думаю, что должен был заполнить квадрат или что-то в этом роде. Кто-нибудь может закончить мою мысль? алгебра-предварительное исчисление тригонометрия круги полярные координаты $\endgroup$ 1 $\begingroup$ Я думаю, что ваши замены из первой строки во вторую не совсем правильные. 2$ добавление этих двух уравнений, равных нулю, дает уравнение в декартовой форме, как показано выше Джерри Майерсоном. Я просто добавляю подробности для тех, кто может не понять. $\endgroup$ Твой ответ Зарегистрируйтесь или войдите в систему Зарегистрируйтесь с помощью Google Зарегистрироваться через Facebook Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль Опубликовать как гость Электронная почта Требуется, но не отображается Опубликовать как гость Электронная почта Требуется, но не отображается Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie . Документ без названия Документ без названия Полярные уравнения на Хи Юнг Ким На плоскости две системы координат: декартова система координат и полярная система координат. Любая точка в плоскость может иметь декартовы координаты (x, y) или полярные координаты (r, θ) в соответствующей системе. Полярные координаты (r, θ) точки состоит из радиальной координаты r и угловой координаты θ. Координата r представляет собой направленное расстояние от источника, называемого полюсом, и Координата θ представляет угол против часовой стрелки от начального луча называется полярной осью. Полярная ось обычно совпадает с осью абсцисс. Декартова система координат. Когда мы перекрываем две системы координат, мы можем легко преобразовать полярные координаты (r, θ) точки в декартовы координаты (х, у). х = r cos θ y = r sin θ   I. Теперь давайте исследуем поведение графика полярного уравнения r = 2 a sin ( k θ) + b варьируя значения (отличные от нуля) a , b , и к с . 1.1. Эффект Установим b = 0 и k = 1, и посмотрите на график r = 2 a sinθ при изменении a . На анимации ниже и варьируются от 0 до 10. График r = 2 a sinθ представляет собой окружность с центром (0, 1) и радиусом 1. Это также можно показать алгебраически, преобразовав полярное уравнение в уравнение в декартовой системе координат. Разновидность и (будь то и > 0 или a < 0) изменяет центр и радиус круг уравнения r = 2 a sin θ. На самом деле это центр ( a , 0) и радиус a . Вот несколько графиков, когда a < 0. Следовательно, мы заметили, что и есть только относительно центра и радиуса на графике r = 2 а грех ( k θ), когда k = 1. Если a > 0, кружок находится над осью абсцисс, а если a < 0, то круг находится ниже оси Y. Поскольку функция синуса является нечетной функцией (f(-x) = - f(x)), r = a sin(-θ) совпадает с r = — a sinθ. Следовательно, когда b = 0 и k = -1, мы имеем аналогичный результат, за исключением того, что если a < 0, кружок находится выше ось абсцисс, а если a > 0, кружок ниже оси Y. 1.2. Эффект к Когда k = 1, r = 2 a sin ( k θ) — это круг. Когда k не равно 1, график по-прежнему круг? Нет, это уже не круг, а на самом деле n-листная роза. Когда k четно, граф симметричен с относительно оси x (при условии, что мы перекрываем две системы координат), поэтому r = 2 a sin ( k θ) и r = 2 a sin (- k θ) = -2asin ( k θ) имеют то же самое график. Когда k нечетно, графики r = 2 a sin ( k θ) и r = 2 a sin (- k θ) различны и симметричны относительно ось х. На следующих рисунках показано, что и по-прежнему связано с размером графика, и чем больше | и | то есть, тем больше растяжение графика. Теперь исправьте на = 1, чтобы увидеть больше влияние k на график. Из приведенных выше цифр можно сказать, что r = 2sin ( k θ) это 2 | k |-листовая роза, если k четно r = 2sin ( k θ) это | k |-листовая роза if k странно. 1.3. Эффект б Теперь изменим значение b of r = 2 a sin ( k θ) + b . Напоминание влияние константы , скажем, c на график y = f(x) + c в декартовой системе координат, можно предположить, что b может быть связано с сдвиг. Но если это правильно, то вопрос «вдоль чего?». Давайте исправим на = 1 и k = 1 для простоты и рассмотрим несколько графиков. Первый всего, находим, что r = 2 a sin θ + b и r = 2 a sin θ — b имеют такие же графики. В общем, если k нечетно, графики r = 2 a sin ( k θ) + b и r = 2 a sin ( k θ) — b совпадают, которые симметричны относительно оси y (при условии, что мы перекрываем две системы координат, декартова и полярная координаты). С другой стороны, если к четно, r = 2 a sin ( k θ) + b и r = 2 a sin ( k θ) — b симметричны относительно оси y (при условии, что мы перекрываем две системы координат, декартовы и полярные координаты).   На следующих графиках показано, что начальное предположение для эффекта b было неправильно, значит b не имеет отношения к сдвигу графика. Чем больше |b| это «больше» «размер» графика. (Строго говоря, это объяснение очень интуитивно и не совсем математически правильно, потому что форма каждого графика различна.) Например, при изменении b график r = 2sin (2θ) + b это: Подводя итог, имеем следующее: r = 2 a sin ( k θ) и г = 2 a sin (- k θ) = -2 a sin ( k θ) есть тот же график, если к даже r = 2 a sin ( k θ) и r = 2 a sin (- k θ) равны симметричен относительно оси x, если k нечетно   r = 2 a sin ( k θ) является кругом, если | к | = 1 и выше | и | есть, чем больше круг есть. Когда k = 1, если a > 0, кружок находится над осью x, а если a < 0, круг находится ниже оси Y. Когда k = -1, если a > 0, кружок внизу ось x, и если a > 0, кружок находится над осью y.   r = 2 a sin ( k θ) это 2 | k |-листовая роза, если к четно. r = 2 a sin ( k θ) это | k |-листовая роза, если k нечетно (исключая 1 и -1).   r = 2 a sin ( k θ) + b и r = 2 a sin ( k θ) — b имеют тот же график, если k нечетно. r = 2 a sin ( k θ) + b и r = 2 a sin ( k θ) — b симметричны относительно оси y, если k даже.   II. Сравнение графика r = 2 a sin ( k θ) + b , исследуем поведение графика r = 2 a cos ( k θ) + b варьируя значения (отличные от нуля) a , b , и к с . Поскольку функция косинуса четная, r = 2 a cos ( k θ) и r = 2 a cos (- k θ)) имеют одинаковый график для любых k . Поэтому будем рассматривать только положительное значение k . На анимации выше, когда и варьировались от -5 до 5, мы обнаружили, что r = 2 a cos ( k θ) является кругом, если | к | = 1 и выше | и | есть, чем больше круг есть. Когда | к | = 1, если a > 0, кружок находится справа от оси y, а если a < 0, круг находится в левой части оси Y.   r = 2 a cos ( k θ) и r = -2 a cos ( k θ) имеют один и тот же график для любых k (исключая 1 и -1). r = 2 a cos ( k θ) это | k |-листовая роза, если k нечетно (исключая 1 и -1). r = 2 a cos ( k θ) это 2 | k |-листовая роза, если k четно.   Из приведенных выше графиков имеем: r = 2 a cos ( k θ) + б и г = 2 а cos ( k θ) — b имеют тот же график, если k нечетно.   Соотношение между графиками r = 2 a sin ( k θ) + b и r = 2 a sin ( k θ) — b при k даже включает поворот на некоторые углы относительно начала координат, хотя формы графиков совпадают. III. Как насчет графика ? 3.1. Варьируем c с a = b и k = 1. Когда а = б = 1, имеем: Когда a = b = -3,14, у нас есть: До a = b и k = 1, график является прямой линией, а c относится к точкам пересечения с осью y. Если и = b = 1 или -1, (0, c ) и (0, — c ) являются y-пересечениями графика. С , можно сказать, что линии и имеют одинаковые наклоны, поэтому они параллельны. В самом деле, полярное уравнение эквивалентно a rcosθ + a rsinθ = c , поэтому, используя эквивалентное соотношение с декартовыми уравнениями, мы имеем a x + a y = c , что равно линейное уравнение а у = — а х + с у = — х + к/к с наклоном -1 и точкой пересечения с осью Y (0, c/a ). Вот почему чем бы ни было , поскольку а = b и k = 1, прямые параллельны с уклоном -1. 3.2. Поменяем к где a = b и c = 1. Когда a = b = с =1, имеет 2| к | параболы с 2| к | асимптоты, если k даже имеет | к | параболы с | к | асимптоты, если k нечетное (кроме 1)   Для любой c, когда a = b = 1, мы можем иметь те же формы: имеет 2 | к | параболы с 2| к | асимптоты, если к это даже имеет | к | параболы с | к | асимптоты, если k нечетное (кроме 1) 3. 3. Поскольку k = 1, для любых ненулевых a , b и c график представляет собой линию, потому что Когда к = 2,   графики выше показывают, что для любых ненулевых a и b , и имеют один и тот же график. Кроме того, вариация c не влияет на форму графика, и чем больше | с | есть, тем больше график. В заключение, мы имеем для любого ненулевого a , b и c , и ненулевое целое число k : имеет | к | параболы с | к | асимптоты, если k нечетно (исключая 1) имеет 2| к | параболы с 2| к | асимптоты, если k равно                       8. 2: Полярные координаты — Математика LibreTexts Последнее обновление Сохранить как PDF Идентификатор страницы 13876 Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен The OpenTextBookStore 7 Система координат, с которой мы лучше всего знакомы, называется декартовой системой координат, прямоугольной плоскостью, разделенной на четыре квадранта горизонтальной и вертикальной осями. В предыдущих главах мы часто находили декартовы координаты точки на окружности под заданным углом от положительной горизонтальной оси. Иногда этот угол, наряду с расстоянием точки от начала координат, обеспечивает более полезный способ описания местоположения точки, чем обычные декартовы координаты. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ Полярные координаты точки состоят из упорядоченной пары (\(r\),\(\theta\)), где \(r\) — расстояние от точки до начала координат, а \( \theta\) — угол, измеренный в стандартном положении. Обратите внимание, что если бы мы разметили плоскость в полярных координатах, это выглядело бы как график справа, с кругами с возрастающими радиусами и лучами, нарисованными с возрастающими углами. Пример \(\PageIndex{1}\) Постройте полярную точку (\(3, \dfrac{5\pi}{6}\)). Решение Эта точка будет находиться на расстоянии 3 от начала координат под углом \(\dfrac{5\pi}{6}\). Построение этого Пример \(\PageIndex{2}\) Постройте полярную точку (\(-2, \dfrac{\pi}{4}\)). Решение Обычно мы используем положительные значения \(r\), но иногда мы сталкиваемся со случаями, когда \(r\) отрицательно. На обычной числовой прямой мы измеряем положительные значения справа и отрицательные значения слева. Аналогично нанесем эту точку. Для начала мы поворачиваем на угол \(\dfrac{\pi}{4}\). Перемещение в этом направлении в первый квадрант даст положительные значения r . Для отрицательных r значений, мы движемся в противоположном направлении, в третий квадрант. График: Обратите внимание, что результирующая точка совпадает с полярной точкой (\(2, \dfrac{5\pi}{4}\)). На самом деле, любую декартову точку можно представить бесконечным числом различных полярных координат, добавляя или вычитая из этих точек полные обороты. Например, одна и та же точка может быть представлена ​​как (\(2, \dfrac{13\pi}{4}\)). Упражнение \(\PageIndex{1}\) Нанесите следующие точки, заданные в полярных координатах, и подпишите их. а. \(A = (3, \dfrac{\pi}{6})\) б. \(B = (-2, \dfrac{\pi}{3})\) c. \(C = (4, \dfrac{3\pi}{4})\) Ответ Конверсионные баллы Чтобы преобразовать полярные координаты в декартовы координаты, мы вспоминаем отношения, которые мы разработали еще в главе 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЖДУ ПОЛЯРНЫМИ И ДЕКРАТОВЫМИ КООРДИНАТАМИ Для преобразования между полярными (\(r, \theta\)) и декартовыми (\(x, y\)) координатами мы используем отношения 9{2}\] Исходя из этих соотношений и наших знаний об единичной окружности, если \(r = 1\) и \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\), полярные координаты будут \((r, \theta ) = (1, \dfrac{\pi}{3})\), и соответствующие декартовы координаты \((x, y) = (\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}} {2})\). Запоминание значений единичного круга очень пригодится при преобразовании между декартовыми и полярными координатами. Пример \(\PageIndex{3}\) Найти декартовы координаты точки с полярными координатами \((r, \theta) = (5, \dfrac{2\pi}{3})\). Решение Чтобы найти \(x\) и \(y\) координаты точки, \[x = r\text{cos} (\theta) = 5 \cos (\dfrac{ 2\pi}{3}) = 5(-\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{5}{2}\nonumber\] \[y = r\text{sin} (\theta ) = 5 \ sin (\ dfrac {2 \ pi} {3}) = 5 (- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}) = — \ dfrac {5 \ sqrt {3}} {2} \ nonumber\] Декартовы координаты: (\(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\)). Пример \(\PageIndex{4}\) Найти полярные координаты точки с декартовыми координатами (−3,−4) . 9{\text{rd}}\) квадранта, мы можем определить, что второй угол и есть тот, который нам нужен. Полярные координаты этой точки равны \((r, \theta) = (5, 4,069)\). Упражнение \(\PageIndex{2}\) Преобразуйте следующее. а. Преобразуйте полярные координаты \((r, \theta) = (2, \pi)\) в (\(x, y)\). б. Преобразуйте декартовы координаты \((x, y) = (0, -4)\) в \((r, \theta)\). Ответить а. \((r, \theta) = (2, \pi)\) преобразуется в \((x, y) = (2\cos(\pi), 2\sin(\pi)) = (-2, 0 )\) 92\) описывает связь между значениями \(x\) и \(y\) на декартовой сетке, можно написать полярное уравнение, описывающее связь между значениями \(r\) и \(\theta\) на полярной сетка. Пример \(\PageIndex{5}\) Нарисуйте график полярного уравнения \(r = \theta\). Решение Уравнение \(r = \theta\) описывает все точки, для которых радиус \(r\) равен углу. Чтобы визуализировать эту связь, мы можем создать таблицу значений. \(\тета\) 0 \(\пи/4\) \(\пи/2\) \(3\пи/4\) \(\пи\) \(5\пи/4\) \(3\пи/2\) \(7\пи/4\) \(2\пи\) \(р\) 0 \(\пи/4\) \(\пи/2\) \(3\пи/4\) \(\пи\) \(5\пи/4\) \(3\пи/2\) \(7\пи/4\) \(2\пи\) Мы можем нанести эти точки на плоскость, а затем нарисовать кривую, соответствующую этим точкам. Полученный график представляет собой спираль. Обратите внимание, что результирующий график не может быть результатом функции вида \(y = f(x)\), так как он не проходит тест на вертикальную линию, даже если он является результатом функции, дающей \(r\ ) в терминах \(\тета\). Хотя приятно видеть полярные уравнения на полярных сетках, полярные графики чаще изображаются в декартовой системе координат, поэтому остальные полярные уравнения будут отображаться соответственно. Здесь показан приведенный выше спиральный график на декартовой сетке. Пример \(\PageIndex{6}\) Нарисуйте график полярного уравнения \(r = 3\). Решение Вспомните, что когда переменная не появляется в уравнении, это означает, что не имеет значения, какое значение имеет эта переменная; результат уравнения останется прежним. Например, декартово уравнение \(y = 3\) описывает все точки, где \(y = 3\), независимо от значений x, образуя горизонтальную линию. Аналогично, это полярное уравнение описывает все точки на расстоянии 3 от начала координат, независимо от угла, создавая график круга. Нормальные настройки графических калькуляторов и графических программ в декартовой системе координат, где \(y\) является функцией \(x\), где графическая утилита запрашивает \(f(x)\), или просто \( у =\). Для построения полярных уравнений вам может потребоваться изменить режим калькулятора на полярный. Вы будете знать, что вам удалось изменить режим, если теперь у вас есть \(r\) как функция \(\theta\), где графическая утилита запрашивает \(r(\theta)\), или просто \ (г =\). Пример \(\PageIndex{7}\) Нарисуйте график полярного уравнения \(r = 4 \cos(\theta)\) и найдите интервал, на котором оно завершает один цикл. Решение Хотя мы могли бы снова создать таблицу, нанести на нее соответствующие точки и соединить точки, мы также можем обратиться к технологии, чтобы напрямую изобразить ее. Используя технологию, мы производим показанный здесь график, окружность, проходящую через начало координат. Поскольку этот график замыкает цикл и повторяется, мы можем спросить, какой интервал значений \(\theta\) дает весь график. В \(\theta = 0\), \(r = 4\cos(0) = 4\), что дает точку (4, 0). Нам нужно следующее значение \(\theta\), когда график вернется к точке (4, 0). Решение для случая \(x = 4\) эквивалентно решению \(r\cos(\theta) = 4\). 9{2}(\theta)= 1\nonumber\]У этого есть решения, когда \[\cos(\theta) = 1\text{ или }\cos(\theta) = -1\nonumber\]Решение этих решений дает решения \[\theta = 0\text{ or }\theta = \pi\nonumber\] Это показывает нам, что при 0 радианах мы находимся в точке (0, 4), и снова при \(\pi\) радианах мы находимся в точке (0, 4), совершив один полный оборот. Этот интервал \(0 \le \theta < \pi\) дает одну полную итерацию окружности. Упражнение \(\PageIndex{3}\) Нарисуйте график полярного уравнения \(r = 3 \sin (\theta)\) и найдите интервал, на котором оно совершает один цикл. Ответить \[3 \sin(\theta) = 0\text{ at }\theta = 0\text{ и }\theta = \pi\nonumber\] Он завершает один цикл на интервале \(0 \le \theta < \pi\). Последние несколько примеров были кругами. Далее мы рассмотрим два других «именных» полярных уравнения, лимасон и розы . Пример \(\PageIndex{8}\) Нарисуйте график полярного уравнения \(r = 4\sin(\theta) + 2\). Какой интервал значений \(\theta\) соответствует внутреннему циклу? Solution Этот тип графика называется limaçon . Используя технологию, мы можем нарисовать график. Внутренний цикл начинается и заканчивается в начале координат, где \(r = 0\). Мы можем найти значения \(\theta\), для которых \(r = 0\). \[0 = 4\sin(\theta) + 2\nonnumber\] \[-2 = 4\sin(\theta)\nonnumber\] \[\sin(\theta) = -\dfrac{ 1}{2}\nonumber\] \[\theta = \dfrac{7\pi}{6}\text{ или }\theta = \dfrac{11\pi}{6}\nonumber\] Это говорит нам, что \(r = 0\), поэтому график дважды проходит через начало координат на интервале \([0, 2\pi)\). Внутренняя петля возникает из интервала \(\dfrac{7\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{11\pi}{6}\). Это соответствует тому, где функция \(r = 4 \sin(\theta) + 2\) принимает отрицательные значения, как мы могли бы видеть, если бы построили график функции в плоскости \(r \theta\). Пример \(\PageIndex{9}\) Нарисуйте график полярного уравнения \(r = \cos(3\theta)\). Какой интервал значений \(\theta\) описывает одну маленькую петлю графика? Решение Этот тип графа называется трехлистной розой . Мы можем использовать технологию для создания графика. Интервал \([0, \pi)\) дает один цикл этой функции. Как и в последней задаче, мы можем заметить, что существует интервал, на котором одна петля этого графа начинается и заканчивается в начале координат, где \(r = 0\). Решение для \(\тета\), \[0 = \cos(3\theta)\nonumber\]Подстановка \(u = 3\theta\) \[0 = \cos(u)\nonumber\] \[u = \dfrac{\ pi}{2}\text{ или }u = \dfrac{3\pi}{2}\text{ или }u = \dfrac{5\pi}{2}\nonumber\] Отменить замену, \[3 \theta = \dfrac{\pi}{2}\text{ или}3 \theta = \dfrac{3\pi}{2}\text{ или}3 \theta = \dfrac{5\pi {2}\nonumber\] \[\theta = \dfrac{\pi}{6}\text{ или }\theta = \dfrac{\pi}{2}\text{ или }\theta = \ dfrac{5\pi}{6}\nonumber\] Есть 3 решения на \(0 \le \theta < \pi\), которые соответствуют 3 раза, когда график возвращается в начало координат, но первые два решения мы решили выше, достаточно, чтобы сделать вывод, что одна петля соответствует интервалу \(\dfrac{\pi}{6} \le \theta < \dfrac{\pi}{2}\). Если мы хотим получить представление о том, как компьютер нарисовал этот график, рассмотрим, когда \(\theta = 0\). \(r = \cos(3\theta) = \cos(0) = 1\), поэтому график начинается с (1, 0). Как мы обнаружили выше, при \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) и \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) график находится в начале координат. Глядя на уравнение, обратите внимание, что любой угол между \(\dfrac{\pi}{6}\) и \(\dfrac{\pi}{2}\), например, при \(\theta = \dfrac{ \pi}{3}\), дает отрицательное значение \(r\): \[r = \cos(3 \cdot \dfrac{\pi}{3}) = \cos(\pi) = -1\nonumber \] Обратите внимание, что при отрицательном значении \(r\) и угле с конечной стороной в первом квадранте соответствующая декартова точка будет в третьем квадранте. Поскольку \(r = \cos(3\theta)\) отрицательно на \(\dfrac{\pi}{6} \le \theta < \dfrac{\pi}{2}\), этот интервал соответствует петля графика в третьем квадранте. Упражнение \(\PageIndex{4}\) Нарисуйте график полярного уравнения \(r = \sin(2\theta)\). Вы бы назвали эту функцию limaçon 9?0004 или роза ? Ответить Это 4-хлистная роза. Преобразование уравнений Несмотря на то, что многие полярные уравнения невозможно красиво выразить в декартовой форме (и наоборот), может быть полезно конвертировать между двумя формами, когда это возможно. Для этого мы используем те же отношения, которые мы использовали для преобразования точек между системами координат. 92 — 6r\sin(\theta) = 0\nonnumber\]Множитель \[r (r — 6\sin(\theta)) = 0\nonnumber\] Используйте теорему о нулевом множителе \[r = 6\sin (\theta)\text{ или }r = 0\nonumber\] Поскольку \(r = 0\) — это всего лишь точка, мы отвергаем это решение. Решение \(r = 6\sin(\theta)\) очень похоже на то, что мы изобразили в примере 7. Фактически, это уравнение описывает окружность с низом в начале координат и вершиной в точке (0, 6). Пример \(\PageIndex{11}\) Перепишите декартово уравнение \(y = 3x + 2\) как полярное уравнение. Решение \[y = 3x + 2\nonnumber\]Используйте \(y = r\sin(\theta)\) и \(x = r\cos(\theta)\) \[r \sin(\theta) = 3r\cos(\theta) + 2\nonumber\] Переместить все термины с \(r\) в одну сторону \[r\sin(\theta) — 3r\cos(\theta) = 2\nonumber\] Вынести на множители \(r\) \[r(\sin(\theta) — 3\cos(\theta)) = 2\nonumber\] Разделить \[r = \dfrac{2} {\sin(\theta) — 3\cos(\theta)}\nonumber\] В этом случае полярное уравнение более громоздко, чем декартово уравнение, но все же бывают случаи, когда это уравнение может быть полезным. Пример \(\PageIndex{12}\) Перепишите полярное уравнение \(r = \dfrac{3}{1- 2\cos(\theta)}\) как декартово уравнение. Решение Мы хотим исключить \(\theta\) и \(r\) и ввести \(x\) и \(y\). Обычно проще всего начать с очистки дроби и поиска подстановочных значений, которые исключат \(\theta\). \[r = \dfrac{3}{1 — 2\cos(\theta)}\nonumber\]Очистить дробь \[r(1 — 2\cos(\theta)) = 3\nonumber\] Используйте \(\cos(\theta) = \dfrac{x}{r}\), чтобы исключить \(\theta\) 9{2/3}\номер\] Декартова система координат Полярная система координат Нанесение точек в полярных координатах Преобразование координат между системами Полярные уравнения: спирали, круги, лимасоны и розы Преобразование уравнений между системами Эта страница под заголовком 8.2: Полярные координаты публикуется в соответствии с лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дэвидом Липпманом и Мелони Расмуссен (The OpenTextBookStore) посредством исходного содержимого, которое было отредактировано в соответствии со стилем и стандартами. платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу. Наверх Была ли эта статья полезной? Тип изделия Раздел или страница Автор Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен Лицензия CC BY-SA г. Версия лицензии 4,0 Показать страницу Содержание нет Теги полярные координаты источник@http://www.opentextbookstore.com/details.php?id=30 Полярные координаты Полярные координаты Определение полярных координат Напомним, что мы определяем точку (x,y) на плоскости как x единиц вправо от начала координат и у единиц слева от начала координат. Это отлично работает для линий и парабол, но у окружностей есть несколько запутанные уравнения. В качестве в качестве альтернативы мы определяем новую систему координат, где первая координата r — расстояние от начала координат до точки и вторая координата q это угол, который луч из начала координат в точку составляет с положительная ось x. Из тригонометрии имеем x = rcosq     y = rsinq В вашем калькуляторе есть специальный режим для полярных координат. Мы используем калькулятор для построения графика r = 5cosq   и  г = потому что ( ) кругов Окружность с центром в начале координат имеет уравнение x 2 + y 2 = R 2 В полярной форме имеем г = р Например, круг радиуса 3 с центром в (0,0) имеет полярное уравнение р = 3 90 250  Линии 90 251 Если у = мх + б мы можем написать г грех (д) = m r cos q + b или б r  =                                    sin q —  m cos q Конические сечения Напомним, что коническое сечение определяется следующим образом: Пусть f (называемая фокусом ) будет фиксированной точкой на плоскости, м (так называемый директриса ) быть фиксированной линией, а e (называется эксцентриситет ) положительная постоянная. затем множество точек P на плоскости с по |ПФ| =   е |Пм| является коническим сечением. Если e < 1, то сечение представляет собой эллипс, если e = 1, то это a парабола, а также если e = 0, то это гипербола. Примечание.   Если F – исходная точка, m х = d, тогда |ПФ| = r,     |Pm| = д — r cos q так что уравнение становится г = е (d — rcos (q)) = ed — рекос(к) или издание r   =                        1 + e cosq Производные в полярных координатах Теорема   Пусть r = r(q) представляет собой полярную кривую, тогда ды dy/dq                  r’ sinq + г cosq знак равно =                                       дх дх/дк r ‘cosq — г синк dy             r’ sinq + г cosq =                                                дх r ‘cosq — г синк Доказательство:   Так как         x = r cosq, и     y = r sinq, мы можем подставить в r = r(q), чтобы получить         x = r cosq Взяв производную,         x’ = r’ cosq — r sinq и         y’ = r’ sinq + р коскв. Начиная с           день dy/dq =                                дх dx/dq деление дает результат. Пример Пусть         r = q синк Затем         dy (раковина + q cosq) sinq + q sinq cosq =                                                                                       дх (раковина + qcosq) cosq — q sinq sinq sin 2 q + 2qsinqcosq =                                                                           Синк Коскв + qcos 2 q — qsin 2 q sinq cosq + qcos(2q) =                                                             грех 2 д + qsin(2q) Назад к полярному и параметрическому Страница уравнений Назад на домашнюю страницу Math 107 Назад на домашнюю страницу математического факультета электронная почта Вопросы и предложения Полярные координаты  Полярные координаты Преобразование полярных координат Если мы выберем луч l как положительную ось x , то точка P на плоскости имеет как декартовы координаты ( x , y ), так и полярные координаты ( r , q). (2) Определение функций синуса и косинуса подразумевает, что ( x , y ) задается в терминах ( р ,q) по x = r cos(q) ,        y = r sin(q) (1) Решение для r и q дает тождества r 2 = x 2 + y 2     и     tan(q) = г x (2) ПРИМЕР 3    Преобразование точки ( 4, p/4) из полярные координаты в декартовы координаты, а затем показать, что (2) преобразует его обратно в полярный . Решение: Для этого положим r = 4 и q = p/4 в (1), чтобы получить х = 4cos æ è п 4 ö ø = 2…2,        y = 4sin æ è п 4 ö ø = 2…2 Чтобы отобразить обратно, мы замечаем, что р 2 = x 2 + y 2 = 8 + 8 = 16, R = 4 и что y/x

и что y/x =

и что y/x = Q) = Q) Q) Q) Q). 1, д = р/4.

Если мы подставим x = r cos(q) и y = r sin(q) в кривую g ( x,y ) = k , то 60 результат

g ( r cos(q), r sin(q) ) = k

называется откатом кривой в полярные координаты. Тождество r ² = x ² + y ² часто используется для перевода кривой обратно в полярные координаты.

Для например, x ² + y ² = R ² для константа R > 0 имеет откат

r 2 = R 2    Þ    r = R

Точно так же строки формы y = m x становятся

r sin(q) = m r cos(q)    Þ     sin(q) = m cos(q)     Þ     tan(q) = м

Это соответствует примеру 4 в предыдущем разделе, в котором мы видели, что координата кривые для преобразования полярных координат

Т ( г , д ) = á r cos(q),   r sin(q) –

представляют собой окружности с центром в начале координат и линии, проходящие через начало координат, соответственно. Кроме того, это показывает, что всякий раз, когда это возможно, мы должны решить для r значение получить функцию вида r = f (q) .

ПРИМЕР 4    Преобразование кривой x ² + ( г — 1) ² = 1 в полярный координаты, а затем решить для р , если можно.

Решение: Расширение приводит к x ² + y ² — 2 y + 1 = 1 , так что для этого заменим y r ² и пусть x = r cos( q) :

r 2 —  2 r sin(q) + 1 = 1

Решение на r тогда получается

г = 2 sin(q)

То есть r = 2 sin(q) — окружность радиус 1 с центром в ( 1,0) .