Автор: alexxlab

Определитель матрицы размера (n-го порядка) является одной из ее численных характеристик. Определитель матрицы A обозначается как |A| или det(A), его также называют детерминантом. Рассмотрим квадратную матрицу 2×2 в общем виде:

Определитель такой матрицы вычисляется следующим образом:

➣ Численный пример

Перед тем, как привести методику расчета определителя в общем виде, введем понятие минора элемента определителя. Минор элемента определителя – это определитель, полученный из данного, путем вычеркивания всех элементов строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Для матрицы 3×3 следующего вида:

Минор M₂₃ будет выглядеть так:

Введем еще одно понятие – алгебраическое дополнение элемента определителя – это минор этого элемента, взятый со знаком плюс или минус:

В общем виде вычислить определитель матрицы можно через разложение определителя по элементам строки или столбца. Суть в том, что определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Для матрицы 3×3 это правило будет выполняться следующим образом:

Это правило распространяется на матрицы любой размерности.

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

На Python определитель посчитать очень просто. Создадим матрицу A размера 3×3 из приведенного выше численного примера:

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

Для вычисления определителя этой матрицы воспользуемся функцией det() из пакета linalg.

>>> np.linalg.det(A)
-14.000000000000009

Мы уже говорили про особенность работы Python с числами с плавающей точкой, поэтому можете полученное значение округлить до -14.

Свойства определителя матрицы.

Свойство 1. Определитель матрицы остается неизменным при ее транспонировании:

➤Пример на Python

Для округления чисел будем использовать функцию round().

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]
>>> print(A.T)
[[-4 10 8]
[-1 4 3]
[ 2 -1 1]]

>>> det_A = round(np.linalg.det(A), 3)
>>> det_A_t = round(np.linalg.det(A.T), 3)
>>> print(det_A)
-14.0
>>> print(det_A_t)
-14.0

Свойство 2. Если у матрицы есть строка или столбец, состоящие из нулей, то определитель такой матрицы равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 0 0 0; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[ 0 0 0]
[ 8 3 1]]
>>> np. linalg.det(A)
0.0

Свойство 3. При перестановке строк матрицы знак ее определителя меняется на противоположный:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

>>> B = np.matrix('10 4 -1; -4 -1 2; 8 3 1')
>>> print(B)
[[10 4 -1]
[-4 -1 2]
[ 8 3 1]]

>>> round(np.linalg.det(A), 3)
-14.0
>>> round(np.linalg.det(B), 3)
14.0

Свойство 4. Если у матрицы есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; -4 -1 2; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[-4 -1 2]
[ 8 3 1]]
>>> np.linalg.det(A)
0.0

Свойство 5. Если все элементы строки или столбца матрицы умножить на какое-то число, то и определитель будет умножен на это число:

➤ Пример на Python

>>> A = np. matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

>>> k = 2
>>> B = A.copy()
>>> B[2, :] = k * B[2, :]
>>> print(B)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[16 6 2]]

>>> det_A = round(np.linalg.det(A), 3)
>>> det_B = round(np.linalg.det(B), 3)

>>> det_A * k
-28.0
>>> det_B
-28.0

Свойство 6. Если все элементы строки или столбца можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен сумме определителей двух соответствующих матриц:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; -4 -1 2; 8 3 1')
>>> B = np.matrix('-4 -1 2; 8 3 2; 8 3 1')
>>> C = A.copy()
>>> C[1, :] += B[1, :]
>>> print(C)
[[-4 -1 2]
[ 4 2 4]
[ 8 3 1]]
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[-4 -1 2]
[ 8 3 1]]
>>> print(B)
[[-4 -1 2]
[ 8 3 2]
[ 8 3 1]]
>>> round(np. linalg.det(C), 3)
4.0
>>> round(np.linalg.det(A), 3) + round(np.linalg.det(B), 3)
4.0

Свойство 7. Если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменится:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> k = 2
>>> B = A.copy()
>>> B[1, :] = B[1, :] + k * B[0, :]
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]
>>> print(B)
[[-4 -1 2]
[ 2 2 3]
[ 8 3 1]]
>>> round(np.linalg.det(A), 3)
-14.0
>>> round(np.linalg.det(B), 3)
-14.0

Свойство 8. Если строка или столбец матрицы является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель такой матрицы равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np. matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

>>> k = 2
>>> A[1, :] = A[0, :] + k * A[2, :]
>>> round(np.linalg.det(A), 3)
0.0

Свойство 9. Если матрица содержит пропорциональные строки, то ее определитель равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]
>>> k = 2
>>> A[1, :] = k * A[0, :]
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[-8 -2 4]
[ 8 3 1]]
>>> round(np.linalg.det(A), 3)
0.0

Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта. Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.

Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas.   Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.

Определитель, детерминант матрицы — онлайн справочник для студентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определителем или определителем квадратной матрицы \(\ A=\left\|a_{i j}\right\|_{n \times n} \) является число, присвоенное этой матрице.

Определитель матрицы \(\ A \) обозначается вертикальными полосами \(\ |A| \) или греческой буквой \(\ \Delta \) или \(\ \operatorname{det} A \).

Способы вычисления определителя матрицы

Определителем матрицы второго порядка является число, равное

\(\ \left|\begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{21} \cdot a_{12} \)

ПРИМЕР 1

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Умножение матриц Сравнение бесконечно малых функций Бесконечно малые функции Непрерывность функции в точке и на промежутке

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Калькулятор определителя матрицы — Определитель матрицы 2×2 3×3 4×4

Введение в калькулятор определителя матрицы

Калькулятор определителя матрицы представляет собой онлайн-инструмент для вычисления определителя матрицы для нахождения скалярного значения. Он использует метод расширения, чтобы найти одно значение квадратной матрицы. Он также использует метод редукции и находит скалярное значение.

Мы обычно применяем сложение, вычитание и умножение в матричной алгебре на матрицах. Определитель необходим для вычисления единственного решения системы нелинейных уравнений. Вот почему мы представляем 9Калькулятор определителя матрицы 0005 3×3 с шагами , который может легко вычислять определители, используя как методы расширения, так и методы сокращения.

Формула, используемая калькулятором формулы определителя матрицы

Этот калькулятор определителя матрицы с шагами использует две формулы для вычисления определителя матрицы порядка 2, 3 или 4. Это:

1. Определитель играет важную роль при решении системы линейных уравнений и нахождении обратной матрицы, тогда определитель матрицы 2×2:

   $$ А \;=\; \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$ $$ |A| «=» \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \;=\; (а \ раз с) \;-\; (б\умножить на г) $$

2. Если A определитель матрицы A, то определитель матрицы 3×3.

   $$ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{bmatrix} $$ $$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{vmatrix} $$ $$ |A| «=» a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} \;-\; б \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} \;-\; c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} $$
3. Определитель матрицы 4-by-by можно решить, сократив ее строку столбца или приведя матрицу к треугольной форме.

Как пользоваться калькулятором определителя матрицы 4х4?

Этот калькулятор определительной матрицы можно использовать, выполнив следующие шаги:

1. На первом этапе вам необходимо ввести количество строк и столбцов для матрицы.
2. Теперь подставьте значения всех элементов матрицы.
3. Или вы можете использовать случайную кнопку, чтобы выбрать случайную матрицу.
4. Теперь нажмите кнопку расчета.

Вы получите решение в течение нескольких секунд после нажатия на кнопку расчета. Определитель матричного калькулятора даст вам пошаговое решение, которое вы сможете использовать для обучения и практики.

Зачем использовать калькулятор определительной матрицы?

В математике матрица важна для решения системы линейных уравнений. Некоторые операции применяются для решения системы линейных уравнений. Таким образом, определитель является важной операцией. Решатель определителя матрицы можно использовать для решения многих задач.

Пока вы вычисляете определитель матрицы высшего порядка, вы не можете решить ее только с помощью расширения. Вы должны уменьшить порядок матрицы, используя редуцированную эшелонированную форму, что является сложной процедурой.

Таким образом, существует потребность в калькуляторе определителя матрицы 4×4 с шагами , который может легко уменьшить потребность в матрице. Вот почему вам нужно использовать определитель матрицы, который поможет вам найти определитель матрицы 2×2.

Преимущества использования калькулятора определителя с шагами

Определитель матрицы представляет собой скалярное значение, вычисленное из квадратной матрицы. Полезно найти единственное решение системы уравнений. Калькулятор определителя матрицы с переменными полезен для нахождения этого решения, потому что он может легко обрабатывать матрицы более высокого порядка. Некоторые другие преимущества этого инструмента приведены ниже:

1. Он предоставляет пошаговое объяснение определителя матрицы, так что вы можете понять каждый шаг, чтобы найти определитель матрицы 3×3.
2. Экономит ваше время, быстро и эффективно вычисляя определители.
3. Калькулятор формулы определителя матрицы удобен для вас благодаря простому и уникальному интерфейсу.
4. Позволяет выбирать случайные значения для матрицы, чтобы можно было потренироваться на случайных примерах и найти определитель матрицы 4×4.
5. Калькулятор определителя матрицы дает пошаговое решение, которое помогает понять каждый шаг.

Как найти определитель матрицы 3×3 калькулятором?

Найти определитель матричного калькулятора просто и легко. Есть два способа, с помощью которых вы можете получить к нему доступ.

1. Найдите в Google или любой другой поисковой системе, набрав вычислитель определителя матрицы с шагами и найдите наш инструмент в результатах.
2. Откройте сайт calculatees.com и найдите здесь «определитель матричного калькулятора 3×3».

Прочие сопутствующие инструменты

На этом сайте есть и другие полезные матричные калькуляторы, которые вы можете использовать бесплатно. Эти инструменты

• калькулятор формулы транспонирования матрицы
• найти ранг матрицы с помощью калькулятора формы эшелона
Матрица
• в степени -1
• Калькулятор метода Гаусса-Джордана
• онлайн калькулятор обратной матрицы с шагами
• Калькулятор собственных значений 3×3 с шагами
Калькулятор обнуления матрицы
• с шагами
• калькулятор след матрицы
• lu калькулятор разложения для систем линейных уравнений
Калькулятор собственного вектора матрицы
• шаг за шагом
• сопряжение матричного калькулятора с шагами
• Калькулятор умножения матриц

Часто задаваемые вопросы

Является ли калькулятор определителя 3×3 с шагом точным?

Да, этот определитель матричного калькулятора проверен и одобрен старшими математиками. Вы можете использовать этот инструмент, так как он дает точные результаты.

Калькулятор определителя матрицы 4×4 с шагами предоставляет бесплатные шаги?

Да, определитель матрицы предоставляет пошаговые результаты бесплатно. Вы можете использовать этот инструмент для обучения и практики онлайн.

Хамза Харун

Я автор контента и создатель контента. Мне нравится писать контент на разные темы. Помимо писательства, я SEO-ASO-SMM специалист и любитель футбола.

Калькулятор детерминанта матрицы

Создано Maciej Kowalski, кандидатом наук

Отредактировано Анной Щепанек, доктором наук и Джеком Боутером

Последнее обновление: 03 декабря 2022 г.

• Что такое определитель?
• Общая формула определителя
• Определитель матрицы 2×2, 3×3 и 4×4
• Свойства определителя
• Пример: использование калькулятора определителя матрицы

Добро пожаловать в 9Калькулятор определителя матрицы 0005 , где у вас будет возможность вычислить определители матрицы, используя простую в использовании формулу определителя для любой квадратной матрицы размером до 4×4. Кроме того, мы рассмотрим некоторые из основных свойств определителей , которые могут помочь в решении более крупных, таких как определитель матрицы 4×4.

» Что такое определитель и зачем мне это? » Через некоторое время мы покажем вам определение определителя, но давайте просто скажем, что, помимо прочего, он чрезвычайно полезен при работе с системами уравнений. — проверьте наш калькулятор системы уравнений для более подробной информации. В основном как решить систему из трех уравнений так же, как найти определитель матрицы 3×3 .

Убежден? Воодушевлен? Взволнованный? Тогда давайте двигаться дальше, хорошо?

Что такое определитель?

Почему бы нам не начать с , что такое матрица ? Хотите верьте, хотите нет, но это не только классика научной фантастики 90-х. В математике это имя, которое мы даем массиву элементов (обычно чисел) с заданным количеством строк и столбцов . Пример матрицы:

A=[3−1021−1]A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 0 и 2\\ 1 и -1 \end{bmatrix}A=⎣

⎡​301​−12−1​⎦

⎤​

Как видите, числа заключены в две большие квадратные скобки, [[[ и ]]]. Также мы говорим, что, например, число 222 равно в ячейке во второй строке и во втором столбце .

Определение определителя гласит, что это число, полученное путем умножения и сложения ячеек квадратной матрицы в соответствии с заданным правилом . Давайте подробнее рассмотрим несколько важных вещей здесь.

• Как следует из определения определителя, нам нужна квадратная матрица даже для начала вычислений. Это означает, что мы можем найти определитель матрицы 2×2 или определитель матрицы 4×4, но не, например, чего-то похожего на AAA выше, то есть 3×2 (три строки и две строки). столбцы) матрица;
• Формула определителя для больших матриц становится довольно сложной . Количество его слагаемых равно количеству перестановок числа, являющегося стороной матрицы. Это означает, что определитель матрицы 2×2 имеет только два слагаемых, но для матриц 5×5 мы получаем 120 слагаемых;
• Есть способы упростить вычисления . Например, нахождение определителя матрицы 4×4 можно превратить в задачу о том, как найти определитель матрицы 3×3. Мы рассмотрим некоторые такие свойства определителей в разделе «Свойства определителей»; и
• Определитель матрицы , AAA, обозначается ∣A∣|A|∣A∣ (просто замените квадратные скобки матрицы вертикальными линиями ∣|∣) или det⁡(A)\det(A) дет (А). Не перепутайте первое обозначение с абсолютным значением! В общем случае определитель может быть отрицательным числом .

Итак, что такое определитель? Это число; мы так многому научились. Но почему это полезно? Где он появляется?

Определитель матрицы чрезвычайно полезный и часто используемый инструмент по линейной алгебре. Всякий раз, когда у нас есть матрица и мы хотим понять ее, определитель — это одна из первых вещей, к которым мы обращаемся. Например, любую систему линейных уравнений можно описать матрицей. Его определители помогают нам найти решение, например, с помощью правила Крамера, которое вы можете найти в нашем калькуляторе правил Крамера. Более того, когда мы используем матрицы для описания линейного преобразования, часто лучше всего диагонализовать их . Как мы это делаем? С определителями, конечно.
Определитель матрицы также говорит нам, есть ли у матрицы обратная и должна ли обратная быть аппроксимирована псевдообратной Муром-Пенроузом.
Наконец, нам обычно нужны собственные значения такого преобразования. Да, как вы уже догадались — для этого мы также используем определители .

🙋 Чтобы найти собственные значения и соответствующие собственные векторы любой матрицы, не стесняйтесь использовать калькулятор собственных значений и собственных векторов Omni

Надеюсь, нам удалось убедить вас в том, что стоит изучить определение определителя. Но как его рассчитать? Есть ли какая-нибудь короткая, аккуратная формула определителя для повседневного использования?

Общая формула определителя

Прежде чем мы рассмотрим некоторые конкретные примеры, например, как найти определитель матрицы 3×3, давайте взглянем на чудовище, которым является общее определение определителя .

Пусть AAA — квадратная матрица размера nnn, где nnn — некоторое натуральное число. Обозначим ячейки ААА через ai,ja_{i,j}ai,j​, где iii — номер строки, а jjj — номер столбца. Тогда: 9{\ mathrm {sign} (\ sigma)} \ prod a_ {i, \ sigma (i)}, ∣A∣ = ∑ (−1) sgn (σ) ∏ai, σ (i)​,

, где:

• ∑\sum∑ сумма всех перестановок множества {1,2…,n}\{1,2\ldots,n\}{1,2…,n}; и
• ∏\prod∏ — произведение iii-s от 111 до nnn.

Красиво, не так ли? Если перевести забавные символы на нечто более понятное, то это означает примерно следующее:

💡 Чтобы вычислить определитель, посмотрите на свою матрицу, возьмите nnn чисел, по одному из каждой строки и каждого столбца, и перемножьте их между собой. Возьмите все такие nnn-наборы, иногда меняйте их знак и просуммируйте.

Не беспокойтесь; теперь, когда мы выложили это общее определение детерминанта в открытый доступ, мы больше не будем о нем думать . Мы будем придерживаться простых случаев , где матрица не слишком велика, чтобы показать, что это на самом деле означает.

Определитель матрицы 2×2, 3×3 и 4×4

Как это часто бывает в жизни, размер имеет значение. В данном конкретном случае чем меньше матрица, тем проще формула определителя . Для согласованности мы используем обозначение ниже, как в калькуляторе определителя матрицы.

Если

A=[a1a2b1b2]A = \begin{bmatrix} а_1 и а_2 \\ б_1 и б_2 \end{bmatrix}A=[a1​b1​​a2​b2​​]

, тогда определитель числа AAA равен

∣A∣=a1⋅b2−a2⋅b1|A| = a_1 \cdot b_2 — a_2 \cdot b_1∣A∣=a1​⋅b2​−a2​⋅b1​.

Обратите внимание, что это эквивалентно взятию чисел одной из диагоналей квадратной матрицы (из левого верхнего угла в правый нижний) минус другой (из правого верхнего угла в левый нижний).

Далее, если

B=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]B = \begin{bmatrix} а_1 и б_1 и с_1 \\ а_2 и б_2 и с_2 \\ а_3 и б_3 и с_3 \end{bmatrix}B=⎣

⎡​a1​a2​a3​b1​b2​b3​​c1​c2​c3​​⎦

⎤​

тогда определитель BBB:

∣B∣=a1⋅b2⋅c3+a2⋅b3⋅c1+a3⋅b1⋅c2−a3⋅b2⋅c1−a1⋅b3⋅c2−a2⋅b1⋅c3. \footnotesize \начать{разделить} |Б| =&\, a_1 \!\cdot\! b_2 \!\cdot\! c_3 + a_2 \!\cdot\! b_3 \!\cdot\! c_1 + a_3 \!\cdot\! b_1 \!\cdot\! с_2 \\ &-\!a_3 \!\cdot\! b_2 \!\cdot\! c_1 — a_1 \!\cdot\! b_3 \!\cdot\! c_2 — a_2 \!\cdot\! b_1 \!\cdot\! с_3. \end{split}∣B∣=​a1​⋅b2​⋅c3​+a2​⋅b3​⋅c1​+a3​⋅b1​⋅c2​−a3​⋅b2​⋅c1​−a1​⋅b3 ​⋅c2​−a2​⋅b1​⋅c3​.​

Здесь снова мы можем использовать несколько диагоналей, чтобы запомнить формулу. Чтобы это было ясно, давайте снова запишем две верхние строки под матрицей:

∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣a1b1c1a2b2c2\begin{vmatrix} а_1 и б_1 и с_1 \\ а_2 и б_2 и с_2 \\ а_3 и б_3 и с_3 \end{vmatrix}\\ \керн{.4em} \begin{матрица} а_1 и б_1 и с_1 \\ а_2 и б_2 и с_2 \end{matrix}∣

∣​a1​a2​a3​b1​b2​b3​c1​c2​c3​∣

∣​a1​a2​​b1​b2​​c1​c2​​

Теперь, как и в случае 2×2, начнем с диагонали исходной квадратной матрицы, идущей из левого верхнего угла в правый нижний — это первое слагаемое, a1⋅b2⋅c3a_1 \cdot b_2 \cdot c_3a1​⋅b2​⋅c3​. Затем берем всю эту диагональ и перемещаем ее на один шаг вниз , т. е. в каждом столбце берем элемент под тем, который мы взяли раньше. Здесь расширенный массив, который мы нарисовали выше, помогает нам увидеть, что это дает второе слагаемое, a2⋅b3⋅c1a_2 \cdot b_3 \cdot c_1a2​⋅b3​⋅c1​. Делаем это еще раз, чтобы получить a3⋅b1⋅c2a_3 \cdot b_1 \cdot c_2a3​⋅b1​⋅c2​ и это завершает диагонали справа внизу и слагаемые, которые появляются с плюсом .

Далее, переходим на другую диагональ исходной матрицы (из правого верхнего угла в левый нижний) и получаем первое отрицательное слагаемое в формуле, a3⋅b2⋅c1a_3 \cdot b_2 \cdot c_1a3​ ⋅b2​⋅c1​. Делаем то же самое, что и раньше — перемещаем по диагонали вниз . Расширенная форма выше позволяет легко увидеть, что это дает два других отрицательных слагаемых, a1⋅b3⋅c2a_1 \cdot b_3 \cdot c_2a1​⋅b3​⋅c2​ и a2⋅b1⋅c3a_2 \cdot b_1 \cdot c_3a2​⋅b1 ​⋅с3​.

Наконец, если

C=[a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3a4b4c4d4]C = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ а_2 и б_2 и с_2 и d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ а_4 и б_4 и с_4 и d_4 \\ \end{bmatrix}C=⎣

⎡​a1​a2​a3​a4​​b1​b2​b3​b4​​c1​c2​c3​c4​​d1​d2​d3​d4​​⎦

⎤​

, то определитель такой матрицы 4×4: ⋅c2⋅d4+a2⋅b3⋅c1⋅d4−a3⋅b2⋅c1⋅d4+a3⋅b2⋅c4⋅d1−a2⋅b3⋅c4⋅d1+a4⋅b3⋅c2⋅d1−a3⋅b4⋅c2 ⋅d1+a2⋅b4⋅c3⋅d1−a4⋅b2⋅c3⋅d1+a4⋅b1⋅c3⋅d2−a1⋅b4⋅c3⋅d2+a3⋅b4⋅c1⋅d2−a4⋅b3⋅c1⋅d2 +a1⋅b3⋅c4⋅d2−a3⋅b1⋅c4⋅d2+a2⋅b1⋅c4⋅d3−a1⋅b2⋅c4⋅d3+a4⋅b2⋅c1⋅d3−a2⋅b4⋅c1⋅d3+a1 ⋅b4⋅c2⋅d3−a4⋅b1⋅c2⋅d3. \scriptsize \начать{разделить} \!|С| \!=&\керн{.9em} a_1 \!\cdot\! b_2 \!\cdot\! c_3 \!\cdot\! d_4 — a_2 \!\cdot\! b_1 \!\cdot\! c_3 \!\cdot\! d_4 + a_3 \!\cdot\! b_1 \!\cdot\! c_2 \!\cdot\! д_4\\ &\! — а_1 \!\cdot\! b_3 \!\cdot\! c_2 \!\cdot\! d_4 + a_2 \!\cdot\! b_3 \!\cdot\! c_1 \!\cdot\! d_4 — a_3 \!\cdot\! b_2 \!\cdot\! c_1 \!\cdot\! д_4\ &\! + a_3 \!\cdot\! b_2 \!\cdot\! c_4 \!\cdot\! d_1 — a_2 \!\cdot\! b_3 \!\cdot\! c_4 \!\cdot\! d_1 + a_4 \!\cdot\! b_3 \!\cdot\! c_2 \!\cdot\! д_1 \\ &\! — а_3 \!\cdot\! b_4 \!\cdot\! c_2 \!\cdot\! d_1 + a_2 \!\cdot\! b_4 \!\cdot\! c_3 \!\cdot\! d_1 — a_4 \!\cdot\! b_2 \!\cdot\! c_3 \!\cdot\! д_1 \\ &\! + a_4 \!\cdot\! b_1 \!\cdot\! c_3 \!\cdot\! d_2 — a_1 \!\cdot\! b_4 \!\cdot\! c_3 \!\cdot\! d_2 + a_3 \!\cdot\! b_4 \!\cdot\! c_1 \!\cdot\! д_2 \\ &\! — а_4 \!\cdot\! b_3 \!\cdot\! c_1 \!\cdot\! d_2 + a_1 \!\cdot\! b_3 \!\cdot\! c_4 \!\cdot\! d_2 — a_3 \!\cdot\! b_1 \!\cdot\! c_4 \!\cdot\! д_2 \\ &\! + a_2 \!\cdot\! b_1 \!\cdot\! c_4 \!\cdot\! d_3 — a_1 \!\cdot\! b_2 \!\cdot\! c_4 \!\cdot\! d_3 + a_4 \!\cdot\! b_2 \!\cdot\! c_1 \!\cdot\! д_3\ &\! — а_2 \!\cdot\! b_4 \!\cdot\! c_1 \!\cdot\! d_3 + a_1 \!\cdot\! b_4 \!\cdot\! c_2 \!\cdot\! d_3 — a_4 \!\cdot\! b_1 \!\cdot\! c_2 \!\cdot\! д_3. \end{split}∣C∣=​a1​⋅b2​⋅c3​⋅d4​−a2​⋅b1​⋅c3​⋅d4​+a3​⋅b1​⋅c2​⋅d4​−a1​⋅b3 ​⋅c2​⋅d4​+a2​⋅b3​⋅c1​⋅d4​−a3​⋅b2​⋅c1​⋅d4​+a3​⋅b2​⋅c4​⋅d1​−a2​⋅b3​⋅ c4​⋅d1​+a4​⋅b3​⋅c2​⋅d1​−a3​⋅b4​⋅c2​⋅d1​+a2​⋅b4​⋅c3​⋅d1​−a4​⋅b2​⋅c3​ ⋅d1​+a4​⋅b1​⋅c3​⋅d2​−a1​⋅b4​⋅c3​⋅d2​+a3​⋅b4​⋅c1​⋅d2​−a4​⋅b3​⋅c1​⋅d2 ​+a1​⋅b3​⋅c4​⋅d2​−a3​⋅b1​⋅c4​⋅d2​+a2​⋅b1​⋅c4​⋅d3​−a1​⋅b2​⋅c4​⋅d3​+ a4​⋅b2​⋅c1​⋅d3​−a2​⋅b4​⋅c1​⋅d3​+a1​⋅b4​⋅c2​⋅d3​−a4​⋅b1​⋅c2​⋅d3​.​

Фу, это было длинно, не так ли? Теперь вы видите, что найти определитель матрицы 2×2 очень просто, и мы можем научиться находить определитель матрицы 3×3 примерно за час. Но определитель матрицы 4×4 — это совершенно новая проблема . Не поймите нас неправильно, это вполне выполнимо, но кто нам заплатит за то время, которое мы потратили на вычисления, а затем на поиски того, где мы взяли a1a_1a1​ вместо a2a_2a2​?

Итак, как здесь использовать диагональный трюк? Ответ прост: мы не . К сожалению, это не работает для матриц размером 4 или больше.

» Итак, как я могу эффективно вычислить определитель 4×4? Или 5×5? «Ну, как удобно с твоей стороны спросить! Мы покажем вам это в следующем разделе.

Свойства определителей

Теперь мы перечислим несколько важных свойств определителей , которые могут оказаться полезными. Начнем с простых и в самом конце выведем большие пушки.

1. Определитель произведения есть произведение определителей. Другими словами, если мы перемножаем две квадратные матрицы и хотим найти определитель результата, то мы можем получить ответ, вычислив определители факторов и перемножив их между собой.

2. Определитель матрицы равен определителю ее транспонирования. В сущности, если вместо матрицы, с которой мы начали, мы «перевернём» её так, чтобы её первая строка была первым столбцом, первый столбец был первой строкой и т. д. (это называется транспонированием матрицы ), то их определители будут одинаковыми. Например:

∣14−102−36115∣=∣1064211−1−35∣\begin{vmatrix} 1 и 4 и -1 \\ 0 и 2 и -3 \\ 6 и 11 и 5 \end{vmatrix} «=» \begin{vmatrix} 1 и 0 и 6 \\ 4 и 2 и 11 \\ -1 и -3 и 5 \end{vmatrix}∣

∣​106​4211​−1−35​∣

∣​=∣

∣​14−1​02−3​6115​∣

∣​ 900 07

3. Если если поменять местами две строки или два столбца, определитель останется тот же, но с обратным знаком. Это означает, что, например, если мы хотим узнать, как найти определитель матрицы 3×3, то мы можем поменять местами, скажем, ее первый столбец с третьим, чтобы получить то же число, но с другим знаком (см. пример ниже):

∣14−102−36115∣=− ⁣∣−141−3205116∣\begin{vmatrix} 1 и 4 и -1 \\ 0 и 2 и -3 \\ 6 и 11 и 5 \end{vmatrix} «=» \begin{vmatrix} -1 и 4 и 1 \\ -3 & 2 & 0 \\ 5 и 11 и 6 \end{vmatrix}∣

∣​106​4211​−1−35​∣

∣​=−∣

∣​−1−35​4211​106​∣

∣​

4. 9 0005 Мы можем добавить любое ненулевое кратное строки в какую-либо другую строку (или столбца в столбец) и не менять определитель . Это похоже на то, что мы делаем при исключении Гаусса, когда хотим найти эшелонированную форму строки системы уравнений, за исключением того, что там мы имели дело только со строками (которые соответствовали уравнениям). Наш калькулятор формы уменьшенного эшелона строк использует это свойство. Это значит, что если мы прибавим, скажем, два экземпляра первой строки ко второй, то получим матрицу с тем же определителем. Например:

∣14−102−36115∣=∣14−10+2⋅12+2⋅4−3+2⋅(−1)6115∣\footnotesize \begin{vmatrix} 1 &\! 4 &\! -1\ 0 &\! 2 &\! -3\ 6 &\! 11 &\! 5 \end{vmatrix} «=» \begin{vmatrix} 1 &\! 4 &\! -1\ 0\!+\!2\!\cdot\!1 &\! 2\!+\!2\!\cdot\!4 &\! -3\!+\!2\!\cdot\!(-\!1) \\ 6 &\! 11 &\! 5 \end{vmatrix}∣

∣​106​4211​−1−35​∣

∣​=∣

∣​10+2⋅16​42+2⋅411​−1−3+2⋅( −1)5​∣

∣​

что дает:

∣14−102−36115∣=∣14−1210−56115∣\begin{vmatrix} 1 и 4 и -1 \\ 0 и 2 и -3 \\ 6 и 11 и 5 \end{vmatrix} «=» \begin{vmatrix} 1 и 4 и -1 \\ 2&10&-5\ 6 и 11 и 5 \end{vmatrix}∣

∣​106​4211​−1−35​∣

∣​=∣

∣​126​41011​−1−55​∣

∣​ 90 007

5. ( Лаплас расширение ) Помните вопрос « Что такое определитель матрицы 5×5? » из предыдущего раздела? Наконец, мы можем коснуться этой темы и представить мощный инструмент , который поможет нам с формулой определителя. {3+3} \!\cdot\! 5 \!\cdot\! \begin{vmatrix} 1 и 4 \\ 0 и 2 \end{vmatrix} \конец{разделить} ∣

   ∣​106​4211​−1−35​∣

   ∣​=++​(−1)3+1⋅6⋅∣

   ∣​42​−1−3​∣

   ∣​( −1) 3+2 %11t∣

   ∣ 10 −1–3 ∣

   ∣ (−1) 3+3om5 ∣

   ∣ 10 42 ∣

   ∣​

   Должно быть, ушла целая вечность, чтобы прочитать всю эту теорию! Если вы хотите узнать больше, посетите наш специальный калькулятор расширения кофактора. И наконец посмотрим на примере .

   Пример: использование калькулятора определителя матрицы

   Скажите, что вы хотите вычислить определитель следующей матрицы :

   A=[2513417968327814]A = \begin{bmatrix} 2 и 5 и 1 и 3 \\ 4 и 1 и 7 и 9 \\ 6 и 8 и 3 и 2 \\ 7 и 8 и 1 и 4 \end{bmatrix}A=⎣

   ⎡​2467​5188​1731​3924​⎦

   ⎤​

   Определитель матрицы 4×4 , да? Формулу определителя единицы мы видели в разделе «Определитель матрицы 2×2, 3×3 и 4×4», так что мы знаем, что это будет не очень интересно , не так ли? Но с тех пор мы узнали некоторые свойства определителей, так почему бы нам не заставить их работать в нашу пользу ?

   Прежде чем мы это сделаем, давайте воспользуемся калькулятором определителя матрицы , чтобы посмотреть, как наш инструмент упрощает такие задачи. Прежде всего, мы имеем дело с матрицей 4×4, поэтому нам нужно сообщить об этом калькулятору , выбрав соответствующую опцию в разделе « Размер матрицы ».

   Это покажет нам пример такой матрицы с условное обозначение его элементов . Как мы видим, a1a_1a1​, b1b_1b1​, c1c_1c1​ и d1d_1d1​ обозначают числа в первой строке, поэтому давайте прокрутим туда, где мы вводим данные, и загрузим калькулятор определителя матрицы тем, что у нас есть в нашем упражнении:

   • a1=2a_1=2a1​=2, b1=5b_1=5b1​=5, c1=1c_1=1c1​=1, d1=3d_1=3d1​=3.

   Аналогично, для остальных строк имеем:

   • a2=4a_2=4a2​=4, b2=1b_2=1b2​=1, c2=7c_2=7c2​=7, d2=9d_2=9d2​=9 ;
   • a3=6a_3=6a3​=6, b3=8b_3=8b3​=8, c3=3c_3=3c3​=3, d3=2d_3=2d3​=2;
   • a4=7a_4=7a4​=7, b4=8b_4=8b4​=8, c4=1c_4=1c4​=1, d4=4d_4=4d4​=4.

   В тот момент, когда мы запишем последнее число, калькулятор определителя матрицы сделает свое волшебство и выдаст ответ :

   ∣A∣=630|A| = 630∣А∣=630.

   Хорошо, теперь, когда у нас есть этот спойлер ответа, давайте посмотрим, как мы можем получить этот ответ вручную . Очевидно, что один из способов — просто использовать формулу определителя с 24 членами, но мы хотели бы получить дополнительные баллы за творческий подход и использовать свойства определителей .

   Мы воспользуемся разложением Лапласа, но по-умному. Мы выбираем произвольную строку или столбец, скажем, первую строку матрицы, и пытаемся сделать расширение немного проще. Ведь если мы воспользуемся формулой сразу, то получим сумму четырех определителей 3×3. Не ужасно, но и не здорово. Однако мы можем кое-что сделать сначала — использовать элементарные операции со столбцами .

   В предыдущем разделе мы видели, что определитель останется прежним, если мы добавим любое ненулевое число, кратное столбцу, к другому столбцу. Так почему бы нам не добавить (−2)(-2)(−2) -кратное третьего столбца к первому ?

   ∣A∣=∣2 ⁣+ ⁣(−2) ⁣⋅ ⁣15134 ⁣+ ⁣(−2) ⁣⋅ ⁣71796 ⁣+ ⁣(−2) ⁣ ⋅ ⁣38327 ⁣+ ⁣(−2) ⁣⋅ ⁣1814∣|А| «=» \begin{vmatrix} 2\!+\!(-2)\!\cdot\!1 & 5 & 1 & 3 \\ 4\!+\!(-2)\!\cdot\!7 и 1 и 7 и 9 \\ 6\!+\!(-2)\!\cdot\!3 & 8 & 3 & 2 \\ 7\!+\!(-2)\!\cdot\!1 и 8 и 1 и 4 \end{vmatrix}∣A∣=∣

   ∣​2+(−2)⋅14+(−2)⋅76+(−2)⋅37+(−2)⋅1​5188​1731​3924​ ∣

   ∣​

   что дает:

   ∣A∣=∣0513−1017908325814∣|A| «=» \begin{vmatrix} 0 и 5 и 1 и 3 \\ -10&1&7&9\ 0 и 8 и 3 и 2 \\ 5 и 8 и 1 и 4 \end{vmatrix}∣A∣=∣

   ∣​0−1005​5188​1731​3924​∣

   ∣​

   И зачем мы это сделали? Вспомните, что в разложении Лапласа слагаемые были такими: (-1)(-1)(-1) в некоторой степени, умноженное на элемент выбранной строки или столбца, умноженный на меньший определитель. Следовательно, если мы теперь разложим ∣A∣|A|∣A∣ по первой строке, слагаемое, соответствующее первой ячейке в первой строке, будет (−1)(−1)(−1) в некоторой степени умножить на 000 умножить на какой-то определитель. И это ноль , потому что все, что умножается на ноль, равно нулю.

   Отлично, мы уменьшили количество слагаемых на единицу! Так как насчет того, чтобы повторить процедуру и получить еще меньше ? Для этого нам нужно, чтобы в первой строке было больше нулей, поэтому давайте превратим 555 и 333 в 000-е. Как и раньше, мы добавляем к этим столбцам правое кратное третьего столбца (тот, что со 111):

   ∣A∣=∣05+(−5)⋅113+(−3)⋅1−101 +(−5)⋅779+(−3)⋅708+(−5)⋅332+(−3)⋅358+(−5)⋅114+(−3)⋅1∣\footnotesize |А| «=» \begin{vmatrix} 0 и 5\!+\!(-5)\!\cdot\!1 & 1 & 3\!+\!(-3)\!\cdot\!1 \\ -10 и 1\!+\!(-5)\!\cdot\!7 и 7 и 9\!+\!(-3)\!\cdot\!7 \\ 0 и 8\!+\!(-5)\!\cdot\!3 & 3 & 2\!+\!(-3)\!\cdot\!3 \\ 5 и 8\!+\!(-5)\!\cdot\!1 & 1 & 4\!+\!(-3)\!\cdot\!1 \end{vmatrix}∣A∣=∣

   ∣​0−1005​5+(−5)⋅11+(−5)⋅78+(−5)⋅38+(−5)⋅1​1731​ 3+(−3)⋅19+(−3)⋅72+(−3)⋅34+(−3)⋅1​∣

   ∣​

   что дает:

   ∣A∣=∣0010−10 −347−120−73−75311∣|А| «=» \begin{vmatrix} 0 и 0 и 1 и 0 \\ -10&-34&7&-12\ 0 и -7 и 3 и -7 \\ 5 и 3 и 1 и 1 \end{vmatrix}∣A∣=∣ 9{1+3} \!\cdot\! 1 \!\cdot\! \begin{vmatrix} -10 &\! -34 &\! -12\ 0 &\! -7 &\! -7\\ 5 &\! 3 &\! 1 \end{vmatrix}∣A∣=(−1)1+3⋅1⋅∣

   ∣​−1005​−34−73​−12−71​∣

   ∣​

   И мы хорошо знаем, как найти определитель матрицы 3×3, не так ли? Но помните, что если вы хотите повеселиться , вы можете снова использовать разложение Лапласа, чтобы получить определитель матрицы 2×2.

При вычитании комплексных чисел в алгебраической форме просто вычтите действительную составляющую второго комплексного числа из действительной составляющей первого, чтобы получить действительную составляющую разности, и вычтите мнимую составляющую второго комплексного числа из мнимой составляющей первого числа, чтобы получить мнимую составляющую разности:

Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме

Для обычного умножения и деления предпочтительнее использовать полярную форму записи комплексных чисел. При умножении комплексных чисел в полярной форме просто умножьте друг на друга амплитуды комплексных чисел, чтобы определить амплитуду произведения, и сложите углы комплексных чисел, чтобы определить угол произведения:

Делить комплексные числа в полярной форме также легко: просто разделите амплитуду первого комплексного числа на амплитуду второго комплексного числа, чтобы получить амплитуду частного, и вычтите угол второго комплексного числа из угла первого комплексного числа, чтобы получить угол частного:

Чтобы получить обратное значение, или «инвертировать» (1/x) комплексное число, просто разделите число (в полярной форме) на скалярное значение 1, которое является не чем иным, как комплексным числом без мнимой составляющей (угол = 0):

Это основные операции, которые вам необходимо знать, чтобы манипулировать комплексными числами при анализе цепей переменного тока. Однако операции с комплексными числами никоим образом не ограничиваются только сложением, вычитанием, умножением, делением и инвертированием.

Практически любая арифметическая операция, которая может быть выполнена со скалярными числами, может быть применена и к комплексным числам, включая возведение в степень, извлечение корня, решение систем уравнений с комплексными коэффициентами и даже тригонометрические функции (хотя это включает в себя совершенно новую часть тригонометрии, называемую гиперболическими функциями, что выходит за рамки данного обсуждения).

Если вы знакомы с основными арифметическими операциями сложения, вычитания, умножения, деления и инвертирования, у вас не будет проблем с анализом цепей переменного тока.

Резюме

• Чтобы сложить комплексные числа в алгебраической форме, сложите действительные компоненты и сложите мнимые компоненты. Вычитание выполняется аналогично.
• Чтобы перемножить комплексные числа в полярной форме, перемножьте амплитуды (модули) и сложите углы. Чтобы разделить, разделите амплитуды (модули) и вычтите один угол из другого.

Оригинал статьи:

• Complex Number Arithmetic

Теги

Назад

Оглавление

Вперед

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел

Результаты обучения

• Сложение и вычитание комплексных чисел
• Умножение комплексных чисел

Так же, как и с действительными числами, мы можем выполнять арифметические операции над комплексными числами. Чтобы сложить или вычесть комплексные числа, мы объединяем действительные части и объединяем мнимые части.

Общее примечание: сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение комплексных чисел:

[латекс]\влево(а+би\вправо)+\влево(с+ди\вправо)=\влево(а+с\ вправо)+\влево(b+d\вправо)i[/латекс]

Вычитание комплексных чисел:

[латекс]\влево(а+би\вправо)-\влево(с+ди\вправо)=\влево(а-с\вправо)+\влево(b-d\вправо)i[/латекс ]

Как: Даны два комплексных числа, найти их сумму или разность.

1. Определите действительную и мнимую части каждого числа.
2. Добавьте или вычтите действительные части.
3. Сложите или вычтите мнимые части.

Пример: добавление комплексных чисел

Добавьте [латекс]3 — 4i[/латекс] и [латекс]2+5i[/латекс].

Показать решение

Попробуйте

Вычтите [латекс]2+5i[/латекс] из [латекс]3 — 4i[/латекс].

Показать решение

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел очень похоже на умножение двучленов. Основное отличие состоит в том, что мы работаем с реальной и мнимой частями отдельно.

Умножение комплексного числа на вещественное число

Начнем с умножения комплексного числа на действительное число. Мы распределяем действительное число так же, как и биномиальное. Так, например,

[латекс]\begin{align}3(6+2i)&=(3\cdot6)+(3\cdot2i)&&\text{Распространить.}\\&=18+6i&&\text{Упростить.}\ end{align}[/latex]

Как: Даны комплексное число и действительное число, умножьте их, чтобы найти произведение.

1. Использовать свойство дистрибутива.
2. Упростить.

Пример: умножение комплексного числа на вещественное число

Найдите произведение [латекс]4\влево(2+5i\вправо)[/латекс].

Показать решение

Попробуй 9{2}=-1[/латекс], у нас есть

[латекс]\левый(а+би\правый)\левый(с+ди\правый)=ас+ади+bci-bd[/латекс]

Для упрощения мы объединяем действительные части и объединяем мнимые части.

[латекс]\влево(a+bi\вправо)\влево(c+di\вправо)=\влево(ac-bd\вправо)+\влево(ad+bc\вправо)i[/латекс]

Как: Имея два комплексных числа, умножьте их, чтобы найти произведение.

1. Используйте свойство распределения или метод FOIL.
2. Упростить.

Пример: умножение комплексного числа на комплексное число

Умножить [латекс]\влево(4+3i\вправо)\влево(2 — 5i\вправо)[/латекс].

Показать решение

Попробуйте

Умножить [латекс]\влево(3 — 4i\вправо)\влево(2+3i\вправо)[/латекс].

Показать решение

Внесите свой вклад!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад. Улучшить эту страницуПодробнее . Для деления комплексных чисел , нам нужно найти член, на который мы можем умножить числитель и знаменатель, который исключит мнимую часть знаменателя, чтобы мы получили действительное число в знаменателе.

В этой статье мы узнаем о делении комплексных чисел, делении комплексных чисел в полярной форме, делении мнимых чисел и делении сложных дробей.

Что такое деление комплексных чисел?

Деление комплексных чисел математически аналогично делению двух действительных чисел. Если \(z_1=x_1+iy_1\) и \(z_2=x_2+iy_2\) являются двумя комплексными числами, то деление комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) математически записывается как: 92}\справа)\конец{выровнено}\]

Шаги для деления комплексных чисел

Теперь, когда мы знаем, что такое деление комплексных чисел, давайте обсудим этапы деления комплексных чисел. Чтобы разделить два комплексных числа, выполните указанные шаги:

1. Сначала вычислите сопряженное комплексное число, стоящее в знаменателе дроби. 2\theta_2)}\\&=\frac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin( \theta_1-\theta_2)\right]\\&=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\end{выровнено}\]

   Где \(\theta=\theta_1-\theta_2\) и \(r=\dfrac{r_1}{r_2}\).

   Таким образом, деление комплексных чисел \(z_{1}=r_1\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)\) и \(z_{2}=r_2\left(\cos\ theta_2+i\sin\theta_2\right)\) в полярной форме определяется как частное \(\dfrac{r_1\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)}{r_2\left(\cos \theta_2+i\sin\theta_2\right)}\).

   Рассчитывается по формуле:

   \[\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\end{aligned} \]

   Важные замечания по делению комплексных чисел

   • Чтобы разделить комплексное число a+ib на c+id, умножьте числитель и знаменатель дроби a+ib/c+id на c−id и упростите.
   • Комплекс z = a+ib сопряжен с a−ib.
   • Модуль комплексного числа z = a+ib равен |z| = √(а ² + б ² )

   Связанные темы по делению комплексных чисел

   • Умножение комплексных чисел
   • Полярная форма комплексных чисел
   • Комплексный конъюгат

    

   Деление комплексных чисел Примеры

   1. Пример 1: Выразите комплексное число (5+√2i)/(1−√2i) в виде a+ib, используя формулу деления комплексных чисел. 2}\\&=\dfrac{16+38i}{68}\\&=\dfrac{4} {17}+\dfrac{19{34}i\end{align}\]

      Ответ: 3+4i на 8-2i = \(\dfrac{4}{17}+\dfrac{19}{34}i\)

   перейти к слайдуперейти к слайду

   Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

   Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

   Записаться на бесплатный пробный урок

   Практические вопросы по делению комплексных чисел

    

   перейти к слайдуперейти к слайду

   Часто задаваемые вопросы о делении комплексных чисел

   Что такое деление комплексных чисел в алгебре?

   Деление комплексных чисел математически похоже на деление двух действительных чисел. Если \(z_1=x_1+iy_1\) и \(z_2=x_2+iy_2\) являются двумя комплексными числами, то деление комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) математически записывается как:

   \[ \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\].

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 . C

Ответить

<table> <tr> <td> <p>7</p> <p>2</p> </td> <td> + </td> <td> <p>2</p> <p>3</p> </td> <td> = </td> </tr> </table>

<table> <tr> <td> <p>1</p> <p>3</p> </td> <td> + </td> <td> <p>10</p> <p>9</p> </td> <td> = </td> </tr> </table>

<table> <tr> <td> <p>4</p> <p>1</p> </td> <td> + </td> <td> <p>3</p> <p>10</p> </td> <td> = </td> </tr> </table>

<table> <tr> <td> <p>7</p> <p>4</p> </td> <td> + </td> <td> <p>4</p> <p>5</p> </td> <td> = </td> </tr> </table>

<table> <tr> <td> <p>9</p> <p>3</p> </td> <td> + </td> <td> <p>10</p> <p>3</p> </td> <td> = </td> </tr> </table>

<table> <tr> <td> <p>8</p> <p>5</p> </td> <td> + </td> <td> <p>6</p> <p>10</p> </td> <td> = </td> </tr> </table>

<table> <tr> <td> <p>4</p> <p>2</p> </td> <td> + </td> <td> <p>8</p> <p>9</p> </td> <td> = </td> </tr> </table>

<table> <tr> <td> <p>8</p> <p>3</p> </td> <td> + </td> <td> <p>7</p> <p>3</p> </td> <td> = </td> </tr> </table>

<table> <tr> <td> <p>8</p> <p>1</p> </td> <td> + </td> <td> <p>10</p> <p>3</p> </td> <td> = </td> </tr> </table>

<table> <tr> <td> <p>2</p> <p>3</p> </td> <td> + </td> <td> <p>7</p> <p>5</p> </td> <td> = </td> </tr> </table>

Попробуй другие онлайн тренажеры с дробями

Сложение и вычитание дробей 5 класс

Обыкновенные дроби 5 класс примеры для тренировки

Умножение дробей.

Что такое часть от целого?

Тема «дроби» в 5 классе в математике одна из самых сложных для восприятия школьниками. А упражнения с дробями в 5 класс вызывают страх и неприязнь. Без тренировки по этим темам никак!
Также эта тема очень большая, поскольку охватывает сразу несколько разделов. При изучении дробей в математике очень важно не упустить момент если ребенок что-то хоть немного недопонял или сомневается или не уверен.Главное сразу приступить к тренировкам и решению заданий и примеров на тему ДРОБИ для 5 класса. Чем раньше — тем лучше.

В данном случае главное объяснить где применяется «дробная часть числа», а также наглядность примеров дробей для 5 класса по математике. Само слово «Дробь» уже подразумевает дробление, деление, часть от чего-то. В школьной программе 5 класса к примерам по математике для тренировки с дробями приступают только после изучения всех операций над целыми числами. Вначале дети тренируются на примерах с простыми дробями для 5 класса по математике . Затем, приступают к примерам сложнее на умножение дробей. Их также легко можно отработать на тренажёре умножения дробей

Но объяснить ребенку что такое обыкновенные дроби и решать задания, и познакомиться с примерами решения дробей лучше гораздо раньше. Это сформирует пространственное представление и логическое мышление. Наш тренажер сложения дробей в этом, конечно, поможет. А в 5 классе изучение дробей со сверстниками не составит труда! Но если надо решить уже имеющуюся дробь, ту придет на помощь калькулятор решающий дроби. Вы также можете распечатать примеры на дроби для 5 класса с ответами для тренировки
Как бы ребенок не решал упражнения с дробями для 5 класса для тренировки подойдет любой способ. Хоть решать решать обыкновенные дроби используя онлайн тренажер, хоть распечатать и решать на листке бумаги примеры с простыми дробями для 5 класса для тренировки на нашем сайте. Главное много практики, много упражнений с дробями и много тренировок. В 5 классе главное отточить навыки.

Как рассказать про часть, чтобы ребенок понял?

Дробь в математике – число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы. Правильные дроби – это дроби, в которых числитель меньше знаменателя Неправильные дроби – это дроби, в которых числитель равен или больше знаменателя

Дробь — число не целое, оно обозначает количество долей целого

Обыкновенная дробь состоит из двух частей: числитель и знаменатель

Дроби бывают правильные и неправильные. У правильных дробей числитель меньше знаменателя. У неправильных дробей наоборот, числитель больше знаменателя, а значит любую неправильную дробь можно перевести в смешанную, выделив у нее целую часть и отняв ее из числителя

Познакомься с другими тренажерами курса

Меры измерения

Мер величин много и в них легко запутаться. Изучайте меры длины, времени и массы на тренажере

Скорей заниматься

Римские цифры

Множество примеров различной сложности помогут ребенку быстро запомнить римские цифры

Скорей заниматься

Задачи на объем, площадь, периметр

Решение задач на применение формул объем, площадь, периметр

Скорей заниматься

Умножение обыкновенных дробей / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Обыкновенные дроби
5. Умножение обыкновенных дробей

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Примеры:

Обратите внимание, если в ответе получается неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть.

Если мы умножаем на натуральное число, которое можно сократить с числом, стоящим в знаменателе, то сначала выполняют сокращение, а затем умножение (такой ход действий облегчает вычисления).

Пример:

Пример:

Если мы перемножаем дроби, у которых можно сократить числитель первой и знаменатель второй дроби и (или) знаменатель первой и числитель второй дроби, то сначала выполняют сокращение, а затем умножение (такой ход действий облегчает вычисления).

Примеры:

Умножение смешанных чисел

Чтобы выполнить умножение смешанных чисел, нужно записать эти числа в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Примеры:

Для обыкновенных дробей, как и для натуральных чисел, выполняются свойства умножения (переместительное свойство умножения, сочетательное свойство умножения, распределительные свойства умножения относительно сложения и относительно вычитания). Также при умножении дроби на ноль (или нуля на дробь) получаем ноль, и при умножении дроби на единицу (или единицы на дробь) получим равную ей дробь.

Примеры:

Пример:

Нахождение дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Примеры:

а) Найти от числа 20.

Решение:

б) Найти 0,6 от числа 9.

Решение:

9·0,6 = 5,4.

в) Найти 30 % от числа 500.

Решение:

1) 30% = 30 : 100 = 0,30 = 0,3

2) 500·0,3 = 150.

Взаимно обратные числа

Примеры:

1) , значит, числа — взаимно обратные;

2)

Чтобы определить число обратное смешанному числу, нужно представить это смешанное число в виде неправильной дроби.

Пример:

, значит, числу обратно число .

Запомните:

• Числом, обратным 1, является само число 1.
• Для числа 0 обратного числа не существует.
• Обратным числу является число .
• Если — натуральное число, то обратным ему является число .

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 567, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1348, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1751, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

6 класс

Номер 402, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 407, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 629, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 547, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 767, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 947, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1159, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1173, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1364, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1376, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 380, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 429, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 470, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 536, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 565, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 570, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1027, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1040, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1052, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1118, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 13, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 65, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 260, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 272, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 281, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 315, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 355, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 397, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 398, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 402, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Что такое дробь? — Определение, факты и примеры

Что такое дробь?

Фракции представляют собой части целого или набора объектов. Дробь состоит из двух частей. Число в верхней части строки называется числителем. Он сообщает, сколько равных частей целого или набора взято. Число под чертой называется знаменателем. Он показывает общее количество равных частей, на которые делится целое, или общее количество одинаковых объектов в коллекции.

Родственные игры

Доля целого

Когда целое делится на равные части, количество частей, которое мы берем, составляет дробь.

Если торт разделить на восемь равных частей и один кусок торта положить на тарелку, то говорят, что на каждой тарелке есть $\frac{1}{8}$ торта. Читается как «одна восьмая» или «1 на 8».

Связанные рабочие листы

Доля набора объектов

Всего 5 детей.

3 из 5 — девочки. Итак, доля девушек составляет три пятых ( $\frac{3}{5}$ ).

2 из 5 мальчиков. Итак, доля мальчиков составляет две пятых ( $\frac{2}{5}$ ).

Равные и неравные части

Чтобы определить дробь, нужно разделить целое на равные части.

Представление дроби

Дробь может быть представлена ​​тремя способами: в виде дроби, процента или десятичной дроби. Рассмотрим каждую из трех форм представления.

Дробное представление,

Первой и наиболее распространенной формой представления дроби является $\frac{a}{b}$. Здесь а — числитель, а b — знаменатель. И числитель, и знаменатель разделены горизонтальной чертой.

Пример: Дробь $\frac{3}{4}$ можно понять следующим образом.

Числитель: 3

Знаменатель: 4

Дробь представляет собой три части, когда целое делится на четыре равные части.

Десятичное представление

В этом формате дробь представляется в виде десятичного числа.

Пример: Дробь $\frac{3}{4}$ можно представить в виде десятичной дроби, разделив числитель (3) на знаменатель (4). $\frac{3}{4}$ = 0,75.

Таким образом, в десятичном представлении $\frac{3}{4}$ записывается как 0,75.

Процентное представление

В этом представлении дробь умножается на 100, чтобы преобразовать ее в проценты.

Пример: Если мы хотим представить в процентах, мы должны умножить $\frac{3}{4}$ на 100.

 $\frac{3}{4}$ x 100 = 0,75 x 100 = 75. Таким образом, мы можем представить $\frac{3}{4}$ как 75%.

Дроби в числовой строке

Дроби могут быть представлены в числовой строке, как показано ниже.

Типы дробей

Основными частями дроби являются числитель и знаменатель . На их основе можно определить различные типы фракций. Давайте рассмотрим некоторые распространенные типы дробей.

Смешанные дроби в неправильные дроби

Смешанные дроби можно преобразовать в неправильные дроби, умножив целое число на знаменатель и прибавив его к числителю. Он становится новым числителем, а знаменатель остается неизменным.

Пример: 8$\frac{2}{3}$ = $\frac{(8 \times 3) + 2}{3}$ = $\frac{26}{3}$

Заключение

Самый простой способ научить детей этой теме — помочь им визуализировать дроби. Это можно сделать с помощью вырезок из бумаги или интерактивных онлайн-игр, подобных тем, которые доступны на SplashLearn. Посетите веб-сайт SplashLearn, чтобы найти интересные способы изучения различных математических концепций.

Решенные примеры с дробями

1. Преобразовать смешанное число 4$\frac{3}{5}$ в неправильную дробь.

Решение: 4$\frac{3}{5}$ = $\frac{(4 ✕ 5) + 3}{5}$  = $\frac{20 + 3}{5}$  = $\ frac{23}{5}$ 

2. Эквивалентны ли дроби $\frac{14}{20}$ и $\frac{7}{10}$?

Решение:  

Простейшая форма $\frac{14}{20}$ = $\frac{7}{10}$

Простейшая форма $\frac{7}{10}$ = $\ frac{7}{10}$

Поскольку простейшей формой обеих дробей является $\frac{7}{10}$, мы можем сказать, что эти две дроби эквивалентны.

3. Из следующих дробей отделить правильную и неправильную дробь

$\frac{9}{2}$, $\frac{4}{11}$, $\frac{16}{16} $, $\frac{2}{3}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{5}{6}$

Решение:

Правильная дробь: $\frac{4 }{11}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{5}{6}$

Неправильная дробь: $\frac{9}{ 2}$, $\frac{16}{16}$

4. Преобразовать $\frac{2}{5}$ в процентах.

Решение:

$\frac{2}{5} \times 100%$  = 40%

Практические задачи на дроби

1

Какая из следующих дробей является неправильной?

$\frac{3}{10}$

$\frac{7}{16}$

$\frac{18}{11}$

$\frac{12}{17}$

Правильный ответ: $\frac{18}{11}$
$\frac{18}{11}$ — неправильная дробь, так как числитель (18) больше знаменателя (11).

2

Что из следующего является десятичным представлением дроби $\frac{3}{8}$?

0,5

0,75

0,80

0,375

Правильный ответ: 0,375
Деление числителя (3) на знаменатель (8) дает десятичное число 0 .375.

3

При каком значении x следующие две дроби будут эквивалентны?

2

9

6

8

Правильный ответ: 9
$\frac{(3 ✕ y )}{(7 ✕ y)}$ = $\frac{x}{21}$
Теперь найдем 7 x y = 21. Мы знаем, что y = 3. Таким образом, числитель должен быть 3 x 3 = 9.

4

Какой тип дроби $\frac{2}{5}$?

Правильная дробь

Единичная дробь

Неправильная дробь

Смешанная дробь

Правильный ответ: Правильная дробь
Поскольку числитель меньше знаменателя, данная дробь является правильной дробью.

Часто задаваемые вопросы о дробях

Как проще всего определить, можно ли преобразовать число в смешанную дробь?

Самый простой способ определить это — сравнить числитель со знаменателем. Если числитель больше знаменателя, дробь неправильная и может быть преобразована в смешанную дробь.

Есть ли реальные примеры использования дробей?

Дроби очень распространены в повседневной жизни. Когда мы покупаем продукты или печем торт, отмечаем вечеринку или подсчитываем бюджет в начале месяца, дроби используются.

Что такое правильная дробь?

Правильные дроби — это дроби, у которых числитель меньше знаменателя. Десятичное значение правильной дроби всегда меньше 1.

Где используются равные дроби?

Эквивалентные дроби помогают в ряде случаев, когда расчеты включают дробные числа. Например, сложение и вычитание дробей становятся очень простыми, когда используются свойства эквивалентности дробей.

Что такое дробь? Определение, части, примеры

Дробь показывает часть целого. Это целое может быть регионом или коллекцией. Слово «фракция» происходит от латинского слова «fractio», что означает «ломать». Египтяне, будучи первой цивилизацией, изучавшей дроби, использовали дроби для решения своих математических задач, которые включали в себя деление продуктов питания, припасов и отсутствие валюты в слитках.

В Древнем Риме дроби записывались только словами, обозначающими часть целого. В Индии дроби сначала записывались с одним числом над другим (числитель и знаменатель), но без черты. Только арабы добавили линию, которая используется для разделения числителя и знаменателя.

Что такое дроби?

В математике дроби представлены числовым значением, которое определяет часть целого. Дробь может быть частью или частью любого количества из целого, где целым может быть любое число, определенное значение или вещь. Давайте разберемся с этой концепцией на примере. На следующем рисунке показана пицца, разделенная на 8 равных частей. Теперь, если мы хотим выразить одну выбранную часть пиццы, мы можем выразить ее как 1/8, что показывает, что из 8 равных частей мы имеем в виду 1 часть.

Означает одну из восьми равных частей. Его также можно прочитать как:

• Одна восьмая или
• 1 на 8

Если мы выберем 2 части пиццы, это будет выражено как 2/8. Точно так же, если мы имеем в виду 6 частей этой пиццы, мы запишем это как 6/8 как дробь.

Части дроби

Все дроби состоят из числителя и знаменателя и разделены горизонтальной чертой, известной как дробная черта.

• Знаменатель указывает количество частей, на которые было разделено целое. Он помещается в нижнюю часть дроби под дробной чертой.
• Числитель указывает, сколько разделов дроби представлено или выбрано. Он ставится в верхней части дроби над дробной чертой.

Типы фракций

На основании числителя и знаменателя, которые являются частями дроби, существуют различные типы дробей, перечисленные ниже:

Правильная дробь

Правильные дроби — это дроби, в которых числитель меньше знаменателя. Например, 5/7, 3/8, 2/5 и т. д. — правильные дроби.

Неправильная дробь

Неправильная дробь — это дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю. Оно всегда такое же или больше, чем целое. Например , 4/3, 5/2, 8/5 и так далее.

Дробная единица

Дроби, в которых числитель равен 1, называются единичными дробями. Например , 1/4, 1/7, 1/9 и так далее.

Смешанная дробь

Смешанная дробь представляет собой смесь целого числа и правильной дроби. Например, \(5\frac{1}{3}\), где 5 – целое число, а 1/3 – правильная дробь, или \(2\frac{2}{5}\), \( 7\frac{9}{11}\) и так далее.

Эквивалентная дробь

Эквивалентная дробь — это дроби, представляющие одно и то же значение после их упрощения. Чтобы получить эквивалентные дроби любой заданной дроби:

• Мы можем умножить и числитель, и знаменатель данной дроби на одно и то же число.
• Мы можем разделить и числитель, и знаменатель данной дроби на одно и то же число.

Пример: Найдите две дроби, равные 5/7.

Решение:

Эквивалентная дробь 1: Умножим числитель и знаменатель на одно и то же число 2. Это означает, что 5/7= (5 × 2)/(7 × 2) = 10/14

Эквивалентная дробь 2: Умножим числитель и знаменатель на одно и то же число 3. Это означает, что 5/7 = (5 × 3)/(7 × 3) = 15/21

Следовательно, 10/14, 15/21 и 5/7 — эквивалентные дроби.

Подобные и разные дроби

Подобные дроби — это дроби, имеющие одинаковые знаменатели. Например, 5/15, 3/15, 17/15 и 31/15 похожи на дроби.

В отличие от дробей, дроби имеют разные знаменатели. Например, 2/7, 9/11, 3/13 и 39/46 — разные дроби.

Дробь в числовой строке

Представление дробей на числовой прямой демонстрирует интервалы между двумя целыми числами, что также показывает нам фундаментальный принцип построения дробных чисел. Дроби на числовой прямой можно представить, составив равные части целого, то есть от 0 до 1. Знаменатель дроби будет представлять количество равных частей, на которые числовая линия будет разделена и отмечена. Например, если нам нужно представить 1/8 на числовой прямой, нам нужно отметить 0 и 1 на двух концах и разделить числовую прямую на 8 равных частей. Тогда первый интервал можно обозначить как 1/8. Точно так же следующий интервал можно пометить как 2/8, следующий — как 3/8 и так далее. Следует отметить, что последний интервал представляет 8/8, что означает 1. Обратите внимание на следующую числовую строку, которая представляет эти дроби в числовой строке.

☛Статьи по теме

• Умножение дробей
• Деление дробей
• Сложение и вычитание дробей

Cuemath — одна из ведущих мировых платформ для обучения математике, предлагающая онлайн-уроки по математике в прямом эфире один на один для классов K-12. Наша миссия — изменить то, как дети изучают математику, чтобы помочь им преуспеть в школе и на конкурсных экзаменах. Наши опытные преподаватели проводят 2 или более живых занятий в неделю в темпе, соответствующем потребностям ребенка в обучении.

Примеры дробей

1. Пример 1: Запишите две эквивалентные дроби для 5/15

   Решение:

   Давайте запишем эквивалентные дроби для 5/15, используя умножение и деление.

   а.) Умножим числитель и знаменатель на одно и то же число 2. Это означает, что (5 × 2)/(15 × 2) = 10/30

   б.) Разделим числитель и знаменатель с тем же номером 5. Это означает, что (5 ÷ 5)/(15 ÷ 5) = 1/3

   Следовательно, 10/30 и 1/3 эквивалентны 5/15. Другими словами, 10/30, 1/3 и 5/15 являются эквивалентными дробями.

2. Пример 2: В классе 48 учеников, 1/4 из них смотрят мультфильмы. Сколько школьников не смотрят мультфильмы?

   Решение:

   Общее количество учеников = 48, доля учеников, которые смотрят мультфильмы = 1/4

   Количество учеников, которые смотрят мультфильмы = 1/4 × 48 = 12

   Таким образом, количество школьников, не смотрящих мультики = 48 — 12 = 36

   Следовательно, число школьников, не смотрящих мультики, равно 36.

3. Пример 3: Укажите истинное или ложное значение.

   а.) Правильные дроби – это дроби, у которых числитель меньше знаменателя.

   б.) 9/2 — правильная дробь.

   в.) 3/4 и 2/4 подобны дробям.

   Решение:

   а.) Правильные дроби — это дроби, у которых числитель меньше знаменателя.

   b.) Неверно, 9/2 — неправильная дробь, потому что числитель больше знаменателя.

   в.) Верно, что 3/4 и 2/4 подобны дробям, потому что у них одинаковые знаменатели.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Хотите построить прочную основу в математике?

Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.

Забронировать бесплатный пробный урок

Практические вопросы по дробям

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о дробях

Что такое дроби в математике?

Дроби в математике представляют числовое значение, выражающее часть целого. Целое может быть любым числом, определенным значением или вещью. Фракции представлены в виде p/q. Например, ¼, ½, ¾ и так далее.

Какие существуют типы дробей?

Дроби классифицируются по следующим основаниям:

• На основании числителя и знаменателя дроби делятся на правильные дроби, неправильные дроби, смешанные дроби.
• На основании групп они подразделяются на похожие дроби, непохожие дроби и эквивалентные дроби.

Сколько частей в дроби?

Дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя.

• Числитель: Числитель представляет собой число, расположенное над дробной чертой. Например, в 6/7 числитель 6.
• Знаменатель: Знаменатель указывает число, расположенное под дробной чертой. Например, в 6/7 7 является знаменателем.

Что такое 0,125 в виде дроби?

0,125, поскольку дробь может быть записана как 1/8. Мы можем преобразовать десятичную дробь в дробь следующим образом. 0,125 = 125/1000 = 5/40 = 1/8

Как связаны дроби и десятичные числа?

Дроби и десятичные дроби — это разные способы представления чисел. Дроби записывают в виде p/q, где q≠0, например, 3/5; а в десятичных числах целая часть числа и дробная часть связаны с запятой, например, 3,56. Дробь можно преобразовать в десятичную, если разделить данный числитель на знаменатель. Точно так же, чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь, мы записываем данную десятичную дробь в качестве числителя, а под ней ставим дробную черту. Затем мы помещаем 1 прямо под десятичной точкой, за которой следует необходимое количество нулей. Затем эту дробь можно упростить. Например, если нам нужно преобразовать 0,5 в дробь, мы помещаем 10 в знаменатель и удаляем десятичную точку, что дает 5/10. После сокращения дроби получаем (5 ÷ 5) / (10 ÷ 5) = 1/2.

Как упростить дроби?

Чтобы упростить дробь, мы сначала запишем множители для числителя и знаменателя. Затем определите наибольший общий множитель между ними и разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель (GCF). Приведенная дробь, которую мы получаем, является простейшей формой данной дроби. Например, чтобы упростить 36/45, мы найдем НОД 36 и 45. НОД 36 и 45 = 9. Теперь разделим числитель и знаменатель на 9., то есть (36 ÷ 9)/(45 ÷ 9) = 4/5

Как умножать дроби?

Чтобы умножить любые две дроби, мы сначала умножаем числители, затем умножаем знаменатели. Затем упростите полученную дробь. Например, 3/5 × 15/18 = 45/90 = 1/2.

Как делить дроби?

Чтобы разделить одну дробь на другую, мы сначала записываем обратную величину второй дроби, а затем умножаем дроби. Другими словами, мы умножаем первую дробь на обратную величину второй дроби. Написав обратную величину второй дроби, умножаем дроби обычным способом. Мы умножаем числители, а затем умножаем знаменатели. Затем упростите полученную дробь, если требуется. Например, 5/6 ÷ 1/5 = 5/6 × 5/1 = 25/6 = \(4\frac{1}{6}\)

Как называются дроби с одинаковым знаменателем?

Дроби с одинаковым знаменателем называются подобными дробями. Например, 4/7, 3/7, 5/7 похожи на дроби, потому что у них один и тот же знаменатель.

Как определить, какая дробь больше?

Чтобы определить большую дробь, сначала нужно проверить, подобны ли данные дроби дробям. Для этого нам нужно сравнить знаменатели.

• При одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем. Например, чтобы сравнить 3/4 и 2/4, мы можем легко проверить числители и сказать, что 3/4 > 2/4
.
• В случае разных знаменателей мы переводим данные дроби в подобные дроби, записывая для них общий знаменатель, а затем сравниваем числители. Например, чтобы сравнить 2/3 и 4/5, мы найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Как только знаменатели станут одинаковыми, мы сможем легко сравнивать дроби. НОК чисел 3 и 5 равно 15. Теперь переведем их так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Умножим первую дробь 2/3 на 5/5, то есть 2/3 × 5/5 = 10/15. Теперь умножим вторую дробь 4/5 на 3/3, то есть 4/5 × 3/3 = 12/15. Сравните дроби: 10/15 и 12/15. Поскольку знаменатели одинаковы, мы сравним числители и увидим, что 12 > 10 . Дробь с большим числителем является большей дробью, то есть 10/15 < 12/15. Следовательно, 2/3 < 4/5.

Все ли дроби меньше 1?

Нет, все дроби не меньше 1.

• Правильные дроби больше 0, но меньше 1. (Числитель меньше знаменателя).
• Неправильные дроби всегда равны 1 или больше 1. (Числитель больше или равен знаменателю)

Как складывать дроби с разными знаменателями?

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нам нужно выполнить следующие шаги. Сложим дроби 4/5 + 6/7

• Шаг 1: Поскольку знаменатели в данных дробях разные, мы найдем НОК 5 и 7, чтобы сделать их одинаковыми. НОК 5 и 7 = 35,
• Шаг 2: После этого шага мы умножим 4/5 на 7/7, то есть (4/5) × (7/7) = 28/35, а 6/7 на 5/5, ( 6/7) × (5/5) = 30/35. Этот шаг преобразует их в похожие дроби с одинаковыми знаменателями.
• Шаг 3: Теперь знаменатели совпадают, поэтому мы можем сложить числители и сохранить общий знаменатель. Новые дроби с общими знаменателями — 28/35 и 30/35. Итак, 28/35 + 30/35 = (28 + 30)/35 = 58/35 = \(1\frac{23}{35}\).

Как умножать дроби на целые числа?

Чтобы умножить дроби на целые числа, мы записываем целое число в виде дроби, помещая 1 в знаменатель, а затем следуем обычной процедуре умножения дробей. Например, давайте умножим 5/8 × 3. Здесь 3 — целое число, и мы запишем его как 3/1. Теперь умножим 5/8 × 3/1 = 15/8 = \(1\frac{7}{8}\)

Что такое сравнение дробей?

Сравнение дробей означает нахождение большей и меньшей дроби между любыми двумя или более дробями. Например, давайте сравним 3/16 и 7/16. Сначала рассмотрим знаменатели данных дробей: 3/16 и 7/16. Поскольку знаменатели одинаковы, мы можем сравнить числители. Мы видим, что 3 < 7. Дробь с большим числителем является большей дробью. Следовательно, 3/16 < 7/16. В случае, если дроби имеют разные знаменатели, мы преобразуем их в подобные дроби, найдя НОК знаменателей и записав соответствующие эквивалентные дроби.

Калькулятор смесей растворов

Как работает Калькулятор растворов смесей?

Определяет необходимое количество раствора, учитывая два процента раствора и 1 количество раствора.
Этот калькулятор имеет 4 входа.

Какая 1 формула используется для калькулятора растворов и смесей?

1. Процентный раствор 1 * Количество раствора 1 + Процентный раствор 2 * Количество раствора 2 = Процент общего раствора * Общий объем раствора

Чтобы узнать больше о математических формулах, ознакомьтесь с нашим досье формул

Какие 3 концепции рассматриваются в Калькуляторе смесей растворов?

смесь

вещество, полученное путем смешивания других веществ.

раствор

Ответ на математическую задачу, если она существует

смесь растворов

Какие примеры расчетов можно использовать в калькуляторе растворов-смесей?

1. сколько чистой кислоты нужно добавить к 18 л 30% кислоты, чтобы увеличить концентрацию 50% кислоты?

• Электронная почта: donsevcik@gmail. com
• Тел.: 800-234-2933

• Математическая тревога
• Судоку
• Раздор
• Информационный бюллетень о недобросовестном преимуществе
• Биографии математиков
• Подкаст цены за клик
• Математические Мемы
• Глоссарий по математике
• Предметы
• бейсбольная математика

• Друзья
• Спонсоры
• Связаться с нами
• Вакансии учителя математики
• Политика в отношении файлов cookie
• политика конфиденциальности
• Политика возврата

Калькулятор решения одновременных уравнений онлайн

Дом Экспоненциальный спад Отрицательные показатели Умножение и деление дробей 4 Вычисление выражений, включающих дроби Декартова система координат Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Решение абсолютных неравенств Умножение специальных многочленов ФОЛЬГА Метод Неравенства Решение систем уравнений графическим способом График составных неравенств Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата Дополнительное свойство равенства Квадратные корни Сложение и вычитание дробей Формула расстояния Графики логарифмических функций Дроби Деление смешанных чисел Оценка полиномов Сила продукта Свойство экспонентов Терминология алгебраических выражений Сложение и вычитание рациональных выражений с одинаковыми знаменателями Решение экспоненциальных уравнений Факторинг разницы двух квадратов Преобразование дробей в десятичные Решение линейных уравнений Использование шаблонов для умножения двух двучленов Завершение квадрата Корни комплексных чисел Методы решения квадратных уравнений Коники стандартной формы Решение квадратных уравнений с помощью квадратичной формулы Упрощение дробей 2 Экспоненциальное представление Экспоненциальный рост Декартова плоскость Графики линейных функций Наклон линии Нахождение кубических корней больших чисел Вращающиеся оси Общие ошибки с процентами Решение уравнения, содержащего квадратный корень Рациональные уравнения Свойства общих журналов Состав функций Использование уравнений процентов Решение неравенств Свойства показателей степени Графики квадратичных функций Разложение полинома на множители путем нахождения GCF Прямоугольная система координат Сложение и вычитание дробей Умножение и деление рациональных выражений Неправильные дроби и смешанные числа Свойства показателей степени Комплексные решения квадратных уравнений Решение нелинейных уравнений с помощью факторинга Решение квадратных уравнений методом факторинга Наименее распространенные кратные http: Решение экспоненциальных уравнений Решение линейных уравнений Свойство равенства умножения Умножение смешанных чисел Умножение дробей Приведение рационального выражения к наименьшим терминам Буквенные числа Факторинг трехчленов Логарифмические функции Сложение дробей с разными знаменателями Упрощение квадратных корней Добавление дробей Квадратные уравнения в форме Деление рациональных выражений Наклоны параллельных линий Упрощение кубических корней, содержащих переменные Функции и графики Комплексные номера Умножение и деление дробей 1 Состав функций Пересечение линии Пауэрс http: Умножение двух чисел с одинаковыми цифрами десятков, сумма цифр которых равна 10 Факторинг трехчленов Экспоненты и многочлены Десятичные дроби и их эквиваленты Отрицательные целочисленные показатели степени Сложение и вычитание смешанных чисел Решение квадратных уравнений Теорема Пифагора Уравнения 1 Вычитание дробей Решение квадратных уравнений с помощью графика Оценка полиномов Склон Углы и градусная мера     онлайн калькулятор решения уравнений Связанные темы: алгебраический факторинг, содержащий дробные показатели | математика год 10 пересмотр | бесплатные вопросы и ответы по алгебре | найти самый низкий класс java | извлечение корней квадратного уравнения | умножать от руки с десятичными дробями | онлайн-калькулятор масштабного коэффициента | макдугал литтел всемирная история онлайн код книги | Matlab Simulink 2-й заказ Автор Сообщение juliehati Дата регистрации: 05. 05.2002 Откуда: Филадельфия Размещено: Четверг, 28 декабря, 11:18 Привет, ребята, мне нужно какое-то руководство, чтобы решить это онлайн-решение калькулятора одновременных уравнений, которое я не могу сделать самостоятельно. Мне нужно выполнить задание по математике, и мне нужно руководство, чтобы работать над сходством сторон, добавлять дроби и свойства уравнений. Я также думаю о том, чтобы нанять репетитора по математике, но они не экономичны. Поэтому я был бы очень признателен, если бы вы могли оказать некоторую помощь в решении проблемы. Наверх амеич Зарегистрирован: 21.03.2005 Откуда: Прага, Чехия Размещено: Пятница, 29 декабря, 16:40 Алгебратор это то, что вы ищете. Вы можете использовать это, чтобы ввести вопросы, относящиеся к любой математической теме, и это даст вам пошаговое решение. Попробуйте эту программу, чтобы найти ответы на вопросы по линейной алгебре и посмотреть, сможете ли вы справиться с ними быстрее. Наверх Хиинидам Дата регистрации: 06.07.2001 Откуда: Грили, Колорадо, США Размещено: Пятница, 29 декабря, 20:54 Приятно знать, что вы хотите улучшить свою математику и прилагаете усилия для этого. Я думаю, вам стоит попробовать Алгебратор. Это не совсем обучающее устройство, но оно предлагает решения математических задач в очень описательной форме. И самое лучшее в этом продукте то, что он очень удобен в использовании. Есть несколько демонстраций, приведенных по разным темам, которые весьма полезны для изучения предмета. Попробуйте и желаю вам удачи в математике. Наверх alhatec16 Зарегистрирован: 10.03.2002 Откуда: Ноттс, Великобритания. Размещено: Воскресенье, 31 декабря, 09:49 y-intercept, сходство треугольников и абсолютные значения были для меня кошмаром, пока я не нашел Algebrator, который действительно является лучшей программой алгебры, с которой я сталкивался. « Предыдущая 1 … 394 395 396 397 398 … 3 230 Следующая »