alexxlab — Страница 51 — Таловская средняя школа

Формула нахождения середины вектора: Середина отрезка. Координаты середины отрезка

alexxlab / 25.07.202307.05.2023 / Разное

Формула нахождения середины отрезка по координатам. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.

Решение . Поскольку точка K — середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Ответ : K = (0,5; 0; 1)

· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

Решение . Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L — это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Определение 2

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Определение 3

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B: необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В, верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и B (x B):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A (x A , y A) и B (x B , y B) определяются как :

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т. е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (- 7 , 3) и В (2 , 4) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В.

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ : координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , — 8) . Необходимо найти длину медианы А М.

Решение

По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3

Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:

A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58

Ответ: 58

Пример 3

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , — 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · (- 4) — 0 = — 8

Ответ: координаты точки А (7 , 3 , — 8) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как найти середину отрезка с помощью циркуля?Элементарная задачка о нахождении середины отрезка при помощи циркуля была сформулирована еще в античности. Часто ее приписывают древнегреческим мудрецам, однако, скорее всего, она присутствовала и в других культурах, в которых была развита математика и геометрия (например, в древнеегипетской). В древности эта задача имела и вполне практическое применение, ведь знание того, как найти середину отрезка при помощи простейших измерительных приборов, было полезно, например, в землемерстве, землеустройстве и строительстве. Сегодня, при наличии сложной измерительной техники, такое задание скорее представляет упражнение для развития интеллектуальных способностей и пространственной фантазии школьников.

Как же на самом деле решается данная задача? Берем циркуль и открываем его таким образом, чтобы радиус предполагаемой окружности был очевидно больше половины заданного отрезка. Теперь, ставим основание (иглу) циркуля в одну из точек, ограничивающих отрезок, и рисуем окружность выбранного радиуса. В принципе, решая задачу о том, как построить середину отрезка, достаточно нарисовать и полукруг, располагающийся «внутри» отрезка. Затем устанавливаем иглу циркуля в другой конец отрезка и повторяем процедуру очерчивания полукруга.Проделав описанную процедуру, видим, что наши окружности пересекаются в двух точках. Берем линейку и соединяем эти две точки прямой линией. Получаем линию перпендикулярную исходному отрезку. Именно точка пересечения этой линии и отрезка и является серединой последнего.

Конечно, здесь важно понять саму сущность данной задачи. Почему центр отрезка получится именно там, где пересекутся линии? Знание смысла данной задачи может, например пригодиться, при поиска ответа на вопрос о том, как найти середину треугольника, а также при решении других, более сложных геометрических задач.Итак, если соединить крайние точки исходного отрезка с точками пересечения наших окружностей, то получим четырехугольник. Но какой четырехугольник? Все его стороны являются радиусами наших окружностей, а значит равными по длине (ведь мы использовали одинаковый радиус). Любой четырехугольник с равными сторонами представляет собой ромб, диагонали которого всегда пересекаются под прямым углом и, что более важно для нашей задачи, делят друг друга пополам. Именно в этом и состоит логика подобного решения задачи о построении середины отрезка при помощи циркуля.

Если же вопрос формулируется иначе, а именно о том, как найти координаты середины отрезка, то для его решения необходимо знать координаты его конечных точек. Координаты же середины будут равны полусуммам координат точек окончания отрезка. Конечно, здесь уже используется декартова система координат, в связи с чем данные задачи имеют разную сущность, хотя и решают одну проблему.

В любом случае, решение разных формулировок геометрических задач очень полезно для развития интеллекта и образного мышления ребенка. Поэтому не стоит пренебрегать этими инструментами личностного развития.

Инструкция

Если интервал является участком непрерывной числовой последовательности, то для нахождения ее середины используйте математические методы вычисления среднеарифметического значения. Минимальное значение (его начало) сложите с максимальным () и разделите результат пополам — это один из способов вычисления среднеарифметического значения. Например, это применимо, когда речь идет о возрастных интервала х. Скажем, серединой возрастного интервала в диапазоне от 21 года до 33 лет будет отметка в 27 лет, так как (21+33)/2=27.

Иногда удобнее использовать другой метод вычисления среднеарифметического значения между верхней и нижней границами интервала . В этом варианте сначала определите ширину диапазона — отнимите от максимального значения минимальное. Затем поделите полученную величину пополам и прибавьте результат к минимальному значению диапазона. Например, если нижняя соответствует значению 47,15, а верхняя — 79,13, то ширина диапазона составит 79,13-47,15=31,98. Тогда серединой интервала будет 63,14, так как 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.

Если интервал не является участком обычной числовой последовательности, то вычисляйте его середину в соответствии с цикличностью и размерностью используемой измерительной шкалы. Например, если речь идет об историческом периоде, то серединой интервала будет являться определенная календарная дата. Так для интервала с 1 января 2012 года по 31 января 2012 серединой будет дата 16 января 2012.

Кроме обычных (закрытых) интервалов статистические методы исследований могут оперировать и «открытыми». У таких диапазонов одна из границ не определена. Например, открытый интервал может быть задан формулировкой «от 50 лет и старше». Середина в этом случае определяется методом аналогий — если все остальные диапазоны рассматриваемой последовательности имеют одинаковую ширину, то предполагается, что и этот открытый интервал такую же . В противном случае вам надо определить динамику ширины интервалов, предшествующих открытому, и его условную ширину, исходя из полученной тенденции изменения.

Источники:

что такое открытый интервал

При изучении вариации – различий индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности – рассчитывают ряд абсолютных и относительных показателей. На практике наибольшее применение среди относительных показателей нашел коэффициент вариации. 2/N. Иными словами дисперсия – это средний квадрат отклонения от среднего арифметического значения. определяет, насколько в среднем отклоняются конкретные показатели ряда от их среднего значения. Оно является абсолютной мерой колеблемости признака, а потому четко интерпретируется.

Координаты середины отрезка. Как найти координаты середины отрезка Формулы для вычисления середины отрезка

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

Ответ : K = (0,5; 0; 1)

· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Не составляет никакого труда. Для их расчета существует простое выражение, которое легко запомнить. Например, если координаты концов какого-либо отрезка соответственно равняются (х1; у1) и (х2; у2) соответственно, то координаты его середины рассчитываются как среднее арифметическое этих координат, то есть:

Вот и вся сложность.
Рассмотрим расчет координат центра одного из отрезков на конкретном примере, как Вы и просили.

Задача.
Найти координаты некоей точки М, если она является серединой (центром) отрезка КР, концов которого имеют такие координаты: (—3; 7) и (13; 21) соответственно.

Решение.
Используем рассмотренную выше формулу:

Ответ . М (5; 14).

С помощью данной формулы можно также найти не только координаты середины какого-либо отрезка, но и его концов. Рассмотрим пример.

Задача.
Даны координаты двух точек (7; 19) и (8; 27). Найти координаты одного из концов отрезка, если предыдущие две точки являются его концом и серединой.

Решение.
Обозначим концы отрезка К и Р, а его середину S. Перепишем формулу с учетом новых названий:

Подставим известные координаты и вычислим отдельные координаты:

Начальные геометрические сведения

Понятие отрезка, как и понятие точки, прямой, луча и угла, относится к начальным геометрическим сведениям. С перечисленных понятий начинается изучение геометрии.

Под «начальными сведениями» обычно понимают нечто элементарное и простое. В понимании, возможно, это так и есть. Тем не менее, такие простые понятия часто встречаются и оказываются необходимыми не только в нашей повседневной жизни, но и в производстве, строительстве и прочих сферах нашей жизнедеятельности.

Начнём с определений.

Определение 1

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками (концами).

Если концы отрезка являются точками $A$ и $B$, то образованный отрезок записывают как $AB$ или $BA$. Такому отрезку принадлежат точки $A$ и $B$, а также все точки прямой, лежащие между этими точками.

Определение 2

Середина отрезка — точка отрезка, которая делит его пополам на два равных отрезка.

Если это точка $C$, то $AC=CB$.

Измерение отрезка происходит сравнением с определённым отрезком, принятым за единицу измерения. Чаще всего используют сантиметр. Если в заданном отрезке сантиметр укладывается ровно четыре раза, то это означает, что длина данного отрезка равна $4$ см.

Введём простое наблюдение. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.

Формула нахождения координаты середины отрезка

Формула нахождения координаты середины отрезка относится к курсу аналитической геометрии на плоскости.

Дадим определение координатам.

Определение 3

Координаты — это определённые (или упорядоченные) числа, которые показывают положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве.

В нашем случае, координаты отмечаются на плоскости, определённой координатными осями.

Рисунок 3. Координатная плоскость. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Опишем рисунок. На плоскости выбрана точка, называемая началом координат. Её обозначают буквой $O$. Через начало координат проведены две прямые (координатные оси), пересекающиеся под прямым углом, причём одна из них строго горизонтальная, а другая — вертикальная. Такое положение считается обычным. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается $OX$, вертикальная — осью ординат $OY$.

Таким образом, оси определяют плоскость $XOY$.

Координаты точек в такой системе определяются двумя числами.

Существуют разные формулы (уравнения), определяющие те или иные координаты. Обычно в курсе аналитической геометрии изучают разные формулы прямых, углов, длины отрезка и прочие.

Перейдём сразу к формуле координаты середины отрезка.

Определение 4

Если координаты точки $E(x,y)$ — это середина отрезка $M_1M_2$, то:

Рисунок 4. Формула нахождения координаты середины отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Практическая часть

Примеры из школьного курса геометрии достаточно просты. Рассмотрим несколько основных.

Для лучшего понимания, рассмотрим для начала элементарный наглядный пример.

Пример 1

Имеем рисунок:

На рисунке отрезки $AC, CD, DE, EB$ равны.

Серединой каких отрезков является точка $D$?
Какая точка является серединой отрезка $DB$?

точка $D$ является серединой отрезков $AB$ и $CE$;
точка $E$.

Рассмотрим другой простой пример, в котором нужно вычислить длину.

Пример 2

Точка $B$ — середина отрезка $AC$. $AB = 9$ см. Какая длина $AC$?

Так как т. $B$ делит $AC$ пополам, то $AB = BC= 9$ см. Значит, $AC = 9+9=18$ см.

Ответ: 18 см.

Прочие подобные примеры обычно идентичны и ориентированы на умение сопоставлять значения длин и их представление с алгебраическими действиями. Нередко в задачах встречаются случаи, когда сантиметр не укладывается ровное количество раз в отрезок. Тогда единицу измерения делят на равные части. В нашем случае сантиметр делится на 10 миллиметров. Отдельно измеряют остаток, сравнивая с миллиметром. Приведём пример, демонстрирующий такой случай.

Определение 1

Определение 2

Определение 3

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Пример 1

Решение

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ : координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Решение

По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3

Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:

A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58

Ответ: 58

Пример 3

Решение

Ответ: координаты точки А (7 , 3 , — 8) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как найти координаты середины отрезка
Для начала разберемся, что такое середина отрезка.
Серединой отрезка считают точку, которая принадлежит данному отрезку и отстоит на одинаковое расстояние от его концов.

Координаты такой точки несложно найти, если известны координаты концов этого отрезка. В таком случае координаты середины отрезка будут равны половине суммы соответствующих координат концов отрезка.
Координаты середины отрезка часто находят, решая задачи на медиану, среднюю линию и т.п.
Рассмотрим вычисление координат середины отрезка для двух случаев: когда отрезок задан на плоскости и задан в пространстве.
Пусть отрезок на плоскости задан двумя точками с координатами и . Тогда координаты середины отрезка РН рассчитываются по формуле:

Пусть отрезок задан в пространстве двумя точками с координатами и . Тогда координаты середины отрезка РН рассчитываются по формуле:

Пример.
Найти координаты точки К — середины МО, если М (—1; 6) и О (8; 5).

Решение.
Поскольку точки имеют две координаты, значит, отрезок задан на плоскости. Используем соответствующие формулы:

Следовательно, середина МО будет иметь координаты К (3,5; 5,5).

Ответ. К (3,5; 5,5).

Видео-вопрос: нахождение параметрического уравнения прямой, проходящей через середину между двумя точками и заданного вектора направления

Приведите параметрическое уравнение прямой, проходящей через середину между 𝑝₁ = (1, 2, 3) и 𝑝₂ = (3, 6, −5) с направляющим вектором 〈−1, 2, 5〉.

Стенограмма видео

Приведите параметрическое уравнение линия, проходящая через середину между 𝑝 один равен одному, два, три и 𝑝 два равно трем, шести, минус пяти с отрицательным вектором направления один, два, пять.

Нам дано, что линия проходит через середину между двумя точками 𝑝 один и 𝑝 два и имеет направление вектор с отрицательными компонентами один, два и пять. Теперь мы знаем, что параметрический уравнения прямой в пространстве представляют собой неединственную систему из трех уравнений: 𝑥 равно 𝑥 sub 𝐴 плюс 𝑡𝑙, 𝑦 равно 𝑦 sub 𝐴 плюс 𝑡𝑚 и 𝑧 равно 𝑧 sub 𝐴 плюс 𝑡𝑛. И вот где 𝐴 точка на линия с координатами 𝑥 под 𝐴, 𝑦 под 𝐴 и 𝑧 под 𝐴; вектор с компоненты 𝑙, 𝑚, 𝑛 — вектор направления прямой; а 𝑡 — действительный параметр между отрицательным и положительным ∞.

Нам дали направление вектор для линии. Так что мы можем сразу записать компоненты 𝑙, 𝑚 и 𝑛. Это 𝑙 равно минус единице, 𝑚 равно двум, а 𝑛 равно пяти. И вычислить точку на линии, мы можем использовать формулу средней точки для средней точки между 𝑝 единицей и 𝑝 два. Это как раз тот момент, чей координаты представляют собой средние значения 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-координат соответственно две заданные точки. Итак, с 𝑝 один равен один, два, три и 𝑝 два равно три, шесть, минус пять, наша середина имеет координаты один плюс три на два, два плюс шесть на два и три плюс минус пять на два. Это четыре больше двух, восемь больше два, и минус два на два, что является точкой с координатами два, четыре и отрицательный.

Итак, освободив место, у нас есть наш вектор направления с отрицательными компонентами один, два и пять и точка на линия с координатами 𝑥 sub 𝐴 равна двум, 𝑦 sub 𝐴 равна четырем, а 𝑧 sub 𝐴 равняется отрицательной единице. А теперь подставив их в выражения для параметрических уравнений прямой имеем 𝑥 равно двум, что это 𝑥 под 𝐴, плюс минус один, то есть 𝑙, умноженный на 𝑡. Это 𝑥 равно двум минус 𝑡. 𝑦 равно четырем, это 𝑦 под 𝐴, плюс два, то есть 𝑚, умноженное на 𝑡. А 𝑧 равно минус единице, 𝑧 sub 𝐴 плюс пять, то есть 𝑛, умноженное на 𝑡.

Таким образом, параметрические уравнения линия, проходящая через середину 𝑝 одного и 𝑝 двух с направляющим вектором минус один, два, пять равно 𝑥 равно двум минус 𝑡, 𝑦 равно четырем плюс два 𝑡, и 𝑧 равно минус один плюс пять 𝑡.

r — Найти середины между значениями в векторе

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 1 месяц назад

Изменено 4 года, 3 месяца назад

Просмотрено 3к раз

Часть R Language Collective

Функция для расчета AUC с использованием правила средней точки. Используя R, как я могу определить вектор, который содержит средние точки между значениями предыдущего вектора? Или как я могу сместить значения вектора в их средние точки?

 # определить h (или дельту x)
  ч <- (б - а)/н
# определить вектор на основе пределов интегрирования, от a до b с шагом h
  xj <- seq.

Парабола функция ее свойства и график: Свойства квадратичной функции y = ax² — урок. Алгебра, 8 класс.

alexxlab / 25.07.202301.05.2023 / Разное

Квадратичная функция, ее график и свойства

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Квадратичная функция. Её свойства и график.

Определение квадратичной
функции
Квадратичной функцией называется
функция , которую можно задать формулой
вида:
y=
2
ax +bx
+c
где: a, b, c –
числа
Х – независимая переменная
а 0
График квадратичной функции – парабола.

3.

Алгоритм построения параболы у = ах2 + bх + с :1. Найти координаты вершины параболы, построить
на координатной плоскости соответствующую точку,
провести ось симметрии.
2.
Определить направление ветвей параболы.
3. Найти координаты еще нескольких точек,
принадлежащих искомому графику ( в частности,
координаты точки пересечения параболы с осью у и
нули функции, если они существуют).
4. Отметить на координатной плоскости
найденные точки и соединить их плавной линией.
—
.
Графиком квадратичной функции
у = ах2 + bх + с является парабола, которая получается из
параболы
у = ах2 параллельным переносом.
Вершина параболы — ( х0; уо) ,
b
где : хо = 2a
у0 =
4ac b 2
4a
Осью параболы будет прямая
b
х=2a

5. Свойства квадратичной функции

Функция непрерывна
Множество значений при a>0 —
Множество значений при a<0 10
8
6
4
2
0
-3
-2
-1
0
-2
1
2
3
4
5
Многие свойства
квадратичной функции
зависят от значения
дискриминанта.

Дискриминантом квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0 называется выражение
D =b2 – 4ac
Возможны три случая:
D 0
D 0
D 0
если дискриминант больше нуля, то парабола
пересекает ось абсцисс в двух точках,
если дискриминант равен нулю, то парабола
касается оси абсцисс,
если дискриминант меньше нуля, то парабола не
пересекает ось абсцисс,
абсцисса вершины параболы равна
—
ветви параболы
направлены вверх,
При
у
b
2a
При
ветви параболы
направлены
вниз
у
f(x0)
х
х
b
2a

9. Область значений функции – Е (f) = [ -1 ; + )

Функция возрастает в
промежутке [ +3; +
)
Функция убывает в
промежутке ( ;+3]
Наименьшее значение
функции равно -1
Наибольшего значения
функции не существует
f(x) > 0 при х < 2, или
х>4
f(x) < 0 при 2 < х < 4
Ось симметрии
Область значений функции –

10. Постройте график функции у=2х²+4х-6, опишите его свойства

Проверь себя:
1.

D(y)=
;
У
2. у=0, при х=1; -3
3. у>0, при х ; 3 1;
у<0, при х 3;1
4. у↓, если х ; 1
у↑, если х 1;
5. унаим= -8, если х= -1
унаиб – не существует.
6. Е(y): 8 ;
1
-1
-2
1 2 3
Х
Задание
1. Построить график функции и
описать ее свойства у=2х²+4х-1
2. Построить график функции и
описать ее свойства у= -7х²-х+3

English Русский Правила

Внеклассный урок — Квадратичная функция. Функция y = ax2, ее график и свойства

Квадратичная функция. Функция y = ax², ее график и свойства

Квадратичная функция – это функция, которую можно задать формулой вида

y = ax² + bx + c,

где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел. (Напомним: областью определения функции называется совокупность значений независимой переменной, см.раздел «Функции и их графики»)

Функция y = ax².

Функция y = ax² – это частный случай квадратичной функции.

Графиком функции y = ax² является парабола.

Свойства функции y = ax² при a > 0:

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат.

2. Если x ≠ 0, то y > 0.

График функции расположен в верхней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Пояснение: допустим, x = –2, y = 8. При x = 2 значение y не меняется и составляет 8.

4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) — возрастает.

5. Наименьшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0 (см.пункт 1).

Наибольшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток [0; +∞).

Свойства функции y = ax² при a < 0:

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат.

2. Если x ≠ 0, то y < 0.

График функции расположен в нижней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

График функции представляет собой симметричную фигуру относительно оси y.

Пояснение: допустим, x = –4, y = –8. При x = 4 значение y не меняется и составляет –8.

4. В промежутке (–∞; 0] функция возрастает, а в промежутке [0; +∞) — убывает.

5. Наибольшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0 (см.пункт 1).

Наименьшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток (–∞; 0].

Параболическая функция — определение, формула, график, свойства, примеры, часто задаваемые вопросы

LearnPracticeDownload

Параболическая функция — это функция формы форма, она имеет форму параболы. Уравнение, представляющее параболическую функцию, является квадратным уравнением со второй степенью по x.

Давайте узнаем больше о параболической функции, графике параболической функции, свойствах параболической функции с помощью примеров, часто задаваемых вопросов.

1.	Что такое параболическая функция?
2.	График параболической функции
3.	Свойства параболической функции
4.	Примеры параболической функции
5.	Практические вопросы
6.	Часто задаваемые вопросы о параболической функции

Что такое параболическая функция?

Параболическая функция представляет собой функцию вида f(x) = ax ² + bx + c. Это квадратное выражение во второй степени по х. Параболическая функция имеет график, аналогичный параболе, поэтому функция называется параболической функцией.

Параболическая функция имеет одно и то же значение диапазона для двух разных значений домена. Общий вид параболической функции f(x) = ax ² + bx + c имеет одно значение f(x) или значение y для двух значений x, которые равны x ₁ , x ₂ . Две возможные точки на графике параболической функции: (x ₁, y), (x ₂, y). Следовательно, параболическую функцию также можно назвать функцией «многие к одному».

График параболической функции

График параболической функции похож на параболу. График параболы следует основному определению параболы. Парабола — это геометрическое место точки, равноудаленной от фиксированной точки, называемой фокусом, и неподвижной линии, называемой директрисой.

График параболической функции симметричен прямой линии, и эта линия называется осью параболы. Ось параболы может быть линией, параллельной любой оси координат, или линией, наклоненной под углом к оси координат.

Свойства параболической функции

Ниже приведены некоторые важные свойства параболической функции, которые помогут лучше понять эту функцию.

Параболическая функция имеет один и тот же кодовый домен для двух разных значений домена.
Набор из двух точек, удовлетворяющих уравнению параболической функции, имеет разные абсциссы и одинаковые ординаты.
Область определения параболической функции может быть положительной или отрицательной, но диапазон параболической функции является положительным значением.
Параболическую функцию также можно назвать множеством единиц.
График параболической функции симметричен относительно прямой, и эта линия называется осью параболы.
Уравнение, представляющее параболическую функцию, удовлетворяет всем свойствам геометрической параболы.

Связанные темы

Следующие темы помогут понять концепцию параболической функции.

Обратная функция
Сюръективная функция
Биективная функция
Инъекционная функция
Периодическая функция

Примеры параболической функции

Пример 1: Найдите параболическую функцию, представляющую параболу с фокусом (4, 0), осью x в качестве оси параболы и началом координат в качестве вершины параболы.

Решение:

Фокус параболы равен (a, 0) = (4, 0) и a = 4.

Для параболы, имеющей ось x в качестве оси и начало координат в виде вершина, уравнение параболы y ² = 4 оси.

Отсюда уравнение параболы: y ² = 4(4)x или y ² = 16x.

Параболическая функция равна y = $4\sqrt x$

Следовательно, уравнение, представляющее параболическую функцию, имеет вид y = $4\sqrt x$.
Пример 2: Найти вершину параболической функции y = 0,5x ² + 3x + 4.

Решение:

Сравнение данного уравнения с y = ax ² + bx + c, имеем a = 0,5, b = 3 и c = 4.

Координата x вершины: h = -b/2a = -3/2(0,5) = — 3/1 = -3.

Y-координата вершины k = 0,5(-3) ² + 3(-3) + 4 = -0,5.

Вершина данной параболы есть, (h, k) = (-3, -0,5)

Ответ: Вершина параболы = (-3, -0,5).

перейти к слайдуперейти к слайду

Разложите сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Забронировать бесплатный пробный урок

Практические вопросы по параболической функции

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о параболической функции

Что такое параболическая функция?

Как решить параболическую функцию?

Выражение параболической функции имеет вид f(x) = ax ² + bx + c, и его можно решить относительно x. Параболическая функция также решается аналогично квадратичной функции. Это выражение можно приравнять к нулю и либо разложить на множители, либо решить методом формул.

Каков диапазон параболической функции?

Диапазон параболической функции — все положительные действительные числа. Диапазон параболической функции представлен на оси Y.

Что такое область определения параболической функции?

Область определения параболической функции включает все действительные числа. Областью определения параболической функции обычно являются значения x функции, представленные как на положительной, так и на отрицательной оси x.

Какой тип функции является параболической функцией?

Параболическая функция является разновидностью многих функций. Для параболической функции у нас есть два значения домена и одно значение диапазона. Возможный набор точек на графике параболической функции равен (x ₁, у) и (х ₂, у).

В чем разница между параболической функцией и квадратичной функцией?

Параболическую функцию также можно рассматривать как квадратичную функцию. Общее выражение параболической функции имеет вид f(x) = = ax ² + bx + c, что аналогично квадратному выражению. Квадратное выражение является второй степенью как по x, так и по y, поэтому каждое квадратное выражение нельзя назвать параболической функцией.

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Характеристики парабол | Колледж Алгебра

Результаты обучения

Определите вершину, ось симметрии, [латекс]y[/латекс]-пересечение, а также минимальное или максимальное значение параболы на ее графике.
Определите квадратичную функцию, записанную в общей и вершинной формах.
Для заданной квадратичной функции в общем виде найдите вершину.
Определите область определения и диапазон квадратичной функции, указав вершину как максимум или минимум.

График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой . Одной из важных особенностей графа является то, что он имеет крайнюю точку, называемую вершиной . Если парабола раскрывается, вершина представляет собой самую низкую точку на графике или минимальное значение квадратичной функции. Если парабола открывается вниз, вершина представляет собой наивысшую точку на графике или максимальное значение . В любом случае вершина является поворотной точкой на графе. График также симметричен, а вертикальная линия проходит через вершину, называемую 9.0103 ось симметрии .

Точка пересечения [latex]y[/latex] — это точка пересечения параболы с осью [latex]y[/latex]. Точки пересечения [latex]x[/latex] — это точки, в которых парабола пересекает ось [latex]x[/latex]. Если они существуют, то пересечения [latex]x[/latex] представляют собой 90 103 нулей 90 104 или 90 103 корней 90 104 квадратичной функции, значения [latex]x[/latex] при которых [latex]y=0 [/латекс].

Пример: определение характеристик параболы 9{2}+4x+3[/латекс]. В этой форме [латекс]а=1,\текст{ }b=4[/латекс] и [латекс]с=3[/латекс]. Поскольку [latex]a>0[/latex], парабола открывается вверх. Ось симметрии: [латекс]x=-\dfrac{4}{2\left(1\right)}=-2[/latex]. Это также имеет смысл, поскольку на графике видно, что вертикальная линия [latex]x=-2[/latex] делит график пополам. Вершина всегда находится вдоль оси симметрии.

Для параболы, которая открывается вверх, вершина находится в самой нижней точке графика, в данном случае [латекс]\влево(-2,-1\вправо)[/латекс]. [latex]x[/latex]-перехваты, те точки, где парабола пересекает [latex]x[/latex]-ось, находятся в [latex]\left(-3,0\right)[/latex] и [латекс]\влево(-1,0\вправо)[/латекс]. 9{2}+k[/latex]

, где [latex]\left(h,\text{ }k\right)[/latex] — вершина. Поскольку вершина появляется в стандартной форме квадратичной функции, эта форма также известна как вершинная форма квадратичной функции .

Для заданной квадратичной функции в общем виде найдите вершину параболы.

Одна из причин, по которой мы можем захотеть идентифицировать вершину параболы, заключается в том, что эта точка сообщит нам, где происходит максимальное или минимальное значение вывода, [latex]k[/latex], и где оно происходит, [latex]h [/латекс]. Если нам дан общий вид квадратичной функции: 92+bx+c[/latex]

Мы можем определить вершину [latex](h,k)[/latex], выполнив следующие действия:

Идентифицировать [latex]a[/latex], [latex] ]b[/латекс] и [латекс]с[/латекс].
Найдите [latex]h[/latex], координату [latex]x[/latex] вершины, подставив [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] в [latex]h =-\dfrac{b}{2a}[/latex].
Найдите [latex]k[/latex], [latex]y[/latex]-координату вершины, оценивая [latex]k=f\left(h\right)=f\left(-\dfrac{ б}{2а}\справа)[/латекс] 9{2}-6x[/latex], напишите уравнение в общем виде, а затем в стандартном виде.

Показать решение

Нахождение области определения и диапазона квадратичной функции

Любое число может быть входным значением квадратичной функции. Следовательно, областью определения любой квадратичной функции являются все действительные числа. Поскольку параболы имеют максимум или минимум в вершине, диапазон ограничен. Так как вершина параболы будет либо максимальной, либо минимальной, диапазон будет состоять из всех [latex]y[/latex]-значений, больших или равных [latex]y[/latex]-координате вершины или меньше или равно [latex]y[/latex]-координате в точке поворота, в зависимости от того, открывается ли парабола вверх или вниз.

Пи рациональное число: «Число пи рациональное или иррациональное?» — Яндекс Кью

alexxlab / 25.07.202325.04.2023 / Разное

С днём рождения, Пи! / Хабр

Сегодня исполняется ровно 250 лет с того дня, как немецкий физик и математик Иоганн Генрих Ламберт, отвлёкшись от своих трактатов по оптике и астрономии, доказал, что Пи является иррациональным числом. Это значит, что не существует таких целых чисел p и q, для которых было бы верно равенство Пи = p/q.

На первый взгляд, что здесь такого важного? Рациональное число или иррациональное — какая разница? В практическом инженерном применении это ничего не меняет, потому что при конструкции любого цилиндра или хирургической иголки они всё равно аппроксимируют Пи с погрешностью, допустимой для каждой конструкции. Это могли делать инженеры Римской империи почти так же успешно, как мы, оснащённые мощной компьютерной техникой (хотя у Пифагора, например, понятие иррациональных чисел вызывало столь сильное отвращение, что он вообще отрицал их существование).

Но всё-таки, каков же смысл работы Ламберта? Какова её польза для общества?

На этот вопрос самый полный и одновременно лаконичный ответ дал оксфордский математик Эдвард Титчмарш: «От того, что мы знаем, что Пи иррационально, нет никакой практической пользы, но если мы можем знать это, то не знать этого становится невыносимо». В этом вся суть математики. Наука существует, потому что до сих пор остались нерешённые проблемы и вопросы без ответов.

В этом смысле математики находятся в одной лодке с филологами, философами и историками, которые могут отдать всю жизнь на изучение какого-нибудь мелкого лингвистического нюанса или исторического факта, не имеющего абсолютно никакой практической пользы для современного общества. Например, мог ли эректус жить в условиях экстремально низких температур? Почему в Новгороде 10 века было больше грамотных женщин, чем в Москве 15 века? Таких вопросов огромное количество. Если есть возможность узнать ответ, то мы не можем остановиться и просто обязаны удовлетворить своё любопытство. Мы получаем удовольствие от изучения таких проблем. То же самое верно в математике, и никакого практического смысла здесь быть не может.

Есть проблемы, которые нужно решить, есть знание, которое должно быть усовершенствовано. Люди в школах и университетах сталкиваются с вопросами тысячелетней давности, на которые никто до сих пор не ответил. И они пробуют свои силы. Если в процессе этого появляется некий побочный продукт, полезный для общества, то хорошо. Например, создание электрических батарей стало возможным благодаря работе Джеймса Максвелла по изучению магнетизма и электричества, однако шотландский физик занимался наукой не ради батареек.

Доказательство Ламберта дало пищу для изучения студентам математики и вызвало новые вопросы, которые, в свою очередь, породили новую волну исследований. Но самое главное, что Ламберт ответил на вопрос, на который никто не мог ответить в течение столетий. Вот в чём главный смысл. Об этом нужно помнить тем, кто справшивает о «практической пользе» открытий.

via Timothy Trudgian

Пи — рациональное или иррациональное число?

Система счисления или числовая система представляет собой способ представления чисел в арифметической или алгебраической форме цифрами или словами. Эти числа, присутствующие в системе счисления, делятся на различные типы, такие как действительные числа, простые числа, четные числа, нечетные числа, рациональные числа, иррациональные числа и т. д. Эти числа составляют значительную часть математических операций для проведения вычислений.

Числа

Числа — это арифметические значения, используемые в различных математических операциях. Обычно они используются для маркировки фиксированных количеств, проведения измерений, продаж, трейдинга и т. д. Числа были огромной частью экономического и финансового мира. Целые числа, целые числа, натуральные числа, рациональные числа и т. д. являются одними из примеров наборов чисел.

Типы чисел

Помимо четырех различных типов чисел, это десятичные числа, шестнадцатеричные числа, двоичные числа и восьмеричные числа. Числа также классифицируются на другие типы в зависимости от их характеристик. Они подразделяются на наборы по системе счисления. Типы описаны ниже:

Натуральные числа : Натуральные числа представляют собой набор чисел, считая от 1 до бесконечности. Множество натуральных чисел обозначается буквой «N». Это числа, которые мы обычно используем для счета. Множество натуральных чисел задано N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…
Целые числа: Целые числа — это набор натуральных чисел, включая ноль, который считается от 0 до бесконечности. Целые числа не включают дроби или десятичные дроби. Множество целых чисел обозначается буквой «W». Набор целых чисел определяется как W=0,1,2,3,4,5,…
Целые числа : Целые числа представляют собой набор чисел, включающий все положительные натуральные числа, ноль, а также все отрицательные счетные числа. которые считают от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. В наборе нет дробей и десятичных знаков. Множество целых чисел обозначается Z. Набор целых чисел задается Z=.., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Десятичные числа: Любое числовое значение, состоящее из десятичной точки, является десятичным числом. Его можно выразить как 2,5, 0,567 и т. д.
Рациональные числа: Рациональные числа — это числа, которые можно выразить как отношение двух целых чисел. Он включает в себя все целые числа и может быть выражен в виде дробей или десятичных знаков. Обозначается буквой Q.
Иррациональные числа: I рациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены дробями или отношениями целых чисел. он может быть записан десятичными знаками и иметь бесконечные неповторяющиеся цифры после запятой. Обозначается буквой «П».

Рациональные числа

Рациональные числа — это набор чисел, которые могут быть выражены в виде дробей двух целых чисел и могут быть записаны как положительное число, отрицательное число, простое число и даже ноль.

Рациональные числа выражаются в виде p/q, где q ≠0.

Рациональные числа могут быть представлены дробями, десятичными знаками и даже нулем. Все числа с ненулевым знаменателем, которые можно записать в форме p/q, являются рациональными числами. Например, 4/5 — это рациональное число, выражающее деление целого числа 4 на целое число 5.

Рациональное число — это дробь или отношение двух целых чисел, которое можно записать в виде p/q, где q не равно нулю. Следовательно, любая дробь с ненулевым знаменателем является рациональным числом. Например, 4/5 — это рациональное число, где 4 — это целое число, делимое на ненулевое целое число, равное 5. Рациональное число также может быть записано в десятичной форме, если десятичное значение является определенным или имеет повторяющиеся цифры после запятой. десятичная точка. Например, 0,8 — рациональное число. Поскольку значение 0,8 может быть дополнительно выражено в виде отношения или дроби как p/q

0,8 = 4/5

Что представляет собой отношение двух определенных целых чисел 4 и 5.

Иррациональные числа

Иррациональные числа — это набор чисел, которые не могут быть выражены в виде дробей или отношений целых чисел. он может быть записан десятичными знаками и иметь бесконечные неповторяющиеся цифры после запятой.

Иррациональные числа не могут быть выражены в виде p/q, где q ≠0.

Например, 0,1211212111122… — иррациональное число, которое не имеет конца.

Является ли число π рациональным или иррациональным?

Ответ:

. Поскольку значение не является конечным, оно показывает природу иррациональных чисел. Следовательно, π не является рациональным числом. Это иррациональная ценность.

Примеры задач

Вопрос 1. Является ли 22,7 рациональным числом?

Ответ:

22.7 может быть записана в форме нарушения как 227/10, которая находится в форме p/q и q не равно нулю. Следовательно, 22,7 — рациональное число.

Вопрос 2: 0 является рациональным числом, как?

Ответ:

0 также входит в рациональное число, так как имеет ненулевой знаменатель. Если мы представим 0 в виде p/q

0 = 0/1

Где 0 — целое число, деленное на целое число 1.

Вопрос 3. Является ли 0,5 рациональным числом?

Ответ:

0,5 может быть записано в форме нарушения как 1/2, которая представлена в виде p/q, а q не равно нулю. Следовательно, 0,5 — рациональное число.

Вопрос 4. Является ли 33,5 рациональным числом?

Ответ:

33.5 может быть записано в форме нарушения как 335/10, которое находится в форме p/q и q не равно нулю. Следовательно, 33,5 — рациональное число.

Вопрос 5: Назовите свойства рационального числа.

Ответ:

Общие свойства рациональных чисел: 5
Пи — рациональное, конечное число

Приходит ересь на разных уровнях. Для современного интеллектуала самые низкие уровни ереси могут быть связаны с политикой или экономикой — областями мысли, где вам разрешено иметь неортодоксальные идеи, не исключаясь из приличной компании. Более высокие уровни ереси могут быть связаны с религией или наукой — не соглашайтесь с ортодоксальными предположениями здесь, и вас сочтут вполне возможно сумасшедшим. Высший уровень ереси в современном мире — математическая ересь . Несогласие с математической ортодоксией равносильно тому, чтобы «быть полноценным чудаком». Вам просто не позволено сомневаться в определенных идеях математики, не будучи осужденным как интеллектуальный прокаженный.

К сожалению, как и в любой другой области мысли, существует обратная зависимость между «допустимостью несогласия» и «вероятностью ошибки». Чем больше табу на оспаривание предположения, тем больше вероятность того, что оно рухнет под пристальным вниманием. Теологи могут мириться с разногласиями по поводу свойств Бога, но они не могут мириться с разногласиями по поводу существования Бога. Его существование слишком фундаментально, чтобы его можно было пересматривать. Если Бога не существует, вся теоретическая структура, построенная на этом предположении, рушится.

Так и с математикой. Несколько фундаментальных предположений нельзя оспаривать, и поэтому они превратились в догму, что делает эту статью математической ересью.

Я изучил основы стандартной геометрии и нашел две ошибки — одну логическую, другую метафизическую. В этой статье речь пойдет о метафизическом. Существенных объектов, описываемых математиками, не существует. Таким образом, любые выводы, сделанные на основании существования этих объектов, скорее всего, неверны.

В этом случае общепризнанное утверждение, что «Pi — иррациональное, трансцендентное число, величина которого не может быть выражена конечным десятичным разложением», является ложным из-за метафизической ошибки .

Пи — рациональное число с конечным десятичным разложением. Эта идея, которая поначалу может показаться немыслимой, к концу этой статьи окажется чрезвычайно разумной.

(Дальше в этой статье я буду сокращать «Pi — рациональное число с конечным десятичным разложением» как «Pi — конечное число» или, проще говоря, «Pi конечно». )

О формах

Мои утверждения просты и сохраняют базовую геометрическую интуицию. Например, это «окружность»:

Это «линия»:

А это «точки»:

Если вы верите, что эти объекты действительно являются окружностями, линиями и точками, тогда вы тоже верите, что число пи конечно. Видите ли, математики не верят, что эти объекты можно определить как «линии» или «точки». В их воображении линии и точки не видны, и на самом деле они сказали бы, что вышеперечисленные «линии и точки» — это всего лишь несовершенные приближения линий и точек.

Чтобы понять почему, мы должны задать ряд вопросов, ответы на которые, как предполагается, уже известны. Это вопросы, которые якобы настолько очевидны, что их не стоит задавать. И все же, когда мы спрашиваем их у математиков, мы получаем сомнительные ответы. Вопросы типа:

Что такое «форма»?

Что такое «линия»?

Что такое «точка»?

Что такое «круг»?

Что такое «расстояние»?

Задайте эти вопросы среднестатистическому интеллектуалу, и он, скорее всего, посмеется над вами, потому что предположит: «Все знают, что такое линия!» Они не правы. Я, например, не думаю, что математики знают, что такое прямые. И поскольку их теории построены на их метафизических заявлениях о «линиях и точках», теории должны быть пересмотрены с нуля.

Без длины, ширины и смысла

Поскольку предметом этой статьи является число пи, давайте изложим определение, которое мы все выучили в школе:

Пи — это отношение длины окружности к ее диаметру.

Здесь есть несколько ключевых терминов: « отношение », « круг », «окружность» и «диаметр».

Чтобы понять, что такое число пи, нам нужно понять, что означают эти другие термины. Особенно этот: «круг». Вот одно определение:

«Круг» — это фигура, граница которой состоит из точек, равноудаленных от фиксированной точки.

Звучит разумно. Нам нужно понять еще несколько ключевых терминов: «форма», «граница» и «точки». Если мы хотим понять число пи, мы должны понять, что такое круги, а если мы хотим понять, что такое круги, мы должны сначала понять, что такое «точки».

Именно здесь я нахожу фундаментальную ошибку ортодоксальной геометрии: определение точки, из которой построены все другие геометрические объекты. Что такое точка? Оказывается, есть много разных определений. Начнем с исходного определения Евклида, которое мне нравится.

«Точка» — это то, что не имеет частей.

Мы вернемся к этому определению позже. Вот еще один:

«Точка» — это точное местоположение или место на плоскости.

Неплохо. Они часто представляются маленькими точками:

Однако эти интуитивные определения на самом деле не применимы в современной математике. «Точки» в ортодоксальной геометрии на самом деле не «определены» сами по себе. Предполагается, что их следует понимать с точки зрения их свойств. Существенным свойством является следующее:

Точки не имеют длины, площади, объема или любого другого размерного атрибута. Это «нульмерные» объекты.

Это основа современных представлений о геометрии. Точки не могут иметь длину, ширину или глубину. И тем не менее, все формы якобы построены из них. Поэтому вы можете спросить: «Подождите, как фигуры, имеющие размеры, могут состоять из набора точек, не имеющих измерений?»

Это очень хороший вопрос, и если вы настаиваете на поиске логического ответа, вы закончите так же, как и я: отвергнете очень большие части ортодоксальной математики.

Каждая «линия» для математика на самом деле состоит из бесконечного числа точек, но каждая точка сама по себе не имеет никакого измерения. Линии , имеющие длину, состоят из точек , не имеющих длины. Как это понять?

Нет.

Это все равно, что спросить: «Сколько нулей нужно сложить, чтобы получить 1?» Ответ очевиден: вы не можете сложить несколько нулей и получить 1, даже бесконечное количество нулей. Если точка имеет нулевые измерения, то не имеет значения, сколько вы их сложите. Вы никогда не получите объемный объект. Это логическая необходимость.

Итак, у нас очень большая проблема. Буквальное основание, на котором строится вся теоретическая структура современной геометрии, — «точка» — сомнительно. Ошибки на этом уровне могут иметь катастрофические последствия.

Формы без формы

Если быть последовательным, математик быстро заставляет себя занимать странные позиции. Например, он должен заключить что-то вроде: «Мы не можем видеть формы!» Возьмем, к примеру, то, что нематематики называют «линии»:

Конечно, для математика это не может быть линией, потому что линии якобы имеют только одно измерение – длину. Этот объект имеет и длину, и ширину — он вытянут в двух измерениях. Что же тогда мы можем назвать этой формой, если не «линия»? Не знаю, надо спросить у математика.

Как насчет двумерного объекта: круга?

Конечно, это не может быть круг. Этот объект состоит из пикселей, а не точек, и каждый пиксель сам по себе расширен в двух измерениях. Поэтому объект имеет неровные края и не идеально гладкий. Хотя неспециалисты могут назвать его «кругом», это всего лишь приближение к математическому кругу, который иногда называют «идеальным кругом».

То же самое можно сказать и о таинственной «точке»:

Эти объекты также нельзя квалифицировать как «точки», поскольку они имеют размеры. Ведь мы их видим. Математические объекты нельзя увидеть; их нельзя визуализировать; они не могут иметь какой-либо расширенной — или «действительной» — формы. Если объект на самом деле имеет форму, если он занимает место, то он должен состоять из пространственно протяженных объектов, подобных компьютерным пикселям, а не математических точек.

Примечание. Я говорю не только о «физическом пространстве» или «физической форме». Я говорю о любых формах. То, что я вижу в своем поле зрения — цветные пятна — имеют форму, но они не являются физическими объектами. Сами они не занимают физического пространства. Это ментальные представления, и они состоят из расширенных точки световых пикселей на моем ментальном экране.

Итак, возникает естественный вопрос:

Кто-нибудь когда-нибудь видел или испытывал эти математические формы каким-либо образом? Встречал ли кто-нибудь хоть одну настоящую «линию» или «окружность»? Ответ должен быть решительным «Нет». Все «линии» и «круги», которые мы на самом деле воспринимаем, имеют размеры. Они построены из конечного числа точек, которые сами имеют размеры. Объекты, с которыми мы сталкиваемся, состоят из пикселей.

Важность этого пункта невозможно переоценить.

Это означает, что каждый «круг», который вы когда-либо видели или который любой инженер когда-либо наносил на бумагу, на самом деле имеет рациональное отношение длины окружности к диаметру. Каждый «круг», который когда-либо встречался, имеет уникальное «пи», которое можно выразить как отношение двух целых чисел.

«Окружность» для любого круга, который мы можем воспринимать, можно понимать как «самую внешнюю границу формы», которая сама состоит из конечного числа пикселей. Его «диаметр» тоже представляет собой простое целое число — количество пикселей, из которых он состоит. Поместите одно целое число в числитель и одно целое число в знаменатель, и вы получите рациональное число пи.

На самом деле, эти истины должны быть бесспорными даже для математиков:

Каждый «круг», с которым вы когда-либо сталкивались, без исключения, имеет рациональное конечное число пи.

Ни один «круг», с которым вы когда-либо сталкивались, без исключения не имеет иррационального пи.

Значит, мои утверждения о «рациональном числе пи» верны как минимум для 99,9999% всех фигур, которые мы называем «кругами». Это также означает, что 90 153 pi уникальны для любого заданного круга 90 154 . Однако это не должно вызывать удивления, если задуматься о природе коэффициентов.

Представьте, что я должен спросить: «Каково отношение высоты стола к его длине?»

Вы, естественно, ответите: « Какой стол?»

То же самое относится и к кругам. Не существует «одного истинного отношения, называемого «пи», по той же причине, по которой не существует «единого истинного отношения высоты стола к длине». Каждая таблица и круг построены конечным числом единиц, расположенных по-разному, и поэтому их соотношения будут различаться.

Согласно стандартной геометрии, есть буквально только один «круг», для которого мои утверждения неверны: так называемый «Идеальный круг» — объект настолько загадочный, что ни один смертный никогда не сталкивался с ним.

Божественная форма

Этот «идеальный круг» не имеет измеримых сторон или краев. Его граница состоит из бесконечного числа нульмерных точек. Самые внешние точки занимают ровно нулевое место. Его число пи не может быть выражено никаким десятичным расширением, и мы никогда не узнаем точно, каково его число пи.

Этот объект не может быть построен, визуализирован или даже существовать в нашем мире. Наш мир слишком несовершенен для этого. Вместо этого он живет в другом царстве, доступном нашему разуму.

Совершенный Круг настолько велик, что все другие «круги» являются лишь приближениями к нему. Это единственный истинный круг. Если вы попросите доказательства его существования, вы не найдете ни одного. Тем не менее, математики построили всю свою геометрическую теорию на ее существовании.

Я открыто признаю свою ересь: я не верю в «идеальный круг».

Поэтому я не верю в «иррациональное пи». И мне не нужна такая концепция. У каждой формы, с которой я когда-либо сталкивался — или когда-либо столкнусь, — есть края, которые занимают место.

Геометрии без идеальных окружностей и без иррационального пи вполне достаточно, чтобы объяснить все явления, которые я переживаю. Поэтому мне не нужно постулировать лишнюю сущность, тем более с такими замечательными свойствами.

Другими словами: я просто верю в то, что на один кружок меньше, чем математики. Это все, что требуется, чтобы заключить, что пи является рациональным числом для любого заданного круга.

Просто абстракция!

Я слышал, как некоторые математики утверждают, что геометрические объекты являются простыми абстракциями и поэтому освобождаются от предшествующей критики. Но среди прочего, это отбрасывает метафизику абстракции назад. Вы абстрагируете от конкретики . Из абстрактного не получится конкретное .

Подумай об этом. От чего абстрагируются, чтобы получить понятие «идеальный круг»?

Это не могут быть круги, которые мы видим на самом деле, поскольку каждый из этих кругов имеет несовершенные края. Весь наш конкретный опыт имеет формы с несовершенными краями, рациональное число пи и состоит из точек с размерностью. Итак, исходя из этого опыта, математик говорит: «Ну, я думаю, что истинный круг — это круг без ребер, с иррациональным числом пи, и он состоит из точек нулевой размерности!»

Это чепуха, и абстракция работает не так.

Представьте, что мы говорим о домах и абстрактных концепциях домов.

В каждом доме, с которым мы когда-либо сталкивались, есть стены, пол и потолок. Математик хочет сказать, что его концепция «идеального дома» — это дом без стен, полов и потолка . И на самом деле, обычные старые дома — всего лишь приближение к его идеальному дому. Очевидно, это ошибка.

У нас может быть совершенно правильное абстрактное представление о доме, но свойства нашего «абстрактного дома» должны включать в себя свойства конкретных домов, от которых мы абстрагируемся. Наш «ментальный дом» должен включать концептуальные категории «наличия стен, пола и потолка». Размеры этих свойств не имеют значения, пока они существуют .

Абстрактное представление о «доме без стен, полов и потолка» не может объяснить никаких явлений, с которыми мы сталкиваемся, потому что оно не описывает ничего, что могло бы существовать. Представьте, что ваш друг выводит вас на пустое поле и говорит: «Вот мой идеальный дом! У него нет ни стен, ни пола, ни потолка!» Вы бы подумали, что он сумасшедший, особенно если бы он добавил: «А все остальные дома — лишь приближение к этому!»

Ненастоящий!

Один из наиболее самообвиняющих ответов математиков звучит так: «Но математические объекты не являются реальными ! Их вообще нет!» Во всех своих исследованиях я могу с уверенностью сказать, что математика — единственная область мысли, где признание «объекты, о которых я говорю, нереальны и не существуют» означает защиту конкретной теории.

Эта ошибка представляет собой объединение объектов и их ссылок. Например, понятие «мой дом» должно относиться к «моему дому в мире». Было бы глупо говорить: «Мой дом не занимает места, потому что моя идея моего дома не занимает места».

Точно так же понятие «точка» должно относиться к «точному местоположению в геометрическом пространстве». Столь же глупо было бы сказать: «Точки не занимают геометрического пространства, потому что моя идея о точке не занимает геометрического пространства».

Фундаментальная сущность геометрии связана с пространством – будь то физическое пространство, ментальное пространство, концептуальное пространство или любое другое пространство. Следовательно, объекты геометрии должны сами занимать пространство. Нет такой вещи, как «точное местоположение в пространстве, которое не является точным местоположением в пространстве».

Альтернативная теория

Итак, позвольте мне представить альтернативную геометрическую основу. Это только начало совершенно новой теории математики, которую я называю «математикой базовых единиц». Это основы базовой геометрии:

1) Все геометрические структуры состоят из базовых единиц. Эти единицы называются «баллами».

2) Каждая точка пространственно расширена.

3) В любой концептуальной структуре расширение базовой единицы равно 1. В этой структуре по определению не существует меньшей единицы расстояния.

4) Все расстояния и формы могут быть выражены в единицах измерения.

Эти основы образуют логически прочную основу для построения геометрии.

Соедините точки вместе, и вы сможете составить любую фигуру, какую захотите, без иррациональных чисел. Каждый объект, кроме базовой единицы, является составным объектом, состоящим из отдельных точек. Вот почему я сказал ранее, что мне нравится исходное определение Евклида «точки» как «того, что не имеет частей». Базовые блоки не имеют частей; они являются частями, образующими любое другое целое.

Я понимаю, что будет много возражений против такого взгляда на геометрию. Эти возражения будут подробно рассмотрены в следующих статьях.

Чтобы получить интуитивное представление об этой структуре, вы можете думать о «точках» как о «пикселях», с которыми у всех нас есть опыт. Все формы и объекты, с которыми вы можете столкнуться в симуляции виртуальной реальности высокого разрешения, на самом деле представляют собой сгустки пикселей, хотя с нашей макроскопической точки зрения они могут казаться «идеально гладкими».

Несколько хороших следствий этой теории:

Это линия:

Это круг:

0003

(Примечание: этот GIF-файл был взят из Википедии, чтобы показать предполагаемую иррациональность числа пи. Однако, если вы понимаете, что смотрите, на самом деле это демонстрация рациональности числа пи. Вы смотрите на GIF логического совершенства и точности базовой геометрии!)

Каково отношение длины окружности этого круга к диаметру? Просто: это одно целое число над другим — сколько бы базовых единиц ни составляла длина окружности, деленная на сколько бы ни было единиц, составляющих диаметр. И, как это бывает, пока круг не построен из крошечного количества основных единиц, отношение числа пи составит около 3,14159.(Хотя, если мы будем предельно точны, мы должны обозначать дроби, поскольку десятичное расширение может быть сомнительным в рамках базовых единиц. Но это будущая статья.). Не существует «общего» или «идеального» круга. Существуют конкретные реальные окружности, каждая из которых представляет собой составной объект, построенный конечным числом точек.

Среди прочего, это также означает, что не существует такого понятия, как «единичная окружность» — предполагаемая окружность с радиусом 1. Не существует диаметров, расстояние между которыми равно 1. Вы не можете создать окружность, используя только одну пиксель.

В рамках этой теории «круги» — это именно то, с чем вы столкнулись. «Точки» — это местоположения в пространстве, которые являются реальными местоположениями в пространстве, а «линии» — это то, что все знают.

Базовый блок Интуиция

Очевидно, что эта тема требует гораздо большего пояснения и работы не только в геометрии, но и везде, где метафизика математики ошибается. В этой статье я не могу осветить все возражения против геометрии базовых единиц, но объясню еще несколько способов ее осмысления и поясню, почему она превосходит стандартную ортодоксальность.

Во-первых, эта схема полностью объясняет все явления, с которыми мы сталкиваемся, и теряет ровно нулевую объяснительную силу по сравнению со стандартной геометрией. Каждая форма, каждый круг, каждая линия, каждая точка, каждый пространственный опыт, который у нас когда-либо будет, можно объяснить, не допуская существования дополнительных сущностей. У нас нет идеальных кругов; поэтому у нас нет причин теоретизировать о них.

Кроме того, математика основных единиц более точна логически , чем православие. Любой, кто работал с «иррациональным пи», должен использовать приближения. Они не могут использовать фактическое бесконечное десятичное расширение. Они вынуждены произвольно обрезать величину числа пи, чтобы использовать его. Не так с геометрией базового блока. Идеальная точность на самом деле возможна, так как нет никаких приближений или бесконечных десятичных разложений, с которыми приходится иметь дело. Возможно, сейчас это не имеет большого значения, но по мере того, как технология приближается к базовым размерам физического пространства, это может иметь большое значение.

Вот короткое интересное замечание о бесконечном десятичном расширении числа пи:

Что происходит, когда ортодоксальные математики вычисляют все больше и больше десятичных знаков числа пи? Хватаются ли они за «истинные пропорции Совершенного Круга»? Нет. Они вычисляют отношения пи для кругов с постоянно меньшими базовыми единицами . По мере того, как базовая единица сжимается — или по мере того, как круг увеличивается в диаметре — отношение его длины окружности к диаметру меняется очень незначительно. Эти расчеты сразу же практичны, так же, как практичны триггерные таблицы. Это предварительно рассчитанные значения, которые применимы и точны для данного круга заданного размера.

(Если вы хотите понять, почему pi немного меняется, подумайте об этом так: по мере увеличения размера базовой единицы площадь, ограниченная окружностью, уменьшается; по мере уменьшения размера базовой единицы замкнутая площадь по окружности увеличивается, но с убывающей скоростью. Чем ровнее край круга, тем больше площадь круга.)

На заметку: геометрия базовой единицы не требует «конечной базовой единицы». Другими словами, каждая концептуальная схема будет иметь базовую единицу по логической необходимости, но это не означает, что вам запрещено придумывать другую концептуальную схему с меньшей базовой единицей 9.0154 .

Подумайте об этом так: любая данная фотография будет содержать конечное число пикселей. Он будет иметь базовое разрешение. Однако это не означает, что невозможно сделать фотографию с более высоким разрешением. Точно так же любой заданный круг будет иметь разрешение в базовых единицах, но это не значит, что невозможно представить круг с более высоким разрешением (меньшие базовые единицы).

Мы можем даже выйти за пределы физического мира. Физическое пространство должно иметь базовую единицу, что означает, что в нашей физической системе нет меньшей единицы. Однако это не означает, что нам запрещено речь идет о базовых единицах меньшей размерности. Эти объекты просто не будут коррелировать с нашей вселенной. Кто знает, возможно, мы могли бы сказать правду о другой физической вселенной с меньшими базовыми единицами.

Примечание: это также прекрасно согласуется с моим решением парадоксов Зенона. Пространство должно иметь базовую единицу, если движение возможно.

Отличным примером феномена базовых единиц является фрактал . Предположительно, фракталы имеют смысл только в рамках концепции «бесконечной делимости». Это неправильно. Фракталы имеют гораздо больше смысла в контексте базовых единиц. Рассмотрим это изображение:

Похоже, это первый кандидат на «бесконечную делимость». Однако это иллюзия. В любой момент времени для этого изображения существует базовое разрешение. По мере «увеличения» изображения создаются новые единицы измерения, выраженные в пикселях. Ни в коем случае вы не смотрите в бесконечность; вы всегда смотрите на конечное число пикселей. Если вы сомневаетесь в этом, вы можете посчитать пиксели. Объект строится, пока вы наблюдаете за ним. То же самое происходит и в математике; объекты строятся так, как вы их себе представляете. Об этом еще много будет сказано в следующих статьях.

Многоугольники и греки

Я хочу быстро ответить на одно возражение, которое неизбежно возникнет — у тех, кто утверждает, что изображения кругов в этой статье на самом деле не являются кругами; это полигона . Края представляют собой набор маленьких прямых линий; они не идеально гладкие. Если это правда, то это не критика базовой геометрии, потому что все круглые объекты, с которыми мы сталкиваемся, были бы многоугольниками . Поэтому наши математические теории должны быть о многоугольниках; мы не испытываем ничего другого. Я хочу знать о свойствах этой формы:

Меня не волнует, как вы это называете. Геометрия базовой единицы может рассказать вам о свойствах этой формы.

Греки тоже допустили эту ошибку, говоря о кругах — как будто они были построены из «бесконечного числа линий». Это неправильно. Окружности и многоугольники состоят из конечного числа точек , а не линий. Линии ничего не составляют; они сами являются составными объектами.

Представьте, что вы строите круг на песке.

Какова площадь этого круга? Я гарантирую, что это конечное рациональное число. Вы можете буквально сосчитать песчинки, из которых он состоит. Окружность состоит из песчинок, как и диаметр, как и площадь. Все они целые.

Последний аргумент, который я рассмотрю в статье, исходит от тех, кто думает, что «круг» — это не форма; это математическое выражение. Что-то вроде (x² + y² = r²).

Это просто еще одна метафизическая путаница, которая объединяет символов с объектом, который должны описывать символы. Это все равно, что сказать: «Яблоки — это синоним слова «красный фрукт». Это путаница. Слова «красный фрукт» являются описанием объекта , а не самим объектом. Формула вроде (x² + y² = r²) будет описывать форму круга — или, если вы предпочитаете думать об этом таким образом, — это правило построения круга.

Оставить комментарий on Пи рациональное число: «Число пи рациональное или иррациональное?» — Яндекс Кью/

Сторона квадрата равна 8 см чему равна его площадь: Реши задачу: а) Сторона квадрата равна 8 м. Чему равна площадь прямоугольника, которая в два…
alexxlab / 25.07.202328.04.2023 / Разное

4. Пользуясь данным рисунком, найдите площадь заштрихованной фигуры (сторона квадрата равна… Математика А.П. Ершова 6 класс. С-17 Вариант Б-1
4. Пользуясь данным рисунком, найдите площадь заштрихованной фигуры (сторона квадрата равна… Математика А.П. Ершова 6 класс. С-17 Вариант Б-1 – Рамблер/класс
Интересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

Пользуясь данным рисунком, найдите площадь заштрихованной фигуры (сторона квадрата равна 8 см).
ответы
Не заштрихованная фигура это окружность с радиу-
сом 8:2 = 4 (см), разрезанная на две равные части.
Площадь заштрихованной фигуры равна 8∙ 8-π×
× 42 = 64 — 50,24 = 13,76 (см2).
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
Психология
3 класс
5 класс
Репетитор
похожие вопросы 5
3. После того, как от ленты отрезали 11/5 м, осталось 4/7 ее первоначальной длины. Найдите… 6 класс А.П. Ершова Математика. С-13 Вариант А 1
3.
После того, как от ленты отрезали 11/5 м, осталось 4/7 ее первоначальной длины. Найдите длину оставшейся части ленты.
ГДЗМатематикаЕршова А.П.6 класс
раскройте скобки и вычислите -48+(-102+48)
ГДЗ
ЕГЭ Математика 11 класс. Ященко И. В. Тренировочная работа 35 Вопрос 9 Найдите корень выражения
Привет. Выручайте с ответом по математике…
Найдите корень уравнения х2 = (х — 5)2.
ЕГЭМатематикаЯщенко И.В.Семенов А.В.11 класс
ЕГЭ Математика 11 класс. Ященко И. В. Тренировочная работа 35 Вопрос 10 Найдите корень выражения
Привет всем! Нужен ваш совет, как отвечать…
Найдите корень уравнения х2 = (x + 7)2.
ЕГЭМатематикаЯщенко И.В.Семенов А.В.11 класс
4. На данном рисунке АС = 10 см, ВС = 8 см. Найдите площадь заштрихованной фигуры. А.П. Ершова 6 класс Математика. С-17 Вариант А 1

На данном рисунке АС = 10 см, ВС = 8 см. Найдите площадь заштрихованной фигуры. (Подробнее…)
ГДЗМатематика6 классЕршова А.П.

Приращение — площадь — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 4
Cтраница 4
Сторона квадрата равна 8 см. Насколько увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить на: а) 1 см; б) 0 5 см -, в) 0 1 см. Найти главную линейную часть приращения площади этого квадрата и оценить относительную ошибку ( в процентах) при замене приращения его главной частью. [46]
Приращение площади вызвано продвижением эквивалентного теплового фронта. [47]
Что означает полученный нами результат на геометрическом языке. Рассмотрим приращение площади AS круга. Отношение этой площади к АЛ близко к длине окружности. [48]
Наряду с различием видов напряженного состояния при вдавливании иденторов различной формы имеет место и различный вид зависимости изменения площади контакта идентора с горной породой от нагрузки. В пределах упругого деформирования приращением площади при вдавливании инденторов с плоской рабочей поверхностью пренебрегаем. [49]
Состояние компонентов Л и 8 смеси до смешения fa и после смешения ( б. [50]
Действительный характер распределения вещества А в объеме смеси зависит от множества трудноучитываемых факторов, поэтому целесообразно считать этот процесс стохастическим и применять для его описания статистические закономерности. Примем, что при смешении приращение площади поверхности раздела за отрезок времени dt прямо пропорционально разности между максимально возможным и текущим значением межфазной поверхности. [51]
Кинетическая энергия механизма в ряде его последовательных положений определяется методом графического интегрирования диаграммы приведенного момента в функции угла поворота звена приведения. Так как при интегрировании нас интересует лишь приращение площади, заключенной между осями координат и кривой приведенного момента, то задачу можно решить следующим более наглядным построением ( фиг. [52]
Образующийся с обеих сторон поплавка или поршня перепад давления остается практически постоянным и не зависящим от величины расхода. Подъем поплавка или поршня, линейно связанный с приращением площади отверстия, выражает непосредственно величину расхода. [53]
Образующийся с обеих сторон, поплавка или поршня перепад давления остается практически постоянным и не зависящим от величины расхода. Подъем поплавка или поршня, линейно связанный с приращением площади отверстия, выражает непосредственно величину расхода. [54]
Образующийся с обеих сторон поплавка или поршня перепад давления остается практически постоянным и не зависящим от величины расхода. Подъем поплавка или поршня, линейно связанный с приращением площади отверстия, выражает непосредственно величину расхода. [55]
Действительно, по аналогии с физическим смыслом дифференциала ( гл. XII, § 4), дифференциал площади dS равен фиктивному приращению площади 6 при повороте на угол йф полярного радиуса р, при условии, что послед-нкй сохраняет постоянную величину. Отсюда ясно, что dS есть плошадь кругового сектора радиуса р с центральным углом йф. [56]
Действительно, по аналогии с физическим смыслом дифференциала ( гл. XII, § 4), дифференциал площади dS равен фиктивному приращению площади 5 при повороте на угол rfp полярного радиуса р, при условии, что последний сохраняет постоянную величину. [57]
В основном эти приборы состоят из поршня ( или поплавка), движущегося в корпусе той или иной формы и открывающего при своем движении на большую или меньшую величину проходное сечение. Подъем поршня ( или поплавка), линейно связанный с приращением площади сечения отверстия, тем или иным способом отмечается в непосредственных величинах измеряемого расхода. [58]
Страницы: 1 2 3 4
Сторона квадрата равна 8 см. Найдите площадь квадрата, проведенного по диагонали исходного квадрата (8 см х 8 см).

Выберите область веб-сайта для поиска

MathAllУчебные пособияПомощь по домашним заданиямПланы уроков
Искать на этом сайте
Цитата страницы Начать эссе значок-вопрос Задайте вопрос
Начать бесплатную пробную версию
Скачать PDF PDF Цитата страницы Цитировать Поделиться ссылкой Делиться
Укажите эту страницу следующим образом:

«Сторона квадрата равна 8 см. Найдите площадь квадрата, проведенного по диагонали исходного квадрата (8 см Х 8 см)». eNotes Editorial , 28 января 2013 г., https://www.enotes.com/homework-help/side-square-8-cm-find-area-square-drown-diagonal-77955. По состоянию на 28 апреля 2023 г.

Ответы экспертов

Вам нужно найти длину стороны нового квадрата, площадь которого вам нужно оценить, следовательно, используя информацию, предоставленную задачей, что сторона нового квадрата является диагональю исходного квадрата, вам нужно запомнить уравнение, связывающее сторону квадрата и его диагональ, такое, что:

`d = l sqrt 2`

`d` представляет длину диагонали квадрата

`l` представляет длину стороны квадрата Square

Вам нужно оценить площадь нового квадрата так, чтобы: 92.`

См. eNotes без рекламы

Начните 48-часовую бесплатную пробную версию , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые наши эксперты ответили.
Получите 48 часов бесплатного доступа
Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Утверждено редакцией eNotes

Задайте вопрос

Похожие вопросы

Просмотреть все
Математика

Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.

Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?

14 Ответы воспитателя

Математика

Последний ответ опубликован 07 октября 2013 г. в 20:13:27.

Как определить, является ли это уравнение линейной или нелинейной функцией?

84 Ответы воспитателя

Математика

Последний ответ опубликован 25 февраля 2016 г. в 18:48:45.

Сколько времени (в часах) займет ваше путешествие, если вы проедете 350 км со средней скоростью 80 км/ч? Какова формула с данными: время, расстояние, скорость или скорость?

1 Ответ воспитателя

Математика

Последний ответ опубликован 09 октября 2017 г. в 00:54:39

Добавьте 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4. . . вплоть до 100.

3 Ответа воспитателя

Математика

Последний ответ опубликован 02 сентября 2012 г. в 3:00:53.

Как ограничения (пределы исчисления) используются или применяются в повседневной жизни? Или применительно к проблемам реального мира? Мне нужно пару примеров! Спасибо!

1 Ответ воспитателя

Если длина диагонали квадрата равна 8 см, то найдите его площадь.

Курс

NCERT

Класс 12

Класс 11

Класс 10

Класс 9

Класс 8
900 97 Класс 7
Класс 6

IIT JEE

Экзамен

JEE MAINS

JEE ADVANCED

X ПЛАТЫ

XII ПЛАТЫ

NEET

Новый Предыдущий год (по годам)

Физика Предыдущий год

Химия Предыдущий год

Биология Предыдущий год

Новый Все образцы работ

Образцы работ Биология

Образцы работ Физика

Образцы статей Химия

Скачать PDF-файлы

Класс 12

Класс 11

Класс 10

Класс 9

Класс 8

Класс 7

Класс 6

Экзаменационный уголок

Онлайн-класс

Викторина

Спросить Doubt on Whatsapp

Поиск Doubtnut

Английский словарь

Toppers Talk

Блог

О нас

Карьера

Скачать

Получить приложение

Вопрос

Обновлено:29/09/2021

СОВРЕМЕННЫЕ ПУБЛИКАЦИИ-ОБЛАСТЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ И ТРЕУГОЛЬНИКОВ-УПРАЖНЕНИЕ
20 видео
РЕКЛАМА

Ab Padhai karo bina ads ke 900 03
Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина киси ад ки рукаават ке!

Похожие видео

वर्ग ABCD का विकर्ण AC की लम्बाई 5. 2 cm है। वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करें?

25789725

04:14

किसी वरसे विकर्ण की लम् Размер а см ें ज्ञात करें?

25789727

01:47

Длина диагонали квадрата 24см. Найдите его площадь.

51555333

03:02

Длина диагонали квадрата 20см. его площадь составляет

283257508

01:25

्रफल 80 वर्ग सेमी है और उसका एक विकर्ण 10 सेमी है, त ो उसके दूसरे विकर्ण की लंबाई निकालें।

643349979

01:09

किसी समचतुर्भुज का क्षेत् रफल 84 वर्ग सेमी है और उसका एक विकर्ण 7 सेमी है, तो दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात करो।

643350051

01:07

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफ 240 वर्ग सेमी है। यदि इसके एक विकर्ण की लंबाई 16 सेमी है, तो इसके द ूसरे विकर्ण की लंबाई है :

644158481

02:38

एक वर्ग का एक विकर्ण 8 सेमी, है। इसका क्षेत्रफल है-

644583041

02:13

Длина диагонали квадрата равна 5√2см. Затем найдите площадь квадрата.

645188820

03:43

Если длина диагонали квадрата 8 см. 2, то найдите площадь треугольника ADB? 92, то найдите длину…

01:26

На рис. ABCD — это бот ||gm и DN AB. Если AB = 10 см и DN =…

01:56

ABCD — ромб AC = 8 см, а DB = 6 см. Найдите длину ВС.

01:48

Если ABC и BDE — два равносторонних треугольника, середина которых — D… середина…

05:22

PQRS представляет собой прямоугольник, вписанный в квадрант окружности радиусом 13 c…

04:51

True/False Площадь || gm = 1/2 basexx соответствующей высоты.

00:51

True/False Если площадь || gm с одной стороной 24 см и соответствуют…

01:29

Верно/Неверно Если диагонали ромба равны 14 см и 18 см, то i…

01:14

Параллелограмм на одинаковых основаниях и между одинаковыми параллелями равен …

05:50

Верно/Неверно Два параллелограмма лежат на одном основании и между двумя параллел.

Оставить комментарий on Сторона квадрата равна 8 см чему равна его площадь: Реши задачу: а) Сторона квадрата равна 8 м. Чему равна площадь прямоугольника, которая в два…/

X 3 x 1 0 решить уравнение: кубических, тригонометрических, логарифмических и др. уравнений · Калькулятор Онлайн для чайников 🫖🤓
alexxlab / 25.07.202309.05.2023 / Разное

2
Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда
Интегральные функции:
Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь
Другие функции:
asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. 2 3-x-1=0 Tiger Algebra Solver
Пошаговое решение :

Шаг 1 :

Калькулятор корней многочленов :

1.1    Найти корни (нули) :       F(x) = x 9000 9 3 -х- 1
Калькулятор корней полиномов представляет собой набор методов, предназначенных для нахождения значений x , для которых F(x)=0

Тест рациональных корней является одним из вышеупомянутых инструментов. Он найдет только Rational Roots, то есть числа x , которые можно выразить как частное двух целых чисел

Теорема о рациональном корне утверждает, что если многочлен равен нулю для рационального числа  P/Q  , то P является множителем замыкающей константы, а Q является множителем ведущего коэффициента

В этом случае ведущий коэффициент равен 1, а замыкающий Константа – -1.

Коэффициент(ы):

ведущего коэффициента: 1
константы замыкания: 1

Проверим….
900 51

   Р    Q    P/Q    F(P/Q)     Делитель

   -1       1        -1. 00        — 1,00

      1       1        1,00        -1,00

Калькулятор корней многочленов не нашел рациональных корней

Уравнение в конце шага 1 :

x ³ - x - 1 = 0
Шаг 2 :
Кубические уравнения :
2.1     Решение   x ³ -x-1 = 0
Будущие версии Tiger-Algebra будут решать уравнения третьей степени напрямую.
Тем временем мы воспользуемся методом деления пополам для аппроксимации одного действительного решения.
Аппроксимация корня методом деления пополам:
Теперь мы используем метод деления пополам для аппроксимации одного из решений. Метод деления пополам — это итерационная процедура для аппроксимации корня (корень — это другое название решения уравнения).
Функция F(x) = x ³ — x — 1
При   x=   1,00   F(x) равно -1,00 0012
Интуитивно мы чувствуем, и справедливо, что, поскольку F(x) отрицательна с одной стороны интервала и положительна с другой, то где-то внутри этого интервала F(x) равна нулю
Процедура:
(1) Найдите точку «Слева», где F (Слева) < 0
(2) Найдите точку «Справа», где F (Справа) > 0
(3) Вычислите «Середину» середины точка интервала [Left,Right]
(4) Вычислить значение = F(Middle)
(5) Если значение достаточно близко к нулю, перейти к шагу (7)
Иначе:
Если значение < 0, то: Left <- Середина
Если значение > 0, то: Справа <- Середина
(6) Возврат к шагу (3)
(7) Готово!! Найденное приближение — Middle
Следуйте средним движениям, чтобы понять, как это работает:
Левое значение (левое) Правое значение (правое) 1. 000000000 -1.000000000 2.000000000 5.000000000 0,000000000 -1,000000000 2,000000000 5,000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 5.000000000 1,000000000 -1,000000000 1,500000000 0,875000000 1,250000000 -0,296875000 1,500000000 0,875000000 1,250000000 -0,296875000 1,375000000 0,224609375 1,312500000 -0,051513672 1,375000000 0,224609375 1,312500000 -0,051513672 1,343750000 0,082611084 1,312500000 -0,051513672 1,328125000 0,014575958 1,320312500 -0,018710613 1,328125000 0,014575958 1,324218750 -0,002127945 1,328125000 0,014575958 1,324218750 -0,002127945 1,326171875 0,006208830 1,324218750 -0,002127945 1,325195312 0,002036651 1,324707031 -0,000046595 1,325195312 0,002036651 1,324707031 -0,000046595 1,324951172 0,000994791 1,324707031 -0,000046595 1,324829102 0,0004740391,324707031 -0,000046595 1,324768066 0,000213707 1,324707031 -0,000046595 1,324737549 0,000083552 1,324707031 -0,000046595 1,324722290 0,000018478 1,324714661 -0,000014059 1,324722290 0,000018478 1,324714661 -0,000014059 1,324718475 0,000002209 1.

Оставить комментарий on X 3 x 1 0 решить уравнение: кубических, тригонометрических, логарифмических и др. уравнений · Калькулятор Онлайн для чайников 🫖🤓/

Линии уровня функции: Ошибка 403 — доступ запрещён
alexxlab / 25.07.202326.04.2023 / Разное

Функция нескольких переменных. Общие свойства. Непрерывность функции. Линии уровня, поверхности уровня. (Семинар 21)

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Функция нескольких переменных. Общие свойства. Непрерывность функции. Линии уровня, поверхности уровня.
Семинар 21
Определение 1
Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных
величин x,y из некоторой области их изменения D соответствует
определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых
переменных x,y, определенных в области D.
Обозначение: z=f(x,y), z=F(x,y), и так далее.
Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.
Определение 2
Совокупность пар (x,y) значений x,y, при которых определена функция
z=f(x,y), называется областью определения или областью существования этой
функции.
Пусть дана функция z=f(x,y), определенная в некоторой области G плоскости
OXY. Рассмотрим некоторую определенную точку
, лежащую в
области G или на ее границе.
Определение 3
Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки M(x,y) к
точке
, если для каждого числа
найдется такое число r>0, что
для всех точек M(x,y), для которых выполняется неравенство
имеет
место неравенство
Определение 4
Пусть точка
принадлежит области определения функции f(x,y).
Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке
, если имеет место
равенство
(1)
Причем точка M(x,y) стремится к точке
произвольным образом,
оставаясь в области определения функции.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется
непрерывной в этой области.
Если в некоторой точке
не выполняется условие (1), то точка
называется точкой разрыва функции z=f(x,y). Условие (1) может не
выполняться, например, в следующих случаях:
1) z=f(x,y) определена во всех точках некоторой окрестности точки
,
за исключением самой точки
.
2) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки
, но не
существует
3) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки
и
существует
, но
Определение 5
Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия z=f(x,y)=с на плоскости
OXY, в точках которой функция сохраняет постоянное значение z=c.
Определение 6
Поверхностью уровня функции u=f(x,y,z) называется поверхность u=f(x,y,z)=с
плоскости, в точках которой функция сохраняет постоянное значение u=c.
Примеры с решениями
1. Найти область определения функции
.
Решение.
Функция принимает действительные значения при условии
или
, т. е. областью определения данной функции является круг радиуса
а с центром в начале координат, включая граничную окружность.
2. Найти область определения функции
.
Решение.
Функция определена, если
Областью определения
функции является плоскости, заключенная между двумя параболами
, за исключением точки О(0,0).
3. Найти область определения функции
.
Решение.
Данная функция зависит от трех переменных и принимает действительные
значения при
, т. е. область определения –
часть пространства, заключенная внутри полостей двуполостного
гиперболоида.
4. Найти линии уровня функции
Решение.
Уравнение семейства линий уровня имеет вид
.
Придавая С различные действительные значения, получим концентрические
окружности с центром в начале координат.
5. Найти поверхности уровня функции
Решение.
Уравнение семейства поверхностей имеет вид
.
Если С=0, то получаем
— конус.
Если С>0, то получаем
— семейство однополостных
гиперболоидов;
Если С<0, то получаем
— семейство двуполостных гиперболоидов;
Примеры для самостоятельного решения
1. Найти области определения функции
2. Найти линии уровня функций:
3. Найти поверхности уровня функций:
English Русский Правила

Линия уровня — Энциклопедия по экономике
Множество допустимых значений вектора на рис. 1.8. На этом рисунке также изображены линии уровня критерия U( x). [c.51]
Здесь p — параметр, не меньший размерности пространства критериев г, BI,. .., ег — положительные малые параметры. Чтобы представить себе смысл функции полезности (3.12), рассмотрим ее линии уровня (кривые безразличия) в пространстве критериев / при заданном значении / (рис. 6.6). [c.303]
Линии уровня этой функции в пространстве критериев / при заданной цели / приведены на рис. 6.6, а. Поскольку из-за малости величин EJ (/ = 1,. .., г) правое слагаемое практически не влияет на вид диний уровня, то получаем обычную функцию полезности [c.303]
Теперь рассмотрим случай р > г. Изучим структуру линий уровня функции (3.12) в том случае, когда не выполняется условие / /. Пусть min(/j — fj) достигается при / = /о. Так как ус- [c.304]
Линии уровня дйя этого случая приведены на рис. 6.6, в. В промежуточном случае, как можно проверить, линии уровня имеют вид, изображенный на рис. 6.6, б. [c.304]
Однако экономически содержательная интерпретация может быть наиболее убедительно продемонстрирована на плоскости ( 1(0, 0, поверхности безразличия в виде кривых функции полезности. Более подробное изображение этой плоскости представлено на рис. 11.4, который помогает прояснить логику геометрического способа построения кривых безразличия. [c.234]

Если провести на рис. 2.2 и 2.3 горизонтальную прямую, соответствующую достигнутому на молотовых линиях уровню приведенных затрат для коленчатого вала 10,9 р./шт. и для балки 10,4 р./шт., то экономически оправданными будут только те значения q и г 3, которые лежат ниже достигнутого уровня. [c.55]
Не только доходности достигли ключевой целевой области, но также и несколько циклов, наблюдаемых за эти годы проектировали, что облигации провели достаточно времени, падая в цене (повышаясь в доходности). С тестированием трендовой линией уровня 1981, это было хорошее место для изменения тренда. Когда доходность, коротко проколола эту восемнадцати-с-лишним-летнюю трендовую линию и не смогла пойти выше, прозвенел звонок (для агрессивных трейдеров) с сигналом покупать облигации. (Одна из стратегий, используемых агрессивными трейдерами заключается в противоположной торговле, когда рынок оказывается не в состоянии производить «ожидаемое» поведение. Прорыв восемнадцатилетней трендовой линии должен был привести к большой распродаже. Когда это не произошло, были сделаны покупки.) [c.200]
Нижние две линии Фибоначчи, построенные на медвежьем тренде, явились неплохими уровнями сопротивления для будущего рынка, а верхняя линия — уровнем поддержки после быстрого ее пробития. [c.134]
На рисунке 11 приведены линии уровня целевой функции цен- [c.71]
Рис. 12. Линии уровня суммарного действия в зависимости
Область допустимых решений здесь ничем сверху не ограничена нужное количество заданных компонентов тем легче получить, чем больше исходных продуктов. Но требуется найти наиболее выгодное их сочетание. Пунктирные линии, как и в предыдущем примере, — линии уровня. Здесь они соединяют планы, при которых себестоимость смесей [c.172]
Различные виды функций й(/о,/, А) в разной степени отвечают этим требованиям. Чтобы выбрать способ расширения и обосновать существование Л, важно разобраться в том, как изменяется максимальное значение функции /о при переходе от одной линии уровня функции / к другой. [c.338]

Рис. 9.6. Линии уровня ограничения и множество допустимых значений переменных
Рис. 9.7. Линии уровня целевой функции, функции / (о) и функции достижимости (б) для задачи, изображенной на рис. 9.4
Рис. 9.8. Случай совпадения условного и безусловного максимумов (а) — линии уровня целевой функции и ограничения (б) — характер функции достижимости
На рис. 1.2 это направление показано стрелкой. Чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую, характеризующую прибыль (линию уровня целевой функции) в направлении вектора- [c.442]
Представление о функции может дать и метод линий уровня. Геометрическое место точек плоскости, в которых функция z — /(ж, у) принимает постоянное значение, называется линией уровня. Это линия пересечения поверхности z — /(ж, у) плоскостью z = С и ортогонально спроектированная на плоскость Оху. Сделав несколько таких сечений плоскостями z = С, [c.280]
Сечения плоскостями z = 1, Линии уровня окружности z — 2, z — 3 радиуса 1, /2, /3 [c.281]
Рис. 14.2. Линии уровня функции z = х1 + у1
Линии постоянного выпуска. Напомним (с. 280), что множество точек плоскости называется линией уровня функции [c.345]
Линии уровня функции z = х2 + у2 — концентрические окружности [c.345]
Параллельный способ строения учетных регистров предусматривает размещение записей в процессе их регистрации по дебету и кредиту на одной линии (уровне), хотя сам регистр по строению может быть представлен в форме односторонней таблицы, двусторонней или мнографной (штафельной). Применение соответствующей формы регистрации связано прежде всего с содержанием хозяйственной операции. [c.327]
Рис. 38. Двумерные (линии уровня) и трехмерные графики распределения ценовых приращений в интервале 200 торговых дней, с центром 19 октября 1987 (соответствует О абсциссы). Масштаб плотности вероятности (ось Z) поверхностного участка логарифмический, что обеспечивает для прямого затухания экспоненциальное распределение. График изоквант (линий, на которых логарифм функции плотности вероятности принимает одинаковое значение) на верхней грани куба кодируется яркостью. Самая яркая область контурного участка соответствует наиболее вероятному значению. Символ R означает return (исход или приращение). Источник [267].
Линия тренда — это прямая линия. Линия поддержки соединяет локальные минимумы, линия сопротивления — локальные максимумы. С линиями (уровнями) поддержки и сопротивления в горизонтальном коридоре цен в фазе Инь мы уже познакомились в параграфе 1. 3. Здесь же мы рассмотрим их более подробно. Сторонники теханализа считают, что существующая тенденция должна проявлять себя внутри линий тренда. Эти линии, таким образом, служат чем-то вроде рельсов, по которым катится локомотив рынка. Если, скажем, происходит пробой линии, то это важный сигнал к смене тенденции. Например, если пробивается линия поддержки на восходящем тренде, то это веский аргумент в пользу того, что восходящий тренд сменится либо горизонтальной, либо нисходящей тенденцией (см. рис. 51) [116] [c.137]
Линия l(q) уровня q —f(L,K) производственной функции Q = f(L,K) называется изоквантой. Иными словами, линия уровня q — это множество точек, в которых объем производства постоянен и равен q. Различные наборы (v v и (wj, w затрачиваемых (используемых) ресурсов, принадлежащие одной и той же изо-кванте l(q), дают один и тот же объем выпуска q. Как и в случае с кривыми безразличия, углу наклона изокванты соответствует предельная норма технической замены одного ресурса другим. [c.175]
БАЗИСНОЕ РЕШЕНИЕ (опорный план) [basi solution] — термин линейного программирования, одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых решений, либо (если линия уровня параллельна одному из отрезков границы области) Б.р. — весь этот отрезок (см. рис. Л.2 к ст. «Линейное программирование»). Оно является решением системы линейных ограничений, которое нельзя представить в виде линейной комбинации никаких других решений. [c.26]
КРИВЫЕ БЕЗРАЗЛИЧИЯ [indifferen e urves] — геометрическое место точек пространства товаров, характеризующихся состоянием безразличия с точки зрения равной полезности для потребителя. Она является линией уровня для функции полезности этого потребителя. С другой стороны, это графическая иллюстрация взаимозаменяемости товаров. Применение К.б. — метод теоретического анализа спроса и потребления (а также некоторых других экономических явлений). [c.162]
Остается найти ту из них, которая даст наибольшую прибыль, т. е. максимум целевой функции. Выбрав произвольно прямую с1х1 + с2х2 = П с произвольной константой П и обозначив ее ММ, находим на чертеже все точки (варианты планов), где прибыль одинакова при любом сочетании х, и х2 (см. Линия уровня). Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая в наибольшей мере удалена от начала координат, однако не вышла за пределы области допустимых значений. (Перемещая линию уровня еще дальше, уже выходим из нее и, следовательно, нарушаем ограничения задачи.) Точка М0 и будет искомым оптимальным планом. Она находится в одной из вершин многоугольника. Мо- [c.171]
ЛИНИЯ УРОВНЯ [ ontour line] (или линия равного уровня) — геометрическое место точек пространства аргументов, для которых значения исследуемой функции одинаковы. Это определение можно записать так [c.174]
Поясним причины недифференцируемости функции достижимости в случае вырожденного решения. Причина заключается в том, что вырожденному решению соответствует изолированная точка а на плоскости х. На рис. 9.7, а показано расположение линий уровня, соответствующих задаче, изображенной на рис. 9.4. При замене равенства /1 = 0 на /1 = С поверхность Д перестанет касаться с плоскостью, соответствующей значению С . Если точка касания а при сколь угодно малом изменении С исчезнет, то произойдет скачок функции достижимости в сторону ее уменьшения (рис. 9.7, б). [c.340]
Градиент совпадает с нормалью к линии уровня /(ж, у) = = onst в точке MQ. [c.294]
Переход к производственным функциям с семейством монотонных линий уровня f (k, I) — onst, имеющих горизонтальные и вертикальные асимптоты и конечные пределы вида lim / (k, 10) = F (/0) и lim f (k0t. [c.46]
I) = G (k0), не позволяет отразить в производственной функции внешние связи и связи между факторами и показателями их эффективности. Представляется, что производственные функции у = f (k, I) с линиями уровня f (k, I) = onst, задаваемыми немонотонными кривыми k — k (I), дают возможность более полного учета связей между факторами и внешних связей. [c.46]
Заметим также, что при использовании производственных функций с монотонными линиями уровня у = onst оценка параметров на основе имеющейся статистики неизбежно приводит к экстраполяции свойств производственной функции, присущих ограниченной области изменения ее аргументов, на более широкую область. Между тем для анализа и прогноза темпов экономического развития при качественно новых соотношениях для его факторов выход в эту, не просканированную практически область может стать принципиально необходимым. В таком случае от производственной функции придется требовать правильного отражения соче- [c.46]
Civil 3D Grading — когда характерные линии пересекаются — Cadapult Software

Использование характерных линий для профилирования в Civil 3D было областью программы, которая продолжала развиваться с каждым выпуском. Характерные линии в Civil 3D изначально были основаны на концепциях и инструментах, которые многие из нас использовали в Land Desktop, оценивая их с помощью 3D-полилиний, а затем добавляя функциональные возможности, которые мы могли только желать в LDT.

Одним из сценариев, которого пользователи всегда старались избегать при профилировании с помощью 3D-полилиний, было создание пересекающихся 3D-полилиний, которые, в свою очередь, создавали пересекающиеся структурные линии. Если вы были осторожны и обязательно соединили эти 3D-полилинии вместе в точке их пересечения, чтобы линии пересекались на одной и той же высоте, тогда все в порядке. Однако это был сценарий, который был общей проблемой для многих пользователей.

С помощью характерных линий в Civil 3D теперь можно безопасно создавать пересекающиеся характерные линии, и вы даже можете сделать это намеренно, как только научитесь управлять ими. Сначала вам нужно знать, что характерные линии включены в сайты в Civil 3D. Это означает, что Характерные линии будут взаимодействовать с другими Характерными линиями, включенными в тот же Сайт. (Если вы не хотите, чтобы они взаимодействовали друг с другом, поместите их на разные сайты.) Таким образом, если вы создадите две характерные линии, которые пересекаются друг с другом, в месте пересечения будет создана точка разделения. Эта точка разделения гарантирует, что характерные линии пересекаются на одной и той же высоте.

Теперь, когда вы знаете, что точка разделения создана, вам, вероятно, интересно, на какой отметке она создается и к какой характерной линии она добавляется. Чтобы ответить на оба этих вопроса, Autodesk использует так называемое правило «последний побеждает». По сути, та функция, которая была создана последней, имеет приоритет. Характерная линия, созданная первой и пересекаемая новой характерной линией, имеет точку разделения, добавленную к ней на отметке, на которой она пересекает новую характерную линию. Это изменяет наклоны сегментов исходной характерной линии, которые соединяются с новой точкой разделения.

Для управления приоритетом пересечения характерных линий и отмены правила «Выигрывает последний» начните с назначения различных стилей пересекающимся характерным линиям. Затем перейдите в навигатор, разверните сайт, щелкните правой кнопкой мыши коллекцию Feature Line и выберите «Свойства».

Выберите вкладку «Параметры» в диалоговом окне «Свойства площадки характерной линии». Здесь вы можете настроить порядок приоритета характерных линий для разрешения точки разделения в соответствии с их стилем.

Наконец, лучший способ понять пересечение характерных линий — это попробовать. Вы можете использовать очень простой пример. Начните новый чертеж в Civil 3D, используя свой шаблон. Затем нарисуйте две характерные линии с помощью команды Grading >> Draw Feature Line. Нарисуйте первую линию вертикально с отметкой 0, а вторую линию горизонтально с отметкой 10, чтобы они пересекались. Теперь изучите характерную линию с помощью команды Grading >> Edit Feature Line Elevations >> Elevation Editor.

Вы увидите точку разделения, показанную на вертикальной линии, как показано выше, но не на горизонтальной линии. Это потому, что вертикальная линия была нарисована первой. Вы также можете попробовать назначить разные стили для двух характерных линий и изменить порядок стилей в настройках разрешения точки разделения, чтобы увидеть изменения после изменения приоритета характерных линий.

Применение метаданных уровня объектов (топографическая продукция) — ArcGIS Pro

К началу

В этом разделе

Сводка

Использование

Параметры

Среды

Информация о лицензировании

Сводка

Применяет значения из записи метаданных в таблице FeatureLevelMetadata к выбранным объектам с соответствующими полями атрибутов.

Usage

Значение параметра Metadata Favorite является записью в таблице FeatureLevelMetadata. Инструмент применит связанные значения записи к соответствующим атрибутам для указанных объектов в параметре Входные объекты.

Таблица FeatureLevelMetadata включена в файлы данных продуктов ArcGIS Defense Mapping и ArcGIS Production Mapping.

Типы полей в таблице FeatureLevelMetadata должны совпадать с типами полей в обновляемых векторных слоях. В противном случае инструмент завершит работу с сообщением об ошибке, указывающим, что перед обработкой типы полей должны совпадать.

Параметры

Этикетка Пояснение Тип данных

Входные характеристики

Входные данные, к которым будет применяться значение параметра «Избранное метаданных».
Слой признаков

Таблица входных метаданных

Путь к таблице метаданных содержащие записи, которые будут использоваться для заполнения атрибутов.
Представление таблицы

Избранное метаданных

Запись, которая будет использоваться для заполнения атрибутов. Доступные параметры зависят от записей, доступных в таблице метаданных.
Строка

Производный вывод
2 066

Метка Объяснение Тип данных Обновления 909071

Слой входных объектов с обновленными атрибутами.
Слой объектов; Класс объектов

arcpy.topographic.ApplyFeatureLevelMetadata(in_features, in_metadata_table, metadata_favorite)
Имя Объяснение Тип данных
in_features
[in_features,…]
3 2 Входные данные, к которым будет применено значение параметра metadata_favorite.
Feature Layer
in_metadata_table
Путь к таблице метаданных содержащие записи, которые будут использоваться для заполнения атрибутов.
Table View
metadata_favorite
Запись, которая будет использоваться для заполнения атрибутов. Доступные параметры зависят от записей, доступных в таблице метаданных.
Строка
Производный вывод
172
Имя Объяснение Тип данных
Слой in_features с обновленными атрибутами.
Слой объектов; Feature Class
Пример кода
Пример ApplyFeatureLevelMetadata (автономный скрипт)
В следующем примере кода показано, как использовать функцию ApplyFeatureLevelMetadata в Python.

# Имя: ApplyFeatureLevelMetadata_sample.py # Описание: используйте инструмент «Применить метаданные уровня функций», чтобы применить значения из # запись метаданных в таблице метаданных уровня функций для выбранных функций # которые имеют соответствующие поля атрибутов # Импорт системных модулей импортировать аркпи # Проверьте расширения arcpy.
Оставить комментарий on Линии уровня функции: Ошибка 403 — доступ запрещён/
Уравнение по математике решить: Решение уравнений — урок. Математика, 6 класс.
alexxlab / 25.07.202329.04.2023 / Математике
Решение математических уравнений с помощью помощника по преобразованию в математические выражения в OneNote
OneNote
Создание заметок
Создание заметок
Решение математических уравнений с помощью помощника по преобразованию в математические выражения в OneNote

OneNote для Интернета OneNote для Windows 10 Помощник по преобразованию в математические выражения Еще…Меньше

Напишите или введите любую математическую задачу, и помощник по преобразованию в математические выражения в OneNote решит ее для вас: поможет быстро найти решение или покажет пошаговые инструкции, которые помогут вам найти решение самостоятельно. После решения уравнения можно пользоваться различными возможностями изучения математики в помощнике по преобразованию в математические выражения.

Примечание: Эта функция доступна только в том случае, если у вас есть подписка на Microsoft 365. Если вы являетесь подписчиком Microsoft 365, убедитесь, что у вас установлена последняя версия Office.

Шаг 1. Введите уравнение.
На вкладке Рисование напишите или введите уравнение. Используйте средство Lasso Select для рисования круга вокруг уравнения. Затем выберите «Математические вычисления». Откроется панель помощника по преобразованию в математические выражения.
Дополнительные сведения: создание уравнения с помощью рукописного ввода или текста.

Шаг 2. Решите уравнение.
Чтобы решить текущее уравнение, выполните одно из следующих действий:
Щелкните или нажмите поле Выберите действие, затем выберите нужное действие помощника по преобразованию в математические выражения. Варианты, которые доступны в этом раскрывающемся меню, зависят от выбранного уравнения.
Дополнительные сведения: проверьте вкладку «Поддерживаемые уравнения » и типы проблем, поддерживаемые Помощником по математическим вычислениям
Просмотрите решение, которое OneNote выводит под выбранным действием. В приведенном ниже примере решение отображается для выбранного варианта Решение для x.

Чтобы узнать, как OneNote решил задачу, можно щелкнуть или нажать Показать действия, а затем выбрать интересующие вас сведения. Варианты, которые доступны в этом раскрывающемся меню, зависят от выбранного уравнения.

Чтобы прослушать шаги по решению вслух, Иммерсивное средство чтения запустить его из OneNote.

Создайте учебный тест, чтобы научиться решать уравнения такого типа.

Предупреждение: Тест создания практики в настоящее время недоступен, так как мы работаем над оптимизацией работы. Возможность создавать тесты для практики будет возвращена позже в этом году.

Совет: Этапы решения можно перетащить в любое место на странице.
Дополнительные сведения
Создание математических формул с помощью рукописного ввода или текста в OneNote с использованием помощника по преобразованию в математические выражения
Типы задач, поддерживаемые помощником по преобразованию в математические выражения
Построение графиков математических функций в OneNote с использованием помощника по преобразованию в математические выражения
Создание учебного теста в OneNote с использованием помощника по преобразованию в математические выражения
Типы проблем, поддерживаемые помощником по математическим вычислениям
При использовании помощника по математике в OneNote вы заметите, что раскрывающийся список «Выбрать действие» под уравнением изменяется в зависимости от выбранного уравнения. Ниже приведены некоторые типы проблем, поддерживаемые в зависимости от формулы, которую вы пытаетесь решить.
Примечание: Эта функция доступна только в том случае, если у вас есть подписка на Microsoft 365. Если вы являетесь подписчиком Microsoft 365, убедитесь, что у вас установлена последняя версия Office.

Массивы

Для списка реальных чисел поддерживаются все приведенные ниже значения.

Оценить

Сортировка

org/ListItem»>
Среднее

Медиана

Мода

Сумма

Продукт

Наибольший распространенный фактор

org/ListItem»>
Наименее распространенное кратное

Дисперсия

Стандартное отклонение

Минимумы

Maxima
Для полиномиалов поддерживаются наиболее распространенные и наименее распространенные действия. Для просмотра графиков всех функций можно также выбрать Graph в двухd.

Выражения

Для любого выражения доступны следующие действия:

Оценить

Проверяем подлинность

Развернуть (если применимо)

org/ListItem»>
Фактор (если применимо)

Граф в 2D (доступен только при наличии переменной)

Дифференцирование (доступно только при наличии переменной)

Интеграция (доступна только при наличии переменной)

Уравнения и неравенство

Для уравнений и неравенства доступны следующие действия:

org/ListItem»>
Решение для {переменной}

Граф обеих сторон в 2D — каждая из сторон равенства или неравенства определяется как отдельная функция.

Граф в 2D — граф решений уравнения или неравенства

Неравенство графов — помечает область решения на диаграмме

Системы

Важно иметь одинаковое количество уравнений и переменных, чтобы обеспечить доступность правильных функций. Системы могут быть написаны двумя разными способами:

Одна под другой, с большой
фигурной скобки или без нее перед

В одной строке, разделенной запятой

Производные и целочисленные объекты

Производные могут быть записаны либо с помощью d/dx перед функцией, либо с помощью простого знака.
Действия, доступные для производных и целочисленных элементов:

Матриц

Матрицы могут быть написаны квадратными или круглыми скобками. Для матриц поддерживаются следующие действия:

Оценить

Вычисление детерминантного значения

Инвертированная матрица

org/ListItem»>
Вычисление трассировки

Транспонирование матрицы

Размер матрицы

Уменьшение матрицы

Матричные уравнения в настоящее время не поддерживаются.

График в полярных координатах

Для графирования функции в полярных координатах r должен быть выражен как функция theta.

Сложный режим

Примечание. Выберите параметры для переключения между реальными числами и сложными числами.

Для сложных выражений и чисел, содержащих мнимую единицу i, доступны следующие действия.

Дополнительные сведения

Создание математического теста в Microsoft Forms

Создание математического теста для практики в OneNote с использованием помощника по преобразованию в математические выражения

Решение математических уравнений с помощью помощника по преобразованию в математические выражения в OneNote

Что такое уравнение? Как решать уравнения?
Уравнение — одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. 🙂 Так что же такое уравнение?
То, что это слово однокоренное со словами «равный», «равенство», возражений, думаю, ни у кого не вызывает.
Уравнение — это два математических выражения, соединённых между собой знаком «=» (равно).
Но… не каких попало. А таких, в которых (хотя бы в одном) содержится неизвестная величина. Или, по-другому, переменная величина. Или, сокращённо, просто «переменная». Которая обычно обозначается буквой «х».
Переменных может быть одна, может быть несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. И мы тоже пока что будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более — в специальных уроках.

Что значит решить уравнение?
Идём дальше.
Переменная, входящая в уравнение, может принимать любые допустимые математикой значения. На то она и переменная. 🙂 При каких-то значениях переменной получается верное числовое равенство, а при каких-то — нет.
Так вот:
Решить уравнение означает найти ВСЕ такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство. Или, более научно, верное тождество. Или доказать, что таких значений переменной не существует.

Что такое верное равенство? Это равенство, не вызывающее сомнений даже у человека, абсолютно не отягощённого глубокими математическими познаниями. Например, 5=5, 0=0, -10=-10. И так далее. 🙂
Значения переменной, при подстановке которых достигается это самое верное равенство, называются очень красиво и научно — корни уравнения.
Корень может быть один, может быть несколько. А может быть и бесконечно много корней — целый интервал или даже вообще вся числовая прямая от –∞ до +∞. Да, такое тоже бывает! Всё от конкретного уравнения зависит.)
А бывает и такое, что нельзя найти такие иксы, которые давали бы нам верное равенство. Принципиально нельзя. По определённым причинам. Нету таких иксов…
В таких случаях обычно говорят, что уравнение не имеет корней.

Для чего нужны уравнения?
Вопрос смешной. Для жизни! В школе, как правило, уравнения нужны для решения текстовых задач. Это, напоминаю, задачи на движение, на работу, на проценты и многие другие.
А во взрослой жизни без уравнений невозможны было бы ответить даже на самые обычные, но жизненно важные вопросы повседневности: какая будет погода завтра, выдержит ли заданную нагрузку здание. Или лифт. Или самолёт. Куда попадёт ракета… И не было бы сейчас среди нас ни синоптиков, ни инженеров, ни бухгалтеров, ни экономистов, ни программистов… За ненадобностью. Внушает?)
Почему это так? А потому, что уравнениями описываются почти все известные человеку природные явления и процессы. Изменение давления и температуры воздуха с высотой, закон всемирного тяготения, размножение бактерий, радиоактивный распад, химические реакции, электричество, спрос и предложение — в основе всего этого лежат математические уравнения! Простые, сложные — всякие. Какое явление или ситуация, такое и уравнение.)
Итак, запоминаем:
Уравнения — очень мощный и универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

А какие бывают уравнения?
Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Но всё многообразие уравнений можно условно разделить всего на 4 категории:
1. Линейные,
2. Квадратные,
3. Дробные (или дробно-рациональные),
4. Прочие.
Разные категории уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные — другим, дробные — третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие — тоже решаются своими методами.
Прочих уравнений, разумеется, больше всего, да…) Это и иррациональные, и тригонометрические, и показательные, и логарифмические, и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где роль неизвестного играет не число, а функция. Или даже семейство функций. 🙂
В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас — базовые приёмы и правила.
Называются эти правила — тождественные (или — равносильные) преобразования уравнений. Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!

Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.
Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы от шага к шагу суть всего уравнения не менялась. Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и, в конечном счёте, станет совсем не похоже на исходное.
Такие преобразования в математике называются равносильными или тождественными. Их довольно много, но среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых. О них и пойдёт речь в этом уроке. Да-да, всего два! Но — крайне важных! И каждое из них заслуживает отдельного внимания.
Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% уравнений математики. Заманчиво, правда?
Итак, вперёд!

Первое тождественное преобразование:
К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Суть уравнения от этого не изменится.

Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знаки. 🙂
Например, такое крутое уравнение:

Тут и думать нечего, перебрасываем тройку вправо, меняя минус на плюс:

А что же происходит в действительности? А на самом деле вы… прибавляете к обеим частям уравнения тройку!
Вот что у вас происходит:

И результат получается тем же самым:

Вот и всё. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа — что уж получится. Но самое главное то, что от прибавления тройки к обеим частям суть всего уравнения не изменилась!
        Дело в том, что привычный нам перенос слагаемых из одной части в другую со сменой знака — это просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования.
        И зачем нам так глубоко копать? В уравнениях — незачем. Переносите себе спокойно и не парьтесь. Только знаки менять не забывайте.) А вот в неравенствах привычка к переносу может и слегка обескуражить, да…
        Это было первое тождественное преобразование. Переходим ко второму.

Второе тождественное преобразование:
Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

Это тождественное преобразование мы вы постоянно применяете, когда решаете что-нибудь совсем уж жуткое типа:

Тут каждому ясно, что х=3. А вот как вы получили этот ответ? Подобрали? Угадали?
Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами математики, а не гадалки), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.
Вот так:

Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Через дроби эта процедура выглядит так:

Слева четвёрки благополучно сокращаются, остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, понятное дело, тройка. 🙂
        И все дела.)
        Звучит невероятно, но эти два (всего два!) простых преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики! Да-да, именно всех, я нисколько не преувеличиваю! От линейных и квадратных в школе до дифференциальных в ВУЗе.)
        Ну что, посмотрим на тождественные преобразования уравнений в действии?

Применение тождественных преобразований к решению уравнений.
        Начнём с первого тождественного преобразования. Переноса вправо-влево.
Пример для новичков:
        1 — х = 3 — 2х
        Дело нехитрое. Это линейное уравнение. Работаем прямо по заклинанию: «С иксами влево, без иксов — вправо».
Эта мантра — универсальная инструкция по применению первого тождественного преобразования. Вот и смотрим на уравнение. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? 2х? Не-а!) Справа у нас -2х (минус два икс)! Поэтому при переносе в левую часть минус поменяется на плюс:
        1 — х +2х = 3
        Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось все числа собрать справа. Слева в уравнении стоит единичка. Опять вопрос — с каким знаком? Ответ «с никаким» не катит.) Слева перед единицей и вправду ничего не написано. А это значит, что перед ней стоит знак «плюс». Так уж в математике повелось: ничего не написано — значит, плюс.)
И поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом:
        -х + 2х = 3 — 1
        Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа — считаем. И получаем:
        х = 2
        Это было совсем примитивное уравнение.

Теперь пример покруче, для старшеклассников:
Решить уравнение:

        Уравнение логарифмическое. Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование («С иксами влево ….»). Для этого слагаемое с иксом (то есть, —log₃x) переносим влево. Со сменой знака:

А числовое выражение (log₃4) переносим вправо. Также со сменой знака, разумеется:

        Вот и всё. Справа получилась чистая формула. Кто дружит с логарифмами, тот в уме дорешает уравнение и получит:
        х=3

Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:

        И снова всё то же самое! Выполняем первое тождественное преобразование — переносим sin x влево (с минусом), а -0,25 переносим вправо (с плюсом):

        Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое (для знающих) также не составляет никакого труда.
Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак… Именно поэтому так важно уметь его делать на автомате и без ошибок.
Собственно, ошибиться здесь можно лишь в одном — забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательность никто не отменял, да…)

Ну что, продолжаем наши игры? Развлекаемся теперь со вторым преобразованием!)
Решить уравнение:
7х=28
Крутяк, прямо скажем. ) Ладно, это эмоции…
Смотрим и соображаем: что нам мешает в этом уравнении? Что-что… Да семёрка мешает! Хорошо бы от неё избавиться. Да так, чтобы исходное уравнение не испортить.)
Но как? Перенести вправо? Ээээ… Стоп! Нельзя.) Семёрка с иксом умножением связана. Коэффициент, видите ли.) Нельзя её оторвать от икса и вправо перенести. Вот всё выражение 7х целиком — пожалуйста (вопрос — зачем?). А семёрку отдельно — никак нет.
Самое время про умножение/деление вспомнить! Нам ведь в ответе чистый икс нужен, не так ли? А семёрка — мешает. Вот и делим левую часть на семь. «Очищаем» икс от коэффициента. Так нам надо. Но тогда и правую часть тоже надо поделить на семь: этого уже математика требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 28 на 7 замечательно делится. Получится 4.
Ответ: х=4

Или такое уравнение:

Что здесь нам мешает? Дробь 1/6, не так ли? Вот давайте и избавимся от неё. Безопасно для уравнения.) Как? Ну, можно поступить аналогично — поделить обе части на эту самую 1/6. Но в уме это не очень удобно. Кое-кто и запутается…
Но мы же не только делить, мы ещё и умножать умеем!) Вспоминаем из младших классов, после какого действия у нас пропадает дробь? Правильно! Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное (или кратное) её знаменателю. Вот и умножим обе части нашего уравнения на 6. Слева всё равно чистый икс получится, а умножение правой части на 6 — не самая трудная работа.)

Вот и всё.) Умножение обеих частей уравнения на нужное число позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, запросто можно и ошибок наляпать. Короче дорога — меньше ошибок!

Теперь снова на машину времени и — в старшие классы:
Решить уравнение:

Чтобы добраться до икса и тем самым решить это крутое тригонометрическое уравнение, нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. 🙂 Вот и делим на 2 всю левую часть:

Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКЕ надо. Делим:

Получили справа табличное значение косинуса. И теперь уравнение решается за милую душу.)


Вот и вся премудрость. Как видите, тождественные преобразования уравнений — штука полезная. И при этом не самая сложная. Перенос да умножение/деление. Однако далеко не у всех они получаются с первого раза и без ошибок, ох не у всех… Основные проблемы здесь две.
Проблема первая (для малоопытных):
Иногда ученик думает, что упрощение уравнений делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может уловить и понять это правило: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то — с переноса. Где-то три раза переносят и ни разу не домножают…
Например, такое линейное уравнение:
10х + 5 = 5х — 20
        С чего начинать? Можно начать с переноса:
        10х — 5х = -20 — 5
        А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем уж переносить. Тогда сразу числа попроще станут:

Как видим, и так и сяк решать можно. И это — в примитивном примере! Вот и возникает у неопытных учеников вопрос: «Как правильно?»
По-всякому правильно! Кому как удобнее. 🙂 Универсального рецепта здесь нет и быть не может. Математика предлагает вам на выбор два вида преобразований уравнений. А порядок этих самых преобразований зависит исключительно от исходного уравнения, а также от личных предпочтений и привычек решающего.

Проблема вторая (для всех…ну… почти):
Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать скобки. Умножать и делить дроби. Работать со степенями… Короче, в наличии весь набор элементарных действий математики. Со всеми вытекающими…
Обе эти проблемы устраняются только одним способом — практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания — легче. И в итоге не математика командует вами, а вы — математикой. 🙂
Решение простых уравнений
Решая простое уравнение, думайте об уравнении как о балансе, где знак равенства (=) является точкой опоры или центром. Таким образом, если вы делаете что-то с одной частью уравнения, вы должны сделать то же самое с другой стороной. Выполняя одно и то же действие с обеими сторонами уравнения (скажем, прибавляя по 3 к каждой стороне), уравнение остается сбалансированным.
Решение уравнения – это процесс получения искомого или решения по одну сторону знака равенства, а всего остального по другую. Вы действительно сортируете информацию. Если вы решаете для x , вы должны получить x с одной стороны.
Уравнения сложения и вычитания
Некоторые уравнения включают только сложение и/или вычитание.
Пример 1
Найдите x .
x + 8 = 12
Чтобы решить уравнение x + 8 = 12, вы должны получить x отдельно с одной стороны. Следовательно, вычтите 8 с обеих сторон.
Чтобы проверить свой ответ, просто подставьте его в уравнение:

Пример 2
Найдите y .
г – 9 = 25
Чтобы решить это уравнение, вы должны получить y отдельно с одной стороны. Поэтому прибавьте 9 к обеим сторонам.
Для проверки просто замените y на 34:

Пример 3
Найдите x .
x + 15 = 6
Чтобы решить, вычтите 15 с обеих сторон.
Для проверки просто замените x на –9 :
.

Обратите внимание, что в каждом случае выше используются противоположные операции ; то есть, если в уравнении есть сложение, вы вычитаете из каждой стороны.
Уравнения умножения и деления
Некоторые уравнения включают только умножение или деление. Обычно это происходит, когда переменная уже находится в одной части уравнения, но имеется более одной переменной, например 2 x или часть переменной, например
или
Таким же образом, как при сложении или вычитании, вы можете умножать или делить обе части уравнения на одно и то же число , если оно не равно нулю , и уравнение не изменится.
Пример 4
Найдите x .
3 x = 9
Разделите каждую часть уравнения на 3.
Для проверки замените x на 3:

Пример 5
Найдите y .
Чтобы решить, умножьте каждую сторону на 5.
Для проверки замените y на 35:

Пример 6
Найдите x .
Чтобы решить, умножьте каждую сторону на .
Или без отмены

Обратите внимание, что слева вы обычно не пишете, потому что это всегда отменяется до 1 x или x .
Комбинации операций
Иногда для решения уравнения приходится использовать более одного шага. В большинстве случаев сначала выполните шаг сложения или вычитания. Затем, после того как вы отсортировали переменные с одной стороны, а числа с другой, умножьте или разделите, чтобы получить только одну из переменных (то есть переменную без номера или 1 перед ней: x , а не 2 x ).
Пример 7
Решите для х .
2 x + 4 = 10
Вычтите 4 с обеих сторон, чтобы получить 2 x отдельно с одной стороны.
Затем разделите обе части на 2, чтобы получить x .
Для проверки подставьте свой ответ в исходное уравнение:

Пример 8
Найдите x .
5x – 11 = 29
Добавьте 11 с обеих сторон.
Разделите каждую сторону на 5.
Для проверки замените x на 8:

Пример 9
Найдите x .
Вычтите 6 с каждой стороны.
Умножить каждую сторону на .
Для проверки замените x на 9:
Пример 10
Найдите y .
Добавьте 8 с обеих сторон.
Умножить каждую сторону на .
Для проверки замените y на -25:
Пример 11
Найдите x .
3 x + 2 = x + 4
Вычесть 2 с обеих сторон (то же самое, что добавить -2).
Вычтите x с обеих сторон.
Обратите внимание, что 3 x – x равно 3 x – 1 x .
Разделите обе части на 2.
Для проверки замените x на 1:

Пример 12
Найдите y .
5 у + 3 = 2 у + 9
Вычесть 3 с обеих сторон.
Вычтите 2 y с обеих сторон.
Разделите обе части на 3.
Для проверки замените y на 2:

Иногда вам нужно упростить каждую сторону (объединить одинаковые термины) перед тем, как начать процесс сортировки.
Пример 13
Найти x .
3 x + 4 + 2 = 12 + 3
Во-первых, упростите каждую сторону.
Вычесть 6 с обеих сторон.
Разделите обе части на 3.
Для проверки замените x на 3:
Пример 14
Найдите x .
4 x + 2 x + 4 = 5 x + 3 + 11
Упростите каждую сторону.
6 x + 4 = 5 x + 14
Вычесть 4 с обеих сторон.
Вычтите 5 x с обеих сторон.
Для проверки замените x на 10:
Лучшие приложения и сервисы для решения математических уравнений на 2022 год
Учиться тяжело всем. Это долгий и утомительный процесс, и мы уверены, что вы бы предпочли заняться чем-нибудь другим.
Математика — отличный пример того, насколько сложной может быть учеба. У многих то, чему они научились в школе, не приходит в голову к тому времени, когда они возвращаются домой и начинают делать домашнее задание. И учителя хотят, чтобы вы показывали свою работу, что кажется глупым в эпоху цифровых технологий.
Хотя математика является важным навыком, многие сложности можно решить с помощью математических приложений. Хорошее приложение для решения математических задач поможет вам быстро найти правильные решения, а многие даже показывают шаги, которые потребовались для этого. Лучшие приложения полезны для широкого круга математических дисциплин, таких как алгебра, геометрия, тригонометрия, статистика и т. д.
Мы покажем вам, как решить любую математическую задачу с помощью некоторых невероятных пошаговых приложений для решения математических задач для вашего Mac, независимо от того, какой уровень математики вы изучаете в школе.
Как решить мою математическую задачу?
Прокладывая свой путь в сфере образования, вы узнаете все тонкости математики, что поможет решать уравнения вручную и понимать, как решать математические задачи. Как только вы поймете, как работает математика, знание того, как решать уравнения на бумаге, скорее всего, будет пустой тратой времени. Это особенно верно, когда вы приступаете к продвинутой курсовой математике. В большинстве случаев утомительное написание задач от руки не нужно, нежелательно для инструкторов и требует много времени.
Вот несколько популярных вариантов решения математических уравнений:
Продолжайте решать математические задачи шаг за шагом на бумаге . Если вы хотите положить карандаш на бумагу, будьте нашим гостем — но есть более простые способы!
Посетите сайт бесплатного калькулятора алгебры . Есть много сайтов, которые позволяют вам вводить математические уравнения, чтобы увидеть решение. Большинство из них бесплатны для использования и могут предлагать пошаговые решения, но вы зависите от подключения к Интернету. Также неясно, используются ли ваши данные для чего-то еще, или сайт загружает вредоносное ПО на ваш компьютер без вашего ведома. За использование веб-сайта также может взиматься высокая плата за подписку.
Использовать Excel . Вы можете использовать Microsoft Excel для некоторых математических вычислений, но для этого требуется много настроек, а интерфейс сильно отличается от других математических приложений и служб. Excel не предназначен для чистой математики, и это видно. Вы также не сможете экспортировать свои расчеты в формате, пригодном для исследовательских работ.
Возьмите хороший калькулятор . Ни для кого не секрет, что многие студенты предпочитают решать математические уравнения с помощью калькулятора. Начиная с алгебры, почти у каждого ученика в сумке есть калькулятор. Это хорошие машины, ручные машины для математики, но есть способ получше.
Загрузите собственное приложение . Хорошее родное математическое приложение для вашего Mac может быть любым и всем, что вам нужно. Это может быть калькулятор, инструмент для рисования и надежное средство решения математических задач с подробно изложенными шагами. Лучше всего то, что вам не нужно подключение к сети для использования собственных приложений!
Лучшие математические приложения для решения уравнений для Mac
В математике уравнения определяются строго знаком равенства: =. Когда вы видите знак равенства, у вас есть уравнение. Но это еще не все, что есть в уравнении, особенно в алгебраической математике и не только.
На снимке экрана выше первые пять (5) — это «коэффициент», а «x» называется «переменной». Знаки вычитания и плюса (-, +) определяются как «операторы», а последние пять (5) являются константой. Решение, ноль (0), также является константой. Все, что находится слева от знака равенства, называется «выражением».
Каждая сторона оператора определяется как «термин». В приведенном выше уравнении 5x, 8x, 5 и 0 являются членами. После введения оператора терм считается закрытым. Чтобы быть правильным, все в левой части уравнения должно быть равно решению в правой части знака равенства. Такие приложения, как MathKey, быстро решают такие задачи.
Математические уравнения сложны, и это одно из самых распространенных препятствий, которое приходится преодолевать каждому ученику. Как и MathKey, существует множество отличных приложений, которые могут помочь учащимся решать математические уравнения и создавать потрясающие отчеты для занятий.
Вы можете спросить: «Какое приложение подходит для решения моей математической задачи?» Как и математические задачи, приложения бывают самые разнообразные. Лучше сначала подумать о своих потребностях. Здесь мы обсудим приложения для решения математических задач и алгебраические калькуляторы, оба из которых полезны в зависимости от уровня математики, который вы изучаете, и ваших потребностей в ваших классах.
Лучшее средство решения математических уравнений
Опытные студенты-математики могут воспользоваться преимуществами MathKey и его невероятного движка LaTex. Другие на этом уровне и чуть ниже могут вместо этого использовать PocketCAS, который имеет некоторые мощные функции для студентов-математиков уровня колледжа.
PocketCAS позиционирует себя как «калькулятор TI-89, встроенный в вашу macOS», и это справедливая оценка. Он может строить графики в 2D или 3D, имеет встроенный редактор визуальных матриц, а также встроенные константы и символы, которые помогут вам вводить точные расчеты, которые вам нужны. Если вы предпочитаете использовать свой iPhone или iPad, PocketCAS синхронизируется со своими приложениями для iOS и iPadOS через iCloud, чтобы вся ваша работа была в одном месте.
Первый пример, который мы предоставили, был алгебраическим, но как насчет более сложной математики, такой как тригонометрия? PocketCAS идеален. Его богатая библиотека символов поможет вам ввести любое уравнение, а также принимает ввод с клавиатуры. Когда вы вводите уравнения, PocketCAS идентифицирует компоненты этой переменной и меняет их цвет. В приведенном ниже примере «загар» стал фиолетовым, когда он был введен в PocketCAS:
Поскольку PocketCAS принимает ввод с клавиатуры, используйте встроенное сочетание клавиш (опция + 0) для символов градусов как принятых. приложение также может отображать графики, создавать 2D- или 3D-графики и составлять сценарии для ваших уравнений с помощью C-подобного механизма поддержки сценариев. Еще одна интересная особенность PocketCAS заключается в том, что когда вы делаете ошибку, просто дважды щелкнув решение в приложении, вы вернетесь в поле ввода уравнения, где вы сможете внести изменения.
Еще одно замечательное приложение для Mac, iPhone и iPad — Euclid. Он следует за более знакомым расположением функций, цифр и операторов в главном окне с решением вверху. Из всех приложений-калькуляторов, доступных для Mac, это самое похожее на калькулятор!
Евклид также невероятно силен. Одной из ключевых особенностей является то, что Euclid позволяет вам использовать ваши любимые формулы Excel, удобный инструмент, если вы использовали Excel для расчетов. Это также редактор LaTex, с легкостью вычисляющий даже самые трудоемкие уравнения.
Euclid также удобен для преобразования и утверждает, что может «преобразовать что угодно». Измерения, валюты, электричество — вы называете это, Евклид, вероятно, может преобразовать это. Одни только эти функции делают его отличным приложением для всех.
Лучший алгебраический калькулятор с шагами
Если вам нужно отличное приложение для алгебры для Mac, есть много отличных вариантов на выбор. Одним из наиболее популярных приложений является Numi, бесплатный калькулятор для вашего Mac, который использует ввод на естественном языке для решения уравнений.
Поскольку Numi использует естественный язык, он также позволяет вам определять свои собственные переменные. В приведенном ниже примере мы определили стоимость за единицу товара, а также скидку на заказ. Простое изменение суммы изменило окончательную стоимость; это отличный инструмент, если у вас есть определенная сумма, которую нужно потратить, и вам нужно точно знать, сколько товаров нужно заказать.
Вот как это делается:
Откройте Numi на вашем Mac
Введите имя переменной, а затем знак равенства
Присвойте переменной значение
Используйте предложение на естественном языке с именами ваших переменных, чтобы получить решение. Numi не требует изучения специальной языковой модели; просто напечатайте в обычном режиме и позвольте ему сделать все остальное
Когда вам нужно выйти за рамки обычного языка и простого преобразования, PocketCAS, вероятно, станет шагом вперед по сравнению с Numi.
Лучший блокнот-калькулятор
Калькуляторы предназначены для компьютеров, но калькулятор Soulver снова делает их людьми. Вы можете вводить математические вычисления, функции, даты и преобразования единиц измерения, которые легко читать и форматировать, и приложение даст вам результаты, которые вы можете использовать.
Это особенно полезно, если вы много работаете с различными комбинациями единиц измерения или часто используете одни и те же расчеты, но подставляете разные числа.
Заключение
Студенты-математики во всем мире могут извлечь пользу из упомянутых здесь замечательных приложений. Независимо от вашего уровня образования или потребностей, эти приложения помогут вам получить нужные результаты.
Все четыре приложения — Numi, Euclid, PocketCAS и Soulver — доступны бесплатно в рамках семидневной пробной версии Setapp, самого полного в мире набора приложений для повышения производительности для вашего Mac. Наряду с этими четырьмя замечательными приложениями у вас также будет полный доступ ко всей библиотеке Setapp, включающей почти 200 других родных приложений для Mac.
Оставить комментарий on Уравнение по математике решить: Решение уравнений — урок. Математика, 6 класс./
Правила решения линейных уравнений 7 класс: Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.
alexxlab / 25.07.202330.04.2023 / Разное
Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.
Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.
Содержание
Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства
Линейное уравнение
Одночлены и многочлены
Формулы сокращенного умножения
Степень. Свойства степени с целым показателем
Функция. Область определения и область значений функции
Линейная функция, её график и свойства
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки
Решение систем линейных уравнений методом сложения
Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства
Корень уравнения
Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решить уравнение означает найти все его корни или убедиться, что их вообще нет. Также можно сказать, что решить уравнение — это значит найти множество его корней.
2 x  + 6 =36x = 15 —корень уравнения, поскольку2 · 15  + 6 =3636 = 36 —верное равенство.5x — 5x = 100 —не имеет корней, посколькуx(5 — 5)∥0 = 100  0 = 100  — неверно.
Равносильные уравнения
Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.
2x — 5 = 5 ≡равносильно 4x — 10 =10,поскольку x = 5 корень и для 1—го, и для 2—го уравнения.

Свойства уравнений
Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
2x — 5 = 7 +52x — 5 + 5 = 7 + 52x = 12x = 12 : 2x = 6
Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
2x — 5 =+5→ 72x = 7 + 52x =12x = 12 : 2x =6
Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному
12x = 24  : 1212x :12 = 24 : 12x = 2. x5 = 3  · 5×5 · 5  = 3 · 5x = 15
Линейное уравнение
Уравнение вида , где — переменная, и некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.
Значения и
Корни уравнения -любое число корней нет
2x = 0, 5y —3 = 12 — линейные уравненияx2 —4 = 0,  5x = 8 —нелинейные уравнения
Одночлены и многочлены
Одночлены
Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
2x,  356x2y,  0,2a20,  b, 15 — одночлены.
Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
2x,  356x2y,  0,2a20 — одночлены стандартного вида.
Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
2x,  356x2y,  0,2a20.2,  356,  0,2 —коэффициенты.
Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
2x2y3z ,  —15x2y3z,    0,5x2y3z —подобные.2x2y3z и  2x2y3 — не подобные.
Нуль-одночлен степени не имеет.
Многочлены
Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
2x + 3x2y
Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
2x + 3x2y —многочлен;2x и  3x2y — его одночлены
Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.
Умножение одночлена на многочлен
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.
Формулы сокращенного умножения
Разность квадратов двух выражений
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
Произведение разности и суммы двух выражений
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:
Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражении:
Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений
Формулы
позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.
Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, называют полным квадратом.
Сумма и разность кубов двух выражений
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:
Многочлен называют неполным квадратом суммы.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

Многочлен называют неполным квадратом разности.
Степень. Свойства степени с целым показателем
Свойства степени с целым показателем
Для любого и любых целых выполняются равенства:

Для любых , и любого целого выполняются равенства:
Функция. Область определения и область значений функции
Функция
Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной пeременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают , зависимую обозначают , функцию(правило) — .
Независимую переменную называют аргументом функции. Значение зависимой переменной называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают .
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Способы задания функции
Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.
График функции
Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Линейная функция, её график и свойства
Функцию, которую можно задать формулой вида , где и — некоторые числа, — независимая переменная, называют линейной.
Графиком линейной функции является прямая.
Линейную функцию, заданную формулой , где , называют прямой пропорциональностью.
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными
Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.
Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.
Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.
Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:
все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:
построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
полученные пары чисел и будут искомыми решениями.
Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:
если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
если прямые параллельны, то система решений не имеет.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки
Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:
выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
вычислить значение второй переменной;
записать ответ.
Решение систем линейных уравнений методом сложения
Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:
подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
вычислить значение второй переменной;
записать ответ.
Данная информация взята из УМК А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир
виды, определение, способ решения, алгоритм, примеры
Линейное уравнение с одной переменной — общие сведения
С темой уравнений можно познакомиться на первых уроках алгебры. В школьном курсе предложено такое объяснение: уравнение является равенством с неизвестным, которое необходимо вычислить. Неизвестное, или переменную, принято обозначать с помощью латинских букв.
Определение 1
Уравнение является математическим равенством с одной или несколькими неизвестными величинами.
Значение неизвестных определяется так, чтобы при подстановке в уравнение оно обращало его в верное числовое равенство.
Рассмотрим следующее выражение:
2 + 4 = 6
Если посчитать значение левой части, уравнение станет верным числовым равенством, то есть:
6 = 6
Еще одно выражение:
2 + х = 6
Здесь имеется некая переменная х, которую нужно вычислить. Уравнение в этом случае станет справедливым равенством, если найденное значение х оправдает знак равенства. Тогда левая часть выражения станет равна правой части.
Специфика преобразований при работе с алгебраическими уравнениями состоит в том, чтобы оставить слева в выражении многочлен от неизвестных, а правую часть обратить в ноль.
Определение 2
Линейное уравнение — это уравнение, записанное в виде:
ах + b = 0,
где а и b являются действительными числами.
Корень уравнения, сколько их всего
Определение 3
Корень уравнения является таким числом, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает правую и левую части выражения.
Определение 4
Решить уравнение — определить все из возможных его корней, либо доказать их отсутствие.
Принципы поиска корней уравнения ах + b = 0:
при а, отличном от нуля, уравнение имеет только один корень;
когда а имеет нулевое значение, уравнение не имеет корней;
если а и b равны нулю, тогда корнем уравнения является любое число.
Как решать, описание алгоритма
Правило 1
Правило переноса: если требуется перенести член из одной части уравнения в другую, то нужно изменить знак этого члена на противоположный.
Рассмотрим действие данного правила на примере:
х + 3 = 5
Заметим, что в уравнении имеется пара частей:
(х + 3) является левой частью;
5 — это правая часть.
Переместим число 3 вправо, изменив его знак на противоположный:
х + 3 = 5
х = 5 – 3
х = 2
Выполним проверку:
2 + 3 = 5
В итоге получилось верное числовое равенство. Это значит, что корень определен правильно.
Разберем еще одно уравнение:
6х = 5х + 10
Переместим член 5х влево с заменой знака на противоположный:
6х – 5х = 10
После приведения подобных вычислим х:
х = 10
Правило 2
Правило деления: обе части любого уравнения допускается делить на одно и то же число.
Рассмотрим применение этого правила на практике:
4x = 8
Здесь при неизвестном записан числовой коэффициент в виде числа 4. Преобразуем уравнение так, чтобы числовой коэффициент при х стал равным единице. Для этого нужно поделить обе части уравнения на число 4:
Далее выполним сокращение дробей и найдем корень уравнения:
х = 2
Разберем вариант, когда перед неизвестной переменной стоит знак минуса:
-4х = 12
Выполним сокращение обеих частей уравнения на число -4:
х = -3
Примечание 1
Когда перед скобками стоит знак минуса, который необходимо исключить, следует изменить знаки внутри скобок на противоположные. В результате при вычислениях не будет допущена ошибка, что особенно важно при решении заданий на системы уравнений, примеров с разным количеством неизвестных.
Стандартный алгоритм решения линейных уравнений:
Раскрыть скобки при их наличии.
Сгруппировать члены с неизвестной переменной в одной части уравнения. Остальные члены должны остаться в другой части уравнения.
Привести подобные в обеих частях уравнения.
Решить уравнение вида aх = b, разделив обе части уравнения на числовой коэффициент a при неизвестном x.
Упростить решение задач на линейные уравнения можно методом использования следующей схемы:
Источник: resh.edu.ru
Примеры задач для 7 класса с объяснением
Задача 1
Найти корни уравнения:
6x + 1 =19
Решение
Перенесем единицу вправо, изменив знак на отрицательный:
6x = 19 — 1
В результате:
6x = 18
Далее разделим уравнение на число 6, которое является общим множителем:
x = 3
Ответ: 3
Задача 2
Требуется решить уравнение:
5(x-3) + 2 = 3(x-4) + 2x — 1
Решение
В первую очередь избавимся от скобок:
5x — 15 + 2 = 3x — 12 + 2x — 1
Далее сгруппируем члены уравнения, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
5x — 3x — 2x = 0 — 12 — 1 + 15 — 2
Затем следует привести подобные:
0x = 0
Ответ: x является любым числом.
Задача 3
Нужно вычислить неизвестную x:
Решение
Выполним вычисления по правилу деления:
Ответ:
Задача 4
Найти решение уравнения:
4(x + 2) = 6 — 7x
Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
4x + 8 = 6 — 7x
4x + 7x = 6 — 8
11x = -2
x = -2 : 11
x = -0,18
Ответ: -0,18
Задача 5
Вычислить корни уравнения:
Решение
Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
Задача 6
Решить линейное уравнение:
x + 7 = x + 4
Решение
В первую очередь избавимся от скобок:
5x — 15 + 2 = 3x — 2 + 2x — 1
Затем выполним группировку членов с неизвестными, а справа оставим свободные члены:
x — x = 4 — 7
Приведем подобные:
0 * x = -3
Ответ: данное уравнение не имеет решений.
Задача 7
Решить линейное уравнение:
2(x + 3) = 5 — 7x
Решение
Выполним вычисления, согласно стандартному алгоритму решения линейных уравнений:
2x + 6 = 5 — 7x
2x + 6x = 5 — 7
8x = -2
x = -2 : 8
x = -0,25
Ответ: -0,25
Линейные уравнения класса 7 и рабочие листы
Линейные уравнения
Правила решения линейного уравнения
Правила преобразования
Процедура решения линейного уравнения
Словесная задача для линейного уравнения
9 0002 Тест линейного уравнения
Рабочий лист линейного уравнения
Ответ Лист
Линейные уравнения
Уравнение, содержащее только одну переменную, имеющую степень 1, известно как линейное уравнение. Давайте посмотрим на некоторые примеры.
2p + 4 = 8, 5 − 3y = -7, ^2a ⁄ ₅ − 4 = 6
Все приведенные выше 3 линейных уравнения имеют только одну переменную и имеют мощность 1.
Правила решения линейного уравнения
Мы должны следовать определенным правилам, чтобы узнать значение переменной данного линейного уравнения, и правила приведены ниже.
Мы можем добавить одно и то же число к обеим частям уравнения
Мы можем вычесть одно и то же число из обеих частей уравнения
Мы можем умножить одно и то же ненулевое число на обе части уравнения
Мы можем разделить одно и то же ненулевое значение на обе части уравнения
Правила транспонирования
Член можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Давайте посмотрим на некоторые примеры.
Пример 1. 5b − 3 = 12
Приведенное выше линейное уравнение можно записать в виде
        => 5b = 12 + 3
Преобразование -3 из левой стороны в правую путем изменения знака на +3.
Пример 2. 5q + 5 = 19 − 2q
Приведенное выше линейное уравнение можно записать в виде
        => 5q + 2q = 19 − 5
. 5.
Точно так же мы транспонируем -2q из правой стороны в левую, изменив знак на +2q.
Процедура решения линейного уравнения
Упростите обе части, удалив групповые символы и собрав одинаковые члены
Удаление дробей путем умножения обеих частей на соответствующий коэффициент
Разместите все переменные члены на одной стороне и все постоянные члены на другой стороне
Сделать коэффициент переменной равным 1
Давайте посмотрим на некоторые примеры.
Пример 1. Решите 3m + 5 = 25 − 2m.
Раствор. 3m + 5 = 25 − 2m
        => 3m + 2m = 25 − 5
        => 5m = 20
        => m = 20 ÷ 5
        => m = 4
Пример 2. Решить 2(p − 1) = p + 12.
Решение. 2(p − 1) = p + 12
        => 2p − 2 = p + 12
        => 2p − p = 12 + 2
Пример 3. Решить 5n − ⁴ ⁄ ₅ = 20.
Решение. 5n − ⁴ ⁄ ₅ = 20
Умножьте обе части на 5.
        => 25n − 4 = 100
        => 25n = 100 + 4
        => 25n = 104
        => n = 104 ÷ 25
        = > n = 20 ⁴ ⁄ ₅
Словесная задача линейного уравнения
Проблема, сформулированная словами, известна как словесная задача. Решение словесной задачи состоит из двух шагов. Первый шаг — перевод слов задачи в алгебраическое уравнение. Второй шаг – решение уравнения. Давайте посмотрим на некоторые примеры.
Пример 1. Если к числу, умноженному на три раза, прибавить 7, то получится 28. Найдите число.
Раствор. Предположим, это число p.
В соответствии с данной текстовой задачей линейное уравнение будет иметь вид
        3p + 7 = 28
         => 3p = 28 − 7
        => 3p = 21
        => p = 21 ÷ 3
        => p = 7
Следовательно, число равно 7.
Пример 2. Найдите три последовательных нечетных числа, сумма которых равна 105.
Решение. Пусть наименьшее, нечетное число равно m.
Следующие два нечетных числа это m+2 и m+4.
По данной задаче со словом можно составить следующее линейное уравнение.
        m + m + 2 + m + 4 = 105
        => 3m + 4 = 105
        => 3m = 99 => m = 99 ÷ 3
        => m = 33
Следовательно, требуемые последовательные нечетные числа равны 33, 35 и 37.
Пример 3. Стоимость 3 тетрадей и 5 одинаковых ручек составляет рупий. 460. Если стоимость ноутбука составляет рупий. на 20 больше, чем ручка, тогда найдите стоимость каждой.
Раствор. Примем стоимость ручки = q
Тогда стоимость блокнота = q + 20
Итак, линейное уравнение будет
        3(q + 20) + 5q = 460
        => 3к + 60 + 5q = 460
        => 8q + 60 = 460
        => 8q = 400
        => q = 400 ÷ 8
        => q = 50
Следовательно, стоимость ручки и блокнота составляет рупий. 50 и рупий. 70 соответственно.
Тест линейного уравнения
Линейное уравнение — 1
Линейное уравнение — 2
Рабочий лист линейного уравнения
Рабочий лист линейного уравнения — 1
Рабочий лист линейного уравнения — 2
Рабочий лист линейного уравнения — 3
Лист ответов
Ответ на линейное уравнение Загрузить PDF-файл
Copyright © 2023 LetsPlayMaths. com. Все права защищены.
Электронная почта: [email protected]
Линейные уравнения — определения, формулы, графики, примеры
Линейное уравнение — это уравнение, в котором наивысшая степень переменной всегда равна 1. Оно также известно как уравнение с одной степенью. Стандартная форма линейного уравнения с одной переменной имеет вид Ax + B = 0. Здесь x — переменная, A — коэффициент, B — постоянная. Стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными имеет вид Ax + By = C. Здесь x и y — переменные, A и B — коэффициенты, а C — константа.
1. Что такое линейное уравнение?
2. Формула линейного уравнения
3. График линейных уравнений
4. Линейные уравнения с одной переменной
5. Линейные уравнения с двумя переменными
6. Как решать линейные уравнения?
7. Часто задаваемые вопросы о линейных уравнениях
Что такое линейное уравнение?
Уравнение, имеющее наивысшую степень 1, известно как линейное уравнение . Это означает, что ни одна переменная в линейном уравнении не имеет переменной, показатель которой больше 1. График линейного уравнения всегда образует прямую линию.
Линейное уравнение Определение: Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, где каждый член имеет показатель степени 1, и когда это уравнение изображается на графике, оно всегда приводит к прямой линии. Вот почему оно называется «линейным» уравнением.
Существуют линейные уравнения с одной переменной и линейные уравнения с двумя переменными. Давайте научимся определять линейные уравнения и нелинейные уравнения с помощью следующих примеров.
Уравнения Линейный или нелинейный
у = 8х — 9 Линейный
у = х ² — 7 Нелинейный, степень переменной x равна 2
√у + х = 6 Нелинейный, степень переменной y равна 1/2
у + 3х — 1 = 0 Линейный
у ² — х = 9 Нелинейный, степень переменной y равна 2
Формула линейного уравнения
Формула линейного уравнения — это способ выражения линейного уравнения. Это можно сделать разными способами. Например, линейное уравнение может быть выражено в стандартной форме, в форме точки пересечения или в форме точка-наклон. Теперь, если мы возьмем стандартную форму линейного уравнения, давайте узнаем, как оно выражается. Мы видим, что оно варьируется от случая к случаю в зависимости от количества переменных, и следует помнить, что наивысшая (и единственная) степень всех переменных в уравнении должна быть 1.
Форма точки пересечения наклона линейного уравнения: y = mx + c (где m = наклон и c = точка пересечения с осью y)
Точечная форма наклона линейного уравнения: y — y ₁ = m(x — x ₁ ) (где m = наклон и (x ₁ , y ₁ ) точка на прямой)
Примечание: Наклон линейного уравнения — это величина, на которую линия поднимается или опускается. Рассчитывается по формуле рост/бег. т. е. если (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ) — любые две точки на прямой, то ее наклон вычисляется по формуле (y ₂ — y ₁ )/(x ₂ — x ₁ ).
Линейные уравнения в стандартной форме
Стандартная форма или общая форма линейных уравнений с одной переменной записывается как Ax + B = 0; , где A и B — действительные числа, а x — единственная переменная. Стандартная форма линейных уравнений с двумя переменными выражается как Ах + В = С; , где A, B и C — любые действительные числа, а x и y — переменные.
График линейных уравнений
График линейного уравнения с одной переменной x образует вертикальную линию, параллельную оси y, и наоборот, тогда как график линейного уравнения с двумя переменными x и y образует прямую линию. Построим график линейного уравнения с двумя переменными с помощью следующего примера.
Пример: Постройте график для линейного уравнения с двумя переменными, x — 2y = 2.
Построим график линейного уравнения, используя следующие шаги.
Шаг 1: Данное линейное уравнение имеет вид x — 2y = 2.
Шаг 2: Преобразуйте уравнение в форму y = mx + b. Это даст: y = x/2 — 1.
Шаг 3: Теперь мы можем заменить значение x на другие числа и получить результирующее значение y для создания координат.
Шаг 4: Когда мы подставляем x = 0 в уравнение, мы получаем y = 0/2 — 1, т. е. y = -1. Точно так же, если мы подставим значение x вместо 2 в уравнение y = x/2 — 1, мы получим y = 0,
.
Шаг 5: Если мы заменим значение x на 4, мы получим y = 1. Значение x = -2 дает значение y = -2. Теперь эти пары значений (x, y) удовлетворяют заданному линейному уравнению y = x/2 — 1. Поэтому мы перечисляем координаты, как показано в следующей таблице.
х 0 2 4 -2
у -1 0 1 -2
Шаг 6: Наконец, мы наносим эти точки (4,1), (2,0), (0,-1) и (-2,-2) на график и соединяем точки в получить прямую линию. Так линейное уравнение изображается на графике.
Линейные уравнения с одной переменной
Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, в котором присутствует только одна переменная. Оно имеет форму Ax + B = 0, где A и B — любые два действительных числа, а x — неизвестная переменная, имеющая только одно решение. Это самый простой способ представить математическое утверждение. Это уравнение имеет степень, которая всегда равна 1. Линейное уравнение с одной переменной решается очень просто. Переменные разделяются и подводятся к одной стороне уравнения, а константы объединяются и подводятся к другой стороне уравнения, чтобы получить значение неизвестной переменной.
Пример: Решить линейное уравнение с одной переменной: 3x + 6 = 18.
Чтобы решить данное уравнение, подносим числа в правой части уравнения и сохраняем переменную в левая сторона. Это означает, что 3x = 18 — 6. Затем, когда мы решим для x, мы получим 3x = 12. Наконец, значение x = 12/3 = 4.
☛Также проверьте:
Линейное уравнение В вопросах с одной переменной
Словесные задачи по линейным уравнениям
Линейные уравнения с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид Ax + By + C = 0, где A, B, C — действительные числа, а x и y — две переменные, каждая из которых имеет степень 1. Если мы рассмотрим две такие линейные уравнения, они называются одновременными линейными уравнениями. Например, 6x + 2y + 9 = 0 — это линейное уравнение с двумя переменными. Существуют различные способы решения линейных уравнений с двумя переменными, такие как графический метод, метод подстановки, метод перекрестного умножения, метод исключения и метод определителя.
☛Также проверьте: Рабочие листы линейных уравнений с двумя переменными
Как решать линейные уравнения?
Уравнение похоже на весы с одинаковыми весами с обеих сторон. Если мы прибавим или вычтем одно и то же число из обеих частей уравнения, оно останется верным. Точно так же, если мы умножаем или делим одно и то же число в обеих частях уравнения, это правильно. Мы подносим переменные к одной стороне уравнения, а константу к другой стороне, а затем находим значение неизвестной переменной. Это способ решения линейного уравнения с одной переменной. Давайте разберемся в этом с помощью примера.
Пример: Решите уравнение, 3x — 2 = 4.
Выполняем математические операции с левой (левой) и правой (правой) частями так, чтобы равновесие не нарушалось. Итак, давайте добавим 2 с обеих сторон, чтобы уменьшить LHS до 3x. Это не нарушит баланс. Новая левая сторона равна 3x — 2 + 2 = 3x, а новая правая сторона равна 4 + 2 = 6. Теперь давайте разделим обе части на 3, чтобы уменьшить левую часть до x. Таким образом, мы имеем х = 2 . Это один из способов решения линейных уравнений с одной переменной.
Советы по линейным уравнениям:
Значение переменной, которая делает линейное уравнение верным, называется решением или корнем линейного уравнения.
На решение линейного уравнения не влияет сложение, вычитание, умножение или деление одного и того же числа на обе части уравнения.
График линейного уравнения с одной или двумя переменными всегда образует прямую линию.
☛ Статьи по теме:
Введение в графику
Линейный полином
Калькулятор решения линейных уравнений

Примеры линейных уравнений
Пример 1: Сумма двух чисел равна 44. Если одно число на 10 больше другого, найдите числа, составив линейное уравнение.
Подсказка: Эту задачу можно решить, написав линейное уравнение с одной переменной.
Решение:
Пусть это число равно x, поэтому другое число равно x + 10. Мы знаем, что сумма обоих чисел равна 44. Следовательно, линейное уравнение можно представить в виде x + x + 10 = 44. В результате получается 2x + 10 = 44. Теперь давайте решим уравнение, изолируя переменную с одной стороны и вводя константы с другой стороны. Это означает, что 2x = 44 — 10. Упрощая RHS, мы получаем 2x = 34, поэтому значение x равно 17. Это означает, что одно число равно 17, а другое число равно 17 + 10 = 27,
Ответ: Следовательно, два числа 17 и 27.
Пример 2: Число, умноженное на шесть, равно 48. Найдите линейное уравнение, соответствующее ситуации, и найдите неизвестное число.
Решение: Пусть неизвестное число равно x. Шесть раз это число равно 48. Это дает линейное уравнение 6x = 48. Таким образом, это линейное уравнение можно решить, чтобы найти значение x, которое является неизвестным числом. 6x = 48 означает, что x = 48/6 = 8,
Ответ: Следовательно, неизвестное число равно 8.
Пример 3: Вычислите линейное уравнение для x: 5x — 95 = 75.
Решение: Данное уравнение: 5x — 95 = 75.
⇒ 5x = 75 + 95
⇒ 5x = 170
⇒ x = 34
Ответ: Следовательно, значение x равно 34.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими экспертами Cuemath
Запишитесь на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по линейным уравнениям

перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о линейном уравнении
Что такое линейное уравнение? Объясните на примере.
Линейное уравнение — это уравнение, в котором наивысшая степень переменной всегда равна 1. Оно также известно как уравнение одной степени. Когда это уравнение изображается на графике, оно всегда приводит к прямой линии. По этой причине его называют «линейным уравнением». Существуют линейные уравнения с одной переменной, с двумя переменными, с тремя переменными и так далее. Вот несколько примеров линейных уравнений: 5x + 6 = 1, 42x + 32y = 60, 7x = 84 и т. д.
Какая формула линейного уравнения?
Формула линейного уравнения — это способ выражения линейного уравнения. Это может быть выражено в стандартной форме, в форме пересечения наклона или в форме точка-наклон. Используя форму пересечения наклона, линейное уравнение можно найти, используя y = mx + c, а используя форму точка-наклон, его можно найти, используя y — y ₁ = m (x-x ₁ ), где m равно наклон, c — точка пересечения с осью y, а (x ₁ , y ₁ ) — точка на прямой.
Почему линейное уравнение называют линейным?
Линейное уравнение называется линейным, потому что когда мы пытаемся построить график заданной линейной функции, получается прямая линия.
Как вы решаете линейные уравнения?
Мы можем решить линейное уравнение с одной переменной, переместив переменные в одну часть уравнения, а числовую часть — в другую. Например, x — 1 = 5 — 2x можно решить, переместив числовые части в правую часть уравнения, оставив переменные в левой части. Следовательно, мы получаем x + 2x = 5 + 1. Таким образом, 3x = 6. Это дает x = 2,
Могут ли линейные уравнения содержать дроби?
Да, линейные уравнения могут иметь дроби только до тех пор, пока знаменатель в дробной части является постоянной величиной. Переменные не могут быть частью знаменателя любой дроби в линейном уравнении.
Что такое линейные уравнения с одной переменной?
Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, в котором присутствует только одна переменная. Оно имеет форму Ax + B = 0, где A и B — любые два действительных числа, а x — неизвестная переменная, имеющая только одно решение. Например, 9x + 78 = 18 — линейное уравнение с одной переменной.
Как преобразовать линейное уравнение в стандартную форму?
Чтобы преобразовать линейное уравнение в стандартную форму, вам нужно переместить все переменные в одну часть уравнения, а константы в другую сторону, а затем переставить члены так, чтобы переменные находились в левой части, а константа на правой стороне.
Что такое линейные уравнения с двумя переменными?
Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид Ax + By + C = 0, где A и B — коэффициенты, C — постоянный член, а x и y — две переменные, каждая со степенью 1 Например, 7x + 9y + 4 = 0 — линейное уравнение с двумя переменными. Если мы рассмотрим два таких линейных уравнения, они называются одновременными линейными уравнениями.
Чем квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений?
Линейные уравнения не имеют степени, отличной от 1, в любом члене. Общая форма линейного уравнения выражается как Ax + By + C = 0, где A, B и C — любые действительные числа, а x и y — переменные. Принимая во внимание, что квадратные уравнения имеют по крайней мере один член, содержащий переменную, которая возведена во вторую степень. Общая форма квадратного уравнения выражается как ось ² + bx + c = 0. Другое различие между двумя типами уравнений заключается в том, что линейное уравнение образует прямую линию, а квадратное уравнение образует на графике параболу.
Оставить комментарий on Правила решения линейных уравнений 7 класс: Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра./
Cos 75 градусов: Чему равен косинус 75° градусов
alexxlab / 25.07.202308.05.2023 / Разное
2
sin 75 градусов и cos 75 градусов , заменяя 75 градусов на 45 градуса + 30 градусов — Знания.site
Ответы 1
по формуле сложения:
sin75=sin(30+45) = sin30*cos45+cos30*sin45=1/2*√2/2+(√3*√2)/4=(√2+√6)/4
cos75=cos(30+45)=cos30*cos45-sin30*sin45 = √3/2*√2/2 — 1/2*√2/2 = √6/4 — √2/4=(√6-√2)/4
Знаешь ответ? Добавь его сюда!
Последние вопросы
Другие предметы
10 часов назад
я мужлан
Алгебра
11 часов назад
вычислите следующие два члена арифметической прогресии и сумму первых четырёх если a1=-5 и a2=-14
а3=
а4=
S4=
Математика
16 часов назад
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 420 , длина – 12 см, ширина – 7 см. Найдите высоту данного параллелепипеда.
2. Постройте куб с ребром 2 см. Найдите площадь поверхности этого куба.
ЗАДАНИЕ ДЛЯ 5 КЛАССА ПЖ ОЧЕНЬ НАДО ПРОСТО МНЕ НАДО УЕХАТЬ Заранее СПАСИБО
Литература
17 часов назад
щищ
Окружающий мир
17 часов назад
Я хочу пойти и полежать на травке
Но на улице холодно
Химия
18 часов назад
Помогите пожалуйста, срочно
вычислить массу 40% раствора и воды, чтобы приготовить 120 г раствора с массовой частицей 20%.
Химия
1 день назад
Какую массу медного купороса CuSO4 5h3O и воды надо взять, чтобы приготовить раствор массой 500 г с массовой долей соли 5%?
Химия
1 день назад
Металлический цинк весом 26,2 г растворили в избытке раствора HCl. Какую массу оксида никеля (ll) , выделившимся при растворении цинка водородом, можно восстановить?
Физика
1 день назад
223/87Fr испытывает 3 последовательных бета-распада и 1 альфа-распад.
Геометрия
1 день назад
1. В окружности с центром О отрезки АС и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 124°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.
Математика
2 дня назад
G
Математика
2 дня назад
Задание 1. 2 … …)на месте точек должны быть цифры или знаки + и —
Мэтуэй | Популярные задачи
92
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктический(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение тан(пи/2)
45 Найти точное значение грех(300)
46 Найти точное значение соз(30)
47 Найти точное значение соз(60)
48 Найти точное значение соз(0)
49 Найти точное значение соз(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение сек(60 градусов)
53 Найти точное значение грех(300 градусов)
54 Преобразование градусов в радианы 135
55 Преобразование градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3
58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов
59 Преобразование градусов в радианы 60
60 Найти точное значение грех(135 градусов)
61 Найти точное значение грех(150)
62 Найти точное значение грех(240 градусов)
63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов)
64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4
65 Найти точное значение грех(225)
66 Найти точное значение грех(240)
67 Найти точное значение cos(150 градусов)
68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45)
69 Оценить грех(30 градусов)
70 Найти точное значение сек(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение КСК(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение загар((5pi)/3)
75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0)
76 Оценить грех(60 градусов)
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение угловой синус(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение КСК(45)
83 Упростить арктан(квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение грех(135)
85 Найти точное значение грех(105)
86 Найти точное значение грех(150 градусов)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение загар((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4
90 Найти точное значение грех(пи/2)
91 Найти точное значение сек(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение угловой синус(0)
95 Найти точное значение грех(120 градусов)
96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97 Найти точное значение соз(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов
Cos 75 градусов — Найти значение Cos 75 градусов
LearnPracticeDownload
Значение cos 75 градусов равно 0,2588190. . . . Cos 75 градусов в радианах записывается как cos (75° × π/180°), то есть cos (5π/12) или cos (1,308996…). В этой статье мы обсудим способы нахождения значения cos 75 градусов на примерах.
Кос 75°: 0,2588190. . .
Cos 75° в дробях: (√6 — √2)/4
Cos (-75 градусов): 0,2588190. . .
Cos 75° в радианах: cos (5π/12) или cos (1,3089969 . . .)
Каково значение Cos 75 градусов?
Значение cos 75 градусов в десятичной системе равно 0,258819045. . .. Cos 75 градусов также можно выразить с помощью эквивалента заданного угла (75 градусов) в радианах (1,30899 . . .)
Мы знаем, используя преобразование градусов в радианы, что θ в радианах = θ в градусах × (пи/ 180°)
⇒ 75 градусов = 75° × (π/180°) рад = 5π/12 или 1,3089. . .
∴ cos 75° = cos (1,3089) = (√6 — √2)/4 или 0,2588190. . .
Объяснение:
Для cos 75 градусов угол 75° лежит между 0° и 90° (первый квадрант). Поскольку функция косинуса положительна в первом квадранте, значение cos 75° = (√6 — √2)/4 или 0,2588190. . .
Поскольку функция косинуса является периодической функцией, мы можем представить cos 75° как cos 75 градусов = cos(75° + n × 360°), n ∈ Z.
⇒ cos 75° = cos 435° = cos 795° и так далее.
Примечание: Поскольку косинус является четной функцией, значение cos(-75°) = cos(75°).
Методы определения значения косинуса 75 градусов
Функция косинуса положительна в 1-м квадранте. Значение cos 75° составляет 0,25881. . .. Мы можем найти значение cos 75 градусов по:
Используя тригонометрические функции
Использование единичного круга
Cos 75° в терминах тригонометрических функций
Используя формулы тригонометрии, мы можем представить cos 75 градусов как:
± √(1-sin²(75°))
± 1/√(1 + tan²(75°))
± кроватка 75°/√(1 + кроватка²(75°))
±√(косек²(75°) — 1)/косек 75°
1/сек 75°
Примечание. Поскольку 75° лежит в 1-м квадранте, окончательное значение cos 75° будет положительным.
Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления cos 75° как
-cos(180° — 75°) = -cos 105°
-cos(180° + 75°) = -cos 255°
sin(90° + 75°) = sin 165°
sin(90° — 75°) = sin 15°
Cos 75 градусов с помощью единичной окружности
Чтобы найти значение cos 75 градусов с помощью единичной окружности:
Поверните ‘r’ против часовой стрелки, чтобы образовать угол 75° с положительной осью x.
Косвенный угол 75 градусов равен координате x (0,2588) точки пересечения (0,2588, 0,9659) единичной окружности и r.
Следовательно, значение cos 75° = x = 0,2588 (приблизительно)
☛ Также проверьте:
cos 120 градусов
потому что 18 градусов
кос 30 градусов
потому что 840 градусов
, потому что 230 градусов
потому что 690 градусов
Примеры использования Cos 75 градусов
Пример 1: Найдите значение (cos² 37,5° — sin² 37,5°). [Подсказка: используйте cos 75° = 0,2588]
Решение:
Используя формулу cos 2a,
(cos² 37,5° — sin² 37,5°) = cos(2 × 37,5°) = cos 75°
∵ косинус 75° = 0,2588
⇒ (cos² 37,5° — sin² 37,5°) = 0,2588
Пример 2. Найдите значение cos 75°, если sec 75° равно 3,8637.
Решение:
Так как cos 75° = 1/сек 75°
⇒ cos 75° = 1/3,8637 = 0,2588
Пример 3. Найдите значение 2 cos(75°)/3 sin(15°).
Решение:
Используя тригонометрические тождества, мы знаем, что cos(75°) = sin(90° — 75°) = sin 15°.
⇒ cos(75°) = sin(15°)
⇒ Значение 2 cos(75°)/3 sin(15°) = 2/3
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Готовы посмотреть на мир глазами математика?
Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.
Забронируйте бесплатный пробный урок
Часто задаваемые вопросы о Cos 75 Degrees
Что такое Cos 75 Degrees?
Cos 75 градусов — значение тригонометрической функции косинуса для угла, равного 75 градусам. Значение cos 75° равно (√6 — √2)/4 или 0,2588 (приблизительно)
Как найти Cos 75° с точки зрения других тригонометрических функций?
Используя формулу тригонометрии, значение cos 75° может быть выражено через другие тригонометрические функции следующим образом:
± √(1-sin²(75°))
± 1/√(1 + tan²(75°))
± кроватка 75°/√(1 + кроватка²(75°))
± √(косек²(75°) — 1)/косек 75°
1/сек 75°
☛ Также проверьте: тригонометрическую таблицу
Как найти значение Cos 75 градусов?
Значение cos 75 градусов можно рассчитать, построив угол 75° с осью x и затем найдя координаты соответствующей точки (0,2588, 0,9659) на единичной окружности.
Оставить комментарий on Cos 75 градусов: Чему равен косинус 75° градусов/
Геометрия математика: Как понять Геометрию? Основы с нуля
alexxlab / 25.07.202309.05.2023 / Разное
Как понять Геометрию? Основы с нуля
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
106.4K
Понять геометрию с нуля — это непросто. Но, чем дальше, тем интереснее. Новые знания можно применить везде: в школе на уроках, дома во время ремонта и даже на прогулке. В этой статье рассказали про основы геометрии для начинающих.
Идеальные объекты
Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Математика занимается объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Базовые геометрические объекты
Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.
Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.
Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.
Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.
Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.
Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.
Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b, c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).
Два варианта расположения точек относительно прямой:
Точки лежат на данной прямой. Или еще говорят, что прямая проходит через эти точки — на рисунке выше такими точками являются А и В. При решении задач для краткости используют запись A ∈ a (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).
Точки не лежат на данной прямой. Говорят так: прямая не проходит через эти точки — на рисунке такими точками являются С и D. При решении задач для краткости используют запись C ∉ a (читается так: точка С не принадлежит прямой a или точка С не лежит на прямой a), аналогично будет и для точки D (D ∉ a).
Важно знать
Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:

Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку.
Для записи пересекающихся прямых используют специальный знак — ∩, то есть a∩b (читают: прямая a пересекает прямую b). Чтобы обозначить точку пересечения прямых, пишут a∩b = O (читается: прямая a пересекается с прямой b в точке O).
Прямые не пересекаются, то есть не имеют общих точек.
Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — , то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n). В дальнейшем для обозначения не пересекающихся прямых мы будем использовать знак параллельности ||.
Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.
На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:
Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.
Назовем получившиеся лучи:
Луч ОА, точка О — начало луча ОА; конца у луча ОА нет.
Луч ОВ, точка О — начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет.
Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.
Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости
Комбинации простейших объектов
Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).

Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.
Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.
Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.

Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.
Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.
Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:
Если градусная мера угла меньше 90° — угол острый.
Если градусная мера угла равна 90° — угол прямой.
Если градусная мера угла больше 90°, но меньше 180° — угол тупой.
Если градусная мера угла равна 180° — угол развернутый.
Общая точка, из которой исходят лучи, называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.
Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.
Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.
А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.
Первый случай: все три прямые параллельны.
Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.
Треугольник
Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.
Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.
Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.
Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:
Свойства треугольников
Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.
Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.
Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.
Неравенство треугольника
Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.
Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.
Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.
Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.
От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃
Четырехугольники
Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.
Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.
Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:
площадь фигуры
периметр фигуры
площадь прямоугольника
периметр прямоугольника
площадь квадрата
периметр квадрата
параллелограмм
прямоугольный параллелепипед.
Окружность
Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.
Практическая сторона геометрии
Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.
Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.
А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.
Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.
Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.
Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.
Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Лидия Казанцева
Автор Skysmart
К предыдущей статье
Разложение многочлена способом группировки
К следующей статье
Вынесение общего множителя за скобки
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Основные формулы по геометрии — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
org/BreadcrumbList»>
Главная —
Формулы и прочее —
Математика: Геометрия
Знание формул по геометрии является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по математике. Формулы по геометрии, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении геометрических задач. На этой странице сайта представлены основные формулы по школьной геометрии.

Изучать основные формулы по школьной геометрии онлайн:
Назад
Вперёд

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.

Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.

Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
Геометрия
Геометрия — это все о фигурах и их свойствах.
Если вы любите играть с предметами или рисовать, то геометрия для вас!
Геометрию можно разделить на:

Плоская геометрия — это плоские фигуры, такие как линии, круги и треугольники… формы, которые можно нарисовать на листе бумаги

Объемная геометрия — это трехмерные объекты, такие как кубы, призмы, цилиндры и сферы.
Подсказка: попробуйте нарисовать некоторые формы и углы, когда будете учиться… это поможет.
Точка, линия, плоскость и тело
Точка не имеет размеров, только положение
Линия одномерная
Плоскость двухмерная (2D)
Твердое тело трехмерное (3D)
Почему?
Почему мы занимаемся геометрией? Чтобы открывать закономерности, находить площади, объемы, длины и углы и лучше понимать окружающий мир.
Плоская геометрия
Плоская геометрия — это формы на плоской поверхности (как на бесконечном листе бумаги).
2D-фигуры
Упражнение: Сортировка фигур
Треугольники
Прямоугольные треугольники
Интерактивные треугольники

Четырехугольники (ромб, параллелограмм, и т.д.)
Прямоугольник, ромб, квадрат, параллелограмм, трапеция и воздушный змей
Интерактивные четырехугольники
Параллелограмм в любом четырехугольнике
Размеры бумаги
Свободная игра фигур

Периметр

Зона
Площадь плоских фигур
Инструмент расчета площади
Площадь многоугольника по чертежу
Деятельность: Сад

Общий инструмент для рисования
Калькулятор площади и калькулятор прямоугольника
Полигоны
Многоугольник — это двухмерная фигура, состоящая из прямых линий. Треугольники и прямоугольники являются многоугольниками.
Вот еще:
Пентагон
Пентаграмма
Шестигранник

Свойства правильных многоугольников
Диагонали многоугольников
Интерактивные полигоны

Круг
Круг
Пи
Площадь круга по линиям
Круговой сектор и сегмент
Площадь круга по секторам
Упражнение: Бросание монеты на сетку
Арка
Кольцо
Теоремы о кругах (расширенная тема)

Символы
В геометрии используется много специальных символов. Вот краткая справка для вас:
Геометрические символы

Конгруэнтные и аналогичные
Конгруэнтные формы
Похожие формы

Уголки
Типы уголков
Острые углы Прямые углы Тупые углы Прямоугольный Рефлекторные углы Полный оборот

Градусы (угол)
радиан

Равные углы
Параллельные прямые и пары углов
Поперечный
Смежные углы
Треугольник имеет 180°

Дополнительные уголки
Дополнительные углы
Углы вокруг точки
Углы на прямой линии

Внутренние уголки
Наружные уголки

Внутренние углы многоугольников
Внешние углы многоугольников
Использование инструментов для рисования
Геометрические конструкции
Использование транспортира
Использование чертежного треугольника и линейки
Использование линейки и компаса

Преобразования и симметрия
Преобразования:
Вращение
Отражение
Перевод
Изменение размера
Симметрия:
Симметрия отражения
Вращательная симметрия
Точечная симметрия
Линии симметрии плоских фигур

Художник по симметрии
Упражнение: Симметрия фигур
Упражнение: Создание мандалы
Упражнение: Раскрашивание (Четыре цвета Теорема)

Мозаика
Мастер тесселяции

Координаты
Декартовы координаты
Интерактивные декартовы координаты
Игра «Найди координаты»

Дополнительные темы плоской геометрии
Пифагор
Теорема Пифагора
Пифагорейские тройки

Конические секции
Набор всех точек
Конические секции
Эксцентриситет
Эллипс
Анимация параболы и снаряда
Гипербола

Теоремы круга
Теоремы о кругах
Касательные и секущие линии
Теорема о пересекающихся секущих
Теорема о пересекающихся хордах
Угол пересекающихся секущих Теорема
Треугольные центры
Тригонометрия
Тригонометрия — это отдельная тема, поэтому вы можете посетить:
Введение в тригонометрию
Индекс тригонометрии

Твердотельная геометрия
Solid Geometry — это геометрия трехмерного пространства, в котором мы живем…
. .. начнем с самых простых фигур:

Общие 3D-формы
Многогранники и не-многогранники
Существует два основных типа твердых тел: «многогранники» и «не-многогранники»:
Многогранники (должны иметь плоские грани) :
кубов и
кубоидов (объем
кубоида)
Платоновые тела
Призмы
Пирамиды
Не многогранники (когда любая поверхность не плоский) :
Сфера Тор
Цилиндр Конус

Модели многогранников
Калькулятор объема и площади сферы
Сфероид
Поперечные сечения
Вершины, грани и ребра
Конус против сферы против цилиндра
Пирамида против Конуса
Призма против цилиндра
Пирамида против куба
Объем горизонтального цилиндра
Теорема Эйлера
Пифагор в 3D
Гиперкубы
Математика строителя
Моменты Зоны

Плоская геометрия
Если вы любите рисовать, то геометрия для вас!

Плоская геометрия касается плоских фигур, таких как линии, круги и треугольники. .. формы, которые можно нарисовать на листе бумаги
Подсказка: попробуйте нарисовать некоторые формы и углы, когда будете учиться… это поможет.

Точка, линия, плоскость и тело
Точка не имеет размеров, только положение
Линия одномерная
Плоскость двухмерная (2D)
Твердое тело трехмерное (3D)
Плоская геометрия — это формы на плоской поверхности (как на бесконечном листе бумаги).
2D-фигуры
Упражнение: Сортировка фигур
Треугольники
Прямоугольные треугольники
Интерактивные треугольники

Четырехугольники (ромб, параллелограмм, и т.д.)
Прямоугольник, ромб, квадрат, параллелограмм, трапеция и воздушный змей
Интерактивные четырехугольники
Параллелограмм в любом четырехугольнике
Размеры бумаги
Свободная игра фигур

Периметр

Зона
Площадь плоских фигур
Инструмент расчета площади
Площадь многоугольника по чертежу
Деятельность: Сад

Общий инструмент для рисования
Калькулятор площади и калькулятор прямоугольника
Полигоны
Многоугольник — это двухмерная фигура, состоящая из прямых линий. Треугольники и прямоугольники являются многоугольниками.
Вот еще:
Пентагон
Пентаграмма
Шестигранник

Свойства правильных многоугольников
Диагонали многоугольников
Интерактивные полигоны

Круг
Круг
Пи
Площадь круга по линиям
Круговой сектор и сегмент
Площадь круга по секторам
Упражнение: Бросание монеты на сетку
Арка
Кольцо
Теоремы о кругах (расширенная тема)

Символы
В геометрии используется много специальных символов.
Оставить комментарий on Геометрия математика: Как понять Геометрию? Основы с нуля/
« Предыдущая 1 … 49 50 51 52 53 … 3 230 Следующая »
Навигация по записям
Предыдущая 1 … 47 48 49 50 51 52 53 54 55 … 3 230 Следующая