Автор: alexxlab

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Задача №5. Найти решение системы методом обратной матрицы:

Решение.

Здесь , так что матрица А невырожденная и искомое решение имеет вид.

.

Отсюда

Задача №6. Решить систему уравнений матричным методом:

Решение.

Находим:

т.е. – решение данной системы.

_{Задачи для самостоятельного решения:}

Решить системы уравнений методом Крамера и методом обратной матрицы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений.

2. Понятие решения системы линейных алгебраических уравнений.

3. Определение совместной и несовместной системы.

4. Достаточное условие совместной системы.

5. Определение однородной и неоднородной системы.

6. Определение ранга матрицы.

7. Алгоритм решения неоднородной системы линейных уравнений методом Гаусса.

8. Алгоритм решения однородной системы линейных уравнений.

Типовые задачи

Задача №1. Решить систему методом Гаусса:

Решение.

В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы:

Если положить, например, , то найдем одно из частных решений этой системы ;.

Задача №2. Решить систему методом Гаусса:

Решение.

Произведем элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы:

.

Полученная матрица соответствует системе

Осуществляя обратный ход, находим

Задача №3. Решить систему методом Гаусса:

Решение:

.

Наличие противоречивой строки говорит о несовместности системы линейных уравнений.

Задача №4. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных. Система имеет единственное решение, т.е. нулевое (тривиальное):

Задача №5. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и меньше числа неизвестных (3<4). Система имеет бесконечно много решений. Получим систему:

Если положитьтои получиличастное решение исходной системы.

Задачи для самостоятельного решения:

_{I. Решить системы линейных уравнений:}

_1.

2.

3.

4.

5.

6.

II. Найти решение системы линейных уравнений в зависимости от параметра:

1.

2.

_3.

Занятие 5. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов..

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Дать определение скалярного произведения векторов.

2. Перечислить свойства скалярного произведения векторов.

3. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

4. Приложения скалярного произведения для нахождении.

5. Какое произведение векторов называется векторным?

6. Перечислить свойства векторного произведения.

7. Какие приложения имеет векторное произведение в геометрии и механике?

8. Записать условие коллинеарности (параллельности) векторов.

9. Какое произведение векторов называется смешанным?

10. Перечислить свойства смешанного произведения. Его геометрический смысл.

11. Как выражается смешанное произведение через координаты?

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Задачи линейной алгебры

< Лекция 12 || Лекция 5: 123456789

Аннотация: Познакомимся с инструментами Octave, предназначенными для работы с векторами и матрицами, а также с возможностями, которые предоставляет пакет при непосредственном решении задач линейной алгебры.

5.1 Ввод и формирование векторов и матриц

Векторы и матрицы в Octave задаются путём ввода их элементов. Элементы вектора-строки отделяют пробелами или запятыми, а всю конструкцию заключают в квадратные скобки:

	
>>> a =[2 -3 5 6 -1 0 7 -9]
a = 2 -3 5 6 -1 0 7 -9
>>> b =[ -1,0,1]
b = -1 0 1

Вектор-столбец можно задать, если элементы отделять друг от друга точкой с запятой:

	
>>> c=[-pi; -pi / 2; 0; pi / 2; pi ]
c =
-3.14159
-1.57080
0.00000
1.57080
3.14159

Обратиться к элементу вектора можно указав имя вектора, а в круглых скобках — номер элемента, под которым он хранится в этом векторе:

	
>>> a( 1 )
ans = 2
>>> b( 3 )
ans = 1
>>> c( 5 )
ans = 3.1416

Ввод элементов матрицы также осуществляется в квадратных скобках, при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой, а строки разделяются между собой точкой с запятой:

	
>>> Matr=[0 1 2 3; 4 5 6 7 ]
Matr =
0 1 2 3
4 5 6 7

intuit.ru/2010/edi»>Обратиться к элементу матрицы можно указав после имени матрицы, в круглых скобках, через запятую, номер строки и номер столбца, на пересечении которых элемент расположен:

	
>>> Matr ( 2, 3 )
ans = 6
>>> Matr ( 1, 1 )
ans = 0
>>> Matr ( 1, 1 )=pi; Matr ( 2, 4 )= _pi;
>>> Matr
Matr =
3.1416 1.0000 2.0000 3.0000
4.0000 5.0000 6.0000 -3.1416

Матрицы и векторы можно формировать, составляя их из ранее заданных матриц и векторов:

	
>>> a=[-3 0 2 ]; b=[3 2 -1]; c =[5 -2 0 ];
>>> M=[a b c ] % Горизонтальная конкатенация векторов–строк
M = -3 0 2 3 2 -1 5 -2 0 % результат — вектор–строка
>>> N=[a; b; c ] % Вертикальная конкатенация векторов–строк,
% результат — матрица
N =
	-3  0  2
	 3  2 -1
	 5 -2  0
>>> Matrica =[N N N] % Горизонтальная конкатенация матриц
Matrica =
	-3  0  2 -3  0  2 -3  0  2
	 3  2 -1  3  2 -1  3  2 -1
	 5 -2  0  5 -2  0  5 -2  0
>>> Tablica =[M;M;M] % Вертикальная конкатенация матриц
Tablica =
	-3 0 2 3 2 -1 5 -2 0
	-3 0 2 3 2 -1 5 -2 0
	-3 0 2 3 2 -1 5 -2 0

intuit.ru/2010/edi»>Важную роль при работе с матрицами играет знак двоеточия «:». Примеры с подробными комментариями приведены в листинге 5.1.

	
>>> Tabl =[ -1.2 3.4 0.8; 0.9 -0.1 1.1; 7.6 -4.5 5.6; 9.0 1.3 -8.5]
Tabl =
	-1.20000 3.40000 0.80000
	0.90000 -0.10000 1.10000
	7.60000 -4.50000 5.60000
	9.00000 1.30000 -8.50000
>>> Tabl( :, 3 ) % Выделить из матрицы 3-й столбец
ans =
	0.80000
	1.10000
	5.60000
	-8.50000
>>> Tabl( 1, : ) % Выделить из матрицы 1-ю строку
ans = -1.20000 3.40000 0.80000
>>> Matr=Tabl( 2 : 3, 1 : 2 ) % Выделить из матрицы подматрицу
Matr =
0.90000 -0.10000
7.60000 -4.50000
% Вставить подматрицу в правый нижний угол исходной матрицы
>>> Tabl( 3 : 4, 2 : 3 )=Matr
Tabl =
	-1.20000 3.40000  0.80000
	0.90000  -0.10000 1.10000
	7.60000  0.90000  -0.10000
	9.00000  7.60000  -4.50000
>>> Tabl( :, 2 ) = [ ] % Удалить из матрицы 2-й столбец
Tabl =
	-1.20000 0.80000
	0.90000  1.10000
	7.60000  -0.10000
	9.00000  -4. 50000
>>> Tabl( 2, : ) = [ ] % Удалить из матрицы 2-ю строку
Tabl =
	-1.20000 0.80000
	7.60000 -0.10000
	9.00000 -4.50000
>>> Matr % Представить матрицу в виде вектора–столбца
Matr =
	0.90000 -0.10000
	7.60000 -4.50000
>>> Vector=Matr ( : )
Vector =
	0.90000
	7.60000
	-0.10000
	-4.50000
>>> V=Vector( 1 : 3 ) % Выделить из вектора элементы со 1-го по 3-й
V =
	0.90000
	7.60000
	-0.10000
>>> V( 2 ) = [ ] % Удалить из массива 2-й элемент
V =
	0.90000
	-0.10000

Листинг 5.1. Пример использования знака двоеточия «:»

Дальше >>

< Лекция 12 || Лекция 5: 123456789

Как решить систему уравнений с помощью обратной матрицы: {5x-2y+16 и {x+3y=10

Обратная матрица

Чани Б.

Я пытался найти обратную матрицу, но при всех моих умножениях она оказалась не обратной матрицей, а случайным набором дробей в моей матрице.

Подписаться І 4

Подробнее

Отчет

3 ответа от опытных наставников

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Стив С. ответил 06.01.14

Репетитор

5 (3)

Обучение предварительному исчислению, тригонометрическому исчислению и дифференциальному исчислению

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов 9(-1) = [[3 2],[-1,5]]/(5*3 — -2*1),

X = [[3 2],[-1,5]] [[16 ],[10]] / 17,

X = [[3*16+2*10],[-1*16+5*10]]/17,

X = [[68],[34] ]/17,

X = [[4],[2]], или

x = 4, y = 2.

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Парвиз Ф. ответил 06.01.14

Репетитор

4,8 (4)

Профессор математики в муниципальных колледжах

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

5 X -2y = 16

 X  + 3Y = 10

3 л 5    — 2 л 16    л 17    0 л 68     л 1   0 л 4      л 1    0 л 4     л 1   0 л 4

2 л 1      3 л 10    л 1     3 л 10     л 1 3 л10     л 0   3 л 6     л 0   1 л 2    

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Брэд М. ответил 05.01.14

Репетитор

4. 9 (737)

Capsim-BSG-GloBus, Финансы, Системы ME, Контроль с обратной связью, EE, Econ

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Эй, Чани — обратное значение равно «транспонированному ‘прикрепленному’, деленному на ‘определитель'» (юк!)

3 -1

2  5 … является «присоединенным» … теперь «транспонируем», делая строки столбцами и делим на det 17 …

3/17  2/17 9000 3

-1/17 5/17 is A inv … A inv * A = проверка подлинности «I» … решение A inv * B …

x= 68 старше 17 или 4 … y= 34 старше 17 или 2 ==> (4,2) работает … С уважением 🙂

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Как решать системы с использованием обратных матриц — Криста Кинг Математика

Мы знаем, как решать системы уравнений, но сейчас мы рассмотрим, как это сделать, используя обратную матрицу

Мы уже знаем, как решать системы линейных уравнений с помощью подстановки, исключения и построения графиков. На этот раз мы хотим поговорить о том, как решать системы с использованием обратных матриц. Чтобы пройти через это, давайте воспользуемся простой системой.

???3x-4y=6???

???-2x+y=-9???

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

И для наглядности давайте сравним это с общей системой

???ax+by=f???

???cx+dy=g???

Мы всегда можем представить подобную линейную систему как матрицу коэффициентов, умноженную на вектор-столбец ???(x,y)???, равный вектору-столбцу констант ???(f,g) ???.

Или, если мы назовем матрицу коэффициентов ???M???, переименуем вектор-столбец ???(x,y)??? как ???\vec{a}???, и переименуйте вектор-столбец ???(f,g)??? как ???\vec{b}???, то можно сказать, что это уравнение эквивалентно 9{-1}\vec{b}??? даст нам немедленный набор решений для ???(x,y)???.

Прямо сейчас это не обязательно кажется очень полезным, но по мере того, как вы будете использовать матрицы более продвинутыми способами, станет чрезвычайно полезной возможность изменять значения, составляющие ???\vec{b}??? , и немедленно получите набор решений для ???(x,y)??? это происходит от ???\vec{a}???.

Как использовать обратные матрицы для решения систем уравнений

Пройти курс

Хотите узнать больше о линейной алгебре? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Использование обратной матрицы для решения системы

Пример

Использование обратной матрицы для решения системы.

???3x-4y=6???

???-2x+y=-9???

Начните с преобразования системы в матричное уравнение.

???M\vec{a}=\vec{b}???

Найдите обратную матрицу коэффициентов. 9{-1}\vec{b}???

???\vec{a}=\begin{bmatrix}-\frac15(6)-\frac45(-9)\\ -\frac25(6)-\frac35(-9)\end{bmatrix}?? ?

???\vec{a}=\begin{bmatrix}-\frac65+\frac{36}{5}\\ -\frac{12}{5}+\frac{27}{5}\end{ бматрица}???

???\vec{a}=\begin{bmatrix}\frac{30}{5}\\ \frac{15}{5}\end{bmatrix}???

???\vec{a}=\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\ 3\end{bmatrix}???

Используя этот процесс с обратной матрицей, мы заключаем, что решение системы ???\vec{a}=(x,y)=(6,3)???. 9(-1) на вектор-столбец (f,g)!

Представление системы графически

Мы также можем выразить ту же систему из примера,

???3x-4y=6???

???-2x+y=-9???

как это матричное уравнение:

???\begin{bmatrix}3\\ -2\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}-4\\ 1\end{bmatrix}y=\begin{bmatrix} 6\\ -9\end{bmatrix}???

Графически это уравнение можно представить как вектор ???\vec{s}=(3,-2)??? за ???х??? и вектор ???\vec{t}=(-4,1)??? для ???y???, и результирующий вектор ???\vec{u}=(6,-9)???. Если мы поместим эти векторы в одну координатную плоскость, то получим

Мы уже знаем из примера, что ???x=6??? и ???y=3???. Что это решение говорит нам графически, так это то, что нам нужно поставить ???6??? из ???х??? векторы ???\vec{s}=(3,-2)??? и ???3??? из ???y??? векторы ???\vec{t}=(-4,1)??? вместе, и мы окажемся в том же месте, что и результирующий вектор ???\vec{u}=(6,-9)???.

примеры пределов с натуральными логарифмами

Пределы/ Предел функции

Примеры

Для конечных точек:

———Слева (x0-)Справа (x0+)

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

ctg(x)

Функция — Котангенс от x

arcctg(x)

Функция — Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция — Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

DiracDelta(x)

Дельта-функция Дирака

Heaviside(x)

Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3. {\ln (х)} $$ 9{\ln 2}=2$$

$\endgroup$

1.9: Предел показательных функций и логарифмических функций

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

10284

Эта страница является черновиком и находится в активной разработке.

Предел экспоненциальных функций

Определение

Величина растет линейно с течением времени, если она увеличивается на фиксированную величину с каждым временным интервалом. Величина уменьшается линейно с течением времени, если она уменьшается на фиксированную величину с каждым временным интервалом.

Пример \(\PageIndex{1}\):

Если вы начнете с 1000 долларов и каждый месяц будете откладывать 200 долларов в банку, чтобы откладывать на отпуск, то каждый месяц отпускные сбережения будут расти на 200 долларов, и через x месяцев у вас будет : Сумма = 1000 + 200x

Определение

Величина растет экспоненциально с течением времени, если она увеличивается на фиксированный процент с каждым временным интервалом. Величина убывает экспоненциально с течением времени, если она уменьшается на фиксированный процент с каждым временным интервалом.

Пример \(\PageIndex{2}\):

Если вы начинаете с долга в 1000 долларов США и с вас взимается годовая процентная ставка в размере 24 процентов (обычная процентная ставка по кредитной карте), то сколько вы будете должны через X месяцев ? 9x\), \(b>0\), \(b≠1\), имеет следующие характеристики:

• взаимно-однозначная функция
• горизонтальная асимптота: \(y=0\)
• домен: \((–\infty, \infty)\)
• диапазон: \((0,\infty)\)
• x- перехват: нет
• y- перехват: \((0,1)\)
• увеличивается, если \(b>1\)
• уменьшается, если \(b<1\)

Правило: Законы экспонент

Для любых констант \(a>0\),\(b>0\), и для всех x и y, 93)\)

Число e

Особый тип экспоненциальной функции часто используется в реальных приложениях. Чтобы описать это, рассмотрим следующий пример экспоненциального роста, который возникает из-за начисления процентов на сберегательном счете. Предположим, человек вкладывает \(P\) долларов на сберегательный счет с годовой процентной ставкой \(r\), начисляемой ежегодно. Сумма денег через 1 год составляет

\(A(1)=P+rP=P(1+r)\).

Сумма денег через \(2\) лет равна 9m\) приближается к некоторому числу как \(m→∞\). Мы называем этот номер \(e\). С точностью до шести знаков после запятой

\(e≈2,718282\).

Буква \(e\) была впервые использована для обозначения этого числа швейцарским математиком Леонардом Эйлером в 1720-х годах. Хотя Эйлер не открыл это число, он показал много важных связей между \(e\) и логарифмическими функциями. Мы до сих пор используем обозначение \(e\) в честь работы Эйлера, потому что оно появляется во многих областях математики и потому что мы можем использовать его во многих практических приложениях. 9x\) имеет касательную с наклоном \(1\) в точке \(x=0\).

Пример \(\PageIndex{3}\): начисление сложных процентов

Предположим, \($500\) инвестируется на счет с годовой процентной ставкой \(r=5,5%\), непрерывно начисляемой.

1. Пусть \(t\) обозначает количество лет после первоначальных инвестиций, а A(t) обозначает сумму денег на счете в момент времени \(t\). Найдите формулу для \(A(t)\).
2. Найдите сумму денег на счете через \(10\) лет и через \(20\) лет. 9Икс\). Используя этот факт и графики экспоненциальных функций, мы построили графики функций \(log_b\) для нескольких значений b>1 (рисунок).
   Рисунок \(\PageIndex{5}\): Графики \(y=log_b(x)\) показаны для \(b=2,e,10\).

   Прежде чем решать некоторые уравнения с экспоненциальными и логарифмическими функциями, давайте рассмотрим основные свойства логарифмов.

   Свойства логарифмов

   Если \(a,b,c>0,b≠1\) и \(r\) — любое действительное число, то

   1. \(log_b(ac)=log_b(a) +log_b(c)\) (свойство продукта) 93)−4\ln (x)=1\).

      Подсказка

      Сначала используйте свойство степени, затем используйте свойство произведения логарифмов.

      Ответить

      \(х=\dfrac{1}{e}\)

      При вычислении логарифмической функции с помощью калькулятора вы, возможно, заметили, что единственными параметрами являются \(log_10\) или log, называемый десятичным логарифмом , или \ln , который является натуральным логарифмом. Однако экспоненциальные функции и логарифмические функции могут быть выражены через любое желаемое основание \(b\). Если вам нужно использовать калькулятор для вычисления выражения с другим основанием, вы можете сначала применить формулы изменения основания. Используя эту замену базы, мы обычно записываем данную экспоненциальную или логарифмическую функцию в терминах натуральных экспоненциальных и натуральных логарифмических функций. 9ж\). Поскольку экспоненциальные функции взаимно однозначны, мы можем заключить, что \(u⋅v=w\).

      \(\square\)

      Пример \(\PageIndex{6}\): изменение базы

      Используйте вычислительную утилиту для вычисления \(log_37\) с помощью представленной ранее формулы изменения базы.

      Решение

      Используйте второе уравнение с \(a=3\) и \(e=3\): \(log_37=\dfrac{\ln 7}{\ln 3}≈1,77124\).

      Упражнение \(\PageIndex{6}\)

      Используйте формулу изменения базы и вычислительную утилиту для оценки \(log_46\).

      Подсказка

      Используйте замену основания, чтобы переписать это выражение в терминах выражений, включающих функцию натурального логарифма.

      Ответить

      \(1.29248\)

      Пример \(\PageIndex{7}\): Шкала землетрясений Рихтера

      Рисунок \(\PageIndex{6}\): (кредит: модификация работы Робба Ханнавакера, NPS)

      В 1935 году Чарльз Рихтер разработал шкала (теперь известная как шкала Рихтера) для измерения магнитуды землетрясение . Шкала представляет собой логарифмическую шкалу с основанием 10, и ее можно описать следующим образом: рассмотрим одно землетрясение с магнитудой \(R_1\) по шкале Рихтера и второе землетрясение с магнитудой \(R_2\) по шкале Рихтера. Предположим, \(R_1>R_2\), что означает, что землетрясение с магнитудой \(R_1\) сильнее, но насколько оно сильнее, чем другое землетрясение? Одним из способов измерения интенсивности землетрясения является использование сейсмографа для измерения амплитуды волн землетрясения. Если \(A_1\) — амплитуда, измеренная для первого землетрясения, а \(A_2\) — амплитуда, измеренная для второго землетрясения, то амплитуды и магнитуды двух землетрясений удовлетворяют следующему уравнению:0005

      \(R_1−R_2=log_{10}(\dfrac{A1}{A2})\).

      Рассмотрим землетрясение силой 8 баллов по шкале Рихтера и землетрясение силой 7 баллов по шкале Рихтера. Затем

      \(8−7=log_{10}(\dfrac{A1}{A2})\).

      Следовательно,

      \(log_{10}(\dfrac{A1}{A2})=1\),

      , что означает \(A_1/A_2=10\) или \(A_1=10A_2\). Поскольку \(A_1\) в 10 раз больше \(A_2\), мы говорим, что первое землетрясение в 10 раз сильнее второго. С другой стороны, если одно землетрясение оценивается в 8 баллов по шкале Рихтера, а другое — в 6 баллов, то относительная интенсивность двух землетрясений удовлетворяет уравнению

      \(log_{10}(\dfrac{A1}{A2})=8−6=2\).

‎App Store: Panecal Научный калькулятор

Описание

[Описание]
Panecal — это приложение для научных калькуляторов, предназначенное для технических работ, таких как информационная инженерия, машиностроение, динамика, измерения и строительство, что является важным элементом для инженеров и студентов, изучающих естественные науки.

Panecal научный калькулятор может отображать математические формулы и исправлять легко. Индикация формул при вводе позволяет избежать ошибок при наборе текста и ошибок вычислений. Panecal имеет такие функции, как редактирование и пересчет формул расчетов, введенных в прошлом, а также возможность использовать переменную память только для изменения определенных значений и выполнения вычислений.

Вы можете нажать прошлые формулы на экране, чтобы переместить курсор туда, где вы хотите редактировать. Panecal позволяет смахивать для прокрутки формул, а также копирование и вставка текстовых формул. Panecal — это мощное и гибкое приложение с интуитивно понятным пользовательским интерфейсом.

[Особенности]
— Повторное вычисление с использованием формулы прошлого
— Простое редактирование, просто проведя пальцем по экрану с операцией курсора
— Скопируйте и вставьте текст формулы
— История Формулы и история ответов таблица
— Двоичные числа, восьмеричные числа, десятичные числа, шестнадцатеричные числа вычисление и преобразование (макс. 32 бита)
— M+/M- функции памяти и переменная (A-F) память
— Арифметические операции, обратные тригонометрические функции, логарифмические функции, степенные функции, степенные корневые функции, факториалы, абсолютные значения, процентные вычисления, расчет по модулю, преобразование полярных и декартовых координат
— Угловые единицы (DEG, RAD, GRAD)
— Формат результата с Normal (стандартный), Fix (фиксированный десятичный режим), Sci (значащие цифры) и Eng (индекс кратен 3)
— Символ десятичной точки и разделитель группировки

[Disclaimer]
Пожалуйста, обратите внимание, что Appsys не несет ответственности за любой ущерб или упущенную выгоду, вызванные использованием этого программного обеспечения, или любые претензии третьих сторон.

17 февр. 2023 г.

Версия 7.5.2

— Исправлена проблема с прокруткой экрана.

Оценки и отзывы

Оценок: 198

Класс

Супер! Пользуюсь давно
89872998215
Кирилл

Отлично!

Отличный калькулятор. Все, что нужно присутствует. Спасибо за работу!

Отличное приложение, но…

Пожалуйста, сделайте так, чтоб можно было записать десятки у секунд, очень неудобно работать так.

Разработчик Noriyasu Kutsuzawa указал, что в соответствии с политикой конфиденциальности приложения данные могут обрабатываться так, как описано ниже. Подробные сведения доступны в политике конфиденциальности разработчика.

Данные, используе­мые для отслежи­вания информации

Следующие данные могут использоваться для отслеживания информации о пользователе в приложениях и на сайтах, принадлежащих другим компаниям:

• Геопозиция
• Идентифика­торы
• Данные об использова­нии
• Диагностика

Связанные с пользова­телем данные

Может вестись сбор следующих данных, которые связаны с личностью пользователя:

• Геопозиция
• Идентифика­торы
• Данные об использова­нии
• Диагностика

Не связанные с пользова­телем данные

Может вестись сбор следующих данных, которые не связаны с личностью пользователя:

Конфиденциальные данные могут использоваться по-разному в зависимости от вашего возраста, задействованных функций или других факторов. Подробнее

Информация

Провайдер

Noriyasu Kutsuzawa

Размер

24,8 МБ

Категория

Утилиты

Возраст

4+

Copyright

© 2013-2023 Appsys

Цена

Бесплатно

• Сайт разработчика
• Поддержка приложения
• Политика конфиденциальности

Другие приложения этого разработчика

Вам может понравиться

Инженерный онлайн-калькулятор для математических расчетов

Удобный и интуитивно понятный инженерный калькулятор позволяет выполнять комплексные математические расчеты среднего уровня сложности в режиме онлайн. Он работает сразу после загрузки страницы в браузере, не требует установки и регистрации и доступен на любом компьютере, смартфоне или планшете, подключенном к интернету.

Функции инженерного калькулятора

В отличие от обычного инженерный калькулятор имеет дополнительные кнопки для выполнения более сложных действий:

• расчет квадратного корня, возведение в степень, в том числе и нецелую, работа с дробями;
• вычисление прямых и обратных тригонометрических функций с аргументами, выраженными в градусах или радианах;
• сохранение результата промежуточных расчетов. Число, которое в данный момент находится в памяти, отображается над верхним рядом клавиатуры.

Число пи в виде отдельной кнопки на экране упрощает вычисление выражений, в которых присутствуют функции синус, косинус и тангенс/котангенс.

Как пользоваться онлайн-калькулятором

Для того чтобы вычислить нужное вам выражение, выполняйте операции в порядке их следования. Загрузите калькулятор, введите число, над которым нужно совершить действие, а затем нажмите на кнопку, обозначающую это действие. Результат сразу же отобразится в верхнем окне. Функция возведения в степень требует двух аргументов (основания и показателя степени), в этом случае последовательность ввода должна быть следующей: основание, кнопка xy, показатель, клавиша «=».

Калькулятор работает с целыми и десятичными числами, позволяет записывать результат в память и считывать его при необходимости, а также удалять неверно введенные цифры (клавиша «<-») или все число целиком (клавиша C). Пользоваться этой программой вы можете бесплатно, никаких предварительных действий перед ее загрузкой не требуется.

Вопросы и ответы

Как посчитать квадратный корень?

Введите число, из которого хотите извлечь корень, и нажмите клавишу sqrt. Результат сразу же появится на экране калькулятора.

Зачем на инженерном калькуляторе переключатель радианы/градусы?

Это единицы измерения угла для тригонометрических функций. Вы можете менять их в зависимости от задачи.

Что обозначают кнопки sin, cos, tg, ctg?

Это тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс. Их должен иметь любой инженерный калькулятор, так как они нужны для расчетов треугольников. У нашего онлайн-калькулятора есть и обратные функции — asin (арксинус), acos (арккосинус) и другие.

Чем отличаются кнопки x2 и xy?

Это возведение в степень. Первая кнопка возводит в квадрат (т. е. во вторую), вторая — в произвольную степень, в том числе и дробную.

Инженерный калькулятор умеет работать с памятью. Какие кнопки для этого нужны?

Кнопка M+ помещает число в память, MR выводит его на экран, а MC очищает память.

Как вычислить кубический корень из числа?

Используйте функцию возведения в степень с показателем 1/3.

Как решать примеры в несколько действий?

Выполняйте действия по порядку. Инженерный калькулятор производит расчеты в режиме онлайн, поэтому результат предыдущих вычислений сразу же можно использовать для следующих.

Что такое PI?

Это число пи, оно используется в основном для функций sin и cos.

Что нужно для использования инженерного калькулятора?

Компьютер, телефон или планшет с подключением к интернету. Инженерный калькулятор работает в режиме онлайн прямо из браузера, поэтому особых требований к оборудованию нет.

Научный калькулятор онлайн KALKPRO.RU — самый точный калькулятор корней, градусов, синусов, косинусов, логарифмов!

Почему мы так решили? Наш онлайн-калькулятор работает с числами до 20 знаков после запятой, в отличие от других. Kalkpro.ru способен точно и надежно выполнять любые вычислительные операции, как простые, так и сложные.

Только правильные расчеты по всем правилам математики!

В любое время и в любом месте под рукой универсальный инженерный калькулятор онлайн выполнит для вас любую операцию абсолютно бесплатно, практически мгновенно, просто добавьте программу в закладки.

Все для вашего удобства:

• быстрые расчеты и загрузка,
• правильные расчеты по всем правилам
• полная функциональность,
• дружественный интерфейс,
• адаптация к любому размеру устройства
• бесплатно
• ничего устанавливать не нужно
• нет всплывающей надоедливой рекламы
• подробная инструкция с примерами

Содержание справки:

1. Инженерный калькулятор сложных операций

2. Инструкция по функциям инженерного калькулятора

3. Как пользоваться примерами графического калькулятора

• Как построить степень
• Как найти кубический корень
• Как найти корень на калькуляторе
• Как возвести в квадрат

4. Онлайн примеры тригонометрического калькулятора

• Как сделать онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов
• Преобразование с помощью кнопки Dms и Deg на калькуляторе
• Логарифм онлайн
• Как использовать память на калькуляторе

Встроенный в математический калькулятор поможет вам выполнять простейшие вычисления: умножение и суммирование, вычитание и деление. Калькулятор градусов онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранный вами градус.

Представлен инженерный калькулятор, содержащий все возможные варианты онлайн-программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмы (Log) факториал (n!), вычисление корней , синус и арктангенс 9000 6 , косинусов , касательных онлайн — множество тригонометрических функций и не только.

Для работы с компьютерной программой онлайн, с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, вы можете настроить его размер по своему вкусу.

Ввод номера осуществляется двумя способами:

• мобильные устройства – ввод дисплей телефон или планшет, клавиши интерфейса
• персональный компьютер – интерфейс электронного дисплея или через клавиатуру ПК любые цифры

Для понимания даем краткую инструкцию, подробнее см. х] 9x] – Построение числа Эйлера в степени

Как использовать MR MC M+ M — MS 93 введите следующую последовательность:

12 [ x ^y ] 3 [=]

12, ключ «x в степени игрик» [xy], 3, знак равенства [= ]

Ответ: 1728

Предположим, что мы извлекаем кубический корень из 729, кликаем в таком порядке:

729 [3√x] [=] 3

3 [

Задача: Найди квадратный корень из 36.

Решение: все просто, нажми сюда:

36 [ ^{y 90 5} 9000 6 х ] 2 [=]

36, [ ^y √x] «квадратный корень из х, в градусах игрик» нам нужна степень двойки, равная [=]

Ответ: 6

С помощью этой функции вы можно найти корень любой степени, а не только квадратный. 9y», затем укажите нужную степень и также нажмите знак равенства.

Например: 45 [x ^y ] 6 [=]

Ответ: сорок пять на шестом шаге. Примеры тригонометрического калькулятора онлайн

Обратите внимание, что kalkpro.ru умеет работать как градусы, радианы и грады

1 рад = 57,3°;360° = 2π рад., 1 град = 0,9градусы или 1 градус = 0,015708 радиан.

Для включения режима измерения нажмите нужную кнопку:

где Deg — градусы, Mm — измерение в радианах Grad — грады. По умолчанию режим расчета в градусах.

В качестве очень простого примера найдем синус 90 градусов. Попадание:

90 [sin] [=]

Ответ: единица

Также вычисляются другие тригонометрические функции, например вычисляется косинус 60°:

60 [cos] [=]

Решение: 0,5

Таким же образом вычисляются обратные тригонометрических функций онлайн, CALCPRO — арксинус, арккосинус, арктангенс и гиперболические функции sinh, cosh , танх.

Для входа в них нужно переключить интерфейс нажатием [Inv], появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных тот же: сначала значение, затем символ искомой функции, будь то арсинус или арккосинус.

[Deg] позволяет преобразовать угол из градусов, минут и секунд в десятичные градусы для вычислений. [Dms] выполняет обратный перевод в формате «градусы;минуты;секунды».

Например, угол 35 o 14 04 минута 53 секунды десятые доли секунды до десятых долей:

35,140453 [град] [=] 35,23459166666666666666

Перевести в том же формате: 35,2345916666666666666 [Dms] [=] 35,140453

Калькулятор логарифмов вычисляет следующим образом, например, вы записываете единицы по основанию 10, log10(1) или lg1:

90 005 1 [лог] [= ]

0 получается в итоге. Чтобы подсчитать lg100, нажмите:

100 [log] [=]

Решение : два. Как проверить? Что такое десятичный логарифм? Логарифм по основанию 10. В нашем примере 2 — это степень, в которой вы вводите логарифм по основанию, т. е. 10, чтобы получить 100.

Как натуральный логарифм, но нажмите [ln].

Имеющиеся кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.

Добавить данные в память программы, затем сохранить их для дальнейших расчетов поможет работа МС.

MR сообщит вам, что дисплей сохранен в памяти. MC удалит любые данные из памяти. M — вычтет число на онлайн-дисплее из сохраненного в памяти.

Пример . В памяти программы получится сто сорок пять:

145 [MR]

После проведения других вычислений нам вдруг понадобилось вернуться к запомненной цифре на экране электронного калькулятора, просто нажмите:

[MR]

На экране опять 145.

Потом опять верим, верим, а потом решили выложить, например, 85 145 единомышленников, для этого нажимаем [M+] или [M-], чтобы вычесть 85 из 145 единомышленников. В первом случае верните полученное число из памяти, нажмите [MR] получится 230, а во втором, после нажатия [M-] [MR] получится 60.

Научный калькулятор kalkpro. ru быстро и точно проведет сложные расчеты, что значительно упростит ваши задачи.

Список калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям!

Научный калькулятор онлайн KALKPRO.RU — самый точный калькулятор корней, степеней, синусов, косинусов, логарифмов!

Почему мы так решили? Наш онлайн-калькулятор работает с числами до 20 знаков после запятой, в отличие от других. Kalkpro.ru способен точно и надежно выполнять любые вычислительные операции, как простые, так и сложные.

Только правильные расчеты по всем правилам математики!

В любое время и в любом месте под рукой, универсальный инженерный калькулятор онлайн выполнит для вас любую операцию абсолютно бесплатно, практически мгновенно, просто добавьте программу в закладки.

Все для вашего удобства:

• быстрые расчеты и загрузка,
• правильные расчеты по всем правилам
• полная функциональность,
• дружественный интерфейс,
• адаптация к любому размеру устройства
• бесплатно
• ничего устанавливать не нужно
• нет всплывающей надоедливой рекламы
• подробная инструкция с примерами

Содержание справки:

1. Инженерный калькулятор сложных операций

2. Инструкция по функциям инженерного калькулятора

3. Примеры использования графического калькулятора

• Как построить степень
• Как найти кубический корень
• Как найти корень на калькуляторе
• Как возвести в квадрат

4. Тригонометрический калькулятор онлайн примеры

• Как сделать онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов
• Преобразование с помощью кнопки Dms и Deg на калькуляторе
• Логарифм онлайн
• Как использовать память на калькуляторе

Встроенный в математический калькулятор поможет вам производить простейшие вычисления: умножение и суммирование, вычитание и деление. Калькулятор градусов онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.

Представлен инженерный калькулятор, содержащий все возможные варианты онлайн-программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрических калькуляторов (углы и радианы, грады), логарифмы (Log) факториал (n!), вычисление корней , синус и арктангенсы , косинусы 9 0

,

90 005 1 [лог] [= ]

0 получается в итоге. Чтобы подсчитать lg100, нажмите:

100 [log] [=]

Решение : два. Как проверить? Что такое десятичный логарифм? Логарифм по основанию 10. В нашем примере 2 — это степень, в которой вы вводите логарифм по основанию, т. е. 10, чтобы получить 100.

Как натуральный логарифм, но нажмите [ln].

Имеющиеся кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.

2.2. Примеры составления математических моделей экономических задач

Экономико-математическая модель – математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.

Рассмотрим примеры экономико-математических моделей, которые относятся к задачам линейного программирования.

1.Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства).

При производстве видов продукции используетсявидов ресурсов. Известно:запасы ресурсов;расход каждогого вида ресурса на изготовление единицый продукции;прибыль, получаемая при реализации единицый продукции. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение. Обозначим объем выпускай продукции. Учитывая, чтоприбыль от реализации всего объемай продукции,затратыго вида ресурса на весь объем выпускай продукции, неотрицательность переменных задачи, запишем математическую модель задачи.

2. Задача о составлении рациона питания (задача о диете, задача о смесях).

Животные должны получать ежедневно питательных веществ в количестве не менее. В рацион животных входят кормавидов. Известно:содержаниего питательного вещества в единицего вида корма;стоимость единицыго вида корма. Составить суточный рацион кормления животных, обеспечивающий минимальные затраты.

Решение. Обозначим объемго вида корма, входящего в суточный рацион. Так какколичествого питательного вещества, содержащегося вм виде корма, входящего в суточный рацион,стоимостьго корма, то математическая модель имеет вид

3. Транспортная задача.

Однородный груз сосредоточен у поставщиковв объемах. Данный груз необходимо доставитьпотребителямв объемах. Известныстоимость перевозки единицы груза от каждогого поставщика каждомуму потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором:

–мощности всех поставщиков были реализованы;

–спросы всех потребителей были удовлетворены;

–суммарные затраты на перевозку были минимальны.

Исходные данные транспортной задачи записываются в виде таблицы

Решение. Обозначим объемы перевозок от каждогого поставщика каждомуму потребителю. Математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции

при условиях

Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т.е.

,

то модель такой транспортной задачи называется закрытой. Если же указанное условие не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.

404 Cтраница не найдена

Мы используем файлы cookies для улучшения работы сайта МГТУ и большего удобства его использования. Более подробную информацию об использовании файлов cookies можно найти здесь. Продолжая пользоваться сайтом, вы подтверждаете, что были проинформированы об использовании файлов cookies сайтом ФГБОУ ВО «МГТУ» и согласны с нашими правилами обработки персональных данных.

Размер:

AAA

Изображения Вкл. Выкл.

Обычная версия сайта

К сожалению запрашиваемая страница не найдена.

Но вы можете воспользоваться поиском или картой сайта ниже

Математическое моделирование — Решения MATLAB и Simulink

Математические модели имеют решающее значение для понимания и точного прогнозирования поведения сложных систем. Эти модели позволяют решать критически важные задачи, такие как:

• Прогнозирование и оптимизация поведения системы
• Проектирование систем управления
• Характеристика реакции системы

Продукты MathWorks предоставляют все инструменты, необходимые для разработки математических моделей. MATLAB ^® поддерживает подходы как к численному, так и к символьному моделированию и обеспечивает аппроксимацию кривых, статистику, оптимизацию, решение ОДУ и УЧП, исчисление и другие основные математические инструменты. Симулинк ^® добавляет среду для моделирования и симуляции поведения многодоменных систем, а также для разработки встроенных систем.

«В отличие от компаний, которые полагаются на готовые решения для количественного анализа, мы видим, что наш процесс постоянно совершенствуется. У нас есть возможность постоянно улучшать наши алгоритмы и модели в MATLAB, и это большое преимущество».

Виллем Джелема, Робеко

Построение моделей на основе данных и научных принципов

С помощью семейств продуктов MATLAB и Simulink вы можете моделировать системы практически любого типа, включая:

• Линейные и нелинейные
• Статическая и динамическая
• Детерминированный и стохастический
• Дискретный и непрерывный

Вы можете выбрать одну из нескольких сред моделирования, что позволит вам описать вашу систему программно, символически или с помощью блок-схем и конечных автоматов. Создание управляемых данными или физических моделей дает множество различных преимуществ, таких как извлечение информации из данных, информирование процессов проектирования с помощью проектирования на основе моделей, обеспечение виртуального ввода в эксплуатацию или создание операционных цифровых двойников.

Разработка моделей на основе данных

Когда у вас есть физическое понимание, вы можете создавать модели на основе первых принципов, используя аналитические или символические подходы. Методы моделирования на основе данных особенно полезны, когда у вас нет достаточной информации о вашей системе. В этом случае вы можете обеспечить точность модели, выбрав метод моделирования, подходящий для ваших экспериментальных или исторических данных. Используйте инструменты подгонки кривой статистики, чтобы исследовать отношения между вашими данными. Вы можете использовать модели линейной и нелинейной регрессии, классификацию, кластеризацию и инструменты подбора поверхности. Динамические модели, позволяющие выразить влияние прошлого опыта системы на ее текущее и будущее поведение, можно моделировать с помощью нейронных сетей и методов идентификации системы. Методы, управляемые данными, также можно использовать для настройки коэффициентов вашей модели из первых принципов, чтобы они соответствовали экспериментальным данным с использованием методов моделирования серого ящика и методов оптимизации отклика.

Узнать больше

• Моделирование углекислого газа в атмосфере и набор инструментов для подбора кривой
• Прогнозирование нагрузки и цен на электроэнергию с помощью MATLAB (47:43)
• Разработка прогностических моделей (MathWorks Consulting)
• Цифровые двойники для профилактического обслуживания

Примеры кода

• Классический маятник: некоторые вопросы, связанные с алгоритмом Классический маятник: некоторые вопросы, связанные с алгоритмом

Изучить продукты

• Curve Fitting Toolbox™
• Simscape™
• Stateflow™
• Статистика и машинное обучение Toolbox™
• Symbolic Math Toolbox™
• System Identification Toolbox™

Разработка моделей на основе математических, инженерных и научных принципов

Можно выбрать один из нескольких подходов к созданию математических моделей на основе первых принципов. Например, вы можете:

• Используйте символьные вычисления для получения уравнений и аналитических моделей, описывающих вашу систему
• Создание блок-схем сложных многодоменных систем
• Использовать методы конечных элементов для систем, описываемых уравнениями в частных производных

Подробнее

• Моделирование поршня (8:57)
• Инженерный проект и документация с MATLAB (36:59)
• Структурный и термический анализ с помощью MATLAB (43:48)
• Моделирование пониженного порядка

Изучить продукты

• Curve Fitting Toolbox™
• Simscape™
• Stateflow™
• Статистика и машинное обучение Toolbox™
• Symbolic Math Toolbox™
• System Identification Toolbox™

Разработка моделей для предметно-ориентированных приложений

Продукты MathWorks для конкретных приложений позволяют разрабатывать математические модели для приложений в следующих областях:

• Вычислительная оптимизация финансового портфеля, оценка рисков и экономическое прогнозирование
• Физическое моделирование механических, электрических, гидравлических и приводных систем
• Моделирование и калибровка трансмиссии
• Анализ экспрессии генов в вычислительной биологии, анализ последовательностей и моделирование путей
• Экологическое и аэродинамическое моделирование аэрокосмических систем
• Моделирование систем управления, проектирование и проверка контроллеров, моделирование систем с обратной связью

Оценка и оптимизация моделей

После разработки модели вы можете испытывать ее в различных условиях, управлять результатами моделирования и визуализировать их, а также оптимизировать их точность. Вы также можете документировать свою работу и делиться моделью с коллегами.

Моделирование вашей модели

Моделирование позволяет прогнозировать поведение вашей системы в различных условиях или проверять вашу модель путем сравнения результатов моделирования с тестовыми данными. Инструменты MathWorks упрощают управление всеми аспектами моделирования модели. Вы можете:

• Определение условий моделирования с использованием DoE, распределений вероятностей и других тестовых векторов
• Запустите симуляцию, используя числовые решатели мирового класса и параллельные вычисления
• Результаты постобработки с использованием возможностей анализа данных MATLAB, управления данными и визуализации

Подробнее

• Использование статистики для анализа неопределенностей в моделях систем
• Ускорение анализа методом конечных элементов в MATLAB с помощью параллельных вычислений

Обзор продуктов

• Global Optimization Toolbox™
• Компилятор MATLAB™
• Набор инструментов для оптимизации™
• Simulink Design Optimization™
• Тест Simulink

Оптимизируйте свою модель

После того, как вы построили свою модель, вы можете оптимизировать параметры и проверить модель на соответствие реальному поведению системы. Инструменты оптимизации MathWorks позволяют усовершенствовать модель существующей системы или оптимизировать проект новой системы путем корректировки проектных переменных в соответствии с конкретными критериями производительности.

Узнать больше

• Надежность и надежность
• Robeco разрабатывает модели количественного отбора акций и оптимизации портфеля с помощью инструментов MathWorks

Обзор продуктов

• Global Optimization Toolbox™
• Компилятор MATLAB™
• Набор инструментов для оптимизации™
• Simulink Design Optimization™
• Тест Simulink

Документируйте и делитесь своей моделью

С помощью инструментов создания отчетов MATLAB и Simulink вы можете автоматически документировать этапы построения модели и результаты моделирования и поддерживать их в актуальном состоянии при проектировании. Вы можете использовать настольные и веб-инструменты MathWorks для развертывания, чтобы поделиться своими оптимизированными моделями и связанными приложениями с коллегами.

Подробнее

• Что такое компилятор MATLAB? (2:23)
• Интеграция и развертывание ваших алгоритмов в корпоративных системах (MathWorks Consulting)

Обзор продуктов

• Global Optimization Toolbox™
• Компилятор MATLAB™
• Набор инструментов для оптимизации™
• Simulink Design Optimization™
• Тест Simulink

Выберите веб-сайт

Выберите веб-сайт, чтобы получить переведенный контент, где он доступен, и увидеть местные события и предложения. В зависимости от вашего местоположения мы рекомендуем вам выбрать: .

Вы также можете выбрать веб-сайт из следующего списка

Европа

Обратитесь в местный офис

Экономическое моделирование: примеры и значение

Вы были одним из тех детей, у которых был огромный набор Lego? Или, случайно, вы не из тех взрослых, которые до сих пор любят играть с этими великолепными наборами? Даже, может быть, вы один из организованных коллекционеров, которые мечтали о Соколе Тысячелетия из Лего? Это может вас удивить, но знаете ли вы, что сборка наборов Lego может иметь что-то общее с наукой?

Как вы можете догадаться из названия этого раздела, конструирование моделей Lego похоже на научные модели, а экономисты строили научные модели с самого начала экономической науки. Подобно деталям Lego и полным наборам Lego при конструировании миниатюрной Эйфелевой башни, экономические модели отображают происходящие явления в реальности.

Вы, конечно, знаете, что Эйфелева башня из Лего — это не настоящая Эйфелева башня! Это просто его представление, базовая версия. Это именно то, что делают экономические модели. Поэтому, если вы играли с наборами Lego, вы будете четко понимать этот раздел, а если вы уже знакомы с экономическими моделями, этот раздел может дать некоторые советы по сборке наборов Lego, так что продолжайте прокручивать!

Экономическое моделирование Значение

Значение экономического моделирования связано со значением научного моделирования. Науки вообще пытаются понять происходящие явления. От физики до политологии ученые пытаются уменьшить неопределенность и хаос с помощью правил и моделей.

Но что такое модель? Модели — это упрощенная версия реальности. Они рисуют картину, чтобы мы могли понять чрезвычайно сложные вещи. С другой стороны, экономика сильно отличается от естественных наук. Экономисты не могут наблюдать явления, происходящие в чашке Петри, как это делают биологи. Кроме того, отсутствие контролируемых экспериментов и неясность причинно-следственной связи между событиями, происходящими в социальном мире, в определенной степени препятствует экспериментам в экономике. Поэтому это отсутствие вариантов при проведении экспериментов заменяется моделированием в экономике.

При этом, поскольку реальность чрезвычайно сложна и хаотична, они принимают некоторые правила перед построением модели. Эти предположения обычно уменьшают сложность реальности.

Модели — это конструкции с общими предположениями, которые помогают нам понять явления, происходящие в природе, и предсказать будущее в соответствии с нашим пониманием этих явлений.

Например, физики время от времени допускают вакуум для этих моделей, а экономисты предполагают, что агенты рациональны и обладают полной информацией о рынке. Мы знаем, что это не реально. Мы все знаем, что воздух существует, и мы не живем в вакууме, так как все мы знаем, что экономические агенты могут принимать иррациональные решения. Тем не менее, они полезны по разным причинам.

Экономические модели — это особые типы моделей, специально ориентированные на то, что происходит в экономике. Они представляют реальность с помощью различных методов, таких как графическое представление или наборы математических уравнений.

Экономические модели — это подтип научных моделей, которые сосредоточены на происходящих в экономике явлениях и пытаются представить, исследовать и понять эти явления при определенных условиях и предположениях.

Тем не менее, поскольку экономика и общество представляют собой чрезвычайно сложные системы, экономические модели различаются, а их методологии меняются. Все они имеют разные подходы и характеристики для ответа на разные вопросы.

Типы экономических моделей

В этом разделе мы рассмотрим широко используемые общие типы экономических моделей. Как упоминалось ранее, экономические модели существуют в разных методологиях, и их последствия различаются, поскольку реальность, которую они пытаются обнаружить, различна. Наиболее часто используемые экономические модели могут быть представлены как визуальные экономические модели, математические экономические модели и экономические симуляции.

Типы экономических моделей: визуальные экономические модели

Наглядные экономические модели, пожалуй, самые распространенные в учебниках. Если вы пойдете в книжный магазин и возьмете книгу по экономике, вы увидите десятки графиков и диаграмм. Визуальные экономические модели относительно просты и понятны. Они пытаются уловить происходящие в реальности события с помощью различных схем и графиков.

Наиболее известными визуальными экономическими моделями являются, пожалуй, кривые IS-LM, графики совокупного спроса и предложения, кривые полезности, графики рынков факторов производства и границы производственных возможностей.

Подведем итоги границы производственных возможностей, чтобы ответить на вопрос, почему мы классифицируем ее как визуальную экономическую модель.

На рис. 1 ниже мы можем увидеть, вероятно, первый график в каждом современном учебнике по экономике — границу производственных возможностей или кривую возможностей продукта.

Рис. 1 – Граница производственных возможностей

Эта кривая представляет возможные объемы производства обоих товаров, x и y. Тем не менее, мы будем рассматривать не саму модель, а ее аспекты. Эта модель предполагает, что в экономике существует два товара. Но на самом деле мы можем видеть много товаров в любой экономике, и большую часть времени существует сложная взаимосвязь между товарами и нашим бюджетом. Эта модель упрощает реальность и дает нам ясное объяснение посредством абстракции.

Другим хорошо известным примером визуальных экономических моделей является представление отношений между агентами в экономике с помощью диаграмм рынков факторов производства.

Рис. 2 – Отношения на рынках факторов производства

Этот тип диаграммы является примером визуального экономического моделирования. Мы знаем, что на самом деле отношения в экономике гораздо сложнее, чем на этой диаграмме. Тем не менее, этот тип моделирования в некоторой степени помогает нам понять и разработать политику.

С другой стороны, объем визуальных экономических моделей относительно ограничен. Таким образом, экономика сильно зависит от математических моделей для преодоления ограничений визуальных экономических моделей.

Типы экономических моделей: математические экономические модели

Математические экономические модели разрабатываются для преодоления ограничений визуальных экономических моделей. Обычно они следуют правилам алгебры и исчисления. Следуя этим правилам, математические модели пытаются объяснить отношения между переменными. Тем не менее, эти модели могут быть чрезвычайно абстрактными, и даже самые простые модели содержат значительное количество переменных и их взаимодействий. Одной из известных математических экономических моделей является модель Солоу-Лебедя, широко известная как модель роста Солоу. 9{1-\alpha-\beta}\)

Здесь производственная функция обозначена через \(Y\), капитал через \(K\), человеческий капитал через \(H\), труд через \(L\) , а технология с \(A\). Тем не менее, наша главная цель здесь не в том, чтобы углубиться в модель роста Солоу, а в том, чтобы показать, что она содержит множество переменных.

Рис. 3 – Модель роста Солоу

Например, на Рисунке 3 показана модель роста Солоу, развитие технологий изменит наклон линии требуемых инвестиций в положительную сторону. В дополнение к этому модель утверждает, что увеличение потенциального выпуска может существовать только по отношению к развитию технологий в стране.

Модель роста Солоу — относительно простая модель. Современные экономические модели могут содержать страницы уравнений или приложений, связанных с понятием вероятности. Поэтому для расчета этих типов чрезвычайно сложных систем мы обычно используем модели экономического моделирования или экономическое моделирование.

Типы экономических моделей: экономическое моделирование

Как упоминалось ранее, современные экономические модели обычно исследуются с помощью компьютеров при использовании экономического моделирования. Это очень сложные динамические системы. Поэтому вычисления становятся необходимыми. Экономисты, как правило, осведомлены о механике системы, которую они конструируют. Они устанавливают правила и позволяют машинам делать математическую часть. Например, если мы хотим разработать модель роста Солоу с международной торговлей и несколькими товарами, подойдет вычислительный подход.

Использование экономических моделей

Экономические модели могут использоваться по многим причинам. Экономисты и политики постоянно обмениваются идеями об установлении повестки дня. Как упоминалось ранее, экономические модели используются для лучшего понимания реальности.

Кривые LM зависят от соотношения между процентными ставками и денежной массой. Предложение денег зависит от фискальной политики. Таким образом, этот тип экономического моделирования может быть полезен для будущих политических предложений. Еще один важный пример — кейнсианские экономические модели помогли Соединенным Штатам пережить Великую депрессию. Следовательно, экономические модели могут помочь нам понять и оценить экономические события при планировании наших стратегий.

Пример экономического моделирования

Мы привели множество примеров экономических моделей. Тем не менее, лучше углубиться и детально разобраться в структуре одной экономической модели. Лучше начать с основ. Таким образом, здесь мы фокусируемся на модели спроса и предложения.

Как мы уже говорили, все модели начинаются с предположений, и модель спроса и предложения не является исключением. Во-первых, мы предполагаем, что рынки совершенно конкурентны. Почему мы это предполагаем? Прежде всего, упростить реальность монополий. Поскольку существует много покупателей и продавцов, монополий не существует. И фирмы, и потребители должны быть ценополучателями. Это гарантирует, что фирмы продают в соответствии с ценой. Наконец, мы должны исходить из того, что информация доступна и легкодоступна для обеих сторон. Если потребители не знают, что они получают, цена может быть изменена для увеличения прибыли фирм.

Теперь, после установления наших основных предположений, мы можем перейти к более подробному изложению. Мы знаем, что существует благо. Назовем этот товар \(x\), а цену этого товара — \(P_x\). Мы знаем, что существует некоторый спрос на этот товар. Мы можем продемонстрировать объем спроса с помощью \(Q_d\) и объем предложения с помощью \(Q_s\). Мы предполагаем, что если цена ниже, то спрос будет выше.

Таким образом, мы можем сказать, что общий спрос является функцией цены. Таким образом, мы можем сказать следующее:

\(Q_d = \alpha P + \beta\)

где \(\alpha\) — отношение спроса к цене, а \(\beta\) — константа.

Рис. 4 – График спроса и предложения на рынке факторов производства

В реальной жизни эта взаимосвязь может оказаться слишком сложной. Тем не менее, это не означает, что мы не можем упростить. Поскольку мы знаем, что сделки возможны только там, где предложение равно спросу, мы можем найти равновесную цену на этот товар на этом рынке.

Вы понимаете, насколько это упрощено, если сравнивать с реальностью?

При построении этой модели мы сначала заложили некоторые допущения, а уже после этого решили, что анализировать, и упростили реальность. После этого мы использовали наши знания и создали общую модель для приложения к реальности. Тем не менее, мы должны иметь в виду, что эта модель имеет ограничения. В действительности рынки почти никогда не бывают полностью конкурентными, а информация не так изменчива и широко распространена, как мы предполагали. Это проблема не только этой конкретной модели. В общем, все модели имеют ограничения. Если мы поймем ограничения модели, она будет более полезной для будущих приложений.

Ограничения экономических моделей

Как и все модели, экономические модели также имеют некоторые ограничения.

Известный британский статистик Джордж Э. П. Покс сказал следующее:

Все модели ошибочны, но некоторые из них полезны.

Это довольно важный аргумент. Как мы упоминали ранее, модели могут быть чрезвычайно полезны для улучшения нашего понимания явлений. Тем не менее, все модели имеют ограничения, а некоторые могут содержать недостатки.

Вы помните, что мы делали, конструируя нашу чрезвычайно простую модель? Мы начали с предположений. Ложные предположения могут привести к ложным результатам. Они могут по своей сути звучать в рамках модели. Тем не менее, они не могут объяснить реальность, если не построены на реалистичных предположениях.

Построив допущения для модели, мы упростили реальность. Социальные системы чрезвычайно сложны и хаотичны. Поэтому для расчета и погони за необходимым мы убираем некоторые условия и упрощаем действительность. С другой стороны, чрезмерное упрощение может привести к нереалистичным решениям. Мы должны тщательно проанализировать то, что мы не учитываем в уравнениях.

После этапа упрощения создается математическое соотношение. Математика является важной частью экономического моделирования.

Вычисление определителей 2 — 4-го порядка

Научиться вычислять определители, обратные матрицы и т.д. — одно из основных заданий для первокурсников, которые получают образование на факультетах с математическим уклоном в обучении. Многие сервисы в интернете предлагают онлайн нахождения определителей и всего что касается матриц, однако мало программ — математических калькуляторов которые показывают ход решения. В конце статьи Вашему вниманию предлагается такой калькулятор, но об этом позже, а сейчас давайте рассмотрим несколько примеров нахождение определителя матрицы.

За справочник возьмем сборник задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика». Позже будут добавлены примеры вычисления определителя матрицы из других источников.

———————————————

Примеры.

1) (1.4)

Применим правило вычисления определителя для матрицы второго порядка.

2) (1.6)

Выполним вычисления согласно правилу

3) (1. 8)

Данный пример выглядит сложным но со знанием следующих правил логарифма

решается на удивление быстро.

4) (1.14)

Вычислим данный определитель двумя способами: по правилу треугольников и через алгебраические дополнения.

А сейчас разложим по элементам первого рядка, поскольку в нем больше нулей

В этом примере специально выписаны дополнение у нулевых множителей, так как не все понимают откуда берутся дополнения. По правилу они равны определителю, который образуется вычеркиванием строки и столбца того элемента для которого ищутся, умноженному на минус единицу в степени

.

Схематически на примере матрицы четвертого порядка это выглядит так:

Внимательно посмотрите, какие элементы в определителе выписаны для дополнений и Вам все станет понятно.

Суть метода алгебраических дополнений заключается в том, что когда мы матрицу с нулевыми элементами может разложив ее по по строке или столбцу в котором больше нулей нам остается вычислить столько определителей на порядок меньших основной матрицы, сколько ненулевых элементов. Это значительно упрощает вычисления.

6) (1.19)

Если вычисления проводить по правилу треугольников, то получим много нулевых произведений. В такого рода примерах целесообразно использовать алгебраические дополнения.

7) (1.21)

Вычислим определитель через алгебраические дополнения третьей строки

Как можно убедиться, решение с помощью алгебраических дополнений в случаях разреженных матриц можно получить быстро и без большого количества вычислений.

8) (1.58)

Выполним элементарные преобразования. От другого рядка вычтем первый, а от четвертого — третий. Получим разреженную матрицу

Определитель найдем через алгебраические дополнения к четвертой строке

Вычислим каждый из слагаемых

Подставляем в определитель

9) (1.72)

Найдем определитель через расписание по строкам и столбцам, содержащие нули (выделены черным).

Таким методом нахождения определителя пятого порядка свелось к простым вычислениям. Практикуйте и изучайте правила и через некоторое время у Вас будет выходить не хуже. До встречи в следующих уроках!

———————————————-

2.4. Вычисление определителей

Основным приемом вычисления определителя го порядка является сведение его к определителям более низкого порядка с помощью формул разложения. При этом полезен учет свойств определителя, позволяющий существенно уменьшить объем вычислений.

Пример 1. Вычислить определитель

Разложим определитель по первому столбцу. Получим

.

Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка свелось к вычислению четырех определителей третьего порядка. Далее, разлагая определители третьего порядка по первому столбцу, получим

и т.д. Окончательно получим .

Вычисления значительно упростятся, если воспользоваться свойствами определителя. По свойству 7 можно, не меняя значения определителя, прибавить второй, третий и четвертый столбцы к первому, а затем первую строку вычесть из второй, третьей и четвертой. Получим

Пример 2. Вычислить определитель треугольной матрицы го порядка

.

Для вычисления разложим определитель по последней строке. Получим, что , где треугольный определитель порядка . Определитель снова разложим по последней строке и т.д. Продолжая аналогичные рассуждения, получим что .

Пример 3. Вычислить определитель матрицы го порядка

.

Подобные определители можно достаточно просто преобразовать к треугольному виду. Для этого прибавим все столбцы к первому и затем вычтем первую строку из всех остальных. Получим

Пример 4. Следующий метод вычисления определителей го порядка называется методом рекуррентных соотношений. Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают, преобразуя его и раскладывая по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.

Рассмотрим идею метода на примере вычисления определителя трехдиагональной матрицы или матрицы Якоби (матрицей Якоби называется матрица , если из следует ). Вычисление определителей матриц Якоби часто приводит к рекуррентному соотношению вида

,

где и постоянные числа. Для нахождения необходимо решить полученное уравнение. Заменим соответствующей степенью переменной

.

Перенося все слагаемые в левую часть и сокращая на , получим квадратное уравнение , называемое характеристическим уравнением. Пусть корни этого уравнения. Тогда возможны два случая: и .

Если , то определитель имеет вид

,

где числа находятся из условий

.

Определители и в левых частях условий вычисляются непосредственно из вида .

Если , то

,

а числа находятся из условий

.

Рассмотрим конкретный пример. Вычислим определитель го порядка

, .

Разложим определитель по последнему столбцу

.

Первый определитель в правой части является определителем порядка того же типа, что и . Второй определитель разложим еще раз по последней строке. Минор, дополнительный к ненулевому элементу в последней строке, вновь представляет собой определитель того же типа, что и , но порядка . В итоге получим рекуррентное соотношение для

.

Соответствующее характеристическое уравнение

имеет корни и . Так как , то и . Из вида находим

.

Тогда для определения получим систему уравнений

решая которую, находим

(при решении использовались равенства: ). Тогда

.

Пример 5. Вычислить определитель го порядка

.

Представим элементы последнего столбца в виде суммы двух слагаемых: . Тогда по свойству 3. определитель представится в виде суммы двух определителей

.

Первый определитель разложим по последнему столбцу. Второй определитель приведем к треугольному виду, вычитая последний столбец из всех остальных. Тогда

(1)

где является определителем порядка того же типа, что и .

Решим полученное уравнение для . Из вида при имеем.Выписывая (1) при с учетом равенства для , получаем

.

Методом математической индукции теперь нетрудно показать, что .

Пример 6. Вычислить определитель го порядка

.

Представим элементы последнего столбца в виде суммы двух слагаемых: и распишем определитель как сумму двух определителей

.

Первый определитель разложим по последнему столбцу. Для вычисления второго определителя умножим последний столбец на и вычтем из остальных. Получим

Для решения полученного рекуррентного соотношения воспользуемся тем, что при транспонировании матрицы ее определитель не меняется. В нашем случае транспонировании приводит к замене на наоборот. Поэтому имеем два равенства

Откуда .

Пример 7. Следующий пример иллюстрирует применение теоремы Лапласа. Нужно вычислить определитель квазитреугольной матрицы порядка . Квазитреугольной называют блочную матрицу вида , где квадратные матрицы, прямоугольная матрица, нулевая матрица. В подробной записи матрица имеет вид

.

Пусть . Покажем, что . Воспользуемся теоремой Лапласа. Разложим этот определитель по первым строкам. Очевидно, что из первых строк можно составить только один минор го порядка не содержащий нулевого столбца, у которого номера выделяемых столбцов удовлетворяют условию . Этот минор есть . Дополнительным к нему минором является определитель , что и доказывает формулу.

Правила расчета определителей и примеры

Правила

Правила расчета с определителями.

Перестановка двух строк Перестановка двух столбцов Фактор в строкеСложение строкСложение столбцовТеорема умноженияТеорема о транспозицииТеорема об обратной матрицеКоробка

Методы расчета определяющих значений.

Определяющее значениеОпределяющее значение 2×2Определяющее значение 3×3Определяющее значение NxNLaplace ExpansionGaussian Method

История определителей

Исторически определяющие факторы рассматривались до матриц. Первоначально определитель определялся как свойство системы линейных уравнений. Определитель «определяет», имеет ли система уравнений единственное решение (именно так оно и есть, если определитель отличен от нуля). В этом контексте матрицы 2×2 были рассмотрены Кардано в конце 16 века, а более крупные матрицы — Лейбницем примерно 100 лет спустя.

Определитель

Каждой квадратной матрице можно присвоить уникальный номер, который называется определителем (det(A)) матрицы. В общем случае определитель матрицы NxN определяется формулой Лейбница:

det A=∑σ∈SnsgnσΠi=1nAiρi

здесь необходимо распространить сумму на все перестановки σ. Таким образом, из элементов множества A формируются все возможные произведения для каждого n-элемента таким образом, что каждое из произведений каждой строки и столбца содержит ровно один элемент. Эти продукты складываются, и сумма является определителем A. Знак слагаемых положительный для четных перестановок и отрицательный для нечетных перестановок.

Правила вычисления определителя

Перестановка двух строк определителя

Перестановка двух строк определителя местами меняет только знак, но не значение определителя.

det A=|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|=-|a11a12…a1n⋮ak1ak2…akn⋮aj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|

Перестановка двух столбцов определителя местами

Перестановка двух столбцов определителя местами меняет только знак, но не значение определителя.

det A=|a11…a1j…a1k…a1na21…a2j…a2k…a2n⋮an1…anj…ank…ann|=-|a11…a1k…a1j…a1na21…a2k…a2j…a2n⋮an1…ank…anj…ann |

Множитель в строке определителя

Извлечение общего множителя из строки. Общий множитель во всех элементах строки можно изобразить как множитель перед определяемым. Затем значение детерминанта получается путем умножения множителя на значение результирующего детермината det A’.

det A=|a11a12…a1n⋮λaj1λaj2…λajn⋮an1an2…ann|=λ|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|=λdet A’

Извлечение общего множителя из столбца. Общий множитель во всех элементах столбца можно изобразить как множитель перед определяемым. Затем значение детерминанта получается путем умножения множителя на значение результирующего детермината det A’.

det A=|a11…λa1j…a1na21…λa2j…a2n⋮an1…λanj…ann|=λ|a11…a1j…a1na21…a2j…a2n⋮an1…anj…ann|=λdet A’

Добавление строк

Сложение строки определителя с кратным другой строки. Значение определителя не меняется, когда к строке добавляется кратное другой строки.

det A=|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|=|a11a12…a1n⋮aj1+λak1aj2+λak2…ajn+λakn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|

Сложение столбцов

Сложение столбца определителя с кратным другому столбцу. Значение определителя не меняется, когда к столбцу прибавляется кратное другому столбцу.

det A=|a11…a1j…a1k…a1na21…a2j…a2k…a2n⋮an1…anj…ank…ann|=|a11…a1j+λa1k…a1k…a1na21…a2j+λa2k…a2k…a2n⋮an1…anj+ λанк…анк…анн|

Теорема умножения

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц.

det(A⋅B)=det(A)⋅det(B)

Также следует следующее соотношение.

det(Ak)=det(A)k

Теорема транспонирования

Определитель транспонированной матрицы равен определителю самой матрицы.

det(AT)=det(A)

Обратная матрица

Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя самой матрицы

det(A-1)=det(A)-1=1det A

Теорема о ящике

Имеет определитель, следующий за коробчатой ​​структурой с квадратными ящиками B и D, тогда его определитель представляет собой произведение определителей направлений B и D .

det A=|BC0D|=det(B)det(D)det A=|B0CD|=det(B)det(D)

Вычисление значения определителя

Определитель матрицы 0x0

Определитель a Матрица 0x0 определяется как 1.

Определитель матрицы 1×1

Матрица 1×1 — это матрица, состоящая только из одного элемента, а определитель задается самим элементом.

det A=|a11|=a11

Определитель матрицы 2×2

Для матрицы 2×2 определитель вычисляется следующим образом.

det A=|a11a12a21a22|=a11a22-a21a12

Определитель матрицы 3×3

Для вычисления определителя 3×3 существуют разные способы. С развитием Лапаса можно уменьшить определитель до 2х2 определителей. Прямой способ вычисления определителя — правило Сарруса. Правило Сарруса гласит, что определитель квадратной матрицы 3×3 вычисляется путем вычитания суммы произведений главных диагоналей из суммы произведений второстепенных диагоналей.

Определитель матрицы 3×3 по правилу Сарруса

Определитель вычисляется по правилу Сарруса следующим образом. Схематически первые два столбца определителя повторяются, так что большая и малая диагонали могут быть виртуально соединены линейной линией. Затем делают произведения главных диагональных элементов и добавляют эти произведения. С второстепенными диагоналями вы должны сделать то же самое. Разница между ними дает определитель матрицы.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|a11a12a21a22a31a32|=a11a22a33+a12a23a31+a33a21a32-(a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12)

Площадь квадрата

К содержанию

Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом.
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n². Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,

Пусть теперь число aпредставляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (в частности, число a может бать целым, и тогда n = 0). Тогда число m = a · 10ⁿ целое. Разобьем данный квадрат со стороной a на m² равных квадратов так, как показано на рисунке 2.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10ⁿ) = 1/10ⁿ.

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10ⁿ)². Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m² · (1/10ⁿ)² = (m/10ⁿ)² = ((a · 10ⁿ)/10ⁿ)² = a².

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число a_n, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число a отличается от a_n не более чем на 1/10ⁿ, то a_n ≤ a ≤ a_n + 1/10ⁿ, откуда

a_n² ≤ a² ≤ (a_n + 1/10ⁿ)².   (2)

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной a_n и площадью квадрата со стороной a_n + 1/10ⁿ:

т. е. между a_n² и (a_n + 1/10ⁿ)²:

a_n² ≤ S ≤ (a_n + 1/10ⁿ)².   (3)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10ⁿ будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (a_n + 1/10ⁿ)² будет сколь угодно мало отличаться от числа a_n². Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a². Следовательно, эти числа равны: S = a², что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

S = 4r²,
S = 2R²,

где r — радиус вписанной в квадрат окружности,
R — радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Рисунки по координатам легкие — 78 фото

Рисунки на координатной плоскости

Метод Гаусса-Жордана — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Метод Гаусса — Жордана

МЕТОД ГАУССА — ЖОРДАНА

2. Метод Гаусса — Жордана

Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения
неизвестных) — метод, который используется для решения
систем линейных алгебраических уравнений, нахождения
обратной матрицы, нахождения координат вектора в
заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод
является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф.
Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма
Йордана

3. Алгоритм

АЛГОРИТМ
1.Выбирают первый слева столбец матрицы, в
котором есть хоть одно отличное от нуля
значение. (разрешающий-главный столбец)
2.Если самое верхнее число в этом столбце ноль, то
меняют всю первую строку матрицы с другой
строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
3.Все элементы первой (разрешающей-главной)
строки делят на верхний (разрешающий-главный)
элемент выбранного столбца.

4. Алгоритм

АЛГОРИТМ
4.Из оставшихся строк вычитают первую
(разрешающую-главную) строку, умноженную на первый
элемент соответствующей строки, с целью получить
первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
5.Далее проводят такую же процедуру с матрицей,
получающейся из исходной матрицы после вычёркивания
первой строки и первого столбца.
6.После повторения этой процедуры (n-1) раз , получают
верхнюю треугольную матрицу

5.

АлгоритмАЛГОРИТМ
7.Вычитают из предпоследней строки последнюю
строку, умноженную на соответствующий
коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней
строке осталась только 1 на главной диагонали.
8.Повторяют предыдущий шаг для последующих
строк. В итоге получают единичную матрицу и
решение на месте свободного вектора (с ним
необходимо проводить все те же преобразования).

6. Пример

ПРИМЕР

11. Расширенный алгоритм для нахождения обратной матрицы

РАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ
ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

12. Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

ПРЯМОЙ ХОД (АЛГОРИТМ ОБРАЗОВАНИЯ НУЛЕЙ
ПОД ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛЬЮ)

13. Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

ПРЯМОЙ ХОД (АЛГОРИТМ ОБРАЗОВАНИЯ НУЛЕЙ ПОД
ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛЬЮ)

15. Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)

ОБРАТНЫЙ ХОД (АЛГОРИТМ ОБРАЗОВАНИЯ НУЛЕЙ НАД ГЛАВНОЙ
ДИАГОНАЛЬЮ)

English     Русский Правила

10.

Методы Гаусса и Жордана-Гаусса.

Если в процессе преобразования системы методом Гаусса появится хотя бы одно уравнение вида 0•х1 + … + 0•хn = b, с b ≠ 0, то система противоречива. Если встретится хотя бы одно уравнение с b = 0, то система имеет бесчисленное множество решений. Если уравнение вида 0•х1 + … + 0•хn = b, не будет вовсе, то система имеет единственное решение. Оно находится обратным ходом метода Гаусса. В последней ситуации определитель Δ(А) системы отличен от нуля.

Все сказанное относится и к методу полного исключения неизвестных – методу Жордана-Гаусса. (метод последовательного исключения неизвестных.)

Модификацией метода Гаусса является метод Жордана-Гаусса или метод полного исключения неизвестных. При этом методе каждое базисное неизвестное xi сохраня- ется только в одном каком-то уравнении с номером S (не обязательно, что S = i), а во всех остальных уравнениях оно исключается.

На практике при исследовании систем методом Гаусса или Жордана-Гаусса преобразованиям подвергают коэффициенты расширенной матрицы системы.

Для этого сначала заполняется исходная таблица. Далее выбирается разрешающий столбец. Это может быть любой столбец из коэффициентов при неизвестных. Пусть для определенности это будет столбец из коэффици- ентов при xk . Выберем в этом столбце разрешающий элемент, в качестве которого можно взять любой элемент столбца, отличный от нуля. Пусть это будет элемент ask. Тогда S-я строка объявляется разрешающей строкой.

После этого ведутся преобразования элементов исходной таблицы. На первом этапе элементы разрешающей строки остаются неизменными, а на месте всех коэффициентов разрешающего столбца, кроме коэффициента ask, записываются нули. Остальные элементы aij и bi преобразованной таблицы вычисляются по формулам:

аij(bi)=

При этом исключилось неизвестное xk во всех уравнениях, кроме S – го.

На втором этапе в преобразованной таблице выбирается новый разрешающий элемент aqp’ ≠ 0 в каком-то столбце р (будет исключаться неизвестное хр). -1 *B

где Х – матрица-столбец из неизвестных, В- матрица-столбец из свободных членов системы, А-1 – обратная матрица к матрице системы.

Метод де Гаусса Иордания онлайн

Калькуладора Гаусса Джордан Онлайн

Десятичные числа:

Contenido

• 1 Калькулятор Гаусса Джордана Онлайн
• 2 Инструкции по использованию калькулятора Гаусса Джордана
• 3 ¿Qué es el método de Gauss Jordan?
• 4 Пакеты для реализации метода устранения Gauss-Jordan
• 5 Приложения

La herramienta Метод де Гаусса Иордания онлайн que aquí te Presentamos, разрешающий резольвер todo type de sistemas de ecuaciones lineales mediante el metodo de eliminación de Gauss-Jordan . La C алькуладора Гаусс Джордан онлайн в pesar de su sencilez, gracias a su interfaz amigable, ofrece Soluciones explicadas al detalle, lo que la convierte en una excelente aliada a la hora de estudiar este método de resolución de systemas de ecuacion линейные.

Инструкции по использованию калькулятора Гаусса Джордана

Для использования этого калькулятора необходимо реализовать эти счета:

1. Redimensionar la matríz de inputs de la calculadora según el número de ecuaciones del que disponga el sistema de ecuaciones que quieras решатель. Para ello solo deberás utilizar los botones «+» y «-«, según соотв.
2. Ingresar los coeficientes coeficiente a cada una de las ecuaciones en los inputs de la calculadora.
3. Определите уровень точности де-лос-cálculos indicando el número de decimales que se tomarán en cuenta.
4. Por último, соло debes presionar el botón «Calcular» y automáticamente se desplegará un recuadro con la solucion detallada paso a paso.

¿Qué es el método de Gauss Jordan?

Метод Gauss-Jordan, который использует метод исключения Gauss-Jordan, использует математическую процедуру линейного алгебраического преобразователя для систем линейных вычислений, используется как модифицированная версия дель método де eliminación де Гаусса.

Пакет для реализации метода исключения Gauss-Jordan

Система учета переменных и измерений, которая представляет собой продолжение:

(a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=bm)

podemos представитель в матричной форме:

9000 6 (a11a12…a1na21a22…a2n⋮am1am2…amnx1x2⋮xn=b1b2⋮bn)

A·x=b

siendo `A` la matriz de coeficientes, `x` el vector de las variable y `b` el vector que содержит константы.

Conociendo la anterior, el primer paso para aplicar el methodo de Gauss Jordan, состоящий в том, чтобы получить матрицу, определяющую систему линейных вычислений, ello se consigue utilizando la matriz de coeficientes y el vector de Constantes, como se muestra a continuación:

A|b=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮am1am2…amnb1b2⋮bn)

Используйте метод исключения Gauss-Jordan, чтобы преобразовать предшествующую матрицу в матрицу identidad, la cual ес уна матричный эквивалент а-ля матриз оригинал.

Резюме формы для выполнения метода Гаусса Джордана в соответствии с назначением:

1. Расписание анализа системы линейных вычислений
2. fin de convertar la parte de coeficientes de la matriz aumentada, en una matriz unitaria или también conocida como matriz escalonada
3. Mediante sustitución inversa se obtiene la solucion al sistema de ecuaciones

Aplicaciones

Продолжение, те мострамос альгунас де лас приложения масс дель метод де eliminación Gauss Иордания:

1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales : La aplicación más común del método de Gauss Jordan es la resolución de sistemas de ecuaciones линейные. Es especialmente útil para sistemas de ecuaciones grandes y complejos, ya que su uso reduce el tiempo necesario para para resolver estos tipos de sistemas.

2. Cálculo de la inversa de una matriz: Другое важное приложение метода Гаусса Джордана для определения обратного преобразования матрицы. Si una matriz se puede reducir a su forma reducida por filas, entonces su inversa Existe y se puede calcular utilizando el método de Gauss Jordan.

3. Cálculo de los valores propios y vectores propios: El método de Gauss Jordan también se puede utilizar para calcular los valores propios y vectores propios de una matriz.

4. Решение проблем оптимизации: Техника Гаусса Джордана, использующая меню задач линейной оптимизации, которая включает в себя максимизацию или минимизацию линейной функции, связанной с ограничениями. Esta aplicación es especialmente Importante en la planificación y programación de la producción, la economía y la logística.

 

Hecho con ❤

Преобразователь мировых координат

Преобразователь мировых координат

TWCC

• О TWCC
• Свяжитесь с нами

английский

• английский
• Françaisfr
• Эспаньолес
• Немецкий
• Итальянский
• Вьетви
• Бахаса Индонезия
• العربيةar

Преобразователь мировых координат

Кредит:

• Константы: Пространственная привязка
• библиотек: Proj4js, JQuery, интерфейс JQuery, ГеомагДжС, GrottoCenter. org
• Карты: OpenLayers, OpenStreetMap, ЭСРИ

© 2022 Клеман Ронзон

AGPL

Опции:

Режим: ручной CSV

Соглашение [?]: Опрос Гаусс-Бомфорд

Автомасштабирование: Автомасштабирование:

Полный экран: Полный экран:

Длина: —
Площадь: —

Магнитное склонение = °

Предыдущий Помощь Следующие

Загрузка, пожалуйста, подождите…

Загрузка, подождите, пожалуйста…

Конвертировать

Загрузка, подождите, пожалуйста…

Загрузка, подождите, пожалуйста. ..

Конвертировать

1. Найдите формат Proj4js в Spatial Reference:
Ex: European Datum 1950

Поиск!

2. Вернитесь и добавьте новое определение системы отсчета в TWCC:

Примеры…

3. Вы часто используете эту систему?
Свяжитесь с нами, и мы добавим его в TWCC навсегда!

Связаться с нами

Загрузка…

Форма поиска

Код
Имя (используйте символ % в качестве подстановочного знака)
Страна ВсеАлбанияАлжирАмериканское СамоаАнголаАнтарктидаАргентинаАвстралияАзербайджанБангладешБельгияБруней-ДаруссаламБолгарияКанадаКолумбияКонгоКоста-РикаКот-д’ИвуарХорватияЧехияДанияЕгипетСальвадорЭритреяЭстонияЭфиопияФинляндияФранцияФранцузская ГвианаФранцузская ПолинезияГерманияГрецияГваделупаГу atemalaГонконгВенгрияИндонезияИзраильИталияЯмайкаЯпонияИорданияКенияКорея, Дем. Народная Республика ЛатвияЛиванЛитваЛюксембургМадагаскарМалайзияМартиникаМавританияМаврикийМайоттаМексикаМароккоМозамбикНидерландыНовая КаледонияНовая ЗеландияНорвегияФилиппиныПольшаПортугалияПуэрто-РикоКатарРеюньонРумынияРоссийская ФедерацияСен-Пьер и МикелонСербияСингапурСловенияСомалилендЮжная АфрикаИспанияШри-Лан kaСуданШвецияШвейцарияСирийская Арабская РеспубликаТанзанияТунисУгандаОбъединенные Арабские ЭмиратыВеликобританияСоединенные ШтатыУругвайУзбекистанВьетнамВиргинские острова, Британские Виргинские острова, США

Результат поиска

Пожалуйста, введите хотя бы один критерий поиска, затем нажмите Go!Close на выборе

Что такое TWCC?

TWCC, «Преобразователь мировых координат», представляет собой инструмент с открытым исходным кодом для преобразования геодезических координат в широком диапазоне. систем отсчета.

Несколько инструментов преобразования координат уже существуют, однако вот что делает силу TWCC:

• Этот инструмент интуитивно понятный и простой в использовании .
• Возможность добавления определяемых пользователем систем и использование интерактивной карты делают его гибким .
• Никакой загрузки или специальной установки не требуется, вам просто нужно подключение к Интернету.
• TWCC совместим с в большинстве сред (Mac, Linux, Windows…).
• TWCC — это полностью БЕСПЛАТНО и под лицензией Affero GNU: AGPL

TWCC был создан Клементом Ронзоном после исследований и разработка выполнена для GrottoCenter.org.

Особая благодарность: Роланду Айгнеру, Алессандро Аваро, Лешеку Павловичу, Ле Вьет Тану, Ахмеду Катару.

По всем вопросам и предложениям обращайтесь по телефону .

Вы можете сделать пожертвование на поддержать эту инициативу .