Рубрика: Разное

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:

4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

Первого:

2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

Второго:

2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x=12±i и x=-12±i.

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0

Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:

Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0

Проведем группировку:

2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0

Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2

2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0

Решим полученное квадратное уравнение:

D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

Решим первое уравнение:

x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144

Решим второе уравнение:

x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12

Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.

Решение

Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

Следовательно, x2=12 или x2=-3.

Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

Ответ: x=±12 и x=±i·3.

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.

Решение

Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.

Решение

Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0

x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:

4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

Первого:

2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

Второго:

2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x=12±i и x=-12±i.

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0

Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:

Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0

Проведем группировку:

2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0

Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2

2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0

Решим полученное квадратное уравнение:

D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

Решим первое уравнение:

x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144

Решим второе уравнение:

x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12

Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.

Решение

Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

Следовательно, x2=12 или x2=-3.

Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

Ответ: x=±12 и x=±i·3.

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.

Решение

Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.

Решение

Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0

x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

— Существует ли общая формула для решения уравнений четвертой степени (степень $4$)?

Наверняка есть, но уродливое, сложное и не стоит запоминать. Люди знают об этом и цитировали или цитировали это для вас, но на самом деле они никогда не использовали бы это. Если вам нужно что-то действительно полезное для бумажных решений, вы можете понять реальную теорию, лежащую в основе решения. Я предоставлю один метод ниже.

Формула четвертой степени — это всего лишь конечный результат этой методологии, записанный в терминах исходных коэффициентов. Из-за этого метод гораздо легче запомнить, чем формулу, поэтому меня раздражает, когда люди приводят только формулу и говорят вам: «Не беспокойтесь, используйте вместо этого компьютер». Решение с ручкой и бумагой не сложное, оно просто требует времени.

Понимание того, как это делается, даже если вы никогда этим не пользуетесь, расширяет ваш мозг и ваше понимание, позволяет реализовать это в программировании и позволяет вам воссоздавать его, когда вам это может понадобиться, вместо чрезмерной зависимости от компьютеров, которые всегда будут рядом. для вас, что, на мой взгляд, делает его плохим математиком.

Есть три метода решения квартик, которые я знаю и знаю:

• Квадратичная факторизация Декарта
• Метод Эйлера
• Метод Феррари

Если кто-то знает больше, пожалуйста, дайте мне знать.

Метод Феррари исторически является первым открытым методом. Метод Эйлера очень похож на метод Кардано для куба и, вероятно, был смоделирован на основе того же подхода. Но я неравнодушен к технике квадратичной факторизации Декарта. Это относительно простой процесс, который я буду использовать ниже. Если вы хотите посмотреть, как работают другие, дайте мне знать.

Все вышеперечисленные методы начинаются одинаково: депрессия (удаление члена степени $n-1$, в данном случае кубического члена) и нормализация (приведение опережающего коэффициента к 1, т. е. преобразование многочлена в монический). 92 + qz + r = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

Для некоторых $p,q,r\in\mathbb {Р} $. Это не влияет на корневые позиции; все, что делал опережающий коэффициент, — это увеличивал ненулевые значения. Относительно нулей нет абсолютно никакой потери общности. Все эти константы $p,q,r$ можно вычислить из исходных коэффициентов $a,b,c,d,e$. Кубического члена по-прежнему нет, а опережающего коэффициента теперь тоже нет.

Было бы интересно отметить, что произошло с многочленом. Мы начали с 5 произвольных констант и сократили их до 3, нормализовав шаг и удалив кубический член. Первоначально у нас были произвольные значения $a,b,c,d,e\in\mathbb{R}$, а теперь у нас есть произвольные значения $p,q,r\in\mathbb{R}$. Хотя последние три вычисляются из первоначальных пяти, они имеют произвольные значения, и нет потери общности. Это существенное упрощение задачи. Несуществование кубического члена окажется жизненно важным.

До сих пор все было просто установкой: запись полинома в сокращенной монической форме. Напомним, что все методы четвертой степени достигают по крайней мере этого. Затем мы реализуем метод факторизации Декарта.

Метод факторизации Декарта

Мы должны предположить, что все коэффициенты действительны, $p,q,r\in\mathbb{R}$. Это необходимое условие для того, чтобы методология работала. Причина в том, что теперь все решения с ненулевыми мнимыми компонентами входят в комплексно-сопряженные пары. Большое дело? Это позволяет нам сгруппировать два решения вместе, даже если они чисто действительные, в квадратичные множители с действительными коэффициентами. Мы знаем, что 92 -\frac{q}{m}$$ Обратите внимание на то, что в левой части оба этих уравнения могут быть легко решены для $n$ и $\frac{r}{n}$ в терминах $m$, оба из которых входят в квадратичные множители (3). Их можно использовать позже, когда мы узнаем $m$ для завершения квадратичного множителя.

Мы можем найти $m$, взяв последние два уравнения и перемножив их, тем самым исключив неизвестное $n$. Обратите внимание, что $n$ в числителе одного и в знаменателе другого. 2 }$$ 92 =0$$

Итак, мы по существу закончили. У нас остался кубический полином от $w$, который разрешим собственными методами. Методы, о которых я только предполагаю, что вы уже знаете, если пытаетесь решить квартики. Как и в случае с квартиками, как вы уже знаете, существуют кубические формулы, но я рекомендую изучить методы, лежащие в их основе.

Если вам нужна помощь с кубиками, я рекомендую метод Кардано (оригинальное решение) или тригонометрическое решение Виета (мой любимый). Существует также Completing the Cube, хорошее доказательство концепции, но я бы никогда не стал его использовать. Не стесняйтесь задавать отдельный вопрос для кубика, и я буду рад ответить. 92 — mz + \frac{r}{n})=0$.

Еще не сделано. Каждый из этих квадратичных множителей теперь должен быть решен с помощью квадратичной формулы, и у вас есть решения в $z$. Это решает депрессивную моническую квартику, с которой мы начали метод квадратичной факторизации Декарта.

Наконец

Не забываем про исходную квартику, которая была у нас в самом начале, до депрессии и нормализации. Мы ввели горизонтальный сдвиг $x = z-\frac{b}{4a}$. Выполнение этого последнего шага решит исходную квартику в терминах $x$, что является решением, которое вам нужно.

Когда закончишь, ты придешь к набору решений. Обязательно проверьте свои ответы. У вас могут быть избыточные или лишние решения. Некоторые избыточные решения могут быть записаны очень разными алгебраическими способами, но будут представлять одно и то же числовое значение.

Если вы выразите окончательный ответ $x$ через исходные $a,b,c,d,e$, вы получите те же самые «формулы четвертой степени», которые вам приводят другие люди. Выражение, конечно, будет немного отличаться в зависимости от того, какой из методов четвертой степени вы используете.

Опасения

Если вас беспокоит предположение, что коэффициенты $p,q,r$ реальны, не беспокойтесь. Все это означает, что $a,b,c,d,e$ реальны, что обычно является хорошим предположением. На самом деле, мы можем обобщить. Значения $p,q,r$ можно сделать комплексными, подразумевая только, что исходная квартика имеет комплексные $a,b,c,d,e$. 2-2x+1=0

• Курс
  • NCERT
    • Класс 12
    • Класс 11
    • Класс 10
    • Класс 9
    • Класс 8
    9001 1 Класс 7
    • Класс 6
  • IIT JEE

• Экзамен
  • JEE MAINS
  • JEE ADVANCED
  • X BOARDS
  • XII BOARDS
  • NEET
    • Neet Предыдущий год (по годам)
    • Physics Предыдущий год
    • Химия Предыдущий год
    • Биология Предыдущий год
    • Нет Все образцы работ
    • Образцы работ по биологии
    • Образцы работ по физике
    • Образцы работ по химии

• Скачать PDF-файлы
  • Класс 12
  • Класс 11
  • Класс 10
  • Класс 9
  • Класс 8
  • Класс 7
  • Класс 6

• Экзаменационный уголок

• Онлайн-класс
9 0017
• Викторина
• Задать вопрос в Whatsapp
• Поиск Doubtnut
• Английский словарь
9 0011 Toppers Talk
• Блог
• О нас
• Карьера
• Скачать
• Получить приложение

Вопрос

Обновлено: 26/04/2023

ПУБЛИКАЦИЯ ВИКРАМ (ПУБЛИКАЦИЯ АНДРЫ)-ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ -DAM SURE LAQ -7 БАЛЛОВ 9(2)+2x-4=0 равно

1597122

04:35

Уравнение, корни которого обратны корням x4+3×3+6×2+2x+4=0, равно

1597154

90 002 04: 13

Найдите алгебраическое уравнение степени 4, корни которого в 3 раза больше корней уравнения.

:nth-child — CSS | MDN

CSS псевдокласс :nth-child() находит один или более элементов, основываясь на их позиции среди группы соседних элементов.

/* Выбирает каждый четвёртый элемент
   среди любой группы соседних элементов */
:nth-child(4n) {
  color: lime;
}

Псевдокласс nth-child указывается с единственным аргументом, описывающим паттерн для выбирания элементов.

Ключевые слова

odd

Описывает элементы среди группы соседних с нечётными номерами 1, 3, 5, и т. д.

even

Описывает элементы среди группы соседних с чётными номерами 2, 4, 6, и т. д.

Функциональная запись

<An+B>

Описывает элементы среди группы соседних с номерами, соответствующими паттерну An+B (для каждого целого числа n >= 0). Нумерация элементов начинается с единицы. Значения A и B должны быть <integer>s.

Формальный синтаксис

Error: could not find syntax for this item

Примеры селекторов

tr:nth-child(odd) или tr:nth-child(2n+1)

Описывает нечётные строки HTML таблицы: 1, 3, 5, и т. д.

tr:nth-child(even) or tr:nth-child(2n)

Описывает чётные строки HTML таблицы: 2, 4, 6, и т. д.

:nth-child(7)

Описывает седьмой элемент.

:nth-child(5n)

Описывает элементы с номерами 5, 10, 15, и т. д.

:nth-child(3n+4)

Описывает элементы с номерами 4, 7, 10, 13, и т. д.

:nth-child(-n+3)

Описывает первые три элемента среди группы соседних элементов.

p:nth-child(n)

Описывает каждый элемент <p> среди группы соседних элементов. Эквивалентно простому селектору p.

p:nth-child(1) или p:nth-child(0n+1)

Описывает каждый элемент <p>, являющийся первым среди группы соседних элементов. Эквивалентно селектору :first-child.

Подробный пример

HTML

<h4><code>span:nth-child(2n+1)</code>, БЕЗ элемента
   <code>&lt;em">&gt;</code> в группе элементов-потомков.</h4>
<p>Элементы 1, 3, 5 и 7 будут выбраны.</p>
<div>
  <span>Span 1!</span>
  <span>Span 2</span>
  <span>Span 3!</span>
  <span>Span 4</span>
  <span>Span 5!</span>
  <span>Span 6</span>
  <span>Span 7!</span>
</div>
<br>
<h4><code>span:nth-child(2n+1)</code>, С элементом
   <code>&lt;em">&gt;</code> в группе элементов-потомков. </h4>
<p>Элементы 1, 5 и 7 будут выбраны.<br>
   3 используется в подсчёте потому что это элемент-потомок,
   но он не выбран потому что он не <code>&lt;span">&gt;</code>.</p>
<div>
  <span>Span!</span>
  <span>Span</span>
  <em>Это `em`.</em>
  <span>Span</span>
  <span>Span!</span>
  <span>Span</span>
  <span>Span!</span>
  <span>Span</span>
</div>
<br>
<h4><code>span:nth-of-type(2n+1)</code>, С элементом
   <code>&lt;em">&gt;</code> в группе элементов-потомков.</h4>
<p>Элементы 1, 4, 6 и 8 будут выбраны.<br>
   3 не используется в подсчёте и не выбран, потому что это <code>&lt;em">&gt;</code>,
   но не <code>&lt;span">&gt;</code>, а <code>nth-of-type</code> выбирает только
   потомков этого типа. Элемент <code>&lt;em">&gt;</code> полностью пропускается и игнорируется. </p>
<div>
  <span>Span!</span>
  <span>Span</span>
  <em>Это `em`.</em>
  <span>Span!</span>
  <span>Span</span>
  <span>Span!</span>
  <span>Span</span>
  <span>Span!</span>
</div>

CSS

html {
  font-family: sans-serif;
}
span,
div em {
  padding: 5px;
  border: 1px solid green;
  display: inline-block;
  margin-bottom: 3px;
}
.first span:nth-child(2n+1),
.second span:nth-child(2n+1),
.third span:nth-of-type(2n+1) {
  background-color: lime;
}

Результат

BCD tables only load in the browser with JavaScript enabled. Enable JavaScript to view data.

• :nth-of-type, :nth-last-child

Found a content problem with this page?

• Edit the page on GitHub.
• Report the content issue.
• View the source on GitHub.

Want to get more involved?

Learn how to contribute.

This page was last modified on 7 нояб. 2022 г. by MDN contributors.

Псевдокласс :nth-child | htmlbook.ru

Краткая информация

Версии CSS

Описание

Псевдокласс :nth-child используется для добавления стиля к элементам на основе нумерации в дереве элементов.

Синтаксис

элемент:nth-child(odd | even | <число> | <выражение>) {…}

Значения

odd

Все нечетные номера элементов.

even

Все четные номера элементов.

число

Порядковый номер дочернего элемента относительно своего родителя. Нумерация начинается с 1, это будет первый элемент в списке.

выражение

Задается в виде an+b, где a и b целые числа, а n — счетчик, который автоматически принимает значение 0, 1, 2…

Если a равно нулю, то оно не пишется и запись сокращается до b. Если b равно нулю, то оно также не указывается и выражение записывается в форме an. a и b могут быть отрицательными числами, в этом случае знак плюс меняется на минус, например: 5n-1.

За счет использования отрицательных значений a и b некоторые результаты могут также получиться отрицательными или равными нулю. Однако на элементы оказывают влияние только положительные значения из-за того, что нумерация элементов начинается с 1.

В табл. 1 приведены некоторые возможные выражения и ключевые слова, а также указано, какие номера элементов будут задействованы.

Пример

HTML5CSS3IECrOpSaFx

<!DOCTYPE html>
<html>
 <head>
  <meta charset="utf-8">
  <title>nth-child</title>
  <style>
   table { 
    width: 100%; /* Ширина таблицы */
    border-spacing: 0; /* Расстояние между ячейками */
   }
   tr:nth-child(2n) {
    background: #f0f0f0; /* Цвет фона */
   } 
   tr:nth-child(1) {
    background: #666; /* Цвет фона */
    color: #fff; /* Цвет текста */
   } 
  </style>
 </head>
 <body>
  <table border="1">
   <tr> 
    <td>&nbsp;</td><td>2134</td><td>2135</td>
    <td>2136</td><td>2137</td><td>2138</td>
   </tr>
   <tr> 
    <td>Нефть</td><td>16</td><td>34</td>
    <td>62</td><td>74</td><td>57</td>
   </tr>
   <tr>
    <td>Золото</td><td>4</td><td>69</td>
    <td>72</td><td>56</td><td>47</td>
   </tr>
   <tr>
    <td>Дерево</td><td>7</td><td>73</td>
    <td>79</td><td>34</td><td>86</td>
   </tr>
   <tr>
    <td>Камни</td><td>23</td><td>34</td>
    <td>88</td><td>53</td><td>103</td>
   </tr>
  </table> 
 </body>
</html>

В данном примере псевдокласс :nth-child используется для изменения стиля первой строки таблицы, а также для выделения цветом всех четных строк (рис.  1).

Рис. 1. Применение псевдокласса :nth-child к строкам таблицы

Псевдоклассы

CSS по теме

• Псевдокласс :nth-child

Статьи по теме

• Список с русскими буквами

Рецепты CSS

$\endgroup$

Каспер Ландин (Tranemo, 28 лет)

Personnummer

Телефонлиста

Каспер Ландин Сакнар номер телефона

Lön och anmarkning

Фолькбокфорингплатье

Гражданский статус

Экономиколлен для Транемо

Я Транемо tjänar man i snitt 288 967 крон на номер vilket betyder att man har en genomsnittlig månadslön på 24 081 кр . I Транемо коммун tjänar man i snitt 23 694 крон за манат .

Я Транемо har färre personer en anmarkning än genomsnittet для Tranemo kommun . Я Транемо гар 4,4 % av alla personer en anmarkning.

Я Транемо плавники 926 Personer med registrerat skuldsaldo hos Kronofogden med ett genomsnitt на 17 294 кр . Totala skulden hos Kronofogden for alla i Tranemo kommun är 62 749 406 кр .

I Транемо har majoriteten av invånarna goda chanser att få låna upp до 150 000 крон utan säkerhet. Testa ditt låneutrymme du med!

Предварительный API для доступа к данным о человеке, тегу номера телефона или номеру телефона. Ком игон!

Информация от Каспера Ландина

Födelsedag och namnsdag

Каспер наполнитель 29 лет Тордаг 17:е ноября.
Каспер хар намнсдаг 6: январь, 19:э январь, 28 января.

Det visste du inte om Kasper

Дет финнс 906 человек в Швеции как Каспер (1180:e vanligaste).

Genomsnittsålder для Каспера и Швеция 25 гр.

Kändisar som fyller år samma dag

Фолькбокфоринг
Платье-гату	Брэндсмо 1
Почтовый номер	514 91
Постор	Транемо
Коммун	Транемо коммун (1452 г. )
Лен	Вестра Гёталандс (14)

Предварительный API для доступа к данным о человеке, тегу номера телефона или номеру телефона. Ком игон!

Зарегистрируйтесь на сайте Брэндсмо 1 я Транемо

Человек с таким адресом

Предложение по адресу

Фордон по адресу

Предварительный API для доступа к данным о человеке, тегу номера телефона или номеру телефона. Ком игон!

Номер телефона до Каспера Ландина

Информация

Информация по номеру телефона и номеру мобильного телефона из Франции телеоператор. Hittar du inte det nummer du söker, kan просто det numret vara dolt for upplysningstjänster.

Предварительный API для доступа к данным о человеке, тегу номера телефона или номеру телефона. Ком игон!

Касперс Джобб и Стайрелсеуппдраг

Bolagsengagemang

Каспер Ландин saknar bolagsengagemang.

Верклиг Хувудман

Обновление данных 2023-04-29 .

Kasper Landin är inte verklig huvudman eller företrädare for några bolag.

En verklig huvudman är den eller de personer som ytterst äger eller kontrollerar exempelvis ett företag eller en förening. En verklig huvudman kan också vara den eller de personer som tjänar på att någon annan agerar åt dem.

De flesta företag och föreningar ska anmäla verklig huvudman Till Болагсверкет.

Как рассчитать объём — онлайн калькулятор объёма воды

Онлайн калькуляторы / 1 комментарий

Как рассчитать объём ёмкости, воды или другой жидкости … несколько онлайн калькуляторов для расчёта объёма, формулы, а также конвертер единиц объёма.

1. Как рассчитать объём любой прямоугольной емкости, в том числе куба — онлайн калькулятор расчёта объема воды в аквариуме, баке …

2. Как рассчитать объём цилиндра — онлайн калькулятор расчёта объёма воды в трубе, бочке, круглом бассейне …

3. Единицы измерения объёма

3.1. Соотношение единиц объёма

4. Конвертер единиц объёма

5. Заключение

6. Как рассчитать объём — калькулятор объёма куба, прямоугольной ёмкости, объёма цилиндра, объёма воды в трубе …

Как рассчитать объём любой прямоугольной емкости, в том числе куба — онлайн калькулятор расчёта объема воды в аквариуме, баке …

Как рассчитать объём по формуле — формула расчёта объёма прямоугольной ёмкости

V = X * Y * Z, где V — объём, а X, Y, и Z это длины сторон ёмкости (длина, ширина, высота).

При этом мы помним, что у куба все стороны равны — X=Y=Z . Соответственно формула объёма куба имеет такой вид — V = X³ , где X — длина стороны куба.

Внимание! При расчёте объёма жидкости в ёмкости необходимо учитывать реальную заполненность ёмкости и привязывать величины непосредственно к самой жидкости.

Для конвертации единиц объёма вы можете воспользоваться нашим ОНЛАЙН КОНВЕРТЕРОМ ЕДИНИЦ ОБЪЁМА →

Как рассчитать объём цилиндра — онлайн калькулятор расчёта объёма воды в трубе, бочке, круглом бассейне …

Для конвертации единиц объёма вы можете воспользоваться нашим ОНЛАЙН КОНВЕРТЕРОМ ЕДИНИЦ ОБЪЁМА →

Как рассчитать объём по формуле — формулы расчёта объёма цилиндра

Объём воды в цилиндре и других ёмкостях, имеющих цилиндрическую форму, рассчитывается таким образом.

Вначале рассчитываем площадь основания (площадь внутреннего сечения) по формуле — S = π * R²
Где, R — радиус трубы, π — число ПИ равное 3,1415926535 .

Затем вычисляем объём — V = S * L
Где, L — длина (высота) цилиндра (трубы, бочки, бассейна).

Внимание! При расчёте объёма жидкости в ёмкости необходимо учитывать заполненность ёмкости и привязывать величины непосредственно к самой жидкости.

Единицы измерения объёма

Вначале кратко ознакомимся с единицами измерения объёма как таковыми.

Официальной единицей измерения объема в системе СИ является м³ — метр кубической. Объём так же может быть выражен и в других единицах. Наиболее популярными из них являются — дм³ — кубические дециметры, см³ — кубические сантиметры, литры …

Отметим, что такая популярная единица измерения объёма жидкостей как литр не входит в Международную систему измерений (СИ). Тем не менее, поскольку литр является весьма популярной мерой жидкостей, он считается официальной внесистемной единицей.

Один литр — это объём куба стороны которого равны 10 см. Полезно также знать, что 1 литр воды вести приблизительно 1 кг при температуре + 4 °C

Соотношение единиц объёма

1 м3 = 1000 дм³ = 1 000 000 см³ = 1 000 000 000 мм³ = 1000 литров
1 литр = 0,001 м³ = 1 дм³ = 1 000 см³ = 1 000 000 мм³

Конвертер единиц объёма

Конвертация кубических метров ( м

Конвертация литров в метры кубические ( м

Конвертация кубических сантиметров ( см

Заключение

Практически каждый человек рано или поздно сталкивается с необходимостью рассчитать объём того или другого объекта. Для удобства и экономии времени предлагаем Вам воспользоваться нашими онлайн калькуляторами.

Поделись с друзьями 🙂

Как рассчитать объём — калькулятор объёма куба, прямоугольной ёмкости, объёма цилиндра, объёма воды в трубе …

Статья опубликована: 2023-04-12 Автор: Waterman

Калькулятор расчета объема груза — Avrora Logistic

• На главную
• Расписание
  движения
• КАЛЬКУЛЯТОР
  ТАМОЖЕННЫХ
  ПЛАТЕЖЕЙ
• КАЛЬКУЛЯТОР
  СБОРНЫХ
  ГРУЗОВ
• КАЛЬКУЛЯТОР
  ЦЕЛЫХ
  КОНТЕЙНЕРОВ
• РАСЧЕТ ОБЪЕМА
  ГРУЗА

Рассчитайте объем вашего груза

РАСЧЕТ ОБЪЕМА ГРУЗА

ШИРИНА (W) *

ДИАМЕТР (D) *

РАСЧЕТ ОБЪЕМА КоробкиЦилиндр

ВЫСОТА (H) * ЕДИНИЦА ИЗМЕРЕНИЯ * ммсмм

ДЛИНА (L) *

КОЛИЧЕСТВО КОРОБОК *

КОЛИЧЕСТВО ЦИЛИНДРОВ *

ИТОГО:

ИСПОЛЬЗУЙТЕ ПОЛУЧЕННЫЕ РАСЧЕТЫ
ДЛЯ ОФОРМЛЕНИЯ ЗАЯВКИ

Далее

• На главную
• Расписание
  движения
• РАСЧЕТ ОБЪЕМА
  ГРУЗА
• КАЛЬКУЛЯТОР
  ТАМОЖЕННЫХ
  ПЛАТЕЖЕЙ
• КАЛЬКУЛЯТОР
  СБОРНЫХ
  ГРУЗОВ
• КАЛЬКУЛЯТОР
  ЦЕЛЫХ
  КОНТЕЙНЕРОВ

Возникли вопросы?

Я согласен на обработку персональных данных в порядке и на условиях, указанных по ссылке

Прикрепить файл (максимальный размер 20 Мб)

Расчет объема

ДЕП Дом	Вода/сточные воды Математический калькулятор Танк Калькулятор объема Возврат в информационный центр оператора
Формула: Д х Ш x D = кубические футы *** Кубический футов x 7,47 = галлонов	Объем квадратного или прямоугольного резервуара или отстойника Пожалуйста введите данные о длине, ширине и глубине боковой воды. Бак Д Длина (футы) введите длину Бак Ш ширина (футы) введите ширину Боковой Вода D Высота (фут) введите глубину Нажмите на кнопку для расчета кубических футов Нажмите на кнопку для расчета галлонов
Формула: 3. 1417 x R x D = кубические футы **** Кубический футов х 7,47 = Галлоны	Объем круглого бака или очистителя Пожалуйста введите данные для радиуса резервуара (радиус составляет 1/2 диаметра) и стороны глубина воды. Бак R радиус (фут): введите радиус (1/2 диаметра) Бак Боковая вода D epth (ft): введите глубину Нажмите на кнопку, чтобы рассчитать куб. футов Нажмите на кнопка для расчета объема воды (галлоны)

Объем – формула, определение, расчет, примеры

Объем – это мера емкости, которую держит объект. Например, если чашка может вместить до краев 100 мл воды, говорят, что ее объем равен 100 мл. Объем также можно определить как объем пространства, занимаемый трехмерным объектом. Объем твердого тела, такого как куб или прямоугольный параллелепипед, измеряется путем подсчета количества содержащихся в нем единичных кубов. Лучший способ визуализировать объем — думать о нем с точки зрения пространства, заключенного/занятого любым трехмерным объектом или твердой формой. В этом можно убедиться с помощью простого упражнения дома:

• Возьмите прямоугольный лист бумаги длиной ‘ l ‘ см и шириной ‘ h ‘ см.
• Соедините противоположные стороны листа бумаги, не сгибая лист.
• Вы создали трехмерный объект, который заключает в себе пространство, из двухмерного листа.

Определение тома

Объем определяется как объем, занимаемый трехмерной твердой формой. В любой форме это трудно визуализировать, но можно сравнить между формами. Например, объем ящика компаса больше объема помещенного в него ластика. Для вычисления площади любой двумерной фигуры мы делим часть на равные квадратные единицы. Точно так же при вычислении объема объемных фигур мы будем делить его на равные кубические единицы. Давайте узнаем, как рассчитать объем различных твердых фигур в нашем следующем разделе.

Объем 3D-фигур

Каждый предмет в нашем окружении имеет свойство занимать пространство. Эти реальные объекты можно легко сравнить с основными трехмерными формами. Давайте посмотрим на объем этих твердых фигур в деталях.

Объем кубоида

Предположим, у нас есть несколько прямоугольных листов длиной ‘l’ и шириной ‘ b’ . Если мы сложим их один поверх другого до высоты ‘h’ , мы получим прямоугольный параллелепипед размерности л, б, з . Это можно увидеть на следующем рисунке, на котором показаны длина, ширина (ширина) и высота образованного таким образом прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы вычислить объем пространства, заключенного в этот прямоугольный параллелепипед, мы используем формулу: Объем кубоида = l × b × h

Объем куба

Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, где все три стороны равны по мере. Если мы представим это равное значение как «а», то объем этого куба можно будет рассчитать по формуле: Объем куба = а × а × а = а³. Обратите внимание на следующий рисунок, чтобы увидеть равные стороны куба и пространство, которое он занимает.

Точно так же, как мы построили прямоугольный параллелепипед из прямоугольников, мы можем построить цилиндр из кругов того же размера.

Цилиндр представляет собой трубчатую конструкцию с двумя параллельными круглыми основаниями, соединенными изогнутой поверхностью на фиксированном расстоянии от центра. Расстояние между этими двумя основаниями и есть высота цилиндра. Если мы рассмотрим «r» как радиус круглого основания (и вершины), а «h» как высоту цилиндра, то объем цилиндра можно выразить как объем цилиндра = π r² h

Объем пирамиды

Пирамиды имеют многоугольник в качестве основания и треугольные грани, которые сходятся на вершине. Объем пирамиды рассчитывается по формуле: Объем пирамиды = 1/3 × длина основания × ширина основания × высота пирамиды. Эту формулу также можно записать в виде 1/3 × площадь основания многоугольника × высота пирамиды.

Объем конуса

Разница между конусом и пирамидой заключается в том, что основание конуса круглое, тогда как основание пирамиды представляет собой многоугольник. Объем конуса рассчитывается по формуле: 1/3 × πr ² ч.

Объем шара

Объем шара – это занимаемое им пространство.

Объем сферы, радиус которой r равен 4/3 πr³.

Теперь, когда мы знакомы с формулами различных геометрических фигур, давайте взглянем на различные единицы объема.

Список формул объема

Ниже приведен подробный табличный список формул объема в двух словах, описывающий формулы объема для всех возможных трехмерных (твердых) форм.

Как рассчитать объем?

Вот шаги для расчета объема любой твердой формы:

• Определите все заданные параметры, которые являются полезными и которые необходимо заменить в соответствующей формуле объема. Например, радиус должен быть «r», а высота — «h», наклонная высота, диаметр и т. д.
• Убедитесь, что все параметры имеют одинаковые единицы измерения.
• Подставьте значения в формулу объема соответствующих фигур.
• Запишите единицы измерения в кубических единицах.

Давайте разберемся с шагами на примере.

Пример: Найдите объем прямоугольного цилиндра радиусом 25 м и высотой 1 метр. Используйте π = 3,142.

Решение:

Радиус цилиндра r = 25 м.
Его высота h = 1 метр.
Объем цилиндра V = πr ² h = (3,142)(25) ² (1) = 1963,75 м ³ .
Объем баллона 1963,75 куб.м.

единиц объема

Единицей объема в системе СИ является кубический метр (м ³ ), поскольку объем представляет собой количество трехмерного пространства, занимаемого формой или поверхностью. Однако наиболее часто используемой единицей измерения объема является литр. Кроме того, большие и малые объемы измеряются в других единицах, таких как миллилитры (мл), пинты, галлоны и другие. В следующей таблице показаны несколько единиц, связанных с объемом, и их метрические эквиваленты.

В то время как стандартной единицей измерения в США является кубический ярд или кубический дюйм, более широко используемыми единицами измерения являются галлоны, пинты или жидкие унции. В следующей таблице показаны некоторые из этих единиц и их эквивалентные метрические преобразования.

Калькулятор объема

Калькулятор объема помогает быстро и легко рассчитать объем любой заданной формы. Объем — это раздел математики, который занимается измерением емкости различных твердых тел. Попробуйте калькулятор объемов Cuemath прямо сейчас. Это онлайн-инструмент для простых и быстрых расчетов.

☛Также проверьте:

• Калькулятор объема цилиндра
• Калькулятор объема сферы
• Калькулятор объема куба
• Калькулятор объема прямоугольного параллелепипеда

☛Статьи по теме

Ознакомьтесь со статьями, посвященными объему различных объемных форм.

• Объем конуса
• Объем цилиндра
• Объем прямоугольного параллелепипеда
• Объем пирамиды

Примеры томов

1. Пример 1: У Эдвина есть конический сосуд радиусом 6 дюймов и высотой 7 дюймов. Каков объем сосуда? Используйте π = 22/7.

   Раствор.
   Сосуд имеет форму конуса.
   Объем конуса = 1/3 π r² h = 1/3 × 22/7 × 6 × 6 × 7 = 264 дюйма³
   ∴ Объем сосуда 264 куб. дюйм

2. Пример 2: Джо любит играть со строительными блоками. Он построил конструкцию из 15 кубов. Если длина (ребро) каждого куба равна 3 дюймам, каков будет объем его конструкции?

   Раствор.
   Рассчитаем объем одного куба. Объем куба = ребро × ребро × ребро = 3 × 3 × 3 = 27 дюймов³
   В его структуре 15 кубиков. Итак, объем всей конструкции:
   Объем конструкции = 15 × объем одного куба = 15 × 27 = 405 дюймов³
   ∴ Объем конструкции 405 дюймов³.

3. Пример 3: Если диаметр мяча составляет 14 дюймов, сколько воздуха может вместить мяч? Используйте π = 3,14

   Решение.
   Количество воздуха внутри шара займет все пространство в шаре. Итак, нам нужно найти объем шара.
   Радиус шара 14/2 дюйма = 7 дюймов
   Объем шара = 4/3 πr³
   = [4/3 × 3,14 × (7)³]
   = 1436,02 дюйма³
   ∴ Мяч содержит 1436,02 дюйма³ воздуха.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Практические вопросы в томе

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по тому

Что означает объем?

Объем — это мера емкости, которую содержит объект. Скажем, если чашка может вместить 1000 мл сока, говорят, что ее объем равен 1000 мл. В этом случае объем также можно определить как количество сока, занимаемое чашкой. Объем всегда рассчитывается путем деления емкости фигур на равные кубические единицы.

☛Загрузите прямо сейчас, чтобы попрактиковаться.

• Объемные листы
• Объем кубов Рабочие листы
• Объем конуса Рабочие листы
• Объем цилиндра Рабочие листы

Какая формула объема частичного конуса?

Объем частичного конуса можно рассчитать по формуле: V = 1/3 × πh(R² + Rr + r²), где «R» — радиус основания конуса, а «r» — радиус верхней поверхности.

☛ Прочтите основы здесь:

• Объем правого кругового конуса
• Объем частичного конуса
• Объем конуса в единицах числа Пи

Как найти объем пирамид?

Объем пирамиды рассчитывается по формуле: V = 1/3 × Площадь основания × Высота.

☛ Также проверьте:

• Объем прямоугольной пирамиды
• Объем треугольной пирамиды
• Объем прямоугольной пирамиды

Как найти объем конуса?

Объем конуса составляет 1/3 объема цилиндра той же высоты и такого же основания. Формула, используемая для нахождения объема конуса: 1/3 × π r² h; где «r» — радиус, а «h» — высота конуса.

Как найти объем цилиндра?

Объем цилиндра рассчитывается по формуле: V = площадь основания цилиндра × высота, а также представляется как объем цилиндра = π r² h; где «r» — радиус цилиндра, а «h» — высота.

В чем разница между объемом и площадью?

Объем фигуры или твердого тела — это пространство, занимаемое им, которое также включает его высоту или глубину. Измеряется в кубических единицах. Площадь – это пространство, занимаемое поверхностью плоской формы. Измеряется в квадратных единицах.

☛ Проверьте список важных математических формул:

• Формулы площади
• Формулы площади поверхности
• Геометрические формулы
• Формулы измерения

Каков объем мяча?

Поскольку шар является сферой, его объем будет рассчитан по формуле объема сферы. Формула объема сферы: 4/3 πr³, где «r» — радиус сферы.

Какая формула объема цилиндра?

Формула объема цилиндра = πr²h; где «r» — радиус основания цилиндра, а «h» — высота.

Как найти объем призмы?

Мы можем найти объем призмы, записав заданные размеры призмы. Затем подставьте значения в формулу объема V = B × H, где «V», «B» и «H» — это объем, площадь основания и высота призмы. Получив значение объема призмы, в конце запишите единицу объема призмы (в кубических единицах).

☛Чек:

• Объем призмы
• Объем призм. Рабочие листы

Как найти объем бака?

Объем резервуара зависит от его формы. В зависимости от размера мы можем использовать приведенные ниже формулы:

• Объем параллелепипеда = l × b × h; где «l» — длина прямоугольного параллелепипеда, «b» — ширина (ширина) прямоугольного параллелепипеда, а «h» — высота прямоугольного параллелепипеда.
• Объем куба = a ³ , где «a» — ребро куба.

Производная и интеграл — проще некуда / Хабр

19 декабря 2020 г. на Хабре вышла статья «Интуитивное объяснение интеграла».

В комментариях к ней некоторые пользователи указали, что объяснение получилось не очень интуитивным, например:

“Тема сама по себе интересная, недавно снова повторял курс, но должен сказать, что на мой взгляд, в материале нет изюминки. Автор прав, что в современных изданиях часто даются темы без описания их прикладного применения, из-за чего непонятен смысл их изучения.

Но конкретно интегралы это такая тема, которую надо описать или короче, чем у вас, или намного дольше.
Иначе и школьник не поймет, и те, кто знает, ничего нового не откроют.»

Я попробую изложить материал максимально коротко и просто. Так, чтобы школьники, наконец, поняли, пусть и с помощью родителей. Итак:

Я живу на плоскости, и мой мир выглядит так:

Все мои перемещения ограничиваются прямой линией, которую я называю «ось абсцисс» и обозначаю ее латинской буквой х. Таким образом, я могу гулять от точки, обозначенной цифрой ноль (там находится мой дом), вправо до бесконечности и назад, до нуля. Цифры на оси абсцисс позволяют мне понять, как далеко я от дома. Сейчас я нахожусь в 10 делениях от него.

Да, я слышал, что есть миры, в которых можно перемещаться и влево от нуля, и там расстояния обозначаются отрицательными числами: -1, -2 и т. д., до бесконечности. Кроме того, в тех мирах можно опуститься ниже оси абсцисс, но мой мир максимально прост.

Как-то раз, летящие птицы навели меня на мысль, что по нашему миру можно перемещаться не только влево или вправо, но и «вверх». Потом я узнал, что есть некие люди, умеющие строить дороги, ведущие в наши плоские небеса. Было бы неплохо бы с ними переговорить. И вот я общаюсь со специалистом (С), по строительству таких дорог:

Я: Здравствуйте, вы занимаетесь строительством дорог в небо?

С: Добрый день, да.

Я: А какие дороги вы умеете строить?

С: Самые простые варианты — прямые дороги различной крутизны.

Я: А что такое «крутизна»? Я всегда жил на горизонтальной прямой, и понятия не имею, что это слово может значить.

С: «Крутизна» показывает то, насколько трудно будет вам подниматься (или опускаться) по данной дороге. Чем круче дорога, тем тяжелее подъем или спуск. Давайте нарисуем на нашей плоскости еще одну ось — вертикальную. Мы назовем ее осью ординат, и обозначим латинской буквой у. На этой оси есть цифры, обозначающие «высоту» — расстояние до оси х.

Чтобы нам было проще ориентироваться в нашем двухмерном мире, нанесем на его плоскость линии, идущие от цифр, расположенных на осях х и у:

Теперь любое место (точку) на плоскости мы можем обозначить двумя цифрами. Первая цифра будет обозначать расстояние от нуля до проекции этой точки на ось х…

Я: Простите, а что такое «проекция»?

С: Видите внизу, на оси абсцисс, тень от летящей птицы? Она находится в точке, обозначенной цифрой 6 на оси х. Эта тень и есть проекция тела птицы на ось х. А если бы Солнце находилось справа от птицы, мы бы увидели ее тень на оси у, в районе цифры 8. Это есть проекция тела птицы на ось ординат. Она показывает, на какой высоте летит птица. То есть, расстояние от «земли» (от оси х) до нее.

Мы можем обозначить положение птицы двумя цифрами (6, 8). Первая цифра — проекция на ось х, вторая — проекция на ось у. Эти две цифры мы называем координатами птицы.

Вместо запятой между целой и дробной частями чисел, я буду ставить точку (т.е., не 13,5 а 13.5) для того, чтобы не путать с запятыми между соседними числами.

Я: Отлично, что дальше?

С: Дальше мы отгоним птицу и нарисуем дорогу:

Вы можете заметить, что эта дорога поднимается на одну клеточку вверх, при перемещении проекции на ось х на одну клеточку вправо.

Когда человек перемещается из точки с координатами (4, 4) в точку с координатами (10, 10), его проекция на ось х меняется на 6 цифр. То есть, его тень перемещается вправо на 6 единиц (клеточек). Такое же изменение проекции происходит по оси у. То есть, он одновременно поднимается вверх также на 6 единиц.

Изменение какого-либо параметра (например, проекции на ось х или у), мы обозначаем буквой d (дельта). Изменение высоты мы запишем как dy, а изменение проекции на ось х — как dx. То есть, в данном случае, dу = 6, и dx также = 6.

Разделив изменение высоты на изменение положение тени человека при его перемещении (dy/dx), мы узнаём крутизну данного участка дороги: 6 / 6 = 1.

В нашей проектной документации мы используем очень краткое описание маршрута прокладываемой дороги. В данном случае оно будет выглядеть как математическая формула у = 1*х.

Это значит, что у всегда равен х, и это справедливо для любой точки дороги. Если человек будет находиться, например, в точке, тень от которой падает на ось х в точке 15, он будет находиться на высоте 15. Два параметра — положение тени человека на оси абсцисс и высота, на которой он находится, жестко связаны между собой вышеуказанной формулой.

Разумеется, можно было просто указать крутизну дороги одно цифрой, в данном случае, единицей, но проблема в том, что во-первых, дороги не всегда начинаются у вашего дома — в точке с координатами (0, 0). Во-вторых, существуют дороги, крутизна которых не постоянна. Но о них позже. А пока давайте нарисуем еще пару прямых дорог:

Мы видим, что верхняя дорога поднимается круче, чем та, которую мы рассмотрели ранее. А нижняя дорога — наоборот, более пологая. Высота (проекция на ось у), на которой находится человек, идущий по верхней дороге, равна 10. То есть, перемещаясь от начала координат до точки, в которой он находится сейчас, он изменил свою проекцию на ось у на 10 единиц. В то же самое время, его тень (проекция на ось х) переместилась вправо всего на 5 единиц. Разделив 10 на 5, мы получаем цифру 2. Эта цифра — соотношение высоты и удаленности от нуля по оси х — есть показатель крутизны дороги. Понятно?

Я: Да, я понял это еще на первом примере. А если мы разделим проекцию перемещения человека, идущего по нижней дороге на ось у, на перемещение его тени по оси х, (5/10), мы получим цифру 0.5, или 1/2. Это и есть показатель крутизны нижней дороги?

С: Совершенно верно! Между каждой из дорог и осью х (горизонталью) есть некоторый угол. Чем больше этот угол, тем круче поднимается дорога. Соотношение координаты любой точки дороги (если дорога прямая) по оси у и координаты этой же точки по оси х, называют тангенсом этого угла. Для каждого угла — свой тангенс. Тангенс угла верхней дороги равен 2, тангенс угла нижней, более пологой дороги, равен 0. 5. Соответственно, формулы, которыми мы опишем две последние дороги будут выглядеть как у = 2х и у = 0.5х.

Эти формулы мы называем функциями. Мы говорим, что у — функция от х, где х независимая переменная (мы ее задаём), а у — зависимая переменная, так как мы ее вычисляем, исходя из заданного значения х. И она жестко зависит от значения х. Например, задав х = 12 для дороги, описываемой формулой у = 0.5х, мы, подставляя цифру 12 вместо х, узнаём, что у в этой точке равен 6.

В математике функции обозначают, например, так: f(x) = x. Эта функция справедлива для дороги, рассмотренной нами в самом первом примере. Для второй и третьей дорог, функции будут выглядеть соответственно, как f(x) = 2x и f(x) = 0. 5x. Не очень сложно, да?

Я: Не очень. Что еще мне нужно знать о дорогах?

С: Мы делаем не только прямые дороги. Например, мы можем построить дорогу, которая описывается формулой (функцией) у = x², или f(x) = x². Крутизна этой дороги будет увеличиваться, по мере ее удаления от оси у.

Чтобы построить рисунок этой дороги, мы найдем (вычислим) координаты нескольких ее точек. Для этого мы подставим в формулу у = x² вместо х сначала 1, потом 2, затем 3 и т.д. И рассчитаем значение у для всех этих точек. Сначала подставим 1:

y = х² = 1² = 1.

Это значит, что для точки, с координатой по х равной 1, ее координата по у также равна 1. Нанесем эту точку на график:

Теперь рассчитаем координату по у для точки, с координатой по х равной 2:

y = x² = 2² = 4.

Таким образом, наша вторая точка будет иметь координаты (2, 4). Рассчитав у для точек с координатами по х 3 и 4, получим их полные координаты (3, 9) и (4, 16) соответственно. Нанесем эти точки на график:

Теперь соединим все точки линией, обозначающей дорогу:

Для любой точки этой дороги справедлива формула y = x². Например, для точки, с координатой по х = 1,5, мы получим ее координату по у, возведя 1,5 в квадрат. То есть, ее координаты (1.5, 2.25). Таким образом, мы можем узнать высоту любой точки дороги, задавая ее абсциссу (положение ее тени на оси х).

Но возникает проблема: мы не можем посчитать крутизну какой-либо точки дороги, так как она меняется постоянно. Не получится просто взять две точки дороги сверху и снизу от исследуемой и посмотреть, насколько изменится высота при прохождении пути между ними, разделив перемещение проекции на ось у на перемещение тени по оси х. Точнее, мы можем это сделать, но полученная цифра не будет соответствовать крутизне в средней точке между ними. Смотрите:

Допустим, мы хотим узнать крутизну нашей кривой дороги на участке от начала координат (точки с координатами (0, 0)), до точки с координатами (3, 9). На этом участке дорога поднимается на 9 единиц, в то время, как удаление от начала координат по х составляет 3 единицы. Считаем крутизну так же, как мы считали ее для прямой дороги: 9 / 3 = 3. То есть, крутизна на этому участке, вроде бы, равна 3. Но если мы проведем прямую с крутизной, равной 3, то увидим, что на самом деле дорога в самом низу идет гораздо более полого, чем прямая, а в точке пересечения прямой и дороги, крутизна дороги уже больше крутизны прямой! Крутизна кривой в центре между этими точками также не совпадает с крутизной прямой. Засада. Что же делать? Как нам узнать крутизну каждой точки в ситуации, когда первая постоянно меняется, и нет ни единого прямого участка? Вот для таких случаев господин Ньютон и придумал дифференцирование.

Дифференцирование преобразует нашу функцию в другую функцию, которая как раз-таки позволяет точно вычислить крутизну дороги в данной точке. Мы не будем вдаваться в то, как он пришел к своему решению, а просто воспользуемся результатом его работы — таблицей дифференциалов. Я не буду ее приводить, в Сети такого добра навалом. Можно просто ввести в строку поиска формулу, которую нужно дифференцировать.

Для нашей функции f(x) = x² дифференцирование будет выглядеть таким образом: нам нужно перенести двойку из показателя степени влево, перед х, и уменьшить степень х на единицу. То есть, в данном случае степень х станет равна 1: f ‘(x) = 2x.

Обратите внимание на штрих после буквы f: f ‘(x) — так обозначается функция, которая произошла от нашей оригинальной функции. Поэтому ее называют производной функцией.

Но что нам теперь делать с этой производной? Как с ее помощью найти крутизну какой-либо точки оригинальной функции f(x) = x²? Очень просто. Мы подставляем в производную значение проекции на ось х, точки дороги, крутизна которой нас интересует. Допустим, мы хотим узнать, насколько круто поднимается дорога в точке, находящейся над цифрой 1 по оси х. Мы подставляем эту единицу в производную, и вычисляем значение:

f ‘(x) = 2x = 2*1 = 2.

Эта двойка и показывает нам крутизну дороги над точкой 1 по оси х.

А какова крутизна дороги в точке с абсциссой 4 (проекцией на ось х = 4)? Подставляем эту четверку в производную функцию f ‘(x) = 2x = 2*4 и получаем цифру 8.

Эта восьмерка означает, что крутизна дороги в точке с абсциссой 4 равна 8. То есть, в этой точке дорога поднимается так же круто, как верхняя прямая на правом графике. Вот и весь смысл дифференцирования (нахождения производной).

Слева — график самой дороги, а справа — прямые, крутизна которых соответствует крутизне дороги в указанных точках. То есть, в указанных точках дороги подниматься так же тяжело, как по соответствующим этим точкам прямым. «Здесь так же круто, как там».

Давайте найдем производную нашей самой первой функции f (x) = x.

Мы проделаем такой же трюк: перенесем степень переменной вперед, перед х (это ничего не изменит, так как степень х была равна 1). Кроме того, мы уменьшим степень х на единицу. При этом степень станет равна нулю, и х превратится в единицу (потому, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1).

Мы получили производную функции f(x) = x. Она выглядит так: f ‘(x) = 1. Что это значит? Это значит, что крутизна данной дороги на любом ее участке равна 1. То есть, при изменении абсциссы на dx, dy изменится ровно на такую же величину. В принципе, мы это знали и раньше, но теперь мы вычислили крутизну дороги через производную.

В учебниках пишут, что производная постоянной (некоторого числа) равна нулю. Почему это так?

Давайте построим дорогу, которая описывается функцией f(x) = 5. Это означает, что высота (проекция на ось у) любой точки данной дороги всегда равна 5, следовательно, dy (изменение высоты) равно нулю.

Поэтому эта дорога идет параллельно оси абсцисс, то есть, никакого изменения высоты не будет, на сколько бы мы не перемещались вправо. А раз крутизна дороги равна нулю, то и производная данной функции равна нулю (dy/dx = 0/dx = 0).

Повторим: производная отображает крутизну функции (графика, дороги), а в данном случае никакой крутизны нет. Что и имеется ввиду, когда говорят, что производная постоянной равна нулю.

Я: Хорошо, я все понял: по оригинальной функции я могу вычислить высоту дороги в любой ее точке, а по производной — крутизну в любой ее точке. Но дорога не может висеть в воздухе, она же должна опираться на ось х?

С: Совершенно правильный вопрос. Под дорогой нам придется сделать насыпь. И чем больше материала (клеточек) мы потратим на данный участок дороги, тем больше вам придется заплатить.

Я: А как вы посчитаете, сколько клеточек вам понадобится? Для участка прямой дороги, параллельной оси абсцисс f(x) = 5, все просто:

У нас получается прямоугольник, высота которого равна постоянной 5, а длину мы можем посчитать, вычитая координату по х левой стороны прямоугольника из координаты его правой стороны: 10 — 3 = 7. То есть, ширина прямоугольника равна 7, соответственно, его площадь равна 5 * 7 = 35 клеточек. Я буду вам должен за 35 клеточек.

Нет проблем и с дорогой, которая поднимается (или опускается) по прямой.

Как и в предыдущем случае, ширину основания мы узнаём, вычитая координаты границ по оси х друг из друга: 9 — 3 = 6.

Высоту найти немного сложнее: нам придется вычислить ее среднее значение. Для этого мы берем высоту (проекцию на ось у) левой верхней точки закрашенной фигуры, прибавляем к ней высоту правой верхней точки и делим пополам:

(1.5 + 4.5) : 2 = 3. Эта тройка — средняя высота фигуры. Мы умножаем ее на ширину фигуры и получаем цифру 18. То есть, на данный участок дороги потрачено 18 клеток, верно? Но как узнать, сколько клеток потребует участок дороги типа y = x²?

С протяженностью участка дороги слева направо разобраться легко, она равна 4 — 1 = 3 клетки, но как быть с высотой? Ведь мы не можем в данном случае сложить 1 и 16, затем разделить пополам и получить среднюю высоту фигуры? Как нам посчитать площадь этой насыпи?

С: Господин Ньютон предусмотрел и это. Метод подсчета площади криволинейных фигур называется «интегрирование». Нам придется вспомнить то, как мы находили производную функции f (x) = x²Она выглядит так: f ‘(x) = 2x.

Эту, как и многие другие математические операции, можно производить и в обратную сторону. Если нам известна производная функции, мы можем восстановить эту изначальную функцию, называемую первообразной. То есть, имея функцию, показывающую изменение крутизны дороги, мы можем восстановить функцию, показывающую саму дорогу — высоту любой ее точки.

Если для нахождения производной мы переносили вперед показатель степени переменной (двойку), и уменьшали степень переменной х на единицу

f(x) = x^{2=> f ‘(x) = 2x,}

то теперь нам следует поступить ровно наоборот: двойку, стоящую перед х следует перенести наверх, в степень: f ‘(x) = 2x => f(x) = x^{2.Так мы получаем первообразную функцию. То есть, ту функцию, от которой производная произошла.}

Но не все так просто, давайте рассмотрим дорогу, описываемую функцией

f (x) = x^{2+ 4:}

Она выглядит точно так же, как дорога f (x) = x^{2, но располагается выше. Если мы найдем производную этой функции, то обнаружим, что она выглядит точно так же, как производная от функции f (x) = x2! То есть, как f ‘(x) = 2x. Ибо при нахождении производной четверка (постоянная) будет отброшена.}

Я: Почему?

С: Потому, что она не влияет на крутизну графика. Вы же помните, что производная описывает крутизну оригинального (первообразного) графика на каждом его участке? А теперь посмотрите на точки обоих графиков, расположенные, к примеру над цифрой 3 на оси х. Крутизна верхнего и нижнего графиков в этих точках одинакова! То же самое касается любых двух точек этих графиков, расположенных друг под другом. Эти две дороги идут параллельно друг другу, поэтому, их крутизна везде совпадает. Отличается только высота.

Но производная — это не про высоту, а про крутизну дороги. Потому и получается, что обе функции f (x) = x^{2и f (x) = x2+ 4 приводят к одной и той же производной f ‘(x) = 2x.}

Я: Погодите, но тогда получается, что функции, к примеру, f (x) = x² + 5 или f (x) = x² + 1.3 и даже f (x) = x^{2— 2 также приводят к одной и той же производной? Ведь они все параллельны друг другу, и их крутизна в точках, расположенных друг под другом, совпадает?}

С: Да, наша производная имеет бесконечный набор первообразных. Поэтому первообразную функции f (x) = 2x записывают как F (x) = x² + C, где буква С может быть любым числом. От этого числа зависит только высота, на которой проходит дорога. Точнее, разница высот между данной дорогой, и дорогой, у которой С = 0. Если Вы снова посмотрите на графики выше, то увидите, что любая точка верхнего графика ровно на 4 клетки выше аналогичной точки нижнего графика.

Обратите внимание также на то, что буква F в первообразной — заглавная (большая), Первообразная является «матерью» производной, поэтому мы относимся к ней с уважением, и пишем ее имя заглавной буквой.

Все множество функций, описываемых формулой F (x) = x² + C, называется неопределенным интегралом. Самая распространенная формула для нахождения неопределенного интеграла выглядит так:

По этой формуле мы можем найти неопределенный интеграл нашей функции f (x) = x². Для этого мы увеличиваем степень переменной на единицу, а в знаменатель просто ставим получившуюся степень переменной. Степень нашей переменной была 2, увеличив ее на единицу, получаем x³. Эту же тройку мы ставим в знаменатель (под дробную черту). Получается выражение F (x) = x³/3 + С.

Теперь вернемся к нашей криволинейной фигуре.

Чтобы узнать ее площадь, в полученный нами неопределенный интеграл нужно подставить абсциссу ее правой границы — цифру 4 (при этом постоянная С отбрасывается):

F (x) = x³/3 = 4³/3 = 21 1/3 (двадцать одна целая и одна треть)

То же самое проделаем с левой границей фигуры:

F (x) = x³/3 = 1³/3 = 1/3 (одна треть)

Теперь нам остается вычесть из первого числа второе: 21 1/3 — 1/3 = 21

Искомая площадь равна 21 клетке. Для проверки вы можете примерно посчитать закрашенные клетки на картинке.

Давайте подытожим все вышесказанное. Итак, у нас есть некоторая формула (функция) f(x), описывающая некую линию на графике.

Чтобы найти крутизну этой линии (функции) в какой-либо ее точке, мы находим производную данной функции f ‘(x), затем подставляем в полученную производную проекцию на ось х интересующей нас точки оригинальной функции, и вычисляем искомый параметр. Полученная цифра будет показывать тангенс угла наклона прямой, которая поднимается (или опускается) так же круто, как исходный график в исследуемой точке.

А чтобы найти площадь под участком графика исходной функции, следует найти ее первообразную F, затем, в эту первообразную по очереди подставить координаты по х правой и левой границы фигуры, площадь которой мы хотим найти, а затем вычесть два полученных числа друг из друга. Результат вычитания и есть искомая площадь.

Я: А почему вы отбросили постоянную С? Разве это не приведет к тому, что площадь под участками кривых f (x) = x^{2и f (x) = x2+ 4, находящимися друг под другом, будут одинаковыми?}

С: Не беспокойтесь, при нахождении интеграла второй функции, постоянная 4 в ее первообразной превратится в 4х, поэтому, к площади под ней добавится прямоугольник высотой 4 клеточки и ошибки не будет. Ну так что, какую дорогу Вы выбираете?

Акустика для начинающих | Интеграл

Третье издание 10-го выпуска «Общедоступной серии» Библиотеки «Интеграла» — книги Григория Давыдовича Изака «Акустика для начинающих».

В книге «Акустика для начинающих», ставшей последней работой доктора технических наук Г.Д. Изака, автор в популярной форме изложил основы акустики. Неформальная манера изложения − диалог деда с внуком − и обилие иллюстраций делают материал интересным и понятным. Книга позволит получить (или освежить) базовые знания по шуму и борьбе с ним. Книга рассчитана на широкий круг читателей, в том числе может быть полезна преподавателям и студентам архитектурно-строительных вузов, специалистам по охране окружающей среды и здоровья человека, разработчикам, главным инженерам и главным архитекторам проектов производственных, общественных и жилых зданий, всем, кто, по роду своей деятельности, сталкивается с вопросами распространения звука и защиты от шума.

Второе издание книги выходит под редакцией доктора технических наук, профессора И.Е. Цукерникова

Н.И. Иванов, доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации:

«Эта книга, кажется, должна была появиться давно, но никто из нас, специалистов, не смог взяться и решить эту задачу: сложнейшие вопросы инженерной и архитектурно-строительной акустики изложить так, чтобы их мог понять даже молодой человек со школьной скамьи. Автор этой книги был высочайшим профессионалом и мудрым человеком, и вот перед нами этот чрезвычайно полезный и в немалой степени занимательный труд.

Несколько слов об актуальности этой книги. Она в основном описывает базовые принципы и основополагающие положения борьбы с шумом. В ней изложены основные положения физиологической акустики, даны методики расчетов распространения шума, приведены основные методы борьбы с шумом. Это великолепное практическое пособие для любого начинающего (и не только) специалиста, которое не будет стареть со временем.

Из всех опасных и вредных факторов среды обитания шум − самый массовый, под влиянием повышенного шума находится почти половина населения Земли. ЮНЕСКО сформулировала шумовую ситуацию в мире очень образно: «Шум − бедствие современного мира и нежелательный продукт технической цивилизации». Сложность решения проблем шума объясняется не только подчас ошеломляющими затратами на проектирование, изготовление и установку средств защиты от шума, но также недостаточной грамотностью проектировщиков, конструкторов, строителей.

Действительно, акустику не преподают в школе, а основам борьбы с шумом в технических вузах уделяется в основном не более 2-4-х часов (исключение здесь − наш Балтийский Государственный Технический университет «Военмех» им. Д.Ф. Устинова). И специалист, решающий задачи снижения шума, оказывается без базовых знаний в мире сложнейшей нормативно-технической документации. С чего начать, как действовать, что правильно – эти и еще многие вопросы задавали себе и я и многие мои коллеги, начиная свой профессиональный путь в этой потрясающе интересной и такой нужной человечеству области деятельности.

Как я завидую тебе, читатель, ты держишь в руках книгу, которая отвечает на многие, многие вопросы и, поверь мне, очень поможет не только в начале твоего профессионального пути. Ты будешь еще и еще раз возвращаться к ней, черпая в ней новые и новые знания.

Почти полвека я профессионально занимаюсь акустикой, но читал ее с неослабевающим интересом до последней страницы. Блестяще, профессионально, полезно.»

158 страниц, формат А5, мягкая обложка. Цена без учета доставки.

Примеры интегрального исчисления – математические тайны

На этой странице я привожу примеры U-подстановки , Интеграция по частям и Тригонометрическая подстановка . Обычно я не привожу примеры, но интеграция требует много времени, чтобы распознать различные типы и методы их решения. Это хорошая отправная точка для вашего назидания, а не для слабонервных, и помните МАТЕМАТИКА ВЕСЕЛАЯ . Кроме того, не забудьте понять основную теорему исчисления!

Ниже приведены некоторые правила интегрирования и памятки, которые помогут вам при изучении и выполнении интегрального исчисления.

Common Functions	Function	Integral
Constant	∫ a dx	ax + C
Variable	∫ x dx	x 2 /2 + C
Квадрат	∫ x 2  dx	x 3 /3 + C
Обратная	∫ 7 l0 (1/x) + C
Exponential	∫ e x  dx	e x  + C
	∫ a x  dx	a x /ln(a) + C
	∫ ln(x) dx	x ln(x) − x + C
Тригонометрия (x в радианах)	∫ COS (x) DX	SIN (x) + C
	∫ SIN (x) DX	-COS (x) + C
-COS (x) + C
-COS (x) + C
.		∫ sec 2 (x) dx	tan(x) + C
Rules	Function	Integral
Multiplication by constant	∫ cf(x) dx	c ∫ f(x) dx
Power Rule (n≠−1)	∫ x n  dx
Sum Rule	∫ (F + G) DX	∫ F DX + ∫ G DX
Правило разности	∫ (F — G) DX	∫ F DX – – g g g g g g g g g g g. dx
Интеграция по частям		См. Интеграция по частям
Правило подстановки		См. «Интегрирование путем подстановки»

«Шпаргалка по исчислению». 2022.  tutorial.math.lamar.edu . https://tutorial.math.lamar.edu/pdf/Calculus_Cheat_Sheet_All.pdf.

⭐ Райан, Марк. «Рабочая тетрадь по исчислению для чайников. Шпаргалка — чайники». 2022.  dummies.com . https://www.dummies.com/article/academics-the-arts/math/calculus/calculus-workbook-for-dummies-cheat-sheet-208666/.

U-подстановка

Как меня учили, U-подстановка — это способ работы с цепным правилом дифференцирования: оно переворачивает его! Цепное правило имеет дело с производными составных функций. В подобных примерах мы говорим, что производная функции f(g(x)) равна f’(g(x))*g’(x). Вот почему производная -cos(2x) не просто sin(2x): нам не хватает дополнительного коэффициента 2 в производной внутренней функции 2x. Теперь нам должно быть очевидно, почему интеграция sin(2x)  не дает просто  -cos(2x). Абсолютно необходимо «учитывать» цепное правило как в задачах дифференцирования, так и в задачах интегрирования. Давайте вместе рассмотрим пример задачи. ¹

См. следующие веб-страницы:

«Интеграция путем замены — Википедия». 2022.  en.wikipedia.org . https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution.

«Интеграция методом подстановки (решенные проблемы)». 2022. БАЙЮС . https://byjus.com/maths/integration-substitution/.

«U-замена». 2022.  math.ucdavis.edu . https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/usubdirectory/USubstitution.html.

⭐ «𝘶-Замена Интро (Видео) | Академия Хана». 2022.  Академия Хана . https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-9/v/u-substitution.

Интеграция по частям

Интеграция по частям — это интеграционная версия правила продукта для дифференциации. Основная идея интегрирования по частям состоит в том, чтобы преобразовать интеграл, который вы не можете сделать, в простое произведение минус интеграл, который вы можете сделать. Вот формула: ³

Пока не пытайтесь это понять. Дождитесь следующих примеров.

Если вы помните это, вы легко можете вспомнить, что интеграл справа такой же, как и интеграл слева, за исключением того, что u и v перевернуты.

См. следующие веб-страницы:

«Как выполнить интеграцию по частям — макеты». 2022.  dummies.com . https://www.dummies.com/article/academics-the-arts/math/calculus/how-to-do-integration-by-parts-192235/.

«Интегрирование по частям — формула, правило ILATE и примеры решений». 2022.  БАЙЮС . https://byjus.com/maths/integration-by-parts/.

«Интеграция по частям — Википедия». 2022.  en.wikipedia.org . https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts.

⭐ «Интеграция по частям, введение (видео) | Академия Хана». 2022.  Академия Хана . https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-integration-new/bc-6-11/v/deriving-integration-by-parts-formula.

Тригонометрическая подстановка

Этот метод работает, когда подынтегральная функция содержит радикалы вида ²

(или степени этих корней), где a — константа, а u — выражение в

4 x 9.

См. следующие веб-страницы:

«Исчисление II — Триггерные замены». 2022.  tutorial.math.lamar.edu . https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/TrigSubstitutions.aspx.

«Как интегрировать sin(x)cos(x)? – Вопросы и ответы по математике». 2022. BYJU’s . https://byjus.com/questions/how-do-you-integrate-sin-x-cos-x/.

«Интегрирование тригонометрической подстановкой – исчисление | Сократ». 2022.  socratic.org . https://socratic.org/calculus/techniques-of-integration/integration-by-trigonometric-substitution.

«Интеграция Tan X – формула, вывод и примеры». 2022.  БАЙЮС . https://byjus.com/maths/integration-of-tan-x/.

⭐ «Введение в тригонометрическую замену (видео) | Академия Хана». 2022. Академия Хана . https://www.khanacademy.org/math/integral-calculus/ic-integration/ic-trig-substitution/v/introduction-to-trigonometric-substitution.

«Тригонометрическая замена — инструмент для вычисления интегралов». 2022.  web.iit.edu . https://web.iit.edu/sites/web/files/departments/academic-affairs/academic-resource-center/pdfs/Trigonometric_Substitution.pdf.

«Тригонометрическая замена – Учебники по исчислению». 2022.  math.hmc.edu . https://math.hmc.edu/calculus/hmc-mathematics-calculus-online-tutorials/single-variable-calculus/trigonometric-substitution/.

«Тригонометрическая замена — Википедия». 2022.  en.wikipedia.org . https://en.wikipedia.org/wiki/Тригонометрическая_подстановка.

Ссылки

¹ Минг, Альберт. «3 важных метода интеграции, которые нужно знать». 2021.  Средний . https://albertming88.medium.com/3-important-methods-of-integration-to-know-dfc6108f8eea.

² «Рабочая тетрадь по математическим вычислениям для чайников — Шпаргалка для чайников». 2022.  dummies.com . https://www.dummies.com/article/academics-the-arts/math/calculus/calculus-workbook-for-dummies-cheat-sheet-208666/.

³ «Как выполнять интегрирование по частям — макеты». 2022.  dummies.com . https://www.dummies.com/article/academics-the-arts/math/calculus/how-to-do-integration-by-parts-192235/.

Дополнительное чтение

⭐ Райан, Марк. Расчет для чайников . Индианаполис, Индиана: Wiley Publishing, Inc., 2003.

«Правила интеграции». 2022.  mathsisfun.com . https://www.mathsisfun.com/calculus/integration-rules.html.

«Интеграция по частям». 2022. mathsisfun .com . https://www.mathsisfun.com/calculus/integration-by-parts.html.

«Интеграция путем замены». 2022.  mathsisfun .com . https://www.mathsisfun.com/calculus/integration-by-substitution.html.

«Введение в интеграцию». 2022.  mathsisfun.com . https://www.mathsisfun.com/calculus/integration-introduction.html.

⭐ Предлагаю прочитать весь справочник. Другие ссылки можно прочитать полностью, но я оставляю это на ваше усмотрение.

Интеграция данных и ETL для чайников (таких как я)

В начале 2020 года друг, который работал в этой отрасли, познакомил меня с идеей интеграции данных. Да, я знаю. Чрезвычайно поздно. Все, что я знал об этом, это то, что я мог хранить свои данные в одном (виртуальном) месте, а затем волшебным образом отображать их в другом (виртуальном) месте. Я понятия не имел, как это было сделано и насколько это важно для современного бизнеса.

Чтобы дать вам некоторую информацию, мой предыдущий опыт работы не связан с какой-либо технической областью. Он занимается развитием бизнеса и маркетингом нетехнических продуктов. Я, наверное, должен был больше знать об окружающем меня техническом мире, но пока вы должны простить меня за мое невежество.

Через пару дней после того, как мой друг и я впервые обсудили пространство интеграции данных, он просветил меня о важности возможности извлечения, преобразования и загрузки (ETL) данных. Мне было любопытно, как работает этот процесс, поэтому я решил, что хочу больше узнать об ETL и интеграции данных.

Моя цель в этой статье — помочь вам изучить основы, которые, по моему мнению, являются наиболее важными для понимания того, что такое интеграция данных. Как нетехнический специалист, я понятия не имел, с чего начать, кроме поиска «Что такое интеграция данных?» Итак, давайте начнем с этого.

Что такое интеграция данных?

В общем, это мост для данных. Интеграция данных позволяет объединить данные, находящиеся в разных местах (часто называемые источниками ), в единое представление. Унифицированное представление — это когда все данные, которые вы собрали из различных источников, помещаются в одно место, что позволяет вам просматривать все свои данные в одном месте.

Это не означает, что данные больше не существуют в исходном источнике, из которого вы их извлекли. Более точный способ изобразить это так, как если бы кто-то скопировал данные из исходного источника, а затем отправил эту копию исходных данных по мосту. Это похоже на идею репликации данных, за исключением того, что репликация данных — это просто копирование данных в разные места в целях безопасности.

Таким образом, на самом деле интеграция данных — это не перемещение исходных данных, а скорее их репликация и помещение копии исходных данных в другое место (которое обычно называют целью ) для целей, которые мы получим в далее в статье.

Другой важной частью пространства интеграции данных является преобразование данных. Это важная часть мира интеграции данных, поскольку она может помешать вашей интеграции данных конвейер (конвейер — это интеграция данных от начала до конца — от импорта данных до экспорта данных) от возможности объединения всех данных.

Проблема в том, что данные из разных источников часто поступают в разных форматах, которые невозможно объединить в единое представление, если только некоторые или все данные не будут преобразованы в один и тот же формат. Я коснусь этого позже в статье.

Кому нужна интеграция данных?

Существует два основных варианта использования интеграции данных.

Бизнес-аналитики

Первые — это бизнес-аналитики, которые хотят иметь возможность проверять всю свою бизнес-аналитику в одном месте. Вместо того, чтобы обращаться к Google Analytics, чтобы проверить, сколько людей посетило их веб-сайт, Mixpanel, чтобы проверить, что люди нажимали на своем веб-сайте, Chargebee, чтобы проверить аналитику своих счетов за подписку, и Mailchimp, чтобы проверить, как работает их кампания по холодной электронной почте, интеграция данных позволяет это аналитики, чтобы увидеть все это в одном месте. Давайте посмотрим на пример.

Это простая информационная панель с двумя графиками. Первый показывает ежемесячный регулярный доход, а второй показывает отток компании. Используя конвейер интеграции данных, пользователь этой информационной панели смог подключить свои бизнес-аккаунты для заполнения этих графиков. Теперь они могут просматривать свои данные из нескольких источников в простом унифицированном представлении. Начинаете понимать, почему это может быть полезно?

Разработчики

Второй вариант использования предназначен для разработчиков, которые создают продукты, требующие ввода данных. Попробуйте представить себя в этом сценарии.

Вы разработчик, создающий бухгалтерский продукт, который помогает бухгалтерам выявлять несоответствия в их (онлайн) бухгалтерском учете. Для этого вам необходимо иметь доступ к данным банковского счета, с которым они работают, их ERP-системе ( ERP-система — это программное обеспечение, помогающее управлять основными бизнес-процессами) и их биллинговой системе.

Чтобы собрать все эти данные вместе, разработчик должен настроить конвейер интеграции данных, который извлекает данные из банковского счета, системы ERP и системы выставления счетов. Сделав это, они могут загрузить данные в свой продукт и проверить наличие несоответствий в бухгалтерском учете.

Как вы видите, сегодня интеграция данных является ценной и важной частью бизнес-процессов практически любой компании. Подробнее о том, почему это так важно, мы поговорим позже в этой статье.

Как происходит интеграция данных?

Это, наверное, самая абстрактная вещь, которую я затрону в этой статье. Как я упоминал ранее, вы должны представлять интеграцию данных как виртуальный мост между источником и целью.

Аналитики или разработчики могут выбрать один из трех вариантов построения конвейера интеграции данных. Во-первых, у них есть собственная интеграция с командой. Это трудоемкий процесс — «одна интеграция (имеется в виду интеграция с одним конкретным источником) может занять у небольшой команды до двух недель, но это даже не самые большие затраты.

После создания эти интеграции необходимо поддерживать. Это связано с тем, что, если не вдаваться в технические подробности, есть некоторые движущиеся части, которые меняются на постоянной основе, что требует регулярного обновления конкретной интеграции.

Второй вариант — нанять команду профессионалов, которые создадут для вас интеграцию. Хотя это индивидуальное решение, не требующее вмешательства, этот вариант обычно стоит дорого. Команда профессионалов выполняла бы точно такую ​​же работу, если бы вы построили его самостоятельно, но (очевидно) это отвлекло бы любую работу от вашей собственной команды.

Третий вариант — использовать сторонний инструмент, чтобы помочь компании построить свою воронку продаж. Это гибрид между двумя предыдущими вариантами. Вы по-прежнему используете свою собственную команду для настройки интеграции, но многие из необходимых ресурсов абстрагируются программной платформой, которую они решили использовать. Вам не нужно создавать интеграцию или создавать цель, а обычно просто определяете слой преобразования (это означает, что вы решаете, в каком формате должны быть ваши данные).

Следует отметить, что некоторые из этих инструментов предназначены для разработчиков (например, горячий клей), а другие — для аналитиков (например, Fivetran). Инструменты для разработчиков часто обрабатывают более сложные процессы, поскольку они позволяют разработчикам использовать более детальный подход, в то время как инструменты аналитики отлично подходят для нетехнических специалистов, которым нужно настроить простой конвейер интеграции данных.

В последние несколько лет многие компании отдают предпочтение этим типам инструментов, поскольку они становятся все более эффективными, настраиваемыми и доступными.

Причина, по которой некоторые компании выбирают собственный конвейер интеграции данных, заключается в сложности, которую может потребовать интеграция. Как правило, сторонние решения имеют тенденцию быть немного более жесткими и не позволяют компаниям настраивать свой конвейер на детальном уровне.

На более конкретном уровне существует множество конкретных процессов, которые относятся к термину интеграция данных. Самый популярный из них…

ETL (Extract, Transform, Load)

ETL — самый популярный процесс интеграции данных. Он используется, когда кто-то хочет объединить данные из нескольких источников, но также требует изменения формата данных.

Например, если у кого-то есть файл Excel или CSV , который он хотел переместить в определенную базу данных, но все остальные источники данных были в формате JSON (очень популярный формат обмена данными), этот файл должен быть быть преобразован в JSON, чтобы его можно было объединить с другими.

После преобразования файл отправляется в цель, определенную для этого конкретного конвейера, где он объединяется со всей другой полученной информацией.

Иногда процесс изменяется на ELT (извлечение, загрузка, преобразование) для различных вариантов использования с меньшими объемами данных, но каждый шаг по-прежнему выполняет одну и ту же функцию.

Почему важна интеграция данных?

Компании, которые хотят оставаться конкурентоспособными, должны использовать преимущества данных, несмотря на проблемы, возникающие при интеграции данных.