Рубрика: Разное

Y x 2 9 x: Найдите точку максимума функции y= — (x^2+9)/x

alexxlab / / Разное
2

Возрастание и убывание функции — как найти?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Сегодня мы поговорим о возрастании и убывании функции. Как вы знаете, эта тема достаточно важна, потому что встречается на ЕГЭ, во вступительных экзаменах. А еще ее подробно разбирают на уроках в школе. Сложная ли она? И да, и нет. Мы бы сказали, что она не трудная, а скорее комплексная — в теме много нюансов и моментов, которые тянутся к ней с начальной школы. Но не беспокойтесь, сегодня мы обязательно во всем разберемся!

Что такое функция

Как обычно, начнем мы с самого начала: с определения слова «функция».

Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Под функцией понимают правило, формулу, уравнение, которое описывает зависимость одной переменной от другой (например, у от х). Если изучить функцию, мы поймем:

  • как изменится одна переменная, если другая увеличится;

  • что произойдет с аргументом, если мы уменьшим функцию;

  • что будет, если мы отобразим эту зависимость графически.

Спойлер: если изобразить зависимость в координатной системе, мы получим график! Давайте рассмотрим некоторые виды функций и графики, которые им соответствуют.

Важное напоминание: функция — это зависимая переменная величина (чаще у), аргумент — независимая переменная (чаще х).

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Возрастание и убывание функции

В исследовании функции особое значение уделяют ее поведению в системе координат — монотонности функции. Функции бывают монотонными, немонотонными и постоянными.

Монотонная функция — функция, которая возрастает или убывает на всем промежутке области определения.

Функцию считают немонотонной, если на промежутке области своего определения она чередует возрастание и убывание.

Постоянная функция, как ясно из названия, постоянна на всем промежутке и представляет собой прямую, параллельную оси x.

Теперь к теме раздела: приведем определение возрастающей и убывающей функции.

Функция называется возрастающей, когда при увеличении аргумента увеличивается и сама функция.

Проще говоря, здесь работает правило «чем больше, тем больше»: чем больше значение х, тем больше и значение у.

Функция считается убывающей, когда при увеличении аргумента функция уменьшается: чем больше х, тем меньше у.

Теперь вы знаете, как понять, что функция возрастает или убывает. Давайте решим пару задач, чтобы разобраться во всем наглядно.

Задача 1

Определите, возрастающая или убывающая функция y = 2x + 3.

1) Найдем область определения функции: х ∈ R.

2) Найдем координаты нескольких точек, которые ей принадлежат.

х

0

1

2

3

у

3

6

7

9

Как вы уже заметили, значения х и у одновременно увеличиваются — функция возрастает на всем промежутке.

Задача 2

Определите, возрастающая или убывающая функция y = 1/2х.

1) Найдем область определения функции: х ≠ 0.

2) Найдем координаты нескольких точек, которые ей принадлежат.

х

1

2

3

4

у

½

¼

⅙

⅛

х

-1

-2

-3

-4

у

-½

-¼

-⅙

-⅛

Мы видим, что функция убывает при любом значении х ≠ 0. Это можно записать так: функция убывает при х∈ (– ∞ ;0) ∪ (0; + ∞). Подытожим эту информацию небольшой схемой.

Возрастание и убывание функции на интервале

Мы еще не закончили с возрастающими и убывающими функциями — эх, если бы все было так просто! Дело в том, что нас, математиков, интересуют вот какие вопросы:

  • Как найти промежутки возрастания и убывания функции по графику?

  • Что делать, если просят определить характер на числовом промежутке?

  • Как определить поведение функции без построения?

Давайте разбираться! Сначала узнаем, как определить характер функции на промежутке:

  • Подставим значение х из промежутка в функцию.

  • Проанализируем полученные значения у.

  • Если при увеличении х увеличивается и у — это промежуток возрастания функции.

  • Если у уменьшается при увеличении х — это промежуток убывания функции.

Достаточно просто, правда? 🙂

Пример

Возьмем функцию y = 4x – 6 и определим ее характер на промежутке [0;2]. Подставим числа из промежутка вместо х в функцию:

у(0) = –6
у(1) = -2
у(2) = 2

Мы видим, что при возрастании х возрастает и значение у, т. е. на этом промежутке функция возрастает.

Точки экстремума, экстремумы функции

Не пугайтесь этих страшных слов! Сейчас разберем их подробнее — это проще, чем кажется.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

На графике выше y min — минимальное значение функции, точка минимума.

Точка минимума — это значение переменной х, при которой функция минимальна.

На том же графике y мах — максимальное значение функции, точка максимума.

Точка максимума — это значение переменной х, при которой функция максимальна.

Иначе точки минимума и максимума в математике принято называть точками экстремума, а значения функции, которые соответствуют точкам экстремума — экстремумами функции.

В точках экстремума функция меняет свой характер. Обратите внимание на рисунок ниже: функция стремительно возрастала до точки максимума, но после нее начала также стремительно уменьшаться. И наоборот, после прохождения точки минимума функция снова начинает возрастать.

Здесь вам может стать интересно: наибольшее/наименьшее значение функции на промежутке — это то же самое или нет. Отвечаем: к сожалению, нет. Эти значения иногда могут совпадать, но часто определяются разными точками.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

У нас есть две новости: хорошая и не очень. Начнем с первой: если использовать достаточные условия возрастания/убывания, можно определить промежутки монотонности функции. И для этого даже не придется строить график! Но здесь нам пригодится производная.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента.

Иначе говоря, производная функции показывает, как быстро увеличивается функция при бесконечно малом увеличении х.

К сожалению, в рамках этой статьи мы не будем долго останавливаться на производных. Как это сделать с помощью таблицы и правил дифференцирования, мы уже разбирали в статье «Таблица производных функций». Советуем почитать!

Достаточные признаки возрастания и убывания функции на интервале:

  • если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала, то функция возрастает на этом интервале;

  • если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала, то функция убывает на этом интервале.

Составим алгоритм действий, который поможет найти интервалы возрастания и убывания функции:

  1. Найдем область определения функции.

  2. Найдем производную функции.

  3. Решим неравенства ƒ`(x) > 0 и ƒ`(x) < 0 на области определения.

  4. К полученным промежуткам добавим граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

  5. Проверим достаточные признаки возрастания и убывания функции, подставив значения из промежутков.

Задача 3

Укажите промежутки возрастания и убывания функции у = х2 + 5х + 6

Решение

  1. Область определения функции: х ∈ R

  2. Найдем производную функции: y’ = 2х + 5

  3. Решим неравенство: 2х + 5 > 0

    2х+5 >0
    2x>-5
    x> –2,5

  4. Исследуем знаки производной с помощью числовой прямой.

Ответ: Функция убывает при х∈ (– ∞; –2,5], возрастает при х∈ [–2,5; +∞)

Задача 4

Определите интервалы возрастания и убывания функции у = х3 – 18х.

Решение

  1. Область определения функции: х ∈ R.

  2. Найдем производную функции: y’ = 3x2 + (–18).

  3. Решим неравенство:

    3x2 + (–18) > 0
    3 (x2–9) > 0
    3(x – 3)(x + 3) > 0

  4. Исследуем знаки производной с помощью числовой прямой. Чтобы определить знак на каждом промежутке, подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Ответ: Функция убывает при х∈ [–3;3], возрастает при х∈ (–∞;—3] ∪ [3; +∞).

Первое достаточное условие экстремума

Пусть для функции у = f(x) определены следующие условия:

  1. Функция непрерывна в окрестности точки x0 (нет разрыва).

  2. ƒ′(x0) = 0 или ƒ′(x0) не существует;

  3. Производная ƒ′(x) при переходе через точку x0 меняет свой знак.

Тогда в точке x = x0 функция y = f(x) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная в точке x0 не меняет свой знак, то в этой точке нет экстремума.

Итак, точки 1 и 4 — точки максимума, точка 3 — точка минимума. В точке 2 экстремума нет.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Теперь разберемся, как найти точки экстремума функции. Для этого пройдем по этим шагам:

  1. Найдем область определения функции.

  2. Найдем производную функции на этой области.

  3. Определим нули и точки, где функция не существует.

  4. Определим знак производной на интервалах.

  5. Выберем точки, где функция меняет знак.

  6. Найдем точки минимума/максимума и экстремумы функции.

Задача 5

Найдите экстремумы функции у = –x2 + 8x – 7.

Решение

  1. Область определения функции: х ∈ R.

  2. Производная функции: y’ = –2x + 8

  3. Решим неравенство:

    –2x + 8 > 0
    –2x > –8
    x < 4

  4. Определим знак производной на числовой прямой. Чтобы это сделать, на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

В точке х = 4 функция меняет свой знак с «+» на «–», значит, точка х = 4 — это точка максимума.

Ответ: у(4) = 9 — экстремум функции.

Задача 6

Найдите экстремумы функции у = ⅓ x3 + 2x2 – 12x + 6.

Решение

  1. Область определения функции: х ∈ R.

  2. Производная функции: y’ = x2 + 4x – 12.

  3. Решим неравенство:

    x2 + 4x – 12 > 0
    (x – 2)(x + 6) > 0

  4. Определим знак производной на числовой прямой. Чтобы это сделать, на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так на интервале (–∞; –6) и (2; +∞) производная положительна — на них функция возрастает. На интервале (–6;2) производная отрицательна — функция убывает.

Ответ: x = 2 — точка минимума, у(2) = –7 ⅓ — экстремум функции; х = –6 — точка максимума, у(–6) = 78 — экстремум функции.

Как можно запомнить переход знаков для точек максимум или минимум:

  • Когда функция возрастает, а потом убывает, мы будто поднимались на вершину горы — значит, посетили точку максимума.

  • Когда функция убывает, а потом возрастает, мы будто спускались в овраг и выбрались из него — а значит, были в точке минимума.

Второе достаточное условие экстремума

x0 — это точка экстремума функции f(x), если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f »(x) ≠ 0). Причем, если вторая производная больше нуля (f »(x) > 0), то точкой минимума, а если вторая производная меньше нуля (f »(x) < 0), то точкой максимума.

Рассмотрим это условие экстремума на примере из задачи 6 — функции у = ⅓ x3 + 2x2 – 12x + 6:

  1. Ее первая производная равна y’= x2 + 4x – 12.

  2. Определим нули производной — значение х, при котором производная обращается в ноль: x2 + 4x – 12 = 0 при х = 2 и х = –6.

  3. Возьмем вторую производную функции y’’= 2х + 4.

  4. Подставим значения х = 2 и х = –6 во вторую производную и определим, являются ли эти точки максимумом или минимумом:

    y’’(2) = 8, y’’ > 0, значит, х = 2 является точкой минимума,
    y’’(–6) = –8, y’’ < 0, значит, х = –6 является точкой максимум.

В этом условии есть два важных замечания:

  1. Если в точке x0 и первая, и вторая производные обращаются в ноль, то в этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции, по второму признаку нельзя судить о наличии или отсутствии экстремумов.

  2. Второй достаточный признак нельзя применять, когда в стационарной точке (нуле производной) первая производная не существует. Ведь тогда не существует и вторая производная.

Третье достаточное условие экстремума

Это условие не используется в школьной программе, так как требует большого количества вычислений и логических размышлений. Мы все равно познакомим вас с ним — возможно, вам захочется изучить это усaловие самостоятельно и блеснуть знаниями перед учителем. Что ж, мы только за!

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в ε-окрестности точки x0 и производные до n+1-го порядка в самой точке x0.

Функция x в степени e: Число е. Функция у = е^x, её свойства, график, дифференцирование — урок. Алгебра, 11 класс.

alexxlab / / Разное
2

Степенная функция с нечетным показателем степени , ее свойства и график 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

 

 

Тема: Числовые функции

 

Урок: Степенная функция с нечетным показателем степени её свойства и график

 

1. Введение

 

 

Мы рассмотрим свойства и график степенной функции с нечетным показателем степени т.е. функции вида

 

 

2. Функция и её свойства

 

 

Рассмотрим функцию  (рис. 1).

 

График проходит через три фиксированные характерные точки:

Прочтем график и сформулируем свойства функции.

2. Функция нечетная, График симметричен относительно начала координат.

3. Функция возрастает.

4. Не ограничена ни сверху, ни снизу.

5 .Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

6. Функция непрерывна. Это значит, что кривую можно изобразить, не отрывая карандаша от бумаги.

7.

8. Выпукла вверх при выпукла вниз при .

 

3. Функция и её свойства

 

 

Рассмотрим свойства иных степенных функций с нечетным показателем степени.

 

Функция

1.

2. Функция нечетная,

3. График проходит через три фиксированные точки:

4. Функция возрастает.

5. Не ограничена ни сверху, ни снизу.

6. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

7. Функция непрерывна.

8.

9. Выпукла вверх при выпукла вниз при

 

4. Примеры

 

 

Рассмотрим взаимное расположение кривых на примере функций (рис. 2).

 

Например,

Рассмотренное свойство является ключом к решению ряда задач.

1. Найдитеи постройте график функции.

Решение:

График получим из известного нам графика  путем сдвига на две единицы вправо (рис. 3).

 

Отметим точки пересечения с осями.

Ответ:

2.  График данной функции получаем из графика функции  сдвигом на одну единицу вверх (рис. 4).

 

Ответ:

 

5. Свойство функции с нечетным показателем

 

 

Мы изучаем степенные функции с нечетным показателем степени. Все они монотонно возрастают на всей области определения. Отметим важное свойство:

 

Если функция возрастает, а функция  убывает, и если уравнение имеет корень, то этот корень – единственный (рис. 5).

 

6. Решение задач

 

 

Рассмотрим примеры:

 

1. Решить уравнение

решить неравенство

Решение:

Корень

Функция  монотонно возрастает, функция  монотонно убывает, корень есть, значит, он единственный.

Решением неравенства является луч

Ответ:

2. Построить график кривой

Решить уравнение

Решить неравенство

Решение:

Построим график функции  Для этого график функции  сдвинем на 3 вправо вдоль оси x и на 1 вниз вдоль оси y(рис. 7).

 

Функция монотонно возрастает, поэтому прямая пересекает кривую только в одной точке. Это точка

Решением неравенства является луч  На этом промежутке кривая расположена выше оси x.

Ответ:

3. Найти область значений функции  где

Решение:

Если x то yвозрастает и

Ответ:

4. Определить число решений системы

Решение:

Построим график каждой функции. График функции симметричное отображение графика  относительно оси x.Если  монотонно возрастает, то  монотонно убывает.

График функции  получаем сдвигом графика  на 6 вниз вдоль оси у(рис. 9).

Функция  монотонно возрастает, и если кривые пересекаются, то только в одной точке.

Ответ: Система имеет только одно решение.

 

7. Заключение

 

 

Мы рассмотрели график и свойства степенной функции с нечетным показателем степени. На следующем уроке мы рассмотрим задачи на степенную функцию с натуральным показателем.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб.для общеобразоват. учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4 .Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.:ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика (Источник).

2. Задачи (Источник).

3. Решу ЕГЭ (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№306, 307(б, г), 310, 308(а, в).

 

Дифференцирование e в степени x

LearnPracticeDownload

Дифференцирование e в степени x — это процесс определения производной e в степени x по x, который математически записывается как d(e x )/дх. Экспоненциальная функция имеет форму f(x) = a x , где «a» — действительное число, а x — переменная. e в степени x является экспоненциальной функцией с основанием (a), равным числу Эйлера «e», а дифференцирование e в степени x равно e в степени x, то есть самой себе. Записывается как d(e x )/dx = e x .

Познакомимся с дифференцированием e в степени x и некоторыми вариациями функции e в степени x. Мы определим дифференцирование e в степени x, используя различные методы, включая первый принцип дифференцирования и производную экспоненциальной функции, а также несколько примеров для лучшего понимания.

1. Какова дифференциация e в степени x?
2. Дифференциация e в Power x Formula
3. Дифференцирование e в степени x с использованием первого принципа
4. Дифференцирование e в степени x с использованием производной от a x
5. Часто задаваемые вопросы о дифференциации e в степени x

Какова дифференциация e в степени x?

Дифференциация e в степени x равна e в степени x, потому что производная экспоненциальной функции с основанием ‘e’ равна e x . Математически это обозначается как d(e x )/dx = e x . e в степени x является экспоненциальной функцией с основанием, равным «e», которое известно как «число Эйлера». Оно записывается как f(x) = e x , где e — число Эйлера, а его значение приблизительно равно 2,718. Дифференцирование e в степени x может быть выполнено с использованием различных методов, таких как первый принцип дифференцирования и производная х .

Дифференциация e в Power x Formula

Предположим, что y = e x ⇒ ln y = ln e x ⇒ ln y = x. Дифференцируя это по x, мы имеем (1/y) dy/dx = 1 ⇒ dy/dx = y ⇒ dy/dx = e x . Если мы продифференцируем e в степени x относительно x, мы получим d(e x )/dx = e x . Следовательно, формула дифференцирования e в степени x:

Дифференцирование e в степени x с использованием первого принципа производных

Далее мы докажем, что дифференцирование e в степени x равно e x , используя первый принцип дифференцирования. Мы знаем, что для двух экспоненциальных функций, если основания одинаковы, мы складываем степени. Для доказательства производной e в степени x воспользуемся следующими формулами показательных функций и производных:

  • f'(x) = lim h→0 [f(x + h) — f(x) ] / ч
  • е х + ч = е х .e ч
  • lim x→0 (e x — 1) / x = 1

Используя приведенные выше формулы, мы имеем

d(e x )/dx = lim h→0 [e x + h — e x ] / h

= lim ч→0 [e x .e h — e x ] / h

= lim h→0 e x [e h — 1] / h

= е х лим ч→0   [e h — 1] / h

= e x × 1

= e x

Таким образом, мы доказали, что дифференцирование e в степени x равно e в степени x .

Дифференцирование e в степени x с использованием производной от a

x

Показательная функция имеет форму f(x) = a x , где ‘a’ — константа (действительное число), а x — переменная. Производная показательной функции f(x) = a x равно f'(x) = (ln a) a x . Используя эту формулу и подставляя значение a = e в f'(x) = (ln a) a x , мы получаем дифференцирование e в степени x, которая определяется выражением f'(x) = (ln e) e x = 1 x e x = e x [Поскольку по правилам журнала, ln e = 1]. Следовательно, производная от e в степени x равна e x .

Важные замечания о дифференцировании e в степени x:

  • n -е дифференцирование e в степени x равно e x , то есть d n (e x )/dx n = e x
  • Производная показательной функции с основанием e равна e x .
  • Производная от e x равна ae x . Используя эту формулу, мы получаем дифференцирование e x как 1.e x = e x .

☛  Связанные темы:

  • Производное e 2x 9{2}}\)

  • Пример 2: Определите дифференцирование e в степени x sin x.

    Решение: Чтобы вычислить значение производной от e x sinx, воспользуемся правилом дифференцирования произведения.

    d(e x sinx)/dx = (e x )’ sin x + (sin x)’ e x

    = e x sin x + e x co с х [Потому что производная от sin x равна cos x]

    = e x (sin x + cos x)

    Ответ: Следовательно, дифференцирование e в степени x sin x равно e x (sin x + cos x).

    • перейти к слайдуперейти к слайду

    Есть вопросы по основным математическим понятиям?

    Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами

    Запишитесь на бесплатный пробный урок

    Дифференциация e в степени x Вопросы

     

    перейти к слайдуперейти к слайду

    Часто задаваемые вопросы о дифференциации e в степени x

    Каково дифференцирование e в степени x в исчислении?

    дифференцирование e в степени x равно e в самой степени x, потому что производная экспоненциальной функции с основанием ‘e’ равна e x . Математически это обозначается как d(e x )/dx = e x .

    Каково дифференцирование e в степени минус x?

    Дифференцирование e в степени минус x равно отрицательному значению e в степени минус x, то есть d(e — x )/dx = -e x .

    В чем отличие e от Power Sin x?

    Дифференцирование e в степени sin x равно произведению cos x и e в степени sin x, то есть d(e sin x )/dx = cos x e sin x .

    Какая производная от e в степени x log x?

    Производная от e в степени x log x определяется выражением d(e x ln x )/dx = e x ln x (1 + ln x). Это следует из цепного правила.

    Как найти производную показательной функции?

    Производная экспоненциальной функции f(x) = a x есть f'(x) = (ln a) a x , которую можно вычислить, используя первый принцип дифференцирования.

    Что такое формула экспоненциального дифференцирования?

    Формула экспоненциального дифференцирования для f(x) = a x равно f'(x) = (ln a) a x . x.$$ 9х$$ является примером экспоненциального распада. Он быстро уменьшается по мере увеличения $x$, как показано на его графике.

    При экспоненциальном росте $f(x)$ функция удваивается каждый раз, когда вы добавляете единицу к ее входу $x$. При экспоненциальном затухании $g(x)$ функция уменьшается вдвое каждый раз, когда вы добавляете единицу к ее входу $x$. Наличие этого времени удвоения или периода полураспада характерно для экспоненциальных функций, указывающих, насколько быстро они растут или затухают.

    Параметры показательной функции

    Как и в случае любой функции, действие экспоненциальной функции $f(x)$ можно описать с помощью метафоры функциональной машины, которая принимает входные данные $x$ и преобразует их в выходные данные $f(x)$.

    Метафора функциональной машины полезна для введения параметров в функцию. Приведенные выше экспоненциальные функции $f(x)$ и $g(x)$ — это две разные функции, но они отличаются только изменением основания возведения в степень с 2 на 1/2.

Lim пределы: Как решать пределы для чайников, примеры решений

alexxlab / / Разное

Бесконечные пределы и асимптоты

Помимо конечных пределов, у последовательностей бывают бесконечные (см. раздел Пределы и ограниченность в главе 5). У функций тоже!

12.1Бесконечные пределы в конечных точках

12.1.1Существование предела и ограниченность

Из лекции 5 мы знаем, что сходящаяся последовательность ограничена. Для функций можно сформулировать аналогичное утверждение.

Теорема 1. Пусть функция f(x) имеет предел при x→x0. Тогда она ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x0. Иными словами, найдутся такие C и δ∗>0, что для всех x∈˚Uδ∗(x0) выполняется неравенство |f(x)|<C.

Доказательство. По определению предела, для всякого ε>0 найдётся такое δ=δ(ε)>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности x0 выполняется неравенство |f(x)−b|<ε.

Положим δ∗:=δ(1) (то есть возьмём ε=1). Тогда для всех x из проколотой δ∗-окрестности точки x0 выполняется неравенство |f(x)−b|<1. По неравенству треугольника,

|f(x)|≤|f(x)−b|+|b−0|<1+|b|.

Положим C=1+|b|. Тогда ˚Uδ∗(x0) — искомая окрестность точки x0. Теорема доказана.∎

Доказательство очень похоже на доказательство аналогичной теоремы для последовательностей, и даже проще: в случае с последовательностями нужно было отдельно рассматривать начальный отрезок. За это мы платим тем фактом, что утверждение об ограниченности распространяется не на всю область определения функции, а лишь на некоторую проколотую окрестность точки x0.

Пример 1. Рассмотрим функцию f(x)=1/x. Она имеет предел при x→1, однако не является ограниченной на всей области определения.

12.1.2Бесконечные пределы

В том случае, когда функция не является ограниченной ни в какой проколотой окрестности точки x0, она не может иметь предела в этой точке. Однако, опять аналогично ситуациям с последовательностями, мы можем определить, что означает, что функция стремится к бесконечности в точке x0.

Определение 1. Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что её предел в этой точке равен бесконечности, если для всякого C найдётся такая δ>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности точки x0 выполняется неравенство: |f(x)|>C. Формально:

∀C∈R ∃δ>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ⇒|f(x)|>C.

∀C∈R ∃δ>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ⇒|f(x)|>C.

Записывают:

limx→x0f(x)=∞.

Пример 2. Функция f(x)=1x стремится к бесконечности при x→0. Дейстительно, возьмём любоое C. Если C≤0, условие |1/x|>C выполнено автоматически. Если C>0, положим δ=1/C. Тогда если |x|<δ, то |1/x|=1/|x|>1/δ=C.

Пример 3. Функция

f(x)={1/x,x∈Q,0,x∉Q,

не является ограниченной ни в какой проколотой окрестности точки x=0 (поскольку сколь угодно близко к нулю существуют рациональные числа), но при этом не стремится к бесконечности при x→0 (поскольку сколь угодно близко к нулю существуют иррациональные числа, в которых функция принимает значение 0).

Опять же, аналогично последовательностям, помимо просто бесконечности, бывает плюс бесконечность и минус бесконечность:

Определение 2. Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что её предел в этой точке равен плюс бесконечности (минус бесконечности), если для всякого C найдётся такая δ>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности точки x0 выполняется неравенство: f(x)>C (соответственно, f(x)<C).

Упражнение 1. Запишите эти три определения в кванторах.

Пример 4. Неверно, что 1/x→+∞ при x→0: когда x приближается к нулю слева (то есть становится очень маленьким по модулю, но отрицательным), 1/x становится большим по модулю, но тоже отрицательным. В то же время, 1/(x2)→+∞ при x→0: знаменатель всегда положительный при x≠0, и когда он маленький по модулю, дробь становится очень большой.

Наконец, можно рассматривать односторонние бесконечные пределы.

Упражнение 2. Придумайте определения для утверждений limx→x+0f(x)=+∞, limx→x+0f(x)=−∞, limx→x−0f(x)=+∞, limx→x−0f(x)=−∞ самостоятельно, объединяя определение 2 и определения 11 и 12 из лекции 10.

Упражнение 3. Снова рассмотрим функцию f(x)=1/x. Докажите, что

limx→0+1x=+∞

и

limx→0−1x=−∞.

Определение 3. Заметим, что если функция стремится к какой-нибудь из бесконечностей (неважно, плюс, минус или просто бесконечности) когда x стремится к x0 с какой-нибудь стороны, график y=f(x) приближается к вертикальной прямой x=x0 когда x приближается к x0 (слева или справа). В этом случае прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой функции y=f(x) (или её графика).

Пример 5. Рассмотрим функцию

f(x)=x−1×2−1.

Знаменатель обнуляется в двух точках: x=1 и x=−1. При приближении к точке x=−1 знаменатель стремится к нулю, а числитель к −2. Значит, дробь стремится к бесконечности (без знака, т.к. знаменатель может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, с какой стороны приближаемся). У функции есть вертикальная асимптота x=−1. В точке x=1 обнуляется и числитель, и знаменатель. Чтобы найти предел в этой точке, сократим дробь на (x−1). Получится выражение 1/(x+1). Оно имеет предел, равный 1/2 при x→1. Значит, вертикальной асимптоты x=1 у функции нет.

Рис. 12.2: У функции f(x)=x−1×2−1 есть единственная вертикальная асимптота: x=−1.

12.2Пределы на бесконечности

Другой тип пределов функций, связанный с бесконечностями — это предел при x стремящемся к бесконечности.

12.2.1Конечные пределы на бесконечности и горизонтальные асимптоты

Определение 4. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших по модулю значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x, для которых |x|>C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен b, если для всякого ε>0 найдётся такое C, что для всех x, если |x|>C, то |f(x)−b|<ε.

Определение 5. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x>C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к плюс бесконечности равен b, если для всякого ε>0 найдётся такое C, что для всех x>C верно неравенство |f(x)−b|<ε.

Определение 6. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших по модулю отрицательных значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x<C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к минус бесконечности равен b, если для всякого ε>0 найдётся такое C, что для всех x<C верно неравенство |f(x)−b|<ε.

Обозначения:

limx→∞f(x)=b,limx→+∞f(x)=b,limx→−∞f(x)=b.

Упражнение 4. Докажите, что если limx→∞f(x)=b, то limx→+∞f(x)=b и limx→−∞f(x)=b. Верно и обратное: если limx→+∞f(x)=b и limx→−∞f(x)=b, то limx→∞f(x)=b. Докажите и это.

Пример 6. Функция f(x)=1/x стремится к нулю при x→∞. (Докажите!)

Пример 7. Функция f(x)=ex стремится к нулю при x→−∞, а предел при x→+∞ не существует.

Определение 7. Если функция стремится к какому-то числу при x→+∞ или x→−∞, её график приближается к горизонтальной прямой y=b. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Рис. 12.3: Прямая y=0 является горизонтальной асимптотой функции f(x)=(sinx)/x.

Вопрос 1. Сколько вертикальных асимптот может быть у функции?

  Сколько угодно, даже бесконечное число.

Верный ответ. Это правда. Например, у тангенса их бесконечно много.

  Тоже не больше двух.

Неверный ответ. У функции f(x)=1/(x(x−1)(x+1)) их три!

  Сколько угодно, но конечное число.

Неверный ответ. Что насчёт тангенса?

Вопрос 2. Рассмотрим два предела: предел функции limx→+∞sin(πx) и предел последовательности limn→∞sin(πn). Что вы можете про них сказать?

  Они оба существуют, но не равны.

Неверный ответ. Этого не может быть из определения предела по Гейне.

  Они оба существуют и равны.

Неверный ответ. Это вряд ли. Функция sinπx может принимать значения 1 или −1 для сколь угодно больших x.

  Они оба не существуют.

Неверный ответ. А что вы можете сказать про последовательность {sin(πn)}? Найдите несколько её членов.

  Предел функции существует, а предел последовательности нет.

Неверный ответ. Этого не может быть из определения предела по Гейне.

  Предел последовательности существует, а предел функции нет.

Верный ответ. И правда! Последовательность на самом деле состоит из нулей и её предел равен нулю. А функция sinπx может принимать значения 1 или −1 для сколь угодно больших x, и значит не имеет предела.

12.2.2Бесконечные пределы на бесконечности

Мы рассмотрели бесконечные пределы в конечных точках и конечные пределы на бесконечности. Можно скрестить ужа с ежом и получить бесконечные пределы при x стремящемся к бесконечности.

Определение 8. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x>C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к плюс бесконечности равен плюс бесконечности, если для всякого D найдётся такое C, что для всех x>C верно неравенство f(x)>D. Записывают:

limx→+∞f(x)=+∞.

Упражнение 5. Придумайте определения для остальных комбинаций бесконечностей.

Пример 8. Функция f(x)=x2 стремится к плюс бесконечности при x→∞, а функция f(x)=x3 стремится просто к бесконечности при x→∞.

Пример 9. Рассмотрим функцию

f(x)=11+e−x.

При x→+∞ функция e−x стремится к нулю (она равна 1/ex, и раз ex становится очень-очень большим, e−x становится очень близким к нулю). По арифметике пределов,

limx→+∞11+e−x=11+0=1.

При x→−∞ функция e−x стремится к плюс бесконечности. В этом случае знаменатель дроби также стремится к плюс бесконечности. Поскольку числитель равен 1, значение дроби стремится к нулю (см. утверждение 2 из лекции 7, где шла речь про «арифметику бесконечностей»). Значит

limx→−∞11+e−x=0.

У нашей функции две горизонтальные асимптоты: y=0 и y=1. (И вообще это важная функция — так называемая «сигмоида», встречается в эконометрике и нейросетях.)

Рис. 12.4: У функции f(x)=1/(1+e−x) две горизонтальные асимптоты: y=0 и y=1.

12.2.3Наклонные асимптоты

Пусть limx→∞f(x)=∞. Тогда функция не может иметь горизонтальных асимптот. Однако её график по-прежнему может приближаться к какой-нибудь прямой — только не горизонтальной.

Пример 10. Рассмотрим функцию

f(x)=x+1x.

Её предел при x→∞ равен бесконечности, и когда x стремится к бесконечности, график функции неограниченно приближается к прямой y=x.

Рис. 12.5: У функции f(x)=x+1x есть наклонная асимптота y=x.

Действительно, давайте возьмём большое значение x=x0 и посчитаем «расстояние по вертикали» между графиком функции и прямой y=x для этого значения x. (Иными словами, мы проведём вертикальную прямую x=x0 и посмотрим на расстояние между точками пересечения этой прямой и графиков y=f(x) и y=x.) Это расстояние вычисляется как |f(x)−x|=|1/x|. Оно стремится к нулю при x→∞.

Определение 9. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой функции f(x) (или её графика), если хотя бы один из пределов

limx→+∞(f(x)−(kx+b)),

или

limx→−∞(f(x)−(kx+b))

равен нулю.

Как искать наклонные асимптоты? На эту тему есть рецепт.

Утверждение 1. Наклонная асимптота y=kx+b при x→+∞ у функции f(x) существует тогда и только тогда, когда существуют пределы limx→+∞f(x)x=k;limx→+∞(f(x)−kx)=b. (12.1)(12.2) При этом они обязаны равняться указанным значениям (k и b).

Доказательство. Докажем в одну сторону. Пусть y=kx+b является наклонной асимптотой функции f(x) при x→+∞. Тогда

limx→+∞f(x)x=limx→+∞f(x)−(kx+b)+(kx+b)x==limx→+∞(f(x)−(kx+b)x+k+bx)=k

limx→+∞f(x)x==limx→+∞f(x)−(kx+b)+(kx+b)x==limx→+∞(f(x)−(kx+b)x+k+bx)=k

Предел первого слагаемого равен нулю, поскольку числитель стремится к нулю (по предположению), а знаменатель к бесконечности.

Со вторым пределом ещё проще:

limx→+∞(f(x)−kx)=limx→+∞((f(x)−(kx+b)+b)=b.

limx→+∞(f(x)−kx)==limx→+∞((f(x)−(kx+b)+b)=b.

В обратную сторону. Пусть существует предел (12.2) и он равен b. Тогда

limx→+∞(f(x)−(kx+b))=limx→+∞(f(x)−kx)−b=b−b=0.

limx→+∞(f(x)−(kx+b))==limx→+∞(f(x)−kx)−b=b−b=0.

Утверждение доказано. ∎

Конечно, можно сформулировать и доказать аналогичное утверждение для x→−∞.

Таким образом, чтобы найти наклонные асимптоты, нужно сперва найти предел (12.1). Если он не существует, наклонной асимптоты (для этой бесконечности) точно нет. Если существует, нужно найти предел (12.2). Если этот предел существует, прямая y=kx+b является наклонной асимптотой.

Пример 11. Может так случиться, что предел (12.1) существует, а предел (12.2) нет. Например, это верно для функции f(x)=sinx.

12.3Заключение

Главная цель математического анализа — научиться «заглядывать в бесконечность». В этой лекции мы серьезно продвинулись в этом навыке.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Mathway | Популярные задачи

1Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм x
2Вычислим интегралинтеграл натурального логарифма x по x
3Trovare la Derivata — d/dxe^x
4Вычислим интегралинтеграл e^(2x) по x
5Trovare la Derivata — d/dx1/x
6Trovare la Derivata — d/dxx^2
7Trovare la Derivata — d/dx1/(x^2)
8Trovare la Derivata — d/dxsin(x)^2
9Trovare la Derivata — d/dxsec(x)
10Вычислим интегралинтеграл e^x по x
11Вычислим интегралинтеграл x^2 по x
12Вычислим интегралинтеграл квадратного корня из x по x
13Trovare la Derivata — d/dxcos(x)^2
14Вычислим интегралинтеграл 1/x по x
15Вычислим интегралинтеграл sin(x)^2 по x
16Trovare la Derivata — d/dxx^3
17Trovare la Derivata — d/dxsec(x)^2
18Вычислим интегралинтеграл cos(x)^2 по x
19Вычислим интегралинтеграл sec(x)^2 по x
20Trovare la Derivata — d/dxe^(x^2)
21Вычислим интегралинтеграл в пределах от 0 до 1 кубический корень из 1+7x по x
22Trovare la Derivata — d/dxsin(2x)
23Trovare la Derivata — d/dxtan(x)^2
24Вычислим интегралинтеграл 1/(x^2) по x
25Trovare la Derivata — d/dx2^x
26Графикнатуральный логарифм a
27Trovare la Derivata — d/dxcos(2x)
28Trovare la Derivata — d/dxxe^x
29Вычислим интегралинтеграл 2x по x
30Trovare la Derivata — d/dx( натуральный логарифм от x)^2
31Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм (x)^2
32Trovare la Derivata — d/dx3x^2
33Вычислим интегралинтеграл xe^(2x) по x
34Trovare la Derivata — d/dx2e^x
35Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм 2x
36Trovare la Derivata — d/dx-sin(x)
37Trovare la Derivata — d/dx4x^2-x+5
38Trovare la Derivata — d/dxy=16 корень четвертой степени из 4x^4+4
39Trovare la Derivata — d/dx2x^2
40Вычислим интегралинтеграл e^(3x) по x
41Вычислим интегралинтеграл cos(2x) по x
42Trovare la Derivata — d/dx1/( квадратный корень из x)
43Вычислим интегралинтеграл e^(x^2) по x
44Вычислитьe^infinity
45Trovare la Derivata — d/dxx/2
46Trovare la Derivata — d/dx-cos(x)
47Trovare la Derivata — d/dxsin(3x)
48Trovare la Derivata — d/dx1/(x^3)
49Вычислим интегралинтеграл tan(x)^2 по x
50Вычислим интегралинтеграл 1 по x
51Trovare la Derivata — d/dxx^x
52Trovare la Derivata — d/dxx натуральный логарифм от x
53Trovare la Derivata — d/dxx^4
54Оценить пределпредел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55Вычислим интегралинтеграл x^2 натуральный логарифм x по x
56Trovare la Derivata — d/dxf(x) = square root of x
57Trovare la Derivata — d/dxx^2sin(x)
58Вычислим интегралинтеграл sin(2x) по x
59Trovare la Derivata — d/dx3e^x
60Вычислим интегралинтеграл xe^x по x
61Trovare la Derivata — d/dxy=x^2
62Trovare la Derivata — d/dxквадратный корень из x^2+1
63Trovare la Derivata — d/dxsin(x^2)
64Вычислим интегралинтеграл e^(-2x) по x
65Вычислим интегралинтеграл натурального логарифма квадратного корня из x по x
66Trovare la Derivata — d/dxe^2
67Trovare la Derivata — d/dxx^2+1
68Вычислим интегралинтеграл sin(x) по x
69Trovare la Derivata — d/dxarcsin(x)
70Оценить пределпредел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71Вычислим интегралинтеграл e^(-x) по x
72Trovare la Derivata — d/dxx^5
73Trovare la Derivata — d/dx2/x
74Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм 3x
75Trovare la Derivata — d/dxx^(1/2)
76Trovare la Derivata — d/d@VARf(x) = square root of x
77Trovare la Derivata — d/dxcos(x^2)
78Trovare la Derivata — d/dx1/(x^5)
79Trovare la Derivata — d/dxкубический корень из x^2
80Вычислим интегралинтеграл cos(x) по x
81Вычислим интегралинтеграл e^(-x^2) по x
82Trovare la Derivata — d/d@VARf(x)=x^3
83Вычислим интегралинтеграл 4x^2+7 в пределах от 0 до 10 по x
84Вычислим интегралинтеграл ( натуральный логарифм x)^2 по x
85Trovare la Derivata — d/dxлогарифм x
86Trovare la Derivata — d/dxarctan(x)
87Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм 5x
88Trovare la Derivata — d/dx5e^x
89Trovare la Derivata — d/dxcos(3x)
90Вычислим интегралинтеграл x^3 по x
91Вычислим интегралинтеграл x^2e^x по x
92Trovare la Derivata — d/dx16 корень четвертой степени из 4x^4+4
93Trovare la Derivata — d/dxx/(e^x)
94Оценить пределпредел arctan(e^x), если x стремится к 3
95Вычислим интегралинтеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x
96Trovare la Derivata — d/dx3^x
97Вычислим интегралинтеграл xe^(x^2) по x
98Trovare la Derivata — d/dx2sin(x)
99Вычислитьsec(0)^2
100Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм x^2
Позиционирование

— Вопрос об ограничениях в команде lim и масштабе в пакете mathtools — TeX

Это дополнительный вопрос относительно ограничений в команде \lim и пакете mathtools . Для начала, как я могу сделать так, чтобы ограничения начинались с начала символа lim, а не перед ним? Это означает, что символ предела и пределы не должны быть центрированы.

Также в пакете mathtool, если я использую опцию масштабирования, то пределы масштабируются, но, как мне кажется, вокруг точки, и чем меньше масштаб, тем больше становится вертикальный зазор между пределами и символом предела. Как я могу это исправить, чтобы вертикальное пространство перенаправлялось так же, как и оригинал в команде lim? И почему это происходит?

Это код, который я использовал в некоторых случаях, он принадлежит Питеру Гриллу, который опубликовал его, чтобы ответить на мой предыдущий вопрос.

 \documentclass[12pt]{статья}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{расчет}
% http://tex.stackexchange.com/questions/60453/reduction-font-size-in-equation/
\newcommand*{\Scale}[2][4]{\scalebox{#1}{$#2$}}%
\newcommand*{\Resize}[2]{\resizebox{#1}{!}{$#2$}}%
\начать{документ}
\noindent
Без \verb|\mathclap|:
\[ \lim_{n\to +\infty}x(n) \]
Но с \verb|\mathclap|::
\[ \lim_{\mathclap{n \to +\infty}}x(n) \]
Использование \verb|\scriptstyle| изменить размер:
\[ \lim_{\scriptscriptstyle n \to +\infty} х (n) \]
Использование \verb|\Scale|
\[ \lim_{\Масштаб[0,5]{n \to +\infty}} x(n) \]
Использование \verb|\Resize|
\[ \lim_{\Resize{\widthof{$\lim{}$}}{n \to +\infty}} x(n) \]
\конец{документ}
  • позиционирование
  • математические операторы

Стеки делают это очень простым. Выравнивание задается параметром режима ( \stackalignment ), зазор задается необязательным аргументом стека. Использование \useanchorwidth говорит о том, что ширина отступа не должна влиять на расстояние до следующего элемента. EDITED для использования \mathop .

 \documentclass{статья}
\usepackage[usestackEOL]{стековый движок}
\usepackage{graphicx}
\стекМатематика
\def\stackalignment{l}\def\useanchorwidth{T}
\начать{документ}
\[
\ mathop {\ stackunder [3pt] {\ lim} {\ scriptstyle n \ rightarrow + \ infty}} x (n)
\]
\[
\ mathop {\ stackunder [2.5pt] {\ lim} {\ scriptscriptstyle n \ rightarrow + \ infty}} x (n)
\]
\[
\mathop{\stackunder[2pt]{\lim}{\scalebox{.33}{$n\rightarrow+\infty$}}} x(n)
\]
\конец{документ}

Если \usearchorwidth было определено как {F} вместо {T} , результат будет выглядеть так:

параметры могут быть непосредственно включены в синтаксис, что имеет дополнительное преимущество, заключающееся в том, что их вызов непроницаем для текущих настроек режима.

 \documentclass{статья}
\usepackage[usestackEOL]{стековый движок}
\usepackage{graphicx}
\стекМатематика
\начать{документ}
\[
\ mathop {\ stackengine {3pt} {\ lim} {\ scriptstyle n \ rightarrow + \ infty} {U} {l} {F} {T} {S}} x (n)
\]
\[
\ mathop {\ stackengine {2.5pt} {\ lim} {\ scriptscriptstyle n \ rightarrow + \ infty} {U} {l} {F} {T} {S}} x (n)
\]
\[
\mathop{\stackengine{2pt}{\lim}{\scalebox{.33}{$n\rightarrow+\infty$}}{U}{l}{F}{T}{S}} x(n)
\]
\конец{документ}

5

Это не работает в нижних или верхних индексах (это может быть сделано так):

 \documentclass{article}
\makeatletter
\newcommand{\awfullim}{\@ifnextchar _{\@awfullim}{\lim}}
\newcommand{\@awfullim}[2]{% #1 равно _
  \settowidth{\dimen0}{$\lim$}%
  \settowidth{\dimen2}{$\scriptstyle#2$}%
  \ifdim\dimen2<\dimen0
    \lim_{#2}%
  \еще
    \addtolength{\dimen2}{-\dimen0}%
    \kern-\dimen2 \lim_{\kern\dimen2 #2}%
  \fi
}
\ сделать другое
\начать{документ}
\[
\awfullim_{x\to0^+}f(x)=\awfullim_{y\to+\infty}f(1/y)
\]
\конец{документ}

Имя, которое я использовал, говорит о том, насколько мне нравится эта идея. ;-)

4

символов. Как настроить вертикальное позиционирование \lim, чтобы аргумент выравнивался по всему стеку лимитов, а не только по слову «lim»? - TeX

Вот решение, которое повышает или понижает медиану любого оператора до медианы его аргумента.

 \documentclass{статья}
\usepackage{аммат}
\usepackage{settobox}
\usepackage[noactivechars]{mathstyle}
\newsavebox{\opbox}
\newsavebox{\argbox}
\newlength{\opheight}
\newlength{\opdepth}
\newlength{\argheight}
\newlength{\argdepth}
\newcommand\vcenterop[2]{%
  \edef\savedstyle{\currentmathstyle}
  \savebox{\opbox}{\(\savedstyle #1\)}
  \savebox{\argbox}{\(\savedstyle #2\)}
  \settoboxheight{\opheight}{\opbox}
  \settoboxdepth{\opdepth}{\opbox}
  \settoboxheight{\argheight}{\argbox}
  \settoboxdepth{\argdepth}{\argbox}
  \addtolength{\argheight}{-\opheight}
  \addtolength{\argheight}{-\argdepth}
  \addtolength{\argheight}{\opdepth}
  \mathop{\raisebox{0,5\argheight}{\usebox{\opbox}}} \mathord{\usebox{\argbox}}
}
\начать{документ}
\начать{выравнивать*}
  &\textstyle\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{f(x)} &\textstyle\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{\frac{f(x)}{g(x) }} \\
  &\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{f(x)} &\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{\frac{f(x)}{g(x)}} \\
  &\lim_{x \to 0} f(x) &\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \\
  &\vcenterop{\log_2}{f(x)^2} &\vcenterop{\log_2}{\frac{f(x)^2}{g(x)^2}} \\
  &\log_2 f(x)^2 &\log_2 \frac{f(x)^2}{g(x)^2}
\конец{выравнивание*}
\конец{документ}

Также можно было бы повысить или понизить аргумент, а не оператор, или центрировать оба на математической оси, как это делает Мико для \lim .

По запросу Себастьяно

Вот как это выглядит с некоторыми рукописными шрифтами.

 \documentclass{статья}
\usepackage{юникод-математика}
\usepackage{settobox}
\usepackage[noactivechars]{mathstyle}
\defaultfontfeatures{ Лигатуры=TeX, Масштаб=MatchLowercase}
% Tillana — это бесплатный шрифт от Indian Type Foundry, доступный по адресу:
% https://github.com/itfoundry/tillana/
% VAG Handwriting — это бесплатный шрифт от VAG Design, доступный по адресу:
% https://www.fontsquirrel.com/fonts/VAG-HandWritten
\setmainfont{VAG-HandWritten.otf}
\setmathfont{GFS Неоэллинская математика}
\setmathfont[range={"03C0,"2013-"2014,"2018-"201A,"201C-"201E,"2021-"2022,
                    "2026", "2030", "2039"-"203А", "2044", "20АС", "20БА", "20БД",
                    2113, 2122, 2126, 212Е, 2202, 2206, 220F, 2211,
                    2212, 2215, 221А, 221Е, 222Б, 2246, 2260, 2264,
                    "2265", "25КА}
            ]{Тиллана-Regular.otf}
\setmathfont[range=bfup/{латиница,латиница,число}
            ]{Tillana-Semibold.

Тангенс 1 градуса: Таблица тангенсов и котангенсов

alexxlab / / Разное

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа

В данной статье рассмотрим темы, которые встречаются в заданиях ЕГЭ по математике и содержатся в разделе алгебры, в ходе изучения темы подробно рассмотрим определения, используемые в теме, просмотрим рисунки, радианную меру углов, а также будем решать примерные задания. Темы, содержащиеся в статье, рассматриваются в соответствии с кодификатором, задающим элементы содержания заданий для выпускников образовательных организаций.

Переходим к более подробному изучению темы.

Для понятия о тригонометрических функциях следует рассмотреть окружность, радиус которой является единичным. У окружности есть центр, находящийся в начале координат, он расположен непосредственно на координатной плоскости. Для того, чтобы определить данную функцию, будем рассматривать вектор ОР. Он берёт начало в центре заданной окружности. Р – есть точка окружности. С помощью вектора ОР образуется угол с прилегающей осью, названной ОХ. ОР будет равен: OR = R = 1.

Рассмотрим соответствующий рисунок (рис. 1).

При проведении перпендикуляра из Р к оси ОХ получается прямоугольный треугольник, у которого есть гипотенуза и она равна единице.

При движении радиуса-вектора по часовой стрелке, будет получено отрицательное направление. А если радиус будет двигаться против часовой стрелки – положительное направление.

Для того чтобы осуществить вычисления синуса угла альфа, нужно обозначить на плоскости координату У. Как же получить это значение? Следует помнить, что в треугольнике, являющемся прямоугольным, синус произвольного угла будет равен отношению катета, являющегося противолежащим по отношению к гипотенузе. Получаем:

Sin a = У0 / R.

Радиус равен единице, исходя из этого: sin a = у0.

В окружности, являющейся единичной, ордината не должна быть больше единицы, а также меньше минус единицы: -1 < sin a < 1.

Синус будет являться положительным в первых и вторых четвертях окружности, являющейся единичной. Синус будет принимать отрицательное значение в третьей и четвёртой четверти окружности, являющейся единичной.

Выходит, для того чтобы получить косинус угла альфа, нужно определить на плоскости координату Х.

Косинус произвольного угла в треугольнике, являющемся прямоугольным, составляет отношение катета к гипотенузе. Получаем:

Cos a = х0 / R.

Поэтому, радиус равен единице, соответственно, cos a = x0.

У окружности, являющейся единичной, абсцисса не должна быть больше единицы и меньше минус единицы: -1 < cos a < 1.

Таким образом, косинус будет положительным в следующих четвертях окружности, являющейся единичной:

– В первой четверти;

– В четвёртой четверти.

Отрицательным:

– Во второй четверти;

– В третьей четверти.

Тангенсом угла, являющегося произвольным, считают отношение синуса и косинуса.

Представим произвольный треугольник, при условии, что он является прямоугольным. Здесь тангенсом будет отношение катета, названного противолежащим по отношению к прилежащему катету.

Если мы будем рассматривать единичную окружность – отношение её ординаты к абсциссе.

Получаем:

tg a = sin a / cos a; tg a = y0 / x0.

Следовательно, тангенс может быть при нулевом значении абсциссы, при этом, угол должен быть прямым. Тангенс вправе принимать и другие значения, такие как отрицательные и положительные.

Положительное значение тангенс будет иметь в первых и третьих четвертях окружности, являющейся единичной. Отрицательным тангенс является в четвёртой и второй четвертях.

Перейдём к рассмотрению котангенса. Котангенс угла, являющегося произвольным – косинус по отношению к синусу.

При рассмотрении прямоугольного треугольника это прилежащий катет по отношению к противолежащему:

Ctg a = cos a / sin a;

Ctg a = х0 / у0.

Если угол альфа равен нулю, то котангенса не существует. Это обусловлено тем, что в знаменателе дроби находится ордината.

Котангенс так же как и тангенс, в четвертях окружности, имеет такие же значения.

Рассмотрим примеры заданий, а в точности — неравенства:

– Если n принадлежит Z, то:

Sin (a + 2 пn ) = sin a;

Cos ( a + 2 пn ) = cos a.

– Также, если n принадлежит Z, то:

Tg ( a + пn ) = tg a;

Ctg ( a + пn ) = ctg а.

Перейдём к рассмотрению радианной меры угла. Рассмотрим единичную окружность (рис. 2).

Проводим дугу, которая будет равна радиусу окружности. Далее нужно соединить центр с концами данной дуги с помощью радиана. Один градус будет равен п 180 радиан. Один радиан соответственно, будет равен 180п. При этом, окружность будет равняться 2п.

Само понятие радиана открыл Томас Мюир и Джеймсон Томпсон в 1870 году. Таким образом, учёные измеряли углы на протяжении большого количества времени. К примеру, учёный Эйлер проводил исследования, он измерял углы с помощью длины дуги, которая отрезана в окружности, являющейся единичной.

Решим задачу ЕГЭ по математике на данную тему.

Нужно найти углы, при мере радиуса равной п / 2, п / 4, п / 8.

П / 2 * 180 / п = 90 градусов.

П / 4 * 180 / п = 45 градусов.

П / 8 * 180 / п = 22, 5 градуса.

Следует запомнить, что:

– 30 градусов равны п / 6;

– 45 градусов равны п / 4;

– 60 градусов равны п / 3;

– 90 градусов равны п / 2;

– 120 градусов равны 4п / 6;

– 180 градусов равны п.

Синус, тангенс, косинус, котангенс числа

Определением вышеописанных понятий считают число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t считают число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Рассмотрим пример. Для любого действительного числа на окружности, являющейся единичной, определять точку. При этом, центр окружности должен находиться в начале системы координат. Все данные находят с помощью данной точки.

Начальной точкой окружности является точка А. Её координатами будут ( 1; 0 ). Пусть t – положительное число. Данному числу будет соответствовать точка, в неё осуществит переход изначальная точка. Если t отрицательное, то ему будет соответствовать точка, в которую осуществит переход исходная точка при направлении против часовой стрелки.

Рассмотрим определения основных понятий темы.

Синусом числа t является ордината точки окружности, являющейся единичной, она соответствует числу t. То есть sin t = y.

Косинусом числа t называют абсциссу точки окружности, являющейся единичной, она соответствует числу t. Получается: cos t = x.

Тангенсом числа t считают отношение ординаты к абсциссе точки окружности, являющейся единичной, она соответствует числу t. То есть: tg t = yx = sin t cos t.

Следует запомнить данные определения, а также необходимые неравенства, они пригодятся при решении заданий ЕГЭ по математике.

Данные определения не противоречат определению, которое дано в начале этой темы. Точка, лежащая на окружности, соответствует числу t, а также имеет совпадение с точкой. В эту точку переходит исходная точка, это происходит после осуществления поворота на угол, равный t радиан.

В процессе подготовки к экзамену рекомендуем внимательно просмотреть демоверсию ЕГЭ по математике базового уровня, а также решить примерные задания по теме. В демонстрационном варианте содержатся необходимые пояснения к ЕГЭ. Его назначением является ознакомление с примерным содержанием КИМОВ, заданиями, а также уровнем их сложности.

Тан 1 градус — найти значение Тан 1 градус .

. . Тангенс 1 градус в радианах записывается как тангенс (1° × π/180°), т. е. тангенс (0,017453…). В этой статье мы обсудим методы определения значения тангенса 1 градуса на примерах.

  • Tan 1° в десятичном виде: 0,0174550. . .
  • Тан (-1 градус): -0,0174550. . .
  • Tan 1° в радианах: загар (0,0174532 . . . .)

Каково значение Tan 1 градусов?

Значение тангенса 1 градуса в десятичной системе равно 0,017455064. . .. Tan 1 градус также может быть выражен с использованием эквивалента данного угла (1 градус) в радианах (0,01745 . . .)

Мы знаем, используя преобразование градусов в радианы, θ в радианах = θ в градусах × (пи/ 180°)
⇒ 1 градус = 1° × (π/180°) рад = 0,0174. . .
∴ тангенс 1° = тангенс (0,0174) = 0,0174550. . .

Объяснение:

Для тангенса 1 градуса угол 1° находится в диапазоне от 0° до 90° (первый квадрант). Поскольку функция тангенса положительна в первом квадранте, значение тангенса 1° = 0,0174550. . .
Поскольку функция тангенса является периодической функцией, мы можем представить тангенс 1° как тангенс 1 градусов = тангенс (1° + n × 180°), n ∈ Z.
⇒ тангенс 1° = тангенс 181° = тангенс 361° и так далее.
Примечание: Поскольку тангенс является нечетной функцией, значение тангенса (-1°) = -тангенса (1°).

Методы определения значения Тан 1 градусов

Функция тангенса положительна в 1-м квадранте. Значение тангенса 1° указано как 0,01745. . .. Мы можем найти значение tan 1 градусов по:

  • Используя Unit Circle
  • Использование тригонометрических функций

Тангенс 1 градус с помощью единичной окружности

Чтобы найти значение тангенса 1 градус с помощью единичной окружности:

  • Поверните ‘r’ против часовой стрелки, чтобы образовать угол 1° с положительной осью x.
  • Тангенс 1 градуса равен координате y (0,0175), деленной на координату x (0,9). 998) точки пересечения (0,9998, 0,0175) единичной окружности и r.

Следовательно, значение тангенса 1° = y/x = 0,0175 (приблизительно).

Тангенс 1° в терминах тригонометрических функций

Используя формулы тригонометрии, мы можем представить тангенс 1° как:

  • sin(1°)/cos(1°)
  • ± sin 1°/√(1 — sin²(1°))
  • ± √(1 — cos²(1°))/cos 1°
  • ± 1/√(косек²(1°) — 1)
  • ± √(сек²(1°) — 1)
  • 1/кроватка 1°

Примечание. Поскольку 1° находится в 1-м квадранте, окончательное значение тангенса 1° будет положительным.

Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления tan 1° как

  • cot(90° — 1°) = cot 89°
  • -кроватка(90° + 1°) = -кроватка 91°
  • -тангенс (180° — 1°) = -тангенс 179°

☛ Также проверьте:

  • загар 45 градусов
  • загар 10 градусов
  • загар 0 градусов
  • загар 35 градусов
  • загар 73 градуса
  • загар 195 градусов

Примеры использования Tan 1 градусов

  1. Пример 1: Используя значение тангенса 1°, найдите: (sec²(1°) — 1).

    Решение:

    Мы знаем, (sec²(1°) — 1) = (tan²(1°)) = 0,0003
    ⇒ (сек²(1°) — 1) = 0,0003

  2. Пример 2: Упрощение: 8 (tan 1°/cot 89°)

    Решение:

    Мы знаем tan 1° = cot 89°
    ⇒ 8 tan 1°/cot 89° = 8 (tan 1°/tan 1°)
    = 8(1) = 8

  3. Пример 3. Найдите значение 5 тангенсов (1°)/10 тангенсов (179°).

    Решение:

    Используя тригонометрические тождества, мы знаем, что tan(1°) = -tan(180° — 1°) = -tan 179°.
    ⇒ тангенс (1°) = -тангенс (179°)
    ⇒ Значение 5 tan(1°)/10 tan(179°) = -5/10 = -1/2

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о Tan 1 Degrees

Что такое Tan 1 Degrees?

Тангенс 1 градус — значение тангенса тригонометрической функции для угла, равного 1 градусу. Значение тангенса 1° равно 0,0175 (приблизительно).

Каково точное значение тангенса в 1 градусе?

Точное значение тангенса 1 градуса может быть задано с точностью до 8 знаков после запятой как 0,01745506.

Как найти значение тангенса в 1 градусе?

Значение тангенса в 1 градусе можно рассчитать, построив угол 1° с осью x и затем найдя координаты соответствующей точки (0,9998, 0,0175) на единичной окружности. Значение tan 1° равно координате y (0,0175), деленной на координату x (0,9998). ∴ tan 1° = 0,0175

Каково значение Tan 1 в градусах с точки зрения Sin 1°?

Используя тригонометрические тождества, мы можем записать tan 1° через sin 1° как tan(1°) = sin 1°/√(1 — sin²(1°)) . Здесь значение sin 1° равно 0,0175.

Как найти тангенс 1° с точки зрения других тригонометрических функций?

Используя формулу тригонометрии, значение тангенса 1° может быть выражено через другие тригонометрические функции следующим образом:

  • sin(1°)/cos(1°)
  • ± sin 1°/√(1 — sin²(1°))
  • ± √(1 — cos²(1°))/cos 1°
  • ± 1/√(косек²(1°) — 1)
  • ± √(сек²(1°) — 1)
  • 1/кровать 1°

☛ Также проверьте: Тригонометрическая таблица

 

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Тригонометрия

Рабочие листы по математике и
наглядная программа

Tan-1 Calculator

9 0002 Создано Анной Щепанек, доктором философии

Отзыв Давиде Борчиа

Последнее обновление: 02 февраля 2023 г.

Содержание:
  • Что такое tan-1 в математике?
  • Как обозначается арктангенс?
  • Как пользоваться этим калькулятором tan-1?
  • Инструменты Omni, связанные с этой темой
  • Часто задаваемые вопросы

Калькулятор тангенса 1 всегда готов помочь вам с уравнениями вида тангенс 1(х) = y . Мы здесь, чтобы помочь вам понять, что означают эти уравнения и как их решать.

Что такое tan-1 в математике?

Обозначение tan-1 может означать две разные вещи в математике:

  • tan-1(x) = 1/tan(x) = cot(x) , т. е. здесь мы имеем дело с мультипликативной инверсией; или
  • tan-1(x) = arctan(x) , поэтому обратная функция тангенса . Мы отвечаем здесь на вопрос , каков угол, тангенс которого равен x .

Люди, которые пишут tan-1 , чаще всего имеют в виду последнее значение: зачем вам печатать tan-1(x), если можно просто написать cot(x)? Однако иногда вам нужно будет догадаться из контекста.

Как видите, обозначение tan-1 может быть очень запутанным, и его следует избегать. Если вы имеете в виду котангенс, используйте cot(x) . Что следует использовать для обратной тангенса? Мы обсудим это сейчас.

Как обозначается арктангенс?

Наиболее распространенное обозначение для обратной тангенса arctan(x) . Префикс дуги берет свое начало в том, что при использовании единичной окружности и измерении углов в радианах угол x радиан будет соответствовать дуге, длина которой также равна x . Следовательно, «угол, тангенс которого равен х», совпадает с «дугой, тангенс которой равен х» .

В языках программирования обратная тангенс часто сокращается до atan(x) .

Как пользоваться этим калькулятором tan-1?

Калькулятор tan-1 очень прост в использовании. Просто введите число в поле и наслаждайтесь результатами в мгновение ока!

Например, если вам нужно определить tan-1(2) , просто введите 2 в поле x . Вы увидите, что результат равен 1,2490 радиан, то есть немного больше, чем 71,5° . Обратите внимание, что калькулятор позволяет конвертировать * между радианами и градусами , вам не нужно делать это вручную или искать дополнительные инструменты!

Помимо этого калькулятора tan-1, в Omni есть несколько других инструментов, объясняющих обратную сторону тангенса под разными углами (каламбур). Вот они:

  • Калькулятор арктангенса;
  • Обратный калькулятор Тан;
  • Калькулятор тангенса дуги; и
  • Калькулятор арктангенса.

Часто задаваемые вопросы

Как найти тангенс 1 отрицательных чисел?

Чтобы определить тангенс 1 отрицательного числа, выполните следующие действия:

  1. Запишите абсолютное значение вашего числа. Другими словами, избавьтесь от знака минус.
  2. Найдите тангенс-1 абсолютного значения, которое вы нашли на шаге 1.
  3. Возьмите результат и поставьте перед ним знак минус. Формально: найти напротив числа .
  4. Это ваш результат! Мы применили здесь формулу tan-1(-x) = -tan-1(x) для каждого действительного числа x .

Что такое tan-1 для -1?

Ответ: -45° , или эквивалентно -π/4 рад . Чтобы получить этот результат, вы должны использовать формулу tan-1(-x) = -tan-1(x) .

Парабола как построить график: Построение графика квадратичной функции — урок. Алгебра, 8 класс.

alexxlab / / Разное
2+4=4+4=8
Видно по значениям что значения у симметричны

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)

Как построить параболу — Криста Кинг Математика

Завершите квадрат, чтобы преобразовать стандартную форму в вершинную

В этом уроке мы научимся определять характеристики параболы и переходить от алгебраической формы к графической.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Квадратные уравнения создают параболы при отображении на графике, поэтому они являются нелинейными функциями. Есть две формы, которые особенно полезны, когда вы хотите что-то узнать о параболе.

Как преобразовать Стандартную форму в Вершинную:

Чтобы преобразовать Стандартную форму в Вершинную, заполните квадрат

Чтобы преобразовать Вершинную форму в Стандартную, разверните квадрат, затем распределите и упростите

Давайте поговорим о различных частях параболы.

Как в стандартной, так и в вершинной форме, если ???a>0???, парабола открывается вверх и вершина имеет минимальное значение.

Как в стандартной, так и в вершинной форме, если ???a<0??? парабола открывается вниз, а вершина имеет максимальное значение.

Как построить параболу

92+3x-\frac{1}{2}???

Получить доступ к полному курсу Алгебра 2

Начать

Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, алгебра, алгебра 2, алгебра II, построение графиков, параболы, построение графиков парабол, квадратика, квадратичные функции, форма вершины, стандартная форма, форма вершины парабола, стандартная форма параболы

0 лайков

Как построить параболу в Word | Малый бизнес

Автор: Кейтлин Келли

Парабола — это изогнутая линия с особыми характеристиками. Любая точка на кривой находится на одинаковом расстоянии от фиксированной точки и фиксированной прямой линии. Результат выглядит как половина эллипса или дуги, образованной, когда объект подбрасывается в воздух и падает на небольшое расстояние. Поскольку это не математическая программа, Microsoft Word не может построить график на основе введенных вами данных, но благодаря большому набору инструментов для рисования вы можете нарисовать параболу после того, как рассчитаете ее форму.

Настройка сетки графика

  1. Откройте приложение Microsoft Word для создания нового пустого документа.

  2. Нажмите вкладку «Вставка» и кнопку «Фигуры» на панели «Иллюстрации». Выберите форму прямоугольника.

  3. Удерживая нажатой клавишу Shift, щелкните и перетащите мышь в окне документа, чтобы создать квадратную форму, которая будет контуром вашего графика.

  4. Нажмите, чтобы выбрать объект формы, и обратите внимание, что в правом верхнем углу ленты появляется специальная версия вкладки «Формат» под названием «Инструменты рисования». Эта вкладка содержит все команды рисования Word, но появляется только при выборе объекта рисования.

  5. Нажмите кнопку «Выровнять» на панели «Упорядочить» вкладки «Инструменты рисования» и выберите «Просмотр линий сетки» в раскрывающемся меню. На странице появляется бледно-серая сетка, помогающая выровнять нарисованные объекты. Нажмите на свой квадрат и перетащите его, чтобы он выровнялся с сеткой.

  6. Нажмите «Заливка фигуры» на панели «Стили фигур» и выберите «Без заливки», чтобы удалить любой цвет из квадрата. Вы хотите иметь возможность видеть линии сетки за квадратом.

  7. Используйте серые линии сетки для построения параболы или нарисуйте собственные горизонтальные и вертикальные линии внутри квадрата. Инструмент «Линия» находится на панели «Вставка фигур» в крайнем левом углу вкладки «Инструменты рисования». Если вы рисуете свои собственные линии, вы можете использовать кнопки на панели «Стили фигур», чтобы раскрасить их или изменить толщину линии.

Нарисуйте параболу

  1. Нажмите вкладку «Инструменты рисования», панель «Вставить фигуры» и выберите «Кривая» из линейных объектов.

  2. Щелкните самую левую точку на вашей параболе, затем щелкните правой кнопкой мыши точку, где ваша фокусная линия пересекается с осью Y. Это создает первую половину вашей параболической кривой.

  3. Дважды щелкните самую правую точку на вашей параболе, чтобы создать вторую половину кривой и закрыть инструмент кривой. Линия параболы теперь является отдельным графическим объектом на экране.

  4. Используйте кнопки «Заливка фигуры» и «Контур фигуры» на панели «Стили фигур», чтобы настроить цвет кривой параболы, если хотите.

Ссылки

  • Math Is Fun: Parabola
  • Интерактивная математика: Parabola
  • Microsoft: Display and Use Gridlines and Guides

Resources

Microsoft theSnap to Grid

  • и параметры привязки к объекту включены или Выкл.

    • Неравенств с модулем: Ничего не найдено для Ru Ege Materialy Matematika Uravneniya I Neravenstva S Modulem %23Sleva Modul Sprava Chislo

    alexxlab / / Разное

    виды неравенств и способы их решения, примеры задач

    Определение модуля

    Определение 1

    Модуль, или абсолютная величина, числа х в алгебре является самим числом «х» при x≥0 и числом «–х» при x<0:

    |x|=x,  x≥0-x,  x<0

    Модуль числа обладает следующими свойствами:

    1. Модуль числа является неотрицательным числом: x≥0, x=0⇔x=0.
    2. Противоположные числа обладают равными модулями: -x=x.
    3. Модуль произведения из пары или более чисел равен произведению модулей этих чисел: x·y=x·y.
    4. Модуль частного пары чисел равен частному модулей этих чисел: xy=xy, где у отличен от нуля.
    5. Модуль суммы чисел в любом случае меньше по сравнению с суммой их модулей, либо равен сумме модулей данных чисел:x+y≤x+y.
    6. Неизменяемый множитель, который больше нуля, допускается выносить за знак модуля: cx=c·x при c>0.
    7. Квадрат модуля числа равен квадрату данного числа: x2=x2.

    Виды неравенств с модулем

    Определение 2

    Неравенствами называют выражения, включающие в себя числа, либо выражения с переменной и записанные в виде:

    a>b,a<b,a≤b и a≥b.

    Пример 1

    Пример неравенства:

    x>5

    Определение 3

    Числовым называют такое неравенство, в котором a и b являются числами или числовыми выражениями.

    Числовое неравенство представляет собой сравнение пары чисел. Смысл такой записи заключается в определении, какое из чисел больше или меньше по сравнению со вторым.

    Виды числовых неравенств:

    • верные;
    • неверные.
    Пример 2

    Неравенство -5<2 является верным, так как в действительности -5 меньше по сравнению с числом 2.

    Неравенство 17+3≥115 является неверным. Правая часть неравенства равна 20:

    17+3=20

    Число 20 меньше по сравнению с числом 115. Этот вывод противоречит записанному неравенству, что позволяет назвать его неверным.

    Определение 4

    Неравенством с переменной называют такое неравенство, которое содержит переменную.

    При решении задач можно столкнуться с разными видами неравенств с переменными:

    1. Линейное, с переменной в первой степени, например: 2x+1≥4(5-x).
    2. Квадратное, с переменной, возведенной в квадрат, например: 3×2-x+5>0.
    3. Логарифмическое, где переменная записана под знаком логарифма, например: log4(x+1)<3.
    4. Показательное, переменная записана в показателе степени, как 2x≤85x-2.
    Определение 5

    Строгие неравенства — неравенства, которые содержат знаки сравнения > (больше) или < (меньше).

    Пример 3

    Пример строгого неравенства:

    х>4

    Заметим, что в случае строгого неравенства не допускается равенство между правой и левой частью выражения. По этой причине такие неравенства и называют строгими.

    Определение 6

    Нестрогие неравенства — неравенства, которые содержат знаки сравнения \geq (больше или равно) либо ≤ (меньше или равно).

    Пример 4

    Пример нестрого неравенства:

    x≤4

    Заметим, что в случае нестрого неравенства допускается равенство левой и правой частей выражения. По этой причине такие неравенства называются нестрогими.

    Определение 7

    Неравенства с модулем представляют собой такие неравенства, в которых неизвестные находятся под знаком модуля.

    Решить неравенство с модулем можно, руководствуясь определением модуля числа:

    |x|=x,  x≥0,-x,  x<0

    Способы решения неравенств с модулем, пояснения на примерах

    Существует определенный алгоритм, который удобно применять для решения заданий на неравенства с модулем:

    1. Неравенство, записанное в виде |x|<a, где а больше нуля, является равносильным системе . Когда а меньше нуля, у неравенства отсутствуют решения.
    2. Неравенство, записанное в виде |x|>a , где а больше нуля, является равносильным совокупности неравенств:  . При а=0 корни неравенства соответствуют множеству x∈(-∞;0)∪(0;+∞). При a меньше нуля решения расположены на всей числовой оси: x∈(-∞;+∞).

    В том случае, когда требуется решить неравенство в виде |f(x)| > |g(x)| или |f(x)| < |g(x)|, все части выражения, в том числе, дробные, следует возвести в квадрат. Неравенства, содержащие больше одного выражения, записанного под знаком модуля, решают с применением графического метода интервалов. Этот способ часто применяют в классе на уроке алгебры и при решении домашних заданий.

    Разберем несколько примеров для доказательства удобства использования записанной ранее схемы. Попробуем найти решения такого неравенства:

    1≤|x-2|≤5

    Заметим, что данное выражение можно представить, как систему:

    Первое из неравенств системы является равносильным совокупности неравенств:

    Неравенство под номером два соответствует системе:

    В результате оба неравенства будут решены:

    Рассмотрим простое задание с неравенством, которое требуется решить с подробными действиями:

    |x+1|>1

    Запишем равносильную совокупность неравенств по правилам:

    Если объединить интервалы со всех сторон, то получится:

    x∈(-∞;-2)∪(0;+∞)

    Решим следующее неравенство аналогичного типа несколько другим способом:

    |2x-1|<9

    Запишем совокупность неравенств:

    При пересечении найденных интервалов получим, что:

    x∈(-4;5)

    Разберем метод решения неравенства с модулем путем возведения в квадрат:

    |x+1|≤|x-2|

    Возведем все части выражения во вторую степень:

    (x+1)2≤(x-2)2

    Заметим, что в данном случае можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, а именно: распишем квадрат суммы и квадрат разности:

    x2+2x+1≤x2-4x+4

    С помощью приведения подобных упростим выражение:

    6x≤3 ⇒ 2x≤1 ⇒ x≤12 ⇒ x∈(-∞;0,5]

    Попробуем справиться с более сложным примером:

    |x-1|+|x-2|≤3

    Здесь целесообразно применить метод интервалов. Для этого сначала вычислим нули выражений, которые записаны под знаком модуля:

    x-1=0 ⇒ x=1

    x-2=0 ⇒ x=2

    Заметим, что если перенести полученные значения на числовую ось, то получится три интервала:

    x∈(-∞;1] ; (1;2] ; (2;+∞].

    Рассмотрим каждый из промежутков:

    x∈(-∞;1]

    В результате:

    -(x-1)-(x-2)≤3

    -x+1-x+2≤3

    -2x≤0 ⇒ x≥0

    На пересечении этого решения и первого интервала x∈(-∞;1] получим, что:

    x∈[0;1]

    Рассмотрим второй интервал:

    x∈(1;2]

    Здесь неравенство можно записать таким образом:

    x-1-(x-2)≤3

    x-1-x+2≤3

    0·x≤2

    Сделаем вывод о том, что для х приемлемы любые значения на данном промежутке, то есть:

    x∈(1;2]

    Третий интервал:

    x∈(2;+∞]

    Раскроем модули:

    x-1+x-2≤3

    2x≤6 ⇒ x≤3

    На пересечении этого решения и третьего интервала:

    x∈(2;3]

    Результат можно определить, если объединить найденные решения:

    x∈[0;1]∪(1;2]∪(2;3] ⇒  x∈[0;3]

    Примеры решения задач

    Задача 1

    Дано неравенство, которое нужно решить:

    |2×2-9x+15|≥20

    Решение

    |x| — x = 10

    Если x∈R, получим:

    2×2-9x+15>0

    2×2-9x+15≥20

    2×2-9x-5≥0

    2(x-5)(x+12)≥0

    В результате:

    x≤-12 или x≥5

    Ответ: x∈-∞;-12∪[5;+∞)

    Задача 2

    Нужно решить неравенство:

    |x-3|2×2-7x>1

    Решение

    |x-3|2×2-7x>|x-3|0

    0<|x-3|<1,2×2-7x<0;|x-3|>1,2×2-7x>0

    -1<x-3<1,x-3≠0,x(2x-7)<0;x-3>1,x-3<-1,x(2x-7)>0

    2<x<4,x≠3,0<x<72;x>4,x<2,x>72,x<0.

    В случае системы:

    2<x<4,x≠3,0<x<72

    решение будет таким:

    (2;3)∪(3;72)

    Для системы:

    x>4,x<2,x>72,x<0.

    решение следующее:

    (-∞;0)∪(4;+∞)

    В результате:

    x∈(-∞;0)∪(2;3)∪(3;72)∪(4;+∞)

    Ответ: x∈(-∞;0)∪(2;3)∪(3;72)∪(4;+∞)

    Задача 3

    Нужно определить решения следующего неравенства:

    |x-6|>|x2-5x+9|

    Решение

    Если x∈R,то:

    x2-5x+9>0

    |x-6|>x2-5x+9

    x-6>x2-5x+9

    x2-5x+9<0 — решения отсутствуют;

    x-6<-x2+5x-9

    x2-4x+3<0

    1 < x < 3

    Ответ: x∈(1;3).

    Задача 4

    Найти решения неравенства:

    log0,252x+1x+3+12>12

    Решение

    0<2x+1x+3+12<12

    0<4x+2+x+32(x+3)<12

    0<5x+52(x+3)<12

    5x+52(x+3)≠0,5x+52(x+3)<12,5x+52(x+3)>-12;

    x≠-1,x≠-3,2x+1x+3<0,3x+4x+3>0

    x≠-1,x≠-3,-3<x<-12,x>-43,x<-3

    x∈-43;-1∪-1;-12

    Ответ: x∈-43;-1∪-1;-12

    Задача 5

    Определить решения неравенств:

    |x2+5x|<6,|x+1|≤1.

    Решение

    -6<x2+5x<6,-1≤x+1≤1.

    x2+5x<6,x2+5x>-6,x+1≤1,x+1≥-1

    x2+5x-6<0,x2+5x+6>0,x≤0,x≥-2

    -6<x<1,x>-2,x<-3-2≤x≤0.

    x∈(-2;0]

    Ответ: x∈(-2;0]

    Задача 6

    Дано неравенство, решения которого требуется найти:

    |x2-4x|<5,|x+1|<3.

    Решение

    x2-4x<5,x2-4x>-5,-3<x+1<3

    x2-4x-5<0,x2-4x+5>0,-4<x<2

    -4<x<2,x∈R,-4<x<2

    -1 < x < 2

    x∈(-1;2)

    Ответ: x∈(-1;2)

    Задача 7

    Дано неравенство, которое требуется решить:

    32|x-1|+34<3|x-1|

    Решение

    32|x-1|-4·3|x-1|+3<0

    Заметим, что это квадратное неравенство по отношению к 3|x-1|:

    1<3|x-1|<3

    0 < |x — 1| < 1

    -1<x-1<1,x-1≠0

    0<x<2,x≠1

    x∈(0;1)∪(1;2)

    Ответ: x∈(0;1)∪(1;2)

    Задача 8

    |x3-1|>1–x

    Решение

    x3-1>1-x,x3-1<-1(1-x)

    (x3-1)+(x-1)>0,x(x2-1)<0

    (x-1)(x2+x+1)+(x-1)>0,x(x+1)(x-1)<0

    (x-1)(x2+x+2)>0,x(x+1)(x-1)<0

    x>1,x<-1,0<x<1.

    x∈(-∞;-1)∪(0;1)∪(1;+∞)

    Ответ: x∈(-∞;-1)∪(0;1)∪(1;+∞)

    Задача 9

    Дано неравенство, которое требуется решить:

    x2-|x|-12x-3≥2x

    Решение

    x<0,x2-x-12x-3≥2x;x≥0,x2-x-12x-3≥2x,

    x<0,x2-x+12x-3≤0;x≥0,x2-x+12x-3≤0,

    x<0,(x2-x+12)(x-3)≤0,x-3≠0;x≥0,(x2-x+12)(x-3)≤0,x-3≠0

    x<0,(x-4)(x-3)3≤0,x-3≠0;x≥0,x-3<0

    x<0,x≤4,x≠3;x≥0,x>3,

    x<0,0≤x<3.

    x∈(-∞;3)

    Ответ: x∈(-∞;3)

    Решение неравенств с модулем

    Download 278 Kb.

    bet1/6
    Sana16.11.2022
    Hajmi278 Kb.
    #902658
    TuriРешение

      1   2   3   4   5   6

    Bog’liq
    Решение неравенств с модулем
    История физики-кудратов, Адабитё, 4-Mavzu ma’ruza., 1-MM, 9-ma’ruza. Xartli formulasi, kompyuterning ishlashining mantiqiy, 11 A sinf , Noaniq integral haqida ma’ruza va yechish usullari , 1-Test, xosmas integrallarning geometriya va fizikaga tatbiqlari, 2013, 1367254467.0182english-grammar-tests, ielts speaking, art-spok, fizika oqitish metodikasi, Algoritmlash va dasturlash ingliz tili

      Bu sahifa navigatsiya:
    • Что уже нужно знать
    • Определение модуля

    Решение неравенств с модулем
    Сегодня, друзья, не будет никаких соплей и сантиментов. Вместо них я без лишних вопросов отправлю вас в бой с одним из самых грозных противников в курсе алгебры 8—9 класса.
    Да, вы всё правильно поняли: речь идёт о неравенствах с модулем. Мы рассмотрим четыре основных приёма, с помощью которых вы научитесь решать порядка 90% таких задач. А что с остальными 10%? Что ж, о них мы поговорим в отдельном уроке.:)
    Однако перед тем, как разбирать какие-то там приёмы, хотелось бы напомнить два факта, которые уже необходимо знать. Иначе вы рискуете вообще не понять материал сегодняшнего урока.

    Капитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи:

    1. Как решаются неравенства;

    2. Что такое модуль.

    Начнём со второго пункта.

    Определение модуля


    Тут всё просто. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Для начала — алгебраическое:
    Определение. Модуль числа x — это либо само это число, если оно неотрицательно, либо число, ему противоположное, если исходный x — всё-таки отрицателен.
    Записывается это так:

    Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников.
    Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического (спойлер: не сегодня).
    Определение. Пусть на числовой прямой отмечена точка a. Тогда модулем |x−a| называется расстояние от точки x до точки aa на этой прямой.
    Если начертить картинку, то получится что-то типа этого:
    Графическое определение модуля
    Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной. Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование.

    Download 278 Kb.


    Do’stlaringiz bilan baham:

      1   2   3   4   5   6

    Ma’lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2023
    ma’muriyatiga murojaat qiling

    Как решать неравенства, содержащие абсолютные значения

    Авторы: Ян Куанг и Эллейн Кейс и

    Обновлено: 26 марта 2016 г. Исследуйте книгу Купить на Amazon

    Уравнение абсолютного значения обычно имеет два возможных решения. С абсолютным значением немного сложнее обращаться, когда вы решаете неравенства. Два возможных решения:

    В математической терминологии неравенство

    , где a, b, и c — действительные числа — всегда превращается в два неравенства:

    «И» происходит от графика набора решений на числовой прямой, как показано на рисунке (а) ниже. «И» означает, что вам нужны только значения для x , которые одновременно являются решениями обоих неравенств.

    Неравенство

    становится

    «ИЛИ» также исходит из графа набора решений, который вы можете видеть на Рисунке (b) выше. «ИЛИ» означает, что вы хотите, чтобы все значения для x , которые являются решениями хотя бы одного из неравенств.

    При работе с абсолютными значениями следует помнить два предостережения:

    • Если абсолютное значение меньше (<) или меньше или равно

      отрицательное число, оно не имеет решения. Абсолютное значение всегда должно быть нулевым или положительным (единственное, что меньше отрицательных чисел, — это другие отрицательные числа). Например, абсолютное неравенство |2 x – 1| < –3 не имеет решения, потому что неравенство меньше отрицательного числа.

      Получение нуля в качестве возможного решения — это прекрасно. Однако важно отметить, что отсутствие решений — это совсем другое. Отсутствие решений означает, что никакое число вообще никогда не работает, тогда как получение нуля в качестве решения означает, что решение есть, а именно ноль.

    • Если результат больше или равен отрицательному числу, решением являются все действительные числа . Например, учитывая уравнение | х – 1| > –5, x — все действительные числа. Левая часть этого уравнения представляет собой абсолютное значение, а абсолютное значение всегда представляет собой положительное число (или ноль). Поскольку положительные числа (или ноль) всегда больше отрицательных, у этих типов неравенств всегда есть решение. Любое действительное число, которое вы подставите в это уравнение, работает.

    Чтобы решить и построить график неравенства с абсолютным значением, например, 2|3 x – 6| < 12 — выполните следующие действия:

    1. Изолировать выражение абсолютного значения.

      В этом случае разделите обе стороны на 2, чтобы получить |3 x – 6| < 6.

    2. Разбейте неравенство надвое.

      Этот процесс дает вам 3 x – 6 < 6 и 3 x – 6 > –6. Вы заметили, как изменился знак неравенства для второй части? Когда вы переключаетесь с плюсов на минусы в неравенстве, вы должны изменить знак неравенства.

      Не попадитесь в ловушку изменения уравнения внутри столбцов абсолютного значения. Например, |3 x – 6| < 6 не меняется на 3 x + 6 < 6 или 3 x + 6 > –6.

    3. Решите оба неравенства.

      Решения этой задачи таковы: x < 4 и x > 0. Это сокращается до 0.

    4. График решения.

      Создайте числовую прямую и покажите ответы на неравенство. На предыдущем рисунке показано решение задачи 2|3 х – 6| < 12 на числовой прямой.

    Эту статью можно найти в категории:

    • Предварительное исчисление,

    Математическая сцена — Неравенства — Урок 3 Абсолютные значения

    Математическая сцена — Неравенства — Урок 3 Абсолютные значения

    2008 Расмус Эхф
    и Джанн Сак

    		  Печать

    Урок 3 Абсолют values ​​

    На прямой с действительными числами расстояние точки x от нуля называется абсолютное значение x и записывается как |x|. Каждая из двух маленьких вертикальных линий сторона х является символом для абсолютного значения.

    Если x = 2, расстояние x от нуля записывается |2| и имеет значение 2. Итак, |2| = 2.

    Если x = −2, расстояние x от нуля записывается как  |−2| и имеет значение 2. Итак, |−2| = 2.

    Расстояние и, следовательно, абсолютное значение всегда является положительным числом.

    Расстояние между двумя точками, a и b, равно b − a, если
    b > a и  a − b, если b < а. Если мы не знаем, какое число больше, то говорят, что расстояние между a и b есть  |a − b|.

    Мы можем думать об абсолютном значении как об измерении с помощью линейка. При нахождении длины интервала между двумя точками с помощью линейка, не имеет значения, измеряем ли мы слева направо или справа влево расстояние всегда является одним и тем же положительным числом.

    Абсолют значение удаляет отрицательный знак из значения, которое мы получаем из выражения, которое находится между знаком абсолютного значения.

    Пример 1

    Нарисуйте график функция  f(x) = |x|.

    Мы составляем таблицу значений и затем строим график.

    Пример 2

    Нарисуйте график функции f(x) = |x − 2| − |х|.

    Мы делаем таблицу значений, а затем построить график.

    Запомнить удалить отрицательный знак при взятии абсолютного значения отрицательного число.

    Обратите внимание, что график состоит из 3 прямых линий.

    Когда x < 0, оба абсолютных значения содержат отрицательные числа, которые становятся положительно, когда мы берем абсолютное значение. Мы можем сделать это алгебраически с помощью замена знака абсолютного значения скобкой и умножение на −1.

    При x < 0 функция может быть записана следующим образом:

    е(х) = (−1)∙(x − 2) − (−1)∙(x) = −x + 2 + x = 2

    На интервале 0 x < 2 , только значение в первом члене абсолютного значения является отрицательным.

    Следовательно, мы можем написать так:

       f(x) = (−1)∙(x − 2) − x = −2x + 2

    Когда х 2 оба абсолютные значения содержат положительные значения, поэтому ничего менять не нужно. Сейчас функция может быть записана как:

       f(x) = (х — 2) — (х) = х — 2 — х = -2

    Обратите внимание, что уравнение |х — 2| − |х| «=» 2 удовлетворяется всеми значениями x 0 тогда как уравнение |x − 2| − |х| = 0 имеет только одно решение, x = 1.

    Пример 3

    Решите неравенство  |x − 1| < 4.

    Важным моментом в этом уравнении является x = 1. Именно здесь абсолютная знак значения содержит число 0, положителен, если x > 1, но отрицателен, когда x < 1. Мы можем думать об этом как о поворотной точке уравнения. поворотный момент, когда абсолютное значение изменяется между положительным и быть отрицательным. Это означает, что мы можем изменить это уравнение абсолютного значения на два простые уравнения, одно верно, когда x > 1, а другое верно, когда x < 1. Затем мы решаем каждую отдельно.

           x < 1  ( изменить знак). х > 1 (знак без изменений).

     

     Полное решение от обоих уравнения:

    −3 < х < 5

    Рассмотрим теперь геометрически, что неравенство |x − 1| < 4 говорит нам.

    |х — 1| расстояние между x и номер 1.

    |х — 1| < 4 говорит нам, что расстояние между x и 1 меньше чем 4.

    Это соответствует приведенному выше решению.

    Теперь решим это же неравенство графически.

    Это включает в себя построение графиков функций f(x) = |x − 1| и г(х) = 4, затем найти, где f (x) лежит ниже (меньше) g (x).

    График показывает, что е (х) = | х — 1 | лежит ниже линии g(x) = 4 (см. закрашенную область), на интервале −3 < х < 5,

    Пример 4

    Решите неравенство  |x + 2| > |2x − 8|.

    Снова решаем задачу, взглянув отдельно на три области между значениями x   которые делают выражения между знаками абсолютного значения равными нулю.

    Этих точек  x = −2 из выражения в левой части и x = 4  из выражение в правой части.

    Эта таблица показывает, когда выражения меняют знак:

    Обе стороны. Правая сторона. Без изменений.

    х > 10 не является решением, поскольку эти расчеты справедливы только для х < −2.
    Следовательно, при x < −2 решения нет.

                                                                          Окончательное решение: 2 < х < 10

    Теперь решим уравнение графически.

    Сначала мы делаем таблицу из значения для каждой стороны неравенства.

    Из графика видно, что  f(x) = |х + 2| лежит выше
    г (х) = | 2х — 8 | между x = 2 и x = 10 (закрашенная область).

    Таким образом, решение 2 < х < 10.

    Пройди тест 3 по неравенствам.

    Наименьшее общее кратное 6 и 4: НОД и НОК для 4 и 6 (с решением)

    alexxlab / / Разное

    Наименьшее общее кратное 4 и 6

    Калькулятор «Наименьшее общее кратное»

    Какое наименьшее общее кратное (НОК) у чисел 4 и 6?

    Ответ: НОК чисел 4 и 6 это 12

    (двенадцать)

    Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 4 и 6 используя НОД этих чисел

    Первый способ нахождения НОК для чисел 4 и 6 — через нахождение наибольшего общего делителя (НОД) этих чисел. Формула:

    НОК = (Число1 × Число2) ÷ НОД

    НОД чисел 4 и 6 равняется 2, следовательно

    НОК = (4 × 6) ÷ 2

    НОК = 24 ÷ 2

    НОК = 12

    Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 4 и 6 используя перечисление кратных

    Второй способ нахождения НОК для чисел 4 и 6 заключается в перечислении всех кратных для обоих чисел и выбор первого совпадающего:

    Кратные числа 4: 4, 8, 12, 16, 20

    Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24

    Следовательно, НОК для 4 и 6 равняется 12

    Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 4 и 6 используя разложение чисел на простые множители

    Еще один способ нахождения НОК чисел 4 and 6 — это нахождение всех простых множителей для обоих чисел и перемножение самых больших экспоненциальных форм

    Похожие расчеты

    Поделитесь текущим расчетом

    Печать

    https://calculat. io/ru/number/least-common-multiple-lcm-of/4—6

    <a href=»https://calculat.io/ru/number/least-common-multiple-lcm-of/4—6″>Наименьшее общее кратное 4 и 6 — Calculatio</a>

    О калькуляторе «Наименьшее общее кратное»

    Данный калькулятор поможет найти Наименьшее общее кратное двух чисел. Например, он может помочь узнать какое наименьшее общее кратное (НОК) у чисел 4 и 6? Выберите первое число (например ‘4’) и второе число (например ‘6’). После чего нажмите кнопку ‘Посчитать’.

    Наименьшее общее кратное (НОК) для двух чисел - это наименьшее натуральное число, которое делится на оба числа без остатка

    Калькулятор «Наименьшее общее кратное»

    Таблица Наименьших общих кратных

    Число 1Число 2НОК
    166
    266
    366
    4612
    5630
    666
    7642
    8624
    9618
    10630
    11666
    12612
    13678
    14642
    15630
    16648
    176102
    18618
    196114
    20660
    21642
    22666
    236138
    24624
    256150
    26678
    27654
    28684
    296174
    30630

    НОК и НОД — что это, определение и ответ

    Рассмотрим выражение:

    \(45:9\)

    Можем сказать, что 45 – делимое, а 9 – делитель данного выражения.

    Мы знаем, что 45 делится нацело на число 9. В таком случае, если мы захотим описать, чем эти числа являются друг другу, то мы скажем, что

    9 – делитель числа 45

    45 – кратно числу 9

    Иногда при решении задач нужно находить общие кратные или общие делители двух чисел.

    Наименьший делитель двух чисел – всегда единица. Такой делитель нет смысла искать, поэтому ищут наибольший общий делитель.

    А кратных наоборот – бесконечно много, невозможно искать наибольшее из них, поэтому ищут, наименьшее общее кратное.

    Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел – это наибольшее число, на которое каждое из этих чисел можно поделить без остатка.

    Пример №1:

    Рассмотрим числа 30 и 45.

    1. Найдем все их существующие делители, т.е. числа, на которые каждое из них поделится нацело:

    1. Мы видим, что у этих двух чисел есть несколько общих делителей. Наибольший из них – 15 – является самым большим. Это и есть НОД.

    Значит и число 45 и число 30 можно нацело поделить на 15. Записывают это так:

    \(НОД\ (30;45) = 15\)

    Ответ: 15.

    Пример №2:

    Найдем \(НОД\ (20;36):\)

    1. Выпишем все делители этих чисел.

    Так же делители можно сразу записывать парой. Если 20 нацело делится на 2, то

    \(20\ :\ 2 = 10\)

    Значит 10 – тоже делитель числа 20. Запишем делители 2 и 10 парой:

    1. Выделим все общие делители и найдем наибольший из них. В данном случае

    \(НОД(20;35) = 4.\)

    Ответ: 4.

    Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – это наименьшее число, которое можно поделить на каждое из этих чисел без остатка.

    Пример №3:

    Найдем \(НОК\ (10;12).\)

    1. Возьмем наименьшее число. В данном случае – 10.

    Будем умножать его на натуральные числа по порядку, пока не получим число, кратное 12, то есть такое, на которое нацело поделится и 10, и 12. Оно и будет НОК этих двух чисел. Такой метод называется методом подбора.

    \(10 \bullet 1 = 10;\ \ \ \ 10\ НЕ\ кратно\ 12\)

    \(10 \bullet 2 = 20;\ \ \ \ 20\ НЕ\ кратно\ 12\)

    \(10 \bullet 3 = 30;\ \ \ \ 30\ НЕ\ кратно\ 12\)

    \(10 \bullet 4 = 40;\ \ \ \ 40\ НЕ\ кратно\ 12\)

    \(10 \bullet 5 = 50;\ \ \ \ 50\ НЕ\ кратно\ 12\)

    \(10 \bullet 6 = 60;\ \ \ \ 60\ кратно\ 12\)

    1. Первое число, которое будет кратно обоим числам и является их наименьшим общим кратным.

    Общих кратный, в отличии от делителей, бесконечно много, поэтому обычно выбирают наименьший их них.

    Ответ: 60.

    Также можно находить НОК через разложение на множители:

    Пример №4:

    Найдём \(НОК\ (6;8):\)

    1. Разложим числа 6 и 8 на простейшие множители, т. е. представим каждое число как произведения простых чисел. Множители большего числа запишем сверху:

    8: \(1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2\)

    6: \(1 \bullet 2 \bullet 3\)

    1. Видим, что множители 1 и 2 повторяются у обоих чисел, поэтому для меньшего числа их уберем. Останется:

    1. Перемножим все оставшиеся числа. Их произведение и будет НОК:

    \(НОК\ (6;\ 8) = 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 = 24\)

    Ответ: 24.

    Пример №5:

    Найдем \(НОК\ (10;12)\) разложением на множители:

    1. Разложим оба числа на простые множители. Сверху запишем большее число:

    12: 1, 2, 2, 3

    10: 1, 2, 5

    1. Для меньшего числа зачеркнем те множители, которые уже есть у большего числа:

    1. Перемножим все оставшиеся числа:

    \(НОК\ (10;\ 12) = 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 5 = 60\)

    Наш ответ совпал с ответом, где мы использовали метод подбора.

    Ответ: 60.

    ВЗАИМОСВЯЗЬ НОК И НОД:

    Произведение НОК и НОД некоторых чисел равно произведению самих этих чисел:

    \(НОК(a;\ b) \bullet НОД(a;\ b) = a \bullet b\)

    Докажем эту формулу на примере.

    Пример №6:

    Рассмотрим пару чисел 24 и 60.

    1. Найдем их НОД:

    \(НОД\ (24;60) = 12\)

    1. Найдем их НОК:

    \(НОК\ (24;\ 60)\ = \ 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 5 = 120\)

    1. Рассмотрим поближе НОК. Чтобы его получить, мы переменожили все простые множители чисел 60 и 24 за исключением множителей 1, 2, 2, 3. Найдем отдельно их произведение:

    \(1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 = 12\)

    Если перемножить все простые множители числе 60 и 24 мы получим просто их произведение, при этом оно будет состоять из НОК и числа 12, которое в свою очередь равно НОД:

    Что такое наименьшее общее кратное? Объяснение для элементарного

    В этом посте мы ответим на вопрос «Каково наименьшее общее кратное?» и предоставление вам всей необходимой информации, чтобы помочь детям в начальной и средней школе понять эту область математики. У нас также есть несколько вопросов, основанных на наименьшем общем кратном, которое может ответить ваш ребенок, и все, чтобы помочь ему (и вам) быстро освоить математику!

    Что такое кратность в математике?

    Кратное — это число, которое можно разделить без остатка.

    Иногда детям помогает думать об этом как о числе в таблице умножения другого числа, например, 24 кратно 12; оно также кратно 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 24. Первые пять кратных 6 — это 6, 12, 18, 24 и 30.

    Множители и множители связаны друг с другом — например, 4 является коэффициентом 12, а 12 кратно 4.

    См. также : Правила делимости

    Что такое общее кратное в математике?

    Общее кратное — это кратное, которое является общим для двух или более чисел.

    12 является общим кратным 6 и 4, так как он присутствует как в таблицах умножения на 6, так и в таблице умножения на 4.

    Три общих кратных 6 и 9 равны 18, 36 и 54.

    Преподавание общих кратных в онлайн-классе по математике Third Space Learning.

    Каково наименьшее общее кратное?

    Наименьшее общее кратное — это наименьшее кратное, общее для двух или более чисел.

    Например, общие кратные 4 и 6 равны 12, 24 и 36, но наименьшее из них равно 12; следовательно, наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 равно 12. 

    Как найти наименьшее общее кратное

    Один из способов помочь детям найти наименьшее общее кратное – попросить их перечислить кратные каждого числа, пока они не наткнуться на первый каждый номер акции.

    Например, НОК 5 и 7 равен 35:

    Когда мой ребенок узнает о наименьших общих кратных?

    Детей знакомят с числами в детском саду (возможно, не зная фактического термина), когда они могут научиться считать числа, кратные двойкам, пятеркам и десяткам, как часть их обучения числовым связям и пропуску счета. В 1-м классе учащиеся вычитают числа, кратные 10 в диапазоне 10-90, из числа, кратного 10 в диапазоне 10-90.

    Во 2 классе дети считают в пределах 1000; пропуск счета на 5, 10 и 100 секунд.

    В 3-м классе учащиеся умножают числа, кратные 10. Они также изучают термины «кратное» и «множитель», изучая факты умножения.

    Ученики 4-х классов должны уметь находить все пары множителей для целого числа в диапазоне от 1 до 100. Их следует научить определять кратные числа и решать задачи на умножение и деление, в том числе используя свои знания о кратных.

    Обыкновенные кратные не вводятся до 5-го класса . Ожидается, что пятиклассники будут использовать общие кратные для выражения дробей одного и того же наименования и решать проблемы, связанные с неравным разделением и группировкой, используя знание дробей и кратных.

    Как наименьшие общие кратные соотносятся с другими областями математики?

    Наименьшее общее кратное полезно, когда нужно выразить дроби одного номинала (требуется при сложении или вычитании, упорядочивании или сравнении дробей). Например, чтобы вычислить 3/5 + 1/6, нам нужно найти общий знаменатель, вычислив наименьшее общее кратное 5 и 6 (30). Затем мы можем преобразовать дроби в 18/30 + 5/30 = 23/30.

    Хотите знать, как объяснить своим детям другие ключевые слова по математике? Посмотрите наши Математический словарь для детей или попробуйте эти математические термины:

    • Что такое длинное умножение: объяснение для учителей, родителей и детей
    • Что такое число в кубе: объяснение для учителей, родителей и детей
    • Что такое квадратное число: объяснение для учителей, родителей и детей
    • Что такое наивысший общий делитель: объяснение для учителей, родителей и детей

    Наименьшие общие множественные практические вопросы

    1) Каково наименьшее общее кратное 8 и 10?

    2) Запишите все общие кратные 3 и 8, которые меньше 50.

    3) Каково наименьшее общее кратное 100 и 50?

    4) Выпишите все общие кратные 4 и 6, которые меньше 60.

    5) Каково наименьшее общее кратное 1000 и 650?

    общее кратное 4 и 6

    Дд Д.

    спросил 20.04.17

    общее кратное 4 и 6

    Подписаться І 2

    Подробнее

    Отчет

    2 ответа от опытных наставников

    Лучший Новейшие Самый старый

    Автор: Лучшие новыеСамые старые

    Дэвид В. ответил 20.04.17

    Репетитор

    4.7 (90)

    Опытный профессор

    Об этом репетиторе ›

    Об этом репетиторе ›

    Число, кратное 4:      4,     4,  8,  12,   16,   20,   24,   28,   32,   . . .

    Число, кратное 6:      6,   12,   18,   24,   30,   36,   . . .

     

    Общие кратные 4 и 6 (см. значения в обоих списках):    12,   24,   …

     

    Наименьшее общее кратное (НОК) 4 и 6:  12

      90 003

    Сейчас —

    Простые делители числа 4:    2*2

    Простые множители числа 6:    2*3

     

    Включите каждый член только один раз, НОК 4 и 6 равен 2*2*3=12.

     

    Обратите внимание, что 12 делится на 4, а 12 делится на 6.

    Голосовать за 0 Понизить

    Подробнее

    Отчет

    Коллин П. ответил 20.04.17

    Репетитор

    0 (0)

    Опытный студент Массачусетского технологического института преподает подготовку к экзаменам ACT/SAT, математику и физику

    См. таких репетиторов

    Смотрите таких репетиторов

    . Если мы ищем наименьшее общее кратное 4 и 6, мы знаем, что одно потенциальное решение равно 4 x 6 = 24, потому что ясно, что 24/6 = 4 и 24/6 = 4.

    Примеры на деление и умножение распечатать: Тренажер на умножение и деление. Математика 2 класс

    alexxlab / / Разное

    Примеры на деление и умножение

    Примеры на деление и умножение — для распечатки и интерактивного решения
     
     
    1. Настройте генератор: выберите действия — умножение, деление или деление с остатком, используемые числа и сложность.
    2. Нажмите «Сгенерировать новые примеры».
    3. C полученными примерами можно работать в трёх режимах:

    Готовый файл для распечатки — файл для Word’а, который можно распечатать.
    Есть вариант примеров на умножение и деление для ученика — с местами для ответов, и вариант для родителей — с указанными ответами.
    Задайте количество страниц, нажмите «изменить», и скачивайте готовый файл.

    Свой формат печати — для тех, кто хочет скопировать примеры в другой файл, или перенести в другой формат.
    Можно установить свой шрифт, количество примеров, количество столбиков.
    Есть вариант примеров на умножение и деление для ученика — с местами для ответов, и вариант для родителей — с указанными ответами.

    Интерактивные примеры — для тех, кто занимается с планшетом, смартфоном, компьютером, и другим устройством подключённном к интернету.
    Задайте нужный шрифт, количество примеров и столбцов и… проверяйте себя on-line.
    Если нажать на пример — на экране вместо него появится результат, и ученик сразу сможет проверить себя.

           
    Образец:  
    6 * 735 : 554 : 9
    7 * 315 : 312 : 4
    54 : 642 : 75 * 5
    18 : 218 : 92 * 4
    72 : 818 : 212 : 2
    4 * 29 * 75 * 2
    42 : 72 * 68 * 4
    48 : 86 * 43 * 7
    8 : 27 * 24 * 2
    45 : 99 * 612 : 3
       
    Примеры онлайн
    

    Примеры по математике на деление и умножение — генератор примеров различного уровня сложности.

    Генератор позволяет создать набор примеров на деление и умножение.
    В начале обучения можно создавать примеры на умножение и деление только на одно число. Затем после освоения всей таблицы — создавать примеры на все числа.
    Диапазон умножений можно изменять: можно генерировать примеры на умножение только чисел от 2 до 9, и обратные примеры на деление где делитель и частные не больше 9.
    По мере освоения таблицы умножения можно давать примеры где умножаютсся двузначные числа.

    Для старших школьников 3, 4, 5 классов — примеры на деление и умножение с двузначными и трёхзначными числами.

    Примеры на деление с остатком также можно получить как для одного числа в качестве делителя, так и настраивая диапазон чисел.

    Таблица умножения « Папа Карп

    Меня много лет интересовал вопрос: «Можно ли так нарисовать таблицу умножения, чтобы детям было легче ее учить?»

    И вот наконец родилась та художественно-методическая форма, которую вы можете тут видеть.

    Наверное, кому-то она понравится и существенно облегчит процесс освоения таблицы умножения (а заодно и деления), а кому-то окажется неблизка, несимпатична. Это дело вкуса. Возможно, детям данная форма будет нравиться больше, чем взрослым – ведь рисовал я на детском языке образов.

    Кто-то не воспримет это всерьез, но сам я считаю данную разработку самым фундаментальным из всех учебных пособий, которые я нарисовал.

    * * *

    Скачать все в хорошем качестве (2,5 MB)

    Что значит «детям будет легче ее учить»? Разработанная художественная форма, на мой взгляд, более психологически контактна с мировосприятием ребенка. Ребенку проще ее воспринять. Поэтому учиться по ней веселее, естественнее, эффективнее. Для одних детей использование такой таблицы умножения ускорит процесс ее запоминания. Для других – сделает изучение хотя бы не столь противным (что тоже немаловажно, так как многие дети просто не хотят учить таблицу умножения). Для третьих мало что изменится в ходе заучивания, но зато запомнится все гораздо более устойчиво.

    Данная разработка годится не только для начальной школы, но и для более старших ребят – часто бывает необходимо освежить таблицу умножения в памяти. Да и взрослым иногда можно ею воспользоваться – особенно тем родителям, которые помогают своим детишкам делать школьные уроки.

    Методы работы – все те же самые, что и с любой другой таблицей умножения. Сначала целесообразно учить по десяткам. Потом – в разбивку. Потом – на деление. Если какие-то примеры чаще забываются, то на них следует сделать акцент. Следует добиться устойчивого и уверенного запоминания. На вспоминание одного примера из таблицы умножения должно уходить не более 2-3 секунд.

    Ребенок может разглядывать эти картинки прямо с экрана компьютера. А можно и распечатать их. Листки с таблицей умножения можно перекладывать в руках, или положить на письменный стол, или повесить на стену… Эксперименты с цветной бумагой, цветными чернилами и дополнительными рисунками на исходной форме откроют творческий простор и помогут подобрать наиболее интересные варианты.

    Ну а если вам и вашему ребенку данная художественно-методическая форма все же радикально неблизка? Вы можете посмотреть на мои рисунки, воодушевиться и нарисовать свой вариант. А ваш ребенок может вам помочь.

    Почему включено умножение на 11? Из опыта обучения своих детей, а также из опыта занятий в других семьях я увидел, что это весьма целесообразно – с точки зрения изучения последующих разделов математики. А вот умножение на 1 я включать сюда не стал – и так ясно, что получается.

    Почему я полагаю, что разработанная мной художественно-методическая форма должна существенно облегчить процесс усвоения таблицы умножения для многих детей? Строгих аргументов пока нет. Так мне подсказывает мой опыт, мое интуитивное чувство.

    Я буду рисовать потом и другие художественные формы таблицы умножения. Больно уж тема глубокая и воодушевляющая. А данная исходная форма будет во всем этом базовой концепцией.

    Когда появится возможность, я планирую снять два видео-курса по таблице умножения: 1) полный — примерно из 50 уроков для учеников 2-3 классов; 2) краткий — из 7 уроков для ребят любого возраста. Все это будет размещаться в разделе КАРП-ВИДЕО.

    бесплатных печатных листов по умножению и делению. Таблица 0

    Бесплатные печатные листы по умножению и делению: таблицы 0-12

    Умножение Рабочие листы по разделам

    1-12 Умножение
    Учебные таблицы — ответы

    Умножение

    12×12 Таблица ответов на умножение (доска умножения)

    1-12 Умножение
    Учебные таблицы (пустые)

    1-12 Умножение
    Таблицы Индивидуальные викторины

    Двузначный X Одноразрядный: A — Б
    С платой умножения: — A — В
    Ответы: А — В

    Частично Товарная коробка
    Двузначный X Двузначный: A — Б — С

    Частичный Товарная коробка
    Трехзначный X Двузначный: A — Б — С

    Двузначный X Двузначные десятки: A — B
    С платой умножения: — A — В
    Ответы: А — В

    Двузначный X Двузначный: A — В
    Ответы: А — Б

    Трехзначный X Одноразрядный: A — B
    С платой умножения: — A
    Ответы: А — Б

    Трехзначный X Двузначное число — десятки: A — В
    Ответы: А — Б

    Трехзначный X Двузначный: A — В
    Ответы: А — Б

    Трехзначный X Трехзначный: A — В
    Ответы: А — Б-

    1 -12 Отдел
    Столы Тесты

    Отдел

    Маленький Подразделение
    с остатками: A — Б — С

    Длинный Подразделение
    Нет остатков: A — Б — С

    Длинный Подразделение
    Остатки: А — В-С

    Печать Инструкции:

    Откройте рабочий лист, который хотите распечатать, затем нажмите «Файл», затем «Печать»; или щелкните правой кнопкой мыши, затем «Печать». Страницы
    рассчитаны на стандартную бумагу.

    Дополнение & Вычитание

    Бесплатные печатные рабочие листы по умножению и делению — Сборник простых в печати рабочих листов по умножению и делению. Начните с простых в печати таблиц умножения. Он включает в себя все числа, разделенные от 1 до 12, смешанные листы для просмотра и рабочий лист со всеми таблицами умножения на одном листе. Есть доска умножения и лист ответов для изучения. После этого вы найдете задачи на двузначное и трехзначное умножение с перегруппировкой, а также на смешанные числа и деление на две части.

    Представлять и решать задачи на умножение и деление.

    CCSS.Math.Content.3.OA.A.1 Интерпретировать произведения целых чисел, например, интерпретировать 5 × 7 как общее количество объектов в 5 группах по 7 объектов в каждой. Например, опишите контекст, в котором общее количество объектов может быть выражено как 5 × 7.
    CCSS.Math.Content.3.OA.A.2 Интерпретация целочисленных частных целых чисел, например, интерпретируйте 56 ÷ 8 как количество объектов в каждой доле, когда 56 объектов разделены поровну на 8 долей, или как количество долей, когда 56 объектов разделены на равные доли по 8 объектов в каждой. Например, опишите контекст, в котором количество долей или количество групп можно выразить как 56 ÷ 8.
    CCSS.Math.Content.3.OA.A. 3 Используйте умножение и деление в пределах 100 для решения текстовых задач в ситуациях, связанных с равными группами, массивами и измеряемыми величинами, например, используя рисунки и уравнения с символом неизвестного числа для представления задачи.1
    CCSS. Math.Content.3.OA.A.4 Определите неизвестное целое число в умножении или делении уравнения, связывающего три целых числа. Например, определите неизвестное число, которое делает уравнение истинным в каждом из уравнений 8 × ? = 48, 5 = _ ÷ 3, 6 × 6 = ?

    Понимать свойства умножения и связь между умножением и делением.

    CCSS.Math.Content.3.OA.B.5 Применение свойств операций как стратегий умножения и деления.2 Примеры: если известно 6 × 4 = 24, то 4 × 6 = 24 также известен. (Переместительное свойство умножения.) 3 × 5 × 2 можно найти по формуле 3 × 5 = 15, тогда 15 × 2 = 30, или по 5 × 2 = 10, тогда 3 × 10 = 30. (Ассоциативное свойство умножения. ) Зная, что 8 × 5 = 40 и 8 × 2 = 16, можно найти 8 × 7 как 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56. (Дистрибутивное свойство.)
    CCSS.Math.Content.3.OA.B.6 Понимать деление как задачу с неизвестным фактором. Например, найдите 32 ÷ 8, найдя число, которое дает 32 при умножении на 8.

    Умножьте и разделите в пределах 100.

    CCSS. Math.Content.3.OA.C. 7 Свободно умножайте и делите в пределах 100, используя такие стратегии, как взаимосвязь между умножением и делением (например, зная, что 8 × 5 = 40, известно, что 40 ÷ 5 = 8) или свойства операций. К концу 3 класса знать наизусть все произведения двух однозначных чисел.

    CCSS.Math.Content.3.NBT.A.3 Умножение однозначных целых чисел на кратные 10 в диапазоне от 10 до 90 (например, 9 × 80, 5 × 60) с использованием стратегий, основанных на разрядное значение и свойства операций.

    Познакомьтесь с множителями и множителями.

    CCSS.Math.Content.4.OA.B.4 Найти все пары множителей для целого числа в диапазоне от 1 до 100. Признать, что целое число является кратным каждого из его делителей. Определить, является ли заданное целое число в диапазоне от 1 до 100 кратным заданному однозначному числу. Определите, является ли заданное целое число в диапазоне от 1 до 100 простым или составным.

    CCSS.Math.Content.4.NBT.B.5 Умножение целого числа, состоящего из максимум четырех цифр, на однозначное целое число и умножение двух двузначных чисел с использованием стратегий, основанных на разрядности и свойства операций. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей.
    CCSS.Math.Content.4.NBT.B.6 Нахождение целых чисел в частных и остатках с делимыми до четырех цифр и одноразрядными делителями, используя стратегии, основанные на позиционном значении, свойствах операций, и/или связь между умножением и делением. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей.

    Выполнять операции с целыми многозначными числами и с десятичными дробями до сотых.

    CCSS.Math.Content.5.NBT.B.5 Свободно умножайте многозначные целые числа, используя стандартный алгоритм.
    CCSS.Math.Content.5.NBT.B.6 Находить целые частные целых чисел с делимыми до четырех цифр и двузначными делителями, используя стратегии, основанные на позиционном значении, свойствах операций и/или связь между умножением и делением. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей.
    CCSS.Math.Content.5.NBT.B.7 Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных долей до сотых с использованием конкретных моделей или рисунков и стратегий, основанных на разрядном значении, свойствах операций и/или связь между сложением и вычитанием; свяжите стратегию с письменным методом и объясните используемую аргументацию.

    [lwptoc]

    1-12 Учебные таблицы умножения

    Скачать/распечатать Вопросы

    Индивидуальные упражнения с таблицами умножения (1-12)

    Тройки

    Семерки

    Восьмерки

    Одиннадцать

    Двенадцать

    Упражнения на умножение двузначных и однозначных чисел (плюс листы с ответами)

    Частичное умножение коробки продукта

    Упражнение на умножение частичной коробки продукта (двузначное число X двузначное)

    Упражнение на умножение частичной коробки продукта (трехзначное число X двузначное)

    Упражнения на умножение двузначных чисел X двузначных десятков (плюс листы ответов)

    Упражнения на умножение двузначного числа на двузначное число (плюс листы ответов)

    Упражнения на умножение трехзначных и однозначных чисел (плюс листы ответов)

    Упражнения на умножение трехзначного числа X двузначного числа 10 (плюс листы ответов)

    Упражнения на умножение трехзначных и двузначных чисел (плюс листы ответов)

    Упражнения на умножение трехзначного числа на трехзначное число (плюс листы ответов)

    Таблицы отдельных дивизионов (1-12)

    Небольшая дивизия с остатками

    Длинное деление без остатка

    Длинное деление с остатками

    1-12

    Умножение

    Учебные таблицы — ответы

    Умножение

    12×12

    Таблица ответов на умножение (доска умножения)

    1-12

    Умножение

    Учебные таблицы (пустые)

    1-12

    Умножение

    Таблицы Индивидуальные викторины

    Двузначное число

    X Однозначный: A

    — B

    С доской умножения: — A

    — B

    Ответы: A

    — B 90 005

    Неполный

    Товарная коробка

    Двузначный X Двузначный: A

    —

    B

    — C

     

    Неполный

    Товарная коробка

    Трехзначный X Двузначный: A

    —

    B

    — С

    Двузначное число

    X Двузначное число десятков: A

    — B

    С доской умножения: — A

    — B

    Ответы: A

    90 002 — Б

    Двузначный

    X Двузначный: A

    — B

    Ответы: A

    — B

     

    Трехзначный

    X Однозначный: A

    — B

    с платой умножения: —

    Ответы: A

    — B

    Трехзначный

    X Двузначный — Десятки: A

    — B

    Ответы: A

    — B

     

    Трехзначный

    X Двузначный: A

    — B

    Ответы: A

    — B

     

    Трехзначный

    X Трехзначный: A

    — B

    Ответы: A

    — B-

     

    1

    -12 Отдел

    Таблицы Викторины

    Подразделение

    Маленький

    Раздел

    С остатками: A

    — B

    — C

    Длинный

    Подразделение

    Без остатков: A

    — B

    — C

    Длинный

    Раздел

    Остатки: A

    — B- C

    Инструкции по печати

    Нажмите «Печать» выше в браузере. Или нажмите «Файл», затем «Печать». Страницы
    рассчитаны на стандартную бумагу.
    Сложение и вычитание

    Бесплатные печатные рабочие листы по умножению и делению — Коллекция простых в печати рабочих листов по умножению и делению. Начните с простых в печати таблиц умножения. Он включает в себя все числа, разделенные от 1 до 12, смешанные листы для просмотра и рабочий лист со всеми таблицами умножения на одном листе. Есть доска умножения и лист ответов для изучения. После этого вы найдете задачи на двузначное и трехзначное умножение с перегруппировкой, а также на смешанные числа и деление на две части.

    Представлять и решать задачи на умножение и деление.

    CCSS.Math.Content.3.OA.A.1 Интерпретировать произведения целых чисел, например, интерпретировать 5 × 7 как общее количество объектов в 5 группах по 7 объектов в каждой. Например, опишите контекст, в котором общее количество объектов может быть выражено как 5 × 7.
    CCSS.Math.Content.3.OA.A.2 Интерпретация целочисленных частных целых чисел, например, интерпретируйте 56 ÷ 8 как количество объектов в каждой доле, когда 56 объектов разделены поровну на 8 долей, или как количество долей, когда 56 объектов разделены на равные доли по 8 объектов в каждой. Например, опишите контекст, в котором количество долей или количество групп можно выразить как 56 ÷ 8.
    CCSS.Math.Content.3.OA.A. 3 Используйте умножение и деление в пределах 100 для решения текстовых задач в ситуациях, связанных с равными группами, массивами и измеряемыми величинами, например, используя рисунки и уравнения с символом неизвестного числа для представления задачи.1
    CCSS. Math.Content.3.OA.A.4 Определите неизвестное целое число в умножении или делении уравнения, связывающего три целых числа. Например, определите неизвестное число, которое делает уравнение истинным в каждом из уравнений 8 × ? = 48, 5 = _ ÷ 3, 6 × 6 = ?

    Понимать свойства умножения и связь между умножением и делением.

    CCSS.Math.Content.3.OA.B.5 Применение свойств операций как стратегий умножения и деления.2 Примеры: если известно 6 × 4 = 24, то 4 × 6 = 24 также известен. (Переместительное свойство умножения.) 3 × 5 × 2 можно найти по формуле 3 × 5 = 15, тогда 15 × 2 = 30, или по 5 × 2 = 10, тогда 3 × 10 = 30. (Ассоциативное свойство умножения. ) Зная, что 8 × 5 = 40 и 8 × 2 = 16, можно найти 8 × 7 как 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56. (Дистрибутивное свойство.)
    CCSS.Math.Content.3.OA.B.6 Понимать деление как задачу с неизвестным фактором. Например, найдите 32 ÷ 8, найдя число, которое дает 32 при умножении на 8.

    Умножьте и разделите в пределах 100.

    CCSS.Math.Content.3.OA.C. 7 Свободно умножайте и делите в пределах 100, используя такие стратегии, как взаимосвязь между умножением и делением (например, зная, что 8 × 5 = 40, известно, что 40 ÷ 5 = 8) или свойства операций. К концу 3 класса знать наизусть все произведения двух однозначных чисел.

    CCSS.Math.Content.3.NBT.A.3 Умножение однозначных целых чисел на кратные 10 в диапазоне от 10 до 90 (например, 9 × 80, 5 × 60) с использованием стратегий, основанных на разрядное значение и свойства операций.

    Познакомьтесь с множителями и множителями.

    CCSS.Math.Content.4.OA.B.4 Найти все пары множителей для целого числа в диапазоне от 1 до 100. Признать, что целое число является кратным каждого из его делителей. Определить, является ли заданное целое число в диапазоне от 1 до 100 кратным заданному однозначному числу. Определите, является ли заданное целое число в диапазоне от 1 до 100 простым или составным.

    CCSS.Math.Content.4.NBT.B.5 Умножение целого числа, состоящего из максимум четырех цифр, на однозначное целое число и умножение двух двузначных чисел с использованием стратегий, основанных на разрядности и свойства операций. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей.
    CCSS.Math.Content.4.NBT.B.6 Нахождение целых чисел в частных и остатках с делимыми до четырех цифр и одноразрядными делителями, используя стратегии, основанные на позиционном значении, свойствах операций, и/или связь между умножением и делением. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей.

    Выполнять операции с целыми многозначными числами и с десятичными дробями до сотых.

    CCSS.Math.Content.5.NBT.B.5 Свободно умножайте многозначные целые числа, используя стандартный алгоритм.
    CCSS.Math.Content.5.NBT.B.6 Находить целые частные целых чисел с делимыми до четырех цифр и двузначными делителями, используя стратегии, основанные на позиционном значении, свойствах операций и/или связь между умножением и делением. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей.
    CCSS.Math.Content.5.NBT.B.7 Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных долей до сотых с использованием конкретных моделей или рисунков и стратегий, основанных на разрядном значении, свойствах операций и/или связь между сложением и вычитанием; свяжите стратегию с письменным методом и объясните используемую аргументацию.

    Просмотр рабочих листов отдела для печати | Education.com

    Быстрые ссылки отдела:
    Деление дробей, короткое деление

    Вся библиотекаМатериалы для печатиИгрыУроки с подсказкамиПланы уроковПрактические занятияИнтерактивные историиОнлайн-упражненияРабочие тетради для печатиНаучные проектыВидео с песнями

    283 отфильтрованных результатов

    283 отфильтрованных результатов

    9 0002 Раздел

    Сортировать поПопулярностьПоследниеНазваниеРелевантность

    • Результаты фильтрации
    • очистить все фильтры
    • По классам
      • Дошкольное
      • Детский сад
      • 1 класс
      • 2 класс
      • 3 класс
      • 4 класс
      • 5
      • 6 класс
      • 7 класс
      • 8 класс
    • По предмету
      • Изобразительное искусство
      • Иностранный язык

      • Математика

        • Смысл числа
        • Дополнение
        • Вычитание
        • Умножение

        • Деление

          • Стратегии деления
          • Факты деления
          • Длинное деление
          • Правила делимости
        • Смешанный Операции
        • Дроби
        • Десятичные числа
        • Проценты, отношения и доли
        • Алгебра
        • Геометрия
        • Измерение
        • Время
        • Деньги Математика 89
        • Данные и графики
        • Математические задачи
        • Математические задачки
      • Чтение и письмо
      • Наука
      • Социально-эмоциональное
      • Обществознание
      • Ввод
    • По темам
      • Праздники
      • Оффлайн игры
      • Сезонные 9078 9
      • Ресурсы для учителей
    • По стандарту
      • Common Core

    Искать Рабочие листы по разделам для печати

    Деление может быть сложным для любого учащегося, но это важный навык для более продвинутых математических понятий. Наши рабочие листы и печатные формы для разделения на основе навыков помогают учащимся с третьего по пятый класс поднять свои математические навыки на ступеньку выше. Изучите анатомию задач на деление и попрактикуйтесь в многозначном делении и дробях с манипуляциями, используя эти рабочие листы деления и печатные формы!

    Помогите сделать деление веселым

    Помогите своему ребенку научиться делению, сделав этот процесс увлекательным и доступным. Попробуйте эти советы, чтобы помочь вашему ребенку увлечься делением:

    • Пусть ваш ребенок будет членом семьи, ответственным за раздачу закусок. Если вы испекли партию из двенадцати печений, а ваша семья состоит из шести человек, посмотрите, сможет ли ваш ребенок вычислить, сколько печенья может быть у каждого члена семьи. Это может работать для морковных палочек, крекеров или даже кусочков мясного рулета.
    • Если ваш ребенок и его брат или сестра получают пособие, вы можете попросить его сыграть бухгалтера для детей семьи.

    Калькулятор онлайн сложение и вычитание алгебраических дробей: Алгебраический калькулятор | Microsoft Math Solver

    alexxlab / / Разное

    конвертировать в радикал калькулятор

    AlleBilderVideosBücherMapsNewsShopping

    suchoptionen

    конвертировать в радикал калькулятор — Mathway

    www.mathway.com › Калькулятор › конвертировать в радикал -form-calculator

    Калькулятор свободных радикалов — шаг- пошаговые решения, которые помогут преобразовать данное выражение … Введите выражение, которое вы хотите преобразовать в радикальную форму.

    Калькулятор радикальных уравнений — Symbolab

    www.symbolab.com › … › Алгебра › Уравнения

    Калькулятор уравнений свободных радикалов — шаг за шагом решайте уравнения радикалов.

    Решить — Радикальный преобразователь — Алгебратор

    softmath.com › графическое неравенство › радикальное преобразование… мелочи, программы для решения уравнений для Casio …

    Ähnliche Fragen

    Что такое уравнение для радикальной формы?

    Что такое 68 − − √ в простейшей радикальной форме?

    Калькулятор преобразования в радикальную запись — Mathradical. com

    www.mathradical.com › интервальная запись › преобразование-…

    калькулятор упрощенной радикальной формы; журнал на основе 2; активность +степени и квадратные корни; отмечает алгебру II glencoe; исходный код для вычисления кубического корня в java …

    Экспоненты и радикалы Calculator & Solver — SnapXam

    www.snapxam.com › калькуляторы › экспоненты-и-ра…

    Экспоненты и радикалы Калькулятор онлайн с решением и шагами. Подробные пошаговые решения ваших задач на экспоненты и радикалы с нашей математикой …

    Калькулятор радикалов — MathCracker.com

    mathcracker.com › калькулятор радикалов

    Откройте для себя простоту вычислений радикалов с помощью нашего онлайн-калькулятора. Показаны все шаги.

    Калькулятор восстанавливающих радикалов {MIOCII}

    nspdx.swixim.es

    Введите выражение, которое вы хотите преобразовать в радикальную форму. Радикальный калькулятор имеет возможность решить любое радикальное уравнение. Радикальный калькулятор имеет …

    Преобразование из радикальной формы в экспоненциальную и сокращение числа 2 в показателе степени. Калькулятор создаст пошаговое объяснение для каждого вычисления.

    Калькулятор преобразования в радикальную форму

    wlmxybkcc.brunetkawpodrozy.pl

    Для сложных или мнимых решений используйте калькулятор упрощения радикальных выражений. «/> Предварительная алгебра с пиццерией, калькулятор преобразования десятичных чисел в …

    калькулятор преобразования рациональных показателей в радикальные формы

    tibww.windheat.eu › Преобразование рациональных показателей в r…

    Калькулятор радикальных уравнений Пошаговое решение радикальных уравнений … (9.2.2) – Преобразование радикалов в выражения с рациональными экспоненты Перепишите радикалы …

    Damit du nur die relatedesten Ergebnisse erhältst, wurden einige Einträge ausgelassen, die den 10 angezeigten Treffern sehr ähnlich sind. Du kannst bei Bedarf diesuche unter Einbeziehung der übersprungenen Ergebnisse wiederholen.

    Ähnlichesuchanfragen

    Калькулятор преобразования в подкоренную форму с шагами

    Преобразователь экспоненциальной формы в подкоренную

    Калькулятор преобразования десятичной формы в подкоренную

    Упрощенный калькулятор подкоренной формы

    Простейшая радикальная форма

    От дроби до радикальной формы

    Пример радикальной формы

    Как найти простейшую радикальную форму

    Калькулятор логарифмического дифференцирования — Googlesuche

    AlleBilderVideosBücherMapsNewShopping

    suchoptionen

    Логарифмическое дифференцирование Calculator & Solver — SnapXam

    www.snapxam.com › калькуляторы › логарифмически-диф… 3

    Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашей пошаговой инструкции по логарифмическому дифференцированию. шаговый калькулятор. Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с . ..

    Калькулятор логарифмического дифференцирования — eMathHelp

    www.emathhelp.net › калькуляторы › исчисление-1 › логарифм…

    Онлайн-калькулятор вычислит производную любой функции с помощью логарифмического дифференцирования с указанием шагов.

    Примеры вычислений | производные | Используйте логарифмическое дифференцирование для …

    www.mathway.com › исчисление › производные › использование-ло…

    Бесплатное решение математических задач отвечает на ваши вопросы по алгебре, геометрии, тригонометрии, исчислению и статистике … Используйте логарифмическое дифференцирование найти производную.

    Калькулятор производных • С шагами!

    www.derivative-calculator.net

    Решите производные с помощью этого бесплатного онлайн-калькулятора. Пошаговое решение и графики прилагаются!

    Переменная дифференцирования: ax_____abcdfghjklmnopqrstuvwxyz
    Сколько раз дифференцировать?: 1 2 3 4 5

    Калькулятор производных — Symbolab Step › Calculus

    Калькулятор свободных производных — дифференцировать функции с все шаги. Введите любую производную функции, чтобы получить решение, шаги и график.

    Калькулятор логарифмического дифференцирования — EasyCalculation

    www.easycalculation.com › дифференцирование › логарифм…

    Онлайн-калькулятор логарифмического дифференцирования для дифференцирования функции путем получения логарифмической производной.

    Логарифмическое дифференцирование: определение, формула, примеры

    calculate-derivative.com › логарифмическое дифференцирование

    23.02.2023 · Логарифмическое дифференцирование – это метод вычисления производной логарифмической функции. Используя логарифмическое дифференцирование, мы можем вычислить …

    Логарифмическое дифференцирование используется для вычисления производной логарифмической функции: Неявное дифференцирование используется для вычисления…
    Логарифмическое дифференцирование может использоваться вместе с различными формулами производных: Неявное дифференцирование также может использоваться с. ..

    Ähnliche Fragen

    Как вы решаете задачи логарифмического дифференцирования?

    В чем отличие ln log?

    Калькулятор — производная(log(x)) — Solumaths

    www.solumaths.com › калькулятор › вычислить › log(x)

    Калькулятор производных позволяет выполнять символьное дифференцирование, используя свойство вывода, с одной стороны, и производные других обычных функций.

    Производная(log(x)): 1ln(10)⋅x
    Производная(ln(x)): 1x

    Калькулятор производной — Wolfram|Alpha

    ..

    Бесплатный онлайн-калькулятор производных позволяет вычислять производные первого и более высоких порядков, предоставляя информацию, необходимую для понимания производных …

    Логарифмическое дифференцирование — из Wolfram MathWorld

    mathworld.wolfram.com › Логарифмическое дифференцирование

    Логарифмическое дифференцирование. Видеть. Логарифмическая производная · О MathWorld · MathWorld Classroom · Отправить сообщение · MathWorld Book · wolfram.

    Определение области: Краткий курс высшей математики

    alexxlab / / Разное

    Краткий курс высшей математики

    Краткий курс высшей математики
      

    Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1972. 640 с.

    Данное учебное пособие предназначено для студентов вечерних факультетов втузов и заводов-втузов. Оно в основном охватывает весь материал, предусмотренный обязательной программой. Достаточное количество решенных примеров и задач способствует лучшему усвоению теоретического материала.



    Оглавление

    ПРЕДИСЛОВИЕ
    ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
    § 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ
    2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой
    3. Абсолютная величина действительного числа
    4. Расстояние между двумя точками на прямой
    § 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
    2. Расстояние между двумя точками на плоскости
    3. Деление отрезка в данном отношении
    4. Координаты точки в пространстве
    5. Расстояние между двумя точками в пространстве
    § 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
    2. Полярные координаты
    3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами
    § 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
    2. Понятие функции
    3. График функции
    4. Способы задания функций
    5. Основные элементарные функции и их графики
    6. Сложные функции. Элементарные функции
    7. Целые и дробно-рациональные функции
    8. Функции четные и нечетные. Периодические функции
    § 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
    2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам
    § 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
    2. Поворот осей координат
    ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
    § 1. ПРЯМАЯ
    2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
    3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат
    4. Общее уравнение прямой и его частные случаи
    5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению
    6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
    7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении
    8. Пучок прямых
    9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
    10. Расстояние от точки до прямой
    § 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
    2. Окружность
    3. Эллипс
    4. Гипербола
    5. Парабола
    6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
    7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена
    8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат
    9. График дробно-линейной функции
    10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат
    ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
    § 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
    2. Определитель третьего порядка
    3. Понятие об определителях высших порядков
    § 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
    2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
    3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
    4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
    § 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
    2. Линейные операции над векторами
    4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси
    5. Разложение вектора на составляющие по осям координат
    6. Направляющие косинусы вектора
    7. Условие коллинеарности двух векторов
    8. Скалярное произведение
    9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов
    10. Косинус угла между двумя векторами
    11. Векторное произведение
    12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов
    13. Смешанное произведение трех векторов
    14. Геометрический смысл смешанного произведения
    15. Условие компланарности трех векторов
    § 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
    2. Равенство матриц. Действия над матрицами
    3. Обратная матрица
    4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени
    § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
    2. Преобразование координат
    3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
    4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка
    ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
    § 1. ПЛОСКОСТЬ
    2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
    3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи
    4. Построение плоскости по ее уравнению
    5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
    6. Точка пересечения трех плоскостей
    § 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
    2. Общие уравнения прямой
    3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
    4. Канонические уравнения прямой
    5. Уравнения прямой, проходящей через две точки
    6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
    § 3. Прямая и плоскость в пространстве
    2. Точка пересечения прямой с плоскостью
    3. Расстояние от точки до плоскости
    4. Пучок плоскостей
    § 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
    2. Цилиндрические поверхности
    3. Конические поверхности
    4. Поверхность вращения
    6. Гиперболоиды
    7. Параболоиды
    ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
    § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
    2. Предел функции при х -> -оо
    3. Предел функции при х->х0
    4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции
    5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями
    6. Основные теоремы о пределах
    7. Предел функции при x -> 0
    8. Последовательность. Число e
    9. Натуральные логарифмы
    10. Сравнение бесконечно малых функций
    § 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
    2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций
    3. Свойства функций, непрерывных на сегменте
    4. Понятие об обратной функции
    5. Обратные тригонометрические функции
    6. Показательная и логарифмическая функции
    7. Понятие о гиперболических функциях
    ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
    1. Приращение аргумента и приращение функции
    2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции
    3. Задачи, приводящие к понятию производной
    4. Определение производной и ее механический смысл
    5. Дифференцируемость функции
    6. Геометрический смысл производной
    7. Производные некоторых основных элементарных функций
    8. Основные правила дифференцирования
    9. Производная обратной функции
    10. Производные обратных тригонометрических функций
    11. Производная сложной функции
    § 12. Производные гиперболических функций
    13. Производная степенной функции с любым показателем
    14. Сводная таблица формул дифференцирования
    15. Неявные функции и их дифференцирование
    16. Уравнения касательной а нормали к кривой
    17. Графическое дифференцирование
    § 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
    1. Нахождение производных высших порядков
    2. Механический смысл второй производной
    § 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
    2. Производная как отношение дифференциалов
    3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций
    4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала
    5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
    6. Дифференциалы высших порядков
    § 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
    2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
    § 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
    2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная
    3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой
    4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента
    § 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
    2. Теорема Ролля
    3. Теорема Лагранжа
    4. Правило Лопиталя
    § 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
    2. Максимум и минимум функции
    3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной
    4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции
    5. Применение теории максимума и минимума к решению задач
    6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
    7. Асимптоты графика функции
    8. Общая схема исследования функции и построение ее графика
    § 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
    2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных
    § 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
    ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
    § 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
    2. Геометрический смысл неопределенного интеграла
    3. Таблица основных интегралов
    4. Основные свойства неопределенного интеграла
    § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
    2. Интегрирование методом замены переменной
    3. Интегрирование по частям
    § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
    2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби
    3. Интегрирование простейших рациональных дробей
    4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
    5. Метод неопределенных коэффициентов
    6. Интегрирование рациональных дробей
    § 4. Интегрирование тригонометрических функций
    2. Рациональные функции двух переменных
    3. Интегралы вида
    § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
    2. Интеграл вида
    3. Интегралы видов
    4. Интегралы вида
    § 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
    2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
    ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
    § 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ
    2. Задача о работе переменной силы
    § 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
    2. Свойства определенного интеграла
    3. Производная интеграла по переменной верхней границе
    4. Формула Ньютона—Лейбница
    5. Замена переменной в определенном интеграле
    6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
    § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
    2. Вычисление площади в полярных координатах
    3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям
    4. Объем тела вращения
    5. Длина дуги кривой
    6. Дифференциал дуги
    7. Площадь поверхности вращения
    8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм
    § 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
    2. Вычисление кривизны
    3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны
    4. Эволюта и эвольвента
    § 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
    2. Интегралы от разрывных функций
    3. Признаки сходимости несобственных интегралов
    § 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
    2. Метод трапеций
    3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона)
    ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
    § 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
    2. График функции двух переменных
    3. Функции трех и большего числа переменных
    § 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва
    2. Непрерывность функции нескольких переменных
    3. Понятие области
    4. Точки разрыва
    5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
    § 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
    2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
    3. Частные производные высших порядков
    § 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
    2. Полный дифференциал функции
    3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям
    § 5. Дифференцирование сложных и неявных функций
    2. Инвариантность формы полного дифференциала
    3. Дифференцирование неявных функций
    § 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
    2. Производная по направлению
    3. Градиент
    4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности
    5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
    § 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
    2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
    ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
    § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
    2. Двойной интеграл. Теорема существования
    3. Свойства двойного интеграла
    4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
    5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
    6. Приложения двойного интеграла
    § 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
    2. Тройной интеграл и его свойства
    3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
    4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
    5. Приложения тройного интеграла
    § 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
    2. Задача о работе. Криволинейный интеграл
    3. Вычисление криволинейного интеграла
    4. Формула Остроградского — Грина
    5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
    6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу
    7. Криволинейный интеграл по длине дуги
    ГЛАВА XI. РЯДЫ
    § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
    2. Геометрическая прогрессия
    3. Простейшие свойства числовых рядов
    4. Необходимый признак сходимости ряда
    5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
    6. Знакопеременные ряды
    7. Остаток ряда и его оценка
    § 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
    2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства
    § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
    2. Свойства степенных рядов
    3. Ряды по степеням разности х-а
    4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора
    5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
    § 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
    2. Приближенное вычисление интегралов
    § 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
    2. Числовые ряды с комплексными членами
    3. Степенные ряды в комплексной области
    § 6. РЯДЫ ФУРЬЕ
    2. Ряд Фурье
    3. Сходимость ряда Фурье
    4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
    5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l
    ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
    § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
    2. Дифференциальные уравнения первого порядка
    3. Уравнения с разделяющимися переменными
    4. Однородные уравнения
    5. Линейные уравнения
    6. Уравнение в полных дифференциалах
    7. Особые решения
    8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
    § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
    2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
    3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков
    § 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
    2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
    3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
    4. Метод вариации произвольных постоянных
    § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
    2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
    3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний
    § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
    2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
    § 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
    § 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
    2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
    ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА
    ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

    Определение области и видимости действия — .NET Framework

    • Статья

    Определение области и видимость определения действия, как и область и видимость объекта, ― это возможность других объектов или действий работать с элементами этого действия. Определение действия выполняется следующими реализациями.

    1. Определение элементов (объектов Argument, Variable и ActivityDelegate, а также дочерних действий), доступ к которым действие предоставляет для других пользователей.

    2. Реализация логики выполнения действия

    Эта реализация может включать элементы, доступ к которым не предоставляется получателями действия, но которые скорее являются деталями реализации. Так же как и в определении типа, модель действия позволяет автору квалифицировать видимость элемента действия в отношении создаваемого определения действия. Эта видимость управляет аспектами использования элемента, например областями определения данных.

    Область

    Помимо определения области данных, с помощью видимости модели действия можно ограничить доступ к другим аспектам действия, например проверке, отладке, отслеживанию или трассировке. С помощью видимости и определения области свойства выполнения ограничивают характеристики выполнения конкретной областью определения. Вторичные корни используют видимость и определение области для ограничения состояния, записываемого действием CompensableActivity областью определения, в которой применяются подлежащие компенсации действия.

    Определение и использование

    Рабочий процесс создается путем создания новых действий путем наследования от базовых классов действий, а также с помощью действий из встроенной библиотеки действий. Чтобы использовать действие, автор действия должен настроить видимость каждого компонента его определения.

    Элементы действия

    Модель действия определяет аргументы, переменные, делегаты и дочерние действия, доступ к которым действие предоставляет получателям. Каждый из этих элементов может быть объявлен как public или private. Элементы public настраиваются объектом-получателем действия, а элементы private используют реализацию, назначенную действию автором. Существуют следующие правила видимости для определения области данных.

    1. Открытые элементы и открытые элементы открытых дочерних действий могут ссылаться на открытые переменные.

    2. Закрытые элементы и открытые элементы открытых дочерних действий могут ссылаться на аргументы и закрытые переменные.

    Элемент, который может задаваться объектом-получателем действия, нельзя делать закрытым.

    Режимы разработки

    Настраиваемые действия определяются с помощью действия NativeActivity, Activity, CodeActivity или AsyncCodeActivity. Действия, которые наследуют от этих классов, могут предоставлять доступ к элементам разных типов с различной видимостью.

    NativeActivity

    Действия, которые наследуют от действия NativeActivity, имеют режим, написанный с помощью императивного кода, их также можно определять с помощью существующих действий. При создании действий на основе действия NativeActivity предоставляется доступ ко всем возможностям среды выполнения. Любой элемент такого действия можно определить с помощью открытой или закрытой видимости. Исключениями являются аргументы, которые можно объявлять только как public.

    Элементы классов, которые наследуют от действия NativeActivity, объявляются в среде выполнения с помощью структуры NativeActivityMetadata, которая передается методу CacheMetadata.

    Действие

    Действия, создаваемые с помощью действия Activity, имеют режим, который сконструирован исключительно путем составления других действий. Класс Activity имеет одно дочернее действие реализации, получаемое средой выполнения с помощью реализации Implementation. Действие, наследующее от действия Activity, может определять открытые аргументы, открытые переменные, импортируемые ActivityDelegates и импортируемые Activities.

    Импортируемые ActivityDelegates и Activities объявляются как открытые дочки действия, при этом действие не может планировать их напрямую. Эти данные используются во время проверки во избежание выполнения проверок с использованием родителя в тех местах, где действие никогда не будет выполняться. Кроме того, импортируемые дочерние действия, как и открытые дочерние действия, могут указываться по ссылке и планироваться реализацией действия. Это означает, что действие, которое импортирует действие Activity1, может содержать в своей реализации Sequence, которая планирует Activity1.

    CodeActivity/ AsyncCodeActivity

    Этот базовый класс используется для создания режима на императивном коде. Действия, наследуемые от этого класса, имеют доступ только к предоставляемым ими аргументам. Это означает, что эти действия могут предоставлять только открытые аргументы. Другие элементы или видимости к этим действиям не применяются.

    Сводка видимостей

    В следующей таблице кратко суммированы данные, приведенные в этом разделе.

    Тип членаNativeActivityДействиеCodeActivity/ AsyncCodeActivity
    АргументыОткрытый/закрытыйОбщиеНеприменимо
    ПеременныеОткрытый/закрытыйОбщиеНеприменимо
    Дочерние действияОткрытый/закрытыйОткрытый, один фиксированный закрытый дочерний элемент, определенный в реализации.Неприменимо
    ActivityDelegatesОткрытый/закрытыйОбщиеНеприменимо

    В общем, элемент, который не может задаваться объектом-получателем действия, нельзя делать открытым.

    Свойства выполнения

    В некоторых сценариях полезно ограничить область конкретного свойства выполнения открытыми дочками действия. Коллекция ExecutionProperties предоставляет эту возможность с помощью метода Add. У этого метода есть логический параметр, указывающий, ограничено ли данное свойство всеми дочерними элементами или только открытыми дочерними элементами. Если этому параметру задано значение true, то свойство будет видимо только открытым элементам, а также открытым элементам открытых дочерних элементов этих элементов.

    Вторичные корни

    Вторичный корень ― это внутренний механизм среды выполнения для сопоставления состояния для действий компенсации. Когда действие CompensableActivity завершило работу, его состояние не очищается немедленно. Вместо этого среда выполнения сохраняет состояние во вторичном корне до завершения компенсации. Среды местоположения, записываемые с помощью вторичного корня, соответствуют области определения, в которой используется компенсируемое действие.

    Определение и значение области — Merriam-Webster

    площадь ˈer-ē-ə 

    ˈā-rē-ə

    1

    : поверхность, включенная в набор линий

    конкретно : количество единичных квадратов, равных по размеру поверхности

    см. Таблицу метрической системы, Таблицу мер и весов

    2

    : объем концепции, операции или деятельности : поле

    вся область внешней политики

    3

    : область за пределами

    4

    : определенная протяженность пространства или поверхности или выполняющая особую функцию: например,

    а

    : часть поверхности тела

    б

    : географический регион

    5

    : ровный участок земли

    6

    : часть головного мозга ral cortex, выполняющий определенную функцию

    Синонимы

    • demesne
    • поле
    • регион
    • зона
    Просмотреть все синонимы и антонимы в тезаурусе

    Примеры предложений

    Поселенцы пришли в этот район с востока. Группа посетила зона во время охоты. в районе , окружающем озеро Шторм нанес ущерб многим районам вдоль побережья. птица, обитающая только в отдаленных районах США. во многих район мира Он является самым популярным политиком столичного региона . Он жил в немодном районе города. Она отложила работу площадью на кухню. Столовая область имеет дополнительные окна. Узнать больше

    Недавние примеры в Интернете Реакция большинства садоводов в , район вокруг Сан-Антонио, в этом году был разочарованием. — Кэлвин Финч, San Antonio Express-News , 12 мая 2023 г. В январе Ньюсом предложил ряд идей по покрытию дефицита, включая сокращение расходов на сумму около 9,6 млрд долларов, которое затронуло некоторые амбициозные программы штата по борьбе с изменением климата и другие области политики . —Адам Бим, Fortune , 12 мая 2023 г. Заторы на проезжей части также возникают на популярных началах троп в парке, что приводит к парковке в неустановленных зонах и проблемам безопасности пешеходов из-за ограниченной видимости проезжей части. — oregonlive , 12 мая 2023 г. Как закрытие небольших сельских больниц усугубляет кризис материнского здоровья 11 октября 20203:53 Жители района 9По словам Уоррена, 0082 с достаточным уходом за беременными тоже может воспользоваться горячей линией. — Новости NBC , 12 мая 2023 г. Наблюдение произошло в Овьедо, в районе метро Орландо-Киссимми-Санфорд, район . — США СЕГОДНЯ , 12 мая 2023 г. Советы от представителей общественности, которые видели автомобиль подозреваемых в районе Западного Лос-Анджелеса и Беверли-Хиллз зона привела следователей к жилому комплексу на Уилшире. — Ричард Уинтон, Los Angeles Times , 12 мая 2023 г. Это регион, известный мегакатастрофами тропических циклонов — с необычайным штормовым нагоном, обрушившимся на густонаселенный район — и один из них в настоящее время находится в агонии войны. — Ян Ливингстон, Washington Post , 11 мая 2023 г. 9В районе 0081 также находится Государственный парк Галф, в котором есть пешеходные и велосипедные маршруты, а также возможности для рыбалки и наблюдения за дикой природой. — Лора Рэтлифф, Country Living , 11 мая 2023 г. Узнать больше

    Эти примеры программно скомпилированы из различных онлайн-источников, чтобы проиллюстрировать текущее использование слова «область». Любые мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв об этих примерах.

    История слов

    Этимология

    Латинское, открытое пространство, гумно; возможно, сродни латинскому arēre , чтобы быть сухим — больше в засушливом

    Первое известное использование

    около 1552 года, в значении, определенном в смысле 5

    Путешественник во времени

    Первое известное использование области было около 1552 г.

    Другие слова того же года являются

    область

    амниотическая область

    Посмотреть другие записи поблизости

    Процитировать эту запись «Область.

    » Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/area. Доступ 18 мая. 2023.

    Копия цитирования

    Детское определение

    район

    существительное

    площадь ˈar-ē-ə 

    ˈer-

    1

    : определенный участок земли или пространство, часто выделяемое для специального использования

    пикник зона

    ожидание зона

    2

    : поверхность внутри фигуры или формы

    особенно : количество единичных квадратов, равное количеству пространства, которое покрывает поверхность

    круг площадью площадью 500 кв. м. 4

    : область деятельности или обучения

    5

    : часть мозга, выполняющая определенную функцию (например, зрение или слух)

    Этимология

    от латинского «открытое пространство, гумно» — относящееся к гумну

    Медицинское определение

    площадь

    существительное

    площадь ˈar-ē-ə, ˈer-  ​​

    : часть коры головного мозга, выполняющая определенную функцию

    см. область ассоциаций, двигательная область, сенсорная область     для говорящих по-испански

    Britannica English: Перевод области для говорящих на арабском языке

    Britannica. com: Энциклопедическая статья о области

    Последнее обновление: — Обновлены примеры предложений

    Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

    Merriam-Webster без сокращений

    Можете ли вы решить 4 слова сразу?

    Можете ли вы решить 4 слова сразу?

    зефир

    См. Определения и примеры »

    Получайте ежедневно по электронной почте Слово дня! Определение

    в кембриджском словаре английского языка

    Примеры области

    области

    Я думаю, что у города был мандат на уборку территорий, где жили бездомные.

    От Хаффингтон Пост