Рубрика: Разное

Каноническое уравнение прямой на плоскости: теория, примеры, решение задач

Прямую линию в прямоугольной системе координат можно задать с помощью канонического уравнения. В этой статье мы расскажем, что это такое, приведем примеры, рассмотрим связи канонических уравнений с другими типами уравнений для этой прямой. В последнем пункте мы разберем несколько задач на закрепление темы.

Понятие канонического уравнения прямой

Допустим, что у нас есть декартова (прямоугольная) система координат, в которой задана прямая. Нам известны координаты произвольно взятой точки этой прямой M1(x1, y1), а также ее направляющего вектора a→=(ax, ay). Попробуем составить уравнение, которое описывало бы эту прямую.

Возьмем плавающую точку M(x, y). Тогда вектор M1M→ можно считать направляющим для исходной прямой. Его координаты будут равны  x-x1, y-y1 (если нужно, повторите материал о том, как правильно вычислять координаты вектора с помощью координат отдельных его точек).

Множество произвольно взятых точек M(x, y) будут определять нужную нам прямую с направляющим вектором a→=(ax, ay)  только в одном случае – если векторы M1M→ и a→=(ax, ay) будут коллинеарны по отношению друг к другу. Посмотрите на картинку: 

Таким образом, мы можем сформулировать необходимое и достаточное коллинеарности этих двух векторов:

M1M→=λ·a→, λ∈R

Если преобразовать полученное равенство в координатную форму, то мы получим:

x-x1=λ·axy-y1=λ·ay

При условии, что ax≠0 и ay≠0, получим:

x-x1=λ·axy-y1=λ·ay⇔λ=x-x1axλ=y-y1ay⇔x-x1ax=y-y1ay

Итог наших преобразований и будет каноническим уравнением прямой на плоскости. Запись вида x-x1ax=y-y1ay также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Таким образом, с помощью уравнения x-x1ax=y-y1ay можно задать в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, которая имеет направляющий вектор a→=(ax, ay) и проходит через точку M1(x1, y1).

Примером уравнения подобного типа является, например, x-23=y-31. Прямая, которая задана с его помощью, проходит через  M1(2, 3) и имеет направляющий вектор a→=3, 1. Ее можно увидеть на рисунке:

Из определения канонического уравнения нужно сделать несколько важных выводов. Вот они:

1. Если прямая, имеющая направляющий вектор a→=(ax, ay), проходит через две точки – M1(x1, y1) и M2(x2, y2), то уравнение для нее может быть записано как в виде x-x1ax=y-y1ay, так и x-x2ax=y-y2ay.

2. Если заданная прямая имеет направляющий вектор с координатами a→=(ax, ay), то множество всех ее векторов можно обозначить как μ·a→=(μ·ax, μ·ay), μ∈R, μ≠0. Таким образом, любое уравнение прямой в каноническом виде x-x1μ·ax=y-y1μ·ay будет соответствовать этой прямой.

Разберем важный пример задачи на нахождение канонического уравнения.

В прямоугольной системе координат на плоскости задана прямая, которая проходит через точку M1(2, -4) и имеет направляющий вектор с координатами a→=(1, -3). Запишите каноническое уравнение, описывающее данную прямую.

Решение

Для начала вспомним общий вид нужного нам канонического уравнения – x-x1ax=y-y1ay. Подставим в него имеющиеся значения x1=2, y1=-4, ax=1, ay=-3 и подсчитаем:

x-x1ax=y-y1ay⇔x-21=y-(-4)-3⇔x-21=y+4-3

Получившееся в итоге равенство и будет нужным ответом.

Ответ: x-21=y+4-3

Канонические уравнения прямой на плоскости с ax или ay, равными нулю

Если значение хотя бы одной переменной a является нулевым, то уравнение плоскости используют в первоначальном виде. Сразу две переменные нулевыми не могут быть по определению, поскольку нулевой вектор не бывает направляющим. В таком случае мы можем считать запись x-x1ax=y-y1ay условной и понимать ее как равенство ay(x-x1)=ax(y-y1).

Разберем случаи канонических уравнений на плоскости с одним нулевым a более подробно. Допустим, что x-x10=y-y1ay при ax=0, а исходная прямая будет проходить через M1(x1, y1). В таком случае она является параллельной оси ординат (если x1=0, то она будет с ней совпадать). Докажем это утверждение.

Для этой прямой вектор a→=(0, ay) будет считаться направляющим. Этот вектор является коллинеарным по отношению к координатному вектору j→=(0,1).

Если же нулевым является значение второго параметра, то есть ay=0, то мы получаем равенство вида x-x1ax=y-y10. Это уравнение описывает прямую, проходящую через M1(x1, y1), которая расположена параллельно оси абсцисс. Это утверждение верно, поскольку a→=(ax, 0) является для этой прямой направляющим вектором, а он в свою очередь является коллинеарным по отношению к координатному вектору i→=(1, 0).

Проиллюстрируем два частных случая канонического уравнения, описанные выше:

На плоскости задана прямая, параллельная оси Oy. Известно, что она проходит через точку M123, -17. Запишите каноническое уравнение для нее.

Решение 

Если прямая по отношению оси ординат является параллельной, то мы можем взять координатный вектор j→=(0, 1) в качестве направляющего для нее. В таком случае искомое уравнение выглядит следующим образом:

x-230=y—171⇔x-230=y+171

Ответ: x-230=y+171

На рисунке изображена прямая. Запишите ее каноническое уравнение.

Решение

Мы видим, что исходная прямая проходит параллельно оси Ox через точку M1(0, 3). Мы берем координатный вектор i→=(1, 0) в качестве направляющего. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужное уравнение.

x-01=y-30⇔x1=y-30

Ответ: x1=y-30

Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений

Мы уже выяснили, что в прямоугольной системе координат на плоскости заданную прямую можно описать с помощью канонического уравнения. Оно удобно для решения многих задач, однако иногда лучше производить вычисления с помощью другого типа уравнений. Сейчас мы покажем, как преобразовать каноническое уравнение в другие виды, если это требуется по ходу решения.

Стандартной форме записи канонического уравнения x-x1ax=y-y1ay можно поставить в соответствие систему параметрических уравнений на плоскости x=x1+ax·λy=y1+ay·λ. Чтобы преобразовать один вид уравнения в другой, нам надо приравнять правую и левую часть исходного равенства к параметру λ. После этого надо выполнить разрешение получившихся равенств относительно переменных x и y:

x-x1ax=y-y1ay⇔x-x1ax=y-y1ay=λ⇔⇔x-x1ax=λy-y1ay=λ⇔x=x1+ax·λy=y1+ay·λ

Покажем на примере, как именно выполняется это действие с конкретными числами.

У нас есть прямая, заданная на плоскости с помощью канонического уравнения x+23=y-111. Запишите параметрические уравнения исходной прямой.

Решение

Сначала поставим знак равенства между отдельными частями уравнения и переменной λ и получим x+23=λy-111=λ.

Далее можно перейти к формулированию необходимых параметрических уравнений:

x+23=λy-111=λ⇔x+2=3·λy-1=11·λ⇔x=-2+3·λy=1+11·λ

Ответ: x=-2+3·λy=1+11·λ

Из канонического уравнения можно получить не только параметрические, но и общие уравнения прямой. Вспомним понятие пропорции: запись ab=cd можно представить в виде a·d=b·c с сохранением смысла. Значит, что x-x1ax=y-y1ay⇔ay(x-x1)=ax(y-y1)⇔ayx-axy-ayx1+axy1=0.

Это и есть общее уравнение прямой. Это станет более очевидно, если мы добавим в него значения параметров ay=A, -ax=B, -ayx1+axy1=C.

Прямая на плоскости описана с помощью канонического уравнения x-12=y+40. Вычислите общее уравнение этой прямой.

Решение 

Делаем указанные выше действия по порядку.

x-12=y+40⇔0·(x-1)=2·(y+4)⇔y+4=0

Ответ: y+4=0 .

Также из канонического уравнения мы можем получить уравнение прямой в отрезках, прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, но это действие выполняется в два шага: первым делом мы получаем общее уравнение прямой, а вторым – преобразуем его в уравнение указанного типа. Разберем пример такой задачи.

На плоскости задана прямая с помощью уравнения x+33=y-22. Запишите уравнение этой же прямой в отрезках.

Решение

Для начала преобразуем исходное каноническое уравнение в общее уравнение прямой.

x+33=y-22⇔2·(x+3)=3·(y-2)⇔2x-3y+6+23=0

Далее переходим к формулировке уравнения прямой в отрезках.

2x-3y+6+23=0⇔2x-3y=-6+23⇔⇔2-(6+23)x-3-(6+23)y=1⇔x-6+232+y6+233=1⇔x-3+3+y33+2=1

Ответ: x-3+3+y33+2=1

Достаточно легко решить и задачу, обратную этой, т. е. привести уравнение прямой на плоскости обратно к каноническому. Допустим, у нас есть общее уравнение прямой в стандартной формулировке – Ax+By+C=0. При условии A≠0 мы можем перенести By вправо с противоположным знаком. Получим Ax+C=-By. Теперь выносим A за скобки и преобразуем равенство так:

Ax+CA=-By

Получившееся уравнение мы записываем в виде пропорции: x+CA-B=yA.

У нас получилось нужное нам каноническое уравнение прямой на плоскости.

А как сделать преобразование, если B≠0? Переносим все слагаемые, кроме Ax, вправо с противоположными знаками. Получаем, что Ax=-By-C. Выносим -B за скобки:

Ax=-By+CB

Формируем пропорцию: x-B=y+CBA

Есть общее уравнение прямой x+3y-1=0. Перепишите его в каноническом виде.

Решение

Оставим с левой стороны только одну переменную x. Получим:

x=-3y+1

Теперь вынесем -3 за скобки: x=-3y-13. Преобразуем равенство в пропорцию и получим необходимый ответ:

x-3=y-131

Ответ: x-3=y-131

Таким же образом мы поступаем, если нам нужно привести к каноническому виду уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Наиболее простая задача – переход от параметрических уравнений к каноническим. Нужно просто выразить параметр λ в системе уравнений x=x1+ax·λy=y1+ay·λ и приравнять обе части равенств. Схема решения выглядит так:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λ⇔λ=x-x1axλ=y-y1ay⇔x-x1ax=y-y1ay

Если значение одного из параметров a будет нулевым, мы поступаем точно таким же образом.

Прямая на плоскости описана с помощью системы параметрических уравнений x=3+0·λy=-2-4·λ. Запишите каноническое уравнение для этой прямой.

Решение

Для начала преобразуем исходные уравнения в систему x=3+0·λy=-2-4·λ. Следующим шагом будет выражение параметра в каждом уравнении:

x=3+0·λy=-2-4·λ⇔λ=x-30λ=y+2-4

Ставим знак равенства между получившимися частями и получаем нужное нам каноническое уравнение: x-30=y+2-4

Ответ: x-30=y+2-4

Как решать задачи на составление канонических уравнений

В первую очередь канонические уравнения используются для тех задач, где нужно выяснить, принадлежит ли некоторая точка заданной прямой или нет. Вспомним, что в случае, если точка лежит на прямой, ее координаты будут удовлетворять уравнению этой прямой.

На плоскости задана прямая, каноническое уравнение которой имеет вид x-12=y+12-3. Выясните, лежат ли на ней точки M13, -312 и M2(5, -4).

Решение

Для проверки принадлежности необходимо подставить координаты точки в исходное уравнение и проверить, получим ли мы в итоге верное равенство.

3-12=-312+12-2⇔1=1

Результат говорит нам, что точка M13, -312 принадлежит исходной прямой.

Точно так же поступим и с координатами второй точки:

5-12=-4+12-3⇔2=76

Получившееся в итоге равенство не является верным, значит, эта точка заданной прямой не принадлежит.

Ответ: первая точка лежит на заданной прямой, а вторая нет.

Есть две точки M1(2, 4) и M2(-1, 3). Будет ли прямая, которая задана в той же плоскости с помощью уравнения x-20=y-32, проходить через них?

Решение

Вспомним, что запись x-20=y-32 можно понимать как 2·(x-2)=0·(y-3)⇔x-2=0. Подставим координаты заданных точек в это равенство и проверим.

Начнем с первой точки M1(2, 4) : 2-2=0⇔0=0

Равенство верное, значит, эта точка расположена на заданной прямой.

Подставляем данные второй точки: -1-2=0⇔-3=0.

Равенство неверное, значит, точка M2(-1, 3) не лежит на исходной прямой.

Ответ: через точку M1(2, 4) прямая проходит, а через M2(-1, 3) нет.

Далее мы посмотрим, какие еще типичные задачи на нахождение канонического уравнения можно встретить. Возьмем примеры с разными условиями.

Наиболее простыми являются задачи на нахождение канонического уравнения прямой на плоскости, в которых уже заданы координаты некой точки, лежащей на прямой. В первой части материала мы уже приводили пример решения такой задачи.

Чуть сложнее будет найти нужное уравнение, если нам предварительно нужно будет вычислить координаты направляющего вектора исходной прямой. Чаще всего встречаются задачи, в которой нужная прямая проходит через две точки с известными координатами.

Прямая на плоскости проходит через точку M1(0, -3) и через точку M2(2, -2). Сформулируйте для этой прямой канонической уравнение.

Решение

Eсли у нас есть координаты двух точек, то мы можем вычислить по ним координаты вектора M1M2→=2, 1. По отношению к прямой, чье уравнение мы составляем, он будет направляющим вектором. После этого мы можем записать следующее:

x-02=y-(-3)1⇔x2=y+31

Также можно использовать координаты второй точки. Тогда мы получим: x-22=y-(-2)1⇔x-22=y+21

Ответ: x2=y+31

Посмотрим, как нужно составлять канонические уравнения прямой на плоскости в том случае, если направляющий вектор этой прямой нужно вычислять исходя из параллельных или перпендикулярных ей прямых.

Известно, что точка M1(1, 3) принадлежит некоторой прямой, которая параллельна второй прямой, заданной с помощью уравнения x2=y-5. Запишите каноническое уравнение первой прямой.

Решение

Для первой прямой можно определить направляющий вектор a→=2, -5. Его можно рассматривать и в качестве направляющего для второй прямой, что следует из самого определения направляющих векторов. Это позволяет нам получить всю информацию, нужную для записи искомого уравнения: x-12=y-3-5

Ответ: x-12=y-3-5

Через точку M1(-1, 6) проходит прямая, которая является перпендикулярной другой прямой, определенной на плоскости с помощью уравнения 2x-4y-7=0. Запишите каноническое уравнение первой прямой.

Решение

Из данного уравнения мы можем взять координаты нормального вектора второй прямой – 2, 4. Мы знаем, что этот вектор является направляющим по отношению к первой. Тогда мы можем записать искомое уравнение:

x-(-1)2=y-64⇔x+11=y-62

Ответ: x+11=y-62

Канонические уравнения прямой в пространстве: теория, примеры, решение задач

Одним из видов уравнений прямой в пространстве является каноническое уравнение. Мы рассмотрим это понятие во всех подробностях, поскольку знать его необходимо для решения многих практических задач.

В первом пункте мы сформулируем основные уравнения прямой, расположенной в трехмерном пространстве, и приведем несколько примеров. Далее покажем способы вычисления координат направляющего вектора при заданных канонических уравнениях и решение обратной задачи. В третьей части мы расскажем, как составляется уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в трехмерном пространстве, а в последнем пункте укажем на связи канонических уравнений с другими. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решения задач.

Что такое каноническое уравнение прямой в пространстве

О том, что вообще из себя представляют канонические уравнения прямой, мы уже говорили в статье, посвященной уравнениям прямой на плоскости. Случай с трехмерным пространством мы разберем по аналогии.

Допустим, у нас есть прямоугольная система координат Oxyz, в которой задана прямая. Как мы помним, задать прямую можно разными способами. Используем самый простой из них – зададим точку, через которую будет проходить прямая, и укажем направляющий вектор. Если обозначить прямую буквой a, а точку M, то можно записать, что M1(x1, y1, z1) лежит на прямой a и направляющим вектором этой прямой будет a→=(ax, ay, az). Чтобы множество точек M(x, y, z) определяло прямую a, векторы M1M→ и a→ должны быть коллинеарными,

Если мы знаем координаты векторов M1M→ и a→, то можем записать в координатной форме необходимое и достаточное условие их коллинеарности. Из первоначальных условий нам уже известны координаты a→. Для того чтобы получить координаты M1M→, нам необходимо вычислить разность между M(x, y, z) и M1(x1, y1, z1). Запишем:

M1M→=x-x1, y-y1, z-z1

После этого нужное нам условие мы можем сформулировать так: M1M→=x-x1, y-y1, z-z1 и a→=(ax, ay, az): M1M→=λ·a→⇔x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az

Здесь значением переменной λ может быть любое действительное число или ноль. Если λ=0, то M(x, y, z) и M1(x1, y1, z1)совпадут, что не противоречит нашим рассуждениям.

При значениях ax≠0, ay≠0, az≠0 мы можем разрешить относительно параметра λ все уравнения системы x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az

Между правыми частями после этого можно будет поставить знак равенства:

x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az⇔λ=x-x1axλ=y-y1ayλ=z-z1az⇔x-x1ax=y-y1ay=z-z1az

В итоге у нас получились уравнения x-x1ax=y-y1ay=z-z1az, с помощью которых можно определить искомую прямую в трехмерном пространстве. Это и есть нужные нам канонические уравнения.

Такая запись используется даже при нулевых значениях одного или двух параметров ax, ay, az, поскольку она в этих случаях она также будет верна. Все три параметра не могут быть равны 0, поскольку направляющий вектор a→=(ax, ay, az) нулевым не бывает.

Если один-два параметра a равны 0, то уравнение x-x1ax=y-y1ay=z-z1az носит условный характер. Его следует считать равным следующей записи:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, λ∈R.

Частные случаи канонических уравнений мы разберем в третьем пункте статьи.

Из определения канонического уравнения прямой в пространстве можно сделать несколько важных выводов. Рассмотрим их.

1) если исходная прямая будет проходить через две точки  M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то канонические уравнения примут следующий вид:

x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или x-x2ax=y-y2ay=z-z2az.

2) поскольку a→=(ax, ay, az) является направляющим вектором исходной прямой, то таковыми будут являться и все векторы μ·a→=μ·ax, μ·ay, μ·az, μ∈R, μ≠0. Тогда прямая может быть определена с помощью уравнения x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или x-x1μ·ax=y-y1μ·ay=z-z1μ·az.

Вот несколько примеров таких уравнений с заданными значениями:

x-32=y+1-12=zln 7

Тут x1=3, y1=-1, z1=0, ax=2, ay=-12, az=ln 7.

x-40=y+21=z+10

Тут M1(4, -2, -1), a→=(0, 1, 0).

Как составить каноническое уравнение прямой в пространстве

Мы выяснили, что канонические уравнения вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az будут соответствовать прямой, проходящей через точку M1(x1, y1, z1), а вектор a→=(ax, ay, az) будет для нее направляющим. Значит, если мы знаем уравнение прямой, то можем вычислить координаты ее направляющего вектора, а при условии заданных координат вектора и некоторой точки, расположенной на прямой, мы можем записать ее канонические уравнения.

Разберем пару конкретных задач.

У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения x+14=y2=z-3-5. Запишите координаты всех направляющих векторов для нее.

Решение

Чтобы получить координаты направляющего вектора, нам надо просто взять значения знаменателей из уравнения. Мы получим, что одним из направляющих векторов будет a→=(4, 2, -5), а множество всех подобных векторов можно сформулировать как μ·a→=4·μ, 2·μ, -5·μ. Здесь параметр μ – любое действительное число (за исключением нуля).

Ответ: 4·μ, 2·μ, -5·μ, μ∈R,  μ≠0 

Запишите канонические уравнения, если прямая в пространстве проходит через M1(0, -3, 2) и имеет направляющий вектор с координатами -1, 0, 5.

Решение

У нас есть данные, что x1=0, y1=-3, z1=2, ax=-1, ay=0, az=5. Этого вполне достаточно, чтобы сразу перейти к записи канонических уравнений.

Сделаем это:

x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔x-0-1=y-(-3)0=z-25⇔⇔x-1=y+30=z-25

Ответ: x-1=y+30=z-25

Эти задачи – самые простые, потому что в них есть все или почти все исходные данные для записи уравнения или координат вектора. На практике чаще можно встретить те, в которых сначала нужно находить нужные координаты, а потом записывать канонические уравнения. Примеры таких задач мы разбирали в статьях, посвященных нахождению уравнений прямой, проходящей через точку пространства параллельно заданной, а также прямой, проходящей через некоторую точку пространства перпендикулярно плоскости.

Канонические уравнения с одним или двумя a, равными нулю

Ранее мы уже говорили, что одно-два значения параметров ax, ay, az в уравнениях могут иметь нулевые значения. При этом запись x-x1ax=y-y1ay=z-z1az=λ приобретает формальный характер, поскольку мы получаем одну или две дроби с нулевыми знаменателями. Ее можно переписать в следующем виде (при λ∈R):

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ

Рассмотрим эти случаи подробнее. Допустим, что ax=0, ay≠0, az≠0, ax≠0, ay=0, az≠0, либо ax≠0, ay≠0, az=0. В таком случае нужные уравнения мы можем записать так:

1.  В первом случае: 
   x-x10=y-y1ay=z-z1az=λ⇔x-x1=0y=y1+ay·λz=z1+az·λ⇔x-x1=0y-y1ay=z-z1az=λ

2.  Во втором случае:
   x-x1ax=y-y10=z-z1az=λ⇔x=x1+ax·λy-y1=0z=z1+az·λ⇔y-y1=0x-x1ax=z-z1az=λ

3.  В третьем случае:
   x-x1ax=y-y1ay=z-z10=λ⇔x=x1+ax·λy=y1+ay·λz-z1=0⇔z-z1=0x-x1ax=y-y1ay=λ

Получается, что при таком значении параметров нужные прямые находятся в плоскостях x-x1=0, y-y1=0 или z-z1=0, которые располагаются параллельно координатным плоскостям (если x1=0, y1=0 либо z1=0). Примеры таких прямых показаны на иллюстрации.

Следовательно, мы сможем записать канонические уравнения немного иначе.

1. В первом случае: x-x10=y-y10=z-z1az=λ⇔x-x1=0y-y1=0z=z1+az·λ, λ∈R
2. Во втором: x-x10=y-y1ay=z-z10=λ⇔x-x1=0y=y1+ay·λ, λ∈Rz-z1=0
3. В третьем: x-x1ax=y-y10=z-z10=λ⇔x=x1+ax·λ, λ∈Ry=y1=0z-z1=0

Во всех трех случаях исходные прямые будут совпадать с координатными осями или окажутся параллельными им: x1=0y1=0, x1=0z1=0, y1=0z1=0. Их направляющие векторы имеют координаты  0, 0, az, 0, ay, 0, ax, 0, 0. Если обозначить направляющие векторы координатных прямых как i→, j→, k→, то направляющие векторы заданных прямых будут коллинеарными по отношению к ним. На рисунке показаны эти случаи:

Покажем на примерах, как применяются эти правила.

Найдите канонические уравнения, с помощью которых можно определить в пространстве координатные прямые Oz, Ox, Oy.

Решение

Координатные векторы i→=(1, 0, 0), j→=0, 1, 0, k→=(0, 0, 1) будут для исходных прямых направляющими. Также мы знаем, что наши прямые будут обязательно проходить через точку O(0, 0, 0), поскольку она является началом координат. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужные канонические уравнения.

Для прямой Ox: x1=y0=z0

Для прямой Oy: x0=y1=z0

Для прямой Oz: x0=y0=z1

Ответ: x1=y0=z0, x0=y1=z0, x0=y0=z1.

В пространстве задана прямая, которая проходит через точку M1(3, -1, 12). Также известно, что она расположена параллельно оси ординат. Запишите канонические уравнения этой прямой.

Решение

Учитывая условие параллельности, мы можем сказать, что вектор j→=0, 1, 0 будет для нужной прямой направляющим. Следовательно, искомые уравнения будут иметь вид:

x-30=y-(-1)1=z-120⇔x-30=y+11=z-120

Ответ: x-30=y+11=z-120

Как записать каноническое уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки

Допустим, что у нас есть две несовпадающие точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), через которые проходит прямая. Как в таком случае мы можем сформулировать для нее каноническое уравнение?

Для начала примем вектор M1M2→ (или M2M1→) за направляющий вектор данной прямой. Поскольку у нас есть координаты нужных точек, сразу вычисляем координаты вектора:

M1M2→=x2-x1, y2-y1, z2-z1

Далее переходим непосредственно к записи канонического уравнения, ведь все нужные данные у нас уже есть. Исходная прямая будет определяться записями следующего вида:

x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1

Получившиеся равенства – это и есть канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взгляните на иллюстрацию:

Приведем пример решения задачи.

в пространстве есть две точки с координатами M1(-2, 4, 1) и M2(-3, 2, -5), через которые проходит прямая. Запишите канонические уравнения для нее.

Решение

Согласно условиям, x1=-2, y1=-4, z1=1, x2=-3, y2=2, z2=-5. Нам требуется подставить эти значения в каноническое уравнение:

x-(-2)-3-(-2)=y-(-4)2-(-4)=z-1-5-1⇔x+2-1=y+46=z-1-6

Если мы возьмем уравнения вида x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1, то у нас получится: x-(-3)-3-(-2)=y-22-(-4)=z-(-5)-5-1⇔x+3-1=y-26=z+5-6

Ответ: x+3-1=y-26=z+5-6 либо x+3-1=y-26=z+5-6.

Преобразование канонических уравнений прямой в пространстве в другие виды уравнений

Иногда пользоваться каноническими уравнениями вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az не очень удобно. Для решения некоторых задач лучше использовать запись x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ. В некоторых случаях более предпочтительно определить нужную прямую с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0. Поэтому в данном пункте мы разберем, как можно перейти от канонических уравнений к другим видам, если это требуется нам по условиям задачи.

Понять правила перехода к параметрическим уравнениям несложно. Сначала приравняем каждую часть уравнения к параметру λ и разрешим эти уравнения относительно других переменных. В итоге получим:

x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔⇔x-x1ax=λy-y1ay=λz-z1az=λ⇔x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ

Значение параметра λ может быть любым действительным числом, ведь и x, y, z могут принимать любые действительные значения.

В прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана прямая, которая определена уравнением x-23=y-2=z+70. Запишите каноническое уравнение в параметрическом виде.

Решение

Сначала приравниваем каждую часть дроби к λ.

x-23=y-2=z+70⇔x-23=λy-2=λz+70=λ

Теперь разрешаем первую часть относительно x, вторую – относительно y, третью – относительно z. У нас получится:

x-23=λy-2=λz+70=λ⇔x=2+3·λy=-2·λz=-7+0·λ⇔x=2+3·λy=-2·λz=-7

Ответ: x=2+3·λy=-2·λz=-7

Следующим нашим шагом будет преобразование канонических уравнений в уравнение двух пересекающихся плоскостей (для одной и той же прямой).

Равенство x-x1ax=y-y1ay=z-z1az нужно для начала представить в виде системы уравнений:

x-x1ax=y-y1ayx-x1ax=z-z1axy-y1ay=z-z1az

Поскольку pq=rs мы понимаем как p·s=q·r, то можно записать:

x-x1ax=y-y1ayx-x1ax=z-z1azy-y1ay=z-z1az⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)az·(x-x1)=ax·(z-z1)az·(y-y1)=ay·(z-z1)⇔⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0az·x-ax·z+ax·z1-az·x1=0az·y-ay·z+ay·z1-az·y1=0

В итоге у нас вышло, что:

x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0az·x-ax·z+ax·z1-az·x1=0az·y-ay·z+ay·z1-az·y1=0

Выше мы отмечали, что все три параметра a не могут одновременно быть нулевыми. Значит, ранг основной матрицы системы будет равен 2, поскольку ay-ax0az0-ax0az-ay=0 и один из определителей второго порядка не равен 0:

ay-axaz0=ax·az, ay0az-ax=ax·ay,  -ax00-ax=ax2ay-ax0az=ay·az, ay00-ay=-ay2, -ax0az-ay=ax·ayaz00az=az2, az-ax0-ay=-ay·az, 0-axaz-ay=ax·az

Это дает нам возможность исключить одно уравнение из наших расчетов. Таким образом, канонические уравнения прямой можно преобразовать в систему из двух линейных уравнений, которые будут содержать 3 неизвестных. Они и будут нужными нам уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассуждение выглядит довольно сложным, однако на практике все делается довольно быстро. Продемонстрируем это на примере.

Прямая задана каноническим уравнением x-12=y0=z+20. Напишите для нее уравнение пересекающихся плоскостей.

Решение

Начнем с попарного приравнивания дробей.

x-12=y0=z+20⇔x-12=y0x-12=z+20y0=z+20⇔⇔0·(x-1)=2y0·(x-1)=2·(z+2)0·y=0·(z+2)⇔y=0z+2=00=0

Теперь исключаем из расчетов последнее уравнение, потому что оно будет верным при любых x, y и z. В таком случае x-12=y0=z+20⇔y=0z+2=0.

Это и есть уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые при пересечении образуют прямую, заданную с помощью уравнения x-12=y0=z+20

Ответ: y=0z+2=0

Прямая задана уравнениями x+12=y-21=z-5-3, найдите уравнение двух плоскостей, пересекающихся по данной прямой.

Решение

Приравниваем дроби попарно.

x+12=y-21=z-5-3⇔x+12=y-21x+12=z-5-3y-21=z-5-3⇔⇔1·(x+1)=2·(y-2)-3·(x+1)=2·(z-5)-3·(y-2)=1·(z-5)⇔x-2y+5=03x+2z-7=03y+7-11=0

Получаем, что определитель основной матрицы полученной системы будет равен 0:

1-20302031=1·0·1+(-2)·2·0+0·3·3-0·0·0-1·2·3-(-2)·3·1=0

Минор второго порядка нулевым при этом не будет: 1-230=1·0-(-2)·3=6. Тогда мы можем принять его в качестве базисного минора.

В итоге мы можем вычислить ранг основной матрицы системы x-2y+5=03x+2z-7=03y+z-11=0. Это будет 2. Третье уравнение исключаем из расчета и получаем:

x-2y+5=03x+2z-7=03y+z-11=0⇔x-2y+5=03x+2z-7=0

Ответ: x-2y+5=03x+2z-7=0

8.

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Дуглас Клайн
• Университет Рочестера

Можно продолжить изучение следствий гамильтоновой механики, взяв дифференциал времени \((8.1.3)\) даяния.

\[\frac{dH(\mathbf{q,p,}t)}{dt}=\sum_{j}\left( \dot{q}_{j}\frac{dp_{j}} }{dt } + p_ {j} \ frac {d \ dot {q} _ {j}} {dt} — \ frac {\ partial L} {\ partial q_ {j}} \ frac { dq_ {j}} {dt} -\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\frac{d\dot{q}_{j}}{dt} \right) -\frac{\partial L}{ \partial t}\label{8.19}\]

Вставка сопряженных импульсов \(p_{i}\equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\) и уравнения \ref{8. 17} в уравнение \ref{8.19{EXC} \right] \dot{q}_{j}\right) -\frac{\partial L}{\partial t}\label{8.21}\]

Это обобщенная теорема об энергии , заданная уравнением \((7.8.1)\).

Полный дифференциал гамильтониана также может быть записан как

\[\frac{dH(\mathbf{q,p,}t)}{dt}=\sum_{j}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{j}}\dot{p } _ {j} + \ frac {\ partial H} {\ partial q_ {j}} \ dot {q} _ {j} \ right) + \ frac {\ partial H} {\ partial t} \ label {8.22 }\]

Используйте уравнения \ref{8.15} и \ref{8.18} для замены \(\frac{\partial H}{\partial p_{j}}\) и \(\frac{\partial H}{\partial q_ {j}}\) в уравнении \ref{8.22} дает 9{EXC} \right] \dot{q}_{j}\right) +\frac{\partial H(\mathbf{q,p,}t)}{\partial t}\label{8.23}\]

Обратите внимание, что уравнение \ref{8.23} должно совпадать с обобщенной теоремой об энергии, т.е. уравнение \ref{8.21}. Следовательно,

\[\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}\label{8.24}\]

Таким образом, уравнений движения Гамильтона задаются как

\[\begin{align} \dot{q}_{j} &= \frac{\partial H(\mathbf{q,p,}t)}{\partial p_{j}} \label{8. {EXC} \right] \dot{q}_{j}\right) -\frac{\ частичное L(\mathbf{q,\dot{q},}t)}{\partial t}\label{8.27}\end{align}\]

Симметрия уравнений движения Гамильтона иллюстрируется, когда множитель Лагранжа и обобщенные силы равны нулю. Затем

\[\begin{align} \dot{q}_{j} &= \frac{\partial H(\mathbf{q,p,}t)}{\partial p_{j}} \label{8.28} \\[4pt] \dot{p}_{j} &= -\frac{\partial H(\mathbf{p,q},t)}{\partial q_{j}} \label{8.29}\\ [4pt] \ frac {dH (\ mathbf {p, q}, t)} {dt} & = \ frac {\ partial H (\ mathbf {p, q}, t)} {\ partial t} = — \ frac{\ partial L (\ mathbf {\ dot {q}, q,} t)} {\ partial t} \ end {align} \ label {8.30} \] 9{EXC}\) для учета неголономных или других сил. Уравнения движения Гамильтона обычно называют каноническими уравнениями движения . Обратите внимание, что термин «канонический» не имеет ничего общего с религией или каноническим правом; причина этого названия сбила с толку многие поколения исследователей классической механики. Термин был введен Якоби в \(1837\) для обозначения простого и фундаментального набора сопряженных переменных и уравнений. Обратите внимание на симметрию двух канонических уравнений Гамильтона, а также на то, что канонические переменные \(p_{k},q_{k}\) рассматриваются как независимые канонические переменные. Координаты механики Лагранжа \((\mathbf{q, \dot{q},}t)\) заменены координатами гамильтоновой механики \((\mathbf{ q,p,}t),\) , где сопряженные импульсы \(\mathbf{p}\) считаются не зависящими от координаты \(\mathbf{q}\).

Лагранж первым вывел канонические уравнения, но не признал их основной системой уравнений движения. Гамильтон вывел канонические уравнения движения из своего фундаментального вариационного принципа, глава \(9.2\), и сделал их основой далеко идущей теории динамики. Уравнения Гамильтона дают \(2s\) дифференциальные уравнения первого порядка для \(p_{k},q_{k}\) для каждой из \(s=n-m\) степеней свободы. Уравнения Лагранжа дают \(s\) дифференциальные уравнения второго порядка для \(s\) независимых обобщенных координат \(q_{k},\dot{q}_{k}.\)

Было показано, что \(H(\mathbf{p,q},t)\) и \(L(\mathbf{\dot{q},q, }t)\) являются преобразованиями Лежандра каждого другой. Хотя лагранжева формулировка идеальна для решения численных задач классической механики, гамильтонова формулировка обеспечивает лучшую основу для концептуальных расширений на другие области физики, поскольку она записывается в терминах фундаментальных сопряженных координат, \(\mathbf{q,p} \). Гамильтониан широко используется в современной физике, включая квантовую физику, как обсуждалось в главах \(15\) и \(18\). Например, в квантовой механике существует прямая связь между классическим и квантовым представлением импульса; этого не существует для скоростей.

Понятие пространства состояний, введенное в главе \(3.3.2\), естественным образом применимо к лагранжевой механике, поскольку \((\dot{q},q)\) — это обобщенные координаты, используемые в лагранжевой механике. Понятие фазового пространства, введенное в главе \(3.3.3\), естественно применимо к гамильтонову фазовому пространству, поскольку \((p,q)\) — это обобщенные координаты, используемые в гамильтоновой механике.

Эта страница под названием 8. 3: Уравнения движения Гамильтона распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дугласом Клайном посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами LibreTexts. Платформа; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Дуглас Клайн

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать оглавление

   нет

2. Теги

   1. Обобщенная теорема об энергии
   2. Уравнения движения Гамильтона
   3. источник@http://classicalmechanics. lib.rochester.edu

2.4.1 Канонические уравнения Гамильтона

В В разделе 2.3.4 мы столкнулись с двумя величинами, которые мы вспоминаем здесь и для которых мы теперь вводим специальные символы. Первым был номер импульс

(2. 28)

Переменные и называются каноническими переменными . Предположим теперь, что является экстремалью, т. е. удовлетворяет уравнение Эйлера-Лагранжа (2.18). Оказывается, дифференциальные уравнения описание эволюции из и вдоль такой кривой, если записать ее в терминах гамильтониана , принять особенно красивую форму. Для , у нас есть

Важным дополнительным наблюдением является то, что частная производная в отношении является

3. Нахождение оригинала по изображению.

Задача 1.Найти оригинал для изображения

при помощи разложения на простейшие дроби.

Решение.Разложимна сумму простейших дробей

.

Найдем неопределенные коэффициенты A, B, C, D. Так как

,

то, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем

, , , .

Таким образом,

.

Свертка оригиналов.Пустьи- функции-ориентиры и, . По определению, сверткой оригиналовназывается интеграл(3.1)

По теореме сложения изображений свертки оригиналов соответствует произведение изображений

.

Задача 2.Найти свертку функцийи.

Решение. Имеем

Задача 3.Восстановить оригинал по изображениюпри помощи свертки.

Решение.Представимкак произведение двух функций и используя теорему умножения, запишем

. (см. задачу 2)

4. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.

Рассмотрим применение правил и теорем операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем при заданных начальных условиях. Предлагаем, что искомое решение, его производные и правая часть дифференциального уравнения являются оригиналами.

Схема решения дифференциального уравнения.

1. Искомая функция, ее производные, входящие в данное уравнение, правая часть уравнения заменяются их изображениями. В результате получается так называемое операторное уравнение.

2. Решаем операторное уравнение относительно изображения искомой функции.

3. Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.

Схема решения систем дифференциальных уравнений такая же.

Задача 1.Решить дифференциальное уравнение

, если,

Решение.Пусть- искомое решение.

.

Запишем операторное уравнение

или

.

Находим A, B, C. ,,.

Итак,

.

Задача 2.Найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям , , ,

Решение.Пусть, . Тогда

; ;;.

Преобразованная система имеет вид

Определяем , по правилу Крамера

;

Вычислим получим

Итак,

Вычислим получим

Тогда

Итак,

Рассмотрим решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях с использованием интеграла Дюамеля.

Интеграл Дюамеля.

Если и, то

(4.1)

или

(4.1^’)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффицентами

при Если

,

то получим

или , где- многочленn-ой степени;

отсюда

(4.2)

Если рассмотреть ещё одно дифференциальное уравнение, у которого правая часть равна единице,

то при тех же нулевых начальных условиях в изображениях получим уравнение

Отсюда (4.3)

Подставим (4.3) в (4.2), получим

(4.4)

Используя интеграл Дюамеля (4.1’) для и учитывая, что, получаем

(4.5)

Итак, достаточно решить уравнение с правой частью равной единице, чтобы при помощи интеграла (4.5) получить решения при различных правых частях.

Задача 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, используя интеграл Дюамеля:

(4.7)

Пусть , тогда

Получим уравнение для изображения

Отсюда

Возвращаясь к первоначальному уравнению для , Запишем

Следует отметить, что преимущество операционного метода решения дифференциальных уравнений состоит в том, что благодаря этому методу мы заменяем решение дифференциального уравнения на решение алгебраического уравнения, что сильно упрощает вычисление.

Применение методов операционного исчисления в

задачах электротехники.

Методы операционного исчисления широко используются в решениях специальных задач электротехники.

Задача1.

Включение дополнительного источника ЭДС в цепь с ненулевыми начальными условиями.

Рассмотрим электрическую цепь с ненулевыми начальными условиями (рис. 5.1), где r- сопротивление;L- индуктивность;C– ёмкость конденсатора;k– выключатель.

рис 5.1

Эта цепь характеризуется тем, что при отключении ЭДС Е в цепи происходит арядка конденсатора. После зарядки конденсатора ток в цепи становится равным нулю. Требуется найти ток i(t) после подключения к цепи дополнительной ЭДС е(t).

По второму закону Кирхгофа (алгебраическая сумма падения напряжения на сопротивлениях равна алгебраической сумме действующих в цепи ЭДС) для момента времени имеем

, (5. 1)

где — напряжение на конденсаторе;

(0) – начальное напряжение на конденсаторе, обусловленное тем, что конденсатор уже был ранее заряжен.

Решение.

Применяя к интегро-дифяфференциальному уравнению (5.1) преобразование Лапласа, запишем

где — начальный ток в цепи. Используя указанные соотношения, получаем алгебраическое уравнение в изобржениях

где неизвестной величиной является. Остальные величины известныИз (5.2) получаем

(5.3)

Рассмотрим конкретный пример. Пусть Применяя преобразование Лапласа, получаемследовательно,С учётом этих условий из (5.3) получаем

(5.4)

Замечание.Из полученного решения (5.4) следует, что, при, т.е.Это означает что за некоторое время конденсатор дополнительно зарядится и ток станет равным нулю.

Задача 2.

Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединённых сопротивления rи конденсатора С, если в моментt=0 цепь подсоединяется к источнику ЭДС (рис 5. 2) в виде треугольного импульса (рис 5.3).

рис 5.2 рис 5.3

В задаче задано

Решение.

Используя второй закон Кирхгофа, получим интегральное уравнение для рассматриваемого контура

(5.5)

Решение уравнения (5.5) выразим при помощи интеграла Дюамеля (4.1)

(5.6)

где — решение вспомогательного уравнения

(5.7)

Применяя преобразование Лапласа, имеем

Уравнение (5.7) преобразуется к алгебраическому уравнению для нахождения J(p)

откуда(5.8)

Подставляя найденное решение (5.8) вспомогательного уравнения (5.7) в интеграл Дюамеля (5.6) получаем решение исходного уравнения (5.5)

.

Пример контрольной работы по операционному исчислению

и комплексным числам.

Вариант 1.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

4. Представить в алгебраической форме:

5. Найти изображение оригинала, заданного графически

6. Решить систему

Вариант 2.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

4. Представить в алгебраической форме:

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 3.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

4. Представить в алгебраической форме:

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 4.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

4. Представить в алгебраической форме:

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 5.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а); б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 6.

3. Найти изображение функции:

4. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ; б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 7.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 8.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ;

б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 9.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 10.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ; б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 11.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 12.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ; б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 13.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 14.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ; б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 15.

1. Восстановить оригинал по изображению

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 16.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а) ; б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Оглавление.

Введение.

1. Комплексные числа.

2. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение.

3. Нахождение оригинала по изображению.

4. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.

5. Применение методов операционного исчисления в задачах электротехники.

6. Пример контрольной работы по операционному исчислению и комплексным числам.

7. Литература.

Литература.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981, 448с.

2. Сборник задач по математике для втузов. Ч.З. Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. М.: издательства физико-математической литературы, 2002. 576с.

3. Краснов М.Л., Киселев А.Н., Макаренко Г.Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 304с.

4. Глатенок И. В., Заварзина И.Ф. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. М.: Московский энергетический институт, 1989. 48с.

31

Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа

Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа Небольшое по объему учебное пособие.В сжатой, конспективной, доступной для студентов форме излагается основное содержание дополнительных глав курса математики: ряды Фурье и интеграл Фурье; теория поля; теория аналитических функций; некоторые специальные функции; операционное исчисление. Представляет интерес также для аспирантов, инженеров, преподавателей. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ § 2. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2pi § 3. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2pi § 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ § 5. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2pi § 6. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ § 7. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И ЕГО РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ФУРЬЕ § 8. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ § 9. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ § 10. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ § 11. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ § 12. МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ГЛАВА II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ § 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 2. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 3. СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ § 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ § 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 6. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ § 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 8. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО § 9 ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ § 10. ФОРМУЛА СТОКСА § 11. ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ СТОКСА. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ § 12. ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 13. СИМВОЛИКА ГАМИЛЬТОНА § 14. ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ ГЛАВА III. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ § 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ § 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 5. НЕКОТОРЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 6. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 8. ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ § 10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ § 11. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ § 12. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ § 13. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ § 14. РЯД ТЕЙЛОРА § 15. РЯД ЛОРАНА § 16. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ § 17. ВЫЧЕТЫ § 18. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА § 19. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Отображение, конформное в данной точке § 20. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ Конформное отображение области на область Линейные преобразования Конформные отображения односвязных областей ГЛАВА IV. О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ § 1. ГАММА-ФУНКЦИЯ § 2. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ИНДЕКСОМ § 3. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ ДЛЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ § 4. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПОЛУЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ § 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ § 6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА § 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ, ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС, ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КОСИНУС ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА § 3. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА § 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ § 5. ОРИГИНАЛЫ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ § 6. ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ § 7. ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ § 8. ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ, РЕГУЛЯРНЫМИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ § 9. ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Изображения функций, связанных с интегралом вероятностей 3. Изображения интегрального синуса и интегрального косинуса 4. Изображения интегралов Френеля § 10. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ § 11. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ БЫЛА ИЗОБРАЖЕНИЕМ

Лучшие инструменты обратного поиска изображений для поиска оригинальных источников

Когда вы найдете изображение в Google или на веб-сайте социальной сети, вы можете почувствовать необходимость сохранить копию. Существует так много веб-сайтов и ресурсов, что поиск исходного источника изображения может занять целую вечность. Но как насчет поиска альтернативных размеров, обрезанных миниатюр и других веб-сайтов, использующих это же изображение? Обратный поиск изображений вам в помощь!

Концепция обратного поиска изображений довольно проста: вы загружаете изображение или вставляете прямой URL-адрес изображения в Интернете, и поисковая система сопоставляет формы/шаблоны, чтобы найти копии этого изображения. При достаточном терпении вы часто можете найти первоисточник, который также, вероятно, имеет самые большие размеры.

Конечно, существует множество инструментов для обычного поиска изображений по тексту. Но поиск изображений на основе изображений постепенно набирает популярность.

Я хочу представить небольшую коллекцию веб-приложений, которые вы, вероятно, сможете использовать для поиска изображений. Стоит добавить эти ссылки в закладки или сохранить их в другом месте на случай, если вы забудете гиперссылку. В настоящее время я использую эти инструменты почти постоянно. Если вам часто нужно реконструировать источник изображений, тогда эти поисковые системы станут для вас второй натурой.

TinEye

Сначала у нас есть TinEye, продукт Idée. Обычно это мой первый ресурс, потому что у него отличный интерфейс и каталогизировано огромное количество изображений. TinEye в основном сканирует веб-сайты, написанные на английском языке, поэтому пропускает веб-сайты на восточных языках.

Но это действительно бесценный инструмент для обратного просмотра изображений. Вы можете либо загрузить изображение, либо скопировать/вставить URL-адрес изображения, чтобы найти дубликаты в другом месте. Страница результатов включает размеры изображения и URL-адрес прямого источника, по которому его можно найти. Сервис бесплатный для анонимного использования, но вы также можете зарегистрировать личный кабинет.

Кроме того, существует API-интерфейс онлайн-разработчика для доступа к их функциям на серверной части. Любой, кто хочет интегрировать поиск TinEye на свой веб-сайт, может сгенерировать ключ API и приступить к работе. Это, пожалуй, самый простой инструмент для поиска изображений, который вы найдете. Я взволнован мыслью о том, где этот продукт может быть еще через 3-5 лет.

Google Reverse Images

Практически каждый, кто использует поиск Google, также знает о поиске изображений. Вы можете ввести ключевые слова, и Google выдаст большую галерею связанных фотографий со всего Интернета. Но знаете ли вы, что поиск изображений Google также может выполнять обратный поиск на основе любого изображения?

Сначала перейдите на http://images.google.com/ и найдите крошечный значок камеры в строке поиска (обычно рядом с микрофоном). Если вы наведете курсор на этот значок, появится всплывающая подсказка с надписью «Поиск по изображению». Нажмите, и поле ввода изменится, запрашивая прямой URL-адрес изображения. В качестве альтернативы вы можете нажать «Загрузить изображение», чтобы загрузить свое собственное.

На самом деле я считаю результаты поиска Google более полезными, чем TinEye. Очевидно, что Google имеет более мощные алгоритмы индексации и, таким образом, возвращает гораздо больше информации для любого типичного поиска. Вы также можете проверить размеры изображения на странице результатов вместе с внешним URL-адресом веб-сайта. Между Google и TinEye вы сможете найти источники с разных веб-сайтов.

А как насчет восточноязычных сайтов, о которых я упоминал ранее? Китайские или японские веб-сайты, такие как niconico, не могут быть проиндексированы этими поисковыми роботами. Вместо этого у нас есть еще одно отличное веб-приложение для обработки изображений на иностранном языке.

SauceNAO

Несмотря на то, что домашняя страница немного пресная, SauceNAO — лучший ресурс для поиска внешних изображений, когда от TinEye или Google ничего не приходит. SauceNAO создан для распознавания символов, отличных от латинского алфавита, и сканирования веб-сайтов на этих языках. Это веб-приложение незаменимо, когда дело доходит до поиска тех хитрых изображений, которые, кажется, не имеют альтернативных результатов.

Если вам нужны надстройки для браузера, они доступны для Google Chrome и Firefox. Они оба бесплатны для установки и предоставляют дополнительные функции, встроенные прямо в ваш веб-браузер. Я не использую SauceNAO более пары месяцев, но он быстро вошел в мой список рекомендуемых веб-приложений.

Функциональность поиска построена поверх IQDB, которая очень похожа на обратный поиск изображения. Их дизайн гораздо более простой, и в нем нет всех дополнительных вещей, которые вы заметите на странице результатов. Но полезно знать о других решениях, которые существуют.

RevIMG

Последняя система поиска изображений, о которой я хочу упомянуть, это RevIMG. Этот более уникален, потому что вы фактически указываете часть изображения для поиска. Например, вы можете загрузить коллаж из значков и обрезать его, чтобы найти только один значок в надежде найти другой дубликат в Интернете.

Дизайн немного похож на SauceNAO, но алгоритмы совсем другие. Веб-мастерам разрешено отправлять свои веб-сайты в базу данных для сканирования. Это может помочь быстрее индексировать ваши собственные изображения и ранжировать их в других поисковых системах с обратным поиском изображений. Вы можете прочитать немного больше о том, как работает RevIMG и связанных с ними ресурсах.

Примечательно, что на их веб-сайте также есть API на основе JavaScript, который можно использовать во внешних проектах. Это скорее поисковая система с подстановочными знаками, популярность которой растет, но она не может конкурировать с TinEye (пока).

Я очень надеюсь, что эти веб-приложения могут принести некоторую пользу веб-мастерам и пользователям Интернета. Я часто ловлю себя на обратном поиске, чтобы найти источник множества разных изображений. Иногда вы не можете найти никаких результатов, потому что исходный источник был удален или веб-сайт по какой-то причине просто отключился. Это довольно распространено, и это еще одна причина, по которой нам нужен онлайн-архив, сохраняющий эти URL-адреса в базе данных.

Но технология есть, и она работает. Это работает чертовски хорошо, если я сам так говорю. Я часто задаюсь вопросом, насколько эти поисковые системы изображений изменятся в течение нескольких лет. Но как существующий ресурс я не мог жить без этих практичных и удобных инструментов поиска изображений.

избранный источник изображения

Автор: Хайме Моррисон

Джейме — младший. дизайнер, заинтересованный в исследованиях мобильного UI/UX и веб-разработке внешнего интерфейса с помощью фреймворков JavaScript. Он освещает общие новости и полезные ресурсы в области веб-дизайна.

6 лучших инструментов обратного поиска изображений для поиска исходного кода

Анкуш Дас в Цифровой маркетинг | Последнее обновление: 14 марта 2023 г.

Поделись на:

Сканер безопасности веб-приложений Invicti — единственное решение, обеспечивающее автоматическую проверку уязвимостей с помощью Proof-Based Scanning™.

В Интернете миллиарды изображений. Как вы проверяете их происхождение, если хотите использовать некоторые из них для своей личной или коммерческой работы?

Изображения, которые вы найдете при поиске в Google, могут быть дублированы, украденными произведениями искусства, манипулированными медиафайлами и т. д. Можете ли вы самостоятельно попытаться найти его происхождение или проверить, является ли это оригинальным изображением? Или вам нужен профессионал, который сделает это за вас?

Если вы говорите о громких юридических вопросах авторского права и другой беготне, вам наверняка понадобится помощь профессионала. Но для повседневного использования вы можете легко воспользоваться инструментом обратного поиска изображений.

Что такое обратный поиск изображения?

Обратный поиск изображения — это метод поиска источника (или других источников), из которого возникло конкретное изображение.

Если вам интересно узнать об изображении на вашем устройстве, вы можете легко использовать некоторые из инструментов, доступных для обратного поиска изображения, и найти дополнительную информацию о нем.

Некоторые варианты использования инструментов обратного поиска изображений:

• Чтобы проверить, не использует ли кто-то вашу защищенную авторским правом работу без разрешения
• Для идентификации человека или получения контактной информации в Интернете
• Для проверки подлинности изображения
• Узнать источник изображения
• Для выявления фейковых новостей

Вы можете выполнить обратный поиск изображения на своем iPhone или Android-смартфоне. Все, что вам нужно сделать, это получить доступ к веб-браузеру (компьютерному или мобильному) и загрузить изображение.

Преимущества инструмента обратного поиска изображений 👍

Инструменты обратного поиска изображений имеют ряд замечательных преимуществ.

• Проверить подлинность изображения можно бесплатно
• Экономьте время за счет ручной проверки изображения на вашем устройстве или в чьем-то профиле в социальной сети.
• Найдите бесплатные изображения, которые вы можете использовать в своей работе
• Найдите место или поселок на давно забытой фотографии на вашем чердаке
• Узнать информацию о неизвестных объектах или немаркированных продуктах

Все это, и вам не нужно тратить на это ни копейки. Я думаю, что одним из наиболее ценных преимуществ инструмента обратного поиска изображений является возможность определить, использует ли кто-то еще ваше изображение или иллюстрацию.

Кража изображений — обычное дело, и предотвратить ее часто невозможно. Следовательно, инструмент, чтобы узнать об изображении, пригодится для такой работы.

Давайте взглянем на некоторые из лучших инструментов обратного поиска изображений.

Примечание: Обычно сервисы не сохраняют ваши данные с обратным поиском по картинкам. Но, если вы ищете что-то конфиденциальное, вы можете ознакомиться с их политикой конфиденциальности, прежде чем продолжить.

TinEye

TinEye — одна из самых ценных опций, которую вы можете добавить в Chrome для быстрого поиска.

Вам нужно будет загрузить изображение или вставить URL-адрес изображения, чтобы получить дополнительную информацию с помощью TinEye. Хотя это бесплатно для начала, они предлагают корпоративные / корпоративные предложения для автоматизации отслеживания изображений и предупреждения вас, если ваше изображение используется без разрешения.

В отличие от обычного инструмента поиска изображений, он фокусируется на различных аспектах распознавания изображений и компьютерного зрения. Таким образом, вы можете интегрировать другие продукты для проверки изображений или их аутентификации во время поиска.

Обратный поиск изображений

Обратный поиск изображений сам по себе не является системой поиска изображений, но он позволяет загружать фотографии, а затем дает возможность выбирать из различных порталов обратного поиска изображений (Яндекс, Google и Bing).

Если вам нужен универсальный магазин для быстрого поиска изображения в Интернете, это может вам помочь.

Pixsy

Pixsy — интересный инструмент обратного поиска изображений, для бесплатного доступа к которому требуется регистрация.

Он позволяет импортировать изображения из различных источников, включая платформы социальных сетей и облачные сервисы хранения, что может пригодиться. Вы также можете напрямую загрузить фотографии со своего компьютера, чтобы выполнить поиск.

Подобно TinEye, Pixsy также предлагает корпоративные/бизнес-планы, позволяющие автоматизировать отслеживание и получать юридическую помощь в случае нарушения авторских прав.

Картины Google

Поиск картинок Google — самый эффективный инструмент обратного поиска, который вы можете использовать на своем рабочем столе. У них есть миллиарды изображений с миллионов веб-страниц для перечисления.

Итак, если вы не можете найти совпадение для своего изображения с помощью других инструментов, лучше всего подойдет Google Images. Вам не нужно регистрироваться для доступа к сервису, и вы можете загрузить изображение или вставить URL-адрес изображения.

В отличие от некоторых других инструментов поиска, даже если нет точных совпадений с загруженным вами изображением, вы получите множество похожих (или тематических) предложений.

Обратите внимание, что вы не сможете загружать или вставлять URL-адреса изображений при использовании мобильного браузера. Чтобы получить возможность, вам нужно запросить сайт рабочего стола из меню вашего браузера. Google может рассмотреть возможность оптимизации веб-сайта для мобильных пользователей.

Визуальный поиск Bing

Портал поиска изображений Bing не уступает Google Images. Он также предлагает «текстовый режим», в котором вы можете выбрать любой фрагмент текста на изображении, которое вы загрузили для поиска, чтобы точно определить любые результаты обратного поиска изображения.

Конечно, вы также можете попробовать преобразовать изображения в текст, но это может быть удобно.

В текстовом режиме вы получаете дополнительные преимущества, позволяющие быстро находить ориентиры, объекты и многое другое. Итак, стоит попробовать!

Поиск изображений Yahoo

Yahoo Image Search не поддерживает загрузку изображений. Таким образом, это не самый эффективный инструмент обратного поиска изображений. Однако вы можете использовать метаданные или имя файла исходного изображения для сканирования базы данных, чтобы увидеть, соответствует ли оно чему-то идентичному.

Транспонирование матриц. Умножение матриц.

К оглавлению

I. Транспонирование матриц

Транспонирование матриц – переход от матрицы  А  к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Пример 1. Составить транспонированную матрицу, полученную из А:

Решение: Поменяем местами строки и столбцы, сохраняя порядок:

Примеры для самостоятельного решения:

Составить из исходной матрицы транспонированную матрицу:

II. Умножение матриц

Пример 1. Рассмотрим для начала простейший пример, когда необходимо найти произведение двух матриц  А  и  В  размером  2´2, если

Решение:

Элементы матрицы  С  находятся по следующему алгоритму:

Элемент матрицы  С, стоящий на первой строке, в первом столбце находится как сумма произведений первой строки матрицы  А на первый столбец матрицы  В.

Элемент матрицы  С, стоящий на первой строке, во втором столбце находится как сумма произведений первой строки матрицы  А на второй столбец матрицы  В.

Элемент матрицы  С, стоящий на второй строке, в первом столбце находится как сумма произведений второй строки матрицы  А на первый столбец матрицы  В.

Элемент матрицы  С, стоящий на второй строке, во втором столбце находится как сумма произведений второй строки матрицы  А на второй столбец матрицы  В.

Таким образом, мы получили

То есть мы получили, что

Пример 2. Найдем результат произведения двух матриц

Решение:

то есть мы должны получить матрицу размера  3´3.

Пример 3. В предыдущем примере мы рассмотрели случай умножения матрицы  А  на матрицу  В, а в данном примере рассмотрим случай произведения матрицы  В  на  А.

Решение:

Пример 4. Найти произведение двух матриц:

Решение: В первом случае найдем произведение:

Во втором случае найдем произведение:

Пример 5. Вычислить значение многочлена  от матрицы

Решение. В многочлен  подставим вместо  х  матрицу  А, вместо числа 3 используем матрицу  3Е, где  Е – единичная матрица 2-го порядка

Теперь получим окончательный результат

III. Примеры для самостоятельного решения

I. Найти произведение матриц:

II. Найти значение многочлена  от матрицы А

К оглавлению

DeepMind с помощью ИИ ускорила умножение матриц

06. 10.2022 Богдан Каминский

#DeepMind#Искусственный Интеллект

Лаборатория DeepMind использовала ИИ AlphaZero для решения фундаментальной математической задачи в информатике и побила рекорд, установленный более 50 лет назад. Об этом пишет Technology Review.

Речь идет об умножении матриц. Это важнейший тип вычислений, лежащий в основе различных приложений, от отображения изображений на экране до моделирования сложных физических процессов.

Несмотря на широкое распространение метода, он все еще недостаточно изучен. Матрица — это сетка чисел, которая может представлять собой что угодно. Базовая техника перемножений двух таких объектов преподается в средней школе.

Однако все усложняется при попытке найти более быстрый метод решения задачи. По словам ученых, вариантов перемножения двух матриц может быть больше, чем атомов во Вселенной.

«Количество возможных действий почти бесконечно», — сказал инженер DeepMind Томас Хьюберт.

Подход исследователей заключается в превращении задания в своего рода настольную игру под названием TensorGame. Доска представляет собой задачу на умножение, а каждый ход направлен на ее решение. Таким образом, серия предпринятых действий к конечной цели представляет собой алгоритм.

Затем ученые обучили играть в эту игру новую версию AlphaZero, названную AlphaTensor. Аналогично шахматам или Го искусственный интеллект изучал лучшие серии шагов при умножении матриц. За победу с минимальным количеством ходов AlphaTensor получал вознаграждение.

«Мы превратили это в игру — наш любимый вид фреймворка», — сказал Хьюберт.

Главный результат исследователей состоит в ускорении решения данной задачи. Например, базовый школьный метод умножения матриц четыре на четыре состоит из 64 шагов. Самый быстрый способ решения задачи в 1969 году открыл немецкий математик Фолькер Штрассен: он состоит из 49 ходов. AlphaTensor справился за 47 шагов.

По словам исследователей, система DeepMind превосходит лучшие существующие алгоритмы для более чем 70 различных размеров матриц. Их впечатлило количество различных правильных алгоритмов, которые нашел AlphaTensor для каждой задачи.

«Удивительно, что существует по меньшей мере 14 000 способов умножения матриц четыре на четыре», — говорит Хусейн Фаузи, научный сотрудник DeepMind.

После поиска самых быстрых алгоритмов в теории команда использовала AlphaTensor для поиска алгоритмов на графических процессорах Nvidia V100 и Google TPU. Согласно результатам тестирования, программа нашла верные решения на 10-20% быстрее, чем при помощи стандартных методов на аналогичных чипах.

По словам исследователей, это также имеет фундаментальное значение для самого машинного обучения. Ускорение вычисления может оказать большое влияние на тысячи повседневных компьютерных задач, сократив расходы и сэкономив энергию.

В будущем DeepMind планирует использовать AlphaTensor для поиска других типов алгоритмов.

Напомним, в июле ИИ-лаборатория заявила, что системе AlphaFold предсказала структуры более 200 млн белков. Это почти все известные науке соединения, обнаруженные в растениях, бактериях и животных.

В мае DeepMind представила визуальную языковую модель с 80 млрд параметров.

Подписывайтесь на новости ForkLog в Telegram: ForkLog AI — все новости из мира ИИ!

Нашли ошибку в тексте? Выделите ее и нажмите CTRL+ENTER

Рассылки ForkLog: держите руку на пульсе биткоин-индустрии!

4. Умножение матриц

Важно: Мы можем перемножать матрицы, только если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице.

Пример 1

а) Умножение матрицы 2 × 3 на матрицу 3 × 4 возможно и дает в качестве ответа матрицу 2 × 4.

b) Умножение матрицы 7 × 1 на матрицу 1 × 2 допустимо; это дает матрицу 7 × 2

c) Матрица 4 × 3, умноженная на матрицу 2 × 3, НЕвозможна.

Как умножить 2 матрицы

Сначала мы используем буквы, чтобы понять, что происходит. После этого мы увидим пример с числами.

В качестве примера возьмем обычную матрицу 2 × 3, умноженную на матрицу 3 × 2.

`[(a,b,c),(d,e,f)][(u,v),(w,x),(y,z)]`

Ответом будет матрица 2 × 2.

Умножаем и складываем элементы следующим образом. Мы работаем через 1-й строки первой матрицы, умножая на 1-й столбец второй матрицы, элемент за элементом. Мы добавить полученных продуктов. Наш ответ занимает позицию a ₁₁ (вверху слева) матрицы ответов.

Проделываем аналогичный процесс для 1-й строки первой матрицы и 2-го столбца второй матрицы. Результат помещается в позицию a ₁₂ .

Теперь о 2-й -й строке первой матрицы и 1-м -м столбце второй матрицы. Результат помещается в позицию а ₂₁ .

Наконец, делаем 2-ю строку первой матрицы и 2-й столбец второй матрицы. Результат помещается в позицию a ₂₂ .

Таким образом, результат умножения двух наших матриц выглядит следующим образом:

`[(a,b,c),(d,e,f)][(u,v),(w,x),(y,z)]` `=[(au+bw+cy,av +bx+cz),(du+ew+fy,dv+ex+fz)]`

Теперь давайте рассмотрим числовой пример.

Пользователи телефона

ПРИМЕЧАНИЕ. Если вы разговариваете по телефону, вы можете прокручивать любые широкие матрицы на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение.

Пример 2

Умножить:

`((0,-1,2),(4,11,2))((3,-1),(1,2),(6,1))`

Ответить

Это 2×3 умножить на 3×2, что даст нам 2×2 отвечать.

`((0,-1,2),(4,11,2)) ((3,-1),(1,2),(6,1))`

`=((0xx3+ — 1xx1 + 2xx6,0xx-1+ -1xx2 + 2xx1), (4xx3+11xx1+2xx6,4xx -1 + 11xx2 + 2xx1))`

` = ((0-1+12,0-2+2), (12+11+12,-4+22+2))`

` = ((11,0),(35,20)) `

Наш ответ — матрица 2×2.

Умножение матриц 2 × 2

Процесс одинаков для матрицы любого размера. Мы умножаем на строк первой матрицы и на столбцов второй матрицы, элемент за элементом. Затем мы добавляем продукты:

`((a,b),(c,d))((e,f),(g,h))` `=((ae+bg,af+bh),(ce+dg,cf+dh ))`

В этом случае мы умножаем матрицу 2 × 2 на матрицу 2 × 2 и в результате получаем матрицу 2 × 2.

Пример 3

Умножить:

`((8,9),(5,-1))((-2,3),(4,0))`

Ответить

` ((8,9),(5,-1))((-2,3),(4,0)) `

`= ((8 xx -2+9xx4,8xx3+9xx0),( 5xx-2+ -1xx4,5xx3 + -1xx0))`

` = ((-16+36,24+0),(-10+ -4,15 + 0)) `

` = ((20 ,24),(-14,15)) `

Матрицы и системы одновременных линейных уравнений

Теперь мы видим, как написать систему линейных уравнений, используя матричное умножение.

Пример 4

Система уравнений

−3 х + y = 1

6 х — 3 у = -4

можно записать как:

`((-3,1),(6,-3))((x),(y))=((1),(-4))`

Матрицы идеально подходят для компьютерного решения задач, потому что компьютеры легко формируют массивы . Мы можем опустить алгебраические символы. Компьютеру для решения системы требуются только первая и последняя матрицы, как мы увидим в разделе «Матрицы и линейные уравнения».

Примечание 1 — Обозначение

Уход с записью умножение матриц.

Следующие выражения имеют различных значения:

AB это умножение матриц

A × B является произведением перекрестного , которое возвращает вектор

A * B используется в компьютерной записи, но не на бумаге

А • B Произведение точек , которое возвращает скаляр .

[Дополнительную информацию о векторных и скалярных величинах см. в главе «Вектор».]

Примечание 2. Коммутативность умножения матриц

`AB = BA`?

Давайте посмотрим, так ли это на примере.

Пример 5

Если

`А=((0,-1,2),(4,11,2))`

и

`В=((3,-1),(1,2),(6,1))`

найти AB и ВА.

Ответить

Мы выполнили AB выше, и ответ был:

`AB = ((0,-1,2),(4,11,2)) ((3,-1),(1,2), (6,1))`

` = ( (11,0),(35,20) )`

Теперь BA равно (3 × 2)(2 × 3), что даст 3 × 3:

`BA= ((3,-1),(1,2),(6,1))((0,-1,2),(4,11,2))`

`= ((0 -4,-3-11,6-2),(0+8,-1+22,2+4),(0+4,-6+11,12+2))`

` = (( -4,-14,4),(8,21,6),(4,5,14)) `

Итак, в этом случае AB НЕ равно BA.

На самом деле, для большинства матриц нельзя изменить порядок умножения и получить тот же результат.

В общем случае при перемножении матриц перестановочный закон не выполняется, т.е. AB ≠ BA . Есть два общих исключения из этого:

• Матрица идентичности: IA = AI = A .
• обратная матрица: A ^-1 А = АА ^-1 = I.

В следующем разделе мы узнаем, как найти обратную матрицу.

Пример 6. Умножение на матрицу идентичности

Учитывая, что

`А=((-3,1,6),(3,-1,0),(4,2,5))`

найти AI .

Ответить

`AI = ((-3,1,6),(3,-1,0),(4,2,5)) ((1,0,0),(0,1,0),(0 ,0,1))`

`=((-3+0+0,0+1+0,0+0+6),(3+0+0,0+ -1+0,0+0 +0),(4+0+0,0+2+0,0+0+5))`

`=((-3,1,6),(3,-1,0),(4,2,5))`

`=A`

Мы видим, что умножение на единичную матрицу не изменить значение исходной матрицы.

То есть

АИ = А

Упражнения

1. Если возможно, найдите BA и AB .

`А=((-2,1,7),(3,-1,0),(0,2,-1))`

`В=(4\\-1\\\5)`

Ответить

`BA=(4\ \ -1\ \ \ 5)((-2,1,7),(3,-1,0),(0,2,-1))`

`=(-8+(-3)+0\ \ \ 4+1+10\ \ \ 28+0+(-5))`

`=(-11\ \ 15\ \ 23)`

AB невозможно. (3 × 3) × (1 × 3).

2. Определить, если B = A ^-1 , учитывая:

`А=((3,-4),(5,-7))`

`В=((7,4),(5,3))`

Ответить

Если B = A ^-1 , то `AB = I`.

`AB=((3,-4),(5,-7))((7,4),(5,3))`

`=((21-20,12-12),( 35-35,20-21))`

`=((1,0),(0,-1))`

` !=I`

Итак, B НЕ является обратным A.

3. При изучении движения электронов, одна из спиновых матриц Паули равна

`s=((0,-j),(j,0))`

где

`j=sqrt(-1)`

Покажите, что с ² = I.

[Если вы никогда раньше не видели j , перейдите в раздел, посвященный комплексным числам].

`= ((1,0),(0,1))`

`=I`

4. Оцените следующее матричное умножение, которое используется при управлении движением роботизированного механизма .

`( (cos\ 60° ,-sin\ 60° ,0),(sin\ 60°, cos\ 60°,0),(0,0,1))((2),(4),( 0))`

Ответить

`( (cos\ 60° ,-sin\ 60° ,0),(sin\ 60°, cos\ 60°,0),(0,0,1))((2),(4),( 0))`

`=((2(0,5)-4(0,866)+0),(2(0,866)+4(0,5)+0),(0+0+0))`

`= ((-2. 464),(3.732),(0))`

Интерпретация этого заключается в том, что рука робота перемещается из позиции (2, 4, 0) в позицию (-2,46, 3,73, 0). То есть это движется в x-y плоскость, но ее высота остается равной z = 0 . Матрица 3 × 3, содержащая sin и Значения cos говорят ему, на сколько градусов двигаться.

Интерактивы Matrix Multiplication

• Другие примеры умножения матриц
• Интерактивные операции с матрицами

linear алгебра — Решение для X в простой системе матричных уравнений.

Задавать вопрос

спросил 9 лет, 10 месяцев назад

Изменено 9 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Я пытаюсь решить для X в этой простой системе матричных уравнений:

$$\begin{bmatrix}7 & 7\\2 & 4\\\end{bmatrix} — X\begin{bmatrix}5 & — 1\\6 & -4\\\end{bmatrix} = E $$, где $E$ — единичная матрица.

Если я умножу $X$ на $\begin{bmatrix}5 & -1\\6 & -4\\\end{bmatrix}$, я получу следующую систему:

$$\begin{bmatrix}5x_1 & -1x_2\\6x_3 & -4x_4\\\end{bmatrix}$$

Вычитая это из $\begin{bmatrix}7 и 7\\2 & 4\\\end{bmatrix}$ я получаю $\begin {bmatrix}7 — 5x_1 и 7 + 1x_2\\2 — 6x_3 и 4 + 4x_4\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\end{bmatrix}$

Что дает мне:

$7-5x_1 = 1$

$7+1x_2 = 0$

$2-6x_3 = 0$

$4+4x_4 = 1$

Это неправильные ответы, кто-нибудь может мне помочь?

Спасибо!

• линейная алгебра
• матрицы

$\endgroup$

4

$\begingroup$

$$\begin{bmatrix}7 и 7\\2 & 4\\\end{bmatrix} — X\begin{bmatrix}5 & -1\\6 & -4\\\end{bmatrix} = I $$, где $I$ — единичная матрица.

Подсказка: вспомните, как будет выглядеть умножение на $X$: $X$ будет матрицей $2\times 2$, если для этого уравнения нужно задать умножение и сложение матриц.

Итак, если $X = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}$, то $$X\begin{bmatrix}5 & -1\\6 & -4 \end{bmatrix } = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & -4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5x_1+6x_2&- x_1-4x_2\\5x_3+6x_4&-x_3-4x_4\end{bmatrix}$$

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Поскольку $\begin{pmatrix}7&7\\2&4\end{pmatrix}-X\begin{pmatrix}5&-1\\6&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end {pmatrix}$, получаем:
$\begin{pmatrix}6&7\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1+6x_2&-x_1-4x_2\\5x_3+6x_4&-x_3-4x_4\end{pmatrix }$, где $X=\begin{pmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{pmatrix}$.
Теперь вы можете умножить обе части уравнения на $\frac{1}{-14}\begin{pmatrix}-4&1\\-6&5\end{pmatrix}$ =(inverse of $\begin{pmatrix}5&- 1\\6&-4\end{pmatrix}$), чтобы найти:
$X=\frac{1}{-14}\begin{pmatrix}6&7\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}- 4&1\\-6&5\end{pmatrix}=\frac{1}{-14}\begin{pmatrix}-66&41\\-26&17\end{pmatrix}$.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти объем	сфера (5)	
2	Найти площадь	окружность (5)	
3	Найти площадь поверхности	сфера (5)	
4	Найти площадь	окружность (7)	
5	Найти площадь	окружность (2)	
6	Найти площадь	окружность (4)	
7	Найти площадь	окружность (6)	
8	Найти объем	сфера (4)	
9	Найти площадь	окружность (3)	
10	Вычислить	(5/4(424333-10220^2))^(1/2)
11	Разложить на простые множители	741
12	Найти объем	сфера (3)	
13	Вычислить	3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
14	Найти площадь	окружность (10)	
15	Найти площадь	окружность (8)	
16	Найти площадь поверхности	сфера (6)	
17	Разложить на простые множители	1162
18	Найти площадь	окружность (1)	
19	Найти длину окружности	окружность (5)	
20	Найти объем	сфера (2)	
21	Найти объем	сфера (6)	
22	Найти площадь поверхности	сфера (4)	
23	Найти объем	сфера (7)	
24	Вычислить	квадратный корень из -121
25	Разложить на простые множители	513
26	Вычислить	квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
27	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2)	
28	Найти длину окружности	окружность (6)	
29	Найти длину окружности	окружность (3)	
30	Найти площадь поверхности	сфера (2)	
31	Вычислить	2 1/2÷22000000
32	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)	
33	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10)	
34	Найти длину окружности	окружность (4)	
35	Перевести в процентное соотношение	1. 2-4*-1+2
45	Разложить на простые множители	228
46	Вычислить	0+0
47	Найти площадь	окружность (9)	
48	Найти длину окружности	окружность (8)	
49	Найти длину окружности	окружность (7)	
50	Найти объем	сфера (10)	
51	Найти площадь поверхности	сфера (10)	
52	Найти площадь поверхности	сфера (7)	
53	Определить, простое число или составное	5
54	Перевести в процентное соотношение	3/9
55	Найти возможные множители	8
56	Вычислить	(-2)^3*(-2)^9
57	Вычислить	35÷0. 2
60	Преобразовать в упрощенную дробь	2 1/4
61	Найти площадь поверхности	сфера (12)	
62	Найти объем	сфера (1)	
63	Найти длину окружности	окружность (2)	
64	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12)	
65	Сложение	2+2=
66	Найти площадь поверхности	прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3)	
67	Вычислить	корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7
68	Вычислить	7/40+17/50
69	Разложить на простые множители	1617
70	Вычислить	27-( квадратный корень из 89)/32
71	Вычислить	9÷4
72	Вычислить	2+ квадратный корень из 21
73	Вычислить	-2^2-9^2
74	Вычислить	1-(1-15/16)
75	Преобразовать в упрощенную дробь	8
76	Оценка	656-521
77	Вычислить	3 1/2
78	Вычислить	-5^-2
79	Вычислить	4-(6)/-5
80	Вычислить	3-3*6+2
81	Найти площадь поверхности	прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)	
82	Найти площадь поверхности	сфера (8)	
83	Найти площадь	окружность (14)	
84	Преобразовать в десятичную форму	11/5
85	Вычислить	3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6
86	Вычислить	(11/-7)^4
87	Вычислить	(4/3)^-2
88	Вычислить	1/2*3*9
89	Вычислить	12/4-17/-4
90	Вычислить	2/11+17/19
91	Вычислить	3/5+3/10
92	Вычислить	4/5*3/8
93	Вычислить	6/(2(2+1))
94	Упростить	квадратный корень из 144
95	Преобразовать в упрощенную дробь	725%
96	Преобразовать в упрощенную дробь	6 1/4
97	Вычислить	7/10-2/5
98	Вычислить	6÷3
99	Вычислить	5+4
100	Вычислить	квадратный корень из 12- квадратный корень из 192

Статья 47.

Статья 47. Окончание исполнительного производства

Перспективы и риски арбитражных споров и споров в суде общей юрисдикции. Ситуации, связанные со ст. 47

Арбитражные споры:

— Взыскатель не согласен с окончанием исполнительного производства

Споры в суде общей юрисдикции:

— Взыскатель не согласен с окончанием исполнительного производства

— Получатель алиментов оспаривает постановление судебного пристава о прекращении (окончании) исполнительного производства

— Плательщик алиментов требует прекратить (окончить) исполнительное производство

— Должник не согласен с возобновлением исполнительного производства

1. Исполнительное производство оканчивается судебным приставом-исполнителем в случаях:

1) фактического исполнения требований, содержащихся в исполнительном документе;

2) фактического исполнения за счет одного или нескольких должников требования о солидарном взыскании, содержащегося в исполнительных документах, объединенных в сводное исполнительное производство;

3) извещения взыскателя о невозможности взыскания по исполнительному документу в случаях, предусмотренных статьей 46 настоящего Федерального закона;

(п. 3 в ред. Федерального закона от 21.12.2021 N 417-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

4) возвращения исполнительного документа по требованию суда, другого органа или должностного лица, выдавших исполнительный документ;

5) утратил силу с 1 января 2012 года. — Федеральный закон от 03.12.2011 N 389-ФЗ;

(см. текст в предыдущей редакции)

6) ликвидации должника-организации и направления исполнительного документа в ликвидационную комиссию (ликвидатору), за исключением исполнительных документов, указанных в части 4 статьи 96 настоящего Федерального закона;

7) признания должника банкротом и направления исполнительного документа арбитражному управляющему, за исключением исполнительных документов, указанных в части 4 статьи 69.1 и части 4 статьи 96 настоящего Федерального закона;

(п. 7 в ред. Федерального закона от 29.06.2015 N 154-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

7.1) включения сведений о завершении процедуры внесудебного банкротства гражданина в Единый федеральный реестр сведений о банкротстве в части исполнения исполнительных документов по требованиям, указанным должником-гражданином в заявлении о признании его банкротом во внесудебном порядке. Окончание исполнительного производства осуществляется в порядке, установленном статьей 69.1 настоящего Федерального закона;

(п. 7.1 введен Федеральным законом от 31.07.2020 N 289-ФЗ)

8) направления копии исполнительного документа в организацию для удержания периодических платежей, установленных исполнительным документом;

9) истечения срока давности исполнения судебного акта, акта другого органа или должностного лица по делу об административном правонарушении (с учетом положений, предусмотренных частью 9 статьи 36 настоящего Федерального закона) независимо от фактического исполнения этого акта;

10) подачи взыскателем заявления об окончании исполнительного производства.

(п. 10 введен Федеральным законом от 21.12.2021 N 417-ФЗ)

1.1. Постановление Федеральной службы судебных приставов об окончании исполнительного производства принимается на основании наличия в Государственной информационной системе о государственных и муниципальных платежах информации об уплате должником задолженности в полном объеме.

(часть 1.1 введена Федеральным законом от 21.12.2021 N 417-ФЗ)

2. В исполнительном документе, изготовленном на бумажном носителе, судебный пристав-исполнитель делает отметку о полном исполнении требования исполнительного документа или указывает часть, в которой это требование исполнено. При окончании исполнительного производства в связи с извещением взыскателя о невозможности взыскания по исполнительному документу в случаях, предусмотренных статьей 46 настоящего Федерального закона, судебный пристав-исполнитель делает в исполнительном документе, изготовленном на бумажном носителе, отметку, указывающую основание, по которому исполнительный документ возвращается взыскателю, и период, в течение которого осуществлялось исполнительное производство, а также взысканную сумму, если имело место частичное исполнение. Подлинник исполнительного документа в случаях, предусмотренных пунктами 1, 2, 8 и 9 части 1 настоящей статьи, остается в оконченном исполнительном производстве. В остальных случаях в оконченном исполнительном производстве остается копия исполнительного документа. Исполнительный документ, поступивший в порядке, предусмотренном частью 1.1 статьи 12 настоящего Федерального закона, по которому окончено исполнительное производство, хранится в электронном виде.

(часть 2 в ред. Федерального закона от 21.12.2021 N 417-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2.1. При окончании исполнительного производства в связи с извещением взыскателя о невозможности взыскания по исполнительному документу, поступившему в порядке, предусмотренном частью 1.1 статьи 12 настоящего Федерального закона, основание невозможности взыскания по исполнительному документу, предусмотренное частью 1 статьи 46 настоящего Федерального закона, период, в течение которого осуществлялось исполнительное производство, и взысканная сумма, если имело место частичное исполнение требований исполнительного документа, указываются в постановлении об окончании исполнительного производства.

(часть 2.1 введена Федеральным законом от 21.12.2021 N 417-ФЗ)

3. Об окончании исполнительного производства выносится постановление с указанием на исполнение требований, содержащихся в исполнительном документе, полностью или частично либо на их неисполнение. При окончании сводного исполнительного производства по исполнительным документам, содержащим требование о солидарном взыскании, в постановлении указывается, с какого должника и в каком размере произведено солидарное взыскание.

4. В постановлении об окончании исполнительного производства, за исключением окончания исполнительного производства по исполнительному документу об обеспечительных мерах, мерах предварительной защиты, отменяются розыск должника, его имущества, розыск ребенка, а также установленные для должника ограничения, в том числе ограничения на выезд из Российской Федерации, на пользование специальными правами, предоставленными должнику в соответствии с законодательством Российской Федерации, и ограничения прав должника на его имущество.

(в ред. Федеральных законов от 11.07.2011 N 196-ФЗ, от 03.12.2011 N 389-ФЗ, от 28.11.2015 N 340-ФЗ, от 28.11.2018 N 451-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

5. Если после окончания основного исполнительного производства возбуждено исполнительное производство, предусмотренное частью 7 настоящей статьи, то ограничения, установленные для должника в ходе основного исполнительного производства, сохраняются судебным приставом-исполнителем в размерах, необходимых для исполнения вновь возбужденного исполнительного производства.

6. Копии постановления судебного пристава-исполнителя об окончании исполнительного производства не позднее дня, следующего за днем его вынесения, направляются:

1) взыскателю и должнику;

2) в суд, другой орган или должностному лицу, выдавшим исполнительный документ;

3) в банк или иную кредитную организацию, другую организацию или орган, исполнявшие требования по установлению ограничений в отношении должника и (или) его имущества;

4) в организацию или орган, осуществлявшие розыск должника, его имущества, розыск ребенка.

7. Одновременно с вынесением постановления об окончании основного исполнительного производства, за исключением окончания исполнительного производства по основаниям, установленным пунктом 3 или 4 части 1 статьи 46 настоящего Федерального закона либо пунктом 4, 6 или 7 части 1 настоящей статьи, судебный пристав-исполнитель возбуждает исполнительное производство по не исполненным полностью или частично постановлениям о взыскании с должника расходов по совершению исполнительных действий и исполнительского сбора, наложенного судебным приставом-исполнителем в процессе исполнения исполнительного документа. Постановление о возбуждении такого исполнительного производства направляется вместе с постановлением об окончании основного исполнительного производства должнику, а при необходимости и другим лицам.

(в ред. Федеральных законов от 18.07.2011 N 225-ФЗ, от 28.12.2013 N 441-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

8. По оконченному исполнительному производству о взыскании периодических платежей судебный пристав-исполнитель вправе совершать исполнительные действия, предусмотренные пунктом 16 части 1 статьи 64 настоящего Федерального закона, самостоятельно или в порядке, установленном частью 6 статьи 33 настоящего Федерального закона.

9. В течение срока предъявления исполнительного документа к исполнению постановление судебного пристава-исполнителя об окончании исполнительного производства может быть отменено старшим судебным приставом или его заместителем по собственной инициативе или по заявлению взыскателя в случае необходимости повторного совершения исполнительных действий и применения, в том числе повторного, мер принудительного исполнения.

(в ред. Федерального закона от 18.07.2011 N 225-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

19″ x 14″ x 4 1/2″ белая полулистовая коробка для торта/выпечки

Рейтинг 5 из 5 звезд

Ask

Количество скидок

купить 3 или более

$ 61,23/Бандл

БЕСПЛАТНЫЕ СПАСИБО С ПЛЮС

БУТКА 1- 2

99999999999999999999999999999999999999999. 909 7./Набор Доступные количества 62,99 $ 50/Набор 18,49 $ 10/Упак. 45 Обзор продукта Поддерживает до половины листа торта Простой глянцево-белый внешний вид с естественно-коричневой внутренней частью Прочная конструкция с фиксатором Простота сборки Одноразовые для легкой очистки Код UPC:707282295697 Доставка: Быстрая доставка Обычно отгружается в течение 1 рабочего дня 3 x 3 ламинат 1/4 Enjay d Гофрированная 1/2 листовая подушка для торта — 50/коробка 57,99 долл. США/коробка Enjay 1/2-13341834B12 18 3/4″ x 13 3/4″ сложенная под половинку листа толщиной 1/2 дюйма черная доска для торта — 12/коробка 46,4 долл. США /Коробка Enjay 1/2-13341834BLUE12 18 3/4″ x 13 3/4″ Складывается под половинку листа толщиной 1/2 дюйма, синяя подставка для торта — 12/Коробка 46,49 долл. США/коробка 18 x 14 дюймов, белая двухстенная гофрированная подложка для торта – 50 шт. 39,49 долл. США/коробка Половина листа Подложка для торта — 50 шт. в упаковке 32,49 долл. США в упаковке 18 x 14 дюймов белая гофрированная доска для торта — 50 шт. в упаковке 26,49 долл. США в упаковке белая гофрированная доска 9 дюймов x 4 шт. — 50 шт. в упаковке 26,99 долл. США в упаковке Enjay 1/2-13341834G12 18 3/4″ x 13 3/4″, складываемая под половину листа золота толщиной 1/2″, 12 шт. в коробке 46,49 долл. Ваша тщательно приготовленная выпечка с этой белой коробкой для торта / выпечки размером 19 x 14 x 4 1/2 дюйма! Побуждайте своих клиентов брать домой вкусные пирожные, печенье или кексы с помощью этой белой коробки для торта/пекарни размером 19 x 14 x 4 1/2 дюйма. Цельная конструкция позволяет легко открывать крышку, а затем уберите на место, чтобы обеспечить сохранность содержимого. Убедитесь, что ваша пекарня укомплектована, предоставив своим клиентам прочную коробку для торта! Оценка 5 из 5 звезд «Мы используем эти коробки для тортов каждый день, и они великолепны. Они достаточно прочны, чтобы в них можно было хранить наши торты и кексы. Кроме того, это одна из самых низких цен, которые мы нашли!» Читать больше отзывов Покажите свою выпечку стильно! Элегантный белый внешний вид этой коробки для выпечки придаст вашему заведению профессиональный вид, а натуральный коричневый интерьер создает идеальную палитру для демонстрации ваших творений. Белый внешний вид также позволяет легко персонализировать каждую коробку штампами или этикетками. Эта универсальная коробка размером 19″ x 14″ x 4 1/2″ идеально подходит для хранения тортов, пончиков, печенья или кексов. Какими бы ни были ваши потребности, эта универсальная коробка для тортов всегда будет под рукой. Коробка для выпечки поставляется в виде плоского листа для удобного хранения Для сборки просто сложите и зафиксируйте выступы по бокам Сравните с другими продуктами 62,99 $/комплект 19 Дюймы 14 Дюймы 4 1/2 дюйма Уголок с замком Белый 1-компонентный Картон Негофрированный Без окна 6 90 19 дюймов 14 дюймов 4 дюйма Уголок замка Крафт Однокомпонентный Крафт-картон Негофрированный Без окна 7 15 65,99 $ 4 дюйма 14 дюймов 5 дюймов Угловой замок Розовый 1-компонентный Переработанный картон Негофрированный 1 Без окна 06 69,49 $/комплект 19 дюймов 14 дюймов 5 Дюймы Угловой замок Белый 1-компонентный Картон Негофрированный Без окна Дюймы 72,99 долл. США/Упаковка чес 14 дюймов 4 дюйма Угловой замок Крафт 1 шт. 45 76,49 $/комплект 19 дюймов 14 дюймов 4 дюйма Угловой замок Белый 1-компонентный Картон Негофрированный С окошком 5 10945 9 76,40 $ 9 1/2 дюйма 14 дюймов 4 дюйма Угловой замок Розовый 2-компонентный Переработанный картон Негофрированный 7 Без окна 45 79,99 $/комплект 19 3/8 дюйма 14 1/16 дюйма 5 дюймов Угловой замок Белый 1-компонентный Картон Гофрированный Без окна

Другие продукты из этой линии

• Рейтинг 5″ 1 x 8 9090 5-дюймовый белый индивидуальный торт / коробка для выпечки — 100 / Bundle

  56,99 $/Bundle

• Рейтинг 5 из 5 звезд

  8″ x 8″ x 4″ White Customized Cake / Bakery Box — 250/Back

  9 $82,99

  7 109906 6 Рейтинг 5 из 5 звезды

  10″ x 10″ x 4″ Белая Индивидуальная коробка для торта/выпечки — 100/комплект

  49,99 $/комплект

• Рейтинг 5 из 5 звезд

  10″ x 10″ x 2 1/2″ Белый Индивидуальный заказ Коробка для пирогов/пекарен — 250/набор

  78,49 долл. США/набор

• Рейтинг 5 из 5 звезд

  14 x 10 дюймов x 4 дюйма, белая персонализированная коробка для тортов и хлебобулочных изделий — 100/набор 7

  7 долл. США 946

• Оценка 5 из 5 звезд

  Baker’s Mark 9″ x 7″ x 3 1/2″ Белая коробка для тортов и выпечки с автоматическим всплывающим окном — 200 шт./комплект

  99,99 $/комплект

• Рейтинг 5 из 5 звезд

  10″ x 10″ x 6″ White Cake / Bakery Box — 100/комплект

  76,99 $/комплект 9096

  9394 из 5 звезд

  Baker’s Mark 14″ x 10″ x 4″ Белая коробка для тортов/пекарен с автоматическим всплывающим окном — 100 шт./комплект

  96,99 $/комплект

• Рейтинг 5 из 5 звезд

  Baker’s Mark 14″ x 4 x 10″ Торт «Белое окно» / коробка для выпечки — 100 шт. /набор

  $79,99/набор

• Оценка 5 из 5 звезд

  19 «x 14» x 4 «Белый окно/пекарня — 50/Пак

  $ 76,49/Пакет

• Red 5 out 5 Stars

• $ 5 Stars

• $ 5 starts

• 909.

  41,99 $/комплект

• Рейтинг 5 из 5 звезд /Набор

  92,99 $/Набор

• Рейтинг 5 из 5 звезд

  19 дюймов x 14 дюймов x 5 дюймов, белая коробка для торта / выпечки — 50 шт. /комплект

  69,49 $/комплект

• Оценка 5 из 5 звезд

  9″ x 9″ x 4″ коробка для белого торта / выпечки — 200/набор

  $78,49/набор

• Рейтинг 5 из 5 звезд

  10″ x 10″ x 5″ белая коробка для торта/пекарни с окном — 150/набор

  6
  4 114,99 $/набор 393

  Рейтинг 5 из 5 звезд

  8″ x 8″ x 2 1/2″ Коробка для белого пирога / выпечки — 250/набор

  59,49 $/набор

• Рейтинг 4 из 5 звезд

  9″ x 9″ x 4″ Белая коробка для тортов/пекарен с автоматическим всплывающим окном — 150/набор

  06 Рейтинг 5 из из 5 звезд

  8″ x 8″ x 3″ White Pie / Bakery Box — 250/Bundle

  68,49 $/Bundle

• Рейтинг 5 из 5 звезд

  9″ x 9″ x 5″ White Cake / Коробка для выпечки — 100/набор

  52,49 $/набор

• Оценка 5 из 5 звезд

  Baker’s Mark 19 дюймов x 14 дюймов x 6 1/2 дюйма Белая коробка для тортов и хлебобулочных изделий с полулистовым окном – 50 шт. в коробке

  94,99 долл. США за коробку

• Оценка 5 из 5 звезд Коробка для тортов и хлебобулочных изделий «x 6 1/2», белая четверть листа — 100 шт. в упаковке

  116,99 долл. США за коробку

• Оценка 5 из 5 звезд

  Коробка — 25 шт./комплект

  $62,49/комплект

Часто покупают вместе

• Оценка 5 из 5 звезд

  16-дюймовый гофрированный белый торт — 125 шт. в коробке

  33,49 долл. США за коробку / Коробка для выпечки — 50 шт. в упаковке

  67,49 долл. США за комплект

• Оценка 5 из 5 звезд 77

  Рейтинг 5 из 5 звезд

  12 дюймов x 12 дюймов x 6 дюймов Белая персонализированная коробка для торта / выпечки — 50 шт./комплект

  50,49 $/комплект

• Оценка 5 из 5 звезд

  14-дюймовый белый гофрированный круг для торта — 250 шт. 7

  12″ x 12″ x 5-дюймовый белый торт / коробка для выпечки — 100 шт. в упаковке

  76,49 долл. США за комплект

• Оценка 5 из 5 звезд

  8-дюймовый гофрированный белый круг для торта — 500 шт.

  Рейтинг 5 из из 5 звезд

  8″ x 5″ x 3″ Коробка для белого торта/выпечки — 250/набор

  52,99 $/комплект

• Рейтинг 5 из 5 звезд

  12-дюймовый гофрированный белый круг для торта — 250 шт. 7

  4 дюйма х 4 дюйма х 4-дюймовая коробка для белых кексов и выпечки — 200 шт. в упаковке

  39,99 долл. США за упаковку

• Оценка 5 из 5 звезд $47,99/комплект

• Рейтинг 5 из 5 звезд

  6″ x 6″ x 3″ Коробка для белого торта / выпечки — 250 шт. /набор

  43,99 $/набор

Общий рейтинг пользователей

Заменить заголовок здесь

Найдите среднюю линию трапеции

В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания связанные с трапецией. На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с площадью трапеции, а также с углами. Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

Так же это основывается на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

Доказано!

Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии.  Рассмотрим задачи:

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

Вычисляем по формуле:

Ответ: 23

27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Выразим большее основание:

Таким образом:

Ответ: 38

27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

Таким образом DC=6. Вычисляем:

Ответ: 10

27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

Ответ: 4

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Исходя из условия можем записать:

Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

Второе уравнение уже можно записать в виде:

Ответ: 20

27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

Ответ: 9

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

Ответ: 14

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

При чём:

Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

Таким образом, средняя линия равна 12.

*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

Ответ: 12

В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть  другая величина.

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

Ответ: 3

Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

28854.Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны √2.

В данном случае видно, что средняя линия трапеции равна трём диагоналям клетки. Диагональ одной клетки по теореме Пифагора будет равна:

Значит средняя линия равна 2∙3=6.

Конечно, есть и другой путь решения.

Если допустить мысль, что основания трапеции могут лежать по отношению к сетке под углом не 45 градусов, а например 30, или другим, то вполне применим следующий метод (таких задач на ЕГЭ не предвидится):

Вычисляем основания используя теорему Пифагора, а далее используем формулу средней линии.

Основание AD при данных условиях это диагональ в прямоугольном треугольнике с катетами равными 4 сторонам клетки, вычисляем:

Основание BC это диагональ в прямоугольном треугольнике катетами равными  2 сторонам клетки, вычисляем:

Средняя линия будет равна  (8+4)/2=6.

*То есть при данном подходе, как бы ни была построена трапеция всегда можно вычислить основания.

Ответ: 6

27853. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны √2.

Высота трапеции равна диагонали клетки. Вычисляем по теореме Пифагора:

Ответ: 2

27821. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Посмотреть решение

27838.Периметр трапеции равен 50, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

27843. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Посмотреть решение

На этом всё, успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P,S: Расскажите о сайте в социальных сетях.

Трапеция, Средняя линия трапеции, треугольник

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

Сокращение дробей с буквами. Выполнение сокращения дробей

Когда ученик переходит в старшую школу, математика разделяется на 2 предмета: алгебру и геометрию. Понятий становится все больше, задания все сложнее. У некоторых возникают трудности с восприятием дробей. Пропустили первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить на протяжении всей школьной жизни.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q — знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение — часть целого.

Как правило, целое — это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель — делимое, знаменатель — делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят данную тему в школе, им дают примеры на закрепление. Чтобы правильно их решать и находить различные пути из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Оно звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличные от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем от данного правила является разделение обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Подобные преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже будет рассмотрено, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, производить умножение, деление и сокращение дробей.

Математические операции с дробями

Рассмотрим, как решать, основное свойство алгебраической дроби, как применять его на практике. Если нужно перемножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или произвести вычитание, нужно всегда придерживаться правил.

Так, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно опустить этот пункт. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Нужно сложить или вычесть числители. Но! Нужно помнить, что при наличии знака «-» перед дробью все знаки в числителе меняются на противоположные. Иногда не следует производить каких-либо подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто используется такое понятие, как сокращение дробей . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на отличное от единицы выражение (одинаковое для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше прежних, но в силу основного правила дробей остаются равными изначальному примеру.

Целью этой операции является получение нового несократимого выражения. Решить данную задачу можно, если сократить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм операции состоит из двух пунктов:

1. Нахождение НОД для обеих частей дроби.
2. Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предшествующей.

Ниже показана таблица, в которой расписаны формулы. Для удобства ее можно распечатать и носить с собой в тетради. Однако, чтобы в будущем при решении контрольной или экзамена не возникло трудностей в вопросе, как решать алгебраические дроби, указанные формулы нужно выучить наизусть.

Несколько примеров с решениями

С теоретической точки зрения рассмотрен вопрос, как решать алгебраические дроби. Примеры, приведенные в статье, помогут лучше усвоить материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и расссмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби — x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 — 1 x 2 — 1 мы можем сократить на х — 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 — x 2 + x — 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

• нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
• в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; — 2 3 — 2 3 = 1 ; x x = 1 ; — 3 , 2 · x 3 — 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x — x 2 · y 1 2 · x — x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = — 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = — 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = — 3 3 — 1 2 · a 5 — 2 1 · 1 · 1 c 7 — 1 · 1 = · — 3 2 · a 3 2 · c 6 = · — 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ: — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т. е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b — 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · — 2 7 · — 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 1 5 · 3 1 2 = = — 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10 = — 2 7 · x 5 = — 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = — 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей . Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Изучая , мы говорили про их сокращение. мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен , в частности, одночлен или число.

Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3 , что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x , что приведет к выражению . Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x , а также на любой из многочленов x+2·y , 3·x+6·y , x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y .

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на . Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y . Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.

Правило сокращения алгебраических дробей

Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей , которое состоит из двух шагов:

• сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
• если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов , находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.

В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби , которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например,
и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби , после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться . В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3 . Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Пример.

Сократите алгебраическую дробь .

Решение.

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

Ответ:

.

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю , его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выполните сокращение дроби .

Решение.

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 . В этом случае имеем .

Ответ:

.

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от единицы, называют сокращением дроби .

Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

Примеры. Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;

делим знаменатель на 3).

Сокращаем дробь на 7.

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

Сократим данную дробь 4) на 5·7³ — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который состоит из общих множителей числителя и знаменателя, взятых в степени с наименьшим показателем.

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7² .

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5) .

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7 .

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь 9/14 .

А можно было записать разложения числителя и знаменателя в виде произведения простых множителей, не применяя понятие степени, а затем произвести сокращение дроби, зачеркивая одинаковые множители в числителе и знаменателе. Когда одинаковых множителей не останется — перемножаем оставшиеся множители отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и выписываем получившуюся дробь 9/14 .

И, наконец, можно было сокращать данную дробь 5) постепенно, применяя признаки деления чисел и к числителю и к знаменателю дроби. Рассуждаем так: числа 756 и 1176 оканчиваются четной цифрой, значит, оба делятся на 2 . Сокращаем дробь на 2 . Числитель и знаменатель новой дроби — числа 378 и 588 также делятся на 2 . Сокращаем дробь на 2 . Замечаем, что число 294 — четное, а 189 — нечетное, и сокращение на 2 уже невозможно. Проверим признак делимости чисел 189 и 294 на 3 .

(1+8+9)=18 делится на 3 и (2+9+4)=15 делится на 3, следовательно, и сами числа 189 и 294 делятся на 3 . Сокращаем дробь на 3 . Далее, 63 делится на 3, а 98 — нет. Перебираем другие простые множители. Оба числа делятся на 7 . Сокращаем дробь на 7 и получаем несократимую дробь 9/14 .

Упрощение дробей

Упрощение дробей

Главная›Калькуляторы›Математические калькуляторы›Упроститель дробей

Калькулятор фракций Упрощение дробей Преобразователь дробей

Введите дробь

Результат упрощенной дроби

Расчет

* gcf = наибольший общий делитель

Калькулятор дробей ►

Дробь в упрощенную таблицу дробей

Дробь	Упрощенный Дробь
1/2	1/2
1/3	1/3
2/3	2/3
1/4	1/4
2/4	1/2
3/4	3/4
1/5	1/5
2/5	2/5
3/5	3/5
4/5	4/5
1/6	1/6
2/6	1/3
3/6	1/2
4/6	2/3
5/6	5/6
1/7	1/7
2/7	2/7
3/7	3/7
4/7	4/7
5/7	5/7
6/7	6/7
1/8	1/8
2/8	1/4
3/8	3/8
4/8	1/2
5/8	5/8
6/8	3/4
7/8	7/8
1/9	1/9
2/9	2/9
3/9	1/3
4/9	4/9
5/9	5/9
6/9	2/3
7/9	7/9
8/9	8/9
1/10	1/10
2/10	1/5
3/10	3/10
4/10	2/5
5/10	1/2
6/10	3/5
7/10	7/10
8/10	4/5
9/10	9/10

 

---

См.

также

• Калькулятор дробей
• Добавление калькулятора дробей
• Калькулятор вычитания дробей
• Калькулятор умножения дробей
• Калькулятор деления дробей
• Калькулятор GCF
• Калькулятор LCM
• Калькулятор процентов
• Дробь до десятичной дроби
• Дробь до процента
• Десятичная дробь
• Проценты в дроби

Напишите, как улучшить эту страницу

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КАЛЬКУЛЯТОРЫ

• Математический калькулятор
• Добавление калькулятора дробей
• Дополнительный калькулятор
• Антилогарифмический калькулятор
• Калькулятор Arccos
• Калькулятор арксинуса
• Калькулятор арктангенса
• Калькулятор свертки
• Калькулятор косинуса
• Калькулятор деления дробей
• Калькулятор деления
• Калькулятор экспоненциального роста
• Калькулятор экспонент
• Калькулятор факториала
• Калькулятор дробей
• Калькулятор GCF
• Калькулятор LCM
• Калькулятор Ln
• Калькулятор журнала
• Калькулятор умножения
• Калькулятор умножения дробей
• Калькулятор процентов
• Калькулятор процентного изменения
• Калькулятор процентной ошибки
• Калькулятор процентного увеличения
• Калькулятор теоремы Пифагора
• Решатель квадратных уравнений
• Калькулятор соотношения
• Калькулятор корня
• Калькулятор экспоненциального представления
• Упрощение дробей
• Калькулятор синуса
• Калькулятор квадратного корня
• Калькулятор стандартного отклонения
• Калькулятор вычитания дробей
• Калькулятор вычитания
• Калькулятор тангенса
• Тригонометрический калькулятор
• Калькулятор средневзвешенных значений
• Калькулятор дисперсии

RAPID TABLES

• Рекомендовать сайт
• Отправить отзыв
• О

Как делать дроби на калькуляторе iPhone двумя способами

• Вы можете вычислять дроби на своем калькуляторе iPhone двумя разными способами.
• Когда вы перевернете свой iPhone-калькулятор на бок — переключив его в макет научного калькулятора — вы сможете использовать больше функций, например, кнопку 1/x для деления значений дробей.
• Посетите домашнюю страницу Business Insider, чтобы узнать больше.

Когда вы держите iPhone вертикально в стандартном портретном режиме и используете встроенное приложение «Калькулятор», у вас будет возможность выполнять основные математические уравнения, такие как сложение, вычитание и тому подобное.

Тем не менее, вы можете улучшить тип математических уравнений, которые вы можете проводить, наклонив калькулятор вашего iPhone вбок, чтобы получить доступ к раскладке научного калькулятора в ландшафтном режиме, что позволяет вам выполнять математические формулы, такие как дроби или квадратные корни.

Вот как это сделать.

Как вычислять дроби на калькуляторе iPhone

1. Запустите приложение «Калькулятор», расположенное на вашем iPhone.

2. После запуска приложения поверните iPhone на бок, чтобы перевести его в ландшафтный режим. В левой части экрана появятся дополнительные функции.

Вам нужно будет перевести телефон в ландшафтный режим, чтобы делать дроби на iPhone. Тейлор Лайлс/Business Insider

3. Когда вы будете готовы вычислять дроби, введите число, которое вы хотите преобразовать в дробь. Затем вы можете нажать кнопку 1/x, чтобы поместить это число в знаменатель (числитель будет равен 1) и получить значение дроби.

Вы можете рассчитать дробь 1/x или разделить два числа вместе, чтобы получить дроби на калькуляторе iPhone. Тейлор Лайлс/Business Insider

4. Значение дроби, в числителе которой нет 1, можно вычислить с помощью кнопки деления. В частности, формулу можно выполнить, введя значение числителя, нажав клавишу деления, а затем введя значение знаменателя. Когда вы нажмете кнопку равенства (=), вы получите значение дроби.

• Как изменить сеть Wi-Fi в Центре управления на iPhone с iOS 13

• Как поделиться паролем Wi-Fi или получить его на iPhone несколькими нажатиями и присоединиться к новой сети Wi-Fi.