Рубрика: Разное

Общая формула корней квадратного уравнения.

Формула корней квадратного уравнения

Содержание

• Определение квадратного уравнения
• Дискриминант квадратного уравнения
• Формула корней квадратного уравнения
• Задачи
• Полезный материал
• Тест
• Самостоятельная работа

Определение квадратного уравнения.

Опр. 1. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + b х + с = 0 , где х –переменная, а , b и с — некоторые числа, причем а  0 .

Числа а , b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b – вторым коэффициентом и с – свободным членом.

Дискриминант квадратного уравнения

Опр. 2. Дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 называется выражение b 2 – 4ac . Его обозначают буквой D , т.е. D= b 2 – 4ac .

Возможны три случая:

• D  0
• D  0
• D  0

Если D  0

В этом случае уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два действительных корня:

Если D = 0

В этом случае уравнение ах 2 + b х + с = 0

имеет один действительный корень:

Если D  0

Уравнение ах 2 + b х + с = 0 не имеет действительных корней.

Ответ:нет корней

Формула корней квадратного уравнения

Обобщив рассмотренные случаи получаем

формулу корней квадратного уравнения

ах 2 + b х + с = 0 .

К тесту

Задачи

• Решить уравнение 2x 2 — 5x + 2 = 0 .
• Решить уравнение 2x 2 — 3x + 5 = 0 .
• Решить уравнение x 2 — 2 x + 1 = 0 .

Решить уравнение 2x 2 — 5x + 2 = 0

Здесь a = 2, b = -5, c = 2 .

Имеем D = b 2 — 4ac = (-5) 2 — 4  2  2 = 9 .

Так как D  0 , то уравнение имеет два корня.

Найдем их по формуле

то есть x 1  = 2 и x 2  =  0,5 — корни заданного уравнения.

К задачам

2x 2 — 5x + 2 = 0 ; x 1  = 2 , x 2  =  0,5

Решить уравнение 2x 2 — 3x + 5 = 0

З десь a = 2, b = -3, c = 5 .

На йдем дискриминант D = b 2 — 4ac =

= (-3) 2 — 4·2·5 = -31 , т. к . D  , то уравнение не имеет д ействительных корней.   

К задачам

Решить уравнение x 2 — 2 x + 1 = 0

З десь a =  1 , b = — 2 , c =  1 .

Получаем D = b 2 — 4ac =  (-2) 2 — 4 · 1 · 1= 0, поскольку D=0

Получили один корень х = 1.

К задачам

Полезный материал

• Определение квадратного уравнения
• Определение приведенного квадратного уравнения
• Определение дискриминанта
• Формула корней квадратного уравнения
• Коэффициенты квадратного уравнения

Определение приведенного квадратного уравнения

Опр. 3. Приведенным квадратным уравнением называется квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1.

х 2 + b х + с = 0

Тест

1. Вычислите дискриминант уравнения х 2 -5х-6=0.

-6

-5

1

0

49

25

Следующий вопрос

2. Сколько корней имеет уравнение, если D 0 ?

Корней не имеет

Один корень

Три корня

Два корня

Следующий вопрос

3. Выберите корни уравнения 2у 2 -9у+10=0 .

у 1 =2; у 2 =-2,5

у 1 =2; у 2 =2,5

у 1 =-2; у 2 =-2,5

Корней не имеет

Самостоятельная работа

Вариант 1.

№ 1. Решите уравнения:

а) х 2 +7х-44=0 ;

б) 9у 2 +6у+1=0 ;

в) –2 t 2 +8t+2=0;

г) а+3а 2 = -11.

№ 2. При каких

значениях х равны значения многочленов:

( 2-х )( 2х+1 ) и ( х-2 )( х+2 )?

Вариант 2.

№ 1. Решите уравнения:

а) х 2 -10х-39=0 ;

б) 4у 2 -4у+1=0 ;

в) –3 t 2 -12 t+ 6 =0;

г) 4а 2 +5= а.

№ 2. При каких

значениях х равны значения многочленов:

( 1-3х )( х+1 ) и ( х-1 )( х+1 )?

• Молодцы!

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax² + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

      Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение неполных квадратных уравнений

      Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

      Пример 1. Решить уравнение

5x² = 0 .

      Решение.

      Ответ: 0 .

      Пример 2. Решить уравнение

      Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную   x   за скобки, перепишем уравнение в виде

      Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

      Ответ: .

      Пример 3. Решить уравнение

2x² – 5 = 0 .

      Решение.

      Ответ: .

      Пример 4. Решить уравнение

      Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной   x, а правая часть равна 0, то уравнение  решений не имеет.

      Ответ: .

Выделение полного квадрата

      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

      Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

      Формула (6) получена.

Дискриминант

      Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:

      Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

      Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

Разложение квадратного трёхчлена на множители

      Утверждение. В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0, квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

      Доказательство. В случае, когда   D = 0, формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

      В случае, когда   D > 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

      В случае, когда  D < 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

      Замечание. В случае, когда  D < 0, квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

      Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

      Действительно, в случае, когда   D = 0, из формулы (9) получаем:

      Следовательно, в случае, когда   D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

      В случае, когда   D > 0, из формулы (10) получаем:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

      Замечание 2. В случае, когда   D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

      Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

      В случае, когда   D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

      В случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax2 + bx + c = = a (x – x1) (x – x2) .

(17)

      Замечание 4. В случае, когда   D = 0, корни   x₁ и   x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax² + bx + c =
= a (x – x₁) (x – x₂) =
= a [x² – (x₁ + x₂) x + x₁x₂] =
= ax² – a(x₁ + x₂) x + ax₁x₂ .

      Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax² + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax² – a (x₁ + x₂) x + a x₁x₂ .

      Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

      Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).

      Словами прямая теорема Виета формулируется так: — «Если числа   x₁ и   x₂ являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

      Обратная теорема Виета формулируется так: — «Если числа   x₁ и   x₂ являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

      Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

      Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Квадратные уравнения – формулы, методы и примеры

Квадратные уравнения представляют собой алгебраические выражения второй степени и имеют форму ax ² + bx + c = 0. Термин «квадратичное» происходит от латинского слова «quadratus», означающего квадрат, который относится к тому факту, что переменная x в уравнении возведена в квадрат. Другими словами, квадратное уравнение — это «уравнение второй степени». Существует множество сценариев, в которых используется квадратное уравнение. Знаете ли вы, что когда ракета запускается, ее траектория описывается квадратным уравнением? Кроме того, квадратное уравнение имеет множество приложений в физике, технике, астрономии и т. д.

Квадратные уравнения имеют максимум два решения, которые могут быть действительными или комплексными числами. Эти два решения (значения x) также называются корнями квадратных уравнений и обозначаются как (α, β). Мы узнаем больше о корнях квадратного уравнения в нижеследующем содержании.

1.	Что такое квадратное уравнение?
2.	Корни квадратного уравнения
3.	Квадратичная формула
4.	Природа корней квадратного уравнения
5.	Формулы, относящиеся к квадратным уравнениям
6.	Методы решения квадратных уравнений
7.	Решение квадратных уравнений методом факторизации
8.	Способ заполнения квадрата
9.	График квадратного уравнения
10.	Квадратные уравнения, имеющие общие корни
11.	Максимальное и минимальное значение квадратного выражения
12.	Часто задаваемые вопросы о квадратных уравнениях

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени относительно x. Квадратное уравнение в стандартной форме имеет вид ax ² + bx + c = 0, где a и b — коэффициенты, x — переменная, а c — постоянный член. Важным условием того, чтобы уравнение было квадратным, является то, что коэффициент при x ² является ненулевым членом (a ≠ 0). Для записи квадратного уравнения в стандартной форме сначала записывается член x ² , затем член x и, наконец, записывается постоянный член.

Далее, в реальных математических задачах квадратные уравнения представляются в разных формах: (x — 1)(x + 2) = 0, -x ² = -3x + 1, 5x(x + 3) = 12х, х ³ = х(х ² + х — 3). Все эти уравнения необходимо преобразовать в стандартную форму квадратного уравнения перед выполнением дальнейших операций.

Корни квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения — это два значения x, которые получаются путем решения квадратного уравнения. Эти корни квадратного уравнения также называют нулями уравнения. Например, корни уравнения x ² — 3x — 4 = 0 равны x = -1 и x = 4, поскольку каждое из них удовлетворяет уравнению. т. е.

• При x = -1, (-1) ² — 3(-1) — 4 = 1 + 3 — 4 = 0
• При x = 4, (4) ² — 3(4) — 4 = 16 — 12 — 4 = 0

Существуют различные методы нахождения корней квадратного уравнения. Использование квадратичной формулы является одним из них.

Квадратичная формула

Квадратная формула — самый простой способ найти корни квадратного уравнения. Есть некоторые квадратные уравнения, которые нелегко разложить на множители, и здесь мы можем удобно использовать эту квадратную формулу, чтобы найти корни самым быстрым способом. Два корня в квадратной формуле представлены как одно выражение. Положительный знак и отрицательный знак могут быть альтернативно использованы для получения двух различных корней уравнения.

Квадратная формула: Корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равны x = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a.

Эта формула также известна как формула Шридхарачарьи.

Пример: Найдем корни того же уравнения, которое упоминалось в предыдущем разделе x ² — 3x — 4 = 0, используя квадратичную формулу.

а = 1, б = -3 и с = -4.

х = [-b ± √(b ² — 4ас)]/2а
= [-(-3) ± √((-3) ² — 4(1)(-4))]/2(1)
= [3 ± √25] / 2
= [3 ± 5] / 2
= (3 + 5)/2 или (3 — 5)/2 90 157 = 8/2 или -2/2 90 157 = 4 или -1 являются корнями.

Доказательство квадратной формулы

Рассмотрим произвольное квадратное уравнение: ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0

Для определения корней этого уравнения поступим следующим образом:

ax ^{2 9000 4 + bx = -c ⇒ x 2 + bx/a = -c/a}

Теперь представим левую часть в виде полного квадрата, введя новый член (b/2a) ² с обеих сторон:

x ² + bx/a + (b/2a) ² = -c/a + (b/2a) ²

Левая часть теперь представляет собой полный квадрат:

(x + b/2a) ² = -c/a + b ² /4a ² ⇒ (x + b/2a) ² = (b ² — 4ac)/4a ²

Это хорошо для нас, потому что теперь мы можем извлекать квадратные корни, чтобы получить:

x + b/2a = ±√(b ² — 4ac)/2a

x = (-b ± √(b ² — 4ac))/2a

Таким образом, заполнив квадраты, мы удалось выделить x и получить два корня уравнения.

Природа корней квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения обычно представляются символами альфа (α) и бета (β). Здесь мы узнаем больше о том, как найти природу корней квадратного уравнения без фактического нахождения корней уравнения.

Природа корней квадратного уравнения может быть найдена без фактического нахождения корней (α, β) уравнения. Это возможно, взяв значение дискриминанта, которое является частью формулы для решения квадратного уравнения. Величина b ² — 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой ‘D’. На основе значения дискриминанта можно предсказать характер корней квадратного уравнения.

Дискриминант: D = b

• D > 0, корни вещественные и различные
• D = 0, корни вещественные и равные.
• D < 0, корни не существуют или корни мнимые.

Теперь проверьте формулы, чтобы найти сумму и произведение корней уравнения.

Сумма и произведение корней квадратного уравнения

Коэффициент при x ² , член x и постоянный член квадратного уравнения ax ^{2 + bx + c = 0 полезны при определении суммы и произведения корней квадратного уравнения. Сумма и произведение корней квадратного уравнения могут быть вычислены непосредственно из уравнения, без фактического нахождения корней квадратного уравнения. Для квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 сумма и произведение корней следующие.}

• Сумма корней: α + β = -b/a = — Коэффициент x/ Коэффициент x ²
• Произведение корней: αβ = c/a = постоянный член/ коэффициент x ²

Написание квадратных уравнений с использованием корней

Квадратное уравнение также может быть составлено для заданных корней уравнения. Если α, β являются корнями квадратного уравнения, то квадратное уравнение выглядит следующим образом.

x ² — (α + β)x + αβ = 0

Пример: Какое квадратное уравнение имеет корни 4 и -1?

Решение: Дано, что α = 4 и β = -1. Соответствующее квадратное уравнение находится по формуле:

x ² — (α + β)x + αβ = 0
х ² — (α + β)x + αβ = 0
х ² — (4 — 1)х + (4)(-1) = 0
х ² — 3х — 4 = 0

Формулы, относящиеся к квадратным уравнениям

Следующий список важных формул полезен для решения квадратных уравнений.

• Квадратное уравнение в стандартной форме: ax ² + bx + c = 0
• Дискриминант квадратного уравнения равен D = b ² — 4ac
  • При D > 0 корни вещественны и различны.
  • При D = 0 корни вещественные и равные.
  • При D < 0 действительные корни не существуют или корни мнимые.
• Формула для нахождения корней квадратного уравнения: x = [-b ± √(b ² — 4ас)]/2а.
• Сумма корней квадратного уравнения равна α + β = -b/a.
• Произведение корня квадратного уравнения равно αβ = c/a.
• Квадратное уравнение, корни которого равны α, β, равно x ² — (α + β)x + αβ = 0,
• Условие для квадратных уравнений х + с ₂ = 0 с одинаковыми корнями (a ₁ b ₂ — a ₂ b ₁ ) (b ₁ c ₂ — b _{2 903 39 с 1 ) = (а 2 с 1 — а 1 с 2 ) ² .}
• Когда a > 0, квадратное выражение f(x) = ax ² + bx + c имеет минимальное значение при x = -b/2a.
• Когда a < 0, квадратное выражение f(x) = ax ² + bx + c имеет максимальное значение при x = -b/2a.
• Область определения любой квадратичной функции — это множество всех действительных чисел.

Методы решения квадратных уравнений

Можно решить квадратное уравнение, чтобы получить два значения x или два корня уравнения. Существует четыре различных метода нахождения корней квадратного уравнения. Четыре метода решения квадратных уравнений заключаются в следующем.

• Факторизация квадратного уравнения
• Используя квадратичную формулу (которую мы уже видели)
• Метод завершения квадрата
• Графический метод поиска корней

Давайте подробно рассмотрим каждый из вышеперечисленных методов, чтобы понять, как использовать эти методы, их приложения и способы их использования.

Решение квадратных уравнений методом факторизации

Факторизация квадратного уравнения выполняется в несколько этапов. Для общей формы квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 нам нужно сначала разделить средний член на два члена, чтобы произведение членов было равно постоянному члену. Далее мы можем взять общие слагаемые из имеющегося слагаемого, чтобы окончательно получить искомые множители следующим образом:

• x ² + (a + b)x + ab = 0
• x ² + топор + bx + ab = 0
• х(х + а) + Ь(х + а)
• (х + а) (х + б) = 0

Вот пример для понимания процесса факторизации.

• х ² + 5х + 6 = 0
• х ² + 2х + 3х + 6 = 0
• х(х + 2) + 3(х + 2) = 0
• (х + 2) (х + 3) = 0

Таким образом, два полученных множителя квадратного уравнения равны (x + 2) и (x + 3). Чтобы найти его корни, просто установите каждый множитель равным нулю и найдите x. т. е. x + 2 = 0 и x + 3 = 0, что дает x = -2 и x = -3. Таким образом, x = -2 и x = -3 являются корнями x ² + 5x + 6 = 0.

Далее есть еще один важный метод решения квадратного уравнения. Метод заполнения квадрата квадратного уравнения также полезен для нахождения корней уравнения.

Метод завершения квадрата

Метод завершения квадратного уравнения заключается в алгебраическом возведении в квадрат и упрощении для получения требуемых корней уравнения. Рассмотрим квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0. Чтобы определить корни этого уравнения, упростим его следующим образом:

• топор ² + Ьх + с = 0
• топор ² + Ьх = -с
• x ² + bx/a = -c/a

Теперь представим левую часть в виде полного квадрата, введя новый член (b/2a) ² с обеих сторон:

• x ² + bx/a + (b/2a) ² = -к/а + (б/2а) ²
• (х + b/2а) ² = -с/а + b ² /4а ²
• (х + б/2а) ² = (б ² — 4ас)/4а ²
• х + b/2а = + √(b ² — 4ас)/2а
• х = — б/2а + √(б ² — 4ас)/2а
• х = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a

Здесь знак «+» соответствует одному корню, а знак «-» соответствует другому корню квадратного уравнения. Как правило, этого подробного метода избегают, и для получения требуемых корней используется только квадратичная формула.

График квадратного уравнения

График квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 можно получить, представив квадратное уравнение в виде функции y = ax ² + bx + c. Далее, решая и подставляя значения для x, мы можем получить значения y, мы можем получить множество точек. Эти точки можно представить на оси координат, чтобы получить график в форме параболы для квадратного уравнения. Для получения подробной информации о построении графика квадратичной функции нажмите здесь.

Точки, в которых график пересекает горизонтальную ось х (обычно точки пересечения х), являются решением квадратного уравнения. Эти точки также можно получить алгебраически, приравняв значение y к 0 в функции y = ax ² + bx + c и найдя x.

Квадратные уравнения, имеющие общие корни

Рассмотрим два квадратных уравнения с общими корнями a ₁ x ² + b ₁ x + c ₁ = 0 и a ₂ x ² + b ₂ x + c ₂ = 0. Решим эти два уравнения, чтобы найти условия, при которых эти уравнения имеют общий корень. Два уравнения решаются относительно x ² и x соответственно.

(x ² )(b ₁ c ₂ — b ₂ c ₁ ) = (-x)/(a ₁ c 9033 8 2 — а ₂ в ₁ ) = 1/(а ₁ б ₂ — а ₂ б ₁ )

x ² = (б ₁ в ₂ — б ₂ в ₁ ) / (а _{1 903 39 б 2 — а 2 б 1 )}

х = (а ₂ в ₁ — а ₁ в ₂ ) / (а ₁ б ₂ — а _{2 9 0339 b 1 )}

Отсюда, упрощая выше двух выражений мы имеем следующее условие для двух уравнений, имеющих общий корень.

( ₁ б ₂ — а ₂ б ₁ ) (б ₁ в ₂ — б ₂ в _{1 9033 9 ) = (а 2 в 1 — а 1 с 2 ) ²}

Максимальное и минимальное значение квадратного выражения

Максимальное и минимальное значения квадратичной функции F(x) = ax ² + bx + c можно увидеть на графиках ниже. При положительных значениях a (a > 0) квадратное выражение имеет минимальное значение при x = -b/2a, а при отрицательном значении a (a < 0) квадратное выражение имеет максимальное значение при x = -b /2а. x = -b/2a — координата x вершины параболы.

Максимальное и минимальное значения квадратного выражения помогают найти диапазон квадратного выражения: Диапазон квадратного выражения также зависит от значения a. Для положительных значений a(a > 0) диапазон составляет [ F(-b/2a), ∞), а для отрицательных значений a ( a < 0) диапазон составляет (-∞, F(-b/ 2а)].

Обратите внимание, что областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел, т. е. (-∞, ∞).

Советы и рекомендации по квадратным уравнениям:

Некоторые из приведенных ниже советов и рекомендаций по квадратным уравнениям помогают упростить решение квадратных уравнений.

• Квадратные уравнения обычно решаются с помощью факторизации. Но в случаях, когда она не может быть решена факторизацией, используется квадратичная формула.
• Корни квадратного уравнения также называют нулями уравнения.
• Для квадратных уравнений с отрицательными значениями дискриминанта корни представлены комплексными числами.
• Сумму и произведение корней квадратного уравнения можно использовать для нахождения высших алгебраических выражений, включающих эти корни.

☛Похожие темы:

• Калькулятор корней
• Калькулятор квадратичного факторинга
• Калькулятор корней квадратного уравнения

Cuemath — одна из ведущих в мире платформ для обучения математике, которая предлагает онлайн-уроки по математике в режиме реального времени один на один для классов K-12. Наша миссия — изменить то, как дети изучают математику, чтобы помочь им преуспеть в школе и на конкурсных экзаменах. Наши опытные преподаватели проводят 2 или более живых занятий в неделю в темпе, соответствующем потребностям ребенка в обучении.

Примеры квадратных уравнений

1. Пример 1: Джеймс занимается фитнесом и каждое утро ходит на пробежку. Парк, в котором он бегает, имеет прямоугольную форму и имеет размеры 12 х 8 м. Группа защитников окружающей среды планирует обновить парк и решает построить дорожку вокруг парка. Это позволит увеличить общую площадь до 140 кв.м. Какова будет ширина дорожки?

   Решение:

   Обозначим ширину пути через x.

   Тогда длина и ширина внешнего прямоугольника равны (12+2x) м и (8+2x) м.

   Учитывая, что площадь = 140

   (12 + 2x)(8 + 2x) = 140

   2(6 + x) 2(4 + x) = 140

   (6 + x)(4 + x) = 35

   24 + 6x + 4x + x ² = 35

   x ² + 10x -11 = 0

   x ² + 11x — x — 1 1 = 0

   х(х + 11) — 1(х + 11) = 0

   (х + 11)(х — 1) = 0

   (х + 11) = 0 и (х — 1) = 0

   х = -11 и х = 1

   Поскольку длина не может быть отрицательной, примем x = 1.

   Ответ: Следовательно, ширина дорожки равна 1 м.

2. Пример 2: Рита бросает мяч вверх с платформы, находящейся на высоте 20 м над землей. Высота мяча над землей в момент времени «t» обозначается буквой «h». Предположим, что h = -4t ² + 16t + 20. Найдите максимальную высоту, на которую поднялся мяч.

   Решение:

   Мы можем переставить члены квадратного уравнения

   h = -4t ² + 16t + 20

   таким образом, чтобы максимальное значение этого уравнения было легко найти.

   h = -4t ² + 16t + 20

   = -4t ² + 16t + 20

   = -4(t ² — 4t — 5) 900 05

   = -4((т — 2 ) ² — 9)

   = -4(t — 2) ² + 36

   Мы должны сохранить значение (t — 2) ² минимальным, чтобы найти максимальное значение h.

   Итак, минимальное значение (t — 2) ² может принять 0.

   Ответ: Следовательно, максимальная достигнутая высота составляет 36 метров.

3. Пример 3: Найдите квадратное уравнение, имеющее корни 5 и 8 соответственно.

   Решение:

   Квадратное уравнение, имеющее корни α, β, x ² — (α + β) x + αβ = 0.

   , данный α = 5 и β = 8.

   Следовательно квадратное уравнение:

   x ² — (5 + 8)x + 5×8 = 0

   x ² — 13x + 40 = 0

   Ответ: Следовательно, искомое квадратное уравнение равно x ² — 13x + 40 = 0

4. Пример 4: Квадратное уравнение 2x ² + 9x + 7 = 0 имеет корни α, β. Найдите квадратное уравнение, имеющее корни 1/α и 1/β.

   Решение:

   Метод 1:

   Квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения ось ² + bx + c = 0, is cx ² + bx + a = 0,

   Данное квадратное уравнение имеет вид 2x ² + 9x + 7 = 0,

   Следовательно, искомое уравнение, имеющее обратные корни, имеет вид 7x ² + 9x + 2 = 0.

   Метод 2: Из данного уравнения

   α + β = -9/2 и α β = 2/7.

   Корни нового уравнения должны быть 1/α и 1/β.

   Их сумма = 1/α + 1/β = (α + β) / α β = -9/7
   Их произведение = 1/α β = 2/7
   Таким образом, искомое уравнение:
   х ² — (1/α + 1/β)x + 1/α β = 0
   х ² — (-9/7)х + 2/7 = 0
   Умножение обеих сторон на 7,
   7x ² + 9x + 2 = 0

   Ответ: Следовательно, уравнение 7x ² + 9x + 2 = 0,

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по квадратному уравнению

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о квадратном уравнении

Что такое определение квадратного уравнения?

квадратное уравнение в математике представляет собой уравнение второй степени вида ax ² + bx + c = 0. Здесь a и b — коэффициенты, c — постоянный член, а x — переменная. Поскольку переменная x имеет вторую степень, у этого квадратного уравнения есть два корня или ответа. Корни квадратного уравнения можно найти либо путем факторизации, либо с помощью квадратной формулы.

Что такое квадратичная формула?

Формула квадратного уравнения для решения уравнения ax ² + bx + c = 0: x = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a. Здесь мы получаем два значения x, применяя символы плюс и минус в этой формуле. Отсюда два возможных значения x: [-b + √(b ² — 4ac)]/2a и [-b — √(b ² — 4ac)]/2a.

Как решить квадратное уравнение?

Существует несколько методов решения квадратных уравнений, но наиболее распространенными являются факторизация, использование квадратной формулы и завершение квадрата.

• Факторинг включает в себя нахождение двух чисел, которые при умножении равны постоянному члену c и в сумме дают коэффициент при x, b.
• Квадратичная формула используется, когда факторизация невозможна, и определяется как x = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a.
• Чтобы составить квадрат, нужно переписать квадратное уравнение в другой форме, которая позволяет легко найти x.

Что такое определитель в квадратной формуле?

Значение b ² — 4ac называется дискриминантом и обозначается как D. Дискриминант является частью квадратичной формулы. Дискриминанты помогают нам найти природу корней квадратного уравнения, фактически не находя корней квадратного уравнения.

Каковы некоторые реальные приложения квадратных уравнений?

Квадратные уравнения используются для нахождения нулей параболы и ее оси симметрии. Есть много реальных приложений квадратных уравнений.

• Их можно использовать в задачах на время бега для оценки скорости, расстояния или времени во время путешествия на машине, поезде или самолете.
• Квадратные уравнения описывают взаимосвязь между количеством и ценой товара.
• Точно так же расчеты спроса и затрат также считаются задачами с квадратными уравнениями.
• Также можно отметить, что форма спутниковой антенны или телескопа-рефлектора определяется квадратным уравнением.

Чем квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений?

Линейная степень — это уравнение одной степени и одной переменной, а квадратное уравнение — это уравнение двух степеней и одной переменной. Линейное уравнение имеет форму ax + b = 0, а квадратное уравнение имеет форму ax ² + bx + c = 0. Линейное уравнение имеет один корень, а квадратное уравнение имеет два корня или два ответа. Кроме того, квадратное уравнение является произведением двух линейных уравнений.

Каковы 4 способа решения квадратного уравнения?

Ниже приведены четыре способа решения квадратного уравнения.

• Метод факторизации
• Метод вычисления корней квадратного уравнения
• Способ заполнения квадратов
• Графический метод

Как решить квадратное уравнение, составив квадрат?

Квадратное уравнение решается методом завершения квадрата по формуле (a + b)^2 = a 92 = а ² — 2аб + б ² .

Как найти значение дискриминанта?

Значение дискриминанта в квадратном уравнении можно найти из переменных и постоянных членов стандартной формы квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0. Значение дискриминанта D = b ² — 4ac, и это помогает предсказать природу корней квадратного уравнения, фактически не находя корней уравнения.

Как решать квадратные уравнения с помощью графиков?

Квадратное уравнение можно решить аналогично линейному равенству с помощью графика. Возьмем квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, поскольку y = ax ² + bx + c. Здесь мы берем набор значений x и y и строим график. Две точки, где этот график встречается с осью x, являются решениями этого квадратного уравнения.

Насколько важен дискриминант квадратного уравнения?

Дискриминант очень нужен, чтобы легко найти природу корней квадратного уравнения. Без дискриминанта нахождение природы корней уравнения — долгий процесс, так как сначала нужно решить уравнение, чтобы найти оба корня. Следовательно, дискриминант является важной и необходимой величиной, которая помогает легко найти природу корней квадратного уравнения.

Где найти программу решения квадратных уравнений?

Чтобы получить программу решения квадратных уравнений, щелкните здесь. Здесь мы можем ввести значения a, b и c для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0, тогда оно даст вам корни вместе с пошаговой процедурой.

Какая польза от дискриминантов в квадратичной формуле?

Дискриминант (D = b ² — 4ac) полезен для предсказания природы корней квадратного уравнения. При D > 0 корни действительны и различны, при D = 0 корни действительны и равны, а при D < 0 корни не существуют или являются мнимыми комплексными числами. С помощью этого дискриминанта и с наименьшими вычислениями мы можем найти природу корней квадратного уравнения.

Как решить квадратное уравнение, не используя квадратную формулу?

Существует два альтернативных метода квадратичной формулы. Один метод заключается в решении квадратного уравнения с помощью факторизации, а другой метод заключается в завершении квадратов. Всего существует три метода нахождения корней квадратного уравнения.

Как вывести квадратную формулу?

Алгебраическая формула (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² используется для решения квадратного уравнения и вывода квадратной формулы. Эта алгебраическая формула используется для управления квадратным уравнением и получения квадратной формулы для нахождения корней уравнения.

Алгебра: Формула расстояний

• Главная

• Узнать

• Алгебра

• Что такое алгебра
• Алгебра в повседневной жизни
• Основные алгебраические термины
• Методы решения по алгебре
• Линейные, нелинейные уравнения
• Алгебра Формулы
• Коммутативные Ассоциативные законы
• Формула расстояния
• Метод фольги
• Формула средней точки
• Скобки Правила
• Квадратичное уравнение
• Квадратичная формула
• Полиномиальные операции
• Полиномиальное сложение
• Полиномиальное вычитание
• Полиномиальное умножение
• Многочлен длинного деления
• Графики полиномиальных функций

Формула расстояния

, как следует из ее названия, используется для измерения кратчайшего (прямолинейного) расстояния между двумя точками.

Высшая математика | СпецКласс

Все записи: Высшая математика

18.03.2017   Дифференциальные уравнения   No comments

Уравнение Эйлера — это линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Решается с помощью замены переменных, которая позволяет свести исходное уравнение к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.

Смотреть

18.03.2017   Теория вероятностей   No comments

Пример для понимания этого условия: Вероятность попадания в мишень при стрельбе из трех разных ружей равны 0.7, 0.8 и 0.9 соответственно. Найдите вероятность того, что произойдет хотя бы одно попадание в мишень.

Смотреть

18.03.2017   Школьная математика, Математический анализ   No comments

Разбор простого примера нахождения интеграла от иррациональной функции. В следующих видео я разберу остальные случаи, которые могут вам встретиться в задачах.

Смотреть

25.10.2016   Онлайн-калькуляторы, Математический анализ   No comments

Как быстро решить предел? Воспользоваться любым онлайн-калькулятором, ибо их сейчас предоставляется невероятное множество. Но вот только не все онлайн калькуляторы вам с этим помогут.

Смотреть

17.11.2015   Теория вероятностей   No comments

В видео разбирается пример на систему двух случайных величин Х и У. Требуется найти таблицу закона распределения этой системы, математические ожидания, дисперсию, ковариацию и корреляцию.

Смотреть

17.11.2015   Теория вероятностей   No comments

Если наступление события зависит не от одной случайной величины, а от нескольких, то принято рассматривать систему случайных величин. Самый простой случай — система двух случайных величин, для которой принято находить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, а также такие параметры, как ковариация (корреляционный момент) и корреляция.

Смотреть

26.05.2015   Мои новости, Теория вероятностей   5 комментариев

Привет всем, кто учится и готовится к экзаменам! Сегодня я представляю Вашему вниманию приложение «СпецКласс — простая подготовка к экзаменам», которые вы уже сейчас можете скачать по этой ссылке и установить на свой телефон или планшет.

Смотреть

11.11.2014   Математический анализ, Математический анализ   No comments

Если под интегралом у вас стоит арктангенс, то скорее всего вам нужно вспомнить метод интегрирования по частям. Как он работает, вы узнаете из этого видео.

Смотреть

11.11.2014   Математический анализ, Математический анализ   No comments

Гиперболические функции — это такие формулы, которые понадобятся вам раза два за всю студенческую жизнь. Но на всякий случай я разберу, как находить их производные и покажу, что это очень даже легко.

Смотреть

11.11.2014   Математический анализ, Математический анализ   No comments

Производная высших порядков — это просто! Находишь производную функции, затем находишь производную от производной, и так далее пока не надоесть! В общем, все увидите в ролике.

Смотреть

Метод вариации произвольных постоянных онлайн калькулятор. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом лагранжа

Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + . .. + a 1 (t )z «(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t )

состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении

z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + … + c n z n (t )

соответствующего однородного уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + … + a 1 (t )z «(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0

на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,…,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

состоит в построении частного решения (1) в виде

где Z (t ) — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0 имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) .

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y 1 ,y 2 ,.., y n — фундаментальная система решений, а — общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0 . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной — восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции y j , j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C» j (x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y 1 ,y 2 ,. .,y n соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C» j (x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и C j (x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y»» + 4y» + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y»» + 4y» + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e — x и y 2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e — x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C» 1 , C» 2 составляем систему уравнений (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим

Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4·1·8 = 4

Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r 2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C» i составляем систему уравнений:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Выразим C» 1 из первого уравнения:
C» 1 = -c 2 e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C» 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C» 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрируем полученные функции C» i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Поскольку y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C 1 = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откуда: C 1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).

y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:

2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда

Полученные выражения подставляем в условие (I):

Интегрируем обе части уравнения:

здесь С — уже некоторая новая константа.

3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.

1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:

Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:

Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.

2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии

Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:

Умножим обе части уравнения на

Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:

Здесь С уже не функция, а обычная константа.

3) В общее решение однородного уравнения

подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .

y’x+y=-xy².

Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:

Подставляем полученные выражения в условие (II):

Упрощаем:

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:

Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.

3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.

Примеры для самопроверки:

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.

1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:

Отсюда находим y:

Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C»(x)):

Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:

Теперь подставляем u, du и v в формулу:

Здесь С =const.

3) Теперь подставляем в решение однородного

Теоретический минимум

В теории дифференциальных уравнений существует метод, претендующий на достаточно высокую для этой теории степень универсальности.
Речь идёт о методе вариации произвольной постоянной, применимом к решению различных классов дифференциальных уравнений и их
систем. Это именно тот случай, когда теория — если вывести за скобки доказательства утверждений — минимальна, но позволяет добиваться
значительных результатов, поэтому основной акцент будет сделан на примерах.

Общую идею метода сформулировать довольно просто. Пусть заданное уравнение (систему уравнений) решить сложно или вообще непонятно,
как его решать. Однако видно, что при исключении из уравнения некоторых слагаемых оно решается. Тогда решают именно такое упрощённое
уравнение (систему), получают решение, содержащее некоторое количество произвольных констант — в зависимости от порядка уравнения (количества
уравнений в системе). Затем полагают, что константы в найденном решении в действительности константами не являются, найденное решение
подставляется в исходное уравнение (систему), получается дифференциальное уравнение (или система уравнений) для определения «констант».
Существует определённая специфика в применении метода вариации произвольной постоянной к разным задачам, но это уже частности, которые будут
продемонстрированы на примерах.

Отдельно рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений высших порядков, т.е. уравнений вида
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
данного уравнения. Предположим, что общее решение однородного уравнения уже найдено, а именно построена фундаментальная система решений (ФСР)
. Тогда общее решение однородного уравнения равно .
Нужно найти любое частное решение неоднородного уравнения. Для этого константы считаются зависящими от переменной .
Далее нужно решить систему уравнений
.
Теория гарантирует, что у этой системы алгебраических уравнений относительно производных от функций есть единственное решение.
При нахождении самих функций константы интегрирования не появляются: ищется ведь любое одно решение.

В случае решения систем линейных неоднородных уравнений первого порядка вида

алгоритм почти не меняется. Сначала нужно найти ФСР соответствующей однородной системы уравнений, составить фундаментальную матрицу
системы , столбцы которой представляют собой элементы ФСР. Далее составляется уравнение
.
Решая систему, определяем функции , находя таким образом, частное решение исходной системы
(фундаментальная матрица умножается на столбец найденных функций ).
Прибавляем его к общему решению соответствующей системы однородных уравнений, которое строится на основе уже найденной ФСР.
Получается общее решение исходной системы.

Примеры.

Пример 1. Линейные неоднородные уравнения первого порядка .

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение (искомую функцию обозначим ):
.
Это уравнение легко решается методом разделения переменных:

.
А теперь представим решение исходного уравнения в виде , где функцию ещё предстоит найти.
Подставляем такой вид решения в исходное уравнение:
.
Как видно, второе и третье слагаемое в левой части взаимно уничтожаются — это характерная черта метода вариации произвольной постоянной.

Вот здесь уже — действительно, произвольная постоянная. Таким образом,
.

Пример 2. Уравнение Бернулли .

Действуем аналогично первому примеру — решаем уравнение

методом разделения переменных. Получится , поэтому решение исходного уравнения ищем в виде
.
Подставляем эту функцию в исходное уравнение:
.
И снова происходят сокращения:
.
Здесь нужно не забыть удостовериться, что при делении на не теряется решение. А случаю отвечает решение исходного
уравнения . Запомним его. Итак,
.
Запишем .
Это и есть решение. При записи ответа следует также указать найденное ранее решение , так как ему не соответствует никакое конечное значение
константы .

Пример 3. Линейные неоднородные уравнения высших порядков .

Сразу заметим, что это уравнение можно решить и проще, но на нём удобно показать метод. Хотя некоторые преимущества
у метода вариации произвольной постоянной и в этом примере есть.
Итак, начинать нужно с ФСР соответствующего однородного уравнения. Напомним, что для нахождения ФСР составляется характеристическое
уравнение
.
Таким образом, общее решение однородного уравнения
.
Входящие сюда константы и предстоит варьировать. Составляем сист

Derivative Calculator: Wolfram|Alpha

WolframAlpha

Solve derivatives with Wolfram|Alpha

ddx xsin

x2

Math Input

Больше, чем просто онлайн-решатель производных

Wolfram|Alpha — отличный калькулятор для первых, вторых и третьих производных; производные в точке; и частные производные. Узнайте, что такое производные и как Wolfram|Alpha их вычисляет. 92 x) wrt x

• Посмотреть другие примеры »

Доступ к инструментам мгновенного обучения

Немедленная обратная связь и рекомендации с помощью пошаговых решений и генератора проблем Wolfram

Узнайте больше о:

• Пошаговое руководство пошаговые решения »
• Генератор задач Wolfram »

Что такое производные?

Производная — важный инструмент исчисления, представляющий бесконечно малое изменение функции по отношению к одной из ее переменных.

Для заданной функции существует много способов обозначить производную относительно . Наиболее распространены способы и . Когда производная берется раз, используется обозначение или . Они называются производными высшего порядка. Обратите внимание, что для производных второго порядка часто используется обозначение.

В точке производная определяется как . Существование этого предела не гарантируется, но если он существует, то говорят, что он дифференцируем при . Геометрически говоря, это наклон касательной в .

Например, если , то и тогда мы можем вычислить : . Производная является мощным инструментом со многими приложениями. Например, он используется для поиска локальных/глобальных экстремумов, поиска точек перегиба, решения задач оптимизации и описания движения объектов.

Как Wolfram|Alpha вычисляет производные

Wolfram|Alpha вызывает D-функцию Wolfram Languages, которая использует таблицу тождеств, намного большую, чем можно найти в стандартном учебнике по математическому анализу. Он использует известные правила, такие как линейность производной, правило произведения, правило степени, правило цепи и так далее. Кроме того, D использует менее известные правила для вычисления производной широкого спектра специальных функций. Для производных более высокого порядка определенные правила, такие как общее правило произведения Лейбница, могут ускорить вычисления. 9Константы: пи Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Функция

Производное максимальное число

Во время загрузки и создания может происходить замедление работы браузера.

Синтаксис формулы функции

В записи функции вы можете использовать одну переменную (всегда используйте x ), скобки, число пи ( 9 .
Вы можете использовать следующие общие функции: sqrt — квадратный корень, exp — степень экспоненты, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — логарифм по основанию e, SIN — SINE, COS — COSINE, TG — TANGENT, CTG — COTANGENT, SEC — SECANT, COSEC — COSECANT, ARCSIN -ARCSINE, ARCSINE, 901, 901, 9013, 901, , , , , , , , , , . — арктангенс, ARCCTG — ARCCOTANGENT, ARCSEC — ARCSECANT, ARCCOSEC — ARCCOSECANT, Versin — Versine, — vercos — Vercosine, HARED -HAVERNIN — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, абс — модуль, sgn — signum (знак), log__ p — логарифм по основанию p , f.

Показатели и законы показателей

В математике существуют различные экспоненциальные законы. Экспоненциальные правила используются для решения многих математических задач, связанных с повторяющимися процессами умножения. Законы показателей упрощают операции умножения и деления и облегчают решение задач. В этой статье мы рассмотрим шесть наиболее важных законов показателей, а также многочисленные решенные примеры.  

Что такое экспоненты?

Экспоненты используются для представления многократного умножения одного числа. Например, 7 × 7 × 7 можно записать как. Показатель степени в этом случае равен «3», что представляет собой количество умножений числа 7. Базовое число здесь 7, это число, которое умножается. Экспоненты или степени, по сути, обозначают, сколько раз можно умножать число. Если степень равна 2, это означает, что базовое число было умножено дважды.
Экспоненты необходимы, потому что без них трудно писать произведения, в которых число многократно повторяется само по себе. Например, гораздо проще написать 57, чем 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5.
Экспоненты и степени не различаются. Экспоненты также известны как степени, и добавление экспоненты к чему-либо эквивалентно повышению степени до уровня степени. Экспоненты — это просто ярлык для обозначения кратности одного и того же.
Когда вы видите экспоненциальную функцию, большее число находится внизу, за ним следует меньшее число в правом верхнем углу. Большое число внизу называется «базой», а маленькое число в углу — «показателем». Показатель степени всегда прибавляется к основанию.  

Что такое законы показателей?

Экспоненциальные правила — это законы, которые используются для упрощения экспоненциальных выражений. Многие арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, можно выполнять быстро и легко, используя законы возведения в степень. Эти правила также можно использовать для упрощения чисел со сложными степенями, включающими дроби, десятичные дроби и корни.  

Законы экспонент

Правила экспоненты следующие: правило 0, правило 1, правило степени экспоненты, правило отрицательной экспоненты, правило произведения и правило частного. Это правила, которые вы используете для упрощения и решения задач экспоненты. А поскольку у показателей есть свой собственный набор операций, вы должны применять правила в том порядке, который я только что перечислил при упрощении задач с показателями.
Когда показатель степени равен нулю, используется правило 0. Согласно правилу, все, что возведено в степень 0, равно единице. 0 является единственным исключением (0, неопределенная форма).
Свойство произведения экспонентов — Свойство произведения экспонентов используется для умножения выражений с одинаковыми основаниями. «Чтобы умножить два выражения с одним и тем же основанием, сложите показатели степени, сохраняя при этом одно и то же основание», — говорится в этом свойстве. Это правило требует, чтобы вы добавляли степени с одинаковым основанием.  
Частное свойство показателей степени —  Для деления выражений с одинаковыми основаниями используется свойство отношения показателей степени. «Чтобы разделить два выражения с одинаковым основанием, вычтите степени , сохраняя при этом постоянное основание», — говорится в этом свойстве. Это полезно для решения выражений без выполнения процесса деления. Единственное требование состоит в том, чтобы основания двух выражений были одинаковыми.  
Нулевое свойство экспоненты-  Когда экспонента выражения равна нулю, применяется нулевое свойство экспоненты. «Любое число (кроме 0), возведенное в 0, равно 1», — говорит это свойство. Стоит отметить, что значение 00 не определено. Это поможет нам понять, что независимо от основания значение нулевого показателя степени всегда равно 1,9.0011 Чтобы узнать больше о законах экспоненты, посетите веб-сайт Cuemath.

Умножить | MS GARCIA MATH

Умножение целых чисел

Умножение — это математическая операция, которая показывает, сколько раз число прибавляется само к себе.

2 x 5 = 10                                     5 + 5 = 10

Умножение двух групп по 5           Добавление двух групп по 50002  

 

 

Умножение – это многократное сложение. Добавить многократно (или скип-отстраненный число, которое нужно умножить на другое (множитель ). Произведение — результат умножения двух (или более) чисел, например, 10 — произведение 2 и 5.

 

Факторы — это числа, которые перемножаются.

Длинное умножение (традиционный метод)

В этом методе мы умножаем множимое на каждую цифру множителя, а затем складываем все правильно сдвинутые результаты.

Шаги:

Шаг первый: Умножьте на единицу, чтобы получить первый частичный продукт.

Шаг второй: Умножьте число десятков, чтобы получить второе частичное произведение.

Шаг третий: Умножьте число сотен, чтобы получить третье частичное произведение.

Шаг четвертый: …

Последний шаг: Сложите все частичные произведения вместе, чтобы получить конечный продукт!  

Пример:

В этом примере мы умножаем единицы и десятки отдельно.

34 x 21 = 34 x (20 + 1) = 34 x 20 + 34 x1 = 680 + 34 = 714  

десятки и единицы

Пример: 34 = 30+4 и 21 = 20+1

34 x 21 = 600+80+30+4 = 714

Введение в умение

9 Что такое умножение?

Свойства умножения

Распределительное свойство

Свойства умножения (HELP) (помощь) (помощь) (HELP)0004

 

IN08     Умножение и деление целых чисел

На отдельном листе бумаги умножьте и проверьте свои ответы.

Word Problems – Using Whole Numbers 

WN16     Multiplying Whole Numbers

WN44     Multiplying Wole Numbers 2

WN17     Multiplication of whole numbers word problems

WN38 Whole Numbers Multiplication 2×1

WN39 Умножение целых чисел 2 × 2

WN40 Умножение целых чисел 3 × 1

WN41 Умножение целых чисел 3 × 2

WN42 Умножение целых чисел 3 × 3

Multylly на Ten 4993

919191919191919191919191919191919.

калькулятор крамер

Механизм для дверей магнитный MVM MG-2056 WC MA| интернет

Описание Механизм для дверей магнитный MVM MG-2056 WC MA матовый антрацит

Механизм для дверей магнитный MVM MG-2056 WC MA (матовый антрацит).

Преимущества магнитных защелок — отсутствует щелчок при закрытии. Притяжение магнита происходит плавно и бесшумно. Бесшумность работы является ключевым плюсом, особенно для  таких помещений как детская комната и т.д. Нет необходимости доводить дверь до определенного состояния, достаточно просто легонько подтолкнуть ее. Когда металлический элемент попадет в зону действия магнитного, защелка сама доведет дверь до нужного положения.

В комплектацию защелки входит магнитная ответная часть. При закрывании двери, магнитный механизм защелки срабатывает автоматически. Фиксация защелки осуществляется поворотной ручкой фиксатора WC (в комплект не входит). Защелку устанавливают вместе с дверными межкомнатными или сантехническими ручками на розетках с квадратом под ручку 8 мм, а под фиксатор 6 мм.

Комплектность поставки:

1. корпус защелки
2. ответная часть
3. комплект крепежа
4. упаковка

Технические характеристики:

• Размер защелки — 132x77x14 мм
• Размер планки — 195×18 мм
• Межосевое — 96 мм
• Удаление квадрата под ручку — 50 мм
• Цвет — матовый антрацит.

Инструкция по установке:

1. Определите место установки защелки и нанесите разметку.
2. В двери выберите пазы под корпус защелки и ответную планку.
3. Установите корпус защелки в дверь. Закрепите корпус саморезами.
4. По установленной защелке отметьте место установки ответной части на дверной коробке.
5. Выберите паз под ответную часть.
6. Установите ответную часть в паз. Закрепите ее саморезами.
7. После установки ручек поочередно снаружи и изнутри помещения проверьте работоспособность защелки.

430 грн

Купить в 1 клик

«>

Характеристики Механизм для дверей магнитный MVM MG-2056 WC MA матовый антрацит

Характеристики замка
Тип язычка	Магнитный
Дополнительное запирание	Под квадрат 6 мм
Межосевое расстояние	96 мм
Backset, мм	50
Цвет	Матовый антрацит
Информация о товаре
#	MG-2056 MA
Вес	450. 00г
(Д x Ш x В)	132.00мм x 77.00мм x 14.00мм

430 грн

Купить в 1 клик

«>

Lazutin M.G. — сотрудник | ИСТИНА – Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных

В связи с техническими работами в центре обработки данных, часть прикреплённых файлов в настоящее время недоступна.

скрыть

Соавторы: Ревельский И.А., Yashin Y.S., Борзенко А.Г., Проскурнина Е.В., Ревельский А.И., Efimov I.P., Mitroshkov A.V., Yashin Y.S., Головко И.В., Золотов Ю.А., Киселёв С.М.

2 статьи, 22 доклада на конференциях, 2 тезисов докладов

Количество цитирований статей в журналах по данным Web of Science: 2, Scopus: 1

 F=ма
 

 Следовательно,
F=мг
 

 F=мг + (-Т)
 

 F=мг-Т
 

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Подобные треугольники
5. Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого А = 30⁰, В = 60⁰.

Так как катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы, то

Но С другой стороны, Итак,

Из основного тригонометрического тождества получаем:

Так как , то:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого А = 45⁰, В = 45⁰. Данный треугольник является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника, поэтому  АВ = АС.

По теореме Пифагора откуда

Следовательно,

Составим таблицу значений sin , cos , tg для углов , равных 30⁰, 45⁰, 60⁰:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 642, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 647, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 652, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1018, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1020, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1023, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1087, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1088, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1215, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1269, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Чему равен тангенс угла 60 градусов?

Чему равен тангенс угла 60 градусов?

значение угла α (градусов)	значение угла α в радианах (через число пи)	tg (тангенс)
60	π/3	√3
75	5π/12	2 + √3
90	π/2	—
105	7π/12	— 2 — √3

Чему равен синус угла в 45 градусов?

синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов и равен корню из двух пополам (то же самое, что и единица, деленная на корень из двух)

Чему равен косинус 3 пи на 2?

Чтобы вычислить значение заданной функции нужно опустить перпендикуляр на ось Ох, после чего получим значение 0. Таким образом, косинус от 3 Пи / 2 равен 0.

Чему равен минус косинус пи на 2?

Правильный ответ, разумеется, 57.

Чему равно 2пи на 3?

Согласно заданию аргумент функции равен 2п / 3. На окружности данное значение соответствует 120 градусам. Чтобы вычислить значение функции косинус от этого аргумента нужно опустить перпендикуляр на ось абсцисс, после чего получим точку —1/2. Следовательно, косинус от 2п/3 равен —1/2.

Что такое 2 пи в физике?

Реакция (п, 2п) является основным процессом неупругого взаимодей ствия нейтронов со средними и тяжелыми ядрами при энергии 10—30 Мэв. … Измерение сечений в области энергий 10—35 Мэв связано с боль шими трудностями из-за отсутствия источников моноэнергетических нейтро нов.

Что такое пи в окружности?

Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым для всех окружностей и обозначается греческой буквой π («Пи»). Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. … округленное до разряда сотых π ≈ 3,14…

Как найти п на окружности?

1) Периметр круга равен произведению радиуса на два пи (3.

Как найти радиус в прямоугольнике?

d = √ a2 + b2, где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Как найти радиус основания конуса?

2)Если вам известны площадь боковой поверхности конуса S и длина его образующей L, выразите радиус R из формулы: S=πRL. Вы получите R=S/πL. 3)Следующие способы нахождения радиуса основания конуса базируются на утверждении, что конус образован при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов к оси.

Как найти H в конусе?

Образующая конуса, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник. Поэтому если известна образующая (гипотенуза) и радиус (катет), то высоту можно выразить с помощью теоремы Пифагора. a² = c² — b², a = √(c² — b²). a — высота, b — радиус, c — образующая.

Что означает слово радиус?

radius — спица колеса, луч) — отрезок, соединяющий центр окружности (или сферы) с любой точкой, лежащей на окружности (или сфере), а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Как вычислить длину радиуса?

Запишите формулу для вычисления длины окружности через радиус. Радиус равен половине диаметра, а диаметр, соответственно, — двум радиусам (2r). Тогда формула имеет вид: C = 2πr, где C — длина окружности, r — радиус окружности.

Как рассчитать круг?

Формула для вычисления длины окружности. Длину окружности можно вычислить по двум формулам: C = 2πr или C = πd, где π – число «пи» (математическая константа, приблизительно равная 3,14) X Источник информации , r – радиус окружности, d – диаметр окружности.

Чему равна длина окружности формула?

Чтобы найти длину окружности, нужно либо диаметр окружности умножить на π≈3,, либо найти удвоенное произведение радиуса и числа π. Здесь r — это радиус заданной окружности, а d — диаметр, π≈3,.

Тангенс 60 градусов: Значение тангенса 60 с доказательством, примерами и часто задаваемыми вопросами

Тангенс 60 градусов

Значение тангенса угла 60° в прямоугольном треугольнике называется тангенсом угла 60 градусов. Тангенс угла 60° – это величина, представляющая отношение длины противолежащей стороны к длине прилежащей стороны относительно рассматриваемого угла.

В тригонометрии мы математически записываем тангенс (60°), и его точное значение в дробной форме равно √3. Поэтому запишем его в следующем виде в тригонометрии:

tan (60°) = tan π/3 = √3

 

Значение Tan 60°

Точное значение tan(π/3) равно 1/ √3 равно 1,7320508075… в десятичной форме.

Взаимно кроватки 60 градусов.

Приблизительное значение тангенса угла 60 градусов равно 1,7321.

тангенс (60°) = 1,7320508075… ≈ 1,7321

 

Доказательство

Точное значение тангенса ( π/3) можно получить с помощью трех методов, описанных ниже.

• Теоретический метод

Мы можем получить точное значение тангенса (60°), рассмотрев равносторонний треугольник ABC.

Мы знаем, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Итак, ∠A = ∠B = ∠C = 60°

Теперь проведите перпендикуляр AD из точки A в сторону BC.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника ABD и ADC.

Здесь ∠ ADB = ∠ADC = 90° и,

∠ ABD = ∠ACD = 60° 9{2}
\text { Итак, } \mathrm{AD}=\mathrm{a} \sqrt{3}

 

Теперь в прямоугольном треугольнике ADB

tan (60°) = (сторона, противоположная ∠ ABD) / (сторона, примыкающая к ∠ ABD)

tan (60°) = AD/BD

tan (60°) = a√3/a 

                = √3

Следовательно, желтовато-коричневый (60 °) =√3

• Практический метод
  

Значение тангенса угла 60° можно также найти практически, построив геометрическим инструментом прямоугольный треугольник с углом 60°.

Проведите прямую горизонтальную линию из точки H и затем постройте угол 60° с помощью транспортира.

С помощью линейки установите компас на любую длину. Здесь компас установлен на 4,4 см. Теперь нарисуйте дугу на линии под углом 60° из точки H, и она пересечет линию в точке I. J перпендикулярно. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник ∆HIJ.

Теперь вычислите значение тангенса 60 градусов и для этого измерьте линейкой длину прилегающей стороны (HJ). Вы заметите, что длина противоположной стороны (IJ) составляет 3,8 см, а длина прилегающей стороны (HJ) в этом примере составляет 2,2 см.

 

Теперь найдем отношение длин противолежащей стороны к прилежащей и получим значение тангенса угла 60°.

Здесь

тангенс (60°) = (противоположная сторона) / (прилегающая сторона)

тангенс (60°) = IJ/HJ = (3,8)/(2,2)

Итак, тангенс (60°) = 1,727272… ≈ 1,7321

 

Мы можем доказать значение тангенса (60°) с помощью тригонометрический подход.

знаем,

sin 60° = √3/2,

cos 60° = 1/2

Также, по тригонометрическим тождествам,

sin x/cos x = tan x 9 0008

Поставить х = 60°

тангенс (60°) = sin (60°)/cos (60°)

Введите значения sin 60° и cos 60°

тангенс (60°) = (√3/2)/( 1/2)

тангенс (60°) = √3

Следовательно, мы доказали значение тангенса (60°), используя различные подходы.

 

Пример

 

1. Вычислить: tan 60° + sin 60°

Решение:

Мы знаем, что tan (60°) = √3 и sin (60°) = √3/2
Итак, tan (60°) + sin (60°)
= √3 + √3/2
= (3√3)/2

 

2. Вычислить 2 загар 60 ° – 2 cos 30°

Решение:
Мы знаем, что тангенс (60°) = √3 и cos (30°) = √3/2
Итак, 2 тангенс (60°) – 2 cos (30°)
= 2√3 – 2(√3/2)
= 2√3 – √3
= √3

Mathway | Популярные проблемы

92

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найдите точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктический(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	соз(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар(45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек (45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найдите точное значение	желтовато-коричневый(30)
32	Преобразование градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	соз(45)
34	Упростить
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктический(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	желтовато-коричневый (пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	соз(30)
47	Найдите точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	соз(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	соз(210)
52	Найти точное значение	сек (60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найдите точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 шт. Решения неравенств с модулями: Уравнения и неравенства с модулем alexxlab / 05.07.202327.04.2023 / Разное Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля Е.П. Нелин, В.А. Лазарев  АЛГЕБРА и начала математического анализа 10 класс Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровень (Оформление и автор интерактивных технологий Морозова Е.) Объяснение и обоснование      Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений.         В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения. Пример            Решите уравнение | 2x – 4 | = 6. I способ (по определению модуля) II способ (использование геометрического смысла модуля)      Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.      Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида |f (x)| + |g (x)| = a  (a > 0).      Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции f (x) и g (x) будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства f (x) ≥ или ≤0,                              (1) g (x) ≥ или ≤0.                             (2)      Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции f (x)), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции g (x)). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций f (x) и g (x), то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).      Чтобы продолжить решение неравенств f (x) ≥или≤0 и g (x) ≥или≤ 0 методом интервалов, необходимо найти нули функций f (x) и g (x), то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир).      Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).      В каждом из полученных промежутков знаки функций f (x) и g (x) не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы).       Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.   ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Вопросы для контроля Объясните, какими способами можно решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Проиллюстрируйте эти способы на примерах. Обоснуйте специальные соотношения. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Обоснуйте обобщения использования геометрического смысла модуля. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Упражнения Решите уравнения и неравенства, содержащие знак модуля (1–15). Постройте график функции ТЕСТ Уравнения и неравенства       Неравенства с модулем. Способы решения неравенств с модулями Похожие презентации: Элементы комбинаторики ( 9-11 классы) Применение производной в науке и в жизни Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде» Знакомство детей с математическими знаками и монетами Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10 Методы обработки экспериментальных данных Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии Дифференциальные уравнения Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи Неравенства с модулем 2. Способы решения неравенств с модулями: 2 1. По определению модуля 2. Возведение обоих частей неравенства в квадрат 3. Замена переменной 4. Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства 5. Равносильность неравенств системам 6. Важный частный случай 3. 1.По определению модуля 3 | f (x) | < а -a |3x-1|<7 -7< 3x-1 <7 -6< 3x <8 8 -2< x < 3 8 Ответ: 2; 3 | f (x) |> а a 5x 2 4 -a a 5 x 2 4 5 x 2 4 5 x 6 5 x 2 2 6 Ответ : ; ; 5 5 4. 2.Возведение обеих частей в квадрат 4 |x2-1| > |x2-x| (x2-1)2 > (x2-x)2 — равносильность не нарушена (x2-1+ x2-x)(x2-1-x2+x) > 0 – разность квадратов (2×2-x-1)(x-1) > 0 — + 1 2 + 1 5. 3.Замена переменной 5 + -2 0 — + 3 t 6. 4. Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства6 |x-1| + |2-x| > 3 x-1 — 2-x + 1 + Нули подмодульных выражений: x =1 и x =2 2 + + — а) б) в) x 1 ( x 1) 2 x 3 x 1 x 0 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 0 1 х ;0 1 x 2 1 3 неверное Ответ : ;0 3; 2 3 х 3; 7. 5. Равносильность неравенств системам или их совокупности 7 См. решение по определению Равносильно неравенству: Можно записать в виде системы Неравенство равносильно двум неравенствам: Можно записать в виде совокупности 8. 5. Равносильность неравенств системам (примеры) 8 №1 3x | 2 x | 5 №2 5 x 7 | x 2 | | 2 x | 5 3x | x 2 | 5 x 7 2 x 5 3 x 2 x 3 x 5 1 x 1 2 x 1 3 4 x 2 5x 7 x 2 7 5x 1 x 2 4 x 5 6 1 Ответ : ( ;1 ] 2 1 Ответ : ( ;2 ) 4 9. 6. Один частный случай9 x 1 1 x 2 x 1 x 2 ОДЗ : x 2 1 умножим на |x+2|>0 в ОДЗ | x 1 | | x 2 | возведем в квадрат, обе части ( x 1 x 2)( x 1 x 2) 0 (2 x 1)( 3) 0 2x 1 0 x 12 для преобразования используем разность квадратов Учитывая ОДЗ, получим: 1 Ответ : ( ; 2) ( 2; ) 2 Обучающая самостоятельная работа 10 Метод решения 1. По определению модуля условие ответы (-5; 1) По определению модуля По определению модуля По определению модуля (-∞; −2) ∪ (−2; −0,5) 2. Возведение обеих частей в квадрат 3. Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства 4. Замена переменной Замена переменной 5. Замена совокупностью систем 0; 2 11 English     Русский Правила Рациональные и модульные неравенства | Понятие и вопросы Рациональные неравенства: Неравенства вида (ax+b/cx+d) < k или (ax+b/cx+d) > k называются рациональными неравенствами, где ax + b и cx + d являются линейными алгебраическими выражениями. Для решения рациональных неравенств необходимо выполнить следующие шаги. Рекомендуемое действие БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего звездного факультета с более чем 20-летним опытом. Зарегистрируйтесь сейчас Приравняем правую часть к нулю, переставив постоянный член в левую часть. Решите левую часть так, чтобы она приняла форму mx+1/nx+p <0 или mx+1/nx+p >0 Убедитесь, что ‘m’ и ‘n’, которые являются коэффициентами ‘x’ в числителе и знаменателе положительны. Приравняйте числитель и знаменатель к нулю, чтобы получить критические точки. Поместите эти точки на числовую прямую. Числовая строка будет разделена на три части. Крайняя правая часть дает решение положительных неравенств, средняя часть дает решение отрицательных неравенств, а самая левая часть дает решение положительных неравенств. Решим несколько задач на рациональное неравенство: Иллюстрация 1: Решить 3x+5/5x-2<0 Решение: Имеем 3x+5/5x-2>0 90 004 Вот правая часть уже равна нулю. Так что здесь нам не нужно делать никаких расчетов. Чтобы получить критические точки, приравняйте числитель и знаменатель к нулю. У нас есть 3x + 5 = 0 ⇒ x=(-5/3) и 5x – 2 = 0 ⇒ x = 2/5 Нанесите эти точки на числовую прямую. Так как данное неравенство отрицательное, то решение (-5/3)< x < (2/5) Модульные неравенства или абсолютные неравенства Неравенства вида |ax + b| < k или |ax + b| > k называются модульными или абсолютными неравенствами. Чтобы решить эти неравенства, помните о следующих правилах: Если |x| < а, тогда – а < х < а Если |х| > а, то либо х > а, либо х < - а Если |х – л| < a, то l – a < x < l + a Если |х – л| > a, то либо x > l + a, либо x < l – a. Давайте попробуем ответить на вопросы о модульном неравенстве: Иллюстрация 2: Решить |x – 3| < 5. Решение: Имеем |x – 3| < 5 ⇒ — 5 < x – 3 < 5 (Если |x| < a, то – a < x < a) ⇒ 3 – 5 < x < 3 + 5 (Одно и то же число может быть добавлено с обеих сторон неравенство) ⇒ -2 < x < 8, что и является требуемым решением. Предлагаемое действие: Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ макетам, 75+ видео и 100+ тестам по главам. Зарегистрируйтесь сейчас Иллюстрация 3: Решите |8x + 5| < 9. Решение: Имеем |8x + 5| < 9. ⇒ — 9 < 8x + 5 < 9 (Если |x| < a, то – a < x < a) ⇒ — 5 – 9 < 8x < 9 – 5 (Одно и то же число может быть добавлено с обеих сторон неравенства) ⇒ — 14 < 8x < 4 ⇒ -14/8 < x < 4/8 ⇒ -7/4 < x < 1/2, что и является требуемым решением. Решение абсолютных неравенств — объяснение! Purplemath Есть много возможностей для ошибок с абсолютными неравенствами, поэтому давайте рассмотрим эту тему медленно и попутно посмотрим на несколько полезных иллюстраций. Когда мы закончим, надеюсь, у вас будет хорошая картина происходящего в голове, и вы не совершите некоторые из наиболее распространенных ошибок. Как только вы поймете, как работает это неравенство, все окажется не так уж и плохо. Содержимое продолжается ниже MathHelp. com Неравенства абсолютного значения (Примечание: этот урок охватывает линейных неравенств абсолютного значения.) Что такое абсолютные значения? Вспомните первоначальное определение абсолютных значений как расстояния: «|  x  | это расстояние x от нуля». Например, и −2, и +2 — это две единицы от нуля, как вы можете видеть на изображении ниже: Это означает, что их абсолютные значения будут равны 2; то есть имеем: | −2 | = | +2 | = 2 Имея в виду это определение и картинку, давайте рассмотрим некоторые абсолютные неравенства. Как решить абсолютные неравенства «меньше чем»? Чтобы решить неравенство абсолютного значения «меньше чем», мы используем определение абсолютного значения, чтобы переформулировать неравенство как неравенство, состоящее из трех частей; то есть учитывая | м x  +  б  | < c , преобразуйте это в: − c < m x + б < +; c Затем решите полученное линейное неравенство из трех частей, чтобы получить переменную в середине. Это неравенство. Если решением абсолютного значения уравнения являются точки (как на графике выше), то решением абсолютного значения неравенства (или «неравенства») будут интервалы. В этом неравенстве меня просят найти все значения x , которые отличаются от нуля менее чем на три единицы в любом направлении , поэтому решением будет набор всех точек, которые находятся на расстоянии менее трех единиц от нуля. Во-первых, я нарисую числовую линию: Глядя на неравенство, я вижу, что число 1 будет работать как решение, как и −1, потому что каждое из них меньше трех единиц от нуля. Число 2 будет работать, как и −2. Но 4 не подойдет, равно как и −4, потому что они слишком далеки от нуля. Даже 3 и −3 не будут работать (хотя они находятся прямо на краю), потому что это неравенство «меньше» (но не равно). Однако подойдет число 2,99 и −2,99. Другими словами, все точки между -3 и 3, но фактически не включая -3 или 3, будут работать как решения этого неравенства. Итак, графически решение выглядит так: (Незаштрихованные кружки на концах синей линии означают «до этих точек, но не включая их». В вашей книге вместо кружков могут использоваться круглые скобки.) Переведя эту картинку в алгебраические символы, я получаю следующее решение: −3 < x < 3 Этот шаблон для неравенств с абсолютным значением «меньше чем» всегда выполняется: Для заданного неравенства в форме | x  | < a , решение всегда будет иметь вид − a  < x  <  a . Кстати, правильным союзом для абсолютного неравенства «меньше чем» является «и». Почему? Потому что переменная содержится в пределах одного интервала. В приведенном выше примере x было как «больше -3», так и «меньше +3». x находится в интервале, удовлетворяющем обоим неравенствам одновременно. Так что «и» — правильный союз. Даже когда упражнения усложняются, описанная выше схема сохраняется. Поскольку это неравенство абсолютного значения «меньше чем», мой первый шаг — очистить абсолютное значение в соответствии с шаблоном «меньше чем». Тогда я решу линейное неравенство. | 2 х + 3 | < 6 −6 < 2 x + 3 < 6 Это шаблон для «меньше чем». Продолжая, я вычту 3 из всех трех «сторон» неравенства: −6 − 3 < 2 x + 3 − 3 < 6 − 3 −9 < 2 x < 3 −9/2 < x < 3/2 Решение исходного абсолютного неравенства | 2 x  + 3 | < 6, это интервал: −9/2 < x < 3/2 Другим случаем абсолютного неравенства является случай «больше чем». Как решить абсолютные неравенства «больше чем»? Чтобы решить неравенство с абсолютным значением «больше чем», используйте определение абсолютного значения, чтобы разделить неравенство на два случая; то есть для | м x  +  б  | >  c , разделите неравенство на два его случая: 1. m x + b > c 2. m x + b < − c Затем решите два линейных неравенства по отдельности. Во-первых, я начну с числовой строки. Решением данного неравенства будет множество всех точек, удаленных от нуля более чем на две единицы. Например, −3 будет работать, как и +3; −4 будет работать, как и +4. Но −1 не подойдет, равно как и +1, потому что они слишком близки к нулю. Даже −2 не сработает, и +2 тоже не сработает (хотя они прямо на краю), потому что это неравенство «больше» (но не равно). Однако +2.01 будет работать, как и -2.01. Другими словами, решение будет два отдельных раздела : один раздел будет состоять из всех точек более чем на две единицы от нуля влево , а другой раздел будет состоять из всех точек более чем на две единицы от нуля до право . Решение в графическом виде выглядит так: Переводя это графическое решение в символы, я получаю: x < −2 или x > 2 Внимание! Решением этого абсолютного неравенства «больше, чем» являются ДВА обычных неравенства, а не одно. НЕ пытайтесь записать это как одно неравенство. Если вы попытаетесь записать это решение как «−2 >  x  > 2», ваш ответ будет засчитан как неверный. Почему? Потому что, если вы уберете x посередине, вы увидите, что сказали бы «−2 > 2», что, безусловно, соответствует , а не . Потратьте лишние полсекунды и правильно напишите решение. Этот шаблон для абсолютных неравенств «больше чем» всегда выполняется: Учитывая неравенство | x  | >  a , решение всегда начинается с разделения неравенства на две части: x  < − x или x  >  x . И, кстати, правильный союз «или», а не «и». Почему? Потому что переменная не может находиться в обоих интервалах решения и в одно и то же время. В приведенном выше примере x не может быть одновременно «меньше -2» и «больше +2» . Поэтому мы используем «или» для этих типов решений. Даже когда неравенства усложняются, описанная выше закономерность сохраняется. Первое, что мне нужно сделать, это очистить столбцы абсолютных значений, разделив неравенство на две части. Затем я решу два обычных неравенства. | 2 х — 3 | > 5 2 x − 3 < −5 или 2 x − 3 > 5 Это шаблон для абсолютных неравенств «больше чем». 2 x < −2 или 2 x > 8 x < −1 или x > 4 Эта ПАРА неравенств является решением исходной абсолютной ценностное неравенство. x < −1 или x > 4 Каков вывод для решения линейных абсолютных неравенств? Проверьте символ неравенства: это «больше» или «меньше»? Если «меньше чем», опустите столбцы абсолютных значений, переформулируйте в виде трехчастного неравенства и решите с помощью оператора «и». Пример: | x  − 3| < 5 становится −5 < ( x  − 3) < +5 Если «больше», опустите столбцы абсолютного значения, разделите неравенство на два его случая и решите два неравенства по отдельности с помощью оператора «или». Пример: | x  − 3| > 5 становится ( x  – 3) < –3 или ( x  – 3) > 3 Существует еще одна ситуация, с которой вы можете столкнуться: вам будет задана пара неравенств, и вас попросят найти соответствующее абсолютное неравенство. Этот процесс может показаться немного странным, поэтому я приведу пару примеров того, как он работает. Чтобы понять это, я сначала смотрю на конечные точки. Минус два и плюс четыре составляют шесть единиц друг от друга. Половина шести это три. Это говорит мне, что я хочу скорректировать это неравенство так, чтобы оно относилось к −3 и +3, а не к −2 и +4. Чтобы добиться этого, я вижу, что могу скорректировать значения на левом и правом концах, вычитая 1 из всех трех «сторон» неравенства: -2 < x < 4 -2 — 1 < x — 1 < 4 - 1 -3 < x — 1 < 3 Поскольку последняя строка выше в «менее чем» для абсолютных неравенств, мое решение неравенства будет иметь вид «абсолютное значение (чего-то) меньше 3». (Что-то) — это кусок посередине, где находится переменная. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в следующую: | х — 1 | < 3 То, что мне дали, состоит из двух частей, соединенных знаком «или», поэтому я знаю, что это будет неравенство абсолютного значения «больше чем». Для начала я смотрю на конечные точки. Девятнадцать и 24 разделены пятью единицами. Половина пятого равна 2,5. Поэтому я хочу скорректировать неравенство так, чтобы оно относилось к −2,5 и +2,5, а не к +19 и +24. Поскольку 19 − (−2,5) = 21,5 и 24 − 2,5 = 21,5, я вижу, что мне нужно вычесть 21,5 со всех сторон: x ≤ 19 или x ≥ 24 x — 21,5 ≤ 19 — 21,5 или x — 21,5 ≥ 24 — 21,5 x — 21,5 ≤ -2 .5 или x − 21,5 ≥ 2,5 Поскольку последняя строка выше формат «больше чем», неравенство абсолютного значения будет иметь форму «абсолютное значение (чего-либо) больше или равно 2,5». (Что-то) будет частью с переменной в ней. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в: | х — 21,5 | ≥ 2,5 Предупреждение: для такого рода задач существует один «хитрый» тип вопросов, когда вас пытаются сбить с толку при выполнении домашнего задания или тестов. Они попросят вас решить что-то вроде «|  x  + 2 | < −1». Но может ли абсолютное значение когда-либо быть отрицательным, не говоря уже о том, что меньше, чем отрицательное? Нет! Таким образом, это неравенство не имеет решения; это даже не имеет смысла. Не тратьте много времени, пытаясь «решить» это; просто напишите «нет решения». Аналогично, если вам дали что-то вроде «|  x  − 2 | > −3″, первое, что нужно отметить, это то, что все абсолютные значения равны нулю или положительны. В частности, они никогда не бывают отрицательными. Они запрашивают у вас значения x , которые сделают выражение абсолютного значения больше чем отрицательное число. Как из тангенса получить котангенс: Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? alexxlab / 05.07.202323.04.2023 / Разное Таблица котангенсов | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU Котангенс, также как и тангенс, является отношением катетов друг к другу. Функция котангенса отличается от своего брата-близнеца только тем, что тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему относительно угла α, а котангенс – отношение прилежащего к противолежащему. Таким образом, котангенс является функцией, обратной от тангенса, и зная одну из них можно с легкостью найти другую. Чаще всего в одном решении применяется только одно из данных отношений. В случае если дан котангенс угла α, можно определить значение угла, соответствующее заданным числам, в таблице, приведенной ниже. Найти котангенс угла ctg(α), зная угол Угол α Таблица котангенсов от 0° до 180° ctg(1°) 57.29 ctg(2°) 28.6363 ctg(3°) 19.0811 ctg(4°) 14. 3007 ctg(5°) 11.4301 ctg(6°) 9.5144 ctg(7°) 8.1443 ctg(8°) 7.1154 ctg(9°) 6.3138 ctg(10°) 5.6713 ctg(11°) 5.1446 ctg(12°) 4.7046 ctg(13°) 4.3315 ctg(14°) 4.0108 ctg(15°) 3.7321 ctg(16°) 3.4874 ctg(17°) 3.2709 ctg(18°) 3.0777 ctg(19°) 2.9042 ctg(20°) 2.7475 ctg(21°) 2.6051 ctg(22°) 2.4751 ctg(23°) 2.3559 ctg(24°) 2.246 ctg(25°) 2.1445 ctg(26°) 2.0503 ctg(27°) 1.9626 ctg(28°) 1.8807 ctg(29°) 1. 804 ctg(30°) 1.7321 ctg(31°) 1.6643 ctg(32°) 1.6003 ctg(33°) 1.5399 ctg(34°) 1.4826 ctg(35°) 1.4281 ctg(36°) 1.3764 ctg(37°) 1.327 ctg(38°) 1.2799 ctg(39°) 1.2349 ctg(40°) 1.1918 ctg(41°) 1.1504 ctg(42°) 1.1106 ctg(43°) 1.0724 ctg(44°) 1.0355 ctg(45°) 1 ctg(46°) 0.9657 ctg(47°) 0.9325 ctg(48°) 0.9004 ctg(49°) 0.8693 ctg(50°) 0.8391 ctg(51°) 0.8098 ctg(52°) 0.7813 ctg(53°) 0. 7536 ctg(54°) 0.7265 ctg(55°) 0.7002 ctg(56°) 0.6745 ctg(57°) 0.6494 ctg(58°) 0.6249 ctg(59°) 0.6009 ctg(60°) 0.5774 ctg(61°) 0.5543 ctg(62°) 0.5317 ctg(63°) 0.5095 ctg(64°) 0.4877 ctg(65°) 0.4663 ctg(66°) 0.4452 ctg(67°) 0.4245 ctg(68°) 0.404 ctg(69°) 0.3839 ctg(70°) 0.364 ctg(71°) 0.3443 ctg(72°) 0.3249 ctg(73°) 0.3057 ctg(74°) 0.2867 ctg(75°) 0.2679 ctg(76°) 0.2493 ctg(77°) 0. 2309 ctg(78°) 0.2126 ctg(79°) 0.1944 ctg(80°) 0.1763 ctg(81°) 0.1584 ctg(82°) 0.1405 ctg(83°) 0.1228 ctg(84°) 0.1051 ctg(85°) 0.0875 ctg(86°) 0.0699 ctg(87°) 0.0524 ctg(88°) 0.0349 ctg(89°) 0.0175 ctg(90°) 0 ctg(91°) -0.0175 ctg(92°) -0.0349 ctg(93°) -0.0524 ctg(94°) -0.0699 ctg(95°) -0.0875 ctg(96°) -0.1051 ctg(97°) -0.1228 ctg(98°) -0.1405 ctg(99°) -0.1584 ctg(100°) -0.1763 ctg(101°) -0.1944 ctg(102°) -0. 2126 ctg(103°) -0.2309 ctg(104°) -0.2493 ctg(105°) -0.2679 ctg(106°) -0.2867 ctg(107°) -0.3057 ctg(108°) -0.3249 ctg(109°) -0.3443 ctg(110°) -0.364 ctg(111°) -0.3839 ctg(112°) -0.404 ctg(113°) -0.4245 ctg(114°) -0.4452 ctg(115°) -0.4663 ctg(116°) -0.4877 ctg(117°) -0.5095 ctg(118°) -0.5317 ctg(119°) -0.5543 ctg(120°) -0.5774 ctg(121°) -0.6009 ctg(122°) -0.6249 ctg(123°) -0.6494 ctg(124°) -0.6745 ctg(125°) -0. 7002 ctg(126°) -0.7265 ctg(127°) -0.7536 ctg(128°) -0.7813 ctg(129°) -0.8098 ctg(130°) -0.8391 ctg(131°) -0.8693 ctg(132°) -0.9004 ctg(133°) -0.9325 ctg(134°) -0.9657 ctg(135°) -1 ctg(136°) -1.0355 ctg(137°) -1.0724 ctg(138°) -1.1106 ctg(139°) -1.1504 ctg(140°) -1.1918 ctg(141°) -1.2349 ctg(142°) -1.2799 ctg(143°) -1.327 ctg(144°) -1.3764 ctg(145°) -1.4281 ctg(146°) -1.4826 ctg(147°) -1.5399 ctg(148°) -1. 6003 ctg(149°) -1.6643 ctg(150°) -1.7321 ctg(151°) -1.804 ctg(152°) -1.8807 ctg(153°) -1.9626 ctg(154°) -2.0503 ctg(155°) -2.1445 ctg(156°) -2.246 ctg(157°) -2.3559 ctg(158°) -2.4751 ctg(159°) -2.6051 ctg(160°) -2.7475 ctg(161°) -2.9042 ctg(162°) -3.0777 ctg(163°) -3.2709 ctg(164°) -3.4874 ctg(165°) -3.7321 ctg(166°) -4.0108 ctg(167°) -4.3315 ctg(168°) -4.7046 ctg(169°) -5.1446 ctg(170°) -5.6713 ctg(171°) -6.3138 ctg(172°) -7. 1154 ctg(173°) -8.1443 ctg(174°) -9.5144 ctg(175°) -11.4301 ctg(176°) -14.3007 ctg(177°) -19.0811 ctg(178°) -28.6363 ctg(179°) -57.29 ctg(180°) — ∞ Таблица котангенсов от 181° до 360° ctg(181°) 57.29 ctg(182°) 28.6363 ctg(183°) 19.0811 ctg(184°) 14.3007 ctg(185°) 11.4301 ctg(186°) 9.5144 ctg(187°) 8.1443 ctg(188°) 7.1154 ctg(189°) 6.3138 ctg(190°) 5.6713 ctg(191°) 5.1446 ctg(192°) 4.7046 ctg(193°) 4. 3315 ctg(194°) 4.0108 ctg(195°) 3.7321 ctg(196°) 3.4874 ctg(197°) 3.2709 ctg(198°) 3.0777 ctg(199°) 2.9042 ctg(200°) 2.7475 ctg(201°) 2.6051 ctg(202°) 2.4751 ctg(203°) 2.3559 ctg(204°) 2.246 ctg(205°) 2.1445 ctg(206°) 2.0503 ctg(207°) 1.9626 ctg(208°) 1.8807 ctg(209°) 1.804 ctg(210°) 1.7321 ctg(211°) 1.6643 ctg(212°) 1.6003 ctg(213°) 1.5399 ctg(214°) 1.4826 ctg(215°) 1.4281 ctg(216°) 1.3764 ctg(217°) 1. 327 ctg(218°) 1.2799 ctg(219°) 1.2349 ctg(220°) 1.1918 ctg(221°) 1.1504 ctg(222°) 1.1106 ctg(223°) 1.0724 ctg(224°) 1.0355 ctg(225°) 1 ctg(226°) 0.9657 ctg(227°) 0.9325 ctg(228°) 0.9004 ctg(229°) 0.8693 ctg(230°) 0.8391 ctg(231°) 0.8098 ctg(232°) 0.7813 ctg(233°) 0.7536 ctg(234°) 0.7265 ctg(235°) 0.7002 ctg(236°) 0.6745 ctg(237°) 0.6494 ctg(238°) 0.6249 ctg(239°) 0.6009 ctg(240°) 0.5774 ctg(241°) 0. 5543 ctg(242°) 0.5317 ctg(243°) 0.5095 ctg(244°) 0.4877 ctg(245°) 0.4663 ctg(246°) 0.4452 ctg(247°) 0.4245 ctg(248°) 0.404 ctg(249°) 0.3839 ctg(250°) 0.364 ctg(251°) 0.3443 ctg(252°) 0.3249 ctg(253°) 0.3057 ctg(254°) 0.2867 ctg(255°) 0.2679 ctg(256°) 0.2493 ctg(257°) 0.2309 ctg(258°) 0.2126 ctg(259°) 0.1944 ctg(260°) 0.1763 ctg(261°) 0.1584 ctg(262°) 0.1405 ctg(263°) 0.1228 ctg(264°) 0. 1051 ctg(265°) 0.0875 ctg(266°) 0.0699 ctg(267°) 0.0524 ctg(268°) 0.0349 ctg(269°) 0.0175 ctg(270°) 0 ctg(271°) -0.0175 ctg(272°) -0.0349 ctg(273°) -0.0524 ctg(274°) -0.0699 ctg(275°) -0.0875 ctg(276°) -0.1051 ctg(277°) -0.1228 ctg(278°) -0.1405 ctg(279°) -0.1584 ctg(280°) -0.1763 ctg(281°) -0.1944 ctg(282°) -0.2126 ctg(283°) -0.2309 ctg(284°) -0.2493 ctg(285°) -0.2679 ctg(286°) -0.2867 ctg(287°) -0.3057 ctg(288°) -0. 3249 ctg(289°) -0.3443 ctg(290°) -0.364 ctg(291°) -0.3839 ctg(292°) -0.404 ctg(293°) -0.4245 ctg(294°) -0.4452 ctg(295°) -0.4663 ctg(296°) -0.4877 ctg(297°) -0.5095 ctg(298°) -0.5317 ctg(299°) -0.5543 ctg(300°) -0.5774 ctg(301°) -0.6009 ctg(302°) -0.6249 ctg(303°) -0.6494 ctg(304°) -0.6745 ctg(305°) -0.7002 ctg(306°) -0.7265 ctg(307°) -0.7536 ctg(308°) -0.7813 ctg(309°) -0.8098 ctg(310°) -0.8391 ctg(311°) -0. 8693 ctg(312°) -0.9004 ctg(313°) -0.9325 ctg(314°) -0.9657 ctg(315°) -1 ctg(316°) -1.0355 ctg(317°) -1.0724 ctg(318°) -1.1106 ctg(319°) -1.1504 ctg(320°) -1.1918 ctg(321°) -1.2349 ctg(322°) -1.2799 ctg(323°) -1.327 ctg(324°) -1.3764 ctg(325°) -1.4281 ctg(326°) -1.4826 ctg(327°) -1.5399 ctg(328°) -1.6003 ctg(329°) -1.6643 ctg(330°) -1.7321 ctg(331°) -1.804 ctg(332°) -1.8807 ctg(333°) -1.9626 ctg(334°) -2. 0503 ctg(335°) -2.1445 ctg(336°) -2.246 ctg(337°) -2.3559 ctg(338°) -2.4751 ctg(339°) -2.6051 ctg(340°) -2.7475 ctg(341°) -2.9042 ctg(342°) -3.0777 ctg(343°) -3.2709 ctg(344°) -3.4874 ctg(345°) -3.7321 ctg(346°) -4.0108 ctg(347°) -4.3315 ctg(348°) -4.7046 ctg(349°) -5.1446 ctg(350°) -5.6713 ctg(351°) -6.3138 ctg(352°) -7.1154 ctg(353°) -8.1443 ctg(354°) -9.5144 ctg(355°) -11.4301 ctg(356°) -14.3007 ctg(357°) -19.0811 ctg(358°) -28. 6363 ctg(359°) -57.29 ctg(360°) ∞ Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики Свойства функции y=sin(x) и ее график.  График функции (синусоида) Свойства функции  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е.  Область значений: Функция нечетная: (график симметричен относительно начала координат). Функция периодическая с периодом  Точки пересечения с осями координат:   Промежутки знакопостоянства:  Промежутки возрастания и убывания:      Объяснение и обоснование Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции. Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции. Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).    Рис.1. Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так: Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при. Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число. Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат. На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1). Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех . Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му при . Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .  Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрас­тает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков  Рис.2                                                                            Рис.3 Если  (рис.3,б), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убыва­ет. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков  Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , на­пример на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции  (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5). Рис.4 Рис.5   Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6) Рис.6 Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями. График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.   СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК График функции  (косинусоида). Свойства функции  Область определения: R (x — любое действительное число). Область значений:  Функция четная: (график симметричен относительно оси ). Функция периодическая с периодом  :  Точки пересечения с осями координат  Промежутки знакопостоянства:  Промежутки возрастания и убывания:  Объяснение и обоснование Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так: . Рис.7 Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: . Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при . Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при . Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси . Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким об­разом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется. Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при . Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 0 при , а также, учитывая период, при всех . Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому  при  Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке . Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента  абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков . Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента  аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция  возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков .  Рис.8                                                                                                                          Рис.9 Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу Рис.10 Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте прямоугольника  около точки на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00. Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:. Тогда, Таким образом, . Учитывая, что , график функции можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на  (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12). Рис.11 Рис.12 График функции  (тангенсоида)  Свойства функции : 1. Область определения:  2. Область значений:  3. Функция нечетная:  4. Функция периодическая с периодом  5. Точки пересечения с осями координат:    6. Промежутки знакопостоянства: 7. Промежутки возрастания и убывания: 8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. График функции  (котангенсоида) Свойства функции : 1. Область определения: 2. Область значений: 3. Функция нечетная:  4. Функция переодическая с периодом  5. Точки пересечения с осями координат:  6. Промежутки знакопостоянства:  7. Промежутки возрастания и убывания:   8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.   Диаграммы тангенса и котангенса | Brilliant Math & Science Wiki Из определения функций тангенса и котангенса мы имеем \[ \tan(\theta)= \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)},\ quad \cot( \theta)= \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}. \] Таким образом, \(\tan(\theta)\) не определено для значений \ (\theta\) такой, что \(\cos(\theta) = 0\). Теперь рассмотрим график \(\cos (\theta)\): Из этого графика видно, что \(\cos(\theta) = 0\), когда \(\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi\) для любого целого числа \(k\) . Это означает, что функция тангенса имеет вертикальные асимптоты при этих значениях \(\theta\). Касательная функция стремится к положительной или отрицательной бесконечности в этих асимптотах? Поскольку \(\theta\) приближается к \(\frac{\pi}{2}\) снизу, \(\big(\theta\) принимает значения меньше, чем \(\frac{\pi}{2}\), а все ближе и ближе к \(\frac{\pi}{2}\big),\) \(\sin (\theta) \) принимает положительные значения, которые все ближе и ближе к \(1\), а \( \cos (\theta)\) принимает положительные значения, которые все ближе и ближе к \(0\). Это показывает, что \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\) положителен и стремится к бесконечности, поэтому \(\tan(\theta)\) имеет положительная вертикальная асимптота как \(\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} \) снизу. С помощью аналогичного анализа, когда \(\theta\) приближается к \(\frac{\pi}{2}\) сверху, \(\big(\theta\) принимает значения больше, чем \(\frac{\pi}{ 2}\) по мере приближения к \(\frac{\pi}{2}\big),\) \(\sin (\theta) \) принимает положительные значения, которые все ближе и ближе к \(1\ ), а \(\cos (\theta)\) принимает отрицательные значения, которые все ближе и ближе к \(0\). Это показывает, что \(\tan(\theta)\) имеет отрицательную вертикальную асимптоту как \(\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} \) сверху. Ниже показан график касательной для области \(0 \leq \theta \leq 2\pi\): График тангенса по всей его области выглядит следующим образом: Аналогично, \(\cot(\theta)\) не определено для значений \(\theta\), таких что \(\sin(\theta) = 0\). Из графика \(\sin (\theta),\) мы видим, что \(\sin(\theta) = 0\), когда \(\theta = 0 + k\pi\) для любого целого числа \(k\ ), из чего следует, что функция котангенса имеет вертикальные асимптоты при этих значениях \(\theta:\) Заметим, что из определения тангенса и котангенса мы получаем следующее соотношение между функциями тангенса и котангенса: \[ \tan(\theta) = \frac{\sin (\theta)}{\cos (\ тета)} = \ гидроразрыва {1} {\ \ \ гидроразрыва {\ соз (\ тета)} {\ грех (\ тета)} \ \} = \ гидроразрыва {1} {\ кроватки (\ тета)}. \] Действительно, мы можем видеть, что на графиках тангенса и котангенса функция тангенса имеет вертикальные асимптоты, где функция котангенса имеет значение 0, а функция котангенса имеет вертикальные асимптоты, где функция тангенса имеет значение 0. Графики тангенса и котангенса удовлетворяют следующим свойствам: диапазон: \((-\infty, \infty)\) период: \(\pi\) обе нечетные функции. Из графиков функций тангенса и котангенса видно, что периоды тангенса и котангенса равны \(\pi\). В тригонометрических тождествах мы увидим, как доказать периодичность этих функций с помощью тригонометрических тождеств. Какие значения \(\theta\) в интервале \([0, \pi]\) удовлетворяют \(\tan(\theta) = \cot(\theta)?\) Можно ли это увидеть из графиков функции тангенса и котангенса? 92 = 1\). Это выполняется для \(\tan \theta = \pm 1\) или \(\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\). Из графиков тангенса и котангенса также видно, что точками пересечения двух графиков в области \([0,\pi]\) являются \( \big( \frac{\pi}{4}, 1 \big)\) и \( \big( \frac{3\pi}{4}, -1 \big). \ _\square \) Котангенс — Формула, График, Область, Диапазон Котангенс — одна из 6 тригонометрических функций. Обычно его называют «кроваткой». Как и другие тригонометрические отношения, формула котангенса также определяется как отношение сторон прямоугольного треугольника. Формула cot x равна отношению основания и перпендикуляра прямоугольного треугольника. Вот 6 основных тригонометрических функций и их сокращения. Тригонометрическая функция Аббревиатура Синусоидальная функция грех Функция косинуса потому что Функция касания желтовато-коричневый Функция косеканса КСК Функция секущей сек Функция котангенса детская кроватка Давайте узнаем больше о котангенсе, изучив его определение, формулу cot x, его область определения, диапазон, график, производную и интеграл. Также мы увидим, каковы значения котангенса на единичной окружности. 1. Что такое котангенс? 2. Формула котангенса 3. Свойства котангенса 4. Закон котангенса 5. Период котангенса 6. Котангенс единичной окружности 7. Домен, диапазон и график котангенса 8. Производная и интеграл от котангенса 9. Часто задаваемые вопросы о котангенсе Что такое котангенс? Котангенс — одно из основных тригонометрических соотношений. Фактически это одно из обратных тригонометрических соотношений csc, sec и cot. Обычно его обозначают как «кроватка х», где х — угол между основанием и гипотенузой прямоугольного треугольника. Альтернативные названия котангенса — котангенс и котангенс х. Котангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащей стороны (стороны, прилежащей к углу) к противолежащей стороне (стороны, противолежащей углу). Котангенс Формула Формула котангенса для угла θ: cot θ = (прилежащая сторона) / (противоположная сторона). . Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, образующий прямой угол в точке B. Тогда AB — сторона, примыкающая к A, а BC — сторона, противолежащая A. Тогда котангенс треугольника A (который записывается как детская кроватка A), детская кроватка A = (прилегающая сторона A) / (противоположная сторона A) = (AB) / (BC). Например, если AB = 3 и BC = 4, то кроватка A = 3/4. Свойства котангенса Мы уже знаем, что кроватка x = (Смежный) / (Противоположный). Помимо этого, существует несколько других формул отношения котангенса, в которых котангенс может быть записан через другие тригонометрические отношения. Котангенс относительно Cos и Sin Мы знаем, что sin θ = (Противоположный) / (Гипотенуза) и cos θ = (Смежный) / (Гипотенуза). Если мы разделим cos θ на sin θ , мы получим (cos θ) / (sin θ) = (Смежный) / (Гипотенуза) × (Гипотенуза) / (Противоположный) = (Смежный) / (Противоположный) = кроватка θ Следовательно, кроватка θ = (cos θ) / (sin θ) — это формула кроватки x с точки зрения cos и sin. Котангенс через Tan Мы знаем, что tan θ = (Противоположный)/(Смежный) и cot θ = (Смежный)/(Противоположный). Таким образом, cot и tan обратны друг другу. Таким образом, мы можем написать cot θ = 1/tan θ и tan θ = 1/cot θ. Таким образом, раскладушка с точки зрения загара есть. раскладушка θ = 1/тангенс θ. Существует еще одна формула для записи кроватки в терминах загара: cot θ = тангенс (π/2 — θ) (или) тангенс (90° — θ). Котангенс через косек Из одного из тождеств Пифагора csc 2 θ — ctg 2 θ = 1. Отсюда получаем cot 2 θ = csc 2, Если взять квадратный корень с обеих сторон, кроватка θ = √(csc 2 θ — 1). Следовательно, детская кроватка в терминах csc равна кроватка θ = √(csc 2 θ — 1) Закон котангенса Рассмотрим треугольник ABC, где AB = c, BC = a и CA = b. Закон котангенса похож на закон синусов, но включает половинные углы. Закон котангенса гласит: (cot A/2) / (s — a) = (cot B/2) / (s — b) = (cot C/2) / (s — c). Здесь s — полупериметр треугольника. т. е. s = (a + b + c)/2. Знак котангенса Отношение котангенса (разумеется, как tan, так и cot) положительно только в первом и третьем квадрантах. Он отрицателен во втором и четвертом квадрантах. Таким образом, раскладушка (π — θ) = — раскладушка θ (2 -й квадрант) раскладушка (π + θ) = раскладушка θ (3 -й -й квадрант) раскладушка (2π — θ) = — раскладушка θ (4 -й квадрант) раскладушка (2π + θ) = раскладушка θ (1 ст квадрант) Период котангенса Мы знаем, что все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Кроме того, из предыдущего раздела мы знаем, что кроватка (2π + θ) = кроватка θ . Но функция котангенса может иметь меньший период π (поскольку функция котангенса положительна в первом и третьем квадранте, где углы в третьем квадранте равны π + угол в первом квадранте). Таким образом, период котангенса равен π. т. е. раскладушка (π + θ) = раскладушка θ . Котангенс отрицательного угла Котангенс отрицательного угла равен отрицательному значению котангенса положительного угла. т. е. кроватка (-x) = -кроватка x для любого x в области. Отсюда можно сделать вывод, что котангенс является нечетной функцией. Котангенс единичной окружности Мы знаем, что каждая точка на единичной окружности дает значения cos и sin соответствующего угла. Чтобы найти котангенс соответствующего угла, мы просто делим соответствующее значение cos на соответствующее значение sin, потому что у нас есть формула cot x, определяемая как cot x = (cos x) / (sin x). Здесь мы можем видеть значения cot θ для некоторых стандартных углов. Таким же образом мы можем вычислить котангенс всех углов единичной окружности. Вот единичный круг с функцией котангенса. Домен, диапазон и график котангенса В этом разделе давайте посмотрим, как мы можем найти область определения и область значений функции котангенса. Кроме того, мы увидим процесс построения графика в своей области. Область и диапазон котангенса В предыдущем разделе мы видели, что кроватка не определена при 0° (0π), 180° (1π) и 360° (2π) (другими словами, котангенс не определен везде, где sin x равен нулю, потому что cot x = (cos x)/(sin x)). Мы знаем, что sin x равен нулю для целых чисел, кратных π, поэтому функция котангенса не определена для всех целых чисел, кратных π. Таким образом, кроватка nπ НЕ определена ни для какого целого числа n. Таким образом, областью определения котангенса является множество всех действительных чисел (R), кроме nπ (где n ∈ Z). Опять же, из единичного круга мы можем видеть, что функция котангенса может давать все действительные числа, и, следовательно, ее областью значений является множество всех действительных чисел (R). Таким образом, Область определения котангенса — это множество действительных чисел, кроме всех целых чисел, кратных π Областью котангенса является множество всех действительных чисел т. е. cot x : R — {nπ / n ∈ Z} → R График котангенса Поскольку функция котангенса НЕ определена для целых чисел, кратных π, на графике есть вертикальные асимптоты для всех кратных π котангенса. Кроме того, из единичного круга (в одном из предыдущих разделов) мы можем видеть, что котангенс равен 0 во всех нечетных кратных π/2. Кроме того, из единичного круга мы можем видеть, что в интервале, скажем (0, π), значения кроватки уменьшаются по мере увеличения углов. Следовательно, ctg — убывающая функция. Таким образом, график функции котангенса выглядит так. Производная и интеграл от котангенса Чтобы найти производную и интеграл котангенса, мы используем формулу тождественного котангенса cot x = (cos x) / (sin x). Давайте посмотрим, как. Производная котангенса Пусть y = cot x = (cos x) / (sin x). Тогда по правилу частных y’ = [sin x d/dx(cos x) — cos x d/dx(sin x)] / (sin x) 2 = [sin x (- sin x) — cos x (cos x)] / sin 2 x = [-sin 2 x — cos 2 x] / sin 2 x = — [sin 2 x + cos 2 x] / sin 909029 002 = — 1/sin 2 x — [Используя тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = 1] = -csc 2 x — [Поскольку sin x = 1/csc x и csc x = 1/sin x] Таким образом, производная от cot x равна -csc 2 x. Интеграл от котангенса ∫ cot x = ∫ (cos x) / (sin x) dx Вычислим этот интеграл методом подстановки. Для этого пусть sin x = u. Тогда cos x dx = du. Тогда, используя приведенный выше интеграл, получим ∫ (1/u) du = ln |u| + C, где C — постоянная интегрирования. Замените u = sin x здесь, ∫ кроватка x dx = ln |sin x| + C Таким образом, интеграл от cot x равен ln |sin x| + C. Важные моменты по котангенсу: Cot x Формула: cot x = (cos x) / (sin x) Некоторые важные формулы котангенса: детская кроватка x = (cos x)/(sin x) детская кроватка х = 1/загар х детская кроватка (-x) = — детская кроватка x детская кроватка θ = √(csc 2 θ — 1) Домен cot x равен R — {nπ}, а его диапазон равен R. Функция котангенса имеет вертикальные асимптоты при всех кратных π. Темы по теме: Детская кроватка — Формула загара Тригонометрия Тригонометрический калькулятор Калькулятор арккотангенса Детская кроватка 53 градуса Детская кроватка 18 градусов Детская кроватка 1 градус Часто задаваемые вопросы о котангенсе Что такое котангенс в тригонометрии? Котангенс является одним из тригонометрических отношений и определяется как cot x = (прилежащая сторона)/(противоположная сторона) для любого угла x между основанием и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Что такое формулы котангенса? Некоторые из важных формул кроватки x:. детская кроватка x = (смежный)/(напротив) раскладушка x = (cos x)/(sin x) детская кроватка х = 1/тан х детская кроватка (π/2 — x) = загар x детская кроватка (π + x) = детская кроватка x детская кроватка (2π + x) = детская кроватка x детская кроватка (-x) = — детская кроватка x раскладушка θ = √csc²θ — 1 Является ли котангенс обратным тангенсу? Нет, обратным тангенсом является арктангенс. Пишется как загар -1 . Но (tan x) -1 = 1/tan x = кроватка x. (tan x) -1 и tan -1 x НЕ совпадают. Что такое домен и диапазон котангенса? Область определения котангенса равна R — {nπ, где n — целое число}, а диапазон значений котангенса равен R. Здесь R — множество всех действительных чисел. Что является противоположностью формулы котангенса? Мы не используем терминологию противоположности котангенса. Как сравнить в ворде 2 текста: Извините, такой страницы на сайте нет alexxlab / 05.07.202311.04.2023 / Разное Как сравнить два документа Word на различия.: spayte — LiveJournal Многие пользователи часто работают на компьютере с различными текстовыми файлами, при этом в документы вносятся исправления, поэтому бывает необходимо сравнить документы Word. Над одним документом может работать несколько человек, которые правят текст исходного документа, вставляя туда дополнения или убирая лишнее. Это может быть договор, некий юридический документ, соглашение и т. п. При простом чтении не всегда заметны мелкие исправления, сделанные партнером в период согласования документа. Абзац, предложение, несколько слов или даже одна запятая могут существенно изменить содержание важного документа с соответствующими негативными последствиями. Поэтому необходимо предварительно сравнить документы Ворд, чтобы сразу увидеть все изменения, сделанные партнером. Это поможет избежать ошибок, например, внесение в текст невыгодных условий, увидеть юридические ловушки перед подписанием и принятием данного документа между обеими сторонами. Документы можно сравнить визуально, прокручивая их рядом друг с другом при синхронной прокрутке. Чтобы избежать недоразумений и увидеть все изменения, лучше выбрать самый эффективный способ: необходимо сравнить два документа Word и подсветить различия между ними. Вы сразу увидите, какие правки были внесены в исходный документ в период согласования. Принимая во внимание все вышесказанное, у пользователя возникает закономерный вопрос о том, как сравнить два документа Word. Есть несколько способов для решения этой проблемы. Можно сравнить два открытых документа или два закрытых файла. В зависимости от ситуации, сравнить текст в двух документах Word можно с помощью двух методов: Визуальное сравнение текста документов вручную. Автоматическое сравнение содержимого документов с помощью программы или сервиса. В этой статье вы найдете инструкции о том, как сравнить два документа Word на различия, используя само приложение MS Office, стороннее программное обеспечение, а также узнаете, как сравнить документы Word онлайн. Это руководство подходит для использования в разных версиях текстового редактора Microsoft Word: в MS Word 2019, MS Word 2016, MS Word 2013, MS Word 2010, MS Word 2007. Как сравнить два документа Ворд вручную рядом — 1 способ Сейчас мы разберем, как сравнить 2 документа Word, если они одновременно открыты. В этом случае, мы можем просмотреть открытые документы рядом, расположив их вплотную друг к другу. Чтобы сравнить исправления в двух открытых документах визуально, нужно сделать следующее: Откройте оба документа Word, текст в которых необходимо сравнить. В одном из открытых документов перейдите во вкладку «Вид». В группе «Окно» нажмите на кнопку «Рядом». В открывшемся окне «Сравнить рядом» выберите другой документ, если в это время на ПК открыто несколько файлов Word. На экране компьютера появятся два окна открытых документа, расположенные рядом друг с другом. Во вкладке «Вид» войдите в группу «Окно». Щелкните по опции «Синхронная прокрутка». Вы можете просмотреть одновременно оба документа с помощью прокрутки, чтобы увидеть отличия. Есть еще одна подсказка, позволяющая понять, вносились ли изменения в документ Word. В левой части нижней панели окна документа отображается число слов в тексте каждого документа. У вас есть возможность сравнить также количество символов, имеющихся в каждом из документов. Читайте также: Как посчитать количество символов в Word: все способы Чтобы выйти из режима просмотра рядом, во вкладке «Вид», в группе «Окно» нажмите на кнопку «Рядом». Как сравнить два документа Ворд одновременно — 2 способ А можно ли сравнить версии документов Word, если они не открыты? Конечно, в этом нам поможет функция сравнения, которая называется «Юридическое примечание». При использовании этого способа, нам необходимо сравнить два документа Word и подсветить исправления. Пройдите последовательные шаги: Запустите программу Word на компьютере, открыв в приложении один из требуемых документов или просто пустой документ. Перейдите во вкладку «Рецензирование». В группе «Сравнение» нажмите на кнопку «Сравнить». В открывшемся контекстном меню выберите «Сравнить…». Это сравнение двух версий документа (юридическое примечание). В окне «Сравнение версий» сначала выберите на компьютере «Исходный документ», а затем «Измененный документ». Если вам необходимы дополнительные опции сравнения, нажмите на кнопку «Больше». Измените параметры сравнения по своему усмотрению. Включите настройки, по которым необходимо отслеживать изменения. Обратите внимание на параметр «Отображение изменений». Здесь можно выбрать степень сравнения — «по знакам» или «словам». В разделе «Показать изменения» выбираем место, где разместится это сравнение: «в исходном документе», «в измененном документе», или в «новом документе». Рекомендуемое значение — «в новом документе». В окне «Сравнение версий» нажмите на кнопку «ОК». На экране откроется программа Word с результатами сравнения в четырех окнах: окно исправлений документа; окно сравниваемого (объединенного) документа; окно исходного документа; окно измененного документа. Справа друг над другом находятся два окошка с исходным (вверху) и измененным (внизу) документами. В центре размещен сравниваемый документ со всеми внесенными изменениями. Слева отображено окно исправлений с информацией и списком изменений. Щелкните по вставке в исправлениях, чтобы переместиться к данному исправлению в основном окне. Измененный текст будет подсвечен цветом. При необходимости, отредактируйте текст в окне объединенного документа. Для большего удобства вы можете выбрать горизонтальное расположение области «Исправления». Во вкладке «Рецензирование», в группе «Запись исправлений» нажмите на стрелку около кнопки «Область проверки», выберите один из вариантов: «Вертикальная область проверки…» или «Горизонтальная область проверки…». Сохранение измененного документа на компьютере После ознакомления с результатами проверки, вы можете сохранить на ПК объединенный документ Word со всеми или только некоторыми исправлениями. В случае согласия с изменениями, выполните следующие действия: Из вкладки «Рецензирование» переместитесь в группу Изменения». Нажмите на кнопку «Принять», или нажмите на стрелку для выбора другого подходящего параметра: Принять и перейти к следующему. Принять исправление. Принять все исправления. Принять все исправления и прекратить отслеживание. Если вы не согласны с исправлениями в тексте документа, нажмите на кнопку «Отклонить и перейти к следующему». Щелкните на стрелку для выбора одного из вариантов действий: Отклонить и перейти к следующему. Отклонить все исправления. Отклонить все исправления и перейти к следующему. Сохраните документ Word в качестве нового файла на компьютере, а исходный и измененный файлы останутся на вашем ПК в первоначальном виде. Как сравнить 2 документа Word в ABBYY Comparator Приложение «ABBYY Сравнение документов» предназначено для сравнения различных типов документов, в том числе файлов Microsoft Office. Это платное приложение находит несоответствия в документах и показывает разницу. Пройдите шаги: В окне программы ABBYY Comparator добавьте в соответствующие области первый и второй документы. Нажмите на кнопку «Найти различия». В окне приложения отобразится информация об обнаруженных несоответствиях. В случае необходимости, сохраните на своем ПК отчет о сравнении файлов в формате PDF или DOCX. Как сравнить 2 документа в Ворде онлайн Может так случится, что у вас не будет под рукой компьютера с программой Word. Например, вам нужно сравнить файлы с телефона, а в мобильной версии офиса нет подобного функционала. В этом случае, вы можете сравнить два документа Word онлайн. Существует несколько сервисов в интернете, способных решать эту задачу. Мы воспользуемся помощью онлайн сервиса Embedika: Войдите на страницу «Сравнение документов»: https://compare.embedika.ru/. Выберите файлы со своего мобильного устройства или с компьютера, и загрузите поочередно их в первую и во вторую области страницы. Нажмите на кнопку «Сравнить». Посмотрите на результат этой операции. Выводы статьи При работе с документами Word, пользователю может понадобится выполнить сравнение двух редакций документа, если над ним работало несколько человек. В этом случае, необходимо сравнить два документа на соответствия друг другу, чтобы узнать о внесенных исправлениях, сделанных партерами или коллегами. Сделать это можно несколькими способами: в программе Word, используя сторонний софт или онлайн сервис в интернете. Как сравнить два PDF-документа / Хабр Существует несколько фундаментальных задач, которые встречаются при работе с большинством, а то и со всеми документами. Одна из них — сравнить две версии одного и того же документа. Это могут быть юридические соглашения или исправления в отчёте, которые, скорее всего, в наши дни будут представлены в формате PDF. В этой статье рассказывается, как можно сравнить содержимое двух файлов PDF или почему у вас не получится этого сделать. Сравнение PDF-файлов не является функцией, которую вы, вероятно, найдёте в приложениях, имеющих широкую поддержку формата обычного документа. Скорее всего, они предложат некоторую форму редактирования, но не смогут провести какое-либо сравнение между двумя файлами. Попробуйте Adobe Acrobat Reader, в нём этот инструмент обязательно будет, но единственный способ его получить — обновиться до полной версии Adobe Acrobat DC по ежемесячной подписке. Это предложение, от которого большинство вполне разумно откажется. Сравнить текст Бесплатное решение — экспортировать каждый из документов в виде текста и использовать мощный текстовый редактор, такой как BBEdit, для сравнения этих текстовых документов. Если у вас установлен бесплатный Xcode SDK от Apple, вы можете использовать его приложение FileMerge, которое скрыто внутри пакета приложений и доступно с помощью команды Open Developer Tool в меню Xcode, я же предпочитаю команду Find Differences в меню поиска BBEdit. Затем вы узнаете, насколько разнообразным может быть текст, экспортированный из файлов PDF. Один из экспериментов, который стоит попробовать, — это сделать копию документа PDF со сложно форматированным текстом, открыть и сохранить его несколько раз с помощью разных приложений, но без изменения его содержимого. Это может перемещать фрагменты текста, даже если при просмотре PDF-файла будет казаться, что он вообще не изменился. Таким образом, хотя вы сможете найти весь контент. У вас, вероятно, будет много ложных срабатываний, в тех случаях, когда есть различия между экспортированным текстом, но не в том, что вы видите в самих документах. Заплатить за Acrobat Насколько я понимаю, единственная «серьезная» функция, с помощью которой можно сравнивать файлы PDF — это функция в платной версии Adobe Acrobat DC. Получив свою копию, я испытал её и обнаружил, что она также имеет ограниченное применение для таких задач. Помимо стандартного интерфейса The Martian, который, к счастью, свойственен Acrobat, небольшие различия между PDF-файлами часто вызывают сотни различий, о которых сообщает Acrobat. Если у вас есть целый день, чтобы проработать каждую страницу, это может быть простой работой, но если вам нужен чистый и простой список различий, вам, скорее всего, не повезёт. Чтобы проверить это, я взял текстовый документ с пронумерованными строками, как это часто бывает во многих юридических документах, и распечатал его в формате PDF. Затем я внёс в него несколько небольших изменений, превратил его в PDF-файл и сравнил два результата. Поскольку Acrobat не понимает никакой базовой структуры, в которой незначительные изменения в тексте вызвали перенумерацию строк, Acrobat пометил каждую строку как отличающуюся. Он также уловил все изменения в макете страницы, которые не повлекли за собой никаких изменений в содержании: удаление единственной строки на первой странице документа, фактически сделало остальную часть документа длинной и утомительной серией изменений. Однако одним из преимуществ является то, что Acrobat точно сообщает, когда документы не изменились, даже если текст, экспортированный из них, изменился в своей структуре. Кроме этого, я не получил от Acrobat особой помощи, поскольку он был просто переполнен несущественными различиями. Есть куда расти? Учитывая популярность PDF-документов, можно предположить, что существует большой спрос на лучшие инструменты для сравнения. Однако любое решение обречено на провал, если оно не может преодолеть фундаментальное ограничение дизайна формата PDF: оно не хранит контент в какой-либо форме семантической структуры, только то, что необходимо для того, чтобы каждая страница выглядела корректно. Вы можете изменить это, вручную объединяя каждый блок текста вместе. А такая процедура, необходима для некоторых типов PDF, которые, например, должны быть совместимы с программами чтения текста. Но вряд ли кто-то потрудится сделать это. И будет большим исключением, если вы обнаружите документы, которые были так структурированы. Внутри файла PDF находятся десятки тысяч объектов, каждый из которых содержит код для создания части страницы. Если вы зададите одно слово в абзаце и зададите для него другой шрифт и толщину, механизм PDF может решить разделить его как другой объект для размещения на этой странице. Но между этими объектами нет семантической связи, и отдельные авторы PDF могут даже размещать каждое слово на странице независимо, как отдельный объект. Тогда выяснение того, как эти слова объединяются в текст, было бы очень сложной задачей даже для AI. Из-за того, что формат файла такой старый, но и не только из-за этого, он позволяет редакторам прикреплять объекты в конце файла, чтобы избавиться от необходимости снова записывать весь файл. Иногда механизм PDF «сглаживает» все эти добавленные изменения, что может полностью реструктурировать объекты. Печальная правда заключается в том, что формат PDF никогда не был предназначен для обеспечения доступа к его содержимому, кроме как, для правильного отображения его на экране или в изображении страницы для печати. Несмотря на это, весь мир ежедневно хранит миллионы своих самых важных документов в формате PDF. Вам не кажется это немного странным?.. Какими инструментами для сравнения пользуетесь вы? Как сравнить два документа в Microsoft Word Существует множество причин, по которым вам может понадобиться сравнить два документа Microsoft Word. Возможно, вы получили две разные версии одного и того же документа из-за одновременного редактирования, или вы работаете в сфере юриспруденции и вам необходимо создать юридический документ. По какой-то причине у вас есть два или более документов Word, и у вас нет времени (или ума) сравнивать их вручную. В этом посте мы расскажем вам, как лучше всего сравнить два документа Microsoft Word, сэкономив вам кучу времени и нервов. Это так же просто, как нажатие кнопки! Сравнение двух документов Word Microsoft Word имеет встроенный инструмент сравнения документов под названием «Сравнить». Инструмент позволяет сравнивать два документа Word одновременно, выделяя любые изменения или различия между ними, позволяя вам редактировать, утверждать и принимать изменения. Возможно, вы не захотите объединять документы, если вы просматриваете договор и вам просто нужно посмотреть, что изменилось между двумя версиями. Вы можете просмотреть это, выполнив первые несколько шагов ниже и не внося никаких дальнейших изменений. Если вы хотите объединить документы, выполните следующие шаги и продолжайте перемещать одобренные изменения в «Основной файл». Прежде чем сохранить это как новую версию. Шаги по сравнению с двумя документами Word с использованием слова Compare Открыть Слово Открыть Один из документов слова Вы хотите сравнить Click . Обзор в меню 1 в разделе Инструменты Щелкните Сравнить документы В разделе Исходный документ выберите исходный файл Word (или один из файлов Word) В разделе Пересмотренный документ выберите документ, который вы хотите сравнить с документом выбрано выше Выберите метку для изменений (необязательно) Нажмите OK Теперь Microsoft Word объединит два документа и выделит все изменения в исправленном файле документа. Исходная копия будет показана нетронутой. Появится третья версия, это ваша «Основная версия» и файл, который будет отражать любые изменения, которые вы принимаете или отклоняете в исправленном документе. Ищете более простой способ сравнения документов Word? Вы не одиноки, хотя Microsoft Word Compare очень удобен (уже существует в вашей версии Microsoft Word), он неуклюж и не очень удобен для пользователя. Удивительно видеть три версии вашего документа на одном экране, ссылаясь на исходный документ и измененный документ, чтобы увидеть, что изменилось. Так как многие из нас сталкиваются с этой проблемой каждый день, в настоящее время существует несколько замечательных, специально разработанных инструментов, которые значительно упрощают сравнение документов Word. Представляем Simul Docs, инструмент, созданный для простого сравнения документов, совместной работы и контроля версий. Это простой и удобный инструмент, который без проблем работает с вашей текущей версией Microsoft Word. Просто перетащите два документа в Simul и нажмите «сравнить» одним нажатием кнопки Simul объединит два файла и выделит любые различия, чтобы вы могли их принять или отклонить. Simul также позаботится о контроле версий за вас, потому что иногда вам нужно вернуться к более старой версии или по закону вы обязаны сохранять эти версии. Поместив документ в Simul, Simul автоматически присвоит документу номер версии, например 0.0.1. Затем сохраните все будущие версии по порядку, даже не спрашивая вас. Когда вы сравниваете два файла и объединяете (необязательно), Simul не только сохранил бы исходный и измененный документы как отдельные версии, но и присвоил бы новому файлу отслеживаемый номер, чтобы вы ничего не сохраняли. Если вы юрист или человек, которому часто приходится сравнивать файлы с помощью специального инструмента, такого как Simul Docs, вы можете сэкономить много драгоценного времени. Благодаря бонусу встроенного контроля версий и многим другим Simul был создан, чтобы помочь вам лучше сотрудничать. Мы упоминали, что они предлагают бесплатную пробную версию? Как сравнить два документа Word и выделить различия Microsoft Word Есть простой способ сравнить два документа Word и выделить различия: программное обеспечение на основе искусственного интеллекта, которое не сломит банк. С помощью Draftable легко сравнивать два текстовых документа и выделять различия. Вы когда-нибудь выполняли построчное сравнение двух документов Word, выделяя различия по ходу дела? Это отнимает много времени, разочаровывает и является одним из худших способов провести время. Но давайте посмотрим правде в глаза: иногда вам нужно точно знать, что изменилось между двумя версиями контракта, соглашения или рукописи книги, и встроенная функция сравнения Microsoft Word просто не справляется с этим. Когда вам нужно тщательно сравнить документы и выделить различия, нет ничего другого, кроме как потратить время, необходимое для просмотра всего текста, если вы не можете найти стороннее приложение, которое сделает эту работу. Лучший способ сравнить два документа Word и выделить различия Draftable — это служба, созданная таким же человеком, как и вы, которого мучает одна и та же проблема: сравнение двух документов и выделение различий. Единственная разница? У этого человека был супер-сильный опыт в области физики, машиностроения и разработки программного обеспечения, поэтому он воспринял это как вызов: создать инструмент, который заполнит этот пробел. Объединившись с другими разработчиками программного обеспечения мирового класса, он придумал решение, которое не только делало то, для чего было предназначено, но и делало работу лучше и эффективнее, чем любое другое программное обеспечение до или после. Сегодня Draftable — это популярный сервис сравнения документов с API, который обслуживает крупные предприятия, настольное приложение для опытных пользователей и бесплатный онлайн-сервис для тех, кому просто нужно время от времени сравнивать один или два документа. Среди наших клиентов глобальные налоговые компании, которые ежемесячно экономят более 1000 часов с помощью Draftable API, а также пользователи настольных компьютеров, которые проводят быструю проверку более 100 страниц в документе и отмечают сокращение времени ручной проверки на 95 %. Несмотря на то, что мы усердно работаем, чтобы помочь нашим корпоративным клиентам добиться успеха, мы не забываем о маленьких ребятах. Наш онлайн-интерфейс удобен и интуитивно понятен, а сервер быстр и отзывчив. Мы предоставляем бесплатные сравнения 24/7 в удобном формате, который превращает каждого случайного посетителя в страстного поклонника. Как сравнить два документа Word и выделить различия Если у вас есть два документа Word, которые вы хотите сравнить, самый быстрый способ сделать это — перейти на https://draftable.com/compare и загрузить ваши текстовые файлы. Сервер принимает как PDF-файлы, так и документы Microsoft Word, поэтому, если вы использовали другой формат, вам нужно сначала выполнить преобразование. Фактическая процедура сравнения представляет собой простой трехэтапный процесс: Перетащите файлы и загрузите; Слева оригинал, справа новый. Нажмите «Сравнить». Просмотрите свои результаты, и если вы хотите поделиться своим анализом с другими, перейдите в «Файл» -> «Экспорт» и выберите нужные параметры в раскрывающемся окне. Если вам просто нужно знать, что отличается, вам может потребоваться только просмотреть версии документа в инструменте сравнения файлов. В первом столбце показан исходный документ с выделенными красным цветом областями, которые будут удалены в исправленном документе. Во втором столбце показан второй файл с добавленным текстом, выделенным зеленым цветом. В третьем столбце представлен полезный журнал изменений со всеми перечисленными изменениями. Настройка сравнения по умолчанию — отображать только изменения содержимого; если вы также хотите увидеть изменения стиля, просто щелкните меню Изменить и выберите один из вариантов. « Предыдущая 1 … 139 140 141 142 143 … 2 800 Следующая »