Рубрика: Разное

1.0.4Последняя

Последняя

 1.0.4 

1.0.4_альфа1

22 мар 14:24

гбтами

1.0.4a1

1.0.4_alpha1 Предварительный выпуск

Предварительная версия

 1.0.4a1
Обновить версию до 1. 0.4 alpha1 

1.0.3

19 мар 14:52

гбтами

1.0.2

16 мая 12:29

гбтами

Исправить регрессию создания оборотов

1.0.1

14 мая 15:10

гбтами

Выпуск исправления

1.0.0

18 мая 11:26

гбтами

 Стейниц 

0,99,4

09 дек 21:12

гбтами

0,99,4

0.99.4

Это вторая бета-версия предстоящего выпуска 1.

Однако, при определённых условиях этот предел будет всегда равен единице. А именно: если функции f {displaystyle f} и g {displaystyle g} являются аналитическими в точке 0 {displaystyle 0} (то есть в некоторой окрестности точки 0 {displaystyle 0} совпадают со своим рядом Тейлора), и f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 {displaystyle f(0)=g(0)=0} , а f ( x ) > 0 {displaystyle f(x)>0} в окрестности ( 0 , δ ) {displaystyle (0,delta )} , то предел f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)^{g(x)}} при x {displaystyle x} стремящемся к нулю справа равен 1. {z}=0} .

В компьютерах

Стандарт IEEE 754-2008, описывающий формат представления чисел с плавающей запятой, определяет три функции возведения в степень:

• Функция для возведения в целую степень: pown ⁡ ( x , y ) {displaystyle operatorname {pown} (x,y)} . Согласно стандарту, pown ⁡ ( x , 0 ) = 1 {displaystyle operatorname {pown} (x,0)=1} для любого x {displaystyle x} , в том числе, когда x {displaystyle x} равен нулю, NaN или бесконечности.
• Функция для возведения в произвольную степень: powr ⁡ ( x , y ) {displaystyle operatorname {powr} (x,y)} — по сути равная exp ⁡ ( y ln ⁡ ( x ) ) {displaystyle exp {ig (}yln(x){ig )}} . Согласно стандарту, powr ⁡ ( ± 0 , ± 0 ) {displaystyle operatorname {powr} (pm 0,pm 0)} возвращает значение «не число» NaN.
• Функция для возведения в произвольную степень, которая особо определена для целых чисел: pow ⁡ ( x , y ) {displaystyle operatorname {pow} (x,y)} . Согласно стандарту, pow ⁡ ( x , ± 0 ) = 1 {displaystyle operatorname {pow} (x,pm 0)=1} для всех x {displaystyle x} (так же, как и pown ⁡ ( x , 0 ) {displaystyle operatorname {pown} (x,0)} ). Данное соглашение в целом имеет разумное обоснование (см. ниже), однако вопрос может вызывать случай, когда x=NaN. {0}} — это неопределённость, поведение некоторых функций, возвращающих в данном случае 1 {displaystyle 1} , не является результатом соглашения или ошибкой, оно имеет логическое обоснование. Дело в том, что в компьютерной арифметике числовые данные подразделяются на целые и вещественные. Это может неявно использоваться в некоторых функциях, реализующих операцию возведения в степень. Например, так сделано в калькуляторе Windows и функции pow в C++. Для целого и вещественного показателя степени используются различные алгоритмы, и функция возведения в степень анализирует показатель: если он равен целому числу, то вычисление степени идёт по другому алгоритму, в котором отрицательные и нулевое основания степени являются допустимыми. Если показатель степени принадлежит множеству целых чисел и равен 0, а основание — вещественное число, то операцию 0 0 {displaystyle 0^{0}} следует определять не иначе как lim x → 0 x 0 {displaystyle lim _{x o 0}x^{0}} . {0}} .

  ---

  • Контурная карта
  • Хейнц, Йозеф
  • Макинцян, Погос Мкртычевич
  • Винторовка (Середино-Будский район)
  • Реклама на автомобилях
  • Воспитание чувств (фильм)
  • Электрификация Советского Союза (опера)
  • Dingo ATF
  • Боброва, Елена Борисовна
  • (2360) Волго-Дон

  Раздел 2: Правило нулевой степени и правило отрицательной степени | Хьюстонский общественный колледж

  Важно, чтобы вы сначала посмотрели видео.

  Отрицательные и нулевые показатели степени часто появляются при применении формул или упрощении выражений.

  В этом разделе мы определим правило отрицательной степени и правило нулевой степени и рассмотрим пару примеров.

  Правило отрицательного экспонента: 

  Другими словами, когда имеется отрицательный показатель степени, нам нужно создать дробь и поместить показательное выражение в знаменатель, а показатель степени сделать положительным. Например,

  
  Но работа с отрицательными показателями — это просто правило показателей, которое нам нужно уметь использовать при работе с экспоненциальными выражениями.

  ---

    Пример 1:

  Упрощение: 3 ^-2 

  Решение:

  ---

  Пример 2:

  Упрощение: 3 ^-2

  Решение:

  Примените правило отрицательного показателя как к числителю, так и к знаменателю.

   

  ---

  Пример 3 :

  Упрощение: 

  Решение :

  Примените правило отрицательного показателя как к числителю, так и к знаменателю.

   

  ---

  Пример 4

  Упрощение: 3 ^-1 + 5 ^-1

  
  Решение:

  Примените правило отрицательного показателя степени к каждому члену, а затем сложите дроби, найдя общие знаменатели.

  ---

    Правило нулевой степени: a ⁰ = 1, a не равно 0. Выражение 0 ⁰ неопределенно или неопределенно.

  В следующем примере, когда мы применяем правило произведения для показателей степени, мы получаем показатель степени, равный нулю.

  х ⁵ х-5 = х ⁵ + ( ^-5 ) = х ⁰

  
  Чтобы лучше понять назначение нулевого показателя, мы также перепишем x5x-5, используя правило отрицательного показателя.

  x ⁵ x- ⁵ =

  
  Нулевой показатель степени указывает на отсутствие делителей числа.

  ---

  Пример:

  Упростите каждое из следующих выражений, используя правило нулевого показателя степени для показателей степени. Запишите каждое выражение, используя только положительные показатели степени.

  а) 3 ⁰

  б) -3 ⁰ + п ⁰

  Решение:

  а) Примените правило нулевой степени.

  3 ⁰ = 1

  
  б) Примените правило нулевой степени к каждому термину, а затем упростите. Нулевой показатель первого члена относится только к 3, а не к отрицательному значению перед 3.

  -3 ⁰ + n ⁰ =-(3 ⁰ ) + n ⁰ = — 1 + 1 = 0

  ---

  
  Проверьте свои знания, открыв действие «Проверь себя».

  90 = ?

  Подписаться І 4

  Подробнее

  Отчет

  3 ответа от опытных наставников

  Лучший Новейшие Самый старый

  Автор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые

  Майкл В. ответил 10.02.14

  Репетитор

  Новое в Византе

  Отличный репетитор по нескольким предметам

  Смотрите таких репетиторов

  Смотрите таких репетиторов

  Используйте правило нулевого порядка для упрощения -3 ⁰ -(-3) ⁰

  • Любое число, возведенное в нулевую степень, равно 1
  • Помните, что если — находится вне круглых скобок, вы применяете его после показателя степени; если — находится внутри круглых скобок, вы включаете его вместе с номером.
  • Например, -2 ² = -(2)(2) = -4, но (-2) ² = (-2)(-2) = 4

  -3 ⁰ -(-3) ⁰

  -1 — 1 = -2

  Голосовать за 1 Понизить

  Подробнее

  Отчет

  Стив С. ответил 09.02.14

  Репетитор

  5 (3) 90 = -1 — 1 = -2

   

  P E MDAS

  Голосовать за 0 Понизить

  Подробнее

  Отчет

  Парвиз Ф. ответил 09.02.14

  Репетитор

  4,8 (4)

  Профессор математики муниципальных колледжей 90) =

     1   — ( 1) = 0

  Голосовать за 0 Понизить

  Подробнее

  Отчет

  Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

  Задайте вопрос бесплатно

  Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Пример 1. В первой урне: три красных, один белый шара. Во второй урне: один красный, три белых шара. Наугад бросают монету: если герб – выбирают из первой урны, в противном случае– из второй.
Решение:
а) вероятность того, что достали красный шар
A – достали красный шар
P₁ – выпал герб, P₂ — иначе

Пример 2. В ящике 4 шара. Могут быть: только белые, только черные или белые и черные. (Состав неизвестен).
Решение:
A – вероятность появления белого шара
а) Все белые:
(вероятность того, что попался один из трех вариантов, где есть белые)
(вероятность появления белого шара, где все белые)

б) Вытащили, где все черные



в) вытащили вариант, где все белые или/и черные

— хотя бы один из них белый

P_а+P_б+P_в =

Пример 3. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
5 белых, 4 черных шара
P(A₁) – вынули белый шар

P(A₂) – вероятность того, что второй шар тоже белый

P(A) – подряд выбрали белые шары

Пример 3а. В пачке 2 фальшивых и 8 настоящих денежных купюр. Из пачки вытянули 2 купюры подряд. Найти вероятность что обе они фальшивые.
Решение:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Пример 4. Имеется 10 урн. В 9 урнах по 2 черных и 2 белых шара. В 1 урне 5 белых и 1 черный. Из урны, взятой наугад, вынули шар.
Решение:
P(A) — ? белый шар взят из урны, где 5 белых
B – вероятность того, что вынули из урны, где 5 белых
, — вынули из других
C₁ – вероятность появления белого шара в 9 ур.

С₂ – вероятность появления белого шара, где их 5

P(A₀)= P(B₁) P(C₁)+P(B₂) P(C₂)

Пример 5. 20 цилиндрических валиков и 15 конусообразных. Сборщик берет 1 валик, а затем еще один.
Решение:
а) оба валика цилиндрические
P(Ц₁)=; P(Ц₂)=
Ц₁ – первый цилиндр, Ц₂ – второй цилиндр
P(A)=P(Ц₁)P(Ц₂) =
б) Хотя бы один цилиндр
K₁ – первый конусообр.
K_{2 — второй конусообр.
P(B)=P(Ц1)P(K2)+P(Ц2)P(K1)+P(Ц1)P(Ц2)
;}

Пример 6. В ящике 10 стандартных деталей и 5 бракованных.
Наугад извлекают три детали
а) Из них одна бракованная
P_n(K)=C_n^k·p^k·q^n-k ,
P – вероятность бракованных изделий

q – вероятность стандартных деталей

n=3, три детали

Пример 7. В 1-й урне по 3 белых и черных шара, а во 2-й — 3 белых и 4 черных. Из 1-й урны во 2-ю не глядя перекладывают 2 шара, а затем из 2-й вытягивают 2 шара. Какова вероятность, что они разных цветов?
Решение:
При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие варианты:
а) вынули за подряд 2 белых шара
P_ББ¹=
На втором шаге всегда будет на один шар меньше, поскольку на первом шаге уже вынули один шар.
б) вынули один белый и один черный шар
Ситуация, когда первым вынули белый шар, а потом черный
P_БЧ=
Ситуация, когда первым вынули черный шар, а потом белый
P_ЧБ=
Итого: P_БЧ¹=
в) вынули за подряд 2 черных шара
P_ЧЧ¹=
Поскольку из первой урны переложили во вторую урну 2 шара, то общей количество шаров во второй урне будет 9 (7 + 2). Соответственно, будем искать все возможные варианты:
а) из второй урны вынули сначала белый, потом черный шар

Пример 7а. Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад переложили 2 шара во 2-ую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из 2-ой урны наугад извлекли 1 шар.
1) Какова вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым?
2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым. Вычислите вероятность того, что из 1-ой урны во 2-ую были переложены шары разного цвета.
Решение.
1) Событие А — извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым. Рассмотрим следующие варианты наступления этого события.
а) Из первой урны во вторую положили два белых шара: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Всего во второй урне 4 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) Из первой урны во вторую положили белый и черный шары: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Всего во второй урне 3 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) Из первой урны во вторую положили два черных шара: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Всего во второй урне 2 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тогда вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым равна:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым, т. е. полная вероятность равна P(A)=13/32.
Вероятность того, что во вторую урну были переложены шары разного цвета (черный и белый) и был выбран белый: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Пример 7б. В первой урне 8 белых и 3 черных шара, во второй 5 белых и 3 черных. Из первой наудачу выбирают один шар, а из второй два шара. После этого из выбранных трех шаров наудачу берут один шар. Этот последний шар оказался черным. Найти вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар.
Решение.
Рассмотрим все варианты события А – из трех шаров, вынутый шар оказался черным. Каким образом могло произойти, что среди трех шаров оказался черный?
а) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два белых шара.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
б) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два черных шара.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
в) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули два черных шара.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
д) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P5 = (8/11)( 3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Полная вероятность равна: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Вероятность того, что из белой урны был выбран белый шар, равна:
Pб(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тогда вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар при условии, что из трех шаров был выбран черный, равна:
Pч = Pб(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Пример 7в. В первой урне 12 белых и 16 черных шаров, во второй 8 белых и 10 черных. Одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару, перемешивают и возвращают по одному в каждую урну. Затем из каждой урны вытаскивают по шару. Они оказались одного цвета. Определить вероятность того, что в 1-ой урне осталось столько же белых шаров, сколько было в начале.

Решение.
Событие А — одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару.
Вероятность вытащить белый шар из первой урны: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Вероятность вытащить черный шар из первой урны: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Вероятность вытащить белый шар из второй урны: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Вероятность вытащить черный шар из второй урны: P2(Ч) = 10/18 = 5/9

Событие А произошло. Событие В — из каждой урны вытаскивают по шару. После перемешивания, вероятность возвращения шара в урну белого или черного шара равна ½.
Рассмотрим варианты события В — они оказались одного цвета.

Для первой урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½  * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½  * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Для второй урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½  * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½  * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Шары оказались одного цвета:
а) белые
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33/392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1/12+8/63 = 113/252
б) черный
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51/392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11/84+10/63 = 139/252

P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч)  = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Пример 7г. В первом ящике 5 белых и 4 синих шарика, во втором 3 и 1, а в третьем — 4 и 5 соответственно. Наугад выбран ящик и из него вытащенный шарик, оказался синий. Какова вероятность того, что этот шарик со второго ящика?

Решение.
A — событие извлечения синего шарика. Рассмотрим все варианты исхода такого события.
h2 — вытащенный шарик из первого ящика,
h3 — вытащенный шарик из второго ящика,
h4 — вытащенный шарик из третьего ящика.
P(h2) = P(h3) = P(h4) = 1/3
Согласно условию задачи условные вероятности события А равны:
P(A|h2) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|h3) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|h4) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(h2)*P(A|h2) + P(h3)*P(A|h3) + P(h4)*P(A|h4) = 1/3*4/9 + 1/3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Вероятность того, что этот шарик со второго ящика равна:
P2 = P(h3)*P(A|h3) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Пример 8. В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров (это ящик состава h2), в шести других ящиках с 20 шарами в каждом — по 4 красных шара (это ящик состава h3). Найти вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.
Решение: Задача на применение формулы полной вероятности.

Пример 9. В урне находятся 2 белых, 3 черных и 4 красных шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета?
Решение. Всего возможны три варианта исхода событий:
а) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два белых.
P_б(2) = P_2б
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 белых.

Количество вариантов выбора из 2 белых шаров:

Количество вариантов выбора из 7 других шаров третий шар:

б) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два черных (т.е. или 2 черных или 3 черных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 черных.

Количество вариантов выбора из 3 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 6 других шаров одного шара:


P_2ч = 0.214
Найдем вероятность того, что все выбранные шары черные.

P_ч(2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два красных (т.е. или 2 красных или 3 красных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 красных.

Количество вариантов выбора из 4 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 5 белых шаров остальные 1 белых:


Найдем вероятность того, что все выбранные шары красные.

P_к(2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тогда вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета равна: P = P_б(2) + P_ч(2) + P_к(2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Пример 10. В первой урне содержится 10 шаров, из них 7 белых; во второй урне 20 шаров, из них 5 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение. Вероятность того, что из первой урны извлекли белый шар, равна P(б)1 = 7/10. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)1 = 3/10.
Вероятность того, что из второй урны извлекли белый шар, равна P(б)2 = 5/20 = 1/4. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)2 = 15/20 = 3/4.
Событие А — из двух шаров взят белый шар
Рассмотрим варианты исхода события А.

1. из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили черный шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. из первой урны вытащили черный шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Пример 11. В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m. Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Рассмотрим событие А – игра во второй раз проводилась новыми мячами. Посмотрим какие события могут привести к этому.
Обозначим через g = n-m, количество новых мячей до вытаскивания.
а) для первой игры вытащили два новых мяча.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для первой игры вытащили один новый мяч и один уже игранный.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для первой игры вытащили два игранных мяча.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Рассмотрим события второй игры.
а) Вытащили два новых мяча, при условии P1: поскольку ранее для первой игры уже вытащили новые мячи, то для второй игры их количество уменьшилось на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Вытащили два новых мяча, при условии P2: поскольку ранее для первой игры уже вытащили один новый мяч, то для второй игры их количество уменьшилось на 1, g-1. 2)

Пример 12. В первом, втором и третьем ящиках находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертом и пятом по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик, если извлеченный шар — белый?
Решение.
Вероятность выбора каждого ящика равна P(H) = 1/5.
Рассмотрим условные вероятности события А — извлечения белого шара.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Полная вероятность извлечения белого шара:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Условная вероятность, что выбран четвертый ящик
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Условная вероятность, что выбран пятый ящик
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Итого, условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик равна
P(H=4, H=5|A) = 0. 2273 + 0.2273 = 0.4546

Пример 13. В урне было 7 белых и 4 красных шара. Затем в урну положили ещё один шар белого или красного или черного цвета и после перемешивания вынули один шар. Он оказался красным. Какова вероятность, что был положен а) красный шар? б) черный шар?
Решение.
а) красный шар
Событие A — вытащили красный шар. Событие H — положили красный шар. Вероятность, того в урну был положен красный шар P(H=K) = ¹/₃
Тогда P(A|H=K)= ¹/₃*⁵/₁₂ = ⁵/₃₆ = 0.139
б) черный шар
Событие A — вытащили красный шар. Событие H — положили черный шар.
Вероятность, того в урну был положен черный шар P(H=Ч) = ¹/₃
Тогда P(A|H=Ч)= ¹/₃*⁴/₁₂ = ¹/₉ = 0.111

Пример 14. Имеются две урны с шарами. В одной 10 красных и 5 синих шаров, во второй 5 красных и 7 синих шаров. Какова вероятность того, что из первой урны наудачу будет вынут красный шар, а из второй синий?
Решение. Пусть событие A1 — из первой урны вынут красный шар; A2 — из второй урны вынут синий шар:
,
События A1 и A2 независимые. Вероятность совместного появления событий A1 и A2 равна

Пример 15. Имеется колода карт (36 штук). Вынимаются наудачу две карты подряд. Какова вероятность того, что обе вынутые карты будут красной масти?
Решение. Пусть событие A₁ — первая вынутая карта красной масти. Событие A₂ — вторая вынутая карта красной масти. B — обе вынутые карты красной масти. Так как должны произойти и событие A₁, и событие A₂ , то B = A₁ · A₂. События A₁ и A₂ зависимые, следовательно, P(B):
,
Отсюда

Пример 16. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6 шаров. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Решение. Пусть индекс 1 означает белый цвет, индекс 2 — черный цвет; 3 — красный цвет. Пусть событие A_i — из первой урны извлекли шар i-го цвета; событие B_j — из второй урны извлекли шар j -го цвета; событие A — оба шара одного цвета.
A = A₁ · B₁ + A₂ · B₂ + A₃ · B₃. События A_i и B_j независимые, а A_i · B_i и A_j · B_j несовместные при i ≠ j . Следовательно,
P(A)=P(A₁)·P(B₁)+P(A₂)·P(B₂)+P(A₃)·P(B₃) =

Пример 17. Из урны с 3-мя белыми и 2-мя черными шары вытаскиваются по одному до появления черного. Найдите вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара? 5 шаров?
Решение.
1) вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара (т. е. третий шар будет черным, а первые два — белыми).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) вероятность того, что из урны будет вытащено 5 шаров
такая ситуация не возможна, т.к. всего 3 белых шара.
P = 0

6.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

  ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей В урну, в которой лежат 6 белых и 5 черных шаров добавляют два черных шара.  После этого наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что хотя бы один шар будет белым, равна …

Решение: Введем обозначения событий: A_k – k – ый вынутый шар будет белым, A – хотя бы один шар будет белым. Тогда   где   – k – ый вынутый шар не будет белым. Так как по условию задачи события     и   зависимы, то 

  ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей В урну, в которой лежат 6 белых и 5 черных шаров добавляют два белых шара.  После этого наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что все три шара будут белыми, равна …

Решение: Введем обозначения событий: A_k – k – ый вынутый шар будет белым, A – все три шара будут белыми. Тогда   и так как по условию задачи события     и   зависимы, то

 ЗАДАНИЕ N 38 сообщить об ошибке Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Из урны, в которой лежат 3 белых и 7 черных шара, наудачу по одному извлекают два шара без возвращения. Тогда вероятность того, что только один из извлеченных шаров будет белым, равна …

  ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей В электрическую цепь последовательно включены два элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов элементов равны соответственно 0,1 и 0,15. Тогда вероятность того, что тока в цепи не будет, равна …

Решение: Введем обозначения событий: A_k (откажет k – ый элемент), A (тока в цепи не будет). Тогда

  ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов элементов равны соответственно 0,1, 0,2 и 0,15. Тогда вероятность того, что тока в цепи не будет, равна …

Решение: Введем обозначения событий: A_k (откажет k – ый элемент), A (тока в цепи не будет, то есть откажет хотя бы один элемент). Тогда

  ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей В электрическую цепь параллельно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов элементов равны соответственно 0,05, 0,1 и 0,20. Тогда вероятность того, что тока в цепи не будет, равна …

Решение: Введем обозначения событий: A_k (откажет k – ый элемент), A (тока в цепи не будет). Тогда

  ЗАДАНИЕ N 38 сообщить об ошибке Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Наладчик обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа потребует его вмешательства первый станок, равна  ; второй –  ; третий –  . Тогда вероятность того, что в течение часа потребует вмешательства наладчика только один станок, равна …

Решение: Введем обозначения событий: A_k (вмешательства наладчика потребует k – ый станок), A (вмешательства наладчика потребует только один станок).   Тогда Учитывая, что  получаем 

  ЗАДАНИЕ N 35 сообщить об ошибке Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Студент знает ответы на 15 из 20 вопросов программы. Тогда вероятность того, что студент ответит на один из двух предложенных ему вопросов, равна …

Решение: Введем обозначения событий: A_k (студент знает ответ на k – ый предложенный ему вопрос), A (студент знает ответы на один из двух предложенных ему вопросов). Тогда   А так как по условию задачи события   и   зависимы, то 

  ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Студент знает ответы на 15 из 20 вопросов программы. Тогда вероятность того, что студент ответит на все три предложенных ему вопроса, равна …

Решение: Введем обозначения событий: A_k (студент знает ответ на k – ый предложенный ему вопрос), A (студент знает ответы на все три предложенных ему вопроса). Тогда   А так как по условию задачи события     и   зависимы, то 

  ЗАДАНИЕ N 37 сообщить об ошибке Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,8, на второй – 0,9, на третий – 0,7. Тогда вероятность того, что студент ответит на все три вопроса, равна …

Решение: Введем обозначения событий: A_k (студент знает ответ на k – ый вопрос), A (студент ответит на все три вопроса).   Тогда  и 

Условная вероятность с использованием урны.

Задавать вопрос

спросил 2 года, 2 месяца назад

Изменено 2 года, 2 месяца назад

Просмотрено 561 раз

$\begingroup$

Урна содержит 5$ белых шаров и 6$ черных шаров. Шары $3$ вытягиваются последовательно без замены. Каковы вероятности…

а. $P(\text{2-й черный} | \text{1-й белый})$?

Для этого я сделал

$$ P(\text{1st белый})=\frac{5}{11} , $$

и

$$ P(\text{второй черный} ) = \frac{3}{11}*\frac{3}{11} $$

(это вероятность того, что WB и BB суммируются). Я умножил вероятность

$$ \frac{P(\text{2-й черный} \cap \text{1-й белый})}{P(\text{1-й белый})} , $$

за это я получил

$$ \frac{\frac{5}{11}*\frac{3}{11}}{\frac{5}{11}} = \frac{3}{11} . $$

Однако, поскольку это без замены, я не думал, что ответ может быть независимым, некоторая обратная связь поможет. Итак, я понял, что это должно быть $\frac{6}{10}$.

б. Если я сейчас ищу $P(\text{3-й черный} | \text{1-й белый, а 2-й черный})$, я получаю

$$ \frac{\frac{5}{9} *\frac{3}{11}}{\frac{3}{11}} , $$

это снова независимый ответ, это правильно?

• вероятность
• условная вероятность

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Здесь не нужно использовать какие-либо формулы, просто посмотрите, что получится, если следовать условиям и шаг за шагом удалять из урны соответствующие шары.

Если мы начнем с белых шаров по $5$ и черных шаров по $6$, тогда нам известно, что первый вынутый шар белый, то после этого первого извлечения остаются черные шары по $6$ и остаются белые шары по $5-1=4$ . Итак, у нас есть $6$ черных шаров из $10$ общего количества шаров, и ответ на первый вопрос равен 9.0003

$$ P[\text{2-й черный} | \text{1-й белый}] = \frac{6}{10} . $$

На второй вопрос нам дано, что первый белый, а второй черный. Итак, после этих двух розыгрышей мы знаем, что осталось $5-1=4$ белых шаров и $6-1=5$ черных шаров. Из оставшихся $9$ шаров $5$ черных, поэтому у нас есть

$$ P[\text{3-й черный} | \text{1-й белый, 2-й черный}] = \frac{5}{9} . $$

$\endgroup$

$\begingroup$

Использование нотации $B_n$ для обозначения событий «$n$-й шар черный», а также $W_n$ для белых шаров.

$$\mathsf P(W_1)=\dfrac{5}{11}\\\mathsf P(B_2)=\dfrac 6{11}$$

Причина: каждый отдельный шар имеет равные шансы стать во второй вытащены шесть черных шаров среди одиннадцати.

(это вероятность WB и BB вместе взятых).

Это правда, но вы почему-то умножили. Вы должны добавить . $$\begin{align}\mathsf P(B_2)&=\mathsf P(W_1\cap B_2)+\mathsf P(B_1\cap B_2)\\[1ex] &=\mathsf P(W_1)\cdot\ mathsf P(B_2\mid W_1)+\mathsf P(B_1)\cdot\mathsf P(B_2\mid B_1)\\[1ex]&=\dfrac{5}{11}\dfrac{6}{10}+ \dfrac{6}{11}\dfrac{5}{10}\\[1ex]&=\dfrac 6{11}\end{align}$$

Здесь $\mathsf P(B_2\mid W_1) $ оценивается как вероятность вытянуть один из $6$ черных шаров при выборе одного из $10$ шаров, оставшихся после удаления одного белого шара.

Я умножил вероятность

$$ \frac{P(\text{2-й черный} \cap \text{1-й белый})}{P(\text{1-й белый})} = \frac{\frac{5}{11}*\ frac{3}{11}}{\frac{5}{11}} \\= \frac{3}{11} . $$

Вы уже нашли, что $\mathsf P(\text{1st white$\cap$ 2nd black})$ равно всего лишь $3/11$. Итак, вы хотели: $$\mathsf P(B_2\mid W_1)=\dfrac{\mathsf P(W_1\cap B_2)}{\mathsf P(W_1)}=\dfrac{3/11}{5/11} =\dfrac{3}{5}$$

Что, опять же, у вас уже было оценивается, не узнавая его.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я не знаю, что вы сделали, но

P(2 равно B|1 равно W) = P(выбрать B среди 4W6B) = 6/10

$\endgroup$

$\begingroup$

а. P(второй черный|первый белый)=P(черный шар из 4 белых 6 черных)=6/10

b. P (третий черный | 1-й белый и 2-й черный) = P (черный шар из 4 белых и 5 черных) = 5/9

$\endgroup$

комбинаторика — Какова вероятность того, что ровно один из двух шаров, выбранных из урны B, будет белым после того, как два шара будут перенесены из урны A в урну B?

Ваш подход был правильным, но, похоже, вы не рассчитали вероятность!

У нас есть следующие случаи:-

Случай I: 2 белых шара взяты из урны A и перенесены в урну B

В этом случае количество способов выбрать 2 белых шара из урны A равно $6 \ выберите 2 $ пути. А общее количество способов выбрать 2 шара из урны А равно $10 \выберите 2$ способа.

Следовательно, вероятность выбрать два белых шара из Урны A равна $\dfrac{6 \choose 2}{10 \choose 2} = \dfrac{1}{3}$

Теперь в Урне B у нас есть 4 белые шары и 2 черных шара. Если нам нужно выбрать два шара так, чтобы ровно один из них был белым, то другой должен быть черным. Следовательно, единственная возможная комбинация: 1 белый шар и 1 черный шар.

Это можно сделать ${4 \выбрать 1}.{2 \выбрать 1}$ способами. А общее количество способов выбрать 2 шара из урны B равно $6 \выбрать 2$ способа.

Следовательно, вероятность выбора ровно одного белого шара (из двух выбранных) из Урны B равна $\dfrac{{4 \choose 1}.{2 \choose 1}}{6 \choose 2} = \dfrac{ 8}{15}$

Следовательно, вероятность того, что произойдут оба этих события, равна произведению этих двух вероятностей. Следовательно, вероятность того, что из урны A были вынуты два белых шара, а затем из урны B вынут ровно один белый шар, равна $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{8}{15} = \dfrac {8}{45}$.

Случай II: 1 белый и 1 черный шары взяты из урны A и перенесены в урну B

В этом случае количество способов выбрать один белый и один черный шар из урны A равно ${6 \choose 1}.{4 \выберите 1}$.

Вероятность того, что это произойдет, равна $\dfrac{{6 \выберите 1}.{4 \выберите 1}}{10 \выберите 2} = \dfrac{8}{15}$

Теперь в урне B мы есть 3 белых шара и 3 черных шара. Вероятность того, что после удаления двух шаров ровно один из них белый, равна $\dfrac{{3 \выбрать 1}.{3 \выбрать 1}}{6 \выбрать 2} = \dfrac{3}{5}$

Таким образом, вероятность того, что один белый и один черный шар будут удалены из урны A и перенесены в урну B, а затем ровно один (из двух удаленных из урны B) будет белым , равна $\dfrac{8}{ 15} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{8}{25}$

Случай III: 2 черных шара взяты из урны A и перенесены в урну B

Вероятность удаления двух черных шаров из урны A равно $\dfrac{4 \choose 2}{10 \choose 2} = \dfrac{2}{15}$

Теперь в урне B 2 белых и 4 черных шара.

| День Пи

Чтобы использовать калькулятор опорного угла , просто введите любой угол в поле угла, чтобы найти его опорный угол, который является острым углом, соответствующим введенному углу. Калькулятор автоматически применяет правила, которые мы рассмотрим ниже.

Базовый угол

Вернуться на страницу калькуляторов

Представьте координатную плоскость. Допустим, мы хотим нарисовать угол в 144° на нашей плоскости. Мы начинаем с правой стороны оси X, где три часа на часах. Мы вращаем против часовой стрелки, которая начинается с движения вверх. Мы продолжаем идти мимо 90° (верхняя часть оси Y), пока не дойдем до 144°. Проводим луч из начала координат, являющегося центром плоскости, в эту точку. Теперь у нас есть луч, который мы называем конечной стороной. Но нам нужно нарисовать еще один луч, чтобы получился угол. На данный момент у нас есть выбор. Наш второй луч должен быть на оси X. Если мы нарисуем его из начала координат вправо, мы нарисуем угол, равный 144°. Если мы нарисуем его влево, мы нарисуем угол, равный 36°. Этот второй угол является опорным углом. Это всегда меньший из двух углов, он всегда будет меньше или равен 9.0°, и он всегда будет положительным. Вот анимация, которая показывает опорный угол для четырех разных углов, каждый из которых находится в другом квадранте. Обратите внимание, что второй луч всегда находится на оси x.

Опорный угол всегда имеет те же значения триггерной функции, что и исходный угол. Обратите внимание, что слово имеет значение . Знак может не совпадать, но значение всегда будет. Это полезно для распространенных углов, таких как 45° и 60°, с которыми мы будем сталкиваться снова и снова. Зная их значения синуса, косинуса и тангенса, мы также знаем значения любого угла, опорный угол которого также равен 45° или 60°. Что касается знака, помните, что синус положителен в 1-м и 2-м квадранте, а косинус положителен в 1-м и 4-м квадранте.

То, как мы находим опорный угол, зависит от квадранта конечной стороны.

Когда крайняя сторона находится в первом квадранте (углы от 0° до 90°), наш исходный угол совпадает с нашим заданным углом. Это имеет смысл, так как все углы в первом квадранте меньше 90°. Итак, если наш заданный угол равен 33°, то его опорный угол также равен 33°.

Когда крайняя сторона находится во втором квадранте (углы от 90° до 180°), наш опорный угол равен 180° минус заданный угол. Итак, если наш заданный угол равен 110°, то его исходный угол равен 180° – 110° = 70°.

Когда крайняя сторона находится в третьем квадранте (углы от 180° до 270°), наш опорный угол равен заданному углу минус 180°. Итак, если наш заданный угол равен 214°, то его исходный угол равен 214° – 180° = 34°.

Когда клеммная сторона находится в положении четвертый квадрант (углы от 270° до 360°), наш исходный угол равен 360° минус заданный угол. Итак, если наш заданный угол равен 332°, то его опорный угол равен 360° – 332° = 28°.

Когда угол больше 360°, это означает, что он повернулся вокруг координатной плоскости и продолжает движение. Чтобы найти его опорный угол, нам сначала нужно найти соответствующий ему угол между 0° и 360°.

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

(1.3)

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком виде:

(1.4)

если 0. Здесь

(1.5)

Это есть формулы Крамерарешения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1.6.Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы:

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить метод Крамера. Вычислим остальные определители:

Тогда

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.

Теорема Крамера. Квадратная система линейных неоднородных уравнений n-го порядка с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам:

где  – определитель основной матрицы, _i – определитель матрицы, полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

1.4. Матричный метод. Обратная матрица

Матрица А^–1называетсяобратнойматрицей по отношению к матрицеА, если выполняется равенствоAA^–1=A^–1A=E. Только квадратные матрицы могут иметь обратные. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Для того чтобы матрицаАимела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля:detA0.

Пример 1.7.Решить систему линейных уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).

Решение. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде:

.

Тогда решение можно формально записать в виде:

.

Таким образом, чтобы найти решение системы, нужно вычислить обратную матрицу

.

Найдем ее

1) Вычисляем определитель исходной матрицы: .

2) Транспонируем матрицу .

3) Находим все алгебраические дополнения транспонированной матрицы:

4) Составляем присоединенную матрицу, для этого вместо элементов транспонированной матрицы ставим найденные алгебраические дополнения:

5) Записываем обратную матрицу, для этого все элементы присоединенной матрицы делим на определитель исходной матрицы:

.

6) Сделаем проверку:

.

Следовательно, обратная матрица найдена правильно.

Теперь, используя найденную обратную матрицу можно найти решение исходной системы:

.

1.5. Метод Гаусса

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений

(1.5)

В общем случае nm.

Задача теории систем линейных уравнений состоит в том, чтобы найти все решения системы. При этом возможны три случая. 1) Система вообще не имеет решений. Системы линейных уравнений, не имеющие ни одного решения, называются несовместными. 2) Система имеет хотя бы одно решение. такие системы называютсясовместными. 3) Система имеет только одно решение. Такие системы называютсяопределёнными.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Пример 1.8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение.Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее к треугольному виду:

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений. Из последнего уравнения находим значение z и подставляем его во второе уравнение. После этого из второго уравнения находим y. Найденные значения y и z подставляем в первое уравнение, из которого затем находим значение x:

Эта тройка чисел будет являться единственным решением системы.

Пример 1.9.Решить систему методом Гаусса:

Решение. Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы

Записываем упрощенную систему уравнений:

Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна.

Пример 1.10. Найти общее решение методом Гаусса

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее трапециевидной форме:

-1

4

3

3

:15

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений:

Пусть переменные x₄ и x₅ будут свободными, тогда переменные x₁, x₂ и x₃ будут основными (или базисными). Их мы оставим в левой части:

Разрешая эту систему относительно x₁, x₂ и x₃ получим

Это есть общее решение системы. Запишем это решение в параметрическом виде. Пусть x₄=a и x₅=5b. Тогда общее решение системы запишется в виде:

Давая числам a и b различные значения, будем получать частные решения. Например, если a=0, b=1, то x₁=–7, x₂=–2, x₃=4, x₄=0, x₅=5.

3×3 Калькулятор системы линейных уравнений

Этот онлайн-калькулятор системы линейных уравнений 3×3 решает систему из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, используя правило Крамера. Введите значения коэффициентов для каждого линейного уравнения системы в соответствующие поля калькулятора. Все поля, оставленные пустыми, будут интерпретироваться как коэффициенты с нулевыми значениями. После нажатия кнопки «Рассчитать» вы получите значения неизвестных.

а ₁ x + b ₁ y + c ₁ z = d ₁

a ₂ x + b _{2 9000 9 у + с 2 z = d 2}

A ₃ X + B ₃ Y + C ₃ Z = D ₃

В математике система линейных уравнений представляет собой набор из одного или нескольких линейных уравнений с одинаковым числом переменных. (или неизвестные). Рассматриваемая здесь линейная система состоит из трех уравнений с тремя неизвестными:
$${ a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }z={ d }_{ 1 }$$ $${ a }_{ 2 }x+{ b } _{ 2 }y+{ c }_{ 2 }z={ d }_{ 2 }$$ $${ a }_{ 3 }x+{ b }_{ 3 }y+{ c }_{ 3 }z= { d }_{ 3 },$$ где \(x, y, z\) — неизвестные, \(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3\) — коэффициенты система, а \(d_1, d_2, d_3\) — постоянные условия.

Решение линейной системы уравнений — это поиск таких значений неизвестных \(x, y, z\), что каждое из уравнений удовлетворяется. Существует ряд методов решения системы линейных уравнений. Этот калькулятор линейной системы уравнений использует правило Крамера. Он выражает решение системы через определители матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее заменой одного столбца вектором-столбцом правых постоянных членов уравнений.

Обозначим через \(D\) определитель матрицы коэффициентов системы:
$$D=\begin{vmatrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ {а}_{ 2} & {б}_{ 2} & {в}_{ 2} \\ {а}_{ 3} & {б}_{ 3} & {в}_{ 3 } \end{vmatrix}.$$

Тогда определители матриц, полученных из матрицы коэффициентов заменой одного столбца на вектор-столбец правых частей уравнений, будут:

$$ {D_x = \left|\begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \\ \end{array}\right|,} \hspace{0.3em}
{D_y = \left|\begin{array}{ccc} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \\ \end{array}\right|,} \hspace{0. 3 em}
{D_z = \left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \\ \end{array}\right|.} $$

Правило Крамера утверждает, что в случае \(D\neq 0\) система имеет единственное решение, индивидуальные значения неизвестных которого задаются следующими формулами:

$$x = \frac{D_x}{D} , \hspace{0,2em} y = \frac{D_y}{D}, \hspace{0,2em} z = \frac{D_z}{D}.$$

В зависимости от значения \(D\) линейная система уравнений может вести себя одним из трех возможных способов:

• Если \(D\neq 0\) система имеет единственное единственное решение, представленное выше.
• Если \(D = 0\) и \({D_x}\neq 0\) (или \({D_y}\neq 0\) или \({D_z}\neq 0\)) система не имеет решения (линейная система несовместна).
• Если \(D = {D_x} = {D_y} = {D_z} = 0\), то система имеет бесконечно много решений.

Связанные калькуляторы

Ознакомьтесь с другими нашими алгебраическими калькуляторами, такими как калькулятор системы линейных уравнений 2×2.

Вы искали как методом крамера решить систему уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как найти дискриминант матрицы по методу крамера, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как методом крамера решить систему уравнений».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как методом крамера решить систему уравнений,как найти дискриминант матрицы по методу крамера,как решать линейные уравнения методом крамера,как решать матрицу методом крамера,как решать матрицы методом крамера,как решать метод крамера,как решать методом крамера,как решать методом крамера линейные уравнения,как решать методом крамера матрицы,как решать систему уравнений методом крамера,как решить матрицу методом крамера,как решить методом крамера систему,как решить методом крамера систему уравнений,как решить систему линейных уравнений методом крамера,как решить систему методом крамера,как решить систему уравнений методом крамера,крамер матрица,крамер метод,крамер формулы,крамера,крамера матрица,крамера метод пример,крамера метод это,линейные уравнения методом крамера,матрица крамер,матрица крамера,матрица метод крамера,матрица методом крамера,матрицу решить методом крамера,матрицы метод крамера,матрицы метод крамера примеры,матрицы примеры метод крамера,матрицы теорема крамера,метод гаусса и крамера,метод гаусса и метод крамера,метод гаусса крамера и,метод гаусса крамера и матричный метод,метод гаусса метод крамера матричный метод,метод крамер,метод крамера,метод крамера 4 на 4,метод крамера 4х4,метод крамера гаусса и,метод крамера для матрицы 4 порядка,метод крамера для решения систем линейных уравнений,метод крамера для чайников,метод крамера и гаусса,метод крамера и матричный метод,метод крамера и метод гаусса,метод крамера и метод гаусса решения систем линейных уравнений,метод крамера как решать,метод крамера матрица,метод крамера матрицы,метод крамера матрицы примеры,метод крамера метод гаусса,метод крамера метод гаусса и,метод крамера метод гаусса матричный метод,метод крамера пример,метод крамера примеры,метод крамера примеры с решением,метод крамера решение,метод крамера решение матриц,метод крамера решение систем линейных уравнений,метод крамера решения,метод крамера решения систем линейных уравнений,метод крамера система линейных уравнений,метод крамера системы линейных уравнений,метод крамера слау,метод крамера теория,метод крамера формула,метод крамера формулы,метод крамера это,метод обратной матрицы метод крамера,метод решение крамера,метод решения крамера,метод слау крамера,метода крамера,методом крамера,методом крамера как решать,методом крамера матрица,методом крамера решить,методом крамера решить матрицу,методом крамера решить системы уравнений,методом крамера решить уравнение,по крамеру решение,по формулам крамера,по формулам крамера решить систему,по формулам крамера решить систему линейных уравнений,по формулам крамера решить систему уравнений,по формуле крамера решить систему,по формуле крамера решить систему линейных уравнений,по формуле крамера решить систему уравнений,правила крамера,правило крамера,правило крамера решения систем,правило крамера решения систем линейных уравнений,пример метод крамера,примеры линейных уравнений решение методом крамера,примеры метод крамера,примеры решение линейных уравнений методом крамера,примеры формула крамера,решение линейных систем уравнений по формулам крамера,решение линейных уравнений методом крамера,решение линейных уравнений методом крамера примеры,решение матриц метод крамера,решение матриц методом крамера,решение матриц по методу крамера,решение матрицы методом крамера,решение метод крамера,решение методом крамера,решение по крамеру,решение по формуле крамера,решение систем линейных уравнений метод крамера,решение систем линейных уравнений методом крамера,решение систем линейных уравнений методом крамера методом гаусса,решение систем линейных уравнений по формулам крамера,решение систем методом крамера,решение систем по формулам крамера,решение систем уравнений методом крамера,решение систем уравнений методом крамера примеры с решением,решение систем уравнений по формулам крамера,решение системных уравнений методом крамера,решение системы линейных уравнений методом крамера,решение системы методом крамера,решение системы по формулам крамера,решение системы уравнений методом крамера,решение слау методом крамера,решение уравнений методом крамера,решение уравнений по формулам крамера,решение уравнения методом крамера,решения метод крамера,решите систему линейных уравнений методом крамера,решите систему уравнений методом крамера,решите систему уравнений по формулам крамера,решить матрицу методом крамера,решить методом крамера,решить методом крамера системы уравнений,решить методом крамера слау,решить методом крамера уравнение,решить по правилу крамера систему,решить по правилу крамера систему уравнений,решить по формулам крамера систему,решить по формулам крамера систему уравнений,решить по формуле крамера систему,решить по формуле крамера систему уравнений,решить систему алгебраических линейных уравнений методом крамера,решить систему линейных уравнений методом крамера,решить систему линейных уравнений по формулам крамера,решить систему линейных уравнений по формуле крамера,решить систему методом гаусса и методом крамера,решить систему методом крамера,решить систему методом крамера и методом гаусса,решить систему по правилу крамера,решить систему по формулам крамера,решить систему по формуле крамера,решить систему уравнений методом крамера,решить систему уравнений по правилу крамера,решить систему уравнений по формулам крамера,решить систему уравнений по формуле крамера,решить системы уравнений методом крамера,решить слау методом крамера,решить уравнение методом крамера,система крамера,система линейных уравнений метод крамера,система линейных уравнений методом крамера,система уравнений методом крамера,систему линейных уравнений решить по формулам крамера,систему уравнений решить по правилу крамера,системы линейных уравнений метод крамера,слау метод крамера,слау методом крамера,способ крамера,теорема крамера матрицы,теория крамера,теория метод крамера,уравнение крамера,уравнение методом крамера,формула крамера,формула крамера для решения,формула крамера для решения системы,формула крамера для решения системы линейных уравнений,формула крамера примеры,формула метод крамера,формулам крамера,формулы крамер,формулы крамера,формулы крамера для решения систем,формулы крамера для решения систем линейных уравнений,формулы метод крамера. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как методом крамера решить систему уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решать линейные уравнения методом крамера).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как методом крамера решить систему уравнений Онлайн?

Решить задачу как методом крамера решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными | Колледж Алгебра |

Решение систем по правилу Крамера

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2×2 несложно, но найти определитель матрицы 3×3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

A=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{ 2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& {c}_{3}\end{массив}\right ]А=⎣

⎡​a1​a2​a3​b1​b2​b3​c1​c2​c3​⎦

⎤​

1. Дополните

   AAA

   первыми двумя столбцами.

   det(A)=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣a1a2a3b1b2b3∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& { c}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& { c}_{3}\end{массив}|\begin{массив}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3}\end{массив} \begin{массив}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ {b}_{3}\end{массив}|det(A)=∣a1​a2​a3 b1​b2​b3​c1​c2​c3​∣a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​∣

2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Рисунок 2

Алгебра выглядит следующим образом: }_{3}+{b}_{1}{c}_{2}{a}_{3}+{c}_{1}{a}_{2}{b}_{3}- {a}_{3}{b}_{2}{c}_{1}-{b}_{3}{c}_{2}{a}_{1}-{c}_{3 }{a}_{2}{b}_{1}∣A∣=a1​b2​c3​+b1​c2​a3​+c1​a2​b3​−a3​b2​c1​−b3​c2 ​a1​−c3​a2​b1​

Пример 3. Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 по данным

A=[0213−11401]A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{array }\right]A=⎣

⎡​034​2−10​111​⎦

⎤​

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле. Таким образом,

∣A∣=∣0213−11401∣0342−10∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1 )−0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6\begin{массив}{l}|A|=|\begin{массив}{ ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{массив}|\begin{массив}{c}0\\ 3\\ 4\end{массив}\begin{массив}{c} 2\\ -1\\ 0\end{массив}|\qquad \\ =0\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)+2\влево(1\вправо)\влево(4\вправо) )+1\влево(3\вправо)\влево(0\вправо)-4\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)-0\влево(1\вправо)\влево(0\вправо) -1\влево(3\вправо)\влево(2\вправо)\qquad \\ =0+8+0+4 — 0-6\qquad \\ =6\qquad \end{массив}∣A∣=∣ 034​2−10​111​∣034​2−10​∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1) −0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6​

Попробуйте 2

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

det(A)=∣1−371111−23∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}1& -3& 7\\ 1& 1& 1\\ 1& -2& 3\end{array}|det(A)=∣111​−31−2​713​∣

Решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

и

3 × 3\text{3}\text{ }\times \text{ }33 × 3

матрицы. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными . Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

Рисунок 3

x=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D},y=\frac{{D}_{y }}{D},z=\frac{{D}_{z}}{D},D\ne 0x=DDx​,y=DDy​​,z=DDz​​,D=0

где

Рисунок 4

Если мы записываем определитель

Dx{D}_{x}Dx​

, мы заменяем столбец

xxx

столбцом констант. Если мы записываем определитель

Dy{D}_{y}Dy​

, мы заменяем столбец

yyy

постоянным столбцом. Если мы записываем определитель

Dz{D}_{z}Dz​

, мы заменяем столбец

zzz

постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример 4. Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14\begin{array}{c}x+y-z=6\\ 3x — 2y+z=-5\\ x+3y — 2z=14\end{массив}x+y−z=63x−2y+z=−5x+3y−2z=14​

Решение

Используйте правило Крамера.

D=∣11−13−2113−2∣,Dx=∣61−1−5−21143−2∣,Dy=∣16−13−51114−2∣,Dz=∣1163−2−51314∣D =|\begin{массив}{ccc}1& 1& -1\\ 3& -2& 1\\ 1& 3& -2\end{массив}|,{D}_{x}=|\begin{массив}{ccc} 6& 1& -1\\ -5& -2& 1\\ 14& 3& -2\end{массив}|,{D}_{y}=|\begin{массив}{ccc}1& 6& -1\\ 3& -5& 1\\ 1& 14& -2\end{массив}|,{D}_{z}=|\begin{массив}{ccc}1& 1& 6\\ 3& -2& -5\\ 1& 3& 14\end{массив }|D=∣131​1−23​−11−2​∣,Dx​=∣6−514​1−23​−11−2​∣,Dy​=∣131​6−514​−11− 2​∣,Dz​=∣131​1−23​6−514​∣

Тогда

x=DxD=−3−3=1y=DyD=−9−3=3z=DzD=6−3=−2\begin{array}{l}x=\frac{{D}_{ x}}{D}=\frac{-3}{-3}=1\qquad \\ y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{-9}{-3} =3\qquad \\ z=\frac{{D}_{z}}{D}=\frac{6}{-3}=-2\qquad \end{array}x=DDx​=−3 −3​=1y=DDy​=−3−9​=3z=DDz​=−36​=−2​

Решение:

(1,3,−2)\left(1,3,-2\right)(1,3,−2)

.

Попробуйте 3

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4\begin{array}{r}\qquad x — 3y+7z=13\\ \qquad x+y+z=1\ \ \qquad x — 2y+3z=4\end{массив}x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4​

Решение

Пример 5. Использование правила Крамера для решения несогласованной системы

Решить систему уравнений по правилу Крамера.

3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)\begin{array}{l}3x — 2y=4\text{ }\left(1\right)\\ 6x — 4y=0\ text{ }\left(2\right)\end{array}3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)​

Решение

Начнем с нахождения определителей

D,Dx и DyD,{D}_{x},\text{и {D}_{y}D,Dx​, и Dy​

.

D=∣3−26−4∣=3(−4)−6(−2)=0D=|\begin{массив}{cc}3& -2\\ 6& -4\end{массив}|= 3\влево(-4\вправо)-6\влево(-2\вправо)=0D=∣36​−2−4​∣=3(−4)−6(−2)=0

Мы знаем, что определитель, равный нулю, означает, что либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножить уравнение (1) на

   −2-2−2

   .
2. Добавьте результат к уравнению

   (2)\влево(2\вправо)(2)

   .

−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8\begin{matrix} \qquad-6x+4y=-8 \\ \qquad6x-4y=0 \\ \qquad\text{ —————} \\ \qquad 0=8\end{matrix}−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8​

Получаем уравнение

0=−80=-80=−8

, что неверно. Следовательно, система не имеет решения. График системы показывает две параллельные линии.

Рис. 5

Пример 6. Использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным числом решений.

x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0(2)2x−4y+6z=0(3)\begin{массив}{rr}\qquad x — 2y+3z=0& \ qquad \left(1\right)\\ \qquad 3x+y — 2z=0& \qquad \left(2\right)\\ \qquad 2x — 4y+6z=0& \qquad \left(3\right)\end {массив}x−2y+3z=03x+y−2z=02x−4y+6z=0​(1)(2)(3)​

Решение

Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

∣1−2331−22−46 ∣1−2312−4∣|\begin{array}{rrr}\qquad 1& \qquad -2& \qquad 3\\ \qquad 3& \qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 2& \qquad -4& \qquad 6\end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{массив}{rr}\qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 3& \qquad 1\\ \ qquad 2& \qquad -4\end{массив}|∣132​−21−4​3−26​ ∣ 132​−21−4​∣

Тогда

1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=01\влево(1\вправо)\влево(6\вправо)+\влево(-2\вправо)\влево(-2\вправо)\влево(2\вправо) )+3\влево(3\вправо)\влево(-4\вправо)-2\влево(1\вправо)\влево(3\вправо)-\влево(-4\вправо)\влево(-2\вправо) )\влево(1\вправо)-6\влево(3\вправо)\влево(-2\вправо)=01(1)(6)+(-2)(-2)(2)+3(3) (−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)(1)−6(3)(−2)=0

Так как определитель равен нулю, то решений либо нет, либо их бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение (1) на

   −2-2−2

   и добавьте результат к уравнению (3):

   −2x+4y−6x=02x−4y+6z=00=0\frac{\begin{ array}{r}\qquad -2x+4y — 6x=0\\ \qquad 2x — 4y+6z=0\end{массив}}{0=0}0=0-2x+4y-6x=02x-4y +6z=0

2. Получение ответа

   0=00=00=0

   , утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой.

Рисунок 6

Лицензии и атрибуты

Лицензионный контент CC, конкретное авторство

• Precalculus. Автор : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. Лицензия : CC BY: Атрибуция

Предыдущая

Следующая

линейная алгебра — Использование правила Крамера для системы уравнений с четырьмя переменными

Задавать вопрос

спросил 3 года, 2 месяца назад

Изменено 3 года, 2 месяца назад

Просмотрено 317 раз

$\begingroup$

Учитывая следующую систему уравнений: \начать{выравнивать*} ш + х + у &= 3 \\ х + у + г &= 4 \\ х + у + 2z &= 10 \\ ш + х + г &= 20 \конец{выравнивание*} Найдите $w$ по правилу Крамера.
Ответ:
\begin{align*} \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 0 и 1 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 и 1 \\ 1 и 0 \end{vmatrix} = 1 — (1 — 2) + (0 — 1) \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= — \begin{vmatrix} 0 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ 1 и 0 \end{vmatrix} = -(0 — 2) + (0-1) = 1 \\ \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= — \begin{vmatrix} 0 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} = — ( 0 — 2) + (0 — 1) = 1 \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 0 и 1 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 — 1 + 1 = 1 \\ ш &= \ гидроразрыв { \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} } { 1 } = \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 3 \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} \конец{выравнивание*} \начать{выравнивать*} \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 0 и 0 и 1 \\ 0 и -1 и 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ -1 и 1 \end{vmatrix} = ( 0 — 1 (-1) ) \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= 4 \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 1 и 1 \\ \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 6 и 2 \\ 20 и 1 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 6 и 1 \\ 20 и 1 \\ \end{vmatrix} = 4(1-2) — (6 — 40) + 6 — 20 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= 4(-1) — 6 + 40 + 6 — 20 = 16 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -4 & -4 \\ \end{vmatrix} = 4 \begin{vmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 и -4 \\ \end{vmatrix} = 4( 2 + 2 ) = 16 \\ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 3( 1 ) — 16 + 16 = 3 \\ W &= \frac{3}{1} \\ Вт &= 3 \конец{выравнивание*} У меня есть веская причина решить эту систему уравнений: $(ш,х,у,г) = (5,9,-11,6)$

Где я ошибся?

• линейная алгебра
• системы уравнений
• определитель

$\endgroup$

$\begingroup$

Должно быть: $$w= \фракция{ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} } { 1 }=$$

$$ = 3 \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 2 \\ 20 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix}= $$ $$=3(1+2+0-1-1-0)-(4+40+0-20-10-0)+$$ $$+(4+40+10-20-10-8)=3-14+16=5.

Проведём следующие действия:

• Поменяем местами строку № 1 и строку № 2

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 5 (Строка 2 — 5 × строка 1)
• Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 4 (Строка 3 — 4 × строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 3 поделим на -5 (Строка 3 = строка 3 / -5)
• Поменяем местами строку № 2 и строку № 3

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 11 (Строка 3 + 11 × строка 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 3 поделим на 6 (Строка 3 = строка 3 / 6)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 3)
• Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = 1
х₂ = 2
х₃ = 3

Вы поняли, как решать? Нет?

Другие примеры

описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

• во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

• во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

• в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Краткий обзор статьи.

Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения.

Далее опишем алгоритм метода Гаусса для простейшего случая, то есть, для систем линейных алгебраических уравнений, количество уравнений в которых совпадает с количеством неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. При решении таких систем уравнений наиболее отчетливо видна суть метода Гаусса, которая заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. Поэтому метод Гаусса также называют методом последовательного исключения неизвестных. Покажем подробные решения нескольких примеров.

В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах.

Навигация по странице.

• Основные определения и обозначения.

• Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.

• Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.

Основные определения и обозначения.

Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n): где  — неизвестные переменные,  — числа (действительные или комплексные),  — свободные члены.

Если , то система линейных алгебраических уравнений называетсяоднородной, в противном случае – неоднородной.

Совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ.

Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной.

Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид .

Эта система в матричной форме записи имеет вид , где — основная матрица СЛАУ,  — матрица столбец неизвестных переменных,  — матрица свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной.

Следует оговорить следующий момент.

Если с системой линейных алгебраических уравнений произвести следующие действия

• поменять местами два уравнения,

• умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k,

• к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k,

то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Если дано x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x² + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x² + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x² + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

1. Объединим числитель и знаменатель в правой части.

    

2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

    

3. Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

    

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

1. Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

    

2. Перемножаем числители и знаменатели между собой:

    

3. Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a² − b². Получаем:

    

4. Далее произведем трансформации в числителе:

    

5. Нам известно, что D = b² − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

    

6. Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

    

7. Сократим:

    

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x² + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x² + bx + c = 0.

1. Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

2. Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

3. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
   
   При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x² − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x² − 6x + 8 = 0.

Неприведенное квадратное уравнение 

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax² + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x².

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

2. Получается, второй коэффициент при x равен , свободный член — . Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

3. Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x² + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x², то есть на 4.

4. Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен , а свободный член .
5. Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

6. Метод подбора помогает найти корни: −1 и 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Шпаргалки по математике

К следующей статье

292.5K

Как определить площадь квадрата

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

§ Как решать уравнения по теореме Виета

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью формулы для корней можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в определении коэффициентов «a», «b» и «с» в квадратных уравнениях. Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Запомните!

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом:

x² + px + q = 0

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0» в том, что в приведённом уравнении «x² + px + q = 0» коэффициент «а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x² + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0», то становится видно,
что «p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Запомните!

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x² + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

, где «x₁» и «x₂» — корни этого уравнения.

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» — значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».

Рассмотрим пример.

x² + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение считается приведённым, значит, можно использовать метод Виета. Выпишем коэффициенты «p» и «q».

• p = 4
• q = −5

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения «x₁ = −5» и «x₂ = 1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −5; x₂ = 1

Рассмотрим другой пример.

x² + x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

Методом подбора получим, что корни уравнения «x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

Важно!

Если у вас не получается решить уравнение с помощью теоремы Виета, не отчаивайтесь. Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней.

Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x² − 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2», поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2». Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x² − 16x − 18 = 0            | (:2)
2x²(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x² − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

Методом подбора получим, что корни уравнения «x₁ = 9» и «x₂ = −1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = 9; x₂ = −1

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x₁» и «x₂» квадратного уравнения «x² + px + 3 = 0» удовлетворяют условию «x₂ = 3x₁». Найти «p», «x₁», «x₂».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

x² + px + 3 = 0

По условию дано, что «x₂ = 3x₁». Подставим это выражение в систему вместо «x₂».

Решим полученное квадратное уравнение «x₁² = 1» методом подбора и найдем «x₁».

   x₁² = 1

• (Первый корень) x₁ = 1
• (Второй корень) x₁ = −1

Мы получили два значения «x₁». Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x₁ = 1
Найдем «x₂»
x₁ · x₂ = 3
1 · x₂ = 3
x₂ = 3
Найдем «p»
x₁ + x₂ = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;

(Второй корень) x₁ = −1
Найдем «x₂»
x₁ · x₂ = 3
−1 · x₂ = 3
                 −x₂ = 3         | ·(−1)
x₂ = −3
Найдем «p»
x₁ + x₂ = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4

Ответ: (x₁ = 1; x₂ = 3; p = −4)     и     (x₁ = −1; x₂ = −3; p = 4)

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений, где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3x² + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

Методом подбора получим, что корни уравнения «x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в которых «a = 1». Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Формула Виета — GeeksforGeeks

Алгебра является одним из основных разделов математики. Многочлены являются неотъемлемой частью алгебры. Формула Виета используется в многочленах. Эта статья о формуле Виета, которая связывает сумму и произведение корней с коэффициентом многочлена. Эта формула специально используется в алгебре.

Формула Виета 

Формулы Виета – это те формулы, которые обеспечивают соотношение между суммой и произведением корней многочлена на коэффициенты многочленов. Формула Виета описывает коэффициенты многочлена в виде суммы и произведения его корня.

Формула Виета имеет дело с суммой и произведением корней и коэффициентом многочлена. Он используется, когда нам нужно найти многочлен, когда даны корни, или мы должны найти сумму или произведение корней.

Формула Виета для квадратного уравнения

Максим Кусакин

Физика

11,5 K

Инженер, немного пилот. Физик, химик, электронщик-любитель. Независимый звукорежиссёр…  · 23 окт 2017

Умножение любого числа на ноль даёт в результате ноль по определению нуля в математике — «нулевой элемент множества — это элемент, который при операции умножения с любым элементом множества даёт нулевой элемент.» В бытовом смысле — на множестве вещественных чисел, нулевой элемент — это число 0.

Людочка Жу

28 декабря 2018

А откуда взялось это «определение нуля в математике»? Есть какое-нибудь математическое доказательство или это. .. Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Երվանդ Ս.

4

Музыкант, математик, кухонный философ  · 7 апр 2020

Говоря на продвинутом уровне, если человек сможеть доказать что в линейном пространстве 0*х = 0, то этот человек понимает аксиомы линейного пространства. Средненький студент матфака 1го курса, скорее всего, сможет доказать это. [это из моих мемуаров о первом курсе]. Так что это худо-бедно можно доказать. А на более простом языке — представьте, что у вас есть банан. У… Читать далее

В Р.

24 января

Это демагогия! Причем здесь друзья и все остальное рассуждения, проще, если у меня есть банан и я с ним ничего не… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Виталий Полшков

18

Студент-математик  · 7 нояб 2017

Если мы можем полагаться на другие законы арифметики, то этот отдельный факт можно доказать. Предположим, что есть число x, для которого x * 0 = x’, причём x’ — это не нуль (будем для простоты считать, что x’ > 0) Тогда, с одной стороны, x * 0 = x’, с другой стороны x * 0 = x * (1 — 1) = x — x Получается, что x — x = x’, откуда x = x + x’, то есть x > x, что не может… Читать далее

Сережка Серенький

12 марта 2019

предположение не может быть правдой потому что это всего лишь предположение ! ни кто простым языком не может… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Я фотограф и видеограф  · 6 июл 2022

Мне понравилась такая интерпретация: число умножаемое на другое число, это что-то взятое несколько раз. В данном случае ноль раз, а значит и результат взятого ноль раз чего-то будет нулевой.

Комментировать ответ…Комментировать…

Галина Тихонова

77

На Яндекс Дзен в блоге https://zen. yandex.ru/reshaem_test_mathematics пишу статьи, видео…  · 6 апр 2021

Самое простое доказать данное утверждение можно так. Пусть дано выражение:

а*в — а*в = 0 ; преобразуем: а*(в — в) = а * 0 = 0 или:

в*(а — а) = в * 0 = 0. а и в не равны 0.

Поэтому и правило: умножение на 0 равно 0.

Комментировать ответ…Комментировать…

Магомед Курбанов

-1

29 июн 2018

Потому что это ошибка. Что то, не возможно умножить на того чего нет, в итоге останется то что было. Если бы умножение на ноль, на самом деле давало ноль, то ничего бы не было, вообще ничего. 1000$ умножить на ноль = те же 1000$. Но 1000$ × (-2) = -2000$, потому что мы потеряли 2 раза по 1000$, но мы не можем терять, если теряем в нисколько раз, у нас также останутся теже 1000$

Максим Кусакин

28 декабря 2018

Ошибка у Вас в рассуждениях. Вы принимаете, что у Вас уже есть «тыща баксов», которую Вы умножаете на ноль. А раз… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

1 ответ скрыт(Почему?)

Видео-урок: Умножение на 1 и 0

Стенограмма видео

Умножение на единицу и ноль

В этом видео мы научимся умножать целые числа на ноль и единицу.

Начнем с того, что происходит, когда мы умножаем число на единицу. Эта модель показывает шесть подставок для яиц. И каждая чашка для яиц содержит один яйцо. И мы можем сказать, что шесть раз один равняется единице. Что вы заметили в этом числовое предложение? Ну, мы начали с числа шесть, а произведение равно шести. Когда мы умножаем шесть на один, произведение или результат равен шести. Таким образом, мы могли бы сказать, что когда мы умножьте число на единицу, произведение или результат, который мы получим, и есть это число. Проверим это утверждение на исследуя, что происходит, когда мы умножаем разные числа на единицу.

В этой таблице умножения София раскрасила все числа, кратные одному, зеленым цветом. Используйте таблицу, чтобы закончить следующее предложение. При умножении любого числа на единица, произведение равно нулю, единице или тому же числу.

В этом вопросе мы должны исследовать, что происходит, когда вы умножаете любое число на единицу. Произведение равно нулю, единице или такое же количество? И нам дано это умножение таблица в помощь. София раскрасила все кратные из одной зелени. Итак, мы видим, что произведение один раз один есть один. Дважды один — два. Три раза один или один раз три это три. Четыре раза один четыре. И пять раз один пять.

Что ты заметил? Когда мы умножаем один на один, продукт один. Когда мы умножаем два на один, продукт два. Три умножить на один это три. Четыре умножить на один будет четыре. И пять умножить на один пять. Итак, когда мы умножаем любое число на один, продукт тот же номер.

Мы называем это правило тождеством свойство умножения. Когда вы умножаете число на единицу, продукт имеет тот же номер. Давайте посмотрим, что происходит, когда вы умножаете число на ноль.

Когда мы умножаем, мы можем думать о равных группах точек. Четыре группы из двух точек равны восемь точек; четырежды два равно восьми. Сколько точек было бы, если бы вы нарисовал нулевые группы по восемь точек в каждой группе? Найдите пропущенное число: ноль раз восемь равно чему.

Этот вопрос состоит из двух частей. В первой части мы должны думать о том, сколько точек было бы, если бы у нас было ноль групп по восемь точек в каждой группа. Когда мы умножаем, мы можем подумайте о равных группах точек, чтобы помочь. Эта модель показывает четыре группы два. А четырежды два — восемь. Эта модель показывает четыре группы. Если мы не нарисуем групп или ноль группы, не было бы точек. Если групп нет, то есть без точек, что означает, что ноль, умноженный на восемь, равен нулю. Если четыре группы из двух точек равны восемь точек и четыре умножить на два равно восьми, тогда нет групп с восемью точками равно нулю, а ноль, умноженный на восемь, дает ноль.

Мы называем это нулевым свойством умножение. Когда вы умножаете число на ноль, произведение равно нулю.

Мэтью начал с 12 звезд в три группы по четыре. Три группы по четыре человека. Трижды четыре равно 12. Удаляйте по одной группе за раз. Найдите недостающие числа. Две группы по четыре, два раза по четыре равняется чему. Одна группа из четырех, один раз четыре равняется чему. Ноль групп из четырех, ноль раз четыре равно чему.

Мэтью начал с 12 звезд в три группы по четыре. Мы должны удалить одну группу из четырех за раз, чтобы найти недостающие номера. Мы знаем, что трижды четыре равно 12. Итак, чтобы найти две группы по четыре человека, мы просто нужно убрать одну группу из четырех человек. На сколько четыре меньше 12? Дважды четыре восемь. Четыре меньше 12 восемь.

Если мы уберем еще четыре, мы будет иметь одну группу из четырех человек, то есть четыре. Одна группа из четырех или один раз четыре четыре. И чтобы найти ноль, умноженный на четыре, мы просто нужно убрать еще одну группу из четырех человек. Четыре убрать четыре равно нулю. Ноль умножить на четыре равно нулю.

Мэтью начал с 12 звезд в три группы по четыре. И он удалил одну группу за время. Две группы по четыре-два раза четыре равно восьми. Одна группа из четырех или один раз четыре равняется четырем. И нулевые группы из четырех равных нуль.

Итак, чему мы научились в этом видео? Мы узнали, что когда мы умножаем число на единицу, произведение является этим числом. Мы называем это свойством тождества умножения. Мы также узнали, что, когда мы умножь число на ноль, произведение равно нулю. И мы называем это нулевым свойством умножения.

Нулевое свойство умножения — определение, примеры

LearnPracticeDownload

Согласно нулевому свойству умножения произведение любого числа на ноль всегда равно нулю. Это свойство применимо ко всем типам чисел, и его не следует путать со свойством тождества умножения, которое включает 1 в качестве элемента тождества и в котором произведение является самим числом. Давайте узнаем больше о нулевом свойстве умножения.

Что такое нулевое свойство умножения?

Нулевое свойство умножения гласит, что когда мы умножаем число на ноль, произведение всегда равно нулю. Следует отметить, что этот ноль может стоять до или после числа. Другими словами, положение нуля не влияет на свойство. Это свойство применяется ко всем типам чисел, будь то целые числа, дроби, десятичные дроби или даже алгебраические термины. Например, 5 × 0 = 0, 8,4 × 0 = 0, 0 × 1/2 = 0, y × 0 = 0

Еще один важный момент, о котором следует помнить, состоит в том, что операция деления не имеет свойства нуля, хотя деление является операцией, обратной умножению. Если мы разделим число на ноль, оно не даст нуля.

Разница между свойством идентичности и нулевым свойством умножения

Нулевое свойство умножения не следует путать со свойством идентичности умножения. Свойство Identity умножения гласит, что когда мы умножаем 1 на любое число, произведением является само число. Например, 7 × 1 = 7. Здесь «1» — это мультипликативная единица числа, а свойство представлено как: a × 1 = a = 1 × a. С другой стороны, нулевое свойство умножения гласит, что когда мы умножаем число на ноль, произведение всегда равно нулю. Например, 7 × 0 = 0,

Дополнительные ссылки

Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными нулевому свойству умножения.

• Умножение
• Ассоциативное свойство умножения
• Распределительное свойство умножения
• Аддитивная идентичность против мультипликативной идентичности

Нулевое свойство умножения Примеры

1. Пример 1. Что из следующего является примером нулевого свойства умножения?

   a.) 5 + 0 = 5

   b.) 5 × 1 = 5

   с.) 5 × 0 = 0

   Решение:

   A). В первом случае, 5 + 0 = 5, числа складываются, а не умножаются, следовательно, это не означает нулевого свойства умножения.

   б.) Во втором случае 5 × 1 = 5 число не умножается на 0, следовательно, оно не обозначает нулевого свойства умножения.

   в.) В третьем случае 5 × 0 = 0 число умножается на 0, а произведение равно нулю, следовательно, оно показывает нулевое свойство умножения.

2. Пример 2. Используйте нулевое свойство умножения, чтобы найти пропущенные числа.

   а.) 32 × 0 = __

   б.) 65 × __ = 0

   в.) 0 = 0

   б.) 65 × 0 = 0

   в.) 0 × 78 = 0

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных эффектов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о нулевом свойстве умножения

Что такое нулевое свойство умножения?

Нулевое свойство умножения гласит, что при умножении числа на ноль произведение всегда равно нулю. Независимо от того, стоит ли этот ноль перед числом или после него, результатом всегда будет ноль. Это свойство применяется ко всем типам чисел, таким как целые числа, дроби, десятичные дроби и даже алгебраические термины. Например, 67 × 0 = 0, 98.4 × 0 = 0, 0 × 31/72 = 0, b × 0 = 0

Чем свойство тождественности умножения отличается от свойства нуля умножения?

Свойство умножения Identity отличается от свойства нуля умножения. Согласно тождественному свойству умножения, если мы умножим 1 на любое число, произведение будет самим числом. Например, 42 × 1 = 42. Здесь «1» — мультипликативная единица числа, а свойство представлено как a × 1 = a = 1 × a. С другой стороны, нулевое свойство умножения говорит о том, что когда мы умножаем число на 0, произведение всегда равно 0. Например, 98 × 0 = 0.

В чем разница между ассоциативным свойством умножения и нулевым свойством умножения?

Ассоциативное свойство умножения отличается от нулевого свойства умножения. Согласно ассоциативному свойству умножения произведение трех и более чисел остается одним и тем же независимо от того, как они сгруппированы, а это означает, что изменение группировки множителей не меняет произведения. Например, (2 × 5) × 3 = 2 × (5 × 3) = 30. С другой стороны, нулевое свойство умножения говорит о том, что всякий раз, когда число умножается на ноль, результат равен нулю. Например, 23 × 0 = 0,

В чем разница между переместительным свойством умножения и нулевым свойством умножения?

Согласно коммутативному свойству умножения изменение порядка операндов или множителей не меняет произведение. Например, 5 × 4 = 4 × 5 = 20. Хотя мы знаем, что нулевое свойство умножения говорит о том, что всякий раз, когда число умножается на ноль, произведение равно нулю. Например, 6 × 0 = 0.

Каковы 3 свойства умножения?

Есть три основных свойства умножения:

• Переместительное свойство: Согласно переместительному свойству умножения, если мы изменим порядок множимых, это изменит произведение. Например, 3 × 2 = 6 и 2 × 3 = 6.
• Ассоциативное свойство: Согласно ассоциативному свойству умножения способ группировки множимых не меняет произведения этих чисел. Например, (4 × 2) × 3 = 24 и 4 × (2 × 3) = 24
• Распределительное свойство: В соответствии с распределительным свойством умножения, когда число умножается на сумму двух или более слагаемых, результат равен результату, полученному при умножении каждого слагаемого на число по отдельности. Например, если нам нужно решить 5(10 + 3), мы можем решить его обычным способом, сначала раскрыв скобки, то есть 5(10 + 3) = 5(13) = 65.