Рубрика: Разное

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Геометрия Нахождение радиуса круга: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус круга (окружности) и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

• Формулы вычисления радиуса круга
  • 1. Через длину окружности/периметр круга
  • 2. Через площадь круга
• Примеры задач

Формулы вычисления радиуса круга

1. Через длину окружности/периметр круга

Радиус круга/окружности рассчитывается по формуле:

C – это длина окружности/периметр круга; равняется удвоенному произведению числа π на его радиус:

C = 2πR

π – число, приближенное значение которого равно 3,14.

2. Через площадь круга

Радиус круга/окружности вычисляется таким образом:

S – это площадь круга; равна числу π, умноженному на квадрат его радиуса:

S = πR²

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см².

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Радиус круга с учетом площади Калькулятор

👎

Формула

сбросить

👍

Радиус круга с учетом площади Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Площадь круга: 80 Квадратный метр —> 80 Квадратный метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

5.04626504404032 метр —> Конверсия не требуется

< 4 Радиус круга Калькуляторы

Радиус круга с учетом площади формула

Радиус круга = sqrt(Площадь круга/pi)
r = sqrt(A/pi)

Что такое Круг?

Окружность — это базовая двухмерная геометрическая фигура, которая определяется как совокупность всех точек на плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки. Фиксированная точка называется центром круга, а фиксированное расстояние называется радиусом круга. Когда два радиуса становятся коллинеарными, эта общая длина называется диаметром круга. То есть диаметр — это длина отрезка внутри круга, проходящего через центр, и он будет в два раза больше радиуса.

Чему равен радиус круга, если дана площадь?

Радиус — это линия от центра круга до точки на круге или расстояние от центра круга до точки на круге. Форма множественного числа — радиусы (произносится как «луч-ди-глаз»). Иногда слово «радиус» используется для обозначения самой линии. В этом смысле вы можете увидеть «нарисовать радиус круга». Чтобы вычислить радиус круга, когда дана площадь, вам нужно взять квадратный корень из площади круга, деленный на число Пи.

Share

Copied!

Площадь круга – формула, вывод, примеры

Площадь круга – это пространство, занимаемое кругом на двумерной плоскости. В качестве альтернативы пространство, занимаемое в пределах границы/окружности круга, называется площадью круга. Формула площади круга: A = πr ² , где r — радиус круга. Единицей площади является квадратная единица, например, м ² , см ² , дюймы ² и т. д.

Формула площади круга полезна для измерения области, занимаемой круглым полем или сюжет. Предположим, если у вас есть круглый стол, то формула площади поможет нам узнать, сколько ткани нужно, чтобы полностью его покрыть. Имеет ли круг объем? Нет, у круга нет объема. Круг — это двумерная фигура, у него нет объема. У круга есть только площадь и периметр/окружность. Давайте подробно узнаем о площади круга, площади поверхности и его окружности на примерах.

1.	Круг и части круга
2.	Какова площадь круга?
3.	Формулы площади круга
4.	Вывод формулы площади круга
5.	Площадь поверхности круга Формула
6.	Различия между площадью и окружностью круга
7.	Реальный пример площади круга
8.	Часто задаваемые вопросы по площади круга

Какова площадь круга?

Площадь круга — это пространство, ограниченное границами круга. Область внутри границы круга — это площадь, занимаемая кругом. Его также можно назвать общим количеством квадратных единиц внутри этого круга. Площадь круга = πr ² или πd ² /4 в квадратных единицах, где

• (Pi) π = 22/7 или 3,14.
• r = радиус окружности
• d = диаметр окружности

Пи (π) — отношение длины окружности к диаметру любого круга. Это специальная математическая константа.

Круг и части круга

Давайте вспомним круг и его части, прежде чем подробно узнать о площади круга. Окружность — это совокупность точек, находящихся на фиксированном расстоянии от центра окружности. Круг представляет собой замкнутую геометрическую фигуру. Мы видим круги в повседневной жизни, такие как колесо, пицца, круглая площадка и т. Д. Мера пространства или области, заключенной внутри круга, известна как площадь круга.

Радиус: Расстояние от центра до точки на границе называется радиусом окружности. Обозначается буквой «р» или «р». Радиус играет важную роль в формуле площади и длины окружности, которую мы изучим позже.

Диаметр: Линия, которая проходит через центр и ее концы лежат на окружности, называется диаметром окружности. Обозначается буквой «d» или «D».

Формула диаметра: Формула диаметра круга равна удвоенному его радиусу. Диаметр = 2 × Радиус. d = 2r или D = 2R. Если известен диаметр круга, его радиус можно рассчитать как: r = d/2 или R = D/2.

Окружность: Длина окружности равна длине ее границы. Это означает, что периметр круга также называют его окружностью. Длина веревки, идеально обвивающей границу круга, будет равна его длине окружности. Приведенный ниже рисунок поможет вам визуализировать то же самое. Окружность можно измерить, используя данную формулу:

, где «r» — радиус окружности, а π — математическая константа, значение которой приблизительно равно 3,14 или 22/7. Для круга с радиусом «r» и окружностью «C»:

• π = длина окружности/диаметр
• π = C/2r = C/d
• С = 2πr

Давайте разберемся с различными частями круга на следующем примере из реальной жизни.

Рассмотрим парк круглой формы, как показано на рисунке ниже. Мы можем определить различные части круга с помощью рисунка и таблицы, приведенных ниже.

По кругу	В нашем парке	Назван по букве
Центр	Фонтан	Ф
Окружность	Граница
Хорд	Вход в игровую зону	ПК
Радиус	Расстояние от фонтана до Въездных ворот	ФА
Диаметр	Расстояние по прямой линии между входными и выходными воротами через фонтан	авиабаза
Малый сегмент	Меньшая часть парка, показанная как игровая площадка
Основной сегмент	Большая площадь парка, кроме игровой площадки
Внутренняя часть круга	Зеленая зона всего парка
Внешняя часть круга	Территория за пределами парка
Дуга	Любая изогнутая часть по окружности.

Формула площади круга

Площадь круга можно вычислить промежуточными шагами, исходя из диаметра и длины окружности. Из диаметра и окружности мы можем найти радиус, а затем найти площадь круга. Но эти формулы обеспечивают кратчайший способ найти площадь круга. Предположим, что круг имеет радиус «r», тогда площадь круга = πr ² или πd ² /4 в квадратных единицах, где π = 22/7 или 3,14, а d — диаметр.

Площадь круга, A = πr ² квадратных единиц

Окружность / периметр = 2πr единиц

Площадь круга можно рассчитать по формуле:

• Площадь = π × r ² , где ‘r’ — радиус.
• Площадь = (π/4) × d ² , где d — диаметр.
• Площадь = C ² /4π, где C — длина окружности (иногда называемая периметром).

Примеры использования формулы площади круга

Рассмотрим следующие иллюстрации на основе формулы площади круга.

Пример 1: Если длина радиуса окружности составляет 4 единицы. Вычислите его площадь.

Решение:

Радиус (r) = 4 единицы (данные)

Используя формулу площади круга,

Площадь круга = πr ²

A =π × 16

A = 16π ≈ 50,27

Ответ: Площадь круга равна 50,27 квадратных единиц.

Пример 2: Длина наибольшей хорды окружности равна 12 единицам. Найдите площадь круга.

Решение:

Диаметр (d) = 12 единиц (дано)

Используя формулу площади круга, ,

A = (π/4) × 12 ²

A = (π/4) × 144

A = 36π ≈ 113,1

Примечание: Альтернативно, мы можем сначала найти радиус (r) а затем применить πr ² формула.

Ответ: Площадь круга 113,1 квадратных единиц.

Площадь круга с использованием диаметра

Формула площади круга через диаметр: Площадь круга = πd ² /4. Здесь d — диаметр окружности. Диаметр круга в два раза больше радиуса круга. д = 2р. Как правило, из диаметра нам нужно сначала найти радиус круга, а затем найти площадь круга. С помощью этой формулы мы можем напрямую найти площадь круга по измерению диаметра круга, как показано в приведенном выше примере. 92}{4\пи}\). Обычно есть два простых шага, чтобы найти площадь круга по заданной окружности круга. Длина окружности сначала используется для нахождения радиуса окружности. Этот радиус также полезен для нахождения площади круга. Но используя эту формулу, мы сможем напрямую найти площадь круга из длины окружности круга.

Площадь круга — расчет

Площадь круга удобно вычислять по радиусу, диаметру или длине окружности. Константа, используемая при вычислении площади круга, равна пи и имеет дробное числовое значение 22/7 или десятичное значение 3,14. Любое из значений pi может быть использовано в зависимости от требований и необходимости уравнений. В приведенной ниже таблице показан список формул, если мы знаем радиус, диаметр или длину окружности.

Вывод площади круга

Почему площадь круга πr ² ? Чтобы понять это, давайте сначала разберемся, как выводится формула площади круга.

Внимательно посмотрите на приведенный выше рисунок, если мы разделим круг на более мелкие части и расположим их систематически, он образует форму параллелограмма. Когда круг делится на еще более мелкие сектора, он постепенно принимает форму прямоугольника. Чем больше у него секций, тем больше он имеет форму прямоугольника, как показано выше.

Площадь прямоугольника = длина × ширина

Ширина прямоугольника = радиусу круга (r)

Сравнив длину прямоугольника и длину окружности, мы увидим, что длина = ½ длины окружности

Площадь круга = Площадь образовавшегося прямоугольника = ½ (2πr) × r

Следовательно, площадь круга равна πr ² , где r — радиус круга, а значение π равно 22/7 или 3,14.

Площадь поверхности круга Формула

Площадь поверхности круга равна площади круга. На самом деле, когда мы говорим о площади круга, мы имеем в виду не что иное, как общую площадь его поверхности. Площадь поверхности — это площадь, занимаемая поверхностью трехмерной формы. Поверхность сферы будет иметь сферическую форму, но круг — это простая плоская двумерная форма. Так что технически мы не используем фразу «площадь поверхности» для обозначения площади круга, вместо этого мы просто называем ее «площадью круга».

Если дана длина радиуса или диаметр или даже длина окружности, то мы можем узнать площадь поверхности. Он представлен в квадратных единицах. Площадь поверхности круга по формуле = πr ² где ‘r’ — радиус окружности, а значение π приблизительно равно 3,14 или 22/7.

Различия между площадью и окружностью круга

Вот некоторые важные различия между окружностью (периметром) и площадью круга.

	Окружность (С)	Зона (А)
Определение	Длина границы круга.	Количество свободного места внутри круга.
Единицы	Такой же длины, как у блока. Пример: см, дюйм, фут и т. д.	Измеряется в квадратных единицах. Пример: см 2 , дюйм 2 , фут 2 и т. д.
Формула	2πr	πr 2
Связь с радиусом	Окружность прямо пропорциональна радиусу.	Площадь прямо пропорциональна квадрату радиуса.
Связь с диаметром	Окружность прямо пропорциональна диаметру.	Площадь прямо пропорциональна квадрату диаметра.

Реальный пример площади круга

Рон и его друзья заказали пиццу в пятницу вечером. Длина каждого кусочка была 15 см.

Вычислите площадь пиццы, которую заказал Рон. Можно считать, что длина куска пиццы равна радиусу пиццы.

Решение:

Пицца имеет круглую форму. Таким образом, мы можем использовать формулу площади круга для вычисления площади пиццы. Радиус 15 см.

Формула площади круга = πr ² = 3,14 × 15 × 15 = 706,5

Площадь пиццы = 706,5 кв. см.

☛ Похожие темы:

• Калькулятор круга
• Калькулятор радиуса окружности
• Калькулятор длины окружности
• Калькулятор площади круга

Cuemath — одна из ведущих мировых платформ для обучения математике, предлагающая онлайн-уроки по математике в прямом эфире один на один для классов K-12. Наша миссия — изменить то, как дети изучают математику, чтобы помочь им преуспеть в школе и на конкурсных экзаменах. Наши опытные преподаватели проводят 2 или более живых занятий в неделю в темпе, соответствующем потребностям ребенка в обучении.

Примеры площади круга

1. Пример 1: Найдите длину окружности и площадь круга, радиус которого равен 14 см.

   Решение:

   Дано: Радиус окружности = 14 см

   Длина окружности = 2πr

   = 2 × 22/7 × 14

   = 2 × 22 × 21

   Используя формулу площади круга = πr ²

   = 22/7 × 14 × 14

   = 22 × 2 × 14

   = 616 кв.см.

   Площадь круга = 616 кв. см.

   Ответ: Длина окружности = 88 см, площадь = 616 кв. см.

2. Пример 2: Соотношение площадей двух кругов составляет 4:9. С помощью формулы площади круга найдите отношение их радиусов.

   Решение:

   Предположим следующее:

   Радиус 1-го круга = R1

   Площадь 1-го круга = A1

   Радиус 2-го круга = R2

   Площадь 2-го круга = A2

   Дано, что A1:A2 = 4:9

   Площадь круга = πr ²

   π\(R_1\ ) ² : π\(R_2\) ² = 4 : 9

   Извлечение квадратных корней из обеих сторон,

   R1 : R2 = 2 : 3

   Ответ: Отношение радиусов = 2: 3

3. Пример 3: Гоночная трасса имеет форму круглого кольца. Внутренний радиус гусеницы составляет 58 ярдов, а внешний радиус — 63 ярда. Найдите площадь гоночной трассы.

   Решение:

   Дано: R = 63 ярда, r = 56 ярдов.

   Пусть площадь внешнего круга равна A ₁ , а площадь внутреннего круга равна A ₂

   Площадь гоночной трассы = A ₁ — A _{2 904 —}

   πr

   ² = π(63 ² — 56 ² ) = 22/7 × 833 = 2618 квадратных ярдов.

   Ответ: Площадь гоночной трассы составляет 2618 квадратных метров.

4. Пример 4: Провод имеет форму равностороннего треугольника. Каждая сторона треугольника составляет 7 дюймов. Проволока согнута в форме круга. Найдите площадь образовавшегося круга.

   Решение:

   Периметр равностороннего треугольника: Периметр треугольника = 3 × сторона = 3 × 7 = 21 дюйм.

   Так как периметр равностороннего треугольника = длина окружности образовавшегося круга.

   Таким образом, периметр треугольника равен 21 дюйму.

   Длина окружности = 2πr = 2 × 22/7 × r = 21

   r = (21 × 7)/(44) = 3,34.

   Следовательно, радиус окружности равен 3,34 см. Площадь круга = πr ² = 22/7 × (3,34) ² = 35,042 квадратных дюйма.

   Ответ: Площадь круга равна 35,042 квадратных дюйма.

5. Пример 5: Время, показанное на круглых часах, равно 15:00. Длина минутной стрелки составляет 21 единицу. Найдите расстояние, пройденное кончиком минутной стрелки в 15:30.

   Решение:

   Когда минутная стрелка находится в 15:30, она покрывает половину круга. Таким образом, расстояние, пройденное минутной стрелкой, на самом деле составляет половину окружности. Расстояние \(= \pi\) (где r — длина минутной стрелки). Отсюда пройденное расстояние = 22/7 × 21 = 22 × 3 = 66 единиц.

   Ответ: Пройденное расстояние равно 66 единицам.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Пусть ваш ребенок решит задачи из реальной жизни, используя математику

Пусть ваш ребенок применит понятия, полученные в школе, в реальном мире с помощью наших экспертов.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по области круга

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по площади круга

Как вычислить площадь круга?

Площадь круга можно рассчитать, если мы знаем радиус (r), диаметр (d) или длину окружности (C), используя одну из следующих формул:

• Площадь = π × r ²
• Площадь = (π/4) × d ²
• Площадь = C ² /4π

Формула площади круга?

Формула площади круга = π × r ² . Площадь круга равна π, умноженному на квадрат радиуса. Площадь круга при заданном радиусе r составляет πr ² . Площадь круга, если известен диаметр d, равна πd ² /4. π составляет ок. 3.14 или 22/7. Площадь (A) также можно найти по формуле A = (π/4) × d ² , где «d» — радиус, а A = C ² /4π, где «C» — длина окружности.

Что такое периметр и площадь круга?

Длина окружности равна длине ее границы. Это означает, что периметр круга равен его окружности. Площадь круга составляет πr ² , а периметр (длина окружности) равен 2πr, когда радиус составляет «r» единиц, π составляет приблизительно 3,14 или 22/7. Длина окружности и длина радиуса круга являются важными параметрами для определения площади этого круга. Для круга с радиусом «r» и окружностью «C»:

• π = окружность ÷ диаметр
• π = C/2r
• Следовательно, C = 2πr

Почему формула площади круга равна πr

Круг можно разделить на множество маленьких секторов, которые затем можно переставить соответствующим образом, чтобы получился параллелограмм. Когда круг делится на еще более мелкие сектора, он постепенно принимает форму прямоугольника. Мы можем ясно видеть, что одна из сторон прямоугольника будет радиусом, а другая будет половиной длины окружности, т. е. π. Как мы знаем, площадь прямоугольника равна его длине, умноженной на ширину, которая равна π, умноженному на «r». Следовательно, площадь круга равна πr ² .

Чему равна формула площади круга, выраженная числом π?

Значение числа пи (π) приблизительно равно 3,14. Пи — иррациональное число. Это означает, что его десятичная форма не заканчивается (например, 1/5 = 0,2) и не повторяется (например, 1/3 = 0,3333…). Пи равно 3,141592653589793238… (всего до 18 знаков после запятой). Следовательно, формула площади круга, выраженная в числах пи, равна πr ² квадратных единиц.

Как найти длину окружности и площадь круга?

Площадь и длину окружности можно рассчитать по следующим формулам. Окружность = 2πr; Площадь = πr ² . Окружность круга можно взять как π, умноженное на диаметр круга. А площадь круга в π раз больше квадрата радиуса круга.

Как рассчитать площадь круга с диаметром?

Диаметр круга в два раза больше радиуса круга. Следовательно, формула площади круга с использованием диаметра равна π/4, умноженному на квадрат диаметра круга. Формула площади круга с использованием диаметра круга π/4 × диаметр ² .

Как найти площадь круга, зная длину окружности?

Площадь круга также можно найти, используя длину окружности круга. Радиус круга можно найти из длины окружности круга, и это значение можно использовать для нахождения площади круга. Предположим, что длина окружности равна «С». Имеем C = 2πr или r = C/2π. Теперь, применяя это значение «C» к формуле площади, мы получаем A = πr ² = π × (C/2π) ² = C ² /4π.

Что такое формулы площади и периметра круга?

Для окружности радиусом r:

• Периметр (длина окружности), C = 2πr
• Площадь, A = πr ²

Какова площадь круга, вписанного в квадрат длиной 6 м?

Если в квадрат вписан круг, то диаметр круга = длина стороны квадрата = 6 м. Тогда его радиус = 3 м. Следовательно, площадь круга, вписанного в данный квадрат = 3,14 × 3 × 3 = 28,26 кв.м.

Длина окружности данного круга равна 16 см. Какова будет его площадь?

Длина окружности = 16 см

Мы знаем формулу длины окружности, C =2πr

Итак,

2πr = 16

или r = 16/2π = 8/π

Подставляя значение ‘r ‘ в формуле площади круга получаем:

A = πr ²

A = π(8/π) ² = 64/π

Решая,

Площадь = 20,38 кв.см.

Каково отношение диаметра к площади круга?

Рассмотрим круг радиуса ‘r’. Тогда его диаметр = 2r и площадь = πr ² . Тогда отношение диаметра к площади равно 2r : πr ² = 2 : πr.

Площадь круга | Формула радиуса, диаметра и окружности

Автор:

Malcolm McKinsey

16 января 2023 г.

Круг не является квадратом, но площадь круга (количество внутреннего пространства, ограниченного кругом) измеряется в квадратных единицах. Найти площадь квадрата просто: длину умножить на ширину.

Круг имеет только диаметр , или расстояние в поперечнике. У него нет четко видимых длины и ширины, так как круг (по определению) — это множество всех точек, равноудаленных от данной точки в центре.

Тем не менее, имея только диаметр или половину диаметра ( радиус ), или даже только окружность (расстояние вокруг), можно вычислить площадь любого круга.

Как найти площадь круга

Напомним, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одинаково, 9{2} м2, квадратных дюймов , квадратных футов и так далее.

Скажем, у нас есть круг с радиусом 7 метров . Какова его площадь?

Площадь круга по диаметру

Если известен диаметр,  d , в любых единицах измерения, возьмите половину диаметра, чтобы получить радиус,  r , в одни и те же единицы.

Вот жилой комплекс Сан-Сити, штат Аризона, круглый город диаметром 9 {2}км2, разделите на  1 000 000 :

Площадь самого западного круглого жилого комплекса Сан-Сити составляет почти 1 квадратных километров!

Как вычислить площадь круга

Попробуйте эти вычисления площади для четырех разных кругов. Будь осторожен; некоторые указывают радиус r , а некоторые указывают диаметр d .

Не забудьте взять половину диаметра, чтобы найти радиус, прежде чем возвести радиус в квадрат и умножить на № .

Проблемы

1. A 406-мм велосипедное колесо

2. Колесо обозрения London Eye с радиусом 60 метров

   6-5
   2 дюймовый велосипедное колесо

3. самая большая пицца имела радиус 61 фут , 4 дюйма ( 736 дюймов )

Ответы

1. {2}11 817,97 футов 2 пиццы! Ням! В любом случае, как вы справились с четырьмя задачами?

   Площадь круга с помощью длины окружности

   Если вы не знаете, что такое радиус или диаметр, но знаете длину окружности, C , вы можете еще найти площадь.

   Формула площади и длины окружности

   Длина окружности (расстояние вокруг окружности) находится по следующей формуле:

   Это означает, что мы можем взять формулу длины окружности и «найти r », что дает нам:

   Мы можем заменить r в нашей исходной формуле новым выражением:

   Это выражение упрощается до следующего:

   Как эта формула работает каждый раз1! 900 найдите площадь с окружностью

   Подумайте о красивой, разумного размера  пицце, которую вы и трое друзей можете разделить.

• \(sinx=1 \Rightarrow x = \frac{\pi}2 + 2\pi k,\;k\in \mathbb{Z}\).
• \(sinx=-1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}2 + 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).
• \(sinx=0 \Rightarrow x = \pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).

Уравнение \(cosx=a\)

• При \(|a|>1\) уравнение \(cosx=a\) не имеет решений.
• При \(|a|≤1\) общее решение уравнения \(cosx=a\) записывается в виде \(x = \pm arccos a + 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}\). Данная формула включает два множества решений: \({x_1} = arccos a + 2\pi k\), \({x_2} = -arccos a + 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).

• \(cosx=1 \Rightarrow x = \ 2\pi k,\;k\in \mathbb{Z}\).
• \(cosx=-1 \Rightarrow x ={\pi} + 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).
• \(cosx=0 \Rightarrow x =\frac{\pi}2+ \pi k,\;k \in \mathbb{Z}\). 2 x = 0 \Leftrightarrow sin x\left( {cos x — sin x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} sin x = 0, \\ cos x — sin x = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \left[ \begin{array}{l} sin x = 0, \\ tgx = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pi k ,\quad k \in Z, \\ x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\quad k \in Z. \\ \end{array} \right.\)

  Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно \(sin\  и \ cos\), если все его члены одной и той же степени относительно \(sin \  и\  cos\) одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

  1. перенести все его члены в левую часть;
  2. вынести все общие множители за скобки;
  3. приравнять все множители и скобки нулю;
  4. скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на \(cos\ ( \ или\ sin )\) в старшей степени;
  5. решить полученное алгебраическое уравнение относительно \(tg\). 2=1\), то существует такой угол \(\varphi\), что \(cos\varphi=\frac35, \ а \ sin \varphi =\frac45\), тогда получим:  \(cos\varphi\cdot sinx+sin\varphi\cdot cosx=1 \\sin(x+\varphi)=1 \Rightarrow x+\varphi=\frac{\pi}2+2\pi k, k\in Z \Rightarrow \\x=\frac{\pi}2+2\pi k-\varphi \\x=-arcsin\frac45+\frac{\pi}2+2\pi k, k\in Z.\)

      

     Проект «Решение тригонометрических уравнений и отбор корней на заданном отрезке графическим способом» • Наука и образование ONLINE

     Главная Работы на конкурс Предметное образование Физико-математические дисциплины Проект «Решение тригонометрических уравнений и отбор корней на заданном отрезке графическим способом»

     Автор: Тестова Дарья Викторовна

     Место работы/учебы (аффилиация): МБОУ Лицей №2, г. Купино, Новосибирская область, 10 класс

     Научный руководитель: Иванова Елена Петровна

     В едином государственном экзамене по профильной математике, во второй части, есть задание, в котором нужно решить тригонометрическое уравнение и сделать отбор корней на определенном отрезке. Это номера №12: правильно выполнили в нашем районе  23,7%, частично выполнили 2,6%. Существуют несколько методов решений тригонометрических  уравнений и отбора корней. И стоит владеть ими всеми, так как они используются в зависимости от: вида уравнения; периода и т.д. Так или иначе, у каждого способа есть свои плюсы и минусы в использовании. Но всё же среди всего перечня методов, есть те, которые не пользуются большим спросом. Например: графический. Его применение встречается намного реже, чем тот же тригонометрический круг или подбор. С чем же это связано? Во-первых, построение графиков функции – это довольно трудоёмкий процесс, который базируется на довольно обширном блоке теории. Во-вторых, при решении, в уравнении может присутствовать иррациональность или неудобные коэффициенты и т.п. нюансы, которые дают не очень удобные значения для построения графиков или же наоборот делают их либо слишком большими, либо маленькими, вследствие чего теряется точность результата. Но всё же есть и плюсы. Используя данный метод, нам предоставляется возможность, зрительно проанализировать своё решение. Таким образом, информация не только воспринимается легче, но и за счёт её интерпретации, углубляется понимание полученного результата. Плюс ко всему, есть такие виды тригонометрических уравнений, которые решаются намного легче и быстрее, благодаря использованию графического метода.

     Цель: решить тригонометрические уравнения и выполнить отбор корней на заданном отрезке, используя технику построения графиков функций.

     Гипотеза: с помощью графиков функций, отдельные уравнения решаются проще и отбор корней на заданном отрезке, зрительно воспринимается легче.

     Задачи:

     1. Найти и проанализировать информацию по теме исследования.
     2. Изучить графический способ решения тригонометрических уравнений.
     3. Решить графическим способом тригонометрические уравнения.
     4. Выполнить отбор корней уравнений, на заданном отрезке используя технику построения графиков функций.
     5. Сделать выводы по результатам проделанной работы.

     Актуальность: использование графического способа для выборки корней тригонометрического уравнения на заданном отрезке является более удобным при решении  экзаменационных заданий.

     Объект исследования: уравнения.

     Предмет исследования: функции и их графики.

     Методы исследования: анализ, синтез и структурирование полученной информации.

     Проектная работа «Умножение с увлечением»

     «Все сущее есть число», – утверждал 25 столетий назад величайший древнегреческий математик и философ Пифагор и с этим утверждением невозможно не согласиться. Эта тема актуальна и сегодня, ведь невозможно представить жизнь человека, не производящего в…

     Посмотреть работу

     Исследовательская работа «Математики России»

     Ученые-математики сделали для общества очень многое. Они позволили обычным людям взглянуть на мир более глубоко. Кроме этого, нельзя забывать о том огромном вкладе в развитие науки и техники, который совершили величайшие математики мира. Цель исследо…

     Посмотреть работу

     Исследовательский проект «Взаимосвязь решения головоломок и успешности в обучении»

     Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы

     Гипотеза: спомощью головоломок можно оценить способность ребенка к обучению, так как головоломки развивают креативное мышление. Цель моей работы: изучение взаимосвязи способности решать головоломки и успеваемости у школьников. Задачи: Узнать, что так…

     Посмотреть работу

     Проект «Математическая индукция»

     Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы

     В основе любого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений — это рассуждение, исходным моментом которого является общее утверждение, а заключительным моментом – частный результат. Если же, опира…

     Посмотреть работу

     Решатель тригонометрических тождеств

     Дом Многочлены Нахождение наибольшего общего делителя Факторинг трехчленов Функция абсолютного значения Краткий обзор полиномов факторинга Решение уравнений с одним радикальным членом Добавление дробей Вычитание дробей Метод ФОЛЬГИ График составных неравенств Решение абсолютных неравенств Сложение и вычитание многочленов Использование наклона Решение квадратных уравнений Факторинг Свойства умножения показателей степени Завершение квадрата Решение систем уравнений методом подстановки Объединение подобных радикальных терминов Исключение с помощью умножения Решение уравнений Теорема Пифагора 1 Нахождение наименьших общих кратных Умножение и деление в научной записи Сложение и вычитание дробей Решение квадратных уравнений Сложение и вычитание дробей Умножение на 111 Добавление дробей Умножение и деление рациональных чисел Умножение на 50 Решение линейных неравенств с одной переменной Упрощение кубических корней, содержащих целые числа График составных неравенств Простые трехчлены как произведения двучленов Написание линейных уравнений в форме наклона-пересечения Решение линейных уравнений Линии и уравнения Пересечения параболы Функция абсолютного значения Решение уравнений Решение сложных линейных неравенств Комплексные числа Факторизация разности двух квадратов Умножение и деление рациональных выражений Сложение и вычитание радикалов Умножение и деление чисел со знаком Решение систем уравнений Факторизация противоположности GCF Умножение специальных многочленов Свойства показателей степени Научное обозначение Умножение рациональных выражений Сложение и вычитание рациональных выражений с отличающимися знаменателями Умножение на 25 Десятичные дроби в дроби Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата Частное правило для показателей степени Упрощение квадратных корней Умножение и деление рациональных выражений Независимые, противоречивые и зависимые системы уравнений Склоны Графические линии на координатной плоскости Графические функции Силы десяти Свойство нулевой мощности экспонентов Вершина параболы Рационализация знаменателя Тест факторизуемости для квадратных трехчленов Трехчленные квадраты Решение двухшаговых уравнений Решение линейных уравнений, содержащих дроби Умножение на 125 Свойства экспоненты Умножение дробей Сложение и вычитание рациональных выражений с одинаковым знаменателем Квадратные выражения — Заполнение квадратов Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями Решение формулы для заданной переменной Факторинг трехчленов Умножение и деление дробей Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме Уравнения мощности и их графики Решение линейных систем уравнений подстановкой Решение полиномиальных уравнений методом факторинга Законы показателей индекс casa mÃo Системы линейных уравнений Свойства рациональных показателей Мощность произведения и мощность частного Различия в факторинге идеальных квадратов Деление дробей Разложение полинома на множители путем нахождения GCF Графики линейных уравнений шагов факторинга Свойство умножения показателей степени Решение систем линейных уравнений с тремя переменными Решение экспоненциальных уравнений Нахождение НОК набора одночленов

     Expression Equation Inequality Contact us ​​ Simplify Factor Expand GCF LCM ​​ Solve Graph System ​​ Решение График Система Математический решатель на вашем сайте Решатель уравнений тригонометрических тождеств Связанные темы: как добавление частичных множителей помогает решить проблему множественных размещений | как ввести корень третьей степени на графических калькуляторах | вычислитель радикальных выражений | таблица сложных процентов класс 10 индия | бесплатный онлайн-калькулятор статистики | программа для решения одновременных уравнений ti 89| проверьте мой ответ, упрощая радикалы | алгебра калькулятор корень | алгебра гленко 1 ответы Автор Сообщение cherlejcaad Дата регистрации: 07. 04.2003 От кого: Размещено: Пятница, 29чт дек 07:08 Привет, мои занятия в старшей школе только что начались, и я ошеломлен количеством домашних заданий по решению тригонометрических уравнений тождеств, которые мы получаем. Мои концепции все еще не ясны, и в течение 3 дней нужно выполнить большую домашнюю работу. Я очень расстроен и не могу ни о чем думать. Может ли кто-нибудь направить меня? Наверх espinxh Зарегистрирован: 17. 03.2002 Откуда: Норвегия Размещено: Суббота, 30 декабря, 07:50 Что ж, у меня есть для вас совет. Было время, когда даже я застревал на задачах, связанных с решателем тригонометрических уравнений тождеств, и тогда моя старшая сестра предложила мне попробовать алгебраизатор. Он не только решил все мои вопросы, но и объяснил эти решения в очень хорошей пошаговой манере. Трудно поверить, но однажды ночью я действительно плакала, потому что пропустила еще одно задание, и через пару дней я помогала своим друзьям с их заданиями. Знаю, как бы странно это не звучало, но на самом деле Алгебратор мне очень помог. Наверх Гулс Зарегистрирован: 01.12.2002 Откуда: Великобритания Размещено: Суббота, 30 декабря, 15:59 Я согласен, веб-сайты в Интернете не лучше, чем учебники колледжа. Алгебратор — хороший способ начать свою математическую карьеру. Наверх Outafnymintjo Дата регистрации: 22.07.2002 Откуда: Япония…ВРЕМЯ СУШИ! Размещено: Воскресенье, 31 декабря, 09:02 Алгебратор — это программа, которую я использовал на нескольких математических занятиях — Алгебра 1, Предварительная алгебра и Алгебра колледжа. Это действительно отличная математическая программа. Я помню, как у меня были проблемы с экспоненциальными правилами, расстоянием между точками и степенями. Я просто набирал домашнее задание, нажимал «Решить» — и пошагово решал домашнее задание по математике. Очень рекомендую программу. Наверх КрокРас Дата регистрации: 19.07.2002 Откуда: Орландо Размещено: вторник, 02 января, 08:37 Ух ты! Эта программа настоящая? Это очень помогло бы мне в решении моих задач. Доступна ли (programName) бесплатно или ее нужно покупать? Если да, то где я могу купить его? Наверх pcaDFX Дата регистрации: 03.07.2001 От кого: Наверх

     Решение линейных тригонометрических уравнений в секансе и косекансе

     Предварительный расчет

     Генри З.

     спросил 27.07.22

     Решите следующее уравнение для θ на интервале [0,2π).

     3√3сек(θ)+4=-2

     Подписаться І 1

     Подробнее

     Отчет

     3 ответа от опытных наставников

     Лучший Новейшие Самый старый

     Автор: ЛучшиеНовостиСамые старые

     София А. ответил 27.07.22

     Репетитор

     5,0 (75)

     Дружелюбный и поддерживающий репетитор по математике, физике и химии

     Об этом репетиторе ›

     Об этом репетиторе ›

     3√3 сек(θ) + 4 = −2

     вычесть по 4 с обеих сторон

     3√3 сек(θ) = −6

     разделить обе стороны на 3√3

     sec(θ) = −6 / 3√3 = − 2 / √3

     возьмем обратное число от обеих сторон

     cos(θ) = − √3 / 2

     Мы знаем, что

     3 / 2 = cos (π / 6)

     Therefore

     θ = π ± ( π / 6) or

     θ ₁ = 5π / 6 and θ ₂ = 7π / 6

     Голосовать за 0 Понизить

     Подробнее

     Отчет

     Раймонд Б. ответил 27.07.22

     Репетитор

     5 (2)

     Математика, микроэкономика или уголовное правосудие

     Об этом репетиторе ›

     Об этом репетиторе ›

     3sqr3(secT) +4 =-2 9-1(-sqr3/2)

     T = 5pi/6 или 7pi/6

     Голосовать за 0 Понизить

     Подробнее

     Отчет

     Ричард С. ответил 27.07.22

     Репетитор

     5 (4)

     Репетитор по повышению уверенности в себе с 18-летним опытом

     Об этом репетиторе ›

     Об этом репетиторе ›

     Голосовать за 0 Понизить

     Подробнее

     Отчет

     Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

     

3. Преобразуем tg(π + t). Наименование функции остается, т.е. получим tg(t). Далее предположим, что 0

4. Преобразуем ctg(270 0 + t). Наименование функции изменяется, то есть получим tg(t). Далее предположим что 0

Задачи с формулами приведения для самостоятельного решения

Ребята, преобразуйте самостоятельно, используя наши правила:

1) tg(π + t),
2) tg(2π — t),
3) ctg(π — t),
4) tg(π/2 — t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 — t),
9) sin(2π — t),
10) cos(2π — t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 — t),
13) cos(π — t).

Они относятся к разделу «тригонометрия» в математике. Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду. О важности их знания написать можно много. Этих формул аж 32 штуки!

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!» – это значит, что действительно, это необходимо именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:

– задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.

– задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.

– задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.

– стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов:

угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов

* * *

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

1. Определите знак функции в соответствующей четверти.

Напомню их:

2. Запомните следующее:

функция изменяется на кофункцию

функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Вот и всё!

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов, значит:

Вот вам ещё дополнительное подтверждение того, что синусы смежных углов равны:

Угол лежит во второй четверти, синус во второй четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов, значит:

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

***

В статье на решение был отмечен такой факт – синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.

И еще одна задача B11 на ту же тему — из реального ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите значение выражения:

В этом коротком видеоуроке мы узнаем, как применять формулы приведения для решения реальных задач B11 из ЕГЭ по математике. Как вы видите, перед нами — два тригонометрических выражения, каждое из которых содержит синусы и косинусы, а также довольно зверские числовые аргументы.

Прежде чем решать эти задачи, давайте вспомним, что такое формулы приведения. Итак, если у нас есть выражения вида:

То мы можем избавиться от первого слагаемого (вида k · π/2) по специальным правилам. Начертим тригонометрическую окружность, отметим на ней основные точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. Затем смотрим на первое слагаемое под знаком тригонометрической функции. Имеем:

1. Если интересующее нас слагаемое лежит на вертикальной оси тригонометрического круга (например: 3π/2; π/2 и т.д.), то исходная функция заменяется на ко-функцию: синус заменяется косинусом, а косинус — наоборот, синусом.
2. Если же наше слагаемое лежит на горизонтальной оси, то исходная функция не меняется. Просто убираем первое слагаемое в выражении — и все.

Таким образом, мы получим тригонометрическую функцию, не содержащую слагаемых вида k · π/2. Однако на этом работа с формулами приведения не заканчивается. Дело в том, что перед нашей новой функцией, полученной после «отбрасывания» первого слагаемого, может стоять знак плюс или минус. Как определить этот знак? Вот сейчас и узнаем.

Представим, что угол α, оставшийся внутри тригонометрической функции после преобразований, имеет очень малую градусную меру. Но что значит «малая мера»? Допустим, α ∈ (0; 30°) — этого вполне достаточно. Рассмотрим для примера функцию:

Тогда, следуя нашим предположениям, что α ∈ (0; 30°), заключаем, что угол 3π/2 − α лежит в третьей координатной четверти, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Вспоминаем знак исходной функции, т.е. y = sin x на этом интервале. Очевидно, что синус в третьей координатной четверти отрицателен, поскольку по определению синус — это ордината конца подвижного радиуса (короче синус — это координата y ). Ну, а координата y в нижней полуплоскости всегда принимает отрицательные значения. Значит, и в третьей четверти y тоже отрицателен.

На основании этих размышлений мы можем записать окончательное выражение:

Задача B11 — 1 вариант

Вот эти же самые приемы вполне подходят для решения задачи B11 из ЕГЭ по математике. Разница лишь в том, что во многих реальных задачах B11 вместо радианной меры (т.е. чисел π, π/2, 2π и т.д.) используется градусная мера (т.е. 90°, 180°, 270° и т.д.). Давайте посмотрим на первую задачу:

Сначала разберемся с числителем. cos 41° — это нетабличное значение, поэтому мы ничего не можем сделать с ним. Пока так и оставим.

Теперь смотрим на знаменатель:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Очевидно, что перед нами формула приведения, поэтому синус заменился на косинус. Кроме того, угол 41° лежит на отрезке (0°; 90°), т.е. в первой координатной четверти — именно так, как требуется для применения формул приведения. Но тогда 90° + 41° — это вторая координатная четверть. Исходная функция y = sin x там положительна, поэтому мы и поставили перед косинусом на последнем шаге знак «плюс» (другими словами не поставили ничего).

Осталось разобраться с последним элементом:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Здесь мы видим, что 180° — это горизонтальная ось. Следовательно, сама функция не поменяется: был косинус — и останется тоже косинус. Но вновь возникает вопрос: плюс или минус будет стоять перед полученным выражением cos 60°? Заметим, что 180° — это третья координатная четверть. Косинус там отрицательный, следовательно, перед косинусом в итоге будет стоять знак «минус». Итого, получаем конструкцию −cos 60° = −0,5 — это табличное значение, поэтому все легко считается.

Теперь подставляем полученные числа в исходную формулу и получаем:

Как видим, число cos 41° в числителе и знаменателе дроби легко сокращается, и остается обычное выражение, которое равно −10. При этом минус можно либо вынести и поставить перед знаком дроби, либо «держать» рядом со вторым множителем до самого последнего шага вычислений. Ответ в любом случае получится −10. Все, задача B11 решена!

Задача B14 — 2 вариант

Переходим ко второй задаче. Перед нами снова дробь:

Ну, 27° у нас лежит в первой координатной четверти, поэтому здесь ничего менять не будем. А вот sin 117° надо расписать (пока без всякого квадрата):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Очевидно, перед нами снова формула приведения : 90° — это вертикальная ось, следовательно, синус поменяется на косинус. Кроме того, угол α = 117° = 90° + 27° лежит во второй координатной четверти. Исходная функция y = sin x там положительна, следовательно, перед косинусом после всех преобразований все равно остается знак «плюс». Другими словами, там ничего не добавляется — так и оставляем: cos 27°.

Возвращаемся к исходному выражению, которое требуется вычислить:

Как видим, в знаменателе после преобразований возникло основное тригонометрическое тождество: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Итого −4: 1 = −4 — вот мы и нашли ответ ко второй задаче B11.

Как видите, с помощью формул приведения такие задачи из ЕГЭ по математике решаются буквально в пару строчек. Никаких синусов суммы и косинусов разности. Все, что нам нужно помнить — это только тригонометрический круг.

Для использования формул приведения существует два правила.

1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет.

2. Правило «каким ты был, таким ты и остался».

Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Вычислить Sin(150˚)

Воспользуемся формулами приведения:

Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен +. Значит у приведенной функции тоже будет знак «плюс». Это мы применили второе правило.

Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

При желании все формулы приведения можно свести в одну таблицу. Но все же легче запомнить эти два правила и пользоваться ими.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

Формула произведения косинуса, синуса используется в школьной алгебре для обучения школьников, а также в математическом анализе в расчетах. 

В этой статье разберем важные формулы для понятия тригонометрии: умножение косинусов и синусов, другие формулы, связанные с произведением двух алгебраических функций.

Важно

Теоремы умножения синусов и косинусов для α и β помогают превратиться из произведения в разность, сумму других углов.

Появилась необходимость, чтобы найти произведение косинусов, синусов углов α и , поэтому стоит изучить данную статью.

Данные формулы помогают преобразовать выражение от произведения к разности, сумме синусов и косинусов α−β и α+β.

Рассмотрим и выведем формулы синуса на синус, произведение синусов и косинусов. Также ниже разберем примерные задания с использованием формул.

Тригонометрические формулы произведения

Рассмотрим формулировки, формулы произведений. В независимости какими значениями обладают углы α и β или какие греческие буквы используются вместо обозначений α и β, применяются данные формулы и вычисляют с помощью них.

Произведение синусов формула

Произведение sin угла α и sin угла β будет равно половине разности косинуса угла (α−β) и (α+β).

\[\sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta))\]

Произведение косинусов формула

Произведение cos угла α и cos угла β равно половине сумме косинуса угла (α-β) и (α+β).

\[\cos \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta))\]

Произведение синусов и косинусов формулы

Произведение синуса угла α на косинус угла β равно половине сумме синуса угла (α-β) и синуса угла (α+β).

\[\sin \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}(\sin (\alpha-\beta)+\sin (\alpha+\beta))\]

Выведение тригонометрических формул

Для выведения формул, которые расположены выше, используется формулы сложения функций cos и sin, а также свойства равенства. В свойстве подразумевается, что если просуммировать правую и левую часть правильного равенства с другим таким же верным равенством, образуется новое правильное равенство.

Произведение косинусов

Приведем подробный вывод изучаемых формул

Для этого возьмем формулы косинуса разности и суммы:

\[\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta\]

\[\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]

Далее, с каждой стороны проведем сложение двух формул. Получается следующее:

\[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta+\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]

Одинаковые слагаемые складываем: \[\cos \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \cos \beta=2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta\]

Разноименные слагаемые отнимаем: \[-\sin \alpha \cdot \sin \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta=0\]

Следовательно, \[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta\]

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2 , меняем местами слагаемые.

Получается следующее выражение \[\cos \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta))\]

Мы доказали формулу умножения cos одного угла на cos другого угла.

Произведение синусов

Теперь докажем следующую. Распишем формулу суммы косинусов так:

\[-\cos (\alpha+\beta)=-\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]

Прибавим к данному равенству \[\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]

Слагаемые одноименными знаками и функциями сложим, разноименные — вычтем, преобразуем выражение:

\[-\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=-\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta+\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta-\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=2 \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta\]

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2, меняем местами слагаемые.

\[\sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta))\]

Мы вывели формулу умножения синуса одного аргумента на синус другого аргумента.

Произведение синуса на косинус

Сделаем вывод формулы произведения синуса и косинуса разных аргументов. Теперь воспользуемся формулой суммы и разности функций sin. Складываем и правую, и левую часть выражений:

\[\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta\]

\[\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta\]

\[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta+\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta\]

Слагаемые одноименными знаками и функциями сложим, разноименные — вычтем, преобразуем выражение:

\[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)=2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta\]

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2 , меняем местами слагаемые. {\circ}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}\]

Ответ: \[\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}\]

Пример 3

Пусть углы обладают значениями: \[\alpha=\frac{\Pi}{2}, \beta=\frac{\Pi}{6}\]. Найти значение произведение sin этих углов.

Решение:

Воспользуемся произведение синусов формулой:

\[\sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta))\]

Подставим данные и получим:

\[\sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\right)\]

Найдем знаменатель для двух дробей:

\[\sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)-\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)\]

Для этого нам понадобится таблица со значениями функций косинуса и синуса, трансформируем  произведение синусов в сумму чисел:

\[\sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\]

Вычислим и запишем ответ:

\[\sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\]

Ответ: \[\frac{1}{2}\]

Пример 4

Дано следующее значение: \[\cos \cos \alpha=0,3\]. {2}-1=0,18-1=-0,82\]

Воспользуемся значениями в наше выражение, получим и запишем ответ:

\[\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}+\sin \sin \left(2 \alpha-\frac{\pi}{12}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}-1\right)=-\frac{1}{4}\]

Ответ: \[-\frac{1}{4}\]

Замечание. Данные формулы произведения применяются, чтобы преобразовать сложные тригонометрические выражения в наиболее простые.

Почему синус (и косинус) образуют волны

Представьте себе прямоугольный треугольник. Тогда вы, вероятно, помните из школы, что вы можете использовать функции синуса и косинуса, чтобы узнать больше о треугольнике. Если один из углов не является прямым, то у вас есть

и

Для угла α синус дает отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы. Косинус дает отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. (Изображение Dnu72 — CC BY-SA 3.0.)

Функции синуса и косинуса могут сделать гораздо больше, чем просто помочь вам решить геометрические задачи. Их можно использовать для создания волн любой формы — музыки, которую вы слушаете, цифрового сигнала, который вы отправляете через Wi-Fi, даже волны на море — независимо от того, насколько сложными могут быть эти естественные или созданные человеком колебания.

Идем по кругу

Первый шаг к построению волны состоит в том, чтобы представить круг радиусом 1, начерченный в декартовых координатах, с центром круга, лежащим в точке. Представьте себе движение по кругу против часовой стрелки, начиная с самая правая точка, . После того, как вы повернетесь на угол, который меньше 90 градусов (соответствует меньше, чем в радианах), точка, в которой вы находитесь, определяет прямоугольный треугольник с углами и Гипотенуза этого треугольника имеет длину 1, потому что точка лежит на наш круг радиуса равен 1. Для этого треугольника у нас есть и

Прямоугольный треугольник, образованный точкой единичной окружности.

Вы можете продолжать двигаться по кругу против часовой стрелки, чтобы сделать угол больше, чем Когда вы сделаете это, треугольник с углами и больше не будет иметь один из углов.

Когда α больше π/2, то прямоугольный треугольник, образованный из точки на единичной окружности, больше не содержит угол α.

Однако ничто не мешает вам расширить определения синуса и косинуса по аналогии с тем, что мы имели раньше:

где координаты точки, в которой вы находитесь.

Что происходит с синусом и косинусом при движении по кругу? За один оборот круга вы повернетесь на угол . Когда вы двигались по кругу, ваша вертикальная координата (синус) начиналась с и постоянно увеличивалась, пока не достигла максимума, когда вы были на вершине круга. По мере того, как вы продолжали двигаться, оно снова опускалось до симметричным образом, прежде чем достигло минимума, и, наконец, снова возвращалось к 0,9.0003

Если вы начертите, как вертикальная координата (выделена красным на рисунке ниже) изменяется в зависимости от угла поворота (от 0 до ), вы получите правильную форму волны. Он начинается с 0, поднимается до максимума 1, затем снова снижается до 0, прежде чем упасть до минимума -1, и снова вверх до 0.

Красная волна представляет собой синус угла, построенный по отношению к углу ( исходя из вертикальной координаты), а синяя волна представляет собой косинус угла, построенный по отношению к углу (исходя из горизонтальной координаты).

Эта волновая картина повторяется, когда вы продолжаете движение по кругу во второй раз, увеличивая угол, на который вы повернули от до, и в третий раз, путешествуя от до , и так далее. В итоге вы получите бесконечно длинную, совершенно правильную волну. Горизонтальные координаты (косинус) дают точно такую ​​же идеальную волну (показана синим цветом выше), смещенную относительно первой на расстояние вдоль горизонтальной оси. Это расширяет наше определение синуса и косинуса до углов, превышающих . (Вы также можете определить синус и косинус для отрицательных чисел, двигаясь по окружности по часовой стрелке.)

Красная волна представляет собой синус угла, построенный по отношению к углу (исходя из вертикальной координаты), а синяя волна представляет собой косинус угла, построенный по отношению к углу (исходя из горизонтальной координаты).

Сжатие и растяжение

Теперь мы увидели, как перемещение по единичному кругу может дать нам две функции, функцию синуса и функцию косинуса, каждая из которых имеет график, описывающий правильную волну. Когда вы сталкиваетесь с этими функциями в учебниках, обычно вызывается переменная, а не , поэтому вы увидите что-то вроде

Сейчас мы перейдем к этому обозначению. Это означает, что теперь он представляет то, что раньше было нашим углом, и что он больше не представляет координату точки на единичной окружности. Это потенциально немного сбивает с толку, но держитесь там, и вы привыкнете к этому.

Длина волны — это расстояние между двумя пиками волны, и в нашем примере пока это . Это потому, что для того, чтобы пройти один полный цикл нашей волны, мы должны были повернуться на угол .

Также можно создавать волны с разной длиной волны. Чтобы создать волну с длиной волны, вы умножаете переменную на, чтобы получить функции

Уменьшая длину волны, вы существенно сжимаете волну, а увеличивая ее, вы растягиваете ее.

В расположенном ниже приложении Geogebra используйте ползунок, чтобы изменить длину волны синуса (красный) и косинус (синий).

Движение выше и снижение

Пики волн, которые мы создали до сих пор, имеют значение 1, а впадины имеют значение -1. Чтобы создать волну с более высокими пиками и более низкими впадинами, вы просто умножаете всю функцию на константу, чтобы получить

Эта константа называется амплитудой волны.

В приведенном ниже приложении Geogebra используйте ползунки для изменения амплитуды и длины волны синусоиды (красный) и волны косинуса (синий).

Ускорение и замедление

Пока что волны, которые мы создали, являются стационарными: они не меняются со временем. Однако также возможно создавать волны, которые движутся вдоль. Наша волновая функция теперь будет функцией двух переменных и, как и раньше, представляет положение на горизонтальной оси, а обозначает время. Предположим, вы хотите, чтобы ваша волна двигалась со скоростью Функции

производят такие движущиеся волны. Если вы сохраняете временную переменную фиксированной, то вы, по сути, видите моментальный снимок во времени, давая вам стационарную волну, такую ​​же, как те, которые мы видели выше. Если вы сохраняете свое местоположение на -оси фиксированным, то вы видите соответствующую -переменную, когда она перемещается вверх и вниз с течением времени. Это немного похоже на наблюдение за тем, как определенная точка на поверхности озера двигается вверх и вниз, когда волны перекатываются через нее.

В апплете Geogebra ниже используйте ползунок для изменения скорости. Установка скорости на 0 (или нажатие кнопки паузы) соответствует времени остановки, поэтому вы сохраняете переменную времени фиксированной. В этом случае вы видите снимок во времени, который выглядит как обычная синусоида (или косинусоидальная) волна, только возможно сдвинутая по горизонтальной оси на некоторое расстояние. Фокусировка на синей точке соответствует фиксации переменной. (Здесь мы не даем вам возможность изменить длину волны и амплитуду, так как слишком большой выбор может сбить с толку!)

Причина, по которой аргумент наших функций теперь заключается в том, что за период времени длина волны, движущейся со скоростью, пройдет расстояние. Следовательно, высота волны в точке вдоль оси во времени будет такой же, как и высота была в то время 0 в точке, потому что это то, как далеко волна прошла во времени.

Расшифровка сообщений

На первый взгляд созданные нами синусоидальные и косинусоидальные волны кажутся слишком совершенными, чтобы рассказать вам о волнах, с которыми мы сталкиваемся в реальной жизни. Но вы можете услышать его в действии, если ударите по камертону. Звук, который вы слышите, является результатом вибрации барабанной перепонки, вызванной звуковой волной от камертона, распространяющегося по воздуху. Для камертона, если вы отобразите интенсивность или давление этой вибрации во времени, вы увидите идеальную синусоиду в действии.

Звуковая волна камертона (вверху) по сравнению с человеческой речью (внизу).

Как видите, звуковая волна чего-то вроде речи сложнее. Но любую звуковую волну, да и любую повторяющуюся функцию, можно разбить на ряд синусоид различных частот и амплитуд (интенсивностей). Это результат работы, начатой ​​французским математиком Жозефом Фурье, пережившим французскую революцию в восемнадцатом веке. Выражение звуковой волны или любого сигнала, изменяющегося во времени, как суммы составляющих его синусоидальных волн, известно как Преобразование Фурье этого сигнала. (Вы можете прочитать более подробное объяснение математики здесь — математика довольно сложна, но используемые математические идеи прекрасны!)

Функция f меняется во времени – представляющий звуковую волну. Процесс преобразования Фурье берет f и разлагает его в составляющие его синусоидальные волны с определенными частотами и амплитуды. Преобразование Фурье представлено в виде всплесков в частотной области, причем высота всплеска показывает амплитуду волны этой частоты.

Об этой статье

Эта статья была подготовлена ​​в рамках нашего освещения программы Дисперсионная гидродинамика: математика, моделирование и эксперименты с приложениями к нелинейным волнам , организованной Институтом математических наук Исаака Ньютона. Вы можете найти больше материалов о программе здесь.

Рэйчел Томас и Марианна Фрейбергер — редакторы Plus .

Эта статья основана на книге Нумерикон: путешествие по скрытым жизням чисел Марианны Фрейбергер и Рэйчел Томас и наша статья Преобразование Фурье изображений .

Эта статья была подготовлена ​​в рамках нашего сотрудничества с Институтом математических наук имени Исаака Ньютона (INI). Вы можете найти все материалы сотрудничества здесь.

INI — международный исследовательский центр и наш сосед по математическому кампусу Кембриджского университета. Он привлекает ведущих ученых-математиков со всего мира и открыт для всех. Посетите сайт www.newton.ac.uk, чтобы узнать больше.

Интуитивное понимание синусоидальных волн – BetterExplained

Синусоидальные волны меня смутили. Да, я могу бормотать «SOH CAH TOA» и рисовать линии внутри треугольников. Но что значит ?

Я застрял на мысли, что синус нужно извлекать из других форм. Быстрая аналогия:

Вы: Геометрия — это фигуры, линии и так далее.

Чужой: О? Можете ли вы показать мне линию?

Вы (оглядываясь): Э… видишь вон тот кирпич? Линия — это один край этого кирпича.

Инопланетянин: Значит, линии — это часть фигуры?

Вы: Вроде того. Да, в большинстве фигур есть линии. Но линия сама по себе является базовым понятием: луч света, маршрут на карте или даже…

Чужой: У кирпичей есть линии. Линии идут из кирпичей. Кирпичи кирпичи кирпичи.

Большинство уроков математики проходят именно так. «У кругов есть синус. Синус получается из кругов. Круги круги круги».

Арх! Нет — круги один пример синуса. В предложении: Синус — это естественное влияние, воплощение плавности: он делает круги «круглыми» точно так же, как линии делают квадраты «квадратными».

Давайте построим нашу интуицию, рассматривая синус как его собственную форму, а , а затем поймем, как он вписывается в круги и тому подобное. Вперед!

Синус против линий

Не забудьте отделить идею от примера : квадраты — это примеры линий. Синус щелкнул, когда он стал собственной идеей, а не «частью круга».

Давайте посмотрим на синус в симуляторе:

Хьюберт проведёт экскурсию:

• Нажми старт . Иди, Хьюберт, иди! Заметили это плавное движение вперед и назад? Это Хьюберт, но что более важно (извините, Хьюберт), это синус! Это естественно, как пружины подпрыгивают, маятники качаются, струны вибрируют… и многие вещи движутся.
• Изменить «вертикальный» на «линейный» . Большая разница — видите, как движение становится постоянным и роботизированным, как игра в понг?

Давайте рассмотрим различия с видео:

• Линейное движение постоянно: мы движемся с заданной скоростью и мгновенно разворачиваемся. Это неестественное движение в танце робота (обратите внимание на линейный отскок без замедления по сравнению со стробирующим эффектом).

• Синус меняет скорость: начинает быстро, замедляется, останавливается и снова ускоряется. Это чарующая плавность плавного танца (человеческая синусоида и естественный отскок).

К сожалению, в учебниках синус с анимацией или танцами не показан. Нет, они предпочитают вводить синус с временной шкалой (попробуйте установить «горизонтальную» на «временную шкалу»):

(источник)

Эгадс. Это схематическая диаграмма, которую нам всегда показывали. Это дает вам ощущение синуса? Не больше, чем скелет изображает ловкость кошки. Давайте посмотрим на синусоидальное движение и , а затем на графике его курса.

Неизбежный круг

Круги имеют синус. Да. Но увидеть синус внутри круга — это все равно, что достать яйца из омлета. Это все смешано!

Давайте помедленнее. В симуляции установите для Хьюберта значение vertical:none и horizontal: sine*. Видишь, как он извивается вбок? Это движение синуса. Есть небольшая поправка: обычно синусоидальный цикл начинается с нейтральной средней точки и достигает максимума. На этот раз мы начинаем с максимума и опускаемся к середине. Синус, который «начинается с максимума», называется косинусом, и это просто версия синуса (например, горизонтальная линия — это версия вертикальной линии).

Хорошо. Время для обеих синусоид: укажите вертикальную как «синус» и горизонтальную как «синус*». И… у нас есть круг!

Горизонтальная и вертикальная «пружины» вместе создают круговое движение. Большинство учебников рисуют круг и пытаются извлечь синус, но я предпочитаю наращивать: начинать с чистого горизонтального или вертикального движения и добавлять другое.

Быстрые вопросы и ответы

Несколько идей, которые я упустил при первом изучении синуса:

Синус действительно является одномерным

Синус колеблется в одном измерении. Действительно. Мы часто строим график синуса с течением времени (чтобы не писать поверх себя), и иногда «вещь», производящая синус, тоже движется, но это необязательно! Пружина в одном измерении — это совершенно счастливая синусоида.

(Источник: Википедия, постарайтесь не поддаваться гипнозу. )

Круги пример двух синусоид компоненты (синусы и прямые). Круг состоит из двух связанных одномерных волн, каждая из которых движется в горизонтальном и вертикальном направлениях.

(Источник http://1ucasvb.tumblr.com/)

Но помните, круги не являются началом синусов, так же как квадраты не являются началом линий. Это примеры двух синусоидальных волн, работающих вместе, а не их источника.

Что означают значения синуса?

Синусоидальный цикл между -1 и 1. Он начинается с 0, увеличивается до 1,0 (макс.), опускается до -1,0 (мин.) и возвращается в нейтральное положение. Я также вижу синус как процент от 100% (полный ход вперед) до -100% (полный отход).

Что такое ввод ‘x’ в sin(x)?

Каверзный вопрос. Синус — это цикл, а x, вход, равен , как далеко мы продвинулись в цикле .

Посмотрим на строки:

• Вы едете по квадрату. Каждая сторона занимает 10 секунд.
• Через 1 секунду вы завершили 10% на этой стороне
• Через 5 секунд вы готовы на 50%
• Через 10 секунд вы закончили сторону

В линейном движении мало сюрпризов. Теперь для синуса (сосредоточившись на цикле «от 0 до максимума»):

• Мы путешествуем по синусоиде от 0 (нейтраль) до 1,0 (максимум). Эта часть занимает 10 секунд.
• Через 5 секунд мы… на 70% готовы! Синус вылетает из ворот и замедляется. Большая часть выигрыша приходится на первые 5 секунд
• Требуется еще 5 секунд, чтобы перейти от 70% к 100%. А переход с 98% на 100% занимает почти целую секунду!

Несмотря на нашу начальную скорость, синус замедляется, поэтому мы осторожно целуем максимальное значение, прежде чем развернуться. Эта плавность делает синус синусом.

Для гиков: Нажмите «показать статистику» в симуляции. Вы увидите процент завершения всего цикла, мини-цикла (от 0 до 1,0) и достигнутое значение. Остановитесь, пройдите и переключитесь между линейным и синусоидальным движением, чтобы увидеть значения.

Быстрый тест: что дальше, 10% линейного цикла или 10% синусоидального цикла? Синус. Помните, он вылетает из ворот на максимальной скорости. К тому времени, когда синус достигает 50% цикла, он движется со средней скоростью линейного цикла, а за пределами этого он движется медленнее (пока не достигнет максимума и не развернется).

Итак, x — это «количество вашего цикла». Какой цикл?

Это зависит от контекста.

• Базовый триггер: «x» — градусы, а полный цикл — 360 градусов
• Расширенный триггер: «x» — это радианы (они более естественны!), а полный цикл проходит по единичному кругу (2*пи радиан)

Поиграйте со значениями x здесь:

Но опять же, циклы зависят от кругов! Можем ли мы избежать их тирании?

Пи без картинок

Представьте себе слепого инопланетянина, который замечает только оттенки света и тени. Не могли бы вы описать число пи? Трудно представить себе длину окружности, верно?

Вернемся немного назад. Синус — это повторяющийся узор, а это значит, что он должен… повторяться! Он идет от 0 до 1, до 0, до -1, до 0 и так далее.

Определим число пи как время, которое требуется синусу от 0 до 1 и обратно до 0. Ого! Теперь мы используем пи и без круга! Пи — это концепция, в которой просто случайно появляется в кругах:

• Синус — это мягкое раскачивание вперед-назад
• Pi — время от нейтрального до максимального и обратно
• n * Пи (0 * Пи, 1 * Пи, 2 * Пи и т. д.) — это время, когда вы находитесь в нейтральном положении
• 2 * пи, 4 * пи, 6 * пи и т. д. являются полными циклами

Ага! Вот почему число Пи появляется во многих формулах! Пи не «принадлежит» к окружностям больше, чем 0 и 1 — пи примерно по синусу возвращается в центр ! Окружность — это пример формы, которая повторяется и возвращается в центр каждые 2*пи. Но пружины, вибрации и т.д. возвращаются в центр после пи тоже!

Вопрос: Если пи — это половина естественного цикла, то почему это не простое число?

Ответим вопросом на вопрос. Почему квадрат 1×1 имеет длину диагонали $\sqrt{2} = 1,414…$ (иррациональное число)?

Философски неудобно, когда природа не совпадает с нашей системой счисления. У меня нет хорошей интуиции. Я подозреваю, что простые правила (квадрат 1×1 + теорема Пифагора) могут привести к сложным результатам.

Какова скорость синуса?

Я был хитрым. Раньше я говорил: «Представьте, что требуется синус 10 секунд от 0 до максимума». И теперь это пи секунд от 0 до максимума обратно к 0? Что дает?

• sin(x) — это по умолчанию , стандартная синусоидальная волна, которая действительно требует пи единиц времени от 0 до максимума до 0 (или 2*пи для полного цикла)
• sin(2x) — волна, которая движется в два раза быстрее
• sin(0.5x) — волна, которая движется в два раза медленнее

Итак, мы используем sin(n*x) для получения синусоиды, циклически повторяющейся так быстро, как нам нужно. Часто фраза «синусоида» относится к общей форме, а не к конкретной скорости.

Часть 2: Понимание определений синуса

Это познавательно — сделайте перерыв, если вам это нужно. Будем надеяться, что синус становится самостоятельным паттерном. Теперь давайте разовьем нашу интуицию, увидев, как связаны общие определения синуса.

Определение 1: Высота треугольника / круга!

Синус был впервые обнаружен в треугольниках. Возможно, вы помните «SOH CAH TOA» как мнемонику

• SOH: синус противоположен / гипотенуза
• CAH: косинус смежный / гипотенуза
• TOA: касательная противоположна/прилегает

Для прямоугольного треугольника с углом x sin(x) — это длина противоположной стороны, деленная на гипотенузу. Если мы сделаем гипотенузу 1, мы можем упростить до:

• Синус = Противоположный
• Косинус = Смежный

А если поумнеть, то мы можем начертить наши треугольники с гипотенузой 1 в круге с радиусом 1:

Вуаля! Круг, содержащий все возможные прямоугольные треугольники (поскольку их можно увеличить, используя сходство). Например:

• sin(45) = 0,707
• Положите 10-футовый шест и поднимите его на 45 градусов. 10 * sin(45) = 7,07 фута от земли
• 8-футовый шест будет равен 8 * sin(45) = 5,65 фута

Эти прямые манипуляции отлично подходят для построения (пирамиды сами себя не вычислят). К сожалению, спустя тысячи лет мы начинаем думать, что означает, что синуса — это высота треугольника. Нет-нет, это фигура, в которой показывает в кругах (и треугольниках).

На самом деле, для решения многих задач мы переходим в «режим геометрии» и начинаем думать «синус = высота», чтобы ускорить решение задач. Это нормально — просто не застрять там.

Определение 2: Бесконечный ряд

Я избежал слона в комнате: как, черт возьми, мы вычисляем синус!? Мой калькулятор рисует круг и измеряет его?

Рад вас разозлить. Вот секрет синуса без круга:

Синус — это ускорение, противоположное вашему текущему положению

Используя нашу метафору банковского счета: представьте себе извращенного босса, который дает вам повышение на против вашего текущего банковского счета! Если у вас есть 50 долларов в банке, то ваша надбавка на следующей неделе составит 50 долларов. Конечно, ваш доход может составлять $75 в неделю, так что вы все равно будете зарабатывать $75-$50 за эту неделю), но в конечном итоге ваш баланс уменьшится, так как «повышения» превысят ваш доход.

Но не бойся! Как только ваш счет станет отрицательным (скажем, вы на 50 долларов), тогда ваш босс даст законную прибавку в 50 долларов в неделю. Опять же, ваш доход может быть отрицательным, но в конечном итоге повышение превысит его.

Это постоянное притяжение к центру поддерживает цикл: когда вы поднимаетесь вверх, «притяжение» снова втягивает вас внутрь. Это также объясняет, почему нейтральная максимальная скорость для синуса: если вы находитесь на максимальной скорости, вы начинаете падать и накапливать все больше и больше «отрицательных подъемов» по ​​мере падения. Когда вы проходите через нейтральную точку, вы чувствуете все возможные отрицательные подъемы (как только вы пересекаете их, вы начинаете получать положительные подъемы и замедляетесь).

Кстати: поскольку синус — это ускорение, противоположное вашему текущему положению, а окружность состоит из горизонтального и вертикального синуса. .. вы поняли! Круговое движение можно описать как «постоянное притяжение, противоположное вашему текущему положению, к вашему горизонтальному и вертикальному центру».

Знакомство с исчислением

Давайте опишем синус с помощью исчисления. Как и e, мы можем разбить синус на более мелкие эффекты:

• Начать с 0 и увеличивать с единичной скоростью
• В каждое мгновение отталкиваться отрицательным ускорением

Как мы должны думать об этом? Посмотрите, как каждый эффект изменяет наше расстояние от центра:

• Наш начальный удар увеличивает расстояние линейно: y (расстояние от центра) = x (затраченное время)
• В любой момент мы чувствуем возвращающую силу $-x$. Мы дважды интегрируем, чтобы превратить отрицательное ускорение в расстояние:

Наблюдать за тем, как ускорение влияет на расстояние, все равно, что наблюдать, как повышение зарплаты бьет по вашему банковскому счету. «Повышение» должно изменить ваш доход, а ваш доход меняет ваш банковский счет (два интеграла «вверх по цепочке»). 97}{7!}$, создающий восстанавливающую силу удара…

Как и е, синус можно описать бесконечным рядом:

Я много раз видел эту формулу, но она сработала только тогда, когда я увидел синус как комбинацию начального импульса и восстанавливающих сил . Первоначальный толчок (y = x, становится положительным) в конечном итоге преодолевается восстанавливающей силой (которая притягивает нас к отрицательному значению), которая подавляется собственной восстанавливающей силой (которая притягивает нас к положительному) и так далее.

Несколько забавных заметок:

• Рассмотрим «возвращающую силу», например «положительный или отрицательный процент». Это облегчает понимание связи синус/е в формуле Эйлера. Синус похож на e, за исключением того, что иногда он приносит отрицательный процент. Здесь есть чему поучиться :).
• Для очень малых углов «y = x» является хорошим приближением для синуса. Мы просто принимаем первоначальный импульс и игнорируем любые восстанавливающие силы.

Вычисление косинуса

Косинус — это просто сдвинутый синус, и это весело (да!) теперь, когда мы понимаем синус: 92}{2!}$. Но это запускает другую восстанавливающую силу, которая запускает другую, и прежде чем вы это узнаете:

Определение 3: Дифференциальное уравнение

Мы описали поведение синуса с помощью конкретных уравнений. Более краткий способ (уравнение):

Эта красота говорит:

• Наша текущая позиция y
• Наше ускорение (вторая производная или y») противоположно нашему текущему положению (-y)

И синус, и косинус подтверждают это. Сначала я ненавидел это определение; это так далеко от визуализации. Я не знал, что это описывает сущность синуса, «ускорение против вашего положения». 9x$ можно описать (уравнением):

То же уравнение с положительным знаком («ускорение равно вашему положению»)! Когда синус — это «высота круга», очень сложно установить связь с e.

Одно из моих величайших математических сожалений — это то, что я не выучил дифференциальные уравнения. Но я хочу, и я подозреваю, что наличие интуиции для синуса и е будет иметь решающее значение.

Подведение итогов

Цель состоит в том, чтобы перевести синус из некоторой математической мелочи («части круга») в его собственную форму:

• Синус — это плавное колебательное движение между минимумом (-1) и максимумом (1). Математически вы ускоряетесь против своей позиции. Этот «отрицательный процент» держит синусоиды вечно.
• Синус появляется в кругах и треугольниках (и пружины, маятники, вибрации, звук…).
• Pi — это время от нейтрального до нейтрального в sin(x). Точно так же число «пи» не «принадлежит» кругам, оно просто появляется там.

Позвольте синусу войти в ваш набор умственных инструментов ( Хм, мне нужна формула для плавных изменений… ). В конце концов, мы интуитивно поймем основы (е, пи, радианы, мнимые числа, синус…), и их можно смешать в восхитительный математический салат. Наслаждаться!

Приложение

Используя этот подход, Алистер Макдональд создал отличный учебник с кодом для создания собственных функций синуса и косинуса.