Рубрика: Разное

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов. Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе.  tg α=yx

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t.  tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.  Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.  

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе.  tg α=yx

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t.  tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.  Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.  

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов. \circ }=5\)

Ответ: \( \displaystyle 5\).

2. \( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}\)

\( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}\)

Опять задача целиком на формулы приведения. Вначале….

\( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}=\frac{8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{-\frac{2}{4}}=-8:\left( \frac{2}{4} \right)=-16\)

…избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:

\( \displaystyle \frac{27\pi }{4}=\frac{26\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=6\pi +\frac{\pi }{4}\)

Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга (\( \displaystyle 6\pi \)). Остается вычислить: \( \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Так же поступаем и со вторым углом:

\( \displaystyle \frac{31\pi }{4}=7\frac{3}{4}\pi =7\pi +\frac{3}{4}\pi \)

Удаляем целое число кругов –3 круга (\( \displaystyle 6\pi \)) тогда:

\( \displaystyle \text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)=\cos \left( 7\pi +\frac{3}{4}\pi \right)=\cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi \right)\)

Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до \( \displaystyle 2\pi \) всего \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\). {2}}\frac{5\pi }{12} \right)=\sqrt{3}\cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{3}{2}=-1,5\)

Ответ: \( \displaystyle -1,5\).

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния \( \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)\), если \( \displaystyle tg\gamma =7\).

У тангенса период – \( \displaystyle \pi \), так что не задумываясь отбрасываем его:

\( \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)=5tg\left( -\gamma \right)\ =-5tg\gamma \)

Здесь мы использовали еще и тот факт, что тангенс – функция нечетная.

\( \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)=-5tg\gamma -\left( -tg\gamma \right)=-5tg\gamma +tg\gamma =-4tg\gamma =\)
\( \displaystyle=-4\cdot 7=-28\)

\( \displaystyle=-4\cdot 7=-28\)

Ответ: \( \displaystyle -28\).

10. Най­ди­те \( \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)\), если \( \displaystyle sin\alpha =0,8\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)\)

Вначале упростим выражение, используя формулы приведения (вначале отбросим целые круги и уберем минус):

\( \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( 2\pi -\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)\)

Наш оставшийся угол – во третьей четверти (посмотри на условия для угла в условии задачи!!!). {2}}}=\pm \sqrt{0,36}=\pm 0,6\)

Так как сам угол лежит во второй четверти, а косинус второй четверти отрицательный, то выбираем знак «минус». Окончательно получим:

\( \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)=-0,6\).

Ответ: \( \displaystyle -0,6\).

Ну вот, справился со всем без проблем? Очень на это надеюсь!

Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе

Определения

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\sin \alpha=\dfrac ac\)

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\cos \alpha=\dfrac bc\)

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету: \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac ab\)

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету: \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac ba\)

Утверждение

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов соответственно равны. \circ=\dfrac{\sqrt2}2\)

Шесть функций (Триггер без слез, часть 2)

Триггер без слез Часть 2:

Авторские права 19972020 Стэн Браун, BrownMath.com

Резюме: Каждая из шести триггерных функций просто одна сторона прямоугольного треугольника разделена на другую сторону . Или, если вы нарисуете треугольник в единичной окружности , каждая функция — длина одного отрезка. простой способ запомнить все шесть определений: запомнить определения синуса и косинуса а затем запомните остальные четыре как комбинации синуса и косинуса , не как самостоятельные функции.

Основные два: синус и косинус

Картинка стоит тысячи слов (вот почему требуется тысяча слов). раз дольше скачивать). Триггерные функции — это не что иное, как длин различных сторон прямоугольного треугольника в различных соотношениях . Так как сторон три, то 3 × 2 = 6 разные способы сделать соотношение (дробь) сторон. Это почему есть шесть триггерных функций, не больше и не меньше .

Из этих шести функций тройка, косинус и касательно львиная доля работы.(Остальные изучаются, потому что их можно использовать для сделайте некоторые выражения проще.) Начнем с синуса и косинуса, потому что они действительно базовые а остальные зависят от них.

Вот один из обычных способов показать прямоугольный треугольник. Ключевым моментом является то, что строчные буквы а , б , в стороны, противоположные углам, отмеченным соответствующими заглавные буквы A , B , C .В большинстве книг используется это соглашение: строчная буква для стороны, противоположной углу верхнего регистра .

Два основных определения отмечены на схеме. Вы должны сохранить их в памяти . Фактически, они должны стать второй натурой для вы, чтобы вы их узнавали, как бы ни повернулся треугольник вокруг. Всегда, всегда синус угла равен противоположному сторона, деленная на гипотенузу (opp / hyp на диаграмме). Косинус равен равна смежной стороне, деленной на гипотенузу (adj / hyp).

(1) Запомнить:

синус = (противоположная сторона) / гипотенуза

косинус = (смежная сторона) / гипотенуза

Какой синус у B на диаграмме? Помните opp / hyp: наоборот сторона b , а гипотенуза c , поэтому sin B = b / c . А как насчет косинуса B ? Помните прил / гип: прилегающая сторона a , поэтому cos B = a / c .

Вы замечаете, что синус одного угла является косинусом другого? Так как A + B + C = 180 для любого треугольник, а C — 90 в этом треугольнике, A + B должен равно 90. Следовательно A = 90 — B и B = 90 — A . Когда два угла складываются 90, каждый угол является дополнением другого угла ° и °, а синус каждого угла составляет o синус другого. Это идентификаторы совместных функций :

(2) sin A = cos (90 — A ) или cos (π / 2 — A )

cos A = sin (90 — A ) или sin (π / 2 — A )

Выражения для длин сторон

Определения синуса и косинуса можно немного изменить, чтобы позвольте вам записать длины сторон через гипотенуза и углы. Например, когда вы знаете что b / c = cos A , вы можно умножить на c и получаем b = c × cos A .Вы можете написать еще выражение для длины b , которое использует синус вместо косинуса? Помните, что противоположность гипотенузы равна синусу, поэтому b / c = sin B . Умножить через c и у вас есть b = c × sin B .

Вы видите, как записать два выражения для длины стороны a ? Пожалуйста, работайте с определениями и убедитесь, что a = c × sin A = c × cos B .

Пример: Дан прямоугольный треугольник с углом A = 52 и гипотенуза c = 150 м. Какая длина стороны b ? Подсказка: нарисуйте картинку и обозначьте A , c , и b .

Решение: Картинки всегда хорошие. Ты не нужно зацикливаться на том, чтобы получить точную картину, но, по крайней мере, сделать это близко. Это поможет вам понять, когда ваш ответ невозможен, чтобы вы знали, что совершили ошибку.В моем маленьком эскизе я установил чтобы сделать угол A чуть больше 45, но на мой взгляд похоже немного меньше. Это нормально.

Вы можете заметить, что я пометил сторону как , хотя мы не нужно это для проблемы. Я сделал это, поэтому у меня не было подумать, с какой стороны было б . Всегда помни правило что сторона с данной буквой противоположна углу с этим письмо. (И, условно, мы всегда ставим C справа угол, так что c гипотенуза.)

Когда у вас есть изображение, решить проблему довольно просто. простой. Вы хотите что-то, связанное с A , это прилегающая сторона и гипотенуза; это должен быть косинус.

cos A = b / c

б = c × cos A = 150 × cos 52 = около 92,35 м.

Пример: Оттяжка закреплена в земле. и прикреплен к вершине 45-футового флагштока. Если он встречается с землей под углом 63, какова длина растяжки?

Решение: Предположительно флагшток вертикальный, поэтому это прямоугольный треугольник с A = 63, a = 45 футов, и гипотенуза c неизвестный.Какая функция задействует противоположную сторону и гипотенузу? Это должен быть синус. Ты знаешь что

sin A = a / c

Следовательно,

c = a / sin A = 45 / sin 63 = около 50,5 футов

Вам может быть интересно, как найти стороны или углы треугольников. когда нет прямого угла. Ну что ж, под темой Решение треугольников.

Синус и косинус в единичной окружности

Часто всплывает один важный особый случай.Предположим, что гипотенуза c = 1; тогда мы называем треугольник a ед. Прямоугольный треугольник . Из приведенных выше абзацев видно, что если c = 1, то a = sin A и b = cos A . Другими словами, в прямоугольный треугольник с противоположной стороной будет равен синусу, а соседняя сторона будет равна косинусу угла.

Треугольник часто рисуют в единичном круге , круге радиус 1, как показано справа.Угол A находится в центре окружности, а на соседней стороне лежит по оси x. Если вы сделаете это, гипотенуза будет радиусом, равным 1. Координаты ( x , y ) внешнего конца гипотенузы — ноги треугольника x и y : ( x , y ) = (cos A , sin A ). Единичный круг — ваш друг : он может помочь вам визуализировать участки триггерных тождеств.

Остальные четыре: касательная, котангенс, секанс, косеканс

Остальные четыре функции не имеют реальной самостоятельной жизни; Они просто комбинации первых двух .Вы могли бы сделать все тригонометрия, не зная ничего больше, чем синусы и косинусы. Но зная что-то в остальных четырех, особенно касательное, часто может спасти вас шаги в вычислении, и ваш учитель будет ожидать, что вы знаете о них на экзаменах.

Мне проще запомнить (извините!) Определение касательной через синус и косинус:

(3) Запомнить:

tan A = (sin A ) / (cos A )

Вы будете использовать функцию тангенса (tan) намного чаще чем последние три функции.(Я доберусь до них через минуту.)

Есть альтернативный способ запомнить значение касательной . Помните из схемы что sin A = напротив / гипотенуза и cos A = смежный / гипотенуза. Подставьте их в уравнение 3, определение функция загара, и у вас загар A = (противоположный / гипотенуза) / (смежный / гипотенуза) или

(4) касательная = (противоположная сторона) / (смежная сторона)

Обратите внимание, что это , а не с пометкой «запомнить»: вам не нужно запомнить, потому что он вытекает непосредственно из определения уравнение 3, и фактически эти два утверждения эквивалент. Я решил представить их в таком порядке, чтобы минимизировать беспорядок opp, adj и hyp среди sin, cos и загар. Однако, если хотите, можете запомнить уравнение 4, а затем вывести эквивалентное тождество уравнение 3, когда вам это нужно.

Пример: Оттяжка закреплена в земле и прикреплена на вершину 45-футового флагштока. Как далеко якорь от базы флагштока, если провод встречается с землей в угол 63?

Решение: Это вариант предыдущий пример.Этот время, вы хотите знать сторону, прилегающую к углу A , а не гипотенуза. Как и раньше, предположим, что флагшток вертикальный, поэтому это прямоугольный треугольник с A = 63, a = 45 футов, и прилегающая сторона b неизвестный. Какая функция задействует соседнюю сторону и противоположную сторону? Это касательная. Вы знаете, что

загар A = a / b

Следовательно,

b = a / tan A = 45 / tan 63 = около 22. 9 футов

Итак, я сказал, что вы можете выполнять все триггеры только с синусами и косинусы. Как это сработает для этой проблемы? Ну синус и косинус обеим нужна гипотенуза, так что у вас будет

sin A = a / c ⇒ c = a / sin A и

cos A = b / c ⇒ c = b / cos A . Следовательно,

b / cos A = a / sin A

b = a × cos A / sin A = 45 × cos 63 / sin 63 = около 22.9 футов

В конце концов, вы попали в то же место, но путь был дольше. Итак, хотя это и не обязательно, касательная может облегчить вашу работу.

Остальные три триггера функции котангенс, секанс и косеканс являются определяется в терминах первых трех . Они используются реже, но упрощают некоторые проблемы в исчисление. В практических задачах, не связанных с исчислением, они вам практически никогда не понадобятся.

(5) Запомнить:

детская кроватка A = 1 / (коричневый A )

сек A = 1 / (cos A )

csc A = 1 / (sin A )

Угадайте что! Это последняя триггерная идентификация, которую вам нужно запомнить.

(Вы, вероятно, обнаружите, что в конечном итоге запомните некоторые другие личности, даже не намереваясь, просто потому, что вы их используете часто. Но уравнение 5 делает последние, что вам придется сесть и запомнить только их собственн.)

К сожалению, определения в уравнении 5 не являются самая легкая вещь в мире для запоминания. Равняется ли секанс на 1? синус или 1 над косинусом? Вот , два полезных совета : Каждое из этих определений имеет совместную функцию с одной и только с одной стороны. уравнения, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что sec A равно 1 / sin A .А секанс и косеканс идут вместе, как синус и косинус, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что детская кроватка A равно 1 / sin A .

Для альтернативного подхода к запоминанию выше идентификаторов, вам может понравиться:

Вы можете сразу заметить важную связь между касательной и котангенс. Каждый является совместной функцией другого, как синус и косинус:

(6) желто-коричневый A = детская кроватка (90 — A ) или детская кроватка (π / 2 — A )

детская кроватка A = желто-коричневый (90 — A ) или коричневый (π / 2 — A )

Если вы хотите это доказать, это легко определения и уравнение 2:

детская кроватка A = 1 / tan A

Примените определение загара:

детская кроватка A = 1 / (sin A / cos A )

Упростим дробь:

детская кроватка A = cos A / sin A

Примените уравнение 2:

детская кроватка A = sin (90 — A ) / cos (90 — A )

Наконец, признайте, что эта дробь соответствует определению функция загара, уравнение 3:

детская кроватка A = коричневый (90 — A )

Касательная и co тангенс — это такие же функции, как синус и синус. Выполняя такую ​​же замену, вы можете показать, что секанс и Секунды co также являются совместными функциями:

(7) сек A = csc (90 — A ) или csc (π / 2 — A )

csc A = сек (90 — A ) или сек (π / 2 — A )

Шесть функций в одном изображении

Вы видели ранее, как синус и косинус угла — стороны треугольника в единичной окружности. Оказывается что все шесть функций могут быть изображены таким образом геометрически.

единичный круг (радиус = AB = 1)
sin θ = BC; cos θ = AC; загар θ = ED
csc θ = AG; сек θ = AE; детская кроватка θ = FG

Изображение предоставлено TheMathPage

На рисунке справа треугольник ABC имеет угол θ при центр единичной окружности (AB = радиус = 1). Ты уже знайте, что BC = sin θ и AC = cos θ .

А как насчет загара θ ? Ну, так как DE касается единицы круг, вы можете догадаться, что его длина — загар θ , и вы бы верно. Треугольники ABC и AED похожи, поэтому

ED / AD = BC / AC

ED / 1 = sin θ / cos θ

ED = загар θ

Больше информации исходит от той же пары одинаковых треугольники:

AE / AB = AD / AC

AE / 1 = 1 / cos θ

AE = сек θ

Длина детской кроватки θ и csc θ придет. из другого треугольника, GAF.Этот треугольник также похож на треугольник AED. (Почему? FG перпендикулярно FA, а FA перпендикулярно ОБЪЯВЛЕНИЕ; следовательно, FG и AD параллельны. В начале геометрии вы узнал, что когда параллельные линии разрезаются третьей линией, соответствующие углы обозначены θ в диаграммы равны. Таким образом, FG касается единицы окружности, а значит, углы G и θ равны. )

Используя аналогичные треугольники GAF и AED,

FG / FA = AD / ED

FG / 1 = 1 / tan θ

FG = детская кроватка θ

В этом есть смысл: FG касается единичной окружности и является тангенс дополнения угла θ , а именно угла GAF. Следовательно, FG — котангенс исходного угла θ (или угла GAD).

Наконец, снова используя ту же пару похожих треугольников, вы также можно сказать, что

AG / FA = AE / ED

AG / 1 = сек θ / tan θ

AG = (1 / cos θ ) / (sin θ / cos θ )

AG = 1 / sin θ

AG = csc θ

Эта диаграмма прекрасно передает геометрическое значение всех шести триггерных функций, когда угол θ проведен в центре единичный круг:

sin θ = BC; cos θ = переменный ток; загар θ = ED

csc θ = AG; сек θ = AE; детская кроватка θ = FG

Практические задачи

Чтобы извлечь максимальную пользу из этих проблем, решите их. без предварительного просмотра решений.Вернитесь к главе текст, если вам нужно освежить память.

Рекомендация : Работайте на бумаге труднее обмануть себя, действительно ли ты полностью разобраться в проблеме.

Вы найдете полный решения для всех проблем. Не просто проверяй свой ответы, но проверьте и свой метод.

BTW: Зачем называть это синусом?

Очевидно, почему название тангенс имеет смысл: тангенс угла — это длина отрезка, касательного к единичной окружности. А как же синус функция? Как он получил свое название?

Посмотрите на изображение еще раз и обратите внимание, что sin θ = BC — половина хорды круга.Индуистский математик Арьябхата старший (о 475550) использовал слово jya или jiva для этого полуаккорда. В арабском переводе это слово осталось без изменений, но в арабской системе письма джива было написано так же, как арабское слово джайб, означает грудь, складку или залив. Латинское слово, обозначающее грудь, залив или кривую. синус, или синус на английском языке, и начинается с Gherardo из Кремона (ок. 11141187), ставшая общепринятым термином.

Эдмунд Гюнтер (15811626), кажется, был первым опубликовать сокращения sin и tan для sin и касательная.

Мой источник этой истории — Эли Маорс Тригонометрический Восторги (1998, Princeton University Press), стр. 3536. Я настоятельно рекомендую вам обратиться к книге для более полного отчета.

Что нового

• 27 сентября 2017 г. : Откорректировать 29,2 футов до 22,9 футов, здесь и здесь, спасибо Райану МакПарлану.
• 29 октября 2016 г. :
• (промежуточные изменения подавлены)
• 19 февраля 1997 г. : Новый документ.

следующий: 3 / Специальные уголки

тригонометрических идентичностей | Безграничная алгебра

Закон синуса

По закону синусов можно найти неизвестные углы и стороны в любом треугольнике.

Цели обучения

Используйте закон синусов для решения задач с треугольниками любой конфигурации, а также для преобразования тригонометрических выражений

Основные выводы

Ключевые моменты

• Закон синусов используется для определения размеров всех трех углов и всех трех сторон треугольника.
• Закон синусов гласит, что следующие пропорции равны: [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {a} = \ frac {\ sin \ beta} {b} = \ frac {\ sin \ gamma } {c}} [/ latex], где [latex] \ alpha, \ beta, [/ latex] и [latex] \ gamma [/ latex] — углы, а [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и [latex] c [/ latex] — длины противоположных сторон соответственно.{\ circ} [/ latex] угол, а любой другой треугольник — наклонный. Решить наклонный треугольник означает найти измерения всех трех углов и всех трех сторон.

  Закон синусов гласит, что:

  [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {a} = \ frac {\ sin \ beta} {b} = \ frac {\ sin \ gamma} {c}} [/ латекс]

  где [latex] \ alpha, \ beta, [/ latex] и [latex] \ gamma [/ latex] — углы, а [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и [latex] c [/ latex] — длины противоположных им сторон соответственно.

  Наклонный треугольник: Стороны этого наклонного треугольника обозначены буквами a, b и c, а соответствующие им углы обозначены [latex] \ alpha [/ latex], [latex] \ beta [/ latex] и [латекс] \ гамма [/ латекс].

  Обратите внимание на стандартный способ маркировки треугольников: угол [латекс] \ альфа [/ латекс] (альфа) — противоположная сторона [латекс] а [/ латекс]; угол [латекс] \ бета [/ латекс] (бета) противоположная сторона [латекс] b [/ латекс]; и угол [латекс] \ гамма [/ латекс] (гамма) является противоположной стороной [латекс] c [/ латекс].

  Чтобы решить наклонный треугольник, используйте любую пару применимых соотношений из формулы закона синусов. При расчете углов и сторон обязательно доведите точные значения до окончательного ответа.

  Пример

  Решите треугольник, показанный на рисунке, округляя окончательные ответы до ближайшей десятой.

  Наклонный треугольник с неизвестными сторонами и углами: В этом треугольнике [латекс] \ альфа = 50 \ градус [/ латекс], [латекс] \ гамма = 30 \ градус [/ латекс] и [латекс] a = 10 [/латекс]. {\ circ} \ quad \ quad \ quad c \ приблизительно 6.5 [/ латекс]

  Закон косинусов

  Закон косинусов можно использовать для определения углов и сторон треугольника в случаях, когда другие законы не применяются.

  Цели обучения

  Используйте закон косинусов для решения задач с треугольниками любой конфигурации, а также для преобразования тригонометрических выражений

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Закон косинусов можно использовать для определения углов и сторон треугольника в тех случаях, когда закон синусов не может быть применен, например, для треугольников с неизвестными углами.2 [/ latex], где [latex] c [/ latex] — это гипотенуза, а [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] — длины двух других сторон.

  Использование закона косинусов

  В некоторых случаях у нас может не быть достаточно информации, чтобы применить закон синусов, чтобы найти неизвестные углы и стороны в треугольнике. Например, рассмотрим треугольник, у которого известны все три стороны, но неизвестны значения углов. В таких случаях недостаточно информации для использования закона синуса. Закон косинусов полезен для: 1) вычисления третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и их внутренний угол, и 2) вычисления углов треугольника, если известны только три стороны.

  Закон косинусов определяет соотношение между измерениями углов и длинами сторон наклонных треугольников. Три формулы составляют Закон косинусов. На первый взгляд формулы могут показаться сложными, потому что они включают много переменных. Однако, как только схема будет понята, с законом косинусов легче работать, чем со многими формулами на этом математическом уровне.

  Закон косинусов гласит, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение двух других сторон и косинус включенного угла.2 — 2ab \ cos \ gamma \ end {align} [/ latex]

  Наклонный треугольник (без прямого угла): Наклонный треугольник с углами [латекс] \ альфа [/ латекс], [латекс] \ бета [/ латекс] и [латекс] \ гамма [/ латекс] и наоборот. соответствующие стороны [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс].

  Для определения размера отсутствующей стороны требуется соответствующая величина противоположного угла. При решении для угла нужны длины всех сторон. Обратите внимание, что каждую формулу закона косинусов можно переставить, чтобы найти угол.2 & = 244 — 120 \ sqrt {3} \\ b & = \ sqrt {244 — 120 \ sqrt {3}} \\ b & \ приблизительно 6.0 \ end {align}} [/ latex]

  Обратите внимание, что теперь у нас достаточно информации, чтобы мы могли использовать закон синусов для определения неизвестных углов [латекс] \ альфа [/ латекс] и [латекс] \ гамма [/ латекс] в треугольнике.

  Пифагорейские тождества

  Тождества Пифагора полезны для упрощения выражений с помощью тригонометрических функций.

  Цели обучения

  Соедините тригонометрические функции с теоремой Пифагора, чтобы вывести тождества Пифагора

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Тождества Пифагора выводятся из теоремы Пифагора и описывают взаимосвязь между синусом и косинусом на единичной окружности. 2 [/ латекс]

    Для треугольника, нарисованного внутри единичного круга, длина гипотенузы треугольника равна радиусу круга, который равен [латекс] 1 [/ латекс]. Длины сторон треугольника составляют [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс].

    Тождество Пифагора на единичной окружности: Для треугольника, нарисованного внутри единичной окружности, длина гипотенузы равна радиусу окружности. Стороны треугольника имеют длины [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс].2 т = 1 [/ латекс]

    , что верно для любого действительного числа [латекс] т [/ латекс].

    Мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы найти косинус угла, если мы знаем синус, или наоборот. Однако, поскольку уравнение дает два решения, нам необходимо дополнительное знание угла, чтобы выбрать решение с правильным знаком. Если мы знаем, в каком квадранте находится угол, мы можем легко выбрать правильное решение.

    Дополнительные тождества могут быть получены из тождества Пифагора [латекс] \ cos ^ 2 t + \ sin ^ 2 t = 1 [/ latex]. 2 т [/ латекс] упрощается до [латекс] 5 [/ латекс].

    Формулы сложения и вычитания углов

    Тригонометрические выражения можно упростить, используя специальные углы и набор формул для сложения и вычитания углов.

    Цели обучения

    Упростите тригонометрические выражения с помощью формул сложения и вычитания углов.

    Основные выводы

    Ключевые моменты

    • Формулы для сложения и вычитания углов в тригонометрических выражениях позволяют нам найти синус, косинус или тангенс
      данного угла, если мы можем разбить его
      на сумму или разность двух специальных углов.
    • Формулы для косинуса: [latex] \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex] и [latex] \ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex].
    • Формулы для синуса: [latex] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex] и [latex] \ sin (\ alpha — \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex].
    • Формулы касательной: [latex] \ displaystyle {\ tan (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta}} [ / latex] и [latex] \ displaystyle {\ tan (\ alpha — \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta}} [/ latex] .2} [/ латекс].

    Получение формул сложения и вычитания углов

    Часто бывает проще найти точное значение синуса, косинуса или тангенса угла, если мы можем переписать данный угол в терминах двух углов, для которых известны тригонометрические значения. Мы можем использовать специальные углы, которые мы можем просмотреть в единичном круге, показанном ниже.

    Единичная окружность: Единичная окружность со значениями синуса и косинуса, отображаемыми для специальных углов.

    Существуют формулы для сложения и вычитания углов в каждой из тригонометрических функций.Они позволяют нам найти тригонометрическую функцию данного угла, если мы можем разбить ее на сумму или разность двух особых углов.

    Чтобы увидеть, как выводятся эти формулы, мы можем разместить точки на диаграмме единичного круга. Предположим, что угол, для которого мы хотим найти тригонометрическую функцию, — это угол, образованный точкой [латекс] A [/ latex], которая измеряет угол [латекс] \ альфа — \ бета [/ латекс]. Угол, образованный [латексом] A [/ латексом] и точкой [латекс] B [/ латексом] на положительной оси [латекса] x [/ латекса], такой же, как угол, образованный между двумя особыми углами, которые обозначается [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс].Точка [latex] P [/ latex] находится под углом [latex] \ alpha [/ latex] к положительной оси [latex] x [/ latex] – с координатами [latex] (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha) [/ latex], а точка [latex] Q [/ latex] находится под углом [latex] \ beta [/ latex] от положительной оси [latex] x [/ latex] — с координатами [ латекс] (\ соз \ бета, \ грех \ бета) [/ латекс]. Углы равны, поэтому расстояние между точками [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс] такое же, как и между точками [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс ]. 2} [/ латекс]

    можно вывести ряд соотношений между углами. Мы можем вывести следующие шесть формул.

    Формулы для косинуса:

    [латекс] \ begin {align} \ cos (\ alpha + \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta \\ \ cos (\ alpha — \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta \ end {align} [/ latex]

    Формулы для синуса:

    [латекс] \ begin {align} \ sin (\ alpha + \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \\ \ sin (\ alpha — \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta \ end {align} [/ latex]

    Формулы тангенса:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan (\ alpha + \ beta) & = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} \\ \ tan (\ alpha — \ beta) & = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta} \ end {align}} [/ latex]

    [latex] [/ latex] Они полезны для поиска углов, которые могут быть получены путем сложения или вычитания специальных углов. {\ circ} [/ латекс]. Можно найти тригонометрические функции любого такого угла.

    Пример

    Используя формулу косинуса разности двух углов, найдите точное значение [latex] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6 } \ right)}} [/ латекс].

    Примените формулу [латекс] \ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex]:

    [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} = \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi } {4} \ right)} \ cos {\ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)} + \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} \ right)} \ sin {\ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)}} [/ латекс]

    Подставьте значения тригонометрических функций из единичной окружности:

    [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} = \ left (- \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ right) \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) + \ left (- \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \ left (\ frac {1} {2} \ right)} [/ латекс]

    Упростить:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} & = — \ frac {\ sqrt {6}} {4} — \ frac {\ sqrt {2}} {4} \\ \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right )} & = — \ frac {\ sqrt {6} — \ sqrt {2}} {4} \ end {align}} [/ latex]

    Пример

    Найдите точное значение [латекс] \ sin (15 ^ {\ circ}) [/ latex].{\ circ} \ right)} = \ frac {\ sqrt {6} — \ sqrt {2}} {4}} [/ латекс]

    Формулы двойных и половинных углов

    Тригонометрические выражения можно упростить, применив формулы двойного и половинного угла.

    Цели обучения

    Упростите тригонометрические выражения с помощью формул двойного и половинного угла

    Основные выводы

    Ключевые моменты

    • Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [latex] \ alpha = \ beta [/ latex].Они полезны, когда мы хотим найти тригонометрическую функцию угла, который вдвое больше специального угла.
    • Формулы половинного угла также являются частным случаем и полезны, когда мы хотим найти тригонометрическую функцию угла [latex] \ theta [/ latex], который составляет половину особого угла [latex] \ alpha [/ latex ] (Другими словами, [латекс] \ displaystyle {\ theta = \ frac {\ alpha} {2}} [/ latex]).
    • Хотя каждая формула полуугла имеет знак [латекс] \ pm [/ латекс], знак, который применяется в каждом случае, зависит от квадранта, в который попадает угол, и правил применения знаков к тригонометрическим функциям.

    Формулы для двойных углов

    В предыдущей концепции мы использовали формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций. Теперь мы еще раз посмотрим на те же формулы. Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [latex] \ alpha = \ beta [/ latex]. Другими словами, они позволяют нам найти тригонометрическую функцию угла, который вдвое больше специального угла. В таких случаях можно выводить формулы для нахождения синуса, косинуса и тангенса, и эти формулы полезны для упрощения тригонометрических выражений.

    Вывод формулы двойного угла для синуса начинается с формулы суммы, которая была введена ранее: [latex] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [ /латекс].

    Если мы допустим [latex] \ alpha = \ beta = \ theta [/ latex], то имеем:

    [латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ sin (\ theta + \ theta) & = \ sin \ theta \ cos \ theta + \ cos \ theta \ sin \ theta \\ \ sin (2 \ theta) & = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ end {align}} [/ latex]

    Формула двойного угла для косинуса может быть получена аналогично:

    [латекс] \ cos (2 \ theta) = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]

    Обратите внимание, что мы можем применить тождества Пифагора, чтобы получить еще два варианта формулы косинуса:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = \ left (1- \ sin ^ 2 \ theta \ right) — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align}} [/ latex]

    [латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = \ cos ^ 2 \ theta — \ left (1- \ cos ^ 2 \ theta \ right) \\ & = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 \ end {align}} [/ latex]

    Аналогичным образом, чтобы вывести формулу двойного угла для касательной, замена [latex] \ alpha = \ beta = \ theta [/ latex] в формуле суммы дает

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} & = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} \\ \ tan {\ left (\ theta + \ theta \ right)} & = \ frac {\ tan \ theta + \ tan \ theta} {1 — \ tan \ theta \ tan \ theta} \\ \ tan {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ frac {2 \ tan \ theta} {1 — \ tan ^ 2 \ theta} \ end {align}} [/ latex]

    Формулы двойного угла резюмируются следующим образом:

    • [латекс] \ sin {\ left (2 \ theta \ right)} = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta [/ latex]
    • [латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
    • [латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
    • [латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 [/ latex]
    • [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (2 \ theta \ right)} = \ frac {2 \ tan \ theta} {1 — \ tan ^ 2 \ theta}} [/ латекс]

    Пример

    Найдите [латекс] \ sin (60 ^ {\ circ}) [/ latex] с помощью функции [latex] \ sin (30 ^ {\ circ}) [/ latex].{\ circ} \ right)} & = 2 \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {4} \ right) \\ & = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align} } [/ латекс]

    Формулы полуугловых

    Формулы полуугла
    могут быть получены из формул двойного угла. Они полезны для нахождения тригонометрической функции угла [латекс] \ theta [/ latex], который составляет половину особого угла [латекс] \ альфа [/ латекс] (другими словами, [латекс] \ displaystyle {\ theta = \ frac {\ alpha} {2}} [/ latex]). Формулы половинного угла следующие:

    • [латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos \ alpha} {2}}} [/ латекс]
    • [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {2}}} [/ latex ]
    • [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 — \ cos \ alpha} {1 + \ cos \ alpha} }} [/ латекс]
    • [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ frac {\ sin \ alpha} {1 + \ cos \ alpha}} [/ latex]
    • [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ frac {1 — \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}} [/ latex]

    Хотя некоторые формулы имеют знак [латекс] \ pm [/ latex], применяется только один знак.{\ circ}) [/ latex], следовательно, положительный.

    Тождества тригонометрической симметрии

    Тождества тригонометрической симметрии основаны на принципах четных и нечетных функций, которые можно наблюдать на их графиках.

    Цели обучения

    Объясните тождества тригонометрической симметрии, используя графики тригонометрических функций

    Основные выводы

    Ключевые моменты

    • Тригонометрические функции бывают четными или нечетными, что означает, что они симметричны относительно оси [latex] y [/ latex] или начала координат соответственно.
    • Четные тригонометрические функции — это косинус и секанс, а нечетные тригонометрические функции — это синус, косеканс, тангенс и котангенс.
    • Определения четных и нечетных функций можно использовать для получения тождеств симметрии, соответствующих каждой из шести тригонометрических функций.
    • Тождества симметрии можно использовать для нахождения тригонометрических функций отрицательных значений.

    Ключевые термины

    • нечетная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], для которых [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex ], и есть симметрия относительно начала координат.
    • четная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], для которых [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], и есть симметрия относительно оси [латекс] y [/ латекс].

    Симметрия в тригонометрических функциях

    Мы уже обсуждали четные и нечетные функции. Напомним, что четные функции симметричны относительно оси [latex] y [/ latex], а нечетные функции симметричны относительно начала координат, [latex] (0, 0) [/ latex]. Напомним, что косинус является четной функцией, потому что он симметричен относительно оси [latex] y [/ latex].С другой стороны, синус и тангенс — нечетные функции, потому что они симметричны относительно начала координат.

    Теперь мы рассмотрим каждую из тригонометрических функций и их совместные функции (секанс, косеканс и котангенс) и заметим симметрию на их графиках. Эта симметрия используется для получения определенных идентичностей.

    Симметрия вокруг оси [latex] y [/ latex]: косинус и секанс являются четными функциями с симметрией относительно оси [latex] y [/ latex].

    Функции косинуса и секанса симметричны относительно оси y.Графики, симметричные относительно оси [latex] y [/ latex], представляют четные функции. Для четных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] имеют одинаковое значение функции. Математически это выражается как [латекс] f (-x) = f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].

    Симметрия относительно начала координат : Синус, косеканс, тангенс и котангенс являются нечетными функциями и симметричны относительно начала координат.

    Функции синуса, косеканса, тангенса и котангенса симметричны относительно начала координат.Графы, симметричные относительно начала координат, представляют нечетные функции. Для нечетных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] также имеют противоположные значения [latex] y [/ latex]. Математически это выражается как [латекс] f (-x) = -f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].

    Тождества симметрии

    Мы можем применить определения для четных и нечетных функций, чтобы вывести тождества симметрии, соответствующие каждой из наших шести тригонометрических функций.Следующие тождества симметрии полезны при нахождении тригонометрической функции отрицательного значения.

    Обратите внимание, что только два тригонометрических тождества являются четными функциями: косинус и секанс. Для этих функций мы применяем [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], чтобы найти следующие идентификаторы:

    [латекс] \ begin {align} \ cos (-x) & = \ cos x \\ \ sec (-x) & = \ sec x \ end {align} [/ latex]

    Для нечетных тригонометрических функций мы применяем [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex] и находим следующие тождества:

    [латекс] \ begin {align} \ sin (-x) & = — \ sin x \\ \ csc (-x) & = — \ csc x \\ \ tan (-x) & = — \ tan x \ \ \ cot (-x) & = — \ cot x \ end {align} [/ latex]

    Пример

    Найдите синус, косинус и тангенс [latex] \ displaystyle {\ theta = — \ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex].

    Во-первых, мы можем определить, что абсолютное значение [latex] \ theta [/ latex] является особым углом, [latex] \ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex]. Из единичного круга мы знаем, что [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} = — \ frac {\ sqrt {3}} {2}} [/ латекс] и [латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} = \ frac {1} {2}} [/ latex].

    Используя эти значения из единичного круга, мы можем вычислить [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} [/ latex]:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = \ frac {\ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} \\ & = \ frac {\ frac {1} {2}} {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \\ & = \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ cdot \ left (- \ frac {2} {\ sqrt {3}} \ right) \\ & = — \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ end {align}} [/ latex]

    Теперь, когда мы знаем синус, косинус и тангенс [latex] \ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex], мы можем применить тождества симметрии, чтобы найти функции [latex] \ displaystyle {- \ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex].

    Применяя тождество симметрии для косинуса, имеем:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6 } \ right)} \\ & = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align}} [/ latex]

    Применяя тождество для синуса, получаем:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sin {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = — \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} { 6} \ right)} \\ & = — \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

    Наконец, применив тождество для касательной, мы имеем:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = — \ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} { 6} \ right)} \\ & = — \ left (- \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ right) \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ end {align }} [/ latex]

    Определение и графики тригонометрических функций

    Углы (аргументы функций): \ (\ alpha \), \ (x \)
    Тригонометрические функции: \ (\ sin \ alpha \), \ (\ cos \ alpha \), \ (\ tan \ alpha \), \ (\ cot \ alpha \), \ (\ sec \ alpha \), \ (\ csc \ alpha \)
    Набор действительных чисел: \ (\ mathbb {R} \)
    Координаты точек на окружности: \ (х \), \ (у \)

    Радиус круга: \ (r \)
    Целые числа: \ (k \)

    1. Тригонометрические функции — это элементарные функции, аргументом которых является угол.Тригонометрические функции описывают соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника. Приложения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (рядов Фурье). Эти функции часто встречаются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
    2. Тригонометрические функции включают следующие функции \ (6 \): синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция.
    3. Тригонометрические функции могут быть определены с помощью единичной окружности. На рисунке ниже показан круг радиуса \ (r = 1 \). На окружности есть точка \ (M \ left ({x, y} \ right) \). Угол между радиус-вектором \ (OM \) и положительным направлением оси \ (x \) — равен \ (\ alpha \).
    4. Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \)
       \ (\ грех \ альфа = у / г \).
       Поскольку \ (r = 1 \), синус равен \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \).
    5. Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \)
       \ (\ соз \ альфа = х / г \)
    6. Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (x \) -координата:
       \ (\ tan \ alpha = y / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
    7. Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (y \) -координата:
       \ (\ cot \ alpha = x / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
    8. Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (x \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ):
       \ (\ sec \ alpha = r / x = 1 / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
    9. Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ):
       \ (\ csc \ alpha = r / y = 1 / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
    10. Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике
        В единичном круге проекции \ (x \), \ (y \) точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) и радиус \ (r \) образуют прямоугольный треугольник, в котором \ (x, y \) — катеты, а \ (r \) — гипотенуза.Следовательно, приведенные выше определения сформулированы следующим образом:
        Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного катета к гипотенузе.
        Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего катета к гипотенузе.
        Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного отрезка к соседнему отрезку.
        Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего отрезка к противоположному отрезку.
        Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к соседнему катету.
        Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к противоположному катету.
    11. График функции синуса
        \ (y = \ sin x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ sin x \ le 1 \)
    12. График функции косинуса
        \ (y = \ cos x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ cos x \ le 1 \)
    13. График касательной функции
        \ (y = \ tan x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ tan x \ lt \ infty \)
    14. График функции котангенса
        \ (y = \ cot x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ cot x \ lt \ infty \)
    15. График функции секанса
        \ (y = \ sec x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (\ sec x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)
    16. График функции косеканса
        \ (y = \ csc x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (\ csc x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)

    Тригонометрия

    Тригонометрия (название происходит от греческого слова, которое переводится как «измерение треугольников») — это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольников.Тригонометрия имеет множество практических приложений и используется в астрономии, геодезии, навигации и т. Д.

    Тригонометрические функции

    Отношения между сторонами и углами треугольников связаны с тригонометрическими функциями. Обычно тригонометрические функции обсуждаются двумя основными способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего они вводятся в определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, как описано ниже.

    Определение прямоугольного треугольника

    Выходной сигнал тригонометрической функции — отношение длин двух сторон прямоугольного треугольника. Для описания сторон прямоугольного треугольника используются следующие термины: гипотенуза, прилегающая сторона и противоположная сторона, как показано на рисунке ниже.

    Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

    • Смежно: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
    • Справа: сторона, противоположная θ.
    • Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, противоположная прямому углу.

    Тригонометрические функции определяются на основе соотношений двух сторон прямоугольного треугольника. Есть шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Эти функции часто обозначают как sin, cos, tan, csc, sec и cot. Их определения приведены ниже.

    косеканс:
    секанс:
    котангенс:

    Синус, косинус и тангенс — три наиболее часто используемые тригонометрические функции.Косеканс, секанс и котангенс являются обратными величинами синуса, косинуса и тангенса соответственно. Таким образом, если мы помним определения синуса, косинуса и тангенса, мы можем использовать их обратные величины, чтобы определить определения косеканса, секанса и котангенса.

    Пример:

    Каковы значения sin (45 °), cos (45 °) и tan (45 °)?

    Пример:

    Боб прошел 300 м по холму 30 °, на какую высоту поднялся Боб?

    Высота =	пройденное расстояние × sin (30 °)
    =	300 × 0.5
    =	150 м

    Таким образом, Боб достиг высоты 150 м, пройдя 300 м по склону холма.

    Тригонометрические идентификаторы

    Тригонометрические тождества — это уравнения, которые используются для описания множества взаимосвязей, существующих между тригонометрическими функциями. Помимо прочего, они могут быть полезны для упрощения тригонометрических выражений и уравнений.

    Ниже показаны некоторые личности, с которыми вы можете столкнуться при изучении тригонометрии.

    Взаимные идентичности

    sin (θ) · csc (θ) = 1

    cos (θ) · сек (θ) = 1

    загар (θ) · детская кроватка (θ) = 1

    Факторные идентичности

    Идентификаторы совместных функций

    Нечетные / четные идентификаторы

    грех (-θ) =-грех (θ)

    cos (-θ) = cos (θ)

    загар (-θ) = -тан (θ)

    csc (-θ) = -csc (θ)

    сек (-θ) = сек (θ)

    детская кроватка (-θ) =-детская кроватка (θ)

    Пифагорейские тождества

    cos ² (θ) + sin ² (θ) = 1

    1 + загар ² (θ) = сек ² (θ)

    1 + детская кроватка ² (θ) = csc ² (θ)

    Пример:

    Упростите следующий

    Тригонометрические формулы

    В тригонометрии используется множество формул, которые включают один или несколько углов или сторон треугольника.

    Формулы суммы и разности

    sin (x ± y) = sin (x) · cos (y) ± cos (x) · sin (y)

    cos (x ± y) = cos (x) · cos (y) & mnplus ; sin (x) · sin (y)

    Формулы двойного угла

    sin (2θ) = 2 · sin (θ) · cos (θ)

    cos (2θ) = cos 2 (θ) — sin 2 (θ) = 1-2 · sin 2 (θ) = 2 · cos 2 (θ) — 1

    Формулы половинного угла

    Непрямые треугольники

    Определения тригонометрических функций прямоугольного треугольника применимы только к прямоугольным треугольникам.Их нельзя использовать для непрямых треугольников, таких как треугольник ABC ниже, который является наклонным треугольником.

    Скорее, следующие тождества треугольников можно использовать для связи сторон и углов треугольника ABC.

    Правило синуса

    Закон синусов может использоваться, когда для наклонного треугольника заданы одна сторона и любые два угла, или когда заданы один угол и две стороны.

    Пример:

    Для треугольника ABC, a = 3, B = 70 °, C = 45 °, найдите A, b и c,

    A = 180 ° — B — C = 180 ° — 70 ° — 45 ° = 65 °

    Правило косинуса

    a 2 = b 2 + c 2 — 2bc · cos (A)

    b 2 = a 2 + c 2 — 2ac · cos (B)

    c 2 = a 2 + b 2 — 2ab · cos (C)

    Закон косинусов можно использовать, когда один угол и две его стороны даны для наклонного треугольника, или когда даны все три стороны.

    Пример:

    Для треугольника ABC, A = 45 °, b = 3, c = 5, найдите a,

    a 2	= b 2 + c 2 — 2bc · cos (A)
    	= 3 2 + 5 2 — 2 × 3 × 5 × cos (45 °)
    	= 12,787

    ACT Тригонометрия: полное руководство

    Тригонометрия — это раздел математики, который занимается прямоугольными треугольниками и отношениями между их сторонами и углами.(Слово «триггер» связано со словом «треугольник», чтобы помочь вам запомнить.)

    Обычно в тесте ACT есть около 4-6 вопросов, связанных с тригонометрией (официальные инструкции по ACT говорят, что задачи тригонометрии составляют 7% теста). На первый взгляд они могут показаться сложными, но большинство из них сводятся к нескольким простым концепциям.

    Эта статья будет вашим исчерпывающим руководством по тригонометрии, которое вам нужно знать для ACT. Мы расскажем вам о значении тригонометрии, формулах и понимании, которые вам нужно знать, а также о том, как решать некоторые из наиболее сложных тригонометрических задач ACT.

    Что такое тригонометрия и как ею пользоваться?

    Тригонометрия изучает отношения между сторонами и углами прямоугольных треугольников. Соотношения между размерами сторон прямоугольного треугольника и размерами его углов постоянны, независимо от того, насколько большой или маленький треугольник.

    Некоторые из множества различных возможных типов прямоугольных треугольников.

    Если вы знаете размер одной стороны и один угол, отличный от 90 ° для прямоугольного треугольника, вы сможете определить остальные стороны и углы треугольника.2 = 340 9000 долларов США 3

    $ c = √340 $ или $ c = 2√85 $

    Но что, если у нас есть только одна длина стороны и мера одного из углов (не девяносто градусов)?

    Даже если у нас есть длина только одной стороны, мы все равно можем найти другие, используя тригонометрию, потому что у нас есть мера одного из острых углов.

    Итак, здесь мы могли бы сказать $ sin 34 ° = 12 / \ hypotenuse \ $

    Итак, $ \ hypotenuse \ = 12 / {sin 34 °} $

    Не волнуйтесь, если это еще не имеет для вас смысла! Мы разберем каждый шаг по мере продвижения в руководстве.

    (Примечание: чтобы найти фактическую величину угла в градусах с использованием двух длин сторон, вам нужно будет выполнить вычисление обратной функции (также называемой функцией «дуги»). Но НЕ БОЙТЕСЬ — ACT никогда не заставит вас Сделайте это! Что касается вашей подготовки к математике ACT, поймите, что тест будет предлагать вам только вычислить достаточно далеко, чтобы сказать, например, «$ Cosine‌x = 4/5 $». Вам никогда не придется находить фактическую угловую меру из х по АКТ.

    Мы находим эти меры, понимая отношение определенных сторон треугольника к их соответствующим углам. Это так называемые тригонометрические функции, и есть три, которые вы должны запомнить для ACT: синус, косинус и тангенс. Самый простой способ понять это — использовать мнемоническое устройство SOH, CAH, TOA , которое мы немного обсудим.> / P>

    Тригонометрия широко используется в навигации, а также для расчета высот и расстояний. (На случай, если вам интересно, нужен ли вам триггер в реальной жизни.)

    Наиболее распространенные триггерные вопросы ACT

    Вопросы по тригонометрии в ACT можно разделить на несколько категорий.Мы предоставили несколько реальных математических примеров ACT, чтобы продемонстрировать каждую концепцию.

    # 1: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла из заданной прямоугольной треугольной диаграммы.

    # 2: Нахождение синуса, косинуса или тангенса прямоугольного треугольника из задачи со словами.

    Алекс подпирает лестницу к стене. Лестница составляет 23 ° от земли. Если длина лестницы составляет 10 футов, каково выражение для определения расстояния, на котором основание лестницы находится от стены?

    А.10 $ ‌tan‌23 ° $

    Б. 10 $ sin‌23 ° $

    C. 10 $ cos‌23 ° $

    D. $ cos‌ {10/23} $

    E. $ sin {10/23}

    $

    # 3: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла от заданного sin, cos или tan и диапазона, в который попадает угол.

    Если $ tan‌Θ = 3/4 \ и 180 ° <Θ <270 ° $, что такое $ sinΘ $?

    A. $ 4/3 $

    Б. $ -4 / 3 $

    C. $ -3 / 4 $

    Д.$ 3/5 $

    -3 Э. $ / 5

    # 4: Определение периода или амплитуды графика.

    Какова амплитуда графика?

    А. 1

    Б. 2

    К. π

    Д. 2π

    E. 0

    # 5: Закон синусов или закон косинусов.

    Для такого вопроса, , они дадут вам формулы закона синусов или закона косинусов , так что вам не нужно беспокоиться об их запоминании.Однако наличие формулы вам не очень поможет, если она вам покажется или звучит как тарабарщина. По мере того, как вы будете изучать это руководство, выполнять практические вопросы ACT по математике, которые мы предоставили, и знакомиться с языком тригонометрии, используемым в этих вопросах, их станет намного легче решать.

    Мы рассмотрим, как решить каждую из этих проблем, , но это даст вам представление о том, как будут выглядеть триггерные проблемы ACT в тесте.

    SOH, CAH, TOA

    Помните эту знаменитую мнемонику? Это спасет вашу жизнь.Давайте пройдемся по каждому.

    SOH (синус)

    Синус — это функция, в которой значение синуса (также называемого «грехом») угла тета можно найти, используя отношение стороны треугольника, противоположной углу тета, к гипотенузе треугольника.

    SOH : S в $ Θ $ = O одна сторона треугольника / H yпотенуза треугольника

    Итак, в этом треугольнике $ sin‌Θ = b / c $, потому что сторона, противоположная углу $ Θ $, равна b , а гипотенуза равна c .

    CAH (косинус)

    Косинус — это функция, в которой значение косинуса (также называемого «$ cos $») угла тета ($ Θ $) можно найти, используя отношение стороны треугольника, примыкающей к углу $ Θ $ (т. Е. не гипотенуза) над гипотенузой треугольника.

    CAH : C os $ Θ $ = A соседняя сторона треугольника / H yпотенуза треугольника

    Примечание: смежный означает, что сторона треугольника касается угла / помогает создать угол $ Θ $.

    В этом же треугольнике $ cos‌Θ = a / c $, потому что сторона, примыкающая к углу $ Θ $, равна a , а гипотенуза равна c .

    TOA (касательная)

    Касательная — это функция, в которой значение тангенса (также называемого «тангенс») угла тета может быть найдено с помощью отношения стороны треугольника, противоположной углу тета, по соседней стороне треугольника к тета (что не является гипотенуза).

    TOA : T и $ $ = O заданная сторона треугольника / A смежная сторона треугольника.

    В этом же треугольнике $ tan‌Θ = b / a $, потому что сторона, противоположная углу $ Θ $, равна b , а смежная сторона — a .

    Теперь, когда вы знакомы со своими мнемоническими устройствами, вы можете составлять вопросы в несколько этапов. Например, немного более сложный вопрос может выглядеть примерно так:

    Вам даны длины двух сторон треугольника, но для решения задачи требуется длина третьей стороны.2 = 21 $

    $ x = √21 $

    Теперь, когда у вас есть размер третьей стороны, вы можете найти $ tan‌B $.

    $ Tan‌B = \ напротив / \ Соседний $

    $ TanB = √21 / 2 $

    Итак, ответ: F , √21 $ / 2 $

    Какие стороны противоположные или смежные?

    Гипотенуза треугольника всегда остается неизменной, но противоположные или смежные стороны меняются в зависимости от угла фокусировки.

    Например, если вы пытаетесь найти $ sin $ угла $ γ $, вы должны использовать соотношение $ b / c $; если вы пытаетесь найти грех угла $ ξ $, вы должны использовать соотношение $ a / c $.2 = 44 $

    $ x = √44 $

    Теперь $ sin $ = $ \ Against / \ hypotenuse $, поэтому $ sin‌M = √44 / 12 $.

    Итак, ответ — K.

    Нет необходимости находить градусную меру (арксинус или обратный синус) угла M на вашем калькуляторе — это все, что вам нужно.

    Вам также может быть предоставлено значение угла и длины стороны знаменателя вашего соотношения. В этом случае управляйте уравнением, как алгебраическим уравнением, и умножайте противоположную сторону на знаменатель.

    $ sin Θ = \ напротив / \ гипотенуза $

    $ гипотенуза $ * sinΘ = $ напротив

    Поскольку вас спрашивают о длине лодки до причала, а эта сторона составляет напротив угла 52 °, вы знаете, что вам понадобится либо sin, либо tan (cos использует смежную и гипотенузу, а не противоположную).

    Вам также дается соседней длины , 30 миль, поэтому вы будете использовать tan. (Вы можете сказать, что эта сторона смежная, потому что сторона, противоположная углу 90 °, является гипотенузой, поэтому 30 миль должны быть еще одним катетом треугольника).

    $ tan‌Θ = \ напротив / \ рядом $

    So $ tan‌52 ° = x / 30 $

    30‌ $ тан52 ° = x

    долл. США

    Итак, ответ — франков, длина лодки до причала 30 тангенциальных 52 °.

    И снова проблема со словом из ранее.

    Алекс подпирает лестницу к стене. Лестница составляет 23 ° от земли. Если длина лестницы составляет 10 футов, каково выражение для определения расстояния, на котором основание лестницы находится от стены?

    А.10 ‌ $ загар‌23 ° $

    Б. 10‌ $ sin‌23 ° $

    C. 10 $ cos‌23 ° $

    D. $ cos‌10 / 23 $

    E. $ sin‌10 / 23 $

    Во-первых, нарисуйте свою картинку, чтобы легче было представить себе, о чем вас просят.

    
    Итак, у нас есть расстояние между лестницей и землей в 23 ° $. Также мы работаем с длинами соседней стороны треугольника и гипотенузы. Это означает, что нам понадобится косинус, так как $ cos‌Θ = \ напротив / \ hypoteneuse $

    .

    Итак, $ cos‌23 ° = \ смежный / 10 $ (Почему 10? Длина лестницы 10 футов)

    Это становится 10 $ ‌cos‌23 ° = \ смежный $

    Итак, ответ: C , 10 $ ‌cos‌23 ° $

    Придется ли мне определять угол?

    Короткий ответ: нет, вас не попросят определить точную величину угла в градусах с помощью тригонометрии.2)}

    долл. США

    Когда Sin, Cos и Tan являются положительными или отрицательными?

    В зависимости от того, где расположен треугольник в двумерном пространстве, значения sin, cos и tan будут отрицательными или положительными.

    В двухмерном пространстве четыре квадранта, разделенных по осям x и y.

    • В квадранте I и x, и y положительны.
    • В квадранте II x отрицателен, а y положителен
    • В квадранте III оба значения x и y отрицательны
    • А в квадранте IV x положительный, а y отрицательный

    Как и в случае со значениями x и y, sin, cos и tan могут быть положительными или отрицательными в зависимости от квадранта, в котором находится треугольник / угол.

    • В квадранте I все положительные
    • В квадранте II sin положителен, а cos и tan отрицательны
    • В квадранте II tan положительный, а sin и cos отрицательные
    • В квадранте IV cos положительна, а sin и tan отрицательны

    Хороший способ запомнить это по мнемонической аббревиатуре ASTC — A ll S tudents T ake C hemistry — чтобы увидеть, какая из функций является положительной в зависимости от квадранта.

    Итак, A ll положительны в квадранте I, S in положительны в квадранте II, T an положительны в квадранте III, и C os положительны в квадранте IV

    Если $ tan‌Θ = 3/4 $ и $ 180 ° <Θ <270 ° $, что такое $ sinΘ $?

    A. $ 4/3 $

    Б. $ −4 / 3 $

    C. $ -3 / 4 $

    D. $ 3/5 $

    -3 Э. $ / 5

    Чтобы решить эту проблему, сначала определите длины сторон треугольника, используя теорему Пифагора (или используя свои знания о 3-4-5 треугольниках).2 = 25 9000 долларов США 3

    $ c = 5

    $

    Итак, наша гипотенуза равна 5.

    Мы знаем, что $ sin Θ = \ Against / \ hypotenuse $. Итак, $ sin‌Θ = 3/5 $.

    Но подождите! Мы еще не закончили. Поскольку они сказали нам, что $ Θ $ лежит между $ 180 ° $ и $ 270 ° $, мы знаем, что значение sin для $ Θ $ отрицательно. Согласно ASTC, только тангенс угла $ Θ $ будет положительным между 180 ° $ и 270 ° $.

    Итак, , наш окончательный ответ — евро, $ — 3/5 $

    Вторичные триггерные функции

    В редких случаях на ACT вам будет предложено указать одну из вторичных триггерных функций.Это косеканс, секанс и котангенс. Они будут отвечать максимум на один вопрос за тест.

    Вы могли заметить, что они похожи на основные триггерные функции, которые вы изучили выше. Фактически, эти вторичные функции являются обратными (обратными) sin, cos и тангенсом.

    Чтобы помочь вам запомнить, что есть что, обратите внимание на третью букву каждого слова:

    • Co s ecant = величина, обратная s ine
    • Se c ant = аналог c osine
    • Co t angent = величина, обратная t angent

    Косеканс

    Косеканс — величина, обратная синусу.$ Косеканс Θ = \ гипотенуза / \ напротив $

    Секант

    Секанс — величина, обратная косинусу. $ Секанс Θ = \ гипотенуза / \ смежный $

    Котангенс

    Котангенс — величина, обратная касательной. $ Котангенс Θ = \ смежный / \ противоположный $

    Полезные формулы с Sin, Cos и Tan

    Есть две формулы, которые время от времени будут появляться в ACT. Если вы чувствуете, что не можете больше запоминать тригонометрию, не беспокойтесь о том, чтобы запомнить их — они могут ответить максимум на один вопрос за тест .2 {x}) $, что также равно 1.

    Итак, мы имеем 1 + 1 = 2

    Окончательный ответ: H , 2.

    $$ (sin‌Θ) / (cos‌Θ) = tan‌Θ $$

    Это уравнение имеет логический смысл, если представить его в виде диаграммы. Допустим, у вас есть треугольник, который выглядит так

    $ Sin Θ $ будет 5 $ / 13 $. $ Cos Θ $ будет $ 12/13 $. $ Tan Θ $ будет 5 долларов США / 12%.

    Вы также можете сказать $ tan‌Θ = {sin‌Θ} / {cos‌Θ} = {5/14} / {12/13} = (5/13) (13/12) = 65/156 $ (вы также можете просто отменить обе 13s для упрощения) = 5 $ / 12 $

    Графические триггерные функции

    ACT не будет запрашивать у вас график триггерной функции, но вам нужно распознать, как каждая функция выглядит в виде графика.

    Синус

    Синусоидальный график пересекает начало координат в виде волны. Он всегда возрастает после $ x = 0 $, после пересечения начала координат.

    Это «нечетная» функция, потому что она не симметрична относительно оси y.

    Косинус

    График косинусов также «волнистый», но не пересекает начало координат. Он спускается после $ x = 0 $.

    Это может помочь вам запомнить, что косинус убывает после x = 0, если подумать, что « co — это low »

    Косинус является «четной» функцией, потому что он симметричен относительно оси y.Это означает, что для всех значений $ x $ $ f (x) = f (-x) $.

    Например, на графике выше $ y = 0,7 $ как при $ x = 1 $ , так и при $ x = -1 $

    Иногда все, что вам зададут, — это определить, является ли график четным или нечетным, а также является ли график sin или cos. Вам будет легко понять это, если вы помните основные элементы тригонометрических графиков.

    Хотя вы можете понять этот вопрос из предоставленной информации, это займет гораздо меньше времени, если вы узнаете, что график является косинусным и, следовательно, четным.А на ACT время ограничено и ценно.

    Касательная

    Касательный график выглядит совсем иначе, чем графики sin и cos — вам просто нужно уметь распознавать касательный график, когда вы его видите.

    Периоды и амплитуды

    ACT иногда просит вас найти период или амплитуду синусоидального или косинусного графика.

    Период

    Период графика — это расстояние по оси x, с которого график начинает повторяться.Найдите расстояние по оси x, на котором точка возвращается в исходное положение после завершения полного цикла .

    Период синусоидального графика здесь равен 2π. Он должен идти как вверх, так и вниз, прежде чем окончательно вернуться к $ y = 0 $.

    Период косинусного графика здесь также равен 2π. Он должен сначала спуститься, а затем снова подняться, чтобы вернуться в исходное положение при $ y = 1 $.

    Амплитуда

    Амплитуда графика — это его высота от оси x, расстояние между его наивысшим значением $ y $ и $ x = 0 $.

    Итак, чтобы использовать тот же график, что и выше:

    И синус, и косинус имеют амплитуду 1 (и, опять же, период 2π).

    Рад

    Радианы — это еще один (более точный) способ измерения расстояния по окружности, а не в градусах. Вместо градусов радианы выражаются через π (и доли π).

    Если у вас есть полный круг, это 360 градусов. Это также 2π радиан.

    Почему 2π радиан? Что ж, придумайте формулу длины окружности. С = 2πr. Если ваш радиус равен 1, тогда ваша окружность равна 2π, что совпадает с вашей мерой в радианах.

    Окружность с радиусом 1 и центром в начале координат называется «единичной окружностью». Радианы удобно рассматривать, помещая их на единичный круг.

    Итак, если у вас есть полукруг, это 180 ° или π радиан.

    И так далее. 90 ° — это $ π / 2 $ радиан, 270 ° — $ (3π) / 2 $ радиан.

    Для преобразования градусов в радианы проще всего использовать преобразование между 180 ° и π .

    Преобразовать 45 ° в радианы => $ (45) {π / 180} = π / 4 $ ‌радиан

    Преобразовать $ (3π) / 4 $ радиан в градусы => $ {(3π) / 4} (180 / π) $ = 135 °

    Шаги к решению триггерного вопроса

    Итак, давайте рассмотрим, как разбить триггерный вопрос

    # 1: Определите, требует ли проблема тригонометрии. Вы можете сказать, что проблема потребует триггера, когда:

    • Проблема упоминает sin, cos или tan в вопросе или в вариантах ответа
    • Задача дает вам диаграмму или описывает прямоугольный треугольник, а затем просит вас найти значение, которое нельзя найти, используя только теорему Пифагора.
    • Как мы видели в этой задаче ранее — вы можете использовать теорему Пифагора в задаче тригонометрии, но вы не можете решить тригонометрическую задачу только , используя теорему Пифагора.
    • Проблема показывает вам «волнистый» график по осям x и y
    • Задача запрашивает период или амплитуду графика

    # 2: Помните SOH, CAH, TOA.2 {‌Θ} и др.

    # 4 :. Вспомните, как выглядят графики синуса, косинуса и тангенса.

    И знайте, что:

    Период = горизонтальное расстояние

    Амплитуда = вертикальное расстояние

    # 5: Празднуйте, потому что вы ответили на триггерные вопросы ACT!

    Итоги

    Хотя тригонометрические задачи могут показаться устрашающими, почти каждый вопрос о тригонометрии ACT может быть решен, если вы знаете основные элементы тригонометрии.

    Чтобы извлечь максимальную пользу из подготовки к математике ACT, запомните эти три триггерные концепции: SOH, CAH, TOA, как управлять своими уравнениями и как распознавать графики функций. Если вы запомните их, вы обнаружите, что решаете практически все триггерные вопросы, которые ACT может бросить вам.

    Что дальше?

    Хотите больше математических стратегий и руководств ACT? Прочтите нашу статью по всем математическим темам, протестированным на ACT, чтобы убедиться, что вы их хорошо усвоили. Вы знаете твердотельную геометрию ACT? Обязательно освежите свои знания, если вы ищете каждую последнюю точку.

    Хотите получить высший балл по математике в ACT? Ознакомьтесь с нашей статьей о том, как набрать 36 в разделе ACT Math от 36 ACT-Scorer.

    Чувствуете себя подавленным? Не знаю, с чего начать? Не ищите дальше наших статей о том, что считается хорошей, плохой или отличной оценкой ACT. Не знаете, в какие дни предлагается ACT? Ознакомьтесь с полным списком дат тестирования ACT, чтобы найти подходящие для вашего расписания.

    И если вы обнаружите, что у вас не хватает времени на математический раздел, посмотрите не дальше нашей статьи о том, как перестать не хватать времени на математику ACT.

    Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?

    Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой результат SAT на 160 или более баллов.

    Наша программа полностью интерактивна, и она адаптирует то, что вы изучаете, к вашим сильным и слабым сторонам. Если вам понравилось это руководство по математической стратегии, вам понравится наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно.Мы также дадим вам пошаговую программу, которой нужно следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.

    Воспользуйтесь нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:

    Формула тригонометрии — [Sin, Cos, Tan, Cot, Sec и Cosec]

    Формула тригонометрии : Тригонометрия — это хорошо известное имя в геометрической области математики, которое актуально в этой области с давних времен и также применяется практически во многих случаях.

    На простом языке тригонометрию можно определить как ту ветвь алгебры, которая связана с треугольником. В этом разделе мы в основном изучаем взаимосвязь между углами и длиной стороны данного треугольника. При таком подробном изучении треугольника формируются уравнения нескольких типов, которые впоследствии решаются для упрощения взаимосвязи между длинами сторон и углов такого треугольника.

    Тригонометрия считается одним из старейших компонентов алгебры, существующей примерно с 3 века.Существует практическое использование тригонометрии в нескольких контекстах, таких как астрономия, геодезия, оптика или периодические функции.

    Формулы тригонометрии

    Что ж, будь то алгебра или геометрия, обе эти области математики основаны на научных вычислениях уравнений, и мы должны выучить различные формулы, чтобы их было легко вычислить.

    Как мы знаем, в тригонометрии мы в основном измеряем разные стороны треугольника, из которых формируются несколько уравнений.Далее формулы тригонометрии составляются в соответствии с различными отношениями, используемыми в области, такими как синус, тангенс, косинус и т. Д. Таким образом, в основном есть номера формул, которые обычно используются в тригонометрии для измерения сторон треугольника. .

    Здесь мы упоминаем список различных типов формул тригонометрии.

    1. Основная формула тригонометрии

    2. Sin Cos Tan на 0, 30, 45, 60 градусов

    3.Пифагорейские тождества

    4. Знак греха, Cos, Tan в разных квадрантах

    A dd– S ugar – T o –C оферта

    5. Радианы

    1 градус = 60 минут
    Пример: 1 ° = 60 ′

    1 минута = 60 секунд
    Пример: 1 ′ = 60 дюймов

    6. Отрицательные углы [четно-нечетные отождествления]

    Sin (-x) = — Sin x
    Cos (-x) = Cos x
    Tan (-x) = — Tan x
    Cot (-x) = — Cot x
    Sec (-x) = Sec x
    Cosec (-x) = — Cosec x

    7.Значение Sin, Cos, Tan повторяется после 2𝛑

    Sin (2𝛑 + x) = Sin x
    Cos (2𝛑 + x) = Cos x
    Tan (2𝛑 + x) = Tan x

    8. Идентификация периодичности — Углы смещения на 𝛑 / 2, 𝛑, 3𝛑 / 2

    9. Идентификаторы суммы углов и разностей

    10. Формула двойного угла

    11. Формула тройного угла

    12. Полугловые идентичности

    13. Сумма идентичностей

    14.Идентификационные данные продукта

    15. Закон греха

    Здесь,

    • ABC — вершины треугольника ABC.
    • Место, противоположное углу A — это a. то есть BC
    • Место, противоположное углу B, — это b. т.е. AC
    • Место, противоположное углу C, — это c. т.е. AB

    16. Закон косинуса

    17. Обратная тригонометрическая функция

    Если Sin θ = x

    , затем поместите Sin на правую сторону

    Таким образом, вы можете видеть, что Sin — это угол. То же, что и обратная функция для всех функций Trignomentry, — это угол.

    18. Область и диапазон функций обратной тригонометрии

    19. Формула обратной тригонометрии

    20. Замена обратной тригонометрии

    Как и любой другой раздел математики, формулы тригонометрии не менее важны, поскольку без этих формул вы не можете использовать значения треугольников для целей измерения. Эти формулы упрощают стороны треугольника, так что вы можете легко измерить все его стороны.

    Мы призываем всех ученых понять эти формулы, а затем легко применять их для решения различных типов задач тригонометрии.

    Синус, косинус и тангенс объяснены с помощью примеров

    Сегодня мы собираемся обсудить еще один основной термин математики: синус, косинус и тангенс. Вкратце эти термины также называются sin cos и tan.

    Синус, косинус и касательные — важные термины в тригонометрии, и их определение основано на прямоугольном треугольнике.В основном они определяются в терминах отношения сторон прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник — это тип треугольника, в котором один угол равен 90.

    Перед тем, как начать обсуждение основной темы sin cos и tang, мы должны коснуться основы прямоугольного треугольника.

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это самая длинная сторона, противоположная прямому углу. а перпендикуляр — сторона угла 90.

    Синус, косинус и тангенс

    Итак, согласно рисунку мы можем легко обсудить синус, косинус и тангенс (sin, cos, tan).В любом прямоугольном треугольнике

    Синус θ = Длина перпендикуляра
    Длина гипотенузы

    Cos θ = Длина основания
    длина гипотенузы

    Tan θ = Длина перпендикуляра
    Длина основания

    Простой способ выучить формулы sin cos tan

    Мы обсудим два метода простого изучения формул sin cos и tang. Студентам необходимо запомнить два слова, и они смогут решить все задачи о синус-косинусе и тангенсе.

    Метод 1

    Вы можете легко выучить формулу sin cos и tan, выучив слово SOHCAHTOA. Итак, теперь мы узнаем, как это работает, чтобы запомнить формулу

    Сокращения	Формулы
    SOH	Sin θ = Противоположно / Гипотенуза
    CAH	Cos θ = Соседний / Гипотенуза
    TOA	Желто-коричневый θ = напротив / рядом

    Короче говоря, если мы взяли вышеуказанные сокращения, мы легко запомним формулу синуса, вспомнив SOH.Таким же образом мы можем узнать формулу косинуса, запомнив CAH и формулу касательной с TOA.

    Метод 2

    В приведенном выше методе мы обсуждаем выучить формулы для синусоидального косинуса и тангенса, запоминая одно слово. Точно так же это второй способ легко выучить эти формулы. Согласно прямоугольному треугольнику, если вы выучите эти 3 предложения, вы легко сможете выучить формулы sin cos и tan.

    предложений	Формулы
    У некоторых людей	Sin θ = перпендикуляр / гипотенуза
    Вьющиеся черные волосы	Cos θ = База / Гипотенуза
    Сквозная щетка	Желто-коричневый θ = Перпендикуляр / основание

    Пример: что такое синус cos и тангаж 45 °? Если перпендикуляр 4, база 3 и гипотенуза 6.

    Из рисунка имеем значение θ = 45.

    Гипотенуза = H = 6

    База = B = 3

    Перпендикуляр = P = 4

    Используя формулу синуса

    Sin (θ) = Perp / Hyp

    Sin (45) = 4/6 Sin (45) = 0,666

    По формуле косинуса

    Cos (θ) = База / Hyp

    Cos (45) = 3/6 Sin (45) = 0.5

    По формуле загара

    Желто-коричневый (θ) = Perp / Base

    Тан (45) = 4/3 Тан (45) = 1,33

    Подробнее об идентификаторах триггеров и круге единиц

    .

Четырехугольники — презентация онлайн

1. Из имеющихся четырёхугольников указать те, которые являются параллелограммами

3
2
1
6
4
5

2. Заполнить таблицу, отметив знаки «+» или «-»

Параллелогр
амм
Противоположные
стороны
параллельны и
равны
Все стороны равны
Противолежащие
углы равны, сумма
соседних углов
равна180
Все углы прямые
Диагонали
пересекаются и
точкой
пересечения
делятся пополам
Диагонали равны
Диагонали взаимно
перпендикулярны и
являются
биссектрисами
углов
Прямоугольник
Ромб
Квадрат

3. Ответы

№ Параллелограмм
Прямоугольник
Ромб
Квадрат
1
+
+
+
+
2
—
—
+
+
3
+
+
+
+
4
—
+
—
+
5
+
+
+
+
6
—
+
—
+
7
—
—
+
+

4.

Тест для капитана вариант 11.Любой прямоугольник является:
а)ромбом б) квадратом в)параллелограммом г)нет такого ответа
2.Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот
четырёхугольник-…
а) ромб б)квадрат в) прямоугольник г) нет правильного ответа
3. Ромб- это четырёхугольник, в котором….
а)диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны.
б)диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся
пополам
в)противолежащие углы равны, а стороны параллельны
г) нет правильного ответа

5. Конкурс капитанов вариант 2

1.Любой ромб является :
а) квадратом б) прямоугольником в)параллелограммом г)нет
правильного ответа.
2.Если диагонали перпендикулярны, то это параллелограмм:
а)ромб б) квадрат в)прямоугольник в) нет правильного ответа
.Прямоугольник — это четырёхугольник, в котором :
а) противоположные стороны параллельны, а диагонали равны
б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются
биссектрисами его углов
в)два угла прямые и две стороны равны
г) нет правильного ответа

6.

Устные задачи1.Один из углов параллелограмма 40. Найти углы параллелограмма
2. Сумма двух углов параллелограмма равна 140. Найти углы
параллелограмма.
3.Одна из сторон параллелограмма в 2 раза больше другой, а Р=24см
Найти стороны параллелограмма.
4. Найти площадь треугольника ,если площадь параллелограмма 240 кв.см
Б
Е
С
АВСД параллелограмм
Найти: угол А, угол С
А
32
Д
В
В
В
В
АВСД ТРАПЕЦИЯ
НАЙТИ угол В.,угол Д
С
117
в
Д
36
А
В
С
АВСД прямоугольник
Найти АД
60
10
1
0
А
Д
В
А
6
6
60
С
р
м Д
АВСД ромб Найти МД+ДР
Леонард Эйлер, крупнейший
математик XVIII века, родился
в Швейцарии. В 1727г. по
приглашению Петербургской
академии наук он приехал в
Россию. Эйлер попал в круг
выдающихся математиков,
получил большие возможности
для создания и издания своих
трудов. Он работал с
увлечением и вскоре стал, по
единодушному признанию
современников, первым
математиком мира.
Круги ЭЙЛЕРА —
геометрическая схема,
с помощью которой
можно изобразить
отношения между
подмножествами, для
наглядного
представления
Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил
с помощью этих кругов:
N-множество натуральных чисел,
Z – множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
R – множество вех действительных чисел.

Отношение рода и вида между понятиями

Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В–третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:

1) а – «прямоугольник», b- «ромб»;

Объемы понятий пересекаются, но не одно множество не является подмножеством другого. Следовательно, можно утверждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.

2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;

Объемы данных понятий находятся в отношении включения, но не совпадают – всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот. Следовательно, можно утверждать, что понятие «параллелограмм» — видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» – родовое по отношению к понятию «параллелограмм».

3) а — «прямая», b – «отрезок».

Объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид.

Замечание.Если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого.

Например, отрезок не обладает такими свойствами прямой, как ее бесконечность.

 

3. Определение понятий

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и тогда определение выглядит так: а b

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».

Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Рассмотрим их подробнее.

Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части – определяющему понятию. В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Определение. Видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

 

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы

Определяемое понятие

Родовое понятие

видовое отличие

+

 

 

Определяющее понятие

Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во–первых, слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых, не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обозначения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немного позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и». А пока познакомимся с еще одной возможностью наглядного представления определения через род и видовое отличие. Если определяемое понятие обозначить буквой а, определяющее буквой b, родовое понятие (по отношению к определяемому) – буквой с, а видовое отличие – буквой Р, то определение через род и видовое отличие можно представить так:

а

Почему видовое отличие обозначено заглавной буквой, мы узнаем позже.

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р: А= { х | хÎ С и Р (х)}.

Например, если дано определение: «Острым углом называется угол, который меньше прямого», — то объем понятия «острый угол» – это подмножество множества всех углов плоскости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой – либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем основные.

 

Требования к определению понятий

Определение должно быть соразмерным.

Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

Соразмерны, например, понятия «прямоугольник» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещивающие прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не удовлетворяют совпадающие прямые.

В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.

Это означает, чтонельзя определять понятие через само себя (в определении не должно содержатся определяемого термина) или определять его через другое понятие, которое определяется через него.

Возьмем такие понятия начальной математики, как “умножение” и “произведение”, и дадим им следующие определения:

Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел.

Произведением чисел называется результат их умножения.

Видим, что умножение определяется через понятие произведение, а произведение – через понятие умножения. Определения образовали, как говорят в математике, порочный круг. В результате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.

Порочный круг содержится и в таком определении: «Решением уравнения называется число, которое является его решением». Здесь понятие «решение уравнения» определяется, по сути дела, через решение уравнения.

Определение должно быть ясным.

Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.

К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».

Нетрудно убедится в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно показать, что включенное в определение свойство «в прямоугольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в данном определении прямоугольника второе свойство избыточное. Следовательно, правильнее определять прямоугольник таким образом: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».

Замечание. Чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выделены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простаты изложения это правило нарушают.

Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат – это когда все стороны равны».

К сказанному следует добавить, что, формулируя определение, надо стремиться в определяющем указать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближайшее.Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.

Например, если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».

Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие – прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.

Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого есть прямой угол;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большего числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются, например, два различных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.

Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т. е. сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

Примеров явных родо-видовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.

 

5. Неявные определения

При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используются редко. Связано это как с особенностями курса, так и с возможностями детей. Но понятий в начальном курсе математики очень много – об этом мы говорили в начале лекции. Как же их определяют?

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявныеопределения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее.

В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивныеопределения.

Вконтекстуальныхопределениях содержание нового понятияраскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретнойситуации, описывающей смысл определяемого понятия с другими,известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание. Например, употребляя в работе с детьми такие выражения, как «найти значения выражения», «сравнить значение выражений 5 + а и (а — 3) × 2, если а = 7», «прочитать выражения, которые являются суммами», «прочитать выражения, и потом прочитать уравнения», мы раскрываем понятие «математическое выражение» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий.

Или, примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, приведенного в учебнике математики для 3 класса. Здесь после записи ð + 6= 15 и перечня чисел 0,5,9,10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс):

Х + 6 = 15 – это уравнение.

Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9+6=15.

Объясни, почему числа 0; 5 и 10 не подходят».

Из приведенного текста следует, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения – это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.

Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни — это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного.

Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как «большой — маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т. д.

Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.

Остенсивные определния — это определения путем демонстрации. Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием.

Например, учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите — это квадрат». Это типичное остенсивное определение.

Они используются также для введения терминов путем показа объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:

2 × 7 > 2 × 6 9×3 = 27

78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

37+ 6 > 37 17 — 5 = 8 + 4

В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т. д.) цвет», «левый — правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д.

На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения — и только они — связывают слово с вещами. Без них язык — лишь словесное кружево, которое не имеет объективного, предметного содержания.

Остенсивные определения, как и контекстуальные, характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение посредством показа не выделяет понятие из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Поэтому после контекстуального или остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.

Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение».

Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими.

Примеры генетических определений: «Угол — это лучи, которые выходят с одной точки», «Диагональ прямоугольника — отрезок, который соединяет противоположные вершины прямоугольника». В начальных классах генетические определения применяют для таких понятий, как «отрезок», «ломаная», «прямой угол», «круг».

К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень.

Например, «Натуральный ряд чисел — это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.».

Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин.

Например, единицы времени год, месяц, час, минута.

Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языкомв виде равенства, например, а ×1 = а, а × 0 = 0

В начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий — одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

 

Домашние задания по курсу логики

Здесь вы можете получить задачи по курсу логики, ссылка на страницу с решением приведена ниже.

Решения

1. Привести примеры нарушения законов логики

2. Привести примеры нарушения правил деления объема понятия.

3. Привести примеры нарушения правил определения понятия.

4. Изобразить на кругах Эйлера отношения между понятиями.

4.1. Студент, спортсмен, биатлонист, отец. 4.2. Мужчина, адвокат, юрист, прокурор.

4.3. Квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. 4.4. Деньги, валюта, доллары, банк.

4.5. Университет, вуз, академия, гимназия. 4.6. Пушка, пистолет, оружие, танк.

4.7. Кража, грабеж, разбой, мошенничество. 4.8. Искусство, эстрада, цирк, опера.

5. Обобщить понятие (три шага).

5.1. Учебник. 5.2. Лев. 5.3. Автомобиль. 5.4. Наука. 5.5. Цезарь. 5.6. Река. 5.7. Снег. 5.8. Береза.

6. Ограничить понятие (три шага).

6.1. Существо. 6.2. Искусство. 6.3. Животное. 6.4. Книга. 6.5. Река. 6.6. Поэма.

6.7. Средство связи. 6.8. Волейбол.

7. Дать определение, указав ближайший род и видовое отличие.

7.1. Свобода. 7.2. Преступление. 7.3. Философия. 7.4. Ответственность. 7.5. Долг.

7.6. Радость. 7.7. Любовь. 7.8. Совесть.

8. На основе логического квадрата, полагая исходное суждение сначала истинным, затем – ложным, выведите суждения, соотносимые с исходным, и установите их истинностные значения.

8.1. Коровы не летают. 8.2. Всяк кулик свое болото хвалит. 8.3. Услужливый дурак опаснее врага. 8.4. Насилие – спутник войны. 8.5. Не все сапожники в сапогах.

8.6. Рыбы живут в реках. 8.7. Наука на веру ничего не принимает. 8.8. Не все то золото, что блестит.

9. Осуществите превращение, обращение, противопоставление предикату.

9.1. Некоторые люди злые. 9.2. Доверчивый – беззащитен. 9.3. Утки не поют. 9.4. Дети любят шоколад. 9.5. Чиновники не любят работать. 9.6. Депутаты любят болтать.

9.7. Политики не следуют нормам морали. 9.8. Баскетболисты — люди высокорослые.

10. Приведите примеры умозаключений по схемам (модусам) условно-категорического силлогизма, а также – простой и сложной контрапозиции.

11. Подыщите средний термин и постройте силлогизм. Укажите фигуру и модус.

11.1. Железо – проводник тепла. 11.2. Декабрист — поэт. 11.3. Тигр – жвачное.

11.4. Певец – художник. 11.5. Композитор – ученый. 11.6. Собака – друг. 11.7. Кит – рыба. 11.8. Преступление – наказуемое действие.

12. Восстановите энтимему до полного силлогизма. Укажите фигуру и модус.

12.1 Они не больны, так как у них нет повышенной температуры. 12.2. Курица не птица, поскольку все птицы летают. 12.3. Металлы – химические элементы, так как все химические элементы – вещества. 12.4. Обвиняемый имеет право на защиту, Следовательно, М. имеет право на защиту. 12.5. Эта мысль ложна, ибо она не соответствует действительности. 12.6. Судья вправе задавать вопросы в любой момент допроса свидетеля, но вы не судья. 12.7. Наблюдение широко используется в оперативно- розыскной работе. Наблюдение – метод научного познания. 12.8. Все воспитатели должны быть хорошо воспитаны. Петров не является воспитателем.

Рекомендую посетить и эту страницу:

Аудио словарь латинского языка

И ИХ СТРУКТУРА

Математика И ИХ СТРУКТУРА

просмотров — 1204

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Понятие. Виды понятий

Понятие — ϶ᴛᴏ форма мышления, в которой отражаются общие и существенные признаки предмета.

В языке понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, без которых невозможно ни формирование понятий, ни оперирование ими. К примеру, «треугольник», «дом», «добросовестный человек».

Понятия делятся на основные (неопределяемые) и определяемые (производные).

Основные понятия принимаются без определœения. К примеру, в геометрии основными понятиями являются: точка, прямая, плоскость.

Определяемые (производные) понятия определяются через основные или ранее определœенные. К примеру, луч – часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой.

В понятии отражаются различные признаки предметов.

Признаком предмета принято называть то, в чем предметы сходны друг с другом или чем они друг от друга отличаются. Признаки могут выражаться в свойствах предмета͵ в форме отношения предмета к другим предметам.

Отличительные признаки — ϶ᴛᴏ признаки, которые принадлежат только одному предмету.

Общие признаки принадлежат нескольким предметам.

Признаки бываютсущественные и несущественные.

Существенным признаком какого-либо понятия принято называть такой признак, который принадлежит данному понятию при любых условиях, выражает его коренную сущность, с изменением которого меняется понятие.

К примеру, существенными признаками квадрата являются прямоугольность и равносторонность.

Несущественный признак не раскрывает сущность предмета͵ при изменении которого понятие о предмете не меняется.

Всякое понятие имеет содержание и объем.

Содержанием понятия принято называть совокупность существенных признаков предмета. Содержанием понятия «ромб» является совокупность двух существенных признаков: 1) быть параллелограммом и 2) иметь равные стороны.

Объемом понятия принято называть множество предметов, обладающих данными существенными признаками. К примеру, под объемом понятия «студент» подразумевается множество всœех студентов, которые существуют сейчас, существовали ранее и будут существовать в будущем.

Связь между содержанием и объемом понятия выражается в законе обратного отношения между содержанием и объемом понятия: увеличение содержания понятия ведет к образованию понятия с меньшим объемом, и наоборот. Так, к примеру, если увеличить содержание понятия прямоугольник, добавив свойство равных сторон, то получится понятие с меньшим объемом – квадрат. В случае если же наоборот, убрать свойство прямоугольности в определœении прямоугольника, то получится понятие с большим объемом – параллелограмм.

Способы определœения понятий

При изучении понятий в любой науке им дают определœения. Определить понятие – значит указать способ, с помощью которого можно отделять объекты или отношения, охватываемые данным понятием, от всœех других объектов и отношений.

Для того чтобы определить понятие, нужно указать его место в ряду других понятий данной науки, выявить его связи, зависимости от других понятий. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, определяя понятие, приходится выполнять некоторую логическую операцию, в результате которой формулируется предложение, раскрывающее содержание понятия.

Определœением (дефиницией) принято называть логическая операция, раскрывающая содержание понятия.

Понятие, содержание которого раскрывается в определœении принято называть определяемым; понятие, раскрывающее содержание определяемого понятия, принято называть определяющим.

К примеру, квадрат — ϶ᴛᴏ прямоугольник, у которого всœе стороны равны. Квадрат – определяемое понятие, прямоугольник – определяющее понятие.

Для того, чтобы определœения могли служить построению какой-либо научной теории, они должны удовлетворять определœенным требованиям.

1. Требование соразмерности определœения: объем определяемого понятия должен совпадать с объемом определяющего понятия.

К примеру, в определœении «Биссектрисой угла принято называть луч, который делит угол пополам» объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия (неполно видовое отличие – луч должен выходить из вершины угла).

2. Отсутствие порочного круга: нельзя определить понятие через само себя или определить его через другое понятие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ в свою очередь определяется через него.

К примеру, в определœениях «Кругом принято называть часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружностью принято называть граница круга» понятие круг определяется через окружность, а окружность – через круᴦ.

3. Отсутствие амонимии: каждый термин в качестве определяемого должен встречаться не более одного раза. При нарушении этого условия нарушается однозначность определœения, один и тот же термин будет обозначать различные объекты или отношения.

К примеру, в математической литературе можно встретить следующую амонимию: термин «цифра» понимает как символ для записи числа и как соответствующее однозначное число.

4. Отсутствие лишних свойств: формулировка определœения не должна содержать свойства, которые можно вывести из других свойств, указанных в этом же определœении.

К примеру, в определœении «Прямоугольник — ϶ᴛᴏ четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и всœе углы прямые», условие «противоположные стороны равны» вытекает из свойства «всœе углы прямые».

В случае если определœение удовлетворяет перечисленным требованиям, то его называют корректным.

Рассмотрим виды определœений понятий.

Определœения делятся на явные и неявные.

Явные определœения раскрывают существенные признаки понятия. К неявным определœениям относятся определœения понятия путем непосредственной демонстрации объектов, охватываемых этим понятием, или приведение контекста͵ в котором содержится то или иное понятие.

Неявные определœения используются на начальном этапе обучения математике. К примеру, данные определœения используются при изучении геометрического материала. С помощью непосредственной демонстрации соответствующих моделœей педагог знакомит детей с понятиями «круг», «треугольник», «многоугольник», «прямой угол» и др. Такие неявные определœения называются остенсивными (от лат. показывать).

Отношения «больше», «меньше», «равно» в ДОУ и начальной школе определяются с помощью приведения контекста «равно — значит столько же». Такие неявные определœения называются контекстуальными. Контекстуальное определœение позволяет выяснить содержание определœения незнакомого слова через контекст, не прибегая к словарю для перевода или толковому словарю.

В дальнейшем по мере накопления запаса знаний происходит накопление понятий, развивается язык и способность к обобщению. Все это дает возможность определять неизвестные понятия через известные. Таким образом появляются явные определœения.

В явных определœениях даны определяемое понятие и определяющее, объемы которых равны.

Рассмотрим некоторые способы явных определœений.

1. Определœение понятий через ближайший род и видовое отличие. Этот способ является наиболее распространенным.

К примеру, «Треугольник – многоугольник с тремя сторонами».

Признак, указывающий на тот круг предметов, из числа которых нужно выделить определяемое множество предметов, принято называть родовым признаком или родом (многоугольник).

Признаки, при помощи которых выделяется определяемое множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, принято называть видовым отличием (три стороны).

Определœение через ближайший род и видовое отличие включает в себя два приема:

1. Подведение определяемого понятия под более широкое по объему родовое понятие. Обычно это такое родовое понятие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ содержит большее количество общих признаков с определяемым понятием.

К примеру, Прямоугольник – параллелограмм, у которого всœе углы прямые.

2. Указание видового отличия, ᴛ.ᴇ. признака, отличающего определяемый предмет от других видов, входящих в данный род (признака, присущего только видовому понятию).

2. Генетическое определœение понятий.

Генетические или конструктивные определœения понятий являются частным случаем определœений через род и видовое отличие. В таких определœениях видовое отличие указывает на происхождение предмета или на способ его образования.

К примеру, конус — ϶ᴛᴏ геометрическое тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

3. Аксиоматическое определœение понятий.

В случае если какое-либо понятие вводится с помощью списка аксиом, описывающих свойства этого понятия, то такое определœение принято называть аксиоматическим. Такие определœения чаще всœего используются для описания неопределяемых понятий — прямая, точка, плоскость и др.

Отношения между понятиями

Предметы мира находятся друг с другом во взаимосвязи и взаимообусловленности. По этой причине и понятия, отражающие предметы мира, также находятся в определœенных отношениях.

Далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков, называются несравнимыми (к примеру, «камень» и «нитка»; «романс» и «кирпич»), остальные понятия называются сравнимыми.

Сравнимые понятия делятся по объему на совместимые (объемы этих понятий совпадают полностью или частично) и несовместимые (объемы которых не совпадают ни в одном элементе).

Существует три вида отношений совместимости: равнозначность (тождество), пересечение, подчинœение.

Отношения между понятиями изображаются с помощью кругов Эйлера, где каждый круг обозначает объем понятия (рис. 3).

Равнозначными(или тождественными) называются понятия, которые различаются по своему содержанию, но объемы которых совпадают. Примеры равнозначных понятий: 1) «река Волга» и «самая длинная река в Европе»; 2) «автор рассказа «Человек в футляре» и «автор комедии «Вишневый сад»; 3) «равносторонний прямоугольник», «квадрат» и «прямоугольный ромб». Объемы тождественных понятий изображаются кругами, полностью совпадающими.

Понятия, объемы которых частично совпадают, ᴛ.ᴇ. содержат общие элементы, находятся в отношении пересечения. Примерами их являются следующие пары: «ребенок» и «танцор»; «спортсмен» и «студент». Οʜᴎ изображаются пересекающимися кругами. В закрашенной части двух кругов мыслятся студенты, являющиеся спортсменами, или (что одно и то же) спортсмены, являющиеся студентами, в левой части круга А мыслятся студенты, не являющиеся спортсменами. В правой части круга В мыслятся спортсмены, которые не являются студентами.

Отношение подчинœенияхарактеризуется тем, что объем одного понятия целиком включается (входит) в объем другого понятия, но не исчерпывает его. Это отношение вида и рода; А — подчиняющее понятие («млекопитающее»), В — подчинœенное понятие («кошка»).

Существует три вида отношений несовместимости: соподчинœение, противоположность, противоречие.

Соподчинœение— это отношение между объема­ми двух или нескольких понятий, исключающих друг друга, но принадлежащих некоторому, более общему родовому понятию (к примеру, «ель» и «береза» принадлежат объему понятия «дерево»). Οʜᴎ изображаются отдельными неперекрещивающимися кругами внутри более обширного круга. Это виды одного и того же рода.

Рис. 3. Отношения между понятиями

В отношении противоположностинаходятся такие два понятия, которые являются видами одного и того же рода, и притом одно из них содержит некоторые признаки, а другое — признаки, несовместимые с ними (ᴛ.ᴇ. противоположные признаки). Такие понятия называются противоположными. Объемы двух противоположных понятий составляют в своей сумме лишь часть объема общего для них родового понятия, видами которого они являются и которому соподчинœены. Слова, выражающие противоположные понятия, являются антонимами. Примеры противоположных понятий: «храбрость» — «трусость»; «белая краска» — «черная краска». Объемы последних двух понятий разделœены объемом некоторого третьего понятия, куда, к примеру, входит краска другого цвета (не белая и не черная, а к примеру, зелœеная).

В отношении противоречиянаходятся такие два понятия, которые являются видами одного и того же рода, и при этом одно понятие указывает на некоторые признаки, а другое эти признаки отрицает, исключает, не заменяя их никакими другими признаками. В случае если одно понятие обозначить А (к примеру, «четные числа»), то другое понятие, находящееся с ним в отношении противоречия, следует обозначить не-А (т. е. «нечетные числа»). Круг Эйлера, выражающий объем таких понятий, делится на две части (А и не-А) и между ними не существует третьего понятия. К примеру, бумага может быть либо белой, либо небелой; человек бывает честным или нечестным; животное — млекопитающим или немлекопитающим и т. д. Понятие А является положительным, а понятие не-А — отрицательным. Понятия А и не-А также являются антонимами.

Операции над понятиями

Операции над понятиями – логические действия, вследствие которых создаются новые понятия.

К операциям над понятиями относят: отрицание, сложение, вычитание, умножение, обобщение, ограничение.

Наиболее простой операцией над понятиями является отрицание. Она проводится путем простого прибавления к исходному понятию частицы «не». Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, утвердительное понятие преобразуется в отрицательное. В случае если мы будем еще раз проводить отрицание, то увидим, что отрицание отрицательного понятия дает положительное. Отрицание отрицательного понятия «не-умный» — «не-не-умный» соответствует понятию «умный». Операция сложенияпредставляет собой объединœение объемов двух и более понятий, даже если они и не совпадают между собой. Суммой понятий А и В принято называть такое понятие, объем которого равен объединœению объемов данных понятий, а название его получается путем соединœения союзом «или» названий понятий А и В или указания равнозначного ему понятия. Объединив объемы понятий «девочки» и «мальчики» получаем некоторую область, отражающую признаки того и другого в общем понятии «дети».Операция умножения заключается в отыскании области, которая обладает свойствами как одного, так и другого понятия. Произведением понятий А и В принято называть новое понятие, объем которого равен пересечению объемов понятий А и В. Умножение понятий «мальчик» и «спортсмен» выявляет область мальчиков, являющихся спортсменами, и наоборот.

Обобщение— логическая операция перехода от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом. Другими словами, логическая операция перехода от видового понятия к родовому посредством сокращения содержания исходного понятия.

Пример: В случае если из содержания понятия «Педагогический университет» исключить видовой признак «педагогический», то получим родовое понятие «университет», дальнейшим обобщением будет «высшее учебное заведение». Объемы понятий «Педагогический университет» (А), «Университет» (В), «Высшее учебное заведение» (С) отмечены на кругах Эйлера-Венна.

Ограничение — логическая операция (обратная обобщению) перехода от понятия с большим объемом к понятию с меньшимобъемом. Другими словами это есть переход от родовых понятий к видовым путем прибавления к содержанию родового понятия видообразующего признака. Пример: В случае если в вышеприведенном примере взять за исходное понятие «Высшее учебное заведение», то понятие «Университет» можно рассматривать как его ограничение, а понятие «Педагогический университет» будет ограничением последнего. Из данного примера видно, что при выполнении операции обобщения понятий полученное новое понятие имеет меньшее число существенных признаков и больший объем по сравнению с данным. А при выполнении ограничения понятий полученное новое понятие имеет большее число существенных признаков и меньший объем по сравнению с данным. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, операции обобщения и ограничения можно осуществлять посредством модификации содержания понятия, опираясь при этом на закон обратного отношения между содержаниями и объемами понятий: чтобы обобщить понятие, крайне важно перейти к менее информативному, а чтобы ограничить — к более информативному понятию.

Задания для самостоятельной работы

1. Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия: 1) часть речи; 2) геометрическая фигура; 3) мебель; 4) дерево; 5) цветок.

2. Назовите несколько свойств, входящих в содержание понятия: 1) трапеция; 2) существительное; 3) студент; 4) стол; 5) хвойное дерево.

3. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: а) многоугольник и треугольник; б) угол и острый угол; в) луч и прямая; г) ромб и квадрат; д) круг и окружность?

4. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий а, b и с, если:

а) а — «четырехугольник»,

b — «трапеция»,

с — «прямоугольник»;

б) а — «натуральное число, кратное 3»;

b — «натуральное число, кратное 4»;

с — «натуральное число»

в) а — «треугольник»;

b — «равнобедренный треугольник»;

с — «равносторонний треугольник».

5. В каких отношениях находятся понятия: 1) трапеция и треугольник; 2) глагол и часть речи; 3) луч и прямая; 4) стол и тарелка; 5) однозначные числа и нечетные числа.

6. Приведите примеры понятий, отношения между которыми бывают изображены с помощью кругов Эйлера, приведенных на рисунках.

7. Равносильны ли понятия «правильный четырехугольник» и «ромб», «равноугольный четырехугольник» и «квадрат»?

8. В следующих определœениях выделите определяемое и определяющее понятия, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:

а) Параллелограммом принято называть четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

б) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника принято называть его средней линией.

9. Для каждого из следующих понятий укажите родовое понятие: 1) лиственное дерево; 2) биссектриса угла; 3) квадрат; 4) глагол.

10. Для каждого из следующих понятий укажите видовое понятие: 1) животное; 2) многоугольник; 3) часть речи; 4) параллелограмм.

11. Дайте определœение понятий: а) параллелограмм; б) ромб; в) многоугольник; г) треугольник; д) равносторонний треугольник. Выделите в каждом определœении родовое понятие и видовое отличие. Определите, в каком отношении находятся содержания понятий «треугольник» и «равносторонний треугольник». Определите, в каком отношении находятся объемы понятий «многоугольник» и «треугольник».

12. Укажите ошибки в следующих определœениях: 1) прямоугольник — ϶ᴛᴏ когда всœе углы прямые; 2) отрезок – прямая, ограниченная с двух сторон; 3) параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны; 4) простое число — ϶ᴛᴏ когда оно имеет только два натуральных делителя.

Читайте также

— Вопрос 1. Виды планов и их структура, порядок составления и выполнения.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Подполковник Б.Каиров Начальник цикла ВСПР «___ » _____________201 г.по МЕТОДИКЕ ВОСПИТАТЕЛЬНОЙ И СОЦИАЛЬНО-ПРАВОВОЙ РАБОТЫдля студентов, обучающихся по специальности «Организация воспитательной и социально-правовой работы в мотострелковых. .. [читать подробенее]

— Общая характеристика источников древнерусского права. Основные редакции Русской Правды и их структура.

Источники права: 1. Правовой обычай. 2. Нормативно-правовые акты. 3. Судебная практика. Отношение государства к обычаям племенного строя было различным: 1. Некоторые обычаи казались государству вредными и опасными, и оно старалось их ликвидировать. 2. Часть обычаев… [читать подробенее]

— Виды обеспечений АСОИУ и их структура

Качество и эффективность функционирования АСОИУ во многом определяются тем, насколько система обеспечена необходимыми средствами для реализации возложенных на АСОИУ задач управления. Эти средства называют видами (компонентами) обеспечения АСОИУ. Различают следующие… [читать подробенее]

— Общая характеристика функциональных состояний и их структура

Тема 8. Психофизиологические функциональные состояния Понятие «функциональное состояние» возникло в физиологии для характеристики мобилизационных возможностей и энергетических затрат работающего организма. К функциональным состояниям можно отнести целый ряд… [читать подробенее]

— НАЗНАЧЕНИЕ ПАКЕТОВ И ИХ СТРУКТУРА

Информация в локальных сетях, как правило, передается отдельными порциями, кусками, называемыми в различных источниках пакетами, кадрами или блоками. Использование пакетов связано с тем, что в сети, как правило, одновременно может происходить несколько сеансов связи (во… [читать подробенее]

— Система архивов FTP и их структура.

Информационная система Gopher. Информационная система Gopher была разработана для реализации распределенной базы документов, которые хранятся на машинах сети и предоставляются пользователю в виде единой иерархической файловой системы. Модель файловой системы… [читать подробенее]

— Орнамент. Виды орнамента и их структура. Цвет в орнаменте.

Орнамент (лат.) — украшение, узор, построенный на ритмическом чередовании и организованном расположении элементов. Ритм в природе – повторяющиеся действия или явления (дыхание, пульс, ходьба; в природе – смена дня и ночи, времен года, приливы и отливы и т. д.). Ритм в… [читать подробенее]

— Хранение данных. Файлы и их структура

При хранении данных решается два вопроса: как сохранить данные в наиболее компактном виде и как обеспечить к ним наиболее удобный и быстрый доступ. Для обеспечения доступа необходимо, чтобы данные имели упорядоченность. Возникает дополнительная составляющая данных – её… [читать подробенее]

— И ИХ СТРУКТУРА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ Понятие. Виды понятий Понятие – это форма мышления, в которой отражаются общие и существенные признаки предмета. В языке понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, без которых невозможно ни формирование понятий, ни… [читать подробенее]

— И ИХ СТРУКТУРА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ Понятие. Виды понятий Понятие – это форма мышления, в которой отражаются общие и существенные признаки предмета. В языке понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, без которых невозможно ни формирование понятий, ни. .. [читать подробенее]

Open Library — открытая библиотека учебной информации. Методика изучения математических понятий Что является чем математические понятия

Лекция №2

по математике

Тема: «Математические понятия»

Математические понятия

Определение понятий

Требования к определению понятий

Некоторые виды определений

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математику, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Как же изучить такое обилие самых разных понятий?

Прежде всего, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Составить понятие об объекте — это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функций, т.е. абстракцией от абстракций.

Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.

2. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата ABCD свойство «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона AD окажется расположенной по-другому (рис. 26).

Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Вообще объем понятия — это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия — это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т. д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с,…, z.

Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если А В (А ≠ В), то говорят, что понятиеа — видовое по отношению к понятию b , а понятие b — родовое по отношению к понятию а .

Например, если а — «прямоугольник», b — «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А В и А ≠ В), поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» — видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» — родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник», так как их объемы совпадают.

Если множества А и В не связаны отношением включения, то говорят, что понятия а и b не находятся в отношении рода и вида и не тождественны. Например, не связаны такими отношениями понятия «треугольник» и «прямоугольник».

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» — родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия — множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и Ь, если:

1) а — «прямоугольник», b — «ромб»;

2) а — «многоугольник», b — «параллелограмм»;

3) а — «прямая», b — «отрезок».

В случае 1) объемы понятий пересекаются, но не одно множество не является подмножеством другого (рис. 27).

Следовательно, можно утверждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.

В случае 2) объемы данных понятии находятся в отношении включения, но не совпадают — всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот (рис. 28). Следовательно, можно утверждать, что понятие «параллелограмм» — видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» — родовое по отношению к понятию «параллелограмм».

В случае 3) объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком (рис. 29).

Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок- часть прямой, а не ее вид. И если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого. Например, отрезок не обладает таким свойством прямой, как ее бесконечность.

Курс математики 5-6 классов представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.

Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале.

В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 5-6 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане – учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.

Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла.

Достаточно новой в курсе 5-6 классов является содержательная линия «Анализ данных », которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене – формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления и анализа информации, обучение решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий.

Однако данная линия присутствует не во всех современных школьных учебниках для 5-6 классов. Особо подробно и ярко представлена данная линия в учебниках .

Алгебраический материал, включённый в курс математики 5-6 классов, является основой для систематического изучения алгебры в старших классах. Можно отметить следующие особенности изучения этого алгебраического материала:

1. Изучение алгебраического материала основано на научной основе с учётом возрастных особенностей и возможностей учащихся.

2. Формирование алгебраических понятий и выработка соответствующих умений и навыков составляют единый процесс, построенный на детально разработанной системе упражнений.

3. Система упражнений служит надёжным средством для овладения современным математическим языком, так как этот язык широко применяется при формулировке различных заданий. Например, «Докажите, что данное неравенство верно: 29 2

4. Совершенствование вычислительных навыков органически связано с изучением алгебраического материала.

В 5-6 классах делается акцент на развитие вычислительной культуры, в частности, на обучение эвристическим приёмам прикидки и оценки результатов действий, проверки их на правдоподобие. Повышено внимание к арифметическим приёмам решения текстовых задач как средству обучения способам рассуждения, выбору стратегии решения, анализу ситуации, сопоставлению данных и, в конечном итоге, развитию мышления учащихся.

Изучаемые в это время тождественные преобразования алгебраических выражений с переменными широко применяются для функциональной пропедевтики. Значительное место в курсе математики средней школы отводится материалу функционального характера. Определение функции вводится в 7 классе, а функциональная пропедевтика начинается с 5 класса, где рассматривается понятие переменной, выражения с переменой, формулы, задающей зависимости между некоторыми величинами.

Использование буквенных обозначений позволяет ставить вопрос о построении формул. Связи между величинами задаются также табличным и графическим способами, и дети тренируются в переходе от одной формы задания зависимости к другой. Систематическая работа с конкретными зависимостями обеспечивает готовность детей к изучению функций в старших классах.

Методы . Курс математики 5-6 классов построен индуктивно. Содержание учебного материала заставляет использовать методы, способствующие формированию как продуктивной, так и репродуктивной деятельности.

В 5-6 классах наиболее часто применимы следующие методы обучения:

· Объяснительно-иллюстративный. Целый ряд понятий математики 5-6 классов может быть введён данным методом. С помощью его может быть изучен материал, который служит логическим продолжением и расширением основного материала. Этим же методом можно изучать конкретные алгоритмы. Также изучаются объяснительно-иллюстративным методом сведения, которыми можно воспользоваться как готовыми (сформированными в начальной школе) знаниями, но получающими новое применение. Цель изучения материала объяснительно-иллюстративным методом – довести знание правил, законов, алгоритмов и т.п. до уровня навыка.

· Частично-поисковый и проблемный методы. Основные понятия курса должны быть изучены методами, которые бы обеспечивали творческий (продуктивный) характер деятельности учащихся. К числу таких методов, вполне применимых в 5-6 классах, можно отнести частично-поисковый. Этим методом могут быть изучены понятия: переменная, верное и неверное неравенство и т.п.

Урок . Особенности предмета математики 5-6 классов (почти на каждом уроке необходимо изучать новые факты по предмету), требование программы, темп изучения материала привели к тому, что наиболее распространенный тип урока в этих классах – комбинированный.

Перечислим ещё некоторые особенности обучения математики в 5-6 классах:

· На первых порах изучения математики в 5 классе учащиеся повторяют известные им из 1-4 классов понятия, но повторение это ведётся на новом уровне, с привлечением математической терминологии и символики. Делается это для того, чтобы заложить основы математического языка, основы математической культуры.

· В курсе 5-6 классов часто прибегают при изложении арифметики и начал алгебры к геометрическим определениям с помощью координатной прямой или луча, что позволяет сделать обучение более наглядным, а значит, более доступным и понятным для учащихся. Подобным образом, например, изучается сравнение обыкновенных и десятичных дробей.

· Одной из особенностей данного курса является линейно-концентрическое изложение материала, в соответствии с которым учащиеся неоднократно возвращаются ко всем принципиальным вопросам, поднимаясь в каждом следующем проходе на новый уровень.

Пример, при изучении темы «Десятичные дроби и проценты» происходит переход от множества целых неотрицательных чисел к множеству рациональных неотрицательных; при этом обучение строится с опорой на известные учащимся алгоритмы действий с натуральными числами, постоянно используются знания и умения, полученные раннее.

· Первая трудность, с которой встречаются пятиклассники, — работа с объяснительным текстом учебника. Причина этого – недостаточная техника чтения у некоторых детей, малый словарный запас, а также и то, что в учебниках начальной школы такие объёмные тексты не встречались.

На протяжении всего времени обучения в 5-х и 6-х классах учителю математики необходимо систематически развивать у детей умение читать, понимать текст, работать с ним. Эта работа служит необходимой базой для успешного изучения систематических курсов алгебры и геометрии в следующих классах.

· Изучение математики требует активных умственных усилий. Очень трудно поддерживать произвольное внимание учащихся на протяжении всего урока. Напряжённая мыслительная деятельность, большое количество однотипных и в общем-то рутинных вычислений или алгебраических преобразований быстро утомляет школьников. Существует универсальный способ поддерживания рабочего тонуса учащихся: переключение с одного вида учебной деятельности на другой. Но можно воспользоваться и советом Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Данный совет особенно актуален при обучении математике в 5-6 классах. Впрочем, это тоже одна из разновидностей переключения.

Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.

Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними».

Среди умений, которым учит математика и которым всем вам нужно учиться, большое значение имеет умение классифицировать понятия.

Дело в том, что математика, как и многие другие науки, изучает не единичные предметы или явления, а массовые . Так, когда вы изучаете треугольники, то изучаете свойства любых треугольников, а их бесконечное множество. Вообще объем любого математического понятия, как правило, бесконечен.

Для того чтобы различать объекты математических понятий, изучить их свойства, обычно эти понятия делят на виды, классы. Ведь, кроме общих свойств, любое математическое понятие обладает еще многими важными свойствами, присущими не всем объектам этого понятия, а лишь объектам некоторого вида. Так, прямоугольные треугольники, кроме общих свойств любых треугольников, обладают многими свойствами, весьма важными для практики, например теоремой Пифагора, соотношениями между углами и сторонами и т. д.

В процессе многовекового изучения математических понятий, в процессе их многочисленных применений в жизни, в других науках из их объема были выделены какие-то особые виды, имеющие наиболее интересные свойства, которые чаще всего встречаются и применяются в практике. Так, различных четырехугольников существует бесконечно много, но в практике, в технике наибольшее применение имеют лишь определенные их виды: квадраты, прямоугольники, параллелограммы, ромбы, трапеции.

Деление объема некоторого понятия на части и есть классификация этого понятия. Более точно под классификацией понимают распределение объектов какого-либо понятия на взаимосвязанные классы (виды, типы) по наиболее существенным признакам (свойствам). Признак (свойство), по которому про-изводится классификация (деление) понятия на виды (классы), называется основанием классификации.

Правильно построенная классификация понятия отражает наиболее существенные свойства и связи между объектами понятия, помогает лучше ориентироваться в множестве этих объектов, дает возможность устанавливать такие свойства этих объектов, которые наиболее важны для применения этого понятия в других науках и житейской практике.

Классификация понятия производится по одному или нескольким наиболее существенным основаниям.

Так, треугольники можно классифицировать по величине углов. Получаем такие виды: остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол прямой, остальные острые), тупо-угольные (один угол тупой, остальные острые). Если же за основание деления треугольников принять соотношения между сторонами, то получаем такие виды: разносторонние, равнобедренные и правильные (равносторонние).

Сложнее, когда приходится классифицировать понятие по нескольким основаниям. Так, если выпуклые четырехугольники классифицировать по параллельности сторон, то по существу нам нужно разделить все выпуклые четырехугольники одновременно по двум признакам: 1) одна пара противоположных сторон параллельна или нет; 2) вторая пара противоположных сторон параллельна или нет. Получаем в результате три вида выпуклых четырехугольников: 1) четырехугольники с не параллельными сторонами; 2) четырехугольники с одной парой параллельных сторон — трапеции; 3) четырехугольники с двумя парами параллельных сторон — параллелограммы.

Весьма часто производят классификацию понятия поэтапно: сначала по одному основанию, затем некоторые виды делят на подвиды по другому основанию и т. д. Примером может служить классификация четырехугольников. На первом этапе их делят по признаку выпуклости. Затем выпуклые четырехугольники делят по признаку параллельности противоположных, сторон. В свою очередь параллелограммы делят по признаку наличия прямых углов и т. д.

При проведении классификации необходимо соблюдать определенные правила. Укажем главные из них.

1. В качестве основания классификации можно брать лишь общий признак всех объектов данного понятия. Так, например, нельзя в качестве основания классификации алгебраических выражений брать признак расположения членов по степеням какой-то переменной. Этот признак не является общим для всех алгебраических выражений, например для дробных выражений или одночленов он не имеет смысла. Этим признаком обладают лишь многочлены, поэтому многочлены можно классифицировать по наивысшей степени главной переменной.
2. Основанием для классификации надо брать существенные свойства (признаки) понятий. Рассмотрим опять понятие алгебраического выражения. Одним из свойств этого понятия является то, что переменные, входящие в алгебраическое выражение, обозначаются какими-то буквами. Это свойство является общим, но не является существенным, ибо от того, какой буквой обозначена та или иная переменная, характер выражения не зависит. Так, алгебраические выражения х+у и а+b — это по сути дела одно и то же выражение. Поэтому классифицировать выражения по признаку обозначения переменных буквами не следует. Другое дело, если за основание классификации алгебраических выражений взять признак вида действий, с помощью которых переменные соединены, т. е. действия, которые совершаются над переменными. Этот общий признак весьма существенный, и классификация по этому признаку будет правильной и полезной.
3. На каждом этапе классификации можно применять лишь одно какое-то основание. Нельзя одновременно классифицировать понятие по двум различным признакам. Например, нельзя классифицировать треугольники сразу и по величине и по соотношению между сторонами, ибо в результате мы получим классы треугольников, которые имеют общие элементы (например, остроугольные и равнобедренные или тупоугольные и равнобедренные и т. д.). Здесь нарушено следующее требование к классификации: в результате классификации на каждом этапе получаемые классы (виды) не должны пересекаться.
4. В то же время классификация по какому-либо основанию должна быть исчерпывающей и каждый объект понятия должен попасть в результате классификации в один и только один класс.

Поэтому разделение всех целых чисел на положительные и отрицательные неверно, ибо целое число нуль при этом не попало ни в один из классов. Надо говорить так: целые числа делятся на три класса — положительные, отрицательные и число нуль.

Часто при классификации понятий явно выделяются лишь некоторые классы, а остальные только подразумеваются. Так, например, при изучении алгебраических выражений обычно выделяют лишь такие их виды: одночлены, многочлены, дробные выражения, иррациональные. Но эти виды не исчерпывают всех видов алгебраических выражений, поэтому такая классификация является неполной.

Полная правильная классификация алгебраических выражений может быть произведена следующим образом.

На первой ступени классификации алгебраических выражений они делятся на два класса: рациональные и нерациональные. На второй ступени рациональные выражения делятся на целые и дробные. На третьей ступени целые выражения делятся на одночлены, многочлены и сложные целые выражения.

Эту классификацию можно представить в виде следующей

Задание 7

7.1. Почему нельзя классифицировать рациональные числа по их четности?

7.2. Установите, правильно ли произведено деление понятия:

а) Величины могут быть равными и неравными.

б) Функции бывают возрастающие и убывающие.

в) Равнобедренные треугольники могут быть остроугольными, прямоугольными и тупоугольными.

г) Прямоугольники бывают квадраты и ромбы.

7.3. Произведите деление понятия «геометрическая фигура» по свойству занимать часть плоскости и приведите примеры каждого вида.

7.4. Постройте возможные схемы классификации рациональных чисел.

7.5. Постройте схему классификации следующих понятий:

а) четырехугольник;

б) два угла.

7.6. Проведите классификацию следующих понятий:

а) треугольник и окружность;

б) углы в окружности;

в) две окружности;

г) прямая и окружность;

д) квадратные уравнения;

е) система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Лекция 5. Математические понятия

1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

2. Определение понятий. Определяемые и неопределяемые понятия.

3. Способы определения понятий.

4. Основные выводы

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнения и др. Третью группу составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Чтобы изучать все разнообразие понятий, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли , отражающую объекты (предметы и явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово (термин) или группа слов.

Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира , математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функции, т.е. абстракцией от абстракций.

1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные . Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать . Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата АВСD свойство «сторона АВ горизонтальна».

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Вообще, объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот . Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z.

Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если А ⊂ В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

Например, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А ⊂ В и А ≠ В), поэтому всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» — видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» — родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия А и В тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равнобедренный треугольник», так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями.

1. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» — родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

2. Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди указанных можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

3. В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:

1) а – «прямоугольник», b – «ромб»;

2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;

3) а – «прямая», b – «отрезок».

Отношения между множествами отображены на рисунке соответственно

2. Определение понятий . Определяемые и неопределяемые понятия.

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом ⇔, и тогда определение выглядит так:

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b.

Определения, имеющие такую структуру, называются явными . Рассмотрим их подробнее.

Обратимся ко второй части определения «прямоугольник».

В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник».

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Вообще видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы:

Знак «+» используется как замена частица «и».

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:

А = {х/ х ∈ С и Р(х)}.

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем их.

1. Определение должно быть соразмерным . Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга . Это означает, что нельзя определять понятие через само себя.

3. Определение должно быть ясным . Требуется, например, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному . Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И тогда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое понятие (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

дипломная работа

Понятие — форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.

Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).

Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание — множество существенных признаков понятия. Объём — множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём — это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.

o должно проводится по одному признаку;

o классы должны быть не пересекающимися;

o объединение всех классов должно давать всё множество;

o классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).

Выделяют следующие виды классификации:

1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.

Пример. Понятие «треугольник».

2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.

Выделим цели обучения классификации:

1) развитие логического мышления;

2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии.

Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку.

Воспитание у дошкольника чувства гражданственности

Впервые слово «патриот» появилось в период Французской революции 1789 — 1793гг. Патриотами тогда себя называли себя борцы за народное дело, защитники республики в противовес изменникам, предателям родины из лагеря монархистов…

Деление понятий

Чтобы осмысленно оперировать понятиями, правильно их использовать в решении теоретических и практических задач необходимо уметь выявлять две основные логические характеристики: объем и содержание понятия…

Деление понятий

Классификация — распределение предметов по группам (классам), при котором каждый класс имеет свое постоянное место. Классификация является разновидностью деления понятия…

Исследование эффективности использования домашних заданий в процессе физического воспитания

Под самостоятельной деятельностью понимается совокупность действий, объединенных общей целью и выполняющих определенную общественную функцию (В.Н. Шаулин, 1986). В нашем случае, мы имеем дело с физкультурной деятельностью, то есть деятельностью…

Межпредметные связи в обучении

Межпредметные связи могут помочь школьникам понять окружающий мир, его свойства, основные явления и процессы, происходящие в нем и те закономерности, которым они подчиняются. Таким образом…

Методы и приемы обучения иностранному языку на старшем этапе

В последнее время очень актуальным становится обращение отечественных и зарубежных исследователей, таких как А.А. Щукин, И.П. Подласый, М.А. Данилов, И.П. Пидкасистый, И.Я. Лернер и др…

Организация проектной деятельности учащихся по средствам телекоммуникаций

Впервые употребил слово «проект» в 1908 году заведующий отделом воспитания сельхозшкол Д. Снезден в сельскохозяйственном обучении. С помощью проектов предлагалось связать работу школ с потребностями сельскохозяйственного производства…

Особенности логопедической работы по преодолению аграмматической дисграфии у учащихся общеобразовательной школы

Впервые на нарушения чтения и письма как на самостоятельную патологию речевой деятельности указал А. Куссмауль в 1877 г. Затем появилось много работ, в которых давались описания детей с различными нарушениями чтения и письма…

Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах

Определить объект — выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточными для отличия этого объекта от других. Результат этого действия фиксируется в определении…

В современных педагогических исследованиях, связанных с проблемами совершенствования функционирования педагогических систем, повышения эффективности образовательного процесса, одним из аспектов, вызывающих наибольший интерес…

Психолого-педагогические аспекты решения проблем межличностных отношений подростков

Каждый возраст хорош по-своему. И в то же время, каждый возраст имеет свои особенности и сложности. Не является исключением и подростковый возраст. Подростковый возраст — определенный отрезок жизни между детством и зрелостью…

Работа с одаренными детьми

28. Треугольник — пятиугольник геометрические фигуры Пары понятий можно произносить вслух, а можно предъявлять в виде карточек или напечатанными на отдельном листе. Отвечать дети могут устно или письменно. Задание 4…

Современные проблемы воспитания детей в семье и пути их решения

В Малом энциклопедическом словаре понятие семьи трактуется как «основанная на браке или кровном родстве малая группа, члены которой связаны общностью быта, взаимной помощью, моральной и правовой ответственностью» . М.И.Демков отмечает…

Формирование познавательных универсальных учебных действий на основе индивидуализации и дифференциации обучения химии в основной общеобразовательной школе

Как и любой социальный институт, общеобразовательная школа подвержена перманентной модернизации. В настоящий момент общественно-политический запрос к общеобразовательной школе заключается в таком построении процесса обучения…

Экспериментальное исследование чувства гражданственности у детей дошкольного возраста

Педагогу, начинающему заниматься проблемой формирования гражданской компетентности, прежде всего необходимо знание терминологии, ключевых понятий гражданского и патриотического образования…

Квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм

Четырехугольник просто означает «четыре стороны»
( четырехугольник, означает четыре, боковой, означает сторону).

Четырехугольник имеет четырех сторон, , 2-мерный (плоская форма), закрытый (линии соединяются) и имеет прямых сторон.

Попробуйте сами

(также см. Интерактивные четырехугольники)

Недвижимость

В четырехугольнике:

• четыре стороны (края)
• четыре вершины (углы)
• внутренние углы, которые добавляют к 360 градусов :

Попробуйте нарисовать четырехугольник и измерить углы.Они должны добавить к 360 °

Виды четырехугольников

Есть специальные виды четырехугольника:

Некоторые типы также включены в определение других типов! Например, квадрат , ромб и прямоугольник также являются параллелограммами . Подробности смотрите ниже.

Давайте рассмотрим каждый вид по очереди:

Прямоугольник

маленькие квадратики в каждом углу означают «прямой угол»

Прямоугольник — это четырехсторонняя форма, каждый угол которой является прямым (90 °).

Также противоположных сторон параллельны и равной длины.

Площадь

маленькие квадратики в каждом углу означают «прямой угол»

У квадрата равные стороны (отмечены буквой «s»), и каждый угол представляет собой прямой угол (90 °)

Также противоположные стороны параллельны.

Квадрат также соответствует определению прямоугольника (все углы равны 90 °) и ромба (все стороны равной длины).

Ромб

Ромб — это четырехгранная форма, все стороны которой имеют одинаковую длину (обозначены буквой «s»).

Также противоположные стороны параллельны и противоположных углов равны.

Еще один интересный момент — диагонали (пунктирные линии) пересекаются посередине под прямым углом. Другими словами, они «рассекают» друг друга пополам под прямым углом.

Ромб иногда называют ромбом или ромбом .

Параллелограмм

У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также противоположные углы равны (углы «А» такие же, а углы «В» одинаковы).

ПРИМЕЧАНИЕ. Квадраты, прямоугольники и ромбы — это все Параллелограммы!

Пример:

Параллелограмм с:

• все стороны равны и
• угол «А» и «B» как прямые углы

— это квадрат !

Трапеция (UK: Trapezium)

Трапеция		Равнобедренная трапеция

Трапеция (в Великобритании называется трапецией) имеет пару параллельных противоположных сторон.

И трапеция (в Великобритании называется трапецией) — четырехугольник без параллельных сторон:

	Трапеция	Трапеция
В США:	Пара параллельных сторон	НЕТ параллельных сторон
В Великобритании:	НЕТ параллельных сторон	Пара параллельных сторон
(определения для США и Великобритании поменяны местами!)

Равнобедренная трапеция , как показано выше, имеет левую и правую стороны равной длины, которые соединяются с основанием под равными углами.

Воздушный змей

Эй, это похоже на воздушного змея (обычно).

Имеет две пары сторон:

Каждая пара состоит из двух соединяющихся сторон равной длины.

Также:

• углы, где встречаются две пары равны.
• диагонали, показанные выше пунктирными линиями, пересекаются в под прямым углом.
• одна из диагоналей делит пополам (делит пополам) другую.

… вот и все специальные четырехугольники.

Неправильный четырехугольник

Единственный правильный четырехугольник (все стороны равны и все углы равны) — это квадрат. Итак, все остальные четырехугольники неправильные .

Схема «Генеалогическое древо»

Определения четырехугольника: , включая .

Пример: квадрат также является прямоугольником.

Итак, мы включаем квадрат в определение прямоугольника.

(Мы, , не говорим : «Наличие всех углов 90 ° делает его прямоугольником, кроме случаев, когда все стороны равны, тогда это квадрат».)

Это может показаться странным, поскольку в повседневной жизни мы думаем о квадрате как о , а не о как о прямоугольнике … но в математике это .

Используя приведенную ниже таблицу, мы можем ответить на такие вопросы, как:

• Квадрат — это тип прямоугольника? (Да)
• Прямоугольник — это разновидность воздушного змея? (Нет)

Сложные четырехугольники

О да! когда две стороны пересекаются, мы называем это «сложным» или «самопересекающимся» четырехугольником, например:

У них все еще есть 4 стороны, но две стороны пересекаются.

Многоугольник

Четырехугольник — это многоугольник. Фактически, это четырехсторонний многоугольник, точно так же, как треугольник — это трехсторонний многоугольник, пятиугольник — пятисторонний многоугольник и так далее.

Играйте с ними

Теперь, когда вы знаете различные типы, вы можете поиграть с интерактивными четырехугольниками.

Другие названия

Четырехугольник иногда называют:

• a Quadrangle (« четыре угла »), поэтому звучит как «треугольник»
• a Tetragon (« четыре многоугольника »), поэтому это звучит как «пятиугольник», «шестиугольник» и т. Д.

621 622 623 624 763 764, 2128, 2129, 3230, 3231

Какие бывают четырехугольники?

Четырехугольники — многоугольники. Они являются частью плоскости, заключенной с четырех сторон (четверка означает четыре, а боковая означает сторону). У всех четырехугольников ровно четыре стороны и четыре угла. Их можно разделить на определенные группы в зависимости от длины их сторон или меры их углов.

Четырехугольники включают квадрат, прямоугольник, трапецию, ромб, параллелограмм и воздушный змей (также называемый тангенциальным четырехугольником).{\ circ} $.

Диагонали — это линии, соединяющие противоположные углы.

Деление четырехугольников по диагоналям перпендикулярности и параллельности сторон:

Чешуйчатый четырехугольник

Первая группа четырехугольников — это разносторонний четырехугольник . Четырехугольник Scalene — это четырехугольник, не имеющий особых свойств. Стороны и углы имеют разную длину и размер.

Трапеции

Четырехугольники с одной парой параллельных сторон называются трапециями .Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — ножками .

Равнобедренная трапеция

Трапеции одинаковой длины называются равнобедренными трапециями .

Диагонали равнобедренной трапеции совпадают.

Высота или Высота трапеции — это длина линии, перпендикулярной основанию и проходящей через противоположную вершину.{\ circ} $.

Другими словами, углы на одной стороне ножки трапеции являются дополнительными.

Доказательство.

Разложите отрезок $ \ overline {AD} $ по вершинам $ A $ и $ D $. На прямой $ AD $ обозначим точку $ E $. Поскольку прямая $ AD $ является поперечником параллельных прямых $ AB $ и $ CD $, то $ \ angle {CDE} = \ alpha $ допустимо. {\ circ} $.{\ circ} $.

Параллелограмм

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны.

Высота или Высота параллелограмма в метке $ h $ — это отрезок прямой, соединяющий вершину с противоположной стороной и перпендикулярный этой стороне.

Помимо того, что параллелограммы являются четырехугольниками, существуют определенные формы, которые могут быть как параллелограммами, так и четырехугольниками.{\ circ}. $$

Это следует за $ \ beta = \ delta $ и $ \ alpha = \ gamma $.

Теорема

Следующие утверждения эквивалентны друг другу:

1) Четырехугольник $ ABCD $ параллелограмм

2) У четырехугольника $ ABCD $ две противоположные стороны, которые равны и параллельны

3) Каждые две противоположные стороны четырехугольника $ ABCD $ равны

4) Диагонали четырехугольника $ ABCD $ делят друг друга пополам

5) Обе пары противоположных углов четырехугольника $ ABCD $ равны

Каждое из приведенных выше утверждений может быть альтернативным определением параллелограмма.Остальные утверждения нам необходимо доказать.

Доказательство.

$ 1) \ Rightarrow 2)

$

Пусть $ ABCD $ — параллелограмм. Тогда $ \ overline {AB} \ | \ overline {CD} $ и $ \ overline {AD} \ | \ overline {BC} $.

Поскольку прямая $ AC $ представляет собой траверс параллельных прямых $ AB $ и $ CD $, то $ \ angle {ACD} = \ angle {CAB} $. Прямая $ AC $ также является траверсом параллельных прямых $ BC $ и $ AD $, то есть $ \ angle {ACB} = \ angle {DAC} $.

$ \ overline {AC} $ также является общей стороной треугольников $ ABC $ и $ CDA $.По теореме A-S-A о конгруэнтности треугольников треугольники $ ABC $ и $ CDA $ конгруэнтны. Отсюда следует, что $ | AB | = | CD] $ и $ | AD | = | BC | $.

$ 2) \ Rightarrow 3) $

Пусть в четырехугольнике $ ABCD $ будет $ AB \ | CD $ и $ | AB | = | CD | $.

Так как $ AC $ — это траверс параллельных прямых $ AB $ и $ CD $, то есть $ \ angle {ACD} = \ angle {CAB} $. Сторона $ \ overline {AC} $ — это общая сторона треугольников $ ABC $ и $ CDB $. По теореме S-A-S о конгруэнтности треугольников треугольники $ ABC $ и $ CDB $ конгруэнтны.Отсюда следует, что $ | BC | = | CD |. $

$ 3) \ Rightarrow 4) $

Пусть в четырехугольнике $ ABCD $ $ | AB | = | CD | $ и $ | BC | = | CD | $, и пусть точка $ S $ является пересечением диагоналей $ \ overline {AC} $ и $ \ overline {BD} $.

Сначала рассмотрим треугольники $ ABC $ и $ CDB $. По теореме S-S-S о конгруэнтности треугольников треугольники $ ABC $ и $ CDB $ конгруэнтны. Отсюда следует, что $ \ angle {ACB} = \ angle {CAD} $.

Углы $ ASD $ и $ BSC $ — вертикальные углы.Если теперь рассмотреть треугольники $ ASD $ и $ BSD $, то получится, что $ \ angle {ADS} = \ angle {CBS} $. Поскольку $ | BC | = | AD | $, треугольники $ ASD $ и $ BSC $ конгруэнтны по теореме A-S-A о треугольниках сравнения. Отсюда следует, что $ | AS | = | SC | $ и $ | BS | = | SD | $, что означает, что точка $ S $ является средней точкой $ \ overline {AC} $ и $ \ overline {BD} $.

$ 4) \ Rightarrow 5) $

Пусть в четырехугольнике $ ABCD $ точка $ S $ будет серединой диагоналей $ \ overline {AC} $ и $ \ overline {AD} $: $ | AS | = | CS | $ и $ | BS | = | DS | $.

Рассмотрим треугольники $ BCS $ и $ ADS $. По теореме S-A-S они конгруэнтны ($ | CS | = | AS | $ — $ \ angle {BSC} = \ angle {ASB} $ (вертикальные углы) — $ | BS | = | DS | $). Отсюда следует, что $ \ angle {BCS} = \ angle {DAS} $ и $ \ angle {CBS} = \ angle {ADS} $.

Треугольники $ ABS $ и $ CDS $ также совпадают по теореме SAS ($ | AS | = | CS | $ — $ \ angle {ASB} = \ angle {CSD} $ (вертикальные углы) — $ | BS | = | ДС | $). Отсюда следует, что $ \ angle {BAS} = \ angle {DCS} $ и $ \ angle {ABS} = \ angle {CDS} $.

Отсюда следует:

$$ \ angle {DAB} = \ angle {DAS} + \ angle {BAS} = \ angle {BCS} + \ angle {DCS} = \ angle {BCD} $$

и

$$ \ angle {ABC} = \ angle {ABS} + \ angle {CBS} = \ angle {CDS} + \ angle {ADS} = \ angle {ADC} $$.{\ circ} $, что тоже противоречит.

Отсюда следует, что $ AB \ | AC $.

Аналогично доказывается, что $ BC \ | AD $.

Ромб

Ромб — параллелограмм, у которого есть по крайней мере одна пара смежных сторон равной длины.

Противоположные углы имеют одинаковую меру: $ \ alpha = \ gamma $, $ \ beta = \ delta $, а прилегающие углы являются дополнительными.

Диагонали ромба совпадают и перпендикулярны.

Тангенциальный четырехугольник

Воздушный змей представляет собой четырехугольник, который характеризует две пары сторон равной длины, которые примыкают друг к другу.Диагонали воздушного змея перпендикулярны, и по крайней мере одна диагональ является линией симметрии. Воздушный змей — это также касательный четырехугольник.

Прямоугольник

Прямоугольник представляет собой параллелограмм, у которого по крайней мере один внутренний угол является прямым.

Диагонали в прямоугольниках совпадают.

Квадрат

Квадрат — это прямоугольник, все стороны которого равны.

Диагонали в квадрате равны и перпендикулярны.2 $

Площадь четырехугольника

Площадь квадрата равна длине стороны квадрата.

Далее идет прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон.

Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту.

Это верно, потому что, как показано на рисунке: если мы переведем высоту $ \ overline {BE} $ в точку $ A $ и продолжим сторону $ ED $ над вершиной $ D $, мы получим треугольник $ E’DA $, который конгруэнтно треугольнику $ ECB $.Если мы «переведем» треугольник $ ECB $ в треугольник $ E’DA $, мы получим прямоугольник с одной стороной $ a $ и другой стороной $ h $.

То же, что и для ромба, работает на параллелограмме , площадь параллелограмма — это произведение его одной стороны и высоты на этой стороне.

Площадь трапеции равна половине произведения суммы ее оснований и высоты.

Эта формула является результатом деления трапеции на два треугольника $ AED $ и $ BCF $ и прямоугольник $ EFCD $.

Теперь мы можем записать нашу площадь как сумму меньших областей: $ A _ {(ABCD)} = A _ {(AED)} + A _ {(FBC)} + A _ {(EFCD)} $.

Мы знаем, что $ A _ {(EFCD)} = h \ cdot c $.
Теперь нам нужно найти $ A _ {(AED)} $ и $ A _ {(FBC)} $. Если перевести сторону $ b $ рядом с $ AED $, мы получим треугольник $ AHD $.

Высота треугольника $ AHD $ равна высоте трапеции $ ABCD $.

И сторона, на которой установлена ​​эта высота, равна $ a — c $. Это приводит к выводу, что:

$ \ A_ {(AHD)} = h \ cdot \ frac {a — c} {2} $.

Это означает, что:

$$ A_ {(ABCD)} = A_ {(AHD)} + A_ {(HBCD)} = $$

$$ = \ frac {h \ cdot (a — c)} {2} + c \ cdot h = \ frac {a \ cdot h — h \ cdot c + 2h \ cdot c} {2} = \ frac { h \ cdot a + h \ cdot c} {2} = $$

$$ = \ frac {h \ cdot (a + c)} {2} $$.

Что такое четырехугольник?

Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами.

Каких форм имеют четырехугольники?

Это четырехугольники: квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб.

Как определить четырехугольник?

Четырехугольник — это плоская форма с четырьмя соединяющимися сторонами. Четверка означает четыре. Боковой означает боковой. Все линии должны соединяться. Это также плоская форма, двухмерная. Некоторые четырехугольники образуют узнаваемые формы, другие — нет.

Что такое 7 четырехугольников?

Есть семь четырехугольников. Это: квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, равнобедренная трапеция, параллелограмм, тангенциальный четырехугольник (также известный как воздушный змей из-за формы воздушного змея).

Какие четыре типа четырехугольников?

Четырехугольники можно разделить на четыре типа. Это параллелограмм, ромб, квадрат и прямоугольник. Кроме того, ромбы, квадраты, прямоугольники — это параллелограммы.

Листы четырехугольников

Именование четырехугольников (278,7 КБ, 1256 обращений)

Назовите наибольшее количество четырехугольников (295,6 КБ, 988 обращений)

Углы в четырехугольниках (423.6 KiB, 1276 совпадений)

Параллелограммы — Найдите угол (531,7 KiB, 947 совпадений)

Параллелограммы — Найдите длину (547,3 KiB, 880 совпадений)

Трапеции — Найдите длину медианы (293,1 КБ, 864 обращений)

Трапеции — Найдите длину полусегмента (289,9 КиБ, 743 обращения)

Трапеции — Найдите длину основания (312,8 КиБ, 796 обращений)

Трапеции — Углы (284.8 КБ, 945 просмотров)

Площадь треугольников и четырехугольников (501,9 КБ, 1,122 просмотров)

Словарь (Вернуться к ссылкам) Круг, квадрат, прямоугольник, треугольник, ромб, трапеция, параллелограмм, ромб

Полигоны урока

Урок 4.1 — Polygons Obj .: классифицируйте полигоны по их сторонам. классифицируйте четырехугольники по их атрибутам. найти сумму углов в многоугольнике. Десятиугольник — многоугольник с десятью сторонами. Додекагон

Дополнительная информация

5.1 Как ни крути

ВТОРИЧНАЯ МАТЕМАТИКА III // МОДУЛЬ 5 МОДЕЛИРОВАНИЕ С ГЕОМЕТРИЕЙ 5.1 Студенты в программе Mrs.Классу Дентона раздали кубики из глины и попросили отрезать угол куба кусочком зубной нити. Джумал нарезанный

Дополнительная информация

Успех по математике Уровень E

T877 [ЦЕЛЬ] Учащийся классифицирует двухмерные фигуры на основе свойств. [ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ НАВЫКИ] Урок 29, знание базовой геометрической терминологии, включая: параллельные стороны, совпадающие стороны,

Дополнительная информация

Трехмерные фигуры

Трехмерные фигуры Количество монет, созданных U.С. Монетный двор меняется каждый год. В 2000 году было создано около 28 миллиардов монет, и примерно половина из них были пенни! 1 Whirlygigs за

. Дополнительная информация

11.4 Трехмерные фигуры

11. Существенный вопрос в трехмерных фигурах. Какова связь между количеством вершин V, ребер E и граней F многогранника? Многогранник — это твердое тело, ограниченное многоугольниками, которое называется

. Дополнительная информация

Примечания к геометрии 10 и 11

Геометрия 10 и 11 Область заметок и название тома на дату 10.1 Площадь — это объем пространства внутри двухмерного объекта. При работе с неправильными формами мы можем найти их площадь, разбив ее на

. Дополнительная информация

Трехмерные формы

Урок 11.1 Трехмерные формы Трехмерные объекты бывают разных форм. сфера конус цилиндр прямоугольная призма куб Обведите объекты, соответствующие названию формы. 1. прямоугольная призма 2.

Дополнительная информация

Таблица с инструкциями по выравниванию

ЗАГОЛОВОК КЛАСТЕРА: СТАНДАРТ: НЕТ ЗАГОЛОВОК КЛАСТЕРА: Определите и опишите формы (квадраты, круги, треугольники, прямоугольники, шестиугольники, кубы, конусы, цилиндры и сферы).СТАНДАРТ: K.G.3 Обозначить формы как

Дополнительная информация

Цифры. Значение Цифры в виде цифры. Стандартная форма. Расширенная форма. Символы, используемые для отображения чисел: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Цифры Символы, используемые для отображения чисел: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Значение Цифры, которые представляет цифра, которая определяется положением цифр Стандартная форма Расширенная форма Обычный способ письменности

Дополнительная информация

Учебная программа HPISD: TAG Math 4 класс

Обзор модуля Учебный план HPISD: 4 класс ТЕГ Математика Название Предполагаемая продолжительность 9 недель Геометрия и измерения 8 недель 1 2 3 4 Свойства / атрибуты многоугольников, треугольников, четырехугольников Площадь и периметр

Дополнительная информация

Урок 18: Нарезка под углом

Результаты учащихся Учащиеся описывают многоугольные области, которые возникают в результате сечения правой прямоугольной призмы или пирамиды плоскостью, которая не обязательно параллельна или перпендикулярна основанию.Примечания к уроку в

Дополнительная информация

Учебное пособие по модулю 10: Фигуры на плоскости

Учебное пособие по блоку 10: Фигуры в самолетах * Обязательно смотрите все видео в рамках каждого урока * Вы можете найти геометрические фигуры в искусстве. Независимо от того, определяется ли количество ведущего или количество стекла, необходимого для предмета

Дополнительная информация

Исследуйте твердые тела

1212.1 Изучение площади поверхности твердых тел и объема твердых тел 12.2 Площадь поверхности призм и цилиндров 12.3 Площадь поверхности пирамид и конусов 12.4 Объем призм и цилиндров 12.5 Объем пирамид и

Дополнительная информация

Mgr. ubomíra Tomková ГЕОМЕТРИЯ

УГЛЫ НАЗВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ: любой угол меньше 90º является острым углом, любой угол, равным 90º, является прямым углом, любой угол между 90º и 80º является тупым углом, любой угол между 80º и 60º является углом отражения

. Дополнительная информация

План учебной программы Anoka Hennepin K-12

Anoka Hennepin K-12 План учебной программы Департамент: элементарная математика Название раздела: Пакеты и многоугольники (Синяя книга, гео и измерения) Треугольники и за их пределами (Синяя книга, гео и измерения) Повседневная математика: Том

Дополнительная информация

Описывать формы плоскостей

Урок 12.1 Описание плоских форм Вы можете использовать математические слова для описания плоских форм. указать точное положение или конечные точки линии местоположения отрезок линии луч прямой путь, идущий в двух направлениях без

Дополнительная информация

Планы уроков для Кристи Демпси, Неделя средней школы Типпит в понедельник, 29 февраля 2016 г. Понедельник, 29 февраля 2016 г. День 115

Планы уроков для Кристи Демпси, Неделя средней школы Типпит в понедельник, 29 февраля 2016 г. Понедельник, 29 февраля 2016 г. Учебная цель (Я могу / я буду…): я буду писать и решать уравнения, используя концепции геометрии,

Дополнительная информация

Основное понимание

Вопросы для понимания Основные свойства линий, углов, двух- и трехмерных фигур можно использовать для решения множества теоретических и практических задач. Какие существуют различные отношения

Дополнительная информация

Трехмерные фигуры

Трехмерные фигуры Количество монет, созданных U.С. Монетный двор меняется каждый год. В 2000 году было создано около 28 миллиардов монет, и примерно половина из них были пенни! 1 Whirlygigs за

. Дополнительная информация

Учебное пособие по геометрии 6, часть 2

Рабочая тетрадь по геометрии 6, художественная страница Рабочий лист G6- страница 7. a) Рабочий лист G6- страница 0 Рабочий лист G6- страница. Учителя проверить .. Учителя проверить. квадратные единицы правые единицы вниз параллелограмм трапеции 5. A F 7 G 6 E

Дополнительная информация

Словарь по геометрии.Имя Класс

Геометрия Словарь Название Класс Определение / Описание Символ / Эскиз 1 точка Точное место в пространстве. В двух измерениях упорядоченная пара определяет точку на координатной плоскости: (x, y) 2 линия 3a линия

Дополнительная информация

Геометрия. Требования к курсу

Геометрия Геометрия — это полный годичный курс математики в средней школе для ученика, успешно завершившего предварительный курс алгебры I.Курс фокусируется на навыках и методах линейной, координатной,

Дополнительная информация

Ключевая концепция Формула Эйлера

11-1 Космические фигуры и поперечные сечения Цели Распознавать многогранники и их части Визуализировать поперечные сечения пространственных фигур Общие основные государственные стандарты G-GMD.B.4 Идентифицировать формы двумерного

Дополнительная информация

Математические многоугольники

Математика 310 9.2 Кривая многоугольника и соединенная идея Идея кривой — это то, что вы можете нарисовать на бумаге, не поднимая карандаша. Идея связности состоит в том, что набор нельзя разбить на два непересекающихся набора.

Дополнительная информация

3 Определите формы как двумерные (лежащие на плоскости, плоские) или трехмерные (твердые).

Детский сад Геометрия Определяйте и описывайте формы (квадраты, круги, треугольники, прямоугольники, шестиугольники, кубы, конусы, цилиндры и сферы).1 Описывать объекты в окружающей среде, используя имена фигур,

Дополнительная информация

свойств фигур: прямоугольники, квадраты и ромбы — видео и стенограмма урока

Прямоугольники

Начнем с прямоугольников. Прямоугольник представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами. Если вы хотите узнать, является ли форма прямоугольником, у вас есть всего два теста. Он четырехсторонний? И все ли углы 90 градусов? Если оба ответа положительные, то вы смотрите на прямоугольник.

Прямоугольники везде. Подумайте о своей средней комнате. Что в нем прямоугольник? Двери, столы, окна, плакаты на стенах — все это четырехгранные формы со всеми прямыми углами. Даже экран, на который вы сейчас смотрите, вероятно, представляет собой прямоугольник.

У прямоугольника противоположные стороны равны по длине и параллельны.

Прямоугольники обладают несколькими особыми свойствами. Во-первых, противоположные стороны параллельны.Во-вторых, противоположные стороны равны по длине. В прямоугольнике выше мы знаем, что сторона AB параллельна стороне CD, а BC параллельна AD. Кроме того, если мы знаем, что AB равно 6, то и CD тоже. Если BC равно 4, то и AD тоже.

Худой небоскреб представляет собой прямоугольник.

Самое интересное в прямоугольниках заключается в том, что каждая пара противоположных сторон может иметь совершенно другую длину, чем другая пара. У вас может быть супертонкий прямоугольник, как небоскреб наверху, или очень ровный, как обложка старого альбома внизу.

Эти обложки альбомов представляют собой прямоугольники.

Квадраты

Эта старая обложка альбома подходит как по определению прямоугольника, так и по определению нашей следующей формы — квадрата. Квадраты — это особая разновидность прямоугольников. Квадрат представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами и сторонами равной длины.

Вам знакомо это определение? Вот шаги, чтобы определить квадрат: он четырехгранный? Все углы 90 градусов? Если да, то у вас прямоугольник.Если все стороны одинаковой длины, то это не только прямоугольник, но и квадрат. Это означает, что все квадраты являются прямоугольниками. Но не все прямоугольники являются квадратами, поскольку пары сторон прямоугольника могут иметь разную длину.

Квадраты, как и прямоугольники, есть повсюду. Помимо обложки альбома, подумайте о местах на шахматной доске, марках, напольной плитке и даже о крекерах и сыре. Поскольку каждая сторона квадрата имеет одинаковую длину, вам не нужно давать много информации для решения большинства проблем.2, что составляет 25.

Все стороны квадрата имеют одинаковую длину.

Ромбы

Затем ромб. Ромб мало чем отличается от квадрата или прямоугольника. Вот вопросы, которые следует задать, если вы думаете, что имеете дело с ромбом: он четырехгранный? Все ли стороны равны по длине? Если оба ответа положительные, то у вас ромб.

Вы заметили, чего не хватает? Прямые углы.У ромба не обязательно должны быть прямые углы. Может, но в этом большая разница с ромбом. Мне нравится думать об этом так: слово «ромб» похоже на слово «носорог». Если носорог бросается на квадрат и сбивает его с ног, это уже не квадрат. Но все равно ромб! Носороги или нет, определение ромб — это четырехгранная форма со сторонами равной длины.

Ромбы обладают несколькими примечательными свойствами. Во-первых, противоположные стороны параллельны.Это верно и для прямоугольников, и для квадратов. Но в ромбе, даже если углы не 90 градусов, противоположные стороны все равно параллельны друг другу. Итак, в приведенном ниже AB параллельна CD. И AD параллельна BC. Также равны противоположные углы. Здесь угол A равен углу C, а угол B равен углу D.

Противоположные стороны ромба параллельны.

Плюс, вот забавный момент: если вы проведете диагональные линии из углов, эти линии образуют прямые углы.Поскольку квадрат — это ромб, это верно и для квадратов. И как бы далеко этот носорог ни толкал ромб, эти диагонали все равно образуют прямые углы. Квадрат — это ромб, но ромб не обязательно является квадратом. И прямоугольник может быть ромбом, но если стороны прямоугольника не равны по длине, то это не ромб.

Краткое содержание урока

В итоге мы рассмотрели три различных типа четырехугольников или четырехугольников. Во-первых, есть прямоугольник , который представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами.Его противоположные стороны параллельны и равны по длине, но каждая пара сторон не обязательно такой же длины, как другая пара.

Во-вторых, есть квадрат , который представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами и сторонами равной длины. Квадрат — это тип прямоугольника, у которого все четыре стороны имеют одинаковую длину. Наконец, есть ромб , который представляет собой четырехгранную форму со сторонами равной длины. Углы могут составлять 90 градусов, но это не обязательно.Итак, квадрат — это ромб, но не каждый ромб — это квадрат.

Результат обучения

Вы сможете описать свойства квадратов, прямоугольников и ромбов после просмотра этого видеоурока.

Площадь четырехугольника

Рабочие листы свободной геометрии, созданные с помощью бесконечной геометрии. Возможность распечатать в удобном формате PDF. 4 Площадь выпуклого четырехугольника. Самопересекающийся четырехугольник называется по-разному перекрестным четырехугольником, перекрещенным четырехугольником, четырехугольником бабочки или четырехугольником бабочки.

Чтобы найти площадь любого общего четырехугольника, мы разбиваем его на треугольники и складываем их площадь. Параллелограмм имеет противоположные стороны, равные и параллельные. Для четырехугольника ABCD. Мы присоединяемся к AC. Калькулятор площади четырехугольника вычисляет площадь простого четырехугольника с учетом четырех сторон и длины диагонали между противоположными углами.

Площадь параллелограммов. Урок 7 От параллелограммов к треугольникам. Урок 8 Площадь треугольников. Урок 9 Формула площади треугольника.Урок 10 Основания и высоты треугольников. Урок 11 Полигоны. Урок 12 Что такое площадь поверхности? Урок 13 Многогранники. Урок 14 Сети и площадь поверхности. Урок 15 Больше сетей, больше площадь поверхности. Урок 16 Квадратный метр — производная единица площади в системе СИ. Он имеет символ м² (33A1 в Юникоде). Он определяется как площадь квадрата, стороны которого составляют ровно один метр. Квадратный метр получается из базовой единицы измерения в системе СИ, которая, в свою очередь, определяется как длина пути, пройденного светом в абсолютном вакууме за интервал времени 1 ⁄ 299 792 458 секунды.

Квадрат также можно определить как параллелограмм с равными диагоналями, которые делят углы пополам. Если фигура представляет собой прямоугольник (прямые углы) и ромб (равные длины ребер), то это квадрат. Если круг описан вокруг квадрата, площадь круга равна / (примерно 1,5708) раз больше площади квадрата. Площадь треугольников и четырехугольников R.5. Площадь и периметр в координатной плоскости I Р.6. Площадь и периметр в координатной плоскости II Р.7. Площадь и окружность …

Площадь четырехугольного треугольника Докажите, что площадь четырехугольника PQRS равна половине площади ABCD? У какого особого типа четырехугольника диагонали равны и пересекаются пополам, но не перпендикулярны?

диагоналей пересекают друг друга

12.Исследование № 3: исследуйте пересечение диагоналей ромба. Посмотреть больше. Диагонали квадрата и прямоугольника делят друг друга пополам. диагонали только квадратного прямоугольника пересекаются под углом 90 градусов, образуя перпендикуляр. но они образуют углы в 45 градусов на концах, где они встречаются либо с основанием, либо со сторонами. A. быть его диагоналями. Иногда одна из этих диагоналей могла выходить за пределы формы; тогда у вас есть дротик. В любом параллелограмме диагонали (линии, соединяющие противоположные углы) делят друг друга пополам.Покажите, что четырехугольник, образованный соединением середин сторон, представляет собой прямоугольник. Основания трапеции имеют длину 3 и 5 единиц, одна диагональ перпендикулярна боковой стороне, а другая диагональ делит пополам угол у большего основания. Диагонали пересекаются, чтобы сократить длину пополам. Диагонали проводятся от точки A к точке C и от точки B к точке D и пересекаются в точке E. Все стороны совпадают. это самая короткая сторона. На рисунке выше нажмите «Сброс». Все 4 ответа представляют собой выпуклые четырехугольники, поэтому их диагонали будут пересекаться.ДАННЫЙ: четырехугольник, диагонали которого пересекаются и разделяются на четыре части, так что ДОКАЗАТЬ: четырехугольник является параллелограммом. У диагоналей прямоугольника есть еще одно важное свойство — они равны по длине. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Рисуются диагонали. Рассмотрим прямоугольную дверь. Решенные задачи на равнобедренных трапециях Задача 1. угол z больше угла y. противоположен наибольшему углу. В этом случае фотограф также хорошо использовал малую глубину резкости.В настоящее время мы занимаемся конструкциями, наш лектор утверждал, что мы можем превратить один четырехугольник в другой, изменив одни свойства и сохранив другие свойства неизменными. Мы подойдем к этой проблеме иначе. Фактически, возьмите отрезок длиной 12 и начните под углом 20 градусов с одной стороны и 70 градусов с другой (для диагоналей). Чтобы найти диагональ квадрата, вы можете использовать формулу =, где равно длине одной стороны квадрата. Обязательно создайте и назовите соответствующие геометрические фигуры.Другой угол может быть вычислен путем вычитания известного угла из 180 °. Свойства ромба: ромб — это четырехугольник, все четыре стороны которого имеют одинаковую длину. Когда Кэролайн и ее мать шли к магазину, они вышли на угол двух улиц. Рассмотрим треугольники ABC и ADC (рисунок 2). Размер одного внутреннего угла параллелограмма на 42 градуса более чем в два раза превышает размер другого угла. Допустим, длина другой диагонали = (2b) см. Например, более короткий будет разделен посередине (6 дюймов: 6 дюймов), а более длинный — в соотношении 8:14, как показано на рисунке.а. к . 14. У вогнутых (например, бумеранга) они не пересекаются. Нарисуйте диагональ, скажем, AC = 4 см; Взяв A и C в качестве центров и радиуса более 1/2 AC, нарисуйте дуги по обе стороны от отрезка AC, чтобы они пересекались друг с другом. Другой вопрос … Более длинная диагональ воздушного змея делит более короткую пополам. Открытый сегмент от. диагонали, используя формулу Эйлера V E + F = 2. В евклидовой геометрии параллелограмм — это простой (несамопересекающийся) четырехугольник с двумя парами параллельных сторон.12 квадратных единиц 18 квадратных единиц 24 квадратных единицы 48 квадратных единиц диагонали параллелограмма. Правда. Итак, чтобы построить ромб с диагоналями 4 см и 6 см, выполните следующие действия. Чтобы приблизительно определить длину болота, геодезист проходит 425 метров от точки A до точки B. Четырехугольник — это замкнутая двухмерная фигура, состоящая из четырех сторон, и все ее внутренние углы в сумме составляют 360 градусов. Правда. Полученное изображение показывает глубину, которая была бы невозможна, если бы камера находилась под прямым углом.В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Если угол A = 85, AE = 3x + 10 и EC = 7x — 30, найдите меру угла C и значение x. Мы уже доказали это свойство для любого параллелограмма. диагонали пересекаются в точке p. сторона qr = 5 м и диагональ qs = 6 м. и 8 см. 26 января 2021 г. В данном случае диагонали — это BD и AC, которые в квадратах имеют одинаковую длину. B. разделите друг друга пополам. 6. • Половина произведения диагоналей равна площади четырехугольника.• По крайней мере, одна диагональ лежит на линии симметрии четырехугольника. Без категории. Какая длина диагонали? Диагонали прямоугольника и равнобедренной трапеции пересекаются, образуя дополнительные углы, не равные 90 градусам. b Определите градиент TS, округленный до двух десятичных знаков. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам: то есть точка пересечения двух диагоналей является средней точкой каждой из них. 12-Oct-2011 MA 341 27. Диагонали лежат между противоположными вершинами (т.е.е. Диагонали квадрата пересекаются в точке Q. Каковы координаты точки Q? Используйте эту процедуру, чтобы помочь студентам улучшить свои письменные ответы для доказательства гипотезы: диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Квадрат — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны по длине и все углы … Вы очень важны для нас. Если эта теорема верна для квадратов, почему или почему нет? Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали — мощные композиционные элементы.Показан треугольник xyz, где n ≥ 5. Какие утверждения верны относительно сторон и углов треугольника? Есть еще один… Есть 1000 + 1004 = 2004 прямых, которые пересекает главная диагональ. 11.25 B.)… 1. Теорема утверждает, что диагональ AC ромба является биссектрисой к каждому из двух углов DAB и BCD, а диагональ BD является биссектрисой угла к каждому из двух углов ABC и ADC. Пример вогнутого четырехугольника — дротик. Какое значение x — ответы студенту-помощнику.com … Еще вопрос по математике. Добавьте свой ответ и зарабатывайте баллы. Мы уже объясняли, что противоположные углы равны. 4. Название: Докажите нашу гипотезу: 4. Используя формулу средней точки, мы можем найти точку пересечения. Эта проблема решена! Параллелограмм всегда есть прямоугольник. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны друг другу. Что касается квадратов, они делят друг друга пополам под углом 90 градусов, то есть они перпендикулярны биссектрисам. D. противоположные углы совпадают.Правильные ответы: 3 вопроса: Показан ромб с совпадающими сторонами. Напишите косвенное доказательство того, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. А. конгруэнтны. Когда диагональные линии пересекаются, они создают точки интереса на пересечении. 10. Диагонали пересекаются в W. a Докажите, что координаты S равны (2 + 2 √ 5; 0). Home / диагонали не обязательно пересекаются. Диагонали квадрата, ромба и воздушного змея пересекаются под прямым углом. В выпуклых простых многоугольниках диагонали всегда будут внутри.5. • По крайней мере, одна диагональ делит пополам два угла четырехугольника. Рисуются диагонали. Диагонали Диагональ — это отрезок прямой, соединяющий один угол с другим, но не являющийся ребром. Диагонали прямоугольника равны друг другу. Что из следующего может использовать Томас, чтобы доказать, что сторона ab равна стороне dc? 1 См. Ответ genickijenndon ждет вашей помощи. В каждом кайте диагонали пересекаются под углом 90 °. 13. б. не пересекает ∂. C. диагонали пересекаются под прямым углом. Сал доказывает, что диагонали ромба перпендикулярны и что они пересекаются в серединах обоих.В частности, все стороны параллелограмма равны, то есть у нас есть ромб. На изображении ниже угол, под которым камера при настройке создала диагональную линию. Сколько В случае многоугольника это прямая линия, соединяющая противоположные углы многоугольника через его вершины. Как и у любого скрещенного четырехугольника, сумма его внутренних углов составляет 720 °. Диагонали триангуляции и триангуляция 1. Диагональ многоугольника P — это отрезок прямой между двумя его вершинами a и b, которые хорошо видны друг другу 2.Открытый отрезок от a до b не пересекает ∂P; таким образом, диагональ не может скользить по границе. Четырехугольники с перпендикулярными диагоналями — это «квадрат», «ромб» и «воздушный змей». A. Диагонали ромба пересекают друг друга и перпендикулярны. Все четыре ножки каждой лестницы плотно касаются либо нижнего угла, либо противоположной стены. P и S лежат на оси -. 5. В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, поэтому вы можете установить помеченные сегменты, равные друг другу, а затем решить для.Б. Какова площадь ромба? Добавьте свой ответ и зарабатывайте баллы. Затем проведите линии из оставшихся двух углов, чтобы они пересекались с главной диагональю под прямым углом. Сначала мы соединяем диагонали, и там, где они пересекаются, находится точка E. Углы ECD и EBA равны в меру, потому что прямые CD и AB параллельны, и это делает их чередующимися углами. Обычная трапеция имеет равные непараллельные стороны и равные углы при основании, как показано на следующей диаграмме. 17a — 59 (p + 100) 0 720 При этом все стороны ромба равны по длине, а диагонали делят друг друга пополам под прямым углом.Смотрите ответ. б. Диагонали пересекают друг друга (во внутренних точках). Докажите, что если одна пара противоположных сторон четырехугольника равны и параллельны, то четырехугольник является параллелограммом. Квадрат — это частный случай прямоугольника. 8. Диагональ квадрата — это линия, идущая от одного угла квадрата к противоположному углу. Ромб — это частный случай параллелограмма, это четырехугольник с четырьмя сторонами. Используя теорему Фалеса 6.2, докажите, что прямая, соединяющая середины любых двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне.Диагонали пересекаются в своих серединах. Угол C равен 85 градусам, а x = 10, b / c диагонали делят друг друга пополам. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу. Свойства прямоугольника; Свойства квадрата; Свойство: диагонали квадрата перпендикулярны биссектрисам друг к другу. Угол B E A равен (3 x минус 12) градусов. Единственный правильный (все стороны равны и все углы равны) четырехугольник — это квадрат. Пусть PQ пересекает AC в точке O. С понедельника по субботу — с 10:00 до 19:00. Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину.Мне нужно зафиксировать диагональную опорную плоскость на пересечении двух ортогональных опорных плоскостей, чтобы моя дверь (под углом) скользила к фиксированному углу, а не к углу, движущемуся к двери. Параллелограмм — это четырехугольник, состоящий из двух пар пересекающихся параллельных прямых. 9. 2 диагонали. Диагонали проводятся от точки A к точке C и от точки B к точке D и пересекаются. У восьмиугольника есть. Диагонали пересекаются под углом 35 градусов. Обязательно создайте и назовите соответствующие геометрические фигуры.Если один угол прямой, то все углы прямые. Найдите длины сторон параллелограмма, если диагонали пересекаются под углом 28º. 12-Oct-2011 MA 341 27. Правило 1: Противоположные стороны параллельны Подробнее. Письмо, слушание, разговор: MLR1 с каждым разом сильнее и яснее. Что такое диагональ? Диагонали лежат между противоположными вершинами (т.е.). Из того, что каждая диагональ является трансверсалью, мы знаем, что в этом случае… Почему диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Найдите значение x.8т. Мы знаем по свойствам параллелограмма, что диагонали разрезаются на две равные части в точке пересечения. Теорема 1. Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом. Мозговой пользователь. Заголовок: в качестве альтернативы диагональная линия может пересекать все изображение, проходя через него от одного края до другого. Это дает вам наложение золотого треугольника, которое включает в себя четыре различных треугольника (хотя в целом получается шесть треугольников, когда вы объединяете их вместе! Диагональ многоугольника — это линия сегмента, концы которой не являются смежными вершинами многоугольника.В 54-стороннем многоугольнике 53 возможных диагонали можно провести от одной вершины к другой. Бесплатная электронная книга https://bookboon.com/en/introduction-to-vectors-ebook (обновленная ссылка) Круги пересекаются в двух точках — пусть C будет точкой пересечения в пределах неотражающего угла BAD. Диагонали должны создаваться поперек вершин многоугольника, но вершины не должны примыкать друг к другу. Диагонали пересекаются под прямым углом. Диагонали параллелограмма Abcd пересекаются в точке O. Пример 6.2, 10 Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются друг с другом в точке O, так что / = /.Примечание. Прямоугольники, квадраты и ромбы (или ромбы) — это параллелограммы. Мы знаем длину BD и AC. Б. диагонали делят друг друга пополам. Еще одно интересное использование диагональных линий — создание глубины. Kite qrst имеет короткую диагональ qs и длинную диагональ rt. Таким образом, внутренняя часть будет разделена на 54 области 53 диагоналями плюс две стороны исходного многоугольника, примыкающие к вершине, от которой диагонали… Ответы: 3 на вопрос: Показан ромб с совпадающими сторонами.80. Это означает, что они перпендикулярны. Для общего выпуклого n-угольника ответ будет n 4, потому что каждые четыре вершины будут в параллелограмме, если вы знаете один угол, вы можете вычислить все остальные углы. В геометрии термин «диагональ» относится к отрезку, соединяющему две вершины, который не образует сторону многоугольника. Длина одной диагонали равна 6, а длина другой диагонали — 8. Решение: мы знаем, что все стороны ромба равны, а диагонали ромба перпендикулярны биссектрисам друг друга.Объясните, как менять диагонали… Четырехугольник — это трапеция, если две стороны параллельны. Когда диагональные линии пересекаются, они создают точки интереса на пересечении. В многограннике, вершине… Введение Мы найдем формулу для числа I (n) точек пересечения, образованных внутри правильного n-угольника его диагоналями. A… Прямые CD и AB равны по длине, потому что противоположные стороны параллелограмма равны. Если угол, под которым они встречаются, равен 90 ∘, то по теореме Пифагора каждая сторона прямоугольника имеет длину p 2 + q 2.20 диагоналей. Какая у него длина? Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, поэтому точка пересечения является серединой любого из них. Один метод, который можно использовать для доказательства того, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, показан в данном частичном доказательстве: … Другой метод доказательства диагоналей параллелограмма, делимых пополам, использует координатную сетку. Итак, чтобы построить ромб с диагоналями 4 см и 6 см, выполните следующие действия. Диагонали параллелограмма пересекают друг друга пополам; Четырехугольник называется параллелограммом, если его диагонали делят пополам; Пара противоположных сторон параллелограмма равны и параллельны; Ромб — это параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом; Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, представляет собой ромб. Длины диагоналей параллелограмма составляют 10 футов и 16 футов.Диагональ — это отрезок прямой, концы которого являются вершинами. P и S лежат на оси -. Свойство: диагонали прямоугольника одинаковой длины. В углу вершина — это место, где встречаются две линии, лучи или сегменты. Диагональ связана с вершиной, потому что диагональ — это отрезок прямой, соединяющий любые две непоследовательные вершины. В четырехугольнике abcd диагонали пересекаются в точке t. Томас использовал теорему об альтернативных внутренних углах, чтобы показать, что угол adb конгруэнтен углу dbc и что угол dba конгруэнтен bdc.2. Средний. Другие четырехугольники включают трапеции, воздушные змеи и неправильные четырехугольники. Это особый вид параллелограмма, диагонали которого пересекаются под углом 90 °. 21 CDP = 108, q = 29 = 8, q = 29 6. Пусть s = сторона ромба. Правильный или неправильный пятиугольник имеет пять диагоналей. Решения главы 6.2 Задача 65E: Длина диагоналей параллелограмма составляет 20 дюймов и 30 дюймов. Возникли четыре вопроса: 1. Второе отличительное свойство диагоналей воздушных змеев состоит в том, что одна из диагоналей делит пополам или пополам другую диагональ.Классифицируйте типы. Прямая линия, соединяющая вершину равнобедренного треугольника и середину … Идеально, чтобы поместить фокус изображения на пересечении, потому что наши глаза естественно притягиваются к пересечению двух линий. 6. 5. 8т. Пересеките их и продолжайте идти, пока не получится 4 длинные параллельные линии. Диагональ 6 см = 3 см + 3 см = ноги прямоугольного треугольника внутри ромба. Нарисуйте диагонали. Это должно быть то же самое, что и средняя точка XZ; Диагонали делят друг друга пополам, поэтому нам нужно найти только середину одной из диагоналей.Фигура прямоугольная? Соседний…… в нем используется фраза «диагонали пересекаются в своих средних точках», что сделало бы ответ на Часть D более очевидным. Есть несколько правил, связанных с углами параллелограмма. 11.25 B. Вычислите диагонали ромба, если вы знаете 1. (x, y) = (x1 + x2 2, y1 + y2 2) Случай 3: трапеция или воздушный змей Далее самый простой способ — использовать наш калькулятор прямоугольного треугольника ( этот метод работает только для выпуклых воздушных змеев). Назовите название правильного шестиугольника. 4.… AC и BD — это диагонали AC и BD, пересекающиеся в… Диагонали многоугольника — это отрезки прямых от одного угла до другого (но не по краям).Диагонали четырехугольника — перпендикулярно, пополам или оба. Посмотреть решение. По бокам 4,13 «см». Одним из недостатков этого является то, что необходимо нанести на график местоположение точки схода (не показано на рисунке), которая может выходить за края нашего листа бумаги для рисования. Другие четырехугольники. c Вычислить с округлением до двух десятичных знаков. Диагонали триангуляции и триангуляция 1. Диагональ многоугольника P — это отрезок прямой между двумя его вершинами a и b, которые хорошо видны друг другу 2.Открытый отрезок от a до b не пересекает ∂P; таким образом, диагональ не может скользить по границе. Окружность описана вокруг трапеции. Таким образом, если диагональ начинается на краю композиции, она привлекает зрителя, а затем уводит его в путешествие до другого конца. 80. Одна из диагоналей ромба, допустим, q = 7см. Площадь выпуклого четырехугольника с … диагоналями перпендикулярна тогда и только тогда, когда площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей.По диагонали четырехугольника можно определить, является ли он параллелограммом, прямоугольником, ромбом и т. Д. Здесь мы перечислим и докажем основные теоремы. Противоположные или обращенные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину, а противоположные углы параллелограмма равны. Диагонали — это перпендикулярные биссектрисы: диагонали BD и OC пересекаются в точке O. Окружность описана вокруг трапеции. Математика, 21.06.2019 15:50 Примеры: квадрат (или любой четырехугольник) имеет 4 (4−3) / 2 = 4 × 1/2 = 2 диагонали; восьмиугольник имеет 8 (8−3) / 2 = 8 × 5/2 = 20 диагоналей.Для этого мы воспользуемся вот этой таблицей, у меня есть три столбца; один для количества вершин, один для количества диагоналей на вершину и общего количества диагоналей, которые мы видим в многоугольнике. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Углы EDC и EAB равны по той же причине. У следующего по простому четырехугольника две диагонали. Таким образом, мы получаем диагональ, когда напрямую соединяем любые два угла (вершины), которые еще не соединены ребром. Трапеция имеет одну пару параллельных противоположных сторон.12-Oct-2011 MA 341 26. Если четырехугольник — параллелограмм, то его диагонали делят друг друга пополам. стороны параллелограмма. Идеально разместить фокус изображения на пересечении, потому что наши глаза естественно притягиваются к пересечению двух линий. Таким образом, прямая, проходящая через точку O, параллельная сторонам параллелограмма, содержащим P и Q, даст параллельную проекцию одной трансверсали на другую. Найдите размер каждого угла. Найдите координаты пересечения диагоналей параллелограмма XYZW с вершинами X (3,0), Y (3,8) Z (-2,6) и W (-2, -2).12 квадратных единиц 18 квадратных единиц 24 квадратных единицы 48 квадратных единиц Любой член… Затем MN пересекает PR в своей средней точке 12 октября 2011 MA 341 17, которая, как мы знаем, является О. Теорема … параллелограмм (пересечение диагоналей). Найдите p и q. Они создают визуальный поток. Нарисуйте диагональ, скажем, AC = 4 см; Взяв A и C в качестве центров и радиуса более 1/2 AC, нарисуйте дуги по обе стороны от отрезка AC, чтобы они пересекались друг с другом. Таким образом, диагональ от этой вершины соединит эти две вершины, которые не идут подряд.. В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны, а диагонали делят друг друга пополам. угол x — наибольший угол. Сал доказывает, что диагонали ромба перпендикулярны и что они пересекаются в серединах обоих. 1 См. Ответ genickijenndon ждет вашей помощи. Правильных ответов: 3 вопроса: Четырехугольник РГТУ, диагонали SU и RT пересекаются в точке V. РГТУ — параллелограмм. Угол между одним из оснований трапеции и боковой стороной равен ex, а угол между этим основанием и одной из диагоналей равен p.Это общее свойство любого параллелограмма. Фактически, возьмите отрезок длиной 12 и начните под углом 20 градусов с одной стороны и 70 градусов с другой (для диагоналей). Как сбросить данные приложений на Iphone, Настройки разгона Kawpow, Технологическая схема переработки сырой нефти, Записанное будущее Сингапура, + 18Магазины moreclothing Подземный магазин одежды, Eclectic Fashions и многое другое, Набор аксессуаров для ванной комнаты из никеля, Раствор и растворитель раствора моющего средства, Положение Кубка мира по прыжкам с трамплина, Румынский бурый медведь против гризли, Питер Осгуд Никнейм, диагонали пересекаются друг с другом 2021

геометрических фигур: определение, типы, примеры, свойства

Геометрические формы: В математике геометрические формы — это фигуры, которые показывают формы предметов, которые мы видим в нашей повседневной жизни.В геометрии формы — это формы объектов, которые имеют граничные линии, поверхности и углы. Существуют разные типы фигур \ (2 \, {\ rm {D}} \) и \ (3 \, {\ rm {D}} \). В повседневной жизни мы постоянно взаимодействуем с разными объектами, которые имеют различную форму, от простых до абстрактных.

Например, книги (прямоугольная форма), очки (цилиндрическая форма), дорожные конусы (коническая форма) и т. Д. В этой статье вы познакомитесь с различными геометрическими фигурами и их определением, а также с примерами.

Определение геометрических форм

В плоской геометрии двумерные формы — это плоские формы и замкнутые фигуры, такие как круги, квадраты, прямоугольники, ромбы и т. Д. В твердой геометрии трехмерными формами являются куб, кубоид, конус, сфера и цилиндр. Мы можем наблюдать все эти формы и в нашем повседневном существовании.

Давайте посмотрим на некоторые из реальных объектов, которые мы использовали, которые напоминают некоторые основные формы.

Геометрические формы — это формы, которые представляют формы различных объектов.Некоторые фигуры имеют двумерную форму \ (2 \, {\ rm {D}} \), а некоторые — трехмерную форму \ (3 \, {\ rm {D}} \). \ (2 \, {\ rm Фигуры {D}} \) лежат только на оси \ (x- \) и \ (y — \), но фигуры \ (3 \, {\ rm {D}} \) лежат в \ (x, оси у — \) и \ (z — \). Ось \ (z — \) представляет высоту объекта. В геометрии определены различные формы, такие как круг, квадрат, прямоугольник, треугольник и т. Д.

Чтобы создать любую из этих фигур, начните с линии, сегмента линии или кривой. В зависимости от количества линий и их расположения мы получаем разные типы фигур и фигур, такие как треугольник (фигура, в которой соединены трехлинейные сегменты), Пентагон (пятилинейные сегменты) и так далее.

Фигуры в геометрии могут быть открытыми или закрытыми.

Открытая форма: Фигура, которая начинается и заканчивается в разных точках, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется открытой формой.

Замкнутая форма: Фигура, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется замкнутой формой .

Скачать математические формулы для классов \ (6 \) — \ (12: \)

Список геометрических фигур

Формы классифицируются по их регулярности или однородности.Правильная форма является симметричной, например квадрат, круг и т. Д. Неправильные формы асимметричны. Их также называют формами произвольной формы или органическими формами. Например, форма дерева может быть неправильной или органичной. Список геометрической формы \ (2 \, {\ rm {D}} \) и формы \ (3 \, {\ rm {D}} \) приведен ниже:

\ (2 \, {\ rm {D}} \) Формы:

1. Треугольник
2. Круг
3. Полукруг
4. Квадрат
5. Прямоугольник
6. Параллелограмм
7. Ромб
8. Трапеция
9. Воздушный змей
10. Многоугольники (Пентагон, Шестиугольник, Октагон, Нонагон, Десятиугольник и т. Д.)

\ (3 \, {\ rm {D}} \) Формы :

1. Сфера
2. Куб
3. Кубоид
4. Конус
5. Цилиндр

Типы геометрических фигур со свойствами

Давайте посмотрим на некоторые геометрические фигуры и их свойства:

Двумерные формы

Треугольник: Треугольник — это многоугольник, состоящий из \ (3 \) сторон и \ (3 \) ребер и \ (3 \) вершин.\ circ} \) называется квадратом.

Прямоугольник : Тип четырехугольника, в котором противоположные стороны равны по длине, а каждый угол является прямым, называется прямоугольником.

Параллелограмм : Четырехугольник называется параллелограммом, если обе пары его противоположных сторон параллельны.

Ромб: Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Трапеция: Тип четырехугольника, имеющего ровно одну пару параллельных сторон, называется трапецией.

Воздушный змей: Четырехугольник называется воздушным змеем, если у него две пары равных смежных сторон, но неравные противоположные стороны.

Многоугольники (Пентагон, Шестиугольник, Гептагон, Октагон, Нонагон, Десятиугольник и т. Д.): Многоугольники состоят из отрезков линий и не состоят из кривых. Они представляют собой замкнутую конструкцию с разной длиной сторон и разными углами.

Трехмерные фигуры

Сфера: Сфера — это круглая форма \ (3 \, {\ rm {D}} \), радиус которой увеличен до трех измерений.
Пример: Глобус

Куб: Куб — это форма \ (3 \, {\ rm {D}} \) с \ (6 \) гранями, \ (8 \) вершинами и \ (12 \) ребрами. Все грани куба квадратные.
Пример: кубик Рубика

Кубоид: Кубоид — это трехмерная сплошная форма, имеющая \ (6 \) граней, \ (8 \) вершин и \ (12 \) ребер, но все грани кубоида имеют прямоугольную форму.
Пример: Ланчбокс

Конус: Конус представляет собой твердую форму, имеющую круглое основание и плавно сужающуюся от поверхности к вершине в точке, называемой вершиной или вершиной.
Пример: шапка на день рождения

Цилиндр: Цилиндр — это твердое тело \ (3 \, {\ rm {D}} \), имеющее два параллельных круглых основания, соединенных изогнутой поверхностью. У него нет вершины.
Пример: газовый баллон

Примеры основных геометрических фигур

Здесь мы обсудили некоторые геометрические фигуры:

Примеры плоских геометрических фигур

Круг : Колесо — это пример круга в реальной жизни.

Квадрат: Доска для карамболя — это пример квадрата в реальной жизни.

Треугольник: Один кусок пиццы — пример треугольника в реальной жизни.

Прямоугольник: Доска — это пример прямоугольника в реальной жизни.

Овал: Яйцо — пример овала в реальной жизни.

Пример твердых геометрических фигур

Сфера: Футбол, сферические шарики, глобус и т. Д., являются примерами сферы.

Куб: Кубик льда, кубики сахара, игральные кости и т. Д. Являются примерами куба.

Кубоид: Спичечный коробок, книга, коробка для завтрака и т. Д. Являются примерами кубоида.

Конус: Конус для мороженого, шапочка для дня рождения и т. Д. Являются примерами конуса.

Цилиндр: Канистра, труба, газовые баллоны и т. Д. Являются примерами баллона.

Важные замечания о геометрических формах

1. Точка не имеет размера, а линия — это одномерная фигура.Оба являются основой геометрии. Когда две прямые встречаются в точке, они образуют угол, где точка называется вершиной, а линии — руками.
2. Двумерные и трехмерные формы формируются с помощью точек, линий и углов.
3. Двумерные формы, имеющие \ (4 \) стороны, такие как прямоугольник, квадрат, параллелограмм, воздушный змей, трапеция и т. Д., Называются четырехугольниками.
4. Четырехугольники — это четырехсторонние замкнутые фигуры, составленные из прямых линий.
5. Многоугольники — это замкнутые формы, состоящие из прямых линий.Они названы в соответствии с количеством сторон, которые у них есть.
6. Трехмерная форма имеет длину, ширину и высоту.

Геометрические узоры

Геометрические узоры — это набор форм, повторяющихся или изменяемых для создания определенного рисунка.
Примеры геометрических узоров приведены ниже,

Давайте посмотрим на узор, используя некоторые основные плоские формы. Некоторые основные формы плоскостей: круг, квадрат, треугольник, прямоугольник и т. Д.

Решенные примеры — геометрические формы:

Q.1. Приведенная ниже цифра является открытой или закрытой цифрой?

Ответ: Фигура, которая начинается и заканчивается в разных точках, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется открытой фигурой. Поскольку у данной фигуры есть разные начальная и конечная точки, и она не является непрерывной, это открытая фигура.

Q.2. Цифра, приведенная ниже, является открытой или закрытой цифрой?

Ответ: Фигура, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется замкнутой фигурой.Поскольку у данного рисунка и начальная, и конечная точки одинаковы, это замкнутая фигура.

Q.3. Приведите три реальных примера прямоугольника.
Ответ: Прямоугольник — это плоская геометрическая замкнутая форма, имеющая в общей сложности четыре стороны (две противоположные стороны равны и параллельны), четыре угла.
Реальные примеры прямоугольника: банкнота, мобильный телефон, обложка книги и т. Д.

Q.4. Напишите два примера конуса.
Ответ: Конус — это сплошная форма \ (3 \, {\ rm {D}} \). Два примера рожка — шапочка для дня рождения и рожок мороженого.

Q.5. Подсчитайте и запишите количество кругов, овалов, треугольников, прямоугольников и квадратов на рисунке ниже.

Ответ:
Количество кругов \ (7 \).
Количество овалов \ (6 \).
Количество треугольников: \ (8 \).
Количество прямоугольников: \ (4 \).
Количество квадратов \ (3 \).

Сводка

Геометрические формы повсюду. Почти все состоит как из двумерных \ (2 \, {\ rm {D}} \), так и из трехмерных \ (3 \, {\ rm {D}}}) геометрических форм. В этой статье мы рассмотрели определение геометрических форм, геометрические формы, используемые в реальных объектах, типы геометрических фигур и их свойства, открытые формы, закрытые формы, список геометрических форм, некоторые примечания к геометрическим формам, примеры геометрических фигур, узор геометрических фигур и т. д.

Это поможет учащимся понять геометрические узоры и поможет понять геометрические формы, их свойства и т. Д.

Часто задаваемые вопросы (FAQ) — Геометрические формы

Q.1. Какие \ (3 \) примеры геометрической формы?
Ответ: Три примера геометрической формы: круг, треугольник и квадрат

Q.2. Какие основные формы \ (10 ​​\) ?
Ответ: Основные формы \ (10 ​​\) — это круг, овал, треугольник, ромб, квадрат, прямоугольник, трапеция, пятиугольник, шестиугольник и восьмиугольник.

Q.3. Какая геометрическая форма является наиболее распространенной?
Ответ: Круг — наиболее распространенная геометрическая форма.

Q.4. Каковы основные формы \ (4 \) ?
Ответ: Основные геометрические плоские формы \ (4 \) — это круг, треугольник, прямоугольник и квадрат.

Q.5. Сколько сторон у пятиугольника?
Ответ: «Пента» означает «пять» Итак, пятиугольник имеет \ (5 \) сторон.

Q.6. Определите уравнение Эйлера на примере?
Ответ: Уравнение Эйлера для любого многогранника: \ (F + V — E = 2 \), где \ (F \) — количество граней, \ (V \) — количество вершин, и \ (E \) количество ребер.
Пример:
Теперь \ (F + V — E = 2 \)
\ (F = 2 — V + E \)
\ (F = 2-6 + 12 \)
\ (F = 8 \)
Следовательно, количество граней равно \ (8. \)

.

Мы надеемся, что эта подробная статья о геометрических формах окажется полезной.Не стесняйтесь задавать свои сомнения или вопросы в разделе комментариев ниже. Мы обязательно свяжемся с вами в ближайшее время. Embibe желает вам всего наилучшего в вашей подготовке!

115 Просмотры.

Урок 8. favourite subjects — Английский язык — 5 класс

Английский язык

5 класс

Номер урока: 8

Название темы: Favourite subjects

Перечень рассматриваемых вопросов:

• научиться составлять монолог и диалог о любимых школьных предметах;
• научиться использовать лексику «Школьные предметы»;
• научиться использовать вопросы;
• научиться применять на письме правило о заглавных буквах;
• развить умения диалогической и монологической речи;
• актуализировать знания о глаголе-связке “to be”.

Тезаурус

Maths — математика

English – английский язык

History — история

PE — физкультура

Art — рисование

Music — музыка

Geography — география

Science — естествознание

IT – информатика

lesson – урок

to study — изучать

favourite — любимый

Список литературы

Обязательная литература:

Ваулина Ю.Е, «Английский в фокусе», учебник английского языка для общеобразовательных школ, 5 класс// Ваулина Ю.Е., Дули Д., Подоляко О.Е., Эванс В., — М., Просвещение, Express Publishing, 2018 -124 с

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал Puzzle English — URL: www.puzzle-english.com (Дата обращения: 23.05.2019)

Материал для самостоятельного изучения темы

At secondary school students have a lot of subjects to study. Dan is new to school. He wants to learn about new subjects.

Dan: What subjects do you study at school?

Kate: Oh, lots of them. But my favourite is Art. We usually draw or paint at the lesson.

Dan: Do you like Maths?

Kate: Oh, no. I don`t like to study numbers or count. It’s so boring.

Dan: What about History? I think it`s nice to learn about the past.

Kate: Yes, it is. I also like Geography, because we use maps and atlases.

Dan: Do you have IT?

Kate: Yes, we do. We have got many computers and a Science lab.

Dan: Ok, do you have a gym for PE lessons?

Kate: Of course, we do. Dan, what is your favourite subject?

Dan: My favourite subject is English.

Let`s repeat some useful words now. These are school subjects:

Maths

English

Art

Music

Science

History

IT

Geography

PE

Remember! You must start writing school subjects with CAPITAL letters. Use capital letters after full stops, in names of people, a pronoun I, countries, months and days of the week.

For example:

This is Martin. He is new to the school.

I like PE.

I am from Russia.

My birthday is in June.

We have Maths on Fridays.

Are these rules the same in your language?

No, they are not.

In Russian we must start with capital letters words after full stops, names and countries. But we shouldn`t capitalize days of the week, school subjects and months and pronoun I.

At school you often fill in the forms giving facts about yourself. In such forms you should give short answers.

Usually you are asked to answer the following questions:

What is your name?

What class are you in?

What school are you in?

What subjects do you choose?

To fill in the form you must write only facts, for example:

Dan Smith, 3D, secondary school, History and English.

Dan is new to the school. That’s why the teacher asked him to fill in the form. Let’s help Dan do it:

What is your name? – Dan Smith

What class are you in? – 3D

What school are you in? — secondary school

What subjects do you choose? – History and English

Now it’s time for us to practice writing capitalized words and answering these questions. Let’s go.

Тренировочные задания

1. Восстановление последовательности элементов горизонтальное

Put the subjects in alphabetical order.

Geography, Science, Art, PE, IT, English, Maths, History, Music.

Чтобы выполнить задание, внимательно ознакомьтесь с материалом объясняющего модуля.

Правильные ответы:

Art, English, Geography, History, IT, Maths, Music, PE, Science

2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Put the right form of the verb to be am, is or are.

1. ___ this your pencil?
2. What ____ your name?
3. They ____ at school now.
4. She ____ doing homework.
5. I _____ happy.
6. The students _____ writing a dictation now.

Чтобы правильно выполнить задание, вспомните правила, о которых говорилось на уроке и те, которые Вы проходили ранее.

Правильные ответы:

1) Is this your pencil?

2. What is your name?

3. They are at school now.

4. She is doing homework.

5. I am happy.

6. The students are writing a dictation now.

My Favourite Subject (1). Мой любимый предмет (1)

[24.07.2012]   olga Посмотрели: 23324 Рейтинг: 1 Коментариев: 0

горизонтальная прямая — это… Что такое горизонтальная прямая?

горизонтальная прямая

мат. horizontal line

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

• горизонтальная проекция
• горизонтальная развертка

Смотреть что такое «горизонтальная прямая» в других словарях:

• КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ — плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек,… …   Энциклопедия Кольера

• Лазер —         источник электромагнитного излучения видимого, инфракрасного и ультрафиолетового диапазонов, основанный на вынужденном излучении (См. Вынужденное излучение) атомов и молекул. Слово «лазер» составлено из начальных букв (аббревиатура) слов… …   Большая советская энциклопедия

• горизонталь — (гр.; см. горизонт) 1) прямая линия, параллельная плоскости горизонта 1; 2) горизонтали иначе изогипсы геод, линии на географической карте, соединяющие точки с одинаковой высотой над уровнем моря и в совокупности отображающие рельеф местности.… …   Словарь иностранных слов русского языка

• Рычаг — одна из так называемых простых машин. Уже в сочинениях Аристотеля рассматривается действие Р. Действие равноплечих весов он объясняет правильно, представляя коромысло современных ему весов, не имевших еще чашек, в виде прямоугольной линейки,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• SYPHACIA OBVELATA — (Rud, 1802). Нематода подсемейства Syphaciinae (отр. Oxyurata, сем. Oxyuridae), частый паразит грызунов. Космополит. У человека обнаружен 1 раз Ри ^ леем (Riley, 1919) в фе ,<^»»^ . «* , калиях ребенка с Фи липпинских островов (2 …   Большая медицинская энциклопедия

• Критическая температура — та, при которой видимое различие между жидкостью и ее паром исчезает. Явление наблюдается при нагревании жидкостей в запаянных трубках. При этом поверхность, ограничивающая жидкость, постепенно утрачивает кривизну, мениск становится плоским и,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Маятник Капицы — Одна из конструкция маятника Капицы: мотор приводит кривошип, который через шатун и рычаг передаёт вибрацию на перевёрнутый маятник. Маятником Капицы …   Википедия

• линия развертки — Линия на дисплее (например, экране ЭЛТ), расположение точек которой находится в определенной зависимости от времени или иного параметра (например, частоты, фазы и т.п). В ультразвуковом эходефектоскопе с разверткой типа А это горизонтальная… …   Справочник технического переводчика

• Пищеварительная система — обеспечивает усвоение организмом необходимых ему в качестве источника энергии, а также для обновления клеток и роста питательных веществ. Пищеварительный аппарат человека представлен пищеварительной трубкой, крупными железами пищеварительного… …   Атлас анатомии человека

• Асимптота — У этого термина существуют и другие значения, см. Асимптота (значения). Асимптота[1] (от греч. ασϋμπτωτος  несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой… …   Википедия

• Средняя — периодическое увлажнение пола, при котором поверхность покрытия пола влажная или мокрая; покрытие пола пропитывается жидкостями. Источник: МДС 31 12.2007: Полы жилых, общественных и производственных зданий с применением м …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Термины и определения начертательной геометрии

Содержание

1. Термины и определения;
2. Условные обозначения;
3. Способы задания плоскости на чертеже.

Термины и определения

Комплексный чертеж (эпюр Монжа) – чертеж, составленный из взаимосвязанных ортогональных проекций геометрической фигуры. Чтобы преобразовать пространственный макет в эпюр, нужно совместить плоскости проекций П₁ и П₃ с третьей плоскостью П₂, вращая П₁ вокруг оси x, а П₃ вокруг оси z.

Конкурирующие точки – точки, расположенные на одной проецирующей прямой, но при этом удаленные от плоскости проекций на разное расстояние.

Линии уровня – прямые, параллельные одной из плоскостей проекций.

• Горизонталь, h – прямая, параллельная горизонтальной плоскости;
• Фронталь, f – прямая, параллельная фронтальной плоскости;
• Профильная прямая, p – прямая, параллельная профильной плоскости.

Метрические задачи – это задачи, целью решения которых является нахождение натуральных величин отрезков, углов, расстояний.

Октант – часть пространства, ограниченная плоскостями проекций П₁, П₂, П₃. В начертательной геометрии выделяют восемь октантов, нумерация и взаимное расположение которых показаны на рисунке.

Отрезок – участок прямой, ограниченный двумя точками.

Плоскости общего положения – плоскости, которые не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций.

Плоскости уровня – плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.

Позиционные задачи – это задачи, целью решения которых является определение взаимного расположения фигур, нахождение точек и линий их пересечения.

Проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Прямые общего положения – прямые, не параллельные ни одной из плоскостей проекций.

Проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Следы плоскости – прямые, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций.

Следы прямой – точки пересечения прямой с плоскостями проекций.

Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Условные обозначения

Оси координат:

• x – ось абсцисс;
• y – ось ординат;
• z – ось аппликат.

Проекции точек:

• A’, B’, C’ … Z’ или A₁, B₁, C₁ … Z₁ – горизонтальные;
• A», B», C» … Z» или A₂, B₂, C₂ … Z₂ – фронтальные;
• A»’, B»’, C»’ … Z»’ или A₃, B₃, C₃ … Z₃ – профильные.

Проекции прямых:

• a’, b’, c’ … z’ или a₁, b₁, c₁ … z₁ – горизонтальные;
• a», b», c» … z» или a₂, b₂, c₂ … z₂ – фронтальные;
• a»’, b»’, c»’ … z»’ или a₃, b₃, c₃ … z₃ – профильные.

Плоскости проекций:

• П₁ или H – горизонтальная;
• П₂ или V – фронтальная;
• П₃ или W – профильная.

Следы плоскости α:

• h_0α – горизонтальный;
• f_0α – фронтальный;
• p_0α – профильный.

Следы прямой l:

• H_l – горизонтальный;
• F_l – фронтальный;
• W_l – профильный.

Способы задания плоскости на комплексном чертеже

Плоскость на комплексном чертеже может быть задана шестью различными способами:

1. Тремя точками, которые не лежат на одной прямой. На рисунке это т. A, B, C.
2. Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.
3. Двумя пересекающимися прямыми.
4. Двумя параллельными прямыми (пересекающимися в несобственной точке).
5. Отсеком плоской фигуры Ф.
6. Следами. Этот способ удобен тем, что позволяет наглядно представить расположение плоскости в пространстве.

Дополнительные материалы:

Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)

ПРЯМЫЕ частного положения

Относительно плоскостей проекций прямые могут располагаться по разному. Если они параллельны или перпендикулярны плоскостям проекций, то говорят , что это прямые частного положения.

Горизонталь

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости, называется горизонталью,h // Г (рисунок 2-1). На фронтальной проекции (виде спереди) она всегда перпендикулярна вертикальным линиям связи, а на виде сверху составляет с ними некоторый угол α(реконструкцией чертежа определяем положение прямой в пространстве). На виде сверху отрезок АВ, взятый на прямой, изображается в натуральную величину; здесь же можно определить угол α наклона прямой к фронтальной плоскости и угол γ — наклона ее к профильной плоскости.

На горизонтальной проекции (виде сверху) горизонталь проецируется без искажения.

4.2 Фронталь

 

Прямая, параллельная фронтальной плоскости, называется фронталью. f // Ф (рисунок 2-2). На горизонтальной проекции (виде сверху) фронталь всегда перпендикулярна вертикальным линиям связи, а на фронтальной проекции (виде спереди) составляет с ними некоторый угол. Отрезок СD, взятый на прямой, на виде спереди изображается без искажений. Здесь же определяются углы наклона прямой к горизонтальной плоскости b и к профильной плоскости П γ.

Фронталь проецируется без искажения на фронтальной проекции (виде спереди).

 

Профильная прямая

 

Прямая, параллельная профильной плоскости, называется профильной прямой р.р//П (рисунок 2-3). На видах спереди и сверху такая прямая всегда совпадает по направлению с вертикальными линиями связи. Эти виды не определяют наглядно положение прямой в пространстве, поэтому необходимо построить ее изображение на виде слева, где определяются углы наклона прямой к фронтальной a и горизонтальной b плоскостям уровня. Отрезок EF, взятый на прямой р, на виде слева изображается в натуральную величину.

Положение прямой в пространстве определяется положением 2-х любых ее точек (например Е и F). Для построения точек Е и F на виде сверху необходимо наметить положение баз отсчета глубин, а затем, замерив глубины точек, отложить их на виде сверху. Удобно при выборе баз отсчета проводить их через одну из имеющихся точек. Так при выборе базы отсчета глубин ее проводят через дальнюю от наблюдателя точку — Е. Тогда задача построения 3-го вида упрощается — нужно строить на нем на одну точку меньше – F.

Профильная прямая проецируется без искажения на профильной проекции (виде слева).

Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)

Это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости Г.

Отрезок, отложенный на данной прямой, на видах спереди и слева изображается в натуральную величину (рисунок 2-4), а на виде сверху — как точка, совпадающая с проекцией прямой i. Точки А и В называются горизонтально-конкурирующими (совпадающими).

 

 

Узнать еще:

Чертежи точки , прямой и плоскости в системе прямоугольных проекций

1. Чертежи точки , прямой и плоскости в системе прямоугольных проекций

2. Оглавление

Чертежи точки , прямой и плоскости в системе
прямоугольных проекций
1. Чертеж точки
2. Чертёж отрезка прямой
3. Изображение плоскости на чертеже

3. 2.Чертежи точки , прямой и плоскости в системе прямоугольных проекций

Для получения обратимого, т.е. метрически
определенного чертежа любого предмета,
берут не одну, а две или три плоскости
проекций, которые образуют в
пространстве систему перпендикулярных
плоскостей
На главную

4. Система перпендикулярных плоскостей

•П2 — фронтальная
плоскость проекций,
•П1 — горизонтальная
плоскость проекций,
•П3- профильная
плоскость проекций
На главную

5.

Система перпендикулярных плоскостейz
V
II
VI
I -y
-х
О
О
x
III
y
VII
IV
VIII
-z
На главную

6. Знаки координат для точек октантов

Коорди
наты
I
X
Y
Z
+
+
+
Октанты
II III IV V VI VII VII
I
+ + + — — — — — + + — — +
+ — — + + — На главную
z
А2
A
-y
Аz
А3
А (a x; a y; a z)
Аx
x
Аy
А1
y
-z
z
-y
А2
A
Аz
А3
Аx
x
Аy
А1
-z
y
y
z
А2
-y
A
АzА
Аx
Аy
Аy
x
А1
3
y
y
z
А2
Аz
А3
Аy
Аx
x
А1
Аy
y
z
А2
Аz
Аx
x
А1
y
x
А3
у
А1
45°
П1
П3
z
А2
Аy
Аy
П2
А3
у
П2
Чертеж
точки
П3
z
А3
А2
x
у
А1
45°
П1
у

13.

Пример точка А (4; 2; 4)  I четвертиПример
точка А (4; 2; 4) I четверти
z
z
А2
Аz
А2
А3
A-y
х
-у
Аx
x
Аz
-Х
Аy
y
А1
Аx
А1
Аy
y
y
-z
Моисеева О.А.
13

14. Пример точка В (2; -3; -2) III четверти

Пример
точка В (2; -3; -2) III четверти
-y
-4
-3
b1
by
-2
-y
-1
b1
bx
Х
B
b2
bz
Х
b2
-z
Моисеева О.А.
-z
14

15. 2.2. Чертеж отрезка прямой

Чтобы построить чертеж прямой, надо
построить проекции лишь двух её точек
В2
В2
А2
В
А2
х
А
В1
х
А1
Наглядное изображение
отрезка прямой АВ
А1
В1
Чертеж отрезка прямой АВ
На главную

16. Прямые общего положения

— это прямые не параллельные и не перпендикулярные ни к
одной из плоскостей проекций
N=N2
A2
П2
N= N2
A2
B2
A
B2
N1
M2
N1
A1
П1
B
B1
M=M1
M2
A1
M =M1
B1
M (M1; M2) — горизонтальный
след прямой.
N (N1; N2) — фронтальный след
прямой.
На главную

17. Прямые частного положения

Прямая уровня
(прямая,
параллельная какойнибудь одной
плоскости
проекций):
•Горизонтальная
•Фронтальная
•Профильная
Проецирующая прямая
(прямая,
перпендикулярная к
какой-нибудь одной
плоскости проекций) :
•Горизонтальнопроецирующая;
•Фронтальнопроецирующая;
•Профильнопроецирующая.
На главную

18. Горизонтальная прямая уровня —

Горизонтальная прямая уровня это прямая, параллельная
горизонтальной плоскости проекций П1.
П2
A2
х
A2
B2
А
A1
Наглядное изображение
отрезка прямой
B2
В
х
B1
A1
Чертеж отрезка прямой
B1
Фронтальная прямая уровня это прямая, параллельная фронтальной
плоскости проекций П2.
П2
A2
B2
B2
A2
В
А
B1
х
A1
Наглядное изображение
отрезка прямой
х
A1
Чертеж отрезка прямой
B1

20.

Профильная прямая уровня —Профильная прямая уровня это прямая, параллельная профильной
плоскости проекций П3.
П2
П3
B2
B3
В
A2
х
A2
B3
A3
A3
А
A1
B2
A1
B1
Наглядное изображение
отрезка прямой
B1
Чертеж отрезка прямой

21. Горизонтально-проецирующая прямая —

Горизонтально-проецирующая
прямая это прямая, перпендикулярная горизонтальной
плоскости проекций П1
П2
B2
A2
х
В
B2
B3
A2
A3
А
B 1 = A1
Наглядное изображение
отрезка прямой
B1 = A1
Чертеж отрезка прямой

22. Фронтально-проецирующая прямая

это прямая, перпендикулярная фронтальной
плоскости проекций П2
П2
A2 =B2
A2 =B2
х
B3
A3
В
B1
А
B1
A1
A1
Наглядное изображение
отрезка прямой
Чертеж отрезка прямой

23. Профильно-проецирующая прямая

это прямая, перпендикулярная профильной
плоскости проекций П3
П2
A2
B2
B3 =A3
В
х
B1
B2
A2
B3 =A3
А
A1
Наглядное изображение
отрезка прямой
B1
A1
Чертеж отрезка прямой

24.

Взаимное положение точки и прямойА2
Если точка в
пространстве
принадлежит
прямой, то ее
проекции
принадлежат
соответствующим А1
проекциям этой
прямой.
С2
К1
D2
В2
С1
•т. С АВ
•т. D АВ
•т. К АВ (III ч.)
Моисеева О.А.
D1
К2
В1
На главную

25. 2.3. Способы задания плоскости на чертеже

B2
B2
A2
A2
C1
A1
C2
A2
C2
C2
B1
B1
C1
а) три точки не
лежащие на одной
прямой
б) прямая и не
лежащая на ней
точка
A1
B2
A1
B1
C1
в) две
пересекающиеся
прямые
На главную

26. Способы задания плоскости на чертеже

f2
M2
N2
N1
M1
h3 = f1
h2
г) две параллельные
прямые
д) следы плоскости
На главную

27. Плоскость общего положения

П2
Fр=f2
h3=f1
Плоскость, не
параллельную и не
перпендикулярную
ни к одной из
плоскостей
проекций,
называют
плоскостью
общего положения.
Моисеева О.А.
Наглядное изображение
На главную

28. Плоскость общего положения

П2
Fр=f2
h3=f1
Моисеева О.А.
Наглядное изображение
На главную

29. Следы плоскости

Следом плоскости
называется линия ее
пересечения с
плоскостью проекций.
f2
k1 = k2
h3=f1
h2
Чертеж плоскости заданной следами
На главную

30. Плоскости частного положения

Плоскости, параллельные или
перпендикулярные к плоскостям проекций,
называют плоскостями частного положения.
Плоскость уровня
(плоскость, параллельная
какой-либо одной
плоскости проекций):
•Горизонтальная
•Фронтальная
•Профильная
Проецирующая плоскость
(плоскость,
перпендикулярная к какойлибо одной плоскости
проекций) :
•Горизонтальнопроецирующая;
•Фронтальнопроецирующая;
•Профильнопроецирующая.

31. Горизонтально-проецирующая плоскость —

Горизонтально-проецирующая
плоскость это плоскость, перпендикулярная горизонтальной
плоскости проекций П1
B2
B3
C2 C3
A3
A2
C1
B1
A1
Чертеж горизонтально-проецирующей плоскости

32.

Фронтально-проецирующая плоскость —Фронтально-проецирующая
плоскость это плоскость, перпендикулярная фронтальной
плоскости проекций П2
C2
C3
B2
B3
A2
A3
C1
A1
B1
Чертеж фронтально-проецирующей плоскости

33. Профильно-проецирующая плоскость —

Профильно-проецирующая
плоскость это плоскость, перпендикулярная профильной
плоскости проекций П3
B3
B
2
C2
A2
C3
A3
B1
C1
A1
Чертеж профильно-проецирующей плоскости

34. Горизонтальная плоскость уровня —

Горизонтальная плоскость уровня это плоскость, параллельная горизонтальной
плоскости проекций П1
A2
B2
C2
B3
C3
A3
B1
C1
A1
Чертеж горизонтальной плоскости уровня

35. Фронтальная плоскость уровня —

Фронтальная плоскость уровня это плоскость, параллельная фронтальной плоскости
проекций П2.
B2
B3
A3
A2
C2
A1
B1
C3
C1
Чертеж фронтальной плоскости уровня

36.

Профильная плоскость уровня —Профильная плоскость уровня это прямая, параллельная профильной плоскости
проекций П3.
A2
A3
C3
C2
B2
B3
C1
B1
A1
Чертеж профильной плоскости уровня

37. Информационные ресурсы по теме:

1. Гордон В.О., Семенцов-Огневский М.А. Курс
начертательной геометрии: учебное пособие/ под ред.
Ю.Б. Иванова. — 23-е изд., перераб. — М.: Наука,
1988. — 272 с.
2. Локтев О.В., Числов П.А. Задачник по начертательной
геометрии: учебное пособие для втузов. — М.: Высш.
шк., 1977. — 103.: ил.
3. Чекмарев АА. Начертательная геометрия и черчение:
учебник для студ. высш. учеб. заведений. — 2-е изд.,
перераб. и доп. — М.: Гуманит. изд. центр Владос,
2002. — 472 с.: ил.

38. Информационные ресурсы по теме:

Основная литература
1. Соломонов К.Н., Чиченёва О.Н., Бусыгина Е.Б. Основы начертательной
геометрии. -М.: МИСиС, 2003
2. Соломонов К.Н. , Чиченёва О.Н., Бусыгина Е.Б. Основы технического
черчения. – М.: МИСиС, 2004
3. Чекмарев А.А. Инженерная графика. М.: Высшая школа, 1998
4. Сборник «Национальные стандарты». ЕСКД .ГОСТ 2.301-68 2.321-84.-М.:
ИПК Издательство Стандартов,2004
Средства обеспечения освоения дисциплины
1.Пакет AutoCAD, Компас 3D, Симплекс
2.Курс лекций, созданный с использованием графического
«Power Point« и средств Internet.
редактора
38

Пошаговое руководство решения задачи №6

Пошаговое руководство решения задачи №6 — построение линии пересечения сферической поверхности от сквозного призматического выреза.

Необходимо построить линию пересечения сферической поверхности (шара) от сквозного призматического выреза, состоящего из четырех граней (проецирующих плоскостей). Фронтальная проекция линии пересечения заданных поверхностей (шара и многогранника) задана исходным чертежом, требуется построить ее в горизонтальную и профильную проекции.

Для решения такой задачи по начертательной геометрии необходимо знать:

— построение трех проекций сферической поверхности (шара) по заданным координатам, на комплексном чертеже;

— построение линии пересечения шаровой поверхности с гранным телом;

— частные случаи построения линии пересечения шаровой поверхности с проецирующей плоскостью.

Порядок решения Задачи

Рис.6.1

1. В правой части листа формата A3 наносятся оси координат и согласно варианту задания строится фронтальная, горизонтальная и профильная проекции сферы (шара) заданного радиуса.

По координатам точек, взятым из таблицы по своему варианту, наносятся вершины сквозного четырехгранного выреза во фронтальной проекции (рис.6.1).

2. Решение задачи заключается в построении горизонтальной и профильной проекции линии пересечения данного выреза.

Прежде чем приступить к построению этих проекций, необходимо вспомнить некоторые частные случаи сечений шаровой поверхности от проецирующей плоскости (сквозное отверстие можно рассматривать как гранное тело, образованное четырьмя плоскостями), а именно:

(а) если плоскость во фронтальной проекции рассекает шаровую поверхность параллельно экватору, то в горизонтальной проекции это сечение проецируется в виде окружности с радиусом, взятым в этом сечении от оси вращения шара до очерка, а в профильной проекции это сечение проецируется в виде прямой линии;

(b)   если плоскость во фронтальной проекции рассекает шаровую поверхность перпендикулярно экватору, то в горизонтальной проекции это сечение проецируется в виде прямой линии, а в профильной — в виде окружности с радиусом, взятым тем же способом что и в первом случае;

(c)   если плоскость во фронтальной проекции рассекает шаровую поверхность под некоторым (отличным от 0 и 90 градусов) углом к экватору, то в горизонтальной и фронтальной проекциях это сечение будет проецироваться в виде эллипса. Построение эллипса осуществляется по опорным (характерным) и некоторым промежуточным, взятым произвольно, точкам;

(d)   все точки фронтальной проекции сферы, расположенные на очерке, в горизонтальной проекции будут проецироваться на экваторе, а в профильной — на главном меридиане;

(e)   все точки фронтальной проекции сферы, расположенные на экваторе, в горизонтальной проекции будут проецироваться на очерке, а в профильной — на экваторе;

(f)   все точки фронтальной проекции сферы, расположенные на главном меридиане, в горизонтальной проекции будут проецироваться также на главном меридиане, а в профильной — на очерке сферы.

Рис.6.2

3. С учетом приведенных частных случаев сечений построение выреза в горизонтальной и профильной проекциях не вызывает особых затруднений и начинается с определения характерных (опорных) точек сквозного выреза во фронтальной проекции. Этими точками являются А, В, С, D. Тогда берем проекцию стороны призмы B’C’ и рассматриваем ее как проецирующую плоскость ’, рассекающую шар параллельно экватору, — строим в горизонтальной проекции окружность с радиусом r₁ взятым в этой плоскости, от оси шара до очерка. Проецируем на эту окружность точки B’ и C’, получаем B и C — их горизонтальные проекции. Вполне очевидно, что этих точек будет по две (точки входа и выхода), т.к. отверстие сквозное.

Аналогичным способом строится проекция сечения плоскости А’D’. Берется радиус от оси сферы до очерка (разумеется не до точки A’) и в горизонтальной проекции проводится окружность этим радиусом. Проецированием находятся проекции точек D (их будет две — точка входа и точка выхода) — D и D₁ и промежуточной точки, расположенной на экваторе.

Рис.6.3

Сторона четырехугольника СD горизонтальной проекции проецируется в прямую линию, причем эта линия должна начинаться от очерка, т.к. во фронтальной проекции
она пересекает экватор шара и продолжается до точек С и D.

Рис.6.4

Горизонтальной проекцией сторон четырехугольника АВ будет эллипс, строим его по характерным (опорным) точкам. Проецируем точки, расположенные на меридиане, экваторе и очерке фронтальной проекции соответственно на меридиан, очерк и экватор горизонтальной проекции. Соединяя их по лекалу с уже имеющимися
проекциями точек B и B₁, и получаем искомую проекцию эллипса.

4. Аналогичным способом строится третья профильная проекция данного выреза (вид слева), поэтому нет надобности в подробном изложении четырехугольника ВС и АD будут проецироваться в прямые линии, СD – в окружность, AB – в эллипс.

Рис.6.5

5. Заключительным этапом в решении задачи является определение видимости сторон сквозного выреза, которая определяется из расположения их на сопряженной плоскости проекций. Тогда видимыми точками и линиями в горизонтальной плоскости будут точки и линии, которые во фронтальной — расположены выше экватора и на профильной проекции видимыми будут точки и линии которые на фронтальной плоскости расположены левее меридианы.

Экватор и меридиан являются границами видимости. Точки и линии, расположенные ниже экватора и правее меридиана во фронтальной проекции, в горизонтальной и профильной проекциях будут невидимыми.

Раздел: Начертательная геометрия / 

• Рекомендуем
• Комментарии
• Наши товары

Вспомогательные прямые в Компас 3D.

---

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17

Урок №4. Вспомогательные прямые в Компас 3D.

Конструктора при разработке чертежей на кульмане всегда используют тонкие линии, их аналогом в Компас 3D выступают вспомогательные прямые. Они необходимы для предварительных построений и для задания проекционных связей между видами. При печати вспомогательные прямые Вспомогательная, изменить его невозможно.

Существует несколько способов построения вспомогательных прямых. В этом уроке рассмотрим некоторые из этих способов.

1. Произвольная прямая по двум точкам.

В основном меню программы последовательно нажимаем команды Инструменты-Геометрия-Вспомогательные прямые-Вспомогательная прямая.

Или в компактной панели нажимаем кнопки Геометрия-Вспомогательная прямая.

Щелчком левой клавиши мыши указываем первую базовую точку (к примеру, начало координат). Теперь указываем вторую точку, через которую пройдет прямая. Угол наклона между прямой и осью абсцисс текущей системы координат, определится автоматически. Можно вводить угол, через панель свойств. Например введите угол 45º и нажмите клавишу Enter.

Для завершения построения необходимо нажать на значок «Прервать команду» в панели свойств. Данную команду можно осуществить, через контекстное меню, которое вызывается щелчком правой клавиши мыши.

Подобным образом через базовую точку, можно построить сколько угодно произвольных прямых под любым углом. Вы уже наверное обратили внимание что координаты точек можно вводить с клавиатуры используя панель свойств. Кроме того в панели свойств имеется группа Режимы, в которой есть два переключателя: «Не ставить точки пересечения» (активен по умолчанию) и «Ставить точки пересечения». Если вам нужно отметить точки пересечения прямой с другими объектами активируйте переключатель «Ставить точки пересечения», теперь система автоматически проставит точки пересечения со всеми графическими объектами в текущем виде.

Стиль точек будет- Вспомогательная. Для удаления всех вспомогательных элементов воспользуйтесь командами основного меню Редактор-Удалить-Вспомогательные кривые и точки. Как отметить точки пересечения не со всеми, а только с некоторыми объектами описано в уроке №3.

2.Горизонтальная прямая.

Для построения горизонтальной прямой вызываются команды Инструменты-Геометрия-Вспомогательные прямые-Горизонтальная прямая.

Или через компактную панель, нажатием кнопок: Геометрия-Горизонтальная прямая. Инструментальная панель для построения вспомогательных прямых, вся на экране не видна. Чтобы её увидеть, нажмите на кнопку вспомогательных прямых, активную на момент построения, и удерживайте несколько секунд.

Теперь достаточно, щелчком левой клавиши мыши указать точку, через которую пройдет горизонтальная прямая. Одновременно можно построить сколько угодно прямых. Для завершения построения необходимо нажать кнопку «Прервать команду» на панели свойств.

Необходимо помнить, что горизонтальная прямая параллельна оси абсцисс текущей системы координат. Горизонтальные, построенные в системе координат, повернутой относительно абсолютной системы, не будут параллельны горизонтальным сторонам листа.

3. Вертикальная прямая.

Построение аналогично построению горизонтальных прямых, поэтому разберетесь самостоятельно.

Необходимо помнить, что вертикальная прямая параллельна оси ординат текущей системы координат. Вертикальные, построенные в системе координат, повернутой относительно абсолютной системы, не будут параллельны вертикальным сторонам листа.

4. Параллельная прямая.

Для построения параллельной прямой нам потребуется объект параллельно которому она пройдет. В качестве таких объектов могут выступать: вспомогательные прямые, отрезки, звенья ломаной, стороны многоугольников, размерные линии и т.п. Давайте построим параллельную прямую для горизонтальной прямой, проходящей через начало координат.

Вызываем команды Инструменты-Геометрия-Вспомогательные прямые-Параллельная прямая.

Или через компактную панель, нажатием кнопок: Геометрия-Параллельная прямая.

Указываем базовый объект для построения параллельной прямой (в нашем случае горизонтальная прямая проходящая через начало координат). Задаем расстояние от базового объекта до параллельной прямой. Щелчком левой кнопки мыши указывается точка через которую прямая пройдет, либо вводится значение в соответствующее поле на панели свойств. Введем значение 30 мм, нажимаем клавишу Enter.

Системой будут предложены два фантома по обе стороны от базовой линии, каждый из них находится на заданном расстоянии от базового объекта. Обратите внимание на панель свойств, в группе «Количество прямых» активен переключатель «Две прямые». Для создания одной прямой можно включить переключатель «Одна прямая».

Чтобы зафиксировать фантом (активный фантом выделяется сплошной линией) нужно щелкнут на кнопке «Создать объект». Если Вы хотите зафиксировать оба фантома то повторно нажмите кнопку «Создать объект», а затем на кнопку «Прервать команду».

Иногда возникает необходимость сразу построить параллельную прямую для другого объекта, для этого служит кнопка «Указать заново». После её нажатия указывается новый базовый объект для построения параллельной прямой.

На этом пока все. В следующем уроке мы продолжим изучение вспомогательных прямых.

Если у Вас есть вопросы можно задать их ЗДЕСЬ.

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17

Список последних уроков по программе Компас-3D

---

Автор: Саляхутдинов Роман

«БОСК 8.0» Познай Все Cекреты КОМПАС-3D Более 100 наглядных видеоуроков; Возможность быстрее стать опытным специалистом КОМПАС-3D; Умение проектировать 3D изделия (деталей и сборок) любой степени сложности; Гарантии доставки и возврата. >> Читать Полное Описание <<

---

Автор: Саляхутдинов Роман

«БОСК 5. 0″ Новый Видеокурс. «Твердотельное и Поверхностное Моделирование в КОМПАС-3D» Большая свобода в обращении с поверхностями; Возможность формирования таких форм, которые при твердотельном моделировании представить невозможно; Новый уровень моделирования; Гарантии доставки и возврата. >> Читать Полное Описание <<

---

Автор: Саляхутдинов Роман

«Эффективная работа в SolidWorks» Видеокурс. «Эффективная работа в SolidWorks» поможет Вам: Многократно сократить временя на освоение программы; Научит проектировать 3D изделия (деталей и сборок) любой степени сложности; создавать конструкторскую документацию; проводить инженерный анализ. Поможет быстрее стать грамотным специалистом; Гарантии доставки и возврата. >> Читать Полное Описание <<

---

Автор: Дмитрий Родин

«AutoCAD ЭКСПЕРТ» Видео самоучитель По AutoCAD 60 наглядных видеоуроков; Более 15 часов только AutoCAD; Создание проектов с нуля прямо у Вас на глазах; 365-дневная гарантия >> Читать Полное Описание <<

Фронтальная и горизонтальная проекции предмета. Способ прямоугольных проекций

Фронтальная и горизонтальная проекции предмета на чертеже связаны между собой вертикальными линиями связи. Фронтальная и профильная проекции связаны между собой горизонтальными линиями связи. Горизонтальная и профильная проекции связаны между собой горизонтально-вертикальными линиями связи, имеющими общую точку на так называемой постоянной прямой k₁₂₃ комплексного чертежа. Эта прямая проходит под углами 45° к осям у₁ и у₃.

Способ прямоугольных проекций имеет меньшую наглядность, но зато отличается следующими положительными свойствами:

n
1. дает исчерпывающие сведения о предмете благодаря примененик нескольких видов и условных разрезов;
n
2. отличается простотой, так как каждый вид представляет собой изображение предмета лишь с одной стороны;
n
3. отличается точностью и удобством измерений.
n

Этот способ является поэтому основным для изображения предметен во всех отраслях техники. Только при изображении земной поверхности и производстве работ, связанных с ней, более удобен другой способ прямо угольных проекций, называемый способом проекций с числовыми отметками.
n
nTBegin—>TEnd—>n
n

Рис. 1

n

n

При этом способе используется одна горизонтальная плоскость проекций П₁. Высоты точек записываются с помощью числовых отметок (рис. 2, а).

Кроме числовых отметок, используются кривые линии — горизонтали которые Соединяют на чертеже проекции точек местности, имеющих одну и ту же высоту.

Приведенный план местности изображает возвышенность с наивысшей отметкой 84,4 м. Местность полого понижается вправо и более круто влево. Правая пониженная часть местности имеет отметку 81 м, что видно из записи, сделанной около крайней правой горизонтали. На рис. 2, б для наглядности нарисован участок местности. Проекции с числовыми отметками применяются в геодезии и топографическом черчении.

В рассматриваемой второй части курса, кроме основных сведений по начертательной геометрии, будет изложен раздел проекционного черчения. В этом разделе будут применяться и закрепляться способы изображений, изученные в начертательной геометрии. Причем если в начертательной геометрии объектами изучения являются точки, линии, плоскости и геометрические тела, то в проекционном черчении будут рассматриваться более сложные фигуры, являющиеся комбинацией геометрических тел. Кроме того, в этом разделе будут изучаться некоторые условности, принятые в практике технического черчения.

Этот раздел поможет подойти вплотную к изучению основной части курса — машиностроительного черчения.

n

n

TBegin—>TEnd—>n
n

Рис. 2

Образование и обучение Сомали, искусство, экономика и инвестиции, политика, культура, программы лоббирования, фотогалерея на сайте www.sopri.org.

Горизонтальная линия — определение и примеры — Cuemath

Знаете ли вы, что подразумевается под горизонтом?

Горизонт — это линия, по которой кажется, что поверхность земли и небо встречаются (но на самом деле они не пересекаются).

Слово «горизонтальный» происходит от слова «горизонт».

«Горизонтально» означает «из стороны в сторону».

Горизонтальные линии — это линии, параллельные горизонту.

Давайте узнаем подробнее о горизонтальных линиях.

План урока

Что такое горизонтальные линии?

Определение горизонтальной линии

• Обычно горизонтальные линии — это спящие линии.
• Горизонтальные линии — это линии, параллельные горизонту.
• Горизонтальные линии в координатной геометрии — это линии, параллельные оси x.

---

Горизонтальные изображения

Примеры горизонтальных линий в реальной жизни

Вот несколько примеров горизонтальной линии в реальной жизни.

Другие популярные примеры включают ступеньки на лестнице, доски на железнодорожных путях и т. Д.

Примеры горизонтальных линий в геометрии

В геометрии мы можем найти горизонтальные линейные сегменты самых разных форм, например, четырехугольники, трехмерные формы и т. Д.

В координатной геометрии горизонтальные линии — это линии, параллельные оси x.

Вот несколько горизонтальных линий на координатной плоскости.

---

Что такое горизонтальные и вертикальные линии?

• «Горизонтальный» означает «из стороны в сторону», а горизонтальная линия — это не что иное, как линия сна.
• «Вертикаль» означает «вверх-вниз», а вертикальная линия — это не что иное, как стоячая линия.

«Горизонтальный» и «вертикальный» — слова, противоположные друг другу.

Горизонтальные и вертикальные линии перпендикулярны друг другу.

---

Как сделать горизонтальную линию?

Чтобы провести горизонтальную линию на простой бумаге, можно использовать линейку. Поместите его параллельно горизонтальному краю бумаги и проведите линию по линейке.

А как нарисовать горизонтальную линию на координатной плоскости? Посмотрим.

Чтобы нарисовать горизонтальную линию,

• Поместите точку в любую случайную точку на координатной плоскости, скажем, в (2, -3).
• Определите его координату y. Здесь координата Y равна -3.
• Постройте другие точки, координата Y которых совпадает с координатой точки на графике. Построим график (1, -3), (-2, -3) и т. Д.
• Соедините все точки и вытяните с обеих сторон, чтобы получилась горизонтальная линия.

---

Уравнение горизонтальной линии

В последнем разделе мы видим, что y-координаты всех точек на горизонтальной линии совпадают.

Таким образом, уравнение горизонтальной прямой, проходящей через любую точку \ ((a, b) \), имеет вид:

Здесь \ (x \) отсутствует. Это означает, что координата x может быть любой, тогда как координата y всех точек на линии должна быть только \ (b \).

Наклон горизонтальной линии равен 0, поскольку, сравнивая \ (y = b \) с \ (y = mx + b \), мы получаем наклон, равный \ (m = 0 \).

Вот пример:

Обратите внимание на некоторые точки на этой линии: (-5, 3), (-1, 3), (4, 3), (7, 3).

Вы можете видеть, что y-координата всех этих точек постоянна, то есть 3. Следовательно, уравнение этой прямой равно \ (y = 3 \).

---

Как использовать горизонтальную линию?

Горизонтальная линия симметрии

Горизонтальные линии используются для обозначения симметрии.

Горизонтальная линия симметрии — это горизонтальная линия, которая точно разделяет фигуру на две равные части, так что при складывании фигуры вдоль этой линии одна часть перекрывает другую.

На каждом из следующих рисунков пунктирная линия представляет собой горизонтальную линию симметрии.

Тест горизонтальной линии

Тест горизонтальной линии используется для определения, является ли функция однозначной.

Согласно тесту горизонтальной линии, функция НЕ является однозначной, если существует горизонтальная линия, которая проходит более чем через одну точку графика (функции).

Пример 1

Здесь \ (f (x) \) равно единице, потому что каждая горизонтальная линия проходит не более чем через одну точку графика.

Пример 2

Здесь \ (g (x) \) не один, так как существует горизонтальная линия, проходящая более чем через одну точку графика.

Важные примечания

1. Горизонтальная линия (кроме оси x) не имеет пересечений по оси x.
2. Уравнение горизонтальной прямой, проходящей через \ ((a, b) \), есть \ (y = b \).
3. Уравнение вертикальной прямой, проходящей через \ ((a, b) \), есть \ (x = a \).
4. Наклон горизонтальной линии равен 0, поскольку ее уравнение имеет форму \ (y = b \), и сравнивая его с формой пересечения наклона, мы получаем, что ее наклон равен \ (m = 0 \).
5. Тест вертикальной линии используется для определения, является ли отношение функцией, тогда как тест горизонтальной линии используется для определения, является ли функция однозначной.

Решенные примеры

Можем ли мы помочь Джейку найти уравнение следующей строки?

Решение

Данная линия представляет собой горизонтальную линию, проходящую через точку: \ [(a, b) = (1,3) \]

Мы знаем, что уравнение горизонтальной прямой, проходящей через точку \ ((a, b) \), есть \ (y = b \).

Следовательно, уравнение данной строки:

Можем ли мы помочь Аве определить заглавные алфавиты, у которых есть только горизонтальная линия симметрии, но нет вертикальной линии симметрии?

Решение

Давайте определим симметрию (горизонтальную / вертикальную) каждого алфавита.

Мы видим, что только алфавиты B, C, D, E и K имеют только горизонтальную линию симметрии, но не имеют вертикальной линии симметрии.2 \)

с) \ (ч (х) = | х | \)

г) \ (к (х) = \ ln х \)

Решение

Давайте изобразим каждую из этих функций и посмотрим, какая из них пройдет проверку горизонтальной линии.

Мы рисуем горизонтальную линию, чтобы увидеть, сколько графиков имеют не более одной точки пересечения с горизонтальной линией.

Здесь каждая из \ (h \) и \ (g \) имеет две точки пересечения с горизонтальной линией, и, следовательно, они не являются однозначными. Таким образом, у них не может быть обратного.

В то время как каждый из \ (f \) и \ (k \) имеет только одну точку пересечения с горизонтальной линией.

Следовательно, \ (f \) и \ (k \) однозначны и, следовательно, у каждого из них есть обратное. Следовательно,

\ (\ следовательно \) Только \ (f \) и \ (k \) имеют инверсию

---

Интерактивные вопросы

Вот несколько занятий для вас.

Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Советы и хитрости

1. Всякий раз, когда мы видим уравнение вида \ (y = \) константа, мы должны понимать, что оно представляет собой уравнение горизонтальной линии.
2. Уравнение вида \ (y = \) константа представляет собой постоянную функцию.
3. Чтобы определить, есть ли у функции инверсия, используйте тест горизонтальной линии (потому что для того, чтобы функция имела инверсию, она должна быть один-один).

Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции «Горизонтальная линия». Математическое путешествие вокруг горизонтальной линии начинается с того, что студент уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы не только было понятно и легко понять, но и навсегда осталось с ними. В этом заключается магия Куэмат.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.

---

Часто задаваемые вопросы по Горизонтальной линии

1. Есть ли наклон у горизонтальной линии?

Нет, горизонтальная линия не имеет наклона, т.е. наклон горизонтальной линии равен 0.

2. Что такое горизонтальная и вертикальная линия?

• Горизонтальная линия — это линия, параллельная оси x, и ее уравнение имеет вид \ (y = \) константа.
• Вертикальная линия — это линия, параллельная оси y, и ее уравнение имеет вид \ (x = \) постоянная.

3. Что такое вертикальная линия?

Вертикальная линия — это линия, параллельная оси y, и ее уравнение имеет вид \ (x = \) константа.

4. Как нарисовать горизонтальную линию?

Чтобы нарисовать горизонтальную линию на бумаге, используйте линейку. Поместите его параллельно горизонтальному краю бумаги и проведите линию по линейке.

Чтобы нарисовать горизонтальную линию на координатной плоскости,

• Поместите точку в любую случайную точку на координатной плоскости, скажем, в (2, -3).
• Определите его координату y. Здесь координата Y равна -3.
• Постройте другие точки, координата Y которых совпадает с координатой точки на графике. Построим график (1, -3), (-2, -3) и т. Д.
• Соедините все точки, чтобы получить горизонтальную линию.

5. Какое уравнение представляет собой горизонтальная линия?

Уравнение горизонтальной прямой, проходящей через точку (a, b): y = b.

6. Горизонтально из стороны в сторону или вверх-вниз?

Как мы узнали на этой странице, горизонталь — это линия из стороны в сторону.

7. Что подразумевается под горизонтальной линией?

• Горизонтальные линии — это линии, параллельные горизонту.
• Горизонтальные линии в координатной геометрии — это линии, параллельные оси x.
• Горизонтальные линии — это спящие линии.

8. Какой пример вертикальный?

Примером «вертикали» является электрический столб, перпендикулярный земле.

9. Как называются горизонтальные линии на земном шаре?

Горизонтальные линии на земном шаре называются «широтами».«

10. Как называются вертикальные линии на земном шаре?

Вертикальные линии на земном шаре называются «долготами».

Вертикальные и горизонтальные линии — Алгебра II

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Определение горизонтальной линии и пример

Что такое горизонтальная линия?

В техническом анализе на графике цены часто проводят горизонтальную линию, чтобы выделить области поддержки или сопротивления.

В геометрическом анализе горизонтальная линия проходит параллельно оси x. Другими словами, на идеально горизонтальной линии все значения в строке будут иметь одинаковое значение y.

Ключевые выводы

• Горизонтальная линия обычно используется в техническом анализе для обозначения областей поддержки или сопротивления.
• Горизонтальная линия проходит параллельно оси x.
• В техническом анализе горизонтальная линия обычно проводится по максимуму колебания или их серии, где каждый максимум в серии останавливается на одном и том же уровне.То же самое применимо и к минимумам колебаний.

Понимание горизонтальной линии

Горизонтальные линии обычно используются в техническом анализе, чтобы выделить области поддержки, где цена перестала падать, а затем отскакивала в предыдущих случаях, или сопротивления, когда цена перестала расти, а затем продолжала падать в предыдущих случаях.

Горизонтальная линия проводится путем соединения аналогичных минимумов колебания цены для создания горизонтальной линии поддержки. Для горизонтальной линии сопротивления связаны аналогичные максимумы колебаний.

Затем горизонтальная линия используется в аналитических или торговых целях. Например, если цена актива движется между горизонтальными линиями поддержки и сопротивления, то считается, что цена находится в пределах диапазона.

Движение ниже горизонтальной линии поддержки может указывать на дальнейшее снижение цены, но если поддержка удерживается и цена отскакивает выше, цены могут появиться. Те же принципы применимы к горизонтальной линии сопротивления. Если цена поднимется выше сопротивления, могут появиться более высокие цены.Если цена достигает сопротивления, а затем начинает снижаться, горизонтальная линия удерживается, и трейдеры будут следить за более низкими ценами.

Проще говоря, горизонтальная линия на любом графике — это место, где значения оси Y равны. Если он был нарисован, чтобы показать серию максимумов данных, точка данных, перемещающаяся над горизонтальной линией, будет указывать на рост значения оси Y по сравнению с последними значениями в выборке данных.

Фундаментальный горизонтальный анализ

Горизонтальный анализ используется для сравнения значений или цен с течением времени.Это аспект фундаментального анализа, в котором аналитик будет сравнивать различные отчеты о прибылях и убытках с течением времени. В этом виде анализа время функционирует как горизонтальная ось x и позволяет аналитикам вычислять процентные изменения во времени, что является полезным инструментом для представления степени изменения.

Горизонтальный анализ рассматривает тенденции финансовой отчетности за несколько периодов с использованием указанного базового периода и обычно показывает изменения по сравнению с базовым периодом в долларах и процентах.

Процентное изменение рассчитывается путем сначала деления изменения в долларах между годом сравнения и базовым годом на стоимость позиции в базовом году, а затем умножением частного на 100. Например, когда вы слышите, что кто-то говорит, что выручка увеличилась на 10%, это В прошлом квартале этот человек использовал горизонтальный анализ.

Горизонтальный анализ можно использовать по любой статье финансовых показателей компании, от выручки до прибыли на акцию (EPS), и он полезен при сравнении результатов деятельности различных компаний.

Горизонтальная линия относительно кривых спроса и предложения

Кривые спроса и предложения построены с ценой на вертикальной оси графика и объемом спроса на горизонтальной оси. При взгляде на кривые спроса и предложения идеально горизонтальная линия указывает на то, что товар обладает идеальной эластичностью или что его спрос немедленно реагирует на изменения цены. Когда цена совершенно эластичного товара или услуги превышает рыночную цену, объем спроса падает до нуля.При идеальной эластичности потребители просто не готовы тратить на товар или услугу больше, чем определенная цена.

Пример использования горизонтальной линии в техническом анализе

Проведение горизонтальной линии — одна из простейших форм технического анализа, но она также дает важную информацию. На графике ниже горизонтальная линия проведена на биржевом фонде (ETF) SPDR S&P 500 (SPY).

Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2021

Восходящий тренд — это когда цена достигает более высоких максимумов и более высоких минимумов колебаний.Следовательно, горизонтальная линия может выделять, когда цена делает новый максимум, в этом случае показывая признаки восходящего тренда. На приведенном выше графике SPY цена движется выше горизонтальной линии, что указывает на восходящий тренд. Если цена снова упадет ниже горизонтальной линии, это может предупредить о том, что восходящий тренд потерпел неудачу и может произойти снижение цен.

В этом смысле горизонтальная линия действует как линия на песке, где движение над линией является бычьим.

Разница между горизонтальной линией и линией тренда

Оба эти термина могут относиться к одному и тому же: нарисованным линиям на графике.В то время как горизонтальная линия является строго горизонтальной, линия тренда обычно проходит под углом и проводится вдоль восходящих минимумов колебаний во время восходящего тренда или вдоль падающих максимумов колебаний во время нисходящего тренда.

Ограничения использования горизонтальной линии в техническом анализе

Горизонтальная линия не является реальной преградой для цены. Это технический инструмент, который может помочь трейдерам определить, следует ли им быть более медвежьим или бычьим.

То, где проводится горизонтальная линия, субъективно.Не все трейдеры могут разместить горизонтальную линию по одной и той же цене.

При очень важных ценах, где может быть проведена горизонтальная линия, цена может развернуться вокруг нее. Это может вызвать путаницу или некоторые потенциально убыточные сделки, пока цена не сделает более решительное движение выше или ниже линии.

Значение, пример, правила и многое другое

Горизонтальная линия: Горизонтальная линия — это широко используемый термин в математике, а также в нашей повседневной жизни. В координатной геометрии линия называется горизонтальной, если две точки на линии имеют одинаковые координаты Y.Говоря простым языком, прямая линия, параллельная горизонту, называется горизонтальной линией. Горизонтальные линии также называют линиями сна. На оси X-Y горизонтальная линия всегда будет параллельна оси x и перпендикулярна оси y. В этой статье вы можете найти все о горизонтальных линиях, примерах, уравнениях и фактах. Читай дальше что бы узнать!

Горизонтальные линии

Горизонтальные линии в координатной геометрии — это линии, параллельные оси x. Другими словами, линия, имеющая точки в одинаковых точках координаты Y, называется горизонтальной линией.

Горизонтальная аналогия для понимания горизонтальной линии

Горизонт — это линия, по которой земля и небо встречаются. Слово «горизонтальный» происходит от слова «горизонт». Таким образом, простыми словами линия, параллельная горизонту, называется горизонтальной линией.

Как нарисовать горизонтальную линию?

Чтобы нарисовать горизонтальную линию с помощью графика, выполните следующие действия:

• — Для начала определите оси x и y и отметьте числа.
• — Выберите разные точки с разными координатами x, но с одинаковой координатой y.
• — Соедините все точки и вытяните их с обеих сторон, чтобы получить горизонтальную линию

Уравнение горизонтальной линии

В геометрии мы можем представить горизонтальную линию в форме уравнения. Составим уравнение для горизонтальной линии, проходящей через точку (0,2), как показано ниже:

Мы знаем, что прямая линия представлена ​​как y = mx + C

Для точки (0, 2) уравнение будет следующим:
y = (0) x + C
y = C
Линия пересекает ось y в точке (0, 2), таким образом, значение C = 2
Следовательно, y = 2
Следовательно, уравнение горизонтальной линии y = 2

Обратите внимание, что на приведенном выше графике даже для других точек, таких как (-3, 2), (3, 2) или (-6, 2), (6, 2) или любых других точек, координаты y всегда будет 2.В этой ситуации линия будет горизонтальной линией.

Использование горизонтальной линии

Горизонтальная линия может помочь визуализировать симметричность фигуры или трехмерного объекта. Чтобы проверить симметрию, визуализируйте горизонтальную линию, проходящую через ось фигуры и объекта, так что, когда они сложены по горизонтальной линии, обе равные части перекрываются.

Что такое горизонтальная и вертикальная линия

Горизонтальные линии — это линии, параллельные оси X, а точка пересечения оси Y всегда одинакова для всех точек на линии.Принимая во внимание, что вертикальные линии — это линии, параллельные оси Y, и точка пересечения по оси X будет такой же. Проверьте графическое изображение горизонтальных и вертикальных линий снизу:

Решенные примеры горизонтальной линии

Давайте рассмотрим несколько решенных примеров на горизонтальных линиях:

Пример 1: Проверьте, сколько алфавитов симметрично по горизонтали, по изображению, приведенному ниже:

Решение: Мы нарисовали горизонтальную линию поперек букв, чтобы определить, симметричны ли буквы.Алфавит «А» не симметричен по горизонтали, но симметричен по вертикали. Принимая во внимание, что алфавиты «B», «C» и «D» симметричны по горизонтали.

Пример 2: Проверьте, какое уравнение соответствует горизонтальной линии на приведенном ниже графике:

Решение: Уравнения линий следующие:

• y = x ² — 5
• y = x ²
• y = x
• y = 3
• x = 3

В вышеупомянутых уравнениях линия с таким же отрезком y во всех точках прямой y = 3.Для линии y = 3 точка пересечения по оси x изменяется, а точка пересечения по оси y остается постоянной. Следовательно, y = 3 — горизонтальная линия.

Бесплатные учебные материалы по Embibe

Воспользуйтесь следующими бесплатными учебными материалами Embibe, которые определенно помогут вам на экзаменах:

Часто задаваемые вопросы

Проверьте часто задаваемый вопрос ниже:

В. Какое правило для горизонтальной линии? А.Горизонтальная линия имеет следующие свойства: — линия, параллельная оси x координатной плоскости. — Наклон горизонтальной линии равен нулю — Пересечение оси Y горизонтальной линии является постоянным.

В. Как нарисовать горизонтальную линию? A. Чтобы нарисовать горизонтальную линию, координаты y должны быть постоянными, а координаты x могут изменяться. Постройте несколько точек с постоянными координатами y и нарисуйте линию, соединяющую их.

В. Что такое горизонтальная и вертикальная линия? A. Горизонтальная линия, параллельная оси x. В то время как вертикальная линия параллельна оси y.

В. Есть ли наклон у горизонтальной линии? A. Нет, горизонтальная линия не имеет наклона.

В. Какое уравнение представляет собой горизонтальную линию? A. Уравнение горизонтальной линии будет: y = постоянная.Константа будет соответствовать координате y.

В. Как называются горизонтальные линии на земном шаре? A. Горизонтальные линии на земном шаре называют широтой.

Надеемся, эта статья вам поможет. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их в разделе комментариев ниже. Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

579 Просмотры

Особые случаи линейного уравнения: горизонтальные линии

Уравнение горизонтальной линии

Горизонтальная линия проходит слева направо и параллельна оси x.Это также линейная линия, очень похожая на многие, с которыми вы сталкивались до сих пор (например, форма пересечения уклона, общая форма). Но что делает его таким особенным? Уравнение горизонтальной линии уникально, и вы скоро поймете, почему.

Какой наклон горизонтальной линии

Когда мы имеем дело с горизонтальными линиями, каков их наклон? Вы, вероятно, сможете ответить на этот вопрос, не вдаваясь в математику. Посмотрите на идеально горизонтальную линию на графике ниже.

Наклон говорит нам, насколько крута линия.Фактически, наклон можно определить по подъему / спуску, что помогает нам определить крутизну. Глядя на красную линию выше, насколько она крутая? Наклон горизонтальной линии на самом деле равен 0. Она никогда не поднимается (и не падает), поэтому, если бы мы нашли подъем / пробег, мы бы получили 0 / пробег. 0, деленный на что угодно, все равно равен 0, и, следовательно, наклон нашей горизонтальной линии равен 0.

Немного отступая, каково уравнение горизонтальной линии? Поскольку линия горизонтальна и проходит параллельно оси x, уравнение просто:

y = y-точка пересечения линии или, чаще y = b (где b = точка пересечения с y)

Примеры задач

Вопрос 1:

Определите линию уравнений из следующих точек.

я) (-5, 2), (3, 2)

Решение:

Еще раз взгляните либо на точки, либо на сам график. Обе координаты оси y равны 4. Линия проходит по y = 4. Ваш ответ будет заключаться в том, что уравнение y = 4.

iii) (б, м), (в, м)

Решение:

Теперь вы понимаете, что даже без чисел, координаты y могут рассказать вам уравнение линии. В этом случае уравнение = y = m.

Вопрос 2:

Напишите уравнение линии с заданной информацией:

Горизонтально, проходит через (4,7)

Решение:

Хотя нам не дают двух точек для наблюдения, предоставленная информация говорит нам все, что нам нужно знать.В нем говорится, что линия, с которой мы имеем дело, горизонтальна. Следовательно, мы можем взглянуть только на координату y данной точки, чтобы помочь нам определить уравнение горизонтальной линии. Вы должны обнаружить, что уравнение = y = 7.

Ищете, чем заняться дальше? Узнайте о параллельных и перпендикулярных линиях в линейных функциях и о том, как они должны выглядеть. Вы также можете узнать, как построить график линейных неравенств с двумя переменными или системы линейных неравенств. Еще многое предстоит узнать с точки зрения линейных функций, поэтому убедитесь, что вы усвоили этот урок о закреплении уклона горизонтальной линии, прежде чем двигаться дальше!

Координатная геометрия: вертикальные и горизонтальные линии

В последнем видео мы рассмотрели графические линии.Нет, мы подробнее рассмотрим вертикальные и горизонтальные линии, а также то, как мы можем найти их уравнения.

Как мы обсуждали в последнем видео, каждая линия в плоскости x-y имеет свое собственное уникальное уравнение. Самыми простыми уравнениями являются уравнения для горизонтальных и вертикальных линий.

Давайте представим типичную горизонтальную линию. Итак, вот горизонтальная линия, и я выделил точки на ней. Давайте просто подумаем о координатах этих точек.

Некоторыми точками на линии являются такие, как (0, -3), (1, -3), (2, -3) и т. Д. -1, -3, -2, -3 и т. Д. X -координата может быть любым числом в числовой строке, это может быть даже дробь. Я их не перечислял, но это тоже могут быть дроби. Но обратите внимание, что координата Y зафиксирована на месте. Координата y должна быть отрицательной 3.

Что ж, очень элегантный способ обозначить это условие — просто y = -3. Это уравнение линии, которое суммирует все, что вам нужно знать о линии.Чтобы квалифицироваться как точка на этой линии, эта точка должна иметь координату y, равную -3, а координата x может быть любой, какой она хочет. И это уравнение линии.

Общая форма горизонтальной линии

Другой способ подумать об этом: любая горизонтальная линия будет полностью состоять из точек на одной высоте, то есть на одинаковом расстоянии выше или ниже оси x. Если мы просто укажем эту высоту как место, где горизонтальная линия пересекает ось Y, тогда мы укажем все об этом.Таким образом, общая форма горизонтальной линии y = K, где K — высота линии.

И K также будет точной точкой на оси y, где линия пересекает ось y. Мы называем это перехватчиком y . Мы поговорим об этом подробнее в следующих видео. Например, эта линия здесь всегда имеет координату y, равную 2, и она пересекает ось y в точке 2. Итак, должно быть уравнение y = 2.

Что такое уравнение оси X?

Какое уравнение представляет собой сама ось абсцисс? Вот это интересно.Ось x представляет собой горизонтальную линию, поэтому у нее должно быть собственное уникальное уравнение. Каждая линия в плоскости x y имеет собственное уникальное уравнение, в то время как ось x выровнена, поэтому она должна иметь собственное уникальное уравнение. Теперь давайте подумаем об этом: ось x представляет собой горизонтальную линию с нулевой высотой.

Поскольку он проходит через ось y в начале координат, он проходит через ноль, ноль. Это означает, что уравнение оси x должно быть y = 0, и это уравнение оси x.

Вертикальные линии

Теперь поговорим о вертикальных линиях.Точно так же, как горизонтальные линии имеют одинаковые координаты y, вертикальные линии имеют одинаковые координаты x.

Итак, здесь мы видим, что линия пересекает ось x в точке 4. Мы также видим, что все точки выше и ниже нее находятся на одинаковом расстоянии справа от оси y. Таким образом, все они должны иметь координату x, равную 4. И, следовательно, хороший способ написать уравнение этой линии будет просто x = 4, а не слова, которые мы устанавливаем для этой линии, а именно: координата x должна быть быть 4.

Координаты Y могут быть где угодно, и если мы будем следовать этому правилу, мы всегда попадем на эту конкретную линию. Уравнение любой вертикальной линии, проходящей через ось x в точке K, должно быть x = K. Точно так же уравнение оси y, вертикальной линии, пересекающей ось x в нуле, должно быть x = 0.

Две точки с одинаковой координатой X или Y

Итак, уравнение оси x y = 0, уравнение оси y имеет вид x = 0. Любые две точки, которые имеют одну и ту же координату y, должны лежать на одной и той же горизонтальной линии.Это очень важная идея. И это то, что вам нужно распознать, потому что тест просто даст вам набор координат.

Вы должны будете распознать, что эти две координаты имеют одинаковую координату y. Значит, они должны быть на горизонтальной линии. Точно так же любые две точки с одинаковой координатой x должны лежать на одной и той же вертикальной линии. Если C имеет такую ​​же координату x, что и точка A, и такую ​​же координату y, что и точка B, тогда должно быть верно, что угол, ACB, является прямым углом, углом 90 градусов.

Потому что это угол между горизонтальной линией и вертикальной линией. Имейте в виду, что горизонтальная линия может проходить через первый и второй квадранты, то есть, если она выше оси x, или она может проходить через третий и четвертый квадранты, если она ниже оси x. Вертикальная линия может проходить через второй и третий квадранты, если она находится слева от оси y, или через четвертый и один квадранты, если она находится справа от оси y.

Большинство горизонтальных и вертикальных линий проходят через два квадранта.Как мы увидим, большинство наклонных линий проходят через три квадранта.

Вертикальные и горизонтальные линии: практическая задача

Вот практическая задача.

Прямоугольник образован линиями y = 1, y = 4, x = 2 и line = D. Когда диагональ построена, она образует у основания угол 30 градусов. Найдите уравнение линии D.

Итак, я предлагаю вам приостановить видео, поработать над этим, а затем мы поговорим об этом.

_{Изображение Новикова Алексея}

Ладно, ну во-первых, очевидно, что D — это вертикальная линия.Как и все вертикальные линии, у него должно быть уравнение в форме x = K. Давайте подумаем об этом, мы посмотрим на треугольник и дадим вершинам буквенные названия.

Итак, точку в 2, 1 мы будем называть A, точку в K, 4 мы будем называть B, а точку в C, в K, 1 мы будем называть C. И обратите внимание, что длина этой базы равна K-2, потому что, начиная с оси Y, мы переместились бы на два деления вправо, чтобы добраться до A, а затем, когда мы переместимся в C, мы пройдем K пробелов. Итак, маленькие 2 плюс нижняя ножка этого треугольника в сумме дают K.

Это должно означать, что основание K- 2. Итак, конечно, это треугольник 30-60-90. Мы изучали это на уроке геометрии и знаем, что можем установить соотношение: A над C = корень 3 над 1. Перекрестным умножением мы получаем AC = 3 корень 3. Итак, этот AC, который равен 3 корню 3, это равно K-2, как мы уже сказали.

Итак, теперь мы должны добавить 2, чтобы решить K, и мы получаем K = 2 + 3 корня над 3. И, следовательно, уравнение прямой x = 2 + 3 корня 3.

Резюме

Таким образом, горизонтальное прямые имеют общий вид y = K.Вертикальные линии имеют общий вид x = K. Ось x имеет уравнение y = 0.

Ось y имеет уравнение x = 0. Если две точки имеют одну и ту же координату x, они разделены по вертикали. Они лежат на одной вертикальной линии. И если две точки имеют одну и ту же координату y, то они разделены по горизонтали. Они лежат на одной горизонтальной линии.

О Майке МᶜГарри

Майк создает уроки для экспертов и практические вопросы, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха.У него есть степень бакалавра физики и магистра религии в Гарварде, а также более 20 лет опыта преподавания, специализирующегося на математике, естественных науках и стандартизированных экзаменах. Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидной черепно-мозговой недостаточности, он настаивает на том, чтобы болеть за Нью-Йорк Метс.

Горизонтальные и вертикальные линии

Горизонтальные и вертикальные линии представляют собой уникальные линейные уравнения. Когда наклон равен нулю, линия горизонтальна. Если наклон не определен, линия вертикальная.Обратите особое внимание на то, что здесь означает undefined, наклон вертикальной линии не определен, потому что это линия, указывающая прямо вверх, что приближает ее к бесконечности как предельному значению.

Уравнение вертикальной линии , проходящей через точку \ (P (a, b) \): \ (x = a \)

Уравнение горизонтальной линии , проходящей через точку \ (P (a, б) \) равно \ (y = b \)

Обратите внимание, насколько упрощенно каждое уравнение. Давайте разберемся, почему они такие.

Вертикальные линии

Вертикальная линия указывает прямо вверх и вниз. Это линия, параллельная оси Y графика. Вертикальная линия, определяемая при каждом значении y, имеет только одно значение x. Его наклон не определен. Это затрудняет математическое описание с использованием общего уравнения линии, поскольку у нее нет наклона, который можно было бы описать.

Неопределенный наклон эквивалентен тому, что коэффициент наклона равен нулю.Общее уравнение прямой выглядит следующим образом:
$$ Ax + By = C $$
Если мы допустим \ (B = 0 \) и попытаемся преобразовать уравнение в форму точки с наклоном линии:
$$ \ begin {align} & Ax + 0y = C & \ text {уравнение с} B = 0 \\ [1em] & 0y = -Ax + C & \ text {вычтите Ax с обеих сторон} \\ [1em] & y = \ frac { -A} {0} x + \ frac {C} {0} & \ text {попытка деления на ноль} \ end {align} $$
Это показывает нам проблему с неопределенным уклоном. В случае, когда наклон не определен, потому что он делится на ноль, исходная общая форма уравнения с \ (B = 0 \) является правильным методом поиска вертикальной линии.
$$ x = \ frac {C} {A} $$
Вышесказанное является упрощением, если бы мы просто продолжили с \ (B = 0 \). Мы, конечно, не можем делить на ноль, поэтому пример попытки упростить до формы «точка-наклон» был нелепым занятием. Он был включен, чтобы показать, насколько странным является неопределенный наклон в линейном уравнении. Мы можем определить, что любое уравнение, где y равно константе, представляет собой вертикальную линию на графике.

Горизонтальные линии

Горизонтальная линия указывает слева направо.Это перпендикулярная линия к оси Y графика. Горизонтальная линия, определяемая для каждого значения x, имеет только одно значение y. Он имеет нулевой наклон. Вариант линии намного проще описать математически, используя общее уравнение линии, чем вертикальную линию. Нулевой наклон легко учесть, потому что он подразумевает \ (A = 0 \) в общем уравнении прямой.

$$ \ begin {align} & Ax + By = C & \ text {общее уравнение линии} \\ [1em] & By = -Ax + C & \ text {вычесть Ax с обеих сторон} \\ [1em] & y = \ frac {-A} {B} x + \ frac {C} {B} & \ text {разделите обе стороны на B, теперь в форме точечного уклона} \\ [1em] && \ text {если уклон равно нулю, что означает} \ frac {-A} {B} = 0 \\ [1em] & y = \ frac {C} {B} & \ text {уравнение горизонтальной линии} \ end {align} $$
Выше показано упрощение общего уравнения прямой до уравнения, в котором наклон равен нулю.Что мы можем определить, так это то, что любое уравнение, в котором x равно константе, представляет собой горизонтальную линию на графике.

Уравнение вертикальной линии , проходящей через точку \ (P (a, b) \): \ (x = a \)

Уравнение горизонтальной линии , проходящей через точку \ (P (a, b) \) равно \ (y = b \)

---

Об авторе

Джеймс Лоуман — прикладной математик, в настоящее время работает над докторской степенью. в области вычислительной гидродинамики в Университете Ватерлоо.Он является соучредителем компании Waterloo Standard, занимающейся онлайн-обучением по математике и естественным наукам.

Если вам нужна помощь по математике, запишитесь на сеанс у Джеймса.

.