Рубрика: Разное

Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100:

В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, пятая часть — 20%, три пятых — 60% и т.д.

Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов. Например, в сообщениях «Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50%» и «Минимальная заработная плата повышена с февраля в 1,5 раз» говорится об одном и том же. Точно так же увеличить в 2 раза — это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза — это значит увеличить на 200%, уменьшить в 2 раза — это значит уменьшить на 50%.

Аналогично
— увеличить на 300% — это значит увеличить в 4 раза,
— уменьшить на 80% — это значит уменьшить в 5 раз.

Задачи на проценты

Поскольку проценты можно выразить дробями, то задачи на проценты являются, по существу, теми же задачами на дроби. В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% («целое»), а ее часть b выражается числом p%.

В зависимости от того, что неизвестно — а, b или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.

1. Нахождение процента от числа.
Чтобы найти \( \frac{p}{100} \) от a, надо a умножить на \( \frac{p}{100} \):

Итак, чтобы найти р% от числа, надо это число умножить на дробь \( \frac{p}{100} \). Например, 20% от 45 кг равны 45 • 0,2 = 9 кг, а 118% от х равны 1,18x

2. Нахождение числа по его проценту.
Чтобы найти число по его части b, выраженной дробью \( \frac{p}{100} , \; (p \neq 0) \), надо b разделить на \( \frac{p}{100} \):
\( a = b : \frac{p}{100} \)

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а \( (a \neq 0) \), надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а затем эту часть выразить в процентах:

Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел.

Нетрудно заметить, что формулы

Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на дроби.

Простой процентный рост

Когда человек не вносит своевременную плату за квартиру, на него налагается штраф, который называется «пеня» (от латинского роеnа — наказание). Так, если пеня составляет 0,1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки, то, например, за 19 дней просрочки сумма составит 1,9% от суммы квартплаты. Поэтому вместе, скажем, с 1000 р. квартплаты человек должен будет внести пеню 1000 • 0,019 = 19 р., а всего 1019 р.

Ясно, что в разных городах и у разных людей квартплата, размер пени и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл составить общую формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S — ежемесячная квартплата, пеня составляет р% квартплаты за каждый день просрочки, а n — число просроченных дней. Сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим S_n.
Тогда за n дней просрочки пеня составит рn% от S, или \( \frac{pn}{100}S \), а всего придется заплатить \( S + \frac{pn}{100}S = \left( 1+ \frac{pn}{100} \right) S \)
Таким образом:
\( S_n = \left( 1+ \frac{pn}{100} \right) S \)

Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов. Как и выше, нетрудно убедиться, что в этом случае
\( S_n = \left( 1- \frac{pn}{100} \right) S \)

Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная величина в действительности убывает. Рост в этом случае «отрицательный».

Сложный процентный рост

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем через определенный договором срок, например, через год) принята следующая система выплаты доходов: за первый год нахождения внесенной суммы на счете доход составляет, например, 10% от нее. В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход - «проценты», как его обычно называют.

Если же вкладчик этого не сделал, то проценты присоединяются к начальному вкладу (капитализируются), и поэтому в конце следующего года 10% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 1000 р. и ни разу в течение трех лет не будет брать деньги со счета.

10% от 1000 р. составляют 0,1 • 1000 = 100 р., следовательно, через год на его счете будет
1000 + 100 = 1100 (р.)

10% от новой суммы 1100 р. составляют 0,1 • 1100 = 110 р., следовательно, через 2 года на его счете будет
1100 + 110 = 1210 (р.)

10% от новой суммы 1210 р. составляют 0,1 • 1210 = 121 р., следовательно, через 3 года на его счете будет
1210 + 121 = 1331 (р.)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, «лобовом» подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 20 лет. Между тем подсчет можно вести значительно проще.

А именно, через год начальная сумма увеличится на 10%, то есть составит 110% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,1 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1 • 1,1 = 1,1² раз.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 • 1,1² = 1,1³ раз. При таком способе рассуждений получаем решение нашей задачи значительно более простое: 1,1³ • 1000 = 1,331 • 1000 — 1331 (р.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна S_n р.

Величина p% от S составляет \( \frac{p}{100}S \) р., и через год на счете окажется сумма
\( S_1 = S+ \frac{p}{100}S = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)S \)
то есть начальная сумма увеличится в \( 1+ \frac{p}{100} \) раз.

За следующий год сумма S₁ увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма
\( S_2 = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)S_1 = \left( 1+ \frac{p}{100} \right) \left( 1+ \frac{p}{100} \right)S = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)^2 S \)

Аналогично \( S_3 = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)^3 S \) и т.n S \)

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

калькулятор дробей — Рассчитать фракции онлайн

Опытные сотрудники калькулятора онлайн всегда здесь, чтобы предоставить эффективный и надежный образовательный инструмент для простоты расчетов. Да, недавно они обновили калькулятор значительных дробей, который помогает понимать дробные и дробные дроби, умножение и деление дробей, упрощение дробей и преобразование между дробями и десятичными дробями.

На этой платформе вы можете найти калькулятор четырех фракций, с помощью которого вы можете легко выполнять определенные фракции.

Что ж, прежде чем узнавать о нашем калькуляторе с дробями, давайте начнем с термина «дробь».

Дробь – это число, которое говорит нам, сколько частей целого у нас есть, значит, это число, представляющее целое число, которое делится на равные части. Фракция записывается косой чертой между двумя числами. Верхнее число называется числителем, оно представляет часть целого числа, а нижнее число называется знаменателем и представляет целое число, из которого сделаны части. Попадание в более подробные дроби далее классифицируется как:

К этим дробям относятся те, в которых числитель, который является верхней цифрой, меньше знаменателя, а нижняя цифра, например 4/9, 6/9 2/6 во всех этих числовых дробях, меньше знаменателя.

Это те дроби, в которых числитель больше знаменателя, например, 6/3, 9/5, 7/2 во всех этих числителях больше знаменателя.

Это такие же дроби, как, например, 2/4, 1/2, они похожи на дроби, потому что 2/4 в упрощенном виде будет ½. Еще один пример, который поможет вам понять, что 2/3 и 6/9 также являются одинаковыми дробями, потому что если мы упростим 6/9 с тем же числом, получится 2/3

Это дроби, которые не одинаковы или не упрощены, чтобы быть одинаковыми, например, 2/3, а 6/9 отличаются от дробей.

Наш калькулятор фракций специально разработан для выполнения основных и сложных операций с фракциями; он работает как конвертер дробей. Да, этот калькулятор для дробей помогает выполнять сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Кроме того, этот калькулятор с дробью помогает рассчитать упрощенные дроби и даже перевод между дробными и десятичными числами.

• Прежде всего, вы должны ввести правильные и неправильные дроби
• Затем выберите операцию (+) и нажмите кнопку «Рассчитать» в калькуляторе добавления дроби, чтобы получить результат дроби.

• Вам просто нужно ввести каждую фракцию в указанных полях
• Затем выберите операцию (-)
• Сразу после этого нажмите кнопку расчета этой доли калькулятора, чтобы получить результат

• Сначала введите значения каждой дроби в данное поле
• Затем выберите операцию (*)
• Когда закончите, нажмите кнопку расчета этого множителя дроби, чтобы получить результат

• Вы должны ввести значения каждой дроби в обоих заданных полях
• Затем выберите операцию (/)
• Наконец, нажмите кнопку расчета этого калькулятора деления фракций, чтобы получить значение деления дроби

• Вы просто вводите оба значения в приведенном выше расчете доли
• И, нажмите кнопку расчета, чтобы получить значение дроби упрощения

Вам просто нужно ввести значение дроби в приведенном выше калькуляторе, а остальные расчеты можно выполнить с помощью нашего десятичного калькулятора дроби.

Просто введите десятичное значение в данное поле и нажмите кнопку вычисления, чтобы преобразовать десятичное значение в дробное значение

Эти формулы дроби помогут вам раскрыть несколько вопросов, таких как:

Вы можете легко добавлять дроби с простотой данной формулы:

a / b + c / d = (ad + bc) / bd

Например:

2/6 + 1/4 = ((2 * 4) + (6 * 1)) / ((6 * 4)) = 14/24 = 7/12

Наш калькулятор добавления фракций также использовал ту же формулу для добавления фракций.

Вычитание дроби становится легче с помощью следующей формулы:

a / b – c / d = (ad-bc) / bd

Например:

2/6 – 1/4 = ((2 * 4) – (6 * 1)) / ((6 * 4)) = 2/24 = 1/12

Наш калькулятор вычитания фракций также учитывает ту же формулу для вычитания фракций.

Получите простое умножение дроби с помощью приведенной ниже формулы:

a / b × c / d = ac / bd

Например:

2/6 × 1/4 = (2 × 1) / (6 × 4) = 2/24 = 1/12

Наш калькулятор умножения долей также учитывает ту же формулу, выполняя вычисления умножения долей.

Следующая формула помогает раскрыть этот вопрос:

a / b ÷ c / d = ad / bc

Например:

2/6 ÷ 1/4 = (2 × 4) / (6 × 1) = 8/6 = 4/3 = 1 1/3

Наш калькулятор деления фракций выполняет вычисление деления фракций, используя ту же формулу деления фракций.

Фракции используются в вашей повседневной жизни во многих задачах. Вы можете воспользоваться помощью фракций в управлении временем для различных задач или, если вам придется готовить или печь снова, делите общее время на фракции, тем самым предоставляя подходящее время для каждой задачи. Фракции также широко используются для приготовления пищи, в которой различные ингредиенты определяются фракциями, такими как 1/4 стакана молока, ½ стакана сахара и аналогичным образом. Точно так же ученые и химики используют часть своих экспериментов.

Да, этот онлайн-калькулятор фракций использует продвинутый алгоритм для решения уравнений дробей. Не стесняйтесь использовать этот эффективный удобный инструмент и получите желаемые результаты!

Other Languages: Fraction Calculator, Kalkulator Ułamków, Kesir Hesap Makinesi, Bruchrechnen, Kalkulator Pecahan, 分数の計算, 분수 계산기, Kalkulačka Zlomky, Calculadora De Fração, Calculatrice Fraction, Calculadora De Fracciones, Calcolatrice Frazioni, حاسبة الكسور, Fraktiolaskin

Сложение и вычитание десятичных чисел Калькулятор показывает и объясняет свою работу

Как складывать и вычитать десятичные числа

Чтобы складывать и вычитать десятичные числа без калькулятора, оба числа должны иметь одинаковое количество десятичных знаков. Это связано с тем, что десятичные точки должны выровняться в сетке решения для сложения или вычитания десятичных чисел.

Если окажется, что одно число имеет большее количество десятичных знаков, чем другое, просто добавьте нули в конец числа с наименьшим количеством десятичных знаков, пока оно не будет иметь такое же количество десятичных знаков, как и другое.

Например, предположим, что мы пытаемся сложить следующие два десятичных числа:

56,4321 + 12,34

Поскольку первое число имеет на 2 десятичных разряда больше, чем второе число, нам нужно добавить 2 нуля в конец второго. число (12,34 становится 12,3400). Таким образом, десятичные точки (обозначенные красной вертикальной линией) будут выровнены в сетке решения, например:

← проведите пальцем влево и вправо → ← проведите пальцем влево и вправо →

Это также гарантирует, что сумма двух чисел будет иметь такое же количество десятичных знаков, что и число с наибольшим количеством десятичных знаков.

Как складывать отрицательные числа

Если одно или несколько чисел в задаче сложения отрицательны, шаги для сложения чисел зависят от того, совпадают ли знаки двух чисел.

Если знаки одинаковые:

Просто сложите абсолютные значения двух чисел и дайте сумме тот же знак, что и два числа.

Пример: (-7) + (-2)

Добавьте абсолютное значение -7 (| -7 | = 7) к абсолютному значению -2 (| -2 | = 2), чтобы получить 9, и дайте сумме знак двух чисел, который в данном случае является отрицательным знаком.

Если знаки не совпадают:

Используя их абсолютные значения, вычтите меньшее из двух чисел из большего из двух чисел и дайте сумме знак числа с наибольшим абсолютным значением.

Пример: (-7) + (2)

Вычтите абсолютное значение меньшего числа (| 2 | = 2) из ​​абсолютного значения большего числа -7 (| -7 | = 7), чтобы получить 5 , и присвойте результату знак числа с наибольшим абсолютным значением, которое в данном случае является отрицательным знаком.

Как вычитать отрицательные числа

Если проблема заключается в вычитании, измените вычитание на сложение и измените знак последнего числа на противоположный. Затем следуйте инструкциям по добавлению отрицательных чисел.

Пример №1: (-7) — (2)

Измените (-7) — (2) на (-7) + (-2) и следуйте правилам сложения.

Поскольку теперь знаки те же самые, добавьте абсолютное значение -7 (| -7 | = 7) к абсолютному значению -2 (| -2 | = 2), чтобы получить 9, и дайте сумме знак двух чисел, которое в данном случае является отрицательным знаком.

Пример № 2: (-7) — (-2)

Измените (-7) — (-2) на (-7) + (2) и следуйте правилам сложения.

Поскольку знаки больше не те же самые, вычтите абсолютное значение меньшего числа (| 2 | = 2) из ​​абсолютного значения большего числа -7 (| -7 | = 7), чтобы получить 5, и дайте результат — знак числа с наибольшим абсолютным значением, которое в данном случае является отрицательным знаком.

Если вы не знаете, как выполнять длинное сложение или вычитание, калькулятор на этой странице показывает его работу и включает шаги решения для каждого вычисленного результата.

Двоичный калькулятор

Используйте следующие калькуляторы для сложения, вычитания, умножения или деления двух двоичных значений, а также для преобразования двоичных значений в десятичные и наоборот.

Двоичное вычисление — сложение, вычитание, умножение или деление

Преобразовать двоичное значение в десятичное

Преобразовать десятичное значение в двоичное

Двоичная система счисления — это система счисления, которая функционирует практически идентично десятичной системе счисления, с которой люди, вероятно, более знакомы.В то время как в десятичной системе счисления используется число 10 в качестве основы, в двоичной системе используется 2. Кроме того, хотя в десятичной системе используются цифры от 0 до 9, в двоичной системе используются только 0 и 1, и каждая цифра называется битом. . Помимо этих различий, такие операции, как сложение, вычитание, умножение и деление, все вычисляются по тем же правилам, что и десятичная система.

Практически все современные технологии и компьютеры используют двоичную систему из-за простоты ее реализации в цифровых схемах с использованием логических вентилей.Намного проще разработать оборудование, которое должно определять только два состояния: включено и выключено (или истина / ложь, присутствует / отсутствует и т. Д.). Использование десятичной системы требует оборудования, которое может обнаруживать 10 состояний для цифр от 0 до 9, что является более сложным.

Ниже приведены некоторые типичные преобразования между двоичными и десятичными значениями:

Двоичное / десятичное преобразование

Работа с двоичным кодом поначалу может показаться запутанной, понимание того, что каждое двоичное разрядное значение представляет 2 ⁿ , точно так же, как каждое десятичное место представляет 10 ⁿ , должно помочь уточнить.Возьмем, к примеру, число 8. В десятичной системе счисления 8 находится в первом десятичном разряде слева от десятичной точки, что означает 10 ⁰ место. По сути это означает:

8 × 10 ⁰ = 8 × 1 = 8

Используя число 18 для сравнения:

(1 × 10 ¹ ) + (8 × 10 ⁰ ) = 10 + 8 = 18

В двоичном формате 8 представляется как 1000. При чтении справа налево первый 0 представляет 2 ⁰ , второй 2 ¹ , третий 2 ² и четвертый 2 ³ ; точно так же, как десятичная система, только с основанием 2, а не 10.Поскольку 2 ³ = 8, в его позиции вводится 1, что дает 1000. Используя 18 или 10010 в качестве примера:

18 = 16 + 2 = 2 ⁴ + 2 ¹
10010 = (1 × 2 ⁴ ) + (0 × 2 ³ ) + (0 × 2 ² ) + (1 × 2 ¹ ) + (0 × 2 ⁰ ) = 18

Пошаговый процесс преобразования десятичной системы в двоичную:

1. Найдите наибольшую степень двойки, лежащую в пределах данного числа
2. Вычтите это значение из заданного числа
3. Найдите наибольшую степень двойки в остатке, найденном на шаге 2
4. Повторять до тех пор, пока не останется остаток
5. Введите 1 для каждого найденного двоичного разряда и 0 для остальных

Снова используя целевое значение 18 в качестве примера, ниже представлен другой способ визуализировать это:

Преобразование из двоичной системы в десятичную проще .Определите все значения разряда, где встречается 1, и найдите сумму значений.

Пример: 10111 = (1 × 2 ⁴ ) + (0 × 2 ³ ) + (1 × 2 ² ) + (1 × 2 ¹ ) + (1 × 2 ⁰ ) = 23

Отсюда: 16 + 4 + 2 + 1 = 23.

Сложение двоичных файлов

Двоичное сложение следует тем же правилам, что и сложение в десятичной системе, за исключением того, что вместо переноса 1, когда добавленные значения равны 10, перенос происходит, когда результат сложения равен 2.Обратитесь к примеру ниже для пояснения.

Обратите внимание, что в двоичной системе:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0, переносим 1, т. Е. 10

EX:

		1 0	1 1	1 1	1 0	1
+		1	0	1	1	0	1		1
=	1	0	0	1	0	0

Единственная реальная разница между двоичным и десятичным сложением состоит в том, что значение 2 в двоичная система эквивалентна 10 в десятичной системе.Обратите внимание, что единицы с надстрочным индексом представляют собой перенесенные цифры. Распространенная ошибка, на которую следует обратить внимание при выполнении двоичного сложения, — это случай, когда 1 + 1 = 0 также имеет 1, перенесенную из предыдущего столбца вправо. Тогда значение внизу должно быть 1 из перенесенного на 1, а не 0. Это можно увидеть в третьем столбце справа в приведенном выше примере.

Двоичное вычитание

Подобно двоичному сложению, есть небольшая разница между двоичным и десятичным вычитанием, за исключением тех, которые возникают из-за использования только цифр 0 и 1.Заимствование происходит в любом случае, когда вычитаемое число больше, чем число, из которого оно вычитается. При бинарном вычитании заимствование необходимо только тогда, когда 1 вычитается из 0. Когда это происходит, 0 в столбце заимствования по существу становится «2» (изменение 0-1 на 2-1 = 1), в то время как уменьшение 1 в столбце, из которого заимствуется, на 1. Если следующий столбец также равен 0, заимствование должно происходить из каждого последующего столбца, пока столбец со значением 1 не может быть уменьшен до 0.Обратитесь к примеру ниже для пояснения.

Обратите внимание, что в двоичной системе:

0 — 0 = 0
0 — 1 = 1, заимствовать 1, в результате чего -1 переносится на
1-0 = 1
1-1 = 0

EX1:

		-1 1	2 0	1	1	1
—		0	1	1	0	1
=		0	1	0	1	0

EX2:

		-1 1	2-1 0	0
—		0	1	1
=		0	0	1

Обратите внимание, что отображаемые верхние индексы — это изменения, которые происходят с каждым битом при заимствовании.Столбец заимствования по существу получает 2 от заимствования, а столбец, из которого заимствовано, уменьшается на 1.

Двоичное умножение

Двоичное умножение, возможно, проще, чем его десятичный аналог. Поскольку используются только значения 0 и 1, результаты, которые необходимо добавить, либо те же, что и для первого члена, либо 0. Обратите внимание, что в каждой последующей строке необходимо добавить заполнитель 0, а значение сдвинуть влево, как в десятичном умножении. Сложность двоичного умножения возникает из-за утомительного двоичного сложения, зависящего от количества битов в каждом члене.Обратитесь к примеру ниже для пояснения.

Обратите внимание, что в двоичной системе:

0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

EX:

			1	0	1	1	1
×						1	1
	900			0	1	1	1
+		1	0	1	1	1	0
=	1	0	0	0	1	0	1

Как видно из приведенного выше примера, процесс двоичного умножения такой же, как и при десятичном умножении.Обратите внимание, что заполнитель 0 написан во второй строке. Обычно заполнитель 0 визуально не присутствует при десятичном умножении. Хотя то же самое можно сделать и в этом примере (с предполагаемым заполнителем 0, а не явным), он включен в этот пример, потому что 0 актуален для любого двоичного калькулятора сложения / вычитания, подобного тому, который представлен на этой странице. Без отображения 0 было бы возможно совершить ошибку, исключив 0 при добавлении двоичных значений, показанных выше.Еще раз обратите внимание, что в двоичной системе любой 0 справа от 1 имеет значение, а любой 0 слева от последней единицы в значении — нет.

EX:

1 0 1 0 1 1 0 0
= 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0
≠ 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0

Бинарный отдел

Процесс двоичного деления аналогичен длинному делению в десятичной системе счисления. Дивиденд по-прежнему делится на делитель таким же образом, с единственной существенной разницей, заключающейся в использовании двоичного, а не десятичного вычитания.Обратите внимание, что хорошее понимание двоичного вычитания важно для проведения двоичного деления. Обратитесь к примеру ниже, а также к разделу двоичного вычитания для пояснения.

Онлайн-калькулятор | Базовый калькулятор

Калькулятор Операции

Этот базовый онлайн-калькулятор похож на небольшой портативный калькулятор и имеет четыре стандартные функции для сложения, вычитания, деления и умножения. Как и большинство калькуляторов с 4 функциями, он также включает в себя клавиши для вычисления процентов, квадрата, квадратного корня и числа Пи.Этот базовый калькулятор имеет десятичную точность до 10 цифр и предлагает следующие функции:

• mc = Очистить память: очистить память калькулятора
• m + = Memory Plus: добавить отображаемое значение в память
• m- = Память Минус: вычесть отображаемое значение из памяти
• mr = вызов из памяти: отобразить значение памяти
• CE = Clear Entry: очистить текущее отображаемое значение, изменится на AC
• AC = All Clear: очистить все и начать новую операцию
• √x = Квадратный корень: извлекает квадратный корень из отображаемого значения и отображает его
• +/- = Плюс / Минус : изменить знак отображаемого значения с положительного на отрицательный или наоборот
• π = pi: отобразить значение π как 3.141592654 для использования в расчетах
• x² = Квадрат: возведет отображаемое значение в квадрат и отобразит его
• R2 = Округлить до 2 десятичных знаков: округлить текущее отображаемое значение до 2 десятичных знаков, например, в денежный или денежный формат
• R0 = Округление до 0 десятичных знаков: Округление текущего отображаемого значения до 0 десятичных знаков
• % = Процент: использовать отображаемое значение для вычисления процента

Специальные возможности калькулятора

Масштаб : Увеличьте размер калькулятора в браузере с помощью функции масштабирования браузера.Размер калькулятора, текста и кнопок изменяется пропорционально.

Масштаб сенсорного экрана : Увеличьте размер калькулятора на сенсорном экране, увеличивая масштаб с помощью пальцы. Размер калькулятора, текста и кнопок изменяется пропорционально.

Размер текста : в некоторых браузерах, например на рабочем столе Chrome, вы можете изменить размер текста в браузере. настройки и размер калькулятора, текста и кнопок будут пропорционально увеличиваться или уменьшаться.

Управление с клавиатуры : Вы можете использовать калькулятор без мыши, перемещаясь по нему с помощью табуляции. ключи. Нажмите «Enter», когда клавиша сфокусирована. Однако этот метод может быть трудным, поскольку вы должны последовательно перебирать все клавиши табуляцией.

Управление цифровой клавиатурой : Вы можете использовать калькулятор с большинством цифровых панелей и клавиатур в самых популярных браузерах для числа, очистка и основные функции сложения, вычитания, умножения и деления, а также удаления / возврата.

Свяжитесь со мной, если у вас есть предложения.

Расчет процентов

• Умножение и деление преобразует отображаемое значение в проценты в десятичной форме и завершит операция при нажатии [=]
  • Пример: найти 20% от 25
  • Введите 25 x 20%, и дисплей изменится с 20% на 0,2
  • Введите = для завершения расчета 25 x 0,2 = 5. На дисплее отобразится ответ 5.
• Сложение и вычитание добавляет или вычитает процент от значения
  • Пример: прибавить 20% к 25
  • Введите 25 + 20%, и дисплей изменится на 5. (5 — это 20% от 25)
  • Введите = для завершения расчета 25 + 5 = 30. На дисплее отображается ответ 30.
• Расчет налогов
  • Пример: добавьте 6% налога к покупке на сумму 851 долл. США
  • Введите 851 + 6%, и дисплей изменится на 51.06. (51,06 составляет 6% от 851)
  • Введите = для завершения расчета 851 + 51,06 = 902,06. На дисплее отображается ответ 902.06.
  • Примечание: для других задач вы можете получить ответ с более чем двумя десятичными знаками. Используйте клавишу R2 для округлить до долларов и центов. Используйте R0, чтобы округлить до долларов.

Онлайн-математические калькуляторы

В вашем браузере отключен JavaScript.
Вам необходимо включить его, чтобы использовать наши калькуляторы на основе JavasSript.

Учить математику

Предлагаем бесплатный научный калькулятор. Кроме того, мы постоянно добавляем на наш сайт новые калькуляторы. Вот наши калькуляторы по алгебре, геометрии, тригонометрии, графике и исчислению. В дополнение к этим коллекциям на основе категорий в разделе ниже мы предлагаем коллекцию некоторых из лучших математических калькуляторов со всего Интернета. Мы также недавно добавили коллекцию математических игр, чтобы помочь студентам изучать математику онлайн в увлекательной и интерактивной форме.

Ознакомьтесь с нашими бесплатными математическими играми!

Коллекция математических калькуляторов

• Операции с обыкновенными дробями — сложение, вычитание, умножение и деление дробей путем вставки числителей и знаменателей. Результаты автоматически упрощаются и преобразуются в десятичные числа.
• Логарифм — приложение Calkoo, которое вычисляет логарифмы и показатели степени.
• Калькулятор процентов — Бесплатный калькулятор для вычисления процентов.Вставьте два значения и автоматически рассчитайте третье.
• Калькулятор квадратного уравнения — Решите квадратное уравнение. Вставьте a, b и c в этот калькулятор и найдите два значения x.
• Калькулятор теорем Пифагора — вычисляет длину одной стороны треугольника. Решите значение A, B или C, указав длины двух других сторон треугольника.
• Калькулятор тригонометрии — вычисляет тригонометрические значения, такие как синус, косинус и тангенс. Выберите градус дуги или радиан.
• Пропорция: Правило трех — вычисляет эквиваленты отношения в дробной форме с использованием правила трех. Вставьте три числа и найдите четвертое, чтобы завершить соотношение.
• Калькулятор площади — Найдите площадь двухмерных фигур, таких как круги, треугольники, ромбы, трапеции и т. Д., Вставив значения в бесчисленное множество вариантов измерения длины.
• Калькулятор объема — Расчет объема трехмерных фигур, таких как цилиндры и кубы. Результаты доступны в английских, метрических и морских кубических единицах измерения длины.
• Сложение, вычитание, умножение, деление — вставляйте до четырех чисел одновременно в этот бесплатный калькулятор для решения задач сложения, вычитания, умножения и деления.
• Basic Calculator — бесплатный онлайн-калькулятор с 10-значной клавиатурой и основными математическими функциями.
• Child Math Tutor — Создавайте бесплатные математические задачи на сложение, вычитание, умножение и деление для детей с помощью этого онлайн-калькулятора. Операция проверяет ответы и создает табель успеваемости.
Калькулятор экспоненциального выражения
• — Вставьте положительные и отрицательные основания и показатели в этот калькулятор, чтобы найти продукт.
• 4 калькулятора процентов — четыре бесплатных калькулятора для решения процентных уравнений. Найдите взаимосвязь между числами и процентами, а также между увеличением и уменьшением процента.
• Научный калькулятор — бесплатный научный онлайн-калькулятор с 10-значной клавиатурой и функциями, такими как логарифмы и тригонометрические вычисления.Вычисляйте результаты в радианах или градусах.
• Калькулятор десятичных дробей в дроби — конвертируйте десятичные дроби в дроби с помощью этого бесплатного онлайн-калькулятора. Пояснения к задействованным математическим функциям также доступны на странице.
• Калькулятор дробей в десятичные — бесплатный калькулятор для преобразования дробей в десятичные с помощью деления. Также изучите связанные математические концепции, лежащие в основе расчетов.
• Конвертер научной записи — Преобразует десятичные дроби в экспоненциальные числа или числа в экспоненциальном представлении в десятичные числа.На странице также объясняется научная нотация и объясняется, как выполнять преобразование вручную.
• Калькулятор дроби в процент — Вставьте числитель и знаменатель дроби в этот бесплатный калькулятор, чтобы найти процентную, десятичную и простейшую форму дроби.
• Конвертер римских чисел — используйте этот бесплатный онлайн-калькулятор для преобразования арабских чисел в римские цифры или римских цифр в арабские числа. На странице есть таблица с римскими цифрами для печати.
• Конвертер шестнадцатеричных чисел в десятичные — введите шестнадцатеричные числа (числа с основанием 16 с буквами A-F), и этот калькулятор преобразует их в числа с основанием 10.На странице представлены объяснения шестнадцатеричных чисел и преобразований в десятичные числа.
• Конвертер десятичных чисел в восьмеричные — бесплатный онлайн-калькулятор, который преобразует десятичные числа или числа с основанием 10 в восьмеричные числа или числа с основанием 8.
• Конвертер десятичных чисел в шестнадцатеричные — Преобразование десятичных чисел в шестнадцатеричные или шестнадцатеричные.
• Конвертер десятичных чисел в двоичные — Этот бесплатный онлайн-калькулятор переводит десятичные числа в двоичную систему.
• Конвертер двоичных чисел в шестнадцатеричные — Этот калькулятор предлагает автоматическое преобразование двоичных чисел в шестнадцатеричные числа.
• Преобразователь двоичного числа в десятичный — вводите двоичные числа и используйте этот калькулятор для преобразования их в числа с основанием 10, включая числа с десятичной запятой.
• Калькулятор умножения дробей — Получите произведение дробей, смешанных чисел и целых чисел, введя их в этот калькулятор.
• Математический калькулятор редуктора дроби — уменьшите дробь до наименьшего числителя и знаменателя с помощью этого бесплатного онлайн-калькулятора. Калькулятор также находит наибольший общий фактор и предлагает объяснение математических понятий.
• Калькулятор сложения и вычитания смешанных чисел — этот калькулятор складывает и вычитает смешанные числа и дроби с разными знаменателями, предлагая при этом более глубокий взгляд на математические концепции, лежащие в основе решения.
• Калькулятор сложения и вычитания дробей — бесплатный онлайн-калькулятор, который складывает или вычитает две дроби с разными знаменателями и объясняет математику, лежащую в основе уравнения.
• Калькулятор деления дробей — делите дроби, смешанные числа и целые числа с помощью этого бесплатного онлайн-калькулятора.На сайте также есть пошаговое объяснение ответа.
• Калькулятор сравнения дробей — Воспользуйтесь этим бесплатным калькулятором, чтобы определить, какая дробь больше в паре дробей с разными знаменателями.
• Калькулятор сложения трех дробей — сложите или вычтите три дроби с тремя разными знаменателями с помощью этого бесплатного калькулятора.
• Mathway — Вставьте математическую задачу в редактор и получите пошаговое объяснение решения.Типы задач варьируются от базовой математики до вычислений и статистики.
Калькулятор статистических средних
• — этот калькулятор определяет сумму, среднее значение, медианное значение, минимум, максимум, режим и диапазон набора чисел.
Калькулятор стандартного отклонения
• — бесплатный онлайн-калькулятор для определения стандартного отклонения, дисперсии выборки, дисперсии генеральной совокупности и среднего значения набора чисел.
Калькулятор квадратного корня
• — Найдите квадратный корень из числа с помощью этого калькулятора.
• Калькулятор в научном представлении — сложение, вычитание, умножение и деление двух чисел в экспоненциальном представлении. Вычисляет решение в экспоненциальном представлении и десятичных числах.
• Exponent Calculator — Введите основание и экспоненциальную степень в этот калькулятор и получите результат в виде десятичного числа.
Генератор простых чисел
• — бесплатный онлайн-инструмент, который генерирует простые числа. Выберите желаемое количество простых чисел и числовой диапазон, в котором их нужно найти, и инструмент создаст список.
Калькулятор простых чисел
• — этот калькулятор проверяет, являются ли введенные числа простыми.
• Калькулятор процентного изменения — Определите процентное изменение, дробное изменение, числовую разницу и процентную разницу между двумя числами.
• Калькулятор процентов — калькулятор, который решает уравнение: число А — это процентное соотношение числа Б. Введите любые два из трех полей, чтобы вычислить результат.
Калькулятор простых множителей
• — Найдите все простые множители числа с помощью этого калькулятора.
• Онлайн-калькулятор факторинга — генерирует список всех множителей, простых и составных, с числом меньше 10 миллионов.
• Linear Equation Solver — Этот бесплатный онлайн-калькулятор решает линейные уравнения для одной переменной и содержит пошаговые инструкции по решению уравнения вручную.
• Калькулятор LCM — Найдите наименьшее общее кратное от двух до четырех чисел с помощью этого калькулятора.
Калькулятор наибольшего общего множителя
• — Введите два, три или четыре числа в этот онлайн-инструмент, чтобы найти наибольший общий множитель чисел.
• Калькулятор операций с полиномами — Калькулятор, который складывает, вычитает, умножает или делит два полиномиальных выражения. Калькулятор предлагает возможность создания объяснения решения.
• Synthetic Division Calculator — бесплатный онлайн-калькулятор, который вычисляет синтетическое деление многочленов. Он также находит остатки синтетического деления и определяет, является ли один термин фактором другого.

В вашем браузере отключен JavaScript.
Вам необходимо включить его, чтобы использовать наши калькуляторы на основе JavasSript.

Калькулятор повторяющихся / завершающих десятичных знаков — онлайн-конвертер дробей

Поиск инструмента

Повторяющиеся десятичные знаки

Инструмент для определения периода дроби или десятичного числа с повторяющимися десятичными знаками. Точка — это набор цифр, который повторяется на бесконечности в десятичных дробях числа (обычно рациональное число или периодическая дробь).

Результаты

Повторяющиеся десятичные знаки — dCode

Тэги: Арифметика

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Повторяющееся десятичное обнаружение A / B

Прерывание определения десятичной дроби

Поиск фракций

Ответы на вопросы (FAQ)

Какие десятичные дроби повторяются? (Определение)

Периодическое десятичное расширение / развитие рационального числа или дроби (числитель над знаменателем) — это последовательность чисел, которые повторяются на бесконечности в десятичной записи числа.

Пример: 1/3 = 0,3333333333 … Цифра 3 повторяется до бесконечности

Пример: 1/27 = 0,037037037037037 … Цифры 037 повторяются до бесконечности

Все дроби не имеют повторяющейся десятичной формы , некоторые имеют завершающую десятичную форму.

Что означают завершающие десятичные дроби? (Определение)

Завершающий десятичный знак указывает на то, что никакая последовательность чисел не повторяется бесконечно в десятичной записи числа.

Пример: 4/25 = 0,16 разработка завершена и не продолжается

Любое число, записанное в десятичной форме с конечным числом цифр (после десятичной точки), является завершающим десятичным числом.

Как писать повторяющиеся десятичные дроби?

Возможно несколько обозначений.

Первый использует … точки подвеса, но не определяет повторяющуюся часть. Это практично, но не строго и поэтому не рекомендуется.

Пример: 37/300 = 0,12333333333 … $

Обозначение с чертой над повторяющейся частью.

Пример: $ 37/300 = 0,12 \ overline {3} $

Обозначение с чертой под повторяющейся частью.

Пример: $ 37/300 = 0,12 \ underline {3} $

Обозначения в скобках

Пример: 37/300 = 0,12 [3] $

NB: Для наглядности дробь лучше записывать в несократимой форме.1 \ times x = 1. \ overline {6} = 1.6666666 … $ и решаем $ 10x − x = 9x = 1. \ overline {6} −0.1 \ overline {6} = 1.5 \ iff 9x = 1.5 \ iff х = 1,5 / 9 = 15/90 = 1/6 $

Какие самые известные развития десятичной дроби?

Инверсия простых чисел дает длинные и интересные периодические десятичные вычисления.

Пример: $ 1/3 = 0,333333 … $

Пример: $ 1/7 = 0,142857142857 … $

Существует ли бесконечное десятичное разложение с серией цифр, которые никогда не повторяются?

Любое рациональное число (любая дробь) имеет конечное развитие или периодическое десятичное разложение с конечным числом цифр, которые повторяются до бесконечности.

Но есть действительные числа, которые не являются рациональными числами (которые не являются дробями), которые имеют десятичные дроби без повторения.

Пример: $ \ pi = 3.14159265 … $ на сегодняшний день не имеет известных повторов.

Пример: Постоянная Чамперноуна никогда не будет повторяться, это номер вселенной.

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Повторение десятичных знаков». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любого алгоритма, апплета или фрагмента повторяющихся десятичных знаков (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любых повторяющихся десятичных знаков ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)) и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для ‘Repeating Decimals’ не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / Комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

период, дробь, числитель, знаменатель, развертка, повторение, десятичная дробь, запись, цифра, бесконечность, рациональная, точка

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/number-repeating-decimal

к десятичному калькулятору — Дюймовый калькулятор

Преобразуйте соотношение в десятичную форму, введя обе части ниже.

Десятичный:

Шаги по преобразованию отношения в десятичное число:

Шаг первый: Перепишем соотношение в виде дроби

Шаг второй: Разделим числитель на знаменатель

Как преобразовать отношение в десятичное

Есть несколько разных способов преобразовать отношение в десятичное.Самый простой способ преобразования в десятичную форму — использовать калькулятор, как показано выше. Продолжайте читать, и мы покажем вам, как выполнить преобразование самостоятельно.

Шаг первый: перепишите соотношение в виде дроби

Первый шаг в преобразовании отношения в десятичное — это переписать отношение как дробь. Для этого положите первую часть соотношения над второй частью в виде дробей. Первая часть отношения будет числителем, а вторая часть — знаменателем.

Шаг второй: Найдите дробь и выразите ее десятичным числом

Последний шаг в преобразовании — решить дробь, чтобы получить десятичное значение. Для этого разделите числитель на знаменатель. Результатом является десятичная форма отношения.

Например, преобразует 7: 2 в десятичное значение.

Записываем 7: 2 в виде дроби.
7: 2 = 72

Тогда решай.
72 = 7 ÷ 2
72 = 3,5

Таким образом, десятичное значение 7: 2 равно 3.5

Наш калькулятор десятичного отношения к соотношению может помочь решить обратную эту формулу.

Калькулятор дробей в десятичные | Преобразование дробей в десятичные онлайн

Конвертер дробей в десятичные (или калькулятор дробей в десятичные) — это онлайн-инструмент для преобразования чисел, который вычисляет эквивалентный десятичный вывод для данного дробного входного значения. Поскольку этот калькулятор дроби в десятичную дробь позволяет пользователям вычислять значения как простой дроби, так и смешанной дроби в одном калькуляторе.

Как преобразовать дробь в десятичную

Вы можете сначала уменьшить данную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий коэффициент (GCF), а затем, используя метод длинного деления, получите окончательные результаты.

Преобразовать дробь в десятичную

Простая дробь

1/0 = Бесконечность = Бесконечность%
1/1 = 1 = 100%
1/2 = 0,5 = 50%
1/3 = 0,33333333333 = 33,333333333%
1/4 = 0,25 = 25%
1/5 = 0.2 = 20%
1/6 = 0,16666666667 = 16,666666667%
1/7 = 0,14285714286 = 14,285714286%
1/8 = 0,125 = 12,5%
1/9 = 0,11111111111 = 11,111111111%
1/10 = 0,1 = 10%
20/24 = 0,83333333333 = 83,333333333%
22/18 = 1,2222222222 = 122,22222222%
48/19 = 2,5263157895 = 252,63157895%
67/23 = 2,9130434783 = 291,3043478333%
187/103 = 1,8333339 = 139,1959799%
182/247 = 0,73684210526 = 73,684210526%

Смешанная фракция

1 + 1/1 = 2 = 200%
1 + 1/2 = 1.5 = 150%
1 + 1/3 = 1,3333333333 = 133,33333333%
1 + 1/4 = 1,25 = 125%
1 + 1/5 = 1,2 = 120%
1 + 1/6 = 1,1666666667 = 116,66666667%
1 + 1/7 = 1,1428571429 = 114,28571429%
1 + 1/8 = 1,125 = 112,5%
1 + 1/9 = 1,1111111111 = 111,11111111%
1 + 1/10 = 1,1 = 110%
1 + 1/11 = 1,0

0909 = 109.0

09%
10 + 21/11 = 11.

0909 = 1190.

09%
11 + 21/11 = 12.

0909 = 1290.

09%
25 + 11/8 = 26,375 = 2637,5%
49 + 17/30 = 49.

Итак, что же это за раздел? Комбинаторика занимается вопросом подсчета каких-либо объектов. Но в данном случае объектами выступают не сливы, груши или яблоки, а нечто иное. Комбинаторика помогает нам находить вероятность какого-либо события. Например, при игре в карты – какова вероятность того, что у противника есть козырная карта? Или такой пример – какова вероятность того, что из мешка с двадцатью шариками вы достанете именно белый? Именно для подобного рода задач нам и нужно знать хотя бы основы данного раздела математики.

Комбинаторные конфигурации

Рассматривая вопрос основных понятий и формул комбинаторики, мы не можем не уделить внимание комбинаторным конфигурациям. Они используются не только для формулировки, но и для решения различных комбинаторных задач. Примерами таких моделей служат:

• размещение;
• перестановка;
• сочетание;
• композиция числа;
• разбиение числа.

О первых трех мы поговорим более подробно далее, а вот композиции и разбиению мы уделим внимание в данном разделе. Когда говорят о композиции некого числа (допустим, а), то подразумевают представление числа а в виде упорядоченной суммы неких положительных чисел. А разбиение – это неупорядоченная сумма.

Разделы

Прежде чем мы перейдем непосредственно к формулам комбинаторики и рассмотрению задач, стоит обратить внимание на то, что комбинаторика, как и другие разделы математики, имеет свои подразделы. К ним относятся:

• перечислительная;
• структурная;
• экстремальная;
• теория Рамсея;
• вероятностная;
• топологическая;
• инфинитарная.

В первом случае речь идет об исчисляющей комбинаторике, задачи рассматривают перечисление или подсчет разных конфигураций, которые образованы элементами множеств. На данные множества, как правило, накладываются какие-либо ограничения (различимость, неразличимость, возможность повтора и так далее). А количество этих конфигураций подсчитывается при помощи правила сложения или умножения, о которых мы поговорим немного позже. К структурной комбинаторике относятся теории графов и матроидов. Пример задачи экстремальной комбинаторики – какова наибольшая размерность графа, который удовлетворяет следующим свойствам… В четвертом пункте мы упомянули теорию Рамсея, которая изучает в случайных конфигурациях наличие регулярных структур. Вероятностная комбинаторика способна нам ответить на вопрос – какова вероятность того, что у заданного множества присутствует определенное свойство. Как нетрудно догадаться, топологическая комбинаторика применяет методы в топологии. И, наконец, седьмой пункт – инфинитарная комбинаторика изучает применение методов комбинаторики к бесконечным множествам.

Правило сложения

Среди формул комбинаторики можно найти и довольно простые, с которыми мы достаточно давно знакомы. Примером является правило суммы. Предположим, что нам даны два действия (С и Е), если они взаимоисключаемы, действие С выполнимо несколькими способами (например а), а действие Е выполнимо b-способами, то выполнить любое из них (С или Е) можно а+b способами.

В теории это понять достаточно трудно, постараемся донести всю суть на простом примере. Возьмем среднюю численность учеников одного класса — допустим, это двадцать пять. Среди них пятнадцать девочек и десять мальчиков. Ежедневно в классе назначается один дежурный. Сколько есть способов назначить дежурного по классу сегодня? Решение задачи достаточно простое, мы прибегнем к правилу сложения. В тексте задачи не сказано, что дежурными могут быть только мальчики или только девочки. Следовательно, им может оказаться любая из пятнадцати девочек или любой из десяти мальчиков. Применяя правило суммы, мы получаем достаточно простой пример, с которым без труда справится школьник начальных классов: 15 + 10. Подсчитав, получаем ответ: двадцать пять. То есть существует всего двадцать пять способов назначить на сегодня дежурного класса.

Правило умножения

К основным формулам комбинаторики относится и правило умножения. Начнем с теории. Допустим, нам необходимо выполнить несколько действий (а): первое действие выполняется с1 способами, второе – с2 способами, третье – с3 способами и так далее до последнего а-действия, выполняемого са способами. Тогда все эти действия (которых всего у нас а) могут быть выполнены N способами. Как высчитать неизвестную N? В этом нам поможет формула: N = с1 * с2 * с3 *…* са.

Опять же, в теории ничего не понятно, переходим к рассмотрению простого примера на применение правила умножения. Возьмем все тот же класс из двадцати пяти человек, в котором учится пятнадцать девочек и десять мальчиков. Только на этот раз нам необходимо выбрать двух дежурных. Ими могут быть как только мальчики или девочки, так и мальчик с девочкой. Переходим к элементарному решению задачи. Выбираем первого дежурного, как мы решили в прошлом пункте, у нас получается двадцать пять возможных вариантов. Вторым дежурным может быть любой из оставшихся человек. У нас было двадцать пять учеников, одного мы выбрали, значит вторым дежурным может быть любой из оставшихся двадцати четырех человек. Наконец, применяем правило умножения и получаем, что двоих дежурных можно избрать шестью сотнями способов. Мы данное число получили умножением двадцати пяти и двадцати четырех.

Перестановка

Сейчас мы рассмотрим еще одну формулу комбинаторики. В данном разделе статьи мы поговорим о перестановках. Рассмотреть проблему предлагаем сразу же на примере. Возьмем бильярдные шары у нас их n-ое количество. Нам нужно подсчитать: сколько есть вариантов расставить их в ряд, то есть составить упорядоченный набор.

Начнем, если у нас нет шаров, то и вариантов расстановки у нас так же ноль. А если у нас шар один, то и расстановка тоже одна (математически это можно записать следующим образом: Р1 = 1). Два шара можно расставить двумя разными способами: 1,2 и 2,1. Следовательно, Р2 = 2. Три шара можно расставить уже шестью способами (Р3=6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. А если таких шаров не три, а десять или пятнадцать? Перечислять все возможные варианты очень долго, тогда нам на помощь приходит комбинаторика. Формула перестановки поможет нам найти ответ на интересующий нас вопрос. Pn = n *P (n-1). Если попытаться упростить формулу, то получаем: Pn = n* (n — 1) *…* 2 * 1. А это и есть произведение первых натуральных чисел. Такое число называется факториалом, а обозначается как n!

Рассмотрим задачу. Вожатый каждое утро выстраивает свой отряд в шеренгу (двадцать человек). В отряде есть три лучших друга – Костя, Саша и Леша. Какова вероятность того, что они будут стоять рядом? Чтобы найти ответ на вопрос, нужно вероятность «хорошего» исхода поделить на общее количество исходов. Общее число перестановок составляет 20! = 2,5 квинтиллиона. Как посчитать количество «хороших» исходов? Предположим, что Костя, Саши и Леша – это один сверхчеловек. Тогда мы имеем всего восемнадцать субъектов. Число перестановок в данном случае равняется 18 = 6,5 квадриллионов. При всем этом, Костя, Саша и Леша могут произвольно перемещаться между собой в своей неделимой тройке, а это еще 3! = 6 вариантов. Значит всего «хороших» расстановок у нас 18! * 3! Нам остается только найти искомую вероятность: (18! * 3!) / 20! Что равняется примерно 0,016. Если перевести в проценты, то это получается всего 1,6%.

Размещение

Сейчас мы рассмотрим еще одну очень важную и необходимую формулу комбинаторики. Размещение – это наш следующий вопрос, который предлагаем вам рассмотреть в данном разделе статьи. Мы идем на усложнение. Предположим, что мы хотим рассмотреть возможные перестановки, только не из всего множества (n), а из меньшего (m). То есть мы рассматриваем перестановки из n предметов по m.

Основные формулы комбинаторики стоит не просто заучивать, а понимать их. Даже несмотря на то, что они усложняются, так как у нас не один параметр, а два. Предположим, что m = 1, то и А = 1, m = 2, то А = n * (n — 1). Если далее упрощать формулу и перейти на запись при помощи факториалов, то получится вполне лаконичная формула: А = n! / (n — m)!

Сочетание

Мы рассмотрели практически все основные формулы комбинаторики с примерами. Теперь перейдем к заключительному этапу рассмотрения базового курса комбинаторики – знакомство с сочетанием. Сейчас мы будем выбирать m предметов из имеющихся у нас n, при этом всем мы будем выбирать всеми возможными способами. Чем же тогда это отличается от размещения? Мы не будем учитывать порядок. Этот неупорядоченный набор и будет являться сочетанием.

Сразу введем обозначение: С. Берем размещения m шариков из n. Мы перестаем обращать внимание на порядок и получаем повторяющиеся сочетания. Чтобы получить число сочетаний нам надо поделить число размещений на m! (m факториал). То есть С = А / m! Таким образом, способов выбрать из n шаров немножко, равняется примерно столько, сколько выбрать почти все. Этому есть логическое выражение: выбрать немножко все равно, что выкинуть почти все. Еще в данном пункте важно упомянуть и то, что максимальное число сочетаний можно достигнуть при попытке выбрать половину предметов.

Как выбрать формулу для решения задачи?

Мы подробно рассмотрели основные формулы комбинаторики: размещение, перестановка и сочетание. Теперь наша задача – облегчить выбор необходимой формулы для решения задачи по комбинаторике. Можно воспользоваться следующей довольно простой схемой:

1. Задайте себе вопрос: порядок размещения элементов учитывается в тексте задачи?
2. Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой сочетания (С = n! / (m! * (n — m)!)).
3. Если ответ нет, то необходимо ответить на еще один вопрос: все ли элементы входят в комбинацию?
4. Если ответ да, то воспользуйтесь формулой перестановки (Р = n!).
5. Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой размещения (А = n! / (n — m)!).

Пример

Мы рассмотрели элементы комбинаторики, формулы и некоторые другие вопросы. Теперь перейдем к рассмотрению реальной задачи. Представьте, что перед вами лежат киви, апельсин и банан.

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить? Для этого воспользуемся формулой перестановок: Р = 3! = 6 способов.

Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать один фрукт? Это очевидно, у нас всего три варианта – выбрать киви, апельсин или банан, но применим формулу сочетаний: С = 3! / (2! * 1!) = 3.

Вопрос третий: сколькими способами можно выбрать два фрукта? Какие есть у нас вообще варианты? Киви и апельсин; киви и банан; апельсин и банан. То есть три варианта, но это легко проверить при помощи формулы сочетания: С = 3! / (1! * 2!) = 3

Вопрос четвертый: сколькими способами можно выбрать три фрукта? Как видно, выбрать три фрукта можно одним-единственным способом: взять киви, апельсин и банан. С = 3! / (0! * 3!) = 1.

Вопрос пятый: сколькими способами можно выбрать хотя бы один фрукт? Это условие подразумевает, что мы можем взять один, два или все три фрукта. Следовательно, мы складываем С1 + С2 + С3 =3 + 3 + 1 = 7. То есть у нас есть семь способов взять со стола хотя бы один фрукт.

fb.ru

Материал этой страницы содержит общую информацию из подготовленной нами справки «Калькулятор Инструкция по применению». Каждая функция калькулятора подробно рассматривается в соответствующих разделах инструкции.

Предлагаемый вашему вниманию бесплатный калькулятор располагает богатым арсеналом возможностей для математических вычислений. Он позволяет использовать онлайн калькулятор в различных сферах деятельности: образовательной, профессиональной и коммерческой. Конечно, применение калькулятора онлайн особенно популярно у студентов и школьников, он значительно облегчает им выполнение самых разных расчётов.

Вместе с тем калькулятор может стать полезным инструментом в некоторых направлениях бизнеса и для людей разных профессий. Безусловно, необходимость применения калькулятора в бизнесе или трудовой деятельности определяется прежде всего видом самой деятельности. Если бизнес и профессия связаны с постоянными расчётами и вычислениями, то стоит опробовать электронный калькулятор и оценить степень его полезности для конкретного дела.

Функции калькулятора

Ниже перечислены все функции калькулятора. Этот перечень поможет определить, пригодится ли вам подобный сервис, и как можно использовать калькулятор онлайн для решения своих задач в бизнесе, работе и учёбе.

Дополнительные функции калькулятора:

• Деление с остатком
• Нахождение факториала
• Использование мнимой единицы при расчётах комплексных чисел
• Выделение целой действительной части
• Исключение действительной части
• Нахождение абсолютной величины числа
• Нахождение значения аргумента функции
• Нахождение биноминального коэффициента
• Нахождение наибольшего общего делителя
• Нахождение наименьшего общего кратного
• Суммарное значение всех решений
• Разложение числа на простые множители
• Функция дифференцирования

Основные функции калькулятора:

В целом online калькулятор предлагает приятный и удобный интерфейс, его кнопки имеют интуитивно понятные обозначения. Управлять калькулятором можно как с помощью мыши, используя панель задач калькулятора, так и посредством клавиатуры вашего компьютера. Порядок ввода математического выражения не имеет значения, просто пользователь выбирает удобный для него способ внесения записи.

Рабочая область калькулятора включает в себя дисплей, поле ввода выражения, панель инструментов и цифровую клавиатуру.

1. Дисплей (экран калькулятора) отображает введенное выражение и результат его расчёта обычными символами, как мы пишем на бумаге. Это поле предназначено просто для просмотра текущей операции. Запись отображается на дисплее по мере набора математического выражения в строке ввода.

2. Поле ввода выражения предназначено для записи выражения, которое нужно вычислить. Здесь следует отметить, что математические символы, используемые в компьютерных программах, не всегда совпадают с теми, которые обычно мы применяем на бумаге. В обзоре каждой функции калькулятора вы найдёте правильное обозначение конкретной операции и примеры расчётов в калькуляторе. На этой странице ниже приводится перечень всех возможных операций в калькуляторе, также с указанием их правильного написания.

3. Панель инструментов — это кнопки калькулятора, которые заменяют ручной ввод математических символов, обозначающих соответствующую операцию. Некоторые кнопки калькулятора (дополнительные функции, конвертер величин, решение матриц и уравнений, графики) дополняют панель задач новыми полями, где вводятся данные для конкретного расчёта. Поле «History» содержит примеры написания математических выражений, а также ваши шесть последних записей.

4. Цифровая клавиатура содержит цифры и знаки арифметических действий. Кнопка «С» удаляет всю запись в поле ввода выражения. Чтобы удалять символы по одному, нужно использовать стрелочку справа от строки ввода.

Старайтесь всегда закрывать скобки в конце выражения. Для большинства операций это некритично, калькулятор online рассчитает всё верно. Однако, в некоторых случаях возможны ошибки. Например, при возведении в дробную степень незакрытые скобки приведут к тому, что знаменатель дроби в показателе степени уйдет в знаменатель основания. На дисплее закрывающая скобка обозначена бледно-серым цветом, её нужно закрыть, когда запись закончена.

Кнопки калькулятора

В списке ниже указаны все клавиши калькулятора и выполняемые ими операции.

Обратная польская запись онлайн

Символ	Операция	Стек	Выходная строка
s	добавить к выходной строке		sqrt
(	поместить в стек	(	sqrt
x	добавить к выходной строке	(	sqrt, x
)	1) присоединить содержимое стека до скобки в обратном порядке к выходной строке; 2) удалить скобку из стека.		sqrt, x
—	поместить в стек	—	sqrt, x
1	добавить к выходной строке	—	sqrt, x, 1
/	поместить в стек	-, /	sqrt, x, 1
2	добавить к выходной строке	-, /	sqrt, x, 1, 2
*	1) присоединить стек в обратном порядке к выходной строке; 2) поместить новую операцию в стек.	-, *	sqrt, x, 1, 2, /
s	добавить к выходной строке	-, *	sqrt, x, 1, 2, /, sin
(	поместить в стек	-, *, (	sqrt, x, 1, 2, /, sin
x	добавить к выходной строке	-, *, (	sqrt, x, 1, 2, /, sin, x
^	поместить в стек	-, *, (, ^	sqrt, x, 1, 2, /, sin, x
2	добавить к выходной строке	-, *, (, ^	sqrt, x, 1, 2, /, sin, x, 2
—	1) присоединить стек в обратном порядке к выходной строке; 2) поместить новую операцию в стек. , 2, —

Калькулятор уравнений — Solumaths

Резюме:

Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестной с шагами вычисления: линейное уравнение, квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.

Описание:

Уравнение — это алгебраическое равенство, включающее одно или несколько неизвестных. Решение уравнения — это то же самое, что и определение неизвестных или неизвестных.Неизвестное также называют переменной. Этот калькулятор уравнений может решать уравнения с неизвестными, Калькулятор может решать уравнений с переменными с обеих сторон , а также уравнений с круглыми скобками :

1. Решение линейного уравнения
2. Решение квадратного уравнения
3. Решение кубического уравнения
4. Решение уравнения нулевого произведения
5. Решение уравнения абсолютного значения (уравнения с функцией abs)
6. Решение экспоненциального уравнения
7. Решение логарифмического уравнения (уравнения, включающего логарифмы)
8. Решение тригонометрического уравнения (уравнения с косинусом или синусом)
9. Решить онлайн дифференциальное уравнение первой степени
10. Решить онлайн дифференциальное уравнение второй степени

Решение линейного уравнения онлайн

Уравнение первой степени — это уравнение вида «ax = b». Этот тип уравнения также называется линейным уравнением . Для решения этих уравнений мы используем следующую формулу `x = b / a`.

линейное решение уравнения вида ax = b s выполняется очень быстро, если переменная не является неоднозначной, просто введите , уравнение с по , решите , а затем нажмите «Решить», затем результат возвращается решателем . Также отображаются подробности расчетов, которые привели к разрешению линейного уравнения.Чтобы решить линейное уравнение после 3x + 5 = 0, просто введите выражение 3х + 5 = 0 в области вычислений, затем нажмите кнопку «решить», возвращается результат `[x = -5 / 3]`. также можно решить уравнения в форме `(ax + c) / g (x) = 0` или уравнения, которые могут быть в этой форме , g (x) представляет функцию. Когда вы вводите выражение без знака ‘=’; функция возвращает, когда возможны значения, для которых выражение равно нулю. Например, введите x + 5, вернитесь к x + 5 = 0 и решите.2-4ac`.
Дискриминант — это число, определяющее количество решений уравнения.

• При положительном дискриминанте уравнение второй степени допускает два решения, которые даются формулой `(-b-sqrt (Delta)) / (2a)` и `(-b + sqrt (Delta)) / (2a)`;
• Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение допускает только одно решение, оно называется двойным корнем, который задается формулой `(-b) / (2a)`;
• Когда дискриминант отрицательный, полиномиальное уравнение степени 2 не допускает решения.2-1) / (x-1) = 0` возвращает -1, все определение принимается во внимание для вычисления числителя допускает два корня 1 и -1, но знаменатель равен нулю для x = 1, 1 не может быть решением уравнения.

Решение кубического уравнения

Калькулятор уравнений решает некоторые кубические уравнения . 3 = 0`).

Опять же, решения кубического уравнения будут сопровождаться пояснениями, которые позволили найти результат.

Решите уравнение, используя свойство нулевого произведения

Свойство нулевого произведения используется для решения уравнений вида A * B = 0, что это уравнение равно нулю, только если A = 0 или B = 0. Чтобы решить , этот тип уравнения может быть выполнен, если A и B являются многочленами степени меньше или равной 2. Также отображаются сведения о расчетах, которые привели к разрешению уравнения.2-1) (x + 2) (x-3) = 0` возвращает `[1; -1; -2; 3]`.

Решите уравнение абсолютного значения

Решатель позволяет решить уравнение с использованием абсолютного значения он может решать линейные уравнения, используя абсолютные значения, квадратные уравнения, включающие абсолютные значения, но также и другие многие типы уравнений с абсолютными значениями.

Вот два примера использования калькулятора уравнений для решения уравнения с абсолютным значением:

• `abs (2 * x + 4) = 3`, решатель показывает детали вычисления линейного уравнения с абсолютным значением.2-4) = 4`, решатель показывает шаги расчета для решения квадратного уравнения с абсолютным значением.

Решите экспоненциальное уравнение

Калькулятор уравнений позволяет решать уравнение с использованием экспоненты он может решать линейные уравнения с использованием экспоненты, квадратные уравнения, включающие экспоненциальные, но также и другие многие типы уравнений с экспоненциальной.

Вот два примера использования калькулятора для решения уравнения с экспонентой:

• `exp (2 * x + 4) = 3`, решатель показывает детали вычисления линейного уравнения с экспонентой.2-4) = 4`, решатель показывает этапы расчета для решения квадратного уравнения с экспонентой.

Решите логарифмическое уравнение

Решите логарифмическое уравнение , т.е. возможно несколько уравнений, включающих логарифмы. Калькулятор не только предоставляет результат, но и предоставляет подробные шаги и расчеты, которые привели к к разрешению логарифмического уравнения. Чтобы решить следующее логарифмическое уравнение ln (x) + ln (2x-1) = 0, просто введите выражение в области расчета, затем нажмите кнопку «Рассчитать».

Решение тригонометрического уравнения

Калькулятор уравнений позволяет решать круговые уравнения , он может решить уравнение с косинусом вида cos (x) = a или уравнение с синусом вида sin (x) = a . Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решать такие уравнения, как `cos (x) = 1 / 2` или же `2 * sin (x) = sqrt (2)` с шагами расчета.

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Функция Equation_solver может решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка в режиме онлайн , решить следующее дифференциальное уравнение: y ‘+ y = 0, вы должны ввести формулу_решения (`y’ + y = 0; x`).

Решение дифференциального уравнения второго порядка

Функция Equation_solver может решать дифференциальное уравнение второго порядка в режиме онлайн , решить следующее дифференциальное уравнение: y » — y = 0, вы должны ввести формулу_ползания (`y » — y = 0; x`).

Игры и викторины по решению уравнений

Чтобы попрактиковаться в различных методах расчета, предлагается несколько тестов по решению уравнений.

Синтаксис:

Примеры:

Разрешение уравнения первой степени

Решение квадратных уравнений

Решение кубических уравнений

Решить дифференциальное уравнение

Калькулятор неравенства — шаг за шагом

Описание:

Решатель неравенств, решающий неравенство с деталями вычисления: линейное неравенство, квадратичное неравенство.

Описание:

Калькулятор неравенств позволяет решать неравенства : его можно использовать как для решения линейного неравенства с одним неизвестным, чтобы решить квадратное неравенство. Во всех случаях шаги расчетов детализированы и дан точный результат.

Возможности расчета, предлагаемые калькулятором неравенства , многочисленны, поэтому, например, можно решить дробное неравенство , неравенство, которое содержит буквы (символьное вычисление).

Операторы, используемые для решения неравенства

Операторы сравнения, используемые для решения неравенства :

• > Улучшенный
• > = Superior или равно

Решение линейного неравенства онлайн

Решение линейного неравенства с одним неизвестным в виде `a * x> b` выполняется очень быстро, если переменная не является неоднозначной, просто введите неравенство , решающее и щелкните inequality_solver, будет возвращен точный результат.

Также приведены шагов вычислений , необходимых для решения неравенства .

Калькулятор — мощный инструмент компьютерной алгебры, он может манипулировать и получать разрешение линейное неравенство , включающее числа, но также буквы, и в этом случае оно должно явно указывать переменная. К решить линейное неравенство, следуя 3x + 5> 0 , просто введите выражение 3 * x + 5> 0 в области исчисления, затем нажмите кнопку вычисления или кнопку inequality_solver, точный результат возвращается `[x> -5/3]`.2 + b * x + c> 0` выполняется очень быстро, если переменная не является неоднозначной, просто введите неравенство с по решите и щелкните inequality_solver, затем будет возвращен точный результат.

Также приведены шагов вычислений , необходимых для решения неравенства .

Калькулятор — мощный инструмент компьютерной алгебры, он может манипулировать и получать разрешение квадратное неравенство , включающее числа, но также буквы, и в этом случае оно должно явно указывать переменная.2-5> 0 в области исчисления, затем нажмите кнопку расчета или кнопку inequality_solver, результат затем возвращается в область, где детализированы вычисления.

Принцип решения неравенства.

Для решения неравенства калькулятор использует следующие принципы:

• Может прибавлять или вычитать одно и то же число к обеим сторонам неравенства.
• Он может умножать или делить каждый член неравенства на одно и то же число.
• Когда это число отрицательное, направление неравенства меняется на противоположное
• Когда это число положительное, сохраняется ощущение неравенства

Синтаксис:

Примеры:

В этом примере показано, как использовать решатель неравенства

Решение неравенств 1-й степени

Калькулятор оценки выражений

Вы можете ввести такое выражение, как 3/2 + 4 * (12 + 3). Вы также можете ввести математические свойства и методы JavaScript.

Например, чтобы найти значение pi (p), введите:

 PI (Важно: JavaScript чувствителен к регистру! PI используется ТОЛЬКО в верхнем регистре !.

Чтобы найти журнал из 3, введите (ТОЛЬКО нижний регистр):

 журнал (3)

Чтобы найти 2 в 3-й степени, введите:

 пау (2,3)

Чтобы найти площадь 9-дюймовой пиццы (в квадратных дюймах), введите:

PI * pow (9 / 2,2)

Круглые скобки () могут изменять порядок операций.



---------- Законные математические операторы (порядок и иерархия ВАЖНЫ!)

+ добавить

- вычесть

/        делить

* умножить

() иерархия - Пример (4 + 1) / 2 или 4 + 1/2

% модуля - Пример (8 + 7)% 13 возвращает 2



---------- Законные операторы сравнения -------------

== равенство - ПРИМЕР 5 == 4 возвращает false

! = неравенство - ПРИМЕР 5! = 4 возвращает истину

        больше чем - ПРИМЕР 5> 4 возвращает истину

= больше или равно - ПРИМЕР 5> = 4 возвращает истину

&& логическое И - ПРИМЕР 5> 4 && 3> 4 возвращает false

|| логическое ИЛИ - ПРИМЕР 5> 4 || 3> 4 возвращает истину

! логическое НЕ - ПРИМЕР! (5 == 5) возвращает false



---------- Математические свойства (Константы. Важно: ТОЛЬКО верхний регистр!).

E (База из натурального бревна, около 2,718)

LN10 (натуральный логарифм 10, около 2,302)

LN2 (Натуральный логарифм 2, около 0,693)

LOG2E (логарифм от E по основанию 2, около 1,442)

LOG10E (логарифм E по основанию 10, около 0,434)

PI (PI = отношение длины окружности к диаметру, около 3,142)

SQRT1_2 (квадратный корень 1/2, около 0,707)

SQRT2 (квадратный корень из 2, около 1,414)



---------- Методы (Функции.Важно: ТОЛЬКО нижний регистр!) -----

abs (x) (абсолютное значение x)

acos (x) (арккосинус x в радианах)

asin (x) (арксинус x, в радианах)

atan (x) (арктангенс x в радианах)

ceil (x) (следующее большее целое, чем x)

cos (x) (косинус x, x в радианах)

exp (x) (экспоненциальная функция от x)

floor (x) (следующее меньшее целое число)

log (x) (натуральный логарифм x)

max (x, y) (максимум x, y)

min (x, y) (минимум x, y)

pow (x, y) (x в степени y)

random () (псевдослучайное число, равномерное от 0 до 1)

round (x) (округляет x до ближайшего целого числа)

sin (x) (синус x, где x в радианах)

sqrt (x) (квадратный корень из x)

tan (x) (тангенс x, где x в радианах)

 

Вычислитель / вычислитель выражений

[эта страница | pdf | обратные ссылки]

Чтобы использовать оценщик выражений, введите выражение, которое вы хотите оценить в текстовом поле ввода (и, при желании, описание расчет в текстовом поле Описание расчета), а затем нажмите Расчет кнопка. Вы также можете ввести выражение в текстовое поле Search / Calculate. вверху страницы, а затем нажмите кнопку + / рядом с ним. Выражения может включать скобки, операторы и вызовы почти всех компонентов Нематрийская онлайн-библиотека функций.Подробнее см. Здесь.

Важное примечание

Если вы используете какой-либо веб-сервис Nematrian программно или в интерактивном режиме, то будет считаться, что вы согласились с нематрийским Лицензия на веб-сайт Соглашение.

ССЫЛКИ НАВИГАЦИИ
Содержание | Предыдущая | Следующие

© 2021 — Nematrian Limited

Этот сайт использует файлы cookie для улучшения и контроля своей работы. 2 + 3)

Вы увидите, что калькулятор считает, что вы ввели (что может немного отличаться от того, что вы ввели), а затем пошаговое решение.

Примечание: может быть несколько способов найти решение.

Калькулятор все еще находится в разработке и может ошибаться , так что будьте осторожны!

Дерево

Нажмите кнопку «дерево», чтобы увидеть сумму в виде дерева. Вы должны делать расчеты сверху вниз…. иногда у вас есть выбор, какой расчет произвести в первую очередь.

Все функции

Операторы

Функции

	sqrt	Квадратный корень значения или выражения.
	грех	синус значения или выражения
	cos	Косинус значения или выражения
	желто-коричневый	тангенс значения или выражения
	asin	обратный синус (арксинус) значения или выражения
	acos	обратный косинус (arccos) значения или выражения
	атан	арктангенс (арктангенс) значения или выражения
	sh	Гиперболический синус значения или выражения
	куш	Гиперболический косинус значения или выражения
	танх	Гиперболический тангенс значения или выражения
	эксп.	e (Константа Эйлера) в степени значения или выражения
	пер.	Натуральный логарифм значения или выражения
	журнал	Логарифм по основанию 10 значения или выражения
	этаж	Возвращает наибольшее (ближайшее к положительной бесконечности) значение, которое не больше аргумента и равно математическому целому числу.
	потолок	Возвращает наименьшее (ближайшее к отрицательной бесконечности) значение, которое не меньше аргумента и равно математическому целому числу.
	абс	Абсолютное значение (расстояние от нуля) значения или выражения
	знак	Знак (+1 или -1) значения или выражения

Константы

	пи	Константа π (3. 141592654 …)
	e	Константа Эйлера (2,71828 …), основание натурального логарифма

Высокоточный калькулятор

[1] 2021/06/04 03:57 Женщина / Моложе 20 лет / Начальная школа / Ученица неполной средней школы / Совсем нет /

Комментарий / запрос

, пожалуйста, сделайте это проще, но оставьте место для большого количества цифр

[2] 2021/05/06 16:18 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Ученик неполной средней школы / Очень /

Цель использования

Расчет факториалов большого числа

Комментарий / запрос

Было бы здорово, если бы цифр было больше

[3] 2021/05/05 02:00 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Ученик неполной средней школы / Полезно /

Комментарий / запрос

было бы здорово, если бы было больше цифр

[4] 2021/05/03 22:45 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Ученик неполной средней школы / Немного /

Цель использования

Нет

Комментарий / запрос

× не работает

из Кейсана

Используйте звездочку (*) для умножения. (-1)

Калькулятор сломался, я не вижу чисел или прокручиваю влево. Вы должны создать кнопку, чтобы скрыть список функций, чтобы он выглядел так, как раньше, а также, возможно, кнопку вкладки вверху, чтобы отобразить цифровую клавиатуру. Рассмотрим степень, обозначенную как 17 26 чисел 37 0-квадратное число. Также мне нравятся шаблоны клавиатуры для чисел, которые симметрично противоположны, например 857142 + 142857, они добавляют к BASE — 1 в каждом месте цифры.

[6] 2021/03/07 03:02 Мужчина / Уровень 50 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Полезно /

Цель использования

Числа Фиббо / Люка в биномиальном расст.утилиты

Комментарий / запрос

интеграция кнопок константы Фина и / или последовательности Фибоначчи

[7] 2021.03.03 19:50 Мужчина / Уровень 20 лет / Инженер / Полезно /

Цель использования

Проверить, может ли тело дрейфовать в пространстве (дрейфовать, как при повороте с автомобилем и скольжении колеса по дороге).

[8] 2021/03/02 12:54 Мужчина / Уровень 40 лет / Другое / Очень /

Цель использования

Проверка гипотезы о кратных простых числах

Комментарий / запрос

Простой интерфейс и примеры позволили легко научиться пользоваться.
Несколько выражений и ответов помогают отслеживать тестирование.
Мне нужна была только 22-значная точность — пока — но даже это редкость в мире вычислительных систем с 15 значащими цифрами.
Спасибо!

[9] 2021/02/11 06:32 Мужской / До 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирант / Немного /

Цель использования

расчет объема шара толщиной 1 метр

[10] 2021/02/09 23:16 Мужчина / До 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирант / Очень /

Цель использования

альтернативно физическому вычислению

Таблица функций (2 переменные) Калькулятор

[1] 2021/07/03 03:54 Женский / Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / Аспирант / Не для всех /

Цель использования

Мне нужно было быстро найти шаблон для [более сложных] линейных функций, чтобы быстрее / точнее двигаться по уравнению

Комментарий / запрос

что-то более четкое

[2] 2021/05/04 03:18 Женщина / Младше 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Не совсем /

Цель использования

Чтобы найти уравнение, необходимое с таблицей

Комментарий / запрос

Указания должны быть более точными и должны быть больше вариантов, если мы хотим уравнение или что это такое.

[3] 2021/04/28 05:25 Мужчина / Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Не совсем /

Цель использования

Чтобы мои расчеты были быстрее для моего домашнее задание.

[4] 2021/04/26 00:22 Женский / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Не совсем /

Цель использования

Завершить таблицу с параболами по математике лист

Комментарий / запрос

Меньше требований к калькулятору, я хочу найти y, а не выражение

[5] 2021/04/21 02:30 Женский / До 20 лет / Начальная школа / Неполная средняя школа студент / Немного /

Цель использования

Нужна помощь с домашним заданием по математике.

Комментарий / запрос

Требуется уравнение таблицы функций.

[6] 2021/03/19 00:58 Женский / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Немного /

Цель использования

Просто практика

Комментарий / Запрос

Мне нужно определить, какие функции (линейные, квадратичные или экспоненциальные) из таблиц.

[7] 2021/03/16 00:48 Мужчина / Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

Определение, является ли функция линейной или нелинейной.

[8] 2021/03/06 01:50 — / До 20 лет / Начальная школа / Неполная средняя школа / Немного /

Цель использования

Для домашнего задания по математике

Комментарий / Запрос

Как мне получить ответ?

[9] 2021/02/19 02:15 Мужчина / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Немного /

Цель использования

онлайн-школа

Комментарий / запрос

как узнать, что это за функция?

[10] 2021/02/04 01:24 Женский / младше 20 лет / старшая школа / университет / аспирант / полезный /

Цель использования

онлайн школьная работа

Комментарий / запрос

Спасибо за вашу помощь! Этот калькулятор классный! 🙂

Форма представления векторов:

координатами точками

Скалярное произведение векторов, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор помогает найти скалярное произведение двух векторов всего в несколько кликов. Для вычисления скалярного произведения выберите размерность векторов и форму их представления (через координаты или по точкам), заполните все координаты и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст детальное решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам проверить свое решение и понять, как был получен ответ.

Размерность векторов:

2 3

Форма представления векторов:

координатами точками

Сложение векторов. Он-лайн калькулятор. — таблицы Tehtab.ru

Сложение векторов. Он-лайн калькулятор.

Сложение векторов. Он-лайн калькулятор.

В механике существуют два типа величин:

• скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
• векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

• правило параллелограмма
• правило треугольника
• тригонометрический способ

Правило параллелограмма.

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
• от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
• дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
• результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
• от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
• результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ

Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

F_рез. = [ F₁² + F₂² -2 F₁ F₂ cos(180^о-α) ]^1/2         (1)

где

F = числовое значение вектора

α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

β = arcsin[ F₂ *sin(180^o-α) / F_R ]         (2)

где

α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80^o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

F_рез = [ (5 кН)² + (8 кН)² — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180^o — (80^o)) ]^1/2

    = 10,14кН

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

β= arcsin[ (8кН) sin(180^o — (80^o)) / (10,14кН)_]

    = 51^o

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180^o — (80^o)) / (10,2 кН)_]

    = 29^o

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Найти смешанное произведение векторов онлайн калькулятор. Смешанное произведение векторов

Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Определение 1

Смешанным произведением a → , b → и d → является та величина, которая равняется скалярному произведению a → × b → и d → , где a → × b → — умножение a → и b → . Операцию умножения a → , b → и d → зачастую обозначают a → · b → · d → . Можно преобразовать формулу так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Умножение в системе координат

Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

Возьмем i → , j → , k →

Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид: a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Определение 2

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Из этого следует:

a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x — a x a z b x b z · d y + a x a y b x b y · d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Определение 3

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

1. (λ · a →) · b → · d → = a → · (λ · b →) · d → = a → · b → · (λ · d →) = λ · a → · b → · d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = a → · b → · d (2) → + a → · b → · d (2) →

Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

Действительно, если a → = b → , то, следуя определению векторного произведения [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Если же a → = b → или b → = d → , то угол между векторами [ a → × b → ] и d → равен π 2 . По определению скалярного произведения векторов ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

Пример 1

Докажите равенство ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , где λ — некоторое действительное число.

Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + ([ a → × b → ] , b →)
Мы разобрали, что (([ a → × b → ] , b →) = 0 . , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 · d → · 1 = a → · b → · d →

Неравенство доказано.

Разбор типовых задач

Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Пример 3

В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a → = (1 , — 2 , 3) , b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , — 2 , 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a → · b → · d → .

Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 — 2 3 — 2 2 1 3 — 2 5 = = 1 · 2 · 5 + (- 1) · 1 · 3 + 3 · (- 2) · (- 2) — 3 · 2 · 3 — (- 1) · (- 2) · 5 — 1 · 1 · (- 2) = — 7

Пример 4

Необходимо найти произведение векторов i → + j → , i → + j → — k → , i → + j → + 2 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → — k → = (1 , 1 , — 1) i → + j → + 2 · k → = (1 , 1 , 2)

Используем формулу, которая использовалась выше
i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 1 1 0 1 1 — 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 0

Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.

Пример 5

В прямоугольной системе координат расположены три вектора a → , b → и d → , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4 , 2 и 3 . Необходимо умножить вектора.

Обозначим c → = a → × b → .

Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними.) = c → · n p c → d → , где n p c → d → — числовая проекция вектора d → на направление вектора c → = [ a → × b → ] .

Абсолютная величина n p c → d → равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a → , b → и d → в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c → = [ a → × b → ] перпендикулярен a → и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c → = a → x b → равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a → и b → .

Делаем вывод, что модуль произведения a → · b → · d → = c → · n p c → d → равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a → , b → и d → .

Определение 4

Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда : V п а р а л л е л е п и п и д а = a → · b → · d → .

Данная формула и является геометрическим смыслом.

Определение 5

Объем тетраэдра , который построен на a → , b → и d → , равняется 1 / 6 объема параллелепипеда Получаем, V т э т р а э д а = 1 6 · V п а р а л л е л е п и п и д а = 1 6 · a → · b → · d → .

Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

Пример 6

Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются A B → = (3 , 6 , 3) , A C → = (1 , 3 , — 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 — 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 — 3 · 3 · 2 — 6 · 1 · 2 — 3 · (- 2) · 2 = — 18

Тогда, V п а р а л л е л е п и п е д а = — 18 = 18 .

V п а р а л л е л е п и п и д а = 18

Пример 7

В системе координат заданы точки A (0 , 1 , 0) , B (3 , — 1 , 5) , C (1 , 0 , 3) , D (- 2 , 3 , 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

Воспользуемся формулой V т э т р а э д р а = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: A B → = (3 — 0 , — 1 — 1 , 5 — 0) = (3 , — 2 , 5) A C → = (1 — 0 , 0 — 1 , 3 — 0) = (1 , — 1 , 3) A D → = (- 2 — 0 , 3 — 1 , 1 — 0) = (- 2 , 2 , 1)

Дальше определяем смешанное произведение A B → · A C → · A D → по координатам векторов: A B → · A C → · A D → = 3 — 2 5 1 — 1 3 — 2 2 1 = 3 · (- 1) · 1 + (- 2) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 — 5 · (- 1) · (- 2) — (- 2) · 1 · 1 — 3 · 3 · 2 = — 7 Объем V т э т р а э д р а = 1 6 · — 7 = 7 6 .

V т э т р а э д р а = 7 6 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Вытекает из геометрического смысла.
2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
   Вытекает из определения смешанного произведения.
3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
   Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Пример №3 . Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Следовательно нам достаточно доказать, что

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс , где

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:

Конечная точка вектора a .

Калькуляторы линейной алгебры — eMathHelp

Онлайн-калькулятор для нахождения скалярного (внутреннего) произведения двух векторов с указанными шагами.

Онлайн-калькулятор для определения величины (длины) вектора с указанными шагами.

Калькулятор найдет единичный вектор в направлении данного вектора с указанными шагами.

Калькулятор найдет угол (в радианах и градусах) между двумя векторами и покажет результат.

Калькулятор найдет скалярную проекцию одного вектора на другой с указанными шагами.

Калькулятор найдет векторную проекцию одного вектора на другой с указанием шагов.

Этот калькулятор ортонормирует набор векторов с помощью процесса Грама-Шмидта с указанными шагами.

Онлайн-калькулятор найдет произведение двух векторов с указанием шагов.

Калькулятор вычислит тройное произведение (как скаляр, так и вектор) трех векторов с указанными шагами.

Калькулятор найдет транспонирование данной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет след матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет эшелонированную форму строки (простую или сокращенную — RREF) заданной (расширенной) матрицы (с переменными, если необходимо), с указанием шагов.

Калькулятор выполнит исключение Гаусса для данной расширенной матрицы с указанными шагами. По желанию возможно полное сокращение.

Калькулятор найдет ранг матрицы с указанием шагов.

Калькулятор найдет размер строки матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет размер столбца матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет основу пространства, охватываемого набором заданных векторов, с указанными шагами.

Калькулятор найдет пустое пространство (ядро) и недействительность данной матрицы с указанными шагами.

Этот калькулятор найдет базис ортогонального дополнения подпространства, охватываемого данными векторами, с указанными шагами.

Калькулятор найдет определитель матрицы (2×2, 3×3, 4×4 и т. Д.), Используя расширение кофактора, с указанными шагами.

Калькулятор найдет обратную квадратную матрицу, используя метод исключения Гаусса или метод сопряжения, с указанными шагами.

Калькулятор найдет матрицу миноров данной квадратной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет матрицу сомножителей данной квадратной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет сопряженную (сопряженную, вспомогательную) матрицу данной квадратной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет характеристический многочлен данной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет собственные значения и собственные векторы (собственное подпространство) данной квадратной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор диагонализирует данную матрицу с указанием шагов.

Калькулятор найдет сумму двух матриц (если возможно) с указанными шагами. Добавляет матрицы любого размера до 10х10 (2х2, 3х3, 4х4 и т. Д.).

Калькулятор найдет разницу двух матриц (если возможно), с указанными шагами.Он вычитает матрицы любого размера до 10×10 (2×2, 3×3, 4×4 и т. Д.).

Калькулятор умножит заданную матрицу на заданный скаляр с указанными шагами. Он обрабатывает матрицы любого размера до 10×10 (2×2, 3×3, 4×4 и т. Д.).

Калькулятор найдет произведение двух матриц (если возможно) с указанными шагами.Он перемножает матрицы любого размера до 10х10 (2х2, 3х3, 4х4 и т. Д.).

Калькулятор найдет частное двух матриц (если возможно) с указанием шагов. Он разделяет матрицы любого размера до 7×7 (2×2, 3×3, 4×4 и т. Д.).

Калькулятор найдет данную матрицу, возведенную в заданную целую (положительную или отрицательную) степень (если возможно), с указанными шагами.Таким образом, он может возводить матрицу в квадрат и куб. Он обрабатывает матрицы любого размера до 7×7 (2×2, 3×3, 4×4 и т. Д.).

Этот решатель будет складывать, вычитать, умножать, делить и возводить в степень две матрицы с указанными шагами. Он также найдет определитель, инверсию, rref (сокращенная форма эшелона строк), пустое пространство, ранг, собственные значения и собственные векторы.

Калькулятор найдет LU-разложение данной матрицы $$$ A $$$ (если возможно), т.е. такую ​​нижнюю треугольную матрицу $$$ L $$$ и верхнюю треугольную матрицу $$$ U $$$, которая $$$ A = LU $$$, с указанными шагами.

В случае частичного поворота (требуется перестановка строк) калькулятор также найдет матрицу перестановок $$$ P $$$ такую, что $$$ PA = LU $$$.

Калькулятор найдет QR-факторизацию данной матрицы $$$ A $$$, т.е. такую ​​ортогональную матрицу $$$ Q $$$ и верхнюю треугольную матрицу $$$ R $$$, что $$$ A = QR $$$, с указанием шагов.

Сложение векторов

В механике есть два вида величин

• скалярные величины с величиной — время, температура, масса и т. Д.
• вектор величины с величиной и направлением — скорость, сила и т. Д.

При сложении векторных величин важны как величина, так и направление. Общие методы сложения копланарных векторов (векторов, действующих в одной плоскости):

• закон параллелограмма
• правило треугольника
• тригонометрическое вычисление

Закон параллелограмма

Процедура «» метод сложения параллелограмма векторов «- это

• начертите вектор 1, используя соответствующий масштаб и в направлении его действия
• от хвоста вектора 1 начертите вектор 2, используя тот же масштаб в направлении его действия
• завершите параллелограмм, используя вектор 1 и 2 как стороны параллелограмма
• результирующий вектор представлен как по величине, так и по направлению диагональю параллелограмма

Правило треугольника

Процедура « метод сложения треугольника векторов » равна

• нарисуйте вектор 1 в соответствующем масштабе и в направлении его действия 9. 0084
• от носа вектора нарисовать вектор 2 с использованием того же масштаба и в направлении его действия
• результирующий вектор представлен как по величине, так и по направлению вектором, проведенным от хвоста вектора 1 к носику вектора 2

Тригонометрическое вычисление

Результирующий вектор из двух копланарных векторов может быть вычислен тригонометрическим методом с использованием « правила косинуса » для прямоугольного треугольника.

F _R = [F ₁ ² + F ₂ ² — 2 F ₁ F ₂ cos (180 ^o — (α + β))] ^1/2 (1)

где

F = векторная величина — сила, скорость и т. Д.

α + β = угол между вектором 1 и 2

Угол между вектором и результирующий вектор может быть вычислен с помощью « правило синуса » для непрямоугольного треугольника.

α = sin ^-1 [F ₁ sin (180 ^o — (α + β)) / F _R ] (2)

где

α + β = угол между вектором 1 и 2 известен

Пример — сложение сил

Сила 1 с величиной 3 кН действует в направлении 80 ^o от силы 2 с величиной 8 кН .

Результирующая сила может быть рассчитана как

F _R = [(3 кН) ² + (8 кН) ² — 2 (5 кН) (8 кН) cos (180 ^o — (80 ^o ))] ^1/2

= 9 (кН)

Угол между вектором 1 и результирующим вектором можно рассчитать как

α = sin ^-1 [(3 кН) sin (180 ^o — (80 ^o )) / (9 кН) _]

= 19.1 ^o

Угол между вектором 2 и результирующим вектором можно рассчитать как

α = sin ^-1 [(8 кН) sin (180 ^o — (80 ^o ) ) / (9 кН) _]

= 60,9 ^o

Пример — Самолет при ветре

Встречный ветер 100 км / ч действует 30 ^o правый борт на самолете с скорость 900 км / ч .

Результирующая скорость самолета относительно земли может быть рассчитана как

v _R = [(900 км / ч) ² + (100 км / ч) ² — 2 (900 км / ч) (100 км / ч) cos (180 ^o — (30 ^o ))] ^1/2

= 815 (км / ч)

Угол между курсом самолета и фактический относительный курс земли можно рассчитать как

α = sin ^-1 [(100 км / ч) sin ((180 ^o ) — (30 ^o )) / (815 км / ч) _]

= 3.5 ^o

Векторный калькулятор

Общий калькулятор ниже основан на уравнении (1) и может использоваться для сложения векторных величин, таких как скорости, силы и т. Д.

Параллелограмм

Результирующие векторы могут быть оценены путем рисования параллелограммов, как показано ниже.

1. нарисуйте векторы с правильным направлением и величиной
2. начертите параллельные линии векторам
3. нарисуйте результирующий вектор до точки пересечения между параллельными линиями
4. измерьте величину и направление результирующего вектора на чертеже

Метод также можно использовать с более чем двумя векторами, как указано ниже.

1. нарисуйте результирующие векторы между двумя и двумя векторами
2. начертите результирующие векторы между двумя и двумя результирующими векторами
3. продолжайте до тех пор, пока не будет только один конечный результирующий вектор
4. Измерьте направление и величину конечного результирующего вектора в чертеж

В приведенном выше примере сначала найдите полученный F _(1,2) , добавив F ₁ и F ₂ , и получившийся F _(3,4) , добавив F ₃ и F ₄ .Найдите результат F _(1,2.3,4) , добавив F _(1,2) и F _(3,4) .

Калькулятор линейной независимости

Добро пожаловать в калькулятор линейной независимости , где мы узнаем, как проверить, имеете ли вы дело с линейно независимыми векторами или нет.

По сути, мир вокруг нас является векторным пространством и иногда полезно ограничиться меньшей его частью. Например, сфера — это , трехмерная фигура , но круг существует только в двух измерениях , так зачем возиться с вычислениями в трех измерениях?

Линейная зависимость позволяет нам делать именно это — работать в меньшем пространстве, так называемом диапазоне рассматриваемых векторов .Но не волнуйтесь, если вы нашли все эти причудливые слова нечеткими. Через секунду мы медленно пройдем через все это вместе.

Так что возьмите утреннюю / вечернюю закуску в дорогу, и вперед!

Что такое вектор?

Если вы спросите кого-нибудь: « Что такое вектор? », то довольно часто вы получите ответ « стрелка ». Ведь мы обычно обозначаем их стрелкой над маленькой буквой:

Ну, давайте просто скажем, что этот ответ не принесет вам 100 баллов на тесте.Формально вектор — это элемент векторного пространства . Конец определения. Достаточно просто . Мы можем закончить учебу. Теперь все ясно.

Но что же тогда такое векторное пространство? Опять же, математическое определение оставляет желать лучшего: это набор элементов с некоторыми операциями (сложение и умножение на скаляр), которые должны иметь несколько специфических свойств. Итак, почему бы нам просто не оставить формализм и не взглянуть на на несколько реальных примеров ?

Декартово пространство является примером векторного пространства.Это означает, что числовая линия, плоскость и трехмерное пространство, в котором мы живем в , являются векторными пространствами . Их элементами являются, соответственно, числа, пары чисел и тройки чисел, которые в каждом случае описывают положение точки (элемента пространства). Например, число -1 или точка A = (2, 3) являются элементами (разных!) Векторных пространств. Часто при рисовании сил, действующих на объект, таких как скорость или гравитационное притяжение, мы используем прямые стрелки , чтобы описать их направление и значение , и отсюда и происходит «определение стрелки ».

Что очень важно, так это то, что у нас есть четко определенных операций над векторами, упомянутыми выше. Есть несколько более сложных, таких как скалярное произведение и перекрестное произведение. Однако, к счастью, мы ограничимся двумя основными , которые следуют аналогичным правилам для тех же матричных операций (векторы, по сути, являются однострочными матрицами). Прежде всего, мы можем добавить их :

-1 + 4 = 3 ,

(2,3) + (-3, 11) = (2 + (-3), 3 + 11) = (-1, 14) ,

и , мы можем умножить их на скаляр (действительное или комплексное число), чтобы изменить их величину:

3 * (-1) = -3 ,

7 * (2, 3) = (7 * 2, 7 * 3) = (14, 21) .

По правде говоря, в векторном пространстве не обязательно должны быть числа . Это может быть пространство последовательностей, функций или перестановок. Даже скаляры не обязательно должны быть числовыми! Но оставим эту абстрактную чушь ученым . Нас устраивают только цифры, не так ли?

Линейная комбинация векторов

Допустим, нам дан набор векторов (из того же пространства): v₁ , v₂ , v₃ , …, vₙ . Как мы видели в разделе выше, , мы можем сложить их и умножить на скаляры . Любое выражение, полученное таким образом, называется линейной комбинацией векторов. Другими словами, любой вектор w , который можно записать как

w = 𝛼₁ * v₁ + 𝛼₂ * v₂ + 𝛼₃ * v₃ + ... + 𝛼ₙ * vₙ

, где 𝛼₁, 𝛼₂, 𝛼₃, ..., 𝛼ₙ — произвольные действительные числа, называется линейной комбинацией векторов v₁ , v₂ , v₃ ,…, vₙ . Обратите внимание, что w действительно вектор, поскольку это сумма векторов.

Хорошо, зачем все это? В жизни есть несколько вещей, таких как гелиевые шары и гамаки, которые приятно иметь, но не так уж и полезны в повседневной жизни. Так ли это здесь?

Рассмотрим декартовую плоскость , т.е. двумерное пространство точек A = (x, y) с двумя координатами, где x и y — произвольные действительные числа.Мы уже знаем, что такие точки являются векторами, так почему бы нам не взять две очень особенные : e₁ = (1,0) и e₂ = (0,1) . Теперь обратите внимание:

A = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x * (1,0) + y * (0,1) = x * e₁ + y * e₂ .

Другими словами, любая точка (вектор) нашего пространства представляет собой линейную комбинацию векторов e₁ и e₂ . Эти векторы образуют основу (и при этом ортонормированный базис) пространства.И поверьте нам, в приложениях и вычислениях часто легче работать с известной вам базой, чем с какими-то случайными векторами, которых вы не знаете.

Но что если бы мы добавили еще один вектор к стопке и захотели описать линейные комбинации векторов e₁ , e₂ и, скажем, v ? Мы видели, что e₁ и e₂ оказались достаточными, чтобы найти все точки. Так что добавление к ничего не должно изменить, не так ли? Собственно, кажется совершенно лишним .И именно здесь в игру вступает линейная зависимость .

Линейно независимые векторы

Нет, это не имеет ничего общего с вашим барбекю 4 июля. Мы говорим, что v₁ , v₂ , v₃ , …, vₙ — это линейно независимых вектора , если уравнение

𝛼₁ * v₁ + 𝛼₂ * v₂ + 𝛼₃ * v₃ + ... + 𝛼ₙ * vₙ = 0

(здесь 0 — вектор с нулями во всех координатах) выполняется тогда и только тогда, когда 𝛼₁ = 𝛼₂ = 𝛼₃ =... = 𝛼ₙ = 0 . В противном случае мы говорим, что векторы являются линейно зависимыми .

Приведенное выше определение можно понять следующим образом: единственная линейная комбинация векторов, которая дает нулевой вектор, является тривиальной . Например, вспомните векторы из приведенного выше раздела: e₁ = (1,0) , e₂ = (0,1) , а затем также возьмите v = (2, -1) . Тогда

(-2) * e₁ + 1 * e₂ + 1 * v = (-2) * (1,0) + 1 * (0,1) + 1 * (2, -1) = (-2,0 ) + (0,1) + (2, -1) = (0,0) ,

, поэтому мы нашли нетривиальную линейную комбинацию векторов, которая дает ноль .Следовательно, они линейно зависимы . Кроме того, мы легко можем видеть, что сами по себе e₁ и e₂ без проблемных v являются линейно независимыми векторами .

Оболочка векторов в линейной алгебре

Набор всех элементов, которые можно записать как линейную комбинацию векторов v₁ , v₂ , v₃ , …, vₙ , называется промежутком векторов и обозначается span ( v₁, v₂, v₃ ,..., vₙ) . Возвращаясь к векторам из предыдущего раздела, то есть e₁ = (1,0) , e₂ = (0,1) и v = (2, -1) , мы видим, что

пролет (e₁, e₂, v) = пролет (e₁, e₂) = ℝ² ,

, где ℝ² — это множество точек на декартовой плоскости, то есть все возможные пары действительных чисел. По сути, это означает, что размах векторов одинаков: для e4 , e₂ и v , и только для e4 и e₂ (или, используя формальные термины, двух пересечение пространств — целое м² ).Это говорит о том, что v является избыточным и ничего не меняет . Да, вы догадались — именно из-за линейной зависимости .

Пролет в линейной алгебре описывает пространство, в котором живут наши векторы . В частности, наименьшее количество элементов, которых достаточно для этого, называется размерностью векторного пространства. В приведенном выше примере это было 2 , потому что мы не можем получить меньше элементов, чем e₁ и e₂ .

Внимательный взгляд заметит, что на самом деле размерность диапазона векторов равна количеству линейно независимых векторов в сгустке. В приведенном выше примере все было довольно просто: векторы e₁ и e₂ были самыми простыми из возможных (на самом деле, у них даже есть собственное имя: стандартный базис ). Но что, если у нас есть что-то другое? Как мы можем проверить линейную зависимость и описать диапазон векторов в каждом случае? Через минуту мы узнаем это и многое другое!

Как проверить линейную зависимость

Для проверки линейной зависимости переведем нашу задачу с языка векторов на язык матриц (массивов чисел).Например, предположим, что нам даны три вектора в 2-мерном пространстве (с двумя координатами): v = (a₁, a₂) , w = (b₁, b₂) и u = (c₁, c₂) . Теперь давайте запишем их координаты как в одну большую матрицу с каждой строкой (или столбцом, неважно), соответствующей одному из векторов:

Тогда ранг матрицы равен максимальному количеству линейно независимых векторов среди v , w и u .Другими словами, их промежуток в линейной алгебре имеет размерность ранга (A) . В частности, являются линейно независимыми векторами тогда и только тогда, когда ранг A равен количеству векторов .

Итак, как нам узнать ранг? Возможно, самый простой метод — это исключения Гаусса (или его уточнение, исключение Гаусса-Джордана ). Это тот же алгоритм, который часто используется для решения систем линейных уравнений, особенно при попытке найти (сокращенную) ступенчатую форму системы.

Исключение Гаусса основано на так называемых операциях с элементарной строкой :

1. Поменять местами две строки матрицы.
2. Умножить строку на ненулевую константу.
3. Добавить в строку ненулевое кратное другой строке.

Уловка здесь в том, что хотя операции изменяют матрицу , они не изменяют ее ранг и, следовательно, размер диапазона векторов.

Алгоритм пытается устранить (т.д., сделайте их 0 ) как можно больше записей A . В приведенном выше случае, при условии, что a₁ не равно нулю, первый шаг исключения Гаусса преобразует матрицу во что-то в форме:

, где s₂ и t₂ — некоторые действительные числа.Тогда, пока s₂ не равно нулю, второй шаг даст матрицу

Теперь нам нужно заметить, что нижняя строка представляет нулевой вектор (у него 0 в каждой ячейке), который линейно зависит от любого вектора .Следовательно, ранг нашей матрицы будет просто , количество ненулевых строк в массиве, которое мы получили, , что в данном случае составляет 2 .

Это было достаточно времени, потраченного на теорию, не так ли? Давайте попробуем на примере посмотрим, как работает калькулятор линейной независимости !

Пример: использование калькулятора линейной независимости

Допустим, вы наконец осуществили свою мечту — вы купили дрон . Наконец-то вы можете снимать и снимать на видео места, которые вы посещаете, издалека.Все, что вам нужно сделать, это запрограммировать его движения . Дрон требует, чтобы вы дали ему три вектора, по которым он сможет перемещаться .

Мир, в котором мы живем, трехмерен, поэтому векторы будут иметь три координаты . Не задумываясь, вы берете случайных векторов, которые приходят на ум : (1, 3, -2) , (4, 7, 1) и (3, -1, 12) . Но действительно ли стоит просто закрыть глаза, подбросить монетку и выбрать случайные числа? В конце концов, большая часть ваших сбережений пошла на это, так что нам лучше сделать это хорошо .

Что ж, если вы выбрали числа случайным образом, вы можете обнаружить, что выбранных вами векторов являются линейно зависимыми , а диапазон векторов, например, только двумерный. Это означает, что ваш дрон не сможет перемещаться, как вы хотите, но будет ограничен движением по плоскости . Может случиться так, что он сможет перемещаться влево и вправо, вперед и назад, , но не вверх и вниз . И как мы получим эти отмеченные наградами кадры похода, если дрон не может даже взлететь?

Хорошо, что у нас есть калькулятор линейной независимости! С его помощью мы можем быстро и легко проверить, был ли наш выбор удачным. Итак, давайте разберемся, как им пользоваться.

У нас есть 3 векторов с 3 координатами каждый, поэтому мы начинаем с того, что сообщаем калькулятору об этом факте, выбирая соответствующие параметры в « количество векторов » и « количество координат ». Это покажет нам символический пример таких векторов с обозначениями, используемыми в калькуляторе линейной независимости. Например, первый вектор задается как v = (a₁, a₂, a₃) .Следовательно, поскольку в нашем случае первым был (1, 3, -2) , мы вводим

a₁ = 1 , a₂ = 3 , a₃ = -2 .

Аналогично для двух других получаем:

b₁ = 4 , b₂ = 7 , b₃ = 1 ,

c₁ = 3 , c₂ = -1 , c₃ = 12 .

Как только мы введем последнее число, калькулятор линейной независимости сразу сообщит нам, есть ли у нас линейно независимые векторы или нет , и какова размерность диапазона векторов.Тем не менее, давайте возьмем лист бумаги и попробуем сделать все самостоятельно вручную, чтобы увидеть , как калькулятор пришел к своему ответу .

Как упоминалось в предыдущем разделе, мы хотели бы, чтобы вычислило ранг матрицы, образованной нашими векторами . Мы построим массив размером 3 × 3, записав координаты последовательных векторов в последовательные строки. Таким образом, мы приходим к матрице

Теперь будем использовать исключение по Гауссу .Прежде всего, мы хотели бы, чтобы у были нули в двух нижних строках первого столбца . Для их получения мы используем элементарные операции со строками и 1 из верхней строки. Другими словами, мы добавляем подходящее кратное первой строки к двум другим , чтобы их первая запись стала нулем. Поскольку 4 + (-4) * 1 = 0 и 3 + (-3) * 1 = 0 , мы добавляем кратное (-4) и (-3) первой строки к второй и третий ряд соответственно.Это дает матрицу

Затем мы хотели бы, чтобы получили 0 в нижней строке среднего столбца и использовали для этого -5 .Опять же, , мы прибавляем подходящее кратное второй строки к третьей . Поскольку -10 + (-2) * (- 5) = 0 , кратное равен (-2) . Следовательно,

Мы получили нуля в нижних строках .Мы знаем, что ранг матрицы и, следовательно, линейная зависимость и диапазон в линейной алгебре определяются количеством ненулевых строк . Это означает, что в нашем случае у нас rank (A) = 2 , что на меньше, чем количество векторов , и подразумевает, что они линейно зависимы и охватывают 2-мерное пространство .

Итак, случилось то, чего мы опасались: : у нашего дрона не будет свободы передвижения . Но мы не можем упустить шанс снять все эти воздушные кадры! К счастью, у нас есть калькулятор линейной независимости , и мы можем поиграть с векторами, чтобы найти подходящую комбинацию векторов.А когда он у нас есть, мы собираемся, садимся в машину и отправляемся в приключение!

Очень простое руководство по CalcMe — CalcMe — Документация

Живые демонстрации

Как работает CalcMe?

Вы можете писать математику, а CalcMe выполнит вычисления за вас.

Таблица CalcMe разделена на три основные области:

Рассчитать

1. Напишите, что вы хотите вычислить

2. Нажмите Calc или Введите

Действие по умолчанию — Calc , но вы можете выбрать наиболее подходящий по своему усмотрению.

ЖИВАЯ ДЕМО

График

1. Напишите уравнение или фигуру, которую хотите построить

2. Нажмите График действие

Новый

Определить

1. Сохранить вычисление в переменной

2. Использовать позже

Новый

Арифметика

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы можете вычислить частное и остаток от деления или разложить число на простые множители. Вы также можете вычислить наибольший общий делитель или наименьшее общее кратное набора чисел.

ЖИВАЯ ДЕМО

Конструктор векторов и матриц

Векторы

Векторы заключаются в квадратные скобки [] , а элементы разделяются запятыми , .

Вы можете просуммировать векторы или вычислить их скалярное произведение.

ЖИВАЯ ДЕМО

Матрицы

Матрицы — это векторы векторов, то есть векторы, элементы которых являются векторами. Вы можете создавать матрицы с двумя разными синтаксисами

В качестве векторов вы можете суммировать и умножать матрицы (если их размеры совместимы).

ЖИВАЯ ДЕМО

Основные операции

Как вы уже видели, вы можете работать с векторами и матрицами и выполнять с ними базовые арифметические операции.Однако вы можете сделать гораздо больше: вы можете вычислить перекрестное произведение между двумя векторами, проверить, являются ли они линейно независимыми; матрицу можно инвертировать или возвести в целую степень, вы также можете вычислить ее ранг или определитель.

ЖИВАЯ ДЕМО

Доступ к элементу

Вы можете получить доступ к определенному элементу вектора с помощью подиндексов, которые начинаются с 1. Таким же образом вы можете получить элемент матрицы.

ЖИВАЯ ДЕМО

Многочлены и выражения

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы можете суммировать, умножать, делить и, например, находить корни многочленов.

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы также можете создавать более сложные выражения и работать с ними.

ЖИВАЯ ДЕМО

Дифференциация

Существует множество способов вычислить производную функции или выражения.

ЖИВАЯ ДЕМО

Интеграция

Также существует множество способов вычислить интеграл функции или выражения.

ЖИВАЯ ДЕМО

Предел

Можно вычислить предел функции или выражения. Более того, вы также можете брать односторонние ограничения.

ЖИВАЯ ДЕМО

Расширение Тейлора

Вы можете вычислить ряд Тейлора реальной функции в заданной точке.Если вас интересуют сроки до некоторого порядка, вы можете также сократить серию.

ЖИВАЯ ДЕМО

серии

Вы можете определить, сходится ли ряд, а также в большинстве случаев вычислить сумму сходящихся рядов.

ЖИВАЯ ДЕМО

Геометрия

Точки, линии и плоскости

Возможна работа в 2 или 3 измерениях. Чтобы создать точки, вы просто определяете его компоненты.

ЖИВАЯ ДЕМО

Имея две точки или точку и вектор, вы можете построить линию.

ЖИВАЯ ДЕМО

Подобным образом вы можете, например, построить плоскость по трем точкам.

ЖИВАЯ ДЕМО

Фигурки

ЖИВАЯ ДЕМО

Решение

Уравнения

Можно решить уравнение или систему уравнений ровно .

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы также можете использовать численный метод для решения более сложных уравнений.

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы также можете использовать численный метод для решения более сложных уравнений.

ЖИВАЯ ДЕМО

Неуравнения

Также возможно найти решение неравенства.

ЖИВАЯ ДЕМО

Статистика

ЖИВАЯ ДЕМО

Вероятность

ЖИВАЯ ДЕМО

Комбинаторика

ЖИВАЯ ДЕМО

Единицы и валюта

ЖИВАЯ ДЕМО

Валюты похожи на единицы, но вы не можете конвертировать одну в другую. Проверьте все доступные валюты здесь.

ЖИВАЯ ДЕМО

Случайность

Строки алгоритма, опция

Функция random в CalcMe адаптируется ко многим случаям использования. Например, вы увидите, как удалить «0» из случайного выбора. Обычная команда была бы такой:

ЖИВАЯ ДЕМО

По умолчанию сюда входят все числа от -10 до 10. Если, учитывая требования вопроса, число 0 необходимо исключить из набора, вы можете удалить его с помощью одной простой инструкции (косая черта / должна быть используется через клавиатуру или логику и устанавливает вкладку ):

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы должны заключить в скобки первый список, чтобы это сработало.Это, конечно, может работать одинаково для любого другого числа, которое вам нужно исключить, кроме нуля:

ЖИВАЯ ДЕМО

Вышеупомянутое произвело бы случайное число от -10 до 10, кроме числа 8. Вы даже можете сделать это с более чем одним числом:

ЖИВАЯ ДЕМО

Это приведет к удалению 8, -8 и 0 из выбора.Как видите, существует гораздо больше возможностей при создании случайной величины.

Пока что вы получили целые числа, но вы также можете работать с действительными числами.

ЖИВАЯ ДЕМО

Как правило, эти действительные числа содержат столько десятичных или значащих цифр, сколько определено в настройках приложения.Вы можете настроить его, указав шаг между возможными случайными значениями.

ЖИВАЯ ДЕМО

Более того, эти случайные величины также могут быть выбраны из конкретного набора значений или слов. В следующем разделе вы увидите более подробную информацию о том, как создавать такие наборы.

ЖИВАЯ ДЕМО

Создание списков через понимание

Мы объясним команды на следующих примерах.

Строки алгоритма, опция

Пример 1

На самом базовом уровне с просто обеспечивают более компактную форму написания длинных списков.Ты можешь написать

ЖИВАЯ ДЕМО

или вы можете значительно упростить его до следующего:

ЖИВАЯ ДЕМО

Команда , где пригодится, когда вы хотите установить дополнительные ограничения.Например, получить только четные числа:

ЖИВАЯ ДЕМО

В качестве альтернативы вы, конечно, могли бы сделать это:

ЖИВАЯ ДЕМО

Пример 2

Пример 3

Обозначение понимания списка также может быть расширено до более чем одной переменной.В этом случае вы должны указать диапазон для каждой переменной, используемой в качестве счетчика. Например, вот список, содержащий все положительные правильные дроби в простейшем виде, с однозначным числителем и знаменателем:

ЖИВАЯ ДЕМО

Другая рекомендация, проиллюстрированная в приведенном выше примере, заключается в заключении каждого условия после , где в круглые скобки, если у вас есть более одного, соединенного с.

Пример 4

Наконец, обратите внимание, что диапазон для переменной счетчика может сам быть списком, определенным ранее.

ЖИВАЯ ДЕМО

Пример 5

Также возможно создавать матрицы, используя эту нотацию. Например, создать матрицу со случайными коэффициентами очень просто:

ЖИВАЯ ДЕМО

Программирование

Строки алгоритма, опция

Вы можете использовать некоторые функции программирования. Здесь вы можете увидеть основные. Например, учитывая список, созданный, как описано ранее, вы можете легко вычислить квадрат первых простых чисел.

ЖИВАЯ ДЕМО

Функции пользователя

Строки алгоритма, опция

Вы можете создавать собственные функции. Команда random очень полезна, но было бы немного утомительно записывать каждый раз random (-10,10) . Вместо этого вы можете создать функцию, которая при вызове генерирует случайное число:

ЖИВАЯ ДЕМО

Это упрощает создание матрицы со случайными коэффициентами.Еще один более сложный пример — создание функции, которая строит трехдиагональную матрицу по трем числам. Следовательно, каждый раз, когда вы хотите создать трехдиагональную матрицу, вам просто нужно вызывать эту функцию с элементами верхней диагонали, диагонали и нижней диагонали, которые вы хотели бы иметь в матрице.

ЖИВАЯ ДЕМО

Построение вектора на графическом калькуляторе TI-84 Plus C Silver Edition.

Как построить вектор на графическом калькуляторе TI-84 Plus C Silver Edition?

TI-84 Plus C Silver Edition не имеет режима векторной графики. Тем не менее, пользователи по-прежнему могут изобразить вектор с помощью СТАТИСТИКИ.Для этого следуйте примеру ниже:

Пример: Изобразите вектор с величиной 5 единиц и направлением 30 градусов.

Чтобы преобразовать вектор в прямоугольные координаты:

1) Нажмите [РЕЖИМ] и убедитесь, что выбран режим СТЕПЕНЬ. Если СТЕПЕНЬ не выбрана, прокрутите вниз и до СТЕПЕНИ и нажмите [ENTER].
Обратите внимание: Нажмите [2nd] [MODE], чтобы вернуться на главный экран.
2) Нажмите [2nd] [APPS] [7], чтобы войти в меню ANGLE, и вставьте функцию P> Rx () на главный экран.
3) Нажмите [5] [,] [3] [0] [)].
4) Нажмите [STO>] [X, T, theta, n] [ENTER] (значение Rx теперь сохраняется в переменной X).

5) Нажмите [2nd] [APPS] [8] для доступа к меню ANGLE и вставьте функцию P> Ry ( на главный экран.
6) Нажмите [5] [,] [3] [ 0] [)].
7) Нажмите [STO>] [ALPHA] [1] [ENTER] (значение Ry теперь сохраняется в переменной Y).

Значения входного списка:

1) Нажмите [STAT] [ENTER], чтобы получить доступ к редактору списка STAT.
2) Установите курсор под списком L1 и нажмите [0] [ENTER] [X, T, theta, n] [ENTER].

3) Перейдите к списку L2 и нажмите [0] [ENTER] [ALPHA] [1] [ENTER].

4) Нажмите [2nd] [MODE], чтобы выйти из редактора списка STAT.

Постройте вектор:

1) Нажмите [2nd] [Y =] [ENTER], чтобы получить доступ к редактору STAT PLOT Editor.
2) Выделив опцию ON, нажмите [ENTER], чтобы включить Plot1.

3) В поле Тип: выберите вторую опцию, которая представляет собой график X-Y Line.
4) Для опции Xlist введите L1. Если L1 еще не отображается, нажмите [2nd] [1], чтобы ввести L1.
5) Для опции Ylist введите L2. Если L2 еще не отображается, нажмите [2nd] [2], чтобы ввести L2.
6) Нажмите [GRAPH], чтобы построить график вектора.

Дополнительную информацию см. В руководстве TI-84 Plus C Silver Edition.

Как вычислить результирующую силу, действующую на объект — x-engineer.org

В механике мы имеем дело с двумя типами величин (переменных): скалярными и векторными переменными. Скалярные переменные имеют только величину, например: длина, масса, температура, время. Векторные переменные имеют величину и направление, например: скорость, сила, крутящий момент. Направление вектора определяется углами действия каждой оси. Векторные переменные обычно обозначаются жирным шрифтом со стрелками вверху.

На тело или точку могут действовать несколько сил, каждая из которых имеет разное направление и величину. В инженерии основное внимание уделяется результирующей силе, действующей на тело.Результирующая параллельных сил (действующих в одной плоскости) может быть найдена с помощью закона параллелограмма , правила треугольника или правила многоугольника .

Две или более силы действуют одновременно — их направление пересекает общую точку. Например, две параллельные силы F ₁ и F ₂ действуют на одну и ту же точку P . Чтобы найти их результирующий R , мы можем применить либо закон параллелограмма , либо правило треугольника .

Результирующая сила — это векторная сумма между компонентами:

Если на одну и ту же точку действует несколько сил, мы можем применить правило многоугольника , чтобы найти их равнодействующую.

Результирующую силу можно определить также для трехмерной силы системы , используя правило многоугольника.

Закон параллелограмма, правило треугольника и правило многоугольника — это геометрические методы для нахождения равнодействующей силы . Мы можем нарисовать результирующую силу, но мы не знаем точно ее величину и направление.

Чтобы вычислить величину и направление результирующей силы или вычислить значение той или иной составляющей силы, мы можем использовать закон синусов и закон косинусов.{\ circ} — \ alpha — \ beta)} \ tag {3} \]

Результирующую силу также можно вычислить аналитический , используя проекции силы. Используя метод проекции силы , мы можем вычислить величину и углы направления результирующей силы.

На изображении выше у нас есть равнодействующая сила R и ее проекции на каждую ось:

F _x — проекция R на ось x
F _y — проекция R на ось y
F _z — проекция R на ось z
α — угол между R и осью x
β — угол между R и осью y
γ — угол между R и осью z

Если в одной точке действуют несколько сил, мы вычислим равнодействующую их проекций на каждая ось: