Разное — Страница 2788 — Таловская средняя школа

Найдите нок чисел 12 и 18: Найдите НОК и НОД чисел: А) 12 и 18; Б) 13 и 39.

alexxlab / 09.02.197017.06.2021 / Разное

Калькулятор онлайн — Нахождение (вычисление) НОД и НОК (с подробным решением)

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей.
Пример: для чисел 6 и 9 наибольший общий делитель равен 3.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не равно нулю.
В школьной программе обозначается так: НОД(m, n)

Понятие наибольшего общего делителя (НОД) распространяется на любой набор из более чем двух целых чисел. Чаще всего НОД используется для сокращения дроби — если найти НОД числителя и знаменателя, то на это число можно сократить числитель и знаменатель данной дроби.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка. В школьной программе обозначается так: НОК(m, n)
Пример: НОК(16, 20) = 80
Одно из наиболее частых применений НОК — приведение дробей к общему знаменателю.

С помощью данной математической программы вы можете найти (вычислить) НОД и НОК двух целых чисел.

Программа нахождения НОД и НОК не только выводит ответ задачи, но и отображает процесс вычисления НОД и НОК двух чисел.

Вводить можно только целые положительные числа.

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э. Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше, в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Калькулятор НОД и НОК с решением онлайн

Найдем наибольший общий делитель НОД (36 ; 24)

Этапы решения

Способ №1

1) Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением)

36 — составное число
24 — составное число

Разложим число 36 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

36 : 2 = 18 — делится на простое число 2
18 : 2 = 9 — делится на простое число 2
9 : 3 = 3 — делится на простое число 3.
Завершаем деление, так как 3 простое число

Разложим число 24 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

24 : 2 = 12 — делится на простое число 2
12 : 2 = 6 — делится на простое число 2
6 : 2 = 3 — делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 3 простое число

2) Выделим синим цветом и выпишем общие множители

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Общие множители (36 ; 24) : 2, 2, 3

3) Теперь, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множители

Ответ: НОД (36 ; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12

Способ №2

1) Найдем все возможные делители чисел (36 ; 24). Для этого поочередно разделим число 36 на делители от 1 до 36, число 24 на делители от 1 до 24. Если число делится без остатка, то делитель запишем в список делителей.

Для числа 36 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
36 : 1 = 36;36 : 2 = 18;36 : 3 = 12;36 : 4 = 9;36 : 6 = 6;36 : 9 = 4;36 : 12 = 3;36 : 18 = 2;36 : 36 = 1;

Для числа 24 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
24 : 1 = 24;24 : 2 = 12;24 : 3 = 8;24 : 4 = 6;24 : 6 = 4;24 : 8 = 3;24 : 12 = 2;24 : 24 = 1;

2) Выпишем все общие делители чисел (36 ; 24) и выделим зеленым цветом самы большой, это и будет наибольший общий делитель НОД чисел (36 ; 24)

Общие делители чисел (36 ; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12

Ответ: НОД (36 ; 24) = 12

Найдем наименьшее общее кратное НОК (52 ; 49)

Этапы решения

Способ №1

52 — составное число
49 — составное число

Разложим число 52 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

52 : 2 = 26 — делится на простое число 2
26 : 2 = 13 — делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 13 простое число

Разложим число 49 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

49 : 7 = 7 — делится на простое число 7.
Завершаем деление, так как 7 простое число

2) Прежде всего запишем множители самого большого числа, а затем меньшего числа. Найдем недостающие множители, выделим синим цветом в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) Теперь, чтобы найти НОК нужно перемножить множители большего числа с недостающими множителями, которые выделены синим цветом

НОК (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

Способ №2

1) Найдем все возможные кратные чисел (52 ; 49). Для этого поочередно умножим число 52 на числа от 1 до 49, число 49 на числа от 1 до 52.

Выделим все кратные числа 52 зеленым цветом:

52 ∙ 1 = 52;   52 ∙ 2 = 104;   52 ∙ 3 = 156;   52 ∙ 4 = 208;
52 ∙ 5 = 260;   52 ∙ 6 = 312;   52 ∙ 7 = 364;   52 ∙ 8 = 416;
52 ∙ 9 = 468;   52 ∙ 10 = 520;   52 ∙ 11 = 572;   52 ∙ 12 = 624;
52 ∙ 13 = 676;   52 ∙ 14 = 728;   52 ∙ 15 = 780;   52 ∙ 16 = 832;
52 ∙ 17 = 884;   52 ∙ 18 = 936;   52 ∙ 19 = 988;   52 ∙ 20 = 1040;
52 ∙ 21 = 1092;   52 ∙ 22 = 1144;   52 ∙ 23 = 1196;   52 ∙ 24 = 1248;
52 ∙ 25 = 1300;   52 ∙ 26 = 1352;   52 ∙ 27 = 1404;   52 ∙ 28 = 1456;
52 ∙ 29 = 1508;   52 ∙ 30 = 1560;   52 ∙ 31 = 1612;   52 ∙ 32 = 1664;
52 ∙ 33 = 1716;   52 ∙ 34 = 1768;   52 ∙ 35 = 1820;   52 ∙ 36 = 1872;
52 ∙ 37 = 1924;   52 ∙ 38 = 1976;   52 ∙ 39 = 2028;   52 ∙ 40 = 2080;
52 ∙ 41 = 2132;   52 ∙ 42 = 2184;   52 ∙ 43 = 2236;   52 ∙ 44 = 2288;
52 ∙ 45 = 2340;   52 ∙ 46 = 2392;   52 ∙ 47 = 2444;   52 ∙ 48 = 2496;
52 ∙ 49 = 2548;

Выделим все кратные числа 49 зеленым цветом:

49 ∙ 1 = 49;   49 ∙ 2 = 98;   49 ∙ 3 = 147;   49 ∙ 4 = 196;
49 ∙ 5 = 245;   49 ∙ 6 = 294;   49 ∙ 7 = 343;   49 ∙ 8 = 392;
49 ∙ 9 = 441;   49 ∙ 10 = 490;   49 ∙ 11 = 539;   49 ∙ 12 = 588;
49 ∙ 13 = 637;   49 ∙ 14 = 686;   49 ∙ 15 = 735;   49 ∙ 16 = 784;
49 ∙ 17 = 833;   49 ∙ 18 = 882;   49 ∙ 19 = 931;   49 ∙ 20 = 980;
49 ∙ 21 = 1029;   49 ∙ 22 = 1078;   49 ∙ 23 = 1127;   49 ∙ 24 = 1176;
49 ∙ 25 = 1225;   49 ∙ 26 = 1274;   49 ∙ 27 = 1323;   49 ∙ 28 = 1372;
49 ∙ 29 = 1421;   49 ∙ 30 = 1470;   49 ∙ 31 = 1519;   49 ∙ 32 = 1568;
49 ∙ 33 = 1617;   49 ∙ 34 = 1666;   49 ∙ 35 = 1715;   49 ∙ 36 = 1764;
49 ∙ 37 = 1813;   49 ∙ 38 = 1862;   49 ∙ 39 = 1911;   49 ∙ 40 = 1960;
49 ∙ 41 = 2009;   49 ∙ 42 = 2058;   49 ∙ 43 = 2107;   49 ∙ 44 = 2156;
49 ∙ 45 = 2205;   49 ∙ 46 = 2254;   49 ∙ 47 = 2303;   49 ∙ 48 = 2352;
49 ∙ 49 = 2401;   49 ∙ 50 = 2450;   49 ∙ 51 = 2499;   49 ∙ 52 = 2548;

2) Выпишем все общие кратные чисел (52 ; 49) и выделим зеленым цветом самое маленькое, это и будет наименьшим общим кратным чисел (52 ; 49).

Общие кратные чисел (52 ; 49): 2548

Ответ: НОК (52 ; 49) = 2548

Наибольший общий делитель, Наименьшее общее кратное

Наибольший общий делитель

Общим делителем нескольких чисел называется число, служащее делителем для каждого из них. Например, числа 12, 18, 30 имеют общий делитель 3; число 2 — тоже их общий делитель. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший, в нашем примере — число 6. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).

Примеры. Для чисел 16, 20, 28 НОД есть 4; для чисел 5, 30, 60, 90 НОД есть 5.

Пример 1. Найти НОД чисел 252, 441, 1080. Разлагаем на простые множители

252 = 2² · 3²-7; 441 = 3² · 7²; 1080 = 2³ · З² · 5.

Общим для чисел является только простой множитель 3; наименьший из показателей, с которыми он входит в данные числа, есть 2. НОД равен З² = 9.

Пример 2. Найти НОД чисел 234, 1080, 8100.

234 = 2 · З²-13; 1080 = 2³ · З² · 5; 8100 = 2² · З⁴ · 5². НОД = 2 · 3² = 18.

Может случиться так, что простых множителей, общих для всех данных чисел, не будет вовсе. Тогда наибольший общий делитель есть 1. Например, для чисел 15 = 3 · 5, 10 = 2 · 5, 6 = 2 · 3 НОД = 1. Два числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми. Например, 15 и 22 взаимно простые числа.

Наименьшее общее кратное

Общим кратным нескольких чисел называется число, служащее кратным для каждого из них. Например, числа 15, 6, 10 имеют общее кратное 180; число 90 — также общее кратное этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае число 30. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК). Для небольших чисел НОК находится легко по догадке. Если числа большие, поступаем так: разлагаем данные числа на простые множители; выписываем все простые множители, входящие хотя бы в одно из данных чисел; каждый из
взятых множителей возводим в наибольшую из тех степеней, с которыми он входит в данные числа. Производим умножение.

Пример 1. Найти НОК чисел 252, 441, 1080.

Разлагаем на простые множители: 252 = 2² · З² · 7; 441 = З² · 7²; 1080 = 2³ · З³ · 5. Перемножаем 2³ · З³ · 7² х 5. НОК = 52 920.

Пример 2. Найти НОК чисел 234, 1080, 8100 НОК = 2³ · З⁴ · 5² · 13 = 210 600.

Презентация по теме:»Решение задач на нахождение НОД и НОК»

Давайте наш урок начнем с пожелания друг другу добра.

Я желаю тебе добра, ты желаешь мне добра, мы желаем друг другу добра.

Если будет трудно –

я тебе помогу.

Разминка (заполни пропуски)

1. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и в называют ____________________________ этих чисел;

наибольшим общим делителем

2. Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

1. разложить данные числа на __________________

простые множители

одновременно

2. выписать все простые множители, которые _____________входят в _______ из полученных разложений

каждое

3. каждое из выписанных простых чисел взять с ______________ из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел

наименьшим

4. записать _____________ полученных степеней.

произведение

3. Разложите на простые множители и найдите наибольший общий делитель чисел 12 и 18

12 __ 18 2

6 2 __ __

__ __ 3 __

1 1

12= 2² ∙ 3; 18 = 2 ∙ 3²

НОД(12;18)= __ ∙ __ = ___

Разминка (продолжи фразу)

4. Наименьшее натуральное число , которое делится без остатка на а и в , называется _________________________ этих чисел;

наименьшим общим кратным

5. Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1. разложить данные числа на ________ множители

простые

2. выписать все простые числа, которые входят ______________ из полученных разложений

хотя бы в одно

3. каждое из выписанных простых чисел взять с ____________ из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел

наибольшим

степеней

4. записать произведение полученных ____________

6. Найдите наименьшее общее кратное чисел 12 и 18

12 2 18 __

__ __ __ 3

3 __ 3 __

1 1

12= 2² ∙ 3; 18 = 2 ∙ 3²

НОК(12;18)= ____ ∙ ____ = ____

3²

2²

Имеется 36 синих и 48 красных листов бумаги. Какое наибольшее число комплектов можно сделать из этих листов, если в каждом комплекте должно быть одинаковое число синих и красных листов бумаги?

Из речного порта одновременно 1 мая 2017 года вышли два теплохода . Продолжительность рейса одного из них – 15 суток, а продолжительность рейса второго – 24 суток.

Через сколько дней теплоходы снова одновременно отправятся в рейс? Сколько рейсов за это время сделает первый теплоход? А сколько второй?

Решение задач на нахождение НОД и НОК

Цели урока:

Отработка навыков нахождения НОД и НОК чисел.
Применение полученных знаний для решения задач.
Развитие интереса к предмету.

Успехов!

Работа в парах

(М)

(О)

(А)

НОК (14;42)

НОД (9;40)

(П)

НОК (17;34)

(Р)

(Т)

НОК (12;40)

(И)

НОК (42;210)

НОД (4;8;12)

(В)

(Ч)

(Л)

НОД (24;48)

(С)

НОК (17;5)

НОК (4;8;16)

НОД (12;46)

НОД (14;21)

(Я)

НОК (72;12)

Работа в парах

120

210

120

Числа

правят

миром

Пифагор.

Пифагор – древнегреческий философ, математик и мистик. Пифагор обожествлял числа. Он учил: числа управляют миром. Всемогущество чисел проявляется в том, что всё в мире подчиняется числовым отношениям. Высшее совершенство Пифагор видел в гармонии, гармонии чисел и фигур.

Физ.минутка

Решение задач

Имеется 32 синих и 48 красных листов бумаги. Какое наибольшее число комплектов можно сделать из этих листов, если в каждом комплекте должно быть одинаковое число синих и красных листов бумаги?

32 2

48 2

16 2

24 2

12 2

8 2

4 2

6 2

2 2

3 3

1) 32 = 2

2) 48 = 2 ∙ 3

3) НОД (32;48) = 2 = 16(к)

Ответ: можно сделать16 комплектов.

Найди ошибку

Из речного порта одновременно 1 мая 2011 года вышли два теплохода. Продолжительность рейса одного из них – 15 суток, а продолжительность рейса второго – 18 суток. Через сколько дней теплоходы снова одновременно отправятся в рейс? Сколько рейсов за это время сделает первый теплоход? А сколько второй?

15 3

18 2

5 5

9 9

18 2

9 3

3 3

1) 15 = 3 ∙ 5

2) 18 = 2 ∙ 3²

3) НОК (15;18) = 5 ∙3² ∙ 2 = 90(дн.) – одновременно отпр. в рейс

4) 90 : 15 = 6(р) – сделает первый теплоход

5) 90 : 18 = 5(р) – сделает второй теплоход

Ответ: через 90 дней снова отправятся в рейс; 6 рейсов сделает первый теплоход и 5 рейсов второй.

Выбери правильное решение задачи

Для участия в эстафете нужно разделить 24 девочки и 36 мальчиков на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число человек может быть в каждой команде? Сколько команд получится?

24 2

36 2

24 2

18 2

12 2

6 2

9 3

6 3

3 3

2 2

1) 24 = 2³ · 3

2) 36 = 2² ∙ 3²

3) НОД (24;36) = 2² · 3 = 4 ∙ 3 = 12(чел) – в каждой команде

4) 24 : 12 = 2(к) — девочек

3) НОД (24;36) = 2³ · 3² = 6 ∙ 6 = 12(чел) – в каждой команде

5) 36 : 12 = 3(к) — мальчиков

6) 2 + 3 = 5(к) — всего

Ответ: в каждой команде может быть 12 человек; получится 5 команд.

Исправь ошибки и помоги в решении задачи

Ребята получили на новогодней ёлке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке? Сколько апельсинов и сколько яблок получил каждый?

82 2

123 3

41 41

1) 123 = 3 ∙ 41

2) 82 = 2 ∙ 41

3) НОД (123;82) = 41(чел) – присутствовали на ёлке

4) 123 : 41 = 3(шт) — апельсина

3) НОК (123;82) = 2 ∙ 3 ∙ 41 = 246(чел) – присутствовали на ёлке

5) 82 : 41 = 2(шт) — яблока

Ответ: 41 человек присутствовало на ёлке; каждый получил 3 апельсина и 2 яблока.

Самостоятельная работа

I вариант

II вариант

НОД(35;63)
НОК(8;24;40)

НОД(27;48)
НОК(14;35;20)

Взаимопроверка

I вариант

НОД(35;63) = 7
НОК(8;24;40) = 2³ ∙ 3 ∙ 5 = 120

II вариант

35 5 63 3 8 2 24 2 40 2

НОД(27;48) = 3
НОК(14;35;20) = 2² ∙ 5 ∙ 7 = 140

7 7 21 3 4 2 12 2 20 2

27 3 48 2 14 2 35 5 20 2

9 3 24 2 7 7 7 7 10 2

1 7 7 2 2 6 2 10 2

3 3 12 2 1 1 5 5

1 1 3 3 5 5

1 1

1 6 2 1

3 3

35 = 5 ∙ 7;

270 = 3³;

63 = 3² · 7;

480 = 2 · 3;

8 = 2³;

24 = 2³∙ 3;

14 = 2 ∙ 7;

40 = 2³∙ 5

35 = 5 · 7;

20 = 2²∙ 5

Я умею. ..

Я знаю…

… алгоритм

нахождения

наибольшего

общего делителя

… находить

наибольший

общий делитель

… алгоритм

нахождения

наименьшего

общего кратного

… находить

наименьшее

общее кратное

У меня

получится…

тест

Тест

Верно!

НОК (45; 30)

НОД (48; 84)

Ответы :

НОК (25; 15)

Верно!

НОД (80; 64)

Ответы :

375

Верно!

НОК (16; 24)

НОД (72; 120)

Ответы :

Домашнее задание

1 группа: Подготовить проект о Пифагоре

2 группа: Если участники демонстрации построятся по 10 человек в ряд, то один человек останется лишним. Если они построятся по 9 человек в ряд, то опять один останется лишним. То же самое произойдёт, если они построятся по 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 человека в ряд. Всего их меньше пяти тысяч, сколько их?

3 группа: Длина комнаты 575см, ширина – 375см. Пол комнаты нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер стороны такого квадрата? Сколько плиток такого размера понадобится?

4 группа: Отец и сын решили измерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего прошли одновременно от одного дерева до другого. Длина шага отца – 70см, сына – 56см. Найдите расстояние между этими деревьями, если известно, что следы совпали ровно 10 раз.

5 группа: На соревнованиях по настольному теннису участвовали равные по количественному составу команды, в которых всего 145 мальчиков и 87 девочек. Во всех командах было одинаковое число мальчиков и девочек. Сколько команд участвовало в соревнованиях? Сколько девочек и сколько мальчиков было в каждой команде?

6 группа: Одно колесо, сделав полный оборот, проходит путь 105 см, другое – 165 см. Найдите наименьшее расстояние, на котором оба колеса сделают по целому количеству оборотов.

Я утверждаю, что

2 * 2 = 5!

И могу это доказать!!!

Где ошибка?

Распределительное свойство

умножения нельзя переносить на деление .

Спасибо!

Наименьшее общее кратное примеры. Наименьшее общее кратное чисел 18 и 45, 6 и 8, 42 и 63, 210 и 350, 20 70 15.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целый чисел a и b есть наименьшее натуральное число, которое делиться и на a и b без остатка. Пример: наименьшее общее чисел 12 и 18 равен 36.

Наименьшее общее кратное чисел a и b

Найдем НОК чисел a и b с помощью разложения на простые множители.

НОК(a, b) = p₁^{max(k1, l1)} * p₂^{max(k2, l2)}*. ..*p₂^{max(kn, ln)}

a = p₁^k1 * p₂^k2*…*p_n^kn;

b = p₁^l1 * p₂^l2*…*p_m^ln;

Наименьшее общее кратное чисел 6 и 8

НОК(6, 8) = 2^{max(1, 3)} * 3^{max(1, 0)}= 24

a = 6 = 2*3;

b = 8 = 2³

Наименьшее общее кратное чисел 18 и 45

НОК(18, 45) = 2^{max(1, 0)} * 3^{max(2, 2)}*5^{max(0, 1)} = 90

a = 18 = 2*3²;

b = 45 = 3²*5

Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60

НОК(75, 60) = 2^{max(0, 2)} * 3^{max(1, 1)}*5^{max(2, 1)} = 300

a = 75 = 3*5²;

b = 60 = 2²* 3*5

Наименьшее общее кратное чисел 72 и 99

НОК(72, 99) = 2^{max(3, 0)} * 3^{max(2, 2)}*11^{max(0, 1)}= 792

a = 72 = 2³ * 3²;

b = 99 = 3²*11

Наименьшее общее кратное чисел 396 и 180

НОК(396, 180) = 2^{max(2, 2)} * 3^{max(2, 2)}*5^{max(0, 1)}*11^{max(1, 0)}= 1980

a = 396 = 2² * 3² * 11;

b = 180 = 2² * 3² * 5

Наименьшее общее кратное чисел 210 и 350

НОК(210, 350) = 2^{max(1, 1)}*3^{max(1, 0)} * 5^{max(1, 2)}*7^{max(1, 1)}= 1050

a = 210 = 2*3*5*7;

b = 825 = 2*5²*7

Наименьшее общее кратное чисел 45 и 135

НОК(45, 135) = 3^{max(2, 3)} * 5^{max(1, 1)}= 135

a = 45 = 3²*5;

b = 135 = 3³*5

Наименьшее общее кратное чисел 42 и 63

НОК(42, 63) = 2^{max(1, 0)} * 3^{max(1, 2)}* 7^{max(1, 1)}= 126

a = 42 = 2*3*7;

b = 63 = 3²*7

Наименьшее общее кратное чисел 34, 51 и 68

НОК(34, 51, 68) = 2^{max(1, 0, 2)} * 3^{max(0, 1, 0)}*17^{max(1, 1, 1)}= 204

a = 34 = 2*17;

b = 51 = 3*17;

c = 68 = 2² * 17

Наименьшее общее кратное чисел 168, 231 и 60

НОК(168, 231, 60) = 2^{max(3, 0, 2)} * 3^{max(1, 1, 1)}*5^{max(0, 0, 1)}*7^{max(1, 1, 0)}*11^{max(0, 1, 0)}= 9240

a = 168 = 2³ * 3 * 7;

b = 231 = 3 * 7 * 11;

c = 60 = 2² * 3 * 5

Наименьшее общее кратное чисел 20, 70 и 15

НОК(324, 111, 432) = 2^{max(2, 1, 0)} * 3^{max(0, 1, 0)}*5^{max(1, 1, 1)}*7^{max(0, 1, 0)}= 420

a = 20 = 2² * 5;

b = 70 = 2*5*7;

c = 15 = 3*5

Делители и кратные.

5 класс

1. Делители и кратные

Возьмем два числа:
12
и
18
12 делится на 2 , на 3 , на 4 , на 6 и на 12
18 делится на 2 , на 3 , на 6 , на 9 и на 18
Общие ( одинаковые, равные ) делители
Из чисел
2
,
3
и
6
2 3 6
наибольшим является
Наибольший общий делитель чисел 12 и 18 равен 6
НОД ( 12; 18 ) = 6
Разложим число 12 на простые множители
12 = 2 х 26 х 3
6 составное число , так как делится на 2 , на 3 и на 6
и может быть представлено как 2 х 3
Разложим число 18 на простые множители
18 = 2 х 39 х 3
9 составное число , так как делится на 3 и на 9
и может быть представлено как 3 х 3
Ищем пары одинаковых множителей . Такие пары есть
у чисел 2 и 3
НОД ( 12; 18 ) = 2 х 3 = 6
Алгоритм нахождения НОД нескольких натуральных
чисел
1. Разложить данные натуральные числа на простые
множители
В нашем примере 12 и 18
2. Определить группы одинаковых множителей
В нашем примере
2и3
3.

Составить произведение из множителей групп,
любого из данных натуральных чисел
Пусть это будет
12 = 2 х22 хх3 3
4. Найти их произведение
В примере
=6
Решим пример
Найти
НОД (30 , 36 ,48 )
30 = 3 х 10
2 х 5
36= 2 4х 2 х 39 х 3
48= 3 6х 2 х 2 8х 2 х 2
Простые числа:
10 = 2 х 5
4= 2 х 2
9= 3 х 3
6= 2 х 3
8=2 х 2 х 2
3 2 5
НОД (30 , 36 ,48 ) = 3 х 2 = 6
Решим пример
Найти
НОД ( 36 ,48 )
36= 24х 2 х 39х 3
48 = 36х 2х 28х 2 х 2
Простые числа:
4= 2 х 2
9= 3 х 3
6= 2 х 3
8=2 х 2 х 2
3 2
НОД ( 36 ,48 ) = 3 х 2 х 2 = 12
Возьмем два числа:
12
и
18
Числа кратные 12 делятся на 12
12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 , 120 , ….
Числа кратные 18 делятся на 18
18 , 36 , 54 , 72 , 90 , 108 , 126 , 134 ,152 , ….
Выделим общие кратные для 12 и 18
36
72
Наименьшее общее кратное
108
36
НОК (12 , 18 ) = 36
Разложим 12 и 18 на простые множители
12 = 2 х 2 х 3
12 раскладывается на две
18 = 2 х 3 х 3
18 раскладывается
2
и одну
на две
3
3
и одну
2 х 2 х 3 х 3
12
Н О К ( 12 , 18 ) = 2 х 2 х 3 х 3 = 36
2
Алгоритм нахождения НОК
1.

Разложить данные числа на простые множители
В нашем примере 12 и 18
2. Выписать разложение одного из них
В нашем примере
12
3. Добавить недостающие множители из разложений
остальных чисел
В нашем примере добавили 3
4. Найти произведение этих множителей
Решим пример
Найти НОК ( 30 , 36 , 48 )
30 = 5 х 3 х 2
36 = 3 х 3 х 2 х 2
48 = 3 х 2 х 2 х 2 х 2
5 х 3 х 2
3 х 2 х 2 х 2 х 2
3 х 3 х 2 х 2
Разложим данные числа
на простые множители
Возьмем , например ,
число 48
Примерим разложение
числа 36
Примерим разложение
числа 30
х 3
НОК ( 30, 36, 48 ) = 5 х 32 х 24 = 720

Алгоритм Евклида — нахождение наибольшего общего делителя

Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел.

Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.

Алгоритм нахождения НОД делением

Большее число делим на меньшее.
Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).
Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
Переходим к пункту 1.

Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 / 18 = 1 (остаток 12)
18 / 12 = 1 (остаток 6)
12 / 6 = 2 (остаток 0)
Конец: НОД – это делитель 6.
НОД (30, 18) = 6

a = 50
b = 130
 
while a != 0 and b != 0:
    if a > b:
        a = a % b
    else:
        b = b % a
 
print(a + b)

В цикле в переменную a или b записывается остаток от деления. Цикл завершается, когда хотя бы одна из переменных равна нулю. Это значит, что другая содержит НОД. Однако какая именно, мы не знаем. Поэтому для НОД находим сумму этих переменных. Поскольку в одной из переменных ноль, он не оказывает влияние на результат.

Алгоритм нахождения НОД вычитанием

Из большего числа вычитаем меньшее.
Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).
Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.
Переходим к пункту 1.

Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 — 18 = 12
18 — 12 = 6
12 — 6 = 6
6 — 6 = 0
Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое.
НОД (30, 18) = 6

a = 50
b = 130
 
while a != b:
    if a > b:
        a = a - b
    else:
        b = b - a
 
print(a)

Функция вычисления НОД

def gcd(a, b):
    while a != b:
        if a > b:
            a = a - b
        else:
            b = b - a        
    print(a)

Блок-схема алгоритма Евклида

Примечание. В модуле math языка программирования Python есть функция gcd(), вычисляющая наибольший общий делитель двух чисел.

>>> import math
>>> math.gcd(30, 18)
6

Геометрическая серия

А геометрическая серия это ряд чьи родственные последовательность геометрический. Это результат добавления термины из геометрическая последовательность .

Пример 1:

Конечная геометрическая последовательность: 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , … , 1 32768

Связанные конечные геометрические ряды: 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + … + 1 32768

Написано в сигма-нотации: ∑ k знак равно 1 15 1 2 k

Пример 2:

Бесконечная геометрическая последовательность: 2 , 6 , 18 , 54 , . ..

Связанные бесконечные геометрические серии: 2 + 6 + 18 + 54 + …

Написано в сигма-нотации: ∑ п знак равно 1 ∞ ( 2 ⋅ 3 п — 1 )

Конечный геометрический ряд

Чтобы найти сумму конечного геометрического ряда, используйте формулу
S п знак равно а 1 ( 1 — р п ) 1 — р , р ≠ 1 ,
где п это количество терминов, а 1 это первый член и р это обычное отношение .

Пример 3:

Найдите сумму первых 8 члены геометрического ряда, если а 1 знак равно 1 а также р знак равно 2 .

S 8 знак равно 1 ( 1 — 2 8 ) 1 — 2 знак равно 255

Пример 4:

Находить S 10 , десятая частичная сумма бесконечного геометрического ряда 24 + 12 + 6 + … .

Сначала найдите р .

р знак равно а 2 а 1 знак равно 12 24 знак равно 1 2

Теперь найдите сумму:

S 10 знак равно 24 ( 1 — ( 1 2 ) 10 ) 1 — 1 2 знак равно 3069 64

Пример 5:

Оценивать.

∑ п знак равно 1 10 3 ⋅ ( — 2 ) п — 1

(Вы находите S 10 для сериала 3 — 6 + 12 — 24 + … , обыкновенное отношение которого — 2 .)

S п знак равно а 1 ( 1 — р п ) 1 — р S 10 знак равно 3 [ 1 — ( — 2 ) 10 ] 1 — ( — 2 ) знак равно 3 ( 1 — 1024 ) 3 знак равно — 1023

Бесконечная геометрическая серия

Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с абсолютная величина меньше единицы, используйте формулу, S знак равно а 1 1 — р ,
где а 1 это первый член и р это обычное отношение.

Пример 6:

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
27 + 18 + 12 + 8 + … .

Первая находка р :

р знак равно а 2 а 1 знак равно 18 27 знак равно 2 3

Затем найдите сумму:

S знак равно а 1 1 — р S знак равно 27 1 — 2 3 знак равно 81 год

Пример 7:

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
8 + 12 + 18 + 27 + . .. если он существует.

Первая находка р :

р знак равно а 2 а 1 знак равно 12 8 знак равно 3 2

С р знак равно 3 2 не меньше единицы, ряды не сходятся.То есть в нем нет суммы.

Найдите сумму, среднее и среднее значение и диапазон 6,12,18,24,30,36,42,4 Tiger Algebra Solver

В этом разделе мы рассмотрим определение и расчет различных статистических показателей. Мы будем использовать следующий набор данных для выполнения указанных расчетов.

Набор данных: (6,12,18,24,30,36,42,4)

Сумма

Сумма. Совокупность группы чисел. Формула выглядит так: Sum =, где символ ∑ представляет собой сложение всех значений данных.

0 + 6 = 6
6 + 12 = 18
18 + 18 = 36
36 + 24 = 60
60 + 30 = 90
90 + 36 = 126
126 + 42 = 168
168 + 4 = 172

Суммируя 8 введенных чисел, мы получаем сумму 172 ( Словами: сто семьдесят два )

Среднее арифметическое (простое среднее)

Определение: совокупность (сумма) всех значений данных, деленная на количество точек данных.

Где µ представляет собой среднее значение генеральной совокупности, а ∑ представляет собой сумму всех значений данных, а N представляет количество значений данных.Если набор данных относится к выборке (части генеральной совокупности), расчет остается тем же, но символы другие. Это важно, потому что это указывает любому, имеем ли мы дело с генеральной совокупностью или выборкой. Набор данных всегда имеет среднее значение и уникален.

Найти среднее значение

Чтобы найти среднее значение, разделите сумму на количество значений.
В нашем случае на предыдущем шаге мы обнаружили, что сумма равна 172, и мы можем подсчитать 8 значений, так что:

Среднее = 172/8 = 21.5

Медиана

Определение: среднее (центральное) значение набора данных после того, как данные были упорядочены от низкого до высокого значения. То есть 50% значений данных ниже среднего значения, а 50% значений данных выше среднего значения. Можно применить простую формулу. Положение (P) медианы: P =. Если n количество точек данных нечетное, медианное значение является одной из точек данных. Если n четно, то медиана — это среднее значение данных непосредственно под и над вычислением позиции.В наборе данных всегда есть медиана, и она уникальна.

Найдите значение медианы

Чтобы найти значение медианы, мы начинаем с сортировки или расположения наших чисел в порядке возрастания или убывания.

4,6,12,18,24,30,36,42

Имея четное (8) количество значений, медиана является промежуточной точкой между двумя средними числами.
В нашем случае два средних числа: 18 и 24

(18 + 24) / 2

Медиана = 21 ( Словами: двадцать один )

Диапазон

Числовая разница между максимальным и минимальным значениями набора данных.
R = максимальное — минимальное значения

Найти диапазон

Используя наш отсортированный список чисел
4,6,12,18,24,30,36,42
, мы вычитаем первое (наименьшее / мин) из последнего ( наибольший / макс.)
Диапазон = 42-4 = 38

Разница

Определение: среднее квадратов разностей от среднего значения набора данных. Это мера разброса набора данных от среднего.

В теории вероятностей и статистике дисперсия измеряет, насколько далеко распределен набор чисел.Нулевое отклонение означает, что все значения идентичны.

Найдите дисперсию

Чтобы вычислить дисперсию, выполните следующие действия:

Найдите среднее значение (простое среднее чисел). Мы сделали это выше и нашли, что оно равно 21,5
Теперь для каждого числа: вычтите Среднее и возведите результат в квадрат (квадрат разницы).
- (4-21,5) ² = 306,25
- (6-21,5) ² = 240,25
- (12-21,5) ² = 90.25
- (18-21,5) ² = 12,25
- (24-21,5) ² = 6,25
- (30-21,5) ² = 72,25
- (36-21,5) ² = 210,25
- (42-21,5) ² = 420,25
Найдите среднее значение этих квадратов разностей.
- 0 + 306,25 = 306,25
- 306,25 + 240,25 = 546,5
- 546,5 + 90,25 = 636,75
- 636,75 + 12,25 = 649
- 649 + 6,25 = 655,25
- 655,25 + 7212,5 = 727.25 = 937,75
- 937,75 + 420,25 = 1358
Сумма 7 квадратов разностей составляет 1358
Теперь мы можем рассчитать дисперсию как 1358/7 = 194

Стандартное отклонение

Определение: квадратный корень из дисперсии.

Он измеряет разброс набора данных от среднего. Обратите внимание, что единица измерения стандартного отклонения такая же, как и у данных. То есть, если данные указаны в футах, стандартное отклонение также будет в футах.Это неверно для дисперсии.

В статистике стандартное отклонение (SD, также представленное греческой буквой сигма, σ) — это мера, которая используется для количественной оценки степени вариации или дисперсии набора значений данных.

Стандартное отклонение — это положительный квадратный корень из дисперсии

√ (194) = 13,93

Калькулятор остатка

Этот калькулятор частного и остатка помогает вам разделить любое число на целое и вычислить результат в виде целых чисел.В этой статье мы объясним вам, как использовать этот инструмент и каковы его ограничения. Мы также предоставим вам пример, который лучше проиллюстрирует его назначение.

Дивиденды, делитель, частное и остаток

Когда вы выполняете деление, вы обычно можете записать эту операцию следующим образом:

а / п = д + р / п

где:

— это начальное число, которое вы хотите разделить, называемое делимым .
n — это число, на которое вы делите; он называется делителем .
q — результат деления с округлением до ближайшего целого числа; это называется частным .
r — это остаток этой математической операции.

При выполнении деления с остатками на нашем калькуляторе важно помнить, что все эти значения должны быть целыми числами. В противном случае результат будет правильным с точки зрения формул, но не будет иметь математического смысла.

Не забудьте проверить наш калькулятор по модулю для практического применения калькулятора с остатками.

Как рассчитать остаток

Начните с записи вашей проблемы. Например, вы хотите разделить 346 на 7.
Решите, какое из чисел является делимым, а какое — делителем. Делимое — это число, над которым выполняется операция — в данном случае 346. Делитель — это число, которое фактически «выполняет работу», в данном случае 7.
Выполните деление — вы можете использовать любой калькулятор, какой захотите. Вы получите результат, который, скорее всего, не является целым числом — в этом примере 49.4285714.
Округлите это число в меньшую сторону. В нашем примере вы получите 49.
Умножьте число, полученное на предыдущем шаге, на делитель. В нашем случае 49 * 7 = 343 .
Вычтите число из предыдущего шага из вашего дивиденда, чтобы получить остаток. 346 - 343 = 3 .
Вы всегда можете воспользоваться нашим калькулятором с остатками и сэкономить время 🙂

FAQ

Как вы решаете китайские задачи теоремы об остатках?

Убедитесь, что у вас есть неизвестное , равное двум или более различным модулям , например.грамм. x = d mod a, e mod b и f mod c.
Убедитесь, что все модули имеют одинаковый наибольший общий делитель .
Умножаем каждый по модулю на все, кроме одного, по модулю , пока не будут найдены все комбинации . Для указанных выше модулей это будет: b c, a c, a * b.
Разделите каждое число на пропущенный модуль . Если он равен остатку от этого модуля, например (b * c) / a = d, оставьте число как есть.
Если остаток не равен остатку по модулю, используйте метод проб и ошибок, чтобы найти положительное целое число, чтобы умножить его на так, чтобы шаг 4 стал истинным.
Сложите все числа вместе, как только шаг 4 верен для всех комбинаций.

Какие еще уловки?

Полезно запомнить некоторые оставшиеся ярлыки, чтобы сэкономить ваше время в будущем. Во-первых, если число делится на 10 , то остаток составляет всего последней цифры этого числа . Точно так же, если число делится на 9, складывайте каждую из цифр друг с другом, пока не останется одно число (например, 1164 станет 12, которое, в свою очередь, станет 3), которое является остатком.Наконец, вы можете умножить десятичную дробь частного на делитель, чтобы получить остаток.

Как интерпретировать остаток?

Изучение того, как вычислить остаток, включает , многие из которых в реальном мире используют , и это то, чему вас учат школа, что вы обязательно будете использовать в своей повседневной жизни. Допустим, вы купили 18 пончиков для своего друга, но появилось только 15 из них, у вас осталось 3 . Или сколько денег у вас осталось после покупки пончиков? Если максимальное количество обезьян в бочке — 150, а в районе 183 обезьяны, сколько обезьян будет в меньшей группе?

Как превратить остаток в десятичную дробь?

Настройте деление, добавив десятичный знак, а затем ноль после столбца единицы делимого (если ваш дивиденд уже является десятичным, добавьте дополнительный ноль в конец).
Выполните деление как обычно , пока не останется остаток.
Вместо того, чтобы писать остаток после частного, переместите остаток выше добавленного вами нуля .
Если есть остаток от этого деления, добавьте еще один ноль к делимому и прибавьте к нему остаток.
Продолжайте таким же образом до : либо нет остатка, цифра или цифры повторяются бесконечно, либо вы достигнете желаемой степени точности (3 десятичных знака обычно нормально).
Результат после десятичной точки — это остаток в виде десятичной дроби.

Что такое частное и остаток?

Частное составляет , количество раз, когда деление завершается полностью , а остаток — это сумма, которая остается , которая не полностью входит в делитель . Например, 127, разделенное на 3, составляет 42 R 1, поэтому 42 — это частное, а 1 — остаток.

Как записать остаток в виде дроби?

После того, как вы нашли остаток от деления, вместо R, за которым следует остаток после частного, просто запишите дробь, где остаток делится на делитель исходного уравнения . Это так просто!

Как писать остатки?

Есть 3 способа записи остатка: с R, как дробная, и как десятичная . Например, 821, разделенное на 4, будет записано как 205 R 1 в первом случае, 205 ¹/₄ во втором и 205,25 в третьем.

Какой остаток от деления 26 на 6?

Остаток 2 . Чтобы решить эту проблему, найдите наибольшее кратное 6, которое меньше 26.В данном случае это 24. Затем вычтите 24 из 26, чтобы получить остаток, который равен 2.

Каков остаток от деления 599 на 9?

Остаток 5 . Чтобы вычислить это, сначала разделите 599 на 9, чтобы получить наибольшее кратное 9 перед 599. 5/9 <1, поэтому перенесите 5 в десятки, 59/9 = 6 r 5, поэтому перенесите 5 в цифры. 59/9 = 6 r 5 снова, поэтому наибольшее кратное 66. Умножьте 66 на 9, чтобы получить 594, и вычтите это из 599, чтобы получить 5, остаток.

Как рассчитать остаток от деления 24 на 7?

Вычтите 7 из 24 несколько раз , пока результат не станет меньше 7.
24 минус 3 умножить на 7 равно 3.
Оставшееся число, 3 , является остатком.
Это может быть выражено как ³/₇ в дробной форме или как 0,42857 в десятичной форме.

Что такое делитель? — Определение, факты и пример

Что такое делитель?

Делитель — это число, которое делит другое число полностью или с остатком.

Делитель представлен в уравнении деления как:

Дивиденд ÷ Делитель = Частное.

Разделив 20 на 4, мы получим 5. Здесь 4 — это число, которое полностью делит 20 на 5 частей и называется делителем. Его уравнение деления —

Аналогично, если мы разделим 20 на 5, мы получим 4. Таким образом, 4 и 5 являются делителями 20.

Делитель и множители

Делитель — это любое число, которое делит другое число. Однако множитель — это делитель, который делит число целиком и не оставляет остатка.

Итак, все множители числа являются его делителями. Но не все делители будут факторами.

В приведенном выше примере 4 и 5 — множители 20.

В то время как, если мы разделим 20 на 3, оно не будет полностью разделить 20. Таким образом, 3 не является множителем 20.

Рассмотрим другой пример,

деление 15 на 5 дает 3. Здесь 5 — делитель. Кроме того, разделив 15 и разделив на 3, мы получим 5. Здесь 3 — делитель.

Множители и делители 15: 1, 3, 5, 15

Нахождение множителей числа

Чтобы найти множители числа, скажем 12, мы выполняем следующие шаги:

1.Начните с 1 и запишите факты умножения так, чтобы произведение было 12, например 1 × 12.

2. Продолжайте тем же способом найти другие факты умножения, пока не дойдете до пары ближайших множителей или делителей, как указано:

1 × 12, 2 × 6, 3 × 4

3. Запишите все числа в факте умножения, поскольку они являются делителями числа 12.

4. Итак, делители числа 12 равны 1,2,3,4,6 и 12.

Различные способы представления делителя

Существуют разные стили выражения уравнения деления.На изображениях ниже показаны различные методы записи делителя:

Особые случаи

1. Число 1 является делителем всех чисел.

Причина : Когда делитель равен 1, то частное совпадает с делимым.

Посмотрите на приведенные примеры,

34 1 = 34

15 1 = 15

2. Само число всегда является одним из делителей числа.

Причина : Когда делитель совпадает с делимым, тогда ответ на такое деление всегда 1.

Посмотрите на приведенные примеры,

34 34 = 1

15 15 = 1

3. Когда делитель меньше делимого, ответ будет не целым, а десятичным числом.

Например,

510 = 0,5

Интересные факты

Если мы удвоим делитель, частное будет половиной.

Нахождение GCF и LCM с помощью метода Cake

Сегодняшний урок математики в моем седьмом классе был посвящен нахождению наибольшего общего множителя и наименьшего общего кратного пары чисел.

Я начал со сбора исходной информации о том, что студенты уже знали о GCF и LCM. С небольшой помощью студенты смогли придумать определения для каждого из них и описали метод, который они использовали в прошлом, чтобы найти наибольший общий множитель и наименьшее общее кратное двух чисел.

Раньше ученики учились перечислять все множители двух чисел и находить наибольшее общее из них. Точно так же, чтобы найти наименьшее общее кратное, класс научился перечислять кратные числа, пока они не нашли одно общее.

Мы рассмотрели примеры нахождения GCF и LCM «старой школой», перечислив множители и кратные чисел и найдя те, которые у них общие.

Затем мы обсудили ограничения этого метода нахождения GCF и LCM, в основном тот факт, что если бы я дал им гораздо большие числа, было бы очень много времени, чтобы перечислить все факторы или перечислить кратные, пока они не найдут один общий. Итак … Затем я познакомил класс с «методом торта». (Многие люди называют это методом лестницы или лестницей деления, но я впервые увидел, что это называется методом торта в книге Даники МакКеллар «Математика не отстой», и я подумал, что это мило, так что это то, что я использую , так как напоминает перевернутый торт).

Метод пирога хорош по нескольким причинам… вы можете приготовить один «пирог» и использовать его для поиска как GCF, так и LCM, и это сэкономит вам много времени по сравнению с более традиционным методом.

Для тех, кто раньше не видел этот метод, вы начинаете с написания чисел, для которых вы пытаетесь найти GCF и LCM рядом друг с другом, и рисуете вокруг них «слой торта». Затем вы находите ЛЮБОЙ общий множитель двух чисел и записываете этот множитель слева от них. Затем вы делите числа на их общий множитель и записываете частные под числами. Затем этот процесс повторяется с новыми двумя числами внутри торта. Вы делаете это столько раз, сколько необходимо, пока два числа внизу не станут взаимно простыми. Чтобы найти наибольший общий множитель, вы умножаете все числа слева от торта. Чтобы найти НОК, я говорю студентам нарисовать большую букву «L» вокруг торта и перемножить все числа в букве «L».

Вот пример, который мы сделали в классе, чтобы найти GCF и LCM 24 и 36.

У нас была дискуссия о том, как разные люди могут делать разные «торты», выбирая разные факторы, но что окончательный ответ будет одним и тем же. Мы также обсудили, что чем больше коэффициент, тем меньше будет слоев торта.

В целом урок прошел отлично! Студентам понравился этот «новый» метод поиска GCF и LCM!

Я с нетерпением жду возможности показать им, как метод торта можно использовать и для упрощения дробей. (Сделайте торт для числителя и знаменателя, и два относительно простых числа внизу будут упрощенной дробью. Например, приведенный выше пример пирога можно было использовать для упрощения дроби 24/36 до 2/3.)

Пр. 3.6, 1 — Найдите HCF из (a) 18, 48 (b) 30, 42 (c) 18, 60 (d) 27, 63

Последнее обновление: 3 января 2019 г. , автор: Teachoo

Выписка

Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (a) 18, 48 18 = 2 × 3 × 3 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 HCF 18 и 48 = 2 × 3 = 6 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (b) 30, 42. Пр. 3.6, 1 Найдите HCF следующих чисел: (b) 30, 42 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (c) 18, 60. ЛКФ 18 и 60 лет 18 = 2 × 3 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 HCF 18 и 60 = 2 × 3 = 6 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (d) 27, 63 HCF из 27 и 63. 27 = 3 × 3 × 3 63 = 3 × 3 × 7 HCF 27 и 63 = 3 × 3 = 9 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (e) 36, 84 HCF из 36 и 84. 36 = 2 × 2 × 3 × 3 84 = 2 × 2 × 3 × 7 HCF из 36 и 84 = 2 × 2 × 3 = 12 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (f) 34, 102 HCF из 34 и 102. 34 = 2 × 17 102 = 2 × 3 × 17 HCF 34 и 102 = 2 × 17 = 34 Пример 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (g) 70, 105, 175 HCF из 70, 105, 175. 70 = 2 × 5 × 7 105 = 3 × 5 × 7 175 = 5 × 5 × 7 HCF 70, 105, 175 = 5 × 7 = 35 Пример 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (h) 91, 112, 49 HCF из 91, 112, 49. 91 = 7 × 13 112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 49 = 7 × 7 HCF из 91, 112, 49 = 7 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF следующих чисел: (i) 18, 54, 81. 18 = 2 × 3 × 3 54 = 2 × 3 × 3 × 3 81 = 3 × 3 × 3 × 3 HCF из 18, 54, 81 = 3 × 3 = 9 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF следующих чисел: (j) 12, 45, 75. 12 = 2 × 2 × 3 45 = 3 × 3 × 5 75 = 3 × 5 × 5 HCF из 12, 45, 75 = 3

Сокращение дробей до наименьших значений

Рассмотрим следующие две дроби:

¹/2 и ²/4

Эти дроби являются эквивалентными дробями. Они оба представляют одинаковую сумму. Одна половина апельсина равна двум четвертям апельсина. Однако только одна из этих дробей записана в младших членах.

Дробь имеет наименьшее значение, если числитель и знаменатель не имеют общего множителя , кроме 1.

Факторы 2 равны 1 и 2 .
Множители 4 равны 1, 2 и 4.
2 и 4 имеют общий делитель: 2.

Мы можем уменьшить эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель, 2.

^{2 2}/4 2 = ¹/2

1 и 2 не имеют общего множителя, кроме 1, поэтому дробь находится в младших членах.

Метод № 1: Общие факторы

(медленный и устойчивый метод)

Давайте попробуем другой пример:

³⁰/36

Есть ли у 30 и 36 общие факторы, кроме 1?

Множители 30 равны 1, 2, 3, 5, 6 , 10, 15, 30.
Множители 36 равны 1, 2, 3, 4, 6 , 9, 12 , 18, 36.
30 и 36 имеют три общих множителя: 2, 3, и 6.

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы разделим числитель и знаменатель на их наименьший общий множитель, 2. (Фактически, мы бы знали, что у них есть 2 в качестве общего множителя без необходимости вычислять все их множители, потому что и 30, и 36 — четные числа.)

^{30 2}/36 2 = ¹⁵/18

Готово? Есть ли у 15 и 18 общие факторы, кроме 1?

Множители 15 равны 1, 3, 5, 15.
Факторы 18 равны 1, 2, 3, 6, 9, 18.
15 и 18 имеют один общий множитель: 3.

Еще раз, мы делим числитель и знаменатель на их общий делитель, 3 .

^{15 3}/18 3 = ⁵/6

Готово? Есть ли у 5 и 6 общие факторы, кроме 1?

Факторы 5 равны 1 и 5.
Факторы 6 равны 1, 2, 3 и 6.
5 и 6 не имеют общих множителей, кроме 1.

Этот метод сокращает дробь до наименьшего значения. , но до этой точки может потребоваться несколько шагов.Что бы произошло, если бы вместо деления числителя и знаменателя на их наименьший общий множитель мы начали с их наибольшего общего множителя?

Метод № 2: Наибольший общий множитель

(более эффективный метод)

Попробуем еще раз:

³⁰/36

Есть ли у 30 и 36 общие множители, кроме 1?

Факторы 30 равны 1, 2, 3, 5, 6 , 10, 15.
Факторы 36 равны 1, 2, 3, 4, 6 , 9, 12, 18 .
30 и 36 имеют три общих множителя: 2, 3, и 6.
Наибольший общий множитель равен 6 .

Разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель:

^{30 6}/36 6 = ⁵/6

На этот раз требуется всего один шаг, чтобы получить тот же результат. Чтобы уменьшить дробь до наименьшего значения, разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель .

Метод № 3: простые множители

(еще более эффективный метод)

Другой способ уменьшить дроби — разбить числитель и знаменатель до их простых множителей и удалить все простые множители, общие для них.Давайте сделаем этот пример еще раз, используя этот метод.

³⁰/36
Простые множители 30 равны 2 x 3 x 5.
Простые множители 36 равны 2 x 2 x 3 x 3.
^{2 x 3 x 5}/2 x 2 x 3 x 3
Удаляем 2 x 3 , общие для числителя и знаменателя:
⁵/2 x 3 = ⁵/6

(Если подумать, это работает точно так же как последний метод.

Формулы синуса косинуса и тангенса и котангенса: определения, формулы, примеры, угол поворота

alexxlab / 08.02.197017.06.2021 / Разное

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов. Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Важно помнить!

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

sin α=A1HOA1=y1=y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Важно помнить!

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

sin α=A1HOA1=y1=y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Важно помнить!

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

sin α=A1HOA1=y1=y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Важно помнить!

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

sin α=A1HOA1=y1=y

Ответ: $ \displaystyle 5$.

2. $ \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}$

$ \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}$

Опять задача целиком на формулы приведения. Вначале….

$ \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}=\frac{8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{-\frac{2}{4}}=-8:\left( \frac{2}{4} \right)=-16$

…избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:

$ \displaystyle \frac{27\pi }{4}=\frac{26\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=6\pi +\frac{\pi }{4}$

Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга ($ \displaystyle 6\pi $). Остается вычислить: $ \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Так же поступаем и со вторым углом:

$ \displaystyle \frac{31\pi }{4}=7\frac{3}{4}\pi =7\pi +\frac{3}{4}\pi $

Удаляем целое число кругов –3 круга ($ \displaystyle 6\pi $) тогда:

$ \displaystyle \text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)=\cos \left( 7\pi +\frac{3}{4}\pi \right)=\cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi \right)$

Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до $ \displaystyle 2\pi $ всего $ \displaystyle \frac{\pi }{4}$. {2}}\frac{5\pi }{12} \right)=\sqrt{3}\cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{3}{2}=-1,5\)

Ответ: $ \displaystyle -1,5$.

9. Найдите значение выражения $ \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)$, если $ \displaystyle tg\gamma =7$.

У тангенса период – $ \displaystyle \pi $, так что не задумываясь отбрасываем его:

$ \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)=5tg\left( -\gamma \right)\ =-5tg\gamma $

Здесь мы использовали еще и тот факт, что тангенс – функция нечетная.

$ \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)=-5tg\gamma -\left( -tg\gamma \right)=-5tg\gamma +tg\gamma =-4tg\gamma =$
$ \displaystyle=-4\cdot 7=-28$

$ \displaystyle=-4\cdot 7=-28$

Ответ: $ \displaystyle -28$.

10. Найдите $ \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)$, если $ \displaystyle sin\alpha =0,8$ и $ \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)$

Вначале упростим выражение, используя формулы приведения (вначале отбросим целые круги и уберем минус):

$ \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( 2\pi -\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)$

Наш оставшийся угол – во третьей четверти (посмотри на условия для угла в условии задачи!!!). {2}}}=\pm \sqrt{0,36}=\pm 0,6\)

Так как сам угол лежит во второй четверти, а косинус второй четверти отрицательный, то выбираем знак «минус». Окончательно получим:

$ \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)=-0,6$.

Ответ: $ \displaystyle -0,6$.

Ну вот, справился со всем без проблем? Очень на это надеюсь!

Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе

Определения

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе: $\sin \alpha=\dfrac ac$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: $\cos \alpha=\dfrac bc$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету: $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac ab$

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету: $\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac ba$

Утверждение

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов соответственно равны. \circ=\dfrac{\sqrt2}2\)

Шесть функций (Триггер без слез, часть 2)

Триггер без слез Часть 2:

Авторские права 19972020 Стэн Браун, BrownMath.com

Резюме: Каждая из шести триггерных функций просто одна сторона прямоугольного треугольника разделена на другую сторону . Или, если вы нарисуете треугольник в единичной окружности , каждая функция — длина одного отрезка. простой способ запомнить все шесть определений: запомнить определения синуса и косинуса а затем запомните остальные четыре как комбинации синуса и косинуса , не как самостоятельные функции.

Основные два: синус и косинус

Картинка стоит тысячи слов (вот почему требуется тысяча слов). раз дольше скачивать). Триггерные функции — это не что иное, как длин различных сторон прямоугольного треугольника в различных соотношениях . Так как сторон три, то 3 × 2 = 6 разные способы сделать соотношение (дробь) сторон. Это почему есть шесть триггерных функций, не больше и не меньше .

Из этих шести функций тройка, косинус и касательно львиная доля работы.(Остальные изучаются, потому что их можно использовать для сделайте некоторые выражения проще.) Начнем с синуса и косинуса, потому что они действительно базовые а остальные зависят от них.

Вот один из обычных способов показать прямоугольный треугольник. Ключевым моментом является то, что строчные буквы а , б , в стороны, противоположные углам, отмеченным соответствующими заглавные буквы A , B , C .В большинстве книг используется это соглашение: строчная буква для стороны, противоположной углу верхнего регистра .

Два основных определения отмечены на схеме. Вы должны сохранить их в памяти . Фактически, они должны стать второй натурой для вы, чтобы вы их узнавали, как бы ни повернулся треугольник вокруг. Всегда, всегда синус угла равен противоположному сторона, деленная на гипотенузу (opp / hyp на диаграмме). Косинус равен равна смежной стороне, деленной на гипотенузу (adj / hyp).

(1) Запомнить:

синус = (противоположная сторона) / гипотенуза

косинус = (смежная сторона) / гипотенуза

Какой синус у B на диаграмме? Помните opp / hyp: наоборот сторона b , а гипотенуза c , поэтому sin B = b / c . А как насчет косинуса B ? Помните прил / гип: прилегающая сторона a , поэтому cos B = a / c .

Вы замечаете, что синус одного угла является косинусом другого? Так как A + B + C = 180 для любого треугольник, а C — 90 в этом треугольнике, A + B должен равно 90. Следовательно A = 90 — B и B = 90 — A . Когда два угла складываются 90, каждый угол является дополнением другого угла ° и °, а синус каждого угла составляет o синус другого. Это идентификаторы совместных функций :

(2) sin A = cos (90 — A ) или cos (π / 2 — A )

cos A = sin (90 — A ) или sin (π / 2 — A )

Выражения для длин сторон

Определения синуса и косинуса можно немного изменить, чтобы позвольте вам записать длины сторон через гипотенуза и углы. Например, когда вы знаете что b / c = cos A , вы можно умножить на c и получаем b = c × cos A .Вы можете написать еще выражение для длины b , которое использует синус вместо косинуса? Помните, что противоположность гипотенузы равна синусу, поэтому b / c = sin B . Умножить через c и у вас есть b = c × sin B .

Вы видите, как записать два выражения для длины стороны a ? Пожалуйста, работайте с определениями и убедитесь, что a = c × sin A = c × cos B .

Пример: Дан прямоугольный треугольник с углом A = 52 и гипотенуза c = 150 м. Какая длина стороны b ? Подсказка: нарисуйте картинку и обозначьте A , c , и b .

Решение: Картинки всегда хорошие. Ты не нужно зацикливаться на том, чтобы получить точную картину, но, по крайней мере, сделать это близко. Это поможет вам понять, когда ваш ответ невозможен, чтобы вы знали, что совершили ошибку.В моем маленьком эскизе я установил чтобы сделать угол A чуть больше 45, но на мой взгляд похоже немного меньше. Это нормально.

Вы можете заметить, что я пометил сторону как , хотя мы не нужно это для проблемы. Я сделал это, поэтому у меня не было подумать, с какой стороны было б . Всегда помни правило что сторона с данной буквой противоположна углу с этим письмо. (И, условно, мы всегда ставим C справа угол, так что c гипотенуза.)

Когда у вас есть изображение, решить проблему довольно просто. простой. Вы хотите что-то, связанное с A , это прилегающая сторона и гипотенуза; это должен быть косинус.

cos A = b / c

б = c × cos A = 150 × cos 52 = около 92,35 м.

Пример: Оттяжка закреплена в земле. и прикреплен к вершине 45-футового флагштока. Если он встречается с землей под углом 63, какова длина растяжки?

Решение: Предположительно флагшток вертикальный, поэтому это прямоугольный треугольник с A = 63, a = 45 футов, и гипотенуза c неизвестный.Какая функция задействует противоположную сторону и гипотенузу? Это должен быть синус. Ты знаешь что

sin A = a / c

Следовательно,

c = a / sin A = 45 / sin 63 = около 50,5 футов

Вам может быть интересно, как найти стороны или углы треугольников. когда нет прямого угла. Ну что ж, под темой Решение треугольников.

Синус и косинус в единичной окружности

Часто всплывает один важный особый случай.Предположим, что гипотенуза c = 1; тогда мы называем треугольник a ед. Прямоугольный треугольник . Из приведенных выше абзацев видно, что если c = 1, то a = sin A и b = cos A . Другими словами, в прямоугольный треугольник с противоположной стороной будет равен синусу, а соседняя сторона будет равна косинусу угла.

Треугольник часто рисуют в единичном круге , круге радиус 1, как показано справа.Угол A находится в центре окружности, а на соседней стороне лежит по оси x. Если вы сделаете это, гипотенуза будет радиусом, равным 1. Координаты ( x , y ) внешнего конца гипотенузы — ноги треугольника x и y : ( x , y ) = (cos A , sin A ). Единичный круг — ваш друг : он может помочь вам визуализировать участки триггерных тождеств.

Остальные четыре: касательная, котангенс, секанс, косеканс

Остальные четыре функции не имеют реальной самостоятельной жизни; Они просто комбинации первых двух .Вы могли бы сделать все тригонометрия, не зная ничего больше, чем синусы и косинусы. Но зная что-то в остальных четырех, особенно касательное, часто может спасти вас шаги в вычислении, и ваш учитель будет ожидать, что вы знаете о них на экзаменах.

Мне проще запомнить (извините!) Определение касательной через синус и косинус:

(3) Запомнить:

tan A = (sin A ) / (cos A )

Вы будете использовать функцию тангенса (tan) намного чаще чем последние три функции.(Я доберусь до них через минуту.)

Есть альтернативный способ запомнить значение касательной . Помните из схемы что sin A = напротив / гипотенуза и cos A = смежный / гипотенуза. Подставьте их в уравнение 3, определение функция загара, и у вас загар A = (противоположный / гипотенуза) / (смежный / гипотенуза) или

(4) касательная = (противоположная сторона) / (смежная сторона)

Обратите внимание, что это , а не с пометкой «запомнить»: вам не нужно запомнить, потому что он вытекает непосредственно из определения уравнение 3, и фактически эти два утверждения эквивалент. Я решил представить их в таком порядке, чтобы минимизировать беспорядок opp, adj и hyp среди sin, cos и загар. Однако, если хотите, можете запомнить уравнение 4, а затем вывести эквивалентное тождество уравнение 3, когда вам это нужно.

Пример: Оттяжка закреплена в земле и прикреплена на вершину 45-футового флагштока. Как далеко якорь от базы флагштока, если провод встречается с землей в угол 63?

Решение: Это вариант предыдущий пример.Этот время, вы хотите знать сторону, прилегающую к углу A , а не гипотенуза. Как и раньше, предположим, что флагшток вертикальный, поэтому это прямоугольный треугольник с A = 63, a = 45 футов, и прилегающая сторона b неизвестный. Какая функция задействует соседнюю сторону и противоположную сторону? Это касательная. Вы знаете, что

загар A = a / b

Следовательно,

b = a / tan A = 45 / tan 63 = около 22. 9 футов

Итак, я сказал, что вы можете выполнять все триггеры только с синусами и косинусы. Как это сработает для этой проблемы? Ну синус и косинус обеим нужна гипотенуза, так что у вас будет

sin A = a / c ⇒ c = a / sin A и

cos A = b / c ⇒ c = b / cos A . Следовательно,

b / cos A = a / sin A

b = a × cos A / sin A = 45 × cos 63 / sin 63 = около 22.9 футов

В конце концов, вы попали в то же место, но путь был дольше. Итак, хотя это и не обязательно, касательная может облегчить вашу работу.

Остальные три триггера функции котангенс, секанс и косеканс являются определяется в терминах первых трех . Они используются реже, но упрощают некоторые проблемы в исчисление. В практических задачах, не связанных с исчислением, они вам практически никогда не понадобятся.

(5) Запомнить:

детская кроватка A = 1 / (коричневый A )

сек A = 1 / (cos A )

csc A = 1 / (sin A )

Угадайте что! Это последняя триггерная идентификация, которую вам нужно запомнить.

(Вы, вероятно, обнаружите, что в конечном итоге запомните некоторые другие личности, даже не намереваясь, просто потому, что вы их используете часто. Но уравнение 5 делает последние, что вам придется сесть и запомнить только их собственн.)

К сожалению, определения в уравнении 5 не являются самая легкая вещь в мире для запоминания. Равняется ли секанс на 1? синус или 1 над косинусом? Вот , два полезных совета : Каждое из этих определений имеет совместную функцию с одной и только с одной стороны. уравнения, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что sec A равно 1 / sin A .А секанс и косеканс идут вместе, как синус и косинус, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что детская кроватка A равно 1 / sin A .

Для альтернативного подхода к запоминанию выше идентификаторов, вам может понравиться:

Вы можете сразу заметить важную связь между касательной и котангенс. Каждый является совместной функцией другого, как синус и косинус:

(6) желто-коричневый A = детская кроватка (90 — A ) или детская кроватка (π / 2 — A )

детская кроватка A = желто-коричневый (90 — A ) или коричневый (π / 2 — A )

Если вы хотите это доказать, это легко определения и уравнение 2:

детская кроватка A = 1 / tan A

Примените определение загара:

детская кроватка A = 1 / (sin A / cos A )

Упростим дробь:

детская кроватка A = cos A / sin A

Примените уравнение 2:

детская кроватка A = sin (90 — A ) / cos (90 — A )

Наконец, признайте, что эта дробь соответствует определению функция загара, уравнение 3:

детская кроватка A = коричневый (90 — A )

Касательная и co тангенс — это такие же функции, как синус и синус. Выполняя такую же замену, вы можете показать, что секанс и Секунды co также являются совместными функциями:

(7) сек A = csc (90 — A ) или csc (π / 2 — A )

csc A = сек (90 — A ) или сек (π / 2 — A )

Шесть функций в одном изображении

Вы видели ранее, как синус и косинус угла — стороны треугольника в единичной окружности. Оказывается что все шесть функций могут быть изображены таким образом геометрически.

единичный круг (радиус = AB = 1)
sin θ = BC; cos θ = AC; загар θ = ED
csc θ = AG; сек θ = AE; детская кроватка θ = FG

Изображение предоставлено TheMathPage

На рисунке справа треугольник ABC имеет угол θ при центр единичной окружности (AB = радиус = 1). Ты уже знайте, что BC = sin θ и AC = cos θ .

А как насчет загара θ ? Ну, так как DE касается единицы круг, вы можете догадаться, что его длина — загар θ , и вы бы верно. Треугольники ABC и AED похожи, поэтому

ED / AD = BC / AC

ED / 1 = sin θ / cos θ

ED = загар θ

Больше информации исходит от той же пары одинаковых треугольники:

AE / AB = AD / AC

AE / 1 = 1 / cos θ

AE = сек θ

Длина детской кроватки θ и csc θ придет. из другого треугольника, GAF.Этот треугольник также похож на треугольник AED. (Почему? FG перпендикулярно FA, а FA перпендикулярно ОБЪЯВЛЕНИЕ; следовательно, FG и AD параллельны. В начале геометрии вы узнал, что когда параллельные линии разрезаются третьей линией, соответствующие углы обозначены θ в диаграммы равны. Таким образом, FG касается единицы окружности, а значит, углы G и θ равны. )

Используя аналогичные треугольники GAF и AED,

FG / FA = AD / ED

FG / 1 = 1 / tan θ

FG = детская кроватка θ

В этом есть смысл: FG касается единичной окружности и является тангенс дополнения угла θ , а именно угла GAF. Следовательно, FG — котангенс исходного угла θ (или угла GAD).

Наконец, снова используя ту же пару похожих треугольников, вы также можно сказать, что

AG / FA = AE / ED

AG / 1 = сек θ / tan θ

AG = (1 / cos θ ) / (sin θ / cos θ )

AG = 1 / sin θ

AG = csc θ

Эта диаграмма прекрасно передает геометрическое значение всех шести триггерных функций, когда угол θ проведен в центре единичный круг:

sin θ = BC; cos θ = переменный ток; загар θ = ED

csc θ = AG; сек θ = AE; детская кроватка θ = FG

Практические задачи

Чтобы извлечь максимальную пользу из этих проблем, решите их. без предварительного просмотра решений.Вернитесь к главе текст, если вам нужно освежить память.

Рекомендация : Работайте на бумаге труднее обмануть себя, действительно ли ты полностью разобраться в проблеме.

Вы найдете полный решения для всех проблем. Не просто проверяй свой ответы, но проверьте и свой метод.

1 Найдите все шесть функций угла 30. Найдите синус, косинус, и тангенс 60. 2 Найдите sin A , sin B , tan A и tan B .3 A ≈ 53,13. Найдите примерную площадь треугольник. Подсказка: площадь треугольника равна основание × высота /2.

BTW: Зачем называть это синусом?

Очевидно, почему название тангенс имеет смысл: тангенс угла — это длина отрезка, касательного к единичной окружности. А как же синус функция? Как он получил свое название?

Посмотрите на изображение еще раз и обратите внимание, что sin θ = BC — половина хорды круга.Индуистский математик Арьябхата старший (о 475550) использовал слово jya или jiva для этого полуаккорда. В арабском переводе это слово осталось без изменений, но в арабской системе письма джива было написано так же, как арабское слово джайб, означает грудь, складку или залив. Латинское слово, обозначающее грудь, залив или кривую. синус, или синус на английском языке, и начинается с Gherardo из Кремона (ок. 11141187), ставшая общепринятым термином.

Эдмунд Гюнтер (15811626), кажется, был первым опубликовать сокращения sin и tan для sin и касательная.

Мой источник этой истории — Эли Маорс Тригонометрический Восторги (1998, Princeton University Press), стр. 3536. Я настоятельно рекомендую вам обратиться к книге для более полного отчета.

Что нового

27 сентября 2017 г. : Откорректировать 29,2 футов до 22,9 футов, здесь и здесь, спасибо Райану МакПарлану.
29 октября 2016 г. :
(промежуточные изменения подавлены)
19 февраля 1997 г. : Новый документ.

следующий: 3 / Специальные уголки

тригонометрических идентичностей | Безграничная алгебра

Закон синуса

По закону синусов можно найти неизвестные углы и стороны в любом треугольнике.

Цели обучения

Используйте закон синусов для решения задач с треугольниками любой конфигурации, а также для преобразования тригонометрических выражений

Основные выводы

Ключевые моменты

Закон синусов используется для определения размеров всех трех углов и всех трех сторон треугольника.

Закон синусов гласит, что следующие пропорции равны: [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {a} = \ frac {\ sin \ beta} {b} = \ frac {\ sin \ gamma } {c}} [/ latex], где [latex] \ alpha, \ beta, [/ latex] и [latex] \ gamma [/ latex] — углы, а [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и [latex] c [/ latex] — длины противоположных сторон соответственно.{\ circ} [/ latex] угол, а любой другой треугольник — наклонный. Решить наклонный треугольник означает найти измерения всех трех углов и всех трех сторон.

Закон синусов гласит, что:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {a} = \ frac {\ sin \ beta} {b} = \ frac {\ sin \ gamma} {c}} [/ латекс]

где [latex] \ alpha, \ beta, [/ latex] и [latex] \ gamma [/ latex] — углы, а [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и [latex] c [/ latex] — длины противоположных им сторон соответственно.

Наклонный треугольник: Стороны этого наклонного треугольника обозначены буквами a, b и c, а соответствующие им углы обозначены [latex] \ alpha [/ latex], [latex] \ beta [/ latex] и [латекс] \ гамма [/ латекс].

Обратите внимание на стандартный способ маркировки треугольников: угол [латекс] \ альфа [/ латекс] (альфа) — противоположная сторона [латекс] а [/ латекс]; угол [латекс] \ бета [/ латекс] (бета) противоположная сторона [латекс] b [/ латекс]; и угол [латекс] \ гамма [/ латекс] (гамма) является противоположной стороной [латекс] c [/ латекс].

Чтобы решить наклонный треугольник, используйте любую пару применимых соотношений из формулы закона синусов. При расчете углов и сторон обязательно доведите точные значения до окончательного ответа.

Пример

Решите треугольник, показанный на рисунке, округляя окончательные ответы до ближайшей десятой.

Наклонный треугольник с неизвестными сторонами и углами: В этом треугольнике [латекс] \ альфа = 50 \ градус [/ латекс], [латекс] \ гамма = 30 \ градус [/ латекс] и [латекс] a = 10 [/латекс]. {\ circ} \ quad \ quad \ quad c \ приблизительно 6.5 [/ латекс]

Закон косинусов

Закон косинусов можно использовать для определения углов и сторон треугольника в случаях, когда другие законы не применяются.

Цели обучения

Используйте закон косинусов для решения задач с треугольниками любой конфигурации, а также для преобразования тригонометрических выражений

Основные выводы

Ключевые моменты

Закон косинусов можно использовать для определения углов и сторон треугольника в тех случаях, когда закон синусов не может быть применен, например, для треугольников с неизвестными углами.2 [/ latex], где [latex] c [/ latex] — это гипотенуза, а [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] — длины двух других сторон.

Использование закона косинусов

В некоторых случаях у нас может не быть достаточно информации, чтобы применить закон синусов, чтобы найти неизвестные углы и стороны в треугольнике. Например, рассмотрим треугольник, у которого известны все три стороны, но неизвестны значения углов. В таких случаях недостаточно информации для использования закона синуса. Закон косинусов полезен для: 1) вычисления третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и их внутренний угол, и 2) вычисления углов треугольника, если известны только три стороны.

Закон косинусов определяет соотношение между измерениями углов и длинами сторон наклонных треугольников. Три формулы составляют Закон косинусов. На первый взгляд формулы могут показаться сложными, потому что они включают много переменных. Однако, как только схема будет понята, с законом косинусов легче работать, чем со многими формулами на этом математическом уровне.

Закон косинусов гласит, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение двух других сторон и косинус включенного угла.2 — 2ab \ cos \ gamma \ end {align} [/ latex]

Наклонный треугольник (без прямого угла): Наклонный треугольник с углами [латекс] \ альфа [/ латекс], [латекс] \ бета [/ латекс] и [латекс] \ гамма [/ латекс] и наоборот. соответствующие стороны [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс].

Для определения размера отсутствующей стороны требуется соответствующая величина противоположного угла. При решении для угла нужны длины всех сторон. Обратите внимание, что каждую формулу закона косинусов можно переставить, чтобы найти угол.2 & = 244 — 120 \ sqrt {3} \\ b & = \ sqrt {244 — 120 \ sqrt {3}} \\ b & \ приблизительно 6.0 \ end {align}} [/ latex]

Обратите внимание, что теперь у нас достаточно информации, чтобы мы могли использовать закон синусов для определения неизвестных углов [латекс] \ альфа [/ латекс] и [латекс] \ гамма [/ латекс] в треугольнике.

Пифагорейские тождества

Тождества Пифагора полезны для упрощения выражений с помощью тригонометрических функций.

Цели обучения

Соедините тригонометрические функции с теоремой Пифагора, чтобы вывести тождества Пифагора

Основные выводы

Ключевые моменты

Тождества Пифагора выводятся из теоремы Пифагора и описывают взаимосвязь между синусом и косинусом на единичной окружности.

2 [/ латекс]

Для треугольника, нарисованного внутри единичного круга, длина гипотенузы треугольника равна радиусу круга, который равен [латекс] 1 [/ латекс]. Длины сторон треугольника составляют [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс].

Тождество Пифагора на единичной окружности: Для треугольника, нарисованного внутри единичной окружности, длина гипотенузы равна радиусу окружности. Стороны треугольника имеют длины [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс].2 т = 1 [/ латекс]

, что верно для любого действительного числа [латекс] т [/ латекс].

Мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы найти косинус угла, если мы знаем синус, или наоборот. Однако, поскольку уравнение дает два решения, нам необходимо дополнительное знание угла, чтобы выбрать решение с правильным знаком. Если мы знаем, в каком квадранте находится угол, мы можем легко выбрать правильное решение.

Дополнительные тождества могут быть получены из тождества Пифагора [латекс] \ cos ^ 2 t + \ sin ^ 2 t = 1 [/ latex]. 2 т [/ латекс] упрощается до [латекс] 5 [/ латекс].

Формулы сложения и вычитания углов

Тригонометрические выражения можно упростить, используя специальные углы и набор формул для сложения и вычитания углов.

Цели обучения

Упростите тригонометрические выражения с помощью формул сложения и вычитания углов.

Основные выводы

Ключевые моменты

Формулы для сложения и вычитания углов в тригонометрических выражениях позволяют нам найти синус, косинус или тангенс
данного угла, если мы можем разбить его
на сумму или разность двух специальных углов.
Формулы для косинуса: [latex] \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex] и [latex] \ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex].
Формулы для синуса: [latex] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex] и [latex] \ sin (\ alpha — \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex].
Формулы касательной: [latex] \ displaystyle {\ tan (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta}} [ / latex] и [latex] \ displaystyle {\ tan (\ alpha — \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta}} [/ latex] .2} [/ латекс].

Получение формул сложения и вычитания углов

Часто бывает проще найти точное значение синуса, косинуса или тангенса угла, если мы можем переписать данный угол в терминах двух углов, для которых известны тригонометрические значения. Мы можем использовать специальные углы, которые мы можем просмотреть в единичном круге, показанном ниже.

Единичная окружность: Единичная окружность со значениями синуса и косинуса, отображаемыми для специальных углов.

Существуют формулы для сложения и вычитания углов в каждой из тригонометрических функций.Они позволяют нам найти тригонометрическую функцию данного угла, если мы можем разбить ее на сумму или разность двух особых углов.

Чтобы увидеть, как выводятся эти формулы, мы можем разместить точки на диаграмме единичного круга. Предположим, что угол, для которого мы хотим найти тригонометрическую функцию, — это угол, образованный точкой [латекс] A [/ latex], которая измеряет угол [латекс] \ альфа — \ бета [/ латекс]. Угол, образованный [латексом] A [/ латексом] и точкой [латекс] B [/ латексом] на положительной оси [латекса] x [/ латекса], такой же, как угол, образованный между двумя особыми углами, которые обозначается [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс].Точка [latex] P [/ latex] находится под углом [latex] \ alpha [/ latex] к положительной оси [latex] x [/ latex] – с координатами [latex] (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha) [/ latex], а точка [latex] Q [/ latex] находится под углом [latex] \ beta [/ latex] от положительной оси [latex] x [/ latex] — с координатами [ латекс] (\ соз \ бета, \ грех \ бета) [/ латекс]. Углы равны, поэтому расстояние между точками [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс] такое же, как и между точками [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс ]. 2} [/ латекс]

можно вывести ряд соотношений между углами. Мы можем вывести следующие шесть формул.

Формулы для косинуса:

[латекс] \ begin {align} \ cos (\ alpha + \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta \\ \ cos (\ alpha — \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta \ end {align} [/ latex]

Формулы для синуса:

[латекс] \ begin {align} \ sin (\ alpha + \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \\ \ sin (\ alpha — \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta \ end {align} [/ latex]

Формулы тангенса:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan (\ alpha + \ beta) & = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} \\ \ tan (\ alpha — \ beta) & = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta} \ end {align}} [/ latex]

[latex] [/ latex] Они полезны для поиска углов, которые могут быть получены путем сложения или вычитания специальных углов. {\ circ} [/ латекс]. Можно найти тригонометрические функции любого такого угла.

Пример

Используя формулу косинуса разности двух углов, найдите точное значение [latex] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6 } \ right)}} [/ латекс].

Примените формулу [латекс] \ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} = \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi } {4} \ right)} \ cos {\ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)} + \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} \ right)} \ sin {\ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)}} [/ латекс]

Подставьте значения тригонометрических функций из единичной окружности:

[латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} = \ left (- \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ right) \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) + \ left (- \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \ left (\ frac {1} {2} \ right)} [/ латекс]

Упростить:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} & = — \ frac {\ sqrt {6}} {4} — \ frac {\ sqrt {2}} {4} \\ \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right )} & = — \ frac {\ sqrt {6} — \ sqrt {2}} {4} \ end {align}} [/ latex]

Пример

Найдите точное значение [латекс] \ sin (15 ^ {\ circ}) [/ latex].{\ circ} \ right)} = \ frac {\ sqrt {6} — \ sqrt {2}} {4}} [/ латекс]

Формулы двойных и половинных углов

Тригонометрические выражения можно упростить, применив формулы двойного и половинного угла.

Цели обучения

Упростите тригонометрические выражения с помощью формул двойного и половинного угла

Основные выводы

Ключевые моменты

Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [latex] \ alpha = \ beta [/ latex].Они полезны, когда мы хотим найти тригонометрическую функцию угла, который вдвое больше специального угла.
Формулы половинного угла также являются частным случаем и полезны, когда мы хотим найти тригонометрическую функцию угла [latex] \ theta [/ latex], который составляет половину особого угла [latex] \ alpha [/ latex ] (Другими словами, [латекс] \ displaystyle {\ theta = \ frac {\ alpha} {2}} [/ latex]).
Хотя каждая формула полуугла имеет знак [латекс] \ pm [/ латекс], знак, который применяется в каждом случае, зависит от квадранта, в который попадает угол, и правил применения знаков к тригонометрическим функциям.

Формулы для двойных углов

В предыдущей концепции мы использовали формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций. Теперь мы еще раз посмотрим на те же формулы. Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [latex] \ alpha = \ beta [/ latex]. Другими словами, они позволяют нам найти тригонометрическую функцию угла, который вдвое больше специального угла. В таких случаях можно выводить формулы для нахождения синуса, косинуса и тангенса, и эти формулы полезны для упрощения тригонометрических выражений.

Вывод формулы двойного угла для синуса начинается с формулы суммы, которая была введена ранее: [latex] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [ /латекс].

Если мы допустим [latex] \ alpha = \ beta = \ theta [/ latex], то имеем:

[латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ sin (\ theta + \ theta) & = \ sin \ theta \ cos \ theta + \ cos \ theta \ sin \ theta \\ \ sin (2 \ theta) & = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ end {align}} [/ latex]

Формула двойного угла для косинуса может быть получена аналогично:

[латекс] \ cos (2 \ theta) = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]

Обратите внимание, что мы можем применить тождества Пифагора, чтобы получить еще два варианта формулы косинуса:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = \ left (1- \ sin ^ 2 \ theta \ right) — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align}} [/ latex]

[латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = \ cos ^ 2 \ theta — \ left (1- \ cos ^ 2 \ theta \ right) \\ & = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 \ end {align}} [/ latex]

Аналогичным образом, чтобы вывести формулу двойного угла для касательной, замена [latex] \ alpha = \ beta = \ theta [/ latex] в формуле суммы дает

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} & = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} \\ \ tan {\ left (\ theta + \ theta \ right)} & = \ frac {\ tan \ theta + \ tan \ theta} {1 — \ tan \ theta \ tan \ theta} \\ \ tan {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ frac {2 \ tan \ theta} {1 — \ tan ^ 2 \ theta} \ end {align}} [/ latex]

Формулы двойного угла резюмируются следующим образом:

[латекс] \ sin {\ left (2 \ theta \ right)} = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta [/ latex]
[латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
[латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
[латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 [/ latex]
[латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (2 \ theta \ right)} = \ frac {2 \ tan \ theta} {1 — \ tan ^ 2 \ theta}} [/ латекс]

Пример

Найдите [латекс] \ sin (60 ^ {\ circ}) [/ latex] с помощью функции [latex] \ sin (30 ^ {\ circ}) [/ latex].{\ circ} \ right)} & = 2 \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {4} \ right) \\ & = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align} } [/ латекс]

Формулы полуугловых

Формулы полуугла
могут быть получены из формул двойного угла. Они полезны для нахождения тригонометрической функции угла [латекс] \ theta [/ latex], который составляет половину особого угла [латекс] \ альфа [/ латекс] (другими словами, [латекс] \ displaystyle {\ theta = \ frac {\ alpha} {2}} [/ latex]). Формулы половинного угла следующие:

[латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos \ alpha} {2}}} [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {2}}} [/ latex ]
[латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 — \ cos \ alpha} {1 + \ cos \ alpha} }} [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ frac {\ sin \ alpha} {1 + \ cos \ alpha}} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ frac {1 — \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}} [/ latex]

Хотя некоторые формулы имеют знак [латекс] \ pm [/ latex], применяется только один знак.{\ circ}) [/ latex], следовательно, положительный.

Тождества тригонометрической симметрии

Тождества тригонометрической симметрии основаны на принципах четных и нечетных функций, которые можно наблюдать на их графиках.

Цели обучения

Объясните тождества тригонометрической симметрии, используя графики тригонометрических функций

Основные выводы

Ключевые моменты

Тригонометрические функции бывают четными или нечетными, что означает, что они симметричны относительно оси [latex] y [/ latex] или начала координат соответственно.
Четные тригонометрические функции — это косинус и секанс, а нечетные тригонометрические функции — это синус, косеканс, тангенс и котангенс.
Определения четных и нечетных функций можно использовать для получения тождеств симметрии, соответствующих каждой из шести тригонометрических функций.
Тождества симметрии можно использовать для нахождения тригонометрических функций отрицательных значений.

Ключевые термины

нечетная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], для которых [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex ], и есть симметрия относительно начала координат.
четная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], для которых [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], и есть симметрия относительно оси [латекс] y [/ латекс].

Симметрия в тригонометрических функциях

Мы уже обсуждали четные и нечетные функции. Напомним, что четные функции симметричны относительно оси [latex] y [/ latex], а нечетные функции симметричны относительно начала координат, [latex] (0, 0) [/ latex]. Напомним, что косинус является четной функцией, потому что он симметричен относительно оси [latex] y [/ latex].С другой стороны, синус и тангенс — нечетные функции, потому что они симметричны относительно начала координат.

Теперь мы рассмотрим каждую из тригонометрических функций и их совместные функции (секанс, косеканс и котангенс) и заметим симметрию на их графиках. Эта симметрия используется для получения определенных идентичностей.

Симметрия вокруг оси [latex] y [/ latex]: косинус и секанс являются четными функциями с симметрией относительно оси [latex] y [/ latex].

Функции косинуса и секанса симметричны относительно оси y.Графики, симметричные относительно оси [latex] y [/ latex], представляют четные функции. Для четных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] имеют одинаковое значение функции. Математически это выражается как [латекс] f (-x) = f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].

Симметрия относительно начала координат : Синус, косеканс, тангенс и котангенс являются нечетными функциями и симметричны относительно начала координат.

Функции синуса, косеканса, тангенса и котангенса симметричны относительно начала координат.Графы, симметричные относительно начала координат, представляют нечетные функции. Для нечетных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] также имеют противоположные значения [latex] y [/ latex]. Математически это выражается как [латекс] f (-x) = -f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].

Тождества симметрии

Мы можем применить определения для четных и нечетных функций, чтобы вывести тождества симметрии, соответствующие каждой из наших шести тригонометрических функций.Следующие тождества симметрии полезны при нахождении тригонометрической функции отрицательного значения.

Обратите внимание, что только два тригонометрических тождества являются четными функциями: косинус и секанс. Для этих функций мы применяем [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], чтобы найти следующие идентификаторы:

[латекс] \ begin {align} \ cos (-x) & = \ cos x \\ \ sec (-x) & = \ sec x \ end {align} [/ latex]

Для нечетных тригонометрических функций мы применяем [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex] и находим следующие тождества:

[латекс] \ begin {align} \ sin (-x) & = — \ sin x \\ \ csc (-x) & = — \ csc x \\ \ tan (-x) & = — \ tan x \ \ \ cot (-x) & = — \ cot x \ end {align} [/ latex]

Пример

Найдите синус, косинус и тангенс [latex] \ displaystyle {\ theta = — \ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex].

Во-первых, мы можем определить, что абсолютное значение [latex] \ theta [/ latex] является особым углом, [latex] \ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex]. Из единичного круга мы знаем, что [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} = — \ frac {\ sqrt {3}} {2}} [/ латекс] и [латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} = \ frac {1} {2}} [/ latex].

Используя эти значения из единичного круга, мы можем вычислить [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = \ frac {\ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} \\ & = \ frac {\ frac {1} {2}} {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \\ & = \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ cdot \ left (- \ frac {2} {\ sqrt {3}} \ right) \\ & = — \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ end {align}} [/ latex]

Теперь, когда мы знаем синус, косинус и тангенс [latex] \ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex], мы можем применить тождества симметрии, чтобы найти функции [latex] \ displaystyle {- \ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex].

Применяя тождество симметрии для косинуса, имеем:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6 } \ right)} \\ & = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align}} [/ latex]

Применяя тождество для синуса, получаем:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sin {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = — \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} { 6} \ right)} \\ & = — \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

Наконец, применив тождество для касательной, мы имеем:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = — \ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} { 6} \ right)} \\ & = — \ left (- \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ right) \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ end {align }} [/ latex]

Определение и графики тригонометрических функций

Углы (аргументы функций): \ (\ alpha \), \ (x \)
Тригонометрические функции: \ (\ sin \ alpha \), \ (\ cos \ alpha \), \ (\ tan \ alpha \), \ (\ cot \ alpha \), \ (\ sec \ alpha \), \ (\ csc \ alpha \)
Набор действительных чисел: \ (\ mathbb {R} \)
Координаты точек на окружности: \ (х \), \ (у \)

Радиус круга: \ (r \)
Целые числа: \ (k \)

Тригонометрические функции — это элементарные функции, аргументом которых является угол.Тригонометрические функции описывают соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника. Приложения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (рядов Фурье). Эти функции часто встречаются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
Тригонометрические функции включают следующие функции \ (6 \): синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция.
Тригонометрические функции могут быть определены с помощью единичной окружности. На рисунке ниже показан круг радиуса \ (r = 1 \). На окружности есть точка \ (M \ left ({x, y} \ right) \). Угол между радиус-вектором \ (OM \) и положительным направлением оси \ (x \) — равен \ (\ alpha \).
Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \)
\ (\ грех \ альфа = у / г \).
Поскольку \ (r = 1 \), синус равен \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \).
Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \)
\ (\ соз \ альфа = х / г \)
Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (x \) -координата:
\ (\ tan \ alpha = y / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (y \) -координата:
\ (\ cot \ alpha = x / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (x \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ):
\ (\ sec \ alpha = r / x = 1 / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ):
\ (\ csc \ alpha = r / y = 1 / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике
В единичном круге проекции \ (x \), \ (y \) точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) и радиус \ (r \) образуют прямоугольный треугольник, в котором \ (x, y \) — катеты, а \ (r \) — гипотенуза.Следовательно, приведенные выше определения сформулированы следующим образом:
Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного катета к гипотенузе.
Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего катета к гипотенузе.
Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного отрезка к соседнему отрезку.
Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего отрезка к противоположному отрезку.
Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к соседнему катету.
Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к противоположному катету.
График функции синуса
\ (y = \ sin x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ sin x \ le 1 \)
График функции косинуса
\ (y = \ cos x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ cos x \ le 1 \)
График касательной функции
\ (y = \ tan x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ tan x \ lt \ infty \)
График функции котангенса
\ (y = \ cot x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ cot x \ lt \ infty \)
График функции секанса
\ (y = \ sec x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (\ sec x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)
График функции косеканса
\ (y = \ csc x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (\ csc x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)

Тригонометрия

Тригонометрия (название происходит от греческого слова, которое переводится как «измерение треугольников») — это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольников.Тригонометрия имеет множество практических приложений и используется в астрономии, геодезии, навигации и т. Д.

Тригонометрические функции

Отношения между сторонами и углами треугольников связаны с тригонометрическими функциями. Обычно тригонометрические функции обсуждаются двумя основными способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего они вводятся в определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, как описано ниже.

Определение прямоугольного треугольника

Выходной сигнал тригонометрической функции — отношение длин двух сторон прямоугольного треугольника. Для описания сторон прямоугольного треугольника используются следующие термины: гипотенуза, прилегающая сторона и противоположная сторона, как показано на рисунке ниже.

Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

Смежно: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
Справа: сторона, противоположная θ.
Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, противоположная прямому углу.

Тригонометрические функции определяются на основе соотношений двух сторон прямоугольного треугольника. Есть шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Эти функции часто обозначают как sin, cos, tan, csc, sec и cot. Их определения приведены ниже.

косеканс:
секанс:
котангенс:

Синус, косинус и тангенс — три наиболее часто используемые тригонометрические функции.Косеканс, секанс и котангенс являются обратными величинами синуса, косинуса и тангенса соответственно. Таким образом, если мы помним определения синуса, косинуса и тангенса, мы можем использовать их обратные величины, чтобы определить определения косеканса, секанса и котангенса.

Пример:

Каковы значения sin (45 °), cos (45 °) и tan (45 °)?

Пример:

Боб прошел 300 м по холму 30 °, на какую высоту поднялся Боб?

Высота =	пройденное расстояние × sin (30 °)
=	300 × 0.5
=	150 м

Таким образом, Боб достиг высоты 150 м, пройдя 300 м по склону холма.

Тригонометрические идентификаторы

Тригонометрические тождества — это уравнения, которые используются для описания множества взаимосвязей, существующих между тригонометрическими функциями. Помимо прочего, они могут быть полезны для упрощения тригонометрических выражений и уравнений.

Ниже показаны некоторые личности, с которыми вы можете столкнуться при изучении тригонометрии.

Взаимные идентичности

sin (θ) · csc (θ) = 1

cos (θ) · сек (θ) = 1

загар (θ) · детская кроватка (θ) = 1

Факторные идентичности

Идентификаторы совместных функций

Нечетные / четные идентификаторы

грех (-θ) =-грех (θ)

cos (-θ) = cos (θ)

загар (-θ) = -тан (θ)

csc (-θ) = -csc (θ)

сек (-θ) = сек (θ)

детская кроватка (-θ) =-детская кроватка (θ)

Пифагорейские тождества

cos ² (θ) + sin ² (θ) = 1

1 + загар ² (θ) = сек ² (θ)

1 + детская кроватка ² (θ) = csc ² (θ)

Пример:

Упростите следующий

Тригонометрические формулы

В тригонометрии используется множество формул, которые включают один или несколько углов или сторон треугольника.

Формулы суммы и разности

sin (x ± y) = sin (x) · cos (y) ± cos (x) · sin (y)

cos (x ± y) = cos (x) · cos (y) & mnplus ; sin (x) · sin (y)

Формулы двойного угла

sin (2θ) = 2 · sin (θ) · cos (θ)

cos (2θ) = cos ² (θ) — sin ² (θ) = 1-2 · sin ² (θ) = 2 · cos ² (θ) — 1

Формулы половинного угла

Непрямые треугольники

Определения тригонометрических функций прямоугольного треугольника применимы только к прямоугольным треугольникам.Их нельзя использовать для непрямых треугольников, таких как треугольник ABC ниже, который является наклонным треугольником.

Скорее, следующие тождества треугольников можно использовать для связи сторон и углов треугольника ABC.

Правило синуса

Закон синусов может использоваться, когда для наклонного треугольника заданы одна сторона и любые два угла, или когда заданы один угол и две стороны.

Пример:

Для треугольника ABC, a = 3, B = 70 °, C = 45 °, найдите A, b и c,

A = 180 ° — B — C = 180 ° — 70 ° — 45 ° = 65 °

Правило косинуса

a ² = b ² + c ² — 2bc · cos (A)

b ² = a ² + c ² — 2ac · cos (B)

c ² = a ² + b ² — 2ab · cos (C)

Закон косинусов можно использовать, когда один угол и две его стороны даны для наклонного треугольника, или когда даны все три стороны.

Пример:

Для треугольника ABC, A = 45 °, b = 3, c = 5, найдите a,

a ²	= b ² + c ² — 2bc · cos (A)
	= 3 ² + 5 ² — 2 × 3 × 5 × cos (45 °)
	= 12,787

ACT Тригонометрия: полное руководство

Тригонометрия — это раздел математики, который занимается прямоугольными треугольниками и отношениями между их сторонами и углами.(Слово «триггер» связано со словом «треугольник», чтобы помочь вам запомнить.)

Обычно в тесте ACT есть около 4-6 вопросов, связанных с тригонометрией (официальные инструкции по ACT говорят, что задачи тригонометрии составляют 7% теста). На первый взгляд они могут показаться сложными, но большинство из них сводятся к нескольким простым концепциям.

Эта статья будет вашим исчерпывающим руководством по тригонометрии, которое вам нужно знать для ACT. Мы расскажем вам о значении тригонометрии, формулах и понимании, которые вам нужно знать, а также о том, как решать некоторые из наиболее сложных тригонометрических задач ACT.

Что такое тригонометрия и как ею пользоваться?

Тригонометрия изучает отношения между сторонами и углами прямоугольных треугольников. Соотношения между размерами сторон прямоугольного треугольника и размерами его углов постоянны, независимо от того, насколько большой или маленький треугольник.

Некоторые из множества различных возможных типов прямоугольных треугольников.

Если вы знаете размер одной стороны и один угол, отличный от 90 ° для прямоугольного треугольника, вы сможете определить остальные стороны и углы треугольника.2 = 340 9000 долларов США 3

$ c = √340 $ или $ c = 2√85 $

Но что, если у нас есть только одна длина стороны и мера одного из углов (не девяносто градусов)?

Даже если у нас есть длина только одной стороны, мы все равно можем найти другие, используя тригонометрию, потому что у нас есть мера одного из острых углов.

Итак, здесь мы могли бы сказать $ sin 34 ° = 12 / \ hypotenuse \ $

Итак, $ \ hypotenuse \ = 12 / {sin 34 °} $

Не волнуйтесь, если это еще не имеет для вас смысла! Мы разберем каждый шаг по мере продвижения в руководстве.

(Примечание: чтобы найти фактическую величину угла в градусах с использованием двух длин сторон, вам нужно будет выполнить вычисление обратной функции (также называемой функцией «дуги»). Но НЕ БОЙТЕСЬ — ACT никогда не заставит вас Сделайте это! Что касается вашей подготовки к математике ACT, поймите, что тест будет предлагать вам только вычислить достаточно далеко, чтобы сказать, например, «$ Cosine‌x = 4/5 $». Вам никогда не придется находить фактическую угловую меру из х по АКТ.

Мы находим эти меры, понимая отношение определенных сторон треугольника к их соответствующим углам. Это так называемые тригонометрические функции, и есть три, которые вы должны запомнить для ACT: синус, косинус и тангенс. Самый простой способ понять это — использовать мнемоническое устройство SOH, CAH, TOA , которое мы немного обсудим.> / P>

Тригонометрия широко используется в навигации, а также для расчета высот и расстояний. (На случай, если вам интересно, нужен ли вам триггер в реальной жизни.)

Наиболее распространенные триггерные вопросы ACT

Вопросы по тригонометрии в ACT можно разделить на несколько категорий.Мы предоставили несколько реальных математических примеров ACT, чтобы продемонстрировать каждую концепцию.

# 1: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла из заданной прямоугольной треугольной диаграммы.

# 2: Нахождение синуса, косинуса или тангенса прямоугольного треугольника из задачи со словами.

Алекс подпирает лестницу к стене. Лестница составляет 23 ° от земли. Если длина лестницы составляет 10 футов, каково выражение для определения расстояния, на котором основание лестницы находится от стены?

А.10 $ ‌tan‌23 ° $

Б. 10 $ sin‌23 ° $

C. 10 $ cos‌23 ° $

D. $ cos‌ {10/23} $

E. $ sin {10/23}

# 3: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла от заданного sin, cos или tan и диапазона, в который попадает угол.

Если $ tan‌Θ = 3/4 \ и 180 ° <Θ <270 ° $, что такое $ sinΘ $?

A. $ 4/3 $

Б. $ -4 / 3 $

C. $ -3 / 4 $

Д.$ 3/5 $

-3 Э. $ / 5

# 4: Определение периода или амплитуды графика.

Какова амплитуда графика?

А. 1

Б. 2

К. π

Д. 2π

E. 0

# 5: Закон синусов или закон косинусов.

Для такого вопроса, , они дадут вам формулы закона синусов или закона косинусов , так что вам не нужно беспокоиться об их запоминании.Однако наличие формулы вам не очень поможет, если она вам покажется или звучит как тарабарщина. По мере того, как вы будете изучать это руководство, выполнять практические вопросы ACT по математике, которые мы предоставили, и знакомиться с языком тригонометрии, используемым в этих вопросах, их станет намного легче решать.

Мы рассмотрим, как решить каждую из этих проблем, , но это даст вам представление о том, как будут выглядеть триггерные проблемы ACT в тесте.

SOH, CAH, TOA

Помните эту знаменитую мнемонику? Это спасет вашу жизнь.Давайте пройдемся по каждому.

SOH (синус)

Синус — это функция, в которой значение синуса (также называемого «грехом») угла тета можно найти, используя отношение стороны треугольника, противоположной углу тета, к гипотенузе треугольника.

SOH : S в $ Θ $ = O одна сторона треугольника / H yпотенуза треугольника

Итак, в этом треугольнике $ sin‌Θ = b / c $, потому что сторона, противоположная углу $ Θ $, равна b , а гипотенуза равна c .

CAH (косинус)

Косинус — это функция, в которой значение косинуса (также называемого «$ cos $») угла тета ($ Θ $) можно найти, используя отношение стороны треугольника, примыкающей к углу $ Θ $ (т. Е. не гипотенуза) над гипотенузой треугольника.

CAH : C os $ Θ $ = A соседняя сторона треугольника / H yпотенуза треугольника

Примечание: смежный означает, что сторона треугольника касается угла / помогает создать угол $ Θ $.

В этом же треугольнике $ cos‌Θ = a / c $, потому что сторона, примыкающая к углу $ Θ $, равна a , а гипотенуза равна c .

TOA (касательная)

Касательная — это функция, в которой значение тангенса (также называемого «тангенс») угла тета может быть найдено с помощью отношения стороны треугольника, противоположной углу тета, по соседней стороне треугольника к тета (что не является гипотенуза).

TOA : T и $ $ = O заданная сторона треугольника / A смежная сторона треугольника.

В этом же треугольнике $ tan‌Θ = b / a $, потому что сторона, противоположная углу $ Θ $, равна b , а смежная сторона — a .

Теперь, когда вы знакомы со своими мнемоническими устройствами, вы можете составлять вопросы в несколько этапов. Например, немного более сложный вопрос может выглядеть примерно так:

Вам даны длины двух сторон треугольника, но для решения задачи требуется длина третьей стороны.2 = 21 $

$ x = √21 $

Теперь, когда у вас есть размер третьей стороны, вы можете найти $ tan‌B $.

$ Tan‌B = \ напротив / \ Соседний $

$ TanB = √21 / 2 $

Итак, ответ: F , √21 $ / 2 $

Какие стороны противоположные или смежные?

Гипотенуза треугольника всегда остается неизменной, но противоположные или смежные стороны меняются в зависимости от угла фокусировки.

Например, если вы пытаетесь найти $ sin $ угла $ γ $, вы должны использовать соотношение $ b / c $; если вы пытаетесь найти грех угла $ ξ $, вы должны использовать соотношение $ a / c $.2 = 44 $

$ x = √44 $

Теперь $ sin $ = $ \ Against / \ hypotenuse $, поэтому $ sin‌M = √44 / 12 $.

Итак, ответ — K.

Нет необходимости находить градусную меру (арксинус или обратный синус) угла M на вашем калькуляторе — это все, что вам нужно.

Вам также может быть предоставлено значение угла и длины стороны знаменателя вашего соотношения. В этом случае управляйте уравнением, как алгебраическим уравнением, и умножайте противоположную сторону на знаменатель.

$ sin Θ = \ напротив / \ гипотенуза $

$ гипотенуза $ * sinΘ = $ напротив

Поскольку вас спрашивают о длине лодки до причала, а эта сторона составляет напротив угла 52 °, вы знаете, что вам понадобится либо sin, либо tan (cos использует смежную и гипотенузу, а не противоположную).

Вам также дается соседней длины , 30 миль, поэтому вы будете использовать tan. (Вы можете сказать, что эта сторона смежная, потому что сторона, противоположная углу 90 °, является гипотенузой, поэтому 30 миль должны быть еще одним катетом треугольника).

$ tan‌Θ = \ напротив / \ рядом $

So $ tan‌52 ° = x / 30 $

30‌ $ тан52 ° = x

долл. США

Итак, ответ — франков, длина лодки до причала 30 тангенциальных 52 °.

И снова проблема со словом из ранее.

А.10 ‌ $ загар‌23 ° $

Б. 10‌ $ sin‌23 ° $

C. 10 $ cos‌23 ° $

D. $ cos‌10 / 23 $

E. $ sin‌10 / 23 $

Во-первых, нарисуйте свою картинку, чтобы легче было представить себе, о чем вас просят.

Итак, у нас есть расстояние между лестницей и землей в 23 ° $. Также мы работаем с длинами соседней стороны треугольника и гипотенузы. Это означает, что нам понадобится косинус, так как $ cos‌Θ = \ напротив / \ hypoteneuse $

Итак, $ cos‌23 ° = \ смежный / 10 $ (Почему 10? Длина лестницы 10 футов)

Это становится 10 $ ‌cos‌23 ° = \ смежный $

Итак, ответ: C , 10 $ ‌cos‌23 ° $

Придется ли мне определять угол?

Короткий ответ: нет, вас не попросят определить точную величину угла в градусах с помощью тригонометрии.2)}

долл. США

Когда Sin, Cos и Tan являются положительными или отрицательными?

В зависимости от того, где расположен треугольник в двумерном пространстве, значения sin, cos и tan будут отрицательными или положительными.

В двухмерном пространстве четыре квадранта, разделенных по осям x и y.

В квадранте I и x, и y положительны.
В квадранте II x отрицателен, а y положителен
В квадранте III оба значения x и y отрицательны
А в квадранте IV x положительный, а y отрицательный

Как и в случае со значениями x и y, sin, cos и tan могут быть положительными или отрицательными в зависимости от квадранта, в котором находится треугольник / угол.

В квадранте I все положительные
В квадранте II sin положителен, а cos и tan отрицательны
В квадранте II tan положительный, а sin и cos отрицательные
В квадранте IV cos положительна, а sin и tan отрицательны

Хороший способ запомнить это по мнемонической аббревиатуре ASTC — A ll S tudents T ake C hemistry — чтобы увидеть, какая из функций является положительной в зависимости от квадранта.

Итак, A ll положительны в квадранте I, S in положительны в квадранте II, T an положительны в квадранте III, и C os положительны в квадранте IV

Если $ tan‌Θ = 3/4 $ и $ 180 ° <Θ <270 ° $, что такое $ sinΘ $?

A. $ 4/3 $

Б. $ −4 / 3 $

C. $ -3 / 4 $

D. $ 3/5 $

-3 Э. $ / 5

Чтобы решить эту проблему, сначала определите длины сторон треугольника, используя теорему Пифагора (или используя свои знания о 3-4-5 треугольниках).2 = 25 9000 долларов США 3

$ c = 5

Итак, наша гипотенуза равна 5.

Мы знаем, что $ sin Θ = \ Against / \ hypotenuse $. Итак, $ sin‌Θ = 3/5 $.

Но подождите! Мы еще не закончили. Поскольку они сказали нам, что $ Θ $ лежит между $ 180 ° $ и $ 270 ° $, мы знаем, что значение sin для $ Θ $ отрицательно. Согласно ASTC, только тангенс угла $ Θ $ будет положительным между 180 ° $ и 270 ° $.

Итак, , наш окончательный ответ — евро, $ — 3/5 $

Вторичные триггерные функции

В редких случаях на ACT вам будет предложено указать одну из вторичных триггерных функций.Это косеканс, секанс и котангенс. Они будут отвечать максимум на один вопрос за тест.

Вы могли заметить, что они похожи на основные триггерные функции, которые вы изучили выше. Фактически, эти вторичные функции являются обратными (обратными) sin, cos и тангенсом.

Чтобы помочь вам запомнить, что есть что, обратите внимание на третью букву каждого слова:

Co s ecant = величина, обратная s ine
Se c ant = аналог c osine
Co t angent = величина, обратная t angent

Косеканс

Косеканс — величина, обратная синусу.$ Косеканс Θ = \ гипотенуза / \ напротив $

Секант

Секанс — величина, обратная косинусу. $ Секанс Θ = \ гипотенуза / \ смежный $

Котангенс

Котангенс — величина, обратная касательной. $ Котангенс Θ = \ смежный / \ противоположный $

Полезные формулы с Sin, Cos и Tan

Есть две формулы, которые время от времени будут появляться в ACT. Если вы чувствуете, что не можете больше запоминать тригонометрию, не беспокойтесь о том, чтобы запомнить их — они могут ответить максимум на один вопрос за тест .2 {x}) $, что также равно 1.

Итак, мы имеем 1 + 1 = 2

Окончательный ответ: H , 2.

$$ (sin‌Θ) / (cos‌Θ) = tan‌Θ $$

Это уравнение имеет логический смысл, если представить его в виде диаграммы. Допустим, у вас есть треугольник, который выглядит так

$ Sin Θ $ будет 5 $ / 13 $. $ Cos Θ $ будет $ 12/13 $. $ Tan Θ $ будет 5 долларов США / 12%.

Вы также можете сказать $ tan‌Θ = {sin‌Θ} / {cos‌Θ} = {5/14} / {12/13} = (5/13) (13/12) = 65/156 $ (вы также можете просто отменить обе 13s для упрощения) = 5 $ / 12 $

Графические триггерные функции

ACT не будет запрашивать у вас график триггерной функции, но вам нужно распознать, как каждая функция выглядит в виде графика.

Синус

Синусоидальный график пересекает начало координат в виде волны. Он всегда возрастает после $ x = 0 $, после пересечения начала координат.

Это «нечетная» функция, потому что она не симметрична относительно оси y.

Косинус

График косинусов также «волнистый», но не пересекает начало координат. Он спускается после $ x = 0 $.

Это может помочь вам запомнить, что косинус убывает после x = 0, если подумать, что « co — это low »

Косинус является «четной» функцией, потому что он симметричен относительно оси y.Это означает, что для всех значений $ x $ $ f (x) = f (-x) $.

Например, на графике выше $ y = 0,7 $ как при $ x = 1 $ , так и при $ x = -1 $

Иногда все, что вам зададут, — это определить, является ли график четным или нечетным, а также является ли график sin или cos. Вам будет легко понять это, если вы помните основные элементы тригонометрических графиков.

Хотя вы можете понять этот вопрос из предоставленной информации, это займет гораздо меньше времени, если вы узнаете, что график является косинусным и, следовательно, четным.А на ACT время ограничено и ценно.

Касательная

Касательный график выглядит совсем иначе, чем графики sin и cos — вам просто нужно уметь распознавать касательный график, когда вы его видите.

Периоды и амплитуды

ACT иногда просит вас найти период или амплитуду синусоидального или косинусного графика.

Период

Период графика — это расстояние по оси x, с которого график начинает повторяться.Найдите расстояние по оси x, на котором точка возвращается в исходное положение после завершения полного цикла .

Период синусоидального графика здесь равен 2π. Он должен идти как вверх, так и вниз, прежде чем окончательно вернуться к $ y = 0 $.

Период косинусного графика здесь также равен 2π. Он должен сначала спуститься, а затем снова подняться, чтобы вернуться в исходное положение при $ y = 1 $.

Амплитуда

Амплитуда графика — это его высота от оси x, расстояние между его наивысшим значением $ y $ и $ x = 0 $.

Итак, чтобы использовать тот же график, что и выше:

И синус, и косинус имеют амплитуду 1 (и, опять же, период 2π).

Рад

Радианы — это еще один (более точный) способ измерения расстояния по окружности, а не в градусах. Вместо градусов радианы выражаются через π (и доли π).

Если у вас есть полный круг, это 360 градусов. Это также 2π радиан.

Почему 2π радиан? Что ж, придумайте формулу длины окружности. С = 2πr. Если ваш радиус равен 1, тогда ваша окружность равна 2π, что совпадает с вашей мерой в радианах.

Окружность с радиусом 1 и центром в начале координат называется «единичной окружностью». Радианы удобно рассматривать, помещая их на единичный круг.

Итак, если у вас есть полукруг, это 180 ° или π радиан.

И так далее. 90 ° — это $ π / 2 $ радиан, 270 ° — $ (3π) / 2 $ радиан.

Для преобразования градусов в радианы проще всего использовать преобразование между 180 ° и π .

Преобразовать 45 ° в радианы => $ (45) {π / 180} = π / 4 $ ‌радиан

Преобразовать $ (3π) / 4 $ радиан в градусы => $ {(3π) / 4} (180 / π) $ = 135 °

Шаги к решению триггерного вопроса

Итак, давайте рассмотрим, как разбить триггерный вопрос

# 1: Определите, требует ли проблема тригонометрии. Вы можете сказать, что проблема потребует триггера, когда:

Проблема упоминает sin, cos или tan в вопросе или в вариантах ответа

Задача дает вам диаграмму или описывает прямоугольный треугольник, а затем просит вас найти значение, которое нельзя найти, используя только теорему Пифагора.

Как мы видели в этой задаче ранее — вы можете использовать теорему Пифагора в задаче тригонометрии, но вы не можете решить тригонометрическую задачу только , используя теорему Пифагора.

Проблема показывает вам «волнистый» график по осям x и y

Задача запрашивает период или амплитуду графика

# 2: Помните SOH, CAH, TOA.2 {‌Θ} и др.

# 4 :. Вспомните, как выглядят графики синуса, косинуса и тангенса.

И знайте, что:

Период = горизонтальное расстояние

Амплитуда = вертикальное расстояние

# 5: Празднуйте, потому что вы ответили на триггерные вопросы ACT!

Итоги

Хотя тригонометрические задачи могут показаться устрашающими, почти каждый вопрос о тригонометрии ACT может быть решен, если вы знаете основные элементы тригонометрии.

Чтобы извлечь максимальную пользу из подготовки к математике ACT, запомните эти три триггерные концепции: SOH, CAH, TOA, как управлять своими уравнениями и как распознавать графики функций. Если вы запомните их, вы обнаружите, что решаете практически все триггерные вопросы, которые ACT может бросить вам.

Что дальше?

Хотите больше математических стратегий и руководств ACT? Прочтите нашу статью по всем математическим темам, протестированным на ACT, чтобы убедиться, что вы их хорошо усвоили. Вы знаете твердотельную геометрию ACT? Обязательно освежите свои знания, если вы ищете каждую последнюю точку.

Хотите получить высший балл по математике в ACT? Ознакомьтесь с нашей статьей о том, как набрать 36 в разделе ACT Math от 36 ACT-Scorer.

Чувствуете себя подавленным? Не знаю, с чего начать? Не ищите дальше наших статей о том, что считается хорошей, плохой или отличной оценкой ACT. Не знаете, в какие дни предлагается ACT? Ознакомьтесь с полным списком дат тестирования ACT, чтобы найти подходящие для вашего расписания.

И если вы обнаружите, что у вас не хватает времени на математический раздел, посмотрите не дальше нашей статьи о том, как перестать не хватать времени на математику ACT.

Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?

Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой результат SAT на 160 или более баллов.

Наша программа полностью интерактивна, и она адаптирует то, что вы изучаете, к вашим сильным и слабым сторонам. Если вам понравилось это руководство по математической стратегии, вам понравится наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно.Мы также дадим вам пошаговую программу, которой нужно следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.

Воспользуйтесь нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:

Формула тригонометрии — [Sin, Cos, Tan, Cot, Sec и Cosec]

Формула тригонометрии : Тригонометрия — это хорошо известное имя в геометрической области математики, которое актуально в этой области с давних времен и также применяется практически во многих случаях.

На простом языке тригонометрию можно определить как ту ветвь алгебры, которая связана с треугольником. В этом разделе мы в основном изучаем взаимосвязь между углами и длиной стороны данного треугольника. При таком подробном изучении треугольника формируются уравнения нескольких типов, которые впоследствии решаются для упрощения взаимосвязи между длинами сторон и углов такого треугольника.

Тригонометрия считается одним из старейших компонентов алгебры, существующей примерно с 3 века.Существует практическое использование тригонометрии в нескольких контекстах, таких как астрономия, геодезия, оптика или периодические функции.

Формулы тригонометрии

Что ж, будь то алгебра или геометрия, обе эти области математики основаны на научных вычислениях уравнений, и мы должны выучить различные формулы, чтобы их было легко вычислить.

Как мы знаем, в тригонометрии мы в основном измеряем разные стороны треугольника, из которых формируются несколько уравнений.Далее формулы тригонометрии составляются в соответствии с различными отношениями, используемыми в области, такими как синус, тангенс, косинус и т. Д. Таким образом, в основном есть номера формул, которые обычно используются в тригонометрии для измерения сторон треугольника. .

Здесь мы упоминаем список различных типов формул тригонометрии.

Основная формула тригонометрии

2. Sin Cos Tan на 0, 30, 45, 60 градусов

3.Пифагорейские тождества

4. Знак греха, Cos, Tan в разных квадрантах

A dd– S ugar – T o –C оферта

5. Радианы

1 градус = 60 минут
Пример: 1 ° = 60 ′

1 минута = 60 секунд
Пример: 1 ′ = 60 дюймов

6. Отрицательные углы [четно-нечетные отождествления]

Sin (-x) = — Sin x
Cos (-x) = Cos x
Tan (-x) = — Tan x
Cot (-x) = — Cot x
Sec (-x) = Sec x
Cosec (-x) = — Cosec x

7.Значение Sin, Cos, Tan повторяется после 2𝛑

Sin (2𝛑 + x) = Sin x
Cos (2𝛑 + x) = Cos x
Tan (2𝛑 + x) = Tan x

8. Идентификация периодичности — Углы смещения на 𝛑 / 2, 𝛑, 3𝛑 / 2

9. Идентификаторы суммы углов и разностей

10. Формула двойного угла

11. Формула тройного угла

12. Полугловые идентичности

13. Сумма идентичностей

14.Идентификационные данные продукта

15. Закон греха

Здесь,

ABC — вершины треугольника ABC.
Место, противоположное углу A — это a. то есть BC
Место, противоположное углу B, — это b. т.е. AC
Место, противоположное углу C, — это c. т.е. AB

16. Закон косинуса

17. Обратная тригонометрическая функция

Если Sin θ = x

, затем поместите Sin на правую сторону

Таким образом, вы можете видеть, что Sin — это угол. То же, что и обратная функция для всех функций Trignomentry, — это угол.

18. Область и диапазон функций обратной тригонометрии

19. Формула обратной тригонометрии

20. Замена обратной тригонометрии

Как и любой другой раздел математики, формулы тригонометрии не менее важны, поскольку без этих формул вы не можете использовать значения треугольников для целей измерения. Эти формулы упрощают стороны треугольника, так что вы можете легко измерить все его стороны.

Мы призываем всех ученых понять эти формулы, а затем легко применять их для решения различных типов задач тригонометрии.

Синус, косинус и тангенс объяснены с помощью примеров

Сегодня мы собираемся обсудить еще один основной термин математики: синус, косинус и тангенс. Вкратце эти термины также называются sin cos и tan.

Синус, косинус и касательные — важные термины в тригонометрии, и их определение основано на прямоугольном треугольнике.В основном они определяются в терминах отношения сторон прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник — это тип треугольника, в котором один угол равен 90.

Перед тем, как начать обсуждение основной темы sin cos и tang, мы должны коснуться основы прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это самая длинная сторона, противоположная прямому углу. а перпендикуляр — сторона угла 90.

Синус, косинус и тангенс

Итак, согласно рисунку мы можем легко обсудить синус, косинус и тангенс (sin, cos, tan).В любом прямоугольном треугольнике

Синус θ = Длина перпендикуляра
Длина гипотенузы

Cos θ = Длина основания
длина гипотенузы

Tan θ = Длина перпендикуляра
Длина основания

Простой способ выучить формулы sin cos tan
Мы обсудим два метода простого изучения формул sin cos и tang. Студентам необходимо запомнить два слова, и они смогут решить все задачи о синус-косинусе и тангенсе.
Метод 1
Вы можете легко выучить формулу sin cos и tan, выучив слово SOHCAHTOA. Итак, теперь мы узнаем, как это работает, чтобы запомнить формулу

Сокращения

Формулы

SOH

Sin θ = Противоположно / Гипотенуза

CAH

Cos θ = Соседний / Гипотенуза

TOA

Желто-коричневый θ = напротив / рядом

Короче говоря, если мы взяли вышеуказанные сокращения, мы легко запомним формулу синуса, вспомнив SOH.Таким же образом мы можем узнать формулу косинуса, запомнив CAH и формулу касательной с TOA.
Метод 2
В приведенном выше методе мы обсуждаем выучить формулы для синусоидального косинуса и тангенса, запоминая одно слово. Точно так же это второй способ легко выучить эти формулы. Согласно прямоугольному треугольнику, если вы выучите эти 3 предложения, вы легко сможете выучить формулы sin cos и tan.

предложений

Формулы
У некоторых людей
Sin θ = перпендикуляр / гипотенуза
Вьющиеся черные волосы
Cos θ = База / Гипотенуза
Сквозная щетка
Желто-коричневый θ = Перпендикуляр / основание
Пример: что такое синус cos и тангаж 45 °? Если перпендикуляр 4, база 3 и гипотенуза 6.
Из рисунка имеем значение θ = 45.
Гипотенуза = H = 6
База = B = 3
Перпендикуляр = P = 4
Используя формулу синуса
Sin (θ) = Perp / Hyp
Sin (45) = 4/6 Sin (45) = 0,666
По формуле косинуса
Cos (θ) = База / Hyp
Cos (45) = 3/6 Sin (45) = 0.5
По формуле загара
Желто-коричневый (θ) = Perp / Base
Тан (45) = 4/3 Тан (45) = 1,33
Подробнее об идентификаторах триггеров и круге единиц
.

Круги эйлера квадрат ромб прямоугольник: становите отношения, в которых находятся пары понятий, изобразите отношения между объемами понятий при помощи кругов Эйлера:

alexxlab / 08.02.197016.07.2021 / Разное

Четырехугольники — презентация онлайн

1. Из имеющихся четырёхугольников указать те, которые являются параллелограммами

3
2
1
6
4
5
2. Заполнить таблицу, отметив знаки «+» или «-»
Параллелогр
амм
Противоположные
стороны
параллельны и
равны
Все стороны равны
Противолежащие
углы равны, сумма
соседних углов
равна180
Все углы прямые
Диагонали
пересекаются и
точкой
пересечения
делятся пополам
Диагонали равны
Диагонали взаимно
перпендикулярны и
являются
биссектрисами
углов
Прямоугольник
Ромб
Квадрат
3. Ответы
№ Параллелограмм
Прямоугольник
Ромб
Квадрат
1
+
+
+
+
2
—
—
+
+
3
+
+
+
+
4
—
+
—
+
5
+
+
+
+
6
—
+
—
+
7
—
—
+
+
4.
Тест для капитана вариант 11.Любой прямоугольник является:
а)ромбом б) квадратом в)параллелограммом г)нет такого ответа
2.Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот
четырёхугольник-…
а) ромб б)квадрат в) прямоугольник г) нет правильного ответа
3. Ромб- это четырёхугольник, в котором….
а)диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны.
б)диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся
пополам
в)противолежащие углы равны, а стороны параллельны
г) нет правильного ответа
5. Конкурс капитанов вариант 2
1.Любой ромб является :
а) квадратом б) прямоугольником в)параллелограммом г)нет
правильного ответа.
2.Если диагонали перпендикулярны, то это параллелограмм:
а)ромб б) квадрат в)прямоугольник в) нет правильного ответа
.Прямоугольник — это четырёхугольник, в котором :
а) противоположные стороны параллельны, а диагонали равны
б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются
биссектрисами его углов
в)два угла прямые и две стороны равны
г) нет правильного ответа
6.
Устные задачи1.Один из углов параллелограмма 40. Найти углы параллелограмма
2. Сумма двух углов параллелограмма равна 140. Найти углы
параллелограмма.
3.Одна из сторон параллелограмма в 2 раза больше другой, а Р=24см
Найти стороны параллелограмма.
4. Найти площадь треугольника ,если площадь параллелограмма 240 кв.см
Б
Е
С
АВСД параллелограмм
Найти: угол А, угол С
А
32
Д
В
В
В
В
АВСД ТРАПЕЦИЯ
НАЙТИ угол В.,угол Д
С
117
в
Д
36
А
В
С
АВСД прямоугольник
Найти АД
60
10
1
0
А
Д
В
А
6
6
60
С
р
м Д
АВСД ромб Найти МД+ДР
Леонард Эйлер, крупнейший
математик XVIII века, родился
в Швейцарии. В 1727г. по
приглашению Петербургской
академии наук он приехал в
Россию. Эйлер попал в круг
выдающихся математиков,
получил большие возможности
для создания и издания своих
трудов. Он работал с
увлечением и вскоре стал, по
единодушному признанию
современников, первым
математиком мира.
Круги ЭЙЛЕРА —
геометрическая схема,
с помощью которой
можно изобразить
отношения между
подмножествами, для
наглядного
представления
Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил
с помощью этих кругов:
N-множество натуральных чисел,
Z – множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
R – множество вех действительных чисел.
Отношение рода и вида между понятиями
Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».
Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».
В–третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.
Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.
Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:
1) а – «прямоугольник», b- «ромб»;
Объемы понятий пересекаются, но не одно множество не является подмножеством другого. Следовательно, можно утверждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.
2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;
Объемы данных понятий находятся в отношении включения, но не совпадают – всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот. Следовательно, можно утверждать, что понятие «параллелограмм» — видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» – родовое по отношению к понятию «параллелограмм».
3) а — «прямая», b – «отрезок».
Объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.
О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид.

Замечание.Если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого.
Например, отрезок не обладает такими свойствами прямой, как ее бесконечность.

3. Определение понятий
Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.
Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:
а есть (по определению) b
Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и тогда определение выглядит так: а b
Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».
Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Рассмотрим их подробнее.
Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части – определяющему понятию. В нем можно выделить:
1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,
2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.
Определение. Видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы
Определяемое понятие
Родовое понятие
видовое отличие
+

Определяющее понятие
Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во–первых, слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых, не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обозначения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немного позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и». А пока познакомимся с еще одной возможностью наглядного представления определения через род и видовое отличие. Если определяемое понятие обозначить буквой а, определяющее буквой b, родовое понятие (по отношению к определяемому) – буквой с, а видовое отличие – буквой Р, то определение через род и видовое отличие можно представить так:

а
Почему видовое отличие обозначено заглавной буквой, мы узнаем позже.
Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р: А= { х | хÎ С и Р (х)}.
Например, если дано определение: «Острым углом называется угол, который меньше прямого», — то объем понятия «острый угол» – это подмножество множества всех углов плоскости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».
Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой – либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем основные.

Требования к определению понятий
Определение должно быть соразмерным.
Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.
Соразмерны, например, понятия «прямоугольник» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещивающие прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не удовлетворяют совпадающие прямые.
В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.
Это означает, чтонельзя определять понятие через само себя (в определении не должно содержатся определяемого термина) или определять его через другое понятие, которое определяется через него.
Возьмем такие понятия начальной математики, как “умножение” и “произведение”, и дадим им следующие определения:
Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел.
Произведением чисел называется результат их умножения.
Видим, что умножение определяется через понятие произведение, а произведение – через понятие умножения. Определения образовали, как говорят в математике, порочный круг. В результате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.
Порочный круг содержится и в таком определении: «Решением уравнения называется число, которое является его решением». Здесь понятие «решение уравнения» определяется, по сути дела, через решение уравнения.
Определение должно быть ясным.
Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.
Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.
К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.
Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».
Нетрудно убедится в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно показать, что включенное в определение свойство «в прямоугольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в данном определении прямоугольника второе свойство избыточное. Следовательно, правильнее определять прямоугольник таким образом: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».
Замечание. Чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выделены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простаты изложения это правило нарушают.
Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат – это когда все стороны равны».
К сказанному следует добавить, что, формулируя определение, надо стремиться в определяющем указать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближайшее.Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.
Например, если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».
Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие – прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».
Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.
Так, квадрат можно определить как:
а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;
б) прямоугольник, у которого есть прямой угол;
в) ромб, у которого есть прямой угол;
г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большего числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.
Если же одному и тому же понятию даются, например, два различных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.
Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:
1. Назвать определяемое понятие (термин).
2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.
3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т. е. сформулировать видовое отличие.
4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).
Примеров явных родо-видовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.

5. Неявные определения
При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используются редко. Связано это как с особенностями курса, так и с возможностями детей. Но понятий в начальном курсе математики очень много – об этом мы говорили в начале лекции. Как же их определяют?
При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявныеопределения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее.
В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивныеопределения.
Вконтекстуальныхопределениях содержание нового понятияраскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретнойситуации, описывающей смысл определяемого понятия с другими,известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание. Например, употребляя в работе с детьми такие выражения, как «найти значения выражения», «сравнить значение выражений 5 + а и (а — 3) × 2, если а = 7», «прочитать выражения, которые являются суммами», «прочитать выражения, и потом прочитать уравнения», мы раскрываем понятие «математическое выражение» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий.
Или, примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, приведенного в учебнике математики для 3 класса. Здесь после записи ð + 6= 15 и перечня чисел 0,5,9,10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс):
Х + 6 = 15 – это уравнение.
Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9+6=15.
Объясни, почему числа 0; 5 и 10 не подходят».
Из приведенного текста следует, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения – это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.
Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни — это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного.
Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как «большой — маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т. д.
Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.
Остенсивные определния — это определения путем демонстрации. Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием.
Например, учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите — это квадрат». Это типичное остенсивное определение.
Они используются также для введения терминов путем показа объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:
2 × 7 > 2 × 6 9×3 = 27
78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6
37+ 6 > 37 17 — 5 = 8 + 4
В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т. д.) цвет», «левый — правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д.
На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения — и только они — связывают слово с вещами. Без них язык — лишь словесное кружево, которое не имеет объективного, предметного содержания.
Остенсивные определения, как и контекстуальные, характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение посредством показа не выделяет понятие из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Поэтому после контекстуального или остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.
Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение».
Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими.
Примеры генетических определений: «Угол — это лучи, которые выходят с одной точки», «Диагональ прямоугольника — отрезок, который соединяет противоположные вершины прямоугольника». В начальных классах генетические определения применяют для таких понятий, как «отрезок», «ломаная», «прямой угол», «круг».
К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень.
Например, «Натуральный ряд чисел — это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.».
Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин.
Например, единицы времени год, месяц, час, минута.
Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языкомв виде равенства, например, а ×1 = а, а × 0 = 0
В начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий — одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

Домашние задания по курсу логики
Здесь вы можете получить задачи по курсу логики, ссылка на страницу с решением приведена ниже.
Решения
Привести примеры нарушения законов логики
Привести примеры нарушения правил деления объема понятия.
Привести примеры нарушения правил определения понятия.
Изобразить на кругах Эйлера отношения между понятиями.
4.1. Студент, спортсмен, биатлонист, отец. 4.2. Мужчина, адвокат, юрист, прокурор.
4.3. Квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. 4.4. Деньги, валюта, доллары, банк.
4.5. Университет, вуз, академия, гимназия. 4.6. Пушка, пистолет, оружие, танк.
4.7. Кража, грабеж, разбой, мошенничество. 4.8. Искусство, эстрада, цирк, опера.
Обобщить понятие (три шага).
5.1. Учебник. 5.2. Лев. 5.3. Автомобиль. 5.4. Наука. 5.5. Цезарь. 5.6. Река. 5.7. Снег. 5.8. Береза.
Ограничить понятие (три шага).
6.1. Существо. 6.2. Искусство. 6.3. Животное. 6.4. Книга. 6.5. Река. 6.6. Поэма.
6.7. Средство связи. 6.8. Волейбол.
Дать определение, указав ближайший род и видовое отличие.
7.1. Свобода. 7.2. Преступление. 7.3. Философия. 7.4. Ответственность. 7.5. Долг.
7.6. Радость. 7.7. Любовь. 7.8. Совесть.
На основе логического квадрата, полагая исходное суждение сначала истинным, затем – ложным, выведите суждения, соотносимые с исходным, и установите их истинностные значения.
8.1. Коровы не летают. 8.2. Всяк кулик свое болото хвалит. 8.3. Услужливый дурак опаснее врага. 8.4. Насилие – спутник войны. 8.5. Не все сапожники в сапогах.
8.6. Рыбы живут в реках. 8.7. Наука на веру ничего не принимает. 8.8. Не все то золото, что блестит.
Осуществите превращение, обращение, противопоставление предикату.
9.1. Некоторые люди злые. 9.2. Доверчивый – беззащитен. 9.3. Утки не поют. 9.4. Дети любят шоколад. 9.5. Чиновники не любят работать. 9.6. Депутаты любят болтать.
9.7. Политики не следуют нормам морали. 9.8. Баскетболисты — люди высокорослые.
Приведите примеры умозаключений по схемам (модусам) условно-категорического силлогизма, а также – простой и сложной контрапозиции.
Подыщите средний термин и постройте силлогизм. Укажите фигуру и модус.
11.1. Железо – проводник тепла. 11.2. Декабрист — поэт. 11.3. Тигр – жвачное.
11.4. Певец – художник. 11.5. Композитор – ученый. 11.6. Собака – друг. 11.7. Кит – рыба. 11.8. Преступление – наказуемое действие.
Восстановите энтимему до полного силлогизма. Укажите фигуру и модус.
12.1 Они не больны, так как у них нет повышенной температуры. 12.2. Курица не птица, поскольку все птицы летают. 12.3. Металлы – химические элементы, так как все химические элементы – вещества. 12.4. Обвиняемый имеет право на защиту, Следовательно, М. имеет право на защиту. 12.5. Эта мысль ложна, ибо она не соответствует действительности. 12.6. Судья вправе задавать вопросы в любой момент допроса свидетеля, но вы не судья. 12.7. Наблюдение широко используется в оперативно- розыскной работе. Наблюдение – метод научного познания. 12.8. Все воспитатели должны быть хорошо воспитаны. Петров не является воспитателем.
Рекомендую посетить и эту страницу:
Аудио словарь латинского языка
И ИХ СТРУКТУРА
Математика И ИХ СТРУКТУРА
просмотров — 1204
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Понятие. Виды понятий
Понятие — ϶ᴛᴏ форма мышления, в которой отражаются общие и существенные признаки предмета.
В языке понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, без которых невозможно ни формирование понятий, ни оперирование ими. К примеру, «треугольник», «дом», «добросовестный человек».
Понятия делятся на основные (неопределяемые) и определяемые (производные).
Основные понятия принимаются без определения. К примеру, в геометрии основными понятиями являются: точка, прямая, плоскость.
Определяемые (производные) понятия определяются через основные или ранее определенные. К примеру, луч – часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой.
В понятии отражаются различные признаки предметов.
Признаком предмета принято называть то, в чем предметы сходны друг с другом или чем они друг от друга отличаются. Признаки могут выражаться в свойствах предмета͵ в форме отношения предмета к другим предметам.
Отличительные признаки — ϶ᴛᴏ признаки, которые принадлежат только одному предмету.
Общие признаки принадлежат нескольким предметам.
Признаки бываютсущественные и несущественные.
Существенным признаком какого-либо понятия принято называть такой признак, который принадлежит данному понятию при любых условиях, выражает его коренную сущность, с изменением которого меняется понятие.
К примеру, существенными признаками квадрата являются прямоугольность и равносторонность.
Несущественный признак не раскрывает сущность предмета͵ при изменении которого понятие о предмете не меняется.
Всякое понятие имеет содержание и объем.
Содержанием понятия принято называть совокупность существенных признаков предмета. Содержанием понятия «ромб» является совокупность двух существенных признаков: 1) быть параллелограммом и 2) иметь равные стороны.
Объемом понятия принято называть множество предметов, обладающих данными существенными признаками. К примеру, под объемом понятия «студент» подразумевается множество всех студентов, которые существуют сейчас, существовали ранее и будут существовать в будущем.
Связь между содержанием и объемом понятия выражается в законе обратного отношения между содержанием и объемом понятия: увеличение содержания понятия ведет к образованию понятия с меньшим объемом, и наоборот. Так, к примеру, если увеличить содержание понятия прямоугольник, добавив свойство равных сторон, то получится понятие с меньшим объемом – квадрат. В случае если же наоборот, убрать свойство прямоугольности в определении прямоугольника, то получится понятие с большим объемом – параллелограмм.
Способы определения понятий
При изучении понятий в любой науке им дают определения. Определить понятие – значит указать способ, с помощью которого можно отделять объекты или отношения, охватываемые данным понятием, от всех других объектов и отношений.
Для того чтобы определить понятие, нужно указать его место в ряду других понятий данной науки, выявить его связи, зависимости от других понятий. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, определяя понятие, приходится выполнять некоторую логическую операцию, в результате которой формулируется предложение, раскрывающее содержание понятия.
Определением (дефиницией) принято называть логическая операция, раскрывающая содержание понятия.
Понятие, содержание которого раскрывается в определении принято называть определяемым; понятие, раскрывающее содержание определяемого понятия, принято называть определяющим.
К примеру, квадрат — ϶ᴛᴏ прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат – определяемое понятие, прямоугольник – определяющее понятие.
Для того, чтобы определения могли служить построению какой-либо научной теории, они должны удовлетворять определенным требованиям.
1. Требование соразмерности определения: объем определяемого понятия должен совпадать с объемом определяющего понятия.
К примеру, в определении «Биссектрисой угла принято называть луч, который делит угол пополам» объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия (неполно видовое отличие – луч должен выходить из вершины угла).
2. Отсутствие порочного круга: нельзя определить понятие через само себя или определить его через другое понятие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ в свою очередь определяется через него.
К примеру, в определениях «Кругом принято называть часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружностью принято называть граница круга» понятие круг определяется через окружность, а окружность – через круᴦ.
3. Отсутствие амонимии: каждый термин в качестве определяемого должен встречаться не более одного раза. При нарушении этого условия нарушается однозначность определения, один и тот же термин будет обозначать различные объекты или отношения.
К примеру, в математической литературе можно встретить следующую амонимию: термин «цифра» понимает как символ для записи числа и как соответствующее однозначное число.
4. Отсутствие лишних свойств: формулировка определения не должна содержать свойства, которые можно вывести из других свойств, указанных в этом же определении.
К примеру, в определении «Прямоугольник — ϶ᴛᴏ четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые», условие «противоположные стороны равны» вытекает из свойства «все углы прямые».
В случае если определение удовлетворяет перечисленным требованиям, то его называют корректным.
Рассмотрим виды определений понятий.
Определения делятся на явные и неявные.
Явные определения раскрывают существенные признаки понятия. К неявным определениям относятся определения понятия путем непосредственной демонстрации объектов, охватываемых этим понятием, или приведение контекста͵ в котором содержится то или иное понятие.
Неявные определения используются на начальном этапе обучения математике. К примеру, данные определения используются при изучении геометрического материала. С помощью непосредственной демонстрации соответствующих моделей педагог знакомит детей с понятиями «круг», «треугольник», «многоугольник», «прямой угол» и др. Такие неявные определения называются остенсивными (от лат. показывать).
Отношения «больше», «меньше», «равно» в ДОУ и начальной школе определяются с помощью приведения контекста «равно — значит столько же». Такие неявные определения называются контекстуальными. Контекстуальное определение позволяет выяснить содержание определения незнакомого слова через контекст, не прибегая к словарю для перевода или толковому словарю.
В дальнейшем по мере накопления запаса знаний происходит накопление понятий, развивается язык и способность к обобщению. Все это дает возможность определять неизвестные понятия через известные. Таким образом появляются явные определения.
В явных определениях даны определяемое понятие и определяющее, объемы которых равны.
Рассмотрим некоторые способы явных определений.
1. Определение понятий через ближайший род и видовое отличие. Этот способ является наиболее распространенным.
К примеру, «Треугольник – многоугольник с тремя сторонами».
Признак, указывающий на тот круг предметов, из числа которых нужно выделить определяемое множество предметов, принято называть родовым признаком или родом (многоугольник).
Признаки, при помощи которых выделяется определяемое множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, принято называть видовым отличием (три стороны).
Определение через ближайший род и видовое отличие включает в себя два приема:
1. Подведение определяемого понятия под более широкое по объему родовое понятие. Обычно это такое родовое понятие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ содержит большее количество общих признаков с определяемым понятием.
К примеру, Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.
2. Указание видового отличия, ᴛ.ᴇ. признака, отличающего определяемый предмет от других видов, входящих в данный род (признака, присущего только видовому понятию).
2. Генетическое определение понятий.
Генетические или конструктивные определения понятий являются частным случаем определений через род и видовое отличие. В таких определениях видовое отличие указывает на происхождение предмета или на способ его образования.
К примеру, конус — ϶ᴛᴏ геометрическое тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
3. Аксиоматическое определение понятий.
В случае если какое-либо понятие вводится с помощью списка аксиом, описывающих свойства этого понятия, то такое определение принято называть аксиоматическим. Такие определения чаще всего используются для описания неопределяемых понятий — прямая, точка, плоскость и др.
Отношения между понятиями
Предметы мира находятся друг с другом во взаимосвязи и взаимообусловленности. По этой причине и понятия, отражающие предметы мира, также находятся в определенных отношениях.
Далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков, называются несравнимыми (к примеру, «камень» и «нитка»; «романс» и «кирпич»), остальные понятия называются сравнимыми.
Сравнимые понятия делятся по объему на совместимые (объемы этих понятий совпадают полностью или частично) и несовместимые (объемы которых не совпадают ни в одном элементе).
Существует три вида отношений совместимости: равнозначность (тождество), пересечение, подчинение.
Отношения между понятиями изображаются с помощью кругов Эйлера, где каждый круг обозначает объем понятия (рис. 3).
Равнозначными(или тождественными) называются понятия, которые различаются по своему содержанию, но объемы которых совпадают. Примеры равнозначных понятий: 1) «река Волга» и «самая длинная река в Европе»; 2) «автор рассказа «Человек в футляре» и «автор комедии «Вишневый сад»; 3) «равносторонний прямоугольник», «квадрат» и «прямоугольный ромб». Объемы тождественных понятий изображаются кругами, полностью совпадающими.
Понятия, объемы которых частично совпадают, ᴛ.ᴇ. содержат общие элементы, находятся в отношении пересечения. Примерами их являются следующие пары: «ребенок» и «танцор»; «спортсмен» и «студент». Οʜᴎ изображаются пересекающимися кругами. В закрашенной части двух кругов мыслятся студенты, являющиеся спортсменами, или (что одно и то же) спортсмены, являющиеся студентами, в левой части круга А мыслятся студенты, не являющиеся спортсменами. В правой части круга В мыслятся спортсмены, которые не являются студентами.
Отношение подчиненияхарактеризуется тем, что объем одного понятия целиком включается (входит) в объем другого понятия, но не исчерпывает его. Это отношение вида и рода; А — подчиняющее понятие («млекопитающее»), В — подчиненное понятие («кошка»).
Существует три вида отношений несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие.
Соподчинение— это отношение между объемами двух или нескольких понятий, исключающих друг друга, но принадлежащих некоторому, более общему родовому понятию (к примеру, «ель» и «береза» принадлежат объему понятия «дерево»). Οʜᴎ изображаются отдельными неперекрещивающимися кругами внутри более обширного круга. Это виды одного и того же рода.
Рис. 3. Отношения между понятиями
В отношении противоположностинаходятся такие два понятия, которые являются видами одного и того же рода, и притом одно из них содержит некоторые признаки, а другое — признаки, несовместимые с ними (ᴛ.ᴇ. противоположные признаки). Такие понятия называются противоположными. Объемы двух противоположных понятий составляют в своей сумме лишь часть объема общего для них родового понятия, видами которого они являются и которому соподчинены. Слова, выражающие противоположные понятия, являются антонимами. Примеры противоположных понятий: «храбрость» — «трусость»; «белая краска» — «черная краска». Объемы последних двух понятий разделены объемом некоторого третьего понятия, куда, к примеру, входит краска другого цвета (не белая и не черная, а к примеру, зеленая).
В отношении противоречиянаходятся такие два понятия, которые являются видами одного и того же рода, и при этом одно понятие указывает на некоторые признаки, а другое эти признаки отрицает, исключает, не заменяя их никакими другими признаками. В случае если одно понятие обозначить А (к примеру, «четные числа»), то другое понятие, находящееся с ним в отношении противоречия, следует обозначить не-А (т. е. «нечетные числа»). Круг Эйлера, выражающий объем таких понятий, делится на две части (А и не-А) и между ними не существует третьего понятия. К примеру, бумага может быть либо белой, либо небелой; человек бывает честным или нечестным; животное — млекопитающим или немлекопитающим и т. д. Понятие А является положительным, а понятие не-А — отрицательным. Понятия А и не-А также являются антонимами.
Операции над понятиями
Операции над понятиями – логические действия, вследствие которых создаются новые понятия.
К операциям над понятиями относят: отрицание, сложение, вычитание, умножение, обобщение, ограничение.
Наиболее простой операцией над понятиями является отрицание. Она проводится путем простого прибавления к исходному понятию частицы «не». Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, утвердительное понятие преобразуется в отрицательное. В случае если мы будем еще раз проводить отрицание, то увидим, что отрицание отрицательного понятия дает положительное. Отрицание отрицательного понятия «не-умный» — «не-не-умный» соответствует понятию «умный». Операция сложенияпредставляет собой объединение объемов двух и более понятий, даже если они и не совпадают между собой. Суммой понятий А и В принято называть такое понятие, объем которого равен объединению объемов данных понятий, а название его получается путем соединения союзом «или» названий понятий А и В или указания равнозначного ему понятия. Объединив объемы понятий «девочки» и «мальчики» получаем некоторую область, отражающую признаки того и другого в общем понятии «дети».Операция умножения заключается в отыскании области, которая обладает свойствами как одного, так и другого понятия. Произведением понятий А и В принято называть новое понятие, объем которого равен пересечению объемов понятий А и В. Умножение понятий «мальчик» и «спортсмен» выявляет область мальчиков, являющихся спортсменами, и наоборот.
Обобщение— логическая операция перехода от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом. Другими словами, логическая операция перехода от видового понятия к родовому посредством сокращения содержания исходного понятия.
Пример: В случае если из содержания понятия «Педагогический университет» исключить видовой признак «педагогический», то получим родовое понятие «университет», дальнейшим обобщением будет «высшее учебное заведение». Объемы понятий «Педагогический университет» (А), «Университет» (В), «Высшее учебное заведение» (С) отмечены на кругах Эйлера-Венна.
Ограничение — логическая операция (обратная обобщению) перехода от понятия с большим объемом к понятию с меньшимобъемом. Другими словами это есть переход от родовых понятий к видовым путем прибавления к содержанию родового понятия видообразующего признака. Пример: В случае если в вышеприведенном примере взять за исходное понятие «Высшее учебное заведение», то понятие «Университет» можно рассматривать как его ограничение, а понятие «Педагогический университет» будет ограничением последнего. Из данного примера видно, что при выполнении операции обобщения понятий полученное новое понятие имеет меньшее число существенных признаков и больший объем по сравнению с данным. А при выполнении ограничения понятий полученное новое понятие имеет большее число существенных признаков и меньший объем по сравнению с данным. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, операции обобщения и ограничения можно осуществлять посредством модификации содержания понятия, опираясь при этом на закон обратного отношения между содержаниями и объемами понятий: чтобы обобщить понятие, крайне важно перейти к менее информативному, а чтобы ограничить — к более информативному понятию.
Задания для самостоятельной работы
1. Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия: 1) часть речи; 2) геометрическая фигура; 3) мебель; 4) дерево; 5) цветок.
2. Назовите несколько свойств, входящих в содержание понятия: 1) трапеция; 2) существительное; 3) студент; 4) стол; 5) хвойное дерево.
3. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: а) многоугольник и треугольник; б) угол и острый угол; в) луч и прямая; г) ромб и квадрат; д) круг и окружность?
4. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий а, b и с, если:
а) а — «четырехугольник»,
b — «трапеция»,
с — «прямоугольник»;
б) а — «натуральное число, кратное 3»;
b — «натуральное число, кратное 4»;
с — «натуральное число»
в) а — «треугольник»;
b — «равнобедренный треугольник»;
с — «равносторонний треугольник».
5. В каких отношениях находятся понятия: 1) трапеция и треугольник; 2) глагол и часть речи; 3) луч и прямая; 4) стол и тарелка; 5) однозначные числа и нечетные числа.
6. Приведите примеры понятий, отношения между которыми бывают изображены с помощью кругов Эйлера, приведенных на рисунках.
7. Равносильны ли понятия «правильный четырехугольник» и «ромб», «равноугольный четырехугольник» и «квадрат»?
8. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:
а) Параллелограммом принято называть четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
б) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника принято называть его средней линией.
9. Для каждого из следующих понятий укажите родовое понятие: 1) лиственное дерево; 2) биссектриса угла; 3) квадрат; 4) глагол.
10. Для каждого из следующих понятий укажите видовое понятие: 1) животное; 2) многоугольник; 3) часть речи; 4) параллелограмм.
11. Дайте определение понятий: а) параллелограмм; б) ромб; в) многоугольник; г) треугольник; д) равносторонний треугольник. Выделите в каждом определении родовое понятие и видовое отличие. Определите, в каком отношении находятся содержания понятий «треугольник» и «равносторонний треугольник». Определите, в каком отношении находятся объемы понятий «многоугольник» и «треугольник».
12. Укажите ошибки в следующих определениях: 1) прямоугольник — ϶ᴛᴏ когда все углы прямые; 2) отрезок – прямая, ограниченная с двух сторон; 3) параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны; 4) простое число — ϶ᴛᴏ когда оно имеет только два натуральных делителя.

Читайте также

— Вопрос 1. Виды планов и их структура, порядок составления и выполнения.
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Подполковник Б.Каиров Начальник цикла ВСПР «___ » _____________201 г.по МЕТОДИКЕ ВОСПИТАТЕЛЬНОЙ И СОЦИАЛЬНО-ПРАВОВОЙ РАБОТЫдля студентов, обучающихся по специальности «Организация воспитательной и социально-правовой работы в мотострелковых. .. [читать подробенее]

— Общая характеристика источников древнерусского права. Основные редакции Русской Правды и их структура.
Источники права: 1. Правовой обычай. 2. Нормативно-правовые акты. 3. Судебная практика. Отношение государства к обычаям племенного строя было различным: 1. Некоторые обычаи казались государству вредными и опасными, и оно старалось их ликвидировать. 2. Часть обычаев… [читать подробенее]

— Виды обеспечений АСОИУ и их структура
Качество и эффективность функционирования АСОИУ во многом определяются тем, насколько система обеспечена необходимыми средствами для реализации возложенных на АСОИУ задач управления. Эти средства называют видами (компонентами) обеспечения АСОИУ. Различают следующие… [читать подробенее]

— Общая характеристика функциональных состояний и их структура
Тема 8. Психофизиологические функциональные состояния Понятие «функциональное состояние» возникло в физиологии для характеристики мобилизационных возможностей и энергетических затрат работающего организма. К функциональным состояниям можно отнести целый ряд… [читать подробенее]

— НАЗНАЧЕНИЕ ПАКЕТОВ И ИХ СТРУКТУРА
Информация в локальных сетях, как правило, передается отдельными порциями, кусками, называемыми в различных источниках пакетами, кадрами или блоками. Использование пакетов связано с тем, что в сети, как правило, одновременно может происходить несколько сеансов связи (во… [читать подробенее]

— Система архивов FTP и их структура.
Информационная система Gopher. Информационная система Gopher была разработана для реализации распределенной базы документов, которые хранятся на машинах сети и предоставляются пользователю в виде единой иерархической файловой системы. Модель файловой системы… [читать подробенее]

— Орнамент. Виды орнамента и их структура. Цвет в орнаменте.
Орнамент (лат.) — украшение, узор, построенный на ритмическом чередовании и организованном расположении элементов. Ритм в природе – повторяющиеся действия или явления (дыхание, пульс, ходьба; в природе – смена дня и ночи, времен года, приливы и отливы и т. д.). Ритм в… [читать подробенее]

— Хранение данных. Файлы и их структура
При хранении данных решается два вопроса: как сохранить данные в наиболее компактном виде и как обеспечить к ним наиболее удобный и быстрый доступ. Для обеспечения доступа необходимо, чтобы данные имели упорядоченность. Возникает дополнительная составляющая данных – её… [читать подробенее]

— И ИХ СТРУКТУРА
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ Понятие. Виды понятий Понятие – это форма мышления, в которой отражаются общие и существенные признаки предмета. В языке понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, без которых невозможно ни формирование понятий, ни… [читать подробенее]

— И ИХ СТРУКТУРА
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ Понятие. Виды понятий Понятие – это форма мышления, в которой отражаются общие и существенные признаки предмета. В языке понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, без которых невозможно ни формирование понятий, ни. .. [читать подробенее]

Open Library — открытая библиотека учебной информации. Методика изучения математических понятий Что является чем математические понятия
Лекция №2
по математике
Тема: «Математические понятия»
Математические понятия
Определение понятий
Требования к определению понятий
Некоторые виды определений
Понятия, которые изучаются в начальном курсе математику, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.
Как же изучить такое обилие самых разных понятий?
Прежде всего, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.
В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.
Составить понятие об объекте — это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».
Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».
Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.
К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функций, т.е. абстракцией от абстракций.
Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.
2. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.
Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата ABCD свойство «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона AD окажется расположенной по-другому (рис. 26).
Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства.
Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».
Вообще объем понятия — это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.
Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.
Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».
Объем понятия — это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т. д.
Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).
Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.
Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.
Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с,…, z.
Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.
Если А В (А ≠ В), то говорят, что понятиеа — видовое по отношению к понятию b , а понятие b — родовое по отношению к понятию а .
Например, если а — «прямоугольник», b — «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А В и А ≠ В), поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» — видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» — родовое по отношению к понятию «прямоугольник».
Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны.
Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник», так как их объемы совпадают.
Если множества А и В не связаны отношением включения, то говорят, что понятия а и b не находятся в отношении рода и вида и не тождественны. Например, не связаны такими отношениями понятия «треугольник» и «прямоугольник».
Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» — родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».
Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».
В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.
Так как объем понятия — множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.
Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и Ь, если:
1) а — «прямоугольник», b — «ромб»;
2) а — «многоугольник», b — «параллелограмм»;
3) а — «прямая», b — «отрезок».
В случае 1) объемы понятий пересекаются, но не одно множество не является подмножеством другого (рис. 27).
Следовательно, можно утверждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.
В случае 2) объемы данных понятии находятся в отношении включения, но не совпадают — всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот (рис. 28). Следовательно, можно утверждать, что понятие «параллелограмм» — видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» — родовое по отношению к понятию «параллелограмм».
В случае 3) объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком (рис. 29).
Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.
О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок- часть прямой, а не ее вид. И если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого. Например, отрезок не обладает таким свойством прямой, как ее бесконечность.
Курс математики 5-6 классов представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.
Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале.
В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 5-6 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане – учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.
Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла.
Достаточно новой в курсе 5-6 классов является содержательная линия «Анализ данных », которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене – формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления и анализа информации, обучение решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий.
Однако данная линия присутствует не во всех современных школьных учебниках для 5-6 классов. Особо подробно и ярко представлена данная линия в учебниках .
Алгебраический материал, включённый в курс математики 5-6 классов, является основой для систематического изучения алгебры в старших классах. Можно отметить следующие особенности изучения этого алгебраического материала:
1. Изучение алгебраического материала основано на научной основе с учётом возрастных особенностей и возможностей учащихся.
2. Формирование алгебраических понятий и выработка соответствующих умений и навыков составляют единый процесс, построенный на детально разработанной системе упражнений.
3. Система упражнений служит надёжным средством для овладения современным математическим языком, так как этот язык широко применяется при формулировке различных заданий. Например, «Докажите, что данное неравенство верно: 29 2
4. Совершенствование вычислительных навыков органически связано с изучением алгебраического материала.
В 5-6 классах делается акцент на развитие вычислительной культуры, в частности, на обучение эвристическим приёмам прикидки и оценки результатов действий, проверки их на правдоподобие. Повышено внимание к арифметическим приёмам решения текстовых задач как средству обучения способам рассуждения, выбору стратегии решения, анализу ситуации, сопоставлению данных и, в конечном итоге, развитию мышления учащихся.
Изучаемые в это время тождественные преобразования алгебраических выражений с переменными широко применяются для функциональной пропедевтики. Значительное место в курсе математики средней школы отводится материалу функционального характера. Определение функции вводится в 7 классе, а функциональная пропедевтика начинается с 5 класса, где рассматривается понятие переменной, выражения с переменой, формулы, задающей зависимости между некоторыми величинами.
Использование буквенных обозначений позволяет ставить вопрос о построении формул. Связи между величинами задаются также табличным и графическим способами, и дети тренируются в переходе от одной формы задания зависимости к другой. Систематическая работа с конкретными зависимостями обеспечивает готовность детей к изучению функций в старших классах.
Методы . Курс математики 5-6 классов построен индуктивно. Содержание учебного материала заставляет использовать методы, способствующие формированию как продуктивной, так и репродуктивной деятельности.
В 5-6 классах наиболее часто применимы следующие методы обучения:
· Объяснительно-иллюстративный. Целый ряд понятий математики 5-6 классов может быть введён данным методом. С помощью его может быть изучен материал, который служит логическим продолжением и расширением основного материала. Этим же методом можно изучать конкретные алгоритмы. Также изучаются объяснительно-иллюстративным методом сведения, которыми можно воспользоваться как готовыми (сформированными в начальной школе) знаниями, но получающими новое применение. Цель изучения материала объяснительно-иллюстративным методом – довести знание правил, законов, алгоритмов и т.п. до уровня навыка.
· Частично-поисковый и проблемный методы. Основные понятия курса должны быть изучены методами, которые бы обеспечивали творческий (продуктивный) характер деятельности учащихся. К числу таких методов, вполне применимых в 5-6 классах, можно отнести частично-поисковый. Этим методом могут быть изучены понятия: переменная, верное и неверное неравенство и т.п.
Урок . Особенности предмета математики 5-6 классов (почти на каждом уроке необходимо изучать новые факты по предмету), требование программы, темп изучения материала привели к тому, что наиболее распространенный тип урока в этих классах – комбинированный.
Перечислим ещё некоторые особенности обучения математики в 5-6 классах:
· На первых порах изучения математики в 5 классе учащиеся повторяют известные им из 1-4 классов понятия, но повторение это ведётся на новом уровне, с привлечением математической терминологии и символики. Делается это для того, чтобы заложить основы математического языка, основы математической культуры.
· В курсе 5-6 классов часто прибегают при изложении арифметики и начал алгебры к геометрическим определениям с помощью координатной прямой или луча, что позволяет сделать обучение более наглядным, а значит, более доступным и понятным для учащихся. Подобным образом, например, изучается сравнение обыкновенных и десятичных дробей.
· Одной из особенностей данного курса является линейно-концентрическое изложение материала, в соответствии с которым учащиеся неоднократно возвращаются ко всем принципиальным вопросам, поднимаясь в каждом следующем проходе на новый уровень.
Пример, при изучении темы «Десятичные дроби и проценты» происходит переход от множества целых неотрицательных чисел к множеству рациональных неотрицательных; при этом обучение строится с опорой на известные учащимся алгоритмы действий с натуральными числами, постоянно используются знания и умения, полученные раннее.
· Первая трудность, с которой встречаются пятиклассники, — работа с объяснительным текстом учебника. Причина этого – недостаточная техника чтения у некоторых детей, малый словарный запас, а также и то, что в учебниках начальной школы такие объёмные тексты не встречались.
На протяжении всего времени обучения в 5-х и 6-х классах учителю математики необходимо систематически развивать у детей умение читать, понимать текст, работать с ним. Эта работа служит необходимой базой для успешного изучения систематических курсов алгебры и геометрии в следующих классах.
· Изучение математики требует активных умственных усилий. Очень трудно поддерживать произвольное внимание учащихся на протяжении всего урока. Напряжённая мыслительная деятельность, большое количество однотипных и в общем-то рутинных вычислений или алгебраических преобразований быстро утомляет школьников. Существует универсальный способ поддерживания рабочего тонуса учащихся: переключение с одного вида учебной деятельности на другой. Но можно воспользоваться и советом Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Данный совет особенно актуален при обучении математике в 5-6 классах. Впрочем, это тоже одна из разновидностей переключения.
Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.
Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними».
Среди умений, которым учит математика и которым всем вам нужно учиться, большое значение имеет умение классифицировать понятия.
Дело в том, что математика, как и многие другие науки, изучает не единичные предметы или явления, а массовые . Так, когда вы изучаете треугольники, то изучаете свойства любых треугольников, а их бесконечное множество. Вообще объем любого математического понятия, как правило, бесконечен.
Для того чтобы различать объекты математических понятий, изучить их свойства, обычно эти понятия делят на виды, классы. Ведь, кроме общих свойств, любое математическое понятие обладает еще многими важными свойствами, присущими не всем объектам этого понятия, а лишь объектам некоторого вида. Так, прямоугольные треугольники, кроме общих свойств любых треугольников, обладают многими свойствами, весьма важными для практики, например теоремой Пифагора, соотношениями между углами и сторонами и т. д.
В процессе многовекового изучения математических понятий, в процессе их многочисленных применений в жизни, в других науках из их объема были выделены какие-то особые виды, имеющие наиболее интересные свойства, которые чаще всего встречаются и применяются в практике. Так, различных четырехугольников существует бесконечно много, но в практике, в технике наибольшее применение имеют лишь определенные их виды: квадраты, прямоугольники, параллелограммы, ромбы, трапеции.
Деление объема некоторого понятия на части и есть классификация этого понятия. Более точно под классификацией понимают распределение объектов какого-либо понятия на взаимосвязанные классы (виды, типы) по наиболее существенным признакам (свойствам). Признак (свойство), по которому про-изводится классификация (деление) понятия на виды (классы), называется основанием классификации.
Правильно построенная классификация понятия отражает наиболее существенные свойства и связи между объектами понятия, помогает лучше ориентироваться в множестве этих объектов, дает возможность устанавливать такие свойства этих объектов, которые наиболее важны для применения этого понятия в других науках и житейской практике.
Классификация понятия производится по одному или нескольким наиболее существенным основаниям.
Так, треугольники можно классифицировать по величине углов. Получаем такие виды: остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол прямой, остальные острые), тупо-угольные (один угол тупой, остальные острые). Если же за основание деления треугольников принять соотношения между сторонами, то получаем такие виды: разносторонние, равнобедренные и правильные (равносторонние).
Сложнее, когда приходится классифицировать понятие по нескольким основаниям. Так, если выпуклые четырехугольники классифицировать по параллельности сторон, то по существу нам нужно разделить все выпуклые четырехугольники одновременно по двум признакам: 1) одна пара противоположных сторон параллельна или нет; 2) вторая пара противоположных сторон параллельна или нет. Получаем в результате три вида выпуклых четырехугольников: 1) четырехугольники с не параллельными сторонами; 2) четырехугольники с одной парой параллельных сторон — трапеции; 3) четырехугольники с двумя парами параллельных сторон — параллелограммы.
Весьма часто производят классификацию понятия поэтапно: сначала по одному основанию, затем некоторые виды делят на подвиды по другому основанию и т. д. Примером может служить классификация четырехугольников. На первом этапе их делят по признаку выпуклости. Затем выпуклые четырехугольники делят по признаку параллельности противоположных, сторон. В свою очередь параллелограммы делят по признаку наличия прямых углов и т. д.
При проведении классификации необходимо соблюдать определенные правила. Укажем главные из них.
В качестве основания классификации можно брать лишь общий признак всех объектов данного понятия. Так, например, нельзя в качестве основания классификации алгебраических выражений брать признак расположения членов по степеням какой-то переменной. Этот признак не является общим для всех алгебраических выражений, например для дробных выражений или одночленов он не имеет смысла. Этим признаком обладают лишь многочлены, поэтому многочлены можно классифицировать по наивысшей степени главной переменной.
Основанием для классификации надо брать существенные свойства (признаки) понятий. Рассмотрим опять понятие алгебраического выражения. Одним из свойств этого понятия является то, что переменные, входящие в алгебраическое выражение, обозначаются какими-то буквами. Это свойство является общим, но не является существенным, ибо от того, какой буквой обозначена та или иная переменная, характер выражения не зависит. Так, алгебраические выражения х+у и а+b — это по сути дела одно и то же выражение. Поэтому классифицировать выражения по признаку обозначения переменных буквами не следует. Другое дело, если за основание классификации алгебраических выражений взять признак вида действий, с помощью которых переменные соединены, т. е. действия, которые совершаются над переменными. Этот общий признак весьма существенный, и классификация по этому признаку будет правильной и полезной.
На каждом этапе классификации можно применять лишь одно какое-то основание. Нельзя одновременно классифицировать понятие по двум различным признакам. Например, нельзя классифицировать треугольники сразу и по величине и по соотношению между сторонами, ибо в результате мы получим классы треугольников, которые имеют общие элементы (например, остроугольные и равнобедренные или тупоугольные и равнобедренные и т. д.). Здесь нарушено следующее требование к классификации: в результате классификации на каждом этапе получаемые классы (виды) не должны пересекаться.
В то же время классификация по какому-либо основанию должна быть исчерпывающей и каждый объект понятия должен попасть в результате классификации в один и только один класс.
Поэтому разделение всех целых чисел на положительные и отрицательные неверно, ибо целое число нуль при этом не попало ни в один из классов. Надо говорить так: целые числа делятся на три класса — положительные, отрицательные и число нуль.
Часто при классификации понятий явно выделяются лишь некоторые классы, а остальные только подразумеваются. Так, например, при изучении алгебраических выражений обычно выделяют лишь такие их виды: одночлены, многочлены, дробные выражения, иррациональные. Но эти виды не исчерпывают всех видов алгебраических выражений, поэтому такая классификация является неполной.
Полная правильная классификация алгебраических выражений может быть произведена следующим образом.
На первой ступени классификации алгебраических выражений они делятся на два класса: рациональные и нерациональные. На второй ступени рациональные выражения делятся на целые и дробные. На третьей ступени целые выражения делятся на одночлены, многочлены и сложные целые выражения.
Эту классификацию можно представить в виде следующей
Задание 7
7.1. Почему нельзя классифицировать рациональные числа по их четности?
7.2. Установите, правильно ли произведено деление понятия:
а) Величины могут быть равными и неравными.
б) Функции бывают возрастающие и убывающие.
в) Равнобедренные треугольники могут быть остроугольными, прямоугольными и тупоугольными.
г) Прямоугольники бывают квадраты и ромбы.
7.3. Произведите деление понятия «геометрическая фигура» по свойству занимать часть плоскости и приведите примеры каждого вида.
7.4. Постройте возможные схемы классификации рациональных чисел.
7.5. Постройте схему классификации следующих понятий:
а) четырехугольник;
б) два угла.
7.6. Проведите классификацию следующих понятий:
а) треугольник и окружность;
б) углы в окружности;
в) две окружности;
г) прямая и окружность;
д) квадратные уравнения;
е) система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Лекция 5. Математические понятия
1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями
2. Определение понятий. Определяемые и неопределяемые понятия.
3. Способы определения понятий.
4. Основные выводы
Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнения и др. Третью группу составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.
Чтобы изучать все разнообразие понятий, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.
В логике понятия рассматривают как форму мысли , отражающую объекты (предметы и явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово (термин) или группа слов.
Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».
Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».
Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.
К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира , математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функции, т.е. абстракцией от абстракций.
Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.
Среди свойств объекта различают существенные и несущественные . Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать . Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата АВСD свойство «сторона АВ горизонтальна».
Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».
Вообще, объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.
Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.
Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».
Объем понятия – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.
Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот . Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).
Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.
Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.
Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z.
Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.
Если А ⊂ В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.
Например, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А ⊂ В и А ≠ В), поэтому всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» — видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» — родовое по отношению к понятию «прямоугольник».
Если А = В, то говорят, что понятия А и В тождественны.
Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равнобедренный треугольник», так как их объемы совпадают.
Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями.
1. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» — родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».
2. Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди указанных можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».
3. В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.
Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.
Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:
1) а – «прямоугольник», b – «ромб»;
2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;
3) а – «прямая», b – «отрезок».
Отношения между множествами отображены на рисунке соответственно
2. Определение понятий . Определяемые и неопределяемые понятия.
Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.
Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:
а есть (по определению) b.
Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом ⇔, и тогда определение выглядит так:
Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b.
Определения, имеющие такую структуру, называются явными . Рассмотрим их подробнее.
Обратимся ко второй части определения «прямоугольник».
В нем можно выделить:
1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник».
2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.
Вообще видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия.
Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы:
Знак «+» используется как замена частица «и».
Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:
А = {х/ х ∈ С и Р(х)}.
Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем их.
1. Определение должно быть соразмерным . Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.
2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга . Это означает, что нельзя определять понятие через само себя.
3. Определение должно быть ясным . Требуется, например, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.
4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному . Так, квадрат можно определить как:
а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;
б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;
в) ромб, у которого есть прямой угол;
г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И тогда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.
Назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:
1. Назвать определяемое понятие (термин).
2. Указать ближайшее родовое понятие (по отношению к определяемому) понятие.
3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е сформулировать видовое отличие.
4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).
дипломная работа
Понятие — форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.
Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).
Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание — множество существенных признаков понятия. Объём — множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём — это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.
o должно проводится по одному признаку;
o классы должны быть не пересекающимися;
o объединение всех классов должно давать всё множество;
o классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).
Выделяют следующие виды классификации:
1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.
Пример. Понятие «треугольник».
2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.
Выделим цели обучения классификации:
1) развитие логического мышления;
2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии.
Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку.
Воспитание у дошкольника чувства гражданственности
Впервые слово «патриот» появилось в период Французской революции 1789 — 1793гг. Патриотами тогда себя называли себя борцы за народное дело, защитники республики в противовес изменникам, предателям родины из лагеря монархистов…
Деление понятий
Чтобы осмысленно оперировать понятиями, правильно их использовать в решении теоретических и практических задач необходимо уметь выявлять две основные логические характеристики: объем и содержание понятия…
Деление понятий
Классификация — распределение предметов по группам (классам), при котором каждый класс имеет свое постоянное место. Классификация является разновидностью деления понятия…
Исследование эффективности использования домашних заданий в процессе физического воспитания
Под самостоятельной деятельностью понимается совокупность действий, объединенных общей целью и выполняющих определенную общественную функцию (В.Н. Шаулин, 1986). В нашем случае, мы имеем дело с физкультурной деятельностью, то есть деятельностью…
Межпредметные связи в обучении
Межпредметные связи могут помочь школьникам понять окружающий мир, его свойства, основные явления и процессы, происходящие в нем и те закономерности, которым они подчиняются. Таким образом…
Методы и приемы обучения иностранному языку на старшем этапе
В последнее время очень актуальным становится обращение отечественных и зарубежных исследователей, таких как А.А. Щукин, И.П. Подласый, М.А. Данилов, И.П. Пидкасистый, И.Я. Лернер и др…
Организация проектной деятельности учащихся по средствам телекоммуникаций
Впервые употребил слово «проект» в 1908 году заведующий отделом воспитания сельхозшкол Д. Снезден в сельскохозяйственном обучении. С помощью проектов предлагалось связать работу школ с потребностями сельскохозяйственного производства…
Особенности логопедической работы по преодолению аграмматической дисграфии у учащихся общеобразовательной школы
Впервые на нарушения чтения и письма как на самостоятельную патологию речевой деятельности указал А. Куссмауль в 1877 г. Затем появилось много работ, в которых давались описания детей с различными нарушениями чтения и письма…
Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах
Определить объект — выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточными для отличия этого объекта от других. Результат этого действия фиксируется в определении…
В современных педагогических исследованиях, связанных с проблемами совершенствования функционирования педагогических систем, повышения эффективности образовательного процесса, одним из аспектов, вызывающих наибольший интерес…
Психолого-педагогические аспекты решения проблем межличностных отношений подростков
Каждый возраст хорош по-своему. И в то же время, каждый возраст имеет свои особенности и сложности. Не является исключением и подростковый возраст. Подростковый возраст — определенный отрезок жизни между детством и зрелостью…
Работа с одаренными детьми
28. Треугольник — пятиугольник геометрические фигуры Пары понятий можно произносить вслух, а можно предъявлять в виде карточек или напечатанными на отдельном листе. Отвечать дети могут устно или письменно. Задание 4…
Современные проблемы воспитания детей в семье и пути их решения
В Малом энциклопедическом словаре понятие семьи трактуется как «основанная на браке или кровном родстве малая группа, члены которой связаны общностью быта, взаимной помощью, моральной и правовой ответственностью» . М.И.Демков отмечает…
Формирование познавательных универсальных учебных действий на основе индивидуализации и дифференциации обучения химии в основной общеобразовательной школе
Как и любой социальный институт, общеобразовательная школа подвержена перманентной модернизации. В настоящий момент общественно-политический запрос к общеобразовательной школе заключается в таком построении процесса обучения…
Экспериментальное исследование чувства гражданственности у детей дошкольного возраста
Педагогу, начинающему заниматься проблемой формирования гражданской компетентности, прежде всего необходимо знание терминологии, ключевых понятий гражданского и патриотического образования…
Квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм
Четырехугольник просто означает «четыре стороны»
( четырехугольник, означает четыре, боковой, означает сторону).
Четырехугольник имеет четырех сторон, , 2-мерный (плоская форма), закрытый (линии соединяются) и имеет прямых сторон.
Попробуйте сами
(также см. Интерактивные четырехугольники)
Недвижимость
В четырехугольнике:
четыре стороны (края)
четыре вершины (углы)
внутренние углы, которые добавляют к 360 градусов :
Попробуйте нарисовать четырехугольник и измерить углы.Они должны добавить к 360 °
Виды четырехугольников
Есть специальные виды четырехугольника:
Некоторые типы также включены в определение других типов! Например, квадрат , ромб и прямоугольник также являются параллелограммами . Подробности смотрите ниже.
Давайте рассмотрим каждый вид по очереди:
Прямоугольник

маленькие квадратики в каждом углу означают «прямой угол»
Прямоугольник — это четырехсторонняя форма, каждый угол которой является прямым (90 °).
Также противоположных сторон параллельны и равной длины.
Площадь

маленькие квадратики в каждом углу означают «прямой угол»
У квадрата равные стороны (отмечены буквой «s»), и каждый угол представляет собой прямой угол (90 °)
Также противоположные стороны параллельны.
Квадрат также соответствует определению прямоугольника (все углы равны 90 °) и ромба (все стороны равной длины).
Ромб
Ромб — это четырехгранная форма, все стороны которой имеют одинаковую длину (обозначены буквой «s»).
Также противоположные стороны параллельны и противоположных углов равны.
Еще один интересный момент — диагонали (пунктирные линии) пересекаются посередине под прямым углом. Другими словами, они «рассекают» друг друга пополам под прямым углом.
Ромб иногда называют ромбом или ромбом .
Параллелограмм
У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также противоположные углы равны (углы «А» такие же, а углы «В» одинаковы).
ПРИМЕЧАНИЕ. Квадраты, прямоугольники и ромбы — это все Параллелограммы!
Пример:
Параллелограмм с:
все стороны равны и
угол «А» и «B» как прямые углы
— это квадрат !
Трапеция (UK: Trapezium)
Трапеция
Равнобедренная трапеция
Трапеция (в Великобритании называется трапецией) имеет пару параллельных противоположных сторон.
И трапеция (в Великобритании называется трапецией) — четырехугольник без параллельных сторон:
Трапеция Трапеция
В США: Пара параллельных сторон НЕТ параллельных сторон
В Великобритании: НЕТ параллельных сторон Пара параллельных сторон
(определения для США и Великобритании поменяны местами!)
Равнобедренная трапеция , как показано выше, имеет левую и правую стороны равной длины, которые соединяются с основанием под равными углами.
Воздушный змей
Эй, это похоже на воздушного змея (обычно).
Имеет две пары сторон:
Каждая пара состоит из двух соединяющихся сторон равной длины.
Также:
углы, где встречаются две пары равны.
диагонали, показанные выше пунктирными линиями, пересекаются в под прямым углом.
одна из диагоналей делит пополам (делит пополам) другую.
… вот и все специальные четырехугольники.
Неправильный четырехугольник
Единственный правильный четырехугольник (все стороны равны и все углы равны) — это квадрат. Итак, все остальные четырехугольники неправильные .
Схема «Генеалогическое древо»
Определения четырехугольника: , включая .
Пример: квадрат также является прямоугольником.
Итак, мы включаем квадрат в определение прямоугольника.
(Мы, , не говорим : «Наличие всех углов 90 ° делает его прямоугольником, кроме случаев, когда все стороны равны, тогда это квадрат».)
Это может показаться странным, поскольку в повседневной жизни мы думаем о квадрате как о , а не о как о прямоугольнике … но в математике это .
Используя приведенную ниже таблицу, мы можем ответить на такие вопросы, как:
Квадрат — это тип прямоугольника? (Да)
Прямоугольник — это разновидность воздушного змея? (Нет)
Сложные четырехугольники
О да! когда две стороны пересекаются, мы называем это «сложным» или «самопересекающимся» четырехугольником, например:
У них все еще есть 4 стороны, но две стороны пересекаются.
Многоугольник
Четырехугольник — это многоугольник. Фактически, это четырехсторонний многоугольник, точно так же, как треугольник — это трехсторонний многоугольник, пятиугольник — пятисторонний многоугольник и так далее.
Играйте с ними
Теперь, когда вы знаете различные типы, вы можете поиграть с интерактивными четырехугольниками.
Другие названия
Четырехугольник иногда называют:
a Quadrangle (« четыре угла »), поэтому звучит как «треугольник»
a Tetragon (« четыре многоугольника »), поэтому это звучит как «пятиугольник», «шестиугольник» и т. Д.
621 622 623 624 763 764, 2128, 2129, 3230, 3231
Какие бывают четырехугольники?
Четырехугольники — многоугольники. Они являются частью плоскости, заключенной с четырех сторон (четверка означает четыре, а боковая означает сторону). У всех четырехугольников ровно четыре стороны и четыре угла. Их можно разделить на определенные группы в зависимости от длины их сторон или меры их углов.
Четырехугольники включают квадрат, прямоугольник, трапецию, ромб, параллелограмм и воздушный змей (также называемый тангенциальным четырехугольником).{\ circ} $.
Диагонали — это линии, соединяющие противоположные углы.
Деление четырехугольников по диагоналям перпендикулярности и параллельности сторон:
Чешуйчатый четырехугольник
Первая группа четырехугольников — это разносторонний четырехугольник . Четырехугольник Scalene — это четырехугольник, не имеющий особых свойств. Стороны и углы имеют разную длину и размер.

Трапеции
Четырехугольники с одной парой параллельных сторон называются трапециями .Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — ножками .
Равнобедренная трапеция
Трапеции одинаковой длины называются равнобедренными трапециями .
Диагонали равнобедренной трапеции совпадают.
Высота или Высота трапеции — это длина линии, перпендикулярной основанию и проходящей через противоположную вершину.{\ circ} $.
Другими словами, углы на одной стороне ножки трапеции являются дополнительными.
Доказательство.
Разложите отрезок $ \ overline {AD} $ по вершинам $ A $ и $ D $. На прямой $ AD $ обозначим точку $ E $. Поскольку прямая $ AD $ является поперечником параллельных прямых $ AB $ и $ CD $, то $ \ angle {CDE} = \ alpha $ допустимо. {\ circ} $.{\ circ} $.
Параллелограмм
Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны.
Высота или Высота параллелограмма в метке $ h $ — это отрезок прямой, соединяющий вершину с противоположной стороной и перпендикулярный этой стороне.
Помимо того, что параллелограммы являются четырехугольниками, существуют определенные формы, которые могут быть как параллелограммами, так и четырехугольниками.{\ circ}. $$
Это следует за $ \ beta = \ delta $ и $ \ alpha = \ gamma $.
Теорема
Следующие утверждения эквивалентны друг другу:
1) Четырехугольник $ ABCD $ параллелограмм
2) У четырехугольника $ ABCD $ две противоположные стороны, которые равны и параллельны
3) Каждые две противоположные стороны четырехугольника $ ABCD $ равны
4) Диагонали четырехугольника $ ABCD $ делят друг друга пополам
5) Обе пары противоположных углов четырехугольника $ ABCD $ равны
Каждое из приведенных выше утверждений может быть альтернативным определением параллелограмма.Остальные утверждения нам необходимо доказать.
Доказательство.
$ 1) \ Rightarrow 2)
$
Пусть $ ABCD $ — параллелограмм. Тогда $ \ overline {AB} \ | \ overline {CD} $ и $ \ overline {AD} \ | \ overline {BC} $.
Поскольку прямая $ AC $ представляет собой траверс параллельных прямых $ AB $ и $ CD $, то $ \ angle {ACD} = \ angle {CAB} $. Прямая $ AC $ также является траверсом параллельных прямых $ BC $ и $ AD $, то есть $ \ angle {ACB} = \ angle {DAC} $.
$ \ overline {AC} $ также является общей стороной треугольников $ ABC $ и $ CDA $.По теореме A-S-A о конгруэнтности треугольников треугольники $ ABC $ и $ CDA $ конгруэнтны. Отсюда следует, что $ | AB | = | CD] $ и $ | AD | = | BC | $.
$ 2) \ Rightarrow 3) $
Пусть в четырехугольнике $ ABCD $ будет $ AB \ | CD $ и $ | AB | = | CD | $.
Так как $ AC $ — это траверс параллельных прямых $ AB $ и $ CD $, то есть $ \ angle {ACD} = \ angle {CAB} $. Сторона $ \ overline {AC} $ — это общая сторона треугольников $ ABC $ и $ CDB $. По теореме S-A-S о конгруэнтности треугольников треугольники $ ABC $ и $ CDB $ конгруэнтны.Отсюда следует, что $ | BC | = | CD |. $
$ 3) \ Rightarrow 4) $
Пусть в четырехугольнике $ ABCD $ $ | AB | = | CD | $ и $ | BC | = | CD | $, и пусть точка $ S $ является пересечением диагоналей $ \ overline {AC} $ и $ \ overline {BD} $.
Сначала рассмотрим треугольники $ ABC $ и $ CDB $. По теореме S-S-S о конгруэнтности треугольников треугольники $ ABC $ и $ CDB $ конгруэнтны. Отсюда следует, что $ \ angle {ACB} = \ angle {CAD} $.
Углы $ ASD $ и $ BSC $ — вертикальные углы.Если теперь рассмотреть треугольники $ ASD $ и $ BSD $, то получится, что $ \ angle {ADS} = \ angle {CBS} $. Поскольку $ | BC | = | AD | $, треугольники $ ASD $ и $ BSC $ конгруэнтны по теореме A-S-A о треугольниках сравнения. Отсюда следует, что $ | AS | = | SC | $ и $ | BS | = | SD | $, что означает, что точка $ S $ является средней точкой $ \ overline {AC} $ и $ \ overline {BD} $.
$ 4) \ Rightarrow 5) $
Пусть в четырехугольнике $ ABCD $ точка $ S $ будет серединой диагоналей $ \ overline {AC} $ и $ \ overline {AD} $: $ | AS | = | CS | $ и $ | BS | = | DS | $.
Рассмотрим треугольники $ BCS $ и $ ADS $. По теореме S-A-S они конгруэнтны ($ | CS | = | AS | $ — $ \ angle {BSC} = \ angle {ASB} $ (вертикальные углы) — $ | BS | = | DS | $). Отсюда следует, что $ \ angle {BCS} = \ angle {DAS} $ и $ \ angle {CBS} = \ angle {ADS} $.
Треугольники $ ABS $ и $ CDS $ также совпадают по теореме SAS ($ | AS | = | CS | $ — $ \ angle {ASB} = \ angle {CSD} $ (вертикальные углы) — $ | BS | = | ДС | $). Отсюда следует, что $ \ angle {BAS} = \ angle {DCS} $ и $ \ angle {ABS} = \ angle {CDS} $.
Отсюда следует:
$$ \ angle {DAB} = \ angle {DAS} + \ angle {BAS} = \ angle {BCS} + \ angle {DCS} = \ angle {BCD} $$
и
$$ \ angle {ABC} = \ angle {ABS} + \ angle {CBS} = \ angle {CDS} + \ angle {ADS} = \ angle {ADC} $$.{\ circ} $, что тоже противоречит.
Отсюда следует, что $ AB \ | AC $.
Аналогично доказывается, что $ BC \ | AD $.
Ромб
Ромб — параллелограмм, у которого есть по крайней мере одна пара смежных сторон равной длины.
Противоположные углы имеют одинаковую меру: $ \ alpha = \ gamma $, $ \ beta = \ delta $, а прилегающие углы являются дополнительными.
Диагонали ромба совпадают и перпендикулярны.
Тангенциальный четырехугольник
Воздушный змей представляет собой четырехугольник, который характеризует две пары сторон равной длины, которые примыкают друг к другу.Диагонали воздушного змея перпендикулярны, и по крайней мере одна диагональ является линией симметрии. Воздушный змей — это также касательный четырехугольник.
Прямоугольник
Прямоугольник представляет собой параллелограмм, у которого по крайней мере один внутренний угол является прямым.
Диагонали в прямоугольниках совпадают.
Квадрат
Квадрат — это прямоугольник, все стороны которого равны.
Диагонали в квадрате равны и перпендикулярны.2 $
Площадь четырехугольника
Площадь квадрата равна длине стороны квадрата.
Далее идет прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон.
Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту.
Это верно, потому что, как показано на рисунке: если мы переведем высоту $ \ overline {BE} $ в точку $ A $ и продолжим сторону $ ED $ над вершиной $ D $, мы получим треугольник $ E’DA $, который конгруэнтно треугольнику $ ECB $.Если мы «переведем» треугольник $ ECB $ в треугольник $ E’DA $, мы получим прямоугольник с одной стороной $ a $ и другой стороной $ h $.
То же, что и для ромба, работает на параллелограмме , площадь параллелограмма — это произведение его одной стороны и высоты на этой стороне.
Площадь трапеции равна половине произведения суммы ее оснований и высоты.
Эта формула является результатом деления трапеции на два треугольника $ AED $ и $ BCF $ и прямоугольник $ EFCD $.
Теперь мы можем записать нашу площадь как сумму меньших областей: $ A _ {(ABCD)} = A _ {(AED)} + A _ {(FBC)} + A _ {(EFCD)} $.
Мы знаем, что $ A _ {(EFCD)} = h \ cdot c $.
Теперь нам нужно найти $ A _ {(AED)} $ и $ A _ {(FBC)} $. Если перевести сторону $ b $ рядом с $ AED $, мы получим треугольник $ AHD $.
Высота треугольника $ AHD $ равна высоте трапеции $ ABCD $.
И сторона, на которой установлена эта высота, равна $ a — c $. Это приводит к выводу, что:
$ \ A_ {(AHD)} = h \ cdot \ frac {a — c} {2} $.
Это означает, что:
$$ A_ {(ABCD)} = A_ {(AHD)} + A_ {(HBCD)} = $$
$$ = \ frac {h \ cdot (a — c)} {2} + c \ cdot h = \ frac {a \ cdot h — h \ cdot c + 2h \ cdot c} {2} = \ frac { h \ cdot a + h \ cdot c} {2} = $$
$$ = \ frac {h \ cdot (a + c)} {2} $$.
Что такое четырехугольник?
Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами.
Каких форм имеют четырехугольники?
Это четырехугольники: квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб.
Как определить четырехугольник?
Четырехугольник — это плоская форма с четырьмя соединяющимися сторонами. Четверка означает четыре. Боковой означает боковой. Все линии должны соединяться. Это также плоская форма, двухмерная. Некоторые четырехугольники образуют узнаваемые формы, другие — нет.
Что такое 7 четырехугольников?
Есть семь четырехугольников. Это: квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, равнобедренная трапеция, параллелограмм, тангенциальный четырехугольник (также известный как воздушный змей из-за формы воздушного змея).
Какие четыре типа четырехугольников?
Четырехугольники можно разделить на четыре типа. Это параллелограмм, ромб, квадрат и прямоугольник. Кроме того, ромбы, квадраты, прямоугольники — это параллелограммы.
Листы четырехугольников
Именование четырехугольников (278,7 КБ, 1256 обращений)
Назовите наибольшее количество четырехугольников (295,6 КБ, 988 обращений)
Углы в четырехугольниках (423.6 KiB, 1276 совпадений)
Параллелограммы — Найдите угол (531,7 KiB, 947 совпадений)
Параллелограммы — Найдите длину (547,3 KiB, 880 совпадений)
Трапеции — Найдите длину медианы (293,1 КБ, 864 обращений)
Трапеции — Найдите длину полусегмента (289,9 КиБ, 743 обращения)
Трапеции — Найдите длину основания (312,8 КиБ, 796 обращений)
Трапеции — Углы (284.8 КБ, 945 просмотров)
Площадь треугольников и четырехугольников (501,9 КБ, 1,122 просмотров)
Словарь (Вернуться к ссылкам) Круг, квадрат, прямоугольник, треугольник, ромб, трапеция, параллелограмм, ромб
Полигоны урока
Урок 4.1 — Polygons Obj .: классифицируйте полигоны по их сторонам. классифицируйте четырехугольники по их атрибутам. найти сумму углов в многоугольнике. Десятиугольник — многоугольник с десятью сторонами. Додекагон
Дополнительная информация 5.1 Как ни крути
ВТОРИЧНАЯ МАТЕМАТИКА III // МОДУЛЬ 5 МОДЕЛИРОВАНИЕ С ГЕОМЕТРИЕЙ 5.1 Студенты в программе Mrs.Классу Дентона раздали кубики из глины и попросили отрезать угол куба кусочком зубной нити. Джумал нарезанный
Дополнительная информация Успех по математике Уровень E
T877 [ЦЕЛЬ] Учащийся классифицирует двухмерные фигуры на основе свойств. [ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ НАВЫКИ] Урок 29, знание базовой геометрической терминологии, включая: параллельные стороны, совпадающие стороны,
Дополнительная информация Трехмерные фигуры
Трехмерные фигуры Количество монет, созданных U.С. Монетный двор меняется каждый год. В 2000 году было создано около 28 миллиардов монет, и примерно половина из них были пенни! 1 Whirlygigs за
. Дополнительная информация 11.4 Трехмерные фигуры
11. Существенный вопрос в трехмерных фигурах. Какова связь между количеством вершин V, ребер E и граней F многогранника? Многогранник — это твердое тело, ограниченное многоугольниками, которое называется
. Дополнительная информация Примечания к геометрии 10 и 11
Геометрия 10 и 11 Область заметок и название тома на дату 10.1 Площадь — это объем пространства внутри двухмерного объекта. При работе с неправильными формами мы можем найти их площадь, разбив ее на
. Дополнительная информация Трехмерные формы
Урок 11.1 Трехмерные формы Трехмерные объекты бывают разных форм. сфера конус цилиндр прямоугольная призма куб Обведите объекты, соответствующие названию формы. 1. прямоугольная призма 2.
Дополнительная информация Таблица с инструкциями по выравниванию
ЗАГОЛОВОК КЛАСТЕРА: СТАНДАРТ: НЕТ ЗАГОЛОВОК КЛАСТЕРА: Определите и опишите формы (квадраты, круги, треугольники, прямоугольники, шестиугольники, кубы, конусы, цилиндры и сферы).СТАНДАРТ: K.G.3 Обозначить формы как
Дополнительная информация Цифры. Значение Цифры в виде цифры. Стандартная форма. Расширенная форма. Символы, используемые для отображения чисел: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Цифры Символы, используемые для отображения чисел: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Значение Цифры, которые представляет цифра, которая определяется положением цифр Стандартная форма Расширенная форма Обычный способ письменности
Дополнительная информация Учебная программа HPISD: TAG Math 4 класс
Обзор модуля Учебный план HPISD: 4 класс ТЕГ Математика Название Предполагаемая продолжительность 9 недель Геометрия и измерения 8 недель 1 2 3 4 Свойства / атрибуты многоугольников, треугольников, четырехугольников Площадь и периметр
Дополнительная информация Урок 18: Нарезка под углом
Результаты учащихся Учащиеся описывают многоугольные области, которые возникают в результате сечения правой прямоугольной призмы или пирамиды плоскостью, которая не обязательно параллельна или перпендикулярна основанию.Примечания к уроку в
Дополнительная информация Учебное пособие по модулю 10: Фигуры на плоскости
Учебное пособие по блоку 10: Фигуры в самолетах * Обязательно смотрите все видео в рамках каждого урока * Вы можете найти геометрические фигуры в искусстве. Независимо от того, определяется ли количество ведущего или количество стекла, необходимого для предмета
Дополнительная информация Исследуйте твердые тела
1212.1 Изучение площади поверхности твердых тел и объема твердых тел 12.2 Площадь поверхности призм и цилиндров 12.3 Площадь поверхности пирамид и конусов 12.4 Объем призм и цилиндров 12.5 Объем пирамид и
Дополнительная информация Mgr. ubomíra Tomková ГЕОМЕТРИЯ
УГЛЫ НАЗВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ: любой угол меньше 90º является острым углом, любой угол, равным 90º, является прямым углом, любой угол между 90º и 80º является тупым углом, любой угол между 80º и 60º является углом отражения
. Дополнительная информация План учебной программы Anoka Hennepin K-12
Anoka Hennepin K-12 План учебной программы Департамент: элементарная математика Название раздела: Пакеты и многоугольники (Синяя книга, гео и измерения) Треугольники и за их пределами (Синяя книга, гео и измерения) Повседневная математика: Том
Дополнительная информация Описывать формы плоскостей
Урок 12.1 Описание плоских форм Вы можете использовать математические слова для описания плоских форм. указать точное положение или конечные точки линии местоположения отрезок линии луч прямой путь, идущий в двух направлениях без
Дополнительная информация Планы уроков для Кристи Демпси, Неделя средней школы Типпит в понедельник, 29 февраля 2016 г. Понедельник, 29 февраля 2016 г. День 115
Планы уроков для Кристи Демпси, Неделя средней школы Типпит в понедельник, 29 февраля 2016 г. Понедельник, 29 февраля 2016 г. Учебная цель (Я могу / я буду…): я буду писать и решать уравнения, используя концепции геометрии,
Дополнительная информация Основное понимание
Вопросы для понимания Основные свойства линий, углов, двух- и трехмерных фигур можно использовать для решения множества теоретических и практических задач. Какие существуют различные отношения
Дополнительная информация Трехмерные фигуры
Трехмерные фигуры Количество монет, созданных U.С. Монетный двор меняется каждый год. В 2000 году было создано около 28 миллиардов монет, и примерно половина из них были пенни! 1 Whirlygigs за
. Дополнительная информация Учебное пособие по геометрии 6, часть 2
Рабочая тетрадь по геометрии 6, художественная страница Рабочий лист G6- страница 7. a) Рабочий лист G6- страница 0 Рабочий лист G6- страница. Учителя проверить .. Учителя проверить. квадратные единицы правые единицы вниз параллелограмм трапеции 5. A F 7 G 6 E
Дополнительная информация Словарь по геометрии.Имя Класс
Геометрия Словарь Название Класс Определение / Описание Символ / Эскиз 1 точка Точное место в пространстве. В двух измерениях упорядоченная пара определяет точку на координатной плоскости: (x, y) 2 линия 3a линия
Дополнительная информация Геометрия. Требования к курсу
Геометрия Геометрия — это полный годичный курс математики в средней школе для ученика, успешно завершившего предварительный курс алгебры I.Курс фокусируется на навыках и методах линейной, координатной,
Дополнительная информация Ключевая концепция Формула Эйлера
11-1 Космические фигуры и поперечные сечения Цели Распознавать многогранники и их части Визуализировать поперечные сечения пространственных фигур Общие основные государственные стандарты G-GMD.B.4 Идентифицировать формы двумерного
Дополнительная информация Математические многоугольники
Математика 310 9.2 Кривая многоугольника и соединенная идея Идея кривой — это то, что вы можете нарисовать на бумаге, не поднимая карандаша. Идея связности состоит в том, что набор нельзя разбить на два непересекающихся набора.
Дополнительная информация 3 Определите формы как двумерные (лежащие на плоскости, плоские) или трехмерные (твердые).
Детский сад Геометрия Определяйте и описывайте формы (квадраты, круги, треугольники, прямоугольники, шестиугольники, кубы, конусы, цилиндры и сферы).1 Описывать объекты в окружающей среде, используя имена фигур,
Дополнительная информация свойств фигур: прямоугольники, квадраты и ромбы — видео и стенограмма урока
Прямоугольники
Начнем с прямоугольников. Прямоугольник представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами. Если вы хотите узнать, является ли форма прямоугольником, у вас есть всего два теста. Он четырехсторонний? И все ли углы 90 градусов? Если оба ответа положительные, то вы смотрите на прямоугольник.
Прямоугольники везде. Подумайте о своей средней комнате. Что в нем прямоугольник? Двери, столы, окна, плакаты на стенах — все это четырехгранные формы со всеми прямыми углами. Даже экран, на который вы сейчас смотрите, вероятно, представляет собой прямоугольник.
У прямоугольника противоположные стороны равны по длине и параллельны.
Прямоугольники обладают несколькими особыми свойствами. Во-первых, противоположные стороны параллельны.Во-вторых, противоположные стороны равны по длине. В прямоугольнике выше мы знаем, что сторона AB параллельна стороне CD, а BC параллельна AD. Кроме того, если мы знаем, что AB равно 6, то и CD тоже. Если BC равно 4, то и AD тоже.
Худой небоскреб представляет собой прямоугольник.
Самое интересное в прямоугольниках заключается в том, что каждая пара противоположных сторон может иметь совершенно другую длину, чем другая пара. У вас может быть супертонкий прямоугольник, как небоскреб наверху, или очень ровный, как обложка старого альбома внизу.
Эти обложки альбомов представляют собой прямоугольники.
Квадраты
Эта старая обложка альбома подходит как по определению прямоугольника, так и по определению нашей следующей формы — квадрата. Квадраты — это особая разновидность прямоугольников. Квадрат представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами и сторонами равной длины.
Вам знакомо это определение? Вот шаги, чтобы определить квадрат: он четырехгранный? Все углы 90 градусов? Если да, то у вас прямоугольник.Если все стороны одинаковой длины, то это не только прямоугольник, но и квадрат. Это означает, что все квадраты являются прямоугольниками. Но не все прямоугольники являются квадратами, поскольку пары сторон прямоугольника могут иметь разную длину.
Квадраты, как и прямоугольники, есть повсюду. Помимо обложки альбома, подумайте о местах на шахматной доске, марках, напольной плитке и даже о крекерах и сыре. Поскольку каждая сторона квадрата имеет одинаковую длину, вам не нужно давать много информации для решения большинства проблем.2, что составляет 25.
Все стороны квадрата имеют одинаковую длину.
Ромбы
Затем ромб. Ромб мало чем отличается от квадрата или прямоугольника. Вот вопросы, которые следует задать, если вы думаете, что имеете дело с ромбом: он четырехгранный? Все ли стороны равны по длине? Если оба ответа положительные, то у вас ромб.
Вы заметили, чего не хватает? Прямые углы.У ромба не обязательно должны быть прямые углы. Может, но в этом большая разница с ромбом. Мне нравится думать об этом так: слово «ромб» похоже на слово «носорог». Если носорог бросается на квадрат и сбивает его с ног, это уже не квадрат. Но все равно ромб! Носороги или нет, определение ромб — это четырехгранная форма со сторонами равной длины.
Ромбы обладают несколькими примечательными свойствами. Во-первых, противоположные стороны параллельны.Это верно и для прямоугольников, и для квадратов. Но в ромбе, даже если углы не 90 градусов, противоположные стороны все равно параллельны друг другу. Итак, в приведенном ниже AB параллельна CD. И AD параллельна BC. Также равны противоположные углы. Здесь угол A равен углу C, а угол B равен углу D.
Противоположные стороны ромба параллельны.
Плюс, вот забавный момент: если вы проведете диагональные линии из углов, эти линии образуют прямые углы.Поскольку квадрат — это ромб, это верно и для квадратов. И как бы далеко этот носорог ни толкал ромб, эти диагонали все равно образуют прямые углы. Квадрат — это ромб, но ромб не обязательно является квадратом. И прямоугольник может быть ромбом, но если стороны прямоугольника не равны по длине, то это не ромб.
Краткое содержание урока
В итоге мы рассмотрели три различных типа четырехугольников или четырехугольников. Во-первых, есть прямоугольник , который представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами.Его противоположные стороны параллельны и равны по длине, но каждая пара сторон не обязательно такой же длины, как другая пара.
Во-вторых, есть квадрат , который представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами и сторонами равной длины. Квадрат — это тип прямоугольника, у которого все четыре стороны имеют одинаковую длину. Наконец, есть ромб , который представляет собой четырехгранную форму со сторонами равной длины. Углы могут составлять 90 градусов, но это не обязательно.Итак, квадрат — это ромб, но не каждый ромб — это квадрат.
Результат обучения
Вы сможете описать свойства квадратов, прямоугольников и ромбов после просмотра этого видеоурока.
Площадь четырехугольника
Рабочие листы свободной геометрии, созданные с помощью бесконечной геометрии. Возможность распечатать в удобном формате PDF. 4 Площадь выпуклого четырехугольника. Самопересекающийся четырехугольник называется по-разному перекрестным четырехугольником, перекрещенным четырехугольником, четырехугольником бабочки или четырехугольником бабочки.
Чтобы найти площадь любого общего четырехугольника, мы разбиваем его на треугольники и складываем их площадь. Параллелограмм имеет противоположные стороны, равные и параллельные. Для четырехугольника ABCD. Мы присоединяемся к AC. Калькулятор площади четырехугольника вычисляет площадь простого четырехугольника с учетом четырех сторон и длины диагонали между противоположными углами.
Площадь параллелограммов. Урок 7 От параллелограммов к треугольникам. Урок 8 Площадь треугольников. Урок 9 Формула площади треугольника.Урок 10 Основания и высоты треугольников. Урок 11 Полигоны. Урок 12 Что такое площадь поверхности? Урок 13 Многогранники. Урок 14 Сети и площадь поверхности. Урок 15 Больше сетей, больше площадь поверхности. Урок 16 Квадратный метр — производная единица площади в системе СИ. Он имеет символ м² (33A1 в Юникоде). Он определяется как площадь квадрата, стороны которого составляют ровно один метр. Квадратный метр получается из базовой единицы измерения в системе СИ, которая, в свою очередь, определяется как длина пути, пройденного светом в абсолютном вакууме за интервал времени 1 ⁄ 299 792 458 секунды.
Квадрат также можно определить как параллелограмм с равными диагоналями, которые делят углы пополам. Если фигура представляет собой прямоугольник (прямые углы) и ромб (равные длины ребер), то это квадрат. Если круг описан вокруг квадрата, площадь круга равна / (примерно 1,5708) раз больше площади квадрата. Площадь треугольников и четырехугольников R.5. Площадь и периметр в координатной плоскости I Р.6. Площадь и периметр в координатной плоскости II Р.7. Площадь и окружность …
Площадь четырехугольного треугольника Докажите, что площадь четырехугольника PQRS равна половине площади ABCD? У какого особого типа четырехугольника диагонали равны и пересекаются пополам, но не перпендикулярны?
диагоналей пересекают друг друга
12.Исследование № 3: исследуйте пересечение диагоналей ромба. Посмотреть больше. Диагонали квадрата и прямоугольника делят друг друга пополам. диагонали только квадратного прямоугольника пересекаются под углом 90 градусов, образуя перпендикуляр. но они образуют углы в 45 градусов на концах, где они встречаются либо с основанием, либо со сторонами. A. быть его диагоналями. Иногда одна из этих диагоналей могла выходить за пределы формы; тогда у вас есть дротик. В любом параллелограмме диагонали (линии, соединяющие противоположные углы) делят друг друга пополам.Покажите, что четырехугольник, образованный соединением середин сторон, представляет собой прямоугольник. Основания трапеции имеют длину 3 и 5 единиц, одна диагональ перпендикулярна боковой стороне, а другая диагональ делит пополам угол у большего основания. Диагонали пересекаются, чтобы сократить длину пополам. Диагонали проводятся от точки A к точке C и от точки B к точке D и пересекаются в точке E. Все стороны совпадают. это самая короткая сторона. На рисунке выше нажмите «Сброс». Все 4 ответа представляют собой выпуклые четырехугольники, поэтому их диагонали будут пересекаться.ДАННЫЙ: четырехугольник, диагонали которого пересекаются и разделяются на четыре части, так что ДОКАЗАТЬ: четырехугольник является параллелограммом. У диагоналей прямоугольника есть еще одно важное свойство — они равны по длине. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Рисуются диагонали. Рассмотрим прямоугольную дверь. Решенные задачи на равнобедренных трапециях Задача 1. угол z больше угла y. противоположен наибольшему углу. В этом случае фотограф также хорошо использовал малую глубину резкости.В настоящее время мы занимаемся конструкциями, наш лектор утверждал, что мы можем превратить один четырехугольник в другой, изменив одни свойства и сохранив другие свойства неизменными. Мы подойдем к этой проблеме иначе. Фактически, возьмите отрезок длиной 12 и начните под углом 20 градусов с одной стороны и 70 градусов с другой (для диагоналей). Чтобы найти диагональ квадрата, вы можете использовать формулу =, где равно длине одной стороны квадрата. Обязательно создайте и назовите соответствующие геометрические фигуры.Другой угол может быть вычислен путем вычитания известного угла из 180 °. Свойства ромба: ромб — это четырехугольник, все четыре стороны которого имеют одинаковую длину. Когда Кэролайн и ее мать шли к магазину, они вышли на угол двух улиц. Рассмотрим треугольники ABC и ADC (рисунок 2). Размер одного внутреннего угла параллелограмма на 42 градуса более чем в два раза превышает размер другого угла. Допустим, длина другой диагонали = (2b) см. Например, более короткий будет разделен посередине (6 дюймов: 6 дюймов), а более длинный — в соотношении 8:14, как показано на рисунке.а. к . 14. У вогнутых (например, бумеранга) они не пересекаются. Нарисуйте диагональ, скажем, AC = 4 см; Взяв A и C в качестве центров и радиуса более 1/2 AC, нарисуйте дуги по обе стороны от отрезка AC, чтобы они пересекались друг с другом. Другой вопрос … Более длинная диагональ воздушного змея делит более короткую пополам. Открытый сегмент от. диагонали, используя формулу Эйлера V E + F = 2. В евклидовой геометрии параллелограмм — это простой (несамопересекающийся) четырехугольник с двумя парами параллельных сторон.12 квадратных единиц 18 квадратных единиц 24 квадратных единицы 48 квадратных единиц диагонали параллелограмма. Правда. Итак, чтобы построить ромб с диагоналями 4 см и 6 см, выполните следующие действия. Чтобы приблизительно определить длину болота, геодезист проходит 425 метров от точки A до точки B. Четырехугольник — это замкнутая двухмерная фигура, состоящая из четырех сторон, и все ее внутренние углы в сумме составляют 360 градусов. Правда. Полученное изображение показывает глубину, которая была бы невозможна, если бы камера находилась под прямым углом.В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Если угол A = 85, AE = 3x + 10 и EC = 7x — 30, найдите меру угла C и значение x. Мы уже доказали это свойство для любого параллелограмма. диагонали пересекаются в точке p. сторона qr = 5 м и диагональ qs = 6 м. и 8 см. 26 января 2021 г. В данном случае диагонали — это BD и AC, которые в квадратах имеют одинаковую длину. B. разделите друг друга пополам. 6. • Половина произведения диагоналей равна площади четырехугольника.• По крайней мере, одна диагональ лежит на линии симметрии четырехугольника. Без категории. Какая длина диагонали? Диагонали прямоугольника и равнобедренной трапеции пересекаются, образуя дополнительные углы, не равные 90 градусам. b Определите градиент TS, округленный до двух десятичных знаков. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам: то есть точка пересечения двух диагоналей является средней точкой каждой из них. 12-Oct-2011 MA 341 27. Диагонали лежат между противоположными вершинами (т.е.е. Диагонали квадрата пересекаются в точке Q. Каковы координаты точки Q? Используйте эту процедуру, чтобы помочь студентам улучшить свои письменные ответы для доказательства гипотезы: диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Квадрат — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны по длине и все углы … Вы очень важны для нас. Если эта теорема верна для квадратов, почему или почему нет? Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали — мощные композиционные элементы.Показан треугольник xyz, где n ≥ 5. Какие утверждения верны относительно сторон и углов треугольника? Есть еще один… Есть 1000 + 1004 = 2004 прямых, которые пересекает главная диагональ. 11.25 B.)… 1. Теорема утверждает, что диагональ AC ромба является биссектрисой к каждому из двух углов DAB и BCD, а диагональ BD является биссектрисой угла к каждому из двух углов ABC и ADC. Пример вогнутого четырехугольника — дротик. Какое значение x — ответы студенту-помощнику.com … Еще вопрос по математике. Добавьте свой ответ и зарабатывайте баллы. Мы уже объясняли, что противоположные углы равны. 4. Название: Докажите нашу гипотезу: 4. Используя формулу средней точки, мы можем найти точку пересечения. Эта проблема решена! Параллелограмм всегда есть прямоугольник. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны друг другу. Что касается квадратов, они делят друг друга пополам под углом 90 градусов, то есть они перпендикулярны биссектрисам. D. противоположные углы совпадают.Правильные ответы: 3 вопроса: Показан ромб с совпадающими сторонами. Напишите косвенное доказательство того, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. А. конгруэнтны. Когда диагональные линии пересекаются, они создают точки интереса на пересечении. 10. Диагонали пересекаются в W. a Докажите, что координаты S равны (2 + 2 √ 5; 0). Home / диагонали не обязательно пересекаются. Диагонали квадрата, ромба и воздушного змея пересекаются под прямым углом. В выпуклых простых многоугольниках диагонали всегда будут внутри.5. • По крайней мере, одна диагональ делит пополам два угла четырехугольника. Рисуются диагонали. Диагонали Диагональ — это отрезок прямой, соединяющий один угол с другим, но не являющийся ребром. Диагонали прямоугольника равны друг другу. Что из следующего может использовать Томас, чтобы доказать, что сторона ab равна стороне dc? 1 См. Ответ genickijenndon ждет вашей помощи. В каждом кайте диагонали пересекаются под углом 90 °. 13. б. не пересекает ∂. C. диагонали пересекаются под прямым углом. Сал доказывает, что диагонали ромба перпендикулярны и что они пересекаются в серединах обоих.В частности, все стороны параллелограмма равны, то есть у нас есть ромб. На изображении ниже угол, под которым камера при настройке создала диагональную линию. Сколько В случае многоугольника это прямая линия, соединяющая противоположные углы многоугольника через его вершины. Как и у любого скрещенного четырехугольника, сумма его внутренних углов составляет 720 °. Диагонали триангуляции и триангуляция 1. Диагональ многоугольника P — это отрезок прямой между двумя его вершинами a и b, которые хорошо видны друг другу 2.Открытый отрезок от a до b не пересекает ∂P; таким образом, диагональ не может скользить по границе. Четырехугольники с перпендикулярными диагоналями — это «квадрат», «ромб» и «воздушный змей». A. Диагонали ромба пересекают друг друга и перпендикулярны. Все четыре ножки каждой лестницы плотно касаются либо нижнего угла, либо противоположной стены. P и S лежат на оси -. 5. В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, поэтому вы можете установить помеченные сегменты, равные друг другу, а затем решить для.Б. Какова площадь ромба? Добавьте свой ответ и зарабатывайте баллы. Затем проведите линии из оставшихся двух углов, чтобы они пересекались с главной диагональю под прямым углом. Сначала мы соединяем диагонали, и там, где они пересекаются, находится точка E. Углы ECD и EBA равны в меру, потому что прямые CD и AB параллельны, и это делает их чередующимися углами. Обычная трапеция имеет равные непараллельные стороны и равные углы при основании, как показано на следующей диаграмме. 17a — 59 (p + 100) 0 720 При этом все стороны ромба равны по длине, а диагонали делят друг друга пополам под прямым углом.Смотрите ответ. б. Диагонали пересекают друг друга (во внутренних точках). Докажите, что если одна пара противоположных сторон четырехугольника равны и параллельны, то четырехугольник является параллелограммом. Квадрат — это частный случай прямоугольника. 8. Диагональ квадрата — это линия, идущая от одного угла квадрата к противоположному углу. Ромб — это частный случай параллелограмма, это четырехугольник с четырьмя сторонами. Используя теорему Фалеса 6.2, докажите, что прямая, соединяющая середины любых двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне.Диагонали пересекаются в своих серединах. Угол C равен 85 градусам, а x = 10, b / c диагонали делят друг друга пополам. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу. Свойства прямоугольника; Свойства квадрата; Свойство: диагонали квадрата перпендикулярны биссектрисам друг к другу. Угол B E A равен (3 x минус 12) градусов. Единственный правильный (все стороны равны и все углы равны) четырехугольник — это квадрат. Пусть PQ пересекает AC в точке O. С понедельника по субботу — с 10:00 до 19:00. Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину.Мне нужно зафиксировать диагональную опорную плоскость на пересечении двух ортогональных опорных плоскостей, чтобы моя дверь (под углом) скользила к фиксированному углу, а не к углу, движущемуся к двери. Параллелограмм — это четырехугольник, состоящий из двух пар пересекающихся параллельных прямых. 9. 2 диагонали. Диагонали проводятся от точки A к точке C и от точки B к точке D и пересекаются. У восьмиугольника есть. Диагонали пересекаются под углом 35 градусов. Обязательно создайте и назовите соответствующие геометрические фигуры.Если один угол прямой, то все углы прямые. Найдите длины сторон параллелограмма, если диагонали пересекаются под углом 28º. 12-Oct-2011 MA 341 27. Правило 1: Противоположные стороны параллельны Подробнее. Письмо, слушание, разговор: MLR1 с каждым разом сильнее и яснее. Что такое диагональ? Диагонали лежат между противоположными вершинами (т.е.). Из того, что каждая диагональ является трансверсалью, мы знаем, что в этом случае… Почему диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Найдите значение x.8т. Мы знаем по свойствам параллелограмма, что диагонали разрезаются на две равные части в точке пересечения. Теорема 1. Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом. Мозговой пользователь. Заголовок: в качестве альтернативы диагональная линия может пересекать все изображение, проходя через него от одного края до другого. Это дает вам наложение золотого треугольника, которое включает в себя четыре различных треугольника (хотя в целом получается шесть треугольников, когда вы объединяете их вместе! Диагональ многоугольника — это линия сегмента, концы которой не являются смежными вершинами многоугольника.В 54-стороннем многоугольнике 53 возможных диагонали можно провести от одной вершины к другой. Бесплатная электронная книга https://bookboon.com/en/introduction-to-vectors-ebook (обновленная ссылка) Круги пересекаются в двух точках — пусть C будет точкой пересечения в пределах неотражающего угла BAD. Диагонали должны создаваться поперек вершин многоугольника, но вершины не должны примыкать друг к другу. Диагонали пересекаются под прямым углом. Диагонали параллелограмма Abcd пересекаются в точке O. Пример 6.2, 10 Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются друг с другом в точке O, так что / = /.Примечание. Прямоугольники, квадраты и ромбы (или ромбы) — это параллелограммы. Мы знаем длину BD и AC. Б. диагонали делят друг друга пополам. Еще одно интересное использование диагональных линий — создание глубины. Kite qrst имеет короткую диагональ qs и длинную диагональ rt. Таким образом, внутренняя часть будет разделена на 54 области 53 диагоналями плюс две стороны исходного многоугольника, примыкающие к вершине, от которой диагонали… Ответы: 3 на вопрос: Показан ромб с совпадающими сторонами.80. Это означает, что они перпендикулярны. Для общего выпуклого n-угольника ответ будет n 4, потому что каждые четыре вершины будут в параллелограмме, если вы знаете один угол, вы можете вычислить все остальные углы. В геометрии термин «диагональ» относится к отрезку, соединяющему две вершины, который не образует сторону многоугольника. Длина одной диагонали равна 6, а длина другой диагонали — 8. Решение: мы знаем, что все стороны ромба равны, а диагонали ромба перпендикулярны биссектрисам друг друга.Объясните, как менять диагонали… Четырехугольник — это трапеция, если две стороны параллельны. Когда диагональные линии пересекаются, они создают точки интереса на пересечении. В многограннике, вершине… Введение Мы найдем формулу для числа I (n) точек пересечения, образованных внутри правильного n-угольника его диагоналями. A… Прямые CD и AB равны по длине, потому что противоположные стороны параллелограмма равны. Если угол, под которым они встречаются, равен 90 ∘, то по теореме Пифагора каждая сторона прямоугольника имеет длину p 2 + q 2.20 диагоналей. Какая у него длина? Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, поэтому точка пересечения является серединой любого из них. Один метод, который можно использовать для доказательства того, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, показан в данном частичном доказательстве: … Другой метод доказательства диагоналей параллелограмма, делимых пополам, использует координатную сетку. Итак, чтобы построить ромб с диагоналями 4 см и 6 см, выполните следующие действия. Диагонали параллелограмма пересекают друг друга пополам; Четырехугольник называется параллелограммом, если его диагонали делят пополам; Пара противоположных сторон параллелограмма равны и параллельны; Ромб — это параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом; Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, представляет собой ромб. Длины диагоналей параллелограмма составляют 10 футов и 16 футов.Диагональ — это отрезок прямой, концы которого являются вершинами. P и S лежат на оси -. Свойство: диагонали прямоугольника одинаковой длины. В углу вершина — это место, где встречаются две линии, лучи или сегменты. Диагональ связана с вершиной, потому что диагональ — это отрезок прямой, соединяющий любые две непоследовательные вершины. В четырехугольнике abcd диагонали пересекаются в точке t. Томас использовал теорему об альтернативных внутренних углах, чтобы показать, что угол adb конгруэнтен углу dbc и что угол dba конгруэнтен bdc.2. Средний. Другие четырехугольники включают трапеции, воздушные змеи и неправильные четырехугольники. Это особый вид параллелограмма, диагонали которого пересекаются под углом 90 °. 21 CDP = 108, q = 29 = 8, q = 29 6. Пусть s = сторона ромба. Правильный или неправильный пятиугольник имеет пять диагоналей. Решения главы 6.2 Задача 65E: Длина диагоналей параллелограмма составляет 20 дюймов и 30 дюймов. Возникли четыре вопроса: 1. Второе отличительное свойство диагоналей воздушных змеев состоит в том, что одна из диагоналей делит пополам или пополам другую диагональ.Классифицируйте типы. Прямая линия, соединяющая вершину равнобедренного треугольника и середину … Идеально, чтобы поместить фокус изображения на пересечении, потому что наши глаза естественно притягиваются к пересечению двух линий. 6. 5. 8т. Пересеките их и продолжайте идти, пока не получится 4 длинные параллельные линии. Диагональ 6 см = 3 см + 3 см = ноги прямоугольного треугольника внутри ромба. Нарисуйте диагонали. Это должно быть то же самое, что и средняя точка XZ; Диагонали делят друг друга пополам, поэтому нам нужно найти только середину одной из диагоналей.Фигура прямоугольная? Соседний…… в нем используется фраза «диагонали пересекаются в своих средних точках», что сделало бы ответ на Часть D более очевидным. Есть несколько правил, связанных с углами параллелограмма. 11.25 B. Вычислите диагонали ромба, если вы знаете 1. (x, y) = (x1 + x2 2, y1 + y2 2) Случай 3: трапеция или воздушный змей Далее самый простой способ — использовать наш калькулятор прямоугольного треугольника ( этот метод работает только для выпуклых воздушных змеев). Назовите название правильного шестиугольника. 4.… AC и BD — это диагонали AC и BD, пересекающиеся в… Диагонали многоугольника — это отрезки прямых от одного угла до другого (но не по краям).Диагонали четырехугольника — перпендикулярно, пополам или оба. Посмотреть решение. По бокам 4,13 «см». Одним из недостатков этого является то, что необходимо нанести на график местоположение точки схода (не показано на рисунке), которая может выходить за края нашего листа бумаги для рисования. Другие четырехугольники. c Вычислить с округлением до двух десятичных знаков. Диагонали триангуляции и триангуляция 1. Диагональ многоугольника P — это отрезок прямой между двумя его вершинами a и b, которые хорошо видны друг другу 2.Открытый отрезок от a до b не пересекает ∂P; таким образом, диагональ не может скользить по границе. Окружность описана вокруг трапеции. Таким образом, если диагональ начинается на краю композиции, она привлекает зрителя, а затем уводит его в путешествие до другого конца. 80. Одна из диагоналей ромба, допустим, q = 7см. Площадь выпуклого четырехугольника с … диагоналями перпендикулярна тогда и только тогда, когда площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей.По диагонали четырехугольника можно определить, является ли он параллелограммом, прямоугольником, ромбом и т. Д. Здесь мы перечислим и докажем основные теоремы. Противоположные или обращенные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину, а противоположные углы параллелограмма равны. Диагонали — это перпендикулярные биссектрисы: диагонали BD и OC пересекаются в точке O. Окружность описана вокруг трапеции. Математика, 21.06.2019 15:50 Примеры: квадрат (или любой четырехугольник) имеет 4 (4−3) / 2 = 4 × 1/2 = 2 диагонали; восьмиугольник имеет 8 (8−3) / 2 = 8 × 5/2 = 20 диагоналей.Для этого мы воспользуемся вот этой таблицей, у меня есть три столбца; один для количества вершин, один для количества диагоналей на вершину и общего количества диагоналей, которые мы видим в многоугольнике. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Углы EDC и EAB равны по той же причине. У следующего по простому четырехугольника две диагонали. Таким образом, мы получаем диагональ, когда напрямую соединяем любые два угла (вершины), которые еще не соединены ребром. Трапеция имеет одну пару параллельных противоположных сторон.12-Oct-2011 MA 341 26. Если четырехугольник — параллелограмм, то его диагонали делят друг друга пополам. стороны параллелограмма. Идеально разместить фокус изображения на пересечении, потому что наши глаза естественно притягиваются к пересечению двух линий. Таким образом, прямая, проходящая через точку O, параллельная сторонам параллелограмма, содержащим P и Q, даст параллельную проекцию одной трансверсали на другую. Найдите размер каждого угла. Найдите координаты пересечения диагоналей параллелограмма XYZW с вершинами X (3,0), Y (3,8) Z (-2,6) и W (-2, -2).12 квадратных единиц 18 квадратных единиц 24 квадратных единицы 48 квадратных единиц Любой член… Затем MN пересекает PR в своей средней точке 12 октября 2011 MA 341 17, которая, как мы знаем, является О. Теорема … параллелограмм (пересечение диагоналей). Найдите p и q. Они создают визуальный поток. Нарисуйте диагональ, скажем, AC = 4 см; Взяв A и C в качестве центров и радиуса более 1/2 AC, нарисуйте дуги по обе стороны от отрезка AC, чтобы они пересекались друг с другом. Таким образом, диагональ от этой вершины соединит эти две вершины, которые не идут подряд.. В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны, а диагонали делят друг друга пополам. угол x — наибольший угол. Сал доказывает, что диагонали ромба перпендикулярны и что они пересекаются в серединах обоих. 1 См. Ответ genickijenndon ждет вашей помощи. Правильных ответов: 3 вопроса: Четырехугольник РГТУ, диагонали SU и RT пересекаются в точке V. РГТУ — параллелограмм. Угол между одним из оснований трапеции и боковой стороной равен ex, а угол между этим основанием и одной из диагоналей равен p.Это общее свойство любого параллелограмма. Фактически, возьмите отрезок длиной 12 и начните под углом 20 градусов с одной стороны и 70 градусов с другой (для диагоналей). Как сбросить данные приложений на Iphone, Настройки разгона Kawpow, Технологическая схема переработки сырой нефти, Записанное будущее Сингапура, + 18Магазины moreclothing Подземный магазин одежды, Eclectic Fashions и многое другое, Набор аксессуаров для ванной комнаты из никеля, Раствор и растворитель раствора моющего средства, Положение Кубка мира по прыжкам с трамплина, Румынский бурый медведь против гризли, Питер Осгуд Никнейм, диагонали пересекаются друг с другом 2021
геометрических фигур: определение, типы, примеры, свойства
Геометрические формы: В математике геометрические формы — это фигуры, которые показывают формы предметов, которые мы видим в нашей повседневной жизни.В геометрии формы — это формы объектов, которые имеют граничные линии, поверхности и углы. Существуют разные типы фигур \ (2 \, {\ rm {D}} \) и \ (3 \, {\ rm {D}} \). В повседневной жизни мы постоянно взаимодействуем с разными объектами, которые имеют различную форму, от простых до абстрактных.
Например, книги (прямоугольная форма), очки (цилиндрическая форма), дорожные конусы (коническая форма) и т. Д. В этой статье вы познакомитесь с различными геометрическими фигурами и их определением, а также с примерами.
Определение геометрических форм
В плоской геометрии двумерные формы — это плоские формы и замкнутые фигуры, такие как круги, квадраты, прямоугольники, ромбы и т. Д. В твердой геометрии трехмерными формами являются куб, кубоид, конус, сфера и цилиндр. Мы можем наблюдать все эти формы и в нашем повседневном существовании.
Давайте посмотрим на некоторые из реальных объектов, которые мы использовали, которые напоминают некоторые основные формы.
Геометрические формы — это формы, которые представляют формы различных объектов.Некоторые фигуры имеют двумерную форму \ (2 \, {\ rm {D}} \), а некоторые — трехмерную форму \ (3 \, {\ rm {D}} \). \ (2 \, {\ rm Фигуры {D}} \) лежат только на оси \ (x- \) и \ (y — \), но фигуры \ (3 \, {\ rm {D}} \) лежат в \ (x, оси у — \) и \ (z — \). Ось \ (z — \) представляет высоту объекта. В геометрии определены различные формы, такие как круг, квадрат, прямоугольник, треугольник и т. Д.
Чтобы создать любую из этих фигур, начните с линии, сегмента линии или кривой. В зависимости от количества линий и их расположения мы получаем разные типы фигур и фигур, такие как треугольник (фигура, в которой соединены трехлинейные сегменты), Пентагон (пятилинейные сегменты) и так далее.
Фигуры в геометрии могут быть открытыми или закрытыми.
Открытая форма: Фигура, которая начинается и заканчивается в разных точках, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется открытой формой.
Замкнутая форма: Фигура, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется замкнутой формой .
Скачать математические формулы для классов \ (6 \) — \ (12: \)
Список геометрических фигур
Формы классифицируются по их регулярности или однородности.Правильная форма является симметричной, например квадрат, круг и т. Д. Неправильные формы асимметричны. Их также называют формами произвольной формы или органическими формами. Например, форма дерева может быть неправильной или органичной. Список геометрической формы \ (2 \, {\ rm {D}} \) и формы \ (3 \, {\ rm {D}} \) приведен ниже:
\ (2 \, {\ rm {D}} \) Формы:
Треугольник
Круг
Полукруг
Квадрат
Прямоугольник
Параллелограмм
Ромб
Трапеция
Воздушный змей
Многоугольники (Пентагон, Шестиугольник, Октагон, Нонагон, Десятиугольник и т. Д.)
\ (3 \, {\ rm {D}} \) Формы :
Сфера
Куб
Кубоид
Конус
Цилиндр
Типы геометрических фигур со свойствами
Давайте посмотрим на некоторые геометрические фигуры и их свойства:
Двумерные формы
Треугольник: Треугольник — это многоугольник, состоящий из \ (3 \) сторон и \ (3 \) ребер и \ (3 \) вершин.\ circ} \) называется квадратом.
Прямоугольник : Тип четырехугольника, в котором противоположные стороны равны по длине, а каждый угол является прямым, называется прямоугольником.
Параллелограмм : Четырехугольник называется параллелограммом, если обе пары его противоположных сторон параллельны.
Ромб: Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Трапеция: Тип четырехугольника, имеющего ровно одну пару параллельных сторон, называется трапецией.
Воздушный змей: Четырехугольник называется воздушным змеем, если у него две пары равных смежных сторон, но неравные противоположные стороны.
Многоугольники (Пентагон, Шестиугольник, Гептагон, Октагон, Нонагон, Десятиугольник и т. Д.): Многоугольники состоят из отрезков линий и не состоят из кривых. Они представляют собой замкнутую конструкцию с разной длиной сторон и разными углами.
Трехмерные фигуры
Сфера: Сфера — это круглая форма \ (3 \, {\ rm {D}} \), радиус которой увеличен до трех измерений.
Пример: Глобус
Куб: Куб — это форма \ (3 \, {\ rm {D}} \) с \ (6 \) гранями, \ (8 \) вершинами и \ (12 \) ребрами. Все грани куба квадратные.
Пример: кубик Рубика
Кубоид: Кубоид — это трехмерная сплошная форма, имеющая \ (6 \) граней, \ (8 \) вершин и \ (12 \) ребер, но все грани кубоида имеют прямоугольную форму.
Пример: Ланчбокс
Конус: Конус представляет собой твердую форму, имеющую круглое основание и плавно сужающуюся от поверхности к вершине в точке, называемой вершиной или вершиной.
Пример: шапка на день рождения
Цилиндр: Цилиндр — это твердое тело \ (3 \, {\ rm {D}} \), имеющее два параллельных круглых основания, соединенных изогнутой поверхностью. У него нет вершины.
Пример: газовый баллон
Примеры основных геометрических фигур
Здесь мы обсудили некоторые геометрические фигуры:
Примеры плоских геометрических фигур
Круг : Колесо — это пример круга в реальной жизни.
Квадрат: Доска для карамболя — это пример квадрата в реальной жизни.
Треугольник: Один кусок пиццы — пример треугольника в реальной жизни.
Прямоугольник: Доска — это пример прямоугольника в реальной жизни.
Овал: Яйцо — пример овала в реальной жизни.
Пример твердых геометрических фигур
Сфера: Футбол, сферические шарики, глобус и т. Д., являются примерами сферы.
Куб: Кубик льда, кубики сахара, игральные кости и т. Д. Являются примерами куба.
Кубоид: Спичечный коробок, книга, коробка для завтрака и т. Д. Являются примерами кубоида.
Конус: Конус для мороженого, шапочка для дня рождения и т. Д. Являются примерами конуса.
Цилиндр: Канистра, труба, газовые баллоны и т. Д. Являются примерами баллона.
Важные замечания о геометрических формах
Точка не имеет размера, а линия — это одномерная фигура.Оба являются основой геометрии. Когда две прямые встречаются в точке, они образуют угол, где точка называется вершиной, а линии — руками.
Двумерные и трехмерные формы формируются с помощью точек, линий и углов.
Двумерные формы, имеющие \ (4 \) стороны, такие как прямоугольник, квадрат, параллелограмм, воздушный змей, трапеция и т. Д., Называются четырехугольниками.
Четырехугольники — это четырехсторонние замкнутые фигуры, составленные из прямых линий.
Многоугольники — это замкнутые формы, состоящие из прямых линий.Они названы в соответствии с количеством сторон, которые у них есть.
Трехмерная форма имеет длину, ширину и высоту.
Геометрические узоры
Геометрические узоры — это набор форм, повторяющихся или изменяемых для создания определенного рисунка.
Примеры геометрических узоров приведены ниже,
Давайте посмотрим на узор, используя некоторые основные плоские формы. Некоторые основные формы плоскостей: круг, квадрат, треугольник, прямоугольник и т. Д.
Решенные примеры — геометрические формы:
Q.1. Приведенная ниже цифра является открытой или закрытой цифрой?
Ответ: Фигура, которая начинается и заканчивается в разных точках, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется открытой фигурой. Поскольку у данной фигуры есть разные начальная и конечная точки, и она не является непрерывной, это открытая фигура.
Q.2. Цифра, приведенная ниже, является открытой или закрытой цифрой?
Ответ: Фигура, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется замкнутой фигурой.Поскольку у данного рисунка и начальная, и конечная точки одинаковы, это замкнутая фигура.
Q.3. Приведите три реальных примера прямоугольника.
Ответ: Прямоугольник — это плоская геометрическая замкнутая форма, имеющая в общей сложности четыре стороны (две противоположные стороны равны и параллельны), четыре угла.
Реальные примеры прямоугольника: банкнота, мобильный телефон, обложка книги и т. Д.
Q.4. Напишите два примера конуса.
Ответ: Конус — это сплошная форма \ (3 \, {\ rm {D}} \). Два примера рожка — шапочка для дня рождения и рожок мороженого.
Q.5. Подсчитайте и запишите количество кругов, овалов, треугольников, прямоугольников и квадратов на рисунке ниже.
Ответ:
Количество кругов \ (7 \).
Количество овалов \ (6 \).
Количество треугольников: \ (8 \).
Количество прямоугольников: \ (4 \).
Количество квадратов \ (3 \).
Сводка
Геометрические формы повсюду. Почти все состоит как из двумерных \ (2 \, {\ rm {D}} \), так и из трехмерных \ (3 \, {\ rm {D}}}) геометрических форм. В этой статье мы рассмотрели определение геометрических форм, геометрические формы, используемые в реальных объектах, типы геометрических фигур и их свойства, открытые формы, закрытые формы, список геометрических форм, некоторые примечания к геометрическим формам, примеры геометрических фигур, узор геометрических фигур и т. д.
Это поможет учащимся понять геометрические узоры и поможет понять геометрические формы, их свойства и т. Д.
Часто задаваемые вопросы (FAQ) — Геометрические формы
Q.1. Какие \ (3 \) примеры геометрической формы?
Ответ: Три примера геометрической формы: круг, треугольник и квадрат
Q.2. Какие основные формы \ (10 \) ?
Ответ: Основные формы \ (10 \) — это круг, овал, треугольник, ромб, квадрат, прямоугольник, трапеция, пятиугольник, шестиугольник и восьмиугольник.
Q.3. Какая геометрическая форма является наиболее распространенной?
Ответ: Круг — наиболее распространенная геометрическая форма.
Q.4. Каковы основные формы \ (4 \) ?
Ответ: Основные геометрические плоские формы \ (4 \) — это круг, треугольник, прямоугольник и квадрат.
Q.5. Сколько сторон у пятиугольника?
Ответ: «Пента» означает «пять» Итак, пятиугольник имеет \ (5 \) сторон.
Q.6. Определите уравнение Эйлера на примере?
Ответ: Уравнение Эйлера для любого многогранника: \ (F + V — E = 2 \), где \ (F \) — количество граней, \ (V \) — количество вершин, и \ (E \) количество ребер.
Пример:
Теперь \ (F + V — E = 2 \)
\ (F = 2 — V + E \)
\ (F = 2-6 + 12 \)
\ (F = 8 \)
Следовательно, количество граней равно \ (8. \)
.
Мы надеемся, что эта подробная статья о геометрических формах окажется полезной.Не стесняйтесь задавать свои сомнения или вопросы в разделе комментариев ниже. Мы обязательно свяжемся с вами в ближайшее время. Embibe желает вам всего наилучшего в вашей подготовке!
115 Просмотры.

My favourite subject is maths because i like science very much because: Урок 8. favourite subjects — Английский язык — 5 класс

alexxlab / 08.02.197018.07.2021 / Разное

Урок 8. favourite subjects — Английский язык — 5 класс

Английский язык

5 класс

Номер урока: 8

Название темы: Favourite subjects

Перечень рассматриваемых вопросов:

научиться составлять монолог и диалог о любимых школьных предметах;
научиться использовать лексику «Школьные предметы»;
научиться использовать вопросы;
научиться применять на письме правило о заглавных буквах;
развить умения диалогической и монологической речи;
актуализировать знания о глаголе-связке “to be”.

Тезаурус

Maths — математика

English – английский язык

History — история

PE — физкультура

Art — рисование

Music — музыка

Geography — география

Science — естествознание

IT – информатика

lesson – урок

to study — изучать

favourite — любимый

Список литературы

Обязательная литература:

Ваулина Ю.Е, «Английский в фокусе», учебник английского языка для общеобразовательных школ, 5 класс// Ваулина Ю.Е., Дули Д., Подоляко О.Е., Эванс В., — М., Просвещение, Express Publishing, 2018 -124 с

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал Puzzle English — URL: www.puzzle-english.com (Дата обращения: 23.05.2019)

Материал для самостоятельного изучения темы

At secondary school students have a lot of subjects to study. Dan is new to school. He wants to learn about new subjects.

Dan: What subjects do you study at school?

Kate: Oh, lots of them. But my favourite is Art. We usually draw or paint at the lesson.

Dan: Do you like Maths?

Kate: Oh, no. I don`t like to study numbers or count. It’s so boring.

Dan: What about History? I think it`s nice to learn about the past.

Kate: Yes, it is. I also like Geography, because we use maps and atlases.

Dan: Do you have IT?

Kate: Yes, we do. We have got many computers and a Science lab.

Dan: Ok, do you have a gym for PE lessons?

Kate: Of course, we do. Dan, what is your favourite subject?

Dan: My favourite subject is English.

Let`s repeat some useful words now. These are school subjects:

Maths

English

Art

Music

Science

History

Geography

Remember! You must start writing school subjects with CAPITAL letters. Use capital letters after full stops, in names of people, a pronoun I, countries, months and days of the week.

For example:

This is Martin. He is new to the school.

I like PE.

I am from Russia.

My birthday is in June.

We have Maths on Fridays.

Are these rules the same in your language?

No, they are not.

In Russian we must start with capital letters words after full stops, names and countries. But we shouldn`t capitalize days of the week, school subjects and months and pronoun I.

At school you often fill in the forms giving facts about yourself. In such forms you should give short answers.

Usually you are asked to answer the following questions:

What is your name?

What class are you in?

What school are you in?

What subjects do you choose?

To fill in the form you must write only facts, for example:

Dan Smith, 3D, secondary school, History and English.

Dan is new to the school. That’s why the teacher asked him to fill in the form. Let’s help Dan do it:

What is your name? – Dan Smith

What class are you in? – 3D

What school are you in? — secondary school

What subjects do you choose? – History and English

Now it’s time for us to practice writing capitalized words and answering these questions. Let’s go.

Тренировочные задания

1. Восстановление последовательности элементов горизонтальное

Put the subjects in alphabetical order.

Geography, Science, Art, PE, IT, English, Maths, History, Music.

Чтобы выполнить задание, внимательно ознакомьтесь с материалом объясняющего модуля.

Правильные ответы:

Art, English, Geography, History, IT, Maths, Music, PE, Science

2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Put the right form of the verb to be am, is or are.

___ this your pencil?
What ____ your name?
They ____ at school now.
She ____ doing homework.
I _____ happy.
The students _____ writing a dictation now.

Чтобы правильно выполнить задание, вспомните правила, о которых говорилось на уроке и те, которые Вы проходили ранее.

Правильные ответы:

1) Is this your pencil?

2. What is your name?

3. They are at school now.

4. She is doing homework.

5. I am happy.

6. The students are writing a dictation now.

My Favourite Subject (1). Мой любимый предмет (1)

[24.07.2012] olga Посмотрели: 23324 Рейтинг: 1 Коментариев: 0

1
My Favourite Subject (1)
We did quite a lot of subjects at school. They were: Physics, Mathematics, Biology, Russian Literature, Chemistry, English, History and many other subjects.
It was rather difficult to go to school when a school-leaver, we had so much to do. I know that all the subjects are important and they all must be payed much attention to, but still I didn’t like exact sciences. I spent a lot of time on doing them at home. But no matter how hard I tried, all those formulas and definitions got mixed up in my head and I couldn’t make it out after all. So I had nothing to do but sat for two or three hours swotting Physics, Chemistry and Maths.
My favourite subjects were Literature, History, and English. Most of all I liked English of course. I read English books, tried to translate some stories from newspapers. I had some English handbooks and they were of great help to me when I studied English Grammar and did some exercises. At our English lessons we read quite a lot of dull texts from our textbooks. But in my view, written texts and textbooks are not important.
The best way to improve your language skills and habits is to work at a language laboratory. But there was no good language laboratory at our school, and I spent plenty of time at home listening to the tapes, imitating the sounds and intonations of the native speakers. I was working hard at my pronunciation because my teacher said that it was my weak point. Sometimes I spoke English with my friends after classes and they said I was making a good progress in the language.
I decided to take my entrance exams to the Institute because I want to know English better. Nowadays, it’s impossible to do without foreign languages because of expanding economic, cultural ties of my country with other countries of the world. Besides, one can’t be a learned and a well-educated person if he doesn’t know at least one foreign language.
Мой любимый предмет (1)
В школе мы изучали много предметов. Это такие предметы как физика, математика, биология, русская литература, химия, английский язык, история нашей страны и многие другие.
Когда я был выпускником, было трудно учиться в школе, у нас было много работы. Я знаю, что все предметы важны и всем предметам надо уделять много внимания. Но все-таки мне не нравились точные науки. Я проводил много времени, изучая их дома. Как я ни старался, все эти формулы и определения перемешивались у меня в голове и я не мог ничего понять. И мне ничего не оставалось делать, как сидеть по два-три часа и зубрить физику, химию и математику.
Моими любимыми предметами были литература, история, английский язык. Больше всего мне нравился английский. Я читал английские книги, пытался переводить не- которые рассказы из газет с английского на русский и наоборот. У меня были некоторые английские справочники, и они мне очень помогали, когда я изучал английскую грамматику и делал упражнения. На уроках английского языка мы читали много скучных текстов из наших учебников. Но, я думаю, письменные тексты и учебники не важны.
Лучший способ усовершенствовать языковые умения и навыки — это работать в языковой лаборатории. Но в нашей школе не было хорошей лаборатории. И я проводил много времени дома, слушая кассеты, подражая звукам и интонации носителей английского языка. Я усердно работал над произношением, потому что мой учитель говорил, что это мое уязвимое место. Иногда я говорил по-английски с моими друзьями после занятий, и они говорили, что я делаю успехи в английском.
Я решил сдавать вступительные экзамены в институт, потому что я хочу знать английский язык. В наше время нельзя обойтись без иностранных языков из-за расширения экономических и культурных связей нашей страны с другими странами мира. Кроме того, нельзя быть эрудированным и образованным человеком, не зная по крайней мере одного иностранного языка.
My Favourite Subject — English for everyone
My Favourite Subject

My Favourite Subject
We did quite a lot of subjects at school. They were: Mathematics, Physics, Chemistry, History, Geography, Russian, English, Literature and others.
Every teacher asked for equal and adequate attention to his subject and it was not an easy work to do. I knew that all the subjects were important, but still I was always indifferent to exact sciences.
Since my childhood I have been fond of reading. My favourite subjects were Literature and languages. When I started studying English, the first thing I got interested in, was the different way to express one and the same idea in English and Russian. I wondered why if an Englishman is upset or gloomy he does not say «I have a bad mood» like Russians do but says «I feel blue».

There is an infinite number of such things in any language.
I read English books, tried to translate some articles from «Moscow News». Very often I borrowed English books from our school library. I spend a lot of time studying Grammar and doing exercises.
At our English lessons we read quite a lot, but didn’t talk much. So I and my friends decided to speak English among us. Very often I spoke English with my friends on the way home after classes.
Questions:
1. What subjects did you do?
2. Did you like them all?
3. What was your favourite subject?
4. Have you read any English books?
5. Was studying Grammar difficult for you?
Предметы, которые мы изучали в школе.
Мой любимый предмет
В школе мы изучали много предметов. Это — математика, физика, химия, история, география, русский и английский языки, литература и другие предметы.
Каждый учитель требовал, чтобы к его предмету относились с должным вниманием, и это было не всегда легко сделать. Я понимала, что все предметы важны, но все же оставалась равнодушной к точным наукам.
С детства я любила читать. Моими любимыми предметами были литература и языки. Когда я стала изучать английский, первое, что меня заинтересовало, это то, что мы по-разному выражаем одну и ту же мысль в английском и русском языках. Мне было интересно, почему когда англичанин расстроен и подавлен, он не скажет, как русские: «У меня плохое настроение», а скажет: «Я чувствую себя унылым».
В каждом языке встречается бесконечное множество таких различий.
Я читала книги на английском языке, пыталась переводить статьи из «Московских новостей». Очень часто я брала книги на английском из нашей школьной библиотеки. Я потратила много времени, изучая грамматику и выполняя упражнения.
На наших уроках по английскому языку мы достаточно много читали, но не очень много разговаривали. Поэтому я и мои друзья решили говорить по-английски между собой. Очень часто после занятий, по дороге домой, мы говорили по-английски.
Источник: 100 тем английского языка. Авторы Каверина В. Бойко В. Жидких Н.
Какой ваш любимый предмет для изучения? — Достигните — вопросы о вашем здоровье и фитнесе, на которые отвечает сообщество
Огюст Т.
Английский язык. Я люблю читать и писать, и по сравнению с другими классами средней школы, английский определенно самый терпимый.
Тр. №
Я люблю изучать химию. Мне это показалось чрезвычайно интересным. На самом деле химия — единственный предмет, который мне расслабляет, и я могу изучать его в течение длительного времени. Надеюсь, что я смогу узнать больше и найти для себя больше предмета, который мне нравится.
Zulma Q.
Моя любимая тема — анимация, инвестиции и бизнес. Мне нравится открывать анимационную компанию. Я хочу поделиться своим воображением с другими людьми. Я также хочу сделать так, чтобы анимационная индустрия Малайзии стала самой успешной в мире. Я надеюсь, что смогу стать богатым и помогать нуждающимся. Я надеюсь, что смогу стать богатым человеком в своей семье, сделать их счастливыми и бороться со своим стрессом и депрессией, также не забывай, стану успешным инвестором
Dhoni X.
АНГЛИЙСКИЙ И БИОЛОГИЯ — МОЙ ЛЮБИМЫЙ… Я ВЫБРАЛ АНГЛИЙСКИЙ, ПОТОМУ ЧТО Я УЧУСЬ БЛАГОДАТЬ АНГЛИЙСКОМУ… .И БИОЛОГИЯ ПОТОМУ ЧТО Я ХОЧУ ИЗУЧАТЬ НАШЕ СОБСТВЕННОЕ ТЕЛО. ПОЧЕМУ Я ВЫБРАЛ ЭТИ ДВЕ ТЕМЫ В КАЧЕСТВЕ ЛЮБИМОЙ ТЕМЫ
Рей Н.
Сложные предметы! такие как английский, математика и естественные науки. Почему? потому что я горжусь, когда овладеваю ими или когда получаю одну из самых высоких оценок.
Юлия К.
Лично мне больше всего нравится изучать общественные науки.Я могу так много узнать о своем прошлом, и я могу извлечь уроки из ошибок, которые уже произошли.
Моника Л.
Умм немного озадачен
Но я думаю, что люблю физику (я люблю изучать физику, не решая числовые, ха-ха), но не могу отрицать историю .. Сказки о короле и королевствах
всегда фантазировали меня с раннего возраста ммммм, я люблю изучать политику мне тоже это никогда не надоедает. Я могу изучать политологию часами. Точнее, я люблю политологию больше всего
Яра Ф.
Мне интересно изучать психологию и самопознание или цели человеческого творения
Мне также очень интересно читать старые легенды
Мифы о древних богах и богинях
И изучать исторические истории
Ишика Г.
На данный момент я люблю биологию, потому что мне интересно узнавать о живых организмах и человеческом теле. Тот факт, что мы изучаем все, что нас окружает, делает это интереснее
Еша Т.
Я люблю английский.в отличие от математики, здесь нет однозначного ответа. Английский язык — это погружение во всевозможные интерпретации и создание чего-то такого творческого из одного слова или небольшой цитаты. это действительно заставляет вас растянуться и увидеть один и тот же фактор под разными углами. это тоже хороший жизненный совет. иногда лучше посмотреть на аргументы с другой точки зрения и прийти к тому же
Cj2010 Cf N.
У меня несколько. Один из них — химия, которую я люблю изучать. это предмет, которым я хотел заниматься, но, к сожалению, не смог.Я не хочу зацикливаться на том, что, если, потому что я не могу изменить прошлое, я могу попробовать изменить свою специальность, но это дало бы гораздо больше времени на учебу в коллаже без работы, если бы я закончил специальность, связанную с химией. Остальные предметы — это языки, не лингвистика, а каждый язык в отдельности. Я учил испанский и японский, но пока отложил испанский, чтобы посвятить себя изучению японского. Как только я смогу сказать, что могу бегло говорить на обычном японском, я снова займусь испанским.
Silke Q.
Я все еще учусь в средней школе, мой любимый предмет — история или экономика! Еще я играю на гитаре, которую люблю «изучать»! Кроме того, мне нравятся уроки английского и французского xx
.
Эстель З.
Я люблю английский и биологию, но мне нужно выучить румынский и математику. Я люблю математику, но не румынский. Я хочу закончить все дела в школе, хочу выучить биологию и английский.
Аиша Ф.
Мой любимый предмет — физика.По крайней мере, я так думаю. Все это имеет смысл в моей голове, и это факты реальной жизни, не похожие на математику.
Габриэль Э.
Мне нравится узнавать о новых способах улучшения здоровья. Я люблю смотреть документальные фильмы на темы, связанные со здоровьем, и узнавать о мелочах, которые могут помочь мне улучшить мой разум и тело
Тони В.
Ооо .. хорошо, это сложно. Для меня это зависит от темы. Сейчас я изучаю биологию. Есть части, которые я люблю, а другие не очень.Я думаю, что мне больше всего нравится учиться навыкам. Я занимаюсь цветочным дизайном и мне это нравится! Подобные техники меня радуют. Я чувствую себя творчески! На самом деле я только что присоединился к программе «Skillshare» и «просто учился на продуктивных курсах, курсах мышления и даже выучил новый язык». Это просто зависит от того, что с вами говорит! Продолжайте пробовать разные вещи, и вы найдете то, что любите. И вы будете делать удивительные вещи!
Юлия К.
Пшеничное и ягодное мороженое или тосты с авокадо и приправы EBTB.Оба могут быть приготовлены как веганские, и их приготовление занимает всего 5-10 минут.
Сильвия У.
Так как я больше не учусь в старшей школе, у меня действительно нет постоянных предметов, мои предметы меняются с семестры на семестару (кстати, я студент колледжа). Но одна вещь, которую я действительно люблю изучать и учить, — это языки (вероятно, поэтому я выбрал колледж, в котором учился, смеется). Мне просто нравится изучать новый язык и культуру людей, говорящих на этом языке, или языковых групп.
Ac Cio O.
Акушерство и гинекология с точки зрения китайской медицины. Мне нравится узнавать, как иглоукалывание и фитотерапия могут быть использованы для улучшения здоровья женщин.
Аиша Ф.
Мой любимый предмет для изучения — что-нибудь изобразительное. Я обнаружил, что меня больше интересует тема, когда я основываюсь на моем хобби, таком как музыка. Оркестр и хор были отличными предметами для изучения, потому что они включали в себя то, что меня уже интересовало.
Mille G.
На самом деле меня больше интересуют литература, лингвистика и цивилизация, это мои любимые предметы для изучения, я нахожу радость и развлечение в их изучении.
Бретт З.
Мне нравится изучать математику, но в математике есть некоторые темы, которые я действительно не понимаю, но, другими словами, мне также нравится изучать искусство, потому что я думаю о том, с кем я сижу!
Andr A Y.
Я думаю, что мои любимые предметы для изучения — английский и искусство. Английский дается мне легко, хотя я немец. И я считаю, что искусство интересно, потому что существует так много разных стилей, и я люблю рисовать.
Кэролайн П.
Музыка! Я думаю, это так весело смотреть на разные музыкальные жанры и узнавать о том, какая музыка вам нравится в
.
Бретань У.
Медитация — она позволяет прикоснуться к человеческой природе и добродетелям и помогает соединиться с ними и положительно контролировать себя таким образом, чтобы принести мир и равновесие в мире.
София Н.
Наука, потому что я узнаю все о жизни и всевозможных способах ее воздействия на нас как людей и о том, на что и как мы применяем науку в мире медицины, кулинарии и других вещах.
Джесси К.
Честно говоря, у меня их так много, но я думаю, что, естественно, мне нравится изучать лайфхаки и способы решения своих проблем или проблем окружающих меня людей.Прямо сейчас я действительно инвестировал в финансовые улучшения, не забывая при этом о своем психическом здоровье и счастье.
Мари П.
Мой любимый предмет для изучения — английский, потому что вы можете быть очень изобретательными, когда дело доходит до написания рассказов или описания чего-то классу или учителю, и вы можете узнать много известных фактов из книг и рецептов, если вам нравится готовить из них. книги рецептов и поиск важных текстовых функций в статьях и, конечно же, во всех интересных проектах !!!
Саша Т.
Я изучаю немецкий язык, живу в Германии, и мне трудно поддерживать разговор, поэтому я действительно стараюсь учиться. Это здорово, когда я могу использовать несколько новых слов и понимать больше в своей повседневной жизни!
Марго Э.
сейчас я изучаю психологию для следующего вступительного экзамена, но у меня есть степень магистра изобразительного искусства, так что искусство и психология — мои любимые, но я люблю читать для удовольствия, и я бы взял любую интересную книгу …
Марджори К.
Английский язык и наука Мне интересно, насколько разной может быть жизнь, и тот факт, что у меня может быть такое дикое, но веселое воображение, которое помогает мне создавать истории разных жанров
Эша Т.
Я вообще люблю узнавать новое. Если мне нужно выбрать тему, я выберу еду, рецепты или, можно сказать, узнаю, почему рецепт не работает.
Ильзе Я.
Ik vind alle vakken leuk soms vind ik wiskunde leuk als we een leuk hoofdstuk hebben soms vind ik bio leuk als we een interssant paragraaf hebben, dat is bij (bijna) alle vakken zo
Сити X.
Я люблю изучать разные языки и бизнес. И я хотел быть бизнесменом в молодом возрасте.Я надеюсь, что смогу это сделать.
Юлия К.
Мне нравятся исторические, религиозные и культурные исследования. Вообще, познание нового доставляет мне огромную радость. В молодые годы я очень многое не знал, и из-за отсутствия знаний я часто выставлял себя дураком. Часто возникали недопонимания, и люди чаще обижались. Изучение других культур помогло мне стать более понимающим и уважаемым по отношению к другим. Это также помогло мне улучшить моих персонажей для написания историй и биографий.
Рэнди Г.
Искусство было бы моим любимым, потому что оно включает в себя множество подтем. Искусство присутствует во многих местах, о которых мы даже не подозреваем.
Кристиана Н.
Мой любимый предмет для изучения — математика, потому что нужно задействовать свой ум и очень много думать, чтобы получить правильный ответ
Гуарани П.
Математика. Это заставляет меня чувствовать себя самим собой, и мне нравится этот предмет. Это то, что может меня успокоить и расслабить. Для меня математика — это как медитация.С математикой вы ее либо понимаете, либо нет, и если вы ее понимаете, вам это нравится, а когда вам это нравится, становится легче понимать вещи. Это позволяет мне бросать вызов самому себе и больше использовать свой мозг. Математика — одно из моих увлечений.
Юлия К.
Когда я учился в старшей школе, это была биология! Поэтому я решила учиться на биохимии. На данный момент я бы сказал, что мне больше всего нравится клеточная биология
Qasya N.
Психология. Я не психолог, работаю младшим врачом.Но мне нравится изучать психологию как часть моего хобби, потому что это дает мне возможность узнать о человеческом поведении
Юлия К.
Вы можете выполнить несколько разминок, после чего вы можете выполнить домашнюю тренировку, которую вы можете найти на YouTube, или даже вы можете использовать некоторые приложения для домашней тренировки, например, домашнюю тренировку, или присоединиться к некоторым задачам, которые вы можете выполнять дома без какого-либо оборудования, например отжимания и т. д. Но для лучших результатов вы должны выполнять их ежедневно. Надеюсь, я ответил на ваш вопрос, и вы понимаете, о чем я.
Спасибо и всего наилучшего
Юлия К.
Я люблю английский и писать. Они приходят ко мне естественно. Мне также очень нравится наука, космическая наука и криминалистика — мой любимый.
Эмили Н.
Math. это как забавная головоломка, которую я решаю, и я хорошо разбираюсь в математике, поэтому разгадывать головоломку и получать ответ меня успокаивает и приятно. Математика — это на самом деле изучение закономерностей. А чтобы собрать пазл, вам нужно замечать закономерности вокруг себя и соединять их вместе. Например, когда вы разделяете разноцветный мир, решая головоломку, или когда вы разделяете похвалы прямой стороной для границы головоломки.
Диованда З.
Больше всего мне нравится изучать темы, связанные с телом (курьезы), но более конкретно о разуме, мыслях, способах действий в определенных ситуациях, чувствах и реакциях. Мне нравится узнавать, насколько фантастично, когда два человека по-разному реагируют на одно и то же. Ведьма даже этим делает их уникальными и непохожими друг на друга, но в то же время равными.
Ишани Х.
Мои любимые предметы для изучения — история, география, физика, химия, биология, математика, астрономия, английский, французский и искусство 😀
Я говорю: Мой любимый предмет в школе… — YP
? xml version = «1.0 «standalone =» yes «?
Учителя английского и английского языков
Мой любимый предмет в школе — английский, потому что он позволяет мне изучать больший словарный запас и правильно произносить слова.
Эмма Чжу, 14 лет, средняя школа Фунг Кай Лю Ман Шек Тонг
История = меньше домашних заданий
Мой любимый предмет в школе — история, потому что я люблю узнавать о том, что произошло в прошлом.Мой учитель все очень наглядно объясняет, отчего я еще больше интересуюсь предметом. Я думаю, что люди могут извлечь уроки из прошлого и попытаться добиться большего. Кроме того, приятно, что у вас меньше домашних заданий по истории, чем по другим предметам.
Генри Чоу Ка-ханг, 13 лет, King Ling College
Я говорю: Если бы я мог встретить любого известного человека из прошлого, я бы встретил …
Увидеть мир
Я люблю география самая. Когда я был маленьким, я впервые просмотрел атлас.В нем было много интересных снимков с разных уголков земли. Мне было действительно интересно узнать больше о жарких тропических лесах и ледяной Арктике. Теперь я могу узнать все об этом в школе!
Хлоя Цзе, 12, школа Святого Павла
История = / = Скучно
История. Некоторые могут подумать, что это скучная тема, но мне она кажется очень интересной. Не думаю, что мне когда-нибудь надоест слушать рассказы о прошлом, во всяком случае, это просто заставляет меня хотеть узнать больше!
Марко Чоу Кин-лонг, 16 лет, Госпиталь Ян Чай Колледж Чан Чор Си
Спорт, развлечения и игры
Физическое воспитание.Это потому, что я научился играть во многие виды спорта, такие как баскетбол, теннис, бейсбол и бадминтон. Физические упражнения делают меня счастливым.
Иван Ли Хо-ман, 12 лет, PLK Ma Kam Ming College
Я говорю: Если бы я был генеральным директором Гонконга, я бы …
Общение с остальным миром
Мне больше всего нравится английский, потому что наш учитель очень добр к нам. Более того, английский — очень полезный язык, потому что на нем могут говорить многие люди во всем мире.
Джейми Нг Сечинг, 12 лет, Каносский колледж Св. Франциска
Мозг для вычислений
Мой любимый предмет — математика, потому что я считаю, что это очень весело. Мне нравится выяснять взаимосвязь между числами, когда я решаю уравнения. Я всегда с нетерпением жду решения следующей проблемы. Я считаю, что математика полезна в повседневной жизни и также может помочь мне в моей будущей карьере.
Ченг Цз-хо, 12 лет, колледж Кинг Линг
Я говорю: Если бы я мог жить где угодно в мире…
Тайны жизни
Мой любимый предмет в школе — биология. Мне он нравится, потому что он учит меня больше о природе и окружающей среде. Мне особенно интересно узнать об условиях окружающей среды в Гонконге и проблемах, с которыми мы сталкиваемся. Я также хочу узнать больше о различных диких животных, которые мы можем найти в Гонконге. Биология окружает нас повсюду, а не только в нашем учебнике. Вот почему я так люблю эту тему.
Джон Лю, 16 лет, 80-летие больницы Пок Ой Колледж Тан Ин Хей
На следующей неделе мы хотим знать…
Какое у вас новогоднее решение?
Чтобы принять участие, присылайте свои ответы на [адрес электронной почты защищен]. Укажите свое полное имя, класс, школу и возраст. Затем проверьте статью на следующей неделе, чтобы увидеть, есть ли ваш ответ!
Под редакцией Николь Мораледа
Почему я люблю науку | Наука
В наши дни наука находится в осаде. Некоторые политики гордо заявляют, что эволюция — это всего лишь теория, а изменение климата — заговор ученых.Гуру здоровья пропагандируют гомеопатию или «естественные» лекарства, а не современную медицину. Родители игнорируют советы врачей и специалистов и отказываются вакцинировать своих детей от смертельных болезней. Люди, которые счастливы пожинать плоды науки — например, новые методы лечения или научно-фантастические технологические устройства — выступают за то, чтобы в школах преподавали религию на уроках естествознания.
Итак, я думаю, что пора всем нам высказаться.Давайте объясним, чем нас удовлетворяет наука, как наука улучшает наш мир и почему она лучше суеверий. С этой целью я начинаю новую серию статей «Удивительная наука»: Почему мне нравится наука . В ближайшие месяцы я попрошу ученых, писателей, музыкантов и других высказать свое мнение по этой теме. И еще я спрашиваю вас, читатели, почему вы любите науку. Если вы хотите принять участие, отправьте эссе объемом от 200 до 500 слов по адресу [email protected]; Я опубликую самое лучшее.
И для начала, вот почему I люблю науку:
Когда мы маленькие, мы спрашиваем «почему.» «Почему небо синее?» «Почему шары падают, а не вверх?» «Почему моя рыба не может жить вне воды?» Хорошие родители основывают свои ответы на науке. Небо голубое из-за того, что свет рассеивается в атмосфере. Шары падают под действием силы тяжести. У вашей рыбы нет легких, а жабры работают только в воде.
Но наука не просто дает нам ответы на причины нашего детства; он дает нам инструменты, необходимые для того, чтобы отвечать на них по мере взросления.
Наука — это инструмент, который я использую, чтобы понять окружающий меня мир.Он обеспечивает логику, смысл и порядок в том, что в противном случае могло бы показаться хаотичным. И хотя ответ на вопрос, почему я стал взрослым, иногда может быть «мы не знаем», на самом деле это просто «мы еще не знаем , но еще не » — ответ в конечном итоге будет найден с помощью науки.
И затем есть акт поиска тех ответов, претворения в жизнь научных методов, которые я нахожу более увлекательными, чем любая художественная литература. Есть астрономы, которые используют телескопы, чтобы заглянуть в прошлое. Биологи, которые открывают новые виды как в знакомых, так и в далеких местах и пытаются выяснить, как спасти других от исчезновения.Даже не ученый, сидящий за компьютером, может помочь решить молекулярные структуры, поискать планеты или расшифровать древнеегипетские тексты во время обеденного перерыва. Наука часто бывает просто развлечением.
Наука — это также свет, который удерживает нас от темных веков. Возможно, это не решит всех наших проблем, но обычно указывает путь к решениям. И чем больше мы знаем, тем больше вопросов мы находим. Это бесконечный поиск ответов, который будет продолжаться до тех пор, пока существует человечество.И гарантированное удовлетворение для маленькой девочки внутри меня, которая все еще спрашивает «почему».
Понравилась статья?
ПОДПИШИТЕСЬ на нашу рассылку новостей
Какой ваш любимый предмет — математика? — Реабилитацияrobotics.net
Какой ваш любимый предмет — математика?
Математика — мой любимый предмет, потому что с ее помощью легко решить задачу. Мне нравится использовать числа, дроби, десятичные дроби и многое другое. Математика также используется в реальном мире, например, для определения времени, сложения, деления, процента и даже в будущей карьере, такой как инженер, архитектор, учитель математики и многое другое.
Какой ваш любимый предмет и почему?
Мой любимый предмет в школе — математика. Это моя любимая вещь, потому что у меня никогда не было с ней проблем и я всегда получаю хорошие оценки на тестах. Хотя математика для меня проста, некоторым из моих друзей она очень трудно. Не совсем понимаю почему.
Наука очень сложна?
Хотя мы называем наши самые простые научные специальности, важно отметить, что получить ученую степень по своей сути сложно.От изучения словарного запаса биолога до приобретения навыков решения сложных математических задач, получение научной степени — это трудоемкое мероприятие, которое бросает вызов даже лучшим студентам.
Какой предмет самый сложный?
Вот список из 10 самых сложных курсов в мире.
Медицинский.
Квантовая механика.
Аптека.
Архитектура.
Психология.
Статистика.
Закон.
Химия.
Какой предмет самый сложный в 9 классе?
Десять самых сложных школьных предметов
Физика. На сегодняшний день физика — САМЫЙ ТРУДНЫЙ ПРЕДМЕТ В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ.
Иностранный язык. Я изучаю немецкий язык, и, честно говоря, это, вероятно, просто платформа курса, который я изучаю (я учусь в виртуальной школе, поэтому учусь самостоятельно). Это такая неприятность в моей жизни.
Химия.
Math.
Исчисление.
англ.
Биология.
Тригонометрия.
9 класс трудный?
Да, на мой взгляд, 9-е место сложно. В этом классе вам нужно много учиться, и вы познакомитесь с очень новыми темами по разным предметам. Но после 9-го вы будете чувствовать себя комфортно в 10-м классе, так как большинство тем 9-го класса разрабатываются в этом классе, добавляются некоторые важные темы.
Почему математика сложна?
Математика кажется сложной, потому что требует времени и энергии. Многие люди не имеют достаточно времени, чтобы «получить» уроки математики, и они отстают по мере продвижения учителя.Многие переходят к изучению более сложных концепций с шаткой основой. Часто мы получаем слабую структуру, которая в какой-то момент обречена на обрушение.
Какой первый язык в мире?
Санскрит
Какой язык лучше всего учить?
10 лучших языков мира для изучения
Мандарин. Мандарин — один из самых быстрорастущих языков в мире.
Испанский. Важность владения испанским языком продолжает расти.
Немецкий.Немецкий язык занимает четвертое место по количеству используемых языков мира.
португальский. Португальский язык занимает первое место после испанского как самый распространенный язык в Латинской Америке.
Арабский.
Французский.
Японский.
Русский.
Какой язык лучший в мире?
Сохранение языковых традиций
Рейтинг Язык Всего динамиков
1 Английский 1,132M
2 мандаринский китайский 1,117M
3 Хинди 615M
4 Испанский 534M
Какой иностранный язык лучше всего подходит для карьеры?
— Вот 10 лучших языков для вашей карьеры:
Китайский.
Немецкий.
португальский.
Японский.
Испанский.
Корейский.
Французский.
Арабский.
Сколько языков вы можете выучить?
Реальность такова, что можно выучить столько языков, сколько захочется. Самостоятельно решать, хотят ли они перестать изучать языки. Людей, говорящих на нескольких языках, называют полиглотами. И есть много полиглотов, которые свободно говорят на шести языках.
Десять лучших школьных предметов
1 Математика
Math.С чего бы мне начать? ЕГО СКУЧНО, КАК ЧЕРТ! Это не шедевр! Это не искусство! Это так скучно. Да ладно, ребята, цифры и буквы — это не искусство, давайте будем реальными. это отстой, отстой, отстой! Извините, но цифры и буквы не уникальны, когда мы используем их каждый день. Конечно, математика используется для создания уникальных вещей, но сама математика скучна. кстати, все это время я имел в виду не алгебру.
Базовая математика — это неплохо, а алгебра — неплохо.
Алгебра вызывает у меня усталость, стресс, скуку, несчастье и т. Д.
Алгебра заставляет меня думать о Северной Корее
Базовая математика — это люди, которые живут в Северной Корее.
А алгебра — это Ким Чен Ын и его режим.
Алгебра разрушила мой интерес к математике. На мой взгляд, математика никоим образом не интересна, увлекательна, креативна и т. Д. Она просто вызывает стресс.
Не поймите меня неправильно, важна базовая математика! Но с помощью современных технологий можно ли считать алгебру полезной вне школы?
В целом АЛГЕБРА ОТСТОЙ!
Математика всегда вокруг нас, и мы подсознательно или сознательно используем ее в повседневной жизни, от поиска выгодной сделки до броска мяча. Кроме того, людям, которым это не нравится, всегда кажется, что это сложно, но это не так.К тому же это ЧРЕЗВЫЧАЙНО весело. Что тут не нравится? В детстве я любил строить теоремы, а теперь, будучи математиком, не могу любить это больше!
Я люблю математику, потому что она абсолютно логична и, по сути, представляет собой головоломку, которую нужно решить. Это конфетка для моего мозга и позволяет мне думать о вещах логически. Хотя я ценю важность чтения и письма, я ненавижу их субъективность, особенно когда мне нужно выбрать «лучший ответ» для стандартизированных тестов. Математика объективна и не менее важна, чем чтение и письмо.
На мой взгляд, дело не в том, что учителя хорошие и т. Д. Я думаю, что причина того, что это на высоте, в том, насколько это важно. Эти математические числа есть везде. Часы = числа. Деньги = числа. Я считаю, что математика очень важна, и без математики между нами и жизнью был бы очень большой разрыв.
2 Английский
Это должен быть номер 1. Книги отправят вас в удивительное путешествие, которого вы не найдете ни в одном другом предмете.Математика? Действительно? Да, складывать числа, а затем разделять их — это так весело (обратите внимание на сарказм). На самом деле, я люблю математику, но НАМНОГО МЕНЬШЕ, чем английский! Читая, вы можете избежать ужасной правды, которая есть реальность. Читая, вы можете найти интересных друзей, которые никогда не уйдут и не осудят вас. Читая, вы можете бросить вызов невозможному! Я могу продолжать и продолжать, но зачем беспокоить вас, когда вы можете просто пойти читать?
И это только часть чтения. Еще лучше с …
WRITING.Вы можете быть правителем своего королевства. Вы можете воплотить в жизнь все свои мечты. Вы можете делать все, что угодно, не боясь быть ненавистным. Вы можете создавать свои собственные страны, миры и даже вселенные! Вы можете изменить жизнь человека, используя только силу слов. Вы контролируете ВСЕ. Вы устанавливаете свои собственные правила. Вы делаете свою жизнь, жизнь другого человека или даже друга … подробнее
Я люблю английский! Он включает в себя множество интерпретаций и свободу, а также наблюдение за человеческой природой и создание целого мира из каракулей на странице… Но грамматические структуры меня действительно понимают. У меня неплохая грамматика, но части речи и тому подобное — для меня тоже построены на систематическом и логическом мышлении!
Да! Английский великолепен, но математика всегда кажется лучше, чем он … Могу я спросить, почему? Английский язык такой выразительный и потрясающий, и, в любом случае, математика для меня просто скучна. Мой учитель английского тоже такой милый. Она такая забавная, когда ей тоже хочется.
Я изучаю английский как иностранный. Очень полезный предмет, потому что это очень популярный язык и потому что это язык лучших стран мира.
3 История
История — мой лучший и любимый предмет. Люди болтают о том, насколько важны математика и естественные науки, но мы не можем забыть, как превратилось в образование, или как Америка выступила против британцев, или как Великая депрессия была худшей сессией для Америки.
Если мы не узнали об истории, мы можем повторить те же ошибки в прошлом. Возможно, ему нечего делать в нашей жизни, но эй, по крайней мере, мы не были такими глупыми, как они, в средние века.
Я учусь в 7-м классе и беру 6 основных классов, но мой список будет выглядеть так:
1. История
2. Испанский
3. Мировые религии
4. Английский
5. Естественные науки
6. Математика
Сейчас не поймите меня неправильно, я люблю науку, но мой учитель естественных наук такой скучный и злой.
Единственная причина, по которой мой урок истории неинтересен, — это мой учитель. Она загрузила какой-то тупой исторический рэп вроде …
«на реке Евпрат на реке Евфрат …
Каждая песня, которую они ставят, несколько глупая, но, по крайней мере, она тратит несколько минут
4 Музыка
Музыка прекрасна, я не умею играть на музыкальном инструменте, но люблю петь.Проблема в том, что я стесняюсь петь при всех. В любом случае, мне нравится эта тема.
Все остальные на этом сайте — меломаны, поэтому я думаю, им понравится этот школьный предмет.
Я люблю играть и слушать музыку.
Я играю на флейте
5 Физика
Без сомнения, это лучший предмет; гравитация, энергия и вообще СМЫСЛ ЖИЗНИ, если это вас не увлекает — что будет?
Я согласен с тем, что физика, вероятно, один из самых сложных предметов для прохождения, но это, без сомнения, самый интересный и увлекательный предмет из всех существующих.Физика — это, по сути, алгебра и тригонометрия, смешанные вместе, и она создает из таких вещей, как гравитация и вселенная, до продвинутого смысла жизни. Если это вас не заинтригует и не заинтересует физикой, то ничего не получится.
Физика, изучение природы, фундаментальные основы всего, что мы видим, в высшей степени противоречащие интуиции наблюдения объектов, находящихся в двух местах одновременно и гипотетически мгновенно сохраняющих информацию с межгалактических расстояний, загадки рождения, эволюции, судьбы Вселенной , и все в нем.Если это вас не интересует, что будет?
Физика занимается такими вопросами, как, например, как возникла Вселенная. Или возможно путешествие во времени. Или то, что находится в конце черной дыры. Или то, что лежит за пределами вселенной.
Очаровательно.
6 Химия
Химия — мой любимый предмет.
7 Биология
Я люблю науку в целом, но биология — это всего лишь богоуровень.Мой самый любимый предмет.
Мне это вообще интересно.
Это должен быть номер 1.
Лучший предмет
8 Арт
Искусство действительно обратило на меня внимание. Мне не нравилось внимание, но все в порядке.
Мой учитель оценил мои способности к рисованию. Она сказала, что это было необычно. Исключительно.
Никогда не думал, что она так скажет.
Искусство — это действительно весело, потому что вы можете рисовать, творить и делать гораздо больше.Вы также можете научиться рисовать вещи. ИСКУССТВО УДИВИТЕЛЬНО!
Искусство — это здорово и весело, хотя я не очень хорошо рисую.
Я чувствую себя единственным человеком, которому нравится учитель рисования …
9 География
Один из интересных предметов, где вы можете получить возможность изучить карту мира, узнать о разных континентах мира, странах, городах и их УТП.
Лучшее из них — страны.Это не так сложно, как кажется, вы легко можете узнать их и их столицы, если вы знаете это так, как я. Например, в Европе я делю его на Европейский Союз и остальную Европу, и его становится намного легче выучить.
География — интересный предмет, с помощью которого мы узнаем о различных частях света. Климатические условия, растительность и другие особенности разных стран делают его захватывающим.
Я знал, где находится каждая страна, ко второму классу, поэтому этот предмет был для меня безумно легким.Даже культурная география в колледже была действительно легким курсом.
10 Наука
Наука такая интересная! Так много всего, что нужно узнать даже о животных. Хотя, не знаю, почему это не лучше всех предметов?
Я люблю науку, это интересный и отличный предмет. Я люблю исследовать и проводить эксперименты, вы можете многому научиться и исследовать!
Наука — мой любимый предмет, она включает в себя множество вещей в жизни.Это меня вдохновляет и поражает.
Самая интересная тема на свете!
Претенденты
11 Физическое воспитание
Не нужно ничему учиться, просто тренируйтесь и играйте в футбол с ребятами!
Быть в хорошей физической форме лучше, чем просто мозг.
Это грустно из-за того, что все предпочитают математику П.Е. это просто глупо
Sport — лучший из всех!
12 Французский
13 Технологии
14 Спорт
В спорт действительно весело играть, и он дает вам много упражнений! Вы можете выбирать из множества видов спорта, поэтому не говорите, что вам не нравится спорт, БУДЬТЕ АКТИВНЫ!
Спорт — это так весело
Как это предмет?
15 Театральный класс
Театр лучший
16 Экономика
17 Производство видео
18 Психология
BEST.КЛАСС. КОГДА-ЛИБО! Нет ничего веселее, чем пытаться выяснить, что заставляет людей делать странные и случайные вещи, и выяснять, почему вам нравится делать странные вещи и почему ваша семья любит делать раздражающие вещи!
19 Чтение
20 Общественные науки
21 Анимационное искусство
Это класс моей мечты.
22 Общие знания (G.К)
23 Гражданское
24 Письмо
Это способ проявить творческий подход и выразить себя. Это лечебное и успокаивающее средство.
25 Социология
Вы пишете информативное эссе по любимому предмету в школе. Из какого предложения получится
Гражданское неповиновение Часть 1 Большинство людей помнят Ганди и доктора Мартина Лютера Кинга-младшего.как реформаторы, практикующие ненасильственные формы протеста и пропаганды … Кейси. Оба эффективно изменили общественное мнение об эмоциональных проблемах своих стран и вызвали волну перемен, которая давно назрела. Но практика ненасильственного протеста или гражданского неповиновения началась задолго до Ганди или Кинга. Все началось с тихого, застенчивого поэта, который больше всего известен тем, что много писал о пруду. Генри Дэвид Торо жил с 1817 по 1862 год, в основном в районе Конкорда, штат Массачусетс. Проблема, которая разлучила страну в 1860-х годах, уже начала раскол нации.Торо было всего 14 лет, когда Нат Тернер возглавил восстание рабов в Вирджинии и позже был повешен. В свои двадцать с небольшим Торо начал публично выступать против рабства, вторя голосам вольноотпущенников, таких как Фредерик Дуглас и Льюис Хайден. Торо считал, что правительство, поддерживающее рабство, коррумпировано и аморально. Он также очень подозрительно относился к правительству. По этим и другим причинам Торо отказывался платить подушный налог в течение ряда лет. Подушный налог был законным налогом, который должен был уплатить каждый человек.По сути, это был налог на тело. После долгих лет неуплаты он был наконец арестован. Однако он провел в тюрьме только одну ночь, так как родственник заплатил за него налог. Сообщается, что он был в ярости из-за того, что от его имени платили любой налог. Именно об этом опыте Торо написал в эссе под названием «Гражданское неповиновение». В этом эссе он утверждал, что быть моральным и просто стоять выше преданности правительству. Он писал: «Если машина правительства такова, что требует, чтобы вы были орудием несправедливости по отношению к другому, тогда, я говорю, нарушайте закон.«Он также чувствовал, что голосования недостаточно, чтобы гарантировать, что все будет правильно. Он написал, что« даже голосование за право ничего не делает для этого … Мудрый человек не оставит право на произвол судьбы … »Он чувствовал этот человек несет моральную ответственность противостоять несправедливым законам. Что автор показывает в истории о тюремном заключении Торо? Как Торо протестовал Как сердился Торо Что несколько человек протестовали Он был влиятельным
Гражданское неповиновение Часть 2: Идеи Торо оказали глубокое влияние на человека по имени Ганди.Ганди был лидером в Индии, который работал над прекращением британского правления. … Он привел Индию к независимости и вдохновил многих на ненасильственные формы протеста и сопротивления. Он боролся за искоренение бедности, работал над расширением избирательного права женщин и наводил мосты между этническими и религиозными группами. Как и Торо, он жил просто, владел очень мало и придерживался вегетарианской диеты. В Индии протест Ганди был назван «движением отказа от сотрудничества». Он призвал индийцев бойкотировать британские системы образования и оставить государственные должности.Движение было очень популярным, и отчасти, чтобы остановить его распространение, правительство, контролируемое Великобританией, арестовало его. Через несколько лет он был освобожден и снова стал активным в политике. Он вдохновил многих последовать за ним на марши протеста против различных налогов. Во время одного из таких маршей тысячи людей последовали за ним на 240 миль в течение 24 дней к морю в знак протеста против налога на соль. Этот марш показал пример ненасильственного сопротивления правительству, которому последовали другие жители страны. В конце концов Индия получила независимость от Великобритании, во многом благодаря работе Ганди.Модель сопротивления и реформ Ганди была творческой, привлекательной и успешной. В результате доктор Мартин Лютер Кинг обратился к Ганди, когда пришло время найти способ противостоять сегрегации на Юге. Протесты у прилавков за обедом, известные своей пассивной реакцией на гнев и даже насилие, были направлены на то, чтобы положить конец разделению, установленному законами в некоторых регионах Юга. Кинг также организовывал прогулки, марши и поездки на автобусе, чтобы привлечь внимание к проблемам, с которыми сталкиваются афроамериканцы. Эти формы протеста были непосредственно смоделированы по образцу протеста Ганди, но Кинг привел их прямо к источнику притеснений.В то время как протесты Ганди создавали осведомленность и придали импульс, протесты Кинга наталкивались на огромную ненависть и страх. Пассивные ненасильственные протесты в конечном итоге оказались эффективными, главным образом потому, что пассивный ответ на насилие представил оппозицию как грубую. Однако перемены происходили медленно и ценой многих жизней. Однако Кинг оставался приверженцем мирных протестов до самой своей смерти. Кинг учился у Ганди, расширяя то, что работало, применяя старые методы к новой проблеме. Ганди был частично обязан своей философией поэту из Новой Англии, любившему лес.Согласно абзацу, выделенному жирным шрифтом, какая линия показывает успех работы Ганди? В конце концов Индия получила независимость от Великобритании, во многом благодаря работе Ганди. Через несколько лет он был освобожден и снова стал активным в политике. … Тысячи последовали за ним на 240 миль в течение 24 дней до моря в знак протеста против налога на соль. Как и Торо, он жил просто, владел очень мало и придерживался вегетарианской диеты.
Гражданское неповиновение Часть 1 Большинство людей помнят Ганди и доктора Мартина Лютера Кинга-младшего как реформаторов, практиковавших ненасильственные формы протеста и пропаганды. … Кейси.Оба эффективно изменили общественное мнение об эмоциональных проблемах своих стран и вызвали волну перемен, которая давно назрела. Но практика ненасильственного протеста или гражданского неповиновения началась задолго до Ганди или Кинга. Все началось с тихого, застенчивого поэта, который больше всего известен тем, что много писал о пруду. Генри Дэвид Торо жил с 1817 по 1862 год, в основном в районе Конкорда, штат Массачусетс. Проблема, которая разлучила страну в 1860-х годах, уже начала раскол нации.Торо было всего 14 лет, когда Нат Тернер возглавил восстание рабов в Вирджинии и позже был повешен. В свои двадцать с небольшим Торо начал публично выступать против рабства, вторя голосам вольноотпущенников, таких как Фредерик Дуглас и Льюис Хайден. Торо считал, что правительство, поддерживающее рабство, коррумпировано и аморально. Он также очень подозрительно относился к правительству. По этим и другим причинам Торо отказывался платить подушный налог в течение ряда лет. Подушный налог был законным налогом, который должен был уплатить каждый человек.По сути, это был налог на тело. После долгих лет неуплаты он был наконец арестован. Однако он провел в тюрьме только одну ночь, так как родственник заплатил за него налог. Сообщается, что он был в ярости из-за того, что от его имени платили любой налог. Именно об этом опыте Торо написал в эссе под названием «Гражданское неповиновение». В этом эссе он утверждал, что быть моральным и просто стоять выше преданности правительству. Он писал: «Если машина правительства такова, что требует, чтобы вы были орудием несправедливости по отношению к другому, тогда, я говорю, нарушайте закон.«Он также чувствовал, что голосования недостаточно, чтобы гарантировать, что все будет правильно. Он написал, что« даже голосование за право ничего не делает для этого … Мудрый человек не оставит право на произвол судьбы … »Он чувствовал этот человек несет моральную ответственность противостоять несправедливым законам. Какая строка из части 1 лучше всего объясняет послание Торо? Торо начал публично выступать против рабства, вторя голосам вольноотпущенников, таких как Фредерик Дуглас. Сообщается, что он был в ярости из-за того, что от его имени платили любые налоги. Именно об этом опыте Торо написал в эссе под названием «Гражданское неповиновение».» Он чувствовал, что на человеке лежит моральная ответственность противостоять несправедливым законам.
Шляпа VR с c Hushushuhhushfebs
ЕЩЕ ОДНА ПОПРОБУЙТЕ LOL: используя информацию в графическом органайзере, напишите абзац в свободном месте ниже, объясняя, как тема развивается в истории «Th … e Nest. «Автор: Violet Sorzano Название: Гнездо Автор: Вайолет Сорзано Окружение: В лесу с наступлением темноты Главный герой: Рэндалл Конфликт: Рэндалл заблудился в лесу и не может найти дорогу к своим родителям.Настроение: Вначале настроение состояло из чувства страха и одиночества, затем оно стало обнадеживающим. Кульминация: когда Рэндалл теряет надежду, он видит орла, гнездящегося над его лагерем. Падающее действие: Рэндалл полон надежды и решает последовать за орлом. Решение: Рэндалл находит своих родителей, потому что он последовал за орлом. Тема: Всегда слушайте своих старших / родителей.
Используя информацию в вашем графическом органайзере, напишите абзац в свободном месте ниже, объясняя, как тема развивается в рассказе «Гнездо».»пользователя Violet … sorzano Название: The Nest Автор: Вайолет Сорзано Настройка: В лесу во время наступления темноты Главный герой: Рэндалл Конфликт: Рэндалл заблудился в лесу и не может найти дорогу к своим родителям. Кульминация: когда Рэндалл теряет надежду, он видит орла, который гнездится над его лагерем. Действие падения: Рэндалл вселяет надежду и решает следовать за орлом. Решение: Рэндалл находит своих родителей, потому что он последовал за орлом.Тема: Всегда слушайте своих старших / родителей.
Какой источник, скорее всего, будет научным и может использовать библиотекарей для выбора сайтов для включения? А. поисковые системы Б. тематические справочники С. метапоиск е … двигатели Д. более глубокая сеть Пожалуйста, выберите лучший ответ из предложенных вариантов А B C D
СРОЧНАЯ ПОМОЩЬ, PLS Может кто-нибудь объяснить мне, что означает это предложение? Я потерялся- «Что вы узнали о себе как о читателе?»
Эссе об интеллекте, Определите интеллект и обсудите проблемы с тестами интеллекта учащихся начальной школы разного происхождения.нет ссылок … вслух, пожалуйста
Мой любимый предмет в школе
Мой любимый предмет в школе
Мой любимый предмет в школе — математика. Но многим ученикам не нравится математика, потому что они думают, что это сложный предмет. Это миф. Это моя любимая вещь, потому что у меня никогда не было с ней проблем и я всегда получаю хорошие оценки на тестах. Мы изучаем математику в школе, и она помогает нам в повседневной жизни. Мне нравится учиться, учиться и решать математические задачи.
Полагаю, мне повезло родиться с ясным мозгом. Так что с юных лет мне было легко манипулировать числами и цифрами. Математика связана с нашей жизнью. Это помогает нам решать такие проблемы, как временные вопросы, покупка товаров, игры, еда и питье, учеба, вождение автомобиля и совершенствование. Это мой любимый предмет, потому что мы можем открыть для себя мир чисел. Я люблю вычислять разные факторы и получать результат. Я всегда люблю играть с числами.
Математика — основа многих предметов.Математика постепенно развивалась вместе с человеческой цивилизацией. В математике замечательно то, что кроме некоторых формул запоминать нечего. Каждый шаг в решении проблемы логичен. Другие предметы, такие как история и география, требуют большой работы с памятью. Запоминание дат и других фактов — тяжелая работа по сравнению с легкостью и простотой математических рассуждений.
Хотя математика для меня проста, некоторым из моих друзей она очень трудно. Не совсем понимаю почему.Они зацикливаются на простых проблемах и часто сдаются. Поэтому я помогаю им, когда могу.
Хорошее знание математики дает мне одно преимущество в том, что мне не нужно тратить на нее много времени. Домашнее задание и тесты — это легкий ветерок. Так что у меня остается достаточно времени для изучения других предметов. Иногда мне жаль моих менее удачливых одноклассников, которых ругают в классе за то, что они не выполнили домашнее задание по математике.
Как бы то ни было, я пришел к выводу, что люди могут быть настолько разными по своим способностям, в то время как в остальном они похожи.

Рейтинг	Язык	Всего динамиков
1	Английский	1,132M
2	мандаринский китайский	1,117M
3	Хинди	615M
4	Испанский	534M

Горизонтальная прямая это: Ошибка 404. Запрашиваемая страница не найдена

alexxlab / 07.02.197017.06.2021 / Разное

горизонтальная прямая — это… Что такое горизонтальная прямая?

горизонтальная прямая: мат. horizontal line

горизонтальная проекция
горизонтальная развертка

Смотреть что такое «горизонтальная прямая» в других словарях:

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ — плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек,… … Энциклопедия Кольера
Лазер — источник электромагнитного излучения видимого, инфракрасного и ультрафиолетового диапазонов, основанный на вынужденном излучении (См. Вынужденное излучение) атомов и молекул. Слово «лазер» составлено из начальных букв (аббревиатура) слов… … Большая советская энциклопедия
горизонталь — (гр.; см. горизонт) 1) прямая линия, параллельная плоскости горизонта 1; 2) горизонтали иначе изогипсы геод, линии на географической карте, соединяющие точки с одинаковой высотой над уровнем моря и в совокупности отображающие рельеф местности.… … Словарь иностранных слов русского языка
Рычаг — одна из так называемых простых машин. Уже в сочинениях Аристотеля рассматривается действие Р. Действие равноплечих весов он объясняет правильно, представляя коромысло современных ему весов, не имевших еще чашек, в виде прямоугольной линейки,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
SYPHACIA OBVELATA — (Rud, 1802). Нематода подсемейства Syphaciinae (отр. Oxyurata, сем. Oxyuridae), частый паразит грызунов. Космополит. У человека обнаружен 1 раз Ри ^ леем (Riley, 1919) в фе ,<^»»^ . «* , калиях ребенка с Фи липпинских островов (2 … Большая медицинская энциклопедия
Критическая температура — та, при которой видимое различие между жидкостью и ее паром исчезает. Явление наблюдается при нагревании жидкостей в запаянных трубках. При этом поверхность, ограничивающая жидкость, постепенно утрачивает кривизну, мениск становится плоским и,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Маятник Капицы — Одна из конструкция маятника Капицы: мотор приводит кривошип, который через шатун и рычаг передаёт вибрацию на перевёрнутый маятник. Маятником Капицы … Википедия
линия развертки — Линия на дисплее (например, экране ЭЛТ), расположение точек которой находится в определенной зависимости от времени или иного параметра (например, частоты, фазы и т.п). В ультразвуковом эходефектоскопе с разверткой типа А это горизонтальная… … Справочник технического переводчика
Пищеварительная система — обеспечивает усвоение организмом необходимых ему в качестве источника энергии, а также для обновления клеток и роста питательных веществ. Пищеварительный аппарат человека представлен пищеварительной трубкой, крупными железами пищеварительного… … Атлас анатомии человека
Асимптота — У этого термина существуют и другие значения, см. Асимптота (значения). Асимптота[1] (от греч. ασϋμπτωτος несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой… … Википедия
Средняя — периодическое увлажнение пола, при котором поверхность покрытия пола влажная или мокрая; покрытие пола пропитывается жидкостями. Источник: МДС 31 12.2007: Полы жилых, общественных и производственных зданий с применением м … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Термины и определения начертательной геометрии

Содержание

Термины и определения;
Условные обозначения;
Способы задания плоскости на чертеже.

Термины и определения

Комплексный чертеж (эпюр Монжа) – чертеж, составленный из взаимосвязанных ортогональных проекций геометрической фигуры. Чтобы преобразовать пространственный макет в эпюр, нужно совместить плоскости проекций П₁ и П₃ с третьей плоскостью П₂, вращая П₁ вокруг оси x, а П₃ вокруг оси z.

Конкурирующие точки – точки, расположенные на одной проецирующей прямой, но при этом удаленные от плоскости проекций на разное расстояние.

Линии уровня – прямые, параллельные одной из плоскостей проекций.

Горизонталь, h – прямая, параллельная горизонтальной плоскости;
Фронталь, f – прямая, параллельная фронтальной плоскости;
Профильная прямая, p – прямая, параллельная профильной плоскости.

Метрические задачи – это задачи, целью решения которых является нахождение натуральных величин отрезков, углов, расстояний.

Октант – часть пространства, ограниченная плоскостями проекций П₁, П₂, П₃. В начертательной геометрии выделяют восемь октантов, нумерация и взаимное расположение которых показаны на рисунке.

Отрезок – участок прямой, ограниченный двумя точками.

Плоскости общего положения – плоскости, которые не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций.

Плоскости уровня – плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.

Позиционные задачи – это задачи, целью решения которых является определение взаимного расположения фигур, нахождение точек и линий их пересечения.

Проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Прямые общего положения – прямые, не параллельные ни одной из плоскостей проекций.

Проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Следы плоскости – прямые, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций.

Следы прямой – точки пересечения прямой с плоскостями проекций.

Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Условные обозначения

Оси координат:

x – ось абсцисс;
y – ось ординат;
z – ось аппликат.

Проекции точек:

A’, B’, C’ … Z’ или A₁, B₁, C₁ … Z₁ – горизонтальные;
A», B», C» … Z» или A₂, B₂, C₂ … Z₂ – фронтальные;
A»’, B»’, C»’ … Z»’ или A₃, B₃, C₃ … Z₃ – профильные.

Проекции прямых:

a’, b’, c’ … z’ или a₁, b₁, c₁ … z₁ – горизонтальные;
a», b», c» … z» или a₂, b₂, c₂ … z₂ – фронтальные;
a»’, b»’, c»’ … z»’ или a₃, b₃, c₃ … z₃ – профильные.

Плоскости проекций:

П₁ или H – горизонтальная;
П₂ или V – фронтальная;
П₃ или W – профильная.

Следы плоскости α:

h_0α – горизонтальный;
f_0α – фронтальный;
p_0α – профильный.

Следы прямой l:

H_l – горизонтальный;
F_l – фронтальный;
W_l – профильный.

Способы задания плоскости на комплексном чертеже

Плоскость на комплексном чертеже может быть задана шестью различными способами:

Тремя точками, которые не лежат на одной прямой. На рисунке это т. A, B, C.
Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.
Двумя пересекающимися прямыми.
Двумя параллельными прямыми (пересекающимися в несобственной точке).
Отсеком плоской фигуры Ф.
Следами. Этот способ удобен тем, что позволяет наглядно представить расположение плоскости в пространстве.

Дополнительные материалы:

Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)

ПРЯМЫЕ частного положения

Относительно плоскостей проекций прямые могут располагаться по разному. Если они параллельны или перпендикулярны плоскостям проекций, то говорят , что это прямые частного положения.

Горизонталь

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости, называется горизонталью,h // Г (рисунок 2-1). На фронтальной проекции (виде спереди) она всегда перпендикулярна вертикальным линиям связи, а на виде сверху составляет с ними некоторый угол α(реконструкцией чертежа определяем положение прямой в пространстве). На виде сверху отрезок АВ, взятый на прямой, изображается в натуральную величину; здесь же можно определить угол α наклона прямой к фронтальной плоскости и угол γ — наклона ее к профильной плоскости.

На горизонтальной проекции (виде сверху) горизонталь проецируется без искажения.

4.2 Фронталь

Прямая, параллельная фронтальной плоскости, называется фронталью. f // Ф (рисунок 2-2). На горизонтальной проекции (виде сверху) фронталь всегда перпендикулярна вертикальным линиям связи, а на фронтальной проекции (виде спереди) составляет с ними некоторый угол. Отрезок СD, взятый на прямой, на виде спереди изображается без искажений. Здесь же определяются углы наклона прямой к горизонтальной плоскости b и к профильной плоскости П γ.

Фронталь проецируется без искажения на фронтальной проекции (виде спереди).

Профильная прямая

Прямая, параллельная профильной плоскости, называется профильной прямой р.р//П (рисунок 2-3). На видах спереди и сверху такая прямая всегда совпадает по направлению с вертикальными линиями связи. Эти виды не определяют наглядно положение прямой в пространстве, поэтому необходимо построить ее изображение на виде слева, где определяются углы наклона прямой к фронтальной a и горизонтальной b плоскостям уровня. Отрезок EF, взятый на прямой р, на виде слева изображается в натуральную величину.

Положение прямой в пространстве определяется положением 2-х любых ее точек (например Е и F). Для построения точек Е и F на виде сверху необходимо наметить положение баз отсчета глубин, а затем, замерив глубины точек, отложить их на виде сверху. Удобно при выборе баз отсчета проводить их через одну из имеющихся точек. Так при выборе базы отсчета глубин ее проводят через дальнюю от наблюдателя точку — Е. Тогда задача построения 3-го вида упрощается — нужно строить на нем на одну точку меньше – F.

Профильная прямая проецируется без искажения на профильной проекции (виде слева).

Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)

Это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости Г.

Отрезок, отложенный на данной прямой, на видах спереди и слева изображается в натуральную величину (рисунок 2-4), а на виде сверху — как точка, совпадающая с проекцией прямой i. Точки А и В называются горизонтально-конкурирующими (совпадающими).

Узнать еще:
Чертежи точки , прямой и плоскости в системе прямоугольных проекций
1. Чертежи точки , прямой и плоскости в системе прямоугольных проекций
2. Оглавление
Чертежи точки , прямой и плоскости в системе
прямоугольных проекций
1. Чертеж точки
2. Чертёж отрезка прямой
3. Изображение плоскости на чертеже
3. 2.Чертежи точки , прямой и плоскости в системе прямоугольных проекций
Для получения обратимого, т.е. метрически
определенного чертежа любого предмета,
берут не одну, а две или три плоскости
проекций, которые образуют в
пространстве систему перпендикулярных
плоскостей
На главную
4. Система перпендикулярных плоскостей
•П2 — фронтальная
плоскость проекций,
•П1 — горизонтальная
плоскость проекций,
•П3- профильная
плоскость проекций
На главную
5.
Система перпендикулярных плоскостейz
V
II
VI
I -y
-х
О
О
x
III
y
VII
IV
VIII
-z
На главную
6. Знаки координат для точек октантов
Коорди
наты
I
X
Y
Z
+
+
+
Октанты
II III IV V VI VII VII
I
+ + + — — — — — + + — — +
+ — — + + — На главную
z
А2
A
-y
Аz
А3
А (a x; a y; a z)
Аx
x
Аy
А1
y
-z
z
-y
А2
A
Аz
А3
Аx
x
Аy
А1
-z
y
y
z
А2
-y
A
АzА
Аx
Аy
Аy
x
А1
3
y
y
z
А2
Аz
А3
Аy
Аx
x
А1
Аy
y
z
А2
Аz
Аx
x
А1
y
x
А3
у
А1
45°
П1
П3
z
А2
Аy
Аy
П2
А3
у
П2
Чертеж
точки
П3
z
А3
А2
x
у
А1
45°
П1
у
13.
Пример точка А (4; 2; 4)  I четвертиПример
точка А (4; 2; 4) I четверти
z
z
А2
Аz
А2
А3
A-y
х
-у
Аx
x
Аz
-Х
Аy
y
А1
Аx
А1
Аy
y
y
-z
Моисеева О.А.
13
14. Пример точка В (2; -3; -2) III четверти
Пример
точка В (2; -3; -2) III четверти
-y
-4
-3
b1
by
-2
-y
-1
b1
bx
Х
B
b2
bz
Х
b2
-z
Моисеева О.А.
-z
14
15. 2.2. Чертеж отрезка прямой
Чтобы построить чертеж прямой, надо
построить проекции лишь двух её точек
В2
В2
А2
В
А2
х
А
В1
х
А1
Наглядное изображение
отрезка прямой АВ
А1
В1
Чертеж отрезка прямой АВ
На главную
16. Прямые общего положения
— это прямые не параллельные и не перпендикулярные ни к
одной из плоскостей проекций
N=N2
A2
П2
N= N2
A2
B2
A
B2
N1
M2
N1
A1
П1
B
B1
M=M1
M2
A1
M =M1
B1
M (M1; M2) — горизонтальный
след прямой.
N (N1; N2) — фронтальный след
прямой.
На главную
17. Прямые частного положения
Прямая уровня
(прямая,
параллельная какойнибудь одной
плоскости
проекций):
•Горизонтальная
•Фронтальная
•Профильная
Проецирующая прямая
(прямая,
перпендикулярная к
какой-нибудь одной
плоскости проекций) :
•Горизонтальнопроецирующая;
•Фронтальнопроецирующая;
•Профильнопроецирующая.
На главную
18. Горизонтальная прямая уровня —
Горизонтальная прямая уровня это прямая, параллельная
горизонтальной плоскости проекций П1.
П2
A2
х
A2
B2
А
A1
Наглядное изображение
отрезка прямой
B2
В
х
B1
A1
Чертеж отрезка прямой
B1
Фронтальная прямая уровня это прямая, параллельная фронтальной
плоскости проекций П2.
П2
A2
B2
B2
A2
В
А
B1
х
A1
Наглядное изображение
отрезка прямой
х
A1
Чертеж отрезка прямой
B1
20.
Профильная прямая уровня —Профильная прямая уровня это прямая, параллельная профильной
плоскости проекций П3.
П2
П3
B2
B3
В
A2
х
A2
B3
A3
A3
А
A1
B2
A1
B1
Наглядное изображение
отрезка прямой
B1
Чертеж отрезка прямой
21. Горизонтально-проецирующая прямая —
Горизонтально-проецирующая
прямая это прямая, перпендикулярная горизонтальной
плоскости проекций П1
П2
B2
A2
х
В
B2
B3
A2
A3
А
B 1 = A1
Наглядное изображение
отрезка прямой
B1 = A1
Чертеж отрезка прямой
22. Фронтально-проецирующая прямая
это прямая, перпендикулярная фронтальной
плоскости проекций П2
П2
A2 =B2
A2 =B2
х
B3
A3
В
B1
А
B1
A1
A1
Наглядное изображение
отрезка прямой
Чертеж отрезка прямой
23. Профильно-проецирующая прямая
это прямая, перпендикулярная профильной
плоскости проекций П3
П2
A2
B2
B3 =A3
В
х
B1
B2
A2
B3 =A3
А
A1
Наглядное изображение
отрезка прямой
B1
A1
Чертеж отрезка прямой
24.
Взаимное положение точки и прямойА2
Если точка в
пространстве
принадлежит
прямой, то ее
проекции
принадлежат
соответствующим А1
проекциям этой
прямой.
С2
К1
D2
В2
С1
•т. С АВ
•т. D АВ
•т. К АВ (III ч.)
Моисеева О.А.
D1
К2
В1
На главную
25. 2.3. Способы задания плоскости на чертеже
B2
B2
A2
A2
C1
A1
C2
A2
C2
C2
B1
B1
C1
а) три точки не
лежащие на одной
прямой
б) прямая и не
лежащая на ней
точка
A1
B2
A1
B1
C1
в) две
пересекающиеся
прямые
На главную
26. Способы задания плоскости на чертеже
f2
M2
N2
N1
M1
h3 = f1
h2
г) две параллельные
прямые
д) следы плоскости
На главную
27. Плоскость общего положения
П2
Fр=f2
h3=f1
Плоскость, не
параллельную и не
перпендикулярную
ни к одной из
плоскостей
проекций,
называют
плоскостью
общего положения.
Моисеева О.А.
Наглядное изображение
На главную
28. Плоскость общего положения
П2
Fр=f2
h3=f1
Моисеева О.А.
Наглядное изображение
На главную
29. Следы плоскости
Следом плоскости
называется линия ее
пересечения с
плоскостью проекций.
f2
k1 = k2
h3=f1
h2
Чертеж плоскости заданной следами
На главную
30. Плоскости частного положения
Плоскости, параллельные или
перпендикулярные к плоскостям проекций,
называют плоскостями частного положения.
Плоскость уровня
(плоскость, параллельная
какой-либо одной
плоскости проекций):
•Горизонтальная
•Фронтальная
•Профильная
Проецирующая плоскость
(плоскость,
перпендикулярная к какойлибо одной плоскости
проекций) :
•Горизонтальнопроецирующая;
•Фронтальнопроецирующая;
•Профильнопроецирующая.
31. Горизонтально-проецирующая плоскость —
Горизонтально-проецирующая
плоскость это плоскость, перпендикулярная горизонтальной
плоскости проекций П1
B2
B3
C2 C3
A3
A2
C1
B1
A1
Чертеж горизонтально-проецирующей плоскости
32.
Фронтально-проецирующая плоскость —Фронтально-проецирующая
плоскость это плоскость, перпендикулярная фронтальной
плоскости проекций П2
C2
C3
B2
B3
A2
A3
C1
A1
B1
Чертеж фронтально-проецирующей плоскости
33. Профильно-проецирующая плоскость —
Профильно-проецирующая
плоскость это плоскость, перпендикулярная профильной
плоскости проекций П3
B3
B
2
C2
A2
C3
A3
B1
C1
A1
Чертеж профильно-проецирующей плоскости
34. Горизонтальная плоскость уровня —
Горизонтальная плоскость уровня это плоскость, параллельная горизонтальной
плоскости проекций П1
A2
B2
C2
B3
C3
A3
B1
C1
A1
Чертеж горизонтальной плоскости уровня
35. Фронтальная плоскость уровня —
Фронтальная плоскость уровня это плоскость, параллельная фронтальной плоскости
проекций П2.
B2
B3
A3
A2
C2
A1
B1
C3
C1
Чертеж фронтальной плоскости уровня
36.
Профильная плоскость уровня —Профильная плоскость уровня это прямая, параллельная профильной плоскости
проекций П3.
A2
A3
C3
C2
B2
B3
C1
B1
A1
Чертеж профильной плоскости уровня
37. Информационные ресурсы по теме:
1. Гордон В.О., Семенцов-Огневский М.А. Курс
начертательной геометрии: учебное пособие/ под ред.
Ю.Б. Иванова. — 23-е изд., перераб. — М.: Наука,
1988. — 272 с.
2. Локтев О.В., Числов П.А. Задачник по начертательной
геометрии: учебное пособие для втузов. — М.: Высш.
шк., 1977. — 103.: ил.
3. Чекмарев АА. Начертательная геометрия и черчение:
учебник для студ. высш. учеб. заведений. — 2-е изд.,
перераб. и доп. — М.: Гуманит. изд. центр Владос,
2002. — 472 с.: ил.
38. Информационные ресурсы по теме:
Основная литература
1. Соломонов К.Н., Чиченёва О.Н., Бусыгина Е.Б. Основы начертательной
геометрии. -М.: МИСиС, 2003
2. Соломонов К.Н. , Чиченёва О.Н., Бусыгина Е.Б. Основы технического
черчения. – М.: МИСиС, 2004
3. Чекмарев А.А. Инженерная графика. М.: Высшая школа, 1998
4. Сборник «Национальные стандарты». ЕСКД .ГОСТ 2.301-68 2.321-84.-М.:
ИПК Издательство Стандартов,2004
Средства обеспечения освоения дисциплины
1.Пакет AutoCAD, Компас 3D, Симплекс
2.Курс лекций, созданный с использованием графического
«Power Point« и средств Internet.
редактора
38
Пошаговое руководство решения задачи №6
Пошаговое руководство решения задачи №6 — построение линии пересечения сферической поверхности от сквозного призматического выреза.
Необходимо построить линию пересечения сферической поверхности (шара) от сквозного призматического выреза, состоящего из четырех граней (проецирующих плоскостей). Фронтальная проекция линии пересечения заданных поверхностей (шара и многогранника) задана исходным чертежом, требуется построить ее в горизонтальную и профильную проекции.
Для решения такой задачи по начертательной геометрии необходимо знать:
— построение трех проекций сферической поверхности (шара) по заданным координатам, на комплексном чертеже;
— построение линии пересечения шаровой поверхности с гранным телом;
— частные случаи построения линии пересечения шаровой поверхности с проецирующей плоскостью.
Порядок решения Задачи
Рис.6.1
1. В правой части листа формата A3 наносятся оси координат и согласно варианту задания строится фронтальная, горизонтальная и профильная проекции сферы (шара) заданного радиуса.
По координатам точек, взятым из таблицы по своему варианту, наносятся вершины сквозного четырехгранного выреза во фронтальной проекции (рис.6.1).
2. Решение задачи заключается в построении горизонтальной и профильной проекции линии пересечения данного выреза.
Прежде чем приступить к построению этих проекций, необходимо вспомнить некоторые частные случаи сечений шаровой поверхности от проецирующей плоскости (сквозное отверстие можно рассматривать как гранное тело, образованное четырьмя плоскостями), а именно:
(а) если плоскость во фронтальной проекции рассекает шаровую поверхность параллельно экватору, то в горизонтальной проекции это сечение проецируется в виде окружности с радиусом, взятым в этом сечении от оси вращения шара до очерка, а в профильной проекции это сечение проецируется в виде прямой линии;
(b)   если плоскость во фронтальной проекции рассекает шаровую поверхность перпендикулярно экватору, то в горизонтальной проекции это сечение проецируется в виде прямой линии, а в профильной — в виде окружности с радиусом, взятым тем же способом что и в первом случае;
(c)   если плоскость во фронтальной проекции рассекает шаровую поверхность под некоторым (отличным от 0 и 90 градусов) углом к экватору, то в горизонтальной и фронтальной проекциях это сечение будет проецироваться в виде эллипса. Построение эллипса осуществляется по опорным (характерным) и некоторым промежуточным, взятым произвольно, точкам;
(d)   все точки фронтальной проекции сферы, расположенные на очерке, в горизонтальной проекции будут проецироваться на экваторе, а в профильной — на главном меридиане;
(e)   все точки фронтальной проекции сферы, расположенные на экваторе, в горизонтальной проекции будут проецироваться на очерке, а в профильной — на экваторе;
(f)   все точки фронтальной проекции сферы, расположенные на главном меридиане, в горизонтальной проекции будут проецироваться также на главном меридиане, а в профильной — на очерке сферы.

Рис.6.2
3. С учетом приведенных частных случаев сечений построение выреза в горизонтальной и профильной проекциях не вызывает особых затруднений и начинается с определения характерных (опорных) точек сквозного выреза во фронтальной проекции. Этими точками являются А, В, С, D. Тогда берем проекцию стороны призмы B’C’ и рассматриваем ее как проецирующую плоскость ’, рассекающую шар параллельно экватору, — строим в горизонтальной проекции окружность с радиусом r₁ взятым в этой плоскости, от оси шара до очерка. Проецируем на эту окружность точки B’ и C’, получаем B и C — их горизонтальные проекции. Вполне очевидно, что этих точек будет по две (точки входа и выхода), т.к. отверстие сквозное.
Аналогичным способом строится проекция сечения плоскости А’D’. Берется радиус от оси сферы до очерка (разумеется не до точки A’) и в горизонтальной проекции проводится окружность этим радиусом. Проецированием находятся проекции точек D (их будет две — точка входа и точка выхода) — D и D₁ и промежуточной точки, расположенной на экваторе.
Рис.6.3
Сторона четырехугольника СD горизонтальной проекции проецируется в прямую линию, причем эта линия должна начинаться от очерка, т.к. во фронтальной проекции
она пересекает экватор шара и продолжается до точек С и D.
Рис.6.4
Горизонтальной проекцией сторон четырехугольника АВ будет эллипс, строим его по характерным (опорным) точкам. Проецируем точки, расположенные на меридиане, экваторе и очерке фронтальной проекции соответственно на меридиан, очерк и экватор горизонтальной проекции. Соединяя их по лекалу с уже имеющимися
проекциями точек B и B₁, и получаем искомую проекцию эллипса.
4. Аналогичным способом строится третья профильная проекция данного выреза (вид слева), поэтому нет надобности в подробном изложении четырехугольника ВС и АD будут проецироваться в прямые линии, СD – в окружность, AB – в эллипс.
Рис.6.5
5. Заключительным этапом в решении задачи является определение видимости сторон сквозного выреза, которая определяется из расположения их на сопряженной плоскости проекций. Тогда видимыми точками и линиями в горизонтальной плоскости будут точки и линии, которые во фронтальной — расположены выше экватора и на профильной проекции видимыми будут точки и линии которые на фронтальной плоскости расположены левее меридианы.
Экватор и меридиан являются границами видимости. Точки и линии, расположенные ниже экватора и правее меридиана во фронтальной проекции, в горизонтальной и профильной проекциях будут невидимыми.
Раздел: Начертательная геометрия /
Рекомендуем

Комментарии

Наши товары

Вспомогательные прямые в Компас 3D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Урок №4. Вспомогательные прямые в Компас 3D.
Конструктора при разработке чертежей на кульмане всегда используют тонкие линии, их аналогом в Компас 3D выступают вспомогательные прямые. Они необходимы для предварительных построений и для задания проекционных связей между видами. При печати вспомогательные прямые Вспомогательная, изменить его невозможно.
Существует несколько способов построения вспомогательных прямых. В этом уроке рассмотрим некоторые из этих способов.
1. Произвольная прямая по двум точкам.
В основном меню программы последовательно нажимаем команды Инструменты-Геометрия-Вспомогательные прямые-Вспомогательная прямая.
Или в компактной панели нажимаем кнопки Геометрия-Вспомогательная прямая.
Щелчком левой клавиши мыши указываем первую базовую точку (к примеру, начало координат). Теперь указываем вторую точку, через которую пройдет прямая. Угол наклона между прямой и осью абсцисс текущей системы координат, определится автоматически. Можно вводить угол, через панель свойств. Например введите угол 45º и нажмите клавишу Enter.
Для завершения построения необходимо нажать на значок «Прервать команду» в панели свойств. Данную команду можно осуществить, через контекстное меню, которое вызывается щелчком правой клавиши мыши.
Подобным образом через базовую точку, можно построить сколько угодно произвольных прямых под любым углом. Вы уже наверное обратили внимание что координаты точек можно вводить с клавиатуры используя панель свойств. Кроме того в панели свойств имеется группа Режимы, в которой есть два переключателя: «Не ставить точки пересечения» (активен по умолчанию) и «Ставить точки пересечения». Если вам нужно отметить точки пересечения прямой с другими объектами активируйте переключатель «Ставить точки пересечения», теперь система автоматически проставит точки пересечения со всеми графическими объектами в текущем виде.
Стиль точек будет- Вспомогательная. Для удаления всех вспомогательных элементов воспользуйтесь командами основного меню Редактор-Удалить-Вспомогательные кривые и точки. Как отметить точки пересечения не со всеми, а только с некоторыми объектами описано в уроке №3.
2.Горизонтальная прямая.
Для построения горизонтальной прямой вызываются команды Инструменты-Геометрия-Вспомогательные прямые-Горизонтальная прямая.
Или через компактную панель, нажатием кнопок: Геометрия-Горизонтальная прямая. Инструментальная панель для построения вспомогательных прямых, вся на экране не видна. Чтобы её увидеть, нажмите на кнопку вспомогательных прямых, активную на момент построения, и удерживайте несколько секунд.
Теперь достаточно, щелчком левой клавиши мыши указать точку, через которую пройдет горизонтальная прямая. Одновременно можно построить сколько угодно прямых. Для завершения построения необходимо нажать кнопку «Прервать команду» на панели свойств.
Необходимо помнить, что горизонтальная прямая параллельна оси абсцисс текущей системы координат. Горизонтальные, построенные в системе координат, повернутой относительно абсолютной системы, не будут параллельны горизонтальным сторонам листа.
3. Вертикальная прямая.
Построение аналогично построению горизонтальных прямых, поэтому разберетесь самостоятельно.
Необходимо помнить, что вертикальная прямая параллельна оси ординат текущей системы координат. Вертикальные, построенные в системе координат, повернутой относительно абсолютной системы, не будут параллельны вертикальным сторонам листа.
4. Параллельная прямая.
Для построения параллельной прямой нам потребуется объект параллельно которому она пройдет. В качестве таких объектов могут выступать: вспомогательные прямые, отрезки, звенья ломаной, стороны многоугольников, размерные линии и т.п. Давайте построим параллельную прямую для горизонтальной прямой, проходящей через начало координат.
Вызываем команды Инструменты-Геометрия-Вспомогательные прямые-Параллельная прямая.
Или через компактную панель, нажатием кнопок: Геометрия-Параллельная прямая.
Указываем базовый объект для построения параллельной прямой (в нашем случае горизонтальная прямая проходящая через начало координат). Задаем расстояние от базового объекта до параллельной прямой. Щелчком левой кнопки мыши указывается точка через которую прямая пройдет, либо вводится значение в соответствующее поле на панели свойств. Введем значение 30 мм, нажимаем клавишу Enter.
Системой будут предложены два фантома по обе стороны от базовой линии, каждый из них находится на заданном расстоянии от базового объекта. Обратите внимание на панель свойств, в группе «Количество прямых» активен переключатель «Две прямые». Для создания одной прямой можно включить переключатель «Одна прямая».
Чтобы зафиксировать фантом (активный фантом выделяется сплошной линией) нужно щелкнут на кнопке «Создать объект». Если Вы хотите зафиксировать оба фантома то повторно нажмите кнопку «Создать объект», а затем на кнопку «Прервать команду».
Иногда возникает необходимость сразу построить параллельную прямую для другого объекта, для этого служит кнопка «Указать заново». После её нажатия указывается новый базовый объект для построения параллельной прямой.
На этом пока все. В следующем уроке мы продолжим изучение вспомогательных прямых.
Если у Вас есть вопросы можно задать их ЗДЕСЬ.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Список последних уроков по программе Компас-3D

Автор: Саляхутдинов Роман
«БОСК 8.0»
Познай Все Cекреты КОМПАС-3D
Более 100 наглядных видеоуроков;
Возможность быстрее стать опытным специалистом КОМПАС-3D;
Умение проектировать 3D изделия (деталей и сборок) любой степени сложности;
Гарантии доставки и возврата.
>> Читать Полное Описание <<

Автор: Саляхутдинов Роман
«БОСК 5. 0″
Новый Видеокурс. «Твердотельное и Поверхностное Моделирование в КОМПАС-3D»
Большая свобода в обращении с поверхностями;
Возможность формирования таких форм, которые при твердотельном моделировании представить невозможно;
Новый уровень моделирования;
Гарантии доставки и возврата.
>> Читать Полное Описание <<

Автор: Саляхутдинов Роман
«Эффективная работа в SolidWorks»
Видеокурс. «Эффективная работа в SolidWorks» поможет Вам:
Многократно сократить временя на освоение программы;
Научит проектировать 3D изделия (деталей и сборок) любой степени сложности; создавать конструкторскую документацию; проводить инженерный анализ.
Поможет быстрее стать грамотным специалистом;
Гарантии доставки и возврата.
>> Читать Полное Описание <<

Автор: Дмитрий Родин
«AutoCAD ЭКСПЕРТ»
Видео самоучитель По AutoCAD
60 наглядных видеоуроков;
Более 15 часов только AutoCAD;
Создание проектов с нуля прямо у Вас на глазах;
365-дневная гарантия

>> Читать Полное Описание <<
Фронтальная и горизонтальная проекции предмета. Способ прямоугольных проекций
Фронтальная и горизонтальная проекции предмета на чертеже связаны между собой вертикальными линиями связи. Фронтальная и профильная проекции связаны между собой горизонтальными линиями связи. Горизонтальная и профильная проекции связаны между собой горизонтально-вертикальными линиями связи, имеющими общую точку на так называемой постоянной прямой k₁₂₃ комплексного чертежа. Эта прямая проходит под углами 45° к осям у₁ и у₃.
Способ прямоугольных проекций имеет меньшую наглядность, но зато отличается следующими положительными свойствами:
n
дает исчерпывающие сведения о предмете благодаря примененик нескольких видов и условных разрезов;
n
отличается простотой, так как каждый вид представляет собой изображение предмета лишь с одной стороны;
n
отличается точностью и удобством измерений.
n
Этот способ является поэтому основным для изображения предметен во всех отраслях техники. Только при изображении земной поверхности и производстве работ, связанных с ней, более удобен другой способ прямо угольных проекций, называемый способом проекций с числовыми отметками.
n
nTBegin—>TEnd—>n
n
Рис. 1
n
n
При этом способе используется одна горизонтальная плоскость проекций П₁. Высоты точек записываются с помощью числовых отметок (рис. 2, а).
Кроме числовых отметок, используются кривые линии — горизонтали которые Соединяют на чертеже проекции точек местности, имеющих одну и ту же высоту.
Приведенный план местности изображает возвышенность с наивысшей отметкой 84,4 м. Местность полого понижается вправо и более круто влево. Правая пониженная часть местности имеет отметку 81 м, что видно из записи, сделанной около крайней правой горизонтали. На рис. 2, б для наглядности нарисован участок местности. Проекции с числовыми отметками применяются в геодезии и топографическом черчении.
В рассматриваемой второй части курса, кроме основных сведений по начертательной геометрии, будет изложен раздел проекционного черчения. В этом разделе будут применяться и закрепляться способы изображений, изученные в начертательной геометрии. Причем если в начертательной геометрии объектами изучения являются точки, линии, плоскости и геометрические тела, то в проекционном черчении будут рассматриваться более сложные фигуры, являющиеся комбинацией геометрических тел. Кроме того, в этом разделе будут изучаться некоторые условности, принятые в практике технического черчения.
Этот раздел поможет подойти вплотную к изучению основной части курса — машиностроительного черчения.
n
n
TBegin—>TEnd—>n
n
Рис. 2
Образование и обучение Сомали, искусство, экономика и инвестиции, политика, культура, программы лоббирования, фотогалерея на сайте www.sopri.org.
Горизонтальная линия — определение и примеры — Cuemath
Знаете ли вы, что подразумевается под горизонтом?
Горизонт — это линия, по которой кажется, что поверхность земли и небо встречаются (но на самом деле они не пересекаются).
Слово «горизонтальный» происходит от слова «горизонт».
«Горизонтально» означает «из стороны в сторону».
Горизонтальные линии — это линии, параллельные горизонту.
Давайте узнаем подробнее о горизонтальных линиях.
План урока
Что такое горизонтальные линии?
Определение горизонтальной линии
Обычно горизонтальные линии — это спящие линии.
Горизонтальные линии — это линии, параллельные горизонту.
Горизонтальные линии в координатной геометрии — это линии, параллельные оси x.

Горизонтальные изображения
Примеры горизонтальных линий в реальной жизни
Вот несколько примеров горизонтальной линии в реальной жизни.
Другие популярные примеры включают ступеньки на лестнице, доски на железнодорожных путях и т. Д.
Примеры горизонтальных линий в геометрии
В геометрии мы можем найти горизонтальные линейные сегменты самых разных форм, например, четырехугольники, трехмерные формы и т. Д.
В координатной геометрии горизонтальные линии — это линии, параллельные оси x.
Вот несколько горизонтальных линий на координатной плоскости.
Что такое горизонтальные и вертикальные линии?
«Горизонтальный» означает «из стороны в сторону», а горизонтальная линия — это не что иное, как линия сна.
«Вертикаль» означает «вверх-вниз», а вертикальная линия — это не что иное, как стоячая линия.
«Горизонтальный» и «вертикальный» — слова, противоположные друг другу.
Горизонтальные и вертикальные линии перпендикулярны друг другу.
Как сделать горизонтальную линию?
Чтобы провести горизонтальную линию на простой бумаге, можно использовать линейку. Поместите его параллельно горизонтальному краю бумаги и проведите линию по линейке.
А как нарисовать горизонтальную линию на координатной плоскости? Посмотрим.
Чтобы нарисовать горизонтальную линию,
Поместите точку в любую случайную точку на координатной плоскости, скажем, в (2, -3).
Определите его координату y. Здесь координата Y равна -3.
Постройте другие точки, координата Y которых совпадает с координатой точки на графике. Построим график (1, -3), (-2, -3) и т. Д.
Соедините все точки и вытяните с обеих сторон, чтобы получилась горизонтальная линия.
Уравнение горизонтальной линии
В последнем разделе мы видим, что y-координаты всех точек на горизонтальной линии совпадают.
Таким образом, уравнение горизонтальной прямой, проходящей через любую точку \ ((a, b) \), имеет вид:
Здесь \ (x \) отсутствует. Это означает, что координата x может быть любой, тогда как координата y всех точек на линии должна быть только \ (b \).
Наклон горизонтальной линии равен 0, поскольку, сравнивая \ (y = b \) с \ (y = mx + b \), мы получаем наклон, равный \ (m = 0 \).
Вот пример:
Обратите внимание на некоторые точки на этой линии: (-5, 3), (-1, 3), (4, 3), (7, 3).
Вы можете видеть, что y-координата всех этих точек постоянна, то есть 3. Следовательно, уравнение этой прямой равно \ (y = 3 \).
Как использовать горизонтальную линию?
Горизонтальная линия симметрии
Горизонтальные линии используются для обозначения симметрии.
Горизонтальная линия симметрии — это горизонтальная линия, которая точно разделяет фигуру на две равные части, так что при складывании фигуры вдоль этой линии одна часть перекрывает другую.
На каждом из следующих рисунков пунктирная линия представляет собой горизонтальную линию симметрии.
Тест горизонтальной линии
Тест горизонтальной линии используется для определения, является ли функция однозначной.
Согласно тесту горизонтальной линии, функция НЕ является однозначной, если существует горизонтальная линия, которая проходит более чем через одну точку графика (функции).
Пример 1
Здесь \ (f (x) \) равно единице, потому что каждая горизонтальная линия проходит не более чем через одну точку графика.
Пример 2
Здесь \ (g (x) \) не один, так как существует горизонтальная линия, проходящая более чем через одну точку графика.
Важные примечания
Горизонтальная линия (кроме оси x) не имеет пересечений по оси x.
Уравнение горизонтальной прямой, проходящей через \ ((a, b) \), есть \ (y = b \).
Уравнение вертикальной прямой, проходящей через \ ((a, b) \), есть \ (x = a \).
Наклон горизонтальной линии равен 0, поскольку ее уравнение имеет форму \ (y = b \), и сравнивая его с формой пересечения наклона, мы получаем, что ее наклон равен \ (m = 0 \).
Тест вертикальной линии используется для определения, является ли отношение функцией, тогда как тест горизонтальной линии используется для определения, является ли функция однозначной.
Решенные примеры
Можем ли мы помочь Джейку найти уравнение следующей строки?
Решение
Данная линия представляет собой горизонтальную линию, проходящую через точку: \ [(a, b) = (1,3) \]
Мы знаем, что уравнение горизонтальной прямой, проходящей через точку \ ((a, b) \), есть \ (y = b \).
Следовательно, уравнение данной строки:
Можем ли мы помочь Аве определить заглавные алфавиты, у которых есть только горизонтальная линия симметрии, но нет вертикальной линии симметрии?
Решение
Давайте определим симметрию (горизонтальную / вертикальную) каждого алфавита.
Мы видим, что только алфавиты B, C, D, E и K имеют только горизонтальную линию симметрии, но не имеют вертикальной линии симметрии.2 \)
с) \ (ч (х) = | х | \)
г) \ (к (х) = \ ln х \)
Решение
Давайте изобразим каждую из этих функций и посмотрим, какая из них пройдет проверку горизонтальной линии.
Мы рисуем горизонтальную линию, чтобы увидеть, сколько графиков имеют не более одной точки пересечения с горизонтальной линией.
Здесь каждая из \ (h \) и \ (g \) имеет две точки пересечения с горизонтальной линией, и, следовательно, они не являются однозначными. Таким образом, у них не может быть обратного.
В то время как каждый из \ (f \) и \ (k \) имеет только одну точку пересечения с горизонтальной линией.
Следовательно, \ (f \) и \ (k \) однозначны и, следовательно, у каждого из них есть обратное. Следовательно,
\ (\ следовательно \) Только \ (f \) и \ (k \) имеют инверсию
Интерактивные вопросы
Вот несколько занятий для вас.
Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.
Советы и хитрости
Всякий раз, когда мы видим уравнение вида \ (y = \) константа, мы должны понимать, что оно представляет собой уравнение горизонтальной линии.
Уравнение вида \ (y = \) константа представляет собой постоянную функцию.
Чтобы определить, есть ли у функции инверсия, используйте тест горизонтальной линии (потому что для того, чтобы функция имела инверсию, она должна быть один-один).
Подведем итоги
Мини-урок был посвящен увлекательной концепции «Горизонтальная линия». Математическое путешествие вокруг горизонтальной линии начинается с того, что студент уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы не только было понятно и легко понять, но и навсегда осталось с ними. В этом заключается магия Куэмат.
О компании Cuemath
В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!
Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.
Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.
Часто задаваемые вопросы по Горизонтальной линии
1. Есть ли наклон у горизонтальной линии?
Нет, горизонтальная линия не имеет наклона, т.е. наклон горизонтальной линии равен 0.
2. Что такое горизонтальная и вертикальная линия?
Горизонтальная линия — это линия, параллельная оси x, и ее уравнение имеет вид \ (y = \) константа.
Вертикальная линия — это линия, параллельная оси y, и ее уравнение имеет вид \ (x = \) постоянная.
3. Что такое вертикальная линия?
Вертикальная линия — это линия, параллельная оси y, и ее уравнение имеет вид \ (x = \) константа.
4. Как нарисовать горизонтальную линию?
Чтобы нарисовать горизонтальную линию на бумаге, используйте линейку. Поместите его параллельно горизонтальному краю бумаги и проведите линию по линейке.
Чтобы нарисовать горизонтальную линию на координатной плоскости,
Поместите точку в любую случайную точку на координатной плоскости, скажем, в (2, -3).
Определите его координату y. Здесь координата Y равна -3.
Постройте другие точки, координата Y которых совпадает с координатой точки на графике. Построим график (1, -3), (-2, -3) и т. Д.
Соедините все точки, чтобы получить горизонтальную линию.
5. Какое уравнение представляет собой горизонтальная линия?
Уравнение горизонтальной прямой, проходящей через точку (a, b): y = b.
6. Горизонтально из стороны в сторону или вверх-вниз?
Как мы узнали на этой странице, горизонталь — это линия из стороны в сторону.
7. Что подразумевается под горизонтальной линией?
Горизонтальные линии — это линии, параллельные горизонту.
Горизонтальные линии в координатной геометрии — это линии, параллельные оси x.
Горизонтальные линии — это спящие линии.
8. Какой пример вертикальный?
Примером «вертикали» является электрический столб, перпендикулярный земле.
9. Как называются горизонтальные линии на земном шаре?
Горизонтальные линии на земном шаре называются «широтами».«
10. Как называются вертикальные линии на земном шаре?
Вертикальные линии на земном шаре называются «долготами».
Вертикальные и горизонтальные линии — Алгебра II
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Определение горизонтальной линии и пример
Что такое горизонтальная линия?
В техническом анализе на графике цены часто проводят горизонтальную линию, чтобы выделить области поддержки или сопротивления.
В геометрическом анализе горизонтальная линия проходит параллельно оси x. Другими словами, на идеально горизонтальной линии все значения в строке будут иметь одинаковое значение y.
Ключевые выводы
Горизонтальная линия обычно используется в техническом анализе для обозначения областей поддержки или сопротивления.
Горизонтальная линия проходит параллельно оси x.
В техническом анализе горизонтальная линия обычно проводится по максимуму колебания или их серии, где каждый максимум в серии останавливается на одном и том же уровне.То же самое применимо и к минимумам колебаний.
Понимание горизонтальной линии
Горизонтальные линии обычно используются в техническом анализе, чтобы выделить области поддержки, где цена перестала падать, а затем отскакивала в предыдущих случаях, или сопротивления, когда цена перестала расти, а затем продолжала падать в предыдущих случаях.
Горизонтальная линия проводится путем соединения аналогичных минимумов колебания цены для создания горизонтальной линии поддержки. Для горизонтальной линии сопротивления связаны аналогичные максимумы колебаний.
Затем горизонтальная линия используется в аналитических или торговых целях. Например, если цена актива движется между горизонтальными линиями поддержки и сопротивления, то считается, что цена находится в пределах диапазона.
Движение ниже горизонтальной линии поддержки может указывать на дальнейшее снижение цены, но если поддержка удерживается и цена отскакивает выше, цены могут появиться. Те же принципы применимы к горизонтальной линии сопротивления. Если цена поднимется выше сопротивления, могут появиться более высокие цены.Если цена достигает сопротивления, а затем начинает снижаться, горизонтальная линия удерживается, и трейдеры будут следить за более низкими ценами.
Проще говоря, горизонтальная линия на любом графике — это место, где значения оси Y равны. Если он был нарисован, чтобы показать серию максимумов данных, точка данных, перемещающаяся над горизонтальной линией, будет указывать на рост значения оси Y по сравнению с последними значениями в выборке данных.
Фундаментальный горизонтальный анализ
Горизонтальный анализ используется для сравнения значений или цен с течением времени.Это аспект фундаментального анализа, в котором аналитик будет сравнивать различные отчеты о прибылях и убытках с течением времени. В этом виде анализа время функционирует как горизонтальная ось x и позволяет аналитикам вычислять процентные изменения во времени, что является полезным инструментом для представления степени изменения.
Горизонтальный анализ рассматривает тенденции финансовой отчетности за несколько периодов с использованием указанного базового периода и обычно показывает изменения по сравнению с базовым периодом в долларах и процентах.
Процентное изменение рассчитывается путем сначала деления изменения в долларах между годом сравнения и базовым годом на стоимость позиции в базовом году, а затем умножением частного на 100. Например, когда вы слышите, что кто-то говорит, что выручка увеличилась на 10%, это В прошлом квартале этот человек использовал горизонтальный анализ.
Горизонтальный анализ можно использовать по любой статье финансовых показателей компании, от выручки до прибыли на акцию (EPS), и он полезен при сравнении результатов деятельности различных компаний.
Горизонтальная линия относительно кривых спроса и предложения
Кривые спроса и предложения построены с ценой на вертикальной оси графика и объемом спроса на горизонтальной оси. При взгляде на кривые спроса и предложения идеально горизонтальная линия указывает на то, что товар обладает идеальной эластичностью или что его спрос немедленно реагирует на изменения цены. Когда цена совершенно эластичного товара или услуги превышает рыночную цену, объем спроса падает до нуля.При идеальной эластичности потребители просто не готовы тратить на товар или услугу больше, чем определенная цена.
Пример использования горизонтальной линии в техническом анализе
Проведение горизонтальной линии — одна из простейших форм технического анализа, но она также дает важную информацию. На графике ниже горизонтальная линия проведена на биржевом фонде (ETF) SPDR S&P 500 (SPY).
Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2021
Восходящий тренд — это когда цена достигает более высоких максимумов и более высоких минимумов колебаний.Следовательно, горизонтальная линия может выделять, когда цена делает новый максимум, в этом случае показывая признаки восходящего тренда. На приведенном выше графике SPY цена движется выше горизонтальной линии, что указывает на восходящий тренд. Если цена снова упадет ниже горизонтальной линии, это может предупредить о том, что восходящий тренд потерпел неудачу и может произойти снижение цен.
В этом смысле горизонтальная линия действует как линия на песке, где движение над линией является бычьим.
Разница между горизонтальной линией и линией тренда
Оба эти термина могут относиться к одному и тому же: нарисованным линиям на графике.В то время как горизонтальная линия является строго горизонтальной, линия тренда обычно проходит под углом и проводится вдоль восходящих минимумов колебаний во время восходящего тренда или вдоль падающих максимумов колебаний во время нисходящего тренда.
Ограничения использования горизонтальной линии в техническом анализе
Горизонтальная линия не является реальной преградой для цены. Это технический инструмент, который может помочь трейдерам определить, следует ли им быть более медвежьим или бычьим.
То, где проводится горизонтальная линия, субъективно.Не все трейдеры могут разместить горизонтальную линию по одной и той же цене.
При очень важных ценах, где может быть проведена горизонтальная линия, цена может развернуться вокруг нее. Это может вызвать путаницу или некоторые потенциально убыточные сделки, пока цена не сделает более решительное движение выше или ниже линии.
Значение, пример, правила и многое другое
Горизонтальная линия: Горизонтальная линия — это широко используемый термин в математике, а также в нашей повседневной жизни. В координатной геометрии линия называется горизонтальной, если две точки на линии имеют одинаковые координаты Y.Говоря простым языком, прямая линия, параллельная горизонту, называется горизонтальной линией. Горизонтальные линии также называют линиями сна. На оси X-Y горизонтальная линия всегда будет параллельна оси x и перпендикулярна оси y. В этой статье вы можете найти все о горизонтальных линиях, примерах, уравнениях и фактах. Читай дальше что бы узнать!
Горизонтальные линии
Горизонтальные линии в координатной геометрии — это линии, параллельные оси x. Другими словами, линия, имеющая точки в одинаковых точках координаты Y, называется горизонтальной линией.
Горизонтальная аналогия для понимания горизонтальной линии
Горизонт — это линия, по которой земля и небо встречаются. Слово «горизонтальный» происходит от слова «горизонт». Таким образом, простыми словами линия, параллельная горизонту, называется горизонтальной линией.
Как нарисовать горизонтальную линию?
Чтобы нарисовать горизонтальную линию с помощью графика, выполните следующие действия:
— Для начала определите оси x и y и отметьте числа.
— Выберите разные точки с разными координатами x, но с одинаковой координатой y.
— Соедините все точки и вытяните их с обеих сторон, чтобы получить горизонтальную линию
Уравнение горизонтальной линии
В геометрии мы можем представить горизонтальную линию в форме уравнения. Составим уравнение для горизонтальной линии, проходящей через точку (0,2), как показано ниже:
Мы знаем, что прямая линия представлена как y = mx + C
Для точки (0, 2) уравнение будет следующим:
y = (0) x + C
y = C
Линия пересекает ось y в точке (0, 2), таким образом, значение C = 2
Следовательно, y = 2
Следовательно, уравнение горизонтальной линии y = 2
Обратите внимание, что на приведенном выше графике даже для других точек, таких как (-3, 2), (3, 2) или (-6, 2), (6, 2) или любых других точек, координаты y всегда будет 2.В этой ситуации линия будет горизонтальной линией.
Использование горизонтальной линии
Горизонтальная линия может помочь визуализировать симметричность фигуры или трехмерного объекта. Чтобы проверить симметрию, визуализируйте горизонтальную линию, проходящую через ось фигуры и объекта, так что, когда они сложены по горизонтальной линии, обе равные части перекрываются.
Что такое горизонтальная и вертикальная линия
Горизонтальные линии — это линии, параллельные оси X, а точка пересечения оси Y всегда одинакова для всех точек на линии.Принимая во внимание, что вертикальные линии — это линии, параллельные оси Y, и точка пересечения по оси X будет такой же. Проверьте графическое изображение горизонтальных и вертикальных линий снизу:
Решенные примеры горизонтальной линии
Давайте рассмотрим несколько решенных примеров на горизонтальных линиях:
Пример 1: Проверьте, сколько алфавитов симметрично по горизонтали, по изображению, приведенному ниже:
Решение: Мы нарисовали горизонтальную линию поперек букв, чтобы определить, симметричны ли буквы.Алфавит «А» не симметричен по горизонтали, но симметричен по вертикали. Принимая во внимание, что алфавиты «B», «C» и «D» симметричны по горизонтали.
Пример 2: Проверьте, какое уравнение соответствует горизонтальной линии на приведенном ниже графике:
Решение: Уравнения линий следующие:
y = x ² — 5
y = x ²
y = x
y = 3
x = 3
В вышеупомянутых уравнениях линия с таким же отрезком y во всех точках прямой y = 3.Для линии y = 3 точка пересечения по оси x изменяется, а точка пересечения по оси y остается постоянной. Следовательно, y = 3 — горизонтальная линия.
Бесплатные учебные материалы по Embibe
Воспользуйтесь следующими бесплатными учебными материалами Embibe, которые определенно помогут вам на экзаменах:
Часто задаваемые вопросы
Проверьте часто задаваемый вопрос ниже:
В. Какое правило для горизонтальной линии?
А.Горизонтальная линия имеет следующие свойства:
— линия, параллельная оси x координатной плоскости.
— Наклон горизонтальной линии равен нулю
— Пересечение оси Y горизонтальной линии является постоянным.
В. Как нарисовать горизонтальную линию?
A. Чтобы нарисовать горизонтальную линию, координаты y должны быть постоянными, а координаты x могут изменяться. Постройте несколько точек с постоянными координатами y и нарисуйте линию, соединяющую их.
В. Что такое горизонтальная и вертикальная линия?
A. Горизонтальная линия, параллельная оси x. В то время как вертикальная линия параллельна оси y.
В. Есть ли наклон у горизонтальной линии?
A. Нет, горизонтальная линия не имеет наклона.
В. Какое уравнение представляет собой горизонтальную линию?
A. Уравнение горизонтальной линии будет: y = постоянная.Константа будет соответствовать координате y.
В. Как называются горизонтальные линии на земном шаре?
A. Горизонтальные линии на земном шаре называют широтой.
Надеемся, эта статья вам поможет. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их в разделе комментариев ниже. Мы свяжемся с вами в ближайшее время.
579 Просмотры
Особые случаи линейного уравнения: горизонтальные линии
Уравнение горизонтальной линии
Горизонтальная линия проходит слева направо и параллельна оси x.Это также линейная линия, очень похожая на многие, с которыми вы сталкивались до сих пор (например, форма пересечения уклона, общая форма). Но что делает его таким особенным? Уравнение горизонтальной линии уникально, и вы скоро поймете, почему.
Какой наклон горизонтальной линии
Когда мы имеем дело с горизонтальными линиями, каков их наклон? Вы, вероятно, сможете ответить на этот вопрос, не вдаваясь в математику. Посмотрите на идеально горизонтальную линию на графике ниже.
Наклон говорит нам, насколько крута линия.Фактически, наклон можно определить по подъему / спуску, что помогает нам определить крутизну. Глядя на красную линию выше, насколько она крутая? Наклон горизонтальной линии на самом деле равен 0. Она никогда не поднимается (и не падает), поэтому, если бы мы нашли подъем / пробег, мы бы получили 0 / пробег. 0, деленный на что угодно, все равно равен 0, и, следовательно, наклон нашей горизонтальной линии равен 0.
Немного отступая, каково уравнение горизонтальной линии? Поскольку линия горизонтальна и проходит параллельно оси x, уравнение просто:
y = y-точка пересечения линии или, чаще y = b (где b = точка пересечения с y)
Примеры задач
Вопрос 1:
Определите линию уравнений из следующих точек.
я) (-5, 2), (3, 2)
Решение:
Еще раз взгляните либо на точки, либо на сам график. Обе координаты оси y равны 4. Линия проходит по y = 4. Ваш ответ будет заключаться в том, что уравнение y = 4.
iii) (б, м), (в, м)
Решение:
Теперь вы понимаете, что даже без чисел, координаты y могут рассказать вам уравнение линии. В этом случае уравнение = y = m.
Вопрос 2:
Напишите уравнение линии с заданной информацией:
Горизонтально, проходит через (4,7)
Решение:
Хотя нам не дают двух точек для наблюдения, предоставленная информация говорит нам все, что нам нужно знать.В нем говорится, что линия, с которой мы имеем дело, горизонтальна. Следовательно, мы можем взглянуть только на координату y данной точки, чтобы помочь нам определить уравнение горизонтальной линии. Вы должны обнаружить, что уравнение = y = 7.
Ищете, чем заняться дальше? Узнайте о параллельных и перпендикулярных линиях в линейных функциях и о том, как они должны выглядеть. Вы также можете узнать, как построить график линейных неравенств с двумя переменными или системы линейных неравенств. Еще многое предстоит узнать с точки зрения линейных функций, поэтому убедитесь, что вы усвоили этот урок о закреплении уклона горизонтальной линии, прежде чем двигаться дальше!
Координатная геометрия: вертикальные и горизонтальные линии
В последнем видео мы рассмотрели графические линии.Нет, мы подробнее рассмотрим вертикальные и горизонтальные линии, а также то, как мы можем найти их уравнения.

Как мы обсуждали в последнем видео, каждая линия в плоскости x-y имеет свое собственное уникальное уравнение. Самыми простыми уравнениями являются уравнения для горизонтальных и вертикальных линий.
Давайте представим типичную горизонтальную линию. Итак, вот горизонтальная линия, и я выделил точки на ней. Давайте просто подумаем о координатах этих точек.
Некоторыми точками на линии являются такие, как (0, -3), (1, -3), (2, -3) и т. Д. -1, -3, -2, -3 и т. Д. X -координата может быть любым числом в числовой строке, это может быть даже дробь. Я их не перечислял, но это тоже могут быть дроби. Но обратите внимание, что координата Y зафиксирована на месте. Координата y должна быть отрицательной 3.
Что ж, очень элегантный способ обозначить это условие — просто y = -3. Это уравнение линии, которое суммирует все, что вам нужно знать о линии.Чтобы квалифицироваться как точка на этой линии, эта точка должна иметь координату y, равную -3, а координата x может быть любой, какой она хочет. И это уравнение линии.
Общая форма горизонтальной линии
Другой способ подумать об этом: любая горизонтальная линия будет полностью состоять из точек на одной высоте, то есть на одинаковом расстоянии выше или ниже оси x. Если мы просто укажем эту высоту как место, где горизонтальная линия пересекает ось Y, тогда мы укажем все об этом.Таким образом, общая форма горизонтальной линии y = K, где K — высота линии.
И K также будет точной точкой на оси y, где линия пересекает ось y. Мы называем это перехватчиком y . Мы поговорим об этом подробнее в следующих видео. Например, эта линия здесь всегда имеет координату y, равную 2, и она пересекает ось y в точке 2. Итак, должно быть уравнение y = 2.
Что такое уравнение оси X?
Какое уравнение представляет собой сама ось абсцисс? Вот это интересно.Ось x представляет собой горизонтальную линию, поэтому у нее должно быть собственное уникальное уравнение. Каждая линия в плоскости x y имеет собственное уникальное уравнение, в то время как ось x выровнена, поэтому она должна иметь собственное уникальное уравнение. Теперь давайте подумаем об этом: ось x представляет собой горизонтальную линию с нулевой высотой.
Поскольку он проходит через ось y в начале координат, он проходит через ноль, ноль. Это означает, что уравнение оси x должно быть y = 0, и это уравнение оси x.
Вертикальные линии
Теперь поговорим о вертикальных линиях.Точно так же, как горизонтальные линии имеют одинаковые координаты y, вертикальные линии имеют одинаковые координаты x.
Итак, здесь мы видим, что линия пересекает ось x в точке 4. Мы также видим, что все точки выше и ниже нее находятся на одинаковом расстоянии справа от оси y. Таким образом, все они должны иметь координату x, равную 4. И, следовательно, хороший способ написать уравнение этой линии будет просто x = 4, а не слова, которые мы устанавливаем для этой линии, а именно: координата x должна быть быть 4.
Координаты Y могут быть где угодно, и если мы будем следовать этому правилу, мы всегда попадем на эту конкретную линию. Уравнение любой вертикальной линии, проходящей через ось x в точке K, должно быть x = K. Точно так же уравнение оси y, вертикальной линии, пересекающей ось x в нуле, должно быть x = 0.
Две точки с одинаковой координатой X или Y
Итак, уравнение оси x y = 0, уравнение оси y имеет вид x = 0. Любые две точки, которые имеют одну и ту же координату y, должны лежать на одной и той же горизонтальной линии.Это очень важная идея. И это то, что вам нужно распознать, потому что тест просто даст вам набор координат.
Вы должны будете распознать, что эти две координаты имеют одинаковую координату y. Значит, они должны быть на горизонтальной линии. Точно так же любые две точки с одинаковой координатой x должны лежать на одной и той же вертикальной линии. Если C имеет такую же координату x, что и точка A, и такую же координату y, что и точка B, тогда должно быть верно, что угол, ACB, является прямым углом, углом 90 градусов.
Потому что это угол между горизонтальной линией и вертикальной линией. Имейте в виду, что горизонтальная линия может проходить через первый и второй квадранты, то есть, если она выше оси x, или она может проходить через третий и четвертый квадранты, если она ниже оси x. Вертикальная линия может проходить через второй и третий квадранты, если она находится слева от оси y, или через четвертый и один квадранты, если она находится справа от оси y.
Большинство горизонтальных и вертикальных линий проходят через два квадранта.Как мы увидим, большинство наклонных линий проходят через три квадранта.
Вертикальные и горизонтальные линии: практическая задача
Вот практическая задача.
Прямоугольник образован линиями y = 1, y = 4, x = 2 и line = D. Когда диагональ построена, она образует у основания угол 30 градусов. Найдите уравнение линии D.
Итак, я предлагаю вам приостановить видео, поработать над этим, а затем мы поговорим об этом.
_{Изображение Новикова Алексея}
Ладно, ну во-первых, очевидно, что D — это вертикальная линия.Как и все вертикальные линии, у него должно быть уравнение в форме x = K. Давайте подумаем об этом, мы посмотрим на треугольник и дадим вершинам буквенные названия.
Итак, точку в 2, 1 мы будем называть A, точку в K, 4 мы будем называть B, а точку в C, в K, 1 мы будем называть C. И обратите внимание, что длина этой базы равна K-2, потому что, начиная с оси Y, мы переместились бы на два деления вправо, чтобы добраться до A, а затем, когда мы переместимся в C, мы пройдем K пробелов. Итак, маленькие 2 плюс нижняя ножка этого треугольника в сумме дают K.
Это должно означать, что основание K- 2. Итак, конечно, это треугольник 30-60-90. Мы изучали это на уроке геометрии и знаем, что можем установить соотношение: A над C = корень 3 над 1. Перекрестным умножением мы получаем AC = 3 корень 3. Итак, этот AC, который равен 3 корню 3, это равно K-2, как мы уже сказали.
Итак, теперь мы должны добавить 2, чтобы решить K, и мы получаем K = 2 + 3 корня над 3. И, следовательно, уравнение прямой x = 2 + 3 корня 3.
Резюме
Таким образом, горизонтальное прямые имеют общий вид y = K.Вертикальные линии имеют общий вид x = K. Ось x имеет уравнение y = 0.
Ось y имеет уравнение x = 0. Если две точки имеют одну и ту же координату x, они разделены по вертикали. Они лежат на одной вертикальной линии. И если две точки имеют одну и ту же координату y, то они разделены по горизонтали. Они лежат на одной горизонтальной линии.
О Майке МᶜГарри
Майк создает уроки для экспертов и практические вопросы, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха.У него есть степень бакалавра физики и магистра религии в Гарварде, а также более 20 лет опыта преподавания, специализирующегося на математике, естественных науках и стандартизированных экзаменах. Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидной черепно-мозговой недостаточности, он настаивает на том, чтобы болеть за Нью-Йорк Метс.
Горизонтальные и вертикальные линии
Горизонтальные и вертикальные линии представляют собой уникальные линейные уравнения. Когда наклон равен нулю, линия горизонтальна. Если наклон не определен, линия вертикальная.Обратите особое внимание на то, что здесь означает undefined, наклон вертикальной линии не определен, потому что это линия, указывающая прямо вверх, что приближает ее к бесконечности как предельному значению.

Уравнение вертикальной линии , проходящей через точку \ (P (a, b) \): \ (x = a \)
Уравнение горизонтальной линии , проходящей через точку \ (P (a, б) \) равно \ (y = b \)
Обратите внимание, насколько упрощенно каждое уравнение. Давайте разберемся, почему они такие.
Вертикальные линии
Вертикальная линия указывает прямо вверх и вниз. Это линия, параллельная оси Y графика. Вертикальная линия, определяемая при каждом значении y, имеет только одно значение x. Его наклон не определен. Это затрудняет математическое описание с использованием общего уравнения линии, поскольку у нее нет наклона, который можно было бы описать.
Неопределенный наклон эквивалентен тому, что коэффициент наклона равен нулю.Общее уравнение прямой выглядит следующим образом:
$$ Ax + By = C $$
Если мы допустим \ (B = 0 \) и попытаемся преобразовать уравнение в форму точки с наклоном линии:
$$ \ begin {align} & Ax + 0y = C & \ text {уравнение с} B = 0 \\ [1em] & 0y = -Ax + C & \ text {вычтите Ax с обеих сторон} \\ [1em] & y = \ frac { -A} {0} x + \ frac {C} {0} & \ text {попытка деления на ноль} \ end {align} $$
Это показывает нам проблему с неопределенным уклоном. В случае, когда наклон не определен, потому что он делится на ноль, исходная общая форма уравнения с \ (B = 0 \) является правильным методом поиска вертикальной линии.
$$ x = \ frac {C} {A} $$
Вышесказанное является упрощением, если бы мы просто продолжили с \ (B = 0 \). Мы, конечно, не можем делить на ноль, поэтому пример попытки упростить до формы «точка-наклон» был нелепым занятием. Он был включен, чтобы показать, насколько странным является неопределенный наклон в линейном уравнении. Мы можем определить, что любое уравнение, где y равно константе, представляет собой вертикальную линию на графике.
Горизонтальные линии
Горизонтальная линия указывает слева направо.Это перпендикулярная линия к оси Y графика. Горизонтальная линия, определяемая для каждого значения x, имеет только одно значение y. Он имеет нулевой наклон. Вариант линии намного проще описать математически, используя общее уравнение линии, чем вертикальную линию. Нулевой наклон легко учесть, потому что он подразумевает \ (A = 0 \) в общем уравнении прямой.
$$ \ begin {align} & Ax + By = C & \ text {общее уравнение линии} \\ [1em] & By = -Ax + C & \ text {вычесть Ax с обеих сторон} \\ [1em] & y = \ frac {-A} {B} x + \ frac {C} {B} & \ text {разделите обе стороны на B, теперь в форме точечного уклона} \\ [1em] && \ text {если уклон равно нулю, что означает} \ frac {-A} {B} = 0 \\ [1em] & y = \ frac {C} {B} & \ text {уравнение горизонтальной линии} \ end {align} $$
Выше показано упрощение общего уравнения прямой до уравнения, в котором наклон равен нулю.Что мы можем определить, так это то, что любое уравнение, в котором x равно константе, представляет собой горизонтальную линию на графике.

Уравнение вертикальной линии , проходящей через точку \ (P (a, b) \): \ (x = a \)
Уравнение горизонтальной линии , проходящей через точку \ (P (a, b) \) равно \ (y = b \)
Об авторе
Джеймс Лоуман — прикладной математик, в настоящее время работает над докторской степенью. в области вычислительной гидродинамики в Университете Ватерлоо.Он является соучредителем компании Waterloo Standard, занимающейся онлайн-обучением по математике и естественным наукам.
Если вам нужна помощь по математике, запишитесь на сеанс у Джеймса.
.

Примеры решения систем линейных уравнений метод гаусса: Метод Гаусса — примеры c решением, теоремы и формулы

alexxlab / 07.02.197016.07.2021 / Разное

Метод Гаусса — примеры c решением, теоремы и формулы

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Обратите внимание!
СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:
Одно решение;
много решений;
совсем не иметь решений.
В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.
Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:
перемена мест уравнений системы;
почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.
Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.
Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.
Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.
Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.
Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:
– это основная матрица СЛАУ.
– матрица столбец неизвестных переменных.
– матрица столбец свободных членов.
Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:
Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.
Обратите внимание!
Если с системой уравнений:
Произвести такие действия:
умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число ;
менять местами уравнения;
к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,
тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.
Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.
Нужна работа? Есть решение!
Более 70 000 экспертов: преподавателей и доцентов вузов готовы помочь вам в написании работы прямо сейчас.
Подробнее Гарантии Отзывы
Простейшие преобразования элементов матрицы
Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:
Из уравнения запишем расширенную матрицу:
Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.
Определение
Матрица системы – это матрица, которая составляется исключительно с коэффициентами при неизвестных. Что касается расширенной матрицы системы, так, это такая матрица, в которой кроме коэффициентов записаны ещё и свободные члены. Любую из этих матриц называют просто матрицей.
На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:
1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:
.
2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).
3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.
4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.
5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:
Для удобства умножаем первую строку на (-3):
Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:
В итоге получилось такое преобразование:
Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:
В матрице верхняя строка преобразовалась:
Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:
И верхнюю строку поделили на то же самое число :
Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.
Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:
.
Обратите внимание!
Если в примере приведены десятичные дроби, метод Гаусса в этом случае также поможет решить систему линейных алгебраических уравнений. Однако, не стоит забывать, что следует избегать приближённых вычислений, так как ответ будет неверным. Лучше всего использовать десятичные дроби, а от них переходить к обыкновенным дробям.
Алгоритм решения методом Гаусса пошагово
После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:
Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы
Записываем матрицу:
Шаг 2.
Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю
Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .
Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду
Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:
Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:
Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.
Шаг 4. Записываем эквивалентную систему
После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:
Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)
Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки. :
находим : ,
,
.
После находим :
,
.
Тогда:
.
Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений
Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.
Дана система уравнений:
Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.
Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :
Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .
Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.
Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:
берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на .
И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:
Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:
В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.
Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.
В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.
Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений
Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.
Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.
В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:
1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.
Например, вам попалась подобная система:
У нас получается такая ситуация
Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.
Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.
2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:
Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:
В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.
3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной . Если же уже исключались, тогда переходим к , и т. д.
Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :
Такая система уравнений после преобразования выглядит так:
Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:
Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:
Допусти, что система уравнений стала:
В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:
В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:
Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , , – произвольные числа.
Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.
В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:
= =
В итоге, получился результат, который можно и записать.
Ответ
,
,
,
,
,
.
Примеры решения методом Гаусса
Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.
Пример 1
Задача
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:
Решение
Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:
Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:
Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).
Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:
Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:
. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:
Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.
Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:
Записываем новую систему уравнений:
Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :
Так как найден, находим :
.
Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :
и .
Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.
Ответ
Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.
Пример 2
Задача
Решить систему уравнений методом Гаусса:
Решение
Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:
Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:
Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:
Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:
В результате получилась ступенчатая система уравнений:
Сначала находим : ,
.
Обратный ход:
Итак, уравнение системы решено верно.
Ответ
,
,
.
Пример 3
Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.
Задача
Решите систему уравнений методом Гаусса:
Решение
В уравнении , то есть – ведущий член и пусть  ≠ 0
Из данного уравнения составим расширенную матрицу:
Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.
Поменяем вторую и третью строку местами и получим:
Получилось так, что = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:
Получилась такая матрица:
Также, учитывая, что = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:
Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,
из третьего: = = =
второе уравнение находим: = = = 2,
из первого уравнения: = .
Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).
Ответ
,
,
,
.
Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.
Пример 4
Задача
Решить систему уравнений методом Гаусса:
Решение
Записываем расширенную матрицу системы:
Сначала смотрим на левое верхнее число:
Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:
Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:
Получился ступенчатый вид уравнения:
Проверяем:
,
,
,
,
.
.
Ответ
,
,
.
Заключение
Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.
Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.
Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.
Литература для общего развития:
Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, изд. 3: учеб. пособие – М. МФТИ – 2011 – 259 с.
Карчевский Е. М. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, учеб. пособие – Казанский университет – 2012 – 302 с.
Метод Гаусса – теорема, примеры решений обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру
Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ: понятия, определения, примеры задач
Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:
3×1+2×2+x3+x4=-2×1-x2+4×3-x4=-1-2×1-2×2-3×3+x4=9×1+5×2-x3+2×4=4
Как решать?
Расширенная матрица системы представлена в виде:
   x1    x2     x3 x432111-14-1-2-2-3115-12-2-194
Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.
Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на -a21a11=-13, -a31a11=—23=23 и на -а41а11=-13.
Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на -а32(1)а22(1)=-23-53=-25 и -а42(1)а22(1)=-133-53=135:
   x1    x2     x3 x43211|-20-53113-43|-130-23-7353|2330133-4353|143~
      x1                 x2                           x3                           x4~3211|-20-53113-43|-130-23+(-25)(-53)-73+(-25)11353+(-25)(-43)|233+(-25)(-13)0133+135(-53)-43+135×11353+135(-43)|143+135(-13)~
       x1    x2     x3       x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415-95|195
Теперь исключаем переменную x3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а43(2)а33(2)=-415-195=4119.
       x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415-95|195~
      x1    x2               x3                           x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415+4119(-195)-95+4119×115|195+4119×395~
       x1    x2     x3       x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219
Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:
   x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219
стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:
   x1    x2     x3       x43000|а10-5300|а200-1950|а30005619|39219, где а1, а2, а3 — некоторые числа.
Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на
-1155619=-209280, на —435619=1942 и на -15619=1956.
   x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219~
      x1    x2      x3                   x4~3211+(-1956)5619|-2+(-1956)392190-53113-43+1942×5619|-13+1942×3921900-195115+(-209280)5619|395+(-209280)392190005619|39219~
       x1    x2     x3       x4~3210|-90-531130|900-1950|-3850005619|39219
Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на
-113-195=5557 и на -1-195=519.
x1    x2     x3       x43210|-90-531130|900-1950|-3850005619|39219~
      x1    x2             x3                   x4~321+519(-195)0|-9+519(-385)0-53113+5557(-195)0|9+5557(-385)00-1950|-3850005619|39219~
       x1    x2     x3       x4~3210|-110-5300|5300-1950|-3850005619|39219
На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на -2-53=65.
x1    x2     x3       x43210|-110-5300|5300-1950|-3850005619|39219~
      x1           x2            x3      x4~32+65(-53)00|-11+65×53)0-5300|5300-1950|-3850005619|39219~
       x1    x2     x3       x4~3000|-90-5300|5300-1950|-3850005619|39219
Полученная матрица соответствует системе уравнений
3×1=-9-53×2=53-195×3=-3855619×4=39219, откуда находим неизвестные переменные.
Ответ: x1=-3, x2=-1,x3=2,x4=7.
в чем суть, решение системы уравнений, примеры с объяснением
Благодаря великим ученым было открыто множество эффективных теорем для работы со сложными математическими задачами. Один из таких примеров — метод Гаусса.
Метод Гаусса — что это такое
Метод Гаусса представляет собой методику эквивалентного преобразования исходной системы линейных уравнений в систему, решаемую существенно проще, чем исходный вариант.
Метод Гаусса используют для решения систем линейных алгебраических формул. Такой способ обладает рядом важных преимуществ:
Нет необходимости сравнивать уравнения для оценки совместимости.

Решение систем равенств, в которых число определителей совпадает или не совпадает с количеством неизвестных переменных.

Поиск решений для уравнений с нулевым определителем.

Сравнительно небольшое количество вычислительных операций для получения результата.

Основные определения и обозначения
Матрицы: определение и свойства
Такие системы являются наиболее удобным способом представления данных, с которыми впоследствии производят манипуляции. Матрица имеет вид прямоугольника для удобства расчетов. При использовании метода Гаусса работа осуществляется с треугольными матрицами, при записи которых применяется прямоугольник с нулями на тех местах, где числа отсутствуют. Часто нули не записывают, а только подразумевают.
Важным параметром матрицы является размер:
ширина — это количество строк, обозначают буквой m;

длину выражают числом столбцов, записывают буквой n.

Источник: bigpicture.ru
Размер матрицы будет записан в формате А m*n. В случае, когда m=n, матрица является квадратной, а m=n служит ее порядком. Номера строк и столбцов изменяются.
Определитель
Матрица обладает крайне важной характеристикой. Таким параметром является определитель. Данную величину рассчитывают с помощью диагонали. Для этого в матрице необходимо провести воображаемые диагональные линии. Затем следует найти произведение элементов, которые располагаются на этих диагоналях, а полученные значения суммировать таким образом:
Если диагональ обладает наклоном в правую сторону, то знак «+».

Для диагоналей, наклоненных влево, знак «–».

Источник: wp.com
Рассчитать определитель представляется возможным лишь в случае работы с квадратной матрицей.
Если необходимо определить данный параметр для прямоугольной матрицы, то следует выполнить следующие манипуляции:
из числа строк и числа столбцов выбрать наименьшее и обозначить его k;

отметить в матрице произвольным образом k столбцов и k строк.

Элементы, которые расположены на пересечении отмеченных столбцов и строк, образуют новую квадратную матрицу. В случае, когда определитель является числом, не равным нулю, то данный параметр будет обозначен как базисный минор первоначальной прямоугольной матрицы. Перед решением систем уравнений методом Гаусса полезно рассчитать определитель. Если данная характеристика равна нулю, то матрица имеет бесконечное множество решений либо не имеет их вовсе. В таком случае потребуется определить ранг матрицы.
Классификация систем
Ранг матрицы является распространенным понятием. Он обозначает максимальный порядок ее определителя, который не равен нулю. По-другому можно сказать, что ранг матрицы представляет собой порядок базисного минора. Исходя из данного критерия, СЛАУ классифицируют на несколько типов. В совместных системах, которые состоят лишь из коэффициентов, ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной. Для подобных систем характерно одно или множество решений. По этой причине совместные системы подразделяют на следующие типы:
определенные, обладающие одним решением, в которых наблюдается равенство ранга матрицы и количество неизвестных;

неопределенные;

обладающие бесконечным числом решений с рангом матрицы, который меньше количества неизвестных.

В несовместных системах ранги, характеризующие основную и расширенную матрицы, отличаются. С помощью метода Гаусса в процессе решения можно прийти либо к однозначному доказательству несовместности системы, либо к решению общего вида для системы, обладающей бесконечным количеством решений.
Источник: asiaplustj.info
Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса
Перед тем, как решать систему, необходимо ее упростить. На данном этапе выполняют элементарные преобразования, которые не влияют на конечный результат. Определенные манипуляции справедливы лишь в случае матриц, исходниками которых являются СЛАУ. Список элементарных преобразований:
Перестановка строк. При перемене записей в системе местами ее решение не меняется. Можно менять место строк в матрице, учитывая столбец со свободными членами.

Произведение всех элементов строк и некоторого коэффициента. Сокращаются большие числа в матрице, и исключаются нули. При этом множество решений сохраняется без изменений, а дальнейшие манипуляции существенно упрощаются. Важным условием является отличие от нуля коэффициента.

Удаление строк, которые содержат пропорциональные коэффициенты. Данное преобразование следует из предыдущего пункта. При условии, что две или более строк в матрице обладают пропорциональными коэффициентами, то при произведении или делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получают две или более абсолютно одинаковые строки. В этом случае лишние строки исключают, оставляя только одну.

Удаление нулевой строки. Бывают случаи, когда в процессе манипуляций с уравнениями возникает строка, все элементы которой, в том числе свободный член, равны нулю. Нулевую строку допустимо исключать из матрицы.

Суммирование элементов одной строки с элементами другой, умноженными на некоторый коэффициент, в соответствующих столбцах. Данное преобразование имеет наиболее важное значение из всех перечисленных.

Особенности использования метода Гаусса для решения СЛАУ
На первом этапе система уравнений записывается в определенном виде. Пример выглядит следующим образом:
Источник: wp.com
Коэффициенты необходимо представить в виде таблицы. С правой стороны в отдельном столбце записаны свободные члены. Данный блок отделен для удобства решения. Матрицу со столбцом со свободными членами называют расширенной.
Источник: wp.com
Затем основная матрица с коэффициентами приводится к верхней треугольной форме. Данное действие является ключевым моментом при решении системы уравнений с помощью метода Гаусса. По итогам преобразований матрица должна приобрести такой вид, чтобы слева внизу находились одни нули:
Источник: wp.com
При записи новой матрицы в виде системы уравнений можно отметить, что последняя строка уже содержит значение одного из корней, которое в дальнейшем подставляется в уравнение выше для нахождения следующего корня и так далее. Подобное описание позволяет разобраться в методе Гаусса в общих чертах.
Обратный и прямой ход метода Гаусса
В первом случае необходимо представить запись расширенной матрицы системы. При выполнении обратного метода Гаусса далее в главную матрицу добавляют столбец со свободными членами.
Источник: wp.com
Суть такого способа заключается в выполнении элементарных преобразований, по итогам которых данная матрица приводится к ступенчатому или треугольному виду. В этом случае над или под главной диагональю матрицы располагаются только нули.
Источник: wp.com
Варианты дальнейших действий:
перемена строк матрицы местами, при наличии одинаковых или пропорциональных строк их можно исключить, кроме одной;

деление либо умножение строки на любое число, не равное нулю;

удаление нулевых строк;

добавление строки, умноженной на число, не равное нулю, к другой строке.

Имея преобразованную систему с одной неизвестной Xn, которая становится известной, можно выполнить поиск в обратном порядке остальных неизвестных с помощью подстановки известных х в уравнения системы, вплоть до первого. Данный способ называют обратным методом Гаусса.
Примеры решений с объяснением
Пример 1
Требуется решить с помощью метода Гаусса систему линейных уравнений, которая выглядит следующим образом:
Источник: wp. com
Решение
Необходимо записать расширенную матрицу:
Источник: wp.com
Затем нужно выполнить преобразования. В результате матрица должна приобрести треугольный вид. Для этого следует умножить первую строку на (3) и умножить вторую строку на (-1). В результате суммирования второй и первой строк получается следующее:
Источник: wp.com
Далее следует умножить третью строку на (-1). После добавления третьей строки ко второй получаем следующие преобразования:
Источник: wp.com
После этого необходимо умножить первую строку на (6) и вторую строку на (13). Далее следует добавить вторую строку к первой:
Источник: wp.com
После того, как система преобразована, остается вычислить неизвестные:
$x_{3}=\frac{98}{49}=2$
$x_{2}=\frac{14-7x_{3}}{6}=\frac{14-7*2}{6}=0$
$x_{3}=\frac{-9+5x_{2}+6x_{3}}{3}=\frac{-9+5*0+6*2}{3}=1$
Данный пример демонстрирует единственное решение системы.
Источник: supertics. com
Пример 2
Необходимо решить систему уравнений, которая выглядит следующим образом:
Источник: wp.com
Решение
Необходимо составить матрицу:
Источник: wp.com
Согласно методу Гаусса уравнение первой строки по итогам преобразований не меняется. Удобнее, когда левый верхний элемент матрицы обладает наименьшим значением. В таком случае первые элементы остальных строк после преобразований будут равны нулю. Таким образом, составленная матрица будет решаться проще, если на место первой строки поставить вторую:
вторая строка:
$k = (-a_{21} /a_{11}) = (-3/1) = -3$
$a»_{21} = a_{21} + k×a_{11} = 3 + (-3)×1 = 0$
$a» _{22} = a_{22} + k×a _{12} = -1 + (-3)×2 = -7$
$a»_{ 23} = a_{23} + k×a_{13} = 1 + (-3)×4 = -11$
b» 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
третья строка:
$k = (-a_{31} /a_{11}) = (-5/1) = -5$
$a»_{31} = a_{31} + k×a_{11} = 5 + (-5)×1 = 0$
$a»_{32} = a_{32} + k×a_{12} = 1 + (-5)×2 = -9$
$ a»_{33} = a_{33} + k×a_{13} = 2 + (-5)×4 = -18$
$ b»_3 = b_3 + k×b_1 = 3 + (-5)×12 = -57$
Матрица с промежуточными результатами манипуляций будет иметь следующий вид:
Источник: wp. com
Благодаря некоторым операциям можно придать матрице наиболее удобный вид. К примеру, вторую строку можно избавить от всех «минусов» путем умножения каждого элемента на «-1». Можно заметить, что для третьей строки характерны все элементы, кратные трем. В этом случае строка сокращается с помощью произведения каждого элемента на «-1/3». Минус позволит удалить отрицательные значения.
Источник: wp.com
Далее следует приступить к манипуляциям со второй и третьей строками. Необходимо суммировать третью и вторую строки. Вторая строка при этом умножается на такой коэффициент, при котором элемент а 32 будет равен нулю.
$k = (-a_{32} /a_{22}) = (-3/7) = -3/7$
В случае, когда некоторые преобразования приводят в результате к получению не целого числа, следует оставить его в этом виде. Таким образом, вычисления будут более точными. Затем при получении ответов можно определиться с его дальнейшем округлением или переводом в другую форму записи.
$a»_{32} = a_{32} + k×a_{22} = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0$
$a»_{33} = a_{33} + k×a_{23} = 6 + (-3/7)×11 = -9/7$
$b»_3 = b_3 + k×b_2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7$
Преобразованная матрица будет иметь следующий вид:

Матрица обладает ступенчатым видом. Дальнейшие преобразования с помощью метода Гаусса нецелесообразны. В этом случае можно удалить из третьей строки общий коэффициент «-1/7».
Источник: wp.com
Затем необходимо представить запись матрицы в виде системы уравнений для вычисления корней.
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Найти корни можно обратным методом Гаусса. Уравнение (3) содержит значение z:
y = (24 — 11×(61/9))/7 = -65/9
С помощью первого уравнения можно определить х:
x = (12 — 4z — 2y)/1 = 12 — 4×(61/9) — 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Подобная система является совместной и определенной, для которого характерно единственное решение. Ответ будет следующим:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Метод Гаусса предполагает последовательное исключение неизвестных. Методика справедлива в случае решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Несмотря на простоту метода, многие студенты сталкиваются с некоторыми трудностями в процессе поиска правильного решения. Это связано с наличием знаков «+» и «-». Поэтому для решения СЛАУ требуется проявить внимательность. А получить квалифицированную помощь можно на ресурсе Феникс.Хелп.
Методы решения систем линейных уравнений. Метод Гауса.
Линейными называются такие уравнения, в которых все переменные находятся в первой степени. Так же в высшей математике переменные могут обозначаться не просто x, y, z и т.д., а переменными с индексами —
Решить систему уравнений означает найти такие значения переменных, при которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Это правило применимо к любым системам уравнений с любым количеством неизвестных.
Существует несколько методов решения систем линейных уравнений:
метод подстановки («школьный метод»), или, как его еще называют, методом исключения неизвестных;
метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы;
метод Гаусса;
метод Крамера;
метод обратной матрицы.
Рассмотрим некоторые из вышеуказанных методов.
Pешение системы уравнений методом Гаусса
Метод Гаусса является самым универсальным и эффективным и заключается в последовательном исключении переменных.
Пример.
Необходимо решить систему:
Решение:
Прямой ход.
Представим исходную систему в следующем виде:

На каждом этапе решения будем располагать с правой стороны расширенную матрицу,
эквивалентную системе уравнений. Расширенная матрица представляет собой несколько иную
форму записи исходной системы уравнений. Это позволит нам вести решение более наглядно.
Исключим переменную x₁ из последнего уравнения.
Для удобства переведем систему уравнений в целые числа, для этого умножим коэффициенты
первого уравнения на 3, а коэффициенты второго уравнения на -2:

Умножим коэффициенты первого уравнения на -1.
Обычно, данное преобразование системы выполняется в уме и не указывается при решении.

Прибавим получившееся уравнение ко второму уравнению.
Первое уравнение при этом не изменится в исходной системе.

Обратный ход.
Рассмотрим второе уравнение получившейся системы:
Рассмотрим первое уравнение получившейся системы:
Найдем значение переменной x₁
.
Найдем значение переменной x₂, подставив найденное значение x₁.
Ответ :
Если решили построить дом, то проекты коттеджей (http://www.intexhome.ru/projects/) вам будут необходимы.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Решение систем линейных уравнений
Определение и формула решения систем линейных уравнений
Школьные методы решения систем описаны в статье (\textbf{ссылка на статью «Решение систем уравнений» выше}).
Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса — это метод последовательного исключения переменных, когда расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к матрице (системе) треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последней, находятся все остальные неизвестные системы. Метод назван в честь немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Иоганна Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), хотя первое известное описание метода встречается уже в китайском трактате «Математика в девяти книгах» (10-2 в.в. до н.э.).
Метод Крамера для решения систем линейных уравнений
Матричный метод (метод обратной матрицы)
Матричный метод или метод обратной матрицы базируется на следующем алгоритме:
1. Система (1) записывается в матричной форме , где

2. Из матричного уравнения получаем, что

где матрица — это обратная матрица к матрице системы . Обратная матрица находится по формуле:

Матрица называется союзной матрицей к матрице , ее элементами есть алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы .
Необходимым и достаточным условием применимости матричного метода является неравенство нулю определителя матрицы .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений | Математика
Пусть задана система из линейных уравнений с неизвестными:
(1.27)
Допустим, что в системе коэффициент при в первом уравнении Разделив обе части этого уравнения на , получим равносильную данной систему:
(1.28)
где
Получить решение
Исключим с помощью первого уравнения системы (1. 28) неизвестное из всех оставшихся уравнений этой системы. Для этого умножим первое уравнение этой системы последовательно на и в том же порядке вычтем полученное из второго, третьего и последующих уравнений системы (1.28). В результате получим равносильную систему вида
(1.29)
где
Допустим, что коэффициент при во втором уравнении системы (1.29) отличен от нуля. В противном случае переставим местами уравнения этой системы, записав вторым другое уравнение с подходящим вторым коэффициентом.
Исключим неизвестное с помощью второго уравнения из всех последующих уравнений. Для этого разделам второе уравнение на . Затем умножим последовательно полученное второе уравнение на и вычтем эти результаты из третьего, четвертого и всех оставшихся уравнений.
В итоге получим очередную систему уравнений:
где
Продолжая этот процесс исключения неизвестных, получим либо несовместную, либо совместную систему уравнений. В первом случае в системе будет содержаться уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение вида , где . Во втором случае получим либо систему треугольной формы
(1.30)
либо систему трапециевидной (ступенчатой) формы
(1.31)
В случае треугольной системы из последнего уравнения (1.30) следует, что Подставляя это значение в предпоследнее уравнение системы (1.30), найдем неизвестное . Подставляя значения и в предыдущее уравнение, найдем значение неизвестного и т.д.
Таким образам, если данная система (1.27) с помощью элементарных преобразований приводится к системе треугольной формы, то система имеет единственное решение (т.е. система совместна и определенна).
В случае системы ступенчатой формы (1. 31), перенося все слагаемые, содержащие неизвестные в правую часть уравнений, получим систему вида
(1.32)
Из (1.32) следует, что значения неизвестных выражаются через значения неизвестных . Так как последним неизвестным, называемым свободными неизвестными, можно придавать любые произвольные значения, то система (1.32), а вместе с ней и данная система (1.27), имеет бесконечное множество решений.
Итак, если данная система приводится к трапециевидной форме, то она имеет бесконечное множество решений (т.е. система совместна и неопределенна). Найденные решения, записанные в форме
где любые числа, называются общими решениями системы. Решения, полученные из общих решений при конкретных значениях свободных неизвестных , называются частными решениями.
Заключение
Матричный способ решения систем линейных уравнений, как и решение методом Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений. Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей составленной из коэффициентов системы (1.27) и ее свободных членов.
Матрица В называется расширенной матрицей системы. Она позволяет заменить элементарные преобразования системы уравнений на соответствующие элементарные преобразования над своими строками, что существенно сокращает процесс поиска решении.
Примеры решения методом Гаусса
ПРИМЕР 1.1.15
Решить систему уравнений методом Гаусса.
Построим расширенную матрицу системы
Исключая с помощью первой строки неизвестное из всех оставшихся строк матрицы , получим
где символ есть символ элементарного преобразования матрицы.
Исключая с помощью второй строки неизвестное из всех последующих строк матрицы , получим
Исключая с помощью третьей строки неизвестное из четвертой строки, получим:
Матрица имеет треугольную форму. Следовательно, заданная система эквивалентна системе
Последовательно вычисляя из последнего уравнения, далее из третьего, из второго и из первого уравнения этой системы найдем, что =2, =1, =0, =1. Итак, заданная система имеет единственное решение =1, =0, =1, =2.
ПРИМЕР 1.1.16
Решить систему уравнений
Построим расширенную матрицу системы
Таким образом, заданная система эквивалентна системе,
которая имеет ступенчатый вид, и, следовательно, имеет бесконечное множество решений. Выразим переменные через :
;
Итак, общим решением данной системы будет
любое число.
Полагая, в частности, найдем, что . Тогда , будет одним из частных решений системы.
Страница не найдена — ПриМат
© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2),
Системы линейных уравнений: исключение Гаусса
Решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса
После нескольких уроков, в которых мы неоднократно упоминали, что мы охватываем основы, необходимые для последующего изучения того, как решать системы линейных уравнений, пришло время для нашего урока сосредоточиться на полной методологии, которой нужно следовать, чтобы найти решения. для таких систем.
Что такое элиминация по Гауссу
Исключение Гаусса — это название метода, который мы используем для выполнения трех типов операций со строками матрицы над расширенной матрицей, полученной из линейной системы уравнений, чтобы найти решения для такой системы.Этот метод также называется сокращением строк и состоит из двух этапов: прямого исключения и обратной замены.
Эти два шага метода исключения Гаусса различаются не операциями, которые вы можете использовать с их помощью, а результатом, который они производят. Шаг прямого исключения относится к сокращению строки, необходимому для упрощения рассматриваемой матрицы до ее эшелонированной формы. Такой этап имеет целью продемонстрировать, имеет ли система уравнений, изображенная в матрице, единственное возможное решение, бесконечное множество решений или просто отсутствие решения.Если обнаружено, что система не имеет решения, то нет причин продолжать сокращение строки матрицы на следующем этапе.
Если возможно получить решения для переменных, входящих в линейную систему, то выполняется этап исключения Гаусса с обратной подстановкой. На этом последнем шаге будет получена сокращенная форма матрицы, которая, в свою очередь, дает общее решение системы линейных уравнений.
Правила исключения Гаусса такие же, как правила для трех элементарных операций со строками, другими словами, вы можете алгебраически оперировать строками матрицы следующими тремя способами (или комбинацией):
Перестановка двух рядов
Умножение строки на константу (любую константу, отличную от нуля)
Добавление строки к другой строке
Итак, решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса оказывается структурированным, организованным и довольно эффективным методом.
Как выполнить гауссовское исключение
На самом деле это не установленный набор шагов исключения Гаусса, которым нужно следовать, чтобы решить систему линейных уравнений, это все о матрице, которая у вас есть в ваших руках, и необходимых операциях со строками для ее упрощения. Для этого давайте поработаем над нашим первым примером исключения Гаусса, чтобы вы могли начать изучать весь процесс и интуицию, которая необходима при работе с ними:
Пример 1
Обратите внимание, что в этот момент мы можем заметить, что эта система линейных уравнений разрешима с единственным решением для каждой из ее переменных.То, что мы выполнили до сих пор, — это первый этап сокращения строк: прямое исключение. Мы можем продолжить упрощение этой матрицы еще больше (что приведет нас ко второму этапу обратной подстановки), но нам это действительно не нужно, поскольку на этом этапе система легко разрешима. Таким образом, мы смотрим на получившуюся систему, чтобы решить ее напрямую:
Уравнение 5: Полученная линейная система уравнений для решения
Из этого набора мы можем автоматически заметить, что значение переменной z равно: z = -2.Мы используем это знание, чтобы подставить его во вторые уравнения для решения относительно y, и подставить значения y и z в первые уравнения для решения относительно x:
В последний раздел этого урока добавлено больше задач исключения Гаусса. Обязательно проработайте их, чтобы практиковаться.
Разница между устранением гаусса и устранением гаусса иордана
Разница между гауссовым исключением и гауссовым методом исключения Жордана состоит в том, что один создает матрицу в форме эшелона строк, а другой — матрицу в форме уменьшенного эшелона строки.Матрица формы эшелона строк имеет верхнюю треугольную композицию, где любые нулевые строки находятся внизу, а ведущие члены находятся справа от ведущего члена из строки выше. Уменьшенная форма эшелона выходит за рамки еще большего упрощения (иногда даже достигая формы единичной матрицы).
Уравнение 8: Разница между формой эшелона и формой ряда эшелонов
История исключения Гаусса и его названия весьма интересны, вы будете удивлены, узнав, что название «Гауссовский» было присвоено этой методологии по ошибке в прошлом веке.В действительности было обнаружено, что алгоритм одновременного решения системы линейных уравнений с использованием матриц и редукции строк записан в той или иной форме в древних китайских текстах, которые датируются еще до нашей эры. Затем в конце 1600-х годов Исаак Ньютон провел по этому поводу урок, чтобы заполнить то, что он считал пробелом в книгах по алгебре. После того, как название «Гауссиан» было уже установлено в 1950-х годах, термин Гаусса-Иордана был принят, когда геодезист У. Джордан усовершенствовал технику, чтобы он мог использовать такие вычисления для обработки своих наблюдаемых данных топографической съемки.Если вы хотите продолжить чтение увлекательной истории математиков исключения Гаусса, не бойтесь щелкнуть ссылку и прочитать.
На самом деле нет никакой физической разницы между исключением Гаусса и исключением Гаусса Джордана, оба процесса следуют одному и тому же типу операций со строками и их комбинациям, их различие зависит от результатов, которые они производят. Многие математики и учителя во всем мире будут относиться к исключению Гаусса и исключению Гаусса Джордана как к методам создания матрицы эшелонированной формы по сравнению с методом создания матрицы уменьшенной эшелонированной формы, но на самом деле они говорят о двух стадиях сокращения строк. мы объяснили это в самом первом разделе этого урока (прямое исключение и обратная подстановка), и поэтому вы просто применяете операции со строками, пока не упростите рассматриваемую матрицу.Если вы дойдете до формы эшелона, вы обычно можете решить с ней систему линейных уравнений (до сих пор это то, что называлось бы исключением Гаусса). Если вам нужно продолжить упрощение такой матрицы, чтобы напрямую получить общее решение для системы уравнений, над которой вы работаете, в этом случае вы просто продолжаете работать с матрицей по строкам, пока не упростите ее до сокращенной формы эшелона. (это будет то, что мы называем частью Гаусса-Жордана, и которую можно также рассматривать как поворотное исключение Гаусса).
Мы оставим подробное объяснение форм сокращения строк и эшелонирования для следующего урока, поскольку сейчас вам нужно знать это, если у вас нет единичной матрицы в левой части расширенной матрицы, которую вы решаете (в этом случае вы не используете не нужно ничего делать для решения системы уравнений, относящейся к матрице), метод исключения Гаусса (регулярное сокращение строк) всегда будет использоваться для решения линейной системы уравнений, которая была записана в виде матрицы.
Примеры исключения Гаусса
В качестве последнего раздела давайте поработаем еще несколько упражнений по исключению Гаусса (сокращение строк), чтобы вы могли больше практиковаться в этой методологии.На протяжении многих будущих уроков этого курса линейной алгебры вы обнаружите, что сокращение строк является одним из самых важных инструментов при работе с матричными уравнениями. Поэтому убедитесь, что вы понимаете все этапы решения следующих проблем.
Пример 2
Пример 3
Мы знаем, что для этой системы мы получим расширенную матрицу с тремя строками (поскольку система содержит три уравнения) и тремя столбцами слева от вертикальной линии (поскольку есть три разных переменных).В этом случае мы перейдем непосредственно к сокращению строк, и поэтому первая матрица, которую вы увидите в этом процессе, — это та, которую вы получите, преобразовав систему линейных уравнений в расширенную матрицу.
Уравнение 15: Строка, уменьшающая расширенную матрицу
Обратите внимание, как мы можем сразу сказать, что переменная z равна нулю для этой системы, поскольку третья строка результирующей матрицы показывает уравнение -9z = 0 . Мы используем это знание и проверяем вторую строку матрицы, которая предоставит уравнение 2y — 6z = 0 , подставив в это уравнение значение z = 0 \, в результате получится y \, также равное нулю.Таким образом, мы наконец подставляем оба значения y и z \ в уравнение, которое получается из первой строки матрицы: x + 4y + 3z = 1 , поскольку и y , и z \ , равны нулю, то это дает нам x = 1 . Итак, окончательное решение этой системы уравнений выглядит следующим образом:
Уравнение 16: Окончательное решение системы уравнений
Пример 4
Из чего видно, что последняя строка дает уравнение: 6z = 3 и, следовательно, z = 1/2.Мы подставляем это в уравнения, полученные во второй и первой строках (в указанном порядке), чтобы вычислить значения переменных x и y:
Пример 5
Решите следующую линейную систему, используя метод исключения Гаусса: Уравнение 21: Система линейных уравнений с двумя переменными
Транскрипция линейной системы в виде расширенной матрицы и редукции строк: Уравнение 22: Строка, уменьшающая расширенную матрицу
Что автоматически говорит нам y = 8 . Итак, подставляя это значение в уравнение из первой строки, получаем: 4x — 5y = 4x — 5 (8) = 4x — 40 = -6 4x = 34 \, и поэтому значение x равно: x = 172 \ frac {\ small17} {\ small2} 217 . И окончательное решение этой системы уравнений:
Уравнение 23: Окончательное решение системы уравнений
Пример 6
Чтобы завершить наш урок на сегодня, у нас есть рекомендация по ссылке, чтобы дополнить ваши исследования: Исключение Гаусса — статья, которая содержит некоторую дополнительную информацию о сокращении строк, включая введение в тему и еще несколько примеров.Как мы упоминали ранее, будьте готовы продолжать использовать сокращение строк почти на всем протяжении этого курса линейной алгебры, так что до встречи на следующем уроке!
Системы линейных уравнений: исключение Гаусса
Системы линейных уравнений:
Решение методом исключения Гаусса (стр. 6 из 7)
Разделы: Определения, Решение по графику, Подстановка, Исключение / добавление, исключение по Гауссу.
Решение трех переменных, линейных систем с тремя уравнениями сложнее, по крайней мере, на начальном этапе, чем решение систем с двумя переменными, потому что требуемые вычисления более грязный. Вам нужно будет очень аккуратно работать, и вам следует планируйте использовать много бумаги для заметок. Метод решения этих систем является расширением метода сложения двух переменных, поэтому сделайте конечно ты знаешь это метод хорошо и может использовать его последовательно правильно.
Хотя метод решения основан на добавлении / исключении, попытка выполнить фактическое добавление имеет тенденцию становится очень запутанным, поэтому существует систематизированный метод решения трех или более переменных системы. Этот метод называется «исключением по Гауссу» (с уравнения заканчиваются тем, что называется «строковой формой»).
Начнем с простого, и работаем над более сложными примерами.
Решите следующие проблемы система уравнений.
Довольно легко увидеть как действовать в этом случае. Я просто подставлю обратно значение z -value из третьего уравнения во второе, решите результат для л , а затем вставьте z и y в первое уравнение и решите результат для x .
10 л 3 (3) = 11
10 y 9 = 11
10 y = 20
y = 2
5 х + 4 (2) (3) = 0
5 x + 8 3 = 0
5 x + 5 = 0
5 x = 5
x = 1
Тогда решение ( х , y , z ) = (1, 2, 3).
Причина, по которой эта система была Легко решить, что система была «треугольной»; это относится к уравнениям, имеющим форму треугольника, из-за нижних уравнений содержащий только более поздние переменные.
Дело в том, что в этом формат, система проста в решении. И гауссовское исключение — это метод, который мы будем использовать для преобразования систем в эту верхнетреугольную форму, используя операции со строками, которые мы изучили, когда применили метод сложения.
Решите следующие проблемы система уравнений с использованием исключения Гаусса.
Ни одно уравнение не решается для переменной, поэтому мне нужно будет выполнить умножение и сложение чтобы упростить эту систему. Чтобы отслеживать свою работу, напишу вниз на каждом шагу, когда я иду. Но я сделаю свои вычисления на бумаге для заметок. Вот как я это сделал:
Первое, что нужно сделать избавиться от ведущих терминов x в два ряда.А пока я просто посмотрю, какие строки будут легко расчистить; Я могу поменять строки позже, чтобы перевести систему в «верхний треугольной «формы. Нет правила, которое гласит, что я должен использовать x — срок из первой строки, и в этом случае, думаю, будет проще используйте термин x из третьей строки, так как его коэффициент просто «1». Я умножу третью строку на 3, и добавьте его в первую строку.Я делаю вычисления на бумаге для заметок:
… а потом записываю результатов:
(Когда мы решали системы с двумя переменными, мы могли умножить строку, переписав систему в сторону, а затем добавить. Для этого нет места в система с тремя переменными, поэтому нам и нужна бумага для заметок.)
Предупреждение: поскольку я не на самом деле ничего не делаю с третьей строкой, я скопировал ее без изменений, в новую матрицу уравнений.Я б / у третий ряд, но на самом деле я не менял Это. Не путайте «использование» с «изменением».
Чтобы получить меньшие числа для коэффициентов умножу первую строку на половину:
Теперь умножу третий ряд на 5 и добавьте это ко второму строка. Работаю на бумаге для заметок:
… а потом записываю результаты: Авторские права Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены
Я ничего не делал с первым рядом, поэтому я скопировал его без изменений. Я работал с третий ряд, но я работал только на вторая строка, поэтому вторая строка обновляется, а третья строка копируется более без изменений.
Хорошо, теперь x — столбец удаляется, за исключением ведущего члена в третьей строке.Так что дальше Приходится работать с колонкой y .
Предупреждение: С третьего уравнение имеет член x , Я больше не могу использовать его ни в одном из двух других уравнений (или я отменить мой прогресс). Я могу работать с по уравнению , но не с с Это.
Если я добавлю в два раза больше первого строки во вторую строку, это даст мне ведущую 1 во втором ряду.Я не буду избавились от ведущего y -термина во втором ряду, но я его преобразовал (не вмешиваясь дробями) в более простую форму. (Вы должны сохранить обратите внимание на такого рода упрощения.) Сначала я делаю царапину работа:
… а потом записываю результатов:
Теперь могу использовать второй ряд, чтобы очистить y -term в первом ряду.Вторую строку умножу на 7 и добавить. Сначала я царапаю работа:
… а потом записываю результатов:
Я могу сказать что z сейчас, но для большей точности я разделю первую строку на 43. Затем я переставляю ряды в верхнетреугольную форму:
Теперь я могу начать процесс обратного решения:
Тогда решение ( х , y , z ) = ( 2, 3, 1 ) .
Примечание: нет ничего священного о шагах, которые я использовал при решении указанной выше системы; там ничего не было особенно о том, как я решил эту систему. Вы могли бы работать в другом упорядочивайте или упрощайте разные строки, и все равно получите правильный ответ. Эти системы достаточно сложны, поэтому вряд ли один правильный способ вычисления ответа. Так что не беспокойтесь о том, «как она знала, что делать дальше? », потому что здесь нет правила.я просто делал все, что пришло мне в голову; Я делал то, что казалось самым простым или что-то еще пришла в голову первая. Не волнуйтесь, если бы вы использовали совершенно другой шаги. Если каждый шаг на пути верен, вы придумаете Такой же ответ.
В приведенном выше примере я мог пошли дальше в своих вычислениях и более тщательно проработали строковые операции, очищая все термины y кроме этого во втором ряду и во всех терминах z кроме того, что в первой строке.Это то, что процесс тогда выглядело так:
Так я могу просто читать от значений x , л , и z , и мне не нужно заморачиваться с обратной заменой. Это более полное метод решения называется «методом исключения Гаусса-Жордана» (с уравнения, попадающие в так называемый «пониженный ряд-эшелон» форма»).Многие тексты доходят до исключения Гаусса, но я всегда было легче продолжать и делать Гаусс-Джордан.
Обратите внимание, что я выполнил две строковые операции сразу на этом последнем шаге перед переключением строк. Пока я не работа с и работа с в той же строке на том же шаге, это нормально. В этом случае я работал с первой строкой и рабочий по второй и третий ряды.
<< Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к указателю Далее >>
Цитируйте эту статью как:
Стапель, Елизавета. «Системы линейных уравнений, решаемые методом исключения Гаусса». Purplemath
Доступно с https: // www.purplemath.com/modules/systlin6.htm .
Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.
Решение системы с исключением Гаусса
Результаты обучения
Используйте метод исключения Гаусса для решения системы уравнений, представленной в виде расширенной матрицы.
Интерпретировать решение системы уравнений в виде расширенной матрицы.
Мы видели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей , а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строковой формы .Теперь мы будем использовать метод исключения Гаусса как инструмент для решения системы, записанной в виде расширенной матрицы. В нашем первом примере мы покажем вам процесс использования исключения Гаусса в системе двух уравнений с двумя переменными.
Пример: решение системы 2 X 2 методом исключения Гаусса
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
[латекс] \ begin {array} {l} 2x + 3y = 6 \ hfill \\ \ text {} x-y = \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Показать решение
Сначала мы запишем это как расширенную матрицу.
[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 1 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 6 \\ \ hfill \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] [/ latex]
Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.
[латекс] {R} _ {1} \ leftrightarrow {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill \ frac {1} {2} \\ \ hfill & \ hfill 6 \ end {array} \ right] [/ latex]
Теперь у нас есть 1 как первая запись в строке 1, столбце 1.Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на [latex] -2 [/ latex], а затем прибавив результат к строке 2.
[латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill 5 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill \ frac {1} {2} \\ \ hfill & \ hfill 5 \ end {массив } \ right] [/ latex]
У нас есть только один шаг, чтобы умножить строку 2 на [latex] \ frac {1} {5} [/ latex].
[латекс] \ frac {1} {5} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \ \ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {cc} & \ frac {1} {2} \\ & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]
Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет [латекс] y = 1 [/ латекс]. Подставьте обратно [latex] y = 1 [/ latex] в первое уравнение.
[латекс] \ begin {array} {l} x- \ left (1 \ right) = \ frac {1} {2} \ hfill \\ \ text {} x = \ frac {3} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Решение — точка [латекс] \ left (\ frac {3} {2}, 1 \ right) [/ latex].
Попробуйте
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
[латекс] \ begin {массив} {l} 4x + 3y = 11 \ hfill \\ \ text {} \ text {} \ text {} x — 3y = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Показать решение
[латекс] \ влево (2,1 \ вправо) [/ латекс]
В нашем следующем примере мы решим систему двух уравнений с двумя зависимыми переменными.Напомним, что зависимая система имеет бесконечное количество решений, и результатом операций со строками в ее расширенной матрице будет уравнение, такое как [latex] 0 = 0 [/ latex]. Мы также рассмотрим написание общего решения для зависимой системы.
Пример: решение зависимой системы
Решите систему уравнений.
[латекс] \ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ 6x + 8y = 24 \ end {array} [/ latex]
Показать решение Выполните строковые операции в расширенной матрице, чтобы попытаться получить строковой формы .
[латекс] A = \ left [\ begin {array} {llll} 3 \ hfill & \ hfill & 4 \ hfill & \ hfill \\ 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 12 \ hfill \\ \ hfill & 24 \ hfill \ end {array} \ right] [/ latex]
[латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ begin {array} {l} — \ frac {1} {2} {R} _ {2} + {R} _ {1} = { R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {llll} 0 \ hfill & \ hfill & 0 \ hfill & \ hfill \\ 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 0 \ hfill \\ \ hfill & 24 \ hfill \ end {array} \ right] \ hfill \\ {R} _ {1} \ leftrightarrow {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {llll} 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \\ 0 \ hfill & \ hfill & 0 \ hfill & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 24 \ hfill \\ \ hfill & 0 \ hfill \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Матрица заканчивается всеми нулями в последней строке: [latex] 0y = 0 [/ latex].Таким образом, существует бесконечное количество решений и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и решите для [latex] y [/ latex].
[латекс] \ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \ hfill \\ \ text {} 4y = 12 — 3x \ hfill \\ \ text {} y = 3- \ frac {3} {4} x \ hfill \ end {array} [/ latex]
Итак, решение этой системы — [латекс] \ left (x, 3- \ frac {3} {4} x \ right) [/ latex].
Теперь мы перейдем на ступенчатую форму, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3.Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.
Пример: решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
[латекс] \ begin {массив} {c} \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ hfill \\ x-y + z = 8 \ hfill \ end {array} \\ 2x + 3y-z = -2 \\ 3x — 2y — 9z = 9 \ end {array} [/ latex]
Показать решение
Сначала мы пишем расширенную матрицу.
[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -2 & \ hfill -9 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 8 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 9 \ end {array} \ right] [/ latex]
Затем мы выполняем строковые операции, чтобы получить форму «строка-эшелон».
[латекс] \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} { rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -9 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill 9 \ end {массив} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill -3 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ end {array} \ right] \ end {array} [/ latex]
Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — это поменять местами [латекс] {R} _ {2} [/ latex] и [latex] {R} _ {3} [/ latex].
[латекс] \ text {Interchange} {R} _ {2} \ text {и} {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill — 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill & \ hfill -18 \ end {array} \ right] [/ latex]
Затем
[латекс] \ begin {array} {l} \\ \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -5 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ в \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 57 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill & \ hfill 57 \ end {array} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {57} {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ \ \ hfill & \ hfill 1 \ end {array} \ right] \ end {array} \ end {array} [/ latex]
Последняя матрица представляет собой эквивалентную систему.
[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x-y + z = 8 \ hfill \\ \ text {} y — 12z = -15 \ hfill \\ \ text {} z = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Используя обратную подстановку, мы получаем решение как [latex] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex].
Напомним, что есть три возможных исхода решений для линейных систем. В предыдущем примере решение [латекс] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex] представляет точку в трехмерном пространстве. Эта точка представляет собой пересечение трех плоскостей.В следующем примере мы решаем систему, используя операции со строками, и обнаруживаем, что она представляет зависимую систему. Зависимая система в 3-х измерениях может быть представлена двумя идентичными плоскостями, как в 2-х измерениях, где зависимая система представляет две идентичные линии.
Пример: решение зависимой системы 3 x 3
Решите следующую систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса.
[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill -x — 2y + z = -1 \\ \ hfill 2x + 3y = 2 \\ \ hfill y — 2z = 0 \ end {array} [/ latex]
Показать решение
Запишите расширенную матрицу.
[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill -2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill 2 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
Сначала умножьте строку 1 на [latex] -1 [/ latex], чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1. Затем выполните операции со строками , чтобы получить форму строки-эшелон.
[латекс] — {R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ справа] [/ латекс]
[латекс] {R} _ {2} \ leftrightarrow {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 \ \ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ text {} | \ begin {array} { rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 2 \ end {array} \ right] [/ latex]
[латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
[латекс] {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
Последняя матрица представляет следующую систему.
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} 0 = 0 \ hfill \ конец {array} [/ latex]
По тождеству [latex] 0 = 0 [/ latex] мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для [latex] y [/ latex] и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для [latex] z [/ latex] через [latex] x [/ latex].
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y = 2z \ hfill \\ \ hfill \\ x + 2 \ left (2z \ справа) -z = 1 \ hfill \\ \ text {} x + 3z = 1 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Теперь мы подставляем выражение для [latex] z [/ latex] во второе уравнение, чтобы решить для [latex] y [/ latex] через [latex] x [/ latex].
[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \\ \ hfill \\ y — 2 \ left (\ frac {1-x} {3} \ right) = 0 \ hfill \\ \ text {} y = \ frac {2 — 2x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex ]
Общее решение — [latex] \ left (x, \ frac {2 — 2x} {3}, \ frac {1-x} {3} \ right) [/ latex].
Общее решение для зависимой системы 3 X 3
Напомним, что когда вы решаете зависимую систему линейных уравнений с двумя переменными с использованием исключения или подстановки, вы можете записать решение [latex] (x, y) [/ latex] через x, потому что существует бесконечно много (x, y) пары, которые будут удовлетворять зависимой системе уравнений, и все они попадают на линию [латекс] (x, mx + b) [/ latex].Теперь, когда вы работаете в трех измерениях, решение будет представлять собой плоскость, поэтому вы должны записать его в общей форме [латекс] (x, m_ {1} x + b_ {1}, m_ {2} x + b_ { 2}) [/ латекс].
Попробуйте
Решите систему методом исключения Гаусса.
[латекс] \ begin {array} {c} x + 4y-z = 4 \\ 2x + 5y + 8z = 15 \ x + 3y — 3z = 1 \ end {array} [/ latex]
Показать решение
[латекс] \ левый (1,1,1 \ правый) [/ латекс]
Вопросы и ответы
Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?
Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.
Как: решить систему уравнений с помощью матриц с помощью калькулятора
Сохраните расширенную матрицу как матричную переменную [latex] \ left [A \ right], \ left [B \ right], \ left [C \ right] \ text {,} \ dots [/ latex].
Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.
Пример: решение систем уравнений с помощью калькулятора
Решите систему уравнений.
[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 3y + 9z = -1 \\ \ hfill -2x + 3y-z = -2 \\ \ hfill -x — 4y + 5z = 1 \ end { array} [/ latex]
Показать решение
Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 3 & \ hfill 9 \\ \ hfill -2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill -1 & \ hfill -4 & \ hfill 5 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 1 \ end {array} \ right] [/ latex]
На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].
[латекс] \ left [A \ right] = \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 9 & \ hfill & \ hfill -1 \\ \ hfill — 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -4 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 1 \ end {массив } \ right] [/ latex]
Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].
[латекс] \ text {ref} \ left (\ left [A \ right] \ right) [/ латекс]
Оценить.
[латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill \ frac {3} {5} & \ hfill \ frac {9} {5 } & \ hfill \ frac {1} {5} \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ frac {13} {21} & \ hfill — \ frac {4} {7} \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill — \ frac {24} {187} \ end {array} \ right] \ to \ begin {array} {l} x + \ frac {3} {5} y + \ frac {9} {5} z = — \ frac {1} {5} \ hfill \\ \ text {} y + \ frac {13} {21} z = — \ frac {4} {7} \ hfill \\ \ text {} z = — \ frac {24} {187} \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]
При использовании обратной подстановки решение: [latex] \ left (\ frac {61} {187}, — \ frac {92} {187}, — \ frac {24} {187} \ right) [/ latex] .
Приложения систем уравнений
Теперь обратимся к приложениям, для которых используются системы уравнений. В следующем примере мы определяем, сколько денег было инвестировано по двум разным ставкам, учитывая сумму процентов, полученных на обоих счетах.
Пример: применение матриц 2 × 2 к финансам
Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов.Сколько было вложено по каждой ставке?
Показать решение
У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть [latex] x = [/ latex] сумма, инвестированная под 10,5% годовых, и [latex] y = [/ latex] сумма, инвестированная под 12% годовых.
[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + y = 12 000 \ hfill \\ 0,105x + 0,12y = 1,335 \ hfill \ end {array} [/ latex]
В качестве матрицы имеем
[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0.105 & \ hfill 0.12 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 12,000 \\ \ hfill 1,335 \ end {array} \ right] [/ latex]
Умножить строку 1 на [латекс] -0.105 [/ latex] и добавьте результат в строку 2.
[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0.015 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r } \ hfill 12,000 \\ \ hfill 75 \ end {array} \ right] [/ latex]
Затем,
[латекс] \ begin {array} {l} 0,015y = 75 \ hfill \\ \ text {} y = 5,000 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Итак [латекс] 12 000 — 5 000 = 7 000 [/ латекс].
Таким образом, 5000 долларов были инвестированы под 12% и 7000 долларов под 10,5%.
Пример: применение матриц 3 × 3 к финансам
Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?
Показать решение
У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть [latex] x [/ latex] будет сумма, инвестированная под 5% годовых, пусть [latex] y [/ latex] будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть [latex] z [/ latex] будет инвестированной суммой. под 9% годовых. Таким образом,
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y + z = 10 000 \ hfill \\ 0.05x + 0,08y + 0,09z = 770 \ hfill \\ \ text {} 2x-z = 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]
В качестве матрицы имеем
[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0,05 & \ hfill 0,08 & \ hfill 0,09 \\ \ hfill 2 & \ hfill 0 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 10,000 \\ \ hfill 770 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.
[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -0.05 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \\ -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ frac {1} {0.03} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ 2 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {3} & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -2,000 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]
Третья строка сообщает нам [латекс] — \ frac {1} {3} z = -2,000 [/ latex]; таким образом [латекс] z = 6,000 [/ латекс].
Вторая строка сообщает нам [латекс] y + \ frac {4} {3} z = 9000 [/ latex].
Подставляя [латекс] z = 6,000 [/ латекс], получаем
[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill y + \ frac {4} {3} \ left (6000 \ right) = 9000 \\ \ hfill y + 8000 = 9000 \\ \ hfill y = 1000 \ end {array} [/ latex]
Первая строка сообщает нам [латекс] x + y + z = 10,000 [/ latex]. Подставляя [latex] y = 1,000 [/ latex] и [latex] z = 6,000 [/ latex], мы получаем
[latex] \ begin {array} {l} x + 1,000 + 6,000 = 10,000 \ hfill \\ \ text {} x = 3,000 \ text {} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Ответ: 3000 долларов вложены под 5%, 1000 долларов вложены под 8% и 6000 долларов вложены под 9%.
Попробуйте
Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму, заимствованную по каждой ставке.
Показать решение
150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10%
Внесите свой вклад!
У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
систем линейных уравнений: исключение Гаусса
систем линейных уравнений: исключение Гаусса
Решать нелинейные системы уравнений довольно сложно, а линейные системы довольно легко изучать. Существуют численные методы, которые помогают аппроксимировать нелинейные системы линейными в надежде, что решения линейных систем достаточно близки к решениям нелинейных систем. Мы не будем здесь это обсуждать.Вместо этого мы сосредоточим наше внимание на линейных системах.
Для простоты мы ограничимся тремя, максимум четырьмя неизвестными. Читатель, интересующийся случаем большего количества неизвестных, может легко развить следующие идеи.
Определение. Уравнение
a x + b y + c z + d w = h

где a , b , c , d и h — известные числа, а x , y , z и w — неизвестные числа. называется линейным уравнением .Если h = 0, линейное уравнение называется однородным . Линейная система представляет собой набор линейных уравнений, а однородная линейная система представляет собой набор однородных линейных уравнений.
Например,

а также

линейные системы, а

является нелинейной системой (из-за y ²). Система

является однородной линейной системой.
Матричное представление линейной системы
Матрицы помогают переписать линейную систему в очень простой форме.Затем для решения систем можно использовать алгебраические свойства матриц. Сначала рассмотрим линейную систему

Установите матрицы

Используя матричное умножение, мы можем переписать линейную систему выше как матричное уравнение

Как видите, это намного лучше, чем уравнения. Но иногда стоит решить систему напрямую, минуя матричную форму. Матрица A называется матричным коэффициентом линейной системы.Матрица C называется неоднородным членом . Когда , линейная система однородна. Матрица X — это неизвестная матрица. Его записи являются неизвестными линейной системы. Расширенная матрица , связанная с системой, является матрицей [ A | C ], где
В общем, если линейная система имеет n уравнений с m неизвестными, то матричный коэффициент будет матрицей nxm, а расширенная матрица — матрицей nx (m + 1).Теперь обратим внимание на решения системы.
Определение. Две линейные системы с n неизвестными называются эквивалентными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый набор решений.
Это определение важно, поскольку идея решения системы состоит в том, чтобы найти эквивалентную систему, которую легко решить. Вы можете задаться вопросом, как мы придумаем такую систему? Легко, мы делаем это с помощью элементарных операций . Действительно, ясно, что если мы поменяем местами два уравнения, новая система все равно будет эквивалентна старой.Если мы умножим уравнение на ненулевое число, мы получим новую систему, по-прежнему эквивалентную старой. И, наконец, заменив одно уравнение суммой двух уравнений, мы снова получим эквивалентную систему. Эти операции называются элементарными операциями над системами. Посмотрим, как это работает в конкретном случае.
Пример. Рассмотрим линейную систему
Идея состоит в том, чтобы сохранить первое уравнение и поработать над двумя последними. При этом мы попытаемся убить одного из неизвестных и решить два других.Например, если мы сохраним первое и второе уравнение и вычтем первое из последнего, мы получим эквивалентную систему

Затем мы сохраняем первое и последнее уравнение и вычитаем первое из второго. Получаем эквивалентную систему

Теперь мы сосредоточимся на втором и третьем уравнениях. Повторяем ту же процедуру. Попробуйте убить одного из двух неизвестных ( y или z ). Действительно, мы сохраняем первое и второе уравнение и добавляем второе к третьему, умножив его на 3.Мы получили

Это, очевидно, означает z = -2. Из второго уравнения мы получаем y = -2, и, наконец, из первого уравнения мы получаем x = 4. Следовательно, линейная система имеет одно решение.

Переход от последнего уравнения к первому при решении для неизвестных называется обратным решением .
Имейте в виду, что линейные системы, для которых матричный коэффициент является верхнетреугольным, легко решить. Это особенно верно, если матрица имеет эшелонированную форму.Таким образом, фокус состоит в том, чтобы выполнить элементарные операции по преобразованию исходной линейной системы в другую, для которой матрица коэффициентов имеет эшелонированную форму.
Используя наши знания о матрицах, можем ли мы в любом случае переписать то, что мы сделали выше, в матричной форме, которая упростит нашу нотацию (или представление)? Действительно, рассмотрим расширенную матрицу

Выполним над этой матрицей несколько элементарных операций со строками. Действительно, если мы сохраним первую и вторую строки и вычтем первую из последней, мы получим

Затем мы сохраняем первую и последнюю строки и вычитаем первую из второй.Мы получили

Затем мы сохраняем первую и вторую строки и добавляем вторую к третьей, умножив ее на 3, чтобы получить

Это треугольная матрица, не имеющая эшелонированной формы. Линейная система, для которой эта матрица является расширенной, есть

Как видите, мы получили ту же систему, что и раньше. Фактически мы следовали тем же элементарным операциям, что и выше. На каждом этапе новая матрица была в точности расширенной матрицей, связанной с новой системой.Это показывает, что вместо того, чтобы писать системы снова и снова, легко поиграться с элементарными операциями со строками, и как только мы получим треугольную матрицу, напишем связанную линейную систему, а затем решим ее. Это известно как исключения Гаусса . Подведем итоги процедуры:
Исключение Гаусса. Рассмотрим линейную систему.
1.
Построить расширенную матрицу для системы;
2.
Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в треугольную;
3.
Запишите новую линейную систему, для которой треугольная матрица является связанной с ней расширенной матрицей;
4.
Решите новую систему. Вам может потребоваться присвоить некоторые параметрические значения некоторым неизвестным, а затем применить метод обратной подстановки для решения новой системы.
Пример. Решите следующую систему методом исключения Гаусса

Расширенная матрица

Мы используем элементарные операции со строками, чтобы преобразовать эту матрицу в треугольную.Мы сохраняем первую строку и используем ее для получения всех нулей в любом месте первого столбца. У нас есть

Далее мы сохраняем первую и вторую строки и стараемся, чтобы во втором столбце были нули. Мы получили

Далее сохраняем первые три ряда. Добавляем последний к третьему, чтобы получить

Это треугольная матрица. Связанная с ним система

Очевидно, что v = 1. Установите z = s и w = t , тогда мы имеем

Из первого уравнения следует Используя алгебраические манипуляции, получаем
x = — — с — т .
Собрав все вместе, у нас есть
Пример. Используйте метод исключения Гаусса для решения линейной системы

Соответствующая расширенная матрица

Сохраняем первую строку и вычитаем первую строку, умноженную на 2, из второй строки. Мы получили

Это треугольная матрица. Связанная система

Ясно, что второе уравнение означает, что эта система не имеет решения. Следовательно, эта линейная система не имеет решения.
Определение. Линейная система называется непоследовательной или переопределенной , если у нее нет решения. Другими словами, набор решений пуст. В противном случае линейная система называется согласованной .
Следуя приведенному выше примеру, мы видим, что если мы выполним элементарные операции со строками над расширенной матрицей системы и получим матрицу с одной из строк, равной , где , тогда система несовместима.
[Назад] [Следующий] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра]
С.O.S MATH: Домашняя страница
Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.
Автор : М.А.Хамси
Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователя онлайн за последний час
7.6 Решение систем с исключением Гаусса — Колледжская алгебра
Цели обучения
В этом разделе вы:
Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
Выполняет операции со строками в матрице.
Решите систему линейных уравнений, используя матрицы.
Рисунок 1 Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).
Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика.Его открытия в области теории матриц изменили способ работы математиков за последние два столетия.
Мы впервые столкнулись с методом исключения Гаусса в системах линейных уравнений: две переменные. В этом разделе мы еще раз вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.
Запись расширенной матрицы системы уравнений
Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы.Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по сути заменяя знаки равенства. Когда система написана в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.
Например, рассмотрим следующую систему уравнений 2 × 22 × 2.
3x + 4y = 74x − 2y = 53x + 4y = 74x − 2y = 5
Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:
[344−2 | 75] [344−2 | 75]
Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.
Система уравнений три на три, например
3x − y − z = 0 x + y = 5 2x − 3z = 23x − y − z = 0 x + y = 5 2x − 3z = 2
имеет матрицу коэффициентов
[3−1−111020−3] [3−1−111020−3]
и представлен расширенной матрицей
[3−1−111020−3 | 052] [3−1−111020−3 | 052]
Обратите внимание, что матрица написана так, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x -термов идут в первый столбец, — -члены во втором столбце и z -термы в третьем. столбец.Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме ax + by + cz = dax + by + cz = d, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует член переменной, коэффициент равен 0.
How To
Для данной системы уравнений напишите расширенную матрицу.
Запишите коэффициенты членов x в виде чисел в первом столбце.
Запишите коэффициенты членов и в виде чисел во втором столбце.
Если имеется z -термов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
Нарисуйте вертикальную линию и напишите константы справа от нее.
Пример 1
Написание расширенной матрицы для системы уравнений
Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.
x + 2y − z = 32x − y + 2z = 6 x − 3y + 3z = 4 x + 2y − z = 32x − y + 2z = 6 x − 3y + 3z = 4
Решение
Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.
[12−12−121−33 | 364] [12−12−121−33 | 364]
Попробуй # 1
Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.
4x − 3y = 113x + 2y = 44x − 3y = 113x + 2y = 4
Написание системы уравнений из расширенной матрицы
Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы поиск решений был более плавным и интуитивно понятным.Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.
Пример 2
Написание системы уравнений из расширенной матричной формы
Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1−3−52−5−4−354 | −256] [1−3−52−5−4−354 | −256]
Решение
Когда столбцы представляют переменные x, x, y, y и z, z,
[1−3−52−5−4−354 | −256] → x − 3y − 5z = −22x − 5y − 4z = 5−3x + 5y + 4z = 6 [1−3−52−5−4−354 | −256] → x − 3y − 5z = −22x − 5y − 4z = 5−3x + 5y + 4z = 6
Попробуй # 2
Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1−112−13011 | 51−9] [1−112−13011 | 51−9]
Выполнение операций со строками в матрице
Теперь, когда мы можем писать системы уравнений в форме расширенной матрицы, мы рассмотрим различные операции со строками, которые могут выполняться с матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.
Выполнение строковых операций над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой есть единицы вниз по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции ниже главной диагонали. как показано.
Форма строки-эшелон [1ab01d001] Форма строки-эшелон [1ab01d001]
Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы рядного эшелона.
В любой ненулевой строке первым ненулевым числом является 1. Оно называется ведущим 1.
Любые нулевые строки помещаются внизу матрицы.
Любая ведущая 1 находится ниже и правее предыдущей ведущей 1.
Любой столбец, в котором в начале стоит 1, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.
Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в форму ряда строк и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.
Поменять ряды местами. (Замечание: Ri↔RjRi↔Rj)
Умножить строку на константу. (Замечание: cRicRi)
Добавить произведение одной строки на константу к другой строке. (Замечание: Ri + cRj) Ri + cRj)
Каждая из строковых операций соответствует операциям, которые мы уже научились решать системы уравнений с тремя переменными.С помощью этих операций есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели написания матрицы в виде эшелона строк. Чтобы получить матрицу в виде эшелона строк для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, так что строку 1 можно использовать для преобразования оставшихся строк.
Исключение по Гауссу
Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения матрицы в виде строки-эшелона. Цель состоит в том, чтобы записать матрицу AA с номером 1 в качестве записи вниз по главной диагонали и иметь все нули внизу.
A = [a11a12a13a21a22a23a31a32a33] → После исключения по Гауссу A = [1b12b1301b23001] A = [a11a12a13a21a22a23a31a32a33] → После исключения по Гауссу A = [1b12b1301b23001]
Первый шаг 1 этой строки может быть использован в качестве первой стратегии по Гауссу. чтобы изменить строки ниже.
Как к
Учитывая расширенную матрицу, выполните операции со строками для получения формы «строка-эшелон».
Первое уравнение должно иметь старший коэффициент 1.При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце под первой записью 1.
Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
Используйте операции со строками, чтобы получить нули в нижнем столбце 2, ниже записи 1.
Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
Продолжайте этот процесс для всех строк, пока в каждой записи по главной диагонали не будет 1, а внизу будут только нули.
Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.
Пример 3
Решение системы 2 × 22 × 2 методом исключения Гаусса
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
2x + 3y = 6 x − y = 122x + 3y = 6 x − y = 12
Решение
Сначала мы запишем это как расширенную матрицу.
[231−1 | 612] [231−1 | 612]
Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.
R1↔R2 → [1−123 | 126] R1↔R2 → [1−123 | 126]
Теперь у нас есть 1 как первая запись в строке 1, столбце 1.Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на −2, −2 и затем добавив результат к строке 2.
−2R1 + R2 = R2 → [1−105 | 125 | ] −2R1 + R2 = R2 → [1−105 | 125]
У нас есть только один шаг, чтобы умножить строку 2 на 15,15.
15R2 = R2 → [1−101 | 121] 15R2 = R2 → [1−101 | 121]
Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет y = 1. y = 1. Подставьте обратно y = 1y = 1 в первое уравнение.
x− (1) = 12 x = 32x− (1) = 12 x = 32
Решением является точка (32,1).(32,1).
Попробуй # 3
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
4x + 3y = 11 x − 3y = −14x + 3y = 11 x − 3y = −1
Пример 4
Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений
Используйте метод исключения Гаусса, чтобы решить данную 2 × 22 × 2 система уравнений.
2x + y = 14x + 2y = 6 2x + y = 14x + 2y = 6
Решение
Запишите систему как расширенную матрицу.
[2142 | 16] [2142 | 16]
Получите 1 в строке 1, столбце 1.Этого можно добиться, умножив первую строку на 12,12.
12R1 = R1 → [11242 | 126] 12R1 = R1 → [11242 | 126]
Затем нам нужен 0 в строке 2, столбце 1. Умножим строку 1 на −4−4 и прибавим строку 1 к строке 2.
−4R1 + R2 = R2 → [11200 | 124] −4R1 + R2 = R2 → [11200 | 124]
Вторая строка представляет уравнение 0 = 4,0 = 4. Следовательно, система непоследовательна и не имеет решения.
Пример 5
Решение зависимой системы
Решите систему уравнений.
3x + 4y = 126x + 8y = 243x + 4y = 126x + 8y = 24
Решение
Выполните операции со строками в расширенной матрице, чтобы попытаться получить форму строки-эшелона.
A = [3468 | 1224] A = [3468 | 1224] −12R2 + R1 = R1 → [0068 | 024] R1↔R2 → [6800 | 240] −12R2 + R1 = R1 → [0068 | 024] R1↔ R2 → [6800 | 240]
Матрица заканчивается всеми нулями в последней строке: 0y = 0,0y = 0. Таким образом, существует бесконечное количество решений и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и решите относительно y.y.
3x + 4y = 12 4y = 12−3x y = 3−34x3x + 4y = 12 4y = 12−3x y = 3−34x
Итак, решение этой системы — (x, 3−34x).(x, 3−34x).
Пример 6
Выполнение операций со строками в расширенной матрице 3 × 3 для получения формы Row-Echelon
Выполняет строковые операции с заданной матрицей для получения формы «строка-эшелон».
[1−342−56−334 | 366] [1−342−56−334 | 366]
Решение
В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующим шагом будет умножение строки 1 на −2−2 и прибавление ее к строке 2. Затем замените строку 2 результатом.
−2R1 + R2 = R2 → [1−3401−2−334 | 306] −2R1 + R2 = R2 → [1−3401−2−334 | 306]
Затем получите ноль в строке 3, столбце 1.
3R1 + R3 = R3 → [1−3401−20−616 | 3015] 3R1 + R3 = R3 → [1−3401−20−616 | 3015]
Затем получаем ноль в строке 3, столбце 2.
6R2 + R3 = R3 → [1−3401−2004 | 3015] 6R2 + R3 = R3 → [1−3401−2004 | 3015]
Последний шаг — получить 1 в строке 3, столбце 3.
14R3 = R3 → [1−3401−2001 | 3−6154] 14R3 = R3 → [1−3401−2001 | 3−6154]
Попробуй # 4
Запишите систему уравнений в виде ряда.
x − 2y + 3z = 9 − x + 3y = −42x − 5y + 5z = 17 x − 2y + 3z = 9 − x + 3y = −42x − 5y + 5z = 17
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строчно-эшелонированной формы.Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.
Пример 7
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
x − y + z = 82x + 3y − z = −23x − 2y − 9z = 9x − y + z = 82x + 3y − z = −23x − 2y − 9z = 9
Решение
Сначала мы пишем расширенную матрицу.
[1−1123−13−2−9 | 8−29] [1−1123−13−2−9 | 8−29]
Затем мы выполняем строковые операции для получения формы «строка-эшелон».
−2R1 + R2 = R2 → [1−1105−33−2−9 | 8−189] −3R1 + R3 = R3 → [1−1105−301−12 | 8−18−15] −2R1 + R2 = R2 → [1−1105−33−2−9 | 8−189] −3R1 + R3 = R3 → [1−1105−301−12 | 8−18−15]
Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбец 1 предназначен для замены R2R2 и R3.R3.
Обмен R2 и R3 → [1−11801−12−1505−3−18] Обмен R2andR3 → [1−11801−12−1505−3−18]
Тогда
−5R2 + R3 = R3 → [1−1101−120057 | 8−1557] −157R3 = R3 → [1−1101−12001 | 8−151] −5R2 + R3 = R3 → [1−1101−120057 | 8− 1557] −157R3 = R3 → [1−1101−12001 | 8−151]
Последняя матрица представляет собой эквивалентную систему.
x − y + z = 8 y − 12z = −15 z = 1x − y + z = 8 y − 12z = −15 z = 1
Используя обратную подстановку, мы получаем решение как (4, −3,1) . (4, −3,1).
Пример 8
Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц
Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.
−x − 2y + z = −1 2x + 3y = 2y − 2z = 0 − x − 2y + z = −1 2x + 3y = 2y − 2z = 0
Решение
Запишите расширенную матрицу.
[−1−2123001−2 | −120] [- 1−2123001−2 | −120]
Сначала умножьте строку 1 на −1−1, чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1.Затем выполните операции со строками, чтобы получить форму эшелона строк.
−R1 → [12−123001−2 | 120] −R1 → [12−123001−2 | 120] R2↔R3 → [12−101−2230 | 102] R2↔R3 → [12−101−2230 | 102] −2R1 + R3 = R3 → [12−101−20−12 | 100] −2R1 + R3 = R3 → [12−101−20−12 | 100] R2 + R3 = R3 → [12−101−2000 | 210] R2 + R3 = R3 → [12−101−2000 | 210]
Последняя матрица представляет следующая система.
x + 2y − z = 1 y − 2z = 0 0 = 0x + 2y − z = 1 y − 2z = 0 0 = 0
Мы видим из тождества 0 = 00 = 0, что это зависимая система с бесконечным числом решений.Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для yy и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для zz через x.x.
x + 2y − z = 1 y = 2zx + 2 (2z) −z = 1 x + 3z = 1 z = 1 − x3x + 2y − z = 1 y = 2zx + 2 (2z) −z = 1 x + 3z = 1 z = 1 − x3
Теперь мы подставляем выражение для zz во второе уравнение, чтобы решить относительно yy через xx
y − 2z = 0z = 1 − x3y − 2 (1 − x3) = 0y = 2−2x3y − 2z = 0z = 1 − x3y − 2 (1 − x3) = 0y = 2−2×3
Общее решение: ( x, 2−2×3,1 − x3).(х, 2−2×3,1 − x3).
Попробуй # 5
Решите систему, используя матрицы.
x + 4y − z = 42x + 5y + 8z = 15x + 3y − 3z = 1x + 4y − z = 42x + 5y + 8z = 15x + 3y − 3z = 1
Вопросы и ответы
Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?
Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.
Как к
Дана система уравнений, решите с помощью матриц с помощью калькулятора.
Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную [A], [B], [C],….[A], [B], [C],….
Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.
Пример 9
Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора
Решите систему уравнений.
5x + 3y + 9z = −1−2x + 3y − z = −2 − x − 4y + 5z = 1 5x + 3y + 9z = −1−2x + 3y − z = −2 − x − 4y + 5z = 1
Решение
Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
[539−23−1−1−45 | −1−2−1] [539−23−1−1−45 | −1−2−1]
На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше в качестве матричной переменной [A].[А].
[A] = [539−1−23−1−2−1−451] [A] = [539−1−23−1−2−1−451]
Используйте ref (функцию в калькуляторе, вызов матричной переменной [A]. [A].
Оценить.
[1359515011321−47001−24187] → x + 35y + 95z = −15y + 1321z = −47z = −24187 [1359515011321−47001−24187] → x + 35y + 95z = −15y + 1321z = −47z = −24187
Использование обратная подстановка, решение будет (61187, −92187, −24187). (61187, −92187, −24187).
Пример 10
Применение матриц 2 × 2 к финансам
Кэролайн инвестирует в общей сложности 12000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10.5% годовых, а другой — 12% годовых. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?
Решение
У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть x = x = сумма, инвестированная под 10,5%, а y = y = сумма, инвестированная под 12%.
x + y = 12,0000,105x + 0,12y = 1,335 x + y = 12,0000,105x + 0,12y = 1,335
В качестве матрицы мы имеем
[110.1050.12 | 12,0001,335] [110.1050.12 | 12,0001,335]
Умножьте строку 1 на −0,105−0,105 и прибавьте результат к строке 2.
[1100.015 | 12,00075] [1100.015 | 12,00075]
Тогда
0,015y = 75 y = 5,0000,015y = 75 y = 5,000
Итак, 12,000-5,000 = 7,000. 12,000-5,000 = 7,000.
Таким образом, 5000 долларов были инвестированы под 12% и 7000 долларов под 10,5%.
Пример 11
Применение матриц 3 × 3 к финансам
Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?
Решение
У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть xx будет суммой, инвестированной под 5%, пусть yy будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть zz будет суммой, инвестированной под 9%. Таким образом,
x + y + z = 10,0000,05x + 0,08y + 0,09z = 770 2x − z = 0 x + y + z = 10,0000.05x + 0,08y + 0,09z = 770 2x − z = 0
В качестве матрицы имеем
[1110.050.080.0920−1 | 10,0007700] [1110.050.080.0920−1 | 10,0007700]
Теперь мы выполняем исключение по Гауссу, чтобы получить форму строки-эшелон.
−0.05R1 + R2 = R2 → [11100.030.0420−1 | 10,0002700] −2R1 + R3 = R3 → [11100.030.040−2−3 | 10,000270−20,000] 10.03R2 = R2 → [01101430−2 −3 | 10,0009,000−20,000] 2R2 + R3 = R3 → [111014300−13 | 10,0009,000−2,000] −0,05R1 + R2 = R2 → [11100.030.0420−1 | 10,0002700] — 2R1 + R3 = R3 → [11100.030.040−2−3 | 10,000270−20,000] 10.03R2 = R2 → [01101430−2−3 | 10,0009,000−20,000] 2R2 + R3 = R3 → [111014300−13 | 10,0009,000−2,000]
Третья строка сообщает нам -13z = −2,000; −13z = −2,000; таким образом, z = 6000. z = 6000.
Вторая строка говорит нам, что y + 43z = 9000.y + 43z = 9000. Подставляя z = 6000, z = 6000, мы получаем
y + 43 (6000) = 9000y + 8000 = 9000y = 1000y + 43 (6000) = 9000y + 8000 = 9000y = 1000
. х + у + г = 10,000. х + у + г = 10,000. Подставив y = 1,000y = 1,000 и z = 6,000, z = 6,000, мы получим
x + 1,000 + 6,000 = 10,000 x = 3,000x + 1,000 + 6,000 = 10,000 x = 3,000
Ответ: 3,000 долларов вложены под 5% годовых, 1000 долларов инвестировано под 8%, а 6000 долларов — под 9%.
Попробуй # 6
Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму, заимствованную по каждой ставке.
7.6 Упражнения по разделам
Устные
1.
Можно ли записать любую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет.Объясните, как написать эту расширенную матрицу.
2.
Можно ли любую матрицу записать в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту систему уравнений.
3.
Есть только один правильный метод использования строк в матрице? Попытайтесь объяснить две различные операции со строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы [931−2 | 06]. [931−2 | 06].
4.
Можно ли решить матрицу с нулевым элементом на диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?
5.
Может ли матрица с 0 элементами для всей строки иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.
Алгебраический
Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу линейной системы.
6.
8x − 37y = 82x + 12y = 38x − 37y = 82x + 12y = 3
7.
16y = 49x − y = 2 16y = 49x − y = 2
8.
3x + 2y + 10z = 3−6x + 2y + 5z = 13 4x + z = 183x + 2y + 10z = 3−6x + 2y + 5z = 13 4x + z = 18
9.
x + 5y + 8z = 1912x + 3y = 43x + 4y + 9z = −7 x + 5y + 8z = 1912x + 3y = 43x + 4y + 9z = −7
10.
6x + 12y + 16z = 4 19x − 5y + 3z = −9 x + 2y = −86x + 12y + 16z = 4 19x − 5y + 3z = −9 x + 2y = −8
Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.
11.
[−256−18 | 526] [- 256−18 | 526]
12.
[341017 | 10439] [341017 | 10439]
13.
[320−1−94857 | 3−18] [320−1−94857 | 3−18]
14.
[8291−175003 | 433810] [8291−175003 | 433810]
15.
[45−2015887−3 | 122−5] [45−2015887−3 | 122−5]
Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.
16.
[1000 | 30] [1000 | 30]
17.
[1010 | 12] [1010 | 12]
18.
[1245 | 36] [1245 | 36]
19.
[−124−5 | −36] [- 124−5 | −36]
20.
[−2002 | 1−1] [- 2002 | 1−1]
21.
2x − 3y = −95x + 4y = 58 2x − 3y = −95x + 4y = 58
22.
6x + 2y = −43x + 4y = −176x + 2y = −43x + 4y = −17
23.
2x + 3y = 12 4x + y = 142x + 3y = 12 4x + y = 14
24.
−4x − 3y = −2 3x − 5y = −13−4x − 3y = −2 3x − 5y = −13
25.
−5x + 8y = 310x + 6y = 5−5x + 8y = 310x + 6y = 5
26.
3x + 4y = 12−6x − 8y = −24 3x + 4y = 12−6x − 8y = −24
27.
−60x + 45y = 12 20x − 15y = −4−60x + 45y = 12 20x − 15y = −4
28.
11x + 10y = 4315x + 20y = 6511x + 10y = 4315x + 20y = 65
29.
2x − y = 23x + 2y = 172x − y = 23x + 2y = 17.
30.
−1.06x − 2.25y = 5.51−5.03x − 1.08y = 5.40−1.06x − 2.25y = 5.51−5.03x − 1.08y = 5,40
31.
34x − 35y = 414x + 23y = 134x − 35y = 414x + 23y = 1
32.
14x − 23y = −112x + 13y = 314x − 23y = −112x + 13y = 3
33.
[100011001 | 314587] [100011001 | 314587]
34.
[101110011 | 5020−90] [101110011 | 5020−90]
35.
[123056008 | 479] [123056008 | 479]
36.
[−0.10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7 | 0.20.8−0.8] [- 0.10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7 | 0,20,8−0,8]
37.
−2x + 3y − 2z = 3 4x + 2y − z = 94x − 8y + 2z = −6−2x + 3y − 2z = 3 4x + 2y − z = 94x − 8y + 2z = −6
38.
x + y − 4z = −4 5x − 3y − 2z = 0 2x + 6y + 7z = 30 x + y − 4z = −4 5x − 3y − 2z = 0 2x + 6y + 7z = 30
39.
2x + 3y + 2z = 1 −4x − 6y − 4z = −210x + 15y + 10z = 5 2x + 3y + 2z = 1 −4x − 6y − 4z = −210x + 15y + 10z = 5
40.
x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 5 x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 5
41.
x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 3 x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 3
42.
x + y = 2 x + z = 1 − y − z = −3 x + y = 2 x + z = 1 − y − z = −3
43.
x + y + z = 100 x + 2z = 125 − y + 2z = 25x + y + z = 100 x + 2z = 125 − y + 2z = 25.
44.
14x − 23z = −1215x + 13y = 4715y − 13z = 2914x − 23z = −1215x + 13y = 4715y − 13z = 29
45.
−12x + 12y + 17z = −5314 12x − 12y + 14z = 3 14x + 15y + 13z = 2315−12x + 12y + 17z = −5314 12x − 12y + 14z = 3 14x + 15y + 13z = 2315
46.
−12x − 13y + 14z = −296 15x + 16y − 17z = 431210−18x + 19y + 110z = −4945−12x − 13y + 14z = −296 15x + 16y − 17z = 431210−18x + 19y + 110z = — 4945
Расширения
Для следующих упражнений используйте метод исключения Гаусса для решения системы.
47.
x − 17 + y − 28 + z − 34 = 0x + y + z = 6x + 23 + 2y + z − 33 = 5x − 17 + y − 28 + z − 34 = 0x + y + z = 6x. + 23 + 2у + г — 33 = 5
48.
x − 14 − y + 14 + 3z = −1 x + 52 + y + 74 − z = 4 x + y − z − 22 = 1x − 14 − y + 14 + 3z = −1 x + 52 + y + 74-г = 4 х + у-г-22 = 1
49.
x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 8x + y + z = 1x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 8x + y + z = 1
50.
x − 310 + y + 32−2z = 3x + 54 − y − 18 + z = 32x − 14 + y + 42 + 3z = 32x − 310 + y + 32−2z = 3x + 54 − y − 18 + z = 32x − 14 + y + 42 + 3z = 32
51.
x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 7x + y + z = 1x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 7x + y + z = 1
Реальные приложения
Для следующих упражнений настройте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.
52.
Ежедневно в магазине кексов продается 5 000 кексов со вкусом шоколада и ванили. Если вкус шоколада в 3 раза популярнее, чем аромат ванили, сколько кексов продается в день?
53.
В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на 4520 долларов. Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы из красного бархата — 1,75 доллара. Если общее количество кексов, проданных в день, составляет 2200, сколько штук каждого вкуса продается каждый день?
54.
Вы вложили 10 000 долларов в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, а другой — с процентной ставкой 2,5%. Если ваша общая выплата процентов по истечении одного года составила 283,50 доллара, какая сумма была на каждом счете по истечении года?
55.
Вы вложили 2300 долларов на счет 1 и 2700 долларов на счет 2.Если общая сумма процентов через год составляет 254 доллара, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим простые процентные ставки.
56.
Bikes’R’Us производит велосипеды по 250 долларов. Он стоит производителю 180 долларов за велосипед плюс стартовый взнос в размере 3500 долларов. Через сколько проданных велосипедов производитель выйдет на уровень безубыточности?
57.
Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность покупки пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 долларов каждый, с оплатой доставки в размере 9 200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов будет продано.Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько они должны взимать за пылесосы?
58.
Три самых популярных вкуса мороженого — это шоколад, клубника и ваниль, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ваниль продается на 1% больше, чем в два раза больше клубники, а шоколад продается на 11% больше, чем ваниль, сколько в общем потреблении мороженого приходится на ароматы ванили, шоколада и клубники?
59.
В магазине мороженого растет спрос на три вкуса.В прошлом году банановое, тыквенное и мороженое с каменистой дорогой составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году на те же три вида мороженого пришлось 16,9% продаж мороженого. Продажи по каменистой дороге увеличились вдвое, продажи бананов увеличились на 50%, а продажи тыквы — на 20%. Если у мороженого по каменистой дороге было на один процент меньше продаж, чем у бананового мороженого, узнайте, какой процент продаж мороженого было произведено каждым отдельным мороженым в прошлом году.
60.
Пакет с ореховой смесью содержит кешью, фисташки и миндаль.Всего в сумке 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Кешью весит 3 г, фисташки — 4 г, миндаль — 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида в нем.
61.
Пакет с ореховой смесью содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в сумке было 900 орехов. Было съедено 30% миндаля, 20% кешью и 10% фисташек, и теперь в сумке осталось 770 орехов. Изначально кешью было на 100 штук больше, чем миндаля.Для начала выясните, сколько орехов каждого типа было в пакете.
Гаусс Джордан Устранение — Объяснение и примеры
Метод исключения Гаусса-Жордана — это алгоритм для решения линейной системы уравнений. Мы также можем использовать его, чтобы найти обратную матрицу. Давайте сначала посмотрим на определение:
Метод исключения Гаусса Джордана, или исключение Гаусса, представляет собой алгоритм для решения системы линейных уравнений, представляя ее в виде расширенной матрицы, сокращая ее с помощью операций со строками и выражая систему в сокращенной строке. -эшелонированная форма для нахождения значений переменных.
В этом уроке мы увидим детали метода исключения Гаусса и того, как решить систему линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса-Жордана. Примеры и практические вопросы будут приведены ниже.
Что такое метод исключения Гаусса?
Метод исключения Гаусса — это структурированный метод решения системы линейных уравнений. Таким образом, это алгоритм, который легко запрограммировать для решения системы линейных уравнений. Основная цель исключения Гаусса-Джордана:
представить систему линейных уравнений в форме расширенной матрицы
затем выполнить операции строки $ 3 $ до тех пор, пока не будет получена сокращенная форма эшелона строк (RREF) достигнуто
Наконец, мы можем легко распознать решения из RREF
Давайте посмотрим, что такое расширенная матричная форма, операции со строками стоимостью 3 доллара, которые мы можем выполнять с матрицей, и сокращенная форма эшелона строк матрицы.
Расширенная матрица
Система линейных уравнений показана ниже:
$ \ begin {align *} 2x + 3y & = \, 7 \\ x — y & = 4 \ end {align *} $
We запишет расширенную матрицу этой системы, используя коэффициенты уравнений и записав ее в стиле , показанном ниже:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 4 \ end {array} \ right] $
Пример использования одновременных уравнений $ 3 $ показан ниже:
$ \ begin {align *} 2x + y + z & = \, 10 \\ x + 2y + 3z & = 1 \\ — x — y — z & = 2 \ end {align *} $
Представление этой системы в виде расширенной матрицы:
$ \ left [\ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ — 1 & — 1 & — 1 & 2 \ end {array} \ right] $
Операции со строками в матрице
Есть $ 3 $ элементарных операций со строками , которые мы можем выполнять с матрицами.Это не изменит решения системы. Это:
Обмен $ 2 $ строк
Умножить строку на ненулевой ($ \ neq 0 $) скаляр
Добавить или вычесть скалярное кратное одной строки из другой строки.
Форма сокращенного эшелона строк
Основная цель исключения Гаусса Джордана — использовать операции элементарной строки стоимостью 3 доллара в расширенной матрице, чтобы привести ее к форме сокращенного эшелона строк (RREF). Считается, что матрица находится в сокращенной форме эшелона строк , также известной как каноническая форма строки , если выполняются следующие условия $ 4 $:
строк с нулевыми записями (все элементы этой строки равны $ 0 $. s) находятся внизу матрицы.
ведущая запись (первая ненулевая запись в строке) каждой ненулевой строки соответствует правой ведущей записи строки непосредственно над ней.
Начальная запись в любой ненулевой строке — 1 доллар.
Все записи в столбце, содержащем начальную запись ($ 1 $), нулевые.
Как выполнить исключение Гаусса-Джордана
В методе исключения Гаусса-Джордана нет каких-либо определенных шагов, но алгоритм ниже описывает шаги, которые мы выполняем, чтобы прийти к сокращенной форме эшелона строк расширенной матрицы.
Поменяйте местами строки так, чтобы все строки с нулевыми записями находились внизу матрицы.
Поменяйте местами строки так, чтобы строка с самой большой левой цифрой находилась наверху матрицы.
Умножьте верхнюю строку на скаляр, который преобразует ведущую запись верхней строки в $ 1 $ (если ведущей записью верхней строки является $ a $, умножьте ее на $ \ frac {1} {a} $, чтобы получить $ 1 $).
Сложите или вычтите значения, кратные верхней строке, из других строк, чтобы все записи в столбце ведущей записи верхней строки были нулями.
Выполните шаги $ 2 — 4 $ для следующей крайней левой ненулевой записи , пока все ведущие записи каждой строки не будут равны 1 $.
Поменяйте местами строки так, чтобы ведущая запись каждой ненулевой строки находилась справа от ведущей записи строки непосредственно над ней
На первый взгляд, запомнить / запомнить шаги не так просто. Это вопрос решения нескольких проблем, пока вы не освоитесь с процессом. Существует также фактор интуиции , который играет B-I-G роль в выполнении исключения Гаусса Джордана.
Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы пояснить процесс решения системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса-Джордана .
Пример 1
Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:
$ \ begin {align *} {- x} + 2y & = \, {- 6} \\ { 3x} — 4y & = {14} \ end {align *} $
Решение
Первый шаг — написать расширенную матрицу системы.Мы показываем это ниже:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} — 1 & 2 & — 6 \\ 3 & -4 & 14 \ end {array} \ right] $
Теперь наша задача состоит в том, чтобы преобразовать матрицу в сокращенную форму эшелона строк (RREF), выполнив команду $ 3 $ элементарные операции со строками.
У нас есть расширенная матрица:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} — 1 & 2 & — 6 \\ 3 & — 4 & 14 \ end {array} \ right] $
Шаг 1:
Мы можем умножить первую строку на $ — 1 $, чтобы получить ведущий вход $ 1 $.Показано ниже:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & — 2 & 6 \\ 3 & — 4 & 14 \ end {array} \ right] $
Шаг 2:
Теперь мы можем умножить первую строку на 3 $ и вычесть ее из второй ряд. Показано ниже:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & -2 & 6 \\ {3 — (1 \ times 3)} & {-4 — (-2 \ times 3)} & {14 — (6 \ times 3)} \ end {array} \ справа] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & — 2 & 6 \\ 0 & 2 & — 4 \ end {array} \ right] $
У нас есть $ 0 $ как первая запись во второй строке.
Шаг 3:
Чтобы сделать вторую запись второй строки $ 1 $, мы можем умножить вторую строку на $ \ frac {1} {2} $. Показано ниже:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & — 2 & 6 \\ {\ frac {1} {2} \ times 0} & {\ frac {1} {2} \ times 2} & {\ frac {1} {2} \ times — 4} \ end {array} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & — 2 & 6 \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ right] $
Шаг 4:
Мы почти у цели!
Вторая запись первой строки должна быть $ 0 $.Для этого мы умножаем вторую строку на $ 2 $ и добавляем ее к первой строке. Показано ниже:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} {1 + (0 \ times 2)} & {- 2 + (1 \ times 2)} & {6 + (- 2 \ times 2)} \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ справа] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ right] $
Это сокращенный эшелон строки формы . Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):
$ \ begin {align *} x + 0y & = \, 2 \\ 0x + y & = -2 \ end {align *} $
$ \ begin {align *} x & = \, 2 \\ y & = — 2 \ end {align *} $
Таким образом, решение системы уравнений: $ x = 2 $ и $ y = — 2 $.
Пример 2
Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:
$ \ begin {align *} x + 2y & = \, 4 \\ x — 2y & = 6 \ end { align *} $

Решение
Запишем расширенную матрицу системы уравнений:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 2 & 4 \\ 1 & — 2 & 6 \ end {array} \ right] $
Теперь мы выполняем элементарные операции со строками с этой матрицей, пока не получим сокращенную форму эшелона строк.
Шаг 1:
Умножаем первую строку на $ 1 $, а затем вычитаем ее из второй строки. По сути это вычитание первой строки из второй:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & 2 & 4 \\ 1 — 1 & — 2 — 2 & 6 — 4 \ end {array} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & 2 & 4 \\ 0 & — 4 & 2 \ end {array} \ right] $
Шаг 2:
Мы умножаем вторую строку на $ — \ frac {1} {4} $, чтобы получить вторая запись строки, $ 1 $:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 и 2 и 4 \\ 0 \ times — \ frac {1} {4} & — 4 \ times — \ frac {1} {4} и 2 \ times — \ frac {1} {4} \ end {массив} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & — \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] $
Шаг 3:
Наконец, мы умножаем вторую строку на $ — 2 $ и добавьте его в первую строку, чтобы получить уменьшенную форму эшелона строк этой матрицы:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 + (- 2 \ times 0) & 2+ (- 2 \ times 1) & 4 + (- 2 \ times — \ frac {1} {2}) \\ 0 & 1 & — \ frac {1 } {2} \ end {array} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & — \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] $
Это сокращенный эшелон строки формы .Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):
$ \ begin {align *} x + 0y & = \, 5 \\ 0x + y & = — \ frac {1} {2} \ end {align *} $
$ \ begin {align *} x & = \, 5 \\ y & = — \ frac {1} {2} \ end {align *} $
Таким образом, решение системы уравнений составляет $ x = 5 $ и $ y = — \ frac {1} {2} $.
Практические вопросы
Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:
$ \ begin {align *} 2x + y & = \, — 3 \\ — x — y & = 2 \ end {align *} $
Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:
$ \ begin {align *} x + 5y & = \, 15 \\ — x + 5y & = 25 \ end {align *} $
Ответы
Начнем с написания расширенной матрицы системы уравнений:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & 1 & — 3 \\ — 1 & — 1 & 2 \ end {array} \ right] $
Теперь мы выполняем элементарные операции со строками, чтобы прийти к нашему решению.
Первый,
Инвертируем знаки второй строки и меняем строки местами. Итак, имеем:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & 1 & — 2 \\ 2 & 1 & — 3 \ end {array} \ right] $
Во-вторых,
Мы дважды вычитаем первую строку из второй строки:
$ \ left [\ begin {array} { rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 2 — (2 \ times 1) & 1 — (2 \ times 1) & — 3 — (2 \ times — 2) \ end {array} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 0 & — 1 & 1 \ end {array} \ right] $
В-третьих,
Мы инвертируем вторую строку, чтобы получить:
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 0 & 1 & — 1 \ end {array} \ right] $
Наконец,
Мы вычитаем вторую строку из первой и получаем:
$ = \ left [\ begin { массив} {rr | r} 1 & 0 & — 1 \\ 0 & 1 & — 1 \ end {array} \ right] $
Из этой расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):
$ \ begin {align *} x + 0y & = \, — 1 \\ 0x + y & = — 1 \ end {align *} $
$ \ begin {align *} x & = \, — 1 \\ y & = — 1 \ end {align *} $
Таким образом, решение системы уравнений: $ x = — 1 $ и $ y = — 1 $.
Расширенная матрица системы:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ — 1 & 5 & 25 \ end {array} \ right] $
Давайте приведите эту матрицу к приведенной форме эшелона строк и найдите решение системы.

Сначала
Отмените первую строку, затем вычтите ее из второй строки, чтобы получить:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ — 1 — (- 1) & 5 — (- 5) & 25 — (- 15) \ end {array} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 10 & 40 \ end {array} \ right] $
Во-вторых,
Разделите вторую строку на $ 10 $, чтобы получить:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
Затем
Умножьте вторую строку на $ 5 $ и вычтите ее из первой строки, чтобы получить окончательное решение:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 — (5 \ times 0) & 5 — (5 \ times 1) & 15 — (5 \ times 4) \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
$ = \ left [ \ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & — 5 \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
Это сокращенная форма эшелона строк (RREF).Из этой расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):
$ \ begin {align *} x & = \, — 5 \\ y & = 4 \ end {align *} $
Таким образом, решение системы уравнений $ x = — 5 $ и $ y = 4 $.
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок. K ] { u } = { F }.В операциях с матрицами существует три распространенных типа манипуляций, которые служат для создания новой матрицы, обладающей теми же характеристиками, что и исходная:
1.
Поменять местами любые две строки.
2.
Умножьте каждую запись в любой строке на ненулевое постоянное значение.
3.
Добавьте значения из каждой записи одной строки к каждой записи другой строки.
Цель использования исключения Гаусса — создать новую матрицу с теми же свойствами, что и исходная [ K ], но в формате, в котором только верхний треугольник имеет ненулевые элементы.Используя предыдущую матрицу 5 × 5 в качестве примера, верхний треугольник состоит из элементов в правом верхнем треугольнике матрицы и включает элементы в правой диагональной строке в виде
[m11m12m13m14m150m22m23m24m2500m33m34m35000m44m450000m55].
Мы достигаем цели исключения Гаусса, правильно применяя одну из трех вышеупомянутых операций за раз. После того, как верхняя треугольная матрица сформирована, мы используем метод обратной подстановки , чтобы сначала найти последнюю переменную.Причина, по которой этот метод называется «обратной заменой», заключается в том, что последняя строка верхней треугольной матрицы должна быть решена первой. Поскольку в последней строке верхней треугольной матрицы имеется только одна ненулевая запись, мы можем найти неизвестную переменную простым арифметическим делением, то есть из
[K] {u2v2u3u4v4} = [m11m12m13m14m150m22m23m24m2500m33m34m35000m44m40000m55] {u2v2v4vf3fu3fu4fu2 } → v4 = F4Vm55.
Имея значение v ₄, мы решаем от второй до последней переменной.Поскольку m ₄₄ u ₄ + m ₄₅ v ₄ = F _{4 H}, мы можем решить для u _{4 = F4H − m45v4m44. Мы многократно применяем один и тот же набор процедур, пока не будут найдены значения всех переменных.}
Мы будем использовать типичный 64-битный компьютер, чтобы проиллюстрировать критическую проблему при использовании исключения Гаусса. Хорошо известно, что такой компьютер хранит действительное (десятичное) число в формате с плавающей запятой, используя 64 бита: 1 бит для представления знака (плюс или минус), 52 бита для представления числа точных цифр (мантисса), и 11 бит для представления экспоненты.При делении числа на другое очень маленькое число имеющихся цифр в мантиссе может быть недостаточно для поддержания необходимой точности, то есть может возникнуть ошибка округления. В исключении Гаусса точка поворота или позиция поворота — это позиция в строке, которая совпадает с правой диагональной линией. Значения в точках поворота используются в качестве знаменателя при формировании верхней треугольной матрицы. Чтобы исключить ошибки округления, возникающие при делении на очень маленькое число, используется первый тип манипуляции для перемещения строки с очень маленьким числом в точке поворота в другую строку.Это достигается простым перестановкой рядов так, чтобы большие числа располагались в точках поворота. Мы используем вторую и третью операции для получения нулей в левой нижней части матрицы, что необходимо для получения верхней треугольной матрицы.
Модифицированной версией метода исключения Гаусса является метод исключения Гаусса – Жордана. Цель исключения Гаусса – Жордана — получить матрицу, которая имеет правую диагональную линию всех единиц (единиц), а все остальные позиции матрицы содержат нули.Это достигается с помощью тех же трех типов матричных манипуляций, что и в методе исключения Гаусса. Поскольку квадратная матрица состоит только из единичных значений в диагональных элементах, решения для всех неизвестных становятся легко доступными. Один из недостатков метода Гаусса – Жордана заключается в том, что он более затратен в вычислительном отношении, чем метод исключения Гаусса. Таким образом, он полезен только для решения проблем путем ручного расчета, когда есть небольшое количество одновременных уравнений.Используя метод исключения Гаусса, а не метод Гаусса – Жордана, мы избегаем многих дополнительных шагов. Поскольку метод FE обычно включает большую систему, чаще используется метод исключения Гаусса.
В следующем разделе мы шаг за шагом продемонстрируем процессы в методе исключения Гаусса. Конечно, вместо ручных вычислений следует написать и использовать компьютерную программу. Используя предыдущий пример в качестве отправной точки, уравнение. (1.68) повторяется ниже.
[K] {u2v2u3u4v4} = 108 [100−50006.6700−6.67−506.44−1.441.9200−1.44400−6.671.92010.67] {u2v2u3u4v4} = {F2HF2VF3HF4HF4−500} = {0002004–9004). все, кроме первой записи в первом столбце, равны 0. Мы заметили, что третья строка в этом столбце содержит единственное ненулевое значение. Чтобы манипулировать третьей строкой, чтобы сделать ведущее число 0, мы должны умножить существующее число (-5) на такое значение, чтобы добавление результата к первой записи в строке один (10) давало 0. Используя правило два, мы умножаем каждая запись в третьей строке по 2:
108 [100-50006.6700−6.67−10012.88−2.883.8400−1.44400−6.671.92010.67] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000}.
Затем мы добавляем строку 1 к строке 3, но мы не затрагиваем строку 1:
108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400−1.44400−6.671.92010.67] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000 }.
Теперь, когда все значения в первом столбце, кроме первого, равны 0, мы применяем аналогичный процесс ко второму столбцу. Мы хотим, чтобы все значения во втором столбце, кроме второго, равнялись 0, а это означает, что мы должны адресовать −6,67 в последней строке. Его можно изменить на 0, просто добавив значения из строки 2.
108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400−1.4440001.9204] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000}
Две операции, правила два и три, необходимы для преобразования записи в четвертой строке столбца три на 0. Сначала умножаем четвертую строку на 7,881,44 (обратите внимание, что эта операция также применяется к вектору силы):
108 [100-50006,6700-6,67007,88-2,883,8400-7,8821,8,9204] {u2v2u3u4v4} = { 0001.094 × 105−50000},
, а затем добавьте значения из третьей строки к этим результатам, чтобы сформировать новую четвертую строку:
108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400019.013.84001.9204] {u2v2u3u4v4} = {0001.094 × 105−50000}.
Аналогичным образом мы умножаем пятую строку на -7,881,92, а затем складываем значения из третьей строки, чтобы сформировать новую пятую строку:
108 [100-50006,6700-6,67007,88-2,883,8400019,013,84000-2,88-12,58 ] {u2v2u3u4v4} = {0001,094 × 1052,052 × 106}.
К этому моменту должно быть очевидно, что умножение на значение в другой строке и последующее деление на значение в текущей строке дает результат, который можно вычесть из этой другой строки и получить 0.Чтобы еще раз увидеть этот процесс, мы умножаем пятую строку на 19.012.88, затем складываем значения из четвертой строки, чтобы получить новую пятую строку:
108 [100-50006.6700-6.67007.88-2.883.8400019.013.840000-79.20] {u2v2u3u4v4} = {0001,094 × 1051,464 × 106}.
Теперь матрица имеет форму верхней треугольной матрицы, что означает, что все значения ниже и слева от правой диагональной линии являются нулями. На этом этапе мы применяем метод обратной замены для определения узловых смещений.
Начнем с последней строки, которая содержит 108 [0000−79.20], и мы умножаем последовательные значения в этой строке на последовательные значения в векторе узлового смещения:
108 ((0) (u2) + (0) (v2) + (0) (u3) + (0) ( u4) + (- 79.20) (v4)) = 1.464 × 106
Мы можем сделать это проще, признав, что только последнее значение в строке не равно нулю, и поэтому v ₄ — это просто конечное значение в вектор силы, деленный на последнюю запись в верхней треугольной матрице [ K ]:
v4 = (1,464 × 106) (- 79,2 × 108) = — 1,849 × 10−4
Мы можем использовать v ₄, чтобы найти u ₄ и т.

Примеры решения систем линейных уравнений метод гаусса: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

alexxlab / 07.02.197018.07.2021 / Разное

принцип, теорема и примеры решения задач

Задание. Решить СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

$$\tilde{A}=A \mid B=\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$
Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:
$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \end{array}\right)$$
Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $\frac{1}{2}$ ):
$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:
$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \end{array}\right)$$
От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:
$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{array}\right)$$
Умножив третью строку на $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , получаем:
$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$
Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:
$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$
Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:
$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$
Полученной матрице соответствует система
$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+0 \cdot x_{2}+0 \cdot x_{3}=-1 \\ 0 \cdot x_{1}+x_{2}+0 \cdot x_{3}=1 \\ 0 \cdot x_{1}+0 \cdot x_{2}+x_{3}=3\end{array}\right.$    или   $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$
Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$
Решение СЛАУ 3-его порядка методом Гаусса, пример № 11
СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
Условие
5x ₁ — x ₂ — x ₃   =   0
x ₁ + 2x ₂ + 3x ₃   =   14
4x ₁ + 3x ₂ + 2x ₃   =   16
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс
Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по геометрии и другим предметам!
Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:
Поменяем местами строку № 1 и строку № 2
Получим:
Проведём следующие действия:
Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 5 (Строка 2 — 5 × строка 1)
Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 4 (Строка 3 — 4 × строка 1)
Получим:
Проведём следующие действия:
Строку № 3 поделим на -5 (Строка 3 = строка 3 / -5)
Поменяем местами строку № 2 и строку № 3
Получим:
Проведём следующие действия:
К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 11 (Строка 3 + 11 × строка 2)
Получим:
Проведём следующие действия:
Строку № 3 поделим на 6 (Строка 3 = строка 3 / 6)
Получим:
Проведём следующие действия:
Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 3)
Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)
Получим:
Проведём следующие действия:
Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 2)
Получим:
В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = 1
х₂ = 2
х₃ = 3

Вы поняли, как решать? Нет?
Помощь с решением
Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ: понятия, определения, примеры задач
Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:
3×1+2×2+x3+x4=-2×1-x2+4×3-x4=-1-2×1-2×2-3×3+x4=9×1+5×2-x3+2×4=4
Как решать?
Расширенная матрица системы представлена в виде:
   x1    x2     x3 x432111-14-1-2-2-3115-12-2-194
Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.
Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на -a21a11=-13, -a31a11=—23=23 и на -а41а11=-13.
Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на -а32(1)а22(1)=-23-53=-25 и -а42(1)а22(1)=-133-53=135:
   x1    x2     x3 x43211|-20-53113-43|-130-23-7353|2330133-4353|143~
      x1                 x2                           x3                           x4~3211|-20-53113-43|-130-23+(-25)(-53)-73+(-25)11353+(-25)(-43)|233+(-25)(-13)0133+135(-53)-43+135×11353+135(-43)|143+135(-13)~
       x1    x2     x3       x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415-95|195
Теперь исключаем переменную x3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а43(2)а33(2)=-415-195=4119.
       x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415-95|195~
      x1    x2               x3                           x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415+4119(-195)-95+4119×115|195+4119×395~
       x1    x2     x3       x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219
Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:
   x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219
стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:
   x1    x2     x3       x43000|а10-5300|а200-1950|а30005619|39219, где а1, а2, а3 — некоторые числа.
Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на
-1155619=-209280, на —435619=1942 и на -15619=1956.
   x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219~
      x1    x2      x3                   x4~3211+(-1956)5619|-2+(-1956)392190-53113-43+1942×5619|-13+1942×3921900-195115+(-209280)5619|395+(-209280)392190005619|39219~
       x1    x2     x3       x4~3210|-90-531130|900-1950|-3850005619|39219
Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на
-113-195=5557 и на -1-195=519.
x1    x2     x3       x43210|-90-531130|900-1950|-3850005619|39219~
      x1    x2             x3                   x4~321+519(-195)0|-9+519(-385)0-53113+5557(-195)0|9+5557(-385)00-1950|-3850005619|39219~
       x1    x2     x3       x4~3210|-110-5300|5300-1950|-3850005619|39219
На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на -2-53=65.
x1    x2     x3       x43210|-110-5300|5300-1950|-3850005619|39219~
      x1           x2            x3      x4~32+65(-53)00|-11+65×53)0-5300|5300-1950|-3850005619|39219~
       x1    x2     x3       x4~3000|-90-5300|5300-1950|-3850005619|39219
Полученная матрица соответствует системе уравнений
3×1=-9-53×2=53-195×3=-3855619×4=39219, откуда находим неизвестные переменные.
Ответ: x1=-3, x2=-1,x3=2,x4=7.
Метод Гаусса. Примеры
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных и преобразовании системы линейных алгебраических уравнений
к треугольному виду
Предположим, что в системе коэффициент . Если это условие не выполняется, то на первое место переносим уравнение, которое ее удовлетворяет. С помощью первого уравнения исключим из остальных уравнений.
Для этого делят первую строчку на , обозначим
.
Дальше второй строки вычитаем первую строку, умноженную на ;от третьего первую строчку, умноженный на ; и так далее до последней строки. Получим таблицу коэффициентов:
Для неизвестных имеем систему уравнений. Выполняя, как и раньше, исключим из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого сначала разделим вторую строчку на .
Если коэффициент , то переставим уравнения так, чтобы выполнялось условие .
Обозначив
,
от третьей строки вычтем вторую строчку, умноженный на ;
от четвертой строки вычтем вторую строчку, умноженный на и т.д. Получим таблицу коэффициентов:
Продолжая процесс исключения неизвестных получим таблицу:
Таблица коэффициентов при неизвестных сводится к треугольному виду. Все главной диагонали элементы . Запишем соответствующую систему уравнений:
Переход от первой системы уравнений до последней называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса начинается с последней системы уравнений. Ее решают с конца до начала. Из последнего уравнения находят . Подставив это значение в предпоследнее — находят и т.д. Из первого уравнения находят .
Если система уравнений с неизвестными имеет единственное решение, то эта система всегда может быть преобразована к треугольному виду. Для студентов не всегда требуют, чтобы диагональные элементы были равны единице. Достаточно просто свести систему линейных уравнений к верхней треугольной.
———————————————
Пример 1.
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Гаусса.
Решение.
Исключим неизвестную из второго и третьего уравнения. Для этого от них вычтем первое умноженное на
Видим, что наше уравнение в таком виде можно решать обратным ходом метода Гаусса. Для этого из последнего уравнения выразим
Подставим полученное значение в предыдущее уравнение и найдем
Из первого уравнения находим
Решение данной системы равен
——————————————
В случаях систем больших размеров, а также для удобства, часто на практике используют другую схему решения. Вместо преобразований над системой выполняют соответствующие преобразования над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и столбца из свободных членов, который для удобства выделяют вертикальной линией. Такую матрицу называют расширенной матрицей системы.
——————————————
Пример 2.
Решить систему четырех линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Решение.
Выпишем расширенную матрицу для данной системы
Сведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.
1.Поменяем местами первый и второй строки.
2. Добавим к элементам второго, третьего и четвертого строк элементы первой строки, умноженные соответственно на
3. Поменяем местами второй и третий строки. Добавим к элементам третьего и четвертого строк элементы второй строки, умноженные соответственно на
4. От четвертого уравнения умноженного на вычитаем третье уравнение умноженное на
Такой расширенной матрицы соответствует следующая система уравнений
С четвертого уравнения находим и подставляем в третье уравнение
Найденные значения подставляем во второе уравнение
Из первого уравнения находим первую неизвестную
Система полностью решена и – ее решение.
——————————————————
Посмотреть материалы:
в чем суть, решение системы уравнений, примеры с объяснением
Благодаря великим ученым было открыто множество эффективных теорем для работы со сложными математическими задачами. Один из таких примеров — метод Гаусса.
Метод Гаусса — что это такое
Метод Гаусса представляет собой методику эквивалентного преобразования исходной системы линейных уравнений в систему, решаемую существенно проще, чем исходный вариант.
Метод Гаусса используют для решения систем линейных алгебраических формул. Такой способ обладает рядом важных преимуществ:
Нет необходимости сравнивать уравнения для оценки совместимости.

Решение систем равенств, в которых число определителей совпадает или не совпадает с количеством неизвестных переменных.

Поиск решений для уравнений с нулевым определителем.

Сравнительно небольшое количество вычислительных операций для получения результата.

Основные определения и обозначения
Матрицы: определение и свойства
Такие системы являются наиболее удобным способом представления данных, с которыми впоследствии производят манипуляции. Матрица имеет вид прямоугольника для удобства расчетов. При использовании метода Гаусса работа осуществляется с треугольными матрицами, при записи которых применяется прямоугольник с нулями на тех местах, где числа отсутствуют. Часто нули не записывают, а только подразумевают.
Важным параметром матрицы является размер:
ширина — это количество строк, обозначают буквой m;

длину выражают числом столбцов, записывают буквой n.

Источник: bigpicture.ru
Размер матрицы будет записан в формате А m*n. В случае, когда m=n, матрица является квадратной, а m=n служит ее порядком. Номера строк и столбцов изменяются.
Определитель
Матрица обладает крайне важной характеристикой. Таким параметром является определитель. Данную величину рассчитывают с помощью диагонали. Для этого в матрице необходимо провести воображаемые диагональные линии. Затем следует найти произведение элементов, которые располагаются на этих диагоналях, а полученные значения суммировать таким образом:
Если диагональ обладает наклоном в правую сторону, то знак «+».

Для диагоналей, наклоненных влево, знак «–».

Источник: wp.com
Рассчитать определитель представляется возможным лишь в случае работы с квадратной матрицей.
Если необходимо определить данный параметр для прямоугольной матрицы, то следует выполнить следующие манипуляции:
из числа строк и числа столбцов выбрать наименьшее и обозначить его k;

отметить в матрице произвольным образом k столбцов и k строк.

Элементы, которые расположены на пересечении отмеченных столбцов и строк, образуют новую квадратную матрицу. В случае, когда определитель является числом, не равным нулю, то данный параметр будет обозначен как базисный минор первоначальной прямоугольной матрицы. Перед решением систем уравнений методом Гаусса полезно рассчитать определитель. Если данная характеристика равна нулю, то матрица имеет бесконечное множество решений либо не имеет их вовсе. В таком случае потребуется определить ранг матрицы.
Классификация систем
Ранг матрицы является распространенным понятием. Он обозначает максимальный порядок ее определителя, который не равен нулю. По-другому можно сказать, что ранг матрицы представляет собой порядок базисного минора. Исходя из данного критерия, СЛАУ классифицируют на несколько типов. В совместных системах, которые состоят лишь из коэффициентов, ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной. Для подобных систем характерно одно или множество решений. По этой причине совместные системы подразделяют на следующие типы:
определенные, обладающие одним решением, в которых наблюдается равенство ранга матрицы и количество неизвестных;

неопределенные;

обладающие бесконечным числом решений с рангом матрицы, который меньше количества неизвестных.

В несовместных системах ранги, характеризующие основную и расширенную матрицы, отличаются. С помощью метода Гаусса в процессе решения можно прийти либо к однозначному доказательству несовместности системы, либо к решению общего вида для системы, обладающей бесконечным количеством решений.
Источник: asiaplustj.info
Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса
Перед тем, как решать систему, необходимо ее упростить. На данном этапе выполняют элементарные преобразования, которые не влияют на конечный результат. Определенные манипуляции справедливы лишь в случае матриц, исходниками которых являются СЛАУ. Список элементарных преобразований:
Перестановка строк. При перемене записей в системе местами ее решение не меняется. Можно менять место строк в матрице, учитывая столбец со свободными членами.

Произведение всех элементов строк и некоторого коэффициента. Сокращаются большие числа в матрице, и исключаются нули. При этом множество решений сохраняется без изменений, а дальнейшие манипуляции существенно упрощаются. Важным условием является отличие от нуля коэффициента.

Удаление строк, которые содержат пропорциональные коэффициенты. Данное преобразование следует из предыдущего пункта. При условии, что две или более строк в матрице обладают пропорциональными коэффициентами, то при произведении или делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получают две или более абсолютно одинаковые строки. В этом случае лишние строки исключают, оставляя только одну.

Удаление нулевой строки. Бывают случаи, когда в процессе манипуляций с уравнениями возникает строка, все элементы которой, в том числе свободный член, равны нулю. Нулевую строку допустимо исключать из матрицы.

Суммирование элементов одной строки с элементами другой, умноженными на некоторый коэффициент, в соответствующих столбцах. Данное преобразование имеет наиболее важное значение из всех перечисленных.

Особенности использования метода Гаусса для решения СЛАУ
На первом этапе система уравнений записывается в определенном виде. Пример выглядит следующим образом:
Источник: wp.com
Коэффициенты необходимо представить в виде таблицы. С правой стороны в отдельном столбце записаны свободные члены. Данный блок отделен для удобства решения. Матрицу со столбцом со свободными членами называют расширенной.
Источник: wp.com
Затем основная матрица с коэффициентами приводится к верхней треугольной форме. Данное действие является ключевым моментом при решении системы уравнений с помощью метода Гаусса. По итогам преобразований матрица должна приобрести такой вид, чтобы слева внизу находились одни нули:
Источник: wp.com
При записи новой матрицы в виде системы уравнений можно отметить, что последняя строка уже содержит значение одного из корней, которое в дальнейшем подставляется в уравнение выше для нахождения следующего корня и так далее. Подобное описание позволяет разобраться в методе Гаусса в общих чертах.
Обратный и прямой ход метода Гаусса
В первом случае необходимо представить запись расширенной матрицы системы. При выполнении обратного метода Гаусса далее в главную матрицу добавляют столбец со свободными членами.
Источник: wp.com
Суть такого способа заключается в выполнении элементарных преобразований, по итогам которых данная матрица приводится к ступенчатому или треугольному виду. В этом случае над или под главной диагональю матрицы располагаются только нули.
Источник: wp.com
Варианты дальнейших действий:
перемена строк матрицы местами, при наличии одинаковых или пропорциональных строк их можно исключить, кроме одной;

деление либо умножение строки на любое число, не равное нулю;

удаление нулевых строк;

добавление строки, умноженной на число, не равное нулю, к другой строке.

Имея преобразованную систему с одной неизвестной Xn, которая становится известной, можно выполнить поиск в обратном порядке остальных неизвестных с помощью подстановки известных х в уравнения системы, вплоть до первого. Данный способ называют обратным методом Гаусса.
Примеры решений с объяснением
Пример 1
Требуется решить с помощью метода Гаусса систему линейных уравнений, которая выглядит следующим образом:
Источник: wp.com
Решение
Необходимо записать расширенную матрицу:
Источник: wp.com
Затем нужно выполнить преобразования. В результате матрица должна приобрести треугольный вид. Для этого следует умножить первую строку на (3) и умножить вторую строку на (-1). В результате суммирования второй и первой строк получается следующее:
Источник: wp.com
Далее следует умножить третью строку на (-1). После добавления третьей строки ко второй получаем следующие преобразования:
Источник: wp.com
После этого необходимо умножить первую строку на (6) и вторую строку на (13). Далее следует добавить вторую строку к первой:
Источник: wp.com
После того, как система преобразована, остается вычислить неизвестные:
$x_{3}=\frac{98}{49}=2$
$x_{2}=\frac{14-7x_{3}}{6}=\frac{14-7*2}{6}=0$
$x_{3}=\frac{-9+5x_{2}+6x_{3}}{3}=\frac{-9+5*0+6*2}{3}=1$
Данный пример демонстрирует единственное решение системы.
Источник: supertics.com
Пример 2
Необходимо решить систему уравнений, которая выглядит следующим образом:
Источник: wp.com
Решение
Необходимо составить матрицу:
Источник: wp.com
Согласно методу Гаусса уравнение первой строки по итогам преобразований не меняется. Удобнее, когда левый верхний элемент матрицы обладает наименьшим значением. В таком случае первые элементы остальных строк после преобразований будут равны нулю. Таким образом, составленная матрица будет решаться проще, если на место первой строки поставить вторую:
вторая строка:
$k = (-a_{21} /a_{11}) = (-3/1) = -3$
$a»_{21} = a_{21} + k×a_{11} = 3 + (-3)×1 = 0$
$a» _{22} = a_{22} + k×a _{12} = -1 + (-3)×2 = -7$
$a»_{ 23} = a_{23} + k×a_{13} = 1 + (-3)×4 = -11$
b» 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
третья строка:
$k = (-a_{31} /a_{11}) = (-5/1) = -5$
$a»_{31} = a_{31} + k×a_{11} = 5 + (-5)×1 = 0$
$a»_{32} = a_{32} + k×a_{12} = 1 + (-5)×2 = -9$
$ a»_{33} = a_{33} + k×a_{13} = 2 + (-5)×4 = -18$
$ b»_3 = b_3 + k×b_1 = 3 + (-5)×12 = -57$
Матрица с промежуточными результатами манипуляций будет иметь следующий вид:
Источник: wp.com
Благодаря некоторым операциям можно придать матрице наиболее удобный вид. К примеру, вторую строку можно избавить от всех «минусов» путем умножения каждого элемента на «-1». Можно заметить, что для третьей строки характерны все элементы, кратные трем. В этом случае строка сокращается с помощью произведения каждого элемента на «-1/3». Минус позволит удалить отрицательные значения.
Источник: wp.com
Далее следует приступить к манипуляциям со второй и третьей строками. Необходимо суммировать третью и вторую строки. Вторая строка при этом умножается на такой коэффициент, при котором элемент а 32 будет равен нулю.
$k = (-a_{32} /a_{22}) = (-3/7) = -3/7$
В случае, когда некоторые преобразования приводят в результате к получению не целого числа, следует оставить его в этом виде. Таким образом, вычисления будут более точными. Затем при получении ответов можно определиться с его дальнейшем округлением или переводом в другую форму записи.
$a»_{32} = a_{32} + k×a_{22} = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0$
$a»_{33} = a_{33} + k×a_{23} = 6 + (-3/7)×11 = -9/7$
$b»_3 = b_3 + k×b_2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7$
Преобразованная матрица будет иметь следующий вид:

Матрица обладает ступенчатым видом. Дальнейшие преобразования с помощью метода Гаусса нецелесообразны. В этом случае можно удалить из третьей строки общий коэффициент «-1/7».
Источник: wp.com
Затем необходимо представить запись матрицы в виде системы уравнений для вычисления корней.
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Найти корни можно обратным методом Гаусса. Уравнение (3) содержит значение z:
y = (24 — 11×(61/9))/7 = -65/9
С помощью первого уравнения можно определить х:
x = (12 — 4z — 2y)/1 = 12 — 4×(61/9) — 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Подобная система является совместной и определенной, для которого характерно единственное решение. Ответ будет следующим:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Метод Гаусса предполагает последовательное исключение неизвестных. Методика справедлива в случае решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Несмотря на простоту метода, многие студенты сталкиваются с некоторыми трудностями в процессе поиска правильного решения. Это связано с наличием знаков «+» и «-». Поэтому для решения СЛАУ требуется проявить внимательность. А получить квалифицированную помощь можно на ресурсе Феникс.Хелп.
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса
Рассмотрим систему линейных уравнений:

С этой системой связываются две матрицы: матрица коэффициентов

и расширенная матрица — с присоединенными свободными членами:

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:
1. умножение уравнения на отличное от нуля число;
2. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на любое число;
3. перестановка уравнений местами.
Теорема. Любая система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований и, может быть, изменением нумерации неизвестных, может быть приведена к системе с трапециевидной матрицей.
Доказательство. Проводим элементарные преобразования только над строками матрицы , как в доказательстве теоремы о ранге матрицы. Возможно, при этом придется изменить нумерацию неизвестных. Приводим систему уравнений к виду

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то данная система уравнений решений не имеет (несовместна). Если же все они равны нулю, то последние равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если , то неизвестным можно придавать произвольные значения, а неизвестные находим из решения системы с треугольной матрицей

Эту систему удобно решать, определив из -го уравнения , затем из -го и т.д. Таким образом, можно выразить переменные через и получить общее решение системы. Если , то система (в случае совместности) имеет единственное решение.
Преобразование системы уравнений к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке называется обратным ходом.
Пример. Решить систему линейных уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

Первую строку умножим на 3 и вычтем из второй. Затем первую строку умножим на 2 и вычтем из третьей. Получим

Далее вторую строку прибавим к третьей и отбросим нулевую строку, получим

Запишем полученные уравнения:

Из второго уравнения выразим :

Полученное выражение подставляем в первое уравнение и выражаем из него :

Ответ. Общее решение данной системы:

Задачи.
1. Решите систему линейных уравнений

2. Решите систему линейных уравнений

3. Решите систему линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Содержание:
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Решение системы линейных уравнений Метод Гаусса (1) Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейной алгебры является метод Гаусса. i + ai2X2 H —— h alnxn = bi a22 x2 t ‘• * T a2n xn- » am2®2 + •• + GmUn = bn • Где (t, j = 2, m) — новое значение коэффициента, Правильная часть получена после первого шага. Аналогичным образом исключают неизвестные X2 из всех уравнений системы, учитывая основной элемент <4UФ0, исключая первое и второе.
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
Решение задач Лекции
Сборник и задачник Учебник
Продолжайте этот процесс как можно больше. Если процесс приведения системы (1) к постепенной форме показывает нулевые уравнения, то есть уравнения вида 0 = 0, они отбрасываются. Если отображается уравнение вида 0 = aΦ0>, это указывает на несовместимость системы. Второй шаг (обратный) — это решение ступенчатой системы. В общем, существует множество решений системы градуированных уравнений. В последнем уравнении этой системы первое неизвестное xb представлено оставшимися неизвестными (£ fc + 1, …, xn). Затем подставьте значение Xk в предпоследнее уравнение системы и выразите Xk- \ через a: n).
Тогда найди Xk-2> … Примечания: 1. Если система ступеней представляет собой треугольник, то есть k = 7i, исходная система имеет единственное решение. Найти xn из последнего уравнения и из второго уравнения xn-1) из последнего далее в систему всех остальных неизвестных [xn — 2? ••• yXi). 2.
Прибавьте произвольные значения к свободным неизвестным …, xn), получите бесконечное число решений для системы. Людмила Фирмаль
На практике удобнее выполнять все базовые преобразования для строк, используя матрицу расширения, а не систему (1). Удобно, если коэффициент aj равен 1 (переместить уравнение на место или отделить обе стороны уравнения все ф 1). Пример: 1) Решить систему, используя метод Гаусса. 2x \ -x-2 + 3×3-5 # 4 = 1, X \ -X2-bx3 = 2 3xi-2×2-2hz-5×4 = 3, 7xi-5×2-9hz-10×4 = 8.
♦ В результате базового преобразования в расширенную матрицу системы / 2-1 3 «-5 1 \ 1-1-5 0 2 3 -2 -2 -5 3 \ 7-5-9-10 8 / 1 -1 -5 0 2 \ 0 1 13 -5 -3 0 1 13 -5 -3 х0 2 26-10-6 / ^ 1 -1 -5 0 2 \ 2-13 -5 1 3 -2 -2 -5 3 ^ 7-5-9-10 8J -1 О 1 Ах ах \ 0 O -5 0 ‘2 л 13-5-3 LLC O O O y Оригинальная система была уменьшена до ступенчатой системы. xi-x2-5xs = 2 x2 + 13 Гц + 5×4 = -3. Итак, общее решение системы: x2 = -5×4-13x-X \ = -5×4-8×3-1. 1, x2 = x3 = 0, x4 = 0. 2) Решить систему, используя метод Гаусса. — = О, -3, ♦ X1 + x2 + x3 = 3, 2xi + 3×2 + 3×3 = 7, 3X] + X2 + x3 = 5, 5xi-x2-. Xs = 3. ♦ Выполнять базовые преобразования в строках расширенной матрицы системы.
/ 11 1 3 \ / 11 1 3 \ / 1 1 1 3 \ / 1 1 1 3 \ 2337 010 1 0101 0101 31 15 ~ 0-2—2-4 ~ 0112 ~ 0011 \ 5 -1 -1 3 / \ 0 -b -6 -12 / \ 0 I 1 2 / \ 0 0 0 0 / Полученная матрица соответствует системе + X-2 + xs = 3, X-2 = 1 Xb = 1. Выполнение обратного хода приводит к £ 3 = 1, x2-1, Xj = 1.
Систем линейных уравнений: исключение Гаусса
Системы линейных уравнений:
Решение методом исключения Гаусса (стр. 6 из 7)
Разделы: Определения, Решение по графику, Подстановка, Исключение / добавление, исключение по Гауссу.
Решение трех переменных, линейных систем с тремя уравнениями сложнее, по крайней мере, на начальном этапе, чем решение систем с двумя переменными, потому что требуемые вычисления более грязный.Вы должны быть очень аккуратными в своей работе, и вы должны планируйте использовать много бумаги для заметок. Метод решения этих систем является расширением метода сложения двух переменных, поэтому сделайте конечно ты знаешь это метод хорошо и может использовать его последовательно правильно.
Хотя метод решения основан на добавлении / исключении, попытка выполнить фактическое добавление имеет тенденцию становится очень запутанным, поэтому существует систематизированный метод решения трех или более переменных системы.Этот метод называется «исключение Гаусса» (с уравнения заканчиваются тем, что называется «строковой формой»).
Начнем с простого, и работаем над более сложными примерами.
Решите следующие проблемы система уравнений.
Достаточно легко увидеть как действовать в этом случае. Я просто подставлю обратно значение z -value из третьего уравнения во второе, решите результат для л , г. а затем подключите z и y в первое уравнение и решите результат для x .
10 л 3 (3) = 11
10 y 9 = 11
10 y = 20
y = 2
5x + 4 (2) (3) = 0
5 x + 8 3 = 0
5 x + 5 = 0
5 x = 5
x = 1
Тогда решение ( х , y , z ) = (1, 2, 3).
Причина, по которой эта система была Легко решить, что система была «треугольной»; это относится к уравнениям, имеющим форму треугольника, из-за нижних уравнений содержащий только более поздние переменные.
Дело в том, что в этом формат, система проста в решении. И гауссовское исключение — это метод, который мы будем использовать для преобразования систем в эту верхнетреугольную форму, используя операции со строками, которые мы изучили, когда применили метод сложения.
Решите следующие проблемы система уравнений с использованием исключения Гаусса.
Уравнение не решается для переменной, поэтому мне нужно будет выполнить умножение и сложение чтобы упростить эту систему. Чтобы отслеживать свою работу, напишу вниз на каждом шагу, когда я иду. Но я сделаю свои вычисления на бумаге для заметок. Вот как я это сделал:
Первое, что нужно сделать состоит в том, чтобы избавиться от ведущих x -термов в два ряда.А пока я просто посмотрю, какие строки будут легко расчистить; Я могу поменять строки позже, чтобы перевести систему в «верхний треугольной «формы. Нет правила, которое гласит, что я должен использовать x — срок из первой строки, и в этом случае, думаю, будет проще используйте термин x из третьей строки, так как его коэффициент просто «1». Поэтому я умножу третью строку на 3, и добавьте его в первую строку.Я делаю вычисления на бумаге для заметок:
… а потом записываю результатов:
(Когда мы решали системы с двумя переменными, мы могли умножить строку, переписав систему в сторону, а затем добавить. Для этого нет места в система с тремя переменными, поэтому нам и нужна бумага для заметок.)
Предупреждение: поскольку я не на самом деле ничего не делаю с третьей строкой, я скопировал ее без изменений, в новую матрицу уравнений.Я б / у третий ряд, но я на самом деле не менял Это. Не путайте «использование» с «изменением».
Чтобы получить меньшие числа для коэффициентов умножу первую строку пополам:
Теперь умножу третий ряд на 5 и добавьте это ко второму строка. Работаю на бумаге для заметок:
… а потом записываю результаты: Авторские права Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены
Я ничего не делал с первым рядом, поэтому я скопировал его без изменений. Я работал с третий ряд, но я работал только на вторая строка, поэтому вторая строка обновляется, а третья строка копируется более без изменений.
Хорошо, теперь x — столбец удаляется, за исключением ведущего члена в третьей строке.Так что дальше Приходится работать над колонкой и .
Предупреждение: Начиная с третьего уравнение имеет член x , Я больше не могу использовать его ни в одном из двух других уравнений (или я отменить мой прогресс). Я могу работать с уравнением, но не с Это.
Если я добавлю в два раза больше первого строки во вторую строку, это даст мне ведущую 1 во втором ряду.Я не буду избавились от ведущего y -терм во втором ряду, но я его преобразовал (не вмешиваясь дробями) в более простую форму. (Вы должны сохранить обратите внимание на такого рода упрощения.) Сначала я делаю царапину работа:
… а потом записываю результатов:
Теперь могу использовать второй ряд, чтобы убрать и -семестр в первом ряду.Вторую строку умножу на 7 и добавить. Сначала я царапаю работа:
… а потом записываю результатов:
Я могу сказать что z сейчас, но для большей точности я разделю первую строку на 43. Затем я переставляю ряды, чтобы придать им верхнетреугольную форму:
Теперь я могу начать процесс обратного решения:
Тогда решение ( х , y , z ) = ( 2, 3, 1 ) .
Примечание: нет ничего священного о шагах, которые я использовал при решении указанной выше системы; там ничего не было Особо о том, как я решил эту систему. Вы могли бы работать в другом упорядочивайте или упрощайте разные строки, и все равно получите правильный ответ. Эти системы достаточно сложны, поэтому вряд ли один правильный способ вычисления ответа. Так что не беспокойтесь о том, «как она знала, что делать дальше? », потому что здесь нет правила.я просто делал все, что пришло мне в голову; Я делал то, что казалось простейшим, или как пришла в голову первая. Не волнуйтесь, если бы вы использовали совершенно другой шаги. Если каждый шаг на пути верен, вы придумаете Такой же ответ.
В приведенном выше примере я мог пошли дальше в своих вычислениях и более тщательно проработали строковые операции, очищая все термины и кроме этого во второй строке и во всех терминах z кроме того, что в первой строке.Это то, что процесс тогда выглядело так:
Так я могу просто читать от значений x , л , г. и z , и мне не нужно возиться с обратной заменой. Это более полное метод решения называется «методом исключения Гаусса-Жордана» (с уравнения, попадающие в так называемый «пониженный ряд-эшелон» форма»).Многие тексты доходят до исключения Гаусса, но я всегда было легче продолжать и делать Гаусс-Джордан.
Обратите внимание, что я выполнил две строковые операции сразу на этом последнем шаге перед переключением строк. Пока я не работая с и работая на в той же строке на том же шаге, это нормально. В этом случае я работал с первой строкой и рабочая по второй и третий ряды.
<< Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к указателю Далее >>
Цитируйте эту статью как:
Стапель, Елизавета. «Системы линейных уравнений, решаемые методом исключения Гаусса». Purplemath
Доступно по телефону https: // www.purplemath.com/modules/systlin6.htm .
Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.
Решение системы с исключением Гаусса
Результаты обучения
Используйте метод исключения Гаусса для решения системы уравнений, представленной в виде расширенной матрицы.
Интерпретировать решение системы уравнений, представленной в виде расширенной матрицы.
Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей , а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку, чтобы получить форму с эшелонированием строк .Теперь мы будем использовать метод исключения Гаусса как инструмент для решения системы, записанной в виде расширенной матрицы. В нашем первом примере мы покажем вам процесс использования исключения Гаусса в системе двух уравнений с двумя переменными.
Пример: решение системы 2 X 2 методом исключения Гаусса
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
[латекс] \ begin {array} {l} 2x + 3y = 6 \ hfill \\ \ text {} x-y = \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Показать решение
Сначала запишем это как расширенную матрицу.
[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 1 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 6 \\ \ hfill \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] [/ latex]
Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.
[латекс] {R} _ {1} \ leftrightarrow {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill \ frac {1} {2} \\ \ hfill & \ hfill 6 \ end {array} \ right] [/ latex]
Теперь у нас есть 1 как первая запись в строке 1, столбце 1.Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на [latex] -2 [/ latex], а затем прибавив результат к строке 2.
[латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill 5 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill \ frac {1} {2} \\ \ hfill & \ hfill 5 \ end {массив } \ right] [/ latex]
У нас есть только один шаг, чтобы умножить строку 2 на [latex] \ frac {1} {5} [/ latex].
[латекс] \ frac {1} {5} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \ \ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {cc} & \ frac {1} {2} \\ & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]
Использовать обратную замену.Вторая строка матрицы представляет [латекс] y = 1 [/ латекс]. Подставьте обратно [latex] y = 1 [/ latex] в первое уравнение.
[латекс] \ begin {array} {l} x- \ left (1 \ right) = \ frac {1} {2} \ hfill \\ \ text {} x = \ frac {3} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Решение — точка [латекс] \ left (\ frac {3} {2}, 1 \ right) [/ latex].
Попробуй
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
[латекс] \ begin {массив} {l} 4x + 3y = 11 \ hfill \\ \ text {} \ text {} \ text {} x — 3y = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Показать решение
[латекс] \ влево (2,1 \ вправо) [/ латекс]
В нашем следующем примере мы решим систему двух уравнений с двумя зависимыми переменными.Напомним, что зависимая система имеет бесконечное количество решений, и результатом операций со строками в ее расширенной матрице будет уравнение, такое как [latex] 0 = 0 [/ latex]. Мы также рассмотрим написание общего решения для зависимой системы.
Пример: решение зависимой системы
Решите систему уравнений.
[латекс] \ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ 6x + 8y = 24 \ end {array} [/ latex]
Показать решение Выполните строковые операции на расширенной матрице, чтобы попытаться получить строковую форму .
[латекс] A = \ left [\ begin {array} {llll} 3 \ hfill & \ hfill & 4 \ hfill & \ hfill \\ 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 12 \ hfill \\ \ hfill & 24 \ hfill \ end {array} \ right] [/ latex]
[латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ begin {array} {l} — \ frac {1} {2} {R} _ {2} + {R} _ {1} = { R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {llll} 0 \ hfill & \ hfill & 0 \ hfill & \ hfill \\ 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 0 \ hfill \\ \ hfill & 24 \ hfill \ end {array} \ right] \ hfill \\ {R} _ {1} \ leftrightarrow {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {llll} 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \\ 0 \ hfill & \ hfill & 0 \ hfill & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 24 \ hfill \\ \ hfill & 0 \ hfill \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Матрица заканчивается всеми нулями в последней строке: [latex] 0y = 0 [/ latex].Таким образом, существует бесконечное количество решений и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и решите для [latex] y [/ latex].
[латекс] \ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \ hfill \\ \ text {} 4y = 12 — 3x \ hfill \\ \ text {} y = 3- \ frac {3} {4} x \ hfill \ end {array} [/ latex]
Итак, решение этой системы — [латекс] \ left (x, 3- \ frac {3} {4} x \ right) [/ latex].
Теперь мы перейдем на следующий шаг к решению системы линейных уравнений 3 на 3.Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.
Пример: решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
[латекс] \ begin {массив} {c} \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ hfill \\ x-y + z = 8 \ hfill \ end {array} \\ 2x + 3y-z = -2 \\ 3x — 2y — 9z = 9 \ end {array} [/ latex]
Показать решение
Сначала мы пишем расширенную матрицу.
[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -2 & \ hfill -9 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 8 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 9 \ end {array} \ right] [/ latex]
Затем мы выполняем операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона.
[латекс] \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} { rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -9 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill 9 \ end {массив} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill -3 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ end {array} \ right] \ end {array} [/ latex]
Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — это поменять местами [латекс] {R} _ {2} [/ latex] и [latex] {R} _ {3} [/ latex].
[латекс] \ text {Interchange} {R} _ {2} \ text {и} {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill — 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill & \ hfill -18 \ end {array} \ right] [/ latex]
Затем
[латекс] \ begin {array} {l} \\ \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -5 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ в \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 57 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill & \ hfill 57 \ end {array} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {57} {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ \ \ hfill & \ hfill 1 \ end {array} \ right] \ end {array} \ end {array} [/ latex]
Последняя матрица представляет собой эквивалентную систему.
[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x-y + z = 8 \ hfill \\ \ text {} y — 12z = -15 \ hfill \\ \ text {} z = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Используя обратную подстановку, мы получаем решение как [latex] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex].
Напомним, что есть три возможных исхода решений для линейных систем. В предыдущем примере решение [латекс] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex] представляет точку в трехмерном пространстве. Эта точка представляет собой пересечение трех плоскостей.В следующем примере мы решаем систему, используя операции со строками, и обнаруживаем, что она представляет зависимую систему. Зависимая система в 3-х измерениях может быть представлена двумя идентичными плоскостями, как в 2-х измерениях, где зависимая система представляет две идентичные линии.
Пример: решение зависимой системы 3 x 3
Решите следующую систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса.
[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill -x — 2y + z = -1 \\ \ hfill 2x + 3y = 2 \\ \ hfill y — 2z = 0 \ end {array} [/ latex]
Показать решение
Запишите расширенную матрицу.
[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill -2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill 2 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
Сначала умножьте строку 1 на [latex] -1 [/ latex], чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1. Затем выполните операции со строками , чтобы получить форму строки-эшелон.
[латекс] — {R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ справа] [/ латекс]
[латекс] {R} _ {2} \ leftrightarrow {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 \ \ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ text {} | \ begin {array} { rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 2 \ end {array} \ right] [/ latex]
[латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
[латекс] {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
Последняя матрица представляет следующую систему.
[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} 0 = 0 \ hfill \ конец {array} [/ latex]
По тождеству [latex] 0 = 0 [/ latex] мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для [latex] y [/ latex] и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для [latex] z [/ latex] через [latex] x [/ latex].
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y = 2z \ hfill \\ \ hfill \\ x + 2 \ left (2z \ справа) -z = 1 \ hfill \\ \ text {} x + 3z = 1 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Теперь мы подставляем выражение для [latex] z [/ latex] во второе уравнение, чтобы решить для [latex] y [/ latex] через [latex] x [/ latex].
[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \\ \ hfill \\ y — 2 \ left (\ frac {1-x} {3} \ right) = 0 \ hfill \\ \ text {} y = \ frac {2 — 2x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex ]
Общее решение — [latex] \ left (x, \ frac {2 — 2x} {3}, \ frac {1-x} {3} \ right) [/ latex].
Общее решение для зависимой системы 3 X 3
Напомним, что когда вы решаете зависимую систему линейных уравнений с двумя переменными с использованием исключения или подстановки, вы можете записать решение [latex] (x, y) [/ latex] через x, потому что существует бесконечно много (x, y) пары, которые будут удовлетворять зависимой системе уравнений, и все они попадают на линию [латекс] (x, mx + b) [/ latex].Теперь, когда вы работаете в трех измерениях, решение будет представлять собой плоскость, поэтому вы должны записать его в общей форме [латекс] (x, m_ {1} x + b_ {1}, m_ {2} x + b_ { 2}) [/ латекс].
Попробуй
Решите систему методом исключения Гаусса.
[латекс] \ begin {array} {c} x + 4y-z = 4 \\ 2x + 5y + 8z = 15 \ x + 3y — 3z = 1 \ end {array} [/ latex]
Показать решение
[латекс] \ левый (1,1,1 \ правый) [/ латекс]
Вопросы и ответы
Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?
Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.
Как: решить систему уравнений с помощью матриц с помощью калькулятора
Сохраните расширенную матрицу как матричную переменную [latex] \ left [A \ right], \ left [B \ right], \ left [C \ right] \ text {,} \ dots [/ latex].
Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.
Пример: решение систем уравнений с помощью калькулятора
Решите систему уравнений.
[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 3y + 9z = -1 \\ \ hfill -2x + 3y-z = -2 \\ \ hfill -x — 4y + 5z = 1 \ end { array} [/ latex]
Показать решение
Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 3 & \ hfill 9 \\ \ hfill -2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill -1 & \ hfill -4 & \ hfill 5 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 1 \ end {array} \ right] [/ latex]
На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].
[латекс] \ left [A \ right] = \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 9 & \ hfill & \ hfill -1 \\ \ hfill — 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -4 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 1 \ end {массив } \ right] [/ latex]
Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].
[латекс] \ text {ref} \ left (\ left [A \ right] \ right) [/ латекс]
Оценить.
[латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill \ frac {3} {5} & \ hfill \ frac {9} {5 } & \ hfill \ frac {1} {5} \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ frac {13} {21} & \ hfill — \ frac {4} {7} \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill — \ frac {24} {187} \ end {array} \ right] \ to \ begin {array} {l} x + \ frac {3} {5} y + \ frac {9} {5} z = — \ frac {1} {5} \ hfill \\ \ text {} y + \ frac {13} {21} z = — \ frac {4} {7} \ hfill \\ \ text {} z = — \ frac {24} {187} \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]
При использовании обратной подстановки решение: [latex] \ left (\ frac {61} {187}, — \ frac {92} {187}, — \ frac {24} {187} \ right) [/ latex] .
Приложения систем уравнений
Теперь обратимся к приложениям, для которых используются системы уравнений. В следующем примере мы определяем, сколько денег было инвестировано по двум разным ставкам, учитывая сумму процентов, полученных на обоих счетах.
Пример: применение матриц 2 × 2 к финансам
Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов.Сколько было вложено по каждой ставке?
Показать решение
У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть [latex] x = [/ latex] сумма, инвестированная под 10,5% годовых, и [latex] y = [/ latex] сумма, инвестированная под 12% годовых.
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y = 12 000 \ hfill \\ 0.105x + 0.12y = 1335 \ hfill \ end {array} [/ latex]
В качестве матрицы имеем
[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0.105 & \ hfill 0.12 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 12 000 \\ \ hfill 1,335 \ end {array} \ right] [/ latex]
Умножить строку 1 на [латекс] -0.105 [/ latex] и добавьте результат в строку 2.
[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0.015 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r } \ hfill 12,000 \\ \ hfill 75 \ end {array} \ right] [/ latex]
Затем,
[латекс] \ begin {array} {l} 0,015y = 75 \ hfill \\ \ text {} y = 5,000 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Итак [латекс] 12 000 — 5 000 = 7 000 [/ латекс].
Таким образом, 5000 долларов были инвестированы под 12% годовых и 7000 долларов под 10,5%.
Пример: применение матриц 3 × 3 к финансам
Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?
Показать решение
У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть [latex] x [/ latex] будет сумма, инвестированная под 5% годовых, пусть [latex] y [/ latex] будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть [latex] z [/ latex] будет инвестированной суммой. под 9% годовых. Таким образом,
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y + z = 10 000 \ hfill \\ 0.05x + 0,08y + 0,09z = 770 \ hfill \\ \ text {} 2x-z = 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]
В качестве матрицы имеем
[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0,05 & \ hfill 0,08 & \ hfill 0,09 \\ \ hfill 2 & \ hfill 0 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 10,000 \\ \ hfill 770 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.
[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -0.05 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \\ -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ frac {1} {0.03} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ 2 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {3} & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -2,000 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]
Третья строка сообщает нам [латекс] — \ frac {1} {3} z = -2,000 [/ latex]; таким образом [латекс] z = 6,000 [/ латекс].
Вторая строка сообщает нам [латекс] y + \ frac {4} {3} z = 9000 [/ latex].
Подставляя [латекс] z = 6,000 [/ латекс], получаем
[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill y + \ frac {4} {3} \ left (6000 \ right) = 9000 \\ \ hfill y + 8000 = 9000 \\ \ hfill y = 1000 \ end {array} [/ latex]
Первая строка сообщает нам [латекс] x + y + z = 10,000 [/ latex]. Подставив [latex] y = 1,000 [/ latex] и [latex] z = 6,000 [/ latex], мы получим
[latex] \ begin {array} {l} x + 1,000 + 6,000 = 10,000 \ hfill \\ \ text {} x = 3 000 \ text {} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Ответ: 3000 долларов вложены под 5%, 1000 долларов вложены под 8% и 6000 долларов вложены под 9%.
Попробуй
Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму, заимствованную по каждой ставке.
Показать решение
150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10%
Внесите свой вклад!
У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
систем линейных уравнений: исключение Гаусса
систем линейных уравнений: исключение Гаусса
Решать нелинейные системы уравнений довольно сложно, а линейные системы довольно легко изучать. Существуют численные методы, которые помогают аппроксимировать нелинейные системы линейными в надежде, что решения линейных систем достаточно близки к решениям нелинейных систем. Мы не будем здесь обсуждать это.Вместо этого мы сосредоточим наше внимание на линейных системах.
Для простоты мы ограничимся тремя, максимум четырьмя неизвестными. Читатель, интересующийся случаем большего количества неизвестных, может легко развить следующие идеи.
Определение. Уравнение
a x + b y + c z + d w = h

где a , b , c , d и h — известные числа, а x , y , z и w — неизвестные числа. называется линейным уравнением .Если h = 0, линейное уравнение называется однородным . Линейная система представляет собой набор линейных уравнений, а однородная линейная система представляет собой набор однородных линейных уравнений.
Например,

а также

линейные системы, а

является нелинейной системой (из-за y ²). Система

является однородной линейной системой.
Матричное представление линейной системы
Матрицы помогают переписать линейную систему в очень простой форме.Затем для решения систем можно использовать алгебраические свойства матриц. Сначала рассмотрим линейную систему

Установите матрицы

Используя матричное умножение, мы можем переписать линейную систему выше как матричное уравнение

Как видите, это намного лучше, чем уравнения. Но иногда стоит решить систему напрямую, минуя матричную форму. Матрица A называется матричным коэффициентом линейной системы.Матрица C называется неоднородным членом . Когда , линейная система однородна. Матрица X — это неизвестная матрица. Его записи являются неизвестными линейной системы. Расширенная матрица , связанная с системой, является матрицей [ A | C ], где
В общем, если линейная система имеет n уравнений с m неизвестными, то матричный коэффициент будет матрицей nxm, а расширенная матрица — матрицей nx (m + 1).Теперь обратим внимание на решения системы.
Определение. Две линейные системы с n неизвестными считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый набор решений.
Это определение важно, поскольку идея решения системы состоит в том, чтобы найти эквивалентную систему, которую легко решить. Вы можете спросить, как мы сможем создать такую систему? Легко, мы делаем это с помощью элементарных операций . Действительно, ясно, что если мы поменяем местами два уравнения, новая система все равно будет эквивалентна старой.Если мы умножим уравнение на ненулевое число, мы получим новую систему, по-прежнему эквивалентную старой. И, наконец, заменив одно уравнение суммой двух уравнений, мы снова получим эквивалентную систему. Эти операции называются элементарными операциями в системах. Посмотрим, как это работает в конкретном случае.
Пример. Рассмотрим линейную систему
Идея состоит в том, чтобы сохранить первое уравнение и поработать над двумя последними. При этом мы попытаемся убить одного из неизвестных и решить два других.Например, если мы сохраним первое и второе уравнение и вычтем первое из последнего, мы получим эквивалентную систему

Затем мы сохраняем первое и последнее уравнение и вычитаем первое из второго. Получаем эквивалентную систему

Теперь мы сосредоточимся на втором и третьем уравнениях. Повторяем ту же процедуру. Попробуйте убить одного из двух неизвестных ( y или z ). Действительно, мы сохраняем первое и второе уравнение и добавляем второе к третьему, умножив его на 3.Мы получили

Это, очевидно, означает z = -2. Из второго уравнения мы получаем y = -2, и, наконец, из первого уравнения мы получаем x = 4. Следовательно, линейная система имеет одно решение.

Переход от последнего уравнения к первому при решении для неизвестных называется обратным решением .
Имейте в виду, что линейные системы, для которых матричный коэффициент является верхнетреугольным, легко решить. Это особенно верно, если матрица имеет эшелонированную форму.Таким образом, фокус состоит в том, чтобы выполнить элементарные операции по преобразованию исходной линейной системы в другую, для которой матрица коэффициентов имеет эшелонированную форму.
Используя наши знания о матрицах, можем ли мы в любом случае переписать то, что мы сделали выше, в матричной форме, которая упростит нашу нотацию (или представление)? Действительно, рассмотрим расширенную матрицу

Выполним над этой матрицей несколько элементарных операций со строками. Действительно, если мы сохраним первую и вторую строки и вычтем первую из последней, мы получим

Затем мы сохраняем первую и последнюю строки и вычитаем первую из второй.Мы получили

Затем мы сохраняем первую и вторую строки и добавляем вторую к третьей, умножив ее на 3, чтобы получить

Это треугольная матрица, не имеющая эшелонированной формы. Линейная система, для которой эта матрица является расширенной, есть

Как видите, мы получили ту же систему, что и раньше. Фактически мы следовали тем же элементарным операциям, что и выше. На каждом этапе новая матрица была в точности расширенной матрицей, связанной с новой системой.Это показывает, что вместо того, чтобы писать системы снова и снова, легко поиграться с элементарными операциями со строками, и как только мы получим треугольную матрицу, напишем связанную линейную систему, а затем решим ее. Это известно как исключения по Гауссу . Подведем итоги процедуры:
Исключение Гаусса. Рассмотрим линейную систему.
1.
Построить расширенную матрицу для системы;
2.
Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в треугольную;
3.
Запишите новую линейную систему, для которой треугольная матрица является связанной с ней расширенной матрицей;
4.
Решите новую систему. Вам может потребоваться присвоить некоторые параметрические значения некоторым неизвестным, а затем применить метод обратной подстановки для решения новой системы.
Пример. Решите следующую систему методом исключения Гаусса

Расширенная матрица

Мы используем элементарные операции со строками, чтобы преобразовать эту матрицу в треугольную.Мы сохраняем первую строку и используем ее для получения всех нулей в любом месте первого столбца. У нас есть

Далее мы сохраняем первую и вторую строки и стараемся, чтобы во втором столбце были нули. Мы получили

Далее сохраняем первые три ряда. Добавляем последний к третьему, чтобы получить

Это треугольная матрица. Связанная с ним система

Очевидно, что v = 1. Установите z = s и w = t , тогда мы имеем

Из первого уравнения следует Используя алгебраические манипуляции, получаем
x = — — с — т .
Собрав все вместе, у нас есть
Пример. Используйте метод исключения Гаусса для решения линейной системы

Соответствующая расширенная матрица

Сохраняем первую строку и вычитаем первую строку, умноженную на 2, из второй строки. Мы получили

Это треугольная матрица. Связанная система

Ясно, что второе уравнение означает, что эта система не имеет решения. Следовательно, эта линейная система не имеет решения.
Определение. Линейная система называется непоследовательной или переопределенной , если у нее нет решения. Другими словами, набор решений пуст. В противном случае линейная система называется согласованной .
Следуя приведенному выше примеру, мы видим, что если мы выполним элементарные операции со строками над расширенной матрицей системы и получим матрицу с одной из строк, равной , где , тогда система несовместима.
[Назад] [Следующий] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра]
С.O.S MATH: Домашняя страница
Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.
Автор : М.А.Хамси
Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователей онлайн за последний час
Исключение Гаусса — обзор
1.3.7 Исключение Гаусса или Гаусса
Исключение Гаусса (также известное как Исключение Гаусса ) — широко используемый метод для решения систем линейных уравнений в форме [ K ] { u } = { F }.В операциях с матрицами существует три распространенных типа манипуляций, которые служат для создания новой матрицы, обладающей теми же характеристиками, что и исходная:
1.
Поменять местами любые две строки.
2.
Умножьте каждую запись в любой строке на ненулевое постоянное значение.
3.
Добавьте значения из каждой записи одной строки к каждой записи другой строки.
Цель использования исключения Гаусса — создать новую матрицу с теми же свойствами, что и исходная [ K ], но в формате, в котором только верхний треугольник имеет ненулевые элементы.Используя предыдущую матрицу 5 × 5 в качестве примера, верхний треугольник состоит из элементов в правом верхнем треугольнике матрицы и включает элементы в правой диагональной строке в виде
[m11m12m13m14m150m22m23m24m2500m33m34m35000m44m450000m55].
Мы достигаем цели исключения Гаусса, правильно применяя одну из трех вышеупомянутых операций за раз. После того, как верхняя треугольная матрица сформирована, мы используем метод обратной подстановки , чтобы сначала найти последнюю переменную.Причина, по которой этот метод называется «обратной заменой», заключается в том, что последняя строка верхней треугольной матрицы должна быть решена первой. Поскольку в последней строке верхней треугольной матрицы есть только одна ненулевая запись, мы можем найти неизвестную переменную простым арифметическим делением, то есть из
[K] {u2v2u3u4v4} = [m11m12m13m14m150m22m23m24m2500m33m34m35000m44m450000m55] {u4 } → v4 = F4Vm55.
Имея значение v ₄, мы решаем от второй до последней переменной.Поскольку m ₄₄ u ₄ + m ₄₅ v ₄ = F _{4 H}, мы можем решить для u _{4 F4H − m45v4m44. Мы многократно применяем один и тот же набор процедур, пока не будут найдены значения всех переменных.}
Мы будем использовать типичный 64-битный компьютер, чтобы проиллюстрировать критическую проблему при использовании исключения Гаусса. Хорошо известно, что такой компьютер хранит действительное (десятичное) число в формате с плавающей запятой, используя 64 бита: 1 бит для представления знака (плюс или минус), 52 бита для представления числа точных цифр (мантисса), и 11 бит для представления экспоненты.При делении числа на другое очень маленькое число имеющихся цифр в мантиссе может быть недостаточно для поддержания необходимой точности, то есть может возникнуть ошибка округления. В исключении Гаусса точка поворота или позиция поворота — это позиция в строке, которая совпадает с правой диагональной линией. Значения в точках поворота используются в качестве знаменателя при формировании верхней треугольной матрицы. Чтобы исключить ошибки округления, возникающие при делении на очень маленькое число, используется первый тип манипуляции для перемещения строки с очень маленьким числом в точке поворота в другую строку.Это достигается простым перестановкой рядов так, чтобы большие числа располагались в точках поворота. Вторую и третью операции мы используем для получения нулей в левой нижней части матрицы, что необходимо для получения верхней треугольной матрицы.
Модифицированной версией метода исключения Гаусса является метод исключения Гаусса – Жордана. Цель исключения Гаусса – Жордана — получить матрицу, которая имеет правую диагональную линию всех единиц (единиц), а все остальные позиции матрицы содержат нули.Это достигается с помощью тех же трех типов манипуляций с матрицами, которые используются в методе исключения Гаусса. Поскольку квадратная матрица состоит только из единичных значений в диагональных элементах, решения для всех неизвестных становятся легко доступными. Один из недостатков метода Гаусса – Жордана заключается в том, что он более затратный в вычислительном отношении, чем метод исключения Гаусса. Таким образом, он полезен только для решения проблем путем ручного расчета, когда существует небольшое количество одновременных уравнений.Используя метод исключения Гаусса, а не метод Гаусса – Жордана, мы избегаем многих дополнительных шагов. Поскольку метод FE обычно включает большую систему, чаще используется метод исключения Гаусса.
В следующем разделе мы шаг за шагом продемонстрируем процессы в методе исключения Гаусса. Конечно, вместо ручных вычислений следует написать и использовать компьютерную программу. Используя предыдущий пример в качестве отправной точки, уравнение. (1.68) повторяется ниже.
[K] {u2v2u3u4v4} = 108 [100−50006.6700−6.67−506.44−1.441.9200−1.44400−6.671.
.67] {u2v2u3u4v4} = {F2HF2VF3HF4HF4−5002} = {00020000 =
002 все, кроме первой записи в первом столбце, равны 0. Мы заметили, что третья строка в этом столбце содержит единственное ненулевое значение. Чтобы манипулировать третьей строкой, чтобы сделать ведущее число 0, мы должны умножить существующее число (-5) на такое значение, чтобы добавление результата к первой записи в строке один (10) давало 0. Используя правило два, мы умножаем каждая запись в третьей строке по 2:
108 [100-50006.6700−6.67−10012.88−2.883.8400−1.44400−6.671.
.67] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000}.
Затем мы добавляем строку 1 к строке 3, но мы не затрагиваем строку 1:
108 [100-50006.6700-6.67007.88-2.883.8400-1.44400-6.671.
.67] {u2v2u3u4v4} = {00020000-50000 }.
Теперь, когда все значения в первом столбце, кроме первого, равны 0, мы применяем аналогичный процесс ко второму столбцу. Мы хотим, чтобы все значения во втором столбце, кроме второго, равнялись 0, а это значит, что мы должны адресовать −6,67 в последней строке. Его можно изменить на 0, просто добавив значения из строки 2.
108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400−1.4440001.9204] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000}
Две операции, правила два и три, необходимы для преобразования записи в четвертой строке столбца три на 0. Сначала умножаем четвертую строку на 7,881,44 (обратите внимание, что эта операция также применима к вектору силы):
108 [100-50006,6700-6,67007,88-2,883,8400-7,8821,8,9204] {u2v2u3u4v4} = { 0001.094 × 105−50000},
, а затем добавьте значения из третьей строки к этим результатам, чтобы сформировать новую четвертую строку:
108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400019.013.84001.9204] {u2v2u3u4v4} = {0001.094 × 105−50000}.
Аналогичным образом мы умножаем пятую строку на -7,881,92, а затем складываем значения из третьей строки, чтобы сформировать новую пятую строку:
108 [100-50006,6700-6,67007,88-2,883,8400019,013,84000-2,88-12,58 ] {u2v2u3u4v4} = {0001,094 × 1052,052 × 106}.
К этому моменту должно быть очевидно, что умножение на значение в другой строке и последующее деление на значение в текущей строке дает результат, который можно вычесть из этой другой строки и получить 0.Чтобы еще раз увидеть этот процесс, мы умножаем пятую строку на 19.012.88, затем складываем значения из четвертой строки, чтобы получить новую пятую строку:
108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400019.013.840000−79.20] {u2v2u3u4v4} = {0001,094 × 1051,464 × 106}.
Теперь матрица имеет форму верхней треугольной матрицы, что означает, что все значения ниже и слева от правой диагональной линии являются нулями. На этом этапе мы применяем метод обратной замены для определения узловых смещений.
Начнем с последней строки, которая содержит 108 [0000−79.20], и мы умножаем последовательные значения в этой строке на последовательные значения в векторе узлового смещения:
108 ((0) (u2) + (0) (v2) + (0) (u3) + (0) ( u4) + (- 79.20) (v4)) = 1.464 × 106
Мы можем сделать это проще, признав, что только последнее значение в строке ненулевое, и поэтому v ₄ — это просто последнее значение в вектор силы, деленный на последний элемент в верхней треугольной матрице [ K ]:
v4 = (1,464 × 106) (- 79,2 × 108) = — 1,849 × 10−4
Мы можем использовать v ₄, чтобы найти u ₄ и т. Д.Ниже приведены расчеты значений узловых смещений в м :
u4 = 1,094 × 105−108 × 3,84 × v419,01 × 108 = 1,804 × 10519,01 × 108 = 0,949 × 10−4,
u3 = 108 × (2,88) × u4−108 × 3,84 × v4108 × 7,88 = 9,837 × 10−47,88 = 1,248 × 10−4,
v2 = 108 × 6,67 × v4108 × 6,67 = −1,849 × 10−4 и
u2 = 108 × 5 × u3108 × 10 = 0,624 × 10−4.
Узловые смещения, рассчитанные с использованием метода MSA или прямого метода жесткости, в точности совпадают с точными решениями проблем, связанных с фермами.Для типов элементов, отличных от фермы или пружины, узловые решения вряд ли будут иметь те же значения, что и точные решения. Простое практическое правило состоит в том, что чем больше элементов используется для представления интересующей структуры, тем точнее результаты будут приближаться к точным решениям. Дополнительные описания других типов элементов приведены в главе 2.
Исключение Гаусса Джордана — объяснение и примеры
Метод методом исключения Гаусса-Жордана — это алгоритм для решения линейной системы уравнений.Мы также можем использовать его, чтобы найти обратную матрицу. Давайте сначала посмотрим на определение:
Исключение Гаусса Джордана или Гаусса исключение — это алгоритм для решения системы линейных уравнений, представляющий ее в виде расширенной матрицы, сокращая ее с помощью операций со строками и выражая систему в сокращенной строке. -эшелонированная форма для нахождения значений переменных.
В этом уроке мы увидим детали метода исключения Гаусса и того, как решить систему линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса-Жордана.Примеры и практические вопросы будут приведены ниже.
Что такое метод исключения Гаусса?
Метод исключения Гаусса — это структурированный метод решения системы линейных уравнений. Таким образом, это алгоритм, и его можно легко запрограммировать для решения системы линейных уравнений. Основная цель исключения Гаусса-Джордана:
представить систему линейных уравнений в форме расширенной матрицы
затем выполнить операции строки $ 3 $ до тех пор, пока не будет получена сокращенная форма эшелона строк (RREF) достигнуто
Наконец, мы можем легко распознать решения из RREF
. Давайте посмотрим, что такое расширенная матричная форма, операции со строками стоимостью 3 доллара, которые мы можем выполнять с матрицей, и упрощенная форма эшелона строк матрицы.
Расширенная матрица
Система линейных уравнений показана ниже:
$ \ begin {align *} 2x + 3y & = \, 7 \\ x — y & = 4 \ end {align *} $
Мы запишет расширенную матрицу этой системы, используя коэффициенты уравнений и записав ее в стиле , показанном ниже:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 4 \ end {array} \ right] $
Пример использования одновременных уравнений $ 3 $ показан ниже:
$ \ begin {align *} 2x + y + z & = \, 10 \\ x + 2y + 3z & = 1 \\ — x — y — z & = 2 \ end {align *} $
Представление этой системы в виде расширенной матрицы:
$ \ left [\ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ — 1 & — 1 & — 1 & 2 \ end {array} \ right] $
Операции со строками в матрице
Есть $ 3 $ элементарных операций со строками , которые мы можем выполнять с матрицами.Это не изменит решения системы. Это:
Обмен $ 2 $ строк
Умножить строку на ненулевой ($ \ neq 0 $) скаляр
Добавить или вычесть скалярное кратное одной строки из другой строки.
Форма сокращенного эшелона строк
Основная цель исключения Гаусса Джордана — использовать операции элементарной строки стоимостью 3 доллара в расширенной матрице, чтобы привести ее к форме сокращенного эшелона строк (RREF). Считается, что матрица находится в сокращенной форме эшелона строк , также известной как каноническая форма строки , если выполняются следующие условия $ 4 $:
Строки с нулевыми записями (все элементы этой строки равны $ 0 $ s) находятся внизу матрицы.
ведущая запись (первая ненулевая запись в строке) каждой ненулевой строки соответствует правой ведущей записи строки непосредственно над ней.
Начальная запись в любой ненулевой строке — 1 доллар.
Все записи в столбце, содержащем начальную запись ($ 1 $), нулевые.
Как выполнить исключение Гаусса-Джордана
В методе исключения Гаусса-Джордана нет каких-либо определенных шагов, но алгоритм ниже описывает шаги, которые мы выполняем, чтобы прийти к сокращенной форме эшелона строк расширенной матрицы.
Поменяйте местами строки так, чтобы все строки с нулевыми записями находились внизу матрицы.
Поменяйте местами строки так, чтобы строка с самой большой левой цифрой находилась наверху матрицы.
Умножьте верхнюю строку на скаляр, который преобразует ведущую запись верхней строки в $ 1 $ (если ведущей записью верхней строки является $ a $, умножьте ее на $ \ frac {1} {a} $, чтобы получить $ 1 $).
Сложите или вычтите значения, кратные верхней строке, из других строк, чтобы все записи в столбце ведущей записи верхней строки были нулями.
Выполните шаги $ 2 — 4 $ для следующей крайней левой ненулевой записи , пока все ведущие записи каждой строки не будут равны 1 $.
Поменяйте местами строки так, чтобы первая запись каждой ненулевой строки находилась справа от ведущей записи строки непосредственно над ней
На первый взгляд, запомнить / запомнить шаги не так просто. Это вопрос решения нескольких проблем, пока вы не освоитесь с процессом. Существует также фактор интуиции , который играет B-I-G роль в выполнении исключения Гаусса Джордана.
Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы пояснить процесс решения системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса-Джордана .
Пример 1
Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:
$ \ begin {align *} {- x} + 2y & = \, {- 6} \\ { 3x} — 4y & = {14} \ end {align *} $
Решение
Первый шаг — написать расширенную матрицу системы.Мы показываем это ниже:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} — 1 & 2 & — 6 \\ 3 & -4 & 14 \ end {array} \ right] $
Теперь наша задача — преобразовать матрицу в сокращенную форму эшелона строк (RREF), выполнив команду $ 3 $ элементарные операции со строками.
У нас есть расширенная матрица:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} — 1 & 2 & — 6 \\ 3 & — 4 & 14 \ end {array} \ right] $
Шаг 1:
Мы можем умножить первую строку на $ — 1 $, чтобы получить ведущий вход $ 1 $.Показано ниже:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & — 2 & 6 \\ 3 & — 4 & 14 \ end {array} \ right] $
Шаг 2:
Теперь мы можем умножить первую строку на $ 3 $ и вычесть ее из второй ряд. Показано ниже:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & -2 & 6 \\ {3 — (1 \ times 3)} & {-4 — (-2 \ times 3)} & {14 — (6 \ times 3)} \ end {array} \ справа] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & — 2 & 6 \\ 0 & 2 & — 4 \ end {array} \ right] $
У нас есть $ 0 $ как первая запись второй строки.
Шаг 3:
Чтобы сделать вторую запись второй строки $ 1 $, мы можем умножить вторую строку на $ \ frac {1} {2} $. Показано ниже:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & — 2 & 6 \\ {\ frac {1} {2} \ times 0} & {\ frac {1} {2} \ times 2} & {\ frac {1} {2} \ times — 4} \ end {array} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & — 2 & 6 \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ right] $
Шаг 4:
Мы почти у цели!
Вторая запись первой строки должна быть $ 0 $.Для этого мы умножаем вторую строку на $ 2 $ и добавляем ее к первой строке. Показано ниже:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} {1 + (0 \ times 2)} & {- 2 + (1 \ times 2)} & {6 + (- 2 \ times 2)} \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ справа] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ right] $
Это сокращенный эшелон строк , форма . Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):
$ \ begin {align *} x + 0y & = \, 2 \\ 0x + y & = -2 \ end {align *} $
$ \ begin {align *} x & = \, 2 \\ y & = — 2 \ end {align *} $
Таким образом, решение системы уравнений: $ x = 2 $ и $ y = — 2 $.
Пример 2
Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:
$ \ begin {align *} x + 2y & = \, 4 \\ x — 2y & = 6 \ end { align *} $

Решение
Запишем расширенную матрицу системы уравнений:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 2 & 4 \\ 1 & — 2 & 6 \ end {array} \ right] $
Теперь мы выполняем элементарные операции со строками над этой матрицей, пока не получим сокращенную форму эшелона строк.
Шаг 1:
Умножаем первую строку на $ 1 $, а затем вычитаем ее из второй строки. По сути это вычитание первой строки из второй:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 и 2 и 4 \\ 1 — 1 и — 2 — 2 и 6 — 4 \ end {array} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & 2 & 4 \\ 0 & — 4 & 2 \ end {array} \ right] $
Шаг 2:
Мы умножаем вторую строку на $ — \ frac {1} {4} $, чтобы получить вторая запись строки, $ 1 $:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 и 2 и 4 \\ 0 \ times — \ frac {1} {4} & — 4 \ times — \ frac {1} {4} и 2 \ times — \ frac {1} {4} \ end {массив} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & — \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] $
Шаг 3:
Наконец, мы умножаем вторую строку на $ — 2 $ и добавьте его в первую строку, чтобы получить уменьшенную форму эшелона строк этой матрицы:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 + (- 2 \ times 0) & 2+ (- 2 \ times 1) & 4 + (- 2 \ times — \ frac {1} {2}) \\ 0 & 1 & — \ frac {1 } {2} \ end {array} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & — \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] $
Это сокращенный эшелон строки , форма .Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):
$ \ begin {align *} x + 0y & = \, 5 \\ 0x + y & = — \ frac {1} {2} \ end {align *} $
$ \ begin {align *} x & = \, 5 \\ y & = — \ frac {1} {2} \ end {align *} $
Таким образом, решение системы уравнений составляет $ x = 5 $ и $ y = — \ frac {1} {2} $.
Практические вопросы
Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:
$ \ begin {align *} 2x + y & = \, — 3 \\ — x — y & = 2 \ end {align *} $
Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:
$ \ begin {align *} x + 5y & = \, 15 \\ — x + 5y & = 25 \ end {align *} $
Ответы
Начнем с написания расширенной матрицы системы уравнений:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & 1 & — 3 \\ — 1 & — 1 & 2 \ end {array} \ right] $
Теперь мы выполняем элементарные операции со строками, чтобы прийти к нашему решению.
Первый,
Инвертируем знаки второй строки и меняем строки местами. Итак, имеем:
$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & 1 & — 2 \\ 2 & 1 & — 3 \ end {array} \ right] $
Во-вторых,
Мы дважды вычитаем первую строку из второй строки:
$ \ left [\ begin {array} { rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 2 — (2 \ times 1) & 1 — (2 \ times 1) & — 3 — (2 \ times — 2) \ end {array} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 0 & — 1 & 1 \ end {array} \ right] $
В-третьих,
Мы инвертируем вторую строку, чтобы получить:
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 0 & 1 & — 1 \ end {array} \ right] $
Наконец,
Мы вычитаем вторую строку из первой и получаем:
$ = \ left [\ begin { массив} {rr | r} 1 & 0 & — 1 \\ 0 & 1 & — 1 \ end {array} \ right] $
Из этой расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):
$ \ begin {align *} x + 0y & = \, — 1 \\ 0x + y & = — 1 \ end {align *} $
$ \ begin {align *} x & = \, — 1 \\ y & = — 1 \ end {align *} $
Таким образом, решение системы уравнений: $ x = — 1 $ и $ y = — 1 $.
Расширенная матрица системы:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ — 1 & 5 & 25 \ end {array} \ right] $
Давайте приведите эту матрицу к приведенной форме эшелона строк и найдите решение системы.

Во-первых,
Отмените первую строку, затем вычтите ее из второй строки, чтобы получить:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ — 1 — (- 1) & 5 — (- 5) & 25 — (- 15) \ end {array} \ right] $
$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 10 & 40 \ end {array} \ right] $
Second,
Разделите вторую строку на $ 10 $, чтобы получить:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
Затем
Умножьте вторую строку на $ 5 $ и вычтите ее из первой строки, чтобы получить окончательное решение:
$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 — (5 \ times 0) & 5 — (5 \ times 1) & 15 — (5 \ times 4) \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
$ = \ left [ \ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & — 5 \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
Это сокращенная форма эшелона строк (RREF).Из этой расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):
$ \ begin {align *} x & = \, — 5 \\ y & = 4 \ end {align *} $
Таким образом, решение системы уравнений $ x = — 5 $ и $ y = 4 $.
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Исключение Гаусса (Введение в линейные системы)
Метод исключения Гаусса — это процедура решения систем линейных уравнений. Его можно описать как последовательность операций, выполняемых над соответствующей матрицей коэффициентов.Мы мотивируем исключение Гаусса и исключение Гаусса – Жордана несколькими примерами с упором на понимание операций со строками.

Введение в системы линейных уравнений
Система линейных уравнений с двумя переменными $ x $ и $ y $ имеет вид $$ \ begin {cases} ax + by = c \\ d x + ey = f \ end {ases} $$ где $ a, b , c, d, e, f $ заданы числа, такие как действительные или комплексные числа. Иногда система линейных уравнений также записывается с использованием индексов \ begin {equal} \ label {2by2sys} \ begin {cases} a_ {11} x + a_ {12} y = b_1 \\ a_ {21} x + a_ {22} y = b_2 \ end {case} \ end {формула}, чтобы уменьшить количество используемых букв.Для простоты давайте временно предположим, что коэффициенты являются ненулевыми действительными числами, и зададимся вопросом: сколько решений может быть у системы $ 2 \ times 2 $? Ключевая идея состоит в том, чтобы понять, что каждое линейное уравнение представляет собой линию в декартовой плоскости. Если мы рассмотрим возможные способы пересечения прямых на плоскости, мы приходим к выводу, что не должно быть решений, одно единственное решение или бесконечно много точек $ (x, y) $, которые решают систему.
Пример .Определите, соответствует ли система линейных уравнений \ begin {уравнение} \ label {consys} \ begin {cases} 2x + 3y = 0 \\ 4x + 5y = 0. \ end {ases} \ end {Equation} не имеет решений, ровно одно решение или бесконечно много решений. Если мы умножим первое уравнение, а именно $ 2x + 3y = 0 $, на 2 и вычтем из второго уравнения $ 4x + 5y = 0 $, мы получим $ y = 0. $ Следовательно, решение является единственным и имеет вид $ (x , y) = (0,0). $
Система линейных уравнений $ 3 \ times 3 $ имеет вид \ begin {уравнение} \ label {3by3sys} \ begin {cases} a_ {11} x + a_ {12} y + a_ {13} z = b_1 \\ a_ {21} x + a_ {22} y + a_ {23} z = b_2 \\ a_ {31} x + a_ {32} y + a_ {33} z = b_3 \\ \ end {case} \ end { уравнение}, где $ a_ {ij} $ и $ b_1, b_2, b_3 $ — числа, а $ x, y, z $ — переменные.Геометрически линейные уравнения с тремя переменными — это просто плоскости в трех измерениях. Итак, каковы различные типы наборов решений для системы? Рассматривая возможные способы пересечения трех плоскостей в трех измерениях, мы приходим к выводу, что не должно быть решений, одно единственное решение или бесконечно много точек $ (x, y, z) $, которые решают систему.
Пример . Определите, соответствует ли система линейных уравнений \ begin {уравнение} \ label {linesysex1} \ begin {cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 4x + 5y + 6z = 3 \\ 7x + 8y + 9z = 0 \ end { case} \ end {equal} не имеет решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.Умножьте первое уравнение на $ -2 $ и добавьте ко второму уравнению, получив уравнение $ 2x + y = 3. $ Удалив $ z $ из первого и третьего уравнений, мы получим $ 4x + 2y = 0 $, умножив первое уравнение. на $ -3 $ и добавив к третьему уравнению. $ X $ и $ y $, удовлетворяющие системе, также должны удовлетворять системе \ begin {уравнение} \ begin {cases} 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 0. \ end {ases} \ end {Equation} Умножение первого уравнения на $ 2 $ дает $ 4x + 2y = 6. $ Обратите внимание, что нет $ x $ и $ y $, которые удовлетворяют как $ 4x + 2y = 6 $, так и $ 4x + 2у = 0.$ Таким образом, у системы нет решений; поэтому исходная система также не имеет решений.
Пример . Для чисел $ a, b $ и $ c $ покажите, что система линейных уравнений $$ \ begin {cases} x + 2y + 3z = a \\ x + 3y + 8z = b \\ x + 2y + 2z = c \ end {case} $$ либо не имеет решений, либо ровно одно решение, либо бесконечно много решений. Мы выбираем сначала удалить $ x $ и получаем систему $$ \ begin {cases} -y-5z = a-b \\ z = a-c. \ end {ases} $$ Затем мы исключаем $ z $, получая $ y = -6a + b + 5c.$ Следовательно, единственное решение — $$ (x, y, z) = (10a-2b-7c, -6a + b + 5c, a-c). $
Давайте рассмотрим набор линейных уравнений, который включает $ n $ неизвестных величин, представленных $ x_1, x_2, \ ldots, x_n. $ Пусть $ a_ {ij} $ представляет число, которое является коэффициентом $ x_j $ в $ i $ -ое уравнение. Пусть даны числа $ b_1, b_2, \ ldots, b_m $. Система линейных уравнений уравнений \ begin {equal} \ label {syseq} \ begin {cases} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ cdots + a_ {1n} x_n = b_1 \\ a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + \ cdots + a_ {2n} x_n = b_2 \\ \ hfill \ vdots \ hfill \\ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n = b_m \\ \ end {cases} \ end {Equation} называется системой одновременных линейных алгебраических уравнений .
Решение этой системы — это упорядоченный набор из $ n $ чисел, который удовлетворяет каждому из операторов $ m $ в системе. Система линейных уравнений без решения называется несовместимой , а система по крайней мере с одним решением называется согласованной . Массив $$ \ left [\ begin {array} {l | l} \ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\ & & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \\ \ end {matrix} & \ begin {matrix} b_1 \\ b_2 \\ \ vdots \\ b_m \ end {matrix} \ end {array} \ right] $$ называется расширенной матрицей , соответствующей системе линейных уравнений.
Например, система линейных уравнений выше оказалась непротиворечивой, а другая система линейных уравнений выше оказалась непоследовательной. Дополненные матрицы для этих систем следующие. $$ \ left [\ begin {array} {l | l} \ begin {matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \ end {matrix} & \ begin {matrix} 0 \\ 0 \ end {matrix} \ end {массив} \ right] \ qquad \ text {and} \ qquad \ left [\ begin {array} {l | l} \ begin {matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \ end {matrix} & \ begin {matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \ end {matrix} \ end {array} \ right] $$
Пример .Найдите все решения следующей системы линейных уравнений. \ begin {Equation} \ label {example: 2by3system} \ begin {cases} -150 x + 500y = z \\ 50x + 100y + z = 200 \ end {cases} \ end {equal} Данная система эквивалентна $ $ \ begin {case} -150 x + 500y-z = 0 \\ 50x + 100y + z = 200. \ end {ases} $$ Сложение этих уравнений дает $ -100x + 600y = 200. $ Поскольку у нас есть одно уравнение с двумя переменными, одна из переменных свободна. Мы решили позволить $ y $ быть свободным. Пусть $ y = t $ для произвольного числа $ t. $ Тогда, решая для $ x $, мы получаем $ -100x = 200y-600y $, или, что то же самое, $ x = -2 + 6t.$ Подставляя в исходную систему, находим $$ z = -150 (-2 + 6t) + 500t = 300-400t. $$ Следовательно, существует бесконечно много решений, которые можно представить в виде множества $$ \ {(x, y, z) \ mid x = -2 + 6t, y = t, z = 300-400t \ text { где $ t \ in \ mathbb {R} $} \}. $
Другая расширенная матрица для этой системы линейных уравнений — $$ \ left [\ begin {array} {l | l} \ begin {matrix} -150 & 500 & -1 \\ 50 & 100 & 1 \ end {matrix} & \ begin {matrix} 0 \\ 200 \ end {matrix} \ end {array} \ right] $$ Как вы думаете, возможно ли решить, проверяя расширенную матрицу, соответствует ли соответствующая система линейных уравнений будет последовательным или непоследовательным?
Операции со строками: решение систем линейных уравнений
До сих пор в наших примерах мы видели системы линейных уравнений, не имеющие решений, единственное решение или, возможно, бесконечное количество решений.Эти примеры предлагают следующее определение.
Определение . Две системы линейных уравнений называются эквивалентными , если они имеют один и тот же набор решений.
Пример . Найдите систему линейных уравнений с тремя неизвестными $ x, y, z $, решениями которой являются $ x = 6 + 5t $, $ y = 4 + 3t $, $ z = 2 + t $, где $ t $ произвольно. Мы хотим исключить $ t. $ Решение для $ t $ дает $ t = z-2. $ Путем подстановки $ x = 6 + 5 (z-2) $ и $ y = 4 + 3 (z-2). $ Таким образом, у нас есть система линейных уравнений $$ \ begin {ases} x-5z = -4 \\ y-3z = -2 \ end {ases} $$, которая имеет бесконечно много решений.
Теорема . Системы линейных уравнений эквивалентны, если каждая может быть получена из другой с помощью одной или нескольких следующих операций.
Поменяйте порядок уравнений.
Умножьте (или разделите) одно уравнение на ненулевой скаляр.
Складываем одно уравнение, кратное одному, к другому.
Проба . Если мы рассматриваем набор решений как геометрический объект, должно быть очень легко понять, что способ, которым мы пишем уравнения, представляющие объект, не меняет объект.Таким образом, должно быть очевидно, что изменение порядка уравнений не изменит решений системы линейных уравнений. Также не будет умножения (или деления) обеих частей уравнения на ненулевую константу.
Пусть система $ A $ будет системой $ m \ times n $, представленной \ begin {уравнением} \ label {syseqA} \ begin {cases} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ cdots + a_ {1n} x_n = b_1 \\ \ hfill \ vdots \ hfill \\ a_ {i1} x_1 + a_ {i2} x_2 + \ cdots + a_ {in} x_n = b_i \\ \ hfill \ vdots \ hfill \\ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n = b_m & \\ \ end {cases} \ end {equal} Рассмотрим систему $ B $, полученную из системы $ A $ добавлением $ k $ умноженного на уравнение $ i $ к уравнение $ j $ следующим образом: \ begin {Equation} \ label {syseqB} \ begin {cases} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ cdots + a_ {1n} x_n = b_1 \\ \ qquad \ qquad \ vdots \ qquad \ qquad \ qquad \ vdots \\ (a_ {j1} + k a_ {i1}) x_1 + (a_ {j2} + k a_ {i2}) x_2 + \ cdots + (a_ {jn} + k a_ {in }) x_n = b_j + k b_i \\ \ qquad \ qquad \ vdots \ qquad \ qquad \ qquad \ vdots \\ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n = b_m \\ \ end {case} \ end {Equation} Пусть $ S_A $ и $ S_B $ — множества решений систем $ A $ и $ B $ соответственно.Мы покажем $ S_A = S_B. $
Пусть $ x_0 = (x_1, x_2, \ ldots, x_n) $ — решение системы $ A. $ Таким образом, $ x_0 $ удовлетворяет всем линейным уравнениям. Итак, $ x_0 $ удовлетворяет всем уравнениям в системе B, кроме, возможно, $ j $ -го уравнения. Работая с $ j $ -м уравнением в системе $ B $, находим
\ begin {align} & (a_ {j1} + k a_ {i1}) x_1 + (a_ {j2} + k a_ {i2}) x_2 + \ cdots + (a_ {jn} + k a_ {in}) x_n \ \ & \ qquad = a_ {j1} x_1 + \ cdots + a_ {jn} x_n + k (a_ {i1} x_1 + \ cdots a_ {jn} x_n) \\ & \ qquad = b_j + k b_i.\ end {align}
Это показывает, что $ x_0 $ также удовлетворяет $ j $ -му уравнению системы $ B. $ Поскольку $ x_0 $ удовлетворяет каждому уравнению, $ x_0 $ также является членом $ S_B. $ До сих пор мы показали $ S_A \ substeq S_B . $ И наоборот, предположим, что $ x_0 $ является решением каждого уравнения второй системы линейных уравнений. Работая с $ j $ -м уравнением системы $ A $, находим,
\ begin {align} & a_ {j1} x_1 + a_ {j2} x_2 + \ cdots + a_ {jn} x_n = b_j \ notag \\ \ Longleftrightarrow \ quad & a_ {j1} x_1 + (k a_ {i1} -ka_ {i1}) x_1 + \ cdots + a_ {jn} + (k a_ {i1} -ka_ {i1}) x_n = b_j \ notag \\ \ Longleftrightarrow \ quad & (a_ {j1} + k a_ {i1}) x_1 + (a_ {j2} + k a_ {i2}) x_2 + \ cdots + (a_ {jn} + k a_ {in}) x_n = b_j + k b_i.\ label {eqsys} \ end {align}
Следовательно, поскольку $ x_0 $ удовлетворяет системе $ B $; и, таким образом, $ x_0 $ удовлетворяет $ j $ -му уравнению системы $ A. $ Следовательно, $ S_A = S_B $, как и нужно.
Прорабатывая детали следующих двух примеров, обратите внимание, как используются операции в Row Operations.
Пример . Пусть $ a, b $ и $ c $ — константы. Решите систему линейных уравнений $$ \ begin {cases} y + z = a \\ x + z = b \\ x + y = c. \ end {ases} $$ Исключая $ z $ из первого и второго уравнений, получаем систему $$ \ begin {ases} xy = ba \\ x + y = c \ end {ases} $$ Решение для $ x $ дает $ x = (c + ba) / 2.$ Используя исходную систему, мы находим, что $ y $ и $ z $ равны $$ y = cx = c- (c + ba) / 2 = (c-b + a) / 2 $$ $$ z = ay = a — (c-b + a) / 2 = (a + bc) / 2 $$ Следовательно, решение системы: $$ (x, y, z) = \ left (\ frac {c + ba} {2 }, \ frac {a + cb} {2}, \ frac {a + bc} {2} \ right). $
Пример . Найдите наименьшее натуральное число $ C $ такое, что $ x, y, z $ являются целыми числами и удовлетворяют системе линейных уравнений уравнений $$ \ begin {cases} 2x + y = C \\ 3y + z = C \\ x + 4z = C \ end {cases} $$ Умножьте третье уравнение на $ -2 $ и добавьте к первому уравнению, получив $ y-8z = -C.$ Умножая второе уравнение на 8 и прибавляя к $ y-8z = -C $, получаем $ 25y = 7C. $ Решая для $ y $, получаем $ y = (7/25) C. $ Подстановкой $ x = (9/25) C $ и $ z = (4/25) C. $ Следовательно, 25 — наименьшее целое число $ C $ такое, что $ x, y, z $ являются целыми числами и решает систему.
Исключение по Гауссу
Мы будем решать систему линейных уравнений, используя элементарные операции со строками над матрицами, используя процедуру, известную как Исключение Гаусса . Набор решений будет набором векторов.
Определение . Следующие операции в совокупности известны как операции элементарных строк .
(1) Поменяйте местами два ряда.
(2) Умножьте строку на ненулевой скаляр.
(3) Добавить строку из другой строки, кратную строке.
Из операций со строками очевидно, что применение элементарных операций со строками к системе линейных уравнений приводит к эквивалентной системе. Редукция системы линейных уравнений при сохранении множества решений — чрезвычайно полезная идея, которую мы будем активно развивать.
Например, мы обнаруживаем, что система линейных уравнений \ begin {equal} \ label {refex} \ begin {cases} x + 2y + z = 3 \\ 2x + 5y-z = -4 \\ 3x-2y- z = 5 \ end {case} \ qquad \ qquad \ begin {cases} x = 2 \\ y = -1 \\ z = 3 \ end {case} \ end {уравнение} эквивалентны. Мы покажем, как применить элементарные операции со строками, чтобы получить систему справа. В то время как система слева может быть заданной системой линейных уравнений, система справа решена.
Определение .Считается, что матрица находится в эшелоне строки формы , если она удовлетворяет всем следующим условиям.
(1) Все строки с хотя бы одним ненулевым коэффициентом находятся над любыми строками со всеми нулями.
(2) Первое ненулевое число слева (называемое ведущим коэффициентом ) ненулевой строки всегда находится строго справа от ведущего коэффициента строки над ней.
(3) Все записи в столбце под ведущим коэффициентом нулевые.
Далее, матрица называется сокращенной формой эшелона строк , если она находится в форме эшелона строк и выполняется дополнительное условие: каждый ведущий коэффициент равен 1 и является единственной ненулевой записью в своем столбце.
Например, расширенные матрицы для системы линейных уравнений выше: $$ \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & -1 & -4 \\ 3 & -2 & -1 & 5 \ end {array} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array} \ end {bmatrix}.$$ Проверив эти четыре условия, мы увидим, что матрица справа имеет вид сокращенного ряда строк. Для получения дополнительных примеров рассмотрим следующие матрицы. $$ A = \ begin {bmatrix} 0 & 5 \\ 2 & 3 \ end {bmatrix} \ qquad B = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ qquad C = \ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$ $$ D = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} \ qquad E = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ qquad F = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$ Обратите внимание, что матрицы $ D $ и $ E $ находятся в уменьшенной строке форма эшелона, а остальные нет.
Пример . Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы линейных уравнений. $$ \ begin {cases} x + 2y + z = 3 \\ 2x + 5y-z = -4 \\ 3x-2y-z = 5 \ end {cases} $$ Используя операции со строками в расширенной матрице, мы получаем уменьшенная форма рядного эшелона.
\ begin {align *} & \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 и 2 и 1 и 3 \\ 2 и 5 и -1 и -4 \\ 3 и -2 и -1 и 5 \ end {массив} \ end {bmatrix} \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_1 + R_2} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -3R_1 + R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 и 2 и 1 и 3 \\ 0 & 1 & -3 & -10 \\ 0 & -8 & -4 & -4 \ end {массив} \ end {bmatrix} \\ & \ qquad \ qquad \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle 8 R_2 + R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 и 2 и 1 и 3 \\ 0 & 1 & -3 & -10 \\ 0 & 0 & -28 & -84 \ end {массив} \ end {bmatrix} \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle — \ frac {1} {28} R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 и 2 и 1 и 3 \\ 0 & 1 & -3 & -10 \\ 0 и 0 и 1 и 3 \ end {массив} \ end {bmatrix} \\ & \ qquad \ qquad \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle 3R_3 + R_2} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -R_3 + R_1} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 и 2 и 0 и 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 и 0 и 1 и 3 \ end {массив} \ end {bmatrix} \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_2 + R_1} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 и 0 и 1 и 3 \ end {массив} \ end {bmatrix}.\ end {align *}
Следовательно, единственное решение — $ x = 2 $, $ y = -1 $ и $ z = 3. $
Пример . Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения следующей системы линейных уравнений. \ begin {уравнение} \ label {gjee1} \ begin {cases} x + y -2z + 4t = 5 \\ 2x + 2y-3z + t = 3 \\ 3x + 3y-4z-2t = 1 \ end {case } \ end {уравнение} Используя операции со строками над расширенной матрицей, мы получаем сокращенную форму эшелона строк.
\ begin {align *} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и -2 и 4 и 5 \\ 2 и 2 и -3 и 1 и 3 \\ 3 и 3 и -4 и -2 и 1 \ end {массив} \ end {bmatrix} & \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_1 + R_2} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -3R_1 + R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и -2 и 4 и 5 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & -7 \\ 0 & 0 & 2 & -14 & -14 \ end {массив} \ end {bmatrix} \\ & \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_2 + R_3} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle 2R_2 + R_1} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и 0 и -10 и -9 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {массив} \ end {bmatrix} \ end {align *}
Эта система эквивалентна $$ \ begin {cases} x + y-10t = -9 \\ z-7t = -7 \ end {ases} \ quad \ text {или, проще говоря} \ quad \ begin {cases} х = -9-у + 10т \\ г = -7 + 7т.4 \ mid x = -9-y + 10t, y = s, z = -7 + 7t, w = t, \ text {for} s, t \ in \ mathbb {R} \}. $$ — это набор решений.
Пример . Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения следующей системы линейных уравнений. $$ \ begin {case} x_1 + x_2-2x_3 + 3x_4 = 4 \\ 2x_1 + 3x_2 + 3x_3-x_4 = 3 \\ 5 x_1 + 7 x_2 + 4 x_3 + x_4 = 5 \ end {cases} $$ Использование строки операций над расширенной матрицей мы получаем приведенную форму эшелона строк.
\ begin {align *} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и -2 и 3 и 4 \\ 2 и 3 и 3 и -1 и 3 \\ 5 и 7 и 4 и 1 и 5 \ end {массив} \ end {bmatrix} & \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_1 + R_2} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -5R_1 + R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и -2 и 3 и 4 \\ 0 и 1 и 7 и -7 и -5 \\ 0 и 2 и 14 и -14 и 15 \ end {массив} \ end {bmatrix} \\ & \ begin {массив} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_2 + R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и -2 и 3 и 4 \\ 0 и 1 и 7 и -7 и -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 25 \ end {массив} \ end {bmatrix} \ end {align *}
Обратите внимание, что последняя строка соответствует уравнению $ 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 = 25.2 $ — такой многочлен. Используя данные точки, мы настраиваем систему и решаем.
\ begin {align *} & \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & б & с \\ а & 2b & 4c \\ a, 3b и 9c \ end {matrix} & \ begin {matrix} -1 \ 3 \ 13 \ end {матрица} \ end {array} \ right] \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -R_1 + R_2} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -R_1 + R_3} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & б & с \\ 0 & b & 3c \\ 0 и 2b и 8c \ end {matrix} & \ begin {matrix} 1 \ 4 \ 14 \ end {матрица} \ end {array} \ right] \\ & \ qquad \ qquad \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_2 + R_3} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & b & c \\ 0 & b & 3c \\ 0 и 0 и 2c \ end {matrix} & \ begin {matrix} -1 \ 4 \ 6 \ end {matrix} \ end {array} \ right] \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle \ frac {1} {2} R_3} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & b & c \\ 0 & b & 3c \\ 0 & 0 & c \ end {matrix} & \ begin {matrix} -1 \ 4 \ 3 \ end {матрица} \ end {array} \ right] \\ & \ qquad \ qquad \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -3R_3 + R_2} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & б & с \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \ end {matrix} & \ begin {matrix} -1 \ -5 \ 3 \ end {матрица} \ end {array} \ right] \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -R_2 + R_1} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & 0 & с \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \ end {matrix} & \ begin {matrix} 4 \ -5 \ 3 \ end {матрица} \ end {array} \ right] \\ & \ qquad \ qquad \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -R_3 + R_1} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \ end {matrix} & \ begin {matrix} 1 \ -5 \ 3 \ end {матрица} \ end {array} \ right].2-5 лет + 1. $
Упражнения по системе линейных уравнений
Упражнение . Убедитесь, что $ (2,3, -1) $ является решением системы линейных уравнений.
$ \ begin {cases} x + 2y + z = 7 \\ xy = -1 \\ 4x + y + z = 10 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} x + y = 5 \ \ xz = 3 \\ y + z = 2 \ end {cases} $
Упражнение . Убедитесь, что каждая тройка вида $ (7-2k, 8 + 6k, k) $ является решением системы линейных уравнений.
$ \ begin {cases} x_1 + 2x_3 = 7 \\ x_2-6x_3 = 8 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} 2x_1 + 4x_3 = 14 \\ x_1 + 3x_2-16x_3 = 31 \ end {кейсы}
Упражнение .У следующих систем нет решений, ровно одно решение или бесконечно много решений? Обосновать ответ.
$ \ begin {case} x + y = 1 \\ x + 2y = 1 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} 3x + y = 1 \\ y = -2 \ end {cases} $
$ \ begin {case} x + y = 1 \\ 2x + 2y = 2 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} 3x + y = 2 \\ 6x + 2y = 4 \ end { case} $
Упражнение . Нарисуйте график каждого уравнения системы линейных уравнений и решите, нет ли у него решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.
$ \ begin {case} x + y = 2 \\ 2x + 3y = 0 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} -x + 3y = 2 \\ 2x-6y = -4 \ end {кейсы}
Упражнение . Найдите решения, если таковые имеются, следующей системы линейных уравнений без использования матриц. Если уравнение имеет более одного решения, напишите общее решение.
$ \ begin {cases} 3x-2y = 7 \\ 2x + y = 15 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} x + y = 7 \\ 3x + 4y = 12 \ end {случаях } $
$ \ begin {case} 2x_1-3x_2 = 1 \\ 4x_1-6x_2 = -2 \\ x_1 + x_2 = 1 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} 2x_1-5x_2 = 12 \ end {case} $
$ \ begin {cases} i x_1-3ix_2 = 1 \\ (2 + i) x_1-x_2 = -1 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} (1 + i ) x_1-2ix_2 = 2 \\ 2x_1-3i x_2 = 4-3i \ end {cases} $
Упражнение .Если возможно, найдите точки пересечения.
$ x-4y = 11 $ и 7x-2y = 9 $
$ x-4y + 3z = 11 $, 7x-2y-z = -1 $, 7x-2y + z = -2 $
Упражнение . Пусть $ u = (1,1,2, -1) $ и $ v = (1,1,1,0). $ Для каких скаляров $ a $ и $ b $ верно, что $ a u + bv $ это решение следующей системы?
$ \ begin {cases} 4x-2y-zw = 1 \\ x + 3y-2z-2w = 2 \ end {ases} $
$ \ begin {cases} x-4y-z-2w = 4 \ \ 7x + y-5z-2w = 12 \ end {cases} $
Упражнение .Найдите все решения, если таковые существуют, для следующей системы линейных уравнений.
$ \ begin {case} xy = 1 \\ 2x = 4 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} 2x + 3y-z = 19 \\ 3x-2y + 3z = 7 \ end {случаях } $
$ \ begin {case} x-3y = 2 \\ -2x + 6y = -4 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} x-y + 2z-2w = 1 \\ 2x + y + 3w = 4 \\ 2x + y + 3w = 6 \ end {cases} $
Упражнение . Найдите все решения, если таковые существуют, следующей системы линейных уравнений.
$ \ begin {cases} 2x-z = -1 \\ x + yz = 0 \\ 2x-y + 2z = 3 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} 2x-3y + 2z = 1 \\ x-6y + z = 2 \\ -x-3y-z = 1 \ end {cases} $
Упражнение .Найдите все решения, если таковые существуют, следующей системы линейных уравнений.
$ \ begin {cases} x_1 + 2x_2-x_3 = 0 \\ 2x_1 + 5x_2 + 5x_3 = 0 \\ x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 0 \\ x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 0 \ end {cases} $
$ \ begin {case} x + y + z + w = 1 \\ 2x-2y + z + 2w = 3 \\ 2x + 6y + 3z + 2w = 1 \\ 5x-3y + 3z + 5w = 8 \ end {кейсы}
Упражнение . При каких значениях константы $ k $ у систем нет решения, ровно одно решение или бесконечное множество решений.
$ \ begin {cases} x + y = 1 \\ 3x + 3y = k \ end {cases} $
$ \ begin {cases} x + ky = 1 \\ 2x-y = k \ end {случаях } $
Exercise .2 + 2} + \ frac {c} {2x-1}. $
Упражнение . Пусть $ a $ и $ b $ — произвольные постоянные. Найдите все решения системы линейных уравнений.
$ \ begin {cases} x + 2y = a \\ 3x + 5y = b \ end {cases} $
$ \ begin {cases} a x + 2y = 1 \\ 3x + by = 4 \ end { case} $
Упражнение .
Пусть $ a $ и $ b $ — произвольные постоянные. Найдите все решения системы линейных уравнений.
$ \ begin {case} x + 2y + 3z = a \\ x + 3y + 8z = b \\ x + 2y + 2z = c \ end {case} $
$ \ begin {cases} x-2y + 4z = a \\ x-3y + 5z = b \\ x-2y + 6z = c \ end {cases} $
Упражнение .Система линейных уравнений, все постоянные члены которой равны нулю, называется однородной системой
.
Покажите, что в однородной системе всегда есть хотя бы одно решение.
Приведите примеры, показывающие, что гомогенная система может иметь более одного решения или только одно решение.
Упражнение . Напишите систему, соответствующую каждой расширенной матрице.
$ \ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \ end {array} \ right] $
$ \ left [\ begin {array} {cccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right] $
$ \ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array} \ right] $
$ \ left [\ begin {array} {c | c} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \ end {array} \ right] $
$ \ left [\ begin {array} {c | c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {массив } \ right] $
$ \ left [\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ end {array} \ right] $
Упражнение .Какие из следующих матриц представлены в виде уменьшенного ряда строк?
$ \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} $
$ \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix} $
$ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} $
$ \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} $
Упражнение .Какие из следующих матриц представлены в виде уменьшенного ряда строк?
$ \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ end {bmatrix} $
$ \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \ end {bmatrix} $
$ \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $
$ \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix } $
Exercise .Найти все решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана.
$ \ begin {cases} x_2 + 2x_4 + 3x_5 = 0 \\ 4x_4 + 8x_5 = 0 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} 3x + 4y = 0 \\ -2x + 7y = 0 \ конец {кейсы} $
Упражнение . Найти все решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана.
$ \ begin {cases} x_4 + 2x_5-x_6 = 2 \\ x_1 + 2x_2 + x_5-x_6 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 2x_3-x_5 + x_6 = 2 \ end {cases} $
$ \ begin {case} 3x_1 + 3x_2-4x_3 + x_4 = 2 \\ x_1 + x_2-x_3-x_4 = 5 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} 2 x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 6-x_4 \\ 3x_1 -2x_2-x_4 = 1 + 4x_3 \\ 3x_1 + 3x_3 + x_4 = 4-x_2 \\ x_2 + x_3-4x_4 = -3-4x_1 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 -x_4 = 4 \\ 5x_1 + 4x_2 + 3x_3-x_4 = 4 \\ -2x_1-2x_2-x_3 + 2x_4 = -3 \\ 11x_1 + 6x_2 + 4x_3 + x_4 = 11 \ end {case} $
$ \ begin {case} 2x_1-3x_2 + x_3 = 5 \\ x_1 + x_2-x_3 = 3 \\ 4x_1-x_2-x_3 = 1 \ end {cases} $
$ \ begin {cases} x_1-x_2 = 4 \\ 2x_1 + x_2 = 7 \\ 5x_1-2x_2 = 19 \ end {case} $
Упражнение .Найдите все матрицы размером $ 4 \ times 1 $ в приведенной форме эшелона строк.
Упражнение . Сколько существует типов матриц размером $ 3 \ times 2 $ в приведенной строчной форме? Сколько существует типов матриц размером $ 2 \ times 3 $ в приведенной строчной форме?
Упражнение . Опишите возможные формы сокращенного эшелона строк для матрицы с двумя строками и двумя столбцами. Опишите возможные формы сокращенного эшелона строк для матрицы с тремя строками и тремя столбцами.
Упражнение .Найдите многочлен степени 3, график которого проходит через точки
$ (0,1) $, $ (1,0) $, $ (- 1,0) $ и $ (2, -15). $ Нарисуйте эскиз график этой кубики.
Упражнение . Найдите многочлен степени 4, график которого проходит через точки $ (1,1) $, $ (2, -1) $, $ (3, -59) $ и $ (- 2, -29). $ Sketch график этой квартики.
Упражнение . Найдите значения $ k $, если они есть, для которых система имеет: только одно решение, никаких решений, бесконечное количество решений.2-2) x_3 = a \ end {cases} $$ будет иметь: бесконечно много решений, никаких решений, ровно одно решение.
Упражнение . Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы линейных уравнений $$ \ left \ {\ begin {array} {lll} a x_1 + b x_2 & & = r \ quad (a \ neq 0) \\ c x_1 + d x_2 & & = s \ quad (e \ neq 0) \\ & e x_3 + f x_4 & = t \\ & g x_3 + h x_4 & = u \\ \ end {array} \ right. $$ Условия состояния для $ a, b, c, d, e, f, g $ и $ h $, которые гарантируют уникальное решение.2 + a x + by + c = 0 $ окружности, проходящей через следующие точки.
$ (- 2,1) $, (5,0) $ и (4,1) $
$ (1,1) $, $ (5, -3) $ и $ (- 3, -3) $
Часть 6: Исключение по Гауссу. Исключение Гаусса — это алгоритм… | Авниш | Линейная алгебра
Метод исключения Гаусса — это алгоритм решения системы линейных уравнений. Он назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса.
Карл Фридрих Гаусс
Он аналогичен методу исключения, описанному ранее.
Для выполнения исключения Гаусса:
Создаем расширенную матрицу коэффициентов и констант данной системы линейных уравнений.
Выбираем наш pivot (который является первым элементом по диагонали). Затем мы пытаемся уменьшить все элементы под ним (до «0»), используя pivot.
Мы делаем это, выполняя два вида операций:
a) Умножение сводной строки (строки сводного элемента) на скалярную величину и вычитание или добавление ее строк под ней.
b) Перестановка строк (например, строка 2 заменяется строкой 3)
Затем мы выбираем следующую точку поворота (следующий элемент по диагонали) и уменьшаем элементы под ней.
3. Разбиваем расширенную матрицу обратно на строковое изображение и выполняем умножение с переменной матрицей. Получаем новые редуцированные уравнения.
Мы решаем эти уравнения, чтобы получить значения неизвестных (переменных).
Предположим, что нам нужно найти решение (я) следующей системы уравнений:
4x + y = 9 → (1)
2x-y = 3 → (2)
5x-3y = 7 → ( 3)
(пример «Одно уникальное решение» из Части 5)
Шаг 1 (Создание расширенной матрицы):
Для выполнения исключения Гаусса мы берем изображение строки (1), (2) и (3) .Это будет выглядеть следующим образом:
Затем мы создаем расширенную матрицу для матрицы коэффициентов и постоянной матрицы.
Единая матрица со значениями коэффициентов и констант, разделенных пунктирной линией
Шаг 2 (Исключение):
Шаг 2A:
Принимая элемент в верхнем левом углу (первый элемент по диагонали) в качестве стержня, мы стремимся исключить ( уменьшить до «0») все элементы под ним. Другими словами, мы должны преобразовать каждый элемент в столбце 1 в «0», кроме pivot.
Pivot элемент будет выделен красным цветом, а элементы, которые нужно исключить, — синим.
Итак, мы умножаем первую строку на скаляр 1/2 и вычитаем ее из второй строки.
Элемент в строке 2 и столбце 1 исключается.
Затем мы умножаем первую строку на скаляр 5/4 и вычитаем из третьей строки.
Элемент в строке 3 и столбце 1 исключен.
Теперь все элементы в первом столбце равны «0», кроме точки поворота.
Шаг 2B:
Теперь следующий элемент по диагонали (второй столбец второй строки) установлен как опорный, и мы стремимся удалить все элементы под ним.
Pivot выделен красным.
Итак, мы умножаем вторую строку на скаляр 17/6 и вычитаем ее из третьей строки.
Элемент в строке 3 и столбце 2 исключен.
Результат — верхняя треугольная матрица.
Текущее состояние расширенной матрицы называется эшелоном строк формы .
Шаг 3 (обратная подстановка):
Теперь мы конвертируем форму эшелона строки обратно в изображение строки.
У нас было аналогичное уравнение на этапе 1
При умножении мы получаем:
Мы составляем уравнения из этих
4x + y = 9 → (4)
-3y / 2 = -3/2 → (5)
Решая (5) относительно «y», получаем:
y = 1
Теперь подставляем y = 1 в (4):
4x + 1 = 9
4x = 8
x = 2
Итак, мы получаем x = 2 и y = 1, именно то, что мы получили, когда решали через изображение строки и изображение столбца в Части 5.
Теперь применим тот же алгоритм еще в двух случаях (бесконечно много решений и нет решения).
Бесконечно много решений
Возьмем тот же пример, что и в части 5. А именно:
x + 2y = 4 → (6)
2x + 4y = 8 → (7)
Шаг 1 (Создание дополненного матрица):
Строковое изображение (6) и (7) Расширенная матрица строкового изображения выше
Шаг 2 (Исключение):
Первый элемент диагональный («1») в качестве опорного.
Pivot выделен красным, и мы должны удалить все элементы под ним (синим). Чтобы исключить «2», мы дважды вычитаем строку 1 из строки 2 Теперь последняя строка полностью заполнена 0
Мы больше не делаем поворота так как исключать нечего.
Шаг 3 (обратная подстановка):
Мы конвертируем форму эшелона строки обратно в изображение строки:
После этого мы умножаем ее и получаем новые уравнения
x + 2y = 4 → (8)
Уравнение (6) и уравнения (8) такие же, и у нас есть только одно уравнение после исключения, но два неизвестных («x» и «y»).
Существует множество значений, которыми можно заменить x и y, чтобы удовлетворить (8).
Нравится, x = 0 и y = 2. Подставляя в уравнение (8), получаем:
0 + 2 (2) = 4
4 = 4
Или x = 1 и y = 1.5. Подставляя в уравнение (8), получаем:
1 + 2 (1.5) = 4
1 + 3 = 4
4 = 4
Таким образом, система уравнений (6) и (7) имеет бесконечно много решений.
Нет решения
Рассмотрим систему линейных уравнений следующим образом:
x + y = 4 → (9)
x + y = 8 → (10)
xy = 0 → (11)
Применение гауссиана Устранение.
Шаг 1 (Создание расширенной матрицы):
Строковое изображение (9), (10) и (11) Расширенная матрица коэффициентов и констант
Шаг 2 (Исключение):
Принятие первого диагонального элемента в качестве оси
Мы выполняем следующие две операции:
и матрица, которую мы получаем:
У нас все еще нет формы эшелона строк (верхняя треугольная матрица).
Итак, мы выполняем обмен строк (который также является вариантом на этапе исключения из метода исключения по Гауссу):
Замена строки 3 на строку 2 Форма эшелона строк
Шаг 3 (обратная подстановка):
Форма эшелона строк преобразована обратно в изображение строки
Уравнения, которые мы получаем после умножения матриц выше:
x + y = 4 → (12)
-2y = -4 → (13)
Решая уравнение (13) относительно «y», получаем:
y = 2
Подставляя y = 2 в уравнение (12), мы получаем:
x + 2 = 4
x = 2
Чтобы подтвердить, что x = 2 и y = 2 является решением, мы подставляем их в систему уравнений i.е. (9), (10) и (11).
Подставляя в (9), получаем:
2 + 2 = 4
4 = 4
x = 2 и y = 2, удовлетворяет (9).
Подставляя в (10), получаем:
2 + 2 = 8
4 ≠ 8, это не удовлетворяет (10).
Следовательно, x = 2 и y = 2 не является решением (9), (10) и (11), и не существует решения этой системы линейных уравнений, как мы видели в прошлой статье.
Одно решение
Когда количество неизвестных (переменных) равно количеству уравнения в системе линейных уравнений.
На примере (1), (2) и (3):
4x + y = 9 → (1)
2x-y = 3 → (2)
5x-3y = 7 → (3)
Есть 2 неизвестных («x» и «y») и 3 уравнения ((1), (2) и (3)).
Двух уравнений было бы достаточно для двух неизвестных.
Бесконечно много решений
Когда количество неизвестных превышает количество уравнений.
В примере (6) и (7):
x + 2y = 4 → (6)
2x + 4y = 8 → (7)
Есть 2 неизвестных («x» и «y») и 2 уравнения ((6) и (7)).

Онлайн решение системы неравенств с двумя переменными – Решение системы неравенств · Калькулятор Онлайн

alexxlab / 06.02.197011.08.2019 / Разное

Системы неравенств с двумя переменными

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающие данное неравенство в верное числовое неравенство.

Определение:

Решением системы неравенств называются пара значений переменных, обращающая каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

Проверим, являются ли решениями системы пары чисел. Система состоит из двух неравенств, подставим значения в систему:

Получаем, что пара чисел системы а) и г) являются решениями, а пара чисел системы б) и в) — не являются решениями.

Понятно, что если каждое неравенство может иметь множество решений, то и общих решений может найтись большое количество.

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Найдём множество решений первого неравенства:

Изобразим график:

Решением будет множество точек расположенных ниже прямой.

Найдём множество решений второго неравенства:

Изобразим график уравнения:

Решением будет множество точек расположенных ниже прямой.

Изобразим множества решений неравенств в одной координатной плоскости:

Видим их общие решения, которые являются решением системы неравенств.

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Изобразим множество решений первого неравенства:

Изобразим график уравнения:

Решением неравенства будет множество точек находящихся ниже прямой.

Перейдём ко второму неравенству системы:

Изобразим график:

Решением неравенства будет множество внутренних точек круга.

Пересечение полученных множеств и является решением данной системы неравенств.

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Решением первого неравенства будет множество внутренних точек круга:

Решением второго неравенства будет множество, состоящее из точек, находящихся вне круга.

Пересечение полученных множеств и является решением данной системы:

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Изобразим множество решений ещё одной системы неравенств.

Решением первого неравенства будет множество точек находящихся между ветвями гиперболы. Решением второго неравенства будет множество внутренних точек круга.

Фигура, полученная в результате пересечения двух решений, представляет собой множество решений данной системы.

videouroki.net

33. Неравенства с двумя переменными и их системы

Неравенством с двумя переменными х и у Называется неравенство вида
(или знак ),
Где – некоторое выражение с данными переменными.
Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.
Основным методом решений данных неравенств является Графический. Он заключается в том, что строят линии границ (если неравенство строгое, линии строят пунктиром). Уравнение границы получают, если в заданном неравенстве заменяют знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области.
Системы, содержащие неравенства с двумя переменными, вида
Называются Системами неравенств с двумя переменными. Решением данных систем является пересечение решений всех неравенств, входящих в систему.
Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид
Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.
Пример 1. Решить систему
Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис. 4.24):
Рис. 4.24
Уравнение задает окружность с центром в точке О¢(0; 1) и R = 2.
Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0).
Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.
Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис. 4.24 показано наложением двух штриховок).

< Предыдущая Следующая >
matica.org.ua
19.2. Решение систем mлинейных неравенств с двумя переменными
Дана система т линейных неравенств с двумя переменными

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.
Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х₁ОХ₂. Построим прямую
которая является граничной прямой.
Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).

Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплоскость 2 не содержит начала координат.
Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произвольную точку на плоскости (лучше начало координат) и подставить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.
Направление полуплоскости на рисунках показываем стрелкой.
Определение 15. Решением каждого неравенства системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.
Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы (ОР).
Определение 17. Область решения системы, удовлетворяющая условиям неотрицательности (x_j ≥ 0, j = ), называется областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).
Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной областью или одной точкой.
Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пустое множество.
Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и определить координаты угловых точек ОДР

Решение. Найдем ОР первого неравенства: х₁ + 3x₂ ≥ 3. Построим граничную прямую х₁ +3x₂ – 3 = 0 (рис. 19.5). Подставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решением неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).
Аналогично найдем решения остальных неравенств системы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.

Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых
Решая систему, получим А(3/7, 6/7).
Точку В найдем как точку пересечения прямых
Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем координаты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Построим прямые и определим решения неравенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).
Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств
Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.

Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств

Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).
Упражнения
Найти ОР и ОДР систем неравенств

Глава 20. Графический метод
20.1. Постановка задачи
Наиболее простым и наглядным методом линейного программирования является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными, заданными в неканонической форме, и многими переменными в канонической форме при условии, что они содержат не более двух свободных переменных.
С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования ищется такая угловая точка или набор точек из допустимого множества решений, на котором достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше (ближе) остальных в направлении наискорейшего роста.
Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении задач ЛП используют вектор L() на плоскости Х₁ОХ₂, который обозначим . Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции, он равен
где е₁ и е₂ — единичные векторы по осям OX₁ и ОX₂ соответственно; таким образом, = (∂L/∂х₁, ∂L/∂х₂). Координатами вектора являются коэффициенты целевой функции L().
studfiles.net
19.2. Решение систем M линейных неравенств с двумя переменными

Дана система Т линейных неравенств с двумя переменными
Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.
Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2. Построим прямую
Которая является Граничной прямой.
Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).
Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплоскость 2 не содержит начала координат.
Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произвольную точку на плоскости (лучше начало координат) и подставить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.
Направление полуплоскости на рисунках показываем стрелкой.
Определение 15. Решением каждого неравенства системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.
Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется Областью решения системы (ОР).
Определение 17. Область решения системы, удовлетворяющая условиям неотрицательности (Xj ≥ 0, J = ), называется Областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).
Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной областью или одной точкой.
Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пустое множество.
Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и определить координаты угловых точек ОДР
Решение. Найдем ОР первого неравенства: Х1 + 3X2 ≥ 3. Построим граничную прямую Х1 +3X2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Подставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решением неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).
Аналогично найдем решения остальных неравенств системы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.
Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых
Решая систему, получим А(3/7, 6/7).
Точку В найдем как точку пересечения прямых
Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем координаты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств
Решение. Построим прямые и определим решения неравенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).
Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств
Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.
Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств
Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).

< Предыдущая Следующая >
matica.org.ua

Решение уравнений с иксами: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

alexxlab / 06.02.197015.07.2021 / Разное

Решить уравнение с х онлайн калькулятор

Для обозначения неизвестного числа используются буквенные обозначения. Именно значение этих букв и приходится искать с помощью решений уравнения.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение Эйлера онлайн»

Работая над решением уравнения, мы стараемся на первых этапах привести его к более простому виду, позволяющему получить результат с помощью простых математических манипуляций. Для этого мы выполняем перенос слагаемых с левой стороны на правую, изменяем знаки, умножаем/делим части предложения на какое-то число, раскрываем скобки. Но выполняем все эти действия мы только с одной целью — получения простого уравнения.

Уравнения \[rx+c=0\] — является уравнением с одной неизвестной линейного вида, в котором r и c — обозначение для числовых значений. Чтобы решить уравнение данного вида необходимо произвести перенос его членов:

\[x=-b\div a. \]

Например, нам необходимо решить такое уравнение:

\[3-2х=5-3х\]

Начинаем решение данного уравнения с переноса его членов: с \[х\] — в левую часть, остальные — в правую. При переносе помним о том, что меняется \[+\] на \[-.\] Получим:

\[-2х+3х=5-3\]

Выполнив простые арифметические действия, получим следующий результат:

\[x=2\]

Где можно решить уравнение с х онлайн?

Решить уравнение с иксом онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Решение уравнений с дробями — как решать дробные уравнения

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математике, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — ½ или a/b,

десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 — 0,3)/5.

Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x — y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.

Основные свойства дробей


Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.

Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь


Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.

Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:


если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;

если а равно нулю — у уравнения нет корней;

если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.


Квадратное уравнение выглядит так: ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

Универсальный алгоритм решения


Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.


А теперь еще несколько способов, которые пригодятся ребенку на уроках математики.
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
Как решаем:
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;

умножить на это число каждый член уравнения.
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении


если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;

делить и умножать уравнение на 0 нельзя.


А вот и полезные видео для закрепления материала:
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.
Как решаем:

Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.

Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.

Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
1 + 2x = 5х


Решим обычное уравнение.
5x — 2х = 1

3x = 1

х = 1/3

Ответ: х = 1/3.
Пример 2. Найти корень уравнения
Как решаем:

Область допустимых значений: х ≠ −2.

Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)

Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.


Переведем новый множитель в числитель..


Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
4 = х + 2

х = 4 — 2 = 2

Ответ: х = 2.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
Как решаем:

Найти общий знаменатель:
3(x-3)(x+3)


Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:
3(x+3)(x+3)+3(x-3)(x-3)=10(x-3)(x+3)+3*36


Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:
x²-9=0


Решим полученное квадратное уравнение:
x²=9


Получили два возможных корня:
x₁=−3, x₂=3

х = 4 — 2 = 2


Если x = −3, то знаменатель равен нулю:
3(x-3)(x+3)=0

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.


Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
Ответ: нет решения.
Если нужно решить уравнение с дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор дробей. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:
Электронный справочник по математике для школьников тригонометрия решение простейших тригонометрических уравнений
Содержание
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
sin x = a ,     cos x = a ,
tg x = a ,     ctgx = a .
где a – произвольное число.
Решение уравнения sin
x = a
Обычная форма записи решения
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a В случае, когда , уравнение решений не имеет
Обычная форма записи решения:
Более удобная форма записи решения:
Ограничения на число a:
В случае, когда , уравнение решений не имеет.
Графическое обоснование решения уравнения sin x = a   представлено на рисунке 1
Рис. 1
Частные случаи решения уравнений sin x = a
Уравнение:
sin x = – 1
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
sin x = 0
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
sin x = 1
Решение:
Решение уравнения cos
x = a
Обычная форма записи решения
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a В случае, когда , уравнение решений не имеет
Обычная форма записи решения:
Более удобная форма записи решения:
Ограничения на число a
В случае, когда , уравнение решений не имеет.
Графическое обоснование решения уравнения cos x = a   представлено на рисунке 2
Рис. 2
Частные случаи решения уравнений cos x = a
Уравнение:
cos x = – 1
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
cos x = 0
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
cos x = 1
Решение:
Решение уравнения tg
x = a
Обычная форма записи решения:
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a Ограничений нет
Обычная форма записи решения:
Более удобная форма записи решения:
Ограничения на число a:
Ограничений нет.
Графическое обоснование решения уравнения tg x = a представлено на рисунке 3.
Рис. 3
Частные случаи решения уравнений tg x = a
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
tg x = – 1
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
tg x = 0
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
tg x = 1
Решение:
Уравнение:
Решение:
Решение уравнения ctg
x = a
Обычная форма записи решения
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a Ограничений нет
Обычная форма записи решения:
Более удобная форма записи решения:
Ограничения на число a:
Ограничений нет.
Графическое обоснование решения уравнения ctg x = a   представлено на рисунке 4.
Рис. 4
Частные случаи решения уравнений ctg x = a
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
ctg x = – 1
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнение:
ctg x = 0
Решение:
Решение:
Уравнение:
ctg x = 1
Решение:
Уравнение:
Решение:
Уравнения и задачи на подбор параметра в Excel
Часто нам нужно предварительно спрогнозировать, какие будут результаты вычислений при определенных входящих параметрах. Например, если получить кредит на закупку товара в банке с более низкой процентной ставкой, а цену товара немного повысить – существенно ли возрастет прибыль при таких условиях?
При разных поставленных подобных задачах, результаты вычислений могут завесить от одного или нескольких изменяемых условий. В зависимости от типа прогноза в Excel следует использовать соответствующий инструмент для анализа данных.
Подбор параметра и решение уравнений в Excel
Данный инструмент следует применять для анализа данных с одним неизвестным (или изменяемым) условием. Например:
2x+1=7
y=7 является функцией x;
нам известно значение y, следует узнать при каком значении x мы получим y вычисляемый формулой.
Решим данную задачу встроенными вычислительными инструментами Excel для анализа данных:
Заполните ячейки листа, так как показано на рисунке:
Перейдите в ячейку B2 и выберите инструмент, где находится подбор параметра в Excel: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра».
В появившемся окне заполните поля значениями как показано на рисунке, и нажмите ОК:
В результате мы получили правильное значение 3.
Получили максимально точный результат: 2*3+1=7

Второй пример использования подбора параметра для уравнений
Немного усложним задачу. На этот раз формула выглядит следующим образом:
x²=4
Решение:
Заполните ячейку B2 формулой как показано на рисунке:
Выберите встроенный инструмент: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра» и снова заполните его параметрами как на рисунке (в этот раз значение 4):
Сравните 2 результата вычисления:
Обратите внимание! В первом примере мы получили максимально точный результат, а во втором – максимально приближенный.
Это простые примеры быстрого поиска решений формул с помощью Excel. Сегодня каждый школьник знает, как найти значение x. Например:
x=(7-1)/2
Excel в своих алгоритмах инструментов анализа данных использует более простой метод – подстановки. Он подставляет вместо x разные значения и анализирует, насколько результат вычислений отклоняется от условий указанных в параметрах инструмента. Как только будет, достигнут результат вычисления с максимальной точностью, процесс подстановки прекращается.
По умолчанию инструмент выполняет 100 повторений (итераций) с точностью 0.001. Если нужно увеличить количество повторений или повысить точность вычисления измените настройки: «Файл»-«Параметры»-«Формулы»-«Параметры вычислений»:
Таким образом, если нас не устраивает результат вычислений, можно:
Увеличить в настройках параметр предельного числа итераций.
Изменить относительную погрешность.
В ячейке переменной (как во втором примере, A3) ввести приблизительное значение для быстрого поиска решения. Если же ячейка будет пуста, то Excel начнет с любого числа (рандомно).
Используя эти способы настроек можно существенно облегчить и ускорить процесс поиска максимально точного решения.
О подборе нескольких параметров в Excel узнаем из примеров следующего урока.
Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.
Определение 1
Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Пример 1
Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:
4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
Первого:
2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i
Второго:
2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x=12±i и x=-12±i.
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Определение 2
Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0
х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0
Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:
Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Пример 2
Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:
2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0
Проведем группировку:
2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0
Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2
2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0
Решим полученное квадратное уравнение:
D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3
Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.
Решим первое уравнение:
x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144
Решим второе уравнение:
x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12
Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.
Пример 3
Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.
Решение
Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3
Следовательно, x2=12 или x2=-3.
Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.
Ответ: x=±12 и x=±i·3.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание Пример 4
Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.
Решение
Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9
Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.
Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Пример 5
Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.
Решение
Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0
Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.
Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0
x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0
x2+2x+3=0 или x2+x-2=0
Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.
Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения
Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением является уравнение .
Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:
найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,

заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,

решить получившееся целое уравнение,

исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:
.
Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.
Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение
.
Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение
.
При решении квадратного уравнения получаем его корни:
.
Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.
Пример 2. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель —
.
Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:
Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению
.
Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:
.
Если x = -3, то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:
,
то же самое, если x = 3.
Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:
.
Общий знаменатель — выражение
Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:
Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению
.
Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:
.
Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 — корни данного уравнения.
Пример 4. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Введём новую переменную, обозначив . Получим уравнение с переменной y:
.
Корни этого уравнения:
Значит
или .
Из уравнения находим, что
.
Из уравнения находим, что
.
Итак, данное уравнение имеет четыре корня:
, .
Другие темы в блоке «Школьная математика»
Общие сведения об уравнениях
Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.
С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.
В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.
Предварительные навыки
Что такое уравнение?
Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.
Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5.
А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x, значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.
Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.
Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет
Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5
Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.
Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.
Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.
Выразить одно через другое
Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.
Рассмотрим следующее выражение:
8 + 2
Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10
8 + 2 = 10
Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.
Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.
Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:
2 = 10 − 8
Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10. Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.
При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.
Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8. Данное равенство можно прочесть так:
2 есть 10 − 8
То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:
Число 2 есть разность числа 10 и числа 8
или
Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.
Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.
Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:
8 + 2 = 10
Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2
8 = 10 − 2
Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:
8 + 2 = 10
В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:
10 = 8 + 2
Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6
Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:
8 = 6 + 2
Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:
8 − 2 = 6
Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6
2 = 8 − 6
Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6
Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2
Вернем получившееся равенство в первоначальное состояние:
3 × 2 = 6
Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3
Пример 4. Рассмотрим равенство
Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5
15 = 3 × 5
Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:
Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3
Правила нахождения неизвестных
Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.
Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.
В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.
Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:
2 = 10 − 8
То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.
Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x
8 + x = 10
В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10, а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого
Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10. Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10. Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8
2 = 10 − 8
А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x, мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:
x = 10 − 8
Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x
x = 2
Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2. Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:
В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.
x + 2 = 10
В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2
x = 10 − 2
x = 8
Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.
В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность
Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:
8 = 6 + 2
То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.
Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x
x − 2 = 6
В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого
Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.
А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2
x = 6 + 2
Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x
x = 8
Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x
8 − x = 6
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого
Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.
А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6
x = 8 − 6
Вычисляем правую часть и находим значение x
x = 2
Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.
В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение
Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:
То есть разделили произведение 6 на множитель 2.
Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x
x × 2 = 6
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.
Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.
Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6. Произведение 6 мы разделили на множитель 2.
А сейчас для нахождения неизвестного множимого x, нужно произведение 6 разделить на множитель 2.
Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x
x = 3
Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x.
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.
Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6. Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.
А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.
Вычисление правой части равенства  позволяет узнать чему равно x
x = 2
Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:
Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.
Например, решим уравнение 9 × x = 18. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9
Отсюда .
Решим уравнение x × 3 = 27. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3
Отсюда .
Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве  требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.
Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:
15 = 3 × 5
То есть умножили частное 3 на делитель 5.
Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.
Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.
А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x, нужно частное 3 умножить на делитель 5
x = 3 × 5
Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.
x = 15
Теперь представим, что в равенстве  вместо числа 5 располагается переменная x.
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.
Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.
А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x, нужно делимое 15 разделить на частное 3
Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.
x = 5
Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Компоненты
Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство
Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма
Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность
Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение
Компонентами деления являются делимое, делитель и частное
В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.
Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60
45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
x = 60 − 45
Вычислим правую часть, получим значение x равное 15
x = 15
Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.
Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.
Пример 2. Решить уравнение
Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x
В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.
При этом слагаемое 2x содержит переменную x. После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:
Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:
Вычислим правую часть получившегося уравнения:
Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение
При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем
Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:
Вычислим правую часть, получим значение переменной x
Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56
Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.
Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:
Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:
Отсюда x равен 2
Равносильные уравнения
В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56, мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56. Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.
Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.
Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2. Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56, а затем в уравнение 28x = 56, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства
Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:
Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56
Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.
Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56, которое проще решать.
Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.
Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
и аналогично:
Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.
Пример 1. Решить уравнение
Вычтем из обеих частей уравнения число 10
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Получили уравнение 5x = 10. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.
Отсюда .
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 2
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2
Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16
Раскроем скобки в левой части равенства:
Вычтем из обеих частей уравнения число 12
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В левой части останется 4x, а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12. В результате получили равносильное уравнение 4x = 4. Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1
Пример 3. Решить уравнение
Раскроем скобки в левой части равенства:
Прибавим к обеим частям уравнения число 8
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В левой части останется 2x, а в правой части число 9
В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Отсюда
Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 4,5
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5
Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.
Рассмотрим следующее уравнение:
Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство
Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .
Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.
Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:
Получилось уравнение 12 = 9x − 3x. Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:
Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда x = 2. Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.
На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.
Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x
Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.
Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.
Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12. В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса
Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.
Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.
Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.
Пример 1. Решить уравнение
При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.
В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:
Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8
Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:
В результате останется простейшее уравнение
Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4
Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо x найденное значение 4
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 4. Значит эти уравнения равносильны.
Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:
От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения  на множитель 8 желательно переписать следующим образом:
Пример 2. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 15
В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки в правой части уравнения:
Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим
Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15. Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x. Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5. Значит эти уравнения равносильны.
Пример 3. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 3
В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18
Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 4. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 6
В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:
Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Теперь найдем значение переменной x. Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7
Отсюда x = 4.
Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 4
Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 5. Решить уравнение
Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:
Умнóжим обе части уравнения на 15
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки там, где это можно:
Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
Найдём значение x
В получившемся ответе можно выделить целую часть:
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение
Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A, а правую часть равенства в переменную B
Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B
Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.
Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B. То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно
Видим, что значение переменной B, как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.
Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.
Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42. Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x
Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:
Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:
Выполним сокращение в каждом слагаемом:
Перепишем то, что у нас осталось:
Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:
Получили корень 2. Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.
Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14, нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7
Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.
Умножение на минус единицу
Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.
Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1.
Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.
Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?
Прибавим к обеим частям уравнения число 5
Приведем подобные слагаемые:
А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x
То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение  на самом деле выглядит следующим образом:
Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х, нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1.
или разделить обе части уравнения на −1, что еще проще
Итак, корень уравнения равен 5. Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице
Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.
Теперь попробуем умножить обе части уравнения  на минус единицу:
После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10
Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 5
Значит уравнения  и  равносильны.
Пример 2. Решить уравнение
В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1.
Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.
Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:
либо можно просто поменять знаки всех компонентов:
Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.
Итак, умножив обе части уравнения на −1, мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3
Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.
Пример 3. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:
Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:
Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:
Приравнивание к нулю
Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.
В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x
Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:
Приведем подобные слагаемые в левой части:
Прибавим к обеим частям 77, и разделим обе части на 7
Альтернатива правилам нахождения неизвестных
Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.
К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении  мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2
Но если в уравнении  обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5
Уравнения вида  мы решали выражая неизвестное слагаемое:
Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:
Далее разделить обе части на 2
В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .
Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:
В случае с уравнениями вида  удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:
Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.
Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.
Когда корней несколько
Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9.
В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9), которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).
То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.
x = 0 или x + 9 = 0
Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0. Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0. Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9. Проверка показывает, что корень верный:
−9 + 9 = 0
Пример 2. Решить уравнение
Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2). А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2)).
Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:
Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:
Когда корней бесконечно много
Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.
Пример 1. Решить уравнение
Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14. Это равенство будет получаться при любом x
Пример 2. Решить уравнение
Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x
Когда корней нет
Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x, левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид
Пусть
Пример 2. Решить уравнение
Раскроем скобки в левой части равенства:
Приведем подобные слагаемые:
Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y. Например, пусть y = 3.
Буквенные уравнения
Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.
Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:
Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.
Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения  определить расстояние, нужно выразить переменную s.
Умнóжим обе части уравнения на t
В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:
В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:
У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.
Попробуем из уравнения  определить время. Для этого нужно выразить переменную t.
Умнóжим обе части уравнения на t
В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:
В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v
В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:
У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.
Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч
v = 50 км/ч
А расстояние равно 100 км
s = 100 км
Тогда буквенное уравнение примет следующий вид
Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t. Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t
либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t
Затем разделить обе части на 50
Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Вычтем из обеих частей уравнения a
Разделим обе части уравнения на b
Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c, то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.
Решим уравнение 2 + 4x = 10. Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c. Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:
Видим, что второе решение намного проще и короче.
Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0), поскольку деление на ноль на допускается.
Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Раскроем скобки в обеих частях уравнения
Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x, сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.
В левой части вынесем за скобки множитель x
Разделим обе части на выражение a − b
В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b. Так окончательно выразится переменная x
Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d), то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.
Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4). Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d). Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:
Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d. Это позволит нам не ошибиться при подстановке:
Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0). Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.
Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d). В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:
Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Умнóжим обе части на a
В левой части x вынесем за скобки
Разделим обе части на выражение (1 − a)
Линейные уравнения с одним неизвестным
Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.
Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».
Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2(x + 3) = 16. Давайте решим его.
Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x, разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.
Уравнение 2(x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10, для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».
Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.
Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x. Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.
Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0. При любом значении x левая часть будет равна правой части.
Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5. Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.
Если в линейном уравнении a ≠ 0, и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a
Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3, и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6, то уравнение  примет вид .
Отсюда .
Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0. Это то же самое уравнение, что и ax = b, но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0. Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.
В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Используя метод переноса слагаемого, решите следующее уравнение:
Задание 2. Используя метод прибавления (или вычитания) числа к обеим частям, решите следующее уравнение:
Задание 3. Решите уравнение:
Задание 4. Решите уравнение:
Задание 5. Решите уравнение:
Задание 6. Решите уравнение:
Задание 7. Решите уравнение:
Задание 8. Решите уравнение:
Задание 9. Решите уравнение:
Задание 10. Решите уравнение:
Задание 11. Решите уравнение:
Задание 12. Решите уравнение:
Задание 13. Решите уравнение:
Задание 14. Решите уравнение:
Задание 15. Решите уравнение:
Задание 16. Решите уравнение:
Задание 17. Решите уравнение:
Задание 18. Решите уравнение:
Задание 19. Решите уравнение:
Задание 20. Решите уравнение:
Задание 21. Решите уравнение:
Задание 22. Решите уравнение:
Задание 23. Решите уравнение:
Задание 24. Решите уравнение:
Задание 25. Решите уравнение:
Задание 26. Решите уравнение:
Задание 27. Решите уравнение:
Задание 28. Решите уравнение:
Задание 29. Решите уравнение:
Задание 30. Решите уравнение:
Задание 31. Решите уравнение:
Задание 32. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 33. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 34. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 35. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 36. В следующем буквенном уравнении выразите переменную y:
Задание 37. В следующем буквенном уравнении выразите переменную z:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям

Решение линейных уравнений: с пареном; «All x», «No x» Soln’s
Purplemath
В этом уроке мы сначала попрактикуемся в решении линейных уравнений, содержащих скобки. Их решение потребует умножения и упрощения, прежде чем приступить к фактическому процессу решения. Если вам не нравятся скобки, сначала займитесь изучением. Тогда вернись сюда.
Затем мы рассмотрим два странных типа решений: «нет решения» и решение «все x ». В первом случае процесс решения заканчивается бессмыслицей, а во втором — тривиально верным утверждением. Поскольку учащиеся не часто сталкиваются с такими решениями, их легко забыть, а значит, и запутать. Но я бы поставил хорошие деньги на то, что в следующем тесте будет хотя бы одно из этих уравнений, а в финале, вероятно, будет еще одно.Так что изучите и сделайте заметку, чтобы просмотреть уравнения «без решения» и «все уравнения — x » перед следующим экзаменом.
MathHelp.com
После того, как вы изучите основы решения линейных уравнений, ваш учебник и инструктор начнут предлагать вам упражнения, которые включают в себя скобки, которые обычно необходимо сначала упростить (или «расширить», что означает, что вы умножили, а затем упростил результат).
Во-первых, мне нужно умножить скобки в правой части. Затем я могу продолжить как обычно:
Тогда мое решение:
Решить 6
x — (3 x + 8) = 16
Сначала я упрощу левую часть; тогда решу обычным способом.Я хочу быть осторожным, когда пишу негатив в скобках. Если у меня возникают проблемы с отслеживанием знаков «минус», я ставлю «1» перед круглыми скобками.
Тогда мое решение:
Решите 7 (5
x — 2) = 6 (6 x — 1)
Это уравнение заключено в скобки с обеих сторон уравнения.Я должен обязательно взять 7 и 6 до их соответствующих скобок.
После того, как я упростил любую сторону, я переместил меньший из двух членов переменной («35 x » с левой стороны), чтобы убедиться, что у полученного в результате члена переменной не было знака «минус». Это не «правило», но, безусловно, облегчает мою жизнь. И мой окончательный ответ:
Для уравнений с скобками, не торопитесь и выпишите всех ваших шагов, как я сделал выше.Не пытайтесь делать все в своей голове.
Во-первых, мне нужно умножить в левой части, взяв 3 через —
Подождите … В этом уравнении я действительно могу избавиться от 3, разделив его на части, потому что 6 в правой части делится на 3. На самом деле мне не нужно распределять для этого конкретного уравнения. Вместо:
3 (х — 2) = 6
——— —
3 3
х — 2 = 2
+2 +2
———-
х = 4
Тогда мое решение:
Если бы я не заметил, что могу начать с разделения, я бы все равно получил правильный ответ.Но если есть возможность разделить, предоставив себе меньшие числа для работы, я бы хотел этим воспользоваться. Это упрощение случается нечасто, но постарайтесь не закрывать глаза на то, что несколько раз оно появляется.
Решить 13 — (2
x + 2) = 2 ( x + 2) + 3 x
Я начну с умножения на каждую скобку (знак «минус» слева и 2 справа).Затем я объединю похожие термины, упрощу и решу:
Тогда мой ответ:
Не забывайте: никогда нет причин быть неуверенным в своем решении линейного уравнения, потому что вы всегда можете проверить свой ответ. Значение решения состоит в том, что именно значение x делает уравнение истинным. Итак, чтобы проверить свой ответ, вы вставляете значение решения обратно в исходное уравнение и убедитесь, что уравнение «работает» с этим значением.Например, в последнем упражнении выше мое решение было x = 1. Чтобы проверить свое решение, я подставлю свое значение в левую (LHS) и правую (RHS) части исходного уравнения. , и убедитесь, что обе стороны оценивают одно и то же число.
13 — (2 x + 2) = 2 ( x + 2) + 3 x
слева: 13 — (2 [1] + 2)
= 13 — (2 + 2) = 13-4 = 9
ПРА: 2 ([1] + 2) + 3 [1]
Две стороны уравнения оценивают одно и то же значение, поэтому решение «проверяет», и теперь я знаю , что мой ответ правильный
Кстати, если есть возможность, попробуйте проверить свои ответы при сдаче тестов.После того, как вы ответили на все вопросы (при условии, что у вас осталось немного времени), вернитесь и вставьте свои решения обратно в исходный вопрос. Если ваше решение вопроса «проверяет», значит, вы знаете, что ответили правильно. Если он не проверит, то у вас есть шанс исправить свою ошибку до того, как вы сдадите свой тест.
Вам также может потребоваться решить линейные уравнения с вложенными скобками .
Решите 2 [3
x + 4 (3 — x )] = 3 (5 — 4 x ) — 11
Прежде чем я смогу решить, мне нужно упростить.Сначала я упрощу левую часть:
2 [3 x + 4 (3 — x )]
2 [3 x + 4 (3) + 4 (- x )]
2 [3 x + 12–4 x ]
2 [12 — x ]
24-2 х
Тогда я упрощу правую часть:
3 (5 — 4 x ) — 11
3 (5) + 3 (–4 x ) — 11
15 — 12 x — 11
4–12 x
Теперь, когда я упростил обе стороны уравнения, я могу перейти к решению.
24 — 2x = 4 — 12x
+ 12x + 12x
——————-
24 + 10x = 4
-24-24
—————
10x = -20
— —
10 10
х = -2
Итак, мой окончательный ответ:
Решение 3 [
x — 2 (3 x — 4)] + 15 = 5 — [2 x — (3 + x )] — 11
Моим первым шагом будет упростить каждую часть этого уравнения, работая изнутри.Начну с левой стороны:
3 [ x — 2 (3 x — 4)] + 15
3 [ x — 6 x + 8] + 15
3 [–5 x + 8] + 15
–15 x + 24 + 15
–15 x + 39
Тогда я упрощу правую часть:
5 — [2 x — (3 + x )] — 11
5 — [2 x — 3 — x ] — 11
5 — [ x — 3] — 11
5 — х + 3 — 11
— х — 3
После упрощения каждой стороны я могу приступить к решению.Мое упрощенное уравнение:
Я перемещаю меньший член переменной (равный –15 x слева), а затем перемещаю числа, чтобы закончить решение.
-15x + 39 = -x — 3
+ 15x + 15x
——————-
39 = 14x — 3
+3 +3
————
42 = 14x
— —
14 14
3 = х
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейных уравнений с вложенными круглыми скобками.Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить для x», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея. (Или пропустите виджет и перейдите к следующей странице.)
(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)
URL: https: //www.purplemath.com / modules / solvelin4.htm

Промежуточная алгебра
Урок 7: Линейные уравнения в одной переменной
WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня
Цели обучения
После изучения этого руководства вы сможете:
Знайте, что такое линейное уравнение.
Знайте, является ли значение решением или нет.
Используйте свойства сложения, вычитания, умножения и деления равенств для решения линейных уравнений.
Знайте, когда уравнение не имеет решения.
Знайте, когда уравнение имеет все действительные числа в качестве решения.
Введение

Здесь мы начинаем вникать в суть того, что алгебра о — решение уравнений.В этом уроке мы будем искать конкретно при линейных уравнениях и их решениях. Мы начнем медленно а также решать уравнения, использующие только одно свойство, чтобы убедиться, что у вас есть физическое лицо понятий вниз. Затем мы наберем темп и смешаем их там, где вам нужно использовать несколько свойств и шагов, чтобы выполнить работу.
Уравнения могут быть использованы для решения различных проблемы. Позже учебные пособия, мы будем использовать их для решения текстовых задач.потом ты может ответить на эти сложные математические вопросы.
Учебник

Уравнение
Два выражения равны друг другу

Линейное уравнение
Уравнение, которое можно записать в виде
ax + b = c
, где a, b и c — константы

Ниже приведен пример линейного уравнения: 3 x — 4 = 5

Решение
Значение, такое, что при замене переменной на it,
это делает уравнение верно.
(левая сторона выходит равной правой)

Набор растворов
Комплект всех решений

Пример 1 : Определите, соответствует ли какое-либо из следующих значений x решения к данному уравнению.
3 х — 4 знак равно 5; x = 3, 5.

Проверка 3
3 x — 4 = 5
3 (3) — 4 = 5
9–4 = 5
5 = 5
Истинно 3 это решение
Проверка 5
3 x — 4 = 5
3 (5) — 4 = 5
15 — 4 = 5
11 = 5
Ложь 5 не решение

Решение линейного уравнения
в целом
Получите переменную, которую вы решаете, в одиночку с одной стороны и все else на другой стороне, используя ОБРАТНЫЕ операции.

Ниже приведены инструменты, необходимые для решать линейные уравнения.

Сложение и вычитание Свойства равенства
Если a = b, то a + c = b + c
Если a = b, то a — c = b — c

Другими словами, если два выражения равны каждому другой и ты прибавлять или вычитать одно и то же к обеим сторонам, обе стороны будут оставаться равными.
Обратите внимание, что сложение и вычитание являются обратными операции каждого Другие. Например, если у вас есть добавляемый номер, вам нужно перейти к другой стороне уравнения, тогда вы бы вычесть это с обеих сторон этого уравнения.

Пример 2 : Найдите переменную. x — 5 = 2.

x — 5 = 2
x — 5 + 5 = 2 + 5
x = 7
* Обратное от sub. 5 — доп. 5

Обратите внимание, что если вы вернете 7 для x дюймов исходной проблемы вы увидите, что 7 — это решение нашей проблема.

Пример 3 : Найдите переменную. y + 4 = -7.

y + 4 = -7
y + 4-4 = -7-4
y = -11
* Инверсия доп.4 является суб. 4

Обратите внимание, что если вы вернете -11 вместо y в исходной задаче, вы увидите, что -11 — это решение, которое мы находятся ищу .

Умножение и деление Свойства равенства
Если a = b, то a (c) = b (c)
Если a = b, то a / c = b / c, где c — не равно 0.

Другими словами, , если два выражения равны друг друга и ты умножить или разделить (кроме 0) одну и ту же константу на оба стороны, обе стороны останутся равными.
Обратите внимание, что умножение и деление являются обратными операции каждого Другие.Например, если у вас есть число, которое умножается что вам нужно перейти к другой стороне уравнения, тогда вы бы разделите его с обеих сторон этого уравнения.
Обратите внимание, что для умножения и деления это не гарантировал, что если вы умножаете на переменную, которую вы решаете, чтобы две стороны будет равным. Но гарантировано, что обе стороны пойдут быть равным, если вы умножаете или делите на константу или другое переменная, для которой вы не решаете.Мы поговорим подробнее о это в более позднем руководстве. Для этого урока просто обратите внимание, что вы можете использовать это свойство с константами и переменными, для которых вы не ищите.
Пример 4 : Найдите переменную. х /2 = 5.

* Обратно дел.на 2 это мульт. по 2

Если вы вернете 10 для x дюймов оригинал проблема, вы увидите, что 10 — это решение, которое мы ищем.

Пример 5 : Найдите переменную.5 x = 7.

* Инверсная по отношению к мульт. на 5 дел. по 5

Если вы вставите 7/5 обратно для x в оригинале проблема, вы увидите, что 7/5 — это решение, которое мы ищем.

В приведенных выше примерах использовались только одно свойство за раз, чтобы помочь вам понять различные свойства, которые мы используем к решать уравнения.Однако в большинстве случаев нам приходится использовать несколько характеристики чтобы выполнить свою работу. Ниже приводится стратегия, которую вы можете использовать. чтобы помочь вам решить более сложные линейные уравнения.

Стратегия решения линейного Уравнение

Обратите внимание, что ваш учитель или книга ты использование, возможно, сформулировало эти шаги немного иначе, чем я, но Это все сводится к одной и той же концепции — включите свою переменную один сторона и все остальное с другой, используя обратные операции.
Шаг 1. При необходимости упростите каждую сторону.

Это может включать в себя такие вещи, как удаление (), удаление дробей, добавление как термины и т. д.
Чтобы удалить (): Просто используйте дистрибутив свойство, найденное в Уроке 5: Свойства действительных чисел.
Для удаления дробей : Поскольку дроби другой способ написать деление, а обратное деление — умножение, вы удаляете фракции умножив обе части на ЖК-дисплей всех ваших дробей.
Шаг 2: Используйте Добавить./ Sub. Свойства для переместить переменную срок в одну сторону и все остальные условия в другую сторону.
Шаг 3: Используйте Mult./Div. Свойства для удалить любые значения которые находятся перед переменной.
Шаг 4. Проверьте свой ответ.
Я считаю, что это самый быстрый и Самый простой способ приблизиться к линейным уравнениям.

Пример 6 : Найдите переменную. 10 — 3 x = 7.

* Инверсия доп. 10 является суб. 10

* Инверсная по отношению к мульт.на -3 — это div. по -3

Будьте осторожны, начиная со строки 4 к строке 5. Да, есть отрицательный знак. Но операция между -3 и x — это умножение, а не вычитание. Итак, если бы вы Добавлять 3 в обе стороны, вы получите -3 x + 3 вместо желаемых x .
Если вы вернете 1 вместо x в исходной задаче, вы увидим, что 1 это решение, которое мы ищем.

Пример 7 : Найдите переменную. 2 ( x + 5) — 7 = 3 ( x — 2).

* Удалить () с помощью dist.опора
* Получить все условия x с одной стороны
* Инверсия доп. 3 является суб. 3

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 — это div. по -1

Если вы вернете 9 вместо x в исходной задаче, вы увидим, что 9 — это решение, которое мы ищем.

Пример 8 : Найдите переменную:.

* Чтобы избавиться от дроби,
мультим. с обеих сторон ЖК-дисплеем 4
* Получить все условия x на одной стороне
* Инверсия доп.2 является суб. 2

* Инверсная по отношению к мульт. на -3 — это div. по -3

Если вы вернете 4/3 вместо x в исходной задаче вы увидите, что 4/3 это решение, которое мы ищем.

Противоречие
Противоречие — это уравнение с одной переменной, которая не имеет решения.

Пример 9 : Найдите переменную. 4 x — 1 = 4 ( x + 3).

* Удалить () с помощью dist. опора
* Получить все условия x на одной стороне

Куда делась наша переменная, x, ??? Он исчез на нас.Также обратите внимание, как мы получили ЛОЖЬ утверждение, -1 не равно 12. Это не означает, что x = 12 или x = -1.
Когда ваша переменная падает из И вы закончите с ложным утверждением, то после всей вашей тяжелой работы есть НЕТ РЕШЕНИЕ.
Итак, ответ — нет решения.

Личность
Идентичность — это уравнение с одной переменной
который имеет все действительные числа как решение.

Пример 10 : Найдите переменную. 5 x + 10 = 5 ( x + 2).

* Удалить () с помощью dist. опора
* Получить все условия x на одной стороне

На этот раз, когда наша переменная выпал, мы закончил с ИСТИННЫМ заявлением.Когда бы это ни случилось, твой ответ ВСЕ РЕАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
Итак, ответ — все действительные числа .

Практические задачи
Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.
Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.
Практика Задачи 1a — 1e: Решите для переменной.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?

Последняя редакция 1 июля 2011 г. Ким Сьюард.
Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.
Узнайте, как решить для X в алгебраических уравнениях

В этом видео мы узнаем, как найти x (или другую переменную) в сложных алгебраических уравнениях, используя обратные операции. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки предварительной алгебры и алгебры и попрактикуйтесь.
Пример решения многоступенчатого алгебраического уравнения
Вычтем 2 с обеих сторон
Разделить на 5 с обеих сторон
Вычесть 4 с обеих сторон
Пример 1
Во-первых, распределите термины внутри скобок
Затем вычтите с обеих сторон
разделить с двух сторон
Теперь у нас:
Пример 2
Во-первых, распределите термины внутри скобок
Затем прибавляем с обеих сторон
разделить с двух сторон
Теперь у нас:
Другой способ решения этой проблемы:
Распределить 5 по x и 4
Упростить с помощью сложения
Вычтем 22 с обеих сторон
Разделить на 5 с каждой стороны
Стенограмма видеоурока
Давайте займемся решением сложных алгебраических уравнений.Это предполагает более чем одну операцию.
Для просмотра, порядок работы или PEMDAS, у нас есть.
PEMDAS — это аббревиатура, обозначающая
Круглая скобка
Экспоненты
Умножение
Деление
Сложение
Вычитание
Давайте оценим.
Итак, у нас есть.
Решая алгебраические уравнения, мы используем не все целые числа. Вместо этого у нас есть переменные.
Итак, возможно.
Из нашего примера мы это уже знаем.
Но давайте попробуем решить это алгебраически.
Нам просто нужно сделать несколько шагов, чтобы решить эту проблему.
1. По возможности упростите обе части уравнений.
2. Если есть условия с обеих сторон, мы должны получить все условия с одной стороны. Вы можете разместить его слева или справа, в зависимости от того, что вам больше нравится.
3. Обратный PEMDAS. Мы собираемся выполнить порядок операций в обратном порядке, используя обратные операции.
4. Наша цель — изолировать переменную.
Возвращаясь к, давайте проделаем вышеописанные действия.
1. Упростите — это самое простое из возможных.
2. Весь термин на одной стороне — всего один, и он слева.
3. Теперь давайте сделаем обратный PEMDAS, используя обратные операции.
Давайте вычтем обе части уравнения.
Будет.
4. Изолятор
Здесь мы должны разделить обе стороны на.
И у нас будет.
Приведем еще один пример.
У нас
Итак, давайте начнем с сложения обеих частей уравнения.
Получим
Затем умножаем на обе стороны.
Ответ
Приведем еще один пример. Я покажу вам, как решить эту проблему двумя разными способами.
У нас
Первый метод решения:
Давайте вычтем обе части уравнения.
У нас будет
Затем мы должны разделить обе стороны на
.
Получим
Затем, чтобы изолировать, мы должны вычесть с обеих сторон
Наш окончательный ответ —
Итак, теперь перейдем ко второму методу решения того же уравнения.
Второй метод — максимально упростить уравнение.
Давайте начнем с распределения в уравнение в скобках —
Итак, приступим!
и
У нас будет
Теперь мы можем комбинировать похожие термины, чтобы еще больше упростить
Затем мы должны сделать обратный PEMDAS.
Вычтем с обеих сторон
Получим
Теперь давайте сделаем обратное умножению — деление.
Разделите обе стороны на
Наш окончательный ответ —
Оба метода дали нам одинаковый ответ.
Подводя итог, независимо от того, насколько сложным является наше алгебраическое уравнение, мы можем выполнить обратный PEMDAS или обратный порядок операций, чтобы изолировать.
Решайте уравнения с переменными и константами с обеих сторон — предалгебра
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Решите уравнение с константами с обеих сторон
Решите уравнение с переменными с обеих сторон
Решите уравнение с переменными и константами с обеих сторон
Решите уравнения, используя общую стратегию
Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.
Упростить:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Решение:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Решение:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Решите уравнение с константами с обеих сторон
Возможно, вы заметили, что во всех уравнениях, которые мы решили до сих пор, все переменные члены находились только на одной стороне уравнения, а константы — на другой стороне. Это не происходит постоянно, поэтому теперь мы увидим, как решать уравнения, в которых переменные и / или постоянные члены находятся по обе стороны уравнения.
Наша стратегия будет включать выбор одной стороны уравнения в качестве переменной, а другой стороны уравнения в качестве постоянной. Затем мы будем использовать свойства равенства вычитания и сложения, шаг за шагом, чтобы собрать все переменные члены вместе на одной стороне уравнения и постоянные члены вместе на другой стороне.
Сделав это, мы преобразуем уравнение, которое начиналось с переменных и констант с обеих сторон, в форму. Мы уже знаем, как решать уравнения этой формы с помощью свойств равенства или деления или умножения.
Решить:
Решение
В этом уравнении переменная находится только в левой части. Левую часть имеет смысл называть стороной переменных. Следовательно, правая сторона будет постоянной стороной. Мы напишем метки над уравнением, чтобы помочь нам запомнить, что куда идет.
Решить:
Решить:
Решить:
Решение
Обратите внимание, что переменная находится только в левой части уравнения, поэтому это будет сторона переменной, а правая сторона будет стороной константы.Так как левая сторона — переменная сторона, это неуместно. Он вычитается из так для «отмены» вычитания, прибавляется к обеим сторонам.
Решить:
Решить:
Решите уравнение с переменными с обеих сторон
Что, если есть переменные с обеих сторон уравнения? Мы начнем так же, как и выше, — выберем сторону переменной и сторону константы, а затем воспользуемся свойствами равенства вычитания и сложения, чтобы собрать все переменные с одной стороны и все константы с другой стороны.Помните, что то, что вы делаете с левой частью уравнения, вы должны делать и с правой.
Решить:
Решение
Здесь переменная находится с обеих сторон, но константы появляются только с правой стороны, поэтому давайте сделаем правую сторону «постоянной». Тогда левая сторона будет «переменной» стороной.
Решить:
Решить:
Решить:
Решение
Единственная постоянная находится в левой части уравнения, а переменная — в обеих сторонах.Оставим константу слева и соберем переменные справа.
Решить:
Решить:
Решить:
Решение
Единственная константа находится справа, поэтому пусть левая сторона будет стороной переменной.
Решить:
Решить:
Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон
Следующий пример будет первым, в котором переменные и константы будут по обе стороны уравнения.Как и раньше, мы соберем члены переменных в одну сторону, а константы — в другую.
Решить:
Решить:
Мы кратко опишем предпринятые шаги, чтобы вы могли легко к ним обратиться.
Решите уравнение с переменными и константами с обеих сторон.
Выберите одну сторону, чтобы она была переменной стороной, тогда другая будет постоянной стороной.
Соберите переменные члены в сторону переменной, используя свойство равенства сложения или вычитания.
Соберите константы с другой стороны, используя свойство равенства сложения или вычитания.
Сделайте коэффициент переменной, используя свойство равенства умножения или деления.
Проверьте решение, подставив его в исходное уравнение.
Хорошей идеей будет сделать сторону переменной той, в которой переменная имеет больший коэффициент. Обычно это упрощает арифметику.
Решить:
Решение
У нас слева и справа.Так как левую часть сделайте стороной «переменной».
Решить:
Решить:
Решить:
Решение
Это уравнение имеет слева и справа. Так как правую сторону сделайте переменной стороной, а левую — постоянной стороной.
Обратите внимание, что мы могли бы сделать левую часть переменной стороной вместо правой, но это привело бы к отрицательному коэффициенту при переменной составляющей. Хотя мы можем работать с негативом, вероятность ошибки при работе с позитивом меньше.Описанная выше стратегия помогает избежать негатива!
Решить:
Решить:
Чтобы решить уравнение с дробями, мы по-прежнему выполняем те же шаги, чтобы получить решение.
Решить:
Решение
Т.к. левую сторону сделайте переменной стороной, а правую — постоянной стороной.
Решить:
Решить:
Мы проделываем те же шаги, когда в уравнении есть десятичные дроби.
Решить:
Решение
Т.к. левую сторону сделайте переменной стороной, а правую — постоянной стороной.
Решить:
Решить:
Решение уравнений с использованием общей стратегии
Каждый из первых нескольких разделов этой главы имел дело с решением одной конкретной формы линейного уравнения. Пришло время разработать общую стратегию, которую можно использовать для решения любого линейного уравнения . Мы называем это общей стратегией .Для решения некоторых уравнений не потребуется выполнять все шаги, но для многих потребуется. Если сначала максимально упростить каждую часть уравнения, остальные шаги будут проще.
Используйте общую стратегию для решения линейных уравнений.
Максимально упростите каждую часть уравнения. Используйте свойство Distributive, чтобы удалить скобки. Комбинируйте похожие термины.
Соберите все переменные члены в одну сторону уравнения. Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
Соберите все постоянные члены другой стороны уравнения. Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
Сделайте коэффициент при переменной составляющей равным Использовать свойство равенства умножения или деления. Сформулируйте решение уравнения.
Проверить решение. Подставьте решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат верный.
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решение
Будьте осторожны при распространении негатива.
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Во многих приложениях нам придется решать уравнения с десятичными знаками. Та же самая общая стратегия будет работать для этих уравнений.
Решить:
Решить:
Решить:
Ключевые понятия
Решите уравнение с переменными и константами с обеих сторон
Выберите одну сторону, чтобы она была переменной стороной, тогда другая будет постоянной стороной.
Соберите переменные члены в сторону переменной, используя свойство равенства сложения или вычитания.
Соберите константы с другой стороны, используя свойство равенства сложения или вычитания.
Сделайте коэффициент переменной равным 1, используя свойство равенства умножения или деления.
Проверьте решение, подставив его в исходное уравнение.
Общая стратегия решения линейных уравнений
Максимально упростите каждую часть уравнения.Используйте свойство Distributive, чтобы удалить скобки. Комбинируйте похожие термины.
Соберите все переменные члены в одну сторону уравнения. Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
Соберите все постоянные члены другой стороны уравнения. Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
Сделайте коэффициент при переменной составляющей равным 1. Используйте свойство равенства умножения или деления. Сформулируйте решение уравнения.
Проверить решение. Подставьте решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат верный.
Практика ведет к совершенству
Решите уравнение с константами с обеих сторон
В следующих упражнениях решите уравнение для переменной.
Решите уравнение с переменными с обеих сторон
В следующих упражнениях решите уравнение для переменной.
Решите уравнение с переменными и константами с обеих сторон
В следующих упражнениях решите уравнения для переменной.
Решите уравнение с помощью общей стратегии
В следующих упражнениях решите линейное уравнение, используя общую стратегию.
Письменные упражнения
Почему при решении уравнения с переменными с обеих сторон обычно лучше выбирать сторону с большим коэффициентом в качестве стороны переменной?
Решите уравнение, объясняющее все этапы вашего решения.
Какой первый шаг вы делаете при решении уравнения Объясните, почему это ваш первый шаг.
Решите уравнение, объясняющее все этапы вашего решения, как в примерах в этом разделе.
Своими словами перечислите шаги в Общей стратегии решения линейных уравнений.
Объясните, почему вам следует максимально упростить обе стороны уравнения, прежде чем собирать переменные члены в одну сторону и постоянные члены — в другую.x} = 9 \) Показать решение
Итак, мы сказали выше, что если бы у нас был логарифм перед левой частью, мы могли бы получить \ (x \) из экспоненты. Сделать это достаточно просто. Мы просто поставим логарифм перед левой частью. Однако, если мы поместим туда логарифм, мы также должны поставить логарифм перед правой частью. Это обычно обозначается как , логарифмируя обе стороны .
Мы можем использовать любой логарифм, который захотим, поэтому давайте попробуем натуральный логарифм.x} & = \ ln 9 \\ x \ ln 7 & = \ ln 9 \ end {align *} \]
Теперь нам нужно найти \ (x \). Это проще, чем кажется. Если бы у нас было \ (7x = 9 \), то мы все могли бы решить для \ (x \), просто разделив обе части на 7. Здесь это работает точно так же. И ln7, и ln9 — просто числа. По общему признанию, потребуется калькулятор, чтобы определить, что это за числа, но это числа, и поэтому мы можем сделать то же самое здесь.
\ [\ begin {align *} \ frac {{x \ ln 7}} {{\ ln 7}} & = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \\ x & = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \ end {align *} \]
Это технически точный ответ.Однако в этом случае обычно лучше получить десятичный ответ, так что давайте сделаем еще один шаг.
\ [x = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} = \ frac {{2.19722458}} {{1.945}} = 1.12
7 \]
Обратите внимание, что ответы на эти вопросы чаще всего являются десятичными.
Также будьте осторожны, чтобы не допустить следующей ошибки.
\ [1.12
7 = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \ ne \ ln \ left ({\ frac {9} {7}} \ right) = 0.y} = 0 \) Показать решение
В этом случае мы не можем просто поставить логарифм перед обеими сторонами. На это есть две причины. Сначала в правой части у нас есть ноль, и мы знаем из предыдущего раздела, что не можем логарифмировать ноль. Затем, чтобы сместить показатель вниз, он должен быть на всем члене внутри логарифма, и этого не будет с этим уравнением в его нынешнем виде.
Итак, первым делом переместим члены на другую сторону от знака равенства, затем мы возьмем логарифм обеих сторон, используя натуральный логарифм.y} \\ \ left ({4y + 1} \ right) \ ln 2 & = y \ ln 3 \ end {align *} \]
Хорошо, это выглядит неаккуратно, но опять же, это действительно не так уж и плохо. Давайте сначала посмотрим на следующее уравнение.
\ [\ begin {align *} 2 \ left ({4y + 1} \ right) & = 3y \\ 8y + 2 & = 3y \\ 5y & = — 2 \\ y & = — \ frac {2} { 5} \ end {align *} \]
Мы все можем решить это уравнение, а это значит, что мы можем решить то, что у нас есть. Опять же, ln2 и ln3 — это просто числа, поэтому процесс точно такой же.Ответ будет сложнее, чем это уравнение, но процесс идентичен. Вот работа для этого.
\ [\ begin {align *} \ left ({4y + 1} \ right) \ ln 2 & = y \ ln 3 \\ 4y \ ln 2 + \ ln 2 & = y \ ln 3 \\ 4y \ ln 2 — y \ ln 3 & = — \ ln 2 \\ y \ left ({4 \ ln 2 — \ ln 3} \ right) & = — \ ln 2 \\ y & = — \ frac {{\ ln 2} } {{4 \ ln 2 — \ ln 3}} \ end {align *} \]
Итак, мы получили все члены с \ (y \) в них с одной стороны и всеми другими членами с другой стороны.{е \ влево (х \ вправо)}} = е \ влево (х \ вправо) \]
Мы видели это в предыдущем разделе (в более общем виде), и, используя это здесь, мы значительно упростим нашу жизнь. Использование этого свойства дает
\ [\ begin {align *} t + 6 & = \ ln 2 \\ t & = \ ln \ left (2 \ right) — 6 = 0,69314718 — 6 = — 5,30685202 \ end {align *} \]
Обратите внимание на скобки вокруг 2 в логарифме на этот раз. Они нужны для того, чтобы мы не допустили следующей ошибки.{2z + 4}} & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) \\ 2z + 4 & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right ) \\ 2z & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) — 4 \\ z & = \ frac {1} {2} \ left ({\ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) — 4} \ right) = \ frac {1} {2} \ left ({0,470003629 — 4} \ right) = — 1,76499819 \ end {align *} \]
Решение линейных уравнений | Уравнения и неравенства
Упражнение 4.1
\ begin {align *} 2г — 3 & = 7 \\ 2л & = 10 \\ y & = 5 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 2c & = c — 8 \\ c & = -8 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 3 & = 1 — 2c \\ 2c & = 1 — (3) \\ 2c & = -2 \\ c & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {align *}
\ begin {align *} 4b +5 & = -7 \\ 4b & = -7 — (5) \\ 4b & = -12 \\ b & = \ frac {-12} {4} \\ & = -3 \ end {align *}
\ begin {align *} -3y & = 0 \\ у & = 0 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 16л + 4 & = -10 \\ 16лет & = -14 \\ y & = — \ frac {14} {16} \\ & = — \ frac {7} {8} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 12лет + 0 & = 144 \\ 12лет & = 144 \\ y & = 12 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 7 + 5л & = 62 \\ 5лет & = 55 \\ y & = 11 \ end {выровнять *}
\ (55 = 5x + \ frac {3} {4} \)
\ begin {align *} 55 & = 5x + \ frac {3} {4} \\ 220 & = 20х + 3 \\ 20x & = 217 \\ х & = \ frac {217} {20} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 5х & = 2х + 45 \\ 3x & = 45 \\ х & = 15 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 23х — 12 & = 6 + 3х \\ 20x & = 18 \\ x & = \ frac {18} {20} \\ & = \ frac {9} {10} \ end {выровнять *}
\ (12 — 6x + 34x = 2x — 24 — 64 \)
\ begin {align *} 12 — 6x + 34x & = 2x — 24 — 64 \\ 12 + 28x & = 2x — 88 \\ 26x & = -100 \\ x & = — \ frac {100} {26} \\ & = — \ frac {50} {13} \ end {выровнять *}
\ (6x + 3x = 4-5 (2x — 3) \)
\ begin {align *} 6x + 3x & = 4-5 (2x — 3) \\ 9x & = 4 — 10x + 15 \\ 19x & = 19 \\ х & = 1 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 18 — 2р & = р + 9 \\ 9 & = 3п \\ p & = 3 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {4} {p} = \ dfrac {16} {24} \)
\ begin {align *} \ frac {4} {p} & = \ frac {16} {24} \\ (4) (24) & = (16) (p) \\ 16p & = 96 \\ p & = 6 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} — (- 16 — п) & = 13п — 1 \\ 16 + п & = 13п — 1 \\ 17 & = 12п \\ p & = \ frac {17} {12} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 3f — 10 & = 10 \\ 3f & = 20 \\ f & = \ frac {20} {3} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 3f + 16 & = 4f — 10 \\ f & = 26 \ end {выровнять *}
\ (10f + 5 = -2f -3f + 80 \)
\ begin {align *} 10f + 5 & = -2f — 3f + 80 \\ 10f + 5 & = -5f + 80 \\ 15f & = 75 \\ f & = 5 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 8 (ф — 4) & = 5 (ф — 4) \\ 8f — 32 & = 5f — 20 \\ 3f & = 12 \\ f & = 4 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 6 & = 6 (f + 7) + 5f \\ 6 & = 6f + 42 + 5f \\ -36 & = 11f \\ f & = — \ frac {36} {11} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} -7x & = 8 (1 — х) \\ -7x & = 8 — 8x \\ х & = 8 \ end {выровнять *}
\ (5 — \ dfrac {7} {b} = \ dfrac {2 (b + 4)} {b} \)
\ begin {align *} 5 — \ frac {7} {b} & = \ frac {2 (b + 4)} {b} \\ \ frac {5b — 7} {b} & = \ frac {2b + 8} {b} \\ 5b — 7 & = 2b + 8 \\ 3b & = 15 \\ b & = 5 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {x + 2} {4} — \ dfrac {x — 6} {3} = \ dfrac {1} {2} \)
\ begin {align *} \ frac {x + 2} {4} — \ frac {x — 6} {3} & = \ frac {1} {2} \\ \ frac {3 (x + 2) — 4 (x — 6)} {12} & = \ frac {1} {2} \\ \ frac {3x + 6 — 4x + 24} {12} & = \ frac {1} {2} \\ (-x + 30) (2) & = 12 \\ -2x + 60 & = 12 \\ -2x & = -48 \\ х & = 24 \ end {выровнять *}
\ (1 = \ dfrac {3a — 4} {2a + 6} \)
Обратите внимание, что \ (a \ neq — -3 \)
\ begin {align *} 1 & = \ frac {3a — 4} {2a + 6} \\ 2а + 6 & = 3а — 4 \\ а & = 10 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {2-5a} {3} — 6 = \ dfrac {4a} {3} +2 — a \)
\ begin {align *} \ frac {2-5a} {3} — 6 & = \ frac {4a} {3} +2 — a \\ \ frac {2-5a} {3} — \ frac {4a} {3} + a & = 8 \\ \ frac {2-5a — 4 a + 3a} {3} & = 8 \\ 2 — 6а & = 24 \\ 6а & = -22 \\ a & = — \ frac {22} {6} \ end {выровнять *}
\ (2 — \ dfrac {4} {b + 5} = \ dfrac {3b} {b + 5} \)
Примечание \ (b \ neq -5 \)
\ begin {align *} 2 — \ frac {4} {b + 5} & = \ frac {3b} {b + 5} \\ 2 & = \ frac {3b + 4} {b + 5} \\ 2b + 10 & = 3b + 4 \\ b & = 6 \ end {выровнять *}
\ (3 — \ dfrac {y — 2} {4} = 4 \)
\ begin {align *} 3 — \ frac {y — 2} {4} & = 4 \\ — \ frac {y — 2} {4} & = 1 \\ -у + 2 & = 4 \\ y & = -2 \ end {выровнять *}
\ (\ text {1,5} x + \ text {3,125} = \ text {1,25} x \)
\ begin {align *} \ text {1,5} x + \ text {3,125} & = \ text {1,25} x \\ \ text {1,5} x — \ text {1,25} x & = — \ text {3,125} \\ \ text {0,25} x & = — \ text {3,125} \\ х & = — \ текст {12,5} \ end {выровнять *}
\ (\ текст {1,3} (\ текст {2,7} х + 1) = \ текст {4,1} — х \)
\ begin {align *} \ text {1,3} (\ text {2,7} x + 1) & = \ text {4,1} — x \\ \ text {3,51} x + \ text {1,3} & = \ text {4,1} — x \\ \ text {4,51} x & = \ text {2,8} \\ x & = \ frac {\ text {2,8}} {\ text {4,51}} \\ & = \ frac {280} {451} \ end {выровнять *}
\ (\ текст {6,5} х — \ текст {4,15} = 7 + \ текст {4,25} х \)
\ begin {align *} \ text {6,5} x — \ text {4,15} & = 7 + \ text {4,25} x \\ \ text {2,25} x & = \ text {11,15} \\ x & = \ frac {\ text {11,15}} {\ text {2,25}} \\ & = \ frac {\ text {1 115}} {225} \\ & = \ frac {223} {45} \ end {выровнять *}
\ (\ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P — 10 = 0 \)
\ begin {align *} \ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P — 10 & = 0 \\ \ frac {2 + 3} {6} P & = 10 \\ 5П & = 60 \\ P & = 12 \ end {выровнять *}
\ (1 \ frac {1} {4} (x — 1) — 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) = 0 \)
\ begin {align *} 1 \ frac {1} {4} (x — 1) — 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) & = 0 \\ \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {4} — \ frac {3} {2} (3x) — \ frac {3} {2} (2) & = 0 \\ \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {4} — \ frac {9} {2} x — \ frac {6} {2} & = 0 \\ \ frac {5 — 18} {4} x + \ frac {-5 — 12} {4} & = 0 \\ \ frac {-13} {4} x & = \ frac {17} {4} \\ -13x & = 17 \\ х & = — \ frac {17} {13} \ end {выровнять *}
\ (\ frac {1} {5} (x- 1) = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \)
\ begin {align *} \ frac {1} {5} (x- 1) & = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \\ \ frac {1} {5} x- \ frac {1} {5} & = \ frac {1} {3} x- \ frac {2} {3} + 3 \\ — \ frac {1} {5} + \ frac {2} {3} — 3 & = \ frac {2} {15} x \\ — \ frac {38} {15} & = \ frac {2} {15} x \\ х & = — \ frac {38} {2} \\ х & = -19 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {5} {2a} + \ dfrac {1} {6a} — \ dfrac {3} {a} = 2 \)
\ begin {align *} \ frac {5} {2a} + \ frac {1} {6a} — \ frac {3} {a} & = 2 \\ \ frac {5 (3) + 1-3 (6)} {6a} & = 2 \\ \ frac {15 + 1 — 18} {6a} & = 2 \\ \ frac {-2} {6a} & = 2 \\ -2 & = 12а \\ а & = — \ frac {1} {6} \ end {выровнять *}
2.6: Решение уравнений — математика LibreTexts
Напомним (см. Раздел 1.6), что переменная — это символ (обычно буква), обозначающий изменяющееся значение. Если переменная в уравнении заменяется числом и получается истинное утверждение, то это число называется решением уравнения.
Пример 1
Является ли −6 решением уравнения 2x + 5 = −7?
Решение
Замените −6 на x в уравнении.
\ [\ begin {align} 2x + 5 = 7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 2 (-6) +5 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Substitute} -6 \ text {for} x.} \\ -12 + 5 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева сначала умножьте.}} \\ -7 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева, добавьте.}} \ end {align} \ nonumber \ ]
Поскольку последнее утверждение истинно, −6 является решением уравнения.
Упражнение
Является ли −4 решением 8-2 x = 5?
Ответ
№
Сложение или вычитание одной и той же суммы
Два уравнения с одинаковым набором решений равны эквиваленту .Например, 2 x +5 = −7 и x = −6 имеют одинаковые решения. Следовательно, они эквивалентны уравнениям. Некоторые алгебраические операции приводят к эквивалентным уравнениям.
Получение эквивалентных уравнений
Добавление одного и того же количества к обеим сторонам уравнения. Если мы начнем с уравнения
\ [a = b, \ nonumber \]
, затем прибавляя c к обеим сторонам уравнения, получаем эквивалентное уравнение
\ [а + с = Ь + с.\ nonumber \]
Вычитание одинаковой величины с обеих сторон уравнения . Если мы начнем с уравнения
\ [a = b, \ nonumber \]
, затем вычитание c из обеих частей уравнения дает эквивалентное уравнение
\ [a — c = b — c. \ Nonumber \]
То есть добавление или вычитание одной и той же суммы из обеих частей уравнения не изменит решения уравнения.
Пример 2
Решите относительно x : x + 3 = −7.
Решение
Чтобы отменить эффект добавления 3, вычтите 3 из обеих частей уравнения.
\ [\ begin {align} x + 3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x + 3 — 3 = -7-3 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Вычтите 3 с обеих сторон.}} \\ x = -7 + (-3) ~ & \ begin {array} {l} \ textcolor {red} {\ text {Упростите левую часть. Справа:}} \\ \ textcolor {red} {\ text {выражает вычитание как добавление противоположного.}} \ End {array} \\ x = -10 \ end {выравнивается} \ nonumber \]
Чтобы проверить решение, замените -10 на x в исходном уравнении и упростите.
\ [\ begin {align} x + 3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -10 + 3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text { Заменить} -10 \ text {for} x.} \\ = 7 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \ End {align} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, это подтверждает, что -10 является решением.
Упражнение
Решите относительно x : x + 9 = -11.
Ответ
х = -20
Пример 3
Решите относительно x : x — 8 = −11.
Решение
Чтобы отменить эффект вычитания 8, прибавьте 8 к обеим частям уравнения.
\ [\ begin {align} x — 8 = -11 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x — 8 + 8 = -11+ 8 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Добавьте 8 с обеих сторон.}} \\ x = -3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите оба уравнения.}} \ end {align} \ nonumber \]
Чтобы проверить решение, замените −3 на x в исходном уравнении и упростите.
\ [\ begin {align} x — 8 = -11 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -3 — 8 = -11 ~ & \ textcolor {red} {\ text { Заменить} -3 \ text {вместо} x.} \\ -11 = -11 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \ End {align} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, это подтверждает, что −3 является решением.
Упражнение
Решите относительно x : x — 2 = −7
Ответ
х = −5
Иногда необходимо немного упростить задачу, прежде чем начинать процесс решения.
Пример 4
Решите относительно y : −8 + 2 = y -11 (−4).
Решение
Во-первых, упростим обе части уравнения.
\ [\ begin {align} -8 + 2 = y -11 (-4) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -6 = y — (- 44) ~ & \ begin {array} {l} \ textcolor {red} {\ text {Упростить. Слева} -8 + 2 = -6.} \\ \ textcolor {red} {\ text {Справа} 11 (-4) = -44.} \ End {array} \\ -6 = y + 44 — 44 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 44 из обеих частей уравнения.}} \\ -6 + (-44) = y ~ & \ textcolor {red} {\ text {Выражение вычитания как сложения. Упростите справа.}} \\ -50 = y \ end {align} \ nonumber \]
Чтобы проверить решение, замените -50 на y в исходном уравнении и упростите.
\ [\ begin {align} -8 + 2 = y -11 (-4) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -8 + 2 = -50 -11 (-4 ) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Substitute} -50 \ text {for} y.} \\ -6 = -50 — (- 44) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Быстрое вычитание при право как дополнение.}} \\ -6 = -6 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Справа добавьте:} -50 + 44 = -6.} \ End {align} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, это подтверждает, что -50 является решением.
Упражнение
Решить относительно y : y + 2 (−4) = −8 + 6
Ответ
y = 6
Умножение или деление на одинаковую сумму
Сложение и вычитание — не единственный способ составить эквивалентное уравнение.
Получение эквивалентных уравнений
Умножение обеих сторон уравнения на одинаковую величину. Если мы начнем с уравнения
\ [a = b, \ nonumber \]
, затем умножение обеих частей уравнения на c дает эквивалентное уравнение
\ [a \ cdot c = b \ cdot c, \ text {или эквивалентно} ac = bc, \ nonumber \]
при условии c 0.
Разделение обеих сторон уравнения на одно и то же количество. Если мы начнем с уравнения
\ [a = b, \ nonumber \]
, затем разделив обе части уравнения на c, получим эквивалентное уравнение
\ [\ frac {a} {c} = \ frac {b} {c}, \ nonumber \]
при условии c 0.
То есть умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковую величину не изменит решения уравнения.
Пример 5
Решите относительно x : −3 x = 30.
Решение
Чтобы отменить эффект умножения на −3, разделите обе части уравнения на −3.
\ [\ begin {align} -3x = 30 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {-3x} {- 3} = \ frac {30} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -3.} \\ x = -10 ~ & \ begin {array} {l} \ textcolor {red} {\ text {Слева,} -3 \ text {times} x, \ text {разделить на} -3 \ text {is} x.} \\ \ textcolor {red} {\ text {Справа} 30 / (- 3) = — 10 .} \ конец {массив} \ конец {выровненный} \ nonumber \]
Чтобы проверить решение, подставьте −10 вместо x в исходном уравнении и упростите.
\ [\ begin {align} -3x = 30 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -3 (-10) = 30 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить } -10 \ text {for} x.} \\ 30 — 30 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify.}} \ End {align} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, это подтверждает, что -10 является решением.
Упражнение
Решить относительно z : −4z = −28
Ответ
z = 7
Пример 6
Решите относительно x : \ (\ frac {x} {- 2} = -20 \).
Решение
Чтобы отменить эффект деления на −2, умножьте обе части уравнения на −2.
\ [\ begin {align} \ frac {x} {- 2} = -20 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -2 \ left (\ frac {x} {- 2} \ right) — -2 (-20) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на} -2.} \\ x = 40 ~ & \ begin {array} {l} \ textcolor { red} {\ text {Слева} x \ text {делится на} -2, \ text {умножается на} -2,} \\ \ textcolor {red} {\ text {результат} x.\ text {Справа} -2 (-20) = 40.} \ end {array} \ end {align} \ nonumber \]
Чтобы проверить решение, замените 40 на x в исходном уравнении и упростите.
\ [\ begin {align} \ frac {x} {- 2} = -20 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {40} {- 2} = -20 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 40 на} x.} \\ -20 = -20 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \ ]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, это подтверждает, что 40 является решением.
Объединение операций
Вспомните обсуждение «Заворачивать» и «Распаковывать» из Раздела 1.6. Чтобы обернуть подарок, мы: (1) надеваем подарочную бумагу, (2) наклеиваем ленту и (3) надеваем декоративный бант. Чтобы развернуть подарок, мы должны «отменить» каждый из этих шагов в обратном порядке. Следовательно, чтобы развернуть подарок, мы: (1) снимаем декоративный бант, (2) снимаем ленту и (3) снимаем подарочную бумагу.
Теперь представьте машину, которая принимает входные данные, а затем: (1) умножает входные данные на 2 и (2) добавляет 3 к результату.Эта машина изображена слева на Рисунке 2.16.
Рисунок 2.16: Вторая машина «разворачивает» первую.
Чтобы «развернуть» эффект машины слева, нам понадобится машина, которая «отменяет» каждый из шагов первой машины, но в обратном порядке. Машина для «разворачивания» изображена справа на рис. 2.16. Сначала он вычитает три из своих входных данных, а затем делит результат на 2. Обратите внимание, что каждая из этих операций «отменяет» соответствующую операцию первой машины, но в обратном порядке.
Например, поместите целое число 7 в первую машину слева на рис. 2.16. Сначала мы удваиваем 7, затем прибавляем к результату 3. Результат: 2 (7) + 3 = 17.
Теперь, чтобы «развернуть» этот результат, мы помещаем 17 во вторую машину. Сначала вычитаем 3, затем делим на 2. Результатом будет (17 — 3) / 2 = 7, исходное целое число, введенное в первую машину.
Теперь рассмотрим уравнение
\ [2x + 3 = 7. \ Nonumber \]
Слева порядок операций требует, чтобы мы сначала умножили x на 2, а затем прибавили 3.Чтобы решить это уравнение относительно x, мы должны «отменить» каждую из этих операций в обратном порядке. Таким образом, мы (1) вычтем три из обеих частей уравнения, затем (2) разделим обе части полученного уравнения на 2.
\ [\ begin {align} 2x + 3 — 3 = 7 — 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 3 с обеих сторон.}} \\ 2x = 4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {2x} {2} = \ frac {4} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ x = 2 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Читатели должны проверить это решение в исходном уравнении.
Пример 7
Решите относительно x : \ (\ frac {x} {4} — 3 = -7 \).
Решение
Слева порядок операций требует, чтобы мы сначала разделили x на 4, а затем вычли 3. Чтобы решить это уравнение для x , мы должны «отменить» каждую из этих операций в обратном порядке. Таким образом, мы (1) прибавим 3 к обеим сторонам уравнения, затем (2) умножим обе части полученного уравнения на 4.
\ [\ begin {align} \ frac {x} {4} — 3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {x} {4} — 3 + 3 = -7 + 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавить 3 с обеих сторон.}} \\ \ frac {x} {4} = -4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \\ 4 \ left (\ frac {x} {4} \ right) = 4 (-4) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножаем обе стороны на 4.}} \\ x = -16 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \ End {align} \ nonumber \]
Чек
Замените −16 вместо x в исходном уравнении.
\ [\ begin {align} \ frac {x} {4} — 3 = 7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {-16} {4} — 3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Substitute} -16 \ text {for} x.} \\ -4 -3 = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала разделить:} — 16/4 = -4.} \\ -7 = — 7 ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Subtract:} -4 -3 = -7.} \ End {align} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, −16 является решением исходного уравнения.
Упражнение
Решить относительно x :
\ [\ frac {x} {2} + 6 = 4 \ nonumber \]
Ответ
х = -4
Пример 8
Решить относительно t : 0 = 8-2 t .
Решение
Справа порядок операций требует, чтобы мы сначала умножили t на −2, а затем прибавили 8. Чтобы решить это уравнение относительно t, мы должны «отменить» каждую из этих операций в обратном порядке. Таким образом, мы (1) вычтем 8 из обеих частей уравнения, затем (2) разделим обе части полученного уравнения на −2.
\ [\ begin {align} 0 = 8 -2t ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 0-8 = 8 — 2t — 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 8 с обеих сторон.}} \\ -8 = -2t ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {-8} {- 2} = \ frac {-2t} {- 2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ 4 = t ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]
Чек
Замените t на 4 в исходном уравнении.
\ [\ begin {align} 0 = 8 — 2t ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 0 = 8 — 2 (4) ~ & \ textcolor {red} {\ text { Заменить 4 на} t.} \\ 0 = 8-8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножить: 2 (4) = 8.}} \\ 0 = 0 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть:} 8-8 = 0.} \ End {выровнено} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка в проверке является истинным утверждением, 4 является решением исходного уравнения.
Упражнение
Решить относительно r : 0 = 9 + 3 r
Ответ
r = -3
Пример 9
Решите относительно p : \ (- 12 + 3 = -8 + 4 + \ frac {p} {- 3}.\)
Решение
Всегда упрощайте, когда это возможно.
\ [\ begin {align} -12 + 3 = -8 + 4 + \ frac {p} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ -9 = -4 + \ frac {p} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]
Справа порядок операций требует, чтобы мы сначала разделили p на −3, а затем прибавили −4. Чтобы решить это уравнение для p , мы должны «отменить» каждую из этих операций в обратном порядке.Таким образом, мы (1) добавим положительное число 4 к обеим сторонам уравнения, затем (2) умножим обе части полученного уравнения на −3.
\ [\ begin {align} -9 + -4 = -4+ \ frac {p} {- 3} + 4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 4 с обеих сторон.}} \\ — 5 = \ frac {p} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ -3 (-5) = -3 \ left (\ frac {p} {- 3 } \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на} -3.} \\ 15 = p ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {выровнено } \ nonumber \]
Чек
Замените 15 на p в исходном уравнении.
\ [\ begin {align} -12 + 3 = = 8 + 4 + \ frac {p} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение}} \\ -12 + 3 = -8 + 4 + \ frac {15} {- 3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 15 на} p.} \\ -9 = -8 + 4 + (-5) ~ & \ begin {выравнивается} \ textcolor {red} {\ text {Слева добавьте:} -12 + 3 = -9. \ text {На полосе}} \\ \ textcolor {red} {\ text {right, DivX:} 15 / (- 3) = -5.} \ end {align} \\ -9 = -4 + (-5 ) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Справа} -8 + 4 = -4.} \\ -9 = -9 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Справа добавьте: } -4 + (-5) = -9.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка в проверке является истинным утверждением, 15 является решением исходного уравнения.
Упражнение
Решить относительно q :
\ [\ frac {q} {- 2} -9 = -8 + 3 \ nonumber \]
Ответ
q = −8
Приложения
Давайте посмотрим на некоторые приложения уравнений с целыми числами. Во-первых, мы напоминаем читателям, что решение проблемы со словом должно включать в себя каждый из следующих шагов.
Требования к решению проблем Word
Настройте словарь переменных. Вы должны сообщить своим читателям, что представляет каждая переменная в вашей проблеме. Это можно сделать несколькими способами:
Такие утверждения, как «Пусть P представляет периметр прямоугольника».
Обозначение неизвестных значений переменными в таблице.
Обозначение неизвестных величин на эскизе или диаграмме.
Задайте уравнение. Каждое решение проблемы со словом должно включать тщательно составленное уравнение, которое точно описывает ограничения в постановке задачи.
Решите уравнение. Вы всегда должны решать уравнение, заданное на предыдущем шаге.
Ответьте на вопрос. Этот шаг легко упустить из виду. Например, в задаче может задаваться вопрос о возрасте Джейн, но решение вашего уравнения дает возраст сестры Джейн, Лиз. Убедитесь, что вы ответили на исходный вопрос, заданный в задаче.Ваше решение должно быть записано в предложении с соответствующими единицами.
Оглянитесь назад. Важно отметить, что этот шаг не означает, что вы должны просто проверить решение в своем уравнении. В конце концов, возможно, что ваше уравнение неверно моделирует ситуацию проблемы, поэтому у вас может быть действительное решение неправильного уравнения. Важный вопрос: «Имеет ли ваш ответ смысл на основе слов в исходной постановке проблемы».
Пример 10
Банковский счет студента превышен.Сделав свой счет, Аллен обнаруживает, что у него перерасход на 15 долларов. Каков был баланс его счета до его вывода? депозит в размере 120 долларов, он обнаруживает, что на его счету по-прежнему превышена сумма в 75 долларов. Каков был его баланс до внесения депозита?
Решение
В нашем решении мы обращаемся к каждому этапу Требования к решению проблем Word .
1. Настройка словаря переменных . В этом случае неизвестным является исходный баланс на счете студента.Пусть B представляет этот исходный баланс.
2. Установите уравнение. Положительное целое число представляет собой здоровый баланс, а отрицательное число представляет собой избыток средств на счете. После внесения студентом депозита на счету по-прежнему остается более 75 долларов США. Скажем, этот баланс — 75 долларов. Таким образом,
\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Исходный баланс} & \ text {plus} & \ colorbox {cyan} {Student Deposit} & \ text {equals} & \ colorbox {cyan} {Текущий Баланс} \\ B & + & $ 120 & = & — $ 75 \ end {array} \ nonumber \]
3. Решите уравнение. Чтобы «отменить» сложение, вычтите 120 из обеих частей уравнения.
\ [\ begin {align} B + 120 = -75 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ B + 120 — 120 = -75 — 120 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Вычтите 120 с обеих сторон.}} \\ B = -195 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]
4. Ответьте на вопрос. Первоначальный баланс был переоценен до 195 долларов.
5. Оглянись назад. Если исходный баланс был превышен на 195 долларов, то мы позволяем — 195 долларов представлять этот баланс. Студент вносит залог в размере 120 долларов. Добавьте это к исходному балансу, чтобы получить — 195 долларов США + 120 долларов США = — 75 долларов США, правильный текущий баланс.
Упражнение
После снятия 125 долларов со своего счета, Аллен обнаруживает, что у него перерасход на 15 долларов. Каков был баланс его счета до его вывода?
Ответ
$ 110
Пример 11
Три раза больше, чем определенное число равно −11.Найдите неизвестный номер.
Решение
В нашем решении мы обращаемся к каждому этапу Требования к решению проблем Word .
1. Настройка словаря переменных. Пусть x представляет неизвестное число. 2. Установите уравнение. «Три более чем в два раза больше определенного числа» становится:
\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Three} & \ text {more than} & \ colorbox {cyan} {Дважды определенное число} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {-11} \\ 3 & + & 2x & = & 11 \ end {array} \ nonumber \]
3. Решите уравнение. Слева порядок операций требует, чтобы мы сначала умножили x на 2, а затем прибавили 3. Чтобы решить это уравнение относительно x, мы должны «отменить» каждую из этих операций в обратном порядке. Таким образом, мы (1) вычтем 3 из обеих частей уравнения, затем (2) разделим обе части полученного уравнения на 2.
\ [\ begin {align} 3 + 2x = -11 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 3 + 2x — 3 = -11 — 3 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Вычтите 3 с обеих сторон.}} \\ 2x = -14 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} ~ \\ \ frac {2x} {2} = \ frac {-14} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ x = -7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]
4. Ответьте на вопрос. Неизвестное число -7.
5. Оглянитесь назад. Удовлетворяет ли ответ ограничениям задачи? Три больше, чем дважды −7 — это три больше, чем −14 или −11. Значит, решение правильное.
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Пять меньше, чем удвоенное определенное число равно −7. Найдите неизвестный номер.
Ответ
-1
Упражнения
1. Является ли −11 решением 2x + 3 = −19?
2. Является ли −8 решением 2x + 7 = −9?
3. Является ли 6 решением 3x + 1 = 19?
4. Является ли −6 решением 2x + 7 = −5?
5. Является ли 12 решением уравнения 4x + 5 = −8?
6.Является ли −8 решением −3x + 8 = 18?
7. Является ли 15 решением 2x + 6 = −9?
8. Является ли 3 решением −4x + 1 = −20?
9. Является ли −15 решением −3x + 6 = −17?
10. Является ли −18 решением −3x + 9 = −9?
11. Является ли −6 решением −2x + 3 = 15?
12. Является ли 7 решением −3x + 5 = −16?
В упражнениях 13-28 решите заданное уравнение относительно x.
13. х — 13 = 11
14. х — 6 = 12
15. х — 3 = 6
16.х — 3 = −19
17. х + 10 = 17
18. х + 3 = 9
19. х — 6 = 1
20. х — 10 = 12
21. х — 15 = −12
22. х — 2 = 13
23. х + 11 = −19
24. х + 3 = 17
25. х + 2 = 1
26. х + 2 = −20
27. х + 5 = −5
28. х + 14 = −15
В упражнениях 29–44 решите заданное уравнение относительно x.
29. −x = −20
30. 5x = −35
31.\ (\ frac {x} {- 7} \) = 10
32. \ (\ frac {x} {- 6} \) = −20
33. \ (\ frac {x} {- 10} \) = 12
34. \ (\ frac {x} {2} \) = 11
35. \ (\ frac {x} {9} \) = −16
36. \ (\ frac {x} {- 3} \) = −7
37. −10x = 20
38. −17x = −85
39. 14x = 84
40. −10x = −40
41. −2x = 28
42. −14x = 42
43. \ (\ frac {x} {- 10} \) = 15
44. \ (\ frac {x} {- 8} \) = −1
В упражнениях 45-68 решите заданное уравнение относительно x.
45. −4x — 4 = 16
46. −6x — 14 = 4
47. 4x — 4 = 76
48. −5x — 15 = 45
49. 5x — 14 = −79
50,15x — 2 = 43
51. −10x — 16 = 24
52. 2x — 7 = −11
53. 9x + 5 = -85
54. 8x + 8 = −16
55. 7x + 15 = −55
56. 2x + 2 = −38
57. −x + 8 = 13
58. −5x + 20 = −50
59. 12x — 15 = −3
60. −19x — 17 = −36
61.4х — 12 = −56
62. 7x — 16 = 40
63. 19x + 18 = 113
64. −6x + 20 = −64
65. −14x + 12 = −2
66. −9x + 5 = 104
67. 14x + 16 = 44
68. −14x + 10 = −60
69. Двойное меньшее восьмикратного неизвестного числа равно −74. Найдите неизвестный номер.
70. Шесть меньше, чем втрое неизвестное число равно 21. Найдите неизвестное число.
71. Неизвестное число больше восьми раз, если оно равно 0.Найдите неизвестный номер.
72. Неизвестное число в пять раз больше, чем восемь раз, равно −35. Найдите неизвестный номер.
73. Число −6 на 2 больше, чем неизвестное число. Найдите неизвестный номер.
74. Число −4 на 7 больше, чем неизвестное число. Найдите неизвестный номер.
75. Неизвестное число в три раза больше, чем восемь, равное −29. Найдите неизвестный номер.
76. Неизвестное число в четыре раза больше, чем девять раз — 85. Найдите неизвестное число.
77.На первых трех экзаменах Алан набрал 79, 61 и 54 балла. Какой результат Алан должен набрать на следующем экзамене, чтобы он составил 71 балл на всех четырех экзаменах?
78. Бенни набрал 54, 68 и 54 баллов на своих первых трех экзаменах. Какой результат Бенни должен набрать на следующем экзамене, чтобы он составил 61 балл на всех четырех экзаменах?
79. Частное двух целых чисел равно 5. Одно из целых чисел равно −2. Найдите другое целое число.
80. Частное двух целых чисел равно 3. Одно из целых чисел равно −7. Найдите другое целое число.
81.Частное двух целых чисел равно 9. Одно из целых чисел равно −8. Найдите другое целое число.
82. Частное двух целых чисел равно 9. Одно из целых чисел равно −2. Найдите другое целое число.
83. Число −5 на 8 больше, чем неизвестное число. Найдите неизвестный номер.
84. Число −6 на 8 больше, чем неизвестное число. Найдите неизвестный номер.
85. Банковский счет студента превышен. После внесения депозита в размере 260 долларов он обнаруживает, что на его счету по-прежнему превышена сумма в 70 долларов.Каков был его баланс до внесения депозита?
86. Банковский счет студента превышен. После внесения депозита в размере 300 долларов он обнаруживает, что на его счету по-прежнему превышена сумма в 70 долларов. Каков был его баланс до внесения депозита?
87. Банковский счет студента превышен. После внесения депозита в размере 360 долларов он обнаруживает, что на его счету по-прежнему превышена сумма в 90 долларов. Каков был его баланс до внесения депозита?
88. Банковский счет студента превышен.После внесения депозита в размере 260 долларов он обнаруживает, что на его счету по-прежнему превышена сумма в 50 долларов. Каков был его баланс до внесения депозита?
89. Число −10 в −5 раз больше неизвестного числа. Найдите неизвестный номер.
90. Число −3 в −3 раза больше неизвестного числа. Найдите неизвестный номер. 91. Число −15 в −5 раз больше неизвестного числа. Найдите неизвестный номер.
92. Число −16 в 4 раза больше неизвестного.Найдите неизвестный номер.
93. Неизвестное число в два раза меньше девяти и равно 7. Найдите неизвестное число.
94. Неизвестное число в четыре раза меньше, чем в два раза больше, чем 8. Найдите неизвестное число.
95. Марк набрал 79, 84 и 71 балл на своих первых трех экзаменах. Какой должен Марк набрать на следующем экзамене, чтобы он набрал в среднем 74 балла за все четыре экзамена?
96. Алан набрал 85, 90 и 61 баллов на своих первых трех экзаменах. Какой результат Алан должен набрать на следующем экзамене, чтобы в среднем 77 баллов за все четыре экзамена?
Ответы
1.Да
3. Есть
5. №
7. №
9. №
11. Есть
13. 24
15. 9
17. 7
19. 7
21. 3
23. −30
25 -1
27. −10
29. 20
31. −70
33. -120
35. −144
37. −2
39. 6
41. −14
43. -150
45. −5
47.20
49. −13
51,4
53. −10
55. −10
57. −5
59,1
61. −11
63,5
65. 1
67. 2
69. −9
71,4
73. −8
75,4
77. 90
79. −10
81. −72
83,13
85. — 330 долл. США
87. — 450 долларов США
89. 2
91,3
93.1
95.

Решение уравнений с иксами: Решение уравнений с дробями онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

alexxlab / 06.02.197018.07.2021 / Разное

Урок 27. решение уравнений вида: х ∙ 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 ∙ 5, 80 : х = 46 – 30 — Математика — 4 класс

Математика, 4 класс

Урок № 27. Решение уравнений вида: х · 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 · 5,80 : х = 46 – 30

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— как решать уравнения вида: x∙ 8 = 26 + 70, x : 6 = 18 ∙ 5, 80 : x = 46 – 30

— какой алгоритм решения данных уравнений?

Глоссарий по теме:

Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.

Алгоритм — последовательность действия (шагов)

Решить уравнение – это значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. Ч.1 — М.; Просвещение, 2017. – с.80

2. Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с.34,35

3. Волкова С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.44-45.

4. Волкова С.И. Математика. Тесты 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.40-41.

5. Кочергина А.В. Учим математику с увлечением (Методическая библиотека). М.: 5 за знания, 2007. – с.159.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вспомните, как связаны между собой числа при умножении.

Посмотрите, множитель 20, множитель 3, произведение 60.

Если 60 разделить на 20, получится 3.

Если 60 разделить на 3, получится 20.

Значит, если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Это правило потребуется при решении уравнений, в которых неизвестен один из множителей.

20 ∙ 3 = 60

60 : 20 = 3

60 : 3 = 20

Решим уравнение:

произведение неизвестного числа и числа 7 равно числу 91. В нем неизвестен первый множитель. Как его найти? Для нахождения неизвестного первого множителя надо произведение 91 разделить на известный множитель 7. Делим 91 на 7 — получаем 13. Выполним проверку. Подставим в уравнение вместо икс число 13.

13 умножить на 7 получим 91. Получили верное равенство:

91 равно девяносто одному. Значит, решили правильно.

А теперь догадайтесь, как решить уравнение: произведение неизвестного числа и числа 7 равно сумме чисел восьмидесяти и одиннадцати. Найдем значение выражения в правой части уравнения: 80 плюс 11 равно 91. Тем самым мы получили уравнение, которое уже умеем решать. Посмотрите, как записывается решение этого уравнения и его проверка.

Вспомним, как связаны между собой числа при делении.

Посмотрите: делимое 15, делитель 3, частное равно пяти.

Если делитель 3 умножить на частное 5, получим делимое 15.

Если делимое 15 разделить на частное 5, получим делитель 3.

15 : 3 = 5

3 ∙ 5 = 15

15 : 5 = 3

Знание связей между делимым, делителем и частным потребуется для решения уравнений, в которых неизвестен один из компонентов: делимое или делитель. Посмотрите, как решаются такие уравнения. В первом уравнении неизвестно делимое. Чтобы его найти, нужно делитель 3 умножить на частное 9.

Во втором уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, нужно делимое 45 разделить на частное 3.

А как решить такое уравнение? Вычислим произведение в правой части: 18 умножить на 5 получим 90. Получается уравнение, в котором неизвестно делимое. Вы уже знаете, как его решать. Выполним проверку решения уравнения. Подставим число 540 вместо икс, вычислим левую часть и правую часть выражения: 90 равно 90. Значит уравнение решили верно.

Задания тренировочного модуля:

1.К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго.

91 : х = 13	x = 20
х : 21=4	x = 7
24 ∙x = 96	x = 84
x∙ 3 = 60	x = 4

Правильный ответ:

91 : х = 13	x = 7
х : 21= 4	x = 84
24 ∙x = 96	x = 4
x∙3 = 60	x = 20

2. Выполните вычисления и выделите верный ответ:

7 ∙x = 140 : 2

Варианты ответов: 10, 400, 2

Правильный вариант:

3.Решите уравнение, подчеркните правильный ответ:

(80 : у) ∙ 700 = 2800

Варианты ответов:

2, 4, 20

Правильные варианты:

Решение уравнений с дробями — как решать дробные уравнения

Понятие дроби

обыкновенный вид — ½ или a/b,

десятичный вид — 0,5.

Дроби бывают двух видов:

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

« Предыдущая 1 … 2 786 2 787 2 788 2 789 2 790 … 2 804 Следующая »

	[латекс] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} \ quad {LCD = 8} [/ latex]
Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей, [латекс] 8 [/ латекс].Это очищает фракции.	[латекс] \ color {красный} {8 (} \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} \ color {red} {)} = \ color {red} {8 (} \ frac {1} {4} \ color {red} {)} [/ latex]
Используйте свойство распределения.	[латекс] 8 \ cdot \ frac {1} {8} x + 8 \ cdot \ frac {1} {2} = 8 \ cdot \ frac {1} {4} [/ латекс]
Упростите — и заметьте, никаких дробей!	[латекс] x + 4 = 2 [/ латекс]
Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.	[латекс] x + 4 \ color {red} {- 4} = 2 \ color {red} {- 4} [/ latex]
Упростить.	[латекс] x = -2 [/ латекс]
Проверить: Пусть [латекс] x = -2 [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {1} {8} (\ color {red} {- 2}) + \ frac {1} {2} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} { 4} [/ латекс] [латекс] \ frac {-2} {8} + \ frac {1} {2} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {-2} {8} + \ frac {4} {8} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {2} {8} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {1} {4} = \ frac {1} {4} \ quad \ checkmark [/ latex]

Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.	[латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x \ quad {LCD = 12} [/ latex]
Умножьте обе части уравнения на [латекс] 12 [/ латекс].	[латекс] \ color {red} {12} (7) = \ color {red} {12} \ cdot (\ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2 } {3} x) [/ латекс]
Распространить.	[латекс] 12 (7) = 12 \ cdot \ frac {1} {2} x + 12 \ cdot \ frac {3} {4} x-12 \ cdot \ frac {2} {3} x [/ латекс ]
Упростите — и заметьте, никаких дробей!	[латекс] 84 = 6x + 9x-8x [/ латекс]
Объедините похожие термины.	[латекс] 84 = 7x [/ латекс]
Разделить на [латекс] 7 [/ латекс].	[латекс] \ frac {84} {\ color {red} {7}} = \ frac {7x} {\ color {red} {7}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 12 = x [/ латекс]
Проверить: Пусть [латекс] x = 12 [/ латекс].
[латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x [/ latex] [латекс] 7 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (\ color {red} {12}) + \ frac {3} {4} (\ color {red} {12}) — \ frac {2} {3} (\ color {red} {12}) [/ latex] [латекс] 7 \ stackrel {\ text {?}} {=} 6 + 9-8 [/ латекс] [латекс] 7 = 7 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

Найдите на ЖК-дисплее все дроби в уравнении.	[латекс] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2}, \ quad {LCD = 6} [/ latex]
Умножьте обе стороны на ЖК-дисплей.	[латекс] \ color {red} {6} (x + \ frac {1} {3}) = \ color {red} {6} (\ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2 }) [/ латекс]
Распространить.	[латекс] 6 \ cdot {x} +6 \ cdot \ frac {1} {3} = 6 \ cdot \ frac {1} {6} x-6 \ cdot \ frac {1} {2} [/ латекс ]
Упростите — больше никаких дробей!	[латекс] 6x + 2 = x-3 [/ латекс]
Вычтите [латекс] x [/ латекс] с обеих сторон.	[латекс] 6x- \ color {красный} {x} + 2 = x- \ color {красный} {x} -3 [/ latex]
Упростить.	[латекс] 5x + 2 = -3 [/ латекс]
Вычтем 2 с обеих сторон.	[латекс] 5x + 2 \ color {red} {- 2} = — 3 \ color {red} {- 2} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 5x = -5 [/ латекс]
Разделить на [латекс] 5 [/ латекс].	[латекс] \ frac {5x} {\ color {red} {5}} = \ frac {-5} {\ color {red} {5}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] x = -1 [/ латекс]
Проверка: Заменить [латекс] x = -1 [/ латекс].
[латекс] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2} [/ latex] [латекс] (\ color {red} {- 1}) + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {6} (\ color {red} {-1}) — \ frac {1} {2} [/ latex] [латекс] (- 1) + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {1} {6} — \ frac {1} {2} [/ латекс ] [латекс] — \ frac {3} {3} + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {1} {6} — \ frac {3} { 6} [/ латекс] [латекс] — \ frac {2} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {4} {6} [/ latex] [латекс] — \ frac {2} {3} = — \ frac {2} {3} \ quad \ checkmark [/ latex]

	[латекс] 1 = \ frac {1} {2} (4x + 2) [/ латекс]
Распространить.	[латекс] 1 = \ frac {1} {2} \ cdot4x + \ frac {1} {2} \ cdot2 [/ latex]
Упростить. Теперь дробей нет!	[латекс] 1 = 2x + 1 [/ латекс]
Вычтем 1 с обеих сторон.	[латекс] 1 \ color {red} {- 1} = 2x + 1 \ color {red} {- 1} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 0 = 2x [/ латекс]
Разделить на [латекс] 2 [/ латекс].	[латекс] \ frac {0} {\ color {red} {2}} = \ frac {2x} {\ color {red} {2}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 0 = x [/ латекс]
Проверка: пусть [latex] x = 0 [/ latex].
[латекс] 1 = \ frac {1} {2} (4x + 2) [/ латекс] [латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (4 (\ color {red} {0}) + 2) [/ latex] [латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (2) [/ латекс] [латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {2} {2} [/ latex] [латекс] 1 = 1 \ квадратик \ галочка [/ латекс]