Рубрика: Разное

Кеннеди Мартинес — постоянный писатель, присоединившийся к Dronethusiast в начале 2019 года. У нее многолетний опыт работы с дронами и другими техническими продуктами. Когда дело доходит до летающих дронов, Кеннеди любит создавать художественные видеоролики с уникальной точки зрения. Кеннеди любит исследовать новые беспилотные летательные аппараты и другие интересные продукты, доступные потребителям, поэтому она стремится создавать лучшие руководства для покупателей для наших читателей.

Другие интересные статьи в «Радиоуправляемые лодки»

Миллиардер Ричард Брэнсон достиг космоса на собственном корабле

ПРАВДА ИЛИ ПОСЛЕДСТВИЯ, Н.М. (AP) — Отважный миллиардер Ричард Брэнсон в воскресенье полетел в космос на борту своего собственного крылатого ракетного корабля, сделав астротуризм еще на шаг ближе к реальности и победив своего чрезвычайно богатого соперника Джеффа Безоса.

Почти 71-летний Брэнсон и пять товарищей по команде из его компании космического туризма Virgin Galactic достигли высоты 53.5 миль (86 километров) над пустыней Нью-Мексико — достаточно, чтобы испытать три-четыре минуты невесомости и стать свидетелем искривления Земли — и затем скользнул обратно домой, чтобы приземлиться на взлетно-посадочной полосе.

«Все это было просто волшебством», — сказал ликующий Брэнсон, возвращаясь на борт сияющего белого космического самолета под названием «Юнити».

Короткий полет вверх-вниз — часть космического самолета заняла всего около 15 минут, или примерно столько же, сколько у первого U.Космический полет S. в 1961 году был шикарным и откровенно коммерческим проектом для Virgin Galactic, которая планирует в следующем году начать принимать платных клиентов на прогулках.

Брэнсон стал первым человеком, взлетевшим на собственном космическом корабле, на девять дней победив Безоса, самого богатого человека на планете. Он также стал вторым семидесятилетним гражданином, отправившимся в космос. Астронавт Джон Гленн летал на шаттле в 1998 году в возрасте 77 лет.

Безос поздравил, добавив: «Не могу дождаться, чтобы присоединиться к клубу!» — хотя он также зашел в Twitter за пару дней до этого, чтобы перечислить, в чем, по его мнению, туристические поездки его компании будут лучше.

Под наблюдением около 500 человек, включая семью Брэнсона, Unity подняли в воздух под двухфюзеляжным самолетом. Затем на высоте около 8 1/2 миль (13 километров) «Юнити» отделился от базового корабля и запустил его двигатель, достигнув скорости более 3 Маха, или в три раза большей скорости звука, когда он пронзил край космоса.

Зрители аплодировали, прыгали в воздух и обнимались, когда ракетный самолет приземлился на Земле. Брэнсон сжал кулаки, когда он вышел на взлетно-посадочную полосу и побежал к своей семье, обнимая свою жену и детей и подхватив внуков на руки.

Майк Мозес, топ-менеджер Virgin Galactic, сказал, что, за исключением некоторых проблем с передачей видеоизображений из салона, полет был идеальным, и корабль выглядел безупречно.

«Это было потрясающее достижение», — сказал со стороны бывший канадский астронавт Крис Хэдфилд, бывший командир Международной космической станции. «Я так рада тому, к чему сейчас приведет эта открытая дверь. Это отличный момент ».

Virgin Galactic провела три предыдущих испытательных полета в космос с экипажем из двух или трех человек.

Яркий лондонский основатель Virgin Atlantic Airways должен был летать только этим летом. Но он назначил себя более ранним полетом после того, как Безос объявил о планах запустить свою собственную ракету в космос из Техаса 20 июля, в 52-ю годовщину высадки на Луну Аполлона-11. Брэнсон отрицал, что пытался превзойти Безоса.

Другой главный соперник Брэнсона в гонке за космическим туризмом среди богатейших людей мира, Илон Маск из SpaceX, приехал в Нью-Мексико, чтобы посмотреть и поздравить Брэнсона с «прекрасным полетом».”

Компания Blue Origin, принадлежащая Безосу, намеревается отправить туристов мимо так называемой линии Кармана на высоте 62 миль (100 километров) над Землей, которая признана международными авиационными и аэрокосмическими федерациями порогом космоса.

Но НАСА, ВВС, Федеральное управление гражданской авиации и некоторые астрофизики считают, что граница между атмосферой и космосом начинается на высоте 50 миль (80 километров).

Риски для Брэнсона и его команды были подчеркнуты в 2007 году, когда в результате испытания ракетного двигателя в пустыне Мохаве в Калифорнии погибли трое рабочих, и в 2014 году, когда во время испытательного полета разбился ракетный самолет Virgin Galactic, в результате чего один пилот погиб и был серьезно ранен другой.

Брэнсон, когда-либо являвшийся шоуменом, настоял на глобальной прямой трансляции воскресного утреннего полета и пригласил знаменитостей и бывших астронавтов космической станции на базу компании Spaceport America в Нью-Мексико. R&B певец Халид исполнил свой новый сингл «New Normal» — дань уважения зарождению космического туризма — в то время как ведущий «Late Show» CBS Стивен Колберт выполнял функции ведущего церемонии.

Перед тем, как подняться на борт, Брэнсон, который занимался кайтсерфингом Ла-Манша и пытался облететь мир на воздушном шаре, подписал журнал космонавтов и остроумно сказал: «Это имя Брэнсон.Сэр Ричард Брэнсон. Астронавт Дубль-о-один. Лицензия на острые ощущения ».

Но позже его спросили, планирует ли он еще приключения, и Брэнсон сказал, что «определенно даст ему отдохнуть на время», потому что «я не уверен, что было бы справедливо подвергнуть мою семью еще одному приключению». Он сказал, что, по его мнению, он является рекордсменом по пятикратному выходу из моря на вертолете.

Virgin Galactic уже забронировала более 600 мест от потенциальных космических туристов, при этом билеты изначально стоили 250 000 долларов за штуку.А по возвращении на Землю Брэнсон объявил о розыгрыше двух мест в поездке Virgin Galactic. Blue Origin ждет рейса Безоса, прежде чем объявить цены на билеты.

Керианн Флинн, которая в 2011 году подписалась на полет с Virgin Galactic, перед запуском в воскресенье рожала бабочек.

«Я думаю, что нет ничего лучше, чем подняться наверх и посмотреть на Землю, и это то, что, как мне кажется, меня больше всего волнует», — сказала она. Она добавила: «Надеюсь, следующие поколения смогут исследовать то, что там происходит.”

Blue Origin и SpaceX Маска летают в стиле Аполлона, используя капсулы на ракетах, а не запускаемый с воздуха многоразовый космический самолет.

SpaceX, которая уже запускает астронавтов на космическую станцию ​​для НАСА и строит корабли на Луну и Марс, планирует взять с собой туристов не только в короткие путешествия вверх-вниз. Вместо этого клиенты будут выходить на орбиту вокруг Земли на несколько дней, а места будут стоить миллионы. Первый частный рейс компании запланирован на сентябрь.

Сам Маск не собирался выходить в космос в ближайшее время.

Ричард Брэнсон из Virgin Galactic запускает собственную ракету в космос

Авторы: СЬЮЗАН МОНТОЯ БРАЙАН и МАРСИЯ ДАНН Ассошиэйтед Пресс

На этой фотографии 29 мая 2018 года, предоставленной Virgin Galactic, показан второй сверхзвуковой полет VSS Unity компании.После достижения почти 50 000 футов (15 000 метров) Unity выйдет из специально разработанного самолета Mothership Eve и упадет на мгновение или две, прежде чем его ракетный двигатель загорится, чтобы отправить корабль на крутой подъем в космос. (Virgin Galactic через AP)

ПРАВДА ИЛИ ПОСЛЕДСТВИЯ, N.M. (AP) — После целой жизни стремления к полетам в космос Ричард Брэнсон из Virgin Galactic был готов взлететь на борту своего собственного ракетного корабля в воскресенье в своем самом смелом и грандиозном приключении.

Миллиардер, ищущий острых ощущений, присоединился к пяти сотрудникам компании, которым также поручили испытательный полет к краю космоса высоко над южной пустыней Нью-Мексико.

Когда-либо шоумен, Брэнсон резко отсчитывал дни до старта через Twitter. Он рассматривал короткое путешествие вверх и вниз как укрепление уверенности — не только для 600 с лишним человек, которые уже забронировали места и ждут своего часа, но и для потенциальных космических туристов, готовых выложить несколько сотен тысяч долларов за выстрел. космос.

Уроженец Лондона, основатель Virgin Group, которому через неделю исполняется 71 год, должен был улететь только этим летом. Но он назначил себя более ранним полетом после того, как Джефф Безос из Blue Origin объявил о планах 20 июля запустить свою собственную ракету в космос из Западного Техаса.

Virgin Galactic не планирует привлекать клиентов раньше следующего года. Blue Origin еще не открыла продажу билетов и даже не объявила цены, но в конце прошлой недели хвасталась через Twitter, что она поднимет клиентов выше и предложит большие окна.

В отличие от Blue Origin и SpaceX Илона Маска, которые запускают капсулы на многоразовых ракет-носителях, Virgin Galactic использует двухфюзеляжный самолет для поднятия своего ракетного корабля. Космический самолет вылетает из базового корабля на высоте около 44 000 футов (13 400 метров), затем запускает свой ракетный двигатель и летит прямо в космос.Максимальная высота составляет примерно 55 миль (70 километров) с учетом трех-четырех минут невесомости.

Ракетоплан, для которого требуются два пилота, вылетает на взлетно-посадочную полосу на базе американского космодрома.

Virgin Galactic впервые достигла космоса в 2018 году, повторив этот подвиг в 2019 году и снова в мае этого года, каждый раз с минимальным экипажем. В прошлом месяце он получил разрешение Федерального управления гражданской авиации на запуск клиентов.

Парусная Анархия

Я пилотировал One Design 48 около года — лодка была абсолютной горсткой с 15 на борту, и я не могу представить, чтобы справиться с ней в одиночку, но этот парень сделал! — изд. .

Пройдя окольным маршрутом в своем первом Чикаго к Mackinac Solo Challenge, Мэтт Рубсам на 48-м гоночном автомобиле добавил дополнительные 20 миль. Несмотря на удлиненный курс, это не помешало ему пересечь финишную черту в 15:13. Понедельник, 21 июня, который поставил его на первое место.

Отъезжая от причала в яхт-клубе Колумбии, Рубсам настаивал: «Я просто хочу туда попасть». Пилотируя 48-футовую лодку One Design, флот из 25 лодок начал хороший старт, двигаясь при юго-западном ветре со скоростью 15-20 миль в час. .Двигаясь на запад от прямой линии, используя грот и кливер, Рубсам добрался до Уокигана и прошел вдоль береговой линии Висконсина.

Направляясь на северо-восток около Шебойгана, штат Висконсин, поздним воскресным утром, он был на полпути через озеро Мичиган на спинакере № 2 с планом плавания между островами Маниту. Однако Рубсам изменил курс и вернулся к береговой линии Висконсина.

В воскресенье после обеда вышло сообщение о суровой погоде, и моряки были вынуждены решить: ехать в ближайшую пристань, продолжать плавание или отправиться домой.С кильем длиной 10,5 футов превратиться в пристань для яхт было невозможно.

«Учитывая волны и северо-западный ветер со скоростью 30 узлов, я решил, что лучше всего быть ближе к оконечности округа Дор», — сказал Рубсам. Он был прав!

«Я был достаточно далеко на севере, это сработало», — сказал он. «Я попал в проход вокруг Бивер-Айленда в 21:00. это был восточный судоходный канал ».

Около 5 часов утра понедельника было 20-25, порывы ветра с северо-запада более 30. Используя кливер № 3, он шел против ветра против шести футов волны в течение четырех часов.Двигаясь по ветру после прохождения острова Бивер, он попал на остров Макино. «Я делал 8-10 узлов, а иногда и 14. Это было очень весело.

«Перед гонкой я управлял разными моделями. Он показал, что не проходит через канал Серого рифа, а идет по правому борту. Угол ветра 320, направление лодки 100-110. Это была приятная поездка по ветру, оставшаяся часть пути составила 30 узлов ».

Rubsam проехал Grey’s Reef в 00:53 в понедельник и финишировал в 15:13. как первая лодка. «Это было чрезвычайно приятно [взятие в первую очередь] и чувство выполненного долга», — сказал он.«Я знаю, как тяжело работать Mac с экипажем; чтобы сделать это соло, я был счастлив просто сделать это. Я был в худших условиях, но не один ».

REJECT рассчитан на плавание с экипажем из 15 человек. Модификации Rubsam позволили лодке работать с эффективностью для одного шкипера.

«Я добавил ленивые домкраты, поставил табакерки для спинакеров и нулевой код на закрутку, чтобы сделать вещи более управляемыми», — сказал он. «Я хотел бы поблагодарить Сольное общество Великих озер за то, что приняли меня в гонку.Моей девушке Анете за то, что позволила мне это сделать. Джону Хоскинсу и Майку Смитту за знания, которые сделали это возможным. Все мои друзья, которые помогли мне подготовить лодку. North Sails, B&G и Mastervolt за создание отличных продуктов, которые прекрасно работали на протяжении всего курса ».

Планируя наперед, Люк Брокман модифицировал свой Olson 30. «Olson 30 построен для гонок на Гавайи», — сказал житель Коммерса, штат Мичиган, который завершил шесть Port Huron, три Lake Erie, два Chicago Mac и один Superior и Онтарио одиночные испытания.

Слабый ветер в воскресенье утром и днем ​​затруднял движение флотов. В 17:00 начался разговор по радио с обновленным прогнозом. «Я был в 15 милях от Франкфурта, штат Мичиган». — сказал Брокман. «В понедельник в 6 часов утра наступил холодный фронт, было 45-50 градусов тепла. Линия штормов ушла на юг, в Чикаго, а холодный фронт двинулся на север. Плохая погода отпугнула людей.

Переключение с головного паруса № 3 на № 4 позволило ему идти со скоростью шесть узлов против ветра. «Я был при ветре 25-35 миль в час с порывами до 45 миль в час в течение 18 часов», — сказал Брокман, который держит лодку на трейлере на своей подъездной дорожке и плывет на ней дважды за лето.«Я использовал стаксель № 4 и попытался сделать тройной риф на гроте. Я был к северу от Лудингтона.

«Лодку несколько раз опрокидывали, в кабину попала вода. Я кренился на 55 градусов. Мне поставили глубокий руль, и он позволил мне управлять лодкой, а не собираться, плыть на бейдевинде и добиваться прогресса. Волны были восемь-десять, несколько на высоте 15 футов. Я провел время внизу, но меня начало указывать на морскую болезнь. Последние три-четыре часа постоянно было 18-20, я держал бейдевинд и не лавировал.

«После поворота у Серого рифа волны упали до трех-четырех футов вниз по проливу. На скамье подсудимых не было никакой помощи ». Брайан Крэбб из Sea-U, который был вынужден вылететь из-за отказа автопилота, последовал за трекером и спустился из своего номера в отеле, чтобы помочь Брокману стыковаться в 4 часа утра

«Это было трогательно для него, — сказал он. «Я был так сбит с толку, что едва смог спуститься с дока. Я сдала документы и легла спать в 5 утра ». «Я был уверен в лодке. Это было одним из самых сложных одиночных испытаний.Погода изменилась так быстро. Я ни с кем не контактировал. Это было иначе, чем у большинства. Я был в режиме выживания ».

Ветеран, выполнивший 21 Solo Mac и 19 завершенных, Грейнджер, уроженец Индии, Джо Тернс пошел с большинством, о чем позже сожалел. «По радио много болтали о том, насколько сильной будет шторм», — сказал Тернс, управлявший Renaissance, 43-футовой Sabre. «Монитор показал, что все озеро было красным, и гроза будет ужасной! Большинство лодок продвигались к берегу около 5-6 часов.м. Воскресенье. Хуже оценивается северная часть озера Мичиган. Я был в полумиле от Уолл-И, в 25 милях от Манисти, штат Мичиган, когда развернулся. Было 8 часов вечера. [№

«Моя жена была в шоке, что я бросил учебу. Некоторые люди отправились в Лудингтон и Пентуотер. Не было хорошего места, чтобы переждать бурю. «Ветер дул с юго-запада 27-28 футов, а высота волны была восемь-десять футов на носу. Это худшая молния, которую я когда-либо видел; все небо было освещено. Было шесть часов молнии. Электроэнергия была отключена везде.Число оборотов двигателя было 28.

«Пропеллер из нержавеющей стали мне очень помог. Это были худшие условия, в которых я когда-либо был под мотором. Я прибыл в Голландию, штат Мичиган, в 6 утра понедельника, и дул 25 узлов; молния почти исчезла.

Повороты погода шторм с порывами на 56 миль в час утром 18 июня 2021 года. «Мы плыли на моторе [из Голландии, штат Мичиган] в Чикаго с главным рифом; мы вошли в гавань ДюСейбл в 11 часов утра, — сказал он. Оценивая свое решение в понедельник днем, Тернс со смехом признался: «Я сожалею, что бросил учебу.Если бы я знал, что молния на юге будет настолько сильной, я бы остался дома и продолжил путь «.

Ральф Краусс на Юконе [J105] приехал в 16:45. Среда. Остальные 22 лодки выбыли из 25-го Solo Mac Challenge. — Сет Шварц.

Максимальная безопасная скорость на дороге с наклоном

Роберт Бутш живет примерно в тридцати милях от гоночной трассы Texas Motor Speedway, где 29 апреля CART отменил гонку на 600 км по соображениям безопасности всего за два часа до зеленого флага.Подробности этого странного события могут показаться не совсем уместными для Формулы-1, в которой нет соревнований на овальных трассах.

Получайте последние новости о влиянии коронавируса на авиацию общего назначения, в том числе о том, что делает AOPA для защиты GA, отмене мероприятий, советах пилотам по защите себя и многом другом.

идеальная скорость максимальная безопасная скорость, при которой транспортное средство может повернуть на повороте без помощи трения между шиной и дорогой идеальный угол угол, под которым автомобиль может безопасно повернуть на крутом повороте, который пропорционален идеальная скорость: наклонный изгиб: поворот дороги с уклоном, помогающий автомобилю преодолевать поворот.

Неправильно приклеенные трубы могут скатиться с обода.Это почти всегда вызывает серьезные аварии. Если вы замените трубчатое колесо на дороге, вы не сможете безопасно повернуть на высоких скоростях, пока не вернетесь домой и не приклеите шину заново. Для безопасного прохождения поворотов на высокой скорости клей должен сохнуть не менее нескольких часов. Трубки имеют более высокое сопротивление качению, чем лучшие …

1 Ответ на кривую с наклоном II Рассмотрим мокрую проезжую часть с наклоном, как в примере 5.23 (раздел 5.4), где коэффициент статического трения равен 0,30, а коэффициент кинетического трения равен 0.

Так часто пользуешься числами и цифрами, но какая между ними разница, до сих пор невдомек? Спокойно! После сегодняшнего разговора Ты ни за что не перепутаешь цифру с числом, да еще и друзьям об их различиях расскажешь.

5 39 т.

Готов узнать, чем отличаются цифры от чисел? Не будем тянуть единицу за чуб, а двойку за хвост, рассказываем!

Что такое цифра?

Чтобы разобраться в отличиях между числами и цифрами, для начала запомни несколько простых утверждений:

— Цифры — это единицы счета от 0 до 9, остальные все — числа.

— Числа состоят из цифр.

— Цифры являются знаками, а каждое число — это количественная абстракция.

Слово «цифра» происходит от арабского «сифр», что означает «ноль». Цифры — это знаки для записи чисел. Обычно цифра означает один из следующих графических знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Это так называемые арабские цифры.

Однако кроме арабской существует много других систем счисления, и они настолько отличаются, что число одной из них может оказаться цифрой в другой.

Римские цифры, например, записывают так: I V X L C D M. Поэтому арабское число «10» в римской системе счисления будет цифрой «Х» (десять), которая обозначается латинской буквой.

Шестнадцатеричные цифры, которые чаще всего используют разработчики компьютеров и программисты, на письме обозначают следующим образом: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F. В этой системе счисления арабские цифры от 0 до 9 соответствуют значениям от нуля до девяти, а шесть латинских букв A, B, C, D, E, F соответствуют значениям от десяти до пятнадцати.

Каждое число шестнадцатеричной системы счета записывается с помощью 16-ти цифр.

В некоторых языках (древнегреческом, церковнославянском, иврите) существует система записи чисел буквами.

Как написать цифры на иврите.

Что называют числом?

Число — это один из основных объектов математики, который используют для подсчета, измерения и маркировки.

Символы, применяемые для обозначения чисел, называются цифрами.

Кроме использования цифр при счете и измерении, ими пользуются для маркировки (к примеру, телефонный номер) и упорядочения (например, универсальный идентификационный номер ISBN).

Подытоживая выше сказанное, делаем вывод, что число может указывать на символ, слово или математическую абстракцию.

Но интересно, что кроме практического применения, числа имеют также культурное значение. На Западе, например, число 13 считают несчастливым, а «миллион» часто может означать просто «много».

Читай также:

Заметили орфографическую ошибку? Выделите её мышкой и нажмите Ctrl+Enter

pustunchik.ua

Числа или Цифры. Какая разница ?

Цифры — символы, используемые для записи чисел.

Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел Ци́фры — система знаков («буквы» ) для записи чисел («слов» ) (числовые знаки) . Слово «цифра» без уточнения обычно означает один из следующих десяти («алфавит» ) знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (т. н. «арабские цифры») . Сочетания этих цифр порождают дву-(и более) значные числа. Существуют также много других вариантов («алфавитов») : римские цифры (I V X L C D M) шестнадцатеричные цифры (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F) цифры майя (от 0 до 19) в некоторых языках, например, в древнегреческом, в иврите, в церковнославянском, существует система записи чисел буквами и др. Во множественном числе в обиходной речи слово «цифры» также может обозначать «числовые данные» (так как любое число записывается набором цифр) . Например, «приведём такие цифры» (даже когда речь идёт об одном числовом данном, записанном одной цифрой, следует употреблять множественное число) . Однако неверно говорить «здесь цифры больше» , так как сравниваются не цифры, а числа. Само слово «цифра» происходит от арабского «сыфр» («ноль» ) и в русском языке пишется через букву «и» , в отличие от слов-исключений: цыган, цыплёнок, цыпочки и др. . В науке индийское происхождение так называемых арабских цифр было признано лишь в XIX веке.

Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Цифры — это символы, с помощью которых записываются числа.

существуют цифры майя, индо- арабские и римские.

Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел Ци́фры — система знаков («буквы» ) для записи чисел («слов» ) (числовые знаки) . Слово «цифра» без уточнения обычно означает один из следующих десяти («алфавит» ) знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (т. н. «арабские цифры») . Сочетания этих цифр порождают дву-(и более) значные числа. Существуют также много других вариантов («алфавитов») : римские цифры (I V X L C D M) шестнадцатеричные цифры (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F) цифры майя (от 0 до 19) в некоторых языках, например, в древнегреческом, в иврите, в церковнославянском, существует система записи чисел буквами и др. Во множественном числе в обиходной речи слово «цифры» также может обозначать «числовые данные» (так как любое число записывается набором цифр) . Например, «приведём такие цифры» (даже когда речь идёт об одном числовом данном, записанном одной цифрой, следует употреблять множественное число) . Однако неверно говорить «здесь цифры больше» , так как сравниваются не цифры, а числа. Само слово «цифра» происходит от арабского «сыфр» («ноль» ) и в русском языке пишется через букву «и» , в отличие от слов-исключений: цыган, цыплёнок, цыпочки и др. . В науке индийское происхождение так называемых арабских цифр было признано лишь в XIX веке.

Цифры — это знаки от 0 до 9. Ими мы обозначаем числа. 1 — это цифра. 1 человек — это число. Цифра становится числом, когда мы говорим! человек, два яблока 5 деревьев. Ошибочно считать, что от 0 до 9 — это цифры, а 10 или 25 — это числа. Мы говорим: численность экипажа — 1 человек, но не говорим цифренность экипажа — 12 человек. Вывод: цифры — это знаки, а цифры и их сочетания, обозначающие количество чего-либо, — это числа.

touch.otvet.mail.ru

Число и Цифра — отличие и разница

Число и цифра отличие и разница. В первую очередь надо знать что, символы которые применяются для обозначения количество, придумали в индии 1500 годиков назад. Европейцы про эти символы узнали от арабов, потому что, раньше всех их начали применять арабы. А остальные народы, узнали про них от арабов.

Что значит слово цифра? Это слово арабского происхождения и означает ноль или пустое место. Их существует только десять. Они придуманы для обозначения числа. Вот перечень:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Правда их всего 10. Но ноль не используется при счёте. Поэтому счёт начинается так: один, два, три ………… и. д. Чем отличается число от цифры?

Давайте теперь посмотрим чем отличается число от цифры. Если не существовали бы цифры, не существовали бы и числа. Первое из них это 10. Чтобы написать десять нужны две цифры 1 и 0. Как раз поэтому и были нужны цифры, ими обозначают числа. Они отличаются от цифр тем что у них нет конца. Они начинаются от десяти и не кончаются. Например:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 …. и. д.

Числа которые приведены здесь называют натуральными. В ряду натуральных чисел каждое предыдущее число больше на 1. Поэтому их невозможно сосчитать.

Кроме арабских чисел мы знаем еще римские. Римские тоже применяются для, обозначение количества. И этими числами также можно обозначить неограниченное количество. Но арабские гораздо практичные, поэтому римские числа заменили арабскими. Римские:

I, V, X, L, C, D, M

Были времена когда у людей не было систем счёта. Но спустя века люди начали их придумывать. Например у многих древных народов были алфавиты, они буквы алфавита использовали как числа. Но потом когда империи завоёвывали страны в тех странах начинали использовать те системы и символики которыми пользовались империи. Вот почему почти весь мир использовал римские числа. Но всредние века римский папа увидел арабскую систему цифр и понял что она гораздо практичнее чем римская система, и начал пропагандировать эту систему. Например система цифр была и у Майя, она тоже похожа на эти системы. Кстати её можно посмотреть в левом меню.

Этот сайт с каждым днём растёт, добавляется интересная информация и сервисы. Не забудьте его добавить в закладку своего браузера.

chislo-cifra.com

Теория вероятностей. Решение задач (ЕГЭ — 2021)

Так стоп! Новое определение.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её \( 3\) раза.
Возможные варианты:

Так вот, несовместные события – это определенная, заданная последовательность событий. \( 1),\text{ }2),\text{ }3),\text{ }4)\ldots \text{ }8)\) – это несовместные события.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий, то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки – это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности \( 1\)) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.

Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?
\( \displaystyle p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно \( 1\) раз, т.е. варианты \( 4),\text{ }6)\) и \( 7)\), то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Всего вариантов \( 8\), нам подходит \( 3\).

\( \displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}=\frac{3}{8}\)

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:

\( \displaystyle p={{p}_{4}}+{{p}_{6}}+{{p}_{7}}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\)

Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку \( 3\) раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла \( 1\) раз.
Что должно произойти?

Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:

\( \displaystyle \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\)

Давай рассмотрим несколько примеров.

готовимся к собеседованию и разрешаем «парадоксы» / Блог компании Образовательные проекты JetBrains / Хабр

Если непонимание алгебры или математического анализа может мало влиять на вашу жизнь, то непонимание теории вероятностей делает из вас лёгкую мишень для обмана и манипулирования. Суждения о вероятностях различных событий настолько глубоко вошли в нашу повседневную жизнь, что умение правильно рассуждать и отличать правду от невежества или манипуляции является необходимым. В этом небольшом обзоре мы поговорим о базовых понятиях теории вероятностей, научимся правильно формулировать утверждения про простые случайные процессы и разберём несколько парадоксов. Часть материала позаимствована из брошюры А. Шеня «Вероятность: примеры и задачи», которую я очень рекомендую для самостоятельного изучения.

Перед тем, как говорить об определениях, нам нужно договориться о том, откуда же в нашем мире берётся случайность. Например, почему мы считаем, что подбрасывание монеты — это случайный процесс? С точки зрения классической физики, описывающей процессы в макромире, всё детерминировано, поэтому по параметрам подброса монеты можно однозначно определить, какой стороной она упадёт. Однако на практике оказывается, что измерить и учесть все силы, которые действуют на монетку фактически, невозможно, и поэтому результат этого эксперимента принято считать случайным. Важно понимать, что этот вопрос не является вопросом теории вероятностей. Теория вероятностей работает с моделями — для неё монетка, у которой орёл и решка выпадают одинаково часто, и монетка, у которой орлов в два раза больше, чем решек, — это просто две разные модели. Вопрос о том, какая из моделей больше соответствует наблюдаемой действительности — это вопрос нашего опыта (опыт показывает, что частота орла и решки примерно одинаковая). Таким образом, первым делом мы должны договориться о модели.

Определения

Вероятностное пространство в самом простом конечном случае состоит из множества элементарных исходов и набора неотрицательных чисел , таких что их сумма равна . Довольно часто все исходы считаются равновероятными, т.е. . В более сложном бесконечном случае нужно отдельно выделять множество интересующих нас событий и задавать вероятности событий при помощи функции, называемой вероятностной мерой. Событием называется множество, состоящее из элементарных событий, т.е. любое подмножество . Вероятность события , обозначается , — это сумма всех таких , что . В частности, вероятность пустого события равна нулю, а события равна 1. В случае, когда все исходы считаются равновероятными, вероятность события просто равна отношению количества исходов, содержащихся в событии, к общему количеству элементарных исходов, т.е. .

Вероятность любого события заключена между 0 и 1. Если вероятность события нулевая, то такое событие называется невозможным, если же вероятность события равна единице, то такое событие называется достоверным.

Важно, что без определения вероятностного пространства нельзя (в математическом смысле) говорить о вероятности чего-либо.

Замечание

Пример: подбрасывание монетки

1. Не выпадет ни орёл, ни решка. Это соответствует событию , .
2. Выпадет орёл, , .
3. Выпадет решка, , .
4. Выпадет орёл или решка, , .

Пример: подбрасывание игрального кубика

1. Выпадет 1, , .
2. Выпадет число большее трёх, , .
3. Выпадет число кратное трём, , .

Пример: два подбрасывания монетки

1. В первом броске выпадет решка, , .
2. Выпадет хотя бы одна решка, , .
3. Монетка дважды выпадет одной стороной, , .

Пример: выбираем случайное число из календаря 2020 года

Пример события: «выпавшее число месяца делится на 10». Это соответствует событию
.

Замечание

Задачи для самопроверки

1. Бросаем два игральных кубика: красный и синий. Определите вероятность того, что цифры на красном и синем кубиках совпадут.
2. В этом же эксперименте с кубиками нужно найти наиболее вероятную сумму цифр на кубиках.
3. Наудачу выбирается одно число от 1 до 20. Считая все числа равновозможными, определите вероятность того, что выбранное число:
   
   • чётно;
   • делится на 3;
   • делится и на 2, и на 3;
   • не делится ни на 2, ни на 3;
   • имеет сумму цифр 9;
   • имеет сумму цифр, делящуюся на 3.

Пример вероятностного пространства, не соответствующего физическому миру

Формула суммы вероятностей

Несовместные события обладают следующим свойством. Пусть и — два несовместных события. Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них, равна сумме вероятностей и , другими словами , событие также называют суммой событий и и обозначают . Это свойство не выполняется для произвольных событий. Например, события «на игральном кубике выпало чётное число» и «на игральном кубике выпало число больше четырёх» не несовместны и сумма их вероятностей (5/6) больше вероятности их суммы (4/6).

Рассмотрим следующую задачу. В мешке лежат шарики трёх цветов: белые, жёлтые и чёрные. Причём известно, что белых от общего числа, а жёлтых — . Какова вероятность того, что случайно вытащенный шар будет светлым? Аккуратный подсчёт показывает, что если в мешке шаров, то рассматриваемому событию соответствует шаров, т.е. от общего числа шаров. События «вытащен белый шар» и «вытащен жёлтый шар» несовместны, поэтому вероятность, что шар будет светлым равна сумме вероятностей этих событий.

События называются противоположными, если всегда происходит ровно одно из них. Из этого определения можно заключить, что во-первых, эти события несовместны, а во-вторых, их суммарная вероятность равна 1. Событие, противоположное событию , выражается, как (если все элементарные исходы имеют положительную вероятность, то это единственное такое событие).

Задача для самопроверки

1. число чётно;
2. число нечётно;
3. число делится на 4;
4. число имеет остаток 2 при делении на 4;
5. число имеет остаток 1 при делении на 4.

Формула включений и исключений

Задача для самопроверки

Условная вероятность

Из формулы условной вероятности можно получить формулу для вероятности произведения двух событий.

Задача для самопроверки

Независимость

Альтернативное определение можно получить, если воспользоваться определением условной вероятности: два события называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Задачи для самопроверки

1. Являются ли события «знать немецкий» и «знать французский» независимыми?
2. Бросаем один игральный кубик. Являются ли независимыми события:
   
   1. «выпало чётное» и «выпало нечётное»,
   2. «выпало чётное» и «выпало 2»,
   3. «выпало чётное» и «выпало кратное трём».

На этом мы закончим с определениями и перед тем, как перейти к парадоксам, давайте обсудим, а в каких случаях мы можем говорить о вероятности.

Когда мы можем говорить о вероятности?

Какова вероятность того, что гуляя по улице вы встретите динозавра?

Я думаю, что всем ясно, что это не 1/2. Но всё же, как правильно ответить на этот вопрос? Проблема этого вопроса в том, что он сформулирован некорректно — из него нельзя однозначным образом определить вероятностное пространство, а следовательно и о вероятности говорить нельзя. Можно предложить какую-нибудь другую формулировку вопроса, в которой это будет очевидно. Например, начиная с завтрашнего дня на каждой улице города каждую минуту с вероятностью 0.00001 материализуется динозавр и существует в течение часа, никуда не уходя. В данной формулировке понятен случайный процесс и можно оценить вероятность встречи, если определить, как устроена прогулка, сколько длится и сколько улиц она затрагивает.

Очень хочется сказать, что в данном случае уж точно вероятность — 1/2. Однако, строго говоря, никакого случайного процесса уже нет. Монетка уже упала какой-то стороной. От того, что вы чего-то не знаете, не значит, что это что-то случайное. Например, если вы не знаете решение уравнения — это не значит, что его решением с одинаковой вероятностью может быть любое число. Поэтому в данном случае описать вероятностное пространство не получится. Можно переформулировать вопрос, например, так: «Какова вероятность, что вы угадаете сторону монетки, если наугад равновероятно выберите орёл или решку?». В такой формулировке уже ясно, что является случайным процессом (выбор орла или решки), как определить вероятностное пространство и получить ответ 1/2. При этом, в такой формулировке уже совершенно неважно, была монетка «честной» или нет.

Замечание. Нашу уверенность в чём-то тоже можно описывать в терминах теории вероятностей — это делается в рамках Байесовской интерпретации теории вероятностей. Эта интерпретации позволяет использовать аппарат теории вероятностей для оценки нашей уверенности в истинности каких-то утверждений (не обязательно случайных) основываясь на информации, которая нам известна. Однако стоит заметить, что в этом случае понятие вероятности становится субъективным — у одного и того же события с точки зрения разных наблюдателей может быть разная вероятность. Например, в покере вы можете считать вероятность выпадения пиковой дамы положительной (так как вы не видите её на столе и в своей руке), а ваш противник, у которого в руке уже есть пиковая дама, будет оценивать вероятность её выпадения как нулевую. При этом можно придумать и такой вариант, в котором обе оценки окажутся отличными от «реальной», объктивной, вероятности. В этом нет противоречия, т.к. в это три различные величины (игроки обладают разной информацией, а объективная вероятность в данном случае соответствует полной информации).

Вы проснулись утром. Какова вероятность того, что сегодня воскресенье?

Думаю, что вы уже поняли, что ответ 1/7 — неправильный, а точнее, вопрос некорректный. Не понятно, что является случайный процессом. Для того, чтобы получить 1/7 нужно уточнить вопрос, например, так: вы засыпаете в воскресенье вечером и случайным образом просыпаетесь в любое утро на следующей неделе, какова вероятность, что вы проснётесь в воскресенье? Но даже с этим уточнением, если спросить вас о дне недели уже после того, как вы проснулись (после того, как случайный выбор был сделан), то такой вопрос останется некорректным — иначе придётся предполагать, что вы находитесь в суперпозиции всех дней недели до тех пор, пока не посмотрите на календарь.

Хотелось бы сказать, что это число простое с вероятностью более 99.99%. Однако, с математической точки зрения число может быть либо простым, либо нет. Поэтому так говорить некорректно. После того, как алгоритм завершил работу, ничего случайного в этой постановке задачи уже нет, следовательно нет и вероятности. Правильно было бы сказать, что вы уверены на 99.99%, что это число простое, но и это вы можете заявить только в том случае, если доверяете мне на 100% 🙂

Парадоксы

Парадокс Монти-Холла

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

1. автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
2. ведущий знает, где находится автомобиль;
3. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
4. если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

Мы не знаем, как игрок делает выбор первой двери, но нам и не нужно это знать. Достаточно проверить, как работает стратегия при всех выборах первой двери. Обозначим через дверь, которую игрок выбрал изначально, а через — дверь, за которой спрятан автомобиль. Тогда для любого событие «игрок выиграл при использовании стратегии » соответствует тому, что он угалад правильную дверь с первой попытки. Говоря формально, нас интересует событие , т.е. , и его вероятность . Событие «игрок выиграл при использовании стратегии » соответствует противоположному событию , т.е. , и его вероятность . Осталось ещё раз отметить, что, если этот анализ верен для любого выбора , поэтому верен и при любой стратегии выбора первой двери. Кроме того, заметим, что мы никак не использовали условие 4.

Как видите, никаких неоднозначностей тут нет, парадоксом эта задача называется только потому, что ответ может не соответствовать интуиции. Но так в математике случается довольно часто.

Парадокс мальчика и девочки

Впервые задача была сформулирована в 1959 году, когда Мартин Гарднер опубликовал один из самых ранних вариантов этого парадокса в журнале Scientific American под названием «The Two Children Problem», где привёл следующую формулировку:

• У мистера Джонса двое детей. Старший ребёнок — девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка — девочки?
• У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребёнок — мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики?

Сам Гарднер изначально давал ответ и соответственно, но впоследствии понял, что ситуация во втором случае неоднозначна. Ответом на второй вопрос может быть и в зависимости от того, как было выяснено, что один из детей — мальчик.

Во втором случае всё сложнее, т.к. не понятно, как мы узнали, что у мистера Смита один из детей мальчик. Можно предположить два варианта:

1. Выбирается случайный человек с двумя детьми и его спрашивают, есть ли среди его детей мальчик. Тогда вероятность двух мальчиков получится 1/3, т.к. это соответствует вероятности ММ при условии события .
2. Выбирается случайный человек с двумя детьми, выбирается случайный его ребёнок (старший или младший) и спрашивается его пол. Этот эксперимент соответствует другому вероятностному пространству, в котором нужно ещё учесть выбор того ребёнка, про которого спрашивают. В нём будет 8 элементарных исходов, и нам подойдут четыре из них (ММ и спросили про старшего, ММ и спросили про младшего, МД и спросили про старшего, ДМ и спросили про младшего). Нам подходят два исхода, поэтому ответом будет 1/2.

Парадокс Спящей Красавицы

Испытуемой («Спящей Красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монетка. В случае выпадения орла её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.

Представьте себя на месте Спящей Красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монетка упала решкой?

Решение 1

Решение 2

Кажется, что оба решения могут претендовать на звание правильного. Однако, при попытке определить вероятностное пространство нас ожидают серьёзные трудности. Что же является случайным процессом? Дело в том, что когда Спящая Красавица просыпается, никакого случайного процесса уже нет. Выбор уже сделан. Ей не известен результат этого выбора, но ничего случайного уже нет. Это возвращает нас к примеру с динозавром. Если вы не знаете, есть ли за углом динозавр, то это не значит, что он там есть с вероятностью 1/2. Поэтому «Решение 1» отвечает не на вопрос про вероятность, а на вопрос про степень уверенности Спящей Красавицы. А «Решение 2» предлагает рассмотреть совершенно другой эксперимент, в котором задаётся в общем-то совершенно другой вопрос, на который предлагается ответить внешнему наблюдателю до начала эксперимента.

Для того, чтобы придать этому вопросу математический смысл и получить желаемый ответ 2/3, придётся воспользоваться каким-нибудь философским приёмом, вроде «подселения душ». Например, так: вы заходите в аппарат переселения душ, после этого подбрасывается монетка для Спящей Красавицы, которая создаёт две параллельные вселенные: одну, где монетка выпала орлом, и другую, где выпала решкой. Суммарно в пространстве-времени этих двух альтернативных вселенных есть три различных пробуждения Спящей Красавицы. Аппарат по переселению душ с вероятностью 1/3 подселяет вашу душу в тело Спящей Красавицы незадолго до одного из этих пробуждений. Какова вероятность, что вы проснетесь в параллельной вселенной, где выпала решка?

Как видите, для придания математического смысла этому вопросу, придётся хорошенько пофантазировать, но этим занимаются не математики, а философы (подробнее в этом посте). Утверждать, что «оба решения правильные», некорректно с математической точки зрения.

Задача для самопроверки

Бесконечный случай

Вместо заключения

БОНУС

независимых событий: правило «хотя бы одно» — видео и стенограмма урока

«По крайней мере одно правило»

Иногда при вычислении независимых событий важно, чтобы событие произошло хотя бы один раз. Это называется правилом «По крайней мере один» . Чтобы рассчитать вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз, это будет дополнение к событию, которое никогда не произойдет. Это означает, что вероятность того, что событие никогда не произойдет, и вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз, будет равна единице или 100% -ному шансу.

Например, вероятность выиграть главный приз в местном розыгрыше составляет 1 из 30. Тим и его жена Джейн купили билеты. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет главный приз? Сначала нам нужно определить вероятность того, что Тим и Джейн не выиграют главный приз. Поскольку вероятность того, что один человек выиграет приз, составляет 1 из 30, вероятность того, что один человек не выиграет главный приз, составляет 29/30, или 0,96.

Помните, что для расчета вероятности нескольких независимых событий — в данном случае, когда оба они не выиграют главный приз — мы находим вероятность того, что каждое событие произойдет отдельно, и умножаем их вместе.2 = 0,935.

Таким образом, вероятность того, что ни Тим, ни Джейн не выиграют главный приз, составляет 0,935. Чтобы вычислить вероятность того, что хотя бы один из них выиграет главный приз, нам нужно найти дополнение к этому числу. Вероятность не выигрыша плюс вероятность хотя бы одного выигрыша равняется целому. Таким образом, вычитая 1–0,935, мы видим, что вероятность того, что Тим или Джейн выиграют главный приз, составляет 0,065, или 6,5%.

Когда диктор подходит к микрофону, чтобы назвать выигрышный билет, Тиму и Джейн не нравятся их шансы.Диктор подходит к микрофону и выкрикивает имя Джейн. Джейн так взволнована и прыгает от радости, что ей удалось превзойти все шансы на получение главного приза.

Пример

Давайте посмотрим на другой пример. Тим и Джейн планируют потратить свой главный приз на четырехдневную лыжную прогулку. Они хотят быть уверены, что снег будет хотя бы один день, пока они в пути. На горнолыжном курорте, который они забронировали, есть вероятность 65%, что снег будет идти каждый день. Какова вероятность того, что во время их четырехдневной лыжной поездки хотя бы один день пойдет снег?

Первый шаг для расчета вероятности выпадения снега хотя бы в один день — это определить вероятность того, что снегопад не будет во время их четырехдневной поездки.4, что составляет 0,015. Вероятность того, что за их четырехдневную поездку вообще не будет снега, составляет 0,015.

Чтобы рассчитать вероятность того, что по крайней мере один день будет снег, нам нужно вычислить дополнение этого события. Для этого вычтем 1 — 0,015, что равно 0,985. Тим и Джейн знают, что вероятность выпадения снега хотя бы в один день во время их лыжной поездки составляет 0,985 или 98,5%. Когда Тим и Джейн прибывают на горнолыжный курорт, начинает падать снег. Это самое красивое зрелище, которое они когда-либо видели.

Сводка урока

Итак, для анализа, независимых событий — это события, которые не влияют на результат последующих событий. В независимом событии каждая ситуация отличается от предыдущих событий. Иногда при вычислении независимых событий важно, чтобы событие произошло хотя бы один раз. Это называется правилом «По крайней мере один» . Чтобы рассчитать вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз, она будет дополнением к вероятности того, что событие никогда не произойдет.При расчете этой суммы вы можете использовать экспоненты, чтобы умножить количество произошедших событий.

Результат обучения

После просмотра этого урока вы должны быть в состоянии интерпретировать процесс дополнительных событий, чтобы узнать вероятность того, что что-то произойдет хотя бы один раз.

Вероятность | Безграничная алгебра

Основы теории вероятностей

Вероятность — это раздел математики, который имеет дело с вероятностью наступления определенных результатов.Есть пять основных правил, или аксиом, которые нужно понимать, изучая основы вероятности.

Цели обучения

Объясните самые основные и самые важные правила определения вероятности события

Основные выводы

Ключевые моменты

• Вероятность — это число, которое может быть присвоено исходам и событиям. Он всегда больше или равен нулю и меньше или равен единице.
• Сумма вероятностей всех исходов должна равняться [латекс] 1 [/ латекс].
• Если два события не имеют общих исходов, вероятность того, что то или иное произойдет, является суммой их индивидуальных вероятностей.
• Вероятность того, что событие не произойдет, равна [latex] 1 [/ latex] минус вероятность того, что событие действительно произойдет.
• Два события [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] независимы, если знание того, что одно происходит, не меняет вероятность того, что другое произойдет.

Ключевые термины

• событие : подмножество выборочного пространства.
• пробел : набор всех результатов эксперимента.
• эксперимент : то, что делается, что дает измеримые результаты, называемые результатами.
• результат : один из отдельных результатов, которые могут быть получены в эксперименте.

В качестве дискретной вероятности мы предполагаем хорошо определенный эксперимент , такой как подбрасывание монеты или бросание кости. Каждый индивидуальный результат, который мог произойти, называется исходом .Набор всех результатов называется выборкой пространством , а любое подмножество выборочного пространства называется событием .

Например, рассмотрим эксперимент по подбрасыванию монеты два раза. Есть четыре индивидуальных результата, а именно [латекс] HH, HT, TH, TT. [/ Latex] Таким образом, пробелом является [latex] \ {HH, HT, TH, TT \}. [/ Latex] Событие «в выпадет хотя бы одна решка »будет набором [латекс] \ {HH, HT, TH \}. [/ latex] Если бы монета была обычной монетой, мы бы присвоили вероятность [latex] 1/4 [/ latex] к каждому исходу.

В теории вероятностей вероятность [латекс] P [/ латекс] некоторого события [латекс] E [/ латекс], обозначаемого [латекс] P (E) [/ латекс], обычно определяется таким образом, что [латекс ] P [/ latex] удовлетворяет ряду аксиом или правил. Ниже перечислены самые основные и самые важные правила.

Правила вероятности

1. Вероятность — это число. Он всегда больше или равен нулю и меньше или равен единице . Это можно записать как [латекс] 0 \ leq P (A) \ leq 1 [/ latex].Невозможное событие или событие, которое никогда не произойдет, имеет вероятность [latex] 0 [/ latex]. Событие, которое происходит всегда, имеет вероятность [latex] 1 [/ latex]. Событие с вероятностью [латекс] 0,5 [/ латекс] произойдет в половине случаев.
2. Сумма вероятностей всех возможностей должна равняться [латекс] 1 [/ латекс]. В каждом испытании должен быть какой-то результат, и сумма всех вероятностей составляет 100%, или в данном случае [латекс] 1 [/ латекс]. Это можно записать как [latex] P (S) = 1 [/ latex], где [latex] S [/ latex] представляет все пространство сэмплов.
3. Если два события не имеют общих исходов, вероятность того, что одно или другое произойдет, является суммой их индивидуальных вероятностей . Если одно событие происходит в [latex] 30 \% [/ latex] испытаний, другое событие происходит в [latex] 20 \% [/ latex] испытаний, и эти два события не могут происходить вместе (если они не пересекаются) , то вероятность того, что то или иное произойдет, составляет [латекс] 30 \% + 20 \% = 50 \% [/ латекс]. Иногда это называют правилом сложения, и его можно упростить следующим образом: [латекс] P (A \ \ text {или} \ B) = P (A) + P (B) [/ latex].Слово «или» в математике означает то же самое, что и союз, в котором используется следующий символ: [латекс] \ чашка [/ латекс]. Таким образом, когда [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] не пересекаются, мы имеем [latex] P (A \ cup B) = P (A) + P (B) [/ latex].
4. Вероятность того, что событие не произойдет, равна [латекс] 1 [/ latex] минус вероятность того, что событие действительно произойдет . Если событие происходит в [латексе] 60 \% [/ latex] всех испытаний, оно не может произойти в другом [латексе] 40 \% [/ latex], потому что [латекс] 100 \% — 60 \% = 40 \%[/латекс].c [/ latex] является дополнением к [latex] A [/ latex].
5. Два события [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс] являются независимыми, если знание того, что одно происходит, не изменяет вероятность того, что другое произойдет . Это часто называют правилом умножения. Если [латекс] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] независимы, то [latex] P (A \ \ text {and} \ B) = P (A) P (B) [/ latex] . Слово «и» в математике означает то же самое, что и пересечение, в котором используется следующий символ: [latex] \ cap [/ latex].Следовательно, когда A и B независимы, мы имеем [latex] P (A \ cap B) = P (A) P (B). [/ Latex]

Расширение примера

Продолжая описанный выше пример подбрасывания двух монет, присвойте вероятность [latex] 1/4 [/ latex] каждому из результатов [latex] 4 [/ latex]. Мы рассматриваем каждое из пяти правил выше в контексте этого примера.

1. Обратите внимание, что каждая вероятность составляет [латекс] 1/4 [/ латекс], что находится между [латексом] 0 [/ латексом] и [латексом] 1 [/ латексом].

2. Обратите внимание, что сумма всех вероятностей равна [latex] 1 [/ latex], поскольку [latex] \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4 } + \ frac {1} {4} = 1 [/ латекс].

3. Предположим, что [latex] A [/ latex] — это событие, когда происходит ровно одна голова, а [latex] B [/ latex] — это событие, когда происходит ровно два хвоста. Тогда [latex] A = \ {HT, TH \} [/ latex] и [latex] B = \ {TT \} [/ latex] не пересекаются. Кроме того, [латекс] P (A \ cup B) = \ frac {3} {4} = \ frac {2} {4} + \ frac {1} {4} = P (A) + P (B). [/ латекс]

4. Вероятность того, что выпадет голова, составляет [латекс] 1/4 [/ латекс], что равно [латексу] 1-3 / 4 [/ латекс]. Итак, если [latex] A = \ {HT, TH, HH \} [/ latex] — это событие, при котором возникает голова, мы имеем [latex] P (A ^ c) = \ frac {1} {4} = 1 — \ frac {3} {4} = 1-P (A).[/ латекс]

5. Если [latex] A [/ latex] — это событие, когда первый флип — это решка, а [latex] B [/ latex] — это событие, когда второй флип является хедом, то [latex] A [/ latex ] и [latex] B [/ latex] независимы. У нас есть [латекс] A = \ {HT, HH \} [/ latex] и [latex] B = \ {TH, HH \} [/ latex] и [латекс] A \ cap B = \ {HH \}. [/ latex] Обратите внимание, что [латекс] P (A \ cap B) = \ frac {1} {4} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = P (A) P (B). [/ Латекс]

Кубик: Игральные кости часто используются при изучении правил вероятности.

Союзы и пересечения

Объединение и пересечение — два ключевых понятия в теории множеств и вероятности.

Цели обучения

Приведите примеры пересечения и объединения двух или более множеств

Основные выводы

Ключевые моменты

• Объединение двух или более наборов — это набор, который содержит все элементы двух или более наборов. Союз обозначается символом [латекс] \ чашка [/ латекс].
• Общее правило сложения вероятностей для объединения двух событий гласит, что [латекс] P (A \ cup B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B) [/ latex], где [latex ] A \ cap B [/ latex] — это пересечение двух наборов.
• Правило сложения может быть сокращено, если наборы не пересекаются: [латекс] P (A \ cup B) = P (A) + P (B) [/ latex]. Это может быть даже расширено на большее количество множеств, если все они не пересекаются: [латекс] P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C) [/ latex].
• Пересечение двух или более наборов — это набор элементов, общих для каждого набора. Символ [латекс] \ крышка [/ латекс] используется для обозначения пересечения.
• Когда события независимы, мы можем использовать правило умножения для независимых событий, которое гласит, что [latex] P (A \ cap B) = P (A) P (B) [/ latex].

Ключевые термины

• независимый : Не зависит от чего-либо еще.
• непересекающиеся : не имеющие общих членов; имеющий пересечение, равное пустому множеству.

Введение

Вероятность использует математические идеи множеств, как мы видели в определении как выборочного пространства эксперимента, так и в определении события. Чтобы выполнить базовые вычисления вероятности, нам необходимо рассмотреть идеи теории множеств, относящиеся к операциям объединения, пересечения и дополнения множеств.

Союз

Объединение двух или более наборов — это набор, который содержит все элементы каждого из наборов; элемент входит в объединение, если он принадлежит хотя бы к одному из множеств. Символ объединения — [latex] \ cup [/ latex] и связан со словом «или», потому что [latex] A \ cup B [/ latex] — это набор всех элементов, которые находятся в [latex] A [/ latex] или [latex] B [/ latex] (или оба.) Чтобы найти объединение двух наборов, перечислите элементы, которые находятся в одном (или обоих) наборах. В терминах диаграммы Венна объединение наборов [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс] может быть показано как два полностью заштрихованных взаимосвязанных круга.

Объединение двух наборов: Закрашенная диаграмма Венна показывает объединение набора [латекс] A [/ латекс] (круг слева) с набором [латекс] B [/ латекс] (круг справа). Сокращенно это можно записать как [латекс] A \ чашка B [/ латекс].

В символах, поскольку объединение [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] содержит все точки, которые находятся в [latex] A [/ latex] или [latex] B [/ latex] или оба, определение союза:

[латекс] \ Displaystyle A \ чашка B = \ {x: x \ in A \ text {или} \ x \ in B \} [/ латекс]

Например, если [латекс] A = \ {1, 3, 5, 7 \} [/ латекс] и [латекс] B = \ {1, 2, 4, 6 \} [/ латекс], то [латекс ] A \ cup B = \ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} [/ латекс].Обратите внимание, что элемент [latex] 1 [/ latex] не указан дважды в объединении, хотя он присутствует в обоих наборах [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex]. Это приводит нас к общему правилу сложения для объединения двух событий:

[латекс] \ Displaystyle P (A \ чашка B) = P (A) + P (B) — P (A \ cap B) [/ латекс]

Где [латекс] P (A \ cap B) [/ latex] — пересечение двух наборов. Мы должны вычесть это, чтобы избежать двойного счета включения элемента.

Если наборы [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] не пересекаются, то событие [latex] A \ cap B [/ latex] не имеет результатов и является пустым набором, обозначенным как [latex] \ emptyset [/ latex], вероятность которого равна нулю.Таким образом, приведенное выше правило может быть сокращено только для непересекающихся множеств:

[латекс] \ Displaystyle P (A \ чашка B) = P (A) + P (B) [/ латекс]

Это может быть даже расширено на большее количество наборов, если все они не пересекаются:

[латекс] \ Displaystyle P (A \ чашка B \ чашка C) = P (A) + P (B) + P (C) [/ латекс]

Перекресток

Пересечение двух или более наборов — это набор элементов, общих для каждого из наборов. Элемент находится в пересечении, если он принадлежит всем множествам. Символ пересечения — [латекс] \ cap [/ latex] и связан со словом «и», потому что [latex] A \ cap B [/ latex] — это набор элементов, которые находятся в [латексе] A [ / latex] и [latex] B [/ latex] одновременно.Чтобы найти пересечение двух (или более) наборов, включите только те элементы, которые перечислены в обоих (или во всех) наборах. В терминах диаграммы Венна пересечение двух наборов [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс] может быть показано в заштрихованной области в середине двух взаимосвязанных кругов.

Пересечение двух наборов: Набор [латекс] A [/ latex] — круг слева, набор [латекс] B [/ latex] — круг справа, а пересечение [латекса] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс] или [латекс] A \ cap B [/ latex] — это заштрихованная часть в середине.

В математической записи пересечение [латекса] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] записывается как [latex] A \ cap B = \ {x: x \ in A \ \ text {и} \ x \ in B \} [/ латекс]. Например, если [латекс] A = \ {1, 3, 5, 7 \} [/ латекс] и [латекс] B = \ {1, 2, 4, 6 \} [/ латекс], то [латекс] A \ cap B = \ {1 \} [/ latex], потому что [latex] 1 [/ latex] — единственный элемент, который присутствует в обоих наборах [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex].

Когда события независимы, то есть результат одного события не влияет на результат другого события, мы можем использовать правило умножения для независимых событий, которое гласит:

[латекс] \ Displaystyle P (A \ cap B) = P (A) P (B) [/ латекс]

Например, предположим, что мы дважды подбрасывали монету, и мы хотим узнать вероятность того, что выпадет две орла.Поскольку первый бросок не влияет на второй, события независимы. Скажем, это событие, когда первый бросок — орел, а [латекс] B [/ latex] — это событие, когда второй бросок — это орел, тогда [латекс] P (A \ cap B) = \ frac {1} {2 } \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ latex].

Условная вероятность

Условная вероятность события — это вероятность того, что событие произойдет, при условии, что произошло другое событие.

Цели обучения

Объясните значение теоремы Байеса для манипулирования условными вероятностями

Основные выводы

Ключевые моменты

• Условная вероятность [latex] P (B \ vert A) [/ latex] события [latex] B [/ latex], учитывая событие [latex] A [/ latex], определяется следующим образом: [latex] P (B | A) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} [/ latex], когда [latex] P (A)> 0 [/ latex].
• Если знание того, что событие [latex] A [/ latex] происходит, не изменяет вероятность того, что событие [latex] B [/ latex] происходит, то [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] являются независимыми событиями, и, следовательно, [latex] P (B | A) = P (B) [/ latex].
• Математически теорема Байеса дает соотношение между вероятностями [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс], [латекс] P (A) [/ латекс] и [латекс] P (B) [/ latex], и условные вероятности [latex] A [/ latex] для [latex] B [/ latex] и [latex] B [/ latex] для [latex] A [/ latex], [latex] P (A | B) [/ латекс] и [латекс] P (B | A) [/ латекс].В наиболее распространенной форме это: [латекс] P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {P (B)} [/ latex].

Ключевые термины

• условная вероятность : вероятность того, что событие произойдет с учетом ограничительного допущения, что произошло другое событие или что имело место сочетание других событий
• независимый : не зависимый; не случайный или зависящий от чего-то еще; бесплатно.

Вероятность [латекса] B [/ латекса] с учетом того, что [латекс] A [/ латекс] имел место

Наша оценка вероятности события может измениться, если мы знаем, что произошло какое-то другое событие.Например, вероятность того, что свернутый кубик показывает [латекс] 2 [/ латекс], составляет [латекс] 1/6 [/ латекс] без какой-либо другой информации, но если кто-то посмотрит на кубик и скажет вам, что это четный число, теперь вероятность [latex] 1/3 [/ latex], что это [latex] 2 [/ latex]. Обозначение [латекс] P (B | A) [/ latex] указывает условную вероятность, то есть указывает вероятность одного события при условии, что мы знаем, что другое событие произошло. Бар «|» можно читать как «данный», так что [латекс] P (B | A) [/ latex] читается как «вероятность [латекса] B [/ latex] с учетом того, что [latex] A [/ latex] произошел ».

Условная вероятность [latex] \ displaystyle P (B | A) [/ latex] события [latex] B [/ latex], учитывая событие [latex] A [/ latex], определяется следующим образом:

[латекс] \ Displaystyle P (B | A) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} [/ латекс]

Когда [латекс] P (A)> 0 [/ латекс]. Обязательно запомните различные роли [латекса] B [/ латекса] и [латекса] A [/ латекса] в этой формуле. Набор после бара — это тот, который, как мы предполагаем, произошел, и его вероятность входит в знаменатель формулы.

Пример

Предположим, что монета подбрасывается 3 раза, что дает пробел:

[латекс] S = \ {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT \} [/ латекс]

Каждый индивидуальный исход имеет вероятность [латекс] 1/8 [/ латекс].Предположим, что [latex] B [/ latex] — это событие, при котором выпадает хотя бы одна голова, а [latex] A [/ latex] — это событие, когда все монеты [latex] 3 [/ latex] одинаковы. Тогда вероятность [latex] B [/ latex] для [latex] A [/ latex] равна [latex] 1/2 [/ latex], поскольку [latex] A \ cap B = \ {HHH \} [/ latex ] с вероятностью [латекс] 1/8 [/ латекс] и [латекс] A = \ {HHH, TTT \} [/ latex] с вероятностью [латекс] 2/8 [/ латекс] и [латекс] \ frac {1/8} {2/8} = \ frac {1} {2}. [/ latex]

Независимость

Условная вероятность [латекс] P (B | A) [/ latex] не всегда равна безусловной вероятности [latex] P (B) [/ latex].Причина этого в том, что возникновение события [latex] A [/ latex] может предоставить дополнительную информацию, которая может изменить вероятность возникновения события [latex] B [/ latex]. Если знание о том, что происходит событие [latex] A [/ latex], не изменяет вероятность того, что событие [latex] B [/ latex] происходит, то [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] являются независимые события, и, таким образом, [латекс] P (B | A) = P (B) [/ latex].

Теорема Байеса

В теории вероятностей и статистике теорема Байеса (альтернативно закон Байеса или правило Байеса) является важным результатом при математическом манипулировании условными вероятностями.Его можно вывести из основных аксиом вероятности.

Математически теорема Байеса дает соотношение между вероятностями [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс], [латекс] P (A) [/ латекс] и [латекс] P (B) [/ latex] и условные вероятности [latex] A [/ latex] для [latex] B [/ latex] и [latex] B [/ latex] для [latex] A [/ latex]. В наиболее распространенной форме это:

[латекс] \ Displaystyle P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {P (B)} [/ латекс]

Это может быть легче запомнить в этой альтернативной симметричной форме:

[латекс] \ Displaystyle \ frac {P (A | B)} {P (B | A)} = \ frac {P (A)} {P (B)} [/ латекс]

Пример:

Предположим, кто-то сказал вам, что приятно поговорил с кем-то в поезде.Ничего не зная об этом разговоре, вероятность того, что они говорили с женщиной, составляет [латекс] 50 \% [/ латекс]. Теперь предположим, что они также сказали вам, что у этого человека были длинные волосы. Теперь более вероятно, что они разговаривали с женщиной, поскольку женщины в этом городе чаще имеют длинные волосы, чем мужчины. Теорема Байеса может использоваться для расчета вероятности того, что это женщина.

Чтобы увидеть, как это делается, пусть [latex] W [/ latex] представляет событие, в котором беседа велась с женщиной, а [latex] L [/ latex] обозначает событие, когда беседа велась с длинным волосатый человек.Можно предположить, что для этого примера женщины составляют половину населения. Итак, не зная ничего другого, вероятность того, что [latex] W [/ latex] встречается, равна [latex] P (W) = 0,5 [/ latex].

Предположим, также известно, что [латекс] 75% [/ латекс] женщин в этом городе имеют длинные волосы, которые мы обозначаем как [латекс] P (L | W) = 0,75 [/ латекс]. Аналогично предположим, что известно, что [латекс] 25 \% [/ латекс] мужчин в этом городе имеют длинные волосы, или [латекс] P (L | M) = 0,25 [/ латекс], где [латекс] M [/ латекс] является дополнительным элементом [латекс] W [/ латекс], т.е.е., событие, при котором беседа велась с мужчиной (при условии, что каждый человек является мужчиной или женщиной).

Наша цель — вычислить вероятность того, что разговор велся с женщиной, учитывая тот факт, что у человека были длинные волосы, или, в наших обозначениях, [латекс] P (W | L) [/ латекс]. Используя формулу теоремы Байеса, имеем:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} P (W | L) & = \ frac {P (L | W) P (W)} {P (L)} \\ & = \ frac {P (L | W) P (W)} {P (L | W) P (W) + P (L | M) P (M)} \\ & = \ frac {0.c [/ latex] или [latex] \ bar {A} [/ latex].

Ключевые термины

• взаимоисключающие : описание нескольких событий или состояний, при которых возникновение одного подразумевает ненаступление всех остальных
• исчерпывающий : включая все возможные элементы

Что такое дополнительные события?

В теории вероятностей дополнением к любому событию [latex] A [/ latex] является событие [latex] [\ text {not} \ A] [/ latex], т.е.е. событие, при котором [латекс] A [/ латекс] не встречается. Событие [latex] A [/ latex] и его дополнение [latex] [\ text {not} \ A] [/ latex] являются взаимоисключающими и исчерпывающими, что означает, что если одно происходит, то другое не происходит, и что обе группы охватить все возможности. c [/ latex] или [latex] \ bar {A} [/ latex] .

Простые примеры

Типичным примером, используемым для демонстрации дополнительных событий, является подбрасывание монеты. Допустим, монета подбрасывается и предполагается, что она не может упасть на край. Он может приземлиться либо на голову, либо на хвост. Других возможностей нет (исчерпывающие), и оба события не могут происходить одновременно (взаимоисключающие). Поскольку эти два события дополняют друг друга, мы знаем, что [latex] P (\ text {Head}) + P (\ text {tails}) = 1 [/ latex].

Подбрасывание монеты: Часто в спортивных играх, например в теннисе, подбрасывание монеты используется для определения того, кто подаст первым, поскольку орел и решка дополняют друг друга.

Еще один простой пример дополнительных событий — вытаскивание мяча из мешка. Допустим, в пакете три пластиковых мяча. Один синий и два красных. Предполагая, что каждый мяч имеет равные шансы вытащить из мешка, мы знаем, что [latex] P (\ text {blue}) = \ frac {1} {3} [/ latex] и [latex] P (\ текст {красный}) = \ frac {2} {3} [/ latex]. Поскольку мы можем выбрать только синий или красный (исчерпывающий), и мы не можем выбрать оба одновременно (взаимоисключающие), выбор синего и красного являются дополнительными событиями, а [latex] P (\ text {blue}) + P ( \ text {red}) = 1 [/ latex].

Наконец, давайте рассмотрим не пример дополнительных событий. Если бы вас попросили выбрать любое число, вы могли бы подумать, что это число может быть простым или составным. Ясно, что число не может быть одновременно простым и составным, так что это учитывает взаимоисключающее свойство. Однако быть простым или составным не являются исчерпывающими, потому что число 1 в математике обозначается как «уникальное». ”

Правило сложения

Правило сложения утверждает, что вероятность двух событий — это сумма вероятностей того, что одно из них произойдет, минус вероятность того, что оба события произойдут.

Цели обучения

Рассчитайте вероятность события с помощью правила сложения

Основные выводы

Ключевые моменты

• Правило сложения: [латекс] P (A \ cup B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B). [/ Latex]
• Последний член учитывался дважды, один раз в [латексе] P (A) [/ latex] и один раз в [латексе] P (B) [/ latex], поэтому его необходимо вычесть один раз, чтобы он не удваивался. -считано.
• Если [латекс] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] не пересекаются, то [latex] P (A \ cap B) = 0 [/ latex], поэтому формула становится [латекс] P (A \ чашка B) = P (A) + P (B).[/ латекс]

Ключевые термины

• вероятность : относительная вероятность того, что событие произойдет.

Закон о добавлении

Закон сложения вероятностей (иногда называемый правилом сложения или правилом сумм), гласит, что вероятность того, что [латекс] A [/ латекс] или [латекс] B [/ латекс] возникнет, является суммой вероятностей того, что [latex] A [/ latex] произойдет, и что [latex] B [/ latex] произойдет, за вычетом вероятности того, что произойдет и [latex] A [/ latex], и [latex] B [/ latex].Правило сложения резюмируется формулой:

[латекс] \ Displaystyle P (A \ чашка B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B) [/ латекс]

Рассмотрим следующий пример. При вытягивании одной карты из колоды игральных карт [latex] 52 [/ latex], какова вероятность получить черву или лицевую карту (король, дама или валет)? Пусть [latex] H [/ latex] обозначает рисование сердца, а [latex] F [/ latex] обозначает рисование лицевой карты. Так как есть [латексные] 13 [/ латексные] червы и в общей сложности [латексные] 12 [/ латексные] лицевые карты ([латекс] 3 [/ латекс] каждой масти: пики, червы, бубны и трефы), но только [latex] 3 [/ latex] лицевых карты червей, получаем:

[латекс] \ Displaystyle P (H) = \ frac {13} {52} [/ латекс]

[латекс] \ Displaystyle P (F) = \ frac {12} {52} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle P (F \ cap H) = \ frac {3} {52} [/ latex]

Используя правило сложения, получаем:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} P (H \ cup F) & = P (H) + P (F) -P (H \ cap F) \\ & = \ frac {13} {52} + \ frac {12} {52} — \ frac {3} {52} \ end {align} [/ latex]

Причина вычитания последнего члена состоит в том, что в противном случае мы будем считать среднюю часть дважды (поскольку [латекс] H [/ латекс] и [латекс] F [/ латекс] перекрываются).

Правило сложения для непересекающихся событий

Предположим, что [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] не пересекаются, их пересечение пусто. Тогда вероятность их пересечения равна нулю. В условных обозначениях: [латекс] P (A \ cap B) = 0 [/ латекс]. Затем закон сложения упрощается до:

[латекс] P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \ qquad \ text {when} \ qquad A \ cap B = \ emptyset [/ latex]

Символ [latex] \ emptyset [/ latex] представляет собой пустой набор, который указывает, что в этом случае [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] не имеют общих элементов (они имеют не перекрываются).

Пример:

Предположим, что карта взята из колоды из 52 игральных карт: какова вероятность получить короля или королеву? Пусть [latex] A [/ latex] представляет событие, когда выпадает король, а [latex] B [/ latex] представляет событие, когда вытаскивается ферзь. Эти два события не пересекаются, поскольку нет королей, которые также были бы королевами. Таким образом:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} P (A \ cup B) & = P (A) + P (B) \\ & = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ & = \ frac {8} {52} \\ & = \ frac {2} {13} \ end {align} [/ latex]

Правило умножения

Правило умножения утверждает, что вероятность того, что [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] встречаются, равна вероятности того, что [latex] B [/ latex] встречается, умноженная на условную вероятность того, что [latex] ] A [/ latex] встречается при условии, что встречается [latex] B [/ latex].

Цели обучения

Примените правило умножения для вычисления вероятности того, что [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] встречаются

Основные выводы

Ключевые моменты

• Правило умножения можно записать как: [latex] P (A \ cap B) = P (B) \ cdot P (A | B) [/ latex].
• Мы получаем общее правило умножения, умножая обе части определения условной вероятности на знаменатель.

Ключевые термины

• пробел : набор всех возможных исходов игры, эксперимента или другой ситуации.

Правило умножения

В теории вероятностей правило умножения гласит, что вероятность того, что [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс] встречается, равна вероятности того, что [латекс] A [/ латекс] встречается, умноженная на условную вероятность что [latex] B [/ latex] встречается, учитывая, что мы знаем, что [latex] A [/ latex] уже произошло. Это правило можно записать:

[латекс] \ Displaystyle P (A \ cap B) = P (B) \ cdot P (A | B) [/ латекс]

Переключая роли [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex], мы также можем записать правило как:

[латекс] \ Displaystyle P (A \ cap B) = P (A) \ cdot P (B | A) [/ латекс]

Мы получаем общее правило умножения, умножая обе части определения условной вероятности на знаменатель.То есть в уравнении [латекс] \ displaystyle P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} [/ latex], если мы умножим обе стороны на [латекс] P (B) [/ latex], получаем Правило умножения.

Правило полезно, когда мы знаем оба [латекс] P (B) [/ latex] и [латекс] P (A | B) [/ latex], или оба [латекс] P (A) [/ latex] и [ латекс] П (В | А). [/ латекс]

Пример

Предположим, что мы вытягиваем две карты из колоды карт, и пусть [latex] A [/ latex] будет событием, когда первая карта является тузом, а [latex] B [/ latex] будет событием, что вторая карта туз, то:

[латекс] \ Displaystyle P (A) = \ frac {4} {52} [/ латекс]

А:

[латекс] \ displaystyle P \ left ({B} | {A} \ right) = \ frac {3} {51} [/ latex]

Знаменатель во втором уравнении [латекс] 51 [/ латекс], поскольку мы знаем, что карта уже разыграна.Таким образом, осталось всего [латекс] 51 [/ латекс]. Мы также знаем, что первой картой был туз, поэтому:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} P (A \ cap B) & = P (A) \ cdot P (B | A) \\ & = \ frac {4} {52} \ cdot \ frac {3 } {51} \\ & = 0,0045 \ end {align} [/ latex]

Независимое событие

Обратите внимание, что когда [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] независимы, мы имеем, что [latex] P (B | A) = P (B) [/ latex], поэтому формула становится [латекс] P (A \ cap B) = P (A) P (B) [/ latex], с которым мы столкнулись в предыдущем разделе.В качестве примера рассмотрим эксперимент по бросанию игральной кости и подбрасыванию монеты. Вероятность того, что мы получим [латекс] 2 [/ latex] на кубике и решки на монете, равна [latex] \ frac {1} {6} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1 } {12} [/ latex], поскольку два события независимы.

Независимость

Сказать, что два события независимы, означает, что возникновение одного не влияет на вероятность другого.

Цели обучения

Объяснить понятие независимости применительно к теории вероятностей

Основные выводы

Ключевые моменты

• Два события являются независимыми, если верно следующее: [latex] P (A | B) = P (A) [/ latex], [latex] P (B | A) = P (B) [/ latex], и [латекс] P (A \ \ text {and} \ B) = P (A) \ cdot P (B) [/ latex].
• Если любое из этих условий верно, то все они верны.
• Если события [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] независимы, то вероятность возникновения [latex] A [/ latex] не влияет на вероятность [latex] B [/ latex] происходящие и наоборот.

Ключевые термины

• независимость : Возникновение одного события не влияет на вероятность наступления другого.
• теория вероятностей : математическое исследование вероятности (вероятность возникновения случайных событий с целью прогнозирования поведения определенных систем).

Независимые мероприятия

В теории вероятностей утверждение, что два события независимы, означает, что возникновение одного не влияет на вероятность того, что другое произойдет. Другими словами, если события [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс] независимы, то вероятность возникновения [латекса] A [/ латекса] не влияет на вероятность [латекса] B [ / латекс] и наоборот. Концепция независимости распространяется на коллекции, состоящие из более чем двух событий.

Два события являются независимыми, если выполняется одно из следующих условий:

1. [латекс] \ Displaystyle P (A | B) = P (A) [/ латекс]
2. [латекс] \ Displaystyle P (B | A) = P (B) [/ латекс]
3. [латекс] \ Displaystyle P (A \ \ text {и} \ B) = P (A) \ cdot P (B) [/ латекс]

Чтобы показать, что два события независимы, вы должны показать только одно из перечисленных выше условий.Если хотя бы одно из этих условий верно, то все они верны.

Переводя символы в слова, первые два перечисленных выше математических утверждения говорят, что вероятность события с условием такая же, как вероятность события без условия. Для независимых событий условие не меняет вероятность события. Третье утверждение гласит, что вероятность возникновения обоих независимых событий [латекс] A [/ latex] и [латекс] B [/ latex] такая же, как вероятность возникновения [latex] A [/ latex], умноженная на вероятность [латекс] Б [/ латекс] встречающийся.

В качестве примера представьте, что вы последовательно выбираете две карты из полной колоды игральных карт. Эти два выбора не являются независимыми. Результат первого выбора изменяет оставшуюся колоду и влияет на вероятность второго выбора. Это называется выбором «без замены», потому что первая карта не была заменена в колоду до того, как будет выбрана вторая карта.

Однако предположим, что вы выбрали две карты «с заменой», вернув первую карту в колоду и перетасовав колоду перед тем, как выбрать вторую карту.Поскольку колода карт является полной для обоих вариантов выбора, первый выбор не влияет на вероятность второго выбора. При выборе карт с заменой выбор не зависит.

независимых событий: выбор двух карт из колоды, сначала выбирая одну, затем заменяя ее в колоде перед выбором второй, является примером независимых событий.

Рассмотрим роль справедливого кубика, которая представляет собой еще один пример независимых событий. Если человек, играющий роль двоих, умирает, результат первого броска не меняет вероятность результата второго броска.

Пример

Два друга играют в бильярд и решают подбросить монету, чтобы определить, кто будет играть первым в каждом раунде. В первых двух раундах монета выпадает орлом. Они решают сыграть в третий раунд и снова подбрасывают монету. Какова вероятность того, что монета снова упадет орлом?

Во-первых, обратите внимание, что каждое подбрасывание монеты — независимое событие. Сторона, на которую приземляется монета, не зависит от того, что произошло ранее.

Для любого подбрасывания монеты существует [latex] {\ frac {1} {2}} [/ latex] шанс, что монета упадет орлом.Таким образом, вероятность того, что монета упадет орлом во время третьего раунда, равна [latex] {\ frac {1} {2}} [/ latex].

Пример

При подбрасывании монеты, какова вероятность получить решки [латекс] 5 [/ латекс] раз подряд?

Напомним, что каждый бросок монеты независим, и вероятность выпадения решки составляет [латекс] {\ frac {1} {2}} [/ latex] для любого подбрасывания. Также напомним, что для любых двух независимых событий A и B справедливо следующее утверждение:

[латекс] \ Displaystyle P (A \ \ text {и} \ B) = P (A) \ CDOT P (B) [/ латекс]

Наконец, концепция независимости распространяется на коллекции более чем [latex] 2 [/ latex] событий.

Следовательно, вероятность получить хвосты [латекс] 4 [/ латекс] раза подряд составляет:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2 }} = {\ frac {1} {16}} [/ latex]

Экспериментальные вероятности

Вероятность эксперимента — это отношение количества исходов, при которых происходит событие, к общему количеству испытаний в эксперименте.

Цели обучения

Рассчитать эмпирическую вероятность события на основе данной информации

Основные выводы

Ключевые моменты

• В общем смысле экспериментальная (или эмпирическая) вероятность оценивает вероятности на основе опыта и наблюдений.
• В простых случаях, когда результат испытания только определяет, произошло ли указанное событие, может быть целесообразным моделирование с использованием биномиального распределения; тогда эмпирическая оценка является оценкой максимального правдоподобия.
• Если испытание дает больше информации, эмпирическая вероятность может быть улучшена путем принятия дополнительных предположений в форме статистической модели. Если такая модель подобрана, ее можно использовать для получения оценки вероятности указанного события.

Ключевые термины

• биномиальное распределение : Дискретное распределение вероятностей количества успехов в последовательности [латекс] n [/ латекс] независимых экспериментов да / нет, каждый из которых дает успех с вероятностью [латекс] p [/ латекс].
• экспериментальная вероятность : Вероятность того, что произойдет определенный результат, определяемая экспериментально.
• дискретный : отдельный; отчетливый; физическое лицо; прерывистый.

Экспериментальная (или эмпирическая) вероятность относится к данным, взятым из ряда испытаний. Это вероятность, рассчитанная на основе опыта, а не теории. Если наблюдается выборка испытаний [латекс] x [/ латекс], которая приводит к событию [латекс] e [/ латекс], происходящему [латекс] n [/ латекс] раз, вероятность события [латекс] e [ / латекс] рассчитывается как соотношение [латекс] n [/ латекс] к [латекс] x [/ латекс].

[латекс] \ displaystyle \ text {экспериментальная вероятность события} = \ frac {\ text {количество случаев события}} {\ text {общее количество испытаний}} [/ latex]

Экспериментальная вероятность контрастирует с теоретической вероятностью, чего мы и ожидали.Например, если мы подбросим монету [латекс] 10 [/ латекс] раз, мы можем ожидать, что она упадет на голову [латекс] 5 [/ латекс] раз, или в половине случаев. Мы знаем, что на практике это вряд ли произойдет. Если мы проводим большее количество испытаний, часто случается, что экспериментальная вероятность становится ближе к теоретической. По этой причине обычно ценятся большие размеры выборки (или большее количество испытаний).

С точки зрения статистики, эмпирическая вероятность — это оценка вероятности.В простых случаях, когда результат испытания только определяет, произошло ли указанное событие, может быть целесообразным моделирование с использованием биномиального распределения. Биномиальное распределение — это дискретное распределение вероятностей количества успехов в последовательности [латексных] n [/ латексных] независимых экспериментов да / нет. В таких случаях наиболее вероятной оценкой является эмпирическая вероятность.

Если испытание дает больше информации, эмпирическую вероятность можно улучшить, приняв дополнительные допущения в форме статистической модели: если такая модель подобрана, ее можно использовать для оценки вероятности указанного события.Например, можно легко присвоить вероятность каждому возможному значению во многих дискретных случаях: при броске кубика каждое из шести значений от [латекс] 1 [/ латекс] до [латекс] 6 [/ латекс] имеет вероятность [ латекс] \ frac {1} {6} [/ латекс].

Преимущества

Преимущество оценки вероятностей с использованием эмпирических вероятностей состоит в том, что эта процедура включает несколько предположений. Например, рассмотрим оценку вероятности среди популяции мужчин, удовлетворяющих двум условиям:

1. Они более шести футов в высоту.
2. Они предпочитают клубничное варенье малиновому.

Прямая оценка может быть получена путем подсчета числа мужчин, которые удовлетворяют обоим условиям, чтобы дать эмпирическую вероятность комбинированного состояния.

Альтернативная оценка может быть получена умножением доли мужчин ростом более шести футов на долю мужчин, которые предпочитают клубничное варенье малиновому джему, но эта оценка основана на предположении, что эти два условия статистически независимы.

Недостатки

Недостаток использования эмпирических вероятностей заключается в том, что без теории, которая их «осмысляет», легко сделать неверные выводы. Если бросить шестигранный кубик сто раз, вполне возможно, что больше [латекса] \ frac {1} {6} [/ latex] валков упадет на [латекс] 4 [/ latex]. Интуитивно мы знаем, что вероятность выпадения любого номера должна быть равна вероятности выпадения следующего. Эксперименты, особенно с меньшим размером выборки, могут подсказать обратное.

Этот недостаток становится особенно проблематичным при оценке вероятностей, которые либо очень близки к нулю, либо очень близки к единице. Например, вероятность выпадения числа от [latex] 1 [/ latex] до [latex] 1000 [/ latex] равна [latex] \ frac {1} {1000} [/ latex]. Если берется [latex] 1000 [/ latex] розыгрышей и первое число выпадает [latex] 5 [/ latex], остается [latex] 999 [/ latex] розыгрышей, чтобы нарисовать [латекс] 5 [/ latex] снова и, таким образом, имеем экспериментальные данные, которые показывают вдвое большую ожидаемую вероятность вытягивания [латекса] 5 [/ латекса].

В этих случаях потребуются очень большие размеры выборки, чтобы оценить такие вероятности с хорошим стандартом относительной точности. Здесь могут помочь статистические модели, в зависимости от контекста.

Например, рассмотрите возможность оценки вероятности того, что самая низкая из максимальных дневных температур на участке в феврале за любой год будет ниже нуля градусов Цельсия. Запись таких температур в прошлые годы может быть использована для оценки этой вероятности. Альтернативой, основанной на модели, будет выбор семейства распределений вероятностей и подгонка его к набору данных, содержащему значения прошлых лет.Подобранное распределение предоставит альтернативную оценку желаемой вероятности. Этот альтернативный метод может обеспечить оценку вероятности, даже если все значения в записи больше нуля.

Основные понятия вероятности

Основные понятия

Автор (ы)

Предварительные требования

Цели обучения

1. Вычислить вероятность в ситуации, когда есть равновероятные результаты
2. Применить концепции к картам и играм в кости
3. Вычислить вероятность двух независимых событий, оба произошедших
4. Вычислить вероятность наступления любого из двух независимых событий
5. Решать задачи, связанные с условными вероятностями
6. Вычислите вероятность того, что в комнате из N человек не менее двух день рождения
7. Опишите ошибку игрока

Вероятность единичного события

Если вы бросите шестигранный кубик, есть шесть возможных результаты, и каждый из этих исходов в равной степени вероятен.Шесть с такой же вероятностью выпадет, как тройка, и точно так же для другого четыре стороны кости. Какова же тогда вероятность того, что один подойдет? Поскольку существует шесть возможных исходов, вероятность составляет 1/6. Какова вероятность того, что один или шесть появиться? Два результата, которые нас беспокоят (один или приближающаяся шестерка) называются благоприятными результаты. Учитывая, что все исходы одинаково вероятны, мы можем вычислите вероятность одного или шести по формуле:

В этом случае есть два благоприятных исхода и шесть возможных результаты.Таким образом, вероятность выпадения единицы или шестерки равна 1/3. Не обманывайтесь, когда мы используем термин «благоприятный», Кстати. Вы должны понимать это в смысле «благоприятный к рассматриваемому событию «. Это событие может не быть благоприятным для вашего благополучия. Вы можете сделать ставку на тройку, Например.

Приведенная выше формула применима ко многим азартным играм. Например, какова вероятность того, что случайно выпавшая карта из колоды игральных карт будет туз? Поскольку в колоде четыре туза, есть четыре благоприятных исхода; поскольку в колоде есть 52 карты, есть 52 возможных исхода.Вероятность поэтому 4/52 = 1/13. Как насчет вероятности того, что карта будет клуб? Так как треф 13, вероятность 13/52 = 1/4.

Допустим, у вас есть сумка с 20 вишнями: 14 сладких и 6 кис. Если вы выберете вишню наугад, какова вероятность что будет сладко? Есть 20 возможных вишен, которые могут быть выбранным, поэтому количество возможных исходов равно 20.Из этих 20 возможных исходов, 14 благоприятных (сладких), поэтому вероятность что вишня будет сладкой — 14/20 = 7/10. Есть один потенциал Однако этот пример усложняется. Следует предположить, что вероятность собрать любую из вишен такая же, как вероятность выбора любого другого. Это было бы неправдой, если бы (представим) черешня меньше кислой единицы.(Вишня легче подойдет, когда вы взяли образец из сумки.) Давайте помнить, что когда мы оцениваем вероятности с точки зрения соотношения благоприятных во всех возможных случаях мы в значительной степени полагаемся на предположение о равных вероятность для всех исходов.

Вот более сложный пример. Вы бросаете 2 кубика. Какова вероятность того, что сумма двух кубиков будет равна 6? Чтобы решить эту проблему, перечислите все возможные исходы.Есть 36 из них, так как каждая игральная кость может выпасть одним из шести способов. 36 возможности показаны ниже.

Как видите, 5 из 36 вариантов в сумме составляют 6.Следовательно, вероятность 5/36.

Если вы знаете вероятность наступления события, легко вычислить вероятность того, что событие не происходить. Если P (A) — вероятность события A, то 1 — P (A) равно вероятность того, что событие не произойдет. В последнем примере вероятность того, что сумма будет равна 6, составляет 5/36. Следовательно, вероятность что сумма не 6, это 1 — 5/36 = 31/36.

Вероятность двух (или более) независимых событий

События A и B независимы события, если вероятность возникновения События B равна то же самое независимо от того, происходит ли событие А. Возьмем простой пример. Честная монета подбрасывается два раза. Вероятность того, что голова выпадает при втором броске 1/2 независимо от того, или не поднялась голова при первом же подбрасывании.Два события (1) первый бросок — это голова и (2) второй бросок — это голова. Так эти события независимы. Рассмотрим два события (1) «Это завтра будет дождь в Хьюстоне » и (2) «Завтра пойдет дождь в Галвестоне» (город недалеко от Хьюстон). Эти события не являются независимыми, потому что это более Вероятно, что в Галвестоне пойдет дождь в дни, когда идет дождь в Хьюстоне чем по дням это не так.

Вероятность A и B

Когда два события независимы, вероятность того и другого является продуктом вероятностей отдельные события. Более формально, если события A и B независимы, тогда вероятность появления как A, так и B равна:

P (A и B) = P (A) x P (B)

где P (A и B) — вероятность событий A и B оба происходят, P (A) — вероятность наступления события A, и P (B) — вероятность наступления события B.

Если подбросить монету дважды, какова вероятность что оба раза это поднимет голову? Событие А заключается в том, что монета выпадает орел при первом броске, и Событие B заключается в том, что монета выпадает на второй бросок. Поскольку и P (A), и P (B) равны 1/2, вероятность того, что оба события произойдут, равна

1/2 х 1/2 = 1/4.

Возьмем другой пример. Если вы подбросите монетку и бросьте шестигранный кубик, какова вероятность того, что монета выпадает орел и выпадает 1? Поскольку два события независимы, вероятность — это просто вероятность голова (что в 1/2 раза больше вероятности выпадения кубика) вверх 1 (что составляет 1/6).Следовательно, вероятность обоих событий происходит 1/2 x 1/6 = 1/12.

Последний пример: вы берете карту из колоды карты, положите ее обратно и возьмите еще одну карту. Какова вероятность что первая карта — сердце, а вторая — черная? С в колоде 52 карты и 13 из них червы, вероятность Что первая карта — это сердце, 13/52 = 1/4. Поскольку есть 26 черных карт в колоде, вероятность того, что вторая карта черный — 26/52 = 1/2.Вероятность наступления обоих событий поэтому 1/4 x 1/2 = 1/8.

См. Раздел об условных вероятностях на на этой странице, чтобы узнать, как вычислить P (A и Б) когда А и В не независимы.

Вероятность A или B

Если события A и B независимы, вероятность что происходит событие A или событие B:

P (A или B) = P (A) + P (B) — P (A и B)

В этом обсуждении, когда мы говорим «встречается A или B» мы включаем три возможности:

1. А встречается, а В не встречается
2. B встречается, а A не встречается
3. Встречаются как A, так и B

Это слово «или» технически называется инклюзивным или потому, что он включает случай, когда встречаются как A, так и B.Если бы мы включили только первые два случая, тогда мы будем использовать эксклюзивный или же.

(Необязательно) Мы можем вывести закон для P (A-or-B) из нашего закона о P (A-and-B). Мероприятие «А-или-Б» может произойти любым из следующих способов:

1. А-а-Б бывает
2. А-а-не-Б бывает
3. не-А-а-Б бывает.

Простое событие A может произойти, если A-и-B случается или случается А-а-не-Б.Точно так же простое событие B происходит, если случаются либо A-and-B, либо нет-A-and-B. P (A) + P (B), следовательно, P (A-and-B) + P (A-and-not-B) + P (A-and-B) + P (не-A-and-B), тогда как P (A-or-B) — это P (A-and-B) + P (A-and-not-B) + P (не-A-and-B). Мы можем уравнять эти две суммы, вычитая одно вхождение P (A-and-B) с первого. Следовательно, P (A-or-B) = P (A) + P (B) — P (A-и-B).

Теперь несколько примеров.Если подбросить монету два раза, какова вероятность, что вы получите голову первым флип или голова на втором флипе (или и то, и другое)? Разрешение событию А быть голова при первом подбрасывании и Событие B — голова при втором подбрасывании, тогда P (A) = 1/2, P (B) = 1/2 и P (A и B) = 1/4. Следовательно,

P (A или B) = 1/2 + 1/2 — 1/4 = 3/4.

Если вы бросите шестигранный кубик, а затем подбросите монету, какова вероятность, что вы получите либо 6 на кубике или голова на подбрасывании монеты (или и то, и другое)? Используя формулу,

P (6 или голова) = P (6) + P (голова) — P (6 и голова)
= (1/6) + (1/2) — (1/6) (1/2)
= 7/12

Альтернативный подход к вычислению этого значения состоит в том, чтобы начать с вычисления вероятности не получить 6 или голова.Затем вычтите это значение из 1, чтобы вычислить вероятность получить 6 или голову. Хотя это сложный метод, он имеет то преимущество, что он применим к проблемам с более двух событий. Вот расчет в данном случае. Вероятность не получить 6 или голову можно изменить. как вероятность

(не получает 6) И (не получает голову).

Это следует потому, что если вы не получили 6 и вы не получили голову, значит, вы не получили 6 или голову.В вероятность не получить шестерку составляет 1 — 1/6 = 5/6. Вероятность не получить голову 1 — 1/2 = 1/2. Вероятность не получить шестерку и не получить голову — 5/6 x 1/2 = 5/12. Этот следовательно, вероятность не получить 6 или голову. В поэтому вероятность получить шестерку или голову (еще раз) 1 — 5/12 = 7/12.

Если вы бросите кубик три раза, какова вероятность что один или несколько ваших бросков принесут вам 1? Это, какова вероятность получить 1 при первом броске ИЛИ 1 при втором броске ИЛИ 1 при третьем броске? Самый простой способ чтобы подойти к этой проблеме, нужно вычислить вероятность

НЕ получает 1 за первый бросок
И не получает 1 за второй бросок
И не получает 1 за третий бросок.

Ответ будет 1 минус эта вероятность. В вероятность не получить 1 при любом из трех бросков — 5/6 х 5/6 х 5/6 = 125/216. Следовательно, вероятность получения 1 хотя бы на один из бросков составляет 1 — 125/216 = 91/216.

Условные вероятности

Часто требуется вычислить вероятность события, учитывая, что произошло другое событие.Например, какова вероятность, что две случайные карты вытянуты из колода игральных карт будет как тузами? Может показаться, что вы можете использовать формулу вероятности двух независимых события и просто умножьте 4/52 x 4/52 = 1/169. Это было бы неправильно, однако, потому что эти два события не являются независимыми. Если первая вытянутая карта — туз, тогда вероятность того, что вторая карта тоже туз будет ниже, потому что будет только в колоде осталось три туза.

Если первой выбранной картой является туз, вероятность то, что вторая выбранная карта также является тузом, называется условным вероятность выпадения туза. В этом случае «условие» в том, что первая карта — туз. Символически мы пишем это как:

P (туз при второй розыгрыше | туз при первой розыгрыше)

Вертикальная черта «|» читается как «данный», поэтому приведенное выше выражение является сокращением от: «Вероятность того, что при втором розыгрыше выдается туз, если был вытянут туз по первому розыгрышу.»Какова эта вероятность? Поскольку после при первом розыгрыше разыгрывается туз, из них 3 туза Всего осталось 51 карта. Это означает, что вероятность того, что один из этих тузов выпадет 3/51 = 1/17.

Если события A и B не являются независимыми, то P (A и B) = P (A) x P (B | A).

Применяя это к проблеме двух тузов, вероятность выпадения двух тузов из колоды 4/52 x 3/51 = 1/221.

Еще один пример: если вы берете две карты из колоды, какова вероятность того, что вы получите бубновый туз а черная карта? Есть два способа выполнить это условие: (1) Сначала вы можете получить бубновый туз, а затем черную карту. или (2) вы можете сначала получить черную карту, а затем бубновый туз. Рассчитаем случай A. Вероятность того, что первая карта окажется Бубновый туз равен 1/52.Вероятность того, что вторая карта черный, учитывая, что первая карта — бубновый туз — 26/51 потому что 26 из оставшейся 51 карты черные. Вероятность поэтому 1/52 x 26/51 = 1/102. Теперь для случая 2: вероятность что первая карта черная — 26/52 = 1/2. Вероятность того, что вторая карта — бубновый туз, учитывая, что первая карта черный — 1/51. Таким образом, вероятность случая 2 равна 1/2 x 1/51 = 1/102, как вероятность случая 1.Напомним, что вероятность A или B равна P (A) + P (B) — P (A и B). В этом проблема, P (A и B) = 0, поскольку карта не может быть бубновым тузом. и быть черной картой. Следовательно, вероятность случая 1 или случая 2 равно 1/102 + 1/102 = 2/102 = 1/51. Итак, 1/51 — это вероятность того, что при розыгрыше вы получите бубновый туз и черную карту две карты из колоды.

Проблема дня рождения

Если в комнате 25 человек, какой вероятность того, что хотя бы двое из них имеют один и тот же день рождения.Если вы сначала подумали, что это 25/365 = 0,068, вы будете удивлен, узнав, что это намного выше, чем это. Эта проблема требует применение разделов на P (A и B) и условных вероятность.

К этой проблеме лучше всего подойти, спросив, что такое вероятность того, что у двух людей нет одного дня рождения. Один раз мы знаем эту вероятность, мы можем просто вычесть ее от 1 до найти вероятность того, что у двух человек один день рождения.

Если мы выберем двух человек наугад, какой вероятность, что у них не будет одного дня рождения? Из 365 дней на которых у второго человека мог быть день рождения, их 364 отличаются от дня рождения первого человека. Следовательно вероятность 364/365. Определим P2 как вероятность того, что второй нарисованный человек не разделяет день рождения с этим человеком нарисованный ранее.Таким образом, P2 равен 364/365. Теперь определим P3 как вероятность того, что нарисованное третье лицо не разделяет день рождения с кем-либо нарисованным ранее, учитывая, что нет предыдущих совпадений по дням рождения. Таким образом, P3 является условным вероятность. Если нет совпадений с предыдущими днями рождения, то два из 365 дней были «израсходованы», в результате чего осталось 363 несоответствующие дни. Следовательно, P3 = 363/365. Аналогичным образом, P4 = 362/365, P5 = 361/365 и так далее до P25 = 341/365.

Чтобы не было совпадений, второй человек не должен совпадать ни с одним предыдущим человеком и третье лицо не должно совпадать с каким-либо предыдущим лицом, и четвертое лицо не должно совпадать с каким-либо предыдущим и т. д. P (A и B) = P (A) P (B), все, что нам нужно сделать, это умножить P2, P3, P4 … P25 вместе. Результат 0,431. Следовательно, вероятность хотя бы одного совпадения 0.569.

Заблуждение игрока

Честная монета подбрасывается пять раз и выпадает. головы каждый раз. Какова вероятность, что это произойдет головы на шестом броске? Правильный ответ, конечно, 1/2. Но многие люди считают, что хвост более вероятен. бросив пять голов. Их ошибочные рассуждение может звучать примерно так: «В конечном итоге число орла и решки будут одинаковыми, поэтому у хвостов есть наверстать упущенное.»Выявлены недостатки этой логики. в моделировании в этой главе.

Пожалуйста, ответьте на вопросы:

Биология 301

До сих пор мы изучили только детерминированных моделей, в которых будущие состояния полностью определяются текущим состоянием системы.

Однако в реальном мире случайность играет важную роль в динамике популяции. Молния может поразить человека. Пожар может уничтожить население. Отдельные особи могут не воспроизвести или произвести прекрасный урожай потомства. Новые полезные мутации могут случайно произойти у людей, не оставляющих детей. Могут случиться засуха и голод, или дожди и избыток.

Вероятностные модели включают случайные события и исходы и могут приводить к результатам, которые отличаются от чисто детерминированных моделей.

В этой лекции мы начнем с некоторых основных определений и правил теории вероятностей.

Для получения дополнительной информации прочтите «Теорию вероятностей» Джо Романо, из которой я взял несколько из следующих определений.

• Интерпретация частоты: «Вероятности понимаются как математически удобные приближения к долгосрочным относительным частотам».
• Субъективная интерпретация: «Утверждение о вероятности выражает мнение некоторого человека о том, насколько определенно должно произойти событие.»

Правило разницы: Если A является подмножеством B, то вероятность появления B, но не A, равна P (B) — P (A) = P (B A ^c ).

Правило включения-исключения: Вероятность появления A или B (или обоих) равна P (A U B) = P (A) + P (B) — P (AB).

Пример: если вероятность иметь зеленые глаза составляет 10%, вероятность иметь каштановые волосы составляет 75%, а вероятность того, что они будут зеленоглазым шатеном, составляет 9%, какова вероятность

• у вас нет зеленых глаз? [найти P (A ^c )]
• с зелеными глазами, но не с каштановыми волосами? [найти P (A) — P (AB)]
• с зелеными глазами и / или каштановыми волосами? [найти P (A U B)]

Условная вероятность: Вероятность того, что A произойдет при условии, что B произошло, = P (A | B).Другими словами, среди тех случаев, когда произошло событие B, P (A | B) — это доля случаев, в которых произошло событие A.

Следовательно, условная вероятность равна P (A | B) = P (AB) / P (B).

Точно так же вероятность того, что произойдет A и что B произойдет, при условии, что A имеет: P (A) P (B | A) = P (AB), поэтому P (B | A) = P (AB) / P (A).

Пример: какова вероятность того, что у вас будут каштановые волосы, если у вас зеленые глаза? [найти P (B | A)]

Какова вероятность того, что у вас будут зеленые глаза, если у вас каштановые волосы? [найти P (A | B)]

Правило Байеса:

Пример: Считается, что способность ощущать вкус фенилтиокарбамида (PTC) определяется одним доминантным геном с неполной пенетрантностью.Среди североамериканских белых вероятность попробовать PTC составляет 70% [P (дегустатор) = 0,7]. Если каждый, кто пробует PTC, является носителем [P (носитель | дегустатор) = 1], и если 80% населения несет ген [P (носитель) = 0,8], какова пенетрантность гена? То есть, какова вероятность попробовать PTC, если вы — перевозчик, P (дегустатор | перевозчик)?

Пример: Какова общая вероятность смерти от малярии в регионе, где шанс умереть от малярии составляет 15% для лиц, не являющихся носителями аллеля серповидноклеточных клеток, и 1% для носителей? Предположим, что частота несущих равна 0,25.

Независимость: Если вероятность A не зависит от того, встречается ли B, то мы говорим, что A и B независимы.

ТОЛЬКО для независимых мероприятий,

• P (A | B) = P (A)
• P (AB) = P (A) P (B)

Пример: В США частота группы крови O составляет около 0,45, а частота Rh + составляет около 0,86. Какая часть населения имела бы группу крови O +, если бы это были независимые гены?

Если два объекта извлекаются из пула случайным образом с заменой , то они независимы, поскольку первое наблюдение не влияет на второе.

Пример: если в популяции N самцов, и конкретная самка выбирает себе партнера случайным образом из числа самцов, какова вероятность того, что, если она спаривается дважды за сезон, она будет спариваться с конкретным самцом оба раза?

Вернуться на домашнюю страницу биологии 301.

Определение сложной вероятности

Что такое сложная вероятность?

Сложная вероятность — это математический термин, относящийся к вероятности двух независимых событий.Сложная вероятность равна вероятности первого события, умноженной на вероятность второго события. Сложные вероятности используются страховыми андеррайтерами для оценки рисков и распределения премий по различным страховым продуктам.

Понимание сложной вероятности

Самый простой пример сложной вероятности — это дважды подбросить монету. Если вероятность выпадения орла составляет 50 процентов, то шансы выпадения орла дважды подряд будут (0,50 X.50) или 0,25 (25 процентов). Сложная вероятность объединяет как минимум два простых события, также называемых сложным событием. Вероятность того, что на монете выпадет орел, когда вы подбросите только одну монету, очень проста.

Что касается страхования, страховщики могут пожелать узнать, например, доживут ли оба члена супружеской пары до 75 лет, учитывая их независимые вероятности. Или страховщик может захотеть узнать вероятность того, что два крупных урагана обрушатся на данный географический регион в течение определенного периода времени.Результаты их математических расчетов определят, сколько будет взиматься плата за страхование людей или имущества.

Ключевые выводы

• Сложная вероятность — это произведение вероятностей наступления двух независимых событий, известных как сложные события.
• Формула для вычисления сложных вероятностей различается в зависимости от типа сложного события, независимо от того, являются ли они взаимоисключающими или взаимоисключающими.

Составные события и сложная вероятность

Есть два типа составных событий: взаимоисключающие составные события и взаимно включающие составные события.Взаимоисключающее сложное событие — это когда два события не могут происходить одновременно. Если два события, A и B, являются взаимоисключающими, то вероятность того, что произойдет либо A, либо B, является суммой их вероятностей. Между тем, взаимно включающие сложные события — это ситуации, когда одно событие не может происходить с другим. Если два события (A и B) включаются, то вероятность того, что произойдет либо A, либо B, является суммой их вероятностей за вычетом вероятности возникновения обоих событий.

Составные формулы вероятности

Существуют разные формулы для расчета двух типов составных событий: скажем, A и B — два события, затем для взаимоисключающих событий: P (A или B) = P (A) + P (B). Для взаимно включающих событий P (A или B) = P (A) + P (B) — P (A и B).

Используя метод организованного списка, вы должны составить список всех возможных результатов, которые могут произойти. Например, если вы подбрасываете монету и бросаете кубик, какова вероятность выпадения решки и четного числа? Во-первых, нам нужно начать с перечисления всех возможных результатов, которые мы могли бы получить. (h2 означает переворачивание головы и выпадение 1.)

Другой метод — это модель площади.Чтобы проиллюстрировать это, снова рассмотрим подбрасывание монеты и бросок кубика. Какова сложная вероятность выпадения решки и четного числа?

Начните с создания таблицы с результатами одного события, перечисленными вверху, и результатами второго события, перечисленными сбоку. Заполните ячейки таблицы соответствующими результатами для каждого события. Заштрихуйте ячейки, соответствующие вероятности.

В этом примере двенадцать ячеек, три заштрихованы.Таким образом, вероятность: P = 3/12 = 1/4 = 25 процентов.

Вероятность: независимые события

Жизнь полна случайных событий!

Чтобы он был умным и успешным человеком, нужно его «чувствовать».

Подбрасывание монеты, бросание кубиков и розыгрыш лотереи — все это примеры случайных событий.

Может быть:

Независимые события , о которых мы узнаем здесь.

Независимые мероприятия

независимых событий — это , на которые не влияют предыдущие события.

Это важная идея!

Монета не «знает», что раньше выпадала орел.

И каждое подбрасывание монеты — совершенно изолированная вещь.

Пример: вы подбрасываете монету, и она трижды выпадает «орел» … каков шанс, что

Шанс просто ½ (или 0.5) просто как ЛЮБОЙ бросок монеты.

То, что он делал в прошлом, не повлияет на текущий бросок!

Некоторые люди думают, что «это уже поздно для хвоста», но на самом деле следующий бросок монеты полностью не зависит от предыдущих подбрасываний.

Сказать «Хвостик должен» или «еще раз, моя удача изменится» называется Заблуждение игрока

Конечно, ваша удача может измениться , потому что каждый бросок монеты имеет равные шансы.

Вероятность независимых событий

«Вероятность» (или «Шанс») — , насколько вероятно , что что-то должно произойти.

Итак, как рассчитать вероятность?

Вероятность наступления события = Количество способов, которыми это может случиться Общее количество исходов

Пример: какова вероятность получить «голову» при подбрасывании монеты?

Количество способов, которыми это может произойти: 1 (Голова)

Общее количество исходов: 2 (Голова и хвост)

Значит, вероятность = 1 2 = 0.5

Пример: какова вероятность получить «4» или «6» при броске кубика?

Количество способов, которыми это может произойти: 2 («4» и «6»)

Общее количество исходов: 6 («1», «2», «3», «4», «5» и «6»)

Значит, вероятность = 2 6 знак равно 1 3 = 0,333 …

Способы отображения вероятности

Вероятность изменяется от 0 (невозможно) до 1 (точно):

Часто отображается в виде десятичной дроби или дроби .

Пример: вероятность получить «голову» при подбрасывании монеты: