Рубрика: Разное

2.2. Примеры составления математических моделей экономических задач

Экономико-математическая модель – математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.

Рассмотрим примеры экономико-математических моделей, которые относятся к задачам линейного программирования.

1.Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства).

При производстве видов продукции используетсявидов ресурсов. Известно:запасы ресурсов;расход каждогого вида ресурса на изготовление единицый продукции;прибыль, получаемая при реализации единицый продукции. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение. Обозначим объем выпускай продукции. Учитывая, чтоприбыль от реализации всего объемай продукции,затратыго вида ресурса на весь объем выпускай продукции, неотрицательность переменных задачи, запишем математическую модель задачи.

2. Задача о составлении рациона питания (задача о диете, задача о смесях).

Животные должны получать ежедневно питательных веществ в количестве не менее. В рацион животных входят кормавидов. Известно:содержаниего питательного вещества в единицего вида корма;стоимость единицыго вида корма. Составить суточный рацион кормления животных, обеспечивающий минимальные затраты.

Решение. Обозначим объемго вида корма, входящего в суточный рацион. Так какколичествого питательного вещества, содержащегося вм виде корма, входящего в суточный рацион,стоимостьго корма, то математическая модель имеет вид

3. Транспортная задача.

Однородный груз сосредоточен у поставщиковв объемах. Данный груз необходимо доставитьпотребителямв объемах. Известныстоимость перевозки единицы груза от каждогого поставщика каждомуму потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором:

–мощности всех поставщиков были реализованы;

–спросы всех потребителей были удовлетворены;

–суммарные затраты на перевозку были минимальны.

Исходные данные транспортной задачи записываются в виде таблицы

Решение. Обозначим объемы перевозок от каждогого поставщика каждомуму потребителю. Математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции

при условиях

Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т.е.

,

то модель такой транспортной задачи называется закрытой. Если же указанное условие не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.

404 Cтраница не найдена

Мы используем файлы cookies для улучшения работы сайта МГТУ и большего удобства его использования. Более подробную информацию об использовании файлов cookies можно найти здесь. Продолжая пользоваться сайтом, вы подтверждаете, что были проинформированы об использовании файлов cookies сайтом ФГБОУ ВО «МГТУ» и согласны с нашими правилами обработки персональных данных.

Размер:

AAA

Изображения Вкл. Выкл.

Обычная версия сайта

К сожалению запрашиваемая страница не найдена.

Но вы можете воспользоваться поиском или картой сайта ниже

Математическое моделирование — Решения MATLAB и Simulink

Математические модели имеют решающее значение для понимания и точного прогнозирования поведения сложных систем. Эти модели позволяют решать критически важные задачи, такие как:

• Прогнозирование и оптимизация поведения системы
• Проектирование систем управления
• Характеристика реакции системы

Продукты MathWorks предоставляют все инструменты, необходимые для разработки математических моделей. MATLAB ^® поддерживает подходы как к численному, так и к символьному моделированию и обеспечивает аппроксимацию кривых, статистику, оптимизацию, решение ОДУ и УЧП, исчисление и другие основные математические инструменты. Симулинк ^® добавляет среду для моделирования и симуляции поведения многодоменных систем, а также для разработки встроенных систем.

«В отличие от компаний, которые полагаются на готовые решения для количественного анализа, мы видим, что наш процесс постоянно совершенствуется. У нас есть возможность постоянно улучшать наши алгоритмы и модели в MATLAB, и это большое преимущество».

Виллем Джелема, Робеко

Построение моделей на основе данных и научных принципов

С помощью семейств продуктов MATLAB и Simulink вы можете моделировать системы практически любого типа, включая:

• Линейные и нелинейные
• Статическая и динамическая
• Детерминированный и стохастический
• Дискретный и непрерывный

Вы можете выбрать одну из нескольких сред моделирования, что позволит вам описать вашу систему программно, символически или с помощью блок-схем и конечных автоматов. Создание управляемых данными или физических моделей дает множество различных преимуществ, таких как извлечение информации из данных, информирование процессов проектирования с помощью проектирования на основе моделей, обеспечение виртуального ввода в эксплуатацию или создание операционных цифровых двойников.

Разработка моделей на основе данных

Когда у вас есть физическое понимание, вы можете создавать модели на основе первых принципов, используя аналитические или символические подходы. Методы моделирования на основе данных особенно полезны, когда у вас нет достаточной информации о вашей системе. В этом случае вы можете обеспечить точность модели, выбрав метод моделирования, подходящий для ваших экспериментальных или исторических данных. Используйте инструменты подгонки кривой статистики, чтобы исследовать отношения между вашими данными. Вы можете использовать модели линейной и нелинейной регрессии, классификацию, кластеризацию и инструменты подбора поверхности. Динамические модели, позволяющие выразить влияние прошлого опыта системы на ее текущее и будущее поведение, можно моделировать с помощью нейронных сетей и методов идентификации системы. Методы, управляемые данными, также можно использовать для настройки коэффициентов вашей модели из первых принципов, чтобы они соответствовали экспериментальным данным с использованием методов моделирования серого ящика и методов оптимизации отклика.

Узнать больше

• Моделирование углекислого газа в атмосфере и набор инструментов для подбора кривой
• Прогнозирование нагрузки и цен на электроэнергию с помощью MATLAB (47:43)
• Разработка прогностических моделей (MathWorks Consulting)
• Цифровые двойники для профилактического обслуживания

Примеры кода

• Классический маятник: некоторые вопросы, связанные с алгоритмом Классический маятник: некоторые вопросы, связанные с алгоритмом

Изучить продукты

• Curve Fitting Toolbox™
• Simscape™
• Stateflow™
• Статистика и машинное обучение Toolbox™
• Symbolic Math Toolbox™
• System Identification Toolbox™

Разработка моделей на основе математических, инженерных и научных принципов

Можно выбрать один из нескольких подходов к созданию математических моделей на основе первых принципов. Например, вы можете:

• Используйте символьные вычисления для получения уравнений и аналитических моделей, описывающих вашу систему
• Создание блок-схем сложных многодоменных систем
• Использовать методы конечных элементов для систем, описываемых уравнениями в частных производных

Подробнее

• Моделирование поршня (8:57)
• Инженерный проект и документация с MATLAB (36:59)
• Структурный и термический анализ с помощью MATLAB (43:48)
• Моделирование пониженного порядка

Изучить продукты

• Curve Fitting Toolbox™
• Simscape™
• Stateflow™
• Статистика и машинное обучение Toolbox™
• Symbolic Math Toolbox™
• System Identification Toolbox™

Разработка моделей для предметно-ориентированных приложений

Продукты MathWorks для конкретных приложений позволяют разрабатывать математические модели для приложений в следующих областях:

• Вычислительная оптимизация финансового портфеля, оценка рисков и экономическое прогнозирование
• Физическое моделирование механических, электрических, гидравлических и приводных систем
• Моделирование и калибровка трансмиссии
• Анализ экспрессии генов в вычислительной биологии, анализ последовательностей и моделирование путей
• Экологическое и аэродинамическое моделирование аэрокосмических систем
• Моделирование систем управления, проектирование и проверка контроллеров, моделирование систем с обратной связью

Оценка и оптимизация моделей

После разработки модели вы можете испытывать ее в различных условиях, управлять результатами моделирования и визуализировать их, а также оптимизировать их точность. Вы также можете документировать свою работу и делиться моделью с коллегами.

Моделирование вашей модели

Моделирование позволяет прогнозировать поведение вашей системы в различных условиях или проверять вашу модель путем сравнения результатов моделирования с тестовыми данными. Инструменты MathWorks упрощают управление всеми аспектами моделирования модели. Вы можете:

• Определение условий моделирования с использованием DoE, распределений вероятностей и других тестовых векторов
• Запустите симуляцию, используя числовые решатели мирового класса и параллельные вычисления
• Результаты постобработки с использованием возможностей анализа данных MATLAB, управления данными и визуализации

Подробнее

• Использование статистики для анализа неопределенностей в моделях систем
• Ускорение анализа методом конечных элементов в MATLAB с помощью параллельных вычислений

Обзор продуктов

• Global Optimization Toolbox™
• Компилятор MATLAB™
• Набор инструментов для оптимизации™
• Simulink Design Optimization™
• Тест Simulink

Оптимизируйте свою модель

После того, как вы построили свою модель, вы можете оптимизировать параметры и проверить модель на соответствие реальному поведению системы. Инструменты оптимизации MathWorks позволяют усовершенствовать модель существующей системы или оптимизировать проект новой системы путем корректировки проектных переменных в соответствии с конкретными критериями производительности.

Узнать больше

• Надежность и надежность
• Robeco разрабатывает модели количественного отбора акций и оптимизации портфеля с помощью инструментов MathWorks

Обзор продуктов

• Global Optimization Toolbox™
• Компилятор MATLAB™
• Набор инструментов для оптимизации™
• Simulink Design Optimization™
• Тест Simulink

Документируйте и делитесь своей моделью

С помощью инструментов создания отчетов MATLAB и Simulink вы можете автоматически документировать этапы построения модели и результаты моделирования и поддерживать их в актуальном состоянии при проектировании. Вы можете использовать настольные и веб-инструменты MathWorks для развертывания, чтобы поделиться своими оптимизированными моделями и связанными приложениями с коллегами.

Подробнее

• Что такое компилятор MATLAB? (2:23)
• Интеграция и развертывание ваших алгоритмов в корпоративных системах (MathWorks Consulting)

Обзор продуктов

• Global Optimization Toolbox™
• Компилятор MATLAB™
• Набор инструментов для оптимизации™
• Simulink Design Optimization™
• Тест Simulink

Выберите веб-сайт

Выберите веб-сайт, чтобы получить переведенный контент, где он доступен, и увидеть местные события и предложения. В зависимости от вашего местоположения мы рекомендуем вам выбрать: .

Вы также можете выбрать веб-сайт из следующего списка

Европа

Обратитесь в местный офис

Экономическое моделирование: примеры и значение

Вы были одним из тех детей, у которых был огромный набор Lego? Или, случайно, вы не из тех взрослых, которые до сих пор любят играть с этими великолепными наборами? Даже, может быть, вы один из организованных коллекционеров, которые мечтали о Соколе Тысячелетия из Лего? Это может вас удивить, но знаете ли вы, что сборка наборов Lego может иметь что-то общее с наукой?

Как вы можете догадаться из названия этого раздела, конструирование моделей Lego похоже на научные модели, а экономисты строили научные модели с самого начала экономической науки. Подобно деталям Lego и полным наборам Lego при конструировании миниатюрной Эйфелевой башни, экономические модели отображают происходящие явления в реальности.

Вы, конечно, знаете, что Эйфелева башня из Лего — это не настоящая Эйфелева башня! Это просто его представление, базовая версия. Это именно то, что делают экономические модели. Поэтому, если вы играли с наборами Lego, вы будете четко понимать этот раздел, а если вы уже знакомы с экономическими моделями, этот раздел может дать некоторые советы по сборке наборов Lego, так что продолжайте прокручивать!

Экономическое моделирование Значение

Значение экономического моделирования связано со значением научного моделирования. Науки вообще пытаются понять происходящие явления. От физики до политологии ученые пытаются уменьшить неопределенность и хаос с помощью правил и моделей.

Но что такое модель? Модели — это упрощенная версия реальности. Они рисуют картину, чтобы мы могли понять чрезвычайно сложные вещи. С другой стороны, экономика сильно отличается от естественных наук. Экономисты не могут наблюдать явления, происходящие в чашке Петри, как это делают биологи. Кроме того, отсутствие контролируемых экспериментов и неясность причинно-следственной связи между событиями, происходящими в социальном мире, в определенной степени препятствует экспериментам в экономике. Поэтому это отсутствие вариантов при проведении экспериментов заменяется моделированием в экономике.

При этом, поскольку реальность чрезвычайно сложна и хаотична, они принимают некоторые правила перед построением модели. Эти предположения обычно уменьшают сложность реальности.

Модели — это конструкции с общими предположениями, которые помогают нам понять явления, происходящие в природе, и предсказать будущее в соответствии с нашим пониманием этих явлений.

Например, физики время от времени допускают вакуум для этих моделей, а экономисты предполагают, что агенты рациональны и обладают полной информацией о рынке. Мы знаем, что это не реально. Мы все знаем, что воздух существует, и мы не живем в вакууме, так как все мы знаем, что экономические агенты могут принимать иррациональные решения. Тем не менее, они полезны по разным причинам.

Экономические модели — это особые типы моделей, специально ориентированные на то, что происходит в экономике. Они представляют реальность с помощью различных методов, таких как графическое представление или наборы математических уравнений.

Экономические модели — это подтип научных моделей, которые сосредоточены на происходящих в экономике явлениях и пытаются представить, исследовать и понять эти явления при определенных условиях и предположениях.

Тем не менее, поскольку экономика и общество представляют собой чрезвычайно сложные системы, экономические модели различаются, а их методологии меняются. Все они имеют разные подходы и характеристики для ответа на разные вопросы.

Типы экономических моделей

В этом разделе мы рассмотрим широко используемые общие типы экономических моделей. Как упоминалось ранее, экономические модели существуют в разных методологиях, и их последствия различаются, поскольку реальность, которую они пытаются обнаружить, различна. Наиболее часто используемые экономические модели могут быть представлены как визуальные экономические модели, математические экономические модели и экономические симуляции.

Типы экономических моделей: визуальные экономические модели

Наглядные экономические модели, пожалуй, самые распространенные в учебниках. Если вы пойдете в книжный магазин и возьмете книгу по экономике, вы увидите десятки графиков и диаграмм. Визуальные экономические модели относительно просты и понятны. Они пытаются уловить происходящие в реальности события с помощью различных схем и графиков.

Наиболее известными визуальными экономическими моделями являются, пожалуй, кривые IS-LM, графики совокупного спроса и предложения, кривые полезности, графики рынков факторов производства и границы производственных возможностей.

Подведем итоги границы производственных возможностей, чтобы ответить на вопрос, почему мы классифицируем ее как визуальную экономическую модель.

На рис. 1 ниже мы можем увидеть, вероятно, первый график в каждом современном учебнике по экономике — границу производственных возможностей или кривую возможностей продукта.

Рис. 1 – Граница производственных возможностей

Эта кривая представляет возможные объемы производства обоих товаров, x и y. Тем не менее, мы будем рассматривать не саму модель, а ее аспекты. Эта модель предполагает, что в экономике существует два товара. Но на самом деле мы можем видеть много товаров в любой экономике, и большую часть времени существует сложная взаимосвязь между товарами и нашим бюджетом. Эта модель упрощает реальность и дает нам ясное объяснение посредством абстракции.

Другим хорошо известным примером визуальных экономических моделей является представление отношений между агентами в экономике с помощью диаграмм рынков факторов производства.

Рис. 2 – Отношения на рынках факторов производства

Этот тип диаграммы является примером визуального экономического моделирования. Мы знаем, что на самом деле отношения в экономике гораздо сложнее, чем на этой диаграмме. Тем не менее, этот тип моделирования в некоторой степени помогает нам понять и разработать политику.

С другой стороны, объем визуальных экономических моделей относительно ограничен. Таким образом, экономика сильно зависит от математических моделей для преодоления ограничений визуальных экономических моделей.

Типы экономических моделей: математические экономические модели

Математические экономические модели разрабатываются для преодоления ограничений визуальных экономических моделей. Обычно они следуют правилам алгебры и исчисления. Следуя этим правилам, математические модели пытаются объяснить отношения между переменными. Тем не менее, эти модели могут быть чрезвычайно абстрактными, и даже самые простые модели содержат значительное количество переменных и их взаимодействий. Одной из известных математических экономических моделей является модель Солоу-Лебедя, широко известная как модель роста Солоу. 9{1-\alpha-\beta}\)

Здесь производственная функция обозначена через \(Y\), капитал через \(K\), человеческий капитал через \(H\), труд через \(L\) , а технология с \(A\). Тем не менее, наша главная цель здесь не в том, чтобы углубиться в модель роста Солоу, а в том, чтобы показать, что она содержит множество переменных.

Рис. 3 – Модель роста Солоу

Например, на Рисунке 3 показана модель роста Солоу, развитие технологий изменит наклон линии требуемых инвестиций в положительную сторону. В дополнение к этому модель утверждает, что увеличение потенциального выпуска может существовать только по отношению к развитию технологий в стране.

Модель роста Солоу — относительно простая модель. Современные экономические модели могут содержать страницы уравнений или приложений, связанных с понятием вероятности. Поэтому для расчета этих типов чрезвычайно сложных систем мы обычно используем модели экономического моделирования или экономическое моделирование.

Типы экономических моделей: экономическое моделирование

Как упоминалось ранее, современные экономические модели обычно исследуются с помощью компьютеров при использовании экономического моделирования. Это очень сложные динамические системы. Поэтому вычисления становятся необходимыми. Экономисты, как правило, осведомлены о механике системы, которую они конструируют. Они устанавливают правила и позволяют машинам делать математическую часть. Например, если мы хотим разработать модель роста Солоу с международной торговлей и несколькими товарами, подойдет вычислительный подход.

Использование экономических моделей

Экономические модели могут использоваться по многим причинам. Экономисты и политики постоянно обмениваются идеями об установлении повестки дня. Как упоминалось ранее, экономические модели используются для лучшего понимания реальности.

Кривые LM зависят от соотношения между процентными ставками и денежной массой. Предложение денег зависит от фискальной политики. Таким образом, этот тип экономического моделирования может быть полезен для будущих политических предложений. Еще один важный пример — кейнсианские экономические модели помогли Соединенным Штатам пережить Великую депрессию. Следовательно, экономические модели могут помочь нам понять и оценить экономические события при планировании наших стратегий.

Пример экономического моделирования

Мы привели множество примеров экономических моделей. Тем не менее, лучше углубиться и детально разобраться в структуре одной экономической модели. Лучше начать с основ. Таким образом, здесь мы фокусируемся на модели спроса и предложения.

Как мы уже говорили, все модели начинаются с предположений, и модель спроса и предложения не является исключением. Во-первых, мы предполагаем, что рынки совершенно конкурентны. Почему мы это предполагаем? Прежде всего, упростить реальность монополий. Поскольку существует много покупателей и продавцов, монополий не существует. И фирмы, и потребители должны быть ценополучателями. Это гарантирует, что фирмы продают в соответствии с ценой. Наконец, мы должны исходить из того, что информация доступна и легкодоступна для обеих сторон. Если потребители не знают, что они получают, цена может быть изменена для увеличения прибыли фирм.

Теперь, после установления наших основных предположений, мы можем перейти к более подробному изложению. Мы знаем, что существует благо. Назовем этот товар \(x\), а цену этого товара — \(P_x\). Мы знаем, что существует некоторый спрос на этот товар. Мы можем продемонстрировать объем спроса с помощью \(Q_d\) и объем предложения с помощью \(Q_s\). Мы предполагаем, что если цена ниже, то спрос будет выше.

Таким образом, мы можем сказать, что общий спрос является функцией цены. Таким образом, мы можем сказать следующее:

\(Q_d = \alpha P + \beta\)

где \(\alpha\) — отношение спроса к цене, а \(\beta\) — константа.

Рис. 4 – График спроса и предложения на рынке факторов производства

В реальной жизни эта взаимосвязь может оказаться слишком сложной. Тем не менее, это не означает, что мы не можем упростить. Поскольку мы знаем, что сделки возможны только там, где предложение равно спросу, мы можем найти равновесную цену на этот товар на этом рынке.

Вы понимаете, насколько это упрощено, если сравнивать с реальностью?

При построении этой модели мы сначала заложили некоторые допущения, а уже после этого решили, что анализировать, и упростили реальность. После этого мы использовали наши знания и создали общую модель для приложения к реальности. Тем не менее, мы должны иметь в виду, что эта модель имеет ограничения. В действительности рынки почти никогда не бывают полностью конкурентными, а информация не так изменчива и широко распространена, как мы предполагали. Это проблема не только этой конкретной модели. В общем, все модели имеют ограничения. Если мы поймем ограничения модели, она будет более полезной для будущих приложений.

Ограничения экономических моделей

Как и все модели, экономические модели также имеют некоторые ограничения.

Известный британский статистик Джордж Э. П. Покс сказал следующее:

Все модели ошибочны, но некоторые из них полезны.

Это довольно важный аргумент. Как мы упоминали ранее, модели могут быть чрезвычайно полезны для улучшения нашего понимания явлений. Тем не менее, все модели имеют ограничения, а некоторые могут содержать недостатки.

Вы помните, что мы делали, конструируя нашу чрезвычайно простую модель? Мы начали с предположений. Ложные предположения могут привести к ложным результатам. Они могут по своей сути звучать в рамках модели. Тем не менее, они не могут объяснить реальность, если не построены на реалистичных предположениях.

Построив допущения для модели, мы упростили реальность. Социальные системы чрезвычайно сложны и хаотичны. Поэтому для расчета и погони за необходимым мы убираем некоторые условия и упрощаем действительность. С другой стороны, чрезмерное упрощение может привести к нереалистичным решениям. Мы должны тщательно проанализировать то, что мы не учитываем в уравнениях.

После этапа упрощения создается математическое соотношение. Математика является важной частью экономического моделирования.

Вычисление определителей 2 — 4-го порядка

Научиться вычислять определители, обратные матрицы и т.д. — одно из основных заданий для первокурсников, которые получают образование на факультетах с математическим уклоном в обучении. Многие сервисы в интернете предлагают онлайн нахождения определителей и всего что касается матриц, однако мало программ — математических калькуляторов которые показывают ход решения. В конце статьи Вашему вниманию предлагается такой калькулятор, но об этом позже, а сейчас давайте рассмотрим несколько примеров нахождение определителя матрицы.

За справочник возьмем сборник задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика». Позже будут добавлены примеры вычисления определителя матрицы из других источников.

———————————————

Примеры.

1) (1.4)

Применим правило вычисления определителя для матрицы второго порядка.

2) (1.6)

Выполним вычисления согласно правилу

3) (1. 8)

Данный пример выглядит сложным но со знанием следующих правил логарифма

решается на удивление быстро.

4) (1.14)

Вычислим данный определитель двумя способами: по правилу треугольников и через алгебраические дополнения.

А сейчас разложим по элементам первого рядка, поскольку в нем больше нулей

В этом примере специально выписаны дополнение у нулевых множителей, так как не все понимают откуда берутся дополнения. По правилу они равны определителю, который образуется вычеркиванием строки и столбца того элемента для которого ищутся, умноженному на минус единицу в степени

.

Схематически на примере матрицы четвертого порядка это выглядит так:

Внимательно посмотрите, какие элементы в определителе выписаны для дополнений и Вам все станет понятно.

Суть метода алгебраических дополнений заключается в том, что когда мы матрицу с нулевыми элементами может разложив ее по по строке или столбцу в котором больше нулей нам остается вычислить столько определителей на порядок меньших основной матрицы, сколько ненулевых элементов. Это значительно упрощает вычисления.

6) (1.19)

Если вычисления проводить по правилу треугольников, то получим много нулевых произведений. В такого рода примерах целесообразно использовать алгебраические дополнения.

7) (1.21)

Вычислим определитель через алгебраические дополнения третьей строки

Как можно убедиться, решение с помощью алгебраических дополнений в случаях разреженных матриц можно получить быстро и без большого количества вычислений.

8) (1.58)

Выполним элементарные преобразования. От другого рядка вычтем первый, а от четвертого — третий. Получим разреженную матрицу

Определитель найдем через алгебраические дополнения к четвертой строке

Вычислим каждый из слагаемых

Подставляем в определитель

9) (1.72)

Найдем определитель через расписание по строкам и столбцам, содержащие нули (выделены черным).

Таким методом нахождения определителя пятого порядка свелось к простым вычислениям. Практикуйте и изучайте правила и через некоторое время у Вас будет выходить не хуже. До встречи в следующих уроках!

———————————————-

2.4. Вычисление определителей

Основным приемом вычисления определителя го порядка является сведение его к определителям более низкого порядка с помощью формул разложения. При этом полезен учет свойств определителя, позволяющий существенно уменьшить объем вычислений.

Пример 1. Вычислить определитель

Разложим определитель по первому столбцу. Получим

.

Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка свелось к вычислению четырех определителей третьего порядка. Далее, разлагая определители третьего порядка по первому столбцу, получим

и т.д. Окончательно получим .

Вычисления значительно упростятся, если воспользоваться свойствами определителя. По свойству 7 можно, не меняя значения определителя, прибавить второй, третий и четвертый столбцы к первому, а затем первую строку вычесть из второй, третьей и четвертой. Получим

Пример 2. Вычислить определитель треугольной матрицы го порядка

.

Для вычисления разложим определитель по последней строке. Получим, что , где треугольный определитель порядка . Определитель снова разложим по последней строке и т.д. Продолжая аналогичные рассуждения, получим что .

Пример 3. Вычислить определитель матрицы го порядка

.

Подобные определители можно достаточно просто преобразовать к треугольному виду. Для этого прибавим все столбцы к первому и затем вычтем первую строку из всех остальных. Получим

Пример 4. Следующий метод вычисления определителей го порядка называется методом рекуррентных соотношений. Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают, преобразуя его и раскладывая по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.

Рассмотрим идею метода на примере вычисления определителя трехдиагональной матрицы или матрицы Якоби (матрицей Якоби называется матрица , если из следует ). Вычисление определителей матриц Якоби часто приводит к рекуррентному соотношению вида

,

где и постоянные числа. Для нахождения необходимо решить полученное уравнение. Заменим соответствующей степенью переменной

.

Перенося все слагаемые в левую часть и сокращая на , получим квадратное уравнение , называемое характеристическим уравнением. Пусть корни этого уравнения. Тогда возможны два случая: и .

Если , то определитель имеет вид

,

где числа находятся из условий

.

Определители и в левых частях условий вычисляются непосредственно из вида .

Если , то

,

а числа находятся из условий

.

Рассмотрим конкретный пример. Вычислим определитель го порядка

, .

Разложим определитель по последнему столбцу

.

Первый определитель в правой части является определителем порядка того же типа, что и . Второй определитель разложим еще раз по последней строке. Минор, дополнительный к ненулевому элементу в последней строке, вновь представляет собой определитель того же типа, что и , но порядка . В итоге получим рекуррентное соотношение для

.

Соответствующее характеристическое уравнение

имеет корни и . Так как , то и . Из вида находим

.

Тогда для определения получим систему уравнений

решая которую, находим

(при решении использовались равенства: ). Тогда

.

Пример 5. Вычислить определитель го порядка

.

Представим элементы последнего столбца в виде суммы двух слагаемых: . Тогда по свойству 3. определитель представится в виде суммы двух определителей

.

Первый определитель разложим по последнему столбцу. Второй определитель приведем к треугольному виду, вычитая последний столбец из всех остальных. Тогда

(1)

где является определителем порядка того же типа, что и .

Решим полученное уравнение для . Из вида при имеем.Выписывая (1) при с учетом равенства для , получаем

.

Методом математической индукции теперь нетрудно показать, что .

Пример 6. Вычислить определитель го порядка

.

Представим элементы последнего столбца в виде суммы двух слагаемых: и распишем определитель как сумму двух определителей

.

Первый определитель разложим по последнему столбцу. Для вычисления второго определителя умножим последний столбец на и вычтем из остальных. Получим

Для решения полученного рекуррентного соотношения воспользуемся тем, что при транспонировании матрицы ее определитель не меняется. В нашем случае транспонировании приводит к замене на наоборот. Поэтому имеем два равенства

Откуда .

Пример 7. Следующий пример иллюстрирует применение теоремы Лапласа. Нужно вычислить определитель квазитреугольной матрицы порядка . Квазитреугольной называют блочную матрицу вида , где квадратные матрицы, прямоугольная матрица, нулевая матрица. В подробной записи матрица имеет вид

.

Пусть . Покажем, что . Воспользуемся теоремой Лапласа. Разложим этот определитель по первым строкам. Очевидно, что из первых строк можно составить только один минор го порядка не содержащий нулевого столбца, у которого номера выделяемых столбцов удовлетворяют условию . Этот минор есть . Дополнительным к нему минором является определитель , что и доказывает формулу.

Правила расчета определителей и примеры

Правила

Правила расчета с определителями.

Перестановка двух строк Перестановка двух столбцов Фактор в строкеСложение строкСложение столбцовТеорема умноженияТеорема о транспозицииТеорема об обратной матрицеКоробка

Методы расчета определяющих значений.

Определяющее значениеОпределяющее значение 2×2Определяющее значение 3×3Определяющее значение NxNLaplace ExpansionGaussian Method

История определителей

Исторически определяющие факторы рассматривались до матриц. Первоначально определитель определялся как свойство системы линейных уравнений. Определитель «определяет», имеет ли система уравнений единственное решение (именно так оно и есть, если определитель отличен от нуля). В этом контексте матрицы 2×2 были рассмотрены Кардано в конце 16 века, а более крупные матрицы — Лейбницем примерно 100 лет спустя.

Определитель

Каждой квадратной матрице можно присвоить уникальный номер, который называется определителем (det(A)) матрицы. В общем случае определитель матрицы NxN определяется формулой Лейбница:

det A=∑σ∈SnsgnσΠi=1nAiρi

здесь необходимо распространить сумму на все перестановки σ. Таким образом, из элементов множества A формируются все возможные произведения для каждого n-элемента таким образом, что каждое из произведений каждой строки и столбца содержит ровно один элемент. Эти продукты складываются, и сумма является определителем A. Знак слагаемых положительный для четных перестановок и отрицательный для нечетных перестановок.

Правила вычисления определителя

Перестановка двух строк определителя

Перестановка двух строк определителя местами меняет только знак, но не значение определителя.

det A=|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|=-|a11a12…a1n⋮ak1ak2…akn⋮aj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|

Перестановка двух столбцов определителя местами

Перестановка двух столбцов определителя местами меняет только знак, но не значение определителя.

det A=|a11…a1j…a1k…a1na21…a2j…a2k…a2n⋮an1…anj…ank…ann|=-|a11…a1k…a1j…a1na21…a2k…a2j…a2n⋮an1…ank…anj…ann |

Множитель в строке определителя

Извлечение общего множителя из строки. Общий множитель во всех элементах строки можно изобразить как множитель перед определяемым. Затем значение детерминанта получается путем умножения множителя на значение результирующего детермината det A’.

det A=|a11a12…a1n⋮λaj1λaj2…λajn⋮an1an2…ann|=λ|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|=λdet A’

Извлечение общего множителя из столбца. Общий множитель во всех элементах столбца можно изобразить как множитель перед определяемым. Затем значение детерминанта получается путем умножения множителя на значение результирующего детермината det A’.

det A=|a11…λa1j…a1na21…λa2j…a2n⋮an1…λanj…ann|=λ|a11…a1j…a1na21…a2j…a2n⋮an1…anj…ann|=λdet A’

Добавление строк

Сложение строки определителя с кратным другой строки. Значение определителя не меняется, когда к строке добавляется кратное другой строки.

det A=|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|=|a11a12…a1n⋮aj1+λak1aj2+λak2…ajn+λakn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|

Сложение столбцов

Сложение столбца определителя с кратным другому столбцу. Значение определителя не меняется, когда к столбцу прибавляется кратное другому столбцу.

det A=|a11…a1j…a1k…a1na21…a2j…a2k…a2n⋮an1…anj…ank…ann|=|a11…a1j+λa1k…a1k…a1na21…a2j+λa2k…a2k…a2n⋮an1…anj+ λанк…анк…анн|

Теорема умножения

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц.

det(A⋅B)=det(A)⋅det(B)

Также следует следующее соотношение.

det(Ak)=det(A)k

Теорема транспонирования

Определитель транспонированной матрицы равен определителю самой матрицы.

det(AT)=det(A)

Обратная матрица

Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя самой матрицы

det(A-1)=det(A)-1=1det A

Теорема о ящике

Имеет определитель, следующий за коробчатой ​​структурой с квадратными ящиками B и D, тогда его определитель представляет собой произведение определителей направлений B и D .

det A=|BC0D|=det(B)det(D)det A=|B0CD|=det(B)det(D)

Вычисление значения определителя

Определитель матрицы 0x0

Определитель a Матрица 0x0 определяется как 1.

Определитель матрицы 1×1

Матрица 1×1 — это матрица, состоящая только из одного элемента, а определитель задается самим элементом.

det A=|a11|=a11

Определитель матрицы 2×2

Для матрицы 2×2 определитель вычисляется следующим образом.

det A=|a11a12a21a22|=a11a22-a21a12

Определитель матрицы 3×3

Для вычисления определителя 3×3 существуют разные способы. С развитием Лапаса можно уменьшить определитель до 2х2 определителей. Прямой способ вычисления определителя — правило Сарруса. Правило Сарруса гласит, что определитель квадратной матрицы 3×3 вычисляется путем вычитания суммы произведений главных диагоналей из суммы произведений второстепенных диагоналей.

Определитель матрицы 3×3 по правилу Сарруса

Определитель вычисляется по правилу Сарруса следующим образом. Схематически первые два столбца определителя повторяются, так что большая и малая диагонали могут быть виртуально соединены линейной линией. Затем делают произведения главных диагональных элементов и добавляют эти произведения. С второстепенными диагоналями вы должны сделать то же самое. Разница между ними дает определитель матрицы.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|a11a12a21a22a31a32|=a11a22a33+a12a23a31+a33a21a32-(a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12)

К сожалению, с этим очень трудно работать для всех матриц, кроме самых простых, поэтому лучше использовать альтернативное определение. Есть два основных варианта: 9Определитель 0283 минорами и определитель перестановками .

Определитель является очень важной функцией, поскольку он удовлетворяет ряду дополнительных свойств, которые могут быть получены из 3 условий, указанных выше. Они следующие:

1. Мультипликативность: \(\text{det}(AB)=\text{det}(A)\text{det}(B)\)
2. Инвариантность по отношению к операциям со строками: если \(A’\) — матрица, образованная добавлением числа, кратного любой строке, к другой строке, то \(\text{det}(A)=\text{det}(A’)\ ). 92 &=& ? \end{cases} } \]

   Учитывая приведенные выше ограничения, каково значение последнего уравнения?

   Метод определителя по младшим вычисляет определитель с помощью рекурсии. Базовый случай прост: определитель матрицы \(1 \times 1\) с элементом \(a\) равен просто \(a\). Обратите внимание, что это согласуется с приведенными выше условиями, поскольку

   \[\text{det}\begin{pmatrix}a\end{pmatrix} = a \cdot \text{det}\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} =а\]

   9{i+1}a_{1,i}\text{det}(A_{1i}) = a_{1,1}\text{det}A_{11}-a_{1,2}\text{det} А_{12}+\cdots. 2?\)

   К сожалению, эти вычисления могут оказаться довольно утомительными; уже для матриц \(3 \times 3\) формула слишком длинная, чтобы ее можно было запомнить на практике.

   Альтернативный метод, определитель с помощью перестановок , вычисляет определитель с использованием перестановок элементов матрицы. Пусть \(\sigma\) — перестановка \(\{1, 2, 3, \ldots, n\}\), а \(S\) — множество этих перестановок.

   Тогда определитель \(n \times n\) матрицы \(A\) равен

   9{n}a_{i,\sigma(i)}\right).\]

   Это может выглядеть более пугающе, чем предыдущая формула, но на самом деле она более интуитивно понятна. По сути там написано следующее:

   Выберите \(n\) элементов \(A\) так, чтобы никакие два не находились в одной строке и не два в одном столбце, и умножьте их, возможно, также на \(-1\), если перестановка имеет странный знак. Определитель — это сумма по всем выборам этих \(n\) элементов.

   Это определение особенно полезно, когда матрица содержит много нулей, так как тогда большинство произведений исчезает.

   Найдите определитель матрицы

   \[\left(\begin{array}{cc}1&0&-1&9&11\\0&-6&-1&9&11\\0&0&\frac{1}{3}&-80&\frac{ 1}{3}\\0&0&0&9&7\\0&0&0&0&-5 \end{массив}\right).\]

   Вот пример:

   Каков определитель \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}?\)

   ---

   Есть две перестановки \(\{1,2\}\): сам \(\{1,2\}\) и \(\{2,1\}\). Первый имеет положительный знак (поскольку у него 0 транспозиций), а второй — отрицательный (поскольку у него 1 транспозиция), поэтому определитель равен 9.{n}a_{i,\sigma(i)}\right) = 1 \cdot a_{1,1}a_{2,2} + (-1) \cdot a_{1,2}a_{2,1 } = ad-bc.\]

   Неудивительно, что это тот же результат, что и выше. \(_\квадрат\)

   Вычислить \(\det\left(\begin{array}{cc}2&6&4\\-3&1&5\\9&3&7 \end{array}\right).\)

   Простейшие случаи вычисления определителя top -треугольные (и нижнетреугольные ) матрицы, используя описанный выше метод перестановки:

   1. Треугольный определитель

      • Верхний треугольный определитель (элементы, находящиеся ниже главной диагонали, равны нулю ):
        \[X=\text{det}\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ 0 & f & g & h \\ 0 & 0 & k & l \\ 0 & 0 & 0 & p \end{vmatrix}=a\times f\times k\times p. \]
      • Нижний треугольный определитель (элементы выше главной диагонали равны нулю ): \[X=\text{det}\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ e & f & 0 & 0 \\ i & j & k & 0 \\ m & n & o & p \end {vmatrix}=a\times f\times k\times p.\]

   2. Определитель диагонали (элементы, находящиеся под и над главной диагональю, равны нулю ): \[X=\text{det}\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end {vmatrix}=a\times f\times k\times p.\]

   Это полезно, потому что матрицы могут быть преобразованы в эту форму с помощью операций со строками, которые не влияют на определитель:

   Найдите значение определителя

   \[X=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 7 & 5 & 2 \\ -1 & 4 & -6 & 3 \end{vmatrix }.\]

   ---

   У нас есть

   \[\begin{выравнивание} [X]=&\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2&7&5&2 \\ -1&4&-6&3 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 — 2\text{row}_1 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row} _3 — 2\text{row}_1 \rightarrow \text{row}_3 \\ \text{row}_4 — 3\text{row}_1 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow &\ begin{bmatrix} 1&2&2&1\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ -4&-2&-12&0 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row}_3 \rightarrow \text{row} _3 \\ \text{row}_4 +12\text{row}_3 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow &\begin{bmatrix} 1&2&2&1\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ -4&34&0&0 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row}_3 \rightarrow \text{row} _3 \\ \text{row}_4 +17\text{row}_2 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow &\begin{bmatrix} 1&2&2&1\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ -21&0&0&0 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_4 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row}_3 \rightarrow \text{row} _3 \\ \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow — &\begin{bmatrix} -21&0&0&0\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ 1&2&2&1 \end{bmatrix} . \конец{выравнивание}\]

   Следовательно, \(\det {[X]} = X = -(-21)(-2)(1)(1) = -42.\ _\квадрат\)

   Правило Сарруса — это сокращенный способ вычисления определителя матрицы \(3 \times 3\).

   1. Перепишите первые две строки, занимая гипотетические четвертую и пятую строки соответственно: \[\слева| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right| \Стрелка вправо\влево| \begin{матрица} 1 и 2 и 3 \\ 4 и 5 и 6 \\ 7 и 8 и 9\end{матрица} \right| \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\]

   2. Перемножить диагональные элементы: \[\begin{матрица} \left| \begin {matrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{matrix}\end{matrix}= 1 \cdot 5 \cdot 9+4 \cdot 8\cdot 3+7\cdot 2 \ cdot 6 -3\cdot 5 \cdot 7 -6 \cdot 8 \cdot 1 — 9 \cdot 2 \cdot 4 = 0.\]

   3. Диагональ по убыванию слева направо имеет знак \(+\) , а диагональ по убыванию справа налево имеет знак \(-\text{}\).

Площадь квадрата

К содержанию

Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом.
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n². Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,

Пусть теперь число aпредставляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (в частности, число a может бать целым, и тогда n = 0). Тогда число m = a · 10ⁿ целое. Разобьем данный квадрат со стороной a на m² равных квадратов так, как показано на рисунке 2.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10ⁿ) = 1/10ⁿ.

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10ⁿ)². Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m² · (1/10ⁿ)² = (m/10ⁿ)² = ((a · 10ⁿ)/10ⁿ)² = a².

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число a_n, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число a отличается от a_n не более чем на 1/10ⁿ, то a_n ≤ a ≤ a_n + 1/10ⁿ, откуда

a_n² ≤ a² ≤ (a_n + 1/10ⁿ)².   (2)

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной a_n и площадью квадрата со стороной a_n + 1/10ⁿ:

т. е. между a_n² и (a_n + 1/10ⁿ)²:

a_n² ≤ S ≤ (a_n + 1/10ⁿ)².   (3)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10ⁿ будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (a_n + 1/10ⁿ)² будет сколь угодно мало отличаться от числа a_n². Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a². Следовательно, эти числа равны: S = a², что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

S = 4r²,
S = 2R²,

где r — радиус вписанной в квадрат окружности,
R — радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Другие заметки по алгебре и геометрии

Полезная информация?

как найти, формула, через диагональ

Содержание:

• Квадрат
• Нахождение площади квадрата
  • Через длину стороны
  • Через диагональ
  • Через радиус вписанной окружности
  • Через радиус описанной окружности
  • Через периметр

Содержание

• Квадрат
• Нахождение площади квадрата
  • Через длину стороны
  • Через диагональ
  • Через радиус вписанной окружности
  • Через радиус описанной окружности
  • Через периметр

Квадрат

Определение

Квадрат — геометрическая фигура, являющаяся правильным четырехугольником. 2}{16}\)

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

Площадь квадрата — веб-формулы

Квадрат — это правильный многоугольник с четырьмя сторонами. У него четыре прямых угла и параллельные стороны. Чтобы вычислить площадь квадрата, умножьте основание само на себя, что может быть выражено как сторона × сторона. Если квадрат имеет основание длиной 8 дюймов, его площадь будет 8 × 8 = 64 квадратных дюйма.

Площадь квадрата определяется как:

A = a ²

где a = длина стороны

Периметр квадрата = 4a
Диагональ квадрата = (a)(sqrt(2)) или 1,414 (a)

Пример 1: Найдите площадь квадрата со стороной 15 м

Решение :

Площадь квадрата = a ² = 15 ² = 225 м ²

Пример 2: Вычислите площадь квадрата, если длина стороны квадрата 35 см.

Решение :

Площадь квадрата определяется как a × a.

Площадь = 35 × 35

Площадь = 1225см

Пример 3: Какова площадь квадратного поля, если его периметр равен 32 ярдам?

Решение :

Периметр квадратного поля = 32 ярда, а поскольку периметр квадрата равен P = 4s, где s — длина стороны. Мы можем легко определить длину, выделив s из приведенной выше формулы:

с = P/4 = 32 / 4 = 8 ярдов

Площадь квадратного поля = s × s

Подставляем значение s, имеем:

Площадь = 8 × 8 = 64 ярда ²

Следовательно, площадь квадратного поля равна 64 ярда ² .

Пример 4: Сторона квадратного парка равна 200 м. Какова будет стоимость газона по цене 0,5 доллара за кв. м?
Решение :

Нам нужно найти площадь парка, а затем умножить ее на стоимость м ² .

Площадь квадратного парка = сторона × сторона

A = с²

Подставьте значения и упростите.
А = 200 × 200
A = 40 000 м ²

Площадь озеленения = площадь парка = 40 000 кв.м.

Стоимость озеленения = площадь озеленения × ставка за квадратный метр.

Подставляем значения, которые получим:
Стоимость = 40 000 x 0,5 = 20 000 долларов США.

Таким образом, стоимость травяного покрова составляет 20 000 долларов.

Пример 5: Квадратный газон окружен дорожкой шириной 2 м вокруг него. Если площадь дорожки 160 кв м, найдите площадь газона.

Решение :

Дано: Квадратный газон окружен дорожкой шириной 2 м; площадь дорожки 160 кв.м.
Чтобы найти: Площадь газона.
(Подсказка: лужайка окружена дорожкой, т. е. дорожка проходит по внешнему краю лужайки. чтобы найти площадь лужайки, вычтите площадь дорожек из общей площади)
Пусть сторона газона равна y, тогда мы имеем:

Внешняя сторона, включая дорожку = сторона лужайки + ширина дорожки с обеих сторон.
= у + (2 + 2)
= y + 4

Общая площадь, включая путь = (y + 4) × (y + 4).
= у² + 8у + 16 (и).
А площадь газона = (сторона)² = y × y = y² (ii).

Поскольку дана площадь пути (160 м ² ), мы имеем:
Площадь дорожки = Общая площадь, включая дорожку — площадь газона.
А = (i) — (ii).
Подставим данные значения в следующее уравнение, и, выделив y, мы сможем определить длину стороны газона:
160 = (y² + 8y + 16) — y²
160 = у² + 8у + 16 — у²
160 = у² — у² + 8у + 16
160 = 8 лет + 16
160 — 16 = 8 лет
144 = 8 лет
18 = у
Сторона газона = 18 м

Площадь газона = сторона × сторона

А = с²
А = 18 × 18
А = 324 м ²

Отсюда площадь газона = 324 м ² .

Онлайн-калькулятор площади

Площадь квадрата — 2 метода

Содержание

Площадь двумерной фигуры (плоской фигуры) можно рассматривать как количество квадратных единиц, необходимых для заполнения квадрата. {2}$ и т. д. 9{\circ} \right)$. Квадрат — это особый вид прямоугольника (равносторонний) и особый вид параллелограмма (равносторонний и равноугольный).

Какова площадь квадрата?

Площадь квадрата – это мера занимаемой им площади или поверхности. Рассмотрим квадрат длины $6$ единиц, т. е. квадрат, у которого длина всех ребер (сторон) равна $6$ единиц.

Далее разделим этот квадрат на несколько маленьких квадратов со стороной $1$.

Как вычислить площадь квадрата по сторонам?

Площадь квадрата равна квадрату его длины. Для нахождения площади квадрата используются следующие шаги:

Шаг 1: Запишите длину квадрата

Шаг 2: Подставьте значение длины квадрата в формулу

Шаг 4: Упростите выражение в формуле, чтобы получить площадь в квадратных единицах

Примеры

9{2}$

Количество плиток = $\frac {250000}{625} = 400$

Следовательно, чтобы покрыть квадратный двор длиной $5 м$, необходимо количество квадратных плиток длиной $25 см$, равное $400 $. {2}$ 9{2}$

Количество плиток = $\frac {25}{0,0625} = 400$

Следовательно, чтобы покрыть квадратный двор длиной $5 м$, необходимо количество квадратных плиток длиной $25 см$, равное $400 $.

Формула площади квадрата с использованием диагонали

Вы также можете найти площадь квадрата, если известна длина его диагонали. В этом случае вы используете теорему Пифагора, чтобы найти площадь квадрата.

Рассмотрим квадрат со стороной $s$ и диагональю $d$. 9{2}$.

Рекомендуемая литература

• Что такое длина? (с определением, единицами и преобразованием)
• Вес – определение, единица измерения и преобразование
• Что такое емкость (определение, единицы и примеры)
• Что такое время? (с определением, фактами и примерами)
• Что такое температура? (с определением и единицами измерения)
• Чтение календаря
• Периметр прямоугольника – определение, формула и примеры
• Периметр квадрата – определение, формула и примеры 9{2}$.

Рисунки по координатам легкие — 78 фото

Рисунки на координатной плоскости

Рисование по координатам

Рисунки по координатам с координатами

Рисунки поткоординатам

Рисунки на координатной плоскости

Координатная плоскость (1;-4) (1; -6)

Прямоугольная система координат рисунок

Гуси-лебеди координатная плоскость

Координатные рисунки

Рисунки на координальной плоскость

Рисунки на координатной плоскости

Рисунки на координатной плоскости

Координаты волка

Рисунок на координатной плоскости с координатами

Рисование фигур по координатам

Петух по координатам

Рисование по координатам

Фигуры по координатным точкам

Рисование по координатам

По точкам на координатной плоскости с координатами

Миллиметровка для рисования

Рисунок с координатами точек

Координаты для рисования животных

Декартова система координат на плоскости рисунки

Фигуры на координатной прямой

Рисунки на координатной плоскости

Симметричные фигуры

Рисунок по прямоугольной системе координат

Ракета по координатам

Верблюд по точкам на координатной

Рисунки на координатной плоскости

Изображение на координатной плоскости

По координатной плоскости

Рисунки на координатной плоскости сложные

Рисунки на координатной плоскости

Рисунки на координатной плоскости

Координаты фигуры

Рисунки на координатной оси

Фигура животного на координатной плоскости

Сложное координатное рисование

Рисунок из координатной плоскости

Бабочка по координатам

Рисунки на координатной плоскости

Прямоугольная система координат рисунок

Фигуры по координатным точкам

Рисунки на координатной плоскости сложные

Программа для рисования по координатам

Координатная плоскость (-7, 5;4, 5) , (-8;5)

Координатные плоскости (-1,-7),(-5,-3),(-5,-3)

Графический диктант по координатам

Слоник на координатной плоскости

Построение фигур на плоскости

Звезда на координатной плоскости

Фигура на координатной плоскости с координатами

Координатная плоскость рыбка -4 2 -3 4

Слоник на координатной плоскости

Координаты на плоскости

Летучая мышь по координатам

Рисунки на координатной плоскости лебедь

Координатный рисунок с координатами сложно

Страус по координатам

Рисунок с координатами точек

Информатика рисунок по координатам

Попугай на координатной плоскости с координатами

Информатика координаты для рисунка

Координатная плоскость Теремок

Рисунок на координатной плоскости с координатами

Кошечка на координатной плоскости

Заяц на координатной плоскости

Раскраска по координатам

Собачка по координатам

Рисунки на плоскости с координатами

Фигуры на координатной прямой

Координатная плоскость рисунок Орел

Петух по координатам

Бабочка по координатным точкам

Построить фигуру по точкам

Написать

Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Картинки по координатам — 75 фото

Декартова система координат на плоскости рисунки

Рисунки на плоскости с координатами

Координатная плоскость с координатами

Координатная плоскость с координатами

Рисунок 50 координатных точек

Рисунок на координатной плоскости с координатами

Рисунки с координатами

Рисунки на координатной плоскости

Рисунок в системе координат по точкам

Рисунок на координатной плоскости с координатами

Ртсунут по координатам

Рисунок на координатной плоскости с координатами

Сердце по координатам

Рисунок на плоскости

Рисунки на координатной плоскости с координатами сложные

Координатная плоскость 20 точек

Рисунок по координатам (-2;2),(-2;-4)

Кумир чертежник слон

Рисование по координатам

Слоник на координатной плоскости

Пикачу по координатам

Система координат рисунок

Координатные плоскости (-1,-7),(-5,-3),(-5,-3)

Рисунки по координатам сложные

Заяц по координатам

Петушок по координатам

Программа рисования с координатами

Корабль по координатам

Рисуем по координатам

Рисунки на координатной плоскости

Координатные плоскости (-1,-7),(-5,-3),(-5,-3)

Координатные плоскости (-1,-7),(-5,-3),(-5,-3)

Программа рисования с координатами

Координатная плоскость (-4;6),(-3;5)

Рисунки по координатам сложные

Рисунки на координатной прямой

Рисунки на координатной плоскости

Рисунки на координатной плоскости

Рисунки на координатной плоскости

Информатика рисование по координатам

Верблюд на координатной плоскости

Постройте фигуру животного по точкам

Графический диктант медведь

Рисунки на координатной прямой

Кумир чертежник слон

Винни пух на координатной плоскости

Конь на координатной плоскости

Координаты бабочки

Координатная сетка

Звезда на координатной плоскости

Бабочка в кумире чертежник

Кумир чертежник задания

Алгоритм для чертежника в кумире

Собака на координатной плоскости 14;-3

Исполнитель чертежник кумир

Рисование по координатам

Заяц по координатам 1. 7 0.10

Координатные прямые животные

Бабочка на координатной плоскости

Рисунки на миллиметровой бумаге

Миллиметровка с осями координат

Рисование по координатам

Рисунки поткоординатам

Координатная плоскость система координат

Рисование по координатам

Лошадь по координатам

Координатное рисование

Система координат на листе в клетку

Координатные рисунки простые

Дом на координатной плоскости

Картинки по координатам

Рисование линий с использованием декартовых координат — Введение в черчение и AutoCAD 2D

По завершении этого модуля вы сможете:

1. Описывать геометрию точек и линий.
2. Опишите декартову систему координат.
3. Дайте определение и объясните термины последняя точка, абсолютные координаты и относительные координаты.
4. Примените команду LINE для рисования линий в декартовой системе координат XY с использованием как абсолютных, так и относительных координат.

Точка определяется как одна координата XY. У него нет ни ширины, ни высоты, ни глубины. Линия — это кратчайшее расстояние между двумя координатами XY. Линии могут быть горизонтальными, вертикальными или наклонными . Линии, находящиеся на одинаковом расстоянии друг от друга, называются параллельными линиями. Перпендикулярные линии расположены под прямым углом друг к другу или под углом 90 градусов друг к другу. См. рис. 4-1 и 4-2.

Декартова система координат

Чтобы точно нарисовать двумерный (2D) чертеж AutoCAD, необходимо ввести координаты XY. Эти координаты XY основаны на декартовой системе координат.

Декартова система координат состоит из двух пронумерованных линий, пересекающихся перпендикулярно друг другу в своих нулевых значениях. Горизонтальная ось — это ось X, а вертикальная ось — это ось Y. См. Рисунок 4-3. Каждому местоположению на текущей конструкционной плоскости присваивается значение координаты. На протяжении всей книги AutoCAD 2D вы будете работать с одной и той же вспомогательной плоскостью. Вспомогательные плоскости полностью описаны в книге AutoCAD 3D.

При использовании команды AutoCAD 2D каждое значение координаты состоит из пары чисел, первое — это координата X, а второе — координата Y, записанная как X,Y. Значения X и Y должны быть разделены запятой. Например, X2,Y4 (вводится в AutoCAD как 2,4) — это положение на 2 единицы вправо (положительное значение) и на 4 единицы вверх (положительное значение) от X0,Y0 или 0,0.

Значения могут быть как положительными, так и отрицательными. Положительные числа используются по умолчанию, поэтому знак плюс не требуется. Если значение отрицательное, перед числом должен стоять знак минус. Например, при вводе в команду AutoCAD значение -3,5 соответствует X минус 3, а Y положительному значению 5.

Декартовы координаты можно вводить в команду AutoCAD либо как абсолютные, либо как относительные координаты.

Абсолютные декартовы координаты

Абсолютные декартовы координаты всегда относятся к абсолютному началу 0,0. Абсолютная декартова координата 3,4 (X3Y4) находится на 3 единицы вправо и на 4 единицы вверх от 0,0 (X0Y0).

Можно использовать и отрицательные значения. Абсолютная декартова координата -4,2 (X-4,Y2) находится на 4 единицы влево и на 2 единицы вверх от 0,0 (X0Y0).

Относительные декартовы координаты

Относительные декартовы координаты увеличиваются до последней точки. Чтобы указать AutoCAD, что вводимые координаты являются относительными, перед значением координат должен стоять символ @. Например, @2,6, что означает «от последней точки идут 2 единицы по положительному X и 6 единиц по положительному Y». Другой пример с использованием отрицательных значений @4,-2, что означает «от последней точки идут 4 единицы по положительному X и 2 единицы по отрицательному Y».0003

Последняя точка

Последняя точка — это последнее местоположение XY, которое использовалось в команде AutoCAD. Последний пункт очень важен для вас при рисовании в AutoCAD. AutoCAD запоминает последнюю введенную точку и сохраняет ее в символе @. Символ @ означает «Последнее абсолютное координатное местоположение».

СОВЕТ ПОЛЬЗОВАТЕЛЮ: Когда вы начинаете рисовать, первое местоположение XY всегда задается с помощью абсолютной координаты. После этого используются относительные координаты. Было бы слишком сложно рисовать, используя все абсолютные координаты.

Команда LINE используется для рисования линий.

Ярлык: L

Шаг 1

Используя команду NEW, начните новый чертеж, используя шаблон: 2D English.

Шаг 2

Сохраните чертеж и назовите его: AutoCAD 2D Workalong 04-1. Сохраните его в папке: Курсы CAD/AutoCAD 2D/Lab Exercises

Шаг 3

Введите команду LINE, как показано ниже, чтобы нарисовать объект, показанный на рисунке. Имейте в виду, что вы вводите то, что выделено жирным шрифтом, комментарии автора — курсивом, а все остальное — ответы или подсказки AutoCAD. (Рис. Шаг 3)

Команда: LINE

Укажите первую точку: 1.75,4

(Всегда начинайте с абсолютной координаты. Это должно быть X, затем Y, разделенные запятой.)

Указать следующую точку или [Отменить]: @5,0

(Затем измените координаты на относительные. Сначала обратите внимание на @, затем на X и Y.)

Указать следующую точку или [Отменить]: @0,2

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @-2,5,0

(Используется отрицательная координата, поскольку линия идет в отрицательном направлении X.)

Укажите следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @0,1.5

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @-1,1

(Если обе координаты X и Y имеют значение, отличное от нуля, линия будет наклонена.)

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @-1. 5,0

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: С

(Вы можете использовать C или 1,75,4, чтобы закрыть последнюю строку и вернуться к первой точке.)

Команда:

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: Вместо того, чтобы просто вводить значения координат, попытайтесь понять значения, которые вы вводите, изучив рисунок Шаг 3.

Шаг 4

Ваш завершенный рисунок должен соответствовать рисунку. (Рис. Шаг 4)

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: Если у вас возникли проблемы с рисованием этого объекта с первой попытки, не беспокойтесь. Начинайте заново, с нуля, пока не сможете завершить. Чем больше вы будете практиковаться в рисовании, тем легче это будет получаться.

Шаг 5

Сохраните и закройте чертеж.

ДОЛЖЕН ЗНАТЬ: При рисовании наклонных линий с использованием декартовых координат значение координат X и Y не может быть равно нулю. См. пример ниже.

Команда: LINE

Укажите первую точку: 4,3

Укажите следующую точку или [Отменить]: @0,2 9000 3

Укажите следующую точку или [Отменить]: @-1.5,1

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @-1,0

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]:

Команда:

Примечание для рисования наклонной линии , вы должны ввести значение X и значение Y, которые не равны нулю. В этом примере @-1.5,1 Если либо X, либо Y равны нулю, то линия будет либо горизонтальной, либо вертикальной. См. Рисунок 4-4.

В Модуле 10 вы научитесь рисовать наклонные линии, используя полярные координаты.

Шаг 1

Используя команду NEW, начните новый чертеж, используя шаблон: 2D English.

Шаг 2

Сохраните чертеж и назовите его: AutoCAD 2D Workalong 04-2. Сохраните его в папке: Курсы CAD/AutoCAD 2D/Lab Exercises

Шаг 3

Введите команду LINE, как показано ниже, чтобы нарисовать объект, показанный на рисунке. (Рис. Шаг 3)

Команда: L

(L — сокращение для команды LINE)

Укажите первую точку: 7,5

Указать следующую точку или [Отменить]: @0,2

Указать следующую точку или [Отменить]: @-2,0

Укажите следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @.75,1

(Вы можете нарисовать наклонную линию, введя число, отличное от нуля, для X и Y.)

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @-3.5,0

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @-.75,-1

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: У

(При ошибке ввода введите U, чтобы вернуться на один шаг назад. Можно ввести более одного U, чтобы вернуться еще дальше. Убедитесь, что вы нажимаете ENTER или SPACE после каждого.)

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @.75,-1

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @-2,0

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @0,-2

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @1,0

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @0,.5

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @4,0

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: @0,-.5

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: 7,5

(Объект закрыт вводом абсолютной координаты первой точки.)

Указать следующую точку или [Закрыть/Отменить]: Команда:

Шаг 4

Готовый объект должен соответствовать рисунку. (Рис. Шаг 4)

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: Если у вас возникли проблемы с рисованием этого объекта с первой попытки, не беспокойтесь. Начинайте заново, с нуля, пока не сможете завершить. Чем больше вы будете практиковаться в рисовании, тем легче это будет получаться.

Шаг 5

Сохраните и закройте чертеж.

СОВЕТ ПОЛЬЗОВАТЕЛЮ: При вводе десятичного числа, которое заканчивается нулем, например 4,0, вводите число только до нуля. В данном случае 4. Если число равно 3,6700, все, что вам нужно ввести, это 3,67. AutoCAD автоматически добавит нули.

Удаление объектов

Чтобы удалить существующие объекты чертежа, вы можете использовать либо команду ERASE, либо клавишу Delete.

Использование команды ERASE

При удалении объектов чертежа с помощью команды СТИРАНИЕ объекты чертежа можно выбрать до или после ввода команды. Если команда введена до выбора объектов, выберите объекты при появлении подсказки «Выбрать объект», как показано ниже. Если объекты выбраны до ввода команды ERASE, приглашение не появляется.

Команда: УДАЛЕНИЕ

Выберите объект:

Команда:

Использование клавиши удаления

При удалении объектов с помощью клавиши Delete выберите объект или объекты перед нажатием клавиши.

Команда СТИРАНИЕ используется для окончательного удаления объектов чертежа с чертежа.

Ярлык: E

Шаг 1

Откройте чертеж: AutoCAD 2D Workalong 04-1.

Шаг 2

С помощью команды СОХРАНИТЬКАК сохраните чертеж под именем: AutoCAD 2D Workalong 04-3. (Рис. Шаг 2)

Шаг 3

Введите команду ERASE, как показано ниже. Переместите приставку на горизонтальную линию и выберите ее, нажав левую кнопку мыши. Наведите курсор на вертикальную линию и выберите ее. Нажмите клавишу Enter, чтобы выполнить команду. (Рис. Шаги 3A, 3B и 3C)

Команда: УДАЛЕНИЕ

Выбрать объекты: 1 найдено

Выбрать объекты: 1 найдено, всего 2 Выбрать объекты:

Команда:

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: Когда вы выбираете объект рисования внутри команды, он подсвечивается и отображается пунктиром.

ДОЛЖЕН ЗНАТЬ: Последняя точка — это последняя точка XY, которая использовалась в команде AutoCAD. Последний пункт очень важен для вас при рисовании в AutoCAD. AutoCAD запоминает последнюю введенную точку и сохраняет ее в символе @. Символ @ означает «Последнее абсолютное координатное местоположение».

Шаг 4

Чтобы удалить объекты чертежа без ввода команды, переместите прицел на линии,

, как показано на рисунке, и выберите их, щелкнув левой кнопкой мыши. Они будут выделены и отмечены пунктиром с маленькими синими квадратиками. Когда линии отобразятся, как показано на рисунке, нажмите клавишу Delete на клавиатуре. (Рис. Шаги 4A и 4B) ​​

КОММЕНТАРИИ АВТОРА:  Маленькие синие квадраты, которые отображаются на выбранном объекте, когда он выбран, называются ручками. Вы узнаете больше о них позже в этой книге и о том, как их использовать, в книге AutoCAD 2D Advanced.

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: Если вы хотите снять выделение с одного или нескольких объектов рисования, нажмите клавишу Esc. Иногда вам нужно нажать ее дважды, чтобы полностью снять выделение с выбранных объектов.

Шаг 5

Сохраните и закройте чертеж.

ДОЛЖЕН ЗНАТЬ: Чтобы ввести положительное число в AutoCAD, введите только число. Положительный — это значение AutoCAD по умолчанию. Если число отрицательное, перед числом должен стоять знак «-». Например, если число равно 4,0, введите 4. Если число равно -4,0, введите -4.

1. Декартова система координат состоит из двух пронумерованных линий, пересекающихся перпендикулярно друг другу в своих нулевых значениях. Горизонтальная ось — это ось X, а вертикальная ось — это ось Y.
2. Абсолютные декартовы координаты всегда относятся к абсолютному началу 0,0.
3. Символ @ означает «Последнее местоположение с абсолютными координатами» или иногда называется последней точкой. Перед относительными декартовыми координатами должен стоять символ @.
4. Чтобы закрыть последнюю строку в серии строк, введите либо ‘ C ’ (Закрыть), либо абсолютную координату первой точки.
5. Чтобы удалить существующие объекты чертежа, вы можете использовать либо команду ERASE, либо клавишу Delete.
6. Объекты можно выбирать до или после ввода команды.
7. Чтобы отменить выбор выбранного объекта чертежа, нажмите клавишу Esc. Иногда приходится нажимать дважды.

Допустимое время: 30 минут.

Этап 1

Начните новый чертеж, используя шаблон, показанный выше.

Шаг 2

Сохраните и назовите чертеж: AutoCAD 2D Lab 04-1 в папке: CAD Courses/AutoCAD 2D/Lab Exercises.

Шаг 3

Используя команду LINE, нарисуйте объект, показанный на рисунке. (Рисунок Шаг 3A и 3B)

Шаг 4

Введите команду ЕДИНИЦЫ. В диалоговом окне «Единицы чертежа» установите для параметра «Единицы вставки» значение «Дюймы». (Рис. Шаг 4)

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: Вы можете найти шкалу вставки в столбце «Единицы» в таблице под заголовком лабораторного упражнения.

Шаг 5

Проверьте свой чертеж с помощью ключа. Имя ключа совпадает с именем чертежа. (Рис. Шаг 5)

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: Если у вас возникли проблемы с этим, повторите Модуль 3.

Шаг 6

Ваш рисунок должен соответствовать рисунку. (Рис. Шаг 6)

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: На шаге 5 на ваш рисунок будет вставлен ключ наложения пурпурного цвета. Если вы видите двойные объекты или места, где ваши объекты и пурпурные объекты не совпадают, ваш рисунок неточен. Если вы видите только один объект, даже если он может иметь одинаковые пурпурный и красный цвета, ваш рисунок точен.

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: Если у вас возникли проблемы с выполнением этого рисунка с первой попытки, не беспокойтесь. Начинайте заново, с нуля, пока не сможете завершить. Чем больше вы будете практиковаться в рисовании, тем легче это будет получаться. Когда вы доберетесь до Модуля 8, вас научат, как исправить рисунок, чтобы вам не пришлось начинать все сначала.

Шаг 7

Сохраните и закройте чертеж.

АВТОРСКИЕ СОВЕТЫ ПО КОНСТРУКЦИИ: Сделайте все возможное, чтобы выполнить чертеж лабораторного упражнения, не используя следующую подсказку. Если вы застряли и не можете выполнить его самостоятельно, воспользуйтесь следующей подсказкой, чтобы помочь вам.

Подсказка 1

См. рисунок Подсказка 1.

Допустимое время: 30 минут.

Этап 1

Начните новый чертеж, используя шаблон, показанный выше.

Шаг 2

Сохраните и назовите чертеж: AutoCAD 2D Lab 04-2 в папке: CAD Courses/AutoCAD 2D/Lab Exercises.

Шаг 3

Используя команду LINE, нарисуйте объект, показанный на рисунке. (Рисунок Шаг 3A и 3B)

Шаг 4

Введите команду ЕДИНИЦЫ. В диалоговом окне «Единицы чертежа» установите для параметра «Единицы вставки» значение «Миллиметры». (Рис. Шаг 4)

Шаг 5

Проверьте свой чертеж с помощью ключа. Имя ключа совпадает с именем чертежа. (Рис. Шаг 5)

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: Если у вас возникли проблемы с этим, повторите Модуль 3.

Шаг 6

Ваш рисунок должен соответствовать рисунку. (Рис. Шаг 6)

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: На шаге 5 на ваш рисунок будет вставлен ключ наложения пурпурного цвета. Если вы видите двойные объекты или места, где ваши объекты и пурпурные объекты не совпадают, ваш рисунок неточен. Если вы видите только один объект, даже если он может иметь одинаковые пурпурный и красный цвета, ваш рисунок точен.

КОММЕНТАРИИ АВТОРА: Если у вас возникли проблемы с выполнением этого рисунка с первой попытки, не беспокойтесь. Начинайте заново, с нуля, пока не сможете завершить. Чем больше вы будете практиковаться в рисовании, тем легче это будет получаться. Когда вы доберетесь до Модуля 8, вас научат, как исправить рисунок, чтобы вам не пришлось начинать все сначала.

Шаг 7

Сохраните и закройте чертеж.

АВТОРСКИЕ СОВЕТЫ ПО КОНСТРУКЦИИ: Сделайте все возможное, чтобы выполнить чертеж лабораторного упражнения, не используя следующую подсказку. Если вы застряли и не можете выполнить его самостоятельно, воспользуйтесь следующей подсказкой, чтобы помочь вам.

Подсказка 1

См. рисунок Подсказка 1.

Допустимое время: 30 минут.

Этап 1

Начните новый чертеж, используя шаблон, показанный выше.

Шаг 2

Сохраните и назовите чертеж: AutoCAD 2D Lab 04-3 в папке: CAD Courses/AutoCAD 2D/Lab Exercises.

Шаг 3

Используя команду LINE, нарисуйте объект, показанный на рисунке. (Рисунок Шаг 3A и 3B)

Шаг 4

Введите команду ЕДИНИЦЫ. В диалоговом окне «Единицы чертежа» установите для параметра «Единицы вставки» значение «Дюймы».

Шаг 5

Проверьте свой чертеж с помощью ключа.

Шаг 6

Сохраните и закройте чертеж.

Координаты



Объекты на чертежах определяются координатами необходимо их нарисовать. Координаты — это просто числа для каждого X и положение Y (и, возможно, Z), определяющее объект. Последовательность координат, определяющих объект, также называется его метрическая . Координаты объектов хранятся в геом тип данных в записях в таблице чертежа.

Рассмотрим чертеж, содержащий пять объектов: площадь, линию и три точки.

Объекты на чертеже определяются номерами координат, которые используются для их рисования в стиле «соедините точки». номера координат для каждого объекта хранятся в пределах геом поле в записи, в котором хранятся данные для этого объекта. область, например, представляет собой не что иное, как список из пяти координат внутри геометрия , определяющая область.

3 7

2 9

3 10

5 9

5 8

Манифольд знает, как интерпретировать геометрию чтобы понять числа координат, которые он содержит, как площадь, линию или точку, в зависимости от обстоятельств. Манифолд понимает, как использовать номера координат для каждого типа объекта, например, умение рисовать площадь правильно показать, что внутри, а что снаружи области.

Коллектор использует геометрий для хранения координаты, которые определяют объекты, потому что двоичный файл geom тип данных является компактным, однозначным и очень эффективным. Большой, сложный область, подобную той, которая может определять границу континентальной Канады, изобилующая бесконечно извилистыми береговыми линиями, может состоять из многих десятков тысяч координат даже при довольно низком разрешении.

Обратите внимание, что для правильного использования чисел координат в качестве пространственных данных  мы должны иметь дополнительная информация, такая как координата системы , в рамках которой они должны интерпретироваться.

Сами по себе необработанные номера координат описывают только относительную положение и форма объектов на чертеже. Если у нас нет информации о системе координат, которую мы бы не знали, например, если число 3 906:00 в районе координаты должны быть три сантиметра или, если это три градуса долготы. Если 3 не градусов долготы мы не знаем из числа самого по себе, если оно должен представлять непроецированную координату на чертеже САПР или если это число, которое имеет какое-то значение в определенных географических координатах система.

В Manifold свойства таблицы, содержащей геом tell Изменить систему координат, в которой координаты должны интерпретироваться. Между свойствами таблицы и информацией о координатах в geom у нас есть точные и полная информация о точном размещении и форме объекта.

Патологические показатели

Ничто не говорит о том, что все показатели для всех объектов всегда должны быть осмысленными. Особенно когда объекты создаются программными процессами. созданная метрика может быть совершенно законной, но может быть и неразумной. Область объекты, например, могут содержать избыточные координаты или состоять из координаты, расположенные в топологически сумасшедшем порядке, например, заставляя области перекрывать друг друга.

Рассмотрим объект площади, показанный на первых двух рисунках ниже. с координатами, которые его определяют, отмеченными квадратными символами. Синий квадратный символ отмечает место, где два координаты существуют, обе точно в одном и том же месте.

Область определяется путем пересечения координат, которые отмечают границу области, как показано синими стрелками на втором рисунке выше. Внешняя координата избыточна, т.к. область вон там. Одна из двух совпадающих координат в локации отмечен синим квадратом, также является избыточным, так как его единственное назначение отправить или поймать путь к удаленной, избыточной координате. Если убрать две лишние координаты, область станет нормализованная область  , которая не является патологическим, то есть не содержит никаких бредовых или ненужных координаты.

Примечания

Упрощение — Эта тема упрощает природу координат в геометрии . Из Новый Тема Object Dialog мы видим, что помимо классического задание точек, линий и площадей по координатам, рисующим объект в режиме соединения точек Коллектор также может указывать линии и области с использованием криволинейных сегментов, где номера координат указывают дуги окружности , эллипс дуги или сплайнов .

См. также

Таблицы

Чертежи

Новый объект Диалог

Проекции

Преобразование Шаблоны — Geom — см. топологию нормализации и нормализации шаблоны, а также другие, работающие с координатами.

Пример: Draw Lines, Areas and Points — Простой пример использования основных мышь перемещается, чтобы добавить точки, линии и области к рисунку.

Пример: В чертежах используются поля Geom в таблицах. обсуждение того, как создаются чертежи из полей геометрии в таблицах, в том числе как чертеж знает, какую систему координат использовать.

Метод Гаусса-Жордана — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Метод Гаусса — Жордана

МЕТОД ГАУССА — ЖОРДАНА

2. Метод Гаусса — Жордана

Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения
неизвестных) — метод, который используется для решения
систем линейных алгебраических уравнений, нахождения
обратной матрицы, нахождения координат вектора в
заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод
является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф.
Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма
Йордана

3. Алгоритм

АЛГОРИТМ
1.Выбирают первый слева столбец матрицы, в
котором есть хоть одно отличное от нуля
значение. (разрешающий-главный столбец)
2.Если самое верхнее число в этом столбце ноль, то
меняют всю первую строку матрицы с другой
строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
3.Все элементы первой (разрешающей-главной)
строки делят на верхний (разрешающий-главный)
элемент выбранного столбца.

4. Алгоритм

АЛГОРИТМ
4.Из оставшихся строк вычитают первую
(разрешающую-главную) строку, умноженную на первый
элемент соответствующей строки, с целью получить
первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
5.Далее проводят такую же процедуру с матрицей,
получающейся из исходной матрицы после вычёркивания
первой строки и первого столбца.
6.После повторения этой процедуры (n-1) раз , получают
верхнюю треугольную матрицу

5.

АлгоритмАЛГОРИТМ
7.Вычитают из предпоследней строки последнюю
строку, умноженную на соответствующий
коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней
строке осталась только 1 на главной диагонали.
8.Повторяют предыдущий шаг для последующих
строк. В итоге получают единичную матрицу и
решение на месте свободного вектора (с ним
необходимо проводить все те же преобразования).

6. Пример

ПРИМЕР

11. Расширенный алгоритм для нахождения обратной матрицы

РАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ
ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

12. Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

ПРЯМОЙ ХОД (АЛГОРИТМ ОБРАЗОВАНИЯ НУЛЕЙ
ПОД ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛЬЮ)

13. Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

ПРЯМОЙ ХОД (АЛГОРИТМ ОБРАЗОВАНИЯ НУЛЕЙ ПОД
ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛЬЮ)

15. Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)

ОБРАТНЫЙ ХОД (АЛГОРИТМ ОБРАЗОВАНИЯ НУЛЕЙ НАД ГЛАВНОЙ
ДИАГОНАЛЬЮ)

English     Русский Правила

10.

Методы Гаусса и Жордана-Гаусса.

Если в процессе преобразования системы методом Гаусса появится хотя бы одно уравнение вида 0•х1 + … + 0•хn = b, с b ≠ 0, то система противоречива. Если встретится хотя бы одно уравнение с b = 0, то система имеет бесчисленное множество решений. Если уравнение вида 0•х1 + … + 0•хn = b, не будет вовсе, то система имеет единственное решение. Оно находится обратным ходом метода Гаусса. В последней ситуации определитель Δ(А) системы отличен от нуля.

Все сказанное относится и к методу полного исключения неизвестных – методу Жордана-Гаусса. (метод последовательного исключения неизвестных.)

Модификацией метода Гаусса является метод Жордана-Гаусса или метод полного исключения неизвестных. При этом методе каждое базисное неизвестное xi сохраня- ется только в одном каком-то уравнении с номером S (не обязательно, что S = i), а во всех остальных уравнениях оно исключается.

На практике при исследовании систем методом Гаусса или Жордана-Гаусса преобразованиям подвергают коэффициенты расширенной матрицы системы.

Для этого сначала заполняется исходная таблица. Далее выбирается разрешающий столбец. Это может быть любой столбец из коэффициентов при неизвестных. Пусть для определенности это будет столбец из коэффици- ентов при xk . Выберем в этом столбце разрешающий элемент, в качестве которого можно взять любой элемент столбца, отличный от нуля. Пусть это будет элемент ask. Тогда S-я строка объявляется разрешающей строкой.

После этого ведутся преобразования элементов исходной таблицы. На первом этапе элементы разрешающей строки остаются неизменными, а на месте всех коэффициентов разрешающего столбца, кроме коэффициента ask, записываются нули. Остальные элементы aij и bi преобразованной таблицы вычисляются по формулам:

аij(bi)=

При этом исключилось неизвестное xk во всех уравнениях, кроме S – го.

На втором этапе в преобразованной таблице выбирается новый разрешающий элемент aqp’ ≠ 0 в каком-то столбце р (будет исключаться неизвестное хр). -1 *B

где Х – матрица-столбец из неизвестных, В- матрица-столбец из свободных членов системы, А-1 – обратная матрица к матрице системы.

Метод де Гаусса Иордания онлайн

Калькуладора Гаусса Джордан Онлайн

Десятичные числа:

Contenido

• 1 Калькулятор Гаусса Джордана Онлайн
• 2 Инструкции по использованию калькулятора Гаусса Джордана
• 3 ¿Qué es el método de Gauss Jordan?
• 4 Пакеты для реализации метода устранения Gauss-Jordan
• 5 Приложения

La herramienta Метод де Гаусса Иордания онлайн que aquí te Presentamos, разрешающий резольвер todo type de sistemas de ecuaciones lineales mediante el metodo de eliminación de Gauss-Jordan . La C алькуладора Гаусс Джордан онлайн в pesar de su sencilez, gracias a su interfaz amigable, ofrece Soluciones explicadas al detalle, lo que la convierte en una excelente aliada a la hora de estudiar este método de resolución de systemas de ecuacion линейные.

Инструкции по использованию калькулятора Гаусса Джордана

Для использования этого калькулятора необходимо реализовать эти счета:

1. Redimensionar la matríz de inputs de la calculadora según el número de ecuaciones del que disponga el sistema de ecuaciones que quieras решатель. Para ello solo deberás utilizar los botones «+» y «-«, según соотв.
2. Ingresar los coeficientes coeficiente a cada una de las ecuaciones en los inputs de la calculadora.
3. Определите уровень точности де-лос-cálculos indicando el número de decimales que se tomarán en cuenta.
4. Por último, соло debes presionar el botón «Calcular» y automáticamente se desplegará un recuadro con la solucion detallada paso a paso.

¿Qué es el método de Gauss Jordan?

Метод Gauss-Jordan, который использует метод исключения Gauss-Jordan, использует математическую процедуру линейного алгебраического преобразователя для систем линейных вычислений, используется как модифицированная версия дель método де eliminación де Гаусса.

Пакет для реализации метода исключения Gauss-Jordan

Система учета переменных и измерений, которая представляет собой продолжение:

(a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=bm)

podemos представитель в матричной форме:

9000 6 (a11a12…a1na21a22…a2n⋮am1am2…amnx1x2⋮xn=b1b2⋮bn)

A·x=b

siendo `A` la matriz de coeficientes, `x` el vector de las variable y `b` el vector que содержит константы.

Conociendo la anterior, el primer paso para aplicar el methodo de Gauss Jordan, состоящий в том, чтобы получить матрицу, определяющую систему линейных вычислений, ello se consigue utilizando la matriz de coeficientes y el vector de Constantes, como se muestra a continuación:

A|b=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮am1am2…amnb1b2⋮bn)

Используйте метод исключения Gauss-Jordan, чтобы преобразовать предшествующую матрицу в матрицу identidad, la cual ес уна матричный эквивалент а-ля матриз оригинал.

Резюме формы для выполнения метода Гаусса Джордана в соответствии с назначением:

1. Расписание анализа системы линейных вычислений
2. fin de convertar la parte de coeficientes de la matriz aumentada, en una matriz unitaria или también conocida como matriz escalonada
3. Mediante sustitución inversa se obtiene la solucion al sistema de ecuaciones

Aplicaciones

Продолжение, те мострамос альгунас де лас приложения масс дель метод де eliminación Gauss Иордания:

1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales : La aplicación más común del método de Gauss Jordan es la resolución de sistemas de ecuaciones линейные. Es especialmente útil para sistemas de ecuaciones grandes y complejos, ya que su uso reduce el tiempo necesario para para resolver estos tipos de sistemas.

2. Cálculo de la inversa de una matriz: Другое важное приложение метода Гаусса Джордана для определения обратного преобразования матрицы. Si una matriz se puede reducir a su forma reducida por filas, entonces su inversa Existe y se puede calcular utilizando el método de Gauss Jordan.

3. Cálculo de los valores propios y vectores propios: El método de Gauss Jordan también se puede utilizar para calcular los valores propios y vectores propios de una matriz.

4. Решение проблем оптимизации: Техника Гаусса Джордана, использующая меню задач линейной оптимизации, которая включает в себя максимизацию или минимизацию линейной функции, связанной с ограничениями. Esta aplicación es especialmente Importante en la planificación y programación de la producción, la economía y la logística.

 

Hecho con ❤

Преобразователь мировых координат

Преобразователь мировых координат

TWCC

• О TWCC
• Свяжитесь с нами

английский

• английский
• Françaisfr
• Эспаньолес
• Немецкий
• Итальянский
• Вьетви
• Бахаса Индонезия
• العربيةar

Преобразователь мировых координат

Кредит:

• Константы: Пространственная привязка
• библиотек: Proj4js, JQuery, интерфейс JQuery, ГеомагДжС, GrottoCenter. org
• Карты: OpenLayers, OpenStreetMap, ЭСРИ

© 2022 Клеман Ронзон

AGPL

Опции:

Режим: ручной CSV

Соглашение [?]: Опрос Гаусс-Бомфорд

Автомасштабирование: Автомасштабирование:

Полный экран: Полный экран:

Длина: —
Площадь: —

Магнитное склонение = °

Предыдущий Помощь Следующие

Загрузка, пожалуйста, подождите…

Загрузка, подождите, пожалуйста…

Конвертировать

Загрузка, подождите, пожалуйста…

Загрузка, подождите, пожалуйста. ..

Конвертировать

1. Найдите формат Proj4js в Spatial Reference:
Ex: European Datum 1950

Поиск!

2. Вернитесь и добавьте новое определение системы отсчета в TWCC:

Примеры…

3. Вы часто используете эту систему?
Свяжитесь с нами, и мы добавим его в TWCC навсегда!

Связаться с нами

Загрузка…

Форма поиска

Код
Имя (используйте символ % в качестве подстановочного знака)
Страна ВсеАлбанияАлжирАмериканское СамоаАнголаАнтарктидаАргентинаАвстралияАзербайджанБангладешБельгияБруней-ДаруссаламБолгарияКанадаКолумбияКонгоКоста-РикаКот-д’ИвуарХорватияЧехияДанияЕгипетСальвадорЭритреяЭстонияЭфиопияФинляндияФранцияФранцузская ГвианаФранцузская ПолинезияГерманияГрецияГваделупаГу atemalaГонконгВенгрияИндонезияИзраильИталияЯмайкаЯпонияИорданияКенияКорея, Дем. Народная Республика ЛатвияЛиванЛитваЛюксембургМадагаскарМалайзияМартиникаМавританияМаврикийМайоттаМексикаМароккоМозамбикНидерландыНовая КаледонияНовая ЗеландияНорвегияФилиппиныПольшаПортугалияПуэрто-РикоКатарРеюньонРумынияРоссийская ФедерацияСен-Пьер и МикелонСербияСингапурСловенияСомалилендЮжная АфрикаИспанияШри-Лан kaСуданШвецияШвейцарияСирийская Арабская РеспубликаТанзанияТунисУгандаОбъединенные Арабские ЭмиратыВеликобританияСоединенные ШтатыУругвайУзбекистанВьетнамВиргинские острова, Британские Виргинские острова, США

Результат поиска

Пожалуйста, введите хотя бы один критерий поиска, затем нажмите Go!Close на выборе

Что такое TWCC?

TWCC, «Преобразователь мировых координат», представляет собой инструмент с открытым исходным кодом для преобразования геодезических координат в широком диапазоне. систем отсчета.

Несколько инструментов преобразования координат уже существуют, однако вот что делает силу TWCC:

• Этот инструмент интуитивно понятный и простой в использовании .
• Возможность добавления определяемых пользователем систем и использование интерактивной карты делают его гибким .
• Никакой загрузки или специальной установки не требуется, вам просто нужно подключение к Интернету.
• TWCC совместим с в большинстве сред (Mac, Linux, Windows…).
• TWCC — это полностью БЕСПЛАТНО и под лицензией Affero GNU: AGPL

TWCC был создан Клементом Ронзоном после исследований и разработка выполнена для GrottoCenter.org.

Особая благодарность: Роланду Айгнеру, Алессандро Аваро, Лешеку Павловичу, Ле Вьет Тану, Ахмеду Катару.

По всем вопросам и предложениям обращайтесь по телефону .

Вы можете сделать пожертвование на поддержать эту инициативу .

Формула нахождения середины отрезка по координатам. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.

Решение . Поскольку точка K — середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Ответ : K = (0,5; 0; 1)

· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

Решение . Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L — это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Определение 2

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Определение 3

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B: необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В, верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и B (x B):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A (x A , y A) и B (x B , y B) определяются как :

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т. е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (- 7 , 3) и В (2 , 4) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В.

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ : координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , — 8) . Необходимо найти длину медианы А М.

Решение

1. По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3

1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:

A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58

Ответ: 58

Пример 3

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , — 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · (- 4) — 0 = — 8

Ответ: координаты точки А (7 , 3 , — 8) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как найти середину отрезка с помощью циркуля?Элементарная задачка о нахождении середины отрезка при помощи циркуля была сформулирована еще в античности. Часто ее приписывают древнегреческим мудрецам, однако, скорее всего, она присутствовала и в других культурах, в которых была развита математика и геометрия (например, в древнеегипетской). В древности эта задача имела и вполне практическое применение, ведь знание того, как найти середину отрезка при помощи простейших измерительных приборов, было полезно, например, в землемерстве, землеустройстве и строительстве. Сегодня, при наличии сложной измерительной техники, такое задание скорее представляет упражнение для развития интеллектуальных способностей и пространственной фантазии школьников.

Как же на самом деле решается данная задача? Берем циркуль и открываем его таким образом, чтобы радиус предполагаемой окружности был очевидно больше половины заданного отрезка. Теперь, ставим основание (иглу) циркуля в одну из точек, ограничивающих отрезок, и рисуем окружность выбранного радиуса. В принципе, решая задачу о том, как построить середину отрезка, достаточно нарисовать и полукруг, располагающийся «внутри» отрезка. Затем устанавливаем иглу циркуля в другой конец отрезка и повторяем процедуру очерчивания полукруга.Проделав описанную процедуру, видим, что наши окружности пересекаются в двух точках. Берем линейку и соединяем эти две точки прямой линией. Получаем линию перпендикулярную исходному отрезку. Именно точка пересечения этой линии и отрезка и является серединой последнего.

Конечно, здесь важно понять саму сущность данной задачи. Почему центр отрезка получится именно там, где пересекутся линии? Знание смысла данной задачи может, например пригодиться, при поиска ответа на вопрос о том, как найти середину треугольника, а также при решении других, более сложных геометрических задач.Итак, если соединить крайние точки исходного отрезка с точками пересечения наших окружностей, то получим четырехугольник. Но какой четырехугольник? Все его стороны являются радиусами наших окружностей, а значит равными по длине (ведь мы использовали одинаковый радиус). Любой четырехугольник с равными сторонами представляет собой ромб, диагонали которого всегда пересекаются под прямым углом и, что более важно для нашей задачи, делят друг друга пополам. Именно в этом и состоит логика подобного решения задачи о построении середины отрезка при помощи циркуля.

Если же вопрос формулируется иначе, а именно о том, как найти координаты середины отрезка, то для его решения необходимо знать координаты его конечных точек. Координаты же середины будут равны полусуммам координат точек окончания отрезка. Конечно, здесь уже используется декартова система координат, в связи с чем данные задачи имеют разную сущность, хотя и решают одну проблему.

В любом случае, решение разных формулировок геометрических задач очень полезно для развития интеллекта и образного мышления ребенка. Поэтому не стоит пренебрегать этими инструментами личностного развития.

Инструкция

Если интервал является участком непрерывной числовой последовательности, то для нахождения ее середины используйте математические методы вычисления среднеарифметического значения. Минимальное значение (его начало) сложите с максимальным () и разделите результат пополам — это один из способов вычисления среднеарифметического значения. Например, это применимо, когда речь идет о возрастных интервала х. Скажем, серединой возрастного интервала в диапазоне от 21 года до 33 лет будет отметка в 27 лет, так как (21+33)/2=27.

Иногда удобнее использовать другой метод вычисления среднеарифметического значения между верхней и нижней границами интервала . В этом варианте сначала определите ширину диапазона — отнимите от максимального значения минимальное. Затем поделите полученную величину пополам и прибавьте результат к минимальному значению диапазона. Например, если нижняя соответствует значению 47,15, а верхняя — 79,13, то ширина диапазона составит 79,13-47,15=31,98. Тогда серединой интервала будет 63,14, так как 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.

Если интервал не является участком обычной числовой последовательности, то вычисляйте его середину в соответствии с цикличностью и размерностью используемой измерительной шкалы. Например, если речь идет об историческом периоде, то серединой интервала будет являться определенная календарная дата. Так для интервала с 1 января 2012 года по 31 января 2012 серединой будет дата 16 января 2012.

Кроме обычных (закрытых) интервалов статистические методы исследований могут оперировать и «открытыми». У таких диапазонов одна из границ не определена. Например, открытый интервал может быть задан формулировкой «от 50 лет и старше». Середина в этом случае определяется методом аналогий — если все остальные диапазоны рассматриваемой последовательности имеют одинаковую ширину, то предполагается, что и этот открытый интервал такую же . В противном случае вам надо определить динамику ширины интервалов, предшествующих открытому, и его условную ширину, исходя из полученной тенденции изменения.

Источники:

• что такое открытый интервал

При изучении вариации – различий индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности – рассчитывают ряд абсолютных и относительных показателей. На практике наибольшее применение среди относительных показателей нашел коэффициент вариации. 2/N. Иными словами дисперсия – это средний квадрат отклонения от среднего арифметического значения. определяет, насколько в среднем отклоняются конкретные показатели ряда от их среднего значения. Оно является абсолютной мерой колеблемости признака, а потому четко интерпретируется.

Координаты середины отрезка. Как найти координаты середины отрезка Формулы для вычисления середины отрезка

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.

Решение . Поскольку точка K — середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Ответ : K = (0,5; 0; 1)

· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

Решение . Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L — это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Не составляет никакого труда. Для их расчета существует простое выражение, которое легко запомнить. Например, если координаты концов какого-либо отрезка соответственно равняются (х1; у1) и (х2; у2) соответственно, то координаты его середины рассчитываются как среднее арифметическое этих координат, то есть:

Вот и вся сложность.
Рассмотрим расчет координат центра одного из отрезков на конкретном примере, как Вы и просили.

Задача.
Найти координаты некоей точки М, если она является серединой (центром) отрезка КР, концов которого имеют такие координаты: (—3; 7) и (13; 21) соответственно.

Решение.
Используем рассмотренную выше формулу:

Ответ . М (5; 14).

С помощью данной формулы можно также найти не только координаты середины какого-либо отрезка, но и его концов. Рассмотрим пример.

Задача.
Даны координаты двух точек (7; 19) и (8; 27). Найти координаты одного из концов отрезка, если предыдущие две точки являются его концом и серединой.

Решение.
Обозначим концы отрезка К и Р, а его середину S. Перепишем формулу с учетом новых названий:

Подставим известные координаты и вычислим отдельные координаты:

Начальные геометрические сведения

Понятие отрезка, как и понятие точки, прямой, луча и угла, относится к начальным геометрическим сведениям. С перечисленных понятий начинается изучение геометрии.

Под «начальными сведениями» обычно понимают нечто элементарное и простое. В понимании, возможно, это так и есть. Тем не менее, такие простые понятия часто встречаются и оказываются необходимыми не только в нашей повседневной жизни, но и в производстве, строительстве и прочих сферах нашей жизнедеятельности.

Начнём с определений.

Определение 1

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками (концами).

Если концы отрезка являются точками $A$ и $B$, то образованный отрезок записывают как $AB$ или $BA$. Такому отрезку принадлежат точки $A$ и $B$, а также все точки прямой, лежащие между этими точками.

Определение 2

Середина отрезка — точка отрезка, которая делит его пополам на два равных отрезка.

Если это точка $C$, то $AC=CB$.

Измерение отрезка происходит сравнением с определённым отрезком, принятым за единицу измерения. Чаще всего используют сантиметр. Если в заданном отрезке сантиметр укладывается ровно четыре раза, то это означает, что длина данного отрезка равна $4$ см.

Введём простое наблюдение. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.

Формула нахождения координаты середины отрезка

Формула нахождения координаты середины отрезка относится к курсу аналитической геометрии на плоскости.

Дадим определение координатам.

Определение 3

Координаты — это определённые (или упорядоченные) числа, которые показывают положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве.

В нашем случае, координаты отмечаются на плоскости, определённой координатными осями.

Рисунок 3. Координатная плоскость. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Опишем рисунок. На плоскости выбрана точка, называемая началом координат. Её обозначают буквой $O$. Через начало координат проведены две прямые (координатные оси), пересекающиеся под прямым углом, причём одна из них строго горизонтальная, а другая — вертикальная. Такое положение считается обычным. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается $OX$, вертикальная — осью ординат $OY$.

Таким образом, оси определяют плоскость $XOY$.

Координаты точек в такой системе определяются двумя числами.

Существуют разные формулы (уравнения), определяющие те или иные координаты. Обычно в курсе аналитической геометрии изучают разные формулы прямых, углов, длины отрезка и прочие.

Перейдём сразу к формуле координаты середины отрезка.

Определение 4

Если координаты точки $E(x,y)$ — это середина отрезка $M_1M_2$, то:

Рисунок 4. Формула нахождения координаты середины отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Практическая часть

Примеры из школьного курса геометрии достаточно просты. Рассмотрим несколько основных.

Для лучшего понимания, рассмотрим для начала элементарный наглядный пример.

Пример 1

Имеем рисунок:

На рисунке отрезки $AC, CD, DE, EB$ равны.

1. Серединой каких отрезков является точка $D$?
2. Какая точка является серединой отрезка $DB$?

1. точка $D$ является серединой отрезков $AB$ и $CE$;
2. точка $E$.

Рассмотрим другой простой пример, в котором нужно вычислить длину.

Пример 2

Точка $B$ — середина отрезка $AC$. $AB = 9$ см. Какая длина $AC$?

Так как т. $B$ делит $AC$ пополам, то $AB = BC= 9$ см. Значит, $AC = 9+9=18$ см.

Ответ: 18 см.

Прочие подобные примеры обычно идентичны и ориентированы на умение сопоставлять значения длин и их представление с алгебраическими действиями. Нередко в задачах встречаются случаи, когда сантиметр не укладывается ровное количество раз в отрезок. Тогда единицу измерения делят на равные части. В нашем случае сантиметр делится на 10 миллиметров. Отдельно измеряют остаток, сравнивая с миллиметром. Приведём пример, демонстрирующий такой случай.

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Определение 1

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Определение 2

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Определение 3

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B: необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В, верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и B (x B):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A (x A , y A) и B (x B , y B) определяются как :

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т. е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (- 7 , 3) и В (2 , 4) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В.

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ : координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , — 8) . Необходимо найти длину медианы А М.

Решение

1. По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3

1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:

A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58

Ответ: 58

Пример 3

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , — 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · (- 4) — 0 = — 8

Ответ: координаты точки А (7 , 3 , — 8) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как найти координаты середины отрезка
Для начала разберемся, что такое середина отрезка.
Серединой отрезка считают точку, которая принадлежит данному отрезку и отстоит на одинаковое расстояние от его концов.

Координаты такой точки несложно найти, если известны координаты концов этого отрезка. В таком случае координаты середины отрезка будут равны половине суммы соответствующих координат концов отрезка.
Координаты середины отрезка часто находят, решая задачи на медиану, среднюю линию и т.п.
Рассмотрим вычисление координат середины отрезка для двух случаев: когда отрезок задан на плоскости и задан в пространстве.
Пусть отрезок на плоскости задан двумя точками с координатами и . Тогда координаты середины отрезка РН рассчитываются по формуле:

Пусть отрезок задан в пространстве двумя точками с координатами и . Тогда координаты середины отрезка РН рассчитываются по формуле:

Пример.
Найти координаты точки К — середины МО, если М (—1; 6) и О (8; 5).

Решение.
Поскольку точки имеют две координаты, значит, отрезок задан на плоскости. Используем соответствующие формулы:

Следовательно, середина МО будет иметь координаты К (3,5; 5,5).

Ответ. К (3,5; 5,5).

Видео-вопрос: нахождение параметрического уравнения прямой, проходящей через середину между двумя точками и заданного вектора направления

Приведите параметрическое уравнение прямой, проходящей через середину между 𝑝₁ = (1, 2, 3) и 𝑝₂ = (3, 6, −5) с направляющим вектором 〈−1, 2, 5〉.

Стенограмма видео

Приведите параметрическое уравнение линия, проходящая через середину между 𝑝 один равен одному, два, три и 𝑝 два равно трем, шести, минус пяти с отрицательным вектором направления один, два, пять.

Нам дано, что линия проходит через середину между двумя точками 𝑝 один и 𝑝 два и имеет направление вектор с отрицательными компонентами один, два и пять. Теперь мы знаем, что параметрический уравнения прямой в пространстве представляют собой неединственную систему из трех уравнений: 𝑥 равно 𝑥 sub 𝐴 плюс 𝑡𝑙, 𝑦 равно 𝑦 sub 𝐴 плюс 𝑡𝑚 и 𝑧 равно 𝑧 sub 𝐴 плюс 𝑡𝑛. И вот где 𝐴 точка на линия с координатами 𝑥 под 𝐴, 𝑦 под 𝐴 и 𝑧 под 𝐴; вектор с компоненты 𝑙, 𝑚, 𝑛 — вектор направления прямой; а 𝑡 — действительный параметр между отрицательным и положительным ∞.

Нам дали направление вектор для линии. Так что мы можем сразу записать компоненты 𝑙, 𝑚 и 𝑛. Это 𝑙 равно минус единице, 𝑚 равно двум, а 𝑛 равно пяти. И вычислить точку на линии, мы можем использовать формулу средней точки для средней точки между 𝑝 единицей и 𝑝 два. Это как раз тот момент, чей координаты представляют собой средние значения 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-координат соответственно две заданные точки. Итак, с 𝑝 один равен один, два, три и 𝑝 два равно три, шесть, минус пять, наша середина имеет координаты один плюс три на два, два плюс шесть на два и три плюс минус пять на два. Это четыре больше двух, восемь больше два, и минус два на два, что является точкой с координатами два, четыре и отрицательный.

Итак, освободив место, у нас есть наш вектор направления с отрицательными компонентами один, два и пять и точка на линия с координатами 𝑥 sub 𝐴 равна двум, 𝑦 sub 𝐴 равна четырем, а 𝑧 sub 𝐴 равняется отрицательной единице. А теперь подставив их в выражения для параметрических уравнений прямой имеем 𝑥 равно двум, что это 𝑥 под 𝐴, плюс минус один, то есть 𝑙, умноженный на 𝑡. Это 𝑥 равно двум минус 𝑡. 𝑦 равно четырем, это 𝑦 под 𝐴, плюс два, то есть 𝑚, умноженное на 𝑡. А 𝑧 равно минус единице, 𝑧 sub 𝐴 плюс пять, то есть 𝑛, умноженное на 𝑡.

Таким образом, параметрические уравнения линия, проходящая через середину 𝑝 одного и 𝑝 двух с направляющим вектором минус один, два, пять равно 𝑥 равно двум минус 𝑡, 𝑦 равно четырем плюс два 𝑡, и 𝑧 равно минус один плюс пять 𝑡.

r — Найти середины между значениями в векторе

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 1 месяц назад

Изменено 4 года, 3 месяца назад

Просмотрено 3к раз

Часть R Language Collective

Функция для расчета AUC с использованием правила средней точки. Используя R, как я могу определить вектор, который содержит средние точки между значениями предыдущего вектора? Или как я могу сместить значения вектора в их средние точки?

 # определить h (или дельту x)
 ч <- (б - а)/н
# определить вектор на основе пределов интегрирования, от a до b с шагом h
 xj <- seq.

Квадратичная функция, ее график и свойства

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Квадратичная функция. Её свойства и график.

Определение квадратичной
функции
Квадратичной функцией называется
функция , которую можно задать формулой
вида:
y=
2
ax +bx
+c
где: a, b, c –
числа
Х – независимая переменная
а 0
График квадратичной функции – парабола.

3.

Алгоритм построения параболы у = ах2 + bх + с :1. Найти координаты вершины параболы, построить
на координатной плоскости соответствующую точку,
провести ось симметрии.
2.
Определить направление ветвей параболы.
3. Найти координаты еще нескольких точек,
принадлежащих искомому графику ( в частности,
координаты точки пересечения параболы с осью у и
нули функции, если они существуют).
4. Отметить на координатной плоскости
найденные точки и соединить их плавной линией.
—
.
Графиком квадратичной функции
у = ах2 + bх + с является парабола, которая получается из
параболы
у = ах2 параллельным переносом.
Вершина параболы — ( х0; уо) ,
b
где : хо = 2a
у0 =
4ac b 2
4a
Осью параболы будет прямая
b
х=2a

5. Свойства квадратичной функции

Функция непрерывна
Множество значений при a>0 —
Множество значений при a<0 10
8
6
4
2
0
-3
-2
-1
0
-2
1
2
3
4
5
Многие свойства
квадратичной функции
зависят от значения
дискриминанта.
Дискриминантом квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0 называется выражение
D =b2 – 4ac
Возможны три случая:
D 0
D 0
D 0
если дискриминант больше нуля, то парабола
пересекает ось абсцисс в двух точках,
если дискриминант равен нулю, то парабола
касается оси абсцисс,
если дискриминант меньше нуля, то парабола не
пересекает ось абсцисс,
абсцисса вершины параболы равна
—
ветви параболы
направлены вверх,
При
у
b
2a
При
ветви параболы
направлены
вниз
у
f(x0)
х
х
b
2a

9. Область значений функции – Е (f) = [ -1 ; + )

Функция возрастает в
промежутке [ +3; +
)
Функция убывает в
промежутке ( ;+3]
Наименьшее значение
функции равно -1
Наибольшего значения
функции не существует
f(x) > 0 при х < 2, или
х>4
f(x) < 0 при 2 < х < 4
Ось симметрии
Область значений функции –

10. Постройте график функции у=2х²+4х-6, опишите его свойства

Проверь себя:
1. D(y)=
;
У
2. у=0, при х=1; -3
3. у>0, при х ; 3 1;
у<0, при х 3;1
4. у↓, если х ; 1
у↑, если х 1;
5. унаим= -8, если х= -1
унаиб – не существует.
6. Е(y): 8 ;
1
-1
-2
1 2 3
Х
Задание
1. Построить график функции и
описать ее свойства у=2х²+4х-1
2. Построить график функции и
описать ее свойства у= -7х²-х+3

English     Русский Правила

Внеклассный урок — Квадратичная функция. Функция y = ax2, ее график и свойства

Квадратичная функция. Функция y = ax², ее график и свойства

 

Квадратичная функция – это функция, которую можно задать формулой вида

                                                 y  =  ax²  +  bx  +  c,

где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел. (Напомним: областью определения функции называется совокупность значений независимой переменной, см.раздел «Функции и их графики»)

 

Функция  y = ax².

Функция y = ax² – это частный случай квадратичной функции.

Графиком функции y = ax² является парабола.

 

 

 

Свойства функции  y = ax² при a > 0:

1. Если x = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.   2. Если x ≠ 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.   3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Пояснение: допустим, x = –2, y = 8. При x = 2 значение y не меняется и составляет 8.   4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) — возрастает.   5. Наименьшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0 (см.пункт 1). Наибольшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток [0; +∞).

 

Свойства функции  y = ax² при a < 0:

1. Если x = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.   2. Если x ≠ 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.   3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции представляет собой симметричную фигуру относительно оси y. Пояснение: допустим, x = –4, y = –8. При x = 4 значение y не меняется и составляет –8.   4. В промежутке (–∞; 0] функция возрастает, а в промежутке [0; +∞) — убывает.   5. Наибольшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0 (см.пункт 1). Наименьшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток (–∞; 0].

 

 

Параболическая функция — определение, формула, график, свойства, примеры, часто задаваемые вопросы

LearnPracticeDownload

Параболическая функция — это функция формы форма, она имеет форму параболы. Уравнение, представляющее параболическую функцию, является квадратным уравнением со второй степенью по x.

Давайте узнаем больше о параболической функции, графике параболической функции, свойствах параболической функции с помощью примеров, часто задаваемых вопросов.

1.	Что такое параболическая функция?
2.	График параболической функции
3.	Свойства параболической функции
4.	Примеры параболической функции
5.	Практические вопросы
6.	Часто задаваемые вопросы о параболической функции

Что такое параболическая функция?

Параболическая функция представляет собой функцию вида f(x) = ax ² + bx + c. Это квадратное выражение во второй степени по х. Параболическая функция имеет график, аналогичный параболе, поэтому функция называется параболической функцией.

Параболическая функция имеет одно и то же значение диапазона для двух разных значений домена. Общий вид параболической функции f(x) = ax ² + bx + c имеет одно значение f(x) или значение y для двух значений x, которые равны x ₁ , x ₂ . Две возможные точки на графике параболической функции: (x ₁ , y), (x ₂ , y). Следовательно, параболическую функцию также можно назвать функцией «многие к одному».

График параболической функции

График параболической функции похож на параболу. График параболы следует основному определению параболы. Парабола — это геометрическое место точки, равноудаленной от фиксированной точки, называемой фокусом, и неподвижной линии, называемой директрисой.

График параболической функции симметричен прямой линии, и эта линия называется осью параболы. Ось параболы может быть линией, параллельной любой оси координат, или линией, наклоненной под углом к ​​оси координат.

Свойства параболической функции

Ниже приведены некоторые важные свойства параболической функции, которые помогут лучше понять эту функцию.

• Параболическая функция имеет один и тот же кодовый домен для двух разных значений домена.
• Набор из двух точек, удовлетворяющих уравнению параболической функции, имеет разные абсциссы и одинаковые ординаты.
• Область определения параболической функции может быть положительной или отрицательной, но диапазон параболической функции является положительным значением.
• Параболическую функцию также можно назвать множеством единиц.
• График параболической функции симметричен относительно прямой, и эта линия называется осью параболы.
• Уравнение, представляющее параболическую функцию, удовлетворяет всем свойствам геометрической параболы.

Связанные темы

Следующие темы помогут понять концепцию параболической функции.

• Обратная функция
• Сюръективная функция
• Биективная функция
• Инъекционная функция
• Периодическая функция

 

Примеры параболической функции

1. Пример 1: Найдите параболическую функцию, представляющую параболу с фокусом (4, 0), осью x в качестве оси параболы и началом координат в качестве вершины параболы.

   Решение:

   Фокус параболы равен (a, 0) = (4, 0) и a = 4.

   Для параболы, имеющей ось x в качестве оси и начало координат в виде вершина, уравнение параболы y ² = 4 оси.

   Отсюда уравнение параболы: y ² = 4(4)x или y ² = 16x.

   Параболическая функция равна y = \(4\sqrt x\)

   Следовательно, уравнение, представляющее параболическую функцию, имеет вид y = \(4\sqrt x\).

2. Пример 2: Найти вершину параболической функции y = 0,5x ² + 3x + 4.

   Решение:

   Сравнение данного уравнения с y = ax ² + bx + c, имеем a = 0,5, b = 3 и c = 4.

   Координата x вершины: h = -b/2a = -3/2(0,5) = — 3/1 = -3.

   Y-координата вершины k = 0,5(-3) ² + 3(-3) + 4 = -0,5.

   Вершина данной параболы есть, (h, k) = (-3, -0,5)

   Ответ: Вершина параболы = (-3, -0,5).

перейти к слайдуперейти к слайду

Разложите сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Забронировать бесплатный пробный урок

Практические вопросы по параболической функции

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о параболической функции

Что такое параболическая функция?

Параболическая функция представляет собой функцию вида f(x) = ax ² + bx + c. Это квадратное выражение во второй степени по х. Параболическая функция имеет график, аналогичный параболе, поэтому функция называется параболической функцией.

Как решить параболическую функцию?

Выражение параболической функции имеет вид f(x) = ax ² + bx + c, и его можно решить относительно x. Параболическая функция также решается аналогично квадратичной функции. Это выражение можно приравнять к нулю и либо разложить на множители, либо решить методом формул.

Каков диапазон параболической функции?

Диапазон параболической функции — все положительные действительные числа. Диапазон параболической функции представлен на оси Y.

Что такое область определения параболической функции?

Область определения параболической функции включает все действительные числа. Областью определения параболической функции обычно являются значения x функции, представленные как на положительной, так и на отрицательной оси x.

Какой тип функции является параболической функцией?

Параболическая функция является разновидностью многих функций. Для параболической функции у нас есть два значения домена и одно значение диапазона. Возможный набор точек на графике параболической функции равен (x ₁ , у) и (х ₂ , у).

В чем разница между параболической функцией и квадратичной функцией?

Параболическую функцию также можно рассматривать как квадратичную функцию. Общее выражение параболической функции имеет вид f(x) = = ax ² + bx + c, что аналогично квадратному выражению. Квадратное выражение является второй степенью как по x, так и по y, поэтому каждое квадратное выражение нельзя назвать параболической функцией.

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Характеристики парабол | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Определите вершину, ось симметрии, [латекс]y[/латекс]-пересечение, а также минимальное или максимальное значение параболы на ее графике.
• Определите квадратичную функцию, записанную в общей и вершинной формах.
• Для заданной квадратичной функции в общем виде найдите вершину.
• Определите область определения и диапазон квадратичной функции, указав вершину как максимум или минимум.

График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой . Одной из важных особенностей графа является то, что он имеет крайнюю точку, называемую вершиной . Если парабола раскрывается, вершина представляет собой самую низкую точку на графике или минимальное значение квадратичной функции. Если парабола открывается вниз, вершина представляет собой наивысшую точку на графике или максимальное значение . В любом случае вершина является поворотной точкой на графе. График также симметричен, а вертикальная линия проходит через вершину, называемую 9.0103 ось симметрии .

Точка пересечения [latex]y[/latex] — это точка пересечения параболы с осью [latex]y[/latex]. Точки пересечения [latex]x[/latex] — это точки, в которых парабола пересекает ось [latex]x[/latex]. Если они существуют, то пересечения [latex]x[/latex] представляют собой 90 103 нулей 90 104 или 90 103 корней 90 104 квадратичной функции, значения [latex]x[/latex] при которых [latex]y=0 [/латекс].

Пример: определение характеристик параболы 9{2}+4x+3[/латекс]. В этой форме [латекс]а=1,\текст{ }b=4[/латекс] и [латекс]с=3[/латекс]. Поскольку [latex]a>0[/latex], парабола открывается вверх. Ось симметрии: [латекс]x=-\dfrac{4}{2\left(1\right)}=-2[/latex]. Это также имеет смысл, поскольку на графике видно, что вертикальная линия [latex]x=-2[/latex] делит график пополам. Вершина всегда находится вдоль оси симметрии.

Для параболы, которая открывается вверх, вершина находится в самой нижней точке графика, в данном случае [латекс]\влево(-2,-1\вправо)[/латекс]. [latex]x[/latex]-перехваты, те точки, где парабола пересекает [latex]x[/latex]-ось, находятся в [latex]\left(-3,0\right)[/latex] и [латекс]\влево(-1,0\вправо)[/латекс]. 9{2}+k[/latex]

, где [latex]\left(h,\text{ }k\right)[/latex] — вершина. Поскольку вершина появляется в стандартной форме квадратичной функции, эта форма также известна как вершинная форма квадратичной функции .

Для заданной квадратичной функции в общем виде найдите вершину параболы.

Одна из причин, по которой мы можем захотеть идентифицировать вершину параболы, заключается в том, что эта точка сообщит нам, где происходит максимальное или минимальное значение вывода, [latex]k[/latex], и где оно происходит, [latex]h [/латекс]. Если нам дан общий вид квадратичной функции: 92+bx+c[/latex]

Мы можем определить вершину [latex](h,k)[/latex], выполнив следующие действия:

• Идентифицировать [latex]a[/latex], [latex] ]b[/латекс] и [латекс]с[/латекс].
• Найдите [latex]h[/latex], координату [latex]x[/latex] вершины, подставив [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] в [latex]h =-\dfrac{b}{2a}[/latex].
• Найдите [latex]k[/latex], [latex]y[/latex]-координату вершины, оценивая [latex]k=f\left(h\right)=f\left(-\dfrac{ б}{2а}\справа)[/латекс] 9{2}-6x[/latex], напишите уравнение в общем виде, а затем в стандартном виде.

  Показать решение

  Нахождение области определения и диапазона квадратичной функции

  Любое число может быть входным значением квадратичной функции. Следовательно, областью определения любой квадратичной функции являются все действительные числа. Поскольку параболы имеют максимум или минимум в вершине, диапазон ограничен. Так как вершина параболы будет либо максимальной, либо минимальной, диапазон будет состоять из всех [latex]y[/latex]-значений, больших или равных [latex]y[/latex]-координате вершины или меньше или равно [latex]y[/latex]-координате в точке поворота, в зависимости от того, открывается ли парабола вверх или вниз.

4. Пользуясь данным рисунком, найдите площадь заштрихованной фигуры (сторона квадрата равна… Математика А.П. Ершова 6 класс. С-17 Вариант Б-1