Рубрика: Школьная жизнь

как найти период функции

Как найти период функции вида y=Af(kx+b), где A, k и b — некоторые числа? Поможет формула периода функции

где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.

Найти период функции:

1) y=5sin(3x-п/8).

Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции

А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то

А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции

А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть

www.uznateshe.ru

Периодичность функций

В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли  функция, и каков ее период.

Функция периодична, если  некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

Периодичная функция

Пример 1: функция имеет период, равный 2: и при . Найдите значение выражения .

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

Определение значения периодичной функции

Видно, что функция принимает одинаковые значения в точках, отстоящих друг от друга на 2, 4, 6  единиц и т.д., тогда . Найдем эти значения функции. В точке (-1) функция принимает значение , в точке (3,5) функция принимает значение .

Теперь найдем значение искомого выражения: .

Строго говоря, функция периодична, если есть такое число Т, что .

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Проверим, периодична ли функция .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется. Значит, функция непериодична.

Пример 3. Проверим, периодична ли функция .

Функцию для удобства представим в виде: .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется: . Значит, функция непериодична.

Пример 4. Проверим, периодична ли функция . Если функция периодична, то будет выполняться условие: , то есть . Поскольку нам все равно, в какой точке числовой оси мы проведем свое исследование, то очень удобно начать с точки . Тогда  , или . Это означает, что либо  , либо ,  то есть либо ,  либо ,  а так как главным считается наименьший  положительный период, то .

Определение периода функции

В данном примере делать проверку необязательно, но проверка бывает очень полезна в более сложных задачах, поэтому сделаем ее здесь для тренировки: .

 

Пример 5. Определить периодичность функции .

Если Т – период, то .

В это равенство подставим какие-нибудь «удобные» точки, например, . Получим:

Далее есть два пути отыскания периода, первый – решение этого уравнения, второй – составление еще одного уравнения такого же вида. Если функция имеет период Т, то верно и следующее: . Подставим  «удобную» точку :

Пользуясь четностью косинуса  и нечетностью синуса можем записать:

Имеем систему:

Уравнения сложим, и получим

, откуда

, при получим  – ведь нам нужен наименьший период.

Теперь испробуем второй путь, решим это уравнение: . Из основного тригонометрического тождества:

Оставим в левой части только корень:

Возведем в квадрат:

Тогда либо , либо и .

Это уравнение имеет два решения, одно из которых (второе) – посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат. Проверка подстановкой его в исходное уравнение позволит нам выявить его и отбросить. Таким образом, получаем:

и наименьшим будет период при , то есть .

Здесь также необходимо сделать проверку. Подставим полученный период в условие  :

, то есть

период данной функции – .

Определение периода функции

Пример 6. Определить периодичность функции и найти ее основной период.

Если Т – период, то

Подставим , имеем

,

Или , , наименьший период при , .

Проверим:

Определение периода функции

Пример 7. Определим период функции .

Запишем условие периодичности:

, если , то

, откуда  , . При , , при , . Проверкой можно показать, что периодом не является. Тогда . Действительно:

Определение периода функции

Пример 8. Доказать, что периодом функции является .

Тогда:

Пример 9. Доказать, что периодом функции является .

Тогда:

Если , то

, а  так как и –  одна и та же точка на единичной окружности, то равенство выполняется.

Удачи вам в учебе и надеюсь, эта статья вам помогла.

easy-physic.ru

Периодичность тригонометрических функций

Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π. Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.

Величины углов (аргументы функций): \( \alpha \)
Тригонометрические функции: \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \cot \alpha \), \( \sec \alpha \), \( \csc \alpha \)
Целые числа: \( n \)

Периодической называется функция, которая повторяет свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода функции): существует такое ненулевое число \(T\) (период), что на всей области определения функции выполняется равенство \( f(x)=f(x+T) \).

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими.

\( \sin x,\;\cos x \) — периодические функции с наименьшим положительным периодом \( 2\pi: \)

\( \sin(x+2k\pi)=\sin x,\;\cos(x+2k\pi)=\cos x,\;k\in\mathbb{Z}. \)

\( \text{tg}x,\;\text{ctg}x \) — периодические функции с наименьшим положительным периодом \( \pi: \)

\( \text{tg}(x+k\pi)=\text{tg}x,\;\text{ctg}(x+k\pi)=\text{ctg}x,\;k\in\mathbb{Z}. \)

Тригонометрические функции \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) являются периодическими, с наименьшим периодом равным \( 2 \pi \).

Тригонометрические функции \( \tan \alpha \) и \( \cot \alpha \) являются периодическими, с наименьшим периодом равным \( \pi \).

Наименьший период функции синус составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \sin \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \sin \alpha \)

Наименьший период функции косинус составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \cos \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \cos \alpha \)

Наименьший период функции тангенс равен \( \pi \) или \( 180^\circ \):

\( \tan \left( {\alpha \pm \pi n} \right) = \tan \alpha \)

Наименьший период функции котангенс равен \( \pi \) или \( 180^\circ \):

\( \cot \left( {\alpha \pm \pi n} \right) = \cot \alpha \)

Наименьший период функции секанс составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \sec \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \sec \alpha \)

Наименьший период функции косеканс составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \csc \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \csc \alpha \)

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

Как найти наименьший положительный период функции

Минимальный позитивный период функции в тригонометрии обозначается f. Он характеризуется наименьшим значением позитивного числа T, то есть поменьше его значение T теснее не будет являться период ом функции .

Вам понадобится

• – математический справочник.

Инструкция

1. Обратите внимание на то, что период ическая функция не неизменно имеет минимальный правильный период . Так, к примеру, в качестве период а непрерывной функции может быть безусловно всякое число, а значит, у нее может и не быть наименьшего позитивного период а. Встречаются также и непостоянные период ические функции , у которых нет наименьшего правильного период а. Впрочем в большинстве случаев минимальный правильный период у период ических функций все же есть.

2. Минимальный период синуса равен 2?. Разглядите подтверждение этого на примере функции y=sin(x). Пускай T будет произвольным период ом синуса, в таком случае sin(a+T)=sin(a) при любом значении a. Если a=?/2, получается, что sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Впрочем sin(x)=1 лишь в том случае, когда x=?/2+2?n, где n представляет собой целое число. Отсель следует, что T=2?n, а значит, наименьшим позитивным значением 2?n является 2?.

3. Минимальный правильный период косинуса тоже равен 2?. Разглядите подтверждение этого на примере функции y=cos(x). Если T будет произвольным период ом косинуса, то cos(a+T)=cos(a). В том случае если a=0, cos(T)=cos(0)=1. Ввиду этого, наименьшим позитивным значением T, при котором cos(x)=1, есть 2?.

4. Рассматривая тот факт, что 2? – период синуса и косинуса, это же значение будет и период ом котангенса, а также тангенса, впрочем не минимальным, от того что, как знаменито, минимальный правильный период тангенса и котангенса равен ?. Удостовериться в этом сумеете, разглядев дальнейший пример: точки, соответствующие числам (х) и (х+?) на тригонометрической окружности, имеют диаметрально противоположное расположение. Расстояние от точки (х) до точки (х+2?) соответствует половине окружности. По определению тангенса и котангенса tg(x+?)=tgx, а ctg(x+?)=ctgx, а значит, минимальный правильный период котангенса и тангенса равен ?.

Периодической функцией именуется функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период. Периодом функции именуется число, при добавление которого к доводу функции значение функции не меняется.

Вам понадобится

• Знания по элементарной математике и началам обзора.

Инструкция

1. Обозначим период функции f(x) через число К. Наша задача обнаружить это значение К. Для этого представим, что функция f(x), пользуясь определением периодической функции, приравняем f(x+K)=f(x).

2. Решаем полученное уравнение касательно незнакомой K, так, как словно x – константа. В зависимости от значения К получится несколько вариантов.

3. Если K>0 – то это и есть период вашей функции.Если K=0 – то функция f(x) не является периодической.Если решение уравнения f(x+K)=f(x) не существует ни при каком K не равном нулю, то такая функция именуется апериодической и у неё тоже нет периода.

Видео по теме

Обратите внимание!
Все тригонометрические функции являются периодическими, а все полиномиальные со степенью огромнее 2 – апериодическими.

Полезный совет
Периодом функции, состоящей из 2-х периодический функций, является Наименьшее всеобщее кратное периодов этих функций.

Если рассматривать точки на окружности, то точки x, x + 2π, x + 4π и т.д. совпадают друг с ином. Таким образом, тригонометрические функции на прямой периодически повторяют свое значение. Если знаменит период функции , дозволено возвести функцию на этом периоде и повторить ее на других.

Инструкция

1. Период – это число T, такое что f(x) = f(x+T). Дабы обнаружить период, решают соответствующее уравнение, подставляя в качестве довода x и x+T. При этом пользуются теснее вестимыми периодами для функций. Для функций синуса и косинуса период составляет 2π, а для тангенса и котангенса – π.

2. Пускай дана функция f(x) = sin^2(10x). Разглядите выражение sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Воспользуйтесь формулой для понижения степени: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Тогда получите 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) либо cos 20x = cos (20x+20T). Зная, что период косинуса равен 2π, 20T = 2&#960. Значит, T = π/10. Т – минимальный правильный период, а функция будет повторяться и через 2Т, и через 3Т, и в иную сторону по оси: -T, -2T и т.д.

Полезный совет
Пользуйтесь формулами для понижения степени функции. Если вам теснее знамениты периоды каких-нибудь функций, пробуйте свести имеющуюся функцию к знаменитым.

Функция, значения которой повторяются через определенное число, именуется периодической . То есть сколько бы периодов вы ни прибавили к значению х, функция будет равна одному и тому же числу. Всякое изыскание периодических функций начинается с поиска наименьшего периода, дабы не исполнять лишнюю работу: довольно исследовать все свойства на отрезке, равном периоду.

Инструкция

1. Воспользуйтесь определением периодической функции . Все значения х в функции замените на (х+Т), где Т – минимальный период функции . Решите полученное уравнение, считая Т незнакомым числом.

2. В итоге вы получите некое тождество, из него испробуйте подобрать наименьший период. Скажем, если получилось равенство sin(2T)=0,5, следственно, 2Т=П/6, то есть Т=П/12.

3. Если равенство получается правильным только при Т=0 либо параметр Т зависит от х (скажем, получилось равенство 2Т=х), делайте итог о том, что функция не периодична.

4. Для того дабы узнать минимальный период функции , содержащей лишь одно тригонометрическое выражение, воспользуйтесь правилом. Если в выражении стоит sin либо cos, периодом для функции будет 2П, а для функций tg, ctg ставьте минимальный период П. Учтите при этом, что функция не должна быть возведена в какую-нибудь степень, а переменная под знаком функции не должна быть умножена на число, хорошее от 1.

5. Если cos либо sin внутри функции построены в четную степень, уменьшите период 2П в два раза. Графически вы можете увидеть это так: график функции , расположенный ниже оси ох, симметрично отразится вверх, следственно функция будет повторяться в два раза почаще.

6. Дабы обнаружить минимальный период функции при том, что угол х умножен на какое либо число, действуете так: определите типовой период этой функции (скажем, для cos это 2П). После этого поделите его на множитель перед переменной. Это и будет желанный минимальный период. Уменьшение периода отменно видно на графике: он сжимается ровно во столько раз, на сколько умножен угол под знаком тригонометрической функции .

7. Обратите внимание, если перед х стоит дробное число поменьше 1, период возрастает, то есть график, наоборот, растягивается.

8. Если в вашем выражении две периодические функции умножены друг на друга, обнаружьте минимальный период для всякой по отдельности. После этого определите минимальный всеобщий множитель для них. Скажем, для периодов П и 2/3П минимальный всеобщий множитель будет 3П (он делится без остатка как на П, так и на 2/3П).

Расчет размера средней заработной платы работников нужен для начисления пособий по временной нетрудоспособности, оплаты командировок. Средний заработок экспертов исчисляется, исходя из реально отработанного времени, и зависит от оклада, надбавок, премий, указанных в штатном расписании.

Вам понадобится

• – штатное расписание;
• – калькулятор;
• – право;
• – производственный календарь;
• – табель учета рабочего времени либо акт исполненных работ.

Инструкция

1. Для того дабы сделать расчет средней заработной платы работника, вначале определите период, за тот, что нужно ее исчислить. Как водится, таким периодом выступает 12 календарных месяцев. Но если работник трудится на предприятии менее года, к примеру, 10 месяцев, то вам необходимо обнаружить средний заработок за время, которое эксперт исполняет свою трудовую функцию.

2. Сейчас определите сумму заработной платы, которая была реально начислена ему за расчетный период. Для этого используйте расчетные ведомости, по которым работнику выдавались все положенные ему выплаты. Если немыслимо воспользоваться этими документами, то месячный оклад, премии, надбавки умножьте на 12 (либо то число месяцев, которое работник трудится на предприятии, если он оформлен в компании менее года).

3. Рассчитайте среднедневной заработок. Для этого сумму заработной платы за расчетный период поделите на среднее число дней в месяце (в текущее время оно составляет 29,4). Полученный итог поделите на 12.

4. После этого определите число реально отработанного времени. Для этого используйте табель учета рабочего времени. Данный документ должен заполнять табельщик, кадровый служащий либо другой работник, у которого это прописано в должностных обязанностях.

5. Число реально отработанного времени умножьте на среднедневной заработок. Полученная сумма является средней заработной платой эксперта за год. Итог поделите на 12. Это будет среднемесячным заработком. Такой расчет используется для работников, у которых начисление заработной платы зависит от реально отработанного времени.

6. Когда работнику установлена сдельная оплата труда, то тарифную ставку (указанную в штатном расписании и определенную трудовым договором) умножьте на число произведенных изделий (используйте акт исполненных работ либо иной документ, в котором это фиксируется).

Обратите внимание!
Не путайте функции y=cos(x) и y=sin(x) – имея идентичный период, эти функции изображаются по-различному.

Полезный совет
Для большей наглядности изобразите тригонометрическую функцию, у которой рассчитывается минимальный правильный период.

jprosto.ru

Как найти период тригонометрической функции

completerepair.ru

Расчет стоимости электромонтажных работ онлайн калькулятор

remont-podkljuch.ru

Расчет сечения кабеля по мощности и длине — калькулятор онлайн

Чтобы правильно выбрать маркировку провода либо силового кабеля, первым делом нужно рассчитать его сечение. Проще всего использовать для этого специальную программу,в которую нужно ввести исходные данные: количество фаз, потребляемую мощность, номинальное напряжение и что не менее важно — материал токоведущих жил. Чтобы и наши читатели могли быстро выполнить вычисления мы предоставили онлайн-калькулятор для расчета сечения кабеля по мощности и длине линии. Все очень просто — вводите информацию, которую вы знаете и нажимаете кнопку «Вычислить». Калькулятор в режиме онлайн отобразит расчетное и рекомендуемое значение, а вам останется только выбрать подходящую маркировку провода либо силового кабеля.

Достоинства данного онлайн калькулятора в том, что с помощью него вы можете произвести расчет минимального сечения провода или же кабеля в сети с номинальным напряжением от 220 В до 10 кВ. К тому же, для более точных расчетных работ вы можете указать тип проводки — открытая либо скрытая, что также повлияет на расчет. Если же вы сомневаетесь в выведенном результате, настоятельно рекомендуем произвести расчет сечения кабеля по мощности и току с помощью формул, которые мы предоставили в соответствующей статье. Помимо этого можете сверить результат со значениями, указанными в таблице:

Более того, советуем также ознакомиться с программами для расчета сечения кабеля, которые можно установить на компьютер и телефон. Если вы не поленитесь рассчитать сечение жил несколькими способами, в результате получится наиболее точное значение, которое вам и нужно! Все же, как показал опыт, калькулятор в режиме онлайн способен произвести вычисления с минимальной погрешностью!

samelectrik.ru

Калькулятор электромонтажных работ

xn--24-mlcmjbd6br0i.su

Калькулятор расчета сечения кабеля онлайн

electric-220.ru

Глава 1. Упрощение и минимизация логических функций

1.1. Задача минимизации булевых функций

Как уже отмечалось, сложность логического выражения определяется числом букв, входящих в это выражение, т.е. числом переменных и их инверсий. В частности, выражение в форме логической суммы минтермов с минимальным числом литерал называют минимальной суммой, т.е. минимальной НДФ (МНДФ). Минимальным числом литерал должны отличаться и минимальные НКФ (МНКФ), т.е. минимальные произведения макстермов (конституэнтов нуля).

Очевидно, что сложность логической функции, а отсюда сложность и стоимость реализующей ее схемы (цепи), пропорциональны числу логических операций и числу вхождений переменных или их отрицаний. В принципе любая логическая функция может быть упрощена непосредственно с помощью аксиом и теорем логики, но, как правило, такие преобразования требуют громоздких выкладок. К тому же процесс упрощения булевых выражений не является алгоритмическим. Поэтому более целесообразно использовать специальные алгоритмические методы минимизации, позволяющие проводить упрощение функции более просто, быстро и безошибочно. К таким методам относятся, например, метод Квайна, метод карт Карно (диаграммы Вейча), метод Квайна — Мак-Класки и др. Эти методы наиболее пригодны для обычной технической практики, особенно минимизация логической функции с использованием карт Карно. Метод карт Карно сохраняет наглядность при числе переменных не более шести. В достаточно редких случаях, когда число переменных больше шести, обычно используют метод Квайна — Мак-Класки.

1.2. Метод минимизирующих карт.

В процессе минимизации той или иной логической функции, обычно, следует учитывать в каком базисе эффективнее всего можно будет реализовать ее минимальную форму при помощи электронных схем.

Как было отмечено выше, одним из способов представления ФАЛ от небольшого числа переменных (обычно не больше 5) являются диаграммы Карно или Вейча, которые строятся на развёртках многомерных кубов на плоскость. При этом вершины куба представляются клетками карты, координаты которых совпадают с координатами соответствующих вершин куба. Карта заполняется путём пометки кодов вершин, соответствующих наборам, на которых ФАЛ равна единице.

Прежде, чем продолжить дальнейшее рассмотрение, приведем некоторые определения, которые понадобятся при дальнейшем изложении [1].

Определение. Булева функция , называетсяимпликантой булевой функцией , если на каком-либо наборе переменных,где функцияравна единице, функциятакже равна единице.

Простой импликантой логической функции называется элементарная конъюнкция, которая сами является импликантой функции, но никакая ее часть не будет импликантой функции .

Простые импликанты представляют собой самые короткие элементарные конъюнкции, входящие в данную логическую функцию.

Для того чтобы найти простые импликанты логической функции надо выписать все элементарные конъюнкции, входящие в данную функцию, и выбрать из их числа те, собственные части которых в эту функцию не входят.

Любая логическая функция равняется дизъюнкции всех своих простых импликант. Дизъюнкция всех простых импликант называется сокращенной дизъюнктивной нормальной формой логической функции, дизъюнкцию простых импликант, ни одну из которых исключить нельзя, называется тупиковой НДФ заданной функции. Некоторые булевы функции имеют несколько тупиковых форм, тогда та тупиковая форма, которая содержит наименьшее количество букв, будет минимальной.

В методе минимизирующих карт в заданной функции, представленной в СНДФ, отыскиваются все соседние слагаемые и производится их склеивание. Два слагаемых функции, представленной в СНДФ, или вообще два любых терма, отличающихся только одной переменной (в одном она имеет отрицание, а в другом — нет), называются соседними.

Пример 1.1. Рассмотрим использование карт Карно для минимизации следующих функций:

а)

б)

Этим функциям соответствуют графическое представление (см. рис. 1.1 а, б):

Рис.1.1. Графическое представление функций и в виде карт Карно и склеивание соседних клеток карты

Используя результаты склеивания переменных, которые представлены на рис.1, запишем минимальную дизъюнктивную нормальную форму функций

и

Карты Карно обычно используются для ручной минимизации булевых функций небольшого числа переменных, поскольку этот метод плохо алгоритмизируется. Правила минимизации булевых функций можно сформулировать так:

— две соседние клетки карты (два 0-куба) образуют один 1-куб.

При этом клетки карты, находящиеся на границах, также являются соседними, а, следовательно, их можно склеивать, образовывая 1-куб (см. рис. 1.1 в). Независимая переменная обозначена символом X;

— четыре соседние клетки карты могут объединяться, образуя 2-куб (рис. 1 в, импликанта X10X), содержащий две переменные;

— восемь клеток куба после склеивания, образуют один 3-куб и т.д.

Пример 1.2. Булева функция задана таблицей истинности (табл. 1.1). Построить карту Карно и определить МДНФ.

Таблица 1.1.

Таблица истинности

Из таблицы истинности собираем СДНФ и создаем карты Карно для четырех переменных (рис.1.2). Поиск МДНФ сводится к определению минимального количества элементарных конъюнкций, которые покрывают все единицы начальной СДНФ.

Используя полученные импликанты (рис. 1.2), запишем МДНФ так

Карты Карно, приведенные на рис. 1.1 и рис 1.2, несколько отличаются, но результат минимизации не зависит от способа построения карт.

studfiles.net

1.6.2. Правила упрощения логических функций

 Дана некоторая логическая функция либо в аналитическом виде, либо в виде таблицы, в которой перечислены значения функции при всех возможных наборах аргументов.

Требуется определить вид простейшей формулы, выражающей заданную функцию, которая содержит минимальное количество элементарных логических функций И, ИЛИ, НЕ.

Эта простейшая формула может иметь

1. либо нормальную дизъюнктивную форму

2. либо нормальную конъюнктивную форму

3. либо какой-нибудь еще тип.

Нахождение такой простейшей формулы, выражающей заданную функцию, удобно выполнять в несколько этапов.

На первомэтапе логическая функция представляется вСДНФили вСКНФ.

Если количество наборов аргументов, при которых функция равна 1, меньше количества наборов, при которых она равна0, то наиболее простой окажетсяСДНФ, в противном случае —СКНФ.

Если исходная функция задана аналитически, то преобразование ее в СДНФ или СКНФ выполняется в такой последовательности:

1)Путем последовательного применения законов инверсии, логическая функция приводится к нормальной форме, в которой инверсия применяется только к аргументам, но не к функциям от них.

2)Путем раскрытия скобок (по известным формулам) логическая функция приводится к дизъюнктивной нормальной или конъюнктивной нормальной форме (гдеДНФ— дизъюнкция ряда членов, которые есть конъюнкция аргументов, взятых с инверсией или без нее; аКНФ — конъюнкция ряда членов, которые есть дизъюнкция аргументов, взятых с инверсией или без нее.)

3)Если этоДНФ, и каждый член представляет собой конъюнкцию менееnчленов, (n- количество аргументов функции), то каждый такой член умножается на выражение, тождественно равное1(Х — один из аргументов, которые в данной дизъюнкции отсутствуют). В результате чего конъюнкция превращается в дизъюнкцию двух конъюнкций (расширениеДНФ):

Если же это КНФ, то к каждому члену, представляющему собой дизъюнкцию менееnчленов (n- количество аргументов), добавляется члентождественно равный0(Х — аргумент, отсутствующий в данной дизъюнкции). В результате чего каждый из этих членов превращается в конъюнкцию 2-х дизъюнкций (расширениеКНФ):

 ^

4) Приводятся подобные члены.

Далее п.п. 3., 4. повторяются до тех пор, пока функция не будет представлена в СДНФилиСКНФ, т.е. количество членов в каждой конъюнкции (дизъюнкции) не станет равнымnи не станет совпадающих дизъюнкций (конъюнкций).

На второмэтапе происходит преобразование (минимизация) полученной логической функции по известным правилам, приведенным выше.

1.6.3. Контрольные вопросы по теме «Законы и правила упрощения логических функций»

1. Назовите основные соотношения алгебры логики.

2. Как формулируется закон отрицания конъюнкции?

3. Как формулируется закон отрицания дизъюнкции?

4. Сформулируйте переместительный закон алгебры логики.

5. Сформулируйте сочетательный закон алгебры логики.

6. Какие формы дистрибутивный (распределительный) закон имеет в алгебре логики?

7. Сформулируйте правило склеивания для ДНФ.

8. Сформулируйте правило склеивания для КНФ.

9. Сформулируйте правило поглощения для ДНФ.

10. Сформулируйте правило поглощения для КНФ.

11. Сформулируйте правило свертки для ДНФ.

12. Сформулируйте правило свертки для КНФ.

13. Назовите этапы упрощения логической функции, заданной аналитически.

14. Назовите этапы упрощения логической функции, заданной таблично.

15. Сформулируйте правило расширения для ДНФ.

16. Сформулируйте правило расширения для КНФ.

studfiles.net

Упрощение логических схем

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а №3

Цель работы: Изучение способов упрощения логических функций, в том числе частично определенных (недоопределенных) функций. Приобретение практических навыков по разработке и расчету схем на базе логических элементов, в том числе на основе базовых логических элементов.

Лабораторная работа состоит из двух этапов:

1. Подготовка к выполнению лабораторной работы. Заключается в выполнении студентом индивидуального задания в соответствии с вариантом, указанным преподавателем. Задание предъявляется для проверки преподавателю до начала лабораторной работы. Студент допускается к выполнению лабораторной работы, если задание выполнено правильно.

2. Практическая часть. Заключается в моделировании, макетировании и проверке работоспособности схем индивидуального задания.

1. Теоретическая часть

1.1. Упрощение логических функций

Сложность логической функции, а отсюда сложность и стоимость реализующей ее схемы пропорциональны числу операций и числу вхождений перемещений или их отрицаний. Логическая функция может быть упрощена с помощью аксиом и теорем алгебры логики, однако такие преобразования требуют громоздких выкладок и навыков. Для упрощения применяются правила, приведенные в таблице 1.1.

Таблица 1.1 – Правила вычисления

Рассмотрим булево выражение:

.

Для реализации данного выражения необходимо 2 инвертора, 3 конъюнктора (И) и 1 дизъюнктор (ИЛИ).

Упростим данное логическое выражение:

.

Таким образом, все логическое выражение сведено к логической операции ИЛИ.

На практике для упрощения логических выражений, описывающих работу устройства, применяют карты Карно. Карта Карно представляет собой графическое изображение всех возможных наборов значений аргументов, каждый минтерм изображается на карте в виде клетки. Карта образуется путем такого расположения клеток, при котором минтермы, находящиеся в соседних клетках, отличаются значением одной переменной.

Карта Карно для 2-х переменных имеет вид, представленный на рисунке 1.1.а.

Минимизируем исходное логическое выражение посредством применения карты Карно. Поставим 1 в карте Карно в тех клетках, которые соответствуют наборам функции, присутствующим в логическом выражении, рисунок 1.1.б.

Отыскание минимальной формы сводится к максимальному склеиванию по некоторому аргументу: по В – вертикаль и по А – горизонталь. Единицы, находящиеся в соседних клетках, объединим контурами (рисунок 1.1.в). Возможно объединение 2, 4, 8 и т.д. единиц, стоящих в соседних клетках. Кроме этого, карта Карно может быть свернута в горизонтальный или вертикальный цилиндры, или шар, что также позволяет объединить единицы, стоящие в соседних крайних клетках свернутых карт.

Т.к. у нас два контура, то новое выражение будет состоять из двух членов, связанных функцией ИЛИ. Например, для нижнего контура аргумент А встречается с и В, но в соответствии с правилом булевой алгебры аргументыи В дополняют друг друга, и их можно опустить, т.е. остается только аргумент А.

В результате значение функции будет также сведено к логической операции ИЛИ.

Рассмотрим пример построения карты Карно для трех переменных. Пусть дано логическое выражение:

.

Карта Карно и результат минимизации представлены на рисунке 1.2.

Рассмотрим пример построения карты Карно для четырех переменных, рисунок 1.3.

В рассмотренных примерах осуществлялась минимизация по 1, однако в некоторых случаях более удобной может оказаться минимизация по 0. Пример такого случая представлен на рисунке 1.4. Минимизация по нулям показана штрихпунктирной линией, а по единицам – сплошной.

При минимизации по нулям получается отрицательная функция. Поставив с двух сторон отрицание и используя теорему Де-Моргана, можно перейти к положительной функции и реализовать полученное значение на требуемых логических элементах:

,,

studfiles.net

1.8. Упрощение и минимизация логических функций

Сложность логической функции, а отсюда сложность и стоимость реализующей ее схемы, пропорциональны числу операций и числу вхождений перемещений или их отрицаний.

Логическая функция может быть упрощена с помощью аксиом и теорем алгебры логики, однако такие преобразования требуют громоздких выкладок и навыков.

На практике для упрощения логических выражений описывающих работу устройства применяют Карты Карно

Рассмотрим булево выражение:

Для реализации данного выражения необходимо 2 инвертора, 3 конъюнктора (И) и 1 дизъюнктор (ИЛИ).

Упростим данное логическое выражение

Таким образом, все логическое выражение сведено к логической операции ИЛИ (конъюнктор).

Карта Карно представляет собой графическое изображение всех возможных наборов значений аргументов, каждый минтерм изображается на карте виде клетки.

Карта образуется путем такого расположения клеток при котором минтермы, находящиеся в соседних клетках, отличаются значением одной переменной.

Карты Карно для 2 переменных имеет вид, представленный на Рис.1.10.а.

Минимизируем исходное логическое выражение посредством применения карт Карно.

Проставим 1 в карту Карно в те клетки, которые соответствуют наборам функции присутствующим в логическом выражении.

Отыскание минимальной формы сводится к максимальному склеиванию по некоторому аргументу – по В – вертикаль и по А – горизонталь.

Соседние 1 объединим контуром (Рис.1.10.в. ). Возможно объединение 2, 4, 8 и т.д. единиц, стоящих в соседних клетках, кроме этого карта карно может быть свернута в горизонтальный или вертикальный цилиндры, или шар, что также позволяет объединить 1 стоящие в соседних крайних клетках свернутых карт.

Т.к. у нас два контура, то новое выражение будет состоять из двух членов связанных функцией ИЛИ.

Для нижнего контура аргумент А встречается си В, но в соответствии с правилом булевой алгебры аргументыи В дополняют друг друга и их можно опустить, т.е.остается только аргумент А.

В результате значение функции будет также сведено к логической операции ИЛИ.

Рассмотрим пример построения карты Карно на три переменные. Пусть дано логическое выражение

Карта Карно и результат минимизации представлены на Рис.1.11.

Рассмотрим пример построения карты Карно на четыре переменные (Рис.1.11)/

В рассмотренных примерах осуществлялась минимизация по 1, однако в некоторых случаях более удобной может оказаться минимизация по 0. Пример такого случая представлен на Рис.1.12.

Минимизация по нулям показана штрихпунктирной линией, а по единицам – сплошной.

При минимизации по нулям получается отрицательная функция. Поставив отрицание с двух сторон.

Используя теорему Де-Моргана можно перейти к положительной функции и реализовать полученное значение на требуемых логических элементах.

studfiles.net

1.2. Частично определенная функция и ее упрощение

Частично определенной (недоопределенной) функцией называется функция, значение которой на некоторых наборах запрещено или некоторые наборы входных значений не используются в работе схемы. Значение функции на таких наборах можно задать по своему усмотрению (1 или 0), т.е. доопределить функцию. Доопределение функции не отразится на работе устройства, но облегчит его реализацию.

При минимизации недоопределенных булевых функций в картах Карно, которые соответствуют запрещенным наборам, ставят прочерки, которые могут доопределяться 1 или 0 для удобства конкретной минимизации.

Пример минимизации недоопределенной функции показан на рисунке 1.5.

1.3. Синтез и упрощение логических схем с помощью программы ewb

С помощью логического преобразователя можно синтезировать логические схемы на 8 входов.

В качестве примера синтезируем схему, логическая функция которой имеет вид .

Для выполнения синтеза в общем случае целесообразно соблюдать следующую последовательность действий.

Щелчком курсора мыши по иконке логического преобразователя непосредственно на линейке приборов раскрыть его лицевую панель.

Активизировать курсором клеммы-кнопки A, B и C, количество которых равно количеству входов синтезируемого устройства (А, В, С – переменные функции F).

Записать выражение логической функции на дополнительном дисплее, расположенном в нижней части лицевой панели, рисунок 1.6.

Рис. 1.6 – Вид логического преобразователя после активизации входов

и записи выражения логической функции

Получить выходную комбинацию таблицы истинности, для чего нажать кнопку . Выходная комбинация будет отображена в правой вертикальной колонке, рисунок 1.7.

Рис. 1.7 – Вид логического преобразователя после получения выходной комбинации таблицы истинности

Нажав кнопку , упростить логическую функцию, рисунок 1.8.

Рис. 1.8 – Выражение логической функции после упрощения

Получить логическую схему устройства, для чего нажать кнопку , рисунок 1.9.

Рис. 1.9 – Логическая схема устройства

Получить логическую схему устройства в базисе И-НЕ, для чего нажать кнопку , рисунок 1.10.

Рис. 1.10 – Логическая схема устройства в базисе И-НЕ

studfiles.net

Упрощение логических схем

Цель работы: Изучение способов упрощения логических функций, в том числе частично определенных (недоопределенных) функций. Приобретение практических навыков по разработке и расчету схем на базе логических элементов, в том числе на основе базовых логических элементов.

1. Теоретическая часть

1.1. Упрощение логических функций

Сложность логической функции, а отсюда сложность и стоимость реализующей ее схемы пропорциональны числу операций и числу вхождений перемещений или их отрицаний. Логическая функция может быть упрощена с помощью аксиом и теорем алгебры логики. Для упрощения применяются правила, приведенные в таблице 1.1.

Таблица 1.1 – Правила вычисления

Рассмотрим булево выражение:

.

Для реализации данного выражения необходимо 2 инвертора, 3 ЛЭ И и 1 ЛЭ ИЛИ.

Упростим данное логическое выражение:

.

Таким образом, все логическое выражение сведено к логической операции ИЛИ.

На практике для упрощения логических выражений, описывающих работу устройства, применяют карты Карно. Карта Карно представляет собой графическое изображение всех возможных наборов значений аргументов, каждый минтерм изображается на карте в виде клетки. Карта образуется путем такого расположения клеток, при котором минтермы, находящиеся в соседних клетках, отличаются значением одной переменной.

Карта Карно для 2-х переменных имеет вид, представленный на рисунке 1.1.а.

Минимизируем исходное логическое выражение посредством применения карты Карно. Поставим 1 в карте Карно в тех клетках, которые соответствуют наборам функции, присутствующим в логическом выражении, рисунок 1.1.б.

Отыскание минимальной формы сводится к максимальному склеиванию по некоторому аргументу: по В – вертикаль и по А – горизонталь. Единицы, находящиеся в соседних клетках, объединим контурами (рисунок 1.1.в). Возможно объединение 2, 4, 8 и т.д. единиц, стоящих в соседних клетках. Кроме этого, карта Карно может быть свернута в горизонтальный или вертикальный цилиндры, или шар, что также позволяет объединить единицы, стоящие в соседних крайних клетках свернутых карт.

Нижний контур, даст аргумент А. Верхний контур – аргумент В

В результате значение функции будет также сведено к логической операции ИЛИ: F = А+В.

Рассмотрим пример построения карты Карно для трех переменных.

.

Карта Карно представлена на рисунке 1.2.

Рассмотрим пример построения карты Карно для четырех переменных, рисунок 1.3.

В рассмотренных примерах осуществлялась минимизация по 1, однако в некоторых случаях целесообразно использовать минимизацию по 0.

Пример такого случая представлен на рисунке 1.4. Минимизация по нулям показана штрихпунктирной линией. Для сравнения сплошной линией показана минимизация по единицам.

При минимизации по нулям получается отрицательная функция.

Последовательность преобразования отрицательной функции в положительную показана в таблице 1.2.

Таблица 1.2-Последовательность преобразования отрицательной функции в положительную

studfiles.net

Упрощение логических функций двух переменных методом карт карно

Н.Н. Моисеева

Государственное бюджетное образовательное учреждение «Школа № 1432»

УПРОЩЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДОМ КАРТ КАРНО

Аннотация

Предлагаемая авторская разработка может дополнить чебный материал при изучении темы «Основы математической логики» по предмету информатика, математика, а также в проектной и исследовательской деятельности обучающихся.

Актуальность данной работы состоит в понимании механизмов преобразования логических выражений, представления сложных логических функций (штрих Шеффера, стрелка Пирса, импликации и т.п.) через базовые логические функции И, ИЛИ, НЕ методом карт Карно.

Ключевые слова: логика, логические выражения, логические функции, инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, методы минимизации, метод карт Карно.

Контактная информация

Моисеева Надежда Николаевна, учитель информатики и ИКТ, Государственное бюджетное образовательное учреждение «Школа № 1432», 119634 г. Москва ул. Шолохова д. 19, телефон 8(495)7327460, e-mail: [email protected]

N.N. Moiseevа

State educational institution «School № 1432»

SIMPLIFYING BOOLEAN FUNCTIONS OF TWO VARIABLES BY METHOD OF CARDS OF KARNO

Abstract

The proposed authoring can complement the learning material under the topic «foundations of mathematical logic» on the subject of computer science, mathematics, as well as in project and research activities of students.

The relevance of this work lies in understanding the mechanisms of transformation of logical expressions that represent complex logical functions (Sheffer’s stroke, arrow Pier, implications, etc.) using basic logic functions AND, OR, NOT by a method of cards of Carnot.

Keywords: logic, logical expression, logical functions, inverse, conjunction, disjunction, methods of minimization, a method of cards of Carnot.

Обучаем по-новому

В соответствии с требованиями ФГОС для развития потенциала одаренных и талантливых детей с участием самих обучающихся формируется индивидуальная траектория развития обучающегося. Предлагаемая авторская разработка может дополнить учебный материал при изучении темы «Основы математической логики» по предмету информатика, математика, а также в проектной и исследовательской деятельности обучающихся.

В настоящее время очевидна роль информатики в формировании современной научной картины мира, фундаментальный характер ее основных понятий, законов, всеобщность ее методологии.

Современные направления создания и использования информационной образовательной среды (ИОС) школы предоставляют множество новых возможностей в развитии авторских методик обучения.

Развитие ИКТ компетентности ребёнка — это приобретение опыта создания, преобразования, представления, хранения информационных объектов, умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач.

Изучение основ логики имеет прикладное значение и используется для более полного представления о принципах действия современной компьютерной техники, а также при изучении программирования.

Почему надо научить ребят пониманию основ логики?

Развитие мышления школьников всегда было одной из задач обучения. Истина и логика взаимосвязаны, поэтому теоретическое и практическое значение логики невозможно переоценить. Научиться правильно, рассуждать, мыслить и познавать окружающий мир помогает одна из величайших наук – Логика. Наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью языка. Так как мышление оформляется на языке в виде рассуждения, то можно сказать, что логика — это наука о способах доказательств и опровержений.

Исторически логика изучалась как часть философии. Сейчас логика изучается как часть математики и информатики.

Предметом авторской разработки является представление логических функций двух переменных через набор базовых логических функций, практическая проверка тезиса о представимости любой логической функции через базовые.

Актуальность данной работы состоит в понимании механизмов преобразования логических выражений, представления сложных логических функций (штрих Шеффера, стрелка Пирса, импликации и т.п.) через базовые логические функции И, ИЛИ, НЕ. Приобретённые навыки позволяют глубже понять логические основы устройства компьютера и успешно освоить программирование.

В результате применения описанного метода упрощения (минимизации) можно проследить классификацию всех логических функций одной и двух переменных. Для каждой функции может быть получено их оптимальное представление через базовые функции И, ИЛИ, НЕ с помощью карт Карно.

Основоположники логики

«Воспитание нуждается в трех вещах: в даровании, науке, упражнении.»

Аристотель

Древнегреческий философ и учёный Аристотель является и основоположником логики. Познание у Аристотеля имеет своим предметом бытие. Основа опыта — в ощущениях, памяти и привычке. Любое знание начинается с ощущений: оно есть то, что способно принимать форму чувственно воспринимаемых предметов без их материи; разум же усматривает общее в единичном.

Детально и глубоко разобрав теорию познания, Аристотель создал труд по логике, который сохраняет своё непреходящее значение и поныне. Он разработал теорию мышления и его формы, понятия, суждения и умозаключения.

В 1666 в Лейпциге Лейбниц пишет габилитационную работу по философии «О комбинаторном искусстве», в которой высказывается идея создания математической логики. Из божественного попечительства над миром философ выводит универсальную, неразрывную связь всего со всем. Одно тело не отделено от остальных. Оно – кирпичик в едином здании мира. «Я стою на том, что плохая голова, обладая вспомогательными преимуществами и упражняя их, может перещеголять самую лучшую, подобно тому, как ребенок может провести по линейке линию лучше, чем величайший мастер от руки».

Английский математик и логик. Буль был, обратившимся к логической проблематике. Идеи применения символического метода к логике впервые высказаны им в статье «Математический анализ логики».

Буль высказывал пожелание, чтобы о его взглядах судили по обширному трактату «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей». Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов. 

Единицей Буль обозначал универсум мыслимых объектов, буквенными символами — выборки из него, связанные с обычными прилагательными и существительными. Буль показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций. 

Аристотель, Джордж Буль и Лейбниц познакомили нас с наукой о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности — с логикой.

Логические функции

В логике известны три базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок И, ИЛИ, НЕ (конъюнкция, дизъюнкция и отрицание).

Логическая функция — это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

  Логический элемент — это устройство, реализующее ту или иную логическую функцию. Y=f(X1,X2,X3,…,Xn) — логическая функция, она может быть задана таблицей, которая называется таблицей истинности.

Таблица истинности функции одной переменной Y=f(X) содержит всего 2 строки, а число функций одной переменной равно 4.

Функция константа 0, Y=0. Техническая реализация этой функции — соединение вывода Y с общей шиной с нулевым потенциалом. Таблица истинности функции константа 0 имеет вид:

Функция Y=f(X)=X — функция повторения. Техническая реализация этой функции — соединение между собой выводов X и Y.

Таблица истинности функции повторения имеет вид:

Функция Y=f(X)=NOT(X) — отрицание НЕ или инверсия (NOT(X) — это НЕ X). Техническая реализация этой функции — инвертор на любом транзисторе или логическом элементе, или транзисторный ключ.

Таблица истинности функции отрицания имеет вид:

Функция константа 1, Y=1. Техническая реализация этой функции — соединение вывода Y с источником питания.

Таблица истинности функции константа 1 имеет вид:

Важнейшей функцией одной переменной является отрицание НЕ, остальные функции являются тривиальными.

Таблица истинности функции двух переменных Y=f(X1,Х2) содержит 4 строки, а число функций двух переменных равно 16.

Рассмотрим только несколько основных функций двух переменных.

Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция):

Y= X1 + X2 = X1VX2

Техническая реализация этой функции — два параллельно соединенных ключа:

Таблица истинности логического ИЛИ имеет вид:

Логический элемент ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:

Логическое И (логическое умножение, конъюнкция, схема совпадений): Y = X1X2 = X1&X2

Техническая реализация этой функции — два последовательно соединенных ключа:

Таблица истинности логического И имеет вид:

Логический элемент И обозначается на схемах следующим образом:

Функция стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ): Y = NOT(X1+X2)

Таблица истинности функции ИЛИ-НЕ имеет вид:

Логический элемент ИЛИ-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

Функция штрих Шеффера (И-НЕ): Y = X1|X2 = NOT(X1X2)

Таблица истинности функции И-НЕ имеет вид:

Логический элемент И-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

Есть ещё три логические функции двух переменных, имеющие специальные названия: импликация, эквивалентность, неравнозначность (исключающее ИЛИ, сложение по модулю 2). Последние две функции являются взаимно обратными, также как, например, функция И и функция штрих Шеффера.

Число строк в таблице — это число возможных наборов значений аргументов. Оно равно 2n, где n — число переменных. Число различных функций n переменных равно 2^2n.

Представление логических функций через И, ИЛИ, НЕ

Теорема 1

Любая функция двух переменных может быть представлена в виде комбинации функций И, ИЛИ, НЕ.

Доказательство

Таблица истинности любой функции имеет вид:

Где Y0, Y1, Y2, Y3 принимают значения 0 или 1. Составим конъюнкцию (ИЛИ) из всех строк, где Yi равно 1. Каждый элемент конъюнкции это дизъюнкция (И) переменных, если Xi = 1 в соответствующей строке или их отрицание, если Xi = 0 в соответствующей строке. Очевидно, что данный элемент конъюнкции равен 1 только для этой строки и 0 для всех остальных.

Тогда, конъюнкция будет равна 1 только для Yi = 1 и 0 во всех остальных случаях. То есть данная конъюнкция будет равна исходной функции. Таким образом, исходная функция представляется через И, ИЛИ, НЕ, что и требовалось доказать.

Пример

Представим через И, ИЛИ, НЕ функцию эквивалентности. Таблица истинности функции имеет вид

Y = X1X2  X1X2

Через функции И, ИЛИ, НЕ логические функции могут быть представлены несколькими способами. Поэтому целесообразно минимизировать представление функций с использованием наименьшего количества базовых функций. Для этого служат карты Карно.

Исходной информацией для работы с картой Карно является таблица истинности минимизируемой функции. Таблица истинности содержит полную информацию о логической функции, задавая её значения на всех возможных 2N наборах входных переменных X1 … XN. Карта Карно также содержит 2N клеток, каждая из которых ассоциируется с уникальным набором входных переменных X1 … XN. Таким образом, между таблицей истинности и картой Карно имеется взаимно однозначное соответствие, и карту Карно можно считать соответствующим образом отформатированной таблицей истинности.

Упрощение представления функций

Через функции И, ИЛИ, НЕ логические функции могут быть представлены несколькими способами. Поэтому целесообразно оптимизировать представление функций с использованием наименьшего количества базовых функций. Для минимизации функций алгебры логики был разработан ряд методов:

1. метод непосредственных преобразований логических функций;

2. метод минимизации логических функций при помощи карт Карно;

3. метод Квайна-Мак-Класки;

4. метод Блейка-Порецкого;

5. метод Петрика и другие.

Метод непосредственных преобразований логических функций с использованием законов логики обычно подробно разбирается в процессе изучения темы. Поэтому, остановимся более подробно на методе минимизации логических функций при помощи карт Карно.

Карта Карно – это графический способ минимизации (упрощения) логических функций и представляет собой операции попарного склеивание и элементарного поглощения. Карта Карно рассматривается как перестроенная соответствующим образом таблица истинности функции.

Карты Карно были изобретены в 1952 году Эдвардом В. Вейчем и усовершенствованы в 1953 году физиком Морисом Карно.

Исходной информацией для работы с картой Карно является таблица истинности минимизируемой функции. Таблица истинности содержит полную информацию о логической функции, задавая её значения на всех возможных 2N наборах входных переменных X1 … XN. Карта Карно также содержит 2N клеток, каждая из которых ассоциируется с уникальным набором входных переменных X1 … XN. Таким образом, между таблицей истинности и картой Карно имеется взаимно однозначное соответствие, и карту Карно можно считать соответствующим образом отформатированной таблицей истинности.

Принципы склейки:

• Склейку клеток карты Карно можно осуществлять по единицам

• Склеивать можно только прямоугольные области с числом единиц (нулей) 2n, где n — целое число.

• Область, которая подвергается склейке, должна содержать только единицы (нули).

• Крайние клетки каждой горизонтали и каждой вертикали также граничат между собой и могут объединяться в прямоугольники. Все единицы (нули) должны попасть в какую-либо область.

• С точки зрения минимальности число областей должно быть как можно меньше.

• Одна ячейка карты Карно может входить сразу в несколько областей. Это следует из очевидного свойства булевых функций: повторение уже существующего слагаемого (сомножителя) не влияет на функцию:

1. Конъюнкция

X1 X2

1. Запрет по Х1

X1 X2

1. Повторение X1

X1

1. Запрет по Х2

X1 X2

1. Повторение X2

X2

1. Сложение по модулю 2

X1X2 или X2 X1

1. Дизъюнкция

X1 или X2

1. Стрелка Пирса

X1X2

Таким образом, соседние клетки карты Карно можно группировать для исключения переменной. Число группируемых клеток может быть и больше двух, но их число должно быть четным и они должны соприкасаться (являться соседними) друг с другом.

Допускается также иметь несколько групп перекрывающихся клеток, как в только что рассмотренном примере.

Группироваться могут также клетки первой и последней строк, первого и последнего столбцов, т. е. карту допускается сворачивать в цилиндр, как по вертикальной, так и по горизонтальной оси.

Рассмотрим несколько теорем, доказывающих что любая функция представима через И, ИЛИ, НЕ.

Представление логических функций через базовые функции

Функции И, ИЛИ, НЕ не являются единственным набором базовых функции. Существую ещё несколько наборов базовых функций, представляющих все другие функции.

Проверить является ли набор функций базовым можно на основе следующей теоремы.

Теорема 2

Для того, чтобы набор функций был базовым, то есть представлял все другие функции, достаточно чтобы через этот набор можно было представить функции И, ИЛИ, НЕ.

Доказательство

Любая функция представима через И, ИЛИ, НЕ. Заменим в этом представлении данные функции их эквивалентом через другой базовый набор. Тогда исходная функция представляется через данный базовый набор, что и требовалось доказать.

Теорема 3

Через функцию штрих Шеффера Y = X1|X2 =  (X1X2) можно представить любую другую логическую функцию.

Доказательство

Согласно теореме 2 для того, чтобы функция штрих Шеффера была базовой достаточно представить через неё функции И, ИЛИ, НЕ.

Отрицание Х1 =(Х11) = Х1|1

Конъюнкция Х1 Х2 = ((Х1 Х2)) = (X1|X2) = (X1|X2) |1

Дизъюнкция Х1Х2 = (Х1Х2) = Х1|Х2 = (Х1|1)|(Х2|1)

Теорема доказана.

Теорема 4

Через функцию стрелка Пирса Y = X1X2 =  (X1X2) можно представить любую другую логическую функцию.

Доказательство

Согласно теореме 2 для того, чтобы функция стрелка Пирса была базовой достаточно представить через неё функции И, ИЛИ, НЕ.

Отрицание Х1 =(Х10) = Х10

Конъюнкция Х1 Х2 = (Х1 Х2) = (X1X2)=(X10)(X20)

Дизъюнкция Х1Х2 = ((Х1Х2)) = (Х1Х2) = (Х1Х2)0

Теорема доказана.

Теорема 5

Через функцию импликация Y = X1X2 =  X1X2 можно представить любую другую логическую функцию.

Доказательство

Согласно теореме 2 для того, чтобы функция импликации была базовой достаточно представить через неё функции И, ИЛИ, НЕ.

Отрицание Х1 =Х11 = Х11

Конъюнкция Х1 Х2 = (Х1 Х2) =  (X1X2)=(X1X2) 1

=( X1(X21) 1

Дизъюнкция Х1Х2 = (Х1)Х2 = (Х1) Х2 = (Х11)Х2

Теорема доказана.

Позитивный заключительный аккорд

Теория логических функций прошла долгую историю от Аристотеля до наших дней. В современном виде её сформулировал Джорж Буль.

Логические функции являются математической основой современных вычислительных устройств. Для реализации логических функций в вычислительных устройствах важно унифицировать и минимизировать их представление.

Таким образом, набор функций, через которые можно выразить любые другие функции, называется полным набором базовых функций, т.е. конъюнкция, дизъюнкция и отрицание является полным набором. Упрощение логических выражений можно произвести с помощью методов минимизации. Для несложных функций используются алгебраические преобразования. Для более сложных с числом переменных от 2 до 6 применяют карты Карно.

Понимание методов преобразования позволяют глубже понять логические основы устройства компьютера и успешно освоить программирование.

Список литературных и интернет-источников:

1. А.А. Ивин Логика, учебное пособие издание 2 Москва, Знание 1998

2. Государственные образовательные стандарты общего образования http://www.edu.ru/db/portal/obschee/

3. Д.А. Владимиров Булевы алгебры Москва, Наука 1969

4. Википедия свободная энциклопедия, Логика http://ru.wikipedia.org/

5. Высказывания, цитаты и афоризмы великих людей
   Источник: http://www.wisdoms.ru/pavt/p123.html

6. Н.Н. Моисеева Методические разработки, учебный сайт http://www.schools.keldysh.ru/sch2019/

7. Н.Н. Моисеева Минимизация логических функций двух переменных http://www.rusnauka.com/1_NIO_2014/Matemathics.htm

17

multiurok.ru

Окружность. Длина окружности. Касательная, дуга

Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга.

Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга. Расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом.

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Общие определения

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Радиус Для любой точки \( OL=R \). (Длина отрезка \( OL \) равняется радиусу окружности).

Хорда Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Диаметр Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности \( D=2R \)

Длина окружности Длина окружности вычисляется по формуле: \( C=2\pi R \)

Площадь круга Площадь круга: \( S=\pi R^{2} \)

Дуга окружностиДугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда \( CD \) стягивает две дуги: \( CMD \) и \( CLD \). Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральный угол Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: \( CD = \dfrac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}} \)
2. Используя радианную меру: \( CD = \alpha R \)

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды \( AB \) и \( CD \) окружности имеют пересечение в точке \( N \), то произведения отрезков хорд, разделенные точкой \( N \), равны между собой.

\( AN\cdot NB = CN \cdot ND \)

Касательная к окружности

Касательная Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Секущая Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

\( AC = CB \)

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

\( AC^{2} = CD \cdot BC \)

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

\( AC \cdot BC = EC \cdot DC \)

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\( \angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ} \)

Вписанный угол Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\( \angle AOB = 2 \angle ADB \)

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\( \angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ} \)

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

\( \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB \)

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется \( 180^ {\circ} \).

\( \angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ} \)

\( \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB \)

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\( \angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \dfrac{1}{2} \left ( \cup DmC + \cup AlB \right ) \)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\( \angle M = \angle CBD — \angle ACB = \dfrac{1}{2} \left ( \cup DmC — \cup AlB \right ) \)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

\( S = pr \),

где:

\( p \) — полупериметр многоугольника,

\( r \) — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

\( r = \dfrac{S}{p} \)

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

\( AB + DC = AD + BC \)

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

\( r = \dfrac{S}{p} \),

где \( p = \dfrac{a + b + c}{2} \)

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна \( 180^{ \circ} \).

\( \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ} \)

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

\( R = \dfrac{a}{2 \sin A} = \dfrac{b}{2 \sin B} = \dfrac{c}{2 \sin C} \)

\( R = \dfrac{abc}{4 S} \)

где:

\( a \), \( b \), \( c \) — длины сторон треугольника,

\( S \) — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

\( AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD \)

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

Окружность. Круг

Цели урока:

• Образовательная: формировать у уча щихся понятие об окружности и круге, как геометрических фигурах, познакомить с историей возникновения этих фигур, историей создания циркуля;
• Развивающая: развивать логическое мышление, наглядно-образное представление о математических понятиях;
• Воспитательная: продолжать формировать эстетическое отношение к предмету, графическую культуру.

 “Из всех фигур прекраснейшая – круг”

Пифагор

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

В Древней Греции круг и окружность считали венцом совершенства. В каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности стало толчком к возникновению колеса, так как ось и втулка колеса должны всё время быть в соприкосновении. К сожалению, неизвестен изобретатель колеса. Колесо – это чудо! Что же в нём особенного? – подумаете вы. Но это только на первый взгляд. Представьте себе на секунду, что вдруг случилась беда: на Земле исчезли все колёса!

Самые первые колеса были сделаны в Месопотамии (ныне Ирак) в 3500-3000 гг. до н. э. и представляли собой гончарный круг и тележное колесо.

Не только в процессе работы люди знакомились с различными фигурами. Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище. И многие, созданные давным-давно украшения, имели ту или иную форму.

Бусинки были шарообразными, браслеты и кольца имели форму окружности. Древние мастера научились придавать красивую форму бронзе, золоту, серебру, драгоценным камням. Художники, расписывавшие дворцы, тоже использовали окружность.

Со времени изобретения гончарного круга люди научились делать круглую посуду – горшки, вазы, амфоры. Круглыми были и колонны, подпирающие здания. Самым важным среди круглых тел был шар.

А теперь давайте поближе познакомимся с окружностью и кругом.

3. Актуализация опорных знаний.

На этом этапе урока ребятам сообщается о продолжении изучения геометрических фигур. Вспоминаются геометрические фигуры, изучаемые ранее (отрезок, прямая, угол, прямоугольник, квадрат и др.) и сообщается о том, что сегодня мы познакомимся с еще двумя. Приводятся и показываются примеры из жизни предметов, которые имеют форму круга (циферблат часов, чашка и т.д.). Обычно ребята называют эти фигуры, кто окружность, кто круг. Кто же из них прав? Чтобы выяснить эти вопросы мы обращаемся к геометрии. Что же в геометрии понимается под окружностью, а что под кругом.

4. Изучение нового материала.

1) Окружность – это множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки.

Окружность разбивает плоскость на 2 части.

Часть плоскости, находящаяся не внутри окружности вместе с этой окружностью, называется кругом.

У круга есть одна подруга

Известна всем ее наружность.

Она идет по краю круга

И называется…. Окружность.

2) Дается представление и определение окружности, центра, радиуса и диаметра, хорды окружности. Рассматривается формула связи радиуса и диаметра одной окружности. Сообщение исторических сведений

“радиус” (в переводе с латинского – луч) впервые встречается в “геометрии” французского ученого Рамуса, изданной в 1569 г, затем у Ф.Виета; термин “радиус” становится общепринятым лишь в конце XVII века.

“хорда” (от греческого “хорде” – струна) был введен в современном смысле европейскими учеными в XII-XIII веках.

Содержит ли диаметр в себе радиусы? Сколько?

D = 2r; r = d/2

3) Показывается, как строится окружность с помощью циркуля.

Конечно, опытные, тренированные люди весьма ловко одним росчерком изображают окружность. Рассказывают, что великий немецкий художник Альбрехт Дюрер одним движением руки мог столь точно нарисовать окружность, что последующая проверка при помощи циркуля не показывала никаких отклонений. Как же ему это удавалось? Я хочу познакомить вас с правилом, позволяющим сделать нужное изображение от руки.

Историческая справка.

Самый старый железный циркуль обнаружен во Франции при раскопках древнего кургана. Он пролежал в земле более 2-х тысяч лет. В пепле, засыпавшем греческий город Помпеи, археологи обнаружили очень много бронзовых циркулей. Циркуль всегда был незаменимым помощником архитекторов и строителей. Неслучайно на фасаде одного из самых древних и красивых храмов Грузии изображена рука архитектора, а позади неё циркуль.

В Древней Руси любили узор из мелких кружков. Стальной циркуль-резец для нанесения такого рисунка археологи нашли при раскопках в Новгороде. Есть в этом инструменте нечто такое, что заставляет относится к нему с уважением. Вот как описал знакомство с ним в детстве Ю. Олеина, автор знаменитой сказки “Три толстяка”: “В бархатном ложе лежит плотно сжав ноги, холодный сверкающий циркуль. У него тяжелая голова. Я намереваюсь поднять его. Он неожиданно раскрывается и производит укол в руку”.

4) Рассматривается взаимное расположение прямой и окружности.

Вводится понятие и свойство касательной к окружности.

5) Рассматривается взаимное расположение двух окружностей.

Понятие концентрической окружности.

6) Далее вводятся формулы для нахождения площади круга, зная радиус или диаметр круга.

5. Закрепление нового материала.

Решить № 506, 508(2), 509.

6. Самостоятельная работа.

Работа в парах с учебником.

Задача с.137.

7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п.17, вопросы с. 137, решить на 7 баллов №505, на 9 баллов №508(1), на 11 баллов №514.

Творческое задание: составить узор из окружностей. Оценивается отдельно.

А теперь продолжите предложения, которые вы видите на доске:

Сегодня я узнал…

Было интересно…

Я понял, что…

Теперь я могу…

Я научился…

У меня получилось…

Сегодня на уроке мы узнали, что такое окружность, круг, чем они отличаются. Познакомились с инструментом, — циркулем. Научились строить окружность с его помощью. Узнали что такое радиус, диаметр. В школе свойства окружности и круга изучаются до 11 класса, но первые представления у учащихся должны быть уже в 6 классе.

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Окружность и круг

Окружность и круг являются геометрическими фигурами, которые связаны между собой. Окружность является граничной, ломаной линией (кривой) круга. Рассмотрим определение окружности несколько подробней. Окружность является замкнутой кривой с равноудаленными от центра точками. Стоит отметить, что центр окружности также является точкой. Для того, чтобы построить окружность, необходимо выбрать вышеупомянутую точку, которая будет служить центром, а затем провести циркулем замкнутую линию.

Если же мы соединим центр окружности с произвольной точкой, которая лежит на окружности, то получим отрезок, который называется радиусом. Причем, если мы меняем точки на окружности и проводим с центра несколько линий до разных точек окружности, не трудно догадаться, что отрезки (радиусы) будут одинаковыми. Если же мы соединяем две точки окружности одной линией, но при этом проводим данную линию через центр окружности, то мы получаем отрезок, который называется диаметром. Сделав нехитрые подсчеты и, даже просто взглянув на окружность, можно практически сразу сказать, что диаметр окружности равен двум радиусам.

Теперь поговорим о таком определении, как круг и выясним, чем же он отличается от окружности. Круг – это часть плоскости, которая лежит внутри окружности. Центр, диаметр и радиус окружности одновременно являются центром, диаметром и радиусом круга. Однако не забываем про то, что круг, в отличии от окружности, является частью плоскости, а значит имеет свою площадь. Как же измеряется данный параметр для круга? Все очень просто: площадь круга равна произведению радиуса, возведенному в квадрат и числу Пи. Также следует знать и то, что можно искать площадь не всего круга, а определенного сектора, который может образоваться в результате проведения из центра в две разные точки, которые лежат на окружности круга, прямых.

mateshka.ru

Окружность и круг

На этом уроке мы познакомимся с понятиями окружности и круга. Научимся чертить окружность и круг.

Чертить окружности вы научились ещё в младших классах. Давайте вспомним, как происходит этот процесс. Для того чтобы начертить окружность мы должны установить остриё циркуля в некоторой точке О. Далее будем вращать ножку с карандашом.

Определение

Карандаш начертит на плоскости листа линию, которая и называется окружностью. Точка, в которой устанавливалось остриё циркуля, или точка О, называется центром окружности.

Давайте соединим центр окружности, т.е. точку О, с любой понравившейся вам точкой на окружности. Обозначим эту точку, например, буквой А. Видим, у нас получился отрезок ОА.

Определение

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности, называется радиусом. Радиус обозначают маленькой латинской буквой r.

Отметим на этой окружности ещё несколько точек, например, В, С и D. И соединим их с центром окружности. Эти отрезки ОВ, ОС и OD также называют радиусами.

Все точки окружности равноудалены от её центра, т.е. удалены от центра на расстояние, равное длине радиуса.

Часто слово «длина» не произносят, а вместо «длина радиуса» говорят просто «радиус». Например, говорят: «Изображена окружность с радиусом, равным 3 см».

Теперь давайте соединим любые 2 точки на окружности, не проходящие через центр окружности, например, E и F. У нас получился отрезок EF.

Определение

Отрезок, концы которого лежат на окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром.

Посмотрите внимательно на экран. На рисунке изображён отрезок АВ, он является диаметром окружности. По рисунку нетрудно заметить, что диаметр окружности равен двум её радиусам, т.е.

Диаметр обозначают маленькой латинской буквой d, тогда d = 2r.

Запомните, диаметр окружности в два раза длиннее радиуса.

Все диаметры окружности равны между собой.

Отметим на окружности 2 точки, например, M и N.

Определение

Эти 2 точки разделили окружность на 2 части, каждую из которых называют дугой.

На нашем рисунке они изображены линиями разного цвета.

Точки M и N называют концами дуг.

Окружность является замкнутой линией. Она разбивает плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю.

Часть плоскости, находящаяся внутри окружности, вместе с этой окружностью называется кругом.

Окружность – это граница круга. Центром круга называется центр этой окружности. Радиусом круга называется радиус этой окружности. Диаметром круга называется диаметр этой окружности. Хордой круга называется хорда этой окружности.

Круг состоит из точек, удалённых от данной точки (его центра) на расстояние, меньшее или равное его радиусу.

Определение

Если в круге провести два его радиуса, например, ОА и ОВ, они выделят из круга его часть, которая называется сектором.

В нашем случае, получился сектор АОВ. Оставшаяся часть круга – также сектор.

Теперь давайте разберёмся с расположением точек, окружности и круга. Посмотрите внимательно на экран.

На нём изображена окружность с центром в точке О и точки А, В, С, D и E.

Точки А и Е лежат на окружности или ещё можно сказать принадлежат ей.

Точки В, С, D, O не принадлежат этой окружности.

Точки А, В, С, Е и О принадлежат кругу.

Точка D находится вне окружности или вне круга.

Итоги

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с понятиями окружность, круг и их элементами. А также научились их чертить.

videouroki.net

Окружность и круг /qualihelpy

Окружностью называют множество всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой данной точки, называемой центром окружности. 

Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности, называют радиусом окружности. 

Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности.

Если хорда перпендикулярна радиусу окружности, то точкой пересечения она делится пополам. 

Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром окружности. Диаметр состоит из двух радиусов. 

Дугой окружности называют часть окружности, заключенную между двумя точками окружности. Если точки – концы диаметра окружности, то имеем две равные дуги, называемые полуокружностями.

Кругом называют часть плоскости, ограниченную окружностью, включая точки окружности. 

Например, на рисунке 8.85 изображен круг. 

Круговым сектором называют часть круга, ограниченную радиусами и дугой, на которую опираются радиусы. 

Круговым сегментом называют часть круга, отсекаемую хордой. 

Свойство пересекающихся хорд: если через точку, лежащую внутри окружности, проведены две хорды, то произведения отрезков, на которые хорды делятся в точке пересечения, равны. 

Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.

Если к окружности из одной точки провести две касательные, то окружность будет вписана в угол, образованный этими касательными. Центр окружности, вписанной в угол, расположен на биссектрисе угла (рис. 8.89). 

Свойства касательных

Свойство хорды и касательной: угол, образованный хордой и касательной, проходящей через конец хорды, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его. 

Секущей называют прямую, имеющую с окружностью две общие точки. 

Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезка секущей и ее внешней части.

Свойство секущих к окружности: если из одной точки к окружности проведены секущие, то все произведения отрезков секущих и их внешних частей равны.

Угол называют центральным, если его вершина лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами окружности. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.

Угол называют вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности. 

Свойства вписанных в окружность углов

1. Вписанный в окружность угол равен половине соответствующего ему центрального угла. 

2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 8.96).

3. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (рис. 8.97).

helpy.quali.me

Чем отличается окружность от круга

На уроках геометрии в школе все мы изучали свойства различных фигур и линий. Каждая из них имеет свои особенности, а порой некоторые из них взаимосвязаны друг с другом. Взять для примера хотя бы круг и окружность – между ними есть определенная связующая линия. Только вот какая? Давайте вместе разберемся в этом вопросе.

Окружность представляет собой бесчисленное множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной единственной, называемой центром окружности. Соединенные между собой точки формируют кривую линию, которая и будет окружностью. Все точки, которые находятся на другом расстоянии от центра окружности, не будут находиться на этой линии, поэтому не будут входить в окружность. Соответственно, окружность – это геометрическая фигура, которая представляет собой определенную линию, а все, что находится внутри нее либо снаружи, к окружности не относится. По этой причине имеется четкое понятие, что окружность делит всю плоскость на две части – внутреннюю, ограниченную линией окружности, и внешнюю, безграничную, поскольку плоскость в общем понимании не имеет границ.

Круг является геометрической фигурой, граница которой состоит из бесчисленного множества точек, равноудаленных от центра круга. Все внутреннее пространство, а также центр круга принадлежат ему, таким образом, можно говорить о том, что круг представляет собой некую площадь пространства, ограниченную множеством точек. А поскольку эти точки равноудалены от центра, то границей круга будет окружность. Все внешнее пространство кругу не принадлежит, зато он охватывает всю ту часть плоскости, которая очерчена при помощи окружности.

Различия между кругом и окружностью не столь велики, поскольку эти фигуры представляют собой неисчисляемое количество точек плоскости, находящихся от одной центральной точки на одинаковом расстоянии. Но важным отличительным признаком является тот факт, что внутреннее пространство не принадлежит окружности, но обязательно является составной частью круга. Иными словами, круг представляет собой не только окружность, которая является его границей, но также и то бесконечное число точек, находящихся внутри этой окружности.

Выводы TheDifference.ru

1. Окружность является лишь частью круга, его границей, в то время как круг является более обширной и полноценной фигурой;
2. Окружность – это кривая линия, состоящая из бесчисленного множества точек, равноудаленных от центра, а круг представляет собой не только сумму этих точек окружности, но также и все те точки, которые расположены внутри этой самой окружности.

thedifference.ru

Перечень практических работ по дисциплине «Статистика» — МегаЛекции

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

1. Эллипсоид.

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h , где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

Исследуем уравнения (2) при различных значениях h .

1) Если

2) Если

3) Если

откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями

Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz .

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферо й .

2. Однополосный гиперболоид.

Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy ( y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy . Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

3. Двуполостный гиперболоид.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

(5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями

из которых следует, что при

При

При

Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

4. Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

где p>0 и q>0.

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

из которых следует, что при

mirznanii.com

Поверхности второго порядка.

Поверхностью второго порядка будем называть геометрическое место точек в пространстве, удовлетворяющих уравнению:

где по крайней мере один из a₁₁ a₂₂ a₃₃  0. Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Назовем группу слагаемых группой старших членов, а — линейной частью. a₄₄ – свободный член.

Перейдем к новой системе координат с целью упростить общее уравнение.

Сначала осуществим параллельный перенос:

Подставив в общее уравнение, получим:

где (*)

Важный вывод: при параллельном переносе системы координат коэффициенты при старших членах не изменяются! Преобразуются коэффициенты группы линейных членов по некоторым формулам.

Рассмотрим поворот осей:

Если введем эти координаты в общее уравнение поверхности, сгруппируем члены при различных степенях x’ y’ z’ и получим:

Легко убедиться, если расписать коэффициенты и т.д., что: при повороте сисемы координат коэффициенты старших членов зависят лишь от m_ij и старых коэффициентов старших членов, а коэффициенты — зависят только от m_ij и , а не изменяется! При этом, если в исходном уравнении коэффициенты были равны нулю, то и будут равны нулю! Другими словами, при параллельном переносе можно упрощать группу линейных членов, а при повороте – упрощать группу старших членов уравнения.

Оказывается, существуют инварианты относительно любого преобразования системы. Это величины:

Центр поверхности второго порядка.

Поставим задачу найти такую систему координат, в которой уравнеие поверхности не содержало бы линейных слагаемых, т.е. . Пусть точка O(x₀ y₀ z₀) это точка начала координат искомой системы. Тогда, вспоминая формулы для параллельного переноса системы координат (*), имеем:

(**)

Эти уравнения называются уравнениями центра поверхности второго порядка. Если координаты центра найдены, то осуществляя параллельный перенос начала координат в центр, получим уравнение поверхности:

Ну и наконец, запишем без доказательства, что всегда существует некоторая декартова система координат, в которой последнее уравнение не содержит членов с x’y’ ; x’z’ ; z’y’. К этой системе можно прийти путем поворота осей координат координатной системы. В этой системе координат уравнение поверхности примет вид:

Процедура параллельного переноса и последующего поворота системы координат с целью получения этого уравнения называется стандартным упрощением уравнения поверхности.

Заметим, что не всякая поверхность может быть центральной, а лишь та, где I₃  0.

Действительно, I₃ является определителем системы уравнений (**) и для существования единственного решения этой системы по теореме Кронеккера-Капелли I₃ не должен быть равен нулю. Если же I₃ = 0, то у поверхности нет центральной точки. Ее уравнение может быть сведено к виду

Такая поверхность называется нецентральной.

Лекция 10. Классификация поверхностей 2го порядка

Итак, путем стандартного упрощения уравнения поверхности, уравнение может принять вид:

a₁₁ x² + a₂₂ y² + a₃₃ z² + a₄₄ = 0

Это уравнение есть уравнение только центральной поверхности! Тогда, поскольку I₃  0, то I₃ = a_11* a_22* a₃₃  0 означает, что a₁₁  0, a₂₂  0, a₃₃  0.

Возможны следующие случаи:

1). a₁₁ a₂₂ a₃₃ одного знака. а₄₄  0. Поверхность S называется эллипсоидом. Причем мы будем рассматривать только случай, когда знак у a₁₁ a₂₂ a₃₃ и у а₄₄ противоположный – вещественный эллипсоид. Каноничаская форма уравнения эллипсоида:

2). Два коэффициента одного знака, два противоположного:

— это уравнение однополостного гиперболоида.

3). Наконец, знак у а₁₁, а₂₂и а₄₄противоположензнаку у а₃₃

— уравнение двухполостного гиперболоида.

4). Левая часть равна нулю. Очевидно, для вещественного конуса необходимо, чтобы знак при a₁₁ a₂₂ или a₃₃ был противоположен двум другим

— вещественный конус второго порядка.

Оси OX OY OZ – центральные оси этих четырех поверхностей.

studfiles.net

ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, удовлетворяющих какому-либо уравнению 2-ой степени.

Теорема. Для любой поверхности второго порядка в пространстве существует ортонормированная система координат, в которой эта поверхность задается каноническим уравнением.

Эта теорема у нас также остаётся пока что без доказательства, но она позволяет классифицировать все поверхности второго порядка.

Классификация поверхностей 2-го порядка

— эллипсоид;

— мнимый эллипсоид;

— точка ;

— однополостный гиперболоид;

— двуполостный гиперболоид;

— конус 2-го порядка;

— эллиптический параболоид;

— эллиптический цилиндр;

— мнимый эллиптический цилиндр;

— ось Oz;

— гиперболический параболоид;

— гиперболический цилиндр;

или — пара пересекающихся плоскостей;

— параболический цилиндр;

или — пара параллельных плоскостей;

— сдвоенная плоскость;

— пара мнимых параллельных плоскостей

§1. Эллиптический, гиперболический и параболический

Цилиндры

Пусть в пространстве заданы кривая и прямая A, пересекающая L. Поверхность, образованная при перемещении прямой А параллельно самой себе так, что, она все время пересекает кривую L, называется Цилиндрической. Прямые, которые получаются при перемещении прямой А называются Образующими этой цилиндрической поверхности, а кривая L – её Направляющей.

Теорема. Уравнение

(1)

В пространстве задает цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси , а уравнение направляющей, лежащей в плоскости , совпадает с уравнением (1).

►Обозначим L — множество точек плоскости, удовлетворяющих (1), а S – множество точек пространства, удовлетворяющих этому же уравнению. Тогда:

.

Итак, если , то поверхности S принадлежит вся прямая, проходящая через эту

Рис. 1 точку параллельно оси (рис. 1), что и доказывает, что S – цилиндрическая поверхность. ◄

Таким образом, уравнения , , задают цилиндрические поверхности, или цилиндры, с образующими, параллельными оси , а названия «гиперболический», «эллиптический», «параболический» они получили по названию своей направляющей. Гиперболический, эллиптический и параболический цилиндры изображены соответственно на рисунках 2, 3 и 4.

Рис. 2

Рис. 3. Рис. 4.

§2. Конус второго порядка

Конусом второго порядка мы назвали поверхность, которая задаётся каноническим уравнением

. (1)

Из этого уравнения видно, что конус проходит через начало координат; симметричен относительно всех координатных осей, координатных плоскостей и относительно начала координат.

Теорема. Если точка , не совпадающая с началом координат, принадлежит конусу (1), то и вся прямая , проходящая через эту точку и начало координат, принадлежит этому конусу.

►В качестве направляющего вектора прямой возьмём вектор , тогда её уравнение будет выглядеть так:

.

Таким образом,

.

Итак, конус второго порядка состоит из прямых, проходящих через начало координат.◄

Дальнейшее исследование всех поверхностей будем проводить методом параллельных сечений, который состоит в следующем: пересекаем поверхность плоскостями, параллельными координатным плоскостям, и по виду линий, получающихся в сечениях, делаем вывод о форме поверхности.

Пусть задана поверхность уравнением . Пересечем эту поверхность плоскостью . Линия пересечения задаются системой:

,

Которая равносильна следующей:

. (2)

Так как в системе (2) первое уравнение – уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси , то мы просто линию пересечения заданной поверхности плоскостью заменили линией пересечения той же плоскостью цилиндрической поверхности. Если эту Цилиндрическую поверхность пересечь плоскостями, параллельными плоскости , то в сечениях будут получаться линии, одинаковые по форме. В частности, такую же форму, как и все линии пересечения, будет иметь кривая, лежащая в плоскости , которая является их Проекцией на плоскость (рис. 1). Уравнение же последней кривой, т. е. направляющей цилиндрической поверхности, совпадает с уравнением . ТаКим образом, чтобы получить уравнение проекции на плоскость линии пересечения некоторой поверхности плоскостью следует из системы, задающей эту линию пересечения, исключить (это же справедливо и для проекции линии пересечения двух произвольных поверхностей).

Возвращаясь к исследованию формы конуса (1), пересечем его плоскостью . В сечении получаем кривую, заданную уравнением:

. (3)

При уравнение (3) задаёт точку — начало координат, т. е. плоскость Пересекает конус в одной только точке – в его вершине. Если , то, разделив (3) на правую часть, получаем уравнение

,

Которое задаёт эллипс с полуосями

. (4)

Рис. 2. Если растет, то полуоси увеличиваются, т. е. конус состоит из расширяющихся эллипсов. Внешний вид конуса изображен на рис. 2. При конус называется конусом вращения или прямым круговым конусом.

При пересечении конуса плоскостью в сечении можно получить не только эллипс, но также гиперболу и даже параболу, поэтому эти кривые называются коническими сечениями.

§3. Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая задаётся каноническим уравнением:

. (1)

Так же, как и конус второго порядка, эта поверхность симметрична относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и относительно начала координат, но, в отличие от конуса, через начало координат не проходит. Пересекая её плоскостью , получаем кривую с уравнением

,

Которое после преобразований принимает вид

И задаёт эллипс с полуосями:

. (2)

Таким образом, как и конус второго порядка, однополостный гиперболоид состоит из расширяющихся эллипсов. Самый малый эллипс получаем при . Он называется горловым эллипсом.

Сравнивая (2) и (4) §2, видим, что и . Таким образом, если однополостный гиперболоид (1) и конус второго порядка

(3)

Пересечь одной и той же плоскостью , то эллипс для конуса находится внутри эллипса для гиперболоида, значит конус (3) лежит внутри гиперболоида (1). Кроме того,

. Аналогично получаем, что , т. е. при неограниченном удалении от плоскости однополостный гиперболоид (1) бесконечно близко приближается к конусу (3), который поэтому называется его асимптотическим конусом.

Пересекая однополостный гиперболоид (1) плоскостью в сечении получаем гиперболу

Рис. 1 с действительной осью — осью . При пересечении же его плоскостью , получаем гиперболу с действительной осью – осью . Однополостный гиперболоид изображен на рис. 1. При он называется однополостным гиперболоидом вращения.

§4. Двуполостный гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная каноническим уравнением

. (1)

Так же, как и конус второго порядка и однополостный гиперболоид, эта поверхность симметрична относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и относительно начала координат, но опять же, в отличие от конуса, через начало координат не проходит. Пересекая двуполостный гипребролоид плоскостью получаем кривую с уравнением

. (2)

Из (2) видно, что при плоскость не пересекается с двуполостным гиперболоидом (1), каждая из плоскостей и пересекает двуполостный гиперболоид в одной точке. Эти точки и называются вершинами двуполостного гиперболоида. Если же , то линией пересечения является эллипс

С полуосями

Рис. 1 . (3)

Наряду с гиперболоидом (1) опять же рассмотрим конус

. (4)

Пересекая гиперболоид (1) и конус (4) одной и той же плоскостью и сравнивая (3) и (4) §2, делаем вывод: и , т. е. двуполостный гиперболоид (1) лежит внутри конуса (4). Так же, как и в §3, получаем:

и ,

Откуда видно, что при неограниченном удалении от плоскости двуполостный гиперболоид (1), так же как и однополостный, бесконечно близко приближается к конусу (4) (только уже изнутри), который также называется его асимптотическим конусом.

Пересекая гиперболоид (1) плоскостью , в сечении получаем гиперболу , а пересекая его плоскостью — гиперболу . Для обеих этих гипербол действительной является ось .

Двуполостный гиперболоид изображён на рис. 1.

§ 5. Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид – это поверхность, заданная каноническим уравнением

. (1)

Эллиптический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей и , а относительно плоскости симметрии не имеет. Если его пересечь плоскостью , то увидим, что при плоскость не пересекается с эллиптическим параболоидом, при в сечении получается единственная точка – начало координат, которая называется вершиной эллиптического параболоида (1), а при линией пересечения является эллипс с полуосями . Таким образом, и эллиптический параболоид состоит из расширяющихся эллипсов.

Пересечём теперь эту поверхность плоскостью . В сечении получаем кривую, заданную уравнением

,

Которое после преобразований принимает вид:

. (2) Из (2) видно, что плоскости, параллельные плоскости , пересекают поверхность эллиптического параболоида по параболам, имеющим

Одинаковые фокальные параметры (т. е., по конгруэнтным параболам), ветви которых направлены в сторону положительного направления оси

, причём с ростом вершина параболы смещается вверх. На рис. 1 изображены проекции этих парабол на плоскость . То же самое имеем и при пересечении плоскостями . Уравнения линий пересечения:

,

При проектировании их на плоскость получаем картинку, изображённую на рис. 2. Сам же эллиптический параболоид изображён на рис. 3. При эллиптический параболоид называется параболоидом вращения.

§ 6. Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом мы назвали поверхность, каноническое уравнение которой выглядит так:

.

Гиперболический параболоид, так же, как и эллиптический, симметричен относительно координатных плоскостей и , а относительно плоскости не имеет симметрии.

Пересечём эту поверхность плоскостью . В сечении получаем кривую, заданную уравнением:

.

Из него мы видим, что плоскости, параллельные плоскости , пересекают поверхность гиперболического параболоида по параболам, имеющим одинаковые фокальные параметры (т. е., по конгруэнтным параболам), их ветви направлены в сторону отрицательного направления оси , причём с ростом вершина параболы смещается вверх. На рис. 1 изображены проекции этих парабол на плоскость . Если же пересечь гиперболический параболоид плоскостями , то в сечениях получаем кривые

,

Т. е. опять конгруэнтные параболы, но их ветви направлены в сторону положительного направления оси , а с ростом вершина параболы смещается вниз. При проектировании их на плоскость получаем

картинку, изображённую на рис. 2.

Теперь пересечём гиперболический параболоид плоскостью . В сечении получается кривая, заданная уравнением

. (1)

При это уравнение задаёт пару пересекающихся прямых

Рис. 3

. (2)

Если , то плоскость пересекает гиперболический параболоид по гиперболам

,

Асимптотами которых являются прямые (2), действительной осью – ось , причём с ростом вершины этих гипербол удаляются от центра (от оси ). Если же ,

То уравнение (1) задаёт гиперболы

С теми же самыми асимптотами, но с осью в качестве действительной. Проекции линий пересечения гиперболического параболоида плоскостями на плоскость изображены на рис. 3, а сам гиперболический параболоид — на рис. 4. Эта поверхность напоминает седло, часто её так и называют.

§ 7. Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, заданная каноническим уравнением . Пересекая его координатными плоскостями, каждый раз в сечении получаем эллипсы с различными полуосями. Эллипсоид изображён на рис. 1, по внешнему виду он напоминает яйцо. При эллипсоид называется эллипсоидом вращения, а при — это просто сфера.

www.webpoliteh.ru

поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка.

Если в пространстве R³ ввести прямоугольную систему координат Oxyz, то каждая поверхность определяется некоторым уравнением F(x,y,z)=0,

(x,y,z) – координаты любой точки поверхности. Если F(x,y,z) – многочлены не выше второй степени относительно совокупности переменных x,y,z, то уравнение F(x,y,z)=0 называется уравнением второго порядка, а поверхность изображаемая этим уравнением называется поверхностью второго порядка.

Если поверхность имеет специфическое расположение относительно системы координат ( например, симметрична относительно некоторых координатных плоскостей, или имеет вершину в начале координат и пр.), то её уравнение имеет достаточно простой вид, который называется каноническим.

Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка. Геометрическое изображение.

1). Сфера радиуса R с центром в начале координат (рис.56)

x²+y²+z²=R².

Уравнение (x—x₀)²+(y—y₀)²+(z—z₀)²=R² изображает сферу радиуса R с центром в точке M₀(x₀,y₀,z₀).

2). Эллипсоид с полуосями a,b,c и центром в начале координат (рис. 57)

+ + =1.

При a=b=c=R эллипсоид превращается в сферу радиуса R.

3). Однополостный гиперболоид с полуосями a, b, c и осью Oz (рис. 58)

+ — =1.

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z=h являются эллипсами

+ =1+

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями x=h или y=h являются гиперболами.

— =1- или — =1-

4). Двуполостсный гиперболоид с полуосями a,b,c и осью Oz (рис.59)

+ — = -1.

Сечение гиперболоида горизонтальными плоскостями z=h,  c являются эллипсами

+ = – 1.

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями x=h или y=h являются гиперболами.

— = — -1 или — =- -1.

5). Параболоид эллиптический с параметрами a,b,p и вершиной в начале координат ( рис.60)

+ = 2pz.

Сечение параболоида горизонтальными плоскостями z=h (h>0 при h< 0 при

P<0) есть эллипсы

+ = 2ph.

Сечение параболоида вертикальными плоскостями x=h или y=h являются параболами.

= 2pz — или = 2pz — .

6). Параболоид гиперболический с параметрами a, b, p и вершиной начале координат (рис.61)

— = 2pz.

Сечение параболоида горизонтальными плоскостями z=h представляют собой гиперболы

— = 1

Сечение вертикальными плоскостями x=h и y=h являются параболами

=-2pz + и = 2pz+ .

7). Конус эллиптический с вершиной в начале координат и осью Oz (рис.62)

+ — =1.

Если a=b, то конус круглый или круговой. Пересечение конуса горизонтальными плоскостями являются эллипсами

+ =

(при h=0 эллипс вырождается в точку).

Сечение конуса вертикальными плоскостями x=h и y=h являются гиперболами

— = — — =- . при h0

Или парой пересекающих прямых

— =0 — =0 при h=0

К поверхностям второго порядка относятся цилиндры направляющие которых – линии второго порядка. Мы ограничимся пересечением цилиндров, направляющие – прямые , параллельные оси Oz.

8) Цилиндры:

(1) Эллиптический (рис.63)

+ =1.

Если a=b=R, то цилиндр – круговой x²+y²=R.

(2) Гиперболический (рис.64)

— =1.

(3) Параболический (рис.65)

y2=2px.

Примечание . Если в каждом из приведённых канонических уравнений заменить x=x₁—x₀, y=y₁—y₀, z=z₁—z₀, где (x₀,y₀,z₀) – фиксированные числа, то новые уравнения представляют те же поверхности и они занимают в системе координат O₁x₁y₁z₁ такое же положение относительно плоскостей x₁=x₀, y₁=y₀, z₁=z₀ как поверхности, заданные канонически относительно координатных плоскостей x=0, y=0, z=0. Другими словами, приведённые формулы представляют параллельный сдвиг поверхности на вектор OM=(x₀,y₀,z₀).

Метод параллельных сечений

Если задано уравнение той или иной поверхности, то возникает задача исследования её формы и расположения относительно координатных осей. Для решения этой задачи обычно применяют метод параллельных сечений: поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными плоскостями координат. Форма и размер полученных сечений позволяют выяснить геометрическую форму самой поверхности.

Пересечение поверхности с плоскостью

Линию в пространстве R3 можно определить как пересечение двух плоскостей. Таким образом уравнение линии можно записать в виде системы

Для исследования этой линии удобно воспользоваться цилиндром, проектирующем её на ту или иную координатную плоскость. Если, например, проектируем линию на плоскость Oxy, то исключим z из системы и получим уравнение  (x,y)=0.Оно изображает направляющую проектирующего цилиндра на плоскость Oxy. В зависимости от того, будет ли  (x,y)=0 эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых – изучаемая линия сохранит соответствующее название.

5.5.1. Сохранить уравнение сферы с центром в точке М₀(-5;3;2) и касающейся плоскости 2x-2y+z-4=0.

Для составления уравнения сферы нужен её радиус. В данном случае R – расстояние от М₀ до плоскости:

R= =6.

Искомое уравнение : (x+5)²+(y-3)²+(z-2)²=36.

5.5.2. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей 6x-3y-2z-35=0 и 6x-3y-2z+63 =0, если её центр расположен на прямой = = .

1) Определим точки М₁ и М₂ пересечения прямой с плоскостями (заметим что прямая перпендикулярна плоскостям ). Для этого параметрическое уравнение прямой x = 11+6t, y=-4-3t, z=-3-2t подставляем в уравнения плоскостей, находим t и возвращаемся к этим уравнениям.

6(11+6t) – 3(-4-3t) – 2(-3-2t)-35=0,

t=-1, M₁ (5,-1,-1).

Аналогично находим М₂(-7,5,3).

2) Центр сферы М₀ — середина отрезка М₁М₂:М₀(-1,2,1).

Радиус сферы R = М₀М₁==7.

3) Уравнение сферы (x+1)²+(y-2)²+(z-1)²=49.

5.5.4. Составим уравнение сферы ,проходящей через четыре точки О(0;0;0), А(2;0;0), В(1;1;0), С(1;0;-1).

Уравнение сферы ищем в виде

(x—a)²+(y—b)²+(z—c)²=R².

Где (a, b, c) – координаты центра и – координаты центра и R – радиус неизвестные. Координаты данных точек превращают уравнение сферы в верные равенства, т.е.

После возведения в квадрат, приведения подобных слагаемых получается система, из которой a=1, b=0, c=0, R²=1.

Ответ. (x-1)²+y²+z²=1.

5.5.6. Найти точки пересечения поверхности + – =1 и прямой = = .

Параметрические уравнения прямой x=4t, y=-3t, z=-2+4t подставим в уравнение однополосного гиперболоида и определим значение t: + – =1, (t-1)²=0, t_1,2=1. Следовательно, x=4, y=-3, z=-2. Прямая имеет с гиперболоидом две совпадающие точки пересечения, т. е. прямая касается поверхности гиперболоида в точке М1(4;-3;2).

5.5.7. При каких значениях параметра p плоскость 2x-2y—z=p касается сферы x2+y2+z2=81?

Если плоскость касается сферы, то расстояние от её центра до плоскости равно радиусу сферы, т. е . =9.

Отсюда =27, т.е. p=27.

5.5.10. Методом параллельных сечений исследовать поверхность, определяемую уравнением + – = -1.

1) Перепишем уравнение в виде + = -1. И пересекаем поверхность плоскостями z=h параллельными координатной плоскости Oxy.

В сечениях получаются линии с уравнениями + = -1.

При  2 эти уравнения имеют изображения ( мнимые эллипсы) при h = 2 они изображают точки (0;0;2) и (0;0;-2), а при  2 получаются эллипсы

+ = 1, где c=.

С увеличением увеличиваются и полуоси эллипсов 4с и 3с, т. е. эллипсы расширяются (рис.66). Поверхность симметрична относительно плоскости Oxy.

2) Перепишем уравнение поверхности в виде – = — -1 и пересечём её вертикальными плоскостями y=l. При каждом l  (- ; + ) соответствующие уравнения описывают гиперболы. В частности, при l=0 получаем гиперболу – = -1, расположенную в плоскости Oxz.

3) Сечение поверхности плоскостями x=r также гиперболы

– =-1- .

Но из пп. 1) и 2) уже можно сделать вывод о строении поверхности : она состоит из эллипсов , <<нанизанных>> на гиперболу – =-1 ( =0). Поскольку два сечения, параллельных Oxz и Oyz – гиперболы, а одно – параллельное Oxy –эллипс, то поверхность называется гиперболоидом эллиптическим; для уточнения – двуполостный, ибо состоит из двух отдельных частей ( над и под плоскостью Oxy).

5.5.12. Определить линию пересечения поверхностей

(x-4)²+(y-7)²+(z+1)²=36 и 3x+y-z-9=0.

Первая поверхность это сфера, вторая- плоскость. Они пересекаются или по окружности, или в одной точке , или вовсе не пересекаются .

Найдём расстояние d от центра сферы М₀(4;7;-1) до плоскости 3x+y—z-9=0.

d= = = .

Поскольку d <R (R=6- радиус сферы ), то плоскость пересекает эту сферу по окружности.

Центр O(x₁;y₁;z₁) этой окружности расположен на перпендикуляре М₀О, опущенным из центра сферы М₀ на заданную плоскость (рис.67).

Уравнение перпендикуляра М₀О в параметрической форме имеет вид

x = 4+3t, y=7+t, z=-1-y.

Подставим эти равенства в уравнение плоскости и находим t.

3(4+3t) + (7+t)- (-1-t)-9 =0, t=-1.

Подставим t= -1 в параметрические уравнения перпендикуляра М₀О.

Находим : x=1, y=6 , z=0, т. е. О(1;6;0) – центр окружности пересечения сферы и плоскости.

Из ОМ₀А (рис.67) находим r²=R²—d², r²=36-11=25, r=5.

Таким образом получено, что кривая

Представляя собой окружность радиуса 5 с центром в точке О(1;6:0).

5.5.13. Составить уравнения касательных плоскостей к сфере

(x-2)2+ (y+1)2 + (z-3)2=6 в точках её пересечения с прямой = = .

Точки пересечения прямой со сферой получаются подстановкой равенств

x=1+t, y= —t, z=1+2t в уравнение сферы, определением t и подстановкой обратно в уравнение прямой .

Имеем (1+t-2)² + (-t+1)² + (1+2t-3)²=6 , 6(t-1)²=6, t1=0, t²=2. Далее x₁=1, y₁=0, z₁=1, x₂=3, y₂=-2, z₂=5. Итак, М₁(1;0;1), М₂(3;-2;5) – точки пересечения прямой и сферы.

Составим уравнение первой касательной плоскости, проходящей через

М₁(1;0;1). Её нормальный вектор , где М₀(2;-1;3) центр сферы:

= (-1;+1;-2) , а уравнение плоскости: — (x-1) + y-2(z-1)=0 или x=y+2z-15=0.

Уравнение второй плоскости по аналогии: x—y+2z-15=0.

Полученные плоскости параллельны потому, что данная прямая проходит через центр сферы М₀(2;-1;3) (получается при t=1).

5.5.14. Установить, что плоскость y-2=0 пересекает эллипсоид

+ + =1 по эллипсу. Найти его полуоси и вершины.

Пересечение двух поверхностей в пространстве представляет некоторую линию, принадлежащую как одной так и другой поверхности. Уравнение этой линии в нашем случае имеет вид

Подставим y=2 в первое уравнение и получаем + =.

Это уравнение эллипса, расположенного в плоскости y-2=0.

Поско4льку каноническое уравнение полученного эллипса имеет вид + =1, то полуоси равны a= и b=, а вершины эллипса расположены в точках А₁(0;2;-) и А₂(8;2;0) — на большом диаметре,

В₁(0;2;-) и В₂(0;2;) – на меньшем диаметре.

5.5.15. Исследовать линию пересечения гиперболоида + — z²=1 с плоскостью 4x-3y-12z-6=0, пользуясь её проекциями на координатные плоскости.

Линия пересечения гиперболоида с плоскостью определяется системой

Выражаем из второго уравнения

Z= и z²=

И подставляем в первое уравнение. Получаем

9y²+8xy+16x-12y-60=0.

Это уравнение проекции на плоскость Oxy линии пересечения гиперболоида с плоскостью. Вместе с тем это уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz, направляющая которой есть исследуемая линия. Уравнение этой линии следует привести к каноническому виду известными формулами преобразования координат (поворот осей и сдвиг). В данном случае методом разложения на множители можно получить ( y+2)(9y+8x-30)=0, т.е. наша линия представляет пару прямых y+2=0 и 8x+9y-30=0, которые пересекаются в точке

Т.е. М₁(6;-2).

По аналогии с этим, проектируем искомую линию на плоскость Oxz. Получаем пару прямых x-3z=0 и 5x-9z-12=0, которые пересекаются в точке М₂(6;2).

Наконец, на плоскость Oyz искомая линия проектируется в прямые y+2=0 и 5y+8z-6=0, которые пересекаются в точке М₃(-2;2).

Если проекции на координатные плоскости данной линии являются пересекающимися прямыми, то сама линия представляет пару пересекающихся в точке М(6;-2;2) прямых. Координаты М получаются из координат её проекции М₁, М₂,М₃.

5.5.17. Дан гиперболический параболоид x2- =z и одна из его касательных плоскостей: 10x-2y—z-21=0. Найти уравнение каждой из тех двух прямых, по которой плоскость касается с параболоидом.

Уравнение искомых прямых задаются системой уравнений, которую последовательно преобразуем.

studfiles.net

Приложение 02 — Свойства поверхностей второго порядка

Приложение 2 66

Свойства поверхностей второго порядка

Приложение 2

СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В теореме 4.5.1. были перечислены конкретные типы поверхностей второго порядка, различие между которыми сохраняется при переходе из одной декартовой системы координат в другую. В данном приложении будут рассмотрены основные свойства поверхностей этих типов.

§Пр.2.1. Вырожденные поверхности второго порядка

К вырожденным поверхностям второго порядка относятся типы, указанные в первой части таблицы формулировки теоремы 4.5.1.

В первых двух столбцах этой таблицы перечислены типы пустых множеств, а также объекты точечно-линейного типа, исследование которых полностью аналогично случаям, рассмотренным в приложении 1, в ортонормированной, канонической системе координат .

Первые три типа поверхностей, содержащиеся в третьей колонке таблицы, являются частными случаями цилиндрической поверхности, образующая которых параллельна прямой , а направляющими служат плоские кривые — эллипс, гипербола и парабола, соответственно расположенные в плоскости.

Описание свойств невырожденных поверхностей второго порядка будет также выполнено в ортонормированной системе координат .

В общем случае можно показать, что в сечении поверхности второго порядка плоскостью получается кривая второго порядка. Однако для описания основных свойств невырожденных поверхностей второго порядка достаточно рассмотреть сечения, параллельные координатным плоскостям.

§Пр.2.2. Эллипсоид

Свойства эллипсоида:

1. Эллипсоид — ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2. Эллипсоид обладает:

— центральной симметрией относительно начала координат;

— осевой симметрией относительно координатных осей;

— плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей.

§Пр.2.3. Эллиптический параболоид

Свойства эллиптического параболоида:

1. Эллиптический параболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает

— осевой симметрией относительно оси ;

— плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей и .

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получаетсяэллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — парабола. Например, рассматривая секущую плоскость , получаем следующее уравнение плоской линии

.

§Пр.2.4. Гиперболический параболоид

Свойства гиперболического параболоида:

1. Гиперболический параболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что — любое.

2. Гиперболический параболоид обладает

— осевой симметрией относительно оси ;

— плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей и .

3. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат , получается гипербола, а плоскостями ортогональными осямили — парабола. (Рис. Пр.2.4.1.)

С другой стороны, при сечении гиперболического параболоида плоскостью x=x₀ получаем плоскую кривую , являющуюся параболой. Для случая сечения плоскостьюуравнение аналогично и имеет вид.

Из полученных уравнений следует, что гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

4. Гиперболический параболоид имеет два семейства прямолинейных образующих.

Если записать уравнение данной поверхности в виде , то можно прийти к заключению, что при любых значениях параметра точки, лежащие на прямых и, также принадлежат и гиперболическому параболоиду, поскольку почленное перемножение уравнений плоскостей, задающих эти прямые, дает уравнение гиперболического параболоида.

Заметим, что для каждой точки гиперболического параболоида, существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на гиперболическом параболоиде. Уравнения этих прямых могут быть получены (с точностью до некоторого общего ненулевого множителя) путем подбора конкретных значений параметра .

§Пр.2.5. Однополостный гиперболоид

Свойства однополостного гиперболоида:

1. Однополостный гиперболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2. Однополостный гиперболоид обладает

— центральной симметрией относительно начала координат;

— осевой симметрией относительно всех координатных осей;

— плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, ортогональной оси координат , получаетсяэллипс, а плоскостями, ортогональными осям или —гипербола. (Рис. Пр.2.5.1.) Вывод уравнений для линий сечения аналогичен рассмотренным ранее случаям.

4. Однополостный гиперболоид имеет два семейства прямолинейных образующих. Записав уравнение данной поверхности в виде , можно прийти к заключению, что при любых и , точки, лежащие на прямых

и ,

§Пр.2.6. Двуполостный гиперболоид

Свойства двуполостного гиперболоида:

1. Двуполостный гиперболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что и не ограничен сверху.

z

x y

Рисунок Пр.2.6.1.

2. Двуполостный гиперболоид обладает:

— центральной симметрией относительно начала координат;

— осевой симметрией относительно всех координатных осей;

— симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении двуполостного гиперболоида плоскостью, ортогональной оси координат , при получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или— гипербола. (Рис. Пр.2.6.1.)

§Пр.2.7. Поверхности вращения

Пусть некоторая кривая, расположенная в плоскости , имеет уравнение. Если вращать эту кривую вокруг оси, то каждая ее точка будет описывать окружность.

Замечание: поверхности вращения линии второго порядка не всегда задаются уравнениями второго порядка.

Например, если вращать квадратную параболу вокруг оси, получается эллиптический параболоид вращения, однако при вращении этой же кривой вокруг оси получится поверхность вращения, задаваемая уравнением видаили.

Решение. Зафиксируем на вращаемой линии точку с координатами . Линия, получаемая при вращении этой точки вокруг осив плоскости, есть окружность радиуса, с уравнением.

С другой стороны, , поэтому. Наконец, в силу произвольности точки, выбранной на линии вращения, получаем, что уравнение поверхности вращения — эллиптического параболоида есть.

studfiles.net

Поверхности второго порядка — часть 2

где p>0, q>0.

Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение

из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.

рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).

Получаем уравнение

из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения

из которых следует, что при любом h в сеченииполучается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).

Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения

из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

6. Конус второго порядка.

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию

распадающуюся на две пересекающиеся прямые

Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые

Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим

из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями

При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).

C писок использованной литературы :

1.Шипачёв В.С.:”Высшая математика”

mirznanii.com

Поверхности второго порядка

Содержание.

· Понятие поверхности второго порядка.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

· Классификация поверхностей второго порядка.

1. Классификация центральных поверхностей.

-1°. Эллипсоид.

-2°. Однополостный гиперболоид.

-3°. Двуполостный гиперболоид.
-4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

-1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче­ский параболоид.

-2°. Параболический цилиндр

•Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

1. Эллипсоид.
2. Гиперболоиды.

— 1°. Однополостный гиперболоид.

-2°. Двуполостный гиперболоид.

3. Параболоиды.

-1°. Эллиптический параболоид.
-2°. Гиперболический пара­болоид.

4 . Конус и цилиндры второго порядка.

— 1°. Конус второго порядка.
-2°. Эллиптический цилиндр.
-3°. Гиперболический цилиндр.
-4°. Параболический цилиндр.

Список использованной литературы.

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁ х² + а ₂₂ у² +a ₃₃ z² +2a ₁₂xy +2 a ₂₃уz + 2a ₁₃xz + 2а ₁₄x + 2а ₂₄у+2а ₃₄z +а ₄₄ = 0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁ , а ₂₂ , a ₃₃ , a₁₂ , a_{23 ,} a₁₃ отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением по­верхности второго порядка .

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де­картовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования коор­динат, алгебраически эквивалентны.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан­дартное упрощение уравнения этой поверхности. В резуль­тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a₁₁ х² + а ₂₂ у² +a ₃₃ z² + а ₄₄ = 0 (2)

Так как инвариант I₃ для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ • а ₂₂ • a ₃₃ , то коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи:

—1°. Коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ одного знака, а коэффициента ₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом .

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ противоположен знаку коэффициента а ₄₄ , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом . В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а ² , b² , с² . После не­сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллип­соида .

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz . называются его главными осями.

—2°. Из четырех коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ два одного зна­ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх­ность S называется однополостным гиперболоидом .

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0,а ₂₂ >0, a ₃₃ <0,а ₄₄ <0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а ² , b² , с² . После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однопо­лостного гиперболоида .

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу иOz называются его глав­ными осями.

—3° . Знак одного из первых трех коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче­ской форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0,а ₂₂ <0, a ₃₃ >0,а ₄₄ <0. Тогда :

Обозначим эти числасоответственно через a² , b² , с² . Поcли несложных преобразова­ний уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно запи­сать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двупо­лостного гиперболоида .

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

— 4° . Коэффициент а ₄₄равен нулю. В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка .

Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а ₄₄ =0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка . Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка за­писывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а ₂₂ > 0,a ₃₃ <0. Обозначим

соответственно через а² , b² , с² . Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением веще­ственного конуса второго порядка .

2. Классификация нецентральных поверхностей второго по­рядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариантI ₃ равен нулю. Произведем стандартное упрощение урав­нения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁ х ´ ² + а ´₂₂ у ´ ² +a´ ₃₃ z´ ² + 2а ´ ₁₄x´ + 2а ´ ₂₄у ´ +2а ´ ₃₄z´ +а ´ ₄₄ = 0 (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I ₃ =0 и его значение, вы­численное дл

mirznanii.com

Решение уравнений и систем уравнений в Mathcad

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad  в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню  Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например:

Пример использования блока given…find для решения системы уравнений:

allmathcad.com

Уравнения с одним неизвестным в Mathcad

Простейший способ найти корень уравнения с одним неизвестным в Mathcad обеспечит функция root ( ). Аргументами функции root ( ) являются вид функции определяющей решаемое уравнение и имя переменой, относительно которой ищется решение — root (f(x),x) Если уравнение в Mathcad содержит несколько корней, то функция обеспечивает нахождение единственного корня, ближайшего к заданному начальному значению для искомой переменной. Точность вычислений может быть увеличена или уменьшена посредством задания значения переменной TOL, равной по умолчанию 10-3 и определённой в меню Math, Options (Математика, Опции). Установленное значение TOL также оказывает влияние на точность вычислений.

В случае, если решаемое уравнение в Mathcad представлено полиномом, то все его решения могут быть получены с помощью функции polyroots (v). В качестве аргументов этой функции выступает вектор коэффициентов полинома –v, а результат представляется в виде вектора корней полинома. На листинге представлен пример нахождения корней уравнений с использованием функций root ( ) и polyroots ( ).

Другим способом решения уравнений в Mathcad является применение специального вычислительного блока, начинающегося с ключевого слова given с использованием функций find( ) и minerr ( ).

Блок имеет следующую структуру:

Начальное значение искомой переменной

given

Решаемое уравнение

Выражение с использованием функции find( ) или minerr ( )

Нахождение корней уравнения в Mathcad с использованием блока given…find ( ) в чем – то аналогично использованию функции root ( ). В Mathcad задается начальное значение для искомой переменной, после находится решение, ближайшее к заданному начальному условию. Использовании блока given…minerr ( ) имеет существенные особенности. Решение будет найдено в любом случае, даже при его отсутствии. Дело в том, что ищется не решение системы, а минимальная невязка уравнений. На листинге рассмотрена функция, заведомо не имеющая действительных корней и при использовании блока given…minerr ( ) найдено решение, значение, которое наиболее приближено к оси х, то есть обеспечивает минималь-ную невязку. Значение невязки (ошибки) показывает системная переменная ERR.

allmathcad.com

Решение системы уравнений в Mathcad

Первоначально рассмотрим СЛАУ в Mathcad. Для их решения может использоваться блок given …find() или специальная функция lsolve(). Применение блока given …find() предопределяет необходимость задания начальных значений искомых переменных. Далее после ключевого слова given описывается СЛАУ и с помощью find() находится решение. Следует указать, что в том случае, когда СЛАУ в Mathcad имеет бесконечное множество решений блок given …find() дает конкретный результат, что несомненно следует отнести к недостаткам. В случае отсутствия решения будет выдано сообщение “Matrix is singular. Cannot compute its inversу – Матрица сингулярная. Нельзя вычислить эту инверсию”.

Применение функции lsolve( ) позволяет избежать этого недостатка. Функция lsolve(M,b) имеет два аргумента. M – матрица коэффициентов при неизвестных, b – вектор свободных членов. На листинге приведен пример решения СЛАУ.

Пример решения СЛАУ:

Для решения системы нелинейных уравнений используются два блока: given…find() и given…minerr (). Так как система нелинейных уравнений может иметь несколько решений, то полученные результаты зависят от начальных значений искомых переменных. В обоих случаях получаются приближенные решения, для которых рекомендуется делать проверку. Обычно в Mathcad требуется, чтобы количество уравнений было равно количеству искомых переменных, но в некоторых случаях, когда с точки зрения классической математики может быть получено точное решение и при меньшем количестве уравнений, данное условие может быть нарушено. На листинге представлены примеры использования блоков given…find() и given…minerr () для решения систем нелинейных уравнений.

allmathcad.com

Урок 24. Решение уравнений в Mathcad – использование функций

Решение уравнений является важным для решения практических задач. Поэтому уделим уравнениям еще один урок.

Блок решения в функции

Если Вы хотите исследовать изобразить на графике поведение уравнения в зависимости от значения определенного параметра, Вам, возможно, придется решить систему уравнений много раз. Вы можете сделать это, используя блок решения в функции. Покажем на примере: предположим, мы хотим исследовать поведение решения следующего уравнения в зависимости от различных значения параметра A:

Блоку решения не нужно ни значение параметра, ни начальное приближение, поскольку решение есть функция этих двух значений. Эти значения мы будем задавать при вызове функции.

Функцию можно использовать сколько угодно раз:

Использовать функцию можно с диапазоном переменных:

Такая техника решения не самая надежная. Если хотя бы одно решение не может быть найдено, Вы не получите и решений для других параметров (это произойдет, если задать A<0.7). Поэтому лучше заранее проверить свою функцию.

Сообщения об ошибке можно избежать, написав маленькую программу:

Если блок решения выдает сообщение об ошибке, на выходе получим значение NaN (Not a Number – «Не Число»), которое просто не отображается на графике:

Построим две ветки уравнения с использованием этого приема:

Когда переменных много

Расчеты часто содержат несколько переменных, но Вам, возможно, придется использовать лишь некоторые из них. В качестве примера рассмотрим систему восьми уравнений, где нам нужно получить только значения X и Y. Начальные приближения следует задать для всех переменных:

Решение представляет собой вектор из восьми элементов, но нам нужны лишь элементы с индексами 0 и 1.

Минимизация ошибки

Find() – не единственный решатель в Mathcad. Еще один полезным решателем является Minnerr(), находящий решения, которые минимизируют ошибку в системе уравнений. Рассмотрим пример: есть набор данных, которые мы хотим аппроксимировать уравнением Бейтмена:

Мы хотим подобрать три константы в уравнении Бейтмена таким образом, чтобы ошибка приближения была минимальна. У нас есть семь уравнений (по одной для каждого эксперимента) и три константы, так что в системе избыток данных. Minerr() может обработать эту проблему: