Рубрика: Школьная жизнь

Параллелограмм. — Царство математики

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
3. Диагональ параллелограмма делит параллелограмм на два равных треугольника.
4. Точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма.
5. Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
6. Биссектрисы параллелограмма, проведенные из противоположных углов, параллельны.
7. Биссектрисы параллелограмма, проведенные из соседних углов, перпендикулярны.
8. Угол между высотами, проведенными из тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.
9. Угол между высотами, проведенными из острого угла параллелограмма, равен тупому углу параллелограмма.
10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон параллелограмма.
11. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Частные случаи параллелограмма: прямоугольник, квадрат, ромб. Следовательно, все эти фигуры обладают свойствами, присущими параллелограмму.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы равны. 

Отличительное свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Отличительное свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат — параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Отличительное свойство квадрата: диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и делят углы квадрата пополам.

Площадь параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма через сторону и высоту, проведенной к этой стороне: S=a·h_a=b·h_b.
2. Площадь параллелограмма через стороны и угол между ними: S=a·b·sinφ.
3. Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними: S=0,5·d₁·d₂·sinφ.
4. Площадь параллелограмма через радиус вписанной окружности и сторону(верна только для параллелограмма, в который можно вписать окружность): S=2·a·r.
5. Площадь параллелограмма через радиус вписанной окружности и угол между сторонами(верна только для параллелограмма, в который можно вписать окружность): S=4r²/sinφ.

anasta8ia.ru

Квадрат и его свойства

1. Главная
2. Геометрия
3. Свойства выпуклых многоугольников. Параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб
4. Квадрат и его свойства

Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углыпрямые. Следовательно, у квадрата есть все пять свойств параллелограмма. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Следовательно, у квадрата есть ещё два свойства — свойства прямоугольника. Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые. Следовательно, у квадрата есть ещё три свойства — свойства ромба. Всего у квадрата десять свойств.

Первые пять свойств квадрата как параллелограмма: а) диагональ квадрата делит его на два равных треугольника, б) противоположные стороны квадрата равны, в) противоположные углы квадрата равны, г) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Свойства квадрата как прямоугольника: д) диагонали квадрата равны, е) у квадрата две оси симметрии — прямые, соединяющие середины его сторон.

Свойства квадрата как ромба: ж) диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, з) диагонали квадрата делят углы квадрата пополам, и) у квадрата еще две оси симметрии — его диагонали.

диагональ

прямая линия, соединяющая вершины двух углов, не прилежащих к одной стороне многоугольника

параллелограмм

четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

перпендикулярные прямые

прямые, образующие при пересечении четыре прямых угла

прямой угол

угол с градусной мерой равной 90°

прямоугольник

параллелограмм, у которого все углы прямые

ромб

параллелограмм, у которого все стороны равны

стороны

смежные отрезки, соединяющие вершины многоугольника

треугольник

фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки

угол

фигура, состоящая из точки и двух исходящих из неё лучей

blitztest.ru

Квадрат. Свойства квадрат. Признаки квадрата.

Категория: Справочные материалы

Квадрат – ромб, у которого все углы прямые.

или

Квадрат – прямоугольник с равными сторонами.

или

Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны равны  и все углы равны.

Свойства квадрата

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны  для квадрата.

Признаки квадрата

Четырехугольник будет являться квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.

2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

3. Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на 90˚.

Описанная окружность

Около квадрата можно описать окружность. Сторона и радиус окружности связаны соотношением:

Вписанная окружность

В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности и сторона квадрата связаны соотношением:

Площадь квадрата

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Автор: egeMax | Нет комментариев

egemaximum.ru

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Видеоурок 1: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 1

Видеоурок 2: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 2

Лекция: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Один подраздел многоугольников мы изучили в прошлом вопросе, сейчас же перейдем к изучению четырехугольников – это многоугольники, у которых 4 стороны, 4 вершины, 4 угла.

В школьном курсе геометрии изучают несколько основных типов четырехугольников – это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапецию. В этом же вопросы мы рассмотрим все, кроме трапеции, поскольку все первые 4 типа многоугольников имеют некоторые похожие черты – у них противолежащая пара сторон параллельна.

Отличительная особенность всех четырехугольников – это то, что сумма всех углом равна 360 градусов.

Ну давайте начнем характеризовать все четырехугольники, имеющиеся в теме.

Исходя из названия, можно судить, что у данного четырехугольника что-то параллельное. Это совершенно верно, параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Все четырехугольники характеризуются своими свойствами, поэтому давайте ознакомимся со свойствами параллелограмма:

Если у четырехугольника присутствуют перечисленные свойства, то он является параллелограммом:

• Какой — то Один признак выполнен
• Все свойства параллелограмма можно использовать

Для любого параллелограмма справедлива следующая формула, по которой ясно, что сумма квадратов сторон диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

Данное свойство вытекает из теоремы Пифагора для двух прямоугольных треугольников.

Любую сторону можно найти по известным величинам диагоналей и углов между ними:

Найти стороны параллелограмма можно не только через диагонали, но и через высоты и площади:

Одними из наиболее важных формул являются формулы для нахождения диагоналей найти их можно по известным сторонам и углу между ними:

Но на самом деле самыми важными формулами являются формулы для нахождения площадей:

Квадрат

Свойства квадрата:

• Все стороны равны.
• Все углы равны 90 градусам.
• Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения делит их пополам.

Отличительной особенностью диагонали квадрата является то, что она есть гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными сторонам квадрата, а гипотенузой равной диагонали. Именно поэтому из теоремы Пифагора диагональ квадрата всегда в раз больше его стороны.

Так как у квадрата все стороны равны, то найти периметр и площадь этой фигуры не составляет ни малейшего труда:

Прямоугольник

Эта фигура характеризуется тем, что все её углы прямые, то есть по 90 градусов.

Свойства прямоугольника:

• У прямоугольника все противолежащие стороны параллельны и равны между собой.

• Все углы прямые.

• Точка пересечения диагоналей делит их на равные части.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:

Как можно было понять, данная формула была выведена из теоремы Пифагора, поскольку в основе прямоугольника лежат 2 прямоугольных треугольника.

Формулы нахождения сторон по известным величинам диагоналей, а также площадей:

Формулы периметра прямоугольника

Формулы площадей

Ромб

И наконец-то мы подошли к последнему из параллелограммов, который называется ромбом.

У ромба, как и у квадрата, все стороны равно, но, как и у любого параллелограмма, его стороны попарно параллельны.

Отличительной особенностью ромба считается то, что его диагонали, пересекаясь под прямым углом, делятся пополам.

Не имеет смысла перечислять все свойства ромба, поскольку они аналогичны свойствам параллелограмма, а так же квадрата.

У ромба так же существует связь между длинами диагоналей и его сторон. Поскольку в основании ромба лежат 4 прямоугольных треугольника, то можно было вывести формулу связи диагоналей и сторон через теорему Пифагора:

Формулы для сторон ромба

Формулы площадей ромба

cknow.ru

Параллелограмм — это… Что такое Параллелограмм?

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

  .

• Противоположные углы параллелограмма равны.

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

  .

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Сумма всех углов равна 360°.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, и  — длины диагоналей; тогда

Доказательство  

Проведя диагональ BD, мы получим два треугольника: ABD и BCD, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне BD равны как накрест лежащие при параллельных прямых , , где BD — секущая. Из равенства треугольников следует: и ∠A = ∠С Противоположные углы ∠B и ∠D также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов.

Наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠A и ∠D, дают в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.

По теореме косинусов: Поскольку , то Складывая полученные равенства:

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Если в четырёхугольнике противоположенные стороны попарно равны, то четырёхугольник параллелограмм 2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм 3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм

Площадь параллелограмма

, где a — сторона, h — высота проведенная к этой стороне.

, где a и b — стороны, а  — угол между сторонами a и b.

.

См. также

med.academic.ru

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Диагонали прямоугольника равны. Вторая формула нахождения площади прямоугольника исходит из формулы площади четырехугольника через диагонали.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Квадрат — это частный случай прямоугольника.

Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника, а длина наиболее коротких — шириной прямоугольника.

Свойства прямоугольника

1. Прямоугольник — это параллелограмм

Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \))

2. Противоположные стороны равны

\( AB = CD,\enspace BC = AD \)

3. Противоположные стороны параллельны

\( AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD \)

4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу

\( AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)

5. Диагонали прямоугольника равны

\( AC = BD \)

Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит \( AB = CD \).

Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle DCA \) по двум катетам (\( AB = CD \) и \( AD \) — совместный).

Если обе фигуры — \( ABC \) и \( DCA \) тождественны, то и их гипотенузы \( BD \) и \( AC \) тоже тождественны.

Значит, \( AC = BD \).

Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.

Докажем и это.

\( \Rightarrow AB = CD \), \( AC = BD \) по условию. \( \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA \) уже по трем сторонам.

Получается, что \( \angle A = \angle D \) (как углы параллелограмма). И \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \).

Выводим, что \( \angle A = \angle B = \angle C = \angle D \). Все они по \( 90^{\circ} \). В сумме — \( 360^{\circ} \).

6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон

Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.

\( AC^2=AD^2+CD^2 \)

7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника

\( \triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD \)

8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам

\( AO = BO = CO = DO \)

9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности

10. Сумма всех углов равна 360 градусов

\( \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ} \)

11. Все углы прямоугольника прямые

\( \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ} \)

12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника

13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность

Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна \( 180^{\circ} \)

\( \angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ} \)

14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом)

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

доказать, что параллелограмм у которого углы равны а диагонали перпендикулярны является квадратом

Все тут расписывать, честно говоря, лень, но подскажу: Углы равны, диагонали перпендикулярны. Противолежащие стороны тоже равны (параллелограмм, все же) . Стороны треугольников, которые образуют диагонали, тоже равны. Отсюда можно сделать вывод о равенстве всех 4-х треугольников, на которые параллелограмм разделен диагоналями (по признаку о стороне и 2-м прилежащим к ней углам) . Ну а раз они равны — равны и стороны параллелограмма. А что есть параллелограмм, у которого все стороны равны? Это квадрат. PROFIT!

а нафиг доказывать, нарисовал и все видно сразу …

Математика Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом. Подробное решение тут —-&gt;&gt;&gt; <a rel=»nofollow» href=»https://www.youtube.com/watch?v=E04Rxy9Obo4″ target=»_blank»>https://www.youtube.com/watch?v=E04Rxy9Obo4</a>

touch.otvet.mail.ru

Работа с матрицами

Диапазон можно использовать как значение переменной, например x := 0,0.01..1.

Если разность прогрессии равна единице (то есть элементы просто нумеруются), значение второго элемента и соответствующую запятую опускают. Например, чтобы сформировать по приведенной выше формуле матрицу размером 6 . 6, перед этой формулой надо указать i := 0..5 j := 0..5. При формировании матрицы путем присвоения значения ее элементам размеры матрицы можно не задавать заранее.

Всем неопределенным элементам автоматически присваиваются нулевые значения.

Например, формула M5,5 := 1 создает матрицу M размером 6 х 6, у которой все элементы, кроме расположенного в правом нижнем углу, равны 0.

Стандартные и пользовательские функции

Произвольные зависимости между входными и выходными параметрами задаются при помощи функций. Функции принимают набор параметров и возвращают значение, скалярное или векторное (матричное). В формулах можно использовать стандартные встроенные функции, а также функции, определенные пользователем.

Чтобы использовать функцию в выражении, надо определить значения входны параметров в скобках после имени функции. Имена простейших математических функций можно ввести с панели инструментов Calculator (Счет).

Информацию о других функциях можно почерпнуть в справочной системе. Вставить в выражение стандартную функцию можно при помощи команды

Insert.Function (Вставка.Функция). В диалоговом окне Insert Function (Встав-

ка функции) слева выбирается категория, к которой относится функция, а справа — конкретная функция. В нижней части окна выдается информация о выбранной функции. При вводе функции через это диалоговое окно автоматически добавляются скобки и заполнители для значений параметров.

Пользовательские функции должны быть сначала определены. Определение

задается при помощи оператора присваивания. В левой части указывается имя пользовательской функции и, в скобках, формальные параметры — переменные, от которых она зависит. Справа от знака присваивания эти переменные должны использоваться в выражении. При использовании пользовательской функции в последующих формулах ее имя вводят вручную. В диалоговом окне Insert Function (Вставка функции) оно не отображается.

Решение уравнений и систем

Для численного поиска корней уравнения в программе Mathcad используется

функция root. Она служит для решения уравнений вида f(x) = 0, где f(x) — выражение, корни которого нужно найти, а х — неизвестное. Для поиска

studfiles.net

Функции для работы с матрицами в Excel

В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.

Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.

Формулы массива

Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).

Порядок применения формулы массива:

1. Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
2. Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
3. Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.

В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.

Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.

Решение матриц в Excel

С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.

Транспонирование

Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.

Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.

• 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
• 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.

Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.

Сложение

Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.

В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+h3). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.

Умножение матриц в Excel

Условие задачи:

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).

Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.

В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.

Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:h21). Вводим как формулу массива.

Обратная матрица в Excel

Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).

Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.

Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:

Нахождение определителя матрицы

Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.

Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).

Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.

exceltable.com

36. Функции для работы с матрицами в табличном процессоре.

Средства MS Excel оказываются весьма полезны в линейной алгебре, прежде всего для операций с сматрицами и решения систем линейных уравнений.

Матрицы

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними. Что же такое матрица? Как выполняются действия с матрицами?

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: aij , где I – номер строки, а j – номер столбца.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой:

а из одного столбца – матрицей (вектором)-столбцом:

Если число строк матрицы равно числу столбцов и равно n, то такую матрицу называют квадратной n-го порядка. Например, квадратная матрица 2-го порядка:

Если у элемента матрицы aij номер столбца равен номеру строки (i=j), то такой элемент называется диагональным. Диагональные элементы образуют главную диагональ матрицы

Квадратная матрица с равными нулю всеми недиагональными элементами называется диагональной. Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная, и все диагональные элементы равны единице. Различают единичные матрицы первого, второго, третьего и т. д. порядков

Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причём в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.

Транспонирование

Транспонированной называется матрица (АТ), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами.

В сокращённой записи, если А= (aij), то АТ= (aji).

Для обозначения транспонированной матрицы иногда используют символ «’» (A’). Транспонированием называется операция перехода от исходной матрицы (А) к транспонированной (АТ).

Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет размер m×n, то транспонированная матрица АТ имеет размер n×m.

Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

Функция имеет вид ТРАНСП (массив). Здесь массив – это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д. Рассмотрим это на примере.

Предположим, что диапазон ячеек A1:E2 введена матрица размера 2×5

Необходимо получить транспонированную матрицу.

1. Выделите (указателем мыши при нажатой левой кнопке) блок ячеек под транспонированную матрицу (52). Например, A4:B8.

2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Функция – имя функции ТРАНСП . После этого щелкните на кнопке ОК.

studfiles.net

Работа с векторами и матрицами.

Полученную переменную можно использовать для дальнейших вычислений, например:

>> x = 3 — a x =

2

Вы можете использовать стандартные математические операторы (+, -,*, /, ^) и функции, такие как sin, cos, tan (тангенс), cot (котангенс), log (натуральный

логарифм), log10(десятичный), log2, exp … Для изменения порядка выполнения операций используйте ( ). Аргументы функции задаются в круглых скобках.

Записав начальные буквы имени функции, и, нажав клавишу TAB, будет выведен список функций начинающихся с этих букв (если таковые есть) либо слово будет

Во время работы вы можете получить справку по интересующей вас функции, набрав

>>help имя_функции

MATLAB это система, работающая с матрицами. Все численные

вычисления производятся в матричной форме. Система MATLAB выполняет сложные и трудоемкие операции над векторами и матрицами даже в режиме

прямых вычислений без какого-либопрограммирования. Ею можно пользоваться

как мощнейшим калькулятором, в котором наряду с обычными арифметическими

и алгебраическими действиями могут использоваться такие сложные операции, как инвертирование матрицы, вычисление ее собственных значений и принадлежащих им векторов, решение систем линейных уравнений, вывод графиков двумерных и трехмерных функций и многое другое. Интересно отметить, что даже обычные числа и переменные в MATLAB рассматриваются как матрицы размера 1×1, что дает единообразные формы и методы проведения

операций над обычными числами и массивами. Это также означает, что большинство функций может работать с аргументами в виде векторов и матриц.

При необходимости вектора и матрицы преобразуются в массивы, и значения

вычисляются для каждого их элемента.

studfiles.net

7 Работа с матрицами

7.1 Векторные и матричные операции

Некоторые из операторов MathCad имеют особые значения в применении к векторам и матрицам. Например, символ умножения * при применении к векторам означает скалярное умножение и умножение матриц — когда применяется к матрицам.

Векторные и матричные операторы доступны на панели Символьная. Если результатом является вектор, то это обязательно вектор-столбец, а не вектор-строка.

Таблица 7.1

Команды работы с векторами и матрицами

А^-1 – обратная матрица – такая матрица, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Е — единичная матрица — квадратная матрица, элементыглавной диагоналикоторой равны единице, а остальные элементы равны нулю:

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

А^Т — транспонированная матрица — матрица, полученная из исходной матрицызаменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров— матрицаразмеров, определённая как A^T[i,j] = A[j,i].

Например,

и      

7.2 Функции, возвращающие специальные характеристики матриц

max(V) — возвращает максимальный по значению элемент матрицы V;

min(V) — возвращает минимальный по значению элемент матрицы V;

cols(V) — возвращает число столбцов матрицы V;

rows(V) — возвращает число строк матрицы V;

tr(V) — возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы V;

csort(V,n) — возвращает матрицу с переставленными строками в соответствии с элементами N-го столбца, расположенными по возрастанию;

rsort(V,n) — возвращает матрицу с переставленными столбцами в соответствии с элементами N-ой строки, расположенными по возрастанию.

7.3 Упражнения к теме 7

1. Переставить столбцы матрицы по элементам первой строки, по элементам второго столбца.

2. Найти сумму матриц и.

3. Найти матрицу 2А+5В, если и.

4. Найти произведения матриц АВ и ВА, если и.

5. Найти значение матричного многочлена , если, аЕ — единичная матрица третьего порядка.

6. Дана матрица . Найти обратную матрицу.

7. Найти матрицу , еслии.

8. Вычислить |А|, А^т, В^-1, А³, если

Найти максимальный элемент матрицы С=А*В.

Пример выполнения упражнения 1. Для решения системы уравнений включим панель инструментов Матрица: Вид — Панели инструментов — Матрица или воспользуемся кнопкой на панели Математическая . Вводим«D :=», далее можно воспользоваться комбинацией клавиш: «Ctrl» + «M» или выбрать пиктограмму на панели Матрица . На экране появляется менюВставка матрицы (рис. 6.2). Вводим число столбцов 3 и число строк 3, щелкаем ОК. Вводим элементы матрицы, перемещаясь по таблице с помощью клавиши Tab.

Вводим с клавиатуры функцию rsort, вводим аргументы D и 0 (т.к. по умолчанию нумерация строк и столбцов в MathCad начинается с 0), щелкаем знак «=», получаем результат:

studfiles.net

Раздел 2 — Работа с матрицами в Scilab(230114)

2.Работа с матрицами в среде Scilab

2.1Задание матриц

Матрица в среде Scilab может вводиться несколькими способами:

—>a=[1 2 3; 2 3 4; 4 5 6] <Enter>

или

—>a=[1 2 3; <Enter> 2 3 4; <Enter> 4 5 6] <Enter>

Результат — матрица размере 3х3

1

Вектор столбец можно вводить b 2 несколькими способами

3

—>b=[1;2;3] <Enter>

или

—>b=[1 2 3]’ <Enter>

Таким образом матрица и вектор начинается с символа [ , а заканчивается символом ]. Разделение на элементы внутри строки осуществляется пробелом или символом ,. Разделение на строки осуществляется символом ;.

Обращаться к элементам матрицы или вектора можно так a(1,2) есть элемент a12 , b(2) есть элементb2 .

2.2Операции над матрицами и векторами

+- поэлементное сложение элементов матриц

— — поэлементное вычитание элементов матриц * — матричное умножение

Если одним из операндов является число, то элементы другого операнда (матрицы)

.* — поэлементное умножение матриц / — матричное деление справа

Запись b/a означает ba 1

./ — поэлементное деление справа

24

А.В.Сорокин

Среда вычислений Scilab: Первые шаги

\ — матричное деление слева Запись a\b означает a 1b

.\ — поэлементное деление слева

‘- операция транспонирования матрицы a ‘aT

2.3 Примеры работы с матрицами

Пусть матрицы a и b заданы

—>a=[1 2; 3 4]

—>b=[2 1; 3 5] b =

21

35

Сложение и разность матриц

—>c=a+bc =

—>d=a-bd =

25

.* — поэлементное умножение матриц

—>g=a.*b g =

2 2

920

/- матричное деление справа

—>h=a/b h =

-0.14290.4286 0.4286 0.7143

проверка правильности выполнения операции

—>j=h*b j =

1.0000 2.0000

3.0000 4.0000

./ — поэлементное деление справа

—>k=a./b

\ — матричное деление слева

—>v=a\b

v=

-1.00003.0000 1.5000-1.0000

проверка правильности выполнения операции

.\ — поэлементное деление слева

—>m=a.\b

m=

2.0000 0.5000

проверка правильности выполнения операции

—>a*a

26

ans =

7 10

15 22

—>x=b^(1/2) x =

.^ — поэлементное возведение в степень

—>y=a.^2

транспонирование матрицы

—>at=a’ at =

13

24

Примечание. С матрицами можно строить выражение с использованием арифметических функций. При этом функция будет вычисляться от каждого элемента матрицы.

2.4. Работа с блочными матрицами

Среда Scilab позволяет работь с блочными матрицами, что иногда бывает очень полезным.

используя команду

—>[ a b ; d c] <Enter>

27

При построении блочной матрицы размеры соответствующих блоков должны быть согласованы.

Одной еще интересной возможностью является разбиение матрицы на блоки используя оператор двоеточие ( : ) для индексов матрицы.

k:n=[k k+1 k+2 … n-2n-1n], k<n

k:m:n=[k k+m k+2m … n-2mn-mn], еслиn-kнацело делится на m и m>0

2:5=[2 3 4 5] 2:2:12=[2 4 6 8 10 12]

k:-1:n=[kk-1k-2… n+2 n+1 n], k>n

k:m:n=[k k-mk-2m… n+2m n+m n], еслиk-nнацело делится на m и m<0

7:-1:3=[34 5 6 7]13:-2:1=[1311 9 7 5 3 1]

13:1=[ ] 2:-1:7=[]

Рассмотрим это на примере:

Конструкция [1 3] означает, что из матрицы a будут выбраны элементы с индексами 1 и 3. Например

—>a([1 2 3],[1 2 3])

или

—>a(1:3,1:3)

будем соответствовать всей матрице. А команды

—>a([3 2 1],[3 2 1])

или

—>a(3:-1:1,3:-1:1)

28

Для построения из матрицы a матрицы с вычеркнутой 2-ойстрокой можно поступить следующим образом:

—>b=a([1 3], : )

или

—>b=a([1 3], 1:3)

Другим способом удаления строки или столбца является помещение на его место пустой матрицы [ ].

—>a(2, :)=[ ]

Какой способ является предпочтительным, зависит от типа конкретной решаемой задачи.

Используя описанные выше команды можно вычислять миноры матрицы. Рассмотрим

строке:

d=a(1,1)*(-1)^(1+1)*det(a(2:3,2:3))+a(1,2)*(-1)^(1+2)*det(a(2:3,[13]))+a(1,3)*(-1)^(1+3)*det(a(2:3,1:2))

Здесь det( ) обозначает функцию вычисления определителя матрицы.

Реализуем метод Крамера для вычисления решения x системы

Ax b

где

29

последовательность команд будет такой

—>da=det(a)

—>x1=det([b a(:,2:3)])/da—>x2=det([a(:,1) b a(:,3)])/da—>x3=det([a(:,1:2) b])/da—>x=[x1;x2;x3]

Для проверки необходимо проверить вектор невязки на нуль

Ax b 0 ?

т.е. выполнить команду

—>e=a*x-b

По-другомуметод Крамера можно было бы реализовать так

—>da=det(a)

—>сa=a, ca(:,1)=b—>x1=det(ca)/da—>сa=a, ca(:,2)=b—>x2=det(ca)/da—>сa=a, ca(:,3)=b—>x2=det(ca)/da—>x=[x1;x2;x3]

2.5 Создание стандартных матрицы в среде Scilab

Определение размеров матрицы можно делать с помощью функции size —>[n,m]=size(A)

n = 3

m=

3

Для определения длины вектора наряду с функцией size можно использовать функцию length

30

В среде Scilab имеется три функции, позволяющие создавать следующие матрицы: Для создания единичной матрицы порядка n можно использовать команду eye(n)

—>E=eye(3,3)

Команда

—>E=eye(2,3)

создает матрицу

Для создания матрицы порядка n состоящей из единиц можно использовать команду ones(n)

—>I=ones(3,3)

Команда

—>I=ones(3,2)

создает матрицу

Для создания матрицы порядка n состоящей из нулей можно использовать команду zeros(n)

—>Z=zeros(3,3)

31

Команда

—>Z=zeros(1,3)

создает матрицу

Z =

0 0 0

2.6 Функции для обработки матриц

Функция det используется для вычисления определителя матрицы

—>a=[1 2; 2 1];—>d=det(a)

d=

= — 3

Функция rank используется для вычисления ранга матрицы

—>a=[1 2; 2 1];—>r=rank(a) r=

= 2

Функция inv используется для вычисления обратной матрицы

—>a=[1 2; 2 1];—>ia=inv(a)

ai =

Используя эту функцию, можно решать систему линейных алгебраических уравнений ax b с помощью команды

—>x=inv(a)*b

В качестве альтернативы такого способа решения можно предложить два других

32

Функция sum используется для суммирования элементов матрицы и вектора :

Суммирование элементов вектора

—>b=[1 2 3]—>s=sum(b) s =

6

Суммирование элементов столбцов

—>a=[1 2;

Суммирование элементов строк

—>s=sum(a,2)s =

3

7

Функция prod используется для вычисления произведения элементов матрицы и вектора

:

Вычисление произведения элементов вектора

—>b=[1 2 3]—>p=prod(b) p =

6

Вычисление произведения элементов столбцов

—>a=[1 2; 3 4]

—>p=prod(a,1)p =

33

studfiles.net

4.4. Работа с матрицами

Векторы и матрицы рассматриваются в программе MathCad как одномерные и двумерные массивы данных. Число строк и столбцов матрицы задается в диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы), которое открывают командой Insert ► Matrix (Вставка ► Матрица). Вектор задается как матрица, имеющая один столбец.

После щелчка на кнопке ОК в формулу вставляется матрица, содержащая вместо элементов заполнители. Вместо каждого заполнителя надо вставить число, переменную или выражение.

Для матриц определены следующие операции: сложение, умножение на число, перемножение и прочие. Допустимо использование матриц вместо скалярных выражений: в этом случае предполагается, что указанные действия должны быть применены к каждому элементу матрицы, и результат также представляется в виде матрицы. Например, выражение М+3, где М — матрица, означает, что к каждому элементу матрицы прибавляется число 3. Если требуется явно указать необходимость поэлементного применения операции к матрице, используют знак векторизации, для ввода которого служит кнопка Vectorize (Векторизация) на панели инструментов Matrix (Матрица). Например:

–обычное произведение матриц.

– поэлементное произведение матриц с использованием векторизации.

Для работы с элементами матрицы используют индексы элементов. Нумерация строк и столбцов матрицы начинается с нуля. Индекс элемента задается числом, переменной или выражением и отображается как нижний индекс. Он вводится после щелчка на кнопке Subscript (Индекс) на панели инструментов Matrix (Матрица).

Пара индексов, определяющих элемент матрицы, разделяется запятой. Иногда (например, при построении графиков) требуется выделить вектор, представляющий собой столбец матрицы. Номер столбца матрицы отображается как верхний индекс, заключенный в угловые скобки, например М. Для его ввода используется кнопка Matrix Column (Столбец) на панели инструментов Matrix (Матрица).

Чтобы задать общую формулу элементов матрицы, типа М:= i+j, используют диапазоны. Диапазон фактически представляет собой вектор, содержащий арифметическую прогрессию, определенную первым, вторым и последним элементами. Чтобы задать диапазон, следует указать значение первого элемента, через запятую значение второго и через точку с запятой значение последнего элемента. Точка с запятой при задании диапазона отображается как две точки (..). Диапазон можно использовать как значение переменной, например х := 0,0.01..1.

Если разность прогрессии равна единице (то есть, элементы просто нумеруются), значение второго элемента и соответствующую запятую опускают. Например, чтобы сформировать по приведенной выше формуле матрицу размером 6x6, перед этой формулой надо указать i := 0..5 j := 0..5. При формировании матрицы путем присвое­ния значения ее элементам, размеры матрицы можно не задавать заранее. Всем неопределенным элементам автоматически присваиваются нулевые значения. Например, формула М_5,5 := 1 создает матрицу М размером 6x6, у которой все эле­менты, кроме расположенного в правом нижнем углу, равны 0.

Часть векторных и матричных функций Mathcad, использующих массивы в качестве параметров, приведена в таблице 5. (Более полную таблицу см. в Приложении 2.) В таблице введены следующие обозначения: А и В — массивы (векторы или матрицы), v и u — векторы; М и N -квадратные матрицы; z — скалярное выражение; n, m, k и s — целые числа. Символом  отмечаются операторы и функции, применимые к составным массивам.

Таблица 5. Векторные и матричные функции Mathcad.

studfiles.net

Основное свойство дроби. Правила. Основное свойство алгебраической дроби

Говоря о математике, нельзя не вспомнить дроби. Их изучению уделяют немало внимания и времени. Вспомните, сколько примеров вам приходилось решать, чтобы усвоить те или иные правила работы с дробями, как вы запоминали и применяли основное свойство дроби. Сколько нервов было потрачено для нахождения общего знаменателя, особенно если в примерах было больше двух слагаемых!

Давайте же вспомним, что это такое, и немного освежим в памяти основные сведения и правила работы с дробями.

Определение дробей

Начнем, пожалуй, с самого главного – определения. Дробь – это число, которое состоит из одной или более частей единицы. Дробное число записывается в виде двух чисел, разделенных горизонтальной либо же косой чертой. При этом верхнее (или первое) называется числителем, а нижнее (второе) — знаменателем.

Стоит отметить, что знаменатель показывает, на сколько частей разделена единица, а числитель — количество взятых долей или частей. Зачастую дроби, если они правильные, меньше единицы.

Теперь давайте рассмотрим свойства данных чисел и основные правила, которые используются при работе с ними. Но прежде чем мы будем разбирать такое понятие, как «основное свойство рациональной дроби», поговорим о видах дробей и их особенностях.

Какими бывают дроби

Можно выделить несколько видов таких чисел. В первую очередь это обыкновенные и десятичные. Первые представляют собой уже указанный нами вид записи рационального числа с помощью горизонтальной либо косой черты. Второй вид дробей обозначается с помощью так называемой позиционной записи, когда сначала идет указание целой части числа, а затем, после запятой, указывается дробная часть.

Тут стоит отметить, что в математике одинаково используются как десятичные, так и обыкновенные дроби. Основное свойство дроби при этом действительно только для второго варианта. Кроме того, в обыкновенных дробях выделяют правильные и неправильные числа. У первых числитель всегда меньше знаменателя. Отметим также, что такая дробь меньше единицы. В неправильной дроби наоборот — числитель больше знаменателя, а сама она больше единицы. При этом из нее можно выделить целое число. В данной статье мы рассмотрим только обыкновенные дроби.

Свойства дробей

Любое явление, химическое, физическое или математическое, имеет свои характеристики и свойства. Не стали исключением и дробные числа. Они имеют одну немаловажную особенность, с помощью которой над ними можно проводить те или иные операции. Каково основное свойство дроби? Правило гласит, что если ее числитель и знаменатель умножить либо же разделить на одно и то же рациональное число, мы получим новую дробь, величина которой будет равна величине исходной. То есть, умножив две части дробного числа 3/6 на 2, мы получим новую дробь 6/12, при этом они будут равны.

Исходя из этого свойства, можно сокращать дроби, а также подбирать общие знаменатели для той или иной пары чисел.

Операции

Несмотря на то что дроби кажутся нам более сложными, по сравнению с простыми числами, с ними также можно выполнять основные математические операции, такие как сложение и вычитание, умножение и деление. Кроме того, есть и такое специфическое действие, как сокращение дробей. Естественно, каждое из этих действий совершается согласно определенным правилам. Знание этих законов облегчает работу с дробями, делает ее более легкой и интересной. Именно поэтому дальше мы с вами рассмотрим основные правила и алгоритм действий при работе с такими числами.

Но прежде чем говорить о таких математических операциях, как сложение и вычитание, разберем такую операцию, как приведение к общему знаменателю. Вот тут нам как раз таки и пригодится знание того, какое основное свойство дроби существует.

Общий знаменатель

Для того чтобы число привести к общему знаменателю, сначала понадобится найти наименьшее общее кратное для двух знаменателей. То есть наименьшее число, которое одновременно делится на оба знаменателя без остатка. Наиболее простой способ подобрать НОК (наименьшее общее кратное) — выписать в строчку числа, кратные для одного знаменателя, затем для второго и найти среди них совпадающее число. В том случае, если НОК не найдено, то есть у данных чисел нет общего кратного числа, следует перемножить их, а полученное значение считать за НОК.

Итак, мы нашли НОК, теперь следует найти дополнительный множитель. Для этого нужно поочередно разделить НОК на знаменатели дробей и записать над каждой из них полученное число. Далее следует умножить числитель и знаменатель на полученный дополнительный множитель и записать результаты в виде новой дроби. Если вы сомневаетесь в том, что полученное вами число равняется прежнему, вспомните основное свойство дроби.

Сложение

Теперь перейдем непосредственно к математическим операциям над дробными числами. Начнем с самой простой. Есть несколько вариантов сложения дробей. В первом случае оба числа имеют одинаковый знаменатель. В таком случае остается лишь сложить числители между собой. Но знаменатель не меняется. Например, 1/5 + 3/5 = 4/5.

В случае если у дробей разные знаменатели, следует привести их к общему и лишь затем выполнять сложение. Как это сделать, мы с вами разобрали чуть выше. В данной ситуации вам как раз и пригодится основное свойство дроби. Правило позволит привести числа к общему знаменателю. При этом значение никоим образом не изменится.

Как вариант, может случиться, что дробь является смешанной. Тогда следует сначала сложить между собой целые части, а затем уже дробные.

Умножение

Умножение дробей не требует никаких хитростей, и для того чтобы выполнить данное действие, необязательно знать основное свойство дроби. Достаточно сначала перемножить между собой числители и знаменатели. При этом произведение числителей станет новым числителем, а знаменателей – новым знаменателем. Как видите, ничего сложного.

Единственное, что от вас требуется, — знание таблицы умножения, а также внимательность. Кроме того, после получения результата следует обязательно проверить, можно ли сократить данное число или нет. О том, как сокращать дроби, мы расскажем немного позже.

Вычитание

Выполняя вычитание дробей, следует руководствоваться теми же правилами, что и при сложении. Так, в числах с одинаковым знаменателем достаточно от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого. В том случае, если у дробей разные знаменатели, следует привести их к общему и затем выполнить данную операцию. Как и в аналогичном случае со сложением, вам понадобится использовать основное свойство алгебраической дроби, а также навыки в нахождении НОК и общих делителей для дробей.

Деление

И последняя, наиболее интересная операция при работе с такими числами — деление. Она довольно простая и не вызывает особых трудностей даже у тех, кто плохо разбирается, как работать с дробями, в особенности выполнять операции сложения и вычитания. При делении действует такое правило, как умножение на обратную дробь. Основное свойство дроби, как и в случае с умножением, задействовано для данной операции не будет. Разберем подробнее.

При делении чисел делимое остается без изменений. Дробь-делитель превращается в обратную, то есть числитель со знаменателем меняются местами. После этого числа перемножаются между собой.

Сокращение

Итак, мы с вами уже разобрали определение и структуру дробей, их виды, правила операций над данными числами, выяснили основное свойство алгебраической дроби. Теперь поговорим о такой операции, как сокращение. Сокращением дроби называется процесс ее преобразования — деление числителя и знаменателя на одно и то же число. Таким образом, дробь сокращается, не меняя при этом своих свойств.

Обычно при совершении математической операции следует внимательно посмотреть на полученный в итоге результат и выяснить, возможно ли сократить полученную дробь или же нет. Помните, что в итоговый результат всегда записывается не требующее сокращения дробное число.

Другие операции

Напоследок отметим, что мы перечислили далеко не все операции над дробными числами, упомянув лишь самые известные и необходимые. Дроби также можно сравнять, преобразовать в десятичные и наоборот. Но в данной статье мы не стали рассматривать данные операции, так как в математике они осуществляются намного реже, чем те, что были приведены нами выше.

Выводы

Мы с вами поговорили о дробных числах и операциях с ними. Разобрали также основное свойство дроби, сокращение дробей. Но заметим, что все эти вопросы были рассмотрены нами вскользь. Мы привели лишь наиболее известные и употребляемые правила, дали наиболее важные, на наш взгляд, советы.

Данная статья призвана скорее освежить забытые вами сведения о дробях, нежели дать новую информацию и «забить» голову бесконечными правилами и формулами, которые, вероятнее всего, вам так и не пригодятся.

Надеемся, что материал, представленный в статье просто и лаконично, стал для вас полезным.

fb.ru

Действия с дробями. 6-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,1 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: повторение правил сравнения, сложения, вычитания, умножения и сокращения дробей; развитие логического мышления, вычислительных навыков и укрепление интереса к предмету.

Задачи урока:

Образовательные:

• закрепить полученные знания: правила сложения, вычитания, умножения, сокращения обыкновенных дробей и смешанных чисел;
• сформировать умения применять полученные знания для решения задач;
• осуществить контроль знаний с помощью теста и интерактивной доски.

Развивающие: развивать познавательный интерес к предмету и логическое мышление, интеллектуальные и творческие способности учащихся.

Воспитательные:

• обучать самостоятельной деятельности по овладению знаниями;
• формировать осознанные мотивы учения, самосовершенствования, самовоспитания;
• воспитывать взаимопомощь.

Ход урока

1. Устный счет, индивидуальная работа.
2. Тест.
3. Закрепление.
4. Итог урока.
5. Домашнее задание.

I. Сегодня мы будем повторять все действия с обыкновенными дробями и смешанными числами. К доске пойдут 3 ученика (Слайд 4–6), а остальные будут работать устно (блиц-опрос).

Блиц-опрос.

1. Что называется общим знаменателем двух дробей?
2. Если знаменатели дробей – взаимно простые числа, то общий знаменатель этих дробей равен…
3. Как сравнить (сложить) дроби с разными знаменателями?
4. Чтобы из целого числа вычесть дробь, надо…
5. Как сложить смешанные числа?
6. Как умножить дробь на натуральное число, на дробь?
7. Что значит “сократить дробь”?
8. Какая дробь называется несократимой?
9. Чтобы умножить два смешанных числа, надо…

А теперь проверим работу ребят у доски (Слайд 4–6, ответы на интерактивной доске):

Слайд 4:

Слайд 5:

2 = 200%; 0,39 = 39%; 0,7 = 70%;

Слайд 6:

3)

Объявить оценки обучающимся, работающим у доски и с места.

II. А сейчас приготовьте листочки для теста по вариантам. За 5–7 минут нужно выполнить следующие задания с выбором верного ответа (Слайд 7).

После завершения работы обменяйтесь листочками для взаимопроверки (Слайд 8, ответы на интерактивной доске). Отметьте верные ответы знаком “+”, а неверные знаком “ – ” и поставьте оценку (критерии оценки вы знаете) и верните тест соседу.

Ответы (на Слайде 8):

III. Мы повторили действия над дробями и смешанными числами. А теперь применим наши знания. Решим задание 478 (е) из учебника [Н.Я.Виленкин “Математика 6 класс].

Задание:

К доске идет один ученик.

Проверим, верно ли он решил (Слайд 9 на интерактивной доске).

Решение: (на Слайде 9)

А сейчас вспомним сказку П.П.Ершова “Конек-Горбунок” (Слайд 10–11). Интересно, какой урожай собрали браться с трех полей? (Слайд 12).

Задача: Какой урожай собрали братья с трех полей, если размеры полей были такими: I поле длиной 5 км, а шириной 2 км; II поле длиной 4 км, а шириной 2км; III поле длиной 2км, а шириной 2км. А урожайность везде была одинаковая – 2т с 1 кв.км.

Желающего решить задачу вызвать к доске.

Проверим верно ли вы решили? (Слайд 13).

Решение задачи:

Ответ: 73,5 т

Дополнительное задание для тех, кто первым решит задачу (Слайд 14):

Вычислите:

IV. Итог урока.

Что нового вы сегодня узнали на уроке? Как вы считаете, вы готовы к контрольной работе? Молодцы. Сегодня все хорошо поработали (объявить оценки за урок).

V. Домашнее задание.

513 (3 строка), 527, 528, 534 (б).

1.05.2012

urok.1sept.ru

Действия с дробями

Цели урока:

Образовательные:

• систематизировать знания об обыкновенных дробях;
• повторить действие с дробями (сложение, вычитание, нахождение части от целого)

 Развивающие:

• развивать внимание, речь, память, логическое мышление, самостоятельность.

Воспитательные:

• воспитывать стремление достигать поставленную цель; уверенности в себе, умение работать в коллективе.

Знать: правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями.

Уметь: складывать и вычитать обыкновенные дроби.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютерная презентация, доска.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Устный счет, повторение правил.
3. Решение задач.
4. Самостоятельная работа.
5. Постановка домашнего задания.
6. Подведение итога урока.
7. Резервные задания.

1. Организационный момент.

Приветствие, разбор домашнего задания, если есть вопросы у учащихся. Отметить отсутствующих. Сообщение темы и целей урока (Слайд 1,2). Сообщение типа урока (Слайд 3).

2. Устный счет, повторение правил.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями – смотри документ

Правило: чтобы сложить (отнять) две дроби с одинаковым знаменателем нужно сложить (отнять) числители, а знаменатель оставить без изменения. (Слайд 4).

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Расположите дроби в порядке возрастания.

Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та дробь, у которой больше числитель (слайд 6).

Нахождение части от целого

Найдите 2/5 от числа 140

140 : 5 · 2 = 28·2 = 56

Правило: чтобы найти часть, выраженную дробью от целого, нужно целое разделить на знаменатель этой дроби и умножить на числитель. (слайд 7).

2. Решение задач. Решение задач учащимися у доски.

Встреча с Зайцем. Колобок и Заяц решили сыграть подряд 3 партии в шахматы. Первая партия длилась 1/3 часа, вторая партия  на 1/8 часа меньше, чем первая, а третья длилась на 1/6  часа больше, чем вторая. Сколько времени потратили Заяц с Колобком на все три шахматные партии? (Слайд 8).

Встреча с Волком. Колобок с Волком насобирали 93 гриба. Причем 2/3  количества грибов собрал Волк. Сколько грибов собрал  сколько Колобок? (Слайд 9).

Встреча с Медведем. Бригада, состоящая из Мужика и Медведя, собрала урожай.2/3 урожая приходится на корешки, а 4/7  урожая на вершки. Кому достанется больше урожая, если известно, что Медведю по договору причитаются все вершки. (Слайд 10).

3. Самостоятельная работа. Встреча с лисой. (Слайд 11,12).

Взаимопроверка. Ученики обмениваются тетрадями с «соседом» по парте и сверяют ответы с правильными, выставляют оценку: 5 заданий правильно- отлично, 4- хорошо, 3 – удовлетворительно, 2 и меньше – неудовлетворительно. (Слайд 13).

Встреча с Бабушкой и дедом. (Слайд 14).

4. Постановка домашнего задания. Стр. 83№ 12 (а, б), 15.  (Слайд 15).

5. Подведение итога урока. Слайд 16

videouroki.net

Правила умножения дробей | Учеба-Легко.РФ

Правила умножения дробей

Для того чтобы произвести арифметические действия умножения над дробями, следует перемножить их числители и знаменатели, а результат записать в соответствующей форме.

Умножение простой дроби на число

При умножении простой дроби на натуральное число, ее числитель следует умножить на этот множитель, а знаменатель оставить без изменения.

Умножение смешанной дроби на число

При необходимости умножения смешанной дроби на натуральное число следует произвести данное арифметическое действие с целым числом этой дроби и её числителем.

Умножение дроби на дробь

Когда нужно умножить простую дробь на простую дробь, следует перемножить числители, а затем знаменатели.

Умножение смешанной дроби на смешанную дробь

При выполнении операции умножения смешанных чисел, их следует записать в виде неправильных дробей, после чего перемножить их по соответствующим правилам.

uclg.ru

28 в 2 степени

Калькулятор степеней

Предлагаем попробовать наш калькулятор степеней, который поможет возвести в степень онлайн любое число.

Использовать калькулятор очень просто — введите число, которое вы хотите возвести в степень, а затем число — степень и нажмите на кнопку «Посчитать».

Примечательно то, что наш онлайн калькулятор степеней может возвести в степень как положительную, так и отрицательную. А для извлечения корней на сайте есть другой калькулятор.

Как возвести число в степень.

Давайте рассмотрим процесс возведения в степень на примере. Пусть нам необходимо возвести число 5 в 3-ю степень. На языке математики 5 — это основание, а 3 — показатель (или просто степень). И записать это можно кратко в таком виде:

Возведение в степень

А чтобы найти значение, нам будет необходимо число 5 умножить на себя 3 раза, т. е.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Соответственно, если мы хотим найти значение числа 7 в 5 степени, мы должны число 7 умножить на себя 5 раз, т. е. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Другое дело когда требуется возвести число в отрицательную степень.

Как возводить в отрицательную степень.

При возведении в отрицательную степень необходимо использовать простое правило:

как возводить в отрицательную степень

Все очень просто — при возведении в отрицательную степень мы должны поделить единицу на основание в степени без знака минус — т. е. в положительной степени. Таким образом, чтобы найти значение

какой цифрой заканчивается сумма 54 в 35 степени + 28 в 21 степени??8 да.

1) 54¹ оканчивается на 4

54² оканчивается на 6

54³ оканчивается на 4

54⁴ оканчивается на 6

Вывод чётная степень числа 54 оканчивается на 6, нечётная на 4, тогда

54³⁵ оканчивается на 4

2) 28¹ оканчивается нв 8

28² оканчивается на 4

28³ оканчивается на 2

28⁴ оканчивается на 6

и далее цикл повторяется, так как 21 = 5*4 +1, то

28²¹ оканчивается на 8

сумма 54 в степени 35 прибавить 28 в степени 21. оканчивается ( 4+8 =2) на 2

28 в степени n+2\2 в степени 2n+3 * 7 в степени n-2

• Попроси больше объяснений
• Следить
• Отметить нарушение

GrIrina 07.11.2012

Ответы и объяснения

• anmih
• главный мозг

если правильно понято мной условие, то получаем дробь:

в числителе 28 в степени n+2

в знаменателе 2 в степени 2n+3 * 7 в ст (n-2)

пользуемся свойством степеней

в числителе 4 в ст (n+2) * 7 в ст (n+2)

в знаменателе 4 в ст n * 8 * 7 в ст (n-2)

в числ 4 в ст n * 16 * 7 в ст n+2

в знам 4 в ст n * 8 * 7 в ст n-2

сокращаем (считаем степень числа 7: n+2-n+2=4)

Источники: http://calculat.ru/kalkulyator-stepenejhttp://otvet.mail.ru/question/46701177http://znanija.com/task/881464

rojaismelo.ru

Всего лишь степени двойки

И. Акулич
«Квант» №2, 2012

Давайте рассмотрим последовательность чисел, первое из которых равно 1, а каждое последующее вдвое больше: 1, 2, 4, 8, 16, … Используя показатели степени, ее можно записать в эквивалентном виде: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, … Называется она вполне ожидаемо: последовательность степеней двойки. Казалось бы, ничего выдающегося в ней нет — последовательность как последовательность, не лучше и не хуже других. Тем не менее, она обладает весьма примечательными свойствами.

Несомненно, многие читатели встречали ее в классической истории об изобретателе шахмат, который попросил у правителя в награду за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, всё время удваивая число зерен. Понятно, что суммарное их количество равно

S = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2⁶³. (1)

Но так как эта сумма неимоверно велика и во много раз превосходит годовой урожай зерновых по всему миру, вышло, что мудрец ободрал правителя как липку.¹

Однако зададимся сейчас другим вопросом: как с наименьшими затратами труда подсчитать величину S? Обладатели калькулятора (или, паче того, компьютера) вполне могут за обозримое время выполнить перемножения, а затем сложить полученные 64 числа, получив ответ: 18 446 744 073 709 551 615. А поскольку объем вычислений немалый, то и вероятность ошибки весьма велика.

Кто похитрей, могут углядеть в этой последовательности геометрическую прогрессию. Не знакомые же с этим понятием (или те, кто попросту забыл стандартную формулу суммы геометрической прогрессии) могут использовать следующие рассуждения. Давайте-ка умножим обе части равенства (1) на 2. Так как при удвоении степени двойки ее показатель увеличивается на 1, то получим

2S = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2⁶⁴. (2)

Теперь из (2) вычтем (1). В левой части, понятное дело, получится 2S – S = S. В правой же части произойдет массовое взаимное уничтожение почти всех степеней двойки — от 2¹ до 2⁶³ включительно, и останется лишь 2⁶⁴ – 2⁰ = 2⁶⁴ – 1. Итак:

S = 2⁶⁴ – 1.

Что ж, выражение заметно упростилось, и теперь, имея калькулятор, позволяющий возводить в степень, можно найти значение этой величины без малейших проблем.

А если и калькулятора нет — как быть? Перемножать в столбик 64 двойки? Еще чего не хватало! Опытный инженер или математик-прикладник, для которого главный фактор — время, сумел бы быстро оценить ответ, т.е. найти его приближенно с приемлемой точностью. Как правило, в быту (да и в большинстве естественных наук) вполне допустима погрешность в 2–3%, а если она не превосходит 1% — то это просто великолепно! Оказывается, подсчитать наши зерна с такой погрешностью можно вообще без калькулятора, и всего за несколько минут. Как? Сейчас увидите.

Итак, надо возможно точней найти произведение 64 двоек (единицу в силу ее ничтожности отбросим сразу). Разобьем их на отдельную группу из 4 двоек и еще на 6 групп по 10 двоек. Произведение двоек в отдельной группе равно 2⁴ = 16. А произведение 10 двоек в каждой из остальных групп равно 2¹⁰ = 1024 (убедитесь, кто сомневается!). Но 1024 — это около 1000, т.е. 10³. Поэтому S должно быть близко к произведению числа 16 на 6 чисел, каждое из которых равно 10³, т.е. S ≈ 16·10¹⁸ (ибо 18 = 3·6). Правда, погрешность здесь все же великовата: ведь 6 раз при замене 1024 на 1000 мы ошибались в 1,024 раза, а всего мы ошиблись, как легко видеть, в 1,024⁶ раз. Так что теперь — дополнительно перемножать 1,024 шесть раз само на себя? Нет уж, обойдемся! Известно, что для числа х, которое во много раз меньше 1, с высокой точностью справедлива следующая приближенная формула: (1 + x)ⁿ ≈ 1 + xn.

Поэтому 1,024⁶ = (1 + 0,24)⁶ ≈ 1 + 0,24·6 = 1,144. Посему надо найденное нами число 16·10¹⁸ умножить на число 1,144, в результате чего получится 18 304 000 000 000 000 000, а это отличается от правильного ответа менее чем на 1%. Чего мы и добивались!

В данном случае нам крупно повезло: одна из степеней двойки (а именно — десятая) оказалась весьма близка к одной из степеней десятки (а именно — третьей). Это позволяет нам быстро оценивать значение любой степени двойки, не обязательно 64-й. Среди степеней других чисел подобное встречается нечасто. Например, 5¹⁰ отличается от 10⁷ также в 1,024 раза, но… в меньшую сторону.² Впрочем, это того же поля ягода: поскольку 2¹⁰·5¹⁰ = 10¹⁰, то во сколько раз 2¹⁰превосходит 10³, во столько же раз 5¹⁰меньше, чем 10⁷.

Другая интересная особенность рассматриваемой последовательности заключается в том, что любое натуральное число можно построить из различных степеней двойки, причем единственным способом. Например, для номера текущего года имеем

2012 = 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰.

Доказать эти возможность и единственность не составляет особого труда. Начнем с возможности. Пусть нам надо представить в виде суммы различных степеней двойки некоторое натуральное число N. Сначала запишем его в виде суммы N единиц. Так как единица — это 2⁰, то первоначально N есть сумма одинаковых степеней двойки. Затем начнем объединять их по парам. Сумма двух чисел, равных 2⁰, — это 2¹, так что в результате получится заведомо меньшее количество слагаемых, равных 2¹, и, возможно, одно число 2⁰, если ему не нашлось пары. Далее попарно объединяем одинаковые слагаемые 2¹, получая еще меньшее количество чисел 2² (здесь тоже возможно появление непарной степени двойки 2¹). Затем снова объединяем равные слагаемые попарно, и так далее. Рано или поздно процесс завершится, ибо количество одинаковых степеней двойки после каждого объединения уменьшается. Когда оно станет равным 1 — дело кончено. Осталось сложить все получившиеся непарные степени двойки — и представление готово.

Что касается доказательства единственности представления, то здесь хорошо подходит метод «от противного». Пусть одно и то же число N удалось представить в виде двух наборов различных степеней двойки, которые не полностью совпадают (т. е. имеются степени двойки, входящие в один набор, но не входящие в другой, и наоборот). Для начала отбросим все совпадающие степени двойки из обоих наборов (если таковые имеются). Получатся два представления одного и того же числа (меньшего или равного N) в виде суммы различных степеней двойки, причем все степени в представлениях различны. В каждом из представлений выделим наибольшую степень. В силу изложенного выше, для двух представлений эти степени различны. То представление, для которого эта степень больше, назовем первым, другое — вторым. Итак, пусть в первом представлении наибольшая степень равна 2^m, тогда во втором она, очевидно, не превышает 2^m–1. Но поскольку (и мы с этим уже сталкивались выше, подсчитывая зерна на шахматной доске) справедливо равенство

2^m = (2^m–1 + 2^m–2 + … + 2⁰) + 1,

то 2^m строго больше суммы всех степеней двойки, не превосходящих 2^m–1. По этой причине уже наибольшая степень двойки, входящая в первое представление, наверняка больше суммы всех степеней двойки, входящих во второе представление. Противоречие!

Фактически мы только что обосновали возможность записи чисел в двоичной системе счисления. Как известно, в ней используются лишь две цифры — ноль и единица, и каждое натуральное число записывается в двоичной системе единственным способом (например, упомянутое выше 2012 — как 11 111 011 100). Если пронумеровать разряды (двоичные цифры) справа налево, начиная с нуля, то номера тех разрядов, в которых стоят единицы, как раз и будут показателями степеней двоек, входящих в представление.³

Менее известно следующее свойство множества целых неотрицательных степеней двойки. Давайте некоторым из них произвольным образом присвоим знак «минус», т. е. из положительных сделаем отрицательными. Единственное требование — чтобы в результате и положительных, и отрицательных чисел оказалось бесконечное количество. Например, можно присвоить знак «минус» каждой пятой степени двойки или, допустим, оставить положительными только числа 2¹⁰, 2¹⁰⁰, 2¹⁰⁰⁰, и так далее — вариантов здесь сколько угодно.

Как ни удивительно, но любое целое число можно (и притом единственным способом) представить в виде суммы различных слагаемых нашей «положительно-отрицательной» последовательности.⁴ И доказать это не очень-то сложно (например, индукцией по показателям степеней двоек). Главная идея доказательства — наличие сколь угодно больших по абсолютной величине как положительных, так и отрицательных слагаемых. Попробуйте выполнить доказательство сами.

Интересно понаблюдать за последними цифрами членов последовательности степеней двойки. Так как каждое последующее число последовательности получается удвоением предыдущего, то последняя цифра каждого из них полностью определяется последней цифрой предыдущего числа. А так как различных цифр ограниченное количество, последовательность последних цифр степеней двойки просто обязана быть периодической! Длина периода, естественно, не превышает 10 (поскольку именно столько цифр мы используем), но это сильно завышенное значение. Попробуем оценить его, не выписывая пока саму последовательность. Ясно, что последние цифры всех степеней двойки, начиная с 2¹, четные. Кроме того, среди них не может быть нуля — потому что число, оканчивающееся нулем, делится на 5, в чем заподозрить степени двойки никак нельзя. А так как четных цифр без нуля имеется всего четыре, то и длина периода не превосходит 4.

Проверка показывает, что так оно и есть, причем периодичность проявляется почти сразу: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … — в полном соответствии с теорией!

Не менее успешно можно оценить и длину периода последней пары цифр последовательности степеней двойки. Так как все степени двойки, начиная с 2², делятся на 4, то и числа, образованные их последними двумя цифрами, делятся на 4. Не более чем двузначных чисел, делящихся на 4, имеется всего 25 (для однозначных чисел предпоследней цифрой считаем ноль), но из них надо выбросить пять чисел, оканчивающихся нулем: 00, 20, 40, 60 и 80. Так что период может содержать не более 25 – 5 = 20 чисел. Проверка показывает, что так и есть, начинается период с числа 2² и содержит пары цифр: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, а затем опять 04 и так далее.

Аналогично можно доказать, что длина периода последних m цифр последовательности степеней двойки не превышает 4·5^m–1 (более того — на самом деле она равна 4·5^m–1, но доказать это значительно сложнее).

Итак, на последние цифры степеней двойки наложены довольно жесткие ограничения. А как насчет первых цифр? Здесь ситуация практически противоположная. Оказывается, для любого набора цифр (первая из которых — не ноль) найдется степень двойки, начинающаяся с этого набора цифр. И таких степеней двойки бесконечно много! Например, существует бесконечное количество степеней двойки, начинающихся с цифр 2012 или, скажем, 3 333 333 333 333 333 333 333.

А если рассмотреть только одну самую первую цифру различных степеней двойки — какие значения она может принимать? Нетрудно убедиться, что любые — от 1 до 9 включительно (нуля среди них, естественно, нет). Но какие из них встречаются чаще, а какие реже? Как-то сразу не видно причин, по которым одна цифра должна встречаться чаще другой. Однако более глубокие размышления показывают, что как раз равной встречаемости цифр ожидать не приходится. Действительно, если первая цифра какой-либо степени двойки есть 5, 6, 7, 8 или 9, то первая цифра следующей за ней степени двойки будет обязательно единицей! Поэтому должен иметь место «перекос», по крайней мере, в сторону единицы. Следовательно, вряд ли и остальные цифры будут «равнопредставленными».

Практика (а именно — прямой компьютерный расчет для первых нескольких десятков тысяч степеней двойки) подтверждает наши подозрения. Вот какова относительная доля первых цифр степеней двойки с округлением до 4 знаков после запятой:

1 — 0,3010
2 — 0,1761
3 — 0,1249
4 — 0,0969
5 — 0,0792
6 — 0,0669
7 — 0,0580
8 — 0,0512
9 — 0,0458

Как видим, с ростом цифр эта величина убывает (и потому та же единица примерно в 6,5 раз чаще бывает первой цифрой степеней двойки, чем девятка). Как ни покажется странным, но практически такое же соотношение количеств первых цифр будет иметь место почти для любой последовательности степеней — не только двойки, но, скажем, и тройки, пятерки, восьмерки и вообще почти любого числа, в том числе и нецелого (исключение составляют лишь некоторые «особые» числа). Причины этого весьма глубоки и непросты, и для их уяснения надо знать логарифмы. Для тех, кто с ними знаком, приоткроем завесу: оказывается, относительная доля степеней двойки ⁵, десятичная запись которых начинается с цифры F (для F = 1, 2, …, 9), составляет lg (F + 1) – lg (F), где lg — так называемый десятичный логарифм, равный показателю степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.⁶

Используя упомянутую выше связь между степенями двойки и пятерки, А. Канель обнаружил интересное явление. Давайте из последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, …) выберем несколько цифр подряд и запишем их в обратном порядке. Оказывается, эти цифры непременно встретятся тоже подряд, начиная с некоторого места, в последовательности первых цифр степеней пятерки.⁷

Степени двойки также являются своеобразным «генератором» для производства широко известных совершенных чисел, которые равны сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. Например, у числа 6 четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Отбросим тот, который равен самому числу 6. Осталось три делителя, сумма которых как раз равна 1 + 2 + 3 = 6. Поэтому 6 — совершенное число.

Для получения совершенного числа возьмем две последовательные степени двойки: 2^n–1 и 2ⁿ. Уменьшим большую из них на 1, получим 2ⁿ – 1. Оказывается, если это — простое число, то, домножив его на предыдущую степень двойки, мы образуем совершенное число 2^n–1 (2ⁿ – 1). Например, при п = 3 получаем исходные числа 4 и 8. Так как 8 – 1 = 7 — простое число, то 4·7 = 28 — совершенное число.⁸ Более того — в свое время Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют именно такой вид. Нечетные совершенные числа пока не обнаружены (и мало кто верит в их существование).

Тесную связь имеют степени двойки с так называемыми числами Каталана, последовательность которых имеет вид 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429… Они часто возникают при решении различных комбинаторных задач. Например, сколькими способами можно разбить выпуклый n-угольник на треугольники непересекающимися диагоналями? Всё тот же Эйлер выяснил, что это значение равно (n – 1)-му числу Каталана (обозначим его K_n–1), и он же выяснил, что K_n = K_n–1·(4n – 6)/n. Последовательность чисел Каталана имеет множество любопытных свойств, и одно из них (как раз связанное с темой этой статьи) заключается в том, что порядковые номера всех нечетных чисел Каталана являются степенями двойки!

Степени двойки нередко встречаются в различных задачах, причем не только в условиях, но и в ответах. Возьмем, например, популярную когда-то (да и поныне не забытую) Ханойскую башню. Так называлась игра-головоломка, придуманная в XIX веке французским математиком Э. Люка. Она содержит три стержня, на один из которых надето n дисков с отверстием в середине каждого. Диаметры всех дисков различны, и они расположены в порядке убывания снизу вверх, т. е. самый большой диск — внизу (см. рисунок). Получилась как бы башня из дисков.

Требуется перенести эту башню на другой стержень, соблюдая такие правила: перекладывать диски строго по одному (снимая верхний диск с любого стержня) и всегда класть только меньший диск на больший, но не наоборот. Спрашивается: какое наименьшее число ходов для этого потребуется? (Ходом мы называем снятие диска с одного стержня и надевание его на другой.) Ответ: оно равно 2ⁿ – 1, что легко доказывается по индукции.

Пусть для n дисков потребное наименьшее число ходов равно X_n. Найдем X_n+1. В процессе работы рано или поздно придется снимать самый большой диск со стержня, на который первоначально были надеты все диски. Так как этот диск можно надевать только на пустой стержень (иначе он «придавит» меньший диск, что запрещено), то все верхние n дисков придется предварительно перенести на третий стержень. Для этого потребуется не меньше X_n ходов. Далее переносим наибольший диск на пустой стержень — вот еще один ход. Наконец, чтобы сверху его «притиснуть» меньшими n дисками, опять потребуется не меньше X_n ходов. Итак, X_n+1 ≥ X_n + 1 + X_n = 2X_n + 1. С другой стороны, описанные выше действия показывают, как можно справиться с задачей именно 2X_n + 1 ходами. Поэтому окончательно X_n+1 =2X_n + 1. Получено рекуррентное соотношение, но для того чтобы его привести к «нормальному» виду, надо еще найти X₁. Ну, это проще простого: X₁ = 1 (меньше просто не бывает!). Не составляет труда, основываясь на этих данных, выяснить, что X_n = 2ⁿ – 1.

Вот еще одна интересная задача:

Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел.

Давайте проверим сначала наименьшие числа. Ясно, что число 1 в указанном виде непредставимо. Зато все нечетные, которые больше 1, представить, конечно, можно. В самом деле, любое нечетное число, большее 1, можно записать как 2k + 1 (k — натуральное), что есть сумма двух последовательных натуральных чисел: 2k + 1 = k + (k + 1).

А как обстоят дела с четными числами? Легко убедиться, что числа 2 и 4 нельзя представить в требуемом виде. Может, и для всех четных чисел так? Увы, следующее же четное число опровергает наше предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Зато число 8 опять не поддается. Правда, следующие числа вновь уступают натиску: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, а вот 16 — вновь непредставимо.

Что ж, накопленная информация позволяет сделать предварительные выводы. Обратите внимание: не удалось представить в указанном виде только степени двойки. Верно ли это для остальных чисел? Оказывается, да! В самом деле, рассмотрим сумму всех натуральных чисел от m до n включительно. Так как всего их, по условию, не меньше двух, то n > m. Как известно, сумма последовательных членов арифметической прогрессии (а ведь именно с ней мы имеем дело!) равна произведению полусуммы первого и последнего членов на их количество. Полусумма равна (n + m)/2, а количество чисел равно n – m + 1. Поэтому сумма равна (n + m)(n – m + 1)/2. Заметим, что в числителе находятся два сомножителя, каждый из которых строго больше 1, и при этом четность их — различна. Выходит, что сумма всех натуральных чисел от m до n включительно делится на нечетное число, большее 1, и потому не может быть степенью двойки. Так что теперь понятно, почему не удалось представить степени двойки в нужном виде.

Осталось убедиться, что не степени двойки представить можно. Что касается нечетных чисел, то с ними мы уже разобрались выше. Возьмем какое-либо четное число, не являющееся степенью двойки. Пусть наибольшая степень двойки, на которую оно делится, это 2^a (a — натуральное). Тогда если число поделить на 2^a, получится уже нечетное число, большее 1, которое мы запишем в знакомом виде — как 2k + 1 (k — тоже натуральное). Значит, в целом наше четное число, не являющееся степенью двойки, равно 2^a (2k + 1). А теперь рассмотрим два варианта:

1. 2^a+1 > 2k + 1. Возьмем сумму 2k + 1 последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно 2^a. Легко видеть, что тогда наименьшее из них равно 2^a – k, а наибольшее равно 2^a + k, причем наименьшее (и, значит, все остальные) — положительное, т. е. действительно натуральное. Ну, а сумма, очевидно, составляет как раз 2^a(2k + 1).
2. 2^a+1 < 2k + 1. Возьмем сумму 2^a+1 последовательных натуральных чисел. Здесь нельзя указать среднее число, ибо количество чисел четное, но указать пару средних чисел можно: пусть это числа k и k + 1. Тогда наименьшее из всех чисел равно k + 1 – 2^a (и тоже положительное!), а наибольшее равно k + 2^a. Сумма их тоже равна 2^a(2k + 1).

Вот и всё. Итак, ответ: непредставимые числа — это степени двойки, и только они.

А вот еще одна задача (впервые ее предложил В. Произволов, но в несколько иной формулировке):

Садовый участок окружен сплошным забором из N досок. Согласно приказу тети Полли Том Сойер белит забор, но по собственной системе: продвигаясь всё время по часовой стрелке, сначала белит произвольную доску, затем пропускает одну доску и белит следующую, затем пропускает две доски и белит следующую, затем пропускает три доски и белит следующую, и так далее, каждый раз пропуская на одну доску больше (при этом некоторые доски могут быть побелены несколько раз — Тома это не смущает).

Том считает, что при такой схеме рано или поздно все доски будут побелены, а тетя Полли уверена, что хотя бы одна доска останется непобеленной, сколько бы Том ни работал. При каких N прав Том, а при каких — тетя Полли?

Описанная система побелки представляется довольно хаотичной, поэтому первоначально может показаться, что для любого (или почти любого) N каждой доске когда-нибудь достанется своя доля известки, т. е., в основном, прав Том. Но первое впечатление обманчиво, потому что на самом деле Том прав только для значений N, являющихся степенями двойки. Для остальных N найдется доска, которая так и останется навеки непобеленной. Доказательство этого факта довольно громоздко (хотя, в принципе, несложно). Предлагаем читателю выполнить его самому.

Вот каковы они — степени двойки. С виду — проще простого, а как копнешь… И затронули мы здесь далеко не все удивительные и загадочные свойства этой последовательности, а лишь те, что бросились в глаза. Ну, а читателю предоставляется право самостоятельно продолжить исследования в этой области. Несомненно, они окажутся плодотворными.

---

¹ Впрочем, действительно ли правитель согласился выплатить требуемое, история умалчивает. Более вероятно, что для мудреца все закончилось длительным тюремным заключением по статье «за наглость».
² Для любопытных вот еще одно хорошее совпадение: 6⁹ = 10 077 696, в котором относительное расхождение с ближайшей степенью десятки всего около 0,8%, что примерно втрое меньше, чем для 2¹⁰.
³ Повсеместно используемая десятичная система устроена по такому же принципу. Только вместо степеней двойки используются степени десятки (потому она так и называется), а цифры в записи показывают, в каком количестве очередную степень десятки надо прибавлять.
⁴ При этом число 0 (ноль) представляется как полное отсутствие слагаемых (т.е., формально говоря, нулевое их количество).
⁵ И не только двойки, как было отмечено ранее!
⁶ Жаждущие подробностей могут прочесть статью В. Болтянского «Часто ли степени двойки начинаются с единицы?» («Квант» №5 за 1978 г.), а также статью В. Арнольда «Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира» («Квант» №1 за 1998 г.).
⁷ См. задачу М1599 из «Задачника «Кванта» («Квант» №6 за 1997 г.).
⁸ В настоящее время известны 43 совершенных числа, наибольшее из которых равно 2^30402456(2^30402457 – 1). Оно содержит свыше 18 миллионов цифр.

elementy.ru

Отрицательные степени двойки

2^-1	0.5
2^-2	0.25
2^-3	0.125
2^-4	0.0625
2^-5	0.03125
2^-6	0.015625
2^-7	0.0078125
2^-8	0.00390625
2^-9	0.001953125
2^-10	0.0009765625
2^-11	0.00048828125
2^-12	0.000244140625
2^-13	0.0001220703125
2^-14	0.00006103515625
2^-15	0.000030517578125
2^-16	0.0000152587890625
2^-17	0.00000762939453125
2^-18	0.000003814697265625
2^-19	0.0000019073486328125
2^-20	0.00000095367431640625
2^-21	0.000000476837158203125
2^-22	0.0000002384185791015625
2^-23	0.00000011920928955078125
2^-24	0.000000059604644775390625
2^-25	0.0000000298023223876953125
2^-26	0.00000001490116119384765625
2^-27	0.000000007450580596923828125
2^-28	0.0000000037252902984619140625
2^-29	0.00000000186264514923095703125
2^-30	0.000000000931322574615478515625
2^-31	0.0000000004656612873077392578125
2^-32	0.00000000023283064365386962890625
2^-33	0.000000000116415321826934814453125
2^-34	0.0000000000582076609134674072265625
2^-35	0.00000000002910383045673370361328125
2^-36	0.000000000014551915228366851806640625
2^-37	0.0000000000072759576141834259033203125
2^-38	0.00000000000363797880709171295166015625
2^-39	0.000000000001818989403545856475830078125
2^-40	0.0000000000009094947017729282379150390625
2^-41	0.00000000000045474735088646411895751953125
2^-42	0.000000000000227373675443232059478759765625
2^-43	0.0000000000001136868377216160297393798828125
2^-44	0.00000000000005684341886080801486968994140625
2^-45	0.000000000000028421709430404007434844970703125
2^-46	0.0000000000000142108547152020037174224853515625
2^-47	0.00000000000000710542735760100185871124267578125
2^-48	0.000000000000003552713678800500929355621337890625
2^-49	0.0000000000000017763568394002504646778106689453125
2^-50	0.00000000000000088817841970012523233890533447265625
2^-51	0.000000000000000444089209850062616169452667236328125
2^-52	0.0000000000000002220446049250313080847263336181640625
2^-53	0.00000000000000011102230246251565404236316680908203125
2^-54	0.000000000000000055511151231257827021181583404541015625
2^-55	0.0000000000000000277555756156289135105907917022705078125
2^-56	0.00000000000000001387778780781445675529539585113525390625
2^-57	0.000000000000000006938893903907228377647697925567626953125
2^-58	0.0000000000000000034694469519536141888238489627838134765625
2^-59	0.00000000000000000173472347597680709441192448139190673828125
2^-60	0.000000000000000000867361737988403547205962240695953369140625
2^-61	0.0000000000000000004336808689942017736029811203479766845703125
2^-62	0.00000000000000000021684043449710088680149056017398834228515625
2^-63	0.000000000000000000108420217248550443400745280086994171142578125
2^-64	0.0000000000000000000542101086242752217003726400434970855712890625
2^-65	0.00000000000000000002710505431213761085018632002174854278564453125
2^-66	0.000000000000000000013552527156068805425093160010874271392822265625
2^-67	0.0000000000000000000067762635780344027125465800054371356964111328125
2^-68	0.00000000000000000000338813178901720135627329000271856784820556640625
2^-69	0.000000000000000000001694065894508600678136645001359283924102783203125
2^-70	0.0000000000000000000008470329472543003390683225006796419620513916015625
2^-71	0.00000000000000000000042351647362715016953416125033982098102569580078125
2^-72	0.000000000000000000000211758236813575084767080625169910490512847900390625
2^-73	0.0000000000000000000001058791184067875423835403125849552452564239501953125
2^-74	0.00000000000000000000005293955920339377119177015629247762262821197509765625
2^-75	0.000000000000000000000026469779601696885595885078146238811314105987548828125
2^-76	0.0000000000000000000000132348898008484427979425390731194056570529937744140625
2^-77	0.00000000000000000000000661744490042422139897126953655970282852649688720703125
2^-78	0.000000000000000000000003308722450212110699485634768279851414263248443603515625
2^-79	0.0000000000000000000000016543612251060553497428173841399257071316242218017578125
2^-80	0.00000000000000000000000082718061255302767487140869206996285356581211090087890625
2^-81	0.000000000000000000000000413590306276513837435704346034981426782906055450439453125
2^-82	0.0000000000000000000000002067951531382569187178521730174907133914530277252197265625
2^-83	0.00000000000000000000000010339757656912845935892608650874535669572651386260986328125
2^-84	0.000000000000000000000000051698788284564229679463043254372678347863256931304931640625
2^-85	0.0000000000000000000000000258493941422821148397315216271863391739316284656524658203125
2^-86	0.00000000000000000000000001292469707114105741986576081359316958696581423282623291015625
2^-87	0.000000000000000000000000006462348535570528709932880406796584793482907116413116455078125
2^-88	0.0000000000000000000000000032311742677852643549664402033982923967414535582065582275390625
2^-89	0.00000000000000000000000000161558713389263217748322010169914619837072677910327911376953125
2^-90	0.000000000000000000000000000807793566946316088741610050849573099185363389551639556884765625
2^-91	0.0000000000000000000000000004038967834731580443708050254247865495926816947758197784423828125
2^-92	0.00000000000000000000000000020194839173657902218540251271239327479634084738790988922119140625
2^-93	0.000000000000000000000000000100974195868289511092701256356196637398170423693954944610595703125
2^-94	0.0000000000000000000000000000504870979341447555463506281780983186990852118469774723052978515625
2^-95	0.00000000000000000000000000002524354896707237777317531408904915934954260592348873615264892578125
2^-96	0.000000000000000000000000000012621774483536188886587657044524579674771302961744368076324462890625
2^-97	0.0000000000000000000000000000063108872417680944432938285222622898373856514808721840381622314453125
2^-98	0.00000000000000000000000000000315544362088404722164691426113114491869282574043609201908111572265625
2^-99	0.000000000000000000000000000001577721810442023610823457130565572459346412870218046009540557861328125
2^-100	0.0000000000000000000000000000007888609052210118054117285652827862296732064351090230047702789306640625
2^-101	0.00000000000000000000000000000039443045261050590270586428264139311483660321755451150238513946533203125
2^-102	0.000000000000000000000000000000197215226305252951352932141320696557418301608777255751192569732666015625
2^-103	0.0000000000000000000000000000000986076131526264756764660706603482787091508043886278755962848663330078125
2^-104	0.00000000000000000000000000000004930380657631323783823303533017413935457540219431393779814243316650390625
2^-105	0.000000000000000000000000000000024651903288156618919116517665087069677287701097156968899071216583251953125
2^-106	0.0000000000000000000000000000000123259516440783094595582588325435348386438505485784844495356082916259765625
2^-107	0.00000000000000000000000000000000616297582203915472977912941627176741932192527428924222476780414581298828125
2^-108	0.000000000000000000000000000000003081487911019577364889564708135883709660962637144621112383902072906494140625
2^-109	0.0000000000000000000000000000000015407439555097886824447823540679418548304813185723105561919510364532470703125
2^-110	0.00000000000000000000000000000000077037197775489434122239117703397092741524065928615527809597551822662353515625
2^-111	0.000000000000000000000000000000000385185988877447170611195588516985463707620329643077639047987759113311767578125
2^-112	0.0000000000000000000000000000000001925929944387235853055977942584927318538101648215388195239938795566558837890625
2^-113	0.00000000000000000000000000000000009629649721936179265279889712924636592690508241076940976199693977832794189453125
2^-114	0.000000000000000000000000000000000048148248609680896326399448564623182963452541205384704880998469889163970947265625
2^-115	0.0000000000000000000000000000000000240741243048404481631997242823115914817262706026923524404992349445819854736328125
2^-116	0.00000000000000000000000000000000001203706215242022408159986214115579574086313530134617622024961747229099273681640625
2^-117	0.000000000000000000000000000000000006018531076210112040799931070577897870431567650673088110124808736145496368408203125
2^-118	0.0000000000000000000000000000000000030092655381050560203999655352889489352157838253365440550624043680727481842041015625
2^-119	0.00000000000000000000000000000000000150463276905252801019998276764447446760789191266827202753120218403637409210205078125
2^-120	0.000000000000000000000000000000000000752316384526264005099991383822237233803945956334136013765601092018187046051025390625
2^-121	0.0000000000000000000000000000000000003761581922631320025499956919111186169019729781670680068828005460090935230255126953125
2^-122	0.00000000000000000000000000000000000018807909613156600127499784595555930845098648908353400344140027300454676151275634765625
2^-123	0.000000000000000000000000000000000000094039548065783000637498922977779654225493244541767001720700136502273380756378173828125
2^-124	0.0000000000000000000000000000000000000470197740328915003187494614888898271127466222708835008603500682511366903781890869140625
2^-125	0.00000000000000000000000000000000000002350988701644575015937473074444491355637331113544175043017503412556834518909454345703125
2^-126	0.000000000000000000000000000000000000011754943508222875079687365372222456778186655567720875215087517062784172594547271728515625
2^-127	0.0000000000000000000000000000000000000058774717541114375398436826861112283890933277838604376075437585313920862972736358642578125
2^-128	0.00000000000000000000000000000000000000293873587705571876992184134305561419454666389193021880377187926569604314863681793212890625
2^-129	0.000000000000000000000000000000000000001469367938527859384960920671527807097273331945965109401885939632848021574318408966064453125
2^-130	0.0000000000000000000000000000000000000007346839692639296924804603357639035486366659729825547009429698164240107871592044830322265625
2^-131	0.00000000000000000000000000000000000000036734198463196484624023016788195177431833298649127735047148490821200539357960224151611328125
2^-132	0.000000000000000000000000000000000000000183670992315982423120115083940975887159166493245638675235742454106002696789801120758056640625
2^-133	0.0000000000000000000000000000000000000000918354961579912115600575419704879435795832466228193376178712270530013483949005603790283203125
2^-134	0.00000000000000000000000000000000000000004591774807899560578002877098524397178979162331140966880893561352650067419745028018951416015625
2^-135	0.000000000000000000000000000000000000000022958874039497802890014385492621985894895811655704834404467806763250337098725140094757080078125
2^-136	0.0000000000000000000000000000000000000000114794370197489014450071927463109929474479058278524172022339033816251685493625700473785400390625
2^-137	0.00000000000000000000000000000000000000000573971850987445072250359637315549647372395291392620860111695169081258427468128502368927001953125
2^-138	0.000000000000000000000000000000000000000002869859254937225361251798186577748236861976456963104300558475845406292137340642511844635009765625
2^-139	0.0000000000000000000000000000000000000000014349296274686126806258990932888741184309882284815521502792379227031460686703212559223175048828125
2^-140	0.00000000000000000000000000000000000000000071746481373430634031294954664443705921549411424077607513961896135157303433516062796115875244140625
2^-141	0.000000000000000000000000000000000000000000358732406867153170156474773322218529607747057120388037569809480675786517167580313980579376220703125
2^-142	0.0000000000000000000000000000000000000000001793662034335765850782373866611092648038735285601940187849047403378932585837901569902896881103515625
2^-143	0.00000000000000000000000000000000000000000008968310171678829253911869333055463240193676428009700939245237016894662929189507849514484405517578125
2^-144	0.000000000000000000000000000000000000000000044841550858394146269559346665277316200968382140048504696226185084473314645947539247572422027587890625
2^-145	0.0000000000000000000000000000000000000000000224207754291970731347796733326386581004841910700242523481130925422366573229737696237862110137939453125
2^-146	0.00000000000000000000000000000000000000000001121038771459853656738983666631932905024209553501212617405654627111832866148688481189310550689697265625
2^-147	0.000000000000000000000000000000000000000000005605193857299268283694918333159664525121047767506063087028273135559164330743442405946552753448486328125
2^-148	0.0000000000000000000000000000000000000000000028025969286496341418474591665798322625605238837530315435141365677795821653717212029732763767242431640625
2^-149	0.00000000000000000000000000000000000000000000140129846432481707092372958328991613128026194187651577175706828388979108268586060148663818836212158203125

floatingpoint.ru

Иррациональные неравенства. Часть 2

13 июня 2013

В этом видеоуроке мы продолжаем разбирать иррациональные неравенства вида . Благодаря прошлому уроку мы знаем, что нельзя просто взять и возвести его обе стороны в квадрат, потому что мы рискуем потерять большой кусок решения. Поэтому предлагаю еще раз записать общую формулу, по которой решаются все подобные задачи:

Erroneous nesting of equation structures

\begin{align}& \left\{ \begin{align}& g\ge 0 \\& f\rangle {{g}^{2}} \\\end{align} \right. \\& \left\{ \begin{align}& g\langle 0 \\& f\ge 0 \\\end{align} \right. \\\end{align}

Вот такая совокупность из двух выражений. Теперь с помощью этой формулы попробуем посчитать:

x+−x2+8x−12−−−−−−−−−−−√⟩4×2+8x−12−−−−−−−−−−√⟩4−x

\begin{align}& x+\sqrt{-{{x}^{2}}+8x-12}\rangle 4 \\& \sqrt{{{x}^{2}}+8x-12}\rangle 4-x \\\end{align}

Предлагаю сначала рассмотреть первую иррациональную конструкцию, когда правая часть больше или равна нулю:

{4−x≥0−x2+8x−12⟩(4−x)2

\left\{ \begin{align}& 4-x\ge 0 \\& -{{x}^{2}}+8x-12\rangle {{(4-x)}^{2}} \\\end{align} \right.

Первое решается просто:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

4\text{ }-\text{ }\text{ }\ge \text{ }0 \\-\text{ }\ge \text{ }-4 \\\text{ }\le \text{ }4 \\\end{array}\]

Со вторым все чуть сложнее:

−x2+8x−12>16−2×2+16x−28>0|:2(−2)x2−8x+14<0

\begin{align}& -{{x}^{2}}+8x-12>16 \\& -2{{x}^{2}}+16x-28>0|:2(-2) \\& {{x}^{2}}-8x+14<0 \\\end{align}

Теперь найдем иксы:

D = 64 − 4 ⋅ 14 = 64 − 56 = 8D−−√=8√=4⋅2−−−√=22√

\begin{align}& D\text{ }=\text{ }64\text{ }-\text{ }4\text{ }\cdot \text{ }14\text{ }=\text{ }64\text{ }-\text{ }56\text{ }=\text{ }8 \\& \sqrt{D}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2} \\\end{align}

Давайте найдем иксы:

x1=8+22√2=4+2√x2=4−2√

\begin{align}& {{x}_{1}}=\frac{8+2\sqrt{2}}{2}=4+\sqrt{2} \\& {{x}_{2}}=4-\sqrt{2} \\\end{align}

Мы получили два числа, отмечаем их на прямой. Поскольку неравенство строгое, точки выколотые:

Смотрим знаки. Для этого подставим любое число, больше наших корней. Справа стоит «плюс», далее везде «плюс» и «минус» меняются, поскольку нигде нет корней четной кратности. Поскольку нам нужно найти «меньше», поэтому нас интересует интервал «минус». Осталось пересечь его решением второго неравенства. Для этого отметим наше множество на параллельных прямых:

Пересекаем и видим, что единственное, что нас устраивает — это

x∈(4−2√;4]

x\in (4-\sqrt{2};4]

Переходим ко второй части нашей совокупности. Теперь мы будем требовать, чтобы правая была меньше нуля, а подкоренное выражение больше или равно нулю, т. е.:

{4−x⟨0−x2+8x−12≥0

\left\{ \begin{align}& 4-x\langle 0 \\& -{{x}^{2}}+8x-12\ge 0 \\\end{align} \right.

Вот наша вторая система. Решаем ее.
Первое неравенство иррациональной системы решается очень легко:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

4\text{ }-\text{ }\text{ }<\text{ }0 \\-\text{ }<\text{ }-4 \\\text{ }>\text{ }4 \\\end{array}\]

Посчитаем второе:

−x2+8x−12≥0|:(−1)x2−8x+12≤0

\begin{align}& -{{x}^{2}}+8x-12\ge 0|:(-1) \\& {{x}^{2}}-8x+12\le 0 \\\end{align}

Решаем это уравнение нашей иррациональной конструкции, используя формулыВиета:

(x−6)(x−2)≤0x1=6×2=2

\begin{align}& (x-6)(x-2)\le 0 \\& {{x}^{1}}=6 \\& {{x}^{2}}=2 \\\end{align}

Отмечаем эти числа на прямой:

Берем 1 млрд. и подставляем в нашу конструкцию, чтобы определить знаки. Первый из них будет «плюс», далее они меняются, потому что корней четно кратности нет. Нас интересует то, что меньше 0, т. е. там, где стоит «минус».
Теперь предлагаю пересечь решение нашего неравенства с результатами второго, начертив параллельные прямые:

Единственный отрезок, заштрихованный на обеих прямых — это от четырех до шести до 6. Вот мы и получили ответ ко второй системе из нашей иррациональной совокупности:

∈(4; 6]

\text{ }\in \left( 4;\text{ }6 \right]

И вот мы уже очень близки к ответу. Осталось объединить интервалы, которые мы нашли. Отметим найденные точки на прямой:

От нас требуется объединить эти отрезки. Получаем:

Обратите внимание, мы именно объединили эти отрезки, а не пересекли, потому что в случае пересечения у нас бы получилось пустое множество, а не интервал.

Это ответ. Задача решена.

Ключевые моменты

В предыдущем уроке (см. урок «Иррациональные неравенства. Часть 1» мы рассмотрели самый простой тип иррациональных неравенств — когда корень меньше функции. Но и там на выходе получилась система, которую надо аккуратно решать.

Сегодня мы рассмотрели более жесткий тип иррациональных неравенств, когда корень больше функции. При решении таких неравенств возникает уже две системы, решения которых надо объединить (не пересечь, а именно объединить!), чтобы получился окончательный ответ.

Поскольку на иррациональных неравенствах такого вида регулярно «обламываются» даже весьма подготовленные ученики (каюсь — сам завалил контрольную в 10-м классе), предлагаю вашему вниманию сразу два видеоурока, в которых разобран буквально каждый шаг решения. Чтобы при одном виде таких неравенств в вашей голове проскакивала мысль: «Нельзя возводить в квадрат! Тут что-то еще!»

Вот первый урок:

Смотрите также:

1. Нестандартные иррациональные неравенства
2. Иррациональные неравенства. Часть 1
3. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
4. Правила вычисления производных
5. Тест: простейшие показательные уравнения (1 вариант)
6. Как решать простейшие логарифмические уравнения

www.berdov.com

Иррациональные неравенства

Стандартное иррациональное неравенство (\(\lor\) — один из знаков \(\geqslant,>,\leqslant,<\)):

\[{\Large{I. \ \sqrt{f(x)}\lor a}},\quad a\ -\ \text{число.}\] Для того, чтобы решить данное неравенство, нужно посмотреть на знак числа \(a\), на знак неравенства, а также помнить, что \(\sqrt{f(x)}\) всегда неотрицателен и \(f(x)\geqslant 0\). Если обе части неравенства неотрицательны, то можно возводить их в квадрат.

Например:

1) \(\sqrt{f(x)}\geqslant 5\). Корень из числа будет \(\geqslant 5\) тогда и только тогда, когда само число \(\geqslant 25\). В этом случае ОДЗ (\(f(x)\geqslant 0\)) учитывается автоматически, следовательно, данное неравенство равносильно неравенству
\(f(x)\geqslant 25\).

2) \(\sqrt{f(x)}>-2\). Т.к. по определению квадратного корня \(\sqrt{f(x)}\geqslant 0\) всегда, то данное неравенство выполняется при всех \(x\), при которых выполнено ОДЗ. Значит, решением данного неравенства является только ОДЗ: \(f(x)\geqslant 0\).

3) \(\sqrt{f(x)}<-2\). Т.к. по определению квадратного корня \(\sqrt{f(x)}\geqslant 0\) всегда, то данное неравенство не выполняется ни при каких \(x\). Следовательно, решением неравенства является пустое множество: \(x\in \varnothing\).

\[{\Large{II. \ \sqrt{f(x)}\lor g(x)}}\] В данном неравенстве справа стоит уже функция \(g(x)\), которая может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Таким образом, в данном неравенстве необходимо рассматривать отдельно эти два случая, а также не забыть про ОДЗ.

Например:

1) \(\sqrt{f(x)}\leqslant g(x)\). При условии \(f(x)\geqslant 0\) : если \(g(x)\geqslant 0\), то можно возвести в квадрат; если \(g(x)<0\), то в силу определения квадратного корня данное неравенство никогда не может быть выполнено.
Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & \begin{cases} g\geqslant 0\\ 0\leqslant f\leqslant g^2\end{cases}\\ & \begin{cases} g<0\\ x\in \varnothing \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \begin{cases} g\geqslant 0\\ 0\leqslant f\leqslant g^2\end{cases}\]

2) \(\sqrt{f(x)}> g(x)\). При условии \(f(x)\geqslant 0\) : если \(g(x)\geqslant 0\), то можно возвести в квадрат; если \(g(x)<0\), то в силу определения квадратного корня данное неравенство всегда выполняется.
Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & \begin{cases} g\geqslant 0\\ f> g^2\\f\geqslant 0\end{cases}\\ & \begin{cases} g<0\\ f\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & \begin{cases} g\geqslant 0\\ f> g^2\end{cases}\\ & \begin{cases} g<0\\ f\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

shkolkovo.net

Разработка занятия по математике на тему «Иррациональные неравенства» (11 класс)

Тема занятия: Иррациональные неравенства

(изучение нового материала)

Цели педагога: создать условия учащимся

• для формирования представлений об основном методе решения иррациональных неравенств – методе возведения обеих частей в одну и ту же степень и сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем; о доказательстве неравенства методом от противного;

• овладения умением использовать для доказательства неравенства методы: с помощью определения, от противного.

Цели ученика: изучить тему «Иррациональные неравенства» и получить последовательную систему математических знаний, необходимую для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на профильном уровне. Для этого необходимо:

• иметь представление об основном методе решения иррациональных неравенств – методе возведения обеих частей в одну и ту же степень и сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем; о доказательстве неравенства методом от противного;

• овладение умением использования метода решения иррациональных неравенств – метода возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявлять познавательный интерес к изучению предмета.

Предметные: уметь использовать метод возведения обеих частей неравенства в одну и ту же степень.

Метапредметные результаты изучения темы (универсальные учебные действия): регулятивные: учитывать правило в планировании и контроле способа решения; познавательные: строить речевое высказывание в устной и письменной форме; свободная работа с текстом научного стиля; коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Сценарий занятия

Этап урока

Действия учителя

Действия ученика

1. Организационный момент.

Сообщить тему занятия, сформулировать цели занятия.

Тему записывают в тетрадь

2. Изучение нового материала (лекция).

Определение иррационального неравенства, метод решения.

Определение. Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные величины (или некоторые функции неизвестных величин) находятся под знаком радикала.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т.е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или её частях. При решении иррационального неравенства приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. При этом необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств каждый раз получалось неравенство, равносильное исходному на ОДЗ.

При решении иррациональных неравенств следует помнить, что при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в чётную степень, то будет получаться неравенство, равносильное исходному и имеющее тот же знак лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Рассмотрим равносильность простейших иррациональных неравенств.

Иррациональные неравенства, содержащие корни в нечётной степени.

Пусть неравенство содержит корни в нечётной степени:

1. Неравенство вида , nN, равносильно неравенству .

2. Неравенство вида , nN, равносильно неравенству .

3. Неравенство вида , nN, равносильно неравенству .

4. Неравенство вида > , nN, равносильно неравенству .

Эти неравенства после возведения в нужную степень становятся рациональными и решаются методом интервалов.

Иррациональные неравенства, содержащие корни в чётной степени.

Рассмотрим решения неравенств, содержащих корни в чётной степени. Эти неравенства решаются более сложно, чем предыдущие.

1. Неравенство вида < , nN, равносильно системе

2. Неравенство вида , nN, равносильно системе

3. Неравенство вида > , nN, равносильно совокупности двух систем неравенств:

Конспектируют теоретический материал в тетрадь

3. Первичное закрепление

Примеры решения неравенств, содержащих корни в нечётной степени.

Рассмотрим примеры.

Пример 1 (записывает на доске с комментариями).

Решить неравенство .

Решение. Возведём обе части неравенства в третью степень, получим линейное неравенство Решая его получим

Ответ.

Пример 2 (контроль правильности решения и записи). Решить неравенство

Решение. Данное неравенство определено для всех х. Возведём обе его части в третью степень. Исходное неравенство тогда равносильно неравенству

Решая последнее неравенство, получим

Ответ.

Примеры решения неравенств, содержащих корни в чётной степени. Рассмотрим примеры решения некоторых конкретных иррациональных неравенств такого вида.

Пример 3 (записывает на доске с комментариями).

Решить неравенство .

Решение. Согласно пункту 2, это иррациональное неравенство равносильно системе или или

Из первых двух неравенств найдём, что .

Решая квадратное уравнение получим корни x₁=-1, x₂=5. Поскольку ветви параболы левой части уравнения направлены вверх, то решением неравенства будет множество.

Найдём пересечение полученных множеств, получим ;).

Ответ.;).

Пример 4 (контроль правильности решения и записи)

Решить неравенство

Решение. Найдём ОДЗ данного неравенства. Это множество тех х, когда
Поскольку корнями левой части являются точки х₁ = 1 и х₂ = 5 и графиком левой части неравенства является парабола, ветви которой направлены вниз, то решением будет отрезок .

На ОДЗ исходное неравенство равносильно совокупности двух систем

Когда правая часть исходного неравенства неотрицательна, мы возводим в квадрат обе части, а когда правая часть отрицательна, то это неравенство верно для любого х из ОДЗ.

Решим сначала вторую систему этой совокупности. Имеем

Решением этой системы будет множество.

Решим первую систему совокупности. Имеем

Левая часть первого неравенства этой системы имеет корни х₁=3 и х₂=23/5, поэтому его решением будет множество . В пересечении с решением второго неравенства, мы получим промежуток .

Объединяя решения совокупности систем, получим .

Ответ..

Решение иррациональных неравенств более сложного вида.

Рассмотрим решение неравенств более сложного вида.

Пример 5. (контроль правильности решения и записи)

Решить неравенство

Решение. Найдём ОДЗ данного неравенства или Тогда ОДЗ будет множество

Решим сначала уравнение Корнями первого сомножителя являются точки х₁ = -1, х₂ = 3, а корнем второго – точка х₃ = 1. Значения х₂ = 3 и х₃ = 1, входящие в ОДЗ неравенства, обязательно должны войти в ответ.

Решим строгое неравенство . Поскольку второй сомножитель всегда неотрицателен, то неравенство будет выполняться, если . Решая его, получим Возьмём пересечение этого множества и ОДЗ, получим решение строгого неравенства на ОДЗ:

Поскольку точки х₂ = 3 и х₃ = 1 входят в ОДЗ неравенства, то мы их включим в ответ:

Ответ.

Пример 6 (записывает на доске с комментариями)

Решить неравенство

Решение. Найдём ОДЗ данного неравенства из решения системы

Решая её получим множество .

Поскольку на ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому, возведя левую и правую части этого неравенства в квадрат и приведя подобные члены, получим равносильное неравенство

Поскольку при или правая часть неравенства отрицательна, а левая часть неотрицательна, то неравенство справедливо при всех x.

Если , то для всех обе части неравенства (1) неотрицательны. Возведя обе части этого неравенства в квадрат и приведя подобные члены, получим неравенство

Решением этого неравенства будет множество В пересечении с отрезком [5/2; 5], мы получим промежуток (3; 5].

Объединяя множества решений, соответствующие двум рассмотренным случаям, получаем решение исходного неравенства (3; +∞).

Ответ. (3; +∞).

Пример 7. (записывает на доске с комментариями)

Решить неравенство

Решение. Областью допустимых значений данного неравенства будет множество
[-1; +∞). На этом множестве неравенство равносильно совокупности двух систем

Решим первую систему совокупности. Рассмотрим решение второго неравенства этой системы

или или или

Поскольку пересечение множеств решений первого и второго неравенств этой системы пусто, то у этой системы решений нет.

Решим вторую систему. Решением первого и второго неравенства этой системы будет множество

Решим последнее неравенство второй системы. Для этого приведём его к виду

Поскольку каждое слагаемое правой части этого неравенства больше соответствующего слагаемого левой части, то оно справедливо для всех х из ОДЗ. Поэтому решением второй системы будет множество [-1;+∞).

Ответ. [-1; +∞).

Записывают в тетрадь

На доске и в тетради

Записывают в тетрадь

На доске и в тетради

На доске и в тетради

Записывают в тетрадь

Записывают в тетрадь

4. Итог урока. Рефлексия

• Что нового узнали на уроке?

• Чему научились?

• Оцените свою работу на уроке.

Отвечают на вопросы

Список литературы

[1] Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1987.

[2] Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. М.:МГУ, 1994.

[3] Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Математика. М.: Русское слово, 2001.

[4] Михайлова Ж.Н. Алгоритмы – ключ к решению задач по алгебре. 10 – 11 классы. М.: Просвещение, 2009.

infourok.ru

Решение иррациональных уравнений. Решение иррациональных неравенств.

Урок по теме: «Решение иррациональных уравнений. Решение иррациональных уравнений с помощью возведения обеих частей уравнения в n-ю степень». УМК Мордковича (профильный уровень), 11 класс.

Учитель первой квалификационный категории: Максименко Светлана Александровна, МАОУ «Лицей № 28 имнеи Н.А.Рябова» г.Тамбова.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Цели: вспомнить основные методы решения иррациональных уравнений; подготовка к ЕГЭ, воспитать трудолюбие.

Определение. Уравнение с одной переменной  называют иррациональным, если хотя бы одна из функций  или  содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

1. Метод подбора

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число  входит в множество значений, то уравнение  имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

1) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

2) Записать область определения данной функции.

3) Доказать ее монотонность в области определения.

4) Угадать корень уравнения.

5) Обосновать, что других корней нет.

6) Записать ответ.

Пример 1. .

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Пример 2. 

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для  эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать.. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Теорема.

Если возвести обе части уравнения  (1) в натуральную степень , то уравнение  (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое равенство , то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если , равенство  справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения  приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование . В этом случае уравнение  равносильно системе . В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени , т.к. оно было бы излишним в связи с равенством .

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида  При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2. 

Ответ: 

3. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример1. 

Пусть  тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого  и  Решая уравнение , получаем  и 

Ответ: 

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: .

Замена  приводит уравнение к виду  корнями которого являются  и 

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ: 

4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений 

Пример1.

При  уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений: 

Ответ: 

Иррациональные неравенства. Решение иррациональных неравенств.

УОСЗ

Цели: вспомнить основные методы решения иррациональных неравенств; подготовка к ЕГЭ, воспитать активность.

Теория:

A1. Неравенство

равносильно совокупности систем

при b ≥ 0 равносильно неравенству f(x) > [b]²ⁿ, а при b < 0, равносильно неравенствуf(x) ≥ 0.

A2. Неравенство

равносильно следующей системе неравенств

равносильно системе неравенств

равносильно системе неравенств

равносильно следующей совокупности систем

равносильно совокупности

A7. Неравенство

равносильно совокупности

   и   f(x) < [g(x)]²ⁿ⁺¹

равносильны.

A9. Неравенства

   и   f(x) > [g(x)]²ⁿ⁺¹

равносильны.

Замечание. Если m нечетное число, то

f(x) < g(x)      [f(x)]^m < [g(x)]^m,

f(x) > g(x)      [f(x)]^m > [g(x)]^m,

т.е. при возведении в нечетную степень знак неравенства не изменяется.

Расмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенства

Подведение итогов. Выставление отметок.

Домашнее задание: № 30.8 а)б), 30.9 а), 30.14 а), 30.16 а), 30.20 а), 30.34 а)б)

Литература:

1. http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.htm

2. http://ege-ok.ru/2012/02/20/reshenie-irratsionalnyih-uravneniy-2

3. http://yukhym.com/ru/matematika/irratsionalnye-uravneniya-na-primerakh.html

infourok.ru

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения

Рассмотрим теперь понятие рационального неравенства.

Определение 1

Уравнение, в котором неизвестная величина находится под радикалами или в дробных степенях будем называть иррациональным.

Здесь надо всегда помнить о том, что не под любым корнем может быть отрицательное число. В связи с этим здесь будет появляться понятие области определения уравнения (ООУ). Оно заключается в том, что под корнями с четными степенями не может быть отрицательных величин.

Решение классических иррациональных уравнений заключается в следующем: Вначале мы находим ООУ, с помощью простейших преобразований приводим уравнение к виду $\sqrt[n]{P(x)}=\sqrt[n]{Q(x)}$. Возводим в $n$-ю степень и находим корни получившегося уравнения. Выкидываем корни, не попадающие в ООУ.

Пример решения иррационального уравнения

Пример 1

Решить

$\sqrt[5]{x^2-4x+4}-\sqrt[5]{x-2}=2$

Решение.

Применяя формулу квадрата суммы, получим:

$\sqrt[5]{(x-2)^2}-\sqrt[5]{x-2}-2=0$

Так как степень корня нечетна, то нам здесь не требуется нахождения ООУ.

Сделаем замену $\sqrt[5]{x-2}=t$, получим

$t^2-t+2=0$

Это уравнение имеет своими корнями числа $-1$ и $-2$.

Получим два уравнения:

$\sqrt[5]{x-2}=-1$ и $\sqrt[5]{x-2}=-2$

$x-2=-1$ и $x-2=-32$

$x=1$ и $x=-30$

Ответ: $1$ и $-30$.

Иррациональные неравенства

Рассмотрим теперь понятие иррационального неравенства.

Определение 2

Неравенство, которое имеет вид $\sqrt[n]{P(x)}>(≥)\sqrt[n]{Q(x)}$ будем называть иррациональным неравенством.

Чаще всего неравенства решаются методом промежутков (интервалов). В основе этого метода лежит следующее рассуждение.

Пусть нам дана функция $f(x)=\frac{(x-n)(x-m)}{(x-l)(x-k)}$, причем $n

$x∈(-∞,n)$: Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)

Четыре минуса, в общем, нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x)>0$.

$x∈(n,m)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)

Три минуса, в общем, нам дадут минусовое значение, то есть $f(x)

$x∈(m,l)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)0$.

$x∈(l,k)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)>0,(x-k)

Один минус дает нам минусовое значение, то есть $f(x)

$x∈(k,+∞)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)>0,(x-k)>0$.

Все плюсы нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x)>0$

Это рассуждение можно иллюстрировать на числовой прямой (рис. 1).

Эта иллюстрация называется кривой знаков и используется для решения рациональных и других неравенств $q(x)>(≥)0$ методом промежутков.

Замечание 1

На самом деле знаки на такой кривой не всегда чередуются. К примеру такое может быть при наличии в уравнение квадратного множителя.

Суммируя, получим:

Метод промежутков (интервалов)

1. Вначале необходимо найти все корни уравнения $q(x)=0$ и значения, в которых область определения имеет разрыв.
2. И всех полученных в пункте $1$ числовых значений составляем кривую знаков для данного уравнения.
3. Записываем ответ из кривой знаков, с учетом знака неравенства.

Пример решения иррационального неравенства методом промежутков

Пример 2

Решить

$\sqrt[4]{z-1}≤\sqrt[8]{z+5}$

Решение.

Найдем ООУ:

$z-1 ≥0$ и $z+5 ≥0$

$z ≥1$ и $z ≥-5$

ООУ: $[1,∞)$.

Решим для начала следующее уравнение и найдем точки разрыва ее области определения:

$\sqrt[4]{z-1}-\sqrt[8]{z+5}=0$

$\sqrt[4]{z-1}=\sqrt[8]{z+5}$

$z^2-2z+1=z+5$

$z^2-3z-4=0$

Корни: $z=-1$ и $z=4$

Изобразим все полученные точки и ООУ на числовой прямой и построим кривую знаков:

Так как у нас знак неравенства «меньше или равно», то нам нужно выбрать промежуток со знаком минус.

Ответ: $[1,4]$.

spravochnick.ru

Иррациональные неравенства — PDF

Транскрипт

1 Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Иррациональные неравенства Учёт ОДЗ Равносильные преобразования Двукратное возведение в квадрат Дробно-иррациональные неравенства Замена переменной Умножение на сопряжённое Задачи Как и в случае уравнений, мы называем неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под знаком корня. Данная статья посвящена методам решения иррациональных неравенств. Учёт ОДЗ Напомним, что область допустимых значений ОДЗ неравенства есть множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства имеют смысл. Задача. Решить неравенство x x >. Решение. Квадратный корень может принимать только неотрицательные значения, поэтому данное неравенство выполнено всегда, когда квадратный корень определён. Иными словами, множеством решений данного неравенства служит его ОДЗ: Ответ: ;. x x 0 x. Поиск ОДЗ неравенства далеко не всегда является целесообразным занятием; однако в отдельных ситуациях предварительное нахождение ОДЗ даёт ключ к решению задачи. Задача. Решить неравенство x x + x > x 7. Решение. По виду неравенства ясно, что никакие стандартные методы тут работать не будут. Давайте найдём ОДЗ: { { x x 0, x, x =. x 0 x Вот ситуация и прояснилась: ОДЗ состоит из одного-единственного числа. Поэтому достаточно подставить x = в неравенство и проверить, выполняется ли оно. Подставляем и убеждаемся, что x = решение. Ответ:.

2 Равносильные преобразования Приступаем к рассмотрению стандартных видов иррациональных неравенств. В каждом из случаев нет нужды предварительно искать ОДЗ; самое эффективное решение обеспечивается соответствующими равносильными преобразованиями. Неравенства вида A < B Рассмотрим неравенство A < B, где A и B некоторые выражения, содержащие переменную. В силу монотонного возрастания функции x должно быть выполнено неравенство A < B; но надо не забыть «подпереть нулём» это неравенство снизу: 0 A < B. Таким образом, имеет место эквивалентность: A < B 0 A < B { A < B, A 0. Обратите внимание, что нет необходимости ради поиска ОДЗ решать неравенство B 0. Выражение B автоматически получается неотрицательным ведь в силу системы величина B больше неотрицательной величины A. Ясно, что эквивалентность сохраняется при замене знака < на. Задача. Решить неравенство x + 4 < x + 8x. Решение. В силу неравенство равносильно системе { x + 4 < x + 8x, x { x + 6x 7 > 0, x. Первое неравенство системы имеет решения x < 7 или x >. Отсюда легко получаем ответ. Ответ: ; +. Теперь, кстати, представьте себе, что вы решили предварительно поискать ОДЗ, занявшись решением неравенства x + 8x 0. Представили? ;- Задача 4. МГУ, геологич. ф-т, 006 Решить неравенство x x x x. Решение. Неравенство равносильно системе x x x { x, x 4x + x 0, x x x 0 6x 0 { xx x 0, xx 6 0 x 0, x, 0 x 6 x = 0, x 6. Ответ: {0} ; 6.

3 Перейдём к рассмотрению неравенства Неравенства вида A B 0 A B 0. Ввиду неотрицательности корня возможны два случая: B = 0, и при этом A определено; A 0, и при этом B > 0. Таким образом, имеет место эквивалентность: { B = 0, A B 0 A определено, { A 0, B > 0. Задача. МГУ, ВМК, 978 Решить неравенство x x x 0. Решение. В силу неравенство равносильно совокупности x x = 0, { x 0, x x > 0. Уравнение совокупности имеет корни и. Множество решений квадратного неравенства: x < или x >, поэтому множество решений системы есть x >. Объединяя множество {, } корней уравнения c множеством решений системы, получаем ответ. Ответ: { } ; +. Переходим к неравенствам, для решения которых требуется возведение обеих частей в квадрат. Сделаем предварительно два замечания.. При возведении в квадрат иррациональных уравнений можно в принципе обойтись без равносильных переходов, так как лишние корни можно отсеять непосредственной поочерёдной проверкой конечного набора корней уравнения-следствия это бывает сложно технически, но теоретически всегда возможно. Однако в результате возведения в квадрат неравенства может появиться бесконечное множество лишних решений, и все их проверить уже не представляется возможным. Поэтому использование равносильных переходов при решении иррациональных неравенств становится жизненной необходимостью.. Неравенство можно возводить в квадрат лишь в том случае, когда обе его части неотрицательны: a < b a < b при a, b 0. В противном случае верное неравенство может превратиться в неверное: < 9 < 4, или, наоборот, неверное неравенство может превратиться в верное: < 4 < 9. Мы берём именно случай нестрогого неравенства, так как он чаще встречается в экзаменационной практике; разобравшись в нём, вы без труда напишете правильную эквивалентность для строгого неравенства.

4 Неравенства вида A < B Рассмотрим в качестве примера неравенство x < x. Если x 0, то неравенство решений не имеет, поскольку арифметический квадратный корень не может быть меньше неположительного числа. Если x > 0, то обе части неравенства неотрицательны, и мы имеем право возвести неравенство в квадрат: x < x, не забыв при этом, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x 0. Таким образом, имеем равносильный переход: x < x x > 0, x < x, x 0. Решая полученную систему, находим: x ;. После этого примера хорошо понятно, что в общем случае имеет место следующая эквивалентность: B > 0, A < B A < B, A 0. Если же неравенство нестрогое, то величина B может быть нулём: A B B 0, A B, A 0. 4 Задача 6. МГУ, физический ф-т, 00 Решить неравенство x x + 0 < 0 x. Решение. Согласно неравенство равносильно системе 0 x > 0, x x + 0 < 0 x, x x Из полученной системы легко находим x < 0. Ответ: ; 0. x < 0, x + 0 x > 0, x + x 0 Задача 7. МГУ, мехмат, 00 Решить неравенство x7 x x x 4 x. 4 x < 0, x < 0, x > + 0, x.

5 Решение. Сразу же отметим, что имеет место разложение на множители x x + 4 = x x + x 4 = x x x. Согласно 4 неравенство равносильно системе x 0, x 7 x x x 4 x6, x 7 x x x 4 0 x 0, x 0, x x 6 + 4x 0, x x 4 x x 4 x x x x 4x + 8 x x x 0, 7 x x 4 x x x 0 7 x 0, x x 4 x x 0, 7 x x 4 x x 0 7 мы разложили на множители разности квадратов и кубов, после чего, воспользовавшись условием x 0, удалили все заведомо положительные сомножители. Чтобы решить второе неравенство системы, нам нужно сравнить числа 4 и 7 понятно, что оба они больше. Для этого сравним с нулём разность их кубов: 7 4 = = = = 4 7 = 7 = 44 4 > 0, поэтому 4 > 7. Теперь, решая второе неравенство методом интервалов, получим x = 0, < x < 7, x 4 6 отрицательные значения x отброшены в силу первого неравенства. Для решения третьего неравенства системы нужно сравнить числа 4 и 7. Сравниваем с нулём разность их четвёртых степеней: 7 = 4 = = 4 = = = поэтому 4 > 7. Теперь решаем третье неравенство : = > 0, 0 0 x <, 7 < x 4. 7

6 Решением исходного неравенства служит пересечение «рамочек» множеств 6 и 7. Остаётся только сравнить числа 4 и 4. Для этого сравниваем с нулём разность их -х степеней: Следовательно, 4 4 = < 4, и окончательно имеем: = = < 0. Ответ: {0} 4; 4. x = 0, 4 4 x. Неравенства вида A > B Теперь в качестве примера рассмотрим неравенство x > x. Пусть сначала x < 0. Поскольку в левой части стоит неотрицательное выражение x, множеством решений неравенства в этом случае является ОДЗ: x 0. Пусть теперь x 0. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести неравенство в квадрат: x > x. Таким образом, имеем эквивалентность: { { x < 0, x <, x > x x 0, { x 0, x > x x, { x, x x < 0. Решением первой системы служит множество x <. Решением второй системы служит множество x <. Объединяя эти множества, получаем ответ: x <. Ясно теперь, что в общем случае имеет место эквивалентность: { B < 0, A > B A 0, { B 0, A > B. 8 Аналогично в случае нестрого неравенства имеем: { B 0, A B A 0, { B > 0, A B. 9 6

7 Задача 8. МФТИ, 998 Решить неравенство x 8x > x Решение. В соответствии с совокупностью 8 рассмотрим два случая. Пусть сначала x < 0, то есть. 0 x >. При ограничении исходное неравенство 0 равносильно неравенству x 8x 0, решения которого x, x. Пересекая множества и, получаем первую часть множества решений неравенства 0: x. Пусть теперь x 0, то есть x. 4 При ограничении 4 неравенство 0 равносильно неравенству x x 8x > x 68x 8 > 0, решения которого x < x = 4 0, x > x = Ясно, что x < 0 <, x > > ; пересекая множества 4 и, получим вторую часть множества решений неравенства 0: x < 4 0 Остаётся объединить «рамочки» множества и 6. Ответ: ; +. ; Задача 9. МФТИ, 006 Решить неравенство 6x x. 7 Решение. При ограничении неравенство 7 равносильно неравенству x 0 8 6x x Пересечение 8 и 9 даёт часть решений неравенства 7: 9 4 x

8 Теперь рассмотрим случай x > 0. При ограничении неравенство 7 равносильно неравенству 6x x 6x + 6 x 6. Очевидно, что значения 0 < x 6 удовлетворяют неравенству. Остаётся рассмотреть ограничение при котором неравенство равносильно неравенству x > 6, 4 6x + 6 x 6 xx x 6 0 xx + x 4 0. Решения полученного неравенства, удовлетворяющие условию 4, суть значения 6 < x 4. Множество решений исходного неравенства 7 является объединением всех «рамочек», то есть множеств 0, и. Ответ: 9 4 ; 4. Двукратное возведение в квадрат Если неравенство содержит сумму или разность двух радикалов, то, возможно, придётся возводить в квадрат два раза. Задача 0. МГУ, геологич. ф-т, 999 Решить неравенство 0x x 4 x x + 4 x x + 0. Решение. Здесь полезно начать с нахождения ОДЗ: 4 x 6, 0x x 4 0, x 6, x x + 4 0, x 7, x x x, x 6 4 x, x = 6. Перепишем исходное неравенство, разложив каждый из квадратных трёхчленов на множители: 6 xx 4 6 x7 x 6 x x 6 каждый из сомножителей неотрицателен в ОДЗ. Легко видеть, что x = 6 является решением неравенства 6; остаётся рассмотреть данное неравенство на множестве E = 4;. Делим обе части неравенства 6 на выражение 6 x, которое положительно на множестве E, и приходим к равносильному на E неравенству x 4 7 x x x 4 + x 7 x. 8

9 Обе части последнего неравенства положительны на множестве E; возводя в квадрат, получим равносильное на E неравенство + x 4 x 7 x 9x x 0 6 x. Поскольку 6 x > 0 на множестве E, снова возводим в квадрат: 49x x 0 6 x x 48x Полученное неравенство равносильно на множестве E неравенству 6. Но ввиду отрицательности дискриминанта это квадратное неравенство не имеет решений. Следовательно, не имеет решений на множестве E и неравенство 6. Таким образом, x = 6 единственное решение нашего неравенства. Ответ: 6. 4 Дробно-иррациональные неравенства Как вы знаете, метод интервалов применяется для решения рациональных или, как ещё говорят, дробно-рациональных неравенств; в таких неравенствах фигурируют только дроби, у которых числитель и знаменатель многочлены. Если же в числителе или знаменателе появляется переменная под знаком корня, то мы будем говорить о дробно-иррациональных неравенствах. Мы позволим себе не вдаваться в более подробное обсуждение этой терминологии; на рассматриваемых ниже примерах станет ясно, о неравенствах какого типа идёт речь и какой они обладают спецификой. Задача. МГУ, ф-т гос. управления, 00 Решить неравенство x < x 0x + 6. Решение. Сразу сделаем замену t = x : < t t +. 7 Теперь замечаем, что выражение t + положительно при всех t, и поэтому можно умножить на него обе части неравенства 7; получим равносильное неравенство t + < t, которое решается уже известным вам способом. Легко находим t >, откуда x >. Ответ: ; +. Задача. МГУ, биологич. ф-т, 00 Решить неравенство 6 x. 8 x Решение. ОДЗ неравенства есть множество 4; ; 4. Пусть сначала x E = 4;. Тогда x > 0; умножая неравенство на x, получим равносильное на множестве E неравенство 6 x x 6 x x x 6x

10 Решения полученного квадратного неравенства суть x и x + ; пересекая это с множеством E и учитывая, что + > + 6 >, получаем часть решений исходного неравенства: 4 x. 9 Пусть теперь x E = ; 4. Тогда x < 0 и неравенство 8 выполнено, поскольку его левая часть неположительна. Значит, любой x E служит решением нашего неравенства. Объединяя множества 9 и E, получаем ответ. Ответ: 4; ; 4. Задача. МФТИ, 997 Решить неравенство 6 x + x x 4 x 0 <. Решение. Перенося влево и приводя к общему знаменателю, получим равносильное неравенство 6 x + x x 4 < 0. 0 x 0 ОДЗ этого неравенства есть множество ; 4 6; 0 0; +. Пусть сначала x E = ; 4 6; 0. Тогда x 0 < 0, в силу чего неравенство 0 равносильно на множестве E неравенству 6 x + x x 4 > 0 x x 4 > x 6. Любой x < 8, входящий в E, является решением неравенства. Если же x 8; 0, то неравенство равносильно неравенству x x 4 > x 6 x 6x + 80 < 0, решения которого образуют множество 0 ; 4, содержащее в себе рассматриваемое множество 8; 0. Следовательно, любой x 8; 0 также является решением неравенства, и, значит, множество E часть множества решений нашего неравенства. Пусть теперь x E = 0; +. Тогда x 0 > 0, и неравенство равносильно на множестве E неравенству 6 x + x x 4 < 0 x x 4 < x 6. Ввиду того, что x 6 > 0 на множестве E, полученное неравенство в свою очередь равносильно неравенству x x 6 < x 6 x 6x + 80 > 0, решения которого, принадлежащие E, суть x > 4. Ответ: ; 4 6; 0 4; +. Задача 4. «Физтех», 0 Решить неравенство x + x x

11 Решение. Знаменатель, равный 9 + x, обращается в нуль при x = и отрицателен при всех x. Следовательно, на множестве x наше неравенство равносильно неравенству x + x x + 0 x x + 0 x. Полученное неравенство не представляет трудностей, и вы легко доведёте дело до конца самостоятельно. Ответ: 4 ; ; +. Замена переменной В некоторых задачах бывает полезно сделать замену переменной, обозначив новой буквой имеющийся корень из некоторого выражения. Задача. МГУ, геологич. ф-т, 997 Решить неравенство x 0 x < 0. Решение. Обозначим x = t; тогда x = t. Наше неравенство принимает вид: t 0 t < 0 t + 0t 00 t 0 > 0 t 0t + 0 t 0 Решаем полученное неравенство методом интервалов и делаем обратную замену: > 0. 0 < t < 0, t > 0 0 < x < 0, x > 0 0 x < 00, x > 400. Ответ: 0; ; +. Задача 6. «Покори Воробьёвы горы!», 006 Решите неравенство x + > x. Решение. Вы уже знаете, как решать подобные неравенства, но в данном случае можно поступить и по-другому. Обозначим t = x + ; тогда x = t, и наше неравенство принимает вид t > t t t < 0 После обратной замены с учётом условия < 0 имеем: < t < +. < x + < + 0 x + < + = + x < 7 +. Ответ: ; 7+.

12 Задача 7. «Покори Воробьёвы горы!», 04, 0 Найдите сумму целых чисел, являющихся решениями неравенства x x x + x 6x +. Решение. Обозначим u = x, v = x 6x +. Наше неравенство запишется в виде u v v u u vu + v + 0. Учитывая, что величина u + v + положительна при всех допустимых значениях x, имеем u v x x x + { x x x +, x x + 0 { x 6x + 0, x x + 0. Система равносильна исходному неравенству. Решения первого неравенства системы образуют множество ; 6, которое содержит лишь два целых числа и. Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = не удовлетворяет второму неравенству, а x = удовлетворяет ему. Значит, исходное неравенство имеет единственное целое решение x =. Это и есть ответ. Ответ:. 6 Умножение на сопряжённое В некоторых ситуациях полезно бывает умножить и разделить на выражение, сопряжённое данному. Задача 8. «Физтех», 06, 9 Решите неравенство x x + + x +. Решение. Имеем: x x + + x x x + + x x x + + x + x x x x x + + x + 0 x + + x + x x ОДЗ нашего неравенства есть множество x > 0. На этом множестве полученное неравенство равносильно неравенству x + x 0 x 0 x. В пересечении с ОДЗ имеем 0 < x. Ответ: 0;. Задача 9. МГУ, ВМК, 006 Решить неравенство 0 x 7x 44 > x. 0.

13 Решение. Сразу делаем замену t = x: 0 t 4t 44 > t. Найдём ОДЗ данного неравенства: t 4t t 44 t { t 0, 0 4t 44 t t 0, t 6, t 0 t 6. Умножим и разделим подкоренное выражение в на сопряжённое t+ 4t 44 которое положительно при всех t 6: t t 4t 44 t + 4t 44 4t 44 = t + = t 4t 44 4t 44 t + 4t 44 = t t + 4t 44. В результате придём к равносильному неравенству 0 t t + 4t 44 > t. 4 Все значения t 6; являются решениями неравенства 4, поскольку его правая часть отрицательна при данных t, а левая положительна. Значение t =, как легко видеть, не является решением 4. Пусть теперь t >. В этом случае неравенство 4 равносильно неравенству 0t t + 4t 44 > t 0 t + 4t 44 > t + 4t 44 < 0 t + 4t 44 < 00 { 00 t > 0, 4t 44 < 00 t 4t 44 < 00 t { t < 00, t < 00, t t < 0 6, 4t > 0 t > + 0 t < Итак, имеем множество решений неравенства : 6 t <, < t < 0 6. Остаётся сделать обратную замену x = t/ и получить множество решений исходного неравенства: Ответ: ; 4 4; 0 6. x < 4, 4 < x < 0 6.

14 7 Задачи Во всех задачах требуется решить неравенство. Учёт ОДЗ. а x + x ; б + x x + x > x 7. а ; ; + ; б. МГУ, геологич. ф-т, 994 4x x 0. ;. «Покори Воробьёвы горы!», 0, 9 x + x 4x + + x + x.,, 4. «Покори Воробьёвы горы!», 0, 0 x 006 x 0 + > x МГУ, ВМК, 006 x x + x 4x x x 09. ; 0 {} 4; + Равносильные преобразования 6. а x < x x ; б x 4 x + x МГУ, геологич. ф-т, 006 x x 6x x. ; + 0 {0} ; а ; 4 ; ; б 8. «Ломоносов», 0, x x 4x x. ; {} 9. МГУ, ИСАА, 004 x x < 0. ; 0. МГУ, биологич. ф-т, 006 x + x + x 4 0. { } ; + 4

15 . МГУ, геологич. ф-т, 988 x + 8x + x { 4} ; +. МГУ, экономич. ф-т, 986 x + x 8x 6x + 0. ; 4 { }. МГУ, физический ф-т, 996 x x 0 + x x > 0. ; 0 ; 4. МГУ, биологич. ф-т, 00 x + x 84 x 7 0. { } 7; +. МГУ, ВШБ, 00 x + x x + 0. ; {} 6. МГУ, географич. ф-т, 004 x6 64 x 0. {, } ; + 7. МГУ, ИСАА, 00 x x x x ; {, } ; + 8. МГУ, мехмат, x x x x x. x + 4 ; {} 9. МГУ, биологич. ф-т, 00 x < x. ; 0. МГУ, ф-т психологии, 00 x + > x. ; +

16 . МГУ, геологич. ф-т, 99 0x + x. + ; +. МГУ, физический ф-т, 979 x + x < x. ;. МГУ, МШЭ, 00 x + x x >. ; 4. МГУ, геологич. ф-т, 984 x 8x + 6 < x 4. 8; 0. МГУ, экономич. ф-т, 98 x + x 6 > x. ; 7 ; + 6. МГУ, экономич. ф-т, 00 4x x x. ; 7. МГУ, геологич. ф-т, x + x > x 4. ; 4 8. МГУ, биологич. ф-т, 980 x + 6x > 8 x. ; 9. МГУ, геологич. ф-т, 00 x x + 6 x. 4 ; 4 0. МГУ, физический ф-т, 00 x x + 6 < 6 x. ; 0. МФТИ, 998 x 7x 4 > x 4. ; ; +. МГУ, экономич. ф-т, 98 4x < x + 9x + 0. ; 4 ; 4. МГУ, МШЭ, 007 x x + x. {} ; + 4. МГУ, геологич. ф-т, x x +. { } 0; 6

17 . «Физтех», 0, 0 x 6 x x 6. {4} ; + 6. МГУ, физический ф-т, 006 x x + x 4 x. 4 9; ; 9 4 {} 7. МГУ, экономич. ф-т, 007 Для каждого значения x, удовлетворяющего условию x x 4 = 0, найдите все числа y, для которых выполнено неравенство 7 y 0y + 4 4x + 7. Если x = 7, то y = ; если x = 7, то таких y не существует 8. МГУ, биологич. ф-т, 00 x 7 4x x. 4 ; 7 4 ; + 9. МГУ, мехмат, 00 x x > x x + 4. ; МГУ, ИСАА, x x x + > 9 x. ; 0 9 ; 7 4. МГУ, мехмат, 00 4×7 0x 4x x x. {0} 4 ; 4. «Физтех», 00 x + x > x. ; 7

18 4. МФТИ, 008 x x x. ; ; 0 ; МФТИ, x x x. 4 ; 8 8 ; + 4. МГУ, мехмат, 99 4x + 4x 4x + + x 0. 4 ; ; 46. МФТИ, x < 4 x. 4 ; 47. МФТИ, 006 x x ; «Физтех», 007 x x 4x x 6 x 4x x МГУ, ИСАА, 00 x x x x x. ; {} 0. МГУ, ф-т психологии, 99 x x >. 0; 6. МГУ, ф-т фунд. мед., 00 x 4 + x x ;. МФТИ, 00 x + 4x + < + x x +. ; ; 7 8 8

19 . МГУ, экономич. ф-т, 998 x + x + x x + <. ; ; МГУ, геологич. ф-т, 999 4x x x 7x + x x МГУ, геологич. ф-т, 00 6x x 8 7 x 8x x., 7 Дробно-иррациональные неравенства 6. МГУ, ф-т психологии, 999 x 7x 4 <. 4 7 ; МГУ, ф-т гос. управления, 00 < x 4 x 8x + 7. ; + 8. МГУ, ВМК, 98 9x 4 x x +. ; ; 9. МГУ, физический ф-т, 00 > x x. ; + ; 60. МГУ, физический ф-т, 00 x x <. ; ; 6. МГУ, биологич. ф-т, 00 x 4 x. ; ; 8+ 0 ; + 9

20 6. МГУ, физический ф-т, x x x <. ; 0 ; + 6. МГУ, ИСАА, 99 x x + 8 x. ; 64. МГУ, ф-т психологии, 98 x x x <. ; ; + 6. МГУ, ф-т психологии, 998 4x + 7 x + 6 x + x ; 7+ 7 ; МГУ, геологич. ф-т, 00 x 6x 7 x 7 x +. ; { } 7; МФТИ, 997 6x + 4x x 6 x >. ; ; 7 ; МГУ, мехмат, 990 x + x x. ; 0; 69. МГУ, ДВИ, 0 x + x + >. ; ; + 0

21 70. «Физтех», 0 x x x + 6. ; ; + 7. МФТИ, 999 x x + 60x x 6 x 0. 0; 4 {} 6; 7. МФТИ, 006 4x x + 8 x + 4x ; 4 ; + 7. МФТИ, 007 4x + 4x + 4x + 4x 0. 4 ; 74. «Ломоносов», 00 x 4 x x + 6 x 4. 6; + Замена переменной 7. МГУ, геологич. ф-т, > x 60 x 0; ; МГУ, геологич. ф-т, 99 x + 4 x. {0} 6; МГУ, физический ф-т, 000 x + x > x. ; + 4

22 78. МФТИ, 00 x x 7 x. 9 ; 4 9 ; МГУ, химический ф-т, 979 x + > x +. ; 80. «Покори Воробьёвы горы!», 006 x + > x. ; + 8. МГУ, ф-т психологии, 997 x + > x. 89 ; МГУ, ф-т почвоведения, 98 4x 8 x. ; 8. МГУ, ф-т почвоведения, 996 x +. { } ; МГУ, биологич. ф-т, 99 x > 7x x. ; 8 8. МГУ, химический ф-т, x x x 0; ; ; 86. МГУ, ФНМ, 000 x + < + x +. ; 0; +

23 87. МГУ, экономич. ф-т, 998 x x < x x 0. 7; «Покори Воробьёвы горы!», 04, 0 Найдите сумму целых чисел, являющихся решениями неравенства 6x x x + x 9x «Покори Воробьёвы горы!», 04, 0 Решите неравенство x x 4. + x x 0; 8; МГУ, мехмат, 00 x x x + x + x 0. {0} ; + ; + 9. «Покори Воробьёвы горы!», 00, 0 Один из корней квадратного уравнения px + qx + = 0 p < 0 равен 00. Решите неравенство x + q x + p > 0. x > 00 Умножение на сопряжённое 9. «Физтех», 06, 9 Решите неравенство x x + x. ;

24 9. «Ломоносов», 0, 0 Решите неравенство x x 6 x x + 6 < 8 x + 7 x 8. ; 7 8; МГУ, мехмат, 00 x x x x x + 4. x + 4 x + x x + 9. МГУ, ВМК, 006 x 48x 44 > x. ; 6 6; «Покори Воробьёвы горы!», 0, 0 4x x > x + x x +. 6; 7 4

Тест с ответами по социологии (25 вариантов) – пройти тест онлайн бесплатно

250 вопросов

Draw.io – инструмент для создания диаграмм и блок-схем онлайн

Для построения диаграмм, графиков и блок-схем мы в основном используем офисные средства MS Word, MS Visio и другие. Но так как блог LifevInet.ru  об онлайн сервисах, я обязан написать о сервисе для создания диаграммы и блок-схемы. Хочу Вам представить сервис Draw.io.

Draw.io – инструмент для создания диаграмм и блок-схем онлайн, всевозможных сложностей и структуры. Напоминает MS Visio и возможно сделан под него, но приложение от Microsoft — платная, а онлайн сервис Draw.io — бесплатный. Кстати я в своем блоге упоминал о сервисе Chart Creator для создания диаграмма и графиков, возможно он тоже Вам пригодится.

С помощью онлайн сервиса Draw.io можно создавать:

• Диаграммы
• Моделирование на UML
• Вставлять в диаграмму изображения
• Графики
• Блок-схемы
• Формы
• Другое

Для того чтобы создать блок схему онлайн, нужно создать новый документ в сервисе Draw.io. Интерфейс сервиса разделен на 3 части:

1. Меню (верхняя часть страницы)
2. Панель объектов для построения диаграмм, графиков и блок-схем (слева)
3. Документ (справа)

В панели объектов выбираем нужную категорию и переносим объект в документ, курсором манипулятора мыши. Объектов в панели слева достаточно, чтобы создать полноценную диаграмму или блок-схему.

Чтобы соединить объекты блок-схемы друг с другом, нужно выделить второй объект и навести указателем манипулятора мыши на первый, после чего появиться зеленый флажок. Далее указателем манипулятора мыши перетаскиваем его на второй объект. Таким образом, создаем соединения.

В верхнем меню сервиса диаграмму или блок-схему можно оформить в более привлекательный и приятный вид:

• Стиль шрифта
• Цвет фона страницы документа или объектов
• Добавить тени и прозрачность
• Цвет и толщину линий
• Цвет заливки и градиент

По окончанию создания своей блок-схемы, можно экспортировать ее на свой компьютер в формате изображение (PNG, GIF, JPG, PDF). Делается это через меню: Файл – Экспортировать, вводим наименование файла, выбираем формат и разрешение файла и нажимаем на кнопку Сохранить.

Также хочу отметить, что сервис Draw.io можно синхронизировать с Google Диском. Это дает возможность сохранять проект прямо на диск Google, создавая резервную копию. А также продолжить дорабатывать диаграмму.

Draw.io прекрасный сервис для создания диаграмм, графиков и блок-схем онлайн. Мне кажется Вам стоит его оценить и добавить себе в копилку, как инструмент для работы и учебы.

Ссылка Draw.io.

---

Интересное на сайте:

---

Добавить комментарий

lifevinet.ru

Программа для рисования схем: выбираем лучшее

Черчение на бумаге далеко не всем доставляет удовольствие — долго, не всегда красиво, тяжело сразу правильно рассчитать габариты, а вносить корректировки неудобно. Все эти проблемы легко решает программа для рисования схем. Большинство современных программных продуктов содержит библиотеку с набором основных элементов. Из них, как из конструктора собирается требуемая конфигурация. Правки и исправления вносятся быстро, можно сохранять разные версии.

Содержание статьи

Бесплатные программы для создания схем

Есть немало программ для рисования электрических схем, которые можно использовать бесплатно. Частично это демо-версии с ограниченным функционалом, частично — полноценные продукты. Для проектирования схемы электропроводки в квартире или доме этих функций достаточно, а для профессионального использования может потребоваться продукт с более широким функционалом. Для этих целей больше подходят платные варианты.

Вместо листка бумаги можно использовать программу для создания электросхем

Как и любой программный продукт, программа для рисования схем оценивается по удобству пользования. Интерфейс должен быть простым, удобным, функциональным. Тогда даже человек без особых навыков работы на компьютере легко может в ней разобраться. Но, все-таки, основной фактор — достаточность функций для создания схем различной сложности. Ведь даже к неудобному интерфейсу можно приспособиться, а вот отсутствие каких-то частей восполнить сложнее.

Простая программа для рисования схем VISIO

Многие из нас знакомы с офисными продуктами Microsoft и Visio — один из продуктов. Этот графический редактор имеет привычный для продукции Майкрософт интерфейс. В обширных библиотеках содержится все необходимая элементная база, создавать можно принципиальные, монтажные электрические схемы. Работать в ВИЗИО легко: в библиотеке (окно слева) находим нужный раздел, в нем ищем требуемый элемент, перетаскиваем его на рабочее поле, ставим на место. Размеры элементов стандартизованные, стыкуются один с другим без проблем.

Программа Vision для рисования схем — понятный интерфейс

Что приятно — можно создавать схемы с соблюдением масштаба, что облегчит подсчет необходимой длинны проводов и кабелей. Что еще хорошо — места на жестком диске компьютера требуется не очень много, «потянут» эту программу для рисования схем даже не очень мощные машинки. Также радует наличие большого количества видео-уроков. Так что с освоением проблем не будет.

 

 

Понятный ProfiCAD

Если вам нужна простая программа для проектирования электропроводки — обратите внимание на ProfiCAD. Этот продукт не требует загрузки библиотек, как большинство других . В базе имеется около 700 встроенных элементов, которых для разработки схемы электроснабжения квартиры или частного дома хватит с головой. Имеющихся элементов также достаточно для составления не слишком сложных принципиальных электрических схем. Если же какого-то элемента не окажется, его можно добавить.

Основной недостаток программы  для рисования схем ProfiCAD — отсутствие русифицированной версии. Но, даже если вы не сильны в английском, стоит попробовать — все очень просто. За пару часов вы все освоите.

Интерфейс бесплатной программы для рисования схем ProfiCAD (Профикад)

Принцип работы простой: в поле слева находим нужный элемент, перетягиваем его в нужное место схемы, поворачиваем в требуемое положение. Переходим к следующему элементу. После завершения работы можно получить спецификацию  с указанием количества проводов и перечнем элементов, сохранить результаты в одном из четырех форматов.

Компас Электрик

Программа с более серьезным функционалом называется Компас Электрик. Это часть программного обеспечения Компас 3D. В ней можно не только нарисовать принципиальную электрическую схему, но и блок-схемы и многое другое. На выходе можно получить спецификации, закупочные листы, таблицы соединений.

Для начала работы необходимо скачать и установить не только программу, но и библиотеку с элементной базой. Программа, пояснения, помощь — все русифицировано. Так что проблем с языком не будет.

При работе выбираете нужный раздел библиотеки, графические изображения появляются во всплывающем окне. В нем выбираете нужные элементы, перетягиваете их на рабочее поле, устанавливая в нужном месте. По мере формирования схемы данные об элементах попадают в спецификацию, где фиксируется название, тип и номинал всех элементов.

Нумерация элементов может быть проставлена автоматически, а может — вручную. Способ выбирается в меню настроек. Менять его можно в процессе работы.

 

 

 

QElectroTech

Еще одна программа для рисования схем QElectroTech. Интерфейс напоминает Майкрософтовские продукты, работать с ним легко. К этой программе не надо скачивать библиотеку, элементная база «встроена». Если там чего-то нет, можно добавить свои элементы.

Готовая схема может сохраняться в формате get (для дальнейшей работы с ней в программе) или в виде изображения (форматы jpg, png, svg, bmp). После сохранения можно изменять размеры чертежа, добавить сетку, рамку.

QElectroTech — бесплатный редактор для создания электросхем

Есть у этой программы недостатки. Первый — надписи можно делать только одним шрифтом, то есть, если вам нужен чертеж по ГОСТу, придется каким-то образом придумывать, как сменить шрифт. Второй — размеры рамок и штампов задаются в пикселях, что очень неудобно. В общем, если вам нужна программа для рисования схем для домашнего использования — это замечательный вариант. Если требуется соблюдение требований ГОСТа — поищите другую.

 

Программа моделирования электронных схем 123D Circuits

Если не знаете, как нарисовать схему на компьютере, присмотритесь к этому продукту. 123D Circuits — это онлайн сервис, позволяющий создать не очень сложную схему с возможностью создания печатных плат. Также есть встроенный симулятор, имитирующий работу готовой схемы. Доступна функция заказа партии готовых плат (за плату).

Результат работы онлайн сервиса для создания печатных плат и имитации работы электронных схем

Перед началом работы необходимо зарегистрироваться, создать свой профиль. После чего можно начинать работу. Над одним проектом могут работать несколько пользователей, используя общие библиотеки. В бесплатном варианте программы можно создавать неограниченное количество схем, но они будут общедоступны. В любительском тарифе (12$) пять схем могут быть личными, предлагается также скидка в 5% на изготовление плат. Профессиональный тариф (25$) дает неограниченное количество личных схем и ту же скидку на заказ плат.

Схему можно нарисовать из имеющихся компонентов (их не очень много, но есть возможность добавить свои) или импортировать из программы Eagle. В отличие от других программ, в библиотеке 123D Circuits содержатся не схематические обозначения элементов, а их мини копии. Интерфейс с двумя боковыми полями. На правом высвечивается раздел библиотеки с элементной базой, на левом — часть настроек и перечень использованных элементов.  После завершения работы программа сама формирует принципиальную схему, а также предлагает расположение элементов на плате (можно редактировать).

Вроде все неплохо, но у 123D Circuits есть серьезные недостатки. Первый — результаты имитации работы часто очень сильно отличаются от реальных показаний. Второе — функционал невелик, сделать действительно сложную схему не получится. Вывод: в основном эта программа подходит для студентов и начинающих радиолюбителей.

 

Платные программы для черчения электросхем

Платных графических редакторов для создания схем много, но не все они нужны для «домашнего» использования или для работы, но не связанной напрямую с проектированием. Платить немалые деньги за ненужные функции — не самое разумное решение. В этом разделе соберем те продукты, которые получили много хороших отзывов.

DipTrace — для разработки печатных плат

Для опытных радиолюбителей или тех, чья работа связана с проектированием радиотехнических изделий, полезна будет программа DipTrace. Разрабатывалась она в России, потому полностью на русском.

Есть в ней очень полезная функция — она может по готовой схеме разработать печатную плату, причем ее можно будет увидеть не только в двухмерном, но и в объемном изображении с расположением всех элементов. Есть возможность редактировать положение элементов на плате, разработать и корректировать корпус устройства.  То есть, ее можно использовать и для проектирования проводки в квартире или доме, и для разработки каких-то устройств.

В DipTrace можно посмотреть как будет выглядеть готовое изделие в формате 3D

Кроме самой программы для рисования схем надо будет скачать еще библиотеку с элементной базой. Особенность в том, что сделать это можно при помощи специального приложения —  Schematic DT.

Интерфейс программы для рисования схем и создания печатных плат DipTrace удобный. Процесс создания схемы стандартный — перетаскиваем из библиотеки нужные элементы на поле, разворачиваем их в требуемом направлении и устанавливаем на места. Элемент, с которым работают в данный момент подсвечивается, что делает работу более комфортной.

По мере создания схемы, программа автоматически проверяет правильность и допустимость соединений, совпадение размеров, соблюдение зазоров и расстояний. То есть, все правки и корректировки вносятся сразу, на стадии создания. Созданную схему можно прогнать на встроенном симуляторе, но он не самый сложный, потому есть возможность протестировать продукт на любых внешних симуляторах. Есть возможность импортировать схему для работы в других приложениях или принять (экспортировать) уже созданную для дальнейшей ее проработки. Так что программа для рисования схем DipTrase — действительно неплохой выбор.

Если нужна печатная плата — находим в меню соответствующую функцию, если нет — схему можно сохранить (можно будет корректировать) и/или вывести на печать. Программа для рисования схем DipTrace платная (имеются разные тарифы), но есть бесплатная 30-дневная версия.

 

SPlan

Пожалуй, самая популярная программа для рисования схем это SPlan. Она имеет хорошо продуманный интерфейс, обширные, хорошо структурированные библиотеки. Есть возможность добавлять собственные элементы, если их в библиотеке не оказалось. В результате работать легко, осваивается программа за несколько часов (если есть опыт работы с подобным софтом).

Недостаток — нет официальной русифицированной версии, но можно найти частично переведенную умельцами (справка все равно на английском). Есть также портативные версии (SPlan Portable) которые не требуют установки.

Одна из наиболее «легких» версий — SPlan Portable

После скачивания и установки программу надо настроить. Это занимает несколько минут, при последующих запусках настройки сохраняются. Создание схем стандартное — находим нужный элемент в окошке слева от рабочего поля, перетаскиваем его на место. Нумерация элементов может проставляться в автоматическом или ручном режиме (выбирается в настройках). Что приятно, что можно легко менять масштаб — прокруткой колеса мышки.

После окончания работы можно сохранить файл в виде изображения, которое можно вывести на печать, причем могут создаваться большие схемы размером А4. Основной фал можно впоследствии редактировать.

Есть платная (40 евро) и бесплатная версия. В бесплатной отключено сохранение (плохо) и вывод на печать (обойти можно при помощи создания скриншотов). В общем, по многочисленным отзывам — стоящий продукт, с которым легко работать.

elektroznatok.ru

Программа для рисования схем: бесплатная, платная

Главная » Электрика » Как нарисовать электрическую схему на компьютере — обзор программ

Мы все больше пользуемся компьютером и виртуальными инструментами. Вот уже и чертить на бумаге схемы не всегда хочется — долго, не всегда красиво и исправлять сложно. Кроме того, программа для рисования схем может выдать перечень необходимых элементов, смоделировать печатную плату, а некоторые могут даже просчитать результаты ее работы. 

Бесплатные программы для создания схем

Содержание статьи

В сети имеется немало неплохих бесплатных программ для рисования электрических схем. Профессионалам их функционала может быть недостаточно, но для создания схемы электроснабжения дома или квартиры, их функций и операций хватит с головой. Не все они в равной мере удобны, есть сложные в освоении,  но можно найти несколько бесплатных программ для рисования электросхем которыми сможет пользоваться любой, настолько в них простой и понятный интерфейс.

Самый простой вариант — использовать штатную программу Windows Paint, которая есть практически на любом компьютере. Но в этом случае вам придется все элементы прорисовывать самостоятельно. Специальная программа для рисования схем позволяет вставлять готовые элементы на нужные места, а потом соединять их при помощи линий связи. ОБ этих программах и поговорим дальше.

Бесплатная программа для рисования схем — не значит плохая. На данном фото работа с Fritzing

Редактор электрических схем QElectroTech

Программа для рисования схем QElectroTech есть на русском языке, причем русифицирована она полностью — меню, пояснения — на русском языке. Удобный и понятный интерфейс — иерархическое меню с возможными элементами и операциями в левой части экрана и несколько вкладок вверху. Есть также кнопки быстрого доступа для выполнения стандартных операций — сохранения, вывода на печать и т.п.

Редактор электрических схем QElectroTech

Имеется обширный перечень готовых элементов, есть возможность рисовать геометрические фигуры, вставлять текст, вносить изменения на определенном участке, изменять в каком-то отдельно взятом фрагменте направление, добавлять строки и столбцы. В общем, довольно удобна программа при помощи которой легко нарисовать схему электроснабжения, проставить наименование элементов и номиналы. Результат можно сохранить в нескольких форматах: JPG, PNG, BMP, SVG, импортировать данные (открыть в данной программе) можно в форматах  QET и XML, экспортировать — в формате QET.

Недостаток этой программы для рисования схем — отсутствие видео на русском языке о том, как ей пользоваться, зато есть немалое количество уроков на других языках.

Графический редактор от Майкрософт — Visio

Для тех, кто имеет хоть небольшой опыт работы с продуктами Майкрософт, освоить работу в из графическом редакторе Visio (Визио) будет несложно. У данного продукта также есть полностью русифицированная версия, причем с хорошим уровнем перевода.

Составлять электрические схемы в Visio несложно

Данный продукт позволяет начертить схему в масштабе, что удобно для расчета количества необходимых проводов. Большая библиотека трафаретов с условными обозначениями, различных составляющих схемы, делает работу похожей на сборку конструктора: необходимо найти нужный элемент и поставить его на место. Так как к работе в программах данного типа многие привыкли, сложности поиск не представляет.

К положительным моментам можно отнести наличие приличного количества уроков по работе с этой программой для рисования схем, причем на русском языке.

Компас Электрик

Еще одна программа для рисования схем на компьютере — Компас Электрик. Это уже более серьезный продукт, который используют профессионалы. Имеется широкий функционал, позволяющий рисовать различные планы, блок-схемы, другие подобные рисунки. При переносе схемы в программу параллельно формируется спецификация и монтажная схема и све они выдаются на печать.

Для начала работы необходимо подгрузить библиотеку с элементами системы. При выборе схематичного изображения того или иного элемента будет «выскакивать» окно, в котором будет список подходящих деталей, взятый из библиотеки. Из данного списка выбирают подходящий элемент, после чего его схематичное изображение появляется в указанном месте схемы. В то же время автоматически проставляется соответствующее ГОСТу обозначение со сквозной нумерацией (цифры программа меняет сама). В то же время в спецификации появляются параметры (название, номер, номинал) выбранного элемента.

Пример схемы, созданной в Компас Электрик

В общем, программа интересная и полезная для разработки схем устройств. Может применяться для создания схемы электропроводки в доме или квартире, но в этом случае ее функционал использован почти не будет. И еще один положительный момент: есть много видео-уроков работы с Компас-Электрик, так что освоить ее будет несложно.

Программа DipTrace — для рисования однолинейных схем и принципиальных

Эта программа полезна не только для рисования схем электроснабжения — тут все просто, так как нужна только схема. Более полезна она для разработки плат, так как имеет встроенную функцию преобразования имеющейся схемы в трассу для печатной платы.

Исходная схема (мультивибратор), нарисованная а DipTrace

Схема печатной платы

Сама плата мультивибратора

Для начала работы, как и в многих других случаях, необходимо сначала подгрузить имеющиеся на вашем компьютере библиотеки с элементной базой. Для этого необходимо запустить приложение  Schematic DT, после чего можно загрузить библиотеки. Их можно будет скачать на том же ресурсе, где будете брать программу.

После загрузки библиотеки можно приступать к рисованию схемы. Сначала можно «перетащить» нужные элементы из библиотек на рабочее поле, развернуть их (если понадобится), расставить и связать линиями связи. После того как схема готова, если необходимо, в меню выбираем строку «преобразовать в плату» и ждем некоторое время. На выходе будет готовая печатная плата с расположением элементов и дорожек. Также можно в 3D варианте посмотреть внешний вид готовой платы.

Бесплатная прога ProfiCAD для составления электросхем

Бесплатная программа для рисования схем ProfiCAD — один из лучших вариантов для домашнего мастера. Она проста в работе, не требует наличия на компьютере специальных библиотек — в ней уже есть коло 700 элементов. Если их недостаточно, можно легко пополнить базу. Требуемый элемент можно просто «перетащить» на поле, там развернуть в нужном направлении,  установить.

Пример использования ProfiCAD для рисования электрических схем

Отрисовав схему, можно получить таблицу соединений, ведомость материалов, список проводов. Результаты можно получить в одном из четырех наиболее распространенных форматов: PNG, EMF, BMP, DXF.  Приятная особенность этой программы — она имеет низкие аппаратные требования. Она нормально работает с системами от Windows 2000 и выше.

Есть у этого продукта только один недостаток — пока нет видео о работе с ней на русском языке. Но интерфейс настолько понятный, что разобраться можно и самому, или посмотреть один из «импортных» роликов чтобы понять механику работы.

 Платные, на которые стоит потратиться

Если вам придется часто работать с программой для рисования схем, стоит рассмотреть некоторые платные версии. Чем они лучше? У них более широкий функционал, иногда более обширные библиотеки  и более продуманный интерфейс.

Простая и удобная sPlan

Если вам не очень хочется разбираться с тонкостями работы с многоуровневыми программм, присмотритесь к пролукту sPlan. Он имеет очень простое и понятное устройство, так что через час-полтора работы вы будете уже свободно ориентироваться.

Как обычно в таких программах, необходима библиотека элементов, после первого пуска их надо подгрузить перед началом работы. В дальнейшем, если не будете переносить библиотеку в другое место, настройка не нужна — старый путь к ней используется по умолчанию.

Программа для рисования схем sPlan и ее библиотека

Если вам необходим элемент, которого нет в списке, его можно нарисовать, затем добавить в библиотеку. Также есть возможность вставлять посторонние изображения и сохранять их, при необходимости, в библиотеке.

Из других полезных и нужных функций — автонумерация, возможность изменения масштаба элемента при помощи вращения колесика мышки, линейки для более понятного масштабирования. В общем, приятная и полезная вещь.

Micro-Cap

Эта программа кроме построения схемы любого типа (аналогового, цифрового или смешанного) позволяет еще и проанализировать ее работу. Задаются исходные параметры и получаете выходные данные. То есть, можно моделировать работу схемы при различных условиях. Очень полезная возможность, потому, наверное, ее очень любят преподаватели, да и студенты.

В программе Micro-Cap есть встроенные библиотеки, которые можно пополнять при помощи специальной функции. При рисовании электрической схемы продукт в автоматическом режиме разрабатывает уравнения цепи, также проводит расчет в зависимости от проставленных номиналов. При изменении номинала, изменение выходных параметров происходит тут же.

Программа для черчения схем электроснабжения и не только — больше для симуляции их работы

Номиналы элементов могут быть постоянными или переменными, зависящими от различных факторов — температуры, времени, частоты, состояния некоторых элементов схемы и т.д. Все эти варианты просчитываются, результаты выдаются в удобном виде. Если есть в схеме детали, которые изменяют вид или состояние — светодиоды, реле — при симуляции работы, изменяют свои параметры и внешний вид благодаря анимации.

Программа для черчения и анализа схем Micro-Cap платная, в оригинале — англоязычная, но есть и русифицированная версия. Стоимость ее в профессиональном варианте — больше тысячи долларов. Хороша новость в том, что есть и бесплатная версия, как водится с урезанными возможностями (меньшая библиотека, не более 50 элементов в схеме, сниженная скорость работы). Для домашнего пользования вполне подойдет и такой вариант. Приятно еще что она нормально работает с любой системой Windows от Vista и 7 и выше.

stroychik.ru

Бесплатная программа для рисования блок-схем

Строго говоря, термина «блок-схема» не существует. Вместо этой фразы правильно говорить «схема алгоритма», но сейчас не об этом. Моя статья о том, можно ли быстро и удобно рисовать алгоритмы, при этом еще чтобы это было бесплатно. Было бы здорово, если бы существовал бесплатный аналог онлайн-редактора Gliffy, и он на наше счастье есть.

Речь идет о Pencil Project. Это бесплатная программа с открытым исходным кодом, доступная для всех платформ (Windows, Linux, Mac, разработан даже плагин к Firefox). Ее предназначение не столько в том, чтобы рисовать схемы алгоритмов, она создана в целом для прототипирования. То есть там можно еще и смоделировать интерфейс. Получается, что эта программа является конкурентом не только Gliffy, но и Moqups.

Алгоритмы в Pencil рисовать очень легко. Для этого имеется выделенная библиотека примитивов со стандартными блоками и соединителями. Выглядит это примерно так:

При рисовании блоков они привязываются автоматически к сетке, что позволяет легко их выравнивать. Нарисовав один блок, другой блок можно «примагнитить» к нему снизу или сбоку, всё при этом будет ровно.

Если навести на блок и кликнуть мышью один раз, будет режим изменения размера блока и перетаскивания. Если кликнуть второй раз, блок можно будет вращать (появятся круглые красные точки по краям).

Доступны основные базовые возможности, практически как в Visio: блоки можно объединять в группы, перетаскивать и копировать, располагать выше или ниже по слоям, магнитить коннекторы к центру и т.д.

Недостатки тоже присутствуют, например, не очень корректная работа углового соединителя: он иногда трансформируется в невообразимый зигзаг при попытке его выделить и перетащить. Но эти недостатки столь несущественны, что не помешали занять программе Pencil достойное место в моей коллекции повседневных инструментов разработчика.

Unknown, пятница, 21 ноября 2014 г. инструменты, программы

blog.sergey-lysenko.ru

Онлайн-сервисы для построения инфографиков, блок-схем и диаграмм / Железо, гаджеты, софт / YaUmma.Ru

https://www.draw.io/ — Совместные рисунки блок схем.
https://www.gliffy.com/ — Онлайн-сервис построения диаграмм, средствами выражения пользователям которого служат фигуры, текст и контуры.
https://www.lucidchart.com/

Для создания диаграмм:
http://www.onlinecharttool.com/
http://nces.ed.gov/nceskids/createagraph/
http://imagecharteditor.appspot.com/ — от Google

Создание инфографиков (и интерактивных схем)
http://www-958.ibm.com/software/data/cognos/manyeyes/ от IBM
http://www.easel.ly/

https://bubbl.us/ — Сервис для лёгкого построения наглядных диаграмм связей и их последующей печати
http://www.amcharts.com/ — Набор бесплатных javascript/HTML5-инструментов
https://cacoo.com/ — инструмент построения онлайн-графики
http://www.chartle.net/ — браузерный сервис построения схем и графиков с встроенными шаблонами
http://chartsbin.com/ — Веб-сервис визуализации данных
http://creately.com/ — Броские графики и блок-схемы (есть шаблоны)
http://www.easel.ly/ — возможность конструировать красивую инфографику
http://d3js.org/ — javascript-библиотека для обработки документов, содержащих массивы данных. D3 помогает вам «оживлять» эти данные средствами HTML, SVG и CSS
http://www.dundas.com/ — широкий спектр средств визуализации данных в рамках технологии Microsoft
http://flare.prefuse.org/ — ActionScript-библиотека для построения зрительных образов, запускаемая через Adobe Flash Player
http://medialoot.com/item/vector-infographic-kit/ — Огромный «набор-конструктор» векторных рисунков и инфографики
http://www.fusioncharts.com/ — 90 вариаций схем, а также 550 карт в форматах javascript (HTML5) и Flash.
https://gephi.org/ — интерактивная платформа визуализации/просмотра данных для любых сетевых и сложных систем
http://www.highcharts.com/ — библиотека для построения схем полностью на базе javascript
http://hohli.com/ — можно генерировать диаграммы Венна, рассеяния, а также столбчатые, радиальные и круговые, линейные графики
http://www.icharts.net/ — Сервис сетевого доступа, облегчающий визуализацию, рассылку Больших и Малых данных
http://infogr.am/ — подобно работе с Adobe Illustrator в режиме онлайн
http://vizualize.me/ — Набор инструментов для построения интерактивных веб-образцов визуализации данных средствами javascript
http://www.jscharts.com/ — javascript-генератор схем, почти или вовсе не требующий дополнительной кодировки
http://keylines.com/ — Набор javascript-инструментов визуализации параметров сетевой деятельности
http://kinzaa.com/ — Приложение для составления резюме неотразимой наружности с инфографикой
http://www-958.ibm.com/software/analytics/manyeyes/ — Сайт визуализации данных, предоставляющий вам средства как построения ваших собственных образцов, так и просмотра чужой инфографики
http://mind42.com/ — Средство браузерного базирования для коллективного построения диаграмм связей
http://www.mindomo.com/ — Онлайн-сервис построения диаграмм связей
http://www.onlinecharttool.com/ — в режиме онлайн и пересылать бесплатно ваши собственные схемы
http://piktochart.com/ — веб-приложение для создания забавной инфографики.
http://prefuse.org/ — Набор программных средств для представления визуальных данных в виде роскошных интерактивных фрагментов
http://re.vu/ — приложение генерации наглядных резюме.
http://www.statsilk.com/ — Широкий спектр программных средств, базирующихся в сети и на рабочем столе
http://www.tagxedo.com/ — заполнить словами
http://www.tableausoftware.com/public/ — Бесплатный сервис визуализации данных
http://www.oicweave.org/ — платформа для разработки прикладных программ
http://www.dataviz.org/ — Набор мощных Drupal-модулей визуализации
http://visualizefree.com/ — Бесплатный сервис зрительного анализа информации
http://vizualize.me/ — преобразуйте ваш LinkedIn-профиль в симпатичную инфографическую картинку
http://www.wordle.net/ — риложение генерации «текстовых облаков»
http://www.data360.org/index.aspx — Кладезь полезной, новейшей информации для построения вашей инфографики.
http://datamarket.com/ — массивы данных в инфорграфике
http://www.everyblock.com/ — Все местные новости и сплетни — «в одном флаконе».
http://www.freebase.com/ — рафики показателей хозяйственно-экономической деятельности населения
http://www.gapminder.org/ — Flash-презентации и диаграммы основных тенденций мирового развития, анимацию и красочную графику
http://getthedata.org/ — Вопросы и ответы по поводу доступа к различным данным.
http://webtun.com/engine/go.php?url=aHR0cDovL3d3dy5nb29nbGUuY29tL3B1YmxpY2RhdGEvZGlyZWN0b3J5 — Google Public Data Explorer
http://knoema.com/ — платформа хранения полезных сведений с функциями внедрения данных в сервисы статистического учёта и презентации
http://www.numberof.net/ — источник данных для построения вашей инфографики
http://www.visualizing.org/ — объёмная подборка комплектов ценных данных и красочной инфографики
http://worldmap.harvard.edu/ — ПО с открытым исходным кодом для создания картографами собственных порталов

Дополнительно:

http://www.mindmeister.com

https://moqups.com

StartPlanet — онлайн редактор для построения инфографики

http://visual.ly/
А тут для создания резюме или гугл аналитики – http://create.visual.ly/

http://www.mindjet.com/

yaumma.ru

Программы для создания блок-схем

В наше время с построением различного рода диаграмм и блок-схем сталкивается каждый дизайнер и программист. Когда информационные технологии еще не занимали такую важную часть нашей жизни, рисование этих конструкций приходилось производить на листе бумаги. К счастью, теперь все эти действия выполняются с помощью автоматизированного программного обеспечения, устанавливаемого на компьютер пользователя.

В интернете довольно легко найти огромное количество редакторов, предоставляющих возможность создания, редактирования и экспорта алгоритмической и деловой графики. Однако не всегда легко разобраться в том, какое именно приложение необходимо в конкретном случае.

Microsoft Visio

В силу своей многофункциональности, продукт от компании Microsoft может пригодится как профессионалам, не один год занимающимся построением различных конструкций, так и обычным пользователям, которым необходимо нарисовать простую схему.

Как и любая другая программа из серии Microsoft Office, Visio имеет все необходимые для комфортной работы инструменты: создание, редактирование, соединение и изменение дополнительных свойств фигур. Реализован и специальный анализ уже построенной системы.

Скачать Microsoft Visio

Dia

На втором месте в данном списке вполне справедливо располагается Dia, в которой сосредоточены все необходимые современному пользователю функции для построения схем. К тому же, редактор распространяется на бесплатной основе, что упрощает его использование в образовательных целях.

Огромная стандартная библиотека форм и связей, а также уникальные возможности, не предлагаемые современными аналогами — это ждет пользователя при обращении к Диа.

Скачать Dia

Flying Logic

Если вы ищете софт, с помощью которого можно быстро и легко построить необходимую схему, то программа Flying Logic — это именно то, что вам нужно. Здесь отсутствует громоздкий сложный интерфейс и огромное количество визуальных настроек диаграмм. Один клик — добавление нового объекта, второй — создание объединения с другими блоками. Еще можно объединять элементы схемы в группы.

В отличие от своих аналогов, данный редактор не располагает большим количеством различных форм и связей. Плюс ко всему, существует возможность отображения дополнительной информации на блоках, о чем подробно рассказано в обзоре на нашем сайте.

Скачать Flying Logic

BreezeTree Software FlowBreeze

FlowBreeze — это не отдельная программа, а подключаемый к Microsoft Excel самостоятельный модуль, в разы облегчающий разработку диаграмм, блок-схем и прочих инфографик.

Безусловно, ФлоуБриз — это ПО, по большей части предназначенное для профессиональных дизайнеров и им подобных, которые разбираются во всех тонкостях функционала и понимают, за что отдают деньги. Среднестатистическим пользователям будет крайне сложно разобраться в редакторе, особенно учитывая интерфейс на английском языке.

Скачать Flying Logic

Edraw MAX

Как и предыдущий редактор, Edraw MAX — это продукт для продвинутых пользователей, профессионально занимающихся подобной деятельностью. Однако, в отличие от FlowBreeze, он является самостоятельным программным обеспечением с несчетным количеством возможностей.

По стилю интерфейса и работы Edraw очень напоминает Microsoft Visio. Не зря его называют главным конкурентом последнего.

Скачать Edraw MAX

AFCE Редактор Блок-Схем (Algorithm Flowcharts Editor)

Данный редактор является одним из наименее распространенных среди представленных в данной статье. Вызвано это тем, что его разработчик — обычный преподаватель из России — полностью забросил разработку. Но его продукт все-равно пользуется некоторым спросом на сегодняшний день, поскольку отлично подходит любому школьнику или студенту, который изучает основы программирования.

Вдобавок к этому программа является полностью бесплатной, а ее интерфейс выполнен исключительно на русском языке.

Скачать AFCE Редактор Блок-Схем

FCEditor

Концепция программы FCEditor кардинально отличается от других представленных в данной статье. Во-первых, работа происходит исключительно с алгоритмическими блок-схемами, которые активно используются в программировании.

Во-вторых, ФСЭдитор самостоятельно, в автоматическом режиме строит все конструкции. Все что необходимо пользователю — это импортировать готовый исходный код на одном из доступных языков программирования, после чего экспортировать конвертированный в схему код.

Скачать FCEditor

BlockShem

В программе BlockShem, к сожалению, представлено намного меньше функций и удобств для пользователей. Полностью отсутствует автоматизация процесса в любом виде. В БлокСхеме пользователь должен вручную рисовать фигуры, а после объединять их. Данный редактор скорее относится к графическим, нежели к объектным, предназначенным для создания схем.

Библиотека фигур, к сожалению, в этой программе крайне бедна.

Скачать BlockShem

Как видите, существует большой выбор софта, предназначенного для построения блок-схем. Причем различаются приложения не только количеством функций — некоторые из них предполагают фундаментально другой принцип работы, отличимый от аналогов. Поэтому сложно посоветовать, каким редактором пользоваться — каждый может подобрать именно тот продукт, который ему необходим.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?

ДА НЕТ

lumpics.ru

Draw.io – инструмент для создания диаграмм и блок-схем онлайн ~ Страницы Интернета

Для построения диаграмм, графиков и блок-схем мы в основном используем офисные средства MS Word, MS Visio и другие. Но так как блог LifevInet.ru  об онлайн сервисах, я обязан написать о сервисе для создания диаграммы и блок-схемы. Хочу Вам представить сервис Draw.io. Draw.io – инструмент для создания диаграмм и блок-схем онлайн, всевозможных сложностей и структуры. Напоминает MS Visio и возможно сделан под него, но приложение от Microsoft — платная, а онлайн сервис Draw.io — бесплатный. Кстати я в своем блоге упоминал о сервисе Chart Creator для создания диаграмма и графиков, возможно он тоже Вам пригодится.

• Диаграммы
• Моделирование на UML
• Вставлять в диаграмму изображения
• Графики
• Блок-схемы
• Формы
• Другое

Для того чтобы создать блок схему онлайн, нужно создать новый документ в сервисе Draw.io. Интерфейс сервиса разделен на 3 части:

1. Меню (верхняя часть страницы)
2. Панель объектов для построения диаграмм, графиков и блок-схем (слева)
3. Документ (справа)

В панели объектов выбираем нужную категорию и переносим объект в документ, курсором манипулятора мыши. Объектов в панели слева достаточно, чтобы создать полноценную диаграмму или блок-схему.

Чтобы соединить объекты блок-схемы друг с другом, нужно выделить второй объект и навести указателем манипулятора мыши на первый, после чего появиться зеленый флажок. Далее указателем манипулятора мыши перетаскиваем его на второй объект. Таким образом, создаем соединения.

В верхнем меню сервиса диаграмму или блок-схему можно оформить в более привлекательный и приятный вид:

• Стиль шрифта
• Цвет фона страницы документа или объектов
• Добавить тени и прозрачность
• Цвет и толщину линий
• Цвет заливки и градиент

По окончанию создания своей блок-схемы, можно экспортировать ее на свой компьютер в формате изображение (PNG, GIF, JPG, PDF). Делается это через меню: Файл – Экспортировать, вводим наименование файла, выбираем формат и разрешение файла и нажимаем на кнопку Сохранить.

Также хочу отметить, что сервис Draw.io можно синхронизировать с Google Диском. Это дает возможность сохранять проект прямо на диск Google, создавая резервную копию. А также продолжить дорабатывать диаграмму.

Draw.io прекрасный сервис для создания диаграмм, графиков и блок-схем онлайн. Мне кажется Вам стоит его оценить и добавить себе в копилку, как инструмент для работы и учебы.

internet-pages.blogspot.com

358752 прописью -> триста пятьдесят восемь тысяч семьсот пятьдесят два

358 752

three hundred and fifty-eight thousand seven hundred and fifty-two

three hundred fifty-eight thousand seven hundred fifty-two

dreihundert achtundfünfzig tausend siebenhundert zweiundfünfzig

trois cent cinquante-huit mille sept cent cinquante-deux

триста п’ятдесят вісім тисяч сiмсот п’ятдесят два

trzysta pięćdziesiąt osiem tysięcy siedemset pięćdziesiąt dwa

tři sta padesát osm tisíc sedm set padesát dva

Посмотрите как пишутся числа: 82432, 164683, 271152, 386566, 413185, 577464, 634509, 755640, 874441, 924310.

numword.ru

258753 прописью -> двести пятьдесят восемь тысяч семьсот пятьдесят три

258 753

two hundred and fifty-eight thousand seven hundred and fifty-three

two hundred fifty-eight thousand seven hundred fifty-three

zweihundert achtundfünfzig tausend siebenhundert dreiundfünfzig

deux cent cinquante-huit mille sept cent cinquante-trois

двісті п’ятдесят вісім тисяч сiмсот п’ятдесят три

dwieście pięćdziesiąt osiem tysięcy siedemset pięćdziesiąt trzy

dvě stě padesát osm tisíc sedm set padesát tři

Посмотрите как пишутся числа: 58020, 132984, 253366, 372659, 448128, 557508, 647563, 729423, 869958, 935712.

numword.ru

658753 прописью -> шестьсот пятьдесят восемь тысяч семьсот пятьдесят три

658 753

six hundred and fifty-eight thousand seven hundred and fifty-three

six hundred fifty-eight thousand seven hundred fifty-three

sechshundert achtundfünfzig tausend siebenhundert dreiundfünfzig

six cent cinquante-huit mille sept cent cinquante-trois

шiстсот п’ятдесят вісім тисяч сiмсот п’ятдесят три

sześćset pięćdziesiąt osiem tysięcy siedemset pięćdziesiąt trzy

šest set padesát osm tisíc sedm set padesát tři

Посмотрите как пишутся числа: 22218, 143394, 246135, 368788, 464634, 574499, 671122, 715591, 819306, 949220.

numword.ru

358755 прописью -> триста пятьдесят восемь тысяч семьсот пятьдесят пять

358 755

three hundred and fifty-eight thousand seven hundred and fifty-five

three hundred fifty-eight thousand seven hundred fifty-five

dreihundert achtundfünfzig tausend siebenhundert fünfundfünfzig

trois cent cinquante-huit mille sept cent cinquante-cinq

триста п’ятдесят вісім тисяч сiмсот п’ятдесят п’ять

trzysta pięćdziesiąt osiem tysięcy siedemset pięćdziesiąt pięć

tři sta padesát osm tisíc sedm set padesát pět

Посмотрите как пишутся числа: 13840, 111316, 204679, 394955, 429477, 539028, 671326, 757009, 872307, 941903.

numword.ru

558753 прописью -> пятьсот пятьдесят восемь тысяч семьсот пятьдесят три

558 753

five hundred and fifty-eight thousand seven hundred and fifty-three

five hundred fifty-eight thousand seven hundred fifty-three

fünfhundert achtundfünfzig tausend siebenhundert dreiundfünfzig

cinq cent cinquante-huit mille sept cent cinquante-trois

п’ятсот п’ятдесят вісім тисяч сiмсот п’ятдесят три

pięćset pięćdziesiąt osiem tysięcy siedemset pięćdziesiąt trzy

pět set padesát osm tisíc sedm set padesát tři

Посмотрите как пишутся числа: 19659, 104774, 226400, 395591, 443994, 544945, 633224, 774409, 857848, 943834.

numword.ru

778750 прописью -> семьсот семьдесят восемь тысяч семьсот пятьдесят

778 750

seven hundred and seventy-eight thousand seven hundred and fifty

seven hundred seventy-eight thousand seven hundred fifty

siebenhundert achtundsiebzig tausend siebenhundert fünfzig

sept cent soixante-dix-huit mille sept cent cinquante

сiмсот сімдесят вісім тисяч сiмсот п’ятдесят

siedemset siedemdziesiąt osiem tysięcy siedemset pięćdziesiąt

sedm set sedmdesát osm tisíc sedm set padesát

Посмотрите как пишутся числа: 73224, 195794, 208514, 353456, 463071, 535208, 615624, 716014, 800870, 947301.

numword.ru

358757 прописью -> триста пятьдесят восемь тысяч семьсот пятьдесят семь

358 757

three hundred and fifty-eight thousand seven hundred and fifty-seven

three hundred fifty-eight thousand seven hundred fifty-seven

dreihundert achtundfünfzig tausend siebenhundert siebenundfünfzig

trois cent cinquante-huit mille sept cent cinquante-sept

триста п’ятдесят вісім тисяч сiмсот п’ятдесят сім

trzysta pięćdziesiąt osiem tysięcy siedemset pięćdziesiąt siedem

tři sta padesát osm tisíc sedm set padesát sedm

Посмотрите как пишутся числа: 55700, 148812, 226785, 394293, 416302, 597151, 660923, 758149, 806526, 966433.

numword.ru