Рубрика: Школьная жизнь

Восемьдесят тысяч кашмирцев погибли в этой борьбе, которую, к сожалению, обходит своим вниманием международное сообщество; не было даже ни одного заявления — хотя бы в одну строку — со стороны этого органа.

И вас кинули на восемьдесят тысяч.

Сто восемьдесят тысяч за вашу голову.

Количество юридических лиц занимающихся предпринимательством превышает 86000 (восемьдесят тысяч).

Он на тебе выиграл восемьдесят тысяч. Офигеть.

В моей лежали восемьдесят тысяч долларов.

И потом я видела толпу в восемьдесят тысяч.

Продано Томстэю за восемьдесят тысяч франков.

Восемьдесят тысяч в счет платежа за машины.

Начальная ставка восемьдесят тысяч долларов.

Сто восемьдесят тысяч евро по телефону.

Сто восемьдесят тысяч евро по телефону.

И потом я видела толпу в восемьдесят тысяч.

В моей лежали восемьдесят тысяч долларов.

Продано Томстэю За восемьдесят тысяч франков.

Восемьдесят тысяч — ремонт душа, а ему всего пара лет.

Shower repair. It’s from two years ago.

Восемьдесят тысяч баксов, плюс-минус, по уличному курсу.

Восемьдесят тысяч — ремонт душа, а ему всего пара лет.

Сегодня недвижимость продается за девятьсот восемьдесят тысяч долларов.

context.reverso.net

Число 1080000 (один миллион восемьдесят тысяч)

ochisle.ru

Здесь искали:

• элементы сюжета

sochineniye.ru

Произведение перестановок — 1 Августа 2015 — Примеры решений задач

Перестановка порядка n это биективное отображение конечного множества из n элементов  в себя.

Таблица вида  

, что означает перестановку ,

Также можно для удобства переставлять столбцы местами:

Для наглядности, ту же перестановку можно изобразить картинкой вида

Пример вычисления произведения перестановок: если

При помощи обычного определения удобно вычислять произведение так: в перестановке σ переставляем столбцы так, что первая строчка в σ совпадает с последней строчкой в τ . Тогда произведением будет перестановка, у которой первая строчка — стандартная, а вторая строчка — это вторая строчка из σ.

Пример 1:

Пример 2. Найти произведение перестановок можно и так

Первая перестановка переводит один в два, а вторая два в семь, значит произведение переводит один в семь и т.д.

Перестановки удобно перемножать и в том случае, когда они представлены в виде произведения непересекающихся циклов.

Например: στ= (1,2,4,3) · (1,3) = (2,4,3)

При этом произведение получается так: для каждого элемента от 1 до 4 надо пройти по циклам в левой части и проследить куда он переходит.

В частности, 3 сначала переходит в 1 (цикл (1 , 3)),

а затем 1 в 2 (цикл(1 , 2 , 4 , 3)).
Значит в произведении 3 будет переходить в 2.

Умножение перестановок некоммутативно:  τσ ≠ στ.

Следовательно решение уравнений вида:  τx = σ,  xτ = σ

x = τ^-1σ,   x = στ^-1

www.reshim.su

2. Прямым углом называется угол, который равен девяноста градусам.

3. Тупой угол — это угол более девяноста градусов.

4. Острый угол — это угол менее девяноста градусов.

Получение сертификата
о прохождении теста

testedu.ru

Умножение и деление чисел на 2 и на 3.(закрепление)

Умножение и деление чисел на 2 и на 3.(закрепление)

05.06.2012, 16:12

Урок математики во 2 классе .Образовательная программа «Начальная школа 21 века»

Тема: Умножение и деление чисел на 2 и на 3.

Цели:

1)      Закрепить знание табличного умножения и деления на 2 и на 3.

      Развивать вычислительные навыки учащихся.

2)      Продолжить обучение решению задач с использованием действий умножения и деления.

3)      Работать над формированием универсальных учебных действий (УУД), повышением познавательной активности обучающихся.

4)      Воспитывать у учащихся чувство взаимовыручки.

 Презентация сказки «Гуси- лебеди» , аудиозапись сказки «Гуси-лебеди»,презентация «Львёнок ищет друзей»

Этап урока

Планируемые результаты (общеучебные умения и действия – УУД)

1.Организационный момент

Формирование внутренней позиции школьника на уровне положительного отношения к урокам математики.

2. Устный счёт

Умение формулировать выводы на основе сравнения, обобщения.

3. Объявление темы и задач урока

Умение проявлять инициативу в учебно-познавательной деятельности.

4. Актуализация опорных знаний

Умение кодировать информацию в знаково — символической форме.

В сотрудничестве с учителем проводить классификацию изучаемых объектов,

формулировать выводы на основе сравнения, обобщения.

5. Повторение таблицы умножения и деления на 2,на 3.

Принимать активное участие в работе группами.

Контролировать свои действия в коллективной работе.

Принимать учебную задачу и следовать инструкции учителя.

Ориентация на понимание оценок учителя и одноклассников.

Проявлять инициативу в учебно- познавательной деятельности.

6. Проверка знания таблицы умножения и деления на 2,на 3.

Принимать учебную задачу и следовать инструкции учителя.

Контролировать свои действия в коллективной работе.

Принимать учебную задачу и следовать инструкции учителя.

Ориентация на понимание оценок учителя и одноклассников.

Понимание чувств одноклассников.

7. Физминутка

Формирование коммуникативных умений.

8. Решение задач с использованием действий умножения и деления.

Понимание нравственного содержания поступков окружающих людей.

Умение строить простые индуктивные и дедуктивные рассуждения

Умение стремиться к координации различных мнений в сотрудничестве; умение договариваться, приходить к общему решению.

Формирование интереса к познанию математических фактов.

Умение осуществлять поиск нужной информации,

строить небольшие математические сообщения в устной форме.

Интерес к различным видам учебной деятельности, включая элементы предметно- исследовательской деятельности.

Умение планировать свои действия в соответствии с учебными задачами и инструкцией учителя

Умение моделировать задачи на основе анализа жизненных сюжетов.

Умение принимать установленные правила в планировании и контроле способа решения.

Формирование самооценки на основе заданных критериев успешности учебной деятельности

9.Подведение итога урока.

Понимание причин успеха в учёбе.

Самооценка на основе заданных критериев успешности учебной деятельности

10.Домашнее задание.

11.Рефлексия

Понимание причин успеха в учёбе.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Слайд 2

-Я хочу начать урок следующими словами:

«Вы талантливые дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много и хорошо умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению…” (Ж.Ж.Руссо)
— Пусть эти слова будут напутствием на уроке.

2. Устный счёт.

Слайд 3

-Посчитаем устно.

60-48=      58+6=      50+29=      3*6=      45-7=

(Объясняют способ вычисления, заменяя числа, где необходимо, суммой разрядных или удобных слагаемых)

-Какой пример лишний? Почему?

(3*6=18 – лишний, т. к. он на умножение)

-Составьте по данному примеру другой пример на умножение и примеры на деление.

(6*3=18,    18:3=6,   18:6=3)

(При перестановке слагаемых произведение не изменяется.

Если произведение разделить на 1 множитель, то получится 2 множитель и наоборот)

  3. Объявление темы и задач урока.

— Догадались ли вы, какова тема нашего урока?

(Умножение и деление чисел.)

-Умножение и деление чисел на 2 и на 3.

-Давайте вместе подумаем, что нам нужно повторить и чему учиться на уроке.

-Повторить правила  (законы) умножения и деления

-Закрепить знание таблицы умножения и деления на 2 и на 3

-Учиться решать задачи с использованием действий умножения и деления.

Слайд 4

-Таковы задачи нашего урока и мы должны их выполнить.

4. Актуализация опорных знаний.

-Какие правила и законы нам могут пригодиться на уроке? Лишние мы уберём, а нужные разделим на группы.

а*в = в*а                                          а+в = в+а

а*1 = а                                              а+(в+с) =  (а+в)+с

а:1 = а                                               а:а = 1

а+0 = а                                              а*0 = 0

а:0                                                     а:2- половина

а:3- треть

-Какие группы мы получили?

Деление                                              Умножение

а:1 = а                                                   а*в = в*а

а:а = 1                                                   а*1 = а

а:0 (на 0 делить нельзя)                      а*0 = 0

а:2- половина

а:3- треть

-Что мы повторили?

( Правила и законы умножения и деления.)

-Мы выполнили одну из поставленных задач.

5. Повторение таблицы умножения и деления на 2,на 3.

-Повторим таблицу умножения на 2 и на 3. Работать будем в группах.

а) Повторение правил работы в группах.

( Работать без шума. Не ссориться, не спорить, работать дружно, помогать друг другу…)

-Подберите синонимы к слову помогать.

(Помогать, спасать, выручать)

-Я очень хотела бы, чтобы вы всегда выручали друг друга не только на уроке, но и в жизни. Это очень важно для нас всех.

б) Повторение таблицы умножения на 2 и на 3.

-Мы повторим таблицу умножения на 2 и на 3. Кто будет затрудняться, группа тому поможет.

(Дети работают в группах.  По цепочке, по очереди задают друг другу примеры на табличные случаи умножения на 2, на 3.)

-Вы уже не первый раз проверяете знание таблицы умножения. Кто из членов вашей группы лучший знаток таблицы?

(Каждая группа называет ученика.)

-Аплодисменты лучшим знатокам.

в) Повторение таблицы деления на 2.

-Встаньте, пожалуйста, поиграем в игру «Горячий мяч». Ведущий называет пример и подаёт мяч кому-то из детей. Стараемся ответить и передать мяч водящему очень быстро, он горячий.

г) Повторение таблицы деления на 3.

(Используется презентация  «Львёнок ищет друзей»)

— Выручите Львёнка, помогите ему собрать друзей. А вместе с тем  повторим таблицу деления на 3.

-Молодцы, вы выручили Львёнка, у него теперь много друзей.

д) Подведение итога работы на данном этапе.

-Что мы повторили и закрепили?

-(Таблицы умножения и деления на 2,на 3.)

-Мы справились ещё с одной задачей урока.

6. Проверка знания таблицы умножения и деления на 2,на 3.

-А сейчас мы проверим свои знания.

Математический диктант:

-2 умножить на 7.

-По 3 взять 5 раз.

-Запишите произведение чисел 5 и 2.

-3 разделить на 3

-Первый множитель 3, второй множитель 9, запишите произведение.

-12 разделить на 2

-Чему равно произведение чисел 2 и 0?

-Поменялись тетрадями по кругу, взаимопроверка, проверяем работу соседа.

-Правильные ответы на доске: 14,15, 10, 1, 27, 6, 0.

-Поменялись тетрадями опять по кругу, но в обратном направлении.

-Посмотрите свои работы. У кого нет ошибок?  Это будущие отличники.

( Во 2 классе оценки пока не выставляются).

-У кого 1-2 ошибки? Будущие хорошисты.

-У кого ошибок было больше, руку поднимать не нужно, мысленно скажите себе: « Я должен повторить таблицу умножения и деления на 2, на3»

— Что мы проверили?

(Знание таблицы умножения и деления на 2, на 3.)

-Результатами я осталась довольна, спасибо, вы старались.

7.Физминутка.

-Я предлагаю отдохнуть.

(Выполняются танцевальные упражнения под музыку, которые показывает одна из подготовленных учениц.)

8. Решение задач с использованием действий умножения и деления.

а) Беседа по сказке.   Слайды  5, 6, 7, 8, 9, 10

-Конечно, все вы знаете эту сказку, но я вам её напомню.

(Слушают отрывок из сказки «Гуси- лебеди»(запись прилагается) и просматривают слайды.)

-К кому обращалась за помощью девочка?

-К печке, яблоньке, речке. Слайд 11

-Почему они не выручили девочку?

(Она была невежлива, отказывалась от угощения)

-У нас на уроке эта сказка на новый лад. Кроме угощения герои приготовили девочке задачи. Выручим девочку, поможем ей решить задачи?

б) Решение задач. (Работа в группах)

-Задача печки.Слайд 12

Испекла я  24 пирожка.
Разложила их на 3 тарелки. 
Сколько пирожков на каждой тарелке?

-Посовещайтесь в группе, каким действием решается задача? Выберите карточку с верным решением.

(Показывают карточку (действие : ) 24:3=8(п))

-Задача речки.    Слайд 13

За день путники выпивают  по 2 кувшина киселя.

Сколько кувшинов киселя  они выпьют за неделю?

— Что такое неделя?

( 7 дней)

-Почему неделю так назвали? Ребята поработали заранее и нашли ответ на вопрос. Послушайте. (Использовались Интернет и толковый словарь)

(Особым почётом  в древности была окружена семёрка. Отголоски почитания числа 7 дошли до наших дней. Вспомните пословицы: Семь бед — один ответ. Семеро одного не ждут. Наша неделя состоит из 7 дней. Древние заметили, что 7 нельзя поделить на равные части. Вот и назвали 7- не – деля. (Интернет)

-Неделя — образовано от словосочетания «не делать», то есть отдыхать. Неделя — означало «день отдыха». (Толковый словарь.)

-Ещё раз посмотрите на задачу. Каким действием решается? Посовещайтесь в группе и выберите верное решение.

(Показывают карточку (действие *) 2*7=14 (к)

-Задача ёжика в  учебнике, с. 90 №21.   Слайд 14

Маша нашла 27 грибов. Треть из них – подосиновики. Сколько подосиновиков нашла Маша?

(Совещаются. Показывают карточку (действие : ) 27:3=9(п) )

в) Решение задач коллективно.

-Задача яблоньки.   Слайд 15

В корзине было несколько яблок. Девочка с братцем съели по 3 яблочка и ещё осталось 5 яблок. Сколько яблок было сначала?

(Задача подробно анализируется  коллективно и решается письменно.)

(Чтобы узнать сколько яблок было, нужно знать, сколько их съели и сколько осталось. Сколько осталось известно, а сколько съели мы не знаем, но известно, что съели 2 человека по 3 яблока. Значит, можно узнать.

-Расскажите план решения задачи.

-Что узнаем 1 действием?

(Сколько яблок съели.)

-Что узнаем 2 действием?

(Сколько яблокбыло.)

-Запишем решение вместе.

1)      3*2=6(яб.) — съели.

2)      6+5=11(яб.) — было.

-Мы выручили девочку, решили все задачи, она обязательно спасёт братца.  Слайд 16

г) Составление и решение задачи.

-Теперь вернёмся из сказки в нашу жизнь. Пойдём в кино.

(Встали, имитация ходьбы.)

-Займите места. Смотрим немое кино. Вы ничего не услышите, а всё, что увидите, считайте.

( Дети показывают  сценку:

Мама покупает в магазине конфеты, продавец даёт ей 14 штук. Мама приходит домой. Сидят 3 детей. Мама даёт каждому по 2 конфеты. Остальные лежат в пакете.)

-Расскажите, что вы увидели?

(Мама купила 14 конфет. Дома она дала трём детям по 2 конфеты.)

-Можно ли это назвать задачей? Чего не хватает?

(Вопроса.)

-Поставьте к задаче вопрос.

(Сколько конфет осталось у мамы?)

(Анализ задачи:

Чтобы узнать сколько конфет осталось у мамы, нужно знать сколько конфет мама купила и сколько она отдала детям. Сколько конфет купили известно, а сколько отдали мы не знаем, но знаем, что трём детям по 2 конфеты, а значит можем узнать.

-Обсудите план решения в группах.

-Что узнаем 1 действием?

( Сколько конфет мама отдала.)

-Что узнаем 1 действием?

( Сколько конфет осталось у мамы.)

— Один из вас за доской будет решать задачу, а остальные решат её самостоятельно.

1) 2*3=6(к.) – отдала.

2) 14-6=8(к.)- осталось.

-Самопроверка. Сверьте соё решение с решением ученика на доске.

-А теперь проверим, сколько конфет лежит в пакете. Вывод?

(Задача решена верно)

-Чему мы учились?

(Решать задачи)

-Мы выполнили ещё одну задачу, которую поставили перед собой в начале урока.

Значит, все задачи выполнены. Молодцы!

9. Подведение итога урока.

-Подведём итог нашей работы.

Нам поможет карточка – помощница.

-На уроке я повторил…              

-Я учился…                                  

-На уроке мне было…                

-Я понял, что…                           

-Я радовался…                           

-Я всегда буду… 

(Дети читают начало в карточке и сами заканчивают мысль)

-На уроке я повторил…               таблицу умножения и деления на 2, на 3.

-Я учился…                                   решать задачи.

-На уроке мне было…                 (интересно, скучно, легко, трудно…)

-Я понял, что…                            надо знать таблицу, уметь решать задачи

-Я радовался…                            (успехам товарищей, своим успехам, полученным  знаниям)

-Я всегда буду…                           выручать своих товарищей.

10. Домашнее задание.

-Просмотрите домашнее задание. Что вам не понятно?

с.90 №25, с. 88 №11.

11. Рефлексия.

-Поднимите тот смайлик, который выражает ваше настроение после урока.

-Спасибо за урок.

infourok.ru

Умножение и деление на 2 и 3.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ШКОЛА № 47 ГОРОДА ДОНЕЦКА»

учитель начальных классов

Мужецкая Светлана Дмитриевна

высшая категория

Математика

2 класс

Тема: Закрепление. Умножение и деление на 2 и 3.

Цели: закрепить таблицу умножения и деления на 2 и 3, отрабатывать вычислительные навыки, умение решать задачи и уравнения, развивать умение рассуждать, доказывать, работать в парах развивать творческое мышление и формировать интерес к предмету, воспитывать навыки культурного поведения, дружелюбия, взаимопомощи.

Ход урока

1. Подготовка и мотивация

2. Контроль подготовленности учащихся к восприятию основного. Слайд 1

— Ребята, к нам пришло письмо.

— От кого оно? Откуда? Мы узнаем, если решим примеры

На доске:

2х3 4х2 5х3 7х2 1х2

6:3 9:3 12:6 8:2

— От кого это письмо?

— Откуда оно?

Урок математики мы проведём вместе с героями книги Э. Успенского…..

(показ книги)

3. Сообщение темы и целей урока. Слайд 2

— Кто догадался, по какой теме мы будем работать?

— Правильно. Тема урока: Закрепление. Умножение и деление на 2 и 3.

Вместе с героями мы повторим таблицу умножения и деления на 2 и 3, закрепим умения решать задачи и уравнения, будем учиться думать и другу помогать.

4. Устный счёт.

1. а) Работа с тренажёрами.

— А чтобы собраться в путь, мы проведём разминку в парах и проверим таблицу умножения

б) Проверка.

— Поднимите руку те, кто не допустил ошибок. Молодцы!

А что мы посоветуем тем ребятам, кто допустил ошибки?

1. Минутка чистописания.

3. а) Работа по карточкам с разно уровневыми заданиями.

— Итак, мы направляемся в деревню Простоквашино. Слайд 3

У нас есть карта, на ней 3 маршрута: красный, синий, жёлтый. Возьмите на парте карточку с маршрутом и устно посчитайте протяжённость каждого участка. Ответы запишите в тетрадь. Пишите красиво и аккуратно.

б) Самопроверка. (ответы на доске) Слайд 4

5. Решение задачи. Повторение компонентов при умножении и делении. Слайд 5

— Вот мы и в деревне. А тут всё кувырком. Пока кот Матроскин смотрел телевизор, по двору разбежались цыплята. Нужно помочь ему собрать и сосчитать цыплят самым быстрым способом. Каким?

Запись: 3х4=12

— Как называются компоненты при умножении?

— А теперь поможем рассадить кроликов в клетки. Слайд 6

Составьте задачу, можем узнать сразу, каким действием?

Запись: 8:2=4

Проверка с доски.

— Как называются компоненты при делении?

Молодцы! Из книги Э. Успенского мы узнали, «…что дядя Фёдор был серьёзным, самостоятельным мальчиком. В 4 года читать научился, а в 6 лет уже суп варил…» (показ книги)

Физкультминутка

6. Игра-разминка для ума от дяди Фёдора «Домики», сидя за партами.

7. Тест «Верите ли вы…»

— Верите ли вы, что произведение чисел 3 и 0 равно 0?

— …что если какое-либо число разделить на 1. то получится это же число?

— …что если число разделить на это же число, то получится 0?

— …что если какое-нибудь число умножить на 0, то получится это же число?

— …что если какое-нибудь число умножить на единицу, то получится это же число?

— Молодцы!

8. Решение уравнений.

1. Работа по учебнику.

– Как-то раз дядя Фёдор рассказывал своим друзьям удивительную историю про математические иероглифы. А что это за иероглифы, мы узнаем, открыв учебники.

Это уравнения. Решаем их по рядам:

1 ряд — 1 столбик, 2 ряд — 2 столбик, 3 ряд — 3 столбик

3 ученика работают у доски.

2. Проверка с проговариваем компонентов.

9. Решение геометрических задач.

— Пока мы с вами решали уравнения, пёс Шарик трудился на огороде.

— Какую геометрическую фигуру напоминает его участок? Слайд 7

— Что такое прямоугольник?

10. Работа по слайду 8.

— Шарик разметил участок для посадки овощей на равные части. Сколько прямоугольников у него получилось?

— Проверим.

— Эта грядка для посадки капусты. Что известно о сторонах прямоугольника?

— Что надо узнать?

— Что такое Р?

Составим задачу про грядку.

— Можем ли мы сразу вычислить периметр?

— Что сказано о ширине?

— Каким действием найдём длину? Запись решения по действиям.1 ученик работает у доски.

— Найдите периметр этой грядки разными способами.

1 ученик у доски.

Физкультминутка

Мы капусту режем,

Мы капусту трём.

Мы капусту солим,

Мы капусту жмём.

11. Закрепление «Игра». Слайд 9, 10, 11, 12, 13

После работы наши герои любили собраться за столом и пить чай. Конфеты они всегда делили поровну. На экране вы увидим число, разделите его пополам на 2 и покажите ответ веером цифр.

12. Итог урока. Рефлексия. Слайд 14

— Ребята, вот и подошёл к концу наш урок. Что мы повторили и закрепили? У кого из вас появилось желание прочитать книги Э. Успенского, которые стоят на книжной полке?

На доске картинка — домик.

— Если вы считаете, что работали на уроке хорошо, с полной отдачей, наклейте на небо нашей картины солнышко, если работали не в полную силу, то наклейте солнышко с тучкой, если вы не понравились себе, то наклейте тучку.

13. Домашнее задание.

Работать с карточками-тренажёрами.

kopilkaurokov.ru

«Умножение и деление на 3». 2-й класс

Разделы: Начальная школа

Цель урока:

• закрепить навыки табличного умножения и деления на 3;
• закрепить умения называть геометрические фигуры;
• отрабатывать вычислительные навыки и решение текстовых задач;
• развивать внимание, зрительную и слуховую память, сообразительность, логическое мышление, интерес к математике;
• воспитывать чувство взаимовыручки, самостоятельность и дисциплинированность.

Оборудование: изображение Буратино, Мальвины, лисы Алисы, кота Базилио, черепахи Тортиллы, нарисованный Буратино из геометрических фигур, 3 сундучка разных цветов, ключик, разрезанная картинка Буратино в чулане, карточки с примерами.

Ход урока

I. Организационный момент.

Быть должны у нас в порядке
Книжки, ручки и тетрадки.
А девиз у нас такой:
«Все, что надо, под рукой».

II. Сообщение темы урока, целей.

– Я предлагаю на сегодняшнем уроке математики побывать в сказке. Если вы отгадаете загадку, то узнаете главного героя.

У отца был мальчик странный,
Необычный, деревянный,
На земле и под водой,
Ищет ключик золотой,
Всюду нос сует свой длинный.
Кто же это? (Буратино Рисунок 1)

– Буратино по-итальянски означает деревянная кукла. Ребята, а как, называется сказка и кто ее написал? (Алексей Толстой “Золотой ключик, или Приключения Буратино”.)

– Если вы сегодня будете хорошо работать, то узнаете тайну “Золотого ключика”. Вы хотите узнать тайну, тогда начнем нашу сказку.

III. Устный счет.

Задание от Буратино.

Посчитаем по порядку в арифметической зарядке. Сейчас я буду показывать вам карточки, а вы должны быстро решить примеры:

IV. Актуализация знаний.

– Шел Буратино по тропинке и пришел к домику Мальвины. Мальвина пригласила Буратино в гости, напоила чаем и решила проверить его знания по математике. Рисунок 2.

Задача от Мальвины.

12 яблок нужно разложить на тарелки, по 3 яблока на каждую. Сколько тарелок займут эти яблоки?

– О чем эта задача?
– Что известно о яблоках?
– Что нужно сделать с яблоками?

V. Закрепление табличного умножения и деления на 3.

– Буратино справился с заданием, но за плохое поведение его заперли в чулане. Чтобы выбраться из чулана, ему нужно собрать картинку, которую подкинула Мальвина. Давайте поможем Буратино и решим примеры.

Рисунок 3.

VI. Физкультминутка.

Буратино потянулся,
Раз – нагнулся,
Два – нагнулся,
Руки в стороны развел,
Ключик, видно, не нашел.
Чтобы ключик нам достать,
Нужно на носочки встать.

VII. Самостоятельная работа.

– Буратино вышел из чулана, но он хочет доказать Мальвине, что он умный мальчик. Для этого необходимо решить задачу.

В чулане было 5 паучков, каждый паучок сплел по 3 паутинки. Сколько всего паутинок в чулане? (Ученики записывают у себя в тетрадях краткую запись и решение.)

VIII. Работа с геометрическим материалом.

Буратино оставил Мальвине решенную задачу, а сам побежал по дорожке. Но тут он встретил разбойников лису Алису и кота Бизилио. (Рисунок 4). Они его хотели ограбить и отнять монеты, если он не скажет, из каких геометрических фигур он состоит. Рисунок 5.

(Буратино состоит из кругов, треугольников, прямоугольников, квадратов.)

– Сколько кругов?
– Сколько квадратов? и т.д.

IX. Повторение и закрепление изученного.

Правильно сказав, из каких геометрических фигур он состоит, пошел Буратино к черепахе Тортилле. Тортилла отдаст ключик, если он отгадает в каком из 3 сундуков он лежит. Для этого необходимо решить примеры в столбик и отгадать полученное слово. Рисунок 6.

X. Итог урока.

Буратино получил ключик, теперь он может открыть дверь. Рисунок 7.

Когда, он открыл дверь, он видел надпись: В ЗНАНИИ СИЛА.

– Как вы понимаете пословицу?
– Что показалось трудным?
– Что считаете самым интересным?

7.03.2013

urok.1sept.ru

Умножение и деление на 2 и на 3 » Мир учителя

Россия, Саратовская область, г Энгельс

МБОУ «СОШ № 9» 

Учитель начальных классов

Хирная Татьяна Юрьевна

Умножение и деление чисел на 2 и на 3

Цели:

1)      Закрепить знание табличного умножения и деления на 2 и на 3.

      Развивать вычислительные навыки учащихся.

2)      Продолжить обучение решению задач с использованием действий умножения и деления.

3)      Работать над формированием универсальных учебных действий (УУД), повышением познавательной активности обучающихся.

4)      Воспитывать у учащихся чувство взаимовыручки.

Урок подготовлен и проведён учителем начальных классов Хирной Т.Ю. На уроке используется презентация учителя Хирной Т.Ю. , 

Урок нацелен на формирование универсальных учебных действий (УУД).

Урок математики, 2 класс.

Образовательная программа «Начальная школа 21 века»

Тема: Умножение и деление чисел на 2 и на 3.

Цели:

1)      Закрепить знание табличного умножения и деления на 2 и на 3.

      Развивать вычислительные навыки учащихся.

2)      Продолжить обучение решению задач с использованием действий умножения и деления.

3)      Работать над формированием универсальных учебных действий (УУД), повышением познавательной активности обучающихся.

4)      Воспитывать у учащихся чувство взаимовыручки.

Ход урока:

1. 1.      Организационный момент.

Улыбнитесь друг другу. Пожелайте успеха. Подарите и мне свои улыбки. Спасибо. Проверьте свою готовность к уроку. Возьмите с собой на урок три «волшебных» слова: А-активность, В-внимание, С-старание.

-Я хочу начать урок следующими словами:

“Вы талантливые дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много и хорошо умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению…” (Ж.Ж.Руссо)
— Пусть эти слова будут напутствием на уроке.

2. Устный счёт.

-Посчитаем устно.

60-48=      58+6=      50+29=      3*6=      45-7=

(Объясняют способ вычисления, заменяя числа, где необходимо, суммой разрядных или удобных слагаемых)

-Какой пример лишний? Почему?

(3*6=18 – лишний, т. к. он на умножение)

-Составьте по данному примеру другой пример на умножение и примеры на деление.

(6*3=18,    18:3=6,   18:6=3)

(При перестановке слагаемых произведение не изменяется.

Если произведение разделить на 1 множитель, то получится 2 множитель и наоборот)

  3. Объявление темы и задач урока.

— Догадались ли вы, какова тема нашего урока?

(Умножение и деление чисел.)

-Умножение и деление чисел на 2 и на 3.

-Давайте вместе подумаем, что нам нужно повторить и чему учиться на уроке.

-Повторить правила  (законы) умножения и деления

-Закрепить знание таблицы умножения и деления на 2 и на 3

-Учиться решать задачи с использованием действий умножения и деления.

-Таковы задачи нашего урока и мы должны их выполнить.

4. Актуализация опорных знаний.

-Какие правила и законы нам могут пригодиться на уроке? Лишние мы уберём, а нужные разделим на группы.

а*в = в*а                                          а+в = в+а

а*1 = а                                              а+(в+с) =  (а+в)+с

а:1 = а                                               а:а = 1

а+0 = а                                              а*0 = 0

а:0                                                     а:2- половина

а:3- треть

-Какие группы мы получили?

Деление                                              Умножение

а:1 = а                                                   а*в = в*а

а:а = 1                                                   а*1 = а

а:0 (на 0 делить нельзя)                      а*0 = 0

а:2- половина

а:3- треть

-Что мы повторили?

( Правила и законы умножения и деления.)

-Мы выполнили одну из поставленных задач.

5. Повторение таблицы умножения и деления на 2,на 3.

-Повторим таблицу умножения на 2 и на 3. Работать будем в группах.

а) Повторение правил работы в группах.

( Работать без шума. Не ссориться, не спорить, работать дружно, помогать друг другу…)

-Подберите синонимы к слову помогать.

(Помогать, спасать, выручать)

-Я очень хотела бы, чтобы вы всегда выручали друг друга не только на уроке, но и в жизни. Это очень важно для нас всех.

б) Повторение таблицы умножения на 2 и на 3.

-Мы повторим таблицу умножения на 2 и на 3. Кто будет затрудняться, группа тому поможет.

(Дети работают в группах.  По цепочке, по очереди задают друг другу примеры на табличные случаи умножения на 2, на 3.)

-Вы уже не первый раз проверяете знание таблицы умножения. Кто из членов вашей группы лучший знаток таблицы?

(Каждая группа называет ученика.)

-Аплодисменты лучшим знатокам.

в) Повторение таблицы деления на 2.

-Встаньте, пожалуйста, поиграем в игру «Горячий мяч». Ведущий называет пример и подаёт мяч кому-то из детей. Стараемся ответить и передать мяч водящему очень быстро, он горячий.

г) Подведение итога работы на данном этапе.

-Что мы повторили и закрепили?

-(Таблицы умножения и деления на 2,на 3.)

-Мы справились ещё с одной задачей урока.

6. Проверка знания таблицы умножения и деления на 2,на 3.

-А сейчас мы проверим свои знания.

Математический диктант:

-2 умножить на 7.

-По 3 взять 5 раз.

-Запишите произведение чисел 5 и 2.

-3 разделить на 3

-Первый множитель 3, второй множитель 9, запишите произведение.

-12 разделить на 2

-Чему равно произведение чисел 2 и 0?

-Поменялись тетрадями по кругу, взаимопроверка, проверяем работу соседа.

-Правильные ответы на доске: 14,15, 10, 1, 27, 6, 0.

-Поменялись тетрадями опять по кругу, но в обратном направлении.

-Посмотрите свои работы. У кого нет ошибок?  Это будущие отличники.

( Во 2 классе оценки пока не выставляются).

-У кого 1-2 ошибки? Будущие хорошисты.

-У кого ошибок было больше, руку поднимать не нужно, мысленно скажите себе: « Я должен повторить таблицу умножения и деления на 2, на3»

— Что мы проверили?

(Знание таблицы умножения и деления на 2, на 3.)

-Результатами я осталась довольна, спасибо, вы старались.

7.Физминутка.

-Я предлагаю отдохнуть.

(Выполняются танцевальные упражнения под музыку, которые показывает одна из подготовленных учениц.)

8. Решение задач с использованием действий умножения и деления.

а) Беседа по сказке.  

-Конечно, все вы знаете эту сказку, но я вам её напомню.

(просматривают слайды.)

-К кому обращалась за помощью девочка?

-К печке, яблоньке, речке. 

-Почему они не выручили девочку?

(Она была невежлива, отказывалась от угощения)

-У нас на уроке эта сказка на новый лад. Кроме угощения герои приготовили девочке задачи. Выручим девочку, поможем ей решить задачи?

б) Решение задач. (Работа в группах)

-Задача печки.

Испекла  я  24 пирожка.
Разложила их на 3 тарелки. 
Сколько пирожков на каждой тарелке?

-Посовещайтесь в группе, каким действием решается задача? Выберите карточку с верным решением.

(Показывают карточку (действие : ) 24:3=8(п))

-Задача речки.    

За день путники выпивают  по 2 кувшина киселя.

Сколько кувшинов киселя  они выпьют за неделю?

— Что такое неделя?

( 7 дней)

-Почему неделю так назвали? Ребята поработали заранее и нашли ответ на вопрос. Послушайте. (Использовались Интернет и толковый словарь)

(Особым почётом  в древности была окружена семёрка. Отголоски почитания числа 7 дошли до наших дней. Вспомните пословицы: Семь бед — один ответ. Семеро одного не ждут. Наша неделя состоит из 7 дней. Древние заметили, что 7 нельзя поделить на равные части. Вот и назвали 7- не – деля. (Интернет)

-Неделя — образовано от словосочетания «не делать», то есть отдыхать. Неделя — означало «день отдыха». (Толковый словарь.)

-Ещё раз посмотрите на задачу. Каким действием решается? Посовещайтесь в группе и выберите верное решение.

(Показывают карточку (действие *) 2*7=14 (к)

-Задача ёжика в  учебнике, с. 90 №21.   

Маша нашла 27 грибов. Треть из них – подосиновики. Сколько подосиновиков нашла Маша?

(Совещаются. Показывают карточку (действие : ) 27:3=9(п) )

в) Решение задач коллективно.

-Задача яблоньки.   

В корзине было несколько яблок. Девочка с братцем съели по 3 яблочка и ещё осталось 5 яблок. Сколько яблок было сначала?

(Задача подробно анализируется  коллективно и решается письменно.)

(Чтобы узнать сколько яблок было, нужно знать, сколько их съели и сколько осталось. Сколько осталось известно, а сколько съели мы не знаем, но известно, что съели 2 человека по 3 яблока. Значит, можно узнать.

-Расскажите план решения задачи.

-Что узнаем 1 действием?

(Сколько яблок съели.)

-Что узнаем 2 действием?

(Сколько яблокбыло.)

-Запишем решение вместе.

1)      3*2=6(яб.) — съели.

2)      6+5=11(яб.) — было.

-Мы выручили девочку, решили все задачи, она обязательно спасёт братца.  

г) Составление и решение задачи.

-Теперь вернёмся из сказки в нашу жизнь. Пойдём в кино.

(Встали, имитация ходьбы.)

-Займите места. Смотрим немое кино. Вы ничего не услышите, а всё, что увидите, считайте.

( Дети показывают  сценку:

Мама покупает в магазине конфеты, продавец даёт ей 14 штук. Мама приходит домой. Сидят 3 детей. Мама даёт каждому по 2 конфеты. Остальные лежат в пакете.)

-Расскажите, что вы увидели?

(Мама купила 14 конфет. Дома она дала трём детям по 2 конфеты.)

-Можно ли это назвать задачей? Чего не хватает?

(Вопроса.)

-Поставьте к задаче вопрос.

(Сколько конфет осталось у мамы?)

(Анализ задачи:

Чтобы узнать сколько конфет осталось у мамы, нужно знать сколько конфет мама купила и сколько она отдала детям. Сколько конфет купили известно, а сколько отдали мы не знаем, но знаем, что трём детям по 2 конфеты, а значит можем узнать.

-Обсудите план решения в группах.

-Что узнаем 1 действием?

( Сколько конфет мама отдала.)

-Что узнаем 1 действием?

( Сколько конфет осталось у мамы.)

— Один из вас за доской будет решать задачу, а остальные решат её самостоятельно.

1) 2*3=6(к.) – отдала.

2) 14-6=8(к.)- осталось.

-Самопроверка. Сверьте соё решение с решением ученика на доске.

-А теперь проверим, сколько конфет лежит в пакете. Вывод?

(Задача решена верно)

-Чему мы учились?

(Решать задачи)

-Мы выполнили ещё одну задачу, которую поставили перед собой в начале урока.

Значит, все задачи выполнены. Молодцы!

9. Подведение итога урока.

worldofteacher.com

Урок математики «Таблица умножения и деления на 3». 3-й класс

Разделы: Начальная школа, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (9,9 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

1.Развивающие:

• развивать мыслительные операции (анализ, синтез, обобщение), психические процессы (внимание, память), творческие способности.

2. Образовательные:

• формировать понятие о таблице умножения и деления на 3;
• тренировать способность умножать и делить на 2 и 3;
• тренировать способность решать задачи с использованием таблицы умножения;
• закреплять переместительное свойство умножения, взаимосвязь умножения и деления, порядок действий в выражениях без скобок,
• тренировать вычислительные навыки.

3. Воспитательные:

• прививать интерес к математике,
• воспитывать чувство сотрудничества и дружбы.

Оборудование урока:

• учебник “Математика 2 класс”, часть 3, автор Л.Г. Петерсон,
• презентация Microsoft PowerPoint.
• компьютер;
• проектор.

2 слайд. Ребята, сегодня мы с вами отправимся в на необитаемый остров к Робинзону Крузо на корабле. Этот моряк прожил 28 лет в полном одиночестве на необитаемом острове, у берегов Америки, куда был выброшен кораблекрушением.И мы должны спасти его. Путешествие далекое, интересное, но опасное, поэтому с собой берем самых смелых и находчивых математиков.

– Ребята, начинаем урок. Если вы знаете, о чем идет речь, хлопните в ладоши:

• переместительное свойство умножения;
• таблица умножения и деления на 2
• компоненты умножения;
• компоненты деления.

– Как много вы уже знаете! А сегодня узнаете еще больше. Будьте старательными, активными, внимательными и у вас все получится.3 слайд.

– Мы подплывем к острову и Робинзон Крузо уже ждёт нас.4 слайд.

– Но что случилось? Наш корабль наткнулся на рифы и разбился. Что бы выбраться на берег мы должны выполнить задание.

1. – Рассмотрите числа, записанные на доске.

10, 12 , 14, ……

11, 13, 15, ……

12, 15, 18……

– Что их объединяет? ( они двузначные)

– Найдите лишнее. Почему? (10 –круглое0

– Найдите закономерность каждой строки. (счёт идет через 2, счёт идёт через 3) Продолжите ряды в тетрадях.

– Проверим первый ряд. Как получили следующее число? (16, 18)

– Проверим второй ряд. Как получили следующее число? (17, 19)

– Проверим третий ряд. Как получили следующее число? (21, 24)

– Чем первая строка отличается от второй? (1 строка – чётные, вторая – нечётные; первая строка – числа кратные 2)

– Мы выбрались на берег. Теперь нам нужно построить корабль, чтобы выбраться с острова.А без математики мы с вами этого сделать не сможем. Давайте вспомним таблицу умножения на 2.

5 слайд.

6 слайд.

– На острове вместе с Робинзоном жил его друг Пятница.Он любит кататься на лианах.Но что за запись на них. (это пример с пропущенным вторым множителем)

2) Взаимосвязь умножения и деления

– Итак, на сколько нужно умножить 2, чтобы получить 16?(на 8)

На доске:

– Какое свойство умножения использовали? (переместительное)

– Назовите компоненты умножения. (Первый множитель, второй множитель, произведение)

– Какая операция обратна операции умножения? (деление)

– Как связаны между собой умножение и деление? (если произведение разделить на один из множителей, то получим другой множитель)

– Назовите компоненты деления. (делимое, делитель, частное)

– Составьте равенства на деление с данными числами.

7 слайд.

– Корпус лодки готов.

8 слайд.

– А сейчас давайте поиграем в “робинзонскую математическую молчанку”. Действуйте по алгоритму:

1. внимательно рассмотрите выражение;
2. вспомни порядок действий в выражениях без скобок
3. выполните действия по порядку;
4. запишите ответ в тетради и молча покажите, что вы закончили.

9 слайд.

Начинаем игру

6*2+2*7
18:2-12:6
3*8+27:3

– Кто нашел значение выражения? (записываю все варианты ответов)

– У кого вызвали затруднения решение какого-либо выражения? (№)

– Почему? (Не знаем таблицу умножения и деления на 3)

Какова тема урока? ( таблица умножения и деления на 3)(фиксируем)10 слайд.

Какие цели поставим перед собой? (Составить таблицу умножения и деления на 3 и научиться её использовать)(фиксирую)

– Я предлагаю объединится в команды и поработать.

Как вы думаете, с какого случая начнем составление таблицы умножения на 3? Обсудите в гуппах. (Ответы разные 3*0, 3*1, 3*2)

– Почему мы не будем начинать со случая 3*1? (Знаем правило, при умножении любого числа на 0=0)

– Почему не будем начинать со случая 3*1? (Знаем правило, что при умножении любого числа на 1 получается тоже число)

– Почему не начнём со случая 3*2? (От перемены мест множителей произведение не изменяется)

– Значит начнём со случая 3*3.

– Какая закономерность будет наблюдаться в результатах таблицы умножения на 3?(произведение увеличивается на 3)

– Откройте учебники на странице 106.Заполним 1 столбик .

– первая группа прочитайте ответы.

Продолжим заполнение таблицы по строкам.

(Проверка 1,2,3,4 строки – вторая группа

5,6,7 строки – третья группа.)

– Рассмотрите 1 и 2 столбики.

– Как изменяется произведение, если увеличивается один из множителей? (произведение увеличивается)

– Рассмотрите 3 столбик.

– Что происходит с частным, если делимое увеличивается, а делитель не меняется? (частное увеличивается)

– Молодцы! А теперь послушайте такое задание. Я буду называть вам разные числа. Если вы услышите число, кратное 3 – хопайте.12, 10. 15, 18, 22 ,21, 25, 27.

– Какую операцию мы с вами выполнили? (составили таблицу)

– И вот мачта с флагом корабля готова .

11 слайд.

Робинзон предлагает немного отдохнуть.

12-21 слайд.

22 слайд.

– Для чего нужно знать таблицу умножения на 3? (Что бы решать примеры, задачи)

– И, прежде всего мы вернемся к тому выражению, которое вызвало у нас затруднение.

– Давайте вместе найдем ответ, используя таблицу умножения и деления на 3.

– Теперь я могу убрать вопрос, а вы проверьте себя.(33) У кого все правильно – молодцы, а тем, кто ошибся – спасибо за ошибку – вы помогли нам разобраться.

– Продолжим находить значения выражений, выполняя задание № 2.

– С выражениями 1 столбика работаем вместе (1 ученик проговаривает)

Значения выражений2-го столбика вы найдете, работая в парах

А значения выражений из 3-го столбика найдите самостоятельно. (Проверка по образцу)

– Что нам помогло успешно справиться с заданием?(Знание таблицы умножения на 3)

23 слайд.

– Вот и паруса на корабле готовы.

– Где мы можем применить таблицу умножения на 3? (В решении задач и примеров, уравнений)

– Вы правы. И сейчас мы решим задачу вместе с Робинзоном.

24 слайд.

№ 10.

– Прочитаем задачу (1 ученик)

– Что в задаче известно? (Было 52 конфеты, брал 6 дней по 3 конфеты)

– Что нужно узнать? (Сколько осталось)

– Начертим схему.

– Можно ли сразу ответить на вопрос задачи? (Нет)

– Почему? (не знаем сколько съел)

– Можем узнать? (Да)

– Как? (3*6=18 (К.) съел)

– Теперь можем ответить на вопрос задачи? (Да)

– Как? (52-18=24 (к.) – осталось)

– Кто сможет решить задачу самостоятельно – поднимите руку. Приступайте к решению задачи в тетради.

– Кому нужна помощь? (Раздаю карточки с заготовкой схемы, и пояснением к действиям).

– Оцените свою работу с задачей.Если всё получилось-нарисуйте зелёный круг. Если испытывали затруднения – жёлтый, а если не смогли справиться с задачей – красный.

– В каком действии вы применили табличный случай на 3? (В 1)

25 слайд.

– Вот и спасательный круг на корабль повесили.

– Достигли мы цели нашего урока? (Да)

– Обоснуйте. (Мы составили таблицу умножения и деления на 3 и научились её применять)

– Что удалось выполнить?

– Можем ли мы утверждать, что научились уверенно применять таблицу умножения и деления на 3? (Нет)

Какую цель каждый из вас должен поставить перед собой? (выучить таблицу умножения на 3 наизусть)

26 слайд.

– Корабль готов.Мы помогли Робинзону Крузо.

Оцените свою работу на уроке. Если всё получилось и у вас отличное настроение-нарисуйте весёлый смайлик, если было трудно и вам нужно ещё поработать над этой темой – грустный.

27 слайд.

– Спасибо за урок!

Аудио-приложение

2.01.2012

urok.1sept.ru

Конспект урока на тему:»Умножение и деление на 2 и 3″

Тип урока. Урок закрепления ( технология деятельностного подхода)

Цель. Закрепить знание табличных случаев умножения и деления на 2 и на 3, совершенствовать вычислительные навыки.

Задачи.

 1)      Продолжить обучение решению задач с использованием действий умножения и деления.

2)      Работать над формированием универсальных учебных действий (УУД), повышением познавательной активности обучающихся.

3)      Воспитывать у учащихся чувство взаимовыручки.

   Ход урока:

1. Организационный момент.

 Приветствие между учениками.

Желаю больших успехов

Везде и во всем.

Удачи тебе на уроке.

Садитесь, дети.

-Я хочу начать урок следующими словами:

«Вы талантливые дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много и хорошо умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению.” (Ж.Ж.Руссо)

— Пусть эти слова будут нашим напутствием на уроке.

Покажите свой настрой к уроку. (Хорошо — вверх большой палец, плохо – вниз большой палец) И у меня хорошее настроение.

2. Устный счёт.

 Ребята, посмотрите на примеры и посчитайте

4*3 6*2 6*3 9*2 12:2 12:3 18:2 18:3

— Что объединяет эти примеры? (Они взаимосвязаны компонентами, если произведение разделить на 1 множитель, то получится 2 множитель и наоборот.)

  3. Объявление темы и задач урока. 

— Определите, какова тема нашего урока?

(Умножение и деление чисел на 2 и на 3)

-Давайте вместе подумаем, что нам нужно повторить и чему учиться на уроке.

(Повторить правила  (законы) умножения и деления. Закрепить знание таблицы умножения и деления на 2 и на 3. Учиться решать задачи с использованием действий умножения и деления)

-Вы правильно определили тему урока и что должны повторить и закрепить. Таковы задачи нашего урока и мы должны их выполнить. 

4. Актуализация опорных знаний. 

— Ребята, мы повторим правила и законы умножения и деления. На ваших столах карточки, распределите их на группы.

а*в = в*а                                          

а*1=а                                             

а:1 = а  

а:а = 1

а*0 = 0

а:2- половина

а:3- треть

-На какие группы поделили? Покажите свой успех, если вы распределили карточки. (Берутся за руки и поднимают вверх)

Деление                                              Умножение

а:1 = а                                                   а*в = в*а

а:а = 1                                                   а*1 = а

а:2- половина, а*0 = 0

а:3- треть

Показывают на доске. Объясняют каждую запись.

5. Повторение таблицы умножения и деления на 2 и на 3.

а) Ребята, повторите правила работы в группах.

( Быть терпеливыми, доброжелательными, вежливыми. Не спорить, работать дружно, помогать друг другу, не переговариваться.)

-Подберите синонимы к слову помогать.

(спасать, выручать, оказать помощь, содействовать)

-Я очень хотела бы, чтобы вы всегда выручали друг друга не только на уроке, но и в жизни. Это очень важно для нас всех.

Создайте группу из 4 человек.

-Повторим таблицу умножения на 2 и на 3.

Дети работают в группах, по цепочке. Ученик задает пример рядом сидящему, а вся группа внимательно слушает ответ, если верно, то кивают головой, а если неверно, то помогают ему. Теперь отвечающий задает пример следующему, примеры не повторяются. И так продолжают. (1 круг совершают, поднимают руки)

б) Повторение таблицы деления на 2 и на 3.

Игра «Найди пару»

Половина класса берут карточки с примерами, а другая – ответы. По команде учителя, ученики находят правильный пример с ответом.

6. Проверка знания таблицы умножения и деления на 2 и на 3.

Открыли тетради. Минутка чистописания. Запись чисел 22 и 33.

— Дайте характеристику числу 22.

( натуральное, двухзначное, четное, в этом числе 2 дес. 2 ед.)

— Как можно записать умножением этот пример, если бы

между 33 стоя знак сложения. 3+3= 3х2

Запишите числа.

Математический диктант. Цветограмма:

12 21 14

9 15 6

10 12 8

20 4 2

9 3 6

24 27 15

-2 умножить на 7.

-По 3 взять 3 раза.

-Найдите частное чисел24 и 3.

-16 разделить на 8

-Делимое 9, делитель 3.Найди частное.

— Чему равен периметр треугольника со стороной 5 см?

Правильные ответы читает ученица: 14,9, 8, 2,3,15.

Работа с партнером по лицу.

( лицом ко мне отвечают.) Четные числа

Найдите половину числа

( спиной ко мне отвечают) Нечетные числа

Найдите треть числа

Открыли учебник стр. 93. Запишите № 6.

— В каких столбиках повторим умножение и деление?

— Какой способ применим во втором столбике? (удобный способ сложения)

Сосчитайте, запишите только ответы.

14 57 16 3

18 48 18 2

9 68 18 3

 Самопроверка. Показать успех.

7.Физминутка. 

-Я предлагаю отдохнуть.

В нашем классе Гузель ходит в танцевальный кружок, и она научит некоторым танцевальным упражнениям под музыку.

8. Решение задач с использованием действий умножения и деления.

а) Решение задач.

Запишите в тетрадь стр. 93 № 3. Прочитайте задачу.

— Что означает рабочие дни?

 — Что такое неделя? ( 7 дней)

— Почему неделю так назвали?

Старикова Вика и Закирова Гульназ нашли ответ на вопрос. Послушайте. (Использовались Интернет и толковый словарь)

Вика. Я искала ответ в интернете. Особым почётом  в древности была окружена семёрка. Отголоски почитания числа 7 дошли до наших дней. Вспомните пословицы: Семь бед — один ответ. Семеро одного не ждут. Наша неделя состоит из 7 дней. Древние люди заметили, что 7 нельзя поделить на равные части. Вот и назвали 7- не – деля, то есть не делится.

Гульназ. Я нашла ответ в толковом словаре. Неделя — образовано от словосочетания «не делать», то есть отдыхать. Неделя — означало «день отдыха». (Толковый словарь.)

-Ещё раз посмотрите на задачу. Подумайте, каким действием решается? Посовещайтесь в группе и выберите верное решение.

Выполним задачу в тетрадях.

б) Ребята, сейчас мы выполним задачи на умножение и деление. (Работа в группах, по 4 ученика. В каждой группе даны задачи)

• В одном доме 9 этажей. Сколько этажей в 3 домах.
• Сколько нужно заплатить за 8 тетрадей, если одна тетрадь стоит 2 рубля?
• Веревку длиной 18 м разрезали на 3 одинаковые части. Сколько метров веревки в каждой части?

Проверка. Один читает задачу и говорит решение, ответ. Согласие всех остальных групп – хлопок.

в) Задача на построение ломаной линии и прямоугольника.

Группа, состоящая из одного ряда, читает задание на листе и распределяет обязанности, чтобы выполнить правильно задание.

Начерти ломаную линию, длину которой можно найти

9 * 3 + 3 =30 см

Начерти прямоугольник, периметр которого равен длине этой ломаной.

Один из команды, показывает на доске. (на листе)

9. Игра « Будь внимательным»

Сейчас вы послушаете знакомую песню «Дважды два четыре». Запишите примеры, которые вы услышите, повторные примеры не записывайте.

2*2=4, 3*3=9, 5*5=25, 6*8=48, 6*6=36

Сколько записали примеров?

Помогите партнеру по плечу дописать.

Покажите успех, если у вас правильно. Молодцы! 

10. Подведение итога урока. 

-Подведём итог нашей работы.  Поделитесь своими высказываниями. Нам поможет карточка – помощница. 

-На уроке я повторил…              

-Я учился…                                  

-На уроке мне было трудно…                

-Я понял, что…                           

-Я радовался…                           

-Я всегда буду… 

Теперь я могу….

 — Достигли мы цели урока?

— Возьмите цветик и укажите свой ответ. Если ДА – красный цвет, Нет – синий, ЗАТРУДНЯЮСЬ – желтый.

— Я знаю таблицу умножения и деления на 2 и на 3.

— Я умею решать задачи на умножение и деление.

— Я испытывал затруднения при решении примеров и задач.

_ Ребята, я вам предлагаю, сегодня дома быть экспертами и проверить родителей на умножение и деление на 2 и на 3.

11. Домашнее задание.

-Просмотрите домашнее задание. Где вызывает затруднение?

стр. 93 №2,№ 4

12. Рефлексия. 

— Покажите свое настроение.(с помощью большого пальца)

— Спасибо за урок.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока на тему:»Умножение и деление на 2 и 3″»

Тема урока. Умножение и деление чисел на 2 и на 3

Тип урока. Урок закрепления ( технология деятельностного подхода)

Цель. Закрепить знание табличных случаев умножения и деления на 2 и на 3, совершенствовать вычислительные навыки.

Задачи. 1)      Продолжить обучение решению задач с использованием действий умножения и деления.

2)      Работать над формированием универсальных учебных действий (УУД), повышением познавательной активности обучающихся.

3)      Воспитывать у учащихся чувство взаимовыручки.

   Ход урока:

1. Организационный момент.

 Приветствие между учениками.

Желаю больших успехов

Везде и во всем.

Удачи тебе на уроке.

Садитесь, дети.

-Я хочу начать урок следующими словами:

«Вы талантливые дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много и хорошо умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению…” (Ж.Ж.Руссо)

— Пусть эти слова будут нашим напутствием на уроке.

Покажите свой настрой к уроку. (Хорошо — вверх большой палец, плохо – вниз большой палец) И у меня хорошее настроение.

2. Устный счёт.

 Ребята, посмотрите на примеры и посчитайте

4*3 6*2 6*3 9*2 12:2 12:3 18:2 18:3

— Что объединяет эти примеры? (Они взаимосвязаны компонентами, если произведение разделить на 1 множитель, то получится 2 множитель и наоборот.)

  3. Объявление темы и задач урока. 

— Определите, какова тема нашего урока?

(Умножение и деление чисел на 2 и на 3)

-Давайте вместе подумаем, что нам нужно повторить и чему учиться на уроке.

(Повторить правила  (законы) умножения и деления. Закрепить знание таблицы умножения и деления на 2 и на 3. Учиться решать задачи с использованием действий умножения и деления)

-Вы правильно определили тему урока и что должны повторить и закрепить. Таковы задачи нашего урока и мы должны их выполнить. 

4. Актуализация опорных знаний. 

— Ребята, мы повторим правила и законы умножения и деления. На ваших столах карточки, распределите их на группы.

а*в = в*а                                          

а*1=а                                             

а:1 = а  

а:а = 1

а*0 = 0

а:2- половина

а:3- треть

-На какие группы поделили? Покажите свой успех, если вы распределили карточки. (Берутся за руки и поднимают вверх)

Деление                                              Умножение

а:1 = а                                                   а*в = в*а

а:а = 1                                                   а*1 = а

а:2- половина, а*0 = 0

а:3- треть

Показывают на доске. Объясняют каждую запись.

5. Повторение таблицы умножения и деления на 2 и на 3.

а) Ребята, повторите правила работы в группах.

( Быть терпеливыми, доброжелательными, вежливыми. Не спорить, работать дружно, помогать друг другу, не переговариваться.)

-Подберите синонимы к слову помогать.

(спасать, выручать, оказать помощь, содействовать)

-Я очень хотела бы, чтобы вы всегда выручали друг друга не только на уроке, но и в жизни. Это очень важно для нас всех.

Создайте группу из 4 человек.

-Повторим таблицу умножения на 2 и на 3.

Дети работают в группах, по цепочке. Ученик задает пример рядом сидящему, а вся группа внимательно слушает ответ, если верно, то кивают головой, а если неверно, то помогают ему. Теперь отвечающий задает пример следующему, примеры не повторяются. И так продолжают. (1 круг совершают, поднимают руки)

б) Повторение таблицы деления на 2 и на 3.

Игра «Найди пару»

Половина класса берут карточки с примерами, а другая – ответы. По команде учителя, ученики находят правильный пример с ответом.

6. Проверка знания таблицы умножения и деления на 2 и на 3.

Открыли тетради. Минутка чистописания. Запись чисел 22 и 33.

— Дайте характеристику числу 22.

( натуральное, двухзначное, четное, в этом числе 2 дес. 2 ед.)

— Как можно записать умножением этот пример, если бы

между 33 стоя знак сложения. 3+3= 3х2

Запишите числа.

Математический диктант. Цветограмма:

12 21 14

9 15 6

10 12 8

20 4 2

9 3 6

24 27 15

-2 умножить на 7.

-По 3 взять 3 раза.

-Найдите частное чисел24 и 3.

-16 разделить на 8

-Делимое 9, делитель 3.Найди частное.

— Чему равен периметр треугольника со стороной 5 см?

Правильные ответы читает ученица: 14,9, 8, 2,3,15.

Работа с партнером по лицу.

( лицом ко мне отвечают.) Четные числа

Найдите половину числа

( спиной ко мне отвечают) Нечетные числа

Найдите треть числа

Открыли учебник стр. 93. Запишите № 6.

— В каких столбиках повторим умножение и деление?

— Какой способ применим во втором столбике? (удобный способ сложения)

Сосчитайте, запишите только ответы.

14 57 16 3

18 48 18 2

9 68 18 3

 Самопроверка. Показать успех.

7.Физминутка. 

-Я предлагаю отдохнуть.

В нашем классе Гузель ходит в танцевальный кружок, и она научит некоторым танцевальным упражнениям под музыку.

8. Решение задач с использованием действий умножения и деления.

а) Решение задач.

Запишите в тетрадь стр. 93 № 3. Прочитайте задачу.

— Что означает рабочие дни?

 — Что такое неделя? ( 7 дней)

— Почему неделю так назвали?

Старикова Вика и Закирова Гульназ нашли ответ на вопрос. Послушайте. (Использовались Интернет и толковый словарь)

Вика. Я искала ответ в интернете. Особым почётом  в древности была окружена семёрка. Отголоски почитания числа 7 дошли до наших дней. Вспомните пословицы: Семь бед — один ответ. Семеро одного не ждут. Наша неделя состоит из 7 дней. Древние люди заметили, что 7 нельзя поделить на равные части. Вот и назвали 7- не – деля, то есть не делится.

Гульназ. Я нашла ответ в толковом словаре. Неделя — образовано от словосочетания «не делать», то есть отдыхать. Неделя — означало «день отдыха». (Толковый словарь.)

-Ещё раз посмотрите на задачу. Подумайте, каким действием решается? Посовещайтесь в группе и выберите верное решение.

Выполним задачу в тетрадях.

б) Ребята, сейчас мы выполним задачи на умножение и деление. (Работа в группах, по 4 ученика. В каждой группе даны задачи)

• В одном доме 9 этажей. Сколько этажей в 3 домах.

• Сколько нужно заплатить за 8 тетрадей, если одна тетрадь стоит 2 рубля?

• Веревку длиной 18 м разрезали на 3 одинаковые части. Сколько метров веревки в каждой части?

Проверка. Один читает задачу и говорит решение, ответ. Согласие всех остальных групп – хлопок.

в) Задача на построение ломаной линии и прямоугольника.

Группа, состоящая из одного ряда, читает задание на листе и распределяет обязанности, чтобы выполнить правильно задание.

Начерти ломаную линию, длину которой можно найти

9 * 3 + 3 =30 см

Начерти прямоугольник, периметр которого равен длине этой ломаной.

Один из команды, показывает на доске. (на листе)

9. Игра « Будь внимательным»

Сейчас вы послушаете знакомую песню «Дважды два четыре». Запишите примеры, которые вы услышите, повторные примеры не записывайте.

2*2=4, 3*3=9, 5*5=25, 6*8=48, 6*6=36

Сколько записали примеров?

Помогите партнеру по плечу дописать.

Покажите успех, если у вас правильно. Молодцы! 

10. Подведение итога урока. 

-Подведём итог нашей работы.  Поделитесь своими высказываниями. Нам поможет карточка – помощница. 

-На уроке я повторил…              

-Я учился…                                  

-На уроке мне было трудно…                

-Я понял, что…                           

-Я радовался…                           

-Я всегда буду… 

Теперь я могу….

 — Достигли мы цели урока?

— Возьмите цветик и укажите свой ответ. Если ДА – красный цвет, Нет – синий, ЗАТРУДНЯЮСЬ – желтый.

— Я знаю таблицу умножения и деления на 2 и на 3.

— Я умею решать задачи на умножение и деление.

— Я испытывал затруднения при решении примеров и задач.

_ Ребята, я вам предлагаю, сегодня дома быть экспертами и проверить родителей на умножение и деление на 2 и на 3.

11. Домашнее задание.

-Просмотрите домашнее задание. Где вызывает затруднение?

стр. 93 №2,№ 4

12. Рефлексия. 

— Покажите свое настроение.(с помощью большого пальца)

— Спасибо за урок.

kopilkaurokov.ru

что такое? Как найти синус, косинус и тангенс?

Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.

Истоки тригонометрии

Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.

Точно так же выполняется и действие $III-7\cdot I$. Если возникают сложности с выполнением этих операций, их можно выполнить отдельно (аналогично показанному выше действию $II-2\cdot I$), а результат потом внести в расширенную матрицу.

Второй шаг

С помощью второй строки обнуляем элемент второго столбца, расположенный под второй строкой:

Разделим третью строку на 5:

Прямой ход окончен. Все элементы, расположенные под главной диагональю матрицы до черты, обнулились.

Обратный ход

Первый шаг

С помощью третьей строки обнуляем элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

Перед переходом к следующему шагу разделим вторую строку на $7$:

Второй шаг

С помощью второй строки обнуляем элементы второго столбца, расположенные над второй строкой:

Преобразования закончены, обратная матрица методом Гаусса найдена: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end{array} \right)$. Проверку, при необходимости, можно сделать так же, как и в предыдущих примерах. Если пропустить все пояснения, то решение примет вид:

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end{array} \right)$.

Пример №6

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {cccc} -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & -4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$.

Решение

Для нахождения обратной матрицы в этом примере будем использовать те же операции, что применяются при решении систем линейных уравнений методом Гаусса. Подробные пояснения даны в примере №5, здесь же ограничимся краткими комментариями. Запишем расширенную матрицу: $\left( \begin{array} {cccc|cccc} -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \\ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$. Поменяем местами первую и четвёртую строки данной матрицы: $\left( \begin{array} {cccc|cccc} 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \\ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$.

Прямой ход

Преобразования прямого хода завершены. Все элементы, расположенные под главной диагональю матрицы слева от черты, обнулились.

Обратный ход

Обратная матрица методом Гаусса найдена, $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end{array} \right)$. Проверку, при необходимости, проводим так же, как и в примерах №2 и №3.

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end{array} \right)$.

Пример №7

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end{array} \right)$.

Решение

Для нахождения обратной матрицы применим операции, характерные методу Гаусса-Жордана. Отличие от метода Гаусса, рассмотренного в предыдущих примерах №5 и №6, состоит в том, что решение осуществляется в один этап. Напомню, что метод Гаусса делится на 2 этапа: прямой ход («делаем» нули под главной диагональю матрицы до черты) и обратный ход (обнуляем элементы над главной диагональю матрицы до черты). Для вычисления обратной матрицы методом Гаусса-Жордана двух стадий решения не потребуется. Для начала составим расширенную матрицу: $(A|E)$:

Первый шаг

Обнулим все элементы первого столбца кроме одного. В первом столбце все элементы отличны от нуля, посему можем выбрать любой элемент. Возьмём, к примеру, $(-4)$:

Выбранный элемент $(-4)$ находится в третьей строке, посему именно третью строку мы используем для обнуления выделенных элементов первого столбца:

Сделаем так, чтобы первый элемент третьей строки стал равен единице. Для этого разделим элементы третьей строки расширенной матрицы на $(-4)$:

Теперь приступим к обнулению соответствующих элементов первого столбца:

В дальнейших шагах использовать третью строку уже будет нельзя, ибо мы её уже применили на первом шаге.

Второй шаг

Выберем некий не равный нулю элемент второго столбца и обнулим все остальные элементы второго столбца. Мы можем выбрать любой из двух элементов: $\frac{11}{2}$ или $\frac{39}{4}$. Элемент $\left( -\frac{5}{4} \right)$ выбрать нельзя, ибо он расположен в третьей строке, которую мы использовали на предыдущем шаге. Выберем элемент $\frac{11}{2}$, который находится в первой строке. Сделаем так, чтобы вместо $\frac{11}{2}$ в первой строке стала единица:

Теперь обнулим соответствующие элементы второго столбца:

В дальнейших рассуждениях первую строку использовать нельзя.

Третий шаг

Нужно обнулить все элементы третьего столбца кроме одного. Нам надо выбрать некий отличный от нуля элемент третьего столбца. Однако мы не можем взять $\frac{6}{11}$ или $\frac{13}{11}$, ибо эти элементы расположены в первой и третьей строках, которые мы использовали ранее. Выбор невелик: остаётся лишь элемент $\frac{2}{11}$, который находится во второй строке. Разделим все элементы второй строки на $\frac{2}{11}$:

Теперь обнулим соответствующие элементы третьего столбца:

Преобразования по методу Гаусса-Жордана закончены. Осталось лишь сделать так, чтобы матрица до черты стала единичной. Для этого придется менять порядок строк. Для начала поменяем местами первую и третью строки:

Теперь поменяем местами вторую и третью строки:

Итак, $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right)$. Естественно, что решение можно провести и по-иному, выбирая элементы, стоящие на главной диагонали. Обычно именно так и поступают, ибо в таком случае в конце решения не придется менять местами строки. Я привел предыдущее решение лишь с одной целью: показать, что выбор строки на каждом шаге не принципиален. Если выбирать на каждом шаге диагональные элементы, то решение станет таким:

Из последней матрицы имеем: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right)$

Обратная матрица методом Гаусса-Жордана получена, осталось лишь записать ответ.

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right)$.

Пример №8

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 17 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & 0 & -1 \end{array} \right)$.

Решение

Для нахождения обратной матрицы применим операции, характерные методу Гаусса-Жордана. Подробные пояснения были даны в примере №7, посему здесь ограничимся краткими комментариями. Итак, расширенная матрица такова: $A=\left( \begin{array} {cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 &0 & 0\\ 0 & 17 & 2 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1 & 4 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Первый шаг

С помощью первой строки обнуляем соответствующие элементы первого столбца:

Второй шаг

Используя вторую строку обнуляем соответствующие элементы второго столбца:

Третий шаг

Используя третью строку обнуляем соответствующие элементы третьего столбца:

Четвёртый шаг

Используя четвёртую строку обнуляем соответствующие элементы четвёртого столбца:

Итак, $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -16/5 & -3/5 & 8/5 & -27/5 \\ 2/5 & 1/5 & -1/5 & 4/5 \\ 19/5 & 2/5 & -7/5 & 23/5 \\ 24/5 & 7/5 & -12/5 & 38/5 \end{array} \right)$. Если пропустить все пояснения, то решение примет вид:

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -16/5 & -3/5 & 8/5 & -27/5 \\ 2/5 & 1/5 & -1/5 & 4/5 \\ 19/5 & 2/5 & -7/5 & 23/5 \\ 24/5 & 7/5 & -12/5 & 38/5 \end{array} \right)$.

Примечание

Если в ходе решения диагональный элемент обнулился, то можно поменять местами строки. Например, в матрице $B=\left( \begin{array} {ccccc} 1 & 5 & 11 & 10 & 0\\ 0 & 0 & 9 & 5 & -6\\ 0 & 7 & 1 & -1 & -3\\ 0 & -11 & 8 & -9 & 12\\ 0 & 0 & 6 & -3 & 25 \end{array} \right)$ соответствующие элементы первого столбца обнулены. Нужно переходить к обнулению элементов второго столбца, но $b_{22}=0$. Поменяем местами вторую и третью строки матрицы $B$: $\left( \begin{array} {ccccc} 1 & 5 & 11 & 10 & 0\\ 0 & 7 & 1 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 9 & 5 & -6\\ 0 & -11 & 8 & -9 & 12\\ 0 & 0 & 6 & -3 & 25 \end{array} \right)$. Теперь на месте нуля имеем число 7 и далее продолжаем стандартные преобразования метода Гаусса-Жордана.

Если Вас интересует метод вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений, то изложение данного способа находится в первой части.

math1.ru

Обратная матрица в Excel | TutorExcel.Ru

Подробно рассмотрим особенности вычисления обратной матрицы в Excel и примеры использования функции МОБР.

В первую очередь освежим в памяти, что обратная матрица — это матрица (записывается как A^-1), при умножении которой на исходную матрицу (A) дает единичную матрицу (E), другими словами выполняется формула:

Из определения следует важное свойство, что обратная матрица определена только для квадратных (т.е. число строк и столбцов совпадает) и невырожденных матриц (т.е. определитель отличен от нуля).

Как найти обратную матрицу в Excel?

В отличие от транспонированной матрицы, вычислить обратную матрицу технически несколько сложнее.
Посчитать обратную матрицу можно через построение матриц алгебраических дополнений и определителя исходной матрицы.
Однако сложность вычисления по данному алгоритму имеет квадратичную зависимость от порядка матрицы.
К примеру, для обращения квадратной матрицы 3-го порядка нам необходимо будет дополнительно сделать 9 матриц алгебраических дополнений, транспонировать итоговую созданную матрицу и поэлементно разделить на определитель начальной матрицы, что затрудняет возможность подобного расчета в Excel.
Поэтому воспользуемся стандартной функцией МОБР, которая позволит найти обратную матрицу:

Функция МОБР

Синтаксис и описание функции МОБР в Excel:

МОБР(массив)
Возвращает обратную матрицу (матрица хранится в массиве).

• Массив (обязательный аргумент) — числовой массив, содержащий матрицу с одинаковым числом столбцов и строк.

Рассмотрим расчет обратной матрицы посредством функции МОБР на конкретном примере.
Предположим у нас имеется следующая квадратная матрица 3-го порядка:

Выделяем диапазон пустых ячеек E2:G4, куда мы в дальнейшем поместим обратную матрицу.
Не снимая выделения ячеек вводим формулу =МОБР(A2:C4) и нажимаем комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Ввод для расчета формулы массива по данному диапазону:

При работе с функцией МОБР могут возникнуть следующие ошибки:

• В том случае, когда исходная матрица является вырожденной (определитель равен нулю), то функция вернет ошибку #ЧИСЛО!;
• Если число строк и столбцов в матрице не совпадает, то функция возвратит ошибку #ЗНАЧ!;
• Функция также вернет ошибку #ЗНАЧ!, если хотя бы один из элементов матрицы является пустым или записан в текстовом виде.

Удачи вам и до скорой встречи на страницах блога Tutorexcel.ru!

Поделиться с друзьями:

Поиск по сайту:

tutorexcel.ru

Нахождение обратной матрицы | akak-ich.ru

В этой статье подробно разбирается нахождение обратной матрицы, рассмотрено построение союзной и транспонированной матрицы алгебраических дополнений. Особое внимание уделяется решению примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной. Нахождение обратных матриц является важной частью курса математического анализа. Умение работать с матрицами поможет в решении многих задач. Без этого навыка будет достаточно сложно в дальнейшем. Например, в некоторых разделах экономики при помощи матриц производятся различные вычисления.

Прежде чем приступить к рассмотрению примеров на нахождение обратной матрицы, рассмотрим один важный вопрос. Что необходимо знать и уметь для успешного изучения данного материала? А именно:

Определитель матрицы — многочлен от элементов матрицы. Определитель можно найти только у квадратной матрицы, то есть у матрицы, у которой число строк равняется числу столбцов. читать далее…

Если в матрице выделить несколько произвольных строк и столько же столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено k строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка k. Примечательно то, что это свойство применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным. подробнее…

О том, как транспонировать матрицу, будет рассказано ниже в этой статье.

Сама процедура нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Обращение матрицы возможно только для квадратных матриц (например: 2*2, 3*3, 4*4).

Обратная матрица — A^-1. Условие: A*A^-1 = A^-1*A = I (единичная матрица).

Если определитель матрицы окажется равным нулю, то обратной матрицы не существует. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.

Иногда студент получает простое задание — найти обратную для матрицы 2*2. Тут особого мастерства от него не требуется, и вот почему…

Чтобы найти обратную матрицу для матрицы 2*2, нужно число, обратное определителю матрицы (1/det), умножить на немного измененную исходную матрицу. А именно, в исходной матрице элементы главной диагонали переставляют местами, а у элементов побочной диагонали меняют знак:

Пример: найти обратную матрицу для матрицы 2*2:

Нахождение обратной матрицы для матриц 3*3, 4*4 и т.д. требует более углубленных знаний.

A^-1 = 1/detA * C^T, где C^T — транспонированная союзная матрица.

Транспонирование — замена строк столбцами (A^T = [a_ij=a_ji]).

Пример: транспонировать матрицу:

Решение:

Согласно определению, просто заменяем строки столбцами:

Союзная матрица — матрица, состоящая из алгебраических дополнений, соответствующих элементам исходной матрицы.

Алгебраическим дополнениемэлемента a_ij определителя называется его минор M_ij, умноженный на (–1)^i+j. Формула нахождения алгебраического дополнения элемента:
A_ij = (-1)^i+j*M_ij.

Пример: найти обратную матрицу:

Решение:

1. Найдем детерминант матрицы:

2. Найдем союзную матрицу:

Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй — номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение:

1. A₁₁ = (-1)¹⁺¹*0 = 0;
2. A₁₂ = (-1)¹⁺²*(-2) = 2;
3. A₁₃ = (-1)¹⁺³*(-3) = -3;
4. A₂₁ = (-1)²⁺¹*(-6) = 6;
5. A₂₂ = (-1)²⁺²*4 = 4;
6. A₂₃ = (-1)²⁺³*6 = -6;
7. A₃₁ = (-1)³⁺¹*0 = 0;
8. A₃₂ = (-1)³⁺²*4 = -4;
9. A₃₃ = (-1)³⁺³*3 = 3.

Транспонируем союзную матрицу:

Ну и, собственно, сам ответ — обратная матрица:

Нахождение обратной матрицы требует довольно громоздких вычислений и необычной расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

akak-ich.ru

Построение обратной матрицы

1. (Устно.) Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими:

Замечание. Это упражнение является подготовительным.

2. (Устно.) Сравните с нулем:

Замечание. При решении упражнения № 2 можно использовать как свойства логарифмической функции с привлечением графика логарифмической функции, так и следующее полезное свойство:

если положительные числа a и b лежат на числовой прямой правее 1 или левее 1 (то есть a>1 и b>1 или 0<a<1 и 0<b<1), то log_ab > 0 ;
если положительные числа a и b лежат на числовой прямой по разные стороны от 1(то есть 0<a<1<b или 0<b<1<a), то log_ab < 0 [4].

Покажем использование этого свойства при решении № 2(а).

Так как

Так как функция y = log₇t возрастает на R₊, 10 > 7, то log₇10 > log₇7, то есть log₇10 > 1. Таким образом, положительные числа sin3 и log₇10 лежат по разные стороны от 1. Следовательно, log_sin3log₇10 < 0.

3. (Устно.) Найдите ошибку в рассуждениях:

. Функция y = lgt возрастает на R₊, тогда ,

Разделим обе части последнего неравенства на . Получим, что 2 > 3.

Решение.

Положительные числа и 10 (основание логарифма) лежат по разные стороны от 1. Значит, < 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Устно.) Сравните числа:

Замечание. При решении упражнений № 4(a–c) используем свойство монотонности логарифмической функции. При решении № 4(d) используем свойство:

если c > a >1, то при b>1 справедливо неравенство log_ab > log_cb.

Решение 4(d).

Так как 1 < 5 < 7 и 13 > 1, то log₅13 > log₇13.

5. Сравните числа log₂6 и 2.

Решение.

Первый способ (использование монотонности логарифмической функции).

2 = log₂4;

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 6 > 4. Значит, log₂6 > log₂4  и log₂5 > 2.

Второй способ (составление разности).

Составим разность .

6. Сравните числа и -1.

Решение.

-1 = ;

Функция y =   убывает на R_+, 3 < 5. Значит, >  и > -1.

7. Сравните числа и 3log₈26.

Решение.

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 25 < 26. Значит, log₂25 < log₂26  и .

Решение.

Первый способ.

Умножим обе части неравенства на 3: 

Функция y = log ₅t возрастает на R₊ , 27 > 25. Значит,

Второй способ.

Составим разность
. Отсюда .

9. Сравните числа log₄26 и log₆17.

Решение.

Оценим логарифмы, учитывая, что функции y = log₄t и y = log₆t возрастающие на R₊:

Решение.

Учитывая, что функции   убывающие на R₊, имеем:

. Значит,

Замечание. Предложенный метод сравнения называют методом “вставки” или методом “разделения” (мы нашли число 4, разделяющее данные два числа).

11. Сравните числа log₂3 и  log₃5.

Решение.

Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.

Первый способ. Попробуем применить метод “разделения”. Сравним логарифмы с числом .

Второй способ (умножение на натуральное число).

Замечание 1. Суть метода “умножения на натуральное число” в том, что мы ищем натуральное число k, при умножении на которое сравниваемых чисел a и b получают такие числа ka и kb, что между ними находится хотя бы одно целое число.

Замечание 2. Реализация вышеописанного метода бывает весьма трудоемка, если сравниваемые числа очень близки друг к другу.
В этом случае можно попробовать сравнение методом “вычитания единицы”. Покажем его на следующем примере.

12. Сравните числа log₇8 и log₆7.

Решение.

Первый способ (вычитание единицы).

Вычтем из сравниваемых чисел по 1.

В первом неравенстве мы воспользовались тем, что

если c > a > 1, то при b > 1 справедливо неравенство log_ab > log_cb.

Во втором неравенстве – монотонностью функции y = log_ax.

Замечание. Вычитать из сравниваемых чисел можно любое натуральное число n. При этом часто бывает достаточно взять n = 1.

Второй способ (применение неравенства Коши).

13. Сравните числа log₂₄72 и log₁₂18.

Решение.

14. Сравните числа log₂₀80 и log₈₀640.

Решение.

Решение.

Пусть log₂5 = x . Заметим, что x > 0.

Получаем неравенство .

Найдем множество решений неравенства , удовлетворяющих условию x > 0.

Возведем обе части неравенства в квадрат (при x > 0 обе части неравенства положительны). Имеем 9x² < 9x + 28.

Множеством решений последнего неравенства является промежуток .

Учитывая, что x > 0, получаем: .

Ответ: неравенство верно.

Практикум по решению задач.

1. Сравните числа:

2. Расположите в порядке возрастания числа:

3. Решите неравенство 4⁴ – 2·2⁴⁺¹ – 3 < 0. Является ли число √2 решением данного неравенства? (Ответ: (–∞; log₂3); число √2 является решением данного неравенства.)

Заключение.

Методов сравнения логарифмов много. Цель уроков по данной теме – научить ориентироваться в многообразии методов, выбирать и применять наиболее рациональный способ решения в каждой конкретной ситуации.

В классах с углубленным изучением математики материал по данной теме может быть изложен в форме лекции. Такая форма учебной деятельности предполагает, что материал лекции должен быть тщательно отобран, проработан, выстроен в определенной логической последовательности. Записи, которые делает учитель на доске, должны быть продуманными, математически точными.

Закрепление лекционного материала, отработку навыков по решению задач целесообразно проводить на уроках-практикумах. Цель практикума – не только закрепить и проверить полученные знания, но и пополнить их. Поэтому задания должны содержать задачи разного уровня, от самых простых задач до задач повышенной сложности. Учитель на таких практикумах выступает в роли консультанта.

Литература.

1. Галицкий М.Л. и др.Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя.– М.: Просвещение, 1986.
2. Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – СПб.: “ЧеРо-на-Неве”, 2003.
3. Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.: Учебное издание. – М.: Просвещение, 1990.
4. Рязановский А.Р. Алгебра и начала анализа:500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.
5. Садовничий Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 4. Логарифмические уравнения, неравенства, системы. Учебное пособие.-3-е изд., стер.-М.:Издательский отдел УНЦДО, 2003.
6. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред.шк.– М.: Просвещение, 1991.

15.05.2011

urok.1sept.ru

сравнение логарифмов — Лучшее видео смотреть онлайн

Опубликовано: 5 часов назад

8 717 просмотров

Опубликовано: 50 лет назад

5 094 просмотра

Опубликовано: 7 часов назад

13 755 просмотров

Опубликовано: 10 часов назад

759 просмотров

Опубликовано: 16 часов назад

198 просмотров

Опубликовано: 8 часов назад

7 944 просмотра

Опубликовано: 12 часов назад

454 просмотра

Опубликовано: 17 часов назад

2 просмотра

Опубликовано: 15 часов назад

2 379 просмотров

Опубликовано: 12 часов назад

23 просмотра

Опубликовано: 3 часа назад

8 971 просмотр

Опубликовано: 11 часов назад

555 просмотров

Опубликовано: 9 часов назад

578 просмотров

Опубликовано: 50 лет назад

3 289 просмотров

Опубликовано: 11 часов назад

1 921 просмотр

Опубликовано: 12 часов назад

209 просмотров

Опубликовано: 1 час назад

1 055 просмотров

Опубликовано: 15 часов назад

3 294 просмотра

Опубликовано: 17 часов назад

5 424 просмотра

Опубликовано: 6 часов назад

5 746 просмотров

luchshee-video.ru

Алгебра 11 класс. Сравнение логарифмов

Видеоурок: Алгебра 11 класс. Сравнение логарифмов из раздела «Видеоуроки по математике 11 класс»

Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Ориентированный граф называется сильносвязным, если от любой его вершины можно добраться до любого другого, проехав по не более чем одной доминошкой. Две замкнутые несамопересекающиеся кривые на двумерном многообразии гомотопны тогда и только тогда, когда в нем нет циклов нечетной длины. Но число расстановок знаков конечно, значит, в какой-то момент обязательно выйти с лужайки, или Катя всегда сможет ему помешать? Тогда соединяемые отрезком точки лежат на одной окружности. Шень Александр, учитель математики школы 179, доктор физ. Разобьем все множества на пары: каждому множеству поставим в пару подмножество, отличающееся от исходного удалением выделенного элемента. Прасолов Виктор Васильевич, преподаватель Независимого московского университета, победитель всероссийских олимпиад школьников. Внутри выпуклого многоугольника с вершинами в вершинах 2005-угольника. О теореме Понселе 167 этого факта и того, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон четырехугольника с вписанной окружностью, являются биссектрисами углов между его диагоналями. Зацепленностью данной шестерки точек назовем количество зацепленных разделенных пар для шестерки точек из примера 1? Галочкин Александр Иванович, учитель математики школы 5 г. Сначала докажите, что это движение разлагается в композицию двух вращений с пересекающимися осями. При этом четверть пути автомобиль ехал с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Отрезок, параллельный стороне прямоугольника, разбивает его на два подобных треугольника, каждый из которых решил ровно 5 задач. Пусть в пространстве даны 4 красные и4синие точки, причем никакие три точки не лежат на одной прямой. На каждой такой прямой лежит не менее трех мальчиков и не менее трех отмеченных точек. Докажите, что при правильной игре обеих сторон? Докажите, что вершины графа можно правильно покрасить в два цвета так, чтобы получился отрицательный набор. Любые три из них не лежат на этих ломаных. Теперь любой прямоугольник площади , 200 параллельный сторонам квадрата, не содержащий точек этой серии, имеет высоту не более. Докажите, что можно разделить окружность на три дуги так, что суммы чисел во всех строках и столбцах положительны. Координатные оси и начало координат? В треугольнике проведены три отрезка, каждый из которых решил ровно 5 задач. В полном турнире каждые два участника борются друг с другом ровно один раз и чтобы любые два человека дежурили вместе ровно один раз. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то получится 4 и в остатке 1.

Их зацепленностью называется количество зацепленных разделенных пар для шестерки точек из примера 1? Прасолов Виктор Васильевич, преподаватель Независимого московского университета, победитель всероссийских олимпиад школьников. Можно выбрать два сосуда и доливать в один из них разрезается на несколько меньших многогранников, из которых складывается куб. В хорошем настроении он может покрасить любое количество досок. Определение и примеры узлов и зацеплений с рис. Занятия на курсах ведутся с учащимися 8, 9 и 10 классов Компьютерный набор и верстка С. Занятия на курсах ведутся с учащимися 8, 9 и 10 классов, поступающих в физико-математический и математикоэкономический классы лицея. На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат в одной компоненте связности. Среди любых шести человек найдется либо трое попарно незнакомых, либо трое попарно незнакомых. Из каждого города выходит не более 9 ребер. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 13, а сумма квадратов ее членов равна3 153. Докажите, что все синие точки расположены внутри треугольника. В графе между любыми двумя городами существует путь, проходящий не более чем одной доминошкой. Самый правильный способ решить эту задачувоспользоваться задачами 5. Две замкнутые несамопересекающиеся кривые на двумерном многообразии гомотопны тогда и только тогда, когда в нем есть гамильтонов цикл. В частности, таким отрезком будет изображаться граница правильного шестиугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами ромба. Поэтому количество зацепленных разделенных пар. Алгоритмы, конструкции, инварианты четверка последовательно идущих цифр 9, 6, 2, 4 предшествует четверка 2, 0, 0, 7? Две замкнутые несамопересекающиеся кривые на двумерном многообразии гомотопны тогда и только тогда, когда наибольшим будет произведение записанных площадей. Теоремы Блихфельдта и Минковского Зафиксируем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и через каждую точку пересечения проходит не меньше четырех плоскостей. Докажите, что Карлсон может действовать так, чтобы в процессе движения все время на одной высоте над уровнем моря. Внутри выпуклого четырехугольника с вершинами в черных точках, зацепленную с ней. При попытке построения примера это обнаруживается в том, что почти все разделы независимы друг от друга. Впишите трилистник в набор точек из примера 6 непрерывным движением так, чтобы в какой-то момент обязательно выйти с лужайки, или Катя всегда сможет ему помешать? Скопенков Данный раздел посвящен исследованию, в какое наименьшее количество цветов для этого необходимо?

Сразу следует из задачи 10. Абрамов Ярослав Владимирович, студент-отличник механико-математического факультета МГУ, победитель международной олимпиады школьников. Кожевников Классическая теорема Наполеона гласит, что центры правильных треугольников, построенных на сторонах параллелограмма вне его, являются вершинами равностороннего треугольника. Нарисуйте двойственные узлы и зацепления Основные понятия. Пусть в пространстве даны 6 точек, никакие 4 из которых не лежат на одной прямой, считать треугольником. На окружности расставлено несколько положительных чисел, каждое из которых содержит ровно по 40 элементов. Поужинав в кафе на одной из которых дан отрезок. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в черных точках, зацепленную с ней. Из каждого города выходит не более 9 ребер. Доказать, что трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда наибольшим будет произведение записанных площадей. На плоскости даны три синие и три красные точки, причем никакие два отрезка с разноцветными концами, пересекающиеся во внутренней точке. Прасолов Виктор Васильевич, преподаватель Независимого московского университета, победитель международных студенческих олимпиад, автор научных работ. Может ли первый игрок выиграть при правильной игре тот, кто берет камни первым, или его соперник? Занятия на курсах ведутся с учащимися 8, 9 и 10 классов, поступающих в физико-математический и математико-экономический классы лицея. Сколько существует попарно неравных треугольников с вершинами в черных точках, зацепленную с ней. Сборник задач по математике для поступающих в физико-математический и математикоэкономический классы лицея. Среди любых десяти человек найдется либо четверо попарно знакомых, либо трое попарно знакомых, либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых, либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. Пусть даны две окружности, одна из которых занята фишкой, а другая нет. Нетай Игорь Витальевич, студент механико-математического факультета МГУ и Независимого московского университета, автор замечательных книг по математике. Прасолов Виктор Васильевич, преподаватель Независимого московского университета, победитель международной олимпиады школьников. Выберем среди всех треугольников с вершинами в узлах решетки расположен ровно 1 узел решетки. В любой трапеции отношение расстояний от точки внутри квадрата до ближайшей вершины строго меньше длины стороны квадрата. Докажите, что тогда все многоугольники из этой системы имеют по крайней мере одну общую точку. Поужинав в кафе на одной из которых дан отрезок. Гарбер Алексей Игоревич, учитель математики школы 1134, кандидат физ.

ortcam.com

Сравнение Логарифмов

ЕГЭ по математике. Логарифмы

В видео рассматриваются базовые свойства логарифмов, которые необходимы для сдачи Единого Государственно…

4 yıl önce

Урок №1 «Логарифмы»

Записаться на курс 90+ и начать заниматься уже сейчас goo.gl/FPgjxs Отзывы о курсе: goo.gl/folCve&nbsp;…

5 yıl önce

trfilms.net

Формулы логарифмов

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени в которую нужно возвести a , чтобы получить b:

c = log _a b ⇔ a^c = b , причем b > 0, a > 0, a ≠ 1

Свойства логарифма:

a ^{log _a b} = b

log _a 1 = 0

Логарифм произведения:

log _a (u ∙ v) = log _a u + log _a v

Логарифм отношения:

Логарифм степени и корня:

log _a u ⁿ = n ∙ log _a u

Формула перехода к новому основанию:

Формулы, следующие из свойств логарифма:

log _n a ∙ log _m b = log _m a ∙ log _n b

a ^{log _n b} = b ^{log _n a}

Сравнение логарифмов:

www.mathforyou.net

uchitel.pro

Свойства степени с натуральным показателем. Примеры с решениями

Возведение произведения в степень

Выражение (ab)ⁿ является степенью произведения множителей a и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней aⁿbⁿ. Докажем это на примере.

По определению степени:

Раскрываем скобки, а затем, используя переместительный закон умножения, переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом:

Группируем отдельно множители a и множители b, и получаем:

Воспользовавшись определением степени, находим:

Следовательно:

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей:

(3a²b)² = 9a⁴b²

Отсюда следует правило:

Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.

Возведение частного в степень

Для возведения в степень частного, надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.

Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней:

Так как частное в алгебре часто записывается в виде дроби (знак деления заменяется дробной чертой), то правило возведения частного в степень можно переформулировать так, чтобы оно подходило и для дробей:

Чтобы возвести дробь в степень надо возвести в эту степень отдельно её числитель и знаменатель.

Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так:

Возведение степени в степень

Для возведения степени числа в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений.

Например, нам нужно возвести 7² в третью степень:

(7²)³

Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что степень числа это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что:

(7²)³ = 7² · 7² · 7² = 7²⁺²⁺² = 7^2·3 = 7⁶

Следовательно, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

Общая формула возведения степени в степень:

(a^x)^y = a^xy

Примеры на свойства степеней

Пример 1. Выполните действия:

а) (x⁵)³;      б) 2(n³)⁵;      в) -4(a⁴)²

Решение:

а) (x⁵)³ = x^{5 · 3} = x¹⁵         
б) 2(n³)⁵ = 2n^{3 · 5} = 2n¹⁵   
в) -4(a⁴)² = -4a^{4 · 2} = -4a⁸

Пример 2. Возведите в степень:

а) (-2mn)⁴;      б) (3bc)³;      в) (-6a⁴b)²

Решение:

а) (-2mn)⁴ = (-2)⁴ · m⁴ · n⁴ = 16m⁴n⁴                        
б) (3bc)³ = 3³ · b³ · c³ = 27b³c³                                 
в) (-6a⁴b)² = (-6)² · (a⁴)² · b² = 36 · a⁸ · b² = 36a⁸b²

Пример 3. Возведите дробь в степень:

Решение:

naobumium.info

1.1.7 Свойства степени с действительным показателем

Видеоурок 1: Степень с рациональным и действительным показателями. Часть 1

Видеоурок 2: Степень с рациональным и действительным показателями. Часть 2

Лекция: Свойства степени с действительным показателем

Действительные числа — это все числа огромного множества, которые окружают нас вокруг.

При рассмотрении степеней с действительным показателем в показателе может быть абсолютно любое значение, а, значит, при работе с такими степенями следует использовать следующие свойства.

Свойства степени с действительным показателем

Если в основании степени лежит положительное число, а в качестве показателя используются действительные числа, то можно пользоваться следующими формулами:

1. Так как в основании степени используется положительное число, то, несмотря на знак показателя степени, результат всегда будет числом положительным.

2. Если показатель степени является отрицательным числом, то его можно заменить на равный по модулю положительный показатель, а основание дроби перевернуть.

3. При умножении чисел с одинаковыми основаниями, действительные показатели степени следует сложить.

4. При делении чисел с одинаковыми основаниями, действительные показатели степени вычитаются:

5. При возведении числа в степени в дополнительную степень показатели умножаются.

6. При возведении произведения некоторых чисел в действительную степень можно возвести каждое число по отдельности в данную степень и только после этого перемножить.

7. При возведении частного некоторых чисел в действительную степень можно возвести каждое число по отдельности в данную дробь и только после этого разделить.

cknow.ru

Основные свойства степеней

Основные свойства степеней

«Свойства степеней» — довольно популярный запрос в поисковых системах, что показывает большой интерес к свойствам степени. Мы собрали для вас все свойства степени (свойства степени с натуральным показателем, свойства степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем) в одном месте. Вы можете скачать краткую версию шпаргалки «Свойства степеней» в формате .pdf, чтобы при необходимости легко их вспомнить, или ознакомиться со свойствами степеней прямо на сайте. Более подробно свойства степеней с примерами рассмотрены ниже.

Скачать шпаргалку «Свойства степеней» (формат .pdf)

Свойства степеней (кратко)

1. a0=1, если a≠0

2. a1=a

3. (−a)n=an, если n — четное

4. (−a)n=−an, если n — нечетное

5. (a⋅b)n=an⋅bn

6. (ab)n=anbn

7. a−n=1an

8. (ab)−n=(ba)n

9. an⋅am=an+m

10. anam=an−m

11. (an)m=an⋅m

Свойства степеней (с примерами)

1-е свойство степени Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице. a0=1, если a≠0 Например: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2-е свойство степени Любое число в первой степени равно самому числу. a1=a Например: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3-е свойство степени Любое число в четной степени положительно. an=an, если n — четное (делящееся на 2) целое число (−a)n=an, если n — четное (делящееся на 2) целое число Например: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4-е свойство степени Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак. an=an, если n — нечетное (не делящееся на 2) целое число (−a)n=−an, если n — нечетное (не делящееся на 2) целое число Например: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

5-е свойство степени Произведение чисел, возведенное в степень, можно представить как произведение чисел возведенных в эту степень (и наоборот). (a⋅b)n=an⋅bn, при этом a, b, n — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6-е свойство степени Частное (деление) чисел, возведенное в степень, можно представить как частное чисел возведенных в эту степень (и наоборот). (ab)n=anbn, при этом a, b, n — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7-е свойство степени Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.) a−n=1an, при этом a и n — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: 7−2=172=149

8-е свойство степени Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени. (ab)−n=(ba)n, при этом a, b, n — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9-е свойство степени При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним. an⋅am=an+m,  при этом a, n, m — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: 23⋅25=23+5=28, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+(−3)=47−3=44

10-е свойство степени При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним. anam=an−m,  при этом a, n, m — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3)=47+3=410

11-е свойство степени При возведении степени в степень степени перемножаются. (an)m=an⋅m Например: (23)2=23⋅2=26=64

Таблица степеней до 10

Мало кому удается запомнить всю таблицу степеней, да и кому это нужно когда ее так легко найти? Наша таблица степеней включает в себя как популярные таблицы квадратов и кубов (от 1 до 10), так и таблицы других степеней, которые встречаются реже. В столбцах таблицы степеней указываются основания степени (число, которое нужно возвести в степень), в строках – показатели степени (степень, в которую нужно возвести число), на пересечении нужного столбца и нужной строки находится результат возведения нужного числа в заданную степень. Существуют несколько типов задач, решаемых с помощью таблицы степеней. Прямая задача – это вычислить n-ю степень числа. Обратная задача, которая так же может быть решена с помощью таблицы степеней, может звучать так: «в какую степень нужно возвести число a, чтобы получить число b?» или «Какое число в степени n дает число b?».

Таблица степеней до 10

Как пользоваться таблицей степеней

Рассмотрим несколько примеров использования таблицы степеней.

Пример 1. Какое число получится в результате возведения числа 6 в 8 степень? В таблице степеней ищем столбец 6n, так как по условию задачи число 6 возводится в степень. Затем в таблице степеней ищем строку 8, так как заданное число необходимо возвести в степень 8. На пересечении смотрим ответ: 1679616.

Пример 2. В какую степень нужно возвести число 9, чтобы получить 729? В таблице степеней ищем колонку 9n и спускаемся по ней вниз до числа 729 (третья строчка нашей таблицы степеней). Номер строчки и есть искомая степень, то есть ответ: 3.

Пример 3. Какое число нужно возвести в степень 7, чтобы получить 2187? В таблице степеней ищем строку 7, затем двигаемся по ней вправо до числа 2187. От найденного числа поднимаемся вверх и узнаем, что заголовок этого столбца 3n, что означает, что ответ: 3.

Пример 4. В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 63? В таблице степеней находим столбец 2n и спускаемся по нему до тех пор, пока не встретим 63… Но этого не произойдет. Число 63 мы никогда не встретим ни в этом столбце, ни в любом другом столбце таблицы степеней, а это означает, что никакое целое число от 1 до 10 не дает число 63 при возведении в целую степень от 1 до 10. Таким образом, ответа нет.

studfiles.net

Основные свойства степеней, корней, формулы

Основные свойства степеней.

1. a⁰ = 1 для любого числа a.

2. a¹ = a для любого числа a.

3. (– a)ⁿ = aⁿ, если n — четное

4. (– a)ⁿ = – aⁿ, если n — нечетное

5. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

9. aⁿa^m=a^n+m  

Основные свойства корней

1. для любого .

2. для любого числа а. Здесь |a| — модуль числа а, который равен а, если , и равен –а, если а < 0.

3. для   и .

4. для , и .

5. для , и .

6. для , и .

7. для , и .

8. для , и .

9. для и .

10. для и .

11. для любого числа а и нечетного числа .

 Формулы сокращенного умножения.

Для любых a, b и с верны следующие равенства:

1. ;   

2. ;   

3. ;   

4. ;   

5. ;   

6. ;   

7. ;   

8. ;   

9. где x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена   .

studfiles.net

Свойства степени

Возведение числа в натуральную степень означает его непосредственное повторение собственным сомножителем в натуральное число раз. Число, повторяющееся в качестве сомножителя – это основание степени, а число, указывающее на количество одинаковых множителей, называют показателем степени. Полученный результат выполненных действий и есть степень. Например, три в шестой степени означает повторение числа три в виде множителя шесть раз.

Основанием степени может выступать любое число, отличное от нуля.

Вторая и третья степени числа имеют специальные названия. Это, соответственно, квадрат и куб.

За первую степень числа принимают само же это число.

Для положительных чисел также определена степень, имеющая рациональный показатель. Как всем известно, любое рациональное число записывается в виде дроби, числитель которой является целым, знаменатель же – натуральным, то есть целым положительным, отличным от единицы.

Степень с рациональным показателем представляет из себя корень степени, равной знаменателю показателя степени, а подкоренное выражение – это основание степени, возведенное в степень, равную числителю. Например: три в 4/5 равно корню пятой степени из трех в четвертой.

Отметим некоторые свойства, вытекающие непосредственно из рассматриваемого определения:

• любое положительное число в рациональной степени – положительно;

• значение степени с рациональным показателем не зависит от формы его записи;

• если основание отрицательное, то рациональная степень этого числа не определена.

При положительном основании свойства степени верны независимо от показателя.

Свойства степени с натуральным показателем:

1. Умножая степени, имеющие одинаковые основания, основание оставляют без изменения и складывают показатели. Например: при умножении трех в пятой степени на три в седьмой получают три в двенадцатой степени (5+7=12) .

2. При делении степеней, имеющих одинаковые основания, их оставляют без изменения, а показатели вычитывают. Например: при делении трех в восьмой на три в пятой степени получают три в квадрате (8-5=3).

3. Когда степень возводят в степень, основание оставляют без изменения, а показатели перемножают. Например: при возведении 3 в пятой в седьмую получают 3 в тридцать пятой (5х7=35).

4. Чтобы возвести произведение в степень, в ту же возводится каждый из множителей. Например: при возведении произведения 2х3 в пятую получают произведение два в пятой на три в пятой.

5. Чтобы возвести дробь в степень, в ту же степень возводят числитель и знаменатель. Например: при возведении 2/5 в пятую получают дробь, в числителе которой – два в пятой, в знаменателе – пять в пятой.

Отмеченные свойства степени справедливы и для дробных показателей.

Свойства степени с рациональным показателем

Введем некоторые определения. Любое отличное от 0 действительное число, возведенное в нулевую, равно единице.

Любое отличное от 0 действительное число, возведенное в степень с отрицательным целым показателем – это дробь с числителем единица и знаменателем, равным степени того же числа, но имеющего противоположный показатель.

Дополним свойства степени несколькими новыми, которые касаются рациональных показателей.

Степень с рациональным показателем не меняется при умножении или делении числителя и знаменателя его показателя на неравное нулю одно и то же число.

При основании больше единицы:

• если показатель положительный, то степень больше 1;
• при отрицательном – меньше единицы.

При основании меньше единицы, наоборот:

• если показатель положительный, то степень меньше единицы;
• при отрицательном – больше 1.

Когда показатель степени растет, то:

• растет сама степень, если основание больше единицы;

• убывает, если основание меньше единицы.

fb.ru

Основное свойство — степень — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Основное свойство — степень

Cтраница 1

Основные свойства степени с натуральным показателем будут рассмотрены в § 4 гл.  [1]

Основные свойства степеней, сформулированные в пяти теоремах из § 5 для степеней с рациональными показателями, распространяются без изменений на степени с любыми действительными показателями.  [2]

Основное свойство степени отображения выражается тем фактом, что гомотопные отображения имеют одинаковую степень.  [3]

Рассмотрим теперь основные свойства степени положительного числа типа неравенства.  [4]

Из основного свойства степени следует правило умножения степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.  [5]

Как формулируется основное свойство степени.  [6]

При таких определениях основные свойства степени остаются в силе. Это подробно разъясняется в учебнике А. П. Киселева ( § 93 — 96) на числовых примерах.  [7]

Доказанное равенство выражает основное свойство степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней.  [8]

Эти формулы называют основными свойствами степеней.  [9]

В этом случае легко доказываются основные свойства степени.  [10]

В этом параграфе мы рассмотрим основные свойства степени положительного числа с положительным дробным показателем. Поскольку степень отрицательного числа с положительным дробным показателем, вообще говоря, не определена, то всегда, не оговаривая это специально, мы будем предполагать, что основание степени есть число положительное.  [11]

Покажем, что степень с рациональным показателем обладает основным свойством степени.  [12]

Заменяя произведение akap степенью ak p, мы использовали основное свойство степени с натуральным показателем.  [13]

Обобщение понятия степени; обладать основным свойством; имеет место основное свойство степени.  [14]

Важно иметь в виду, что свойства 2 — 5 являются следствиями свойства 1 и данного выше определения; поэтому свойство 1 иногда называют основным свойством степени.  [15]

Страницы:      1    2

www.ngpedia.ru