Школьная жизнь — Страница 120 — Таловская средняя школа

Учащийся определил прямой угол как угол стороны которого – Какую ошибку допустил учащийся? | Интерактивное сообщество — Решение задач по инженерной графике

alexxlab / 11.05.202006.07.2019 / Школьная жизнь

Тема 10. Математические понятия Контрольные вопросы по теории

Какие свойства считают существенными и несущественными для объекта?
Что понимают под объемом понятия?
Что понимают под содержанием понятия?
В каком отношении находятся объемы понятий, если понятия несовместимы, совместимы, тождественны, одно понятие является видовым по отношении к другому понятию?
Что значит – определить понятие?
Какие определения относят к явным и неявным?
Какие правила необходимо соблюдать, формулируя определения понятий через род и видовое отличие?

Практические задания

Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия: а) «целое число»; б) «многоугольник»; в) «часть речи»; г) «хвойное дерево»; д) «геометрическая фигура».
Укажите какие-нибудь свойства, присущие всем параллелограммам. Какие из названных вами свойств принадлежат и другим фигурам?
Назовите несколько свойств, входящих в содержание понятия: а) «правильный многоугольник»; б) «ломаная линия»; в) «прямоугольник»; г) «ромб»; д) «биссектриса угла»; е) «треугольник».
Какие из следующих свойств входят в содержание понятия «трапеция», а какие – нет? а) Иметь пару равных сторон; б) иметь пару параллельных сторон; в) иметь все равные углы; г) иметь равные диагонали.
Назовите свойства: а) присущие и прямоугольнику, и ромбу; б) присущие прямоугольнику и не присущие ромбу; в) присущие ромбу и не присущие прямоугольнику.
Назовите фигуру со следующими свойствами: а) иметь 4 вершины; б) иметь 2 пары параллельных сторон; в) иметь 4 равные стороны; г) иметь 4 стороны и прямой угол.
Какие из следующих понятий являются совместимыми, а какие – несовместимыми:

а: «четное число»,

b: «нечетное число»,

с: «число, кратное 3»,

d: «двузначное число» ?

Изобразите отношения между объемами следующих понятий на кругах Эйлера:

а) а: «целое число»; b: «натуральное число»; с: «отрицательное число»;

б) а: «квадрат»; b : «ромб с прямым углом»;

в) а: «четырехугольник», b: «трапеция», с: «прямоугольник»;

г) а: «натуральное число, кратное 3», b: «натуральное число, кратное 4», с: «натуральное число»;

д) а: «треугольник», b: «равнобедренный треугольник», с: «равносторонний треугольник».

Приведите примеры понятий, отношения между которыми могут быть изображены с помощью кругов Эйлера, приведенных на рисунке.

С с с с

а) б) в) г)

Укажите три понятия, являющиеся родовыми по отношению к понятию «прямоугольник». Какое из них является ближайшим?
Для каждого из следующих понятий укажите ближайшее родовое понятие: а) хвойное дерево; б) имя существительное; в) квадрат; г) биссектриса угла; д) нечетное число; е) окружность.
Назовите понятие, являющееся родовым по отношению к данной группе понятий: а) квадрат, трапеция, ромб; б) круг, окружность, многоугольник, отрезок; в) деревья, кустарники, травы.
Для каждого из следующих понятий укажите видовое понятие: а) животное; б) растение; в) многоугольник; г) параллелограмм; д) дерево; е) часть речи.
Назовите несколько свойств, общих для прямоугольника и квадрата. Выясните, какое из высказываний истинно: «всякое свойство прямоугольника присуще квадрату»; «всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику». В каком отношении находятся содержания понятий «прямоугольник» и «квадрат» и их объемы?
Может ли одно и то же понятие быть родовым по отношению к некоторому понятию аи видовым по отношению к понятиюb?
Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: а) многоугольник и треугольник; б) угол и острый угол; в) луч и прямая; г) ромб и квадрат; д) круг и окружность; е) отрезок и прямая?
Можно ли отождествить понятия: а) число и цифра; б) окружность и граница круга; в) выражение и значение выражения?
Среди понятий, изучаемых в начальном курсе математики, есть такие, как «четное число», «треугольник», «многоугольник», «число», «трехзначное число», «прямой угол», «сумма», «слагаемое», «выражение». Есть ли среди них понятия, находящиеся в отношении: а) рода и вида; б) целого и части?
В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:

а) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

б) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Назовите все свойства, которые содержатся в видовом отличии каждого из следующих определений:

а) Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

б) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Дайте определения следующих понятий: а) четырехугольник; б) прямоугольник; в) ромб; г) равнобедренный треугольник; д) равносторонний треугольник; е) трапеция. Выделите в каждом из определений родовое понятие и видовое отличие.
Дайте определение понятия «квадрат», указав в качестве родового понятия понятие: а) «прямоугольник», б) «ромб».
Можно ли при помощи свойства «иметь прямой угол» выделить подмножество квадратов из множества: а) четырехугольников б) ромбов; в) параллелограммов? Если нет, то укажите свойства, при помощи которых это можно сделать.
Сформулируйте определение трапеции. Пользуясь им, сформулируйте условие, при котором: а) четырехугольник будет являться трапецией: б) четырехугольник не будет являться трапецией.
Учащийся определил прямой угол как угол, стороны которого взаимно перпендикулярны, а взаимно перпендикулярные прямые как прямые, образующие при пересечении прямые углы. Какую ошибку допустил учащийся?
Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Исправьте их.

а) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

б) Прямоугольник –это когда все углы прямые.

в) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам.

г) Диаметром круга называется хорда, проходящая через центр круга.

д) Сложением называется действие, при котором числа складываются.

е) Простое число –это когда оно имеет только два натуральных делителя.

ж) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все стороны и все углы.

з) Луч –это прямая, ограниченная с одной стороны.

и) Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

к) Отрезок – это прямая, ограниченная с двух сторон.

л) Касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности.

м) Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого есть острый угол.

Какие из следующих обоснований правильны, а какие –нет: а) треугольникАВСне равнобедренный, так какАВВС; б) треугольникABCне равнобедренный, так какАВВСиВС  АС; в) треугольникABCне равнобедренный, так какАВВС;ВС  АСиАВ АС.
Учащийся по аналогии с определением остроугольного треугольника сформулировал такое определение остроугольного четырехугольника: «Остроугольным четырехугольником называется выпуклый четырехугольник, все углы которого острые». Можно ли считать это определение правильным?
Понятие «противоположные стороны прямоугольника» в начальном курсе математики можно определить так: «Красным цветом обозначены две противоположные стороны прямоугольника, а синим цветом – две другие противоположные стороны» (все это показано на рисунке). Какой способ определения понятия использован?
Понятие «трехзначное число» вводится в начальных классах так: учащимся предлагается ответить на вопрос: «Сколько всего цифр (знаков) используется для записи каждого из чисел: 573, 982, 700, 403, 777, 585?» затем учитель делает заключение: «Это трехзначные числа». Каким образом в этом случае определено понятие трехзначного числа?
Выясните, каким способом определяются в различных учебниках по математике для начальных классов понятия: а) выражение; б) сумма; в) слагаемое; г) четное число; д) периметр; е) однозначное число.
Приведите примеры генетических и индуктивных определений из курса алгебры.

studfiles.net

Строить определения математических понятий

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Математические понятия.

Задания на формирование умения

строить определения математических понятий

Типовые задания с решениями

Пример 1.Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия «металл».

Решение. В объем понятия «металл» входят элементы, охватываемые этим понятием. К ним относятся, например, железо, никель, медь, цинк, золото, серебро, титан.

Пример 2.Назовите несколько свойств, принадлежащих содержанию понятия «дерево». Принадлежит ли содержанию этого понятия свойство «иметь листья»?

Решение. Содержание понятия «дерево состоит из тех свойств, которые являются общими для всех деревьев». К таким свойствам относятся, например, следующие: «быть растением», «иметь корень», «иметь ствол», «иметь ветви», «имеет кору».

Свойство «иметь листья» не входит в содержание понятия «дерево», поскольку этим свойством обладают не все деревья. Так, хвойные деревья не имеют листьев.

Пример 3.Определите, в каких отношениях находятся понятия:

а) трапеция и параллелограмм;

б) четное число и простое число;

в) телефон и средство связи.

Решение.

а) Объемом понятия а — «трапеция» является множество А, состоящее из четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Объемом понятия в –«параллелограмм» является множество В, состоящее из четырехугольников, у которых противоположные стороны попарно параллельны. Поскольку никакой четырехугольник не может удовлетворять тем и другим требованиям одновременно, то объемы этих понятий не пересекаются. Следовательно, сами понятия являются несовместимыми (рис а).

б) Объемы понятий а – «четное число» и в – « простое число» содержат общий элемент. Этим числом является число 2, одновременно четное и простое. Поскольку объемы понятий находятся в отношении пересечения, сами понятия являются совместимыми. (рис б).

в) Объем А понятии «телефон» является подмножеством множества В – объема понятия «средства связи». Причем А не совпадает с В. Поэтому АÌВ, т.е. объемы понятий находятся в отношении включения. Понятие «телефон» является видовым, а понятие «средство связи» -родовым. (рис в).

Задания для самостоятельной работы (базовый уровень)

1. Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия:

а) посуда; б) мебель;

в) автомобиль; г)часть речи;

д) город; е) геометрическая фигура;

ж) планета; з) наука;

и) университет; к)библиотека.

2. Укажите несколько свойств, принадлежащих содержанию понятия:

а) птица; б) книга;

в) поезд; г)студент;

д) существительное; е) треугольник;

ж) праздник; з) рыба.

3. Укажите свойства, которые присущи:

а) прямоугольнику и ромбу;

б) прямоугольнику и не присущи ромбу;

в) ромбу и не присущи прямоугольнику.

4.Для каждого из следующих понятий укажите родовое и видовое понятия:

а) цветок; б) город; в) стол;

г) стакан; д) самолет; е) треугольник;

ж) собака; з) тюльпан; и) существительное;

к) кошка; л) уравнения; м) трактор.

5. Следующие понятия разбейте на группы. Для каждой группы назовите родовое понятие:

а) роза; б) береза; в) серебро;

г) лев; д) баран; е) липа;

ж) корова; з) тюльпан; и) медведь;

к) олово; л) жасмин; м) цинк.

6. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна отношения между объемами понятий a, b и c, если:

а) a – «треугольник», b – «прямоугольный треугольник», c –«равнобедренный прямоугольник»;

б) a – «ромб», b – «квадрат», c – «прямоугольник»;

в) a – «образовательное учреждение», b — «школа» c – «ВУЗ»;

г) a – «натуральное число», b – «четное число», c – «нечетное число»;

д) a — «жилое помещение», b — «дом», c – «комната».

7. Сформулируйте определение данного понятия через род и видовое отличие. В каждом определении выделите родовое понятие и видовой признак, если рассматриваются:

а) «равнобедренный треугольник»;

б) «диаметр окружности»;

в) «существительное»;

г) «прилагательное».

8. Сформулируйте определение прямоугольного треугольника и выявите его структуру.

Задания для самостоятельной работы (повышенный уровень)

1.Выясните, соизмеримы ли следующие определения:

а) квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны;

б) прямоугольником называется ромб, имеющий прямой угол;

в) равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого хотя бы две стороны равны;

г) прилагательным называется часть речи, обозначающая признак предмета и отвечающая на вопрос «какой».

В случае отрицательного ответа внесите соответствующие изменения в определение.

2.Учащийся определилпрямой угол как угол, стороны которого взаимно перпендикулярны, а взаимно перпендикулярные прямые как прямые, образующие при пересечении прямые углы. Какую ошибку допустил учащийся?

3. Учащийся по аналогии с определением остроугольного треугольника сформулировал такое определение остроугольного четырехугольника: «Остроугольным четырехугольником называется выпуклый четырехугольник, все углы которого острые». Можно ли считать это определение правильным?

4.Один учащийся определил понятие прямоугольника так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и стороны попарно равны».

Второй учащийся сказал: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».

А третий дал такое определение: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны».

Какой из учащихся дал верное определение понятия прямоугольника? Можно ли это понятие определить еще каким либо образом?

5.В каких из приведенных ниже определениях математических понятий имеются ошибки? Исправьте их, если это возможно.

а) Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая угол треугольника пополам.

б) Диаметром круга называется хорда, проходящая через центр круга.

в) Касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности.

г) Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны.

д) Сложение называется действие, при котором числа складываются.

е) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все его стороны и все его углы.

ж) Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

6. Проанализируйте логическую структуру определения прямоугольника (через четырехугольник) и установите, какие из фигур являются прямоугольниками.

7.Дайте определение биссектрисы угла и установите, на каком рисунке луч ВD является биссектрисой угла (рис. 6).

8.Сформулируйте определение понятия «квадрат», указав в качестве родового понятия «прямоугольник». Пользуясь данным определением, укажите условия, при которых:

а) фигура будет являться квадратом;

б) фигура не будет являться квадратом.

9.Достаточно ли нижеприведенное условие для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником:

а) он имеет две пары параллельных сторон;

б) три его угла являются прямыми;

в) его диагонали равны;

г) две его стороны параллельны.

mykonspekts.ru

1. Начертите три геометрические фигуры, принадлежащие объ… -reshimne.ru

2. Назовите пять существенных свойств понятия: а) треугольник; б) круг.

3. Каков объем понятия: а) однозначное число; б) натуральное число; в) луч?

4. Назовите несколько свойств, общих для прямоугольника и квадрата. Какое из следующих утверждений верное: а) Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику. б) Всякое свойство прямоугольника присуще квадрату?

5. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: а) многоугольник и треугольник; б) угол и острый угол; в) луч и прямая; г) ромб и квадрат; д) круг и окружность?

6. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий а, в и с, если: а) а – «четырехугольник», в – «трапеция», с – «прямоугольник»; б) а – «натуральное число, кратное 3», в – «натуральное число, кратное 4», с – «натуральное число»; в) а – «треугольник», в – «равнобедренный треугольник», с – «равносторонний треугольник».

7. Приведите примеры понятий, отношения между которыми изображены на рисунке.

а) б)

8. Среди понятий, изучаемых в начальном курсе математики, есть такие, как «четное число», «треугольник», «многоугольник», «число», «трехзначное число», «прямой угол», «сумма», «слагаемое», «выражение». Есть ли среди них понятия, находящиеся в отношении: а) рода и вида; б) целого и части?

9. Какие свойства понятий «прямоугольник» и «сложение» изучают в начальном курсе математики?

10. Переформулируйте следующие определения, используя слова «тогда и только тогда, когда»:

а) Четным называется число, которое делится на 2.

б) Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

в) Множества А и В называются равными, если А Ì В и В Ì А.

г) Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

11. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятие, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие: а) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны; б) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

12. Назовите все свойства, которые содержатся в видовом отличии каждого из следующих определений: а) Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам; б) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

13. Соразмеримы ли следующие определения: а) Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого есть острый угол; б) Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого есть прямой угол.

14. Учащийся определил прямой угол, стороны которого взаимно перпендикулярны, а взаимно перпендикулярные прямые как прямые, образующие при пересечении прямые углы. Какую ошибку допустил учащийся?

15. Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если есть, то исправьте их.

а) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

б) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам.

в) Сложением называется действие, при котором числа складываются.

г) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все стороны и все углы.

д) Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

reshimne.ru

Виды углов. Прямой угол. 2-й класс

Разделы: Начальная школа, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (9,7 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: объяснение нового материала.

Место урока в структуре по теме: данная тема изучается в разделе “Табличное сложение однозначных чисел с переходом через десяток”.

Цель урока: Познакомить учащихся с понятием “прямой угол” и научить применять полученные знания на практике.

Задачи урока:

1. Образовательные:

Познакомить учащихся с понятием “прямой угол”;
Сформировать практические навыки определения прямого угла при помощи треугольника и без него;
Продолжить работу по совершенствованию навыка устного счёта в пределах 100;

2. Развивающие:

Развитие логического мышления, внимания, памяти, пространственного воображения;
Развитие творческих умений и навыков по теме для успешного выполнения заданий;
Развитие культуры речи и эмоций учащихся.

3. Воспитательные:

В целях решения задач нравственного воспитания содействовать воспитанию гуманности и коллективизма, наблюдательности и любознательности, развитию познавательной активности, формированию навыков самостоятельной работы;
В целях решения задач эстетического воспитания содействовать развитию у учащихся чувства прекрасного.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

Ну-ка проверь, дружок,
Ты готов начать урок?
Все ль на месте
Все ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Каждый хочет получать
Только лишь оценку “5”.

— Ребята, сегодня мы опять отправимся в путешествие по королевству Геометрия.

3. Устный счёт.

2 слайд

– У ворот нас встречают король Точка и его дочь – принцесса Прямая. Прежде чем король и принцесса познакомят нас с жителями своего королевства, они хотят вас испытать.

II. Устный счет.

(Слайд 3)

1) Игра “Гусеница-растеряша”.

— Гусеница растеряла числа, посмотрите на оставшиеся, разгадайте по какому правилу можно продолжить ряд чисел. (Дети называют правило: это чётные числа; каждое последующее число на 2 больше предыдущего).

— Какие же числа растеряла гусеница? (2,4,6,8,10,12,14,16)

(Слайд 4)

2) Игра “Математический баскетбол”.

Баскетбол — командная спортивная игра, цель которой забросить руками мяч в подвешенную корзину.

— Любой из вас забьёт гол, если правильно решит пример. (Дети по цепочке решают примеры). 30 + 7 25 + 5 32 – 12 66 + 4 80 – 7 28 – 10 45 – 45 53 + 7 59 – 9 90 + 9

Слайд 5

Задание на логику

— Сколько пятачков у 15 поросят? (15)

— Когда гусь стоит на двух ногах, то весит 4 кг. Сколько будет весить гусь, когда встанет на одну ногу?

6 слайд

– Вы прошли все испытания. Король и принцесса очень довольны вами и готовы познакомить вас с жителями королевства “Геометрия”!

(По щелчку створки ворот открываются.)

(Слайд 7)

— Ребята, перед вами жители королевства “Геометрия”.

— Посмотрите на фигуры в каждой рамке. Какая из них лишняя? Почему?

(Учащиеся называют лишние фигуры, обосновывают свой выбор).

— Разделите все оставшиеся фигуры на две группы. Как это можно сделать? (Оставшиеся фигуры можно разделить на две группы: линии и многоугольники.)

— Назовите виды линий и многоугольников, известные вам. (Линии: прямая, ломаная, кривая. Многоугольники: квадрат, трапеция, прямоугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник, многоугольник).

IV. Работа над новым материалом.

(Слайд 8)

1) — Тему урока вам подскажет кроссворд. Кроссворд “Геометрический”.

1) Часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. (Луч).

2) Геометрическая фигура, не имеющая углов. (Круг).

3) Самая маленькая геометрическая фигура. (Точка).

4) Геометрическая фигура, имеющая форму вытянутого круга. (Овал).

— Тема нашего урока спряталась по вертикали. Найдите её. (Угол). (щелчок вылетают геометрические фигуры).

— Сформулируйте пожалуйста тему нашего урока.

— Ребята, а зачем мы будем изучать углы?

— Как Вы думаете, вам эти знания пригодятся?

(Ответы детей)

— Углы окружают нас и в повседневной жизни. Приведите свои примеры, где можно найти углы вокруг нас.

— Ребята, а может, кто-то знает, что такое угол? (выслушиваются мнения детей)

Правильность нашей формулировки, мы проверим чуть позже.

— Люди, каких профессий чаще всего встречаются с углами? (конструктор, инженер, дизайнер, строитель, архитектор, моряк, астроном, архитектор, портной и т.д.)

Слайд 9.

Посмотрите на рисунки: уголок соединительный для труб и уголок канцелярский для бумаг; угольник плотника и угольник чертёжный; угловой стол и угловой диван.

— Ребята, а сейчас Король и Принцесса предлагают немного поиграть.

Слайд 10.

Игра “Им угол имя подарил”.

— Угол важная фигура. Многим фигурам он помог дать имя. Назовите фигуры.

— Что общего в названиях фигур? (что они имеют угольник – общая часть)

— Почему первая часть слов везде разная? (потому что углов разное количество)

Физминутка 11-16 слайды

Открываем тетради, записываем 18 января, классная работа. (слайд 17)

Слайд 18.

— Ребята, а теперь от красных полей отступите одну клеточку и поставьте точку О. От этой точки проведите два луча.

На доске заранее нарисовать точку О (4-5). Вызвать 4-5 детей, чтобы они провели лучи на доске.

— Что за фигуры у нас получилась? (угол)

— Посмотрите, какие разные эти углы.

— Ребята, а теперь соберите правило из слов.

Работа в парах.

(Вывод: угол — это геометрическая фигура, образованная двумя разными лучами

с общим началом).

— Ребята, а теперь посмотрите на фигуру, которую нарисовала я.

— Это угол, или нет.

(Дети говорят – нет, еще раз возвращаемся к правилу, после этого делаем вывод о том, что это тоже угол – развернутый)

Слайд 19. (вывод по углу)

Плакат на доске

Точка О – вершина угла. Угол можно назвать одной буквой, записанной около его вершины. Угол О. Но может быть несколько углов, имеющих одну вершину. Как быть тогда? (На листе чертеж таких углов)

Ответы детей.

— В таких случаях если называть разные углы одной буквой, то будет непонятно, о каком угле идёт речь. Что этого не произошло, на каждой стороне угла можно отметить по одной точке, поставить около неё букву и обозначить угол тремя буквами, при этом всегда в середине записывают букву, обозначающую вершину угла. Угол АОВ. Лучи АО и ОВ – стороны угла.

Плакат на доске

Слайд 20.

— Ребята, у вас на столах лежат разные виды углов. Найдите пожалуйста одинаковые виды углов.

— Как будете искать? (Ответы детей)

Один человек на моих моделях ищет одинаковые углы.

— Ребята, смотрите, номера 6 и 7 совпали полностью, а 1 и 5 — нет. № 5 больше.

— Какой можно сделать вывод? После ответа детей появляется слайд.

ВЫВОД: слайд 21
Равные углы при наложении совпадают

Если один угол наложить на другой и они совпадут, то эти углы равны

Слайд 22.

Изготовление модели прямого угла.

Слайд 23

Не всегда удобно определять прямой угол на глаз. Для этого используют линейку-угольник.

— Каким цветом выделен угол больше прямого? (Голубым).

— Меньше прямого? (Зелёным).

— Какой же угол из трёх предложенных прямой?

— Почему вы так решили? (Вершина и стороны угла совпали с прямым углом на линейке-угольнике).

— Как же определить вид угла?

ВЫВОД:
Чтобы определить вид угла, надо совместить его вершину и сторону соответственно с вершиной и стороной прямого угла на угольнике.

Слайд 24

— Каждый из углов имеет своё название. Острый угол – это угол, который меньше прямого. Тупой угол – это угол, который больше прямого.

(На доске появляются таблички с названием углов)

— Какой угол мы будем считать главным?

Мама мой взяла листок,
И загнула уголок,
Угол вот такой у взрослых
Называется ПРЯМЫМ.
Если угол уже — ОСТРЫМ,
Если шире, то — ТУПЫМ.

Слайд 25.

— Ребята, а всегда возможно наложить углы?

— Нет. (Если начерчены в тетради…)

— Для этого существует транспортир, с помощью которого измеряют углы. Углы измеряют в градусах. Посмотрите на виды транспортиров.

Слайд 26.

Очень часто углы мы можем наблюдать на часах. Углы образуют часовые стрелки.

Работа по учебнику.

Задание: Используя модель прямого угла, найди прямые углы и выпиши их номера. (Дети выполняют задание самостоятельно, затем один ученик называет свой вариант ответа, все проверяют работу).

— С помощью угольника удобно не только определять прямые углы, но главное – строить их. Построим прямой угол, каждый сам назовёт его одной или тремя буквами.

Слайд 27-29 (Учитель на доске, а дети в тетрадях строят прямой угол. Выполняется взаимопроверка в парах).

Я ОСТРЫЙ — начертить хочу,
Сейчас возьму и начерчу.
Веду из точки две прямых,
Как будто два луча,
И видим ОСТРЫЙ УГОЛ мы,
как остриё меча.

А для УГЛА ТУПОГО
Всё повторяем снова:
Из точки две прямых ведём,
Но их пошире разведём.
На чертёж мой посмотри,
Он, как ножницы внутри,
Если их за два кольца
Мы раздвинем до конца.

Практическая работа по закреплению изученного.

На партах у вас проволока. Сделайте из нее прямой угол и проверьте с помощью угольника, затем сделайте острый и тупой.

7. Итог урока.

— Расскажите мне по схеме о том, что вам дал сегодняшний урок математики?

8. Домашнее задание.
17.03.2011
urok.1sept.ru
Урок математики «Прямой угол (практическая работа). Обозначение угла. Острые и тупые углы. Угольник»
Тема
Прямой угол (практическая работа). Обозначение угла. Острые и тупые углы. Угольник
Цель
знакомство с понятием «угол», сформировать представление о видах угла: «прямой, тупой, острый»
Задачи
— образовательная: формировать общее понятие угла как геометрической фигуры, познакомить учащихся с различными видами углов и приёмом сравнения углов (острого и тупого) как результат их сравнения с прямым углом;
— развивающая: создать условия для развития математической речи учащихся, работать над формированием и развитием приёмов анализа и сравнения;
— воспитательная: создать условия для развития культуры общения, адекватной самооценки результатов деятельности учеников.
Тип урока
урок открытия нового знания
Методы
частично-поисковый, самостоятельная работа и работа с учебником, парная и индивидуальная работа.
Основное содержание темы, термины и понятия
Представление о видах углов.
Термины: прямой, острый, тупой угол; стороны угла; вершина угла;
Планируемый результат
Предметные умения
УУД
Знать:
-термин «угол»;
-понятия «сторона угла», «вершина угла»;
-виды углов, элементы угла
Уметь:
-строить угол;
-распознавать и сравнивать виды углов, элементы угла.
Личностные:
—готовность целенаправленно использовать математические знания, умения и навыки в учебной деятельности и в повседневной жизни; -способность осознавать и оценивать свои мысли, действия и выражать их в речи.
Регулятивные:-в сотрудничестве с учителем ставить новые учебные задачи;
-проявлять познавательную инициативу в учебном сотрудничестве.
Познавательные:
1. Общеучебные:
-описывать взаимное расположение предметов в пространстве и на плоскости;
-распознавать, называть, изображать прямой, острый и тупой углы,
-распознавание и изображение на чертеже углов
2. Логические:
-умение определять признаки сходства и различия предметов; — развитие пространственного мышления.
Коммуникативные: — аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнеров в совместной деятельности;
— осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую помощь.
Оборудование
учебники, тетради на печатной основе, ПК, презентация урока на флешке, мультимедиа проектор, интернет.
Этапы урока
Деятельность
учеников
УУД
Деятельность
учителя
I. Мотивация к учебной деятельности
Цели:
— актуализировать требования к ученику со стороны учебной деятельности;
— создание условий для возникновения у учеников внутренней потребности включения в учебную деятельность;
— организовать планирование учебной деятельности на уроке.
Формулируют правила поведения на уроке, аргументируют их.
Слушают музыку
Слушают учителя
Личностные УУД
(Осмысление внутренней позиции ученика на уровне положительного отношения к уроку)
Регулятивные УУД
(Самоорганизация и организация своего рабочего места)
Встало солнышко давно,
Заглянуло к нам в окно.
Нас оно торопит в класс,
Вновь урок у нас сейчас!
Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, пожелайте успехов в освоении нового. Пусть хорошее настроение поможет совершить вам открытие на уроке математике. Крепко обнимите себя и скажите: У меня всё получится! Садитесь.
Работа с пословицей:
НЕ КРАСНА ИЗБА УГЛАМИ, А КРАСНА ПИРОГАМИ.
— Как понимаете эту пословицу?
(Дом хорош не внешней красотой, а гостеприимством хозяев)
— Как встречают гостей радушные хозяева?
(Хлебом-солью, приветливыми улыбками, аплодисментами (артистов, например))
— У нас сегодня тоже гости. Давайте, как гостеприимные хозяева встретим их улыбками.
— Чем можем их порадовать?
(Дружной работой на уроке,…)
— Как вы думаете, нужно ли вам изучать математику?
— Где в повседневной жизни вы встречались с математикой?
— Математика нужна во многих областях.
И ни одна из профессий, которую вы выберете, став взрослыми, не может обойтись без знания математики.
Строителю она нужна, чтобы рассчитать, сколько материалов нужно для строительства здания; врачу, чтобы рассчитать норму лекарства или создать новое лекарство от всех болезней; инженеру, чтобы создать новую совершенную машину. Без математики не может обойтись ни одна наука: ни химия, ни физика, ни астрономия
— Что мы развиваем на уроках математики?
II. Актуализация знаний.
Цель: Повторение изученного материала
Выполняют устный счёт
Познавательные УУД
(Актуализация изученных способов действий, развитие мыслительных операций)
Личностные УУД
(Осознание своих эмоций, интереса к изучению математики)
Регулятивные УУД
(Учатся работать по предложенному учителем плану)
Познавательные УУД
(Сравнение математических записей по нескольким основаниям; нахождение закономерности; самостоятельное продолжение их по установленному правилу)
Соблюдая все правила каллиграфии, запишите в тетради число, классную работу.
Минутка чистописания
—Найдите закономерность и продолжите ряд чисел.
-Посмотрите на ряд чисел, что можете сказать о расположении чисел?
-А что значит в порядке возрастания?, а убывания?
— На какие две группы мы можем разделить все полученные числа?
— А почему мы их так называем?
– Чтобы узнать что-то новое, что надо сделать сначала?
— А разве может быть математика без устного счёта?
Заполните таблицу
Уменьшаемое
70
42
80
98
Вычитание
4
6
12
Разность
20
10
41
Что неизвестно в первом столбике? Как находили?
Что неизвестно во втором столбике? Как находили? (Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемое прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.)
— Что такое задача?
* В саду росли 2 березы, 4 яблони, 5 вишен. Сколько всего фруктовых деревьев росло в саду? (9)
*На проводе сидели 12 ласточек. Через некоторое время четвёртая и седьмая ласточки улетели. Сколько ласточек осталось сидеть на проводе? (10)
* Винни-Пух, Кролик и Пятачок ожидали поезд три часа. Сколько часов ожидал поезд каждый из них? (3)
* Из половины муки бабушка испекла пирожки, а остальные 2кг муки ушло на ватрушки. Сколько килограммов муки было у бабушки? ( 4)
III.Постановка проблемы.
Цель: вывести тему и цели урока
IV.Музыкальная физминутка (для глаз)
Формулирование темы и целей урока.
Участвуют в обсуждении проблемных вопросов, формулируют собственное мнение и аргументируют его.
Участвуют в исследовательской практической работе
в ходе практической работы, определить что такое угол, виды углов, способы их построения;
Выполняют движения под музыку.
Познавательные УУД
(Использование простейших приемов анализа различных видов записей, умение устанавливать аналогии)
Регулятивные УУД
(Умение принимать цель урока и следовать ей в учебной деятельности)
Личностные УУД
(Умение применять правила охраны своего здоровья)

Говорите название и в какую группу надо отнести. (В первую группу фигуры 1, 3, 5; во вторую — фигуры 2, 4.)
Как называется наука, изучающая геометрические фигуры? ( ГЕОМЕТРИЯ)
— Как вы понимаете, что такое ГЕОМЕТРИЯ?
В переводе с греческого слово «Геометрия» означает «землемерие».
— Что изучает наука геометрия?
— С какими понятиями из этой страны вы уже знакомы? (точка, отрезок, прямая, геометрические фигуры)
— Какие геометрические фигуры вы знаете?
Сегодня нас приглашает царица Математика в путешествие по области Геометрия. Чтобы узнать цель путешествия, надо разгадать кроссворд «Геометрический».
1) Часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. (Луч).
2) Геометрическая фигура, не имеющая углов. (Круг).
3) Самая маленькая геометрическая фигура. (Точка).
4) Геометрическая фигура, имеющая форму вытянутого круга. (Овал).
По вертикали вы можете прочитать ещё название геометрической фигуры. (угол)
— Есть ли угол на экране? Сколько их? (1 – красный)
— Как вы думаете: какая тема нашего урока? Какие учебные задачи поставим на урок?
— Ребята, а зачем мы будем изучать углы?
— Как Вы думаете, вам эти знания пригодятся?
V. Первичное закрепление. Рефлексия учебной деятельности
Цели:
— организовать первичное применение нового знания.
— зафиксировать новое содержание урока;
— организовать рефлексию собственной учебной деятельности;
Решают учебную задачу: выводят переместительный закон умножения.
Участвуют в обсуждении проблемных вопросов, формулируют собственное мнение и аргументируют его
Сравнивают собственные выводы с выводами учебника
Регулятивные УУД
(Проявление самостоятельности и инициативы в разных видах деятельности)
Познавательные УУД
(Умение следовать образцу и правилу)
— Могли бы мы обойтись без углов в жизни?
Без углов предметы принимали бы форму круга или овала.
Кто из вас слышал слово угол в обыденной жизни? Углы окружают нас и в повседневной жизни. Приведите свои примеры, где есть углы вокруг нас. (Посмотрите на экран). Здесь показан металлический угол для соединения труб, канцелярский уголок, чертёжные угольники, угловая мебель: стол, диван.
— В тетради отметьте точку и обозначьте её буквой О. Проведите из точки О два луча.
— Что такое луч?
— На сколько частей лучи разделили плоскость? Меньшую часть заштрихуйте цветным карандашом.
-Какую фигуру вы заштриховали? (Угол).слайд
— Сформулируйте определение.
Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя разными лучами с общим началом.
— Из чего же состоит угол? (точка-вершина угла, лучи- стороны угла )
— А как можно обозначить угол? /1-одной буквой в вершине, 2-цифрой, 3- тремя буквами/ слайд
— А какие инструменты нам понадобились для построения углов?
-Но еще мы можем построить угол без использования данных инструментов.
Сгибание разных по размеру листов бумаги с целью построения углов.
-У тебя получилась модель прямого угла. Какое из высказываний будет верным?
1. Синий угол больше красного.
2. Красный угол больше синего.
3.Синий и красный углы равны. /высказывания детей/
— Прочитаем, что об этом думают Миша и Маша. стр.85 учебника
Прямой угол в тетради можно начертить с помощью инструмента, который называется «угольник». Рассмотрите угольник и найдите прямой угол.
На какие вопросы уже нашли ответы? ( что такое угол, и из чего он состоит)
-Какие затруднения испытывали? Что помогло ответить на вопросы?
VI. Закрепление материала.
Цель: закрепить знания по пройденному материалу
Осуществляют опору на прошлый опыт и знания
Личностные УУД
(Формирование личного отношения к содержанию задания)
Коммуникативные УУД
(Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли)
Одинаковые углы вы видите на экране? (Нет.)
Пришло время узнать виды углов.
1 2 3 4 5
Практическая работа. Построение модели прямого угла.
— Углы бывают разные, но сначала мы познакомимся с самым главным углом. Возьмите лист бумаги. Сложите лист пополам, а потом ещё раз пополам. Обведите линии сгиба карандашом. На сколько частей прямые линии разделили плоскость? (На четыре).
— Сколько углов получилось? (Четыре).
— Это особенные углы. Может быть, кто-то знает название этих углов? (Эти углы прямые).
— Не всегда удобно определять прямой угол на глаз. Для этого используют линейку-угольник. Чтобы определить прямой угол или нет угла, нужно совместить вершину и одну сторону угла с вершиной и стороной прямого угла на линейке-угольнике. учебник стр.86
— На рисунке видно, что бывают и другие углы — не прямые. Можно ли сравнивать углы по величине. Каждый из углов имеет своё название.
С помощью модели прямого угла узнайте, будут ли прямыми остальные углы угольника. Видим, что угол угольника меньше прямого угла, значит он какой? Острый угол – это угол, который меньше прямого.
— Проверим третий угол. Видим, что угол угольника больше прямого угла, значит он какой? Тупой угол – это угол, который больше прямого.
Если стороны угла и прямого угла угольника совпали, то это какой угол? (прямой) Если угол меньше, чем прямой угол угольника, то это…? (острый угол) Если угол больше, чем прямой угол угольника, то это угол…?(тупой)
Какие же виды углов бывают? (таблички)
VII. Физминутка
Под музыку выполняют
движения
Личностные УУД
(Умение применять правила охраны своего здоровья)
VIII. Самостоятельная работа.
Цель:
-организовать выполнение учащимися самостоятельной работы на новое знание;
— организовать самопроверку по эталону, самооценку;
— организовать выявление места и причины затруднений, работу над ошибками.
Выполняет каждый самостоятельно и проверка в парах
Познавательные УУД
(Понимание смысла задания; возможность применить первоначальные способы поиска информации)
Коммуникативные
УУД
(Участие в работе группы, распределение роли, общение друг с другом)
Положи три карандаша так, чтобы получились три угла – острый, прямой и тупой.
Работа в печатной тетради. № 112( слайд)
— Ребята, вы научились чертить углы?
—Решите мне задачу.
-Вова начертил на листе бумаги 9 углов, а Саша на 3 угла меньше. Сколько углов начертили мальчики вместе?
Что это такое?
— А что такое задача?
— Повторите условие, а теперь вопрос.
-О чём эта задача?
-Что известно?
— Что сказано о Вове?
-Что нужно узнать?
— Можем, мы ли сразу ответить на вопрос?
-Почему?
— А можем ли узнать, сколько углов начертил Саша?
-Каким действием?
— Почему вычитанием?
— Мы узнали, сколько углов начертил Саша. Как узнать, сколько углов мальчики начертили вместе?
-Почему сложением?
-Запишите решение задачи в тетрадь.
IX. Самооценка. Рефлексия деятельности.
Цель:
подвести итог проделанной работы на уроке.
Систематизируют полученные знания, высказывают свои впечатления от урока
Формулируют конечный результат своей работы на уроке.
Осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель и результаты, степень их соответствия.
Личностные УУД
(Оценивание разного вида деятельности на уроке)
Регулятивные УУД
(Формирование умение адекватно оценивать свою деятельность)
Пришло время подвести итог урока.
-Был ли урок полезен, для вас?
Какое задание вам понравилось?
Какое задание было самым интересным?
А какое — самым трудным?
-Какую задачу ставили на урок?
-Достигли ли её?
-Каким способом?
-Где можете применить новые знания?
— Из каких элементов состоит угол?
-Какие углы бывают?
–– Кто доволен сегодня своей работой?
– Кто хотел бы что-нибудь исправить?
— Что для этого нужно сделать
-Оцените свою работу на уроке?
X. Домашнее задание, выставление оценок, комментирование
Цель:
— организовать выполнение д/з
Записывают задание, задают вопросы
П.Т. стр 47 № 115-116

infourok.ru
Конспект урока по математике на тему «Прямой угол»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Заинская средняя общеобразовательная школа №6»
Заинского муниципального района Республики Татарстан.
Открытый урок в 1″в» классе
по математике
( УМК «Школа 2100»)
«Прямой угол»
Чернова Людмила Михайловна
Учитель начальных классов
первой квалификационной категории
МБОУ ЗСОШ № 6
г. Заинск Республики Татарстан
2014 г
Тема : Угол. Прямой угол
Педагогические задачи: познакомить с понятиями угол, прямой угол; учить делать модель прямого угла и выделять прямые углы из множества других углов путем сравнения с моделью прямого угла.
Планируемые результаты образования:
Предметные: знают: понятия угол, прямой угол; умеют: делать модель прямого угла и выделять прямые углы из множества других углов путем сравнения с моделью прямого угла.
Метапредметные (критерии сформированности/оценки компонентов универсальных учебных действий – УУД):
Регулятивные: проговаривают последовательность действий на уроке, работают по предложенному учителем плану.
Познавательные: ориентируются в своей системе знаний: отличают новое от уже известного с помощью учителя.
Коммуникативные: владеют диалогической формой речи и способами совместной деятельности в группе, слушают и понимают речь других (одноклассников, учителя).
Личностные УУД: имеют представление о причинах успеха в учебе, проявляют интерес к учебному материалу, имеют целевую установку на отработку математических навыков.
Оборудование: небольшие листы кальки на каждого ученика, линейки, цветные карандаши.
Ход урока
Приветствие:
Улыбнитесь друг другу, улыбка — хороший настрой на работу. На уроке мы будем рассуждать, мыслить, решать, раскроем секреты математики.
I. Организационный момент.
– Проверьте наличие необходимых предметов на парте. Я буду читать загадку, а вы должны поднять этот предмет:
Если ты его отточишь,
Нарисуешь всё что хочешь:
Солнце, море, горы, пляж.
Что же это? …
(Карандаш.)
То я в клетку, то в линейку.
Написать по мне сумей-ка!
Можешь и нарисовать…
Что такое я? …
(Тетрадь.)
Прямота – моя главная черта. (Линейка.)
Зря страницы не листай,
Там где я – вот там читай.
Я нужна вам для порядка.
Кто такая я? …
(Закладка.)
Хотя я и не свинка,
У меня чумазенькая спинка.
Но совесть у меня чиста –
Помарку стёр ведь я с листа.
(Ластик.)
Сегодня мы с вами будем путешествовать по необычной стране. Эта страна называется Геометрия. А вы – путешественники на протяжении всего пути должны быть очень внимательны и находчивы. Для этого выполним задания.
II. Актуализация опорных знаний.
Минутка чистописания .
1. Работа в тетради: задание 1 на с. 26.
– С какими числами уже знакомы? (1, 2, 3, 4.) Какое из них обозначает самое большое количество предметов? Самое маленькое количество предметов?
– Потренируемся записывать цифры 1, 2, 3, 4. Какие цифры написаны в первом ряду? во втором ряду? Продолжите ряды.
2. Фронтальная работа (счет по числовому отрезку).
– С какой фигурой познакомились на прошлом уроке? Что помогает нам делать числовой отрезок? Давайте вспомним, как надо правильно считать по числовому отрезку. (Если перемещаться влево, числа увеличиваются, вправо – уменьшаются.)
– Сосчитайте от 3 до 8, от 9 до 1. Назовите последующее число для 1, 3 (ответ 2,4). На сколько следующее число больше предыдущего? (на 1) Назовите предыдущее число для 4, 2.(3,1) На сколько предыдущее число меньше последующего?( на 1) . Какое число стоит справа от 2, слева от 4?
– Какие фигуры нарисованы на доске?
В старших классах
Каждый школьник
Изучает треугольник.
Три каких-то уголка,
А работы – на века.
– Почему эти фигуры так называются? Докажите что это треугольники !? (У них три вершины и три стороны.)
Включается проектор (1 слайд)
– Посмотрите, что происходит с треугольниками. (Учитель стирает часть фигур.) Непослушные Ластики стерли часть фигур и утверждают, что это тоже фигуры. А как вы думаете? Давайте посмотрим может быть у нас в классе есть то, на что похоже эти фигуры. (Предположения учащихся.)(Слайд №2)
– Сколько проведено лучей из каждой точки? Как бы вы назвали эти фигуры? (Предположения детей.)
Ребята давайте мы подумаем , что мы сегодня будем изучать (Углы, угол)
. С чем мы познакомимся? (С прямыми углами.) Какие задачи поставим перед собой ?
Это углы. Точки – это вершины углов. Лучи – стороны углов.
III. «Открытие» нового знания.
Практическая работа.
– Сегодня на уроке будем заниматься на с. 54–55. Сейчас я вам предлагаю побыть маленькими исследователями и проведем небольшой эксперимент.
У вас на партах лежат листы кальки самой разной формы. Перегните свой лист пополам и еще раз пополам – получается модель прямого угла. Разверните листы, обведите сгибы цветным карандашом при помощи линейки. Сверните обратно. Какая фигура у вас получилась? (Прямой угол.)
– Проверьте предположения. (Учащиеся читают статью учебника на с. 54.) (Да, это прямой угол.)
– Сравните свою модель с моделью товарища по парте.
Учащиеся накладывают модели друг на друга.
– Можно ли сказать, что они равны? (Углы равны, если при наложении их стороны совпадают. Все прямые углы равны.)
Учитель накладывает свою модель на модели учеников, совмещая при этом вершину и стороны.
– Мы получили модель прямого угла и будем с ней работать.
А чтобы лучше нам работалось мы проведем небольшую разминку.
Физминутка
Сейчас будет музыка вы будете под нее танцевать, двигаться и образовывать пару , когда музыка прекращается вы будете обсуждать данный вопрос.
Вопрос 1. Сколько сторон у квадрата? Начинает тот у кого светлые волосы или выше ростом.
2. Сколько точек у луча.
3. Назовите замкнутые ломанные линии.
IV. Первичное закрепление.
1. Работа с учебником: задание 4 на с. 55.
– У вас на столах есть листочки с заданиями.
Какие углы начертили Катя, Петя, Лена и Вова? Давайте проверим, кто начертил прямой угол? Как это сделать? (Наложить модель прямого угла на чертеж.)
– Как будем накладывать? (Так, чтобы совпали вершины и стороны.)
Учащиеся накладывают и определяют, что прямые углы начертили Катя и Вова.
– Чем непрямые углы отличаются от прямых? (У непрямых углов одна сторона находится или внутри модели, или снаружи.)
– Так как можно найти прямые углы?
— Обведите только прямые углы.
— Возьмите линейку, цветные карандаши.
— Как вы можете проверить свою работу?
Какие углы вы обвели?
Выполняют самостоятельно путем наложения модели фигур на сами фигуры. Проводится взаимопроверка.
V. Тренировочные упражнения.
1. Работа с учебником: задания 5, 6 на с. 55. (Слайд №3)
– Посмотрите на числовую прямую (задание 5). Какое действие выполнила Катя? (Из 3 вычла 1.) Запишите числовое равенство.
Ученик выполняет задание на доске, остальные в тетради. Получаются записи: 3 – 1 = 2 3 + 1 = 4 2 – 1 = 1 4 – 1 = 3
Самостоятельно записывают результаты действий в порядке возрастания.
Учащиеся самостоятельно записывают нужные выражения (задание 6), а затем устно объясняют выбор.
VI. Итог урока.
Вот и закончилось наше путешествие. Что нового узнали во время путешествия? Понравилось ли вам оно?
– С какими фигурами познакомились? Что интересного узнали об углах? Где могут пригодиться наши знания?
У вас на столах лежат листочки разного цвета красные зеленые и желтые.
— Оцените свою работу на уроке на «Дереве успехов».
— Если кому было интересно и все понятно поднимите зеленый листочек.
— Если у вас были сомнения поднимите желтый листочек.
-Если кому было трудно и нужна помощь, поднимите красный листочек. Поблагодарили друг друга за работу на уроке и прекрипите свои листочки на наше дерево.
Всем спасибо за урок. Молодцы!
infourok.ru
План-конспект урока по математике (2 класс) на тему: Угол. Прямой угол.
ТЕМА: Угол. Прямой угол
Цель: помочь детям уяснить понятие угла, прямого угла, учить делать модель прямого угла и выделять прямые углы из множества других углов путём сравнения с моделью прямого угла.
Планируемые результаты:
Личностные УУД:
— способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
Метапредметные:
— уметь определять и формулировать; проговаривать последовательность действий на уроке; уметь высказывать своё предположение на основе работы с материалом учебника; уметь работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей (Регулятивные УУД).
— уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им; учиться работать в группе, формулировать собственное мнение и позицию (Коммуникативные УУД).
— уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке; осуществлять синтез как составление целого из частей. (Познавательные УУД).
Предметные:
— Понимать смысл угол, прямой угол.
— Уметь делать модель прямого угла.
— Уметь выделять прямые углы из множества других углов путём сравнения с моделью прямого угла.
Ход урока:
I. Мотивация к учебной деятельности
Цели:
— актуализировать требования к ученику со стороны учебной деятельности;
— создать условия для возникновения у учеников внутренней потребности включения в учебную деятельность;
-установить тематические рамки;
— уточнить тип урока;
— наметить шаги учебной деятельности.
-Наш урок хотелось бы начать словами известного американского математика Нивена:
Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед.
-Как вы понимаете эту фразу?
II. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.
Цели:
-организовать актуализацию умений выполнять операции и обратные операции;
-организовать выполнение учащимися пробного учебного действия;
-организовать фиксирование учащимися индивидуального затруднения;
-уточнить следующий шаг учебной деятельности.
Найдите операцию, объект и результат операции и запишите только ответы:(Слайд)
— 33 больше задуманного числа на 8
— 42 больше задуманного числа на 10
— 17 увеличить на 22
— 66 уменьшить на 20
— какое число надо прибавить к 20, чтобы получить 73?
(взаимопроверка по эталону: 25, 32, 39, 46, 53)
— кто заметил закономерность? Запишите следующее число (60)
— Назовите известные вам геометрические фигуры (Слайд)
III. Выявление места и причины затруднения
Цели:
— выявить место затруднения;
— зафиксировать во внешней речи причину затруднения.
— Отметьте на листе бумаги точку А, проведите два луча АВ и АС.
IV. Построение проекта выхода из затруднения
Цели:
-организовать постановку цели урока;
-организовать составление совместного плана действий;
-определить средства;
-уточнить следующий шаг учебной деятельности.
— Продолжите их до конца листа. На сколько частей они делят плоскость? Закрасьте меньшую часть и вырежьте. Какая фигура получилась?
— Над какой темой будем работать?
— Чему должны научиться?
V.Реализация построенного проекта
Цели:
-реализовать построенный проект в соответствии с планом;
-зафиксировать новое знание в речи и знаках;
-организовать устранение и фиксирование преодоления затруднения;
-уточнить тему урока.
Работа по учебнику стр. 38 урок 13.
Чтение правила.
VI. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи
Цель:
-организовать выявление места и причины затруднений, работу над ошибками.
Физминутка
Работа по стр. 38 № 2
Практическая работа по построению прямых углов № 3, 4. Проверка по эталону (слайд)
VIII. Включение в систему знаний и повторение
Цели:
-организовать повторение умений составлять равенства, используя связь целого и частей.
-Угол дал имя многим геометрическим фигурам. Каким?
— Решение задачи на нахождение периметра прямоугольника. стр. 40 № 9.
— Прочитайте задачу, выполните построение в тетради.
-Что необходимо знать, для решения задачи? (что такое периметр)
— Как найти периметр?
VIII. Рефлексия учебной деятельности на уроке
Цели:
-зафиксировать новое содержание урока;
-организовать рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности
-Над какой темой работали?
— Какие цели ставили в начале урока?
— Что показалось интересным?
— Оцените свою работу на уроке.
Домашнее задание: стр. 40 № 8.
nsportal.ru

Равен 1 3 – Решение задачи 9 – 3 ÷ 1/3 + 1 =?

alexxlab / 10.05.202020.06.2019 / Школьная жизнь

Решение задачи 9 – 3 ÷ 1/3 + 1 =?

В социальных сетях разгорелись жаркие споры на тему решения казалось бы крайне простой задачи 9 – 3 ÷ 1/3 + 1 и в описании этой задачи говорилось что особую популярность она получила в Японии где ее не могли решить 60% взрослых.

Давайте разберем решение этой задачи и в чем может быть проблема. Начнем пожалуй с популярных ошибок.

Не правильная очередность операций. Вспоминаем что деление и умножение имеют приоритет перед плюсом и минусом, поэтому сначала надо выполнить среднюю часть, а затем боковые.
Возникает проблема с выяснением числителя и знаменателя. Числитель либо 1, либо 3:1

Если с первой ошибкой все ясно, то вторую мы разберем подробнее. Средняя часть у нас выглядит так: 3 ÷ 1/3

Поскольку деление и знак дроби одно и тоже действие то можно переписать по другому: 3/1/3. Из математики пятого класа мы знаем что это выражение можно сократить, для этого нижнюю дробь мы просто переворачиваем с противоположным знаком и выходит 3*3/1 что равно 9.

Вторым способом решения этой дроби может быть более простой способ для взрослого человека который забыл что такое дроби. Помним что 1/3 это 0.3333333. Делим на калькуляторе 3 на 0.3333333 и получаем все туже девятку.

Но не забывает что это еще не ответ, а просто решение средней части. Нам осталось решить задачу до конца.

Итак у нас осталось 9-9 +1 что равно 1.

Ну или англоговорящие посетители блога могут посмотреть ролик где решение описывают аж в 4-х минутном видео:

На этом все, но если у вас остались вопросы или пожелания — напишите в комментариях, попробую вам помочь.

Об авторе

Andrey

Администратор блога. Специалист по маркетингу, развитию бизнеса, здоровому образу жизни. Владелец и директор двух компаний в Украине. Сертифицированный специалист Apple. Увлечения: бизнес, спорт, дайвинг.

napositive.com.ua

1 + 2 + 3 + 4 +… / Habr

Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда
Чему равна сумма этого бесконечного ряда? Перед тем, как читать дальше, дайте себе минуту на размышления. Если вы до этого не встречались с подобным рядом, а тема численных рядов в целом не слишком вам близка, то ответ на этот вопрос будет для вас большим сюрпризом.
Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.
Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.
Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом
Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам.
Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди
который тоже расходится, но известно, что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2. Суммирование по Чезаро заключается в оперировании не частичными суммами ряда, а их арифметическими средними. Позволив себе порассуждать в вольном стиле, можно сказать, что то частичные суммы ряда Гранди осцилируют между 0 и 1, в зависимости от того какой член ряда является последним в сумме (+1 или -1), отсюда и значение 1/2, как арифметическое среднее двух возможных значений частичных сумм.
Другим интересным примером расходящегося ряда является знакопеременный ряд 1 — 2 + 3 — 4 +…, частичные суммы которого также осцилируют. Суммирование методом Абеля позволяет присвоить данному ряду конечное значение 1/4. Отметим, что метод Абеля является, своего рода, развитием метода суммирования по Чезаро, поэтому результат 1/4 несложно осмыслить с точки зрения интуиции.
Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.
Ни суммирование по Чезаро, ни метод Абеля, однако, не позволяют работать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +…, т. к. средние арифметические частичных сумм, равно как и средние арифметические средних арифметических, расходятся. Кроме того, если значения 1/2 или 1/4 ещё как-то можно принять и соотнести с соответствующими рядами, то -1/12 сложно связать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +…, представляющим собой бесконечную последовательность положительных целых чисел.
Существует несколько способов прийти к результату -1/12. В этой заметке я лишь кратко остановлюсь на одном из них, а именно регуляризации дзета-функцией. Введём дзета-функцию
Подставляя s = -1, получим исходный числовой ряд 1+2+3+4+…. Проделаем над этой функцией ряд несложных математических действий
Где является эта-функцией Дирихле
При значении s = -1 эта-функция становится уже знакомым нам рядом 1 — 2 + 3 — 4 + 5 -… «сумма» которого равна 1/4. Теперь мы можем легко решить уравнение

Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:
Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира.
Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией

Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии, где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.
habr.com
кубический дециметр [дм³] литр [л] • Популярные конвертеры единиц • Конвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептах • Компактный калькулятор
Конвертер длины и расстоянияКонвертер массыКонвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питанияКонвертер площадиКонвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептахКонвертер температурыКонвертер давления, механического напряжения, модуля ЮнгаКонвертер энергии и работыКонвертер мощностиКонвертер силыКонвертер времениКонвертер линейной скоростиПлоский уголКонвертер тепловой эффективности и топливной экономичностиКонвертер чисел в различных системах счисленияКонвертер единиц измерения количества информацииКурсы валютРазмеры женской одежды и обувиРазмеры мужской одежды и обувиКонвертер угловой скорости и частоты вращенияКонвертер ускоренияКонвертер углового ускоренияКонвертер плотностиКонвертер удельного объемаКонвертер момента инерцииКонвертер момента силыКонвертер вращающего моментаКонвертер удельной теплоты сгорания (по массе)Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему)Конвертер разности температурКонвертер коэффициента теплового расширенияКонвертер термического сопротивленияКонвертер удельной теплопроводностиКонвертер удельной теплоёмкостиКонвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излученияКонвертер плотности теплового потокаКонвертер коэффициента теплоотдачиКонвертер объёмного расходаКонвертер массового расходаКонвертер молярного расходаКонвертер плотности потока массыКонвертер молярной концентрацииКонвертер массовой концентрации в раствореКонвертер динамической (абсолютной) вязкостиКонвертер кинематической вязкостиКонвертер поверхностного натяженияКонвертер паропроницаемостиКонвертер паропроницаемости и скорости переноса параКонвертер уровня звукаКонвертер чувствительности микрофоновКонвертер уровня звукового давления (SPL)Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давленияКонвертер яркостиКонвертер силы светаКонвертер освещённостиКонвертер разрешения в компьютерной графикеКонвертер частоты и длины волныОптическая сила в диоптриях и фокусное расстояниеОптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×)Конвертер электрического зарядаКонвертер линейной плотности зарядаКонвертер поверхностной плотности зарядаКонвертер объемной плотности зарядаКонвертер электрического токаКонвертер линейной плотности токаКонвертер поверхностной плотности токаКонвертер напряжённости электрического поляКонвертер электростатического потенциала и напряженияКонвертер электрического сопротивленияКонвертер удельного электрического сопротивленияКонвертер электрической проводимостиКонвертер удельной электрической проводимостиЭлектрическая емкостьКонвертер индуктивностиКонвертер Американского калибра проводовУровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др. единицахКонвертер магнитодвижущей силыКонвертер напряженности магнитного поляКонвертер магнитного потокаКонвертер магнитной индукцииРадиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излученияРадиоактивность. Конвертер радиоактивного распадаРадиация. Конвертер экспозиционной дозыРадиация. Конвертер поглощённой дозыКонвертер десятичных приставокПередача данныхКонвертер единиц типографики и обработки изображенийКонвертер единиц измерения объема лесоматериаловВычисление молярной массыПериодическая система химических элементов Д. И. Менделеева
Мерная кружка с молоком
Общие сведения
Единицы объема
Кубический метр
Литр
Джилл
Драм
Объемы в кулинарии
Чайная ложка
Столовая ложка
Чашка
Кварты и галлоны
Пинта
Жидкая унция
Вычисление объема
Метод вытеснения жидкости
Формулы для вычисления объема
Общие сведения
Объем — это пространство, занимаемое веществом или предметом. Также объем может обозначать свободное пространство внутри емкости. Объем — трехмерная величина, в отличие от, например, длины, которая является двумерной. Поэтому объем плоских или двумерных объектов равен нулю.
Единицы объема
Кубический метр
Единица измерения объема в системе СИ — кубический метр. Стандартное определение одного кубического метра — это объем куба с ребрами длиной в один метр. Также широко используются производные единицы, например, кубические сантиметры.
Литр
Литр — одна из наиболее часто используемых единиц в метрической системе. Он равен объему куба с ребрами длиной 10 см:
1 литр = 10 см × 10 см × 10 см = 1000 кубических сантиметров
Это все равно, что 0,001 кубических метров. Масса одного литра воды при температуре 4°C примерно равна одному килограмму. Часто используются также миллилитры, равные одному кубическому сантиметру или 1/1000 литра. Миллилитр обычно обозначают как мл.
Джилл
Ресторан, специалирующийся на блюдах из морепродуктов в городе Нара, Япония
Джиллы — единицы объема, используемые в США для измерения алкогольных напитков. Один джилл — это пять жидких унций в Британской имперской системе или четыре в американской. Один американский джилл равен четверти пинты или половине чашки. В Ирландских пабах подают горячительные напитки порциями в четверть джилла, или 35,5 миллилитра. В Шотландских порции меньше — одна пятая джилла, или 28,4 миллилитра. В Англии до недавнего времени порции были еще меньше, всего одна шестая джилла или 23,7 миллилитра. Теперь же, это 25 или 35 миллилитров в зависимости от правил заведения. Хозяева могут решать самостоятельно, какую из двух порций им подавать.
Драм
Драм, или драхма — мера объема, массы, а также монета. В прошлом эта мера использовалась в аптекарском деле и равнялась одной чайной ложке. Позже стандартный объем чайной ложки изменился, и одна ложка стала равна 1 и 1/3 драхмы.
Объемы в кулинарии
Жидкости в кулинарных рецептах обычно измеряют по объему. Сыпучие и сухие продукты в метрической системе, наоборот, измеряют по массе.
Чайная ложка
Объем чайной ложки разный в разных системах измерения. Изначально одна чайная ложка была четвертью столовой, потом — одной третьей. Именно последний объем сейчас используется в американской системе измерения. Это примерно 4,93 миллилитра. В американской диетологии размер чайной ложки равен 5 миллилитрам. В Великобритании обычно принято использовать 5,9 миллилитра, но в некоторых диетических пособиях и кулинарных книгах — это 5 миллилитров. Объем чайной ложки используемый в кулинарии обычно стандартизирован в каждой стране, но для еды используются ложки разных размеров.
Столовая ложка молока
Столовая ложка
Объем столовой ложки тоже колеблется в зависимости от географического региона. Так, например, в Америке, одна столовая ложка — это три чайных, пол-унции, примерно 14,7 миллилитра, или 1/16 американской чашки. Столовые ложки в Великобритании, Канаде, Японии, Южной Африке и Новой Зеландии — тоже содержат три чайных ложки. Так, метрическая столовая ложка — 15 миллилитров. Британская столовая ложка — 17.7 миллилитра, если чайная — 5,9, и 15, — если чайная — 5 миллилитров. Австралийская столовая ложка — ⅔ унции, 4 чайных ложки, или 20 миллилитров.
Чашка
Как мера объема, чашка не определяется так строго, как ложки. Объем чашки может варьировать от 200 до 250 миллилитров. Метрическая чашка — 250 миллилитров, а американская немного меньше, примерно 236,6 миллилитра. В американской диетологии объем чашки равен 240 миллилитрам. В Японии чашки еще меньше — всего 200 миллилитров.
Кварты и галлоны
Галлоны и кварты также имеют разную величину, в зависимости от географического региона, где они используются. В имперской системе измерения один галлон равен 4,55 литра, а в американской системе мер — 3,79 литра. В основном в галлонах измеряют топливо. Кварта равна четверти галлона и, соответственно, 1,1 литра в американской системе, и примерно 1,14 литра в имперской системе.
Пинта
В пинтах измеряют пиво даже в странах, где пинту не используют для измерения других жидкостей. В Великобритании в пинтах измеряют молоко и сидр. Пинта равна одной восьмой галлона. В некоторых других странах Содружества Наций и Европы также используют пинты, но, так как они зависят от определения галлона, а галлон имеет разный объем в зависимости от страны, пинты также не везде одинаковы. Имперская пинта равна примерно 568,2 миллилитра, а американская — 473,2 миллилитра.
Тюбик с жидким кремом объемом жидких 8 унций или 235 миллилитров
Жидкая унция
Имперская унция примерно равна 0,96 американской унции. Таким образом, в имперской унции содержится приблизительно 28,4 миллилитра, а в американской —29,6 миллилитра. Одна американская унция также приблизительно равна шести чайным ложкам, двум столовым, и одной восьмой чашки.
Вычисление объема
Метод вытеснения жидкости
Объем предмета можно вычислить с помощью метода вытеснения жидкости. Для этого его опускают в жидкость известного объема, геометрически вычисляют или измеряют новый объем, и разница этих двух величин и есть объем измеряемого предмета. Например, если при опускании предмета в чашку с одним литром воды, объем жидкости увеличится до двух литров, значит объем предмета — один литр. Таким способом можно вычислить только объем предметов, которые не впитывают жидкость.
Формулы для вычисления объема
Объем геометрических фигур можно вычислить при помощи следующих формул:
Призма: произведение площади основания призмы на высоту.
Прямоугольный параллелепипед: произведение длины, ширины и высоты.
Куб: длина ребра в третьей степени.
Эллипсоид: произведение полуосей и 4/3π.
Пирамида: одна треть произведения площади основания пирамиды и высоты.
Параллелепипед: произведение длины, ширины и высоты. Если высота неизвестна, то ее можно вычислить, используя ребро и угол, который оно образует с основанием. Если мы назовем ребро а, угол А, длину — l, а ширину — w, то объем параллелепипеда V равен:
V = l w a cos(A)
Этот объем также можно вычислить, используя свойства прямоугольных треугольников.
Конус: радиус в квадрате, умноженный на высоту и ⅓π.
Шар: радиус в третьей степени, умноженный на 4/3π.
Цилиндр: произведение площади основания цилиндра, высоты, и π: V=π r² h, где r — радиус цилиндра и h — его высота
Соотношение между объемами цилиндр:шар:конус равно 3:2:1.
Список литературы
Автор статьи: Kateryna Yuri
Вы затрудняетесь в переводе единицы измерения с одного языка на другой? Коллеги готовы вам помочь. Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.
www.translatorscafe.com

Круги эйлера как решать – | Pandia.ru

alexxlab / 10.05.202015.06.2019 / Школьная жизнь

круги Эйлера | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

Круги Эйлера Работу выполнила учащаяся 8 «а»класса МОУ «СОШ № 56» Угрюмова Кристина Руководитель: Прохорова С.А
Слайд 2
Цель исследования : Знакомство с новым методом решения задач и изучение материала, применяемого на уроках математики и внеурочных занятиях, где можно использовать круги Эйлера как один из приемов решения задач.
Слайд 3
Актуальность работы состоит в том, что задачи имеют практический характер. Задачи развивают логическое мышление, заставляют задумываться, подходить к решению какой либо проблемы с разных сторон, выбирать из множества способов решения наиболее простой, легкий путь. Актуальность
Слайд 4
— Познакомиться с биографией одного из величайших ученых-математиков Леонарда Эйлера ; — Изучить теоретические основы понятия «Круги Эйлера»; — Решить ряд задач вышеназванным методом; Задачи исследования :
Слайд 5
Биография Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в семье пастора, жившеи ̆ в швейцарском городке Базеле. Начальное обучение Эйлер получил под руководством отца, который готовил его к духовной карьере. С детства увлекался математикой . В 13 лет Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета . В 17 лет был удостоен учёнои ̆ степени магистра . В 19-лет Эйлер был включен в число кандидатов на должность профессора физики .
Слайд 6
Великии ̆ учёныи ̆ — Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. Полное собрание его трудов составляет 72 тома, более 850 научных работ. Этот тихий и скромный человек, полностью ослепший, много работал, совершив великое множество научных открытий. С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».
Слайд 7
Эйлер активно трудился до последних дней. 7 сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с астрономом А. И. Лекселем о недавно открытои ̆ планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. Похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Умирая, он оставил много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет.
Слайд 8
– геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между множествами. Впервые он использовал их в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что круги очень подходят для того, чтобы «облегчить наши размышления.» Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры. Круги Эйлера
Слайд 9
В математике множеством называют совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Предметы, составляющие множество, называются его элементами. Множества обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита: А, В, С,… . Термин «множество» употребляется независимо от того, много или мало в этом множестве элементов, Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø
Слайд 10
Покажем, например, С помощью диаграммы Эйлера, что множество А является подмножеством множества В: С помощью такой диаграммы становиться наглядным, например, такое утверждение: если А принадлежит В, а В принадлежит С, то А принадлежит С.
Слайд 11
Пересечением двух множеств А и В называют множество, состоящее из всех общих элементов множеств А и В, т. е. Из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. А В А ∩ В
Слайд 12
Объединением С двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А или множеству В. Обозначают это так: С = А U В. Иными словами, в объединение входят все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств. А U В
Слайд 13
Разность множеств Разностью А\В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. A B
Слайд 14
1. ВНИМАТЕЛЬНО ИЗУЧИ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ 2. ПОСТРОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ 3. РАССТАВЬ ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ 4. НАЙДИ НЕДОСТАЮЩИЕ ДАННЫЕ 5. ПРОВЕРЬ РЕШЕНИЕ АЛГОРИТМ
Слайд 15
В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек — пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое? Решение: Так как 26 половина детей любит пирожные, а 20 — и пирожные, и мороженое, то исключительно пирожное любят ровно 6 человек. Всего ребят 52, из них 6 — любители только пирожных, значит, 52 – 6 = 46 человек, которые любят мороженое.
Слайд 16
Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг? Решение: : Изобразим два круга, так как у нас два вида цветовПоскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.
Слайд 17
Гарри Поттер, Рон и Гермиона На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон? Решение Учитывая условия задачи, чертеж будет таков: Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно, 26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал Рон. Ответ. 8 книг прочитал Рон. 5 8
Слайд 18
В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта? Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х ) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х ) человек, только метро и автобусом — (12 − х ) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро: 20 − (12 − х ) − (10 − х ) − х = х − 2 Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: Х + (12 − х ) + (9 − х ) + (10 − х ) + ( х + 4) + ( х − 2) + ( х − 6) = 30. отсюда х = 3
Слайд 19
Из 100 отдыхающих на турбазе « Графское » , 30 детей — отличники учебы, 28 — участники олимпиад, 42 — спортсмены. 8 учащихся одновременно участники олимпиад и спортсмены, 10 – участники олимпиад и отличники, 5 – спортсмены и отличники учебы, 3 – и отличники, и участники олимпиад, и спортсмены. Сколько отдыхающих не относятся ни к одной из групп? Решение: 20+13+30+3+5+7+2=80 (детей) 100-80=20 (детей не входят ни в одну из групп)
Слайд 20
Выводы Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Слайд 21
«Чем нагляднее метод, тем очевиднее решение»
Слайд 22
Спасибо за внимание !
nsportal.ru
Что такое круги Эйлера 🚩 задачи на круги эйлера 🚩 Математика
Если Вы считаете, что ничего не знаете о таком понятии, как круги Эйлера, то вы глубоко заблуждаетесь. Еще из младшей школы известны схематические изображения, или кружки, позволяющие наглядно осмыслить взаимоотношения между понятиями и элементами системы.
Метод, придуманный Леонардом Эйлером, использовался ученым для решения сложных математических задач. Кругами он изображал множества и сделал эту схему основой такого понятия, как символическая логика. Метод призван максимально упростить рассуждения, направленные на решении той или иной задачи, именно поэтому методика активно используется как в младшей школе, так и в академической среде. Интересно, что подобный подход был ранее использован немецким философом Лейбницем, а позже был подхвачен и применен в различных модификациях известными умами в области математики. Например, прямоугольные схемы чешского математика Больцано, Шредера, Венна, известного созданием популярной диаграммы, основанной на этом простом, но удивительно действенном методе.
Круги являются основой так называемых «наглядных интернет мемов», которые основаны на схожести признаков отдельных множеств. Забавно, наглядно, а главное понятно.
Круги мысли
Круги позволяют наглядно описать условия задачи и мгновенно принять верное решение, или выявить направление движение в сторону правильного ответа. Как правило, круги Эйлера используются для решения логико-математических задач, связанных с множествами, их объединениями или частичными наложениями. В пересечение кругов попадают объекты, обладающие свойствами каждого из изображенных кружком множеств. Объекты, не вошедшие в множество, находятся за пределами того или иного круга. Если понятия абсолютно равнозначны, они обозначаются одним кругом, представляющим собой объединение двух множеств, имеющих равные свойства и объемы.
Логика взаимосвязей
Используя круги Эйлера, вы можете решить ряд бытовых задач и даже определиться с выбором будущей профессии, стоит лишь проанализировать свои возможности и желания и выбрать их максимальное пересечение.
Теперь становится ясно, что круги Эйлера вовсе не абстрактное математическое и философское понятие из разряда теоретических знаний, они имеют весьма прикладное и практическое значение, позволяя разобраться не только с простейшими математическими проблемами, но и решить важные жизненные дилеммы наглядным и понятным каждому способом.
www.kakprosto.ru
Круги Эйлера

Круги Эйлера
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Пример диаграммы Эйлера. B — живое существо, A — человек, C — неживая вещь.
Круги́ Э́йлера^[1] — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядногопредставления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.
Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все 2ⁿ комбинаций n свойств, то есть конечнуюбулеву алгебру. При n = 3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннеготреугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.
При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.^[2]
Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер(1841—1902) в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна(1843—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.
Множества А и B
[править]Примечания

↑ «Круги…» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые многомерные фигуры, иерархически расположенные в пространстве, то есть одни фигуры поглощают либо часть других фигур, либо полностью.
Эйлер, Леонард

[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Эйлер.

Леонард Эйлер

нем. Leonhard Euler
Портрет, выполненный ЭмануэлемХандманном (1756)

Дата рождения:

4 (15) апреля 1707

Место рождения:

Базель, Швейцария

Дата смерти:

7 (18) сентября 1783 (76 лет)

Место смерти:

Санкт-Петербург, Российская империя

Страна:

Швейцария

Научная сфера:

Математика, механика,физика, астрономия

Альма-матер:

Базельский университет

Научный руководитель:

Иоганн Бернулли

Леона́рдЭ́йлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург,Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.
Эйлер — автор более чем 800 работ^[1] по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.
Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.^[2]
Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств
Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.
«Обитаемый остров» и «Стиляги»

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?
Решение

Чертим два множества таким образом:
6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».
Получаем:
Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».
Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?
Решение

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:
Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».
«Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?
Решение

Изобразим эти множества на кругах Эйлера.
Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:
Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.
Гарри Поттер, Рон и Гермиона
На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?
Решение

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,

26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.
Пионерский лагерь
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Решение

Изобразим множества следующим образом:
70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.

Ответ. 5 человек заняты только спортом.
Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
Решение
Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Кофейные круги Эйлера
Круги Эйлера помогают изобразить отношения между разными множествами. Кофейная схема наглядно показывает популярные кофейные напитки в соотношении с разными компонентами.
Круги Эйлера

Примеры решения задач.
Задача.

В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 — в шахматы. Сколько учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы?
Решение.

25-5=20 человек играют и шашки и в шахматы,
все 20 человек играют в шахматы, из них 18 играют в шашки.
Следовательно, 18 человек играют и шашки и в шахматы.
Задачи для самостоятельного решения.
2. Каждый из 35 пятиклассников является читателем по крайней мере одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 учащихся берут книги в школьной библиотеке, 20 — в районной. Сколько из пятиклассников:
а) не являются читателями школьной библиотеки;
б) не являются читателями районной библиотеки;
в) являются читателями только школьной библиотеки;
г) являются читателями только районной библиотеки;
д) являются читателями обеих библиотек?
3. В одном множестве 40 элементов, а в другом 30. Сколько элементов может быть вих:
а) пересечении;
б) объединении?
4. Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, французский — 27 человек, а тот и другой —18 человек. Сколько всего учеников в классе?
5. На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2 и квадрат площадью 55 см2. Площадь пересечения круга и квадрата равна 30 см2. Не занятая кругом и квадратом часть листа имеет площадь 150 см2. Найдите площадь листа.
6. В бригаде полеводов 25 человек. Среди них 20 человек моложе 30 лет и 15 человек старше 20 лет. Может ли так быть?
7. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит либо пирожное, либо мороженое, либо и то, и другое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек — пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?
8. Сколько в классе учащихся, если известно, что лыжным спортом увлекаются 28 человек, отличников в классе — 12, причем отличников-спортсменов, увлекающихся лыжами, — 10?
9. 37 школьников из ученической производственной бригады изъявили желание летом работать на уборке зерновых. Каждый из них имеет права для работы на тракторе или на комбайне, а некоторые могут работать и на тракторе, и на комбайне. Сколько школьников могут работать и на тракторе, и на комбайне, если известно, что трактором хорошо овладели 23 человека, а комбайном — 31 человек?
1. На стол бросили две салфетки 10 см × 10 см, как
показано на рисунке. Они покрыли площадь стола,
равную 172 см
2
. Какова площадь их перекрытия?
2. В поход ходили 80% учеников класса, а на экскур-
сии было 60% класса, причём каждый был в походе
или на экскурсии? Сколько процентов класса были
и там, и там?
3. В классе 35 учеников. 20 из них занимаются в математическом
кружке, 11 — в биологическом, а 10 ничем не занимаются. Сколь-
ко ребят занимаются и математикой, и биологией?
4. Сколько существует целых положительных чисел, меньших 100,
которые:
а) делятся одновременно на 2 и на 3;
б) делятся на 2, но не на 3;
в) делятся на 3, но не на 2;
г) делятся на 3 или на 2;
д) не делятся ни на 2, ни на 3?
5. Большая группа туристов выехала в заграничное турне. Из них
владеет английским языком 28 человек, французским — 13, не-
мецким — 10, английским и французским — 8, французским и
немецким — 5, английским и немецким — 6, всеми тремя языка-
ми — двое, а 41 человек не владеет ни одним из трёх языков.
Сколько всего туристов?
6. А — подмножество множества натуральных чисел, каждый эле-
мент которого есть число, кратное или 2, или 3, или 5. Найдите
число элементов в множестве A, если среди них 70 чисел, кратных
2; 60 чисел, кратных 3; 80 чисел, кратных 5; 32 числа кратных 6;
35 чисел, кратных 10; 38 чисел, кратных 15; 20 чисел, кратных 30. 7. Каждый из трёх игроков записывает 100 слов, после чего записи
сравнивают. Если слово встретилось хотя бы у двоих, то его вы-
чёркивают из всех списков. Могло ли случиться так, что у первого
игрока осталось 61 слово, у второго — 80 слов, а у третьего — 82
слова?
Для домашнего обдумывания
8. Каких натуральных чисел от 1 до 2006 больше: кратных 8, но не
кратных 9, или тех, которые кратны 9, но не кратны 8?
9. Три ученика решили вместе 100 задач, при этом каждый из них
решил ровно 60 задач. Будем называть задачу, которую решили
все трое, лёгкой, а задачу, которую решил только один из них, —
трудной. На сколько больше трудных задач, чем лёгких?
davaiknam.ru

Что такое диаметр радиус и хорда – Радиус, хорда и диаметр окружности

alexxlab / 10.05.202010.06.2019 / Школьная жизнь

Окружность (определение). Радиус, хорда, диаметр окружности. — Студопедия.Нет

Окружность-это геометрическая фигура, состоящая из множества точек, находящихся на одинаковом расстоянии от точки, называемой центром окружности.

Радиус- это отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности.

Диаметр-это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр.

Хорда- это отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам

4. Задача по теме «Свойство катета, лежащего против угла в 30º».

В треугольнике ABC =90º, =60º, AB=3,7 см. Найдите длину отрезка BC.

Билет № 12

Высота, биссектриса, медиана треугольника (определения).

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса — это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.

Построение треугольника по трём сторонам.
Даны три отрезка, требуется построить из них треугольник.
Данная задача является задачей на построение, для решения которой требуется циркуль и линейка.
При этом следует помнить, что не из каждых трех отрезков можно построить треугольник. Как известно, любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух остальных. Поэтому если один из данных отрезков длиннее, чем два других вместе взятые, то при построении они просто уложатся на первом отрезке, и треугольника не получится.
Алгоритм построения треугольника по трем сторонам сводится к следующему:
1. Рисуется прямая.
2. На ней откладывается отрезок, равный одной из данных сторон. Это можно сделать как циркулем, так и линейкой.
3. Строится окружность (или ее часть) радиусом, равным второму отрезку, и с центром в одной из точек, отложенной на прямой.
4. Строится окружность (или ее часть) радиусом, равным третьему отрезку, и с центром во второй из точек, отложенных на прямой.
5. К точке пересечения окружностей проводятся отрезки из точек на прямой. Если были построены не маленькие части окружностей, то таких точек может оказаться две. Отрезки надо проводить лишь к одной любой из них.
В результате получается треугольник, стороны которого равны данным отрезкам. Действительно, ведь одна из его сторон была отмерена на прямой по одному из данных отрезков, а две другие — радиусы, которые равны второму и третьему заданным отрезкам.
3. Задача по теме «Внешний угол треугольника».
В треугольнике ABC =40º, внешний угол при вершине B равен 70º. Найдите остальные внутренние углы треугольника.

Билет № 13
studopedia.net
Что такое определение? Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?
Окружность — это замкнутая прямая линия, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от одной внутренней точки, которая называется центром. А круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Диаметр — это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр этой окружности, это максимальное расстояние между точками одной фигуры. А вот половинка диаметра называется радиусом. Радиус соединяет центр окружности с любой точкой окружности. Есть еще такое необычное слово — хорда. Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности, но, в отличие от диаметра, хорда не проходит через центр окружности — ей больше нравится находиться около окружности. <a rel=»nofollow» href=»http://school.xvatit.com/index.php?title=Окружность. _Полные_уроки» target=»_blank»>http://school.xvatit.com/index.php?title=Окружность. _Полные_уроки</a>
А в учебниках геометрии об этом не пишут?
ОКРУЖНОСТЬ, замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от ее центра О. Расстояние R каждой точки окружности до ее центра называется радиусом. Прямая АВ, соединяющая любые две точки окружности, называется ее хордой, хорда CD, проходящая через центр окружности, — диаметром. Отношение длины окружности к ее диаметру выражается (трансцендентным) числом p=3,141 59… Длина окружности равна 2p R, а площадь круга, ею ограничиваемого, равна p R2. <img src=»//content-10.foto.my.mail.ru/mail/tatsach/_answers/i-70.jpg»>
touch.otvet.mail.ru
Что называется хордой окружности в математике и геометрии: определение, основные свойства
Хорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.
В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.
Вконтакте
Одноклассники
Facebook
Мой мир
Twitter
Как построить геометрическую хорду
Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.
Это интересно: в геометрии луч — это что такое, основное понятие.
Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.
Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.
Свойства
Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:
Если расстояния от хорд до центра равны между собой, то такие хорды тоже равны между собой.
Существует также обратная зависимость — если длины отрезков равны между собой, то расстояния от них до центра тоже будут равными.
Чем большую длину имеет стягивающий отрезок прямой, тем меньше расстояние от него до центра окружности. И наоборот, чем она меньше, чем расстояние от указанного отрезка до центра описываемого круга больше.
Чем больше расстояние от «струны» до центра, тем меньше длина этой оси. Справедливой будет также и обратная взаимосвязь — чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше длина.
Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части.
Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.
Если ось представляет собой точку, то расстояние от неё до центра круга будет равняться радиусу.
Это интересно: разность векторов, определение разности.
Взаимосвязь с радиусом и диаметром
Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:
Если описываемый отрезок не является диаметром этого круга, и этот диаметр делит его пополам, то эта ось и диаметр перпендикулярны между собой.
С другой стороны, диаметр, который перпендикулярен любой произвольной стягивающей, делит её на две равные части.
Если ось не является диаметром, и последний делит её на две равные части, то он делит пополам и обе дуги, которые стянуты этим отрезком.
Если диаметр делит на две одинаковые части дугу, то этот же диаметр делит пополам отрезок, который эту дугу стягивает.
Если диаметр строго перпендикулярен описываемой величине, то он делит на две половины каждую дугу, которую ограничивает эта линия.
Если диаметр круга делит пополам отрезок кривой, то он располагается перпендикулярно оси, которая этот отрезок стягивает.
Хорда и радиус
Между этими понятиями существуют следующие связи:
Если стягивающий отрезок не служит диаметром круга, и радиус разделяет её пополам, то такой радиус является перпендикулярным ей.
Существует также обратная зависимость — радиус, который перпендикулярен оси, делит её на две одинаковые составные части.
Если ось не выступает диаметром этого круга, и радиус делит её пополам, то этот же радиус делит пополам и дугу, которая стягивается.
Радиус, который делит пополам дугу, также делит и отрезок, который эту дугу стягивает.
Если радиус является перпендикулярным стягивающей линии, то он делит пополам часть кривой, которую она ограничивает.
Если радиус окружности разделяет на две идентичные части дугу, то он является перпендикулярным линии, которая эту дугу стягивает.
Отношения со вписанными углами
Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:
Если углы, вписанные в окружность, опираются на одну и ту же линию, и их вершины расположены по одну сторону, то такие углы равны между собой.
Если два вписанных в круг угла опираются на одну и ту же линию, но их вершины расположены по разные стороны этой прямой, то сумма таких углов будет равняться 180 градусам.
Если два угла — центральный и вписанный — опираются на единую линию, и их вершины располагаются по одну сторону от неё, то величина вписанного угла будет равняться половине центрального.
Вписанный угол, который опирается на диаметр круга, является прямым.
Равные между собой по размеру отрезки стягивают равные центральные углы.
Чем больше величина стягивающего отрезка, тем больше величина центрального угла, который она стягивает. И наоборот, меньшая по размеру линия стягивает меньший центральный угол.
Чем больше центральный угол, тем больше величина отрезка прямой, который его стягивает.
Взаимодействия с дугой
Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:
Две равные между собой хорды стягивают равные дуги.
Если рассматривать две дуги, размер которых меньше половины окружности, то чем больше дуга, тем больше хорда, которая будет её стягивать. Напротив, меньшая дуга будет стягиваться меньшей по величине хордой.
Если же дуга превышает половину окружности, то здесь присутствует обратная закономерность: чем меньше дуга, тем больше хорда, которая её стягивает. И чем больше дуга, тем меньше ограничивающая её хорда.
Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.
obrazovanie.guru

Доказательство 1 признака равенства треугольников – Первый признак равенства треугольников | Треугольники

alexxlab / 10.05.202006.07.2019 / Школьная жизнь

Первый признак равенства треугольников. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

На предыдущем занятии мы ввели понятие «равные треугольники» – треугольники, которые можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам.

Рис. 1. Треугольники АВС и A₁B₁C₁ равны

Докажем теорему: если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и .

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А₁, отрезки АВ и А₁В_1, АС и А₁С₁совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то совпадёт с .

Теорема доказана.

Рассмотрим несколько задач.

Пример 1:

Отрезки АС и ВD точкой их пересечения О делятся пополам. Докажите, что .

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 2. Чертеж к примеру 1

Отметим, что углы АОВ и СОD равны, как вертикальные, а стороны ВО и АО треугольника АОВ соответственно равны сторонам OD и ОС треугольника СОD. Поэтому треугольники АОВ и СОD равны по первому признаку.

Пример 2:

Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что .

Решение:

Рис. 3. Чертеж к примеру 2

В предыдущей задаче мы доказали, что по первому признаку. Из этих соображений мы можем сделать вывод, что AB = CD, ∠OAB = ∠OCD.

Теперь рассмотрим треугольники. У них АС – общая сторона, AB=CD, а ∠СAB = ∠АCD (по доказанному). Поэтому по первому признаку равенства. Что и требовалось доказать.

Пример 3:

Рис. 4. Чертеж к примеру 3

На рисунке 3 отрезки АВ и АС равны. Угол 1 равен углу 2. Известно, что АС = 15 см, DC = 5 см. Доказать, что . Найдите длины отрезков BD и АВ.

Треугольники равны по первому признаку, ведь ∠1 = ∠2, АВ = АС, а AD – общая сторона у обоих треугольников. Из равенства треугольников следует равенство некоторых их соответствующих элементов, поэтому: BD = CD = 5 см,

АВ = АС = 15 см.

Ответ: 5 см, 15 см.

Пример 4:

На рисунке 5 ВС = AD. Угол 1 равен углу 2, AD = 17 см, CD = 14 см. Доказать, что . Найдите АВ и ВС.

Решение:

Рис. 5. Чертеж к примеру 4

Треугольник АВС равен треугольнику СDА. по первому признаку. ∠1 = ∠2, СВ = АD, а AC – общая сторона у обоих треугольников. Из этого следует, что , .

Ответ: 14 см, 17 см.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

Тема урока «Первый признак равенства треугольников» Источник

Треугольник. Справочник Источник

Рекомендованное домашнее задание

1. № 36. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Докажите, что треугольники ВОА и ЕОС равны. Отрезки ВЕ и AС точкой пересечения делятся пополам.

3. Докажите, что прямая, отсекающая от сторон угла равные отрезки, перпендикулярна его биссектрисе.

4. *На сторонах угла М отложены равные отрезки МА и МС и проведена его биссектриса, на которой отмечена точка В. Докажите, что ВМ является биссектрисой угла АВС.

interneturok.ru

Первый признак равенства треугольников — урок. Геометрия, 7 класс.

Треугольники. Равенство треугольников

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки.
Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.
Обозначение треугольника:
ΔABC, или ΔBCA, или буквы вершин в любом другом порядке.

Обозначение угла:
&angmsd;A, &angmsd;BAC или &angmsd;CAB.

Обозначение стороны:
AB или BA.
Сторону, которая лежит напротив угла, называют противолежащей углу, и угол называют противолежащим стороне.

Углы, которые имеет одну общую сторону, называют прилежащими этой стороне.

Сумма сторон треугольника называется периметром.
Если два треугольника можно совместить наложением, их называют равными.
При этом совпадают все стороны и все углы.
Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
То есть, противолежащие стороны соответственно равных углов тоже равны, и противолежащие углы соответственно равных сторон равны.

Обозначение равных треугольников:
ΔABC=ΔA1B1C1, ΔBCA=ΔB1C1A1 или буквы вершин в любом другом порядке, но соблюдая следующее правило.

Обрати внимание!
В каком порядке названы вершины одного треугольника, в таком же порядке называют соответствующие вершины равного треугольника.
На практике не всегда можно применить наложение для сравнивания фигур. Чаще необходимо ограничиться измерением некоторых элементов фигур и по этим измерениям судить о равенстве фигур.
Докажем, что для равенства двух треугольников достаточно двух равных сторон и угла, который образован этими сторонами.
Первый признак равенства треугольников
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN=PR;KN=TR;&angmsd;N=&angmsd;R.

Достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

1. Так как &angmsd;N=&angmsd;R, то треугольник ΔMNK можно наложить на треугольник ΔPRT так, что вершина \(N\) совместится с вершиной \(R\), а стороны \(NM\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(RP\) и \(RT\).

2. Поскольку MN=PR,KN=TR, то сторона \(MN\) совместится со
стороной \(PR\), а сторона \(KN\) — со стороной \(TR\), в частности совместятся точки \(M\) и \(P\), \(K\) и \(T\).

3. Следовательно, совместятся стороны \(MK\) и \(PT\). Итак, ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит, они равны.
www.yaklass.ru
Первый признак равенства треугольников / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс
Главная

Справочники

Справочник по геометрии 7-9 класс

Треугольники

Первый признак равенства треугольников

Теорема
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Пример:
ABC = A₁B₁C₁, так как AC = A₁C₁, AB =A₁B₁ и A = A₁ ( A лежит между сторонами AC и AB, а A₁ между A₁C₁и A₁B₁)
Доказательство:
Дано: ABC, A₁B₁C₁, AC = A₁C₁, AB =A₁B₁, A = A₁
Доказать: ABC = A₁B₁C₁
Доказательство:
По тому как A = A₁, можно ABC наложить на A₁B₁C₁так, что вершины A и A₁совместятся, а стороны AC и AB наложатся на лучи A₁C₁и A₁B₁. Так как нам дано, что AB =A₁B₁, AC = A₁C₁, то сторона AB совместится со стороной A₁B₁, а сторона AC — со стороной A₁C₁; также совместятся точки B и B₁, C и C₁. Следовательно, совместятся стороны BC и B₁C₁. Итак, ABC и A₁B₁C₁полностью совместятся, значит, они равны, что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Треугольник
Равенство треугольников
Перпендикуляр к прямой
Медианы треугольника
Биссектрисы треугольника
Высоты треугольника
Равнобедренный треугольник
Свойства равнобедренного треугольника
Второй признак равенства треугольников
Третий признак равенства треугольников
Окружность
Построения циркулем и линейкой
Треугольники
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 105, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 113, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 127, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 162, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 165, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 214, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 345, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 847, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
© 2019 — budu5.com, Буду отличником!

budu5.com
второй и третий признаки, теорема и определение
С далеких времен и по сей день поиск признаков равенства фигур считается базовой задачей, которая является основой основ геометрии; сотни теорем доказываются с использованием признаков равенства. Умение доказывать равенство и подобие фигур — важная задача во всех сферах строительства.
…
Вконтакте
Facebook
Twitter
Мой мир
Применение навыка на практике
Предположим, что у нас есть фигура, начерченная на листе бумаги. При этом у нас есть линейка и транспортир, с помощью которых мы можем замерять длины отрезков и углы между ними. Как перенести на второй лист бумаги фигуру таких же размеров или увеличить ее масштаб в два раза.
Мы знаем, что треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков, называемых сторонами, образующими углы. Таким образом, существует шесть параметров — три стороны и три угла, которые определяют эту фигуру.
Однако, замерив величину всех трех сторон и углов, перенести данную фигуру на другую поверхность окажется непростой задачей. Кроме того, есть смысл задать вопрос: а не достаточно ли будет знания параметров двух сторон и одного угла, или всего лишь трех сторон.
Замерив длину двух сторон и угол между ними, затем отложим этот угол на новом листке бумаги, так мы сможем полностью воссоздать треугольник. Давайте разберемся, как это сделать, научимся доказывать признаки, по которым их можно считать одинаковыми, и определимся с тем, какое минимальное число параметров достаточно знать, чтобы получить уверенность в том, что треугольники одинаковы.
Важно ! Фигуры называются одинаковыми, если отрезки, образующие их стороны, и углы равны между собой. Подобными называются те фигуры, у которых стороны и углы пропорциональны. Таким образом, равенство — это подобие с коэффициентом пропорциональности 1.
Какие существуют признаки равенства треугольников, дадим их определение:
первый признак равенства: два треугольника можно считать одинаковыми, если равны две их стороны, а также угол между ними.
второй признак равенства треугольников: два треугольника будут одинаковыми, если одинаковы два угла, а также соответствующая сторона между ними.
третий признак равенства треугольников: треугольники можно считать одинаковыми, когда все их стороны имеют равную длину.
Как доказать, что треугольники равны. Приведем доказательство равенства треугольников.
Доказательство 1 признака
Долгое время среди первых математиков данный признак считался аксиомой, однако, как оказалось, его можно геометрически доказать, опираясь на более базовые аксиомы.
Рассмотрим два треугольника — KMN и K₁M₁N₁. Сторона КМ имеет такую же длину как и K₁M₁, а KN = K₁N₁. А угол MKN равен углам KMN и M₁K₁N₁.
Если рассматривать KM и K₁M_1,KN и K₁N₁ как два луча, которые выходят из одной точки, то можно сказать, что между этими парами лучей одинаковые углы (это задано условием теоремы). Произведем параллельный перенос лучей K₁M₁ и K₁N₁ из точки K₁ в точку К. Вследствие этого переноса лучи K₁M₁и K₁N₁полностью совпадут. Отложим на луче K₁M₁ отрезок длиной КМ, берущий свое начало в точке К. Поскольку по условию полученный отрезок и будет равен отрезку K₁M₁ то точки М и M₁ совпадают. Аналогично и с отрезками KN и K₁N₁. Таким образом, перенося K₁M₁N₁ так, что точки K₁ и К совпадают, а две стороны накладываются, получаем полное совпадение и самих фигур.
Важно! В интернете встречаются доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу при помощи алгебраических и тригонометрических тождеств с численными значениями сторон и углов. Однако исторически и математически данная теорема была сформулирована задолго до алгебры и раньше, чем тригонометрия. Для доказательства этого признака теоремы использовать что-либо, кроме базовых аксиом, некорректно.
Доказательство 2 признака
Докажем второй признак равенства по двум углам и стороне, основываясь на первом.
Доказательство 2 признака
Рассмотрим KMN и PRS. К равен Р, N равен S. Сторона КN имеет такую же длину, как и РS. Необходимо доказать, что KMN и PRS — одинаковы.
Отразим точку М относительно луча КN. Полученную точку назовем L. При этом длина стороны КМ = КL. NKL равен PRS. KNL равен RSP.
Поскольку сумма углов равна 180 градусов, то KLN равен PRS, а значит PRS и KLN- одинаковые (подобные) по обеим сторонам и углу, согласно первому признаку.
Но, так как KNL равен KMN, то KMN и PRS — две одинаковые фигуры.
Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника
Доказательство 3 признака
Как установить, что треугольники равны. Это прямо вытекает из доказательства второго признака.
Длина KN = PS. Поскольку К = Р, N = S, KL=KM, при этом КN = KS, MN=ML, то:
Это означает, что обе фигуры являются подобными друг другу. Но так как их стороны одинаковы, то и они также равны.
Из признаков равенства и подобия вытекает множество следствий. Одно из них заключается в том, что для того, чтобы определить, равны два треугольника или нет, необходимо знать их свойства, одинаковы ли:
все три стороны;
обе стороны и угол между ними;
оба угла и сторона между ними.
Использование признака равенства треугольников для решения задач
Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения
Следствия первого признака
В ходе доказательства можно прийти к ряду интересных и полезных следствий.
Параллелограмм. Тот факт, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их на две одинаковые части — следствие признаков равенства и вполне поддается доказательству.Стороны дополнительного треугольника (при зеркальном построении, как в доказательствах, которые мы выполняли) — параллельны сторонам главного (стороны параллелограмма).
Если есть два прямоугольных треугольника, у которых одинаковые острые углы, то они подобны. Если при этом катет первого равен катету второго, то они равны. Понять это довольно легко — у любых прямоугольных треугольников есть прямой угол. Поэтому признаки равенства для них более просты.
Два треугольника с прямыми углами, у которых два катета имеют одинаковую длину, можно считать одинаковыми. Это связано с тем, что между двумя катетами угол всегда равен 90 градусов. Поэтому по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними) все треугольники с прямыми углами и одинаковыми катетами — равны.
Если есть два прямоугольных треугольника, и у них один катет и гипотенуза равны, значит и треугольники одинаковы.
Докажем эту простую теорему.
Есть два прямоугольных треугольника. У одного стороны a, b, c, где с — гипотенуза; a, b — катеты. У второго стороны n, m, l, где l — гипотенуза; m, n — катеты.
По теореме Пифагора один из катетов равен:
;
.
Таким образом, если n = a, l = с (равенство катетов и гипотенуз), соответственно и вторые катеты будут равны. Фигуры, соответственно, будут равны по третьему признаку (по трем сторонам).
Отметим еще одно важное следствие. Если есть два равных треугольника, и они подобны с коэффициентом подобия k, то есть попарные отношения всех их сторон равны k, то отношение их площадей равно k2 .
Первый признак равенства треугольников. Видеоурок по геометрии 7 класс
Геометрия 7 Первый признак равенства треугольников

Вывод
Рассмотренная нами тема поможет любому ученику лучше разобраться в базовых геометрических понятиях и повысить свои навыки в интереснейшем мире математики.
uchim.guru
Первый признак равенства треугольников
Разделы: Математика

Урок I типа (изучение и первичное закрепление знаний)

Постановка триединой задачи

I. Образовательные задачи.

Признаки равенства треугольников являются основным рабочим материалом всего курса геометрии. Поэтому учащиеся должны знать I признак равенства треугольников, уметь его доказывать и применять при решении задач. В соответствии с этим ставятся образовательные задачи.

1. Знать формулировку и доказательство I признака равенства треугольников.

2. Применять полученные знания при решении простейших задач в прямой и косвенной форме.

3. Провести актуализацию опорных знаний по следующим вопросам:

а) равные отрезки, углы, треугольники.

б) определение треугольника и его элементов.

в) определение и свойства смежных и вертикальных углов.

г) понятие угла, заключённого между сторонами.

II. Развивающие задачи.

1. Развитие умений:

а) выделять главное и существенное.

б) сравнивать и обобщать полученные знания.

в) планировать и контролировать свою деятельность при выполнении аналитических заданий.

2. Развитие умений в работе со справочной и учебной литературой.

3. Развитие зрительной и слуховой памяти, внимания, математической речи и логического мышления.

III. Воспитательные задачи.

1. Воспитание трудолюбия, усидчивости, умения слушать других.

2. Умение высказывать свою точку зрения, проводить рассуждения, доказательства при выполнении аналитических заданий.

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

1. № 88
Вопросы:
1. Объясните, какая фигура является треугольником?

2. Назовите вершины, стороны и углы треугольника.

3. Назовите сторону, лежащую против угла D, против угла E, против угла F.

4. Укажите углы, лежащие против сторон DE, EF, FD.

5. Укажите углы, прилежащие к сторонам DE, EF, FD.

6. Укажите, какой угол заключен между сторонами ED и DF, EF и DF, DE и EF.

2. № 90 Вопросы:
1. Что главное нужно знать при решении задачи? (определение треугольника, его сторон, периметр треугольника)

2. Что такое периметр треугольника?

3. Что существенно при решении этой задачи? (умение решать задачи на нахождение, во сколько раз одна величина больше/меньше другой и на сколько)

III. Подготовка к восприятию новых знаний (актуализация опорных знаний)

Вопросы:
Назовите равные отрезки на рис. 1. Какие отрезки называются равными?

Назовите равные углы на рис. 2. Какие углы называются равными?

Есть ли равные углы на рис. 3, 1, 4? Почему они равны?

Какие углы называются вертикальными, смежными? Какими свойствами они обладают?

5. Равны ли треугольники ABC и FMN? Почему? (треугольники равны, т.к. у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы. При этом соответствующие углы должны лежать против соответственно равных сторон.)

6.

Важно! В равных треугольниках соответственно равные элементы равны.

7. Какие треугольники называются равными? (треугольники называются равными, если их можно совместить наложением)

8. Всегда ли возможно установить равенство треугольников путем наложения?
Нет. Например, два земельных участка.

9. Проверка из домашней работы № 89(а). Как вы думаете, построенные вами треугольники будут равны?

IV. Изучение новых знаний.

Оказывается, равенство двух треугольников можно установить, не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые элементы.

Мы докажем теорему, которая устанавливает равенство двух треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Что такое теорема? (утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой).

А как называются сами рассуждения? (доказательством теоремы)

Какие теоремы мы уже доказывали?

Формулировка теоремы.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказанная теорема выражает I признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Что такое признак?

Признак (от слова знак) – это показатель, по которому можно узнать, определить что-либо.

Прочитайте формулировку теоремы, выражающей I признак равенства треугольников (стр 30).

Формулировка теоремы содержит условие и заключение теоремы.

Прочитайте условие теоремы, заключение.

V. Первичная проверка понимания материала.
Найдите пары равных треугольников и установите их равенство на рис. 1, 2, 3, 4.

Решение задач с подробной записью в тетради.

№ 93

VI. Итог урока
Сформулируйте I признак равенства треугольников.

Расставьте предложения текста в нужном порядке, чтобы получилось доказательство I признака равенства треугольников.

Итак, треугольники АВС и А₁В₁С₁полностью совместились, значит, они равны.

Поскольку АВ = А₁В₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, в частности, совместятся точки В и В₁.

Т.к _<A=_<А₁, то АВС можно наложить на А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а_{стороны
АВ и АС наложатся на стороны А₁В₁и А₁С₁.}

Поскольку АС = А₁С₁, то сторона АС совместится со стороной А₁С₁, в частности, совместятся точки С и С₁.

Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁, т.к. через совпадающие точки (С и С₁, В и В₁) можно провести только одну прямую.

VII. Информация о домашнем задании п.15, учить теорему, № 93 (письменно), задачи по готовым чертежам стр. 9, найти пары равных треугольников и доказать их равенство (устно).

Структура урока I типа
Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

Подготовка к восприятию новых знаний.

Изучение новых знаний.

Первичная проверка понимания материала.

Первичное закрепление материала.

Итоги урока.

Информация о домашнем задании.

Для достижения триединой задачи отбор содержания учебного материала был проведён следующим образом.

Учащиеся достаточно хорошо должны знать определение треугольника, его элементов, уметь называть угол, лежащий между сторонами треугольника, указывать сторону, лежащую против данного угла, поэтому при проверке домашнего задания этим вопросам уделялось внимание.

При решении любой геометрической задачи, доказательстве теорем необходимо учить учащихся выделять главное и существенное, обращать внимание, какой теоретический и практический материал должен знать ученик, чтобы выполнить то или иное задание, потому при проверке домашнего задания этим вопросам также уделялось внимание.

Таким образом, проверяя домашнее задание, я готовила учащихся к восприятию новых знаний.

При доказательстве I признака равенства треугольников мы ссылаемся на определение равенства отрезков, углов, треугольников, поэтому на этапе подготовки к восприятию новых знаний были задания на нахождение равных сторон и углов треугольника. Также повторялось определение равных фигур. Учащиеся вспомнили, как на чертежах обозначаются равные стороны и углы, что в дальнейшем очень важно для решения задач. Также повторился важный факт, что у равных треугольников соответствующие элементы равны. При решении задач на I признак равенства треугольников учащиеся должны знать определения и свойства смежных и вертикальных углов, уметь их распознавать на рисунках, потому в устную работу были включены и эти задания.

Доказательство I признака равенства треугольников трудно для семиклассников, поэтому учащиеся не были включены во фронтальную работу объяснения нового материала. Доказательство теоремы было проведено детализированно, это сделано для того, чтобы в ходе объяснения нового материала обратить внимание учащихся на отдельные шаги доказательства.

Для лучшего восприятия доказательства теоремы я запланировала отработку общеучебных умений и навыков, учащиеся выделили главное и существенное при доказательстве I признака равенства треуголников.

Признаки равенства треугольников должны усваиваться как метод решения задач. Поэтому на этапе первичного закрепления знаний я включила задания по готовым чертежам (найти пары равных треугольников)

Решая задачу № 93, учащиеся учились выполнять рисунок по условию задачи, отмечать равные элементы на рисунке, учились делать геометрически грамотную ссылку на I признак равенства треугольников (по сторонам и углу между ними).

При подведении итогов повторилась формулировка теоремы и провелась работа по формулированию общеучебных умений и навыков, учащиеся учились планировать и контролировать свою деятельность, что дало возможность учащимся осмыслить доказательство теоремы.

В течение всего урока учащиеся учились анализировать полученные знания, сравнивать, обобщать, выделять главное и существенное, развивать логическое мышление. На протяжении всего урока учащиеся развивали зрительную и слуховую память, воспитывали усидчивость, активность, учились высказывать свою точку зрения.

Для достижения триединой задачи использовались следующие методы обучения:

а) словесный;

б) наглядный;

в) практический;

г) проблемно-поисковый;

д) индивидуальный;

е) дедуктивный.

Форма организации познавательной деятельности:

а) общеклассная;

б) индивидуальная.

27.01.2006
urok.1sept.ru
Билет 2 Вопрос 1 Признаки равенства треугольников (доказательство всех)
Билет 2
Вопрос 1
Признаки равенства треугольников (доказательство всех)
1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (Теорема 3.1. – Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними — Если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть у треугольников АВС и А₁В₁С₁угол А равен углу А₁, АВ равно А₁В_1,АС равно А₁С₁, докажем, что треугольники равны.
Пусть А₁В₂С₂– треугольник, равный АВС, с вершины В₂ на луче А₁В₁ и вершины С₂ в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, где лежит вершина С₁.
Так как А₁В₁ равно А₁В₂, то вершина В₂ совпадет с В_1.Так как угол В₁А₁С₁ равен углу В₂А₁С_2,то луч А₁С₂ совпадет с А₁С₁. Так как А₁С₁ равен А₁С₂, то С₂ совпадет с С_1.Значит треугольник_{А₁В₁С₁совпадает стреугольниом_{А₁В₂С₂,
значит равен треугльнику АВС.}}
Теорема доказана.
2-ой признак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (Теорема 3.2. — Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам — Если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть АВС и А₁В₁С_1
– два треугольника, у которых АВ равно А₁В_1,угол А равен углу А₁, и угол В равен углу В₁. Докажем, что они равны.
Пусть А₁В₂С₂– треугольник, равный АВС, с вершины В₂ на луче А₁В₁ и вершины С₂ в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, где лежит вершина С₁.
Так как А₁В₂ равно А₁В₁, то вершина В₂ совпадет с В_1.Так как угол В₁А₁С₂ равен углу В₁А₁С_1,и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то луч А₁С₂ совпадет с А₁С₁, а В₁С₂совпадет с В₁С₁. Отсюда следует, что вершина С₂ совпадет с С_1.Значит треугольник_{А₁В₁С₁совпадает стреугольниом_{А₁В₂С₂,
значит равен треугльнику АВС.}}
Теорема доказана.
3-ий признак равенства треугольников: по трем сторонам ( Теорема 3.6. — Признак равенства треугольников по трем сторонам — Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть АВС и А₁В₁С_1
– два треугольника, у которых АВ равно А₁В_1,АС равно А₁С₁, и ВС равно В₁С₁. Докажем, что они равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А₁, угол В не равен углу В_1, и угол С не равен углу С₁. Иначе они были бы равны, по перовому признаку.
Пусть А₁В₁С₂– треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной С₁ относительно прямой А₁В₁.
Пусть D – середина отрезка С₁С₂. Треугольники А₁С₁С₂и В₁С₁С₂ – равнобедренные с общим основанием С₁С₂. Поэтому их медианы А₁D и В₁D – являются высотами, значит прямые А₁D и В₁D – перпендикулярны прямой С₁С_2. Прямые А₁D и В₁D не совпадают, так как точки А_1,В₁, D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С₁С₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.
Теорема доказанa
gigabaza.ru
А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §3. Контрольные вопросы, ответы
Подробности
Родительская категория: Математика
Категория: Геометрия, 7 класс, контрольные вопросы, ответы
Вопрос 1. Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
Ответ. Первый признак равенства треугольников — Теорема 3.1. (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A₁B₁C₁ угол A= углу A₁, AB=A₁B₁, AC=A₁C₁(рис. 44).
Рис. 44.
Докажем, что треугольники равны.
Пусть A₁B₂C₂— треугольник, равный треугольникуABC, с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁ (рис. 45, а).

Так как A₁B₁=A₁B₂, то вершина B₂ совпадает с вершиной B₁ (рис. 45, б). Так как угол B₁A₁C₁= углу B₂A₁C₂, то луч A₁C₂ совпадает с лучом A₁C₁ (рис. 45, в). Так как A₁C₁=A₁C₂, то вершина C₂ совпадает с вершиной C₁ (рис. 45, г).
Итак, треугольник A₁B₁C₁ совпадает с треугольником A₁B₂C₂, значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
В начале доказательства рисуют треугольник A₁B₂C₂ равный треугольнику ABC с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁ (рис. 45, а). Такой треугольник существует по аксиоме о существовании треугольника, равного данному (каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой).
Затем утверждается совпадение вершин B₁ и B₂ на том основании, что A₁B₁ = A₁B₂. Здесь используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Далее утверждается совпадение лучей A₁C₂ и A₁C₁ на том основании, что \(\angle\)B₂A₁C₁ = \(\angle\)B₂A₁C₂. Здесь используется аксиома откладывания углов (от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один).
Наконец, утверждается совпадение вершин C₁ и C₂, так как A₁C₁ = A₂C₂. Здесь снова используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Итак, при доказательстве теоремы 3.1 используются аксиомы откладывания отрезков и углов и аксиома о существовании треугольника, равного данному.
Вопрос 2. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.
Ответ. Второй признак равенства треугольников — Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть ABC и A₁B₁C₁ — два треугольника, у которых AB= A₁B₁, угол A= углу A₁ и угол B= углу B₁(рис. 47).
Докажем, что треугольники равны.
Пусть A₁B₂C₂— треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁.
Так как A₁B₂=A₁B₁, то вершина B₂ совпадает с вершиной B₁. Так как угол B₁A₁C₂= углу B₁A₁C₁ и угол A₁B₁C₂ = углу A₁B₁C₁, то луч A₁C₂ совпадает с лучом A₁C₁, а луч B₁C₂ совпадает с лучом B₁C₁. Отсюда следует, что вершина C₂ совпадает с вершиной C₁.
Итак, треугольник A₁B₁C₁ совпадает с треугольником A₁B₂C₂, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
Вопрос 3. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
Ответ. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
Вопрос 4. Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Ответ. Теорема 3.3 (свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство. Пусть ABC- равнобедренный треугольник с основанием AB (рис. 48). Докажем, что у него угол A= углу B.
Треугольник CAB равен треугольнику CBA по первому признаку равенства треугольников. Действительно, CA= CB, CB= CA, угол C= углу C. Из равенства треугольников следует, что угол A= углу B. Теорема доказана.
Вопрос 5. Какой треугольник называется равносторонним?
Ответ. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
Вопрос 6. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Ответ. Теорема 3.4 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство. Пусть ABC – треугольник, в котором угол A= углу B (рис. 50). Докажем, что он равнобедренный с основанием AB.
Треугольник ABC равен треугольнику BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно, AB=BA, угол B= углу A, угол A= углу B. Из равенства треугольников следует, что AC= BC. Значит, по определению треугольник ABC равнобедренный. Теорема доказана.
Вопрос 7. Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
Ответ. Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, то есть если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Вопрос 8. Что такое высота треугольника?
Ответ. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 51, а-б).
Вопрос 9. Что такое биссектриса треугольника?
Ответ. Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 52, а).
Вопрос 10. Что такое медиана треугольника?
Ответ. Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, б).
Вопрос 11. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Ответ. Теорема 3.5 (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство. Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53).
Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)
Из равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.
Вопрос 12. Докажите третий признак равенства треугольников.
Ответ. Третий признак равенства треугольников — Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть ABC и A₁B₁C₁ – два треугольника, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁(рис. 55).
Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол A не = углу A₁, угол B не = углу B₁, угол C не = углу C₁. Иначе они были бы равны по первому признаку.
Пусть A₁B₁C₂ – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина C₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C₁ относительно прямой A₁B₁ (см. рис. 55).
Пусть D – середина отрезка C₁C₂. Треугольники A₁C₁C₂ и B₁C₁C₂ – равнобедренные с общим основанием C₁C₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой C₁C₂. Прямые A₁D и B₁D не совпадают, так как точки A₁, B₁, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой C₁C₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
oftob.ru

График корень 4 степени из х – график корень 4 степени из х

alexxlab / 09.05.202020.06.2019 / Школьная жизнь

Функция корня n-й степени . Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Построение графика функции корня n-й степени Сложность: лёгкое	2
2.	График функции корня n-й степени (нечётная степень) Сложность: лёгкое	2
3.	График функции корня n-й степени (чётная степень) Сложность: лёгкое	2
4.	График функции корня n-й степени вида y = f(x + m) + k Сложность: среднее	3
5.	График функции, область определения и область значений функции Сложность: среднее	4
6.	Точки пересечения графиков (чётная степень) Сложность: среднее	4
7.	Точки пересечения графиков (нечётная степень) Сложность: среднее	4
8.	Решение уравнения графически (чётная степень) Сложность: среднее	5
9.	Область определения функции корня n-й степени (нечётная степень) Сложность: среднее	3
10.	Область определения функции корня n-й степени (чётная степень) Сложность: среднее	3
11.	Область определения функции, противоположный квадратный трёхчлен (чётная степень) Сложность: среднее	10
12.	Возрастание функции корня n-й степени Сложность: среднее	3
13.	Область значений функции корня n-й степени Сложность: среднее	3
14.	Область определения функции, дробь (нечётная степень) Сложность: сложное	3
15.	Область определения функции корня n-й степени, сумма корней Сложность: сложное	5
16.	Область определения функции, сумма корней (чётная степень) Сложность: сложное	7

www.yaklass.ru

Функция корень n — степени из x, свойства и график

Вопросы занятия:

· рассмотреть свойства функции корень n-ой степени из x;

· рассмотреть график функции корень n-ой степени из x;

· рассмотреть примеры на построение и нахождение свойств функций этого вида.

Материал урока

Прежде чем перейти к изучению нового материала, давайте повторим основные понятия, с которыми мы познакомились на предыдущих уроках.

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Корнем нечётной степени n-ой из отрицательного числа а называют такое отрицательное число, при возведении которого в степень n получается а.

Обозначают:

Число а – это подкоренное число, число n – показатель корня.

Обобщая эти понятия, можно сказать, что из любого неотрицательного числа можно извлечь корень любой степени (второй, третьей, четвертой и так далее), а из отрицательного числа можно извлечь только корень нечётной степени.

То есть на [0; +∞) каждому числу x можно поставить в соответствие единственное число корень n-ой степени из x при любом значении n.

Другими словами, на множестве [0; +∞) можно говорить о функции:

Давайте попробуем найти свойства этой функции и построить её график.

Основные свойства:

Областью определения будет являться промежуток [0; +∞).

Поскольку корнем n-ой степени из неотрицательного числа является неотрицательное число, то областью значений функции будет промежуток [0; +∞).

Поскольку область определения функции не является симметричным множеством, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Операцию извлечения корня мы вводили как операцию обратную возведению в соответствующую степень.

Тогда можно сказать, что:

Зная это, нетрудно построить график функции.

Используя построенный график, мы можем записать оставшиеся свойства функции.

Функция возрастает на промежутке [0; +∞).

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу, например, прямой y = -0,5.

Наименьшим значением функции будет 0, наибольшего значения функция не имеет.

Функция непрерывна на всей области определения.

Функция выпукла вверх на всей области определения.

При изучении темы дифференцирование функций, мы говорили, что если функция дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то она непрерывна на данном промежутке. Из курса базовой школы мы знаем:

Тогда:

Эта производная существует в любой точке промежутка [0; +∞) за исключением точки 0.

Таким образом, функция имеет производную в любой точке промежутка (0; +∞), то есть функция дифференцируема на промежутке (0; +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Мы с вами говорили о функции y равно корень n—ой степени из x только для неотрицательных значений аргумента.

Но если эн нечётное число, то выражение корень n—ой степени из x имеет смысл и для отрицательных x. Значит, можно говорить о функции:

Теперь давайте запишем свойства этой функции.

Областью определения будет промежуток (– ∞; + ∞).

Областью значений будет промежуток (– ∞; + ∞).

Поскольку область определения является симметричным множеством, то можно исследовать данную функцию на чётность:

Получаем, что функция при нечётном n будет нечётной.

Давайте построим график функции.

Воспользуемся свойством нечётности функции и добавим к этой ветви ветвь, симметричную ей относительно начала координат.

По графику легко записать оставшиеся свойства функции.

Функция возрастает на всей области определения.

Функция не ограничена ни сверху ни снизу.

Функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Функция непрерывна на всей области определения.

Функция выпукла вниз на промежутке (– ∞; 0) и выпукла вверх на промежутке (0; + ∞).

Функция дифференцируема на всей области определения за исключением точки 0.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

videouroki.net

кубический корень из х в 4 степени?

Гуманитарные науки Truellla 2 (174) кубический корень из х в 4 степени? 7 лет В лидеры Ответы
Борис Профе 4 (864)
х в степени 4/3
0 нравится комментировать 7 лет 12 21 2 (138)
х в степени 4/3
0 нравится комментировать 7 лет Ответы Mail.Ru Наука, Техника, Языки Гуманитарные науки Все вопросы
Категории
Избранные
КАТЕГОРИИ
Авто, Мото Автострахование Выбор автомобиля, мотоцикла Оформление авто-мото сделок ГИБДД, Обучение, Права Сервис, Обслуживание, Тюнинг ПДД, Вождение Прочие Авто-темы Автоспорт Бизнес, Финансы Макроэкономика Производственные предприятия Собственный бизнес Страхование Банки и Кредиты Недвижимость, Ипотека Бухгалтерия, Аудит, Налоги Остальные сферы бизнеса Долги, Коллекторы Знакомства, Любовь, Отношения Любовь Знакомства Отношения Расставания Дружба Прочие взаимоотношения Компьютеры, Связь Интернет Железо Программное обеспечение Прочее компьютерное Мобильные устройства Офисная техника Мобильная связь Образование Детские сады Школы ВУЗы, Колледжи Дополнительное образование Образование за рубежом Прочее образование Философия, Непознанное Мистика, Эзотерика Психология Религия, Вера Прочее непознанное Философия Путешествия, Туризм Самостоятельный отдых Документы Отдых в России Отдых за рубежом Прочее туристическое Семья, Дом, Дети Строительство и Ремонт Беременность, Роды Воспитание детей Мебель, Интерьер Домашняя бухгалтерия Домоводство Загородная жизнь Свадьба, Венчание, Брак Организация быта Прочие дела домашние Спорт Футбол Хоккей Экстрим Другие виды спорта Занятия спортом События, результаты Спортсмены Зимние виды спорта Стиль, Мода, Звезды Мода Светская жизнь и Шоубизнес Прочие тенденции стиля жизни Стиль, Имидж Темы для взрослых Другое О проектах Mail.ru Ответы Mail.ru Почта Mail.ru Прочие проекты Новости Mail.ru Агент Mail.ru Мой Мир Mail.ru ICQ Облако Mail.ru Красота и Здоровье Коррекция веса Здоровый образ жизни Врачи, Клиники, Страхование Болезни, Лекарства Косметика, Парфюмерия Баня, Массаж, Фитнес Уход за волосами Маникюр, Педикюр Детское здоровье Салоны красоты и СПА Прочее о здоровье и красоте Животные, Растения Домашние животные Комнатные растения Сад-Огород Дикая природа Прочая живность Города и Страны Вокруг света Карты, Транспорт, GPS Климат, Погода, Часовые пояса Коды, Индексы, Адреса ПМЖ, Недвижимость Прочее о городах и странах Общество, Политика, СМИ Общество Политика Прочие социальные темы Средства массовой информации Еда, Кулинария Закуски и Салаты Первые блюда Вторые блюда Напитки Десерты, Сладости, Выпечка Консервирование Торжество, Праздник Готовим детям Готовим в … Покупка и выбор продуктов На скорую руку Прочее кулинарное Фотография, Видеосъемка Обработка и печать фото Обработка видеозаписей Выбор, покупка аппаратуры Уход за аппаратурой Техника, темы, жанры съемки Прочее фото-видео Товары и Услуги Идеи для подарков Техника для дома Прочие промтовары Сервис, уход и ремонт Прочие услуги Досуг, Развлечения Хобби Концерты, Выставки, Спектакли Охота и Рыбалка Клубы, Дискотеки Рестораны, Кафе, Бары Советы, Идеи Игры без компьютера Прочие развлечения Новый Год День Святого Валентина Восьмое марта Наука, Техника, Языки Гуманитарные науки Естественные науки Лингвистика Техника Работа, Карьера Написание резюме Подработка, временная работа Кадровые агентства Отдел кадров, HR Профессиональный рост Смена и поиск места работы Обстановка на работе Трудоустройство за рубежом Прочие карьерные вопросы Гороскопы, Магия, Гадания Гороскопы Гадания Сны Прочие предсказания Магия Юридическая консультация Административное право Гражданское право Конституционное право Семейное право Трудовое право Уголовное право Финансовое право Жилищное право Право социального обеспечения Военная служба Паспортный режим, регистрация Прочие юридические вопросы Юмор Золотой фонд Искусство и Культура Музыка Литература Кино, Театр Живопись, Графика Архитектура, Скульптура Прочие искусства Компьютерные и Видео игры Прочие Браузерные Клиентские Консольные Мобильные Программирование Другие языки и технологии Java JavaScript jQuery MySQL Perl PHP Python Веб-дизайн Верстка, CSS, HTML, SVG Системное администрирование Домашние задания Другие предметы Литература Математика Алгебра Геометрия Иностранные языки Химия Физика Биология История География Информатика Экономика Русский язык Обществознание Плесский колледж бизнеса и туризма Компания «Azimyt-K»
Проекты
Mail.RuПочтаМой МирИгрыНовостиЗнакомстваПоискВсе проекты Вход в личный кабинет Помощь Обратная связь Полная версия Главная Все проекты
© Mail.Ru, 2018

touch.otvet.mail.ru

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать на концах интервала – .

alexxlab / 09.05.202015.06.2019 / Школьная жизнь

РЯДЫ — Стр 2

Пример 7

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Это пример для самостоятельного решения.

Кто утомился, может сходить покурить, а мы рассмотрим еще два примера.

Пример 8

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

Предел по той причине, что числитель и знаменательодного порядка роста. Более подробно об этом моменте и «турбо»-методе решения читайте в статьеПризнак Даламбера. Признаки Коши.

Итак, ряд сходится при

Умножаем обе части неравенства на 9: Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол:Раскрываем модуль:И прибавляем ко всем частям единицу:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если , то получается следующий числовой ряд:

Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн».

И в третий раз обращаю внимание на то, что в результате подстановки сократились степени , а значит, интервал сходимости найден правильно.

По всем признакам для полученного числового ряда следует применить предельный признак сравнения. Какой ряд подобрать для сравнения? Об этой методике я уже рассказывал на уроке Ряды для чайников. Повторим.

Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна. Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя:.

Таким образом, наш ряд нужно сравнить со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд сходится вместе с рядом.

2) Что происходит на другом конце интервала? При – сходится.

А вот и вознаграждение за мучения в предыдущем пункте! Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:

Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 9

Найти область сходимости ряда

Достаточно для начала =)

В заключение остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы использовали признак Даламбера и составляли предел . Всегда ли при решении заданий такого типа нужно применять признак Даламбера? Почти всегда. Однако в редких случаях невероятно выгодно использовать радикальный признак Коши и составлять предел, при этом техника и алгоритм решения задачи остаются точно такими же! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» (полностью) извлекается корень «энной» степени.

Следующий урок по теме – Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7 – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. 1) При Используем признак Лейбница. – Ряд является знакочередующимся. – члены ряда не убывают по модулю. Вывод: Ряд расходится 2) При Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда

Пример 5: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ответ: Ряд сходится при

Почему получилась двойка, а не ноль? Перечитайте классификацию области сходимости степенного ряда. Хотя, наверное, многие уже понимают, почему.

Пример 7: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на : В середине нужно оставить только «икс», вычитаем из каждой части неравенства 3: – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала: 1) При Степень сократилась, значит, мы на верном пути. Используем признак Лейбница. Ряд является знакочередующимся. – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем интегральный признак. Подынтегральная функция непрерывна на . Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. Ряд сходится только условно. 2) При – расходится (по доказанному). Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: , приряд сходится только условно. Область сходимости окончательно можно записать так:, или даже так:. Примечание: Ряд можно было исследовать на сходимость с помощью предельного признака сравнения.

Пример 9: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. 1) При Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения. Получено конечное число, отличное от нуля, значит, полученный числовой ряд расходится вместе с гармоническим рядом. 2) При – расходится (по доказанному). Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:

studfiles.net

Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда

Решение

Здесь Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится для значений х, удовлетворяющих неравенству х<1 или -1<х<1.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Подставляя в данный ряд вместо х число 1, получим гармонический ряд , который, как известно, расходится.

Если х=-1, получаем числовой знакочередующийся ряд Этот ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ; 2).

Таким образом, данный ряд сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенствам -1х<1, и его промежуток сходимости представляет собой полузамкнутый интервал [-1;1).

Геометрически это выглядит так:

Пример 2. Найти область сходимости ряда:

Решение. Найдем радиус сходимости этого ряда по формуле .

;

Следовательно, радиус сходимости , а интервал сходимости (-;). Геометрически это выглядит так:

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. В правом конце, при х=, данный степенной ряд превращается в числовой ряд вида:

Выше сходимость этого ряда была доказана при помощи интегрального признака.

В левом конце, при х=—, данный степенной ряд превращается в знакочередующийся рядкоторый сходится абсолютно, так как сходится соответствующий ряд из абсолютных величин:.

Таким образом, данный степенной ряд сходится в обоих концах интервала сходимости, значит, областью сходимости будет отрезок т.е..

Графически:

Пример 3. Найти промежуток сходимости ряда:

Решение.

Радиус сходимости ряда находим по формуле .

В нашей задаче

Поэтому .

Значит, данный ряд сходится при значениях х, удовлетворяющих неравенству х<10 или -10<х<10.

Исследуем теперь поведение ряда на концах промежутка. Подставляя в данный ряд вместо х число 10 получаем ряд:

который расходится как гармонический (отличаясь от него лишь постоянным множителем)

При х=-10 получим числовой знакочередующийся ряд:

, который сходится условно.

Таким образом, данный степенной ряд сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенствам -10х<10, и его промежуток сходимости представляет собой полузамкнутый интервал [-10;10).

Графически:

Пример 4. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение.

;

Радиус сходимости ряда равен нулю. Ряд сходится в единственной точке х=0

Замечание.

1. При вычислении предела использовали второй замечательный предел .

2. Тот же результат можно получить и по формуле :

Пример 5. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда . Решение

Так как ,

то . Ряд сходится при всехх, т.е. в интервале (-; +).

Пример 6. Найти промежуток сходимости ряда

Решение.

Здесь мы не вправе применять формулу для отыскания радиуса сходимости ряда, так как он не содержит четных степенейх. Поэтому промежуток сходимости ряда найдем, воспользовавшись признаком Даламбера.

Данный ряд будет сходиться при всех значениях х, удовлетворяющих

неравенству

т.е. .

Отсюда получаем .

Выражение в скобках не зависит от n, поэтому 2х²<1, или х²<1/2. Окончательно получаем , т.е..

Исследуем поведение ряда на концах промежутка.

При получим расходящийся числовой ряд 1+1+1+1+…+1+…

Таким образом, на концах интервала данный ряд расходится. Промежутком сходимости является интервал .

Замечание. Тот же результат можно было получить, воспользовавшись радикальным признаком Коши.

Пример 7 Найти область сходимости степенного ряда

Решение: Применим признак Даламбера.

В данном случае .

Ряд сходится при (х+3)²<1, т.е. х+3<1, -1<х+3<1, т.е. -4<х<-2.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка (-4; -2). При х=-4 получаем ряд — гармонический ряд, который расходится. Прих=-2 также получаем расходящийся гармонический ряд

Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал

(-4; -2).

Замечание. В некоторых случаях функциональный ряд можно при помощи замены переменой привести к виду степенного ряда, для нахождения области сходимости которого можно воспользоваться формулами радиуса сходимости.

studfiles.net

Степенные ряды

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение

Степенным рядом называется функциональный ряд

, (15)

члены которого являются произведениями постоянных ,, …,,… на степенные функции от разностис целыми неотрицательными показателями степеней.

Точка x₀называется центром степенного ряда.

Пример 20

Ряд – степенной ряд с центром в точке.

Ряд – функциональный ряд.

Исследование степенного ряда на сходимость, а именно нахождение области сходимости степенного ряда, является важной задачей теории рядов. Ее решение основано на теореме Абеля.

ТЕОРЕМА 11 (Теорема Абеля)

Если степенной ряд сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех, удовлетворяющих неравенству

Если степенной ряд расходится при , то он расходится для всех, удовлетворяющих неравенству

Доказательство

1) Введем замену . Тогда получаем степенной ряд, точка сходимости которого, а неравенство, описывающее область сходимости, примет вид.

По условию числовой ряд сходится, следовательно общий член при, но любая последовательность, имеющая предел ограничена, т.е. существует такое, чтодля всех.

Рассмотрим общий член степенного ряда .

, так как .

Получили новый ряд , который является геометрической прогрессией со знаменателем, следовательно, он сходится. Так как, то из первого признака сравнения следует абсолютная сходимость исходного степенного ряда.

2) Вторую часть теоремы можно доказать аналогично. 

Геометрическая интерпретация этой теоремы

Если ряд (1) сходится в точке , то он сходится и во всех точках, расположенных ближе к центру степенного ряда , чем. Если же ряд расходится при , то он расходится и во всех более удаленных от центра ряда точках.

Опираясь на теорему Абеля, можно доказать, что существует такое положительное число , что для всех, удовлетворяющих неравенству , ряд сходится абсолютно и расходится при всех , для которых .

Число называетсярадиусом сходимости ряда , а интервал –интервалом сходимости.

В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае ) или может превращаться в точку (в этом случае). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда.

Пример 21. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение

Первый способ решения

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Применим признак Даламбера:

Если , то ряд сходится. Итак,,– интервал сходимости данного ряда. Поведение данного ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точкахи, исследуется отдельно.

При из данного ряда получаем ряд, который условно сходится.

При получаем гармонический ряд, который расходится.

Второй способ решения

Если для степенного ряда (2) существует , то радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле

В нашем случае и, поэтому

Так как – центр степенного ряда, то– интервал сходимости данного ряда.

Сходимость ряда на концах интервала сходимости исследована выше.

Итак, данный ряд сходится абсолютно при и условно при.

studfiles.net

Метод нахождения интервала сходимости степенного ряда

1) Дан , фиксируем х, получаем числовой ряд, и применим к ряду из модулей (для знакоположительности) признак Даламбера.

2) По признаку Даламбера вычисляем

— чтобы ряд сходился по признаку Даламбера.

3) Рассмотрим неравенство

<1|:

— интервал сходимости.

4) На концах интервала сходимости, в точках инужно провести дополнительное исследование.

Замечание: Частным случаем может оказаться, что , тогда интервал сходимости вырождается в точку х=0точка сходимости.степенной ряд сходится на всей числовой оси и интервал сходимости

Примеры:

Равномерная сходимость степенного ряда

Теорема: равномерно сходится на любом отрезке от целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Доказательство:

Степенной ряд сходится в точкесходится числовой ряд

Возьмем степенной рядмажорируется насходящимся числовым рядомпо признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости степенного ряда, равномерносходится на

Конец доказательства.

Следствия:

1) Т.к члены степенного ряда являются непрерывными функциями, то внутри интервала сходимости сумма ряда тоже будет тоже непрерывной функцией.

2)Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом лежащем внутри интервала сходимости.

3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать внутри интервала сходимости, т.к интервал сходимости ряда из производных будет точно таким же.

Доказательство:

— степенной ряд.

— ряд из производных.

<1 у ряда из производных тот же интервал сходимости.

Конец доказательства.

Степенной ряд по степеням х-а

Рассмотрим

Сделаем замену: x-a=X

Найдём интервал сходимости полученного ряда, -R<x<R, сделаем обратную замену: -R<x-a<R|+a, a-R<x<a+R

Интервал сходимости полученного ряда имеет центр в точке А.

Пример:

Ряды Тейлора

На I курсе рассматривалась формула Тейлора для функции f(x) n+1 раз дифференцируемая в окрестности точки .

где

Если f(x) любое число раз дифференцируема в окрестности точки переходя к пределув формуле Тейлора получим:

ряд стоящий в правой части равенства называется рядом Тейлора для функции f(x) по степеням , а сама формула называетсяразложением функции f(x) в ряд Тейлора.

Формально ряд Тейлора может быть получен для любой функции, но сходится к этой функции он будет только тогда, когда

Если этот предел , то ряд либо расходится, либо сходится к совсем другой функции.

Единственность разложения функции в ряд Тейлора

Теорема: Если функция f(x) разлагается в степенной ряд по степеням , то это обязательно ряд Тейлора.

Доказательство:

Пусть функция разлагается в степенной ряд вида:

Найдём коэффициенты степенного ряда, Подставим

Продифференцируем 1 раз

Подставим

Продифференцируем 2 раз

Подставим

Продифференцируем 3 раз

Подставим

Аналогично покажем

Коэффициенты степенного ряда совпадают с коэффициентами рядами Тейлора.

Конец доказательства.

Условия разложимости функции в ряд Тейлора

Определение: Семейство функций называетсяравномерно ограниченным на множестве D, если существует число M>0, что сразу для всех функций семейства и любого.

Теорема:Пусть функция -любое количество раз дифференцируема в окрестности точкии семейство ее производных любого порядка равномерно ограничено в окрестности точки,то функциюможно разложить в ряд Тэйлора в окрестности точки.

Покажем что

Остаточный член

, где M>0 (т.к семейство производных равномерно ограничено)

Рассмотрим

Можно показать по признаку Даламбера, что ряд сходится при любом х.

По необходимому признаку сходимости

Рассмотрим

Конец доказательства.

studfiles.net

Интервал сходимости степенного ряда и его нахождение.

Обратная связь
ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ
Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение
Как определить диапазон голоса — ваш вокал
Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими
Целительная привычка
Как самому избавиться от обидчивости
Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам
Тренинг уверенности в себе
Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком»
Натюрморт и его изобразительные возможности
Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.
Как научиться брать на себя ответственность
Зачем нужны границы в отношениях с детьми?
Световозвращающие элементы на детской одежде
Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия
Как слышать голос Бога
Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)
Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.
Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.
Лекция 8

Тема: Степенные ряд. Теорема Абеля. Интервал сходимости степенного ряда и его нахождение.

Степенные ряды. Теорема Абеля

Функциональный ряд вида:

называется степенным рядом c₀,c₁,…,c_n,…-коэффициенты ряда. Коэффициенты ряда будем считать действительными числами

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке x₁, , то он сходится и при том абсолютно в интервале .

Доказательство. По условию степенной ряд сходится в точке , т.е. сходится ряд . По необходимому признаку сходимости общий член последнего ряда стремится к нулю, т.е. . Отсюда следует, что выполняется неравенство . Теперь рассмотрим ряд , составленный из модулей членов данного степенного ряда. Имеем:

Так как по условию , то . Ряд является рядом из членов геометрической прогрессии со знаменателем , поэтому он сходится. По теореме сравнения сходится и ряд . Следовательно, удовлетворяющего неравенству ряд сходится и притом абсолютно. ▼

Интервал сходимости степенного ряда и его нахождение.

Рассмотрим степенной ряд . Отметим, что степенной ряд всегда сходится в точке x=x₀. При фиксированном x x₀ряд будет числовым и к ряду , составленному из модулей членов данного ряда, можно применить либо признак Даламбера, либо признак Коши.

1) Применим признак Даламбера к ряду

. получается из заменой n на n+1.

.

Мы предположим, что существует предел .По признаку Даламбера при ряд сходится, а при расходится.

Следовательно, при ряд сходится, а при ряд расходится.

В концевых точках интервала ряд может сходиться, а может и расходиться.

Интервал ) называется интервалом сходимости степенного ряда, R-радиус сходимости степенного ряда.

2) Применим признак Коши к ряду

Предположим, что существует предел . По признаку Коши при ряд сходится, а при расходится.

Отметим, что в каждой точке интервала сходимости ряд сходится, а вне интервала сходимости ряд расходится. В концевых точках интервала сходимости ряд может сходиться, а может и расходиться, в этом случае следует проводить дополнительные исследования.

Пример 1. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд , который является знакоположительным рядом и к нему можно применить признак Даламбера.

,

– интервал сходимости, R=2.

Исследуем сходимость данного ряда на концах интервала сходимости.

1) x=-1. Рассмотрим ряд из модулей , который является рядом Дирихле при s=2>1, он сходится. Следовательно ряд сходится абсолютно.

2) x=3. = – сходится.

Пример 2. Найти интервал сходимости ряда .

Решение. Рассмотрим ряд и применим признак Коши:

. Следовательно, данный ряд сходится в одной точке x=3, R=0.

Пример 3. Найти интервал сходимости ряда

Решение. Рассмотрим ряд и применим признак Даламбера.

, . =

. Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси, R= .

Теорема 1. Сумма степенного ряда есть функция непрерывная в интервале сходимости степенного ряда.

Теорема 2. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости и справедливо равенство:

При этом интервал сходимости продифференцированного ряда тот же, что и данного ряда.

Теорема 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости и справедливо равенство:

, .

Проинтегрированный степенной ряд имеет тот же интервал сходимости, что и данный ряд.

megapredmet.ru
Степенные ряды.
Степенные ряды — это частный случай функциональных рядов, в котором члены ряда представляют собой степени отклонения переменнойот некоторой фиксированной точки плоскости(центра сходимости ряда). Степенные ряды действительной переменной сходятся в интервале, где — радиус сходимости ряда. Точно так же степенной ряд комплексной переменной сходится на множестве, только в комплексных числах это множество представляет собой круг без границы. Сходимость ряда на границе исследуется отдельно.
Теорема Абеля.Если степенной рядсходится в точке, то он абсолютно сходится в круге. Если степенной рядрасходится в точке, то он расходится во внешности круга.
Доказательство(аналогично случаю действительной переменной).
Пусть ряд сходится в точке и.
Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда.
Тогда .
Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Оценим общий член ряда из модулей.
.
Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ). Следовательно, исходный ряд в областисходится абсолютно.
Замечание.Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в областиследует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь, а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точекрассматриваемой области, то естьне должно зависеть от. Поэтому равномерную сходимость ряда в областиутверждать нельзя. Однако если взять(не зависит от), то в областистепенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса.
Пусть ряд расходится в точке и.
Если ряд сходится в точке , то по доказанному в пункте 1), он должен абсолютно сходиться в точке, следовательно, сходиться в точке. Это противоречит тому, что исходный ряд расходится в точке, следовательно исходный ряд расходится в области.
Определение радиуса сходимости и исследование сходимости ряда на границе круга сходимости.
Рассмотрим монотонноубывающуюпоследовательность, такую, что в точкестепенной рядрасходится. Если выбрать, то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть.
Такое число называетсярадиусом сходимости степенного ряда.Следовательно,степенной ряд абсолютно сходится в круге сходимости степенного ряда.
Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.
Доказательство. Пусть. Выберем, например. На окружностистепенной ряд сходится абсолютно, так как эта окружность лежит внутри круга сходимости. Тогда(не зависит от), тогда в областистепенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса (замечание в доказательстве теоремы Абеля).
Следствие. Внутри круга сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании (по любой кусочно-гладкой дуге, принадлежащей кругу сходимости) и дифференцировании ряда.
Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.
Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.
.
Продифференцируем почленно степенной ряд , перейдем к ряду из модулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.
.
Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.
Исследуем сходимость степенного ряда на границе круга сходимости.
Рассмотрим ряд из модулей на границе круга сходимости .
Если ряд из модулей на границе круга сходимости сходится, то исходный степенной ряд абсолютно сходится на всей границе.
В самом деле этот ряд является мажорантным для степенного ряда в любой точке границы.
Если , то исходный степенной ряд расходится на всей границе.
В этом случае , и не выполняется необходимый признак сходимости для исходного степенного ряда на всей границе круга сходимости. Поэтомуисходный степенной ряд расходится на всей границе.
Если ряд из модулей на границе круга сходимости расходится, но ,то исходный степенной ряд сходится в одних точках границе и расходится в других. В этом случае для того, чтобы исследовать сходимость в точке границы, надо подставить ее в качествев степенной ряд и исследовать сходимость полученного числового ряда.
Приведенные выше примеры 3, 4, 5 (после критерия Коши): ряд , ряд, рядиллюстрируют все три случая. Первый ряд расходится на всей границе, так как на ней не выполняется необходимый признак сходимости ряда. Второй ряд сходится на всей границе, третий ряд сходится в одних точках границы и расходится в других.
Теорема. Сумма степенного ряда является аналитической функцией в его круге сходимости (без доказательства).
Ряд Тейлора.
Рядом Тейлораназывается степенной ряд вида(предполагается, что функцияявляется бесконечно дифференцируемой).
Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при, то есть ряд.
Теорема. Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.
Доказательство.Пустьи степенной ряд сходится в круге. Подставим в разложение, получим.
Так как сумма степенного ряда – функция аналитическая, мы можем дифференцировать функцию, а так как степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости, мы можем его дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же круге, так как радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Поэтому сумма этого ряда будет фунцией аналитической в том же круге. Ее вновь можно дифференцировать, дифференцируя почленно степенной ряд и т.д. Отсюда следует, что если аналитическая функция является суммой степенного ряда (это будет показано позже), то она является бесконечно дифференцируемой функцией. Вычислим коэффициенты в степенных рядах, полученных почленным дифференцированием.=,
,,,
,,,
Продолжая этот процесс, получим . Это – коэффициенты ряда Тейлора.
Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
Так как эти формулы справедливы на всей действительной оси, то по теореме Абеля они справедливы и на всей комплексной плоскости (в круге с началом координат бесконечного радиуса).
, .
,.
( интегрируя предыдущую формулу)
,
studfiles.net

2. Найти области сходимости степенных рядов
Решение
Найдём интервал сходимости ряда ,
Тогда или , .
Ряд сходится абсолютно на интервале (-2;2)
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
При x=2 ряд примет вид , данный ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости рядаов
При х=-2 ряд примет вид . Как мы убедились выше этот ряд расходится.
Значит степенной ряд имеет интервал сходимости:
Решение
Найдём интервал сходимости ряда Тогда или , .
Ряд сходится абсолютно на интервале (-4;-2)
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
При x=-4 ряд примет вид , данный ряд является знакопеременным, исследуем его на абсолютную сходимость:
Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд сходится (Так как ряд Дирихле сходится при р>1), то ряд тоже сходится абсолютно.
При х=-2 ряд примет вид . Как мы убедились выше этот ряд сходится.
Значит степенной ряд имеет интервал сходимости:
3. Вычислить приближённое значение интеграла с точностью до 0,001 разлогая подынтегральную функцию в ряд Тейлора.
Решение
Приведём интеграл к виду
Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена
, при
Тогда
Имеем
Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью
4. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора дифференциальное уравнение. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения. ,
Решение
Будем искать частное решение уравнения в виде ряда:
(1)
Непосредственно из уравнения найдем: .
Дифференцируя последовательно обе части уравнения получим
И полагая X=0 в полученных равенствах, будем иметь:
Подставляя в ряд (1) найденные значения получим: .

< Предыдущая Следующая >
matica.org.ua

< Предыдущая		Следующая >

Степень окисления k2cro4 – Mathway | Популярные задачи

alexxlab / 09.05.202010.06.2019 / Школьная жизнь

Mathway | Популярные задачи

1	Найти число нейтронов	H
2	Найти массу одного моля	H_2O
3	Определить кислотность pH	0.76M(HCl)(solution)
4	Найти массу одного моля	H_2O
5	Баланс	H_2(SO_4)+K(OH)→K_2(SO_4)+H(OH)
6	Найти массу одного моля	H
7	Найти число нейтронов	Fe
8	Найти число нейтронов	Tc
9	Найти конфигурацию электронов	H
10	Найти число нейтронов	Ca
11	Баланс	CH_4+O_2→H_2O+CO_2
12	Найти число нейтронов	C
13	Найти число протонов	H
14	Найти число нейтронов	O
15	Найти массу одного моля	CO_2
16	Баланс	(a+b/c)(d-e)=f
17	Баланс	CH_4+O_2→H_2O+CO_2
18	Баланс	C_8H_18+O_2→CO_2+H_2O
19	Найти атомную массу	H
20	Определить, растворима ли смесь в воде	H_2O
21	Найти конфигурацию электронов	Na
22	Найти массу одного атома	H
23	Найти число нейтронов	Nb
24	Найти число нейтронов	Au
25	Найти число нейтронов	Mn
26	Найти число нейтронов	Ru
27	Найти конфигурацию электронов	O
28	Найти массовую долю	H_2O
29	Упростить	корень пятой степени 243
30	Определить, растворима ли смесь в воде	NaCl
31	Найти эмпирическую/простейшую формулу	H_2O
32	Найти степень окисления	H_2O
33	Найти конфигурацию электронов	K
34	Найти конфигурацию электронов	Mg
35	Найти конфигурацию электронов	Ca
36	Найти число нейтронов	Rh
37	Найти число нейтронов	Na
38	Найти число нейтронов	Pt
39	Найти число нейтронов	Be	Be
40	Найти число нейтронов	Cr
41	Найти массу одного моля	H_2SO_4
42	Найти массу одного моля	HCl
43	Найти массу одного моля	Fe
44	Найти массу одного моля	C
45	Найти число нейтронов	Cu
46	Найти число нейтронов	S
47	Найти степень окисления	H
48	Баланс	CH_4+O_2→CO_2+H_2O
49	Найти атомную массу	O
50	Найти атомное число	H
51	Найти число нейтронов	Mo
52	Найти число нейтронов	Os
53	Найти массу одного моля	NaOH
54	Найти массу одного моля	O
55	Найти конфигурацию электронов	H
56	Найти конфигурацию электронов	Fe
57	Найти конфигурацию электронов	C
58	Найти массовую долю	NaCl
59	Найти массу одного моля	K
60	Найти массу одного атома	Na
61	Найти число нейтронов	N
62	Найти число нейтронов	Li
63	Найти число нейтронов	V
64	Найти число протонов	N
65	Вычислить	2+2
66	Упростить	H^2O
67	Упростить	h*2o
68	Определить, растворима ли смесь в воде	H
69	Найти плотность при стандартной температуре и давлении	H_2O
70	Найти степень окисления	NaCl
71	Найти степень окисления	H_2O
72	Найти атомную массу	He	He
73	Найти атомную массу	Mg
74	Вычислить	(1.010^-15)/(4.210^-7)
75	Найти число электронов	H
76	Найти число электронов	O
77	Найти число электронов	S
78	Найти число нейтронов	Pd
79	Найти число нейтронов	Hg
80	Найти число нейтронов	B
81	Найти массу одного атома	Li
82	Найти массу одного моля	H_2O
83	Найти эмпирическую формулу	H=12% , C=54% , N=20	, ,
84	Найти число протонов	Be	Be
85	Найти массу одного моля	Na
86	Найти конфигурацию электронов	Co
87	Найти конфигурацию электронов	S
88	Баланс	C_2H_6+O_2→CO_2+H_2O
89	Баланс	H_2+O_2→H_2O
90	Баланс	C_2H_6+O_2→CO_2+H_2O
91	Найти конфигурацию электронов	P
92	Найти конфигурацию электронов	Pb
93	Найти конфигурацию электронов	Al
94	Найти конфигурацию электронов	Ar
95	Найти массу одного моля	O_2
96	Найти массу одного моля	H_2
97	Баланс	CH_4+O_2→CO_2+H_2O
98	Найти число нейтронов	K
99	Найти число нейтронов	P
100	Найти число нейтронов	Mg

www.mathway.com

K2Cr2O7, степень окисления хрома и др элементов

Общие сведения о дихромате калия и степени окисления в K2Cr2O7

Плавится (397,5^oC) без разложения и разлагается при дальнейшем нагревании. Брутто-формула – K₂Cr₂O₇. Молярная масса дихромата калия равна 294,18 г/моль.

Рис. 1. Дихромат калия. Внешний вид.
Хорошо растворяется в воде: анион частично переходит в ион HCrO₄^—, который подвергается кислотному протолизу. Устойчив в кислотной среде. Кристаллогидратов не образует. Сильный окислитель в растворе и при спекании.
K2Cr2O7, степени окисления элементов в нем
Чтобы определить степени окисления элементов, входящих в состав дихромата калия, сначала необходимо разобраться с тем, для каких элементов эта величина точно известна.
Степень окисления калия постоянна и равна номеру группы в Периодической таблице Д.И. Менделеева, в которой он находится, со знаком плюс, т.е. (+1). Степень окисления кислорода в составе неорганических кислот, а, следовательно, и в составе их кислотных остатков, всегда равна (-2). Для нахождения степени окисления хрома примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности:
2×(+1) + 2×х + 7×(-2) = 0;
2 + 2х — 14 = 0;
2х — 12 = 0;
2х =12;
x = +6.
Значит степень окисления хрома в дихромате калия равна (+6):
K⁺¹₂Cr⁺⁶₂O^-2₇.
Примеры решения задач
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com
Как определить степени окисления K и Mn в соединении KMnO4 ???
у К степень окисления всегда +1, потому что он отдаёт 1 электрон с внешней электронной оболочки у О степень окисления обычно -2, т. к. он дополняет внешнюю электронную оболочку.. . кроме тех соединений, где электроотрицательность второго элемента больше. . ну. . или в нестабильных соединениях, например Н2О2. Соединение нейтрально, поэтому степень окисления марганца равна 0 — 1 + 4*2 = +7
<a rel=»nofollow» href=»http://www.rae.ru/monographs/27-704″ target=»_blank»>http://www.rae.ru/monographs/27-704</a>
У K степень окисления +1, у O с. о. -2, значит у Mn степень окисления +7
степень окисления у кислорода минус 2,а у калия так как он стоит в первой групе плюс1….так как заряд молекулы-нейтральный, то есть равный 0….у марганца степень окисления +7…(т. к нужно чтобы +1+7+-2*4 =0..вроде так..
у Мn +7 все ответили правильно (КМnO4)
touch.otvet.mail.ru

Тесты по дошкольной педагогике с ответами для воспитателей – Все тесты по дошкольной педагогике

alexxlab / 09.05.202006.07.2019 / Школьная жизнь

Тест по теме: Тест для педагогов «Дошкольная педагогика»

Тест для педагогов

«Дошкольная педагогика» (с ключом ответов)

1. Источником дошкольной педагогики как науки – это …

а) религия;

б) экспериментальные исследования;

в) идеи сообщества жителей района, жилого комплекса;

г) взгляды разных семей на воспитание;

д) игры детей.

2. Дайте определение понятию «дошкольная педагогика».

а) наука о развитии ребенка дошкольного возраста;

б) наука об организации целостного педагогического процесса;

в) раздел педагогики, занимающийся вопросами воспитания ребенка в ДОУ;

г) раздел педагогики, занимающийся вопросами обучения детей;

д) раздел педагогики, занимающийся вопросами развития, воспитания и элементарных форм обучения дошкольников.

3. Сформулируйте основную цель дошкольной педагогики.

а) воспитать послушного ребенка;

воздействовать на дошкольников методом внушения;

в) научно обосновать технологию и методику образовательно – воспитательной работы с дошкольниками различных возрастных групп;

г) исследование конфликтов;

д) воспитать у детей желание учиться.

4. Какие категории дошкольной педагогики можно выделить как основные?

а) Методы педагогического исследования;

б) начальное образование;

в) воспитание, обучение, развитие, социализация;

г) предметная деятельность;

д) музыкальное образование.

5. Дайте определение понятию «образование».

а) процесс и результат обучения;

б) учение;

в) результат обучения;

г) результат воспитания;

д) цель воспитания.

6. Какие виды дошкольных учреждений были в России в XVIII – XIX вв.?

а) центры наставничества;

б) народные детские сады для детей бедноты;

в) экспериментальные школы;

г) гимназии для одаренных детей;

д) родильные дома.

7. Разработкой теоретических основ методики физического воспитания дошкольников в России занимались…

а) Р.С.Буре, Т.А. Маркова, В.И.Нечаева, Л.А.Пеньевская, Э.К. Суслова, А.В.Запорожец, С.А.Козлова;

б) В.Г.Алямовская, М.Ю. Кистяковская, В.Т. Кудрявцев, Н.Н.Кожухова, Э.Г. Степаненкова, С.Е. Шукшина;

в) Н.А.Ветлугина, Л.С. Выготский, О.М. Дьяченко, Т.Н.Доронова;

г) Л.А.Венгер, Л.С. Выготский, Л.Я. Гальперин, С.Л. Новоселова, Н.Н. Поддьяков;

д) Т.Г.Казакова, О.П. Радынова, Н.П. Сакулина, Е.А.Флерина;

д) Т.Г.Казакова, О.П.Радынова, Н.П. Сакулина, Е.А.Флерина.

8. Дайте определение понятию умственного воспитания дошкольников.

а) целенаправленный процесс приобщения детей к моральным ценностям человечества и конкретного общества;

б) педагогически организованный процесс передачи от поколения к поколению способов и знаний, необходимых для физического совершенствования;

в) процесс философского осмысления жизни;

г) развитие активной мыслительной деятельности дошкольников , включающие формирование интеллектуальных умений и навыков, воображения, восприятия, памяти, мышления, любознательности и умственных способностей;

д) организация жизни и деятельности детей, способствующая развитию их эстетических чувств, формированию представлений, знаний и оценок о прекрасном в жизни и искусстве.

9. Найдите верное утверждение.

а) единство воздействия на чувства, сознание и поведение ребенка – задача нравственного воспитания;

б) единство воздействия на чувства, сознание и поведение ребенка – метод нравственного воспитания;

в) единство воздействия на чувства, сознание и поведение ребенка – принцип нравственного воспитания;

г) единство воздействия на чувства, сознание и поведение ребенка – форма нравственного воспитания;

д) единство воздействия на чувства, сознание и поведение ребенка – результат нравственного воспитания.

10. Кто из современных педагогов, на Ваш взгляд, наиболее полно разработал теорию эстетического воспитания дошкольников?

а) О.С.Ушакова;

б) М.И.Мищенко;

в) Л.М. Кларина;

г) В.А. Сластенин;

д) Т.С.Комарова.

11. Кто из педагогов и психологов внес значительный вклад в теорию игры дошкольников?

а) М.И.Лисина;

б) Д.Б.Эльконин;

в) В.А.Сластенин;

г) Т.С.Комарова;

д) С.Н.Николаева.

12. выделите основные направления развития современников дошкольной педагогике.

а) разработка проблем содержания воспитания дошкольников в условиях ДОУ;

б) проблема рейтинговой оценки детских садов;

в) строительство саун и бассейнов при ДОУ;

г) открытие детских клубов при ДОУ;

д) разработка методики эффективной подготовки детей к школе.

13. Определите значение создания современной «Концепции дошкольного образования» (1989).

а) раскрыта сущность учебно – дисциплинарной модели образования;

б) определена личностно – ориентированная модель построения педагогической работы с детьми;

б) раскрыты направления работы с семьей дошкольников;

г) говориться о финансировании ДОУ;

д) раскрыты особенности «трудных детей».

14 Какие уровни управления дошкольным образованием существуют на современном этапе?

а) федеральный;

б) домашний;

в) семейный;

г) административный;

д) через социум.

15. Можно ли в современных условиях развития общества достичь цели воспитания – всестороннего и гармонического развития личности детей дошкольного возраста?

а) она является тем идеалом, к которому должно стремиться любое государство;

б) нельзя;

в) вполне можно;

г) зачем это для воспитания дошкольников;

д) для этого нет объективных условий.

16. Следует ли до сих пор руководствоваться Конвенцией о правах ребенка при организации целостного педагогического процесса в ДОУ?

а) она не связана с педагогическим процессом;

б) нет необходимости;

в) Конвенция обеспечивает правовую защиту детей во время организации педагогического процесса;

г) иногда;

д) она не направлена на содержание образования.

17. Уточните компоненты воспитательного процесса в ДОУ.

а) цель воспитания и развития детей;

б) двусторонний процесс;

в) результат воспитания;

г) работа с кадрами;

д) работа с родителями.

18.Выберите требование к плану работы воспитателя с группой детей.

а) план должен быть согласован с планами специалистов ДОУ.

б) отвечать пожеланиям родителей;

в) наличие волевого усилия;

г) переход на предметное обучение;

д) создание условий для дневного сна.

19. Выделите из предложенных факторы, направленные на охрану и укрепление здоровья детей в ДОУ.

а) дозированные движения;

б) двигательная активность;

в) наличие проблемных ситуаций;

г) сокращение времени сна за счет занятий;

д) экскурсии в музеи.

20. Какие принципы и требования должен отражать режим жизни детей в ДОУ?

а) учет возрастных возможностей детей;

б) предусматривать интересы детей;

в) развивать творчество детей;

г) наследственность;

д) социальное развитие.

21. Наиболее эффективный вид деятельности, способствующий развитию творческой активности детей – это деятельность…

а) трудовая;

б) правовая;

в) игровая)

г) клубная;

д) семейная.

22 Что является формой обучения детей в ДОУ?

а) консультации для родителей;

б) путешествие среди предметной среды;

в) режим;

г) занятие;

д) педсовет.

23. Что входит в структуру дидактической игры с детьми?

а) дидактическая задача;

б) сотрудничество детей;

в) присутствие на занятии родителей;

г) связь с социумом;

д) работа с бумагой.

24. На что следует обратить внимание воспитателям при организации процесса нравственного воспитания дошкольников в ДОУ?

а) на взаимоотношения детей в коллективе сверстников;

б) на отношение детей к наказаниям;

в) на капризы ребенка;

г) на заботу родителей о ребенке;

д) на планы работы педагога – психолога ДОУ.

25. На что направлена продуктивная деятельность дошкольников?

а) на формирование сознания;

б) на воспитание познавательной активности;

в) на развитие речи детей;

г) на моделирование предметов окружающего мира;

д) на связь с семьей.

26. Выберите из предложенных нетрадиционные формы сотрудничества ДОУ с семьей.

а) вечера вопросов и ответов;

б) выставки детских работ;

в) индивидуальные консультации;

г) наблюдения;

д) анкетирование.

27. Существует ли специфика работы ДОУ с разными типами семей и какая?

а) индивидуальная работа с семьями «риска»;

б) нет такой специфики;

в) существует и зависит от установок воспитания и уровня педагогической компетенции родителей;

г) работа с семьями родителей – инвалидов;

д) работа с многодетными семьями.

28. Какие показатели наиболее важны в оценке эффективности работы с родителями дошкольников?

а) появление у родителей интереса к содержанию индивидуальных занятий с детьми;

б) интерес к качеству пищи для детей;

в) интерес к планированию работы ДОУ;

г) согласование целей, задач и методов воспитания и обучения детей в семье и ДОУ;

д) изучение творческих работ детей.

29. О чем должен знать воспитатель для определения готовности дошкольников к школе?

а) о физическом, психическом и социальном развитии ребенка;

б) об условиях проживания в семье;

в) о той школе, куда собирается идти учиться ребенок;

г) о наследственности ребенка;

д) о трудовой деятельности родителей.

30. какой документ определяет цели, задачи и содержание преемственности дошкольного и начального образования.

а) закон «Об образовании»;

б) Конституция РФ;

в) Типовое положение о ДОУ;

г) Концепция дошкольного воспитания;

д)Концепция содержания непрерывного дошкольного и начального школьного образования.

№ задания в тесте	Правильный ответ	№ задания в тесте	Правильный ответ	№ задания в тесте	Правильный ответ
1.	Б	11.	Б	21.	В
2.	Д	12.	А	22.	Г
3.	В	13.	Б	23.	А
4.	В	14.	А	24.	А
5.	А	15.	А	25.	Г
6.	Б	16.	В	26.	А
7.	Б	17.	А	27.	В
8.	Г	18.	А	28.	Г
9.	В	19.	Б	29.	А
10.	Д	20.	А	30.	Д

nsportal.ru

Тест по теме « Дошкольная педагогика как наука»

1. Укажите наиболее точные понятия «дошкольная педагогика»:

1. Дошкольная педагогика – это наука об обучении детей дошкольного возраста.

2. Дошкольная педагогика – это наука о воспитании детей от рождения до поступления в школу.

3. Дошкольная педагогика – это наука об образовании и развитии детей дошкольного возраста.

4. Дошкольная педагогика – это искусство воспитания, обучения детей дошкольного возраста.

5. Правильного ответа нет.

6. Не знаю

2.Укажите наиболее точное определение понятия «обучения»:

1. Обучение – это целенаправленный, планомерный процесс передачи учащимся знаний, умений, навыков.

2. Обучение – это процесс взаимосвязанной, последовательно изменяющейся деятельности воспитателя и ребенка, направленный на формирование знаний, умений, навыков, всестороннее развитие ребенка.

3. Обучение – это процесс активного, целенаправленного взаимодействия между обучающим и обучающимися, в результате которого у обучающихся формируются знания, умения, навыки, опыт деятельности и поведения, личностные качества.

4. Обучение – это целенаправленный процесс взаимодействия воспитателя и ребенка, в ходе которого осуществляется образование, разностороннее развитие личности.

5. Правильного ответа нет.

3.Укажите наиболее точные значения понятия « педагогика»:

1. Педагогика – область практической деятельности

2. Педагогика – искусство воспитания

3. Педагогика – область научного знания, наука

4. Педагогика – наука и искусство

5. Правильного ответа нет.

4.В какое время педагогика стала оформляться как отрасль теоретического знания:

1. в 17 веке

2. в 18 веке

3. в 20 веке

4. в 1148 году

5. Правильного ответа нет.

5.С чьим именем связано становление научной педагогики:

1. Ж.Ж. Руссо

2. Я.А. Коменский

3. К.Д. Ушинский

4. И.Г. Песталоцци

5. Не знаю

6.Выделите источники педагогики как науки:

1. Литература

2. Искусство

3.. Религия

4. Народная педагогика

5. Педагогическая практика

7.Выделите отрасли современной педагогики:

1Философия

2. Дошкольная педагогика

3. Психология

4. История педагогики

5. Педагогика школы

8.Какая отрасль педагогики изучает теоретические основы воспитания детей с нарушениями в развитии:

1. Частные методики

2. Коррекционная педагогика

3. Возрастная педагогика

4. История педагогики

5.. Правильного ответа нет.

9.Связь педагогики с какими науками наиболее существенна:

1. Философия

2. Психология

3. Анатомия и физиология

4. Информатика

5. Математика

10.Укажите методы педагогического исследования:

1. Наблюдение

2. Изучение теоретических источников

3. Анкетирование

4. Лабораторный эксперимент

5. Не знаю

11.Укажите характеристики процесса воспитания:

1. Воспитание – вечная категория

2. Воспитание – общественное явление

3. Воспитание – историческое явление

4. Воспитание – постоянно меняющееся явление

5. Воспитание — функция педагога

12.К разряду основных педагогических понятий относятся:

1. Личность

2. Образование

3. Деятельность

4. Метод

5. Педагогический процесс

13. Укажите, что является предметом дошкольной педагогики как науки:

1. Ребенок

2. Закономерности развития ребенка

3. Закономерности воспитания ребенка

4. Взаимодействие педагога с ребенком

5. Задачи педагогики

14.В какой книге впервые была представлена система дошкольного воспитания:

1. «Великая дидактика» Я.А. Коменский

2. « Материнская школа» Я.А. Коменский

3. «Здравствуйте, дети» Ш.А. Амонашвили

4. «Рождение гражданина» В.А. Сухомлинский

5. « Поучение детям» В. Мономах

15. Свободный ответ. Обоснуйте, как вы понимаете слова великих педагогов:

1.Ш.А. Амонашвили: « Действительно гуманная педагогика — это та, которая в состоянии приобщить ребенка к процессу созидания самого себя»

2. К.Д. Ушинский: « В воспитании все должно основываться на личности воспитателя, потому что воспитательная сила изливается только из живого источника человеческой личности».

3. К..Д. Ушинский: « Чтобы воспитывать человека во всех отношениях, нужно знать его во всех отношениях».

4. В.А. Сухомлинский: « Истинное воспитание совершается только тогда, когда есть самовоспитание»

Тест по дошкольной педагогике « Трудовое воспитание детей дошкольного возраста»

1.Выберите наиболее полное определение трудового воспитания:

а) взаимодействие педагога и ребенка с целью формирования положительного отношения к труду и психических качеств, необходимых для трудовой деятельности

б) способ привлечения дошкольника к труду

в) целенаправленное воздействие на ребенка с целью формирования положительного отношения к труду

г) взаимодействие взрослого с ребенком по формированию способности к труду

2. Назовите исследователей проблем трудового воспитания дошкольников:

а) М.В. Крулехт

б) Д.В. Сергеева

в) С.Л.Новоселова

г) М.И. Лисина

3. Выберите виды труда дошкольников:

а) производительный труд

б) хозяйственно-бытовой

в) ручной

г) прикладной

4.Назовите автора концепции развития субъектности ребенка в трудовой деятельности:

а) Л.С. Выготский

б) М.В. Крулехт

в) Д.Б. Эльконин

г) А.В. Запорожец

5. Выберите способы организации коллективного труда дошкольников:

а) индивидуальный

б) труд рядом

в) совместный труд

г) общий труд

6. Выберите формы организации труда дошкольников:

а) самообслуживание

б) трудовое поручение

в) дежурство

г) совместный со взрослым труд

7.Определите компоненты труда как деятельности:

а) мотив

б) результат

в) прием

г) способ

8. Назовите принципы трудового воспитания детей дошкольного возраста:

а) принцип добровольности участия

б) принцип наглядности

в) принцип диалогового общения

г) принцип гуманизации

9. Определите специфические особенности дежурств:

а) всегда идут от взрослого

б) являются обязанностью

в) это труд для других

г) являются добровольными

10. Какие компоненты отражают способность детей к трудовой деятельности:

а) овладение системой знаний

б) желание трудиться

в) наличие обобщенных трудовых умений

г) наличие специальных трудовых умений

11.Назовите средства трудового воспитания дошкольников:

а) трудовое обучение

б) самостоятельная трудовая деятельность

в) ознакомление с трудом взрослых

г) пословицы и поговорки о труде

12.Отметьте специфические особенности хозяйственно-бытового труда:

а) имеет цикличность

б) сопровождает любую деятельность

в) используется только в младшем дошкольном возрасте

г) цель отдалена во времени

13.Какие формы организации трудового воспитания характерны для детей младшего дошкольного возраста:

а) совместный со взрослым труд

б) самообслуживание

в) самостоятельная трудовая деятельность

г) длительные поручения

14.Какие виды труда характеры для детей старшего дошкольного возраста:

а) коллективный труд

б) ручной труд

в) труд в природе

г) индивидуальный труд

15.В чем отличия трудовой деятельности от игры:

а) деятельность процессуальная

б) деятельность результативная

в) деятельность, осуществляемая в воображаемом плане

г) деятельность реалистическая

Ответы на тестовые задания:

«Воспитание- ведущая функция дошкольной педагогики»

1.в 2.б 3.б4.а в5.а б г6.б7.а в г8.а9.а б в10.а б г11.а б в 12.а б в13. б14.а б в15.а б в

« Ребенок и социум

1.а б в 2.б3.а б4.б5.а б в 6. а 7.а 8.б в9.а б в10.а б в11.а 12.а б13.б в14.а в г15.в

Воспитание здорового ребенка»

1.б 2. б в г 3. а б в 4.а в г 5.а б 6. а в г 7. а б в 8. в 9. б в г 10.а б в 11. а б г 12. а б в 13. а б г 14. а 15. а б в

Преемственность между дошкольным образовательным учреждением и школой

1.а2.аб 3.а в4.а в5.а б6.а б7.а в8.а б9. а б 10.а в11. а в12.б13.а14.б15.а б

«Игровая деятельность дошкольника

1.а б в г2.а в 3.а 4.а в д5.в 6 а7.а8.а б в9.в г д 10.г 11.а б в12.б г д13.б в г14.а15.а б в д16.а б17.а г д ж18.а б г д

Система дошкольного образования

1.а в2.а б г3.б4.а в г5.а б в6.а б г7.а8.а г9.а б г10.а11. а12. а в13.а 14.а б в г15.а

Обучение детей дошкольного возраста

1.б2.б в3. а б 4.а5. б6.а б7. б в 8.а9.в10.а б11. б 12.б 13.а14.б в15.а б в

Дошкольная педагогика как наука

1.2 32. 33.3 4.15.2 6.3 4 57.2 4 58. 9.1 2 310.1 2 311.1 2 312.2 4 513.3 14.215.

« Трудовое воспитание детей дошкольного возраста»

1.а 2. а,б 3. б,в 4. б 5. б, в,г 6. б в г 7. а,б,г 8. а,в,г 9.б,в 10. а,в,г 11. а,б,в 12. а, б 13. а 14. б,в 15. б,г

infopedia.su
Всероссийская педагогическая олимпиада «Дошкольная педагогика- 2018» тест с ответами
Всероссийская педагогическая олимпиада «Дошкольная педагогика»
Воспитатель: Карева Анна Александровна
Баллы 51,00/60,00
Оценка 8,50 из 10,00 (85%)
Объективные противоречия между потребностями воспитанника и возможностями их удовлетворения являются ___ воспитания
Выберите один ответ:
1. движущими силами
2. условиями
3. ценностями
4. закономерностями
А.С.Макаренко к ложным относил такие родительские авторитеты, как авторитеты…
Выберите один ответ:
1. подкупа, доброты, подавления
2. сотрудничества, взаимопомощи
3. доверия, взаимной ответственности
4. педантизма, чванства, родства
Что определило развитие педагогики как науки?
Выберите один ответ:
1. объективная потребность в подготовке человека к жизни и труду
2. забота родителей о счастье детей
3. повышение роли воспитания в общественной жизни
4. прогресс науки и техники
5. биологический закон сохранения рода
Процесс воспитания это:
Выберите один ответ:
1. Передача накопленного опыта от старших поколений к младшим
2. Целенаправленный и организованный процесс формирования личности
3. Направленное воздействие на человека со стороны общественных институтов с целью формирования у него определенных знаний, взглядов и убеждений, нравственных ценностей
Личностно-ориентированная модель взаимодействия воспитателя с детьми — это:
Выберите один ответ:
1. обеспечение игровой деятельности
2. систематическое воспитание и обучение дошкольника
3. фактор социализации детей дошкольного возраста
4. альтернатива учебно-дисциплинарной модели
Кто является родоначальником дошкольной педагогики:
Выберите один ответ:
1. М. Монтессори
2. Я.А. Коменский
3. Ф. Фребель
Укажите новые формы дошкольного образования:
Выберите один ответ:
1. Группы кратковременного пребывания детей в ДОУ
2. Детский сад
3. НШДС
На основании санитарно – эпидемиологических правил и норм Сан ПиН 2.4.1. 1249-03 продолжительность занятий для детей 5-го года жизни (средняя группа) не более:
Выберите один ответ:
1. 20 минут
2. 15 минут
3. 25 минут
О чем должен знать воспитатель для определения готовности дошкольников к школе?
Выберите один ответ:
1. о физическом, психическом и социальном развитии ребенка
2. об условиях проживания в семье
3. о наследственности ребенка
4. о той школе, куда собирается идти учиться ребенок
5. о трудовой деятельности родителей
Какие дети относятся к третьей группе здоровья?
Выберите один ответ:
1. дети, у которых нет хронических заболеваний, но имеются некоторые функциональные и морфофункциональные нарушения.
2. здоровые дети, с нормальным физическим и нервно-психическим развитием, не имеющие хронические патологии
3. дети, страдающие тяжелыми хроническими заболеваниями, с частыми обострениями или непрерывными рецидивами, с выраженной декомпенсацией функциональных возможностей организма, требующими постоянной терапии.
4. дети, страдающие хроническими заболеваниями в стадии обострения или/и с частыми обострениями, которые ограничивают жизнедеятельность ребенка или требуют поддерживающей терапии
5. дети, у которых есть хронические заболевания, с редкими обострениями (не ограничивают возможность обучения или труда ребенка)
Разрешено ли давать пострадавшему лекарственные средства при оказании ему первой помощи?
Выберите один ответ:
1. Разрешено
2. Разрешено в случае крайней необходимости
3. Запрещено
На что направлена продуктивная деятельность дошкольников?
Выберите один ответ:
1. на моделирование предметов окружающего мира
2. на формирование сознания
3. на связь с семьей
4. на воспитание познавательной активности
5. на развитие речи детей
Возрастная психология выделяет от года до трех лет следующий вид ведущей деятельности:
Выберите один ответ:
1. непосредственное эмоциональное общение ребенка и окружающих его взрослых
2. предметно-манипулятивная
3. игровая
Воспитание ребенка, основанное на определенном религиозном мировоззрении родителей или лиц, их заменяющих, государство:
Выберите один ответ:
1. запрещает
2. никогда не вмешивается
3. не вмешивается, если не угрожает жизни и здоровью ребенка
4. контролирует при проведении обрядов в учебных заведениях
К законным представителям ребенка относятся:
Выберите один ответ:
1. родители
2. все выше перечисленные
3. усыновители (удочерители), опекуны, попечители
4. патронатные воспитатели и другие заменяющие их лица, осуществляющие в соответствии с Конвенцией о правах ребенка, заботу, образование, воспитание, защиту прав и интересов ребенка
Семья, материнство, отцовство и детство в РФ находится под защитой:
Выберите один ответ:
1. государства
2. органов загса
3. полиции
4. суда
Ведущим фактором в развитии личности является:
Выберите один ответ:
1. наследственность и среда
2. наследственность
3. воспитание
Воспитание может быть рассмотрено как:
Выберите один ответ:
1. Все ответы верны
2. Общественное явление, воздействие общества на личность
3. Специально организованная деятельность педагогов и воспитанников для реализации целей образования в условиях педагогического процесса
4. Целенаправленное управление процессом развития личности
Гражданско-патриотическое воспитание ориентировано на:
Выберите один ответ:
1. Уважение к государственной власти
2. Гармоничное проявление культуры межнационального общения
3. Все ответы верны
4. Внутреннюю свободу личности
Деятельность педагогов, ориентированная на реализацию целей образования в условиях педагогического процесса:
Выберите один ответ:
1. Воспитательная работа
2. Воспитательная система
3. Воспитательное мероприятие
4. Система воспитательной работы
Духовно-нравственное воспитание личности — педагогически организованный процесс усвоения и принятия обучающимися
Выберите один ответ:
1. Общенациональных ценностей
2. Базовых национальных ценностей
3. Гуманистических ценностей
4. Общечеловеческих ценностей
Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России определяет роль педагога, прежде всего как:
Выберите один ответ:
1. Фасилитатора
2. Источника информации
3. Воспитателя
4. Медиатора
Методы воспитания — это:
Выберите один ответ:
1. Наборы приемов воспитания
2. Техника и логика построения процесса воспитания
3. Способы профессионального взаимодействия педагога и детей с целью решения воспитательных задач
4. Формы организации детской активности
Оценка результативности воспитательной работы определяется конкретными критериями.
Отметьте наиболее правильно отражающий критерий этой оценки:
Выберите один ответ:
1. хорошо организованный коллектив
2. систематическое и последовательное совершенствование личности ребенка
3. уровень воспитанности детей
Трудолюбие может быть сформировано у детей, если:
Выберите один ответ:
1. Работа, которую необходимо выполнить, приносит детям увлеченность и перспективу «завтрашней радости»
2. Работа, которую необходимо выполнить детям, прописана в программных документах образовательного учреждения
3. Работа, которую необходимо выполнить, задается взрослым, который сам не желает трудиться и не участвует вместе с детьми в процессе выполнения трудового задания
4. Работа, которую необходимо выполнить, предъявляется исключительно в форме требования взрослого
Авторами программы «Детский сад — дом радости» являются:
Выберите один ответ:
1. О.Л. Князева, Р.Б. Стеркина
2. Н.М. Крылова
3. С.Н. Николаева
В образовательном процессе родители (лица, их заменяющие) воспитанников выступают в роли:
Выберите один ответ:
1. контролеров образовательного процесса
2. помощников в организации образовательного процесса
3. участников образовательного процесса
Ведущий вид мышления детей старшего дошкольного возраста:
Выберите один ответ:
1. наглядно-образное
2. словесно-логическое
3. наглядно-действенное
К основным методам коррекции относятся:
Выберите один ответ:
1. общепедагогические
2. специальные
3. все выше перечисленные
Какие виды деятельности являются ведущими в дошкольном возрасте:
Выберите один ответ:
1. учебная деятельность
2. предметная деятельность
3. игровая деятельность
Какие образовательные области соответствуют федеральным государственным требованиям к структуре основной общеобразовательной программы дошкольного образования
Выберите один ответ:
1. социально-коммуникативное, познавательное, речевое, художественно-эстетическое развитие, физическое развитие
2. физическая культура; безопасность; социализация; коммуникация; познание; труд и др.
3. экологическое, патриотическое, трудовое воспитание и др.
Моделирование среды это:
Выберите один ответ:
1. наличие схем, моделей, макетов
2. внесение максимального количества игр, игрушек, оборудования, пособий
3. создание специальных условий, стимулирующих детей к определенному виду деятельности
Определите период раннего детства по ведущему виду деятельности:
Выберите один ответ:
1. предметно-манипулятивная деятельность
2. ролевая игра
3. непосредственное эмоциональное общение
Основной целью компетентностного подхода в дошкольном образовании является:
Выберите один ответ:
1. формирование навыков деятельности
2. целенаправленная передача взрослым определенной суммы знаний, умений и навыков
3. приобретение и проявление ребенком опыта самостоятельных действий
Основной целью современного дошкольного образования является:
Выберите один ответ:
1. формирование у детей знаний, умений и навыков
2. подготовка к школе
3. становление интегративных качеств
Планирование воспитательно-образовательного процесса строится исходя из:
Выберите один ответ:
1. исключительно из интересов воспитанников
2. требований программы и содержания методических рекомендаций
3. интересов детей и задач их развития
Предметно-развивающая среда это:
Выберите один ответ:
1. оборудование помещений и материалы для организованных занятий с детьми
2. здание детского сада и все его помещения, а также сооружения, окружающие детский сад
3. организованное жизненное пространство, способное обеспечить развитие и саморазвитие ребенка
Преемственность в работе детского сада и школы подразумевает:
Выберите один ответ:
1. ориентацию на требования школы
2. обеспечение непрерывности в развитии способностей и возможностей ребенка
3. воспитание положительного отношения к школе
Принципы воспитания и обучения детей дошкольного возраста:
Выберите один ответ:
1. развивающего образования, интеграции образовательных областей и др
2. соответствия запросам родителей
3. ориентации на возраст
Согласно Закону РФ «Об образовании» право на дошкольное образование государство обеспечивает путем создания системы дошкольного образования, которая представляет собой совокупность:
Выберите один ответ:
1. сети дошкольных учреждений;
2. федерального государственного стандарта и сети дошкольных учреждений.
3. образовательных программ; сети дошкольных учреждений, реализующих программы дошкольного образования; органов управления образованием;
Укажите основные факторы развития детей дошкольного возраста:
Выберите один ответ:
1. все выше перечисленное
2. воспитание и обучение, активность ребенка
3. среда и наследственность
Исходная концептуальная схема, ведущая идея, модель постановки и решения проблем, господствующая в течении определенного периода- это:
Выберите один ответ:
1. парадигма
2. доктрина
3. концепция
4. закон
Целостная модель образовательного процесса, системно определяющая структуру и содержание деятельности обеих сторон этого процесса (учителя и ученика), имеющая целью достижения планируемых результатов с поправкой на индивидуальные особенности его участников – это:
Выберите один ответ:
1. технология
2. образовательная технология
3. проект
4. план
Теория и практика познания, регулирования и реализации образовательно- воспитательными средами процесса социализации или ресоциализации человека, результатом которого являются приобретение индивидом ориентации и эталоном поведения (убеждений, ценностей, соответствующих чувств и действий) это:
Выберите один ответ:
1. Коррекционная педагогика
2. Педагогика
3. Этнопедагогика
4. Социальная педагогика
Как называется документ, включающий перечень профессиональных и личностных требований к педагогу, действующий на всей территории Российской Федерации?
Выберите один ответ:
1. Закон об образовании
2. Профессиональный стандарт
3. Конституция РФ
Содержание трудовой функции отражает:
Выберите один ответ:
1. необходимые знания + необходимые умения + другие характеристики
2. необходимые знания + необходимые умения + необходимые навыки
3. необходимые знания + необходимые умения
Трудовые действия в Профессиональном стандарте педагога это:
Выберите один ответ:
1. хаотичный набор трудовых движений, выполняемых без перерыва рабочими органами человека
2. совокупность обязательных требований к дошкольному образованию
3. завершенная совокупность трудовых движений, выполняемых без перерыва рабочими органами человека
В Министерстве труда и социальной защиты Профессиональный стандарт педагога был утвержден:
Выберите один ответ:
1. 17.12.2013 г.
2. 18.10.2013 г.
3. 14.11.2013 г.
Каковы требования к профессиональному стандарту педагога?
Выберите один ответ:
1. Соответствовать нормам СанПиН
2. Соответствовать структуре профессиональной деятельности педагога; побуждать педагога к поиску нестандартных решений; соответствовать международным нормам и регламентам
3. Выполнять требования ФГОС
Установите соответствие
Человек как целостный, неповторимый представитель рода с его психо- физиологическими свойствами (индивид)
Своеобразие психологии и личности индивида, ее неповторимость. Проявляется в чертах темперамента, характера, в эмоциональной, интеллектуальной сферах, потребностях и способностях человека (индивидуальность)
Живое существо, обладающее даром мышления, речи, способностью создавать орудия труда и пользоваться ими, единство физического, природного, наследственного и приобретенного (личность)
Установите соответствие между принципами обучения и основными правилами
Следите за тем, чтобы наблюдения детей были систематизированы и поставлены в отношение причин и следствия независимо от порядка, в котором они наблюдались (наглядности)
От легкого к трудному: от известного к неизвестному; от простого к сложному (доступности)
В методах преподавания отражайте методы научного познания, развивайте мышление обучаемых, подводите их к поисковому, творческому, познавательному труду (научности)
В основе темперамента лежит
Выберите один ответ:
1. тип нервной системы
2. наклонности
3. способности
4. характер
Какое понятие раскрывается в словах Л. С. Выготского: «особое сочетание внутренних процессов развития и внешних условий, которые являются типичными для каждого возрастного этапа…»
Выберите один ответ:
1. ведущая деятельность
2. сензитивный период
3. социальная ситуация развития
4. возраст
Эмоция – отражение реальной действительности в форме
Выберите один ответ:
1. потребностей
2. инстинктов
3. переживаний
Реакция индивида, направленная на изменение своего внутреннего состояния, — это
Выберите один ответ:
1. аффект
2. стресс
3. катаболизм
4. анаболизм
Поведение ребенка, идущее вразрез с тем, что предлагает взрослый – это:
Выберите один ответ:
1. инертность
2. обесценивание личности взрослого
3. негативизм
4. строптивость
Какому возрасту ребенка соответствует следующая особенность самосознания: Слушает мнение других людей. Оценивает себя на основе оценок старших «Я хороший – так сказала мама»:
Выберите один ответ:
1. 4 года
2. 5-6 лет
3. 7 лет
4. 3 года
Характерной особенностью психических процессов детей младшего дошкольного возраста является:
Выберите один ответ:
1. непроизвольность
2. произвольность
3. инертность
4. послепроизвольность
Согласно культурно-исторической концепции главным средством овладения ребенком своим поведение является:
Выберите один ответ:
1. воля
2. речь
3. мышление
4. мотив
Определите тип темперамента по описанию: ребенок медлительный, уравновешенный и спокойный, которого нелегко эмоционально задеть и сложно вывести из себя:
Выберите один ответ:
1. флегматик
2. меланхолик
3. холерик
4. сангвиник
infourok.ru
Тест по дошкольной педагогике
Тесты по дошкольной педагогике
_________________________________________
Ф.И.О.
Кто является объектом исследования дошкольной педагогики?
а) ребенок;
б) педагог – воспитатель;
в) родитель;
г) подросток
На что ориентирован учебно-воспитательный процесс в ДО и в соответствии с чем выдвигаются задачи, выбираются средства, методы и формы педагогического воздействия?
а) ориентирован на применение инновационных технологий;
б) ориентирован на учет способностей детей;
в) ориентирован на учет возрастных возможностей и способностей детей;
г) ориентирован на соответствие возрастных особенностей детей.
Какие желания появляются у ребенка к концу третьего года жизни?
а) растет желание действовать самостоятельно, выполняя роль взрослого;
б) растет желание участвовать в общественной жизни;
в) повышается умственная работоспособность;
г) развивается общее представление о форме, пространстве.
К какому значению относится данное определение: «система методов, способов, приемов обучения, воспитательных средств, направленных на достижение позитивного результата за счет динамичных изменений в личностном развитии ребенка в современных социокультурных условиях»?
а) педагогический процесс;
б) инновационные технологии;
в) педагогические открытия;
г) компетентность педагога.
Реализация какой педагогической технологии проходит посредством применения группы приемов и методов на занятиях по следующим направлениям:
— дидактическая цель ставится перед детьми в форме игровой задачи;
— учебная деятельность подчинятся правилам игры
— учебный материал используется в качестве её средства;
— в учебную деятельность вводится элемент соревнования, который переводит дидактическую задачу в игровую;
— успешное выполнение дидактического задания связывается с игровым результатом?
а) технология проблемного обучения;
б) технология развивающего обучения;
в) игровые педагогические технологии;
г) альтернативные технологии.
Теория какой педагогической программы дошкольного воспитания соответствует казахстанским культурным традициям и обычаям, направлена на формирование всесторонне развитой личности с национальной психологией и самосознанием?
а) педагогика М. Монтенссори;
б) «Тәй – Тәй»;
в) программа «Балбобек»;
г) технология проблемного обучения.
В процессе социализации у ребенка проявляется объективная потребность человека быть «как все», параллельно с которой формируется другая потребность – проявить себя. Как называется данный процесс, кода ребенок начинает искать способы и средства для её выражения, проявлять их?
а) воспитание;
б) индивидуализация;
в) социализация;
г) общение со взрослыми.
Какое положение не входит в содержание педагогической теории М. Монтенссори?
а) воспитание должно быть свободно;
б) воспитание жесткой дисциплины первично, обучение — вторично;
в) воспитание должно быть индивидуально;
г) воспитание должно опираться на данные наблюдений за ребенком.
Известно, что образовательное пространство выступает как развивающая образовательная среда, в ходе взаимодействия входящих в него компонентов оно должно приобрести определенные свойства. Какие нижеприведенные компоненты не могут войти в понятие развивающая образовательная среда?
а) гибкость, обозначающую способность образовательных структур к быстрому перестраиванию в соответствии с изменяющимися потребностями личности, окружающей среды, общества;
б) закрытость, предусматривающую узкое участие всех субъектов образования в управлении;
в) непрерывность, выражающуюся через взаимодействие и преемственность в деятельности входящих в неё элементов;
г) вариативность, предполагающую изменение развивающей среды в соответствии с потребностями в образовательных услугах населения.
Какая функция педагогической деятельности направлена на определение состояния воспитуемых и педагогического процесса в целях определения правильной стратегии и тактики воспитательно-образовательной работы?
а) диагностическая функция;
б) коммуникативная функция;
в) материнская функция;
г) координирующая функция.
В основе какой казахстанской образовательной программы лежит идея духовно-нравственного воспитания?
а) педагогика М. Монтенссори;
б) «Тәй – Тәй»;
в) программа «Балбобек»;
г) технология проблемного обучения.
Что является целью создания развивающей среды в дошкольной организации образования?
а) обеспечение жизненно важных потребностей формирующейся личности: витальные, социальные, духовные;
б) совместное деятельное общение всех субъектов образовательного процесса;
в) интегрированность, обеспечивающую решение воспитательных задач;
г) закрытость, предусматривающую узкое участие всех субъектов образования в управлении.
На основе какого подхода в воспитании и обучении осуществляются инновационные процессы дошкольного образования?
а) коллективного подхода;
б) индивидуального подхода;
в) личностно-ориентированного подхода;
г) ценностно-ориентированный подход.
Какое понятие объединяет комплекс понятий, в состав которого входят личностная и интеллектуальная готовность, а также достаточный уровень развития зрительно-моторной координации?
а) готовность старшеклассников к самоопределению;
б) готовность ребенка к школе;
в) психологическая готовность к обучению;
г) педагогический процесс.
infourok.ru
Все тесты по дошкольной педагогике
ГОУ СПО ( ССУЗ) « Челябинский государственный педагогический колледж № 2»
Дошкольная педагогика
Тестовые задания для промежуточной аттестации студентов
Составлен: Проняевой С.В.,
преподавателем дошкольной педагогики
2008 г.
Введение
В современных условиях развития российского общества считается, что одной из важных тенденций реформирования образовательной системы стало введение в действие государственного образовательного стандарта.
Государственный образовательный стандарт призван решить широкий круг задач, таких как обеспечение высокого уровня профессионального образования и качества подготовки специалистов; обеспечение академической свободы образовательного учреждения в формировании гибкого и вариативного содержания образования и организации образовательного процесса; обеспечение единства содержания образования и соблюдения норм и требований к организации образовательного процесса на всем образовательном пространстве России; обеспечение контроля за результативностью системы ПО и качеством образования в ней.
Обучение не может быть полноценным без регулярной и объективной информации о степени усвоения студентами учебного материала, о практическом применении ими знаний. Необходимость контроля обучения и оценки знаний диктуется обязательным выполнением следующей цепочки: цель обучения — процесс обучения – результат — новая цель. Важнейшим компонентом технологии обучения является тест как инструмент измерения уровня знаний, без которого нельзя выявить исполнения стандарта, но и оптимально управлять учебным процессом, без чего нельзя добиться качественного усвоения стандарта.
Курс дошкольной педагогики является одним из ведущих в профессиональном образовании педагогов, его изучение занимает достаточно большой объем времени, что требует разнообразных видов и форм контроля. Тестовый контроль не является единственной формой контроля, в представленном варианте претендует на оценку знаний по содержательным линиям образовательной программы и не затрагивает практических умений студентов.
Данные материалы можно сертифицировать по следующим основаниям:
Название учебной дисциплины: дошкольная педагогика
Название образовательной программы: Дошкольная педагогика, 2005
Цели создания: промежуточная аттестация
Число заданий: 15
Число вариантов: З, 4
Время выполнения: 30 минут
Вид и форма тестов: закрытые, с выбором ответов
Оценка: 100% — 80% — оценка «5»
81- 70% — оценка «4»
71- 60% — оценка «3»
«5» — студент знает программный материал, понимает и прочно усвоил его, на вопросы дает правильные, сознательные и уверенные ответы
«4» — студент знает программный материал, хорошо понимает его, допускает незначительные ошибки
«3» — студент обнаруживает знание основного программного материал
weburok.com
Тесты для воспитателя дошкольной организации
Тесты для воспитателя дошкольной организации
(Базовые компетенции)
1 вариант.
1. Назовите основные нормативно-правовые документы, регламентирующие организацию образовательного процесса с детьми дошкольного возраста, применяемые в Республике Казахстан:
Закон РК «О труде», государственный общеобязательный стандарт образования РК по дошкольному воспитанию и обучению, Закон РК «Об образовании»;
государственный общеобязательный стандарт образования РК по дошкольному воспитанию и обучению, программа «Балбобек», Типовые правила деятельности дошкольных организаций образования, Санитарные правила и нормы «Санитарно-эпидемиологические требования к устройству и содержанию дошкольных организаций»
Типовые правила деятельности дошкольных организаций образования, Закон РК «О правах ребенка в Республике Казахстан», программа «Балбобек», Инструкция по охране и укреплению здоровья детей.
2. Какой вопрос раскрывает значение порядкового счета:
сколько?
какой?
который?
3. Какое выражение характеризует относительность значения каждого числа?
6 меньше 7;
6 меньше 7, но больше 5;
6 больше 5.
4. Какие наречия обозначают пространственные отношения – направление движения.
внутри;
внутрь;
внизу.
5. К какому виду рисования можно отнести занятия на тему: «Ветка мимозы в вазе»:
предметное
декоративное
сюжетное
6. К какому типу занятий по рисованию можно отнести занятие «Осень наступает»
по замыслу
по теме
сюжетное
7. Назовите элементы узора, характерные для хохломской росписи:
ягоды, листья, завитки, стебли травы
круги, точки, волнистые линии.
трилистник, рога барана, крылья птицы.
8. Назовите методы опосредованного педагогического воздействия, применяемые в дошкольных организациях:
изучение интересов и способностей детей, поощрение, обогащение содержания предметно — пространственной среды
обучение с помощью слова, образца способа действия, наблюдения
показ реальных предметов, картинок.
9.Что включает в себя понятие «двигательный режим»
качество выполнения физ. упражнений
длительность, содержание и методика разных форм физической культуры
двигательная деятельность детей в естественных природных условиях.
10. Для обеспечения хорошей моторной плотности физкультурного занятия необходимо:
увеличить количество физических упражнений, используемых на занятии.
использовать разные формы организации детей
увеличить дозировку выполняемых физических упражнений
11. Назовите продуктивные виды детской деятельности:
конструирование, лепка, рисование, аппликация
творческие рассказы, сказки
составление рассказов по картинке
12. Виды деятельности, характерные для детей дошкольного возраста
труд
обучение, предметная деятельность, игра
обучение, игра
13. Кто автор картины «Грачи прилетели»?
Ю. Васнецов
А. Саврасов
И. Левитан
14. К какому виду живописи относится картина В. Васнецова «Алёнушка»?
натюрморт
пейзаж
бытовая живопись
15. Назовите двигательные качества:
гибкость, пластичность
быстрота, ловкость, развитие силы
шустрость, выносливость
16. Назовите формы организации детского труда:
труд в природе, хозяйственный бытовой труд
самообслуживание, и совместная деятельность
Общий труд, совместная деятельность, дежурства, трудовые поручения
17.Назовите психические процессы:
внимание, память, воображение, мышление
характер, способности, темперамент
чувства, воля.
18.Назовите компоненты личностно-ориентированных технологий:
учет особенностей и интересов ребенка, опора на опыт ребенка, формирование положительной «Я-Концепции»
идея свободного выбора, учение без принуждения, идея опережения
индивидуальный подход, направленность на развитие моторных умений
19. Основной вид игры, используемый в технологии М. Монтессори:
подвижные, дидактические, сюжетные
дидактические
настольно-печатные, режиссерские
20. Выберите правильный вариант звукового анализа слова «лес»:
мягкий согласный, гласный, твердый согласный
согласный, гласный, согласный,
гласный, согласный, гласный.
21. Назовите амонимы:
бежать-мчаться
сладкий-кислый
скрипичный ключ — дверной ключ
22. В каких случаях глагол используется правильно:
положите ручку на стол
покладите ручку на стол
ложим ручку на стол
23. Определите правильно поставленное ударение:
свекла
свёкла
звонит
24. Назовите перечень основной документации воспитателя дошкольной группы:
план учебно-воспитательной работы, протокол родительских собраний, папка для консультаций, режим дня
протокол родительских собраний, план учебно-воспитательной работы, сведения о родителях, перспективный план работы, тетрадь по самообразованию, табель посещаемости детей;
перспективный план работы, тетрадь по самообразованию, папка для консультаций, режим дня.
25. Какой документ устанавливает максимальный объем учебной нагрузки воспитанников:
программа «Балбобек»;
Государственный общеобязательный стандарт образования РК;
Типовые правила деятельности дошкольных организаций образования
Тесты для воспитателя дошкольной организации
(Базовые компетенции)
Вариант
1. Назовите перечень основной документации воспитателя дошкольной группы:
протокол родительских собраний, план учебно-воспитательной работы, сведения о родителях, перспективный план работы, тетрадь по самообразованию, табель посещаемости детей;
перспективный план работы, тетрадь по самообразованию, папка для консультаций, режим дня.
план учебно-воспитательной работы, протокол родительских собраний, папка для консультаций, режим дня
2. Какой документ устанавливает максимальный объем учебной нагрузки воспитанников:
программа «Балбобек»;
Типовые правила деятельности дошкольных организаций образования
Государственный общеобязательный стандарт образования РК;
3. Назовите основные нормативно-правовые документы, регламентирующие организацию образовательного процесса с детьми дошкольного возраста, применяемые в Республике Казахстан:
Закон РК «О труде», государственный общеобязательный стандарт образования РК по дошкольному воспитанию и обучению, Закон РК «Об образовании» ;
государственный общеобязательный стандарт образования РК по дошкольному воспитанию и обучению, программа «Балбобек», Типовые правила деятельности дошкольных организаций образования, Санитарные правила и нормы «Санитарно-эпидемиологические требования к устройству и содержанию дошкольных организаций»
Типовые правила деятельности дошкольных организаций образования, Закон РК «О правах ребенка в Республике Казахстан», программа «Балбобек», Инструкция по охране и укреплению здоровья детей.
4. Назовите методы опосредованного педагогического воздействия, применяемые в дошкольных организациях:
изучение интересов и способностей детей, поощрение, обогащение содержания предметно — пространственной среды
обучение с помощью слова, образца способа действия, наблюдения
показ реальных предметов, картинок.
5. Педагогическая технология это:
характер педагогического воздействия в процессе взаимообщения с детьми;
индивидуальный стиль педагогической практики;
совокупность психолого-педагогических установок, определяющих специальный набор и компоновку форм, методов, способов, приемов обучения, воспитательных средств, она есть организационно-методический инструментарий педагогического процесса.
6. Основными характеристиками личностно-ориентированной технологии являются:
акцент на развитие сенсорных каналов, наличие сенсорной дидактической базы, преобладание практических форм работы, приобретение практических навыков через работу с сенсорными материалами преимущественное применение в работе с детьми с особыми нуждами;
интеграция внутри предмета, интеграция между предметами, интеграция учебного времени, изменения в системе планирования, изменения в формах обучения.
наличие педагогических условий, соответствующих интересам, потребностям, возможностям каждого ребенка, индивидуализация обучения, интеграция предметов, сочетание индивидуальных форм обучения с подгрупповыми формами, создание среды, ориентированной на ребенка, вовлечение родителей в образовательный процесс.
7. Какие признаки характеризуют число:
количество, порядок
большое, маленькое, огромное
одно больше другого.
8. Какой вопрос раскрывает значение количественного числа:
сколько?
какой?
который?
9. Какой ряд слов отражает сравнение предметов по протяженности?
большой, еще больше, самый большой;
самая длинная, короче, еще короче, еще короче, самая короткая;
большой, меньше, еще меньше, еще меньше, самый маленький.
10. Каким техническим приемам лепки обучаются дети в первой младшей группе:
отрывать, раскатывать, скатывать, расплющивать, соединять;
скатывать, раскатывать, отгибать, прищипывать;
раскатывать, оттягивать, скатывать, разрезать.
11. Назовите знания, умения и навыки, необходимые для изображения предмета:
передача формы предмета, его величины, строения, цвета и положения в пространстве;
передача простых движений фигуры, строения предмета, цветовые представления;
цветовые представления, положения в пространстве, симметрия.
12.Назовите мыслительные операции:
сравнение, анализ и синтез, абстракция и конкретизация, обобщение;
установление причинно-следственных связей, выделение в предмете отдельных частей, объединение предметов по сходным признакам;
понятия, суждения, умозаключения.
13. Назовите основные виды движений:
общеразвивающие упражнения, бег, равновесие, плавание;
ходьба, бег, прыжки, бросание, ловля и метание, ползание, лазание.
прыжки, равновесие, катание на коньках, ползание.
14. Каким спортивным упражнениям обучаются дети в детском саду?
настольный теннис, построения и перестроения, плавание.
катание на санках, скольжение, ходьба на лыжах, катание на коньках, катание на велосипеде, плавание;
бадминтон, хоккей, городки, баскетбол.
15.Назовите формы работы с детьми по физической культуре:
режим дня, подвижные игры, прогулка, танцевальные упражнения;
физкультурные занятия, утренняя гимнастика, подвижные игры, физические упражнения, физкультурная минутка, физкультурные праздники и развлечения, дни здоровья;
умывание, подвижные игры, физкультурные занятия, дни здоровья, закаливание.
16. Что включает в себя понятие «двигательный режим»?
качество выполнения физ. упражнений
длительность, содержание и методика разных форм физической культуры
двигательная деятельность детей в естественных природных условиях.
17. Назовите виды занятий, направленных на развитие словаря детей:
пересказ, экскурсия, дидактические игры, показ картины;
составление рассказов, рассматривание картин, заучивание стихов;
наблюдение, показ картины, кинофильмов и диафильмов, чтение художественных произведений, рассматривание игрушек и картинок, дидактическая игра, словесно-логические упражнения.
18. Кто автор картины «Утро в сосновом бору»:
В.Серов;
И.Шишкин;
В.Васнецов.
19. Какие сказки являются русскими народными:
«Крылатый, мохнатый да масляный», «Лисичка-сестричка и серый волк», «Хаврошечка», «Хвосты»;
«Сестрица Аленушка и братец Иванушка», «Три поросенка», «Лисичкин хлеб»;
«Волчишко», «Обыкновенные варежки», «Лиса, заяц и петух», «Красная Шапочка».
20. Назовите формы организации детского труда:
труд в природе, хозяйственный бытовой труд
самообслуживание, и совместная деятельность
Общий труд, совместная деятельность, дежурства, трудовые поручения.
21. Назовите антонимы:
веселый- радостный
сладкий-кислый
скрипичный ключ — дверной ключ
22. Что такое рефлексия ?
вероятный вариант будущего состояния, стремление реализовать свой творческий потенциал, выявление проблем;
разновидность педагогического видения, определение путей достижения результатов;
способность сосредотачиваться на самом себе, анализировать собственную деятельность, самонаблюдение, размышление.
23.Назовите волевые черты характера ребенка:
выдержка, решительность, настойчивость, смелость;
целеустремленность, скромность, добросовестность, коллективизм;
коллективизм, чуткость, общительность, трудолюбие.
24. Навык — это:
закрепленные способы применения знаний в практической деятельности;
действие, в котором отдельные элементы в результате упражнений становятся автоматизированными;
процесс приобретения сведений об окружающем мире.
25. Назовите основные компетенции выпускника дошкольной организации:
мотивационная, интеллектуальная, волевая, моторно-зрительная;
коммуникативная, социальная, ценностно-смысловая, познавательная;
сенсомоторная, эстетическая, информационная, здоровьесберегающая.
Анкета
для педагогов ДО и мини—центров
Ф.И.О. ____________________________________________________________________________
Город, /район/, д/с, школа ____________________________________________________________________________
Образование, стаж, разряд ____________________________________________________________________________
Должность ____________________________________________________________________________
Стаж, категория _____________________________________________________________
Что такое технология обучения?
Группа, ориентированная на ребенка, это …?
Детское портфолио – это …?
Интеграция обучения – это …?
Инновации – это …?
Что такое методика?
Что такое методика, отвечающая требованиям развития детей (МТРД)?
Что такое открытые материалы?
Что такое рефлексия?
Успехов Вам!
С уважением Тамара Михайловна!
infourok.ru
Материал на тему: тесты с ответами
Педагогика
Задания с выбором одного ответа
1. Сформулируйте основную цель дошкольной педагогики: научно обосновать технологию и методику образовательно-воспитательной работы с дошкольниками различных возрастных групп;
2. Дайте определение понятию «образование»: процесс и результат обучения и воспитания;
3. Разработкой теоретических основ методики физического воспитания дошкольников в России занимались: В.Г. Алямовская, М.Ю. Кистяковская, М.А. Рунова;
4. Дайте определение понятию умственного воспитания дошкольников: развитие активной мыслительной деятельности дошкольников, включающее формирование интеллектуальных умений и навыков, любознательности и умственных способностей
5. Выделите из предложенных факторы, направленные на охрану и укрепление здоровья детей в ДОО: двигательная активность;
6. На что следует обратить внимание воспитателям при организации процесса нравственного воспитания дошкольников в ДОО: на взаимоотношения детей в коллективе сверстников;
7. На что направлена продуктивная деятельность дошкольников: на моделирование предметов окружающего мира;
8. Какие показатели наиболее важны в оценке эффективности работы с родителями дошкольников: согласование целей, задач и методов воспитания и обучения детей в семье и ДОО.
9. Дайте определение понятию художественно-эстетического развития дошкольников: организация жизни и деятельности детей, способствующая развитию эстетических чувств ребенка, формированию представлений, знаний и оценок о прекрасном в жизни и искусстве.
10. Охрана жизни и укрепление здоровья ребенка – это: задача физического воспитания
11. Кто из современных педагогов раскрывает особенности конструктивной деятельности детей: А. Н. Давидчук;
12.Чем характеризуется профессиональная компетентность воспитателя: умением проектировать педагогическую деятельность
13. Кто из педагогов и психологов рассматривал игру с позиций психологической теории деятельности: А. В. Запорожец
14. Выделите понятие, характеризующее один из этапов педагогической деятельности воспитателя:   изучение воспитанников и определение задач воспитания;
15. Вычлените неэффективное условие преемственности работы ДОО и школы: необходимость согласования программ обучения и воспитания в смежных звеньях непрерывной системы образования;
16. Кто в отечественной педагогике разрабатывал проблему сенсомоторной готовности дошкольников к школе (в т. ч. леворуких детей):   М. М. Безруких.
17. Что НЕ является формой организации педагогического процесса? конкурс;
18. Какая игра отличается от остальных по форме организации? подвижная;
19. Что такое развивающая предметная среда детства? система условий, обеспечивающая полноту развития детской деятельности и его личности;
20. Какая наука изучает закономерности воспитания человека: педагогика
21. Какой метод применяется при изучении взаимоотношений, складывающихся между детьми: метод социометрии.
22. Эксперимент как метод научного исследования – это … исследование некоторого явления в управляемых условиях, отличающееся активным взаимодействием с изучаемым объектом, служащее для проверки гипотезы, установления причинных связей между феноменами;
23. Откровенному обсуждению разных сторон жизни ребенка способствует следующие формы работы с родителями: индивидуальные беседы
24. В режиме дня для детей 3-7 лет самостоятельная деятельность детей составляет: не менее 3-4 часов;
25. Перерывы между периодами непрерывной образовательной деятельности должны быть: не менее 10 минут;
26. Разработчиком метода параллельного педагогического действия, когда в воспитательном процессе взаимодействие «учитель-ученик» дополняется взаимодействием «коллектив-ученик», является: Макаренко А.С.
27. Какой педагогический принцип называют «золотым правилом дидактики»? наглядности.
28. Содержание развивающей предметной среды (по С.Л. Новоселовой) НЕ должно удовлетворять потребности: ускоренного развития ребенка.
29. Процесс обучения призван осуществить функции: образовательную;
Задания с множественным выбором ответа
30. Система взаимодействия ДОО с семьей представлена следующими направлениями: выявление уровня педагогической грамотности родителей;
поручения по изготовлению дидактических материалов и пособий;
ознакомление с условиями воспитания ребенка в семье;
31. Авторами книг о семейном воспитании являются: К.Д. Ушинский; А.С. Макаренко; В.А. Сухомлинский;
32. Ведущими показателями, по которым можно судить о том, что ребенок адаптировался к дошкольному учреждению, являются: хороший аппетит; хороший сон.
33. Основными условиями развития интереса, способностей ребенка к двигательной деятельности в условиях ДОО является: оптимальный двигательный режим;; выделение достаточной площади для движений; разнообразие физкультурно-игровой среды.
34. К методам обучения относятся: наглядные; словесные;; практические
35. Определите формы работы с дошкольниками по организации различных видов детской деятельности в соответствии с ФГОС ДОО: детское экспериментирование;
мастерские по изготовлению продуктов детского творчества;
беседы;
педагогические ситуации;
проектная деятельность.
36. Вариативные модели организации государственного дошкольного образования предполагают: дошкольные образовательные группы полного пребывания; дошкольные образовательные группы кратковременного пребывания; семейные детские сады.
Задание на установление последовательности
37. Установите последовательность структурных компонентов анализа проведенного мероприятия:
1 Соответствие содержания поставленным целям
2 Соответствие методов поставленным целям
3Анализ уровня активности детей на занятии
4. Культура общения воспитателя с детьми
5Анализ целей мероприятия
6. Общие выводы и предложения
Психология
Задания с выбором одного правильного ответа
38. Основным критерием периодизации психического развития детей, по Д.Б.Эльконину, является: ведущий вид деятельности;
39. Социально-личностное развитие ребенка-дошкольника предполагает: формирование положительного отношения к себе, к другим людям, к миру, коммуникативной и социальной компетентности;
40. Ведущим видом деятельности дошкольника является: игровая деятельность;
41. Наиболее эффективной формой взаимодействия педагога с ребенком является: ; субьект-субьектная;
42. Одним из важнейших свойств воображения, которое развивается в игре, является: способность переносить функции одного предмета на другой, не обладающий этими функциями;
43. Наиболее важный фактор, влияющий на социально-эмоциональное развитие ребенка, это — … семейные ценности, эмоциональная атмосфера в семье.
44. Сензитивный период развития — это … период в жизни ребенка, создающий наиболее благоприятное условие для формирования у него определенных психологических свойств и видов поведения;
45. Депривация — это … лишение ребенка каких-либо условий, необходимых для его нормального существования, удовлетворения его основных жизненных потребностей;
46. Профессионально-значимой характеристикой личности педагога НЕ является следующая: конформность;
47. Из нижеприведенных реплик воспитателя к «Я-замечанию» относится фраза: «Мне трудно говорить и объяснять, когда кто-то разговаривает в этот момент»;
48. Что в современных педагогических концепциях рассматривается как основной путь приобщения детей к социальному миру? единство социализации и индивидуализации.
49. Социализация – это… процесс усвоения и активного воспроизводства ребенком социального опыта, осуществляемый в общении и деятельности, и его результат;
50. Диагностика уровня усвоения детьми социальных норм – это изучение представлений детей… о правилах поведения в социуме;
51. Фрустрация – это … психическое состояние повышенного беспокойства, эмоционального напряжения;
52. Эмпатия – это … способность человека к сочувствию и сопереживанию другим людям, к пониманию их состояния, готовность оказать им посильную помощь.
53. Диагностика уровня сформированности эмпатии у дошкольников предполагает оценку уровня… умений сопереживать взрослым и сверстникам.
54. Какой прием помощи со стороны взрослого наиболее эффективен для ребенка в преодолении отчуждения сверстников? создание реальных жизненных ситуаций, обеспечивающих социальный успех в группе сверстников и их родителей.
55. Роль игры в ознакомлении дошкольников с социальным миром заключается в …
усвоении основных векторов человеческих взаимоотношений;
56. Какое проявление социального развития характерно для «кризиса 7 лет»? утрата непосредственности.
57. Понятие «зона ближайшего развития» было введено: Л.С.Выготским;
58. Как меняется общение ребенка на протяжении дошкольного возраста? по форме общения и типу взаимоотношений;
59. Причиной эмоционального неблагополучия ребенка в группе сверстников является …   отсутствие потребности в общении, неумение общаться и играть со сверстниками;
60. Что является показателем задержки социального развития старшего дошкольника? неумение общаться;
61. Уровни сформированности культуры поведения у детей дошкольного возраста предполагают формирование социальных потребностей и усвоение всех компонентов культурного общения со взрослыми и сверстниками;
62. При диагностике готовности ребенка к общению в школе внимание обращается на…   способность общаться в условиях школьных взаимоотношений.
63. Какому возрасту соответствует внеситуативно-познавательная форма общения с взрослыми, которую учитывают современные программы? от 3-4 лет до 5 лет;
64. Какова роль сюжетно-ролевой игры в социально-психологическом развитии дошкольника? игра формирует начальные формы организованности, межличностных отношений детей;
65. Что НЕ является формой психического насилия над ребенком: ; педагогический анализ недостатков в поведенческой сфере ребенка;
66. Что такое развитие личности? процесс качественных и количественных изменений;
67. «Я-сообщение» в качестве поощрения какой-либо деятельности предполагает следующее высказывание: «Умница! У тебя хорошо получилось»
Задания с множественным выбором ответа
68. Знание возрастных психологических особенностей социального развития детей помогают воспитателю: организовывать коллективную работу; диагностировать уровень социального развития; разрабатывать дидактические материалы.
69. К критериям психологической готовности детей к школе относятся: вербализм; владение способами познания; произвольное поведение; мотивационная готовность; звуковой и слоговой анализ слова; ориентировка в математических представлениях; самостиятельность; овладение диалогической и монологической речью.
70.Ведущими факторами психического развития ребенка являются: наследственность; активность самого ребенка; предметно-развивающая среда; общение со сверстниками и со взрослыми.
71.Наказание как метод воспитания, оказывает положительное влияние, если: не унижает достоинства ребенка; формирует способы сознательного самоконтроля.
72.Профессионально-важными личностными качествами педагога являются: психолого-педагогическая компетентность; креативность; ответственность.
73.Формирование гендерной принадлежности детей дошкольного возраста подразумевает: идентификацию социального пола; формирование половых различий в поведении;
74.Родительская компетентность предполагает: сотрудничество с детьми; удовлетворение основных потребностей ребенка; учет возрастных особенностей ребенка; взаимодействие родителей с социумом.
Задания на установление соответствия
75. Соотнесите вид деятельности детей с возрастом, в котором она является ведущей
1. Игровая деятельность 2. Предметная деятельность 3. Учебная деятельность 4. Непосредственно-эмоциональное общение
А. 0-1год Б. 1-3 лет В. 3-7 лет Г. 7-10 лет
1 2 3 4
76. Установите соответствие между возрастом и видом мышления, который преимущественно развивается в этом возрасте
1. Наглядно-логическое 2. Наглядно-действенное 3. Наглядно-образное
А. 1- 2; 3 года Б. 3; 4 – 10 лет В. 5,5 – 6; 7 лет
1 2 3
77. Соотнесите компоненты содержания понятий, раскрывающие стиль воспитания детей в семье, с терминами, определяющими стиль:
1. Авторитарный стиль воспитания (установление жестких требований и правил) 2. Либеральный стиль воспитания (предоставление ребенку избытка свободы) 3.Демократический стиль воспитания (установление разумных правил для
А. Несистематичность оценок действий ребенка Б. Справедливая оценка действий ребенка В. Сверхвысокий уровень контроля за действиями ребенка Г. Слабое или полное отсутствие контроля за действиями ребенка
ребенка)
Д. Разумный контроль за действиями ребенка, признание и поощрение его самостоятельности Е. Пристальное внимание взрослого к поступкам ребенка, восприятие положительного как должного
Нормативно-правовые основы дошкольного образования
78. Какие уровни управления дошкольным образованием существуют на современном этапе: федеральный;
79. Какой документ определяет цели, задачи и содержание преемственности дошкольного и начального образования: Концепция содержания непрерывного дошкольного и начального школьного образования.
80. Основная образовательная программа дошкольного образования проектируется: -как программа психолого-педагогической поддержки позитивной социализации и индивидуализации развития детей дошкольного возраста и определяет комплекс основных характеристик дошкольного образования;
81. Целевые ориентиры дошкольного образования определяются: -независимо от форм реализации Программы, а также от её характера, особенностей развития воспитанников и видов Организации, реализующей Программу;
82. Одним из принципов Национальной стратегии действий в интересах детей является: -участие в международных актах по защите прав детства;
83. Укажите новые государственные формы дошкольного образования: группы кратковременного пребывания детей в ДОО;
84. Личностно – ориентированная модель построения педагогической работы с детьми впервые определена в: Концепции дошкольного воспитания.
85. Современный этап дошкольного образования характеризуется: Вариативностью существующих программ и технологий.
86. К образовательной программе ДОО предъявляется определенное требование: множест. ответ соответствие Федеральному Закону «Об образовании в РФ»; соблюдение светского характера образования; построение на принципе личностно – ориентированного взаимодействия взрослого с детьми;
87. В соответствии с Концепцией модернизации российского образования на период до 2020 года исключительная роль в решении задач воспитания принадлежит: Семье.
88. Выберите ответы, в которых названы образовательные области согласно ФГОС ДО: множетсв. познавательное развитие; речевое развитие ; физическое развитие; художественно-эстетическое развитие; социально-коммуникативное развитие;
89.Выберите ответы, в которых названы виды деятельности согласно ФГОС ДО: коммуникативная; восприятие художественной литературы и фольклора; познавательно-исследовательская игровая двигательная конструирование изобразительная музыкальная.
90. ФГОС ДО преследует следующие цели: -обеспечение государством равенства возможностей для каждого ребёнка в получении качественного дошкольного образования; — -обеспечение государственных гарантий уровня и качества образования на основе единства обязательных требований к условиям реализации основных образовательных программ, их структуре и результатам их освоения; — -сохранение единства образовательного пространства Российской Федерации относительно уровня дошкольного образования.
91. Согласно ФГОС ДО содержание Программы должно отражать следующие аспекты социальной ситуации развития ребёнка дошкольного возраста: предметно-пространственная развивающая образовательная среда; характер взаимодействия со взрослыми; характер взаимодействия с другими детьми; система отношений ребёнка к миру, к другим людям, к себе самому.
92. К целевым ориентирам дошкольного образования относятся следующие социальные и психологические характеристики личности ребёнка на этапе завершения дошкольного образования: Овладение установкой положительного отношения к миру, другим людям, самому себе; Овладение развитым воображением; Развитие крупной и мелкой моторики; Способность к волевым усилиям; Проявляет любознательность, Достаточно хорошее владение устной речью; Овладение основными культурными способами деятельности;
93. Требования ФГОС являются ориентирами для педагогов и администрации Организаций при решении задач: формирования основной образовательной программы; взаимодействия с широкой общественности; анализа своей профессиональной деятельности; взаимодействия с семьями воспитанников.
94. Реализация Национальной стратегии действий в интересах детей на 2012 — 2017 годы предполагает: ликвидацию дефицита услуг, оказываемых дошкольными образовательными учреждениями; — -формирование в обществе ценностей семьи, ребенка, ответственного родительства; -сокращение числа детей, остающихся без попечения родителей.; модернизация дошкольного образования.
Методика дошкольного образования
95.Первоначальное обучение дошкольников новому формообразующему движению в рисовании следует начинать с: обследования объекта изображения;
96.Просмотр и анализ детских работ по изобразительной деятельности необходимо проводить: с позиции создания художественно-выразительного образа;
97.Главная цель организации музыкального сопровождения общего образования?
адекватная организация звучащего пространства процесса образования, в котором взаимодействуют дети и педагог
98.Какие формы организации познавательной деятельности также называют эвристическими?
поисковые
99.Как называются знаки, при помощи которых записываются числа? цифры
100.Сенсорное воспитание как основа математического образования дошкольников — это.. . — —целенаправленный педагогический процесс, направленный на формирование чувственного познания и совершенствование ощущений и восприятия;
  101.Развитие элементарных математических представлений нацелены на…   предъявление новых знаний, повторение и систематизацию пройденного материала, закрепление умений и навыков;
102.В младших группах использование словесного метода по математическому развитию сопровождается: загадочным, сказочным тоном, медленным темпом и многократными повторениями.
103.Развитие познавательного интереса детей к математике требует от педагогов… создания предметно-развивающей, игровой и бытовой среды;
104. Основанием для введения в мир числа старшего дошкольника является… выполнение действий с величинами, пользование условной мерки; .
105.Дидактические игры и упражнения на занятиях по развитию математических представлений способствуют… закреплению знаний, умений и навыков, развитию психических процессов;
106.Природа используется как средство: для всестороннего развития детей;
107.Направления экологического образования дошкольников в качестве временного стандарта сформулированы в книге: «Аттестация и аккредитация дошкольных образовательных учреждений»;
108.Какое из суждений не относится к понятию «экологическая культура»: рассматривается как врожденное свойство личности;
109.Экологический подход к содержанию животных и растений в уголке природы ДОО заключается: в создании условий, в полной мере соответствующих потребностям и приспособленности живых организмов к ним;
110.Педагогический смысл экологических праздников, досугов заключается в том, чтобы.. .; вызвать положительный эмоциональный отклик у детей;
111.К парциальным программам социально-экологической направленности относится: ; «Экономика и экология»;
112.Педагогическая модель «Эколог» разработана в рамках парциальной программы: «Наш дом – природа».
113.Правильно и умело проведенная диагностика экологической воспитанности детей… все ответы верны в совокупности.
114.Что является предметом изучения методики развития речи? -процесс овладения детьми родной речью и навыками речевого общения в условиях целенаправленного педагогического воздействия;
115.В основе методического принципа обеспечения активной речевой практики лежит положение о том, что развитие речи происходит только…   в процессе общения;
116.Словообразование – это компонент . .. грамматической стороны речи;
117.В чем заключается суть планирования работы по развитию речи?   в проектировании становления и развития речи детей прогнозировании динамики педагогического воздействия на речь и его результативности;
118.Определите показатели, характерные для детского восприятия в доизобразительном периоде: нецеленаправленность.
119.Целью обучения изобразительной деятельности детей является… содействие развитию творческой личности; .
120.Какой прием используется на I этапе работы с детьми по знакомству с изобразительным искусством? -рассказ-образец, раскрывающий эмоционально-личностное отношение педагога к картине;
121.Какие изобразительные движения осваивает ребенок в течение второго года жизни? разнообразные рисовальные движения орудийного характера;
122.Какие качества характеризуют детские работы в изобразительном периоде? глубина мысли;
123.Процесс формирования и изменения на протяжении жизни естественных морфофункциональных свойств организма ребенка и основанных на них психофизических качеств – это … физическое развитие;
124.Сознательная, активная деятельность ребенка, характеризующаяся точным и своевременным выполнением заданий, связанных с обязательными для всех играющих правилами– это … ; подвижная игра;
125.Установите соответствие игровых приемов возрастным параметрам:
1) Сюжетно-ролевая на стадии игрового действия и роли 2) Предметно-манипулятивная 3) Сюжетно-ролевая на стадии сюжетосложения и игры с правилами 4) Сюжетно-ролевая на стадии игрового действия
первая младшая вторая младшая средняя старшая и подготовительная
126.Установите соответствие между возрастом ребенка и формой вопроса к детям:
а) вопрос «какой?» – «почему?» б) вопрос «почему ты так думаешь?» в) вопрос «кто?, что?, что делает?» г) вопрос «как ты думаешь?»
младший возраст средний старший подготовительная гр.
127.Какую роль выполняют в образовательной деятельности педагог? педагога, который дает детям знания, умения, навыки.
128.Установите соответствие четырех периодов в познавательном развитии ребенка:
1) накопление информации о ближайшем окружении; 2) упорядочивание информации о ближайшем окружении; 3) накопление информации о большом мире;
4) упорядочивание информации о большом мире.
младший возраст средний старший подготовительная гр.
129.Что является компонентами познавательной сферы? познавательные (психические) процессы.
130.Установите соответствие особенностей развития познавательной деятельности согласно возрасту детей:
1) группировка, сравнение, обобщение; 2) накопление эталонов восприятия; 3) причинно-следственные связи; 4) аналитико-синтетическая деятельность.
младший возраст средний старший подготовительная гр.
131.Какие мотивы являются значимыми для детей старшего дошкольного возраста при вступлении в общение со сверстниками? самооценка и удовлетворение потребности в признании;
132.В каком возрасте дети способны воспринимать поступки героев литературных произведений, могут понять мотивы этих поступков при обсуждении с взрослым? 5,5 — 7 лет.
133.Какими фразами можно дополнить предложение: «Между деятельностью центральной нервной системы и работой опорно-двигательного аппарата человека существует…» теснейшая связь;
134.Здоровье – это : состояние полного физического, психического и социального благополучия.
nsportal.ru

Нахождение экстремума функции – ,

alexxlab / 08.05.202020.06.2019 / Школьная жизнь

Как найти экстремум 🚩 что такое экстремума 🚩 Математика

19 мая 2011

Автор КакПросто!

Экстремумы представляют собой максимальные и минимальные значения функции и относятся к ее важнейшим характеристикам. Экстремумы находятся в критических точках функций. Причем функция в экстремуме минимума и максимума меняет свое направление соответственно знаку. Согласно определению, первая производная от функции в точке экстремума равна нулю или отсутствует. Таким образом, поиск экстремумов функции складывается из двух задач: нахождения производной для заданной функции и определения корней ее уравнения.

Статьи по теме:
Инструкция
Запишите заданную функцию f(x). Определите ее первую производную f’(x). Полученное выражение производной приравняйте к нулю. Решите полученное уравнение. Корни уравнения будут являться критическими точками функции. Определите, какими критическими точками — минимума или максимума — являются полученные корни. Для этого найдите вторую производную f’’(x) от исходной функции. Подставьте в нее по очереди значения критических точек и высчитайте выражение. Если вторая производная от функции в критической точке больше нуля, то это будет точка минимума. Иначе – точка максимума.
Посчитайте значение исходной функции в полученных точках минимума и максимума. Для этого подставьте их значения в выражение функции и вычислите. Полученное число будет определять экстремум функции. Причем, если критическая точка была максимумом, экстремум функции также будет максимумом. Также в минимальной критической точке функция будет достигать свой минимальный экстремум.

Видео по теме

Совет полезен?
Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:
www.kakprosto.ru
Экстремумы функции
Обратимся к графику функции у = х³ – 3х². Рассмотрим окрестность точки х = 0, т.е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Логично, что существует такая окрестность точки х = 0, что наибольшее значение функция у = х³ – 3х² в этой окрестности принимает в точке х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.
Аналогично, точка х = 2 называется точкой минимума функции х³ – 3х², так как в этой точке значение функции не больше ее значения в иной точке окрестности точки х = 2, например, окрестности (1,5; 2,5).
Таким образом, точкой максимума функции f(х) называется точка х₀, если существует окрестность точки х₀ – такая, что выполняется неравенство f(х) ≤ f(х₀) для всех х из этой окрестности.
Например, точка х₀= 0 – это точка максимума функции f(х) = 1 – х², так как f(0) = 1 и верно неравенство f(х) ≤ 1 при всех значениях х.
Точкой минимума функции f(х) называется точка х₀, если существует такая окрестность точки х₀, что выполняется неравенство f(х) ≥ f(х₀) для всех х из этой окрестности.
Например, точка х₀ = 2 – это точка минимума функции f(х) = 3 + (х – 2)², так как f(2) = 3 и f(х) ≥ 3 при всех х.
Точками экстремума называются точки минимума и точки максимума.
Обратимся к функции f(х), которая определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в этой точке производную.
Если х₀ – точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f ‘(х₀) = 0. Это утверждение называют теоремой Ферма.
Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому ее угловой коэффициент
f ‘(х₀) равен нулю.
Например, функция f(х) = 1 – 3х² имеет в точке х₀ = 0 максимум, ее производная f ‘(х) = -2х, f ‘(0) = 0.
Функция f(х) = (х – 2)² + 3 имеет минимум в точке х₀ = 2, f ‘(х) = 2(х – 2), f ‘(2) = 0.
Отметим, что если f ‘(х₀) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х₀ – это обязательно точка экстремума функции f(х).
Например, если f(х) = х³, то f ‘(0) = 0. Однако точкой экстремума точка х = 0 не является, так как на всей числовой оси функция х³ возрастает.
Итак, точки экстремума дифференцируемой функции необходимо искать лишь среди корней уравнения
f ‘(х) = 0, но корень этого уравнения не всегда является точкой экстремума.
Стационарными точками называют точки, в которых производная функции равна нулю.
Таким образом, для того, чтобы точка х₀ была точкой экстремума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.
Рассмотрим достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т.е. условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума или максимума функции.
Если производная левее стационарной точки положительна, а правее – отрицательна, т.е. производная меняет знак «+» на знак «–» при переходе через эту точку, то эта стационарная точка – это точка максимума.
Действительно, в данном случае левее стационарной точки функция возрастает, а правее – убывает, т.е. данная точка – это точка максимума.
Если производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через стационарную точку, то эта стационарная точка является точкой минимума.
Если производная знак не меняет при переходе через стационарную точку, т.е. слева и справа от стационарной точки производная положительна или отрицательна, то эта точка не является точкой экстремума.
Рассмотрим одну из задач. Найти точки экстремума функции f(х) = х⁴ – 4х³.
Решение.
1) Найдем производную: f ‘(х) = 4х³ – 12х² = 4х² (х – 3).
2) Найдем стационарные точки: 4х²(х – 3) = 0, х₁ = 0, х₂ = 3.
3) Методом интервалов устанавливаем, что производная f ‘(х) = 4х²(х – 3) положительна при х > 3, отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3.
4) Так как при переходе через точку х₁ = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума.
5) Производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через точку х₂ = 3. Поэтому х₂ = 3 – точка минимума.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
Экстремумы функции.
Точка х₀называетсяточкой максимума(минимума) функцииf(х), если в некоторой окрестности точки х₀выполняется неравенствоf(х) ≤f(х₀) (f(х) ≥f(х₀)).
Значение функции в этой точке называется соответственно максимумомилиминимумомфункции. Максимум и минимум функции объединяются общим названиемэкстремумафункции.
Экстремум функции в этом смысле часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что это понятие связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х₀. На одном и том же промежутке функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, которые не обязательно совпадают сглобальным максимумомилиминимумом(т.е. наибольшим или наименьшим значением функции на всем промежутке).
Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.
Для дифференцируемых функций это условие вытекает из теоремы Ферма. Кроме того, оно предусматривает и случай, когда функция имеет экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.
Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими(илистационарнымидля дифференцируемой функции). Эти точки должны входить в область определения функции.
Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая (необходимость условия). Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума, т.е. сформулированное условие не является достаточным.
Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума функции, а если с минуса на плюс, — то точка минимума.
Доказательство этого условия вытекает из достаточного условия монотонности (при изменении знака производной происходит переход либо от возрастания функции к убыванию, либо от убывания к возрастанию).
Второе достаточное условие экстремума. Если первая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то это точка минимума функции; а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.
Доказательство этого условия также основано на достаточном условии монотонности. В самом деле, если вторая производная положительна, то первая производная является возрастающей функцией. Поскольку в рассматриваемой точке она равна нулю, следовательно, при переходе через нее она меняет знак с минуса на плюс, что возвращает нас к первому достаточному условию локального минимума. Аналогично если вторая производная отрицательна, то первая убывает и меняет знак с плюса на минус, что является достаточным условием локального максимума.
Исследование функции на экстремумв соответствии со сформулированными теоремами включает следующие этапы:
1. Найти первую производную функции f`(x).
2. Проверить выполнение необходимого условия экстремума, т.е. найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.
3. Проверить выполнение достаточного условия экстремума, т.е. либо исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки, либо найти вторую производную f«(x) и определить ее знак в каждой критической точке. Сделать вывод о наличии экстремумов функции.
4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Нахождение глобального максимума и минимума функциина некотором промежутке также имеет большое прикладное значение. Решение этой задачи на отрезке основано на теореме Вейерштрасса, в соответствии с которой непрерывная функция принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка. Поэтому решение включает следующие этапы:
1. Найти производную функции f`(x).
2. Найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.
3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
studfiles.net
Экстремумы функции
На этой странице вы сможете посмотреть несколько примеров для нахождения экстремумов функции, в каждом из них есть своя уникальность, поэтому рекомендую посмотреть все.
Здесь часто используется нахождение производной, что бы лучше понимать, как её надо находить, то сначала посмотрите мои таблицу производных.
Имеем функцию:

Найдём её производную:

Прировняем производную к нулю и найдём значение переменной.

Наносим x=0 на координатную прямую и смотрим, где производная будет отрицательной, а где положительной. То есть до нашей точки (для этого берём любое значение до ноля ну, например, -1 и подставляем его в формулу с производной, видим что выйдем -2, то есть знак минус) и после неё (всё точно также берём любое число по праву сторону от ноля, например, 1 результат будет 2 – значит знак плюс).

Видим, что при прохождении через точку x=0, производная меняет знак с плюса на минус, то значит, что это будет точка минимума.
Всё аналогично делаем и в следующем примере.

Наносим точку x=0 на координатную прямую, и вычисляем соответствующие значения.

Видим, что здесь знак производной не меняется, то есть данная точка не будет экстремумом.
Приступим к следующему примеру:

Как всегда найдём производную и прировняем её к нулю. Поскольку в нас дробь, то к нолю надо приравнивать, только числитель.

Ещё надо учитывать точки разрыва, при которых знаменатель будет равен нулю.

Наносим все эти данные на координатную прямую и находим знак производной на каждом из промежутков.

Видим, что при прохождении через точки -1 и 1 производная не меняет знака, эти точки не будут экстремумами, а при прохождении через 0 меняет с плюса на минус, поэтому точка x=0 будет максимумом.
Ну и рассмотрим ещё один небольшой пример:

Опять находим производную и приравниваем её к нолю:

Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2, тогда производная будет равна -0,24, для второго возьмём 0, тогда производная будет 2 и для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. И проставим соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через 1 – меняет знак и плюса на минус, соответственно это будет максимум.
Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Загрузка…
matemonline.com
Экстремумы функции (Лекция №9)
Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке.
Значение функции в точке x₁ будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x₁. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₁ максимум. В точке x₃ функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x₂, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₂ минимум. Аналогично для точки x₄.
Функция y=f(x) в точке x₀ имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x₀, т.е. если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x≠x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x₀).
Функция y=f(x) имеет минимум в точке x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x≠x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x₀.
Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.
Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x₁ имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x₁. В частности, f(x₁) < f(x₄) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума.
Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x₀ экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.
Доказательство. Пусть для определенности в точке x₀ функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x₀+ Δx)<f(x₀), т.е. Но тогда
Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→ 0 и учитывая, что производная f ‘(x₀) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f’(x₀) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f’(x₀) ≤ 0. Так как f ‘(x₀) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f ‘(x₀) = 0.
Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.
Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.
Примеры.
y=|x|.
Функция не имеет производной в точке x=0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y(0)=0, а при всех x≠ 0y > 0.

Функция не имеет производной при x=0, так как обращается в бесконечность приx=0. Но в этой точке функция имеет максимум.

Функция не имеет производной при x=0, так как при x→0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x)=0 и при x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.

Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

Однако, если в некоторой точке x₀ мы знаем, что f ‘(x₀)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x₀ функция имеет экстремум.

Например. .

Но точка x=0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox, а справа выше.

Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x₀). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x₀ функция имеет максимум. Если же при переходе через x₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

f ‘(x)>0 при x<x₀ и f ‘(x)<0 при x> x₀, то x₀ – точка максимума;

при x<x₀ и f ‘(x)>0 при x> x₀, то x₀ – точка минимума.

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x₀ производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x₀f ‘(x)>0 для x< x₀, f ‘(x)<0 для x> x₀. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) — f(x₀) = f ‘(c)(x- x₀), где c лежит между x и x₀.

Пусть x < x₀. Тогда c< x₀ и f ‘(c)>0. Поэтомуf ‘(c)(x- x₀)<0и, следовательно,
f(x) — f(x₀)<0,т.е. f(x)< f(x₀).

Пусть x > x₀. Тогда c> x₀ и f ‘(c)<0. Значитf ‘(c)(x- x₀)<0. Поэтому f(x) — f(x₀)<0,т.е.f(x) < f(x₀).

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x₀f(x) < f(x₀). А это значит, что в точке x₀ функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f ‘(x₁)=0 и для любых x, достаточно близких к x₁, выполняются неравенства

f ‘(x)<0 при x< x₁, f ‘(x)>0 при x> x₁.

Тогда слева от точки x₁ функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x₁ функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

Аналогично можно рассматривать точки x₂ и x₃.

Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

Найти область определения функции f(x).

Найти первую производную функции f ‘(x).

Определить критические точки, для этого:
найти действительные корни уравнения f ‘(x)=0;

найти все значения x при которых производная f ‘(x) не существует.

Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

Вычислить значение функции в точках экстремума.

Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.

. Область определения функции D(y)=R.
Найдем производную заданной функции

Определим критические точки . Производная не существует при х₂= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.

Критическая точка функции x =3. Точка x= –1 не входит в область определения функции.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.

Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.

Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; –0,5].
Найдем критические точки функции.

Вычислим значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка.

Итак,

Найти наибольшее и наименьшее значения функцииy=x-2·ln x на [1; e].

Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности прямого кругового конуса объема 3π?

По теореме Пифагора

.

Следовательно, .

.

Найдем критические точки функции S: S‘ = 0, т.е.

Покажем, что при найденном значении h функция S_бок достигает минимума.

.

Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота.

Нам нужно максимизировать объем цилиндра .

Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифагора из треугольника ABC следует, что . Отсюда .

, по смыслу задачи 0≤h≤2R.

.

Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наибольшее значение.

toehelp.ru
как найти критическую точку максимума и минимума
Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.
…
Вконтакте
Facebook
Twitter
Мой мир
Что такое экстремум?
В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.
Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:
Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.
Это интересно! Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения
Экстремумы производной функции
Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.
Производная функция
Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.
Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.
Это интересно! Как определить определенные интегралы от нуля, константы и с доказательством
Острый экстремум
Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.
Острый экстремум
Важно! Процесс нахождения точек острого экстремума функции называется дифференцированием и используется как в школьном курсе изучения алгебры и начала анализа, так и в ходе освоения высшей математики в университете.
Экстремальное значение функции
Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.
Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:
Нахождение точной области определения на графике.
Поиск производной функции и точки экстремума.
Решать стандартные неравенства на область нахождения аргумента.
Уметь доказывать, в каких функциях точка на графике определена и непрерывна.
Экстремальное значение функции
Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.
Необходимое условие экстремума функции
Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.
Точки минимума и максимума
Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.
Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.
Полное исследование значения Построение графика значения
1.      Определение точек возрастания и убывания значений.
2.      Нахождение точек разрыва, экстремума и пересечение с координатными осями.
3.      Процесс определения изменений положения на графике.
4.      Определение показателя и направления выпуклости и выгнутости с учетом наличия асимптот.
5.      Создание сводной таблицы исследования с точки зрения определения ее координат.
6.      Нахождение промежутков возрастания и убывания крайних и острых точек.
7.      Определение выпуклости и вогнутости кривой.
8.      Построение графика с учетом исследования позволяет найти минимум либо максимум.

Основным элементом при необходимости работы с экстремумами является точное построение его графика.
Школьные учителя не часто уделяют столь важному аспекту максимум внимания, что является грубейшим нарушением учебного процесса.
Построение графика происходит только по итогам исследования функциональных данных, определения острых экстремумов, а также точек на графике.
Острые экстремумы производной функции отображаются на графике точных значений, с использованием стандартной процедуры определения асимптот.
Точки максимума и минимума функции сопровождаются более сложными построениями графика. Это обусловлено более глубокой необходимостью прорабатывать проблему острого экстремума.
Необходимо также находить производную сложной и простой функции, так как это одно из самых главных понятий проблематики экстремума.

Экстремум функционала
Для того чтобы отыскать вышеозначенное значение, необходимо придерживаться следующих правил:
определить необходимое условие экстремального отношения;
учитывать достаточное условие крайних точек на графике;
осуществлять расчет острого экстремума.
Используются также такие понятия, как слабый минимум и сильный минимум. Это необходимо учитывать при определении экстремума и точного его расчета. При этом острый функционал – это поиск и создание всех необходимых условий для работы с графиком функции.
Это интересно! Легкие правила округления чисел после запятой
Экстремумы функции. 10 класс.

Исследование функции. Экстремумы функции — bezbotvy

Вывод
После прочтения и осознания данной статьи любой новичок в математике имеет возможность понять возможности острых экстремумов в том виде, в каком они используются в образовательном процессе. Вышеперечисленные моменты позволяют разобраться в крайних точках без помощи репетиторов.
uchim.guru
Нахождение экстремумов функции — Мегаобучалка

Литература: [3], гл. V, § 3
[5], Ч.1, гл. 6, § 6.3

Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (x₀) (f (x) > f (x₀)).
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках ─ экстремумами (максимумами и минимумами) функции.
Необходимый признак существования экстремума функции: если непрерывная функция имеет в точке x₀ экстремум, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.
Первый достаточный признак существования экстремума: если непрерывная функция y = f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ при переходе через эту точку (слева направо) производная меняет свой знак плюса на минус, то x₀ является точкой максимума, если знак меняется с минуса на плюс, то точка x₀ ─ точка минимума. Если знак производной не меняется, то x₀ не является точкой экстремума.
Пример 1. Найти точки экстремума функции
.
Решение. Область определения функции: .
Находим производную функции: .
Находим критические точки: не существует при , при . Критические точки и разбивают область определения функции на интервалы (-∞, 0), (0, 1), (1, +∞).
Определяем знаки производной на каждом из интервалов:

В критической точке производная меняет знак с «+» на «‑». Значит, функция имеет в точке максимум. В критической точке знак производной меняется с «‑» на «+». Следовательно, является точкой минимума функции.

Второй достаточный признак существования экстремума: если в точке x₀ первая производная функции y = f (x) равна нулю, т.е. , а вторая производная функции существует и отлична от нуля, т.е. , то точка x₀ является точкой экстремума. При в точке x₀ функция имеет максимум, а при ─ минимум. В случае, когда данный признак не дает ответа на вопрос о существовании экстремума.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию , пользуясь вторым достаточным признаком существования экстремума.
Решение. Область определения функции: .
Находим первую производную функции: .
при , откуда и .
не существует при .
Таким образом, данная функция имеет только одну критическую точку , поскольку точки и не входят в область определения функции .
Находим вторую производную функции: . Вычисляем ее значение в критической точке: . Значит, в точке функция имеет минимум: .

megaobuchalka.ru

« Предыдущая 1 … 118 119 120 121 122 … 343 Следующая »