Рубрика: Школьная жизнь

ТЕМА 1.1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

90% ЛЮДЕЙ НЕ МОГУТ РЕШИТЬ ЭТОТ ПРИМЕР. А ВЫ СМОЖЕТЕ? – БУДЬ В ТЕМЕ

Несмотря на кажущуюся простоту и то, что этот пример состоит из единиц, одного нуля и простейших арифметических действий, 90% людей не могут его правильно решить.

А Вы сможете?

Как успехи? Пора свериться с ответом.

Многие из Вас, наверняка получили ответ 12, но он неверный.

Правильный ответ: 30

Все дело в том, как именно Вы будете воспринимать эту картинку. Т.к. на ней после первой и второй строчки нет знака «равно», это означает, что пример продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до соответствующего знака =, где он и закончится.

Таким образом, пример можно переписать в одну строчку:

1 + 1 + 1 + 1 + 11 + 1 + 1 + 1 + 11 + 1 x 0 + 1 =

Теперь несложно посчитать, что в итоге получится 30.

Источник

Подписывайтесь на обновления нашей странички на Фэйсбук и Pinterest обязательно поделитесь с друзьями!

С любовью, «Будь в теме»!

budvtemi.com

Ответы@Mail.Ru: СКОлько будет 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1х0 ?

Ровно 15. Сначала умножаем, потом складываем оставшееся.

15. Последняя единичка умножается на ноль и становится нулем 🙂

будет 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 + 0, то есть 15

конечно 15 хахахаах

1+1+1+1+1 1+1+1+1+1 1+1*0+1= ?

15!Если было бы (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)х0, то тогда 0!

Будет ноль. Потому что при умножения любого числа на ноль, будет ноль.

Ноль, потому что 14 не имеет не чего, или же 13,1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1х0=13

touch.otvet.mail.ru

сколько будет 2х3+1х0 арифметические действия

Добрый вечер АНДРЕЙ ДАВНО НЕ БЫЛО СЕКСА? <a rel=»nofollow» href=»https://vk.cc/5GkF84″ target=»_blank»>ЖМИ СЮДА!</a>

Увы, нисколько мне за это не будет.

2*3+1*0=6 1)2*3=6; 2)1*0=0; 3)6+0=6.

я прям что-то расстроилась.. неужто забыла математику. у всех 6, а у меня 1

6 это же логично

touch.otvet.mail.ru

1 1 0 сколько будет — 1+1 х 0 Сколько будет ? — 22 ответа



1 1 умножить на 0 сколько будет

В разделе Школы на вопрос 1+1 х 0 Сколько будет ? заданный автором Василий мослиенко лучший ответ это 23,657 если быть точным
Источник: [email protected]

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: 1+1 х 0 Сколько будет ?

Ответ от Денис Огородников[гуру]
что за вопрос? будет 1

Ответ от философия[гуру]
1 умножаем на ноль = 0 +1 = 1 первое действие всегда умножение или деление, а потом сложение или вычитание)

Ответ от Острослов[новичек]
1

Ответ от Двутавровый[новичек]
Тебе сколько лет?? ? Достал тупые вопросы задавать!

Ответ от Крассава Муррс[гуру]
Если крестики выкинуть будет 110. Правильно?

Ответ от BALU[новичек]
что за бред вы все пишете? 1 конечно

Ответ от Гагик Петросян[новичек]
СПАСИБО

Ответ от Никита Соловьев[новичек]
0

Ответ от Mult Kanal[новичек]
0

Ответ от ЍДАНА ……..[новичек]
Будет 1 так как 1 действие ВСЕГДА УМНОЖЕНИЕ, или же ДЕЛЕНИЕ! В этом случае умножение. И так приступим:1)(Действие): 1*0=02)(Действие) сложение: 1+0=1Ответ: 1 P.S: Эта логика)) Хз

Ответ от Александр Курносов[новичек]
30

Ответ от Влад Кононов[новичек]
1

Ответ от Ника Вяхирева[новичек]
Первое действие умножение (деление): 1*0=0!Вторым же действием сложение (вычитание): 0+1=1!!Ответ: 1!Математику надо знать

Ответ от 1111 1111[новичек]
0

Ответ от Анастасия кожокарь[новичек]
конечно 1

Ответ от Коля Ковалёв[новичек]
как 1х0 вышло 0?

Ответ от †МED?EЖOHOK™† ???[новичек]
Будет 1

Ответ от Ваня печкин[новичек]
И так вот ответ смотрим правило например 1+1+1+1+1+1+1+1*0=7 то есть при умножение и сложение на ноль сначала умнажаем а потом складываем остальные части.

Ответ от 123 123[новичек]
1 будет

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

?.4 Независимость событий, примеры независимых и зависимых событий.

Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и вычисляется по формуле:

где A, B E, P(B) 0.

События A, B E называются независимыми, если .

В противном случае события А и В называются зависимыми.

Пример независимого события:

Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие A) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Пример зависимого события:

В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим A извлечение изношенного резца в первом случае, а — извлечение нового. Тогда . Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим B событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

Следовательно, вероятность события B зависит от того, произошло или нет событие A.

??.1 Неравенство Чебышева, закон больших чисел.

Неравенства Чебышёва

Все неравенства в этой теме принято относить к одному классу, называемому «неравенствами Чебышёва». Следующее неравенство часто называют неравенством Чебышёва, хотя в такой форме оно появилось впервые, видимо, в работах Маркова.

Теорема (неравенство Маркова). Если , то для любого

Доказательство: Нам потребуется следующее понятие:

Определение: Пусть A — некоторое событие. Назовём индикатором события A случайную величину I(A), равную единице, если событие A произошло, и нулю, если A не произошло.

По определению, величина I(A) имеет распределение Бернулли с параметром

, и её математическое ожидание равно вероятности успеха ). Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством . Поэтому

Тогда

Осталось разделить обе части неравенства на положительное x.

Следующее неравенство мы будем называть обобщённым неравенством Чебышёва.

Следствие (обобщённое неравенство Чебышёва). Пусть функция g не убывает и неотрицательна на R. Если , то для любого

Доказательство: Заметим, что , поскольку функция g не убывает. Оценим последнюю вероятность согласно неравенству Маркова, которое можно применять в силу неотрицательности g:

??.2 Эргодическая теорема для цепей Маркова.

??.3 Свойства характеристических функций.

Характеристическая функция случайной величины х – это есть мат.ожидание e^itx

f(t)=Ee^itx=E(cos tx)+iE(sin tx) – функция вещественных переменных, но с комплексными значениями. В частном случае – преобразование Лапласа.

Свойства характеристической функции:

Существует плотность распределения

f(t)=

f(t)=

когда есть плотность, то dF(x)=p(x)dx, когда дискретные: dF(x)=F(x⁺)-F(x)=P(X=x)

Для дискретных x: f(t)=ⁿ_j=1e^itx_j p(X=x_j)

1. f(0)=1

2. |f(t)|<1, т.к. |e^itx|<1

|EX|<E|x|

3. Пусть y=ax+b, где a,b – const, тогда f_y(t)=e^itbf_x(at), т.к. f_y(t)=Ee^it(ax+b)=Ee^i(ta)xe^itb=e^itbf_x(at)

4. Если случайные величины x,y – независимы, то f_x+y(t)=f_x(t)f_y(t), т.к. f_x+y(t)=E(e^it(x+y))= =E(e^itxe^ity)=Ee^itxEe^ity= f_x(t)f_y(t)

Вполняется для любого количества независимых случайных величин.

Существует x₁,…,x_n – независимых случайных величин

S_n= x₁+…+x_n, тогда f_Sn(t)=Пⁿ_i=1f_Xi(t)

5. a) Пусть E|x| — конечна и f(t) — это характеристическая функция, тогда f(t) дифференцируема и производная =

f `(t)|_t=0=iEx

b) Если E|x|² – конечна, то функция f(t) – дважды дифференцируема:

f `(t)|_t=0=iEx,

f «(t)|_t=0=-Ex²

c) Если E|x|ⁿ – конечна, функция f(t) – n раз дифференцируема:

f⁽ⁿ⁾(t)|_t=0=(i)ⁿExⁿ

В случае a существует разложение f(t)=1+iExt+0(t)

В случае b существует разложение f(t)=1+iExt-Ex²t²/2+0(t)

В случае c существует разложение f(t)=1+iExt-Ex²t²/2+…+(i)ⁿExⁿtⁿ/n!+0(t)

Доказательство:

1. f `(t)|_t=0=iEx

E – это интеграл, поэтому, когда мы берем производную по интегралу, по параметру – когда интеграл равномерно и абсолютно сходится, то дифференцирование под знаком интеграла.

Надо проверить:

Продифференцировать, будет ли такой интеграл равномерно сходится.

E|ixe^itx|=E|x| — пусть плоское распределение.

E|x|=, сходится равномерно, если интеграл по множеству, гдеx>A или x<-A стремится к 0, когда A.

Это выполняется, т.к. это свойство любого интеграла.

Следовательно f `(t)=E(ixe^itx)=iEx, если t=0

b,c) точно также доказывается, что можно дифференцировать под знаком интеграла.

f «(t)=E(-x²e^itx)=-Ex² при t=0

f⁽ⁿ⁾(t)=E((ix)ⁿe^itx)=(i)ⁿExⁿ при t=0

a,b,c) Вторая часть это разложение по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пиано.

6. Между функциями распределения и характеристическими функциями существует взаимнооднозначное соответствие: каждой характеристической функции соответствует 1 функция распределения и наоборот.

F(x)f(t)

7. Свойство непрерывности.

2 свойства равносильны

F_n(x)F(x) в каждой точке, сходимость слабая равносильна

f_n(t)f(t), сходимости характеристических функций в каждой точке.

8) Обозначим через tхарактеристическую функцию стандартного нормального закона.

Это значит,, тогда характеристическая функция

Доказательство:

Обозначим

= ==

С другой стороны ^`(t)=

Получим дифференциальное уравнение.

`(t)=-t(t) — оно имеет следующее решение.

=-t Проинтегрируем

ln (t)=-t²/2+C

(t)= C- какая-то постоянная

Пусть t=0 (t)=1 1 – это постоянная =>

(t)=C, т.е. (t)=, ч.т.д.

??.4 Коэффициент корреляции и его свойства.

Как мы знаем, если и — независимые случайные величины, то по свойству математического ожидания

Если же и не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря,

Условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин и принять безразмерную величину , определяемую соотношением.

и называемую коэффициентом корреляции.

Рассмотрим некоторые свойства коэффициента корреляции.

Если и — независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен нулю.

Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. если , то отсюда еще не следует, что и независимы.

Заметим без доказательства, что . При этом если , то между случайными величинами и имеет место функциональная, а именно линейная зависимость.

Замечание. Двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы величин и имеет вид

Можно показать, что постоянная R равна коэффициенту корреляции величин и , т.е. . Следует заметить, что в случае, когда система величин и распределена нормально и коэффициент корреляции , то величины и независимы.

studfiles.net

Тема 2

11

ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формулы Бейеса.

1. Теоремы сложения вероятностей.

Найдем вероятность суммы событий и(в предположении их совместности либо несовместности).

Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

.

Пример 1. Пусть вероятность того, что в магазине очередной будет продана пара мужской обуви -го размера, равна,-го -,-го или большего -. Найти вероятность того, что очередной будет продана пара мужской обуви не менее-го размера.

Решение . Искомое событие произойдет, если будет продана пара обуви-го размера (событие), или-го (событие) или не менее-го (событие), т. е. событиеесть сумма событий,,. События,инесовместны. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получим:

.

Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше -го размера.

Решение. События “очередной будет продана пара обуви меньше -го размера” и “будет продана пара обуви размера не меньше-го” — противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность искомого события равна

,

поскольку , как это было найдено в примере 1.

Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что хорошо видно на следующем примере. Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью . Какова вероятность того, что из трех посеянных семян взойдет какое-либо одно (безразлично какое)? Через,,обозначим события, состоящие в том, что взойдут соответственно первое, второе, третье семена. Если для отыскания искомой вероятности мы применим теорему 2.1 сложения вероятностей, то получим. Вероятность события оказалась больше единицы. Абсурдность ответа объясняется тем, что события,,являются совместными. Действительно, если произошло, например, событие(взошло первое семя), то это не исключает того, что произойдет и событие(взойдет второе семя).

Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

.

2. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

Различают зависимые и независимые события. Два события называется независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не связанные между собой, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления “герба” в первом испытании (событие ) не зависит от появления или непоявления “герба” во втором испытании (событие). В свою очередь, вероятность появления герба во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, событияи- независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой комбинации остальных. События называются зависимыми, если одно из них изменяет вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события , вычисленная в предположении осуществления другого события, называетсяусловной вероятностью события и обозначается через.

Условие независимости события от событиязаписывают в виде, а условие зависимости — в виде. Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Пример 4. В ящике находятся резцов — два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим через извлечение изношенного резца в первом случае, а через- извлечение нового. Тогда,. Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим. Обозначим черезсобытие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

, .

Следовательно, вероятность события зависит от того, произошло или нет событие.

3. Формулы умножения вероятностей.

Пусть события инезависимые, причем вероятности этих событий известны. Найдем вероятность совмещения событийи.

Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.:

.

Пример 5. Имеется три ящика, содержащих по деталей. В первом ящике -, во втором -, в третьем -стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимается по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие ) равна. Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие) равна. Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие) равна. Так как события,инезависимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна.

Пусть события изависимые, причем вероятностииизвестны. Найдем вероятности совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие, и событие.

Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

,

.

Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Пример 6. В урне находится белых,черных исиних шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие), при втором — черный (событие) и при третьем — синий (событие).

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании равна

.

Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность равна

.

Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором — черный, равна

.

Искомая вероятность равна

.

4. Формула полной вероятности.

Теорема 2.5. Если событие может наступить только при условии появления одного из событий, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность событияравна сумме произведений вероятностей каждого из событийна соответствующую условную вероятность события:

. (2.1)

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков неодинакова. Первый дает % программы, второй -%, а третий -%. Если в сборку попадает деталь, сделанная на первом станке, то вероятность получения годного узла равна. Для продукции второго и третьего станков соответствующие вероятности равныи. Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, годный.

Решение. Обозначим через событие, означающее годность собранного узла; через,исобытия, означающие, что детали сделаны соответственно на первом, втором, третьем станках. Тогда имеем:

; ;

; ;.

Искомая вероятность равна:

.

5. Формулы Бейеса.

Формулы Бейеса применяются при решении практических задач, когда событие , появляющееся совместно с каким-либо из событий,, … ,, которые образуют полную группу несовместимых событий, произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий,, … ,. Априорные (до опыта) вероятности,, … ,известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е. по существу нужно найти условные вероятности,, … ,. Для событияформула Бейеса выглядит так:

.

Раскрывая в этом равенстве по формуле полной вероятности (2.1), имеем:

.

Пример 8. Пользуясь данными примера 7, рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная на первом, втором и третьем станках соответственно, если узел сходящий с конвейера, годный.

Решение. Расчет условных вероятностей произведем по формуле Бейеса. Имеем:

для первого станка

;

для второго станка

;

для третьего станка

.

ЗАДАЧИ

1. Бросили монету и игральную кость. Определить, зависимы или независимы события: — выпал “герб”;- выпало четное число очков.

Ответ: независимы.

2. Брошены последовательно три монеты. Определить, зависимы или независимы события: — выпадение “герба” на первой монете;- выпадение хотя бы одной “решетки”.

Ответ: зависимы.

3. Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что выпало простое число очков, если известно, что число выпавших очков нечетно ?

Ответ: 2/3.

4. В ящике лежат красных,зеленых исиних шаров. Наудачу вынимается два шара. Какова вероятность, что извлечены шары разного цвета, если известно, что не извлечен синий шар ?

Ответ: 48/95.

5. В одном ящике белых икрасных шаров, в другом ящикебелых икрасных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет извлечен один белый шар, если из каждого ящика извлечено по одному шару.

Ответ: 7/9.

6. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна . Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены ?

Ответ: (0,95)³=0,857375.

7. В ящике красных исиних пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными ?

Ответ: 0,5.

8. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным , либо, либо тому и другому одновременно.

Ответ: 0,6.

9. Студент пришел на зачет, зная из вопросов только. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос ?

Ответ: 28/29.

10. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике белых ичерный шар, во втором -белый ичерных шара. Наудачу выбирают один ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность, что извлеченный шар окажется белым ?

Ответ: 13/30.

11. В цехе работают станков. Из нихмарки,маркиимарки. Вероятность того, что качество деталей окажется отличным, для этих станков соответственно равна:,и. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом ?

Ответ: 83%.

12. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он тащит билет первым или последним ?

Ответ: безразлично.

13. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит %, вторая — %, третья — % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно %, % и %.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный ?

б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной ?

Ответ: а) 0,0345; б) 125/345, 140/345, 80/345.

studfiles.net

8. Независимость событий, примеры независимых и зависимых событий.

Вероятность появления события Апри условии, что событиеВпроизошло, называетсяусловной вероятностьюсобытияАи вычисляется по формуле:

где A, B E, P(B) 0.

События A, B Eназываютсянезависимыми, если.

В противном случае события АиВназываютсязависимыми.

Пример независимого события:

Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие A) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

Решение.События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Пример зависимого события:

В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение.ОбозначимAизвлечение изношенного резца в первом случае, а— извлечение нового. Тогда. Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим Bсобытие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

Следовательно, вероятность события Bзависит от того, произошло или нет событиеA.

9. Формула полной вероятности, примеры.

Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n несовместных событий (гипотез) Н₁,H₂,…,H_n. Пусть также имеется некоторое событие А и известны

Р(H_i) — вероятность гипотезы, P(A/H_i) — условная вероятность события А при этой гипотезе.

Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Доказательство. Заметим, что

и событияпопарно несовместны. Поэтому

Во втором равенстве мы использовали -аддитивность вероятностной меры, а в третьем — теорему умножения вероятностей.

Пример. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 — во втором, а остальные — в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех — с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Решение: обозначим событие А = {выбрана деталь отличного качества},

H_i= {выбранная деталь изготовлена в i цехе}, i=1, 2, 3. Тогда

; ; .

По условию задачи

По формуле полной вероятности находим искомую вероятность:

10. Формула Байеса, примеры.

Формула Байеса

Пусть H₁,H₂,… — полная группа событий, и A — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие H_k, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

Доказательство. По определению условной вероятности,

Пример

Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте:

H₁ = {стреляет 1-ый стрелок} и H₂ = {стреляет 2-ый стрелок}.

Априорные (a’priori — «до опыта») вероятности этих гипотез одинаковы:

Рассмотрим событие A = {пуля попала в мишень}. Известно, что

Поэтому вероятность пуле попасть в мишень

Предположим, что событие A произошло. Какова теперь апостериорная (a’posteriori — «после опыта») вероятность каждой из гипотез?

Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в раз).

Действительно,

studfiles.net

Зависимые и независимые условия — Теория вероятностей

Введём понятие зависимых и независимых событий.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 1.

 Монета брошена два раза. Вероятность появления «герба» в первом испытании (событие A) не зависит от появления или не появления «герба» во втором испытании (событие B). В свою очередь, вероятность появления «герба» во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события A и B независимые.

Пример 2.

При бросании кубика вероятность появления числа 2 при втором бросании не зависит от результатов первого бросания.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

Причём, если А₁, А₂, …, А_n— независимые события, то и противоположные им события Ᾱ₁, Ᾱ₂, …, Ᾱ_n— независимы.

Замечание:

Если события независимы в совокупности, то из определения следует их попарная независимость, то есть любые два из них независимы. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из попарной независимости не следует их независимость в совокупности.

Пример.

Пусть имеется тетраэдр (объемная фигура, сторонами которой являются правильные треугольники, всего — четыре стороны). Пусть три стороны раскрашены в красный, зеленый и синий цвета (по одному на каждую сторону), а четвертая содержит все три цвета. Будем бросать тетраэдр наудачу, и цвет, оказавшийся на нижней грани, назовем выпавшим. Очевидно, что вероятность выпадения красного цвета (а также вероятность выпадения зеленого и вероятность выпадения синего цветов) равны Р(К)=Р(С)=Р(К) (каждый цвет содержится на двух гранях из четырех). Вероятность одновременного выпадения двух цветов, например, красного и зеленого, равна Р(КЗ)=0,25 . Таким образом, имеем  Р(КЗ)=Р(К)Р(З) (Правая часть находится по теореме об умножении вероятностей, которую мы подробно рассмотрим в следующей теме). Аналогично для других комбинаций из двух цветов, то есть события выпадение цвета — попарно независимы. Вероятность же выпадения всех трех цветов одновременно (Р(КЗС)) равна 0,25 и не равна произведению вероятностей выпадения каждого из трёх цветов (Р(В)Р(К)Р(С)) , то есть события не независимы в совокупности.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого.

Пример 1.

При вытягивании экзаменационных билетов вероятность вытащить самый простой билет (№ 13) восьмым студентом зависит от результатов всех предыдущих.

Пример 2.

Две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая.

teoria-veroyatnostei.jimdo.com

Играть в шахматы

Новичкам в шахматном деле очень важен опыт, получить который можно и без участия в игре реального противника. В целях максимально быстрого обучения создан онлайн-симулятор «Шахматы с подсказками», помогающий усвоить шахматные азы, а также научиться применять полученные знания на практике. Основное преимущество игры – активные подсказки во время партии. Игроку подсвечиваются возможные ходы выбранной им фигуры – на доске отражаются все… More →

Шахматы – нечто большее, чем просто приятное развлечение, это интеллектуальное времяпрепровождение, способ развития логического мышления и памяти. Для первых шагов по стезе шахматного искусства разработана флэш-игра «Легкие шахматы», запрограммированная на простых алгоритмах, позволяющих даже начинающим шахматистам легко обыграть искусственный интеллект и одержать победу! Облегченный вариант игры идеален для тех, кто только начинает погружение в удивительный мир шахматных фигур, ведь только… More →

Специально для тех, кто обожает шахматы, но сыграть партию часто бывает не с кем: на нашем сайте можно сразиться в шахматном поединке с говорящим роботом.

Шахматы Sparkchess являются одним из популярных движков по игре в шахматы в США и Европе. Предлагаем проверить его на нашем сайте. Для начала игры – выберите одного из персонажей и начинайте против него играть. Запомните, что каждый персонаж со своим уровнем сложности. This movie requires Flash Player 9

На нашем сайте огромное количество шахматных движков, однако все они очень сложные. Чтобы научиться ребенку играть в шахматы онлайн нужно тренироваться с простым компьютером. Мы нашли такой движок, который позволяет играть новичкам и ниже выложим его. Учите своих детей играть в шахматы с помощью этого движка, а после переходите на более сложные с компьютером, либо играйте в шахматы с людьми.

На нашем сайте появилась возможность играть с очень умным противником онлайн. Если вы имеете 1 разряд в шахматах, то скорее всего этот соперник будет вам по зубам.

Мы не понаслышке знаем, как иногда хочется проверить свои силы в шахматах в борьбе с реальными игроками, но нет сил или желания проходить длительную регистрацию на специализированных шахматных порталах. Для таких случаев Levico имеет в своем арсенале игровой модуль для блиц-игры в шахматы от популярной площадки Lichess, воспользоваться которым можно в онлайн-режиме без авторизации или регистрации. Достаточно лишь пару кликов,… More →

Итак, перед вами игральная доска с расставленными шахматными фигурами. Вы можете выбрать цвет фигур: для этого нажмите на New Game (White) или New Game (Black). Чтобы сделать ход, достаточно кликнуть на фигуру, и вы даже сможете увидеть варианты хода выбранной фигуры – клетки, на которые можно переместить фигуру, засветятся. Если вы поняли, что совершили ошибку, или пришла гораздо лучшая идея… More →

Развитие смартфонов и планшетов на OS Android привело к тому, что многие перестали пользоваться компьютерами. Поэтому многие разработчики игр перешли к адаптации своих разработок под мобильные телефоны. Шахматы – не исключение. Поиграть в шахматы с компьютером теперь можно и на телефонах Андроид. Мы подобрали самые популярные приложения, которые вы сможете скачать из официального источника – Google Play. По нашему мнению это… More →

Вы просили – мы сделали. Теперь вы можете играть в шахматы asisChess на нашем сайте! This movie requires Flash Player 9 Желаете сыграть партию в шахматы, а времени на скачивание и установку шахматных программ нет? В таком случае, к вашим услугам – флеш-игра asisChess, играть в которой можно неограниченное количество партий, причем, совершенно бесплатно! Классические шахматы, визуализированные в формате 2D, имеют понятный… More →

levico.ru

Симулятор шахмат во весь экран онлайн бесплатно

Главная » Шахматы » Симулятор шахмат во весь экран онлайн бесплатно

Шахматы с компьютером

Эта флеш-игра подойдёт не только тем, кто любит играть в шахматы онлайн с компьютером, но и тем, кто вообще любит это развлечение, а также желает улучшить свои умения или просто развлечься.

Перед началом партии эти онлайн-шахматы предложат игроку выбрать подходящие настройки, такие как сложность соперника и цвет фигур, который ему достанется, так что он может не просто играть, но и выбирать, какие свои слабые стороны хочет подтянуть до должного уровня.

Скачать игру на компьютер

Играть с реальными людьми (бесплатно)

Играть с живым человеком (на деньги)

Стоит отметить, что настройки игры вообще достаточно широки – вы можете рассматривать сложившуюся позицию с разных сторон, можете редактировать ходы или просить у компьютера подсказку. Однако, большинство из этих функций открываются только в платной версии игры, а что касается пробного демо, в которое можно играть без регистрации, большинство настроек в нём недоступно.

Графика достаточно привлекательная, тем более, для флеш-игры. Впрочем, она имеет пару существенных недостатков, например, нечёткая прорисовка фигур, из-за чего происходящее на доске иногда смешивается и игрок, особенно тот, кто только начинает играть в шахматы с компьютером, может растеряться.

В качестве ещё одного недостатка, на этот раз касающегося самого игрового процесса, можно назвать тот факт, что если вы выбрали одну фигуру, вы не сможете выбрать другую, пока не уберёте выделение с первой. Это не очень удобно и может раздражать, когда дело идёт о сложных ситуациях.

Несмотря на названные минусы, это – вполне заслуживающий внимания представитель онлайн-развлечений, которым вы можете пользоваться бесплатно, получив значительную часть функционала платной версии. Среди её плюсов – простота и весьма широкий потенциал. Она отлично подойдёт и для того, чтобы скрасить скучный вечер, и для более практических целей – будь вы ещё новичком или уже более опытным шахматистом.

Игра Digitz – для тех кто умеет считать

Игра Digitz идеально подойдет тем, кто любит считать или хочет научиться делать это быстро. Она представляет собой онлайн цифровую головоломку, где игрокам придется в.

Игра хитрая мозаика – лучшая тренировка для мозга

Хитрая мозаика – это логическая игра, где важна внимательность и сообразительность. По смыслу она напоминает пазлы, здесь так же приходится собирать картинки из отдельных.

Карточная игра Уно – успей крикнуть первым

Uno – это интересная карточная онлайн игра, в которую могут одновременно играть от двух до десяти пользователей. В начале всем пользователям раздается одинаковое количество.

Пасьянс солитер

Пасьянс Солитер считается самой популярной игрой в карты. Теперь доступна и онлайн игра. А что может быть интересней и проще, чем в Пасьянс Солитер играть бесплатно.

Перейти к игре »

Пасьянс косынка

Многие из пользователей заинтересовались такой карточной игрой, как пасьянс, с появлением компьютерных устройств, а особенно такой как косынка. Заходя в меню компьютера/ноутбука.

Перейти к игре »

Червы

Игра Червы онлайн – чрезвычайно интересная карточная игра. В ней принимают участие не менее четырех игроков. Суть игры заключается в том, чтобы набирать минимальное.

Интересное видео по теме

game-onlaine.ru

Симулятор шахмат во весь экран онлайн бесплатно

Шахматы на двоих

Эта игра представляет собой простейший симулятор шахмат, через который вы можете сыграть партию вместе с другом.
Приложение представляет собой настоящий оплот минимализма – оно не предлагает игрокам каких-либо сложных функций или громоздкого анализа партии, предлагая только играть в шахматы онлайн на двоих. Всё, что вы увидите перед собой – виртуальная доска с расположенными на ней фигурами и походовую запись игры. Впрочем, вы можете настроить внешний вид, например, цвет клеток на игровом поле или фигур. Однако это выполняет скорее дизайнерскую функцию, чем практическую.

Как можно поиграть в эту игру:

Эта игра благодаря своей простоте может быть интересна тем, кто хочет сыграть в шахматы на двоих, но не может найти настоящий игровой комплект. Графика игры также не направлена на вызов эмоций относительно её сложности или, наоборот, простоты – фигуры прорисованы так, чтобы игроки могли разобраться, какая из них где.

Основное достоинство этого онлайн-приложения – оно бесплатно и не требует долгих трудоёмких установок. Вы можете открыть страницу игры – после чего проверить свои силы с соперником, находящимся рядом с вами; и это вполне способно занять вас на пару вечеров.

• Маджонг парные узоры – любимая игра на новые мотивы

Классическая головоломка Маджонг парные узоры в новом дизайне понравится всем. Теперь отыскать две одинаковые фишки стало намного легче, ведь они раскрашены в яркие.

Забавная головоломка Клякса – реши все задачи

Забавная логическая игра под названием клякса, заставит игроков призадуматься, каждый уровень – это настоящая головоломка, которую решить не так просто. Главный персонаж.

Дом с привидениями – игра для самых смелых

В мире существует множество мест, в которых не стоит появляться. К подобным местам относится дом, наполненный ужасными привидениями. Его комнаты, сокрытые под завесой.

Пасьянс солитер

Пасьянс Солитер считается самой популярной игрой в карты. Теперь доступна и онлайн игра. А что может быть интересней и проще, чем в Пасьянс Солитер играть бесплатно.

Перейти к игре »

Пасьянс косынка

Многие из пользователей заинтересовались такой карточной игрой, как пасьянс, с появлением компьютерных устройств, а особенно такой как косынка. Заходя в меню компьютера/ноутбука.

Перейти к игре »

Червы

Игра Червы онлайн – чрезвычайно интересная карточная игра. В ней принимают участие не менее четырех игроков. Суть игры заключается в том, чтобы набирать минимальное.

play4games.ru

888872 прописью -> восемьсот восемьдесят восемь тысяч восемьсот семьдесят два

888 872

eight hundred and eighty-eight thousand eight hundred and seventy-two

eight hundred eighty-eight thousand eight hundred seventy-two

achthundert achtundachtzig tausend achthundert zweiundsiebzig

huit cent quatre-vingt-huit mille huit cent soixante-douze

вiсiмсот вісімдесят вісім тисяч вiсiмсот сімдесят два

osiemset osiemdziesiąt osiem tysięcy osiemset siedemdziesiąt dwa

osm set osmdesát osm tisíc osm set sedmdesát dva

Посмотрите как пишутся числа: 91542, 188581, 296106, 342076, 473246, 596173, 638727, 750518, 867472, 925840.

numword.ru

888888 прописью -> восемьсот восемьдесят восемь тысяч восемьсот восемьдесят восемь

888 888

eight hundred and eighty-eight thousand eight hundred and eighty-eight

eight hundred eighty-eight thousand eight hundred eighty-eight

achthundert achtundachtzig tausend achthundert achtundachtzig

huit cent quatre-vingt-huit mille huit cent quatre-vingt-huit

вiсiмсот вісімдесят вісім тисяч вiсiмсот вісімдесят вісім

osiemset osiemdziesiąt osiem tysięcy osiemset osiemdziesiąt osiem

osm set osmdesát osm tisíc osm set osmdesát osm

Посмотрите как пишутся числа: 69193, 120983, 234568, 384631, 417471, 574504, 625045, 779120, 850317, 978217.

numword.ru

888387 прописью -> восемьсот восемьдесят восемь тысяч триста восемьдесят семь

888 387

eight hundred and eighty-eight thousand three hundred and eighty-seven

eight hundred eighty-eight thousand three hundred eighty-seven

achthundert achtundachtzig tausend dreihundert siebenundachtzig

huit cent quatre-vingt-huit mille trois cent quatre-vingt-sept

вiсiмсот вісімдесят вісім тисяч триста вісімдесят сім

osiemset osiemdziesiąt osiem tysięcy trzysta osiemdziesiąt siedem

osm set osmdesát osm tisíc tři sta osmdesát sedm

Посмотрите как пишутся числа: 42757, 164409, 286502, 348385, 431120, 513945, 686466, 711025, 802118, 935744.

numword.ru

888388 прописью -> восемьсот восемьдесят восемь тысяч триста восемьдесят восемь

888 388

eight hundred and eighty-eight thousand three hundred and eighty-eight

eight hundred eighty-eight thousand three hundred eighty-eight

achthundert achtundachtzig tausend dreihundert achtundachtzig

huit cent quatre-vingt-huit mille trois cent quatre-vingt-huit

вiсiмсот вісімдесят вісім тисяч триста вісімдесят вісім

osiemset osiemdziesiąt osiem tysięcy trzysta osiemdziesiąt osiem

osm set osmdesát osm tisíc tři sta osmdesát osm

Посмотрите как пишутся числа: 38108, 114191, 249380, 369011, 467463, 540130, 649816, 782081, 851588, 922436.

numword.ru

888081 прописью -> восемьсот восемьдесят восемь тысяч восемьдесят один

888 081

eight hundred and eighty-eight thousand and eighty-one

eight hundred eighty-eight thousand eighty-one

achthundert achtundachtzig tausend einundachtzig

huit cent quatre-vingt-huit mille quatre-vingt et un

вiсiмсот вісімдесят вісім тисяч вісімдесят один

osiemset osiemdziesiąt osiem tysięcy osiemdziesiąt jeden

osm set osmdesát osm tisíc osmdesát jedna

Посмотрите как пишутся числа: 11525, 127914, 216200, 399197, 458605, 553546, 684066, 726129, 861451, 911004.

numword.ru

388888 прописью -> триста восемьдесят восемь тысяч восемьсот восемьдесят восемь

388 888

three hundred and eighty-eight thousand eight hundred and eighty-eight

three hundred eighty-eight thousand eight hundred eighty-eight

dreihundert achtundachtzig tausend achthundert achtundachtzig

trois cent quatre-vingt-huit mille huit cent quatre-vingt-huit

триста вісімдесят вісім тисяч вiсiмсот вісімдесят вісім

trzysta osiemdziesiąt osiem tysięcy osiemset osiemdziesiąt osiem

tři sta osmdesát osm tisíc osm set osmdesát osm

Посмотрите как пишутся числа: 26125, 176650, 201144, 357606, 437448, 575707, 600191, 789311, 809432, 910192.

numword.ru

288888 прописью -> двести восемьдесят восемь тысяч восемьсот восемьдесят восемь

288 888

two hundred and eighty-eight thousand eight hundred and eighty-eight

two hundred eighty-eight thousand eight hundred eighty-eight

zweihundert achtundachtzig tausend achthundert achtundachtzig

deux cent quatre-vingt-huit mille huit cent quatre-vingt-huit

двісті вісімдесят вісім тисяч вiсiмсот вісімдесят вісім

dwieście osiemdziesiąt osiem tysięcy osiemset osiemdziesiąt osiem

dvě stě osmdesát osm tisíc osm set osmdesát osm

Посмотрите как пишутся числа: 10048, 107326, 222275, 393576, 415793, 511102, 672761, 754852, 885581, 967431.

numword.ru

Найдите последнюю цифру числа 3 в 100 степени

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Как найти угол между векторами

Угол между векторами

Для того, чтобы мы могли ввести формулу для вычисления угла между векторами через координаты, нужно сначала разобраться с самим понятием угла между этими векторами.

Определение 1

Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет носить название угол между двумя векторами. (рис. 1).

Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Причем мы будем считать, что если векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ будут сонаправленными, или один или оба из них будет нулевым вектором, то угол между этими векторами будет равняться $0^\circ$.

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Нахождение угла между векторами в пространстве с помощью скалярного произведения

Вспомним сначала, что называется скалярным произведением и каким образом его можно находить.

Определение 2

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$\overline{δ}\overline{β}=|\overline{δ}||\overline{β}|cos∠(\overline{δ},\overline{β})$

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Скалярное произведение двух данных векторов $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$\overline{δ}\cdot \overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$

Обозначение: $\overline{δ}\cdot \overline{β}$.

С помощью скалярного произведения мы можем найти косинус угла между векторами. Пусть нам даны векторы $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Из определения 2 получим, что

$cos∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{\overline{δ}\cdot \overline{β}}{|\overline{δ}||\overline{β}|}$

Из теоремы 1 мы знаем, что $\overline{δ}\cdot \overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$, следовательно

$cos∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{|\overline{δ}||\overline{β}|}$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|\overline{δ}|$ и $|\overline{β}|$, окончательно получим

$cos∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{\sqrt{δ_1^2+β_1^2+γ_1^2 } \sqrt{δ_2^2+β_2^2+γ_2^2}}$

Найдя значение косинуса, мы легко найдем и значение самого угла.

Пример 1

Найти косинус угла между векторами $\overline{δ}$ и $\overline{β}$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем скалярное произведение между данными векторами через координаты:

$\overline{δ}\cdot \overline{β}=1\cdot 3+(-2)\cdot 0+2\cdot 4=11$

Найдем длины этих векторов:

$|\overline{δ}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$|\overline{β}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

В результате, получим

$cos⁡∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{11}{3\cdot 5}=\frac{11}{15}$

Ответ: $\frac{11}{15}$.

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Вспомним сначала, определение векторного произведения и каким образом его можно находить.

Определение 3

Векторным произведением двух векторов называется такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина равна произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{δ}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|\overline{δ}х\overline{β}|=|\overline{δ}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{δ},\overline{β})$
2. $\overline{δ}х\overline{β}⊥\overline{δ}$, $\overline{δ}х\overline{β}⊥\overline{β}$
3. $(\overline{δ}х\overline{β},\overline{δ},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Рисунок 2. Векторное произведение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для нахождения вектора векторного произведения можно пользоваться следующей формулой:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\δ_1&δ_2&δ_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

С помощью векторного произведения мы можем найти синус угла между данными векторами. Пусть нам даны векторы $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Из определения 3 получим, что

${\sin \angle \left(\overrightarrow{\delta },\overrightarrow{\beta }\right)\ }=\frac{\left|\overrightarrow{\delta }х\overrightarrow{\beta }\right|}{\left|\overrightarrow{\delta }\right||\overrightarrow{\beta }|}$

Найдем вектор векторного произведения по формуле:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\δ_1&δ_2&δ_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=(δ_2 β_3-δ_3 β_2,δ_3 β_1-δ_1 β_3,δ_1 β_2-δ_2 β_1)$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|\overline{δ}|$, $|\overline{β}|$ и $|\overline{δ}х\overline{β}|$, окончательно получим

$sin∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{\sqrt{(δ_2 β_3-δ_3 β_2)^2+(δ_3 β_1-δ_1 β_3)^2+(δ_1 β_2-δ_2 β_1)^2}}{\sqrt{δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2}\sqrt{β_1^2+β_2^2+β_3^2}}$

Найдя значение синуса, мы легко найдем и значение самого угла между векторами через координаты через формулу.

Пример 2

Найти синус угла между векторами $\overline{δ}$ и $\overline{β}$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем вектор векторного произведения между данными векторами по формуле:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\1&-2&2\\3&0&4\end{vmatrix}=-8\overline{i}+2\overline{j}+6\overline{k}=(-8,1,6)$

Найдем длины этих векторов:

$|\overline{δ}х\overline{β}|=\sqrt{(-8)^2+2^2+6^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$

$|\overline{δ}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$|\overline{β}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

В результате, получим

$sin∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{2\sqrt{26}}{3\cdot 5}=\frac{2\sqrt{26}}{15}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{26}}{15}$.

spravochnick.ru

Угол между векторами, формулы и примеры

Определение и формула угла между векторами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Угол между двумя векторами и , имеющими общее начало, – это наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг точки приложения до положения, когда он станет сонаправленным с другим вектором (рис. 1).

Косинус угла между векторами и равен скалярному произведению векторов , деленному на произведение модулей (длин) этих векторов, то есть

   

Если векторы сонаправлены, то величина угла между ними равна (на рисунке 2 угол между векторами и ). Угол между противоположно направленными векторами равен (если совместить начала векторов и , изображенных на рисунке 2, то они будут сторонами развернутого угла).

Примеры нахождения углов между векторами

ПРИМЕР

Задание	Найти угол между векторами и
Решение	Вначале вычислим скалярное произведение заданных векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат векторов-сомножителей:     Модули заданных векторов равны корню квадратному из суммы квадратов координат:         Тогда косинус искомого угла     А тогда сам угол
Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как вычислить углы между векторами? :: SYL.ru

При изучении геометрии немало вопросов возникает по теме векторов. Особенные трудности обучающийся испытывает при необходимости найти углы между векторами.

Основные термины

Перед тем как рассматривать углы между векторами, необходимо ознакомиться с определением вектора и понятием угла между векторами.

Вектором называют отрезок, имеющий направление, то есть отрезок, для которого определено его начало и конец.

Углом между двумя векторами на плоскости, имеющих общее начало, называют меньший из углов, на величину которого требуется переместить один из векторов вокруг общей точки, до положения, когда их направления совпадут.

Формула для решения

Поняв, что собой представляет вектор и как определяется его угол, можно вычислить угол между векторами. Формула решения для этого достаточно проста, и результатом её применения будет значение косинуса угла. Согласно определению, он равен частному скалярного произведения векторов и произведения их длин.

Скалярное произведение векторов считается как сумма помноженных друг на друга соответствующих координат векторов-сомножителей. Длина вектора, или его модуль, вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Получив значение косинуса угла, вычислить величину самого угла можно с помощью калькулятора или воспользовавшись тригонометрической таблицей.

Пример

После того как вы разберетесь с тем, как вычислить угол между векторами, решение соответствующей задачи станет простым и понятным. В качестве примера стоит рассмотреть несложную задачу о нахождении величины угла.

Первым делом удобнее будет вычислить необходимые для решения значения длин векторов и их скалярного произведения. Воспользовавшись описанием, представленным выше, получим:

Подставив полученные значения в формулу, вычислим значение косинуса искомого угла:

Это число не является одним из пяти распространённых значений косинуса, поэтому для получения величины угла, придётся воспользоваться калькулятором или тригонометрической таблицей Брадиса. Но перед тем, как получить угол между векторами, формула может быть упрощена, чтобы избавиться от лишнего отрицательного знака:

Итоговый ответ для сохранения точности можно оставить в таком виде, а можно вычислить значение угла в градусах. По таблице Брадиса его величина составит примерно 116 градусов и 70 минут, а калькулятор покажет значение 116,57 градуса.

Вычисление угла в n-мерном пространстве

При рассмотрении двух векторов в трёхмерном пространстве, понять, о каком угле идёт речь гораздо сложнее, если они не лежат в одной плоскости. Для упрощения восприятия можно начертить два пересекающихся отрезка, которые образуют наименьший угол между ними, он и будет искомым. Несмотря на наличие третьей координаты в векторе, процесс того, как вычисляются углы между векторами, не изменится. Вычислите скалярное произведение и модули векторов, арккосинус их частного и будет являться ответом на данную задачу.

В геометрии нередко встречаются задачи и с пространствами, имеющими больше трёх измерений. Но и для них алгоритм нахождения ответа выглядит аналогично.

Разница между 0 и 180 градусами

Одна из распространённых ошибок при написании ответа на задачу, рассчитанную на то чтобы вычислить угол между векторами, — решение записать, что векторы параллельны, то есть искомый угол получился равен 0 или 180 градусам. Этот ответ является неверным.

Получив по итогам решения значение угла 0 градусов, правильным ответом будет обозначение векторов как сонаправленных, то есть у векторов будет совпадать направление. В случае получения 180 градусов векторы будут носить характер противоположно направленных.

Специфические векторы

Найдя углы между векторами, можно встретить один из особых типов, помимо описанных выше сонаправленных и противоположно направленных.

• Несколько векторов параллельных одной плоскости называются компланарными.
• Векторы, одинаковые по длине и направлению, называются равными.
• Векторы, лежащие на одной прямой, независимо от направления, именуются коллинеарными.
• Если длина вектора равна нулю, то есть его начало и конец совпадают, то его называют нулевым, а если единице, то единичным.

www.syl.ru

Формула угла между векторами

Угол между двумя векторами

Рассмотрим понятие угла между двумя направлениями в пространстве.

Как и на плоскости, в пространстве направлением называется множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с данным. Таким образом, любой луч из данного множества сонаправленных лучей вполне определяет это направление (подобно тому, как любой направленный отрезок вполне определяет вектор, который он изображает). Поэтому направление в пространстве обычно задают при помощи только одного луча.

Углом между двумя направлениями называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом.

Угол между лучами l₁ и l₂ обозначается \(\widehat{l_1; l_2}\). По определению угол между двумя направлениями находится в промежутке [0°; 180°].

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. Угол между векторами а и b (рис. 21) обозначается \(\widehat{a; b}\)

Если угол между векторами а и b равен 90°, то эти векторы называют перпендикулярными (или ортогональными) и пишут: а ⊥ b.

Отметим, что если а\(\upuparrows\)b, то \(\widehat{a; b}\) = 0°, а если а\(\uparrow\downarrow\)b, то \(\widehat{a; b}\) =180°.

Рассмотрим некоторую прямую l, на которой выбрана единица измерения длины. Пусть А и В — некоторые точки прямой l такие, что |АВ| = 1.

Тогда векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\) называются единичными векторами прямой l (рис.22).

Единичные векторы прямой задают на ней два направления. Одно из них называется положительным, другое — отрицательным.

Прямая, на которой выбрана точка О (начало отсчета), задано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью. Вектор е (|е| = 1), задающий направление оси, называется единичным вектором оси (рис. 23).

Углом между вектором и осью, называется величина угла между направлением оси и направлением вектора (рис. 24).

Вычисление угла между двумя векторами.

По определению скалярного произведения

а • b = | а | • | b | cos\(\widehat{(a; b)}\).

Следовательно, если а =/= 0 и b =/= 0, то

$$ cos\widehat{(a; b)} = \frac{a \cdot b}{|a|\cdot|b|} \;\; (1) $$

т. е. косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.

Пусть в пространстве имеется прямоугольная декартова система координат, и пусть заданы векторы а = (x₁ ; y₁ ; z₁) и b = (x₂ ; y₂; z₂). Тогда, как известно,

$$ a\cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2, \\ |a|=\sqrt{{x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2}, |b|=\sqrt{{x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2} $$

и поэтому, используя равенство (1), получим формулу

$$ cos\widehat{(a; b)} = \frac{ x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{{x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2}\cdot\sqrt{{x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2} } \;\; (2)$$

Эта формула позволяет вычислить косинус угла между векторами а и b по координатам этих векторов.

Если векторы а = (x₁ ; y₁ ) и b = (x₂ ; y₂) заданы в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, то косинус угла между ними вычисляется по формуле

$$ cos\widehat{(a; b)} = \frac{ x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{{x_1}^2 + {y_1}^2}\cdot\sqrt{{x_2}^2 + {y_2}^2}} \;\; (3)$$

Задача 1. Даны два вектора а = (3; 4) и b = (4; 3). Найти угол между ними.

Подставив координаты векторов в формулу (3), получим

$$ cos\widehat{(a; b)} = \frac{3\cdot 4 + 4\cdot 3}{\sqrt{{3}^2 + {4}^2}\cdot\sqrt{{4}^2 + {3}^2}} = \frac{24}{25} $$

откуда (по таблице) \(\widehat{(a; b)}\) ≈ 16°.

Задача 2. Найти косинус угла между векторами

а = 2i + 2j — k, b = i — 2j + 2k .

Используя формулу (2), получим

$$ cos\widehat{(a; b)} = \frac{ 2\cdot 1 + 2\cdot(-2) + (-1)\cdot 2}{\sqrt{{2}^2 + {2}^2 + {-1}^2}\cdot\sqrt{{1}^2 + {-2}^2 + {2}^2}} = -\frac{4}{9} $$

razdupli.ru

Угол между векторами.

Навигация по странице:

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Формула вычисления угла между векторами

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Пример 1. Найти угол между векторами a = {3; 4} и b = {4; 3}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

|a| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √4² + 3² = √16 + 9 = √25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	24	=	24	= 0.96
	|a| · |b|		5 · 5		25

Пример 2. Найти угол между векторами a = {7; 1} и b = {5; 5}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

|a| = √7² + 1² = √49 + 1 = √50 = 5√2
|b| = √5² + 5² = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	40	=	40	=	4	= 0.8
	|a| · |b|		5√2 · 5√2		50		5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Пример 3. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

|a| = √3² + 4² + 0² = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √4² + 4² + 2² = √16 + 16 + 4 = √36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	28	=	14
	|a| · |b|		5 · 6		15

Пример 4. Найти угол между векторами a = {1; 0; 3} и b = {5; 5; 0}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

|a| = √1² + 0² + 3² = √1 + 9 = √10
|b| = √5² + 5² + 0² = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	5	=	1	=	√5	= 0.1√5
	|a| · |b|		√10 · 5√2		2√5		10

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

Угол между векторами, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор помогает найти угол и косинус угла между векторами всего за несколько минут. Для нахождения угла между двумя векторами выберите их размерность, введите все координаты и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст подробный ход решения и ответ! Калькулятор сам посчитает скалярное произведение векторов, вычислит косинус угла и сам угол. Каждый шаг будет детально расписан, это поможет вам проверить свое решение и понять, как был получен ответ.

Введите данные для вычисления угла между векторами  

Размерность вектора:

2 3

Форма представления векторов:

координатами точками

Формула :

Решили сегодня: раз, всего раз

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Вычислить угол между векторами

Вычислить угол между векторами. В этой публикации хочу вам показать один способ определения угла между двумя векторами. В условии для каждого из векторов задаются координаты начала и конца. Векторы могут быть построены на координатной плоскости или без того. Конечно же, данную задачу обычно (и это естественно) решают применяя формулу скалярного произведения векторов, и такой подход был показан в этой статье.

Но если пофантазировать и представить, что вдруг вы напрочь забыли эту формулу или вообще в решении задач с  векторами как-то давно не практиковались, то на помощь может прийти нижеизложенный способ. Это вполне достойная альтернатива. Чем у вас будет больше «инструментов» в запасе, тем лучше.

Найти угол между векторами. Ответ дать в градусах.

Идея очень простая: мы строим треугольник (соединяем концы векторов) и далее используем способ изложенный в этой статье. Его суть такова – в полученном треугольнике вычисляем стороны и для далее вычисления искомого угла используем теорему косинусов.

Приступим! Строим треугольник, далее описываем около него прямоугольник. Затем прямо на эскизе обозначаем длины катетов в образовавшихся прямоугольных треугольниках:

Вычисляем стороны. По теореме Пифагора:

Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус  угла между ними.

Вычисляем угол:

Таким образом, угол между векторами равен 45 градусам.

Ответ: 45

Решение через формулу скалярного произведения

Сама формула:

Известна следующая формула.

Скалярным произведением векторов на плоскости в прямоугольной системе координат называется число равное сумме произведений соответствующих координат векторов.

Значит:

Вычислим координаты векторов:

Подставим их в формулу:

Таким образом, угол между векторами равен 45 градусам.

Ответ: 45

*Если векторы будут расположены на координатной плоскости не касаясь друг друга, то один из них всегда можно сдвинуть параллельным переносом и далее уже действовать как описано выше.

**Если они будут построены схематично на координатной плоскости, а не на листе в клетку и при этом будут указаны координат концов, то треугольник построить несложно.

С уважением, Александр.

В школе урок математики. Учитель:

— Петя, назови двузначное число!
— Сорок шесть.
— Теперь поменяй местами цифры и скажи, что получилось.
— Не знаю…
— Садись, два! Вовочка, назови двузначное число!
— Тридцать три, и можете начинать свои фигли-мигли!

*Делитесь информацией в социальных сетях!

matematikalegko.ru

Действия с дробями | LAMPA

Как же теперь привести дроби 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​ к знаменателю 282828?

Вспоминаем, что если умножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Например, 15\frac{1}{5}51​ и 210\frac{2}{10}102​ — это одно и тоже число.

То есть нужно домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получился общий знаменатель дробей (в случае дробей 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​ — число 282828).

Числитель и знаменатель дроби 27\frac{2}{7}72​ нужно умножить на 444:

27=2⋅47⋅4=828\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{8}{28}72​=7⋅42⋅4​=288​,

— а числитель и знаменатель 34\frac{3}{4}43​ — на 777:

34=3⋅74⋅7=2128\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{21}{28}43​=4⋅73⋅7​=2821​.

Теперь можно без труда сложить получившиеся дроби: 828+2128=2928=1128\frac{8}{28}+\frac{21}{28}=\frac{29}{28}=1 \frac{1}{28}288​+2821​=2829​=1281​.

Общая формула, которой можно пользоваться для сложения дробей: ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}ba​+dc​=bdad+bc​

Пользуясь этой формулой, мы получим, что 13+16=1⋅6+3⋅13⋅6=918\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 6+3\cdot 1}{3\cdot 6}=\frac{9}{18}31​+61​=3⋅61⋅6+3⋅1​=189​. Как мы видим, эту дробь можно сократить на 999. Получится 12\frac{1}{2}21​.

Наименьший общий знаменатель

Можно ли сразу получить дробь, которую не надо было бы сокращать, то есть дробь с наименьшим возможным знаменателем?

Да, можно! Для этого вместо перемножения знаменателей необходимо вычислить их . То есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Наименьшее общее кратное чисел bbb и ddd обозначается НОК(b,d)\text{НОК}(b,d)НОК(b,d).

Например:

НОК(3,6)=6\text{НОК}(3,6)=6НОК(3,6)=6

НОК(10,15)=30\text{НОК}(10,15)=30НОК(10,15)=30.

Для того чтобы вычислить НОК, требуется разложить числа на простые множители, а затем для каждого простого делителя, который входит в разложение хотя бы одного из чисел, выбрать максимальную степень, в которой он входит в разложения.

Например, чтобы вычислить НОК(45,30)\text{НОК}(45,30)НОК(45,30), разложим числа на множители:
45=3⋅3⋅545=3\cdot 3\cdot 545=3⋅3⋅5,
30=2⋅3⋅530=2\cdot 3\cdot 530=2⋅3⋅5.
Число 333 входит в разложения в максимальной степени 222, а числа 222 и 555 — в степени 111. Поэтому НОК равно 2⋅32⋅5=902\cdot 3^2\cdot 5=902⋅32⋅5=90.

lampa.io

Памятка «Правила действий с дробями»

infourok.ru

Действия с дробями

Условимся считать, что под «действиями с дробями» на нашем уроке будут пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь — это дробь, обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель. Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10. Десятичная дробь записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!

Две дроби и называются равными, если .

Например, , так как

Равными также являются дроби и (так как ), и (так как ).

Очевидно, равными являются и дроби и . Это означает, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: .

Это свойство называется основным свойством дроби.

Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на -1, то получим . Это означает, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

;

.

Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

Пусть, например, дана дробь . Числа 36 и 48 имеют наибольший общий делитель 12. Тогда

.

В общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Итак, сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим переменные.

Пример 1. Сократить дробь

.

Решение. Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен — 5xy в виде суммы — 2xy — 3xy, получим

Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:

.

В результате

.

Далее, изменяя знаки в числителе и знаменателе дроби, получим

Пусть даны две дроби и . Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим

.

Умножив числитель и знаменатель дроби на 5, получим

.

Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

.

Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно привести также к общему знаменателю 70:

,

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.

Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби и . Рассуждая, как в предыдущем примере, получим

,

.

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120.

Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным множителем. Значит .

Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 4, получим .

Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей является наименьшим возможным общим знаменателем.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Сложение дробей определяется следующим образом:

.

Например,

.

Если b = d, то

.

Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,

.

Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают числители. Например,

.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Теперь рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.

Пример 3. Преобразовать в одну дробь выражение

.

Решение. Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

1) ;

2) ;

3) .

Наименьший общий знаменатель:

Дополнительные множители, на которые умножаются числители дробей:

1) 6;

2) ;

3) .

Результат этого умножения:

.

Далее, раскрывая скобки и выполняя тождественные преобразования, получаем

.

Произведение двух дробей и равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей, т. е. .

Например,

.

При делении дроби на дробь числитель делимого умножается на знаменатель делителя, а знаменатель делимого — на числитель делителя, т. е. .

Например,

.

1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т. е. если , то .

2. Из пропорции вытекают следующие пропорции: , , , то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

3. Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, нужно произведение крайних (средних) членов пропорции разделить на известный средний (крайний) член пропорции: и .

В высшей математике это действие с дробями чаще всего применяется при интегрировании рациональных функций. Поэтому оно подробно разобрано в уроке Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов.

Другие темы в блоке «Школьная математика»

function-x.ru

Правила арифметических действий над обыкновенными дробям

#1. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

3/7=3*3/7*3=9/21, то есть 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m — так выглядит основное свойство дроби.

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Если ad=bc, то две дроби a/b=c/d считаются равными.

Например, дроби 3/5 и 9/15 будут равными, так как 3*15=5*9, то есть 45=45

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, 45/60=15/​​20=9/12=3/4​ ​​(числитель и знаменатель делится на число 3, на 5 и на 15).

Несократимая дробь — это дробь вида 3/4​​, где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:

1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;

2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие

множители из разложения второго знаменателя;

3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из первого разложения.

Примеры: приведите дроби к общему знаменателю .

Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель 5 из второго разложения.

числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого разложения.

= , 90 – общий знаменатель дробей .

3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

a/b+c/b=(a+c)/b​​;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

a/b-c/b=(a-c)/b​​;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а).

3.3. Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

a/b*c/d=a*c/b*d,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

a/b:c/d=a*d/b*c,

то есть дробь a/b умножается на дробь, обратную данной, то есть умножается на d/c.

Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Взаимно обратные числа

Если a*b=1, то число b является обратным числом для числа a.

Пример: для числа 9 обратным является 1/9​​, так как 9*1/9=1, для числа 5 — обратное число 1/5​​, так как 5*​1/5​​=1.

5. Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10 000, …, 10^n10,1000,10000,…,10​n​​.

Например: 6/10=0,6; 44/1000=0,044​.

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 51/10=5,1; 763/100=7,63

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10.

менателем, который является делителем некой степени числа 10.

Пример: 5 — делитель числа 100, поэтому дробь 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2​0=0,2.

6. Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

6.2. Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

6.3. Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3. Имеем 27 \cdot 13=35127⋅13=351. Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=21+1=2). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,512,7⋅1,3=3,51.

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10, 100, 1000, надо в десятичной дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 7001,47⋅10000=14700.

6.4. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100, то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112, то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

Например, 2,8 : 0,09= 28/10 : 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9=​31  1/9​​.

author: ЦР GrandE Студия

vekgivi.ru

Примеры с дробями на все действия.

Технологическая карта урока.

multiurok.ru

ПРИМЕРЫ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ.

oldskola1.narod.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Арифметика

Сложение и вычитание дробей

      При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями получается дробь с тем же знаменателем, а её числитель равен сумме (разности) числителей рассматриваемых дробей.

      Например,

      При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями предварительно нужно привести их к общему знаменателю. Для упрощения вычислений желательно приводить дроби к наименьшему общему знаменателю, хотя это не является обязательным.

      Например,

(в уголках сверху здесь обозначены дополнительные множители).

Умножение и деление дробей

      При умножении дробей получается дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.

      Например,

      Деление дробей осуществляется в соответствии со следующим правилом:

      Иногда это правило формулируют так: для того, чтобы разделить первую дробь на вторую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую.

      В частности,

Действия со смешанными числами

      Для того, чтобы избежать ошибок при выполнении арифметических действий со смешанными числами, рекомендуется сначала обратить смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить нужные арифметические действия, а потом, если это требуется, обратить результат в смешанное число.

      Пример. Найти сумму, разность, произведение и частное смешанных чисел

  и  

      Решение. Преобразуем эти числа в неправильные дроби:

      Далее получаем:

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ /span> или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Функция и плотность распределения

Для количественной характеристики распределения вероят-ностей удобней пользоваться не вероятностью того события, что случайная величина примет значение,т.е., а ве-роятностью события, т.е. того, что случайная величинапримет значение, меньшее некоторой текущей переменной. Вероятность этого события зависит от значения, т.е. является функцией от . Эта функция называется функцией распределения

случайной величины и обозначается:

(1.6)

Функция распределения случайной величины  самая универ-сальная характеристика случайной величины, она существует как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Функ-ция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Функции распределения обладают некоторыми об-щими свойствами:

1. Функция распределения есть неубывающая функция сво-его аргумента, т.е. привыполняется.

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна едини-це: .

График функции распределения в общем случае может быть представлен как график неубывающей функции (рис.1), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точ-ках функция может иметь скачки (разрывы).

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения, которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Посколькудля непрерывной случайной величи—ны вероятность принятия случайной величиной любого отдельного значения равна нулю, то вычислим вероятность попадания этой

случайной величины на участок от до:

(1.7)

Вероятность попадания в указанный интервал рассчитывается как приращение функции распределения на этом участке. Рассмот-рим отношение этой вероятности к величине интервала, т.е. сред-нюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участ-ке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производ-ную от функции распределения:

(1.8)

Введем обозначение для производной от функции распределе-ния:

(1.9)

Функцияхарактеризует как бы плотность, с которой рас-пределяется значение случайной величины в данной точке (а на самом деле отражает быстроту возрастания функции распределе-ния). Функцияназывается плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины. В отличие от функции распределения, плотность распределения не является универсальной– она существует только для непрерывных величин. Кривая, изображающая плотность распределения случай-ной величины, называется кривой распределения (рис.2).

Геометрически вероятность попадания величины в участокравна площади кривой распределения,опирающейся на этот участок.Значение же функции распределенияесть не что иное,как площадь кривой распределения, лежащей левее точки.

Для дискретных величин аналогом графика распределения может служить гистограмма, отображающая величину прироста функции распределения (рис.3).

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: . Это свойство вытекает непосредственно из того, чтоесть функция неубывающая.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен единице: (условие нормировки). Условие говорит о том, что вероятность принятия случайной величиной какого–ли-бо значения равна единице.

studfiles.net

Функция, плотность распределения

2.1. Функция распределения.

Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений.

Однако, такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально.

Даже в случае, когда это сделать можно, зачастую задача решается чрезвычайно сложно. Рассмотренный только что пример даже при относительно простом условии (приборов только четыре) приводит к достаточно неудобным вычислениям, а если в задаче будет несколько сотен приборов?

Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. Х < x, обозначим через F(x).

 

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.

Функцию распределения также называют интегральной функцией.

 

Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:

Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х.

Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение х_i.

 

Так для примера, рассмотренного выше, функция распределения будет иметь вид:

 

Свойства функции распределения:

1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

2) F(x) – неубывающая функция.

при

3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале.

4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

 

Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.

 

2.2. Плотность распределения.

Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

 

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

 

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

 

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек.

 

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

 

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

 

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше.

Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.

 

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения:

1) Плотность распределения – неотрицательная функция:

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от — ¥ до ¥ равен единице:

 

Пример. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

 

Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .

Построим график плотности распределения:

Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством .

Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

Пример. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал .

Найдем коэффициент А.

Найдем функцию распределения:

1) На участке :

2) На участке

3) На участке

Итого:

 

Построим график плотности распределения:

f(x)

 

Построим график функции распределения:

F(x)

 

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .

Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:

 

 

2. Числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана).

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

 

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

 

Свойства математического ожидания:

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

 

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.

 

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

 

Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

 

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

 

Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

 

Пример. Для рассмотренного выше примера закон распределения случайной величины имеет вид:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины равно:

Возможные значения квадрата отклонения:

Тогда

[X-M(X)]2	2,25	0,25	0,25
p	0,0625	0,375	0,5625

 

Дисперсия равна:

Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.

Поэтому применяется другой способ.

 

 

Вычисление дисперсии.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

 

Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат математического ожидания М²(Х) – величины постоянные, можно записать:

 

Применим эту формулу для рассмотренного выше примера:

X
X2
p	0,0625	0,375	0,5625

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

 

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

 

Свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

 

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.

 

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Плотность распределения вероятностей.

Непрерывную с. в. можно задать, используя функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности, или дифференциальной функцией распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной с. в. Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

f(x) = F′(x)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Для описания распределения вероятностей дискретной с. в. плотность распределения не применима.

Вероятностный смысл плотности распределения.

Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная с. в. примет значение, принадлежащее интервалу (x, x +∆x), к длине этого интервала (при ∆x → 0) равен значению плотности распределения в точке х.

Функция плотности характеризует каждое значение непрерывной случайной величины в отдельности, а не целый диапазон как это имеет место для функции распределения.

Вероятность попадания непрерывной с. в. в заданный интервал.

По формуле Ньютона – Лейбница:

P{a < X  b}= F(b) – F(a),

таким образом

Нахождение функции распределения по известной функции плотности.

Полагая в предыдущей формуле а = -∞, b = х, и заменив переменную интегрирования х на t имеем:

F(х) = P{X  х}=P{-∞< X  х},

следовательно

Свойства плотности распределения

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x)0 (т.к. интегральная функция распределения – неубывающая функция, а плотность распределения ее первая производная).

Свойство 2:

Доказательство. Несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащая интервалу (-∞, ∞). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0х и кривой распределения, равна единице.

Вчастности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,b), то .

Возможный график плотности распределения (пример)

Задача .

f₁(x) – плотность распределения размера выигрыша в 1-й игре

f₂(x) – плотность распределения размера выигрыша во 2-ой игре

Какая игра предпочтительней ?

Числовые характеристики случайных величин. .

Данные характеристики позволяют решать многие задачи, не зная закона распределения случайных величин.

Характеристики положения случайной величины на числовой оси.

1. Математическое ожидание это есть среднее взвешенное значений случайной величины Х, в которое абсцисса каждой точки х_i входит с «весом», равным соответствующей вероятности.

Математическое ожидание иногда называют просто средним значением с.в.

Обозначение: m_xили M [X].

Для дискретной случайной величины

M [X] =

Для непрерывной случайной величины

2. Мода – это наиболее вероятное значение случайной величины (то для которого вероятность p_i, или плотность распределения f(x) достигает максимума).

Обозначение: 

Различают унимодальные распределения ( имеют одну моду), полимодальные распределения ( имеют несколько мод) и анимодальные (не имеют моды)

унимодальное

3. Медиана – это такое значение случайной величины х_m, для которого выполняется следующее равенство:

P{X < х_m}= P{X > х_m}

Медиана делит площадь,ограниченную f(x), пополам

Если плотность распределения случайной величины симметрична и унимодальна, то М[X],  и х_m совпадают

М[X], , х_m – неслучайные величины

studfiles.net

19. Плотность и функция распределения непрерывной двумерной случайной величины и их свойства.

Функцией распределения n-мерной случайной величины называется функция, выражающая вероятность совместного выполненияn неравенств , т.е.

Геометрически функция распределения двухмерной случайной величины означает вероятность попадания случайной точки (x;y) в заштрихованную область, расположенную левее и ниже точки M(x;y).

Квадрант

Правая и верхняя границы не включаются в квадрант – это означает, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле:

,

где суммирование вероятностей распространяется на все i, для которых , и всеj, для которых

Свойства функции распределения двумерной случайной величины:

1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е.

2. Функция распределения есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е.

при

при

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в -∞, функция распределения F(x;y) равна нулю, т.е.

4. Если один из аргументов обращается в , функция распределениястановится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

где и— функции распределения случайных величинX и Y, т.е.

,

5. Если оба аргумента равны +, то функция распределения равна единице:

Геометрически функция распределения есть некоторая поверхность, обладающая указанными свойствами. Для дискретной случайной величины (X,Y) ее функция распределения представляет собой некоторую ступенчатую поверхность, ступени которой соответствуют скачкам функции

Зная функцию распределения можно найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в пределы прямоугольника ABCD, т.е. .

A(x₁; y₂) B(x₂; y₂)

y₂

y₁

D(x₁; y₁) C(x₂; y₁)

x₁ x₂

Плотность вероятности двумерной случайной величины.

Двумерная случайная величина (X,Y) называется непрерывной, если ее функция распределения F(x;y) – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная .

Плотностью вероятности непрерывной двумерной случайной величины (X;Y) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

Геометрически плотность вероятности двумерной случайной величины (X,Y) представляет собой поверхность распределения в пространстве Oxyz.

Плотность вероятности обладает свойствами аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной случайной величины.

Свойства плотности вероятности:

1. Плотность вероятности двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, т.е.

2. Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины (X,Y) в область D равна

3. функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле:

4. Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной случайной величины равен единице.

Геометрически последнее свойство означает, что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью Oxy, равен 1.

Замечание: Если имеется кривая распределения одномерной случайной величины, то конкретное значение ее плотности вероятности в данной точкеX определяется ординатой кривой

Если имеется распределение поверхности двухмерной случайной величины, то конкретное значение ее совместной плотности в данной точке (x,y) определяется геометрически аппликатой поверхности , а конкретное значение плотности вероятностиопределится геометрически площадью сечения поверхности. Плоскость параллельна плоскостиOyz и отсекает на оси OX отрезок x.

studfiles.net

Плотность распределения / Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] / 3dstroyproekt.ru

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Опр Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины $X$ называют функцию $f( x )-$ первую производную от функции распределения $F( x )$ \begin{equation} \label { eq2 } { F } ‘( x )=f( x ) \end{equation}

Следовательно, функция распределения $F( x )$ является первообразной для функции плотности распределения вероятностей $f( x )$.

Теорема Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение принадлежащее интервалу $( { a,b } )$ равна определенному интегралу от плотности. \begin{equation} \label { eq3 } P( { a\leqslant X<b } )=\int\limits_a^b { f( x )dx } \end{equation}

Геометрически этот результат можно трактовать так: вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение принадлежащее интервалу $( { a,b } )$ равна площади криволинейной трапеции.

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения вероятностей $f( x )$ можно найти функцию распределения $F( x )$ по формуле: \begin{equation} \label { eq4 } F( x )=\int\limits_ { -\infty } ^x { f( x )dx } \end{equation}

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности и построить график. $ f( x )=\left\{ { { \begin{array} { \c } { 0,при\,x=1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ,при\,1<x\leqslant 3 } \\ { 0,при\,x>3 } \\ \end{array} } }\right. $

Решение. Построим график функции плотности распределения вероятностей.

$F( x )=\int\limits_ { -\infty } ^x { f( x )dx } $

Воспользуемся формулой

• при $x\leqslant 1$ из условия $f( x )=0,\Rightarrow F( x )=0 $
• при $\,1<x\leqslant 2,\, f( x )=\frac { 1 } { 2 } $, тогда

$F( x )=\int\limits_ { -\infty } ^x { f( x )dx } =\int\limits_ { -\infty } ^1 { 0dx } +\int\limits_1^x { \frac { 1 } { 2 } dx } =\frac { 1 } { 2 } x\left| { _ { _1 } ^ { ^x } }\right.=\frac { x-1 } { 2 } $

если $x>3$, тогда $ F( x )=\int\limits_ { -\infty } ^x { f( x )dx } =\int\limits_ { -\infty } ^1 { 0dx } +\int\limits_1^3 { \frac { 1 } { 2 } dx } +\int\limits_3^x { 0dx } =\frac { x } { 2 } \left| { _ { _1 } ^ { ^3 } }\right.=1. $

Итак $ F( x )=\left\{ { { \begin{array} { \c } { 0,если\,x\leqslant 1 } \\ { \frac { x-1 } { 2 } ,если\,1<x\leqslant 3 } \\ { 1,если\,x>3 } \\ \end{array} } }\right. $

Построим график функции распределения

Свойства плотности распределения

1). Плотность распределения неотрицательная функция $f( x )\geqslant 0$.

Доказательство Известно, что функция распределения $F( x )-$ неубывающая, следовательно, ее производная $ { F } ‘( x )=f( x )$ неотрицательная функция.

Геометрически это означает, что график $f( x )$ расположен выше оси OX или на оси OX.

График $f( x )$плотности распределения называется кривой распределения.

2). Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от $( { -\infty ,\infty } )$ равен 1. \begin{equation} \label { eq5 } \int\limits_ { -\infty } ^\infty { f( x ) } dx=1 \end{equation}

Если $X$ задана на $( { a,b } )$, то $\int\limits_a^b { f( x )dx=1 } $

Геометрически это означает, что площадь под кривой распределения равна 1.

3dstroyproekt.ru

Функция и плотность распределения

Для количественной характеристики распределения вероят-ностей удобней пользоваться не вероятностью того события, что случайная величина примет значение,т.е., а ве-роятностью события, т.е. того, что случайная величинапримет значение, меньшее некоторой текущей переменной. Вероятность этого события зависит от значения, т.е. является функцией от . Эта функция называется функцией распределения

случайной величины и обозначается:

(1.6)

Функция распределения случайной величины  самая универ-сальная характеристика случайной величины, она существует как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Функ-ция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Функции распределения обладают некоторыми об-щими свойствами:

1. Функция распределения есть неубывающая функция сво-его аргумента, т.е. привыполняется.

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна едини-це: .

График функции распределения в общем случае может быть представлен как график неубывающей функции (рис.1), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точ-ках функция может иметь скачки (разрывы).

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения, которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Посколькудля непрерывной случайной величи—ны вероятность принятия случайной величиной любого отдельного значения равна нулю, то вычислим вероятность попадания этой

случайной величины на участок от до:

(1.7)

Вероятность попадания в указанный интервал рассчитывается как приращение функции распределения на этом участке. Рассмот-рим отношение этой вероятности к величине интервала, т.е. сред-нюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участ-ке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производ-ную от функции распределения:

(1.8)

Введем обозначение для производной от функции распределе-ния:

(1.9)

Функцияхарактеризует как бы плотность, с которой рас-пределяется значение случайной величины в данной точке (а на самом деле отражает быстроту возрастания функции распределе-ния). Функцияназывается плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины. В отличие от функции распределения, плотность распределения не является универсальной– она существует только для непрерывных величин. Кривая, изображающая плотность распределения случай-ной величины, называется кривой распределения (рис.2).

Геометрически вероятность попадания величины в участокравна площади кривой распределения,опирающейся на этот участок.Значение же функции распределенияесть не что иное,как площадь кривой распределения, лежащей левее точки.

Для дискретных величин аналогом графика распределения может служить гистограмма, отображающая величину прироста функции распределения (рис.3).

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: . Это свойство вытекает непосредственно из того, чтоесть функция неубывающая.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен единице: (условие нормировки). Условие говорит о том, что вероятность принятия случайной величиной какого–ли-бо значения равна единице.

studfiles.net

Плотность распределения вероятностей — f(x)

Для непрерывных случайных величин наряду с законом распределения вероятностей рассматривают плотность вероятностей, которую обозначают так .

Плотностью вероятностей случайной величины называют первую производную от интегральной функции распределения вероятностей

откуда дифференциал

Поскольку прирост определяют зависимости

куплена плотности вероятностей на прирост случайной величины соответствует вероятность того, что случайная величина содержаться в промежутке где .

Геометрически на графике плотности вероятностей соответствует площадь прямоугольника с основанием и высотой

Свойства плотности вероятностей

1. Плотность вероятностей принимает положительные значения . Это свойство следует из определения первой производной от функции распределения , которая в свою очередь является неубывающей функцией.

2. Условие нормирования случайной величины

3.Вероятность попадания случайной величины в промежуток определяется зависимостью

4. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины определяется через плотность распределения вероятностей интегрированием

—————————————

Рассмотрим задачи для закрепления материала на практике.

Пример 1. Закон распределения случайной величины заданы функцией

Найти плотность распределения вероятностей и построить графики обеих функций . Вычислить вероятность того, что случайная величина принадлежит промежутку

Решение. Вычисляем функцию плотности вероятностей

Графики функций изображены на рисунках

 

 

Вероятность события вычислим по формуле

Согласно приведенной выше формулы получим

На этом задача решена.

———————————————

Пример 2. По заданной функцией плотности распределения вероятностей

установить параметры и функцию распределения вероятностей . Построить графики функций.

Решение. Значение постоянной определяем из условия нормировки

При найденном значении плотность вероятностей будет иметь вид

Функция распределения вероятностей определяется интегрированием:

Записываем общий вид функции ,

Графики функций распределения вероятностей и ее плотности показаны на рисунках ниже

 

 

 

—————————————

Пример 3. Случайная величина имеет закон распределения вероятностей в виде треугольника

Записать выражения для плотности вероятностей и функции распределения вероятностей, построить график и вычислить .

Решение. На промежутках и плотность вероятностей меняется по линейному закону вида

для первого и второго участки соответственно. Для нахождения неизвестных констант установим ординаты вершины треугольника . Используем условие нормирования, согласно которому площадь треугольника равна единице:

При известных координатах всех вершин находим уравнение прямых

Есть другой способ нахождения уравнения прямых, предусматривающий отыскания по одной константе на уравнение. Если известна точка пересечения прямой с осью ординат , то уравнение прямой которая через эту точку проходит следующее

где – ордината пересечения с осью . Подстановкой второй точки прямой находят неизвестную константу . Для заданных точек получим

Со временем второй метод для Вас станет проще и практичнее в использовании. Плотность вероятностей примет значение

а ее функция примет вид

Функцию распределения вероятностей находим интегрированием:

а) на промежутке :

2) на промежутке

Следовательно, функция распределения вероятностей такая

Ее график приведен ниже

Вычисляем вероятность события согласно формуле

или

Следовательно, вероятность равна

————————-

Хорошо проанализируйте приведенные примеры — это поможет научиться быстро находить плотность распределения вероятностей и выполнять построение графика. Будьте внимательны при интегрировании и выбирайте удобную для вычислений методику.

yukhym.com