Рубрика: Школьная жизнь

Периметра прямоугольника, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор вычисляет периметр прямоугольника через длины двух его смежных сторон, a и b. Для того чтобы найти периметр прямоугольника введите длины его сторон и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор покажет пошаговое решение и ответ!

ru.solverbook.com

Периметра квадрата, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить периметр квадрата двумя способами: через длину его стороны или через длину диагонали. Для того чтобы найти периметр квадрата — выберите подходящий способ, введите длину стороны или диагонали и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор покажет ответ и подробное решение!

Выберите способ расчета периметра:

через сторону квадрата через диагональ квадрата

a =

ru.solverbook.com

Периметра ромба, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить периметр ромба через длины его сторон. Периметр равен сумме длин сторон, а так все стороны ромба равны, то он просто равен длине его стороны умноженной на четыре. Для того чтобы найти периметр ромба введите длину стороны и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст ответ и подробное решение!

ru.solverbook.com

онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Пятиугольник — это многоугольник с пятью углами. Если углы и стороны такого многоугольника равны, то он считается правильным и называется пентагон. Это оригинальная фигура, которую большинство людей встречает только в учебнике по геометрии.

Геометрия пятиугольника

Пятиугольник — геометрическая фигура, ограниченная пятью отрезками. Произвольный пятиугольник может иметь разные стороны, разные углы и строиться с самопересечениями, однако такая форма многоугольника крайне редко встречается в реальности. Самой распространенной формой пятиугольника считается пентагон — выпуклый многоугольник с равными сторонами и углами. Геометрическая фигура считается выпуклой, если все точки фигуры лежат с одной стороны от любой прямой, проведенной через две соседние вершины.

В отличие от треугольника, изучение которого не прерывалось на протяжении веков, все тайны пятиугольника были открыты еще в Древней Греции. В третьем веке до нашей эры Евклид описал метод построения пентагона с помощью линейки и циркуля. Пифагор изучал диагонали пентагона, которые образуют отдельную фигуру — пентаграмму, идеальную по мнению античного ученого, так как отношение сторон пентаграммы и пентагона демонстрирует золотое сечение.

Пятиугольник в реальности

В человеческой повседневности пятиугольник встречается редко, так как пентагоном невозможно замостить плоскость без пробелов, а пентагональные призмы неудобно хранить. Форма пентагона используется обычно в архитектуре, и наиболее известным объектом, имеющим форму правильного пятиугольника, является здание министерства обороны США.

Додекаэдр ­– трехмерное воплощение пятиугольника, является правильным многогранником, каждая сторона которого — пентагон. В древности были распространены римские додекаэдры — бронзовые объекты, составленные из 12 пятиугольников, однако истинное назначение предметов до сих пор не выяснено. Сегодня наиболее очевидным реальным додекаэдром является игральная кость, которая выступает в качестве генератора случайных чисел для настольных ролевых игр.

В природе форма пятиугольника не встречается, однако некоторые организмы, например иглокожие, обладают пентасимметрией. Кроме того, в природе не существует кристаллов, грани которых были бы пятиугольными.

Периметр пентагона

Периметр любой геометрической фигуры — это сумма длин всех сторон. Пентагон имеет пять равных сторон, поэтому его периметр находится по простой формуле:

P = 5 a,

где a – длина одной стороны.

Сторона пятиугольника и радиусы вписанной r и описанной R окружностей приблизительно соотносятся как:

• a = 1,1756 R
• a = 1,4131 r

Таким образом, алгоритм нашего калькулятора позволяет рассчитать периметр пентагона, зная только один из трех параметров на выбор:

• сторона;
• радиус описанной окружности;
• радиус вписанной окружности.

Рассмотрим пару примеров на определение периметра правильного пятиугольника.

Примеры из жизни

Пентагон

Пентагон — всемирно известное здание, в котором располагается штаб министерства обороны США. Объект получил название благодаря своей форме, так как здание геометрически является правильным пятиугольником. Давайте посчитаем периметр Пентагона. Согласно данным из Википедии, каждая сторона здания равна 281,05 м. Зная сторону, мы можем легко вычислить периметр штаба:

P = 1 405,25

Таким образом, суммарная длина сторон Пентагона составляет практически полтора километра.

Школьная задача

Допустим, вам нужно определить периметр правильного пятиугольника, зная, что радиус описанной вокруг него окружности равен 5 см. Вы можете последовательно использовать приведенные выше соотношения для вычисления стороны пентагона, а затем и его периметра. Давайте сэкономим время и просто введем значение в форму калькулятора «Радиус описанной окружности R».

P = 29,38

Помимо периметра, калькулятор определил значения стороны пентагона, а также радиус вписанной в него окружности.

Заключение

Правильный пятиугольник — достаточно редкая в человеческой повседневности и природе фигура. Впрочем, вычисление параметров пентагона может понадобиться вам при решении школьных задач или рабочих вопросов. Используйте для этих целей наш онлайн-калькулятор, который определяет периметр пятиугольника, зная только один параметр фигуры.

bbf.ru

Двойной интеграл, формулы и примеры

Определение двойного интеграла

Пусть в замкнутой области , принадлежащей плоскости , задана непрерывная функция . Разобьем эту область на элементарных областей , площади которых будем обозначать как , а наибольшее расстояние между точками соответствующей области – через (рис. 1).

В каждой элементарной области выберем произвольную точку . Значение функции в этой точке умножим на площадь соответствующей элементарной области и все такие произведения просуммируем:

Полученная сумма называется интегральной суммой функции в области .

Найдем предел указанной интегральной суммы при таким образом, чтобы . Если такой предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области, ни от способа выбора в них точек , то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается . Итак, двойной интеграл определяется равенством

Область называется областью интегрирования, и – переменные интегрирования, функция – подынтегральной функцией, которая является интегрируемой в области ; – элементом площади.

Свойства двойного интеграла

1. Константу можно выносить за знак двойного интеграла:

где

2. Двойной интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов от каждой из них:

3. Если область интегрирования можно разбить на две области и , например, как это показано на рисунке 2, то

4. Если в области интегрирования функция , то и двойной интеграл .

5. Если функции и в области удовлетворяют неравенству , то справедливо и неравенство

6. , где – это площадь области .

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой равна , то

где и – наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области соответственно.

8. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой равна , то в этой области существует такая точка , что имеет место равенство:

Величина называется средним значением функции в област .

Пусть область интегрирования – это прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и которые определяются уравнениями , ; , (рис. 3). В этом случае двойной интеграл вычисляется по одной из формул:

или

Интегралы, стоящие в правых частях этих формул, называются повторными или двукратными. В первой формуле интеграл называется внутренним. Он вычисляется в предположении, что переменная сохраняет на отрезке интегрирования постоянное фиксированное значение (то есть является константой). При таком предположении подынтегральная функция – функция одной переменной . В результате вычисления этого интеграла получаем функцию переменной .

После того, как эта функция определена, нужно выполнить внешнее интегрирование – проинтегрировать полученную функцию по переменной . В результате второго интегрирования получаем уже число.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Как вычислить двойной интеграл

Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений

Прозвучал удар гонга, который открывает второй раунд в бою с двойными интегралами. Если вы недавно надели перчатки или вообще боксируете с грушей, то, пожалуйста, начните с первого раунда Двойные интегралы для чайников. Настоятельно рекомендую разобраться со всеми примерами вводного урока без халтуры, это очень важно. К тому же, добрый дядя Саша нарисовал много картинок, которые можно распечатать и наклеить у себя в туалете. Помните, что Коперник свои блестящие открытия в астрономии делал именно там.

Однако задорное получилось вступление…. Задумался вот… почему? Да потому что мне хорошо. А отчего хорошо, поясню в конце статьи.

Вспоминаем общую запись двойного интеграла:

В первой статье Двойные интегралы для чайников я очень подробно рассмотрел понятие двойного интеграла, алгоритм его решения, важнейшие задачи на обход области интегрирования. Также были прорешаны простейшие двойные интегралы в примерах на нахождение площади плоской фигуры.

Снова посмотрим на общую запись двойного интеграла и заметим, что в нём притаилась функция двух переменных . А когда речь заходит о функции двух переменных, то это часто попахивает сероводородом частными производными второго порядка. Поэтому для освоения примеров вам необходимо уметь более или менее уверенно их находить.

В большинстве практических задач требуется формально вычислить двойной интеграл, но, помимо этого, он обладает отличным геометрическим смыслом – с помощью двойного интеграла помимо площади можно вычислить еще и объём. Геометрический смысл двойного интеграла поясню ниже на конкретных примерах.

Начинаем набивать наш двойной интеграл  разнообразной начинкой:

Пример 1

Вычислить двойной интеграл ,  Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл вторым способом.

Решение: Изобразим область интегрирования  на чертеже:

Напоминаю, что выполнение чертежа – необходимый начальный этап решения. Чертёж крайне важно выполнить правильно и точно, поскольку ошибка в графике незамедлительно запорет всё задание.

Выберем следующий порядок обхода:

Вопросы порядка обхода области интегрирования, я комментировать практически не буду, пожалуйста, смотрите статью Двойные интегралы для чайников.

Таким образом:

Обратите внимание на следующее действие: в данном случае можно вынести «икс» из внутреннего интеграла во внешний интеграл. Почему? Во внутреннем интеграле  интегрирование проводится по «игрек», следовательно, «икс» считается константой. А любую константу можно вынести за знак интеграла, что благополучно и сделано.

С интегралами настоятельно рекомендую разбираться по пунктам:

1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, найдём внутренний интеграл:

Вместо «игрека» подставляем функции!

2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл , при этом ни в коем случае не забываем про «икс», который там уже находится:

Готово.

Замечательно, если у вас под рукой есть микрокалькулятор, на котором можно считать обыкновенные дроби, он значительно ускорит заключительные вычисления. В последующих примерах я не буду подробно расписывать приведение дробей к общему знаменателю, а просто запишу ответ.

Выполняем вторую часть задания: изменим порядок обхода области и вычислим двойной интеграл вторым способом.

Перейдём к обратным функциям:

Для наглядности еще раз приведу чертёж, он будет точно таким же, но с другими обозначениями графиков:

Второй способ обхода области:

Таким образом:

Вот здесь уже «икс» является «родным» для внутреннего интеграла, поэтому его нельзя вынести во внешний интеграл.

1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим внутренний интеграл:

Вместо «икса» подставляются функции! Всегда проявляйте повышенное внимание при подстановке пределов интегрирования.

2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл и проведём окончательные вычисления:

Результаты совпали, значит, задание выполнено верно.

Если есть время, постарайтесь всегда проводить проверку, даже если этого не требуется в условии: вычислили интеграл одним способом – затем изменили порядок обхода области и вычислили вторым способом.

Ответ: 

Пример 2

Вычислить двойной интеграл ,  Выполнить проверку: изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл вторым способом.

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что в двойном интеграле изначально присутствует константа. А константу можно вынести за знак двойного интеграла, в данном случае: В ходе решения вынесение константы целесообразно проводить в момент перехода к повторным интегралам.

Как видите, свойство линейности справедливо не только для «обычных», но и для кратных интегралов. Интеграл от интеграла недалеко падает.

Самое главное потом при вычислениях вынесенную константу не потерять. А забывают о ней часто.

Примерный образец чистового оформления примера в конце урока.

Двойной интеграл как объем тела

Рассмотрим основной геометрический смысл двойного интеграла . Предполагаем, что функция  существует в каждой точке  плоской области .

Геометрически функция двух переменных  задаёт некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Для определенности считаем, что , то есть поверхность располагается над плоскостью .

Тогда двойной интеграл численно равен объёму цилиндрического бруса :

Что такое цилиндрический брус, думаю, всем понятно из чертежа. Плоская фигура  (заштрихована на чертеже) полностью лежит в плоскости  и брус ограничен областью  снизу. Сверху брус как раз ограничен поверхностью , которая представляет собой такую шапку. Образно говоря, плоская область  по своей границе перпендикулярными лучами вырезает из поверхности  эту шапочку.

Дополнительно поясню геометрический смысл на Примере 1. В нём мы рассматривали двойной интеграл , причём область интегрирования имела следующий вид:

Подынтегральная функция  задаёт плоскость в пространстве. Из начала координат перпендикулярно экрану монитора мысленно проведите на себя стрелку оси . В данном примере плоскость  располагается в пространстве над областью , поэтому объем тела получился положительным: . Возможно, не всем до конца понятно, о каком объеме идёт речь: из границы области  направьте на себя лучи. Эти лучи вырежут кусочек из плоскости , которая лежит над областью .

Двойной интеграл может быть и отрицательным, в таких случаях график функции  полностью (или бОльшей частью) лежит под областью . Это тоже объем тела, только со знаком минус, поскольку поверхность полностью (или бОльшей частью) лежит подкоординатной плоскостью .

Прошу прощения, пока не подыскал программы для построения трехмерных чертежей, которая бы меня устраивала, пришлось объяснять на пальцах.

Однако на практике почти всегда встречаются задачи на формальное вычисление двойных интегралов, поэтому мы продолжим совершенствовать технику вычислений:

Пример 3

Вычислить двойной интеграл , 

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

После того, как корректно выполнен чертеж и правильно найдена область интегрирования, самое время разобраться с порядком обхода.

Согласно первому способу обхода, область придется разделить на две части, при этом необходимо будет вычислить следующие интегралы:

Энтузиазма, прямо скажем, мало. Проанализируем, а не проще ли использовать второй способ обхода области? Перейдем к обратным функциям, переход здесь элементарен:

Порядок обхода области:

Таким образом:

Ну вот, совсем другое дело. И снова заметьте, что во внутреннем интеграле интегрирование осуществляется по «икс», поэтому константу  можно сразу вынести во внешний интеграл

1) Найдём внутренний интеграл:

Всё-таки подстановка пределов интегрирования, порой, выглядит своеобразно. Сначалавместо «икса» мы подставили верхний предел интегрирования , затем вместо «икса» подставили нижний предел интегрирования . Будьте внимательны при подстановках!

2) Результат предыдущего пункта подставим во внешний интеграл, при этом не забываем про , который там уже находится:

Ответ: 

Для тренировки можете попробовать вычислить двойной интеграл менее рациональным способом: . Результаты должны совпасть.

Пример 4

Вычислить двойной интеграл , 

Это пример для самостоятельного решения. Постройте область  и проанализируйте, какой способ обхода области выгоднее использовать. Полное решение и ответ в конце урока.

Усложняем задачу, теперь подынтегральная функция будет представлять собой сумму. Рассмотрим еще два примера, где я остановлюсь на приёме вычисления интеграла, который типичен и эффективен для кратных интегралов:

Пример 5

Вычислить двойной интеграл , 

Решение: Сначала рассмотрим то, чего делать не нужно – в данном случае не следует использовать свойства линейности кратного интеграла и представлять его в виде: Почему? Вычислений заметно прибавится!

Решение, как обычно, начинаем с построения области интегрирования:

Область  незамысловата, даже штриховать не буду. В данном примере, как легко заметить, не имеет особого значения порядок интегрирования, поэтому выберем первый, более привычный вариант обхода области:

Таким образом:

Здесь, в отличие от двух предыдущих примеров, из внутреннего интеграла ничего вынести нельзя, поскольку начинкой является сумма.

С повторными интегралами опять разбираемся по отдельности. Да, кстати, кто хочет посмотреть, как решать повторные интегралы одной строкой, пожалуйста, зайдите на страницу Готовые решения по высшей математике и закачайте архив с примерами решений кратных интегралов.

1) Сначала берём внутренний интеграл:

Хотелось бы остановиться на нескольких существенных моментах. Во-первых, о частном интегрировании. О нём я уже подробно рассказывал в статье Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Вкратце повторюсь:

Если интегрирование проводится по «игрек», то переменная «икс» считается константой. И наоборот.

Тем не менее, вот нашли вы первообразную  и возникли сомнения, а правильно ли она найдена? Всегда можно выполнить проверку, в данном случае следует найти частную производную по «игрек»: Получена исходная подынтегральная функция, значит, всё в порядке.

Момент второй, подстановка пределов интегрирования. По стандартной формуле Ньютона-Лейбница сначала вместо «игреков» мы подставили , а затем – нижний предел интегрирования (нули). После подстановки должны остаться только «иксы».

И, наконец, может показаться странным результат:  Ведь можно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые! В данном случае это сделать несложно, и чайникам, вероятно, лучше так и поступить. Но если будет не вторая, а 3-я или 4-ая степень? На самом деле линейную функцию в степени выгоднее проинтегрировать, не раскрывая скобок! Данный прием я уже применял и подробно комментировал во втором параграфе урока Как вычислить объем тела вращения?  Ещё раз посмотрим, как он работает:

2) Берём оставшийся внешний интеграл:

При нахождении интеграла  использован метод подведения функции под знак дифференциала. Где-нибудь возникли сомнения в правильности интегрирования? Возьмите производную по «икс» и выполните проверку!

Ответ: 

Пример 6

Вычислить двойной интеграл , 

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения, как и в разобранном примере, использован первый способ обхода области.

На практике немало примеров, где трудно (а то и невозможно) обойтись без микрокалькулятора-«дробовика». Рассмотрим практический пример на данную тему:

Пример 7

Вычислить двойной интеграл по области 

Задача будет решена двумя способами, так как готовое решение у меня уже есть =) А если серьезно, второй способ будет нужен для дополнительных важных комментариев.

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Область интегрирования тут простая, и основной гемор ожидается как раз в вычислениях.

Выберем следующий порядок  обхода области: Таким образом:

1) 

Начинающим чайникам всегда рекомендую выполнять проверку, особенно в подобных примерах: возьмите частную производную по «игрек» от первообразной  и получите подынтегральную функцию .

Будьте предельно внимательны в подстановке пределов интегрирования: сначала вместо«игреков» подставляем , затем – ноль. В оформлении вполне допустимо записать один, а не несколько нолей, как это сделано в данном примере. После подстановки должны остаться только «иксы».

2) Второй шаг прост:

Перейдём к обратной функции  и изменим порядок обхода области:

Таким образом:

1) Вычислим внутренний интеграл:

Когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Не лишней будет и промежуточная проверка, возьмём частную производную по «икс» от  найденной первообразной: Получена подынтегральная функция, что и хотелось увидеть.

Подстановка пределов интегрирования здесь сложнее: сначала вместо «иксов» подставляем 1, затем вместо «иксов» подставляем . После подстановки должны остаться только «игреки».

Степени рекомендую оставить в виде , а не преобразовывать их в корни – будет удобнее интегрировать на втором шаге:

2)

Результаты совпали, как оно и должно быть.

Легко заметить, что первый способ решения был заметно проще.  Всегда перед решением анализируйте – какой путь легче и короче.

Дроби в рассмотренном примере еще худо-бедно можно привести к общему знаменателю вручную. Но не удивляйтесь, если на практике получится ответ вроде , по крайне мере, в своей коллекции я нашел немало диких примеров, где без микрокалькулятора-«дробовика» фактически не обойтись.

Ответ: 

Ответ получился отрицательным. Геометрически это обозначает, что график подынтегральной функции   (поверхность в пространстве) полностью или бОльшей частью (не проверял) располагается ниже области интегрирования  под плоскостью .

Пример 8

Вычислить двойной интеграл по области 

Это пример для самостоятельного решения. Ответ будет целым – чтобы от своего хорошего настроения не запугать вас окончательно  =). Похожие двойные интегралы встречаются в известном задачнике Кузнецова, и по этой причине пример тоже уместен. Полное решение и ответ в конце урока.

Студенты-заочники почти всегда сталкиваются с двойными интегралами наподобие тех, которые уже рассмотрены, но никто не застрахован от творческих примеров, где в подынтегральной функции есть какие-нибудь синусы, косинусы, экспоненты и т.п.

Рассмотрим заключительные примеры на данную тему:

Пример 9

Вычислить двойной интеграл по области 

Решение: В ходе выполнения чертежа может возникнуть трудность с построением прямой , которая параллельна оси . Ничего сложного: если , то  – примерно на этом уровне и следует провести прямую.

Выполним чертёж:

После выполнения чертежа нужно выяснить, какой порядок обхода области выгоднее применить.

Рассмотрим первый способ обхода: Тогда: 

Очевидно, что первый способ является крайне неудачным, поскольку внутренний интеграл  придётся дважды брать по частям.

Но есть еще и второй способ обхода области: Следовательно: 

Выглядит гораздо привлекательнее, начинаем вычисления:

1) По формуле Ньютона-Лейбница разберемся с внутренним интегралом:

Когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Если возникают трудности с интегрированием, можно прибегнуть даже к такому способу: временно замените «игрек» конкретным числом, например, «пятёркой»:  . Теперь замените «пятёрку» обратно – «игреком»: 

И, конечно же, лучше сделать проверку, продифференцировав первообразную по «икс»:

Далее при подстановке пределов интегрирования сначала вместо «икса» подставляем , затем – ноль. После подстановки должны остаться только «игреки».

2) Полученный результат  перемещаем во внешний интеграл, не забывая, что там уже есть  и константа 4:

Второй интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала.

Ответ: 

Таким образом, выбор порядка обхода иногда зависит не только от самой области интегрирования, но и от подынтегральной функции.

Пример 10

Вычислить двойной интеграл по области 

Это пример для самостоятельного решения.

Хочется привести ещё примеры, но в первом раунде я обещал не маньячить, поэтому скрепя сердце, заканчиваю статью. Множество других примеров на вычисление двойных интегралов можно найти в соответствующем архиве на странице Готовые решения по высшей математике. Если тема проработана качественно, то рискну предположить, что многие читатели самостоятельно смогут разобраться и в тройных интегралах – принципы решения очень похожи!

Раскрою секрет хорошего настроения – в аккурат перед вторым раундом на ринг вышла симпатичная девушка с табличкой  222. С вашего позволения, заключительное мудрое пожелание:

Хорошо должно быть каждый день!

Решения и ответы:

studfiles.net

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл / Двойной интеграл / 3dstroyproekt.ru

Определение простой { правильной } области

Область $ \mathbf { \textit { D } } $ на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } } $будем называть $\textbf { простой { правильной } в направлении оси } \quad \mathbf { \textit { Oy } } $, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области $\mathbf { \textit { D } } $ и параллельная оси $\mathbf { \textit { Oy } } $, пересекает границу $\mathbf { \textit { D } } $ в двух точках.

Аналогично определяется область, $\textbf { простая { правильная } в направлении оси } \mathbf { \textit { Ox } } $: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области $\mathbf { \textit { D } } $ и параллельная оси $\mathbf { \textit { Oх } } $, пересекает границу $\mathbf { \textit { D } } $ в двух точках.

Область, правильную { простую } в направлении обеих осей, будем называть $\textbf { правильной } $.

$y=\varphi _1 (x) y=\varphi _2 (x)$ Ограниченную замкнутую область $\mathbf { \textit { D } } $, правильную в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } } $, можно описать неравенствами

$D:\left[ \begin{array} { l } a\leqslant x\leqslant b, \newline \varphi _1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi _2 (x) \newline \end{array} \right].$

Числа $\mathbf { \textit { a } } $ и $\mathbf { \textit { b } } $ существуют вследствие ограниченности области $\mathbf { \textit { D } } $, функция $\varphi _1 (x)$ образована нижними точками пересечения прямой $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { x } } _ { 0 } $ при $a<x_0 <b$ с границей области $\mathbf { \textit { D } } $, функция $\varphi _2 (x)$ — верхними точками пересечения этой прямой с границей области $\mathbf { \textit { D } } $.

Аналогичным образом область $\mathbf { \textit { D } } $, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси $\mathbf { \textit { Oх } } $, можно описать неравенствами

$D:\left[ \begin{array} { l } c\leqslant y\leqslant d, \newline \psi _1 (y)\leqslant x\leqslant \psi _2 (y) \newline \end{array} \right].$

Функция $\psi _1 (y)$ образована левыми точками пересечения прямой $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { y } } _ { 0 } $ при $c<y_0 <d$ с границей области $\mathbf { \textit { D } } $, функция $\psi _2 (y)$ — правыми точками пересечения этой прямой с границей области $\mathbf { \textit { D } } $.

$x=\psi _2 (y) x=\psi _1 (y)$ Для правильной области { т.е. области, правильной в направлении обеих осей } существуют оба способа представления:

$D:\left[ \begin{array} { l } a\leqslant x\leqslant b, \newline \varphi _1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi _2 (x) \newline \end{array} \right]$ и $D:\left[ \begin{array} { l } c\leqslant y\leqslant d, \newline \psi _1 (y)\leqslant x\leqslant \psi _2 (y) \newline \end{array} \right].$

Двукратный { повторный } интеграл

Пусть $\mathbf { \textit { D } } $ — область, простая в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } } $. Рассмотрим выражение $J(D)=\int\limits_a^b { \left( { \int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } }\right)dx } $. Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по $\mathbf { \textit { у } } $ во внутреннем интеграле { переменная $\mathbf { \textit { х } } $ при этом рассматривается как постоянная } и подстановки по $\mathbf { \textit { у } } $ в пределах от $\varphi _1 (x)$ до $\varphi _2 (x)$ получается функция, зависящая только от $\mathbf { \textit { х } } $, которая интегрируется в пределах от $\mathbf { \textit { a } } $ до $\mathbf { \textit { b } } $. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:

$$ J(D)=\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } . $$

Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:

Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь области $\mathbf { \textit { D } } $: $\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { dy } } =\int\limits_a^b { dx\cdot \left. y \right|_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } } =\int\limits_a^b { \left[ { \varphi _2 (x)-\varphi _1 (x) }\right]dx } =s(D)$;

$y=\varphi _1 (x) y=\varphi _2 (x)$ теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться — это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область $\mathbf { \textit { D } } $ разбита на две подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $ прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области $\mathbf { \textit { D } } $ равен сумме интегралов по $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $: $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$.

Первый случай:

прямая $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } _ { 1 } $ параллельна оси $\mathbf { \textit { Oy } } $. Тогда $J(D)=\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =\int\limits_a^ { a_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } $ { аддитивность внешнего интеграла } = $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$.

$y=\varphi _2 (x) y=\varphi _2 (x)$

Второй случай:

прямая $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { c } } _ { 1 } $ параллельна оси $\mathbf { \textit { Oх } } $. Воспользуемся сначала аддитивностью внешнего интеграла: $J(D)=\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } = y=\varphi _1 (x) =\int\limits_a^ { a_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { b_1 } ^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =$ { теперь применим свойство аддитивности для внутреннего интеграла в среднем слагаемом } $\textbf { = } \int\limits_a^ { a_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\left[ { \int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { с_1 } { f(x,y)dy } +\int\limits_ { с_1 } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } }\right] } +\int\limits_ { b_1 } ^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } = $ { применяем свойство линейности для внешнего интеграла в среднем слагаемом и перегруппировываем сумму } =$ =\int\limits_a^ { a_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { с_1 } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\int\limits_ { с_1 } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { b_1 } ^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =$ $ =\left [ { \int\limits_a^ { a_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\int\limits_ { с_1 } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } + } \int\limits_ { b_1 } ^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } }\right ]+ \left [ { \int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { с_1 } { f(x,y)dy } } }\right ] $

первая скобка даёт повторный интеграл по $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, вторая — по $_ { } \mathbf { \textit { D } } _ { 2 } =\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$.

Понятно, что возможны различные случаи взаимного расположения прямых $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { c } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } _ { 2 } $ и функций $y=\varphi _1 (x)$, $y=\varphi _2 (x)$, но логика доказательства во всех случаях такая же.

Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область $\mathbf { \textit { D } } $ на две подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } $. Проведём ещё одну прямую, параллельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } $ на $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и$\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $; $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } $ — на $\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 4 } $. По доказанному, $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$, $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 4 } )$, поэтому $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 4 } )$. Продолжая рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область $\mathbf { \textit { D } } $ с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } _ { n } $, то $J(D)=J(D_1 )+J(D_2 )+\ldots +J(D_n )=\sum\limits_ { i=1 } ^n { J(D_i ) } $.

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному

Пусть $\mathbf { \textit { D } } $ — простая в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } } $ область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области $\mathbf { \textit { D } } $ равен повторному интегралу от той же функции по области $\mathbf { \textit { D } } $: $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } =\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } $.

Док-во: Разобьём область $\mathbf { \textit { D } } $ с помощью прямых, параллельных координатным осям, на подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $, { \ldots } , $\mathbf { \textit { D } } _ { n } $. По доказанному выше, $J(D)=\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =\sum\limits_ { i=1 } ^n { J(D_i ) } $. К каждому из интегралов $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { i } )$ применим теорему о среднем: в любой области $\mathbf { \textit { D } } _ { i } $ найдётся точка $\mathbf { \textit { P } } _ { i } $ такая, что $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { i } )=\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } _ { i } ) \quad \mathbf { \textit { s } } (\mathbf { \textit { D } } _ { i } )$. Следовательно, $J(D)=\sum\limits_ { i=1 } ^n { f(P_i )s(D_i ) } $. В последнем равенстве справа стоит интегральная сумма для двойного интеграла $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } $. Будем мельчить разбиение области так, чтобы $d=\mathop { \max } \limits_ { i=1,2,\ldots ,n } diam(D_i )\to 0$. Вследствие непрерывности функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $, $\mathbf { \textit { y } } )$ по теореме существования интегральная сумма при этом стремится к двойному интегралу $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } $, т.е. в пределе получим $\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } $, что и требовалось доказать.

Если область $\mathbf { \textit { D } } $ правильная в направлении оси $\mathbf { \textit { Oх } } $, то аналогично доказывается формула $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } =\int\limits_с^d { dy\int\limits_ { \psi _1 (y) } ^ { \psi _2 (y) } { f(x,y)dx } } $. Если $\mathbf { \textit { D } } $ правильна в направлении обеих осей, то для вычисления двойного интеграла можно применять любую из эти формул: $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } =\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =\int\limits_с^d { dy\int\limits_ { \psi _1 (y) } ^ { \psi _2 (y) } { f(x,y)dx } } $.

Если область не является правильной, её разбивают на правильные подобласти.

3dstroyproekt.ru

Решение задач по теме «Уравнение окружности». Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Уравнение окружности с центром в точке  и радиусом  имеет вид:

 и  – это координаты точки , лежащей на этой окружности.

Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности, найдите центр окружности и ее радиус:

1.

2.

Решение

1.

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами ; радиус окружности – .

2.

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

Воспользуемся формулой квадрата суммы и разности. В обеих скобках есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами ; радиус окружности – .

Задачи с использованием метода выделения полного квадрата

Выясните, является ли данное уравнение уравнением окружности, найдите центр окружности и ее радиус:

1.

2.

Решение

1.

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

Так как  и  (квадрат выражения больше или равен нулю), то выражение в левой части уравнения больше нуля. Следовательно, это уравнение не имеет решения и не является уравнением окружности.

Доказать отсутствие решений у исходного уравнения можно также с помощью дискриминанта. Для этого рассмотрим это уравнение как квадратное относительно  с параметром .

Мы получили квадратный трехчлен с такими коэффициентами:

— коэффициент при  – ;

— коэффициент при  – ;

— свободный член зависит от параметра  – .

Найдем корни данного уравнения по известной формуле:

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

Видно, что подкоренное выражение меньше нуля. А так как подкоренное выражение равно четверти дискриминанта, то и дискриминант будет отрицательным числом.

Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

2.

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами ; радиус окружности – .

Напишите уравнение окружности, проходящей через три заданные точки.

Дано: ; ; .

Найти: уравнение окружности, проходящей через данные точки.

Решение

Уравнение окружности задается тремя параметрами , , , поэтому необходимо найти эти параметры.

Так как данные точки лежат на окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению искомой окружности. Подставим координаты точек в уравнение окружности  в общем виде:

:

:

:

Мы получили систему из трех уравнений относительно трех неизвестных:

Решим эту систему. Вычтем из третьего уравнения первое:

Разложим выражение как разность квадратов:

Подставляем найденное значение  во все три уравнения системы:

Видно, что первое и третье уравнение одинаковые, поэтому оставляем только одно из них:

Вычтем из первого уравнение второе:

Подставим найденное значение a в уравнение системы:

Радиус больше нуля, следовательно:

Мы нашли необходимые три параметра, поэтому можно выписать искомое уравнение окружности:

Ответ:  

Типовые задачи на нахождение координат точек на окружности

Задача А

Дано:  – центр окружности;  – точка на окружности (см. Рис. 1).

Найти: уравнение окружности.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение

Уравнение окружности в общем виде:

Так как координаты центра окружности , то ; . Необходимо найти  – радиус данной окружности.

Нам известны две точки, поэтому радиус определим по формуле:

Выпишем уравнение окружности:

Ответ: .

Уравнение окружности позволяет найти точки на окружности по одной из координат этих точек.

Задача Б

Дано:  – уравнение окружности; ордината искомых точек равна 3 (см. Рис. 2).

Найти: точки окружности с ординатой, равной 3.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Решение

Уравнение данной окружности , следовательно, координаты ее центра , а радиус равен 5.

На рисунке видно, что необходимо найти координаты точек  и  (абсциссы данных точек).

Точки  и  лежат на окружности, поэтому их координаты удовлетворяют уравнению этой окружности. Для этих точек известно, что их ординаты равны 3. Получаем систему уравнений:

 или

Таким образом, координаты точки , а координаты точки .

Ответ: , .

Напишите уравнение окружности, проходящей через две заданные точки , , если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

Дано:, ,  (см. Рис. 3).

Найти: уравнение окружности.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Решение

Уравнение данной окружности будет иметь следующий вид:

Нам необходимо найти  и .

1-й способ:

Так как окружность проходит через точки  и , то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставляем эти координаты в уравнение и получаем систему уравнений:

Правые части данных уравнений равны, поэтому равны и левые части:

interneturok.ru

Уравнение окружности

Пусть окружность имеет радиус , а ее центр находится в точке . Точка лежит на окружности тогда и только тогда, когда модуль вектораравен, то есть. Последнее равенство выполнено тогда и только тогда, когда

(1)

Уравнение (1) и является искомым уравнением окружности.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору

Пусть прямая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы иперпендикулярны. Векторыиперпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть. Используя формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами, уравнение искомой прямой записываем в виде

(2)

Рассмотрим пример. Найти уравнение прямой, проходящей через

середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку если координаты точек соответственно равны А(1;6), В(5;4).

Будем рассуждать следующим образом. Чтобы найти уравнение прямой мы должны знать точку, через которую эта прямая проходит, и вектор перпендикулярный этой прямой. Вектором, перпендикулярным данной прямой, будет вектор , поскольку, по условию задачи, прямая перпендикулярна отрезку АВ. Точкуопределим из условия, что прямая проходит через середину АВ. Имеем . Таким образоми уравнение примет вид.

Выясним вопрос, проходит ли эта прямая через точку М(7;3).

Имеем , значит, эта прямая не проходит через указанную точку.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору

Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору .

Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы иколинеарны. Векторыиколинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, то есть

(3)

Полученное уравнение и является уравнением искомой прямой.

Уравнение (3) представим в виде

, где принимает любые значения.

Следовательно, можем записать

, где (4)

Система уравнений (4) называется параметрическими уравнениями прямой.

Рассмотрим пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки . Мы можем построить уравнение прямой, если знаем точку и параллельный или перпендикулярный ей вектор. Точек в наличии целых две. Но если две точки лежат на прямой, то вектор, их соединяющий будет параллелен этой прямой. Поэтому воспользуемся уравнением (3), взяв в качестве вектора вектор. Получаем

(5)

Уравнение (5) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

Общее уравнение прямой

Определение. Общим уравнением линии первого порядка на плоскости называется уравнение вида , где.

Теорема. Всякая прямая на плоскости может быть задана в виде уравнения линии первого порядка, и всякое уравнение линии первого порядка является уравнением некоторой прямой на плоскости.

Первая часть этой теоремы доказывается просто. На всякой прямой можно указать некоторую точку перпендикулярный ей вектор . Тогда, согласно (2), уравнение такой прямой имеет вид. Обозначим. Тогда уравнение примет вид .

Теперь перейдем ко второй части теоремы. Пусть имеется уравнение , где. Будем считать для определенности.

Перепишем уравнение в виде:

;

;

.

Рассмотрим на плоскости точку , где. Тогда полученное уравнение имеет вид , и является уравнением прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Теорема доказана.

В процессе доказательства теоремы мы попутно доказали

Утверждение. Если имеется уравнение прямой вида , то вектор перпендикулярен данной прямой.

Уравнение вида называется общим уравнением прямой на плоскости.

Далее выведем формулу вычисления расстояния от произвольной точки плоскости до прямой, заданной общим уравнением.

Пусть имеется прямая и точка. Требуется определить расстояние от указанной точки до прямой.

Рассмотрим произвольную точку на прямой. Имеем. Расстояниеот точкидо прямой равно модулю проекции векторана вектор , перпендикулярный данной прямой. Имеем

,

преобразуя, получаем формулу:

.

Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями

, . Тогда векторы перпендикулярны первой и второй прямой соответственно. Уголмежду прямыми равен углу между векторами,.

Тогда формула для определения угла между прямыми имеет вид:

.

Условие перпендикулярности прямых имеет вид:

.

Прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда векторы колинеарны. При этомусловие совпадения прямых имеет вид: ,

а условие отсутствия пересечения записывается в виде: . Последние два условия докажите самостоятельно.

Исследуем характер поведения прямой по ее общему уравнению.

Пусть дано общее уравнение прямой . Если, то прямая проходит через начало координат.

Рассмотрим случай, когда ни один из коэффициентов не равен нулю . Уравнение перепишем в виде:

,

,

Где . Выясним смысл параметров . Найдем точки пересечения прямой с осями координат. Приимеем, а приимеем. То есть— это отрезки, которые отсекает прямая на координатных осях.Поэтому уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

В случае имеем . То есть прямая будет параллельна оси. В случае имеем . То есть прямая будет параллельна оси.

Напомним, что угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси. Пусть прямая отсекает на осиотрезоки имеет угловой коэффициент. Пусть точкалежит на данной

прямой.

Тогда ==. И уравнение прямой запишется в виде

.

Пусть прямая проходит через точку и имеет угловой коэффициент. Пусть точкалежит на этой прямой.

Тогда =.

Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом.

Пусть даны две прямые ,. Обозначим— угол между ними. Пусть,углы наклона к оси Х соответствующих прямых

Тогда =,.

Тогда условие параллельности прямых имеет вид , а условие перпендикулярности

В заключение рассмотрим две задачи.

Задача. Вершины треугольника АВС имеют координаты: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Найти: а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины А;

б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины А;

в) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А;

Определим уравнение медианы АМ.

Точка М() середина отрезка ВС.

Тогда , . Следовательно, точка М имеет координаты M(15;17). Уравнение медианы на языке аналитической геометрии это уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) параллельно вектору ={11;15}. Тогда уравнение медианы имеет вид. Длина медианы АМ=.

Уравнение высоты AS — это уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) перпендикулярно вектору ={10;4}. Тогда уравнение высоты имеет вид 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

Длина высоты — это расстояние от точки А(4;2) до прямой ВС. Данная прямая проходит через точку B(10;10) параллельно вектору ={10;4}. Ее уравнение имеет вид, 2x-5y+30=0. Расстояние AS от точки А(4;2) до прямой ВС, следовательно, равно AS=.

Для определения уравнения биссектрисы найдем вектор параллельный этой прямой. Для этого воспользуемся свойством диагонали ромба. Если от точки А отложить единичные векторы одинаково направленные с векторамии, то вектор, равный их сумме, будет параллелен биссектрисе. Тогда имеем=+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Тогда =В качестве направляющего вектора искомой прямой может служить вектор={1;1}, коллинеарный данному. Тогда уравнение искомой прямой имеет видилиx-y-2=0.

Задача. Река протекает по прямой линии, проходящей через точки А(4;3) и В(20;11). В точке С(4;8) живет Красная Шапочка, а в точке D(13;20) ее бабушка. Каждое утро Красная Шапочка берет пустое ведро из дома, идет на реку, черпает воду и относит ее бабушке. Найти самую короткую дорогу для Красной Шапочки.

Найдем точку Е, симметричную бабушке, относительно реки.

Для этого сначала найдем уравнение прямой, по которой течет река. Это уравнение можно рассматривать, как уравнение прямой, проходящей через точку А(4;3) параллельно вектору . Тогда уравнение прямой АВ имеет вид.

Далее найдем уравнение прямой DE, проходящей через точку D перпендикулярно АВ. Его можно рассматривать, как уравнение прямой, проходящей через точку D, перпендикулярно вектору . Имеем

.

Теперь найдем точку S — проекцию точки D на прямую АВ, как пересечение прямых АВ и DE. Имеем систему уравнений

.

Следовательно, точка S имеет координаты S(18;10).

Поскольку S середина отрезка DE, то .

Аналогично .

Следовательно, точка Е имеет координаты Е(23;0).

Найдем уравнение прямой СЕ, зная координаты двух точек этой прямой

.

Точку М найдем как пересечение прямых АВ и СЕ.

Имеем систему уравнений

.

Следовательно, точка М имеет координаты .

Тема 2. Понятие об уравнении поверхности в пространстве. Уравнение сферы. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости и его исследование Условие параллельности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Понятие об уравнении линии. Прямая линия в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Вначале, дадим определение понятия уравнения поверхности в пространстве.

Пусть в пространстве задана некотораяповерхность . Уравнениеназывается уравнениемповерхности , если выполнены два условия:

1.для любой точки с координатами, лежащей наповерхности, выполнено , то есть ее координаты удовлетворяют уравнениюповерхности;

2. любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению, лежит на линии.

studfiles.net

Уравнение окружности | Треугольники

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R в прямоугольной системе координат имеет вид

Доказательство:

1. Пусть в прямоугольной системе координат задана окружность с центром в точке A (a;b) и радиусом R (R>0).

Чтобы составить уравнение этой окружности, выберем на окружности произвольную точку B (x;y).

По определению окружности, расстояние от центра до любой точки окружности равно радиусу R, то есть AB=R.

По формуле расстояния между точками

откуда

Так как B (x;y) — произвольная точка окружности, координаты любой точки окружности удовлетворяют этому уравнению.

2. Если пара чисел (x_o;y_o) удовлетворяет данному уравнению, то

А это значит, что расстояние между точками C(x_o;y_o) и A(a;b) равно R. Значит, точка C(x_o;y_o) принадлежит окружности с центром в точке A(a;b) и радиусом R.

Следовательно, данное уравнение фигуры является уравнением окружности.

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

Уравнение окружности и прямой

Уравнение линии на плоскости

Введем для начала понятие уравнения линии в двумерной системе координат. Пусть в декартовой системе координат построена произвольная линия $L$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Произвольная линия в системе координат

Определение 1

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии $L$ и не удовлетворяет ни одна точка, не принадлежащая линии $L.$

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ — произвольная точка этой окружности (рис. 2).

Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат

Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то получаем $CM=r$. Тогда получим следующее

Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид

Уравнение прямой.

Выведем уравнение прямой $l$ в декартовой системе координат $xOy$. Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно, причем точки $A$ и $B$ выбраны так, что прямая $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Выберем произвольную точку $M=\{x,y\}$, принадлежащую прямой $l$ (рис. 3).

Рисунок 3. Прямая в декартовой системе координат

Так как прямая $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, то точка $M$ равноудалена от концов этого отрезка, то есть $AM=BM$.

Найдем длины данных сторон по формуле расстояния между точками:

Следовательно

Обозначим через $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c={x_2}^2+{y_2}^2-{x_1}^2-{y_1}^2$, Получаем, что уравнение прямой в декартовой системе координат имеет следующий вид:

Замечание 1

Здесь можно выделить два частных случая для уравнения прямой. Пусть прямая $l$ проходит через точку $M=\{x_0,y_0\}$, тогда

1. Если прямая $l$ параллельна оси $Ox$, то она имеет вид

   \[y=y_0\]

2. Если прямая $l$ параллельна оси $Oy$, то она имеет вид

   \[x=x_0\]

Пример задачи на нахождение уравнений линий в декартовой системе координат

Пример 1

Найти уравнение окружности с центром в точке $(2,\ 4)$. Проходящей через начало координат и прямую, параллельную оси $Ox,$ проходящей через её центр.

Решение.

Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать общее уравнение окружности (выведенное выше). Так как центр окружности лежит в точке $(2,\ 4)$, получим

Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(2,\ 4)$ до точки $(0,0)$

Получаем, уравнение окружности имеет вид:

Найдем теперь уравнение окружности, используя частный случай 1. Получим

spravochnick.ru

Окружность. Уравнение окружности

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R² = (x-a)² + (y-b)²

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2)² + (y — (-3))² = 4²
или
(x — 2)² + (y + 3)² = 16.

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение (x — 2)² + (y + 3)² = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
(x — 2)² + (y + 3)² = 16
(2 — 2)² + (3 + 3)² = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

profmeter.com.ua

7_54-63

Выделяют четыре основных типа кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

1. Окружность

Определение. Окружностью называется множество, состоящее из всех точек плоскости, находящихся на равном расстоянии R от фиксированной точки С.

Число R называется радиусом окружности, точка С – центром.

Воспользуемся определением окружности для вывода ее уравнения.

П

Рис. 5

. Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда уравнение окружности с центром в точке и радиусомR имеет вид:

каноническое уравнение окружности

В частности, уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид: .

Пример

Составить каноническое уравнение окружности, центр которой находится в точке , а диаметр.

Решение:

Найдем радиус , тогда уравнение окружности имеет вид

или .

Пример

Построить окружность по заданному уравнению . Привести каноническое уравнение к общему виду.

Решение:

П

Рис. 6

Возможно решение обратной задачи: общее уравнение преобразовать в каноническое.

2. Эллипс

Определение 1. Эллипсом называется множество, состоящее из всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек плоскости и, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

В случае, когда фокусы эллипса и расположены на оси Ox (или на оси Oy) симметрично относительно начала координат, его уравнение называется каноническим и имеет вид:

.

Обозначим через 2с расстояние между фокусами эллипса. Если a > b (a < b), то фокусы эллипса расположены на оси Ox (на оси Oy) и (cм. рис. 7). Фокусы эллипса всегда лежат на большей оси. ОтрезкиОА и ОВ называются полуосями эллипса. Точки пересечения линии эллипса с осями координат А, В, А₁, В₁ называются вершинами эллипса. Эллипс имеет две оси симметрии (в случае, если эллипс задается каноническим уравнением, оси симметрии совпадают с осями координат) и центр симметрии (в случае, если эллипс задается каноническим уравнением, центр симметрии совпадает с началом координат).

Рис. 7

Для количественной оценки формы эллипса введена величина, называемая эксцентриситетом эллипса.

Определение 2. Эксцентриситетом эллипса называется величина, равная отношению расстояния между фокусами к длине его большей оси.

Обозначим эксцентриситет эллипса через . Пусть a > b (a < b). Тогда (). Так как 0< с < a (0 < с < b) , то 0 <  < 1. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем эллипс более вытянут вдоль большей оси.

3. Гипербола

Определение 1. Гиперболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами, и отличная от нуля.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

(1)

(в случае, если фокусы и расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, см. рис. 8) или

(2)

(в случае, если фокусы и расположены на оси Оу симметрично относительно начала координат, см. рис. 9).

Гиперболы, заданные уравнениями (1) и (2), называются сопряженными относительно друг друга.

Обозначим через 2с расстояние между фокусами гиперболы. Тогда .

Рис. 8 Рис. 9

Точки А иА₁–вершиныгиперболы. ТочкиВиВ₁ –вершиныгиперболы.

Прямоугольник, составленный прямыми , называетсяосновным прямоугольником гиперболы. Его диагонали совпадают с прямыми , которые являютсяасимптотами гиперболы. Отрезки ОА = a и OB = b называются полуосями гиперболы. Ось координат, на которой расположены фокусы гиперболы (и которую пересекает гипербола) называется действительной, другая ось координат (с которой у гиперболы нет общих точек) – мнимой.

Гипербола называется равносторонней, если длины осей равны .

Форму гиперболы определяет отношение длин основного прямоугольника. Для количественной оценки формы гиперболы, как и в случае эллипса, вводится понятие эксцентриситета.

Определение 2. Эксцентриситетом гиперболы называется величина, равная отношению половины расстояния между фокусами к длине действительной полуоси.

Обозначим эксцентриситет гиперболы через . Для гиперболы, заданной уравнением (1), ; для гиперболы, заданной уравнением (2). Так как 0< а < с и 0 < b < с, то  > 1. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем основной прямоугольник гиперболы более вытянут вдоль ее оси, соединяющей вершины.

4. Парабола

Определение. Параболой называется множество, состоящее из всех точек на плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

На рисунках 10–13 представлены все простейшие случаи расположения параболы и соответствующие им канонические уравнения.

p – параметр, он равен расстоянию между фокусом и директрисой;

точка F – фокус.

Рис. 10 Рис. 11

На рис. 10 парабола ; уравнение директрисы.

На рис. 11 парабола ; уравнение директрисы.

Рис. 12 Рис. 13

На рис. 12 парабола ; уравнение директрисы.

На рис. 13 парабола ; уравнение директрисы.

Пример

По заданному каноническому уравнению построить кривую, найти координаты фокусов.

Решение:

Заданное уравнение есть уравнение эллипса, где,, следовательно,,, тогда.

На оси отметим точкии, а на осиотметимиэто вершины эллипса.

Соединим полученные точки плавной линией. Прямоугольных участков быть не должно. Эллипс – это сжатая окружность.

Найдем фокусы эллипса, так как , то фокусы располагаются на осии имеют координатыи.

Пример

Общее уравнение кривой привести к каноническому виду, построить кривую, найти координаты фокусов.

Решение:

Перенесем свободный член вправо . Разделим слагаемое уравнения на 225, получим ,это уравнение соответствует каноническому уравнению эллипса, где ,, следовательно,,, тогда.

На оси отметим точкии, а на осиотметими– это вершины эллипса.

Найдем фокусы эллипса, так как , то фокусы располагаются на осии имеют координатыи.

Пример

Дано каноническое уравнение гиперболы . Записать уравнение гиперболы, сопряженной с заданной. Найти координаты фокусов и построить обе гиперболы.

Решение:

Уравнение соответствует гиперболе, у которой действительная ось симметрии есть ось. Следовательно, уравнение сопряженной гиперболы, у которой действительная ось симметрии есть ось. Межфокусное расстояние у сопряженных гипербол одинаковое, равно, где.

Подготовка к построению сопряженных гипербол одинаковая. На осях координат строим основной прямоугольник со сторонамии. Прямоугольник строится так, чтобы точка пересечения его диагоналей совпадала с началом координат. Продолжение диагоналей являются асимптотами гиперболы. В нашем случае уравнения асимптот имеют вид:. Для уравнения заданной гиперболы вершины гиперболыи, так же как и фокусыи, находятся на оси. Линия гиперболы касается вспомогательного прямоугольника только в одной точке (вершине) и плавно стремится к асимптотам. Для уравнения сопряженной гиперболы вершины гиперболыи, так же как и фокусыи, находятся на оси.

Рис. 16

Пример

Построить по заданному уравнению параболы , определить координаты фокуса, составить уравнение директрисы.

Решение:

Данное уравнение – это уравнение параболы с осью симметрии. Для нахождения координат фокуса надо найти параметр. Сравнивая каноническое уравнение параболы и заданное уравнение , находим, откуда. Следовательно,и уравнение директрисы, а ветви параболы направлены вверх. Кроме вершинынайдем еще хотя бы 4 точки, принадлежащие данной параболе (рис. 17). Для этого составим таблицу

Пример

Привести уравнение к каноническому виду и выполнить задания предыдущего примера.

Решение:

Преобразуем уравнение к каноническому виду . Это уравнение соответствует уравнению , то есть уравнению параболы с осью симметрии. Аналогично предыдущему примерунаходим , откуда. Следовательно,и уравнение директрисы, а ветви параболы направлены влево. Кроме вершинынайдем еще хотя бы 4 точки, принадлежащие данной параболе (рис. 18). Для этого составим таблицу

62

studfiles.net

Уравнение окружности

Прежде всего, давайте вспомним, формулу расстояния между двумя точками и еще, повторим, что уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии l, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии l и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Сегодня на уроке мы попробуем по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.

В качестве линии рассмотрим окружность радиуса  с центром в точке .

Пусть центр окружности имеет координаты . Возьмем на окружности произвольную точку . Запишем формулу расстояния между точками C и M. Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с центром окружности – это радиус. Поэтому можно записать, что MC равно r. Возведем MC в квадрат и получим уравнение MC² = r². Заменим MC² квадрат на выражение  и получим, что если точка лежит на окружности с радиусом r и центром в точке C, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению . Если точка не лежит на окружности, то расстояние от этой точки до центра окружности не равно радиусу, поэтому координаты таких точек не будут удовлетворять полученному уравнению. Поэтому можно сказать, что в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C с координатами  имеет вид: .

Задача. Записать уравнение окружности с радиусом  и центром в начале координат.

Решение.

Начало координат имеет координаты (0;0). Подставим их в уравнение окружности и получим, что уравнение окружности с радиусом r и центром в начале координат имеет вид

.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего, определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 4. Получим 2.

 Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами пять три и радиусом равным двум.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего определимся с координатами центра окружности.

Это будут числа -4 и 2. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Решение. Уравнениями такого типа описываются окружности с центром в начале координат. Теперь давайте определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 9.

Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом равным 3.

Теперь давайте попробуем решить задачу обратную данным.

Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Как и в предыдущих задачах мы начнем с определения координат центра окружности. Сделать это нетрудно. Центр этой окружности совпадает с началом координат, поэтому центр окружности имеет координаты (0;0).

Нетрудно заметить, что радиус окружности равен 4.

Запишем уравнение окружности и подставим найденные значения.

Ответ: .

Решим еще одну задачу.

Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

 – центр окружности

 – радиус окружности

Ответ:.

Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

 – центр окружности

 – радиус окружности

Ответ:.

Решая задачи, мы с вами выполняли один и тоже порядок действий. Давайте еще раз повторим этот порядок.

Для того, что бы составить уравнение окружности и построить ее надо:

1. Найти координаты центра окружности.

2. Найти длину радиуса этой окружности.

3. Записать уравнение окружности.

4. Подставить полученные значения в уравнение окружности.

5. Построить окружность, если это требуется для решения задачи.

Рассмотрим еще одну задачу.

Написать уравнение окружности с диаметром эм эн, если точка эн имеет координаты два три, точка эм имеет координаты шесть три.

Задача. Написать уравнение окружности с диаметром , если , .

Решение.

Найдем координаты центра окружности. Центр окружности является серединой диаметра. Воспользуемся формулами для нахождения координат середины отрезка.

Получим, что центр окружности имеет координаты .

Теперь определим радиус окружности. Для этого найдем расстояние от центра окружности до концов диаметра.

Запишем общее уравнение окружности и подставим в него найденные значения. Тогда получим, что уравнение данной окружности имеет вид:

Ответ: .

Подведем итоги урока.

На сегодняшнем уроке мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в точке С (x₀; y₀) и радиусом r.

Также мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в начале координат и радиусом r.

Мы рассмотрели задачи на составление уравнения окружности по рисунку и на построение окружности по заданному уравнению.

videouroki.net

Исследование функции на четность и на периодичность — Мегаобучалка

Правило Лопиталя. исследование Функции.

Правило Лопиталя расскрытия неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя).

Если или (то есть, если предел отношения в точке приводит к неопределенности вида или ) и предел существует, то

.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Замечание:

1) Неопределенности вида или можно раскрыть по правилу Лопиталя, предворительно преобразовав их к виду или .

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6: Таким образом, .

Полное исследование функции

Полное исследование функции проводится по следующей схеме:

1. Нахождение области определения функции;

2. Нахождение точек разрыва, вертикальных и горизонтальных асимптот графика функции;

3. Нахождение (по возможности) точек пересечения графика функции с осями координат;

4. Исследование функции на четность и на периодичность;

5. Нахождение интервалов монотонности и экстремумов функции;

6. Нахождение интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функции;

7. Нахождение наклонной асимптоты графика функции;

8. Построение графика функции.

Пример 7:Исследовать функцию и построить ее график.

Нахождение области определения функции

Если функция задана только законом соответствия

(то есть область определения не указана), то за область определения функции берется множество { имеет смысл}. — область изменения (множество значений) функции.

1. Область определения функции: { имеет смысл} .

Нахождение точек разрыва, вертикальных и горизонтальных асимптот графика функции.

По определению непрерывности функции в точке, функция будет непрерывной в точке , если .

Если в точке функция не определена или не является непрерывной ( то есть не выполняется равенство ),

то точка называется точкой разрыва.

Так как функция является элементарной, то она непрерывна в своей области определения, то есть в интервалах

и . — точка разрыва.

Находим пределы функции на концах интервалов и :

Точка — точка разрыва II рода и прямая является вертикальной асимптотой графика функции при и ;

Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)

На этом уроке вы узнаете, как построить график функции y=f (x) + m, если известен график функции y= f(x)

На прошлом уроке мы научились график функции . Сейчас же наша задача – научиться строить график функции . Рассмотрим пример:

Дано:

у = х²(графиком данной функции будет парабола) (рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Построить:

а) у = х² + 1

б) у = х² — 1

Решение: Поясним характер кривых, их взаимное расположение поясним с помощью таблицы:

Строим график функции у = х² + 1 (рис. 2):

Рис. 2. График функции у = х² + 1

График этой функции получается с помощью сдвига вверх на 1 единицу графика исходной функции.

График же следующей функции мы получим сдвигом исходной функции вниз на 1 единицу (рис. 3):

Рис. 3. График функции у = х² – 1

Итак, чтобы построить график функции у = х² + 1, надо график исходной функции сдвинуть на 1 единицу вверх. Чтобы построить график функции у = х² – 1, необходимо график исходной функции сдвинуть на 1 единицу вниз.

Сдвиги вверх и вниз приводят к изменению множества значений. Множество значений иллюстрирует эти сдвиги:

;             

;       

Мы рассмотрели частный случай, когда к х² прибавляли или отнимали единицу. Отсюда следует правило:

Правило построения не изменится при . Правило также не изменится, если мы возьмем любую другую функцию.

Сформулируем важное для нас правило:

Чтобы получить у = f(х) + m, надо кривую у = f(x):

— сдвинуть на  единиц вверх, если m > 0,

— сдвинуть на  единиц вниз, если m < 0

Рисунок отображает графически данное правило (рис. 4):

Рис. 4. Иллюстрация правила

Дана кривая . Построить кривые: а) ; б)

Построение:

а) Строим график функции  и сдвигаем его на 1 единицу вверх (согласно правилу) (рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к задаче а)   

График функции а) построен сдвигом графика исходной функции на 1 единицу вверх.

б) Строим график функции  и сдвигаем его на 1 единицу вниз (согласно правилу) (рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к задаче б)

Кривые а) и б) построены. Сделаем некоторый анализ:

У нас есть 3 кривые (у = ; у =  и у = . Каждая из них есть гипербола. Шаблоном для всех остальных является гипербола . Но у каждой гиперболы есть свой центр симметрии. Отметим их:

(0; 0) –

(0; 1) –

(0; -1) –

Итак, построены 3 гиперболы, и для каждой из них указан центр.

Далее рассмотрим горизонтальные асимптоты:

Теперь проанализируем множества значений для каждой из функций:

Найти все значения параметра а, при которых уравнения: а) ;

б)  = а; в)  = а не имеют решений.

Решение:

а)

Ответ для этой задачи ясен сразу. Уравнение , если .

Ответ: это уравнение не имеет решений, когда .

б) Преобразуем левую часть:

=>

Эту функцию мы уже рассматривали в задаче 2. Эта функция принимает все значения, кроме 1.

Если  , то это уравнение не имеет решений.

 =  + 1 =>  =  =>  => = 1 =>  

Ответ: это уравнение не имеет решений, когда .

в) Запишем его следующим образом:

 =>

Мы только что рассматривали эту функцию в задаче 2 и выяснили, что она принимает все значения, кроме -1.

Если , то это уравнение не имеет решений.

Ответ: это уравнение не имеет решений, когда .

Дадим геометрическую интерпретацию каждой из задач (рис. 7)

Рис. 7. Иллюстрация к задачам

Итак, мы решили 3 задачи и дали иллюстрации к каждой из них.

Решить уравнение .

Решение:

Для начала попробуем решить аналитическим методом.

а) Приведем к общему знаменателю и получим:

 = 0

Дробь равна 0 тогда, и только тогда, когда числитель ( равен 0, а знаменатель (х) не равен 0. Но уравнения третьей степени мы сейчас решать не можем. Значит, единственным возможным методом остается графический.

б) Перепишем данное уравнение  

График функции как из левой, так и из пр

interneturok.ru

Где построить график функции?

Раньше, когда все работы выполнялись в тетрадках, такого вопроса, где построить график функции (в каком редакторе) не возникало. Сейчас нам больше нравится тыкать на кнопки клавиатуры, нежели писать ручками. Оформленная на компьютере работа выглядит аккуратно, а если немного приноровиться, то скорость выполнения будет выше рукописной. Каждый из нас знает в каком редакторе набрать текст, но вот с графиками дело обстоит чуть хуже. Я использую для этих целей Geogebra.  Определение с Википедии: GeoGebra — свободно распространяемая (GPL) динамическая геометрическая среда, которая даёт возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки. Скачать ее можно тут совершенно бесплатно: http://www.geogebra.org/cms/ru/

Это очень простая в использовании программа, не требующая каких либо дополнительных знаний.

Для того, чтобы скачать ее и понять как построить график функции на плоскости, вам достаточно будет пяти минут.

Если она вас заинтересует, то можно заняться ей более плотно, так как она обладает огромными возможностями.

Пример построения:

Разберем по шагам как это сделать.

Кликаем по нему. Запускается Geogebra. Открывается вот такое окно программы:

Закрываем ненужное окно таблиц, оно не понадобиться для нашего построения.

Добавляем нужные объекты: панель объектов и строку ввода.  Находятся данные пункты на вкладке Вид.

Рабочее окно программы теперь выглядит так:

Чтобы каждый раз при запуске программы не производить вышеописанные действия, необходимо сохранить настройки.

Пункт меню Настройки → Сохранить настройки.

В строке ввода пишем функцию, которую хотим построить.

Например: y=x³ . Степень вводим значком ^. Для этого на клавиатуре одновременно нажимаем [Shift] и [6].

Имеем в строке y=x^3. Жмем Enter. График функции построен.

Немного подкорректируем график: добавим подпись, линию графика сделаем чуть толще. 

Перемещая бегунок регулируем толщину линии. При желании можно выбрать другой тип линии. 

Если толщина линии по умолчанию вас не устраивает, то лучше изменить ее в настройках программы один раз, а не править для каждого графика функций.

Пункт меню Настройки → Дополнительно → Настройки по умолчанию

Не забываем после изменения, сохранить настройки.

В раскрывающимся списке выбираем «Имя и значение» для добавления подписи к построенному графику. Подпись можем перемещать мышкой вдоль графика по своему усмотрению.

Если удерживать клавишу [Ctrl]  и левую кнопку мыши, то можно перемещать рабочую область построения.

Можно изменить масштаб построения одновременно удерживая  [Ctrl] и крутя колесико мыши.

Операции перемещения и изменения масштаба можно найти и в раскрывающимся списке панели инструментов:

Построим еще один график функции, приведенный как пример в начале статьи.

В новом окне в строке ввода пишем: y=(x^2-1)/(x^2+1)

Незабываем, что «крышечка» ^ означает степень числа.

Допустим необходимо добавить на график горизонтальную асимптоту: y=1

Вводим это уравнение в строке ввода. Подкорректируем тип, толщину и цвет линии. Добавим подпись к графику.

Пока на этом все. Возникли вопросы? Пишите.  

matecos.ru

Графики функций. Простейшие построения

График функции — это наглядный образ некоторой функции f(x). Здесь каждому значению х соответствует единственное значение y. Это множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению y = f(x). График уравнения — это множество всех точек плоскости, которые удовлетворяют заданному уравнению, т.е. обращают уравнение в верное числовое равенство. Зависимость в данном случае не обязательно является функцией. Рассмотрим ряд элементарных функций, таких, как прямая, парабола, гипербола, их свойства и правила построения.

1. Прямая.

Прямая задается линейной функцией , т.е. уравнением первой степени вида y = ax + b.

при a>0 график функции возрастает (y=3x+1, a=3, a>0), при a

Рассмотрим частные случаи расположения линейных функций.

y = ax — график функции проходит через начало координат, т.е. точку О(0;0),

y = c (c = const) — график функции параллелен оси Ox,

x = c (c = const) — график функции параллелен оси Oy.

Для построения прямой достаточно получить координаты двух точек, принадлежащих заданному уравнению. 

2. Парабола.

Парабола задается квадратичной функцией вида y = ax² + bx + c.

при a > 0 ветви параболы направлены вверх,	при a < 0 ветви параболы направлены вниз.

3. Гипербола.

not found

4. Кубическая парабола.

matecos.ru

Примеры построения графиков функций

1.Построить график функции

Такая функция, задаваемая явно, но несколькими формулами, называетсякусочно заданной функцией.

Решение

Чтобы построить график этой кусочно заданной функции, нужно

• построить графики известных функций ,,;

• выделить сужение каждой из этих функций на указанное множество;

• объединить сужения в общий график.

Таким образом, график кусочно заданной функции получается компиляцией (объединением, склеиванием) «кусков» графиков известных функций.

2.Перейти от неявно заданной функцииy(x)уравнениемк явному заданию и построить график.

Решение

Решаем данное уравнение относительно y:

, где.

Получили равенство, которое каждому значению ставит в соответствие два значенияy. Можно было бы его истолковать как двузначную функцию. Но функциональная зависимость по определению однозначная, т. к. этим определением каждому значениюxставится в соответствие единственное значениеy. Поэтому нужно перейти от якобы двузначной функции к совокупности двух однозначных функций:

3.Построить график функции.

Решение

По определению модулей имеем, что

Преобразуем данную функцию, раскрыв оба модуля на каждом из промежутков знакопостоянства подмодульных выражений:

.

Строим график получившейся кусочно-заданной функции:

4.Построить график функции, заданной параметрически

Линия, описываемая этими уравнениями, называетсяциклоидой.

Решение

Построение графика любой функции, заданной параметрически, проводится поточечно с помощью таблицы соответствующих значений параметра, аргумента и функции.

Нетрудно видеть, что эта функция является периодической с наименьшим периодом .

Известно геометрическое определение циклоиды как линии, которую описывает фиксированная точка окружности радиуса R, если окружность катится без скольжения по прямой:

фиксированная точка окружности в начальный момент времени.

5.Построить график функциив полярной системе координат.

Решение

Построение линии в полярной системе координат выполняется по точкам с помощью таблицы соответствующих друг другу значений аргумента и функции. При построении таблицы учтем, что функция является четной, поэтому.

Линия, описываемая уравнением, называетсякардиоидой.

studfiles.net

XLSX в XLS | Zamzar

www.zamzar.com

Конвертеры XLSX в XLS онлайн

Если у вас возникла необходимость открыть XLSX-файл в табличном редакторе Excel старше 2007 года, документ придется конвертировать в более ранний формат — XLS. Такое преобразование можно произвести с помощью соответствующей программы либо прямо в браузере — онлайн. Как это сделать, мы и расскажем в данной статье.

Как конвертировать XLSX в XLS онлайн

Преобразование Excel-документов — дело не самое сложное, и скачивать отдельную программу для этого не очень-то хочется. Лучшим решением в таком случае можно по праву считать онлайн-конвертеры — сервисы, использующие собственные сервера для преобразования файлов. Давайте же познакомимся с лучшими из них.

Способ 1: Convertio

Данный сервис является наиболее удобным инструментом для преобразования табличных документов. Помимо файлов MS Excel, Конвертио умеет конвертировать аудио- и видеозаписи, изображения, различного рода документы, архивы, презентации, а также популярные форматы электронных книг.

Онлайн-сервис Convertio

Чтобы воспользоваться этим конвертером, регистрироваться на сайте совсем не обязательно. Преобразовать нужный нам файл можно буквально в пару кликов.

1. Сначала нужно загрузить XLSX-документ непосредственно на сервер Convertio. Для этого воспользуемся красной панелью, расположенной по центру главной страницы сайта.
   Здесь у нас есть несколько вариантов: можем выгрузить файл с компьютера, загрузить по ссылке, либо же импортировать документ с облачного хранилища Dropbox или Google Диск. Чтобы воспользоваться каким-либо из способов, кликаем на соответствующую иконку на этой же панели.

   Сразу стоит уточнить, что бесплатно можно преобразовать документ размером до 100 мегабайт. В ином случае придется покупать подписку. Впрочем, для наших целей подобный лимит более чем достаточен.

2. После загрузки документа в Convertio он сразу же появится в списке файлов для преобразования.
   Требуемый формат для конвертации — XLS — уже установлен по умолчанию (1), а статус документа объявлен как «Подготовлено». Кликаем на кнопку «Преобразовать» и ждем окончания процесса конвертирования.
3. О завершении преобразования будет свидетельствовать статус документа «Завершено». Чтобы загрузить конвертированный файл на компьютер, кликаем на кнопку «Скачать».
   
   Полученный XLS-файл можно также импортировать в одно из вышеупомянутых облачных хранилищ. Для этого в поле «Сохранить результат в» кликаем на кнопку с обозначением нужного нам сервиса.

Способ 2: Standard Converter

Этот онлайн-сервис и выглядит значительно проще, и работает с меньшим количеством форматов, нежели предыдущий. Однако для наших целей это не столь важно. Главное, что с преобразованием документов XLSX в XLS данный конвертер справляется «на отлично».

Онлайн-сервис Standard Converter

На главной странице сайта нам сразу предлагают выбрать сочетания форматов для конвертирования.

1. Интересует нас пара XLSX -> XLS, поэтому, чтобы приступить к процедуре преобразования, кликаем на соответствующую кнопку.
   
2. На открывшейся странице жмем «Выберите файл» и при помощи Проводника открываем нужный документ для загрузки на сервер.
   Затем кликаем на большую красную кнопку с надписью «Convert».
3. Процесс преобразования документа занимает всего несколько секунд, а по его окончании XLS-файл автоматически скачивается на ваш компьютер.
   

Именно благодаря сочетанию простоты и быстродействия Standard Converter можно считать одним из лучших инструментов для конвертирования файлов Excel онлайн.

Способ 3: Convert Files

Конверт Файлс — многопрофильный онлайн-конвертер, который поможет вам быстро преобразовать XLSX в XLS. Сервис также поддерживает другие форматы документов, умеет конвертировать архивы, презентации, электронные книги, видео- и аудиофайлы.

Онлайн-сервис Convert Files

Интерфейс сайта особо удобным не назовешь: основной проблемой можно считать недостаточный размер шрифта и элементов управления. Однако в целом использовать сервис можно без каких-либо затруднений.

Для того чтобы приступить к конвертированию табличного документа, нам даже не придется покидать главную страницу Convert Files.

1. Здесь находим форму «Select a file to convert».
   Эту область основных действий спутать ни с чем нельзя: среди всех элементов на странице ее выделяет заливка зеленого цвета.
2. В строке «Choose a local file» жмем на кнопку «Browse» для загрузки XLS-документа непосредственно с памяти нашего компьютера.
   Либо же импортируем файл по ссылке, указав ее в поле «or download it from».
3. После выбора .XLSX-документа в выпадающем списке «Output format» будет автоматически выбрано итоговое расширение файла — .XLS.
   Все, что нам остается — это отметить пункт «Send a download link to my email» для отправки преобразованного документа на электронный ящик (если требуется) и нажать «Convert».
4. По окончании конвертирования вы увидите сообщение о том, что файл был успешно преобразован, а также ссылку для перехода к странице загрузки итогового документа.
   Собственно, на этот «линк» и кликаем.
5. Дальше остается лишь скачать наш XLS-документ. Для этого переходим по ссылке, расположенной после надписи «Please download your converted file».
   

Вот и все действия, которые нужны для преобразования XLSX в XLS при помощи сервиса Convert Files.

Способ 4: AConvert

Данный сервис является одним из самых мощных онлайн-конвертеров, ведь помимо поддержки всевозможных форматов файлов, AConvert умеет еще и преобразовывать несколько документов одновременно.

Онлайн-сервис AConvert

Конечно же, присутствует здесь и нужная нам пара XLSX -> XLS.

1. Для преобразования табличного документа в левой части портала AConvert находим меню с поддерживаемыми видами файлов.
   В этом списке выбираем пункт «Document».
2. На открывшейся странице нас снова встречает привычная форма загрузки файла на сайт.
   
   Чтобы выгрузить XLSX-документ с компьютера, жмем на кнопку «Выберите файл» и через окно Проводника открываем локальный файл. Другой вариант — загрузка табличного документа по ссылке. Для этого в триггере слева переключаем режим на «URL» и вставляем интернет-адрес файла в появившуюся строку.
   
3. После того, как вы любым из вышеуказанных способов загрузили документ XLSX на сервер, в выпадающем списке «Target format» выберите «XLS» и нажмите кнопку «Convert Now!».
   
4. В итоге, спустя несколько секунд, ниже, в табличке «Conversion Results», мы можем наблюдать ссылку на загрузку преобразованного документа. Расположена она, как можно догадаться, в столбце «Output file».
   Можно пойти и другим путем — воспользоваться соответствующей пиктограммой в столбце «Action». Кликнув на нее, мы попадем на страницу с информацией о преобразованном файле.
   
   Отсюда же можно импортировать XLS-документ в облачное хранилище DropBox или Google Диск. А для быстрой загрузки файла на мобильное устройство нам предлагают воспользоваться QR-кодом.

Способ 5: Zamzar

Если вам быстро нужно преобразовать XLSX-документ размером до 50 Мб, почему бы не воспользоваться онлайн-решением Zamzar. Данный сервис и вовсе практически «всеядный»: поддерживается большинство существующих форматов документов, аудио, видео и электронных книг.

Онлайн-сервис Zamzar

Перейти к конвертированию XLSX в XLS можно прямо на главной странице сайта.

1. Сразу под «шапкой» с изображением хамелеонов находим панель для загрузки и подготовки файлов к преобразованию.
   При помощи вкладки «Convert Files» мы можем выгрузить документ на сайт с компьютера. А вот чтобы воспользоваться загрузкой по ссылке, придется перейти на вкладку «URL Converter». В остальном же процесс работы с сервисом для обоих способов идентичен. Для загрузки файла с компьютера жмем на кнопку «Choose Files» или перетаскиваем документ на страницу из Проводника. Ну а если файл мы хотим импортировать по ссылке, на вкладке «URL Converter» вписываем его адрес в поле «Step 1».
   
2. Дальше, в выпадающем списке раздела «Step 2» («Шаг №2») выбираем формат для преобразования документа. В нашем случае это «XLS» в группе «Document Formats».
   
3. Следующий шаг — вводим наш адрес электронной почты в поле раздела «Step 3».
   

   Именно на этот ящик в качестве вложения к письму будет отправлен преобразованный XLS-документ.

4. И наконец для запуска процесса конвертации жмем на кнопку «Convert».
   

   По окончании преобразования, как уже было сказано, файл XLS будет отправлен в качестве вложения на указанный электронный ящик. Чтобы скачивать конвертированные документы непосредственно с сайта, предлагается платная подписка, но это нам ни к чему.

Читайте также: Программы для конвертирования XLSX в XLS

Как вы могли заметить, существование онлайн-конвертеров делает совсем необязательным использование специализированных программ для преобразования табличных документов на компьютере. Все вышеперечисленные сервисы отлично справляются со своей задачей, а вот с каким из них работать — это ваш личный выбор.

Прямоугольный треугольник

Дополнительное построение, ведущее к теореме о средней линии треугольника, трапеции и свойствам подобия треугольников.

Проводим из вершины прямого угла отрезок прямой, составляющий с катетом CA угол, равный углу CAB заданного прямоугольного треугольника ABC. В результате получим равнобедренный треугольник ACM с углами при основании . Но другой треугольник, получающийся при таком построении, также будет равнобедренным, поскольку каждый его угол при основании равен (по свойству углов прямоугольного треугольника и по построению — из прямого угла «вычли» угол ). В силу того, что треугольники BMC и AMC равнобедренные с общей стороной MC имеем равенство MB=MA=MC, т.е. MC – медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, и она равна половине гипотенузы.
Следствие 1. Середина гипотенузы является центром окружности, описанной вокруг этого треугольника, поскольку получилось, что середина гипотенузы равноудалена от вершин прямоугольного треугольника.
Следствие 2. Средняя линия прямоугольного треугольника, соединяющая середину гипотенузы и середину катета, параллельна противоположному катету и равна его половине.
Опустим в равнобедренных треугольниках BMC и AMC высоты MH и MG на основания. Поскольку в равнобедренном треугольнике, высота, опущенная на основание, является также и медианой (и биссектрисой), то MH и MG –линии прямоугольного треугольника, соединяющие середину гипотенузы с серединами катетов. По построению они оказываются параллельными противоположным катетам и равные их половинам, поскольку треугольники равны MHC и MGC равны (причем MHCG – прямоугольник). Этот результат является основанием для доказательства теоремы о средней линии произвольного треугольника и, далее, средней линии трапеции и свойства пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на двух пересекающих их прямых.

Все прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом — подобны. Взгляд на тригонометрические функции.

Пример дополнительного построения — высота, опущенная на гипотенузу. Вывод теоремы Пифагора на основе подобия треугольников.

basharov.me

Признаки подобия треугольников. Средняя линия.

Тестирование онлайн

• Подобие треугольников

• Пропорциональные отрезки в треугольнике

Определение

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Признаки подобия треугольников

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Теорема. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

fizmat.by

math-public:srednyaya_liniya_treugolnika [Президентский ФМЛ №239]

Определение

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

Доказательство

Рассмотрим $\triangle ABC$, с основанием $AC$ и средней линией $MN$.

Докажем, что $MN\parallel AC$ и $MN=\dfrac{1}{2}\cdot AC$.

На прямой $MN$ за точкой $N$ выберем точку $D$ так, чтобы выполнялось $MN=ND$.

Тогда $\triangle BMN=\triangle NDC$ по первому признаку равенства ($BN=NC, MN=ND$, $\angle BNM=\angle DNC$).

Тогда $\angle 1=\angle 2$, следовательно, $AB\parallel DC$.

Кроме того, из равенства треугольников следует, что $MB=DC$.

Но $MB=MA$, следовательно $MA=DC$.

Тогда $AMDC$ – параллелограмм ($DC=MA$, $MA\parallel DC$).

Следовательно, $MD\parallel AC$ и $AC=MD=2\cdot MN$.

Признаки средней линии треугольника

1. Если в треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина стороны $AB$, а точка $N$ принадлежит стороне $BC$, и при этом $MN\parallel AC$, то $MN$ – средняя линия.

2. Если в треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ принадлежат сторонам $AB$ и $BC$ соответственно, при этом $MN\parallel AC$ и $2|MN|=|AC|$, то $MN$ – средняя линия.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим $\triangle ABC$, в котором $M$ – середина $AB$, $N$ лежит на стороне $BC$, $MN\parallel AC$.

Докажем, что $MN$ – средняя линия.

Выберем на прямой $MN$ за точкой $N$ такую точку $D$, что $MD=AC$.

Тогда $AMDC$ – параллелограмм ($AC=MD$, $AC\parallel MD$).

Следовательно, $\angle B=\angle 3, \angle 1=\angle 2$, так как $AM\parallel CD$.

Кроме того $AM=DC$, как противоположные стороны параллелограмма.

Следовательно, $BM=MA=DC$.

Тогда $\triangle BMN=\triangle NDC$ по второму признаку равенства.

Следовательно, $BN=NC$, то есть $MN$ – средняя линия.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором на сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно так, что $MN\parallel AC$ и $2\cdot MN=AC$.

Докажем, что тогда $MN$ – средняя линия треугольника $ABC$.

Пусть $D$ – это середина $AC$. Тогда $MNCD$ – параллелограмм ($MN=DC$, $MN\parallel DC$).

Следовательно, $MD\parallel NC$.

Тогда $\angle 1=\angle C=\angle 2$, как соответственные при параллельных прямых.

Кроме того $\angle A=\angle 3$.

Следовательно, $\triangle BMN=\triangle AMD$ по второму признаку равенства.

Тогда $BM=MA$ и $BN=MD=NC$, то есть $MN$ – средняя линия $\triangle ABC$.

Замечание

Третий признак средней линии неверен.

math-public/srednyaya_liniya_treugolnika.txt · Последние изменения: 2016/04/13 19:46 — labreslav

wiki.sch239.net

Треугольник — ov1098s Jimdo-Page!

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

1. По двум катетам.

2. По катету и гипотенузе.

3. По гипотенузе и острому углу.

4. По катету и острому углу.

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов.

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.

3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180(n-2).

4. Сумма внешних углов n-угольника равна 360 градусов.

5. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90.

6. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.

3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр м наклонные, то

1)перпендикуляр короче наклонных

2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

1. Медианы  треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки пропорциональные двум другим сторонам.

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или косинус прилежащего к этому катету острого угла.

2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.

4. R=c:2;  r=(a+b-c):2=p-с, где a,b-катеты, а с-гипотенуза; R-радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности, p- полупериметр.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

 

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

площадь треугольника.doc

Microsoft Word Document 17.5 KB

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого параллельны.

1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.

4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

5. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

6. Если две противоположные стороны четырехугольника равны  и параллельны,то этот четырехугольник — параллелограмм.

7. Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам,то этот четырехугольник — параллелограмм.

Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырехугольника.

Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.

1. Диагонали прямоугольника равны.

2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

1. Диагонали ромба перпендикулярны.

2. Диагонали ромба делят его углы пополам.

3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это параллелограмм-ромб.

4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм-ромб.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны ( основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме оснований.

1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

2.Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.

3. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.

4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

6. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

7. Формула Герона для четырехугольника, около которого можно описать окружность

формула Герона.doc

Microsoft Word Document 16.0 KB

1. Отношение соответствующих линейных размеров подобных фигур равно коэффициенту подобия.

2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

правильный многоугольник.doc

Microsoft Word Document 16.0 KB

Окружностью называется множество точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же расстояние.

1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

2. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

3. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

4. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

5. Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.

6. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

7. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

8. Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.

9. Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.

1. Касательная перепндикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая а, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая а-касательная к окружности.

3. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в точках А и В, то МА=МВ, и угол АМО равен углу ВМО, где О-центр окружности.

4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания).

1. Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.

2. Окружности радиусов r и R с центрами А и В касаются внешним образом тогда и только тогда, когда r+R=AB.

3. Окружности радиусов r и R (r<R) с центрами А и В касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R-r=AB.

4. Окружности с центрами M и N касаютя внешним образом в точке К. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А и В и пересекается с общей касательной, проходящей через точку К, в точке С. Тогда углы АКВ и MCN  равны по 90 градусов.

1. Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на нее опирающегося.

2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и  ту же дугу, равны.

4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.

5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

6. Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

1. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

2. Произведения длин отрезков хорд АВ и CD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть АЕ*ЕВ=СЕ*ЕD.

1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

2.Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника-середина гипотенузы.

3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

4. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусов.

5. Если сумма противоположных улов четырехугольника равна 180 градусов, то около него можно описать окружность.

6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.

7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности, есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.

8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.

1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

2. Произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

ov1098.jimdo.com

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

Основные понятия

Вспомним для начала определения четной, нечетной и периодической функции.

Определение 1

Нечетная функция — функция, которая меняет свое значение на противоположное при изменении знака независимой переменной:

3 Доллара в Рублях

calculator888.ru

2 Доллара в Рублях

calculator888.ru

Что выходит за четверть?. Страница 1 из 97.

www.habit.ru

Площадь фигуры — Википедия. Что такое Площадь фигуры

wiki.sc

Определение площади

Площадь это: