Рубрика: Школьная жизнь

Вычислить сумму ряда

Выберите переменную: x y z n k m

Выберите нижний предел Ввести самому + Бесконечность — Бесконечность 0 и верхний предел Ввести самому + Бесконечность — Бесконечность

Данный калькулятор по вычислению суммы ряда построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Нахождение суммы ряда онлайн

Сумма ряда

Matematikam.ru позволяет найти сумму ряда онлайн числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн найдет частичную сумму ряда. Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда. По сравнению с другими сайтами, matematikam.ru обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн не только числового, но и функционального ряда, что позволит определить область сходимости исходного ряда, применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов, необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн. Если ряд не сходится, то matematikam.ru укажет на это, выдав соответствующее сообщение. Для определения сходимости рядов онлайн найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда. Наиболее известные и часто применяемые из них — это признаки Д’Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов, а также интегральный признак сходимости числового ряда. Особое место среди числовых рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда онлайн, а также разложения функций вряд в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.matematikam.ru такой проблемы не существует.

Похожие сервисы:

matematikam.ru

Сумма ряда онлайн

www.matcabi.net позволяет найти сумму ряда онлайн числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн найдет частичную сумму ряда. Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда. По сравнению с другими сайтами, www.matcabi.net обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн не только числового, но и функционального ряда, что позволит определить область сходимости исходного ряда, применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов, необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн. Если числовой ряд онлайн не сходится, то www.matcabi.net укажет на это, выдав соответствующее сообщение. Для определения сходимости рядов онлайн найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда. Наиболее известные и часто применяемые из них — это признаки Д’Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов, а также интегральный признак сходимости числового ряда. Особое место среди числовых рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда онлайн, а также разложения функций вряд в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.matcabi.net такой проблемы не существует.

www.matcabi.net

Числовые ряды онлайн калькулятор с решением: последовательность формулы

Сумма ряда

С помощью данного онлайн калькулятора можно находить суммы рядов, определять их сходимость, абсолютную и условную. Ряд — это последовательность чисел (либо функций — для функциональных рядов), которые связаны между собой определенным законом. Сумма членов ряда это и есть сумма ряда. Для доказательства того, что такая сумма существует (то есть она не равна бесконечности) можно использовать принципы сходимости числовых рядов — принцип Коши, принцип Доламбера и т.д. После доказательства того, что ряд сходится вычислить сумму числового ряда уже необходимо индивидуально. Для геометрической прогрессии, например, сумма вычисляется по формуле:

Найти сумму ряда онлайн

На нашем сайте вы можете вычислить сумму ряда онлайн. Всегда быстро, надежно, бесплатно. Удобный интерфейс для ввода рядов, задание начального и конечного значения элементов. Возможность находить сумму функционального ряда, использование буквенных констант. На практике студенты имеют дело с числовыми рядами довольно часто. Они широко используются в приближенных вычислениях (вычисление интегралов не имеющих аналитического решения, выполнение математических действий, решение дифференциальных уравнений и т.д.). А про функциональные ряды наподобие ряда Тейлора или ряда Фурье и говорить не приходится. С помощью нашего калькулятора определить сумму ряда теперь не проблема.

Определение числовой последовательности

Определения
Численная последовательность Вызывается серия номеров.

свойство
Код числовой последовательности: (an), (bn), (xn) и т. Д.

(an) = {1, 2, 3, 4, …, n, …} = N. Здесь a1 = 1, a2 = 2, a100 = 100.

(bn) = {-18, 23, 11, -4, 35, …}.

Здесь b1 = -18, b5 = 35.

Серия компьютеров

правила
Окончательная последовательность — содержит ограниченное количество терминов.

Бесконечная последовательность — Он содержит бесконечное число членов.

Примеры решений
(an) = {1, 5, 8} — конечная последовательность (3 выражения).

(bn) = {10, -10. 10.-10, 10, …} — бесконечная последовательность.

правило
Восходящая последовательность — a + 1> a для каждого n N, m, e, каждый из следующих членов больше предыдущего.

Входящая последовательность — a + 1 N, например.

каждый последующий термин меньше предыдущего.

Примеры решений
1)  -12; 14,5; 18; 40; … является восходящей последовательностью;

2)  4; 2; -1; -7; -11; … последовательность уменьшается;

3)  -3; 2; -1; -4; 5; 3; -9 — не растет и не уменьшается;

4)  6; 6; 6; 6; 6; — стационарная (постоянная) последовательность.

правило
! Увеличение и уменьшение строго однообразный последовательность.

Рассчитать количество онлайн-сериалов

Функция ограничения

Введите функцию и точку, для которой вы хотите вычислить предел

Сайт предлагает подробное решение для поиска ограничений по функциям.

Мы будем вычислять границы функций в точке.

Указанная функция f (x). Мы вычисляем ваш предел по точке x0

Правила ввода терминов и функций

Выражения могут состоять из функций (запись в алфавитном порядке):

абсолютный (x) Абсолютное значение х
(модуль х или | x |) arccos (x) Функция — аркоксин из хarccosh (x) Арксозин является гиперболическим из хarcsin (x) Отдельный сын хarcsinh (x) HyperX гиперболический хarctg (x) Функция — арктангенс из хarctgh (x) Арктангенс является гиперболическим хее число — около 2,7 exp (x) Функция — показатель х (как е^х) log (x) или ln (x) Естественный логарифм х
(Да log7 (x), Необходимо ввести log (x) / log (7) (или, например, для log10 (x)= log (x) / log (10)) пи Число «Pi», которое составляет около 3,14 sin (x) Функция — Синус хcos (x) Функция — Конус от хsinh (x) Функция — Синус гиперболический хcosh (x) Функция — косинус-гиперболический хsqrt (x) Функция представляет собой квадратный корень из хsqr (x) или x ^ 2 Функция — квадрат хtg (x) Функция — Тангенс от хtgh (x) Функция — касательная гиперболическая от хcbrt (x) Функция представляет собой кубический корень хпочва (х) Функция округления х на нижней стороне (пример почвы (4.5) == 4.0) символ (x) Функция — символ хerf (x) Функция ошибки (Лаплас или интеграл вероятности)

Следующие операции можно использовать в терминах:

Реальные числа введите в форму 7,5, не 7,52 * x — умножение 3 / x — разделение x ^ 3 — eksponentiacija x + 7 — Кроме того, x — 6 — обратный отсчет

Сумма ряда

Введите данные для расчета суммы партии

Найдем сумму многих чисел.

Найдите сумму серии в Интернете

Если это не найдено, система рассчитывает сумму партии с определенной точностью.

Серия сходимости

Этот калькулятор может определить, сходится ли партия, он также показывает, какие критерии сходимости работают, а какие нет.

Он также знает, как определить сходимость степенных рядов.

Она также написала серию, где вы можете увидеть степень сходимости ряда (или расхождения).

Правила ввода терминов и функций

Выражения могут состоять из функций (запись в алфавитном порядке):

абсолютный (x) Абсолютное значение х
(модуль х или | x |) arccos (x) Функция — аркоксин из хarccosh (x) Арксозин является гиперболическим из хarcsin (x) Отдельный сын хarcsinh (x) HyperX гиперболический хarctg (x) Функция — арктангенс из хarctgh (x) Арктангенс является гиперболическим хее число — около 2,7 exp (x) Функция — показатель х (как е^х) log (x) или ln (x) Естественный логарифм х
(Да log7 (x), Необходимо ввести log (x) / log (7) (или, например, для log10 (x)= log (x) / log (10)) пи Число «Pi», которое составляет около 3,14 sin (x) Функция — Синус хcos (x) Функция — Конус от хsinh (x) Функция — Синус гиперболический хcosh (x) Функция — косинус-гиперболический хsqrt (x) Функция представляет собой квадратный корень из хsqr (x) или x ^ 2 Функция — квадрат хtg (x) Функция — Тангенс от хtgh (x) Функция — касательная гиперболическая от хcbrt (x) Функция представляет собой кубический корень хпочва (х) Функция округления х на нижней стороне (пример почвы (4.5) == 4.0) символ (x) Функция — символ хerf (x) Функция ошибки (Лаплас или интеграл вероятности)

Следующие операции можно использовать в терминах:

Реальные числа введите в форму 7,5, не 7,52 * x — умножение 3 / x — разделение x ^ 3 — eksponentiacija x + 7 — Кроме того, x — 6 — обратный отсчет

Серия сходимости

Общий член ряда является рациональной частью. Фракцию разлагают на антитело с использованием метода неопределенных коэффициентов:

Выберите счетчик счетчиков счетчика для первой части:

Развернуть скобки:

Теперь мы находим, что находим неизвестные коэффициенты:

После продолжения общий член ряда записывается следующим образом:

Затем мы составим частичную сумму ряда: 

Вместе мы получаем:

Для кадров мы страдаем одной секундой:

Заметим, что в скобках есть похожие выражения, которые взаимно уничтожают друг друга. Только два:

По-прежнему необходимо рассчитать предел частичной суммы. Если есть и закончено, то сумма ряда и сама серия сходится:

Сходимость ряда чисел

Забронированная сумма

Рассчитанная сумма для отпуска и длинных услуг на счетах потребителей не распространяется, но вычитается полностью на счет созданного резерва. [1]

Начисленные суммы представляют собой неоплаченные расходы, которые компания включила в отчет о прибылях и убытках.

Обычно это суммы, выплачиваемые через определенные промежутки времени, такие как заработная плата, заработная плата, государственные услуги и вычет подоходного налога с доходов. Например, если баланс находится в середине периода оплаты, платеж в эту дату отображается как сумма, начисленная. [2]

Рассчитанная сумма для отпуска и длинных услуг на счетах потребителей не распространяется, но вычитается полностью на счет созданного резерва.

 [3]

Предварительно выставленные суммы пенсии, которые пенсионер не требует в установленные сроки, уплачиваются за последние три года до подачи пенсионного требования. [4]

Оплаченная страховая сумма должна распределяться среди сотрудников самозанятых бригад в соответствии с установленной тарифной ставкой и временем работы. [6]

Расчетная сумма выручки облагается НДС.

 [7]

Предварительно выставленные суммы пенсии, которые не требуются пенсионерам своевременно, выплачиваются в прошлом не более чем за 3 года до подачи пенсионного требования. [8]

Предварительно выставленные суммы пенсии, которые пенсионер не требует в срок, уплачиваются за последние 3 года до подачи требования о выплате пенсии.

 [9]

Уплаченная пенсия — это сумма, которую пенсионер не выплачивает своевременно, в течение последнего времени, но не более 3 лет (пенсионеры, получающие пенсию в соответствии с Законом о пенсиях и дополнениях для членов колхозов, 15 июля 1964 года — не более 1 года), прежде чем обращаться за пенсией.

Суммы пенсий, которые не были получены в установленный срок по вине органа, назначающего или выплачивающего пенсию, выдается без ограничений в прошлом.

 [10]

Рассчитанные суммы выплат за отпуск облагаются налогом так же, как и предоплаченные зарплаты. [11]

Начисленные суммы пособий и средств для возмещения дополнительных затрат, которые не были получены процессором своевременно, оплачиваются просроченными, но не более одного года. [12]

Начисленные суммы пособий и средств на возмещение дополнительных расходов, которые они не получили в результате ошибки органа, назначенного и оплаченного ими, выплачиваются на протяжении всего прошедшего периода.

 [13]

Уплаченная пенсия — это сумма, которую пенсионер не выплачивает своевременно, в течение последнего времени, но не более 3 лет (пенсионеры, получающие пенсию в соответствии с Законом о пенсиях и дополнениях для членов колхозов, 15 июля 1964 года — не более 1 года), прежде чем обращаться за пенсией. Размер пенсии не получает своевременно органом, назначается или выплачивается пенсия, он выдается недавно без каких-либо ограничений.

 [14]

Платные пенсионные суммы, которые не требуются пенсионерам своевременно, подлежат оплате в течение периода, не превышающего одного года до подачи заявки на получение пенсии. [15]

Страницы: 1 2 3

vipstylelife.ru

Сумма математического ряда произвольного выражения онлайн

Данный сервис позволяет Вам легко оценить к чему стремится тот или иной ряд, заданный определенной функцией.

Функцией может быть любое математическое выражение написаное так, как это используется в универсальном калькуляторе комплексных чисел.

Не секрет, что все ряды  можно разделить по признаку сходимости, то есть есть ряды сходящиеся к какому то значению, и есть расходящиеся, которые такого предела не имеют.

Например, любой степенной ряд всегда  сходится.

Записав в исходное поле корректное математическое выражение с переменной x, где x — меняется от 1 до бесконечности, калькулятор высчитывает  промежуточные значения на первых ста членах рядах, потом 500, потом 1000 и так далее.

Сумма ряда выше 10 тысяч не производится, так как  связано  с большим объемом вычислений, а альтернатива — интегрирование, пока не входит в функционал онлайн сервиса этого сайта.

Несмотря на это промежуточные вычисления в общих чертах позволят оценить стремление к тому или иному значению.

Калькулятор доработан для расчетов суммы ряда, в том числе и для комплексных выражений. На примерах это будет видно

Чему равна сумма ряда  

Пишем 1/x/x

Ответ

Для проверки правильный ответ:  PI^2/6=1.6449340668482

Внимание:

Учитывайте что первый  элемент ряда равен 1.

То есть система начинает считать схождение ряда от единицы, а не от нуля как это могут предполагать.

Пример сумма от 0 до бесконечности ряда заданная формулой    равна двум

Но если мы считаем  здесь  и задаем эту формулу в виде 1/2^x то в результате мы получим  1 так как суммирование идет с 1 элемента, а не с нулевого.

Еще один пример с комплексными числами

К чему стремится сумма ряда состяощая из элементов 

Как видите ряд расходящийся.

Но если элемент ряда равен  то сумма ряда стремится к числу

Удачных расчетов!!

• Транспозиция двух множеств онлайн >>

abakbot.ru

Числовые ряды. Сумма ряда.

Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.

где u_1,u_2,u₃…., u_n…–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом.

Числа u_1,u_2,u₃…., u_n… называют членами ряда, а u_n– общий член ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.

S_n= u₁ + u₂ +… + u_n,

т.е. S₁= u₁; S₂= u₁+ u₂

S_n= u₁+ u₂+…+ u_n

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы S_nпри n, то есть

Число S называется суммой ряда.

В противном случае:

Тогда ряд называется расходящимся.

Эталонные ряды.

1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)

.

.

Пример.

2. Гармонический ряд.

3. Обобщенный гармонический ряд.

Пример.

.

Признаки сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1. Необходимый признак сходимости.

C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.

Пример.

Достаточные признаки

Теорема 1.Признак сравнения рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда:

и

Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Пример. Исследовать ряд на сходимость:

Сравним этот ряд с геометрическим рядом:

Сравним ряды:

и так далее.

Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.

Теорема 2. Признак Даламбера.

1. при

2. при

3. при вопрос о сходимости остается открытым.

Пример. Исследовать на сходимость ряд:

по признаку Даламберу ряд сходится.

Теорема 3.Радикальный признак Коши.

1) при

2) при

3) при вопрос о сходимости остается открытым.

Пример: исследовать на сходимость числовой ряд:

Решение:

Следовательно, ряд сходится по Коши.

Теорема 4. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда

положительны и не возрастают, то есть и являются значениями непрерывной невозрастающей функцииf(x) при x= 1, 2, …, n.

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:

Пример.

Решение:

Следовательно, ряд расходится, так как расходится несобственный интеграл.

Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.

Ряд называется знакопеременным, если любой его член может быть, как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим знакочередующиеся ряды:

Теорема 1. Признак Лейбница (достаточный признак).

Если у знакочередующегося ряда

члены убывают по абсолютной величине, то есть и

то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена, то есть S ≤.

Пример.

Решение:

Применим признак Лейбница:

.

Следовательно, ряд сходится по Лейбницу.

Теорема 2. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то данный знакопеременный ряд сходится.

Пример: исследовать ряд на сходимость:

Решение:

из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, как обобщенный гармонический ряд при .

Следовательно, исходный ряд сходится.

Этот признак является достаточным, но не необходимым, то есть существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, хотя ряды, составленные из абсолютных величин, расходятся.

Определение 1. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2.Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Отличие между ними в том, что абсолютно сходящийся ряд сходится из-за того, что его члены быстро убывают, а условно сходящийся ряд сходится из-за того, что положительные и отрицательные члены уничтожают друг друга.

Пример.

Решение:

Применим признак Лейбница:

Следовательно, ряд сходится по Лейбницу. Но ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится, как гармонический.

Значит, исходный ряд сходится условно.

studfiles.net

Как исследовать сходимость числового ряда в Wolfram|Alpha

Например, чтобы просто узнать сходится или расходится данный числовой ряд, можно обратится к  Wolfram|Alpha на «естественном языке» — одним из следующих способов:

Результат «True» означает, что данный ряд сходится. Результат «False» будет означать, что ряд расходится:

convergence ((n+1)!*7^n)/n^2

Однако, Вы, конечно, помните, что числовой ряд, это — сумма членов бесконечной числовой последовательности. Значит, для исследования числового ряда можно использовать запрос Sum , который дает больше информации:

При использовании запроса Sum Wolfram|Alpha последовательно применяет доступные алгоритмы проверки признаков сходимости, пока не будет получен ответ. Это хорошо видно на следующем примере (гармонический ряд):

В том случае, когда числовой ряд сходится (а, это значит, что существует его сумма), Wolfram|Alpha по запросу Sum выводит также и сумму данного ряда:

В рассмотренных выше примерах исследовались числовые ряды с положительными членами.

Теперь рассмотрим знакочередующийся ряд:

P.S.

Обратите внимание, что Wolfram|Alpha не всегда хватает отведенного лимита времени, чтобы вывести полный результат. Поэтому, в отдельных случаях (для уверенности) стоит повторить исследование сходимости ряда несколько раз подряд.

www.wolframalpha-ru.com

Уравнения на умножение

Разделы: Начальная школа

Основные цели.

1) Формировать умение строить алгоритм на примере построения алгоритма решения простых уравнений на умножение, формировать умение использовать построенный алгоритм при решении уравнения.

2) Тренировать вычислительный навык, решать текстовые задачи.

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, синтез, сравнение, аналогия.

Ход урока

1 этап. Мотивация к учебной деятельности

Цели:

1) мотивировать учащихся к учебной деятельности,

2) определить содержательные рамки урока .

Организация учебного процесса на этапе 1:

— Какую тему мы сейчас изучаем на уроках математики? (Умножение и деление)

— В каких заданиях применяем эти действия? (В решении примеров, задач)

— Хотите узнать, какие еще есть задания, в которых мы можем использовать эти действия? (Да)

Ребята, посмотрите, кто сегодня пришел к нам на урок? Вы их узнали? Что вы знаете об этих героях? (…)

(Появляются знаки вопроса). Что происходит? Колобки озадачены и расстроены. Они хотели выполнить задание, а у них впервые не получилось. Они не знают, как открывать новые знания. Поможем? (…)

А можно ли приниматься за работу с таким настроением, как у колобков? (Нельзя, не будет результата)

Давайте улыбнемся друг другу и пожелаем удачи! Ну что же, будем действовать по плану открытия нового знания. Вам он хорошо знаком.

Цели:

1) актуализация изученных способов действий, достаточных для построения, их вербальная и знаковая фиксация и обобщение;

2) актуализация мыслительных и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;

3) мотивация к пробному учебному действию и его самостоятельному осуществлению;

4) фиксация учащимися индивидуальных затруднений в выполнении пробного учебного действия или его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1) Актуализация формул нахождения площади и неизвестной стороны прямоугольника.

С чего начнем? (С повторения). Мы должны повторить все, что знаем? (Нет, только то, что нам пригодится для открытия нового знания)

— Что нужно найти в этом задании? (Площадь прямоугольника)

— Как найти площадь прямоугольника? (Чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину)

Появляется формула площади.

— Найдите площадь.

Учащиеся выполняют задание.

— Чему равна площадь? (18 кв. м)

— Кто получил другой ответ?

— В чем ваша ошибка?

— Как найти неизвестную сторону прямоугольника? (Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника надо площадь разделить на известную сторону)

— Появляется формула нахождения неизвестной стороны прямоугольника.

— Составьте обратную задачу, в которой нужно найти длину прямоугольника (…)

— Запишем решение обратной задачи.

Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18 :3=6(м) – длина

— Теперь составьте другую обратную задачу.

Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18:6=3 (м) – ширина

У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с повторением. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +).

2) Актуализация алгоритма решения уравнений на сложение и вычитание.

— Запишите: сумма Х + 5 равна 7. Как можно назвать эту запись? (Уравнение)

— Что такое уравнение? (Равенство, в котором есть неизвестное число, называют уравнением)

— Что поможет нам решить это уравнение? (Эталон решения уравнений на сложение)

 Один ученик у доски с комментированием. (Обозначу компоненты уравнения, подчеркну части, целое (сумму) обведу. Вижу, что неизвестна часть. Чтобы найти неизвестную часть, надо из суммы вычесть известную часть.

У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с повторением. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (- и +).

— Почему мы повторили именно это? (Это пригодится нам для открытия нового знания)

— Какой следующий шаг? (Пробное действие) Для чего оно нужно? (Чтобы понять, чего мы не знаем)

Учитель раздает учащимся карточки с заданием для пробного действия:

— Какое задание нужно выполнить? (Решить уравнение)

— С каким действием? (С умножением)

— А что нового в этом задании? (Мы не решали уравнения на умножение)

Попробуйте выполнить это задание. (30 сек.)

— Кто не выполнил задание?

Что вы не смогли сделать? (Мы не смогли решить уравнение)

— Кто нашел корень уравнения? Какие результаты у вас получились?

Учитель фиксирует результаты на доске рядом с пробным действием

— Обоснуйте свое мнение.

Что вы не можете сделать? (Мы не можем обосновать свой ответ.)

У вас возникло… (затруднение). Поставим… (знак вопроса) рядом с пробным действием на маршрутном листе.

— Какой следующий шаг на уроке? (Разобраться, в чем у нас затруднение)

— А раз возникло затруднение, надо…(Остановиться и подумать)

Цели:

1) восстановить выполненные операции и зафиксировать место затруднения;

2) соотнести свои действия с используемым способом действий и на этой основе выявить и зафиксировать во внешней речи причину затруднения.

Организация учебного процесса на этапе 3:

— Какое задание вы должны были выполнить? (Мы должны были решить уравнение на умножение)

— Ка

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Карточка по математике 2 класс по темам «Уравнения», «Умножение и деление»

Ф.И._____________________

1.Запиши выражения и вычисли.

б) Произведение чисел 2 и 5

в) По 3 взяли 5 раз

г) 8 увеличь на 2

д) 8 увеличить в 2 раза

е) Разность чисел 48 и 12

ё) Делимое 10, делитель — 6

ж) Число 74 увеличить на 7

з) Сумма чисел 26 и 13

и) Частное чисел 2 и 6

к) Число 98 уменьшить на 6

л) На сколько число 52 больше числа 27?

83+y=97

x+26=62

43-y=18

3. Отрезок, длина которого равна 8 см, уменьши на 4 см. Начерти полученный отрезок.

7.Сравни величины.

6м 1см…61см

4см 3мм…43мм

2м 2см…21дм

7дм 3мм…75мм

5дм 2см…3м

5см 7мм…47см

3м 9см…31дм

8.Вставь знаки < > =

9 × 2 …2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 3 × 9 + 9 … 9 × 4 8×8 … 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

7 × 2 … 2 + 2 + 2 + 2 7 × 6 … 7 × 3 + 7 + 7 + 7 9×2 + 9 + 9 + 9 … 9 + 9 + 9 + 9

9.Реши задачи.

Почтальону надо было разнести 46 писем. В первый дом он отнёс 7 писем, во второй – 9 писем. Сколько писем осталось разнести почтальону?

Бабушка принесла с огорода 14 огурцов и 6 помидоров. Для салата взяли 5 огурцов. Сколько овощей осталось?

Сестра и брат копали картошку на даче. В первый день они накопали 6 ведёр, во второй – 7 вёдер, а в третий столько, сколько в первый и во второй вместе. Сколько вёдер картошки они накопали в третий день?

Для составления букета принесли 5 роз, 6 гвоздик, а астр на 3 больше, чем роз. Сколько всего цветов принесли?

б) Произведение чисел 2 и 5

в) По 3 взяли 5 раз

г) 8 увеличь на 2

д) 8 увеличить в 2 раза

е) Разность чисел 48 и 12

ё) Делимое 10, делитель — 6

ж) Число 74 увеличить на 7

з) Сумма чисел 26 и 13

и) Частное чисел 2 и 6

к) Число 98 уменьшить на 6

л) На сколько число 52 больше числа 27?

2.Реши задачи.

В дупле у белки было 13 орехов и 7 грибов. 8 орехов она съела. Сколько припасов осталось?

Коля читал книгу. В первый день он прочитал 5 страниц, во второй — 8 страниц, а в третий столько, сколько в первый и во второй день вместе. Сколько страниц прочитал Коля в третий день?

У Маши 35 открыток. Она подарила 7 открыток Кате и 8 открыток Тане. Сколько открыток осталось у Маши?

На участке посадили 60 фруктовых деревьев. Сколько посадили яблонь, если груш – 17?

На ёлку повесили 7 жёлтых шаров, 6 синих, а блестящих – на 2 шара больше, чем жёлтых. Сколько всего шаров повесили на ёлку?

3. Отрезок, длина которого равна 10 см, уменьши на 2 см. Начерти полученный отрезок.

4. Отрезок, длина которого равна 10 см, уменьши в 2 раза. Начерти полученный отрезок.

5. Отрезок, длина которого равна 4 см, увеличь на 2 см. Начерти полученный отрезок.

6. Отрезок, длина которого равна 4 см, увеличь в 2 раза. Начерти полученный отрезок.

1.Запиши выражения и вычисли.

б) Произведение чисел 2 и 5

в) По 3 взяли 5 раз

г) 8 увеличь на 2

д) 8 увеличить в 2 раза

е) Разность чисел 48 и 12

ё) Делимое 10, делитель — 6

ж) Число 74 увеличить на 7

з) Сумма чисел 26 и 13

и) Частное чисел 2 и 6

к) Число 98 уменьшить на 6

л) На сколько число 52 больше числа 27?

2.Реши задачи.

В дупле у белки было 13 орехов и 7 грибов. 8 орехов она съела. Сколько припасов осталось?

Коля читал книгу. В первый день он прочитал 5 страниц, во второй — 8 страниц, а в третий столько, сколько в первый и во второй день вместе. Сколько страниц прочитал Коля в третий день?

У Маши 35 открыток. Она подарила 7 открыток Кате и 8 открыток Тане. Сколько открыток осталось у Маши?

На участке посадили 60 фруктовых деревьев. Сколько посадили яблонь, если груш – 17?

На ёлку повесили 7 жёлтых шаров, 6 синих, а блестящих – на 2 шара больше, чем жёлтых. Сколько всего шаров повесили на ёлку?

3. Отрезок, длина которого равна 10 см, уменьши на 2 см. Начерти полученный отрезок.

4. Отрезок, длина которого равна 10 см, уменьши в 2 раза. Начерти полученный отрезок.

5. Отрезок, длина которого равна 4 см, увеличь на 2 см. Начерти полученный отрезок.

6. Отрезок, длина которого равна 4 см, увеличь в 2 раза. Начерти полученный отрезок.

infourok.ru

Урок математики по теме «Деление дробей в уравнениях»

Разделы: Математика

Форма урока: объяснение нового материала.

Цели урока:

• Обучающая: выработать навыки учащихся умножать и делить обыкновенные дроби, решать и оформлять задачи на уравнения.
• Воспитательная: воспитывать самостоятельность, аккуратность
• Развивающая: развивать внимание, математическую речь, вычислительные навыки учащихся,  интерес к математике.

Ожидаемые результаты: дети научаться решать задачи и уравнения на дроби.

ХОД УРОКА

I. Организационный этап

– Здравствуйте, мы проведем сегодня урок по теме «Деление дробей в уравнених». Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.
Целью нашего урока является закрепление и проверка умений умножать и делить обыкновенные дроби, а также повторить навыки решения задач и уравнений.

II. Устный опрос учащихся

Чтобы умным в жизни стать
Надо дроби изучать

1) Переведите смешанную дробь в неправильную (Приложение 1, слайд 3)

2) Выделите целую часть (Приложение 1, слайд 4)

3) Умножьте дроби (Приложение 1, слайд 5)

– Повторим правило умножения двух дробей: Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

4) Выполните деление (в тетрадях с последующей взаимопроверкой, сосед у соседа) (Приложение 1, слайд 6)

– Повторим правило деления двух дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

III. Формирование новых знаний и  умений

– При изучении темы деление большое значение имеет умение решать уравнения. Рассмотрим пример и запишем его в тетрадь. (Приложение 1, слайд 7)

– Чтобы решить уравнение необходимо определить какой компонент в уравнении является неизвестным.
– Какой?
– 1 множитель
– Правильно! Чтобы найти неизвестный множитель, что нужно сделать?
– Чтобы найти неизвестный множитель необходимо произведение разделить на известный множитель.
– Находим корень уравнения, выполняя деление. Выполним проверку и запишем ответ.

– А теперь давайте проверим ваше умение решать задачи.

№ 597 (Приложение 1, слайд 7)

– Сколько всего прошел лыжник ? (26 км)
– Сколько километров прошел в первый день?  (неизвестно)
– Сколько километров прошел во второй день?  (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что возьмем за х?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько километров прошел за два дня?
– Как найти?
– Составим уравнение.

– 14 км лыжник прошел во второй день

26 – 14 = 12 км лыжник прошел в первый день.

№  598 (Приложение 1, слайд 8)

– Вспомним что такое 1% (одна сотая)
– Какой дробью запишем 75% (75/100 = 3/4)
– Сколько грибов собрала белка? (неизвестно)
– Сколько грибов собрал бельчонок? (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе белка и бельчонок?
– Составим уравнение.

200 грибов собрала белка
350 – 200 = 150 грибов собрал бельчонок

IV. Физкультминутка

– Встаем и выполняем несколько упражнений.

А теперь, ребята, встали,
Быстро руки вверх подняли,
В стороны, вперёд, назад
Повернулись вправо, влево,
Тихо сели, вновь за дело.

V. Закрепление нового материала

№ 594

– Сколько собрал Митя?
– Сколько собрал Коля?
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе мальчики?

28 грибов собрал Митя

64 – 28 = 36 грибов собрал Коля

VI. «Математический выбор»

Уравнения, оцениваемые в 3 балла:                           Уравнения, оцениваемые в 5 баллов:

1)                                                                      1)

2)                                                                       2)

3)                                                                    3)  

4)     

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Конспект урока по математике во 2 классе «Уравнения с умножением и делением»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

— познакомить с решением уравнений вида a ● x=b, a● x=b, x:a=b

-закрепить таблицу умножения и деления на 2 и на 3

— уметь оценивать правильность выполнения действий;

уметь оценить себя.

infourok.ru

Решение уравнений. Умножение и деление обыкновенных дробей

Разделы: Математика

Цели урока:

• закрепление практических умений и навыков умножения и деления обыкновенных дробей;
• развитие познавательного интереса к этим действиям, решению задач с помощью уравнений;
• расширение знаний об истории родного города Благовещенска.

Наш город Благовещенск – административный и промышленно-культурный центр нашей Амурской области. И сегодня, закрепляя умения и навыки по умножению и делению обыкновенных дробей, решая задачи с помощью уравнений, мы перелистнем несколько страниц из истории нашего родного города.

Как сокращать дроби со степенью? — Любопытная Варвара

Как нужно сокращать дроби со степенью?

Для того, чтобы без особых проблем сокращать дроби с степенью, прежде всего нужно хорошо знать основные формулы возведения в степень или хотябы иметь их под рукой.

Произведение степеней с одинаковым основанием — в этом случае основание оставляем, а степени складываем

Деление степеней с одинаковым основанием — основание оставляем, степени вычитаем

Возведение степени в степень — раскрываем скобки, степени при этом умножаются

Произведение в степени — раскрываем скобки, при этом каждый множитель возводим в данную степень

Деление в степени — раскрываем скобки, при этом числитель и знаменатель возводим в данную степень

Дальше вспоминаем основное правило для сокращения дроби:

чтобы сократить дробь, нужно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя и затем числитель и знаменатель разделить на это число.

Теперь сокращаем дробь со степенями на примере из вашего вопроса.

С помощью приведенных выше формул сделаем преобразования в числителе и знаменателе

и сейчас сократить дробь совсем несложно: ответ 0,01

varvarainfo.ru

Правило сокращения дробей со степенями — Ваше право

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры.

Продолжаем изучение темы преобразование алгебраических дробей. В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей. Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Изучая обыкновенные дроби, мы говорили про их сокращение. Сокращением обыкновенной дроби мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен, в частности, одночлен или число.

Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3 , что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x , что приведет к выражению . Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x , а также на любой из многочленов x+2·y , 3·x+6·y , x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y .

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби. Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y . Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.

Правило сокращения алгебраических дробей

Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей, которое состоит из двух шагов:

• сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
• если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов, находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.

В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби, которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например, и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби раскрадываются на простые множители, после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями. В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3 . Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Сократите алгебраическую дробь .

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

.

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю, его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Выполните сокращение дроби .

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 . В этом случае имеем .

.

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Сократите рациональную дробь .

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя формулы сокращенного умножения: . Теперь хорошо видно, что можно провести сокращение дроби на общий множитель b 2 ·(a+7) . Сделаем это .

Краткое решение без пояснений обычно записывают в виде цепочки равенств:

.

Иногда общие множители могут быть скрыты числовыми коэффициентами. Поэтому при сокращении рациональных дробей целесообразно числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Сократите дробь , если это возможно.

На первый взгляд числитель и знаменатель не имеют общего множителя. Но все же, попробуем выполнить некоторые преобразования. Во-первых, можно вынести за скобки множитель x в числителе: .

Теперь проглядывается некоторая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 ·y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

После проделанных преобразований виден общий множитель, на который и проводим сокращение. Имеем

.

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей заметим, что успех во многом зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

www.cleverstudents.ru

Сокращение алгебраических дробей

Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а при делении степеней показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо многочлены разложить на множители. В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители. В числителе общий множитель a³, в знаменателе — a⁵. Вынесем их за скобки:

Множители — степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ — сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

Сокращаем дробь на общий делитель (1+a):

А как сокращать дроби вида

в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз.

2 комментария

Очень хороший сайт,каждый день им пользуюсь, и помогает.
До того как я наткнулся на этот сайт,я не умел многое решать по алгебре, геометрии,но благодаря этому сайту мои оценки а 3 поднялись на 4-5.
Теперь я могу смело сдавать ОГЭ,и нн боятся что его не сдам!
Учитесь,и у Вас все получится!

Витя, желаю Вам успехов в учебе и высоких результатов на экзаменах!

www.algebraclass.ru

Как сократить дробь со степенями

Одно из заданий государственной итоговой аттестации (ГИА) заключается в сокращении дроби, содержащей какие-либо многочлены в числителе/знаменателе в первой или других степенях. Поэтому, чтобы быть готовым к такому заданию по математике, нужно наверняка знать, как сократить дробь правильно и быстро; для этого следует обязательно знать правила работы со степенями и их свойства.

Сократить дробь предлагается несколькими способами, но необходимо помнить главное свойство дроби: члены многочленов сокращать нельзя, только множители, которые есть в числителе и знаменателе.

Далеко не каждую дробь возможно сократить: так, для сокращения необходимо, чтобы обе ее части, верхняя и нижняя имели общий множитель и на него можно было их разделить. Причём, общий множитель не обязательно должен быть целым числом или лишь одной буквой, в будущем ученику необходимо знать, каким путем сократить дробь, состоящую из не целого числителя и знаменателя.

В том случае, если числитель и знаменатель не имеют общего множителя, то сократить дробь невозможно, наглядно это показано на рисунке.

В общем, чтобы сократить дробь, необходимо помнить основное свойство сокращения дроби: если и числитель, и знаменатель одновременно делятся на один и тот же ненулевой многочлен, то дробь, получившаяся после сокращения, равна исходной.

Если многочлен, содержащийся в числителе или знаменателе, является каким-либо большим числом или несущим в себе буквенную часть со степенями, то чтобы правильно сократить дробь, необходимо предварительно разложить данный многочлен на множители.

На картинке демонстрируется пример по сложному многочлену — разложение на множители.

Для того чтобы вопросов, каким способом сократить дробь и как представлять степенные выражения для быстрого сокращения дроби, в дальнейшем не возникало необходимо разобрать несколько примеров. Примеры приведены на рисунке.

Основой успешной операции с дробями в абсолютно всех случаях является правильное выделение общего множителя для числителя и знаменателя, на который возможно сократить дробь. Для правильного сокращения необходимо знать правила работы со степенями.

Сократить дробь, содержащую степенные выражения, не так сложно, как может показаться изначально: это всего лишь число, перемножаемое само на себя n-ое количество раз. Для проведения сокращения, например, a32, необходимо разложить выражение на несколько множителей согласно правилу степенного перемножения: а8*а8*а8*а8*а8. При перемножении степени складываются, поэтому член а32 представляется таким образом.

Допустимо не представлять как несколько множителей данное выражение, сокращая сразу, но при таком представлении уменьшается риск совершения ошибки.

Чтобы сократить дробь, недостаточно уметь лишь представлять степенные выражения в виде нескольких множителей; необходимо также знать все формулы сокращённого умножения, позволяющие сократить тот или иной многочлен до более простого выражения, которое в дальнейшемуменьшить будет гораздо легче.

В основном, в заданиях ГИА проверяются знания ученика формул суммы и разности квадратов и кубов, а также квадрат и кубы суммы и разности, но при этом могут быть задания, где подобное выражение дополнительно возведено в степень.

Пример подобного сокращения дроби приведён на схеме.

Чтобы сократить дробь, необходимо:

— помнить несколько формул сокращённого умножения;

— уметь находить общий делитель в наибольшем значении;

— представлять десятичные дроби, например, 0.5, в обычном виде — получается 1/2;

— знать, как привести смешанные дроби к обычному виду.

how.qip.ru

Математика

Строка навигации

Опираясь на вышеуказанное свойство, мы можем упрощать алгебраические дроби так же, как это делают с арифметическими дробями, сокращая их.

Сокращение дробей состоит в том, что числителя и знаменателя дроби делят на одно и то же число.

Если алгебраическая дробь одночленная, то числитель и знаменатель представляется в виде произведения нескольких множителей, и сразу видно, на какие одинаковые числа можно их разделить:

Ту же дробь мы можем написать подробнее: . Мы видим, что последовательно можно делить и числителя и знаменателя 4 раза на a , т. е. в конце-концов разделить каждого из них на a 4 . Поэтому ; также и т. п. Итак, если в числителе и знаменателе имеются множителями различные степени одной и той же буквы, то можно сократить эту дробь на меньшую степень этой буквы.

Если дробь многочленная, то приходится сначала эти многочлены разложить, если возможно, на множители, и тогда явится возможность увидать, на какие одинаковые множители можно делить и числителя и знаменателя.

…. числитель легко раскладывается на множители «по формуле» – он представляет собой квадрат разности двух чисел, а именно (x – 3) 2 . Знаменатель к формулам не подходит и придется его разлагать приемом, употребляемым для квадратного трехчлена: подыщем 2 числа, так, чтобы их сумма равнялась –1 и их произведение = –6, – эти числа суть –3 и + 2; тогда x 2 – x – 6 = x 2 – 3x + 2x – 6 = x (x – 3) + 2 (x – 3) = (x – 3) (x + 2).

maths-public.ru

Возведение дроби в степень

Дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю, причём знаменатель не должен равняться нулю, а числитель может быть любой.

При возведении любой дроби в произвольную степень нужно возводить отдельно числитель и знаменатель дроби в эту степень, после чего мы должны эти степени сосчитать и таким образом получим дробь, возведённую в степень.

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Отрицательная степень

Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.

Буквенная степень

При работе с буквенными значениями такими как “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу что и раньше.

Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½ = 1/8 что в сущности тоже самое что и

Буквенное возведение в степень x^y

Умножение и деление дробей со степенями

Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем. Если же мы делим степени с одинаковым основаниями, тогда основание степени также остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.

Это очень легко можно показать на примере:

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Тоже самое мы могли бы получить если бы просто возвели в степень 3 и 4 отдельно знаменатель и числитель соответственно.

Возведение дроби со степенью в еще одну степень

При возведении дроби, которая уже находится в степени, ещё раз в степень мы должны сначало сделать внутреннее возведение в степень после чего переходить в во внешнюю часть возведения в степень. Другими словами мы можем просто напросто перемножить эти степени и возвести дробь в полученную степень.

Возведение в единицу, квадратный корень

Также нельзя забывать что возведение абсолютно любой дроби в нулевую степень даст нам 1, так же как и любое другое число при возведении в степень равную нулю мы получим 1.

Обычный квадратный корень также можно представить в виде степени дроби

Квадратный корень 3 = 3^(1/2)

Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 – степени ( т.к. квадратный корень)

А в знаменателе также будет находится квадратный корень , т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.

Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.

Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.

Помните: на ноль делить нельзя!

Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ – область допустимых значений

При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.

например: 14^3.8 / 14^(-0.2) = 14^(3.8 -0.2) = 139.6

6^(1,77) · 6^( — 0,75) = 6^(1,77+( — 0,75)) = 79,7 – 1,3 = 78,6

www.nado5.ru

lubnitsa.ru

Так сокращать дроби нельзя!

1 марта 2012

Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики. Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.

Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:

Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?

Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:

Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:

Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.

Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.

Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:

Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!

Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.

Работа с пропорциями

Еще одно проблемное место — пропорции. Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:

Задача. Решите уравнение:

Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m:

Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.

А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение. Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:

Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:

Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля.

Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля. В частности, можно делить на переменную m, только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:

Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.

Выводы: собираем все вместе

Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:

1. Сокращать можно только множители. Слагаемые — нельзя. Поэтому учитесь раскладывать числитель и знаменатель на множители;
2. Основное свойство пропорции: произведение крайних элементов равно произведению средних;
3. Уравнения можно умножать и делить только на числа k, отличные от нуля. Случай k = 0 надо проверять отдельно.

Помните эти правила и не допускайте ошибок.

Смотрите также:

1. Как решать квадратные уравнения
2. Теорема Виета
3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (средний)
4. Площади многоугольников на координатной сетке
5. Как решать задачи B15 без производных
6. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов

www.berdov.com

Сокращение дробей. Что значит сократите дробь?

Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.

Сокращение дробей, определение и формула.

Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?

Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.

Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.

\(\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}\)

Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac{9}{15}\)

Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.

\(\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}\)

Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac{3}{5}\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.

\(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)

Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.

Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

Получите несократимую дробь \(\frac{48}{136}\).

Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}\)

Ответ: \(\frac{6}{17}\) несократимая дробь.

Правило сокращения дроби до несократимого вида.

1. Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
2. Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.

Пример:
Сократите дробь \(\frac{152}{168}\).

Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}\)

Ответ:  \(\frac{19}{21}\) несократимая дробь.

Сокращение неправильной дроби.

Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac{44}{32}\).

Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

\(\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}\)

Сокращение смешанных дробей.

Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac{30}{45}\).

Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

\(2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}\)

Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

\(2\frac{30}{45}=\frac{45 \times 2 + 30}{45}=\frac{120}{45}=\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3} \times 2 \times 2}{3 \times \color{red} {3 \times 5}}=\frac{2 \times 2 \times 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\)

Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:

Вычислите выражение  \(\frac{50+20-10}{20}\) .

Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

\(\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3\)

На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).

Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}\)

Получили несократимую дробь \(\frac{2}{3}\).

Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.

\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}\)

Получили сократимую дробь \(\frac{50}{75}\).

Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

Пример:
Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).

Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):

\(\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}\)

Отсюда получаем, \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)

Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac{90}{65}\) б) \(\frac{27}{63}\) в) \(\frac{17}{100}\) г) \(\frac{100}{250}\)

Решение:
а) \(\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}\)
б) \(\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}\)
в) \(\frac{17}{100}\) несократимая дробь
г) \(\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}\)

tutomath.ru

Как сокращать дроби правильно? :: SYL.ru

Дроби и их сокращение — еще одна тема, которая начинается в 5 классе. Здесь формируется база этого действия, а потом эти умения тянутся ниточкой в высшую математику. Если ученик не усвоил, как сокращать дроби, то у него могут возникнуть проблемы в алгебре. Поэтому лучше уяснить несколько правил раз и навсегда. А еще запомнить один запрет и никогда его не нарушать.

Дробь и ее сокращение

Что это такое, знает каждый ученик. Любые две цифры расположенные между горизонтальной чертой сразу воспринимаются, как дробь. Однако не все понимают, что ею может стать любое число. Если оно целое, то его всегда можно разделить на единицу, тогда получится неправильная дробь. Но об этом позже.

Начало всегда простое. Сначала нужно выяснить, как сократить правильную дробь. То есть такую, у которой числитель меньше, чем знаменатель. Для этого потребуется вспомнить основное свойство дроби. Оно утверждает, что при умножении (так же, как и делении) одновременно ее числителя и знаменателя на одинаковое число получается, равноценная исходной дробь.

Действия деления, которые выполняются в этом свойстве и приводят к сокращению. То есть максимальному ее упрощению. Дробь можно сокращать до тех пор, пока над чертой и под ней есть общие множители. Когда их уже не будет, то сокращение невозможно. И говорят, что эта дробь несократимая.

Два способа

1. Пошаговое сокращение. В нем используется метод прикидки, когда оба числа делятся на минимальный общий множитель, который заметил ученик. Если после первого сокращения видно, что это не конец, то деление продолжается. Пока дробь не станет несократимой.

2. Нахождение наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя. Это самый рациональный способ того, как сокращать дроби. Он подразумевает разложение числителя и знаменателя на простые множители. Среди них потом нужно выбрать все одинаковые. Их произведение даст наибольший общий множитель, на который сокращается дробь.

Оба эти способа равноценны. Ученику предлагается освоить их и пользоваться тем, который больше понравился.

Что делать, если есть буквы и действия сложения и вычитания?

С первой частью вопроса все более-менее понятно. Буквы можно сокращать так же как и числа. Главное, чтобы они выступали в роли множителей. А вот со второй у многих возникают проблемы.

Важно запомнить! Сокращать можно только числа, которые являются множителями. Если они слагаемые — нельзя.

Для того чтобы понять, как сокращать дроби, имеющие вид алгебраического выражения, нужно усвоить правило. Сначала представить числитель и знаменатель в виде произведения. Потом можно сокращать, если появились общие множители. Для представления в виде множителей пригодятся такие приемы:

• группировка;
• вынесение за скобку;
• применение тождеств сокращенного умножения.

Причем последний способ дает возможность сразу получить слагаемые в виде множителей. Поэтому его необходимо использовать всегда, если видна известная закономерность.

Но это еще не страшно, потом появляются задания со степенями и корнями. Вот тогда требуется набраться смелости и усвоить пару новых правил.

Выражение со степенью

Дробь. В числителе и знаменателе произведение. Есть буквы и числа. А они еще и возведены в степень, которая тоже состоит из слагаемых или множителей. Есть чего испугаться.

Для того чтобы разобраться в том, как сокращать дроби со степенями, потребуется выучить два момента:

• если в показателе степени стоит сумма, то ее можно разложить на множители, степенями которых будут исходные слагаемые;
• если разность, то на делимое и делитель, у первого в степени будет уменьшаемое, у второго — вычитаемое.

После выполнения этих действий становятся видны общие множители. В таких примерах нет необходимости вычислять все степени. Достаточно просто сократить степени с одинаковыми показателями и основаниями.

Для того чтобы окончательно усвоить то, как сокращать дроби со степенями, нужно много практиковаться. После нескольких однотипных примеров действия будут выполняться уже автоматически.

А если в выражении стоит корень?

Его тоже можно сократить. Только опять же, соблюдая правила. Причем верны все те, которые были описаны выше. В общем, если стоит вопрос о том, как сократить дробь с корнями, то нужно делить.

На иррациональные выражения тоже можно разделить. То есть если в числителе и знаменателе стоят одинаковые множители, заключенные под знак корня, то их можно смело сокращать. Это приведет к упрощению выражения и выполнению задания.

Если после сокращения под чертой дроби осталась иррациональность, то от нее нужно избавиться. Другими словами, умножить на нее числитель и знаменатель. Если после этой операции появились общие множители, то их снова нужно будет сократить.

Вот, пожалуй, и все о том, как сокращать дроби. Правил немного, а запрет один. Никогда не сокращать слагаемые!

www.syl.ru

Ответы@Mail.Ru: Сформулируйте правило сокращения дробей…

Что значит сократить дробь? Мы знаем, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби. По названиям можно догадаться, что сократимые дроби можно сократить, а несократимые – нельзя. Что же значит сократить дробь? Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на их положительный и отличный от единицы общий делитель. Понятно, что в результате сокращения дроби получается новая дробь с меньшим числителем и знаменателем, причем, в силу основного свойства дроби, полученная дробь равна исходной. Для примера, проведем сокращение обыкновенной дроби 8/24, разделив ее числитель и знаменатель на 2. Иными словами, сократим дробь 8/24 на 2. Так как 8:2=4 и 24:2=12, то в результате такого сокращения получается дробь 4/12, которая равна исходной дроби 8/24 (смотрите равные и неравные дроби).

Сокращение дробей- это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

При сокращении дроби делим числитель и знаменатель на одно и тоже число, на которое они оба делятся без остатка. (это своими словами) ИЛИ ТАК чтобы сократить дробь, нужно раздeлить ее числитель и знамeнатель на их общий наибольший множитель.

Сокращение дробей- это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

сокращение дроби-это деление числителя и знаменателя на одно и тоже число на которое оба делится без остатка.

touch.otvet.mail.ru

Как сократить дробь? Правила на все ситуации :: SYL.ru

Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.

Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.

Базовые знания

Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, как сократить дробь, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.

Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.

Правила сокращения обыкновенных дробей

Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.

Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.

Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.

Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?

Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.

Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.

1. Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.

2. Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.

3. Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.

4. Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.

Последовательность действий с дробями со степенями

Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.

Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.

Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.

Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3²)², то сокращение пройдет успешно.

www.syl.ru

399394 прописью -> триста девяносто девять тысяч триста девяносто четыре

399 394

three hundred and ninety-nine thousand three hundred and ninety-four

three hundred ninety-nine thousand three hundred ninety-four

dreihundert neunundneunzig tausend dreihundert vierundneunzig

trois cent quatre-vingt-dix-neuf mille trois cent quatre-vingt-quatorze

триста дев’яносто дев’ять тисяч триста дев’яносто чотири

trzysta dziewięćdziesiąt dziewięć tysięcy trzysta dziewięćdziesiąt cztery

tři sta devadesát devět tisíc tři sta devadesát čtyři

Посмотрите как пишутся числа: 12163, 161571, 297371, 382455, 471081, 575085, 656590, 756962, 872773, 967811.

numword.ru

391391 прописью -> триста девяносто одна тысяча триста девяносто один

391 391

three hundred and ninety-one thousand three hundred and ninety-one

three hundred ninety-one thousand three hundred ninety-one

dreihundert einundneunzig tausend dreihundert einundneunzig

trois cent quatre-vingt-onzemille trois cent quatre-vingt-onze

триста дев’яносто одна тисяча триста дев’яносто один

trzysta dziewięćdziesiąt jeden tysięcy trzysta dziewięćdziesiąt jeden

tři sta devadesát jedna tisíc tři sta devadesát jedna

Посмотрите как пишутся числа: 70728, 182498, 270828, 342744, 457618, 543145, 631206, 717833, 834633, 952946.

numword.ru

395374 прописью -> триста девяносто пять тысяч триста семьдесят четыре

395 374

three hundred and ninety-five thousand three hundred and seventy-four

three hundred ninety-five thousand three hundred seventy-four

dreihundert fünfundneunzig tausend dreihundert vierundsiebzig

trois cent quatre-vingt-quinzemille trois cent soixante-quatorze

триста дев’яносто п’ять тисяч триста сімдесят чотири

trzysta dziewięćdziesiąt pięć tysięcy trzysta siedemdziesiąt cztery

tři sta devadesát pět tisíc tři sta sedmdesát čtyři

Посмотрите как пишутся числа: 17587, 130371, 259744, 341772, 495151, 509753, 676859, 713811, 841161, 946357.

numword.ru

395344 прописью -> триста девяносто пять тысяч триста сорок четыре

395 344

three hundred and ninety-five thousand three hundred and forty-four

three hundred ninety-five thousand three hundred forty-four

dreihundert fünfundneunzig tausend dreihundert vierundvierzig

trois cent quatre-vingt-quinzemille trois cent quarante-quatre

триста дев’яносто п’ять тисяч триста сорок чотири

trzysta dziewięćdziesiąt pięć tysięcy trzysta czterdzieści cztery

tři sta devadesát pět tisíc tři sta čtyřicet čtyři

Посмотрите как пишутся числа: 55371, 159150, 268397, 368388, 449724, 578706, 619056, 769742, 899508, 960637.

numword.ru

395315 прописью -> триста девяносто пять тысяч триста пятнадцать

395 315

three hundred and ninety-five thousand three hundred and fifteen

three hundred ninety-five thousand three hundred fifteen

dreihundert fünfundneunzig tausend dreihundert fünfzehn

trois cent quatre-vingt-quinzemille trois cent quinze

триста дев’яносто п’ять тисяч триста п’ятнадцять

trzysta dziewięćdziesiąt pięć tysięcy trzysta piętnaście

tři sta devadesát pět tisíc tři sta patnáct

Посмотрите как пишутся числа: 26235, 105796, 213362, 303656, 462855, 526380, 600912, 757406, 806954, 980000.

numword.ru

395314 прописью -> триста девяносто пять тысяч триста четырнадцать

395 314

three hundred and ninety-five thousand three hundred and fourteen

three hundred ninety-five thousand three hundred fourteen

dreihundert fünfundneunzig tausend dreihundert vierzehn

trois cent quatre-vingt-quinzemille trois cent quatorze

триста дев’яносто п’ять тисяч триста чотирнадцять

trzysta dziewięćdziesiąt pięć tysięcy trzysta czternaście

tři sta devadesát pět tisíc tři sta čtrnáct

Посмотрите как пишутся числа: 72649, 192638, 217092, 309249, 449247, 515498, 644145, 787753, 857434, 917546.

numword.ru

495315 прописью -> четыреста девяносто пять тысяч триста пятнадцать

495 315

four hundred and ninety-five thousand three hundred and fifteen

four hundred ninety-five thousand three hundred fifteen

vierhundert fünfundneunzig tausend dreihundert fünfzehn

quatre cent quatre-vingt-quinzemille trois cent quinze

чотириста дев’яносто п’ять тисяч триста п’ятнадцять

czterysta dziewięćdziesiąt pięć tysięcy trzysta piętnaście

čtyři sta devadesát pět tisíc tři sta patnáct

Посмотрите как пишутся числа: 77324, 112400, 297488, 381187, 420524, 590770, 601534, 769965, 819676, 986024.

numword.ru

Векторная величина Википедия

Ве́кторная величина́ — физическая величина, являющаяся вектором (тензором ранга 1). Противопоставляется с одной стороны скалярным (тензорам ранга 0), с другой — тензорным величинам (строго говоря — тензорам ранга 2 и более). Также может противопоставляться тем или иным объектам совершенно другой математической природы.

В большинстве случаев термин вектор употребляется в физике для обозначения вектора в так называемом «физическом пространстве», то есть в обычном трёхмерном пространстве классической физики или в четырёхмерном^[1] пространстве-времени в современной физике (в последнем случае понятие вектора и векторной величины совпадают с понятием 4-вектора и 4-векторной величины).

Употребление словосочетания «векторная величина» практически исчерпывается этим. Что же касается употребления термина «вектор», то оно, несмотря на тяготение по умолчанию к этому же полю применимости, в большом количестве случаев всё же весьма далеко выходит за такие рамки. Об этом см. ниже.

Употребление терминов вектор и векторная величина в физике[ | ]

В целом в физике понятие вектора практически полностью совпадает с таковым в математике. Однако есть терминологическая специфика, связанная с тем, что в современной математике это понятие несколько излишне абстрактно (по отношению к нуждам физики).

В математике, произнося «вектор», понимают скорее вектор вообще, то есть любой вектор любого сколько угодно абстрактного линейного пространства любой размерности и природы, что, если не прилагать специальных усилий, может приводить даже к путанице (не столько, конечно, по существу, сколько по удобству словоупотребления). Если же необходимо конкретизировать, в математическом стиле приходится или говорить довольно длинно («вектор такого-то и такого-то пространства»), или иметь в виду подразумеваемое явно описанным контекстом.

В физике же практически всегда речь идёт не о математических объектах (обладающих теми или иными формальными свойствами) вообще, а об определённой их конкретной («физической») привязке. Учитывая эти соображения конкретности с соображениями краткости и удобства, можно понять, что терминологическая практика в физике заметно отличается от математической. Однако она не входит с последней в явное противоречие. Этого удаётся достичь несколькими простыми «приемами». Прежде всего, к ним относится соглашение об употребление термина по умолчанию (когда контекст особо не оговаривается). Так, в физике, в отличие от математики, под словом вектор без дополнительных уточнений обычно понимается не «какой-то вектор любого линейного пространства вообще», а прежде всего вектор, связанный с «обычным физическим пространством» (трёхмерным пространством классической физики или четырёхмерным пространством-временем^[2] физики релятивистской). Для векторов же пространств, не связанных прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем», как раз применяют специальные названия (иногда включающие слово «вектор», но с уточнением). Если вектор некоторого пространства, не связанного прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем» (и которое трудно сразу как-то определённо охарактеризовать), вводится в теории, он часто специально описывается как «абстрактный вектор».

Всё сказанное ещё в большей степени, чем к термину «вектор», относится к термину «векторная величина». Умолчание в этом случае ещё жёстче подразумевает привязку к «обычному пространству» или пространству-времени, а употребление по отношению к элементам абстрактных векторных пространств скорее практически не встречается, по крайней мере, такое применение видится редчайшим исключением (если вообще не оговоркой).

В физике векторами чаще всего (а векторными величинами — практически всегда) называют векторы двух сходных между собою классов:

1. в классической физике (классической механике, электродинамике в классической трёхмерной формулировке и в других областях физики, преимущественно сформировавшихся до начала XX века) векторными величинами или просто векторами называют, как правило, векторы обычного трёхмерного пространства — то есть обычные «геометрические» векторы или, быть может, отличающиеся от таковых на скалярный множитель (в том числе и на множитель размерный). Хотя в этих областях физики фактически и применялись разнообразные объекты, осознаваемые нынешней математикой как векторы — в физической терминологии это почти не получило отражения (так например, преобразование Фурье в классической электродинамике и классической теории сплошных сред весьма интенсивно применяется, но традиционно почти не рассматривается в контексте классической с использованием слова «вектор» применительно к функциям, хотя с математической точки зрения это было бы вполне законно^[3]). Пожалуй, единственным явным исключением из правила является достаточно свободное векторами элементов фазового или конфигурационного пространств^[4].
2. в релятивистской физике^[5] (начиная с Пуанкаре, Планка и Минковского) и, в значительной степени, в современной теоретической физике под векторами и векторными величинами понимаются прежде всего векторы четырёхмерного пространства-времени

ru-wiki.ru

Векторная величина Википедия

Ве́кторная величина́ — физическая величина, являющаяся вектором (тензором ранга 1). Противопоставляется с одной стороны скалярным (тензорам ранга 0), с другой — тензорным величинам (строго говоря — тензорам ранга 2 и более). Также может противопоставляться тем или иным объектам совершенно другой математической природы.

В большинстве случаев термин вектор употребляется в физике для обозначения вектора в так называемом «физическом пространстве», то есть в обычном трёхмерном пространстве классической физики или в четырёхмерном^[1] пространстве-времени в современной физике (в последнем случае понятие вектора и векторной величины совпадают с понятием 4-вектора и 4-векторной величины).

Употребление словосочетания «векторная величина» практически исчерпывается этим. Что же касается употребления термина «вектор», то оно, несмотря на тяготение по умолчанию к этому же полю применимости, в большом количестве случаев всё же весьма далеко выходит за такие рамки. Об этом см. ниже.

В целом в физике понятие вектора практически полностью совпадает с таковым в математике. Однако есть терминологическая специфика, связанная с тем, что в современной математике это понятие несколько излишне абстрактно (по отношению к нуждам физики).

В математике, произнося «вектор», понимают скорее вектор вообще, то есть любой вектор любого сколько угодно абстрактного линейного пространства любой размерности и природы, что, если не прилагать специальных усилий, может приводить даже к путанице (не столько, конечно, по существу, сколько по удобству словоупотребления). Если же необходимо конкретизировать, в математическом стиле приходится или говорить довольно длинно («вектор такого-то и такого-то пространства»), или иметь в виду подразумеваемое явно описанным контекстом.

В физике же практически всегда речь идёт не о математических объектах (обладающих теми или иными формальными свойствами) вообще, а об определённой их конкретной («физической») привязке. Учитывая эти соображения конкретности с соображениями краткости и удобства, можно понять, что терминологическая практика в физике заметно отличается от математической. Однако она не входит с последней в явное противоречие. Этого удаётся достичь несколькими простыми «приемами». Прежде всего, к ним относится соглашение об употребление термина по умолчанию (когда контекст особо не оговаривается). Так, в физике, в отличие от математики, под словом вектор без дополнительных уточнений обычно понимается не «какой-то вектор любого линейного пространства вообще», а прежде всего вектор, связанный с «обычным физическим пространством» (трёхмерным пространством классической физики или четырёхмерным пространством-временем^[2] физики релятивистской). Для векторов же пространств, не связанных прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем», как раз применяют специальные названия (иногда включающие слово «вектор», но с уточнением). Если вектор некоторого пространства, не связанного прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем» (и которое трудно сразу как-то определённо охарактеризовать), вводится в теории, он часто специально описывается как «абстрактный вектор».

Всё сказанное ещё в большей степени, чем к термину «вектор», относится к термину «векторная величина». Умолчание в этом случае ещё жёстче подразумевает привязку к «обычному пространству» или пространству-времени, а употребление по отношению к элементам абстрактных векторных пространств скорее практически не встречается, по крайней мере, такое применение видится редчайшим исключением (если вообще не оговоркой).

В физике векторами чаще всего (а векторными величинами — практически всегда) называют векторы двух сходных между собою классов:

1. в классической физике (классической механике, электродинамике в классической трёхмерной формулировке и в других областях физики, преимущественно сформировавшихся до начала XX века) векторными величинами или просто векторами называют, как правило, векторы обычного трёхмерного пространства — то есть обычные «геометрические» векторы или, быть может, отличающиеся от таковых на скалярный множитель (в том числе и на множитель размерный). Хотя в этих областях физики фактически и применялись разнообразные объекты, осознаваемые нынешней математикой как векторы — в физической терминологии это почти не получило отражения (так например, преобразование Фурье в классической электродинамике и классической теории сплошных сред весьма интенсивно применяется, но традиционно почти не рассматривается в контексте классической с использованием слова «вектор» применительно к функциям, хотя с математической точки зрения это было бы вполне законно^[3]). Пожалуй, единственным явным исключением из правила является достаточно свободное векторами элементов фазового или конфигурационного пространств^[4].
2. в релятивистской физике^[5] (начиная с Пуанкаре, Планка и Минковского) и, в значительной степени, в современной теоретической физике под векторами и векторными величинами понимаются прежде всего векторы четырёхмерного пространства-времени^[6] и непосредственно с ним связанные (отличающиеся на скалярный множитель от векторов 4-перемещения) — 4-векторы.
3. в квантовой механике, квантовой теории поля и т.д. слово «вектор» стало стандартно применяться и для обозначения такого объекта, как вектор состояния. Этот вектор может иметь в принципе любую размерность, а как правило — бесконечномерен. Однако путаницы практически не возникает, поскольку слово вектор тут используется исключительно в устойчивом сочетании вектор состояния, и никогда отдельно, за исключением разве что случаев, когда контекст уже настолько очевиден, что путаница просто невозможна (например, при повторном употреблении отдельного слова вектор в отношении объекта, который только что перед этим был назван, как вектор состояния или при использовании однозначных специфических обозначений — таких например, как скобки Дирака, — или соответствующих им терминов. Для ряда векторов специфических пространств используются специальные слова (такие, как например спиноры) или явные названия (вектор цветового пространства, изотопический спин и т.д.). Притом что словос

ruwikiorg.ru

Угловые величины как векторы

Физика > Угловые величины как векторы

Правило правой руки для определения направления вращения системы, угловой скорости и вращательного момента. Описание углового момента и угловой скорости.

Направленность угловых величин (угловые скорость и момент) вычисляется техникой правой руки.

Задача обучения

• Вычислить направленность вектора по правилу правой руки.

Основные пункты

• Угловые скорость и момент выступают векторными понятиями, обладающими величиной и направлением.
• Направление угловых момента и скорости расположено вертикально плоскости вращения.
• Применяйте правило, чтобы вычислить направленность угловых момента и скорости.

Термины

• Правило правой руки – если сжать пальцы, то они укажут в сторону вращения, а большой палец – на угловые скорость и момент.
• Угловой момент – векторная величина, характеризующая объект в круговом перемещении. Величина приравнивается к импульсу частички, а направление установлено перпендикулярно круговому движению.
• Угловая скорость – векторное понятие объекта в движении по кругу. Величина приравнивается к скорости частички, а направление установлено перпендикулярно плоскости.

Угловые момент и скорость располагают направлением и величиной, а значит выступают векторными понятиями. Довольно сложно отследить их направление, ведь точка на вращающемся колесе постоянно меняет положение. Ось вращения – единственное место с фиксированным направлением и именно на ней можно вычислить направление угловых момента и скорости.

Конвертировать JPEG в PNG онлайн, бесплатно преобразовать .jpeg в .png

onlineconvertfree.com

Конвертировать JPEG в PNG — Онлайн Конвертер Файлов

Исходный формат:CSV — Comma Separated ValuesDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint PresentationPPTX — PowerPoint Presentation 2007PDF — Portable Document FormatPS — PostScriptEPS — Encapsulated PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Text documentWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash Video FileM4V — MPEG-4 Video FileMKV — Matroska Video FileMOV — Apple QuickTime Movie FileMP4 — MPEG-4 Video FileMPEG — Moving Picture Experts Group FileOGV — Ogg Vorbis Video FileWMV — Windows Media Video FileWEBM — HTML5 Video FileAAC — Advanced Audio Coding FileAC3 — AC3 Audio FileAIFF — Audio Interchange File FormatAMR — Adaptive Multi-Rate Audio FileAPE — Monkey’s Lossless Audio FormatAU — Sun’s Audio File FormatFLAC — Free Lossless Audio CodecM4A — MPEG-4 Audio FileMKA — Matroska Audio FileMP3 — MPEG-1 Audio Layer 3 FileMPC — MusePack Audio FileOGG — Ogg Vorbis Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Waveform Audio File FormatWMA — Windows Media Audio FileBMP — Windows BitmapEXR — OpenEXR File FormatGIF — Graphics Interchange FormatICO — ICO File FormatJP2 — JPEG 2000 compliant imageJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Netpbm Portable Bitmap formatPCX — Paintbrush image formatPGM — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Microsoft Compiled HTML HelpEPUB — Electronic PublicationFB2 — Fiction Book 2.0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Cabinet

www.docspal.com

Конвертер JPG файлов онлайн, бесплатное преобразование изображений в JPG

onlineconvertfree.com

Конвертер PNG в JPG онлайн

Существует ряд популярных форматов изображений, которые чаще всего задействуются пользователями. Все они различаются по своим характеристикам и подходят для разных целей. Поэтому иногда возникает надобность в конвертировании файлов одного типа в другой. Конечно, осуществить это можно с помощью специальных программ, однако не всегда это удобно. Мы рекомендуем обратить внимание на онлайн-сервисы, которые прекрасно справляются с подобного рода задачами.

Читайте также: Конвертируем изображения PNG в JPG с помощью программ

Конвертируем PNG в JPG онлайн

Файлы формата PNG являются практически несжатыми, что иногда вызывает трудности в их использовании, поэтому пользователи преобразовывают такие картинки в более облегченный JPG. Сегодня мы разберем процедуру конвертирования в обозначенном направлении с помощью двух разных интернет-ресурсов.

Способ 1: PNGtoJPG

Сайт PNGtoJPG ориентирован исключительно на работу с картинками форматов PNG и JPG. Он может конвертировать только файлы этого типа, что, собственно, нам и нужно. Выполняется этот процесс буквально в несколько кликов:

Перейти на сайт PNGtoJPG

1. Откройте главную страницу сайта PNGtoJPG, воспользовавшись указанной выше ссылкой, а затем сразу же переходите к добавлению необходимых рисунков.



2. Выделите один или несколько объектов и кликните на кнопку «Открыть».



3. Ожидайте, пока картинки будут загружены на сервер и обработаны.



4. Вам доступна полная очистка списка загрузок или удаление отдельного файла нажатием на крестик.



5. Теперь вы можете скачать картинки на компьютер по очереди или все вместе в виде архива.



6. Осталось только распаковать содержимое архива и на этом процедура обработки завершена.

Как видите, конвертирование происходит достаточно быстро, и от вас не требуется осуществлять практически никаких дополнительных действий, кроме загрузки изображений.

Способ 2: IloveIMG

Если в предыдущем способе был рассмотрен сайт, ориентированный исключительно под решение озвученной в теме статьи задачи, то IloveIMG предоставляет множество других инструментов и функций. Однако сегодня мы остановимся только на одной из них. Преобразование делается так:

Перейти на сайт IloveIMG

1. Находясь на главной странице IloveIMG, выберите раздел «Преобразовать в JPG».



2. Приступайте к добавлению картинок, которые хотите обработать.



3. Выбор из компьютера осуществляется точно так же, как это было показано в первом методе.



4. Если необходимо, загрузите еще файлы или отсортируйте их, используя фильтр.



5. Вы можете перевернуть или удалить каждое изображение. Просто наведите на него курсор мыши и выберите подходящий инструмент.



6. По завершении настройки приступайте к конвертированию.



7. Кликните на «Загрузить преобразованные изображения», если скачивание не началось автоматически.



8. Если было преобразовано более одной картинки, все они будут скачаны в виде архива.



Читайте также:
Конвертирование графических файлов в значки формата ICO онлайн
Редактирование изображений в формате JPG онлайн

Как видите, процедура обработки на двух рассмотренных сайтах практически не отличается, однако каждый из них может приглянуться в разных случаях. Надеемся, представленные выше инструкции были вам полезны и помогли решить поставленную задачу конвертирования PNG в JPG.

Правила ввода функций в онлайн калькуляторах.

На данной странице описаны правила ввода функций, которых следует придерживаться в онлайн калькуляторах, созданных на базе виждетов WolframAlpha Mathematica.

Не забывайте проверять правильность написания формул. Неточность и ошибки в написании, приводят к невернному ответу и ситуациям при которых калькулятор отказывается проводить вычисления.

o-math.com

Правила ввода математических выражений

Ввод чисел:

Целые числа вводятся обычным способом, например: 4; 18; 56
Для ввода отрицательного числа необходимо поставить знак минус: -19; -45; -90
Рациональные числа вводятся с использованием символа /, например: 3/4;-5/3;5/(-19)
Вещественные числа вводятся с использованием точки в качестве разделителя целой и дробной частей: 4.5;-0.4

Ввод переменных и констант:

Переменные и константы вводятся латинскими буквами, например: x; y; z; a; b.
Константы π и e вводятся как pi и e — соответственно.
Символ бесконечности ∞ вводится двумя маленькими латинскими буквами oo или словом inf.
Соответственно, плюс бесконечность задается как +oo, и минус бесконечность как -oo.

Сумма и разность:

Сумма и разность задаются при помощи знаков + и — соответственно, например: 3+a; x+y; 5-4+t; a-b+4; ВНИМАНИЕ! Никаких пробелов между операндами быть не должно, например ввод: x + a — неправильный, правильно вводить так: x+a — без пробелов.

Умножение:

Умножение задается знаком *, например: 3*t; x*y; -5*x.
ВНИМАНИЕ! Ввод знака * необходим всегда, т.е. запись типа: 2x — недопустима . Следует всегда использовать знак * , т.е правильная запись: 3*x.

Деление:

Деление задается знаком /, например: 15/a; y/x;.

Степень:

Степень задается знаком ^, например: x^2; 4^2; y^(-1/2).

Приоритет операций:

Для указания (или изменения) приоритета операций необходимо использовать скобки (), например: (a+b)/4 — тут вначале будет произведено сложение a+b, а потом сумма разделится на 4, тогда как без скобок: — сначала b разделится на 4 и к полученному прибавится a. ВНИМАНИЕ! В непонятных случаях лучше всегда использовать скобки для получения нужного результата, например: 2^4^3 — неясно как будет вычислено это выражение: cначала 2^4, а затем результат в степень 3, или сначала 4^3=64, а затем 2^64? Поэтому, в данном случае, необходимо использовать скобки: (2^4)^3 или 2^(4^3) — смотря что нужно.
Также распространенной ошибкой является запись вида: x^3/4 - непонятно: вы хотите возвести x в куб и полученное выражение разделить на 4, или хотите возвести x в степень 3/4? В последнем случае необходимо использовать скобки: x^(3/4).

Ввод функций:

Функции вводятся с использованием маленьких латинских букв: sin; cos; tan; log.
ВНИМАНИЕ! Аргумент функции всегда берется в скобки (), например: sin(4); cos(x); log(4+y).
Запись типа: sin 4; cos x; log 4+y — недопустима. Правильная запись: sin(4); cos(x); log(4+y).
Если необходимо возвести функцию в степень, например: синус x и все это в квадрате, это записывается вот так: (sin(x))^2. Если необходимо возвести в квадрат аргумент, а не функцию (т.е синус от x^2), тогда это выглядит вот так: sin(x^2). Запись типа: sin^2 x — недопустима.

www.mathforyou.net

Корень н-ой степени на калькуляторе

Сегодня мы разберем, как извлечь уровень – н-oй степени, это может быть корень 3 степени, корень четвертой степени и т.д… по возрастающей! Именно поэтому, это и называется извлечение корня н–ой степени.
Мы уже рассматривали тему квадратного корня – это просто, извлечение корня выше двух, происходит немного по-другому!

Как извлечь корень, квадратный, кубический, н-ой степени из числа!?

Корень третьей степени из числа на калькуляторе онлайн.

В качестве примера — давайте извлечем корень 3 степени из 125:
1. Набираем число, как на обычном калькуляторе, например, пусть это число будет 125. 2. Далее нажимаем кнопку степени – это буква Р. 3. Набираем дробь, 1/3 это и будет корень третьей степени! 3. И последним действием нажимаем равно – как видим корень третьей степени из 125 на калькуляторе будет равно 5.

Корень четвертой степени из числа на калькуляторе онлайн.

Корень четвертой степени на калькуляторе вычисляется аналогично, верхнему примеру!

calc.dwweb.ru

Как написать корень на клавиатуре — Rusadmin

У ряда пользователей, активно работающих с математикой, статистикой и прочими точными науками может возникнуть потребность набрать на клавиатуре символ корня √. При этом ни на одной из кнопок клавиатуры нет изображения подобного символа, и пользователь задаётся вопросом: как же осуществить подобное? В этом материале я помогу таким пользователям расскажу, как написать корень на клавиатуре, поясню, какие методы для этого существуют, и как обозначить корень 3,4,5 степени на клавиатуре.

Пишем корень на компьютере

Содержание статьи:

Как поставить знак квадратный корень на клавиатуре

Многие пользователи в решении вопроса о том, как же написать корень на клавиатуре ПК, используют суррогатный символ «^», расположенный на клавише 6 в верхней части клавиатуры (активируется переходом на английскую раскладку, нажатием клавиши Shift и кнопки «6» сверху).

Некоторые пользователи также пользуются буквосочетанием sqrt (квадратный корень), cbrt (кубический корень) и так далее.

При этом это хоть и быстрые, но недостаточные приёмы. Для нормального набора знака корня выполните следующее:

Если вы не знаете, как ввести собаку с клавиатуры, тогда вам обязательно нужно ознакомить с подробной инструкцией по её вводу, так как при наборе E-mail почты без знака собачки не обойтись.

Как написать корень на клавиатуре используя таблицу символов

Альтернативой этому варианту является использование специальной таблицы символов, имеющейся в ОС Виндовс.

1. Нажмите на «Пуск», затем выберите «Все программы»;
2. Потом «Стандартные», затем «Служебные», где выберите «Таблица символов».
3. Там найдите знак корня √, кликните на него, нажмите на кнопку «Выбрать», затем «Копировать» и скопируйте его в нужный вам текст с помощью клавиш Ctrl+V.

Таблица символов

В текстовом редакторе Word (а также в Excel) также имеется соответствующая таблица символов, которую можно использовать для наших задач. Вы можете найти её, перейдя во вкладку «Вставка», и нажав на «Символ» справа, а затем и кликнув на надпись «Другие символы» чуть снизу, это поможет вам в решении вопроса написании корня в Ворде.

Можно, также, использовать опцию «Формула» во вкладке «Вставка» по описанному в данном ролике алгоритму.

Как обозначить корень 3,4,5 степени на клавиатуре

При этом также может возникнуть вопрос о том, как написать обозначить квадратный корень на клавиатуре и другие, подобные им.

Например, корень 3,4,5 степени на клавиатуре можно записать так:

X^1/3

X^1/4

X^1/5

Или так:

3√X  (вместо числа 3 можете использовать соответствующее обозначение из таблицы символов (³)

4√X

5√X

При этом, несмотря на то, что в системе имеется изображение кубического корня ∛ и четвёртого корня ∜, набрать их через Alt и цифровые клавиши не получится. Это возможно лишь с помощью кодов десятичной системы HTML-код (&#8731 и &#8732)  и шестнадцатеричной Юникод (&#x221B и &#x221C). По мне, так лучше использовать формы обозначения, описанные мной чуть выше.

Заключение

В данном материале мной были описаны разные варианты того, как писать корень на клавиатуре вашего компьютера. Самые нетерпеливые могут воспользоваться знаком ^, но точнее и правильнее будет, всё же, воспользоваться комбинацией клавиш Alt+251, и поставить знак корня таким, каким он обозначается в соответствии с общепризнанным стандартом символов.

Вконтакте

Facebook

Twitter

Одноклассники

Pinterest

Как вы оцените статью?
Загрузка…

rusadmin.biz

Правила ввода функций в онлайн калькуляторах OnlineMSchool.

Не забывайте проверять правильность написания формул. Неточность и ошибки в написании, приводят к неверному ответу и ситуациям, при которых калькулятор отказывается проводить вычисления.

Оператор	Описание
Простейшие математические операции
+ — * / ()	Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы. Знак умножения * — необязателен: выражение 2sin(3 x ) эквивалентно 2*sin(3* x ). Cкобки используются для группирования выражений.
0.5	Десятичные дроби записываются через точку: 0.5 — правильная запись; 0,5 — неправильная запись.
Элементарные функции
	Возведение в степень: xn , например x ^2 значит x 2
	Квадратный корень: √ x . Эквивалентно root( x ,2) или x ^(1/2)
	Кубический корень: 3√ x . Эквивалентно root( x ,3) или x ^(1/3)
	Корень n -той степени из x . Эквивалентно x ^(1/ n )
	Логарифм от x по основанию a
	Натуральный логарифм (логарифм c основанием e )
	Десятичный логарифм (логарифм по основанию 10)
	Экспоненциальная функция, эквивалентно e ^ x
Тригонометрические функции
	Синус от x
	Косинус от x
	Тангенс от x . Можно вводить tg( x ) или tan( x )
	Котангенс от x . Можно вводить ctg( x ) или cot( x )
	Секанс от x , определяется как 1/cos( x )
	Косеканс от x , определяется как 1/sin( x )
	Арксинус от x . Можно вводить arcsin( x ) или asin( x )
	Арккосинус от x . Можно вводить arccos( x ) или acos( x )
	Арктангенс от x . Можно вводить arctg( x ) или atan( x )
	Арккотангенс от x . Можно вводить arcctg( x ) или acot( x )
	Арксеканс от x
	Арккосеканс от x
Некоторые константы
	Число Эйлера e = 2.718281828459045…
	Число π = 3.141592653589793…

0oq.ru

Библиотека функций для построения графиков онлайн

Используйте функции согласно приведенным примерам. Любая неточность или ошибка могут привести к неверному ответу или решению, будьте внимательны.

Оператор	Описание
Простейшие математические операции
+ — * / ()	Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы. Знак умножения * писать не обязательно, например, 2*sin(5*x) можно писать как 2sin(5x). Используйте скобки для группирования выражений.
0.7	Десятичные дроби можно вводить только через точку, то есть, пишем 0.7, а не 0,7 .
Элементарные функции
x^n	Возведение в степень: xn, например x^3 значит x в кубе, также можно написать x*x*x
sqrt(x)	Квадратный корень. Эквивалентно root(x,2)
cbrt(x)	Кубический корень. Эквивалентно root(x,3)
root(x,n)	Корень n-ой степени из x. Например: root(x,3) есть корень 3й степени из x
log(a,x)	Логарифм x по основанию a
ln(x)	Натуральный логарифм (c основанием e)
lg(x)	Логарифм по основанию 10 (Десятичный логарифм)
exp()	Экспоненциальная функция (e в заданной степени), эквивалентно e^аргумент
Тригонометрические функции
sin(x)	Синус значения x
cos(x)	Косинус значения x
tg(x)	Тангенс значения x. Можно вводить tg(x) или tan(x)
ctg(x)	Котангенс значения x. Можно вводить ctg(x) или cot(x)
sec(x)	Секанс значения x, определяется как 1/cos(x)
csc(x)	Косеканс значения x, определяется как 1/sin(x)
arcsin(x)	Арксинус значения x. Можно вводить arcsin(x) или asin(x)
arccos(x)	Арккосинус значения x. Можно вводить arccos(x) или acos(x)
atan(x)	Арктангенс значения x. Можно вводить arctg(x) или atan(x)
arcctg(x)	Арккотангенс значения x. Можно вводить arcctg(x) или acot(x)
asec(x)	Арксеканс значения x, обратный секанс
acsc(x)	Арккосеканс значения x, обратный косеканс
Некоторые константы
e	Основание натурального логарифма или число Эйлера = 2.718281828459045…
pi	Число Пи = 3.141592653589793…

www.webmath.ru

Оператор Dim

Для объявления типа переменных используется оператор Dim (Dimension). Его формат: Dim переменная As тип, переменная As тип (необходимо описывать каждую переменную индивидуально). Пример:

Dim stroka As String, stroka_1 As String

Dim cost As Currency, I As Integer

Dim Cart

Последняя переменная имеет тип Variant (можно было бы и не описывать — она будет определена по умолчанию, но если вы включили в программу оператор Option Explicit, вы обязаны явно описывать все переменные).

При инициализации переменных числовая переменная получает значение 0, строка переменной длины получает значение пустой строки («»), а строка фиксированной длины заполняется нулями. Переменные типа Variant получают при инициализации значение Empty (пустой). Переменной со ссылкой на объект перед ее использованием необходимо присвоить существующий объект с помощью оператора Set. До присвоения объекта описанная объектная переменная имеет специальное значение Nothing, которое указывает, что она не содержит ссылку на какой-либо определенный объект.

2. Массивы

Индекс массива заключается в круглые скобки. Второй индекс отделяется от первого запятой. Объявление массива допускает несколько вариаций:

Если нижний индекс не задан явно, нижняя граница массива определяется оператором Option Base, который задается в модуле только один раз и предшествует описаниям массивов, включающих размерности. Следует заметить, что нижняя граница значений индексов массивов, создаваемых с помощью функции Array, всегда равняется нулю вне зависимости от оператора Option Base.

3. Пользовательские типы данных. Структуры

Для создания новых типов данных используется оператор Type. Его формат:

Type имя

…….тело структуры

End Type

Например,

Type Client

Name As String

Phone As String

birthday As Date

End Type

Далее можно объявить

Dim MyClient(199) As Client

Для доступа к элементу структуры используется точка (как в СИ), например,

MyClient(k).Name=”Николай”.

4. Динамическое перераспределение памяти

Для динамического перераспределения памяти применяется оператор ReDim .

Синтаксис: ReDim [Preserve] Var1 (индексы) [As тип] , Var2 (индексы) [As тип]].

Здесь Var1, Var2,… — имена переменных, Preserve — необязательный параметр, ключевое слово, используемое для сохранения данных в существующем массиве при изменении значения последней размерности.

Оператор ReDim используется для задания или изменения размера динамического массива, который уже был формально описан с помощью оператора Private, Public или Dim с пустыми скобками (без индексов размерностей).

Пример:

Имеется возможность повторно использовать инструкцию ReDim для изменения числа элементов и размерностей массива. Однако не допускается описание массива с одним типом данных и использование оператора ReDim для последующего изменения типа данных этого массива.

При использовании ключевого слова Preserve имеется возможность изменить значение верхней границы размерности массива, но не допускается изменение числа размерностей. Попытка изменить нижнюю границу приведет к ошибке.

В следующем примере показывается, как можно увеличить значение последней размерности динамического массива без уничтожения данных, содержащихся в этом массиве.

ReDim X(10, 10)

. . .

ReDim Preserve X(10, 15)

Если уменьшить размер массива, данные из удаленных элементов будут потеряны. При передаче массива в процедуру по ссылке нельзя изменять размеры массива в процедуре.

studfiles.net

/math/ — Математика

Умножение и деление алгебраических дробей. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и деление алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении. 

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Умножение и деление алгебраических дробей

Правила умножения и деления алгебраических дробей абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:

То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).

Деление на дробь – это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).

Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:

Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .

Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.

Пример 1

Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами называются такие натуральные числа, которые делятся только на  и на само себя. Остальные числа называются составными. Число  не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .

Пример 2

Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.

Пример 3

Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.

Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.

Пример 4

Пример 5

Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.

Пример 6

Пример 7

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример 17

Пример 18

На данном уроке мы рассмотрели правила умножения и деления алгебраических дробей, а также применение этих правил для конкретных примеров.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал для всей семьи (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

3. Вся элементарная математика (Источник).

Домашнее задание

1. №№73-77, 80. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Выполнить умножение: а), б)

3. Выполнить деление: а) , б)

4. Упростить выражение:

interneturok.ru

Умножение и деление рациональных дробей — 8 класс

16 сентября 2015

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.

Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:

1. Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
2. С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
3. Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.

Сферические теоремы косинусов — Howling Pixel

Первая и вторая сферические теоремы косинусов устанавливают соотношения между сторонами и противолежащими им углами сферического треугольника.

Формулировка

Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C имеют следующий вид:

cos⁡c=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡bcos⁡C,{\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,}

cos⁡A=−cos⁡Bcos⁡C+sin⁡Bsin⁡Ccos⁡a.{\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.}

Эти две теоремы двойственны по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать одну из них.

Следствия и применение

Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора:

cos⁡c=cos⁡acos⁡b.{\displaystyle \cos c=\cos a\cos b.}

Хотя для решения косоугольных сферических треугольников обычно используются более удобные формулы, с помощью теоремы косинусов выводится важная для геодезии формула длины ортодромии — кратчайшего расстояния между точками на земной поверхности с известными координатами (в предположении сферичности Земли). Обозначим географические широты двух данных точек φA{\displaystyle \varphi _{A}} и φB{\displaystyle \varphi _{B}}, разность долгот — ΔλAB{\displaystyle \Delta \lambda _{AB}}, кратчайшее расстояние между ними обозначим d, длину дуги в 1 градус — a. Тогда формула длины ортодромии^[2]:

cos⁡(da)=sin⁡φA⋅sin⁡φB+cos⁡φA⋅cos⁡φB⋅cos⁡ΔλAB{\displaystyle \cos \left({\frac {d}{a}}\right)=\sin \varphi _{A}\cdot \sin \varphi _{B}+\cos \varphi _{A}\cdot \cos \varphi _{B}\cdot \cos \Delta \lambda _{AB}}

Эта формула сразу получается применением теоремы косинусов к стороне AB сферического треугольника P_nAB. Подобная формула справедлива для любой сферической поверхности и поэтому её можно применять также для определения углового расстояния между звёздами по известным их экваториальным координатам^[3].

Теорема косинусов в её втором виде (соотношение между тремя углами и стороной) может быть применена для вычисления взаимного наклонения двух орбит при известном наклонении каждой орбиты к какой-то другой плоскости. Например, по этой формуле можно вычислить наклонение орбиты Плутона к орбите Нептуна, используя наклонения их орбит к эклиптике и долготы их восходящих узлов.

История

Теорема косинусов для сферического треугольника математиками средневекового Востока в общем виде сформулирована не была, хотя при решении конкретных астрономических задач они иногда пользовались соотношениями, равносильными этой теореме. Эти соотношения, используемые при определении высоты Солнца, встречаются в сочинениях Сабита ибн Корры, ал-Махани, ал-Баттани, Ибн Юниса, ал-Бируни.

Впервые теорему косинусов в явном виде сформулировал в XV веке Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по латинизированному имени ал-Баттани).

См. также

Примечания

1. ↑ Приводится по изданию: Степанов Н.Н. Формулы косинуса стороны // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 24—28. — 154 с.
2. ↑ Михайлов В.С., Кудрявцев В.Г., Давыдов В.С. 26.2. Основные формулы ортодромии. Способы её задания // Навигация и лоция. — Киев, 2009.
3. ↑ Меёс Ж. 9. Угловое расстояние между объектами // Астрономические формулы для калькуляторов. — Мир, 1988. — С. 44—46. — 168 с. — ISBN 5030009361.
4. ↑ Lee Kai Ming. PHYS 2021 — The Physical Universe. — 2010. — С. 6.

Литература

• Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. 2-е изд., ИГКЛ, 1948, 115с.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: Фан, 1990.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.-М., 1948.

Решение треугольников

Решение треугольников (лат. solutio triangulorum) — исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.). Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях, например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Сферическая теорема синусов

Сферическая теорема синусов устанавливает пропорциональность между синусами сторон a, b, c и синусами противолежащих этим сторонам углов A, B, C сферического треугольника:

sin⁡asin⁡A=sin⁡bsin⁡B=sin⁡csin⁡C.{\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.}

Сферическая теорема синусов является аналогом плоской теоремы синусов и переходит в последнюю в пределе малости сторон треугольников по сравнению с радиусом сферы.

Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон сферических треугольников. Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

howlingpixel.com

Основные формулы сферической тригонометрии — КиберПедия

Задачей сферической тригонометрии является решение сферического треугольника, то есть вычисление его неизвестных элементов через заданные (известные).

Известно, что для нахождения какого-либо угла или стороны треугольника необходимо, чтобы три любых других его элемента были известны (заданы).

Рассмотрим (без вывода) четыре основные теоремы сферической тригонометрии, устанавливающие необходимую аналитическую зависимость между элементами сферического треугольника.

I. Формула косинуса стороны.

Эта формула связывает между собой все три стороны и один из углов сферического треугольника. Для любого сочетания таких четырех элементов установлена зависимость, что …

«… косинус стороны сферического треугольника равняется произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними…».

 

 

Рис. 2.2. Сферический треугольник

 

Применительно к стороне а (рис. 2.2) сферического треугольника АВМ, руководствуясь теоремой косинуса стороны, можем записать:

cos a = cos b · cos m + sin b · sin m · cos A

Для сторон b и m зависимость между элементами треугольника выразится формулами:

(2.1)

II. Формула синусов связывает между собой противолежащие элементы сферического треугольника → углы и стороны.

«… во всяком сферическом треугольнике синусы сторон относятся как синусы противолежащих углов…».

Для сферического треугольника АВМ (рис. 2.2) можем записать соотношения:

Формула синусов применяется для вычисления одного из элементов, входящих в записанные равенства, если известны три других элемента.

III. Формула котангенсов связывает между собой четыре элемента сферического треугольника, лежащие рядом.

«… котангенс крайнего угла, умноженный на синус среднего, равняется произведению котангенса крайней стороны на синус средней без произведения косинусов средних элементов…».

Если в сферическом треугольнике АВМ (рис. 2.2) устанавливается зависимость между элементами А, m, В и а, то угол А и сторона а являются крайними, а угол В и сторона m – средними элементами, и тогда:

ctg A · sin B = ctg a · sin m — cos B · cos m

Всего для треугольника можно написать шесть таких соотношений, а именно:

(2.3)

Формула котангенсов применяется для вычисления стороны или угла сферического треугольника, если они лежат рядом с тремя заданными элементами.

IV. Формула косинуса угла связывает между собой три угла и одну из сторон сферического треугольника.

«… косинус угла сферического треугольника равняется произведению синусов двух других углов на косинус стороны между ними без произведения косинусов тех же углов…».

Для каждого из углов сферического треугольника АВМ можно написать формулы:

(2.4)

Эти формулы удобны при вычислении угла по двум другим углам и стороне между ними, а также служат для нахождения стороны по трем заданным углам.

 

Рис. 2.3. Прямоугольный сферический треугольник

 

Решение прямоугольных треугольников проще, чем косоугольных, так как один из их элементов (угол 90°) всегда известен и для решения треугольника достаточно знать только два элемента.

То же самое относится и к четвертным треугольникам, в которых один из элементов (сторона 90°) всегда известен.

Если в сферическом треугольнике АВМ (рис. 2.3) заданы угол В = 90°, катет а и угол М, то для вычисления неизвестного угла А можно применить формулу косинуса угла (6.4) → cos A = sin B · sin M · cos a — cos B · cos M.

Если теперь заменить все функции угла В = 90° их значениями (sin B = 1, cos B = 0), то получим

cos A = sin M · cos a

(2.5)

 

2.3. Вычисление горизонтных координат светил по таблицам логарифмических функций мореходных таблиц «МТ-75»

При вычислении счислимой высоты (h_С) и азимута (А_С) светила по формулам сферической тригонометрии, как по натуральным значениям тригонометрических функций, так и по логарифмам, наиболее удобными являются формулы:

(2.6)

В формуле знак «~» означает, что при φ_С и δ одноименных из большей величины вычитается меньшая, а при разноименных → величины φ_С и δ складываются.

Значения , и табулированы так, что при вычислениях не нужно делить аргументы Z_C, φ_С~δ и t_M, а значения тригонометрических функций возводить в квадрат, → все эти действия выполнены в таблицах 5а (5б) «МТ-75» (в «МТ-2000» таких таблиц нет).

Производить исследование формулы на знаки тригонометрических функций не требуется, так как оба члена ее правой части всегда положительны.

Методику вычисления горизонтных координат светил с помощью «МТ-75» рассмотрим на примере решения конкретной задачи.

Задача: Вычислить значения счислимых высоты (h_C) и азимута (А_С) светила, если:

φ_С = 43°20,6′N; δ = 17°36,7′N; t_M = 17°12,4′W.

Решение:

1. → Составляем схему вычислений:

cyberpedia.su

Теоремы косинусов в плоской и сферической тригонометрии

Как уже говорилось, тригонометрии как таковой (и вообще каких-либо измерений) в «Началах» Евклида нет. Тем не менее, в них сформулировано утверждение, необходимое для решения плоских треугольников – а именно, теорема косинусов, позволяющая по двум сторонам и углу между ними найти третью сторону. Как известно, в современных обозначениях, теорема косинусов записывается так:

c2 = a2 + b2 – 2ab cos A.

Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора на непрямоугольные треугольники. У Евклида теорема косинусов распадается на два утверждения – о тупоугольном и остроугольном треугольнике. Первая сформулирована так:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше суммы квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключенный между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле: BC2 = AB2 + AC2 + 2AC ∙ AD.

Рис. 1. Теорема косинусов для тупоугольного треугольника, Евклид

Поскольку

AD =  AB cos BAD, а

cos BAD = –cos BAС,

данное утверждение действительно эквивалентно теореме косинусов для тупого угла.

Доказательство в современных обозначениях сводится к цепочке равенств:

BC² = BD² + CD² = BD² + (AC + AD)² = BD² + AC² + AD² + 2AC ∙ AD = (BD² + AD²) + AC² + 2AC ∙ AD = AB² + AC² + 2AC ∙ AD.

Здесь дважды применена теорема Пифагора – в первом и в последнем равенствах.

Теорема косинусов для остроугольного треугольника звучит у Евклида так:

В остроугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей острый угол, меньше суммы квадратов на заключающих острый угол сторонах на дважды взятый прямоугольник, заключенный между одной из сторон при остром угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром внутрь отрезком при остром угле: BC2 = AB2 + AC2 – 2AC ∙ AD.

Рис. 2. Теорема косинусов для остроугольного треугольника, высота лежит внутри треугольника, Евклид

Опять-таки, поскольку AD равно AB cos BAC, данное утверждение эквивалентно теореме косинусов для острого угла:

BC2 = BD2 + CD2 = BD2 + (AC – AD)2 = BD2 + AC2 + AD2 – 2AC ∙ AD = (BD2 + AD2) + AC2 – 2AC ∙ AD = AB2 + AC2 – 2AC ∙ AD.

Следует отметить, что эта теорема верна не только для остроугольных треугольников, но и для любых треугольников – а именно, для квадрата той ее стороны, которая лежит против острого угла. В том числе она остается верной для случая, когда основание перпендикуляра BD лежит вне стороны AC.

Рис. 3. Теорема косинусов для остроугольного треугольника, высота не лежит в треугольнике, Евклид

Нужно ли что-либо изменить в доказательстве для этого случая?

Ответ

Если раньше выполнялось CD = AC – AD, то теперь выполняется CD = AD – AC, однако это ничего не меняет в равенствах в доказательстве теоремы.

Современные школьники изучают лишь плоскую тригонометрию, в то время как математиков древности, средневековья и нового времени больше всего интересовала сферическая тригонометрия, рассматривающая треугольники на сфере и позволяющая находить одни элементы этих треугольников по другим их элементам. Под сферическим треугольником подразумевается треугольник на поверхности сферы, составленный из дуг больших кругов – т. е. таких окружностей, центром которых является центр сферы.

Рис. 4. Сферический треугольник

Такое обобщение понятия треугольника естественно: подобно тому, что на плоскости линия кратчайшей длины между двумя точками – это прямая, на сфере линией кратчайшей длины является большой круг. Длина дуги AB пропорциональна центральному углу AOB, опирающемуся на нее; если мы пользуемся радианной мерой углов, то длина дуги просто равна произведению радиуса сферы на величину угла AOB. Для простоты будем рассматривать сферу, радиус которой равен 1. Стороны треугольников на такой сфере просто будут равны соответствующим центральным углам, а значит, можно будет измерять синусы и косинусы сторон, а не только углов, треугольников.

Углы сферического треугольника – это углы между касательными к его сторонам, проведенными в его вершинах. Как и углы обычного треугольника, они меняются от 0 до 180°. В отличие от плоского треугольника, у сферического сумма углов не равна 180°, а больше: в этом нетрудно убедиться, рассмотрев, например, треугольник, образованный дугами двух меридианов и экватора на глобусе: хотя меридианы сходятся в полюсе, оба они перпендикулярны экватору, а значит, у этого треугольника два прямых угла!

Рис. 5. У сферического треугольника может быть два прямых угла

Уже у индийца Варахамихиры (V–VI вв.), у арабских математиков и астрономов начиная с IX в. (Сабит ибн Корра, ал-Баттани), а у западных математиков начиная с Региомонтана (XV в.) встречается в различных формулировках замечательная теорема о сферических треугольниках. Вот как она может быть сформулирована в современных обозначениях:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A.

Рис. 6. Теорема о сферических треугольниках

Казалось бы, эта формула внешне нисколько не походит на привычную нам теорему косинусов для плоского случая, но она тоже позволяет по двум сторонам и углу между ними находить третью сторону и в этом смысле аналогична теореме косинусов.

Сферическая теорема косинусов очень важна и для астрономии, и для географии. Эта теорема позволяет по координатам двух городов A и B находить расстояние между ними. В самом деле, рассмотрим сферический треугольник ABN, где N – северный полюс (предположим для простоты, что обе точки находятся в северном полушарии).

Рис. 7. Нахождение расстояния между двумя точками на сфере

Тогда, если широта и долгота точки A равны φ_A и λ_A, а точки B – φ_B и λ_B, то угловые величины сторон треугольника таковы:

AN = π/2 – φ_A, BN = π/2 – φ_B,

угол при вершине N равен (λ_A – λ_B),

и, по сферической теореме косинусов,

cos AB = cos (π/2 – φ_A) cos (π/2 – φ_B) + sin (π/2 – φ_A) sin (π/2 – φ_B) cos (λ_A – λ_B) = sin φ_A sin φ_B + cos φ_A cos φ_B cos (λ_A – λ_B).

Попробуйте, пользуясь этой формулой, узнать расстояние от Москвы (56° с. ш., 38° в. д.) до Санкт-Петербурга (60° с. ш., 30° в. д.).

Кроме того, математикам стран ислама сферическая теорема косинусов помогала в решении другой практической задачи: в городе с данными координатами находить направление на священный город Мекку (всякий правоверный мусульманин должен пять раз день молится в направлении Мекки). При решении этой задачи, считая город B Меккой, требовалось найти угол A того же треугольника.

Рис. 8. Страница из «Собрания правил науки астрономии», XI в., автор неизвестен

В астрономии сферическая теорема косинусов позволяет переходить из одной системы координат на небесной сфере в другую. Чаще всего используются три такие системы: у одной экватором служит небесный экватор, а полюсами – полюсы мира, вокруг которых происходит видимое суточное вращение светил; у другой экватором является эклиптика – круг, по которому в течение года совершается видимое движение Солнца на фоне звезд; у третьей роль экватора выполняет горизонт, а роль полюсов – зенит и надир. В частности, благодаря сферической теореме косинусов можно вычислять высоту Солнца над горизонтом в разные моменты времени и в разные дни в году.

Арабские математики сформулировали и теоремы синусов – плоскую и сферическую. Эта последняя выглядит очень похоже на плоскую:

sin a / sin A = sin b / sin B = sin c / sin C.

files.school-collection.edu.ru

Теоремы косинусов (сферическая геометрия) — это… Что такое Теоремы косинусов (сферическая геометрия)?

Сферический треугольник.

Первая и вторая сферические теоремы косинусов устанавливают соотношения между сторонами и противолежащими им углами сферического треугольника.

Формулировка

Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C имеют следующий вид:

Эти две теоремы двойственны по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать одну из них.

Доказательство  

Рисунок к доказательству теоремы косинусов с помощью проекций.

Доказательство проведём с помощью проекций^[1]. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол PMB равен π — C, кроме того, ON = R cos c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON.

,

,

,

.

Подставляем три последних выражения и указанное выше выражение ON = R cos c в первое выражение и получаем:

.

Теоремы косинусов для двух других сторон, то есть теорему для cos a и теорему для cos b, получаем аналогично, их также можно получить сразу из формулы для стороны c при помощи круговой перестановки букв:

Сферический треугольник для определения кратчайшего расстояния между точками на Земле.

Следствия и применение

Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора:

Хотя для решения косоугольных сферических треугольников обычно используются более удобные формулы, с помощью теоремы косинусов выводится важная для геодезии формула длины ортодромии — кратчайшего расстояния между точками на земной поверхности с известными координатами (в предположении сферичности Земли). Обозначим географические широты двух данных точек и , разность долгот — , кратчайшее расстояние между ними обозначим d, длину дуги в 1 градус — a. Тогда формула длины ортодромии^[2]:

Эта формула сразу получается применением теоремы косинусов к стороне AB сферического треугольника P_nAB. Подобная формула справедлива для любой сферической поверхности и поэтому её можно применять также для определения углового расстояния между звёздами по известным их экваториальным координатам^[3].

Пример 1: определение углового расстояния между двумя светилами на небесной сфере  

Определим угловое расстояние (x) между звездой δ Цефея (экваториальные координаты: α₁=22ч 29м, δ₁=+58° 25′) и галактикой Туманность Андромеды (α₂=0ч 43м, δ₂=+41° 16′) на небесной сфере. Выражаем α₁ в градусах и долях градуса:

Аналогично получаем, что α₂=10°,75. Выражаем δ₁ в градусах и долях градуса:

Аналогично δ₂=41°,27. Применяем теорему косинусов^[4]:

Отсюда x=27°,11.

Теорема косинусов в её втором виде (соотношение между тремя углами и стороной) может быть применена для вычисления взаимного наклонения двух орбит при известном наклонении каждой орбиты к какой-то другой плоскости. Например, по этой формуле можно вычислить наклонение орбиты Плутона к орбите Нептуна, используя наклонения их орбит к эклиптике и долготы их восходящих узлов.

Пример 2: определение взаимного наклонения орбит небесных тел  

Определим взаимное наклонение (x) орбит Плутона (наклонение орбиты к эклиптике — 17°,14, долгота восходящего узла — 110°,30) и Нептуна (наклонение орбиты к эклиптике — 1°,77, долгота восходящего узла — 131°,79). В соответствующем сферическом треугольнике известны два угла: один равен наклонению орбиты Плутона к эклиптике, другой — дополнению наклонения орбиты Нептуна к эклиптике до 180 градусов. Известна также прилегающая к этим углам сторона, равная разности долгот восходящих узлов Плутона и Нептуна. Осталось применить второй вариант теоремы косинусов — для углов:

Отсюда x≈15°,51.

История

Теорема косинусов для сферического треугольника математиками средневекового Востока в общем виде сформулирована не была, хотя при решении конкретных астрономических задач они иногда пользовались соотношениями, равносильными этой теореме. Эти соотношения, используемые при определении высоты Солнца, встречаются в сочинениях Сабита ибн Корры, ал-Махани, ал-Баттани, Ибн Юниса, ал-Бируни.

Впервые теорему косинусов в явном виде сформулировал в XV веке Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по латинизированному имени ал-Баттани).

См. также

Примечания

1. ↑ Приводится по изданию: Степанов Н.Н. Формулы косинуса стороны // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 24—28. — 154 с.
2. ↑ Михайлов В.С., Кудрявцев В.Г., Давыдов В.С. 26.2. Основные формулы ортодромии. Способы ее задания // Навигация и лоция. — Киев, 2009.
3. ↑ Меёс Ж. 9. Угловое расстояние между объектами // Астрономические формулы для калькуляторов. — Мир, 1988. — С. 44—46. — 168 с. — ISBN 5030009361
4. ↑ Lee Kai Ming PHYS 2021 — The Physical Universe. — 2010. — С. 6.

Литература

• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: Фан, 1990.

dic.academic.ru

3)Элементы сферической тригонометрии

1. Приближенные вычисления. Соотношение между угловой и радиальной мерами измерения углов и длинами дуг.

Приближённые вычисления, вычисления, в которых данные и результат (или по крайней мере только результат) являются числами, лишь приближённо представляющими истинные значения соответствующих величин. П. в. возникают в связи с численным решением задач и обусловлены неточностями, которые присущи формулировке задачи и способам её решения. Общие правила и теорию методов П. в. принято называть численными методами.Обозначение единиц измерения плоского угла:

градус- «°»;минута — «’»;секунда — «»».

Соотношение между угловыми единицами:

1° = 1/360 полного оборота = 2Π/З60 рад = 0,017453 рад;

1’ = 1/60° = Π/108*10^-2 рад = 0,000 291 рад;1’’ = 1/60’’ = Π/648*10^-3 рад = 0,000 005 рад.

2)Тригонометрические функции малых углов.

Пусть a будет какой-нибудь острый угол. Возьмём на одной из его сторон произвольную точку и опустим из неё перпендикуляр на другую сторону угла. Тогда мы получим прямоугольный треугольник. Возьмём отношения сторон этого треугольника попарно, а именно:1) отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе,

2) отношение катета, прилежащего углу, к гипотенузе,

3) отношение катета, противолежащего углу, к катету прилежащему,и обратные им отношения.

Величина каждого из этих отношений не зависит от положения точки на стороне угла.Все указанные отношения называются тригонометрическими функциями. Чаще других отношений берутся следующие четыре:

1) отношение катета, противолежащего углу a, к гипотенузе называется синусом угла a и обозначается sin(a),2) отношение катета, прилежащего углу a, к гипотенузе называется косинусом угла a и обозначается соs(a),3) отношение катета, противолежащего углу a, к катету прилежащему называется тангенсом угла a и обозначается tg(a),4) отношение катета, прилежащего углу a, к катету противолежащему называется котангенсом угла a и обозначается сtg(a).Так как каждый из двух катетов меньше гипотенузы, то синус и косинус каждого угла есть число меньшее единицы. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Простейшие из этих зависимостей следующие четыре:

;;;

Сферическая тригонометрия занимается изучением соотношений между сторонами и углами сферических треугольников (например, на поверхности Земли и на небесной сфере).Сферические треугольники. На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара и сферической поверхности. Сторонами a, b, c сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше 180 (если один из этих углов равен 180, то сферический треугольник вырождается в полуокружность большого круга). Каждой стороне треугольника соответствует дуга большого круга на поверхности шара (см. рисунок).

Углы A, B, C сферического треугольника, противолежащие сторонам a, b, c соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лучами.Геометрия на поверхности шара является неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360, сумма углов заключена между 180 и 540. В каждом сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180 плюс третий угол.Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):1) тремя сторонами, 2) тремя углами, 3) двумя сторонами и заключенным между ними углом, 4) стороной и двумя прилежащими к ней углами.

4)Формула косинуса стороны.

Формула косинуса стороны связывает три стороны и один из углов сферического треугольника. Удобна для нахождения неизвестного угла или стороны, противолежащей этому углу, и читается следующим образом: «в сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косину­сов двух других сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними»

5)Формула косинуса угла и синусов

Формула косинуса угла связывает три угла и сторону сферического тре­угольника, удобна для нахождения неизвестной стороны или угла, противо­лежащего этой стороне, и читается так: «косинус угла сферического тре­угольника равен отрицательному произведению косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих углов на косинус стороны между ними».;

С*sinA=a*sinc;

6)Формулы пяти элементов и котангенсов.

Формула котангенсов (4-х рядом лежащих элементов) связывает 4 ря­дом лежащих элемента, используется для нахождения крайних элементов и читается следующим образом: «произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на си­нус средней стороны минус произведение косинусов средних элементов «.

; SINb*COSА=cosa*sinc-sina*cosc*cosB

Синус сторон х на косинус прилежащего угла равен произведению косинуса стороны на синус 3-ей стороны минус произведению синуса противолежащей стороны на косинус 3-ей стороны и на косинус угла между ними.

7) Решение прямоугольных сферических треугольников. Правило Модюи-Непера. Дополнительные формулы для решение косоугольных сферических треугольников.

Прямоугольным называется такой сферический треугольник, у которого один из углов равен 90°. Прямоугольные сферические треугольники более рационально решать по правилам Модюи-Непера:в прямоугольном сферическом треугольнике косинус любого среднего элемента равен произведению котангенсов крайних смежных с ним элемен­тов; косинус отдельно лежащего элемента сферического треугольника равен произведению синусов двух не смежных с ним рядом лежащих элемен­тов. Примечание: в обоих правилах принято, что катеты лежат рядом друг с другом и что вместо катетов надо брать их дополнения до 90°, изменяя соот­ветственно наименования тригонометрических функций.

8)Фигура и размеры Земли.

Земля представляет собой неправильной формы шар. Длина его экваториального радиуса равна 6 378 245 м. а полярного—6 356 863 м. Как видно, экваториальный диаметр Земли длиннее полярного примерно на 42,8 км. Если изобразить отклонение формы Земли от шара на глобусе с поперечником в 1 м по экватору, то его полярная ось будет короче экваториальной на 3,35 мм. Фигура Земли имеет форму геоида, что переводится как «землеподобный». Геоидом называется фигура, ограничивающая невозмущённую поверхность уровня мирового океана, мысленно проходит под материками и островами, таким образом, что она в каждой своей точке перпендикулярна отвесной линии и имеющая неправильную геометрическую форму. Геометрия геоида очень сложна, поэтому вместо геоида при решении штурманских задач ис­пользуют более простые модели Земли: эллипсоид вращения, сферу, карту. Размеры референц-эллипсоида Красовского: большая полуось а=6378245 м; в=6356863 м; полярное сжатие а=(а-в)/а=1/298,3; экс­центриситет е=0,0818;R=6371110м.

9)Основные элементы на поверхности небесной сферы и земного сфероида.

Плоскость истинного меридиана наблюдателя пересекается с плоскостью истинного горизонта по линии N — S, которая называется полуденной линией, так как в этой плоскости Солнце бывает точно в полдень.

Вертикальную плоскость, проходящую через глаз наблюдателя перпендикулярно плоскости истинного меридиана наблюдателя, называют плоскостью первого вертикала (плоскость 3). Она пересекается с плоскостью истинного горизонта наблюдателя по линии Ost—W. Таким образом, пересечение взаимно перпендикулярных плоскостей истинного меридиана наблюдателя и первого вертикала дает четыре главные линии на плоскости истинного горизонта наблюдателя, которые указывают на главные точки горизонта: N, S, Ost и W. Если наблюдатель станет лицом к северу, то за спиной у него будет юг, справа—восток, слева—запад. Линии N—S, Ost—W в любой точке земной поверхности (кроме полюсов) занимают вполне определенное положение. Направления N, S, Ost и W называют главными направлениями, или главными румбами, которые делят истинный горизонт на четыре четверти: NOst— северо-восточную, SOst — юго-восточную, SW—юго-западную и NW—северозападную. Каждая четверть делится на 8 румбов, а весь горизонт—на 32 румба.Основные географические точки, линии и круги на земном шаре.Земля непрерывно вращается в направлении с запада на восток. Диаметр, вокруг которого происходит это вращение, называется осью вращения Земли.Земля непрерывно вращается в направлении с запада на восток. Диаметр, вокруг которого происходит это вращение, называется осью вращения Земли.

Эта ось пересекается с поверхностью Земли в двух точках, которые называются географическими полюсами: один Северным (С), а другой Южным (Ю). Северным называется тот полюс, в котором, если смотреть на него сверху, вращение Земли направлено против хода часовой стрелки. Противоположный полюс называется Южным.

Через любую точку на земном шаре можно провести бесчисленное множество больших и малых кругов.Большим называется круг, образованный на земной поверхности плоскостью сечения, проходящей через центр Земли. Малым называется круг, образованный на земной поверхности плоскостью сечения, не проходящей через центр Земли. Большой круг, плоскость которого перпендикулярна оси вращения Земли, называется экватором. Экватор делит земной шар на Северное и Южное полушария. Малый круг, плоскость которого параллельна плоскости экватора, называется параллелью. Через каждую точку на земной поверхности можно провести только, одну параллель, которая называется параллелью места. Большой круг, проходящий через полюсы Земли, называется географическим, или истинным меридианом. Через каждую точку на земной поверхности, кроме полюсов, можно провести только один меридиан, который называется меридианом места. Меридиан, проходящий через Гринвичскую астрономическую обсерваторию, находящуюся в Англии вблизи Лондона, принят по международному соглашению в качестве начального меридиана.Начальный меридиан делит земной шар на Восточное и Западное полушария. Плоскость экватора и плоскость начального меридиана являются основными плоскостями, от которых производится отсчет географических координат.

studfiles.net

Сферические теоремы косинусов Википедия

Рисунок к доказательству теоремы косинусов с помощью проекций.

Доказательство проведём с помощью проекций^[1]. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол PMB равен π — C, кроме того, ON = R cos c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON.

pr ON=pr OM+pr MP+pr PN{\displaystyle {\mbox{pr }}ON={\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP+{\mbox{pr }}PN},

PN⊥OA⇒pr PN=0{\displaystyle PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr }}PN=0},

pr OM=OMcos⁡b=Rcos⁡acos⁡b{\displaystyle {\mbox{pr }}OM=OM\cos b=R\cos a\cos b},

pr MP=PMcos⁡(π−(π2−∠MPN))=PM(−sin⁡∠MPN){\displaystyle {\mbox{pr }}MP=PM\cos(\pi -({\frac {\pi }{2}}-\angle MPN))=PM(-\sin \angle MPN)}

ruwikiorg.ru

Сферические теоремы косинусов Википедия

Рисунок к доказательству теоремы косинусов с помощью проекций.

Доказательство проведём с помощью проекций^[1]. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол PMB равен π — C, кроме того, ON = R cos c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON.

pr ON=pr OM+pr MP+pr PN{\displaystyle {\mbox{pr }}ON={\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP+{\mbox{pr }}PN},

PN⊥OA⇒pr PN=0{\displaystyle PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr }}PN=0},

pr OM=OMcos⁡b=Rcos⁡acos⁡b{\displaystyle {\mbox{pr }}OM=OM\cos b=R\cos a\cos b},

pr MP=PMcos⁡(π−(π2−∠MPN)

ru-wiki.ru