Рубрика: Школьная жизнь

Вакансия специалиста по решению задач

Мы всегда рады тем, кто готов помочь с выполнением учебных работ.
 

Как проходит сотрудничество с нами

1. Вам нужно заполнить небольшую анкету на сайте, указав свои контакты, предметы и информацию об образовании.
2. Если у нас появляется заказ, мы делаем рассылку и он приходит Вам на e-mail.
3. Если Вы готовы взяться, то сообщаете нам цену, за которую выполните работу.
4. Если цена устроила заказчика, Вам передается заказ на выполнение.

Как происходит выплата денег

После того как заказчик подтвердит, что решение проверено и нет замечаний, вам перечисляется вся сумма заказа, которую вы указали в начале. Комиссию с решателей мы не берем.

• Если работу нужно доработать исходя из первоначальных требований, которые не были выполнены, дорабатываете.
• Если у заказчика появились новые требования к решению, заказ оценивается Вами заново и происходит доплата за дополнительную работу.
• Если решение неверное и заказчик предоставляет проверенную преподавателем работу, деньги за задачи Вы не получаете. Вся сумма возвращается заказчику.

Какие специалисты по решению задач наиболее востребованы

Наиболее часто на нашем сайте заказывают экономику, а специалистов по этому предмету у нас не много, поэтому в «ТОПе» самых высокооплачиваемых решателей стоят экономисты. На втором месте в «ТОПе» стоят специалисты по праву. Далее остальные предметы (сопромат, физика, высшая математика, программирование и т.д.).
 
Заполняя анкету решателя на нашем сайте, нужно указать предмет(ы), по которым Вы хотели бы получать заказы.
 

Онлайн помощь на экзамене

Мы рады людям, готовым помочь нашим заказчикам во время экзамена. Услуга заключается в том, чтобы решить за студента задания. До экзамена мы присылаем Вам примерные билеты, список тем, которые изучались, а также точную дату и время начала экзамена. Если Вы готовы помочь, то пишете нам, указав свою цену. Если заказчика устраивает, то Вам сообщаются данные для связи.
 
Связь поддерживается по электронной почте или через ВКонтакте (в основном через ВКонтакте). Логин и пароль для входа в аккаунт, на который будет писать заказчик, мы предоставляем.
Подробное описание услуги для решателей.

Почему с нами сотрудничают решатели

• Наша компания сравнительно недавно на рынке, мы дорожим каждым клиентом. Благодаря индивидуальному подходу к заказчику, к нам обращается множество людей, доверяя нам свои контрольные и экзамены.
• У нас есть заказы по любым учебным дисциплинам.
• Работаете дома.
• Беретесь только за те заказы, которые Вам нравятся.
• Работаете в удобное для Вас время.

Главное для нас — своевременное и качественное выполнение работ!

reshatel.org

Решение контрольных в Санкт-Петербурге, курсовые на заказ, дипломные работы, 2019

Решение контрольных

Пожалуй, будет не справедливо не отметить тот факт, что контрольная – это любимый вид проверки знаний у студентов преподавателями. Они задаются практически по всем предметам на протяжении всего периода обучения. Порой заказать решение контрольной работы значительно проще, чем тратить на нее свободное время, ведь стоят они, как правило, не дорого, а вот усилия порой нужно приложить не малые.

Дипломная работа

Решение заказать дипломную работу приходит в том случае, когда студент объективно оценивает возможности самостоятельного ее выполнения. Ведь для успешного написания дипломного проекта необходимо не только достаточное количество времени, упорства и знаний, но и минимальный опыт написания подобных работ.

Курсовая на заказ

Это тот вид работ, который пользуется наибольшей популярностью среди студентов.  И это вполне объяснимо: чаще всего курсовые работы ложатся в основу дипломного проекта – самого главного труда каждого студента. А это значит, что гораздо правильней будет заказать курсовую работу у профессионала для того, чтобы не только обеспечить себе отличную отметку, а заодно получить качественный материал, который положит начало дипломной работы.

Реферат на заказ

Данный вид работ отличается тем, что его могут задать по совершенно не связанной с Вашим профилем дисциплине. Естественно, чтобы написать качественный реферат, например, по истории, обучаясь при этом на математическом факультете, нужно изучить достаточно большое количество источников и вникнуть в проблему. А это, конечно же, займет немало времени. Если у Вас нет желания тратить свое время на ненужные поиски, стоит заказать реферат у нас.

Отчет по практике на заказ

Прошли те времена, когда основной задачей студента, проходящего практику, будь то ознакомительная, производственная, педагогическая или преддипломная, было закрепление теоретических знаний на практике, а также овладение навыками и умениями, необходимыми в дальнейшем. Сегодня  весь процесс практики чаще всего сводиться к формальности — банальному заполнению бумажек, бланков и отчетов. Чтобы избавить себя от необходимости писать сочинение о том, чем занимались во время практики, рекомендуем заказать отчет по практике со всеми сопутствующими документами у наших специалистов.

Диссертация на заказ

Когда соискатель ученой степени решает заказать диссертацию, он хочет получить гарантии, уверенность в том, что работа будет выполняться профессионалом своего дела, не только хорошо понимающего суть проблемы, но и имеющего опыт написания подобных работ. Мы предоставляем такие гарантии и уверяем Вас в том, что диссертация на заказ у нас – это получение качественного и уникального труда, который будет оценен по достоинству.

kontrolnaja-spb.ru

Решение задач на заказ недорого: цены на услуги

Интересует компетентная помощь для студентов по решению задач? Мы оказываем такие услуги на должном качественном уровне и готовы помочь ученикам упростить процесс сдачи сессии, модулей и лабораторных.

Как правило, по окончании семестра или курса в один момент наваливается так много заданий, что порой справиться с ними самостоятельно физически нереально. Если вы столкнулись с такой проблемой или имеете другую более важную занятость (по работе или личным делам), то заручитесь нашей поддержкой. Мы согласуем оптимальные для вас сроки выполнения работы, а сотрудники компании гарантированно правильно и точно проведут все расчеты. Кроме того, проект сопровождается до проверки. Это значит, что если будут какие-либо замечания, то мы без дополнительной платы внесем коррективы. Просто, недорого и без лишних волнений закрывайте все текущие дела в учебном заведении и наслаждайтесь жизнью.

Если нужно решить задание со сложными расчетами, то спешите заказать помощь у нас

Мы на заказ решаем задачи по математике, физике, химии, экономике, экологии и другим предметам. Заявки принимаются на решение заданий уровня любой университетской программы. Вы сразу же можете указать нужные сроки – если они нам посильны, то мы примемся за работу и точно вовремя представим вам результат, а может – и раньше. Стоимость решения задачи зависит от предмета и сложности. Подав запрос на сайте и указав детали работы, вы сразу же получите компетентный ответ со всеми объяснениями.

Взаимодействие происходит через Личный Кабинет. Именно туда будут отправляться готовые решения, а задать интересующие вопросы и проконсультироваться с нашим сотрудником вы сможете в любое время.

Мы знаем толк в написании студенческих работ, имеем в арсенале уже тысячи успешных проектов и сами заинтересованы в качестве результата, а также успешной защите студента. Доработки и правки вносятся бесплатно.

Нужно дешево решить задание? Мы делаем качественно и по умеренным тарифам

Цены на решение задач – средние на рынке. Мы считаем, что хорошая работа должна соответствующе оплачиваться, но не признаем необоснованные комиссии и наценки. Подавайте запрос для уточнения всех деталей и оформления вашего заказа. Упростите себе некоторые студенческие процессы с нашей помощью. Ждем вас!

reshatel.org

Уравнения поверхностей второго порядка

osiktakan.ru

§15. Поверхности второго порядка.

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x,y,zудовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию.

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор, удовлетворяющий условиюназывают собственным вектором матрицы А,— собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

Пример 24.Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x²+5y²+3z²– 2xy+ 2xz– 2yz-12x– 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный векторсобственного векторабудет:.

При получим

При получим.

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

Подставим значения ,ив уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим

Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов ,,,,,имогут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:

трехосный эллипсоид,

мнимый эллипсоид

точка

2. Гиперболоиды:

1)однополостные гиперболоиды

2)двуполостные гиперболоиды

3. Конусы:

4. Параболоиды:

1)эллиптические параболоиды

2)гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1)эллиптические цилиндры

2)гиперболические цилиндры

3)— параболические цилиндры

6. Пары плоскостей:

1)— пары пересекающихся плоскостей

2)— пары параллельных плоскостей

3)— пары совпадающих плоскостей

§16. Преобразование декартовых координат.

Известно, что положение точки М некоторого пространства Vможно однозначно определить, задав координатыx,yиzэтой точки относительно некоторой системы координатOXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координатXOYZточка М будет иметь координаты М(x;y;z), а в другой системеX’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’;y’;z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZиX’O’Y’Z’ — прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка — начало координат новой системыX’O’Y’Z’;— направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x,y,zлюбой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координатx’,y’,z’ той же точки относительно другой системы.

studfiles.net

§15. Поверхности второго порядка.

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x,y,zудовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию.

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор, удовлетворяющий условиюназывают собственным вектором матрицы А,— собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

Пример 24.Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x²+5y²+3z²– 2xy+ 2xz– 2yz-12x– 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный векторсобственного векторабудет:.

При получим

При получим.

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

Подставим значения ,ив уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим

Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов ,,,,,имогут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:

трехосный эллипсоид,

мнимый эллипсоид

точка

2. Гиперболоиды:

1)однополостные гиперболоиды

2)двуполостные гиперболоиды

3. Конусы:

4. Параболоиды:

1)эллиптические параболоиды

2)гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1)эллиптические цилиндры

2)гиперболические цилиндры

3)— параболические цилиндры

6. Пары плоскостей:

1)— пары пересекающихся плоскостей

2)— пары параллельных плоскостей

3)— пары совпадающих плоскостей

§16. Преобразование декартовых координат.

Известно, что положение точки М некоторого пространства Vможно однозначно определить, задав координатыx,yиzэтой точки относительно некоторой системы координатOXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координатXOYZточка М будет иметь координаты М(x;y;z), а в другой системеX’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’;y’;z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZиX’O’Y’Z’ — прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка — начало координат новой системыX’O’Y’Z’;— направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x,y,zлюбой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координатx’,y’,z’ той же точки относительно другой системы.

studfiles.net

§15. Поверхности второго порядка.

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x,y,zудовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию.

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор, удовлетворяющий условиюназывают собственным вектором матрицы А,— собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

Пример 24.Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x²+5y²+3z²– 2xy+ 2xz– 2yz-12x– 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный векторсобственного векторабудет:.

При получим

При получим.

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

Подставим значения ,ив уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим

Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов ,,,,,имогут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:

трехосный эллипсоид,

мнимый эллипсоид

точка

2. Гиперболоиды:

1)однополостные гиперболоиды

2)двуполостные гиперболоиды

3. Конусы:

4. Параболоиды:

1)эллиптические параболоиды

2)гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1)эллиптические цилиндры

2)гиперболические цилиндры

3)— параболические цилиндры

6. Пары плоскостей:

1)— пары пересекающихся плоскостей

2)— пары параллельных плоскостей

3)— пары совпадающих плоскостей

§16. Преобразование декартовых координат.

Известно, что положение точки М некоторого пространства Vможно однозначно определить, задав координатыx,yиzэтой точки относительно некоторой системы координатOXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координатXOYZточка М будет иметь координаты М(x;y;z), а в другой системеX’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’;y’;z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZиX’O’Y’Z’ — прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка — начало координат новой системыX’O’Y’Z’;— направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x,y,zлюбой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координатx’,y’,z’ той же точки относительно другой системы.

studfiles.net

Поверхности второго порядка.

Сложение и вычитание векторов. Вариант 1

Подробности

Категория: Тесты по геометрии. 9 класс

ТЕСТ ПО ГЕОМЕТРИИ

9 КЛАСС

ТЕМА: СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

ВАРИАНТ 1

  А1. В треугольнике АВС даны стороны АВ = 5 см, ВС = 6 см, АС = 8 см. Найдите величину

  1) 0 см

  2) 7 см

  3) 3 см

  4) 19 см

  Ответ: 1.

  А2. В прямоугольном треугольнике АВС (угол В = 90^°) заданы катеты АВ = 6 см и ВС = 8 см. Найдите величины

  1) −2 см и 2 см

  2) 2 см и 2 см

  3) 2 см и 10 см

  4) −2 см и 10 см

  Ответ: 4.

  А3. В четырехугольнике выразите вектор

  через векторы

  Ответ: 2.

  В1. Используя правило многоугольника, упростите выражение

  Ответ:

  В2. При каком условии для неколлинеарных векторов

  будет выполнено неравенство

  Ответ: угол между данными векторами — острый.

  С1. В равнобедренном треугольнике АВС дано: АС = ВС, АВ = 10 см, угол С равен 90^°, СМ — медиана. Найдите величину

  Ответ: 5 см.

• < Назад
• Вперёд >

metodbook.ru

Сложение и вычитание векторов. Вариант 2

Тест по геометрии. 9 класс. Тема: Сложение и вычитание векторов. Вариант 2

Подробности

Категория: Тесты по геометрии. 9 класс

  А1. В треугольнике АВС даны стороны АВ = 4 см, ВС = 5 см, АС = 7 см. Найдите величину

  Ответ: 4.

  А2. В прямоугольном треугольнике АВС (угол В = 90^°) заданы катеты АВ = 5 см и ВС = 12 см. Найдите величины

  1) −7 см и 13 см

  2) −7 см и 7 см

  3) 7 см и 13 см

  4) 7 см и  7 см

  Ответ: 1.

  А3. В четырехугольнике выразите вектор

  через векторы

  Ответ: 2.

  В1. Используя правило многоугольника, упростите выражение

  Ответ:

  В2. При каком условии для неколлинеарных векторов

  будет выполнено неравенство

  Ответ: При условии, что угол между данными векторами — тупой.

  С1. В равнобедренном треугольнике АВС дано: АВ = ВС = 5 см, точка М — середина АС и ВМ = 4 см. Найдите величину

  Ответ: 6 см.

• < Назад
• Вперёд >

metodbook.ru

Тест по геометрии (10, 11 класс) на тему: 38. Интерактивный тест по теме: «Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число».

Слайд 1

Слайд 2

Результат теста Верно: 14 Ошибки: 0 Отметка: 5 Время: 2 мин. 42 сек. ещё исправить

Слайд 3

Вариант 1 б) Любые два коллинеарных вектора сонаправлены. в) Любые два равных вектора коллинеарны. а) Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны. 1. Какое утверждение неверное ?

Слайд 4

Вариант 1 а) Все точки лежат в одной плоскости. б) Прямые ВС и D К параллельны. в) Точки А, С и D не лежат на одной прямой.

Слайд 5

Вариант 1 в) Если длины векторов равны, то и векторы равны. а) Длины противоположных векторов не могут быть неравны. б) Если длины векторов неравны, то и векторы неравны. 3. Какое утверждение неверное ?

Слайд 6

Вариант 1 в) скрещивающимися а) параллельными б) пересекающимися

Слайд 7

Вариант 1 5. АВСА ₁В₁С₁ — правильная призма. А₁ F=F В₁, В₁К=КС₁. Какое утверждение неверное ?

Слайд 8

Вариант 1 6. АВСА ₁В₁С₁- правильная призма. СЕ=ЕС₁, В F=F В₁, FM =МВ₁, AD:DC =3 : 1. Какое утверждение верное ?

Слайд 9

Вариант 1

Слайд 10

Вариант 1 б) противоположными а) равными в) сонаправленными

Слайд 11

Вариант 1

Слайд 12

Вариант 1

Слайд 13

Вариант 1 б) 2 а) 4 в) 1

Слайд 14

Вариант 1 а) 16 б) 10 а) 5 в) 20

Слайд 15

Вариант 1 13. F АВС D — правильная пирамида. АС∩В D =О, F Е=ЕС, Е N=NC , ОР=Р D . Из указанных на рисунке векторов коллинеарны векторы….

Слайд 16

Вариант 1 а) ½ б) -½ в) ⅓

Слайд 17

Ключи к тесту : Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число . 1 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. б а в в в в б б в а б б в б Литература Г.И. Ковалева, Н.И. Мазурова Геометрия 10-11 классы. Тесты для текущего и обобщающего контроля. Изд-во «Учитель», 2009г. 2 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. а б а а в а б а б в б б в

nsportal.ru

Тесты Геометрия 11 класс | Социальная сеть работников образования

Тест 3: «Компланарные векторы»

ТЕСТ 3: «КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ»

Вариант №1

Уровень А

1. Какое утверждение верное?

1) Любые два вектора компланарны.

2) Любые три вектора компланарны.

3) Три нулевых вектора компланарны.

2. Какое утверждение верное?

1) Если один из трёх векторов нулевой, то векторы компланарны.

2) Если векторы компланарны, то один из них нулевой.

3) Если векторы компланарны, то они равны.

3. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Являются компланарными векторы…

1)  

2)    

3)

4. Известно, что  

Тогда векторы   и  являются…

1) коллинеарными;

2) компланарными;

3) некомпланарными.

5. Векторы   и  некомпланарны, если…

1)

2)

3)

6. DABC – тетраэдр. О – точка пересечения медиан грани ABD.

Тогда …

1)                  

2)          

3)

7. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке M. Точка  О – произвольная точка пространства.

Тогда k = …

1)                

2) 2                

3)

8. Какое утверждение неверное?

1) Коллинеарные векторы компланарны.

2) Если векторы компланарны, то они коллинеарны.

3) Векторы компланарны, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Уровень В

1. Векторы   …

2. Точки А, В и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плоскости этой окружности. Тогда векторы  и …

3. ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед, см. ABCD – квадрат, АВ = 2 см. Тогда …

ТЕСТ 3: «КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ»

Вариант №2

Уровень А

1. Какое утверждение верное?

1) Любые два вектора не могут не быть компланарными.

2) Любые три вектора некомпланарны.

3) Только нулевые три вектора компланарны.

2. Какое утверждение неверное?

1) Три вектора компланарны, если любые два из них коллинеарны.

2) Если векторы компланарны, то любые два из них коллинеарны.

3) Любые три равных вектора компланарны.

3. FABCD – пирамида. ABCD – параллелограмм.

Не являются компланарными векторы…

1)

2)

3)

4.  Тогда прямые АС и BD…

1) пересекаются;

2) скрещиваются;

3) параллельные.

5. Векторы   и  некомпланарны, если…

1)

2)

3)

6. DABC – тетраэдр. О – точка пересечения медиан грани BDC. Тогда …

1)  

2)  

3)

7. Точки M, N, P, K – середины сторон четырёхугольника ABCD.  Точка О – произвольная точка пространства.

Тогда …

1)  

2)  

3)

8. Какое утверждение неверное?

1) Прямые, содержащие компланарные векторы, лежат в одной плоскости.

2) Если векторы лежат в одной плоскости, то они компланарны.

3) Если вектор  можно разложить по векторам  и , то векторы   и  компланарны.

Уровень В

1. Известно, что векторы   и  компланарны. Тогда векторы   …

2. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, а точка О не лежит в плоскости (АВС). Тогда векторы  и

nsportal.ru

Сложение и вычитание векторов. Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания.

www.yaklass.ru

«Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число»

Вариант №1

Уровень а

1. Какое утверждение неверное?

1) Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны.

2) Любые два коллинеарных вектора сонаправлены.

3) Любые два равных вектора коллинеарны.

2. Даны точки А,В,С,D,K. Известно, что

Тогда неверно, что…

1) все точки лежат в одной плоскости;

2) прямые ВСиDKпараллельны;

3) точки А, СиDне лежат на одной прямой.

3. Какое утверждение неверное?

1) Длины противоположных векторов не могут быть неравны.

2) Если длины векторов неравны, то и векторы неравны.

3) Если длины векторов равны, то и векторы равны.

4. причём точкиА,В иСне лежат на одной прямой. ПрямыеАСиBDне могутбыть…

1) параллельными;

2) пересекающимися;

3) скрещивающимися.

5. ABCA₁B₁C₁– правильная призма.A₁F=FB₁,B₁K=KC₁.

Какое утверждение неверное?

1)

2)

3)

6. ABCA₁B₁C₁– правильная призма.CE=EC₁,BF=FB₁,FM=MB₁,AD:DC= 3 : 1.

Какое утверждение верное?

1)

2)

3)

7. ABCDA₁B₁C₁D₁– параллелепипед.…

1)

2)

3)

8. Векторы иявляются…

1) равными;

2) противоположными;

3) сонаправленными.

9. DABC– тетраэдр.

Тогда …

1)

2)

3)

Уровень в

1. ABCDA₁B₁C₁D₁– параллелепипед.

Тогда …

Тест по теме: «Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число»

Вариант №2

Уровень а

1. Какое утверждение верное?

1) Любые два сонаправленных вектора коллинеарны.

2) Любые два коллинеарных вектора противоположно направлены.

3) Любые два коллинеарных вектора равны.

2. Какое утверждение верное?

1) Если то

2) Если то

3) Существуют векторы итакие, чтоине коллинеарны,ине коллинеарны, аиколлинеарны.

3. Какое утверждение неверное?

1) Если длины векторов равны, то и векторы равны.

2) Если векторы равны, то их длины равны.

3) Длины противоположных векторов равны.

4. причём точкиА,ВиСне лежат на одной прямой. ПрямыеАСиBDявляются параллельными, если…

1) k= 1;

2) k= –1;

3) k= 3.

5. ABCA₁B₁C₁– правильная призма.A₁F=FB₁,B₁E=EC₁. Какое утверждениеневерное?

1)

2)

3)

6. FABCD– правильная пирамида.FE=EC,EN=NC,OP=PD. Какое утверждениеверное?

1)

2)

3)

7. ABCA₁B₁C₁– призма.…

1)

2)

3)

8. Векторы –иявляются…

1) противоположными;

2) равными;

3) сонаправленными.

9. DABC– тетраэдр.

…

1)

2)

3)

Уровень в

1. ABCDA₁B₁C₁D₁– параллелепипед.

Тогда

Тест по теме: «Координаты точки и координаты вектора»

Вариант №1

Уровень а

1. Точка M(–2; 3; –7) находится от плоскостиXOYна расстоянии, равном…

1) 7;

2) 2;

3) 3.

2. Тогда векторимееткоординаты…

1)

2)

3)

3. Тогда коллинеарнымибудутвекторы…

1) и

2) и

3) и

4. Первая и третья координаты ненулевого вектора равны нулю. Тогданеверно,что…

1)

2)

3)

5. Первая координата ненулевого вектора равна нулю. Тогданеверно, что…

1)

2)

3)

6. А(1; 2; 3),В(1; 5; 4),С (4; 5; 3). Тогдаверно, что…

1)

2)

3)

7. Ордината точки Аравна 3, ордината точкиВравна 6. Длина отрезкаАВравна 3. Тогда прямаяАВи осьOY…

1) параллельны;

2) перпендикулярны;

3) скрещиваются.

8. M(x₁;y₁;z₁),K(x₂;y₂;z₂). Тогда координаты вектораравны…

1)

2)

3)

9. Тогдаверно, что…

1)

2)

3)

studfiles.net

ГДЗ по геометрии 9 класс контрольно-измерительные материалы Рурукин

Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации)

• Геометрия, как часть блога ОГЭ по математике, по оценкам экспертов и самих учащихся, предметников, представляет особые трудности для выпускников. Особенно для тех, кто больше ориентирован на социальный или естественнонаучный цикл и не обладает развитыми математическими способностями.
• Систематизировать свои знания и успеть качественно подготовиться к испытанию помогут эффективные пособия. Не только теоретические учебники и практикумы, но и КИМ по геометрии. Эти сборники содержат вопросы, задания и упражнения в формате ОГЭ/ЕГЭ, что удобно для форсированной и углубленной подготовки.
• Среди наиболее успешных учителями называются контрольно-измерительные материалы по геометрии за 9 класс, составитель Рурукин А. Н. Сборник содержит:
  — тестовые задания по всем темам и параграфам ОГЭ;
  — контрольные, самостоятельные по пройденным тематикам предмета.
• Внимательно и последовательно разбирая материалы, школьники сумеют без проблем подготовиться и успешно сдать экзамен. Использовать сборник можно не только в школе или на занятиях с репетитором. Удобная форма и понятное содержание, логичная структура позволяет рекомендовать его для самоподготовки. Но в этом случае нелишним будут ГДЗ к нему. Регулярно сверяя собственные ответы с эталонными, вникая в структуру грамотной записи, девятиклассники успешно напишут геометрию в составе экзамена по математике ОГЭ.

Похожие решебники по геометрии 9 класс

www.euroki.org

абсолютное значение числа — это… Что такое абсолютное значение числа?

абсолютное значение числа

 

абсолютное значение числа
модуль числа
абсолютная величина числа
—
[Л.Г.Суменко. Англо-русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.]

абсолютное значение
Величина числа без учета его знака.
Так, числа +18 и -18 имеют одно и то же абсолютное значение: 18.
[http://www.morepc.ru/dict/]

Тематики

• информационные технологии в целом

Синонимы

• модуль числа
• абсолютная величина числа

Справочник технического переводчика. – Интент. 2009-2013.

• абсолютное значение погрешности
• абсолютное измерение

Смотреть что такое «абсолютное значение числа» в других словарях:

• АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ — на теле отображение тела Кв множество действительных чисел, удовлетворяющее условиям: А. з. часто обозначается вместо . А. з. наз. также нормой, мультипликативным нормированием. А. з. могут рассматриваться на любом кольце со значениями в линейно… …   Математическая энциклопедия

• Значение (значения) — Значение: Значение  смысловое содержание слова, фразы или знака. Значение функции  результат вычисления функции. Абсолютное значение  модуль числа. Значение величины  отношение измеренной физической величины к единице… …   Википедия

• Числа — Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число есть фундаментальный принцип, лежащий в основе мира вещей. Оно начало всех вещей и той гармонии вселенной, стоящей за их внешней связью. Число это основной принцип… …   Словарь символов

• ГОСТ 31369-2008: Газ природный. Вычисление теплоты сгорания, плотности, относительной плотности и числа Воббе на основе компонентного состава — Терминология ГОСТ 31369 2008: Газ природный. Вычисление теплоты сгорания, плотности, относительной плотности и числа Воббе на основе компонентного состава оригинал документа: 2.1 высшая теплота сгорания (superior calorific value): Количество… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• МОЛЕКУЛЯРНЫЙ ВЕС — есть относительный вес молекулы вещества. Кроме возможности находиться в трех различных фазах (см. Аггрвгатное состояние) вещества обладают способностью распределяться одно в другом, образуя так наз. растворы. Согласно вант Гоффу (van t Hoff)… …   Большая медицинская энциклопедия

• Московский химический лицей № 1303 — Лицей № 1303 …   Википедия

• Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… …   Энциклопедия инвестора

• Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… …   Энциклопедия инвестора

• ВРЕМЯ — обозначает течение, длительность и последовательность событий. Оно есть условие существования конечных вещей и существ тварного мира. Согласно христ. учению, В. как творение Божие подчинено домостроительству спасения и своими границами имеет… …   Православная энциклопедия

• предел повторяемости — 3.7 предел повторяемости: Абсолютная разность результатов максимального и минимального значений из указанного числа измерений, выполненных в условиях повторяемости по ГОСТ Р ИСО 5725 1. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

technical_translator_dictionary.academic.ru

Абсолютное значение — это… Что такое Абсолютное значение?

1) Нормирование — от глагола «Нормировать» в первом значении : НОРМИРОВАТЬ, нормирую, нормируешь, сов. и несов., что. Регулировать что-н., установить (устанавливать) законные пределы чему-н., ввести (вводить) в норму. Нормировать зарплату. Нормировать работу. (Толковаый словарь русского языка под редакцией Ушакова.)

2) Норми́рование(мат.) — отображение элементов поля F в некоторое упорядоченное поле P  x→|x|, обладающее следующими свойствами:

1)|x|≥0 и |x|=0 только при x=0

2)|xy| ≤ |x||y|

3)|x+y| ≤ |x|+|y|

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a)|x+y| ≤ max(|x|,|y|), то нормирование называется неархимедовым.

Значение | x | (иногда обозначаемое ) называется нормой элемента x. Если упорядоченное поле P является полем действительных чисел R, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Примеры нормирований

• Нормирование, при котором |0|=0, |x|=1 для остальных x. Такое нормирование называется тривиальным.
• Обычная абсолютная величина в поле действительных чисел R или модуль в поле комплексных чисел C является нормированием.
• Пусть Q — поле рациональных чисел, а p — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби x=apⁿ/b, где a и b не кратны p. Можно определить следующее нормирование |x|_p=p^-n. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Свойства нормы

• |1|=|-1|=1
• | |x|-|y| |≤|x-y| (в этом случае абсолютная величина в упорядоченном поле P берётся от разности двух норм |x|-|y| элементов поля F)
• Действительнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число A, такое, что для любой суммы единичных элементов поля F :

3b) |1+1+…+1|≤A

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов x и y из поля F имеем:

|(x+y)ⁿ|=|xⁿ+…C_nⁱxⁿyⁱ+…yⁿ|≤(n+1)A(max(|x|,|y|)ⁿ

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при n→∞ получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.

Нормированное поле как метрическое пространство

Из свойств 1-3 немедленно следует, что определяя расстояние между двумя элементами действительнозначного нормированного поля F как норму разности |x-y| мы превращеем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Если при этом они определяют одинаковую топологию в F, то такие нормы называются зависимыми.

Пополнение

Как и для любого метрического пространства можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле F изоморфно вкладывается в полное нормированное поле F*, то есть существует изоморфизм . Норма в F* продолжает норму в F, то есть для каждого x из F: , причём F плотно в F* относительно этой нормы. Любое такое поле F* определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на F; оно называется пополнением поля F.

Пример. Пополнением поля рациональных чисел Q с p-адической метрикой является поле p-адических чисел Q_p.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М: Наука. 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.2 — М: ИЛ. 1963.
• Ленг С. Алгебра — М: Мир. 1967.

См. также

• Теорема Островского
• Аппроксимационная теорема

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Определение абсолютное значение общее значение и понятие. Что это такое абсолютное значение

Понятие абсолютного значения используется в области математики для обозначения значения, число которого выходит за его знак. Это означает, что абсолютное значение, также известное как модуль, является числовой величиной фигуры независимо от того, является ли ее знак положительным или отрицательным.

Возьмите случай абсолютного значения 5 . Это абсолютное значение как +5 (5 положительных) и -5 (5 отрицательных). Короче говоря, абсолютное значение одинаково для положительного и отрицательного числа: в данном случае 5 . Следует отметить, что абсолютное значение записывается между двумя параллельными вертикальными полосами; следовательно, правильное обозначение | 5 |,

Определение понятия указывает, что абсолютное значение всегда равно или больше 0 и никогда не бывает отрицательным . Из вышесказанного можно добавить, что абсолютное значение противоположных чисел одинаково; 8 и -8, таким образом, имеют одинаковое абсолютное значение: | 8 |,

Вы также можете понимать абсолютное значение как расстояние между числом и 0 . Число 563 и число -563 находятся на числовой линии на одинаковом расстоянии от 0 . Таким образом, это абсолютная величина обоих: | 563 |,

Расстояние между двумя действительными числами, с другой стороны, является абсолютной величиной их разности. Например, между 8 и 5 существует расстояние 3 . Эта разница имеет абсолютное значение | 3 |,

Понятие абсолютной стоимости присутствует в нескольких предметах математики, и вектор является одним из них; точнее, именно в векторной норме мы сталкиваемся с аналогичным определением. Однако прежде чем продолжить, необходимо определить евклидово пространство, поскольку эти понятия сопряжены в этой области.

Под евклидовым пространством мы понимаем некое геометрическое пространство, в котором выполняются аксиомы Евклида . Аксиома — это суждение, чья ясность такова, что не требует подтверждения; в частности, в области математики он называется так фундаментальными и недоказуемыми принципами, на которых строятся теории .

Евклид, с другой стороны, родился в Греции примерно в 325 году. C., а его преданность числам сделала его достойным звания «Отец геометрии». Его самая важная работа представляет собой сборник из тринадцати книг, сгруппированных под названием « Элементы », в котором представлены вышеупомянутые аксиомы (также известные как постулаты Евклида ), и мы кратко рассмотрим ниже:

1) если мы возьмем любые две точки, их можно соединить с помощью линии;

2) можно непрерывно расширять все сегменты независимо от направления;

3) Окружности могут исходить из любой точки, которая будет считаться ее центром, а ее радиус может принимать любое значение;

4) любая пара прямых углов конгруэнтна;

5) Можно провести одну прямую параллельно другой из точки за пределами последней.

Обнажив основы евклидовых пространств, можно сказать, что векторы в них могут быть представлены в виде отрезков, ориентированных между любыми двумя точками. Если мы возьмем вектор, мы можем определить его норму как расстояние между двумя точками, которые служат пределом; настолько, что в евклидовом пространстве эта норма соответствует модулю, то есть длине указанного вектора.

Как и абсолютное значение, модуль вектора всегда является положительным числом или нулем, поскольку он представляет

ru.tax-definition.org

Абсолютная величина — это… Что такое Абсолютная величина?

График вещественной функции Модуль и другие характеристики комплексного числа

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа . Обозначается: .

В случае вещественного  абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа , также иногда называемый абсолютной величиной^[1]. Он определяется по формуле:

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

Комплексные числа

Алгебраические свойства

Для любых имеют место следующие соотношения:

Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа.

Обобщение

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

Примечания

dic.academic.ru

АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ — это… Что такое АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ?



АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Экономика. Толковый словарь. — М.: «ИНФРА-М», Издательство «Весь Мир». Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М.. 2000.

Экономический словарь. 2000.

• «ЯЩИК»
• АБСОЛЮТНЫЙ МАКСИМУМ

Смотреть что такое «АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ» в других словарях:

• абсолютное значение — [Интент] Параллельные тексты EN RU The measured voltage value is displayed both as a per unit quantity referred to the nominal voltage of the P63x and as a primary quantity. [Schneider Electric] Измеренное значение напряжения отображается как в… …   Справочник технического переводчика

• абсолютное значение — absoliučioji vertė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. absolute value vok. Absolutwert, m rus. абсолютное значение, n pranc. valeur absolue, f …   Fizikos terminų žodynas

• АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ — См. значение абсолютное …   Толковый словарь по психологии

• Абсолютное значение — 1) Нормирование от глагола Нормировать в первом значении : НОРМИРОВАТЬ, нормирую, нормируешь, сов. и несов., что. Регулировать что н., установить (устанавливать) законные пределы чему н., ввести (вводить) в норму. Нормировать зарплату.… …   Википедия

• АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ — на теле отображение тела Кв множество действительных чисел, удовлетворяющее условиям: А. з. часто обозначается вместо . А. з. наз. также нормой, мультипликативным нормированием. А. з. могут рассматриваться на любом кольце со значениями в линейно… …   Математическая энциклопедия

• абсолютное значение числа — модуль числа абсолютная величина числа — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] абсолютное значение Величина числа без учета его знака. Так, числа +18 и 18 имеют одно и то же абсолютное… …   Справочник технического переводчика

• абсолютное значение погрешности — Значение погрешности без учета ее знака (модуль погрешности). Примечание. Необходимо различать термины абсолютная погрешность и абсолютное значение погрешности. [РМГ 29 99] Тематики метрология, основные понятия EN absolute value of an error FR… …   Справочник технического переводчика

• Абсолютное значение мощности побочных излучений — Значение уровня побочных излучений, выраженное в единицах мощности (мВт, мкВт), подаваемой в фидер антенны на частоте побочного излучения Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Абсолютное значение мощности побочных колебаний — Значение уровня побочных колебаний, выраженное в единицах мощности (мВт, мкВт) Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• абсолютное значение ошибки — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва] Тематики электротехника, основные понятия EN absolute error …   Справочник технического переводчика

Книги

• Кинетостатика плоских механизмов, Юдин В. А., Кинетостатика механизмов, разбирая вопросы динамики заданного движения, обычно содержит решение двух основных задач, в соответствии с которыми настоящая работа подразделяется на две следующие… Издатель: ЁЁ Медиа, Производитель: ЁЁ Медиа, Подробнее  Купить за 2591 грн (только Украина)
• Кинетостатика плоских механизмов, Юдин В. А., Кинетостатика механизмов, разбирая вопросы динамики заданного движения, обычносодержит решение двух основных задач, в соответствии с которыми настоящая работа подразделяется на две следующие… Серия: — Издатель: ЁЁ Медиа, Подробнее  Купить за 2003 руб
• Конец власти. От залов заседаний до полей сражений, от церкви до государства. Почему управлять сегодня нужно иначе, Мойзес Наим, Мойзес Наим был главным редактором журнала Foreign Policy и исполнительным директором Всемирного банка, он лучше многих представляет, что такое власть в мировом масштабе. Его книга предлагает… Издатель: Культур-Мультур, Подробнее  Купить за 379 руб аудиокнига

Другие книги по запросу «АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ» >>

dic.academic.ru

абсолютное значение числа — это… Что такое абсолютное значение числа?



абсолютное значение числа

1. absolute value

 

абсолютное значение числа
модуль числа
абсолютная величина числа
—
[Л.Г.Суменко. Англо-русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.]

абсолютное значение
Величина числа без учета его знака.
Так, числа +18 и -18 имеют одно и то же абсолютное значение: 18.
[http://www.morepc.ru/dict/]

Тематики

• информационные технологии в целом

Синонимы

• модуль числа
• абсолютная величина числа

EN

Русско-английский словарь нормативно-технической терминологии. academic.ru. 2015.

• абсолютное значение погрешности
• абсолютное измерение

Смотреть что такое «абсолютное значение числа» в других словарях:

• абсолютное значение числа — модуль числа абсолютная величина числа — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] абсолютное значение Величина числа без учета его знака. Так, числа +18 и 18 имеют одно и то же абсолютное… …   Справочник технического переводчика

• АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ — на теле отображение тела Кв множество действительных чисел, удовлетворяющее условиям: А. з. часто обозначается вместо . А. з. наз. также нормой, мультипликативным нормированием. А. з. могут рассматриваться на любом кольце со значениями в линейно… …   Математическая энциклопедия

• Значение (значения) — Значение: Значение  смысловое содержание слова, фразы или знака. Значение функции  результат вычисления функции. Абсолютное значение  модуль числа. Значение величины  отношение измеренной физической величины к единице… …   Википедия

• Числа — Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число есть фундаментальный принцип, лежащий в основе мира вещей. Оно начало всех вещей и той гармонии вселенной, стоящей за их внешней связью. Число это основной принцип… …   Словарь символов

• ГОСТ 31369-2008: Газ природный. Вычисление теплоты сгорания, плотности, относительной плотности и числа Воббе на основе компонентного состава — Терминология ГОСТ 31369 2008: Газ природный. Вычисление теплоты сгорания, плотности, относительной плотности и числа Воббе на основе компонентного состава оригинал документа: 2.1 высшая теплота сгорания (superior calorific value): Количество… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• МОЛЕКУЛЯРНЫЙ ВЕС — есть относительный вес молекулы вещества. Кроме возможности находиться в трех различных фазах (см. Аггрвгатное состояние) вещества обладают способностью распределяться одно в другом, образуя так наз. растворы. Согласно вант Гоффу (van t Hoff)… …   Большая медицинская энциклопедия

• Московский химический лицей № 1303 — Лицей № 1303 …   Википедия

• Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… …   Энциклопедия инвестора

• Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… …   Энциклопедия инвестора

• ВРЕМЯ — обозначает течение, длительность и последовательность событий. Оно есть условие существования конечных вещей и существ тварного мира. Согласно христ. учению, В. как творение Божие подчинено домостроительству спасения и своими границами имеет… …   Православная энциклопедия

• предел повторяемости — 3.7 предел повторяемости: Абсолютная разность результатов максимального и минимального значений из указанного числа измерений, выполненных в условиях повторяемости по ГОСТ Р ИСО 5725 1. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

normative_ru_en.academic.ru

1.3. Абсолютная величина числа

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа х называется само число , если, число ( ), если.

Абсолютная величина числа обозначается. Таким образом,, если, и, если.

Из определения абсолютной величины числа вытекает ряд ее свойств.

1. . Доказательство. Если , то. Если, то, но, т. е..

2. . Доказательство. Если , тои тогда. Если, то, и тогда.

3. . Доказательство. Если , то , . Отсюда, т. е.. Если, то, откуда. Так как, то, или, откуда, т. е.. Поэтому. Получаем, что .

Теорема 1. Пусть положительное число. Тогда неравенстваиравносильны.(( ,   0: х   )  ( —   х   )).

Доказательство. Пусть . Если, то, поэтому, таким образом,. Если, то, следовательно,, откуда. Объединяя неравенстваи, получаем, что,.

Пусть . Это означает, что одновременно выполняются неравенстваи. Из последнего неравенства следует, что. По определению,есть либо, либо, поэтому.

Теорема 2. Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Доказательство. Пусть ,– произвольные числа. По свойству 3 для них выполняются неравенства:,. Поэтому, складывая эти неравенства, получаем. По предыдущей теореме это равносильно неравенству.

Из этой теоремы следует, что абсолютная величина разности двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Теорема 3. Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Доказательство. Для любых чисел и:. По предыдущей теореме. Поэтому.

Аналогично доказывается утверждение о том, что абсолютная величина суммы двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Замечание. Для любых чисел х и у имеют место легко проверяемые соотношения и, если. Эти соотношения предлагается доказать самостоятельно.

1.4. Геометрическое изображение вещественных чисел

Рассмотрим произвольную прямую. На ней можно указать два противоположных направления. Выберем одно из направлений и масштабную единицу для измерения длин отрезков.

Определение. Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.

Рассмотрим на оси две произвольные точки А и В.

Определение. Отрезок с граничными точками А и В называется направленным, если указано, какая из этих точек считается началом, а какая – концом отрезка.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначим и будем считать, что он направлен от начала отрезка к концу.Нулевыми направленными отрезками будем называть те, у которых начало и конец совпадают. Длина направленного отрезка обозначаетсяили.

Для направленных отрезков, лежащих на оси (или на параллельных осях), вводится понятие величины направленного отрезка.

Определение. Величиной АВ направленного отрезка называется число, равное, если направления отрезка и оси совпадают, и, если эти направления противоположны.

Величины направленных отрезков ипри любом направлении оси отличаются знаками.

Если точки А и В совпадают, то величина направленного отрезка считается равной нулю.

Определение. Два ненулевых направленных отрезка называются равными, если при совмещении начал этих отрезков совпадают и их концы. Любые два нулевых направленных отрезка считаются равными.

Над направленными отрезками определены следующие операции  операция сложения и умножения на число.

О

D

пределение. Суммой направленных отрезков иназывается направленный отрезок, полученный при совмещении началаотрезкас концомотрезка.

В

С

А

Теорема. Величина суммы направленных отрезков равна сумме величин слагаемых отрезков.

Доказательство. Пусть хотя бы один из отрезков иявляется нулевым, то в этом случае сумма совпадает с другим отрезком и утверждение теоремы справедливо. Если оба отрезка ненулевые, то при совмещении началаотрезкас концомотрезкаполучим, что. Рассмотрим случай, когда оба отрезкаинаправлены в одну сторону. В этом случае длина отрезкаравна сумме длин отрезкови, причем направлениесовпадает с направлением каждого из отрезкови. Поэтому справедливо равенство. Рассмотрим случай, когда отрезкиинаправлены в противоположные стороны. В этом случае величины отрезковиимеют разные знаки, поэтому. Направление отрезкасовпадает с направлением наибольшего по длине из отрезкови, следовательно, знак величины отрезкасовпадает со знаком числа, т. е. справедливо равенство. Теорема доказана.

Основное тождество. Для любых трех точек А, В, С, расположенных на оси, величины направленных отрезков ,иудовлетворяют соотношению.

Это тождество следует из доказанной выше теоремы.

Определение. Произведением направленного отрезка на число называется направленный отрезок, обозначаемый , длина которого равна произведению числана длину отрезка и направление которого совпадает с направлением отрезка при и противоположно направлению при .

Рассмотрим произвольную прямую, на которой выбрано направление и некоторая точка О, называемая началом координат.

Определение. Прямая с выбранным направлением, масштабной единицей и началом координат называется координатной осью.

Пусть М – произвольная точка на выбранной прямой.

О

М

Точке М поставим в соответствие число х, равное величине ОМ направленного отрезка . Числох называется координатой точки М.

Таким образом, каждой точке координатной прямой соответствует определенное вещественное число – ее координата. Верно и обратное утверждение: любому вещественному числу х соответствует некоторая точка М на координатной прямой, координата которой равна х. Следовательно, вещественные числа можно изображать точками на координатной прямой. Поэтому около точки на координатной прямой часто указывают число – ее координату.

О

х

Пусть точка М₁ имеет координату х₁, а точка М₂ – координату х₂.

М₁ (х₁)

О

М₂ (х₂)

Выразим величину М₁М₂ направленного отрезка через координаты точекМ₁и М₂. Согласно основному тождеству ОМ₁ + М₁М₂ = ОМ₂. Тогда М₁М₂ = ОМ₂ — ОМ₁, но ОМ₁ = х₁, ОМ₂ = х₂, поэтому М₁М₂ = х₂ – х₁.

studfiles.net

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

∫ Найти интеграл от y = f(x) = (3-sin(2*x))^2 dx ((3 минус синус от (2 умножить на х)) в квадрате)

Решение

  1                   
  /                   
 |                    
 |                2   
 |  (3 - sin(2*x))  dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \left(- \sin{\left (2 x \right )} + 3\right)^{2}\, dx$$

[LaTeX]

1. Перепишите подынтегральное выражение:

2. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

               Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

         Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Результат есть:

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

   Таким образом, результат будет:

1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

Результат есть:

Ответ:

[LaTeX]

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = (x+2)*sin(2*x) dx ((х плюс 2) умножить на синус от (2 умножить на х))

Решение

[LaTeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть dx.

      Затем dx.

      Чтобы найти :

      1. пусть .

         Тогда пусть и подставим :

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            Таким образом, результат будет:

         Если сейчас заменить ещё в:

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. пусть .

         Тогда пусть и подставим :

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

         Если сейчас заменить ещё в:

      Таким образом, результат будет:

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         пусть и пусть dx.

         Затем dx.

         Чтобы найти :

         1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

               Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

         Таким образом, результат будет:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. пусть .

         Тогда пусть и подставим :

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            Таким образом, результат будет:

         Если сейчас заменить ещё в:

      Таким образом, результат будет:

   Результат есть:

2. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                                            
  /                                            
 |                            3*cos(2)   sin(2)
 |  (x + 2)*sin(2*x) dx = 1 - -------- + ------
 |                               2         4   
/                                              
0                                              

$${{\sin 2-6\,\cos 2}\over{4}}+1$$

[LaTeX]

[LaTeX]

  /                                                     
 |                           sin(2*x)   (2 + x)*cos(2*x)
 | (x + 2)*sin(2*x) dx = C + -------- - ----------------
 |                              4              2        
/                                                       

$${{{{\sin \left(2\,x\right)-2\,x\,\cos \left(2\,x\right)}\over{2}}-2 \,\cos \left(2\,x\right)}\over{2}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = sin(2*x)^(2) dx (синус от (2 умножить на х) в степени (2))

Решение

  1             
  /             
 |              
 |     2        
 |  sin (2*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \sin^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$$

[LaTeX]

1. Перепишите подынтегральное выражение:

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. пусть .

         Тогда пусть и подставим :

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

         Если сейчас заменить ещё в:

      Таким образом, результат будет:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

   Результат есть:

3. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |     2           1   cos(2)*sin(2)
 |  sin (2*x) dx = - - -------------
 |                 2         4      
/                                   
0                                   

$$-{{\sin 4-4}\over{8}}$$

[LaTeX]

[LaTeX]

  /                               
 |                                
 |    2               x   sin(4*x)
 | sin (2*x) dx = C + - - --------
 |                    2      8    
/                                 

$${{2\,x-{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}}\over{4}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Интеграл синуса

Согласно формулам интегрирования интеграл от синуса sin (x) равен косинусу, причем со знаком минус. Многие часто допускает ошибки потому что не может запомнить, что производная от синуса равна минус косинусу, а от косинуса — синусу со знаком плюс.
Те кто изучает первоначальную должны помнить что к правой стороне следует добавить постоянную
Ету постоянную определяют с дополнительной условия.
График синуса имеет вид

Синус нечетная, а косинус — четная функция, поэтому при интегрировании появляется знак минус. В начале всем кажется все простым и понятным. Но рано или поздно наступает время усложнять интеграл, то есть интегрировать синус двойного угла, тройного аргумента и т.д. И во многих возникают трудности с интегрированием. Для вывода формулы интеграла для sin (k*x) проведем все выкладки сначала. Для того чтобы свести интеграл к табличной формулы надо внести коэффициент под дифференциал, но это изменит сам интеграл. Поэтому одновременно делим на коэффициент

Зная эту формулу, интеграл от синуса двойного угла записываем одной строкой
Далее можем проинтегрировать синус тройного угла
и т.д.
int(sin(k*x)=-1/k*cos(k*x).
По такой же формуле выводят интеграл от синуса половины угла, который равен минус 2 косинус половины угла.
Интеграл от синуса одной третьей х равен

Распространенные примеры интегрирования синуса

Пример 1. Найти интеграл от sin(4*x).
Решение: По формуле интегрирования находим

Пример 2. Вычислить интеграл от sin(5*x).
Решение: Выполняем интегрирования

Пример 3. Проинтегрировать выражение sin(7*x).
Решение: Находим неопределенный интеграл

Пример 4. Найти интеграл функции y=sin(x/5).
Решение: Находим неопределенный интеграл

Как только Вы научитесь вычислять простые интегралы от синуса можете переходить к определенному интегралу

Пример 5. Найти первоначальную от sin(x) которая в нуле равна 2.
Решение: Вычисляем первоначальную

Из условия на первоначальную находим постоянную
-cos(0)+C=2;
C=2+cos(0)=3.
Возвращаемся к первоначальной и подставляем найденную постоянную

Это и есть ответ к задаче.

Пример 7. Проинтегрировать синус двойного угла y=sin(2*x) от 0 до 45 градусов.
Решение: Записываем интеграл от синуса и подставляем пределы интегрирования

По физическому содержанию определенный интеграл равен площади фигуры ограниченной функцией sin (x) и осью абсцисс.

Но определенный интеграл и площадь, это не одно и то же. Интеграл может быть отрицательным, а площадь нет. Если функция большую площадь имеет под осью абсцисс, то ее определенный интеграл отрицательный.

Площадь криволинейной трапеции равна интегралу от разницы уравнения верхней кривой и нижней.

В данном случае верхняя кривая это ось абсцисс или y = 0. Нижняя — это график синуса. Поэтому формула площади синус функции равна 1, или определенному интегралу по модулю.

Если функция антисимметрична относительно оси абсцисс то ее интеграл равен нулю, а площадь равна двойному интегралу графика над осью абсцисс. Например, интеграл синуса двойного угла от -45 до 45 градусов равен нулю

В то же время площадь заштрихованной фигуры равна единице.

На графике это будет выглядеть.

Из следующих материалов Вы узнаете, как найти интеграл от функции вида
какие формулы свертки и замены переменных при этом следует использовать. Также Вы овладеете методикой вычисления интегралов вида полином умноженый на синус функцию
где — полином от переменной. В таких случаях применяют интегрирования по частям, но об этом пойдет речь позже.
На этом знакомство с интегрированием синуса завершается. Интегралы от других тригонометрических и обратных к ним функций Вы найдете на страницах категории «Интегрирование функций».

yukhym.com

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Доказательство.

\(\circ\) Докажем, что сходится ряд
$$
\sum_{s=1}^{\infty}|a_{j_{s}}b_{j_{s}}|,\label{ref15}
$$
Пусть \(\tilde{\tau}_{m}\) — \(m\)- я частичная сумма ряда \eqref{ref15}, \(A\) и \(B\) — суммы рядов \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|\) и \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}|\) соответственно. Тогда
$$
\tilde{\tau}_{m} = \sum_{s=1}^{m}|a_{j_{s}}b_{j_{s}}| \leq \sum_{s=1}^{m}|a_{j_{s}}| \sum_{s=1}^{m}|b_{j_{s}}| \leq AB\nonumber
$$
то есть частичные суммы ряда \eqref{ref15} ограничены сверху и по критерию сходимости ряда с неотрицательными членами ряд \eqref{ref15} сходится.

Докажем, что
$$
\tau = S\sigma,\label{ref16}
$$
где \(\tau\), \(S\), и \(\sigma\) — суммы рядов \eqref{ref14}, \eqref{ref1} и \eqref{ref13} соответственно. Заметим, что все члены ряда \eqref{ref14} содержатся в следующей таблице:

Занумеруем элементы этой таблицы, присваивая им номера, указанные в таблице (такой метод перечисления называют “методом квадратов”). В этом случае получается ряд
$$
a_{1}b_{1} + (a_{2}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{1}b_{2}) + (a_{3}b_{1} + a_{3}b_{2} + a_{3}b_{3} + a_{2}b_{3} + a_{1}b_{3}) +\\
+ (a_{4}b_{1} + a_{4}b_{2} + a_{4}b_{3} + a_{4}b_{4} + a_{3}b_{4} + a_{2}b_{4} + a_{1}b_{4}) + \ldots,\label{ref17}
$$
образованный из всевозможных попарных произведений членов рядов \eqref{ref1} и (13), то есть ряд вида \eqref{ref14}.

По доказанному выше всякий ряд вида \eqref{ref14} и, в частности, ряд \eqref{ref17}, абсолютно сходится и, значит, сходится (свойство 1), а сумма ряда \eqref{ref14} не зависит от порядка расположения его членов (свойство 4). Поэтому ряд \eqref{ref17} сходится, а его сумма равна \(\tau\).

Пусть \(S_{n}\), \(\sigma_{n}\), \(\tau_{n}\) — \(n\)-е частичные суммы рядов \eqref{ref1}, \eqref{ref13} и \eqref{ref17} соответственно; тогда \(\displaystyle\tau_{n^{2}} = S_{n}\sigma_{n}\). Так как \(S_{n} \rightarrow S\) и \(\sigma_{n} \rightarrow \sigma\) при \(n \rightarrow \infty\), то \(\tau_{n^{2}} \rightarrow S_{\sigma}\) при \(n \rightarrow \infty\). С другой стороны, \(\{\displaystyle\tau_{n^{2}}\}\) — подпоследовательность сходящейся к числу \(\tau\) последовательности \(\{\tau_{n}\}\), и поэтому \(\tau_{n^{2}} \rightarrow \tau\) при \(n \rightarrow \infty\). Отсюда следует, что \(\tau = S_{\sigma}\). Равенство \eqref{ref16} доказано. \(\bullet\)

univerlib.com

Исследование сходимости знакочередующихся рядов. Исследование числовых рядов на абсолютную и условную сходимость — КиберПедия

Цель: Формирование навыков исследования сходимости знакочередующихся рядов; исследования числовых рядов на абсолютную и условную сходимость

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Числовой ряд

(23.1)

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд (23.1) называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда (23.1) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремиться к нулю при , то ряд (23.1) сходится.

Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд (23.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

, (23.2)

составленный из абсолютных величин его членов, то есть всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд (23.1) сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд (23.2) расходится, то данный ряд (23.1) называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимость ряда (23.2) в общем случае не следует расходимость ряда (23.1).

Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами.

Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.

Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.

Примеры

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение: 1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и . Следовательно, согласно признаку Лейбницу, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, который, как, известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают , но . Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

3) Используя признак Лейбница, получим ; , то есть ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Это геометрический ряд вида , который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

4) Используя признак Лейбница, имеем ; , то есть ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного рада: , или . Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как . Следовательно, данный ряд сходится условно.

Задания для практической работы

1. Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Исследуйте на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующиеся ряды:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

Контрольные вопросы:

1. Какой ряд называется знакопеременным?

2. Какой ряд называется знакочередующимся?

3. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся рядов.

4. Какой ряд называется абсолютно сходящимся, условно сходящимся?

5. Какие признаки используются для установления абсолютной сходимости знакопеременного ряда?

Рекомендуемая литература: 1.2[с. 405-430], 2.2[с. 66-113].

Практическая работа №24

cyberpedia.su

5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Такими рядами называется ряд вида: , гдедля всех. Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (Признак Лейбница).

Теорема Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если:

1. последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.

2. общий член ряда стремится к нулю. При этом суммаряда удовлетворяет неравенствам.

Доказательство:

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа членов ряда. Имеем. Выражения в каждой скобке согласно первому условию теоремы положительно. Следовательно, суммаи возрастает с возрастанием номера.

С другой стороны , можно переписать так:. Легко увидеть, что. Таким образом, последовательностьвозрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел, причем.

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа членов ряда. Очевидно, что. Отсюда следует, что. Т.к.в силу второго условия теоремы. Итак,как при четном, так и при нечетном. Следовательно, наш ряд сходится, причем.

Замечания.

1. Исследование знакочередующихся рядов вида (с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда с + первым членом.

2. Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя суммуданного ряда его частичной суммой. Отброшенный ряд представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример.

Вычислить сумму ряда . Данный ряд лейбницевского вида. Он сходится. Можно записать. Взяв 5 членов, т.е. заменивнасделаем ошибку, меньшую чем. Итак,.

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечных множеств отрицательных членов, называетсязнакопеременным. Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд . Если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Доказательство:

Рассмотри вспомогательный ряд, составленный из членов рядов и.

.

Очевидно, что для всех, но рядсходится в силу условий теоремы исвойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов, то на основаниисвойства 2 числовых рядов ряд сходится.

Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд , то это не означает, что сходится ряд.

Пример.

Исследовать сходимость ряда . Для этого ряда выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов этого ряда, т.е.расходится (гармонический ряд).

5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называют условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетательность, распределительность).

Т.е. абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов. В случае условно сходящихся рядов, такие свойства, вообще говоря, не имеют места.

studfiles.net

Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:

Как найти область определения функции?

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно углубить знания данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями.

Метод электронного баланса и ионно-электронный метод (метод полуреакций)

Спецификой многих ОВР является то, что при составлении их уравнений подбор коэффициентов вызывает затруднение. Для облегчения подбора коэффициентов чаще всего используют метод электронного баланса и ионно-электронный метод (метод полуреакций). Рассмотрим применение каждого из этих методов на примерах.

Метод электронного баланса

В его основе лежит следующее правило: общее число электронов, отдаваемое атомами-восстановителями, должно совпадать с общим числом электронов, которые принимают атомы-окислители.

В качестве примера составления ОВР рассмотрим процесс взаимодействия сульфита натрия с перманганатом калия в кислой среде.

1. Сначала необходимо составить схему реакции: записать вещества в начале и конце реакции, учитывая, что в кислой среде MnO₄^— восстанавливается до Mn²⁺ (см. схему):

Na₂SO₃ + KMnO₄ + H₂SO₄ = Na₂SO₄ + MnSO₄ + K₂SO₄ + H₂O

2. Далее определим какие из соединений являются окислителем и восстановителем; найдем их степень окисления в начале и конце реакции:

Na₂S⁺⁴O₃ + KMn⁺⁷O₄ + H₂SO₄ = Na₂S⁺⁶O₄ + Mn⁺²SO₄ + K₂SO₄ + H₂O

Из приведенной схемы понятно, что в процессе реакции происходит увеличение степени окисления серы с +4 до +6, таким образом, S⁺⁴ отдает 2 электрона и является восстановителем. Степень окисления марганца уменьшилась от +7 до +2, т.е. Mn⁺⁷ принимает 5 электронов и является окислителем.

3. Составим электронные уравнения и найдем коэффициенты при окислителе и восстановителе.

S⁺⁴ – 2e^— = S⁺⁶           ¦ 5  восстановитель, процесс окисления

Mn⁺⁷ +5e^— = Mn⁺²     ¦ 2  окислитель, процесс восстановления

Чтобы число электронов, отданных восстановителем, было равно числу электронов, принятых восстановителем, необходимо:

• Число электронов, отданных восстановителем, поставить коэффициентом перед окислителем.
• Число электронов, принятых окислителем, поставить коэффициентом перед восстановителем.

Таким образом, 5 электронов, принимаемых окислителем Mn⁺⁷, ставим коэффициентом перед восстановителем, а 2 электрона, отдаваемых восстановителем S⁺⁴ коэффициентом перед окислителем:

5Na₂S⁺⁴O₃ + 2KMn⁺⁷O₄ + H₂SO₄ = 5Na₂S⁺⁶O₄ + 2Mn⁺²SO₄ + K₂SO₄ + H₂O

4. Далее надо уравнять количества атомов элементов, не изменяющих степень окисления, в такой последовательности: число атомов металлов, кислотных остатков, количество молекул среды (кислоты или щелочи). В последнюю очередь подсчитывают количество молекул образовавшейся воды.

Итак, в нашем случае число атомов металлов в правой и левой частях совпадают.

По числу кислотных остатков в правой части уравнения найдем коэффициент для кислоты.

В результате реакции образуется 8 кислотных остатков SO₄^2-, из которых 5 – за счет превращения 5SO₃^2- → 5SO₄^2-, а 3 – за счет молекул серной кислоты 8SO₄^2-— 5SO₄^2- = 3SO₄^2-.

Таким образом, серной кислоты надо взять 3 молекулы:

5Na₂SO₃ + 2KMnO₄ + 3H₂SO₄ = 5Na₂SO₄ + 2MnSO₄ + K₂SO₄ + H₂O

5. Аналогично, находим коэффициент для воды по числу ионов водорода, во взятом количестве кислоты

6H⁺ + 3O^-2 = 3H₂O

Окончательный вид уравнения следующий:

5Na₂SO₃ + 2KMnO₄ + 3H₂SO₄ = 5Na₂SO₄ + 2MnSO₄ + K₂SO₄ + 3H₂O

Признаком того, что коэффициенты расставлены правильно является равное количество атомов каждого из элементов в обеих частях уравнения.

Ионно-электронный метод (метод полуреакций)

Реакции окисления-восстановления, также как и реакции обмена, в растворах электролитов происходят с участием ионов. Именно поэтому ионно-молекулярные уравнения ОВР более наглядно отражают сущность реакций окисления-восстановления. При написании ионно-молекулярных уравнений, сильные электролиты записывают в виде ионов, а слабые электролиты, осадки и газы записывают в виде молекул (в недиссоциированном виде). В ионной схеме указывают частицы, подвергающиеся изменению их степеней окисления, а также характеризующие среду, частицы: H⁺ — кислая среда, OH^— — щелочная среда и H₂O – нейтральная среда.

Рассмотрим пример составления уравнения реакции между сульфитом натрия и перманганатом калия в кислой среде.

1. Сначала необходимо составить схему реакции: записать вещества в начале и конце реакции:

Na₂SO₃ + KMnO₄ + H₂SO₄ = Na₂SO₄ + MnSO₄ + K₂SO₄ + H₂O

2. Запишем уравнение в ионном виде, сократив те ионы, которые не принимают участие в процессе окисления-восстановления:

SO₃^2- + MnO₄^— + 2H⁺ = Mn²⁺ + SO₄^2- + H₂O

3. Далее определим окислитель и восстановитель и составим полуреакции процессов восстановления и окисления.

В приведенной реакции окислитель — MnO₄^— принимает 5 электронов восстанавливаясь в кислой среде до Mn²⁺. При этом освобождается кислород, входящий в состав MnO₄^—, который, соединяясь с H⁺, образует воду:

MnO₄^— + 8H⁺ + 5e^— = Mn²⁺ + 4H₂O

Восстановитель SO₃^2- — окисляется до SO₄^2-, отдав 2 электрона. Как видно образовавшийся ион SO₄^2- содержит больше кислорода, чем исходный SO₃^2-. Недостаток кислорода восполняется за счет молекул воды и в результате этого происходит выделение 2H⁺:

SO₃^2- + H₂O — 2e^— = SO₄^2- + 2H⁺

4. Находим коэффициент для окислителя и восстановителя, учитывая, что окислитель присоединяет столько электронов, сколько отдает восстановитель в процессе окисления-восстановления:

MnO₄^— + 8H⁺ + 5e^— = Mn²⁺ + 4H₂O        ¦2             окислитель, процесс восстановления

SO₃^2- + H₂O — 2e^— = SO₄^2- + 2H⁺              ¦5             восстановитель, процесс окисления

5. Затем необходимо просуммировать обе полуреакции, предварительно умножая на найденные коэффициенты, получаем:

2MnO₄^— + 16H⁺ + 5SO₃^2- + 5H₂O = 2Mn²⁺ + 8H₂O + 5SO₄^2- + 10H⁺

Сократив подобные члены, находим ионное уравнение:

2MnO₄^— + 5SO₃^2- + 6H⁺ = 2Mn²⁺ + 5SO₄^2- + 3H₂O

6. Запишем молекулярное уравнение, которое имеет следующий вид:

5Na₂SO₃ + 2KMnO₄ + 3H₂SO₄ = 5Na₂SO₄ + 2MnSO₄ + K₂SO₄ + 3H₂O

Далее рассмотрим пример составления уравнения реакции между сульфитом натрия и перманганатом калия в нейтральной среде.

Na₂SO₃ + KMnO₄ + H₂O = Na₂SO₄ + MnO₂ + KOH

В ионном виде уравнение принимает вид:

SO₃^2- + MnO₄^— + H₂O = MnO₂ + SO₄^2- + OH^—

Также, как и предыдущем примере, окислителем является MnO₄^—, а восстановителем SO₃^2-.

В нейтральной и слабощелочной среде MnO₄^— принимает 3 электрона и восстанавливается до MnО₂. SO₃^2-— окисляется до SO₄^2-, отдав 2 электрона.

Полуреакции имеют следующий вид:

MnO₄^— + 2H₂O  + 3e^— = MnО₂ + 4OH^—         ¦2             окислитель, процесс восстановления

SO₃^2- + 2OH^—— 2e^— = SO₄^2- + H₂O                  ¦3             восстановитель, процесс окисления

Запишем ионное и молекулярное уравнения, учитывая коэффициенты при окислителе и восстановителе:

3SO₃^2- + 2MnO₄^— + H₂O =2 MnO₂ + 3SO₄^2- + 2OH^—

3Na₂SO₃ + 2KMnO₄ + H₂O = 2MnO₂ + 3Na₂SO₄ + 2KOH

И еще один пример — составление уравнения реакции между сульфитом натрия и перманганатом калия в щелочной среде.

Na₂SO₃ + KMnO₄ + KOH = Na₂SO₄ + K₂MnO₄ + H₂O

В ионном виде уравнение принимает вид:

SO₃^2- + MnO₄^— + OH^— = MnO₂ + SO₄^2- + H₂O

В щелочной среде окислитель MnO₄^— принимает 1 электрон и восстанавливается до MnО₄^2-. Восстановитель SO₃^2-— окисляется до SO₄^2-, отдав 2 электрона.

Полуреакции имеют следующий вид:

MnO₄^— + e^— = MnО₂                                                ¦2             окислитель, процесс восстановления

SO₃^2- + 2OH^—— 2e^— = SO₄^2- + H₂O               ¦1             восстановитель, процесс окисления

Запишем ионное и молекулярное уравнения, учитывая коэффициенты при окислителе и восстановителе:

SO₃^2- + 2MnO₄^— + 2OH^— = 2MnО₄^2- + SO₄^2- + H₂O

Na₂SO₃ + 2KMnO₄ + H₂O = 2K₂MnO₄ + 3Na₂SO₄ + 2KOH

Необходимо отметить, что не всегда при наличии окислителя и восстановителя, возможно самопроизвольное протекание ОВР. Поэтому для количественной характеристики силы окислителя и восстановителя и для определения направления реакции пользуются значениями окислительно-восстановительных потенциалов.

zadachi-po-khimii.ru

Химия. ОВР — метод полуреакций

Сегодня мы научимся расставлять коэффициенты в окислительно-восстановительных реакциях (сокращенно ОВР) методом электронно-ионного баланса.

Задание обычно звучит так:

Подберите коэффициенты к уравнениям окислительно-восстановительной реакции, используя метод электронно-ионного баланса, укажите окислитель и восстановитель, процессы окисления и восстановления.

Для примера разберем следующую ОВР:

Cl₂ + K₂S + KOH → KCl + K₂SO₄ + H₂O

С чего начать?

Первым делом «растворяем то, что растворяется», иначе говоря, растворимые соединения разбиваем на анионы (отрицательно заряженные ионы) и катионы (положительно заряженные ионы).

Для нашей реакции:

Сl₂⁰ + K₂¹⁺ + S^2- + K¹⁺ + OH^1- → K¹⁺ + Cl^1- + K₂¹⁺ + SO₄^2- + H₂O

Сокращаем те ионы, которые повторяются и слева, и справа и получаем уравнение реакции в ионно-молекулярном виде:

Сl₂⁰ + S^2- + OH^1- → Cl^1- + SO₄^2- + H₂O

Определим среду нашей ОВР. Ионы OH- в левой части реакции говорят нам, что среда щелочная. Это хуже, чем кислотная, но мы справимся ☺

Расставим степени окисления над каждым атомом. Принцип очень простой: степень окисления кислорода (почти) всегда 2-; водорода – 1+; степень окисления металлов равна порядковому номеру группы в таблице Менделеева, где живет этот металл. Степени окисления оставшихся атомов вычисляем, вычитая из степени окисления всего иона степени окисления известных атомов.

Сl₂⁰ + S^2- + O^2-H¹⁺ → Cl^1- + S⁶⁺O₄^2- + H₂O^2-

Видно, что в ОВР изменяются степени окисления хлора (было 0, стало 1-) и серы (было 2-, стало 6+).

Степень окисления хлора уменьшилась, т.е. он забрал себе лишние электроны. Степень окисления серы увеличилась, т.е. она электроны отдала. Ион, отдавший ионы, называется восстановителем; получивший электроны – окислителем.

Теперь записываем две полуреакции для серы и для хлора:

Cl₂⁰ → Cl^1- — окислитель, полуреакция восстановления

S^2- → SO₄^2- — восстановитель, полуреакция окисления

После десятка-другого ОВР все описанное выше делается в уме за несколько секунд.

Теперь начинаем работать с выделенными полуреакциями.

Cl₂⁰ → Cl^1-

Шаг первый: уравниваем количество атомов главного элемента (хлора).

Cl₂⁰ → 2Cl^1-

Шаг второй: уравниваем количество атомов кислорода. У нас кислорода нет, едем дальше.

Шаг третий: уравниваем количество атомов водорода. Водорода тоже нет, едем дальше.

Шаг четвертый: уравниваем заряды с помощью электронов. В нашем случае слева заряд 0, справа 2 заряда по -1, достаточно очевидно, что нужно добавить 2 электрона слева. Что мы и делаем:

Cl₂⁰ + 2е → 2Cl^1-

Одна полуреакция готова. Принимаемся за вторую.

S^2- → SO₄^2-

Шаг первый: уравниваем количество атомов главного элемента (серы). У нас они уже равны, едем дальше.

Поскольку среда щелочная, шаг второй и шаг третий объединяем: нужно уравнять количества атомов кислорода и водорода, причем делать это нужно, добавляя слева ионы OH-, а справа молекулы воды. Я это делаю обычно перебором. В нашем случае справа нужно добавить 8 ионов OH^—, а слева – 4 молекулы воды.

S^2- + 8OH^— → SO₄^2- + 4H₂O

Все атомы уравнялись.

Шаг четвертый: уравниваем заряды с помощью электронов. В нашем случае слева заряд -10, справа -2, вычитаем слева 8 электронов:

S^2- + 8OH^— — 8e → SO₄^2- + 4H₂O

Теперь выписываем наши уравненные полуреакции рядом. Хлор забирает 2 электрона, сера отдает 8 электронов, значит, чтобы все сошлось, необходимо умножить полуреакцию хлора на 4.

А если делать на автомате, то записываем количество электронов, сокращаем (если сокращается) и меняем местами. На получившееся число умножаем полуреакцию и собираем обратно в молекулярно-ионную запись.

Cl₂⁰ + 2е → 2Cl^—                                              2→1→4

S^2- + 8OH^— — 8e → SO₄^2- + 4H₂O               8→4→1

4Сl₂⁰ + S^2- + 8OH^— → 8Cl^— + SO₄^2- + 4H₂O

Проверяем, все ли сходится: хлора – по 8 атомов с каждой стороны, серы – по 1, водорода – по 8, кислорода – по 8.

С теми же коэффициентами переписываем полную ОВР.

4Cl₂ + K₂S + 8KOH → 8KCl + K₂SO₄ + 4H₂O

Готово.

Для закрепления рассмотрим еще одну реакцию, на этот раз с кислой средой. Не буду расписывать так же подробно, только ключевые моменты.

K₂Cr₂O₇  +  Al  +  H₂SO₄   →   Cr₂(SO₄)₃  +  Al₂(SO₄)₃  +  K₂SO₄  +  H₂O

Наметанным глазом сразу видно: степени окисления меняются у алюминия и у хрома. Выписываем полуреакции и уравниваем их.

Первая полуреакция:

Al⁰ → Al³⁺

Шаг первый: уравниваем количество атомов главного элемента – выполнено.

Шаг второй: уравниваем количество атомов кислорода – выполнено.

Шаг третий: уравниваем количество атомов водорода – выполнено.

Шаг четвертый: уравниваем заряды с помощью электронов. Слева заряд 0, справа +3, нужно вычесть слева 3 электрона. Алюминий электроны отдает, значит, он в реакции восстановитель, а его полуреакция является полуреакцией окисления.

Al⁰ – 3e → Al³⁺

Вторая полуреакция:

Cr₂O₇^2- → Cr³⁺

Шаг первый: уравниваем количество атомов главного элемента.

Cr₂O₇^2- → 2Cr³⁺

Шаг второй: уравниваем количество атомов кислорода с помощью воды.

Cr₂O₇^2- → 2Cr³⁺ + 7H₂O

Шаг третий: уравниваем количество атомов водорода c помощью ионов H⁺, потому что среда кислая. О том, что она кислая, нам говорит наличие кислоты в левой части реакции (если бы мы записали ионно-молекулярную форму реакции, слева остались бы ионы H⁺)

Cr₂O₇^2- + 14H⁺ → 2Cr³⁺ + 7H₂O

Шаг четвертый: уравниваем заряды с помощью электронов. Слева заряд +12, справа 2 раза по +3, нужно добавить слева 6 электрона. Хром электроны забирает, значит, он в реакции окислитель, а его полуреакция является полуреакцией восстановления.

Cr₂O₇^2- + 14H⁺ + 6e → 2Cr³⁺ + 7H₂O

Выписываем полуреакции рядом и производим манипуляции с электронами:

Al⁰ – 3e → Al³⁺                                                          3→1→2

Cr₂O₇^2- + 14H⁺ + 6e → 2Cr³⁺ + 7H₂O               6→2→1

Собираем две полуреакции в ионно-молекулярную реакцию, домножив, соответственно, на полученные числа.

Cr₂O₇^2-  +  2Al⁰  +  14H⁺   →   2Cr³⁺  + 2Al³⁺  +  7H₂O

Восстанавливаем полную реакцию, расставляя найденные коэффициенты:

K₂Cr₂O₇  +  2Al  +  7H₂SO₄   →   Cr₂(SO₄)₃  +  Al₂(SO₄)₃  +  K₂SO₄  +  7H₂O

Для проверки я обычно считаю, сходятся ли количества атомов кислорода: слева у нас 7+7*4=35 атомов, справа – 3*4+3*4+4+7=35 атомов.

Кислород сошелся, значит, все верно.

Любую ОВР можно уравнять описанным методом. Бывают, конечно, более сложные варианты, но смысл всегда один и тот же.

Дерзайте, и у вас все получится. 

Если у Вас есть вопросы по решению данной задачи (или другой), пишите на наш e-mail [email protected], мы всегда готовы помочь.

С уважением, Botva-Project

botva-project.ru

Метод полуреакций | Дистанционные уроки

09-Июл-2012 | комментариев 200 | Лолита Окольнова

Решаем Часть С задание №1

Дано уравнение:

h3S + K2Cr2O7 + h3SO4 → …

Как решать такие окислительно-восстановительные реакции?

Уравнивание окислительно-восстановительных реакций

Во-первых, давайте определимся, в каких случаях лучше использовать метод полуреакций:

• реакция происходит в растворе
• в реакции принимают участие больше чем 2 реагента, да и продуктов реакции больше, чем 2

Правила метода полуреакций

(проще всего будет объяснить их сразу на примере)

h3S + K2Cr2O7 + h3SO4 → …

1. Определяем участников окислительно-восстановительного процесса:

K2Cr2O7  —  Сr находится в высшей степени окисления — +6, значит бихромат калия будет окислителем, т.е. сам будет восстанавливаться. Обычно, в кислой среде раствора он восстанавливается либо до Cr2O3, либо  до Сr3+

Давайте думать логически.

Допустим, у нас образовался оксид, один из реагентов это серная кислота . Будет она реагировать с оксидом? Конечно! Мы получим Cr3+

Второй реагент — h3S.  Сера находится в минимальной степени окисления — -2. Значит, она будет окисляться. До S°.

2. Выписываем участников овр в ионной форме (!) (Т.е., те вещества. которые нельзя разбить на ионы, пишем в том виде, в каком они представлены)

                                             Сr2O7(2)-            → Cr(3+)

                                              S(2-)                 → S(0)

3. Уравниваем количество атомов:

                                             Сr2O7(2-)            → 2Cr3(+)

                                             S(2- )                 → S(0)

4. Определяем среду реакции. У нас один из реагентов — серная кислота, значит, среда у нас однозначно кислая.

В кислой среде раствора  уравнивание недостающих атомов идет по схеме:

h3O → H(+)

Причем, воду мы прибавляем в ту часть уравнения, где недостаток кислорода (!)

Сr2O7(2-)            → 2Cr(3+) + 7h3O

теперь у нас изменилось количество водорода, надо его уравнять

Сr2O7(2-)  +14H(+)      → 2Cr(3+) + 7h3O

5. Уравниваем заряды:

                          Сr2O7(2)-  +14H(+)        →      2Cr(3+) + 7h3O

итоговый заряд:  +12              →                  +6

Сr2O7(2-)  +14H(+)  + 6е-    → 2Cr(3+) + 7h3O

     S2-                         → S°

      -2                                  0

 S(2-)    -2е-        → S(0)

6. Теперь надо уравнять реакции восстановления и окисления между собой ( чтобы “количество принятых электронов было равно количеству отданных”)

Сr2O7(2)-  +14H(+)   +6e-    →  2Cr(3+) + 7h3O   |*1

S(2-  )       -2е-               →  S(0 )                                          |*3

7. Выписываем все реагенты с учетом коэффициентов и все продукты овр:

Сr2O7(2-)  +14H(+) + 3S(2-)    →  2Cr(3+) + 7h3O + 3S(0)

8. Дописываем к каждому иону его “половинку” с учетом коэффициентов и сочетаем продукты реакции:

Сr2O7(2-)  +14H(+) + 3S(2-)           →   2Cr(3+) + 7h3O + 3S(0)

+2K(+)    +7SO4(2-) + 6H(+)      → +2K(+)    +7SO4(2-) + 6H(+)

____________________________________________

K2Cr2O7 + 7h3SO4 + 3h3S  → Cr2(SO4)3 + 7h3O + 3S + K2SO4 + 3h3SO4

9. Сокращаем одинаковые молекулы слева и справа:

K2Cr2O7 + 4h3SO4 + 3h3S  → Cr2(SO4)3 + 3S + K2SO4 + 7h3O

Метод полуреакций удобен тем, что можно легко предсказать продукты реакции и сочетания ионов. Да и уравнивать таким способом легче.

Естественно, этот метод подходит только для водных растворов.

Для решения  овр такого типа нужно просто натренироваться, для этого предлагаю вам решить следующие овр методом полуреакций:

1. MnO₂ + O₂ + KOH → …
2. Cl₂ + NaOH → NaClO₃ + …
3. CrCl₃ + H₂O₂ + KOH → …

 
Как всегда, в заданиях такого типа (часть С №1) нужно предсказать продукты реакции и уравнять. Если что-то не будет получаться или возникнут вопросы, пишите в комментариях — обсудим.
 
Как решать окислительно-восстановительные реакции в кислой среде раствора  мы разобрали, в щелочной  — смотрите << здесь >>
 

• в ЕГЭ это вопрос C1 — примеры окислительно-восстановительных реакций

 
 
 

Еще на эту тему:

Обсуждение: «Метод Полуреакций»

distant-lessons.ru

Метод полуреакций: алгоритм

Многие химические процессы проходят с изменением окислительных степеней атомов, которые образуют реагирующие соединения. Написание уравнений реакций окислительно-восстановительного типа часто сопровождается трудностью при расстановке коэффициентов перед каждой формулой веществ. Для этих целей разработаны методики, связанные с электронным или электронно-ионным балансом распределения зарядов. В статье подробно описан второй способ составления уравнений.

Метод полуреакций, сущность

Он еще называется электронно-ионным балансом распределения коэффициентных множителей. Основан метод на обмене отрицательно заряженными частицами между анионами или катионами в растворенных средах с разным значением водородного показателя.

В реакциях электролитов окислительного и восстановительного типа участвуют ионы с отрицательным или положительным зарядом. Уравнения молекулярно-ионного вида, в основе которых задействован метод полуреакций, наглядно доказывают суть любого процесса.

Для формирования баланса используют специальное обозначение электролитов сильного звена в качестве ионных частиц, а слабых соединений, газов и осадков в виде недиссоциированных молекул. В составе схемы необходимо указывать частицы, в которых изменяются степени их окисления. Для определения растворяющей среды в балансе обозначают кислые (H⁺), щелочные (OH^—) и нейтральные (H₂O) условия.

Для чего используют?

В ОВР метод полуреакций направлен на написание уравнений ионных отдельно для процессов окислительных и восстановительных. Конечным балансом будет их суммирование.

Этапы выполнения

Своими особенностями написания обладает метод полуреакций. Алгоритм включает следующие стадии:

— Первым делом следует записать формулы всех реагирующих веществ. Например:

H₂S + KMnO₄ + HCl

— Затем необходимо установить функцию, с химической точки зрения, каждого составляющего процесса. В данной реакции KMnO₄ выступает в роли окислителя, H₂S является восстановителем, а HCl определяет кислотную среду.

— Третьим этапом нужно записать с новой строки формулы ионные реагирующих соединений с сильным электролитным потенциалом, у атомов которых наблюдается смена степеней их окисления. В данном взаимодействии MnO₄^— выступает в роли окисляющего вещества, H₂S является восстанавливающим реагентом, а H⁺ или оксониевый катион H₃O⁺ определяет кислотную среду. Газообразные, твердые или слабые электролитические соединения выражают целыми формулами молекулярными.

Зная исходные компоненты, постараться определить, какая у окисляющего и восстанавливающего реагента будет восстановленная и окисленная форма соответственно. Иногда конечные вещества уже заданы в условиях, что облегчает работу. В последующих уравнениях указывают переход H₂S (сероводорода) в S (серу), а аниона MnO₄^— в катион Mn²⁺.

Для баланса атомарных частиц в левом и правом участке в кислотную среду прибавляют водородный катион H⁺ или молекулярную воду. В раствор щелочной вносят ионы гидроксида OH^— или H₂O.

MnO₄^—→ Mn²⁺

В растворе атом кислорода из манганатных ионов совместно с H⁺ формируют молекулы воды. Для выравнивания количества элементов уравнение записывают так: 8H⁺ + MnO₄^— → 4H₂O + Mn²⁺.

Затем проводят электрическую балансировку. Для этого считают общую сумму зарядов в левом участке, получается +7, а затем в правой стороне, выходит +2. Для уравновешивания процесса к исходным веществам добавляется пять отрицательных частиц: 8H⁺ + MnO₄^— + 5e^— → 4H₂O + Mn²⁺. Получается полуреакция восстановления.

Теперь уравнять по числу атомов следует процесс окисления. Для этого в правую часть добавляют водородные катионы: H₂S → 2H⁺ + S.

После проводят уравнивание зарядов: H₂S -2e^— → 2H⁺ + S. Видно, что от исходных соединений отнимают две отрицательные частицы. Получается полуреакция окислительного процесса.

Записывают оба уравнения в столбик и выравнивают отданные и принятые заряды. По правилу определения наименьших кратных подбирают для каждой полуреакции свой множитель. На него умножается окислительное и восстановительное уравнение.

Теперь можно осуществить суммирование двух балансов, сложив левые и правые стороны между собой и сократив количество электронных частиц.

8H⁺ + MnO₄^— + 5e^— → 4H₂O + Mn²⁺ |2

H₂S -2e^— → 2H⁺ + S |5

16H⁺ + 2MnO₄^— + 5H₂S → 8H₂O + 2Mn²⁺ + 10H⁺ + 5S

В полученном уравнении можно число H⁺ сократить на 10: 6H⁺ + 2MnO₄^— + 5H₂S → 8H₂O + 2Mn²⁺ + 5S.

Проверяем правильность составления ионного баланса с помощью подсчета числа кислородных атомов до стрелки и после нее, которое равняется 8. Также необходимо сверить заряды конечной и исходной части баланса: (+6) + (-2) = +4. Если все совпадает, то он составлен правильно.

Метод полуреакций заканчивается переходом от ионной записи к уравнению молекулярному. Для каждой анионной и катионной частицы левой части баланса подбирается противоположный по заряду ион. Затем их переносят в правую сторону, в таком же количестве. Теперь ионы можно соединить в целые молекулы.

6H⁺ + 2MnO₄^— + 5H₂S → 8H₂O + 2Mn²⁺ + 5S

6Cl^— + 2K⁺ → 6Cl^— + 2K⁺

H₂S + KMnO₄ + 6HCl → 8H₂O + 2MnCl₂ + 5S + 2KCl.

Применять метод полуреакций, алгоритм которого сводится к написанию молекулярного уравнения, можно наряду с написанием балансов электронного типа.

Определение окислителей

Такая роль принадлежит ионным, атомарным или молекулярным частицам, которые принимают отрицательно заряженные электроны. Вещества окисляющие претерпевают восстановление в реакциях. Они обладают электронным недостатком, который легко можно восполнить. Такие процессы включают окислительно-восстановительные полуреакции.

Не у всех веществ имеется способность присоединять электроны. К сильным окисляющим реагентам относят:

• галогеновых представителей;
• кислоту типа азотной, селеновой и серной;
• калий перманганатный, дихроматный, манганатный, хроматный;
• марганцовые и свинцовые четырехвалентные оксиды;
• серебро и золото ионное;
• соединения газообразные кислорода;
• меди двухвалентной и серебра одновалентного оксиды;
• хлорсодержащие солевые компоненты;
• водку царскую;
• водорода перекись.

Определение восстановителей

Такая роль принадлежит ионным, атомарным или молекулярным частицам, которые отдают отрицательный заряд. В реакциях восстанавливающие вещества претерпевают окислительное действие при отщеплении электронов.

Восстановительными свойствами обладают:

• представители многих металлов;
• серы четырехвалентной соединения и сероводород;
• галогенсодержащие кислоты;
• железа, хрома и марганца сульфаты;
• олова двухвалентный хлорид;
• азотсодержащие реагенты типа кислоты азотистой, двухвалентного оксида, аммиака и гидразина;
• природный углерод и его оксид двухвалентный;
• водородные молекулы;
• кислота фосфористая.

Преимущества электронно-ионного способа

Чтобы написать окислительно-восстановительные реакции, метод полуреакций применяют чаще, чем баланс электронного вида.

Связано это с преимуществами электронно-ионного способа:

1. Во время написания уравнения рассматривают реальные ионы и соединения, которые существуют в составе раствора.
2. Можно изначально не иметь информации о получающихся веществах, их определяют на конечных этапах.
3. Не всегда нужны данные об окислительной степени.
4. Благодаря методу можно узнать число электронов, которые участвуют в полуреакциях, как меняется водородный показатель раствора.
5. По сокращенным уравнениям ионного вида изучается особенность протекания процессов и структура получившихся веществ.

Полуреакции в кислом растворе

Проведение вычислений при избытке водородных ионов подчиняется основному алгоритму. Метод полуреакций в кислой среде начинают с записи составных частей любого процесса. Потом их выражают в форме уравнений ионного вида с соблюдением баланса атомарного и электронного заряда. Отдельно записывают процессы окислительного и восстановительного характера.

Для выравнивания атомарного кислорода в сторону реакций с его избытком привносят водородные катионы. Количества H⁺ должно хватить для получения молекулярной воды. В сторону недостатка кислорода приписывают H₂O.

Затем проводят баланс водородных атомов и электронов.

Делают суммирование частей уравнений до и после стрелки с расстановкой коэффициентов.

Осуществляют сокращение одинаковых ионов и молекул. К уже записанным реагентам в суммарном уравнении выполняют добавление недостающих анионных и катионных частиц. Их количество после и до стрелочки должно совпадать.

Уравнение ОВР (метод полуреакций) считается выполненным при написании готового выражения молекулярного вида. Возле каждого компонента должен стоять определенный множитель.

Примеры для кислой среды

Взаимодействие нитрита натрия с кислотой хлорноватой приводит к получению натрия нитрата и кислоты соляной. Для расстановки коэффициентов используется метод полуреакций, примеры написания уравнений связаны с указанием кислой среды.

NaNO₂ + HClO₃ → NaNO₃ + HCl

ClO₃^— + 6H⁺ + 6e^— → 3H₂O + Cl^— |1

NO₂^— + H₂O – 2e^— → NO₃^— +2H⁺ |3

ClO₃^— + 6H⁺ + 3H₂O + 3NO₂^— → 3H₂O + Cl^— + 3NO₃^— +6H⁺

ClO₃^— + 3NO₂^— → Cl^— + 3NO₃^—

3Na⁺ + H⁺ → 3Na⁺ + H⁺

3NaNO₂ + HClO₃ → 3NaNO₃ + HCl.

В данном процессе из нитрита получается нитрат натрия, а из хлорноватой образуется соляная кислота. Окислительная степень азота изменяется с +3 до +5, а заряд хлора +5 становится -1. Оба продукта не образуют осадка.

Полуреакции для щелочной среды

Проведение вычислений при избытке гидроксидных ионов соответствует расчетам для кислых растворов. Метод полуреакций в щелочной среде также начинают с выражения составных частей процесса в форме ионных уравнений. Отличия наблюдаются во время выравнивания числа атомарного кислорода. Так, в сторону реакции с его избытком привносят молекулярную воду, а в противоположную часть дописывают анионы гидроксида.

Коэффициент перед молекулой H₂O показывает разницу в количестве кислорода после и до стрелки, а для ионов OH^— его удваивают. В ходе окисления реагент, выполняющий роль восстановителя, отнимает атомы O от гидроксильных анионов.

Метод полуреакций заканчивается проведением оставшихся этапов алгоритма, которые совпадают с процессами, имеющими кислый избыток. Конечным результатом служит уравнение молекулярного вида.

Примеры для щелочной среды

При смешивании йода с натрия гидроксидом образуется натрия йодид и йодат, молекулы воды. Для получения баланса процесса используют метод полуреакций. Примеры для растворов щелочных имеют свою специфику, связанную с уравниванием атомарного кислорода.

NaOH + I₂ →NaI + NaIO₃ + H₂O

I + e^— → I^— |5

6OH^— + I — 5e^— → I^— + 3H₂O + IO₃^— |1

I + 5I + 6OH^— → 3H₂O + 5I^— + IO₃^—

6Na⁺ → Na⁺ + 5Na⁺

6NaOH + 3I₂ →5NaI + NaIO₃ + 3H₂O.

Результатом реакции является исчезновение фиолетового окрашивания молекулярного йода. Происходит изменение степени окисления данного элемента с 0 до -1 и +5 с образованием йодида и йодата натрия.

Реакции в нейтральной среде

Обычно так называют процессы, проходящие при гидролизе солей с образованием слабокислого (с водородным показателем от 6 до 7) или слабощелочного (с pH от 7 до 8) раствора.

Метод полуреакций в нейтральной среде записывают несколькими вариантами.

В первом способе не учитывают солевой гидролиз. Среду принимают за нейтральную, а слева от стрелочки приписывают молекулярную воду. В таком варианте одну полуреакцию принимают за кислотную, а другую – за щелочную.

Второй способ подходит для процессов, в которых можно установить примерное значение водородного показателя. Тогда реакции для метода ионно-электронного рассматривают в щелочном или кислом растворе.

Пример с нейтральной средой

При соединении сероводорода с натрия дихроматом в воде получается осадок серы, натрия и хрома трехвалентного гидроксиды. Это типичная реакция для нейтрального раствора.

Na₂Cr₂O₇ + H₂S +h3O → NaOH + S + Cr(OH)₃

H₂S — 2e^— → S + H⁺ |3

7H₂O + Cr₂O₇^2- + 6e^— → 8OH^— + 2Cr(OH)₃ |1

7H₂O +3H₂S + Cr₂O₇^2- → 3H⁺ +3S + 2Cr(OH)₃ +8OH^—. Катионы водорода и гидроксид-анионы, соединяясь, образуют 6 молекул воды. Их можно убрать в правой и левой части, оставив излишек перед стрелкой.

H₂O +3H₂S + Cr₂O₇^2- → 3S + 2Cr(OH)₃ +2OH^—

2Na⁺ → 2Na⁺

Na₂Cr₂O₇ + 3H₂S +H₂O → 2NaOH + 3S + 2Cr(OH)₃

В конце реакции образуется осадок из гидроксида хрома голубого цвета и желтой серы в щелочном растворе с гидроксидом натрия. Окислительная степень элемента S с -2 становится 0, а хрома заряд с +6 превращается в +3.

fb.ru

Онлайн калькуляторы

Жизнь 81
	Дата и время   Разница времени между часовыми поясами,   Калькулятор дат,   Конвертер даты в количество миллисекунд, прошедших с 1 января 1970 года 00:00:00,   Время в пути,   Время между двумя датами с разными часовыми поясами, … +42
	Дети   Определение даты родов,   Определение пола будущего ребенка,
	Домашние питомцы   Примерные показатели промеров щенка лабрадора ретривера,   Потребность взрослых собак в обменной энергии,   Суточная потребность в корме для взрослой собаки,
	Календарь   Фаза луны,   Площадь тени объекта,   Текущая дата в современной и древнерусской (византийской) системе летоисчисления,   Мусульманский календарь. Перевод из григорианского календаря,   Сколько рабочих дней между двумя датами (для США), … +20
	Красота и здоровье   Определение пола будущего ребенка,   Пропорциональность фигуры — формула Маккаллума,   Расчет идеального веса через Индекс Массы Тела,   Расчет идеального веса по формуле Брока,   Суточная норма калорий, … +11
	Юмор   Азбука Морзе. Мутатор,   Площадь неправильного четырехугольника с заданными сторонами,   Как из мухи сделать слона. ,   Расстояния в попугаях,   Определение пола будущего ребенка, … +3
Коммерческие 14
	Реклама   Оригинальные подарки,   Стоимость размещения рекламы,
	Цена   Тоннокилометр. Перевод из стоимости километра,   Расчет стоимости по цене погонного метра,   Цена одного часа (точнее, километра),   Расчет стоимости квадратного метра,   Расчет начальной максимальной цены контракта (НМЦК) методом сопоставимых рыночных цен, … +3
Работа 252
	Автомобили   Нормативное значение расхода топлива. Тягачи зарубежные,   Определить регион по номеру автомобиля,   Расстояние между двумя координатами,   Расход топлива,   ОСАГО для автомобилей, зарегистрированных в РФ. июль 2011 — октябрь 2014, … +17
	Бухгалтерские   Единый социальный налог,   Компенсация за неиспользованный отпуск при увольнении,   Расчет пеней по налогу,   Когда становится выгодно платить налог как Индивидуальный предприниматель?,   Взносы в пенсионный фонд, … +13
	Инженерные   Упрощение математических выражений,   О римских цифрах,   Старинные русские деньги,   Площадь треугольника по координатам вершин,   Подсчет труб с торца, … +105
	Кадры   Праздничные выходные,   Компенсация за задержку зарплаты,   Дата и количество рабочих дней,   Расчет стажа,   Хронометраж всех отрезков кинопленки , … +4
	Навигация   Правило 12,   Расстояние по поверхности Земли и расстояние сквозь Землю,   Видимый горизонт и дальность видимости,   Как распознать высотку,   Скорость ветра по шкале Бофорта, … +10
	Недвижимость   Налог с продажи квартиры,   Налоговые вычеты из НДФЛ,   Расчет стоимости аренды квартиры,   Купить квартиру по ипотеке или продолжать снимать?,   Расчет стоимости аренды квартиры, … +2
	Статистика   Экспоненциальное сглаживание,   Выборочная функция распределения,   Аналитические показатели динамики,   Тройное экспоненциальное сглаживание,   Распределение Стьюдента, … +20
	Строительство и ремонт   Калькулятор блоков,   Объем цистерны,   Ламинат. Расчет числа досок,   Стоимость необходимого погонажного материала (вагонки, террасной доски, планкена),   Количество бруса для дома, … +14
	Телекоммуникации   Расчет подсети по адресу и маске (IPv4),   Расчет количества внешних линий Мини АТС,   Расчет количества операторов в call-центре,   Расчет полосы пропускания для VOIP разговоров,   Телефонная нагрузка, Erlang, … +1
	Финансовые   Проценты и налоги,   Изменение цен по субъектам РФ с 2000 по 2007 годы,   Разница с курсом ЦБ РФ,   Расчет пеней по налогу,   Аннуитетные платежи — наращение, дисконтирование, … +39
Учеба 270
	Астрономия   Восход и закат солнца,   Положение Солнца на заданную дату. Таблица азимута и высоты над горизонтом,   Азимут и высота солнца над горизонтом,   Юлианские дни,   Длина тени, … +3
	Информатика   Калькулятор с поддержкой разных систем счисления,   Код Хаффмана,   Шифр Виженера,   Перевод из десятичной системы счисления,   Анализ грамматики, записанной при помощи РБНФ. И еще один компилятор компиляторов., … +29
	Математика   Калькулятор с поддержкой разных систем счисления,   Математический калькулятор,   Диагонали параллелограмма,   Производная функции,   Антилогарифм, … +170
	Физика   Волны и ветер. Статистическое прогнозирование высоты волны,   Кинематика. Задача про стреляющую пушку,   Кинематика. Задача про среднюю скорость автомобиля,   Эффект Доплера в акустике,   Сила Архимеда, … +45
	Химия   Определение норм удобрений на планируемую прибавку урожая сельскохозяйственных культур,   Плотность нефти,   Содержание спирта в водно спиртовом растворе,   Уравнивание химических реакций,   Оценка погрешности прямых измерений, … +6

planetcalc.ru

«Метод полуреакций, или электронно-ионного баланса»

Разделы: Химия

---

Тема: метод полуреакций или электронно-ионного баланса

Цель: расширить и углубить знания об ОВР.

Задачи:

• научить определять возможность протекания ОВР между данными веществами;
• научить устанавливать продукты реакции с опорой на схемы;
• раскрыть сущность метода полуреакций;
• рассмотреть правила и алгоритмы составления уравнений ОВР;
• научить применять полученные знания для решения конкретных задач.

Формы обучения: разъяснение, рассуждение, общая характеристика.

Методы обучения: словесные (беседа, объяснение), наглядные (компьютерные), практические (упражнения).

Общедидактические методы: объяснительно-иллюстративный,  частично-поисковый, проблемный.

Ход урока.

1. Проверка домашнего задания.

Опрос у доски:

1) Самостоятельная работа у доски : определите тип следующих ОВР:

Подготовка устного ответа: классификация ОВР.

2) Самостоятельная работа у доски: расставить коэффициенты методом электронного баланса, указать окислитель и восстановитель, процессы окисления и восстановления:

3) Устный ответ: теория ОВР.
   
2. Новый материал.

Сегодня на уроке мы познакомимся  со способами прогнозирования продуктов в ОВР и новом методе расстановки коэффициентов в ОВР – методе полуреакций или электронно-ионного баланса.
Чтобы написать уравнение реакции, протекающей в смеси заданных веществ, нужно ответить на следующие вопросы:

а) возможна ли в принципе ОВР между данными веществами;
б) если да, то установить продукты реакции;
в) подобрать коэффициенты в уравнении реакции.

Рассмотрим эти вопросы по порядку.
Что касается первого из них, вспомним, что в любой ОВР один из участников окисляется, т.е. повышает свою валентность, а другой – восстанавливается, т.е. понижает валентность. Поэтому реакция невозможна, если оба ее участника находятся в состояниях наиболее высокой или наиболее низкой степени окисления.
Исходя из сказанного, попробуем предположить возможность протекания ОВР.
Например, определим возможна ли ОВР между .

Определите степени окисления элементов.

Учащиеся определяют степени окисления элементов по формулам соединений. Рассматривают строение атомов серы и хлора, определяют высшую и низшую степень окисления элементов.

Формулируем  вывод: степени окисления серы (-2) и хлора (-1) являются для них предельно низкими, следовательно,  и сера, и хлор могут выступать только в роли восстановителя. Т.е. реакция между  невозможна.

Рассмотрим другой пример. Возможно ли взаимодействие между ионами ?

Учащиеся рассматривают степени окисления марганца и хрома в ионах, определяют исходя из строения атомов, что оба металла находятся в высшей степени окисления, следовательно, могут выступать только в роли окислителя. Делают вывод: реакция между ионами  и невозможна.

Если же один из участников может повысить, а другой понизить свои степени окисления, реакция в принципе возможна.
Указать продукты реакции только из общих соображений в таких реакциях практически невозможно. Исследование химических свойств элементов как раз и представляет собой экспериментальное выяснение того, при каких условиях его соединения вступают в реакцию с другими элементами и соединениями и какие продукты при этом получаются.
Часто в ОВР участвуют соединения хрома и марганца. Особый интерес представляет поведение пероксида водорода в ОВР. Для прогнозирования продуктов реакций с их  участием можно использовать следующие схемы.

Учитель проецирует с помощью видеопроектора схемы на экран, учащиеся для удобства имеют схемы на партах (Приложение 1).

Что касается собственно процедуры подбора коэффициентов в уравнениях, то для реакций в растворах удобен так называемый метод полуреакций, или электронно-ионный. В нем сначала записывают и уравнивают отдельно процессы окисления и восстановления, а полная реакция получается  их сложением.

Учитель проецирует с помощью видеопроектора схемы на экран, учащиеся для удобства имеют схемы на партах (Приложение 2).

Кроме алгоритма составления полуреакций, необходимо придерживаться нескольких очевидных правил:

1. В кислой среде ни в левой, ни в правой части не должно быть ионов Уравнивание осуществляется за счет ионов и молекул воды.
2. В щелочной среде ни в левой, ни в правой части не должно быть ионов . Уравнивание осуществляется за счет ионов  и молекул воды.
3. В нейтральной среде ни ионов , ни в левой части быть не должно. Однако в правой части среди продуктов реакции они могут появиться.

Рассмотрим, как работают предложенные схемы на конкретных примерах.

Задача.   Закончить уравнение реакции между бихроматом калия и соляной кислотой.

Ион  содержит хром в его высшей степени окисления, следовательно, может выступать только в роли окислителя. По схеме составим полуреакцию, учитывая, что среда кислотная (HCl).
Полуреакция восстановления:

Ионы могут только окисляться, т.к. хлор имеет самую низшую степень окисления. Составим полуреакцию окисления:

Суммируем сначала левые, а затем правые части полуреакций, не забывая предварительно умножить множитель на коэффициент, если он стоит перед формулой.

Получили сокращенное ионное уравнение.

Добавляем недостающие катионы или анионы, учитывая, что количество добавляемых ионов в правую и левую части ионного уравнения должно быть одинаковым.

В данном случае источником ионов ─ была соль , поэтому с каждым молем в раствор попадает 2 моль ионов . В реакции они участия не принимают, поэтому в неизменном виде должны перейти в правую часть уравнения. Вместе с 14 моль ионов в раствор вносится 14 моль ионов . Из них 6 участвует в реакции в качестве восстановителя, а остальные 8, как и ионы , в неизменном виде остаются после реакции, т.е. дописываются в правую часть.

В результате получаем:

После этого можно объединить ионы в формулы реальных веществ:
    

Рассмотрим другой пример.

Задача.  Закончить уравнение реакции → …

Ион содержит марганец в его высшей степени окисления, следовательно, может выступать только в роли окислителя. По схеме составим полуреакцию, учитывая, что среда нейтральная.

Полуреакция восстановления: 

Если ион будет выступать в роли окислителя, то пероксид водорода —  в роли восстановителя. По схеме составляем полуреакцию восстановления:

Оформляем уравнение ОВР, протекающей в нейтральной среде:

• Т.к в нейтральной среде ни ионов , ни в левой части быть не должно, значит, для уравнивания атомов кислорода в правую часть добавляем воду:

• Оформление полуреакции становится подобным оформлению полуреакции в щелочной среде: в противоположную часть добавляем удвоенное число гидроксид-ионов:

• Перед ставим коэффициент, показывающий разницу в числе атомов кислорода в правой и левой частях полуреакций, а перед — его удвоенный коэффициент:

• Подсчитываем заряды в полуреакциях, уравниваем заряд. Балансируем (уравниваем) число отданных и принятых электронов в полуреакциях:

• Суммируем сначала левые, а затем правые части полуреакций, не забывая предварительно умножить множитель на коэффициент, если он стоит перед формулой:

      

• Сокращаем в правой и левой части одинаковые молекулы и ионы:

Таким образом, получаем ионное уравнение.

• Добавляем недостающие катионы или анионы,  учитывая, что количество добавляемых ионов в правую и левую части ионного уравнения должно быть одинаковым:

Также рассмотрим пример ОВР, протекающей с щелочной среде.

Задача. Закончить уравнение реакции:

Определяем окислитель и восстановитель в данной ОВР.  В нитрате ртути (II) ртуть содержится в ее высшей степени окисления, следовательно, может выступать только в роли окислителя. Составим полуреакцию восстановления.
Полуреакция восстановления: 

• Если ион будет выступать в роли окислителя, то пероксид водорода —  в роли восстановителя. По схеме составляем полуреакцию восстановления пероксида водорода в щелочной среде:

• Оформляем уравнение ОВР, протекающей в щелочной среде:

• Добавляем недостающие катионы и анионы.

Преимущества электронно-ионного метода при составлении уравнений реакций и подборе коэффициентов в сравнении с методом электронного баланса особенно проявляются при составлении уравнений реакций с участием органических соединений.

Задача. Составьте уравнение окисления ацетилена раствором  до щавелевой кислоты в нейтральной среде.

Составляем схему реакции:

выступаем в роли окислителя, т.к. содержит марганец в его высшей степени окисления.
Следовательно, схема полуреакции восстановления имеет вид:

Схема полуреакции окисления: 

Оформляем уравнение ОВР, протекающей в нейтральной среде:

• Т.к в нейтральной среде ни ионов , ни в левой части быть не должно, значит, для уравнивания атомов кислорода в правую часть добавляем воду:

• Оформление полуреакции становится подобным оформлению полуреакции в щелочной среде: в противоположную часть добавляем удвоенное число гидроксид-ионов. Перед ставим коэффициент, показывающий разницу в числе атомов кислорода в правой и левой частях полуреакций, а перед его удвоенный коэффициент. Подсчитываем заряды в полуреакциях, уравниваем заряд. Балансируем (уравниваем) число отданных и принятых электронов в полуреакциях:

                                                    

• Составляем ионное уравнение:

• Сокращаем в правой и левой части одинаковые молекулы, добавляем недостающие катионы:

Задача. Составьте уравнение реакции окисления фенола дихроматом калия в кислой среде до хинона:

Ион  содержит хром в его высшей степени окисления, следовательно, может выступать только в роли окислителя. По схеме составим полуреакцию, учитывая, что среда кислотная .

Используем  правила оформления уравнений ОВР, протекающих в кислотной среде.

Сокращаем в правой и левой части одинаковые молекулы, добавляем недостающие катионыи анионы: 

Рассмотрев метод электронно-ионного баланса или метод полуреакций можно выделить следующие  достоинства данного метода:

1. Рассматриваются реально существующие ионы и вещества.
2. Не нужно знать все получающиеся вещества, они  появляются в уравнении реакции при его выводе.
3. Необязательно знать степени окисления. Понятие степени окисления в органической химии употребляется реже, чем о неорганической химии.
4. Этот метод дает сведения не только о числе электронов, участвующих в каждой полуреакции, но и о том, как изменяется среда.
5. Сокращенные ионные уравнения лучше передают смысл протекающих процессов и позволяют делать определенные предположения о строении продуктов реакции.

Домашнее задание: Закончить уравнения:

В качестве проверочной работы по изученной теме предлагаю учащимся лабораторные опыты. Учащимся необходимо провести ОВР, объяснить происходящие явления, составив уравнения реакций с помощью метода полуреакций.

Лабораторные опыты «Окислительно-восстановительные реакции»

В три стакана налейте малиновый раствор перманганата калия. Добавьте в первый стакан  немного раствора серной кислоты, во второй – воду, в третий – концентрированный раствор гидроксида калия. Окраска растворов при этом не изменяется. Добавьте во все стаканы по 5 мл сульфита калия и хорошо перемешайте смеси стеклянной палочкой.

Задание: объясните изменение окраски растворов, составив ОВР методом полуреакций.

 Литература:

Д.Д. Друзцова, Л.Б. Бестаева Окислительно-восстановительные реакции. – М.:Дрофа,2005.

3.03.2009

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Составление уравнений ОВР методом полуреакций — Мегаобучалка

Метод полуреакций основан на составлении ионных уравнений для процессов окисления восстановителя и восстановления окислителя с последующим суммированием их в общее ионное уравнение. При составлении уравнений методом полуреакций необходимо руководствоваться следующими правилами.

1. Если участники ОВР — восстановитель, окислитель и продукты их взаимодействия — сильные электролиты, то они записываются в виде ионов; а слабые электролиты, газы и вещества, выпадающие в осадок — в виде молекул. Продукты реакции устанавливаются на основании известных свойств элементов.

2. Если исходное вещество содержит больше атомов кислорода, чем продукт реакции, то освобождающийся кислород связывается в кислых растворах ионами Н⁺ с образованием молекул воды, а в нейтральных и щелочных растворах — молекулами воды с образованием гидроксид-ионов, например:

MnO₄^— + 8H⁺ + 5 e ® Mn²⁺ +4H₂o,

MnO₄^—+2H₂O+3 e ® MnO₂ + 4OH^—.

3. Если исходное вещество содержит меньше атомов кислорода, чем продукт реакции, то недостаток их восполняется в кислых и нейтральных растворах за счет молекул воды, а в щелочных — за счет гидроксид-ионов. При этом образуются ионы водорода (в кислых и нейтральных растворах) и молекулы воды (в щелочной среде), например:

SO₃^2-+H₂O — 2 e ® SO₄^2-+2H⁺ ,

SO₃^2- + 2OH^— — 2 e ® SO₄^2-+H₂O.

4. Коэффициенты для полуреакций окисления и восстановления подбираются таким образом, чтобы количество отданных и принятых электронов было одинаково.

5. Для каждой из полуреакций и суммарного уравнения ОВР должны выполняться правила сохранения материального баланса и баланса электрических зарядов — количество атомов каждого вида и суммарный заряд в левой и правой частях уравнений должны быть одинаковы.

Применение перечисленных правил поясним на примере. Если через подкисленный серной кислотой раствор перманганата калия KMnO₄ пропускать сероводород H₂S, то малиновая окраска исчезает и раствор мутнеет. Опыт показывает, что помутнение раствора происходит в результате образования элементарной серы: H₂S ® S. Для уравнивания зарядов от молекулы сероводорода надо отнять два электрона (что полностью соответствует изменению степени окисления серы с -2 до 0) и в итоге получаем первую полуреакцию — процесса окисления восстановителя — сероводорода:

Н₂S — 2 e ® S + 2H⁺ .

Обесцвечивание раствора перманганата калия связано с переходом иона MnO₄^— (имеет малиновую окраску) в ион Mn²⁺ (почти бесцветный), что можно выразить схемой MnO₄^— ® Mn²⁺. В кислом растворе кислород, входящий в состав ионов MnO₄^— , связывается ионами водорода Н⁺ в молекулы воды (на 4 атома кислорода в ионе MnO₄^— необходимо 8 Н⁺), что может быть записано в виде схемы:

MnO₄^— + 8 Н⁺ ® Mn²⁺+4H₂O .

Чтобы уравнять заряды (заряды исходных веществ — (+7), конечных — (+2)), необходимо к исходным веществам прибавить 5 электронов (что полностью согласуется с уменьшением степени окисления у марганца с (+7) до (+2)):

MnO₄^—+8H⁺+5 e ® Mn²⁺+4H₂O.

Это есть вторая полуреакция — процесс восстановления окислителя — MnO₄^—.

Для составления общего уравнения реакции надо уравнения полуреакций почленно суммировать, предварительно уравняв число отданных и полученных электронов. Для этого определяют соответствующие множители (в приведенном примере 5 и 2), на которые умножаются полуреакции. Проведенные операции записываются следующим образом:

H₂S — 2 e ® S + 2H⁺ ´5

MnO₄^— + 8H⁺ + 5 e ® Mn²⁺+4H₂O ´2

5H₂S + 2MnO₄^— + 16H⁺ ® 5S +10H⁺ +2Mn²⁺+8H₂O

После приведения подобных членов (ионов Н⁺) окончательно получаем

5H₂S + 2MnO₄^— +6H⁺ ® 5S + 2Mn²⁺+8H₂O.

Проверяем материальный баланс; баланс зарядов в левой и правой частях уравнения: -2+(+6) = 2×(2+).

Методом полуреакций составляется сокращенное ионное уравнение реакции. Чтобы от ионного уравнения перейти к молекулярному, необходимо в левой части ионного уравнения к каждому аниону и катиону подобрать соответствующий катион и анион. Затем такие же ионы в таком же количестве записываются в правой части уравнения, после чего ионы объединяются в молекулы, и окончательно получаем

2K⁺+3SO₄^2-+ 5H₂S+2MnO₄^— +6H⁺ ® 2K⁺+3SO₄^2-+ 5S + 2Mn²⁺+8H₂O,

5H₂S + 2KMnO₄+3H₂SO₄ ® 5S+2MnSO₄ + K₂SO₄ + 8H₂O.

Реакции окисления-восстановления могут протекать в различных средах: в кислой (избыток Н⁺ — ионов), нейтральной (Н₂О) и щелочной (избыток гидроксид-ионов ОН^—). В зависимости от среды может изменяться характер протекания реакции между одними и теми же веществами; среда также влияет на изменение степени окисления атомов. Ниже приводятся схемы восстановления в зависимости от среды раствора наиболее типичных окислителей: KMnO₄, H₂O₂, K₂Cr₂O₇.

Перманганат калия в водных растворах полностью диссоциирует с образованием перманганат-иона MnO₄^—, который обуславливает окислительные свойства и малиновый цвет растворов. В кислой среде в присутствии восстановителей протекает реакция

MnO₄^—+8H⁺+5 e^— ® Mn²⁺+4H₂O,

раствор становится бесцветным. В нейтральной среде протекает другая реакция

MnO₄^—+ 2Н₂О + 3 е^— ® MnO₂¯ + 4OH^— ,

сопровождающаяся выделением бурого осадка MnO₂. В нейтральной среде малиновый цвет меняется на светло-зеленый, обусловленный образованием манганат-ионов:

MnO₄^—+ е^— ® MnO₄^2-.

Обычно для создания в растворе кислой среды используют серную кислоту. Азотную и соляную кислоты применять не рекомендуется: азотная кислота сама является окислителем, соляная кислота способна окисляться. Для создания щелочной среды применяют растворы КОН и NaOH.

Пероксид водорода восстанавливается также по-разному в зависимости от среды:

кислая H₂O₂ + 2H⁺ + 2 e^— ® 2H₂O ,

щелочная и нейтральная H₂O₂ + 2 e^— ® 2OH^— .

Однако с очень сильными окислителями (KMnO₄, K₂Cr₂O₇, (NH₄)₂S₂O₈) пероксид водорода выступает как восстановитель:

Н₂О₂ — 2 е^— ® О₂­ + 2Н⁺ .

Хром в своих соединениях имеет устойчивые степени окисления +6 и +3. В первом случае соединения хрома проявляют свойства окислителей, во втором — восстановителей. В зависимости от среды для соединений Cr (VI) имеет место равновесие :

2CrO₄^2- + 2H⁺ « Cr₂O₇^2-+H₂O; Cr₂O₇^2- +2OH^— « 2CrO₄^2- + H₂O .

В кислой среде ионы Сr₂O₇^2- — сильные окислители, они восстанавливаются до соединений Cr³⁺:

Сr₂O₇^2- + 14H⁺+6 e^— ® 2Cr³⁺+7H₂O.

В щелочной среде ионы [Cr(OH)₆]^3- окисляются до ионов CrO₄^2-:

[Cr(OH)₆]^3- + 2OH^— — 3 e^— ® CrO₄^2- + 4H₂O.

Достоинство метода полуреакций по сравнению с методом электронного баланса состоит в том, что в нем применяются не гипотетические ионы, а реально существующие. При методе полуреакций не нужно знать степеней окисления атомов, и видна роль среды как активного участника всего процесса. Наконец, при использовании метода полуреакций не нужно знать все получающиеся вещества: они появляются в уравнении реакции при выводе его.

 

ВНИМАНИЕ: основная ошибка, приводящая к неверным результатам, — проставление в полуреакциях не зарядов частиц, а степеней окисления атомов.

megaobuchalka.ru